Сравнительный количественный анализ отклика дифференциальных операторов на перепад яркости

Телевидение и обработка изображений

УДК 681.323:621.391.837

И. В. Разин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Сравнительный количественный анализ

отклика дифференциальных операторов на перепад яркости

Проведен сравнительный количественный анализ отклика дифференциальных операторов на перепад яркости изображения. Рассмотрены три модели перепада яркости, профиль которых можно определить терминами "ступенчатый", "трапециевидный" и "колоколообразный". Сравнительной оценке подверглись дифференциальные операторы, синтезированные с использованием гладких функций, и оператор Превитта. Полученные характеристики операторов позволили отдать предпочтение операторам, синтезированным с использованием гладких функций.

Изображение, модель перепада яркости, величина перепада, крутизна перепада, дифференциальный оператор, гладкая функция, весовая функция, амплитудная характеристика, амплитудно-частотная характеристика

Двумерная информация как продукт регистрации и отображения разнообразных физических полей реального микро- и макромира составляет основную долю анализируемого человеком информационного потока и служит основой для принятия им осмысленных решений и последующего выполнения конкретных целенаправленных действий. Она настолько вошла в повседневную жизнь, что люди не задумываются о природе ее возникновения, а постоянное развитие физических методов регистрации различных диапазонов электромагнитного излучения позволяет получать новую, недоступную ранее информацию, которая затем отображается в привычной для ее зрительного восприятия форме. Естественно, что развиваются и методы обработки и анализа регистрируемой визуальной информации.

Постановка задачи. Осмысление двумерной информации связано с интерпретацией разрывов воспринимаемой яркостной картины и приводит к необходимости введения и определения термина "перепад яркости" - одной из фундаментальных характеристик изображения. На качественном уровне перепад яркости представляется некоторой переходной областью между участками изображения с относительно неизменными, но различными ее уровнями, разность между которыми определяет абсолютную величину яркостного перепада. Очевидно, что описание перепада можно дополнить следующими характеристиками: ориентацией в плоскости изображения, протяженностью в направлении разрыва яркости и его крутизной, используя при этом такие определения, как "крутой" или "пологий". Указанные качественные характеристики описания перепада основаны на информационном анализе некоторого множества соседних элементов изображения, поскольку, обладая информацией о яркости отдельного элемента, невозможно ответить на вопрос: является ли он элементом этой переходной области, т. е. может ли данный элемент быть отне-

© Разин И. В., 2009

57

сен к перепаду яркости? Для корректного определения термина "перепад яркости" качественным характеристикам должны быть сопоставлены количественные оценки, которые невозможно получить без выбора подходящей модели перепада. Под словом "подходящая" будем понимать такую модель перепада (или их совокупности), параметры которой позволили бы отобразить, по возможности, известное многообразие перепадов.

Модели перепада яркости. В настоящей статье исследованы три функции, моделирующие поперечное сечение (профиль) идеального ступенчатого, трапециевидного и ко-локолообразного пространственных перепадов яркости, ориентированных вдоль вертикальной пространственной оси. Выбор одномерных функций не нарушает общности дальнейшего изложения, поскольку подобные сечения перепадов яркости можно получить в перпендикулярном произвольной ориентации перепада направлении, и обусловлен сходством их с реально встречающимися профилями пространственного перепада. Функции, соответствующие идеализированному ступенчатому [ Fl (п) , рис. 1, а], трапециевидному [ F1 (п), рис. 1, б] и колоколообразному [ Fз (п), рис. 1, в] перепадам яркости, определяются следующими выражениями:

С, п < dl;

F1 (п) = <{С + А, п > d1;

С, п > d2;

С, п < dз;

F2 (п) =

С + (п —dз)tgа, dз < п < d4; С + А, d4 < п < d5; С + А — (п-d5)tgа, d5 < п < d6; С, п > d6;

F3 (п) =

6

С +-

1 + ехр

С + А —

—а(п—й?7 ) '

А

п < d^,

8'

