Задача с нелокальным интегральным условием для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка

УДК 517.956

ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

© 2014 С.В. Кириченко1

В статье рассмотрена задача для многомерного псевдогиперболического уравнения четвертого порядка с интегральным условием. Доказано существование единственного обобщенного решения. Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, обобщенное решение, интегральные условия.

Введение

В настоящее время задачи с нелокальными интегральными условиями для дифференциальных уравнений с частными производными активно исследуются. Это связано с тем, что многие процессы, изучаемые современным естествознанием, приводят к необходимости уточнять их математические модели. При этом могут возникнуть качественно новые задачи, в частности, задачи с нелокальными условиями [1]. В большинстве работ, посвященных исследованию нелокальных задач с интегральными условиями, рассмотрены уравнения второго порядка. В частности, нелокальные задачи для гиперболических уравнений изучены в статьях [2-9]. Однако математические модели некоторых физических процессов и явлений основаны на уравнениях более высокого порядка. В этой связи отметим монографию [10], в которой изучены краевые задачи для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка. Отметим также, что при изучении нелокальных задач с интегральными условиями установлена их тесная связь с обратными задачами, условие переопределения в которых задано в виде интеграла от искомой функции.

Эти соображения послужили отправной точкой постановки задачи для псевдогиперболического уравнения с интегральным условием.

1. Постановка задачи

В области Qт = 0 х (0,Т), где 0 С Я2 — ограниченная область с гладкой границей д0, рассмотрим уравнение д2

хКириченко Светлана Викторовна (svkirichenko@mail.ru), кафедра высшей математики Самарского государственного университета путей сообщения, 443066, Российская Федерация, г. Самара, 1-й Безымянный пер., 18.

где а,Ь — положительные постоянные, и будем искать его решение, удовлетворяющее начальным условиям

и

и нелокальному условию

( д2 ди

\£Н? д^ + аихСов(и,х) + Ьиуеов(у,у)+

+ 1 К

п

Функция К(^,п,х,у,Ь) задана в О х Qт, V = V,^2) — вектор внешней нормали к дО в текущей точке, Бт = дО х (0, Т).

Вид условия (1.3) требует некоторых пояснений, которые мы здесь приведем. Для этого рассмотрим следующую задачу:

ии — иихх — ихх + е

и

I

о

Заметим, что (1.6) — нелокальное условие первого рода. Из физических сообра-

I

жений это условие (или более общее / К(х,1)и(х,1)йх = Е(£)) является естествен-

о

ным, представляя собой в математической модели действие некоего прибора, но при исследовании разрешимости задачи обычно привносит значительные трудности (см. [8; 9] и список литературы в них). В статьях [8; 9] предложен метод преодоления этих трудностей путем сведения нелокальных условий первого рода к нелокальным условиям второго рода. Применяя этот метод к задаче (1.4)—(1.6), мы и получим условие вида (1.3). Действительно, пусть и(х,Ь)— решение задачи (1.4)—(1.6), интегрируя (1.4) по х от 0 до I, получим

I

ицх

о

Условие (1.7) является нелокальным условием второго рода. Обозначим

Ж^т) = [и(х,у,г) : и е Ж^^т), ихг,иуг € Ь2^т)}, т 1

\\ и {Ят)= (У J(u2 + и2 + их + иУ + Щхь + иУг)ху^ 2,

о п

) = [ь(х,у,г): V € Ж^т), ь(х,у,Т)=0}.

2. Разрешимость задачи

Введем понятие обобщенного решения, применяя стандартную процедуру [11]. Определение. Обобщенным решением задачи (1.1) — (1-3) будем называть функцию u(x,y,t) € W(Qt), удовлетворяющую условию u(x,y, 0) = ф(х,у) и тождеству

т

(-utvt + auxvx + buy Vy — uxtvxt — UytVyt + cuv)dxdydt+

о n

т

+ J J v j Kud^dqdsdt — J ф(х, y)v(x, y, 0)dxdy—

0 dn n n

^У №x

Q о q

для любой функции v(x,y,t) € W(QT).

