Классификация Коши-Римана двумерных многообразий центрированных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демин Н.С., Рожкова С.В. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Общий случай // Известия Томского политехнического университета. -2004. -Т. 307. — № 3. - С. 13-17.

2. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 10. — С. 36-49.

3. Демин Н.С., Сушко ТВ., Яковлева А.В. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. -С. 48-59.

4. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью //

Известия РАН. Теория и системы управления. — 2000. — № 4.

- С. 39-51.

5. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.

— М.: Наука, 1974. —696 с.

6. Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. — М.: Энергия, 1973. — 440 с.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 549 с.

8. Dyomin N.S., Safronova I.E., Rozhkova S.V. Information amount determination for joint problem of filtering and generalized extrapolation of stochastic processes with respect to the set of continuous and discrete memory observations // Informatica (Lithuania). — 2003. — V. 14. — № 3. —P. 295—322.

9. Демин Н.С., Сафронова И.Е., Рожкова С.В. Оптимальная передача стохастического процесса по каналам с памятью при наличии запаздывания в дискретных наблюдениях // Вестник Томского государственного университета. — 2003. — № 6. — С. 259-264 (англ.).

УДК 514.76

КЛАССИФИКАЦИЯ КОШИ-РИМАНА ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Д. Глазырина

Томский политехнический университет E-mail: glazirina@mail2000.ru

В четырехмерном евклидовом пространстве Е4 рассматривается двумерное многообразие V22 плоскостей Ц, в каждой из которых задано по одной точке A (центр плоскости). С этим многообразием ассоциируется двумерное многообразие V2>2 плоскостей U2, ортогональных соответствующим плоскостям Ц в точках A и являющихся оснащающими плоскостями многообразия V2-2. Возникают отображения между соответствующими плоскостями L2g V22 и L2<e V22, каждое из которых определяется системой двух неоднородных квадратичных функций с двумя неизвестными или соответствующей комплексной функцией. Выясняется геометрический смысл этих отображений и рассматриваются частные случаи, когда указанные функции являются дифференцируемыми в смысле Коши-Римана или Даламбера-Эйлера или гармоническими в некоторых или во всех точках соответствующих плоскостей L2 или Ц2. Доказывается существование всех указанных частных случаев. Все рассмотрения носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими.

1. Аналитический аппарат

Обозначения и терминология в данной статье соответствуют принятым в [1-8].

Рассматривается четырехмерное евклидово пространство E4, отнесе—— к подвижному ортонор-мальному реперу R={A— (/,k,l=1,2,3,4) с деривационными формулами и структурными уравнениями:

dA = m¡e/, de, = mlÍFk,

Dm¡ =mk л[, Dm[ = m'k лт/.

Здесь 1-формы k удовлетворяют соотношениям

mJk +о = 0,

которые с учетом (1.1) вытекают из условия ортонормальности репера R:

- - Í1, k = j,

{ek,e/} = 8k/ =•! .

[0, k ф /,

где символом —b-об-значается скалярное произведение векторов - и b пространства E4.

В пространстве Е4 рассматривается многообразие У{г - двумерное многообразие центрированных двумерных плоскостей й1, в каждой из которых задано по одной точке М, называемой центром. К многообразию У{г присоединим ортонормальный репер Я так, чтобы

М = А, й =

Здесь и в дальнейшем символом йр=(А,—*,...,—*) обозначается р-плоскость (р-мерное линейное подпространство), проходящее через точку А параллельно линейно независимым векторам е*,е2*,...,ер*. Из (1.3) в силу (1.1) следует, что дифференциальные уравнения многообразия У{г запишутся в виде:

= А>а,а = аа ,

(а,/3,у=1,2;а,в,у=3,4). Здесь 1-формы а“приняты за базисные, а величины Аа и Аа удовлетворяют структурным уравнениям:

(4Аар — АуР аа — АШу ) Лаа = 0

Замечание 1.1. Из (1.2), (1.3) и (1.4) следует, что

= Аа-Рар, А-„= — А\

1авш , А ав~ А ар;

геометрически это означает, что с многообразием У2,2 в Е4 инвариантным образом ассоциируется двумерное многообразие У|2, элементом которого является плоскость й22, Аей22:

й =

2. Отображение Л{-Ц^й\

Каждой точке АеЕ4 сопоставим отображение Л плоскостей Ц и й22, которое каждую точку Хей2 с радиус-вектором

X = А + ха ёа

переводит в соответствующую точку Гей2с радиус-вектором

Г = А + У %;.

