Синтез прогнозирующих стратегий управления динамическими системами с коррелированными параметрами и мультипликативными и аддитивными шумами при ограничениях

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 Управление, вычислительная техника и информатика № 47

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.2

DOI: 10.17223/19988605/47/1

В.В. Домбровский, Т.Ю. Пашинская

СИНТЕЗ ПРОГНОЗИРУЮЩИХ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С КОРРЕЛИРОВАННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ И АДДИТИВНЫМИ ШУМАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

Рассматривается задача управления с прогнозирующей моделью по обобщенному критерию для дискретных систем с сериально коррелированными параметрами и мультипликативными и аддитивными шумами. Относительно параметров предполагаются известными только первые и вторые условные моменты распределений. Изменяя весовые матрицы в обобщенном критерии, можно получать различные критерии управления: а) квадратичный критерий, b) критерий mean-variance. В работе синтезированы стратегии управления при наличии явных ограничений на управляющие воздействия.

Ключевые слова: управление с прогнозированием; мультипликативные шумы; сериально коррелированные параметры; ограничения.

Моделями со случайными параметрами и / или мультипликативными шумами описывается широкий класс реальных систем. Эффективным подходом к синтезу стратегий управления такими системами при ограничениях на состояния и / или управления является метод управления с прогнозирующей моделью (управление с прогнозированием, прогнозирующее управление) [1]. Управлению с прогнозированием системами со случайными параметрами и / или мультипликативными шумами посвящены работы [2-12].

В работах [2-6] рассматриваются системы с мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, в присутствии так называемых «мягких» ограничений, т.е. вероятностных ограничений [2-4] или ограничений на математические ожидания состояний и управлений [5-6]. В работе [7] рассматриваются системы с мультипликативными шумами и случайными независимыми одинаково распределенными параметрами.

Прогнозирующее управление системами с зависимыми параметрами рассматривается в работах [8-12]. Метод управления с прогнозированием, основанный на генерации сценариев для систем со случайными параметрами, предложен в работах [8-10]. В [11] решена задача синтеза прогнозирующего управления для класса нелинейных систем, параметры которых изменяются в соответствии с эволюцией марковской цепи. В работе [12] рассматривается задача прогнозирующего управления системами с сериально коррелированными параметрами при условии, что известны только первые и вторые условные моменты распределения параметров.

В данной исследуется задача прогнозирующего управления для дискретных систем со случайными сериально коррелированными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений. Относительно параметров предполагаются известными только первые и вторые условные моменты распределений. Синтезированы стратегии управления с учетом явных ограничений на управляющие переменные по обобщенному критерию, представляющему собой линейную комбинацию ожидаемых значений квадратичных форм по состоянию и управлению; квадратичной формы ожидаемых значений состояний системы; линейной части — ожидаемого значения состояния системы. Изменяя весовые матрицы в обобщенном критерии,

можно получать различные критерии управления: а) квадратичный критерий, b) критерий mean-variance.

1. Постановка задачи

Пусть объект управления описывается уравнением

х

В № +1), к +1] + ¿В [^(к +1), к + 1]уг (к +1) ^ и (к) + Д^(к +1), к + 1]^(к +1),

где х(к)еШ"х - вектор состояния, и(к)еШ"и - вектор управления, ц(к) е М'' - последовательность

случайных векторов; Д. (к) е , (г = (\й), Дг|(£),£] е ; элементы

матриц Д[г|(£), (/ = 0. 1..... п), 1)\ц(к). к\ зависят от ц(к) линейно.

Аддитивные и мультипликативные шумы к = 0, 1, ...}, {»(^еК"» ; к = 0, 1, ...} -

векторы белых шумов с нулевыми средними и единичными матрицами ковариаций, причем ММ£)утС<0} = 0,М{Г|(%Т(5)} = 0,М{Г|(^)^Т(5)} = 0 для всех к, 5.

Пусть ¥ = С$к )к> 1 - поток о-алгебр, где каждая из о-алгебр порождается последовательностью (п(^): 5 = 0, 1, 2, ..., к} и интерпретируется как доступная информация до момента времени к включительно.

