Изучение порядковой структуры

ПЕДАГОГИКА

УДК 51

Е. М. Вечтомов ИЗУЧЕНИЕ ПОРЯДКОВОЙ СТРУКТУРЫ

В статье рассматривается методика введения и изучения порядковых понятий. Приводится мотивация и обоснование необходимости и важности изучения порядковой структуры студентами специальностей, связанных с математикой и компьютерными науками. Излагается апробированный автором начальный фрагмент теории упорядоченных множеств и решеток.

In this article we consider the methods of introducing and studying order definitions. We explain the necessity and importance of considering an order structure by students that have a relation to Mathematics and Computer Sciences. There presented the foundation of theory of ordered sets and lattices interpreted by the author.

Ключевые слова: отношение порядка, упорядоченное множество, решетка, методика изучения порядковой структуры.

Keywords: order relation, order set, lattice, methods of study of order structure.

1. Мотивация

Сравнение материальных и идеальных элементов по величине - фундаментальный способ освоения действительности и научного исследования. Часто вещи сравниваются по той или иной числовой величине: города - по численности населения, товары - по цене, люди - по росту или весу и т. п. Столь же привычно сравнение в науке. Достаточно назвать математическое направление, в котором изучаются числовые и функциональные неравенства [1]. В математике, во-первых, сравниваются действительные (вещественные) числа, затем: линии - по длине, плоские фигуры - по площади, числовые функции - поточечно, множества - по мощности и т. д. Перечисленные примеры имеют общую формальную структуру - порядковую, элементы в них связаны отношением квазипорядка (несколько более широким, чем отношение порядка).

Современная математика - структурная наука, изучающая структуру сущего (реального и идеального), отображаемую в общенаучных, философских категориях количества, формы, меры. Точнее, математика изучает математические

© Вечтомов Е. М., 2010

структуры, т. е. множества с заданными на них операциями и отношениями. На языке математических структур и выражаются разнообразные проявления категорий количества, формы и меры. Подчеркнем, что математические структуры определяются и изучаются на языке теории множеств - фундаменте классической математики последнего столетия [2].

В середине XX в. группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки выделила три типа математических структур - алгебраический, порядковый и топологический. В своей знаменитой концептуальной статье 1948 г. «Архитектура математики» [3] Бурбаки назвали математику учением о математических структурах. Многие конкретные математические объекты относятся к одному из этих типов моноструктур или являются их естественным переплетением. Методологические аспекты структурного характера математики отражены в [4].

Исходным порядковым понятием служит отношение порядка, т. е. бинарное отношение на множестве, удовлетворяющее свойствам рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. А базовым порядковым объектом является упорядоченное множество как множество с определенным на нем отношением порядка. Тем самым изучение порядковой структуры тесно связано и опирается на понятие бинарного отношения на множестве. Одна из возможных методик изучения бинарных отношений предложена автором [5].

Некоторые ученые (например, психолог Ж. Пиаже) правомерно считают, что основные типы математических структур соответствуют подобным им психологическим структурам и интеллектуальным способностям человека (см. [6]). Это вполне согласуется с метафизическим принципом единства мира, гармоничным сосуществованием его материальной, идеальной и психической граней. Поэтому актуальной задачей математического образования является формирование и развитие абстрактного структурного мышления путем изучения важнейших математических структур.

Порядковая структура справедливо относится к наиважнейшим математическим структурам. Она составляет неотъемлемую часть дискретной математики, входит в математические основы компьютерных наук. Можно говорить о порядковом

подходе в математических исследованиях и даже о порядковом мышлении. Многие упорядоченные множества, встречающиеся в математических теориях и их приложениях, являются решетками, т. е. их конечные подмножества обладают точными гранями. Различные математические объекты изучаются с помощью решеток своих подобъек-тов и конгруэнций. В этом заключается теоретико-решеточный метод исследования в современной математике, позволяющий более полно охватить изучаемые математические объекты, выявить их новые свойства и связи.

По сравнению с алгебраическим и топологическим типами структур порядковая структура практически не изучается ни в школе, ни в вузе (иногда приводится определение и несколько простейших примеров). Поэтому мы в спецкурсе «Основные математические структуры» [7], предназначенном студентам математических специальностей, отводим изучению упорядоченных множеств заметное место (мы рассматриваем еще два типа фундаментальных структур - структуры инцидентности и пространства с мерой). Мало кто из преподавателей математики задумывается над тем, что НОК и НОД натуральных чисел, объединение и пересечение множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний суть примеры общих порядковых операций sup и inf, показывающие универсальность порядкового языка, терминологии и обозначений, принятых в теории упорядоченных множеств.

Различные упорядоченные структуры служат богатым материалом для спецкурсов, курсовых и выпускных работ, для исследований.

