Некоторые особенности численных решений «Параболизованных» уравнений Навье Стокса

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVI 1985

№ 1

УДК 533.6.011

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ «ПАРАБОЛИЗОВАННЫХ» УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ—СТОКСА

В. В. Рябое

Представлен сравнительный анализ численных решений полных и упрощенных («параболизованных») уравнений Навье—Стокса, описывающих сверхзвуковые течения вязкого теплопроводного газа вблизи сферы и пластины с цилиндрическим затуплением, расположенной под различными углами атаки. Установлено существенное влияние способа регуляризации решения задачи в упрощенной постановке.

В последние годы достигнут значительный прогресс в численном моделировании многомерных вязких течений газа на основе полных уравнений Навье—Стокса [1]. Однако с увеличением размерности решаемой задачи существенно возрастают затраты времени расчета и памяти ЭВМ. Одним из способов экономичного использования ресурсов вычислительной техники является создание новых маршевых методов решения упрощенных («параболизованных») уравнений Навье— Стокса |[2]. Эти уравнения обычно получаются из полной системы уравнений путем исключения производных от вязких членов в маршевом (продольном) направлении [3—6] при сохранении эллиптического типа уравнений в поперечных направлениях, что позволяет качественно проводить исследование течений с поперечным отрывом в отсутствие продольного отрыва [7, 8].

В настоящей работе исследование течений вязкого теплопроводного совершенного газа вблизи затупленных тел проведено с помощью итерационной схемы метода Зейделя [9], упрощенной для «параболизованных» уравнений Навье—Стокса. Рассмотрена корректность (в смысле [10]) постановки начально-краевой задачи.

В качестве тестовой решена задача об обтекании сферы сверхзвуковым потоком совершенного газа при числе Ке0= 14,4. Возможности выбранного подхода проиллюстрированы решением задачи обтекания пластины конечной толщины, установленной под различными углами атаки к набегающему потоку.

1. Полученные различными авторами решения уравнений Эйлера и Навье—Стокса дают некоторые основания полагать, что наиболее предпочтительной формой записи этих уравнений для численных расчетов является их «консервативная форма» в виде законов сохране-

ния. Примером использования такого вида уравнений является исследование течений с ударными волнами. Способы получения газодинамических уравнений в такой форме обсуждались, например, в [11]. В настоящей работе уравнение количества движения записывалось в проекции на оси декартовой системы координат. При выводе упрощенных уравнений предполагалось, что продольные компоненты тензора вязких напряжений малы по сравнению с нормальными и азимутальными.

В работах ([5—8] было показано, что задача Коши для системы упрощенных таким способом уравнений Навье—Стокса с начальными данными при фиксированном значении продольной координаты х = =const в дозвуковой области течения (где число М, рассчитанное по продольной составляющей вектора скорости, Мх< 1) является некорректной. Это обстоятельство обусловлено наличием члена, пропорционального градиенту давления в уравнении для продольного компонента количества движения. Этот член описывает распространение возмущений вверх по потоку в дозвуковой области.

Различные способы регуляризации некорректной задачи Коши подробно обсуждались, например, в {2, 5, 8, 10, 12]. Так, в работе [10] исследовалось двумерное течение вязкого газа (при постоянном значении коэффициента вязкости ц = const) вблизи плоской поверхности на основе упрощенной системы уравнений:

1

Е* =

рИ " 0 " pv

9р«2 + ХР (1-Х)/» р UV

р UV ; Р* = 0 ; р = р v2+p

1 гг , УЛ 1 'Г ,

_ри [срт 0 _рг>^/,7Ч-г]_

Fv =

Re

0

ди

4 dv

"3 W

ди , 4

^г + -з-‘у

dv

W

+

дТ

ду

(Т-ОЛС Рг

Здесь и, V — составляющие вектора скорости У(У=|У|) в продольном (х) и поперечном (у) направлениях; р, Т, р, ср, у, Яе, Рг, — соответственно плотность, температура, давление, теплоемкость при постоянном давлении; отношение удельных теплоемкостей, числа Рейнольдса, Прандтля и Маха невозмущенного потока.

Анализ выбора весовых функций <р и % был проведен в [5, 10]. Так,

дЕ* дГ

в силу гиперболичности подсистемы —[- = 0 (случай больших

чисел Яе) на функции ф, % следует наложить ограничения:

<Р=1» Х<

Mi

1 — М,1

где Му — число М, рассчитанное по поперечной составляющей вектора скорости.

_ /*дЕ дР„ \

В случае малых ] Для того, чтобы задача была

вполне параболична, следует удовлетворить условиям («>0):

при Мх>1

. /. = 1. ? = 1; (1.3а>

при Мж< 1

г<-----------------——2=7*, —<м2х.

