Биометрическая система идентификации человека по изображениям лица

УДК 004.93.612.087.1 П. В. Базанов

БИОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ ЧЕЛОВЕКА ПО ИЗОБРАЖЕНИЯМ ЛИЦА

1. Введение. Биометрическая система — это автоматизированная система, решающая задачи регистрации, идентификации (аутентификации) пользователей и реализующая следующие функции: фиксация биометрической выборки от конечного пользователя; извлечение биометрических данных из этой выборки; сравнение биометрических данных с одним или большим количеством эталонов; принятие решения о соответствии сравниваемых биометрических данных; формирование результата аутентичности; принятие решения о повторении, окончании или видоизменении процесса идентификации (или аутентификации) [1].

Задача биометрической системы идентификации состоит в том, чтобы принять правильное решение в пользу одной из гипотез. Гипотеза Но состоит в том, что обнаруженный системой пользователь — зарегистрированный пользователь, которого система должна принять. Гипотеза Hi состоит в том, что обнаруженный системой пользователь — незарегистрированный пользователь, которого система должна отвергнуть. Тогда ошибка первого рода, при которой мы отвергаем гипотезу Но и принимаем Hi, будет характеризовать вероятность ошибочных отказов — FRR (false rejection rate), т.е. процент зарегистрированных пользователей, отвергнутых системой. Ошибка второго рода, при которой мы принимаем Но и отвергаем Hi, будет характеризовать вероятность ошибочных подтверждений — FAR (false acceptance rate), т.е. процент незарегистрированных пользователей, пропущенных системой. В совокупности ошибки (FAR, FRR) определяют общую производительность биометрической системы.

Среди биометрических систем выделяются системы идентификации на основе автоматического обнаружения и распознавания лица. Основное преимущество данных систем — это предоставление пользователю дистанционного и скрытого контакта человека с компьютером. В данных системах применяется следующее ограничение на уникальность идентификационного признака: личность пользователя есть лицо пользователя.

2. Постановка задачи идентификации класса личности по изображению лица. Современные биометрические системы на основе распознавания лица решают три основные задачи компьютерного зрения: поиск человека на сцене, поиск головы и выделение области лица на сцене, распознавание класса личности по выделенному лицу.

В данной модели системы исследовалась задача распознавания личности с помощью видеоизображений, полученных со стандартной веб-камеры. Исследовались задачи выделения области лица из области головы, нормализации образов лиц и распознавания лица. Основные проблемы первой и второй подзадач решались путем накладывания следующих ограничений на условия проведения съемки, сценарий позиционирования объекта перед камерой и тип камер:

1) используется веб-камера (LOGITECH) с разрешением видеопотока 320 X 240 или 640 X 480, с частотой кадров 15 fps;

2) человек располагается на расстоянии 20-40 см от камеры так, что вся область головы присутствует в кадре;

3) вся область лица человека присутствует в фокальной плоскости камеры;

4) пользователь позиционирует лицо в область, соответствующую вспомогательному прямоугольнику на изображении видеопотока (тем самым решается задача поиска головы и отделения пользователя от сцены);

5) размер изображения определяется расстоянием между глаз 80-100 пикселей (пользователь или исследователь корректирует приближение человека к камере в заданной области);

6) лицо человека представлено во фронтальном ракурсе с возможными наклонами головы влево или вправо до 90 градусов, а также считаются допустимыми незначительные повороты головы вправо или влево и наклоны вверх и вниз;

7) проведение съемки осуществляется в однородных условиях окружающего освещения — лицо человека должно быть равномерно освещено.

Основные требования к разрабатываемой биометрической модели:

• функционирование системы идентификации в режиме реального времени (мультипотоковая обработка кадра в пределах 1-10 сек);

• устойчивость системы распознавания лица к ошибкам первого и второго рода и возможность варьирования компромисса между ними;

• устойчивость системы распознавания лица к вариациям изображений лица по освещенности, ракурсам, мимике лица, наличию шумовых объектов (очки, борода, прическа).

