Вытеснение вязкой жидкости из кольцеобразной ячейки Хеле-Шоу со стоком

Механика

УДК 532.546

ВЫТЕСНЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ИЗ КОЛЬЦЕОБРАЗНОЙ ЯЧЕЙКИ ХЕЛЕ-ШОУ СО СТОКОМ

О. А. Логвинов1, Е. И. Скрылёва2

Установлено, что радиальная геометрия не оказывает стабилизирующего действия на развитие неустойчивости вытеснения более вязкой жидкости менее вязкой из кольцеобразной ячейки Хеле-Шоу со стоком. Линейный анализ выявил абсолютную неустойчивость радиального фронта вытеснения, а в численных расчетах наблюдаются прорывы отдельных языков.

Ключевые слова: ячейка Хеле-Шоу, вязкие пальцы, радиальное вытеснение.

It is found that the viscous fingering in an annular Hele-Shaw cell with a sink is unstable in spite of the radial geometry of displacement. A linear analysis shows the absolute instability of the radial front of displacement. The appearance of isolated fingers are clearly observed in numerical simulations.

Key words: Hele-Shaw cell, viscous fingers, radial displacement.

Введение. Ячейкой Хеле-Шоу называют две параллельные пластины, разделенные малым зазором, существенно меньшим, чем ширина пластин. Вытеснение вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу прямоугольной формы менее вязкой жидкостью хорошо изучено. Вытесняющая жидкость (менее вязкая), стремясь прорваться сквозь слой вытесняемой (более вязкой), образует в ней каналы — "вязкие пальцы". Развивающаяся таким образом неустойчивость Саффмана-Тейлора обусловлена действием сил трения о пластины ячейки. Характерный размер пальцев может определяться различными физическими факторами: поверхностным натяжением [1], молекулярной диффузией [2] или малыми силами вязкости в плоскости ячейки [3].

Радиальная геометрия вытеснения представляет больший интерес для приложений, нежели прямоугольная, так как отвечает, например, течению нефти в районе нагнетающей скважины. Соответствующие эксперименты проводились при помощи ячеек Хеле-Шоу с источником в центре (см.

[4, 5]).

При математическом моделировании источник, как правило, считался точечным. Однако в отдельных работах рассматривалась кольцеобразная ячейка Хеле-Шоу с конечным внутренним радиусом [6]. В настоящей статье исследуется вытеснение из аналогичной ячейки со стоком. В начальный момент времени ячейка полностью заполнена вязкой жидкостью. Менее вязкая жидкость поступала по внешнему периметру при постоянном давлении.

В работе проведены линейный анализ устойчивости радиального фронта вытеснения в рамках модели Дарси и численное моделирование вытеснения методом сквозного счета. Проверялась гипотеза, что с уменьшением радиуса фронта (т.е. при стремлении его к внутреннему радиусу ячейки) вытеснение принимает устойчивый характер. Влияние иных факторов, в частности свойств жидкостей, не учитывалось.

Постановка задачи. Уравнения движения обеих жидкостей в полярных координатах (г, ip) можно представить в виде

52 др ó2 1 др . .

12/х or 12¡j, г dip

ди и 1 dv

7Г + - + - 7Г = °> 2

or г г otp

где и и V — осредненные по зазору ячейки компоненты вектора скорости W; р — осредненное давление; ц — коэффициент динамической вязкости; 5 — зазор между пластинами ячейки.

1 Логвинов Олег Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oleglogvinovQmail.ru.

2 Скрылёва Евгения Игоревна — аси. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: j ennyneQyandex .ru.

На границе раздела жидкостей ставятся условия равенства давлений и нормальных к границе скоростей (рис. 1 , а):

г = {

где нижний индекс 1 соответствует вытесняемой жидкости (жидкость 1), а нижний индекс 2 вытесняющей (жидкость 2).

О

д,

R-,

ЧЦФ It)

20

10

0

Рис. 1. К линейному анализу устойчивости радиального фронта вытеснения в кольцеобразной ячейке Хеле-Шоу со стоком: а геометрия вытеснения: Ь зависимость безразмерного декремента затухания (ш) от номера гармоники п для решения (9): кривая 1 соответствует (К\) = 0,2. (Ко) = 2. М = 10: 2 (К\) = 0,8.

(Д2) = 8. М = 10: 3 (Кг) = 0,8, (Д2) = 8, М = 100

Условия на входе и выходе из ячейки имеют вид

г = R\ : рi = 0; г = R¿ :

Р 2

Р,

где К\ внутренний радиус ячейки (радиус стока), К-2 внешний радиус. В начальный момент

¿ = 0: £(^;0) = Д2.

