Моделирование деформации и разрушения материалов с покрытиями различной толщины

УДК 339.3, 539.3, 539.422.22

Моделирование деформации и разрушения материалов с покрытиями различной толщины

P.P. Балохонов, В.А. Романова

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе исследуются процессы деформации и разрушения материалов с покрытиями различной толщины. Краевая задача механики решается численно методом конечных разностей в постановке плоской деформации. Для описания механического отклика стальной подложки и боридного покрытия используются модели упругопластической среды с изотропным упрочнением и упруго-хрупкого разрушения соответственно. Геометрия границы раздела «покрытие - подложка» соответствует экспериментально наблюдаемой и учитывается в расчетах явно. Проведены серии численных экспериментов при варьировании толщины покрытия. Показано, что в пределах тонкого поверхностного слоя (около 80 мкм) концентрация напряжений вблизи границы раздела «покрытие - подложка» увеличивается при уменьшении толщины покрытия, т.е. по мере приближения данной границы к свободной поверхности образца. Установлено, что данный эффект проявляется уже на упругой стадии и усиливается по мере развития пластической деформации в подложке.

Ключевые слова: механика сред со структурой, численное моделирование, композиты, толщина покрытия, поверхность

Simulation of deformation and fracture of materials with coatings

of different thickness

R.R. Balokhonov and V.A. Romanova

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The paper studies deformation and fracture of materials with coatings of different thickness. The boundary problem of mechanics is solved by the finite-difference method for plane strain conditions. The mechanical responses of the two components — steel substrate and boride coating — are described by models of an elastoplastic medium with isotropic hardening and of elastic-brittle fracture, respectively. The geometry of the substrate-coating interface is consistent with experimental data and is taken into account in an explicit form. Numerical experiments with varied coating thickness show that in a thin surface layer (-80 ^m), the stress concentration near the substratecoating interface increases with decreasing the coating thickness, i.e., as the interface is brought closer to the free specimen surface. It is found that this effect makes itself evident even at the elastic stage and increases as plastic deformation evolves in the substrate.

Keywords: mechanics of structured media, numerical simulation, composites, coating thickness, surface

1. Введение

Вопросу об особой роли поверхности в развитии пластического течения и разрушения, ее влиянии на физику деформации посвящен целый ряд экспериментальных и теоретических исследований [1-5]. Согласно идеям этих работ поверхность является самостоятельной подсистемой, которая благодаря оборванным связям обладает исключительными свойствами, отличными от свойств материала в объеме.

Такому физическому представлению соответствует и рассмотрение поверхности с точки зрения механики.

В рамках макроподхода поверхность — свободная от нагрузок граница раздела, вблизи которой благодаря дополнительным степеням свободы облегчены процессы формоизменения. Эта граница, которую можно определить как границу раздела «твердое тело - газ», разделяет вещества с большей разницей механических свойств, чем на внутренней границе раздела «твердое тело - твердое тело». Для случая материала с покрытием поверхность является границей раздела «покрытие - газ», а граница раздела «основной материал -покрытие» является внутренней.

© Балохонов P.P., Романова В.А., 2009

В настоящей работе показано, что концентрация напряжений в области границы раздела зависит от степени удаления данной границы от поверхности.

2. Математическая постановка задачи, структура и свойства композита

Экспериментальные данные [6-8] свидетельствуют

о том, что граница раздела «сталь - боридное покрытие» имеет характерную игольчатую структуру (рис. 1, а). В процессе растяжения стальных образцов, поверхностно упрочненных методом диффузионного борирования, наблюдается множественное растрескивание покрытия (рис. 1, б). При уменьшении толщины покрытия в области тонких покрытий возможно уменьшение деформации поверхностно-упрочненного материала, при которой происходит разрушение покрытия [6, 8].

Характер развития взаимовлияющих процессов деформирования пластичной подложки и растрескивания хрупкого покрытия можно проследить на примере моделирования растяжения упрощенной двухфазной структуры «сталь - боридное покрытие». На рис. 1, в представлена модельная структура, состоящая из стальной подложки и покрытия РеВ2, соответствующая экспериментально наблюдаемой.

При иерархическом моделировании деформации материала с покрытием решается общая система уравнений, включающая законы сохранения массы, количества движения, соотношения для деформаций и определяющие уравнения, характеризующие среду [9, 10]. В данном случае использованы модели упругопластического поведения стальной подложки и хрупкого разрушения покрытия. Механическое поведение исследуемой двухфазной структуры моделируется в постановке

плоского деформированного состояния. Динамическая задача решается численно методом конечных разностей [11, 12].

