Сравнение формул для эффективного модуля упругости волокнистого композитного слоя в поперечном направлении

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Mat. Рига Appl. 1980. 123, N 144. 35-58.

2. Carriazo A., Fernandez L.M. Submanifolds associated with graphs // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. 132, N 11. 3327-3336.

3. Carriazo A., Fernandez L.M., Rodriguez-Hidalgo A. Submanifolds weakly associated with graphs // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). 2009. 119, N 3. 297-318.

4. Банару М.Б. О типовом числе слабокосимилектических гиперповерхностей приближенно келеровых многообразий // Фунд. и прикл. матем. 2002. 8, вып. 2. 357-364.

5. Banaru М. On nearly-cosymplectic hypersurfaces in nearly-Kahlerian manifolds // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Ser. Math. 2007. 47, N 3. 3-11.

6. Банару М.Б. О типовом числе косимплектических гиперповерхностей 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Сиб. матем. журн. 2003. 44, № 5. 981-991.

7. Banaru М. On minimality of a Sasakian hypersurface in a W3-manifold // Saitama Math. J. 2002. 20. 1-7.

8. Банару М.Б. О сасакиевых гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Матем. сб. 2003. 194, № 8. 13-24.

9. Банару М.Б. О типовых числах почти контактных метрических гиперповерхностей почти эрмитовых многообразий // Мат-лы VIII Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения". М.: Изд-во МГУ, 2004. 379-381.

10. Кириченко Б.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М.: МПГУ, 2003.

11. Endo Н. On the curvature tensor of nearly cosymplectic manifolds of constant Ф-sectional curvature // An. stin. Univ. Iasi. 2005. LI, N 2. 439-454.

12. Endo H. Remarks on nearly cosymplectic manifolds of constant Ф-sectional curvature with a submersion of geodesic fibers // Tensor. New Ser. 2005. 66. 26-39.

Ф

Ф

68. 204-221.

15. Кириченко Б.Ф., Kycoea Е.Б. О геометрии слабокосимплектических многообразий // Фунд. и прикл. матем. 2010. 16, вып. 2. 33-42.

16. Kycoea Е.Б. О геометрии слабокосимплектических структур: Канд. дне. М., 2013.

17. Abu-Saleem A., Banaru М. Some applications of Kirichenko tensors // An. Univ. Oradea. 2010. 17, N 2. 201-208.

18. Banaru M. On Kirichenko tensors of nearly-Kahlerian manifolds //J. Sichuan Univ. Sci. & Eng. 2012. 25, N 4. 1-5.

Поступила в редакцию 27.03.2013

УДК 539.3

СРАВНЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТНОГО СЛОЯ В ПОПЕРЕЧНОМ НАПРАВЛЕНИИ

С. С. Гилёв1, С. В. Шешенин2

Проведен сравнительный анализ формул для определения эффективного поперечного модуля упругости слоя волокнистого композита. Показано, что формула второго порядка обеспечивает приемлемую точность.

Ключевые слова: эффективный модуль, резинокорд.

Formulas for the effective transverse modulus of a fiber composite layer are analyzed. It is shown that the second-order formula provides an acceptable accuracy.

Key words: effective modulus, rubber cord.

1 Гилёв Сергей Сергеевич — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: galkirQgmail.com.

2 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shesheniQmech.math.msu.su.

Рассмотрим слой однонаправленного волокнистого композита (монослой), состоящий из двух компонентов. Для анализа эффективных модулей слоя будем рассматривать физически и геометрически линейную теорию упругости. Считаем известными модули Юнга и коэффициенты Пуассона волокна и матрицы Е/, Ет и V/, ит соответственно, а также объемные доли компонентов и/ и ит. Здесь и далее будем использовать для волокон индекс /, а для матрицы — индекс т. Направления пронумерованы следующим образом: 1 — продольное по волокну, 2 — поперечное в плоскости слоя, 3 — перпендикулярное плоскости слоя. Ставится задача об определении характеристик слоя как однородного ортотропного материала. В трехмерном случае необходимо иметь формулы для 9 независимых компонент, а именно

ДЛЯ Е1, Е2, Е3, ^2, ^3, С23-

Обычно предполагается [1-3], что слой находится в плоском напряженном состоянии, что приемлемо

Е1 Е2

циент Пуассона и модуль сдвига С12- Общая теория эффективных характеристик, а также способы их вычисления описаны в [4]. Однако большой интерес представляют формулы для приближенного вычисления эффективных характеристик композитов в некоторых частных случаях.

