О повторном особом интеграле Коши-Сеге

По своим частотным характеристикам все лексемы ИТБ разделяются на две группы: 1) лексемы, имеющие наибольшую частоту (основные лексемы); 2) лексемы, частота которых не превышает некоторого числового порога. Из них впоследствии формируются реляционные ряды, каждый из которых однозначно соответствует одной из основных лексем.

При этом структура МЛ-компонента [7], отражающего основную лексему, дополняется соответствующими переходными вероятностями.

Построение ИТБ согласно реляционной модели позволяет значительно снизить трудоемкость его прохождения и увеличить эффективность системы обучения в целом. При этом применение реляционной модели хорошо сочетается с другими методами оптимизации структуры ИТБ, в частности с методами оптимального разбиения ИТБ на блоки и модули [5].

Библиографические ссылки

1. Ковалев И. В., Усачев А. В. Мультилингвисти-ческий метод изучения иностранной терминологической лексики на базе мнемотехнического подхода // Первая Всерос. науч. интернет-конф. «Соц.-психол. пробл. развития личности». Вып. 4. Тамбов : ТГУ, 2001. С. 57.

2. Карасева М. В., Ковалев И. В., Суздалева Е. А. Модель архитектуры мультилингвистической адаптивно-обучающей технологии // Новые информ. тех-

нологии в унив. образовании : тез. междунар. науч.-метод, конф. Кемерово : КемГУ и ИДМИ, 2002. С. 204-205.

3. Огнерубов С. С. Алгоритмы оптимизации блочно-модульной структуры информационно-терминологического базиса // Вестн. унив. комплекса. Вып. 20. 2006. С. 104-118.

4. Программа анализа и формирования информационного мультилингвистического терминологического базиса, на основе реляционной модели оптимизации, TuMLas v.1,0 : программа для ЭВМ : свидетельство об офиц. регестрации № 50200701261 / В. О. Лесков, И. В. Ковалев. Зарегистр. ВНТИЦ. 2010.

5. Лесков В. О., Огнерубов С. С. Реляционная модель и алгоритмы оптимизации модульной структуры мультилингвистического информационно-терминологического базиса // Вестн. унив. комплекса. Вып. 21. 2009. С. 116-133.

6. Лесков В. О. Система предварительной обработки текстов, основанная на скрытой марковской модели, в контексте мультилингвистической адаптивно-обучающей технологии // Вестн. унив. комплекса. Вып. 23. 2006. С. 110-119.

7. Ковалев И. В., Карасева М. В., Суздалева Е. А. Системные аспекты организации и применения муль-тилингвистической адаптивно-обучающей технологии // Образоват. технологии и общество - Educational Technology & Society. Вып. 5(2). 2002. С. 198-212.

M. V. Karaseva, D. V. Kustov

INFORMATIONAL AND TERMINOLOGICAL BASIS IN MULTILINGUAL ADAPTIVE-TRAINING TECHNOLOGY

The paper considers functional assignment and structure of the algorithmic software of the multilingual adaptive-training technology. It is realized as a program system TuMLas v. 1,0. The relation model of the informational and terminological basis structure and the initial informational and terminological basis structure are presented as a conceptual ER-diagram.

Keywords: multilingual technology, software system, ER-diagram.

© Карасева М. В., Кустов Д. В., 2011

УДК 517.552

А. С. Кацунова О ПОВТОРНОМ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЕ КОШИ-СЕГЕ

Получен аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге в шаре. Главное значение интеграла рассмотрено в смысле Керзмана-Стейна.

Ключевые слова: интеграл Коши-Сеге, главное значение особого интеграла в смысле Керзмана-Стейна, формула перестановки повторного интеграла.

Будем рассматривать п -мерное комплексное про- Пусть Бт (є) — шар в С" с центром в точке г ра-

странство С" (п > 1) переменных г = (2Х,..., 2п). Если диуса Є т е

г,'№ є С", то (г,= г1м>1 +... + 2п^п, а | г |= у!(¥,^ , где т = (Т1,..., 1п).

в2(є) = кє Си : |ç-z\ <є} .

Тогда B - единичный шар из C”, а именно B = B0(1) = {q: |q|< 1}, а S - граница шара В:

Обозначим через K(q, z) ядро интеграла Коши-Сеге для шара, т. е.

K (q, z) =-----------------------1-,

(Mr

а через CT(q) дифференциальную форму

CT(q)=т”-гг Ê(-1)k-1 qkdq[k ] л d q,

(2n i ) k=1

где dq[k ] = d q л... л dqk-г л dqk+г л... л d qn,

d q = d qr л ... л d qn.

Для любых точек q, z є S выполняются соотношения [1; 2]

Ci I1 -

Интегральное представление Коши-Сеге.

Теорема 1 [3]. Для любой функции f, голоморфной

в В и непрерывной в B, справедлива формула f ( z ) = J f (q) K (q, z ) CT(q), z є B.

