Упругие модули изотропных порошковых и пористых материалов

П. И. Краснощеков, А. Ф. Федотов

УПРУГИЕ МОДУЛИ ИЗОТРОПНЫХ ПОРОШКОВЫХ И ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

Предложена континуальная модель упругого порошкового материала, учитывающая его начальное несвязанное состояние. В основе модели лежит допущение о формировании в твердой фазе деформируемого и недеформируемого объемов. Осреднение локальных упругих характеристик выполняется либо по деформируемому объему в целом, либо по его части — деформируемому контактному объему. Получено хорошее соответствие расчетных значений эффективных упругих модулей пористых и порошковых материалов с экспериментальными данными.

В рамках континуальной теории упругое деформирование изотропных порошковых материалов описывается законом Г ука:

где К, т - модули объемного сжатия и сдвига; о у, ву — тензоры упругих напряжений и деформаций; е кк — объемная деформация; — тензор Кронекера. Эффективные упругие мо-

дули К и т находят при решении двух краевых задач об упругом деформировании представительной ячейки несплошного материала при действии всестороннего сжатия и чистого сдвига. Ячейка представляет собой тело простой формы с полостью. В известных моделях принимается, что упругому деформированию подвергается весь объем твердой фазы пористого тела [1, 2]. Поэтому объем материального каркаса ячейки полагается равным объему всего материала твердой фазы Ум, а объем полости — объему пор Уп . Для таких моделей при начальной плотности р0 ячейка представляет собой механически устойчивую конструкцию и оказывает сопротивление деформации. Соответственно будут отличны от нуля модули упругости: К(ро) > 0 и т(ро) > 0. Однако несвязанные порошковые материалы в начальном насыпном состоянии начинают деформироваться при произвольно малых нагрузках. В этом случае согласно соотношению (1) бесконечно малыми должны быть модули объемного сжатия К и сдвига |т: К (р0) = 0 и т(р0) = 0. В настоящей работе предлагается континуальная модель упругого порошкового тела, учитывающая его начальное несвязанное состояние.

Макроскопические характеристики несплошных материалов получают в результате осреднения локальных характеристик по принятому представительному объему. Если принимается, что деформированию подвергается весь объем твердой фазы, то и статистическое осреднение также выполняется по всему объему твердой фазы. Деформирование порошковых материалов осуществляется через контактное взаимодействие частиц. Микронапряжения и микродеформации в этом случае сосредоточены в основном в объемах, прилегающих к поверхностям контакта частиц, и резко уменьшаются при удалении от них [3]. Поэтому примем, что деформированию подвергается не весь объем материала частиц Ум, а лишь его часть Уд < Ум, причем в начальном насыпном состоянии Уд = 0.

Выявление функциональной связи деформируемого объема с плотностью порошка связано с решением сложных краевых задач о законе распределения напряжений и деформаций в ансамбле контактирующих частиц разнообразной формы. Избежать этого можно в рамках статистического (вероятностного) рассмотрения характеристик порошковой среды [4, 5].

Рассмотрим изотропную порошковую среду в некоторый момент процесса ее уплотнения. Выделим внутри этой среды контрольный объем У. Пусть в контрольном объеме имеется объем Ум материала частиц, тогда относительная плотность среды будет равна

Одновременно р представляет собой вероятность встречи произвольного пространственного элемента с материалом частиц [4, 5].

Пусть за время предшествовавшего уплотнения в контрольном объеме образовался объем Уд деформированного материала и его относительная доля ю в объеме материала Ум составляет

/

1

3

\

Оу Кекк ^у + 2М- з екк ^у ,

V

/

Уд

ю = ^-.

Ум

м

Тогда относительная доля а деформированного объема Уд в контрольном объеме У будет равна

а = У = юр .

