АНАЛИЗ ФАЗОВОЙ СТРУКТУРЫ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ С ПЛАВАЮЩЕЙ ПРОДОЛЬНО СЖАТОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКОЙ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПРОГРЕССИВНЫХ ВОЛН

2020 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 16. Вып. 3 _ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ_

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 532.59:539.3:534.12 МБС 34Е13, 74Л15, 74Л30

Анализ фазовой структуры колебаний жидкости с плавающей продольно сжатой упругой пластинкой при нелинейном взаимодействии поверхностных прогрессивных волн*

А. А. Букатов

Морской гидрофизический институт Российской академии наук, Российская Федерация, 299011, Севастополь, ул. Капитанская, 2

Для цитирования: Букатов А. А. Анализ фазовой структуры колебаний жидкости с плавающей продольно сжатой упругой пластинкой при нелинейном взаимодействии поверхностных прогрессивных волн // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2020. Т. 16. Вып. 3. С. 226-237. https://doi.org/10.21638/1170l/spbu10.2020.301

На основе полученных методом многих масштабов асимптотических разложений до величин третьего порядка малости для потенциала скорости движения жидких частиц и возвышения поверхности пластинка—жидкость (лед—вода) выполнен анализ фазовых характеристик возмущений, формируемых при взаимодействии прогрессивных поверхностных волновых гармоник конечной амплитуды. Изучено влияние нелинейности ускорения вертикальных смещений упругой пластинки на дисперсионные характеристики волновых возмущений. Дана оценка зависимости частоты колебаний от учета нелинейности величин первого и второго приближений, толщины пластинки и продольного сжимающего усилия. Показано, что знак амплитуды второй взаимодействующей гармоники и учет нелинейности ускорения вертикальных смещений продольно сжатой упругой пластинки влияют на фазу колебаний. Получено, что с уменьшением длины волны начальной гармоники влияние нелинейности вертикального ускорения пластинки усиливается. Наличие сжимающего усилия проявляется в уменьшении значения частоты колебания волнового возмущения в сравнении с частотой, полученной при отсутствии продольного сжатия, как при положительном, так и при отрицательном знаке амплитуды второй взаимодействующей гармоники.

Ключевые слова: колебания ледяной пластинки, волны конечной амплитуды, нелинейное взаимодействие волн, изгибная деформация пластинки, продольное сжимающее усилие, фазовые характеристики.

* Работа выполнена в рамках государственного задания по теме № 0827-2018-0003 «Фундаментальные исследования океанологических процессов, определяющих состояние и эволюцию морской среды под влиянием естественных и антропогенных факторов, на основе методов наблюдения и моделирования».

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020

1. Введение. В линейной постановке при отсутствии сжимающего усилия изучение колебаний упругой плавающей пластинки проведено в [1—7], а при его наличии — в [8-12]. Нелинейные колебания абсолютно гибкой плавающей пластинки были рассмотрены в [13], колебания конечной амплитуды без учета нелинейности ускорения вертикальных смещений плавающей упругой пластинки, обусловленных ее изгибом, — в [14-16]. Влияние нелинейности ускорения вертикальных смещений упругой пластинки на распространение периодических поверхностных волн при отсутствии продольного сжатия исследовано в [17], а при его наличии — в [18]. Изучение возмущения поверхности пластинка—жидкость, сформированного при взаимодействии прогрессивных поверхностных волн конечной амплитуды в случае абсолютно гибкой пластинки, выполнено в [19], в случае упругой плавающей пластинки — в [20], а при учете продольного сжатия — в [21].

Цель настоящей работы — исследование фазовых характеристик колебаний поверхности пластинка-жидкость, формируемых при нелинейном взаимодействии бегущих периодических поверхностных волн, в случае продольно сжатой упругой пластинки.

