К определению напряженного состояния обделки тоннеля при действии веса размещенного в нем оборудования

УДК 622.01

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБДЕЛКИ ТОННЕЛЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВЕСА РАЗМЕЩЕННОГО В НЕМ

ОБОРУДОВАНИЯ

С.В. Анциферов, Н.Н. Фотиева, Н.С. Булычев, В.Г. Дворянкин

Рассмотрены основные положения, принятые при разработке аналитического метода расчета обделки тоннеля мелкого заложения, сооружаемого с применением инъекционного укрепления грунта, от действия веса размещенного в нем оборудования. Выполнена постановка плоской задачи теории упругости, решение которой получено с применением теории аналитических функций комплексного переменного.

Ключевые слова: тоннель, обделка, земная поверхность, укрепительная цементация, теория упругости, плоская задача, аналитическое решение, напряженное состояние

В подземных сооружениях объектов энергетики, атомной промышленности и обороны размещается достаточно массивное оборудование. Формирование напряженного состояния обделок тоннелей, входящих в такие сооружения, происходит под действием как постоянных внешних нагрузок, так и локального внутреннего давления большой интенсивности. Например, при захоронении радиоактивных отходов давление на лотковую часть обделки от веса складируемых контейнеров, выполненных из свинца, может достигать нескольких сотен тонн. В транспортных тоннелях давление от подвижных средств также действует локально в лотковой части обделки.

Очевидно, что нагрузки, обусловленные весом размещенного оборудования, усилиями домкратов, подъёмных устройств, а также транспортных средств, должны учитываться при расчете и проектировании подземных сооружений.

В практике проектирования при расчетах обделок тоннелей и крепи горных выработок в течение длительного времени применяются традиционные подходы. Они основаны на искусственном разделении нагрузок на «активную», не зависящую от характеристик конструкции, и «пассивную», возникающую как реакция пород на перемещения крепи в сторону массива. При использовании этих методов подземная конструкция рассматривается в виде рамы фактически вне массива пород. Расчет конструкций производился с использованием методов строительной механики (метод сил, метод начальных параметров).

В настоящее время наряду с традиционными методами применяются современные методы расчета крепи (обделки), базирующиеся на решениях соответствующих задач о взаимодействии подземной конструкции с

массивом пород и на рассмотрении крепи и массива как единой деформируемой системы [1]. Они рекомендуются действующими нормативными и нормативно-техническими документами.

По сравнению с расчетом на действие активных нагрузок эти методы обладают рядом преимуществ, главные из которых заключаются в том, что нагрузки на конструкцию не задаются априори, а оказываются существенно зависящими от характеристик всех ее элементов и определяются вместе с усилиями в конструкции в процессе расчета системы в целом. Результатом более полного учета несущей способности массива пород (грунта) обеспечивается существенное снижение расчетных величин внутренних усилий в сечениях конструкций по сравнению с получаемыми при заданных нагрузках. Это позволяет принять более экономичные проектные решения, подтвержденные прочностным расчетом.

Под статическими нагрузками, действующими на обделку тоннеля, понимаются постоянные, а также длительные или кратковременные воздействия. Постоянная нагрузка на обделку обусловлена собственным весом грунта (горным давлением) или гидростатическим давлением. Длительные или кратковременные нагрузки возникают от действия веса емкостей, трубопроводов, ленточных конвейеров, подъемно-транспортного машин, включая вес транспорта и транспортируемого груза, размещенных внутри тоннеля, а также веса жидкости, заполняющей, например, гидротехнические тоннели.

В работе приведена разработанная авторами математическая модель взаимодействия обделки тоннеля круговой формы поперечного сечения и окружающего массива грунта, подверженного инъекционному укреплению, при действии внутренней локальной вертикальной нагрузки.

Основой моделирования напряженного состояния обделок тоннелей и окружающего массива грунта, включая зону грунта, подверженного предварительному инъекционному укреплению, являются современные представления геомеханики и механики подземных сооружений. Они заключаются в рассмотрении совместной работы подземных конструкций и грунта (пород), в том числе укрепленного, как элементов единой деформируемой системы [1, 3, 6].

