Численные методы исследования динамики упругих элементов в некоторых задачах аэрогидроупругости

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, А. В. КОРНЕЕВ, Ю. А. ТАМАРОВА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ

Предложены численный (основанный на методе конечных разностей) и численно-аналитический (основанный на методе Галеркина) методы исследования динамики упругих элементов конструкций, обтекаемых дозвуковым потоком жидкости или газа. Реализация методов осуществлена на примере задачи о динамике и устойчивости упругого элемента стенки проточного канала. Исследование для сжимаемой среды проведено на основе метода конечных разностей, а для несжимаемой - на основе метода Галеркина.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, динамика, устойчивость, проточный канал, упругая пластина, деформация, дозвуковой поток, численное решение, метод конечных разностей, метод Галеркина.

Введение

При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств различного назначения, взаимодействующих с потоком газа, важной проблемой является обеспечение надёжности их функционирования и увеличение сроков службы. Подобные проблемы присущи многим отраслям техники. В частности, такого рода задачи возникают в авиаракетостроении, при проектировании антенных установок, высоких наземных сооружений и т. д. Существенное значение при расчёте конструкций, взаимодействующих с потоком газа, имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к её потере. В качестве примеров потери динамической устойчивости можно указать: флаттер крыла самолёта, панельный флаттер пластин и оболочек, обтекаемых потоком, например флаттер панели обшивки самолёта или ракеты; срывной флаттер лопаток турбин и винтов; колебания проводов, дымовых труб, висячих мостов и т. д.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Примерами подобных устройств, относящихся к вибрационной технике, являются устройства, используемые для интенсификации технологических процессов. Например, устройства для приготовления однородных смесей и эмульсий, в частности, установки для подачи смазочно-охлаждающей жидкости в зону обработки (см. например, [1]).

Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с потоком газа, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надёжности эксплуатации. Принятые в работе определения устойчивости упругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Проблема может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему «жидкость-тело» (основными параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, сжимающие или растягивающие усилия, силы трения), малым деформациям тел в начальный момент времени (т. е. малым начальным отклонениям от положения равновесия) будут соответствовать малые деформации и в любой момент времени.

Устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком газа, посвящено большое количество теоретических и экспериментальных исследований, проведённых в последние десятилетия. Исследования в этом направлении представлены в работах Белоцерковского С. М., Скрипача Б. К., Табачникова В. Г., Григолюка А. Г., Болотина В. В., Вольмира А. С., Лампера Р. Е., Шандарова Л. Г., Новичкова Ю. Н., Бисплингхоффа Р. Л., Эшли Х., Халфмана Р. Л., Фына Я. Ц., Фершинга Г., Ильюшина А. А., Кийко И. А., Алгазина С. Д., Мовчана А. А., Дж. Майлса, Пановко Я. Г., Губанова И. И., Ильгамова М. А., Кудрявцева Б. Ю., Минасяна Д. М., Морозова В. И., Овчинникова В. В., Могилевича Л. И., Вельмисова П. А. и др. Среди последних исследований по динамике и

© Вельмисов П. А., Корнеев А. В., Тамарова Ю. А., 2016

устойчивости трубопроводов и их элементов, при протекании внутри них потока жидкости или газа, следует отметить исследования отечественных учёных Могилевича Л. И., Поповой А. А., Мокеева В. В., Ершова Б. А., Барметова Ю. П., Дободейча И. А., Звягина А. В., Соколова В. Г., Березнева А. В., Paidoussis M. P. [2-8] и многих других отечественных и зарубежных учёных. Среди работ авторов данной статьи по исследованию динамики и устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком газа, отметим монографии и статьи [9-27].

В данной работе исследуется динамическая устойчивость упругого элемента стенки канала при протекании в нём дозвукового потока газа или жидкости (в модели идеальной как сжимаемой, так и несжимаемой среды). Исследование устойчивости проводится в линейной постановке, соответствующей малым возмущениям однородного дозвукового потока и малым деформациям (прогибам) упругого элемента стенки канала. Для численного исследования динамики упругого элемента в модели сжимаемой среды использовался метод конечных разностей [28], основанный на равномерном разбиении временного интервала и области пространства с заданием начальных условий. В модели несжимаемой среды решение задачи сведено к исследованию интегро-дифференциального уравнения для деформации упругого элемента, численно-аналитическое решение которого осуществлялось на основе метода Галеркина.