В случае плоской деформации не равны нулю следующие компоненты тензора скорости полной деформации:

....................1,. . ч

& XX = йх,х ’ & уу = й у, у, & ХУ = 2 , У + йУ,х

где их и и у — компоненты вектора перемещений, точка и запятая обозначают производную по времени и координате соответственно.

Запишем законы сохранения массы и количества движения в виде:

V

а хх,х + а ух, у = Р&& х > а ху, х + а уу, у = ри у >

где ахх, а , аху — компоненты тензора напряжений;

V — удельный объем; р — плотность.

Принимая разложение тензора напряжений на сферическую и девиаторную части: а у = —РЩ + Sij, получаем для компонент тензора скоростей девиатора напряжений и давления следующие выражения:

1 .

._О

•'у •‘'^1 '-'у ^ кк ""у

где К и ц — модули объемного сжатия и сдвига; &Р — тензор скоростей пластических деформаций; 8^- — символ Кронекера.

При моделировании учтена коротационная производная Яуманна:

- SikЮ]к - 8]кЮ\к,

где Юу = 1/2 (йг-,7- - и7-,г-) — тензор вихря.

Сталь

Рис. 1. Структура композита «подложка - покрытие»

Таблица 1

Механические свойства стальной подложки и боридного покрытия [6-8, 13]

K, ГПа |Л, ГПа os, МПа ст0, МПа ep Cten, ГПа Ccom> ГПа

Подложка 133 80 390 200 0.16 - -

Покрытие 200 140 - - - 1 4

Граничные условия на поверхностях Г) и Г3 моделируют одноосное растяжение мезообъема параллельно оси X, а на нижней и верхней — соответствуют условиям симметрии и свободной поверхности соответственно (рис. 1, в):

ux(x, t) = -v для t >0, (x, y) еГ),

úx(x, t) = v для t > 0, (x, y)е Г3,

стгу

úy (x, t) = 0 для t > 0, (x, y) еГ4,

axy(x, t) = 0 для t > 0, (x, y)е Г1 иГ3 иГ4.

Здесь Г = Г1 иГ2 иГ3 иГ4 — граница расчетной области; t — время процесса; щ — компоненты вектора перемещений; v = const — скорость движения захвата; nj — нормаль к поверхности; точка означает материальную производную.

При нагружении структуры стальная подложка реагирует упругопластически. Закон пластического течения ép- = XSj ассоциирован с условием текучести вида:

tfi =Ф

где в общем случае для интенсивностей напряжений и пластических деформаций имеем:

^;Jr[(Sii - S22)2+(S22 - S33)2 +

+

éf ^[(Efl - éP2)2 + ( ép2 - é3p3)2 +

+

Для описания изотропного упрочнения аустенитной стали использовалась функция

Ф

где cts и tf0 — пределы прочности и текучести; ep — характерное значение интенсивности пластической деформации.

Для анализа процессов растрескивания покрытия используется энергетический критерий разрушения. В опасном состоянии интенсивность касательных напряжений tfi достигает предельных значений Cten и Ccom в зависимости от вида напряженного состояния в данной локальной области (растяжение или сжатие):

Cten, если ekk > 0,

Ccom’ если ékk < 0.

Здесь С(еп, Ссот — константы, характеризующие пределы прочности борида на растяжение и сжатие.

Критерий разрушения (11) учитывает зарождение трещин в областях объемного растяжения. Находящаяся в условиях растяжения ( екк > 0) локальная область покрытия разрушится (Б у = 0 и Р = 0), если соответствующее локальное значение интенсивности напряжений ст; достигнет величины С(еп. Для областей сжатия (екк <

< 0) предельная поверхность разрушения в пространстве напряжений ограничена величиной Ссот, и в данном случае разрушенный материал покрытия не сопротивляется только сдвигу (Бу = 0).

Механические свойства компонентов структуры — стальной подложки и боридного покрытия — указаны в табл. 1.

3. Особенности численной реализации

Система (1) - (11) решается численно методом конечных разностей [11, 12]. В отличие от метода конечных элементов, где аппроксимируется собственно решение, в методе конечных разностей аппроксимируются производные, входящие в эту систему.

