Моделирование усталостного изнашивания тел с покрытиями при фрикционном нагружении

УДК 539.3

Моделирование усталостного изнашивания тел с покрытиями при фрикционном нагружении

Е.В. Торская

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

В работе предложена модель разрушения тела с покрытием по контактно-усталостному механизму, реализуемому в процессе многоциклового фрикционного нагружения периодической системой инденторов. Исследуется влияние изнашивания, имеющего природу, отличную от усталостной, на процесс накопления поврежденности в покрытии и подложке. Показано, что в этом случае уменьшается скорость накопления повреждений в покрытии, но эта скорость на границе раздела покрытия с подложкой не меняется либо увеличивается. Сравнение результатов для постоянного и стохастически меняющегося во времени распределения давления показало, что переменный характер нагружения приводит к увеличению числа актов отделения слоев конечной толщины, а также к замедлению процесса накопления контактно-усталостных повреждений на границе раздела.

Ключевые слова: двухслойное упругое полупространство, контактная задача, периодическая задача, трение, контактно-усталостное разрушение, стохастический характер нагружения

Modeling of fatigue damage of coated bodies under frictional loading

E.V. Torskaya

Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia

A model of contact fatigue damage of a coated body under high-cycle friction performed using a periodic system of indenters has been proposed. The influence of wear of non-fatigue origin on damage accumulation in the coating and substrate is studied. It is shown that the rate of damage accumulation in the coating decreases but remains unchanged or increases at the coating - substrate interface. Comparison of results for a constant and stochastically time-varying pressure distribution shows that variable loading increases the number of detachments of finite-thickness layers and retards contact fatigue damage accumulation at the interface.

Keywords: two-layered elastic half-space, contact problem, periodic problem, friction, contact fatigue damage, stochastic loading

1. Введение

Контактно-усталостный механизм разрушения поверхностных слоев материала (усталостное изнашивание) за счет дискретности контакта, обусловленной шероховатостью, имеет место в большинстве случаев циклического фрикционного нагружения. Это связано с тем, что вблизи пятен фактического контакта шероховатых тел имеет место высокая концентрация напряжений, а вследствие миграции пятен фактического контакта при относительных перемещениях поверхностей происходит циклическое изменение полей напряжений в приповерхностном слое. Экспериментально установлено [1], что при усталостном изнашивании частицы отделяются от поверхности в дискретные моменты времени и размер частицы сравним с диаметром единичного пятна контакта. Усталостный износ преимуществен-

но имеет место при упругом характере контактирования. В то же время он является сопутствующим при других видах износа (например при адгезионном и абразивном изнашивании). Этот механизм разрушения может быть доминирующим, может конкурировать с другими механизмами изнашивания, в некоторых случаях его влияние может быть пренебрежимо малым.

Общий подход к моделированию контактно-усталостного разрушения, обусловленного шероховатостью, изложен в [2, 3]. Этот подход основан на построении функции поврежденности поверхностных слоев материалов, зависящей от амплитудных значений напряжений в каждой точке; накопление контактно-усталостной поврежденности приводит к массовому отделению частиц малого размера (усталостному изнашиванию). В случае когда накопление контактно-усталостных по-

© Торская Е.В., 2016

вреждении не является единственным механизмом разрушения поверхностных слоев материалов, но имеет место также изнашивание (адгезионное, абразивное и прочее), необходимо учитывать этот фактор при исследовании процесса накопления повреждении. В работах [4, 5] приведены результаты расчетов, анализ которых позволяет сделать вывод, что наличие поверхностного изнашивания для однородных упругих тел приводит либо к тому, что повреждения не успевают накапливаться, либо к замедлению процесса накопления повреждении. Еще одним важным фактором, характеризующим трение шероховатых поверхностей, является изменение амплитудных значении нагрузки, деИствую-щеи на неровность в рассматриваемои точке поверхности, что связано с распределением по высоте неров-ностеИ, волнистостью поверхности, переменным характером нагружения и т.д. Влияние переменного характера нагружения на кинетику усталостного изнашивания для однородных упругих тел было исследовано в работе [3], в котороИ вводилась зависимость нагрузки от времени и были получены результаты, коррелирующие с экспериментальными.

