Транспортные автомобильные потоки - введение в вероятностный подход

УДК 519.218.5

А.А. Замятин, В.А. Малышев

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Транспортные автомобильные потоки — введение в вероятностный подход

Вероятностные модели транспортных потоков, отражающие качественные явления на автомагистрали, весьма разнообразны: от массового обслуживания середины прошлого века до статистической физики и процессов с локальным взаимодействием. В статье перечислены возможные постановки задач и подробно разобраны некоторые примеры.

Ключевые слова: точечные случайные процессы, сети массового обслуживания, транспортные потоки, случайные грамматики.

Математические модели автомобильного трафика могут быть весьма различны: от дифференциальных уравнений с частными производными, средств современной компьютерной физики до создания игровых моделей, где точки на видео движутся по сети улиц с перекрестками. Мы обсуждаем здесь строгие вероятностные подходы к транспортным потокам и сетям. Вероятностные модели транспортных потоков, отражающие качественные явления на автомагистрали, весьма разнообразны: от массового обслуживания середины прошлого века до статистической физики и процессов с локальным взаимодействием. Основная цель этой статьи — не столько представить технику решения задач, сколько представить методику (и искусство) составления адекватных моделей, которые отличаются наглядностью определений (основной объект там именно автомобили, а не потоки) и основаны на простых интуитивных рассуждениях. Более того, все вводимые постулаты в этих моделях допускают статистическую проверку, широкие уточнения и обобщения и не используют сомнительных физических аналогий. В статье перечислены возможные постановки задач и подробно разобраны некоторые примеры. Вообще, вероятностные модели должны связываться с психикой водителей, если водители — не роботы. Хотя такая математическая теория пока не вполне понята (в этом и есть как раз существенное отличие от статистической физики), здесь делаются, по-видимому, первые попытки построить строгие модели.

Вероятностный подход к транспортным потокам существует уже более 50 лет, см. [20, 24, 36], однако здесь мы даем более современную трактовку и рассматриваем более сложные задачи. Несмотря на то, что рассмотренные модели демонстрируют богатство возможностей, наш обзор, конечно, далеко не полон, см., например, [1, 4, 17, 27].

Статья состоит из трех частей. В первой дано построение случайных потоков и некоторые модели, в том числе и ряд новых, отражающих разнообразные качественные явления на автомагистрали. Во второй части показано, как можно полу-

чать явные формулы с помощью техники пуассо-новских потоков. В третьей рассмотрены сложные сети дорог и вычисление критической нагрузки, выше которой начинаются пробки.

I. Потоки автомобилей

Х.1. Маркированные точечные поля

Под словом «поток», в зависимости от контекста, понимают либо среднее число .1 автомобилей в единицу времени, пересекающих сечение транспортного пути в данном направлении, либо статическую случайную конфигурацию

... < Хг < Хг-1 < ...

автомобилей в данный момент времени, но можно понимать поток динамически — как меру на множестве траекторий {хг (£)} автомобилей.

Конфигурация автомобилей. Максимально детальное описание расположения автомобилей в данный момент времени таково. Автомобиль индивидуален, и ему присваивается некий индекс

а. Например, пусть есть автотрасса с к полосами 1, 2, ..., к, представляемая к прямыми, параллельными оси х. Тогда индекс а = (т,г) выделяет г-й автомобиль на полосе т. Индекс г нумерует автомобили на полосе, так что автомобиль г следует за автомобилем г — 1. Пусть ¿а — длина этого автомобиля, ха(Ь) — его координата (например, переднего бампера). Автомобили движутся в положительном направлении оси х. Далее индекс полосы мы везде опускаем — читатель может его добавлять где надо — и используем только индекс г.

Обозначим расстояние от автомобиля г до предыдущего автомобиля в реальном потоке в момент £ через

^ (£) хг-1(£) хг(£) ¿г-1.

Обозначим

— расстояние до следующего за ним автомобиля.

Как вводятся вероятности на множестве конфигураций. Формально, точечный случайный поток на прямой задается вероятностной мерой на множестве всех счетных локально-конечных (то есть конечных на каждом ограниченном интервале) подмножеств прямой. Иначе говоря, задается согласованной системой вероятностей

Р (I1, к1; ...; 1и, ки]

n находится

того, что в интервалах 1^, ] = 1, ровно kj частиц.

Для более конкретного задания этих распределений существуют две большие науки: теория восстановления (см., например, [31]) и теория гиббсовских точечных полей [32, 34]. Первая теория существенно проще, но годится только в одномерном случае. Вторая глубоко связана с физикой, годится и для многомерных ситуаций, но довольно сложна, и мы не будем ее здесь касаться.

Самый простой случайный поток — пуассонов-ский, см., например, [30]. Простейший способ его понять такой. Рассмотрим интервал [—ММ] и бросим на него независимо и случайно (точнее равномерно) М = [рМ] точек, где р > 0 — некоторая константа, называемая плотностью. Легко вычислить биномиальную вероятность Рм,ы(к,1) того, что в конечный интервал I попадет ровно к точек. Последняя при N стремится к пуассоновско-

му выражению

P

ШУ'

к\

-p\i I

Более общие потоки (не пуассоновские) легко строятся на полупрямой [0,ж). Именно, случайные точки

Х0 0 Х1] ХП? •••

определяются как суммы независимых одинаково распределенных случайных величин £i > 0, i = 1, 2, ... с распределением G(x):

xi = £1, Х2 = £1 + £2, ...

Для определения трансляционно-инвариантного потока на всей прямой остается одна проблема — где разместить начальную точку потока, от которой откладывать независимые величины налево и направо. Для этого надо воспользоваться следующим (одним из основных) утверждением теории восстановления. Пусть P(t,t + At) — вероятность того, что в интервал (t,t + At) попадет ровно одна точка xn. Тогда если £i имеют плотность, то на полупрямой предел

lim -^—P

At^o At v 7

существует и стремится при t —— к р = (Е£)-1.

Тогда предельная (при t — ж) плотность вероятности того, что расстояние от точки t до первой

случайной точки хг > Ь больше в, равна произведению р на вероятность того, что £г = хг — хг+\ > в, то есть равна

Р(1 — С(в)).

Поэтому первую после начала координат точку потока следует взять на случайном расстоянии с этой плотностью. Расстояния же между точками будут по-прежнему независимыми с функцией распределения О(х).

Альтернирующие потоки. Расстояния между соседними точками потока не обязательно одинаково распределены. Распределения могут чередоваться. Например, возьмем две последовательности случайных величин £1, £2, ... и П1, П2, ... и положим

х2и = £1 + ... + £и + П1 + ... + Пи,х2и-1 = £1 + ... + £и

+П1 + ... + Пи-1.

Тогда построение потока на всей прямой делается так же, как и выше. В нашем случае чередуются длины автомобилей (независимые и одинаково распределенные) и расстояния между ними (также независимые и одинаково распределенные).

Маркированные потоки. Каждой точке хг точечного процесса может быть сопоставлена величина аг, принимающая значения в некотором множестве Б. Эту величину в разных случаях называют маркой или спином в точке г и говорят о случайном маркированном точечном множестве (потоке, процессе). Он определяется мерой на счетных множествах пар (хг,аг). Проще всего когда задана мера на счетных множествах, то есть задан поток без марок, а величины аг объявляются независимыми и одинаково распределенными. В разделе 1.5 мы построим маркированный процесс, где марками будут скорости, причем их распределение будет сложным образом коррелировать во времени с траекториями точек.

Ь2. Связь скорости и плотности с пропускной способностью

Психика водителя в простейшем потоке.

Полностью моделировать психику, конечно, невозможно, но многие закономерности очевидны. Так, водитель г видит несколько автомобилей (часто только один впереди себя) в потоке и выбирает оптимальное для себя расстояние до предыдущего автомобиля. Если скорость гц—х(#) = меняется медленно, то можно считать, что реакция водителя быстрее, и выбираемое расстояние 0+ зависит только от этой скорости:

Б+ = Б+

(индекс г свидетельствует о том, что функции 0+ (у) разные для разных водителей). Назовем поток алгоритмическим в момент Ь, если для всех г

(Ь)= В+(у-1(Ь)),

e

то есть все скорости последовательно определяются по скорости первого автомобиля. Конечно, нас интересуют не сами функции, а их статистические характеристики. При вероятностном подходе функции D+ (v) становятся независимыми одинаково распределенными случайными функциями, зависящими от скорости v предыдущего водителя как от параметра. Распределение этих функций не может быть выведено из математических, статистических, физических и т.д. законов. Оно зависит от индивидуальной и коллективной психики водителей и должно находиться экспериментально, см. [21].

