Тензорная методология в теории синтеза схем инверторов

УДК 621.314

Ю.М. Голембиовский ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ В ТЕОРИИ СИНТЕЗА СХЕМ ИНВЕРТОРОВ

Обоснованы возможность и эффективность применения тензорной методологии к решению задачи синтеза схем нелинейных динамических устройств силовой электроники как объектов с изменяющейся в процессе функционирования топологией. Последовательность этапов синтеза поясняется на примере порождения схемотехнических решений в классе последовательно-параллельных инверторов тока. В качестве критерия синтеза принята жёсткость внешней характеристики.

Эффективность, тензорная методология, синтез схем инверторов

Y.M. Golembiovsky TENSOR METHODS IN INVERTOR SCHEMES SYNTHESIS

Possibility and efficiency of application tensor methodology to the decision of a problem of synthesis of schemes of nonlinear dynamic devices of power electronics as objects with topology changing in the course of functioning is proved. The sequence of stages of synthesis is explained on a generation example of scheme decisions in a class of series-parallel inverters of a current. As criterion of synthesis rigidity of the external characteristic is accepted.

Efficiency, the tensor methodology, the synthesis of inverter circuits

Состояние проблемы. Концепции и методы синтеза

Эволюция преобразовательной техники создала множество вариантов схемных решений, удовлетворяющих тем или иным требованиям и имеющих свои предпочтительные области применения. Поиск принципиально новых схем носил преимущественно эвристический характер, и успех во многом определялся пытливостью ума и интуицией исследователей. Накопленный опыт проектирования преобразовательных устройств и многообразие схемных решений, имеющихся в настоящее время, позволяют перейти к новому этапу в развитии преобразовательной техники -автоматизации синтеза устройств и систем с заданными характеристиками.

В то же время следует отметить, что синтез схем вентильных преобразователей (ВП) представляет собой одну из самых сложных и наименее решенных проблем преобразовательной техники [1, 2].

Классы ВП существенно различаются между собой по своему назначению, принципам функционирования, характеру и описанию происходящих в них электромагнитных процессов, что обусловило существование различных методов анализа и синтеза преобразовательных устройств.

Постановка задачи

Конечная цель любого синтеза в классической постановке этой проблемы заключается в следующем: на основании некоторых исходных данных и требований к функциональному назначению получить устройство, систему или процесс, удовлетворяющие заданным ограничениям на характеристики и критериям качества функционирования проектируемого объекта. Применительно к преобразовательной технике задача синтеза в такой глобальной постановке означает разработку методов и процедур порождения силовых схем и алгоритмов управления ими, обеспечивающих потребителя электроэнергией с требуемыми параметрами.

Исходными в задаче синтеза являются следующие сведения о назначении проектируемого устройства:

1) функции устройства, задаваемые обычно сведениями о системе выходного напряжения (трехфазная или однофазная), типе источника первичного электроснабжения (постоянное, переменное, трех - или однофазное), характере генерируемой мощности (активная, индуктивная, емкостная, смешанная), наличии или отсутствии частотного регулирования, характере нагрузки (статическая, динамическая) и другими сведениями;

2) перечень ограничений на характеристики устройства (например, выходная мощность, диапазон, и закон регулирования частоты, стоимость оборудования, выходное напряжение и ток, диапазон изменения нагрузки и др.);

3) критерий эффективности, устанавливающий меру оценки степени соответствия системы своему назначению.

Критерий эффективности зависит от области применения устройства и может быть множественным (показателями качества могут быть, например, КПД, жесткость внешней характеристики, устойчивость к перепадам нагрузки, удельная установленная мощность и др.).

Чтобы выявить круг вопросов, возникающих при постановке и решении задач оптимального синтеза преобразовательных устройств, опишем задачу синтеза с использованием математической символики.

Охарактеризуем объекты проектирования совокупностями присущих им свойств, каждое из которых может быть измерено, т.е. оценено количественно. Некоторые свойства объекта будем рассматривать как первичные и характеризовать совокупность таких свойств вектором

V = (У1,к,УА), составляющие которого являются оценками соответствующих свойств и называются параметрами объекта. Остальные свойства будем относить к вторичным и характеризовать их вектором Y = (У^.у), составляющие которого называются характеристиками объекта. Вто-ричность свойств, характеризуемых величинами Y1,...,YN, обусловлена тем, что значения Yn (п = 1,., N) могут быть определены как функции параметров объекта, т.е. Yn = (рп (V).

