Динамика сыпучей среды в либрирующем цилиндре

Конвективные течения..., 2015

ДИНАМИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ В ЛИБРИРУЮЩЕМ ЦИЛИНДРЕ

В.В. Дьякова, Д.А. Полежаев

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально изучается динамика жидкости и сыпучей среды во вращающемся и совершающем либрации горизонтальном цилиндре. Обнаружено, что изначально осесимметричная граница раздела «жидкость - сыпучая среда» пороговым образом теряет устойчивость к появлению регулярного квазистационарного рельефа в форме дюн. Показано, что в надкритической области повышение безразмерного либра-ционного параметра приводит к монотонному росту высоты и пространственного периода структур.

Ключевые слова: жидкость, вращение, сыпучая среда, либрации, квазистационарный рельеф.

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что периодические колебания полости вокруг оси вращения (либрации) могут генерировать инерционные волны в объеме жидкости, а также являются причиной развития центробежной неустойчивости в вязком пограничном слое в виде вихрей Тейлора - Гертлера [1, 2]. Лабораторные и численные исследования [35] показали, что результатом либрационного движения сферической полости является генерация стационарных зональных потоков в объеме жидкости. Интенсивность зонального течения не зависит ни от безразмерной частоты либраций f = WjWr , ни от числа Эк-мана [5]. В [6] экспериментально показано, что либрации по долготе генерируют отстающее среднее течение в центрифугированном слое жидкости в цилиндрической полости. Эти результаты представляют большой интерес в гео- и астрофизике [7], где либрации позволяют получить информацию о строении планет [8, 9].

© Дьякова В.В., Полежаев Д.А., 2015

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Динамика сыпучей среды в либрирующем

Дополнительная фаза, например сыпучая среда, может стать источником возникновения новых физических эффектов. Наличие осциллирующих потоков жидкости [10] или стационарных сдвиговых течений [11] над слоем сыпучей среды приводит к формированию пространственно-периодического рельефа на ее поверхности.

Во вращающемся и совершающем периодические колебания вокруг горизонтальной оси вращения цилиндре жидкость участвует одновременно в двух видах движения: равномерном вращении и азимутальном колебательном движении. Подобная суперпозиция течений наблюдается не только при либрациях полости, но и в равномерно вращающейся горизонтальной полости в поле силы тяжести [12]. В частично заполненной жидкостью полости в системе отсчета, связанной с быстро вращающимся цилиндром, сила тяжести оказывает переменное действие на жидкость и вызывает вынужденные колебания с частотой, равной скорости вращения. Колебательное движение жидкости приводит к развитию центробежной неустойчивости и появлению вихрей Тейлора - Гертлера в динамических пограничных слоях [13]. При наличии во вращающемся цилиндре сыпучей среды колебательное движение жидкости приводит к возникновению квазистационарного рельефа в форме дюн [14]. Согласно наблюдениям рельеф возникает при наличии бегущих волн на поверхности жидкости. Поверхностные волны генерируют в жидкости колебания с частотой, отличной от частоты вынужденных колебаний. Как следствие, жидкость участвует в двух колебательных движениях, что затрудняет определение критерия устойчивости осесимметричного слоя сыпучей среды.

В экспериментах [15] изучается сегрегация монодисперсных тяжелых частиц в частично заполненном жидкостью и сыпучей средой горизонтальном вращающемся цилиндре. При быстром вращении, когда жидкость и сыпучая среда центрифугированы, частицы сыпучей среды образуют симметричные кольца вблизи цилиндрической стенки полости, разделенные областями чистой жидкости. В отсутствие газовой фазы, когда полость заполнена жидкостью и частицами сыпучей среды нейтральной плавучести, сегрегации частиц не наблюдается. В экспериментах с частицами, плотность которых отлична от плотности жидкости, для формирования пространственных структур свободная поверхность не является необходимым условием.

