Варианты использования методов фрактальной геометрии в социальных и политических исследованиях

Д.С. Жуков, С.К. Лямин

Варианты использования методов фрактальной геометрии в социальных и политических исследованиях

Applications of Fractal Geometry in Social and Political Research

Исследование выполнено в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы, проект «Форсированная модернизация политических институтов: компьютерное моделирование, прогнозирование результатов и нелинейных эффектов» (госконтракт № П930 от 26 мая 2010 г.).

Аннотация, abstract:

Статья посвящена применению теории и методологии фрактальной геометрии в социальных и политических исследованиях. В статье раскрываются основные понятия фрактальной геометрии и подходы к фрактальному моделированию социальных феноменов. Изложены некоторые результаты моделирования, демонстрирующие возможности фрактальных приложений.

This article is dedicated to application of theory and methodology of fractal geometry in Social and Political research. The article presents basic concepts of fractal geometry, approaches to modelling of social phenomena, some simulation results that demonstrate features of the fractal application.

Авторы, authors:

Жуков Дмитрий Сергеевич - Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, кандидат исторических наук, доцент кафедры международных отношений и политологии, ineternatum@ mail.ru

Лямин Сергей Константинович - Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, кандидат исторических наук, доцент кафедры Российской истории, laomin@rambler.ru

Zhukov Dmitry S., PhD in History, Associate Professor of the International Relations and Political Science Department in Tambov State University named after G.R. Derzhavin, ineternatum@mail.ru

Lyamin Sergei K., PhD in History, Associate Professor of the Russian History Department in Tambov State University named after G.R. Derzhavin, lao-min@rambler.ru

Ключевые слова, keywords:

Фрактальная геометрия, фрактальное моделирование, компьютерное моделирование, Бенуа Мандельброт, модернизация.

Fractal geometry, fractal modeling, computer modeling, Benoit Mandelbrot, modernization.

ГРНТИ 11.07.61

Вслед за естественными и точными науками, в социальных дисциплинах активно развиваются синергетические представления: теория хаоса вторгается в гуманитарную сферу.1 Фрактальная геометрия позволяет создавать модели, эвристически продуктивные именно для имитации нелинейности, парадоксальности процессов и структур. Несмотря на это, опыт использования фракталов в исторических и политологических исследованиях ограничен лишь теоретической констатацией фрактальности некоторых социальных феноменов. В рамках деятельности Центра фрактального моделирования (ЦФМ, сайт: www.ineternum.ru) предпринята попытка создания полнофункциональных фрактальных моделей для целей общественно-по-

1 Бородкин Л.И. Методология анализа неустойчивых состояний в политико-исторических процессах // Международные процессы. 2005. №1.

INETERNUM

INETERNUM

Рисунок 2. Фрактал Мандельброта

литических исследований. В этой статье мы обозначим подходы к построению моделей и некоторые результаты адаптации средств фрактальной геометрии к специфике гуманитарных изысканий.

Фрактальная геометрия появилась в 1977 году после публикации книги Бенуа Мандельброта “Fractals: Form, Chance, and Dimension”.2 Переработанная вторая редакция этой монографии стала классическим основополагающим трудом по фрактальной геометрии - “The Fractal Geometry of Nature”3 (русский перевод - «Фрактальная геометрия природы»4). Фрактал это особый тип геометрической фигуры, а «фрактальный» - это характеристика структуры, явления или процесса, обладающих свойствами фрактала. Определение фрактала, данное самим Б. Мандельбротом, выглядит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Главным свойством фракталов является, таким образом, самоподобие: «неболь-

2 Mandelbrot, B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. San Francisco CA and Reading UK: W. H. Freeman & Co. 1977.

3 Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York US and Oxford UK: W.H. Freeman and Company. 1982.

4 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М.:

Институт компьютерных исследований, 2002.

шая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале». Это явление обуславливает так называемую масштабную инвариантность фрактала. В каком бы приближении мы не рассматривали фрактал, мы всегда видим одно и то же или, во всяком случае, нечто подобное.5 На рисунке 1 в качестве иллюстрации масштабной инвариантности представлены несколько масштабов фрактала Решето Серпински.

Самоподобие может быть частичным или закономерно изменяющимся (это результат сложнейшего характера внутренней структуры фрактала). Рисунок 2 демонстрирует фрагменты самого известного фрактала - Построения Мандельброта. В данном случае самоподобие трансформируется в разных масштабах, но на каждом уровне сложности (в каждом масштабе) возникает сплав индивидуальных характеристик элемента и общих черт всей системы.

Способность виртуальных компьютерных фракталов имитировать реальные объекты живого и неживого мира делает фрактальную геометрию удобным способом моделирования реальности. Более того, Б. Мондельброт полагает, что для природы характерен именно фрактальный способ самоорганизации. Фрактальная методология, таким образом, позво-

5 Жиков В.В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. Математика. - 1996. - № 12. C. 109.

ляет создавать конкретные математические модели социальных и политических явлений и процессов. С помощью программ-фракталопостроителей мы получаем возможность проводить компьютерные эксперименты, симулирующие такие явления и процессы, с которыми невозможно экспериментировать в «невиртульном» мире.

В монографии «Fractals, Graphics and Mathematical Education» Б. Мандельброт помещает размышление об истории (и социально-гуманитарных науках в целом) и фрактальной геометрии: «Позвольте мне в этой точке моих размышлений признаться Вам в зависти, испытываемой мной в юности, когда я наблюдал то влияние на умы людей, которое является привилегией психологии и социологии; позвольте мне признаться в моих юношеских мечтах о некоей отрасли точной науки, которая могла бы так или иначе преуспеть в достижении подобного влияния. Ещё несколько десятилетий назад природа самих точных наук делала все эти мечты бесполезными. Люди (не все, что и говорить, но достаточное число из них) рассматривают историю, психологию, социологию как науки живые, ясно понимающие, действенные... Астрономия не рассматривалась как живая и действенная наука; Солнце и Луна сверхчеловечны, поскольку из-за своей правильности подобны богам...