Детерминированная динамика без обгона. Если все автомобили, водители и скорости v одинаковы, то многие задачи решаются просто. Обозначим d — длину автомобиля и через d+ — D+ (v) расстояние до впереди идущего автомобиля, которое водитель соблюдает. Уже такая динамика позволяет понять многие качественные эффекты.

Определим пропускную способность дороги как максимально возможный поток по ней:

Jmax — ШаХ vX(v),

V

где максимум берется по разрешенному интервалу скоростей и где

AW = IT7FW

есть плотность автомобилей на fc-полосной дороге при заданной скорости v в простейшем алгоритмическом потоке. Отсюда видно, что пропускная способность может уменьшаться при увеличении скорости. Этот простой вывод говорит лишь

о том, что многие водители увеличивают расстояние до предыдущего автомобиля при увеличении им скорости.

Случайная динамика без обгона. То же самое получится, если скорости v одинаковы, а функции d+ случайны и независимы, а их средние равны (для заданного v) некоторому числу d+ (v). Мы видим, что сам факт нетривиальной зависимости пропускной способности от скорости тривиален и для него совершенно необязательны вероятностные или физические модели. Однако для более тонких вопросов вероятностные модели необходимы. Сейчас мы введем довольно общую вероятностную модель с очень богатым спектром фаз. При этом процессы с запретами (exclusion processes) появляются как вырожденный частный случай. Другие модели см. [1, 21, 29].

Случайная динамика с обгоном (случайные грамматики). Здесь естественно возникает связь с таким недавно открытым объектом, как случайные грамматики, см. [33]. Мы дадим краткое содержательное описание одной такой модели.

Пусть в момент t — 0 все автомобили находятся на левой полуоси, движение однополосное. Мы

разбиваем полосу движения на клетки определенной длины и считаем, что в каждой клетке не более одного автомобиля. Таким образом, конечная последовательность автомобилей изображается парой (Б,г), где г € Z, а Б — конечная последовательность (слово) из трех символов 0,1,2:

Б = вN ...в2 в 1.

При этом 0 соответствует пустой клетке, 1 — активному (быстрому) водителю в клетке, 2 — спокойному водителю в клетке, Длина слова N = N(Ь) и все символы вь(Ь) могут меняться во времени, но так, что всегда Bl(t),BN(г)(Ь) = 0 для всех Ь ^ 0. В произвольный момент Ь каждый символ вь(Ь) имеет координату х(вь(Ь)). Координаты однозначно определяются

х

координатой х(в1(Ь)) первого символа, которую мы обозначим г = г(Ь).

Динамика моделирует процесс ускорений и торможений отдельных водителей и определяется как цепь Маркова (Б(Ь),г(Ь)) с непрерывным временем на множестве пар {(Б,г)}. Интенсивности скачков определяются так. Изменения Б и г независимы друг от друга. Изменение г моделирует движение всего потока с постоянной скоростью V. Именно г увеличивается на единицу с вероятностью усИ за время ¿Ь, и все координаты немедленно изменяются соответственно формуле (1). Динамика Б, таким образом, будет описывать ситуацию относительно некоторого равномерного движения. Эта динамика задается случайной грамматикой, то есть списком возможных локальных замен подслов (всего будет 5 типов замен) Б на другое подслово. Любые замены из приводимого ниже списка производятся независимо, случайно и имеют разные интенсивности (всего 4 параметра). Вот этот список:

1. 10 ^ 01 — быстрый водитель передвигается на 1 вперед, освобождая свободное место за собой, с вероятностью А+ ¿Ь за время ¿Ь.

2. 120 ^ 021 — быстрый водитель обгоняет спокойного с вероятностью А+ ¿Ь.

3. 22 ^ 202, 21 ^ 201 — предусмотрительный водитель тормозит, увеличивая дистанцию перед собой, с вероятностью А—А. Отметим, что здесь увеличивается длина N слова Б (возникает лишняя свободная ячейка), что ведет к сдвигу всех автомобилей сзади данного водителя на 1 назад. Это нелокальный скачок, реально он растянут во времени, но это совместимо с правилом сложения относительных скоростей.

4. 200 ^ 020 — спокойный водитель ускоряется с вероятностью А+ ¿Ь (если впереди с его точки зрения много свободного места).

5. Некоторые скачки в конце слова S могут привести к тому, что последний символ слова станет нулевым. В этом случае он немедленно уничтожается, то есть длина слова уменьшается на 1.

Необходимо сказать, что для точной формулировки результатов, которые мы лишь обрисуем, надо делать разнообразные скейлинги параметров t,N и А+,А+,А^,А+. Это будет сделано в отдельной статье. В зависимости от 4 параметров А+ ,А+ ,А—,А+ могут быть разнообразные типы (фазы) движения. Мы приведем только три из них.

Если А± малы по сравнению с остальными двумя параметрами, то автомобили типа 2 едут синхронно и с постоянной скоростью, а быстрые автомобили имеют дополнительную относительную скорость. Если быстрых автомобилей мало, то эта дополнительная скорость определяется движением одного автомобиля среди неподвижных препятствий, зависит от плотности р2 автомобилей типа 2 и плотности дырок ро и примерно равна

vrel = А+ ро + 2А+Р2 •

Если А— мала по сравнению с остальными двумя параметрами (нет нелокальных эффектов), а А+ имеет такой же порядок, как А+,А+, то разница между типами стирается. Мы имеем тогда процесс, близкий к так называемому полностью асимметричному процессу с запретами (TASEP — totally asymmetric exclusion process), а для значений

А+ — А+ ,А— — 0

полностью с ним совпадающий (о TASEP см. [1]).

Если А+ мала, а А— велика по сравнению с остальными двумя параметрами, то картина иная. Каждый обгон 120 ^ 021 вызывает немедленное торможение автомобиля 2, и, как следствие, ВСЕ последующие автомобили замедляются. Для автомобилей ближе к концу слова замедление будет весьма существенным, если поток достаточно плотный (мало ячеек с нулями), так как много автомобилей типа 2 будет тормозиться. В результате перед каждым автомобилем типа 2 возникнет много свободного места и поток разрядится.

Можно усложнять введенную динамику, например избежать дискретизации, вводя вместо нулей положительные вещественные числа — расстояния между последовательными автомобилями. Это потребует существенных переформулировок, особенно для скачков типа 3, но сохранит грубые качественные эффекты.

I.3. Рост пробки

Если входной транспортный поток в некоторую фиксированную область равен Jin, а выходной Jout < Jin, то количество автомобилей в данной области за время t увеличится на

Так будет, только если рассматриваемая область не находится на самом транспортном пути. Например, если автомобили скапливаются в пробке на самой дороге, то ответ другой. Дело в том, что область сама может расти за счет скапливающихся автомобилей. Чтобы уточнить эти утверждения, надо уточнить модель.

Пусть автомобили одинаковой длины ! едут в потоке (по одной полосе) со скоростью V одна за другой на одинаковом расстоянии !+ между ними. Пусть в течение времени Ь движение остановлено неким препятствием, например красным светофором. При этом автомобили останавливаются на расстоянии !+ < !+ до предыдущего автомобиля.

Нетрудно доказать, что за время Ь проб-

ка (то есть максимальная длина Ь(Ь) участка, где все автомобили стоят) перед препятствием будет иметь длину, асимптотически равную

L

г,tv

d + d++ d+ — ¿q'

По-видимому, этот результат зависит в действительности лишь от средних величин и остается верным при возможности обгона. Это сделано в [28] для независимого движения автомобилей (то есть когда автомобили не мешают друг другу), причем скорости автомобилей имеют флуктуации, однако средние скорости всех автомобилей одинаковы и равны V. Но доказательство там совсем не просто. Другие модели роста пробки см. в [16].

Локальные расширения и сужения трассы. Что происходит при переходе участка дороги с к полосами в участок с I полосами? Пусть этот переход происходит в точке с координатой х = 0.

Случай к < I. Пусть максимально разрешенная скорость равна vmax и предполагается дисциплинированность водителей. Пусть автомобили движутся по к-полосной трассе со скоростью V < vmax. Причем быстрее невозможно по причине фундаментального соотношения между плотностью автомобилей р и их скоростью:

й + Б+(у) = р-1.

Тогда по I полосной трассе длины Ь автомобили теоретически могут сохранить р и двигаться с такой же скоростью, но р может скорректироваться так, что автомобили смогут двигаться быстрее с некоторой большей скоростью VI. Выгода во времени:

ЬЬ

t (Jin Jout) •

V VI

Случай к > I. Тогда возможны три разных ситуации.

Свободный поток. Если поток очень редкий, то автомобили будут подъезжать к точке 0 в одиночку и не заметят перехода.