Теорема. Если f € L2(QT), ф,Ф € W1(Ù), c € C(QT), K € C(Ù x Ù x [0,T]), то в Qt существует единственное обобщенное решение задачи (1.1)—(1.3). Доказательство. Единственность решения

Предполагая существование двух различных обобщенных решений задачи (1.1)—(1.3), п\ и U2, приходим к тождеству для u = u\ — uy :

(—UtVt + aux Vx + buy Vy — UxtVxt — UytVyt + cuv)dxdydt+ 0 Q

T

+ / J V J KudÇdndsdt = 0.

0 dQ Q

В этом тождестве положим

v{x,y,t)=\ I u(x'y'n)dn' 0 ^ t ^ T 7 { 0, T < t < T.

Заметим, что из представления функции v(x,y,t) видно, что v(x,y,t) € W(Qt), причем vt = u, Vxt = ux, Vyt = uy.

Интегрируя по частям равенство (2.2), получим:

2 J[u2(x, y, t) + av2x(x, y, 0) + bv2y(x, y, 0) + u2x(x, y, t) + u2y(x, y, t)]dxdy =

cvvtdxdydt + J ! V J Kud£¡dndsdt.

0 П 0 дП П

Заметим, что из условий теоремы следует существование числа со > 0 такого, что тах\с(х,у^)\ ^ с0. Обозначим к0 = тах/ K2(x,y,£,n,t)d£dn. Ят Ят п

т

т

Оценим слагаемые в правой части (2.3), применяя неравенство Коши и неравенство (6.24) [11, с. 77], получим

cvvtdxdydt

^ С0 I I (V2 + vf)dxdydt,

о п

о п

т т

V J Kud£ldJr|dsdt

о дп п

^о I I (°Х + v'у)dxdydt+

оп

т т

с(е) Г Г 2 к0ш ¡' ¡' 2

+—— v dxdydt +--— и dxdydt,

о п о п

где ш = / ds. Заметим также, что из представления функции v(x,y,t) следует дп

неравенство

V2(x,y,t) ^ Т ! и^йЬ,

о

которое мы используем для оценки некоторых слагаемых правой части (2.3). Получим:

J[u2(x,y,т) + а^Х(х,у, 0) + Ыу(х,у, 0) + и2х(х,у,т) + и2у(х,у,т)]dxdy <

^ — J ! (V + vt )dxdydt + ^ ! J (V2 + Vу )dxdydt+ о п о п

т т

с(е) Г Г 2 к0ш ¡' ¡' 2 +--v dxdydt +--и dxdydt.

2

2

оп

оп

Введем функции:

о о

чх(х,у,Ь) = У их(х,у,т^т; W2(x,y,t) = J иу(х,у,т^т.

г г

Тогда

Vx(x,y,t) = ч1(х,у,т) - Ч^(Х,У,Ь), ^иу(Х,У,Ь) = Ч2(х,у,т) - Ч2(Х,У,Ь),

Vx(x,У, 0) = ЧХ(х,у,т), Vy (Х,у, 0) = Ч2(х,у,т) и выполняются неравенства

vу(х, у, Ь) ^ 2ч'2(х, у, т) + 2ч'2(х, у, Ь),

vу(x,y,t) < 2ч2(х, у, т ) + (х,у,Ь). С учетом этих представлений и неравенств из (2.4) получим, в частности,

с\ J[и2(х, у, т) + ч'2(х, у, т) + (х, у, т)]dxdy ^ п

т

< с]/И^ЬНЧ2{Х^) + ч22(Х,у,ь)]<ь<у,*+

оп

т

т

т

т

+20^!