В случае фрикционного нагружения тел с покрытиями усталостное изнашивание является характерным типом разрушения твердых антифрикционных покрытии [6, 7]. Исследование, представленное в даннои работе, является продолжением изучения усталостного изнашивания тел с покрытиями, начатого в работах [8, 9], где на основе моделирования была рассмотрена кинетика изменения толщины покрытия. Целью работы является изучение влияния изнашивания, имеющего природу, отличную от усталостнои, на процесс накопления контактно-усталостных повреждении в покрытии и подложке, а также исследование кинетики изнашивания при изменении амплитудных значении нагрузки.

2. Алгоритм исследования

Для моделирования разрушения верхнего слоя, подвергнутого периодическому воздеиствию, предложен следующии алгоритм исследования:

1) расчет контактных давлении в задаче множественного контакта для двухслоиного упругого полупространства;

2) расчет внутренних напряжении с учетом сил трения для множественного контакта;

3) выбор функции, связывающеи скорость накопления поврежденности с напряженным состоянием упругого слоя;

4) расчет поврежденности;

5) исследование кинетики разрушения.

Первые два пункта не зависят от времени, результат расчета напряженного состояния зависит от следующих параметров: модулеи упругости и коэффициентов Пуассона покрытия и подложки, толщины покрытия, пара-

метров, характеризующих геометрию контртела, и нагрузки. Если исследуется стохастическии характер на-гружения, то необходимым параметром также является диапазон изменения нагрузки.

Расчет поврежденности и кинетики разрушения предполагает исследование процессов, зависящих от времени, изменяющегося во времени напряженного состояния и прочностных характеристик материала покрытия. При наличии изнашивания, имеющего природу, отличную от усталостнои, надо знать скорость линеи-ного изнашивания, обусловленного этими механизмами.

3. Постановка и метод решения контактной задачи, расчет напряжений

В качестве модели шероховатои поверхности рассматривается периодическая система сферических ин-денторов с радиусом Я, расположенных в узлах гекса-гональнои решетки с периодом I. Система инденторов двигается с постояннои скоростью по границе двухслоиного упругого полупространства (рис. 1). Направление движения совпадает с направлением оси Ох. На систему деиствуют средние по периоду давление рп и касательные напряжения тп, уравновешивающие тангенциальные напряжения, деиствующие на площадках контакта, которые связаны между собои законом Кулона-Амонтона, т.е. тп = 1рп, где ¡1 — коэффициент трения скольжения.

При решении контактнои задачи предполагалось, что влиянием поверхностных касательных напряжении, обусловленных трением, на нормальные напряжения и перемещения можно пренебречь.

Соотношение между нагрузкои Р, деиствующеи на каждьш индентор, и номинальным давлением рп зависит от геометрии системы и для гексогональнои решетки определяется соотношением Р = (>/з/ 2) рп 12.

На границе раздела упругого покрытия с подложкои выполняются условия полного сцепления:

Рис. 1. Схема фрикционного контакта периодическои системы инденторов и двухслоиного упругого полупространства

п = V(1) = V(2) V =

п п , v х и х , V у и у ,

„

Здесь „г), тХг?, тУ], п(,), VX), VУ) — напряжения и перемещения упругого слоя (г' = 1) и упругого полупространства (г' = 2).

Граничные условия на верхней границе слоя ^ = = г', г = 0 в начальный момент времени), записанные в полярной системе координат (г, 6), имеют вид: w(r) = /(г) + 8, 0 < г < а,

„г4 = 0, а < г < R1,

(1) =

= -Рп> < г < тс>

т^ =т61) = 0,0 < г <~,

где/(г) — форма индентора; 8 — смещение индентора вдоль оси Oz; а — радиус области контакта на произвольно выбранном пятне контакта ю,. На основании принципа локализации [3 ] при определении распределения давления под произвольным индентором, т.е. в области контакта г < а, действие других инденторов на упругое основание можно заменить действием осред-ненного (номинального) давления рс, распределенного в области г > (рис. 1). Для гексагональной решетки = 0.525/.

Уравнение равновесия для единичного индентора имеет вид

а 2п

р = Л р8

0 0

где р8(г) — контактное давление, распределенное в каждом пятне контакта ю, (р8(г) = -„г(г), гею,).

Решение осесимметричной контактной задачи для двухслойного упругого полупространства с граничными условиями (1)—(3) строится методом, изложенным в [10]. Решение контактной задачи состоит из двух этапов. Первый этап — определение формы g(r) деформированной поверхности свободной от нагрузки круговой области 0 < г < при действии вне ее в области < г < +тс давления рп. На втором этапе полученная функция g(г) используется при формулировке условий сопряжения индентора с верхней границей упругого слоя. Соотношение для нормальных перемещений под индентором принимает вид

Чг) =

Представление правой части в виде разности функций исключает из рассмотрения неизвестную постоянную 8 в соотношениях (2).

