Макроскопическая модель роста кристалла алмаза

УДК 621.039.75

Г. Ю. Аверчук1, Е. С. Куркина2

МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА КРИСТАЛЛА АЛМАЗА*

Отобраны элементарные углеродные атомарные структуры и предложена кинетическая схема процесса роста кристалла алмаза путем осаждения метилрадикалов из газовой фазы. Разработана макроскопическая модель этого процесса в приближении среднего поля, соответствующая кинетической схеме. В основе модели лежит система ОДУ большой размерности, описывающая изменение поверхностных концентраций элементарных углеродных структур в каждом слое кристалла. Сравнение экспериментальных данных с результатами моделирования показало хорошее соответствие. Изучено влияние различных параметров и элементарных стадий процесса на динамику роста кристалла. Определена скорость одной из важнейших стадий процесса — реакции миграции вниз.

Ключевые слова: математическое моделирование, рост кристалла алмаза из газовой фазы, система ОДУ.

Введение. В последнее время алмазные пленки нашли широкое применение в науке и промышленности. Синтез алмазных и других кристаллических пленок является актуальной задачей на сегодняшний день. Алмазные кристаллические пленки имеют большой потенциал возможного применения в бурильной, медицинской и наноэлектронной промышленности, а также могут служить в качестве химически устойчивых покрытий для различных материалов [1].

Одним из способов получения алмазных кристаллических пленок является процесс осаждения углеводородных радикалов из высокотемпературной плазмы в водородной среде. Методами спектрального анализа, атомно-силовой микроскопии, молекулярной динамики и квантовой химии различными исследователями были определены атомарные структуры, образуемые на поверхности растущего кристалла алмаза [2, 3]. Помимо структур исследователями были рассчитаны значения параметров различных элементарных реакций между такими структурами [4-6].

В результате исследований элементарных реакций, которые происходят во время процесса роста кристалла, стало понятно, что рост алмазной пленки является сложным многостадийным процессом, в котором участвует большое число промежуточных частиц. Для понимания механизмов этого процесса и для нахождения оптимальных условий роста применяются методы математического моделирования. Наиболее полной математической моделью является имитационная стохастическая модель, которая реализуется методом Монте-Карло [7]. Модель опирается на вероятностную природу роста кристалла алмаза, буквально имитируя его формирование. Но можно построить существенно более простую в реализации детерминистическую макроскопическую модель роста кристалла алмаза в приближении среднего поля, в основе которой лежит система ОДУ.

Настоящая работа посвящена разработке макроскопической модели роста кристалла алмаза, а также исследованию влияния параметров на качество получаемого кристалла и нахождению оптимальных условий его формирования.

Эксперимент. Процесс химического газофазного осаждения алмазных пленок проводят в плазменных реакторах, в которые на вход подается смесь газов, состоящая в основном из водорода при относительно небольшом содержании углеводородного газа. Также в реактор предварительно помещается подложка, на поверхности которой содержатся затравочные кристаллы алмаза. Под воздействием высокой температуры в реакторе смесь газов образует шар плазмы над подложкой. Плазма содержит атомарный водород, а также различные углеводородные радикалы. Посредством атомарного водорода поверхность подложки активируется, и углеводородные радикалы осаждаются на нее. Закрепленные на поверхности радикалы взаимодействуют с близлежащими атомами и образуют более сложные

1 Кафедра ИКТ Росс, хим.-технол. ун-та, вед. программист, e-mail: altermnQgmail.com

2 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: elena.kurkinaQcs.msu.su

* Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00773).

поверхностные атомарные структуры, после чего происходит либо встраивание осажденных атомов в кристаллическую решетку, либо их стравливание с поверхности подложки [1].

