Коэффициентные обратные задачи для квазигиперболических уравнений высокого порядка с интегральным переопределением

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2015. Том 22, № 3

УДК 517.946

КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЕМ С. С. Павлов

Аннотация. Исследуется линейная коэффициентная обратная задача для квазигиперболических уравнений высокого порядка. Устанавливается разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для уравнений высокого порядка по временной переменной при задании условия интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности решения коэффициентных обратных задач.

Ключевые слова: обратная задача, интегральное условие переопределение, метод продолжения по параметру, априорные оценки, существование, единственность.

S. S. Pavlov. The inverse problem for a quasi-order hyperbolic equations with integral redefinition.

Abstract: We investigate the linear inverse problem for a quasi-order hyperbolic equations. The solvability of the inverse problem finding together with the decision of the external action of the high-order equations the time variable when setting the conditions of integral overdetermination. Taking of evidence vayutsya existence and uniqueness of the solution of inverse coefficient tasks.

Keywords: inverse problem, integral condition override, method parameter continuation, a priori estimates, existence, uniqueness.

Введение

В работе исследуется линейная коэффициентная обратная задача для квазигиперболических уравнений — задача нахождения функций u(x, t) и q(t), связанных уравнением

(_1Г-1Д2mu _Аи + f)u = /(Ж; f) + q{t)h{x^ f) ^Dk =

Впервые постановку корректной краевой задачи для квазигиперболических уравнений предложил В. Н. Врагов [1], ряд результатов о разрешимости краевых задач, о свойствах решений этих уравнений рассматривались в работах И. Е. Егорова, В. Е. Федорова [2,3], А. Н. Терехова [4], А. И. Кожанова, Е. Ф. Шарина [5]. Обратные задачи для квазигиперболических уравнений ранее не рассматривались.

Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М. М. Лаврентьева [6], В. Г. Романова [7], Ю. Е. Аниконова [8-11], Ю. Я. Белова [12,13], Б. А. Бубнова [14,15],

(g 2015 Павлов С. С.

С. И. Кабанихина [16], А. И. Прилепко [17] и др. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение [18-20].

Исследованию разрешимости обратной задачи определения внешнего воздействия для гиперболического уравнения с интегральным условием переопределения посвящены работы [21, 22]. Подобные обратные задачи для гиперболических уравнений ранее изучались в работах [23-27]. Разрешимость обратной краевой задачи для гиперболического уравнения с несколькими неизвестными источниками была исследована в работах И. Р. Валитова, А. И. Кожанова [25].

1. Постановка задачи

Пусть О — ограниченная область пространства К с гладкой границей Г, Q = О х (0,Т) — цилиндр с боковой границей Б = Г х (0,Т), /(х,г), с(х,г), Н(х, г), К(х, г) — заданные функции, т положительное целое число.

Обратная задача I. Найти функции п(х,г), д(г), связанные в цилиндре Q уравнением

при выполнении краевых условий

0\и{х, 0) = 0, ¿ = 0,

0\и{х,Т) = 0, ] = 1,т—1, х (е о,

и

а также условия переопределения

/К

о

Обратная задача II. Найти функции п(х, г), д(г), связанные в цилиндре Q уравнением (1), при выполнении краевых условий (2) и

дп

дv

= 0,

5

а также условия переопределения (4) (V — вектор внутренней нормали к Г).

Без ограничения общности будем рассматривать случай т = 2. В случае т > 2 все выкладки вполне аналогичны приведенным, но более громоздкие. Введем обозначения

йо(*) = [ К(х, £)/г.(ж, £) ¿х, ао(£) = , , . [ К(х, £) ¿х,

о о

/1(3;, £) = /(ж, £) — ао{Ь)к{х, £), Н\ = тах |/г(ж,

Я

с\ = тах тах|сХ;(ж,£)|, Н2 = тах тах |/1хДж,

г=1,...,п д * г=1,...,п д

т

М1 = тах

М2 = тах

*е[0,т ^ НЦг)

(К2 (у, Ь) ву^ вхвЬ

Я п

(К(у,Ь)с(у,Ь))2 ву ) вхвЬ

Я п

М3 = тах

3

К2(у, Ь) ву) вхвЬ

Я п

М0 = тах (Мх, М2,М3}.