Разработанные методы можно использовать для решения задачи о динамике и устойчивости произвольного количества произвольно закреплённых и произвольно расположенных на обеих стенках канала упругих элементов.

1. Постановка и решение задачи в модели сжимаемой среды

Рассмотрим плоское течение идеального газа в прямолинейном канале

• = {(х, У )е К2:0< х < х0, 0 < у < у0}. Скорость невозмущенного однородного потока равна V и направлена вдоль оси Ох . Упругой является часть стенки у = у0 при х е [Ь,с] (рис. 1).

Введём обозначения: х, t) - функция деформации упругого элемента стенки канала; р( х, у, t) -потенциал скорости возмущённого потока.

А у У = >'о + Мх, 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 1 1 к

Ъ с .Г

Рис.1. Канал, стенка которого содержит деформируемый элемент

Математическая постановка задачи имеет вид:

Р + 2р + VР = а1

Ру

ру

ру

Р

Ь (w) = Р0 - Р-р(р (х, у0,0 + Vр (х, у0,0), х е (Ь, с), t > 0. (6) Дифференциальный оператор Ь^) задаётся выражением:

Ь

Индексы х, у, t снизу обозначают частные производные по х, у, t; штрих и точка - частные производные по х и t соответственно; р - плотность жидкости в однородном невозмущённом потоке; О, М - изгибная жёсткость и погонная масса пластины; N - сжимающая (N > 0) или растягивающая (N < 0) пластину сила; Д, в2 - коэффициенты внешнего и внутреннего демпфирования; Д - коэффициент жёсткости основания; а - скорость звука в невозмущённом потоке жидкости (а > V); Р0 - давление в однородном потоке, Р* - внешнее давление.

Предположим, что концы упругого элемента закреплены шарнирно, тогда при х = Ь и х = с выполняются условия:

w

;(Ь, t) = ^"(Ь, t) = ( с, t) = w"( с, t) = 0, t > 0. Также задаются начальные условия:

;(х,0) = / (х), х е(Ь, с),

w

W (х,0) = У2 (х), х е (Ь,с), р(х,у,0) = щ (х,у) , (х,у) е J, Р (х у,0) = ¥г (x, у) , (x, у)е J .

Уравнение (1) описывает динамику идеального сжимаемого газа (жидкости), (2) - (4) - условия непротекания, (5) - условия отсутствия возмущений в граничных течениях канала, уравнения (6), (7) описывают динамику упругого элемента стенки канала.

Метод конечных разностей. Разобьём отрезок [0, х0 ] на п равных частей точками х = к,,

, = 0,1,..,п, где к = х3- — шаг интегрирования по х. Тогда точке х = Ь соответствует 1Ь = Ь , а точке х п к

х

с

х = с соответствует I =— . Разобьём отрезок [0,у0 ] на т равных частей точками у. = к ],

с к ' у х

] = 0,1,..,т, где к = — — шаг интегрирования по у . Требуется найти решение задачи (1) - (12) на у т

отрезке t е[0; Т ]. Разобьем отрезок [0,Т ] на К равных частей точками tl = кк , к = 0,1,.., К, где I т

к = — — шаг интегрирования по t. К

Введём обозначения р( х., у., tk) = р..к, w (х., tk) = w¡k.

Запишем конечно-разностную аппроксимацию уравнений и условий

Р.к+1 - 2Р» + Рк-1 + 2V Р+1 к - Рук - Р+1 .к-1 + Рцк-1 V2 Р+Ш - 2Р.к +Р-Ш

= а

Р+1ук - 2Р,к +Р —1Ук , Ру+\к 2Рук + Ру-1к

- + V-

^ х. е(Ь, с) ;

Р

тк+1 Р.т-1к+1

0, х, е (0,Ь]и[с,х0);

р. 0 к = р,1 к;

Рсл =0; Рщк =0;

к

у

-р

Ртк Р1тк -1 + V Р'+1 тк Р1тк

= —(л. „ - 4л.,, + 6^ - 4л.,, + w.,,, ) +

1 4 \ г+2 к г+1к гк г-1к 1-2 к /

в2

+

- wí-2 к-1)+М (w¡k+l- + w¡k-l)+^ (- 2w¡k + )+0 (- ^-1 )+0 wk, х е(Ь,с);

w,k+l = 0 при г = 1„, г = 1с;

1   1 лт

W+1k+1 = 2 ^^+2к+1 при г = гь , Л-1к+1 = - Лг-2к+1 при г = гс ;

W¡0 = £

w¡, -

А = /2

р-0 = ц

= Ц

Р-1 -Р- 0

^ " ^2(х1 ,> — УЦ

Система (13)-(25) - система линейных алгебраических уравнений. Для её решения необходимо согласование начальных данных - функций /(х) , / 2(х) , х,у), ц2(х,у).

