Кручение цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов. Эффект Пойнтинга

УДК 539.32, 539.382, 539.385

Кручение цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов. Эффект Пойнтинга

Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, Д.С. Лисовенко

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

Статья является продолжением исследования особенностей упругих свойств 7-константных тетрагональных кристаллов и нано/микротрубок из них. В опубликованной ранее работе был выполнен анализ растяжения таких кристаллов и трубок. В данной работе рассматривается кручение цилиндрических трубок и обсуждается прямой эффект Пойнтинга, согласно которому кручение вызывает продольное растяжение трубок, свободных от растягивающего усилия. Сделаны оценки крутильной жесткости. Продемонстрировано существование обратного эффекта Пойнтинга, при котором растяжение трубок в условиях отсутствия крутящего момента вызывает их кручение.

Ключевые слова: тетрагональные кристаллы, криволинейная анизотропия, нанотрубки, микротрубки, ауксетики, кручение, эффект Пойнтинга

Torsion of cylindrically anisotropic nano/microtubes of seven-constant tetragonal crystals. Poynting effect

R.V. Goldstein, V.A. Gorodtsov, and D.S. Lisovenko

Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia

The paper continues the study of the elastic properties of seven-constant tetragonal crystals and nano/microtubes made of them. Earlier, we analyzed tension of such crystals and tubes. In this paper, we consider torsion of cylindrical tubes and discuss the direct Poynting effect under which torsion causes longitudinal extension of tubes in the absence of tensile loading. Torsional rigidity is estimated. An inverse Poynting effect is demonstrated under which extension of tubes causes their torsion in the absence of torque.

Keywords: tetragonal crystals, curvilinear anisotropy, nanotubes, microtubes, auxetics, torsion, Poynting effect

1. Введение

Сегодня большое внимание уделяется изучению поведения материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона, называемых ауксетиками. Ауксетики наиболее широко распространены среди анизотропных материалов. Многие кристаллы различных кристаллических систем обнаруживают при растяжении в определенных направлениях отрицательность коэффициента Пуассона. Такое поведение теоретически изучено в статье [1] для прямолинейно-анизотропных 7-констант-ных тетрагональных кристаллов, экспериментальные данные об упругих характеристиках которых были заимствованы из известного справочного издания Ландольт-Бернштейна [2]. В работе [1] проанализирована анома-

лия упругого растяжения криволинейно-анизотропных нано/микротрубок из таких кристаллов.

В данной работе продолжено обсуждение особенностей упругого поведения цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из 7-константных кристаллов при другом виде деформирования — кручении. Аналитическое решение задачи выполнено с применением подхода Сен-Венана в рамках теории упругости. Численные оценки сделаны с использованием экспериментальных данных [2]. Показано, что кручение нано/микротрубок вызывает их растяжение, т.е. имеет место эффект Пойнтинга. Из предыдущей статьи [1] можно видеть, что и продольное растяжение сопровождается кручением, т.е. имеется также обратный эффект Пойн-тинга. Он обсуждается в п. 4 данной статьи.

© Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С., 2015

2. От прямолинейно-анизотропных кристаллов к цилиндрически анизотропным нано/ микротрубкам

Семиконстантных тетрагональных кристаллов в списках кристаллов различных кристаллических систем в [2] немного (всего четырнадцать). Лишь четыре из них при растяжении могут иметь согласно [1] отрицательный коэффициент Пуассона. Однако после сворачивания тонких кристаллических пластин в трубки все 7-константные тетрагональные кристаллы при тех или иных условиях (угле хиральности, диаметре и толщине стенок трубок) становятся ауксетиками.

