Линейные дефекты и микроскопические механизмы деформации аморфных материалов

УДК 539.214.4:548.4

ЛИНЕЙНЫЕ ДЕФЕКТЫ И МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ МЕХАНИЗМЫ ДЕФОРМАЦИИ АМОРФНЫХ МАТЕРИАЛОВ

© A.K. E.Ma.ncrjHHOB, P.JI. HypyjuiacB

Emaletdinov A.K., Numllacv R.L. The line defects and micromechanisms deformation of amorphous materials. The fields of displacement and stresses of Somiliana dislocations are calculated on the basis of a modify Frenkel - Kontorova model. The parameters of generation and stresses of ensemble of Somiliana dislocation arc investigated and the some specific characteristics of plasticity of amorphous materials are discussed.

1. Аморфные материалы являются перспективными конструкционными материалами, обладающими уникальными физическими и химическими свойствами [1-6]. Исследование структуры аморфных материалов и сплавов, проведенное различными методами, показало, что она является гомогенной, плотноупакованной, не-микрокристаллической, с ближним порядком. Межатомное взаимодействие в таких структурах является центральным, описываемым обычными атомными потенциалами. Деформация аморфных металлов происходит по гигантским по сравнению с кристаллами полосам сдвига шириной до 50 нм и высотой ступеньки до 200 нм и неравномерным сдвигом вдоль полосы. В тоже время линейные дефекты в полосе сдвига не наблюдаются. Характерными особенностями кривой деформирования являются: высокий предел текучести до ц/50, где ц - модуль сдвига, отсутствие упрочнения и большая пластичность. Для объяснения экспериментальных данных были предложены ряд теоретических моделей [1-6], из которых, в настоящее время, наиболее предпочтительны модель дисклинационно-полиэдрической плотной упаковки, кинетики дискли-наций и дислокаций Сомилианы [1]. Хотя геометрическая теория дислокаций Сомилианы обоснована [1], вопрос об их физической природе и упругих свойствах остается открытым.

В данной работе для описания линейных дефектов аморфной структуры предложена модифицированная модель Френкеля - Конторовой с квазнпериоднческим потенциалом, описывающим аморфную структуру с ближним порядком. С помощью вычисленных полей упругих смещений и напряжений дислокаций Сомилианы проанализированы механические свойства аморфных материалов.

2. Динамику атомов в аморфных материалах и со-литонные решения (дефекты) будем исследовать в модифицированной модели Франкеля-Конторовой [7], представляющей собой две взаимодействующие несоизмеримые квазипериодические (ближний порядок) квазирешетки. При этом одна квазирешетка с ЛМ атомами испытывает действие внешнего квазнпериодиче-ского потенциала У (и), создаваемого второй квазире-

шеткой с N атомами, где (7 = (и,0,0) - вектор смещения атомов из положения равновесия. Введение векто-

ра смещений относительно положений равновесия в аморфной структуре является достаточно условным, поскольку сама структура является неравновесной и метастабильной и существует мнение о высоких внутренних напряжениях в такой структуре. Однако отжиг аморфной структуры до температуры стеклования и релаксация напряжений после деформации указывают на существование определенной квазиравновесной структуры.

С помощью канонических уравнений можно получить уравнение динамики для компоненты вектора смещений квазирешеткн в виде:

Ми„ - МГихх = Уи

Для случая решеточной дислокации (солитон Френкеля-Конторовой): У(и) = У0(\ + cos(2mt/b)),

a=b - модуль вектора Бюргерса дислокации и уравнение (1) принимает вид уравнения синус-Гордона [7-9]. Дислокации (солитоны) отвечают стационарным решениям уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (для переменных и = 2 пи / b , х = 2 7i.Y / h ) вида и (±оо ) = + 1 / 2 .

