Моделирование фрикционного взаимодействия шероховатого индентора и двухслойного упругого полупространства

УДК 539.3

Моделирование фрикционного взаимодействия шероховатого индентора и двухслойного упругого полупространства

Е.В. Торская

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

Рассматривается фрикционное взаимодействие двухслойного упругого тела и шероховатого индентора. Задача решается с помощью исследования периодической контактной задачи, на основе которой определяется функция дополнительного смещения, обусловленная влиянием микронеровностей. Исследуется влияние плотности контакта на контактные характеристики и внутренние напряжения для случаев относительно твердых и относительно мягких покрытий.

Ключевые слова: двухслойное упругое полупространство, контактная задача, периодическая задача, трение

Numerical simulation of frictional interaction of a rough indenter and a two-layer elastic half-space

E.V. Torskaya

A. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of RAS, Moscow, 119526, Russia

The paper considers frictional interaction of a rough indenter and a two-layer elastic half-space with resort to a periodic contact problem from which the additional displacement due to microirregularities is determined. The effect of the contact density on contact characteristics and internal stresses is studied for relatively hard and relatively soft coatings.

Keywords: two-layer elastic half-space, contact problem, periodic problem, friction

1. Введение

Широкое распространение покрытий в различных узлах и механизмах, где имеет место контактное взаимодействие при наличии трения, приводит к необходимости исследовать механику этого взаимодействия. Одним из факторов, влияющих на распределение контактного давления и подповерхностных напряжений, является наличие микронеровностей на поверхности ин-дентора.

Известны работы [1-3], в которых определяется напряженно-деформированное состояние упругой полосы, сцепленной с упругой полуплоскостью, при несплошном характере ее нагружения. В данных работах используются численные подходы для заданной формы распределения шероховатостей, что придает результатам частный характер и делает невозможным анализ влияния параметров микрогеометрии на концентрацию напряжений. Макроформа индентора не учитывается.

В монографии [4] шероховатость моделируется периодической системой инденторов (как одноуровневой, так и многоуровневой), взаимодействующих с однородным упругим полупространством; разработан метод, позволяющий учитывать влияние микронеровностей на макрохарактеристики: распределение контактного давления и размер области контакта. Подобный подход может быть использован и для случая двухслойного упругого полупространства с использованием методов решения контактных задач, основанных на интегральных преобразованиях и методе граничных элементов. Подобные методы развивались ранее в работах [5-8] и характеризуются тем, что в отличие от асимптотических могут быть реализованы для произвольных отношений модулей упругости слоя и полупространства, а также для произвольной толщины слоя.

В работах [9, 10] рассмотрена задача о внедрении в покрытие периодической системы инденторов, при

© Торская Е.В., 2012

этом тело с покрытием моделируется двухслойным упругим основанием. В работе [11] приведены некоторые результаты расчета напряжений, возникающих при скольжении с трением периодической системы инденторов по границе двухслойного упругого полупространства.

Целью данной работы является моделирование контактного взаимодействия двухслойного упругого основания и шероховатого индентора, исследование влияния трения и параметров шероховатости на распределение контактных и внутренних напряжений для относительно твердых и мягких покрытий.

2. Постановка контактной задачи и методы решения

При решении контактной задачи предполагалось, что влиянием поверхностных касательных напряжений, обусловленных трением, на нормальные напряжения и перемещения можно пренебречь. Рассматривается контакт осесимметричного шероховатого индентора и двухслойного упругого основания (рис. 1). Условия на верхней границе упругого слоя (г = 0) можно представить в виде:

Условия (1), (2) дополняет уравнение равновесия

„Я

г =0 (X, У) = f(X У) + D, (х, у) ей, =о (X У) = °> (х, у) е й,

:=0 (X У) =ТУ)|г =0 (X У) = 0

где ^ — вертикальное перемещение верхней границы упругого слоя; / (х, у) — функция, описывающая форму поверхности шероховатого индентора; й — состоящая из отдельных пятен фактическая область контакта.

