Методология мультифрактальной параметризации структур материалов

Вестник ТГУ, т.З, вып.З, 1998

УДК 669.01: 530.1: 539.4

МЕТОДОЛОГИЯ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ СТРУКТУР МАТЕРИАЛОВ © И.Ж. Бунин, А.Г. Колмаков, Г.В. Встовский, В.Ф. Терентьев

Россия, Москва, Институт металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН

Bunin I.J., Kolmakov A.G., Vstovsky G.V., Terent’ev V.F. The Multifractal Parameterization of Materials Structures Methodology. The authors propose a method of quantitative description (parameterization) of structures in materials based on advances in multifractal analysis. On the basis of an original information-theoretical interpretation of multifractal formalism they introduce new multifractal characteristics of the materials structures. A specific computer algorithm for calculating the estimates of multifractal characteristics of structures in different materials is proposed. These computations may be used to obtain additional information on self-organization even in processes not observed directly.

Одной из важнейших задач современного материаловедения является разработка методов количественного описания (параметризации) внешне хаотических (сложных) структур и субструктур материалов, например, границ зерен, скоплений дислокаций, совокупностей точечных дефектов, пор, мелкодисперсных частиц вторичных фаз, а также структур поверхностей разрушения и др. Под параметризацией понимается способ описания различных систем с помощью некоторых количественных характеристик. Введение таких характеристик, позволяющих так или иначе различать подобные друг другу системы, является мощным инструментом научного исследования, которое полностью определяется способом и уровнем описания объекта исследования.

Адекватно выбранный способ параметризации структур материалов позволяет перейти к решению задачи оптимизации их свойств. Кроме того становится возможным выявление скрытых процессов эволюции структур материалов при обработках и внешних воздействиях. Важнейшим аспектом, необходимым образом возникающим при исследовании процессов струк-турообразования реальных материалов, является задача установления связи между их микроскопической структурой и макроскопическими свойствами. Одним из перспективных путей решения задач количественного описания структур материалов является их параметризация, основанная на использовании теории фракталов [1 - 3].

Фрактальная геометрия за свою сравнительно короткую историю обнаружила чрезвычайную эффективность в поиске новых путей описания, построения и предсказания поведения объектов исследования в различных областях науки. В целом связь фракталов с реальными природными объектами уже не вызывает сомнения. Открытая Б.Б. Мандельбротом общая закономерность геометрических свойств физического мира, проявляющаяся в самоподобии его строения, нашла многочисленные приложения в материаловедении [2 -6 и др.], в частности, открыла новые возможности для описания внешне неупорядоченных микроструктур материалов и поверхностей разрушения в строгих количественных терминах [3 - 6]. На сегодняшний день твердо установлен непреложный факт: для адекватного

описания самоподобия природных и многих модельных структур недостаточно использования одной лишь величины фрактальной размерности. Широкие возможности в этом отношении предоставляет мультиф-рактальный формализм [1 - 7], нашедший множество различных применений, в том числе в материаловедении [2 - 6].

Традиционно структуры материалов, а также процессы их формирования и эволюции изучаются с использованием количественных параметров, характеризующих отдельные элементы структуры. Привлечение концепции мультифракталов, основанной на использовании общего понятия меры, позволяет давать количественную оценку конфигурации исследуемой структуры в целом, а также вводить характеристики однородности и скрытой упорядоченности, что существенно дополняет традиционные методы количественной металлографии [4-7].

Основой мультифрактального подхода к количественному описанию структур различной природы является построение тем или иным способом меры множества {Р/}, аппроксимирующего изучаемую структуру. Разбиение пространства, охватывающего множество, на элементарные гипер-ячейки и суммирование непустых, т.е. содержащих элементы множества, ячеек в определенном смысле эквивалентно покрытию исследуемого множества, называемого носителем меры. Разбивая на ячейки евклидово пространство, охватывающее изучаемую структуру, можно приписать каждой ячейке свою меру (вес) Р{ соответственно природе объекта (доли массы, площади, энергии и пр.). В системе, описываемой распределением {/*,}, мультифрак-тальное описание можно получить из рассмотрения некоторой меры порядка (1т^) [4-7]. Нулевое значение 1щ/М) отвечает полному беспорядку в системе, когда все Р; равны друг другу, а преобразование меры не изменяет этого распределения. При этом все /ч также равны друг другу. Малейшая неоднородность распределения {/>,} будет сказываться на величинах/ч, Оч при достаточно больших <7 заметным образом. Это позволяет рассматривать величины /ч и Д, = /ЭрД, при некотором фиксированном q = Q> 0 в качестве эффективных мер однородности и порядка: чем значение /ч больше, тем структура более однородна; чем значение

ч— —

Вестник ТГУ, т.З, вып.З, 1998

Aq больше, тем больше в структуре периодической составляющей, и тем более она упорядочена. С увеличением Q указанные величины становятся более чувствительны к свойствам распределения {/*,}, описывающего изучаемую систему.