Для исследования линейных дефектов в аморфной структуре необходимо моделировать межатомный потенциал У(и). Известно, что любую периодическую функцию У(и) можно разложить в конечный ряд Фурье:

II

У (и ) = У о О + а/cos( 2nk¡u/b)). (2) i = i

Потенциал (2) при п = I описывает модель Френкеля - Конторовой. В случаях, когда и > 2, k¡ иррациональные числа потенциал (2) перестает быть периодическим: становится квазипериодическим (ближний порядок), период осциллирует около среднего значения. Подобный потенциал можно использовать для изучения дефектов (солитонных решений) в аморфных металлах. Таким образом, для исследования зернограничных дефектов необходимо использовать модифи-

цированное уравнение Синус-Гордона (1) с потенциалом (2).

В общем случае решение уравнения (1) с граничными условиями (солитона) и таким потенциалом не находится в явном виде [7-9]. Это можно показать с помощью неявного решения уравнения (1), так как простые нули - локальные минимумы потенциала осциллируют, поэтому стационарных периодических решений (солитонов - дислокаций) не существует. Поэтому рассмотрим асимптотические решения. Разложим функции ««(г) в правой части потенциала (I) в ряд Тейлора до второго члена включительно. Это соответствует рассмотрению модели границы с двухямным потенциалом. Уравнения динамики примут вид:

2 t Ми„ - Мс и „ = Аи - Ви ,

ления полей деформаций и напряжений можно сделать с помощью функции напряжений у Эйри [7]:

ао

= - $ v f dx'y\n[(x-x')2 + y2]'n 2ti(1 — v) J

X

ax

где V - коэффициент Пуассона.

Компоненты тензора напряжений дислокации определяются выражениями

д2\и 32у д2ш

°.v.v = “ТТ. °ху = T-т- , а = - .

ду дхду дх

"г I " 4

где А = > й = • Дпя нахождения

/-1 6 ,=|

квазидислокаций необходимо исследовать стационарное уравнение (3) с темн же граничными условиями.

Анализ фазовых траекторий уравнения (3) [8, 9] показал, что существуют следующие виды решений: !) квазигармонические колебания с малыми амплитудами, 2) нелинейные периодические волны - кноидаль-ные волны, 3) солитонные решения - квазидислокации.

Необходимо искать решения с постоянными профилем и скоростью V (дислокации, волновые пакеты), зависящие от одной переменной х-У/. Перейдем к подвижной системе координат со скоростью V и применим подстановку: и = 2тш /Ь,х’ —

= (х — У/)/ М (с2 — У 2). Если и « 1, то уравнение (3) примет вид уравнения гармонического осциллятора, имеющего решение гармонического вида, описывающее гармоническую упругую деформацию вдоль границы.

В случае больших амплитуд и < 1 возможны солитонные решения [8-9] в виде квазиднелокации

и = А0 lh[(x-Vt)/A0\

где А() = b ехр( Цкх- (/с2 - со2)/) - осциллирующая амплитуда, к,со - const, определяемые из начальных условий. Л, г М.0 - ширина пакета, А.0 - расстояние между квазидислокациями, Д0 « 3 b - ширина квази-дислокации. Солитонные пакеты двигаются периодическими цугами с периодом X.

Таким образом, в аморфной структуре линейным дефектом является дислокация Сомилианы. Стационарных, покоящихся дислокаций, аналогов решеточных дислокаций, в такой структуре существовать не может. Можно показать, что стационарная квазидислокация, описываемая выражением (4), неустойчива [8-9]. Поэтому в конечном итоге при / —> оо такой дефект распадается на нелинейные волны.

3. Рассмотрим поля собственных напряжений от дислокаций Сомилианы, поскольку они определяют механические свойства аморфных материалов. Вычис-

Выражения (5), (6) приводят к более резкому экспоненциальному спаду напряжений. Можно оценить в асимптотической зоне (х»Ь) поля напряжений (6) квазидислокации. Например,

,7)

’ 2л

Таким образом, дислокации Сомилианы в аморфной структуре обладают короткодействующими напряжениями.