Считается, что благодаря метилрадикалам рост происходит в плоскости {100} кристалла, а аце-тиленрадикалы способствуют росту в плоскости {110} кристалла. А для того чтобы вышеуказанные радикалы газовой фазы могли удерживаться на поверхности кристалла достаточно долго, необходимо образование поверхностных димерных соединений [6]. Снимки поверхности кристалла алмаза, полученные с помощью атомно-силового микроскопа, свидетельствуют об образовании термодинамически стабильных димерных рядов, что обусловливает послойный рост кристалла [3]. Благодаря димер-ным рядам и серии элементарных стадий радикалы, прикрепленные к димерам, могут мигрировать по поверхности кристалла [5].

Физико-химическая модель. В настоящей работе построена физико-химическая модель процесса роста монокристалла алмаза в плоскости {100} из газовой смеси, содержащей атомарный водород и метилрадикалы. Были тщательно отобраны углеродные атомарные структуры, возникающие в процессе формирования алмаза, и заданы элементарные реакции с участием этих структур. Также после тщательного анализа определен базовый набор параметров модели, соответствующий экспериментам.

В модели предполагается, что газ при контакте с подложкой имеет ту же температуру, что и поверхность. Концентрации газов и температура газовой смеси и подложки остаются неизменными в течение всего процесса моделирования. Базовым считается следующий набор параметров: [Н] = 10~9 моль/см3 и [СНз] = Ю-10 моль/см3, температура газовой фазы и подложки Т = 1200 К.

Кинетическая схема. При анализе процесса роста кристалла при химическом газофазном осаждении нами выделены наиболее важные типы элементарных реакций, для корректного описания которых потребовалось 18 типов атомарных углеводородных структур, проявляемых на поверхности кристалла. Они схематически изображены на рис. 1. На этом рисунке атом углерода не изображается, он находится в центре пересечения линий — валентных связей. Атом углерода может быть соединен либо с другим атомом углерода, либо с атомом водорода, который обозначается буквой Н, либо может иметь неспаренный электрон — активную связь, которая на рисунке обозначается точкой.

На рис. 1 первые три атомарные структуры у1, у2, уЗ описывают возможные состояния атома углерода, находящегося на поверхности. Две валентные связи, направленные вниз, осуществляют взаимодействие с атомами углерода на предыдущем слое кристалла. Частицы уб, у7, у11 описывают состояния атома углерода, находящегося в слое, над которым и под которым имеется слой атомов углерода. Частица у11 описывает регулярный атом кристалла алмаза, находящийся не на поверхности и связанный, как видно из рис. 1, с четырьмя другими атомами углерода. Атомарные структуры у4, у5, у8, у9, у10 описывают димеры, имеющие два атома углерода, связанные друг с другом в плоскости {100}. Первые три димерные структуры у4, у5, у8 находятся на поверхности, а два оставшихся димера у9, у10 — в одном из нижних слоев, над которым есть по крайней мере один неполный слой атомов углерода. Более сложные димерные структуры, образованные в результате осаждения ме-тилрадикала, описываются частицами у 12. у 13. у I 1. у15, у17 и у18. Частица у16 содержит два атома углерода, которые находятся в «р2-гибридном состоянии.

Элементарные реакции происходят со скоростями кг, вычисляемыми по уравнению Аррениуса: к^ = к ехр где /•.', — энергия активации, Д — универсальная газовая постоянная, Т — тем-

пература, а Щ — предэкспоненциальный множитель, который в рамках теории активных соударений имеет некоторую зависимость от температуры. Значения констант элементарных реакций приведены в таблице.

Ниже будут выписаны уравнения химической кинетики для изменения концентраций веществ, участвующих в процессе формирования кристалла. Они удовлетворяют закону действующих масс, в котором фигурируют скорости изменения концентраций за счет той или иной элементарной реакции.