При повороте 7-констатного тетрагонального кристалла вокруг главной кристаллографической оси 3 на угол а фойгтовские коэффициенты упругой податливости ¿у связаны с коэффициентами податливости в исходной системе координат [1]:

#

sil s12 s13 0 0 s16 $ s12 s11 s13 0 0 - s16

si3 s13 s33 0 0 0 0 0 0 s¡40 0 0 0 0 0 s440 /1б- s160 0 0 s66y 2s11 = 2s11 -8 sin2 (2a) + s16 sin(4a), 2s12 = 2s12 + 8 sin2 (2a) - s16 sin(4a), s66 = s66 + 28 sin2(2a) - 2s16 sin(4a), 2s16 = 2s16 cos(4a) - 8 sin(4a),

s13 = s13, s33 = s33, s44 = s44, 28~ 2s11 - 2s12 - s66 •

Здесь зависимость от угла a является периодической с периодом П 2.

Будем предполагать, что сворачивание повернутой кристаллической пластины в цилиндрическую трубку выполняется с соответствием оси трубки z оси пластины 1' и радиальной оси r — главной оси 3 (см. рис. 2 в [1]). В этом случае криволинейно-анизотропная упругость трубки характеризуется законом Гука с уравнениями

uzz = SnCTzz + ^2СТфф + S\3CTrr - s16%z>

"фф = s1 2CTzz + s1 1СТфф + s1 3СТ rr + s1 б СTфz,

_ / / /

urr = s13azz + 513афф + S33CTrr,

2ифг = s16 (СТфф - zz ) + s66 СTфz,

2urz = S44CTrz, 2"гф = S44CT^ •

При кручении трубки полным скручивающим моментом Mz, приложенным к ее торцу, в отсутствие продольной растягивающей силы и напряжений на боковых поверхностях (внутренней с r = r0 и внешней с

r = R =Pr0)

J dST^ = Mz, J dS Gzz = 0,

ctrrlr =r0 Grr\r =R0 ст'ф ir=r0 ^ф ir=R °rz\r =r0 °rz\r =R0

делается предположение о радиально-неоднородном распределении напряжений внутри трубки стгу(г). Тогда уравнения равновесия примут упрощенный вид:

dr

- + -

Эст rr

r

rz

= 0,

dr

r = 0,

Гф (r) + 2 Гф (r) = 0

dr г

Из последних двух уравнений и краевых условий на боковых поверхностях трубки следует

СТгф (Г) = CTrz (Г) = 0, что приводит к упрощению соотношений закона Гука:

"zz

"фф (r) = s12u zz (r) + s11u фф (r) + S13 rr (r) + s16 фz (r),

"rr (r) = Si3CTzz (r) + %стфф (r) + 4CTrr (r)> 2V (r) = ^6(СТфф (r) - zz (r)) + S66CTфz (rX "rz (r) = 0 "гф (r) = 0 .

Восстановление по радиально-неоднородным деформациям "у (r) однозначных смещений требует выполнения условий

"zz (r) = е> "rr (r) = d/dr (г"фф ( г)) 2 4pz ( r) = Т r

е = const, т = const. Эти условия вместе с уравнениями равновесия и соотношениями закона Гука позволяют определить зависимости от r напряжений и деформаций. В частности, для

CTrr (r), zz (r) и aфz (r) находим

CTrr (r) = -

-е—

Tr + Х A

a0 + a1 4a0 + a1 ±

# $я± r

'0

#

(s11s66 - 4)CTzz (r) =

s66 +-

-a.

$

е +

A±

s16 ^^---a 2

4a0 + Ü1

(s11s66 - Si6)СTфz(r) = s16

Tr -^a±kA ±

#

( \± r

1 + P1

a0 + a1

е+

$

s11 3 s16e2

4a0 + a1

Tr - s16 EP± kA

# r $

Здесь и далее используются сокращенные обозначения, аналогичные введенным в [1]:

А,± = -1 ± k, k = ах/ а

a0,

Р« ^ S13 + q(s'n + Sn), q = ±l, ± ^ ± k,

ач - ''з'66 + Ч(Л2'66 + Ч = ±!> ± 2' ± ^ а0 - (''1 + '12)[('п - s'2)s66 - 2''6 ]'

