Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих ортотропных оболочек на упругом основании

А. В. Михеев

ВЛИЯНИЕ СДВИГА НА ЛОКАЛЬНУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

1. Введение. Для решения задачи о потере устойчивости тонких пологих оболочек под действием безмоментных усилий в ряде случаев применим, так называемый, локальный подход, заключающийся в «замораживании» коэффициентов системы уравнений устойчивости [1]. Этот подход был применен [2] при рассмотрении задачи о потере устойчивости пологой трансверсально изотропной оболочки модели Тимошенко на упругом основании (см. [3]). Цель данной работы — обобщить результат, полученный в [2], на случай ортотропных оболочек. Сходные задачи с другими условиями уже рассматривались в ряде работ. Так, в статье [4] анализируется влияние поперечного сдвига на устойчивость сферической оболочки под действием равномерного давления. В работе [5] исследуется вопрос о потере устойчивости анизотропных оболочек модели Кирхгоффа—Лява. В [6] изучается влияние поперечного сдвига на устойчивость стеклопластиковых пластинок, находящихся на упругом основании. В работе [7] рассматривается вопрос о потере устойчивости пологих трансверсально изотропных оболочек модели Кирхгоффа—Лява на упругом основании.

2. Постановка задачи. Рассматривается пологая ортотропная оболочка на упругом основании, находящаяся под действием безмоментных начальных усилий. Предполагается справедливость гипотезы Тимошенко и соотношений технической теории оболочек. Требуется получить общий вид уравнений устойчивости и выражение для критической нагрузки и исследовать влияние сдвига на критическую нагрузку на конкретном примере. Рассматрим сферическую оболочку из стеклопластика.

3. Уравнения устойчивости пологих ортотропных оболочек модели Тимошенко на упругом основании. Введем на серединной поверхности рассматриваемой оболочки систему криволинейных координат а, ß так, чтобы их направления совпали с направлениями главных кривизн. Система уравнений равновесия модели Тимошенко для пологой ортотропной оболочки на упругом основании в проекциях на орты после деформации будет иметь следующий вид:

dT1 dS г ,

~д^+д^ + <11-0’ {1’2}

^ Н—^—Ь

dM1 dH г ,

~d^ + ~d^ + Ql~°’ {1’2}

где x = аА, y = ßB, hi = 1/Ri (i = 1, 2), A, B — коэффициенты первой квадратичной формы серединной поверхности оболочки, Ri, R2 — главные радиусы кривизны, Ti,T2, S — тангенциальные усилия, Qi,Q2 —перерезывающие усилия, Mi,M2, H — изгибающие и крутящий моменты, qi,q2,qn — проекции интенсивности внешней нагрузки,

© А. В. Михеев, 2007

отнесенные к единице площади серединной поверхности, Р — реакция основания,

Е1к(е1+1/21£2) Ъ/Г Еф (х1 +1У21х2) п и, ^ Г1 ОТ

Т1 = —гл-----------, М1 = ~Г^п--------------------<?1 = С13/1(</£>1-71), {1,2}

5 = а12Нш, Н

012.Ь?г'

6

3п1 дш 3^1 / д(р1

—--------к\и), 71 = -^---«1^1, = ~~Б~’ *1 = ~~Б—;

дх дх дх дх

ди1 ди2 д^1 / 1 (дф1 д^2 А

ду дх ’ ду ’ 2 \ ду ^ дх )

Здесь Н — толщина оболочки, у>1, ^2 —углы поворота волокон, и1, и2, ш — проекции перемещения, 012 —модуль сдвига в касательном направлении, О13, 023 —модули сдвига

5

в трансверсальном направлении, С?'3 = з, где г = 1, 2, к = ——коэффициент, учи-

6

тывающий неравномерность распределения напряжений сдвига по толщине оболочки, ^12, ^21 —коэффициенты Пуассона, выражение {1,2} означает, что имеет место еще одно соотношение, полученное циклической перестановкой х, у; 1, 2. В отличие от модели Кирхгоффа—Лява, данная система имеет не восьмой, а десятый порядок.