Представим уплотнение порошковой среды как процесс добавления материала ее частиц в постоянный контрольный объем. Пусть в контрольный объем добавлен бесконечно малый объем материала dVм . Добавление dVм сопровождается как увеличением плотности, так и увеличением деформированного объема, и приращение деформированного объема dУд будет функционально связано с добавляемым объемом dУм . Так как различные точки порошковой среды

статистически идентичны, то добавляемый объем dУм может оказаться в любой точке контрольного объема. Вероятность встречи Рв объема dVм с объемом материала частиц Ум согласно (2) равна Рв =р. Тогда функциональная связь приращения деформированного объема dVд с объемом dУм запишется следующим образом:

dVд =Ф

где Ф(р) — функция, определяющая долю деформированного объема dУд в добавляемом объеме dVм. Можно ввести самые разнообразные физические модели процесса деформирования порошкового материала и соответствующие им функциональные зависимости Ф(р). Так как в начальном насыпном состоянии твердая фаза не деформирована, то функция Ф(р) должна быть выражена через прирост плотности Др = р-р0. Механические свойства порошковых тел достаточно хорошо описываются степенными зависимостями. Поэтому ограничимся степенной зависимостью для функции Ф (р):

Ф

где А, т — феноменологические константы. Частный случай т = 0 соответствует модели, когда доля деформированного объема dУд в добавляемом объеме dVм не зависит от текущей плотности порошкового тела. Именно этот вариант рассмотрен в работе [5].

При решении дифференциального уравнения (5) сначала объемы dУд и dУм отнесем к объему

Ум и с учетом соотношения (3) уравнение (5) запишем следующим образом:

dУ

dю = Ф

Ум

Затем, используя зависимости (2) и (6), получим следующее дифференциальное уравнение:

dю = А

После интегрирования уравнения (7) имеем

ю= -^г

т + 1

Из соотношения (4) получим выражение для объемной доли деформированного материала в контрольном объеме У:

а = ^-

т+1

Для определения константы А используем значения р и а при полном уплотнении порошковой среды, когда р = 1 и а = 1:

А =

Окончательное выражение для относительной доли деформированного объема а в порошковом теле имеет вид

а = р

г \Ь

р-р0

^ -р0 ,

где Ь = т +1 — эмпирическая константа. Полученная зависимость а(р) удовлетворяет граничным условиям для деформируемой порошковой среды — а(р0) = 0 и а(1) = 1. Если допустить

что в добавляемом объеме dVм находится постоянная доля деформированного объема dVд, то константа Ь будет равна Ь = 1 и зависимость а(р) можно использовать для теоретической оценки свойств порошковых материалов.

Зависимость (12) определяет объем деформируемого материала в целом без конкретизации его местоположения внутри частиц порошка. Вместе с тем при описании свойств порошковых материалов широко используются [4, 5] относительное межчастичное контактное сечение

ата = ^

и относительный контактный объем

Ук

ак = — к V

где 5к — площадь контактного сечения; 5 — площадь контрольной поверхности; Vк — контактный объем. Единичный контактный объем представляет собой цилиндр, основанием которого служит контактная поверхность частицы [4, 6]. Порошковое тело в целом состоит из хаотично ориентированных цилиндрических стержней, контактирующих своими основаниями и испытывающих однородную деформацию растяжения-сжатия (рис. 1 а).

Рассмотренную выше модель упругого деформирования несвязанных порошковых материалов обобщим на пористые материалы, у которых твердая фаза образует связанный непрерывный каркас. Деформируемый объем и его количественная мера а пористого тела идентичны соответствующим характеристикам порошкового тела. «Контактный» объем пористого тела представляет собой объем каркаса, образованного прямыми стержнями (рис. 1 б). У порошковых материалов контактное сечение и контактный объем являются минимальными геометрическими характеристиками твердой фазы. Соответственно для пористого тела сечение каркасных стержней равно минимальному сечению межпорового пространства.

Р и с. 1. Контактный объем в порошковом материале

В рамках дискретно-контактной модели порошкового материала считается, что контактное сечение ак и прилегающий к нему контактный объем ак численно равны между собой [4]. Это условие выполняется, если контрольный и контактный объемы представляют собой коаксиальные цилиндры одинаковой высоты. Итак, возможны два подхода к описанию свойств порошковых материалов: с использованием представительных объемов а или ак. В работе [5] показано, что объем а и относительное контактное сечение ак связаны между собой соотношением

ак8 =Ра.