= ^ '2 _ ' ' ^ ' -1- ' '2 — _т

а1 = ('13 - 6 + '33'16' а2 = -а-1'

а3 - -^-2-

3. Прямой эффект Пойнтинга для цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов. Крутильная жесткость

Два ограничения на вид нормального напряжения огг (г) (на четыре произвольных параметра е, т, А+' А_) дают краевые условия обращения его в нуль на внутренней (при г = г0) и внешней (при г = ^ = = рг0) боковых поверхностях трубки:

А + =

А =

1 _РЛ

а0 + а1 ря+ - р1-

-е + -

Р_Р

4а0 + а1 р1

рл+ -1

а0 + а1 ря+ - р1-

е + -

4а0 + а1 р

Л+

!~тг0'

-тг>.

Связь между оставшимися двумя параметрами е, т следует из интегрального условия отсутствия продольной растягивающей силы (см. (2)). Она также является линейной:

е = Гтг0, Г^-2' Г 1

а коэффициенты пропорциональности Г1, Г2 выражаются через безразмерный параметр толщины стенок трубки р и модули податливости '' следующим образом:

2

а2

Г1 = '6

Р2 -1

66"

+ £а

Р1" -1

** рЯ:

а0 + а1

1±+2

Р2 - 1 а^-+

-1

1т

Г =/ рЗ^+ 1 2 = '16 „ +

р'+ 1± + 2

а3

4а0 + а1

а2

Р3 -1

+ £а

р

^ а. РЯ±

,1т

р ря±+2 -1

1± + 2

Размерные коэффициенты Г1 и Г2, имеющие размерность коэффициента упругой податливости, зависят от безразмерного параметра р и податливости ''. При этом Г2 пропорционален '16. Безразмерное отношение Г зависит от безразмерного параметра р и безразмерных комбинаций из коэффициентов податливости ''. Последние, в свою очередь, определяют согласно (1) зависимость от 'у и угла хиральности а.

Найденная линейная связь (3) между углом кручения т и продольной деформацией е показывает, что кручение цилиндрической трубки из 7-константного тетраго-

нального кристалла сопровождается ее растяжением. Подобный эффект кручения-растяжения именуют прямым эффектом Пойнтинга, впервые изученным около ста лет назад Дж.Г. Пойнтингом [3, 4]. Следует отметить, что, в отличие от обсуждаемой здесь линейной связи для анизотропного кристалла, классический эффект Пойнтинга был эффектом второго порядка, что обычно связывают с проявлением нелинейной упругости материалов [5].

В частном случае '16 = 0 коэффициент Г2 и тем самым и Г исчезают, так что пропадает прямой эффект Пойнтинга, эффект связи продольного растяжения с кручением. Такой частный случай может выполняться для хиральных трубок из 7-константных тетрагональных кристаллов при углах хиральности, определяемых из

tg(4а) =

4'

16

2'11 2'12 '66

Для трубок из 6-константных тетрагональных кристаллов эффект Пойнтинга исчезает при нулевом угле хи-ральности а = 0 и при а = п/ 4.

Из формул (1), (3)-(5) ясно, что эффект Пойнтинга для цилиндрических нано/микротрубок из 7-констант-ных тетрагональных кристаллов, вообще говоря, при нулевом угле хиральности не исчезает.

