Электронные атласы групп как инструмент исследования в теории групп и ее приложениях

ЭЛЕКТРОННЫЕ АТЛАСЫ ГРУПП КАК ИНСТРУМЕНТ ИССЛЕДОВАНИЯ В ТЕОРИИ ГРУПП И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ1

ELECTRONIC ATLASES OF GROUPS AS A RESEARCH TOOL IN GROUP THEORY AND ITS APPLICATIONS

А.И. Макосий A.I. Makosly

Теория групп, конечная простая группа, атлас конечных групп, порождающее множество, инволюция, система компьютерной алгебры GAP.

В работе представлен электронный атлас порождающих конечную простую группу троек инволюций, в каждой из которых две инволюции перестановочны. Атлас содержит сведения, отражающие работу ряда авторов по вопросам, связанным с поиском таких троек, а также опыт применения компьютерных вычислений (включая параллельные) в этих исследованиях. Обосновывается тезис об использовании такого рода атласов как инструмента исследования в теории групп и приложениях.

Group theory, finite simple group, Atlas of finite groups, generating sets, involution, computer algebra system GAP.

This paper presents an electronic atlas of triples of involutions that generate a finite simple group and two involutions of each triple are commute. The atlas contains the data reflecting the work of several authors on the issues related to the search of such triples, and the experience of using computer calculations (including parallel) in these studies as well. The author proves the usage of such atlases as a research tool in group theory and applications.

При исследовании групп прежде всего интересен вопрос о классификации (описании) множества групп с некоторыми заданными свойствами. Теория групп в настоящее время представляет одну из самых развитых областей алгебры. Одним из крупнейших результатов теории конечных групп, да и в целом математики двадцатого века, явилось завершение классификации конечных простых групп, включающих циклические группы простого порядка, серии групп Ли, знакопеременные группы Ар при п < 5 и 26 спорадических простых групп.

Исключительное значение задачи классификации конечных простых групп объясняется ролью этих групп. Из них может быть построена любая конечная группа. В постклассификационный период важной задачей становится систематическое изучение свойств конечных простых групп и получение каких-либо дополнительных сведений об их строении.

Порождаемость группы некоторым множеством является важным свойством, характеризующим группу. Хорошо известно, что классические

группы порождаются своими простейшими элементами. Так, например, симметрические группы порождаются транспозициями, а простые классиче-ские линейные группы, или более обобщенно-простые группы лиева типа, порождаются корневыми элементами. В обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы. Особый интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности относительно некоторых свойств. Для конечных простых групп и близких к ним наибольший интерес представляют минимальные порождающие множества инволюций - элементов порядка два.

Всякая конечная простая неабелева группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. Естественно, возникает вопрос: каково минимальное число инволюций (необязательно сопряжённых), порождающих конечную простую неабелеву группу? К 90-м годам прошлого века стало известно, что тремя инволюциями порождена каждая конечная простая неабелева группа, исключая группу £/(3) [Atlas..., 1985; Di Martino, Tamburini, 1991].

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 10-01-00509-а .

С другой стороны, были описаны группы, порожденные тремя инволюциями, порядки произведений каждых двух из которых невелики. Например, если эти порядки равны 2, 3, 5, то соответствующая группа является либо знакопеременной группой Л5, либо ее инволютивным расширением. Несколько лет назад было выяснено, какие конечные простые неабелевы группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Такие тройки инволюций, если они существуют в группе, были названы (2 х 2,2)-тройками инволюций этой группы, а сама группа (2 х 2,2)-порож-дённой. Препринт [Нужин, Тимофеенко, 2000] положил начало циклу работ по следующей задаче.

Указать алгоритмы поиска (2 х 2,2)-троек инволюций в конечных простых неабелевых группах и создать электронный атлас таких троек.

