Математическая модель перемещения квазиупругих объектов в рабочей камере

УДК 663/664

Математическая модель перемещения квазиупругих объектов в рабочей камере

Н. А. МОСИНА, д-р техн. наук, проф. Г. В. АЛЕКСЕЕВ

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9

The paper presents a model of interaction of tubers and of those with process chamber walls. Analytical relations received were taken as a basis to define geometry of working mechanisms.

Key words: mathematical simulation of displacement, working chamber, quasi-elastic object, processed raw material, technological machines, geometrical parameters, working elements.

Ключевые слова: математическая модель перемещения, рабочая камера, квази-упругий объект, перерабатываемое сырье, технологические машины, геометрические параметры,рабочие органы.

Характер перемещения перерабатываемого сырья в рабочей камере технологической машины весьма существенно влияет как на режимы процесса, так и на конструкцию рабочей камеры.

Известны модели перемещения, например, корнеклубнеплодов и овощей в рабочих камерах очистительных машин, которые являются основой выбора конструкции, в частности различных геометрических параметров таких камер, и кинематических параметров перемещения рабочих органов [1—3].

Для рабочих камер в виде цилиндрических обечаек, например машин типа МОК, такие модели, к сожалению, не учитывают взаимодействия отдельных элементов очищаемого сырья между собой.

Предполагая отдельные очищаемые элементы (например, клубни картофеля) упругими элементами, заменим их (в плоской постановке) жесткими дисками, соединенными между собой упругими пружинами. Предположим, что дополнительно крайний левый клубень закреплен неподвижно (опирается на основную массу очищаемого картофеля). Взаимодействие трех клубней, контактирующих между собой и со стенкой рабочей камеры, можно

тогда рассматривать в рамках следующей задачи: определить частоты свободных колебаний и найти формы главных колебаний системы с двумя степенями свободы, указанной на рис. 1 (£01 и 102 — длины недеформирован-ных пружин 1 и 2).

Система состоит из двух однородных дисков, присоединенных к вертикальным поверхностям пружинами с коэффициентами жесткости С] и сг и соединенных пружиной с коэффициентом жесткости с3. В состоянии ПОКОЯ пружины С коэффициентами жесткости С\ И С2 растянуты соответственно на величины /сть /ст2. Пружина с коэффициентом жесткости сз сжата на величину

/ст1 /ст2-

За обобщенные координаты примем <7, г — горизонтальные смещения центров масс дисков / и 2 от положения статического равновесия. На рис. 1 показано положение системы при положительных обобщенных координатах.

Найдем кинетическую и потенциальную энергию системы. Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии дисков:

Г,,2 Тг1з ^

~~2 2 2 2 ’

где д, г — обобщенные скорости;

^1, ^2 — моменты инерции дисков относительно осей, проходящих соответственно через их центры масс С] И Сч- Моменты инерции дисков будут

^ г = 1,2.

Так как

Рис. I. Модель взаимодействия клубней

и 2 = —, Г\

г /ст2 4)2

то

Т=^(Т1д2+Т2г2).

Потенциальная энергия системы равна работе сил при перемещении системы из отклоненного положения в нулевое (положение статического равновесия). Данную энергию системы вычислим как потенциальную энергию деформированных пружин. Деформации пружин следующие: Л! = д + /СТ1 — для пружины с коэффициентом жесткости сь Л2 = г + /ст2 — для пружины с коэффициентом жесткости с2; А3 = д+г + /СТ1 + /ст2 — для пружины с коэффициентом жесткости сз. Следовательно,

п = ^С1(д + /сх1)2-^С1/^г1 + ^С2(г + /ст2)2-^с2/^г2+

+ 2°3^ г ^ст1 -^ст2)2 — 2°3^ст1 ^ст2)2 или после упрощений:

П = -Щ2 + ^с2г2 + ^с3(д + г)2 + С1<7/СТ1 + с2г/ст2+

+с3 (я + г)(/ст1 + /ст2 ) •

Из условий покоя рассматриваемой системы, находящейся под действием сил, имеющих потенциал, имеем:

сШ

ЭЯ ) д=0; г=0

дП'

дг/д=0; г=0

Потенциальная энергия системы с учетом условий покоя имеет вид:

П = ^схд2 + ^с2г2 + ^с3(д + г)2.

Таким образом,

Т= ^(Т1<72+Т2г2),

п = ^С!(/2 + ~с2г2 + ~Сз(<7 + г)2

или

= ^(«пд2 + 2а12дг + а2гг2);

п = ^(сп?2 + 2спЯГ + с22г2).

Здесь — коэффициенты инерции:

3 3

ап = 2ГПь а12 = 0, а22 = -т2;

су — коэффициенты жесткости:

С11 = С1 + Сз, С12 = Сз, с22 = с2 + Сз-

Для рассматриваемой консервативной системы уравнения Лагранжа имеют вид:

= Сі Усті + Сз(/ст1 + /ст2) = 0, = С2/ст2 “Ь Сз(/ст1 "Ь /ст2) = О-

(ИТ\ дТ дП

(И * [дд) дд дд

011 (дТ\ дТ дії

сН ' { дг дг дг

Вычислив производные

дТ „ дТ

7Г~ ~ “Б”7 — ап9>

дд од

с! (дТ

ап

-— = сид + сі2г, их і

дТ п дТ

т- =°, -т- = а22г,

аг аг

А

сі Ь \ дг

= а22 г,

дп

т— = с21<7 + с22г 0X2

и подставив их в уравнения Лагранжа, получим

аид = -сц<2 - с]2г, а22г = -с21<7 - с22г, где С21 = С]2.

Таким образом, для данной системы дифференциальные уравнения свободных колебаний имеют вид:

аиЯ + Си <7 + сит = 0, а22г + с2хд + с22г = 0.

