Влияние нелинейной неоднородности материала на упругопластическое состояние толстостенной трубы под воздействием внутреннего давления при трансляционной анизотропии

УДК 539.374

ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ МАТЕРИАЛА НА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ ПРИ ТРАНСЛЯЦИОННОЙ АНИЗОТРОПИИ

NONLINEAR INHOMOGENEITY OF MATERIAL WHEN STUDYING ELASTOPLASTIC STATE OF THICK-WALLED PIPE UNDER INTERNAL PRESSURE AT TRANSLATIONAL ANISOTROPY

А. В. Никитин, С. В. Тихонов

A. V. Nikitin, S. V. Tikhonov

ФГБОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В работе рассматривается упругопластическое состояние нелинейно-неоднородной трубы, находящейся под действием внутреннего давления при трансляционной анизотропии. Предполагается, что предел текучести постоянен вдоль эллиптических кривых. Определены напряженное состояние и граница раздела упругой и пластической областей.

Abstract. This paper considers the elastoplastic state of nonlinear inhomogeneous pipe under internal pressure at translational anisotropy. It is assumed that the yield stress is permanent along the elliptic curves. The stress state and interface of the elastic and plastic regions are determined.

Ключевые слова: упругость, пластичность, труба, трансляционная анизотропия.

Keywords: elasticity, plasticity, pipe, translational anisotropy.

Актуальность исследуемой проблемы. Трансляционная анизотропия связана с переносом поверхности нагружения в процессе упрочнения. Трансляционная анизотропия учитывает эффект Баушингера - понижение предела текучести при сжатии или увеличение его при растяжении. Исследование напряженного состояния толстостенной трубы из нелинейно-неоднородного материала может найти применение при оптимальном проектировании изделий в машиностроении и строительной механике.

Материал и методика исследований. В ходе работы предполагается, что в пластической области материал обладает свойствами неоднородности и трансляционной анизотропии. Решение ищется методом последовательных приближений. Определены нулевое и первое приближения.

Результаты исследований и их обсуждение. В работах [4], [8], [10], [11] развита теория предельного состояния тел при наличии трансляционной анизотропии.

В исследованиях [6], [7] распространен метод последовательных приближений [3] к изучению тел из неоднородного материала.

В данной статье рассматривается упругопластическое состояние толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления при неоднородной трансляционной анизотропии. Неоднородность материала предполагается в виде зависимости предела текучести от координат. Предел текучести принят постоянным вдоль эллиптических кривых.

На основании результатов работы [3] условие пластичности для толстостенной трубы радиусов а , р , а < р (рис. 1) имеет следующий вид:

(

а — а

х У

к1 — ^

у

+ (Тху — К3 )2 = Кху, К К К — СОП^ ,

где ах ,ау ,тху — компоненты напряжения в декартовой системе координат.

Рис. 1. Толстостенная труба радиусов а , р , а < р

Предел текучести определим в виде

Кху = К + 3

х + а)2 + (у+ В )2Л

а2

Ь

, к,, а, Ь , А, В — сопя(,

где 3 - малый безразмерный параметр.

2

2

В последующих расчетах для простоты все величины, которые имеют размерность напряжения, отнесем к величине предела текучести Ао и таким образом перейдем к безразмерным величинам. Компонентам напряжений в пластической зоне приписан индекс « р » наверху, компонентам в упругой зоне - индекс « е » наверху.

Переходя к полярным координатам в формуле (1), получим:

и + и п и — и п Р V Р V ЛЛ • 0/1

и =—---1----сов2в + т ,,В1п2в,

х 2 2 рв

и + и п и — и г, р в р в а . а

и =—------cos2в — т /,в1п2в,

У 2 2 рв

и — ив

т =--—-sln2в + т „ cos2в.

ху 2 рв

х = реоэв, у = р в1п в.

На основании соотношений (3), (4) условие пластичности в полярных координатах будет иметь вид:

Г л 2

р р

и — и а р в

2

+1Трв 1 —2^

С р р ^ и — а а р в

2

со

8 (2в + /) -

где

—2тррв в1п (2в + / )+ R 2 — 1 — 2 р8 R 0 вт (в + г\)= О,

R =

к — к,,

М I + к2, ^^

А к

к

2

= соэи, -3 = В1П и, 2R R И'

R) =л1 а2 + Ь2,

а Ь

= со^ —, _ _ =

2V а2 + Ьь

2^] а2 + Ь2

На основании гипотезы

к — ¿1А, к2 — ¿1 к^, кз — (51 Аз

2

2

, , 'к[— к'Л2 , 2

с учетом обозначений R=31R, R =\) 2 I + (к,) , в предположении 31 = g131

и 0 < g1 < 1 соотношения равновесия в полярной системе координат примут следующий вид:

да , дт „ а - ап

+ + -Р_t = 0,

др р дв р

дтРв +1 а+Тв=0.

