Асимптотическое положение покоя для систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений

УДК 517.9

О. Г. Тихомиров, Е. В. Темкина

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 3

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПОКОЯ ДЛЯ СИСТЕМ ОДНОРОДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Рассматривается система однородных нестационарных дифференциальных уравнений с возмущенными правыми частями. Для нее нет нулевого решения, но вопрос о поведении решений с начальными данными, близкими к нулю, остается открытым. Установлены условия, при которых существует асимптотическое положение покоя, если правые части системы удовлетворяют приведенным условиям. Доказана соответствующая теорема, основывающаяся на втором методе Ляпунова, которая позволяет использовать найденную функцию для дальнейших исследований. Приведен иллюстративный пример, который подтверждает полученные результаты. Библиогр. 5 назв. Ил. 1.

Ключевые слова: асимптотическое положение покоя, асимптотическая устойчивость, нестационарные дифференциальные уравнения, однородные дифференциальные уравнения, равномерное среднее.

O. G. Tikhomirov, E. V. Temkina

ASYMPTOTIC QUIESCENT POSITION FOR SYSTEMS OF HOMOGENEOUS NON-AUTONOMOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

A system of homogeneous non-autonomous differential equations with disturbed right-hand parts is considered. The zero solution doesn't exist for the considered system but the question about behavior of solutions starting near zero is still open. Conditions for existing of asymptotic quiescent position are determined if the right parts of the system satisfies provided conditions. A corresponding theorem is proved based on second Lyapunov method which allows to use the provided function for further researches. In conclusion an illustrative example is given which avows obtained results. Bibliogr. 5. Il. 1.

Keywords: asymptotic quiescent position, asymptotic stability, non-autonomous differential equations, homogeneous differential equation, uniform average.

Введение. Понятие «асимптотическое положение» покоя было введено в работе [1] В. И. Зубовым для систем, у которых отсутствует нулевое решение, и в то же время вопрос о стремлении решений к нулю остается актуальным. Были предложены достаточные условия [1, 2], которые гарантируют его существование. Данная работа основывается на этих результатах и продолжает исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с нестационарными и однородными правыми частями, начатые в [2-4]. Будут получены достаточные условия, которые гарантируют существование асимптотического положения покоя для таких систем. Особый

Тихомиров Олег Геннадьевич — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: olegtikhomirov@mail.ru

Темкина Евгения Викторовна — студент; e-mail: nuenda@yandex.ru

Tikhomirov Oleg Gennadievich — candidate of physical and mathematical sciences, reader; e-mail: olegtikhomirov@mail.ru

Temkina Evgenia Viktorovna — student; e-mail: nuenda@yandex.ru

интерес представляет приведенная форма функции Ляпунова, которая, в частности, позволяет произвести в дальнейшем более детальное изучение.

Постановка задачи и основные предположения. Будем рассматривать систему дифференциальных уравнений следующего вида:

х = Г »

где Г^(г, х) - однородная по х функция порядка / > 1, определенная при г € [0, и х € Еп. Вещественные и непрерывные функции ](г), заданные при г ^ 0, достаточно малы и стремятся к 0 при г ^ Сделаем некоторые дополнительные предположения относительно функции Гм(г,х). Пусть она является непрерывной по г и непрерывно дифференцируемой по х. Кроме того, найдутся постоянные а\ > 0 и вг > 0, г = 1,..., п, такие, что при любых г и х из области определения выполняются неравенства

\\Г»

dF »

< ШГ1.

dxi

Также будем считать, что для функции Ft,x) существует среднее

t+T

F^

T T J t

причем имеет место равномерная сходимость по (t,x) G [0, х {||x|| ^ 1}. Тогда усредненной системой для невозмущенной системы будет

x = F ß

Далее предположим, что функция Fм (x) является непрерывно дифференцируемой и система (5) асимптотически устойчива по Ляпунову. В этом случае [5] найдется функция Ляпунова для данной системы, непрерывно дифференцируемая столько же раз, как и функция FM(x). Потребуем, чтобы такая функция Ляпунова была, как минимум, дважды непрерывно дифференцируема. Такие условия позволят показать, что система (19) имеет асимптотическое положение покоя в точке x = 0.