к 1 +(7- 1)М^ к ’ Ч> 4 '

В дальнейшем полагалось, что в дозвуковой зоне течения (Мж<1) дР*

Х=0,9%*. Член рассматривался в качестве источника возмуще-

ний, налагаемых на течение, и аппроксимировался двумя способами [7]: либо полагался равным нулю, либо экстраполировался вниз по потоку.

2. Построение консервативной разностной схемы проводилось на основе интегральной формы уравнений газовой динамики [9, 11]. При этом разностный аналог этих уравнений удовлетворял законам сохранения.

Аппроксимация компонентов тензора напряжений, вектора теплового потока и компонентов скорости, нормальных к «криволинейной» площадке, производилась с помощью симметричных формул; конвективные члены уравнений аппроксимировались с помощью несимметричных формул второго порядка. Расчетная область ограничивалась некоторой поверхностью, на внешней наветренной границе которой задавались условия невозмущенного потока, а на подветренной стороне полагались нулевыми градиенты искомых функций. На поверхности тела задавались условия прилипания и отсутствия скачка температуры.

Стационарное решение задачи находилось с помощью итерационной схемы метода Зейделя, основные черты которой рассмотрены в работе [9]. Для параболической задачи схема модифицировалась с учетом распространения возмущений вниз по потоку, что приводило к уменьшению (до первого) порядка аппроксимации конвективных членов в продольном направлении. Решения полных уравнений Навье—Стокса использовались как для тестовых расчетов, так и для получения необходимых начальных условий для задачи Коши.

3. Для апробации выбранного метода регуляризации некорректной задачи Коши для «параболизованных» уравнений Навье—Стокса (см. п. 1) была решена задача об обтекании сферы сверхзвуковым потоком вязкого совершенного газа при следующих значениях определяющих параметров: число Рейнольдса, вычисленное по параметрам в набегающем потоке, радиусу Я и значению коэффициента вязкости при температуре торможения, Ке0=14,4; число Маха в невозмущенном потоке Мос = 6,5; температурный фактор ^№ = 0,34; отношение удельных теплоемкостей у = 1,4. Закон зависимости коэффициента вязкости от температуры полагался степенным ц~Т°>85. В расчетах использовалась разностная сетка 24X24.

На рис. 1, 2 штриховыми линиями показаны распределения давления р/рооих , плотности р/роо, теплового потока <7/р<х>«оо и коэффициента трения Cf вдоль образующей сферы (5), а также профили по

2 о

нормали п давления, плотности, энтальпии к = срТ/ис0 и продольной составляющей вектора скорости и/их при 5 = 58,5°, вычисленные на основе полных уравнений Навье—Стокса [9].

Результаты расчета по упрощенной системе уравнений представ-

(дР* л- ^

лены на этих же рисунках сплошными линиями |-д$- = 01 и темными

(для давления) и светлыми (для остальных величин) кружками / ^ р* \

1-^----экстраполяция по потоку I. Принятые обозначения сохранены

и для последующих рисунков.

Как показывает сравнение, данные, полученные в рамках различных моделей, удовлетворительно согласуются между собой, причем использование экстраполяции градиента давления вниз по потоку в рассматриваемом примере дает результаты, более близкие к результатам расчетов по полным уравнениям Навье—Стокса. Отметим также, что время расчета «параболизованных» уравнений в рассмотренном случае приблизительно в пять раз меньше, чем полной системы.

4. Метод расчета системы «параболизованных» уравнений Навье— Стокса был применен при исследовании течения возле пластины с цилиндрическим затуплением, расположенной под углом атаки а к набегающему потоку. При этом зона затупления рассчитывалась на основе полных уравнений Навье—Стокса, а область течения ниже точки сопряжения— по упрощенной модели. Предполагалось, что точка торможения совпадает с точкой торможения на цилиндре. Параметры набегающего потока и характеристики расчетной сетки полагались такими же, как в п. 3.

Результаты расчета обтекания цилиндрической части представлены на рис. 3—5 штриховыми линиями, а плоской наветренной поверхности — сплошными линиями и кружками от точки сопряжения (отмеченной на графиках крестиком). Результаты для подветренной стороны (а=18°) изображены штрихпунктирной линией. На указанных рисунках приведены данные по распределению давления, коэффициента трения и теплового потока вдоль пластины с цилиндрическим затуплением под различными углами атаки а = 0, 18°, 36°; расстояние 5//?, отнесенное к радиусу цилиндрической части, отсчитывается от точки торможения цилиндра. Во всех рассмотренных случаях наблюдается стабилизация давления и плотности в течении на больших расстояниях от критической точки.

рЬ

Выбор способа регуляризации ^оценка члена ^ оказывает существенное влияние на величины р и С/ вблизи точки сопряжения. дР*

Так, в случае -^г =  отмечаются аномально большие значения давления (рис. 3) и заниженные данные для величины коэффициента трения (рис. 4) в указанной области.