др р дв р Разложим напряжение а по малому параметру 8 :

аг] =а +а8+а8 +..., р = р + р[8+ р$2 +...,

где рs - радиус пластической зоны.

Для перехода к безразмерным величинам в размерах трубы а, р воспользуемся

¿г /

соотношениями б = а/ р] , р = р / рs , где р, - радиус пластической зоны в нулевом приближении. Черту сверху у величин а, b опустим.

Учитывая, что ¿^сохраняет постоянное значение вдоль эллипсов, что следует из соотношения (2), можно записать

(х + л)2 ( y + B )2

+ = С

а b

где c - некоторая const.

Так как в нулевом приближении для осесимметрического состояния трубы

т

на основании (1), (8), (10) следует

ар0)р - а

Тогда результатом совместного решения соотношений (7), (10), (11) являются

ар-1 p = 2lnр + C, а

где С - const.

Предполагая постоянное давление p на внутренней границе трубы и учитывая, что внешняя граница трубы свободна от усилий:

r( °) Р

= - p, о

(°)e

р=а

=°,

Р=Р

согласно (12), (13) заключаем

И)p =- p + 2ln Р, иГР =- Р + 2 + 2ln Р .

а

В упругой области представим нулевое приближение в виде

оР Iе = Л - )e = Л + В-1 р = 0.

Р Р

Примем во внимание условия сопряжения компонент напряжений на упругопла-стической границе:

И Р )p| = И Р )е1 и( °) p| = и( ° )е1 ир |р=1 = ир р=1, ив |р=1 = ив |р=1.

Из (14), с учетом (13) и (16) получаем

_(°)e_p + 2lna ( я2л

р2 -1

1-

р2

_(°)е _ p + 2lna

в

( о ^

Р2

Р2 -1

1+

р

шением

В нулевом приближении радиус упругопластической зоны определяется соотно-2 1

Р

1 — 2 1п а — р

Для первого приближения, учитывая полярные координаты (4), из (1), (2), (8), (11), (12) получим

и'вр -ир = -2Rcos(2в + ¡и) + 2

i, ,2 , ч2 ^

2

b

2

Положим

,р 1 дФ 1 дхФ а г =---+

р Р дР р2 дв2 Из (18), (19) имеет место

'р ав =

дФ

' р =

д I 1 дФ

дР

2' Р в др { р д в

19)

2 д2Ф дФ д2Ф 2 2

р2^-2 — р^ф — ф = —2 Л 'р2^ (2 в + /) + 2р

др2 др д в

2 I

.

Условия равновесия (7) удовлетворяются соотношением (19). С учетом (18), (20) и значений граничных условий в первом приближении [3]

а'р 1р=а = 0,

Т' Р 1 = 0

трв |р=а = 0

Ь

а

находим решение в пластической зоне:

2

ар =

( Л 'а2 а

а2 Ь 2р

ч л (л а ( гг, и

+ cos ( 2в + /) —^---cos IV 31п —

2

а 2Ь2

а) р

к а р а

3ра2 Ь2

cos

(2 в)а3 (Ь2 — а2)sin I ^3 1пр

2а"

-(Ь2аcos в + а2Ьsinв) — Л'cos(2в + —cos | cos (2в — /) +1

+1 1 +

а

^^

3а2 Ь 2р

р

+ 1 ^^ |( 9р3 — 3а 2р) +

6а2Ь2р )

Ь2 А2 + а2 В 6а2Ь 2р

^12р ^ 1пр +1 ^+ 4^(Ь2а ^ в + а2Ь sin в),

т'Р =

V

2

+ sin(2 в + /)—I а/^шI >/31пр1 + cosI >/31пр

а 2Ь 2р

р

sin

6а 2Ь 2р

+ ^ (Ь 2 — а2) sin ( 2в ).