Через V будем обозначать анизотропное пространство функций, имеющих обобщенные производные по пространственным переменным до второго порядка включительно и по переменной Ь до четвертого порядка включительно. Норму в пространстве V определим естественным образом:

Я

+ Е + (О^У

1,3 = 1

вхвЬ

Теорема 1. Пусть выполняются условия

к{х, I) е С1 (я), с(ж, I) е к{х, I) е

/(х,г),/Хг(х,ь) е Ь2(Я), I = !,...,п, V*) + о, г е [о,т], с(х,т) > о при х еп, / (х,Ь)15 = Н(х,1)1з = 0 и существует Ло-' Ло > Т, [(Ао — < 0 при (ж,£) €= С},

М^ л0т2 ( Н2 +

Н2

2

+ 2Н2 < 1.

Тогда существуют функция и(х,Ь) е V и функция д(Ь) е Ь2(0,Т), являющиеся решением обратной задачи (1)-(4).

Доказательство. Выполним вспомогательные построения. Для этого умножим уравнение (1) на функцию К(х,Ь) и проинтегрируем по области Из полученного равенства вычислим д(Ь):

Z

д(Ь) = Z (Ь,и) — а0(Ь),

— | К(х,Ь)иии(х,Ь) вх п

— 1К ,х,()Ди(х,()вх + / К (^мммм)вх

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х, Ь), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

—Щж — Ди + с(х, Ь)и = /х(х, Ь) + Z(Ь, и)Н(х, Ь),

3

2

2

и

1

и такую, что выполняются условия

щ

= 0.

Докажем, что данная задача разрешима в пространстве V. Для этого воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть е — положительное число. Рассмотрим новую краевую задачу: найти функцию и(ж,£), являющуюся в цилиндре Ц решением уравнения

—Щш — Ли + с

и такую, что выполняются условия (7) и (8).

Воспользуемся методом продолжения по параметру.

Пусть Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию и(ж,£), являющуюся в цилиндре Ц решением уравнения

—и«« — Ли + с

и такую, что выполняются условия (7) и (8).

Покажем, что при фиксированном е и при принадлежности функции /1(ж, £) пространству Ь2(Ц) краевая задача (10е,л), (7) и (8) разрешима в пространстве V.

Согласно теореме о методе продолжения по параметру [28, гл. 3, § 14] задача (10е,л), (7), (8) будет разрешима в пространстве V, если она разрешима при Л = 0 и для всевозможных ее решений из пространства V имеет место равномерная по Л е [0,1] априорная оценка в том же пространстве [3, 29].

Разрешимость краевой задачи (10е,о), (7), (8) при фиксированном е и при принадлежности функции /1(ж,4) пространству Ь2(Ц) известна [3]. Покажем, что для всевозможных решений краевой задачи (10е,л), (7), (8) из пространства V имеет место нужная априорная оценка. Рассмотрим равенство

/[-^М) — ММ) + сммм) — ^^ммх^ —^ я

= У[/1(ж,г)+ Л^(¿,щ)^(ж,4)]щ4(ж,4)(Ло — ¿) ^ж^, (11) я

являющееся следствием уравнения (10е,л). Имеем т

— J ! Щыг(ж,1)щ(ж,1)(Ло — £) ¿ж^ о о

= ~У J ( ' ^ 0-¿хсИ + — J J и^г(х,1)с1х<И

о о о о

т

= ° 2—- J и^1.(х,Т)(1х + — J У £) с1хсИ, о о о

J ! Ди(х,Ь)щ(х,Ь)(Л0 — Ь) вхвЬ

п0

= I Ё / / —— ЛхМ + | Ё I I и2Х1(х, г) йхМ

^ ° J их^х>Т)с1х + — ^^ J У и2. (ж, £) скссИ,

! I ->:> **

т

1 [ Г д

п0

2У У дЬ

п0

т

+ \ I I Иж

п0

вхвЬ

11 (с(х'() — с'Ш)(Л°— ())"2(х,() вхв(

^ 0 ^ J и2(х, Т)с(х, Т) с1х

2

п т

1

+

— J !(с(х, £) — с4(ж, ¿)(Ао — 1))и2(х, £) г1хгМ,

2 п0

т

—е Дщ(х,Ь)щ(х,Ь)(Л0 — Ь) вхвЬ = е^^ / / и2Х1±(х, Ь)(Л0 — Ь) вхвЬ.