1 + ехр

—а

п > d8,

где С = 10 - уровень фонового сигнала; А = 60 - величина перепада; dl = 28 и d2 = 52 - позиции положительного и отрицательного перепадов яркости функции Fl (п) соответственно; dз = 24 и d4 = 34 - отсчеты, определяющие начало и окончание положительного фронта функции F2 (п) соответственно; d5 = 46 и d6 = 56 - отсчеты, определяющие начало и окончание отрицательного фронта функции F2 (п) соответственно; а = агС£ [ А/ (d4 — dз )] - крутизна фронтов; d7 = з0 и d9 = 50 - отсчеты, при которых функция перепада Fз (п) = (С + А/2) ; d8 =(d7 + d9 )/2 = 40 - позиция оси симметрии перепада функции Fз (п) ; а = 0.6 - параметр, определяющий крутизну экспоненты.

Р\ 60 40

20

C

_1_1_I

_1_

Р2

60 й?4 11 1\ 60 -

40 гч! 1 МГ I \ 40 ----

20 - ^ ^ 1 \ 1 \ ^6 20 -

1 11 ! 1 ! 11 1

20 ^ 40 d2 60 п а

20

40 б

Рис. 1

60

20 ¿7 40 й9 60 п

в

Дифференциальные операторы. Традиционно вопрос подчеркивания перепадов решается с использованием известных дискретных дифференциальных операторов Собела и Превитта размером 3 х3 элемента, а также операторов большего размера [1], [2]. Выбор последних обусловлен желанием проанализировать большую, чем 3 х 3 элемента, пространственную область цифрового изображения. Именно с их помощью можно подчеркивать (детектировать) наиболее информативные участки изображения, каковыми и являются перепады яркости. Однако существенными недостатками этих операторов являются разрывность функций, их реализующих, и неинвариантность к преобразованию вращения. В работе [3] приведен ряд новых дифференциальных операторов, синтезированных на основе гладких функций. Данные операторы представляют серьезную альтернативу классическим операторам, поскольку позволяют устранить указанные недостатки последних. Приведем полученные в [3] выражения для производных первого порядка следующих гладких функций:

(k ) = hS)( k ) =

2

а1Б

-4k

^М1

- производная функции Баттерворта;

- производная функции Моффата;

А^Р (k) = (-k|а^з ) ехр (-k2/2а2с ) - производная функции Гаусса;

k)=

-4k3

- производная функции Лоренца.

*4ь (1+k V 4.

Отсчеты каждой производной нормированы на сумму их положительных значений. Совокупностями значений нормированных производных ^^

для целочисленных значений аргумента k определяются весовые коэффициенты дифференциально-сглаживающих операторов Баттерворта, Моффата, Гаусса и Лоренца соответственно. Графики весовых коэффициентов указанных операторов, а также классического оператора Превитта (Собела), приведены на рис. 2. Они получены для следующих значений параметров производных: ащ = >/3 = 1.732; а^ = л/5 = 2.236; а^ = 1; а^ = = 1.136, обеспечивающих расположение экстремальных значений весовых коэффициентов всех

Л

0

0

0

п

0.5

- 0.5

- 1

* , операторов при значении аргумента |к| = 1

[з]. На графиках рис. 2 можно отметить различную скорость стремления к нулю весовых коэффициентов для различных операторов при удалении от нулевого значения аргумента. Поэтому выбор того или иного оператора производится после предварительного анализа яркостной структуры изображения и объясняется стремлением в большей или меньшей степени учесть весовой вклад, вносимый в отклик удаленными от центра оператора элементами. Так, например для придания большей значимости и важности информации удаленных от центра оператора элементов, необходимо для подчеркивания перепадов использовать оператор Баттерворта.