Задача решается с помощью метода, основанного на интегральных преобразованиях Ханкеля, позволяющих получить перемещения поверхности при заданном распределении нагрузки на поверхность, используется метод граничных элементов, для определения неизвестного радиуса области контакта используется условие равенства нулю давления на границе области контакта

и применяется итерационная процедура. Подробно метод решения осесимметричной контактной задачи с пригрузкой для штампа произвольной формы и двухслойного упругого полупространства представлен в [11].

Напряжения внутри упругого слоя находились из следующих условий фрикционного контакта на верхней границе слоя ^ = z'), заданных в напряжениях:

„г(1) (х, У) = Рз(х, у), тХг = Рз (х, у),(X, у)е ю,.,

„ = 0, тхг = 0,

ту = 0, - тс < х, у < тс.

На нижней границе слоя ^ = Н) граничные условия имеют вид (1).

Задача с граничными условиями (1), (5) сводится к определению внутренних напряжений от постоянной распределенной нагрузки и решается с помощью метода, основанного на двойных интегральных преобразованиях Фурье [12]. Для исследования вклада в напряженное состояние слоя внутри одного периода касательных сил, действующих на всех пятнах контакта, использовался подход, основанный на принципе локализации и принципе суперпозиции. Особенности решения пространственной задачи определения напряжений при исследовании фрикционного контакта подробно изложены в работах [9, 13].

Расчет распределения напряжений в упругом слое и упругом полупространстве позволяет определить максимальные амплитудные значения напряжений вдоль оси Ох, которая совпадает с направлением скольжения системы инденторов. Предполагалось, что максимальные амплитудные значения имеют место в плоскости, проходящей через геометрический центр области контакта (хс, ус). Была получена функция Ат1 (г, Н - г'^), рп ^)), которая определяет максимальные амплитудные значения максимальных касательных напряжений, не зависит от координат х, у и изменяется с уменьшением толщины покрытия при разрушении, а также с изменением нагрузки на период рп при стохастическом характере нагружения.

4. Моделирование процесса накопления поврежденности в покрытии

При построении модели контактно-усталостного разрушения поверхности используется макроскопический подход [14, 15], т.е. определяется положительная неубывающая во времени функция Q(M, {), характеризующая меру повреждения материала в точке М(х, у, z) и зависящая от амплитудных значений напряжений в данной точке. Используется модель линейного суммирования повреждений, разрушение наступает в момент времени t*, когда функция поврежденности достигнет заданного порогового значения.

Также полагалось, что скорость дQ(х, у, г, ())дt накопления усталостных повреждений связана с амплитудным значением Дт1 максимальных касательных напряжений в произвольной точке полупространства зависимостью [8]

д<0

Ot

В силу периодичности рассматриваемой здесь задачи функция поврежденности не зависит от координат х и у и является функцией только координаты z и времени ^ которое можно выразить через число циклов N т.е.

Q = Q(z, Я).

На основании (6) можно рассчитать поврежденность Q(z, Щ, накопившуюся в произвольной фиксируемой точке z в течение N циклов, используя следующее соотношение:

0 (г, N) = I дп (г, п)дп + 00 (г),

где 00(г) — распределение начальной поврежденности в материале; дп (г, п) — скорость накопления поврежденности, не зависящая от координат х, у.

Разрушение наступит тогда, когда поврежденность в некоторой точке достигает критической величины. В нормированной системе отсчета это условие можно записать в виде

0

где N — количество циклов до разрушения.

Ввиду необходимости для расчетов дискретизации непрерывного во времени процесса накопления поврежденности, для каждого из выбранных значений рп^) на основе расчетов функции Дт1(г,Н - ¿(г),рп^)) формируется матрица вида

Дт1 Дт!

.

Дт!

0

Дт

,

Дт

0 0 0 0

,

где NN — число точек на отрезке от 0 до Н (начальная толщина покрытия), которое определяет, в каких точках рассчитываются перепад максимальных касательных напряжений и функция поврежденности. Первый столбец матрицы определяет перепад максимальных касательных напряжений в покрытии начальной толщины. Последний столбец, содержащий единственный элемент, получен для случая покрытия, изношенного до минимально возможной толщины H|NN. Количество матриц определяется шагом дискретного изменения давления и выбранным диапазоном рп.

