Система массового обслуживания неделимых групповых заявок с очередью неограниченной длины

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 519.2

СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НЕДЕЛИМЫХ ГРУППОВЫХ ЗАЯВОК С ОЧЕРЕДЬЮ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ

В.Б. МОНСИК, А.А. СКРЫННИКОВ, А.Ю. ФЕДОТОВ

Рассматривается многоканальная система массового обслуживания неделимых групповых заявок с очередью неограниченной длины, простым групповым потоком на входе и экспоненциально распределённым временем обслуживания. Для частного случая - двухканальной системы, на вход которой поступают одиночные и парные заявки, - получено уравнение относительно производящих функций стационарных вероятностей состояний системы.

Ключевые слова: теория массового обслуживания, неделимые групповые заявки.

Современный этап развития науки и техники обуславливает острую необходимость в анализе сложных систем. Одной из математических дисциплин прикладного характера, обслуживающих эту потребность, является теория массового обслуживания (ТМО). ТМО занимается построением математических моделей специальных систем - систем массового обслуживания (СМО), - основным предназначением которых является многократное выполнение однотипных операций. Для моделей СМО характерна малая общность, вследствие чего под конкретную прикладную задачу, зачастую, приходится разрабатывать новую модель, учитывающую специфику исследуемой системы.

Рассмотрим, например, некоторые варианты функционирования грузовой авиакомпании. Здесь под входящим потоком событий будем понимать поток заявок на перевозку грузов, а в качестве каналов обслуживания выступают грузовые самолёты. В ряде часто встречающихся случаев из потока заявок можно выделить заявки, для выполнения которых потребуется отправить в рейс не один, а два и более грузовых самолётов. Характерно и то, что группа самолётов после выполнения задания возвращается на аэродром базирования в том же составе. Если в момент поступления очередной заявки на грузовую авиаперевозку число грузовых самолётов на аэродроме меньше требуемого, то заявка ставится в очередь и ждёт прибытия недостающего для её выполнения числа самолётов.

В современной литературе подходящей данному примеру модели не приводится, а потребность анализа функционирования подобных систем существует, поэтому очевидной становится необходимость в разработке такой модели.

1. Постановка и формализация задачи

Рассматривается п -канальная СМО, на вход которой подаётся простой групповой (неординарный) поток требований. Последнее означает, что в случайные моменты времени і , і < і+1, і > 1 в СМО

поступают заявки, состоящие из случайного числа требований. Число требований в составе і -й заяв-

ки задаётся вектором допустимых значений R = , г. < г.+1 < п размера т < п и рядом распреде-

ления /к = Р(п% = гк). Интервалы времени Т = і — 1-1 между моментами поступлений соседних заявок (Т - это время до поступления первой заявки с момента начала функционирования СМО ¿0 = 0) распределены по экспоненциальному закону с функцией распределения

Введение

А(г) = Р(Т < г) =

0, если г < 0;

1 - е ~м, если г > 0,

где 1 - параметр этого закона. Таким образом, неординарный поток однозначно определяется двумерной последовательностью {(т, пг), і > 1} . Если в момент поступления очередной заявки имеется достаточное число свободных каналов, то заявка принимается на обслуживание, в противном случае она становится в очередь, где ожидает освобождения недостающих каналов обслуживания. При поступлении на

обслуживание каждое требование заявки занимает отдельный канал. Обслуживание заявки размером гк (состоящей из гк требований) продолжается случайное время, распределённое по экспоненциальному

закону с функцией распределения Вк (і) и параметром цк , после чего эта заявка покидает систему. При

выборе заявок из очереди на обслуживание при прочих равных условиях предпочтение отдаётся заявкам наибольшего размера.

2. Двухканальная СМО

Рассмотрим простейший случай - двухканальную СМО, на вход которой поступает простой групповой поток требований, состоящий из одиночных и парных заявок, R = (1, 2).

Из теоремы о разрежении пуассоновского потока [1] следует, что можно произвести декомпозицию исходного простого группового потока требований на т независимых в совокупности потоков, каждый

из которых содержит заявки фиксированного размера гк, к = 1, т . Полученные таким образом потоки

заявок являются пуассоновскими с интенсивностями Хк = /кЛ соответственно.

Пусть хк (і), ук (і) и zk (і) - число заявок размером гк, находящихся соответственно на обслуживании, в очереди и в системе (совместно на обслуживании и в очереди).