S

Рассмотрим для точек z є S главное значение в смысле Керзмана-Стейна [1; 2]:

v. p.h. J f (q) K (q, z) a(q) =

S

= lim J f (q) K (q, z) <j(q),

є^0 J

S\Ez

где Ez(є) = {q : 1 -(q,z)| <є}. Оно отличается от обтічного главного значения v. p. по Коши тем, что из границы области выбрасывается не шар Bz (є), а «эллипсоид» Ez (є). Далее в работе для точек z є S будем рассматривать главное значение в смысле Керз-мана-Стейна и знак v. p. h. будем иногда опускать. Теорема 2 [1; 2]. При n > 1 справедлива формула

v. p.h. J f (q) K (q, z) a(q) = Г, z є S. S2

Обозначим для интегрируемой на S функции f предельное значение интеграла

J f

S

изнутри шара B через K + [f ].

Функция / удовлетворяет на £ условию Гельде-

ра с показателем а, 0 < а < 1, (т. е. / є Са (Б)), если для точек д, г є Б выполняется неравенство [2]:

|/(д) - /(т)| < С I1 -(?, т) 1“.

Заметим, если функция / удовлетворяет на Б условию Гельдера относительно метрики |1 - , то

она также будет удовлетворять условию Гельдера относительно метрики |д- с тем же показателем (так как верно соотношение (1).

Теорема 3 [1; 2]. Если / є Са (Б), 0 <а<1, то интеграл К + [/] непрерывно продолжается на Б и К + [/] є Са (Б) и справедливо равенство

K + [ f ] = v. p. h. J f (q) K (q, z) a(q) -

f

z є S.

Целью работы является получение аналога формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге в случае, когда главное значение особого интеграла рассматривается в смысле Керзмана-Стейна.

Вспомогательные результаты. Следствием оценок, приведенных в [4], являются леммы 1 и 2.

Лемма 1. Пусть f є Cа (S x S), тогда для z є S

J d ct( w) J f (q, w) K (q, z ) a(q) =

SW Sq

= J K (q, z ) CT(q) J f (q, w) d <j(w),

Sq Sw

где dct(w) - мера Лебега на S.

Лемма 2. Пусть f є Cа (S x S), тогда для z є S и 0 < v < n

J dct(w) J

f fe z )

1 -(q,z) I'

d CT(q) =

J f (q, z) d CT(q) J

d ct

Iі -(q,z) Г

Теорема 4. Пусть /(д,w) = /0(д,w)-|1 -(д,м} |у, /0(д, м)е Са (Б х Б), 0 <у< п, тогда

| dст(м) | /(д, м) К(д, г) ст(д) =

Бм Бд

= 1 К(д, г) ст(д) | /(д, м) dст(м), г е Б.

Бд Б„

Доказательство. Введем разбиение единицы следующим образом. Рассмотрим множество

М = Вдх Вм = {(д, м): д е В, м е В}. Введем в нем

компактные окрестности М1 множества

{д, м)е М : д= м} и М2 множества

|(д,м) еМ : д= г}, пересекающиеся лишь по одной точке (г, г). Тогда открытые множества и1 = М \М1 и П2 = М \ М2 являются покрытием множества М \ {г, г)}. Пусть а1(д,м) и а2(д,м) - гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, т. е. а1 +а2 = 1 на и1 и П2, 0 <а1 < 1, 0 <а2 <1. Тогда а1 (д, м) = 0 в окрестности точки д = м при фиксированном м Ф г, а1 (г, м) = 1, а а2 (д, м) = 0 в окрестности точки д = г и а 2 (м, м) = 1.

Тогда

| dст(м) | /(д, м) К(д, г) ст(д) =

Бм Бд

= | dст(м) | (а! (д, м) + а2 (д, м)) /(д, м) К(д, г) ст(д) =

Бм Бд

= | dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) +

Бм Бд

+ | dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).

Бм Бд

Рассмотрим интеграл

| dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).

Бм Бд

Так как а1 (д, м) = 0 в области Бд п Ем (е), то в последнем интеграле, применив лемму 1, можно поменять порядок интегрирования. Тогда получим

| dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) =

Бм Бд

= | dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).

Бд Бм

Рассмотрим интеграл

| dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д).

Бм Бд

Так как а2(д, м) = 0 в области Бд п Е2 (е), то,

применив лемму 2, можно поменять порядок интегрирования:

| dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) =

Бм Бд

= | К(д, г) ст(д) | а2(д, м) /(д, м) dст(м).

Бд Бм

Таким образом,

| dст(м) | а1(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) +

Бм Бд

+ | dст(м) | а2(д, м) /(д, м) К(д, г) ст(д) =

= | К(д, г) ст(д) | а1(д, м) /(д, м) dст(м) +

Бд Бм

+ | К(д, г) ст(д) | а1(д, м) /(д, м) dст(м) =

Бд Бм

= | К(д, г) ст(д) | (а1(д) + а2(д)) /(д, м) dст(м) =

Бд Бм

= |К(д, г) ст(д) | /(д, м) dст(м).