3. Архитектура биометрической системы идентификации. Архитектура биометрической системы распознавания лица включает в себя следующие модули: эксперт входных классов, модуль препроцессинга изображения, модуль распознавания изображения, эксперт выходных классов. Изменяемые и пополняемые в процессе работы компоненты системы:

• репозиторий методов анализа изображения для препроцессинга и распознавания лица;

• база данных нормализованных лиц (эталоны и тестирующая выборка);

• база данных информативных признаков эталонов, представленных некоторым образом (например, с помощью обученных нейронных сетей, файлов, хранящих рабочие матрицы собственных векторов, частотно-локальные характеристики изображения и т.д.) (рис. 1).

Рис. 1. Архитектура системы идентификации по особенностям лица

3.1. Эксперт входных классов изображений. Основными задачами эксперта входных классов являются: обеспечение интерфейса с веб-камерой, выборка репрезентативных и информативных кадров и поддержка режима работы в реальном времени.

Для работы с веб-камерой применялась библиотека ОРЕМСУ [2], использующая стандартный \¥БМ-драйвер.

Для выборки репрезентативных и информативных кадров система выбирала кадры из видеопотока с определенной частотой, чтобы не идентифицировались близкие в видеопотоке кадры. Более сложную задачу эксперта входных классов решает модуль препроцессинга изображений. В данном модуле фильтруются изображения, не соответствующие, например, эталонным ракурсам или освещенности лица.

Модуль эксперта входных классов также поддерживает режим обработки кадров в реальном времени. Данный режим реализуется с помощью мультипотоковой обработки кадров и поддержки синхронизации отдельных процессов распознавания для режимов идентификации и верификации. Поскольку захват кадра производился со скоростью 15 кадров в сек., а распознавание кадра — со скоростью 0,5 кадра в сек. для идентификации и 0,1 кадр в сек. для точной верификации, система осуществляла мультипотоковую обработку кадров. Кроме того, поскольку использовались различные по скорости методы анализа изображения, система устанавливала приоритеты потокам и поддерживала синхронизацию их работы.

3.2. Модуль препроцессинга изображения, понятие класса нормализованных лиц.

Основные цели модуля препроцессинга изображения — это обеспечение репрезентативности и информативности входных изображений лица и приведение их к классу нормализованных лиц. Репрезентативный характер входных данных предполагает использование для обучения или тестирования системы только того диапазона изменений образов лиц (различные типы вариаций), в рамках которого система должна распознавать все другие образы. Информативность входной информации означает полноту информации, используемой при распознавании. Нормализованные лица — изображения лиц, у которых, во-первых, обнаружена область наиболее информативной части лица (от линии глаз до линии губ), а во-вторых, данная область подвергнута последовательным процедурам нормализации: выравнивание освещенности, элиминирование наклонов, согласование размеров лица (рис. 2).

Рис. 2. Эксперименты по выделению и нормализации лиц при разных ракурсах

Данный модуль работает с репозиторием методов анализа изображения и осуществляет создание базы данных нормализованных лиц. Репозиторий методов для детектирования лица включает в себя методы контурной фильтрации и математической морфологии. Это стандартные операции работы с изображениями: выравнивание гистограммы яркости, морфологические операции (closing, dilation, xor, opening), алгоритмы поиска связанных областей, выделение и аппроксимации контуров.

Цели модуля для конкретного пользователя — создать достаточную в смысле информативности базу данных изображений, описывающих лицо конкретного пользователя, и отобрать изображения, удовлетворяющие только определенным ограничениям на репрезентативность данных. Например, данный модуль может отсеивать изображения лица в профиль, или изображения лица несоответствующего размера, или, например, изображения лица при слабой яркости и повышенной контрастности. Дальнейшей этап фильтрации — это процедуры нормализации изображений. В результате на выходе этого модуля система получает репрезентативную базу данных, распределенную по различным вариациям.

3.3. Модуль распознавания лица. Модуль распознавания лица осуществляет работу с изображениями из базы данных изображений в классе нормализованных лиц. Изображения эталонов, полученных в результате обучения системы, поступают из базы данных нормализованных лиц эталонов. Изображения, подлежащие идентификации, поступают либо непосредственно из модуля препроцессинга изображений, либо также из базы данных нормализованных лиц из тестируемой выборки. При распознавании использовались два метода: метод идентификации на основе собственных фильтров и нейронных сетей [8] и метод верификации на основе вейвлетов Габора и сравнения эластичных графов [10].