Рассмотрим элемент структуры вблизи основания одного из зубьев (рис. 2). Область разбивается сеткой, состоящей из N однотипных прямоугольных элементов N = Nx X Ny. Сетка «вморожена» в материал и деформируется вместе с ним. Система дифференциальных уравнений (1)- (11) на этой сетке заменяется разностным аналогом. Используется явная условно устойчивая схема второго порядка точности. Необходимо выполнение условия Куранта для шага по времени:

Рис. 2. Элемент структуры вблизи основания одного из зубьев. Дискретизация расчетной области

Рис. 3. Схема аппроксимации пространственных производных

Дt = кс

с С,

откуда

где hm¡n — минимальный шаг расчетной сетки; Сг — скорость звука для продольной волны; 0 < кс < 1 — число Куранта. Условие устойчивости (12) предполагает, что упругое возмущение за один шаг по времени не должно проходить расстояние большее, чем минимальный шаг расчетной сетки.

Значения напряжений Фу, деформаций Еу, плотности р рассчитываются в центрах ячеек (точки I, II, ... на рис. 3), а смещения щ и скорости щ относятся к узлам (точки 1, 2, ... на рис. 3). Из этих значений формируются соответствующие производные. Воспользуемся следующими интегральными определениями частных производных:

Ї = цш В--------------,

дх 0^0 О

Ип • №

£1 = цт в-------------,

Эу в^о О

где В — граница области _0; 5 — длина дуги; п — вектор нормали; t — вектор касательной (рис. 3):

дх. ду . ду . дх . п =— і + — і = — і - — і . дп дп дS дS

Применяя формулы (13), (14) к четырехугольным пунктирным областям (рис. 3), получаем, к примеру для производных напряжений, относящихся к узлу к.

/Фу(п •i ^ =/Сту. Ж,

в в

откуда

(Ф ух)к = ^ (фу(У2- У1) + Ф у(Уз- У2 )+

+ аУЧу4 -уз) + ай/(уі -у4))>

(ау,х )к = в (ау (х2 - х ) + а-1 (хз - х2 ) +

+ аУ1(х4 -хз) + Ухі - х4)).

В свою очередь, производные и- у относятся к центрам ячеек и высчитываются по значениям и- в окружающих узлах. К примеру, для ячейки т имеем:

(и-,х Т = 2^ ((и^+и6)(У6 - У5)+

+ (щ + и])(у7 -у6) + (и] + и8)(у8 - у7) +

(иі, у)т = тт:((и5 + и6)( хб- х5) +

+ (иі + иі)(у5 - у8)),

і 20

+ (и6 + и7)(х] - х6) + (и7 + и8)(х8 - х]) + + (и8 + и5)(х5 - х8)),

где D — площади соответствующих пунктирных четырехугольников.

Счет идет с одного слоя п по времени на другой слой п + 1:

и =-

п+1 п

и - и

Дt

При моделировании многофазных материалов граница раздела между компонентами структуры проходит по узлам расчетной сетки (рис. 3, жирная линия), по разные стороны которой в ячейках задаются свойства разных материалов. Поэтому на данной границе сохраняется непрерывность перемещений и нормальных напряжений, т.е. выполняются условия идеального механического контакта. В работе [12] показано, что в случае если плотности материалов отличаются незначительно, аппроксимационные уравнения (15), (16) на такой границе могут применяться без изменения. Неточности могут возникать, если рассматривать, к примеру, границу «твердое тело - жидкость». Тогда лучше применять на границе уточняющую формулу, учитывающую при

___с 190x105

1 95 x > 53 t 126x70 152x84

190x105 253x140 380x210

Рис. 4. Напряженное состояние и картины разрушения в зависимости от шага расчетной сетки для области, показанной на рис. 2

аппроксимировании производных левый и правый пределы.

4. Результаты моделирования

4.1. Развитие трещины от единичного концентратора напряжений и сеточная сходимость решения

Рассмотрим задачу о нагружении области малого масштаба с единичным концентратором напряжений вблизи основания одного из зубьев структуры — выпуклости границы раздела «подложка - покрытие» (рис. 2).

Результаты расчетов при растяжении представлены на рис. 4, 5. Трещина зарождается в месте наиболее высокой концентрации напряжений у вершины выпуклости и распространяется к поверхности образца. Распространение трещины — сугубо динамический процесс, происходящий со скоростями близкими к скоростям звука, и время прохождения трещины от границы раздела до поверхности мало по сравнению с характерным временем процесса при медленном квазистати-ческом нагружении. Формирование трещины от концентратора напряжений в вершине выпуклости можно рассматривать как образование новой свободной поверхности, от которой в направлении X начинают распро-

(^)тах> МПа 520480440

400

Щ

0 100 200 300 Ых

Рис. 5. Осредненные кривые течения

страняться упругие волны разрежения. Волновая динамика при распространении трещины хорошо проиллюстрирована на рис. 4, где представлены распределения интенсивности напряжений.