Условия на границе раздела упругого слоя и упругого полупространства (г = Н) можно определить как:

^ = ^2) „

УУ УУ , Ух ух ’ „У „У 5

„

, ьхг ьхг , ^Уг Уг •

Здесь ^ т2> т^> ^г)> у£г)> ) — напряжения и пере-

мещения упругого слоя (;' = 1) и упругого полупространства (;' = 2).

Р = Я„г (х, У )^хёУ,

й

где Р — сила, действующая на индентор.

Можно выделить следующие два этапа решения задачи (1)-(3):

1) задача о контакте периодической системы осесимметричных инденторов;

2) использование макрохарактеристик, полученных при решении периодической задачи, для исследования контакта индентора с микронеровностями.

2.1. Периодическая задача

Для системы осесимметричных инденторов, расположенных в узлах гексагональной решетки (рис. 2), соотношение между нагрузкой Рв, действующей на каждый индентор, и номинальным давлением рс имеет следующий вид:

Р =

где I — период решетки.

Уравнение равновесия имеет вид:

а 2п

Р =Ц Рв

0 0

где рв(г) = -о2 (г) — контактное давление, распределенное в каждом пятне контакта юг- (г е тг-).

Рассмотрим следующую осесимметричную задачу на верхней границе упругого слоя:

w(г) = /(г), 0 < г < а,

= 0, а < г < R1, =-Рс, Rl < г << т = 0, 0 < г < <».

В данном случае используется принцип локализации, представленный в работе [3], который позволяет учитывать влияние на рассматриваемый индентор нагрузки, прикладываемой к другим инденторам. Нагрузка учитывается как действие номинального давления рс, распределенного в области г > R1 (рис. 2). Радиус R1 определяется из уравнения равновесия и условия (4):

А =

Рис. 1. Схема контакта индентора и двухслойного основания

Рис. 2. Схема контакта периодической системы инденторов и двухслойного основания

Решение осесимметричной контактной задачи (6) основано на результатах, полученных в работе [8] для осесимметричного нагружения двухслойного упругого полупространства. В решении задачи используются интегральные преобразования Ханкеля, которые позволяют получить из граничных условий систему уравнений, линейную относительно неизвестных функциональных коэффициентов. Полученные функции используются для определения напряжений и перемещений. Для решения контактной задачи область контакта разбивается на кольца и контактное давление определяется как кусочно-постоянная функция. На основе соотношений между нагрузкой и перемещениями, полученных в [8], определяются коэффициенты Ц, необходимые для решения следующей системы уравнений:

+ Р2 Ц2) + ••• + РмЦЫ = /

N 2 2

Рг (гг - Г-1) = Рв.

2=1

Для определения неизвестного радиуса области контакта используется метод итераций, при этом используется условие равенства нулю давления на границе области контакта. Подобное решение задачи представлено в работе [9].

2.2. Решение двухуровневой контактной задачи

Решение периодической контактной задачи позволяет получить функцию дополнительного смещения, которая используется при решении двухуровневой контактной задачи. Пример функции, связывающей давление с дополнительным смещением поверхности в области контакта, представлен на рис. 3.

Здесь Е[, Е2 — модули упругости слоя и основания. Функция, полученная для относительно податливых покрытий, ближе к линейной по сравнению со случаем

\лг/а

0.3

0.2-

0.1-

0.0

е,/е2 = //

у'Е-,/Е2 = 0.2

IV/ = 0.3

А н = /

0.0 Рт-1 Рт 0.004

Рс/Еі

0.008

Рис. 3. Периодическая контактная задача: зависимость максимального вертикального смещения от номинального давления для относительно твердых ЕХІЕ2 = 3 и относительно мягких ЕХІЕ2 = 0.2 покрытий

более жестких покрытий. Эти функции можно использовать при решении двухуровневой контактной задачи, если представить их в виде кусочно-линейных функций:

™' = $т + ^Рс* Рт-1 < Рс < Рт •

Число линейных сегментов зависит от типа кривой — оно достаточно мало для случая относительно податливых покрытий и велико для относительно жестких покрытий (что усложняет алгоритмы расчета для твердых покрытий).

