Эволюционные уравнения в описании ударных движений несжимаемой упругой среды

Вестник ДВО РАН. 2006. № 4

Иванова Юлия Евгеньевна

Аспирантка Института автоматики и процессов управления ДВО РАН. Выпускница физико-математического класса Владивостокской средней школы № 23. В 2004 г. с отличием окончила Естественно-научный институт Дальневосточного государственного технического университета со степенью магистра по специальности «Прикладная математика и информатика». В лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН она начала работать еще во время обучения на третьем курсе университета. Тема диссертации, выполняемой ею под руководством д.ф.-м.н., профессора А.А.Буренина и к.ф.-м.н. В.Е.Раго-зиной, связана с исследованием возможностей, которые предоставляют для решения нестационарных задач в прифронтовой области новые эволюционные уравнения, определяющие поля перемещений, в частности, в несжимаемых средах. Предметом изучения Ю.Е.Ивано-вой являются возможности использования метода возмущений в решении динамических задач ударного деформирования.

Ю.Е.Иванова наряду с другими сотрудниками лаборатории принимает участие в работе по грантам РФФИ И ДВО РАН, занимается педагогической деятельностью на кафедре математического моделирования в ДВГТУ, выступает с докладами на лабораторном семинаре. Результаты своих исследований она представляла на Международной конференции стран Азиатско-Тихоокеанского региона, Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В.Золотова, студенческих конференциях; имеет 13 публикаций. В 2006 г. ей присуждена стипендия имени академика В.П.Мясникова.

Ю.Е.ИВАНОВА

Эволюционные уравнения в описании ударных движений несжимаемой упругой среды

Методом сращиваемых асимптотических разложений получены приближенные решения одномерных краевых задач нелинейной динамической теории упругости об ударном нагружении несжимаемой среды по поверхности цилиндрической полости в ней, вызывающем антиплоское движение среды или ее скручивание. Разложение решения в прифронтовой области основано на решениях эволюционных уравнений, отличных от уравнений квазипростых волн. Положение поверхности разрывов скоростей уточняется на каждом шаге решением обыкновенного дифференциального уравнения, следующего из постановки задачи при последовательном использовании метода возмущений.

Evolutionary equations in description of shock movements of incompressible elastic medium. Y.E.IVANOVA (Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok).

Approximate solutions of one-dimensional boundary problems of the nonlinear dynamic theory of elasticity on shock loading of the incompressible medium on a surface of a cylindrical cavity in it, causing antiflat movement of

medium or its twisting, were obtained by the method of spliced asymptotic decompositions. Decomposition of solution in front area is based on solutions of evolutionary equations, which differ from the equations of quasisimple waves. Position of a surface of speeds discontinuities is specified on each step by the solution of the ordinary differential equation following from problem setting at consecutive use of the method of perturbation.

тически во всех разделах механики и физики и в этом смысле является универсальным. Динамическое поведение твердого тела в классическом линейном описании Гука выделяет независимые волновые процессы изменения формы и объема, каждому из которых соответствует своя постоянная скорость. В изучении нелинейных волновых процессов первые работы связаны с именами Стокса и Римана [6, 7], они относятся к концу XIX в. В последующем столетии эта область быстро развивалась. Современные технологические процессы часто связаны с приложением кратковременной или же скачкообразной нагрузки к поверхности объекта, свойства которого задает модель упругого тела. Это, в свою очередь, вызывает ударно-волновое деформирование, а ударная волна относится к явлениям, которые могут быть описаны только нелинейной моделью. Сказанное выше обусловливает наш интерес к модели нелинейно-упругой среды, как наиболее простой, которая дает возможность остановиться на чисто механических сторонах проблемы, не затрагивая вопросы диссипации, дисперсии и т.д. Отметим, что задачи, в которых рассматриваются только объемные деформационные процессы, представлены в большом количестве публикаций, к примеру в [1, 2, 4, 5]. Волновые процессы, определяющие изменение формы, изучались меньше.

С целью выделения только сдвигового ударного деформирования в дальнейшем принимается модель нелинейно-упругого несжимаемого изотропного материала. В рамках модели построены решения задач об антиплоском или скручивающем ударном воздействии на границе цилиндрической полости в пространстве, занятом упругой средой.

