Движение упругого солнечного паруса по геоцентрической орбите в центральном гравитационном поле

УДК 531.551.1

А. С. Попов, Г. А. Щеглов

ДВИЖЕНИЕ УПРУГОГО СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА ПО ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

Рассмотрено движение космического летательного аппарата с солнечным парусом по геоцентрической орбите в центральном гравитационном поле с учетом упругости отражающей поверхности. Решена связанная задача упругости и баллистики для крупногабаритной двухлопастной конструкции солнечного паруса, лопасти которой расположены в одной плоскости и вдоль одной оси. Управление рассматриваемой системой на орбите осуществляется по "закону с половинной угловой скоростью". Показано влияние упругих деформаций конструкции паруса на траекторию движения космического аппарата.

На любую механическую систему, движущуюся в гравитационном поле Земли, оказывается воздействие со стороны этого поля. Движение упругой системы в центральном гравитационном поле описано в работе [1]. В связи с деформацией упругой конструкции, обусловленной наличием гравитационного поля, возникает ряд вопросов, связанных с тем, на сколько существенно данное воздействие может изменить параметры орбиты космического аппарата с солнечным парусом. Цель настоящей работы — оценка изменения параметров орбиты в зависимости от жесткости конструкции солнечного паруса.

На движение космического аппарата (КА) с солнечным парусом большое влияние оказывает закон управления. Одним из таких законов, рекомендуемых для изменения геоцентрической орбиты, является закон управления "с половинной угловой скоростью", впервые предложенный Н. Сэндсом [2] (рис. 1). В этом случае принимается, что парус имеет отражающую поверхность с обеих сторон, а управление происходит по закону

а _ и _ 2 2 •

Обычно деформации конструкции КА, движущегося по орбите, связанные с гравитационными воздействиями, являются несущественными. Однако конструкция КА с солнечным парусом является крупногабаритной и воздействие на нее периодической силы, обусловленной гравитационным полем, оказывается важным для расчета орбитальных перелетов.

Рассмотрим модельную задачу полета КА с упругим солнечным парусом по геоцентрической орбите. Модель, показанная на рис. 2,

лете

Рис. 2. Упругая модель КА

Рис.3. Ориентация средней системы координат ОХ1Х2Х3 относительно орбитальной ОХУЕ

состоит из трех основных частей: центральной, где расположена полезная нагрузка, и двух соединенных с ней лопастей, размещенных в одной плоскости. Упругая модель каждой лопасти представлена механической системой в виде двухзвенно-го механизма, с упруговязкими шарнирами.

Ориентация осей координат КА с солнечным парусом относительно Земли показана на рис.3. Здесь 0ХУ2 — орбитальная система координат, ось 0Z которой направлена по радиусу-вектору, проведенному из притягивающего центра к КА;

Рис. 4. Двухзвенная модель консольной лопасти

оси 0У и 0Х — соответственно по бинормали к орбите и по ее трансверсали в сторону движения центра масс КА. На рис. 3 ось 0У направлена из плоскости чертежа. Система 0х1 х2х3 — средняя система координат, она связана с упругим телом (см. рис. 2). На рис. 2 и 3 ось 0х2направлена из плоскости чертежа.

Рассмотрим кососимметричные формы колебаний паруса. Двух-звенная модель одной лопасти представлена на рис. 4. Уравнения движения для двухзвенной модели, приведенной на рис. 2 и 4, являются уравнениями Лагранжа:

d ( dT

dT dP dD + ^ + — = 0

dt\dip i/ dpi dpi dip i

d i dT

dT dP dD

dt\dip 2 J д^2 д(р2 dip 2 где D — диссипативная функция, записываемая в виде

D = Ср + CiPh—hl.

2 2

Кинетическая энергия упругого тела в соответствии с методикой, изложенной в работе [1], входящая в уравнение Лагранжа для двух-звенника, определяется из уравнения

Т = Т + T2 + Тз,

m miVn ^ ш-IUJ где Т = -Л-0-; Т2 =

22 Тензор инерции лопасти паруса

I =

1x1 —1

xix2

-I I

x1x2

Ix2

-Ix

Ix

xix3

xix3

I

x2x3

x2x3 Ix3

I = h + 12,

где 1\, /2 — тензоры инерции первого и второго звена соответственно;

г I(1) I 1 I(1) Т ж 1ж 2 I(1) ж1ж 3

I1 — I(1) Т ж1ж 2 I(1) I 2 -I (1) Т ж 2ж 3

I(1) ж1ж3 I(1) Т ж 2ж 3 I(1) I 3

I(2) I 1 I(2) Т ж 1ж 2 - Т(2) 1 1 ж1ж 3

I2 — I(2) Т ж1ж 2 I(2) I 2 _Т (2) Т ж 2ж 3

I(2) Т ж1ж3 I(2) 1 ж 2ж 3 Т (2) Т ж 3

Текущие координаты для первого звена:

Хп — Х\ — X\~

Х13 — Xirtl,

второго звена —

X21 — M 1 — f) + x/1 — f);

Х23 = +

Пределы интегрирования для первого звена следующие:

^п = ; ^12 = 1^1.