Правомерность расширения постановки вопроса, какие конечные простые группы являются (2 х 2,2)-порожденными до вопроса явного указания (2 х 2,2)-троек инволюций в таких группах специалистами по теории групп, вначале подвергалась сомнению. Как оказалось (было доказано достаточно давно), имея (2 х 2,2)-тройку инволюций группы, можно построить гамильтонов цикл в графе Кэли этой группы, т.е. явное указание таких троек инволюций решает классическую задачу теории графов. Очевидно, что для такого рода приложений важно предоставить в общий доступ информацию об этих тройках.

В работах исследовались спорадические и знакопеременные группы на (2 х 2,2)-порожда-емость с привлечением компьютерных вычислений и системы компьютерной алгебры GAP [Макосий, 2001; Нужин, Тимофеенко, 2000; Тимофеенко, 2003]. Расчеты использовались для проверки различных условий на некоторых множествах элементов группы. Природа этих условий и проверок определялась алгоритмом поиска троек инволюций.

Несмотря на желание получить легко реализуемый в смысле создания программы и ее выполнения алгоритм, компьютерные вычисления упирались в ограничения машинных ресурсов, в первую очередь по оперативной памяти и по времени исполнения. Для того чтобы увеличить скорость вычислений, так как они могли занимать неприемлемо большое время (соизмеримое со време-

нем жизни исследователя), использовались различные алгоритмические и вычислительные подходы. Важнейшим из вторых является использование суперкомпьютерных вычислений

И здесь нужно отметить следующее. Повторение таких расчётов независимыми исследователями не всегда легко осуществимо, так как может столкнуться с проблемой отсутствия необходимых ресурсов. Так что необходимо дать возможность работать с результатами расчетов, которые по понятным причинам могут быть размещены для легкого доступа только в Интернете. И второе, опубликованные работы по тематике данных исследований не содержат программного обеспечения, с помощью которого были получены результаты. Таким образом, сам результат дезавуируется, его доказательство становится непрозрачным, нарушая основной принцип математического доказательства.

Такого рода мотивы приводят к осознанию необходимости построения электронного атласа (2 X 2,2)-троек инволюций конечных неабелевых простых групп.

Атлас конечных групп

Как уже говорилось, конечной целью теории групп является описание множества групп с некоторыми свойствами. К счастью для исследователей по теории групп, такая задача неразрешима. На сегодняшний день можно привести уже достаточно много примеров, когда такого рода множества представлены как некоторые таблицы, содержащие информацию об этих группах. Такие таблицы или ссылки на них появляются уже в первых книгах по теории групп. Например, шестая глава книги О. Ю. Шмидта завершена построением всех групп 12-го порядка и таблицей, указывающей для каждого п < 32 число неизоморфных групп порядка п. Можно привести также пример классификации кристаллографических групп и т. д.

Что касается исследования конечных простых групп, со временем стало очевидным, что огромное количество информации о простых группах, более фактов, нежели теорем, требует перечисления и хранения. Таким образом, в 1985 году появился бумажный атлас конечных групп [Atlas..., 1985].

Атлас содержит информацию о спорадических группах, знакопеременных и линейных группах, других классических группах, исключительных группах лиева типа и некоторых других. Из бесконечных серий групп представлены только группы малых рангов над полями небольших порядков. Каждый раздел атласа, посвященный какой-либо группе, содержит многочисленную информацию, например, список ее максимальных подгрупп, таблицу характеров группы, список классов сопряженных элементов и т. п.

Вопрос поддержки атласа в актуальном состоянии, развитие систем компьютерной алгебры и использование их в практических вычислениях, когда исследователю нужно было получить то или иное свойство группы в пригодном для вычислений виде, поставили на повестку дня вопрос об электронном атласе простых групп, который и появился в начале 90-х годов [Willson etal., 1996]. В электронном атласе каждая группа атласа представлена своими порождающими элементами, записанными в виде матрицы или подстановки. Авторы атласа стремятся получить как можно больше представлений для порождающих элементов. В электронном атласе появляется много дополнительной информации о группе - сведения о группах расширений и группе автоморфизмов, алгоритмы поиска порождающих элементов и представителей классов сопряженных элементов. В GAP и других системах компьютерной алгебры появляется возможность прямого обращения к электронному ресурсу. Таким образом, атлас конечных (простых) групп превращается из цели исследования в инструмент такого исследования.

