Вычислительная модель для дифференциального уравнения с эмпирическими функциями на основе интегрального уравнения Фредгольма первого рода

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

НАУКА. ИННОВАЦИИ ТЕХНОЛОГИИ, №2, 2016

удк517.972:519.633 Наац И.Э. [Naats I.E.], Наац В.И. [Naats V.I.], Рыскаленко Р.А. [Ryskalenko R.A.]

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЭМПИРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

A computational model for a differential equation with empirical functions based on the integral equations Fredholm of the first kind

В работе излагается метод построения приближенного решения дифференциального уравнения второго порядка с исходными данными, полученными в эксперименте (эмпирическими функциями). Б подобной постановке задача относится к классу некорректных математических задач и часто встречается, например, в математических моделях физических явлений, использующих результаты измерений натурных экспериментов. Для получения приближенного решения этой задачи требуется построение соответствующих регуляризирующих алгоритмов на основе методов теории функционального анализа и некорректных задач. В настоящей работе выполняется построение приближенного решения ОДУ с заданными краевыми условиями, представленного так называемыми сингулярными интегралами. Это позволяет поставить в соответствие исходному уравнению интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение, то есть решение некорректной задачи. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге вычислительная модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи.

Ключевые слова: операторное уравнение, сингулярный интеграл, метод регуляризации, обобщенный обратный оператор, расчетно-анали-тическая модель.

The work out lines a method of constructing an approximate solution of a differential equation of the second order with input data obtained in the experiment (empirical functions). In such statement the problem belongs to the class of incorrect mathematical problems and often occurs, for example, in mathematical models of physical phenomena using measurement results of field experiments. To obtain the approximate solution of this problem requires construction of appropriate reguiarization algorithms based on the methods of the theory of functional analysis and ill-posed problems. In the present work is the construction of the approximate solution of odes with specified boundary conditions, are the so-called singular integrals. This allows you to put in the original equation Fredholm integral equation of the first kind and to find its numerical solution, i.e. the solution of the incorrect task. This uses a machine approximation of functions and their derivatives corresponding singular integrals and reguiarization method convergence of the sequence of approximate solutions, which implemented the so-called generalized inverse operators. Built in the end, a computational model allows to obtain a stable solution of ill-posed problems.

Keywords: operator equation, singular integral, reguiarization method, the generalized inverse operator, computational and analytical model.

Постановка задачи.

Представленная работа продолжает исследования авторов по методу интегральных уравнений для численного решения дифференциальных уравнений, построенного на так называемых сингулярных интегралах функций [1-3]. В общем случае речь идет о решении операторных уравнений типа

и/= 5,

где Ьь - дифференциальный оператор, зависящий от вектора коэффициентов Ъ в ситуации, когда исходные данные {6,5"} представлены своими а - приближениями. Во многих практических задачах привлечение приближенных исходных данных приводит к некорректности уравнений и требует разработки способов регуляризации последовательности приближенных решений. Как было показано в работах авторов [1-3], использование сингулярных интегралов функций позволяет построить для исходного уравнения Ь$/= 8 некий приближенный аналог вида

(Л/ <ч.

где От- интегральный оператор, зависящий от параметра г е

(0,1), допускающий так называемую обобщенную инверсию на множестве приближенных данных Ва= {(Ь„. 8П)}.

В пределах настоящей работы рассматривается вариант операторного уравнения Ьъ/ = 8, когда привлечение Ъ0 делает его некорректно поставленной задачей теории дифференциальных уравнений [4]. В частности, речь может идти о решении достаточно простого уравнения вида

А.

с1х

г л \

/>

сЬс'

в котором краевые условия/(а) и /(Ь) заданы, а функция р (х) представлена своим о - приближением рг(х) е C(Q), т.е. явно не дифференцируемая функция. Поскольку ра(х) явно не дифференцируемая функция, то уравнение (1) не определено и его решение приближенными численными методами возможно лишь в некотором обобщенном смысле, о чем речь и пойдет ниже.

Построение и обоснование вычислительного метода некорректной задачи (1). Если функция р(х) представлена а - приближением р (х), то имеет место неравенство

¡Р^-РЛ^П) й ^Iktolhfl»

где р(] (х) выступает как некое гипотетически точное значение данной функции и о > 0 - некое число [4].