Для процесса п(к) предполагаются известными условные моменты распределений

М {ц(к + 7)/ & } = П(к +7), М{ц(к + г)цТ(к + ])/\} = ^у(к), (к = 0,1,2,...), (7,] = 0,1,2,...,О). В дальнейшем будем использовать обозначения: для любой матрицы у[п(к), к], зависящей от П(к), у(к) = М {^[^(к), к ]/ }, не указывая зависимость матриц от п(к). На управляющие воздействия накладываются ограничения

итт{к)<8{к)и{к)<ит^{к),

где ЗДеМ?хи"; и^к), и^к)^.

Для управления системой (1) при ограничениях (2) синтезируем закон управления по следующему правилу. На каждом шаге к минимизируем критерий со скользящим горизонтом управления

т

3

7=1

-X м {хт (к + 7) / х(к), }Я2 (к + 7 )М {х(к + 7) / х(к), &} -

7=1

т т-1 , ..

-X Щ (к + 7)М {х(к + 7) / х(к), $к } + X М {ит (к + 7 / к )Щ(к + 7 )и(к + 7 / к) / х(к), £к },

7=1 7=0

по последовательности прогнозирующих управлений и(к/к), ..., и(к + т - 1/к), зависящих от состояния системы х(к) и доступной информации до момента времени к включительно ^, где ^(к + 7) > 0, Я2(к + 7) > 0, Я(к + 7) > 0 - симметричные весовые матрицы соответствующей размерности, Яз(к + 7) -весовой вектор соответствующей размерности, т - горизонт прогноза.

В качестве управления в момент времени к берем и(к) = и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояний ^ и х(к), т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+ 1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента к + 1 и т.д.

Изменяя весовые матрицы Л:(к + 7), Я2(к+7) и Лз(к+7) в (3), можно получить различные критерии управления.

m

Задача 1. Полагая R2(k + i) = 0, (i = 1,m), имеем задачу прогнозирующего управления по квадратичному критерию

m I \

J

i=i

m m-1 , ..

R3(k + i)M{x(k + i) / x(k),dk}+XM\ic(k + i /k)R(k + i)u(k + i /k)/x(k),Fk k i=l i=0

Критерий (4) представляет собой линейную комбинацию квадратичной и линейной частей. При

R3 (k + i) = 0 имеем классический квадратичный критерий.

Задача 2. Пусть скалярный выход системы

y(k) = L(k)x(k),

где L(k) - вектор-строка соответствующей размерности.

Полагая

R (k + i) = R2(k + i) = ^(k + i)LT (k + i)L(k + i),

R3 (k + i) = X(k + i)L(k + i), (i = 1, m), где ^(k + i) > 0, X(k + i) > 0 - скалярные величины, имеем задачу управления по критерию mean-variance:

m

J (k + m / k) = + i)M {xT (k + i)L (k + i)L(k + i) x(k + i) / x(k), Fk} -

i=1

m m-1

X(k + i)L(k + i)M {x(k + i)/ x(k),} + £M {uT(k + i / k)R(k + i)u(k + i / k)/ x(k), Fk },

i=l i=0

который может быть представлен в виде:

J(k + m / k) = £ V(k + i)M {(y(k + i) - M {y(k + i) / x(k), F })2 / x(k), F } -

i=1

m

-£X(k + i)M {y(k + i)/ x(k), F } +

i=1

m-1

+£M{uT

i=0

Параметры ^(k+i), X(k+i) характеризуют склонность к риску (risk-aversion) и определяют соотношение между ожидаемым выходом системы и вариацией в момент времени k+i.

Замечание 1. В критерии (5) по сравнению с классическим критерием mean-variance добавлены слагаемые, содержащие квадратичные формы от управлений. В общем случае наличие этих слагаемых гарантирует существование решения задачи управления (см. замечание 3).

2. Синтез стратегий управления с прогнозированием

Рассмотрим задачу минимизации критерия (3) по последовательности прогнозирующих управлений u(k+i/k), i = 0, 1, ..., m — 1, при ограничениях (2) на траекториях системы (1).