Это отображение определяется следующим образом: Л: й ^ Ц « у“ = А? ха + В%ха хв,

где величины В“р определяются по формулам

Б%= ±

и в силу (1.5) удовлетворяют структурным уравнениям:

— Б^оа — В:тттв + ) лар = 0.

Заметим, что, отображение плоскостей й2 и й2, отвечающее точке А, определяется двумя соответствующими функциями двух аргументов. Поэтому в соответствии с [6, с. 43-44] получаем, что каждое из указанных отображений определяется соответствующей комплекснозначной функцией:

/: Ц ^й2: ъ = Л\(г) =

— 0)1? + 0ц/2? + 20п + 0ц? +022?, ,

где

00 а = Е0 а + ¡Ь)а , °ар = §цр + 1^р = Ора ,

2^01 = А13 + А24, 2Д)1 = А14 — А23,

2Е02 = А13 — А4, 2А02 = А2 + А14,

4^11 = Б31 — В22 + 2В142,4А11 =—2В132 + Д4 — В2,

4Е22 = В131 — ВЪ22 — 2В142 , 4Й22 = 2Д| + В11 — В22 ,

4^12 = В,3, + В22, 4Н{2 = Вп + В22.

При этом плоскость й\ объявляется комплексной плоскостью (?)(?=х^+Х2,—=х1-х2), а плоскость й2 считается комплексной плоскостью (ъ)(ъ=у3+;у4). Заметим, что плоскость й2 является областью определения функций (2.5), а плоскость й2 - областью их значений.

Выясним геометрический смысл отображения Л:Ц^Ц.

Рассмотрим кривую К(), описываемую точкой АеЕ4 и определяемую дифференциальными уравнениями:

Кс

Из (1.1) в силу (1.5) следует, что прямая

касается кривой К() в точке А.

I— силу (1.4, 1.7) и (2.8) замечаем, что прямая Г=(А,—)/“ является пр^ - проекцией прямой / на плоскость П2 в направлении плоскости й2.

Определение 2.1. Точка Хей2 с радиус-вектором

(2.1), отвечающая точке АеЕ4, и кривая К() называются соответствующими, если прямая АХ параллельна прямой ¡.

Из (2.7, 2.8) и определения (2.1) замечаем, что точка Хей1 и кривая К>(0 будут соответствующими тогда и только тогда, когда

а1 _ а2

Из (2.1) в силу (1.1) и (1.4) получаем йХ = (••)а еа + (Ар + ха Ар )аре ~.

Поэтому в силу (2.3, 2.7, 2.8) и определения

(2.1) прямая, определяемая векторным параметрическим уравнением

Г = А + Яу %,

где у“ определяются по формулам (2.2), есть пересечение плоскости й2 с трехмерным пространством, проходящим через плоскость й2 и касательную к линии, описываемой точкой Хей вдоль соответствующей кривой К0(/) в смысле определения 2.1. При этом предполагается, что точка Х не является фокусом плоскости Ц в смысле [7], а кривая К>(0 не является соответствующей фокальной кривой. Таким образом, в силу (2.9) и (2.10) отображение Лх-й^йп геометрически характеризуется тем, что оно любую точку Хей,, отвечающую точке АеЕ4, переводит в прямую (2.8) в й22, проходящую через точки А и Г Поэтому отображение Л1 определяется геометрически с точностью до ненулевого параметра Я.

3. Отображение Л1-Ц^Ц\

Будем предполагать, что на многообразии У£2 величина

а = А13А24 — А14А23 * 0

в каждой точке АеЕ4. Тогда из (1.4) получаем

аа = В>“,

где В3‘ = А4, В4 = —А3, В32 = —А4, В42 = А3.

а а а а

С помощью величин (3.3) и (1.6) построим ве-

личины

Из (1.5) с учетом (3.1-3.4) получаем, что величины В/ и В// удовлетворяют квадратичным уравнениям:

Ш* — В1ар + ВраР) ла° = 0,

х а Р а а И ' 7

(йВ“? — В^а — Щ.ар + Враар) лаР = 0.