При разработке математической модели были решены следующие

задачи:

- обоснованы основные положения расчета обделок тоннелей мелкого заложения на действие внутренних локальных нагрузок;

- выполнена постановка плоской задачи теории упругости для линейно-деформируемой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием, моделирующим обделку тоннеля, вокруг которого име-

ется круговая зона укрепленного грунта; часть внутреннего контура кольца, моделирующего обделку, нагружена вертикальным давлением;

- с использованием теории комплексных потенциалов Колосова ПМусхелишвили сформулированы граничные условия краевой задачи теории аналитических функций комплексного переменного, решение которой получено с применением соответствующего математического аппарата.

При постановке задачи учитываются следующие основные факторы, оказывающие влияние на напряженное состояние обделки тоннеля:

- глубина заложения, размеры поперечного сечения, толщина обделки;

- характеристики поля начальных напряжений, обусловленных собственным весом грунта, а также давлением грунтовых вод;

- наличие нагрузки, локально распределенной по внутреннему контуру обделки тоннеля;

- влияние на напряженное состояние обделки тоннеля земной поверхности;

- влияние на напряженное состояние обделки тоннеля зоны грунта, подверженного предварительному инъекционному укреплению;

- деформационные характеристики материала обделки;

- реологические свойства грунта (ползучесть) в рамках линейной теории наследственной ползучести [2];

- отставание возведения обделки от забоя выработки [3].

Напряжения в грунте и обделке тоннеля от описанных выше нагрузок можно определить на основе суперпозиции известных решений задач о действии собственного веса грунта и давления грунтовых вод (рис. 1, а) и полученного нового решения плоской задачи теории упругости, расчетная схема которой представлена на рис. 1, б.

В них рассматривается линейно-деформируемая однородная изо-

I

тропная полубесконечная весомая среда So с прямолинейной границей Ьо, моделирующая массив грунта с деформационными характеристиками -модулем деформации Ео и коэффициентом Пуассона Полуплоскость ослаблена круговым отверстием с контуром Ь радиуса Щ, моделирующим выработку. Вокруг отверстия в среде 50 выделен весомый концентрический слой 51, который моделирует область грунта, подверженного

инъекционному укреплению. Материал области 51 имеет деформационные

характеристики Е1, отличающиеся от соответствующих деформационных характеристик грунта до укрепления. В областях 50 и 51 действует поле начальных напряжений

а

Ху (Н - у); 4°Х0) = т(0)(0) = т0)(0) = о.

а

У

-у(Н - у);

'ху - "ху

где X - коэффициент бокового давления в ненарушенном массиве грунта, у - удельный вес грунта в естественном и упрочненном состояниях.

а

б

Рис. 1. Расчетная схема задач: а - о действии собственного веса грунта (давления грунтовых вод); б - о действии локально распределенной

нагрузки

Круговое отверстие подкреплено концентрическим кольцом 52,

моделирующим обделку тоннеля из материала с деформационными характеристиками ¿2, ^2. Собственным весом обделки по сравнению с весом

I

массива грунта пренебрегаем. Контуры ^ и ^ свободны от действия внешних сил.

В расчетной схеме, приведенной на рис. 1, б, все рассматриваемые области 50, 51 и £2, считаются невесомыми. Внутренний контур ^ поперечного сечения обделки нагружен на горизонтальном участке [; ¿2 ] вертикальным равномерно распределенным давлением р . Под величинами ¿1, ¿2 понимаются расстояния от вертикальной оси ОУ соответственно до левой и правой границ участка нагрузки.

Граничные условия и решения плоских задач теории упругости о действии собственного веса грунта и давления грунтовых вод на обделку тоннеля мелкого заложения (см. рис. 1, а) подробно рассмотрены в [3, 4, 6].

Рассмотрим граничные условия плоской задачи теории упругости о действии нагрузки, локально распределенной по части контура обделки тоннеля, на линиях раздела сред с различными деформационными характеристиками в принятой расчетной схеме (см. рис. 1, б).

I

Прямолинейная граница ¿0 области ^ свободна от действия внешних сил, поэтому граничные условия на ней имеют вид

а у _ 0; Т ху _ Т уХ _ 0,

I

где а у, тХу - нормальные и касательные напряжения в точках прямой ¿0

в декартовой системе координат.

На контурах ^0 и ¿1, являющихся линиями контакта областей ^0,

51, ^2 , выполняются условия непрерывности векторов смещений и напряжений. Тогда граничные условия в полярной системе координат, полюс которой совпадает с центром кругового отверстия, имеют вид

- на контуре ¿0

а(1) _а(0) _(1) __(0). и(1) _ (0) (1) _ (0).

