Скорость сходимости в предельных теоремах для слабозависимых случайных величин

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 155, кн. 4 Физико-математические науки

2013

УДК 519.21

СКОРОСТЬ сходимости В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ СЛАБОЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В. Т. Дубровин

Аннотация

Определено новое условие слабой зависимости случайных величин, позволяющее перенести предельные теоремы для независимых случайных величин на случай слабой зависимости с сохранением скорости сходимости. Приведен пример последовательности случайных величин, удовлетворяющих новому условию слабой зависимости.

Ключевые слова: предельные теоремы, случайные величины, независимость, слабая зависимость, перемешивание, скорость сходимости. 1

1. Постановка задачи. Определения

В работе определяется новое условие слабой зависимости, при котором предельные теоремы для независимых случайных величин остаются справедливыми (с сохранением скорости сходимости) и для слабозависимых случайных величин. Условие слабой зависимости, позволяющее получить такой результат, мы назовем условием «усиленного сильного перемешивания» (у.с.п.).

В основе определения условия у.с.п. лежит условие сильного перемешивания (с.п.) [1, 2], которое усиливается добавлением дополнительного условия. Для установления целесообразности условия у.с.п. приводится пример последовательности случайных величин, удовлетворяющих этому условию.

Доказывается также, что если при определении нового условия слабой зависимости вместо условия сильного перемешивания рассмотреть условие ^-перемешивания [3] и добавить те же дополнительные условия, то случайные величины, образующие последовательность, становятся независимыми. Отметим, что доказательство данного утверждения не удается провести, если вместо ^-перемешивания использовать сильное перемешивание.

Везде в дальнейшем мы будем рассматривать стационарные в узком смысле последовательности случайных величин.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность случайных величин Со, Cl, С2,... удовлетворяет условию усиленного сильного перемешивания, если для любых множеств A1 е МГ1,... ,As е Mrs, B1 е Mtl,... ,Bi e Mtl верно неравенство

|P(A ... AsBi ...BO- P{AX ...As)- P{Bl... Bt)\ < % • -j-,

Vd l + s

где r1 < r2 < • • • < rs < ti < t2 < • • • < ti и d = (ti — rs) - расстояние между множествами {r1,... ,rs}, {t1,... ,tl} ({r 1,..., rs}, {t 1,..., tl} - подмножества множества {0,1, 2,...}); Mi - ст-адгебра, порожденная случайной величиной Са C = const.

40

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ...

41

Договоримся везде в дальнейшем через C обозначать некоторые постоянные величины.

Приведем пример случайных величин, удовлетворяющих условию у.с.п. Рассмотрим последовательность простых случайных величин [4, с. 18] £о, Zb £2,..., заданных та вероятностных пространствах (Q, Mk, P), к = 0,1, 2,..., и удовлетворяющих условию сильного перемешивания

sup IP

Aem0 ,веот~т

где M0 - ст-адгебра, порожденная случайными величинами Zb 0 < i < t; M)+T -ст-адгебра, порожденная случайными величинами Z, i > t + t.

Пусть Z - простая случайная величина (случайный фактор), заданная на вероятностном пространстве (Q, Mz, P).

Заметим, что ст-адгебры Mj, Mz конечны.

Обозначим

ej = P(Af |AZ) - P(Af),

где A^fc и Az - элементарные события из ст-адгебр M* и Mz соответственно.

Определение 2. Если при любом к в любой строке матрицы {ej }1,г существует положительный элемент, то будем говорить, что случайные величины Д, к = 0,1, 2,..., слабо зависят от случайного фактора Z- Если при этом элементы матрицы {ej}1,г те зависят от к, то будем говорить, что Zfc, к = 0,1, 2,..., одинаково слабо зависят от Z-

Предложение 1. Последовательность простых случайных величин, удовлетворяющая условию с.п. (1) и условию одинаковой слабой зависимости от случайного фактора, удовлетворяет условию у.с.п.