Растущая пробка. Обозначим ,1к — текущий входящий поток и тах — максимально возможный поток по 1-полосной трассе. Если ,1к > тах, то будет образовываться пробка и число автомобилей в пробке в среднем будет расти как Ь(.1к — Ж, тах), а точнее, как в формуле (2).

Задержка. В случае ,1к < тах практическое наблюдение таково: перед сужениями могут возникать пробки случайной длины, которые, однако, не растут слишком сильно. Соответствующих стохастических моделей пока нет, для этого прежде всего нужны нестационарные модели начала и остановки движения. Некоторые из этих моделей мы сейчас опишем.

Ь4. Модели начала движения

В работе [5] автомобили задаются точками

... < хг (ь) < хг—1(Ь) < ...

на прямой. В начальный момент времени Ь = 0 автомобили стоят и образуют пуассоновское точечное поле с плотностью р < 1. Автомобили могут иметь две скорости: 0 или 1; обгоны запрещены. Каждый стоящий автомобиль через независимое экспоненциально распределенное время со средним 1 начинает двигаться со скоростью 1. Может случиться так, что автомобиль с номером г доедет до автомобиля г — 1, пока тот еще не начал двигаться. Тогда он останавливается и начинает двигаться через экспоненциальное время после того, как начнет двигаться автомобиль г — 1. Такое правило действует всегда. Этот процесс в некотором смысле описывает выезд автомобилей из пробки.

Основной результат состоит в том, что с вероятностью 1 каждый автомобиль будет останавливаться только конечное число раз (при условии р < 1). Пусть — момент времени, начиная с которого автомобиль г движется без остановки. Тогда для любых г и к и любого Ь > Ьг, Ьг-1, ..., Ь-к случайные величины

хг-1

будут независимы и экспоненциально распределены. Иначе говоря, после выезда из пробки автомобили будут образовывать пуассоновскую конфигурацию с той же самой интенсивностью р, что и в начале.

Рассмотрим более простую ситуацию, когда в момент 0 пуассоновский точечный поток

... < х2 < х1 < 0

с плотностью р находится на левой полуоси. Каждая точка движется со скоростью V > 0, если расстояние до предыдущей точки не меньше некоторого > 0, и стоит — в противном случае. Здесь очевидно, что каждая частица не останавливается, начиная с некоторого момента. Но здесь можно получить больше. Рассмотрим следующие слу-

, „ (2) движения к-й точки, тк — случайное время, начиная с которого эта точка больше не останавливается, хк — расстояние до первой точки, начиная

с момента тк . Интересно было бы найти асимптотику распределений этих случайных величин при к ^ж.

Связь с задачей задержки очевидна. Пусть есть две полосы и на каждой полосе интенсивность потока р; объединенный поток, таким образом, имеет плотность 2р. Автомобилям из первой полосы надо втиснуться во вторую. Алгоритмы втискивания могут быть разными. Например, любой автомобиль втискивается независимо от других, если его расстояние (по оси х) до предыдущего и последующего автомобилей из второй полосы было не менее некоторого числа ¿+ (V).

Х.5. Ближний и дальний порядок при меняющихся во времени скоростях автомобилей

Здесь автомобили представляются точками хг. С автомобилем г связывается случайный процесс (Ь), определяющий его скорость в момент Ь «на свободной дороге» (то есть при отсутствии препятствия спереди). Величина этой скорости косвенно определяет активность водителя в данный момент времени. Процессы 1мг(Ь) взаимно независимы и определяются лишь психикой индивидуального водителя. Предположим, что существуют константы 0 < С1 < С2 < ж такие, что для всех

Ь, г

С1 < ыг(Ь) < С2.

Поток задается начальным положением хг(0) автомобилей, а их движение определяется как

хг(Ь) = хг (0) +

Vi(в)dв,

чайные величины: т

случайное время начала

где vi(t) — определяемая ниже скорость автомобиля в потоке. При этом начальные положения таковы, что расстояния ¿+ (0) независимы и, например, экспоненциальны с заданным параметром р(0). Процесс будет полностью определен, если для всех Ь1, ..., Ьи, :ч, ..., ги мы зададим конечномерные распределения векторов

(Ь1), ..., '1,гп (Ьи)),

где среди индексов гк могут быть одинаковые. Эти распределения полностью определяются следующими правилами:

1) (правило препятствия) если автомобиль г имеет впереди себя препятствие в момент

Ь, то vi(t) = vi-l(t). При этом мы говорим, что автомобиль г имеет впереди себя препятствие в момент Ь, если

хн(Ь — 0) = х-1(Ь);

г

0

2) (правило свободной дороги) если ни один из автомобилей ii, ..., ik при к ^ n не имеет впереди себя препятствия, то распределение вектора vil (ti), ..., vik (tk) совпадает с распределением вектора wil (ti), ..., wik (tk) и является независимым от распределения вектора

Vifc+1 (tk + 1), ..., Vin (tn);

3) (правила обгона) если автомобиль i имеет впереди себя препятствие в момент t, то он меняется местами с предыдущим автомобилем с некоторой интенсивностью Л в течение (случайного) интервала времени, пока Wi(t) > Vi-i(t). Смысл этого условия состоит в том, что водитель обгоняет, если его активность высока в течение некоторого промежутка времени.

Уже для этого простейшего определения транспортного потока с зависимыми от времени скоростями есть много задач. Несколько из них мы сейчас сформулируем в виде гипотез.

Назовем свободной фазой случай, когда автомобиль не задерживается при обгоне догоняемого автомобиля, то есть интенсивность обгона равна бесконечности. Тогда для любых автомобилей с индексами i, j их скорости независимы, и, значит, ковариации

covij (t) = Evi(t)vj (t) — Evi(t)Evj (t) = 0.

Гипотеза 1. Для заданных распределений процессов wi(t) существует константа 0 < Ло < œ такая, что при Л < Ло существует предельный стационарный процесс (по i и по t), в котором ковариации covij(t) убывают экспоненциально по \j — i|. Назовем этот тип движения фазой с ближним порядком. Существование фазы дальнего порядка определяется следующей гипотезой.

Существует константа 0 < Лсг < œ такая, что при Л > Лсг существует предельный стационарный процесс, в котором ковариации covij(t) не стремятся к нулю при \j — i\ ^ œ. Неизвестно, будет ли Лсг = Ло.

Эти три фазы могут иметь отношение к фазам, определенным Б.С. Кернером [15]. Можно определить подобный процесс в более общем случае. Именно с длинами di,d+, а также с дополнительными индексами, соответствующими полосам движения, и с поведением водителя, зависящим не только от следующего, но и от предыдущего автомобиля. При этом могут возникать и другие качественные эффекты.

II. Расчет средней скорости на автотрассе

Мы приводим здесь простейшую постановку задачи о снижении средней скорости движения автомобилей по автотрассе из-за случайных неподвижных (аварии и ремонтные работы) и движущихся (медленные автомобили) препятствий.

Цель — показать (полностью решив модельные задачи), что во многих случаях можно получить простые красивые формулы, позволяющие понять основные причины замедления. Мы четко формулируем технические предположения для получения таких формул. Основное предположение касается однородности трассы, именно въезда, выезда автомобилей, специфики обгона.

Н.1. Дорога как одномерная сеть массового обслуживания

Следующая модель заимствована из [14,

с. 117]. Пусть есть бесконечная дорога и два типа автомобилей задаваемые точками на бесконечной прямой, которые движутся в одном направлении. Автомобили первого типа (быстрые) двигаются с постоянной скоростью VI, автомобили второго типа (медленные) имеют постоянную скорость V2, где VI > V2.

Предположим, что быстрые автомобили в начальный момент времени образуют пуассонов-скую случайную конфигурацию (пуассоновский точечный поток) на всей прямой с плотностью Ах. Медленные автомобили расположены в момент £ = 0 в точках

хо =0 < Х1 < ... < хп < ....

причем расстояния Хк — Хк-1 одинаково распределены со средним А-1 (не обязательно экспоненциально). Медленные автомобили едут независимо, не замечая других автомобилей. Быстрые же «взаимодействуют» с каждым автомобилем, с которым их координаты совпадают. Именно быстрым автомобилям разрешено обгонять медленные. Когда быстрый автомобиль догоняет медленный, то есть их координаты совпадают, то он сколько-то времени едет вместе с медленным, то есть со скоростью V2. Через экспоненциально распределенное время с параметром ¡л он обгоняет медленный, то есть начинает ехать со скоростью VI. Если быстрый автомобиль догоняет группу быстрых автомобилей, следующих за медленным, то обгон происходит в порядке очереди, точнее, в том порядке, в котором быстрые автомобили догоняли данный медленный автомобиль. Без ограничения общности скорости медленных автомобилей можно считать равными нулю V2 =0, а скорости

быстрых — соответственно равными V = VI — V2.

