Замкнутая пространственная задача теории пластичности

III МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГП ТА

МАШИНОБУДУВАНН1

УДК 539.374.001.8

Д-р техн. наук В. В. Чигиринский, канд.техн. наук С. П. Шейко Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье

ЗАМКНУТАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ

ПЛАСТИЧНОСТИ

В обработке металлов давлением имеют место динамические задачи теории упругости и пластичности. Поставлена и решена пространственной задачи теории пластичности в аналитическом виде. Использование метода гармонических функций позволило замкнуть решение в напряжениях и скоростях деформаций. Аналитически удалось описать участки перехода по напряжениям и скоростям деформации, удовлетворить граничные условия по этим параметрам.

Ключевые слова: обработка металлов давлением, теория пластичности, динамическая задача, гармоническая функция.

Введение

Анализ показывает, если удается математически описать участки перехода из одной зоны пластичного течения металла в другую, то появляется возможность аналитического решения задач теории пластичности. В работах [1-5] предложено аналитическое решение плоской задачи теории пластичности с использованием гармонических функций. В напряжениях решена пространственная задача [6]. Использование гармонических функций, как показывает дальнейший анализ, позволяет аналитически получить замкнутое решение пространственной задачи, как с учетом статистической, так и кинематической составляющих.

Принимается т ХУ = 0. Во многих задачах обработки металлов давлением влиянием данного компонента тензора напряжений пренебрегают [7, 8]. На рис. 1 показаны компоненты тензоров напряжений в общей постановке и предлагаемой. Кроме этого показан очаг деформации с переходными зонами и соответствующими касательными напряжениями.

В этом случае имеет место 14 неизвестных ст , ст , ст, V V ^ ЪГ^ К К в2 где К К - СОПрОПШЛВ-

ние пластической деформации вдоль осей симметрии Р1, Р2 - фрагмент интенсивности сдвиговой деформации. Отсюда в постановочной части замкнутой задачи теории пластичности в системе должно присутствовать 14 уравнений.

Рис. 1. Компоненты тензоров напряжений и схема действия касательных напряжений в плане для пространственной задачи

© В. В. Чигиринский, С. П. Шейко, 2013 120

Постановка задачи 1. Уравнения равновесия

d^L+.dbz=0

dx dz

дт yz da y

+ —y = 0,

dz dy

дт » + + = 0.

dx dy dz 2. Обобщенные уравнения равновесия

dx 2

dz 2

d2

dxdz

2£j.

2

1 -

К

^yz ^yz

dy 2

dz2

2k2

dydz ^

V

1 -

V k2

3. Уравнения связи

Sx -Sz 2Sx + Sy

2т,

y z

S y 4 z y x

2t

yz

Y yz Y yz

4. Уравнение несжимаемости

Sx +S y + S z = 0.

5. Уравнения неразрывности скоростей деформаций

d 2 S x , d 2 S z

d2

d 2 S y, d 2S z d 2 Y

zy

dy 2

dzdy

.

dz2 dx2 dzdx dz2

6. Граничные условия ти1 = k • sin

Решение задачи в напряжениях

Использование обобщенных уравнений равновесия (2) позволяет привести полученный результат в соответствие с уравнениями (5). Граничные условия (6) математически описывают зоны перехода от одного участка пластического течения металла к другому, как в напряжениях, так и деформациях.

Решение плоских задач в аналитическом виде представлено в работах [1-5]. Для удовлетворения граничных условий вида (6) необходимо

тxz = к1 • sin А1Ф1, Т^ = k2 • sin А2Ф2 ,

где А1 и А2 - постоянные, определяющие параметры пластической среды; Ф1 и Ф 2 - неизвестные коорди-

натные функции, определяемые решением задачи, к2 - сопротивление пластической деформации сдвига вдоль осейX и У, зависящие от координат очага деформации.

Особенностью решения уравнений (2), кроме тригонометрической подстановки, является использование фундаментальных функций. Они применяется, если дифференциальное уравнение в частных производных является линейным [9]. Из этого следует

k1 = Са1 • exP01, k2 = Са2 ' exp 62 ;

где Сст1 и Са2 - постоянные, определяющие размерность сопротивления сдвигу в направлениях осей X и Y; 6 j и 62 - координатные неизвестные функции, определяемые решением задачи вдоль этих же осей. При этом необходимо иметь в виду, что тxz = f (x, z),

Tyz = f (^ z).