Предположим, что к параметрам причислены свойства, учет которых необходим для определения всех интересующих нас характеристик объекта. В таком случае вектор V однозначно характеризует объект, выделяя его из множества объектов такой же природы. Различия объектов A и B эквивалентны неравенству соответствующих им векторов VA и VB , и объекты A и B считаются одинаковыми, если VA = VB .

Пусть отдельный параметр Vm (ш = 1,., M) принимает различные значения из множества значений Хш, называемого областью определения параметра Vш. В таком случае множество X = X1 х.х Хм , являющееся декартовым произведением множеств X 1,...,Хм , содержит в себе всевозможные векторы V = (У1,...,УМ) и представляет всевозможные объекты с рассматриваемыми свойствами. Множество X называется областью определения объектов типа V .

Используя эти понятия, преобразовательные устройства или системы можно охарактеризовать следующим набором параметров и характеристик:

Р = (р,...,Р,2) - вектор параметров, представляющий функции устройства, с областью

определения Р;

5 = (S1,..., 5Т) - вектор параметров структуры системы (силовой схемы), определенных на множестве возможных структур X ;

С = (С1;..., Св) - вектор параметров закона управления силовой схемой с областью опре-

деления G ;

У = (У^.-.у) - вектор характеристик преобразованного устройства (системы), составля-

ющие которого суть функции параметров Р , 5 , С ;

Е = ¥(У) - функция, определяющая значение критерия эффективности как интегральной характеристики качества системы.

Поскольку У=Ф(Р,5,С), критерий эффективности является функцией параметров схемы, т.е. Е = П(Р, 5, С).

Решение задачи синтеза сводится к подбору параметров 5 и С , оптимизирующих значение критерия эффективности системы. Чтобы поставить задачу синтеза конкретно, требуется выявить множество параметров, необходимых и достаточных для определения преобразовательных устройств или систем как конкретных объектов, и зависимости между характеристиками и параметрами реализуемых функций, силовых схем и законов управления.

Многообразие сфер применения преобразовательных устройств, возможных силовых схем и стратегий управления порождает практически бесконечное число вариантов построения таких систем.

Многочисленность параметров, сложность зависимостей между ними и характеристиками преобразователей, а также глубокие различия в принципах построения преобразовательных устройств для разных применений приводят к тому, что задача синтеза в ее общей постановке неразрешима.

В настоящее время не существует формальных методов, позволяющих на основании заданных требований порождать схемные решения, т.е. однозначно отображать множество желаемых характеристик преобразовательных устройств в конкретные схемы и алгоритмы управления ими.

Задача синтеза упрощается, если ограничить рамки ее рассмотрения определенным клас-

сом устройств - преобразователей с подобными функциями и требованиями к качеству функционирования. При таком подходе уменьшается число вариантов силовых схем и стратегий управления ими, которые следует рассматривать при поиске оптимальных решений. Поэтому задачу синтеза будем понимать как задачу синтеза устройств определенного класса преобразователей с явным звеном постоянного тока, непосредственных преобразователей, импульсных преобразователей и т.д.

Задача синтеза преобразователей становится окончательно разрешимой, если, ориентируясь на конкретный класс функций и требования к качеству функционирования, выбрать для построения устройства один класс силовых схем и определенную стратегию управления ими. Такой выбор возможен, если есть сведения о свойствах силовых схем и алгоритмах управления ими в отношении к области применения.

С учетом сказанного сформулируем задачу синтеза статических преобразователей в следующей постановке: для заданного класса преобразовательных устройств найти метод и средства, позволяющие получать силовые схемы преобразователей, отвечающие заданным критериям качества функционирования.

При таком подходе все известные и неизвестные схемы преобразователей в заданном классе можно рассматривать как образующие некоторое пространство схемных решений, в котором каждая из схем определяется некоторой совокупностью координат, представляющих собой элементы схемы и связи между ними.

