Синтез линейного квадратичного гауссова регулятора композитного коэффициента потерь битумного вибродемпфирующего материала

УДК 681.587.344.7

А.А. Калюжный, В.П. Бирюков

СИНТЕЗ ЛИНЕЙНОГО КВАДРАТИЧНОГО ГАУССОВА РЕГУЛЯТОРА КОМПОЗИТНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ПОТЕРЬ

БИТУМНОГО ВИБРОДЕМПФИРУЮЩЕГО МАТЕРИАЛА

Проводится синтез оптимального стохастического регулятора композитного коэффициента потерь битумного вибродемпфирующего материала и решается задача повышения его эффективности.

Математическая модель, формирующий фильтр, стохастический регулятор, амплитудная частотная характеристика замкнутой системы, спектральная плотность возмущения.

A.A. Kalyuzhny, V.P. Biryukov

SYNTHESIS OF THE REGULATOR OF COMPOSITE FACTOR OF LOSSES OF THE BITUMEN MATERIAL FOR VIBRATION CLEARING

In article presents synthesis of an optimum stochastic regulator of composite factor of losses and the decision of a problem of increase of its efficiency.

Mathematical model, forming filter, stochastic regulator, peak frequency characteristic of the closed system, spectral density of indignation.

В работах [1-6] проведён анализ технологического процесса (ТП) получения битумных вибродемпфирующих материалов как объекта управления композитным коэффициентом потерь и предложен метод динамического механического анализа для определения композитного коэффициента потерь. В данной работе проводится синтез оптимального стохастического регулятора композитного коэффициента потерь (КПП) и решается задача повышения его эффективности.

1. Структурная схема исходного объекта управления. Структурная схема объекта управления композитным коэффициентом потерь технологической линии производства битумных вибродемпфирующих материалов, представленная на рис. 1, включает [1-4]:

- передаточную функцию по управляющему воздействию u1 - расходу битума на приготовление партии битумной смеси в дискретном смесителе на КПП на выходе

x

дискретного смесителя [3,4]: W1(z) = = k1; k1 = -0,0005 ед. ККП/%;

u1

- передаточную функцию по ККП непрерывного смесителя [1]

.... 4 x2(z) 0,094z + 0,067

W2(z) = 24 7 -------------;

x,(z) z2 -1,197z + 0,358

- передаточную функцию звена технологических переходов после непрерывного смесителя до получения результатов лабораторного анализа [3]:

X (2 ) 1

Ж3 (2) = —----= —-, транспортное запаздывание при определении КПП на системе

Х2

Оберста составляет восемь партий;

- передаточную функцию формирующего фильтра возмущающего воздействия / приведённого к выходу ОУ Wj(z).

За период дискретизации принято время приготовления одной партии в дискретном смесителе.

/1

:/2

Рис. 1. Структурная схема объекта управления композитным коэффициентом потерь

вибродемпфирующего материала

Математическая модель формирующего фильтра, полученная путём аппроксимации спектральной плотности возмущающего воздействия (рис. 2) дробнорациональной функцией частоты, расщепления, факторизации и дискретизации, имеет вид:

ттг 0,0063 г6 + 0,055 г5 - 0,088г4 + 0,0078 г3 + 0,036г2 + 0,012г + 0,0008

Ж = —-----------------------------------------------------------------.

/ г7 - 3,75 г6 + 5,776 г5 - 4,663 г4 + 2,07 г3 - 0,478 г2 + 0,044 г - 2 -10~6

Дискретная расширенная модель объекта управления с учётом математической модели формирующего фильтра в А, В, С, Б представлении имеет вид

\ х [п +1] = Ах [ х] + В и [п],

[у [п] = С х [п] + Би [п].

где х - вектор-столбец параметров состояния размерностью п = 18 (при разложении модели звена транспортного запаздывания в ряд Паде); и - вектор входных воздействий, включающий управляющее воздействие и1 размерностью г =1 и случайный процесс типа белый шум Wf размерностью / = 1 для формирования возмущающего воздействия; у -вектор управляемых переменных размерностью т = 1.