Автор данной статьи является активным сторонником и популяризатором специального изучения порядковой структуры, неоднократно выступал с научно-методическими докладами, читал спецкурсы для студентов и вел кружковые занятия со школьниками на эту тему [8].

2. Методика

Сформулируем ведущие дидактические положения, на которые может и должно опираться изучение порядковой структуры.

I. Необходимость пропедевтики. Поскольку понятие упорядоченного множества является весьма абстрактной структурой, обобщающей целый ряд конкретных математических объектов, для усвоения этого понятия важна подготовительная работа - повторение соответствующего изученного материала и его систематизация, подробный разбор примеров на отношение порядка.

II. Принцип фундаментальности подразумевает научность излагаемого знания, т. е. четкость определений и формулировок, строгость доказательств, «разметку» границ данной математической теории, его связи и приложения.

III. Принцип наглядности. Наглядность порядковых понятий и интерпретаций способствует усвоению абстрактного материала. Важную роль играет изображение конечных упорядоченных множеств диаграммами Хассе.

IV. Тренинг. Изучение порядковой структуры должно сопровождаться самостоятельным решением разнообразных упражнений: проверочных тестов, заданий учебного характера, учебно-исследовательских и научно-исследовательских задач.

V. Внутриматематические связи. Математика - единая наука, разные разделы которой связаны содержательно и структурно. Имеется тесная взаимосвязь между основными типами математических структур, установленная еще П. С. Александровым, М. Стоуном, Г. Биркгофом (см. [9]). Особенно хорошо эти связи прослеживаются на конечных объектах.

VI. Прикладные возможности. Порядковая структура, являясь одной из самых фундаментальных дискретных структур математики, входит в состав математических основ компьютерных наук. Компьютерная алгебра и компьютерная графика усиливают возможности применения аппарата теории упорядоченных множеств в самых разных областях науки и практики.

Что следует знать преподавателю математики о порядковой структуре?

Во-первых, исходные порядковые понятия, включая точные грани, виды упорядоченных множеств, в частности упорядоченные множества с условием минимальности (они служат носителем индуктивных рассуждений, допускают нетерову индукцию), решетки, булевы алгебры, упорядоченные группы, кольца и поля.

Во-вторых, модельные примеры: цепь действительных чисел с обычным порядком, булеаны, решетка натуральных чисел с отношением делимости. Эти примеры хорошо иллюстрируют обобщающий характер порядкового подхода. Полезно научиться изображать конечные упорядоченные множества диаграммами Хассе, что особенно важно в дискретной математике. Надо понимать, что алгебры высказываний, множеств и событий являются булевыми алгебрами, а множество всех действительнозначных функций на произвольном множестве образует дистрибутивную решетку с поточечно определенным отношением порядка.

В-третьих, определенный минимум фактов: простейшие свойства упорядоченных множеств, принцип двойственности, эквивалентность порядкового и алгебраического понятий решетки, теорема Стоуна о строении конечных булевых алгебр, теорема Тарского о неподвижной точке, лемма Кенига, формулировки леммы Цорна и теорем Цермело и Гельдера, порядковые свойства основных числовых систем.

При обучении математике студентов и учащихся физико-математических лицеев желательно систематически использовать порядковый язык, находить и применять информацию об упорядоченных структурах.

Возможная последовательность изучения порядковой структуры:

1. Повторение теоретико-множественных понятий.

2. Рассмотрение модельных примеров упорядоченных множеств (примеры из нижеследующей таблицы).

3. Определение исходных порядковых понятий.

4. Конечные упорядоченные множества и их диаграммы Хассе.

5. Отработка порядковых понятий на модельных примерах, их иллюстрация таблицами и графами, на диаграммах Эйлера - Венна и Хассе.

6. Доказательство простейших свойств упорядоченных множеств. Принцип двойственности.

7. Построение новых примеров и контрпримеров.

8. Понятие решетки. Эквивалентность порядкового и алгебраического определений.

9. Начала теории решеток. Понятия подрешет-ки, идеала, конгруэнции, гомоморфизма, фактор-решетки, прямого произведения решеток.

10. Дистрибутивные решетки. Их свойства и представления.

11. Булевы решетки, булевы алгебры и булевы кольца.

12. Исследовательские задачи об упорядоченных множествах и решетках. Темы курсовых и дипломных работ. Примерные задачи и темы работ можно найти в [10].

Пункты 1-11 сопровождаются решением учебных упражнений.

Для первоначального знакомства с порядковой структурой подходят книги [11]. Дальнейшее изучение теории упорядоченных множеств и решеток можно осуществить по монографиям [12]. Кроме того, практически в каждом учебнике по дискретной математике имеется информация об отношении порядка и упорядоченных множествах.

3. Реализация

Изложим апробированную нами схему изучения темы.

Сразу заметим, что мы приводим минимум понятий и фактов - только самые необходимые. Характерные методы и рассуждения демонстрируем на доказательстве нескольких теорем. Изложение сопровождаем модельными примерами и специально подобранными упражнениями.