Доказательство. По теореме умножения вероятностей

P

Введем общее обозначение P(AZfc) для условных вероятностей P (Af IA11 ... Am), m = 1,...,к-1. Из условия слабой зависимости от фактора Z следует, что найдется такое j, что

T(4fc |AZ) - P(Af) > 0,

то есть матрица \\1Г, состоящая из элементов /?j = T(A^k |AZ) — P(A^fc), со-

держит в каждой строке положительный элемент. Обозначим рь = min

/?j

P (A«fc)‘

Очевидно, что ц > 0. Заметим, что ц те зависит от к, так как случайные величины Zfc одинаково слабо зависят от фактора Z •

Далее,

P

_________P(A$k\A<)________ < 1

l + (P(Af|A2)-P(Af))/P(Af) - 1 + P'

Из данной оценки и (2) получаем

P(Al1 ...A«s) <

1

s

1 + ц

42

В.Т. ДУБРОВИН

В итоге имеем следующие оценки:

P(A1...AsB1...Bl) < .

Из условия сильного перемешивания следует

IP (Ai ...AaBi ...Bi) - P (Ai ...Aa)P (Bi ...Bi) \< a(d). Используя перечисленные оценки, получим окончательно

1 ^ l + S

\P (Ai ...AsBi ...Bi) - P (Ai ...As)P (Bi ...Bi)\ =

= (V\P(Ai    AsBi Bi) - Р(Аг... AS)P(B1... B,)l) <

2

< ^Щ{Р{А1... AsBi ...Bt)+ P{A\... As)P{Bi... B;))1/2 <

yfd,

C5

Таким образом, требуемое утверждение доказано.

Теперь сделаем замечание, касающееся условия у.с.п. Начнем с того, что определим условие ^-перемешивания.

Определение 3. Будем говорить, что последовательность случайных величин Со, Сь С2,..., заданных та вероятностных пространствах (Q, Mk, P), к = 0,1, 2,..., удовлетворяет условию ^-перемешивания, если

Заметим, что если последовательность случайных величин удовлетворяет условию ^-перемешивания, то она удовлетворяет и условию с.п. [5].

Допустим, что последовательность случайных величин Со, Сь С2,... удовлетворяет условию ^-перемешивания. С помощью условия ^-перемешивания, используя принцип формулирования условия у.с.п., определим следующее условие слабой зависимости последовательности случайных величин Со, Сь С2,... Пусть Mk -<г-адгебры, порожденные случайными величинами С/k, к = 0,1, 2,.. .; D| — классы, состоящие из элементов A € Mk таких, что P(A) < е (см. (4, разд. 15.1.Б]). И пусть Ш'к - ст-адгебра, порожденная классом D|. В дальнейшем нам потребуется следующее

Определение 4. (Условие (А)). Будем говорить, что последовательность случайных величин Ск удовлетворяет условию (А), если существует е > 0 такое, что для любого конечного набора множеств Akl,..., Akn го массов D| ,..., D| соответственно, ki < k2 < • • • < kn,n > 1, имеет место неравенство

sup

P

1 = ф(т) ^ 0 при т ^ то.

IP

Здесь P(A)P(B) =0.

P

- 1 <

C6tp

nV2

j = ф 2, ...,n - 1,

P

где постоянная Сб те зависит от n.

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ...

43

Замечание 1. В описанной ситуации условие (A) эквивалентно независимости ст-адгебр Ш'к.

Доказательство. Достаточно доказать, что условие (A) влечет независимость классов D| [4, разд. 15.1]. Доказательство будем проводить от противного. Ясно, что если все возможные выражения под знаком модуля в условии (A) нули, то D| - независимые классы, и наоборот. Предположим, что D| не являются независимыми, то есть найдется набор Aki,..., Akn такой, что

P

S =

P(A^ ... Akj) • P(Akj+i ... A^

- 1

= 0.

Зафиксируем сколь угодно большое N. Выберем Д такое, что ф

P

P

- 1

<

C6il)(kj+1 - kj N1/2

Далее к выражению под модулем применяем N — n раз условие ^-перемешивания:

P

- 1

P

P

P

- 1

Отсюда следует

_________-P(Afci • • • Afcri)____

P

1 + Oiip

N-n

-1 .