Величины (3.3) и (3.4) определяют отображение ¡—В—В,, которое точке Гей2 с радиус-вектором У=А+у“ё1/ сопоставляет точку Хей, с радиус-вектором (2.1), по формуле:

Л2: Ц — Ц: х а = ВРур + Б“?уд:ур

Как и во втором пункте показывается, что отображение (3.5) определяется комплекснозначной функцией вида:

Л2: ? = Мы) =

.2 , ^ —2

где

Ли : й — й ^ ¥!й

д2 у д2 у

(дх1 )2

= 0,

д х

д х

= 0.

20,3 = (В31+В42)+1{в3 — в4), \2 = —1,

20,4 = (В31 — В42) + ¿(В32 + В41),

4033 =

4044 = (Вз — В44 + 2В324 ) + ¿(2В3*4 + В323 — В424 ),

4034 = (Б3 + В44 ) + ¿(В323 + В44 ).

Заметим, что геометрическая интерпретация отображения (3.6) аналогична геометрической интерпретации отображения (2.2). При этом линия, описываемая точкой А, определяется дифференциальными уравнениями

К 0^): а“ = Г , Б  = л1,

а прямая /=(А,— +В—)/“ касается КГ0(^) в точке А.

4. Гармонические и аналитические отображения Ла

В соответствии с [6. С. 75-76] и с учетом (2.3—2.6) и (3.5-3.7) получаем, что каждая из комплекснозначных функций будет дифференцируемой в соответствующей точке ¥ы ( а=1,2;^1йей2;/2йей2) тогда и только тогда, когда координаты (х1;х2)«?=х1+х2 и (у3;у4)«ы=у3+/у4 каждой из этих точек удовлетворяют системам, соответственно:

[(В2р — Б13р) хр = е 02,

[(В2р + В1р ) хР = —Д)2;

^(В4р+В2р) у? = — Й04.

Заметим, что дважды непрерывные функции у=у(х',х2) и х=х(у3,у4) в соответствующих точках плоскостей й12 и й22 будут гармоническими тогда и только тогда, когда

мым или й-отображением в соответствующей точке ¥ й и обозначается Л й, если определяющие их функции двух переменных дифференцируемы в этой точке.

Определение 4.2. Если отображения Л\-й\—й\, Л2.В2—В2 отвечающие точке АеЕ4, являются й-отоб-ражениями во всех точках плоскостей й12 и й22, то они называются аналитическими отображениями и обозначаются Л'а ( а=1,2).

Определение 4.3. ОтображенияЛа ( а=1,2), отвечающие точке АеЕ4, называются гармоническими и обозначаются Л№, если определяющие их функции двух переменных являются гармоническими.

Замечание 4.1. Символом е«—е№ будем обозначать отображение плоскостей й2 и й2 в каждой точке Ае Е4, которое является отображением ( а=1,2;^=й,а,г) в

смысле определений (4.1—4.3), соответственно.

Из определений (4.1 —4.3) и в силу (4.1, 2.6, 3.3) и (3.4) следует, что каждое из соотношений определяют гармонические отображения Лъ, соответ-

ственно, а соотношения

/1а: В2р — Бр = 0, В2р + В1р = 0, А3 = А2, А14 + А23 = 0;

Л2а: В2р — В^р = 0, В‘- + В32р = 0, А13 = А2, А14 + А3 = 0

определяют аналитические отображения Л\а, Ли, соответственно.

Замечание 4.2. Из соотношений (4.3) вытекают, в частности соотношения (4.2), соответственно. Это, как и следовало ожидать, означает справедливость утверждения:Л—Лт^Л—Л» ( а=1,2).

Определение 4.4. Многообразием У22 ( а=1,2; а - фиксировано) называется такое многообразие У22, у которого в каждом его элементе отображение Ла (/1:L0—>й2; ЛiL\^L=) является отображением Л^ в смысле определения (4.3):Л—Л«. Многообразием У™ называется такое многообразие У22, у которого в каждом его элементе отображениеЛа (f{L2—L}i Лй—й'2) является отображением Л<и в смысле определения (4.2): Л—Лш- Многообразиями №= и У^ называются многообразия вида:

У222а = у2ю uУo02а,

v22or = уЮ и^^.

(дх2)2 ’ (ду3)2 (ду4)°

Поэтому каждая из систем функций (2.2) и (3.5) будет состоять из гармонических функций тогда и только тогда, когда

Л,.: Ц — 4: в«, + В«2 = 0,

Л: Ц — й2: В?3 + В«4 = 0.

Введем следующие определения.