Сначала разбираются важнейшие модельные примеры упорядоченных множеств (см. таблицу).

Таблица модельных примеров упорядоченных множеств

Упорядоченное множество Наименьший элемент Наибольший элемент inf Точна нижняя грань sup Точна верхняя грань

1. Цепь <!*,<> — — min шах

2. Булеан (В (М),с> 0 М п пересечение и объединение

3. Решетка натуральных чисел ( N. |) с отношением делит \ 1 нод НОК

4. Решетка неотрицательных целых чисел < N0, |> 1 0 нод НОК

5. Решетка подпространств векторного пространства Гсс {0} V п пересечение Е сумма

6. Решетка функций [0,1] [а'6] с поточечным отношением порядка функция-константа 0 функция-константа 1

1 1 1 1 1 1 I 1 гх 1

0 h а 0 а Ъ

7. Решетка высказываний с порядком —> Л ложь И истина A

Выделяется то общее, чем все они обладают, и определяется само понятие отношения порядка. На модельных примерах иллюстрируются основополагающие порядковые понятия.

3.1. Основные понятия

Введем важнейшие понятия теории упорядоченных множеств.

Определение 1. Упорядоченным множеством называется непустое множество X вместе с заданным на нем бинарным отношением порядка <, которое по определению (для любых a, b, c 0 X):

1) рефлексивно: a < a;

2) транзитивно: a < b < c y a < c;

3) антисимметрично: a < b < a y a = b.

Более общим понятием служит отношение

квазипорядка, определяемое как рефлексивное транзитивное бинарное отношение на множестве.

Пусть +X, <) - произвольное упорядоченное множество. Элементы a и b упорядоченного множества X называются сравнимыми, если a < b, a = b или b < a, и несравнимыми в противном случае. Знаки <, > и > имеют обычный смысл. Упорядоченное множество +X, >) двойственно к упорядоченному множеству +X, <), которое в свою очередь двойственно к +X, >).

Определение 2. Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, или цепью, если любые два его элемента сравнимы. Если любые два * элемента упорядоченного множества несравнимы, то оно называется антицепью.

Элемент a 0 X называется наибольшим (наименьшим), если x < a (a < x) для всех элементов x 0 X. Элемент a 0 X называется максимальным (минимальным), когда в X нет элементов x > a (x < a).

Возьмем непустое подмножество Y в X. Элемент x 0 X называется верхней гранью (нижней гранью) множества Y, если y < x (x < y) для любого y 0 Y. Если множество всех верхних граней множества Y непусто и имеет наименьший элемент, то этот элемент называется точной верхней гранью множества Y и обозначается sup Y. Двойственным образом определяется понятие точной нижней грани inf Y.

Мы видим, что в основополагающих моделях теории упорядоченных множеств, приведенных в таблице, операции inf и sup дают классические математические операции. Они играют роль «материала» для представлений, реализации произвольных упорядоченных множеств. Так, любое упорядоченное множество X (порядково) изоморфно некоторому подмножеству (с индуцированным порядком) булеана B(X) с сохранением всех имеющихся в X точных верхних граней (либо точных нижних граней).

Определение 3. Отображение f: X^Y упорядоченных множеств называется изотонным, если

а # Ь влечет /(а) # /(Ь) для любых а, Ь е X. Изо-тонная биекция /: Х^ У упорядоченных множеств называется их (порядковым) изоморфизмом, если обратное отображение также изотонно. Упорядоченные множества, между которыми существует изоморфизм, называются (порядково) изоморфными.

Говорят, что элемент Ь е X покрывает элемент а е X, если а < Ь и в X нет элементов х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь (находящихся между а и Ь).

Конечные упорядоченные множества удобно изображать диаграммами Хассе. Элементы конечного упорядоченного множества X изображаются точками «вертикальной» плоскости. Если элемент а покрыт элементом Ь, то соединяем точку а с точкой Ь отрезком, идущим вверх. Полученный при этом граф и называется диаграммой Хассе упорядоченного множества X.

Диаграмму Хассе любого конечного упорядоченного множества X можно построить следующим образом. Берем в X множество X1 всех минимальных элементов и изображаем их точками, расположенными горизонтально (это первый уровень). Затем в упорядоченном множестве X\X1 снова рассматриваем множество X2 всевозможных минимальных элементов, помещая их на второй горизонтальный уровень над первым. Далее повторяем процедуру: берем упорядоченное множество X\(X1uX2) и т. д. В результате упорядоченное множество X разбивается на уровни X1, X2, ..., Xn, являющиеся антицепями. Элемент а е X находится на к-м уровне (2 # к # п) тогда и только тогда, когда начинающиеся с а убывающие цепи в X имеют наибольшее число элементов, равное к. Элементы последнего уровня Xn максимальны, но не обязаны исчерпывать множество всех максимальных элементов в X.