Модель нелинейно-упругой несжимаемой среды. Динамическое поведение среды задается общей системой уравнений:

в которой х‘ - пространственная криволинейная система координат Эйлера; м‘ и Vі - компоненты перемещений и скорости точек среды; а. - ковариантные компоненты тензора деформаций Альманси; о. - контравариантные компоненты тензора напряжений Эйлера-Коши; р - плотность среды; W - упругий потенциал; р - добавочное гидростатическое давление; а, Ь, %, в, с, ё, к - упругие модули среды. Принимается гипотеза адиабатического приближения.

Постановка рассматриваемых краевых задач. В дальнейшем везде принята цилиндрическая система координат, так что х1 = г, х2 = р, х3 = г. Для задач о расходящихся ударных волнах область, занятая средой, задается условием г > г0. Образующие цилиндрической полости много больше г0, поэтому считаем их бесконечными, исключая влияние на торцах. Для антиплоского движения считаем, что с момента і = 0 на г0 приложена нагрузка,

Вопрос математического описания волнового движения рассматривается прак-

W = (a-¡i)I1 + aI2 + bl2 -%IXI2 -0/j3 + cl4 + dl\ + KI2,12 +...

t t і і -і du'

I1 = at; I2 = a ¡a;; p = p0 = const; u =---------;

следствием которой в области будет поле перемещений ur = ир = 0, uz = uz (г;t), причем на Г0

“г1=Го = и°

Для упрощения приводимых далее соотношений ограничимся случаем, когда

сИ2

иг (*) = у0 (*) + ~2~, У0 > 0, с ^ 0. Последнее уточнение связано с тем, что при а = 0 задача

может быть решена в автомодельном режиме, условие отличия скорости от нуля означает, что с момента г = 0 от граничной полости отделяется ударная волна Х(г). Для этой волны, предполагая отсутствие предварительных деформаций, на основе анализа динамического условия совместности - следствия закона сохранения импульса - можно получить [3]:

1 + ^РкТ

к=1

2к

; Т = диЕ

1г=гЕ / _ дг _

дг

гХ = г0 +|О (1)Д1; А

0

[I] = /+_Г; С2 =±

Величина тхарактеризует интенсивность волны. На поверхности Х(г) относительно поля перемещений и напряжений должны выполняться следующие условия:

диу

и 1х 0; т1х дг

; \а гг 0; Р

= Ро = сопМ.

Если теперь рассматривается скручивающее воздействие на г0, то его результатом будет движение всех точек среды по своим окружностям, что в нелинейной модели означает следующее представление поля перемещений:

. = г (1 _ соэ ¥); и,, = г sin ¥; и, = 0;

где ¥(г; t) - угол поворота точек среды. Считаем ¥(г; t) на г0 известной функцией

¥(г; *I=го,*>0 =р0 () + ХГ

где Ро ^ 0 и % - угловая скорость и ускорение соответственно. На Х(г) при отсутствии предварительных деформаций получим:

0; к1х

д¥_

дг

[агг ]х= о; рл

= ро = сот*;

О = С

1 + ^Гк

к=1

2к

Г1=А.

Записывая для каждой из задач уравнения движения, получим системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно функций и2, р и ¥, р. Отличительной особенностью везде будет то, что поле перемещений можно определить из одного из этих уравнений, а затем, подставляя найденное решение

в уравнение для функциир, определить и ее. Таким образом, основным в решении будет вопрос определения перемещений.

Применение метода возмущений. Нелинейный характер дифференциальных уравнений и зависимость Х(г), где поставлена часть краевых условий, от строящегося решения не позволяют определить точное решение задачи. Для ее приближенного решения применим стандартные принципы методов возмущений. Прежде всего остановимся на определении малого параметра задачи. Для ударных волн слабой интенсивности естественным предположением будет малость отношения скоростей граничных точек у0 к величине С - акустической скорости среды. Для антиплоской задачи основными переменными будут

Г - г0 -4 г - г0 - СГ -3 , ч ыг ~9/

s =----------£ , т =----------------£ , ^(5, т) = — £ /2, £ =

г0 г0 г0

С \ 10 С

V

где £, как обычно, малый параметр задачи. Масштабы я и т означают, что решение строится в прифронтовой области на малых расстояниях от г0. Краевую задачу для м заменяем цепочкой краевых задач для новых неизвестных функций м. (г = 0,1,...), считая, что