В настоящее время острый контраст между астрономией и историей исчез. Мы являемся свидетелями возникновения не просто новой разновидности науки или нового рода наук, но намного более глубоких изменений... Начиная с 1960-х гг. изучение истинной сложности и неупорядоченности вышло на сцену. Здесь можно произнести два ключевых слова - хаос и фракталы, - но я остановлюсь на фракталах. Снова и снова в процессе моей работы обнаруживались случаи, где простота порождает сложность, которая кажется невероятно жизнеподобной...

Астрономия описывала простые правила и их простые результаты и эффекты, в то время как история описывала сложные правила и их сложные результаты и эффекты. Фрактальная геометрия обнаруживает простые правила и их сложные результаты и эффекты...»6

6 Frame, M.L. & Mandelbrot, B.B. Fractals, Graphics and Mathematical Education. Washington DC: Mathematical Association of America & Cambridge UK: The University

Press, 2002. C. 25 - 26.

В силу того, что фракталы широко представлены в природе, методы фрактальной геометрии проникли и продолжают проникать в разные (если не во все) научные дисциплины. «Фракталы имеют чрезвычайно обширные и разветвлённые корни, которые во многих случаях проложили себе путь в многочисленные области знания»7.

Применение фракталов в различных областях знания связано, прежде всего, с заимствованием математического аппарата фрактальных построений для моделирования естественных явлений и процессов. Вопросам математических приложений фрактальной геометрий в различных областях знания посвящены книги С.В.Божокина, Д.А.Паршина, Р.М.Кроновера, М.Шредера.8

Множество примеров использования средств фрактальной геометрии в естественнонаучной сфере приводит Е. Федер в своей книге «Фрактала».9 Основная задача книги - аргументировать широчайшую представленность фракталов в природе. Любопытно, что Федер демонстрирует приложения фрактальной геометрии даже к добыче нефти: фронт вытеснения при закачке воды в нефтяной пласт имеет фрактальную структуру. Это один из примеров распространённости в природе фрактальных границ, свойства которых, среди прочего, и анализирует Федер.

Приложения фрактальной геометрии в экономике начал исследовать сам Мандельброт10 - до сих пор это одно из самых развитых направлений фрактальной геометрии. Как оказалось, движение цен во времени во многих случаях имеет фрактальную

7 O’Connor, J.J. and Robertson E.F. Benoit Mandelbrot // http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ Mathematicians/ (сайт Школы математики и статистики Университета св. Эндрюса, Шотландия).

8 Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. М. - Ижевск, 2001; Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М., 2000; Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, 2001.

9 Федер Е. Фракталы. М: Мир, 1991.

10 Мандельброт Б., Хадсон Р. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах. М.: «Вильямс», 2006; Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. М: Институт компьютерных исследований, 2004.

INETERNUM

INETERNUM

природу.11 Анализу временных фракталов (фрактальных процессов) посвящено множество статей.12 Бурно развивающейся сферой приложение фрактальной геометрии является создание на её основе компьютерных систем прогнозирования курсов на фондовых и валютных рынках.13 Причём, фрактальными представляются исследователям не только экономические, но и в целом исторические, социальные процессы.14

В биологии фрактальные принципы организации признаются системными: от организации тканей отдельных особей до организации популяций и экосистем.15 Фракталы находят применение не только в алгоритмах сжатия информации, в физике, метеорологии и геологии, но и в дизайне16. Сфера применения фракталов еще до конца не ис-

11 Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000.

12 Dubovikov M.M., Starchenko N.V., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of time series // Physica A, № 339 (2004), С. 591 - 608

13 См., например: Пимонов И.А., Трегуб А.И. Комплекс программ для оценки и анализа фрактальных свойств фондового рынка // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2008. № 4. С. 105-110; Рейзенбук К.Э., Пимонов И.А., Хараман Ю.В. Программный комплекс для технического анализа рынка ценных бумаг на основе моделей теории детерминированного хаоса // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2008. № 4. С. 100-104.

14 Буданов В.Г. Метод ритмокаскадов: о фрактальной природе времени эволюционирующих систем // Синергетика. Труды семинара. Т.2. Естественные, социальные и гуманитарные аспекты. М., 1999. С. 36 - 54.

15 Гелашвили Д.Б., Иудин Д.И., Розенберг Г.С., Якимов В.Н., Шурганова Г.В. Степенной закон и принцип самоподобия в описании видовой структуры сообществ // Поволжский экологический журнал. 2004. № 3. С. 227-245; Гелашвили Д.Б., Иудин Д.И., Якимов В.Н., Солнцев Л.А., Снегирева М.С., Варичев А.Н., Розенберг Г.С. Фрактальные аспекты популяционной экологии // Вестник Удмуртского университета. 2009. № 6-1. С. 1522; Бульенков Н.А. Роль модульного дизайна в изучении процессов системной самоорганизации в биосистемах // Биофизика. 2005. Т. 50. № 5. С. 934-958.

16 См.: Шлык В.А.Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне // Известия Челябинского научного центра УрО

РАН. 2004. № 1. С. 231-244.

черпана. Потенциал этой методологии, по мысли Мандельброта, огромен: «... Я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами»17.

Ёмкий и точный очерк основ фрактальной геометрии и её приложений помещён в посмертном сборнике Ю.А. Данилова. «Самоподобие, - пишет автор, - означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы. Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т.д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов...

. Необычна и увлекательна физика фракталов. Фрактальные среды обладают настолько сложной геометрией, что многие процессы протекают в них не так, как в обычных сплошных средах... Фрактальные свойства - не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать

17 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М., 2002. С. 13.

