Численное моделирование неустойчивости молекулярной наноструктуры полупроводника в точках бифуркации вольт-амперной характеристики

05.13.18

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ НАНОСТРУКТУРЫ ПОЛУПРОВОДНИКА

В ТОЧКАХ БИФУРКАЦИИ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Попов Александр Михайлович, доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой, факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Россия. Email: professorpopov@gmail.com

Аннотация. Работа посвящена численному моделированию неустойчивости молекулярной наноструктуры полупроводника в точках бифуркации вольт-амперной характеристики имеющей S-форму. Исследование имеет важное значение для разработки памяти, основанной на фазовых переходах в полупроводнике. Проводится анализ модели, которая может быть положена в основу переключательного поведения молекулярной структуры наноточки. Предложена многомасштабная модель цикла работы устройства. Модель объединяет квантовую молекулярную динамику Кар-Парринелло (CPMD) с анализом динамики системы в особых точках (точках бифуркации) S-образной вольт-амперной характеристики полупроводника с отрицательной дифференциальной проводимостью. Показано, что выбранный подход позволяет моделировать полный цикл переключательного поведения наноустройств памяти основанных на фазовых переходах.

Ключевые слова: математическое моделирование молекулярных наноструктур, фазовая память, квантовые расчеты, нелинейный бифуркационный анализ, неустойчивость плазмы.

NUMERICAL SIMULATIONS OF MOLECULAR NANOSTRUCTURE OF SEMICONDUCTOR INSTABILITY IN BIFURCATION POINTS OF VOLT-AMPERE CHARACTERISTIC

Popov Alexander M., doctor in physics and mathematics, professor of the Lomonosov Moscow State University. Russia

Abstract. The work is directed to numerical simulation of instability of molecular nanostructure of semiconductor in the bifurcation points of volt-amper characteristic of S-form. Investigation is important for development of the memory devices based on phase change in semiconductors. Analysis of the model is provided, which could be choose for the basis of switching behavior of molecular structure of nano-point. Multiscale model is suggested for the study of work cycle of device. Model combines quantum molecular dynamics of Car-Parrinello model with the behavior of the system in bifurcation points of s-form of semiconductor with negative differential conductivity.

Index terms. mathematical modeling of molecular nano-structures, Phase Change Memory, quantum calculations, nonlinear bifurcation analysis, plasma instability.

1. Введение

Работа посвящена математическому моделированию молекулярных процессов в нано-системах памяти, основанных на фазовых переходах (Phase Change Memory - «PCM»). Первые исследования памяти на фазовых переходах были выполнены в нашей стране в 1955 г. Коломиецем Б.Т. [1] и в 1968 г. в США Овшинским С.Р. [2]. Многие крупные производители электроники большое внимание уделяют разработке новых технологий в сфере создания памяти для компьютеров [3; 4]. Использование вычислительных квантовых моделей позволяет анализировать структуру полупроводниковых материалов при выборе элементов памяти [5]. Одними из наиболее перспективных материалов для этого типа памяти являлись

халькогенидные стеклообразные полупроводники. Важно изучить механизмы перехода из стеклообразного аморфного состояния в кристаллическое (проводящее) состояние. Было предложено называть скачкообразное уменьшение сопротивления нано-точки полупроводника эффектом переключения [2]. Впервые, на некоторых составах пленок, наблюдалось сохранение проводящего состояния на длительное время после снятия приложенного напряжения. Этот феномен получил название эффекта памяти. Время собственного переключения, крайне мало, меньше десятых наносекунды. Очень важным свойством памяти является то, что эффект переключения является обратимым. При уменьшении напряжения ниже некоторого минимального значения

(напряжения обратного перехода), за время восстановления образец переходит обратно в состояние с высоким сопротивлением. Из-за этого эффект переключения часто называют обратимым пробоем материала.