Рассмотрим следующую систему уравнений:

Р1Ц1(г) + Р2 Ц2г) + ••• + ™ ,(Г) + ••• + РмЦм = /(Г X

i = 1, 2, ..., N - 1,

Р і (П - Г-1) = Р ™= 5т + „тРс

і=1

Рт-1 < Рс < Рт •

Здесь Бт, Ут — параметры линейного сегмента т. Система решается методом итераций. В качестве начального приближения рассматривается решение осесимметричной задачи, полученное для индентора без учета влияния микронеровностей.

Полученные контактные давления могут быть использованы для расчета внутренних напряжений с учетом параметров контактного взаимодействия на макро-и микроуровне.

3. Расчет напряжений в покрытии при фрикционном взаимодействии

В предыдущем разделе рассматривались осесимметричные контактные задачи либо задачи, которые можно свести к осесимметричным. Наличие сил трения делает необходимым исследовать пространственную задачу. Пусть в области контакта на тело действуют касательные напряжения, направленные вдоль оси 0х. Эти напряжения вводятся по закону Кулона-Амонтона:

=0 (X У) = 1г=0 (х > У) > (х, у) ей,

т(1)1

„Г 1г=0

= 0.

Здесь ц — коэффициент трения.

Задача решается с использованием метода граничных элементов. Область контакта рассматривается как система квадратов со стороной Л? с постоянным распределением нормальных и касательных напряжений внутри каждого квадрата [12]:

~

°у = -туРо> ^м^Ро,

а , . а .

-а + Т~ (] -1) < х < -а + — ],

As As

а Ґ1 а ,

-а + — (к -1) < у < -а + — к,

As As

„(1) = 0 т(1) = 0 т(1) = 0 °’ 1хг 0 1уг 0

- ^ < (х, у) < тс, 1 < j < N, 1 < к < N.

г/а

Рис. 4. Контактные давленияр(г) и максимальные касательные напряжения X! (х), полученные для двух величин плотности контакта в случае относительно мягких покрытий. £[/£2 = 0.05 (Е1 = 1.01 ГПа), и/Кт = 0.01, Р = 10 Н

Здесь р0 — максимальное контактное давление; у Ц — безразмерные коэффициенты (0 < уЦ < 1); эти величины определяются видом функциир(х, у); а—радиус области й, полученный в результате решения осесимметричной контактной задачи.

В отличие от задачи об определении контактного давления, в этом случае принималась во внимание не-сплошность области й, обусловленная дискретностью контакта. Это позволяет получить распределение напряжений в покрытии с учетом микроуровня, хотя и требует большого значения величины N и увеличения времени расчета.

Задача сводится к определению внутренних напряжений от постоянной распределенной нагрузки и может быть решена с помощью метода, основанного на двойных интегральных преобразованиях Фурье [13]. В данном случае граничные условия преобразуются с помощью соотношений

х) (а, в) = Ц(у *Р0)е-(ах+ву ><х ёу,

0 0

V) (а, в) = Л (цу*Р0х)е *(ах+ву) ёх ёу, 0 0

а , . 1Ч а .

-а+ (] -1) < х < -а + — ],

А s А s

а /, а ,

-а +---(к -1) < у < -а +--------к.

А 5 А 5

Функция, использованная для определения V) (а, в), характеризуется тем, что ее производные по координатам х и у — это касательные напряжения внутри каждого рассматриваемого квадрата:

т“( х у)=дхкР0 х)>

т(2 (х, У) = ду (-цу кР0 х) = °,

а , . а .

-а + ^~ (]-1) < х < -а + — ],

А 5 А 5

а /, а ,

-а +-(к -1) < у < -а +-----к.

