Инкрементальный упругопластический расчет стальной неразрезной балки с учетом приспособляемости

УДК 624.07

ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫМ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИИ РАСЧЕТ СТАЛЬНОМ НЕРАЗРЕЗНОИ БАЛКИ С УЧЕТОМ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ

А. Хейдари

Российский университет дружбы народов ул. Орджоникидзе, 3, Москва, Россия, 115419

В работе приведен алгоритм инкрементального упругопластического расчета стальной двух-пролетной неразрезной балки. Выполнены расчеты балки по упругому предельному состоянию, исследовано возникновение пластических шарниров и механизма разрушения. Рассмотрены условия приспособляемости, и определена максимальная нагрузка приспособляемости.

Ключевые слова: стальные конструкции, упругопластическая работа, пластическая адаптация, приспособляемость, пластический шарнир, предельная пластическая нагрузка, инкрементальный метод.

В настоящей статье на примере неразрезной двухпролетной балки описывается инкрементальный метод упругопластического расчета стальных конструкций при действии малых перемещений. Целью работы является описание алгоритма инкрементального анализа, который в дальнейшем будет использован при разработке инкрементального метода упругопластического расчета пространственных стержневых конструкций с учетом больших перемещений.

Принципы инкрементального упругопластического анализа вводятся для неразрезных балок, формирование пластических шарниров, в которых особенно хорошо подходят для визуализации упругопластического поведения. В работе использована безразмерная форма представления результатов расчета.

Постановка задачи. На рис. 1 показана неразрезная балка призматического сечения, имеющая два равных пролета длиной Ь. Момент инерции сечения равен I, а модуль упругости материала — Е.

ш м,

Б!,тр

2 иЗ 4

А А А"

X

I

I I

->

X,

I

2 2 2 2

2

Рис. 1. Неразрезная балка под действием поперечных нагрузок

Пластический шарнир формируется в поперечном сечении балки если изгибающий момент достигает значения тр:

Ж ( Ж ] 2

= 6784¥ + М^т] •

Балка подвержена поперечным нагрузкам и Ж2 в середине пролетов. Нагрузки являются квазистатическими, но изменяются с псевдовременем t. На рис. 2 показан цикл нагружения с периодом Т.

\л/

„5 5

0.25Т 0.50Т нагрузка в точке 1

0.75Т

Рис. 2. Цикл нагрузок приложенных к балке

Необходимо определить прогибы балки в точках 1 и 3, а также изгибающие моменты в балке как функции псевдовремени.

Упругое предельное состояние. На рис. 3 показаны линейно упругие эпюры изгибающих моментов балки для псевдовремени t = 0.25Т и t = 0.75Т в цикле нагружения.

13\\3

10\\

64

-12\\

3

64

Рис. 3. Эпюры безразмерного изгибающего момента для псевдовремени t = 0.257" и t = 0.757"

Упругая предельная нагрузка Же является наименьшей нагрузкой, при которой максимальное абсолютное значение изгибающего момента в балке равно упругой несущей способности тр. Из рис. 3 видно, что максимальный изгибающий момент в балке достигается во время t = 0.25Т в точке 3. Балка при этом достигает упругого предельного состояния, если этот изгибающий момент равен безразмерной несущей способности в пластическом состоянии тр = 1:

13-1 -

—^ =1, где ^ = -

64 т,

64 тр тр

^ Ж =-р = 4.9231 —р.

е 13 Ь Ь

Пластический шарнир образуется в точке 3. Изгибающий момент в точке 2 от упругой предельной нагрузки составляет

6

64

^ где т 2е =

т

2е

т

^ т2е =

64

6

—тр. 13 р

о

Эпюра изгибающего момента для упругого предельного состояния показана на рис. 4.

4.9231 тр

О

2

4

2

-3тр -6тр

13

13

Рис. 4. Эпюра изгибающего момента для нагрузки Ш3 =-

64 т„

131

Образование пластического шарнира. Пусть максимальная нагрузка в цикле нагружения Ж3 = 5тр / Ь во время I = 0.25Т. После образования пластического шарнира под действием упругой предельной нагрузки Ж3 = 4.9231тр / Ь изгибающий момент в точке 3 остается постоянным. Нагрузка возрастает на величину д Ж3 = 0.0769 тр/ Ь и достигает значения амплитуды нагрузки 5.0тр / Ь. Шарнир деформируется пластически вследствие возрастания нагрузки, которая воспринимается статически определимой упругой балкой, показанной на рис. 5. Инкремент изгибающего момента в точке 2 составляет:

0.0769 т.