Поэтому каждый медленный автомобиль можно представлять узлом обслуживания, на который приходят клиенты (быстрые автомобили) и в порядке очереди (то есть прибытия) ждут обслуживания (обгона), и обслуживаются с интенсивностью обслуживания ц.

Теперь эта задача может быть сведена к линейной сети массового обслуживания, которую мы сейчас опишем. Имеется бесконечная последовательность

5*0 —— ... —— 5к —— 5к + 1 —— ..

узлов обслуживания. Каждый узел Sk представляет собой систему типа M/M/1 с дисциплиной обслуживания FIFO (first-in-first-out), то есть обслуживание в порядке естественной очереди. Эти узлы соответствуют медленным автомобилям, а требования — быстрым. Например, узел So соответствует крайнему левому медленному автомобилю. Вторая буква M означает экспоненциаль-ность времени обслуживания. Это вместе с дисциплиной FIFO отвечает формулировке нашей модели. Первая буква M означает пуассоновость входящего потока прибывающих требований. Так, на узел So поступление требований образует стационарный пуассоновский поток с интенсивностью Ai«. Из элементарной теории очередей известно, во-первых, что если Ai« < л, то устанавливается стационарный режим с вероятностями Pn того, что длина очереди равна п:

Рп = (1 - г)гп,г = —.

Л

Во-вторых, известно (теорема Burke), что в стационарном режиме выходящий поток из системы типа M/M/1 будет пуассоновским с интенсивностью, равной интенсивности входящего потока, то есть в нашем случае это Ai«.

После первого узла со случайным, но одинаковым для всех автомобилей временным сдвигом Х1~Х° поток требований поступает на узел S'i, где также устанавливается стационарный режим.

Найдем среднюю скорость быстрого автомобиля на интервале (xo,xn),N ^ ж. При этом мы будем предполагать, что стационарный режим уже установился. Время проезда этого участка складывается из N обгонов и N путей между медленными автомобилями.

Среднее время, затрачиваемое быстрым автомобилем на обгон медленного, составит

^^/1 \ n

2J1 -г)гп-----------

n=0

1

1

л

(1 — г) л Л — Ai« ’

в то время как среднее время движения до следующего медленного автомобиля есть

1

А2 V

Поэтому расстояние между соседними медленными автомобилями (в среднем равное А-1) быстрый автомобиль в среднем проходит за время (ц — А^)-1 + (А2v)-1.

Таким образом, средняя скорость быстрого автомобиля составит

A

i

(л — Ai«) 1 + (A2«) 1

В следующих разделах мы рассмотрим более сложную ситуацию с более общими распределени-

Н.2. О связи вероятностного подхода с кинетическими уравнениями

Каждой частице в точке х^ на прямой сопоставляется марка — скорость VI > 0. То-

гда поток машин определяется счетным подмножеством {(х^^^} точек фазового пространства К х К+. А случайный поток определяется мерой ц на множестве таких конфигураций. Обозначим п(А) = п^(А) — среднее число частиц в ограниченном объеме А фазового пространства. Если существует такая функция /(х.V), что для всех А

i(A) =

f (x,«)dxd«,

то / называется одночастичной (корреляционной) функцией распределения ц.

Хотя кинетический подход к транспортным задачам известен давно [19] и много разрабатывался в физических работах [11, 12, 37], следует сразу сказать, что строгий математический вывод кинетических уравнений (то есть уравнений для / (Р, х.V)) для транспортных потоков остается открытым. Мы даем лишь краткий комментарий.

Пусть в момент Р = 0 задано распределение ц с одночастичной корреляционной функцией /(0,х.V). Если движение частиц свободное, то есть каждая частица движется со своей, но строго постоянной, скоростью, то

/(Р + 6; х.V) = /(Р; х — vS,v).

Вычитая /(Р; х.V) из обеих частей этого равенства, деля на 6 и переходя к пределу 6 — 0, получаем

Это простейшее кинетическое уравнение для системы частиц без столкновений. Решением будет, конечно,

f (t; x,«) = f (0; x — «t,«).

В общем случае в кинетическом уравнении должен быть также столкновительный член. Столкновением частиц-автомобилей могло бы служить их сближение, так что один мешает другому совершить определенные маневры, например, обгон. Как бы происходит образование новой составной частицы (кластера из нескольких автомобилей), которая через некоторое время распадается на отдельные частицы. Это не так легко формализовать.

Другой подход — рассматривать движение быстрых автомобилей в среде медленных. Предположим сначала, что автомобили и водители одинаковы, по-прежнему движутся независимо, но скорость v(xp) каждой зависит от х (например, от состояния дороги в данном месте) и от Р (например, от погодных условий). Иначе говоря, движение каждой частицы определяется уравнением

^х

— = г>(ж,#),ж(0) = ж0.

A

«

При этом траектории частиц не пересекаются. Тогда вместо f (t; x,v) достаточно плотности p(t,x) частиц в точке x в момент t. Если x(t,xo) — решение этого уравнения, то плотность меняется по закону

p(t,x) = p(0,xo),

если x = x(t,xo). Пусть теперь имеются два типа автомобилей — со скоростями v и vi > v соответственно. Медленные автомобили едут независимо и для них одночастичная функция имеет вид (4). Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью v. Если задать правила обгона для быстрых автомобилей и выразить через них измененную скорость vi(t,x) «около» точек, соответствующих медленным автомобилям, то получится плотность pi(t,x) быстрых автомобилей в движущейся системе координат. Плотность же в исходной системе координат имеет вид p(t,x — vt).

С гидродинамическими уравнениями (типа Бюргерса) такие же проблемы для трафика, хотя существуют строгие работы по выводу гидродинамических уравнений для exclusion processes, см. обзоры [2, 8]. Заметим, что, безусловно, интересно было увидеть некоторые аналогии между потоком автомобилей и движением жидкости. Однако, что касается связи между стохастическим и гидродинамическим подходами, есть две возможности — либо выводить гидродинамические уравнения для автомобильных потоков из микромоделей (по аналогии со статистической физикой), либо получать качественные закономерности транспортных потоков напрямую из детерминированного или случайного движения частиц, что кажется авторам этого обзора более естественным.

II.3. Снижение средней скорости из-за ремонтных работ

По длинной автотрассе едут автомобили с постоянной скоростью v, встречая препятствия. Препятствия обычно имеют малый размер в сравнении с расстояниями между ними, поэтому можно представлять их точками. Они возникают на произвольном участке дороги (x,x + dx) С R за время (t,t + dt) С R с вероятностью \dxdt. Точнее говоря, пары (место и момент возникновения препятствия) (xj ,tj) € RxR+ образуют пуассоновское точечное поле П на R x R+ с интенсивностью Л. Другое эквивалентное определение состоит в том, что для любого интервала I С R есть пуассоновский поток прибывающих препятствий интенсивности Л\11, причем в момент прибытия препятствие выбирает точку равномерно на интервале I.

Предположим, что j-е препятствие находится на дороге некоторое случайное время Tj, после чего оно убирается с дороги. Будем считать, что Tj — независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Q(t), не зависящие от пуассоновского точечного поля П.

Предположим, что первые два момента с.в. т^ конечны. Обозначим шд = Ет^ и = Ет2.

Далее мы будем рассматривать два случая. В первом случае объезд запрещен и автомобиль вынужден стоять до тех пор, пока не уберут препятствие, после чего автомобиль мгновенно набирает свою скорость V. Во втором случае объезд разрешен. Более точно, автомобилю требуется некоторое случайное время для того, чтобы объехать препятствие или группу автомобилей, стоящих перед препятствием, причем время обгона не зависит от размера этой группы. Обозначим через Пт,г случайное время объезда г-м автомобилем ш-го препятствия. Мы предполагаем, что Пт,г независимы и одинаково распределены с функцией распределения Г (и). Эти предположения естественны для слабой нагрузки дороги, тогда перед препятствием не будет много автомобилей. Случай большой нагрузки рассматривается ниже.

Нашей первой задачей будет вычисление средней скорости автомобиля. При сделанных предположениях автомобили не мешают друг другу, поэтому достаточно рассмотреть какой-то один из них. Обозначим через Т(х) случайное время, затрачиваемое автомобилем на прохождение расстояния х. Мы хотим найти предел отношения при х — ж.

Пусть Ь = Ашд, £ — с.в. с плотностью распределения

h(t) = mQ (1 — Q(t)).

Отметим, что

ЕС=------

mQ

t(l—Q(t))dt =------

mQ

t2dQ

2m,

Q

(1 -Q(t))d ( —

,

2m

Q

где ш^ — второй момент распределения Q(t).