п 0 1-1 п 0

Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, из (11) нетрудно получить неравенство

^ J и2г(х, £) ¿хсИ + — J и2, (ж, £) ¿хсИ

1-1 Я

+ — J(с(х, £) — С((ж, ¿)(Ао — 1))и2(х, £) йхМ Я

+ J и2Х11(х,Ь)(\о — Ь) с1хскЬ+ —- J и2г(х,Т)с1х 1-1Я п

(Л° 2 Т) Е / ^ + (Л° ~ Т) I с(х,Т)и2(х,Т)ах

1-1 п п

$2 + ¿2 [ 1С

< 1 2 2 у и2{х,Ь) ¿хМ + Щ у /2(ж, £)(Ао -Ь)2йх(И

+ щ J(Ао - г)2г2ц, и)к2(х, г) ¿х<и

2 я

(здесь ¿1 и ¿2 — произвольные положительные числа). Имеет место неравенство

J и2

яя Положим ¿1 = ¿2 = С учетом неравенства (12) и условий теоремы 1 получим

J щ^ж,^ + ^^ J

Я 1=1 я

я

+ 2еЛо ^^ J иХи (ж, + (Ло — Т) J щ^ж, Т) ¿ж

г=1 Я о

п ,,

+ (Ло — Т/ (ж, Т) ¿ж <

г=1 о

< Л2Т^ /2(ж, ¿) ¿ж^ + Л2 Я?Т^ Z2(4, и) ¿ж^. (13) яя Умножим уранение (10) на функцию (—Ли4(ж, £))(Ло — £). Интегрируя по частям в левой части и применяя неравенство Юнга в правой части, получим неравенство

J иХ;«(ж,£) + У [Ли(ж, £)]2 "'_1 Я Я

п «

+ ^^ / (ж,£)[с(ж,£) — с4(ж,£)(Ло — £)]

г=1 Я

П ^ П р

+ (Ло — Т) /

Т) ¿ж + (Ло — Т) ^ / с(ж, Т(ж, Т) ¿ж

г=1 о г=1 о

+ 2е У[Ли4(ж,4)]2(Ло — ¿) ¿ж^ Я

< + ^ ! /12(ж,4)(А0-¿) ¿жсЙ

я 3 Я

+ ¿4 У^ [ и2 АхйЬ + 72 [ h2i(x,t)(Xo—t)2Z2(t,u)dxdt г=1 Я г_1 Я

П л 1 п л

+ J (Ао — ¿)2с2. (ж, Ь)и2(х, Ь) с1хсИ + ^ ^^ J и2 .¿(ж, Ь) с1,хс1,1.

г_1 Я

Положим

8з = тД, ¿4 =

л/2(1 ~А2с2Тв) У2

З-УЬ, 04- -?-,

С учетом неравенства (12) и условий теоремы 1 получим

J и2.и(х,Ь) вхвЬ + J[Дu(x,t)]2 вхвЬ 1-1Я Я

п ,,

+ / (с(х,Ь) — с1(х,Ь)(Л0 — Ь))и2. (х,Ь) вхвЬ

1-1 Я

+ е ^[Дщ(х, Ь)]2(Л0 — Ь) вхвЬ + (Л0 — Т) и1гЫ(х, Т) вх Я 1-1 п

+ А2Н2Т2

J Z2

2

Я

Рассмотрим равенство /(—^ Ь) — Ди(х,Ь) + ф,Ь)и(х,Ь) — еДЩ(х, Ь))(—Щш(х,Ь)) вхв

Я

= !(/1(х,Ь)+ ЛZ(t,u)h(x,t))(—utttt(x,t)) вхвЬ. (15) Я

Положим 82 = З2 = Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, из (15) получим неравенство