Важным является вопрос о функции 2(1), определяющей смещение границы поверхности за счет изнашивания. Запишем ее в следующем виде:

г'Ц) = Vxt + ДН

Здесь У1 — скорость изнашивания, не имеющего усталостную природу. В случае ¥1 = 0 смещение границы обеспечивается только отделением материала вследствие накопления контактно-усталостной поврежден-ности ДЯ^).

5. Результаты расчетов накопления контактно-усталостной поврежденности при изменяющемся номинальном давлении

Было проведено исследование кинетики устало ст-ного изнашивания двухслойного упругого полупространства периодической системой сферических инден-торов, расположенных в узлах гексагональной решетки. Скорость изнашивания, не имеющего усталостную природу, полагалась равной нулю. В случае малых деформаций форма индентора описывается функцией f(г) = = г2/(2R), где R — радиус индентора. Рассматривались колебания номинального давления рп в пределах ±80 и ±40 %, расчеты перепада максимальных касательных напряжений проводились с шагом 0.1 от среднего номинального давления рп. Выбор одной из матриц типа (9), в которой ненулевые значения зависят от некоторого фиксированного значения рп , проводился с помощью генератора случайных чисел. Пример распределения во времени безразмерного номинального давления рп / Е1, меняющегося в пределах ±80 % от среднего значения, представлен на рис. 2.

Напряженное состояние покрытия зависит от следующих безразмерных параметров: % = Е1/ Е2 — относительная жесткость покрытия, Х = — относительная толщина покрытия, ^I — относительный радиус индентора, ц — коэффициент трения. Как следует из (6), поврежденность зависит от показателя степени т и множителя с. Поскольку амплитудные значения максимальных касательных напряжений являются функциями расстояния от поверхности слоя, можно исключить из рассмотрения множитель с, если рассматривать временные отрезки относительно N — числа циклов до первого разрушения. Тогда показатель степени т остается единственным параметром, определяющим вид функции поврежденности.

Рис. 2. Пример случайного процесса изменения номинального давления при фрикционном контакте

Рис. 3. Распределение иовреждениости в покрытии при постоянном (а) [8] и случайном (б) характере распределения номинального давления; число циклов: а — п/У = 1 (1), 1.298 (2), 1.611 (3), 1.902 (4), 2.209 (5), 2.612 (6); б — п/У = 1 (1 ), 1.310 (2), 1.805 (3), 2.178 (4), 2.455 (5), 2.944 (6), т = 2, х = 2, Рп/Е1 = 0.001, у1 = у2 = 0.3, Х = 0.3, ц = 0.3, Я/1 = 8

Распределение поврежденности по толщине упругого слоя в разные моменты времени представлено на рис. 3 для случаев постоянного т = 2 (рис. 3, а) и стохастического с амплитудой ±80 % от среднего значения (рис. 3, б) номинального давления. Рисунок 3, а был получен ранее [8] и используется здесь в целях сравнения результатов. Параметр N , который используется для получения безразмерного числа циклов, соответствует первому акту подповерхностного разрушения в случае постоянного номинального давления; новая толщина слоя составляет 0.84 от первоначальной. В дальнейшем функция поврежденности при п > N всегда имеет два максимума — главный максимум на поверхности и постоянно увеличивающийся локальный максимум на границе раздела слоя и основания. Таким образом, имеет место поверхностное изнашивание и отслаивание покрытия при достижении функцией поврежденности критического значения на границе раздела.

Переменный характер нагружения (рис. 3, а) приводит к появлению трех актов отделения слоев конечной толщины вместо одного, далее имеет место только поверхностное изнашивание. Для рассмотренного количества циклов разрушение на границе раздела не наступило, следовательно, имеет место замедление процесса накопления контактно-усталостных повреждений на границе раздела. Толщина первого отделяемого слоя конечной толщины меньше в случае случайно меняющегося номинального давления. Максимумы функции поврежденности в слое и на границе раздела слоя и полупространства являются более размытыми.

Различия между результатами, представленными на рис. 3, определяются амплитудой изменения номинального давления. Сравнение кинетики изменения толщины слоя при разных значениях амплитуды номинального давления можно провести по кривым на рис. 4. Кривые 1 и 2 получены для тех же параметров, что и на рис. 3, а и б соответственно. Можно заметить, что про-

межуточное значение амплитуды (±40 % для кривой 3) приводит и к промежуточным результатам с точки зрения кинетики разрушения: в этом случае имеются два акта подповерхностного разрушения, а скорость поверхностного изнашивания после последнего акта разрушения мало отличается от этой величины в случае постоянного значения номинального давления.