Для количественного анализа структур материалов разработана методика цифровой мультифрактальной параметризации структур, основу которой составляет оригинальная теоретико-информационная интерпретация мультифрактального формализма [4 - 7]. Методика позволяет рассчитывать мультифрактальные характеристики двумерных (2D) изображений структур -спектр размерностей Реньи D(q) и /(а)-спектр и количественно оценивать характеристики однородности У(<7—>оо) = J[q = 40) =/40 и скрытой упорядоченности (периодичности) Д40 = DrD40 структур. Полное описание методики и лежащей в ее основе теоретикоинформационной интерпретации мультифрактального формализма имеется в работах [4 - 7 и др.]. Кратко суть методики сводится к выполнению двух этапов: 1) получению изображений структур с использованием современных средств ввода и предобработки изображений и последующей сегментацией образов исследуемых структур; 2) расчету мультифрактальных характеристик структур (разновидность корреляционного анализа изображений) с дальнейшим сопоставлением полученных характеристик с механическими и другими физико-химическими свойствами материалов и/или параметрами, контролирующими характер развития процессов. На первом этапе компьютерное изображение структуры представляется в виде двумерного массива подходящего размера LxL бит (bitmap), состоящего из совокупности нулей (белая ячейка) и единиц (черная ячейка). В этом случае каждый элемент массива принимает только два возможных значения «1», если на ячейку приходится единичный элемент рассматриваемого сегмента изображения или «0» в противном случае. Полученные таким образом совокупности нулей и единиц представляют собой дискретные аппроксимации характеристических функций изучаемых фрагментов изображений. Затем с использованием специально разработанных программ двумерные матрицы размером LxL, представляющие собой монохромные изображения структур: 1) разбиваются на более крупные ячейки размера /*х/*, при наборе

масштабов 1Ь как правило, кратном двум /* = 2(АгН), к = 1,л; 2) для каждого разбиения строится характеристическая мера в виде равноячеечного распределения единиц Р, {Pj = MfïM,, где М, - число единиц В l-ой крупной ячейке, YMi - общее количество единиц в матрице крупных ячеек, / = 1, 2, 3, ..., N, N = [L/lk]2}; 3) для набора величин q из интервала [-40; 40] аппроксимируется зависимость обобщенной корреляционной функции х(я) ~ ~ ДР/)9 ~ (/*)т(<7) от размеров крупных ячеек /* по методу наименьших квадратов, то есть определяется наклон x(q) зависимости In х(<7) от 1п(/*). Численно беря производную dx/dq, по формулам а = dx/dq, /(а) = qa-x{q) и Dq= t(q)/(q - 1 ) получают традиционные характеристики мультифрактального анализа: Да)-спектр и D^-спектр

размерностей Реньи.

Данная методика, нашедшая применение при анализе зеренных структур, геометрических структур поверхности, структур поверхностей металлических материалов, а также поровых структур покрытий, представляет собой простейший из возможных случаев мультифрактальной параметризации. Гораздо большие возможности количественного описания структур открываются с применением многоточечных корреляций мультифрактальных структур [7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Mandelbrot В. В. The Fractal Geometry of Nature. N.-Y., 1983. 480 p.

2. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // Успехи физ. наук. 1993. Т. 163. № 12. С. 1-50.

3. Иванова B.C., Баланкин A.C., Пучин И.Ж., Оксогоев А.А Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 с.

4. Истонский Г.В., Колмаков А.Г., Терентьев В.Ф. Мультифракталь-ный анализ особенностей разрушения приповерхностных слоев молибдена // Металлы. 1993. № 4 С. 164-178

5. Vsiovsky G. К, Bunin I.Zh. Multifractal Parametrization of structures in materials science // J. Adv. Mater. 1994. V. 1. № 3. P. 230-240; Перспективные материалы. 1995. № 3. C. 13-21.

6. Встовский Г.В., Бунин ИЖ., Колмаков А.Г. и др. Мультифракталь-ный анализ поверхностей разрушения твердых тел // Докл. РАН. 1995. Т. 343. №5. С. 613-615.

7. Vstovsky G.V. Transform Information // Foundations of Physics. 1997. V. 27. № 10. P. 1413-1444.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 96-15-98243.