Изменение надежности технического объекта при зависимых испытаниях

Дедков В.К.

ИЗМЕНЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА ПРИ ЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЯХ

Во многих случаях исходы последующих испытаний, проводимых серийно, зависят от предшествующих испытаний. Характер такой зависимости определяется условиями испытаний.

Надежность технических объектов, основным показателем которой является время безотказной

работы, напрямую связана со временем и изменяется во времени. Любой технический объект обладает определенным (в вероятностном смысле) запасом надежности. В процессе применения объекта (испытаний или эксплуатации) этот запас расходуется, поэтому надежность — убывающая функция времени. При некоторых условиях (называемых комплексом условий испытания или эксплуатации 3-нью) надежность расходуется быстро, а при других— медленнее. Испытанием (опытом) называется реализация (осуществление на практике или при мысленном эксперименте) некоторого комплекса условий 3 .

Под комплексом условий испытания 3 понимается совокупность внутренних и внешних факторов,

называемых параметрами объекта и внешними условиями, определяющими возможные исходы испытания.

Когда комплекс условий испытания 3 является случайным, т.е. переменные, влияющие на исход

испытания случайны, то испытание называется стохастическим или случайным. Соответственно, исходы случайных испытаний — случайные события. Множество возможных исходов испытания зависит от физического содержания комплекса условий испытания.

Какими моделями определяется содержание комплекса условий испытания? Таких моделей должно быть, по крайней мере, две: модель технического объекта, или, точнее, модель технического

состояния объекта, и модель внешней среды, или нагрузки.

Математической моделью технического состояния испытываемого или эксплуатируемого объекта может служить совокупность возможных значений его сопротивляемости действующей нагрузке, записываемая в форме вектор-строки: < х,X...хт > . Поскольку сопротивляемость конкретного объекта

неопределенна, то каждому элементу вектор-строки может быть поставлена в соответствие определенная вероятность. Таким образом, математическая модель сопротивляемости конкретного объекта (х) может быть представлена интегральным или дифференциальным законом распределения его сопротивляемости ИЛИ #%(*)•

В процессе испытаний или эксплуатации техническое состояние объекта изменяется. Причиной его изменения является действие нагрузки й , которая в общем случае случайна и описывается законом ее распределения 7^ (м) ИЛИ (р^ {и^ .

Изменение технического состояния испытываемого объекта отражается на его эксплуатационных характеристиках, в частности, на показателях надежности. Вероятность безотказной работы — основной показатель надежности технического объекта — является убывающей функцией времени или числа его нагружений. Поэтому с полным основанием можно говорить о расходовании «ресурса» надежности технического объекта в процессе его испытаний или эксплуатации. В данной статье рассматривается вопрос о скорости расходования ресурса надежности.

Для конкретного объекта, сопротивляемость которого неопределенна, а нагрузка случайна, характерна неопределенность комплекса условий испытаний 3 как по одной, так и по другой составляющей. Такой объект, как сказано выше, будем называть стохастическим. Показатель надежности стохастического объекта 3^ в любом п-м испытании — величина случайная.

Введем обозначения [1]

где (¿у) - функция распределения показателя надежности Ю( ч , характеризующего вероятность

ш

безотказной работы объекта за п испытаний.

Плотность распределения случайной величины может быть найдена дифференцированием функции

(со) , или

(и) 4 У '

^

Формулы (1) и (2) представляют собой описание дискретного вероятностного процесса изменения

эксплуатационного состояния {п) объекта соответственно в форме функций распределения 7^ (¿у) и

плотностей распределения Фг. (б)\ апостериорных вероятностей безотказной работы в серии из Н

(п) ' '

испытаний, где [п = 1(1)»].

На основании изложенного выше, переход стохастического объекта из одного состояния в другое в

процессе серийных испытаний можно представить цепью Маркова. Для этого обратим внимание на то,

что переменная эксплуатационного состояния 6)^ является динамической переменной. Иными словами,

независимо от того, неизменны или изменяются показатели физико-механического или технического состояния объекта, его эксплуатационное состояние является функцией числа испытаний.

Переменная 3^ изменяется в зависимости от длины серии последовательных испытаний п.

Следовательно, при заданных условиях испытаний любому конечному числу последовательных испытаний п могут быть поставлены в соответствие как величина переменной эксплуатационного состояния

(надежности) (и) ' 'так и СК0Р0С1Т1Ь ее изменения.