дт2

0.0385 т

р'

ДW3

о £

4

-0.0192 т

р

-0.0385 т

р

- 0.2500 т

- 0.5000 т

- 0

накопленные изгибающие моменты Рис. 5. Эпюра изгибающего момента для нагрузки W3 = 5.0тр /1 аТ Г = 0.25Т

I

т

р

0

0

0

0

Накопленный изгибающий момент во время ? = 0.25Т равен сумме изгибающих моментов, показанных на рис. 3, и инкрементов изгибающих моментов на рис. 5.

Упругая разгрузка. В интервале времени 0.25Т < ? < 0.50Т нагрузка в точке 3 уменьшается от значения 5.0тр / Ь до нуля. Конструкция ведет себя упруго, так как пластическая несущая способность сечения еще не достигнута ни в какой точке балки. Инкременты изгибающего момента от инкрементов нагрузки АЖ3 = = -5.0 тр/ Ь определяются при помощи выражений, приведенных на рис. 3:

15

дт, = -

3Ь ( 5тр^

64 6 Ь

дт 2 = —

64

Ь 5т

—тп =0.2344 тп, 64 р р

Ь

13 Ь

"64^

(

5т Ь

30

= — тп =0.4688 тп, 64 р р

= —— тр =—1.0156 тр. 64 р р

Эпюры инкрементального и накопленного изгибающего момента приведены на рис. 6. Несмотря на то, что во время ? = 0.5Т нагрузки на балку не действуют, накопленные изгибающие моменты в это время не равны нулю. Остаточные моменты существуют благодаря пластическому повороту в шарнире и находятся в равновесии с остаточными реакциями.

5 тр

0

1

Е

1Г

4-

0.2344 т

0.4688 тр

—1.0156т

р

—0.0156 т

р

- 1

—0.0312 т

—0.0156 т

р

р

накопленные (остаточные) изгибающие моменты

Рис. 6. Эпюра изгибающих моментов для нагрузки 1Ж, = 1Ж3 = 0 во время t = 0.50Т

Равные нагружающие силы, приложенные в точках 1 и 3. В интервал времени 0.50Т < ? < 0.75Т равные нагрузки Ж1 = Ж3 = 5тр / Ь приложены в точках 1 и 3. Балка ведет себя упруго, так как пластическая несущая способность сечения еще не достигнута. Инкременты упругого момента вычисляются при помощи выражений, приведенных на рис. 3:

10Ь 5тр 50 дт, =дт3 =---— =— тр = 0.7813 тр,

1 3 64 Ь 64 р р

12 Ь 5 тр 60 Лт2 = ~Г = - 64 тР = тР.

Инкременты изгибающих моментов добавляются к остаточным изгибающим моментам, давая в результате накопленные изгибающие моменты: т = т3 =-0.0156 тр + 0.7813 тр = 0.7657 тр,

13 р р р (П\

т2 =-0.0312тп - 0.9375тп =-0.9687тп.

2 р р р

Равные разгружающие силы, приложенные в точках 1 и 3. Во временном интервале 0.75 Т < I < 1.00Т в точках 1 и 3 приложены равные разгружающие силы = Ж3 = -5 тр / Ь. Балка ведет себя упруго, так как максимальное значение накопленного изгибающего момента не достигает пластической несущей способности сечения. Инкременты упругого момента равны по значению и противоположного по знакам инкрементам:

10Ь 5 тр = -50 64 ' Ь ~ 64

дт. =дт3 =----— =--тр =-0.7813 тр,

1 3 Л/1 Т Л/1 р р

12 Ь 5 тр 60 Лт2 = "6^~Г = 64тр = 0.9375 тр.

Очевидно, что остаточные изгибающие моменты во время ? = Т равны остаточным изгибающим моментам во время ? = 0.5Т. Нагружение и разгрузка во второй половине цикла нагружения не вызвали дополнительных поворотов в пластических шарнирах.