Численные оценки коэффициента Пойнтинга Г для всех четырнадцати трубок из 7-константных тетрагональных кристаллов, использующие экспериментальные данные для коэффициентов упругости [2], выявили его осциллирующее поведение с периодом я/ 2 по углу хиральности. Точнее говоря, осцилляции характерны для коэффициента Г2, а Г1 меняется монотонно, оставаясь положительным. Осцилляции указывают на то, что увеличение длины закручиваемой трубки сменяется уменьшением длины и наоборот (можно говорить о смене положительного и отрицательного эффектов Пойн-тинга). Наблюдается, что в пределах одного периода п/2 для двенадцати кристаллов (AgCЮз, С14Н804, СаМо04, CаWO4, LiBi(MoO4)2, LiYF4, ШВ^Мо04)2, ШВ^04)2, РЬМо04, SrMoO4, InPS4, №Ю2) встречаются две смены знаков, а для двух кристаллов С(СН2ОН)4, LiYb0 5ТЬ0 5F4 отмечены необычные осцилляции. Возможно, что это странное поведение связано с неточностью экспериментальных данных для коэффициентов податливости, указанных в [2]. Эти два кристалла в дальнейшем больше обсуждаться не будут. Для перечисленных выше двенадцати кристаллов типичной является зависимость коэффициента Пойнтинга Г от угла хи-ральности а и безразмерного параметра толщины трубки р, которая приведена для кристалла LiYF4 на рис. 1. При фиксированном значении угла хиральности величина коэффициента Пойнтинга Г монотонно растет с ростом параметра р для всех кристаллов. Изменчивость коэффициента Пойнтинга во всем диапазоне углов хи-ральности и при изменении параметра р от 1.1 до 10

Г 0.0

п/2

Рис. 1. Изменение коэффициента Пойнтинга Г с изменением угла хиральности а и параметра толщины р для растягиваемых нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов LiYF4

отражена в табл. 1. В эту таблицу включены максимальные и минимальные значения Г, достигаемые при р = 10, а также значения Г при а = 0 и р = 1.1. В последнем случае имеет место Г < 0 для всех кристаллов, за исключением InPS4 и №Ог. Наибольший диапазон изменения Г характерен для РЬМо04, Гтах - Г^п = 4.62. В табл. 1 наряду с экстремальными значениями в скобках указаны величины углов хиральности, при которых они достигаются.

Интегрирование сдвигового напряжения стф2

позволяет в соответствии с интегральным краевым условием (2) получить зависимость крутильной жесткости С = М2/т от внутреннего радиуса полой трубки г0, отношения внутреннего и внешнего радиусов р, упругих податливостей кристалла • ^ и угла хиральности трубки а (последних из них в виде комбинаций s'ij):

' ' _ '2

'С = Чб1

(

2пг0

+ •1бГ

1 + -

«2

а3

4а0 + а1

р2^б

а0 + а1

V -1

в1

$р3 -1

а2

+ •

а0 + а1 а

-ЕР:

1

р + - 1

рЯ±+3 - 1

Я+

А± + 3

1б

4а0 + а1

ЕР:

Я+ Я±+3 1

р + -р р-3 -1

'±Ь~± р ±

-ря+ А±+ 3

Результат сильно упрощается в частном случае •1б = 0, в котором получаем

с ~ г4(р4 -1).

25

бб

Такой случай возможен для трубок из хиральных 7-конс-тантных тетрагональных кристаллов с углом хираль-ности, который определяется из (6). Тогда для крутильной жесткости имеем

пг4

с±—-

2

28 — 2511 '2б12 >

бб •

а

Таблица 1

Пределы изменчивости коэффициента эффекта Пойнтинга Г для нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов при ограниченном диапазоне изменения р от 1.1 до 10

Материал Г

AgaOз - 0.09 0.60

С14Н804 - 0.06 0.54

СаМо04 - 0.35 2.58

CаWO4 - 0.22 1.44

1ПР84 0.01 0.54

0.02 0.47

LiBi

LiYF4 - 0.14 1.29

NaBi

NaBi

№02 0.00 1.95

0.00 1.95

РЬМо04 - 0.37 2.31

БгМо04 - 0.20 1.31

Рис. 2. Изменение безразмерной крутильной жесткости С/С_ с изменением угла хиральности и отношения внешнего и внутреннего радиусов нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов AgCЮ3 (а), РЬМо04 (б), InPS4 (в), LiYF4

Частный случай s1/6 = 0 получается также для трубок из 6-константных тетрагональных кристаллов (для которых s16 = 0) с нулевой хиральностью и а = я/4 (см. (1)). При а = 0 в формуле для крутильной жесткости следует просто заменить /66 на '66, а при а = я/4 имеем /66 = 2('п _s12). Это соответствует хорошо известному результату С = (я/2)^(^0 _ г04) в пределе изотропной среды [6].