Определение. Положение x = 0 будем называть асимптотическим положением покоя для системы траекторий, определяемых дифференциальными уравнениями

§ = F

если существует некоторая окрестность положения x = 0, ||x|| ^ е такая, что любое решение

x = x

системы (6), начинающееся в этой окрестности при t = t0, t0 ^ 0, будет ограничено при t ^ t0, и, кроме того,

Hx(t,x0,to)|| ^ 0 при t ^

Для того чтобы система (19) имела асимптотическое положение покоя, необходимо [1], чтобы выполнялись условия следующей теоремы. Теорема 1. Если:

1) найдется функция V(Ь, х\хп) - положительно-определенная, V ^ 0 при х ^ 0 равномерно относительно Ь ^ 0;

2) полная производная

¿V дV ^ дV

г=1

определяемая в силу системы (6), обладает такими свойствами: функция Ш = Ш(Ь, х\,..., хп) - отрицательно-определенная, функция = Ш(Ь, х\,..., хп) стремится к нулю при Ь ^ +те равномерно относительно х\,...,хп во всякой ограниченной области, содержащей точку х = 0;

3) существуют числа е\ > 0, е2 > 0, е\ < е2 такие, что

М V(Ь,х) > вир V(Ь,х) для всех Ь ^ 0

и Ш + < 0 при £\ ^ ||х|| < е2, Ь ^ 0, то положение х = 0 есть асимптотическое положение покоя.

Также для доказательства потребуется лемма, сформулированная и доказанная в работе [4].

Лемма. Если для определенной и кусочно непрерывной по Ь € (—те, +те) и непрерывной по х € Еп однородной по х порядка однородности /л > 1 функции /»(Ь,х) выполнены условия

а^(г,х)\ < михг,

где М - неотрицательная постоянная;

г+т

^ ! ¡»

г

равномерно по (Ь,х) € (—те, +те) х {||х|| ^ 1}, то будет верна оценка

в-е(г-т а »(т, х)д,т

Здесь ф(е) ^ 0 и ф(е) ^ 0 при е ^ 0. Основные результаты.

Теорема 2. Если нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво по Ляпунову и выполнены указанные выше условия, то система (1) имеет асимптотическое положение покоя в точке х = 0.

Доказательство. Из устойчивости усредненной невозмущенной системы (5) следует [5], что существуют однородная порядка т положительно-определенная функция У(х) и положительно-определенная однородная функция \¥(х) порядка т+ / — 1 , связанные равенством

= -Ц1(х).

г

е

Кроме того, как мы предположили раньше, функция У(х) - дважды непрерывно дифференцируемая. Для решения задачи используем функцию Ляпунова, которая строится на основе функции Ляпунова для усредненной системы

V (г,х) = У(х) + в~

дх

р*

¿т.

Очевидно, V — 0 при х — 0. Дифференцируя V(г, х), в силу системы (1), получаем

ау{г,х)

м

дУ{х) ;

дх

дУ{х)

Ё^Мж) - е /

Р*

¿т +

+ -к I - д,т + №]

Упрощая данное равенство, имеем

ау{г,х)

м

(1) о

Г*

¿т +

+ ^

дх дх

Г*(х) - г*(т,х) ¿т\ [Г*(г,х) + /(г)].