История прогибов балки. Формулы для вычисления перемещений в балке известны. Безразмерный прогиб от упругой предельной нагрузки 64тр / 13Ь, приложенной в точке 3, определяется следующим образом:

_ 23 _ Е1и3 23 64 ппп„пла

и 3 =-w3, -3 =---= 0.073718.

3 3 • 512 3 трЬ 3 • 512 13

Инкременты перемещения от инкремента нагрузки 0.0769тр / Ь равны

дй3 =1 дW3, Е1 Аи.3 =1 • 0.0769 = 0.009613.

8 трЬ 8

Накопленные безразмерные прогибы в точке 3 во время 0.25Т, таким образом, составляют

Е

3

трЬ2

0.073718 + 0.009613 = 0.083331.

Инкременты перемещения от инкремента нагрузки -5тр / Ь на рис. 7 задаются выражением

_ 23 _

ДМ, =-ДW.

ЕI дм

23

3 _--;г

3 3 • 512 3 трЬ2

3 • 512

• (-5.0) = -0.074870.

Накопленный безразмерный прогиб в точке 3 во время 0.50Г составляет

Е 1и3

= 0.083331 - 0.074870 = 0.008461.

Накопленный прогиб в точке 3 представляет собой остаточный прогиб, так как балка в это время 0.5Г не загружена. Этот остаточный прогиб происходит из-за пластической деформации шарнира.

Инкремент прогиба от инкремента нагрузки 5тр / Ь в точках 1 и 3 равен

23

ч3•512 512у

3'

Е1 ди 14

-^ =--5.0 = 0.045573.

трЬ2 3 • 512

Накопленный прогиб в точке 3 во время 0.75Т, таким образом, равен Е 1и

3

трЬ

0.008461 + 0.045573 = 0.054034.

Инкремент прогиба от инкрементов нагрузки -5тр / Ь в точках 1 и 3:

23

ч3•512 512у

дw.

3

^ = • (-5.0) = -0.045573. трЬ2 3 • 512

Накопленный прогиб в точке 3 во время Т равен Е 1и

3

трЬ

0.054034 - 0.045573 = 0.008461.

История перемещения точки 3 во время цикла нагружения показана на рис. 7. 6.0

т„

0.0 0.02 0.04 0.06

0.08 0.10

Е1из трЬ2

Рис. 7. История прогибов в точке 3 для амплитуды нагрузки 5.0 тр / 1

История прогибов начинается в точке a. Балка достигает упругого предела в точке Ь, где в балке образуется пластический шарнир. Шарнир деформируется пластически до того момента, как достигается точка c во время 0.25Т. Затем балка разгружается упруго от точки с до точки ё. Во время 0.5Т существует остаточный прогиб без внешней нагрузки. Когда балка разгружается, она остается упругой до того момента, как достигается точка е во время 0.75Т. Балка остается упругой во время разружения до точки ё во время Т. Остаточный прогиб во время Т остается таким же, как во время 0.5Т.

Приспособляемость. Пусть балка подвергается второму циклу нагружения. Продемонстрируем, что во время всего цикла нагружения балка остается упругой.

1. Инкремент нагрузки дЩ = 5.0тр / Ь прикладывается во временном интервале Т < ? < 1.25Т. Пластический предел не достигается ни в какой точке балки, которая остается упругой. Инкремент безразмерного прогиба в точке 3 равен

^^ = • 5.0 = 0.074870.

трЬ 3 • 512

Накопленный прогиб во время 1.25Т остается таким же, как во время 0.25Т:

Е ту

-3 = 0.008461 + 0.074870 = 0.083331.

трЬ

2. Балка разгружается путем приложения инкремента нагрузки дЩ =

= -5.0тр / Ь во временном интервале 1.25Т < ( < 1.50Т. Пластический предел

не достигается ни в какой точке балки, которая остается упругой. Инкремент прогиба в точке 3 равен

^^ =•

трЬ 3 • 512

Накопленное перемещение во время 1.5Т остается таким же, как во время 0.50Т:

Е ту

-3 = 0.083331 - 0.074870 = 0.008461.

трЬ

3. Инкременты нагрузки дЩ = 5.0тр /Ь прикладываются во временном интервале 1.50Т< ? < 1.75Т в точках 1 и 3. Пластический предел не достигается ни в какой точке балки. Инкремент безразмерного прогиба в точке 3 равен

= • 5.0 = 0.045573.