Функции / (х) , / 2 (х) должны удовлетворять условиям (8):

/ХЬ) = / "

/2

Функции х, у), ц2( х, у) должны удовлетворять условиям (4), (5):

ц у

цу

ц

ц

Функции / (х) , / 2( х) , х, у), ц2(х, у) должны быть согласованы в соответствии с условиями

(2), (3) и уравнением (6), (7).

Из уравнений (6), (7) получим: -р(р (х, у0,0) + Vрx (х, у0,0) ) = Цл""(х,0) + х,0) + Ш (х,0) + ЛЛ'( х,0) + вlW (х,0) + 0л( х,0) (32) Согласно условию (2), (3) начальное ускорение упругого элемента определяется выражением

И)

Подставляя (33) в (32), получим

-р(р (х, у.,0) + Vрx (х, у0,0))- Мфу1 (х, у.,0) = Dw""(х,0) + 0 л""(х,0) - MVw'(х,0) + Ш'(х,0) +

+Дw (х,0) + 0 х, 0) . Следовательно,

-р(ц( х, у0) + Vцlx (х, у0)) - Мцг у (х, у0) = Ц/, " " (х) + " (х) - МУ/Х х) + Н/1 "(х) +

+в/2( х) + 0/1( х).

Согласно (2), (3) должны выполняться равенства

Цу

Программная реализация и численный эксперимент. Алгоритм решения системы (13)—(25):

1) Задаём начальные условия

^0 = / (х, ) , = /г (х, ) + К/г (х, ) , 1 = 0,1,...,п ,

Ру0 = (х,,у.), Р = У1 (х,,у.) + к^2 (х,,у.), 1 = 0,1,...,п, 3 = 0,1,...,т;

2) Из уравнения (13) находим значения потенциала

р = 2р -р + к2а2{р+1 к -2Рук + Р-з | Ру+1к -2Рук +Р/-1к

Тук+1 Тук Тук-1 г к 2 к2

V х у

-2к^ Р+1 .к - Рл - Р+1 .к-1 + Рз1 -1 - V2к2 Р+1 .к - 2РУк + Р-1 .к

1 = 1,..., п -1, 3 = 1,..., т -1;

3) Из условий (16)-(18) находим значения потенциала в граничных точках

Р,0к+1 = Р,1к+1 , Рзк+1 = 0 , Рпк+1 = 0 , 1 = 1,..., п - 1, 3 = т - 1 ;

4) Из уравнения (19) находим значения функции прогиба

М

~Р

Рйпк Рйпк -1 + V Р,+1тк Рт

О

--(ж „, - 4ж. „ + 6ж., - 4ж ,, + ж „, )-

1 4 \ 1+2к 1+1к ,к 1-1к 1-2к /

—(ж. ... - 4ж ,, + 6ж, - 4ж. ,, + ж „ - ж. „ , + 4ж.,, , - 6ж , + 4ж.,, , - ж. ...,)-

1 4 7 V ,+2 к 1+1к гк 1 -1к 1 -2 к 1+2 к -1 1+1к -1 гк -1 1- 1к -1 1-2 к -1 /

-;М- (ж - 2ж )-^ (ж - 2ж + ж )-—(ж - ж )-В

7 2 V 1к-1 ,2 V 1+1к 1к г—1k } 1 \ 1к И-1 / ГС

ж.,

1 = 4 + 2,...,/'с -2;

5) Используя граничные условия (20), (21), находим значения функции прогиба в граничных точках отрезка [Ь, с]

ж., , = 0,ж , = 0, ж. ,, , =1 ж. „ ,, ж. ,, , =1 ж. „ ,;

1Ьк+1 ' 1ск+1 ' 1Ь+1к+1 2 1Ь+2 к+1 ' г;—1k+1 2 гc—2k+1 '

6) Из условий (14), (15) находим

, ж., , - ж., ж. ,, - ж., Г т р к1 = Р 1к, + к —^-^ + Рк —^-^ , 1 е к, 1 ]

# 1тк+1 Tm—1k+1 у к У к I- Ь ' с J

Ртк+1 = Рт- 1к1е( 0, Ч М 1с , п ) .