Сам модуль состоит из трех различных компонент:

1) модуль преобразований изображений, цель которого — приведение изображения в начальное представление алгоритма анализа изображения и выделение информативных признаков изображений;

2) модуль анализа ключевых свойств и характеристик изображений; его цель — проанализировать ключевые свойства изображения и выбрать наиболее значимые признаки (например, главные компоненты при методе анализа главных компонент изображения или частотные характеристики в определенных точках в вейвлет-анализе изображения);

3) модуль сравнения ключевых признаков; его цель — сравнить ключевые признаки тестируемого изображения с эталоном и выдать оценку меры их близости.

3.3.1. Модуль преобразований изображения и извлечений информативных признаков изображения. Основная цель модуля преобразований изображения — это приведение изображения в начальное представление алгоритма распознавания. В большинстве алгоритмов распознавания данное преобразование — это уменьшение избыточности изображения за счет использования определенных эвристик об объекте изображения и извлечение информативных признаков изображения.

Уменьшение избыточности изображения достигалось путем уменьшения размерности изображений. В методе собственных фильтров [8, 9] использовались изображения размера 20-30 пикселей по ширине, где высота соответствовала данной ширине. В методе сравнения эластичных графов с помощью решетки [10-12] оптимальный размер изображения был 80-90 пикселей по ширине, где высота соответствовала данной ширине.

Извлечение математических признаков изображений — это различные виды преобразований изображений в пространство признаков, после которых редуцированное изображение характеризуется своими спектром или другими математическими характеристиками.

Для режима идентификации в методе собственных фильтров использовался спектр главных компонент для отдельных областей изображения. Для второго метода анализа изображения использовались локально-частотные свойства изображения: две пространственные (х,у) и две частотные характеристики (амплитуда, фаза), задаваемые так называемыми джетами (jets) [10].

Дальнейшее уменьшение избыточности достигалось путем применения алгоритмов поиска и выделения особых точек и регионов интереса: выделение локальных областей изображений, выделение контуров, описывающих область лица; определение точек интереса на изображении.

В методе собственных фильтров извлекались локально-рецептивные свойства локальных областей изображения, т.е. небольшие области изображения. С помощью использования перекрытия блоков изображений уменьшались размер изображения и его избыточность.

Для второго метода анализа изображений использовались рецептивные свойства отдельных точек интереса (узлы решетки), которые характеризовали узел и его локальную окрестность.

Входные параметры методов анализа изображения

Входными параметрами метода собственных фильтров [8, 9] являются:

1) размер области изображения — размер паксела (группа пикселей): 16 X 16 (рис. 3, а);

2) процент перекрытия пакселов: 50-80%;

3) количество собственных векторов (собственных пакселов): 4-20 — эти параметры необходимы для модуля анализа главных компонент;

4) коэффициент сабсэмплинга (маска для уменьшения размерности): 2x2 или результирующий размер изображения: 22 X 29, 26 X 31.

Рис. 3. Собственные фильтры, получаемые по методу главных компонент, и фильтры Габора

Поиск собственных векторов осуществлялся итерационным методом Якоби (метод вращения) [3, 4].

Входными параметрами метода сравнения эластичных графов с помощью решетки [10-12] являются:

1) количество узлов решетки по ж и у: (8x8);

2) размер ребра решетки: (17,11);

3) количество используемых коэффициентов при вейвлет-преобразовании для создания джетов равно 18 (i = 3 — различные размеры вейвлетов и j = 6 — количество ориентаций вейвлетов

/п — — — 2л. hlL \

lU' 6 ' 3 ' 2 ' 3 ' 6 /'

В результате на выходе этого модуля мы получаем базу данных информативных характеристик изображений в виде главных компонент. Главное преимущество применения метода анализа главных компонент — это то, что помимо уменьшения избыточности выполняется частичная кластеризация данных. Число кластеров — это число регистрируемых эталонов, принадлежащих определенному классу (конкретному пользователю). Оси в редуцированном пространстве признаков выбираются согласно максимальным вариациям яркостей в областях изображений эталонов.