А 5 А 5

Как было показано в [13], подобное представление позволяет при решении данной пространственной задачи отыскивать только две бигармонические функции, определяющие напряжения и перемещения в слое и основании: тс тс

Ф1(X У>2) =11 Е (Ак1(а в) + гВк1(а, в)) е12 +

—тс —тс к=1 ...4

+ (Си(а, в) + ^и(а, в))е-2^(ах, вх)ёаёв,

Ф2(X У,2) = I I Е (Ак2(а, в) +

-тс^ к=1...4

+ гВк2(а, в))еу2)Gk(ах, вх)ёаёв,

у = ^а2 + в2,

г/а

Рис. 5. Контактные давленияр(г) и максимальные касательные напряжения т^), полученные для двух величин плотности контакта в случае относительно мягких покрытий. Ех/Е2 = 2.5 (Е1 = 300 ГПа), и/Кт = 0.01, Р = 10 Н

G1(ax, вх) = cos(ax)cos(вx),

G2(ax, вх) = sin(ax)sin(Px), б3(ах, вх) = зт(ах)со$(Рх),

04(ах, вх) = со$(ах)$1п(Рх)•

Метод решения для данного класса задач подробно изложен в [13]. Он состоит в использовании общего решения уравнений теории упругости в форме Г алер-кина, использовании неизвестных функциональных коэффициентов для представления бигармонической функции и сведении задачи с граничными условиями (2) и (11) к системе функциональных уравнений с неизвестными функциональными коэффициентами.

4. Результаты расчетов

Распределение контактных давлений и внутренних напряжений зависит от величин модулей упругости слоя и полупространства Е1 и Е2, радиуса индентора Ят, нагрузки Р, а также от параметров периодической задачи — радиуса микроиндентора R и периода решетки I. При наличии трения напряжения зависят также от величины коэффициента трения ц. Наиболее интересным представляется исследование влияния плотности контакта и коэффициента трения. В этой части представлены результаты расчета контактных давлений и максимальных касательных напряжений, которые часто используются в критериях разрушения твердых тел [14].

Рисунки 4 и 5 иллюстрируют влияние плотности контакта на микроуровне на контактное давление и распределение по глубине максимальных касательных напряжений для относительно мягкого (рис. 4) и относительно твердого (рис. 5) упругого слоя. Расчет напряжений в данном случае проводился без учета сил трения. Уменьшение плотности контакта ведет к увеличению максимального контактного давления на макроуровне (величины Р0 и а, использованные для получе-

г. мкм

ния безразмерных величин, получены для случая большей плотности контакта). Максимальные касательные напряжения определялись с учетом микро- и макрохарактеристик взаимодействия. Распределения напряжений в двухслойном основании, представленные на рис. 4 и 5, получены для центра области контакта (х = 0, У = 0).

Рис. 6. Распределение максимальных касательных напряжений в Рис. 7. Максимальные касательные напряжения т^)/Р0 в слое и

покрытии и основании. Е1/Е2 = 0.05 (Е1 = 1.01 ГПа), И/К1' = 0.01, основании. Е1/Е2 = 2.5, Е2 = 120 ГПа, Н^т = 0.01 (б, в), Р = 10Н,

Р = 10 Н а/И = 0.5, Р0 = 0^01Е1, Щ1 = 0.3

Данные распределения напряжений существенно отличаются от распределения максимальных касательных напряжений, полученных без учета влияния микронеровностей (рис. 6). Этот результат получен при значениях параметров, аналогичных расчетным параметрам рис. 4. Причиной является то, что максимумы напряжений, обусловленные действием микронеровностей, находятся очень близко к поверхности (практически на поверхности в масштабе рассмотренных здесь толщин покрытий).

