Численный анализ напряженно-деформированного состояния тонких оболочек при использовании треугольного конечного элемента с множителями Лагранжа

АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ

УДК 539.3:624.074.4

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА С МНОЖИТЕЛЯМИ ЛАГРАНЖА

Ю.В. Клочков, доктор технических наук, профессор А.П. Николаев, доктор технических наук, профессор О.В. Вахнина, кандидат технических наук, доцент

ФГБОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

В настоящей работе изложены результаты вариативного исследования множителей Лагранжа в алгоритмах формирования матриц жесткостей треугольных элементов дискретизации.

Ключевые слова: оболочка вращения, метод конечных

элементов, треугольный конечный элемент, множители Лагранжа, матрица жесткости, элемент дискретизации.

Современные мелиоративные системы, а также системы сельскохозяйственного водоснабжения широко используют трубопроводы высокого давления, надежная работа которых во многом зависит от точности анализа их напряженно-деформированного состояния. Учитывая сложную геометрию трубопроводов (стыки, разветвления и прочее), аналитический расчет такого рода конструкций весьма затруднителен, а подчас и невозможен. Поэтому эффективное решение возможно лишь при использовании современных численных методов, таких как метод конечных элементов (МКЭ). Применение МКЭ к расчету трубопроводов как оболочечных конструкций имеет ряд особенностей, которые требуют дальнейшего совершенствования алгоритмов. Исследования [1] показывают, что точность конечно-элементных решений, полученных при использовании треугольных элементов дискретизации, во многом зависит от вида внешней нагрузки, приложенной к исследуемому объекту.

В настоящей работе излагается алгоритм расчета оболочек на основе треугольных конечных элементов (КЭ), матрицы жесткости которых формировались с использованием множителей Лагранжа.

Конечный элемент выбирается в виде криволинейного треугольного фрагмента срединной поверхности оболочки вращения с узлами ],к (рис. 1).

Столбец узловых варьируемых параметров рассматриваемого треугольного элемента дискретизации в глобальной системе координат содержит компоненты вектора перемещения и их первые производные по криволинейным координатам Б (длина дуги меридиана) и 0 (угол, отсчитываемый от образующей против хода часовой стрелки) [2]

{и;Г={КГ№ГКГ|. О)

1x27 I 1x9 1x9 1x9 J

где 11 и V - тангенциальные, а \¥ - нормальная компонента вектора перемещения.

Входящие в правую часть (1) подматрицы-строки имеют следующий вид

Ч Ч Ч-- 4,8 Ч-- ч- ч- ч

Л

где под ц понимается компонента вектора перемещения и, у или ду •

Рассматриваемый треугольный КЭ является совместным по компонентам вектора перемещения, но несовместным по их производным, в силу чего возникает погрешность конечно-элементных решений при использовании данного типа элементов дискретизации.

На границах между смежными элементами должно выполняться равенство между производными нормальной компоненты вектора перемещения в направлении внешней нормали к стороне элемента (рис. 2),

которое в силу противонаправленности ортов г^-к и п г I- может быть записано в виде

<Э\¥

С1)

ду/'

С11)

= 0,

где верхние индексы I, II указывают на номера смежных элементов дискретизации.

Рисунок 1

Однако, равенство (3) в силу несовместности по производным компонент вектора перемещения не выполняется, поэтому для его корректного соблюдения предлагается рассмотреть интегральное равенство

с!/^к = 0.

где Р к - длина дуги стороны дискретного элемента; к - значение множителя Лагранжа

в произвольной точке дуги ^- дифференциал дуги j_ ^ .

Для отдельного треугольного конечного элемента равенство (4) может быть трансформировано к виду

I л г" с1/ • I Г-к^-с1Гк+ I -^

/н ¡и ¡1,

где и 1 - значения множителей Лагранжа в произвольных точках

соответствующих сторон дискретного элемента.

Рассмотрим треугольный элемент дискретизации в локальной системе координат о<^,г|<Ь Связь между глобальными 8,0 и локальными г| координатами осуществляется с помощью

соотношений

Б =

Множители Лагранжа на границах треугольного КЭ с учетом (6) могут быть выражены через их узловые значения ^(т1 = 0) = (1-^Ч^;

1 (^ = 0) = (1 - л)^1 + П^к.

Соотношения (7) могут быть представлены в матричном виде

3x1 3x3 3x1

где =1^-^-^-.}; {¡ц}т = {*,№}

1x3 3x1

Производные нормальной компоненты вектора перемещения в направлении нормалей к сторонам треугольного КЭ могут быть выражены через стандартный набор узловых варьируемых параметров в локальной системе координат

^ = Ш{иП |?Г = Г, (.,)№!; <9>

гДе ^ (^), f2 (т|), (т|) - функции, зависящие от координат на соответствующих сторонах

локального треугольника.

Входящий в (9) столбец узловых неизвестных в локальной системе координат имеет следующую структуру

{и;-}1 = |и;!1И}т!»;-}т). а»)

1x27 4 1x9 1x9 1x9 7

В результате ряда преобразований соотношение (5) записывается

в виде

Мт №»]{у;}= Мт И{и;,}=о,

1x3 3x27 27x27 27x1 1x3 3x27 27x1

[Ря] - матрица преобразования, формируемая на основе соотношений, получаемых

где

дифференцированием (6) по локальным координатам ^ и ^

58/5^ = <Э8/<Эг| = 8к- в1;

50/б£ = 0]-0‘; Э0/Эг| = 0к-01.