Общий способ построения диаграмм Хассе и абстрактная характеризация упорядоченных множеств, для которых существует диаграмма Хас-се, приведены в [13].

Построим диаграммы Хассе упорядоченных множеств, имеющих п # 4 элементов (см. рис. 1).

Длиной конечной цепи X назовем число XI ее элементов. Длиной /(X) конечного упорядоченного множества X называется наибольшая из длин его цепей. Наибольшее число элементов антицепей конечного упорядоченного множества

X называется его шириной ю^).

Теорема 1. Для любого конечного упорядоченного множества X справедливо неравенство

XI # /(X) • w(X).

Доказательство. Рассмотрим диаграмму Хассе конечного упорядоченного множества X. Ясно, что число уровней диаграммы равно /(X). Каждый уровень является антицепью в X, поэтому число его элементов не превосходит ширины w(X).

Поскольку различные (попарно не пересекающиеся) уровни в объединении дают все множество X, то получаем искомое неравенство.

Применим эту теорему к решению одной задачи XIII Московской математической олимпиады.

Задача. Пусть числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в произвольном порядке. Докажите, что в данной последовательности можно вычеркнуть 90 чисел так, чтобы оставшиеся 11 чисел были расположены в порядке возрастания либо в порядке убывания.

Решение. На множестве X = {1, 2, 3, ..., 101} введем новый порядок, соответствующий данному расположению чисел. Положим трп в том и только том случае, когда т = п или т < п и т расположено раньше п. В результате получим упорядоченное множество (X, р>. В нем возрастающие подпоследовательности служат цепями, а убывающие подпоследовательности - антицепями. По теореме 1 /(X) • ю{Х) $ |Х| = 101, откуда /(X) $ 11 или ю^) $ 11. Что и требовалось доказать.

Имеет место принцип двойственности для упорядоченных множеств: если некоторое предложение об упорядоченных множествах верно для всех упорядоченных множеств, то верно и двойственное предложение, получающееся из данного заменой отношения # на отношение $ и обратно.

Упражнение 1. Найдите минимальные и максимальные элементы следующих упорядоченных множеств:

а) (Б(М)\{0, М}, с> при |М| $ 2; б) (NN{1}, | >; в) ((0, 1], #>.

Упражнение 2. Постройте диаграмму Хассе упорядоченного множества всех натуральных делителей числа 36 по отношению делимости.

Упражнение 3. Сколько различных отношений порядка можно задать на п-элементном множестве при п # 4?

Упражнение 4. Приведите примеры двойственных понятий и двойственных теорем.

Упражнение 5. Что такое строгий порядок < на множестве X? Дайте его абстрактную харак-теризацию.

Упражнение 6. Пусть р - отношение квазипорядка на множестве X. Для произвольных элементов а, Ь е X положим а~Ь, если арЪ и Ъра. Покажите, что отношение ~ является эквивалентностью на X. На фактор-множестве X/~ задается отношение порядка # по формуле: а ] арЪ для любых а, Ь е X. Проверьте корректность этого утверждения.

Упражнение 7. Докажите, что любое изотон-ное взаимно однозначное отображение

а) конечного упорядоченного множества, б) цепи на себя будет порядковым изоморфизмом.

п = 1

и = 2 и = 3

I

I. А V I

и = 4

I.. Л. А И

II И И Т 1. к

К

О У

Замечание. С точностью до порядкового изоморфизма существуют 63 пятиэлементных упорядоченных множества (нарисуйте их диаграммы Хассе), 318 - шестиэлементных, 2045 - се-миэлементных. Число упорядочений п-элемент-ного множества равно: 3 при п = 2; 19 при п = 3; 219 при п = 4; 4321 при п = 5, 130023 при п = 6; 6129859 при п = 7.

3.2. Решетки

Среди упорядоченных множеств выделяются решетки.

Определение 4. Упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точные нижнюю и верхнюю грани, называется решеткой.

Если из т-элементной решетки (т $ 3) выбросить наименьший и наибольший элементы, то получим (т-2)-элементное упорядоченное множество. Таким образом можно построить все конечные решетки.

Приведем диаграммы Хассе всех решеток мощности т = 4 и 5.

Шестиэлементные решетки получаются из че-тырехэлементных упорядоченных множеств добавлением «новых» наименьшего и наибольшего элементов. При этом мы имеем 15 решеток из 16 «возможных». Дело в том, что выделенное выше четырехэлементное упорядоченное множество дает изображенное справа упорядоченное множество X, не являющееся решеткой. Его элементы а, Ь не обладают точной верхней гранью в X, так как множество их верхних граней {с, сС, 1} не имеет наименьшего элемента (рис. 3).

с ( 1

я'

О X

Рис. 3

Упражнение 8. Постройте диаграммы Хассе всех 15 шестиэлементных решеток.