В этом случае переход от одной схемы к другой можно рассматривать как преобразование координат. Такая точка зрения наводит на мысль о возможности применить тензорную методологию к порождению различных вариантов схемных решений. Проблема, однако, состоит в том, чтобы обосновать применимость понятий преобразования, инвариантности и группы преобразований, составляющих фундамент классического тензорного исчисления [3 - 7], к решению задачи синтеза и анализа автономных инверторов и систем на их основе. Для этого необходимо прежде всего установить свойства пространства, в котором должно осуществляться преобразование схем. Исторически тензорное исчисление рассматривало пространство как однородное. Даже в геометриях Лобачевского и Римана, использованных А.Энштейном для разработки общей теории относительности, пространство все еще представляется как изотропная среда, хотя и связанная со структурой расположенных в ней физических объектов. Свойства такого пространства одинаковы в различных направлениях. В этом пространстве существует бесконечное число систем координат, в том числе и бесконечно близких друг к другу, поэтому всякое преобразование координат локально линейно, что приводит к одной из важных аксиом геометрии: преобразования координат образуют группу [3, 7].

Изотропное пространство не подходит для рассмотрения электрических схем (как, впрочем, и экономических, социальных, информационных, технических и многих других сложных систем). Важнейшей характеристикой таких объектов является их структура, определяющая состав и способ соединения элементов системы в единое целое. Пространство, в котором рассматриваются такие системы, отличается от изотропного тем, что системы координат определяются видом структуры, т.е. способом соединения элементов. Уже поэтому нельзя вводить бесконечно близкие системы координат, их оси определяются путями потоков через элементы структуры. Вдоль каждого пути потока пространство непрерывно, но вне этих путей потока нет и пространство отсутствует. «Таким образом, пространство становится анизотропным пространством-структурой, в котором есть выделенные направления. Чтобы в этом пространстве преобразования координат оставались группой, нужны дополнительные предположения» [8].

Заслуга в развитии тензорной методологии применительно к анизотропным средам принадлежит Г. Крону [9 - 11]. Разрабатывая теорию электрических машин и электрических сетей, он показал, что для пространства-структуры преобразование координат представляет собой новую операцию - разрывания и соединения связей между элементами, не существовавшую в геометриях изотропных пространств. Поскольку каждая геометрия определяется группой преобразований, оставляющих инвариантными те или иные характеристики или параметры геометрических объек-

тов, сразу же возникает вопрос: какие свойства электрических цепей будут инвариантными при изменении топологии их соединения?

В геометриях изотропных пространств инвариантные величины отражают свойство принадлежности их одному и тому же объекту независимо от того, в какой системе координат он рассматривается. Примерами таких величин могут служить плотность вещества, температура, энтропия, определители матриц и т.д. Поскольку для анизотропных пространств вводится операция разъединения и соединения объекта (а следовательно, и самого пространства), то свойство принадлежности уже не может служить инвариантом такой группы преобразований. Г. Крон при выводе тензорных формул преобразования токов, напряжений и импедансов в качестве инвариантной величины использовал квадратичную форму - мощность, рассеиваемую в электрической сети при любых преобразованиях ее топологии. Постулат о неизменности мощности стал объектом ожесточенных дискуссий [12] и серьезной, хотя и не всегда обоснованной критики. Дело в том, что мощность в общем случае изменяется при изменении топологии сети. Тем не менее формулы преобразований, полученные Кроном, дают правильные результаты, совпадающие с результатами расчетов, полученными другими методами. Это противоречие, долгое время порождавшее недоверие к тензорному методу Г. Крона, было, наконец, разрешено А.Е. Петровым в его работе по теории систем [8]. Им было убедительно показано, что указанное противоречие является следствием дуальности нашего мира и что мощность действительно инвариантна при преобразованиях структуры сетей. Однако инвариантна не мощность, рассеиваемая в конкретной сети, а суммарная мощность в данной и двойственной ей сети:

шр. + mp + jp + jp = const,

где mp,, mp, - мощности, рассеиваемые в сети данной и двойственной сети при контурном возбуждении, jp, , jp - мощности в данной и двойственной ей сети при узловом возбуждении.

Инвариантность мощности подтверждена также математически строго в работе [13].

Формулы преобразования токов, напряжений и импедансов при переходе от одной топологической структуры сети к другой имеют вид [8, 11]:

.а а . а .а /а

1 = c ,1 , 1 = (с

а* ’ V а

.а* ( а \ 1 • а *

i = (с ) 1 .

V а

е * =

а V а /\ а ’ а * а а *

2 а 'в' ^ 2 ав с в ” 2 а'в' (Са' Л 2 ав ^в'

В (2) - (4) компоненты с индексами а и а' относятся соответственно к старой и новой системе координат (старой и новой сети), а с индексами а и а'- к старой и новой двойственной се-

а

ти. са' - матрица преобразования координат.