Матрицы математической модели объекта управления имеют вид:

А=

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

0 1 0 0 0 0

0 00 0 0

00 0 0 10 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00

0 0 0 0 0 0 0 0

0.291 0 0 2.395

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.263 0 -0.039 0 0.906 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.361

0.649

0.378

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.162

0.908

0.967

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.014

-0.008

0.997

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0.291 0 2.395 00 00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.039

0.906

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.041

0.524

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.082

0.196

-0.026

0.327

3Т-

00000000 -7.48Е-05 -0.00018 0 0 0 000 0 0

00000000 0 00 0.162 0.094 0.034 0 0 0.033 0.861

С= |1 000000000000 0.185 0 0.263 0 0 |

0= I 0 0 I

2. Синтез линейного квадратичного гауссова регулятора для исходного объекта управления. Для представленной математической модели объекта управления произведён синтез линейного квадратичного гауссова регулятора (ЛКГ - регулятора) [712]. При синтезе ЛКГ - регулятора ищется закон управления, минимизирующий функционал

"-1 т т

^ = Е X

п=0

где R1, R2 - симметрические положительно определённые матрицы штрафа на текущее выходное состояние и текущее управление.

Оптимальное управление имеет вид

ип = ^ хп .

Здесь: K - матрица линейного регулятора, определяемая выражением:

K =

х - оцениваемое состояние объекта, определяемое уравнением состояния наблюдающего устройства:

х

Здесь: F - матрица внутренней обратной связи фильтра Калмана, определяемая выражением [7-12]:

F = ASCT

P, S - симметричные положительно определенные (пхп) матрицы, определяемые уравнениями Риккати:

P = ^ + Aт PA - Aт PB

5 = А5А- - А8Ст

V!, V2 - ковариационные матрицы белых шумов возмущающего воздействия и ошибки наблюдений.

При синтезе регулятора значения элементов матриц R1 = |160000000|, Я2 = 9 подбирались таким образом, чтобы диапазон изменения управляющего воздействия соответствовал допустимому коридору его изменения на технологическом процессе. Полученная матрица регулятора имеет вид:

К= I 0 6.9Е-10 4.0Е-10 1.6Е-10 2.3Е-11 -4.4Е-11 -3.4Е-10 -2.3Е-10 -2115.4 ...

... -536 0 -1731.6 -1304.9 -262.2 -174.9 -26.8 -39.5 -54.2 |

Компьютерное моделирование работы системы управления показало, что для исходного объекта управления с транспортным запаздыванием 8 партий использование оптимального ЛКГ - регулятора позволяет снизить дисперсию выходной переменной только в 1,05 раза, т.е. эффективно управлять исходным объектом практически невозможно.

3. Повышение эффективности управления путем использования дополнительного управляющего воздействия. На первом этапе повышения эффективности управления исследовалась возможность увеличения мощности управляющих воздействий. При этом дополнительно к управлению по каналу расхода битума и1 использовали управление по каналу расхода мела при приготовлении партий в

дискретных смесителях и2. Синтез ЛКГ-регулятора для двух управляющих воздействий при допустимых на технологическом процессе ограничениях по дозировкам компонент позволил снизить дисперсию композитного коэффициента потерь в 1,14 раза.

4. Повышение эффективности управления путем смещения амплитудной частотной характеристики замкнутой системы в сторону больших частот. Дисперсия ошибки управления с обратной связью определяется выражением [13, 14]

2

1 +ад 1 +ад ^

^ і* —ад —ад

где 8/(ю) - спектральная плотность неконтролируемого возмущения; 8е(ю) - спектральная плотность ошибки управления; К/ (/ю) - характеристика замкнутой системы по возмущающему воздействию.

На основании теоремы об интеграле логарифма АЧХ [13], если модуль АЧХ замкнутой системы по возмущению на низких частотах меньше единицы, то на более высоких частотах модуль АЧХ обязательно станет больше единицы. Данное положение характерно и для анализируемой системы.