Проверим выполнение второго условия теоремы:

ш

-]¥(х) - е $ в-

гд-т)дУ

о

дх

Г*

¿т +

г

I Г с-еа-т) дУ(х) дх ] дх

о

ш1 =

+ £ /е

о

Р*(х) - Г*(т,х) ¿т\Г* (г,х),

дх

Р*(х) - Г*(т,х) ¿т } /(г),

Ш1 — 0 равномерно по х на любом ограниченном множестве при г — Если

в качестве /т+*-1(г, х) в лемме взять функцию

¡т+*-1(г,х) = о /т+*-1(г,х) =

г < 0,

Р*(х) - Г*(г,х)), г > 0,

то для для нее, в силу предельного соотношения (4), справедливо условие (7). Следовательно, выполнены условия леммы и, таким образом, из неравенства (8) получаем условие

е в

_е{г_т)дУ{х)

дх

Р*

¿т

< П

в

Так как У(х) и ШУ(х) - однородные функции порядков т и т + ¡л — 1 соответственно, имеют место следующие оценки:

а2\\хс\\т > 6(х) > агЦхсГ,

Ъ2\\х\\т+»-1 > ТУ(х) > Ь^х^-1. Кроме того, в силу (2), (3), построим оценку вида

д_

дх

-е

дУ(х) дх

Ри

< с\\х\\т+2^-2.

Тогда выберем е и 5 такие, чтобы при \\х\\ ^ 5 выполнялись неравенства

—Ъ1 + п(е)+с\\х\\и-1 < 0.

Это можно сделать в силу условий теоремы и условия (20). Тогда V(Ь,х) положительно определена, а Ш(Ь,х) отрицательно определена. Осталось убедиться в том, что выполняется и третье условие. Покажем, что существуют такие числа П1 > 0, П2 > 0, П1 < П2, что справедливо неравенство

М V(Ь,х) > вир V(Ь,х) для всех 4 ^ 0.

Для величин в правой и левой частях можно построить оценки

М V(г,х) > и^

а1

П(е) и-1

вир V(г,х) < ит

а2 +

П(е) —

Следует отметить, что величина зафиксирована и равна некоторой константе. Таким образом, достаточно найти такие 0 < П1 < П2, чтобы выполнялось неравенство

а2 +

П

<ит

а1

п

и-1

Будем искать их в множестве П2 <5 .В этом случае требуемое неравенство эквивалентно следующему:

а2 + 2МпГ1

п(£) и— 1

а, 1 —£ п2

<

П2 и1

Дробь в левой части (11) стремится к а2/а1 при П1,и2 ^ 0. Поэтому для произвольного 6 > 0 можно выбрать такое достаточно малое что при П1,и2 < 6 будет выполняться выражение

а,2 +

п(е) и-1 а, 1 —£ п2

а2 а2

--е,--Ье

а1 а1

е

е

2

1

е

е

X =П2

х ="1

т

и

1

1

2

е

е

т

Рассмотрим неравенство — + ё <

а1

, которое выполняется при п1 <

I а2 а1

Теперь выберем П2 < тш{(5, п\ < тт{(5, —"2 ствуют, и для них выполняется цепочка неравенств

}. Очевидно, такие П1,П2 суще-

П2 п1

0,2 01

а2 Н—— п1

^(е) *—1

а, 1 —£ п2

Таким образом, условие (11) выполнено и П2 <6. Далее будем считать, что параметры е и £ выбраны таким образом, чтобы при \\х\\ ^ 6

-Ь1 + п(е)+с\

<

где с! - некоторая положительная постоянная. Тогда при п ^ \\х\\ ^ П2

Будем предполагать, что /(г) настолько мала, что при п ^ \\х\\ ^ П2 имеет место неравенство ^ |п1т+м_1. Тогда будет справедливо неравенство ТУ + И7! < 0. Третье условие доказано. Следовательно [1], у системы (1) есть асимптотическое положение покоя в точке х = 0.

Замечание 1. Следует отметить, что условие достаточной малости функции /(г) носит существенный характер. На с. 64 будет приведен пример, который показывает, что без выполнения данного условия решения будут стремиться к нулю только при достаточно больших значениях го в определении асимптотического положения равновесия.