Бд Бм

Лемма 3. Для точек г0, д0 е Б справедливо равенство

| К(м, г0) К(д0, м) ст(м) = 0, г0 Фд0.

Б

Доказательство. Рассмотрим разбиение единицы, аналогичное разбиению из предыдущей теоремы. Рассмотрим множество М = В. Введем в нем компактные окрестности М1 множества { е М : м = д0}

и М2 множества {м е М : м = г0}. Тогда открытые множества и1 = М \ М1 и П2 = М \ М2 являются покрытием множества М. Пусть а1(м) и а2(м) -гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, т. е. а1 +а2 =1 на П1 и П2, 0 <а1 < 1,

0<а2 < 1. Тогда а1(м) = 0 в окрестности точки м = д0 при фиксированном д0 Ф г0, а1(г0) = 1, а а2(м) = 0 в окрестности точки м = г и

«2(д0) = 1.

Тогда

|К(м,г0) К(д0,м) ст(м) =

Б

= |(а1(м) + а2(м)) К(м,г°) К(д0,м) ст(м) =

Б

= |а1(м) К(м,г0) К(д0,м) ст(м) +

Б

+|а2(м) К(м, г0) К(д0, м) ст(м).

Б

Преобразуем каждое слагаемое отдельно, воспользовавшись теоремой 3 и учитывая, что а1 (г0) = 1,

а2(д0) = 1, ст(м)|Б =ст(м)Б и К(д,м) = К(м,д):

| а1 (м) К(м, г°) К(д0, м) ст(м) =

Б

= Иш [а1

= Иш [а1(м) К(д,м) К(м,г)ст(м)-

2

К

д^д"еБ

Ja 2(w) K (w, z0) K (qG, w) a(w) =

= Ja 2(w) K ( w, z °) K (w, qG) ct( w) =

=Ja2(w) K (w, z°) K (w, qG) a(w) =

= lim Ja2(w) K (w, z°) K (w, q) a(w) -

a2

q—q"ES

= lim Ja2(w) K(w,z0) K(q,w) a(w)-

q—q0ES S

= lim Ja2(w) K(w, z) K(q, w) a(w) -

z—— z0esS

q—q0£S

Тогда, применяя теорему 1, получим

J K (w, z°) K (qG, w) a(w) =

2

K

K

= lim fa1(w) K (q, w) K (w, z) a(w) -

q—qusS

lim Ja2(w) K(w, z) K(q, w) a(w) -

T Ч,0гЄ J

K

K

q—q"ES

= lim J K (w, z) K (q, w) a(w) - K (qG, z°) =

q—qusS

= K(qG, z°) - K(qG,z°) = 0.

Основной результат. Теорема З. Пусть

f є Ca (S x S), тогда для z є S

J K ( w, z ) ct( w) J f (q, w) K (q, w) a(q) =

= J J f(q, w) K (w, z) K (q, w) a(q) a(w)-

f

Доказательство. Преобразуем интеграл следующим образом:

J K ( w, z ) ct( w) J f (q, w) K (q, w) a(q) =

Sw Sq

= J K (w, z ) CT(w) J (f (q, w) - f (w, w) ) K (q, w) a(q) +

Sw Sq

+ J K (w, z ) CT(w) J ( f (w, w) - f ( z, w) ) K (q, w) a(q) +

Sw Sq

+ J K (w, z) CT(w) J ( f (z, w) - f (z, z)) K (q, w) a(q) +

Sw Sq

+f (z, z) J K (w, z) CT(w) J K (q, w) a(q).

sw Sq

В первых трех интегралах по теореме 4 можно поменять порядок интегрирования. По теореме 2

J K (w, z ) CT(w) J K (q, w) CT(q) = 4,

sw Sq

а по лемме 3

J J K ( w, z) K (q, w) a(w) a(q) = 0.

Sq sw

Тем самым доказан аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге и для главного значения в смысле Керзмана-Стейна.

Библиографические ссылки

1. Kerzman N., Stein E. M. The Szego kernel in terms of Cauchy-Fantappie kernels II Duke Math. J. 1978. Vol. 45. № 3. P. 197-224.

2. Alt W. Singulare integrale mit gemischten homogenitaten auf mannigrfaltigkeiten und anwendungen in der funktionentheorie II Math. Zeit. 1974. B. 137. № 3.

S. 227-256.

3. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из C”. М. : Мир, 1984.

4. Кацунова А. С. О формуле перестановки повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли в строго псевдовыпуклых областях II Журн. СФУ. Математика и физика. 2011. Т. 4(1). С. 102-111.

A. S. Katsunova

ON ITERATIVE SINGULAR CAUCHY-SZEGO INTEGRAL

The article presents an obtained Poincare-Bertrand formula analog for Cauchy-Szego integral in a full-sphere. Principal value of integral in terms of Kerzman-Stein is considered in the article.

Keywords: Cauchy-Szego integral, principal value of integral in terms of Kerzman-Stein, formula of change of integration order for iterative integral.

© Кацунова А. С., 2011

+