Рассмотрим упругую энергию квазидислокации. Собственная упругая энергия дислокации на единицу длины определяется выражением [7] в цилиндрической системе координат

IV/1.= \rclr \ ¿е[_ст^ +

О 2И

+—(а2.л. + с2 - 2vct лла - а:.)] .

2 Е

где Е - модуль Юнга. Численное вычисление выражений (5), (6), (8) показало, что энергия квазиднелокации Сомилианы определяется оценкой

\У / = С0\хЬ 2 , где С0 г 0,1253. Таким образом,

собственная упругая энергия квазидислокаций почти на два порядка меньше, чем решеточной дислокации, у которой С0 £ 6.

4. В рассмотренной физической модели межатомного потенциала аморфных материалов находит естественное объяснение существование температуры стеклования Тх »0,57^,, составляющей не менее половины температуры плавления, когда их вязкость сильно изменяется [1-5]. В квазипернодическом потенциале появляются локальные минимумы потенциала У (и) , которые почти наполовину меньше кристаллического. Поэтому при превышении темперагуры стеклования аморфная структура теряет устойчивость и становятся возможны структурные переходы между этими минимумами, что приводит к снижению вязкости.

Квазнпсриодическнй потенциал может описывать структуру аморфных и квазикрнсталлических материалов [1-5]. Поэтому дислокации Сомилианы (4) описывают дефекты в таких структурах. Неустойчивость статичных дислокаций Сомилианы и близкодействующий характер поля напряжения (7) не противоречат структурным данным [1-5], а также отсутствию линейных дефектов в полосах сдвига аморфных материалов на электронно-микроскопических снимках. Возможность наблюдения таких дислокаций в экспериментах iп situ требует специального рассмотрения.

Деформационное упрочнение моно- и поликристаллов [10] является следствием возрастания внутренних напряжений стДрга,ст0), определяемых плотностью решеточных дислокаций р РО и дислокационными

напряжениями а а : ст,(г)= Jpra(r')CT(pra,|r-r'|)í/r'.

Средняя величина внутренних напряжений для постоянной случайной плотности дислокаций описывается

известным выражением ст, « 0,5(.iA^p^o , хорошо

описывающим экспериментальные данные для моно- и поликристаллов [10] и вызывающим упрочнение с коэффициентом Q=da/dE<(\Q~4-КГ3)|Д. Используя (7), вычислим среднюю дисперсию внутренних напряжений для постоянной средней плотности дислокаций Сомилианы

D2a¡ = \í2b2 JJpо ехр(|г - г'|/Д0)г'«/гУф/4л2 «

«р0(ц/>/2л)2ехр(-/./Д0) и средний уровень внутренних напряжений а, ~ \ibJpnA0 /2nL < 10~6ц . Откуда коэффициент упрочнения 0 = da/de —» 0 , что соответствует экспериментальным данным [1-5]. Таким образом, отсутствие упрочнения при деформации металлических стекол связано с низким уровнем внутренних напряжений дислокаций Сомилианы, обладающих короткодействующими, экспоненциально спадающими напряжениями.

Движение периодических пакетов дислокаций Сомилианы (4) объясняет локализацию и периодичность величины деформации в полосах сдвига таких материалов [1-5], а также проявление скачков на кривой деформирования.

Рассмотрим образование дислокаций Сомилианы в пластине толщиной L. Пусть действует источник, испускающий в плоскости у = 0 скопление п дислокаций Сомилианы, параллельных оси z. Скопление формируется с поле напряжений CTç(.v) = CT+o,(.v), где ст -внешние, ст, (л) - внутренние напряжения, действующие в плоскости у = 0. Изменение упругой энергии системы аморфное тело плюс нагружающее устройство на единицу длины скопления можно записать:

п х*

АЕ = Jcts(/)í// + C0|.i/>2/; +

п II -Vt — X ;

+ CQ\ib ¿ ¿ expí- -—--------------------------------).