2. Постановка задачи. Пусть неограниченный бассейн конечной глубины Н заполняет однородная идеальная несжимаемая жидкость. На поверхности жидкости плавает тонкая продольно сжатая упругая пластинка, которая, как и жидкость, неограниченна в горизонтальных направлениях. Предполагая движение жидкости потенциальным, а колебания пластинки безотрывными в безразмерных величинах х = кх 1, г = кг 1, Ь = \fkgt 1, ( = к(*, <р = (к2 / \/кд)<р*, где к — волновое число, задача заключается в решении уравнения Лапласа

^хх + ¥гг =0, -<Х> <Х < Ж, -Н < 2 < (

для потенциала скорости у>

т ц 2

и на дне (г = -Н) бассейна

В начальный момент времени

Здесь

д<р дх

д7Г = °

дг

+

д<р

дг

С = /(*), 1-0.

п в п- Ек3 о - д

¿Л — —> и - тттт;-41 - —

рд 12(1 - V2) рд

= Н

21 р''

где Е, Н, рх, V — соответственно модуль нормальной упругости, толщина, плотность, коэффициент Пуассона пластинки; Q — продольное сжимающее усилие, приходя-

2

2

щееся на единицу ширины пластинки; С(х, г) — возвышение поверхности пластинка— жидкость; р — плотность жидкости; д — ускорение свободного падения.

Потенциал скорости ф(х, г, г) и возмущение поверхности пластинка—жидкость С(х, г) связаны кинематическим условием

+

дг дх дх дг

В динамическом условии (2) кк-^ может быть преобразовано следующим образом:

а2с_ , <1 (¿с

Кгъ , — Кгъ , I

¿г2 ¿Л ¿г

¿А дг дх

кк

д /ас д( \ д /ас ас

дг\дг дх I дх\дг дх

Заменим горизонтальную составляющую скорости и производной от потенциала скорости ф(х, г, г) по горизонтальной координате х, считая, что ф в этой работе взято со знаком минус. Тогда и = — Следовательно,

¿г2

д /д( д( дф\ д /д( д( дф\ дф

дн дг дх д:

д

дг д х д х д

Из кинематического условия (5) находим, что

д( д( дф

дф

дг дх дх

В результате имеем уравнение д дф

¿г2

дг д.

+

д /дф\ дф

дх Vдг д

= кк

д

1 ( дф

2 V д

дф ~дг

Таким образом, динамическое условие (2) в нелинейном случае принимает вид

дх4 дх2 дг

1 /дф\ дф 2 V ~дх ) ~~дг

Р.

Выражение с множителем к представляет собой инерцию вертикальных смещений упругой пластинки, где первое слагаемое в скобках характеризует нелинейность ее вертикального ускорения.

3. Уравнения для нелинейных приближений. Решение задачи (1), (3)-(6), сформулированной в безразмерных величинах, было получено с помощью метода многих масштабов [22] в виде уравнений для трех приближений, учитывающих нелинейность ускорения вертикальных смещений продольно сжатой упругой пластинки [21]:

д2срп д2ср„

дх2 дг2

0, -то <х< ж, -Н < г < 0, п =1, 2, 3,

.2 д2 Си

д 2 фи дфи

дх4 дх2 ' " дгдТ0 дТ0

д(п дфп

+ Си

Рп, г 0,

2

д

Здесь

дуп

дг

= 0, г = -Н,

Сп fn(x),

д(п

дТп

= оп, г = о.

ЛП = Еп + Г0, Г = Е0 = Ь-1 = Ох =0, п = 1, 2, 3

д2уг дС±дух_ _ 1

2 ^ дТодг дТх дТ0 дг 2

д_уЛ2 {ду± 2 дх ) V дг

+ ккМ,

= д(х д2у 1 д3ух д2уг = д(х дух д2уг дС,х

дТ0 дг2 <9Т1(9,г' 2 дх дх ^ дг2 дТх'

'дТ0дг дТх дТ2 дх дх дг дг

_ д2ух д2у2 _ д2ух дух д2уг (д(х_ _ дух_\ 1 д3ух 1 ~ дТхдг дТ0дг дгдх дх дг2 \дТ0 дг) дТ0дг2'

= д^_ду2 ду>1_ (<Кх_ _ дС,х дух 2 ~ дТ0 дг дг V дТ0 дТг дх дх

дг АМ У2 дУх д3ух д2ух (д(2 д(х \ д2ух

д3у2 д3у1 д3у1 дС1 д2у2 , д2у2

"4 = от о 9 + "отГ о Ч + о 9 от ' "5 = Т^Г о 9 +

дТодг2 дТо дг3 дг2дТ^

дТ0 дг2 дгдТх'

