Особенности формирования математических понятий у школьников в условиях интеграции алгебраического и геометрического методов

№ 1, 2009

ИННОВАЦИИ В ОБРАЗОВАНИИ

ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ У ШКОЛЬНИКОВ В УСЛОВИЯХ ИНТЕГРАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО И ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДОВ

Н. И. Таратынова, аспирант кафедры методики преподавания математики МГПИ им. М. Е. Евсевъева, Nat.I.Taratinova@mail.ru

В статье представлены разные концепции формирования математических понятий у учащихся общеобразовательных учреждений, в том числе авторская, основанная на интеграции алгебраического и геометрического методов. Выделены этапы формирования, перечислены их особенности, которые проиллюстрированы на конкретном примере.

Ключевыге слова: интеграция; формирование математических понятий; интеграция алгебраического

и геометрического методов.

Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого учебного предмета, в том числе предметов математического цикла. Задача учителя — обеспечить полноценное их усвоение. Так, например, если учащимися не будет адекватно усвоено одно из первых математических понятий — понятие о числе, то у них возникнут серьезные трудности при дальнейшем изучении системы счисления, а также в понимании самого термина «система счисления».

Для того чтобы целенаправленно осуществлять процесс формирования математических понятий у школьников, учитель должен хорошо знать разные концепции образования понятий. Логические теории выделяют две стороны в составе любого понятия: содержание и объем. Существующие подходы различаются мнениями относительно того, что считать содержанием, объемом понятия, как протекает процесс конструирования понятий.

При определении понятия часто используют другое, ближайшее, родовое по отношению к нему понятие. В этом случае оно определяется через ближайший род и видовые отличия. В данном подходе содержание понятия отождествляется с его определением, а в качестве единицы содержания выступает выделенная совокупность необходимых и достаточных условий.

В. А. Светлов трактует понятие как мысль о предмете исследования, как часть элементарной мыслительной системы [9]. Содержанием понятия он называет совокупность необходимых условий, выражаемую каждым понятием, объемом — классы вещей универсума, которые выполняют условия содержания. Отличие этой концепции образования понятий от остальных заключается в том, что упор в ней делается не на словесное определение понятия, а на создание представлений об объектах, как принадлежащих понятию, так и не принадлежащих ему. Такая трактовка сразу вводит в рассмотрение объем понятия, а его содержание раскрывается через описание объемов понятий, не принадлежащих к объему изучаемого понятия.

Известные психологи Д. Н. Богоявленский, Н. А. Менчинская, С. Л. Рубинштейн не разделяют процессы формирования научного понятия и усвоения его учениками. Согласно их концепции понятия образуются по схеме: от ощущений и восприятий через анализ и синтез к представлениям, а от них — к понятиям.

Другого мнения придерживаются П. Я. Гальперин и Н. Ф. Талызина [2], которые считают, что формирование понятий не следует растягивать во времени, что это можно осуществить в один прием, когда содержание нового понятия усваивается одновременно, в полном

© Таратынова Н. И., 2009

';:В1Шша ИНТЕГРАЦИЯ

объеме и правильном соотношении признаков, сразу применяется на всем диапазоне намеченного обобщения.

Отличие концепции Н. Ф. Талызиной от других в том, что процесс формирования понятий рассматривается со стороны деятельности, т. е. действий, «связанных с формированием и функционированием понятий». Становление этих действий прослеживается в условиях «всестороннего управления ходом их формирования».

Ряд ученых-методистов (М. Б. Воло-вич, В. А. Далингер, О. Б. Епишева, Г. И. Саранцев и др.) предлагают поэтапное формирование математических понятий у учащихся. М. Б. Волович, например, представляет этот процесс следующим образом:

1) создание ориентировочной основы действий, когда учащиеся записывают определение в краткой схематичной форме;

2) организация пошагового контроля, распознавание объектов, принадлежащих объему понятия, фиксирование всего хода распознавания, выведение следствий;

3) самостоятельное распознавание объектов, принадлежащих объему понятия, выведение следствий, использование кратких записей [1].

В. А. Далингер выделяет такие этапы, как:

1) рассмотрение примеров объектов, входящих в объем понятия;

2) введение термина, обозначающего понятие;

3) рассмотрение примеров, не входящих в объем понятия;

4) формулировка определения понятия;

5) сообщение дополнительных сведений, в частности указание несущественных признаков понятия;

6) систематизация знаний [3].