3.3.2. Модуль анализа ключевых свойств и характеристик изображений. Модуль анализа ключевых свойств и характеристик изображений исследует ключевые свойства изображений, которые представлены уже в виде отдельных математических характеристик и являются образами в редуцированном пространстве признаков. Цель модуля для конкретного метода распознавания изображения на основе всех его характеристик и свойств — отобрать значимые признаки для последующего сравнения. В методе собственных фильтров это реализуется за счет выбора только первых от 4 до 20 главных компонент из 256.

В данной модели в качестве первого алгоритма распознавания использовался метод собственных фильтров. В пространстве признаков образ лица характеризуется спектром главных компонент (набор коэффициентов при собственных пакселах). Визуализация отдельных коэффициентов спектра главных компонент представляет собой изображение, имеющее лицеподобную форму — это одно из главных отличий от метода собственных лиц, где визуализируются собственные векторы, а главные компоненты представляют лишь одно число.

Второй метод распознавания изображений на основе анализа изображения с помощью вейвлетов Габора работает с так называемыми узлами и джетами, где каждый джет представляет собой набор из четырех характеристик: две пространственные координаты узла, амплитуда и фаза джета. Система при работе данного алгоритма анализировала локально-частотные характеристики и извлекала информацию только об амплитуде коэффициентов при преобразовании Габора [5-10].

3.3.3. Модуль сравнения ключевых признаков. Входной информацией для модуля сравнения образов по методу собственных фильтров является спектр главных компонент — изображений (обычно это восемь первых главных компонент размером порядка 22 X 31, 16 X 20, 11 X 14). Процедура сравнения ключевых признаков использует нейронную сеть типа "двухслойный перцептрон". Цель данной процедуры — построение разделяющих поверхностей в пространстве признаков.

При этом создавалась отдельная нейронная сеть для каждой главной компоненты, т.е. производилось сравнение проекций образов в пространстве признаков, а не непосредственное сравнение всех компонент образов. Число входных нейронов выбиралось согласно размерности изображения главных компонент. Число нейронов скрытого слоя выбиралось эвристически в зависимости от количества изображений в обучающей выборке. Число выходных нейронов соответствовало количеству регистрируемых классов пользователей.

На этапе обучения нейронные сети обучались на главных компонентах изображений эталонов, на этапе тестирования производилась классификация главных компонент тестируемых изображений по регистрируемым классам. В качестве алгоритма обучения нейросети использовался алгоритм наискорейшего спуска с адаптируемым шагом (Back Propagation with Momentum) [6].

Результатом модуля сравнения ключевых признаков является номер выходного класса и оценка степени уверенности принятия решения.

Входной информацией для модуля сравнения образов в методе сравнения эластичных графов с помощью вейвлетов Габора являлось множество сравниваемых точек решеток тестируемого образа и эталона и соответственно множество джетов (jets) в каждой точке {Jj}. Джет представляет собой восемнадцать комплексных коэффициентов габоровых функций для трех различных частот и восьми ориентаций [8]. Каждый коэффициент Jj = cij exp(ic/)j) для точек из одной области различных изображений характеризуется амплитудой cij, которая медленно меняется с изменением положения

точки, и фазой (¡)j, которая вращается со скоростью, пропорциональной частоте волнового вектора базисного вейвлета. Сравнение джетов эталона и тестируемого образа производилось корреляционными

Е ai a'j

методами: Sa(J,J') = , 1 , где S — корреляционная функция близости.

Для вычисления степени близости двух графов находилась энергетическая функция, учитывающая искажения решетки J' с узлами {(р', <?')}> 1 ^ р', q' ^ 8, по отношению к эталонной решетке J в узлах {(p,q)}- Энергетическая функция имеет вид

где А — коэффициент относительной важности топографической информации, характеризующий антипластичность графа. Если А = 0, то получаем абсолютно пластичную решетку, учитывающую геометрические искажения. Если А —> оо, то получаем абсолютно жесткую решетку, не поддающуюся искажениям; Е — количество граней (в экспериментах использовалось 49 граней); {Ах'е} — длина отдельных ребер деформируемой решетки тестируемого образа; {Ахе} — длина отдельных ребер жесткой решетки эталона (в экспериментах Ахе = 17).