Для исследования сеточной сходимости проведена серия расчетов, в которых варьировался шаг по пространству (рис. 4, 5). Общее количество ячеек расчетной сетки N составляло: 1222, 5035, 8820, 12768, 19950, 35420 и 79800. Исследования показали, что область разрушения имеет физический размер, который определяется характерной геометрией границы раздела (степенью ее кривизны) и слабо зависит от размера локальной зоны разрушения.

На рис. 5, а представлены соответствующие кривые течения. Здесь и далее напряжение высчитывается как усредненное по расчетной области значение интенсивности напряжений:

<о) = £ о*/ / £ /,

к=1, N / *=1, N

где N— число ячеек расчетной сетки; — локальный

объем. Деформация соответствует относительному растяжению области вдоль оси X: е = (L -L0)/L0, где L0 и L — начальная и текущая длина образца. Ниспадающий участок кривой связан с зарождением и распространением единичной трещины. Видно, что кривые проходят параллельно. Это свидетельствует об одинаковой скорости распространения трещин на разных сетках. Единственное отличие связано с тем, что на грубых сетках разрушение начинается позже, чем на мелких. На рис. 5, б показана зависимость максимального значения (о}, соответствующего моменту зарождения трещины, от размера расчетной сетки. Видно, что решение сходится и хорошо аппроксимируется экспоненциальным законом (пунктирная линия):

(°)тах = °ае1 + °т«Ь еХР(^/^).

где стас( = 409 МПа — действительное значение напряжения зарождения трещины; сттеЛ = 182 МПа — увеличение напряжения, связанное с ошибкой аппроксимации; Nгef = 115 — относительное число ячеек.

Проведенные в данном параграфе расчеты позволяют сделать два основных вывода:

1. Вогнутости границы раздела являются источниками концентрации напряжений и зарождения единичных трещин в покрытии. При растяжении трещины распространяются от основания зубьев к поверхности образца. Таким образом, формируется система первичных трещин, связанная с геометрической концентрацией напряжений вблизи вогнутостей и выпуклостей на границе раздела «материал - покрытие».

2. Исследования сеточной сходимости показали, что решение для этой системы первичных трещин сходится при уменьшении шага по пространству. Чем мельче сетка, тем детальнее описание, однако общий характер

разрушения аналогичен для сеток разного размера. Существуют предельные значения напряжений и деформаций начала разрушения, которые определяются физической геометрией «вогнутостей», их кривизной, а также разницей механических свойств материалов покрытия и подложки.

4.2. Общий характер деформации и разрушения материала с покрытием

Рисунок 6 иллюстрирует макроскопическую диаграмму нагружения мезообъема, представленного на рис. 1, в. Стадийность кривой течения обусловлена различной реакцией материалов подложки и покрытия на соответствующих этапах нагружения: 1 — подложка и покрытие деформируются упруго; 2 — в подложке развивается пластическое течение, покрытие продолжает оставаться в упругом состоянии; 3 — распространение трещин в покрытии.

В результате различия упругих модулей покрытия и подложки распределения напряжений и деформаций неоднородны уже на стадии 1. Концентрация напряжений вблизи границы раздела «покрытие - подложка» усиливается на стадии 2, когда в стальной основе зарождаются первые пластические сдвиги. Распределение интенсивности напряжений на развитой стадии пластического течения в подложке показано на рис. 7, а и соответствует состоянию а на кривой течения (рис. 6). Вдоль границы раздела вблизи основания зубьев борида возникают локальные геометрические концентрации напряжений различной мощности (рис. 7, а).

На стадии 3 (рис. 6) происходит растрескивание покрытия. Первоначально локальная область разрушения зарождается вблизи наиболее мощного концентратора напряжений на границе раздела «покрытие - подложка» (о'пах на рис. 7, а). В результате окружающие области начинают интенсивно деформироваться, формируется новый концентратор на границе зоны разрушения и трещина распространяется в направлении пер-

Рис. 6. Расчетная кривая течения стали с боридным покрытием толщиной 57 мкм

тах

аі Вид А

180 140 100 60 мкм

О:, МПа сгтах

Вид Б

140 100 60 мкм

Рис. 7. Распределение напряжений (а) и пластических деформаций с отмеченными областями разрушения (б-д) для стали с боридным покрытием. Соответствующие состояния а-г показаны на рис. 6 для толщины покрытия 57 мкм. (д) — толщина покрытия 78 мкм