Ввиду дискретного характера изменения переменной эксплуатационного состояния Ф^ во времени, т.е. по числу испытаний п , производная от Ф^ по времени (т.е. скорость ее убывания) может быть представлена в форме конечной разности, характеризующей изменение переменной Ф^ за одно испытание. Обозначим эту разность, являющуюся характеристикой скорости изменения

эксплуатационного состояния, через гп . Тогда

г„ = ------— = со.

г / 1М (п-1) М~ XX

[п-(п-1)] ^ м 7=1 ,=1

где 2п — случайная величина, характеризующая скорость изменения переменной эксплуатационного

состояния ф/ \ в п -м испытании.

Из выражения (3) видно, что процессы изменения состояния, описываемые переменной Ф^ , обладают марковским свойством, вследствие чего между фи_1 )и существует зависимость,

вытекающая из фундаментального свойства марковских процессов [2].

Легко видеть, что

п п-1

н = (^х<) = рй &хп)Т\ри(*;*,) = ра(х',хп)%-1) •

/=1 /=1

Обозначая 7^ = сдп , из предыдущего получим

Фп)=Фп-фп ,

где ф имеет смысл переходной вероятности марковского процесса и выражает собой апостериорную

вероятность неотказа в п -м испытании.

Таким образом, скорость изменения эксплуатационного состояния гп в п -м испытании является

случайной величиной, зависящей от двух случайных переменных (и-1) и ^(п) ' связанных между собой

соотношением (4).

Скорость изменения надежности в процессе испытаний

Запишем выражение (4) в упрощенном виде, для чего введем следующие обозначения:

СО, ч = о , и перейдем к определению функции распределения случайной величины £,

Кп) "

где 7^ (г) — функция распределения случайной величины гп , <и,у> — двумерный случайный вектор,

(Т/2) ~ область возможных значений величины гп .

Границы области (77г) определяются на основании соотношения (3) и в силу, имеющего место

неравенства у >и. Пусть — плотность распределения 2п , тогда

1 /г{у)

^„

0 при у < z,

где /2 (у) = У, /1 (у)=|/ ч

1( У - 2) при у > z.

Подставляя соответствующие выражения границ области (Н ) в (6) получим

0

^ ^ 1 ^

:|[|%^>(б=5')^]4'+ |[ | <Р(о,у)(и’У)а°№у •

Выразим двумерную плотность распределения Фф у}{р>У) через условную плотность распределения одной из компонент вектора < о,у > относительно другой

Р

Принимая во внимание (4), условную плотность распределения можно записать в следующем

виде

где № о, у) - прямоугольный импульс.

После постановки (8) и (9) в (7) получим окончательное выражение функции распределения величины :

У

Плотность распределения величины 2п найдем путем дифференцирования выражения (10). В соответствии с правилом дифференцирования под знаком интеграла, пределы которого зависят от параметра, получим 1

Р1 (2) = Ф'гп (г) = |^,>>[0 - 2ЖУ ~ 2),У]<1У =

Подставляя в (11) преобразованные выражения в соответствии с (8), получим окончательную форму плотности распределения

1

1

<PiAz) = J^OO-юч

_ ^ Ч З'

Выведем теперь расчетные формулы для определения функции распределения Р~

2П ' '

dy.

и плотности

(р2 (z) скорости изменения эксплуатационного состояния уникального объекта в некоторых конкретных условиях испытаний.

Рассмотрим вначале случай, когда процесс старения описывается функцией вида

хп = х[1 + b(n — Y)a — а(п — Y)a ] , где х подчиняется нормальному закону распределения

F~(x>) = F0.( -- ), а нагружение — стационарный случайный процесс.