Подставляя вводимые функции (7) и (8) в (2) получим следующее

6» + (61 x + А1Ф1г )2 -61 гг - (61 z - AJфJx )2 ]х

X sin А1Ф1 + ^[2 • (AJфJx-61 z) • (61 x +AJфJz) +

+ C^xx -AJФJzz)]• cosА1ф1 =-2 • Са1 • AJфJxz X X sin A1Ф1 + 2 • Cа1 -61 xz • cos A1Ф1.

Появляются одинаковые скобки (61 x +Ax01z) и (61 z - Ax01x) в операторах тригонометрических функций (9). Принимая их равными нулю, избавляемся от нелинейности, получаем соотношения Коши-Римана, которые превращают уравнения в тождество. Покажем это. Имеем

61 x =-AxOxz , 61 z =A10Le.

61xx = zx ,

61 zz = A1^xz , 61 xz = A1^zz = ^^xx .

Из соотношений (10) и (11) определяются функции 61 и . Они гармонические и удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е.

61 xx +61 zz = 0, A11xx + A11zz =

Аналогичные преобразования имеют место и для второго обобщенного уравнения равновесия при подстановке (7) и (8) в (2). Действительно, можно записать

^ [е2 у, + (02 у +а2Ф

- (022 -А 2Ф 2 у )2 ]х

X ¡ИПА2Ф2 + СС2 -[2 • (А2Ф2У-022 ) • (02у +А2Ф22 ) + +(А2Ф2УУ -А2Ф222)] = -2-Сй • А2Ф2У2 • А2Ф2 +

+ 2^ Cj2 ^ • COSA2Ф2.

xz

2

d

yz

a x -a z

Y

Y

xz

xz

Y

zx

ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2013

121

Далее

e2y = -А2ф2z , e2z = А2ф2y,

01 yy =-А2Ф2zy , e2zz =А2Ф2yz ,

e2yz =А2Ф2zz =-А2Ф2yy ,

0 2 yy +e 2 zz = А2Ф 2yy +А2Ф2 zz = 0.

С учетом (13),(14) появляется определенность для функций 62 и А2Ф2.

Подставляя выражения для касательных напряжений в уравнения равновесия (1), интегрируя, получим аналитические зависимости для нормальных напряжений. Компоненты тензора напряжений имеют вид

стх = Cci • exp 01 • cos А1Ф1 + ст + f (y, z) + C^

стy = Cct2 • exp 02 • cos А2Ф2 + ст + f (x, z) + C2,

стz = —

+ CT + f (x, y) + C3,

Txz = Са1 * exp ei • Sin А!фх,

tyz = Са2 • exp e2 • Sin А2Ф2

при 01 x = -А1Ф1У , 01 y =А1Ф1х ,

01 xx +01 zz = 0, А1Ф1хх + А1Ф^ = 0.

02y = —А2Ф2z , 02y =А2Ф2x ,

02yy + 02zz = 0 , А2Ф2yy + А2Ф2zz = 0.

Определены условия существования вводимых функций и дифференциальные уравнения, определяющие их значения. Таким образом, решения (15) удовлетво -ряют систему уравнений для пространственной задачи в напряжениях.

Уравнения связи пространственной задачи теории пластичности

Воспользуемся уравнениями связи (3). Подставим в левую часть выражения, формулы (15), тогда

ст x —ст _ ^ Сст2 exp 02 • cos А2Ф2

2т xz

y z

2Са1 exp01 • sin А1Ф1

-=ctgA 2ф 2 + С-1ехр 0уcos А1ф1 .

2т 2Са2 ехр 62 • sin А 2Ф 2

На основании равенства аналогично скомбинируем правую часть уравнений связей для составляющих скоростей деформаций с учетом условия несжимаемости. Имеем

Y xz = 2х • £В^, Y yZ = 2 -5 y-, I y = С52 exP e2 • COS в 2Ф 2

. 2С51 exp e1 • sin В1Ф1

Y xz

5 x С exp e1 • cos В1Ф1

h Ф 2.

Y

2С|2 exp e2 • sin В2Ф2

yz

Определение составляющих тензора скоростей деформаций

Следуя вторым соотношениям выражений (16) можно принять

5y = С52 • exp e2 • cos В2Ф2,

I x = C%1 • exp 0r cos В1Ф1,

подставляя (17) и (18) в первые соотношения (16) получим для сдвиговых скоростей деформаций

YXZ = 2 • Су • ехр0! • sinБ1Ф1,

Y= 2 • C2 • ехр02 • sinВ2Ф2, С учетом условия неожимаемости. Для линейных скоростей деформации

5x = C51 • exp e1 • cos В1Ф1, 5y = C52 • exp e22 • cos В2Ф2, 5z = -(C51 • expe1 • cos А1Ф1 + C^-2 • expe2 • cos А2Ф2).