Тогда на упругопластической границе при р = 1 из (22) вытекает:

+

+

1

+

+

+

+

2

+

ир = а0" + а'1 совв + Ь/^тв + а"2 сов2в + Ь^т2в, тррв' = а0"' + а;"совв + Ь/Ътв + а2" сов 2в + Ь'"в1п 2в,

где

( я а2

V а

2 — а сов (>/з1п а )| сов / — ай' Бт (л/3 1п а)сов / — а (Ь — а ) в1п (л/31п а),

3 а Ь

Ь2 = —

2

Я а а

—;---сов (V 31п а ) I в1п /и — а Я' в1п (л/31п а) в1п /,

а р Х ' )

= Я 'а (—л/3 (л/31п а) + сов (л/31п а)) вт /, Я 'а (V? 1п а) + сов (>/31п а)) сов и +

Ь"' =

а3 (а2 — Ь2) сов (л/3 1п а). , (Ь2 — а2) 6а Ь ^ > 2а Ь2

а" = £ (1 — а4 ) • Ь'= £ (1 — а4 ), *Т= £ (а2 — 1), Ь'= — £ (а2 — 1),

а=

2 (ь2Л2 + а2В2) 1п(а).

аЬ

Для упругой области согласно [3] находим напряжения:

_{1> 2(ь2л2 + а2В2)(р2 -,2) 1п(11 2(а4 _ 1)(р4 _,4^л^ в^

и =-

+1 Рр^ШУ (((^р4)(—^р2 + 2,4 р2 — 2,2 + 4 — 2,6) + , (—3 + 2р 2 — 1 + ,) —Р4)а

-3Ь2 Я а + 3Ь2 а2 сов (л/31па)) сов (2в + /) + (3а2Ь2 Я' в1п (>/31па)) сов (2в — /) +

22 аЬ

11

+—

3 р4Жа2Ь

+ (Ь2 — а2 )а2сов (2в) в1п (Т31па))) + -((р2 (1 — р2) + ,2р2 (р4 — ,2) + ,2 (,2 — 1))-

а2

+

•(( 6 Я 'а а 2Ь 2 (—л/3 81п (л/3 1па ) + cos (л/3 1п а ))) •

(2 в + /) + 3^(2 в)(а2 — Ь2) а2^(л/31па) + ^(л/31па) — 1

,7у 2

2 + г,2

а Ь

+

+1 , / - ~ I ((р4р4)(р2 — 2р4 + р2р2 — 4р2) + р4(3 — 2р2 — р4) + р4(1 — 2р2))а •

1 1 (и а4 ЛМ а2 „ а4 , л а2 лЛ\,а41ч о о 2 д4\ , „4/

3 р4р4т2Ь21

—3Ь2 Я'а + 3Ь2 а2 cos (л/31па)) cos (2в + /) + (3а2Ь2 Я' sin (л/31па)) cos (2в — /) + +(ь2 — а2 )а 2 cos (2в) sin (л/31п а))) + +3 , } ~ ~111 р+р411 рр2 —рр2 +3р4р —2р4—Г+2—Л+Л —3+2р+р+|+р4|1—

^4^__|((р4р4)(р2р2 —2р4р2 +3р4р —2р4 —р^+2—р6)+р4(—3+2р^ +р4)+р4(1—

(—ЬЯа) осв( в—/) +3осв^ч/31па) а^Ц в+/) +3Ц>/3]па ЯЙ^ в—/) + +(ь2 —а^сЛЦ в) £ап^>/31па))))+

Чл^ЁР р2)( 2р2р2 "2р4р2+3р4р2—4р4+р2+2р (1—р2)—р6+р6) •

•(аЦ 2в+и)(-6#аа2Ь2) sm(^/зlnа) +sin( в+/)(6Яаа2Ь2) еЦ731па) +3sin( 2в)( а2 —Ь2) • •(-—а3 ((Х8(^31па| )+а3(cos^^/зln1)—1

к3

(/ )е= 2(«4 —1)(3р4 + р4) ( asin в — Bcos в

Трв р3 (р4 —1) К а2 ь2

+3 ^ (((р4Р4 )(1 — Р2 + 3р2 — 4р2р2) + рб (р2 —1) + рб )•

•

3

л/3

а3 cos (л/31па) +--а3 cos 1па) — 1

-V)

На основании (14), (15) в первом приближении для границы упругопластической области получим

р" =

и/ — ий

«и

(0)е

и°)р 4

=1 (< —ивр).

