Расчет температурной зависимости энергетических характеристик адсорбционных систем из переходных металлов

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 4. С. 82-89.

УДК 539.612.001

А.В. Матвеев, В.А. Краузе

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК АДСОРБЦИОННЫХ СИСТЕМ ИЗ ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ

В рамках метода функционала электронной плотности проведен самосогласованный расчет температурной зависимости энергии адсорбции и работы выхода электронов с поверхности адсорбционных систем из переходных металлов. Исследовано влияние поверхностной релаксации подложки на энергетические характеристики адсорбционных систем. Обсуждается образование различных адсорбционных структур из атомов переходных металлов в зависимости от температуры.

Ключевые слова: метод функционала плотности, энергия адсорбции, работа выхода электронов, переходные металлы, адгезия.

1. Введение

Адсорбция атомов металлов на металлических поверхностях уже давно вызывает большой интерес в экспериментальных и теоретических исследованиях [1, 2]. Это обусловлено, прежде всего, её большим технологическим значением. Например, адсорбаты из щелочных и щелочноземельных металлов применяются для получения эффективных электродов с низкой работой выхода и осуществления гетерогенного катализа с улучшенной активностью и селективностью катализаторов

[1]. Тонкие пленки из ферромагнитных металлов находят широкое применение в магнетоэлектронике [3].

В конце прошлого столетия в результате развития теоретических методов описания адсорбции и экспериментальных исследований стало ясно [1, 2], что все взаимодействия и реакции атомов металлов на металлических поверхностях оказываются более сложными, чем полагалось до сих пор. В частности, были выявлены эффекты перемешивания адатомов металлов с приповерхностными атомами подложки, которые становятся наиболее существенными с повышением температуры [1-3]. При этом поверхность подложки испытывает значительную реконструкцию, что существенно сказывается на работе выхода электронов [1-5]. Настоящая работа посвящена объяснению этих последних данных экспериментальных исследований на основе предложенной нами модели заместительной адсорбции [6].

В соответствии с работой [6] адсорбция рассматривалась нами как частный случай более общего явления - адгезии. Система задавалась в виде моноатомной пленки адсорбата, отделенной вакуумным зазором О от полубесконечной металлической подложки. Введение вакуумного зазора, величина которого определяется из минимума свободной энергии адсорбционной системы, позволяет учесть эффекты относительно го смещения ионных плоскостей в поверхностном слое и слое адсорба-та. При этом учитывалось как взаимное перераспределение атомов

© А.В. Матвеев, В.А. Краузе, 2009

адсорбата и атомов первого приповерхностного слоя подложки с образованием твердых бинарных растворов, так и поверхностная релаксация первого слоя подложки, обусловленная этим перераспределением. Данные процессы являются существенными для заместительной адсорбции [1-6].

При описании явления адгезии металлических пленок особенно эффективно применяется метод функционала электронной плотности [4-7]. В данной работе осуществлен расчет энергии адсорбции атомов переходных металлов и работы выхода электронов с поверхности адсорбционных систем, а также сделана попытка объяснить образование различных адсорбционных структур из переходных металлов в зависимости от температуры Т на основе сравнения значений их энергии адсорбции. В отличие от других теоретических работ [1, 8] для описания возникающей сильной неоднородности электронной системы в приповерхностной области мы вышли за рамки приближения локальной плотности, и был осуществлен учет градиентных поправок как для кинетической, так и для обменно-корреляционной энергий вплоть до четвертого порядка. Для расчета влияния электрон-ионного взаимодействия на энергетические характеристики был использован псевдопотенциал Ашкрофта [4].