На рис. 7 проиллюстрировано влияние микронеровностей на внутренние напряжения в слое и основании для случая относительно жестких покрытий. Максимальные касательные напряжения на рис. 7, а соответствуют случаю гладкого индентора. Напряжения, представленные на рис. 7, б, рассчитаны с учетом микронеровностей (плотность контакта определяется величиной К/1 = 0.3) и для контакта без трения. Здесь, также как и в случае относительно мягких покрытий, наблюдается значительный рост величины подповерхностных напряжений, обусловленный наличием в контакте микронеровностей. При этом напряжения на границе раздела слоя и основания и на большей глубине почти не зависят от влияния микронеровностей для данной толщины покрытия. На рис. 7, в приведены результаты расчета максимальных касательных напряжений при наличии трения. Интересно, что силы трения в данном случае увеличивают значения локальных максимумов напряжений на границе раздела слоя и полупространства, а также приводят к появлению трех локальных максимумов на поверхности, главный из которых находится в области действия максимальных значений растягивающих напряжений на границе области контакта.

5. Выводы

В данной работе представлена задача о контакте шероховатого индентора и двухслойного упругого полупространства. Шероховатость моделируется с помощью периодической системы инденторов. Представлен метод решения двухуровневой контактной задачи.

Установлено, что микрорельеф и плотность контакта на микроуровне влияют на вид функции распределения давления на макроуровне и на распределение внутренних напряжений в случае относительно твердых и относительно мягких покрытий.

Предложен метод расчета внутренних напряжений при наличии сил трения в области контакта. Исследовано влияние трения на распределение внутренних напряжений в случае относительно твердых покрытий.

Данная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00650-а) и гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ РФ (НШ-2611.2012.1).

Литература

1. Cole S.J., Sayles R.S. A numerical model for the contact of layered elastic bodies with real rough surfaces // J. Tribol. - 1991. - V! 113. — No. 2. — P. 334—340.

2. Sainsot Ph., Leroy J.M., Villechase B. Effect of surface coatings in a rough normally loaded contact // Mech. Coat. (Tribol. Ser). — 1990. — No. 17. — P. 151—156.

3. Cai S., Bhushan B. Three-dimensional sliding contact analysis of multilayered solids with rough surfaces // J. Tribol. ASME. — 2007. — V. 129. — P. 40—59.

4. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. — М.: Наука, 2001. — 478 с.

5. Макушкин А.П. Напряженно-деформированное состояние упругого

слоя при внедрении в него сферического индентора. Определение контактного давления // Трение и износ. — 1990. — Т. 11. — № 3. — C. 423—434.

6. Макушкин А.П. Напряженно-деформированное состояние упругого

слоя при внедрении в него сферического индентора. Определение контактного давления // Трение и износ. — 1990. — Т. 11. — № 4. — C. 602—608.

7. Kuo C.H., Keer L.M. Contact stress analysis of a layered transversely isotropic half-space // J. Tribol. — 1992. — V. 114. — No. 2. — P. 253— 262.

8. Torskaya E.V., Goryacheva I.G. The effect of interface imperfection and external loading on the axisymmetric contact with a coated solid // Wear. — 2003. — V. 254. — P. 538—545.

9. Горячева И.Г., Торская Е.В. Контактная задача для системы штам-

пов и двухслойного упругого основания // Трение и износ. — 1995. — Т. 16. — № 4. — C. 642—652.

10. Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Analysis of coatings fracture from periodic contact problem // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. — 2003. — V. 26. — P. 343—348.

11. Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Modeling of fatigue wear of a two-layered elastic half-space in contact with periodic system of indenters // Wear. — 2010. — V. 286. — No. 11—12. — P. 1417—1422.

12. Торская Е.В. Исследование влияния трения на напряженное состояние тел с покрытиями // Трение и износ. — 2002. — Т. 23. — № 2. — C. 130—138.

13. Никишин В.С., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. — М.: ВЦ АН СССР, 1970. — 260 с.

14. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. — М.: Мир, 1981. — 510 c.

Поступила в редакцию 26.03.2012 г.

Сведения об авторе

Торская Елена Владимировна, к.ф.-м.н., снс ИПМех РАН, torskaya@mail.ru