6. Исследование контактно-усталостного изнашивания при наличии изнашивания, не имеющего усталостную природу

В предыдущем разделе проводился анализ кинетики контактно-усталостного изнашивания в предположении, что этот механизм изнашивания является единственным либо доминирующим настолько, что другими процессами, происходящими на поверхности, можно пренебречь. Этим частично объяснялся выбор для исследования относительно жесткого покрытия. В случае относительно податливых покрытий усталостное изнашивание, как правило, сопровождается другими типами

(н—г'ун 1.00.80.60.40.20.0-1----1

0 1 2 МТУ*

Рис. 4. Кинетика изменения толщины слоя при постоянном характере распределения номинального давления (1 ) и случайном характере с амплитудой ± 80 (2) и ±40 % (3); т = 2, Х = 2, рп/Е1 = 0.001, у1 =у2 = 0.3, X = 0.3, ц= 0.3, Я/1 = 8

Рис. 5. Распределение поврежденности в покрытии и подложке при V = 0 (а) и 0.012 (б); число циклов: а — п/N = 1 (1), 1.14 (2), 1.46 (3), 1.74 (4), 2.03 (5), 2.30 (6), 2.78 (7); б — п/N = 0.48 (1), 0.96 (2), 1.02 (3), 1.39 (4), 1.83 (5), 2.25 (6), 2.68 (7); т = 2, т = 1.1, Х = 0.43, рп/Е1 = 0.00094, у1 =у2 = 0.3, А = 0.12, ц = 0.1, = 0.195

поверхностного разрушения материала, скорость которого в (10) обозначена как У1. Для определенности при расчетах будем считать ее постоянной. Также будем полагать, что на периодическую систему инденторов действует постоянное номинальное давление рп. Анализ максимальных касательных напряжений, проведенный в [11] для относительно податливых покрытий, показал, что в этом случае напряжения на границе раздела покрытия с подложкой могут быть больше в материале подложки. В связи с этим необходимо рассматривать процесс накопления контактно-усталостных повреждений не только в покрытии, но и в подложке. В этом случае повышается количество входных параметров в задаче за счет добавления параметров т' и с , соответствующих аналогу соотношения (6) для материала подложки. Кроме того, вводится безразмерная скорость изнашивания, не имеющего усталостную природу: V' = У^ */1. Здесь N * — число циклов до первого акта отслаивания при V = 0.

На рис. 5 приведены распределения функции по-врежденности в покрытии и подложке на разных стадиях процесса накопления при V' = 0 (рис. 5, а) и V' = = 0.012 (рис. 5, б). В случае, представленном на рис. 5, а, функция поврежденности достигает максимально возможного значения, соответствующего разрушению на расстоянии 0.15Н от поверхности. Происходит резкое изменение толщины слоя. Поврежденность на новой поверхности также имеет предельное значение, поэтому с каждым новым циклом уменьшается толщина слоя, т.е. имеет место изнашивание, обусловленное накоплением контактно-усталостных повреждений. Одновременно с этим происходит накопление поврежденности в области локального максимума напряжений — на границе раздела покрытия и основного материала, но

со стороны подложки. Когда в этой области поврежденность достигает предела, происходит отслаивание покрытия.

В расчетах, результаты которых приведены на рис. 5, б, учитывалось смещение границы пленки из-за изнашивания, не имеющего усталостную природу. Кривые 1 и 2 получены для относительно малого числа циклов, когда функция поврежденности не достигает порогового значения, но есть смещение поверхности, обусловленное износом. В отличие от результатов, приведенных на рис. 5, а, нет мгновенного изменения толщины пленки на глубине 0.15Я, но скорость изнашивания здесь резко возрастает, а затем опять падает. Более быстрое уменьшение толщины покрытия приводит к ускорению полного отслаивания на границе раздела. Следует отметить, что при повышении скорости изнашивания до определенных значений (при рассматривае-

СH-z')/H

0.8-

0.6-

0.40.2-

o.oJ---Щ

0 1 2 N/N

Рис. 6. Кинетика изменения толщины слоя при V' = 0 (1) и 0.012 (2), m = 2, m = 1.1, Х = 0.43, pjEx = 0.00094, v1 =v 2 = = 0.3, X = 0.12, ц = 0.1, Rl = 0.195

мых значениях параметров достаточно, чтобы она была увеличена в 3 раза) поврежденность внутри покрытия не успевает накапливаться и процессы разрушения в материале слоя не реализуются, что не предотвращает его отслаивание.