Для численных оценок крутильной жесткости используем безразмерное отношение С/С_, зависящее от угла хиральности а, безразмерного параметра р, безразмерных комбинаций упругих податливостей и не зависящее от радиуса нано/микротрубок г0. Характер зависимостей этой безразмерной крутильной жесткости от первых двух параметров для кристаллов AgCЮз, РЬМо04, 1пРБ4, LiYF4 отражает рис. 2. Во многом аналогичный AgCЮ3 вид имеют зависимости С/ С_ для кристаллов LiBi(MoO4)2, №В^Мо04)2, С14Н804, NaBi(WO4)2, СаМо04, CaWO4. Подобная общность прослеживается и для пары кристаллов РЬМо04 и БгМо04. Для всех 7-константных тетрагональных кристаллов наблюдается сильная зависимость безразмерного отно-

шения С/С_ от угла хиральности и очень слабая зависимость от отношения внешнего и внутреннего радиуса нано/микротрубок. Следовательно, в соотношении для крутильной жесткости (7) определяющую роль играет слагаемое, пропорциональное р4 _ 1. Тем самым с удовлетворительной точностью это соотношение можно переписать в упрощенном виде:

С = У('п> ^ s3з, '6> '66)Г04(Р4 _1)-

Здесь коэффициент у зависит только от комбинаций указанных шести коэффициентов податливости с общей размерностью обратного коэффициента податливости, которые, в свою очередь, определяют зависимость от угла хиральности через (1).

4. Обратный эффект Пойнтинга для цилиндрически анизотропных нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов

В [1] было показано, что даже в отсутствие скручивающего момента (М2 = 0) при продольном растяжении цилиндрически анизотропных трубок из 7-кон-стантных тетрагональных кристаллов растяжение мо-

Рис. 3. Сравнение изменений коэффициентов Пойнтинга Г и Л в пределах одного периода осцилляций л/2 для растягиваемых и скручиваемых нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов AgCЮ3

чезает при нулевом угле хиральности цилиндрических трубок из 7-константных тетрагональных кристаллов.

Коэффициент Л, характеризующий обратный эффект, как и Г в случае прямого эффекта, ведет себя осциллирующим образом при изменении угла хираль-ности с периодом п/2. Причем он дважды меняет знак в пределах одного периода. На рис. 3 проведено сравнение изменений Л и Г на примере нано/микротрубок из кристаллов AgCЮ3 и РЬМо04. Некоторое отражение изменчивости Л для основных 7-константных тетрагональных кристаллов дает табл. 2. В ней приведены максимальные и минимальные значения и значения Л при нулевом угле хиральности и р = 1.1. В последнем случае Л < 0 для всех кристаллов, за исключением 1пРБ4 и №02. Наибольший диапазон изменения Лтах _ _Лт^п = 1.87 характерен для кристалла РЬМо04. Как было указано выше, наибольший диапазон изменения Г также имеет место для РЬМо04.

5. Заключение

Теоретический анализ и численные оценки кручения нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов под действием крутящего момента показали, что при кручении в отсутствие продольной растяги-

жет сопровождаться кручением (т Ф 0). При этом между продольной деформацией е и углом кручения т имеется линейная связь

Л Л М

тг0 =Ле, Л =—, 0 ' N'

так что справедлив линейный обратный эффект Пойн-тинга. Найденные в [1] зависимости М и N от упругих коэффициентов податливости кристалла, угла хираль-ности, отношения внутреннего и внешнего радиусов трубки могут быть представлены в виде

# „3

М = _'1б

Р3 _1, 3

Х:

а2

+ ЕР:

а0 + а1

в

Р3 _1

+к'

р т _1 рЛ++3 _1 .Я+_рЯт Я+ + 3

а3

N='11Р-1+4-—-

4 4а0 + а1

#

р4 _1

+ЕР+,

-р ря++3_ 1 $

+к~г

ря+

я.