г . ДГ . д2ух дС2 дух дС1 ду2 д(2 д(х дух (д^ 2

Ьз = - ¿,2 о 9 + —--о--Г —--о----Т^Г +

дг2 дх дх дх дх дТ1 дТ2 дг дх

дг ~ Гх - г. - гх ро (Йухдух

2 3 2 дхдг дх

¿?С1 д2У1 д2 у1 I дгух дх дгдх дг2 2 сЬ3 ' 2

Г0

—кк

д2ух ( ду2_ + дСх_ дух_^ дух_ ( д2у2 + дСх д2ух

+ тт^ +

дхдг дх дх дг

дх I дхдг дх дг2

N

(д2ухУ

дхдг

+

дух д^ух дх дхдг2

г

С2 "ОД'

Оз = —

д^ дТо

дЬ дТх

Слагаемые отвечают за нелинейность ускорения вертикальных смещений

упругой продольно сжатой пластинки.

4. Асимптотические выражения для возвышения поверхности бассейна и потенциала скорости движения жидкости. Уравнения (7)-( 11) выведены для общего случая неустановившихся колебаний конечной амплитуды. Решение этих уравнений для случая нелинейного взаимодействия двух волновых гармоник конечной амплитуды, первое приближение которого задано в виде

С1 = соя в + а1 соя 20, в = х + тТ0 + в(Т1,Т2),

было получено в [21]. Здесь Т1 и Т2 — две медленно меняющиеся по сравнению с г = Т° переменные, Т1 = ег, Т2 = е2г, где е малое, но конечное, в = 0 при г = 0.

Выражения для определения возвышения поверхности пластинка—жидкость С и потенциала скорости движения жидкости ф в размерных величинах до величин третьего порядка малости с учетом нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки представим следующим образом:

Z = a cos в + aai cos20 + (a2ka23 + a?k2a33) cos30 + (a?ka24 + + a3k2a34) cos4e + a3k2a35 cos5e + a2k2a36 cos6e,

<p =a (!)1/2 (шсЬ (z + я)sin 0 +bl2Ch2 (z + я)sin w) +

+ a2yOtg

+ а3кл/кд (633ch3 (z + Я) sin W + 634ch4 (z + H) sin 46» + + 635ch5 (z + H) sin 5в + ЬзесЬб (z + H) + b3ot),

в = kx + at, a = \f~kg

где a — амплитуда начальной гармоники.

Выражение для амплитуды второй взаимодействующей гармоники найдено в виде [21]

, , М2Г1 \ 2

a i = ±

ч4г2 (2т2еШ2Н + 4т2кк + ц2) (1 + 2кк Ш2Н) в котором

т\ = ^2сШЯ + Ш2Я ^сШЯ ^сШЯ + Зк/г^ - 0^ (г2 (сШЯ + кк) + /х 1) ,

г2 = г2 ^ + сШ2ЯсШЯ - к/г ^сШ2Я - ^ сШЯ^ + щ ^сШЯ + сШ2Я^ ,

т2 = (1 - д^2 + Б1к4) (1 + кк ШНГ11Ъ.Н, ш = 1 - г2д1к2 + г4Б1к4, г = 1,..., 2.

Все величины для формул (12)-(14) известны [21], но из-за громоздкости не приводятся. Здесь индекс 1 у латинских символов х, г, г и знак звездочки у греческих С и ф опущены. Отметим, что по (12), (13) можно определить волновое возмущение и без учета нелинейности вертикальных смещений упругой пластинки в (8), принимая во внимание, что = = 0.

5. Анализ результатов. Найденное решение справедливо вне малых окрестностей резонансных значений волнового числа к¿, г = 1,...,4, причем к1 > к2 > кз > к4.

Увеличение дх приводит к росту значений к при фиксированных Н, Е .С утолщением пластинки величина к снижается при постоянных Е, дх. Уменьшение модуля упругости при фиксированных Н и дх увеличивает значения к [21].