Формулы преобразования (2) - (4) для данной и двойственной сети аналогичны формулам преобразования ковариантных и контравариантных величин в прямом и взаимном базисе, известным в классическом тензорном анализе. Формула (4) преобразования импеданса аналогична формуле преобразования метрического тензора [3, 8, 11].

Тензорный характер преобразования геометрических объектов, описывающих электрическую сеть, позволяет рассматривать разные структуры сети как проекции некоторой абстрактной сети в разные системы координат, определяемые топологией соединения ветвей и выбранными путями энергетических потоков.

а

Совокупность всех матриц са подчиняется групповому свойству и может рассматриваться как тензор преобразования, компоненты которого являются константами (+1,0, -1). Поэтому все геометрические объекты (токи, напряжения и импедансы) преобразуются как тензоры.

Заложенные Г. Кроном теоретические основы применения тензорной алгебры и анализа к расчету линейных электрических цепей и вращающихся машин послужили стимулом и базой для

73

широкого внедрения тензорных методов в практику исследования сложных систем как электрической, так и неэлектрической природы. Идеи Г. Крона использованы А.А. Булгаковым при разработке общей теории электромеханических вентильных систем [14]. В [15] получены тензорные уравнения асинхронного двигателя, позволяющие рассчитывать электромагнитные процессы как в статических, так и в динамических режимах. Тензорная методология и модели линейных электрических сетей находят все более широкое применение при исследовании дискретных систем экономического и информационного планов. Так, в [8, 16, 17] введены аналогии тензорных понятий линейных электрических сетей и использованы для решения задач балансового планирования и организации баз данных.

Как указывалось ранее, на анизотропных пространствах определена операция разъединения и соединения. Это дало Г. Крону основание применить диакоптический подход к расчету сложных систем [10]. Однако математическая нестрогость модели Крона, которая не была устранена и в работах его учеников [18], обусловила сложный характер алгоритма расчета сети. Это связано с необходимостью введения «цепи пересечений», которая служит для последующего объединения отдельных частей системы в единое целое. В [13, 19], которые можно рассматривать как развитие тензорного анализа цепей Крона, предложен и математически строго обоснован алгоритм редукции, использующий алгебру проекторов и позволяющий обойтись без «цепи пересечений» при диакоптическом расчете сети.

Подводя итог изложенному, сделаем следующие выводы:

1. Автономные инверторы (АИ) и системы на их основе в интервалах стационарности их топологии (т.е. между переключениями вентилей) представляют собой линейные электрические цепи, т.е. могут рассматриваться в анизотропном пространстве, линейном вдоль путей энергетических потоков.

2. Функционирование АИ (как, впрочем, и любой другой вентильной системы) есть не что иное как циклический переход из одного стационарного состояния в другое, сопровождаемый изменением топологии токопроводящих цепей. Этот процесс можно рассматривать как чередование проекций схемы инвертора на оси координат на интервалах между переключениями вентилей, а для описания этого процесса использовать средства тензорной алгебры.

3. Все множество схем автономных инверторов (как известных, так и неизвестных) можно рассматривать как проекции некоторой абстрактной (обобщенной) схемы инвертора в разных координатных пространствах-структурах. Это дает основание применить для поиска схемных решений фундаментальное положение тензорной методологии: если известна проекция объекта в одной какой-либо системе координат, то проекции его в другой системе координат могут быть найдены средствами тензорных преобразований.

Несмотря на то, что мы не выходим при этом за рамки линейного вдоль путей энергетических потоков пространства и используем поэтому простой аппарат матричной алгебры, применение тензорной идеологии позволяет:

- реализовать единую концепцию описания функционирования любых схем с вентилями, учитывающего как электромагнитные процессы, так и законы управления ключевыми элементами;

- получать универсальные математические модели, охватывающие целые группы однотипных схем;

- описывать процессы в преобразовательных комплексах, включающих множество взаимодействующих между собой автономных инверторов;

- осуществлять целенаправленный синтез схем с желаемыми свойствами.

Идея одного из возможных подходов к решению задачи синтеза заключается в следующем [20 - 22]. Если известно какое-либо схемное решение в заданном классе преобразовательных устройств, которое будем называть базовым, и определены требования к параметрам его элементов, удовлетворяющие заданному критерию эффективности, то значения параметров любой другой схемы могут быть определены средствами тензорных преобразований, при которых в качестве инварианты выступает критерий эффективности. Таким образом, если требования к

параметрам преобразователя приводят к физически нереализуемым объектам или нежелательным характеристикам базовой схемы, то, выполняя инвариантные преобразования, можно получить схему с физически реализуемыми элементами минимальной стоимости и удовлетворительными характеристиками.