п

Здесь обозначено с\ = шт{\, а, Ь}, = тах{соТ2 + со + с(е)Т2 + 2е|. Пользуясь произволом т, выберем его так, чтобы с\-2с2т > 0. Пусть с 1 -2с2т ^ > С1. Тогда для т £ [0, ^] с 1 — 2ет > 0 и, перенеся слагаемое 2с2т /(т2(х,у,т) +

п

+ т2(х,у,т))ЗхЗу в левую часть неравенства (2.5), получим

т

J[и2 + т2 + т2]г=тЗхЗу ^ сз J ' [и2 + + т2,]ЗхЗуЗЬ,

о п где сз = .

Применив к последнему неравенству лемму Гронуолла, получаем, что

J[и2 + + ]г=тЗхЗу ^ 0. п

Тогда следует, что и(х,у,т) = 0 для т £ [0, 4С2].

Повторяя рассуждения для т £ [, 2С2], убеждаемся, что и(х,у,т) = 0 и на этом промежутке. И так в конечное число шагов докажем обращение и(х,у,т) в нуль для всех т £ [0, Т].

Существование решения.

Рассмотрим систему линейно независимых функций {т^(х,у)}'£=1, (х,у) £ £ С2(И), полную в Ш2(0>). Будем искать приближенное решение задачи в виде

ит

к = 1

из соотношений

J (ит + аи^т^х + ЬиИ^т^у + + и^т^лт^у + ситт^ )ЗхЗу+

п

+ J КитЗ^ЗпЗв = ! fwjЗхЗу,

дП П П

которые представляют собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, подставив ит(х,у,Ь) в (2.7), после несложных преобразований и смены порядка суммирования и интегрирования получим

т « т 1.

^¿¿(Ь) тк Wj ЗхЗу + с'к(г) (wkxwjx + тку Wjy )ЗхЗу+ к=1 п к=1 п

т т

+ ск (Ь) c(x,y,t)wkwj ЗхЗу + ск (t)[ (aWkxWjx + ЬwkyWjy )ЗхЗу+ к=1 п к=1 п

+ ! Кск(Ь)ткЗ^З-цЗв] = J fwjЗхЗу, дп п п

ачим

Akj = J (wkwj + WkxWjx + тку Wjy )ЗхЗу,

Bkj = / (с(х, y,t)wkwj + awk xwjx + bwky wjy )dxdy+ Q

+ j wj (x,y) J K(x,y,£,v,t)wkd^dqds, dQ Q

fj (t) = J f (x,y,t)wj (x,y)dxdy.

п

Тогда равенства (2.7) можно записать так:

т т

4

к = 1 к=1 Добавим начальные условия

Ск

где ак, вк — коэффициенты сумм

т

Фт(х,у) = ит(х,у, 0) = ^2 ак№к (х,у),

к=1

фm(x,y) = um(x,y, 0) = Y^ вкwk (x,y),

к=1

аппроксимирующих при т ^ ж функции ф(х,у) и ф(х,у) в норме Ш1(0).

Покажем, что определитель матрицы \\Акз 11^3=1 положителен для любого т. Возьмем произвольный вектор (£ь£2, ...,£т) € Ит и образуем квадратичную форму

т

Я = Акз £к .

к,3 = 1

т

Обозначим г =^2, £№1. Тогда из вида Акз получим:

г=1

Q = f(\z\2 + \VA2)dxdy.

Q

Заметим, что Q = 0 тогда и только тогда, когда z = 0. Так как функции wj(x,y) по условию линейно независимы, то z = 0 тогда и только тогда, когда £i =0, l = = 1,...,т. По критерию Сильвестра это означает, что система (2.7) разрешима относительно старших производных, следовательно, задача Коши (2.8)—(2.9) имеет единственное решение ci(t),...,cm(t) для всех m G N.

Таким образом, последовательность приближенных решений um(x,y,t) построена.

Покажем теперь, что эта последовательность ограничена в пространстве W(Qt). Умножим (2.7) на cj(t) , просуммируем и проинтегрируем по t:

(utt ut + aux uXt + buy uyt + uXtUXt + u^u^t + cumu? )dxdydt+

0 Q

T T

+ J j uT j KumdÇdndsdt = j J fuTdxdydt.