1. Реакцией активации называется элементарная реакция углеводородной структуры с атомом водорода из газовой фазы, приводящая к отрыву атома водорода от поверхностного атома углерода. В результате реакции образуется молекула Н2, и атом углерода переходит в активированное состояние. Реакция происходит с частицами, которые могут отдать атомы водорода: у1, у2, у5, у7, у8, у9, у 12. у 13. у14 и у17. Схема реакции активации с участием частицы у1 представлена на рис. 2, а. Ниже приведен список всех элементарных реакций активации. Реакции активации, идущие со скоростью

Рис. 1. Схематическое изображение углеводородных структур, участвующих в формировании монокристалла алмаза

н.

.н н н

Рис. 2. Схемы реакций: а — активации; б — дезактивации

А + А ~ АА

Рис. 3. Схемы реакций образования и разрыва димера

реакции кц\

у1 + *Н 4,— у2 + н2 т, у2 + *н ). уЗ + Н2 Г, у7 + *Н4-^уб + Н2 Г,

у5 + *Н 4.—). у8 + н2 Г, у8 + *Н  у4 + н2 г, у9 + *н уЮ + н21,

у12 + *Н у13 + Н2 Ъ у14 + *Н у15 + Н2

Реакции активации метилрадикалов, осажденных на поверхность, идут со скоростью реакции к\2-

у12 + *Н 4,— у14 + Н2 у13 + *Н 4-—> у15 + Н2 у17 + *Н  У18 + Н2

2. Дезактивацией называется элементарная реакция, приводящая к образованию связи между активированным атомом углерода и атомарным водородом из газовой фазы (рис. 2, б). Реакции дез-

активации идут со скоростью &21 по схемам

у2 + *Н I—> у1, уЗ + *Н I—> у2, уб + *Н I—> у7, у4 + *Н I—> у8,

у8 + *н  У5, ую + *н  У9, у13 + *н  У12, у15 + *н  ум

и со скоростью &22 для структур с осажденным метилом:

у14 + *Н  у12, у15 + *Н у13, у18 + *Н у17.

3. Образованием димерной связи называется элементарная реакция, при которой два рядом стоящих атома углерода в плоскости кристалла {100}, имеющие активные связи, образуют димер. Схема образования димера с участием двух соседних частиц у2 представлена на рис. 3.

Реакция образования димера идет со скоростью £31 для элементарных стадий:

у2 + у2 > у5, уЗ + уЗ —> у4, у2 + уЗ —у8

и со скоростью &32 для стадий у2 + уб —> у9, уЗ + уб —> у10.

4. Разрыв димерной связи — реакция, обратная образованию (рис. 3), которая происходит со скоростью &41 для следующих стадий:

у5 > у2 + у2, у4 —> уЗ + уЗ, у8 —> у2 + уЗ

и со скоростью &42 для стадий у9 —> у2 + уб, у10 —> уЗ + уб.

5. Встраиванием метилрадикала в кристаллическую решетку называется последовательность реакций, начинающаяся с присоединения радикала СН3 из газовой фазы к димеру, имеющему свободную связь, с дальнейшим изменением гибридизации на вр2 и последующим образованием атома углерода на следующем слое кристалла. Таким образом, встраивание в кристаллическую решетку метилрадикала приводит к росту кристалла. Схема процесса изображена на рис. 4.

Рис. 4. Схемы осаждения и встраивания метилрадикала

Осаждение метилрадикала (рис. 4, а) на димер идет со скоростью к^: у8 + *СН3 > у12, у4 + *СН3 > у13, у10 + *СН3 > у17.

Изменение гибридизации адсорбированного метилрадикала с образованием 5]?2-гибридных атомов углерода (рис. 4, б) имеет скорость &52:

у14 у2 + у16, у15 —> уЗ + у16, у18 —> уб + у16.