Определение 4.1. Каждое из отображенийЛ (а=1,2), отвечающих точке АеЕ4, называется дифференцируе-

Замечание 4.3. Многообразие У0'“o определяется первой группой соотношений (4.3), а многообразие У“ - второй группой из соотношений (4.3). Поэтому многообразие У0==2 определяется одновременно первой и второй группами соотношений в (4.3).

5. Геометрические свойства отображений Л«г, Ла

В этом пункте будут выяснены геометрические свойства всех отображений, о которых шла речь в предыдущих пунктах.

Найдем некоторые инвариантные геометрические образы, ассоциированные с многообразием У21,2, которые дадут дополнительные геометрические результаты.

Если Х=А+ха— - радиус-вектор фокуса в плоскости П2 в смысле [7] вдоль соответствующего фокального направления, то из

(йХ, е,, е2) = 0

с учетом (1.1, 1.4, 2.3) и (3.1-3.4) находим, что множество всех фокусов плоскости Ц представляет собой конику К>°, определяемую в локальных координатах ортонормального репера Я системой

К2°: (А3,Ар2 — А32Ар,)хахв — а(Б^3 + Б44) х1 —

-а

Аналогичным образом получаются уравнения коники К234:

К234 : (4, АР2 — 4^АР1) х “хР — (В131 + ^ х3 —

—(Вх41 + Boo) х4 +1 = 0, х а = 0.

ЛЫ = {Х(х1;х2) е Ц1Л,(Х) ±г2} «•

«(г3 А3 + А4) х а +

+(г3вДр + г24В4р) х а хр = 0, х “ = 0;

ЯЫ = {7(у3;у4) ей2|Лo(Y) ±г,} « «(гБ + г?В|) х “ +

+(г!в I + г2в2Р) х “ хр = 0, ха = 0.

6. Существование многообразий У.

у&

У12,

Б24. - б3. = 0, Б3. + б. = 0, а,4 + а3 = 0,

А,4 = А24, В4. - Б21. = 0, Б,. + Б3. = 0,

(а,.=1,2; а,.=3,4). Из (1.5) с учетом (1.4) получаем

йА% — Ара. + А.а. = А%рар .

Проведем с учетом (6.2) и (6.1) такую канонизацию ортонормального репера Я, при которой

А,4 = -А23 = 0, А,3 = А2 ф 0,

тогда из (6.2) получаем

а,2 -а34 = ¿аа а .

Пусть 1=А+г— и Z0=A+ т«— - векторные параметрические уравнения прямых г1еЦ2 и zoеL0, проходящих черезточку А, и имеющих направляющие векторы Чi=Zа-a и Ч0=ZÍ-ч, соответственно. Тогда с учетом (2.2) и (3.5) в плоскостях Ц\ и Ц22 получаются следующие коники, отвечающие каждой из заданных прямых и определяемые соответствующими алгебраическими уравнениями:

Из (4.1—4.4) и (5.1-5.4) вытекает справедливость следующих утверждений.

Теорема 5.1. 1)Л—Л.^А - центр коники Щ^Ц\,

2) Л—ЛГ^А - центр коники Щ=<^ПЬ

3) Л—Лю^ асимптотические направления коник ¥а(г.) (а,.=1,2; аФ.) взаимно ортогональны в соответствующих плоскостях Ц\ или Ц\.

Замечание 5.1. Из определения (4.4) и замечания

(4.2) следует, что многообразие УЦ является частным случаем соответствующего многообразия УЦ.

Замечание 5.2. Геометрические свойства многообразий У!и УЦ вытекают из теоремы 5.1 с учетом определения (4.4) и замечаний (4.2) и (5.1).

Поэтому в соответствии с [8] указанная канонизация репера Я существует.

Обозначим У21,22а — многообразие У21,22а, на котором выполняются соотношения:

А% = 0, & = 0, А,4 = — А3 = 0, А,3 = 44 = 1,

которые с учетом (6.3) и (1.4) приводят к дифференциальным уравнениям:

а3 = а1, а4 = а2, ао« = 0, а,2 — а34 =а3 —а1 = 0,

(по не суммировать).

Из (1.1) следует, что дифференциальные уравнения (6.5) замкнуты относительно операции внешнего дифференцирования. Это означает, что многообразие У21,22а, являющееся подклассом многообразий У21,22а, существует. Поэтому многообразия Уу, УЮТ, У2 и УЮ существуют.

Теорема 6.1 доказана.