пендикулярном приложению нагрузки (рис. 7, б). Данный процесс сопровождается релаксацией напряжений по мезообъему — происходит разгрузка материала покрытия. При этом стальная подложка продолжает деформироваться пластически в соответствии с законом упрочнения. При дальнейшем нагружении общий уровень напряжений растет и интенсивность напряжений увеличивается у другого концентратора. Как только она достигает критической величины, распространяется новая трещина, вызывая разгрузку покрытия и интенсивное пластическое течение в подложке (рис. 7, в). Затем зарождается третья трещина (рис. 7, г), процесс повторяется и реализуется множественное растрескивание покрытия. Концентрации напряжений вблизи трещин в покрытии являются источниками зарождения полос локализованной деформации в подложке (пунктирные стрелки на рис. 7, г). Полосы ориентированы в направлении максимальных сдвиговых напряжений под углом приблизительно 45° к оси растяжения. Формированию каждой трещины соответствует ниспадающий участок на кривой течения, а увеличение среднего напряжения связано с деформационным упрочнением подложки (рис. 6).

В дополнение на рис. 7, д представлена картина разрушения стали с покрытием толщиной 78 мкм при той же степени полной деформации (е = 0.4 %), что и на рис. 7, г. Видно, что на данном этапе нагружения успела сформироваться лишь одна трещина от первоначального концентратора напряжений наибольшей мощности, а не три, как в случае покрытия толщиной 57 мкм. Поскольку покрытие толстое, длина этой трещины больше, чем длина каждой из трех трещин при толщине 57 мкм (рис. 7, г). Кроме того, из рис. 7, д

видно, что для толстых покрытий возможно разрушение областей вблизи границы раздела «материал - покрытие», когда трещины распространяются вдоль этой границы, охватывая концентраторы напряжений меньшей мощности и не выходя при этом на поверхность.

4.3. Влияние размера расчетной области. Особенности деформирования металлической фольги с покрытием

В предыдущем параграфе показано, что разрушение покрытия начинается в местах наиболее опасных концентраций напряжений у границы раздела «материал -покрытие», которые возникают на стадии упругопластического деформирования композита. В этом параграфе и в следующем проведем параметрический анализ — будем исследовать, каким образом соотношение объемов, занимаемых стальной подложкой и покрытием, влияет на величину этой концентрации.

Современные возможности вычислительной техники не позволяют с достаточной степенью детализации моделировать реальные объемы, поскольку толщина покрытия может быть на порядки меньше толщины образца в целом. Поэтому перед тем как анализировать влияние толщины покрытия, необходимо изучить влияние на механический отклик образца толщины стальной подложки при фиксированной толщине покрытия.

Проведена серия из 25 расчетов при толщине покрытия 63 мкм. Варьировалась толщина стальной подложки, на которую нанесено покрытие. Общая толщина композиции d менялась от 85 до 330 мкм. Результаты расчетов приведены на рис. 8 для стадий упругого и пластического деформирования (стадии 1 и 2 на рис. 6). Установлено, что максимальная концентрация напряжений (ст™* на рис. 7, а) не зависит от общей толщины

840 -

820 -

800

Пластичность в = 0.18 %

х х X X X X х X

X Ч X X X X X X X X X X . I .

max

* ^i, min

срои      с Упругость є = 0.06 %   О    V

при увеличении размера области:

270

250 ,

230

50

150

250

350

Рис. 8. Зависимости максимальной интенсивности напряжений в локальных областях структур от d101 на стадиях упругого (квадраты) и пластического (кресты) деформирования стальной подложки. Толщина покрытия dС0а1 = 63 мкм

образца на стадии упруго деформирования, но существенно зависит от нее при развитии пластической деформации в подложке (квадраты и кресты на рис. 8). Причем в области пластичности величина максимальных напряжений в зависимости от dtot меняется немонотонно — резко возрастает при увеличении dtot с характерным максимумом при 125 мкм, затем менее резко падает, а при толщине образца около 250 мкм выходит на стационарный участок и далее не изменяется.

Исследуем, почему именно с пластическим течением в подложке связано изменение величины максимальных напряжений. Для проведения анализа удобно

„„max

нормировать текущее значение параметра на минимальное значение ^maXi, которое наблюдается при минимальной толщине образца dtot = 85 мкм (рис. 8). Рассмотрим величину соответствующего отклонения

¥ =

max _ max -І-------------------------------------------------------------^ -100%.

Таким образом, у характеризует относительный разброс в величинах максимальных напряжений при изменении размера расчетной области. Как видно из рис. 8, максимальная величина этого разброса на стадии пред-разрушения составляет утах ~ 5 %. На стадии упругого деформирования ^тах ~ 0.003 %.

Отложим по оси X не саму толщину образца, а ее отношение к толщине покрытия £ = d 1о1/ d соа и проанализируем, как изменяется зависимость у-£ по мере развития пластического течения в подложке (рис. 9, а).

