О соотношениях пространственного состояния пластических тел

УДК 539

О СООТНОШЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко

Для изотропного идеально пластического тела определяются соотношения, вытекающие из условий пластичности, определяемых системой двух уравнений

Ключевые слова: полная пластичность, пространственная задача теории пластичности, идеально пластическое

В работе [1] приведены соотношения, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений, если принимается гипотеза Хаара-Кармана (условие полной пластичности). В работе [2] была предложена иная методика вывода этих соотношений, раскрывающая их природу и позволяющая получать аналогичные соотношения.

Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей пластических тел и является продолжением работ [2-4], содержит вывод новых соотношений, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений при рассмотрении пространственной задачи математической теории пластичности, когда условие пластичности определяется системой двух уравнений.

Рассмотрим случай, когда условие пластичности определяется системой уравнений вида

= 0

1/2(&1,&2,&3) = 0 (ст15ст2,ст3 — главные напряжения), причем в пространстве напряжений ребро поверхности пластичности, определяемое системой (1) лежит в плоскости а1 = а2. Если рассматривать только напряженное состояние, которому соответствует ребро поверхности пластичности, то систему (1) можно заменить, например, системой

Выделив из тензора у шаровую и девиаторную составляющие (у = 1 /г(у)Е + 8 , Е — единичный тензор второй валентности), систему (2) запишем в виде

/(¿1, ¿2, s3, ҐГ (у)) = 0,

• 5Ї + ¿2 + ¿3 = °

.¿1 = ^

где ¿2, ¿3 — главные значения девиатора тензора

напряжений.

На рисунке показан вид условной кривой пла-

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат.

наук, профессор, тел. (473) 246-32-85

Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел.

220-83-37

Якубенко Андрей Павлович — ВГУ, преподаватель, тел. (473) 220-83-37

стичности, определяемой системой (3).

Учитывая свойства, которым должна удовлетворять любая точка поверхности пластичности [5, 6], выделим три случая:

1. tr(у) = const;

2.

3. s = g (ґт(у)).

1. Условие пластичности имеет вид

tr (у) = C = const,

• s1 = s2. s3 = -2s1.

Используя диадное представление тензора напряжений

у = ст11 0 l + а2ш 0 m + ст3п 0 n, где 1, m, п — собственные векторы тензора у , учитывая (3), получаем, что

у = (s1 + C / 3)E - 3s1n 0 n , или в координатной форме записи

<Уу = (s1 + C /3)8^ - 3s1ninj .

Здесь n — собственный вектор соответствующий некратному собственному значению тензора напря-

жений. Так как n3 + n1 + n2 = 1, то все компоненты тензора напряжений будут определяться через три величины, например, s1, n1, n2.

В рассматриваемом случае уравнения равновесия будут иметь вид

dsj(1 - 3«j ) з ds1n1 n2

dx.

dx2

- 3

ds1n1 n3 dx3

= 0,

3 ds,ni n2 + dsi(1 - 3n2 ) - 3 ds1n2n3 = 0

dx,

dx.

2

~dslnl n3 ~,dsln2 n3 dsj

-3 -

dxl

n3 + nf + n2 = 1.

dx2

dx,

dx3

тело

(Ті = cJ

2

Использование этой системы при решении задач связано с трудностями записи граничных условий в терминах s1, n1, n2.

2. Если s1 = 0, то из условия пластичности следует, что

у = 3 ^(у )E, s = 0.

Этот случай реализуется, если тело подвержено действию только гидростатического давления.

3. Случай, когда s1 Ф 0, Гу) Ф const. Исключая, например, величины s2 и s3 из системы (2) приходим к уравнению

f

Исходя из общих представлений о функции пластичности [5, 6], всегда можно добиться того, чтобы выполнялись условия теоремы о неявной функции, поэтому уравнение (4) запишем в виде

si = g (^(у)).