В настоящее время разработки планарной флэш-памяти практически достигли границ своих возможностей. Основная проблема современной флэш-памяти - это размер кристалла. Пределом размеров кристалла планарной флэш-памяти является 14-15 нанометров. На смену планарной флэш-памяти должна прийти технология вертикальной или 3D NAND памяти. Компания SAMSUNG использует технологию так называемой «ловушки заряда» или 3D ChargeTrapFlash. Основной принцип этой технологии в том, что производитель «окружает» заряд непроводящим материалом. Реализуется трехмерная структура хранения данных. Она представляет из себя цилиндр, в котором внешний слой - это управляющий затвор, а внутренний является изолятором. Из располагающихся друг над другом ячеек формируется стек, по центру которого проходит цилиндрический канал из поликристаллического кремния, общий для всех ячеек. Именно количество ячеек в стеке показывает сколько слоев в этой структуре флэш-памяти. Использование такого подхода к построению ячеек памяти позволяет не только увеличить емкость на единицу площади, но и добиться более высокой скорости считывания и записи данных. Две крупные компании Intel и Micron сообщили о том, что они совместно ведут разработку новой, революционной памяти 3Dxpoint. Планируется увеличить скорость работы твердотельных хранилищ памяти в 1000 раз, во столько же раз должно увеличится количество циклов перезаписи. К настоящему времени выполнен целый ряд успешных работ по созданию PCM.

В данной работе в качестве эксперимента по PCM выбрано исследование [6] (лаборатория IBM, Цюрих), посвященное созданию памяти на основе аморфного углерода. В работах [7; 8] проведено первое численное квантовое моделирование молекулярной структуры соответствующей эксперименту [6]. Моделирование PCM выполнено на основе модели квантовой молекулярной динамики Кара-Парринелло (код CPMD) [9]. Основным результатом моделирования является полученная перестройка начальной структуры аморфного углерода с малой проводимостью в структуру графита имеющего большую проводимость. Однако, необходимо понимание полного цикла работы памяти на фазовых переходах.

В настоящей работе основное внимание сосредоточено на численном математическом моделировании процессов происходящих при эволюции структуры полупроводника в соответствии с вольт-амперной характеристикой имеющей участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Особое внимание уделено моделированию появления неустойчивости молекулярной системы в точках бифуркации. Качественная зависимость S-образной характеристики изображена на рис. 1.

Точки бифуркации Ли B обозначают моменты смены устойчивости. Вертикальные стрелки показывают цикл работы устройства памяти.

Характеристику называют S-образной, если плотность тока j есть многозначная функция поля E. Падающая ветвь на ВАХ возникает в каждом случае в силу определенных особенностей энергетического спектра носителей тока - электронов или(и) дырок, либо их взаимодействия с колебаниями решетки, с примесями, а также между собой. Рассмотрим однородный проводник. Наличие падающей ветви на ВАХ приводит к таким явлениям, которые не могут возникнуть

в сосредоточенных элементах. Стационарные состояния с однородным распределением поля и тока, отвечающие падающей ветви характеристики, где дифференциальная проводимость меньше нуля, неустойчивы относительно неоднородных флуктуаций [9]. В результате развития этой неустойчивости в полупроводнике возникает неоднородное распределение тока по сечению (шнурование тока) при S-об-разной характеристике. При этом важная задача моделирования состоит в определении состояний, в которые переходит полупроводник в результате неустойчивости.

Рис. 1. S-образная вольт-амперная характеристика полупроводника

В результате развития неустойчивости в точке бифуркации ВАХ в полупроводнике возникает неоднородное распределение тока по сечению (шнурование тока) при S-образной характеристике. Необходимо определить какие возмущения обладают наибольшими инкрементами нарастания и определить состояния в которые переходит полупроводник в результате неустойчивости.

Если образец включен в цепь с большой нагрузкой и ток растет, то электрическое поле, достигнув некоторого значения - после начала пробоя, скачком уменьшается. При дальнейшем увеличении тока поле не меняется так что ВАХ -вертикальная. Указанные особенности наблюдаемой ВАХ связаны со шнурованием тока.

В работах [7; 8] представлены вычисления электронной структуры пленки аморфного углерода при различных температурах. Изучалась проводимость пленки и ее изменения из-за температурных эффектов.

Было показано, что существует две различные атомные конфигурации. Первый тип конфигураций существует при температурах ниже Т = 2000 К и имеет сложную структуру, которая включает смесь вр2 (графитовых) атомов и вр3 (ал-мазоподобных) атомов. Во всех случаях проведенных расчетов число вр2 атомов возрастает, а число атомов вр3 уменьшается по сравнению с начальной конфигурацией.