2. Методика расчета энергии адсорбции

В соответствии с работой [6] энергия адсорбции атомов металлов задается нами как удельная энергия адгезии, т. е. энергия адгезии, приходящаяся на один адатом:

Ел(0,Т) = Еа/па,1 (1

где поверхностная концентрация адато-мов п^ является функцией параметра

покрытия ©. Степень заполнения © ада-томами поверхности подложки задается таким образом, чтобы для © = 1 число адатомов равнялось числу атомов в поверхностной грани нереконструирован-ной подложки. Энергия адгезии представляет собой работу, необходимую для удаления адсорбента и адсорбата на бесконечное расстояние друг от друга, Еа(Б) = БИ - ^(Б), где р( да) - сумма свободных энергий подложки Рв и адсорбированной пленки Ра, а Рдв(О) - энергия их

взаимодействия на расстоянии D (свободная энергия адсорбционной системы). Значения параметра D определяют длину субстрат-адсорбционной связи.

Использованный в настоящей работе метод функционала электронной плотности [4-б] состоял в решении вариационной задачи о нахождении минимума энергии неоднородной системы электронов, рассматриваемой на фоне заданного положительного заряда. В качестве пробных функций электронного распределения были выбраны решения линеаризованного уравнения Томаса-Ферми [б], а вариационными параметрами являлись обратная длина экранирования в, величина смещения первой приповерхностной ионной плоскости б подложки (б > О соответствует расширению) и равновесное расстояние между подложкой и адсорба-том D.

Следуя сложившейся в рамках метода функционала плотности методике [4-7], функционал свободной энергии адсорбционной системы, минимизируемый в дальнейшем по вариационным параметрам в, б, D, представляется в виде следующей суммы:

Fas = F

Здесь F0(P, D,T) - вклад от электронной системы в рамках модели «желе», который включает электростатическую, кинетическую, обменную и корреляционную энергии, энтропийные поправки, а также градиентные поправки второго и четвертого порядков на неоднородность электронного газа для кинетической энергии в приближении Вейцзекера-Киржница и обменно-корреляционной энергии в приближении Вашишты-Сингви [4]. Вклад Fei(P, 5,D, RC,T) связан с разностью в

электростатическом взаимодействии

электронов с дискретными ионами и с однородным фоном «желе». Слагаемое Fll(5, D,T) возникает от электростатического взаимодействия ионов между собой. В данной работе при вычислении вклада Fei использовался псевдопотенциал Ашкрофта с одним подгоночным параметром Rc [4-б]. С методикой расчета всех вкладов и поправок в Fas можно ознакомиться в нашей работе [4]. Выражения для составляющих свободной энергии F0, Fei и Fii без учета эффектов поверхно-

стной релаксации подложки (б = 0) приведены, например, в работе [6].

Учет эффектов поверхностной релаксации атомов подложки приводит к дополнительному слагаемому в Fei:

2nn2

дРе1(8) = dexp(-pd/2)cosh(pRc) х

х{1 - ехр

и дополнительному множителю к вкладу Fii:

FU

В формулах (3) и (4) использовались следующие обозначения: n - электронная плотность подложки, d - межплоскостное расстояние, с - расстояние между ближайшими атомами в плоскости, параллельной поверхности подложки.

Составляющие Fei и Fii в свободной энергии (2) позволяют проанализировать её зависимость от параметров и типа симметрии кристаллической решетки подложки. В результате учета дискретности кристаллической структуры свободная энергия Fas приобретает явную функциональную зависимость не только от вариационных параметров в, б, D, но и от параметров, характеризующих электронные свойства металлов адсорбционной системы, симметрию и ориентацию поверхностной грани подложки, а также неявную зависимость от параметра покрытия © и температуры T.

3. Методика расчета работы выхода электронов

Одной из важных поверхностных характеристик является работа выхода электронов с поверхности металла. Сложность теоретического описания и сопоставления результатов расчета работы выхода с экспериментальными значениями по сравнению с подобной задачей для поверхностной энергии и энергии адсорбции металлов заключается в наблюдаемом в эксперименте малом относительном изменении величины работы выхода для всего ряда материалов, обладающих металлическими свойствами [2, 4]. До сих пор хорошего согласия расчетных и экспериментальных результатов для работы выхода электронов с различных монокристаллических поверхностей металлов и адсорбционных систем не было получено [1-6].