Задача синтеза разделяется при этом на следующие этапы:

1. Определение требований к параметрам некоторой базовой схемы, удовлетворяющим заданным критериям поведения. На этом этапе устанавливаются соотношения между параметрами преобразователя и нагрузки, обеспечивающие выполнение требуемого критерия качества функционирования (например, постоянства выходного напряжения, входного тока, гармонического состава, минимума потерь и т.д.).

Если выполнение заданного критерия поведения для базовой схемы приводит к получению физически нереализуемых параметров элементов силовой схемы либо к нежелательному ухудшению каких-либо других показателей качества схемы, то необходимо перейти ко второму этапу синтеза.

2. Нахождение некоторого тензора синтеза, позволяющего получить множество других силовых схем в рассматриваемом классе устройств, удовлетворяющих тому же критерию эффективности. На этом этапе возможно целенаправленное конструирование новых схем с учетом физической реализуемости их элементов и при оптимальном соотношении остальных характеристик.

Для задачи синтеза воспользуемся представлением вентильных схем как ортогональных сетей. Такое представление связано с необходимостью нахождения обратных матриц преобразования.

Уравнения поведения и показатель эффективности базовой схемы

Чтобы выявить потенциальные возможности сформулированного выше подхода к задаче синтеза схем инверторов, ограничимся в качестве примера рассмотрением класса автономных инверторов с промежуточным звеном постоянного тока.

Критерием эффективности для АИ такого класса может быть принято постоянство выходного напряжения ин при изменениях величины и характера нагрузки.

Согласно тензорной методологии выберем в качестве базовой схемы (БС) классическую схему последовательного-параллельного инвертора тока.

В принципе, в качестве базовой схемы может быть принята любая схема. Вполне возможно, что от выбора БС зависят длительность путей порождения других схем, сложность математических преобразований. Этот аспект разрабатываемой теории в настоящей работе не рассматривается.

Схема последовательно-параллельного инвертора тока показана на рис. 1.

Соответствующая рис. 1 схема замещения на интервале между коммутациями тиристоров представлена на рис. 2.

Рис. 2. Схема замещения На рис.2 приняты следующие обозначения:

Zd = Rd + LdP - операторное сопротивление цепи постоянного тока,

ZHi = RHi + LHi - операторное сопротивление фаз нагрузки (i = 1,2,3),

ZCi = 1/ Cp -операторные сопротивления параллельных и последовательных конденсаторов (i = 1,...,6),

Ed - Э.Д.С. источника питания,

UHi - фазовые напряжения на нагрузке (i = 1,2,3),

UCi - напряжения на последовательных конденсаторах (i = 4,5,6), iHi, iai , ibi , id - контурные токи (i = 1,2,3) .

Контуры ai и bi являются воображаемыми и введены в схему только с целью получения ортогональной чисто контурной сети [8, 11].

Для нахождения матрицы соединения D11, отражающей в математической форме топологию последовательно-параллельного инвертора тока на интервале между коммутациями тиристоров, установим соотношение между токами ветвей и контурными токами схемы замещения:

^ n1 П2 Пз a1 а2 аз b1 b2 Ьз

¡а =

1н1 =

Iн2 =

IнЗ = ___________________________________________________________________________

1c1 = ¡d -in1 .

1c2 =

¡сЗ =

1c4 =

1c5 =

Сб =

id

inl +Ui

¡п2 +Îa2

i n3 +Îa3

id -inl

-in2

-id -in3

id +Îb1

+Îb2

-id +Îb3

Из (5) находим матрицу соединения:

П1 П2 Пз а1 а2 аз Ь1 Ь2 Ьз

Н1

Н2

Нз

Dn= с1

С2

Сз

С4

с5

Сб

1 1

1 1

1 1

1 -1

-1

-1 -1

1 1

1

-1 1

d П а b

d 1

=н e e

Спар D1 -e

Спос D1

Тензорное уравнение ортогональной чисто контурной сети имеет вид

Едс1 + Єдс1 = 7дс1

В (7) обозначены:

едс1 - ковариантный вектор воздействующих Э.Д.С. действительной (анализируемой) сети, 1дс! - контравариантный вектор воздействующих токов в действительной сети,

Едс1 - ковариантный вектор напряжений на элементах действительной сети, ідс1 - контравариантный вектор контурных токов действительной сети,

7дс1 - матрица компонент тензора операторных импедансов в системе координат соответствующей действительной сети.