Для количественной оценки фазовой структуры волнового возмущения предполагалась упругая продольно сжатая ледовая пластинка со значениями модуля упругости Е = 109 ^ 3-109 Н/м2, коэффициента Пуассона V = 0.34, плотности р\/р = 0.87. Продольное сжимающее усилие выбиралось при условии < необходимом

для устойчивости ледяной пластинки [8, 23].

Профиль возвышения поверхности пластинка—жидкость, рассчитанный по (12), в зависимости от длины волны начальной гармоники при г = 0 представлен на рис. 1. Здесь 2тг/3-103 ^ А ^ тг-103 м, Н = 100 м, к = 1.2 м, а = 1.5 м, Е = 3-Ю9 Н/м2, = 1.5л/Л. Из рис. 1, а видно, что с увеличением длины волны начальной гармоники усиливается проявление высших гармоник в ложбинах между гребнями £(х) (а\ > 0). Изменение знака амплитуды второй взаимодействующей гармоники существенным образом преобразует профиль возвышения поверхности (рис. 1, б). При а\ <0 изменяется структура гребня и ложбины сформированного возмущения. К примеру, заостренный гребень становится двугорбым, с расширяющимся прогибом в сторону увеличения длины волны.

Рис. 1. Профиль волновой поверхности пластинка—жидкость как функция длины волны начальной гармоники при а\ > 0 (а) и а\ < 0 (б) в случае Н = 100 м, Е = 3-109 Н/м2,

(^г = 1.5л/Д Ь = 1.2 м, а = 1.5 м

Зависимость частоты колебаний а волнового возмущения (14), формируемого при нелинейном взаимодействии волновых гармоник, от волнового числа при а = 1 м, Н = 100 м, к = 1 м, Е = 3-Ю9 Н/м2, дх = 0 и дх = 1.5л/£> для случаев сц > 0 и а\ <0 представлена на рис. 2. Сплошные линии на рисунке построены без учета нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки, а штриховые — с учетом № = 0, = 0).

Поведение представленных кривых для значений волнового числа из диапазона к > к\ показывает, что при заданных начальных условиях влияние учета нелинейности ускорения вертикальных смещений продольно сжатой упругой пластинки замет-

О 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0.32

Рис. 2. Распределение частоты колебаний по волновому числу при к = 1 м, Е = 3-109 Н/м2, <31=0

1, 2 — ах >0; 3, 4 — ах <0.

но проявляется в случае глубокой воды (кИ >> 1). При а1 >0 (кривые 1, 2) оно проявляется в увеличении значения частоты колебаний (штриховая линия), а при а1 < 0 (кривые 3, 4) — в ее уменьшении. С ростом длины волны начальной гармоники влияние нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки понижается. Наличие сжимающего усилия = 0) проявляется в снижении значения частоты колебания волнового возмущения в сравнении с частотой, полученной при Q1 = 0, как для а1 > 0, так и для а1 < 0.

Рассмотрим распределение частоты колебаний (14) по волновому числу в линейном случае (рис. 3) и ее нелинейные приближения порядков е (рис. 4) и е2 (рис. 5). На рис. 3 Е = 3-109 Н/м2, Н = 100 м. Кривые 1, 2 получены при Н = 1 м, а 3, 4 — при к = 0.5 м. Для кривых 1, 3 Ql = 0, а для 2, 4 Яг = 1.Ьу/Т>. Видно, что возрастание толщины льда приводит к увеличению частоты в линейном приближении. Наличие продольного сжатия уменьшает значения частоты колебаний. В случае кИ << 1 влияние толщины льда и сжимающего усилия существенно ослабевает.

На рис. 4 для случаев а1 >0 (кривые 1, 2) и а1 <0 (кривые 3, 4) представлено распределение нелинейного приближения частоты колебаний (14) порядка г (без учета множителя г = ак) по к при обозначениях, как и на рис. 2. Из анализа рисунка следует, что при а1 > 0 влияние учета нелинейности вертикального ускорения растет с увеличением к, т. е. с уменьшением длины волны. Наличие продольного сжимающего усилия проявляется в снижении значения а1. Оно понижается и при уменьшении толщины ледовой пластинки. При а1 < 0 величина а1 остается прежней, однако знак изменится на противоположный [21].

