Синтез цифровых акселерометров на основе теории непрерывно-дискретных систем

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 531.768

В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин

СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Аннотация. На основе теории непрерывно-дискретных систем предложен метод синтеза цифровых акселерометров с неоднородной природой физических величин. Проводится моделирование и исследование синтезированных структур с использованием системы Matlab.

Ключевые слова: непрерывно-дискретная система, аналого-цифровой преобразователь, цифроаналоговый преобразователь, амплитудно-частотная характеристика.

Abstract. The method of the synthesis of digital accelerometers with heterogeneous nature of physical quantities is proposed on the basis of the theory of analog-digital systems. Is conducted simulation and study of the synthesized structures with the use of a system of Matlab.

Keywords: analog-digital system, analog-digital converter, digital-analog converter, amplitude-frequency characteristic.

Введение

Многообразие возможных систем порождается сочетанием множества параметров, характеризующих как структуру в целом, так и отдельные ее звенья. К структуре в целом относятся такие параметры, как конфигурация системы (варианты объединения отдельных контуров), количество контуров, порядок системы, точки входа и выхода, соотношение частоты дискретизации к тем или иным временным параметрам звеньев (например, к постоянным времени интеграторов). Отдельные непрерывные звенья системы могут отличаться видом их передаточной функции. Очень часто в качестве таковых рассматривают только интегрирующие звенья, потому что они являются главными компонентами подкласса интегрирующих АЦП и ^Д-АЦП и относятся к числу наиболее просто и точно реализуемых динамических звеньев. Однако методы топологических преобразований и теория непрерывно-дискретных систем позволяют синтезировать более сложные динамические звенья и структуры в целом, имеющие неоднородные сигналы.

Синтез замкнутых структур непрерывно-дискретных систем

Процесс синтеза замкнутых структур непрерывно-дискретных систем (НДС), реализующих заданную частотную характеристику, начинается с этапа синтеза весовой функции (ВФ) [1] (например, по заданным требованиям

к амплитудно-частотной характеристике - АЧХ), по которой прямым преобразованием Лапласа получают необходимую передаточную функцию

H(p, ер). По полученной передаточной функции производится синтез разомкнутой структуры, которая в общем виде представлена на рис. 1, где H (p, ер) представлена последовательным соединением непрерывной части

H(p) и дискретной части H (z), причем оператор сдвига ep в непрерывной части соответствует оператору сдвига z в дискретной части.

Рис. 1

Непрерывная часть структуры может иметь произвольную передаточную функцию, которая при представлении в мультипликативной форме будет характеризоваться нулями и полюсами:

H (р) =

П (Р - Рк ) к___________________

П

где Рк - нули; рт - полюса передаточной функции Н (р) .

Поскольку коэффициенты передаточной функции не могут быть комплексными числами, то нули и полюса должны быть только действительными или комплексно-сопряженными числами. Таким образом, передаточную функцию можно представить в виде произведения звеньев первого и второго порядков, которые соответствуют действительным и комплексносопряженным полюсам:

Н (Р) =

П

т

где Цу - действительные числа; аг- ± /Рг- - комплексно-сопряженные числа; к < т, I < п .

В структуре на рис. 1 передаточная функция Н(z) дискретной части полностью определяется видом Н(р) , поскольку ее параметры рассчитываются исходя из условия реализации финитной ВФ и однозначно определяются полюсами передаточной функции Н (р) :

Н (z)=П(z -1+^ )П(z -2+^-1+гп),

где dm = -еЦт , дп = -2ео8(Рп)е“п , гп = е2“п .

Числитель формулы (2) не влияет на передаточную функцию дискретной части, т.к. определяет связи входа со звеньями прямой цепи преобразования НДС. Строгое математическое обоснование этой связи полюсов Н (р) и нулей Н (z) было дано в работе [2].

Следует заметить, что на практике динамические свойства синтезируемой системы могут быть заданы не только в виде ВФ, но и в виде передаточной функции Н(р) . В подобном случае ВФ может быть получена обратным преобразованием Лапласа от произведения передаточных функций Н (р) и

Н (z), причем оператор z должен быть заменен на ер .

