Моделирование движения спутника в топоцентрической системе координат

УДК 521.1

Л. В. Границкий, Т. В. Рублева, А. Л. Фрейдман

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА В ТОПОЦЕНТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Рассмотрена задача определения координатно-временной зависимости местоположения искусственных спутников Земли относительно топоцентрической системы координат. Проведен обзор и анализ факторов, влияющих на погрешность определения координат.

Ввиду активного развития системы ГЛОНАСС (Глобальной навигационной спутниковой системы) появилась потребность построения наиболее точной модели движения искусственных спутников Земли (ИСЗ), так как точность позиционирования приемной станции определяется детальностью моделирования движения спутника. Кроме того, различные станции приема спутниковых данных располагают антеннами, которые обладают достаточно узкими диаграммами направленности. Поэтому для качественного приема спутникового сигнала необходимо с большой точностью направить антенну на спутник, а для этого нужно знать его местоположение в топоцентрической системе координат антенны.

Описание движения в геоцентрической инерциаль-ной системе координат. Любой физический процесс, как правило, наиболее просто описывается в инерциальной системе координат. Система координат, связанная с Землей, не является таковой, так как Земля вращается относительно инерциального пространства. Поэтому первой задачей, которую требуется решить для определения координат местоположения спутника относительно системы координат, связанной с наземным наблюдателем (т. е. топоцентрической системы координат) является определение геоцентрических инерциальных координат местоположения спутника. На практике оказывается удобнее не искать координатно-временную зависимость, используя второй закон Ньютона, а воспользоваться первым законом Кеплера, который гласит, что орбитой спутника является эллипс. Таким образом, при наличии представления о траектории спутника его кинематическое движение описывается проще [1]. При этом наиболее доступными начальными данными об орбите ИСЗ являются орбитальные элементы, представленные в системе NORAD (см. http://www.celestrak.com).

Геоцентрическая инерциальная система координат (О, х , у , z ) и орбитальные элементы изображены на рис. 1. Наклонение плоскости орбиты г и долгота восходящего узла W определяют положение плоскости орбиты в пространстве. Аргумент перигея w задает ориентацию большой полуоси эллипса в плоскости орбиты. Параметры самого эллипса орбиты определяются значением большой полуоси а и эксцентриситета е. Средняя аномалия М0 является временной характеристикой. Перечисленные параметры (г, О, ю, а, е, М0) полностью описывают геометрию орбиты в трехмерном пространстве, а также содержат начальные данные о местоположении спутника в определенный момент времени.

С помощью уравнений Кеплера, зная величину орбитальных элементов, вычисляется истинная аномалия Ф и модуль радиус-вектора г, проведенного из центра геоида

до точки местоположения спутника на данный момент времени t. Геоцентрические инерциальные координаты спутника [2] находятся по формулам

хин = r (cos(Ф+ ю) cos Q- sin(Ф+ ю) sin Q cos i),

уш = r

Z,IH = r sin (Ф+ ю) sin i.

Рис. 1

Следует отметить, что гравитационное поле Земли не является строго центральным, а следовательно, уравнения Кеплера выполняются лишь приближенно. Поэтому для более точного расчета следует учесть возмущения элементов орбиты, вызванные неравенством нулю второй и далее гармоник геопотенциала. Кроме того, на спутник также действуют гравитационные силы сторонних тел, силы сопротивления атмосферы, солнечный ветер и т. д. Таким образом, кроме гравитационного поля Земли имеется целый комплекс факторов, влияющих на движение спутника [1]. Наиболее сильное влияние при этом оказывает вторая гармоника геопотенциала Земли. Это проявляется в постоянном изменении долготы восходящего узла О и аргумента перигея w, что приводит к вращению плоскости орбиты и вращению эллипса орбиты внутри своей плоскости.

Переход в геоцентрическую неинерциальную систему координат. Учитывая эволюцию орбиты, можно определить ее состояние на некоторый момент времени £, и для этого момента найти декартовы координаты местоположения спутника в геоцентрической инерциальной системе координат, воспользовавшись выражениями (1). Далее следует перейти в систему координат, в которой Земля покоится. Таковой является геоцентрическая не-

инерциальная система координат, начало ее лежит в центре масс геоида, ось х проходит через точку пересечения плоскости экватора и гринвичского меридиана, ось z направлена вдоль оси вращения Земли, указывая на Север, а ось у дополняет тройку до правосторонней системы координат. В первом приближении можно считать, что оси аппликат геоцентрической инерциальной и неинер-циальной систем координат zин и z совпадают. В ходе суточного вращения Земли геоцентрическая неинерциаль-ная система координат непрерывно поворачивается относительно геоцентрической инерциальной системы координат. В результате между парами осей хин - х и уин - у образуется угол т (рис. 2).