некоторые тяжёлые заболевания на ранней стадии, когда больному ещё можно помочь».18

Значительное внимание уделено изложению основ фрактальной геометрии в фундаментальном труде Ю.А. Данилова «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение».19

Возникает вопрос: применима ли вообще фрактальная методология в социально-политических исследованиях? Опыт её применения существует. Вот лишь некоторые темы докладов пятого всероссийского научного семинара «Самоорганизация устойчивых целостностей в природе и обществе», проходившего в 2001 г.: И.А. Кучин. И.А. Лебедев «Фракталы и циклы социальных процессов», Я.В. Круковский «Фрактальный анализ временных рядов в прогнозировании тенденций развития со-цио-экономических систем», В.А. Осипов «Фрактальная теория и этносоциальный процесс», С.А. Нефедов «О демографических циклах и фракталах», Л.В. Земцова «Принцип фрактальности в новой научной парадигме социально-экономического развития» и т.п.

Масштабную попытку совместить фрактальную геометрию с базовыми принципами познания (в т.ч. в социально-гуманитарном знании) предпринял В.В. Тарасенко в книге «Фрактальная логика».20 Автор продолжил свои исследования применения фракталов в информационной, познавательной деятельности, в сфере культуры.21

В коллективной монографии «Глобализация и моделирование социальной динамики» одна из

18 Данилов Ю.А. Фрактально сть. Красота фракталов // Данилов Ю. А. Прекрасный мир науки. Сборник. М.: Прогресс-Традиция, 2008.

19 Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М., Постмаркет, 2001

20 Тарасенко В.В. Фрактальная логика. М: Эдиториал УРСС, 2009.

21 Тарасенко В.В. Познание как фрактальное блуждание в мире // Сайт Московского международного

синергетического форума (http://www.synergetic.ru/

fractal/poznanie-kak-fraktalnoe-bluzhdanie-v-mire.html дата доступа: 31.07.2010); Тарасенко В.В. Самооргани-

зация фрактального способа освоения коммуникаций

сложного мира и образование // Сайт Московского международного синергетического форума

глав посвящена фрактальности социальных процессов. Авторы (Э.Р.Григорьян, М.А.Мунтян, М.А.Сафонова) отмечают следующее: «За последние годы в социологии, в экономике и других науках появилось много работ, оперирующих этим понятием (фрактал. - Авт.) как внутринаучным термином. Например, в поисках концептуального основания для изучения расширенной международной кооперации экономисты пришли к рассмотрению понятия фрактала - образца, остающегося неизменным независимо от степени его магнифи-кации во всех шкалах. Далее, они делают вывод, что открытые партисипаторные структуры управления, которые показали свою эффективность на локальном уровне, оказываются не менее пригодными и для глобального уровня. По их мнению, степень, в которой общество сдвигается с доминирующих до партисипаторных структур, расширяет социальную справедливость в глобальном обществе... Фрактал позволяет сжать историю; в кратчайшее время, с помощью компьютерной модели он способен показать возможные следствия из многократного воспроизведения некоторой социальной структуры, причем на самых разных уровнях: от индивидуального до цивилизационного».22

В.В. Минеев считает возможным введение основных понятий фрактальной геометрии (среди прочих понятий теории хаоса) в аспирантский курс истории и философии науки, поскольку методологию теории хаоса автор понимает как необходимый компонент современного научного мышления не только в естественных науках, но и в философии.23

Таким образом, фрактальная теория (как максимум) и фрактальная терминология (как минимум) уже осваиваются в социально-экономических и гуманитарных отраслях знания. Однако, за редким исключением, речь пока идёт не о конкретных фрактальных моделях, а об утверждении подобия разных уровней рассматриваемых социальных си-

22 Григорьян Э.Р., Мунтян М.А., Сафонова М.А. Глобализация и моделирование социальной динамики. М., 2001

23 Минеев В.В. Формирование представлений о глабаль-ном эволюционизме и синергетике в процессе изучения курса «История и философия науки» // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева.2008. № 2. С. 13-20.

ШЕТЕЯМиМ

INETERNuM

стем и (или) о некоей цикличности тенденций и регулярности явлений.

Действительно, базовые понятия фрактальной геометрии весьма удобны для описания социальных феноменов. Движение сквозь масштабы позволяет понять принцип построения всего фрактала - т.е. увидеть простое в сложном, закономерное в хаотичном, однообразное в разнообразном. Это соответствует духу политического исследования.

В статье Л.И. Бородкина «Методология анализа неустойчивых состояний в политико-исторических процессах» систематизированы основные представления синергетики, нашедшие применение в политических науках. Автор демонстрирует, что некоторые проблемы политологии и теории международных отношений могут быть удовлетворительно разрешены именно посредством привлечения синергетической методологии: «Распространение концепций синергетики как общенаучной парадигмы поставило вопрос не просто о расширении категориального аппарата социально-гуманитарных дисциплин, но и

об использовании некоторых универсальных математических моделей, разработанных в рамках теории нелинейных динамических систем и математической теории хаоса. . Синергетика исходит из того, что в реальности “линейный характер развития процессов” и “равновесные состояния” доминируют не всегда».24

В другой программной работе «Синергетика в изучении неустойчивых историко-политических процессов: от “равновесия ужаса” к “ужасу неравновесия”»25 Л.И. Бородкин продолжает развивать положение о принципиальной применимости (и в некоторых аспектах - о незаменимости) методологических средств теории хаоса при объяснении социально-политических феноменов: «Один из наиболее важных вопросов . связан с необходимостью создания методологической

24 Бородкин Л.И. Методология анализа неустойчивых состояний в политико-исторических процессах // Международные процессы. - 2005. - №1.

25 Бородкин Л. И. Синергетика в изучении неустойчивых историко-политических процессов: от «равновесия ужаса» к «ужасу неравновесия» // Крынщазнауства 1 спецыяльныя пстарычныя дысцыплшы : навук. зб. Вып. 3. Мшск :БДУ 2007. С. 118-128.