В данной работе представлены первые результаты исследования устойчивости границы раздела «сыпучая среда - жидкость» в горизонтальном цилиндре, вращающемся и совершающем вращатель-

227

Конвективные течения..., 2015

ные колебания относительно оси вращения (либрации). Полость заполнена жидкостью и песком в отсутствие газовой фазы, динамика жидкости определяется только либрационным воздействием.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА

Схема экспериментальной установки представлена на рис.1. Полый цилиндр кругового сечения 1 длиной L = 2.2 см и внутренним диаметром D = 14.4 см крепится к вертикальному столику 2. Столик при помощи двух шарикоподшипников 3 устанавливается горизонтально на платформу 4. Вращение цилиндра осуществляется при помощи шагового двигателя 5 типа FL86STH118-6004A с блоком управления SMSD-822 6. Ось двигателя и ось вращающегося столика соединены жесткой муфтой 7. Скорость вращения, частота и амплитуда либраций задаются с помощью генератора сигналов ZETLab с точностью 0.05 %.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

В работе изучается случай, когда частота либраций меньше или равна скорости вращения полости: скорость вращения варьируется в диапазоне fr = 4 -12 об/с, частота либраций f изменяется от 0.25 до 12.0 Гц, амплитуда либраций варьируется в пределах 5° £ j £ 160° .

Сыпучая среда представляет собой сферические стеклянные частицы диаметром 100-250 мкм и плотностью 2.5 г/см3. Распределение частиц по размеру показано на рис.2: наиболее часто встречаются частицы диаметром 200 мкм. В экспериментах масса сыпучей среды составляет m = 80 г, что соответствует толщине центрифугированного слоя песка h0 = 0.55 см. В качестве рабочей жидкости

228

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Динамика сыпучей среды в либрирующем

используется водоглицериновый раствор кинематической вязкостью n = 9 сСт.

Рис.2. Диаграмма распределения частиц по размеру. d - диаметр частиц, p - относительное содержание частиц определенного размера

Фоторегистрация границы раздела «жидкость - сыпучая среда» осуществляется со стороны торца цилиндра фотокамерой 8 типа Nikon D40. Для обеспечения контрастности изображений используется дополнительное освещение светодиодной лентой, расположенной вокруг цилиндрической стенки полости.

В отсутствие вращения тяжелая сыпучая среда находится на дне полости. При плавном увеличении скорости вращения песок частично увлекается вращающейся стенкой. В быстро вращающемся цилиндре, когда действие силы тяжести мало по сравнению с центробежной силой инерции, песок равномерным слоем покрывает горизонтальную цилиндрическую стенку.

После перехода песка в центрифугированное состояние задается скорость вращения полости, устанавливаются частота и амплитуда либраций. В зависимости от целей эксперимента его продолжительность составляет от 1 до 4 часов.

229

Конвективные течения..., 2015

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Цилиндр, заполненный вязкой несжимаемой жидкостью и сыпучей средой, вращается вокруг горизонтальной оси со средней угловой скоростью Wr. Осциллирующее движение полости задается угловой частотой либраций Q; и угловой амплитудой j. Угловая скорость вращения полости описывается уравнением:

W

В качестве характеристики амплитуды либрации вводится безразмерный параметр е:

е = fj,

где f = W!/ Wr - безразмерная частота либраций.

При подстановке (2) в (1) уравнение движения принимает вид:

W(t) = Wr [1+е cos(Q;t)].

При быстром вращении, когда сыпучая среда равномерным слоем покрывает цилиндрическую стенку, жидкость занимает устойчивое положение в центре цилиндра и совершает практически твердотельное вращение. Азимутальные колебания цилиндра провоцируют появление пространственно-периодического рельефа на поверхности сыпучей среды (рис.3).

Остановимся на динамике формирования рельефа со временем. В начальной фазе рельеф занимает несколько процентов от всей площади поверхности песка. В течение следующих нескольких минут или десятков минут рельеф распространяется по всей границе раздела. Пространственный период структур 1 и высота холмов при этом непрерывно изменяются (рис.3а-е). В зависимости от условий эксперимента время, необходимое для формирования рельефа, может достигать нескольких часов. Согласно наблюдениям, дюны дрейфуют в направлении вращения полости. Уже в начале формирования структур достаточно четко выделяются вершины холмов, пологая и крутая стороны дюн (см. рис.36), что позволяет с достаточной точностью измерить их высоту и пространственный период.