Теорема. Оптимальная стратегия прогнозирующего управления системой (1), минимизирующая критерий (3) со скользящим горизонтом m при ограничениях (2), на каждом шаге k определяется уравнением

где I - единичная матрица размерности Пи, 0 - квадратная нулевая матрица размерности Пи,

U(k) = [uT(k/k), ..., uT(k + m — 1/k)]T - вектор прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида:

при ограничениях

где

У

итт(к) < Б(к)и(к) < итах(к),

3(к) = &&%(8(к),.., Б(к + т -1)), итш(к) = ^(Ю,..,^ + титх(к) = [ы^кХ-;и^(к + т-1)]T,

Н(к), О(к), ^(к) - блочные матрицы вида

'Нп

Н (к) =

Нп

Нт1

О

н, т

Н2т

Нтт(к)_

Рт(к%

блоки которых равны

Нг (к) = Я(к + г -1)+Ь22(т - г) - N22 (т - г),

Нг (к) = М -ЦтЬ(£ + г), к + г] П АТ(к + ]) [Ы™ - I) - N12(т - I) ] / зЛ I > ^

I -1

П

] =г+1

Н I (к) = ( Нг (к) у, I < X ,

где

г-1 г_ __-,

о{ (к) = П АТ(к + ]) ГЬ12 (т - г) - N12 (т - г)\,

]=1

Р(к) = К2(т - г),

* т

П 4(к + ]) = 1,

]=г+1

&(г) = Я^к + т - г) + Ьц(г-1),01(0) = Я^к + т),

п

ыг) = Т А (к + т - гХк (г) А (к + т - г),

1=0

п т

Ьп(г) = АТ(к + т - гУ01(г)Б1 [ц(к + т - г), к + т - г],

1=0

Ь12(г) = м{Ь2(г)/зк},

Ь22 (г) = ^М \б'Т [г(к + т - г), к + т - г]01 (г)Бг [^(к + т - г),к + т - г]/ Зк ]

02(г) = Я2(к + т - г) + Nп(г -1),02(0) = Я2(к + т), г) = АТ (к+т - г)02 (г) А0 (к + т - г),

1=0

г ]/Зк},

N12 (г) = АТ (к + т - г)02 (г)М {Б0 [ц(к + т - г), к + т - г]/ Зк}, N22(г) = м {в0ТЬ(к + т - г), к + т - г]} / Ц)М ^^^^^^^ + т -г), к + т -X ]/ Зк],

бз

К!

К2 (г) = б3 (г)М {Б0 [^(к+т - г), к+т - г] / }. (27) Оптимальный вектор прогнозирующих управлений без учета ограничений равен

и

СТ

При этом оптимальное значение критерия (3) имеет вид:

Грг (к + т / к) = хт (к! (т -1) - ^ х (т -1) + 0(к)Н ~\к)СТ (к)]х(к) -

-К (т -1) х(к) - хТ (к )С(к )Н -1 (к) ^ т (к) +1 ^ (к )Н "1 (к т (к) +

4

£гг {б1(т - г)¥(т - г)},

т

г=1

где

ж

Замечание 2. В силу линейной зависимости матриц Д[п(к), к] (7 = 0, 1, ..., п), ^[п(к), к] от случайных параметров, условные математические ожидания в выражениях (11)-(15), (30) можно вычислить без затруднений.

Замечание 3. (Существование и единственность решения). При условии Я\(к+7) > Яг(к+7) справедливо неравенство

М{хт

> М {хт (к + 7) / х(к), дк (к + 7)М {х(к + 7) / х(к), дк }.

Таким образом, при выполнении (31) и с учетом того, что Я(к+7) > 0, критерий (3) является выпуклым. Поскольку критерий (6) получен посредством преобразования критерия (3), сохраняющего условия выпуклости, условия Я\(к+7) > Яг(к+7) и Я(к+7) > 0 гарантируют, что решение задачи квадратичного программирования с критерием (6) существует и единственно, если ограничения (7) совместны.