трЬ2 3•512

Накопленное перемещение во время 1.75Т остается таким же, как во время 0.75Т:

Е ту

-3 = 0.008461 + 0.045573 = 0.054034.

т„Ь

4. Балка разгружается путем приложения инкрементов нагрузки дЖ = = -5.0тр /Ь во временном интервале 1.25Т < ? < 1.50Т в точках 1 и 3. Пластический предел не достигается ни в какой точке балки. Инкремент перемещения в точке 3 равен:

= -11- •

трЬ 3•512

Накопленный прогиб во время 2Т остается таким же, как и во время Т: Е ту

-3 = 0.054034 - 0.045573 = 0.008461.

трЬ

Анализ цикла нагружения показывает, что балка, которая деформируется пластически в первом цикле нагружения, деформируется упруго во втором и последующих циклах нагружения. Конструкция с остаточными напряжениями, развитыми во время первого цикла нагружения, ведет себя упруго во всех последующих циклах нагружения.

Определение: упругопластическое поведение конструкции, которая развивает пластические деформации в первых нескольких циклах нагружения, а затем ведет себя упруго во всех последующих циклах, называется приспособляемостью конструкции.

Механизм разрушения. Максимальная нагрузка, которую балка может воспринимать как механизм с пластическими шарнирами, называется нагрузкой механизма разрушения. Эта нагрузка определяется инкрементальным методом для балки, загруженной в точке 3, как показано на рис. 4. Балка нагружается до предела упругости нагрузкой Ж3 = (64тр) / (13Ь). Возникающие в результате изгибающие моменты показаны на рис. 4.

После формирования пластического шарнира в точке 3 нагрузка в точке 3 получает инкремент дЖ3, и накопленный изгибающий момент в точке 2 достигает

пластической несущей способности -тр:

1Т ш ( 6

- Ь д^3 =-1 тр -13 тр

14 '

14 тр тр

дЖ, =-р = 1.0769—р.

3 13 Ь Ь

Балка становится пластическим механизмом для заданной нагрузки после того, как в точках 2 и 3 образуются шарниры. Накопленная нагрузка, вызывающая пластический механизм, называется разрушающей пластической нагрузкой и обозначается Жр. Разрушающая пластическая нагрузка равна сумме упругой предельной нагрузки и инкремента нагружения (26):

64 тр 14 тр тр

=-р +-р = 6.0—^.

р 13Ь 13Ь Ь

Эпюры изгибающего момента и поперечной нагрузки, действующих на балку в состоянии разрушения, показаны на рис. 8:

ллр

накопленные изгибающие моменты

4т„

4 т.

усилия в элементах

р

й

2тр I

4

"'р

"тр

2тр

Рис. 8. Механизм пластического разрушения балки

Нагрузка приспособляемости. Приспособляемость происходит в конструктивных системах, если выполняются следующие условия: а) пластическое течение во время нескольких первых циклов нагружения создает поле остаточных напряжений; б) во всех последующих циклах нагружения поведение конструкции при наложении остаточного поля упругих напряжения от приложенных нагрузок полностью упруго.

Пусть конструктивная система подвержена шаблонной нагрузке, которая является функцией псевдовремени. Эта шаблонная нагрузка умножается на коэффициент нагружения и дает приложенные циклы нагрузки. Для заданного значения коэффициент нагружения конструкция может развить или не развить приспособляемость. Если конструкция развивает приспособляемость, то произведение коэффициента нагружения на шаблонную нагрузку называется нагрузкой приспособляемости балки. Произведение шаблонной нагрузки и максимального коэффициента нагружения для которого конструкция проявляет приспособляемость называется максимальной нагрузкой приспособляемости.

Рассмотрим накопленные изгибающие моменты так в потенциальных шарнирах к = 0, 1, ... балки: эти моменты возникают от наложения остаточных изгибающих моментов и упругих изгибающих моментов тек. Накопленные изгибающие моменты возникающие от максимальной нагрузки приспособляемости, должны лежать в пределах -трк < так < трк во всех потенциальных шарнирах к. В шарни-

0

о

I

т

т

р

р

I

рах, которые создают механизмы разрушения, накопленные изгибающие моменты должны быть равны mpk или -mpk:

. max ^ mrk + mek ^ m

+ m

pk min

> -m

k = 0,1,...;

1гк^тгк ~~трк •

Остаточные изгибающие моменты в балке происходят от пластических поворотов в шарнирах в точках 2 и 3. Нагрузки по концам элемента и моменты находятся в равновесии. Условия равновесия проиллюстрированы на рис. 9:

о

элемент a: элемент b:

элемент c:

1

Г0 L = m2, 1

—r4 L = m2 - m3, 2 4 23

-r4 L = m3.