О. Б. Епишева называет три этапа формирования математических понятий: подготовителъныгй, основной и этап закрепления [4]. На первом этапе ис-

пользуются методические приемы создания проблемной ситуации, в результате изучения которой происходят выявление, анализ и сравнение общих и существенных признаков некоторых объектов. На втором — проводится работа над определением понятия. На этапе закрепления используются следующие методические приемы:

— включение нового понятия в существующую классификацию или классификация данного понятия, упражнения на классификацию и систематизацию понятий;

— теоретические обобщения, устанавливающие логические связи с другими понятиями;

— составление «родословной» понятия;

— упражнения на обобщение и специализацию понятий, на «узнавание» понятий (на чертеже), на замену одного понятия другими;

— решение задач на применение новых понятий;

— повторение на последующих уроках определения понятия.

У перечисленных концепций много общего, но наиболее полной, отвечающей принципам деятельностного подхода, на наш взгляд, является концепция Г. И. Саранцева [7], включающая в себя:

1) мотивацию введения понятия;

2) выделение существенных свойств понятия;

3) синтез выделенных свойств, формулировку определения понятия;

4) понимание смысла слов в определении понятия;

5) усвоение логической структуры определения понятия;

6) запоминание определения понятия;

7) применение понятия;

8) установление связей данного понятия с другими понятиями.

В названной концепции каждому этапу соответствует определенная группа упражнений, реализующих его [8].

Мы предлагаем формирование математических понятий осуществлять по-

№ 1, 2009

этапно в условиях интеграции алгебраического и геометрического методов, что будет способствовать лучшему пониманию и усвоению этих понятий учащимися. При этом содержание перечисленных выше этапов значительно расширяется.

1-й этап. Одновременная трактовка понятия на алгебраическом (буквенносимволическом) и геометрическом языках.

2-й этап. Распознавание объектов, принадлежащих понятию и представленных как в алгебраической, так и в геометрической формах.

3-й этап. Выведение следствий из факта принадлежности объекта данному понятию, в случае если этот объект представлен в геометрической и алгебраической формах.

4-й этап. Решение задач и упражнений на применение данного понятия параллельно алгебраическим и геометрическим методами или методом, включающим в себя действия, связанные с геометрическим образом данного понятия и его алгебраической трактовкой.

Под интеграцией алгебраического и геометрического методов мы понимаем процесс сочетания или связи (слияния) данных методов (приемов), осуществляемый учеником (самостоятельно или под руководством учителя) путем перевода учебной информации с алгебраического языка на геометрический или с геометрического языка на алгебраический и обратно [5].

Интеграция названных методов позволяет формировать понятия в единстве алгебраических и геометрических действий, адекватных этому виду знаний, создавая тем самым у учащихся целостное представление о каждом изучаемом понятии.

П р и м е р. Геометрическая прогрессия

1-й этап. Мотивация введения понятия «геометрическая прогрессия» может осуществляться путем приведения конкретных примеров: процесс деления клеток (из биологии), родословное древо

и т. д. Можно предложить учащимся решить задачу.

З а д а ч а. Некоторые бактерии, помещенные в питательную среду, делятся пополам каждые полчаса. Сколько бактерий в этом случае получится из одной бактерии через 7 ч?

В процессе решения учащиеся находят число бактерий, образовавшихся через каждые полчаса, а затем сумму всех бактерий. После этого учитель сообщает, что задачу можно было бы решить проще, если бы они были знакомы с понятием геометрической прогрессии, примером которой служит полученная ими последовательность чисел: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1 024; 2 048; 4 096; 8 192.

2-й этап. Выделение существенных свойств понятия «геометрическая прогрессия» реализуется следующим образом: учащиеся рассматривают различные примеры геометрических прогрессий и выделяют то общее, что присуще каждой из них, а именно: любой член последовательности получается из предыдущего умножением на одно и то же число. Затем эти существенные свойства перево-

У

8 -

4 -

дятся на геометрический язык, и учащиеся знакомятся с построением геометрического образа этой прогрессии — графиком функции натурального аргумента, представляющим собой совокупность точек плоскости, абсциссы которых есть натуральные

числа, а ординаты соседних точек получаются одна из другой умножением на одно и то же число (рис. 1).

0

2---------

1- — о

Ч--------------1-

1

-т-

2 3 4

Р и с. 1

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ После этого самими учащимися или

с помощью учителя формулируется определение понятия «геометрическая прогрессия»: числовая последовательность Ъ,, Ъ2, Ъ3, ... Ъ ,... называется гео-

1 2 V п 1

метрической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство

Ъ = Ъ

п +1 п

ч,

где Ъп Ф 0, ц — некоторое число, не равное нулю.

Из этой формулы следует, что

ь

п+1

ьп

= д. Число ч называется знамена-

телем геометрическом прогрессии.

3-й этап. На этом этапе выясняется смысл понятия «геометрическая прогрессия», который заключается в том, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов. Верно также и обратное. На этом же этапе учащиеся знакомятся с формулой п-го члена геометрической прогрессии Ьп = Ь^-1.