Определим с.в. а = шт^С), где равенство по распределению, при этом с.в. п, £ считаются независимыми и с.в. п имеет функцию распределения Г (и). Положим

а = Еа.

Теорема 1. С вероятностью 1 при x

T (x) 1 + abv

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что автомобиль выезжает в точке х = 0 в момент времени і = 0. Пусть То(х) — время простоя автомобиля. Тогда, очевидно, Т(х) — То(х) = V-1 х и

T

0

0

1

Q

0

x

v

1

x

x

Поэтому достаточно найти предел отношения

Го

при х ^ те. Мы хотим показать, что

п

То(х) = ^2 а,

где аі — н.о.р.с.в., распределенные как а, п(х) —

с.в. с пуассоновским распределением с параметром Ьх, причем аі и п(х) независимы. Смысл этой формулы в том, что автомобиль при прохождении расстояния х встретит п(х) препятствий и потеряет случайное время аі на г-м препятствии.

Из (7) и усиленного закона больших чисел лег-То(х) г

ко следует, что ^ } —> ао п.н. при х —> ос.

Докажем (7). Введем маркированное пуассо-новское точечное поле П1 на Н х Н+ с конфигурацией (х., ¿2 т), то есть ту — марка в точке (ху ). Следующее утверждение можно найти в [7]:

Лемма 1. Маркированное точечное поле П1 эквивалентно по распределению пуассоновскому полю на Н х Н+ с интенсивностью XdxdtdQ(t).

Фактически мы предполагаем, что в момент і = 0 на дороге нет препятствий. При і ^те устанавливается стационарный режим со скоростью, зависящей от хвоста времени жизни препятствия. Впрочем можно рассмотреть поле на Н х Н, это означало бы стационарный режим на дороге.

Препятствия, возникающие на дороге, удобно представлять в виде горизонтальных отрезков, изображенных на рис. 1. Координаты начальной точки определяют место и время возникновения препятствия (пара (ху ¿у)). Длина отрезка — время пребывания препятствия на дороге (марка ту). х

Рис. 1

Возьмем произвольную прямую с1 і + с2 и рассмотрим точки пересечения этой прямой с горизонтальными отрезками. Обозначим через {хі} пространственные координаты этих точек, как показано на рис. 1. Следующая лемма доказана в [6].

Лемма 2. Конфигурация {хі} образует пуас-соновский процесс интенсивности Ь = Хшд.

На рис. 2 изображена траектория движения автомобиля, который стартует в точке х = 0 в момент времени і = 0. Обозначим через хі пространственные координаты препятствий, которые

возникают при движении автомобиля, ^ — моменты их возникновения, 81 — моменты времени, когда автомобиль встречает препятствие, щ — моменты времени, когда автомобиль избавляется от препятствия, либо в результате объезда препятствия, либо в результате исчезновения препятствия; а1 = щ — 81 — задержка автомобиля на г-м препятствии.

Рис. 2

Из леммы 2 и пространственно-временной однородности пуассоновского точечного поля П следует, что точки Хi образуют пуассоновский процесс интенсивности Ь.

Под временем жизни препятствия будем понимать время его пребывания на дороге. Назовем остаточным временем жизни препятствия время его нахождения на дороге после того, как его догнал автомобиль. Другими словами, это задержка автомобиля, если объезд невозможен.

Лемма 3. Остаточное время жизни препятствия имеет распределение с плотностью Н(8), где Н(8) определяется формулой (5).

В самом деле, из свойств пуассоновского точечного поля следует, что условное распределение остаточного времени жизни препятствия при условии, что полное время жизни равно Р, совпадает с равномерным распределением на отрезке [0) Р]. В силу леммы 2 вероятность возникновения препятствия в интервале длины dx равна АшQdx + о(йх), а вероятность возникновения препятствия с фиксированным временем жизни Р в интервале длины dx есть АtdQ(t)dx + о(<1х), что вытекает из леммы 1. Поскольку

АtdQ

AmQdx + в^х)

тЯ

есть условная вероятность возникновения препятствия с фиксированным времени жизни Р, то плотность распределения остаточного времени жизни препятствия имеет вид

ds

тд і в

Лемма доказана.

т— (1 — Q(s))ds = h(s)ds.

х

х

х

х

І

І

В том случае, когда объезд возможен, автомобиль потеряет время, которое есть минимум из времени обгона и остаточного времени жизни препятствия, то есть a.i = min(^,£). Теорема доказана.

Обсудим результат. Смысл константы а мы уже пояснили, а константа b имеет смысл стационарной плотности препятствий в пространстве.

Этот результат довольно точен при малой плотности автомобилей, так как около препятствий будет по одному автомобилю. При высокой плотности автомобилей время объезда будет пересчитываться (увеличиваться) в зависимости от средней длины очереди перед препятствием.

II.4. Снижение средней скорости из-за медленных автомобилей

Автотрасса описывается действительной осью R. Потоки считаются не очень плотными, поэтому длина автомобиля роли не играет, и в данный момент времени положение автомобиля задается точкой xi(t) € R, где i — индекс, нумерующий автомобили. Каждый автомобиль имеет фиксированный маршрут: место и время въезда xi,in,ti,in, а также предписанное ей место выезда xiout. Но время выезда ti,out зависит от степени загруженности дороги. Мы определяем среднюю скорость автомобиля i как

Vi

xi,out xi

t

i,out

ti

Есть два типа автомобилей: быстрые и медленные, каждый движется с постоянной скоростью слева направо. У быстрых автомобилей скорость V!, у медленных — V2, где V! > V2 > 0. Пусть V = Vl — V2. Заметим, что случай неподвижных препятствий соответствует нулевой скорости V2. Медленные автомобили движутся до пункта назначения, нигде не останавливаясь, а быстрые — до тех пор, пока не догонят впереди идущий медленный автомобиль. После этого быстрый автомобиль г движется вместе с этим медленным автомобилем ] некоторое случайное время т^- и затем обгоняет его, сразу набирая скорость Vl. Основное предположение состоит в том, что эти случайные величины независимы и одинаково распределены с функцией распределения Г (в).

Эта функция распределения может быть найдена статистически двумя способами, как путем прямой выборки (оценки времени ожидания обгона), так и по статистике препятствий к обгону — плотности встречного потока.

Прибытие медленных автомобилей задается тем же самым пуассоновским точечным полем П интенсивности А, которое было определено в предыдущем разделе. Нам потребуются также новые обозначения. С каждым медленным автомобилем мы свяжем случайное расстояние, которое ему необходимо проехать. Будем предполагать,

что j-му медленному автомобилю необходимо проехать случайное расстояние pj, после чего он съедет с дороги. С. в. pi независимы и одинаково распределены с общей функцией распределения G(r). С. в. pj не зависят также от пуассоновского точечного поля П. Будем предполагать существование первых двух моментов с.в. pi. Обозначим mQ = Epi, mQ = Epi.

Медленный автомобиль не встречает на своем пути препятствий и проходит свой путь со скоростью v2. Быстрым автомобилям могут мешать медленные. Мы рассмотрим два случая. В первом случае обгон запрещен и быстрый автомобиль вынужден следовать за медленным до тех пор, пока медленный автомобиль не доедет до нужного места, после чего быстрый автомобиль мгновенно набирает свою скорость vi . Во втором случае обгон разрешен. Более точно, когда i-й быстрый автомобиль догоняет j-й медленный или группу быстрых автомобилей (следующих за j-м медленным), ему требуется случайное время Titj для того, чтобы обогнать j-й медленный автомобиль или всю группу автомобилей. При этом время обгона не зависит от размера группы. С. в. ritj предполагаются независимыми и одинаково распределенными с функцией распределения F(u).

Пусть d = XmQ(v- — v- ). Введем с.в. в с плотностью распределения g(x) = m—i(l — G(x)) и с.в. y = min(v2Ti,i,в), где равенство по распределению и с.в. Т1д, в считаются независимыми. Отметим, что

.

Ев =

2mG

Положим c = Ej.

Теорема 2. С вероятностью 1 при x

оо

T

1 + dc

1 + dcvi v2

-і

V1

(8).

Доказательство. Покажем, что этот случай сводится к рассмотренному случаю V2 = 0. Введем систему координат, которая движется со скоростью V2 относительно исходной. Найдем среднюю скорость быстрого автомобиля относительно новой системы координат по формуле (6), подставляя V = VI — V2, Ь

Amo

1>2

а = —:

V2

VI - V2

(v1 -v2) 1 + 1 + dev iv2

і •

Тогда средняя скорость быстрого автомобиля относительно исходной системы координат составит

VI — V2 1 + dc

1’1 = ------:----+ г’2 = ------------:-----ІТГ'Ї’І-

1 + dcVlV2 1 + dcVlV2

й

x

1

III. Критерии образования пробок в сложных транспортных сетях

Обязательным атрибутом транспортной сети (например, городских улиц) является граф, где множество V вершин представляет перекрестки (узлы или пункты обслуживания), а множество ребер Ь = {(г.3)} — отрезки путей без перекрестков. Пусть число перекрестков равно N. Мы предполагаем, что между двумя перекрестками существует не более одного пути без перекрестков.