Функционал, выражающий равенство работ внешних и внутренних сил на возможном перемещении для треугольного КЭ [2], с учетом (11) может быть записан в следующем виде

ф - {и; }т[к]{и;-}- {и^.}т{к}+ {^у }ти{и; }=о, оз>

гДе [к], {я} _ матрица жесткости и столбец узловой нагрузки треугольного КЭ [2].

Минимизируя функционал (13) по узловым неизвестным {иу}т и

узловым значениям корректирующих множителей Лагранжа |Л,У }т,

получим систему уравнений

ЭФ

^=М{и;}-{к}+ИтЫ=0;

ЭФ

= №}=о.

Систему уравнений (14) можно представить в расширенной конечно-элементной формулировке

[к1{и;}=К},

-р л.-'Ур,

30x30 30x1

р > 30x1

где

К]

[к] [г]т

27x27 27x3

[2] [0]

расширенная матрица жесткости треугольного КЭ;

'УpJ

1x30

- вектор искомых узловых неизвестных; |т _ ^- расширенный

1x27 1x3 J 1х30Р 1x27 1x3

вектор узловых усилий.

В результате выполнения ряда расчетов был сделан вывод о неэффективности использования этого алгоритма.

В качестве альтернативы рассмотренному выше алгоритму можно рассмотреть вариант, в котором уравнение (5) записывается не по длинам сторон треугольного КЭ, а для узлов, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации:

! Эху1

д

\¥

А/

д

\¥

= 0.

Входящие в

д£

соэ а

К}1

д£ ае

(иу1

гДе аш и - углы между вектором пт и касательными векторами локального базиса а° и а" узла ш (ш=1,2,3), расположенного в середине стороны треугольного элемента на срединной поверхности оболочки соответственно.

В отличие от функций 1^}, входящих в (9), полиномиальные выражения (17) определяются путем подстановки в интерполяционные полиномы третьего порядка {^}[2] координат узлов 1, 2, 3,

расположенных в серединах сторон треугольного КЭ.

Таким образом, процедура интегрирования по сторонам треугольного элемента дискретизации исключается.

Выражение (16) с учетом (17) может быть записано в виде

{г }т [ф][ря ]{и^ }= {г }т [у]{и^}= 0,

1x3 3x27 27x27 27x1 1x3 3x27 27x1

где{г}Т={^2А,3}.

Дальнейшая процедура получения расширенной матрицы жесткости и столбца узловых нагрузок треугольного КЭ совпадает с описанным выше алгоритмом.

К

/гс— Н»т

£

Рисунок 3

Пример расчета. Жестко защемленный по торцам цилиндр, нагруженный внутренним давлением интенсивности q (рис. 3). Исходные данные: Ь = 1.0м; Я = 1.0м; Е = 2-105МПа; 1/ = 0.3;

1 = 0.02м; q = 5MПa. Расчеты были выполнены в двух вариантах. В первом варианте была реализована стандартная для треугольного КЭ процедура [2]; во втором варианте в середины сторон вводились корректирующие множители Лагранжа (соотношения (16).. .(18)).

Анализ контролируемых параметров напряженно-деформированного состояния оболочки показывает, что во втором варианте

наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса уже при достаточно редкой сетке дискретизации.

Таблица 1 - Значения напряжений в точках жесткой заделки

Численные Вариант расчета

значения I II

напряжении, число узлов сетки дискретизации

Мпа 4x9 4x17 4x33 4x49 4x9 4x17 4x33 4x49

ов м 222.59 149.91 108.06 93.14 459.99 475.49 479.62 480.40

Он м -98.43 -24.94 17.22 31.99 -339.0 -356.1 -360.3 -361.1

оср м 62.08 62.48 62.64 62.56 60.01 59.72 59.68 59.68

ов к 67.78 44.97 32.42 27.94 138.00 142.65 143.89 144.12

Он к -29.53 -7.48 5.17 9.60 -101.0 -106.8 -108.1 -108.3

оср к 18.62 18.75 18.79 18.77 18.00 17.91 17.90 17.90

При реализации стандартной конечно-элементной процедуры для треугольных КЭ (I вариант) численные значения напряжений имеют разноименные знаки лишь при редкой сетке дискретизации, а со сгущением сетки напряжения на внутренней и наружной поверхностях оболочки становятся только растягивающими, что противоречит физическому смыслу решаемой задачи.

Таким образом, можно сделать вывод о высокой эффективности алгоритма (16)...(18), основанного на применении корректирующих множителей Лагранжа в дополнительных узлах, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации.

Библиографический список

1. Клочков, Ю.В. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной форм в расчетах оболочек вращения [Текст] / Ю.В. Клочков А.П. Николаев, H.A. Гуреева // Изв.вузов. Сер. Строительство. - 2004. - №3. -С.103-109.

2. Клочков, Ю.В. О функциях формы в алгоритмах формирования матриц жесткости треугольных конечных элементов [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.П. Киселев // Изв. вузов. Сер. Строительство. - 1999. -№ 10. - С. 23-27.

E-mail: Ovahnina@bk.ru