С учетом зависимости (12) и численного равенства ак = ак8 получим выражение для относительной доли деформируемого контактного объема ак :

ак =Р

Р-Ро 1 -Ро

Аналогичная зависимость ак (р) предложена в работе [4], причем показатель степени Ь в этой работе введен аксиоматически для аппроксимации экспериментальных зависимости ак (Р).

Зависимости (12) и (16) удовлетворяют граничным условиям для порошков: а = 0, ак = 0 при насыпной плотности (р = ро) и а = 1, ак = 1 для беспористого состояния р = 1). Так как р< 1, то деформируемый контактный объем ак является частью общего деформируемого объема а. Поэтому осреднение по объему а будет давать верхнюю, а по объему ак — нижнюю оценку макроскопических свойств порошковых материалов.

Для нахождения эффективного модуля объемного сжатия К порошковое тело представим в виде шара радиусом ^, нагруженного гидростатическим давлением р. Эквивалентная представительная ячейка имеет форму равновеликой с шаром сферической оболочки с внутренним радиусом Я1 и с внешним радиусом Я2. Материал сферы имеет упругие модули К0 и |т0, идентичные упругим модулям материала частиц порошка. Объем сферической оболочки равен деформируемому объему ¥д , а объем полости Уп = V — ¥д , где V — полный объем порошкового тела.

Одно и то же среднее деформированное состояние порошкового тела и эквивалентной представительной ячейки обеспечивается при одинаковых перемещениях на их внешних границах [7]. Перемещение на внешней границе порошкового шара радиусом Я2 будет равно [8]

щ = -—я2.

1 3К 2

Перемещение на внешней границе представительной ячейки радиусом ^ составляет [8]

Р ^3К2 Р

«2 = -

Д23Д2

4ц0 я2 - я? зк0 я2 - я?

Приравнивая выражения (17) и (18), получим:

1

3К

1

я?

я?

4ц0 я2 - я? зк0 я2 - я?

Из геометрии представительной ячейки следует, что

я

1

я? - я?

V - V

д

V,

я

2

я? - я?

V

V,

Тогда соотношение (19) запишется следующим образом:

1

К

1

4ц0 а аК0

где а = -у — доля деформируемого объема частиц. Выражая модуль объемного сжатия К0

через модуль сдвига |т0 и коэффициент Пуассона У0 материала твердой фазы, после преобразований имеем

(1 + П0)а

К ? т02

Если объем сферической ячейки принять равным всему объему твердой фазы Ум, получим

(1 + П0)р

К ? т02

Выражение (23) полностью совпадает с полученной в работе [7] зависимостью для эффективного модуля сжатия материала с произвольной пористостью.

Для нахождения эффективного модуля сдвига т порошковое тело представим в виде куба, подвергнутого деформации чистого сдвига (рис. 2, а). Эквивалентную представительную ячейку возьмем в виде куба со сквозной полостью квадратного сечения (рис. 2, б). Модель пористого тела в виде куба, но с кубической полостью использовалась в работах [9, 10]. Чистому сдвигу соответствует случай комбинированного однородного растяжения или сжатия тела поверхностными напряжениями д в двух взаим-

Р и с. 2. Расчетная (а) и эквивалентная (б) представительные ячейки порошкового тела

но перпендикулярных направлениях. На границах тела поверхностные напряжения должны быть равны внутренним напряжениям. Соответственно на внутренней поверхности полости также приложено напряжение д. Модуль сдвига каркаса полого куба равен модулю сдвига т0 материала частиц порошка. Объем каркаса равен деформируемому объему V , а объем полости ¥п = V — ¥д , где V — объем порошкового тела. При чистом сдвиге происходит только изменение формы тела, а объем остается постоянным. Для определения эффективного модуля сдвига будем использовать условие равенства упругих энергий, запасенных в порошковом теле и в представительной ячейке.