Количественный анализ дифференциальных операторов. Анализировались отклики

дифференциально-сглаживающих операто-

Рис. 2

g1

з5

- з5

- 70

g1M

16

28

40

g1G

- 15

- з0

- 15

- з0

Рис. 3

ров, представляющие собой результат дискретной свертки их весовых функций с функциями каждого из перепадов (см. рис. 1, а-в):

gi*( п) = £ Fi ( п — к ) /^Ч к ),

к

где i = 1, 2, з - цифровой индекс функции перепада; * е {В, О, L, М, Р} - буквенный индекс дифференциально-сглаживающего оператора.

На рис. з, а-в приведены графики откликов дифференциально-сглаживающих операторов g1*(п), g2*(п) , £з*(п) соответственно. Несмотря на существенное различие в откликах различных операторов для всех откликов можно отметить одинаковую тенденцию "затягивания" перепадов. Это объясняется отличными от нуля значениями весовых коэффициентов, удаленных от центра весовой функции, причем, чем большие значения имеют наиболее удаленные от центрального весовые коэффициенты оператора, тем в большей степени проявляется эффект "затягивания". Однако при этом повышается чувствительность дифференциально-сглаживающего оператора. Таким обра-

0

а

б

30 45 Рис. 4

зом, повышение чувствительности оператора приводит к нежелательному эффекту "затягивания" перепада.

Чувствительность исследована на примере зависимостей максимальных значений откликов дифференциальных операторов <§2*тах от крутизны а переднего фронта

"трапециевидного" перепада F2 (п) (см. рис. 1, б), представленных на рис. 4. Из

графиков на этом рисунке видно, что во всем диапазоне изменения крутизны перепада чувствительность оператора Баттерворта максимальна, далее в порядке убывания чувствительности следуют дифференциально-сглаживающие операторы Моффата, Гаусса, Лоренца, а наименьшей чувствительностью обладает оператор Превитта.

Необходимо заметить, что амплитудные характеристики имеют представленный вид, только если наклонная часть перепада превосходит 13 элементов, т. е. оказывается не меньше протяженности весовой функции дифференциального оператора. При меньшей протяженности максимальные значения откликов операторов уменьшаются. Этот факт подтверждается нормированными амплитудно-частотными характеристиками операторов (рис. 5, а). Для их построения смоделированы восемь последовательностей импульсов Fl (п) с одинаковой величиной перепада, постоянной скважностью, равной двум, и периодами следования, равными 16Т, 14Т, 12Т, 10Т, 8Т, 6Т, 4Т и 2Т, где Т - интервал дискретизации. Два примера такой последовательности импульсов и отклики на нее пяти дифференциальных операторов приведены на рис. 6, а и б. Период последовательности на рис. 6, а составил 4Т, а на рис. 6, б -16Т. По оси ординат на рис. 5 отложена нормированная величина = <§1*шах / А . Такая нормировка отклика приводит к инвариантности амплитудно-частотной характеристики дифференциальных операторов - независимости ее от величины перепада.

Из графиков на рис. 5, а следует, что чувствительность операторов падает до нуля с уменьшением периода последовательности. Этот результат является следствием недостаточной частоты дискретизации. Справедливость данного утверждения следует из рис. 5, б, на котором приведены амплитудно-частотные характеристики дифференциальных операторов, по-

9;

0.750.50.25 0

1/16Т 1/14Т 1/12Т 1/10Т 1/8Т 1/6Т 1/4Т 1/2Т 1/16Т 1/14Т 1/12Т 1/10Т 1/8Т 1/6Т 1/4Т 1/2Т

а б

Рис. 5

а б

Рис. 6

лученные при дискретизации перепадов с удвоенной частотой. Дальнейшее увеличение частоты дискретизации приведет к еще большему подъему характеристик на высоких частотах.

Проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы.

• В силу различных физических ограничений (например, конечных пространственных размеров функции рассеяния точки регистрирующей аппаратуры) исследователь на практике сталкивается с плавными перепадами яркости, не имеющими резких изломов. По этой причине предпочтение следует отдать колоколообразной модели перепада яркости.