Я+ + 3

Из выражений (10)-(12) ясно, что в частной ситуации '{б = 0 обратный эффект Пойнтинга исчезает, как это было и с прямым эффектом. Из них также следует, что обратный эффект Пойнтинга, вообще говоря, не ис-

Таблица 2

Пределы изменчивости коэффициента обратного эффекта Пойнтинга Л для нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов при ограниченном диапазоне изменения р от 1.1 до 10

Материал Л

AgClO3 - 0.25 0.25

C14H8O4 - 0.06 0.07

CaMoO4 - 0.79 0.92

CaWO4 - 0.58 0.61

InPS4 0.01 0.09

0.04 0.10

LiBi

LiYF4 - 0.61 0.65

NaBi

NaBi

NbO2 0.00 0.71

0.00 0.71

PbMoO4 - 0.68 0.93

SrMoO4 - 0.32 0.48

вающей силы возникает изменение их длины, т.е. прямой эффект Пойнтинга. В противоположном случае растяжения трубок при отсутствии закручивающего момента обнаруживается кручение, т.е. имеет место обратный эффект Пойнтинга. Знак обоих эффектов может изменяться, а именно: увеличение длины может смениться укорочением и может измениться направление угла кручения. Оба эффекта исчезают одновременно при определенных условиях. Однако при нулевом угле хиральности такие эффекты в случае 7-констант-ных тетрагональных кристаллов не исчезают.

Расчет крутильной жесткости нано/микротрубок из 7-константных тетрагональных кристаллов показал, что имеет место достаточно простая зависимость четвертой степени от внешнего и внутреннего радиусов трубок, аналогичная известной зависимости для изотропных материалов. Гораздо сложнее оказывается зависимость от большого числа коэффициентов податливости кристаллов и угла хиральности, угла ориентации кристаллической структуры относительно оси трубки.

Разнообразие особенностей механического поведения цилиндрически анизотропных трубок из кристаллов различных кристаллических систем может оказаться важным для различных их приложений для жестких материалов и более мягких биологических структур [7, 8].

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН № 4.11, а также гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук №2 МК-5891.2015.1.

Литература

1. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Лисовенко Д.С. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона для 7-константных тетрагональных кристаллов и нано/микротрубок из них // Физ. мезомех. - 2014. -Т. 17.- № 5. - С. 5-14.

2. Landolt-Bornstein. Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology. Group III: Crystal and Solid State Physics. Second and Higher Order Constants. - Berlin: Springer, 1992. -V. 29a. - P. 172-174.

3. Poynting J.H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. A. - 1909. - V. 82. - No. 557. - P. 546-559.

4. Poynting J.H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distortional waves in steel // Proc. Roy. Soc. A. - 1912. - V. 86. - No. 590. - P. 534-561.

5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512 с.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -

248 с.

7. Janmey P.A., McCormick M.E., Rammensee S., Leight J.L., Georges P.C., MacKintosh F.C. Negative normal stress in semiflexible biopolymer gels // Nat. Mater. - 2007. - V. 6. - No. 1. - P. 48-51.

8. Horgan C.O., Murphy J.G. Reverse Poynting effects in the torsion of soft biomaterials // J. Elast. - 2015. - V. 118. - No. 2. - P. 127-140.

Поступила в редакцию

Сведения об авторах 29.°6.2015 г

Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., проф., чл.-к. РАН, зав. лаб. ИПМех РАН, goldst@ipmnet.ru Городцов Валентин Александрович, д.ф.-м.н., проф., внс ИПМех РАН, gorod@ipmnet.ru Лисовенко Дмитрий Сергеевич, к.ф.-м.н., нс ИПМех РАН, lisovenk@ipmnet.ru