Атлас конечных простых

(2 х2,2)-ПОрОЖДенИЫХ групп

Напомним, что тройка инволюций (/',j, к) группы G с условием G = (/, j, к), ij = ji называется (2 х 2,2)-тройкой инволюций группы G. А сама группа называется (2 х 2,2)-порожденной.

Будем считать две (2 х 2,2)-тройки инволюций (1, /г к ) и (i,, эквивалентными, если

li^f ,1/^I = [/;£,I и элементы iy j\, так же как элементы / . сопряжены. Если G-конечная простая группа, то пусть

C2(G) = {(p,q) | G = (i,j,k),\i\=\j\=\k\= =| ij |= 2,| ik |= p, | kj |= q,P„ q}-

Сведения о (2 x 2,2)-тройках инволюций размещены в Интернете (algebra.kspu.ru) в виде атласа конечных простых (2 х 2,2)-порожденных групп [Макосий, 2012]. То есть информация о таких тройках дается в несколько более емком контексте, что обусловлено рядом причин.

Во-первых, в атласе должны быть и представлены сведения об алгоритмах, ссылки на печатные работы с возможностью доступа к их содержанию и программы, с помощью которых были выполнены расчеты. Тексты программ содержат комментарии. Все это в совокупности позволяет пользователям быстрее разобраться в доказательстве теорем и работе алгоритмов. При необходимости они могут использовать программный код или какую-либо его часть в собственных исследованиях. В этом же разделе приведены тесты программ для построения гамильтоновых циклов в графе Кэли группы, порожденной тройкой инволюций, две из которых перестановочны.

Во-вторых, для каждой конечной простой группы приведена информация о самой группе, связанная с вопросом о ее (2 х 2,2)-порождаемо-сти. Частично эта информация взята (в виде ссылок) из атласа конечных групп. В совокупности это позволяет сказать, что атлас (2 х 2,2)-троек инволюций представляет собой инструмент по изучению свойств (2 х 2,2)-порожденных групп и приложений.

В отличие от работ [Макосий, 2011; Нужин, Тимофеенко, 2000; Тимофеенко, 2003], атлас конечных простых (2 х 2,2)-порожденных групп содержит сведения о (2 х 2,2)-тройках инволюций для конечных простых групп в более широкой постановке вопроса, чем это было сказано вначале, а именно для конечной простой группы G построено множество С¿G) и указаны частично или полностью неэквивалентные (2 х 2,2)-тройки инволюций группы G. На текущий момент атлас содержит информацию о таких тройках для знакопеременных группах степени не выше 20 и спорадических групп, за исключением группы М. Таким образом, справедлив следующий результат.

Теорема 1 (A.B. Тимофеенко, А.И. Макосий). Пусть G - любая из знакопеременных групп, Ап, п < 20,

или спорадических групп, за исключением группы М. Тогда приведенные в атласе конечных простых (2 х 2,2)-порожденных групп тройки инволюций являются неэквивалентными (2 х 2,2)-тройками инволюций этих групп, а указанные для каждой группы пары чисел принадлежат множеству C/G).

Вычислительная сторона доказательства теоремы опирается на использование двух алгоритмов.

Первый алгоритм основан на комбинаторном подходе к решению задачи, суть которого есть перебор (порождение) элементов группы и их опробование на обладание нужным свойством. Алгоритм реализует две вычислительные задачи - перечислительную, которая заключается в перечислении элементов множества троек инволюций, и поисковую задачу, состоящую в нахождении (2 х 2,2)-троек инволюций. Такие задачи имеют экспоненциальную сложность. И их решение требует, как правило, больших вычислительных ресурсов. В алгоритме, в том числе для ускорения расчетов, был использован ряд простых сведений о строении группы и множества (2 х 2,2)-троек инволюций.