Для цели синтеза нам потребуется тензор импедансов базовой схемы, который несложно получить, используя формулы, приведенные в [11]:

б п Ь б п а Ь

б 2сІ+0^спар++0іі гопосОї -ОигСпар °1^Спос с гїї гї2 гї4

= П -2опар°1 гн+гСпар гн п г2ї г22 N ГО со

а гн гн а N СО го N СО со

Ь гСпосО1 гСпос Ь г4ї г44

Преобразуем тензорное уравнение (7) с учетом (6) и (8), представив его в виде системы уравнений:

б

п

а

Ь

ин

ип

б

+ п а Ь

б гїї гї2 N14

п г2ї N ГО ГО N ГО со

а гз2 N СО со

Ь г4ї £44

б

п

а

Ь

Ь

п

а

X

а

п

Ей = 7И1й + 7121п ,

0 = 721^ + 7221п ,

= 7321п ,

и = 7 1

и ПОС 7411 й •

Из (9) с учетом (8) путем несложных преобразований можно получить критерий постоянства напряжения на нагрузке:

Тензор синтеза

Предположим, что нами получена некоторая новая схема инвертора. Требуется найти ее

матрицу импедансов 7ДС 2 таким образом, чтобы она удовлетворяла критерию поведения. Тензор

преобразования С'а, переводящий 7дС1 в 7 ДС2, оставляя инвариантным критерий поведения, будем называть тензором синтеза.

Алгоритм нахождения С'а включает следующие шаги.

1. Составляется матрица импеданса 7ДС1 базовой схемы, имеющая столько строк и столбцов, сколько типов контуров и узловых пар имеет ее схема замещения.

2. Записывается в общем виде компаунд-тензор синтеза С'а, который для пространства той же размерности, что и базовая схема, будет несингулярным (квадратным) и содержать столько же

строк и столбцов, что и матрица импеданса . Каждая компонента С' представляет собой пока неизвестный двумерный тензор.

3. Определяется тензор импеданса 7ДС 2 абстрактной сети как произведение

г

ДС 2

- Соі Х гДС 1 Х С' ,

где С^ - транспонированный тензор С'.

Составляется выражение критерия поведения на основе 7дС 2.

4. Приравниваются нулю или единичному тензору £ те компоненты тензора С', которые оставляют инвариантным критерий эффективности (6) для новой схемы. Остальные компоненты С'а могут иметь произвольные значения, так как не влияют на выполнение критерия эффективности и выбираются, исходя из соображений физической реализуемости и экономичности.

Общий вид тензора синтеза С' для схем, имеющих одинаковую с базовой размерность пространства, т.е. содержащих такое же количество элементов:

б' п ' а ' Ь

б С1і С21 С31 С41

С ' а= п С12 С22 С32 С42

а С1з С2з С3з С43

Ь С14 С24 С34 С44

Компаунд-тензор импеданса Т „С2 новой сети согласно (11) будет иметь вид

(I'

Ъ'

гдС2 =

Ъ'

¿зС1 + ^4 + + ^3с3 + $4С4 2 2 ^1С1 + ^2С2 + 2 2 + ^3С3 + ^4С4 3 3 ^1С1 + ^2С2 + 3 3 + ^3С3 + $4С4 4 4 ^1С1 + ^2С2 + 4 4 + ¿3С3 + ^4С4

^5С1 + ^6С2 + + ^7С3 + ^8С4 2 2 ^5С1 + ^6С2 + 22 + $7С3 + ^8С4 3 31 ^5С1 + ^6С2 + 33 + ^7С3 + $8С4 4 4 S5СІ + ^6С2 + 44 + ^7С3 + ^8С4

^9С1 + ^10С2 + + 52іСз + ^12С4 2 2 ,?9С1 + ^10С2 + 2 2 + 5'ііС3 + ^12С4 3 3 ,?9С1 + ^зоС2 + 3 3 + 5'ііС3 + ^12С4 4 4 ,?9С1 + $зоС2 + 4 4 + 5'ііС3 + ^12С4

^13С1 + ^14С2 + + ^15С3 + ^16С4 2 2 ^13С1 + ^14С2 + 22 + ^15С3 + ^16С4 3 3 ^13С1 + ^14С2 + 33 + ^15С3 + ^16С4 4 4 ^13С1 + ^14С2 + 44 + ^15С3 + ^16С4