0 dQ Q 0 Q

Интегрируя по частям в первом слагаемом (2.10), получим равенство

| ¡(иг)2+а(ит)2+ъ(пт)2 + ю2 + ит )%=т схсу =

п

т т

= сиГиГСхс1уСЬ - 2 ! ¡ит/

о п о дп п

т

+2 ! J ¡иг СхСудЛ,+ о п

+ 1 [

п

Оценим первые два слагаемых правой части (2.11) так же, как и при доказательстве единственности, а к третьему слагаемому применим неравенство Коши. Из условий теоремы и выбора коэффициентов ак, вк, определяющих иГ(х,у, 0), иГ(х,у, 0), следует, что

т

/ 2СхСуЛ + I [(иГ)2 + а(иГ)2 + Ъ(иг)2 + (и™)2 + (и™?]г=оСхСу о п п

ограничены некоторым числом М\, не зависящим от т. Учитывая эти соображения и неравенство

т

J (ит(х,у,т ))23,хЛу < 2^ ! (игТ)2СхСуА + 21 (ит(х,у, 0))23,хЛу,

п о п п

которое вытекает из представления

т

ит(х,у,т ) = ! иГ(х,у,г)СЬ + ит(х,у, 0),

о

приходим к оценке

с*![(иГ)2 + (иГ)2 + (иГ)2 + (иГ)2 + (и%)2 + (и™)%=тСхСу < п

т

< I[(иГ)2 + (иГ)2 + (и™)2 + (и™)2]СхСуА + Мх

оп

и, в частности,

|[(иГ)2 + (иГ)2 + (и™)2 + (и%)2]г=тСхСу <

п

т

< М^ I[(иГ)2 + (иГ)2 + (иГ)2 + (и^ЦхСуСЬ + Мз,

оп

где М2 = с^/с*, Мз = М1/С4. Применив к последнему неравенству лемму Гро-нуолла, получим

|[(иГ)2 + (иГ)2 + (иГ) + (иГ)2]г=тСхСу < Мзем2т.

Интегрируя полученное неравенство по т от 0 до Т, получим т

[(иТ)2 + (пТ)2 + (и%)2 + (ит?]г=тdxdydt < М(еМ2Т - ^ о п

Теперь мы можем оценить и остальные слагаемые:

I[(иТ)2 + (иТ)2]\г=гdxdy < М(еМ2Т - 1) + М3.

п

В итоге мы получаем нужную оценку:

II иТ УжМ,

где М не зависит от т. Но тогда из этой последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность к некоторому элементу и(х,у,Ь) € Ш(^т).

Покажем, что и(х,у,Ь) есть обобщенное решение задачи (1.1) — (1.3), то есть и(х,у,Ь) удовлетворяет тождеству (2.1). Умножим (2.7) на функцию Н^ € € С 1(Ят) такую, что Н3 (Т) = 0, просуммируем по I (от 1 до т) и проинтегрируем по t от 0 до Т. Обозначив

Т

П(х,у,-Ъ) = ^2 Нз (х,у), 3=1

получаем

т

(иТ П + аиТПх + ЬиТПу + иТиПх + иТиЩ + cumп)dxdydt+ о п

т т

+ // = Ц

о дп п о п

Интегрируя по частям слагаемые, содержащие вторую производную по t, учитывая, что п(х, у, Т) = 0, получим т

(-иЧ^Пг + аиТПх + Ьи^Пу - иТПхг - иТПуг + cumп)dxdydt+

оп

т

+ / /п/ КиТг^гП^ягМ-

о дп п

- I(иТг(х,у, 0)Пх(х,у, 0)) + иТг(х,у, 0)Пу(х,У, 0)))^у =

п

т

fпdxdydt.