Наиболее разработанными являются два класса сетей. С одной стороны это сети Джексона, ВСМР-сети (см., например, [14, 22]). В них требование (сообщение, автомобиль, работа) обслуживается в каждом проходимом ими узле и затем выбирает случайно следующий узел. С другой стороны, сети Келли (см. [14]), где каждое требование имеет заранее фиксированный маршрут. Эти два класса сетей связаны как общей техникой, так и близостью результатов. Именно они обладают замечательным свойством мультипликативности — стационарные распределения в них имеют вид так называемой продакт-формы. Мы рассматриваем только первый класс сетей.

III. 1. Замкнутые сети

Если предполагается, что автомобили не прибывают извне и не убывают вовне, то такая сеть называется замкнутой. Таким образом, число автомобилей в сети сохраняется и далее обозначается через М. Движение отдельного автомобиля определяется так. Автомобиль ждет некоторое время на перекрестке г и затем направляется на перекресток у. Выбор 3 определяется стохастической матрицей маршрутизации Р = {р— }г-=1,..,м, где pij — вероятность того, что с перекрестка г автомобиль поедет (после ожидания) на перекресток 3 (например, прямо, налево, направо), то есть по улице (г.з).

Стохастическая матрица Р определяет конечную цепь Маркова с дискретным временем, множеством состояний V = {1. .... N}. Эта цепь Маркова предполагается неразложимой. В этом случае система линейных уравнений

РР = Р.Р =

N

£

рФ— =р-.

3 = 1. .... N

имеет единственное решение (с точностью до произвольного множителя). Нормированное решение имеет вид

Рi

г = 1..... N.

2^=1 р

С каждым узлом г € V свяжем функцию ) от числа автомобилей щ в г-м узле, где ^ (0) = 0 и

№(п) > 0 при п > 0. Эта функция характеризует пропускную способность данного узла и определяет интенсивность выходящего из узла потока автомобилей. Именно вероятность того, что за малый промежуток времени СР из узла г выедет автомобиль, равна ^(щ)СР + о(СР) при условии, что в узле находится щ автомобилей. Используя терминологию теории очередей, будем называть ^(щ) интенсивностью обслуживания в узле г.

Порядок, в котором пропускаются (обслуживаются) прибывающие в узел автомобили, определяется дисциплиной обслуживания. Простейший вариант дисциплины обслуживания — это обслуживание в порядке поступления. В узле прибывающие автомобили становятся в очередь друг за другом в том порядке, в котором они приехали, и узел пропускает автомобили согласно этой очереди. Если в узле г находится щ автомобилей, то первый автомобиль в очереди обслуживается с интенсивностью (1^(щ).

Более общая дисциплина обслуживания — это дисциплина разделения общего ресурса, где под ресурсом в данном случае понимается пропускная способность узла. Согласно этой дисциплине ресурс делится в некоторой пропорции между всеми автомобилями, находящимися в данный момент в узле. В общем случае предположим, что к-й автомобиль в г-м узле обслуживается с интенсивностью ¡Л.1,к (щ) ^ ^(щ). При этом потребуем, чтобы

к=1

Например, общий ресурс может быть разделен в равной степени между всеми автомобилями в очереди:

(^ъ^кУР'ъ) — •

щ

В этом случае каждый из щ автомобилей потратит экспоненциальное время со средним щц-1(щ) на прохождение этого узла при условии, что число автомобилей будет сохраняться равным щ. Если взять 1м,1(щ) = ^(щ), то получим дисциплину обслуживания в порядке поступления. Таким образом, интенсивности ц.1,к(щ) полностью определяют дисциплину обслуживания в узлах.

Динамика сети описывается с помощью N -мерной марковской цепи с непрерывным временем £(Р) = (&(Р). г = 1. .... N), где — число

автомобилей, скопившихся в г-м узле в момент времени Р. Случайный процесс £(Р) принимает значение в пространстве Бм, где Бм — множество всех таких векторов с неотрицательными целочисленными координатами щ = (^. .... ),

что щ + ... + = М.

Пусть в.1 — базисный вектор, в котором г-я координата равна 1, а остальные координаты равны

0. Из состояния щ марковская цепь £(Р) может перейти в одно из состояний щ щ — ei + е- .г = 3,

с интенсивностью

a(n,Ti,j n) = m(ni)pi

при условии, что щ = 0. Переход щ щ соот-

ветствует тому, что, выехав из узла г, автомобиль поступает в узел 3.

Отметим, что марковская цепь £(Р) однозначно определяется матрицей маршрутизации Р и набором интенсивностей обслуживания в узлах (щ(щ). г = 1. .... N).

Пусть р = (р1. .... pN) — решение уравнения (9), которое рассматривается как формальное уравнение для интенсивностей рц входящих потоков в узлы (в стационарном режиме они равны выходящим). Решая эти уравнения, находим рi, и тогда стационарное распределение V(щ1. .... nN) марковской цепи £(Р) будет иметь вид

v

1

N

п

pi

г,

ZN,M i_i

где нормирующий множитель

N

Zn,M =

E П

ni + ...+nN_M i_i

l^i(1)^i(2)...^i(ni):

что проверяется подстановкой ответа в уравнения Колмогорова для стационарных вероятностей, см., например, [14, 26].

Ш.2. Открытые сети

Рассмотрим сеть, состоящую из N узлов. В отличие от замкнутой сети, общее число автомобилей в сети теперь не фиксировано. Предположим, что извне сети в узел г поступает пуас-соновский поток автомобилей интенсивности Аi. г €{1....^}.

Зададим матрицу маршрутизации Р = {р- } г.3 = 1....^, где матрица Р неразложима и

N

N

yi \ Pij < 1, 3io : Pi0j < 1.

j_i

j_i

Как и в случае замкнутой сети, р.1- — это вероятность того, что из узла г автомобиль едет в узел 3 . В отличие от замкнутой сети, добавляется вероятность того, что, выйдя из узла г, автомобиль покидает сеть. Эта вероятность по определению равна

N

Pi0 =

1—

Pij.

j_i

Как и в случае замкнутой сети, пусть ¡м(щ) — интенсивность обслуживания в г-м узле. Тогда с интенсивностью автомобиль покидает

сеть после выхода из узла г.

Мы будем описывать динамику сети с помощью N -мерного случайного процесса с непрерывным временем п(Р) = (^(Р).г = 1. .... ^, где

Vi(t) — число автомобилей в i-м узле в момент времени t. Случайный процесс n(t) является марковской цепью с непрерывным временем и с пространством состояний S, где S = ZN — множество N -мерных векторов с неотрицательными целочисленными координатами n = (ni, ..., nN).

Из состояния n марковская цепь £(t) может перейти в одно из состояний Titjn = n — ei + ej, Ti,on = n — ei, Tin = n + ei с интенсивностями

a

a(n,Tin) = Лг

при условии, что Titjn,Ti,on,Tin G S.

Таким образом, марковская цепь n(t) однозначно определяется триплетом (Л,^,Р), где Л = (Л1, ..., ЛN) — вектор интенсивностей внешних потоков, j = (fa(ni), i = 1, ..., N) — набор интенсивностей обслуживания в узлах и Р — матрица маршрутизации.

Рассмотрим формальное уравнение для интенсивностей входящих потоков в узлы (в стационарном режиме они равны выходящим):

N

p = Л + pP pi = Л + ^2 iJkPki,

k_i

У i = 1,...,N.

В силу условия (12) и неразложимости матрицы Р это уравнение имеет единственное решение, которое можно представить в виде сходящегося (см. [9]) ряда:

p=

Л + Y, ЛРп.

n_i

Далее рассмотрим случай, когда интенсивности обслуживания ¡¿¿(щ) = ^ не зависят от числа автомобилей в узлах. Введем нагрузки в узлах по формуле

1, ..., N.

Следующую теорему можно найти, например, в [9, 14], она иногда называется теоремой Гордона-Ньюэлла .

Теорема 3. Марковская цепь п(Р) эргоди-ческая тогда и только тогда, когда для всей г = 1. .... N будет ri < 1. При этом стационарное распределение цепи имеет вид

N

а(щ1. .... nN) ^ П(1 — г^гТ.