Встраивание атома углерода в кристаллическую решетку (рис. 4, в), где у1 — это у1 на следующем слое кристалла, происходит с различными скоростями в зависимости от локального окружения взаимодействующих частиц. Со скоростью &53 происходят реакции у16 + у2 —> у7 + у1 + уб, у16 + уЗ —> у6 + у1 + у6, со скоростью к54 — реакции у16 + у4 —> у10 + у1 + у6, у16+у8 —> у9 + у1 + уб,

со скоростью &55 — реакция, ведущая к образованию регулярного атома кристаллической решетки у16 + уб —> yll + yl + уб.

6. Травлением называется процесс, обратный осаждению, при котором метан отрывается от кристалла и уносит атом углерода в газовую фазу (рис. 5). Десорбция метилрадикала происходит со скоростью в соответствии со схемами

у12 + *Н I—> у8 + СН4 t, у13 + *Н > у4 + СН4 t, у17 + *Н уЮ + СН4 f.

H HtH

Н__/

А А

+

- / /

\ А + сн4Т

Рис. 5. Схема травления углерода с поверхности кристалла

Частица у16 преобразуется в метилрадикал со скоростью к$2 по схемам

у16 + у2 у14, у16 + уЗ у15, у16 + уб у18.

7. Реакции, обратные встраиванию атома углерода в кристаллическую решетку, сопровождаются разрушением частицы у1. Скорости реакций зависят от локального окружения. Так, со скоростью к§з идут реакции у7 + у1 + у6 —> у16 + у2, уб + у1 + уб —> у16 + уЗ, со скоростью к$4 — реакции у10+у1+у6 —> у16+у4, у9+у1+уб —> у16+у8, и со скоростью к65 — реакция у11+у1+уб —> у16+уб.

Рис. 6. Схемы миграции атома углерода на нижний атомарный

слой

8. Миграция вниз — это элементарная реакция, благодаря которой осуществляется миграция атома углерода в плоскости {110}, что приводит к переходу атомов углерода с более верхнего слоя на слой, лежащий под ним (рис. 6). Эта реакция способствует заполнению углеродом нижних атомарных слоев (рис. 6, а) и "дырок" в кристаллической решетке (рис. 6, а значит, и правильному формированию кристалла. Здесь структуры, отмеченные сверху вогнутой крышкой у-, находятся в нижнем слое. Реакции миграции на димер имеют скорость &71 и идут по схемам

у16 + у8 —> у5 + уб + у7, у16 + у4 —> у5 + уб + уб, у16 + уЮ у5 + у11 + у6.

Макроскопическая модель. Использование макроскопической модели неявно предполагает, что все атомарные структуры хорошо перемешаны в слое. В реальности это обеспечивается вероятностным характером химических реакций и высокой скоростью миграции частиц по поверхности. При равномерном распределении частиц по поверхности можно использовать приближение среднего поля и ввести такие интегральные характеристики, как концентрации веществ, для описания процессов газохимического осаждения алмаза. В основе макроскопической модели роста кристаллической пленки лежит система ОДУ, описывающая изменение концентраций всех углеводородных структур, участвующих в формировании пленки в каждом слое.

Значения констант скоростей элементарных реакций

Тип реакции Щ, с-1 кал/моль Источник

Активация кц 5.2 х 1013 х [Н] 6650 [4, 5]

к\2 2.8 х 102 х Т3-5 х [Н] 5200 [5]

Дезактивация &21 2 х 1013 х [Н] 0 [4, 5]

4.5 х 1013 х [Н] 0 [5]

Образование димера к:п 8.9 х 1011 800 [6]

7.5 х 1011 4000 [6]

Разрыв димера 2.2 х 10 800 [6]

&42 1.2 х 1011 4000 [6]

Осаждение метилрадикала кь 1 1 х 1013 х [СН3] 0 [4]

Метилрадикал в зр2-углерод кь 2 9.8 х 1012 15 300 [5]

Встраивание зр2-углерода кьз 1.1 х 1012 12 300 [5]

к5 4 2.2 х 109 14 900 [6]

кьь 2.9 х 1011 3200 [6]

Травление метилрадикала кб1 5.3 х 1012 х [Н] 0 [6]

зр2-углерод в метилрадикал кб2 2.7 х 1011 2900 [5]

Атом кристаллической решетки в зр2-углерод квз 6.1 х 1013 36 300 [5]

км 4.2 х 108 14 900 [6]

кб5 1.1 х 108 3200 [6]

Миграция вниз к71 4.6 х 1012 20 000 Наст, работа

Рассмотрим формирование кристалла алмаза, состоящего из N атомарных слоев в плоскости {100}, тогда число фазовых переменных и число уравнений в системе М = 18 х N штук.