Рисунок 5 иллюстрирует зависимость сдвиговой компоненты частоты колебаний (14) второго порядка малости от волнового числа при а1 > 0 (кривые 1, 2) и а1 < 0

Рис. 3. Распределение частоты колебаний по волновому числу в линейном случае при К = 1 м

Рис. 4. Распределение сдвиговой компоненты частоты колебаний в первом приближении по волновому числу для случаев а1 >0

0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

к, м"1

Рис. 5. Распределение сдвиговой компоненты частоты колебаний второго порядка малости по волновому числу при к < к4 (а) и к > кг (б), Н = 1 м, Е = 3-109 Н/м2, Ql = 0 (1, 3),

= (2, 4) с учетом нелинейности ускорения вертикального смещения пластинки

1, 2 — аг >0; 3, 4 — аг <0.

(кривые 3, 4) Для к < к4 (рис. 5, а) и к > к\ (рис. 5, б). Обозначения для рис. 5 те же, что и для рис. 2. Из рис. 5 видно, что в диапазоне к < к^ существует такое волновое число ка, при переходе через которое знак а2 — компоненты порядка малости £2 — меняется с плюса на минус как при Ql =0 [20], так и при Q = 0. Для области к < ка учет нелинейности ускорения вертикальных смещений продольно сжатой упругой пластинки незначительно увеличивает величину модуля компоненты, а для области ка < к < к^ уменьшает. Влияние продольного сжимающего усилия сказывается в увеличении абсолютной величины сдвиговой компоненты в области ка < к < к^. Изменение знака второй взаимодействующей гармоники с плюса на минус проявляется также в росте абсолютного значения а2 при одинаковой длине волны.

При к > к\ знак а2 отрицательный в диапазоне рассмотренных значений к. Учет нелинейности ускорения вертикальных смещений продольно сжатой упругой пластинки уменьшает модуль а2 при фиксированной величине к. Наличие сжимающего усилия как при а\ > 0, так и при а\ < 0 также уменьшает абсолютное значение сдвиговой компоненты второго порядка малости при заданном модуле упругости Е = 3 • 109 Н/м2. Отметим, что и снижение толщины льда ведет к уменьшению модуля а2 при заданных начальных условиях.

6. Заключение. В результате проведенного исследования выполнен анализ фазовых характеристик колебаний, формируемых при нелинейном взаимодействии двух прогрессивных поверхностных волновых гармоник в бассейне с плавающей продольно сжатой упругой пластинкой. Определено, что с увеличением длины волны влияние нелинейности ускорения вертикальных смещений пластинки уменьшается. Наличие сжимающего усилия проявляется в снижении частоты колебания волнового возмущения в сравнении с полученной при отсутствии продольного сжатия как при положительном, так и отрицательном знаке амплитуды второй взаимодействующей гармони-

ки. Для сдвиговой компоненты частоты первого порядка малости при положительном знаке амплитуды второй взаимодействующей гармоники наличие продольного сжимающего усилия также проявляется в уменьшении ее значения. При смене знака амплитуды величина сдвиговой компоненты остается прежней, однако ее знак изменится на противоположный. Для сдвиговой компоненты второго порядка существует такое волновое число, при переходе через которое ее знак меняется с плюса на минус как при сжимающем усилии, так и без него.

Литература

1. Хейсин Д. Е. Нестационарная задача о колебаниях бесконечной пластинки, плавающей на поверхности идеальной жидкости // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 1. С. 163— 167.