В подобной ситуации предпочтительно считать, как показано в работе авторов [3], что функция р (х) представлена в исходных данных вектором размерности т с приближенными компонентами. Считая, что если функцияра(х) суммируема на отрезке \ci,h\. то компоненты указанного вектора можно выбирать в соответствии с формулой

Р,

где Д ,(x) = [xl—h,x,+h], х е[х, - h,x, + h] и х е [х, - /?,хг + h] - некая система точек на указанном интервале [а, Щ. Приняв подобное представление исходных данных, касающихся коэффициентов исходного операторного уравнения, обратимся к преобразованию выражения

d ipAx)icf

dx

\

таким образом, чтобы оно было «восприимчивым» к исходным данным

Подобное преобразование можно осуществить, если использовать представление интересующих нас функций некими интегралами (подробно теория соответствующих интегральных представлений и их приложения в прикладном анализе изложены в работах авторов [1-3]). Напомним, что в соответствии с теорией Лебега для сингулярных интегралов функции /(х), определенных на £2 = | a, b |. имеют место предельные соотношения [5, 6]:

ъ

а

В подобной ситуации можно говорить о том, что функции /^(х), определяемые параметром г, сколь угодно мало уклоняются от заданной функции /(х) при г —> 0. Соотношение (4) может быть записано и для производной/'(х), если последняя интегрируема, а исходная функция f{x) дифференцируема (почти всюду). Соответственно имеем

jX

а

Полагая, что ядро интеграла слева есть дифференцируемая функция, и применяя формулу интегрирования по частям, выражение (5) заменим ему эквивалентным, а именно

- J К'тх,

а

Тогда выражение (5) с учетом (6) может быть переписано следующим образом:

/;«=-]к,х< +щлх).

а

где обозначено

Аналогично в соответствии с выражением (6) можно считать справедливым следующее приближение

{раШ\х))'х «|- )+ ФЛ*)},

где обозначено

ФЛх) = [КЛх,х')ра

Интеграл в правой части (7) может быть преобразован с учетом (5) следующим образом:

| - } К'тх, (х, х')ра (х')[-\ К'т,, (х, х")/(х")<1х" + уЛх')¥х\ =

V » а ь ]

а а

С учетом выражений (4), (8) и (9) для исходного дифференциального уравнения (1) приближенный интегральный аналог может быть записан в виде следующего интегрального уравнения Фредгольма первого рода

\<2Лх,х"Жх")йх" = 8Лх1

а

где обозначено

V

и

=

а

ъ

ЗД = S

а

Ясно, что у равнение (10) определено для всякой интегрируемой функции р(х), включая и вариант ра(х). Таким образом, поставленная задача решена. Если имеет место условие р(х) е ( \ (i2), то нетрудно показать, что решение f {x) уравнения (10) сходится к точному решению f0(x) при г —> 0. Доказательство осуществляется обратным применением формулы интегрирования по частям. Если в уравнениях (10)-( 11)-(12) используется /) (х) е a (i2), то при а > 0 значение параметра г интегральной модели (10)-(11)-(12) согласуется с параметром а (г > гтш (а)).

В качестве ядра К'тУ(х) в рассмотренных выше интегральных представлениях в частном случае может быть использовано известное в анализе ядро интеграла Пуассона [7], а именно

Кт(х,х ) = - 2 j, к (х - X ) +т

для которого имеют место соотношения КгХ(х,х') = -КАх,х'\ КАх,х') = -.

7С L(X —X ) +т \

Значения параметра г лежат в интервале (0,1) и в той или иной степени согласуются со значениями параметров И и а. Нетрудно видеть, что функции Кту (х, х') и К (х, х') имеют особенности на диагонали х' = х при г —> 0. В первом случае эта особенность интегрируема, во втором - нет, и как следствие - для сходимости интегралов в (11) и (12) требуется применение методов регуляризации. Простейшим из них является прием, исключающий из интегрирования ¡л - окрестность указанной диагонали. Формально это означает введение в расчетные формулы метода новых ядер, а именно

КЛх,Ан)АК-Ах'х')при\х^''- 03)

[О, в остальных случаях

где /л > 0 - достаточно малое число.

При вычислениях, связанных с нахождением приближенных решений интегрального уравнения (10), выбор параметра ¡.I может быть связан с допустимой точностью расчета переменных х и х'. Ясно, что величина И в (3) должна удовлетворять условию /? > и. С учетом (15) выражения (10) - (12) должны быть переписаны следующим образом:

а

Ъ

в^ Л =\к, (X, х', /и)ра {х')К1„ (X, х: ^сЫ+Ьй(х)КАх, х").

а

Ъ

ЯТ,м

а

Если коэффициент р{х) исходной модели (1) представлен вектором р = {р[ }'"0 то расчетные формулы (11) и (12) примут следующий вид

тп

=^КЛх,х'г,м)  К ААХм)-р,  К1+ Ь0

1=1

т

БТ>11{Х) = ад+• Р,  УМ)  N - ФЛх)-

1=1

Вычислительный алгоритм для численного решения уравнения (10) с учетом специфики аналитических представлений (14) и (15) подробно описан в работе автора [3]. В связи с этим ниже ограничимся лишь кратким изложением подхода к тому, что выше связывалось с понятием обобщенной инверсии интегральных операторов. Будем полагать, что переменная х пробегает последовательность значений В этом слу-

чае уравнение (10) может быть представлено системой соотношений вида

ь

а

к = \,..,п

в совокупности определяющих искомую функцию/(х) в пределах интервала [а,Ь]. Для упрощения записи (16) индексы г и ¡л опущены. Согласно теории, изложенной в работе [3], регуляризованное решение системы (16) может быть представлено в виде

к=1

где/ (х) - некое решение системы (16) для Л',:, (х) = (/(/) (х), Ок (х) = 0(хк,х).