¿=1

Из этой теоремы легко следует, что средние длины очередей в стационарном режиме равны

1 ri

Если в некоторых узлах г1. .... г к нагрузка строго больше 1, то марковская цепь п(Р) является транзиентной. Это свидетельствует о том, что

n

p

r

m=

средние очереди в узлах г1. .... гк стремятся к бесконечности с течением времени. Подробный анализ открытых сетей дан в работе [3]. В частности, показано, что в узлах, где нагрузка больше 1, средние очереди увеличиваются линейно с ростом времени. При этом найдены скорости роста средних очередей.

Ш.3. Алгоритм вычисления критической нагрузки в замкнутых сетях

Этот раздел основан на работе [18]. Мы рассмотрим последовательность замкнутых сетей JN, N = 1. 2. .... Сеть JN состоит из N узлов и М = МN) автомобилей. Интенсивности обслуживания в узлах сети JN не зависят от длины очереди: (щ) = . Пусть PN = } —

матрица маршрутизации в N-й сети; PN предполагается неразложимой.

Пусть рN = (р1N. .... рN}N) — вектор с положительными компонентами, удовлетворяющий уравнению

РN = РN PN.

Относительные нагрузки в узлах определяются как

ri,N = С- рi,N.

где т^ = ц-1 и С! = Р^. Оче-

видно, что г^ € [0.1].

В соответствии с (11) стационарное распределение числа автомобилей в узлах сети JN

равно

Pn,m(ii,N,M = Щ, i = 1, ..., N) =

1

Zn

N

п

i,N,

JN,M . л ’ i=1

где нормирующий множитель

Нас будет интересовать случай больших N, M, точнее, N, M ^ ж, причем так, что —* Л = const, то есть удельное число автомобилей на один узел постоянно. Именно это число определяет существование пробок. В терминах предельной меры I мы найдем критическое значение плотности Лсг, так что при Л < Лсг средние длины очередей равномерно ограничены. Если Л ^ Лсг, то в узле с максимальной относительной нагрузкой средняя длина очереди стремится к бесконечности, что означает возникновение пробки.

Положим

h(z) =

1 — zr

dl (r),

где z Є C \ [1, + ж). Функция h(z) строго возрастает на [0, 1). Обозначим

Acr = lim h(z).

Z—— 1 —

Будем предполагать, что Xcr > 0.

Теорема 4.

• Если Л < Acr, то средние очереди равномерно ограничены: существует такая константа B, что mi,N < B, равномерно по N ^ 1 и

1 < i < N.’

• Если Л ^ Acr и i(N) удовлетворяет условию n(N),n = 1, то mi(N^ ж при N ^ ж, т. е. пробки будут в тех узлах, где нагрузка максимальна.

При z Є C \ [1, + ж) положим

N

SN{z) — — А

N

z

Пі r *

N,M = ^2 Г^[ 1 i,N.

Пі +... +ПN = M i=1

S (z) = —X ln z —

ln(1 — zr)dI (r),

Многие важные характеристики сети выражаются через статсумму.

Нетрудно проверить, что среднее число автомобилей в г-м узле в стационарном режиме равно

mi,N,M = E^iN.M

ri,N dZN,M

Z

N,M

dri

N

Ниже мы будем требовать слабую сходимость относительных нагрузок г. Точнее, определим выборочную меру на отрезке [0. 1]:

адл) = 1 ^ 1,

где А — произвольное борелевское множество из отрезка [0. 1]. Предположим, что при N — ж меры ^ слабо сходятся к некоторой вероятностной мере I, заданной на отрезке [0. 1].

где А(1 + £дг) = If.

Введем производящую функцию (большую статсумму):

-N

У] zMZn,m M=0

N

П

i=1

1

1 zr

По формуле Коши и формуле (18) имеем следующее выражение для статсуммы (16):

Zn,m =

2ni

±

zM+1 2m

' exp

dz,

где y = {z Є C : Izl = a < 1}. Для средних, согласно (17), имеем

1

mi,N =

2niZ

n,N

N

Y

1 zr

i,N

exp

1

r

0

n

1

0

1

z

Можно показать, что для стационарного распределения длин очередей справедлива формула

PN,M (^^м = Щ.^.^к^м = щк) = к

1

2niZ^

z 1 (1—zTi,N)(zri,N)ni exp(NSw(z))dz.

i=1

В доказательстве теорем этого раздела существенную роль играет метод перевала (см. [35]), точнее, его обобщение, поскольку функция в показателе экспоненты зависит от N. Из уравнения

dSN(z) dz

0

находятся точки перевала. Пусть zo,N — корень этого уравнения, лежащий в интервале (0.1). Можно показать, что все корни уравнения (22) действительны и положительны, и всегда существует единственный корень, лежащий в интервале (0. 1).

Пусть zo — корень уравнения

, , Л dS(z) h(z) = - О —— = 0, z dz

лежащий в интервале (0.1). Имеют место следующие факты:

• при всех А существует предел

^ш!zo,N = zo = zo(А) > 0;

• если А < Асг, то zo(А) — корень уравнения (23); zo(А) строго возрастает по А, zo(А) € (0.1), Иша^асг._ zo(А) = 1;

• если А ^ Асг, то zo = 1.

Таким образом, в пределе мы получаем открытую сеть, состоящую из независимых очередей.

Доказательство теорем 4 и 5. Мы приведем более общий результат, из которого будут следовать теоремы 4 и 5. Пусть Па^) = ^ € С : |z — VI < С}. Рассмотрим контур 7 = ^ € С :

N = ^(А)}.

Теорема 6. Пусть А < Асг и /(в^), в € 0, — семейство функций голоморфных в кольце ^ € С : zo(А) — So < ^I < zo(А) + So} при некотором So > 0, равномерно ограниченных в этом кольце и таких, что для заданного достаточно малого е > 0 существует такое Su > 0 и такая ненулевая действительная константа /и, что |/(в^)//и — 1| < е при

z € и25и (z0), в € 0.

Тогда при достаточно больших N равномерно по в € 0:

1

27Г*

f (0,z) exp(NSN(z))dz =

fu exp

где \Zn\ < 25e.

Доказательство этой теоремы основано на применении метода перевала (saddle-point method) (см. [35]). Отличие от стандартной ситуации состоит в том, что функция в показателе экспоненты зависит от N. Подробное доказательство можно найти в оригинальной статье [18].

Доказательство теоремы 5. Используя теорему 6, докажем первый пункт теоремы 5. Согласно (19) имеем

Z

N,M

1

2iri

' exp

dz,

В следующей теореме мы находим асимптотику статсуммы и предельное распределение для последовательности замкнутых сетей JN.

Теорема 5. Пусть А < Асг.

• При N — ж статсумма ZN и свободная энергия _Рдг = ^1п-^дг имеют следующие асимптотики:

exp

Z

N

zq\J 27tNS"

Fn = — InZjy ~ S(zq).

Если при i = 1, ..., K существуют пределы

Ti = limN ——^0 Ti,N, то

zoTi

lim mi N = --------------------,

N—0 1 — zoTi

lim Pn,m

N — О

K

[J(1 — zoTi)(zoTi)ni.

i=1

где 7 f

{z € C : \z\

zo(А)}. Положив z-1, /и = z-1 и применим теорему 6, получим, что для любого достаточно малого е > 0 при достаточно больших N

ZN =

exp

zoJ2nNS

Второй пункт теоремы 5 доказывается аналогично с использованием формулы (20) для средней очереди и формулы (21) для совместного распределения длин очередей. Третье утверждение теоремы 5 доказывается, используя теорему 6 и формулы (20), (21).

Доказательство теоремы 4. Чтобы доказать первый пункт теоремы 4, рассмотрим семейство функций

А в А

/(в,г) =---Ь -----т, в € 0 = [0,1], А > 0, /„ = —.

z 1 — zв zo

Зафиксируем малое е > 0 и выберем аи = |, А = д16?• По теореме 6 имеем для достаточно

Y

z

Y

больших N и всех в € 0 в

1

27Г*

А

7 + 1 - хв

Аехр

£0

exp(NSN ^))С,г

(1 + CN). |CNI < 25е.

Разделив на ZN и применив (24) к правой части получившегося равенства, получим при достаточно больших N:

_1_____1_

гм 27г*

в

1 - zв

= А(1 + ZN).|CN | < 30е.

Из последнего равенства и формулы (20) следует равномерная ограниченность т-^^.

Докажем второе утверждение теоремы 4. Для этого потребуется следующее свойство монотонности: при любых М2 ^ М1 > 0 и любом N ^ 1 выполнено ^ т^мг^.

Поскольку zo(А) строго возрастает по А, zo(А) € (0.1) и ИшЛ^лсг- zo(А) = 1, то функция

zo

1 — zo

монотонно возрастает и стремится к ж, когда А /? Асг. Поэтому для любого т > 0 существует такое А' = А'(т) < Асг, что

-го

= т +1.

