Нелинейный изгиб консоли распределенной нагрузкой

УДК 5З9.З

Ю. В. Зaxapoв, К. Г. Oxoткин, А. Д. Cкopoбoгaтoв НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ КОНСОЛИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ1

Исследовано поведение тонкого гибкого стержня под действием распределенной нормальной нагрузки в геометрически нелинейном случае. Рассмотрен стержень, защемленный на одном конце и свободный на другом. Найдены формы изгиба стержня. Решения записаны в параметрическом виде и зависят от одного параметра, определяемого внешней нагрузкой.

Поведение и устойчивость тонкого гибкого стержня под воздействием распределенной нагрузки рассматривались в работах многих авторов, например в [1]. В этой работе приведены точные геометрически нелинейные уравнения равновесия упругого стержня при действии распределенной нагрузки, справедливые при больших упругих перемещениях изогнутого стержня в одной плоскости, аналитические решения уравнения равновесия и найдены общие выражения для изогнутых форм упругой линии в полярных координатах с помощью сложной комбинации эллиптических функций Вейерштрасса. Но там не рассматривалась краевая задача, учитывающая условия закрепления стержня.

В работах [2; 3] была развита геометрически нелинейная теория изгиба тонких стержней. В них применялся статический критерий устойчивости стержней, исходя из уравнения равновесия типа нелинейного маятника. Это позволило найти точные аналитические решения задач изгиба стержня сосредоточенными силами - следящими и постоянного направления.

Ниже будет представлено точное аналитическое решение задачи об изгибе консольного стержня распределенной нормальной нагрузкой.

Уравнение равновесия стержня, изогнутого нормальной распределенной нагрузкой. Рассмотрим тонкий гибкий стержень длины Ь, к которому приложена распределенная нормальная нагрузка q (рис. 1). Будем искать формы изгиба стержня при постепенном увеличении внешней приложенной нагрузки.

Риа 1. Cиcтeмa кoopдинaт l - кpивoлинeйнaя кoopдинaтa точки стержня; (r, ф) - толярные кoopдинaты; c(l) - ушл нак^на кacaтeльнoй к oot OX; q - величина внєшнєй пpилoжeннoй нагрузки

Уравнения paвнoвecия етержня зaпишeм в видє:

dF

dM =-f dF _ к dM _ -f dl _ n’ dl _ dl _ n!

dl

гдє M- величина изгибaющeгo мoмeнтa; F - шлная шла внyтpeнниx напряжений; K - внєшняя pacпpeдeлeннaя нагрузка.

Пepexoдя к кacaтeльнoй cиcтeмe кoopдинaт, зaпишeм одетему (1) в видє

d 2 Є

EI^-Fn,

_ О,

dl n dl

Fde + F T dl dl

_ q,

где Kt = 0, Kn = q - кacaтeльнaя и шрмальная кoмпoнeнты pacпpeдeлeннoй нагрузки cooтвeтcтвeннo; Ft, Fn - шм-^ненты внутренней cилы

Пepexoд между дeкapтoвoй и кacaтeльнoй cиcтeмoй кoopдинaт oпиcывaeтcя cиcтeмoй

AT _ A cos Є + A sin Є,

A _ -Av sin Є + A cos Є.

^ —

Пользуясь системой (3), найдем нормальную компоненту силы F, для чего запишем екартовы компоненты нормальной распределенной нагрузки в виде

Kx = -q sin с, K = q cos с.

Тогда декартовы компоненты силы F будут Fx =-J q sin 0dl = -qy,

Fx =-J q sin 0dl = -qx.

Через декартовы компоненты силы F , согласно (36), выразим нормальную компоненту

Fn = qy sin с + qx cos C.

Подставим полученное выражение в (2а) и найдем выражение для кривизны линии изогнутого стержня dC / dl:

d2 0

= -q (У sin 0 + x cos 0).

Проинтегрируем его по dl:

dd

dl

qr2 C_ EI 2 EI

Перейдем к бeзpaзмepнoй пepeмeннoй t = l / L, пере-пиcaв выражение для dи/ dl в виде

1 de

L dt

qr2 C EI 2 EI'

^елав замены кoнcтaнт и кoopдинaт: X = (qLz/EI)lB, rx = X r / L, u = X t, C0 = CL / EI, пoлyчим еледующее выражение для кривизны линии morayi'oro cтepжня:

_K

de _-£ + C,

du 2 X

1Paбoтa выпoлнeнa при годдержке гранта Президента РФ МК-5141.2006.1

Разместим стержень в начале координат таким образом, чтобы в точке и = 0 значение г = 0:

' У

йи

л2

—(0) = С

йи Х

V

1 - к3 /

+ 2к2/і2 - к2У14.

к к

(5) Будем искать решение уравнения в виде дробно-ли нейной комбинации эллиптических функций Вейершт Пусть при этом производная йи / йи в точке расса и = 0 равна величине 2 ^ тогда получим что

С0 = 2 k X,

о

й0

йи

(0) = 2к,

й 0 г2 — = + 2к.

йи 2

Преобразуем систему (2), используя (2а), и (2б):

^+Е/й!0 =о.