Компоненты тензора инерции 11 для первого звена имеют вид

1X1» = ь/йз 1X2' = ьГГи + 4з, ^

0 0

0 0

* — . /Jx1idx3dxi;

00

211 212

l(ll2 — 0; 4Из — b j j x11x13dx3dx1; l(b;2 — 0.

00

2

Пределы интегрирования для второго звена следующие:

¿21 = - у) + - у) ; ¿22 = + Р2). Компоненты тензора инерции 12 для второго звена имеют вид

— ьШ1X2» — +

0 0 0 0

Z21 Z22 r(2) f ¡2

= b / x2idx3dxi;

00

Z21 Z22

1(1>ж2 — 0; 3 — Ь у у х21х23dx3dxl; 2 — 0;

0 0

т т\Ч 4ф2 + ф ф + ф 2

Тз — ^Т1 +ф 2ф 1 + Т

Потенциальную энергию, руководствуясь работой [1], можно записать в виде суммы

Р — Р1 + Р2,

где Р1 — энергия упругих деформаций, Р2 — энергия, обусловленная наличием сил гравитации:

&1ф? к2(ф2 - ф1)2 Р1 — + 2 ;

^т ^ з^

Р2 — - 2Г3(/* 1 + ^2 + 4з) + 2Г3№).

В уравнение для потенциальной энергии Р2 входит радиус-вектор, связывающий КА с притягивающим центром планеты (в данном случае Земли). При изменении параметров орбиты солнечным парусом величина г меняется с течением времени.

В уравнения движения солнечного паруса, полученные в работе [2], входит функция V — угол, характеризующий ориентацию плоскости солнечного паруса относительно направления на Солнце, который отсчитывается от апоцентра планеты в направлении движения КА. При своем движении КА половину времени находится в тени планеты. Функция тени^ — 1, когда КА находится на освещенной части траектории и ^ — 0, когда он попадает в тень. Функция ^ раскладывается в ряд Фурье:

О • (

, 1 ^ У*) (( 3п

ft — 2+^-COS + ~

2

где принимается п = 11.

Подставив в уравнения движения солнечного паруса, полученные в работе [2], получим

d2r dt2

dv

—r| д 1 + - —

^ dr dv ^ d2v dt dt dt2

«0 • ft

v

Sin 1 2

v

Sinl2

sin (v) ;

Система уравнений (5) справедлива для абсолютно жесткого паруса. Если в расчетах учитывается упругость конструкции солнечного паруса, то угол между желаемым и истинным направлениями на Солнце зависит от жесткости конструкции, т.е. от углов и <^2. В данном случае необходимо рассматривать связанную задачу баллистики и упругости, решая систему (5) дифференциальных уравнений движения солнечного паруса на геоцентрической орбите, полученных в работе [2], совместно с уравнениями Лагранжа (1) для двухзвенника. Такая система имеет вид

d2r(t) /dv(t)\ 2 ^

dt2 — r v^W + r(t)2

00 ft

+

Й1П

Й1П

v (t) +

v

sin (v(t) + rt1(t)) +

• sin

«0 ft

Э1П

2 dr

dt dt v (t) + y1(t) 2

+

dt2

sin3 Г v

2

2

2

d /dT(¿,<?1(t),<?2(t)A _ dT(t,y1(t),rt2(t)) +

d^ drt 1

+ dP

1

I

+ дР (г,ф1(г),ф2(г),г(г)) + д^С^лФзЖф^М — 0

дф2(г) дф 2 (г) ,

где выражения для Т, Р, Д вычисляются по формулам (3), (4), (2) соответственно.

Система дифференциальных уравнений (6) была решена в настоящей работе численно. Механические параметры модели, рассмотренной в исследовании, следующие. Длина каждой лопасти I — 500 м, ширина лопасти Ь — 1 м. Модуль Юнга Е — 2 • 109 Па. Коэффициенты жесткости, входящие в уравнение для потенциальной энергии упругих деформаций, к1 — 2,635 • 106 и к2 — 4,737 • 104 получены по методике, описанной в работе [3]. Коэффициент демпфирования, входящий в уравнение для диссипативной функции, с — 103. Масса полезной нагрузки КА тка — 1000 кг. Масса лопасти паруса т; — 48 кг, площадь

п 2 Б 3 см2

паруса Б — 1000 м2. Парусность @ — - ~ 103-.