Существуют таблицы соответствия передаточных функций Н (р) ^ Н (z) по критерию совпадения дискретизированной импульсной характеристики звена с передаточной функцией Н(р) и решетчатой импульсной характеристики звена с передаточной функцией Н(z). Эти соответствия получены цепочкой преобразований:

ад=2^г-1 -¡ад•1 -е рТд ^,

т.е. сначала выполняется обратное преобразование Г 1 Лапласа, в результате чего находится оригинал 2(г), и далее 2-преобразование 2(z) решетчатой

функции а\п] = б(пТд) [1]. Поскольку идеальный импульсный элемент нереализуем физически, то данное обстоятельство учтено введением вместо него формирователя прямоугольного импульса. Подобный формирователь

имеет передаточную функцию Н(р) = |1- е рТд |^/р , где Тд - период дискретизации сигнала.

Рассмотрим наиболее простой частный случай передаточной функции (2), представленной последовательным включением колебательного и апериодического звеньев. Соответствующая структура приведена на рис. 2.

Рис. 2

Для нахождения передаточной функции дискретных звеньев в цепи обратной связи использовалось выражение (3), которое в данном случае принимает вид

Q( z) = z

L

-1

1

1

- e-pT

П

Произведем последовательно синтез замкнутой структуры НДС, эквивалентной структуре, представленной на рис. 2. Поскольку любой разомкнутой структуре соответствует множество вариантов эквивалентной замкнутой структуры, прежде всего необходимо выбрать вариант замкнутой структуры, руководствуясь спецификой решаемой задачи и условием получения физически реализуемой системы.

Синтез цифрового акселерометра

Поставим задачу синтеза НДС, реализующей преобразование ускорения в цифру - акселерометр, в качестве чувствительного элемента которого используется механическое колебательное звено. До недавнего времени акселерометры создавались с использованием исключительно непрерывных звеньев, что порождало целый ряд проблем. Очевидно, необходимо кратко изложить суть этих проблем с тем, чтобы показать перспективность их решения при переходе к гетерогенной структуре акселерометров, где наряду с непрерывными звеньями (без которых нельзя обойтись) в структуру вводятся дискретные звенья, т.е. аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразователи. Это соответствует общей тенденции развития преобразователей информации, в которых все увеличивающаяся часть процессов преобразования реализуется в цифровом виде. Именно по такому пути идут ведущие зарубежные фирмы, в частности, фирма Analog Devices выпускает микромеханические акселерометры, составной частью которых является ХД-АЦП [3].

Типичная структурная схема [4] аналогового акселерометра с интегрирующим АЦП на выходе приведена на рис. 3.

Канал обратной связи Рис. 3

Масса т акселерометра, двигаясь с ускорением а(ґ), порождает силу Е(ґ), которая уравновешивается силой ^ос(0, развиваемой преобразователем

в цепи обратной связи. Разность указанных сил воздействует на механическую часть акселерометра, представляющую собой колебательное звено с затуханием. Перемещение массы преобразуется в аналоговый сигнал у(1), который подается на ИАЦП и на вход канала обратной связи. Согласно [4] основными задачами проектирования являются обеспечение устойчивости, равномерности АЧХ, линейности фазо-частотной характеристики в полосе полезного сигнала и виброустойчивости. Методы их решения взаимно противоречивы, в результате чего реально достижимым является лишь компромиссный вариант, в частности потому, что имеет место взаимовлияние параметров (полюсов и нулей) передаточной функции канала обратной связи. К этому добавляются сложности произвольного изменения параметров аналоговых звеньев канала обратной связи, которые и определяют в конечном итоге динамические свойства замкнутой структуры.

Многие из указанных противоречий, возникающих при проектировании однородной (аналоговой) структуры, позволяет разрешить переход к гетерогенной структуре. Исходной для ее синтеза является разомкнутая структура, приведенная на рис. 2.

В реальной системе вместо последовательного соединения первых двух интеграторов можно включить звено второго порядка с передаточной функцией общего вида, например, колебательное звено. Это может быть продиктовано необходимостью включения в прямую цепь преобразования первичного преобразователя датчика. Для этого частного случая структура на рис. 2 преобразуется к виду, показанному на рис. 4.

Рис. 4

Этой системе соответствует эквивалентная разомкнутая система, представленная на рис. 5.