A=l 7=1 Aq

Первое слагаемое в правой части - это работа напряжений при образовании скопления, взятая с обратным знаком, второе - собственная энергия дислокаций скопления, третье слагаемое - энергия взаимодействия дислокаций скопления между собой. Введем континуальное распределение дислокаций в скоплении плотностью Рд , которое удовлетворяет условию нормировки

]р0(х)е/х=/ід

Тогда в выражении (9) можно перейти к интегралам:

ДЕ = -Ы |сіхр 0(х) \а5(і)(1і +

/, о

ІА - /I

+ С0ц \с!х {¿/рд

/, /, Ао

Равновесная конфнгурация определяется граничным условием рд(/| ) = рдС/г) = 0 •

Минимизируя функционал (10), можно получить уравнения равновесия дислокаций в скоплении:

В формализме уравнении (9) - (11) механизм генерации дислокаций Сомилианы не конкретизируется. Поэтому любой источник испускает дислокации до тех пор, пока их движение уменьшает упругую энергию системы (10). При этом поле Сту(.г) = а+а,(х), с одной стороны, генерирует дислокации, а с другой - останавливает их, т. е. задача образования скопления становится самосогласованной: для заданного

сту(д)=ст+ст,(л) определяются . С помощью

варьировавания уравнения (II) по ст и условия нормировки по п, получим при /2 »/| уравнение для верхней оценки плотности дислокаций:

д л

—^- = -ехр

да ц

где / = (/2-/1), ст() - напряжение срабатывания источника. С помощью (12) получим плотность дислокаций р„ = - = -=2о.ехр(Л/До)]<10|° см \ т. е. плот-/ цА

ность дислокаций Сомилианы с короткодействующими напряжениями может достигать очень больших величин без упрочнения. Например, оценка плотности дислокаций Сомилианы в полосах сдвига имеет вид

Рд « г1'ікТ /ЬОПа0 *1016 см ', т. е. намного больше, чем максимальная плотность решеточных дислокаций.

Для зарождения дислокаций Сомилианы с помощью гомогенного механизма требуются высокие на-

пряжения, равные по порядку величины аг« ц ехр(-2Д0/Ья) » (10“1 - 10'2)ц . Эти значения хорошо коррелируют с пределом текучести аморфных металлов стг и 2 • 10~2ц [1-5]. Малая

упругая энергия таких дислокаций (10) позволяет объяснить небольшую величину запасенной латентной энергии ~ 4 % от работы деформации в таких материалах [1-5].

Таким образом, пластическая деформация аморфных материалов может обеспечиваться движением дислокаций Сомилианы, которые обладают короткодействующими, экспоненциально затухающими напряжениями в отличие от дислокаций решетки, что позволяет объяснить характерные особенности пластической деформации аморфных материалов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Металлические стекла / Под ред. Дж.Дж. Гилмана, Х.Дж. Лими. М.: Металлургия, 1984. С. 264.

2. Лопухин В.А.. Ватолин Н.А. Моделирование аморфных металлов. М.: Наука, 1985. С. 288.

3. Золотухин И.В. Физические свойства аморфных металлических материалов. М.: Металлургия, 1986. С. 176.

4. Глезер А.М.. Мояотилов ИВ. Структура аморфных сплавов // ФММ. 1990. №2. С. 5.

5. Лихачев В.А.. Шудегов В.Е. Принципы организации аморфных структур. СПб.: Изд-во СпбГУ, 1999. С. 226.

6. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Дефекты и механизмы пластичности в наноструктурных и некристаллических материалах. СПб.: Изд-во Янус, 2001. С. 180.

7. Л'иртДж., Лотте И. Теория дислокаций. М.: Атомкдат, 1975. С. 511

8. Буллаф Р.К.. Кодри Р.Дж. Солнтоны. М.: Мир. 1983. С. 486.

9. Ныочлл А. Солнтоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. С. 326.

10. Хоникомб Р. Пластичность металлов. М.: Мир, 1972. С. 326.