J и2ш(х,Ь) вхвЬ — J и221Ы(х,Ь) вхвЬ — 2J с(х,Ь)и^1. (х,Ь) вхвЬ Я 1-1Я Я

^^ (м) вхвЬ+4/ ^^ (м) вхвЬ ЯЯ

+ е ^^ J и11Ы(х,Т) вх + J и2(х,Т)сш(х,Т) вх 1-1 п п

= — 2 ! с1 (х,Т)и(х,Т)ии(х,Т) вх — 2 ! с(х,Т)и(х,Т)uttt(x, Т) вх п п

< 2 ! /2

ЯЯ

Из неравенств (13), (14), (16) вытекает неравенство J п^111(х,Ь) вхвЬ + J[Дu(x,t)]2 вхвЬ + еЛ0 J[Ди^х,^]2 вхс

Я Я Я

+ / [1 + (с(ж, — с*(ж,г)(Ло — ¿))]иХ, (ж, *) ¿ж^

г_1 Я

Я Я

п ,,

— С^ш(ж, ¿))и2(ж, *) ¿жй* — ^^ / ^«(ж,*) ¿жй*

г_1 я

п „ п „

+ 2еЛо^ / ¿ж^ + (Ло — Т/ (ж, Т) ¿ж

г_1 Я г_1 о

+ 4 J (ж,

¿)щ2(ж, *) ¿ж^ + (е + (Ло — Т)) ^ / Щ^й(ж, Т) ¿ж Я г_1 о

+ (Л0 - Т) J и%{х, Т) йх < [\20Т2 + у + J Д2(ж, йх<И

о Я

+ (л2т2 (Я2 + _%2Т6)) + 2Я12) /^ (1?) о 1 Я

Числовое неравенство

(й1 + • • • + ар)2 < + • • • + ар), и неравенство Гельдера дают неравенство

2 /п \ 2

г2(г,и)< 3

лос*)