В работе [1] приведен ряд формул для эффективных материальных констант монослоя. В данной

Е2

порядка, также известная как обратная формула смесей, имеет вид

Ет =

При ее выводе вся внутренняя геометрия слоя сводилась лишь к одному параметру — объемной доле волокна и/ (или же объемной доле матрицы ит = 1 — и/), а также делались следующие предположения о напряженно-деформированном состоянии: в продольном направлении деформации волокон и матрицы равны, а напряжения подчиняются правилу смесей; в поперечном направлении напряжения матрицы и волокон равны, а деформации слоя считаются по правилу смесей:

011 = 0/1 и/ + аЦУт, £п = £и = £11; 022 = 022 = , е22 = 42 У/ + е22 ^т-При выводе же формулы второго порядка

42) = 71ЕтГ

2 2^(1-^)'

где

г(Х) = . ^ аг^ап— Л = ^^ 1 7 V 1 - А 4'

п

учитывается форма волокон, также предполагается, что матрица находится в однородном напряженном состоянии, а волокна считаются абсолютно жесткими. Обратим внимание на то, что формула (2) выведена для слоя, толщина которого равна диаметру волокон, поэтому для определения модуля слоя, в котором последнее условие не выполняется, предлагаем пользоваться правилом смесей

Е<?=Е-<?.1 + Ет.

где Е 2 — модуль, вычисленный по формуле (2); ^ — диаметр волокна; Н — толщина слоя.

Для ответа на вопрос о точности описанных формул численно решалась плоская задача на ячейке периодичности. Геометрически ячейка представляет собой прямоугольник, высота которого 9,5  10-4 м, ширина 10-3 м, а в центре находится круглое волокно. Задача была решена для различных объемных долей волокна. Материальные константы материалов принимались равными Е/ =2  1011 Па, Ет = 107 Па, V/ = 0,3, ут = 0,49. Геометрические размеры и материальные константы соответствуют ячейке резинокордного слоя со стальными волокнами.

Задача решалась численно методом конечных элементов. Дифференциальная постановка задачи дается уравнением равновесия в перемещениях (С^ы-и^г)= 0, а также граничными условиями специального вида, приведенными ниже. Решались две задачи на одноосное растяжение образца для определения

Е2 С2222 С2222 компонента тензора модулей упругости. Пусть ячейка есть прямоугольник ЛБСВ, его стороны АВ и СО

параллельны оси Оу, а стороны ВС и ЛВ граничные условия записываются как

оси Ог. Для первой задачи на определение модуля Е2

П2

лэ

— 0, П2

ВС

— ^22 ¿2, СШик,1

всилэ

— ° С31к1ик,1

лвисэ

— 0, 12 — |ВС|, I — 1,2.

С2222

П2

лэ

П2

ВС

^22 ¿2, и3

лвисэ

— ° С3к1ик,1

— о, я — лв и вс и Св и лв.

1. Отношение поперечных модулей Е^, , Е2 и С2222 к модулю Юнга матрицы Ет

Е2 С2222

него напряжения (022) к заданной деформации ^2 в первой и второй задачах соответственно.

Результаты решения задач на ячейке приведены па рис. 1. Здесь и далее е2^ и е22) — значения, вычисленные но формулам (1) и (3) соответствен-Е2 С2222

из «шслсыыого эксперимента. Если считать точными значения, полученные из решения описанных выше задач на достаточно мелкой сетке, то можно составить табл. 1 ошибок формул (1) и (3), где указаны расхождения между Е(1), Е(2) и модуля ми Е2 и С2222 ЛОКОН Vf.

Таблица 1

Расхождение Объемная доля волокна и/

модулей, % 0,0018 0,0072 0,029 0,065 0,116 0,219 0,261 0,355

\(Е^-Е2)/Е2\ 37 36,5 34,9 32,4 28,8 22,6 19,8 12,9

\{Е^-Е2)/Е2\ 5,8 7,4 10,5 13,8 16,9 22,3 23,6 24,8

Кя'1' - с2222)/с22221 4,1 3,8 2,9 1,2 1,2 5,8 7,7 11,5

— С2222) / С22221 19,6 18,3 15,7 13 10,3 6,1 4,7 2,2

Как видно из табл. 1, точность формул определяется объемной долей волокна. В целом более точный

Е2

точность формулы (1) выше. В то же время при малых объемных долях формула (1) имеет отклонение

от точного значения до 30%.

