Об одной модели кавитационного воздействия41 воробович Н. П. Математические модели задач упорядочения работ

Результаты расчетов, представленные на рис. 2-6, указывают на существенную неравномерность рассматриваемых параметров управления, знание распределения которых позволит разрабатывать режимы работы установки уже на стадии проектирования или создавать максимально приближенные к реальным данным программы автоматического управления промышленными комплексами.

В частности, приведенные методы анализа систем с распределенными параметрами служат основой для рационального решения задач синтеза систем управления распределенными процессами в химической технологии.

Литература

1. Демиденко, Н.Д. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами / Н.Д. Деми-денко, В.И. Потапов, Ю.И. Шокин. - Новосибирск: Наука, 2006. - 551 с.

2. http://www.gks.ru/ - Федеральная служба государственной статистики.

3. Демиденко, Н.Д. Моделирование и оптимизация технических систем с распределенными параметрами /

Н.Д. Демиденко, Л.В. Кулагина; Краснояр. гос. техн. ун-т. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2006. - 212 с.

----------♦-------------

УДК 532.528 В.А. Кулагин, Д.С. Лихачев

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ КАВИТАЦИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Современные гидродинамические проблемы порождаются стремлением повысить скорость и улучшить другие характеристики транспортных аппаратов, форсировать технологические процессы и создать новые, более напряженные гидравлические сооружения и др. Введение адекватных моделей явлений, т.е. моделей «второго поколения», позволяет составить правильное физическое представление, осмыслить эксперименты и с их помощью выработать теоретические методы удовлетворительных расчетов самых различных эффектов. В статье показано использование таких моделей на примере кавитационных течений.

Существующие технологии связаны с тремя основными процессами: катализом с интенсивным перемешиванием; диспергированием (механическим, химическим и биологическим); воздействием полей повышенных давлений и температур. От трети до половины всех энергетических затрат в различных технологиях идет на механическое диспергирование. Весьма сильную диспергацию дает химический способ

- растворение. Наиболее распространенными растворителями являются вода и водные растворы щелочей и кислот. Перспективно применение активированной воды. Вода является либо дисперсной фазой, либо дисперсионной средой в большинстве технологических процессов.

В работах В.М. Ивченко (1975) впервые было обращено внимание на комплексное кавитационное воздействие на гомогенные и гетерофазные жидкости, которое возможно использовать в технологических целях. Использование гидродинамических и теплофизических эффектов кавитации (кавитационной технологии) способствует механотермолизу структуры воды с появлением свободных водородных связей, диспергации и гомогенизации с образованием устойчивых водотопливных эмульсий, суспензий и смесей, в конечном итоге, имеющим перспективу для усовершенствования и интенсификации технологических процессов в различных отраслях производства. Однако вопросы изменения физических свойств воды (реологических, структурных, электромагнитных и др.) и их влияния (на макроуровне) на ход и результат технологических процессов на современном этапе изучены недостаточно.

Как правило, эффекты гидродинамической кавитации в технике расценивают как отрицательные и значительные научные. Технологические и материальные ресурсы затрачивают на борьбу с кавитационной эрозией, шумом, вибрациями - следствиями кавитации, за исключением немногочисленных случаев разработки машин, аппаратов и механизмов, использующих режимы суперкавитационных течений (например, суперкавитационные насосы и тела, движущиеся с большими скоростями и др.).

В этой связи целесообразно использование эффектов кавитационной технологии применительно к различным технологическим процессам, достаточно легкореализуемой, энергоэффективной и, в ряде случаев, не имеющей альтернативы. Использование эффектов кавитации в технологических процессах требует учета особенностей развитых кавитационных течений газожидкостных пузырьковых сред с учетом их физико-механических свойств и привлечения для решения задач суперкавитационных течений комплекса методов, разработанных в различных областях гидрогазодинамики, теплофизики и математики.

Следует иметь в виду, что решения задач о развитых кавитационных течениях в жидкости при моделировании последней как идеальной сплошной среды, носят условный характер, так как не учитывают процессов замыкания каверн (вспенивания, вихреобразования, нестационарной динамики пузырьков и т.д.) и образования следа за ними в реальной жидкости. Поэтому задачи, учитывающие гипотезы о схеме стационарного замыкания каверны, позволяют лишь определить поле скоростей и давлений на телах. В частности, решения подобных задач позволяют определить кавитационное сопротивление как интеграл нормальных напряжений в проекции на направление движения тела.

