Эффективность применения теории катастроф для исследования состояния структуры направленных сверхзвуковых недорасширенных струй

УДК 533.6

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СОСТОЯНИЯ СТРУКТУРЫ НАПРАВЛЕННЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ НЕДОРАСШИРЕННЫХ СТРУЙ

Т. В. Сиромская, В. С. Фаворский

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

В ходе истечения струй газов из двух сопел, возникает несколько равновесных состояний структуры. Некоторые из данных равновесных состояний являются неустойчивыми. Описывается способ определения переходов от одного состояния к другому.

Ключевые слова: газодинамическая структура, недорасширенная сверхзвуковая струя, контактная поверхность, неоднозначность, теория катастроф

EFFICIENCY OF APPLICATION OF CATASTROPHE THEORY

TO STUDY THE CONDITION OF STRUCTURE OF DIRECTED UNDEREXPANDED SUPERSONIC JETS

T. V. Siromskaya, V. S. Favorskiy

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation

During expiration of gas jets from the two nozzles, there are several equilibrium conditions of the structure. Some of these equilibrium conditions are unstable. We describe a method for determining transitions from one condition to another.

Keywords: the gas dynamic structure, underexpanded supersonic jet, contact surface, ambiguity, catastrophe theory.

Теория катастроф носит общий характер и применима во многих областях, в связи с чем, её полное применение для изучения газодинамической структуры, как, в общем, и для анализа численного моделирования, может стоять под вопросом.

Первые сведения о теории катастроф появились около 1970-х годов. Источниками теории катастроф являются: теория особенностей гладких отображений Г. Уитни, представленная далеким обобщением задач на экстремум в математическом анализе, а также, теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андронова [1].

Применимо к данной теории, катастрофа - это скачкообразное изменение, возникающее в виде внезапной реакции системы на плавное изменение внешних условий. Самой же теорией катастроф называется математическая теория, анализирующая поведение нелинейных динамических систем при изменении их параметров.

Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать раз и навсегда.

Результатом применения теории является определение точек катастроф, зная местоположение которых, можно выяснить далеко ли от катастрофы находится система и определить когда будет катастрофа. А также, при необходимости найти способ избежать её, если это возможно.

Определение происходит с помощью «флагов катастроф» - особенностей поведения системы в окрестностях таких критических точек. Часто встречается сразу несколько «флагов катастроф»:

Секция «Проектирование и производство летательньк аппаратов»

- наличие нескольких устойчивых состояний системы;

- существование неустойчивых состояний, из которых система выводится слабыми «толчками»;

- необратимость системы - невозможность вернуться в прежнее состояние;

- «критическое замедление» - нет заметного результата при использовании множества усилий.

Не смотря на общий характер теории катастроф, конкретное применение теории бифуркаций и теории особенностей Уитни, предполагающих теорию катастроф, могут быть весьма полезны при численном моделировании. Используя аппроксимацию имеющихся значений по трем параметрам, можно с высокой точностью определить все возможные варианты значений и вычислить необходимые, используя полученную плоскость. А также, с помощью построения данной плоскости, легче визуально воспринимать зависимость сразу от трех параметров (к сожалению, в евклидовом пространстве визуализация более трех параметров невозможна, допускается только построение математических моделей).

При проведении исследования ударно-волновой структуры встречных струй с одинаковыми параметрами, направленных симметрично под определенным углом, при изменении расстояния между ними, фиксировались значения параметров, при которых изменялось положение контактной поверхности [2-3].

Рассмотрим трехмерное пространство возможных состояний. Состояния, при которых система находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность. Спроектируем эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего параметра. Это проектирование имеет складки и сборки (по теории особенностей Уитни).

Проекция точек складок и сборок и есть теория катастроф [4].

На рисунке ясно видно, почему переход управляющих параметров через линию катастроф иногда вызывает скачок (это зависит от того, какой части нашей поверхности отвечает состояние системы).

Пользуясь данной моделью состояний, можно переходить с одного места поверхности равновесия в другое без скачков, с помощью правильного изменения управляющих параметров.

Для системы встречных соосных сверхзвуковых струй множество положений контактной поверхности изображено на рисунке, которая задается семейством функций, зависящих от параметров а, Ь, с, й:

ДС) = С6 + аС4 + ЬС3 + сС2 + йС.

Многообразие катастроф «бабочка»

Как видно по рисунку, равновесные состояния соседствуют с неравновесными, описывая полный набор реализуемых в эксперименте газодинамических структур. Понимание процесса перехода одной структуры в другую позволяет предсказать распределение давлений на поверхности летательного аппарата, при его проектировании [5-8].

В связи с чем, применение теории катастроф является эффективным для анализа газодинамической структуры сверхзвуковых недорасширенных струй. Так как помогает в понимании закономерности процессов, происходящих в динамической системе.

Библиографические ссылки

1. Арнольд В. И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. М. : Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. С. 128.

2. Соколов Е. И., Усков В. Н. Волновая структура встречных сверхзвуковых недорасширенных струй // Инж. физич. журнал, 1974. Т. 24. № 3. С. 429-435.

3. Дулов В. Г., Лукьянов Г. А. Газодинамика процессов истечения. Новосибирск : Наука, 1984. С. 182-196.

4.Постон Т., Стюарт И. Элементарная теория катастроф. М. : Мир, 1980. 608 с.

5. Фаворский В. С., Горшков Г. Ф., Усков В. Н., Нестационарный поток недорасширенной струи вокруг неограниченного препятствия // Журн. прикладной механики и технической физики. 1993. Т. 34, вып. 4. С. 503-508.

6. Фаворский В. С., Соколов Е. И., Шаталов И. В. Влияние угла между осями сопла на взаимодействие двух одинаковых сверхзвуковых струй // Теплофизика и Аэромеханика. 2000. Т. 1. С. 47-53.

7. Favorskiy V. S., Savin A. V., Shatalov I. V., Sokolov E. I. Nonuniqueness of Gas Dynamic Structures in Two Opposing Underexpanded Jets Interaction Rarefied Gas Dynamics. Oxford. Oxford University Press, 1995. Vol. 2, р. 1238-1334.

8. Favorskiy V. S., Sokolov E. I., Shatalov I. V. Savin A. V. Effect of rarefaction nonstationary interaction of supersonic underexpended jet on normal infinit flate 38 plate // 18-tin International on sympozium of Rarefied gas dinamics, Book of Abstract, New-York, 1992.

© Сиромская Т. В., Фаворский В. С., 2017