№

Подстановка (9) в уравнение движения позволяет с требуемой степенью точности определить решение, называемое внешним. Для ряда (9) из краевых условий оставляем только условие на нагружаемой поверхности, что обусловливает присутствие в (9) неопределенных функций. Их вид, а также положение переднего фронта волны Х(г) можно уточнить за счет дополнительного асимптотического ряда, называемого в дальнейшем внутренним. В области, где внешнее решение теряет равномерность, необходимо построить дополнительное, внутреннее решение во внутренних переменных, которые в области неравномерности должны быть сопоставимы с единицей. Переход во внутреннюю область на некоторых масштабах в нулевом шаге содержит уравнение эволюционного типа, оно и является основным оператором, а последующие шаги служат уточнением к его решению. Переход во внутреннюю область к эволюционному уравнению возможен за счет изменения масштаба у переменной я так, что п = £4 5, а остальные переменные остаются в первоначальном виде. Этот переход показывает, что дополнительная краевая задача возникает в прифронтовой области на расстояниях, сопоставимых с начальным радиусом. Представляя ^ (п, т) рядом по степеням £, в нулевом шаге получим

, ЗА........2 , ^0,т А

л^0,пт + 2 ^0,тт^0,т + 2

Одновременно с полем перемещений можно определить положение Х(г) с учетом нелинейности процесса.

Теперь остановимся на решении задачи о скручивающем деформировании. Что касается выбора безразмерных переменных, то я, т и малый параметр задачи определены сходным образом. Функция, определяющая малый угол поворота, задается в виде

-9/

V(5, т) = х¥£ ' 2. Внешняя задача решается аналогично последовательным интегрированием волновых уравнений с правой частью, зависящей от предыдущих шагов. Дополнительное разложение решения во внутренней области также относится к эволюционным уравнениям. Это уравнение не является, строго говоря, самостоятельным, так как определенной заменой искомой функции сводится к уравнению (10). Такая замена в исходных размерных переменных означает, что от точных формул для компонент вектора перемещений (5) мы перешли к приближенному представлению иу ~ г^. Таким образом, эволюционные

уравнения, описывающие антиплоское и скручивающее деформирование, оказываются сходными для главных функций, задающих такие деформационные процессы. Аналогично предыдущей задаче строится дифференциальное уравнение, решением которого будет положение X(t). В обеих рассмотренных задачах проведены процедуры сращивания полученных разложений с одновременным определением входящих в них неизвестных констант и функций.

Обобщение предыдущих двух задач. Можно показать, что присутствие в среде как антиплоских, так и скручивающих деформаций в прифронтовой области волны, распространяющейся по недеформированной среде, приводит к появлению области, описываемой системой эволюционных уравнений. Необходимым условием для такой задачи будет предположение об одинаковом порядке малости функций uz (r; t) и Y(r; t).

Относительно этой системы можно сказать, что она имеет гиперболический тип. Ее общее решение определяется в виде инвариантов Римана вдоль характеристик. Оказывается, что она допускает существование разделенного решения, в котором искомые функции зависят только от переменных и не зависят друг от друга, т.е. на нулевом шаге можно сказать, что деформационные процессы не взаимодействуют. Можно отметить, что совместное присутствие обоих видов деформаций влияет на скорость движения волны, она оказывается большей, чем для случаев присутствия одного типа деформирования.

Подводя итоги, заметим, что во всех задачах моделирование прифронтового поведения решение связано с соответствующим эволюционным уравнением или с их системой. Подобной ситуации следует ожидать и при анализе многомерных задач, в которых прифронтовая область определяется масштабированием вдоль луча, а остальные пространственные координаты в уравнения входят параметрически.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир, 1972. 183 с.

2. Буренин А.А, Россихин Ю.А. К решению одномерной задачи нелинейной динамической теории упругости со структурной ударной волной // Прикл. механика. 1990. Т. 26, № 1. С. 103-108.

3. Буренин А.А. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства // Прикл. механика. 1985. Т. 21, № 5. С. 3-8.

4. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // Прикл. механика. 1978. Т. 42, № 4. С. 711-717.

5. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Моск. Лицей, 1998. 412 с.

6. Riemann B. Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite // Göttingen Abhandlungen.

Bd 8. S. 43; Werke, 2te Aufl. Leipzig, 1892. S. 157.

7. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves // Camb. Trans. Vol. 8 (1847). P. 441-473: Papers. Vol. 1. P. 197-229.