2. Bukatov A. E., Cherkesov L. V. Transient vibrations of an elastic plate floating on a liquid surface // Intern. Appl. Mechanics. 1970. Vol. 6. N 8. P. 878-883. https://doi.org/10.1007/BF00889434

3. Tkachenko V. A., Yakovlev V. V. Unsteady bending-gravitational waves in fluid-plate system // Intern. Appl. Mechanics. 1984. Vol. 20. N 3. P. 266-271. https://doi.org/10.1007/BF00883145

4. Daffy D. G. The response of floating ice to a moving, vibrating load // Cold Regions Science and Technology. 1991. Vol. 20. P. 51-64. https://doi.org/10.1016/0165-232X(91)90056-M

5. Squire V. A., Hosking R. J., Kerr A. D., Langhorne P. J. Moving loads on ice plates. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. 236 p. https://doi.org/10.1007/978-94-009-1649-4

6. Sturova I. V. Wave generation by an oscillating submerged cylinder in the presence of a floating semi-infinite elastic plate // Fluid Mech. 2014. Vol. 49. N 4. P. 504-514. https://doi.org/10.1134/S0015462814040103

7. Batyaev E. A., Khabakhpasheva T. I. Hydroelastic waves in a channel covered with a free ice sheet // Fluid Mech. 2015. Vol. 50. N 6. P. 775-788. https://doi.org/10.1134/S0015462815060071

8. Bukatov A. E. Effect of longitudinal compression on transient vibrations of an elastic plate floating on the surface of a liquid // Intern. Appl. Mechanics. 1981. Vol. 17. N 1. P. 75-79. https://doi.org/10.1007/BF00885650

9. Пожуев В. И., Полякова Н. П. Нестационарная задача о воздействии подвижной нагрузки на ледяной покров // Строительная механика и расчет сооружений. 1990. № 6. С. 46-50.

10. Bukatov A. E., Zharkov V. V. Formation of the ice cover's flexural oscillations by action of surface and internal ship waves. Pt 1. Surface waves // Intern. J. Offshore and Polar Engineering. 1997. Vol. 7. N 1. P. 1-12.

11. Kerr A. D. The critical velocities of a moving on a floating ice plate that is subjected to in-plane forces // Cold Regions Science and Technology. 1983. Vol. 6. P. 267-276.

12. Schulkes R. M. S. M., Hosking R. J., Sneyd A. D. Waves due to a steadily moving source on a floating ice plate. Pt 2 // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 180. P. 297-318. https://doi.org/10.1017/S0022112087001812

13. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Propagation of surface wave of finite amplitude in a basin with floating broken ice // Intern. J. Offshore and Polar Engineering. 1999. Vol. 9. N 3. P. 161-166.

14. Gladunand O. M., Fedosenko V. S. Nonlinear steady-state oscillations of an elastic plate floating on the surface of a liquid of finite depth // Fluid Mech. 1989. Vol. 24. N 3. P. 448-455. https://doi.org/10.1007/BF01051589

15. Гольдштейн Р. В., Марченко А. В. О длинных волнах в системе ледяной покров—жидкость при наличии ледового сжатия // Электрофизические и физико-механические свойства льда: сб. науч. трудов ААНИИ. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. С. 188-205.

16. Il'ichev A. T. Soliton-like structures on a water-ice interface // Russian Mathematical Surveys. 2015. Vol. 70. N 6. P. 1051-1103. https://doi.org/10.1070/RM2015v070n06ABEH004974

17. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Finite-amplitude waves in a homogeneous fluid with a floating elastic plate // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2009. Vol. 50. N 5. P. 785-791. https://doi.org/10.1007/s10808-009-0107-x

18. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Nonlinear oscillations of a floating elastic plate // Intern. Appl. Mechanics. 2011. Vol. 46. N 10. P. 1139-1146. https://doi.org/10.1007/s10778-011-0406-9

19. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Interaction of surface waves in a basin with floating broken ice // Physical Oceanography. 2003. N 6. P. 313-332. https://doi.org/10.1023/B:P0CE.0000013230.35798.a4

20. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Phase structure of fluid fluctuations with a floating elastic ice plate under nonlinear interaction of progressive surface waves // Physical Oceanography. 2018. [e-journal] Vol. 25(1). P. 3-17. https://doi.org/10.22449/1573-160X-2018-1-3-17

21. Bukatov A. A. Nonlinear vibrations of a floating longitudinally compressed elastic plate in the interaction of wave harmonics of finite amplitude // Fluid Dynamics. 2019. Vol. 54. N 2. P. 194—204. https://doi.org/10.1134/S0015462819020046

22. Найфе А. Х. Методы возмущений / пер. с англ.; под ред. Ф. Л. Черноусько (Nayfeh A. H. Perturbation methods). М.: Мир, 1976. 455 с.