Вектор фазовых переменных (концентраций) имеет вид Уг^^), где г — номер частицы, ] — номер слоя и 'I = 1, 2,..., 18; ] = 1, 2,..., N.

Справедливы следующие ограничения:

а) 0 ^ уг^ ^ 1, г = 1, 2, 3, 6, 7,11,16, для концентраций частиц в каждом слое;

б) 0 ^ уг^' ^ 0.5, г = 4, 5, 8, 9,10,12,13,14,15,17,18, для концентраций димеров в каждом слое.

Суммарная концентрация всех частиц и димеров в слое не превышает единицы.

В начальный момент времени при I = 0 задается начальное значение всех концентраций. Считается, что первый слой (подложка) покрыт частицей у1, т. е. У1д(0) = 1, Уг,^(0) = 0 — для всех остальных переменных.

За счет стадии активации частица у1 на первом слое начинает превращаться в частицы с активными связями у2 и уЗ, которые в свою очередь начинают образовывать димеры. На димеры осаждаются метилрадикалы, и начинает формироваться второй слой. В качестве начальных условий можно взять покрытие поверхности частицами у2 и уЗ, но исследования показали, что это не влияет на характер роста кристалла.

Слой ] алмаза считается идеально сформированным, если он полностью заполнен частицей у11, т.е. в модели со временем концентрация у11 на каждом слое должна стремиться к единице, уи^ ^ 1 при £ —> оо. Если концентрация у11 в каком-то слое не достигает значения 1, то это означает, что слой не заполнен и в кристалле имеются пустоты и/или дефекты (элементарные структуры, отличные от частицы у11).

Таким образом, уравнения химической кинетики, описывающие рост алмазной пленки, имеют следующий вид:

где Ус и Уй — скорости реакций элементарных стадий, вычисляемые по закону действующих масс:

Уравнения для первого и последнего слоев пишутся отдельно, поскольку в этих слоях не могут происходить некоторые реакции, затрагивающие два слоя. Уравнения для слоев, начиная со второго по N — 1, имеют одинаковый с точностью до индекса вид и пишутся в цикле.

Метод расчета. Полученная система ОДУ для кристаллов, состоящих из большого числа слоев, содержит большое число уравнений и требует в расчетах большой объем памяти. Так, для кристалла, содержащего 100 слоев, размерность системы составляет 18 х 100 = 1800, а соответствующая матрица Якоби, используемая в численных алгоритмах, имеет размерность 3240000. Кроме того, система уравнений является жесткой, поскольку скорости элементарных процессов, описываемых системой, различаются на много порядков.

Численное интегрирование системы (1) производилось в среде МАТЬАВ. Использовалась встроенная стандартная программа ОБЕ 158 с переменным шагом и контролем точности, предназначенная для решения жестких задач. В большинстве расчетов относительная точность равнялась Ю-11. В некоторых случаях при задании меньшей точности наблюдалась расходимость численного алгоритма. Достоверность полученного решения подтверждалась методом сгущения сетки (для этого задавалась большая точность) или путем сравнения с результатами, полученными с помощью других численных методов. Кроме того, контролировалось выполнение условий ограничения на концентрации частиц в слоях.