В тензоре (13) обозначены: (С1и211+С12і221+С14і241)=В1,

(С3^12+С^22+С^32^2,

(с12^23+с13^33)=^

(с11Й4 +^4^44^^

(c21tz11 +c22tz21 +c24tz41)=S5,

/ 2 2 2 ч

(С 1tz12+c 2tz22+c 3^32)=^

3,

333 (С ^11+С 2tZ21+С 4tZ4l)=S9

333 (С П212+С 2tZ22+С 3tZ32)=Sl

33 (с 2tZ23+c 3tz33)=s11,

33 (с 1tz14+c 4tz44)=s12,

444 (с 1Й1+С 2tz21 +С 4tz41)=s1

444 (с 1Й2+С 2tz22+c 3tz32)=s1

(c22tz23 +c23tz33)=s7, (С21tZl4+С24tZ44)=S8,

(c42tz23 +c43tz33)=s15, (С41tZl4+С44tZ44)=Sl6.

п

а

п

а

Критерий постоянства напряжения на нагрузке в силу его инвариантности в терминах тензора (13) должен иметь такой же вид, как и (10). Поэтому

2 -11 + 2 -12 (г -32 - г -22 )-1 г ; = [ (с 1,2 п + с 1 ,х п + с 4,х « ) с 1 +

(с 1,212 + с 1,2 22 + с 31,2 32 ) с 1 + (с 1,2 23 + с 3,2 33) с 31 + (с 1,214 + с 4,2 44 ) с 4] +

[

(с 1,2 23 + с 3,2 33 ) с 32 + (с 1,2 14 + с 4,2 44 ) с 42] + [ (с 13,2 п + с 3,2 21 + с 43,2 41 ) с 12 +

3,

3

4,

) с 22 + (с 2,2._

)с 12 - (с 12,212 + с.

)с

(с 3,2 14 + ' 32) с 22 -

)с

) с 4 ]-1[ (с 12,211 + с.

) с 11

+ с 2 7 ) с 1 + (с 2 7 + с 2 7 ) с 1 ] =

+ с 3, 2 33 )с 3 + 1, 2 14 + с 4, 2 44 )с 4 ]

(с 13,212 (с 12,211 + с.

(с 22,2 23 + с 32,2 33 ) с 32 - (с 12,214 + с

(с 12, 212 + с 22,2 22 + с 32,2 32 ) с '2 + (с .

2 11 + 2 12 ( 2 32 - 2 22 ) 1 2 21 = 0 .

Равенство (11) будет выполняться, если

с1 ___і с1 ____ с1 __ с1 ___ с2 __ с2 ___ с2 ___ с3 __ с3 ____ о р2 __ с3 __ О

1 1, 2 3 4 1 3 4 1 2 О, 2 3 *

С учетом (16) тензор синтеза (12) записывается в виде матрицы:

С ’

V

С8' =

с

п

а

Ь

1 с4

є с24

є с 4 с3

с3 с4 с 4 с4

Следовательно, тензор импеданса 7дС2 (13) новой схемы, обеспечивающей требуемый критерий эффективности (ин = Свтг), на основании (17) равен

С ' п ' а ' Ь '

с ' 2ц 212 214С34 2ПС41+212С42 +^4^4

п ' ^1 222 223 4 С 2 N + 2 4 и 2 N +1 41 С1 21 N

2дс2= а ' ^^41 232 233+С34і244С34 С41+С41+232С42+233С43+С 43tZ44C44

Ь ' С^ц+С4 2^2+С^^ 41 С^+С4* 2.22+С^2б2 С42і223+С43і233+ C4ltZl4C34+C44tZ4 4С34 (C4ltZll+C42tZ21+C44tZ4l) C4l+(C4ltZl2+C42tZ22+C4зt Zз2)C42+(C42tZ2з+C4зtZзз) C4з+(C4ltZl4+C44tZ44)C44

п

а

Компоненты тензора синтеза С'а определяют группу схем, удовлетворяющих требованию

абсолютной жесткости внешней характеристики*

Процедура их порождения и исследование выходят за рамки настоящей статьи и будут детально освещены в последующих публикациях.