На любой решетке Ь зададим бинарные операции сложения + и умножения • формулами: а + Ь = Бир

Получаем алгебру +Ь, +, •>, в которой выполняются следующие четыре пары тождеств:

1) а + Ь = Ь + а, аЬ = Ьа (коммутативность операций);

2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с), (аЬ)с = а(Ьс) (ассоциативность);

3) а + а = а, аа = а (идемпотентность);

4) а + аЬ = а, а(а + Ь) = а (законы поглощения).

Упражнение 9. Докажите свойства 1)-4) алгебры +Ь, +, •>, полученной из решетки Ь.

Имеет место и обратный переход. Если +Ь, +, •> -алгебра со свойствами 1)-4), то +Ь, #> будет решеткой, в которой а # Ь означает а + Ь = Ь (равносильно, аЬ = а); при этом справедливы формулы (*).

Упражнение 10. Докажите данное утверждение.

4 V I

диамант Пентагон

Упражнение 11. Проверьте, что в решетках неравенства можно почленно складывать и умножать: a < b и c < d влекут a + c< b + d и ac < bd.

Упражнение 12. Убедитесь, что в любой решетке выполняется тождество

(ab + ac)(ab + bc) = ab.

Упражнение 13. Покажите, что в произвольной решетке верны неравенства

ab + ac < a(ab + c) < a(b + c).

Упражнение 14. Наименьший элемент решетки обычно называется нулем и обозначается 0, а наибольший элемент решетки часто называется единицей и обозначается 1. Докажите, что нулевой элемент 0 (единичный элемент 1) произвольной решетки определяется любым из тождеств 0a = 0, 0 + a = a (соответственно: 1a = a, 1 + a =1).

Определение 5. Полной решеткой называется упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю грани.

Любая полная решетка L является решеткой с 0 = inf L и 1 = sup L.

Укажем основные примеры полных решеток:

1) числовые отрезки [a, b], где a, b 0 R и a < b (пример 1);

2) булеаны B(M) для произвольных множеств M (пример 2);

3) решетка +N0, | ) (пример 4);

4) конечные решетки;

5) решетка всех подалгебр любой алгебры относительно включения с;

6) решетка всевозможных конгруэнций на произвольной алгебре с с;

7) решетка всех открытых (замкнутых) множеств любого топологического пространства.

Говорят, что отображение f: X^X множества X в себя имеет неподвижную точку x0 0 X, если f(x0) = x0. В теории упорядоченных множеств изучаются неподвижные точки изотонных отображений упорядоченных множеств и решеток. Докажем теорему Тарского о неподвижной точке:

Теорема 2. Всякое изотонное отображение f любой полной решетки L в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Доказательство. Рассмотрим в L подмножество A = {x 0 L: x < f(x)}. Положим x1 = sup A. Поскольку 0 0 A, то sup A существует. Покажем, что f(x1) = x1. Так как x < x1 для всех x 0 A, то и x < f(x) < f(x1) для всех x 0 A. Поэтому f(x1) - верхняя грань множества A, и x1 < f(x1). Откуда f(x1) < f(f(x1)), т. е. f(x1) 0 A. Значит, и f(x1) < x1.

Заметим, что x1 является наибольшей неподвижной точкой отображения f. Наименьшая неподвижная точка x0 отображения f получается двойственным способом: x0 = inf B для B = {x 0 L:

x > f(x)}. Множество F(f) = {x e L: f(x) = x} всех неподвижных точек отображения f совпадает с A n B.

Упражнение 15. Покажите, что множество F(f) не обязано быть подрешеткой решетки L.

Отметим также, что для решеток верна теорема Дэвиса, обратная теореме Тарского.

Упражнение 16. В классе упорядоченных множеств теорема Дэвиса неверна. Приведите соответствующий пример.

3.3. Дистрибутивные решетки и булевы решетки

Наиболее важными, часто применяемыми и потому лучше изученными видами решеток являются классы дистрибутивных и булевых решеток.

Определение 6. Решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняется тождество a(b + c) = ab + ac.

Класс всех дистрибутивных решеток, как и класс всех решеток, образует многообразие алгебр с двумя бинарными операциями. Более широкое многообразие образуют модулярные решетки, в которых выполняется модулярное тождество (вместо дистрибутивного тождества) a(ab + c) = ab + ac.

Сформулируем полезные критерии дистрибутивности решетки:

1. Произвольная решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда любая ее подрешетка не изоморфна ни пентагону, ни диаманту.

2. Дистрибутивность решетки эквивалентна выполнению в ней двойственного дистрибутивного закона: (a + b)(a + c) = a + bc.

3. Решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда для любых ее элементов a, b и c имеем: a + b = a + c и ab = ac влекут b = c.

4. Дистрибутивность решетки равносильна выполнению в ней тождества: (a + b)(a + c)(b + c) = = abc.