тка + 2т; г

Опорная орбита принята круговой с радиусом Д0 — 7200 км. Приняты следующие начальные условия: ф1(0) — 0,1 рад, ф2(0) — 0,1 рад,

ф 1(0) — 0 рад/с, ф2(0) — 0 рад/с, г(0) — До, г(0) — 0 м/с, ¿(0) — , __До

где Ио — А/.

V До

В уравнениях (6) не было учтено влияние светового давления на деформацию конструкции солнечного паруса. Это допущение объясняется тем, что в рассматриваемом случае величина гравитационного воздействия превосходит силу светового давления на шесть порядков.

Найденные из решения системы (5) зависимости г (г) (радиуса-вектора абсолютно жесткого паруса) и Г(г) (радиуса-вектора упругого паруса) получены для трех витков орбиты. Введем замену переменных: г (г)* — г(г) - Д0, Г(г)* — Г(г) - Д0. Зависимости г (г)* и Г(г)* показаны на рис. 5. Величина Аг — Г - г возрастает с увеличением числа витков КА вокруг притягивающего центра. Очевидно, что даже малые отличия упругой модели от абсолютно жесткой при продолжительном полете могут вызвать существенную ошибку значений радиуса-вектора, как показано на рис. 6.

Зависимости интегралов энергии к* — к+к0 и к* — к+к0 от времени для четырех витков траектории для исследуемой модели показаны на рис. 7, где к0 — 5,53605 • 107, к — интеграл энергии упругого паруса,

2500

7500

12500 17500 t, с

К — интеграл энергии абсолютно жесткого паруса. Разность между ними А К = К — К. Из рис. 7 видно, что величина А К возрастает с увеличением числа рассматриваемых витков.

На рис. 8 показана зависимость разности интегралов энергии АК = К — К, полученных для пяти витков орбиты, для разных длин лопастей. Видно, что зависимость величины А К от размеров лопасти паруса — нелинейна. Для малых размеров лопастей паруса величина АК чрезвычайно мала, но при увеличении размеров лопастей влияние упругости на рабочие характеристики паруса становится существенным.

А г, м

Рис. 5. Радиус-вектор г(р)* КА с солнечным парусом и радиус-вектор г(Ь)* того же КА при учете упругости конструкции зеркала паруса

6080 24320 42560 60800 79041 t, с

Рис. 6. Разница между радиусами-векторами КА с жестким и с упругим парусами

h* h*

,2' 0

-100 -200 -300 -400 -500 -600

2500

7500

12500 t, с

Рис. 7. Зависимость интегралов энергии К* и К* от времени

Выводы. 1. Рассмотрена связанная задача баллистики КА с солнечным парусом в центральном гравитационном поле с учетом упругости конструкции паруса.

2. Показано, что упругость солнечного паруса оказывает влияние на траекторию. В рассмотренном случае на пятнадцати витках траектории расхождение в расчете жесткого и упругого парусов составило 70 м.

3. Показано, что влияние упругости при расчете траектории стано размерах солнечного паруса.

Рис. 8. Зависимость разности интегралов энергии ДА от длины лопасти паруса для пяти витков орбиты

ггся существенным при больших

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Банинчук Н. В., Карпов И. И. и др. Механика больших космических конструкций. - М.: Факториал, 1997.

2. S a n d s N. Escape from planetary gravitational fields by use of solar sail. ARS J 1961. - V. 31. - № 4. - P. 527-531.

3. Аринчев С. В. Теория колебаний неконсервативных систем. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - С. 321-328, 332-336.

Статья поступила в редакцию 18.01.2005

Александр Сергеевич Попов родился в 1977 г., окончил в 2001 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Ассистент кафедры "Аэрокосмические системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области динамики и прочности космических летательных аппаратов.

A.S. Popov (b. 1977) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2001. Assistent of "Aerospace Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specializea in the field of dynamics and strength of spacecrafts.

Георгий Александрович Щеглов родился в 1972 г., окончил в 1996 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Аэрокосмические системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 21 научной работы в области динамики и прочности космических летательных аппаратов.

G.A. Shcheglov (b. 1972) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 1996. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Aerospace Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 21 publications in the field of dynamics and strength of spacecrafts.