Принятые обозначения CD,

им плотностей распределения

л,

-у следует дополнить новыми обозначениями соответствующих

() = Ь (у)' ^ () = (6) • Выр

ажая теперь плотности

"(й-1) V / т У \у / г "(и) ’

распределения соответствующих переменных через плотности распределения исходных величин нагрузок и сопротивляемостей по формуле (2), после подстановки их в формулу (10) получим

^»=1-

,с , +

dn-

’ ^exp[-Xexp{-^[(

Сп-1 + (пУ -

dn-1

1

n-1 Г

Yffixp \-р

--¿епЫп-)]-х ,п Р У \

у я>А—-----------------)

*[-J-

vpejn—

У

,с , +£пу

<PA^j------)

dn-\°x

-dv\dy +

1ехр[-|>хр{-Д(С"-‘+ £пуЩ - ц]}]

i=1 dn-1

' n-1 Г

Y.eiexp \-P

cn-1 + ln y _ ,

-n-L-------^ - x \e. -Mi

*[-J

vA

вп P У

-dv\dy,

vpejM-

где

yj

0

z

1=1

0

z

a

, [Мп-^п(-£п-)\-х

—р-—*—)

-Рвпы°-У У

причем со

=^п{х)=рА^х„)

Соответствующая рассматриваемому случаю плотность распределения величины 2п получается путем подстановки в формулу

Фо

Сп-1+£пУ

<*п-\°х

: ^ехр[-£ехр{-Д(

Сп-1+Г'ПУ т:

¿п-1

1

' п-1 Г

^¡ехр |-Д

-Л^п --Щ~£п---)] - X

Р У \

<р*

<т~

(у-^рв^п^-У

-¿1у .

В случае, когда функция старения сопротивляемости является «равномерной», то при прочих неизменных условиях, оговоренных выше, расчетные формулы для (г) и (р- (г) принимают вид

Л

Фо

^»=1-

—[<?и£ехр(Дц.) - С:п(-£пу)\ - X Р /=1

урЫу

и/Ипу

-dv\ dy -

— [1и^]ехр( Ды,.) - £п(-Ьу)\ -1

1 9>Л~--------------------------------------)

-I--------------------------------------------

* и

2 у/3£п —

1 П-1

1 ^ст

(р- (г) = [--------—-------------------------->

иЧ 7 -1 уР^пу

I/;.. '

• *"<---------^--------------------->

Г -

х[ I -----------------------^--------------du]dy

у-г и/3£п —

У

Цп — 1/ Р£п{-£п ——-)] - х

ф-

(у - 2)/3(п

У-2

У

-dy

Для тех же прочих условий, но при отсутствии старения сопротивляемости, расчетные формулы для (г) и (р~ (г) принимают следующий вид:

. х

I=1

0

0

о

х

^ (п{п -1) - ^£п (-Спу)] - х

У

*[ I-

[ц- — £щ-Ы — II-л:

Р I з'1

уРЫу

\

-du]dy +

о иР1п —

У

( 1 1 — ^ [¡л + — £п(п -1) - — Сп[-£пу)\ -X

уРСпу

1 <Ра\ [М + -^£п(п-1)---(-£пу)]-Х

р

Р'

уРЫу

У

< I

Г и--------(п\ -£п— 1-х

Р I У1

ирЫ — У

-dv]dy

Г и-------1п\ -£п ------------ 1 - л:

1М Р { у М

(у-г)р£п

У~г

У

-ф.

Как и при рассмотрении вероятностных характеристик переменной Сд(п) перечень возможных

вариантов обстановки испытаний 3 , определяющих вид расчетных формул для Р- (г) и (р~ (г) , можно

было бы продолжить варьируя типом функции распределения исходного значения величины х и характером функции старения. Подобные формулы могут быть получены для соответствующих условий испытаний на основе зависимостей (10) и (12).

Приведенные выше зависимости показывают, что скорость изменения надежности технических объектов в процессе их испытаний или эксплуатации зависит, главным образом, от уровня технического совершенства объекта, определяемого величиной его сопротивляемости (х), и характера процессов старения. Скорости процессов старения, как показывает опыт, не в последнюю очередь зависят от величин нагрузок и флуктуативности процессов нагружения.

Заключение

Предложенная марковская модель зависимости между действующей нагрузкой и изменяющейся под влиянием нагружения сопротивляемостью технического объекта позволяет при заданных законах их распределения рассчитывать вероятностные процессы изменения надежности в процессе испытаний или эксплуатации объекта.

0

-

2

х

ЛИТЕРАТУРА

1. Дедков В.К. Прогнозирование надежности // Сборник трудов СИП РИА. 1998. №6. С. 30-36.

2. Дедков В.К. Обратная задача теории надежности. М.: ВЦ РАН, 2004.