4

L 2

Рис. 9. Равновесие остаточных моментов

Уравнение равновесия остаточных моментов получается из уравнений (31) и (32):

2т3 - т2 = 0.

На рис. 10 показаны эпюры изгибающих моментов в балке при выполняющихся условиях приспособляемости. Значения упругих изгибающих моментов от нагрузки Ш3, действующие в точке 3, и от нагрузок Ш1 = Ш3, действующие в точках 1 и 3, взяты из рис. 3. Максимальная нагрузка приспособляемости Ws должна удовлетворять следующим уравнениям:

12

т--= - тр,

точка 2:

точка 3: остаточные моменты:

m3 +-

64 13WL

64

= m,

2m3 - m2 = 0.

Из решения уравнений (34)—(36) определяется максимальная нагрузка приспособляемости:

96 тр тр

=-р = 5.0526—р.

19 L

L

1

r

г,

r

4

остаточные изгибающие моменты

упругие изгибающие моменты

13М/31_

64

64

Рис. 10. Изгибающие моменты для условий приспособляемости

Заключение. Инкрементальный упругопластический анализ неразрезной балки, выполненный в данной работе, показал следующие результаты:

— нагрузка, при которой в балке образуется первый пластический шарнир, равна:

64 тр тр

Ж =-- = 4.9231——;

13Ь Ь

максимальная нагрузка приспособляемости балки составляет

96 тр тр

Ж =-— = 5.0526——;

* 19 Ь Ь

нагрузка, при которой формируется механизм пластического разрушения,

равна

т—

Жр = 6.0-^. р Ь

Если амплитуда цикла нагружения не превосходит Же, то балка деформируется упруго во все время нагружения. Если амплитуда цикла нагружения превосходит Же, но не превышает балка претерпевает пластическую деформацию в нескольких первых циклах нагружения и остается упругой во всех последующих циклах нагружения. Максимальное перемещение в балке ограничено. Если амплитуда цикла нагружения превосходит но не превосходит Жр, балка подвергается пластической деформации в каждом цикле нагружения. Эта балка становится непригодной к эксплуатации, потому что перемещение не ограничено. Если амплитуда цикла нагружения превосходит Жр, балка разрушается, так как образуется механизм пластического разрушения.

т

2

0

0

0

Главными задачами упругопластического расчета с учетом приспособляемости является определение нагрузок и положений, при которых образуются и исчезают пластические шарниры, а также определение приспособляемости конструктивной системы при каждом инкременте нагрузки. Изменения в конструктивной системе при инкрементальном изменении нагрузки могут быть эффективно смоделированы в программном приложении, использующем приведенный алгоритм.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Casciaro R., Garcea G. An iterative method of shakedown analysis. Comp. Meth. Mech. Engrg. 191 (2002) 5761—5792

[2] Konig J.A. Shakedown of elastic-plastic structures. Elsevier Publishers, Amsterdam (1987).

[3] Stumpf_ff.:Theoretical and computational aspects in the shakedown analysis of finite elastoplas-ticity. Int. Journal of Plasticity, Vol. 9, pp. 583—602, 1993.

[4] Borkowski A., Kleiber M. On a numerical approach to shakedown analysis of structures. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 22, 101, 1980.

INCREMENTAL ELASTIC-PLASTIC ANALYSIS OF A CONTINUOUS STEEL BEAM WITH SHAKEDOWN

A. Heidari

Peoples' Friendship University of Russia Ordshonikidze str, 3, Moscow, Russia, 115419

An algorithm of the incremental elastic-plastic analysis of a continuous steel beam is presented in this paper. An elastic limit state has been determined, and formation of plastic hinges and collapse mechanism has been investigated. The effect of the shakedown is introduced and the maximum shakedown load is determined.

Key words: steel structures, elastic-plastic work, shakedown, plastic hinge, plastic limit analysis, incremental method.