Доказательство. Рассмотрим следующие выражения:

т

3(1) (к + т / к) = М{£хт (к + 7 / кЩ(к + 7)х(к + 7 / к) - Д3(к + 7)х(к + 7 / к) +

7=1

+мТ

3

Очевидно, что

3(к + да / к) = 3(1)(к+т / к) - 3(2)(к + да / к). ^

Рассмотрим3(1)(к + т/к) . Полагая У0(к) = 1 (к = 0, 1, ...), можно представить (1) в виде:

п

х(к +1) = £ А (к + 1К (к + 1)х(к) +

7=0

п

+£ Б, [^(к +1), к + 1]у, (к + 1)ы (к) + Б[ц(к +1), к +1]^(к +1).

7=0

Выражая последовательно все х(к + 7/к) через х(к) с использованием уравнения системы (35) и подставляя результат в (32), получим:

3(1)(к + т / к) = хт (к)Ьп(т -1)х(к) +

т тг-1 _

+2хт (к)£ П АТ (к +1 )Ьп(т - г)и(к + г -1 / к) +

г=1} =1

т Р__-,

+£ит(к + г -1/к) ¿22 (т - г) + Л(к + г-1) и(к + г-1/к) +

г=1

т-1 т /-1

+2 £ £ и т(к + г -1/к)М{Б0Т[^(к + г), к + г] П АТ (к + (т - /)/^ }и(к + /-1/к) +

г=1 /=г+1 } =г+1

+£ гг {б (т - г(т - г)} - К (т -1)х(к) - £ К2 (т - г)и(к + г -1 / к), где ^(0, ¿п(0, ¿12(0, ¿12 (г), Ь22 (г) определяются уравнениями (16)-(20) и

г

П А) (к +1) = 1,

1 =г+1

К\(£), К 2 (г) определяются уравнениями (26)-(27), Ж (г) имеет вид (30).

Рассмотрим выражение (33) для 3(2)(к + т / к) . Выражая последовательно все М {х(к + 5) / х(к), } через х(к) с использованием уравнения системы (1), получим:

М {х(к + 5) / х(к), } = П А) (к + 5 -1 +1) х(к) + }=1

5 5-г

+£П А)(к + 5 -1 + 1)М{Б0[^(к + г),к + г]/ £к}и(к + г -1/к).

г=1 у=1

Подставляя (37) в (33) и преобразовав выражение, получим

3

т г-1 __т _

+2хТ (к)£П А0 (к + лт2(т -г)и(к + г-1/к) + £ит(к + г -1/к)^(т -г)и(к + г-1/к) +

г=1у=1 г=1

т-1 т /-1 _

+2£ £ ит(к + г-1/к)М{вГ[ц(к + г),к + г]/£к} П Ат(к +1)N12(т-/)и(к + /-1/к),

г=1 /=г+1 1=г+1

где N11(0, N12(г), N22(г) определяются уравнениями (22)-(24).

С учетом (36), (38) и (34) критерий (3) можно записать в матричном виде:

3

+

2хт (к )С(к) - ^ (к)] и (к) + ит (к )Н (к )и (к) + £ гг б (т - г)Ж (т - г)},

-1 г=1

где матрицы Я(к), G(k), ¿(к) имеют вид (8)—(15), матрицы Ь11(г), N11(г), К1(г), Ж (г) определяются уравнениями (17), (22), (26), (30) соответственно.

Нетрудно показать, что оптимальный вектор прогнозирующего управления без учета ограничений имеет вид (28), оптимальное значение критерия (6) при этом определяется в виде (29).

Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (39) при ограничениях (2), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (6) при ограничениях (7). Теорема доказана.

Заключение

В данной работе предложен метод синтеза стратегий прогнозирующего управления по обобщенному критерию для дискретных систем с сериально коррелированными параметрами, мульти-

5

пликативными и аддитивными шумами. Относительно случайных параметров достаточно знать только условные первые и вторые моменты распределений. Изменяя весовые матрицы в обобщенном критерии, можно получать различные критерии управления: а) квадратичный критерий, b) критерий mean-variance. Синтезированы стратегии управления с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Алгоритм синтеза прогнозирующей стратегии включает решение последовательности задач квадратичного программирования.

1. Mayne D.Q. Model predictive control: Recent developments and future promise // Automatica. 2014. V. 50, No. 12. P. 2967-

2986.