базы для изучения неустойчивых исторических процессов новейшего времени, развития нестабильных политических ситуаций, возникновения “порядка из хаоса”. Неустойчивый характер социально-политических процессов ХХ в. в России и в мировой системе в целом, непредсказуемость радикальных перемен, захватывающих страны и крупные регионы мира, возрастающая степень альтернативности их развития побудили историков, политологов, социологов, демографов, экономистов обратиться к междисциплинарному подходу, который стал формироваться в 1970-х гг. и получил известность как «наука о сложном», или синергетика, учение о самоорганизации, нелинейная динамика, теория хаоса».26 Определённый вклад в накопление опыта использования методов теории хаоса в социально-политических исследованиях внесли и авторы этой статьи.27

Фрактальные модели позволяют обнаружить закономерность и стройную упорядоченность в таких системах, где, казалось бы, царит абсолютный хаос разнонаправленных человеческих устремлений и многообразных эмпирических фактов -фрактальная геометрия объединяет их, не укладывая, вместе с тем, в прокрустово ложе простейших схем. В рамках фрактальной методологии мы выделим несколько способов моделирования, применимых к социальным и политическим процессам и явлениям.

26 Бородкин Л. И. Синергетика в изучении неустойчивых историко-политических процессов: от «равновесия ужаса» к «ужасу неравновесия» // Крынщазнауства i спецыяльныя пстарычныя дысцыплшы : навук. зб. Вып.

3. Мшск : БДУ 2007. С. 118

27 Жуков Д.С., Лямин С.К. Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории. Тамбов, 2007. (18,5 а.л.); Жуков Д.С., Лямин С.К. Метафоры фракталов в общественно-политическом знании. Тамбов, 2007. (6,5 а.л.); Zhukov, D & Lyamin, S. Computer modeling ofhistori-cal processes by means of fractal geometry // Historical Social Research. 2010. N 3. P. 323 - 350; Жуков Д.С., Канищев

В.В., Лямин С.К. Возможности фрактального моделирования демографических процессов // Вестник Тамбовского университета. (приложение к журналу), 2009. С. 23 - 59; Жуков Д.С., Канищев В.В., Лямин С.К. Фрактальная модель «Демофрактал»: проблемы разработки шкал для индикаторов исходных факторов // XV Державинские чтения. Материалы общероссийской научной конференции. Февраль 2010 г. Тамбов, Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2010. - 282 с. С. 146 - 154.

Во-первых, построение алгебраического фрактала можно рассматривать как исследование поведения нелинейной динамической системы1 в фазовом пространстве. Итерируемая формула (своего рода «генетический код» фрактала) генерирует череду чисел и, тем самым, задаёт траекторию точки, то есть поведение системы, в фазовом пространстве. Совокупность некоторых точек фазового пространства, которые являются стартовыми позициями (начальными состояниями), из которых система «втягивается» в тот или иной аттрактор, обычно обозначается как бассейн аттрактора. Аттракторы и их бассейны в фазовом пространстве во многих случаях имеют вид фрактала. Таким образом, сделав математическое описание взаимодействия ряда факторов системы, можно с высокой долей вероятности, предсказывать возможные итоги её развития.28 Компьютерная программа-фракталопостроитель в этом случае может генерировать изображения аттракторов системы (мы условно называем эти изображения «пространством перспектив») и бассейнов («пространство потенциалов»).

В ходе исследований в Центре фрактального моделирования авторами были разработаны математическая модель, описывающая процессы модернизации городской социальной среды и менталитета горожан в пореформенной России («Менталоф-рактал»), а также модель демографического поведения аграрного населения Центральной России второй половины XIX - начала XX вв. («Демоф-рактал»). Обе модели используют схожий математический аппарат, поскольку должны имитировать типологически схожие процессы форсированной модернизации. В обоих случаях итерируемая формула аналогична той, которая используется для построения Фрактала Мандельброта, однако алгоритм генерирования значительно отличается. «Многофункциональность» формулы Мандельброта объясняется её относительной простотой

и, очевидно, универсальностью как инструмента описания процессов самоорганизации.

Математический аппарат «Менталофрактала» и «Демофрактала» содержит итерируемую формулу Ъ = Ъ '2 А + С, (где Ъ и С - комплексные числа),

28 Жуков Д.С., Лямин С.К. Моделирование исторических явлений и процессов средствами фрактальной геометрии // Информационный бюллетень Ассоциации «История и компьютер». - 2006. - № 34. С. 52.

а также ряд математических условий, которые позволяют отождествить геометрический смысл операций над комплексными числами с результатами нуклеарных взаимодействий факторов модели. Таким образом, модель в целом приобретает способность симулировать линейные и нелинейные процессы, возникающие в результате краткого и (или) долгосрочного взаимодействия ряда факторов.

Во-вторы1х, построение стохастических фракталов, посредством введения элементов случайности, позволяет имитировать реальные феномены. Подобные фракталы будут отображать результаты процессов, которые сочетают в себе элементы закономерности и случайности. К числу таких процессов относятся практически все социальные процессы, описываемые статистическими законами. Стохастические фракталы отличаются от детерминированных именно способностью симулировать индивидуальность и неповторимость каждого элемента системы. Однако внесение случайных отклонений в процедуры построения фракталов не отменяет определённых закономерностей для групп элементов «в среднем».

Мы применили подобный метод моделирования для изучения формирования модернизированных социальных слоёв под воздействием результатов модерни-зационного давления государства на городские общества во второй половине XIX века. Компьютерная программа «Имитация» формировала фрактальный кластер, конфигурация которого имитировала взаимодействие следующих факторов: сила модерниза-ционного нажима, инерция (сила сопротивления) традиционного общества, величина объекта модер-низационного нажима, количество модернизацион-ных мероприятий. Графические результаты работы программы могут быть интерпретированы как некоторые итоги исторического процесса модернизации. Стохастическая природа этой модели приводит к тому, что при разных запусках программы с одними и теми же параметрами вид получившегося фрактала может быть различным. Но качественные характеристики (величина, «степень разветвлён-ности» и др.) одинаковы, поскольку выражают статистические закономерности.