На рис. 2 представлены графики амплитудной частотной характеристики замкнутой системы по возмущающему воздействию и спектральных плотностей выходной переменной для разомкнутой и замкнутой системы. Здесь и далее для удобства анализа частота измеряется в количестве колебаний на период дискретизации. Синтезированная система в области частот /нч = 0^0,03 (кол/пер. дискр.) имеет

коэффициент передачи по возмущающему воздействию меньше единицы К/ (/) < 1 и уменьшает влияние составляющих возмущающего воздействия с периодами Тнч > 33 партий. Для среднечастотных составляющих возмущений /нч = 0,03^0,084 (кол/ пер. дискр.) коэффициент передачи по возмущающему воздействию больше единицы К/ (/) > 1 и система влияние данных составляющих возмущающего воздействия увеличивает. При этом площадь под спектральной плотностью регулируемой переменной 8У в сравнении со спектральной плотностью возмущения 8/1 в области низких частот снижается, а в области средних частот увеличивается.

Рис. 2. Взаимное расположение спектральных плотностей и АЧХ замкнутой системы

по возмущающему воздействию

На данном этапе разработки системы управления повышение эффективности управления производилось за счет расширения зоны эффективной работы системы управления путем смещения амплитудной частотной характеристики замкнутой системы по возмущающему воздействию К (/) вправо по оси частот [14]. Для этого исследовалась зависимость эффективности системы от величины транспортного запаздывания по

управляющему воздействию. Результаты синтеза и моделирования ЛКГ регуляторов для различных транспортных запаздываний, приведенные в табл. 1, показывают, что при выполнении ограничений по управляющим воздействиям снижение запаздывания до значений т = 6, 3, 1 партий позволяет снизить дисперсию ККП в 1,25, 1,6 и 2,1 раза, соответственно.

Таблица 1

Результаты моделирования работы системы управления при различных т

Наименование параметра Запаздывание т

1 3 6 8

Диапазон изменения дозировок битума, и1, % 39,7 39,9 39,7 39,7

Диапазон изменения дозировок мела, и2, % 39,0 38,2 39,0 39,0

Частотный диапазон эффективной работы системы, кол/период дискретизации 0^0,064 0^0,045 0^0,032 0^0,03

Статический коэффициент передачи 0,575 0,614 0,686 0,8

Коэффициент эффективности кэф = Э2г / Э2у 2,1 1,6 1,25 1,14

Дисперсия возмущения ^ 3.57е-004 3.57е-004 3.57е-004 3.57е-004

Дисперсия выхода э2у 1.73е-004 2.24е-004 2.86е-004 3.1е-004

2

1

Ф

2

СО

О

СО

О

С

X

Т

<

Рис. 3. Взаимное расположение спектральных плотностей и АЧХ замкнутой системы по возмущающему воздействию при различных значениях транспортного запаздывания

Для системы управления с транспортным запаздыванием т = 1 (что достигается использованием метода динамического механического анализа для определения КПП

*

материала [5, 6]) частотная зона эффективной работы достигла ширины = 0 ^ 0,064

(кол/ пер. дискр.) (рис. 3). При этом в зоне неэффективной работы системы /сч > 0,064 (кол/ пер. дискр.) осталась меньшая часть мощности возмущающего воздействия. Кроме того, снижено значение коэффициента передачи системы по возмущающему воздействию в зоне эффективной работы системы управления.

5. Повышение эффективности системы управления путем устранения среднечастотных возмущающих воздействий. При снижении транспортного запаздывания от т = 8 до т = 1 уровень амплитудной частотной характеристики в области эффективной работы снизился от значений 0,8 < К< 1 до значений 0,7 < К< 1 (см. рис. 3). Дальнейшее снижение К(/) в зоне эффективной работы системы ограничено наличием возмущений в среднечастотной зоне. Это связано с тем, что снижение коэффициента передачи системы по возмущению в области низких частот приводит к неизбежному его повышению в области средних частот [13, 14]. Поэтому для

дальнейшего повышения эффективности системы управления необходимо, по возможности, устранить среднечастотные возмущения, действующие на систему управления по обратной связи. Устранение среднечастотных возмущений из контура обратной связи производится путем создания технологических фильтров, дополнительных систем стабилизации на предыдущих технологических переходах, а также путем перевода этих возмущений в контролируемые и отработки их по прямым каналам управления [14].