Цикл повторяется с пункта 2 по 6 для к = 1,2, ...К -1. Введём функции, удовлетворяющие условиям (26), (27):

п

/1 (х) = 0, /2 (х) = 81

Б1П-

Ь - с

Согласно условиям (35), (36), функция у/1 (х,у) примет вид:

^ у (х у ) =

0, х е

• П(х - Ь) и 1

Б1П—---,х е IЬ,с|.

Ь - с 11

С учётом условий (28), (30) функцию Р1 (х, у) можно задать в виде

0, х е

(x, у ) = <

у2 . п(х-Ь) г , Б1П—---,х е [Ь,с].

2 ус ь - с

Условия (28), (30) выполняются. Учитывая (34), зададим Р2 (х, у) в виде

Ц (x, у) =

пу (М -р^ . пх , ,

-008— ---sin—, х е

у0 Р(Ь - с) 2Ь V 7

1 пу --008——

Р у0

(

Ь - с

Ь - с

0 +

(Ь - с)4

п

1—--

Ь - с

е [ь,

пу

у0 Р

2

Кс, х0 ) .

Условия (29), (31) выполняются.

Рассмотрим пример механической системы. Рабочая среда - газ (р = 1), пластина изготовлена из алюминия (Е = 7 -1010, рл= 8480). Остальные параметры системы: х0 = 20, Ь = 10, с = 11, у0 = 1,

Ек

к = 0,005, М = рлк = 42,4, у = 0,31, Ц = -

V = 5, а = 331, 00 = 4, 0 = 0,4, 02 = 0,4 (все

12

значения приведены в единицах СИ), Р0 = Р*.

Программа, разработанная на С++, на основе описанного алгоритма позволяет получать графики функции х, t) при х * = (Ь + с )/2, t е[0; 2,5] и при х е[Ь; с], t = ^ при разных значениях N . При

численном эксперименте было введено разбиение п = 400 , т = 100, К = 100000 . Примеры расчётов представлены на рисунках 2, 3.

4^1 Л) а.оо5т а.оо4' а.ооэ 0.002  €,001-о1

/ \

/ \

/ / \

/ \

0,004 0,003 0,002 0,004 1 О

/ \ \

/ \ \

/ \

-0.005 -0,01  - -0.015

10 10.25 10.5 1<Ц* II 10 10,25 10,5 10,75 11 0 05 ) г

*

Рис. 2. Деформация упругого элемента канала в различные моменты времени и в точке х при N = -10000

Рис.3. Деформация упругого элемента канала в различные моменты времени и в точке х при N = 9000

В [21], [22] на основе построенного функционала получены достаточные условия устойчивости упругого элемента, налагающие ограничения на параметры механической системы. Область устойчивости определяется неравенством

V2х2ру0 Г (а2 - V 2 К 2а 2>

N <Л1Ц--

у»

2(а2 - V2)п2

где Л1 - наименьшее собственное значение краевой задачи для уравнения С' = -С с граничными условиями (8).

Рисунок 2 соответствует устойчивости, а рисунок 3 - неустойчивости колебаний упругого элемента. Результаты численного эксперимента согласуются с неравенством (37).

*

2. Постановка и решение задачи в модели несжимаемой среды

Рассмотрим задачу о плоских свободных колебаниях пластины с шарнирно закреплёнными концами, являющейся частью стенки прямолинейного канала, по которому протекает идеальная несжимаемая жидкость.

Рис. 4. Элемент стенки плоского канала

Предполагая возмущения однородного потока жидкости и пластинки малыми, уравнения, описывающие динамику пластинки, можно записать в виде

tt + xxxx + N'w' xxx + + 9w P0 P*

Pp + KP ) y=„

Px + Ы = 0

Ы

ч í0,xe

\wt + V0wx, x e (a, b) V 7

p

где x, y - декартовы координаты; t - время; w(x,t) - прогиб упругого элемента; l - длина канала; a, b и 5 - координаты концов и толщина упругого элемента; (39) - уравнение Лапласа; N -сжимающее (растягивающее) воздействие на концы упругого элемента; р0, m = р05 - плотность и погонная масса материала пластины; р - плотность жидкости или газа; V0 - скорость невозмущённого однородного потока; P0 - давление в этом однородном потоке; P* - внешнее

Es3

давление; (40), (41) - условия непротекания; D - изгибная жёсткость пластины (D = —--г, где

12

E - модуль упругости, v - коэффициент Пуассона); < - коэффициент демпфирования; в -коэффициент жёсткости основания.