В чём эвристическая ценность имитационной модели? Такая модель позволяет выявить потенциал развития ситуации. Вводя разные значения параметров, мы получаем разные результаты. Каждый конкретный кластер, взятый изолированно, практически не содержит нового знания, однако в этом кластере демон-

ШЕТЕЯМиМ

ШЕТЕЯМиМ

Рисунок 3. Некоторые результаты работы фракталопостроителей «Менталофрактал», «Демофрактал» «Имитиция»

Рисунок 4. Начальные этапы построения Снежинки Коха

стрируется взаимосвязь исследуемых факторов, и поэтому череда кластеров позволяет сравнить результаты изменения как одного, так и нескольких факторов. Вид получившегося фрактала изменяется в зависимости от комбинации численных выражений факторов и свидетельствует, в частности, об эффективности модернизационного нажима и о степени целостности и связанности модернизирующегося общества. Причём, степень эффективности модернизационного нажима может быть определена путём сопоставления ряда полученных изображений.

Программное обеспечение для реализации моделей «Менталофрактал», «Демофрактал», «Имитация» и некоторых других создано сотрудником ЦФМ Юлией Мовчко. Некоторые результаты исследований, связанных с построением алгебраических и стохастических фракталов, представлены на рисунке 3. В рамках этой статьи, мы стремимся лишь обозначить подходы к моделированию и не имеем возможности обсудить интерпретации приведённых изображений.

В-третьих, геометрические фракталы являются удобной эвристической метафорой для описания самоподобных социальных и политических структур, а также логики их развития. Геометрическими фракталами называют фигуры, возникающие

в результате повторения одного и того же графического элемента (т.н. генератора фрактала) бесконечное количество раз во всё уменьшающемся масштабе. Примером такой фигуры может служить фрактал Решето Серпински (рисунок 1) или Снежинка Коха (рисунок 4). Поскольку генератор фрактала повторяется бесконечное число раз, то, теоретически, Решето Серпински, состоящее из треугольных «вырезок» из базового треугольника имеет нулевую площадь; а Снежинка Коха, которая формируется «пристраиванием» треугольных «наростов» к каждой грани, имеет бесконечную длину периметра в ограниченном пространстве.

Метафора фрактала, которому свойственна масштабная инвариантность, позволяет свести всё многообразие фактов, независимо от их масштаба, к определённой закономерности, которую можно представить как генератор фрактала. При этом качественное единообразие базовой закономерности не противоречит количественному разнообразию исследуемых фактов.

Использование метафор фракталов в исследовательском дискурсе во многих случаях является не просто изменением иллюстративного ряда, но сменой представлений о существе тех или иных явлений. Новая метафора позволяет иначе обобщить имеющиеся данные, иначе представляет функци-

ональные связи между фактами, иначе описывает динамику процессов.

Вот как Дж. Глейк в своей популярной книге «Хаос: создание новой науки» описывает экспансию фрактальных метафор: «...В системе кровообращения поверхность с огромной площадью должна вместиться в ограниченный объем. Человеческое тело полно подобных хитросплетений. В тканях пищеварительного тракта одна волнистая поверхность “встроена” в другую. Легкие также являют пример того, как большая площадь “втиснута” в довольно маленькое пространство... Фрактальный подход,. предполагает рассмотрение структуры как целого через разветвления разного масштаба... Фрактальная организация лежит в основе устройства всего человеческого тела. Выяснилось, что и мочевыделительная система фрактальна по своей природе, равно как желчные протоки в печени, а также сеть специальных мышечных волокон, которые проводят электрические импульсы к сократимым мышечным клеткам сердца. С точки зрения Мандельброта,. фракталы, разветвляющиеся структуры, до прозрачности просты и могут быть описаны с помощью небольшого объема информации. Возможно, несложные преобразования, которые формируют [фрактальные] фигуры, заложены в генетическом коде человека. ДНК, конечно же, не может во всех подробностях определять строение бронхов, бронхиол, альвеол или пространственную структуру дыхательного “древа”, однако она в состоянии запрограммировать повторяющийся процесс расширения и разветвления - а ведь именно таким путем природа достигает своих целей... Мандельброт естественным образом переключился с изучения “древа” дыхательного и сосудистого на исследование самых настоящих деревьев, которые ловят солнце и противостоят ветрам, деревьев с фрактальными ветвями и листьями. А биологи-теоретики начали подумывать о том, что фрактальное масштабирование не просто широко распространенный, но универсальный принцип морфогенеза. Они утверждали, что проникновение в механизмы кодирования и воспроизводства фрактальных моделей станет настоящим вызовом традиционной биологии».29

Наконец, в-четвёртых, средства фрактальной геометрии позволяют анализировать событийные ряды. Многие процессы имеют фрактальный ха-

29 Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб.: Амфора, 2001. С. 142 - 146.

рактер. Самый простой пример фрактального процесса - волна, покрытая рябью, то есть более мелкими волнами, которые в свою очередь также покрыты рябью и т.д. Волнообразный вид графиков ключевых процессов в социально-политической сфере, естественным образом, наводит на мысль о цикличности этих процессов. Можно предположить, что (в пространстве) фрактальным структурам соответствуют (во времени) фрактальные процессы их жизнедеятельности - многомерные, сложные многоволновые циклы, спирали в фазовом пространстве и т.п. Фрактальность процессов становления и эволюции тех или иных систем можно трактовать как следствие (или, возможно, - причину) фрактального устройства самих систем.

Обратим внимание, что процесс, моделируемый в фазовом пространстве как совокупность результатов итераций «фрактальной» формулы, будет, как правило, иметь вид закручивающейся спирали, сходящейся к аттрактору (если моделируемый процесс имеет аттрактор в каких-то видимых пределах, а не в бесконечности) (см. рисунок 5). Любопытен в данном случае не только тот факт, что сама спираль является фракталом. Заучивающимся спиралям в фазовом пространстве соответствуют в реальной жизни затухающие колебательные процессы. Как известно, многие социально-политические процессы имеют именно такой характер в том случае, если социальная (или политическая) система стабилизируется. «Раскручивающейся» спирали с аттрактором в бесконечности (в фазовом пространстве) соответствуют (в реальном мире) колебательные процессы с увеличивающейся амплитудой, которые приводят к паталогической дестабилизации и разрушению системы.