Из рис. 9 видно, что с развитием пластического течения в подложке увеличивается не только у тах (при этом соответствующее значение £ меняется слабо, черные квадраты), но увеличивается также и размер области, при котором дальнейшего изменения величины опасных напряжений не происходит £8а( (черные круги). Как показал анализ распределений интенсивности пластических деформаций, связано это с неоднородностью пластического течения (рис. 9, б). На начальных этапах пластическое течение стальной подложки локализовано вблизи концентраторов напряжений между зубьями бо-рида. Поэтому на данной стадии деформирования (е <

< 0.08-0.09 %) размер расчетной области никак не влияет на напряженно-деформированное состояние и может быть сопоставим с толщиной покрытия (рис. 9, б, е =0.08 %). При дальнейшем нагружении е? нарастает, пластические сдвиги заполняют пространство между зубьями боридов и начинают распространяться вглубь стальной подложки (рис. 9, б, е = 0.10 %). Как только пластическое течение достигает нижней границы рас-

-

Рис. 9. Разброс величины опасного напряжения в зависимости от отношения общей толщины образца к толщине покрытия на разных стадиях пластического течения подложки

четной области (рис. 9, б, е = 0.11 %), данного размера расчетной области становится недостаточно — £8а( увеличивается.

Кривая при е = 0.18 % на рис. 9, а соответствует стадии предразрушения. Поэтому для структуры и свойств материалов, рассматриваемых в данной работе, предпочтительно выбирать размер расчетной области как минимум в 4 раза больше толщины покрытия (см. рис. 8 и 9, а). Однако сравнительный анализ характеристик напряженно-деформированного состояния можно вести и на любом из участков монотонного изменения у, учитывая это изменение как влияние размера расчетной области.

Помимо выводов о влиянии размера расчетной области, результаты, полученные в данном параграфе, имеют самостоятельную ценность. Данные, представленные на рис. 8 и 9, — это прямое строгое моделирование деформации металлической фольги с покрытием. В этой части основной вывод следующий: наиболее неблагоприятной является ситуация, когда толщина упрочненного поверхностного слоя сравнима с толщиной материала фольги — при £ = 2 наблюдается максимальная концентрация напряжений на границе раздела «подложка-покрытие».

4.4. Влияние толщины покрытия.

Роль свободной поверхности

Проведена серия расчетов, в которой варьировалась толщина покрытия. Результаты моделирования представлены на рис. 10. Показано, что при малых толщинах покрытия (до 80 мкм) концентрация напряжений вблизи границы раздела «покрытие - подложка» возрастает с уменьшением толщины покрытия, что приводит к разрушению покрытия при меньших степенях относительного удлинения образца. При дальнейшем увеличении толщины покрытия величина концентрации напряжений перестает изменяться.

Установлено, что данный эффект проявляется уже на упругой стадии (рис. 10, а) и усиливается по мере развития пластической деформации в подложке (рис. 10, б).

При разной толщине покрытия граница раздела «материал - покрытие» находится на различном расстоянии от свободной поверхности. Таким образом, логично предположить, что в пределах тонкого приповерхностного слоя именно свободная поверхность влияет на величину концентрации напряжений в области граница раздела «материал - покрытие». Для проверки этого вывода была проведена дополнительная серия расчетов, которая позволяет исключить фактор наличия свободной поверхности. На верхней границе Г2 (рис. 1) запретим перемещения в направлении У: иу (х, 0 = 0 для t > 0, (х,у) еГ2,

аху (х, г) = 0 для t > 0, (х, у) еГ2.

В отличие от соотношений (6) условия (20) моделируют ситуацию, когда граница раздела исследуемой игольчатой формы находится не у поверхности, а в объеме материала, деформируемого в стесненных условиях. Такие же условия реализуются, к примеру, при сжатии образца с покрытием, помещенного в жесткую массивную форму, изначально плотно прилегающую ко всем поверхностям. Из рис. 10, а видно, что если поверхность образца закреплена, то концентрация напряжений при разных толщинах покрытия меняется слабо (треугольные символы).

Покомпонентный анализ напряженно-деформированного состояния показал следующее. В табл. 2 представлены значения е^ в местах наибольшей концентрации напряжений на стадии предразрушения для толщины покрытия 54 мкм. Видно, что вблизи свободной поверхности локальная область покрытия сжимается в направлении У (еуу < 0), увеличивая тем самым слагаемое (ехх -еуу )2 в выражении для интенсивности деформаций. Если граница закреплена, то наблюдаются положительные значения еуу, которые не способствуют дополнительному формоизменению, а, наоборот, ему противодействуют. Отметим, что сдвиговая компонента в стесненных условиях несколько выше. Однако эта разница более чем на порядок меньше, чем влияние е уу. Компонента вдоль оси растяжения е хх меняется слабо.