Потенциал скорости p( x, y, t) представим в виде

к

p

i=1 l

Функция ф удовлетворяет условиям

^ , ч /ч Í0,xe

£p

ы [w( + V0wx, x e (a, b ) .

Умножим (44) на sin2mx и проинтегрируем от 0 до l

к ' '

Tp

i=1 o o

В силу ортогональности системы функций sinÁ.x находим

i a b l

-2

2 0 a b

Р

Вычислим частные производные по времени и координате и подставим (43), (47) в (38), получим

тл + Цл + Ш + + вл = Р - Р -

и хххх хх ^ I 0 *

2рхмк

^1ПДХ|( sinЛ¡xdx + ^Дсокх!^ + V0wx) згп^хх^х).

I г=1 к

Решение исходной задачи сведено к исследованию одного интегро-дифференциального уравнения

(48) для функции л ( х, t).

В предположении, что концы упругой пластинки закреплены шарнирно, решение уравнения (48) отыскивалось в виде:

л

м кп

(х, о = Лм (х, О = У Лк ^т^ (х - а), V = ---, х е (а, Ь).

1=1

Для определения неизвестной функции х, t) уравнение (48) необходимо дополнить начальными условиями: х,0) = /(х) (задаёт начальное положение упругой пластины), л, (х,0) = g(х) (задаёт скорость каждой точки пластины в начальный момент времени).

C помощью разработанного пакета программ исследовалась динамическая устойчивость упругого элемента в зависимости от сжимающего воздействия N и скорости потока жидкости (газа) У0.

Параметры исследуемой механической системы были выбраны следующим образом: Е = 7 -1010-модуль упругости алюминия, р = 1000 - плотность жидкости; I = 5 - длина канала; а = 2, Ь = 3 -координаты концов упругой пластины; к = 0.1 - толщина канала; s = 0.005 - толщина упругой пластины; р0 = 8480 - плотность алюминия; Р0 - Р = 0 (разность внутреннего и внешнего давления); % = 2 - коэффициент демпфирования; в = 40 - коэффициент жёсткости основания. Функции / и

п

g для начальных условий (6) задавались в следующем виде: /(х) = 0,018т-, g(х) = 0 . Все

Ь - а

величины приведены в единицах СИ.

К=1, М = 1

0.010

Мхл) 0.010

К=1, М = 10

0.000

-0.010

а)

К=5, М = 5

0.010«

б)

У*(х,Ь) К= 10, М = 10 0.010«

1 0.000

в)

Рис. 5. Характер колебаний точки х = -

а + Ь

2

г)

при V = 2.5, N = 2000 в зависимости

от выбора параметров К и М

На рисунке 5 приведён характер колебаний точки х = ~~~ при и = 2.5,N = 2000 в зависимости от

выбора параметров К и М. На графиках а)-г) видно, что при К = 1 характер колебаний существенно отличается от характера аналогичных колебаний при К > 1. Также из графиков в) и г) можно сделать вывод, что различие в характере колебаний между парой параметров К = 5, М = 5 и К = 10, М = 10 несущественно.

Численный эксперимент проводился с параметрами К = 4,М = 4. Выбор этих параметров обусловлен достижением оптимального баланса между точностью описания решения и скоростью выполнения расчётов на компьютере.

Результат исследования изображён на рисунке 6, серыми символами 'х' показаны точки, в которых наблюдается возрастание амплитуды колебаний; чёрные круги на рисунке соответствуют точкам, в которых амплитуда колебаний с течением времени стремится к нулю.

Качественно граница области устойчивости на рисунке 6 соответствует параболе и аналитическим условиям устойчивости, полученным в [11, с. 146].

N <п

( pV2 ^cth(Äh) ( 1 .. „„, . „„

D--—У—b - a +-

] ¿^ Q3 2Л n "

l n=1 Л

//

где п - наименьшее собственное значение краевой задачи для уравнения со"" = -г!со" с граничными условиями (8).