ят тракт о р

В^е-| —. -£,в&- — ——

, 1 0,00

0,20 -0,10 0.00 0,10 0,20 0,30

Рисунок 5. Один из результатов интераций формулы Мандельброта

ШЕТЕЯМиМ

ШЕТЕЯМиМ

Рисунок 6. Разметка ТОМН

Приведённые выше модели представляют собой «не столько точное отображение всей исторической действительности, сколько функциональное (и функционирующее в качестве компьютерной модели) обобщение нескольких факторов - обобщение, которое в таком виде может использоваться в обобщениях более высокого порядка».30 Если модель хорошо калибрована и верифицирована, то возникает возможность проводить компьютерные эксперименты с виртуальными копиями реальных объектов и процессов. Поскольку, как правило, мы не имеем возможности произвольно экспериментировать с социальными и политическими явлениями, то их модели можно использовать как своего рода «эвристическую машину» для производства гипотез, выявления потенциалов и для прогнозирования. Кроме того, помимо собственно математического моделирования, фрактальная геометрия предоставляет прекрасный понятийный аппарат для развития некоторых

30 Жуков Д.С., Лямин С.К. Моделирование исторических явлений и процессов средствами фрактальной геометрии // Информационный бюллетень Ассоциации «История и компьютер». - 2006. - № 34. С. 52.

концептуальных представлений о социальных и политических феноменах.

Фрактальные модели могут быть реализованы лишь в специализированных компьютерных программах. В рамках проекта «Форсированная модернизация политических институтов: компьютерное моделирование, прогнозирование результатов и нелинейных эффектов» разрабатывается модель «Модернофрактал». Для реализации этой модели, основанной на построении алгебраических фракталов, была разработана специальная программа.

На данный момент накоплен значительный опыт создания фракталопостроителей - от простейших до многофункциональных. Однако разработанная в рамках проекта программа сделана «с нуля», без использования сторонних разработок. Такой подход к созданию программного обеспечения был обусловлен тем, что программа должны реализовать чрезвычайно специфические функции, связанные с моделированием социально-политических процессов. Ранее эти функции не были реализованы ни в одном фракталопостроителе, поскольку

Рисунок 7. Исследуемый участок рабочего пространства

сами принципы и процедура моделирования «Мо-дернофрактала» являются авторской разработкой.

Программа «Модернофрактал» генерируют изображения аттракторов, бассейнов аттракторов (как правило, фрактальные) исследуемой системы в зависимости от вводимых пользователем численных значений тех или иных факторов, влияющих на развитие системы.

С соответствии с заданным шагом сетки программа тестирует совокупность значений точек комплексной плоскости в квадрате с координатами диагонали (2;2); (-2;-2) или с иными координатами, произвольно задаваемыми пользователем.

Рабочее пространство «Модернофрактала» (совокупность тестируемых точек комплексной плоскости, которая играет роль фазового пространства) изначально размечено в соответствии с предустановленными областями «Т», «О», «М»,

«Н» (далее - ТОМН). См. рисунок 6. Эти области обозначают различное соотношение моделируемых бинарных характеристик системы и могут быть качественно интерпретированы как наиболее обобщённые типы состояний (совокупности состояний) системы. Качественные смыслы разметки ТОМН симметричны относительно осей.

Разметка ТОМН заключена в квадрате с координатами диагонали (2;2); (-2;-2). Однако, как упоминалось выше, пользователь может задавать любые координаты диагонали исследуемого участка плоскости. Таким образом, пользователь имеет возможность ограничить количество и начальные координаты точек, участвующих в тестировании вплоть до одной. Это позволяет исследователю рассматривать любые совокупности начальных состояний и аттракторов (то есть любые совокупности траекторий систем), в том числе и индивидуальные траектории одной заданной точки. На

ШЕТЕЯМиМ

ШЕТЕЯМиМ

Рисунок 8. Результат работы программы с произвольными параметрами в первом режиме

рисунке 7 показана ситуация, когда пользователь произвольно выбрал исследуемого участка, отличные от установленных «по умолчанию». Сам новый участок фракталопостроитель обозначает красным контуром.

У пользователя есть возможность не накладывать на изображение разметку ТОМН. Это может быть удобно в некоторых случаях для более детального изучения изображений.

Значение каждой точки подставляется в итерируемую формулу

2и+: = Zn2A + С

в качестве начального значения Zl, Далее программа осуществляет количество итераций, определённое пользователем, и анализирует конечный

результат, то есть, например, анализирует координаты Zз00 , если пользователь потребовал провести 300 итераций. Опыт, накопленный при изучении алгебраических фракталов, показывает, что 300 итераций вполне достаточно для приблизительного определения аттрактора движения точки, то есть типа поведения системы.31 Как правило, 300 итераций достаточно, чтобы определить, уходит ли генерируемый числовой ряд в бесконечность или же стремится к некоему аттрактору в видимых пределах. В последнем случае координаты Zзoo с высокой точностью можно принять в качестве самого аттрактора, хотя аттрактор, конечно, может быть несущественно отличен от этих координат.

31 Жуков Д.С., Лямин С.К. Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории. Тамбов, 2007.

Рисунок 9. Результат работы программы с произвольными параметрами в третьем режиме

Если пользователь потребовал проведение, например, 10 итераций, нет гарантий, что координаты Zlo приблизятся к аттрактору системы.

Отметим, что пользователь, имея возможность задавать количество итераций, может составить полную траекторию движения точки, проводя серию вычислений с увеличивающемся на единицу коли-

чеством итерации

Z1 , Z2 > Z3

Z„

Первый режим работы программы предусматривает вывод на экран бассейнов - это «пространство потенциалов».

Если после определённого числа итераций конечная точка находится за пределами участка комплексной плоскости, ограниченного квадратом с

вершинами по диагонали (2;2) и , то началь-

ная (стартовая) точка закрашивается в розовый цвет. Это бассейн аттракторов, стремящихся в бесконечность.

Если после определённого числа итераций конечная точка находится в пределах участка комплексной плоскости, ограниченного квадратом с вершинами по диагонали (2;2) и (-2;-2), то начальная точка закрашивается в чёрный цвет (sic! в первом режиме).