Покажем, например, что дистрибутивная решетка L удовлетворяет свойству из критерия 3. Пусть a + b = a + c и ab = ac для некоторых a, b, c из L. Тогда

b = b(a + b) = b(a + с) = ab + bc = = ac + bc = c(a + b) = c(a + с) = с.

Решетка с 0 и 1 называется ограниченной. Если в ограниченной решетке a + b = 1 и ab = 0, то элементы a и b называются дополнениями друг друга.

По свойству 3 в ограниченных дистрибутивных решетках каждый элемент имеет не более одного дополнения. Значит, диамант и пентагон не являются дистрибутивными решетками.

Упражнение 17. Убедитесь непосредственно, что диамант и пентагон не дистрибутивны.

Упражнение 18. Проверьте свойство 2.

Упражнение 19. Докажите y в свойстве 4.

Определение 7. Ограниченная дистрибутивная решетка с 1 * 0, в которой каждый элемент имеет дополнение, называется булевой решеткой.

Сведения о булевых решетках, булевых алгебрах и булевых кольцах можно найти в [14]. Заметим, что эти понятия равносильны, точнее, классы булевых решеток, булевых алгебр и булевых колец с единицей совпадают между собой.

Атомы решетки Ь с нулем 0 - это минимальные элементы упорядоченного множества Ь\{0}. Решетка с нулем 0 называется атомной, если для любого ее ненулевого элемента х существует такой атом а, что а # х.

Примеры булевых решеток:

1. Пусть М - произвольное непустое множество. Тогда булеан В(М) есть булева решетка с операциями и и п и порядком с, причем дополнением любого элемента А е В(М) служит его теоретико-множественное дополнение М\А. Булеан В(М) изоморфен прямому произведению М1 экземпляров двухэлементной цепи Б = {0, 1}.

2. Рассмотрим множество В всех конечных множеств натуральных чисел и дополнений до них в N (так называемых коконечных множеств). Относительно включения множеств с множество В будет счетной атомной булевой решеткой -подрешеткой булеана В^).

3. Рассмотрим алгебру (пропозициональных) высказываний А с операциями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Ее элементами служат формулы логики высказываний. Отношение / равносильности высказываний является конгруэнцией на алгебре А. Соответствующая факторалгебра А//, называемая алгеброй Аинденбаума, является булевой решеткой. В ней [Р] # означает, что P6Q - тавтология, т. е. P6Q / И (истина). Дополнением к [Р] будет класс []Р] отрицания высказывания Р.

Решетка |) - полная атомная дистрибутивная решетка с условием минимальности с наи-

меньшим элементом 1 и наибольшим элементом 0, не являющаяся булевой решеткой. Наряду с числовой прямой И и булеанами, эта решетка -важнейший пример в теории упорядоченных множеств и решеток. Его непустыми конечными подмножествами исчерпываются, с точностью до изоморфизма, все конечные упорядоченные множества.

Пусть Ь - произвольная булева решетка. Каждый ее элемент а обладает единственным дополнением, которое будем обозначать а'.

Булевы решетки обладают следующими свойствами:

(1) 0 =1, 1 =0.

(2) а"=а.

(3) а # Ь ] Ь' # а' ] а' + Ь = 1 « аЬ' = 0.

(4) (а + Ь) ' = а'Ь', (аЬ)' = а' + Ь' (законы де Моргана).

(5) а + а' =1, аа' = 0.

Упражнение 20. Проверьте эти свойства.

Изобразим диаграммы Хассе трех первых (по

числу элементов) булевых решеток (рис. 4).

В решетке Б2 элементы а и а' являются атомами. Атомы а, Ь, с решетки Б3 располагаются на втором уровне диаграммы, а их дополнения а', Ь', с' - на третьем уровне.

Докажем теорему Стоуна о строении конечных булевых решеток, являющуюся частным случаем классической теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр.

Теорема 3. Аюбая конечная булева решетка изоморфна булеану В(А), где А - множество всех ее атомов.

Доказательство. Пусть А - множество всех атомов конечной булевой решетки Ь. Установим изоморфизм между решетками Ь и В(А), сопоставив каждому элементу х е Ь подмножество в А: /(х)={а е А: а # х}. Сразу заметим, что /(0)= 0 и /(1)= А. Покажем, что / является биекцией Ь на В(А). Возьмем в Ь элементы х * у.

Б

а

Тогда одно из соотношений х # у или у # х неверно. Можно считать, что неверно х # у. По свойству (3) булевых решеток ху' * 0. В силу атомности конечной решетки Ь в ней найдется такой атом а, что а # ху'. Имеем а # х и а # у', откуда а е /(х) и ау = ау'у = а0 = 0. Последнее означает, что а $ /(у). Поэтому /(х) * /(у). Тем самым доказана инъективность отображения /.