К(у,г)щт(у,г) ¿у + к(у,*)Ли(у,*) ¿у

о

+ V./ к (у,*)с(ж,*)и(у,*) ¿у

о

Имеют место неравенства

3 {[ \2

к{у,г)иии{у,г) лу

2п

ло

Я

^ J к2(у^)<1у ) ( / иии(у^)<1у ) ^^

о Я о

I ! и "! Нп, \ I { 1ч,

Нш(

^ / ( I (К2^'*)^ ) I ( I иии(у^)<1у ) ^^

Я о Я о

3 2 2

< I (.К" (у,Ь)йу^ йхвЛ^ j игш{х,Ь) йхвЛ

о Я о я

0 Я

3

</( I {К{у,1)с{у,г))2 йхМ

п

Я п

(К(у,Ь)с(у,Ь))2 ву^ вхв^ ! и2(х,Ь) вхвЬ

Я

< М2 и2(х, Ь) вхвЬ, Я

3 (

- Ч(Ь) J

Я п Я п

< тах( , „, . ' ' ' л„. \ \ / „.2/

т

Я п Я

-¡Щ ^ к{у,1)&и{у,1)<1у 0 Я

3

<

<

Я п

3

К2(у, Ь) ву [Ди(у, Ь)]2 ву вхвЬ

п

К2(у, Ь) в^ вхвЬ ^ ![Ди(у, Ь)]2 ву^ вхвЬ

л

Я п Я п

< J (У К2(у,Ь) <1у^ ¿хсИ^ ![Аи(х,Ь)]2 ¿хсИ

0 Я п я

< М^[Ди(х, Ь)]2 вхвЬ, Я

постоянные М1, М2, М33 здесь определяются ^х,Ь), К(х,Ь) и областью О,

Н2

Л^Т2 ( Я2 + 2 \ I о 1^2 \ /

о-1 I "1 ^ оп _ I + 2Я12) / ^^

2(1 — Л2с2Т 6)^

Я

<М0(Л2Т2(Я12+2(1Д2Г6))+2Я12) Х /(/ и2(у, Ь) ву + /ЦшЫ) ву + ![Ди(у, Ь)]2 в^ вхвЬ

Я п п п

Щ \

2(1-Х2с2Т^) 22

< М0 ( Х2Т2 Я2 + —- 2 ) + 2Н\

х j

Я

Неравенства (18), (17) и условии теоремы 1 дают априорную оценку

^1-М0(Л2Т2(Я12+2(1_^г6))+2Я12

2

х и2ш(ж,4) + У[Ди(ж,£)]2 д д

+ еАо J[Ди4(ж, £)]2 + ^^ У[1 + (с(ж,4) — с4(ж,£)(Ао — (ж, £) д 1=1 д

+ /(I - *<*. о)«) ** + /0 - «<*. „(Л. -.) - о

д д

- М0 (А*Г2 (ях2 + 2(1_д1с2Г6)) + 2Я?) ) ¿хс11

п п п

— / + 2еАо ^^ / £)

г=1д 1 г=1д

+ (А0 — Т) ^^У (ж,Т) ¿ж + с«(ж,¿)и2(х, £) г=1 о д

+ <е + <Ао — т» £ / ^„,ж.т)* + ,Ао—т, / 4с,Т) *

г=1 о о

< ^т2 + у + У ¡1{х, I) йхйг + м4, (19) д

где М4 определяется функциями Л.(ж,£), /(ж,£), К(ж,£) и числами е, Т, Ао, Я1.

Из оценки (19) и теоремы о методе продолжения по параметру [28, гл. 3, § 14] следует, что при фиксированном е краевая задача (10е,л), (7), (8) разрешима в пространстве V для всех чисел А из отрезка [0,1]. Другими словами, краевая задача (10е,л), (7), (8) имеет решение ие(ж, £), принадлежащее V.

Далее получим равномерные по е оценки и обоснуем предельный переход при е ^ 0.

Действуя так же, как при получении оценки (19), но интегрируя по переменным ж^ в слагаемых с функциями /1(ж, £), покажем, что для семейства функций {ие(ж, £)} выполнено неравенство

У и2ш(ж, £) + У [Ди(ж, £)]2 + еАо J[Ди4(ж, £)]2 д д д

п

+ / [1 +

г=1 д

+ У — 2с(ж, ¿) ¿хсИ

д

+ У (с(ж, £) — С4(ж, ¿)(Ао — £) — сШ4(ж, ¿))и2(ж, £) д

п „ п „

— ^^ / + 2еАо ^^ / иХ.4

+ (Ао—Т > £ / *(жТ > *+4 / °»(ж-(,"2(ж'() **

г=1 о д

+ (е + (Ао — Т)) ¿У <„(ж,Т) ¿ж + (Ао — Т^«24(ж, Т) ¿ж

< (2 + А^Т2) / /?,) ^ + Е / Л2,(*, *) ^

д г=1 д

1 \2 И2гГ2 \ ОН2 \ ! г72!

+

Из (20) получаем априорную оценку

(1 — М5)^У «?ш(ж,-£) ¿ж^ ^У[Ди(ж,4)]2 ¿ж^ + еАо У [Д«(ж,-£)]2 ¿ж^ д д д

+ У [1 + (с(ж, ¿) — с4(ж, ¿)(Ло — ¿))]и2. (ж, ¿) с1хсИ + У — 2с(ж, и2г(х, £) ¿хсИ г=1 д д

+ У (с(ж, £) — с4(ж, £)(Ао — £) — сш<(ж, £) — Мб)и2(ж, £) д

п ^ п р

— I »^¿¿

•=' д ' *=1 д

+ (Л„ - Т) ¿/(ж,Т) ^ + 4/ ^Ц»^) *«

г=1 о д

+ (е + (Ао — Т)) £ У и£,й(ж, Т) ¿ж + (Ао — Т^»¿(ж, Т) ¿ж

о

М5 = М0 ( ^ + А2Я2Т2 + 2Я2 ].

<

постоянная Мб в которой определяется функциями Л.(ж,£), К (ж, , с(ж, £), областью О, числами Ао, Т и

Из оценки (21) следует, что в семействе |»е(ж, £)} решений краевых задач (10е), (7), (8) можно переходить к пределу при е ^ 0. Предельная функция будет принадлежать пространству V и представлять собой решение краевой задачи (6)-(8).