Таким образом, мы сможем выяснить, какие системы имеют аттрактор внутри границ исследуемой области комплексной плоскости и могут быть интегрированными в конкретной социо-политической реальности, а какие - нет. Вполне правомер-

INETERNUM

INETERNUM

Рисунок 10. Результат работы программы с произвольными параметрами в третьем режиме

но допустить, что аттрактор в бесконечности (или в нуле) должен быть интерпретирован как невозможность для системы существовать в сколь-либо длительной перспективе в физически возможных пределах, то есть существовать вообще. Поэтому условно назовём розовую область «областью Джордано Бруно».

Таким образом, процесс итераций здесь выражает социально-аполитическое взаимодействие, а конечная точка - даёт приблизительное представление об аттракторе.

В третьем режиме работы также предусматривает вывод на экран бассейнов («пространство потенциалов»). Однако в этом режиме программа более детально структурирует это пространство, а именно - размечает разными цветами начальные состо-

яния в зависимости от того, из каких начальных состояний точка попадёт в тот или иной аттрактор.

Черный цвет бассейна (sic! в третьем режиме) означает, что его аттракторы стремятся к нулю; розовый цвет бассейна означает, что его аттракторы лежат в бесконечности; красный цвет бассейна -аттракторы лежат в области «О»; желтый цвет бассейна - его аттракторы лежат в области «Н»; зеленый цвет бассейна - его аттракторы лежат в области «T»; голубой цвет бассейна - его аттракторы лежат в области «М».

Второй режим работы «Менталофрактала» позволяет вывести на экран изображение расположения аттракторов, разумеется, за исключением тех, которые лежат в бесконечности и в нуле.

Рисунок 11. Результат работы программы с произвольными параметрами во втором режиме

В этом режиме цвета аттракторов также окрашиваются в зависимости от того, из какой именно области стартовала точка, попавшая в данный аттрактор. Однако, как оказалось, эта функция программы не всегда даёт результаты, пригодные для качественной интерпретации, поскольку, в отличие от начальных состояний (стартовых точек), точки аттракторов могут накладываться друг на друга. Поэтому во многих случаях результирующие изображения второго режима мы обесцвечиваем во избежание неверных интерпретаций.

Обратим внимание, что на рисунках 8, 9 и 10 представлены результаты работы программы в разных

режимах, но с одними и теми же исходными параметрами модели, произвольно заданными пользователем. Наибольший эвристический эффект даёт связанный анализ изображений во втором и третьем режимах.

Пользователь имеет возможность определить шаг числовой сетки исследуемой области, то есть количество тестируемых точек или, иначе говоря, детальность прорисовки результирующего изображения. Это важная функция, поскольку в сочетании с произвольным заданием небольших исследуемых областей, она позволяет «рассмотреть» некоторые участки в меньшем масштабе, «через

ШЕТЕЯМиМ

ШЕТЕЯМиМ

Рисунок 12. Окно ввода параметров программы «Модернофрактала»

увеличительное стекло». Фрактальные фигуры обладают чрезвычайно сложным внутренним строением. Для исследователя фракталов эта функция «выбора масштаба» весьма значима.

Точка (состояние системы) выводится на экран всегда как один экранный пиксел, поэтому уменьшение шага сетки (то есть «учащение» тестируемых точек, детализация изображения) ведёт к увеличению видимого на экране размера изображения. Однако это никак не влияет на «физические» размеры исследуемой области: метрические значения координат различных участков и их соотношение остаётся прежним; «силы» и направления параметров не меняются; а разметка ТОМН увеличивается пропорционально уменьшению шага сетки (это позволяет сохранять прежние пропорции различных областей рабочего пространства).

На приведённых выше рисунках (8 - 11) приведены изображения, сгенерированные лишь для одной - произвольно выбранной в качестве примера - комбинации параметров, определяемых пользователем. Реальное число неидентичных результирующих изображений в «Модернофрактале», практически, невозможно вычислить, - очевидно, что оно колоссально.

Пользователь имеет возможность вводить значения следующих параметров модели:

1. параметр А

2. параметр С (<& + к і), в частности:

2.1. значение («сила воздействия на систему») параметра ^

2.2. значение («сила воздействия на систему») параметра к

2.3. направление воздействия на систему па-

раметра d

2.4. направление воздействия на систему параметра к

Широкие возможности выбора параметров делают «Модернофрактал» гибкой и полифунк-циональной программой, способной обеспечить компьютерную реализацию моделей различных феноменов. Конечно, это имеет смысл, если развитие этих феноменов может быть смоделировано итерацией формулы «Модернофрактала». Между тем, мы полагаем, что эта формула (представляющая собой несколько изменённую формулу Мандельброта) может претендовать на роль универсального инструмента имитации процессов, для которых характерны фазовые переходы, неравно-весность причин и следствий. К таким процессам можно типологически отнести многие социальнополитические процессы.

Безусловно, качественная интерпретация результатов работы программы зависит не только от характера изображений, но и от постановки начальных условий: от того, какие именно смыслы приписаны основным параметрам модели (то есть факторам, воздействующим на систему), как именно определены моделируемые бинарные характеристики и различные участки рабочего пространства (в частности, зоны ТОМН) и пр.

Интерфейс программы имеет диалоговое окно ввода параметров модели и прочих условий работы фракталопостроителя.

File Edit View Help

D И fl!  Z a ____________

A = 0.700000 Dc : внутрь / во-вне = 1 Кс : внутрь / во-вне = о Dc = 0.S00000 Kc = 1.300000 N = 300 h = 0.010000 Black = 0 Wh = 121718 Yel* 220 Blue. = 153 Green. = 37676 Red = 233

Рисунок 13. Вывод на экран параметров программы «Модернофрактала» и некоторых результатов работы программы

В левом верхнем углу рабочего поля «Модерноф-рактала» выводятся значения введённых параметров модели (см. рис. 13), условия работы программы и некоторые числовые характеристики результирующих изображений.