Количественно влияние дополнительного механизма разрушения поверхностных слоев покрытия на кинетику изменения толщины слоя показано на рис. 6. Следует отметить, что скорость изнашивания при ненулевом значении V' (кривая 2) не может быть получена как прямое суммирование скоростей изнашивания V' и скорости изнашивания, обусловленной только контактно-усталостным механизмом (кривая 1).

7. Выводы

В данной работе построена модель и исследована кинетика накопления контактно-усталостных повреждений в покрытии и подложке за счет циклического фрикционного нагружения периодической системой неровностей. В модели учитываются дополнительные факторы, присущие фрикционному нагружению, — его переменный характер на микроуровне, а также сопутствующее адгезионное либо абразивное изнашивание. Моделируется изменение толщины покрытия за счет усталостного изнашивания, причем рассматриваемый механизм лежит в основе трех процессов: отделение слоев конечной толщины, изнашивание покрытий, отделение покрытия от подложки. Показано, что кинетика изнашивания существенно зависит от характера приложенной нагрузки — исследуются случаи постоянного и стохастического распределения номинального давления для рассматриваемой периодической системы инден-торов.

Анализ влияния поверхностного изнашивания, имеющего механизм, отличный от усталостного, на процесс накопления контактно-усталостных повреждений позволил сделать вывод, что изнашивание тормозит процесс накопления поврежденности в покрытии, но при этом ускоряет этот процесс вблизи границы раздела.

Данная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 14-01-00372_а) и при частичной поддержке Leverhulme Trust (проект Carbtrib).

Литература

1. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалое В.С. Основы расчетов

на трение и износ. - М.: Машиностроение, 1977. - 576 с.

2. Горячееа И.Г., Чекина О.Г. Изнашивание поверхностей: от модели-

рования микроразрушения к анализу формоизменения // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - C. 131-147.

3. Горячееа И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. - М.: Наука, 2001. - 478 с.

4. Торская Е.В., Сошенкое С.Н. Влияние износа на процесс накопления контактно-усталостной поврежденности в системе колесо-рельс // Трение и износ. - 2006. - Т. 27. - № 4. - С. 378-387.

5. Goryacheva I.G., Soshenkov S.N., Torskaya E.V. Modelling of wear and fatigue defect formation in wheel-rail contact // Vehicle Syst. Dyn. - 2013. - V. 51. - No. 6. - P. 767-783.

6. Stewart S., Ahmed R. Rolling contact fatigue of surface coatings— Areview // Wear. - 2002. - V. 253. - No. 11-12. - P. 1132-1144.

7. Zhong-yu P., Bin-shi X., Hai-dou W., Dong-hui W. Investigation of RCF failure prewarning of Fe-based coating by online monitoring // Tribol. Int. - 2014. - V. 72. - P. 156-160.

8. Горячееа И.Г., Торская Е.В. Моделирование контактно-усталостного разрушения двухслойного основания // Изв. РАН. МТТ. -2008. - № 3. - C. 426-436.

9. Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Modeling of fatigue wear of a two-layered elastic half-space in contact with periodic system of indenters // Wear. - 2010. - V. 286. - No. 11-12. - P. 1417-1422.

10. Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Stress and fracture analysis in periodic contact problem for coated bodies // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 2003. - V. 26. - No. 4. - P. 343-348.

11. Torskaya E. V., Goryacheva I.G. The effect of interface imperfection and external loading on the axisymmetric contact with a coated solid // Wear. - 2003. - V. 254. - P. 538-545.

12. Никишин В.С., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. - М.: ВЦ АН СССР, 1970. -260 с.

13. Торская Е.В. Исследование влияния трения на напряженное состояние тел с покрытиями // Трение и износ. - 2002. - Т. 23. -№ 2. - С. 130-138.

14. Ионое В.Н., Огибалое П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. - М.: Высшая школа, 1972. - 752 с.

15. Коллинз Д. Повреждения материалов в конструкциях: Анализ, предсказание, предотвращение. - М.: Мир, 1984. - 624 с.

Поступила в редакцию 01.12.2015 г.

Сеедения об аеторе

Торская Елена Владимировна, д.ф.-м.н., снс ИПМех РАН, torskaya@mail.ru