При программировании важным оказалось то, что при построении классов сопряжённых инволюций чрезвычайно полезной была возможность GAP строить частичную биекцию некоторого множества (в данном случае класса сопряжё нных инволюций) на натуральный ряд с возможностью ее продолжения до исчерпания мощности множества. Это позволило существенно расширить спектр групп для исследования. И самое главное, распараллеливание алгоритма позволило существенно уменьшить время поиска (2 х 2,2)-троек инволюций группы.

Параллелизация последовательного алгоритма была осуществлена либо сочетанием функциональной декомпозиции и декомпозиции данных, либо прямой декомпозицией исходных данных. В первом случае параллелизация задачи была осуществлена «по верхнему циклу» последовательного алгоритма. В этом случае расчетным узлам кластера выделялся некоторый пул номеров, по которому они формировали множество троек инволюций группы и проводилась проверка, являются ли эти тройки (2 х 2,2)-тройками инволюций, а

уже главный узел формировал множество C/G) и множество искомых (2 X 2,2)-троек инволюций всей группы.

Второй способ распараллеливания основан на возможности прямой декомпозиции исходных данных. Глобальные данные - множество всех инволюций - разбивается на непересекаю-щиеся множества, и для каждого из них выполняются расчеты по последовательному алгоритму поиска (2 х 2,2)-троек инволюций и построение множества C/G). Полученная при этом избыточность расчетов (на разных узлах могут быть получены эквивалентные тройки инволюций) устранялась проверкой выходных данных после прерывания расчетов и формированием нового множества глобальных данных.

Надо отметить, что даже в параллельном варианте исполнения, несмотря на универсальность, такой алгоритм имеет предел для своего использования. Но он может быть применен к достаточно широкому классу конечных (простых) групп.

Второй алгоритм получения (2 х 2,2)-троек инволюций основан на использовании информации о строении максимальных подгрупп в группе. Такой подход требует первоначального рассмотрения группы и применим для групп большого порядка с известным подгрупповым строением. В больших спорадических группах наряду с распараллеливанием расчетов могли использоваться возможности GAP по работе с формальными словами

Компьютеры могут и эффективно используются при изучении сугубо абстрактных проблем теории групп. В последние десятилетия возможности компьютерных исследований претерпели значительные изменения. Использование систем компьютерной алгебры, таких как GAP, MAGMA, MAPLE, делают доступными такие исследования на обычных персональных компьютерах. Смена исследовательской парадигмы переориентирует вектор направленности атласов групп в структурной теории групп, они превращаются из цели в инструмент исследования. Глобальная доступность Интернета превращает связку программа и атлас в своего рода экспертную систему. Нет сомнения, что примеры такого рода систем будут продолжены в ближайшие годы.

В заключение автор выражает благодарность Оргкомитету форума «Человек, семья и общество:

история и перспективы развития» за предоставленную возможность участвовать в его работе и A.B. Тимофеенко за полезные обсуждения при работе надданной статьей.

Библиографический список

1. Макосий А.И., Тимофеенко A.B. Атлас конечных простых (2 х 2,2)-порождённых групп, 2012. URL: http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=2860

2. Макосий А.И. О порождающих множествах инволюций конечных групп и смежные вопросы. Вычислительный подход. Saarbrücken (Germany): LAP Lambert Academic Publishing GmbH, 2011.78 c.

4. Нужин Я.H., Тимофеенко A.B. Порождающие тройки инволюций некоторых спорадических

групп. Препринт № 13-99. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. 20 с.

3. Тимофеенко A.B. О порождающих тройках инволюций больших спорадических групп // Дискретная математика. 2003. Т. 15, № 2. С. 103 - 112.

5. Atlas of finite groups / J. H. Conway, R. T. Curtis,

S. P. Norton et al. Oxford : Clarendon Press, 1985. 252 p.

6. Di Martino L., Tamburini M. C. 2-generation of finite simple groups and some related topics // Generators and Relations in Groups and Geometries / ed. by A. Barlotti et al. Netherlands : Kluver Academic Publishers, 1991.

7. Wilson R., Parker R. A., Bray J. N. Atlas of group representations, 1996. URL: http://brauer.maths. qmul.ac.uk/Atlas/v3/

G

m

s

X

H

и

Ш PQ