Без ограничения общности можно считать, что г(К) = 1 и г1^ = 1. Если взять М'^) = [А'N], то по теореме 5

-о

11т ??Н М,(ЛГ) дг = ---------------——.

1 — z0

N

Следовательно, при достаточно больших N

. *о(А') ,

ПЧ,М'Ш),М > 1------7Т7Т “ 1 — т-

1 — zo

Но М^ — А ^ Асг > А', поэтому при достаточно больших N имеем М N) ^ М'^). По свойству монотонности т1N = т1м(N^ m1}M',N > т для достаточно больших N. Это доказывает, что m1,N — ж.

Технические обобщения и математические проблемы. Мы предполагали мгновенное перемещение между перекрестками. При этом не учитываются времена движения по улицам. Это допущение, однако, легко устраняется усложнением графа. Именно введением дополнительных вершин щ-, соответствующих улицам, и средних времен т— = ¡л-1 пребывания на улицах. В терминах теории очередей это значит, что улицы рассматриваются как узлы обслуживания с бесконечным

числом обслуживающих устройств и время обслуживания экспоненциально распределено со средним т- = ц-1.

Отметим, что результаты раздела III могут быть обобщены на случай, когда сеть содержит узлы с бесконечным числом обслуживающих устройств. Пусть, например, сеть содержит один узел такого типа (г = 0) и лo,N(щ) = nvN — интенсивность обслуживания в этом узле. Пусть РN = (Ро^. .... РN,N) — решение уравнения (15). Тогда относительные нагрузки определим по формуле

Лo,N р^

П, N =----------,

Р0,N

так что гщ = 1. Согласно (11), стационарное распределение длин очередей имеет вид

(й^м = щ. г = 1..... N) =

ZN,M (М — $^¿=1 щ)!

N

п

где

N

Z

N,M

Пг Г г

и большая статсумма сети равна

N

Положим

П, N

41,N = -------,«’ = грм, рм = тах 14 м.

PN 1^i^N

Тогда

N

Ыго) = е™/™ П —

1

¿=1

В предположении, что pNN — а > 0 при N — ж, мы можем найти критическое значение плотности А по формуле

Асг = а 1 + Иш

ад— 1 —

q

1 — wq

где, как и раньше, мера I есть слабый предел при N — ж выборочных мер:

ыА) = ъ £

ЕА

где А — произвольное борелевское множество из отрезка [0.1].

В работе [10] для замкнутых сетей аналогичные результаты получаются для случая более общей зависимости интенсивностей от длин очередей в узлах.

Прием усложнения графа позволяет устранить также другое ограничение, что для данного перекрестка средняя длительность красного света одна для всех направлений. Необходимо вместо

7

1

1

п

1

п

вершины i, соответствующей перекрестку, ввести несколько вершин (i,d), где d перечисляет возможные направления движения на перекрестке i. Это, конечно, налагает ограничение на соответствующие времена обслуживания ri}d в новых вершинах типа

^ ^ Ti,d = Ti . d

Мы ограничились задачей, когда в системе возникала хотя бы одна пробка. Интереснее рассмотреть ситуацию, когда в разных местах графа одновременно возникает много пробок.

Рассмотренные в этом разделе модели удобны также тем, что все их параметры можно оценить. Именно на практике статистические оценки параметров pj ,^i имеют вид (например, для постоянных ^):

где Nij (T) — число автомобилей, повернувших за время T на перекрестке i в направлении j.

Практически интересна прежде всего задача оптимизации светофоров, которая может достигаться выбором ri}d и за счет изменения матрицы Р подсказками о выборе маршрута. Более того, в экспоненциальной модели многие случайные величины независимы, и, значит, полностью игнорируется проблема синхронизации светофоров. Следует сказать, что проблема светофоров в стохастическом контексте только начинает изучаться, и постановки задач там должны быть более тонкими. Ранее она изучалась в жидкостных моделях, см. [21].

Литература

1. Blank M. Ergodic properties of a simple deterministic traffic flow model // J. Stat. Phys — 2003. — V. 111. — P. 903-930.

2. Blythe R.A., Evans M.R. Nonequilibrium steady states of matrix-product // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2007. — V. 40, N. 46.

3. Botvich D.D., Zamyatin A.A. On fluid approximations for conservative networks. Markov Processes and Related Fields. — 1995. — V. 1, N. 1. — P. 113-141.

4. Buslaev A.P., Prikhodko V.M., Tatashev A.G., Yashina M.V. The deterministic - stochastic flow model. — e-print arXiv: physics /0504139 v1, 2005.

5. Caceres F., Ferrari P., Pechersky E. A slow-to-start traffic model related to a M / M /1 queue // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2007. — V. 2007.

6. Cox D.R., Isham V. Point processes. — Chapman and Hall, 1980.

7. Daley D, Vere-Jones D. An Introduction to the Theory of Point Processes. — Springer, 2003. — V. 1.

8. Derrida B. Non-equilibrium steady states: fluctuations and large deviations // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2007.

9. Fayolle G., Malyshev V., Menshikov M. Topics in the constructive theory of countable Markov chains. — Cambridge University Press, 2008. — 2nd edition.

10. Fayolle G., Lasgouttes J.-M. Asymptotics and Scalings for Large Product-Form Networks via the Central Limit Theorem. — Markov Processes and Related Fields, 1996. — V. 2, N. 2. — P. 317-349.

11. Helbing D. Verkehrsdynamik. — Berlin: Springer, 1997.

12. Helbing D. Traffic and related self-driven many particle systems // Rev. Mod. Phys. 73. — 2001. — P. 1067-1141.

13. Jost D., Nagel K. Probabilistic Traffic flow breakdown in stochastic car following models // Traffic and Granular Flow — 2005. — Part 2. — P. 87--103.

14. Kelly F. Reversibility and stochastic networks. — N.-Y.: Wiley, 1979.

15. Kerner B.S. Introduction to modern traffic flow theory and control. — Springer, 2009.

16. Lighthill M.J., Whitham G.B. On kinematic waves: II. Theory of traffic flow on long crowded roads // Proc. R. Soc. — London, 1955. — V. 229. — P. 281-345.

17. Lotito P., Mancinelli E, Quadrat J.-P. A min-plus derivation of the fundamental car-traffic law // Automatic Control IEEE Transactions. — 2005. — V. 50. — P. 699--705.

18. Malyshev V., Yakovlev A. Condensation in large closed Jackson networks // Ann. Appl. Probab. — 1996. — V. 6, N. 1. — P. 92-115.

19. Prigogine I., Herman R. Kinetic theory of vehicular traffic. — N.-Y.: Elsevier, 1971.

20. Renyi A. On two mathematical models of the traffic on a divided highway // Journal of Applied Probability. — 1964. — V. 1. — P. 311-320.

21. Gartner N.H., Messer C.J., Rathi A.K. Revised Traffic Flow Theory. A state-of-art report. — Washington DC: Transportation Research Board, 2001.

22. Serfozo R. Introduction to stochastic networks. — Springer, 1999.

23. Solomon H. Geometric Probability. — SIAM, Philadelphia, 1978.

24. Solomon H., Wang P. Nonhomogeneous Poisson fields of random lines with applications to traffic flow // Proc. Sixth Berkeley Symp. On Math. Statist. and Prob. — Univ. of Calif. Press, 1972. — V. 3. — P. 383--400.

25. Gartner N.H., Messer C.J., Rathi A.K. Traffic flow theory: A state-of-the-art report. — Washington DC: Transportation Research Board, 2001.

26. Афанасьева Л.Г. Очерк исследования операций. — М.: Изд-во МГУ, 2007.

27. Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения. — М.: Мир, 2003.

28. Замятин А.А., Малышев В.А. Накопление на границе для одномерной стохастической системы частиц // Проблемы передачи информации. — 2007. — T. 43, вып. 4. — С. 68-82.

29. Иносэ Х, Хамада Т. Управление дорожным движением. — М.: Транспорт, 1983.

30. Кингман Д. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007.

31. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. — М., 1967.

32. Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля. — М.: Наука, 1985.

33. Малышев В.А. Случайные грамматики. — Успехи Мат. Наук, 1998. — Т. 53, вып. 2. — С. 107-134.

34. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971.

35. Федорюк М.В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.

36. Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков. — М., 1966.

37. Четверушкин Б.Н., Трапезникова М.А., Фурманов И.Р, Чубарова Н.Г. Макро- и микроскопические модели для описания движения автотранспорта на многополосных магистралях // Труды МФТИ (специальный выпуск, посвященный математическому моделированию транспортных потоков, под ред. акад. В.В. Козлова). — 2010. — Т. 2, № 4(8).

Поступила в редакцию 15.10.2010.