Линейный анализ устойчивости радиального фронта вытеснения. В отсутствие азимутальной компоненты скорости и начального возмущения граница раздела жидкостей сохраняет устойчивую форму окружности II = К(1) в течение всего времени движения. Задача (1) (5) в этом случае допускает базовое (невозмущенное) решение

*

Pi =

ill In т?- i

-—p, pI = P 1 +

№ in ^

* * и, Л = и о =--

PS2

12 (minify -mln^y

№ In^fy - filing ß

где базовые параметры обозначены верхним индексом *, а зависимость текущих) положения фронта от времени II = К(1) получена в неявном виде:

т = -

6

PS2

2 +in f) - ^2 G+111 §) - \ ^+^ G+in f¡

Для линейного анализа устойчивости нестационарного решения (6) (8) используется квазистационарное приближение: фиксируется момент времени t = ío и исследуется устойчивость "замороженного" решения R(to) = Ract• Предполагается, что базовое решение растет медленнее, чем возмущенное. Это позволяет искать возмущенную межфазную границу в виде

£'(<£?; t) = Sn exp [ujt + imp],

где Sn неизвестная константа, n номер гармоники (волновое число), со тания 1'армоники с номером п (декремент затухания).

интенсивность нарас-

По-видимому, впервые устойчивость радиального фронта вытеснения в кольцеобразной ячейке Хеле-Шоу с источником исследовалась в [6]. В случае ячейки со стоком аналогичный линейный анализ приводит к следующему дисперсионному соотношению между безразмерным декрементом затухания и номером гармоники:

_ ^^ /^VM Ч / (M-Pn^ + l) ((ife^ + l) \

V ^ J V {ш2п +{ш2п -1)~м (№>2га -{(R*)2n + 1))1 м = psyм = £ >= &G (о;1!. « = &G I1;00)-

В указанном диапазоне безразмерных параметров декремент затухания строго положителен и монотонно возрастает с номером гармоники. Характерный вид зависимости (9) представлен на рис. 1, Ь. Видно, что чем меньше длина волны возмущения, тем больше интенсивность его нарастания. Это свидетельствует об абсолютной неустойчивости фронта вытеснения, продиктованной отсутствием стабилизирующего фактора в системе.

Численный метод. Применяется метод сквозного счета, при котором движение обеих жидкостей описывается единой системой уравнений (1), (2) с переменной вязкостью, зависящей от объемной концентрации а: а = 0 соответствует вытесняющей жидкости, а = 1 — вытесняемой. Это позволяет избежать явного отслеживания границы и необходимости выполнения условий (3) на ней. Зависимость вязкости от концентрации для жидкостей близкой химической природы имеет степенной вид

/л1/3

Положение фронта вытеснения отслеживалось с помощью уравнения переноса

да ^ да v да ^ dt дг г dtp

Считалось, что если в данной ячейке а ^ 0,5, то в ней находится вытесняющая жидкость, если а > 0,5 — вытесняемая.

Компоненты скорости определялись из уравнений (1) по явным схемам, после чего подставлялись в разностный аналог уравнения (2). Полученное соотношение для давления интегрировалось методом прогонки по радиальному направлению. Разностная схема имела второй порядок точности.

Далее из уравнения переноса (11) по явной схеме второго порядка с ограничителем потоков определялось положение границы, после чего на основе (10) пересчитывалась вязкость. Расчеты проводились на сетке с полярными координатами: 360 ячеек в радиальном направлении и 720 — в азимутальном.

Результаты расчетов. Для тестирования схемы были проведены расчеты, в которых начальное возмущение по внешнему периметру ячейки не задавалось. Геометрические параметры и давление на входе следующие: 5 = 2 мм, R2 = 200 мм, R\ = 20 мм, Р = 1000 Па.

Если вязкость вытесняющей жидкости больше вязкости вытесняемой (М = 0,1), граница раздела жидкостей сохраняет устойчивую форму окружности в течение всего времени движения. Распределения скоростей, давлений, а также положение самого фронта в этом случае отличаются от аналитического решения (6)-(8) не более чем на 1% (рис. 2, а).

Если же вязкость вытесняющей жидкости меньше вязкости вытесняемой (М = 10) и, следовательно, должна наблюдаться неустойчивость Саффмана-Тейлора, то с некоторого момента времени на фронте начинают генерироваться возмущения, переходящие в "бесконечно" тонкие пальцы, количество которых равно количеству узлов сетки в азимутальном направлении (рис. 2, Ь).

Для проверки данного наблюдения проводились расчеты на "мелкой" (720 узлов) и "грубой" (360 узлов) сетках. Количество пальцев отличалось ровно в два раза. Этот эффект, проявляющийся только при численном моделировании, продиктован отсутствием физического стабилизирующего фактора в системе.

Результаты четырех расчетов с полигармоническим начальным возмущением на внешней границе представлены на рис. 3, 4. Возмущение имеет следующий вид:

r(<p) = R2 - 0,005 + 2 cos (Ю3/^)-

Изучалась зависимость от двух безразмерных "управляющих" параметров — отношения вязко-стей вытесняемой и вытесняющей жидкостей М = Ц1/Ц2 и отношения внешнего радиуса ячейки к ее зазору К = R2/6. Скорость на входе во всех расчетах одинакова: Uq = 10 мм/с.