Работа выхода определяется как минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из объема твердого тела. Её природа связана с существованием потенциального барьера вблизи поверхности металла. Величина работы выхода определяется разностью высоты потенциального барьера Фо и химического потенциала р:

ф

Дипольный потенциальный барьер включает в себя следующие составляющие: Фб =Ф0(Р,Т) + Фи(Р,БДсД) + Ф'(Р, 5,БДс,Т) , (6) где Ф0(Р,Т) - дипольный потенциальный барьер на поверхности подложки в рамках модели «желе», ФеДР,Б,Яс,Т) - поправка на электрон-ионное взаимодействие при учете дискретного распределения заряда ионов в узлах кристаллических решеток подложки, приповерхностного слоя и слоя адсорбата. При вычислении поправки к дипольному потенциальному барьеру на электрон-ионное взаимодействие Фе1 использовался псевдопотенциал Ашкрофта [4-6]. Методика расчета работы выхода электронов подробно изложена в наших работах [4-6]. Выражения для составляющих дипольного потенциального барьера Фо, Фе1 и химического потенциала р без учета эффектов поверхностной релаксации подложки (б = 0) приведены в работе [5].

Учет эффектов поверхностной релаксации атомов подложки приводит к дополнительной поправке к дипольному потенциальному барьеру ф^. (в, 8, В, Яс, Т).

Опуская громоздкие математические формулы для промежуточных расчетов, приведем лишь окончательное выражение:

ф» = 4„8СХр(в(8 - 4 /2)) -1}-

[ 2 - ехр(-2/4) \

4пп ехр(Р (8 - ё / 2)) х

о X

р2

Значения параметров в, б и О, от которых в соответствии с приведенными выше выражениями также зависит величина работы выхода (5), определялись из условия минимума функционала свободной энергии адсорбционной системы (2).

4. Результаты расчетов и их обсуждение

Расчеты значений параметра в, характеризующего изменение электронной плотности вблизи поверхности подложки, параметра релаксации поверхности подложки б, параметра О, характеризующего

В таблице приведены результаты расчета поверхностных и энергетических характеристик адсорбции атомов кобальта на подложке из меди при параметре покрытия © = 1 в диапазоне температур от 0 до 1300 К. Величина ДФ = Ф(Со/Си) -Ф(Си) представляет собой разность работы выхода адсорбционной системы Со/Си и работы выхода электронов с чистой поверхности подложки. Для Ф(Си) нами было получено значение 4,93 эВ [9], что хорошо согласуется с экспериментальным значением 4,94 эВ [10]. Результаты расчета энергетических величин при T = 0 K соответствуют модели, в которой температурные эффекты не учитываются, и вместо свободной энергии Fas = Eas -TSas в данном случае используется полная энергия адсорбционной системы Eas. Также в таблице представлены результаты квантово-механических расчетов Eads и ДФ других авторов [3] в приближении DFT-GGA (обобщенное градиентное приближение в рамках теории функционала плотности) без учета температурных эффектов (T = 0). Согласно экспериментальным исследованиям (см. работу [3] и ссылки в ней) для адсорбционной системы Со/Си(100) при © = 1 возможно образование трех адсорбционных структур в

длину субстрат-адсорбционной связи, величины энергии адсорбции Eads и работы выхода электронов Ф были проведены на ПЭВМ по изложенной выше методике для ряда адсорбционных систем (Со, Fe на подложке из меди, Еи на подложке из вольфрама и др.).

зависимости от температуры подложки: monolayer (монослой, соответствует случаю неактивированной адсорбции и образуется при T < 300 K), 2 х 2 (поверхностный бинарный раствор с симметрией 2 х 2, соответствует случаю заместительной адсорбции и образуется при T > 300 K), sandwich (сандвич, соответствует случаю, когда все адатомы проникают в приповерхностный слой, а все атомы меди, выйдя из этого слоя, образуют внешнее монослойное покрытие). Образование структуры типа «сандвича» возможно при температурах близких к температуре плавления подложки Tm^u) = 1356 K.