<зг — <зг , хг0 _ хг0 > иг ~ иг ' 0 _ 0 '

- на контуре ¿1

а(2) __(1) _(2) __(1), и(2) _ и(1) и(2) _ и(1),

где а^), т_(00) (] _ 0,1,2) - радиальные и касательные напряжения в точках

контуров соответствующих областей в полярной системе координат; и

и)

и00) (] _ 0,1,2) - радиальные и тангенциальные составляющие перемещений точек рассматриваемых контуров.

Граничные условия на контуре ¿2 запишем в усилиях. Под усилием (Xnds, Ynds) на элементе дуги внутреннего контура ¿2 поперечного сечения обделки будем понимать усилие, действующее со стороны положительной нормали (рис. 2).

Компоненты главного вектора внешних усилий задаются формулами

Хп _ах ооб(п, х) + Тху ооб(п, у), Уп _Тху ооб(п, х) + ау ооб(п, у), (1) в которых направляющие косинусы определяются соотношениями [4]

ооб

ds ds

По условиям рассматриваемой задачи

ах _ 0, ау _ P

Из формул (1) с учетом соотношений (2) получим

хп =0; Уп = р^^

где

Р

р на участке

0 вне участка

11 ;

Рис. 2. К определению компонент внешних усилий, действующих на внутреннем контуре сечения обделки

Тогда граничные условия на внутреннем контуре ^, записанные в усилиях, имеют вид

Хп - 0; Уп -

р(£)соб(п, у) на участке 0 вне участка

11 ;

11 ;

Аффиксы точек ^ , ^ контура ^ определяются соответственно углами 01, 02, отсчитываемыми от положительного направления оси ОХ

против хода часовой стрелки. Например, при расположении нагрузки, изображенном на рис. 1, б, эти углы можно определить по формулам

3п

0 ---агсБт

Г г \ Ь1

'1

2

V К2 )

Л 3п

0~ ---+ агсБт

^ г, ^ Ь2

2

2

V к2 )

После введения в рассмотрение комплексных потенциалов Колосо-ва-Мусхелишвили фу(г), уу(2), характеризующих напряженно-деформированное состояние соответствующих областей 5 у (у _ 0,1,2) и связанных

с напряжениями и смещениями в декартовой системе координат формулами [4]

а

у

4Яефу-

а

(у) -а(у) -I- ?7Т(У) _

у

+ Ътуу _ 2

ху

2Фу

2ц

и [У) + ^и

ае

у Ф у

где

ае у _ 3 - ^ у , Ц у

еу

(у _ 0,1,2):

2

и соответственно в полярной системе координат с полюсом в точке О

а(гу) + а0у) _ 4Яефу (2);

а

(у) -ау + 2/т(у) _ 2 0 °Г + 2Пгд ~ 2

2Фу

2ц

У

и^У^ +1и0

ае

уфу

где аху), а(у \ Тху - горизонтальные, вертикальные и касательные напря-

жения в декартовой системе координат; а

0

- соответственно

радиальные, нормальные тангенциальные и радиальные напряжения в точ-

ках соответствующих контуров; и

и

и0 - соответственно го-

ризонтальные и вертикальные, а также радиальные и тангенциальные перемещения точек соответствующих контуров.

Граничные условия краевой задачи теории аналитических функций комплексного переменного имеют вид:

I

- на контуре ¿0

Ф0(?) + ) + у 0^) _ 0;

на контурах £ у

ф]+1 ) + Щ]+1 ) + у ]+1 ) - ф] ^) + Щ'] ^) + у ] ^) а^+1ф^+1 ^) -1ф^+1 ^) - у ^+1 ^) - [уф^ ^) - Щ} ) -у ^ ^)]

- на контуре ^

ф2(0 + ^(0 + У2(*) - /(<),

где ? - аффиксы точек соответствующих контуров, причем

С I

х + (у на ¿0,

^У0 на Lj,(j - 0,1,2);

0 - полярный угол, отсчитываемый от положительного направления оси ОХ против хода часовой стрелки.