Результаты расчетов. Расчеты показали, что в целом представленная модель для выбранной кинетической схемы с константами скоростей, заданными в таблице, адекватно описывает рост монокристалла алмаза. На рис. 7, а показано, как происходит во времени заполнение частицей углерода у11 каждого слоя кристалла в модели; показаны первые 20 слоев. Скорость роста составляет примерно 19 слоев в секунду, что соответствует скорости 6 мкм/ч, подобно эксперименту [8]. Концентрация частицы у11 в каждом слое достигает 1 с хорошей точностью. Такая динамика описывает правильный рост монокристалла алмаза, причем слой за слоем заполняется практически последовательно. Интегральная гистограмма процесса на рис. 7, б наглядно демонстрирует послойный рост кристалла, она показывает распределение концентрации частицы у11 в каждом слое в некоторые моменты времени. Мы видим, что следующий слой начинает расти, когда почти завершено заполнение предыдущего слоя, и не больше трех слоев растет одновременно. Это соответствует экспериментальным данным: во многих случаях получаемые кристаллы алмаза имеют гладкие поверхности, содержащие две-три моноатомные ступени [9].

Рис. 7. Динамика роста кристалла при Т = 1200 К: а — заполнение слоев частицей yll; б — гистограммы процесса в разные моменты времени time. По оси абсцисс — концентрация yll, по осям ординат — номер слоя

Разработанная модель исследовалась на чувствительность к значениям коэффициентов скоростей реакций kj. Было показано, что все элементарные реакции из кинетической схемы важны для формирования кристалла. Наиболее чувствительной модель оказалась к изменению значений скорости активации и скорости осаждения метилрадикала.

Существенной стадией для формирования кристалла является элементарная реакция, описывающая миграцию вниз вр2-гибридной частицы углерода у16. Если скорости остальных стадий являются общепринятыми и используются во многих работах, то стадия "миграции вниз" стала включаться в кинетическую схему относительно недавно [10]. Как было сказано выше, она способствует заполнению пустот в нижних слоях; без нее невозможно было объяснить формирование правильных кристаллов.

Рис. 8. Динамика роста кристалла при низкой скорости миграции вниз, Т = 1200 К: а — заполнение слоев частицей yll; б — гистограммы процесса в разные моменты времени time

В работе было исследовано влияние скорости реакции "миграции вниз" на характер роста кристалла. Было показано, что при уменьшении этой скорости качественно изменяется динамика роста кристалла: слои начинают заполняться существенно медленнее, и много слоев растет одновременно. Доля пустых и дефектных мест увеличивается по мере роста кристалла, что не позволяет вырастить достаточно большой многослойный кристалл. На рис. 8 демонстрируется динамика роста кристалла при скорости миграции вниз на пять порядков меньше, чем на предыдущем рисунке. Гистограмма на рис. 8, б описывает ступенчатый рост кристалла, формирование пирамид и впадин в процессе роста. Такая динамика роста кристалла действительно наблюдается в некоторых экспериментах, но обычно при более низких температурах [8, 11].

В работе были подобраны предэкспонента и энергия активации стадии "миграции вниз" (см. таблицу) так, чтобы, как и в эксперименте [11], при Т = 1200 К наблюдался послойный рост кристалла (рис. 7), а при температуре Т = 900 К наблюдался многослойный рост кристалла, аналогичный динамике на рис. 8, б.

Было показано, что скорость роста кристалла существенно падает с уменьшением температуры. Так, при 900 К кристалл растет медленнее примерно на порядок, чем при 1200 К. Такое поведение можно объяснить снижением концентрации активных димеров при более низкой температуре и более низким значением скорости "миграции вниз".

Помимо этого, с помощью построенной модели исследовалось влияние концентрации радикалов в атмосфере над подложкой на скорость роста кристалла. Мы отметили увеличение скорости роста при снижении общего количества метилрадикалов по отношению к атомарному водороду. Активный водород газовой фазы необходим для удаления с поверхности избытка аморфных атомов углерода, высокая концентрация которых препятствует их интеграции в кристаллическую решетку. Данное наблюдение еще раз подтверждает мнение о том, что избыток атомарного водорода в плазме необходим для осуществления процесса в автокаталитическом режиме [12].