230

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Динамика сыпучей среды в либрирующем

а

в

д

б

г

е

Рис.3. Временная динамика пространственно-периодического рельефа на границе раздела «жидкость - сыпучая среда»: Wr = 31.4 рад/с,

W = 12.56 с-1, е = 0.18, t = 0,2,5,10,13,100 мин

231

Конвективные течения..., 2015

Рис.4. Временная динамика относительной толщины слоя песка к/к0 (а) и безразмерного пространственного периода структур

lR (б): Wг = 31.4 рад/с, Qz = 12.56 с-1, е = 0.18

На рис.4а показана временная динамика относительной толщины слоя песка к/h0 , где h - расстояние от цилиндрической стенки до границы раздела «жидкость - сыпучая среда», к0 = 0.55 см -толщина центрифугированного слоя песка в невозмущенном состоянии. Верхняя кривая соответствует расстоянию от цилиндрической стенки полости до вершин дюн, нижняя кривая - толщине слоя песка во впадинах между дюнами. Несинусоидальная форма рельефа - острые вершины и пологие впадины - является причиной несимметричности нижней и верхней кривой на рис.4а.

Пространственный период квазистационарных структур Я определяется по формуле:

2pRs

Я = -

N

где Rs = R - к0 - расстояние от оси вращения полости до поверхности центрифугированного слоя песка, N - количество холмов.

Временная динамика пространственного периода рельефа представлена на рис.4б. В течение нескольких минут после начала экс-

232

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Динамика сыпучей среды в либрирующем

перимента безразмерный пространственный период структур 1/ R непрерывно увеличивается, пока не достигнет некоторого квазистационарного состояния.

Рис.5. Динамика относительной толщины слоя песка h/hQ (а) и безразмерного пространственного периода структур 1R (б) при различных значениях параметра s : Wr = 31.4 рад/с, Wl = 12.56 с-1.

Отметим, что рельеф на поверхности сыпучей среды возникает пороговым образом. Фоторегистрация позволяет однозначно зарегистрировать наличие структур на поверхности песка и определить критическое значение параметра s - порог возникновения рельефа (рис.5). На рис.5а приведена зависимость относительной толщины слоя песка от s в установившемся состоянии; увеличение s вблизи порога возникновения структур приводит к монотонному возрастанию высоты дюн. В надкритической области при больших значениях параметра s высота рельефа уменьшается вследствие перераспределения песка: под действием интенсивных колебаний жидкости частицы сыпучей среды с вершин холмов перемещаются в пологие впадины.

Динамика безразмерного пространственного периода структур 1R в зависимости от параметра s представлена на рис.5б. Видно,

233

Конвективные течения..., 2015

что с увеличением либрационного параметра период структур непрерывно повышается.

Неравномерное вращение полости приводит к тому, что центрифугированный слой сыпучей среды может находиться в двух принципиально различных состояниях: мгновенная скорость вращения полости велика (быстрое вращение) - слой сыпучей среды плотным кольцом прилегает к цилиндрической стенке полости; мгновенная скорость вращения полости меньше средней угловой скорости вращения (надкритическая область) - часть частиц сыпучей среды переходит во взвешенное состояние, граница раздела жидкость -песок становится размытой.

Следует отметить, что порог формирования структур на поверхности песка определяется безразмерным параметром либраций е, соотношением скорости вращения полости и частоты либраций.