Рассмотрим чистый сдвиг куба из порошкового материала (рис. 2, а). Компоненты перемещений в декартовой системе координат задаются следующим образом [7]:

их = сх, иу = —су, и2 = 0,

где с — постоянная. Компоненты деформации £ х и £ у будут равны:

Єх = С , Єу = -С •

Остальные компоненты тензора деформации равны нулю. Из закона Гука для нормальных напряжений о х

2т

[(1 -У)Є х +УЄ у ]

с = -

і - 2ц

и граничного условия о х = д найдем постоянную с:

2т'

Здесь т, V — эффективные модуль сдвига и коэффициент Пуассона порошкового тела. Аналогичный результат получится, если использовать выражение для напряжения о у и граничное условие о у = - д • При однородном поле напряжений и деформаций чистого сдвига полная упругая энергия порошкового тела Э объемом V будет равна:

О.уЄ.у д

Э = Ч Ч =2.____________V

2 4ц

Рассмотрим чистый сдвиг эквивалентной представительной ячейки (рис. 2, б). Поле перемещений зададим по аналогии с (24):

их = их

где их (х), и у (у) — неизвестные функции, которые находятся из уравнений равновесия. Уравнения равновесия для плоской деформации в декартовых координатах имеют следующий вид [8]:

Эо Эо

ц^х + ху = о

Эх Эу

Эоу Эо

ху

= 0.

Эу Эх

На основании закона Гука уравнения (30) запишем в перемещениях

= 0,

2ц 1-2 V (1- -V) Э 2их Эх 2 Э2иу ] ^зхэу +т ГЭЧ Эу 2 V ЭуЭх

2т 1-2 V (1- -V) Э\ Эу 2 ЭуЭх +т ґ Э2их ЭхЭу V Эх

= 0.

Для принятого поля перемещений (29) из уравнений (31) получим два дифференциальных уравнения относительно функций их (х) и и у (у):

иХ

Из решения уравнений (32) имеем

их

Постоянные интегрирования определим из граничных условий. Из кинематических граничных условий их (0) = 0 и и у (0) = 0 следует, что А2 = В2 = 0. Из статических граничных условий на поверхности кубической ячейки о х = д, о у = — д и закона Г ука получим

4 =-^, В = —-^.

2М-о 2М-о

При однородной деформации сдвига полная упругая энергия Э1 полого куба с каркасом объемом Уд будет равна

2

V.

А.

4то

Из условия равенства упругой энергии деформирования порошкового тела (28) и упругой энергии деформирования его представительной ячейки (35) получим

т = аЦо,

где а = У — доля деформируемого объема частиц.

Подобная зависимость для эффективного модуля сдвига получена и в работах [9, 10]. Так как в

этих работах объем каркаса полого куба принимался равным объему всей твердой фазы Ум, то

коэффициентом пропорциональности является относительная плотность р:

т = РМю.

Сопоставление теоретических и экспериментальных данных по упругим свойствам выполнялось для модуля Юнга Е спрессованного медного порошка с насыпной относительной плотностью р0 = 0,3 [4]. Модуль Е рассчитывался по формуле

9Кц

Е =

3к+т

При расчетах эмпирическая константа Ь принималась равной Ь = 1. Одновременно был выполнен расчет по теоретическим зависимостям для модуля объемного сжатия К и сдвига т работы [11]:

,3

* = - т>—----------(1+^--------

3 2р2

т = р2то-

Соотношения (39) получены при условии, что деформированию подвергается весь объем твердой фазы несплошного материала. На рис. 3 показаны расчетные и экспериментальные зависимости от пористости 0 = 1 — р отношения модуля Е порошковой меди К модулю Ео литой меди. Видно, что лучшее соответствие с экспериментальными данными показывает расчет с использованием деформируемого контактного объема ак. Использование зависимостей (39) приводит к существенному завышению расчетных значений модуля Е порошковой меди.