Для рассмотрения возможности уменьшения мощности среднечастотного возмущения из суммарного возмущающего воздействия, приложенного к выходу объекта управления (/ на рис. 1), выделено возмущающее воздействие, генерируемое на стадии дискретного приготовления партий битумного материала (/1 на рис. 1), и получена оценка его спектральной плотности (5/ на рис. 3). Возмущающее воздействие /2, имеющее спектральную плотность 5/2 = 5/ -|\2 •\3|25/1 (5/ на рис. 3), приложено на стадии

непрерывного смесителя.

Непосредственное измерение КПП на выходе дискретного смесителя трудоемко. Поэтому для оценки возмущения /1 построено в отклонениях уравнение связи активной мощности электрического двигателя мешалки дискретного смесителя АР (кВт) со значением композитного коэффициента потерь битумной массы АККП (ед. ККП), находящейся в смесителе [4]

АР = 400 • АККЇ .

Введение косвенной оценки /1 на выходе дискретного смесителя позволило построить канал компенсации данного возмущения. Структурная схема комбинированной системы управления приведена на рис. 4.

Устранение части среднечастотных возмущений из контура обратной связи позволило расширить зону эффективной работы ЛКГ-регулятора до /нч = 0^0,08 и снизить уровень амплитудной частотной характеристики замкнутой системы по возмущающему воздействию в области эффективной работы до значений 0,38 < К < 1 (см. рис. 5).

w2

w1

Формирующий

фильтр

Формирующий

фильтр

Модель по управлению:

1

1 АР>0

кМо 'АР

1 АР<0 1

кш Ар

Битум

Мел

Шум

измерения

АР = 400 •АКК!

Модель дискретного смесителя:

Анализ УИМ

0,0942 + 0,067 Г Л

1/2 и1

г2 -1,22 + 0,36 V

ККП

Фильтр

Калмана

Регулятор МІМО

1*

к

БИТ

к

к

Рис. 4. Структурная схема комбинированной системы управления

і:

ф

ї

>

X

З"

<

Рис. 5. АЧХ замкнутой системы, спектральные плотности возмущающего воздействия

и ошибки управления

В табл. 2 приведены данные, показывающие повышение эффективности ЛКГ регулятора, настроенного на спектр £/2, по сравнению с ЛКГ регулятором, настроенным на полный спектр возмущающего воздействия 5/.

Таблица 2

Результаты моделирования работы ЛКГ регулятора

Наименование параметра Настроенный на спектр Настроенный на спектр Б/2

Диапазон изменения дозировок битума, % (и^ 39,7 39,6

Диапазон изменения дозировок мела, % (и2) 39,0 38,9

Частотный диапазон эффективной работы системы, (кол/пер.дискр.) 0^0,064 0^0,08

Статический коэффициент передачи 0,7 0,38

Коэффициент эффективности кЭф = в2г / в2у 2,1 4,8

Дисперсия возмущения в2г 3,57е-004 1,74е-4

Дисперсия выхода в2у 1,73е-004 3,57е-5

Применение рассмотренных этапов повышения эффективности работы системы управления позволило снизить влияние возмущающих воздействий на композитный коэффициент потерь в 11,5 раза.

Выводы: Проведенный анализ систем управления для исходного и доработанного технологических процессов показал:

1. Невозможность построения эффективной системы управления для исходного объекта: построенный оптимальный ЛКГ регулятор для исходного объекта управления позволяет снизить дисперсию композитного коэффициента потерь всего в 1,05 раза, что явно недостаточно для обеспечения получения материала со стабильными характеристиками.