Покажем, что решение »(ж,£) и функция д(£) дадут искомое решение обратной задачи I. Для этого умножим уравнение (1) на функцию К(ж,4) и проинтегрируем по О. Получим равенство

Фии

о

Из однородных начальных условий обратной задачи I следует, что имеет место равенство = 0 при t £ (0,T). Это означает, что для решения u(x,t) краевой задачи (6)—(8) будет выполняться условие переопределения (4). Вместе с принадлежностью функций u(x, t) и q(t) требуемым классам все это и означает, что функция дает искомое решение обратной задачи I. Теорема доказана.

В случае обратной задачи 2 можно установить аналогичный теореме 1 результат.

Теорема 2. Пусть выполняются условия

h(x, t) G C\Q), c(x, t) G C\Q), K(x, t) G C\Q), f (x,t),fXi (x,t) £ L2(Q), i = 1,...,n, ho(t)=0, t £ [0,T], c(x,T) > 0 и существует Ao такое, что Ло > Т, [(Ло — t)c(x, t)\t < 0 при (ж, t) G Q,

Тогда существуют функция u(x, t) £ V и функция q(t) из пространства L2[0, T], являющиеся решением обратной задачи II.

Доказательство теоремы 2 проводится вполне аналогично доказательству теоремы 1.

Замечание. В заданном уравнении (1) вместо оператора Лапласа можно рассмотреть общий эллиптический оператор 2-го порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Врагов В. Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1987. С. 5-13.

2. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости первой краевой задачи для уравнения смешанного типа четного порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 2. С. 48-56.

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

4. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к решению задач математической физики и вычислительной математики: Сб. науч. тр. / АН ССР. Сиб. отд-е, Ин-т математики. Новосибирск, 1979. С. 128-137.

5. Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка // Укр. мат. вюник. 2014. Т. 11, № 2. С. 181202.

6. Lavrentiev M. M. Inverse problems of mathematical physics. Utrecht: VSP, 2003.

7. Romanov V. G. Investigation methods for inverse problems. Utrecht: VSP, 2002.

8. Anikonov Yu. E. Formulas in inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.

9. Anikonov Yu. E. Inverse and ill-posed sources problems. Utrecht: VSP, 1997.

10. Anikonov Yu. E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht: VSP, 2001.

11. Anikonov Yu. E. Multidimensional inverse and ill-posed problems for differential equations.

Utrecht: VSP,1995.

12. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations //J. Inverse Ill-posed Problems, 1993.

V. 1, N 4. P. 283-305.

13. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

14. Бубнов Б. А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1988.

15. Бубнов Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Новосибирск, 1987. (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 713).

16. Кабанихин С. И. О нелинейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. ???????, № 4. С. 791-795.

17. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса) // Мат. заметки. 1973. Т. 14, № 5. С. 755-767.

18. Обратные задачи электродинамики / Кабанихин С. И., Романов В. Г. и др. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.

19. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.

20 Калинина Е. А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальневост. мат. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 89-99.

21. Павлов С. С. Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 1. С. 93-99.

22. Павлов С. С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 81-93.

23. Валитов И. Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений // Труды Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан. Серия «Физико-математические и технические науки». Вып.3 / Отв. ред. К. Б. Сабитов. Уфа: Гилем, 2006. С. 64-73.

24. Валитов И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: Автореф. дис. . . . к. ф.-м. н. / Стерлитамакская гос. пед. академия, 2009.

25. Валитов И. Р., Кожанов А. И. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени. Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 3-18.

26. Kozhanov A. I., Safiullova R. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations // Inverse and I'll-Posed Problems, 2010, V. 18, N. 1. C. 1-24.

27. Сафиуллова Р. Р. О разрешимости линейной обратной задачи нахождения правой части составного вида в гиперболическом уравнении // Вестн. ЮУрГУ, серия «Математическое моделирование и программирование». 2009. Т. 37, вып. 4. С. 93-105.

28. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

29. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения.

Баку: ЭЛМ, 1985.

Статья поступила 28 августа 2015 г. Павлов Степан Степанович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики,

кафедра математической экономики и прикладной информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 ststepmath@mail.ru