Yxz = 2С^1 •expe^sin В1Ф1 , yyz^•Cq•exp•sinВ2Ф2.

Согласованные с полями напряжений поля скоростей деформаций необходимо привести в соответствие с уравнениями неразрывности скоростей деформаций (5). Для этого необходимо подставить выражения (24) в (5) и определить условия, при которых данные зависимости будут удовлетворять дифференциальным уравнениям.

При этом Y xz = /4(x, z), Y yZ =f5(У, z).

Проанализируем полученный результат для каждого из шести дифференциальных уравнений неразрывности скоростей деформаций, имеем [10]

д 25 x +5 25 z 5z2

52

Y z

5 25y + 5 25 z

5x2

dzdx

5z2

5Üx , 525. 5y2

5x

_5_

5y

f = 0, — 2 5x

5y2

Л

5 y 5y ...

1 zx ' yz

5y

5x

= 2

5 25 x

5y5z

5 Y yz 5x

5y

5z5x

Первое дифференциальное уравнение (22) представляется в виде

д2

dz

2

dx'

,2

d2

dzdx

Второе уравнение совместности скоростей деформаций

d2

dz2 dy2

d2 (2 • CS2 • exp6'2 • sinВ2Ф2) dzdy

Третье уравнение (22) при подстановке значений (25) тождественно равно нулю. Четвертое, пятое и шестое дифференциальные уравнения (22), также тождественно равны нулю и в плане определения функций ничего не дают, т. к.

dY dY d2Sz

V =-Ux = —— = 0,

dx dy dxdy

dY dY d Sx dy dx dydz

d y ^ = dz«=^=0

dx dy dzdx ' Таким образом, дееспособными являются только первые два дифференциальных уравнения системы (22), позволяющие установить зависимости между вводимыми неизвестными функциями, для скоростей деформаций.

d2 (2 • H S1 • exp 61 • sin В1Ф1) dzdx

d2 (Hs2 • exp 6;, • cos В2Ф 2 ) d2 Hs2 ' exp 622 •

cosВ2Ф2 I

dz 2

sy2

d2

dzdy

Если имеем соотношения (20) тогда дифференциальные уравнения примут вид

Су[-61» -

Далее

Cs2 Kyy - (62 y +В2Ф 2z )2 +62 zz - (62 z -В 2Ф 2 x )2 ]x X cos В2Ф2 + Cs2 •Ь • (В2Ф2y -6"z ) • (62y +B2Ф2z ) +

^S2 L V 2^2y 2z / V 2y ^

+ (В 2Ф 2 yy -В 2Ф 2 zz )]• sin В2Ф 2 = 2 • Cs2 •В2Ф 2 yz

X cos В 2Ф 2 + 2 • Cs2 ^ • sin В2Ф 2.

62z =В2Ф2y ;

Условия, которым удовлетворяют (23).. .(32) имеют

вид

ej'x = -вф , elz = в^, e2 у = -в2ф 2 г,

|x = C%1 • exp el • cos в1 Ф1.

5 z =-(c у • exp ei • cos А1ф1 + C52 • exp G2 • cos A2Ф2 ),

Yxz =2-C51-expej'-sinВ1Ф1, Yyz = 2 • Cy • exp e2 •sm в2Ф2. Условия существования решений

elx = -В^ , elz =В1Ф1х , G2у =-В2Ф2z , G2z =в2Ф2у .

elxx+e1zz = 0, В1Ф1хх +В1Ф1,, = о,

e2 yy +e2 zz = о, В 2Ф 2 уу +В1Ф1,, =0.

Из выше приведенных соотношений следует, что подходы, сформулированные в постановочной части задачи и при ее решении, с помощью метода гармонических функций, в аналитическом виде позволяют полностью удовлетворить систему уравнений пространственной задачи теории пластичности, как по напряжениям, так и по скоростям деформациям.