При разрушении каверн, заполненных паром и газами (вследствие потери устойчивости течения или в следе за областью замыкания), образуется множество мелких вторичных каверн и, по существу, имеет место достаточно сильно перемешенная парогазожидкостная смесь. Для подобных многофазных смесей обычные представления и закономерности перестают быть справедливыми, так как сама классическая модель сплошной среды утрачивает смысл и ни о какой непрерывности характерных величин говорить не приходится. Законы массообмена, передачи импульса и энергии для таких сред, по-видимому, существенно зависят от агрегатного состояния составляющих компонентов смеси, и без привлечения термодинамических соотношений установить их невозможно.

Механика многофазных (гетерогенных) сплошных сред в настоящее время получила бурное развитие в связи с широкими практическими приложениями. Общий интерес к континуальной механике взаимопроникающих сред был привлечен работами Х.А. Рахматуллина (1956), К. Трусделла (1957), К. Терцаги (1925).

Вообще движение в окрестностях включений (твердых, газовых, парогазовых) имеет пульсационный характер и эта область (мелкомасштабного движения) представляет собой открытую термодинамическую систему. Работа средних напряжений (в смысле Терцаги), производимая над ней, диссипируется в энергию пульсационного поля; частично она далее диссипируется в тепло (переходит в молекулярный хаос), а частично возвращается в подсистему среднего движения (В.Н. Николаевский, 1978). Анализ этого обратного воздействия тесно связан с динамически неравновесным результирующим уравнением состояния смеси в целом, т.е. с зависимостью разности фазовых давлений от второй производной плотности по времени (Б.С. Когарко, 1961). Модель Б.С. Когарко, согласно которой сжимаемостью жидкости в окрестности пульсирующего пузырька пренебрегают, использовалась для расчета ударных волн, оценок кавитационного шума, для расчета усилия сигнала в суспензии газовых пузырьков. Однако, в момент схлопывания пузырька, когда излучается основной звуковой сигнал (от замыкания кавитационной полости), сжимаемость самой жидкости становится существенной.

Исследуя присоединенные неподвижные каверны, Кнэпп [1] установил, что они могут быть стационарными или нестационарными (циклический процесс) в соответствии с условиями присоединения на их нижнем по потоку конце. Циклическое поведение можно описать тремя фазами: образование и рост, заполнение, отрыв. Присоединенная каверна растет до некоторой конечной длины, определяемой скоростью и давлением невозмущенного потока. На нижнем по потоку конце каверны линия тока в жидкости, если угол присоединения отличен от нуля, должна оканчиваться в точке торможения на твердой стенке. Так как давление на поверхности раздела каверны равно давлению насыщенного пара, а давление в точке торможения - давлению торможения в потоке жидкости, линия тока, идущая в точку торможения, должна проходить на малом расстоянии от поверхности раздела каверны. Тонкий слой жидкости между поверхностью раздела каверны и этой линии тока направляется внутрь каверны, которая заполняется жидкостью во время периода заполнения, в течение которого длина каверны приблизительно постоянна. Установлено, что в течение периодов роста и заполнения перемещающиеся каверны, примыкающие к присоединенной каверне, находятся, по существу, в слое жидкости, заполняющей каверну. Отрыв происходит тогда, когда каверна полностью заполнена жидкостью (возможно, несколько раньше). Затем перемещающиеся каверны, содержащиеся в жидкости, ускоряются в направлении течения, и весь процесс повторяется.

Кроме того, экспериментально установлено [2-3], что кавитационная область растет и сокращается в соответствии с теоретически предсказанными периодами повторного и последующих сокращений (пульсаций) одиночного кавитационного пузырька.

В работе [4] представлена модель кавитационного ансамбля, которая дает основание считать, что в процессах импульсной кавитационной интенсификации технологических процессов может быть реализовано согласованное синхронизированное поведение группы кавитационных пузырьков (кавитационного ансамбля).

Для обсуждаемой модели справедлива следующая качественная картина: в точке с координатой г = 0 генерируется отрицательный импульс давления и начинается его распространение со скоростью c вдоль луча г Встречая на своем пути кавитационный пузырек, возбуждающий отрицательный импульс, заставляет его расширяться, расходуя на этот процесс часть своей энергии, и продолжает движение к следующему пузырьку, также приводя его в возбуждение. К этому времени первый пузырек расширяется до некоторого радиуса. Когда возбуждающий отрицательный импульс распространяется еще дальше, первый из возбужденных пузырьков схлопывается, генерируя мощный импульс давления (интенсифицирующий химико-технологический процесс), который, в свою очередь, начинает свое движение вслед за первоначальным инициирующим отрицательным импульсом. Когда кавитационный импульс давления от первого пузырька достигает второго пузырька, то складывается с импульсом, генерируемым вторым пузырьком, поскольку к этому моменту эволюция второго пузырька как раз достигла этапа схлопывания. Далее совокупный импульс движется к третьему пузырьку (позади отрицательного возбуждающего импульса) и по мере приближения к нему, возбужденный идущим впереди отрицательным импульсом, третий пузырек все ближе и ближе к моменту коллапса.