На этапе обучения вычислялись джеты эталона в рецептивных узлах решетки. На этапе тестирования производилась минимизация энергетической функции с помощью полного перебора рецептивных точек (процедуры сравнения жесткой и пластичной решетки). Итоговое решение принималось по порогу.

3.4. Эксперт выходных классов. Цель данного модуля на основе пороговой функции (коэффициента чувствительности биометрического механизма) — принять решение об идентификации пользователя на основе анализа изображений нескольких кадров различными методами распознавания.

В данной системе процесс идентификации производится по 1-3 кадрам. Итоговое решение производится по лучшему или первым двум лучшим результатам. В случаях с низкой или средней степенью уверенности запускается второй алгоритм верификации, работающий в другом потоке.

Репозиторий методов анализа изображений включает два алгоритма распознавания — гибридный метод собственных фильтров и метод сравнения эластичных графов на основе вейвлетов Габора с помощью решетки. Первый алгоритм использовался для идентификации — сравнения (1 : п) и в результате работы выдавал 1-3 лучших кандидатов. Второй алгоритм использовался для верификации результатов первого алгоритма, обычно использовалась верификация (1 : 1). В результате данный модуль выводит пользователю информацию об успешной или неуспешной идентификации. В случае успешной идентификации выдается имя пользователя или его изображение и степень уверенности принятия решения в удобном для понимания пользователя виде.

4. Результаты экспериментов на базах данных изображений. В экспериментах использовались две известные базы данных нормализованных лиц HONGIK и Ollivetti [8], по которым, как правило, производится оценка качества работы алгоритмов. Дополнительно были собраны база данных лиц ИНТЕЛ МГУ и близнецов. При сборе базы данных учитывались требования по информативности и репрезентативности данных (рис. 2).

При этом для данных баз данных дополнительно решалась задача приведения изображений к классу нормализованных лиц. Лучшие результаты были получены в экспериментах над фронтальными ракурсами. На таблице показаны результаты экспериментов над различными базами данных нормализованных лиц при средней степени уверенности при ошибке второго рода FAR рй 1%.

В экспериментах в качестве первого метода распознавания (МР № 1) использовался алгоритм идентификации на основе собственных фильтров и нейронных сетей. В качестве второго метода распознавания (МР № 2) использовалась гибридная модель: алгоритм идентификации и последующая верификация его вторым алгоритмом.

Для тестирования двух алгоритмов вводились пороги уверенности принятия решения от 0 до 100%. Результаты экспериментов показали, что ошибка гибридной модели меньше ошибок алгоритмов идентификации и верификации в отдельности.

5. Заключение. При разработке модели биометрической системы создан репозиторий методов анализа изображений: метод анализа главных компонент изображения, вейвлет-анализ изображения,

Результаты экспериментов над различными БД

База Метод Количество персон Количество изобра- Точность биомет-

данных распознавания жений в выборке рической системы

Обучающая Тестирующая Проверяющая Зарегист- Незарегист- FAR FRR

выборка выборка выборка рированные рированные

Olivetti Собственные фильт-ры+нейросети (МР № 1) 100 100 200 20 20 1% 44,6%

HONGIK Собственные фильт- 100 200 1200 50 200 1% 35,2%

Samsung ры+нейросети

ИНТЕЛ Собственные фильт- 500 500 300 10 10 1% 41,2%

МГУ ры+нейросети

ИНТЕЛ Собственные фильт- 500 500 300 10 10 1% 32,4%

МГУ ры+нейросети-|-метод сравнения эластичных графов

нейросетевой анализ изображения, анализ изображения с помощью контурной фильтрации и математической морфологии. Основное отличие алгоритмов репозитория от алгоритмов обработки изображений реальных систем состоит в том, что репозиторий методов анализа изображений ориентирован для применения к различным категориям признаков изображений. Репозиторий методов анализа изображений позволяет проводить анализ следующих категорий информативных признаков: локальные, холистические, рецепторные, цветовые и вариационные признаки изображения лица. Данная модель особенно хорошо исследует категорию холистических признаков, т.е. признаков изображения целиком. В ряде реальных задач это особенно актуально. Во-первых, вычислительная сложность таких алгоритмов невелика, что позволяет осуществлять работу алгоритма в режиме реального времени. Во-вторых, холистические признаки более устойчивы и инвариантны, что позволяет проводить процесс идентификации даже при большом количестве помех на изображении.