<АЖ%+1 - fcy)

Ю/2 -

__________P(Afcl ... Afcri)_________

P

— 1+

__________P(Afcl ... Akn)_____

+ P(Akl...Ak3)-P(Ak3+1... AkJ

1 + ФУ>

> J-(1+<S) д.

Здесь мы учли, что ^(Д) < 1/N2. Так как N - сколь угодно большое число, из полученного неравенства следует равенство нулю величины S, что противоречит предположению (5 Д 0. Таким образом, замечание доказано.

Заметим, если при определении условия (A) использовать условие с.п., то есть вместо условия (A) применить условие у.с.п., то приведенное доказательство замечания провести не удается.

2. Формулировки теорем

Первая теорема формулируется для произвольных простых случайных величин.

Теорема 1. Пусть простые случайные величины последовательности £0, £ь £2,... удовлетворяют условию у.с.п. И пусть для независимых £0, ф, £2,... справедливо предельное соотношение

P(gn(£o, £i,..., £n) < x) = F(x) + Д,

44

В.Т. ДУБРОВИН

где R ^ 0 при n ^ ж. Тогда, для ik, к = 0,1, 2,..., удовлетворяющих у.с.п., справедливо соотношение

Р{дп{£о, £ь • • •, in) <х)= F(x) +R + 0 .

Здесь gn(io,ii,... ,in) - некоторая непрерывная функция от аргументов ii,... ,in; F(x) имеет ограниченную плотность вероятности.

Во второй теореме формулируется результат, аналогичный утверждению теоремы 1, но уже для любых не обязательно простых случайных величин.

Теорема 2. Пусть случайные величины i0, ф, i2,... удовлетворяют условию у.с.п. И пусть для независимых i0, ф, i2,... справедливо предельное соотношение

P (gn(io, ii,..., in) < x) = F (x) + R,

где R ^ 0 при n ^ ж. Тогда для ik, к = 0,1, 2,..., удовлетворяющих у.с.п., справедливо соотношение

P(gn(io,ii, ...,in)<x) = F(x) + R + O (1 /л/п) .

Здесь gn(i0, ф,..., in) - некоторая непрерывная функция от аргументов ik, к = 0,1,... ,n; F(x) имеет ограниченную плотность вероятности.

3. Доказательство теорем

Доказательство теоремы 1. Пусть n(pl+Po) - множество всех натуральных чисел вида pl + p0, l = 0,1, 2,..., где p > 1, p0 < p — 1 - натуральные числа. Обозначим

S(A, B) = P(AB) — P(A) • P(B);

Bl, i = 0,1,...,n, - элементарные события из ст-адгебры Mi, порожденной простой случайной величиной ii; N = {1,..., n}; р| B(pl+Po) - элементарный объ-

ien(pi+po) р N

ем.

Проведем последовательно следующие преобразования.

Первый шаг

P (B0B1... Bn)=P (B0B1 ...Bn) — P (B(2l) )P (B(2l+1)) + P (B(2l))P (B(2l+1) )=

= S(B(2l) ,B(2l+1)) + P (B(2l))P (B(2l+1)) =

второй шаг

=S(B(2l), B(2l+1))+[S(B(4l),B(4l+2))+P(B(4l))P(B(4l+2))HS(B(4l+1),B(4l+3))+

+P(B(4l+1))P(B(4l+3))]=S(B(2l),B(2l+1))+S(B(4l), B(4l+2))A(B(4l+1),B(4l+3))+ +S(B(4l), B(4l+2)) • P(B(4l+1) )P(B(4l+3)) + P(B(4l) )P(B(4l+2)) • S(B(4l+1) ,B(4l+3))+ +P (B(4l) )P (B(4l+2) )P (B(4l+1) )P (B(4l+3)) =

третий шаг

=S(B(2l), B(2l+1))+S(B(4l), B(4l+2)) • S(B(4l+1),B(4l+3)) + S(B(4l),B(4l+2))x x[S(B(8l+1) ,B(8l+5)) + P(B(8l+1) )P(B(8l+5))] • [S(B(8l+3) ,B(8l+7))+

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ...