Выводы

1* Тензорная методология предоставляет разработчикам эффективный инструмент синтеза схемотехнических решений в выбранном классе устройств силовой электроники, отвечающих заданным критериям качества функционирования*

2* Рассмотрен алгоритм вывода тензора импеданса «обобщенной» схемы, конкретные значения компонент которого определяют все многообразие топологических решений (как известных, так и неизвестных) в рассматриваемом классе устройств, обеспечивающих выполнение заданного критерия поведения*

3* Изложенные в статье теоретические положения открывают путь к разработке системы автоматизации проектирования схем различных устройств силовой электроники с заданными характеристиками*

ЛИТЕРАТУРА

1. Руденко В.С. Анализ и синтез преобразователей с постоянной и переменной структурой / В.С. Руденко, В.Я. Жуйков, В.Е. Сучик. Киев, 1983. 65 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т электродинамики, № 340).

2. Жуйков В.Я. Алгоритм структурно-параметрического синтеза схем статических преобразователей частоты / В.Я. Жуйков, В.Е. Сучик, С.П. Денисюк. // Электротехническая промышленность. Преобразовательная техника. 1984. № 3. С. 14-15.

3. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ / А.Дж. Мак-Коннел. М: Физматгиз, 1963. 412 с.

4. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. / П. Ланкастер. М:Наука, 1982. 272 с.

5. Постников М.М. Аналитическая геометрия / М.М. Постников. М: Наука, 1986. 415 с.

6. Постников М.М. Линейная алгебра / М.М. Постников. М: Наука, 1986. 400 с.

7. Сокольников И.С. Тензорный анализ / И.С. Сокольников. М: Наука, 1971. 373 с.

8. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем / А.Е. Петров. М: Радио и связь, 1985. 152 с.

9. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике: Пер. с англ. / Г. Крон. М: Гостехиздат, 1955. 250 с.

10. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика / Г. Крон. М: Наука, 1972. 513 с.

11. Крон Г. Тензорный анализ сетей / Г. Крон. М: Советское радио, 1978. 719 с.

12. Габриэль Крон / В.А.Веников, П.А.Ионкин, Г.Н.Петров, И.П.Копылов // Электричество, 1969. №1.

13. Губкин И.А. Метод оператора проектирования в теории линейных электрических цепей / И.А. Губкин // Электричество, 1991. №11. С. 77-78.

14. Булгаков А.А. Вентильная электромеханика / А. А. Булгаков. М: Наука, 1993.

15. Тензорная методология в теории электропривода переменного тока / Н.Л. Архангельский, Б.С. Курнышев, С.К. Лебедев, А.А. Фильченков // Изв. вузов. Электромеханика, 1993. № 1. С. 66-74.

16. Петров А.Е. Тензоры и фреймы / А.Е. Петров // Интеллектуальные банки данных / под ред. Л.Т.Кузина. Тбилиси, 1982. С. 21-23.

17. Тензорные банки данных / Л.Т. Кузин, А.Е. Арменский, А.Е. Петров, Д.Ю. Абрамов, А.Н. Ермаков // Известия ВУЗов. Приборостроение. 1984. №6. С. 38-40.

18. Хэпп Х. Диакоптика и электрические цепи / Х. Хэпп. М: Мир, 1974. 342 с.

19. Губкин И.А. Метод редукции в теории линейных цепей / И.А. Губкин // Электричество. 1993. №2. С. 45-50.

20. Г олембиовский Ю.М. Вопросы теории синтеза схем инверторов / Ю.М. Г олембиовский // Unconventional Electromechanical and Electrical Systems: Proceedings of the 3-rd ISTC. - Alushta, the Crimea, Ukraine, 1997. V.2 P.557-562.

21. Голембиовский Ю.М. Об одном подходе к задаче синтеза схем инверторов / Ю.М. Голембиовский // Силовая электроника в решении проблем ресурсо- и энергосбережения: сб. тр. Междунар. науч. техн. конф., Крым, Алушта, 1996. С. 64.

22. Голембиовский Ю.М., Колдаев Р.В.Математические основы синтеза автономных инверторов / Ю.М. Голембиовский, Р.В. Колдаев //Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы международной конференции / ИПТМУ РАН -Саратов,1997. С. 39-40.

Г олембиовский Юрий Мичиславович - Golembiovsky Yuri Michislavovich -доктор технических наук, профессор, про- doctor of Technical Sciences, Professor of "Sys-фессор кафедры «Системотехника», Сара- tem engineering", Saratov State Technical Uni-товского государственного технического versity университета им Гагарина Ю.А.