Изучение свойств серебряных и медных поляритонных нановолноводов методом эффективной диэлектрической проницаемости

В процессе моделирования были выявлены два характерных типа неустойчивости системы: образование террас (или пучковой структуры) и образование многоатомных ступеней. Были получены границы областей этих неустойчивостей. Известно, что единичные ступени имеют тенденцию искривляться, их террасы часто нерегулярны. Этот недостаток является причиной трудностей в создании полупроводниковых проволок. Ступени, составляющие эшелонированную структуру, из-за своей ограниченности остаются более прямыми. Эшелонированная структура может иметь различную высоту в зависимости от числа ступеней в эшелоне. Это открывает возможности создания квантовых проволок различной толщины.

Литература

1. Бартон Ф., Кабрера Ж., Франк М. Элементарные процессы роста кристаллов. М., 1959.

2. Березин А.А., Морозов А.И. // ФТТ. 1999. Т. 41. № 2. С. 354.

3. ПелещакР.М., Лукиянец Б.А., Зегря Г.Г. // ФТП. 1998. Т. 34. № 10. С. 1223.

Волгодонский институт

Южно-Российского технического университета 16 ноября 2005 г.

УДК 621.371.334:537.874.6

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ СЕРЕБРЯНЫХ И МЕДНЫХ ПОЛЯРИТОННЫХ НАНОВОЛНОВОДОВ МЕТОДОМ ЭФФЕКТИВНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

© 2006 г. Б.А. Грибников, Е.И. Грибникова, В.И. Махно, П.В. Махно

The investigation of eigenwaves in 3-dimensional polaritonic waveguides. The method of effective permittivity was used.

На границе раздела сред с различными знаками диэлектрической проницаемости может распространяться поверхностная электромагнитная волна [1]. В оптическом и инфракрасном диапазонах такая волна наблюдается и на границе металл - диэлектрик. В этом случае волна называется поверхностным поляритоном. Наиболее простым типом поляритонного волновода является бесконечная металлическая плёнка, нанесённая на слой диэлектрика. Толщина плёнки может быть мала (порядка 10 нм) в зависимости от длины волны, типа диэлектрика и металла. На практике используется пленка конечной ширины - нанопровод прямоугольного сечения (рис. 1а) [2]. Ещё одним волноводом является так называемый по-ляритонный щелевой волновод (рис. 1б) [3]: две металлические пластины с небольшим зазором, где в основном локализовано поле электромагнитной волны. В настоящее время уже начаты экспериментальные исследования таких линий передачи.

и'

U е„,

Sl Ь

.......>.......

«Л!

Кпд 2 3 {Пу=П%)

а 6

Рис. 1. Исследуемые структуры

Возможно применение различных методов для получения дисперсионных характеристик каждого из исследуемых волноводов. Например, в [2] задача (нанопровод, рис. 1а) решается сеточным методом, в [3] - произведено экспериментальное исследование поляритонного щелевого волновода (рис. 1б).

В настоящей работе разработана простая, но достаточно точная модель, которая может быть приложена к различным типам волноводов. В первую очередь проведены расчёты коэффициентов замедления собственных волн многослойного планарного диэлектрического волновода с потерями. Далее с помощью метода эффективной диэлектрической проницаемости (ЭДП) (суть которого изложена в данной работе) находились дисперсионные характеристики интересующих нас волноводов.

При построении дисперсионных кривых необходимо знать зависимо -сти диэлектрических проницаемостей металлов от длины волны. Нами были использованы экспериментальные данные [4] для меди и серебра.

Получение дисперсионного уравнения многослойного планарного диэлектрического волновода с потерями

Метод ЭДП основан на расчёте постоянных распространения много -слойных планарных диэлектрических волноводов, поэтому рассмотрим распространение ^-поляризованной волны (7-волны) вдоль оси г через структуру, изображённую на рис. 2а (многослойный планарный диэлектрический волновод с потерями, учитываемыми комплексными диэлектрическими проницаемостями). Электрическое и магнитное поля имеют следующие компоненты:

Е =

Для такой ЭМ-волны, распространяющейся вдоль оси г, напряжённость Е электрического поля будем искать в виде

Е = Е

где в - постоянная распространения.