йі йі йі

Найдем первый интеграл:

= а+ві 8

/7 Л2 й8 4

йп

= 4Я + Ья + с,

ЕІ

10

1а

2

= Сі.

Преобразуем равенство (8) с помощью (3а),

2

-д у соб 0 + д х бій 0 + Пусть I = 0, тогда х = у = Ои

2

ЕІ

й0

і

= Сі.

ЕІ

2

10

йі

= Сі.

Перейдем к переменной и и с помощью (6а) получим следующее равенство

С1 ь2 ЕІ

Подставим (8) в (2в):

где g = Р (и, Ь, с) - эллиптическая функция Вейерштрасса, получаемая обращением нормальной формы Вейершт-расса эллиптического интеграла 1-го рода:

7 йз

и = I , —

з V 4 з3 + Ы + с 5 здесь Ь, с - периоды функции Вейерштрасса.

Определяя коэффициенты в системе (15) при условии в1 Ф в2 и при требовании, чтобы коэффициенты а1, а2, а, с были вещественными, получим следующие ограничение на к:

/оі

0 < к < .3 — .

\96

Далее для простоты вида функции/ положим в1 = в2 = 1, и, используя метод неопределенных коэффициентов, найдем ар а2, Ь, с:

4к - 3 12к :

4к4 3

- 2к2 X2.

с=-

і

27 3 +16

й0 - ЕІ

1 і т

' !0 1і

V

Л3

Р7 й30

- ЕІ —г = д.

<ЯЪ

Тогда выражения (15а) и (15б) будут: 4к3 - 3

Перейдем к переменной t и параметру л и сделаем замену/= йс / йі. Тогда выражение (10) примет вид

/і =

12к

- + 8

і2/ = -Х3 +2к2 X2 / -І /3. йі2 2

к2

у + 8

Вид этого дифференциального уравнения совпадает с видом дифференциального уравнения, характерного для эллиптических функций [4]:

й2 /

2 йя йи

: 4 83

4

4 7И

27

к і

—I-------

3 і6

йі2

= 2 + а/ + 2а/3.

Преобразуем (18а) к виду /і = і - і

і

4к

Проинтегрируем уравнение (12а):

к2 ( л

— + 8

2

= а0 + аі/ + а2 У2 + а4 У4.

откуда получим, ограничение области значения функции (12б) /1 (рис. 2):

Определим коэффициенты системы (12), используя (11). Пусть при этом й/7йі=0 и і = 0, тогда а0 = 4к X4 (і - к3),

аі = -2Х3,

а2 = 2к X , 2і

Запишем (12б) в виде

У42 йі

= 4Х4

к (і - к3)-

4

/ , 2/2 Ґ

2Х+ 4Х2

і6Х4

Сделаем замену / =/ / 2кХ, и перейдем к и:

Рис. 2. Вид функции / при различных значениях к:

1 - к = 0,4, 2 - к = 0,7, 3 - к = 0,9

2

Ь

3

Преобразуем уравнение (14) к виду

. _ г____________У

1 - к3

+ 2к2 /,2-к Л

к2/1

Функция угла наклона касательной к оси ОХ с(?) описывается следующими равенствами:

йс

C

Найдем полярные координаты точек изогнутой линии стержня. Для этого запишем уравнение равновесия малого элемента изогнутого тонкого стержня согласно [2]:

Перейдем от переменной I к переменным и и Г1 и

А АЬ вь

сделаем замену А1 _ , В1 '

й0

йп

Сравним уравнение (23) с (7):

А1 = 1/8, В1 = k/2.

Тогда (22) запишем в виде

X

4 А1г12 + 4 В1.

й0 _-£ + 2к.

йп 2

_ Аг2 + 2В .

Рис. 3. Спектр собственных значений, связывающий между собой внешнюю приложенную нагрузку q и модуль эллиптических функций k

Учет граничных условий. Граничные условия для стержня запишем в виде

с

йс / йХ ^ = 1) = 0 - свободный конец справа.

Полагая t = 1, из (7) получим и = X. Следовательно, уравнение (20) преобразуется к виду

Яо

\3

1 - к3 Л

^ + 2к2/12 - к2Л

к

После преобразований: с учетом (18а) и (21а), получим выражение для г:

1

г _ . г.

к

^ у + £

Найдем угол ц согласно формуле, приведенной в [2]: й ф

~Л

Переходя к переменной t и, используя (24) и (26), получим выражение для угла ф:

ф = с /4 + ^/2.

Формулы (26) и (28) определяют формы прогиба стержня при приложении к нему внешней распределенной нормальной нагрузки q. Решения записаны в единой параметрической форме и зависят от параметра ^ определяемого внешней приложенной нагрузкой q.

Выражение (31) описывает зависимость q0(k) для первой моды решения (рис. 3).

Формы прогиба стержня при различных значениях внешней приложенной распределенной нагрузки для первой моды решения можно представить следующим образом (рис. 4).

Таким образом, при последовательном применении аппарата эллиптических функций были получены точные аналитические решения задачи о геометрически нелинейном изгибе тонкого стержня под действием нормальной распределенной нагрузки. Эти решения имеют удобный для алгоритмических вычислений вид и позволяют подробно анализировать формы изгиба стержня.