23. Хейсин Д. Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. 215 с.

Статья поступила в редакцию 20 января 2020 г. Статья принята к печати 13 августа 2020 г.

Контактная информация:

Букатов Антон Алексеевич — канд. физ.-мат. наук; newisland@list.ru

Analysis of the phase structure of fluid vibrations with floating longitudinally compressed elastic plate in nonlinear interaction of the surface progressive waves*

A. A. Bukatov

Marine Hydrophysical Institute of the Russian Academy of Sciences, 2, Каpitanskaya ul., Sevastopol, 299011, Russian Federation

For citation: Bukatov A. A. Analysis of the phase structure of fluid vibrations with floating longitudinally compressed elastic plate in nonlinear interaction of the surface progressive waves. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2020, vol. 16, iss. 3, pp. 226-237. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2020.301

Based on the asymptotic expansions obtained by the multi-scale method up to the third order of smallness for the potential velocity of liquid particles and the plate-fluid surface elevation, the dispersion properties of the vibrations generated by the interaction of progressive surface wave harmonics of finite amplitude are analyzed in the article. The effect of nonlinearity of acceleration of vertical displacements of an elastic plate on the dispersion characteristics of wave disturbances is studied. The dependence of the vibration frequency is estimated by taking into account the nonlinearity of the first and second approximations values, the plate thickness, and the longitudinal compressive force. It is shown that the sign of the amplitude of the second interacting harmonic and the nonlinearity of the acceleration of vertical displacements of the longitudinally compressed elastic plate affect the vibration phase. It was found that with a decrease in the wavelength of the initial harmonic, the influence of the plate's nonlinearity vertical acceleration is enhanced. The presence of compressive force is manifested in a decrease in the frequency of vibrations of the wave disturbance in comparison with the frequency obtained in the absence of longitudinal compression, both with a positive and negative sign of the second interacting harmonic amplitude.

Keywords: ice plate fluctuations, waves of finite amplitude, nonlinear interaction of waves, flexural deformation of a plate, longitudinal compressive force, phase characteristics.

References

1. Kheisin D. E. Nestatsionarnaya zadacha o kolebaniyakh beskonechnoy plastinki, plavayushchey na poverkhnosti ideal'noy zhidkosti [Nonstationary problem of infinite plate fluctuations floating on the ideal fluid surface]. Izvestiya AN SSSR. Mekhanika i Mashinostroyenie [News of AN USSR. Mechanics and Machine-building], 1962, no. 1, pp. 163—167.

2. Bukatov A. E., Cherkesov L. V. Transient vibrations of an elastic plate floating on a liquid surface. Intern. Appl. Mechanics, 1970, vol. 6, no. 8, pp. 878-883. https://doi.org/10.1007/BF00889434

3. Tkachenko V. A., Yakovlev V. V. Unsteady bending-gravitational waves in fluid-plate system. Intern. Appl. Mechanics, 1984, vol. 20, no. 3, pp. 266-271. https://doi.org/10.1007/BF00883145

* This work is carried out within the framework of the State Order N 0827-2019-0003.

4. Daffy D. G. The response of floating ice to a moving, vibrating load. Cold Regions Science and Technology, 1991, vol. 20, pp. 51-64. https://doi.org/10.1016/0165-232X(91)90056-M

5. Squire V. A., Hosking R. J., Kerr A. D., Langhorne P. J. Moving loads on ice plates. Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1996, 236 p. https://doi.org/10.1007/978-94-009-1649-4

6. Sturova I. V. Wave generation by an oscillating submerged cylinder in the presence of a floating semi-infinite elastic plate. Fluid Mech., 2014, vol. 49, no. 4, pp. 504-514. https://doi.org/10.1134/S0015462814040103

7. Batyaev E. A., Khabakhpasheva T. I. Hydroelastic waves in a channel covered with a free ice sheet. Fluid Mech., 2015, vol. 50, no. 6, pp. 775-788. https://doi.org/10.1134/S0015462815060071