Рис. 2. Результаты тестовых расчетов без начального возмущения: а распределение давления по радиусу ячейки при М = 0,1, £ = 1 с: кривая 1 соответствует аналитическому решению (6), 2 численному решению; Ъ картина вытеснения па "грубой" сетке при М = 10, £ = 4 с

На рис.. .3 значение К = 40, при этом для первого расчета (а, Ь) М = 10, для второго (с, й) М = 100. На рис. 4 значение К = 100, при этом для третьего расчета (а, Ь) М = 10, для четвертого (с, й) М = 100. Результаты каждого расчета даны в два момента времени: (а, с) — ¿1 = 2 с, (Ь, й) — ¿2 = 4 с (рис. .3); (а, с) — ¿1 = 3 с, (Ь, й) — ¿2 = 5 с (рис. 4).

Рис. 3. Картины вытеснения для первого и второго расчетов в случае широкой (£ = 5 мм, К = 40) ячейки: (а, Ъ) М = 10: (с, о!) 100

Рис. 4. Картины вытеснения для третьего и четвертого расчетов в случае узкой (£ = 2 мм, К = 100) ячейки: (а, Ь) М = 10: (с, (I) 100

Видно, что увеличение отношения вязкостен ведет к небольшому утолщению пальцев. Явной зависимости от отношения внешнего радиуса к зазору во всей совокупности численных экспериментов но обнаружено. Ожидаемая "стабилизация" фронта вытеснения при стремлении его радиуса к внутреннему радиусу ячейки (стока) но подтвердилась. Наоборот, заметны прорывы отдельных языков — сток засасывает вязкие пальцы, существенно ускоряя их рост.

Выводы. Проанализирована устойчивость радиального фронта вытеснения вязкой жидкости из кольцеобразной ячейки Холе-Шоу со стоком. При моделировании был явно учтен внутренний радиус ячейки — радиус стока. Начальная (линейная) стадия развития возмущений изучалась аналитически, последующая (нелинейная) — численно.

Линейный анализ показал абсолютную неустойчивость плоского радиального фронта вытеснения к малым возмущениям во всем диапазоне параметров: чем меньше длина волны возмущения, тем больше интенсивность его нарастания.

В численных расчетах наблюдаются прорывы отдельных языков. Эффект стабилизации фронта при стремлении его радиуса к внутреннему радиусу ячейки (стока) не имеет места. Существенной зависимости ширины пальцев от физических параметров также не выявлено. На этом основании делается вывод, что ширина пальцев в численных расчетах диктуется величиной шага сетки, а для ее реального определения необходим явный учет физических факторов: либо поверхностного натяжения, либо вязкости в плоскости ячейки, либо молекулярной диффузии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Park C.W., Homsy G.M. The instability of long fingers in Hele-Show flows // Phys. Fluids. 1985. 28, N 6. 1583-1585.

2. Gardner J.W., Ympa J.G.J. An investigation of phase behavior-macroscopic bypassing interaction in C02 flooding // Soc. Petrol. Eng. 1982. SPE 10686.

3. Звягин A.B., Ивашнёв O.E., Логвинов O.A. О влиянии малых параметров на структуру фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 4. 27-37.

4. Paterson L. Radial fingering in a Hele-Shaw cell //J. Fluid Mech. 1981. 113. 513-529.

5. Maxworthy T. Experimental study of interface instability in a Hele-Shaw cell // Phys. Rev. Ser. A. 1989. 39, N 11. 5863-5866.

6. Бирзина А.И. Морфологическая устойчивость фазовой границы при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу: Канд. дне. Пермь, 2009.

Поступила в редакцию 20.04.2015

УДК 539.42

О ДВУСТАДИЙНОМ РАЗРУШЕНИИ МЕТЕОРОИДА С КОНЦЕВОЙ ВСПЫШКОЙ

J1. А. Егорова1, В. В. Лохин2

Рассматривается вход в атмосферу Земли космического тела со сверхорбитальной скоростью. Большие аэродинамические нагрузки, действие сил инерции и тепловые потоки к телу приводят к поверхностному уносу массы и возможному механическому разрушению. Из наблюдений известно, что зачастую полет космического тела завершается мощной концевой вспышкой. Предлагается один из возможных вариантов оценки энерговыделения на заключительной стадии разрушения тела, подтверждающий возможность наблюдаемого эффекта "теплового взрыва" метеороида.

Ключевые слова: метеороид, аэродинамические нагрузки, упругие напряжения, разрушение, дробление, тепловой взрыв.

The entry of a space body at super-orbital velocity into the Earth's atmosphere is considered. Large aerodynamic loads, the forces of inertia, and thermal flows to the body lead to the surface mass loss and to the possible mechanical failure. From observations it is known that the flight of a space body often ends with a powerful terminal flash. One of the possible assessments of energy release at the final stage of the body's destruction is proposed to confirm the opportunity of observing the effect of "thermal explosion" of a meteoroid.

Key words: meteoroid, aerodynamic loads, elastic stresses, destruction, fragmentation, thermal explosion.

Наблюдения полета болидов в атмосфере Земли показывают, что их разрушение в атмосфере — обычное явление [1]. Известно, что космические тела, двигаясь в атмосфере, подвергаются воздей-

1 Егорова Лидия Александровна — науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: egorovaQimec.msu.ru.

2 Лохин Валерий Викторович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: lokhinQimec. msu .ru.