В соответствии с изложенной методикой определения дискретной части разомкнутой структуры найдем Жд (г) [1], используя последовательность преобразований

Жд (г) = 2^ Г1 \ Я(р) •

1 1 - е

РТд

- РТд

где Я( р) =

(рТд) +«РТд + »;

1

Рис. 5

Условие эквивалентности разомкнутой (рис. 5) и замкнутой (рис. 4) структур можно записать в следующем общем виде:

1

----/-------------------^ х

РТД

х____________________________Н1дз ( 2 )_______________________________

1 + Н1дз

______________1___________

РТд ((рТд )2 +«РТд +юр

Чтобы продемонстрировать суть данного метода, рассмотрим наихудший с точки зрения обеспечения устойчивости вариант исполнения механической части акселерометра. Предположим, что юр и а в структуре (рис. 5) равны нулю, т.е. инерционная масса находится без трения в свободном состоянии. В этом случае обеспечить устойчивость механической системы без обратной связи принципиально невозможно.

В качестве исходной структуры НДС воспользуемся Simulink-моделью ХД-АЦП с ЦАП с широтно-импульсным моделированием сигнала в цепи обратной связи (рис. 6), для которой число интегрирующих звеньев будет равно двум, а физической входной величиной малоразрядого ЕД-АЦП является перемещение (координата) инерционной массы.

Пусть ЕД-АЦП в канале прямого преобразования реализует прямоугольную весовую функцию. В этом случае структура НДС (рис. 7) будет полностью совпадать со структурой НДС (рис. 6), в которой роль третьего интегратора, охваченного отрицательной обратной связью, выполняет

х

+ с22 2 + с3 2

-3

2А-АЦП (АЦП М2_РБ_2, рис. 7) с модулятором третьего порядка. Структура выходного фильтра дециматора третьего порядка приведена на рис. 9.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

На рис. 10, 11 приведены временные диаграммы выходных сигналов малоразрядого 2Д-АЦП и второго фильтра дециматора для единичного вход-

ного воздействия. Откуда видно, что структура НДС обладает финитной реакцией, равной трем тактам дискретизации малоразрядого ЕД-АЦП, а максимальная амплитуда флуктуационного шума дискретизации, для общего коэффициента передискретизации равного 1000, имеет порядок 0,0001 (рис. 12).

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Выводы

Таким образом, нами продемонстрированы возможности применения методов топологических преобразований непрерывно-дискретных систем для получения замкнутых структур, эквивалентных исходной разомкнутой структуре с заданными динамическими свойствами и их использования при решении задачи синтеза структур акселерометров на основе ХД-АЦП.

Список литературы

1. Чувыкин, Б. В. ХД-АЦП-синтез одноконтурных структур / Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - № 1. - С. 91-106.

2. Михотин, В. Д. Методы синтеза весовых функций для эффективной фильтрации измерительных сигналов / В. Д. Михотин, Э. К. Шахов, Б. В. Чувыкин // Измерения, контроль, автоматизация. - 1981. - № 5 (39). - С. 3-12.

3. Kajita, T. A Two-Chip Interface for a MEMS Accelerometer / T. Kajita, Un-Ku Moon, Gabor C. Temes // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. -2002. - V. 51. - № 4. - August. - Р. 853-857.

4. Папко, А. А. О правилах формирования динамических характеристик низкочастотных акселерометров уравновешивающего преобразования / А. А. Папко // Авиакосмическое приборостроение. - 2003. - № 7. - С. 17-23.

Ашанин Василий Николаевич

кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой электротехники и транспортного электрооборудования, Пензенский государственный университет

E-mail: eltech@pnzgu.ru

Чувыкин Борис Викторович

доктор технических наук, профессор, кафедра информационных вычислительных систем,

Пензенский государственный университет

E-mail: Chuvykin_BV@mail.ru

Ashanin Vasily Nikolaevich Candidate of engineering sciences, professor, head of sub-department of electrical engineering and transport electrical equipment, Penza State University

Chuvykin Boris Viktorovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of informational computer systems, Penza State University

УДК 531.768 Ашанин, В. Н.

Синтез цифровых акселерометров на основе теории непрерывнодискретных систем / В. Н. Ашанин, Б. В. Чувыкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 3 (11). -

С. 93-101.