Так продолжается до тех пор, пока на пути возбуждающего импульса не закончатся пузырьки или пока его энергия достаточна для возбуждения кавитационного пузырька. К тому же из приведенного в работе [4] аналитического рассмотрения, очевидно, что первоначальное расположение пузырьков вдоль луча может быть любым и это не скажется на синфазности сложения кавитационных импульсов.

Аналогичную модель для исследования можно применить к схлопыванию скоплений каверн, образующихся при гидродинамической кавитации. Однако в работе [4] возбуждающий отрицательный импульс формируется роторно-импульсным аппаратом в канале между ротором и статором в результате периодического прерывания потока среды. Подобные импульсы, которые соответствуют рассматриваемой модели, в случае гидродинамической кавитации при обтекании твердых тел жидкостью, имеют место в течение фаз заполнения и отрыва каверны.

Подтверждением этому служит тот факт, что в экспериментах по кавитационной эрозии алюминия Кнэпп [1] нашел, что скорость образования углубления имеет резко выраженный максимум вблизи места, соответствующего среднему положению нижнего по потоку конца присоединенной каверны. Он пришел к выводу, что эрозия вызвана схлопыванием перемещающихся каверн в застойной зоне. Однако если каверна входит в застойную зону, она схлопывается, находясь еще на расстоянии нескольких диаметров пузырька от твердой стенки, но тогда одиночные каверны вряд ли способны вызвать повреждение. Кроме того, градиент давления в застойной зоне положителен по направлению к стенке, но тогда схлопывание в этой зоне будет несферическим, причем струя направления будет от стенки. В то же время фотографии, сделанные Кнэппом, показали, что при отрыве присоединенной каверны ее объем заполняется жидкостью, содержащей большое число перемещающихся кавитационных пузырьков, которые сносятся вниз по потоку после отрыва. Некоторые группы таких пузырьков находятся вблизи твердой поверхности, и их схлопывание, усиленное эффектом совместного схлопывания, может быть причиной более интенсивной эрозии.

В данной работе рассматривается зависимость относительной величины суммарной амплитуды давления кавитационного импульса от времени и расстояния между кавитационными пузырьками от начала координат вдоль луча г (рис. 1). Приняты следующие допущения:

1) возбуждающий отрицательный импульс достаточно быстро расходует свою энергию на возбуждение встречающихся на его пути кавитационных пузырьков;

*--------------------------•------

Рис. 1. Расчетная схема модели движения кавитационного пузырька

2) кавитационный импульс от пузырьков ансамбля, расположенных на луче г, и возбуждающий отрицательный импульс распространяется линейно вдоль луча г

3) распределение пузырьков по размерам достаточно невелико;

4) расстояние между соседними пузырьками одинаково.

Амплитуда давления кавитационного импульса аппроксимируется согласно [4] следующим выражениям:

Рк (*, г ) =

ехр[- р(? - гк)]

к є 0,1 к, N -1),

рк(г, г ) =

'0,

г < гк,

где в = с/гя-1 ; °- скорость распространения возмущения в жидкости; г - текущее время; гк = (гк + йк •к Vс - время прохождения возбуждающего отрицательного импульса до 1<-го пузырька; гк - координата ^-го кавитационного пузырька; йк - расстояние от (к — 1)-го пузырька до 1<-го (й0 = г0

- расстояние от начала координат до 0-го пузырька); N - количество кавитационных пузырьков, возбужденных отрицательным импульсом давления; Рк - амплитуда давления кавитационного импульса, генерируемого при схлопывании 1<-го пузырька.

Рассмотрим зависимость Рк (г, г), когда количество кавитационных пузырьков равно трем (N=3) и

с = 1450 м/с (пространство между кавитационными пузырьками заполнено водой). Для наглядности результатов введем относительную амплитуду давления кавитационного импульса, равную отношению амплитуды давления кавитационного импульса 1<-го пузырька к максимальной амплитуде 0-го пузырька:

р = Рк(^ г) к Р0тах (г, г).

г

к

Обозначим й0 = Я, йк = АЯ при к е 1,2,, N — 1, тогда полученные результаты поддаются удобному описанию. Выявлено, что суммарная величина Рк возрастает на каждом пузырьке при Я/АЯ > 1, неизменна до — 2)-го пузырька при Я/АЯ = 1, и убывает на каждом пузырьке при Я/АЯ < 1 (рис. 2). Причем выявленная особенность сильнее выражена для малых значений R и слабее при больших значениях R.