Анализ полученных решений

Полученные решения должны соответствовать общепринятым физическим данным и не противоречить установленным понятиям в прикладной теории пластичности. Рассмотрим тестовые решения. Имеем осадку прямоугольной полосы параллельными шероховатыми бойками. Приводя выражения (15) к виду, который предусматривает в очаге деформации нормальные напряжения одинакового знака, имеем

ax = —Ca1 • expej • cosА1Ф1 + C,aу = -Ca2 • expG2 • cos А2Ф2 + C,

az = —3• Ca1 • expGj • cosА1Ф1 -3 • ca2 • expG2 • cos А2Ф2 + c .

После подстановки граничных условий в (15) определяем постоянные интегрирования

Cq1 =

Cq1 =

k0

2 • exp610 • cos AiФi0 k0

2 • exp 610 • cos A^10

ISSN 1607-6885 Hoei матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2013

123

А1ф10 =А1А6 • -2- • к, А2Ф20 =А2А7 •Ъ • -2,

А1А6 = 4А2А7 = 4 А2Ф20

¡к ' 27 Ък Переходя к точке на контактной поверхности, име-

ем

= ^2 = 51П А2Ф20

008 А1Ф1

008 А2Ф 20

или А1Ф10 = агс!^, А 2Ф 20 = агс!^ 2. При этом

010 = _2 •

А1Ф1,

(И _ к! ^

4 4

I • к

\ У

Интегрируя, получим

0' =-2 2 Ъ • к

( Ъ2 _ к!А

4 4

&0

2 • 008 А1Ф1

• ехр(01 _010 )•

008 А1Ф1 +-

^0

ст V =--

у 2 • 008 А9Ф9

3^0

• ехр1

(02 _ 020 )•

008 А2Ф2 +

ч 2 • 008 А1Ф10

ехр (01 _010 )008 А1Ф1 +

3^0

2 • 008 А2Ф20

ехр (02 _020 )008 А 2Ф 2

+ к0

При этом, один из вариантов решения уравнения Лапласа являются выражения

А1Ф1 = А1А6 • х • г, А2Ф2 =А2А7 • V • г ,

01 =_ 1 • А1А6 •( _г2),

02 =_ 1 • А2А7 •( _г2).

На рис. 2 и 3 показано распределение нормальных контактных напряжений (28) вдоль осей X и У соответственно, на разных от них расстояний.

Рис. 2. Распределение нормальных напряжений на контактной поверхности, вдоль оси X, при к = 10 мм, Ъ = 140 мм,

{ = 0,3 , I = 70 мм, при V = 0;-Ъ-;Ъ;Ъ;Ъ

16 8 4 2

Вдоль осей X и У напряжения ст г распределены по выпуклой кривой, что определяется касательными контактными напряжениями тхг и т ^ .

Относительные напряжения 10 -1 --х=1/8

*

* * у ш *

ГУ * Ш  *

< к N

/ / ч

У /

-0,6 -0,4 -0,2 Относительная длин 0 0,2 0,4 0,6 очага деформации

Рис. 3. Распределение нормальных напряжений на контактной поверхности, вдоль оси У, при к = 10 мм, Ъ = 140 мм, / = 0,3 , I = 70 мм,

Причем, на разных расстояниях от осей их значения разные. Чем ближе к боковой или торцевой кромкам, тем они меньше, что соответствует выводам многих работ, включая [7]. На рис. 4, 5 видно, что ширина полосы влияет на величину и характер распределения контактных нормальных напряжений вдоль оси X, при разных значениях фактора формы

Относительные напряжения 1  --Ь/1 =1

—

* — -л У — ♦ ♦

-0,6 -0,4 -0,2 Относительна 0 0,2 0,4 0,6 длина очага деформации

Рис. 4. Влияние ширины полосы на удельное давление, при

I

к = 10 мм, I = 70 мм,

к 7

./ = 0,3 , мм, V = 0

С увеличением ширины контактные давления увеличиваются. Необходимо подчеркнуть, что при больших ширинах (Ъ)21), величина нормальных напряже-

I

ний резко возрастает, даже при малых значениях , из-

за увеличения коэффициента подпора в поперечном направлении. В работе Губкина [11], этот факт подтверждается. Расчеты показывает, что контактное трение и фактор формы существенным образом влияют на значение напряжения ст г . С увеличением, их величина возрастает.

0

2

0

2

На рис. 6 представлена объемная эпюра распределения удельного давления при прокатке, согласно экспериментальных данных В. Луега. В угловой части заготовки удельные давления имеют минимальное значение с увеличением к осевым линиям раздела течения металла. Имеет место смещение максимума эпюры распределения контактного давления в сторону выхода металла из валков, что характерно для процесса прокатки. В нашем случае такого смещения нет, так как осадка является симметричным процессом, линии раздела течения металла находятся на оси симметрии. В качественном отношении распределении контактных давлений является идентичным, что позволяет утверждать о сопоставимости результата.