Известно, что в экспериментах наблюда-

Е2

этому уровень ошибки в 10 15% является удовлетворительным, что позволяет использо-

Е2

в случае объемных долей до ~ 20%.

Заметим, что при всех значениях объем-

Е2

С2222

тельство позволяет сделать вывод о том, что формула (1), изначально полученная для мо-Е2

С2222

Интереено понять, чем же определяется точность формул. Для этого необходимо проанализировать полученные численные решения более детально.

0.110 0.247 0.384 0.521 0.657 0.247 0,468 0.689 0.910 1.131 .

„ г, тт I ! \ I Как было указано выше, при выводе срор-

Рис. 2. Деформации е22 (сверху) и напряжения о22 (спи- • -п

Е2 2

рыс предположения относительно напряжен-волокна 1

но-деформированного состояния композита. Проанализируем, как оправдались эти предположения в задаче на определение модуля Рассмотрим две задачи в случаях низкой (и/ = 0,0018) и высокой (vf = 0,355) объемной доли волокна. На рис. 2 показаны распределения деформаций £22 (сверху) и напряжений а22 (снизу), полученные в результате численного решения. Замет им, что обозначения а.

а22> е22 и е22 соответствуют средним значениям 022 и £22 по волокнам или матрице соответственно.

22'

При выводе формулы первого порядка (1) предполагалось, что а//2 = а^- Для малой объемной доли и/ а^/а^ « 1,6 для большой а/2/ ат ~ 1,1. Также предполагалось, что деформа-

Таблица 2

f2

ЦИИ ПОДЧИНЯЮТСЯ Правилу СМеСеЙ £^2Vf +£22Vm =

В обоих случаях второе предположение выполняется с приемлемой точностью, а первое — только для больших концентраций волокна.

При выводе формулы (3) предполагалось, что матрица находится в однородном напряженном состоянии ^22 = const. Как видно, в случае малой объемной доли волокна это верно, а в случае большой

объемной доли волокон напряжение o22 существенно непостоянно. Также предполагалось, что волокна

f

абсолютно жесткие, т.е. £^2 = 0- Как видно из рис. 2, деформации волокон действительно пренебрежимо малы по сравнению с деформациями матрицы.

Результаты проверки вышеуказанных предположений (знак "+" — предположение верно, знак "-" — нет) приведены в табл. 2. Ясно, что формулы (1) и (3) для модуля E2 точны для больших и малых объемных долей волокон, что соответствует предположениям, сделанным при выводе этих формул.

Проведенный сравнительный анализ позволяет сделать следующие выводы. Во-первых,формула вто-

E2

20%, и в целом ее использование предполагается наиболее целесообразным. Во-вторых, формула первого порядка (1) дает возможность с достаточной точностью вычислять модуль C2222 Bo-третьих, точность

E2

ся выполнением предположений о напряженно-деформированном состоянии, сделанных при выводе этих формул.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 13-01-00688.

Формула Предположение Vf = 0,0018 vf = 0,355

(1) (1) „f _ „т а22 — а22 £22Vf "Г e22vm = £22 _ +

(3) (3) (J22 = Const 42 = 0 + _

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vasiliev V.V., Morozov E. V. Advanced Mechanics of Composite Materials. Amsterdam; Boston: Elsevier, 2007.

2. Jones R.M. Mechanics of Composite Materials. Philadelphia: Taylor & Francis, 1999.

3. Шешенин С.В., Демидович П.Н., Чистяков П.В., Муравлев А.В. Упругие свойства резинокорда: Пособие по механическому практикуму. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009.

4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

Поступила в редакцию 07.11.2012

УДК 532.54.031

О ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА АВТОКОЛЕБАНИИ КУПОЛА КОНИЧЕСКОГО СТРУЙНОГО АЭРАТОРА ОТ ШИРИНЫ СТРУИ В ВЫХОДНОМ СЕЧЕНИИ КОЛЬЦЕВОГО СОПЛА

В. П. Карликов1, С. Л. Толоконников2

Представлены некоторые результаты экспериментального изучения периода устойчивых регулярных автоколебательных режимов проникания в воду свободных полых тонкостенных турбулентных водяных струй, создаваемых в конических струйных аэраторах с

Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikovQmech.math.msu.su.

2 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolslQmech.math.msu.su.