Отметим также, что при больших углах атаки 30° имеет место немонотонный характер в распределении давления (см. рис. 3) и плотности. При дальнейшем увеличении угла атаки начинает существенно увеличиваться дозвуковая область течения, что приводит к значительному проявлению свойств эллиптичности в продольном направлении. В этих условиях необходимо использовать систему полных урав-

нений Навье—Стокса. Последнее обстоятельство не позволило полу-

дР*

чить решение для случая =#=0 при а>36°. Особенностей при обтекании подветренной стороны не обнаружено. Наименьшее влияние выбор того или иного способа регуляризации оказывает на значения теплового потока к поверхности тела.

5. Данные, полученные с помощью приближенной модели при анализе обтекания пластины с цилиндрическим затуплением, расположенной под углом атаки к набегающему потоку, использовались при исследовании течения газа вблизи удлиненной пластины с закрылком.

При этом в качестве краевых условий по нормали к пластине [S(x)= const] задавались профили параметров течения, полученные в рамках «параболизованных» уравнений Навье—Стокса. Рассматривался случай Reo=14,4; а=18°, угол отклонения закрылка р=15°. Исследуемая область течения ограничивалась снизу поверхностью тела, слева — границей S/J? = 8,95, справа — S/R= 12,26. В качестве базовой выбиралась декартовая система координат, связанная с плоскостью пластины. Верхняя граница и образующая линия тела вычислялись по формулам, представленным в [12]. Положение верхней границы выбиралось таким образом, чтобы возмущения от тела не достигали ее. На правой границе были выставлены условия равенства нулю градиентов искомых функций.

Результаты расчетов течения вблизи закрылка позволили установить монотонный рост давления и плотности вдоль пластины с изломом образующей. В то же время распределение теплового потока и коэффициента трения (рис. 6) носит ярко выраженный немонотонный характер. Этот качественный эффект отмечался также в работе [2].

Представленные результаты указывают на то, что при использовании упрощенных («параболизованных») уравнений Навье—Стокса для расчетов обтекания тел следует более тщательно подходить к выбору способа регуляризации решения в дозвуковых областях, что имеет принципиальное значение при описании течения вблизи точек сопря-

жения и при больших углах атаки. При исследовании обтекания гладких тел под малыми углами атаки и сферы в качестве регуляризующей процедуры с хорошей точностью можно использовать экстраполяцию градиента давления в продольном (маршевом) направлении.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ре у ret В., Vi viand Н. Computation of viscous compressible flow based on the Navier — Stokes equations.—AGARD—AG, 1975, N 212.

2. D a v i s R. Т., Rubin S. G. Non—Navier—Stokes viscous flow computations. — J. Computers and Fluids, 1980, vol. 8.

3. Venkatapathy E., Rakich J. V., Tannehill J. C. Numerical solution of space shuttle orbiter flow field: — AIAA Paper, N 82—0028.

4. R i z k J. М., С h a u s s e e D. S., M с R a e D. S. Computation of hypersonic viscous flow around three — dimensional bodies at high angles of attack. — AIAA Paper, N 81—1261.

5. К о в e н я В. М., Черный С. Г. Метод решения стационарных упрощенных уравнений вязкого газа. — Ин-т теор. и прикл. мех., СО АН СССР, Новосибирск, Препринт № 42, 1981.

6. Rubin S. G., L i п Т. С. Numerical methods for two and three-dimensional viscous flow problems', application to hypersonic leading edge equations. — J. of Comput. Physics, 1972, vol. 9, N 2.

7. L i n Т. C., Rubin S. G. Viscous flow over a cone at moderate incidence. — I: hypersonic tip region.— J. Computers and Fluids, 1973, vol. 1.

8. Lin Т. C., Rubin S. G. A numerical model for supersonic viscous flow over a slender reentry vehicle. — AIAA Paper, N 79—205.

9. Молодцов В. К., Рябов В. В. О применимости уравнений Навье—Стокса для описания сверхзвукового течения разреженного газа около сферы. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 6.

10. Vi g пег on Y. С., Rakich J. V., Tannehill J. C. Calculation of supersonic viscous flow over delta wings with sharp subsonic leading edges. — AIAA Paper, N 78—1137.

11. Warzi Z. U. A. Conservation form of the Navier—Stokes equations in general nonsteady coordinates. — AIAA Journal, 1981, vol. 19, N 2.

12. Ковеня В. М., Черный С. Г. Решение упрощенных уравнений вязкого газа маршевым методом. — Числ. методы мех. сплошной среды, Новосибирск, 1979, т. 10, № 1.

Рукопись поступила 27/VI 1983 г.