Замечание 2. Аналогичным образом можно доказать существование асимптотического положения покоя у системы вида

х = Г* (г, х) + Са (г, х) + / (г),

где Оа (г, х) - однородная по х функция порядка а > 1, определенная при г € [0, и х € Еп. Как и Г*(г,х), функция Оа(г,х) является непрерывной по г и непрерывно дифференцируемой по х. В дополнение к ограничениям, накладываемым на функцию Г * (г,х), добавляются ограничения на функцию Оа (г,х) и ее частную производную (постоянные а2 > 0, 7г > 0 и и > 0):

№

дхг

< а2\\х\\

¿т

< Ъ\\х

а-1

г

¡С „

) ¿т

^ и\\х\\

Вместо (9) для этой задачи используется функция Ляпунова вида

V (г,х) = У(х) + в~

_е{г_т)дУ{х)

дх

Г*

¿т

дУ(х) дх

Са (т,х^т.

т

т

х

а

г

а

Если нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво по Ляпунову и выполнены указанные выше условия, то еистема (12) имеет асимптотическое положение покоя в точке х = 0.

Пример. Рассмотрим систему

= + ip(t)y* +

У = -у + Ф^)х3 + t2+1. В качестве функций p(t) и ф(t) возьмем следующие почти периодические функции:

(f(t) = cos(V^t) + sin(i), ф{ь) = sm(y/2t)+cos(t).

Рассмотрим проекции на плоскость 0xy траектории решения с различными начальными данными.

х(0)=0.2,Я0)=0.2

б У

x(p)=-hy(P)=3

Траектории решений

По рисунку, а видно, что в данном случае точка (0,0) не будет асимптотически устойчивым решением (и вообще не будет точкой покоя), но будет асимптотическим положением покоя (решения ограничены и стремятся к ней на бесконечности). Рисунок, б иллюстрирует характер сходимости к нулю решения, начинающегося в области асимптотического положения покоя. Из рисунка, в следует, что решение, не начинающееся в этой области, уходит на бесконечность.

Заключение. Рассмотрена система однородных нестационарных дифференциальных уравнений с возмущенными правыми частями. Для нее нет нулевого решения, но вопрос о поведении решений с начальными данными, близкими к нулю, остается открытым. Установлены условия, при которых существует асимптотическое положение покоя, если правые части системы удовлетворяют приведенным условиям. Доказана соответствующая теорема, основывающаяся на втором методе Ляпунова, которая позволяет использовать полученную функцию для дальнейших исследований. Приведенный пример подтверждает результаты работы.

Литература

1. Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 415 с.

2. Купцова С. Е. Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений // Труды Средневолжск. матем. об-ва. 2006. Т. 8, № 1. С. 235—243.

3. Александров А. Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 183 с.

4. Тихомиров О. Г. Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 3. С. 123—129.

5. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

References

1. Zubov V. I. Kolebanija i volny (Oscillations and waves). Leningrad: Izd-vo Leningr. un-ta, 1989, 415 p.

2. Kupcova S. E. Ob asimptoticheskom povedenii reshenij sistem nelinejnyh nestacionarnyh differencial'nyh uravnenij (About asymptotic behaviour of systems nonlinear nonstationary differential equations). Trudy Srednevolzhsk. matem. ob-va, 2006, vol. 8, no. 1, pp. 235—243.

3. Aleksandrov A. Ju. Ustojchivost' dvizhenij neavtonomnyh dinamicheskih sistem (Stability of nonlinear dynamical systems). St. Petersburg: Izd-vo S.-Peterb. un-ta, 2004, 183 p.

4. Tihomirov O. G. Ustojchivost' odnorodnyh nestacionarnyh sistem obyknovennyh differencial'nyh uravnenij (Stability of systems homogeneous nonstationary differential equations). Vestnik St. Petersburg University, ser. 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2007, issue 3, pp. 123—129.

5. Zubov V. I. Ustojchivost' dvizhenija (Stability of motion). Moscow: Vysshaja shkola, 1973, 272 p.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 3 апреля 2013 г.