Полученные выражения для форм изгиба стержня под действием нормальной распределенной нагрузки записаны в едином параметрическом виде в полярных координатах и зависят от величины нагрузки. Выражения представлены в эллиптических функциях Вейерштрасса и имеют более простой вид, чем решения, приведенные в работе [1]. Полученные результаты могут быть распространены на другие случаи других условий закрепления концов стержня.

Библиографический список

1. Попов, Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е. П. Попов. Л.-М. : ОГИЗ, 1948. 170 с.

2. Захаров, Ю.В. Нелинейный изгиб тонких упругих стержней / Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин. // Журнал прикладной механики и технической физики. 2002. Т. 43. № 5. С. 124-131.

К/,

V

0.6' \

\ УК

/—

у \)

/ /" \)у/

(

-0.4 1 о

Рис. 4. Формы прогиба стержня при различных значениях параметра k (первая мода решения): 1 - k = 0,1, 2 - k = 0,4, 3 - k = 0,7, 4 - k = 0,944 9

3. Зaxapoв, Ю.В. Изгиб стержней год действием ете-дящей нагрузки / Ю. В. Зaxapoв, К. Г. Oxoткин, А. Д. Cra-poбoгaтoв // Журнал пpиклaднoй мexaники и тexничec-кoй физики. 2004. Т. 45. № 5. C. 1б7-175.

4. Камке, Э. Cпpaвoчник го oбыкнoвeнным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1971. 589 c.

Yu. V. Zakharov, K. G. Okhotkin, A. D. Skorobogatov NONLINEAR BENDING OF CONSOLE UNDER DISTRIBUTED LOAD

It is given an exact analytic solution of the problem of nonlinear bending of a elastic console with one clamped end under a distributed load. The forms of console bending are found. Equilibrium curvilinear configurations of the loaded console are calculated.

ХДК 519.б

В. Л. Лившиц

ПРИМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ N ТЕЛ КАК ОСНОВЫ ДЛЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ ОБЪЕКТАМИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрен метод визуализации структуры взаимосвязей между объектами статистической системы, основанный на модификации физической задачи N тел. Поставлена и решена задача получения новой формы визуального представления структуры взаимосвязей в виде пузырьковой диаграммы.

При рассмотрении сложных статистических систем, состоящих из множества объектов, для анализа структур заложенных в них взаимосвязей в качестве отправной точки часто используются матрицы расстояний (близости, взаимосвязанности) между объектами, получаемые путем введения той или иной метрики по ее определению.

Такие матрицы, по сути, являются набором многомерных данных характеризующих взаимосвязи между объектами системы.

В качестве одного из подходов к разработке методов визуализации общей структуры взаимосвязей, являющейся содержательной основой таких матриц, может быть предложено использование модификаций математической модели, описывающей физическую задачу N тел.

Отметим, что математическая модель физической задачи N тел описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка:

й2 г,. А '

т,— _-А

где z _і~^ зде№ х єХ - пpoизвoльнoe убытие из

кoнeчнoгo мгожества Х , X - его дoпoлнeниe; z є Z, зде№ Z _Х U Хс - мнoжecтвo, отдержащее вce вбитая и иx дoпoлнeния, cooтвeтcтвyющee шнечгому мнoжe-ству Х ; z' - вce отбытия из мгожества Zза гоключением oднoгo из отбытий z, cилoвoe взaимoдeйcтвиe wroporo c отбытиями z' oпиcывaeт cooтвeтcтвyющee уравнение от-стемы; P(z) - вepoятнocть нacтyплeния coбытия z;

Fnr _ P

Foe' _------------:-;—— - cилa cтaтиcтичecкoгo

Р(z) + Р(z') - 2Р(zI z') парного взаимодействия случайных событий z и z'. г -вектор координат события  на визуализационной плоскости Я2.

Численное решение этой задачи используется в качестве метода динамической визуализации взаимодействий в статистических системах, который каждой такой системе сопоставляет ее динамический образ в виде орбитальной структуры силового взаимодействия случайных событий на визуализационной плоскости - динамической В работе [1] сформулирована задача N случайных со- визуализации матрицы сил взаимодействий случайных

бытий как своеобразный прототип физической задачи N событий, или, что эквивалентно, при некоторых преобра-

тел, основанный на метрической интерпретации ковариа- зованиях ковариационной матрицы случайных событий.

ции статистической зависимости случайных событий и В качестве другого подхода к визуализации структуры

понятии силы статистического взаимодействия. Задача N взаимосвязей объектов статистической системы, представ-

случайных событий может быть представлена, как задача ляемой симметричной матрицей взаимосвязей, который

j _і j *i

У - rj)

|r,. - r

|r,. - r

і _ 1, N.

Крпти додока решения cиcтeмы диффepeнциaльныx уравнений втopoгo пopядкa при заданный нaчaльныx ycлoвияx:

P

также основан на модификации задачи N тел, может быть предложена визуализация в виде специальной пузырьковой диаграммы - диаграммы, изображаемой в евклидовой плоскости, на которой объектам системы соответству-