Из-за низкой прочности образцов экспериментальных работ по исследованию упругих свойств неспеченных порошковых материалов крайне мало. Поэтому была рассмотрена возможность применения предложенного метода для расчета упругих свойств спеченных пористых материалов. В отличие от порошков, состоящих из дисперсных частиц, пористое тело представляет собой непрерывную матрицу с порами. Для таких материалов упругие модули принимают нулевые значения при р = ро = о .

На рис. 4 представлены расчетные и экспериментальные зависимости от пористости относительного модуля Юнга никеля и железа. Экспериментальные данные взяты из работы [12], эмпирическая константа Ь принималась равной Ь = 1. Прежде всего, следует отметить практически одинаковые результаты расчетов с использованием осреднения по части объема твердой фазы а и зависимости (11) и осреднения по всему объему твердой фазы и зависимостей (39). Обе модели хорошо описывают экспериментальные данные при малых значениях пористости — 0< о,2 для никеля и 0< о,15 для железа. С увеличением пористости лучшее соответствие с экспериментом показывает расчет с осреднением по объему стержневого каркаса ак. 86

Р и с. 3. Зависимость относительного модуля Юнга порошковой меди от пористости 0: 1 — расчет с а; 2 — расчет с ак; 3 — расчет по (39) [11]; о, • — эксперимент

а б

Р и с. 4. Зависимость относительного модуля Юнга пористого никеля (а) и железа (б) от пористости 0:

1 — расчет с а; 2 — расчет с а^ 3 — расчет по (39) [11]; • — эксперимент [12]

В целом предложенный метод расчета эффективных упругих свойств порошковых материалов можно использовать для двусторонней оценки эффективных упругих свойств пористых материалов. При этом верхнюю оценку дает расчет с использованием деформируемого объема в целом, а нижнюю оценку — расчет с использованием объема стержневого каркаса.

Таким образом, разработана континуальная модель упругого порошкового материала, учитывающая его начальное несвязанное состояние. В рамках модели осреднение локальных упругих характеристик выполняется либо по общему деформируемому объему, либо по деформируемому контактному объему. Для порошковых материалов лучшее соответствие с экспериментальными данными показывает расчет с использованием деформируемого контактного объема. Для пористых материалов модель дает двустороннюю оценку эффективных упругих свойств. Верхняя оценка получается из расчета с использованием общего деформируемого объема, а нижняя оценка — из расчета с использованием объема стержневого каркаса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Скороход В. В., Штерн М. Б., Мартынова И. Ф. Теория нелинейно-вязкого и пластического поведения порис-

тых материалов // Порошковая металлургия, 1987. — № 8. — С. 23-30.

2. Дудукаленко В. В., Смыслов А. Ю. К расчету предела пластичности пористых материалов // Прикладная механи-

ка, 1980. — Т. 16, № 5. — С. 32-36.

3. Тимошенко С. П., Гудъер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. — 560 с.

4. Бальшин М. Ю. Научные основы порошковой металлургии и металлургии волокна. — М.: Металлургия,

1972. — 336 с.

5. Рогозин В. Д. Уравнение прессования порошков // Порошковая металлургия, 1981. — № 6. — С. 28 -31.

6. Радченко В. П., Краснощеков П. И., Федотов А. Ф. Контактно-стержневая модель пластического деформирова-

ния порошковых материалов // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 2004. — №. 26. — С. 102-107.

7. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Мир, 1982. — 334 с.

8. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1965. — 203 с.

9. OyaneM., ShimaS., Kono Y. Theory of plasticity for porous metals //Bulletin of the JSME, 1973. — Vol. 16, No. 99. —

Р. 1254-1262.

10. Григорьев А. К., Рудской А. И. Деформация и уплотнение порошковых материалов. — М.: Металлургия, 1992. —

192 с.

11. Скороход В. В., Тучинский Л. И. Условие пластичности пористых тел // Порошковая металлургия, 1979. —

№ 11. — С. 83-87.

12. Ковальченко М. С. Механические свойства изотропных пористых материалов. 1. Упругие и реологические свой-

ства // Порошковая металлургия, 1993. — № 3. — С. 89-96.

Поступила 3.05.2006 г.