45

+P (B(8l+3))P (B(8I+7))] + S(B(4l+r> ,B(4I+3))[^(B(8I) ,B(8I+4)) + P (B(8I))P (B(8I+4) )]x x[£(B(8I+2),B(8I+6))+P (B(8l+2))P (B(8I+6) )] + [£(B(8I) ,B(8I+4))+P (B(8l) )P (B(8l+4))]x x[S(B(8l+2'),B(8I+6)) + P(B(8l+2))P(B(8I+6))] • [£(B(8I+1),B(8I+5)) +

+P(B(8I+1))P(B(8I+5))] • [£(B(8I+3),B(8I+7))+ P(B(8I+3))P(B(8I+7))] =

= £(B(2I), B(2l+1)) + £(B(4I), B(4I+2)) • £(B(4I+1),B(4I+3)) + £(B(4I),B(4I+2))x x£(B(8I+1), B(8I+5)) • £(B(8I+3), B(8I+7)) + £(B(4I), B(4I+2))x x£(B(8I+1), B(8l+5))P(B(8I+3))P(B(8I+7)) + £(B(4I), B(4I+2)) • P(B(8l+1))P(B(8I+5))x x£(B(8I+3), B(8I+7)) + £(B(4I), B(4I+2)) • P(B(8l+1))P(B(8l+5))P(B(8I+3))P(B(8I+7))+ +£(B(4I+1),B(4I+3)) • £(B(8I), B(8I+4)) • £(B(8I+2), B(8I+6)) + £(B(4I+1),B(4I+3))x x^(B(8I), B(8I+4)) • P(B(8I+2))P(B(8I+6)) + £(B(4I+1), B(4I+3)) • P(B(8I))P(B(8I+4))x x^(B(8I+2), B(8I+6)) + £(B(4I+1),B(4I+3)) • P(B(8I))P(B(8I+4))P(B(8I+2))P(B(8I+6))+ +£(B(8I), B(8I+4)) • £(B(8I+2),B(8I+6)) • £(B(8I+1), B(8I+5)) • £(B(8I+3),B(8I+7)) + ••• + +P(B(8l))P(B(8I+2)) • P(B(8I+4))P(B(8I+6)) • P(B(8I+1))P(B(8I+3))x xP (B(8l+5))P (B(8I+7)) =

и T. Д.

На k-м шаге последний таен будет со стоять из 2k-1 сомножителей вида P(B(2 l+p)), каждый го которых представляется скобкой [J(-) + P(^)P(•)]. Перемножая скобки, мы можем разбить получающиеся при этом члены на три группы: произведение £(•) • • • £(•); «средние» члены, где вместо какого-либо £(•) входит P(-)P(•); последний член P(^)P(•) • • • P(•).

На каждом k-м шаге (число шагов будет равным C8 log2 n) у произведения £(•) ••• £(•) и у «средних» членов вынесем за скобки множитель maxS(B(2kl+Po),B(2kl+P0)). В итоге получим

P0,p'o

n C8 log2 n

P

i=0 k=1 P0’P0

где C9(k) - постоянная, зависящая только от номера шага.

Сумму, которая получается после вынесения у произведения £(•) ••• £(•) и у «средних» членов за скобки множителя max ^(B(2 I+Po), B(2 I+Po)), оценим таким

Po,p'o

образом, чтобы ряд сходился быстрее геометрической прогрессии со знаменателем max ( —, ---- ]. Отсюда следует, что существует постоянная Сю > Сд(к).

V4 1 + М/

Пусть £0, £*, ,... - последовательность независимых простых случайных ве-

личин, распределенных так же, как и простые случайные величины £о, £1, £2,... Имеем

PЫ£о,£ъ...,£п) <x)= ]Т P(B0B1 ...Bn),

gn (£o 5   -j£n ) <X

pыаео,...,c) <x) = £ p(b0)...p(Bn).