229- щ 210

* \ • Свободная поверхность

• \ А Поверхность закреплена

со \ ТО

1= 227- \ 208 с

S • 2

I " \ Упругость £

6 в = 0.06 % 6

225- 206

223 - * *  204

5 1 1  ! 1 1 1 1  1 1 0 60 70 8 0

С|соа1, мкм

800

760-

720-

680-

50

Свободная поверхность \б_

Пластичность 8 = 0.18 %

60 70

dcoat, мкм

80

Рис. 10. Максимальные концентрации напряжений вблизи границы раздела «покрытие - подложка» в зависимости от толщины покрытия

Таблица 2

Компоненты тензора деформаций вблизи свободной и закрепленной поверхностей

е» % е ^  % е *, %

Свободная поверхность 1.4 0.08 -0.1

Поверхность закреплена 1.4 0.09 0.06

Таким образом, повышенное значение интенсивности напряжений вблизи свободной поверхности связано преимущественно с дополнительной степенью свободы в направлении Y.

Проанализируем, как изменяется этот эффект с развитием пластического течения в подложке. Перестроим графики рис. 10 в переменных ^-£ и добавим соответствующие зависимости для разных степеней относительного удлинения образца (рис. 11). Видно, что ^ растет от = 2.5 % в упругой области до = 14 % при е = = 0.14 %, а затем перестает изменяться вплоть до стадии предразрушения (е = 0.18 %). Такой характер связан с локализацией пластического течения, рассмотренной в предыдущем параграфе. Величина ^ растет на стадии нелинейного накопления интенсивности пластических деформаций, когда происходит зарождение и формирование полос локализованной пластической деформации (см. рис. 9, б), а когда полосы сформировались окончательно, начинается линейный рост интенсивности деформации в уже сформировавшихся полосах и ^ = = const.

Приводя количественные оценки, необходимо учесть изученное ранее влияние размера расчетной области. Из рис. 11 следует, что максимальная величина ^ на стадии предразрушения составляет порядка 14 %. При этом расчеты проводились в интервале £ = 2.4-3.4. Как видно из рис. 9, а, ^ в этом интервале изменяется монотонно на = 2 %. Поэтому действительный эффект увеличения концентрации напряжений, связанный исключительно с уменьшением толщины покрытия, составляет порядка 12 %.

Таким образом, свободная поверхность играет важную роль — в пределах тонкого приповерхностного слоя облегчены процессы формоизменения. Чем ближе к поверхности расположена граница раздела «подложка -покрытие», тем выше вероятность возникновения опасных концентраций напряжений вблизи этой границы.

4.5. К вопросу об оптимальном выборе толщины покрытия. Влияние шероховатости поверхности

Перестроим график на рис. 11 при е = 0.18 %, отложив по оси X отношение Z = dcoat/dteeth, где dteeth — средний размер зубьев борида (рис. 12). В силу инвариантности задачи механики при квазистатическом нагружении данная зависимость не изменяется при изменении шага по пространству, т.е. она инвариантна относительно физических размеров. Это означает, что вели-

Рис. 11. Относительное изменение величин максимальные напряжений в зависимости от толщины покрытия на разных стадиях пластического течения подложки

чина опасных напряжений зависит не только от толщины покрытия, но и от геометрии границы раздела «покрытие - подложка», которая, в свою очередь, может быть связана с шероховатостью поверхности изделия, на которое наносится покрытие [14]. Расчеты показывают, что для структуры и свойств материалов, исследованных в данной работе, оптимальной является толщина покрытия приблизительно в 2 раза больше средней кривизны границы раздела «покрытие - подложка» (рис. 12). При меньшей толщине увеличивается вероятность возникновения опасных напряжений. Наносить же более толстое покрытие с точки зрения вопросов прочности не имеет смысла, если нет других специальных требований к функциональным свойствам поверхностно упрочненного материала.

Необходимо отметить, что на прочность и пластичность композитов влияет множество факторов — физико-химические свойства материалов, неоднородная структура покрытий и подложек, наличие градиентов механических свойств, адгезия по границам раздела, неоднородные течения типа прерывистой текучести и распространения полос Людерса и др. Все выводы данной работы сделаны относительно одного из этих факто-

Рис. 12. Зависимость разницы в величинах опасных напряжений от соотношения толщины покрытия и среднего размера зубьев борида

ров — расположения концентратора напряжений на определенном расстоянии от свободной поверхности, который необходимо учитывать при анализе коллективных эффектов от совокупности всех факторов.