Функция /(?), отвечающая за наличие внешней нагрузки на части

внутреннего контура ¿2 кольца £2, определяется соотношением [4]

/

Для аффикса точки контура ¿2 справедливо

• ™ 1в ~ • „ —1Й ? + ? ? - х + 1у - К2в ; ? - х - /у - К2в ; х - ——;

ЛХ - + Л); л? - ¡К2в10 Л0; л ? - -/Я2е^^. Тогда из (5) с учетом (2) и (4) имеем

1

/(?) - /1(Хп + iУn - /1(0 + /р(?)сов(п,у)(5 - |р(?)(х - — |р(?)((? + Л?) .

5 5 5 2 5

Функцию р(?), задаваемую соотношением (7), можно считать зависящей от полярного угла 0:

р(?) - р(0) -

р на участке

01 ;02

0 вне участка

01 ;02

Функцию р(0), определяемую (6), представим в виде ряда Фурье [4] (в долях величины р):

р(0) - ^ + Х(«И0+ Ьке -'к0

2 К-1

Неизвестные коэффициенты разложения определяются формулами [4]

i 2п i

«о =— í p(0) dd = -—.(02-0);

2п

о

i

2п

ak = "П í Р(0) e 2п 0

-ik0

d0

2п

i ( -i

1

2п

bk = ^ í ^(0) e1^0d0

2n

2kn 2kn v

-ik02 - e ~ikdi

ik02 - e'k0i

Тогда функция ^(i), определяемая соотношениями (6), примет вид

p(t) = - p

а° + Ё

2 к=1

ak

í t \k

V R2 J

+ bk

í t \~k

V R2 J

Окончательно функция /

f

pR2 2

+ bk

ао

2

R2

+

( 1 f t 1

k +1 V R 2 J

' iлЧ

V R2 J

-

+ z

к=1

ak

1

1 -4,

k +1

í , л

k -1

V R 2 J

/ , \k+1

V R2 J

-

1 -4,1 k-1

V R2 J

k-1

+

+

(1 - «1 )lnt

где 1

m,n

[1, если т = и; [0, если т ф п.

Таким образом, граничные условия рассматриваемой задачи записаны в виде, который позволяет применить модифицированный в работах Н.Н. Фотиевой и С.В. Анциферова [6] метод И.Г. Арамановича [5].

Список литературы

1. Булычев, Н.С. Механика подземных сооружений: учебник для вузов. М.: Недра, 1994. 382 с.

2. Амусин Б.З. Об использовании метода переменных модулей для решения одного класса задач линейной наследственной ползучести. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1974. №6. С. 162 - 166.

3. Анциферов С.В. Метод расчета многослойных обделок параллельных тоннелей кругового поперечного сечения мелкого заложения: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 298 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

116

t

1

5. Араманович И.Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием// Докл. АН СССР. 1955. Т. 104. №3. С. 372 - 375.

6. Анциферов С.В. Исследование напряженного состояния обделок параллельных тоннелей мелкого заложения, сооруженных с применением укрепительной цементации, на действие собственного веса грунта// Горный информационно-аналитический бюллетень. М.: Изд-во МГГУ, 2004. № 12. С. 217 - 222.

Анциферов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, доц., зав. кафедрой, antsser@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Фотиева Нина Наумовна, д-р техн. наук, проф., antsser@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Булычёв Николай Спиридонович, д-р техн. наук, проф., antsser@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Дворянкин Владимир Геннадиевич, асп., homerjsimpson2009@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DETERMINING THE STRESSED STATE OF LINING TUNNEL UNDER WEIGHT ACCOMMADATE THE EQUIPMENT

S.V. Antsiferov, N.N. Fotieva, N.S. Bulychev, V.G. Dvoryankin

The basic provisions adopted in the development of an analytical method for calculating tunnel lining shallow, being built with an injection to strengthen the soil from the effects of weight equipment placed in it. Completed production of the plane problem of elasticity theory, the solution of which is obtained by using the theory of analytic functions of complex variables.

Key words: tunnel lining, the earth's surface, the zone fortification cementation, the theory of elasticity, plane problem, analytic solution, the state of stress

Antsiferov Sergei Vladimirovich, Doctor of Science, Docent, Head of ckair, antsser@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Bulychev Nikolai Spiridonovich, Doctor of Science, Full Professor, antsser@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Fotieva Nina Naumovna., Doctor of Science, Full Professor, antsser@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Dvoryankin Vladimir Gennadievich., postgraduate, homerjsimpson2009@,rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University.