моники нутации имеют периоды 13,7 суток, 27,6 суток, 6 месяцев, 1 год, 18,6 лет. Гармоника с периодом 18,6 лет имеет максимальную амплитуду ~9". Остальные нутационные гармоники имеют меньшие амплитуды. В результате нутационного движения ось вращения описывает сложные петли в пространстве. Таким образом, переход в геоцентрическую неинерциальную систему координат также не является простой задачей. На данный момент группой «Non-rigid Earth Nutation Theory» («Нутация неупругой Земли») разработана теория нутации MAC2000, которая согласуется с наблюдениями в пределах 0,2 мс дуги [4].

Геодезическая система координат. Определив геоцентрические неинерциальные координаты спутника, можно найти и его геодезические координаты, что позволяет построить трассу ИСЗ. Геодезическая система координат оперирует тремя переменными (рис. 4): геодезической широтой ф, геодезической долготой X и геодезической высотой H.

Геодезической широтой ф точки M называется угол, образуемый между плоскостью экватора и прямой, проведенной к точке M, направляющим вектором которой является внешняя нормаль к поверхности геоида.

Рис. 2

Переход в геоцентрическую неинерциальную систему координат осуществляется обычным преобразованием координат при повороте осей [3]:

х = хин сое т + уш віп %

У = Уин с°є т + хин вш Т

12 = 2ин •

Однако преобразование (2) справедливо лишь в первом приближении. Ось вращения Земли описывает сложную траекторию в инерциальном пространстве (явление прецессии и нутации) (рис. 3).

Рис. 4

Геодезической высотой Н точки М называется длина прямой, проведенной от поверхности геоида до точки М, направляющим вектором которой является внешняя нормаль к поверхности геоида.

Геодезическая долгота 1 совпадает с геоцентрической долготой.

Ввиду того, что геометрия геоида больше схожа с эллипсоидом вращения, чем с шаром, геодезическая широта j отличается от геоцентрической широты у. Геодезические координаты связаны с координатами геоцентрической неинерциальной системы координат следующими соотношениями [5]:

Рис. 3

Прецессионное движение Земли имеет угловой радиус порядка 23,5° и период около 26 000 лет. Основные гар-

х =

У =

H +

г2 БШ2ф

H +

л/Г

г1 БШ2ф

cos ф cos X, cos ф sin X,

H + -

Є sin ф

sin ф,

где а - большая полуось эллипсоида; Ь - малая полуось эллипсоида; е - эксцентриситет эллипсоида.

Местоположение наблюдателя, находящегося на поверхности Земли, как правило, задается его геодезическими координатами (ф, X, Н). С помощью соотношений (3) определятся декартовы координаты наблюдателя в геоцентрической неинерциальной системе координат. Однако приближение геометрии геоида эллипсоидом вращения также не является идеальным. Форма Земли не является правильной, и поэтому для повышения точности в каждой точке на поверхности геоида целесообразно строить местный эллипсоид вращения.

Переход в топоцентрическую систему координат. Для нахождения координат спутника в системе координат, связанной с наземным наблюдателем вводится топоцен-трическая система координат (рис. 5).

Ь є

Уо

Ь є

7 2 2

хо + уо

+

Ь

і

7 2 2

хо + уо

Хо2 + Уо2

2

а є

+ а4

4 г.

а Ь

4х1+Уо2

(

2 2 \ 4 2

( + Уо )+ а 2о 4 и4

4х1+Уо2

'X -Х1)-2°- + ( -Уо)х а2 є

Уо + ( - їі ) 1о

а2 є

а2 є

где є - нормирующий множитель:

є = ,

2 2 2

+ Уо. + [ 2о

а2 а2 Ь2

V / V / V /

(х,у,г)- координаты местоположения спутника в геоцентрической неинерциальной системе координат; (х1, у1, z1) -координаты местоположения наблюдателя в геоцентрической неинерциальной системе координат; (х0, у0, z0) -координаты местоположения наблюдателя, определяемые соотношениями (3) с геодезической высотой положенной равной нулю (Н = 0).

По декартовым топоцентрическим координатам местоположения спутника (х', у ’, z ’) определяются его полярные топоцентрические координаты (рис. 6): угловая высота над плоскостью местного горизонта х, азимут п, расстояние до спутника о.

Ось z' этой системы координат направлена по внешней нормали к эллипсоиду вращения в точке местоположения наблюдателя, ось у' направлена по касательной к меридиану в направлении на Запад, ось х' дополняет тройку до правосторонней системы координат.

Координаты местоположения ИСЗ в топоцентричес-кой системе координат в приближении геометрии геоида эллипсоидом вращения определяются соотношениями

Полярные топоцентрические координаты задают направление на спутник. Однако и здесь есть аспекты, которые увеличивают погрешность расчетов координат. Когда речь идет об ориентации на спутник приемной или передающей антенны, то следует учитывать возможность несовпадения вектора внешней нормали к местному эллипсоиду в точке местоположения антенны и обратного вектора свободного падения, так как юстировка антенны на плоскость местного горизонта может производиться по уровню, показания которого полностью определяются вектором свободного падения.