ёр ё р

Границу упругопластической области в первом приближении получим из (22),

(25), (26):

р[ = 1« — ив) = 4

где

М1 =

(

2( Ь2 Л2 + а2 В2)(р2 + ,2) 1п

(,2 —1) аЬ р2

, М2 =

2« —1)

Лсовв Вв1пв

-;—+-

Ь2

М3 =-

р3 , —1)

3 (((,р4 )(,2 — 2,4 + р2,2 — 4р2) + ,4 (3 — 2,2 — ,4) + Р4 (1 — 2р2 ))а-

((—3Ь2 Яа + 3Ь2 а2 сов(л/31па)) сов (2в + /) + (3а2Ь2 Я'^п (Т31па)) сов (2в — /) + +(Ь2 — а2 )а2сов (2в) в1п (л/31па))),

^ 1 1

3 р4 т2ь2

(сов (2в + /)(— 6Я'аа2Ь2 )-(73яп (л/Ша) — сов (7э1па)) + 3сов (2в)( а2 — Ь2 )-

Г

а сов

73

(л/31па) +——а3 сов (л/31па) — 1

УЛ

)))

N =—

2а4

а Ь р '

м - 2и2 ~(Ь2а сов в + а2Ь в1пв), N2 =—Я'сов (2в + /) «сов I л/31пр I сов (2в — /) + 1

V/? «

а

N3 =-

л/3 сов

3а Ь р

N4 =-

Р

N5 =

^а2 + Ь2 V . ГЬ2Л2 + а2В2V Л р ^

'(9р — 3а р),N5- п-И-^

6а Ь р

6а Ь р

12р | 1п^ + 1

N7 =4^ (Ь2а совв + а2Ь втв).

7 2 т. 2 а2Ь2

Граница раздела упругой и пластической областей в нулевом и первом приближениях при Ь = 3, Г = 1, а = 2, и = 0.3, а = 0.8, , = 2, N = 5, р= 1, А = 1, -В = 1 представлена на рис. 2.

р/- радиус раздела упругой и пластической областей б ну лед ом приближении р5 - радиус раздело упругой и пластической областей б пербом приближении а - бнутренний радиус трубы Р - бнешний радиус трубы

Рис. 2. Граница раздела упругой и пластической областей в нулевом и первом приближениях

Резюме. Определено напряженное состояние в пластической (22) и упругой (25) зонах. Изменение границы пластической зоны находится из соотношений (27).

В отличие от предыдущих работ материал в пластической области предполагается обладающим свойствами неоднородности и трансляционной анизотропии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беляев, Н. М. Напряжения и деформации в толстостенных цилиндрах / Н. М. Беляев, А. К. Синиц-кий // Изв. АН СССР (ОТН). - 1938. - № 2. - С. 320-333.

2. Бриджмен, П. Исследование больших пластических деформаций и разрывов / П. Бриджмен. - М. : ИЛ, 1995. - 444 с.

3. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 с.

4. Ивлев, Д. Д. О соотношениях теории трансляционной идеальнопластической анизотропии при обобщении условия пластичности Мизеса / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. -2010. - № 2 (8). Ч. 3. - С. 583-584.

5. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. - М. : Гостехиздат, 1948. - 377 с.

6. Кузнецов, П. Н. Упругопластическое состояние неоднородной плоскости, ослабленной круговым отверстием, подкрепленной включениями, ограниченными эксцентрическими окружностями, при двуосном растяжении / П. Н. Кузнецов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2009. - № 1. - С. 134-141.

7. Максимова, Л. А. Об упругопластическом состоянии неоднородной трубы, находящейся под действием внутреннего давления / Л. А. Максимова, С. В. Тихонов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2007. -№ 2. - С. 91-95.

8. Митрофанова, Т. В. Об условиях трансляционной анизотропии идеальнопластических тел при кручении / Т. В. Митрофанова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2010. - № 2 (8). Ч. 3. - С. 596-600.

9. Соколовский, В. В. Теория пластичности / В. В. Соколовский. - М. : Высшая школа, 1969. - 608 с.

10. Фоминых, С. О. Упругоидеальнопластическое состояние анизотропной трубы / С. О. Фоминых // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2010. - № 2 (8). Ч. 3. - С. 623-627.

11. Фоминых, С. О. Упругопластическое состояние толстостенной трубы при взаимодействии различных видов пластической анизотропии / С. О. Фоминых // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2011. - № 1 (9). -С. 211-226.