Второй тип конфигураций появляется выше Т = 2000 К. Постоянный рост числа вр2 атомов приводит к формированию графитовых слоев в конфигурации. В таких конфигурациях имеется малая фракция алмазоподобных атомов. Эти изменения могут рассматриваться как фазовый переход в наноструктуре приводящий к пороговой смене

сопротивления. Математическая модель содержит квантовую молекулярную динамику (Кар-Паринелло) и модель сплошной среды, включающей уравнение теплопроводности и магнитогидродинамические (МГД) уравнения, описывающие неустойчивость шнуров с током при наличии магнитного поля.

Для проведения квантовых молекулярных вычислений использован суперкомпьютер с петафлопной производительностью IBM Blue Gene/P, установленный на факультете ВМК МГУ.

2. Уравнения модели развития молекулярной структуры

2.1. Стадия ВАХ до точки бифуркации A

Возникновение ВАХ с отрицательной дифференциальной проводимостью происходит в первой точке бифуркации A. Это приводит к двум последовательным этапам развития зависимости I (E). Первый этап - зависимость I (E) до точки бифуркации A. Эта однозначная зависимость включает усредненные микроскопические параметры в квантовом законе Пула-Френкеля. Эту зависимость можно получить [6] под-

гонкой числовых параметров в формуле для проводимости Пула-Френкеля для изолированных ловушек:

Для данных эксперимента:

Щ) = кЪ; к = 2,5; I = 20 пт; ск = 2 пт; С = 2,2;

/ / //

К - константа; Фв - энергетический барьер; кв - постоянная Больцмана; Т - температура. Зависимость хорошо приближается выбранной зависимостью, однако требуется относительную восприимчивость выбирать величиной в 112 раз больше и нереалистичной. Причиной является предположение об изолированности ловушек в формуле Пула-Френкеля. Среднее расстояние порядка 2,2 пт. Малость которого подтверждает предположение о высокой плотности ловушек. В работах [7; 8] проведено суперкомпьютерное квантовое моделирование эволюции молекулярной системы на основе квантовой молекулярной динамики до первой точки бифуркации. Было показано, что структура аморфного углерода постепенно переходит в регулярную структуру графита. Главный результат заключается в увеличении проводимости наноточки.

Рис. 2. Эволюция молекулярной структуры системы при температуре Т = 3000 К: а - аморфная конфигурация в начале процесса нагрева; б - графитоподобная конфигурация в конце процесса

Моделирование этой стадии процесса выполнено с помощью кода квантовой молекулярной динамики CPMD [8]. Рассмотрим дальнейшую эволюцию системы при прохождении первой точки бифуркации А.

2.2. Поведение в первой точке бифуркации A.

Возникновение тепловой неустойчивости

Второй этап - возникновение точки бифуркации на ВАХ (точка А), в которой возникает отрицательное дифференциальное сопротивление. Основной вопрос здесь - от чего зависит точка бифуркации? Зависит ли от величины тока или напряжения, от граничных условий, от стока тепла и его генерации? Основной интерес ВАХ состоит в том, что первая точка бифуркации А на вольт-амперной характеристике одна и та же для семейства характеристик, что говорит об одной причине появления отрицательного сопротивления.

Мы предполагаем, что механизм появления точки бифуркации соответствует точке появления тепловой неустойчивости.

В данной работе мы предполагаем следующий механизм появления неустойчивости в точке А вольт-амперной характеристики. Рассмотрим макроскопическое уравнение теплопроводности с включенным источником джоулева тепла.

„дТ д( дТЛ д( дТЛ д(„дТ Л , .

рС— = —\ К, — \ + —\ К,,— 1^—1 К, — 1 + 0

дt дх [1дх) дг У 11 дг) ду \ 11 ду) у '

Тепловой источник джоулева нагрева имеет следующую форму:

Q(x, y, z, t) = q0(jE).

Допустим, что мы рассматриваем систему в состоянии графита. Тогда молекулярная структура соответствует графиту

и проводимость в этом состоянии соответствует формуле, полученной Валлесом [15]:

wC

Закон Ома примет следующую форму: j = о(Г, s(x, y, z, t))E.