Для проверки сюръективности / возьмем произвольное непустое множество В = (а^ ..., ак} атомов решетки Ь. Нужно найти элемент Ь е Ь, для которого /(Ь) = В. Положим Ь = а1 + ... + ак. Ясно, что В с /(Ь). Если а е /(Ь), т. е. а # Ь, то а = а(а1 + ... + ак) = аа1 + ... + аак. Отсюда следует, что атом а совпадает с одним из атомов а,, иначе аа1 + ... + аак = 0. Поэтому и /(Ь) с В, т. е. /(Ь) = В.

Наконец, если х # у, то /(х) с /(у) по определению отображения /. Обратно, если /(х) с /(у) для х, у е Ь, то по доказанному х = Е/(х) # Е/(у) = у. Следовательно, биекция / является (порядковым) изоморфизмом решеток Ь и В(А), что завершает доказательство теоремы.

Булеан В(М) является булевой алгеброй относительно операций объединения, пересечения и дополнения. Пусть В - произвольная булева алгебра с бинарными операциями +, • и унарной операцией '. Упомянутая классическая теорема Стоуна утверждает, что В изоморфна подалгебре булеана В(М), где в качестве М можно взять множество всех максимальных идеалов в В. Элементы и операции в В интерпретируются соответственно как подмножества в М и теоретико-множественные операции над ними. Так, равенство аЬ = 0 в алгебре В означает, что соответствующие множества не пересекаются. Мы уже знаем, что В является (булевой) решеткой с отношением порядка # (а # Ь означает а + Ь = Ь), интерпретируемым как отношение включения с подмножеств множества М. После этого становится ясно, что булевы алгебры действительно должны обладать естественные свойствами (1) - (5).

В заключение рассмотрим обобщение примера 6, показывающее возможность дальнейших исследований в теории решеток. Для данных непустого множества X и решетки 5 рассмотрим решетку 5х всевозможных отображений с

поточечно определенными операциями сложения и умножения отображений. Если решетка 5 имеет наименьший элемент 0 и не содержит делителей нуля, то равенство /g = 0 (здесь 0 трактуется как функция-константа, принимающая в любой точке множества X значение 0) в решетке функций 5х означает, что /(х) = 0 или g(x) = 0 для каждого х е X. Знакомая картина получается в случае IIх для числовых промежутков X, когда функции изображаются графиками. В теории пучковых (функциональных) представлений

[15] абстрактная ограниченная дистрибутивная решетка S представляется как решетка сечений соответствующего пучка ограниченных дистрибутивных решеток-слоев Sx, индексированных точками базисного топологического пространства X. Слои должны быть устроены проще исходной решетки S. На этом пути получается и сформулированная выше классическая теорема Стоуна, когда все Sx изоморфны двухэлементной цепи.

Примечания

1. Харди Г., Литтлвуд Д, Полиа Г. Неравенства. М.: ГИИЛ, 1948; Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965; Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2002.

2. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. М.: МГУ, 1989; Куратовский К., Мостов-ский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

3. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963, С. 245-259.

4. Вечтомов Е. М. Метафизика математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006.

5. Вечтомов Е. М. Бинарные отношения // Математика в образовании. 2007. Вып. 3. С. 41-51.

6. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999.

7. Вечтомов Е. М. Основные структуры классической математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2007.

8. Вечтомов Е. М. Теория решеток. Киров: КГПИ, 1995; Вечтомов Е. М. Упорядоченные структуры в курсе математики // Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков: сб. материалов Всерос. конф. (Дубна). М.: МЦНМО, 2000. С. 351154; Вечтомов Е. М. Модельные примеры в обучении современной математике // Вестник ВятГПУ. 2001. № 5. С. 79-82; Вечтомов Е. М. О взаимосвязи основных математических структур // Материалы XXV Всерос. семинара преподавателей математики педвузов и университетов. Киров; М.: Изд-во ВятГГУ, 2006. C. 6-11; Вечтомов Е. М. Взаимосвязь основных математических структур // Современные методы физико-математических дисциплин: материалы Междунар. науч. конф. Т. 1. Орел: Орлов. гос. ун-т, 2006. С. 183-187; Вечтомов Е. М. Обучение математике через простейшие модели // Материалы III Меж-дунар. конф. М.: РУДН, 2008. С. 597-599.

9. Вечтомов Е. М. Основные структуры классической математики. Киров: ВятГГУ, 2007. Гл. 7.

10. Там же; Вечтомов Е. М., Варанкина В. И. Упорядоченные множества с конечным условием минимальности // Вестник ВятГПУ. 2000. № 3-4. С. 1112.

11. Беран Л. Упорядоченные множества (Б-ка «Популярные лекции по математике», вып. 55). М.: Наука, 1981; БиркгофГ., БартиТ. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976. Гл. 2, 5, 9; Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. Гл. I, IV; Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир, 1979. Гл. 3; Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971.

12. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984; Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982; Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М.: Наука, 1973. Гл. I-IV; Скорняков Л. А. Эле-

менты теории структур. М.: Наука, 1982; Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. Гл. 3.

13. Вечтомов Е. М. Упорядоченные множества с диаграммой Хассе // Вестник ВятГГУ. 2002. № 6. С. 13-15.

14. Сикорской Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969; Вечтомов Е. М. Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток // Математические заметки. 1993. Т. 53. Вып. 2. С. 15-24; см. также примечания 9, 11, 12.

15. Вечтомов Е. М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. № 1. С. 93-102; Чермных В. В. Полукольца. Киров: ВятГПУ, 1997.

УДК 37.022

В. Б. Помелов

РУДОЛЬФ ШТЕЙНЕР И ЕГО ВАЛЬДОРФСКАЯ ПЕДАГОГИКА

В статье характеризуется деятельность выдающегося педагога Рудольфа Штейнера, отмечаются основные особенности его учения вальдорфская педагогика.

In the article the estimation of activities of the outstanding pedagog Rudolf Steiner is given, the main peculiarities of his Valdorf Pedagogics are characterized.

Ключевые слова: Рудольф Штейнер, философ-ско-педагогическое направление вальдорфская педагогика, особенности и основные характеристики вальдорфской педагогики, распространение валь-дорфской педагогики в России.

Keywords: Rudolf Steiner, philosophical and pedagogical trend Valdorf Pedagogics, peculiarities and chief characteristics of the Valdorf Pedagogics, of the Valdorf Pedagogics in Russia.

Основоположник вальдорфской педагогики австрийский педагог и философ-мистик, писатель, эзотерик Рудольф Штейнер (нем. Rudolf Steiner) родился 25 (по другим данным 27) февраля 1861 г. в местечке Кралевич (Кральевица) Австро-Венгерской империи (территория современной Хорватии).

Несмотря на то, что уже в 20-летнем возрасте он окончил Венскую высшую техническую школу, его больше привлекали естественные науки. Кумиром Р. Штейнера был Й.-В. Гёте, который, как известно, был не только великим литератором и общественным деятелем, но также естествоиспытателем. С целью более глубокого освоения естественнонаучного наследия Гёте в 1890 г. Р. Штейнер поселился в Веймаре, где всё напоминало о многолетнем пребывании здесь его

© Помелов В. Г., 2010

кумира, а также Ф. Шиллера, Й.-Г. Гердера, М. К. Виланда, Й.-С. Баха, Ф. Мендельсона, Ф. Листа, Лукаса Кранаха-старшего и других гигантов культуры, к которым Р. Штейнер испытывал величайшее почтение.

Семь лет, проведенных в культурной столице Германии, были заняты подготовкой к изданию естественнонаучных трудов Й.-В. Гёте для фундаментального Веймарского собрания его сочинений. Сам создатель «Фауста» искренне полагал, что в истории науки достойное место займет его теория цвета, хотя даже его личный секретарь и биограф И. П. Эккерман сомневался в правильности этой теории [1]. К слову сказать, Гёте считал теорию И. Ньютона заблуждением, «чрезвычайно вредным для человеческого духа» [2].

Р. Штейнер тактично оставил эти воззрения своего кумира без научного осмысления, уделив основное внимание другой теории Й. В. Гёте -учению о метаморфозах. Он применил ее к педагогике, трактуя воспитание как процесс метаморфоз, при которых предшествующая ступень развития ребенка возрождается на последующей в качественно ином, более совершенном состоянии.

Главной задачей воспитания Штейнер считал концентрацию в человеке «свободного духа», -под которым понимается сосредоточение в сознании интеллектуальных и душевные способностей, - и его реализацию в жизненной практике.

Все это в точности соответствовало излюбленной мысли Гёте о необходимости связи теории с практикой («Суха теория, мой друг, а древо жизни вечно зеленеет»). Последствия такой реализации заключаются в том, что всестороннее развитие личности становится залогом и главным условием культурного развития всего общества. Гётевскую идею о «созерцающей силе суждения» Р. Штейнер рассматривал как своего рода научный метод. Веймарский период завершился выходом в свет «Очерка теории познания гётев-ского мировоззрения» (1897 г., рус. пер. 1993). Еще раньше (в 1891 г.) Штейнер получил степень доктора философии.

Свои идеи о медитативном мышлении и метаморфозах Р. Штейнер рассматривал в рамках универсального учения о человеке - антропософии. Именно антропософия стала методологической основой теории и практики учения, с которым в настоящее время, прежде всего, и ассоциируется имя Р. Штейнера - вальдорфской педагогики.

В 1899-1904 гг. Р. Штейнер преподавал в рабочей школе в Берлине. Здесь с 1900 г. Штейнер начал читать лекции в Теософском обществе, возглавляемом Анни Безант, и участвовал в создании германской секции общества. С 1902 г.