Заключение. Впервые экспериментально изучена динамика жидкости и сыпучей среды во вращающемся и совершающем либрации горизонтальном цилиндре. Обнаружен новый эффект - возникновение регулярных дюн. Изучена временная динамика дюн в надкритической области: формирование пространственных структур на поверхности песка сопровождается монотонным увеличением высоты и периода холмов. Показано, что возникновение рельефа происходит пороговым образом, который может быть определен визуально или по зависимости относительной толщины слоя песка h/h0 и безразмерного пространственного периода структур Я/R от безразмерного параметра е. Увеличение е вблизи порога возникновения структур приводит к монотонному увеличению высоты и периода рельефа. Регулярные дюны непрерывно дрейфуют в азимутальном направлении.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 14-11-00476).

СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК

1. Tilgner A. Driven inertial oscillations in spherical shells // Physical Review E. 1999. Vol. 59, No. 2. P. 1789-1794.

2. Axisymmetric simulations of libration-driven fluid dynamics in a spherical shell geometry / M.A. Calkins, J. Noir, J.D. Eldredge, J.M. Aurnou // Physics of Fluids. 2010. Vol. 22, No. 8. P.086602.

234

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Динамика сыпучей среды в либрирующем

3. Wang C.Y. Cylindrical tank of fluid oscillating about a state of steady rotation // J. Fluid Mechanics. 1970. Vol. 41, No. 03. P. 581-592.

4. Experimental and numerical study of mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity / A. Sauret, D. Cebron, C. Morize, M. Le Bars // J. Fluid Mechanics. 2010. Vol. 662. P. 260-268.

5. Busse F.H. Mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mechanics. 2010. Vol. 650. P. 505-512.

6. Experimental study of libration-driven zonal flows in a straight cylinder / J. Noir, M.A. Calkins, M. Lasbleis, et al. // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2010. Vol. 182, No. 1. P. 98-106.

7. An experimental and numerical study of librationally driven flow in planetary cores and subsurface oceans / J. Noir, F. Hemmerlin, J. Wicht, et al. // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2009. Vol. 173, No. 1. P. 141-152.

8. Large longitude libration of Mercury reveals a molten core / J.L. Margot, S.J. Peale, R.F. Jurgens, et al. // Science. 2007. Vol. 316, No. 5825. P. 710-714.

9. The librations, shape, and icy shell of Europa / T. Van Hoolst, N. Rambaux, O. Karatekin, et al. // Icarus. 2008. Vol. 195, No. 1. P. 386-399.

10. Scherer M.A., Melo F., Marder M. Sand ripples in an oscillating annular sand-water cell // Physics of Fluids. 1999. Vol. 11, No. 1. P. 58-67.

11. Betat A., Frette V., Rehberg I. Sand ripples induced by water shear flow in an annular channel // Physical review letters. 1999. Vol. 83, No. 1. P. 88-91.

12. Polezhaev D., Dyakova V. Oscillatory and steady flows in the annular fluid layer inside a rotating cylinder // Shock and vibration. 2015. (принята в печать).

13. Kozlov V., Polezhaev D. Flow patterns in a rotating horizontal cylinder partially filled with liquid // Physical Review E. 2015. Vol. 92, No. 1. P. 013016.

14. Dyakova V., Kozlov V., Polezhaev D. Pattern formation inside a rotating cylinder partially filled with liquid and granular medium // Shock and vibration. 2014. Vol. 2014. doi: 10.1155/2014/841320.

235

Конвективные течения..., 2015

15. Breu A.P.J., Kruelle C.A., Rehberg I. Pattern formation in a rotating aqueous suspension // Europhysics Letters. 2003. Vol. 62, No. 4. P. 491.

DYNAMICS OF GRANULAR MEDIUM IN LIBRATING CYLINDER

D.A. Polezhaev, V.V. Dyakova

Dynamics of liquid and granular medium in a rotating and librat-ing cylinder is studied experimentally. It is found that the axially symmetric «liquid - granular medium» interface is unstable to the appearance of regular quasi-stationary relief in the form of dunes. It is shown that the increase of dimensionless libration parameter in the supercritical region leads to a monotonic growth of the height and the spatial period of the structures.

Key words: liquid, rotation, granular medium, librations, quasistationary relief.

236