5. Заключение

В работе показано, что чем ближе к свободной поверхности образца с покрытием расположена граница раздела «покрытие - подложка», тем выше концентрация напряжений в области этой границы. Данный эффект наблюдается в тонком приповерхностном слое. Толщина слоя зависит от размера зубьев борида, а следовательно, может быть связана с шероховатостью поверхности изделия, на которое наносится покрытие. Повышение концентрации напряжений вблизи свободной поверхности наблюдается в области упругого деформирования композиции и усиливается по мере развития пластического течения в стальной подложке. Установлено, что величина этого эффекта на стадии предразрушения исследуемой структуры составляет около 12 %.

При моделировании деформации и разрушения материала с покрытиями получены следующие результаты и выводы.

Концентрация напряжений возникает в области «выпуклостей» и «вогнутостей» границы раздела «покрытие - подложка», где при дальнейшем возрастании нагрузки зарождаются трещины. Численное решение задачи деформирования и разрушения сходится при уменьшении шага расчетной сетки.

Величина концентрации напряжений на стадии предразрушения не зависит от толщины стальной основы, если толщина всей композиции как минимум в 4 раза больше толщины покрытия. В области значений <4 концентрация напряжений меняется немонотонно с характерным максимумом. Данный эффект связан с локализацией пластического течения в подложке. Наиболее неблагоприятной является ситуация, когда толщина металлической фольги, на которую наносится покрытие, и толщина покрытия приблизительно одинаковы.

Трещины в покрытии распространяются перпендикулярно оси растяжения последовательно, по мере развития деформационного упрочнения стальной подложки, и являются источниками полос локализованного сдвига, которые формируются под углом =45° к оси нагружения.

При одной и той же степени полной деформации в композиции с тонким покрытием успевает сформироваться больше трещин, чем в материале с толстым покрытием, поскольку общая длина трещин коррелирует с толщиной покрытия. Трещины в толстом покрытии могут распространяться вдоль границы раздела «покрытие - подложка», последовательно охватывая концентраторы напряжений у основания зубьев борида и не выходя при этом на поверхность композиции.

Работа выполнена при финансовой поддержке РАН. Литература

1. Орлов Л.Г. О зарождении дислокаций на внешних и внутренних поверхностях кристаллов // ФТТ. - 1967. - Т. 9. - № 8. - C. 23452349.

2. Алехин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. - М.: Наука, 1983. - 280 с.

3. Zangwill A. Physics of surfaces. - Cambridge: Cambridge University Press, 1988. - 536 p.

4. Панин B.E. Поверхностные слои нагруженных твердых тел как мезоскопический структурный уровень деформации // Физ. мезо-мех. - 2001. - Т. 4. - № 3. - С. 5-22.

5. Панин B.E., Панин A.B. Эффект поверхностного слоя в деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 5. - С. 715.

6. Панин С.В., Коваль A.B., Трусова Г.В., Почивалов Ю.И., Сизова О.В.

Влияние геометрии и структуры границы раздела на характер развития пластической деформации на мезомасштабном уровне борированных образцов конструкционных сталей // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 2. - С. 99-115.

7. Koval A.V., Panin S.V. Mesoscale deformation and cracking of surface-hardened low carbon steel // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2000. -V. 34. - P. 117-121.

8. Панин C.B., Коваль A.B., ПочиваловЮ.И. Особенности разрушения

образцов малоуглеродистой стали с боридными слоями различной толщины при одноосном статическом растяжении // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 4. - С. 85-95.

9. Балохонов P.P. Иерархическое моделирование неоднородной деформации и разрушения материалов композиционной структуры // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 107-128.

10. Балохонов P.P., Романова B.A. Эффект сложной геометрии границы раздела при иерархическом моделировании деформации и разрушения материалов с покрытиями // Деформация и разрушение материалов. - 2007. - № 5. - С. 12-19.

11. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдера, С. Ферн-баха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.

12. Pихmмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Мир, 1972.

13. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

14. Справочник по триботехнике. В 3 т. Т. 1. Теоретические основы / Под общ. ред. М. Хебды, А.В. Чичинадзе. - М. : Машиностроение, 1989. - 400 с.

Поступила в редакцию 18.11.2008 г., после переработки 07.05.2009 г.

Сведения об авторах

Балохонов Руслан Ревович, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, rusy@ispms.tsc.ru Романова Варвара Александровна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, varvara@ispms.tsc.ru