Частное решение этих уравнений:

д = А + /?), г = Вз\п(И + /?),

где А и В — амплитуды главных колебаний; к — частоты свободных колебаний;

/3 — начальная фаза колебаний.

Уравнение частот, вытекающее из данной системы дифференциальных уравнений, имеет вид:

(сп - аик2){с22 ~ а22к2) - с\2 = 0.

Корни этого биквадратного уравнения, соответствующие квадратам частот, определим по формуле

^1,2 — ^а11с22 +0,22 СпТ ЯР\/(аііС22-(-а22Сіі)2-4аііа22(сііС22-с22) 1 /2аиа22-

Пусть в рассматриваемой задаче: массы однородных дисков 7Пі = 0,18 кг, т2 = 0,18 кг; коэффициенты жесткости пружин: с\ = с2 = с3 = 135 Н/м, тогда ап = (3/2)ші = 0,27 кг; сц = с\ + с3 = 270 Н/м; сі2 = с3 = 135 Н/м; а22 = (3/2)т2 = 0,36 кг;

С22 = с2 + с3 = 270 Н/м.

Следовательно, частоты свободных колебаний

к\ = 500 с-1; к2 — 1500 с-1.

Коэффициенты распределения, соответствующие частотам кі и к2, в общем случае имеют вид:

_ _ сц — а\\к\ _ с\2 — апк2 _

А\ С\2 — аі2к2 с22 — а22к\'

_ ^2 _ сц - а\\к2 _ сі2 - аі2^2

А2 С\2 - аик2 С22 - 022^2

В данном случае = —0,43; Ц2 = 3,46.

Уравнения, определяющие первое главное колебание, примут следующий вид:

<71 = Л] зт(50С№ + в\), г\ = —0,43^1 зт(500< + 9\).

Уравнения, определяющие второе главное колебание,

92 = М зт(1500< + 02), Гг = 3,46Лг з1п( 15004 + /?г).

Общее решение дифференциальных уравнений представляет собой сумму частных решений:

9 = 91 + 92 = М зш(5004 + 0\) + Аг 8т(500£ + вг),

г—Г\+Г2=0,43^1 81п(1500<+/31)+3,46А2 51п( 1500й+/?2)-

Значения А{ и вг определяются по начальным условиям задачи.

Полученные решения позволяют усовершенствовать конструкцию рабочей камеры, размещая абразивные элементы в тех зонах цилиндрической обечайки, где клубень, контактирующий со стенкой камеры, наиболее интенсивно прижимается к рабочей поверхности. Эти зоны определяются с учетом скорости вращения клубня картофеля и собственной частоты колебаний рассмотренной системы из трех клубней, прилежащих к рабочей поверхности.

В общем случае на геометрию расположения абразивных полос должны влиять упругие характеристики пружин — модули упругости мякоти картофеля. Следовательно, учет сезонных изменений структурномеханических свойств картофеля требует применения различных рабочих органов при очистке свежесобранного картофеля и картофеля, прошедшего определенный срок хранения. Кроме того, на частоту колебаний и, соответственно, на требуемую ширину абразивных полос будет влиять масса очищаемых клубней.

Применив систему МаИлСАО, рассмотрим следующий интервал изменений массы клубней и коэффициента жесткости картофеля. Массу примем изменяющейся от т\ =0,18 кг до гщ =0,27 кг, а коэффициент жесткости — от С1=135 Н/м до С1 = 160 Н/м (причем при хранении жесткость уменьшается). Построим графики зависимости частот к\ и /с2 от массы клубня и его жесткости (рис. 2).

Одной из возможностей улучшения качества очистки картофеля в камерах конусных картофелеочистительных машин является замена боковых вставок из сплошного абразива на вставки с прерывистым нанесением абразива. Это позволяет сократить энергозатраты, увеличить время работы абразивов без засаливания, улучшить качество очистки сырья, а также снизить трудоемкость изготовления рабочих органов.

Подобные покрытия рабочих органов состоят из пластмассовой подложки с нанесенными на нее методом гальванопластики полосами терочных элементов, которые имеют дополнительный слой из электропроводного материала (медной фольги).

кЛО

*2(0

1000 -

500 ~

0

0,15 0,2 0,25 /П|(0

*2(0

2000

1000

Рис. 2. Графики зависимости частот ^ и кг от массы клубня ттп

К геометрическим параметрам рабочих органов относятся ширина абразивных полос и расстояние между ними. Примем ширину и расстояние равными. Для их расчета нам потребуются следующие величины: ш = 9,6 рад/с — угловая скорость вращения клубня относительно стенок рабочей камеры; с1 = 0,48 м — диаметр рабочей камеры, I = пс1 (м) — длина окружности рабочей камеры. По следующей формуле найдем ширину нанесения абразивных полос Ь(г)\

С учетом возможных колебаний массы клубней и сезонных изменений упругих свойств картофеля эта величина будет колебаться в следующих пределах: от 8,14 мм (при массе 0,18 кг и жесткости 135 Н/м) до 9,69 мм (при массе 0,27 кг и жесткости 160 Н/м).

Список литературы

1. Механическое оборудование предприятий общественного питания: Учеб. / В. Д. Елхина, А. А. Журин, Л. П. Проничкина, М. К. Богачев. — М.: Экономика, 1981.

2. Жучков А. П., Бирюков Ю. И. Определение минимального числа оборотов рабочего органа картофелечистки периодического действия // Общественное питание: Респ. межвед. научно-техн. сб. 1970. Вып. 6.

3. Чиков В. М. К вопросу о конструкции и режимах работы картофелечисток периодического действия // Оптимизация работы торгово-технологического оборудования: Сб. ст.—Л.: ЛИСТ, 1980.