2. Возможность построения эффективной системы управления при целенаправленной доработке технологического процесса, как объекта управления с целью повышения его управляемости. При этом изменилась структурная схема объекта управления: уменьшилась величина транспортного запаздывания, введено возмущающее воздействие на выходе дискретного смесителя, которое путем введения косвенной оценки перешло в контролируемое возмущение.

3. Использование дополнительного управляющего воздействия по расходу мела, автоматизированной системы динамического механического анализа для оценки композитного коэффициента потерь с отбором материала на выходе буферной ёмкости [4, 5], оценки нестабильности КПП на выходе дискретного смесителя и ее отработки по прямому каналу управления позволило расширить зону эффективной работы обратной связи системы с f = 0^0,03 колебаний на период дискретизации до f = 0^0,08 колебаний на период дискретизации и добиться снижения дисперсии композитного коэффициента потерь в 11,5 раз.

ЛИТЕРАТУРА

1. Калюжный А. А. Построение математической модели непрерывного смесителя битумных вибродемпфирующих материалов / А. А. Калюжный, В.П. Бирюков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2008. С. 92-95.

2. Калюжный А. А. Построение математической модели зависимости коэффициента потерь битумного вибродемпфирующего материала от его состава / А.А. Калюжный,

В.П. Бирюков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. С. 8-12.

3. Калюжный А. А. Рассмотрение технологического процесса производства

битумного вибродемпфирующего материала как объекта управления / А.А. Калюжный,

В.П. Бирюков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. С. 13-18.

4. Калюжный А. А. Выбор параметров для управления качественными показателями вибродемпфирующих материалов / А. А. Калюжный, В. П. Бирюков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2008. С. 86-91.

5. Калюжный А. А. Автоматизированная система исследования

упругодиссипативных характеристик методом динамического механического анализа / А. А. Калюжный // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. С. 89-94.

6. Калюжный А. А. Сравнение методов исследования характеристик

вибродемпфирующих материалов методом динамического механического анализа / А. А. Калюжный, В. П. Бирюков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2007. С. 95-101.

7. Квакернак К. Линейные оптимальные системы управления / К. Квакернак,

Р. Сиван; пер. с англ. М.: Мир, 1977. 654 с.

8. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А.Г. Александров. М.: Высшая школа, 1989. 263 с.

9. Гудвин Г.К. Построение систем управления / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе, М.Э. Сальго. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. 911 с.

10. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления / К. Острем; пер. с англ. М.: Мир, 1986. 324 с.

11. Рей У. Методы управления технологическими процессами / У. Рей; пер. с англ. М.: Мир, 1983. 368 с.

12. Медведев В.С. Control System Toolbox / В.С. Медведев, В.Г. Потемкин. М.: Диалог МИФИ, 1999. 287 с.

13. Волгин В. В. Учёт реальных возмущающих воздействий и выбор критерия качества при сравнительной оценке качества регулирования тепловых процессов / Р.Н. Каримов, А.С. Корецкий // Теплоэнергетика. 1970. № 3. С. 25-30.

14. Бирюков В.П. Некоторые принципы построения систем управления технологическими процессами с высоким уровнем неконтролируемых возмущений: автореф. дис. ... канд. техн. наук / В.П. Бирюков. Л., 1991. 20 с.

Калюжный Алексей Александрович -

аспирант кафедры «Технология и автоматизация машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиала) Саратовского государственного технического университета

Бирюков Владимир Петрович -

доктор технических наук, заведующий кафедрой «Технология и автоматизация машиностроения» Балаковского института техники, технологии и управления (филиала) Саратовского государственного технического университета

Kalyuzhny Aleksey Aleksandrovich -

Post-graduate student of the Department of «Technology and Automation of Machine-building» of Balakovo Institute of Engineering, Technology and Management (branch) of Saratov State Technical University

Biryukov Vladimir Petrovich -Doctor of Technical Sciences, Head of the Department of «Technology and Automation of Machine-building» of Balakovo Institute of Engineering, Technology and Management (branch) of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 17.02.09, принята к опубликованию 11.03.09