Первая строка «А=......» содержит информацию

о величине А (коэффициента аномальной диффузии), а также о направленности (в бесконечность или к нулю) данного фактора (в зависимости от того, больше или меньше 1 эта величина).

Вторая строка «Ос: внутрь/во-вне = ...» указывает на направленность воздействия фактора д на систему. Этот фактор действует вдоль оси х. Соответственно, если установлено значение «внутрь», то данный фактор уменьшает, например, величину модернизированности (в том случае, если именно эта величина представлена по оси х). Строка может содержать два значения: внутрь/во-вне. Для обозначения те кущей на стройки после знака «=» выводится 0 или 1 («внутрь»=0).

Третья строка «Кс: внутрь/во-вне = ...» аналогична второй, с той только разницей, что указывает направление воздействие на систему фактора к_, действующего вдоль оси у.

Четвертая строка «Ос=.....» содержит число, ука-

зывающее на величину («силу») фактора д . Причём эта величина выражена в шкале, принятой в данной модели. Шкала для этого фактора была рассмотрена выше.

Пятая строка «Кс=......» предназначена для обо-

значения величины фактора кс Шестая строка «Ы= ...» содержит количество итераций.

Седьмая строка «Ь =...» указывает на шаг, с которым программа «перебирает» точки плоскости для использования в целях моделирования. Этот технический параметр задаёт разрешение, с которым просчитывается результирующее изображение.

Строки с восьмой по тринадцатую указывают на формальные количественные результаты работы программы, а именно - на количество точек различных цветов. Цвета точек задаются в зависимости от характера их генерации и поведения; цвета

INETERNUM

INETERNUM

Рисунок 14. Рабочее окно «Модернофрактала»

различаются также в различных режимах работы программы. (Sic! Количество точек, которые выводятся на экран как розовые, обозначены литерами Wh).

Главное рабочее окно программы с обозначением вызова некоторых ключевых функций представлено на рисунке 14.

Литература

Dubovikov M.M., Starchenko N.V., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of time series // Physica A, № 339 (2004), С. 591 -608

Frame, M.L. & Mandelbrot, B.B. Fractals, Graphics and Mathematical Education. Washington DC: Mathematical Association of America & Cambridge UK: The University Press, 2002.

Mandelbrot, B.B. Fractals: Form, Chance, and Dimension. San Francisco CA and Reading UK: W. H.

Freeman & Co. 1977.

Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York US and Oxford UK: W.H. Freeman and Company. 1982.

Zhukov, D & Lyamin, S. Computer modeling of historical processes by means of fractal geometry // Historical Social Research. 2010. N 3. P. 323 - 350.

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. М. - Ижевск, 2001.

Бородкин Л. И. Синергетика в изучении неустойчивых историко-политических процессов: от «равновесия ужаса» к «ужасу неравновесия» // Крьініцазнауства і спецыяльныя пстарычныя дысцыплшы : навук. зб. Вып. 3. Мінск :БДУ, 2007.

С. 118-128.

Бородкин Л.И. Методология анализа неустойчивых состояний в политико-исторических процессах // Международные процессы. - 2005. - №1.

Буданов В.Г. Метод ритмокаскадов: о фрактальной природе времени эволюционирующих систем // Синергетика. Труды семинара. Т.2. Естественные, социальные и гуманитарные аспекты. М., 1999. С. 36 - 54.

Бульенков Н.А. Роль модульного дизайна в изучении процессов системной самоорганизации в биосистемах // Биофизика. 2005. Т. 50. № 5.

Гелашвили Д.Б., Иудин Д.И., Розенберг Г.С., Якимов В.Н., Шурганова Г.В. Степенной закон и принцип самоподобия в описании видовой структуры сообществ // Поволжский экологический журнал. 2004. № 3.

Гелашвили Д.Б., Иудин Д.И., Якимов В.Н., Солнцев Л.А., Снегирева М.С., Варичев А.Н., Розенберг Г.С. Фрактальные аспекты популяционной экологии // Вестник Удмуртского университета. 2009. № 6-1.

Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. СПб.: Амфора, 2001.

Григорьян Э.Р., Мунтян М.А., Сафонова М.А. Глобализация и моделирование социальной динамики. М., 2001

Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М., Постмаркет, 2001

Данилов Ю. А. Прекрасный мир науки. Сборник. М.: Прогресс-Традиция, 2008.

Жиков В.В. Фракталы // Соросовский образовательный журнал. Математика. - 1996. - № 12.

Жуков Д.С., Лямин С.К. Живые модели ушедшего мира: фрактальная геометрия истории. Тамбов, 2007.

Жуков Д.С., Лямин С.К. Метафоры фракталов в общественно-политическом знании. Тамбов, 2007.

Жуков Д.С., Лямин С.К. Журнал общественной прогностики «Ineternum»: перспективы // Ineternum. 2009. № 1.

Жуков Д.С., Лямин С.К. Моделирование исторических явлений и процессов средствами фрактальной геометрии // Информационный бюллетень Ассо-

циации «История и компьютер». 2006. № 34. С. 52.

Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. М., 2000.

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия Природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

Мандельброт Б., Хадсон Р. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах. М.: «Вильямс», 2006.

Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. М: Институт компьютерных исследований, 2004.

Минеев В.В. Формирование представлений о гла-бальном эволюционизме и синергетике в процессе изучения курса «История и философия науки» // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафье-ва.2008. № 2. С. 13-20.

Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 1999.

Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000.

Пимонов И.А., Трегуб А.И. Комплекс программ для оценки и анализа фрактальных свойств фондового рынка // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2008. № 4.

Рейзенбук К.Э., Пимонов И.А., Хараман Ю.В. Программный комплекс для технического анализа рынка ценных бумаг на основе моделей теории детерминированного хаоса // Вестник Кузбасского государственного технического университета. 2008. № 4.

Шлык В.А. Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне // Известия Челябинского научного центра УрО РАН. 2004. № 1.

Тарасенко В.В. Фрактальная логика. М: Эдиториал УРСС, 2009.

Федер Е. Фракталы. М: Мир, 1991.

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, 2001.

INETERNUM