В результате вычислений выяснилось, что при достаточно близком (Я < 2 • 10—3 м) линейном расположении трех кавитационных пузырьков и условии, что отрицательный импульс давления генерируется на границе кавитационного ансамбля (Я/АЯ > 1), относительная амплитуда давления при

совместном схлопывании возрастет более чем в 1,5 раза. Таким образом, отмеченная Кнэппом интенсификация эрозии, возможно, объясняется тем, что нестационарность хвостовой области каверны в фазах затопления и отрыва приводит к тому, что скопления кавитационных пузырьков получают отрицательные импульсы давления при выполнении условия Я/АЯ > 1. Причем, эрозия возникает, когда

отрицательный импульс давления направлен вдоль луча г на твердую стенку, при этом суммарный импульс давления от предыдущих кавитационных пузырьков приводит к схлопыванию последнего пузырька с образованием кумулятивной струйки, направленной по ходу волны [5], в данном случае - на твердую стенку.

Рис. 2. Зависимость относительной величины амплитуды давления кавитационного импульса от времени и расстояния между кавитационными пузырьками от начала координат по лучу г при Я = 2 • 10—3, а - Я/АЯ = 2,5, б - Я/АЯ = 1, в - Я/ АЯ = 0,5 (Рк01, Ркц ,

Рк21 - относительная амплитуды давления соответствующего кавитационного

пузырька; Рк31 - суммарная относительная амплитуды давления всех кавитационных

пузырьков; ^ - текущее время, с)

Интенсификация кавитационного воздействия в результате схлопывания скопления пузырьков под действием акустического поля рассматривается в работе [6]; технологическая реализация данного явления опробована авторами [7]; достижения гидродинамической кавитационной технологии подробно излагаются в книге [8]. В общем случае кавитационные пузырьки растут из газообразных или твердых ядер радиусом от нескольких микрометров до максимального радиуса, достигающего 1 мм. При атмосферном давлении время схлопывания таких каверн в воде составляет от 10-8 до 10-4 с [6], что согласуется с полученными результатами.

Литература

1. Кнэпп, Р. Кавитация: пер. с англ. / Р. Кнэпп, Дж. Дейли, Ф. Хэммит; под ред. В.И. Полежаева. - М.: Мир, 1974. - 678 с.

2. Звездин, А.К. Возбуждение импульсной акустической кавитации / А.К. Звездин, А.И. Зимин // Гидродинамика и акустика одно- и двухфазных потоков. - Новосибирск, 1983. - С. 92-97.

3. Миниович, И.Я. Гидродинамические источники звука / И.Я. Миниович, А.Д. Перник, В.С. Петровский. -Л.: Судостроение, 1972. - 480 с.

4. Балабышко, А.М. Гидромеханическое диспергирование / А.М. Балабышко, А.И. Зимин, В.П. Ружицкий. -М.: Наука, 1998. - 331 с.

5. Кедринский, В.К. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели / В.К. Кедринский. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 435 с.

6. Пирс, К. Эрозия: пер. с англ. / под ред. К. Приса, Ю.В. Полежаева. - М.: Мир, 1982. - 464 с.

7. Мальцев, Л.И. Пузырьковая кавитация и ее использование в технологиях / Л.И. Мальцев, Н.В. Малых, В.М. Петров [и др.] // High speed hydrodynamics and Numeriacal Simulation: Proceedings of the Third International Summer Scientific Workshop. - Kemerovo: ИНТ, 2006. - С. 155-160.

8. Ивченко, В.М. Кавитационная технология / В.М. Ивченко, В.А. Кулагин, А.Ф. Немчин. - Красноярск: Изд-во КГУ, 1990. - 200 с.

----------♦'------------

УДК 51 Н.П. Воробович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ УПОРЯДОЧЕНИЯ РАБОТ

В работе представлен комплекс математических моделей задач упорядочения работ. Эти модели используются для разработки оптимальных календарных планов в строительных организациях. Представленный комплекс математических моделей может быть использован для создания различных автоматизированных систем поддержки принятия решений (СППР) для организаций строительной отрасли.

Введение

Согласованная работа всех участников реализации строительного проекта невозможна без построения единого календарного плана. Рационально составленный календарный план является необходимым условием успешного хода работ на стройках и рентабельного функционирования всех организаций - участников реализации проекта.

Задачи календарного планирования являются фундаментом для моделирования производственной деятельности всех организаций данного проекта. Поэтому календарное планирование - один из основных, наиболее сложных, трудоемких и ответственных комплексов задач по управлению проектом. От того, по какому календарному плану работает организация, зависят ритмичность выпуска продукции, длительность производственного цикла, объем незавершенного производства, себестоимость продукции и, наконец, вся экономика производственно-хозяйственной деятельности организации.

Среди комплекса задач календарного планирования важное место занимают различные задачи упорядочения работ. В данной работе представлены математические модели некоторых задач упорядочения работ.