оп

Обозначим совокупность всех функций п(х,у,^) через вТ. В (2.13) перейдем к пределу при фиксированной функции п(х,у^) € вТ. Это приведет к тождеству (2.1) для предельной функции и(х,у,Ь). Так как совокупность всех функций п(х,у,^) плотна в Ш(^т), то полученное тождество выполнено для любой ю(х,у,€) € ). Следовательно, и(х,у,€) - обобщенное решение задачи (1.1) —

(1.3).

Теорема доказана.

Литература

[1] Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

[2] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование. 2000. Т. 12. № 1. C. 94-103.

[3] Bouziani A., Benouar N-E. Solution Forte d'un Problem Mixte avec Condition Non Locales pour une Classe d'equations Hyperboliques // Bull. de la Classe des Sciences, Academie Royale de Belgique. 1997. V. 8. P. 53-70.

[4] Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 3. С. 411-421.

[5] Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 947-953.

[6] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1233-1246.

[7] Пулькина Л.С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1084-1089.

[8] Пулькина, Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода //Известия вузов. Сер.: Математика. 2012. № 4. С. 74-83.

[9] Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями I рода с ядрами, зависящими от времени //Известия вузов. Сер.: Математика. 2012. № 10. С. 32-44.

[10] Корпусов М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010. 237 с.

[11] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

References

[1] Samarsky А.А. On certain problems of modern theory of differential equations // Differentsialnye uravneniya. 1980. V. 16. № 11. P. 1925-1935.

[2] Gordeziani D.G., Avalishvili G.A.Solutions of nonlocal problems for one-dimensional oscillations of the medium // Matematicheskoe Modelirovanie. 2000. V. 12. № 1. P. 94-103.

[3] Bouziani A., Benouar N-E. Solution Forte d'un Problem Mixte avec Condition Non Locales pour une Classe d'equations Hyperboliques // Bull. de la Classe des Sciences, Academie Royale de Belgique. 1997. V. 8. P. 53-70.

[4] Pulkina L.S. Mixed problem with integral condition for the hyperbolic equation // Mathematicheskie Zametki. 2003. V. 74. № 3. P. 411-421.

[5] Pulkina, L.S. Nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic Equation // Differentsialnye uravneniya. 2004. V. 40. № 7. P. 947-953.

[6] Kozhanov A.I., Pulkina L.S. On the solvability of boundary value problems with nonlocal boundary condition of integral form for multidimentional hyperbolic equations // Differentsialnye uravneniya. 2006. V. 42. № 9. P. 1233-1246.

[7] Pulkina L.S. Initial-boundary value problem with a nonlocal boundary condition for a multidimensional hyperbolic equation // Differentsialnye uravneniya. 2008. V. 44. № 8. P. 1084-1089.

[8] Pulkina L.S. Boundary value problems for a hyperbolic equation with nonlocal conditions of the I and II kind // Izvestiya VUZov. 2012. № 4. P. 74-83.

[9] Pulkina L.S. Nonlocal problem for a hyperbolic equation with integral conditions of the I-st kind with time-dependent kernels // Izvestiya VUZov. 2012. № 10. P. 32-44.

[10] Korpusov M.O. Blow-up in nonclassical wave equations. M.: URSS, 2010. 237 p.

[11] Ladyzhenskaya O.A. Boundary-value problems of mathematical physics. M.: Nauka. 1973. 408 p.

Поступила в редакцию 4/Д/2014; в окончательном варианте — 4/II/2014.

PROBLEM WITH NONLOCAL INTEGRAL CONDITION FOR PSEUDOHYPERBOLIC EQUATION OF THE FOURTH-ORDER

© 2014 S.V. Kirichenko2

In this article, we study a problem for a multimensional pseudohyperbolic equation of the fourth-order with an integral condition. Existence and uniqueness of a generalized solution is proved.

Key words: pseudohyperbolic equation, generalized solution, integral conditions.

Paper received 4/Я/2014. Paper accepted 4/Я/2014.

2Kirichenko Svetlana Viktorovna (svkirichenko@mail.ru), the Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Railway Transport, Samara, 443066, Russian Federation.