Как правило, расчёт основных показателей производительности СМО с очередью базируется на распределениях вероятностей величин хк (і) и ук (і). Поэтому интуитивно понятно, что функционирование рассматриваемой СМО следовало бы описать векторным случайным процессом {(х1(і), х2(і), у1(і), у2(і)), і > 0} . При этом предложенный процесс является марковским, так как время

обслуживания заявки размером гк - экспоненциально распределённая случайная величина, а поток поступлений заявок того же размера пуассоновский. Однако четыре компоненты для описания состояния СМО избыточны, так для моделирования исследуемой СМО достаточно рассмотреть случайный процесс

{(х2(іУ2(1)1 і > 0}

а недостающие представляющие интерес компоненты могут быть найдены по формулам

0, если х2 (г) = 1V (г) = 0, х1 (г) = <¡1, если х2 (г) = 0 а * (г) = 1, у1(і) = z1(t) — х1(і).

2, если х2 (г) = 0 а * (г) > 1,

Для моделируемой системы был построен размеченный граф состояний (рис. 1).

Пусть

Ры] (г) = Р(Х2 (г) = ^ Л (г) = Ь *1 (г) = І) .

Воспользовавшись графом состояний, запишем систему уравнений равновесия

0 = —(Л1 + ^)Р000 + ^1Р001 + ^2 Р100 •

?

0 = —(Л1 + А2 + ^1)Р001 + Л1Р000 + 2^1Р002 + ^2Р101 .

?

0 = —(Л1 + Л2 + ^1)Р0і1 + Л2Р0,і—1,1 + 2^1Р0і2

0 = —(Л1 + Л2 + 2^1)Р00. + Л1Р0,0, з — 1 + 2^1Р0,0, з + 1 + ^2Р10]

і>1;

з > 2;

0 - -(А + А2 + 2^1)р0з + Лр0лз-1 + 2^1Р0Лз + 1 + А2Р0,*-1,з 0 - -(А1 + Л2 + ^2)Р100 + Х2Р000 + ^1Р011 + №:

, г > 1, 3 > 2 ;

110

0 - -(А1 + А2 + ^2)Р10з + ЛР1,0,з-1 + ^2Р11з

, з > 1;

0 - -(А1 + А2 + ^2)Р1г0 + А2Р1,г-1,0 + ^1Р0,г+1,1 + ^2Р1,г+1,0 г > 1 .

0 - -(А1 + А2 + ^2)Р1г, + А1Р1,г,3-1 + А2Р1,г-1,з + ^2Р1,г+1,з

г, з > 1 •

Рис. 1. Размеченный граф состояний двухканальной СМО Введём производящие функции

^о( 21> 2 2) = Е Е РоА*? = Е С0 ; (21 )22 -1 = Е б0, (2 2 ) >

1=1 ,=0

1=1

^1(*1, 2 2 ) = ЕЕ Ры21 2 2 = Е ^ (*1)22; = Е бн (2 2 ) *1 , 0 £ *1 £ Ь 0 £ *2 £ 1

1=0 ,=0 1=0 ,=0

Нормирующее условие в терминах производящих функций примет вид

р000 + Р0(1,1) + Р1(1,1) - 1 •

,=0

Преобразуем рекуррентные уравнения к уравнениям относительно производящих функций. Для этого умножим рекуррентные уравнения, содержащие вероятности Р0Л , р00 , р , р , р1г0 , р , соот-

г з -1 г з -1 з г г з ~

ветственно на ^ , ¿2 , , 2 , ¿1, ^1^2 и просуммируем каждое из полученных выражений по всем

возможным значениям индексов г и j . После элементарных преобразований получаем

0 - -(А1 + А2 + (^01(^1) - р001) + А221С01(г1) + 2Д (^02(^1) - р002 ) .

?

0 - -(А1 + А + 2^1)(^00(^2) - р001 ) + Л^2^00(^2) +

+ 2^/¿2 (^00(^2) - р002г2 - р001 ) + Д2 (^10(^2) - р101 ) .

?

0 - -(А1 + А2 + 2^1)(Р0(^1, ¿2) - С01(^1) - ^00(^2) + р001 ) + \г2 (р)(г1> ¿2) - ^00(^2)) +

+А2^1 (Р0(^1, ¿2) - С01(^1)) + 2^/¿2 (Р0(^1, ¿2) - <^02(г1)г2 - С01(^1) - ^00(^2) + р002*2 + р001 ) .

?

0 - -(А1 + А2 + ^2) (^10(^2) - р100) + Х122^10(г2) + Д2 (^11(^2) - р110) .

?