Полагая нагрузку следящей, заменим каждую из входящих в систему (1) неизвестных функций у>1, у>2, и1, и2, ш суммами двух слагаемых + у>1, ¡р2 + Ч>°, и? + и1, и° + и2, ш° + ш, где первые слагаемые — функции, соответствующие исследуемому напряженному состоянию, а вторые — их малые вариации. Произведя линеаризацию, получаем следующую систему уравнений устойчивости:

дТ1 дБ г ,

~д^+д^-°’ {1’2}

1^ + 1^+к1Т1+ к2Т2 + 1^ + 2Б°Т + Т2^ + Р = °’ (2) дМ1 дН г ,

~д^ + ^+Я1-^ {1’2}

где {Т0, Т20, 5°} = —Л{^1, ¿2, ^з}, Т°, Т°, 5° —начальные усилия, Л — параметр нагружения. Величины ¿1, ¿2, ¿з являются безразмерными и имеют порядок единицы. Введем функции усилий Ф, Ф, 0 таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

д2Ф д2Ф д2Ф дФ д0

1 = яТ’ -*2 = ~я“Т’ = “ Я Я ’ ^’1 = “"я-’ =

ду2 дх2 дхду дх ду

Тогда из системы (2) получим 1 д4Ф 1 д4Ф

+ -^-Г^Г +

(_________^12 ^21 ^ дАФ | д _

^12/1 Е2к Е\к) дх?ду2 ^ ’

Е1Н ду4 Е2Н дх4 ^ , /д2ш д2ФN ^ , /д2ш д20\ л ж л „ п

23Ч^-^) ^ ’

д2Ф д2Ф д20

Е^~о^Г ^12Пр~о^Т ^12п^) 0у2 + а1(и’ — Ф) = О,

д20 д20 д2Ф

£-2 0у2 ^12пи дх2 + {Ей + С12П,) + 0!2(«; — 0) = 0.

Здесь

Еи = Е11/21 = Е21/12, п„ = 1- V 12^21, «1 = 2},

д2 д2 д2 д2 д2

Ак = к2^ + к1 — , Дт=Т1°— + 25°—Г + Т° —.

дх2 ду2 дх2 дхду ду2

Будем искать решения (3) в виде

рх + ду

w = w0eiz, Ф = Ф0егz, Ф = Ф0е“, 0 = 0oeiz, z =

R

где И, — характерный линейный размер серединной поверхности (например, радиус

кривизны). Согласно [2], для реакции основания имеем Р =--------------——, где г =

_______ R

у/р2 + д2, Е0, у° — модуль Юнга и коэффициент Пуассона основания, соответственно,

= 2

а° (1+ г/0) (3-4г/0)'

Выразив параметр нагружения Л = — из (3), получим

Н

Л_ 1 ( (P2P2 + Piq2)2 G[3p2P1 + G'23q2P2

tip2 + 2tspq + t2q2 + ^ + Q

+^Vp2 + 42 h±

:Vp2 + q2^j

h 12G' n

где /i* = —, Pi = Rki, Ai = ------^ v (i = 1,2), P\(p,q) = ¿^G^n^4 + EiGun^p4 +

(E1E2 - 2EvGnnv - EV)p2q2 + E1A2P2 + (2Gi2^2nv + A2EV)q2, P2(p, q) = EiGunvp4 + E2Gi2nvq4 + (E1E2 — 2EvGi2nv — E¡2)p2q2 + E2Aiq2 + (2Gi2Ain^ + AiEv)p2, Q(p, q) = EiGi2nv p4 + E2Gi2nv q4 + (EiE2 — 2Ev Gi2nv — EV)p2q2 + (EiA2 + Gi2Ainv )p2 + (E2Ai + Gi2A2nv )q2 + AiA2.

s cos ф s sin ф Eoao Ei

Пусть b2 = c\E\, G12 = С2-П/1, p = —77^, g = —77^, w = ~

.*i/2 ’ 4 hi/2 ’ EihJ2 % Ah

(* = 1,2), Л' = • Тогда

.Ei h*

1 / /д(у>) s2 ffi(s,y)cos2y + ff2(g,y’)sin2y a;

1т(Ф) Vs2/(^) 12«^ 9з(я,ф) s

где

/д(ф) = (p2 cos2 ф + Pi sin2 ф)2, /T(ф) = ti cos2 ф + 2t3 cos фsin ф + t2 sin2 ф,

4 cos4 ф / 1 Vi2 \ 2 2

j(<p) = sin <p H-----------1---------------c\V\2 sin ф cos ip,

Ci Vc2 ci /

gi(s, ф) = cic2a2'nvs2 sin4 ф + C2a2'nvs2 cos4 ф + cia2(1 — 2c2Vi2)nvs2 cos2 фsin2 ф+

(2c2nv + civi2) sin2 ф + cos2 ф,

g2(s, ф) = cic2ainvs2 sin4 ф + C2ainvs2 cos4 ф + ciai(1 — 2c2Vi2)nvs2 cos2 фsin2 ф+

(2c2nv + civi2) cos2 ф + ci sin2 ф,

gs(s, ф) = cic2aia2nvs4 sin4 ф + C2aia,2'nvs4 cos4 ф + ciaia2(1 — 2c2Vi2)nvs4 cos2 фsin2 ф+

(cia2 + C2ainv)s2 sin2 ф + (ai + C2a2nv)s2 cos2 ф +1.