и коэффициенты разложения / находятся из решения алгебраической системы уравнений вида

п к=1

ь

я =

а

Ь а

/' = 1,.., п.

Используемый в этих выражениях символ а называется параметром регуляризации [4]. Выбор величин этого параметра согласуется с величиной а (обычно а ~ //гг. где Ц> 1). Решением задачи считается функция / (х) е С(£2), зависящая от параметра регуляризации а > 0. Это решение является ближайшим в метрике Ь2 (О) к функции/, (х), играющей роль опорной точки в пространстве возможных решений /•': : {/ е

С{Щ-.(ОГ)еЬ2т.

Вычислительная модель метода решения некорректной задачи (1). Вычислительная модель реализуется с помощью алгоритма, включающего в себя следующие этапы.

Этап 1. Построение тестового примера, в котором задаются

— границы интервала а и Ь;

— функции Ь0 (х), р0 (х);

— краевые условия/0 (а) и/(Ь):

— функция/Т (х) - точное решение;

— вычисляется значение Л'(х):

и Л

йх

Ро(х)~тМх) +Ь0(Х)МХ) = 3(Х)> х^[а,ь\

ах у

Таким образом, все исходные данные определены.

Этап 2. Формирование функции р„ (х) заданной с погрешностью о:

ра (х) р (х) • (1 + е  в),

где ее [0,1] определяет процент вносимой погрешности, например, если £ = 0.01, то процент погрешности составляет 1%; в е [-1,1] - случайные числа, равномерно распределенные в указанном интервале, генерируются датчиком случайных чисел.

Значение с определяется на основании выражения (2) ,Ро О) - Ра 0)||А(П> " °\Рт 0)|А(П):

~ РЛХ)

рЛх)

йх

Этап 3. Вычислительный алгоритм (основные расчетные формулы метода):

1) задаются значения г = I /п и и. О < т. и 1;

2) последовательно вычисляются функции: Кт (х, х') = - • 7-,2 2,

к (х - х'у + т х х ^[(х-х'У +т2Т

К'т х,(х,х') - —--—х,х' € [а,Ь]

K'rx,(x,x',ju) =

ГК'г х,(х,х') при |х—х'] > /л 10, в остальных случаях

¥т{х) = [KT{x,x')f{x')iSl = KT(x,b)f(b) -Kr(x,a)f(a).

фт(х) = [Кг{х, x')pa(x')f'(x')]^=Kz(x, b)Pa(b)f'(b)-KXx, a)pja)f№

\QZ4l

или в операторной форме Q, f = ST ^ ь

Q^M = J Kx, (x, x', ju)pa (х')к:х„ (x, x", ju)dx' + b0 (x)KT (x, x").

a

b

StJx) = S

a

3) оператору Отц ставим в соответствие регуляризирующий оператор 01Ли = (0'ч, Q4+aI^ приближенное ре-

шение fr = QATa^S4t. Подробный алгоритм получения приближенного решения, включающий в себя процедуру дискретизации задачи, описан в работе авторов | 11;

4) точность вычислений определяется так:

(ъ , V2

Этап 4. Вычислительный эксперимент должен включать в себя:

— построение детального алгоритма на основе дискретизации вычислительной модели и его программную реализацию;

— исследование в вычислительном эксперименте сходимости приближенного решения fTat,(x) к точному решению /7(х) в зависимости от выбора значений параметров min />(а,т,и) —>(</',т .и'), а также для функций, имеющих различную степень структурной сложности, определяемую вариацией функции [1, 8];

— исследование устойчивости вычислительного алгоритма в зависимости от величины погрешности в исходных данных о(е) по алгоритму, подробно описанному в работах авторов [1, 8].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наац В.И. Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами / В.И. Наац, И.Э. Наац, P.A. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2014. №4. С. 60-71.

2. Наац В.И. Расчетно-аналитические модели для уравнений параболического типа с приближенными данными на основе методов прикладного гармонического анализа и вариационного метода взвешенной невязки / В.И. Наац, И.Э. Наац, P.A. Рыска-ленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь. 2015. №3. С. 51-62.

3. Наац В.И. Метод решения некорректной задачи для дифференциального уравнения с приближенно заданными функциями на основе представления решения интегральными уравнениями. / В.И. Наац, И.Э. Наац, P.A. Рыскаленко // Наука. Инновации. Технологии: Научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. Ставрополь, 2015. №4. С. 23-40.

4. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Физматлит. 1979. 288 с.

5. Данфорд Н. Линейные операторы: общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.

6. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа / К. Лан-цош. М.: Физматлит. 1961. 524 с.

7. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика / В.И. Лебедев. М.: Физматлит. 1994. 296 с.

8. Наац В.И. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы: монография / В.И. Наац, И.Э. Наац. М.: Физматлит, 2010. 328 с.