Рис. 6. Область устойчивости на плоскости

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК6 В 06 В 1/18, 1/20. Гидродинамический излучатель / Вельмисов П. А., Горшков Г. М., Рябов Г. К.; заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. техн. ун-т. - №5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. №18.

2. Барметов Ю. П., Дободейч И. А. К расчёту нестационарных течений сжимаемой жидкости в трубопроводе // Известия вузов. Авиационная техника. - 2006. - №1. - С. 18-21.

3. Ершов Б. А., Кутеева Г. А. Колебания идеальной жидкости в прямоугольном сосуде с упругой вставкой на стенке. Учёт внутреннего трения в материале вставки // Вестник СПбУ. - 2005. - Сер. 1, вып. 2. - С. 86-94.

4. Звягин А. В. Движение вязкой жидкости в канале с упругими границами // Вестник МГУ. Сер. 1. - 2005. - №1. - С. 50-54.

5. Могилевич Л. И., Попова А. А. Динамика взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком жидкости внутри неё применительно к трубопроводному транспорту // Наука и техн. транспорт. - 2007. - №2. - С. 69-72.

6. Мокеев В. В. Конечно-элементное решение задачи гидроупругости для вязкоупругой жидкости // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2005. - №2. - С. 9-86.

7. Соколов В. Г., Березнев А. В. Уравнения движения криволинейного участка трубопровода с потоком жидкости // Известия вузов. Нефть и газ. - 2004. - №6. - С. 76-80.

8. Paidoussis Michael P. Задача о колебаниях трубопровода с протекающей жидкостью и её связи с другими задачами прикладной механики // J. Sound and Vibr. - 2008. - №3 (310). - Pp. 462-492.

9. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов. - Ульяновск : УлГТУ, 2000. - 115 с.

10. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - 220 с.

11. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости деформируемых элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. -Ульяновск : УлГТУ, 2013. - 322 с.

12. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Колмановский Е. Е. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью // Дифференциальные уравнения. - 1994. - Т. 30, №11. - С. 1966-1981.

13. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д, Решетников Ю. А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» // Датчики и системы. - 2003. - №6 (49). -С.12-15.

14. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Самарского государственного университета. Сер. : Естественнонаучная. - 2008. - №8/1 (67). - С. 331-344.

15. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла // Вестник Саратовского государственного технического университета. -2009. - №1(37). - С. 7-16.

16. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Семёнова Е. П. Исследование динамической устойчивости упругих элементов стенок канала // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - №2 (38), вып. 1. - С. 7-17.

17. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия упругих стенок каналов с протекающей жидкостью // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. - 2011. - №1 (22). - С.179-185.

18. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Семёнова Е. П. О решениях интегро-дифференциальных уравнений в задаче динамики одной аэроупругой системы типа «тандем» // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. - 2011. - №2 (23). - С.266-271.

19. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкций при сверхзвуковом обтекании // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - №3 (57), вып. 1. - С. 59-67.

20. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Казакова Ю. А. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико-математические науки. - 2013. - №1 (30). - С. 1-7.

21. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А. Математическая модель вибрационного устройства // Автоматизация процессов управления. - 2014. - №3(37). - С. 58-67.

22. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А. Динамическая устойчивость упругого элемента проточного канала // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2014. - №3(31). - С. 40-55.

23. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Функционалы Ляпунова в некоторых задачах динамической устойчивости аэроупругих конструкций. - Ульяновск : УлГТУ, 2015. - 146 с.

24. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1994. - 176 с.

25. Вельмисов, П. А., Молгачев А. А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов. - Ульяновск : УлГТУ, 2012. - 184 с.

26. Вельмисов, П. А., Манжосов В. К. Математическое моделирование в задачах динамики виброударных и аэроупругих систем. - Ульяновск : УлГТУ, 2014. - 204 с.

27. Вельмисов П. А., Корнеев А. В. Математическое моделирование в задаче о динамической устойчивости трубопровода // Автоматизация процессов управления. - 2015. - №1(39). - С. 63-73.

28. Турчак Л. И. Основы численных методов. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 320 с.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ.

Корнеев Андрей Викторович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Тамарова Юлия Александровна, начальник тематико-конструкторской бригады 531 отдела

НИО-53 АО «Ульяновское конструкторское бюро приборостроения».

Поступила 14.03.2016 г.