0 - -(А1 + А2 + Д2)(°10(г1) - р100 ) + А2^1С10(^1) +

+ Д1/Ч (^01(^1) - р011^1 - р001 ) + Д2/Ч (С<10(^1) - р110^1 - р100 ) .

?

0 - -(А1 + + ^2)(р>1(^1, ^2) -С10(^1) -^10(^2) + р100 ) + \г2 (Р1(г1, г2) -^10(^2)) +

1 2 10 1 10 2 100 1 2 1 1 2 10 2

+ 1 21 (Р1 (21 , 22 ) — (21 ))+ ^2 /21 [Р1 (21, 22 ) — О10 (21 ) — 21 (б11(22 ) — Р110 )~ б10 (22) + Р100 ] • После сложения полученных уравнений между собой и с уравнениями (1)-(3), имеем

0 - (2^1!^2 + А^^2 + А2^1 - А1 - А^ - 2д) Р^)(^1, ^2) +

+ (^2/¿1 + \г2 + А2^1 - А1 - А2 - Д2 ) Р1(^1> ¿2) +

+ т

1

+ 1 -

2

V 21

3,1 (21 ) + т2

'2 У

1-

1

бю (2 2 ) + А1

'1 У

1-

1

Л

р001 + А2 р1

'1 У

Из теории производящих функций известно „ _Э2р0

Э21Э2 2

Э2р1

2і = 22 =0

Зл( 21) =

ЭР0( 21, 2 2 ) Э2-,

б10( 2 2 ) =

22 =0

Э2, Э2 2

1 2 21 = 22 =0

ЭР1

Э21

21 =0

Выполнив подстановку, получаем

0 - (2д /г2 + А^ + А2^1 - А - А - 2д) р (^, ^2) +

12

+ А

+ (А/ 21 + 1 2 2 + 1 21 1 1 А2 )Р1 ( 21, 2 2 ) +

ЭР1

V 21

'2 У

Э2

(

+ А

22 =0

1 -

1

Л

2

+ А

^ - 'ІЭ2-Р„

'1 У

Э21Э2 2

1

2

+ а

Э21

Э 2Р1

+

21 =0

2

21 = 22 =0

Э2, Э2 2

1 2 2-1 = 22 =0

Дополнительным условием для решения данного уравнения служит непрерывность функций Р0(г1, г2) и р(¿р¿2) в квадрате {0 < г1 < 1; 0 < г2 < 1} .

Искомые вероятности связаны с производящими функциями обратным преобразованием

Э'+J-'P„

Р“‘ Л(] - 1)!Эг,'Эг2-1

а p000 находится из условия нормировки

Plr,

Э"]P

7]z1 Э^

p000 - 1 - W) - p

1^2

P‘2

Заключение

Поставлена и формализована задача построения математической модели многоканальной СМО неделимых групповых заявок, с очередью неограниченной длины и простым групповым потоком требований на входе. Для частного случая - двухканальной СМО - построен размеченный граф состояний. на его основе записана система уравнений равновесия. Получено уравнение относительно производящих функций стационарных вероятностей состояний. Численное решение полученного уравнения даёт возможность нахождения стационарных вероятностей состояний системы, которые служат основой для расчёта показателей производительности СМО. Полученные результаты применимы для оценки эффективности СМО рассматриваемого типа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бочаров П. П., Печенкин А. В. Теория массового обслуживания: учебник. - М.: Изд-во РУДН, 1995.

MULTICHANNEL QUEUING SYSTEM INDIVISIBLE GROUP OF APPLICATIONS WITH A QUEUE OF UNLIMITED LENGTH

Monsik V.B., Skrynnikov A.A., Fedotov A.J.

We consider a multichannel queuing system indivisible group of applications, with a queue of unlimited length, simple group flow at the inlet and exponentially distributed service time. We consider a special case - two-channel system, the input of which receives single and twin applications. For this case the obtained equation for the probability generating functions of stationary states of the system.

Key words: queuing theory, indivisible group of applications.

Сведения об авторах

Монсик Владислав Борисович, 1936 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1964), кандидат технических наук, профессор кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - теория вероятностей, математическая статистика, вероятностные методы оценки эффективности авиационных комплексов.

Скрынников Андрей Александрович, 1962 г.р., окончил Даугавпилсское ВВАИУ (1984), кандидат технических наук, ведущий инженер ГосНИИ АС, автор более 80 научных работ, область научных интересов - вероятностные методы оценки эффективности авиационных комплексов.

Федотов Александр Юрьевич, 1988 г.р., окончил ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (2011), инженер 2230 ВП МО РФ, автор более 20 научных работ, область научных интересов - теория массового обслуживания.