Для повышения точности биометрической системы произведена интеграция двух методов, описывающих локальные и холистические признаки изображения.

По результатам тестов были произведены оценки качества работы алгоритма нормализации, распознавания и работы всей системы целиком. Репозиторий данных методов анализа изображений при определенной модификации может быть использован для проектирования современных биометрических систем.

Спроектированная модель биометрической системы контроля доступа соответствует основным требованиям, предъявляемым к коммерческим системам. Поставлены многочисленные эксперименты над нормализованными базами данных, которые показали, что наилучшая точность системы FAR достигается применением гибридного алгоритма — алгоритма идентификации с последующей верификацией вторым алгоритмом при одном и том же уровне FRR. По точности модель сравнима с коммерческими системами — ошибки системы составляют: (FAR, FRR) = (1-3=%, 20-40%), в то время как в реальных коммерческих системах эти ошибки равны (1%, 12%).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кухаре в Г. А. Биометрические системы: методика и средства идентификации личности человека. СПб.: Политехника, 2001.

2. Библиотека машинного зрения OPENCV. http://www.intel.com/research/mrl/research/opencv/

3. Мэтьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование Matlab. М.: Изд. дом "Вильяме", 2001.

4. Гайдышев И. П. Анализ и обработка данных — специальный справочник. СПб.: Питер, 2001.

5. Wechsler Н., Phillips Р., Bruce V., Soulie F., Huang Т. Face recognition: from theory to applications. Berlin: Springer-Verlag, 1998.

6. Hay kin S. Neural networks a comprehensive foundation. Macmillan College Publishing Company, USA, 1994. P. 363-370.

7. ОсовскийС. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2002.

8. Bazanov P., Kim Т.-К., К ее S., Lee S. Hybrid and parallel face classifier based on artificial neural networks and principal component analysis // Proc. of International Conference of Image Processing-2002. Rochester, New York, September 22-25, 2002. V. 1. P. 916-919.

9. McGuire P., D'E1 euteriо G.M.T. Eigenpaxels and a neural-network approach to image classification // IEEE Transactions on Neural Networks. May 2001. 12. N 3.

10. Due В., Fischer S.,Bigun J. Face authentication with Gabor information on deformable graphs // IEEE Transaction on Image Processing. April 1999. 8. N 4.

11. Perkins C., Fricke T. Wavelets. Department of Electrical Engineering University of California at Berkeley, 2000.

12. Krueger N. An algorithm for the learning of weights in discrimination functions using a priori constraints // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1997. 19. P. 764-768.

Поступила в редакцию 07.06.05

УДК 517.956.223

К вопросу о регуляризации квазилинейных стационарных задач, родственных задаче о больших прогибах мембраны / Дьяконов Е. Г. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 5-12.

В работе изучается некоторая модификация задачи о равновесии упругой мембраны в случае больших прогибов, основанная на том, что для реальных физических мембран ограничения типа |Vt>| к являются необходимыми. Поэтому при выборе математической модели это ограничение (с достаточно большим к) можно использовать для замены функции д(^) = [1 +I]1/2 при £ > к на более приемлемую функцию с тем, чтобы упростить анализ корректности и процесс численного отыскания решения новой задачи. При этом становится возможным анализ в гильбертовом пространстве типа Н = Д"1(0;Го) (Н состоит из элементов пространства Соболева (£1) с нулевыми следами на участке Го границы области). Существенно, что осуществляется и анализ родственных задач в усиленных пространствах Соболева G = G ' S) для задач о большом прогибе мембраны, подкрепленной одномерным каркасом S (системой стрингеров). Особое внимание уделяется анализу подобных задач при увеличении жесткости стрингеров; если каждый стрингер не образует нулевых углов с другими дугами, входящими в состав S U Го, то получены асимптотически оптимальные оценки возмущения. Использованное сведение к задаче с гармонично структурированным оператором имеет важнейшее значение для построения эффективных проекционно-сеточных методов и соответствующих итерационных алгоритмов.