Выявлено как качественное, так и количественное отличие результатов наших квантово-статистических расчетов энергетических величин от результатов квантово-механических расчетов в приближении DFT-GGA [3]. Например, при T = 0 самым высоким значением Eads = 1,85 эВ, как показывают наши расчеты, характеризуется структура 2 х 2, а не монослой (1,75 эВ [3]). Кроме того, учет эффектов поверхностной релаксации подложки (б ^ 0) приводит как к небольшому понижению значений энергии адсорбции (что объясняется затратой энергии на реструктуризацию поверхности подложки),

Результаты расчета значений энергии адсорбции и изменения работы выхода электрона с поверхности Си(100), обусловленного адсорбцией атомов кобальта

0 = 1 Тип покрытия Eads, эВ АФ, эВ

0 К 300 К 600 К 1000 К 1300 К 0 К 300 К 600 К 1000 К 1300 К

Монослой 5 = 0 1,70 1,70 1,70 1,71 1,71 0,33 0,33 0,34 0,35 0,35

5 = 0,001 А 1,60 1,60 1,60 1,61 1,61 0,33 0,33 0,34 0,35 0,35

DFT-GGA 1,75 0,53

2 х 2 5 = 0 1,85 1,87 1,89 1,92 1,93 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03

5 = 0,026 А 1,67 1,69 1,72 1,75 1,76 1,32 1,32 1,32 1,31 1,29

DFT-GGA 1,48 0,40

Сандвич 5 = 0 1,65 1,67 1,70 1,73 1,76 -0,10 -0,10 -0,10 -0,08 -0,08

5 = 0,045 А 1,62 1,64 1,66 1,70 1,73 1,35 1,35 1,35 1,35 1,34

DFT-GGA 1,17 0,11

так и к энергетической выгодности обоих активированных структур (2 х 2 -

1,67 эВ, сандвич - 1,62 эВ) по сравнению с монослоем (1,60 эВ). Разность E“x - E™sn = 0,07 эВ и с ростом температуры увеличивается, например, при T = 1000 K она составляет уже 0,14 эВ. Данная закономерность указывает на возможность образования структур 2 х 2 и сандвича при T > 300 K, поскольку они характеризуются более высокими значениями энергии адсорбции, которые увеличиваются с повышением температуры. Таким образом, результаты наших расчетов энергии адсорбции находятся в лучшем согласии с экспериментальными исследованиями (см. [1, 3] и ссылки в них), чем расчеты в приближении DFT-GGA [3].

Расчет эффектов поверхностной релаксации подложки показывает, что эти эффекты существенны для структур активированной адсорбции (для 2 х 2 б = 0,026 А, для сандвича б = 0,045 А) и не имеют особого значения для монослоя (б = 0,001 А). Такая тенденция наблюдается во всем диапазоне рассматриваемых температур.

Результаты расчета работы выхода электронов (величины ДФ) также представлены в таблице. При всех процессах реконструкции в приповерхностном слое подложки наблюдается повышение значений работы выхода электронов по сравнению с работой выхода чистой поверхности меди. Исключение составляет структура типа «сандвича», для которой в случае с б = 0 для величины ДФ получены малые отрицательные значения. Для величины работы выхода электронов нами получена весьма слабая температурная зависимость без выявления каких-либо тенденций в её поведении. Кроме того, учет эффектов поверхностной релаксации подложки приводит к существенному завышению значений работы выхода для структуры типа «сандвича» (например, при T = 300 K ДФ = 1,35 эВ и только -

0,10 эВ без учета релаксации). Это находится в противоречии с экспериментальными исследованиями [1-4], согласно которым при увеличении концентрации замещенных атомов подложки на поверхности при покрытиях © > 1 величина работы выхода адсорбционной системы стремится к работе выхода электронов с чистой поверхности подложки (ДФ(© > 1) ^ 0,