Замечание 6.1. Соотношения (6.1) тождественно выполняются с учетом (6.4), при этом неравенство (3.1) выполняется, поскольку в силу (6.4) а=1.

Замечание 6.2. В случае многообразия У!2/ отображение Л\-Ц—Ц\ в силу (2.2) и (6.4) определяется по формулам:

г 3 14 2

Л,: у3 = х1, у = х ;

отсюда в силу (3.5) и (6.4) можно легко получить формулы, определяющие отображение Лг-Ц-Ц1!-

г 1 3 2 4

Л2: х1 = у , х2 = у .

Теорема 6.1. Каждое из многообразий У",

*=, У2 существует.

Доказательство. Из определения (4.4) с учетом

(4.3) следует, что многообразие УЩ характеризуется соотношениями:

Рисунок. Классификация Коши-Римана многообразий У“2

Замечание 6.3. Все построения в данной статье в силу (3.5) проведены в предположении, что из рассмотрения исключается случай

а = А,3 А24 - А,4 А3 = 0 « тъ лт4 = 0,

когда точка А принадлежит фокусной конике Кп плоскости ЦШ2, а также случай яг“=0, когда плоскость Ц\ касается поверхности ¡2, описываемой точкой А.

Замечание 6.4. В силу (6.6) или в случае, когда плоскость Ц2 касается поверхности S0 в точке А, отображение Лг-Ц— Ц\ становится неопределенным.

Замечание 6.5. Из определения (4.4) и результатов данного пункта вытекает следующая схема взаимосвязи многообразий У2 ,2, У21,22 , У2 ,а2, У21,22а и У21,22а (рисунок).

Замечание 6.6. Классификацию многообразий Уд, указанную на рисунке, будем называть классификацией Коши-Римана.

Замечание 6.7. Результаты, изложенные в данной статье для двумерного семейства центрированных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве, является ответом на замечание в [1, С. 9].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. О двумерном многообразии центрированных 2-плоскостей в многомерном эвклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. -2003. -Т. 306. -№ 4. -С. 5-9.

2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. — М.: Наука, 1976. -432 с.

3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.

4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. -Т. 2. -С. 275-382.

5. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

6. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. -Томск: Томский гос. ун-т, 2002. - 510 с.

7. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга // Известия вузов. Сер. Математика. -1957. - № 1. - С. 9—19.

8. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). -1962. -№ 2. -P. 231-240.

УДК 681.5

АНАЛИЗ ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ ИНТЕРВАЛЬНОГО ПОЛИНОМА В ЗАДАННОМ СЕКТОРЕ

С.А. Гайворонский, С.В. Замятин

Институт "Кибернетический центр" Томского политехнического университета E-mail: saga@cc.tpu.edu.ru

Анализируется отображение параметрического многогранника полинома в сектор Гт корневой плоскости, определяемый числом m интервальных коэффициентов. Находятся (2m—2) вершин многогранника, отображение которых в сектор Гт гарантирует локализацию в нем всех корней интервального полинома. Формулируются критерии локализации корней в заданном секторе Г при различных соотношениях его угла с углом сектора Гт.

Введение

Одной из основных проблем современной теории робастного управления является разработка методов исследования динамических свойств интервальных систем [1, 2]. В частности, необходим эффективный инструмент для оценки гарантированных показателей качества системы управления при интервальной неопределенности ее параметров.

В [3] подобная задача сформулирована как анализ робастной относительной устойчивости, предусматривающей различные варианты локализации корней интервального характеристического полинома (ИХП). Очевидно, что их принадлежность определенной области комплексной плоскости корней обуславливает тот или иной уровень робастного качества управления в интервальной системе.

Для анализа робастной относительной устойчивости широко применяются алгебраические и час-

тотные методы [1]. При этом значительно меньше внимания уделяется использованию корневых методов. Однако, согласно [4-6], робастное расширение корневого подхода, основанное на свойствах корневых годографов, может быть достаточно эффективным, а в некоторых случаях и наилучшим, для решения указанной задачи.

1. Постановка задачи

В данной статье рассматривается открытый сектор Г в левой полуплоскости корней, задающий область допустимой колебательности интервальной системы. Будем считать, что если корни ИХП располагаются в области Г, то интервальная система обладает заданной робастной секторной устойчивостью. Для ее анализа можно использовать результаты работы [7], где показано, что границы областей локализации корней являются образами оп-