Согласно Валлесу, в силу проводимости, тепловой источ^ ник будет пропорционален температуре:

-2

Q = %0 CwTE2.

Проводимость и источник зависят также от параметров молекулярной структуры, в частности от параметра 5 (х, у, I, ), который в данном случае соответствует послойной структуре графита.

Величины коэффициентов уравнения здесь также выбраны соответствующими графиту: плотности, теплоемкости, поперечной и продольной (вдоль слоев) теплопроводности:

kg

= 2  103;

' J " ' W "

= 700; K±

_kgK_ _ m K _

W m K

= 278,11 - 2435.

Величины поперечной и продольной электропроводности следующие:

1

Qm

102;

1

Qm

-2106

неустойчивости - прямую зависимость источника тепла от температуры:

dT

dt

DAT(M, t) + PT(M, t),

где коэффициенты определяются следующим образом:

=f; P=.o C2

Cp Cp

Из теории математической физики [12] следует, что уравнение теплопроводности может иметь растущие решения при источнике пропорциональном температуре.

Так, решение этого уравнения в простейшем случае имеет вид:

T(M, t) = ХC„e((- DK)-t Ф„ (M),

где Лп и Фп(М) есть собственные значения и собственные функции краевой задачи.

Если показатель экспоненты оказывается положительным, то решение растет экспоненциально быстро, что соответствует неустойчивости решения. Критерий неустойчивости запишется в виде:

D

Структурный фактор определяется вычислениями, выполненными с помощью CPMD-кода. В принципе, член с источником определяет неустойчивость молекулярной структуры в соответствии с формой характеристики. Причиной неустойчивости в точке бифуркации является прямая зависимость источника тепла от температуры. Происходит уменьшение полуширины структурного параметра в течении первого этапа ВАХ. Чтобы оценить тепловую неустойчивость молекулярной структуры, рассмотрим упрощенное уравнение теплопроводности, которое содержит главный эффект

Критический размер наноточки определяется первым собственным значением задачи.

Для примера рассмотрим цилиндрическую область и таким образом первое собственное значение, отвечающее неустойчивости будет определено. Отсюда получается условие неустойчивости для величины диаметра нано-точки, с которого возникает неустойчивость. Критический диаметр проводящей точки для цилиндрической области определится следующим образом:

'СГ VP'

Для параметров эксперимента:

d ; 100 nm.

cr

D

P

3

m

K

Критерий может быть записан через пороговое значение напряжения. Неустойчивость возникает, когда нарушается баланс джоулева нагрева и стока тепла через границы. Источник приводит к нарастанию тока в объеме, но тепло уходит через границы области, обуславливая сток. Когда мощность источника превышает мощность стока тепла, возникает тепловая неустойчивость и температура начинает расти.

Это первая точка бифуркации А на S-образной характеристике нано-точки. На рис. 3а, б показаны неустойчивые профили температуры: в /"-направлении (поперечное направление) (рис. 3а) и в г-направлении (продольное направление вдоль графитовых слоев) (рис. 3б). Виден рост профилей температуры в двух направлениях с учетом различной теплопроводности графита вдоль и поперек слоев.

3. Вторая точка бифуркации В

При прохождении точки бифуркации В происходит последовательное шнурование тока. Окончательной стадии соответствует полное перемешивание в структуре и переход к молекулярной структуре в имеющей аморфную форму.

На рис. 4 показано сравнение двухшнуровой и одношну-ровой конфигурации. Такая графитовая структура отвечает началу перемешивания. После прохождения второй точки бифуркации происходит перемешивание и охлаждение структуры.

У и

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 х

Рис. 4. Сравнение температурных профилей в графитовой конфигурации

Эволюция по времени температуры от координаты х показанные в виде наложения двух серий вычислений: одно-шнуровая серия и двухшнуровая серия.

На рис. 5 показана винтовая структура электронных поверхностей полученная в квантовой молекулярной динамике [8]. Внутри поверхностей показана структура атомов в виде графитовых колец. Важно, что форма графитовых областей становится винтовой, что соответствует развитию винтовой неустойчивости плазменных шнуров.

Вторая точка бифуркации связана с увеличением числа шнуров и развитием винтовой неустойчивости полупроводниковой плазмы в токовых шнурах (точка бифуркации В).