Функция g является двузначной, что следует из вида поверхности пластичности. Для определенно-сти будем считать, что функция g принимает неотрицательное значение. Тогда равенство

примет вид

s = sjl 0 l + s2m 0 m + s3n 0 n

s - gE = -3gn 0 n .

Из трех инвариантов тензора * - g(tr(у ))Е

- ЯЕ) = -3 g,

Н* - ЯЕ)2 = 9Я2,

*(* - яЕ)3 =-27я3. только один независимый.

Присоединенный тензор к тензору * - яЕ будет равен нулю [9]

Р = (э - ЯЕ) - - ЯЕ)(* + ЯЕ) +12(* - ЯЕ)Е = 0,

его компоненты в произвольном ортонормирован-ном базисе будут удовлетворять соотношениям

(sii - g)(sjj - g) - sij = 0 sijsik - (sii - g)sjk = 0-

Индексы і, у,к образуют циклическую перестановку из Ї, 2, 3.

Иным способом соотношения (5) и (6) при g = І были получены в работе [7].

Соотношения (5), (6) не являются независимыми. Недиагональные компоненты девиатора тензора напряжений связаны соотношением

(‘5Ї2‘5Ї3) + (‘5Ї3‘523) + (^2 ¿23) + 3^12‘^3‘^3 = °.

В рассматриваемом случае все компоненты тензора напряжений выражаются через три величины: ^(у) и два направляющих косинуса собственного вектора тензора напряжений, соответствующего некратному собственному значению, например,

n!, n2 .

Уравнения равновесия можно представить в

виде

dg(1 - 3n ) + tr(y)/3 _ 3dgn nf - 3

dx1

dx2

dgn1 n3 dx3

= 0,

_3 dgnxnf + dg(1 - 3nf) + Ну)/3 _3 = 0

dx.

dx2

dx2

- 3

dgnxЩ -3 + dg(1 -3nf) + /т(у)/3

dx1

dx2

dx3

= 0,

222 n3 + Щ + n2 = 1.

Вопрос о постановке краевых условий, когда 2

Я = — к рассматривался в работе [8].

Рассматривая в качестве независимых величин а = 3 гг(у), ¿л, 522 уравнения равновесия можно записать в виде

д

dx-i

- + к

12'

dx2

+ К

13

д4(s11 - g)(s33 - g) = 0

dx3

М2'

dx1

dx2

+ к

32

(s33 - g)(s22 - g) = 0 dx3

dx.

+ к

dx2

+ = 0 Ку = )

дх3

Рассмотрим случай, когда условие пластичности определяется системой уравнений (3) общего вида. Предполагая выполнение условий теоремы о неявной функции, условие пластичности (3) запишем в виде

= gï(tr(у)),

¿2 = g2(tr(У)),

¿3 = -Ої + ¿2).

Тогда девиатор тензора напряжений

8 = &Е + (g2 - а)ш 0т + (g2 - gï)n0 п .

Тензор 8 - gЇE вырожденный, его детерминант ёе^ - gЇE) = 0. Обозначим через 8* присоединенный тензор к тензору в - gЇE1. Тогда тензор р, присое-*

диненный к тензору 8 , будет равен нулю. Поэтому

тензор, присоединенный к тензору 8 , будет нулевым. Следовательно, компоненты девиатора тензора напряжений должны удовлетворять равенствам:

1 Тензор, матрица которого составлена из алгебраических дополнений к элементам матрицы рассматриваемого тензора, будем называть присоединенным тензором.