8. Bukatov A. E. Effect of longitudinal compression on transient vibrations of an elastic plate floating on the surface of a liquid. Intern. Appl. Mechanics, 1981, vol. 17, no. 1, pp. 75-79.

https://doi.org/10.1007/BF00885650

9. Pozhuev V. I., Polyakova N. P. Nestatsionarnaya zadacha o vozdejstvii podvizhnoj nagruzki na ledyanoj pokrov [Nonstationary problem about effect of a moving load on an ice cover]. Stroitelnay mekhanica i raschet sooruzheniy [Structural mechanics and calculation of structures], 1990, no. 6, pp. 4650.

10. Bukatov A. E., Zharkov V. V. Formation of the ice cover's flexural oscillations by action of surface and internal ship waves. Pt 1. Surface waves. Intern. J. Offshore and Polar Engineering, 1997, vol. 7, no. 1, pp. 1-12.

11. Kerr A. D. The critical velocities of a moving on a floating ice plate that is subjected to in-plane forces. Cold Regions ¡Science and Technology, 1983, vol. 6, pp. 267-276.

12. Schulkes R. M. S. M., Hosking R. J., Sneyd A. D. Waves due to a steadily moving source on a floating ice plate. Pt 2. J. Fluid Mech., 1987, vol. 180, pp. 297-318.

https://doi.org/10.1017/S0022112087001812

13. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Propagation of surface wave of finite amplitude in a basin with floating broken ice. Intern. J. Offshore and Polar Engineering, 1999, vol. 9, no. 3, pp. 161-166.

14. Gladunand O. M., Fedosenko V. S. Nonlinear steady-state oscillations of an elastic plate floating on the surface of a liquid of finite depth. Fluid Mech., 1989, vol. 24, no. 3, pp. 448-455. https://doi.org/10.1007/BF01051589

15. Gol'dshtein R. V., Marchenko A. V. O dlinnykh volnakh v sisteme ledianoi pokrov—zhidkost pri nalichii ledovogo szhatiia [Long waves in the ice-fluid system subject to ice pressure]. Electrical and Mechanical Properties of Ice. Collection of scientistic work of AANII. Leningrad, Gidrometeoizdat Publ., 1989, pp. 188-205.

16. Il'ichev A. T. Soliton-like structures on a water-ice interface. Russian Mathematical Surveys, 2015, vol. 70, no. 6, pp. 1051-1103. https://doi.org/10.1070/RM2015v070n06ABEH004974

17. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Finite-amplitude waves in a homogeneous fluid with a floating elastic plate. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2009, vol. 50, no. 5, pp. 785-791. https://doi.org/10.1007/s10808-009-0107-x

18. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Nonlinear oscillations of a floating elastic plate. Intern. Appl. Mechanics, 2011, vol. 46, no. 10, pp. 1139-1146. https://doi.org/10.1007/s10778-011-0406-9

19. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Interaction of surface waves in a basin with floating broken ice. Physical Oceanography, 2003, no. 6, pp. 313-332. https://doi.org/10.1023/B:P0CE.0000013230.35798.a4

20. Bukatov A. E., Bukatov A. A. Phase structure of fluid fluctuations with a floating elastic ice plate under nonlinear interaction of progressive surface waves. Physical Oceanography, 2018, [e-journal] vol. 25(1), pp. 3-17. https://doi.org/10.22449/1573-160X-2018-1-3-17

21. Bukatov A. A. Nonlinear vibrations of a floating longitudinally compressed elastic plate in the interaction of wave harmonics of finite amplitude. Fluid Dynamics, 2019, vol. 54, no. 2, pp. 194-204. https://doi.org/10.1134/S0015462819020046

22. Nayfeh A. H. Perturbation methods. New York, Wiley-Interscience Publ., 1973

23. Kheisin D. Y. Dinamika ledianogo pokrova [Dynamics of floating ice covers]. Leningrad, Gidro-meteoizdat Publ., 1967, 215 p.

Received: January 20, 2020.

Accepted: August 13, 2020.

Author' s information:

Anton A. Bukatov — PhD in Physics and Mathematics; newisland@list.ru