За образование структуры на рис. 5 ответственна возникающая винтовая магнитогидродинамическая неустойчивость [11]. Неустойчивость обусловлена взаимодействием

тока и создаваемого молекулярной структурой магнитного поля. Заметим, что магнитные свойства углеродных структур наблюдаются в экспериментах. В работах [16; 17] приводятся экспериментальные результаты, описывающие высокотемпературный ферромагнитизм в углеродных структурах, а также некоторые теоретические модели, допускающие существование магнитного углерода.

Рис. 5. Винтовая структура электронных поверхностей полученная

в квантовой молекулярной динамике [8]. Внутри электронных поверхностей показана структура атомов в виде графитовых колец

х

1,0 -

0,8 -

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 г

Рис. 6. Линии уровня температуры в системе двух шнуров

Углерод принадлежит к классу материалов с сильными электронными корреляциями, и электронные неустойчивости в чистом графите могут приводить к различным типам порядка включая ферромагнитные и суперпроводящие. Углеродные наноструктуры с необычными большими пра-магнитными моментами открытыми в недавних теоретических исследованиях: углеродные наноторы, т.е. кольцам углеродных нанотруб, показывающих колоссальный парамагнитный момент. Но не только углерод, но и углеродное кольцо, отрытые силиконовые структуры, являются объектами молекулярного магнетизма. Многочисленность экспериментальных данных показывает наличие магнетизма в углеродно-основанных структурах.

В результате образуется винтовая неустойчивость углеродной структуры [11]. Развитие структуры можно описать одножидкостными уравнениями магнитной гидродинамики:

dV

р— = -p(V V)v-VP + [[Vx b]x b] + vV2v; (12) dt

db = [Vx[v x b]]-[Vx

^ = -V

+ V|| (KVP ) + V±(K±V±P) + Q.

с простейшим уравнением состояния:

P = nkT.

Соответственно, закон Ома примет вид:

E = n ja = n j - Es.

В результате взаимодействия токовых винтовых шнуров образуется перемешивание в области нано-точки и обрывы шнуров.

Неустойчивость в плазме полупроводников, называют винтовой неустойчивостью, ее проявления связаны с колебаниями тока при его пропускании через полупроводник. Явление нелинейных колебаний тока объясняется на основе винтовой неустойчивости Кадомцева-Недоспасова в возмущенной плазме. Возникновение винтовой неустойчивости заключается в том, что в плазме полупроводника, помещенной в постоянное электрическое поле, возникает винтовое возмущение плотности.

Плазменный цилиндр с током стремится свернуться в винтовую линию.

Итак, винтовая неустойчивость является следствием натяжения силовых линий, стремящихся превратиться в прямые. Так как этому стремлению препятствует идеальная проводимость шнура, то сам шнур становится винтовым. Шнур с током в продольном магнитном поле все время находится под угрозой извивания. Возникает высокотемпературный дуговой разряд, аналогичный плазменному разряду. При подходе до второй точки бифуркации дуга гаснет и происходит переход в обычную наблюдаемую вольт-амперную характеристику. Ток перестает нагревать область. Система начинает быстро охлаждаться. Структура становится аморфной. Далее происходит вторичный рост тока в аморфной структуре и процесс повторяется. Этап одного цикла PCM закончен. Заметим, что магнитные свойства углеродных структур наблюдаются в экспериментах. В работе [17] приводятся экспериментальные результаты, описывающие высокотемпературный ферромагнитизм в углеродных структурах, а также некоторые теоретические модели, допускающие

существование магнитного углерода. В результате взаимодействия токовых винтовых шнуров образуется перемешивание в области нано-точки и обрывы шнуров.