Sn(«0*.---.«n )<x

46

В.Т. ДУБРОВИН

Отсюда и из (3) следует

ip ые < x) - p ыео,ео,...,е) < x)i =

г(- )<x

Cs log2 n

E E C9

Sn(- )<x i=l

max б

P0,p'o

<

Cs log2 n

< E Ci0

i= 1

6(B(Tl+po), B(Tl+p'o)) ,

Sn(- )<x

где p30, p?0 - значения, на которых достигается максимум суммы справа в (4).

Пусть О - множество всех элементарных объемов B0,, Bn, количество которых определяется числом (конечным) элементов ст-адгебр Mi(i = 1,... ,n) и числом и. Заметим, что с ростом n растет число элементов множества О.

Очевидно, справедливо неравенство

уу 6 ^B

9n( " )<x

< max

G

yy 6 ^B

G

где G — произвольное подмножество О.

Можно показать, что существует такая постоянная C11, что верно неравенство

max

G

уу 6 ^В

G

< Cii max

AiXBi

yy ^ ^B

AiXBi

где B(2 1+po) g Д, B(2 г+Ро) g Bi; Ai x Bi - прямое произведение множеств Ai

и Bi из О.

Оценка (5) верна, так как множества G могут быть представлены в виде объединения множеств вида Ai x Bi, причем число множеств вида Ai x Bi, входящих в объединение, ограничено постоянной, не зависящей от и.

Используя (4) и (5), получим

△ = ip (gn(£0,£i,...,£n) < x) - p (gn(eo,eo,...,en) <x)i <

Cs log2 n

< E C12 6

i=1 AiXBi

Здесь Д, Bi - множества, на которых достигается максимум. С учетом аддитивности 6(-, •) и условия у.с.п. имеем

Cs log2 n

△< Е

i=1

C13

2i-1 2i-1

<C14- — Jn

Из (6) следует утверждение теоремы 1.

Доказательство теоремы 2. По условию функция gn(£0, £1,..., £n) непрерывна от аргументов £1,..., £n, поэтому для любого е > 0 и для любых £0,

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ...

47

• • • j — произвольных случайных величин - существуют простые случайные величины £0, ..., такие, что

\Р

Если случайные величины удовлетворяют условию у.с.п., то простые случайные величины также удовлетворяют условию у.с.п., поэтому по теореме 1 имеем

Р

Из (7) и (8) следует

Р(9п(£о, £ь • • •, €п) <х) = F(x) + 0(1/а/п) + е,

где е > 0 - произвольное число.

Если взять е = 0(1/а/п), то получим

Р(9п(£о,£ь • • • ,£n) < х) = F(x) + R + 0(1/а/п).

Теорема 2 доказана.

Замечание 2. Утверждение теоремы 2 остается справедливым и для случая, когда £о, Cl, • • •, Сп,•.. есть последовательность со значением в Rk .

Summary

V.T. Dubrovin. Convergence Rate in Limit Theorems for Weakly Dependent Random Variables.

We define a new condition for weak dependence of random variables, which makes it possible to extend limit theorems for independent random variables to the case of a weak dependence with retention of convergence rate. We give an example of a sequence of random variables satisfying the new weak dependence condition.

Keywords: limit theorems, random variables, independence, weak dependence, mixing, convergence rate.

Литература

1. Rosenblatt M. A central limit theorem and a strong mixing condition // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1956. - V. 42, No 1. - P. 43-47.

2. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. -М.: Наука, 1965. - 524 с.

3. Blum J.R., Hanson D.L., Koopmans L.H. On the strong law of large numbers for a class of stochastic processes // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. - 1963. - Bd. 2, H. 1. - S. 1-11.

4. Лоэв M. Теория вероятностей. - M.: Иностр. лит., 1962. - 719 с.

5. Iosifescu М. Recent advances in mixing sequences of random variables // Third Int. Summer School on Probability Theory and Mathematical Statistics, Varna 1978. - Sofia: Pub. House of the Bulgarian Acad. Sci., 1980. - P. 111-138.

Поступила в редакцию 08.10.13

Дубровин Вячеслав Тимофеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: vchebakova@naail.ru