Кроме того, для принятия или передачи сигнала антенну следует ориентировать по внутренней нормали к волновому фронту излучения, а не по истинному направлению на спутник. Два этих направления могут не совпадать по той причине, что траектория распространения сигнала в атмосфере искажается рефракцией. При этом определяющий фактор - частота сигнала, так как атмосфера является диспергирующей средой. Для видимого диапазона угол рефракции на горизонте достигает ~0,5°

[6]. Сама задача рефракции является сложной по той причине того, что рефракционное поле п(х, у, z) зависимо от времени года, метеорологической обстановки и других факторов, а поэтому плохо поддается прогнозированию

[7]. Однако на зенитных расстояниях до 60° вполне достижима реальная точность учета рефракции порядка нескольких миллисекунд дуги или нескольких сотых долей секунды [8].

Анализ полученных результатов. Из всего вышесказанного следует, что точность определения координат местоположения спутника относительно системы координат, связанной с наземным наблюдателем или приемо-

передающей станцией, зависит от множества факторов. И чем более детально будет исследован каждый этап в решении этой задачи, тем более точно будут получены конечные результаты. Ввиду обширности и комплексности задачи для ее решения наиболее целесообразно использование компьютерного моделирования, позволяющего оперативно развивать модель движения ИСЗ.

На кафедре технической физики Сибирского федерального университета была разработана программа, которая позволяет строить координатно-временную зависимость местоположения спутника в различных системах координат (в том числе топоцентрической), а также прослеживать эволюцию орбитальных элементов спутника по данным NORAD. Такой подход позволяет, постепенно достраивая и детализируя модель, выявить наиболее оптимальные соотношения между ее внутренними параметрами путем параллельного сравнения с экспериментальными данными.

Приведем среднеквадратичные отклонения рассчитанных орбитальных элементов от данных NORAD, появляющиеся в прогнозе на следующие сутки для нескольких спутников: средней аномалии о(М), долготы восходящего узла о(О), аргумента перигея о(ю), наклонения орбиты о(г), периода обращения спутника о(Т) и эксцентриситета орбиты о(е) (см. таблицу).

Таким образом, в определении орбитальных элементов ИСЗ содержатся как статистические погрешности, так и систематические. Последние можно снизить путем учета дополнительных факторов, которые еще не были включены в модель. Важно отметить, что дальнейшее разви-

тие модели движения спутника способно увеличить точность прогноза орбитальных элементов.

Библиографический список

1. Герман, М. А. Космические методы исследования в метеорологии / М. А. Герман, А. В. Бушуев, П. И. Смирнов. Л. : Гидрометеоиздат, 1985. С. 21-37.

2. Дубошин, Г. Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Г. Н. Дубошин [и др.]. М. : Наука, 1976. С. 222.

3. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн, И. Г. Араманович. М. : Наука, 1974. С. 80.

4. Жаров, В. Е. Нутация неупругой Земли. О работе международного коллектива, удостоенного премии Декарта 2003 г. [Электронный ресурс] / В. Е. Жаров. Электрон. дан. Режим доступа: http://www.astronet.ru/db/msg/ 1196055. Загл. с экрана.

5. Яценков, В. С. Основы спутниковой навигации. Системы GPS NAVSTAR и ГЛОНАСС. / В. С. Яценков, В. М. Терентьев. М. : Горячая линия - Телеком, 2005. С. 54.

6. Бакулин, П. И. Курс общей астрономии / П. И. Бакулин, Э. В. Кононович, В. И. Мороз. М. : Наука, 1977. С. 64.

7. Островский, А. Л. Учет атмосферных влияний на астрономо-геодезические измерения / А. Л. Островский [и др.]. М. : Недра, 1990. 235 с.

8. Яценко, А. Ю. Теория рефракции / А. Ю. Яценко [и др.]. Казань : Изд-во Казан. ун-та, 1990. С. 6.

Среднеквадратичные отклонения рассчитанных орбитальных элементов по данных NORAD

Спутник № o

AO-16 20439 1,31 0,43 1,31 0,000 2 1,04E-08 4,53E-06

DMSP-F12 23233 0,96 0,32 0,96 0,000 6 2,48E-07 5,41E-06

lANDSAT-5 14780 2,20 0,39 2,20 0,000 4 1,74E-08 7,91E-06

MET2-11 15099 1,06 0,30 1,06 0,000 1 8,06E-09 4,56E-06

NOAA-O6 11416 1,67 0,56 1,67 0,000 2 3,63E-08 5,06E-06

OKEAN-3 21397 1,96 0,55 1,96 0,000 4 8,78E-08 1,12E-05

SPOT-3 52280 1,39 0,38 1,39 0,000 7 1,89E-08 2,46E-05

TOPEX 22076 0,54 1,15 0,54 0,000 6 9,03E-09 7,99E-06

L. V. Graniczkiy, T. V. Rubleva, A. L. Freydman

MODELLING OF SATELLITE MOVEMENT IN THE TOPOCENTRIC CO-ORDINATES SYSTEM

It is considered the problem of determination of the co-ordinates and time dependence of satellites position at topocentric co-ordinates system. It is given the review and analysis offactors which influences on error of co-ordinates determination.