для структур типа «сандвича»). И в этом случае результаты квантово-механических расчетов авторов работы [3] лучше соответствуют эксперименту (ДФ =

=0,11 эВ). Следует заметить, что структура типа «сандвича» характеризуется самым большим значением параметра релаксации поверхности подложки (б = 0,045 А, см. табл.). Для параметра б наши расчеты не выявили температурной зависимости. В связи с этим необходим более точный учет эффектов поверхностной релаксации для структур активированной адсорбции, и прежде всего сандвича, для которых данные эффекты являются существенными. Возможно, для этих структур необходимо учитывать релаксацию одновременно нескольких приповерхностных ионных плоскостей подложки или эффекты, связанные с сегрегацией атомов подложки.

На рис. 1 приведены графики температурной зависимости энергии адсорбции атомов железа на подложке из меди при параметре покрытия © = 1 для трех адсорбционных структур (монослой, 2 х 2, сандвич) как без учета эффектов поверхностной релаксации (б = 0, штриховые линии), так и с учетом этих эффектов (сплошные линии). Для структуры «монослой» характерна очень слабая температурная зависимость энергии адсорбции (графики Eads почти параллельны оси абсцисс), что указывает на преимущественно физический тип адсорбции без возникновения прочных химических связей между адатомами и атомами подложки, в то время как для активированных структур (2 х 2, сандвич) выявлено монотонное повышение значений энергии адсорбции с ростом температуры, что характерно для хемосорбции. При хемосорбции происходит перераспределение химических связей и возникновение новых поверхностных соединений из атомов адсорбата и подложки, что и обусловливает положительный температурный коэффициент адсорбции (dEads/dT > 0).

Учет эффектов поверхностной релаксации подложки приводит к существенным изменениям в соотношениях энергии адсорбции различных адсорбционных структур друг с другом. Так, без учета релаксации (б = 0) энергетически более выгодной является структура 2 х 2 во всем диапазоне температур. Однако учет эф-

фектов релаксации поверхности подложки позволяет выявить, что при Т > 1200 К максимальным значением энергии адсорбции характеризуется структура типа «сандвича» (Б*" > Е^2 > ). ре-

зультаты данных расчетов подтверждаются экспериментальными исследованиями образования адсорбционной структуры типа «сандвича» при температурах, близких к температуре плавления подложки [3].

т. к

Рис. 1. Результаты расчета температурной зависимости энергии адсорбции атомов Ре на подложке Си

На рис. 2 представлены графики температурной зависимости работы выхода электронов для адсорбционной системы Eu/W при параметре покрытия © = 1/3. Черными квадратиками показаны экспериментальные результаты измерения величины работы выхода при данном покрытии, взятые нами из работы [11]. Согласно работе [11], здесь под величиной ДФ понимается разность ДФ = Ф(Т) -Ф(300 К), где Ф(Т) и Ф(300 К) - значения работы выхода адсорбционной системы Eu/W при температурах Т и 300 К соответственно. Авторами работы [11] получена очень слабая температурная зависимость работы выхода электронов для системы Eu/W в интервале 300 < Т < 1000 К, имеющая характер монотонного повышения значений работы выхода с ростом температуры (см. рис. 2). Эти результаты находятся в противоречии с выводами теоретической работы [12], в которой исследовалось влияние температуры на ве-

личину дипольных моментов адсорбированных атомов. Согласно работе [12], ди-польные моменты должны увеличиваться с ростом температуры.