• Амплитудная характеристика дифференциального оператора характеризует его чувствительность, и знание ее позволяет детектировать перепады яркости в интересующем исследователя и априори им заданном диапазоне крутизны. Рабочий диапазон амплитудных характеристик дифференциальных операторов лежит в правой части графика на рис. 4 и соответствует крутизне перепада а > 45°. Анализ графиков на рис. 4 показывает, что дифференциально-сглаживающие операторы на основе гладких функций обладают большей в сравнении с известными классическими операторами чувствительностью во всем диапазоне крутизны перепада, причем наибольшей чувствительностью обладает оператор Баттерворта, а наименьшей - оператор Превитта. В силу важности чувствительности несмотря на присущий дифференциально-сглаживающим операторам эффект "затягивания" перепада предпочтение следует отдать именно этим операторам. Эффект "затягивания" перепада можно существенно уменьшить, применив к изображению поэлементное нелинейное преобразование.

• Анализ зависимостей приведенных на рис. 5 показал, что для достаточно крутого перепада яркости при значении а = 80° (разность между соседними отсчетами превышает пять уровней квантования), а значит, и потенциально большого контраста, величина отклика любого оператора не превышает диапазон ±24 единиц. На практике (особенно для малоконтрастных изображений) этот диапазон существенно меньше. Превышение отклика граничных значений указанного диапазона (см. рис. 4), означает появление достаточно редкого события: а именно, перепада с крутизной, оцениваемой углом а > 80° .

• Анализ указанных ранее графиков показал также, что чувствительность операторов падает с уменьшением периода перепада, причем снижение чувствительности происходит тем заметнее, чем более чувствителен оператор. Так, при периоде 12Т отклики всех операторов практически не отличаются, но при периоде 6Т их различие становится весьма заметным. Особо следует отметить, что при периоде 2Т отклики всех операторов раны нулю, т. е. все

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5

они нечувствительны к наиболее высокочастотным изменениям яркости. Это означает, что для эффективной работы дифференциально-сглаживающих операторов частота дискретизации исходного сигнала должна быть увеличена по крайней мере вдвое. • Имея априорную информацию о структуре изображения, при решении задачи подчеркивания перепадов яркости можно дать рекомендацию качественного характера: для пологих перепадов и больших по занимаемой площади объектов следует использовать оператор Баттерворта, для крутых перепадов и небольших объектов - оператор Лоренца. Компромиссным решением для дифференциально-сглаживающих операторов между значительной чувствительностью на протяженных перепадах и недопущением ее существенного снижения с уменьшением протяженности этих перепадов можно считать и ограничение диапазона аргумента их весовых функций величиной |k| > 3, что приводит к "урезанию хвостов".

Проведенный количественный анализ дифференциальных операторов нельзя считать полным без учета искажений перепада яркости шумовой составляющей сигнала. Для проведения такого анализа необходимо использовать модели пространственных перепадов яркости и пространственных дифференциальных операторов, что является предметом дальнейших исследований.

Список литературы

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений / пер. с англ.; под ред. П. А. Чочиа. М.: Техносфера, 2005. 1070 с.

2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: в 2 кн. Кн. 2 / пер. с англ.; под ред. Д. С. Лебедева. М.: Мир, 1982. 790 с.

3. Разин И. В. К вопросу синтеза двумерных адаптивных фильтров на основе гладких функций // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 3. С. 35-48.

I. V. Razin

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Comparative quantitative analysis of the differentiation operators response on image brightness differences

The comparative quantitative analysis of differentiation operators response on brightness difference is carried out. Three models of the brightness difference which profile can be defined terms "step", "trapezoid" and "bell-formed" are used. The differentiation operators synthesised with use of continuously differentiable functions, and operator Previtt have undergone to a comparative estimation. The characteristics of operators received in work have allowed to prefer the operators synthesised with use of continuously differentiable functions.

Image, brightness difference model, brightness difference level, brightness difference steepness, differentiation operator, continuously differentiable function, weighting function, gain characteristic, frequency response function

Статья поступила в редакцию 14 сентября 2009 г.