Рис. 6. Пространственная эпюра удельного давления для случая холодной прокатки алюминия, при

А0 = 2 мм, ДА = 1 мм, Ь0 = 30 мм, Б = 180 мм .

Кроме этого, тестовые сопоставления результатов показали, что полученные значения отражают ту физику процесса, которая заложена в решении, рис. 1.

Выводы

1. Поставлена и решена пространственной задачи теории пластичности в аналитическом виде. Использование метода гармонических функций позволило замкнуть решение в напряжениях и скоростях деформаций.

2. Аналитически удалось описать участки перехода по напряжениям и скоростям деформации, удовлетво -рить граничные условия по этим параметрам.

3. Тестовые расчеты напряженного состояния на контакте при осадке прямоугольной заготовки показали приемлемый результат, как в качественном, так и количественном отношении.

Список литературы

1. Чигиринский В. В. О новых подходах решения задач теории пластичности / Чигиринский В. В. // Сб. научных трудов, Обработка металлов давлением. - Краматорск. -2009. - № 1(20). - С. 41-49.

2. Производство высокоэффективного металлопроката / [Чигиринский В. В., Мазур В. Л., Бергеман Г. В. и др.]. -Днепропетровск : «Дншро-ВАЛ», 2006. - 265 с. с ил.

3. Чигиринский В. В. Новое решение плоской задачи теории пластичности / Чигиринский В. В. // Научные труды ДонНТУ, серия : Металлургия, выпуск 10 (141). Донецк, 2008. - С. 105-115.

4. Чигиринский В. В. Метод решения задач теории пластичности с использованием гармонических функций / Чигиринский В. В. // Изв. вузов. Черная металлургия. -2009. - № 5. - С. 11-16.

5. Чигиринский В. В. Некоторые особенности теории пластичности применительно к процессам ОМД / Чигиринский В. В. // Тр. науч.-техн. конф. «Теория и технология процессов пластической деформации-96». - М. : МИСиС, 1997. - С. 568-572.

6. Чигиринский В. В. Пространственная задача теории пластичности / Чигиринский В. В., Шейко С. П., Ечин С. М. // Сб. научных трудов, Обработка металлов давлением. -Краматорск, 2013. - № 2(35). - С. 3-8.

7. Сторожев М. В. Теория обработки металлов давлением / Сторожев М. В., Попов Е. А. - М. : Машиностроение, 1977. - 422 с.

8. Целиков А. И. Теория расчета усилий в прокатных станах / Целиков А. И. - М. : Металлургиздат, 1962. - 495 с.

9. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / Тихонов А. Н., Самарский А. А. - М. : Наука,1977. -735 с.

10. Гун Г. Я. Теоретические основы обработки металлов давлением / Гун Г. Я. - М. : Металлургия, 1980. - 456 с.

11. Губкин С. И. Теория обработки металлов давлением / Губкин С. И. - М. : Металлургиздат, 1947. - 370 с.

Одержано 18.11.2013

Чигиршський В. В., Шейко С. П. Замкнуте просторове завдання теори пластичносп

В обробцi Memcmie тиском мають м^е duHaMi4Hi 3ada4i теорИ пружностi i пластичностi. Поставлено i вирiшeно просторову задачу теорИ плcсmичносmi в аналтичному виглядi. Використання методу гармоншних функцш дозволило замкнути вирiшeння в напружених i швидкостях деформацш. Анcлimично вдалося описати дшянки переходу по напруженнях i швидкостях деформацИ, задовольнити грcничнi умови по цих параметрах.

Ключовi слова: обробкамет^в тиском, meорiя плcсmичносmi, динcмiчнc задача, гармоншна функщя.

Chygyrynskii V., Sheyko S. Closed spatial problems in the theory of plasticity

In metal forming dynamic problems of the theory of elasticНу and plasticНу are presented. Spatial problem of the theory of plasticНу in an analytical form is solved. The use of harmonic functions allow the decision in stress and strain rate. Analytically it was able to describe the transition area for stress and strain rates and satisfy the boundaгу conditions on these parameters.

Key words: metal forming process, the theoгу ofplasticity, the dynamic problem, the harmonic function.

ISSN 1607-6885 Нов1 матер^али i технологи в метапурги та мcшинобудувcннi №2, 2013

125