2. Cannon M., Kouvaritakis B., Wu X. Model predictive control for systems with stochastic multiplicative uncertainty and proba-

bilistic constrains // Automatica. 2009. V. 45, No. 1. P. 167-172.

3. Farina M., Scattolini R. Model predictive control of linear systems with multiplicative unbounded uncertainty and chance con-

straints // Automatica. 2016. V. 70. P. 258-265.

4. Farina M., Giulioni L., Scattolini R. Stochastic linear Model Predictive Control with chance constraints : a review // Journal of

Process Control. 2016. V. 44. P. 53-67.

5. Farina M., Scattolini R. Model predictive control of linear systems with multiplicative unbounded uncertainty and average con-

straints // IFAC-PapersOnLine. 2015. V. 48, No. 23. P. 266-271.

6. Primbs J.A., Sung C.H. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative

noise // IEEE Trans. Automat. Control. 2009. V. 54, No. 2. P. 221-230.

7. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными пара-

метрами и мультипликативным шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2005. V. 4. P. 84-97.

8. Bemporad A., Di Cairano S. Model-Predictive Control of Discrete Hybrid Stochastic Automata // IEEE Transactions on Automatic

Control. 2011. V. 56, No. 6. P. 1307-1321.

9. Calafiore G.C., Fagiano L. Stochastic model predictive control of LPV systems via scenario optimization // Automatica. 2013.

V. 49. P. 1861-1866.

10. Patrinos P., Soparasakis P., Sarimveis H., Bemporad A. Stochastic model predictive control for constrained discrete-time Markovian switching systems // Automatica. 2014. V. 50, No. 10. P. 2504-2514.

11. Dombrovskii V., Obyedko T., Samorodova M. Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions // Automatica. 2018. V. 87. P. 61-68.

12. Dombrovskii V., Obyedko T. Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parameters and portfolio optimization // Automatica. 2015. V. 54, No. 4. P. 325-331.

Dombrovskii V.V., Pashinskaya T.Yu. (2019) MODEL PREDICTIVE CONTROL FOR DISCRETE-TIME SYSTEMS WITH SERIALLY CORRELATED PARAMETERS AND MULTIPLICATIVE AND ADDITIVE NOISES UNDER CONSTRAINTS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 47. pp. 4-11

DOI: 10.17223/19988605/47/1

Let the control object is described by the equation:

where x(k)eRn* is the vector of state; u(k)e№"" is the vector of control; r|(£)eR?is the stochastic vector; At(k) e R"«x"«,

Bi[x\{k'),k]eW'yn" = E{r\(k),k} e . All of the elements of Bi [\\{k), k] (z = 0, 1, ...,«), D[\\{k), k] are assumed to be

linear functions of r|(k% {v(k) eR";t = 0,1,...}, {w(k) e K"*» ; k = 0, 1, ...} are white noise vectors with zero mean and unique co-variance matrix, E{w(k)vT(s)} = 0, E{r|(fc)vT(i)} = 0, E{r|(fc)wT(.s)} =0 for all k, s.

Let F = {3k )k> l the complete filtration with a-field ^ generated by the {t|(s): 5 = 0, 1,2, ...,k} that models the flow of information to time k.

ЛИТЕРАТУРА

Поступила в редакцию 29 июня 2018 г.

We allow the parameters n(k) to be serially correlated. Let us assume that we know the first- and second-order conditional moments for the stochastic vector n(k) about Fk :

E {^(k + i) / Fk} = n(k + i), E {n(k + iW (k + j) / Fk) = © j (k),(k = 0,1,2,...),(i, j = 0,1,2,..., d). We impose the following inequality constraints on the control inputs (element-wise inequality):

Umm

For control of system (1), we synthesize the strategies with a predictive control model. At each step k we minimize the following criterion with a receding horizon

m m

J

i=1 i=1 m m—1

R(k + i)E{x(k + i) / x(k),F} + Z E{uT (k + i / k)R(k + i)u(k + i / k) / x(k), F},

i=1 i=0

on trajectories of system (1) over the sequence of predictive controls u(k/k), ..., u(k + ra - 1/k) dependent on the system state x(k) and information up to time k Fk , under constraints (2); where R1(k + i) > 0, R2(k + i) > 0, R(k + i) > 0 are given symmetric weight matrices of corresponding dimensions; R3 (k + i) is a given vector of corresponding dimension; m is the prediction horizon.