У

1

0

-1

-2

-3-

-4

-5

----1—і—і—

.---¡Г..;--*

1 2 3 4 5

4-й этап. Для усвоения определения понятия и его геометрического образа учащимся предлагаются упражнения (алгебраического и геометрического содержания) на распознавание объектов, принадлежащих понятию.

1. Какие из нижеприведенных последовательностей являются геометрическими прогрессиями?

а) 1; 3^9; 27; 81; ...;

б) 8 ; 4 ; 2 ; 1; .;

в) - 5; - 8; - 11; - 14; - 17; - 20; ...;

г) 1; 1,1; 1,11; 1,111; ...

2. Изобразите графически в координатной плоскости геометрическую прогрессию, заданную своим п-м членом.

а) Ъп = - 0,8п + 3;

б) ап = 4п - 1.

3. По графикам, представленным на рис. 2, определите значения первых членов каждой последовательности и запишите формулу ее п-го члена. Являются ли эти последовательности геометрическими прогрессиями?

У

1

2

3

2

0

1

2

3

4

а

р и

4. После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20 % находящегося в нем воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было равным 750 мм рт. ст.

5. Какие из данных на рис. 3 последовательностей являются геометрическими прогрессиями?

. 2

5-й этап. Использование понятия в конкретных ситуациях. На этом этапе решаются задачи на нахождение элементов геометрической прогрессии, а также текстовые задачи и задачи геометрического содержания. Приведем примеры.

№ 1, 2009

Р и с. 3

1. Запишите первые пять членов геометрической прогрессии, если:

2

а) Ъ1 = 5, я = з;

б) Ъ1 = 7, я =- 4.

2. По графикам, представленным на рис. 4, определите значения первых членов последовательностей. Запишите формулу п-го члена каждой последовательности.

с. 4

ИНТЕГРАЦИЯ

3. Первый, второй и четвертый члены геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

4. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

5. Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Найдите площадь седьмого квадрата.

6. Пусть х1 и х2 — корни уравнения х2 - 3х + А = 0, а х3 и х4 — корни уравнения х2 — 12х + В = 0. Известно, что числа х1; х2; х3; х4 образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Найдите А и В [6].

Аналогично, сочетая аналитические действия и геометрические образы, можно ввести понятие арифметической прогрессии. Использование геометрических образов при изучении арифметической и геометрической прогрессий готовит учащихся к наглядно-геометрическому введению понятия предела последовательности. Понятия последовательности и ее

предела являются базовыми понятиями математического анализа, от их правильного формирования зависят успехи учащихся в овладении не только элементарной, но и высшей математикой.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Волович, М. Б. Наука обучать: Технология преподавания математики / М. Б. Волович. — М. : ЬПЧКЛ-РКЕ88, 1995. — 280 с.

2. Гальперин, П. Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка / П. Я. Гальперин. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1985. — 45 с.

3. Далингер, В. А. Совершенствование процесса обучения математике на основе реализации внутрипредметных связей / В. А. Далингер. — Омск : ОмИПКРО, 1993. — 323 с.

4. Епишева, О. Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов умственной деятельности : кн. для учителя / О. Б. Епишева, В. И. Крупич. — М. : Просвещение, 1990. — 128 с.

5. Капкаева, Л. С. Интеграция алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании / Л. С. Капкаева ; Мордов. гос. пед. ин-т. — Саранск, 2004. — 287 с.

6. Ларичев, П. А. Сборник задач по алгебре. В 2 ч. Ч. 2 (9—10 кл.) / П. А. Ларичев. — М. : Учпедгиз, 1961. — 223 с.

7. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе : учеб. пособие для студентов математ. специальностей педагог. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. — М. : Просвещение, 2002. — 224 с.

8. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2005. — 255 с.

9. Светлов В. А. Практическая логика / В. А. Светлов. — СПб. : Изд-во РХГИ, 1995. — 126 с.

Поступила 10.06.08.

СОЦИАЛЬНОЕ СОТРУДНИЧЕСТВО В РЕАЛИЗАЦИИ РЕГИОНАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ РАЗВИТИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ЭКОЛОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Н. Н. Архипова, директор Детского эколого-биологического центра Республики Марий Эл (г. Йошкар-Ола), паНуа. 69@mail.ru

В статье представлены некоторые социально-педагогические условия, способствующие развитию и совершенствованию деятельности школьных лесничеств в рамках региональной программы развития дополнительного экологического образования.

Ключевые слова: дополнительное экологическое образование детей; школьные лесничества; социальное сотрудничество; региональная программа развития.

Сегодня нововведения появляются на чального и среднего, в процессах орга-всех уровнях образования: высшего, на- низации обучения в общеобразователь-

© Архипова Н. Н., 2009