т. к

Рис. 2. Результаты расчета температурной зависимости величины ДФ = Ф

т. к

Рис. 3. Результаты расчета температурной зависимости энергии адсорбции атомов Ей на подложке W(100) при параметре покрытия © = 1/3 для трех адсорбционных структур

Очевидно, что в случае, когда диполи ориентированы положительным концом в вакуум, как в системе Eu/W, такая тенденция будет обусловливать понижение работы выхода при увеличении температуры, что и было получено в теоретической работе [12]. В результате, авторы экспериментальной работы [11] делают вывод, что расхождение между экспериментом и теорией вызвано, возможно, упрощающими предположениями, использованными в теоретической работе [12].

На наш взгляд, причину небольшого монотонного роста величины работы вы-

хода адсорбционной системы Eu/W с повышением температуры следует искать не в дипольных моментах адатомов, а в структурных фазовых превращениях. Так, по аналогии с системой Со/С^ нами были проведены расчеты температурной зависимости работы выхода системы Eu/W для трех адсорбционных структур, возможно, образующихся в ней с повышением температуры подложки: монослой, твердый бинарный раствор (структура с максимальным перемешиванием атомов адсорбата и подложки, аналог структуры 2 х 2) и сандвич. Из рис. 2 видно, что классический случай с моно-слойным покрытием приводит к понижению работы выхода при увеличении температуры, как это и было получено автором теоретической работы [12]. В то же время температурная зависимость работы выхода двух других, активированных, структур имеет характер небольшого монотонного роста с повышением температуры, что лучше соответствует результатам экспериментальных исследований

[11]. При этом результаты расчета для структуры типа «твердый бинарный раствор» в диапазоне температур от 300 до 700 К прекрасно согласуются с экспериментальными данными. При более высоких температурах лучше соответствуют экспериментальным данным расчеты работы выхода для структуры типа «сандвича».

С целью оценки возможности образования этих трех адсорбционных структур в зависимости от температуры нами были проведены расчеты температурной зависимости энергии адсорбции атомов европия на подложке из вольфрама при параметре покрытия © = 1/3. Данные графики приведены на рис. 3. В отличие от адсорбции атомов Со и Ре на меди для системы Eu/W расчеты выявили небольшое понижение значений энергии адсорбции всех трех структур. Эта тенденция указывает на преимущественно физический тип адсорбции в данной системе, для которой не характерно образование прочных химических связей и поверхностных соединений между атомами адсорбата и подложки во всем диапазоне рассматриваемых температур.

Сравнение значений энергии адсорбции трех структур системы Eu/W при © = 1/3 показывает, что наиболее энерге-

тически выгодной является структура типа «сандвича» при всех значениях T. Однако для возникновения данной структуры адатомы должны обладать необходимой энергией для замещения приповерхностных атомов подложки (для преодоления энергетического барьера). Вероятно, что при температурах ниже комнатной (300 К) адатомы такой энергией не обладают. При повышении температуры образование активированных структур (bilayer alloy, sandwich) вполне возможно [14]. На рис. 3 нами показаны два возможных фазовых превращения в системе Eu/W при повышении температуры подложки. Стрелка 1 обозначает образование промежуточной структуры типа «твердого бинарного раствора» (bilayer alloy) из монослоя, в которой только 50 % атомов подложки замещены адатомами. Стрелка 2 соответствует образованию структуры типа «сандвича» (sandwich) с замещением всех приповерхностных атомов подложки при дальнейшем повышении температуры.

В рамках предложенной нами модели фазовых превращений в системе Eu/W также объясняется и характер монотонного роста значений работы выхода электронов с повышением температуры [11] (см. рис. 2, экспериментальные результаты и теоретические кривые температурной зависимости величины ДФ для трех структур). Очевидно, что дальнейшее развитие представлений о геометрии адсорбционных структур, характере взаимодействий в них и т. п. возможно только при проведении совместных экспериментальных и теоретических исследований.

5. Выводы

1. Проведенные в рамках метода функционала электронной плотности расчеты энергетических характеристик адсорбции переходных металлов на металлических подложках показали, что заместительная адсорбция (структуры 2 х 2, bilayer alloy, sandwich) является энергетически более выгодной по сравнению с мо-нослойным покрытием. Получена температурная зависимость энергии адсорбции и работы выхода электронов для адсорбционных структур из переходных металлов различной геометрии.