Неустойчивость в плазме полупроводников, открытую в 1958, называют винтовой неустойчивостью, ее проявления связаны с колебаниями тока при его пропускании через полупроводник. Явление колебания тока объясняется на основе винтовой неустойчивости Кадомцева-Недоспасова [11; 16] в возмущенной плазме. Возникновение винтовой неустойчивости заключается в том, что в плазме полупроводника, помещенной в постоянное электрическое поле, возникает винтовое возмущение плотности. Винтовая неустойчивость является следствием натяжения силовых линий, стремящихся превратиться в прямые. Так как этому стремлению препятствует идеальная проводимость шнура, то сам шнур становится винтовым. Шнур с током в продольном магнитном поле все время находится под угрозой извивания. Поэтому шнур конечной длины оказывается устойчивым по отношению к извиванию, если выполняется условие Шафранова-Крускала. Возникает высокотемпературный дуговой разряд, аналогичный плазменному разряду. При подходе до второй точки бифуркации дуга гаснет и происходит переход в обычную наблюдаемую вольт-амперную характеристику. Ток перестает нагревать область. Система начинает быстро охлаждаться. Структура становится аморфной. Далее происходит вторичный рост тока в аморфной структуре и процесс повторяется. Этап одного цикла PCM закончен.

4. Заключение

Вычисления показывают, что в модели PCM важны два свойства. Первое - изменение структуры вещества под действием поля и температуры. Это приводит к значительным изменениям электропроводности. Поле при большой проводимости значительно меняет молекулярную структуру.

Второе свойство связано с наличием точки бифуркации, в которой очень проводящая система с током теряет устойчивость структуры. Причиной неустойчивости является то, что она нагревается за счет источника благодаря высокой проводимости структуры. Сток тепла из нано-точки не компенсирует ее нагрев. Возникает неустойчивость срыва, приводящая к шнурованию тока.

Шнурование тока является потерей высокопроводящей структуры и система переходит в начальную аморфную структуру. Далее происходит нагрев системы и циклическое повторение процесса. Главное в исследовании циклической по времени структуры полупроводника - понимание основных параметров точек бифуркации, стабильность циклической работы системы.

Одно из основных свойств - сохранение поведения характеристик проводимости и теплопроводности в процессе работы устройства.

Литература

1. Коломиец Б.Т. Свойства и структура тройных полупроводниковых систем // Журнал технической физики. 1955. Вып. 25 № 6. С. 984-994.

2. Ovshinsky S.R. Reversible electrical switching phenomena in disordered structures // Phys. Rev. Lett. 1968. Vol. 21. No 20. Pp. 1450-1453.

3. Meijer G. Who wins the nonvolatile memory race? // Science. 2008. 319. Рр. 1625-1626.

4. Rieth M., Schommers W. Handbook of Theooretical and Computation Nanotechnology, Germany, 2006.

5. Попов А.М. Вычислительные нанотехнологии. М.: КноРус, 2014. 312 c.

6. Sebastian A., Pauza A., Rossel Ch. et al. New Journal of Physics. 2011. 13.

7. Shumkin G.N., Zipoli F, Popov A.M., Curioni A. Multiscale quantum simulation of resistance switching in amorphous carbon // Procedia Computer Science. 2012. 9. Рр. 641-650.

8. Popov A.M., Shumkin G.N., Nikishin N.G. Multiscale simulation of thermal disruption in resistanсe switching process in amorphous carbon // Journal of Phys.: Conf. Series. 2015. Vol. 640 (1). Рр. 012027.

9. Andreoni W, Curioni A. New Advances in Chemistry and materials Science with CPMD and Parallel Computing // Parallel Computing. 2000. 26. Pp. 819-842.

10. Волков А.Ф., Коган Ш.М. Физические явления в полупроводниках с отрицательной дифференциальной проводимостью // УФН. 1968. Т. 96. Вып. 4.

11. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988. С. 304.

12. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

13. Marks N.A., McKenzie D.R., Pailthorpe B.A., Bernasconi M., Parrinel-lo M. Ab initio simulations of tetrahedral amorphous carbon // Phys. Rev. B. 1996. 54 (14). Pp. 9703-9714.

14. Takai K., Oga M., Sato H. et. al. Structure and electronic properties of nongraphitic disorded carbon system and its heat-treatment effects // Phys. Rev. B. 2003. 67. 47. P. 214202.

15. Wallace PR. The Band Theory of Graphite // Phys. Rev. 1947. 71. P. 622.

16. Антонов И.Н., Пивоваров А.В., Зотов В.Д. Колебания и волны в плазме полупроводников с винтовой неустойчивостью // Прикладная физика. 2007. № 3. Р. 46.

17. Макарова Т.Л. Магнитные свойства углеродных структур // Физика и техника полупроводников. 2004. Т. 38. Вып. 6. С. 641-665.