Она должна удовлетворять уравнению Гельмгольца:

ДЕ + к 2£г^гЕ = 0,

где е,, /и, - диэлектрическая и магнитная проницаемости в относительных единицах.

Подставим (1) в (2). Тогда из уравнения Гельмгольца следует

d Е 2 Е 0

,2 «2 .2 ,, .„2/,2 „ ,, v___ß

где у i = ß - к si Mi = к (n -siMi); n =--коэффициент замедления.

к

i^N+l

i=N Bs-,

А

'б* £<

А*

'ij e.)

i- 1

«12 £n Ъ2

«11 s2 31

Рис. 2. Многослойные диэлектрические волноводы. В1...ы — координата верхней плоскости каждого из слоев

Решение уравнения (3) для каждого из N + 1 слоёв записано в следующем виде:

Е\(х) = Дехр^х) для слоя i = 1;

Е2(х) = (Д8Ьу2(В2 - х) + Л28Ьу2х)Му2Ь2 для слоя i = 2;

Е1(х) = (DisЪYi(Bi - х) + Л^Ьу^х - B1_1))/shy1b1 для слоёв с i = 3.. N

Ет(х) = Дт+1ехр(-у№1(х - BN)) для слоя i = N + 1.

На границах между слоями должны быть выполнены следующие условия:

1. Е, (В,) = Е,+1 (В,);

2.-

1 dEi 1 dEi+\

Mi dx x=B, Mi+1 dx x=

Для слоёв конечной ширины (2 < , < Щ:

1. Л, = Д+1;

2. -L- Д) = -М-((+2 - ОмокГмЬ1+1). (4) М, Мм ^Гмьм

Выразим один коэффициент через два предыдущих:

1

Y+

M+1 shYi+\bi+\

D2 = А+1

'—cthrb + YY±L cthy1+\b1+iЛ

Mi

- Di

Y,

1

Mi shYibi

Mi+\

2 < i < N

или

D _ L1shY1bl i+1 _

( ( , D

- Di

V v« 1

-cthr,b, + cthr,-b-

Л

i -1

L-1

2 < i < N.

Мг -1 ^Уг-\Ъг-1 .

Запишем теперь граничные условия для первых двух слоёв:

1. А = 02;

Г2 -(£>з - АС^ ),

2,— yD2 _ —

Mi «2 shY2b2

отсюда D2

(L + L cthY2 b2 ^

Mi L

Y2

M2shT2b:

-D3, или

D3 _ D2

M2 shY2b2

Y2

iL + ZL cthY2b2 Mi M2

Для последних двух слоёв из граничных условий следует:

2. JL(+1сИумЪм - Вм ) = -^Вм+1.

^гЛ +1

Перепишем это уравнение в следующем виде:

1 ^ (0 с1„„ Ъ 0 ) ,.^N±1

Мы+1

F(n) _

(DN+ichYNbN -DnDN+1 _0.

М^ shYNЪN

Определим коэффициенты 0г, используя рекуррентные соотношения (6) и (4). Подставляем значения коэффициентов DN и 0тх в условие (7), получаем таким образом уравнение относительно п. Корни этого уравнения являются коэффициентами замедления собственных волн многослойного планарного диэлектрического волновода.

Для Е-волны с компонентами Н = (0, Н, 0); Е = (Ех, 0, Ег) воспользуемся принципом перестановочной двойственности, т.е. произведем в выражениях (5)-(7) для ^-поляризованной волны (Е-волны) замену Н ^ Е, Е ^ -Н, е ^ ц:

D _ eishYibi

un+1 -

Yi

- D

Yi-1

( f. Di

V Vе* 1

i -1

D3 _ D2

е-i shY-ibi-i е2 shY2b2

Y2

cthYibi +—cthYi-\bi-i е-i

, 2 < i < N;

у

Y + Z1 cthY2b2 Ve1 е2

р{п) = — Чтт-

Метод эффективной диэлектрической проницаемости

Для расчёта диэлектрического волновода сложного сечения методом ЭДП [5] представим его в виде обобщённой экранированной диэлектрической структуры, состоящей из N горизонтальных слоёв, каждый из которых состоит из М кусков однородного диэлектрика (рис. 2б).