Критическое значение параметра нагружения получаем после минимизации функции A/(s, ф, ш) по переменным s,tp:

Л» = min +A/(s, ф, ш) = A/(s*, ф*, ш),

8,<р

где знак + говорит о том, что ищется положительный минимум, а звездочка указывает на критические значения соответствующих величин. Предполагается также, что существуют такие ф, при которых /т(ф) > 0.

4. Частные случаи. Рассмотрим два частных случая, к которым сводится выражение для параметра нагружения Л/.

4.1. Трансверсально изотропная оболочка модели Тимошенко на упругом

E

основании. В этом случае Е\ = Е2 = Е, v 12 = г/21 = G12 =

__ _ _ Eh*

^13 — ^23 — ^ ; а — a\ — a2 —

12G'n,

2

1 (fR(lP) , s2 1

Л'(в, ф, о») — 2 Ь тт; 2 I 1 ^

/т(ф) у в2 12«^ ав2 + 1 в

Данное выражение совпадает с полученным в [2].

4.2. Ортотропная оболочка оболочка модели Кирхгоффа—Лява на упругом основании. Рассмотрим, как упростится выражение для Л', когда модули сдвига а1, а2 равны нулю. В этом случае

1 (/д(у>) и

А'^'и) = Ш(7Ш+п^дМ + ~

где

д(ф) = cos4 ф + ci sin4 ф + (2civi2 + 4c2(1 — c^^)) cos2 фsin2 ф.

5. Пример. Пусть у нас имеется ортотропная сферическая оболочка из стеклопластика со следующими характеристиками [8]: Ei = 36 * 103МПа, E2 = 26.3 * 103МПа, Gi2 = 4.9 * 103МПа, Gi3 = 4.4 * 103МПа, G23 = 4 * 103МПа, vi2 = 0.105. В данном случае pi = р2 = 1, ci = 0.73, c2 = 0.14, G'i3 = 3.7 * 103МПа, G'23 = 3.3 * 103МПа. Безразмерную толщину оболочки h* полагаем равной 0.01. При однородном сжатии сферы (случай 1) ti = ¿2 = 1, t3 = 0, при чистом сдвиге (случай 2) ti = ¿2 =0 и ¿3 = 1, при сжатии вдоль направления а (случай 3) ti = 1, ¿2 = ¿3 =0 и, наконец, при сжатии вдоль направления в (случай 4) ¿2 = 1, ¿i = ¿3 = 0. Проанализируем, как влияют параметры сдвига ai и Я2 на зависимость параметра критической нагрузки Л*(ш), параметра волнообразования s*(w) и угла наклона вмятин ф* (ш) от коэффициента жесткости основания ш в случаях 1-4.

5.1. Критическая нагрузка. Зависимость Л*(ш) для случаев 1, 3 и 4 отображена на рис. 1 и 2. Здесь iK — график зависимости Л*(ш) в модели Кирхгоффа—Лявадля i-го случая (i = 1, 3, 4), iT — аналогичные кривые для случаев 1, 3 и 4 в модели Тимошенко. Значения параметра критической нагрузки при некоторых ш в случаях 1-4 представлены также в таблице 1. (K — модель Кирхгоффа—Лява, T — модель Тимошенко). Как видно из графиков и таблицы, значение критической нагрузки монотонно возрастает с увеличением ш. Значение критической нагрузки для однородного сжатия при данных

1 2 3 4

ио К Т К Т К Т К Т

0 0.296 0.294 0.297 0.294 0.450 0.446 0.425 0.421

0.5 0.559 0.553 0.560 0.555 0.762 0.753 0.710 0.702

1 0.781 0.772 0.785 0.776 1.011 0.996 0.939 0.925

10 3.247 3.118 3.271 3.142 3.890 3.714 3.512 3.352

2 4 6 8 10 ю 2 4 6 8 ю 2 4 6

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

характеристиках упругости материала оболочки весьма близко к ее значению для чистого сдвига. Поэтому кривые для случая 2 из соображений удобства не приводятся. Влияние параметра сдвига на критическую нагрузку относительно невелико — в каждом из 4-х случаев относительная поправка составляет приблизительно от 0.5% при и = 0 до 4% при и = 10. Таким образом, с возрастанием жесткости основания влияние сдвига на значение критической нагрузки также возрастает. Более подробно зависимость относительной погрешности (в процентах) от жесткости основания для случая 1 представлена на рис. 3. Наибольшее значение критическая нагрузка принимает при сжатии вдоль наиболее прочной параллели а(4), немного меньшее значение она принимает для сжатия вдоль в(3), затем идут чистый сдвиг (2) и однородное сжатие (1).