2. Учет эффектов релаксации поверхности подложки приводит к небольшому понижению значений энергии адсорбции

(до О,2 эВ). Причем, поверхностная релаксация подложки становится значительной в случае заместительной адсорбции

(бсандвич > б2 x 2 > бмонослой) и не существенна при монослойном покрытии (бмонослой

= 0,001 А).

3. Для всех адсорбционных структур получена слабая температурная зависимость работы выхода Ф. Для структуры «сандвич» рассчитанные значения Ф с учетом поверхностной релаксации подложки (б ^ 0) имеют явно завышенные значения. Кроме того, для самого параметра б наши расчеты не выявили температурной зависимости. В результате, было сделано предположение о необходимости более точного учета эффектов поверхностной релаксации, например, учета одновременного смещения нескольких ионных приповерхностных плоскостей или эффектов поверхностной сегрегации атомов подложки в случае заместительной адсорбции.

4. На основе сопоставления значений энергии адсорбции трех адсорбционных структур (monolayer, bilayer alloy, sandwich) для системы Eu/W при параметре покрытия © = 1/3 сделано предположение

о возможных фазовых превращениях, происходящих в системе в результате заместительной адсорбции при повышении температуры подложки. Результаты расчета температурной зависимости работы выхода электронов для системы Eu/W хорошо согласуются с известными экспериментальными данными.

Результаты проведенных исследований предполагается использовать при теоретическом описании и расчете энергетических характеристик (энергии адсорбции, работы выхода) активированной адсорбции атомов металлов на подложках из простых, благородных и переходных металлов с учетом смещения двух приповерхностных ионных плоскостей в модели псевдопотенциала Хейне-Абаренкова.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Во всех формулах используется атомная система единиц.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Scheffler M., Stampfl C. Theory of Adsorption on

Metal Substrates // Handbook of Surface Science: Electronic Structure / еd. by K. Horn, M. Scheffler. Amsterdam: Elsevier, 2000. P. 286-356.

[2] Оура К., Лифшиц В.Г., Саранин А.А. Введение в

физику поверхности. М.: Наука, 2006.

[3] Pentcheva R., Scheffler M. Stable and metastable

structures of Co on Cu(001) // Phys. Rev., B. 2000. V. 61. P. 2211-2220.

[4] Вакилов А.Н., Мамонова М.В., Матвеев А.В., Прудников В.В. Теоретические модели и методы в физике поверхности: учебное пособие. Омск: ОмГУ, 2005.

[5] Матвеев А.В. Влияние адсорбции переходных и

щелочных металлов на работу выхода электрона с металлических поверхностей // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2007. № 8. С. 89-94.

[6] Матвеев А. В., Мамонова М. В., Прудников В. В. Исследование адсорбции атомов щелочных металлов на металлических поверхностях // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2005. № 1. С. 28-34.

[7] Теория неоднородного электронного газа / ред.

К. Лундквист, Д. Марч. М.: Мир, 1987.

[8] Stampfl C, Scheffler M. Theory of alkali metal ad-

sorption on close-packed metal surfaces // Surf. Rev. and Lett. 1995. V. 2. P. 317-335.

[9] Матвеев А.В. Расчет энергетических характе-

ристик поверхности металлов с учетом эффектов решеточной релаксации // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2009. № 8. С. 20-24.

[10] Физические величины: справочник / ред. И.С. Григорьев, Е.З. Мейлихов. М.: Энергоатомиз-дат, 1991.

[11] Кузьмин М.В., Митцев М.А. Влияние температуры на электронное состояние адсорбированных пленок европия, нанесенных на поверхность вольфрама и кремния // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. № 10. С. 86-94.

[12] Davydov S.Yu. Temperature effect on the dipole moment of adatoms // Surf. Sci. 1996. V. 364. P. 477-480.