Диэлектрическая проницаемость т-го куска в п-м слое равна етп, магнитная проницаемость здесь и далее принята равной единице. Постоянные распространения исходной структуры приравниваются к постоянным распространения М-слойного планарного волновода с толщинами слоёв Ьт и проницаемостями ет = к^/ к2, кт - постоянная распространения ^слойного волновода со слоями толщиной ап и проницаемостями етп.

Анализ результатов

Перед исследованием характеристик поляритонного щелевого волновода рассмотрим планарную структуру, в которой пространство между двумя слоями металла (меди) заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е1 (рис. 2а при N = 2 е1 = 1, е1 = е3 = ем [4], Ь2 = Ь). Зависимости действительной и мнимой частей коэффициента замедления п = п' -]п" от толщины воздушного слоя представлены на рис. 3 (п' - сплошные линии, п" - пунктирные).

Рис. 3. Кривые: 1 — Е-волна, X = 550 нм; 2 — Н-волна, X = 550 нм;

3 — Е-волна, X = 1000 нм; 4 — Н-волна, X = 1000 нм

Как видно, при распространении Н-волны потери велики, в то время как для Е-волны потери сравнительно малы. При длине волны 1000 нм потери заметно меньше, чем для длины волны 500 нм. С уменьшением Ь потери растут. Реальная часть коэффициента замедления Е-волны мало меняется при изменении длины волны. Коэффициент замедления увеличивается с уменьшением толщины зазора Ь.

На рис. 4 представлены аналогичные результаты, но в качестве металла использовалось серебро (сплошные линии - п', штриховые линии - п").

Видно, что картина полностью аналогична случаю меди с той разницей, что уровень потерь для Е-волн несколько меньше.

Для поиска коэффициентов замедления щелевого волновода воспользуемся методом ЭДП. Разобьём поляритонный щелевой волновод на 3 части, как показано на рис. 1б, и применим рассмотренный выше метод ЭДП.

Рис. 4. Кривые: 1 — Е-волна, X = 1000 нм; 2 — Е-волна, X = 550 нм; 3 — Н-волна, X = 550 нм; 4 — Н-волна, X = 1000 нм

На рис. 5а представлены дисперсионные зависимости Е-волны для меди при а = 75 нм и Ь = 200 нм, а на рис. 5б - для серебра. Видно, что в диапазоне X = 700-1300 нм потери сравнительно малы, а для длин волн < 700 нм происходит резкий рост потерь.

1

530

730

930

ИЗО

'. нм

550

750

950

1150

Л. ИМ

530

730

930

б

1130

Л. IIM

Рис. 5. Кривые: 1 — w = 300 нм; 2 — w = 200 нм; 3 — w = 100 нм

а

Следует отметить, что для серебряного волновода уровень потерь минимален в диапазоне длин волн 750-1150 нм. В этом диапазоне потери в 2-3 раза меньше, чем для медного волновода.

Далее рассмотрим металлическую плёнку, погружённую в однородную диэлектрическую среду (рис. 2а при N = 2 е2 = ем, е1 = е3, Ь2 = 0. В связи с более высоким уровнем потерь при использовании меди, мы приводим результаты только для серебряного нанопровода прямоугольного сечения. Для этой структуры был произведён расчёт зависимости коэффициента замедления от толщины слоя серебра t (рис. 6 при V = да) при X = 1550 нм, е2 = -125,735 -} • 3,233, е = 12,25.

В исследуемом диапазоне толщин обнаружены только £-волны. Как видно, имеется мода с весьма низкими потерями на малых толщинах.

Затем рассмотрим плёнку конечной ширины V (металлический нано-провод, погружённый в однородный диэлектрик (рис. 1а)) [2]. Этот волновод был рассчитан методом ЭДП. Результаты представлены на рис. 6 (при V = 1000 нм).