Different cost functions can be obtained from criterion (3) after setting the coefficients Ri(k + i), R2(k + i), and Ri(k + i) to some appropriate values.

Problem 1. Taking R2(k + i) = 0, we have the MPC problem with quadratic criterion.

Problem 2. Let system (1) have a scalar output y(k) = L(k)x(k), where L(k) is a vector of appropriate dimension. Taking R (k + i) = R (k + i) = |j(k + i)L (k + i)L(k + i), R (k + i) = X(k + i)L(k + i), (i = 1, m), where ^(k + i) > 0, X(k + i) > 0 are scalar values, we have a mean-variance optimization problem.

Keywords: model predictive control; serially correlated parameters; multiplicative noises; constrains..

DOMBROVSKII Vladimir Valentinovich (Doctor of Technical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: dombrovs@ef.tsu.ru

PASHINSKAYA Tatiana Yurievna (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tatyana.obedko@mail.ru

REFERENCES

1. Mayne, D.Q. (2014) Model predictive control: Recent developments and future promise. Automatica. 50(12). pp. 2967-2986.

DOI: 10.1016/j.automatica.2014.10.128

2. Cannon, M., Kouvaritakis, B. & Wu, X. (2009) Model predictive control for systems with stochastic multiplicative uncertainty and

probabilistic constrains. Automatica. 45(1). pp. 167-172. DOI: 10.1016/j.automatica.2008.06.017

3. Farina, M. & Scattolini, R. (2016) Model predictive control of linear systems with multiplicative unbounded uncertainty and

chance constraints. Automatica. 70. pp. 258-265. DOI: 10.1016/j.automatica.2016.04.008

4. Farina, M., Giulioni, L. & Scattolini, R. (2016) Stochastic linear Model Predictive Control with chance constraints - A review.

Journal of Process Control. 44. pp. 53-67. DOI: 10.1016/j.jprocont.2016.03.005

5. Farina, M. & Scattolini, R. (2015) Model predictive control of linear systems with multiplicative unbounded uncertainty and average

constraints. IFAC-PapersOnLine. 48(23). pp. 266-271. DOI: 10.1016/j.ifacol.2015.11.294

6. Primbs, J.A. & Sung, C.H. (2009) Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multi-

plicative noise. IEEE Trans. Automat. Control. 54(2). pp. 221-230. DOI: 10.1109/ACC.2007.4282237

7. Dombrovskii, V.V., Dombrovskii, D.V. & Lyashenko, E.A. (2005) Predictive control of random-parameter systems with multipli-

cative noise. Application to investment portfolio optimization. Automation and Remote Control. 66(4). pp. 583-595. DOI: 10.1007/s10513-005-0102-5

8. Bemporad, A. & Di Cairano, S. (2011). Model-Predictive Control of Discrete Hybrid Stochastic Automata. IEEE Transactions on

Automatic Control. 56(6). pp. 1307-1321. DOI: 10.1109/TAC.2010.2084810

9. Calafiore, G.C. & Fagiano, L. (2013) Stochastic model predictive control of LPV systems via scenario optimization. Automatica.

49. pp. 1861-1866. DOI: 10.1016/j.automatica.2013.02.060

10. Patrinos, P., Soparasakis, P., Sarimveis, H. & Bemporad, A. (2014) Stochastic model predictive control for constrained discrete-time Markovian switching systems. Automatica. 50(10). pp. 2504-2514. DOI: 10.1016/j.automatica.2014.08.031

11. Dombrovskii, V., Obyedko, T. & Samorodova, M. (2018) Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions. Automatica. 87. pp. 61-68. DOI: 10.1016/j.automatica.2017.09.018

12. Dombrovskii, V. & Obyedko, T. (2015) Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parameters and portfolio optimization. Automatica. 54. pp. 325-331. DOI: 10.1016/j.automatica.2015.02.021