+

+

Рп = ((¿11 - )(^33 - Я1) - ¿13 )((¿11 - )<>22 - Я1) - ¿122 ) -

- (^12¿13 - (^11 - £1^23) = 0,

Р22 = ((¿22 - &)(¿33 - Я1) - ¿23 )((¿11 - Я1)(¿22 - Ы - ¿п) -

- (¿12¿23 - ¿13(¿22 - Я1)) = 0,

Р33 =

- (¿13¿23 - ¿12 ^33 - Я1)) = 0, р12 = (¿12¿23 - ¿13 ^22 - £1 ))(¿12¿13 - (¿11 - £1 )¿23 ) -

- (¿13¿23 - ¿12 (¿33 - £1 ))((¿11 - £1 )^22 - £1) - ¿12 ) = 0, Р13 = (¿13¿23 - ¿12 (¿33 - Я1 ))(¿12¿13 - (¿11 - Я1 )¿23) -

- (¿l2¿23 - ¿13(¿22 - g1))((¿11 - g1)(¿33 - Я1) - ¿13) = 0, р23 = (¿13¿23 - ¿12 (¿33 - Я1))(¿12¿23 - ¿13^22 - Я1)) -

- (¿12¿13 - (¿11 - &>23)((¿22 - &)(¿33 - Я1) - ¿23 ) = 0

Между этими соотношениями имеются зависимости. Диагональные компоненты ри выражаются через недиагональные компоненты р^ (/ ф ]).

Рассмотрим случай, когда условие пластичности определяется системой уравнений вида

/1

¡2(а1,а2,а3) = 0

Из системы (8) следует, что все главные компоненты тензора напряжений принимают одни и те же значения во всех точках тела, что весьма сильно ограничивает использование предположения (8).

Для напряженного состояния, когда принимается система (8), можно получить соотношения, аналогичные (7).

В целях получения более простой математической задачи, при рассмотрении осесимметричного состояния пластического тела в работе [10] была использована гипотеза Хаара-Кармана, приводящая к статической определимости. Статическая определимость, как отмечалось в этой работе, носит очень ограниченный характер и вообще имеет место только для вполне определенных нагрузок; только особая практическая важность тех случаев, когда распределение напряжений не зависит от деформаций, оправдывает введение статической определимости.

Систему (8), приводящую к статической определимости пространственной задачи, можно рассматривать как аппроксимацию поверхности пла-

стичности одной сингулярной точкой. Такой подход вряд ли имеет важное практическое применение. Решение каких-либо практически важных краевых задач за исключением очень простых (действие на тело гидростатического давления и тому подобное) при использовании системы (8) вряд ли возможно. Выводы

Для напряженного состояния, которому в пространстве напряжений соответствует некоторое ребро поверхности пластичности, можно получить соотношения, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений, аналогичные известным соотношениям между компонентами тензора напряжений при выполнении условия полной пластичности.

Литература

1. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. - 704 с.

2. Артемов М.А. К теории пластичности анизотропных материалов / М.А. Артемов // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинско-го. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - С. 100-104.

3. Артемов М.А. / Условие полной пластичности и ассоциированный закон деформирования / М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко // Вестник ВорГТУ. -2009. - Том 5. - № 9. - С. 18-23.

4. Артемов М.А. О соотношениях, вытекающих из условия полной пластичности / М.А. Артемов, Н.С. Потапов // Вестник ВорГТУ. - 2010. - № 9. - С. 136-138.

5. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

6. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Высшая школа, 1969. - 608 с.

7. Ивлев Д.Д. Об обшдх соотношениях теории идеальной пластичности и статике сыпучей среды / Д.Д. Ивлев // ПММ. - 1958. - Т. 22, вып. 2. - С. 90-96.

8. Радаев Ю.Н. Граничные условия для пространственных состояний идеально пластических тел / Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. -2008. - №2 (61). - С. 230-247.

9. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1980. - 512 с.

10. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Г. Генки // Теория пластичности. Сб. статей. - М.: ИЛ, 1948. - С. 80101.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

ABOUT SPACE STATE RELATIONS OF PLASTIC BODIES M.A. Artemov, N.S. Potapov, A.P. Yakubenko

For an isotropic ideally plastic body the relations arising from plasticity conditions was determined in case of plasticity condition defined by a system of two equations

Key words: full plasticity, space state problem of the plasticity theory, ideally plastic body