4.3

4:2

4,1

4.0

3,9

3,8

3,7

3.6

3,5

(, нм

0 20 40 60 ВО 100 120

п"

0,10000т-

0,01000----Г"""*--- -------

0,00100

0.00010

0.00001

1, нм

О 20 40 60 80 100 120

Рис. 6. Кривые: 1 — мода 1, V = т; 2 — мода 2, V = т; 3 — мода 1, V = 1000 нм; 4 — мода 2, V = 1000 нм; 5 — мода 3, V = 1000 нм

Можно увидеть, что в таком волноводе распространяются несколько £-волн, ^-волн в этом диапазоне толщин не обнаружено. Имеется мода с

;' " " ^ ^ -  С-« ! -  ! 5

V/ *

' j' t /

i

низкими потерями. Сравнивая значения коэффициента замедления этой моды для провода и бесконечной плёнки, можно заметить, что потери в случае конечной ширины V оказываются меньше, чем для V = да. Сравнение с результатами [2] показывает, что метод ЭДП даёт практически такую же точность, что и сеточный метод, использованный в [2], но с выигрышем в скорости расчёта.

На рис. 7 представлены дисперсионные характеристики для моды с малыми потерями при различных толщинах t и различных значениях ширины V.

Рис. 7. Кривые: 1 — t = 1 нм, V = 1000 нм; 2 — t = 10 нм, V = 100 нм;

3 — t = 10 нм, V = 300 нм; 4 — t = 10 нм, V = 1000 нм;

5 — t = 30 нм, V = 300 нм; 6 — t = 30 нм, V = 1000 нм;

7 — t = 75 нм, V = 500 нм; 8 — t = 75 нм, V = 1000 нм; 9 — t = 15 нм, V = 100 нм

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что использование нанопроводов с толщиной более 10 нм целесообразно в инфракрасном диапазоне, так как с изменением длины волны в сторону оптического диапазона потери возрастают. Установлено, что во всём диапазоне длин волн уменьшение толщины нанопровода сопровождается уменьшением потерь, зависящих от уменьшения ширины. В то же время существует ограничение по толщине - для значения t = 1 нм возможно распространение волны с малыми потерями только в оптическом диапазоне.

Литература

1. Альтшулер Е.Ю., Кац Л.И., Попов В.В. Поверхностные волны в полупроводниковых структурах и их применение в технике СВЧ. М., 1983.

2. Samir J. Al-Bader. // J. of Quantum Electronics. 2004. Vol. 40. № 3. March.

3. Tanaka K., Tanaka M., Sugiyama T. 3D Simulations of Nanometric Integrated Optical Circuits Using Surface Plasmon Polariton Gap Waveguide. MMET-04, Sept.14-17, 2004.

4. http://www.luxpop.com

5. Ямошита К. // IEEE. Trans, МТТ. 1980. Vol. 28. № 9. С. 986.

Ростовский государственный университет 21 ноября 2005 г.

УДК 551.521.3

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН СФЕРИЧЕСКИМИ МНОГОСЛОЙНЫМИ АЭРОЗОЛЬНЫМИ ЧАСТИЦАМИ

© 2006 г. И.В. Калиенко, Ю.С. Расщепляев, Д.А. Безуглов

Дистанционное зондирование атмосферных аэрозольных образований играет важную роль в сборе данных об атмосфере Земли. Обычно его результаты интерпретируются на основе теории Ми, разработанной для однородного изотропного шара [1-3]. Однако большинство атмосферных аэрозолей имеют сложный химический состав [4] и для них теория Ми неприменима.

В работе [4] дано обобщение теории Ми, и получены явные выражения для коэффициентов Ми ряда рассеяния ап и Ьп для неоднородных многослойных частиц, обладающих сферической симметрией:

ап = (Жп (аЬ ) \у'п (тЬаЬ ) - АЬ-1*4 ( аЬ )] -

ьаь ) АЬ-1 щ (пь а )])/(& (а )\у" а )-

-АЬ-1^п (тЬаЬ )] - тМ^п (аЬ ))Жп (тЬаЬ ) - АЬг-11 (аЬ )) :

Ьп = (тьЖп (аь )\ж (тьаь )-(тьаь )]-

-Ж'п (аь )\уп (тьаь ) -вь(тьаь )])/(тм^п (аь)\уп (тьаь ) -

-ВЬ-1^ (тьаь )] - (аь ) \ж (тьаь ) - ВЬ(тьаь )]) -где

тк+Жп (тк+\ак Ж (ткак )-ткЖп (тк+1ак )Жп (ткак )+ А1=\а1 .

Akn =

mk+1n (mk+1ak Ж (mkak )-mk<A (mk+1ak )n (mkak ) + Ak"-1 ak

n