5.2. Угол наклона и размер вмятин. Вмятины, образовавшиеся при потере устойчивости, наклонены к оси в под углом — ф*. Зависимость ф* от и отображена на рисунках 4, 5, 6 и в таблице 2. Условные обозначения на рисунках аналогичны тем,

Рис. 4. Рис. 5. Рис. 6.

Таблица 2

1 2 3 4

ио К Т К Т К Т К Т

0 0.825 0.825 0.804 0.804 0.438 0.436 1.127 1.130

0.5 0.858 0.858 0.810 0.810 0.237 0.230 1.285 1.290

1 0.876 0.877 0.812 0.812 0 0 1.395 1.405

10 0.915 0.923 0.814 0.814 0 0 1.571 1.571

1 2

К T К T

u> p q P q P q P q

0 11.627 12.579 11.716 12.678 11.846 12.298 11.938 12.392

0.5 13.704 15.846 13.878 16.071 14.360 15.077 14.553 15.279

1 15.328 18.407 15.592 18.774 16.371 17.255 16.678 17.576

10 28.532 37.098 30.717 40.564 31.922 33.820 34.700 36.723

Таблица 4

3 4

к T К T

u> p q P q P q P q

0 14.997 7.031 15.161 7.0610 7.788 16.393 7.828 16.578

0.5 18.890 4.553 19.244 4.500 6.148 20.889 6.145 21.292

1 21.540 0 22.035 0 4.258 23.971 4.125 24.591

10 39.518 0 43.452 0 0 44.009 0 48.400

что были в п. 5.1. В случае сжатия вдоль а угол наклона вмятин ф* монотонно убывает от 0.44 при ш = 0 до нуля при ш > 0.95. При сжатии вдоль в угол ф* монотонно возрастает от 1.12 при ш = 0, пока не становится равным п/2 при ш > 1.53. Как мы видим из табл. 2, влияние сдвига на величину угла наклона вмятин минимально. Некоторое отличие имеет место лишь в случаях 3 и 4. О форме получившихся вмятин можно судить из табл. 3 и 4. Как мы видим, при учете сдвига коэффициенты волнообразования p и q имеют несколько большее значение. В случае сжатия вдоль параллели а с увеличением ш вмятины вытягиваются вдоль в и, соответственно, при сжатии вдоль в вмятины вытягиваются вдоль а.

Summary

A. V. Miheev. The influence of the shear parameter on the local stability of shallow orthotropic shells on the elastic base.

We consider the problem of buckling of a shallow orthotropic shell on the elastic base. The equations of stability and the expressions of load parameter are obtained. The critical loads for the Kirchgoff—Love and Timoshenko models are compared. The results obtained are illustrated by the case of a shell made of glass-fiber material.

Литература

1. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995.

2. Михеев А. В. Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих оболочек на упругом основании // Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. Сборник трудов, посвященных 70-летию профессора П. Е. Товстика. СПб.: ВВМ, 2006.

3. Биргер И. А. Стержни, пластинки, оболочки. М.: Физматлит, 1992.

4. Гнуни В. Ц. Анализ влияния поперечных сдвигов на характеристики жесткости, устойчивости и колебаний пологих оболочек двоякой постоянной кривизны // Известия НАН Армении. 2003. Т. 56. №4. С. 39-45.

5. Haseganu E. M., Smirnov A. L., Tovstik P. E. Buckling of thin anisotropic shells // Trans. CSME. 2000. V. 24, N 1B. P. 169-178.

6. Пелех Б. Л., Тетерс Г. А., Мельник Р. В. Об устойчивости стеклопластиковых пластинок, связанных с упругим основанием // Механика полимеров. 1968. №6. С. 1082-1088.

7. Товстик П. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании // Известия РАН. 2005. Вып. 1. С. 147-160.

8. Агаловян Л. А., Гулгазарян Л. Г. Асимпотические решения некласических краевых задач о собственных колебаниях ортотропных оболочек // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 1. С. 111-125.

Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.