Библиогр. 17. УДК 519.658

О методе проекции градиента для квазидифференцируемых функционалов с гельде-ровым градиентом / Разгулин A.B. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 12-15.

Для задачи минимизации квазидифференцируемого функционала с непрерывным по Гельдеру градиентом установлена сходимость одного варианта метода проекции градиента с конструктивным выбором шага метода, не требующим решения вспомогательных задач минимизации.

Библиогр. 6.

УДК 533.6

Численное исследование нестационарного трехмерного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале квадратного сечения на основе модели Навье-Стокса / Б е р е-зин С. Б., Пасконов В.М. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 16-23.

Статья посвящена численному исследованию развития течения при инжекции вязкой несжимаемой жидкости в канал квадратного сечения, заполненный той же жидкостью. Приведены результаты расчетов нестационарных трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости в канале квадратного сечения, заполненного в начальный момент времени такой же жидкостью. Было установлено возникновение в канале сложного нестационарного четырехвихревого течения с вторичными вихрями вдоль двухгранных углов канала, структура которых согласуется с экспериментальными данными. Обнаружено винтовое движение жидкости вдоль канала в процессе установления стационарного режима блокировки канала.

Ил. 4. Библиогр. 13.

УДК 519.2

Нелинейная регуляризация обращения экспоненциального преобразования Радона / Шестаков О. В. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 23-28.

В работе рассматривается задача обращения экспоненциального преобразования Радона. Исследуется некорректность задачи восстановления функции по ее экспоненциальному преобразованию Радона и предлагается метод разложения функции в вейвлет-ряды с последующей пороговой обработкой вейвлет-коэффициентов.

Библиогр. 4.

УДК 519.214.4

Нормальная сходимость самонормированной статистики Пирсона / Жданов Д. И. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 28-32.

Классическая статистика Пирсона представляет собой сумму случайных величин, построенных по экспериментальным данным по определенному правилу. В данной работе центрируются слагаемые их математическими ожиданиями. Сумма центрированных случайных величин, деленная на корень квадратный из суммы квадратов центрированных слагаемых, называется самонормированной статистикой Пирсона. Указаны условия, при которых распределение самонормированной статистики Пирсона слабо сходится к стандартному нормальному распределению при неограниченном увеличении числа испытаний.

Библиогр. 2.

УДК 517.977.56, 519.633.6

Построение конечномерной Доо-оценки состояния системы с распределенными параметрами / Когутовский В.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 32-41.

Исследуется задача построения оценок конечного состояния параболической системы в смысле Ноо-критерия по результатам наблюдений, подверженным неопределенным возмущениям. Построена совокупность аппроксимирующих конечномерных систем. Приведено доказательство поточечной, равномерной по времени сходимости последовательности решений конечномерных уравнений Риккати, сформулированы достаточные условия и показана равномерная по времени сходимость последовательности центров информационных множеств конечномерных систем, являющихся оптимальными в смысле Н^-оценками, к соответствующей Н^-оценке конечного состояния системы с распределенными параметрами.

Ил. 1. Библиогр. 4.

УДК 517.977.5

Расчет опорной функции множества достижимости линейной управляемой системы с гарантированной оценкой погрешности / Брусникина Н.Б. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 42-48.

Предлагается численный метод расчета значений опорной функции множества достижимости линейной управляемой автономной динамической системы, позволяющий дать гарантированную оценку погрешности вычислений, которая сходится к нулю с квадратичной скоростью и рассчитанной константой сходимости. Метод может быть использован в том случае, когда известна оценка числа переключений оптимального управления.

Ил. 1. Библиогр. 15.

УДК 004.93.612.087.1

Биометрическая система идентификации человека по изображениям лица / База-нов П. В. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2006. № 1. С. 49-56.

В работе рассматривается один из подходов к построению архитектуры биометрической системы идентификации по изображениям лица, полученных со стандартной веб-камеры. Предлагается алгоритм распознавания изображений лица человека на основе методов собственных фильтров, нейронных сетей и сравнения эластичных графов.

Ил. 3. Табл. 1. Библиогр. 12.