Выводы. Представленная модель хорошо описывает экспериментальные данные, адекватно реагирует на уменьшение температуры процесса, изменение концентраций газовых компонент и может быть использована в дальнейших исследованиях для подбора параметров и учета других стадий процесса роста. Эта модель также полезна для сравнения с микроскопической стохастической моделью. Она помогает раскрыть роль ограниченной подвижности больших атомарных структур, случайных флуктуаций и пространственных корреляций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. May P. W. Diamond thin films: a 21st century material // Philos. Trans. R. Soc. London. A. 2000. 358. P. 473-495.

2. Hawelek L., Brodka A., Burian A. Structural studies of nanodiamond by high-energy X-ray diffraction// Diamond Relat. Mater. 2008. 17. P. 1186-1193.

3. Bobrov K., Mayne A., Hoffman A. Atomic-scale visualization and surface electronic structure of the hydrogenated diamond C(100)-(2x 1):H surface // Phys. Rev. B. 2003. 68. N 195416.

4. Net to A., Frenklach M. Kinetic Monte Carlo simulations of CVD diamond growth — Interlay among growth, etching, and migration // Diamond Relat. Mater. 2005. 14. P. 1630-1646.

5. Frenklach M., Skokov S. Surface migration in diamond growth // J. Phys. Chem. B. 1997. 101. P. 30253036.

6. Skokov S., Weiner В., Frenklach M. Elementary reaction mechanism for growth of diamond (100) surfaces from methyl radicals //J. Phys. Chem. 1994. 98. P. 7073-7082.

7. Аверчук Г.Ю., Куркина E.C., Кольцова Э.М. Параллельный алгоритм поиска структур и реакций для моделирования процесса роста монокристаллической алмазной пленки // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах: Мат-лы XIII Всеросс. конф. Ниж. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2013. С. 9-13.

8. Wei Q., Ashfold М. N. R., Ma L. Diamond growth on WC-Co substrates by hot flament chemical vapor deposition: Effect of filament-substrate separation // Diamond Relat. Mater. 2011. 20. P. 641-650.

9. Wild C., Kohl R., К о id 1 P. Oriented CVD diamond films: twin formation, structure and morphology // Diamond Relat. Mater. 1994. 3. P. 373-381.

10. May P. W., Harvey J.N., Mankelevich Yu. A. Simulation of chemical vapor deposition diamond film growth using a kinetic Monte Carlo model and two-dimensional models of microwave plasma and hot filament chemical vapor deposition reactors //J. Appl. Phys. 2010. 108. N 114909.

11. Larson J.M., Girshick S.L. The effect of substrate temperature on the morphology of diamond films grown under acetylene-lean and acetylene-rich conditions // Diamond Relat. Mater. 2003. 12. P. 1584-1593.

12. Дерягин Б.В., Федосеев Д. В. Рост алмаза и графита из газовой фазы. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 08.10.14

MACROSCOPIC MODEL OF DIAMOND CRYSTAL GROWTH

Averchuk G. Yu., Kurkina E. S.

Elementary carbon atomic structures were chosen and the kinetic scheme of the process of diamond crystal growth from the gas phase (CVD method) was suggested. The mean-field macroscopic model of this process, corresponding to kinetic scheme is developed. The model is based on the large size system of ordinary differential equations, which describe temporal variation of surface coverages of elementary atomic particles in every layer of the crystal. A comparison experimental data with results of modelling demonstrates a good accordance. The influence of different parameters and elementary steps of the kinetic scheme on the dynamic of crystal growth was investigated. The rate of one important elementary reaction "migration to lower layers" was determined.

Keywords: mathematical modeling, diamond CVD, ODE system.