Применение метода инвариантных эллипсоидов для решения линейной задачи слежения

УДК 517.977.1

К. О. Железное1, М. В. Хлебников2

1 Московский физико-технический институт

2 Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления

им. В. А. Трапезникова РАН

Применение метода инвариантных эллипсоидов для решения линейной задачи слежения

В работе рассматривается линейная задача слежения, состоящая в построении линейной обратной связи такой, чтобы выход системы был «как можно ближе» к сигналу, подаваемому на вход линейной системы управления. Предлагается подход к решению задачи, основанный на методе инвариантных эллипсоидов. Его эффективность продемонстрирована на примере двухмассовой системы.

Ключевые слова: линейная система управления, задача слежения, линейные матричные неравенства, инвариантные эллипсоиды, ограничивающие эллипсоиды.

1. Введение

Целью работы является исследование задачи управления регулируемым выходом линейной системы в одной из разнообразных постановок задачи слежения (см., например, [1-3]), одна из первых постановок этой задачи восходит к Р. Калману [4].

В работе рассматривается задача слежения в линейной системе управления. Цель управления (которое ищется в виде статической линейной обратной связи) состоит в том, чтобы регулируемый выход системы был как можно «ближе» (в некотором смысле) к сигналу, подаваемому на вход системы.

Предлагаемый подход к решению задачи основан на методе инвариантных эллипсоидов [5]; в качестве технического средства используется техника линейных матричных неравенств (Linear Matrix Inequalities, I.Ml) [6]. Такой подход позволил переформулировать исходную задачу к поиску минимального ограничивающего эллипсоида, содержащего выход рассматриваемой системы. В качестве критерия минимальности в работе выбран критерий следа, соответствующий минимизации суммы квадратов полуосей эллипсоида.

С технической точки зрения проблема сводится к решению задачи полуопределенного программирования (Semi-Definite Programming, SDP) и одномерной оптимизации [7]. Для ее решения существуют эффективные программные средства, в частности — свободно распространяемые пакеты SeDuMi и YALMIP на базе системы Matlab.

Эффективность метода продемонстрирована на примере управления двухмассовой системой [8].

2. Задача анализа

Рассмотрим линейную непрерывную динамическую систему

х = Ах + Df (t), ж(0) = х0, z = f (t) - Сх,

где А е Мгахга, С е М1хп, D е Rraxi, x(t) е М™ — фазовое состояние системы, z(t) е М1 — выход системы. Пусть матрица А устойчива, а сигнал f (t) е М1 удовлетворяет условию

f = Aof + Dow,

где А0 е Mlxl, D0 е Mlxm, a w(t) е Мт — внешнее возмущение, удовлетворяющее ограни-

чению

Матрицу Ао будем предполагать устойчивой (гурвицевой).

Рассмотрим расширенную систему

х = Ах + И/,

/ = А0/ + Бо-ш,

г = / — Сх.

Введя в рассмотрение составной вектор

д = є Мга+г,

представим систему в матричной форме:

с

Нам понадобятся следующие определения.

Определение 1. Эллипсоид с центром в начале координат

гх = [х е Мга: хтР-1х ^ 1}, Р> 0,

называется инвариантным для динамической системы х = Ах + И-ш, если из условия ж(0) е £х следует х(Ъ) е для всех моментов времени £ ^ 0. Это означает, что фазовое состояние системы будет всегда находиться в £х, если оно находится в этом эллипсоиде в начальный момент времени.

В дальнейшем все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопределенности матриц.

Определение 2. Эллипсоид с центром в начале координат

Е2 = [г е Мг: гТ(СРСТ)-1г < 1}, Р> 0,

называется ограничивающим, по выходу для динамической системы

х = Ах + Б'ш, х(0) = хо, х = Сх,

соответствующим инвариантному эллипсоиду (5). Соответственно если состояние Хо принадлежит инвариантному эллипсоиду с матрицей Р, то выход системы г(Ь) будет находиться в эллипсоиде £г для всех £ ^ 0.

Теперь можно переформулировать задачу: будем минимизировать ограничивающий эллипсоид, содержащий выход г системы (4).

Теорема 1. Решение Р задачи

1тСР СТ —> ш1п

при ограничениях

АР + РАТ + аР + -5дт ^ 0, Р > 0,

а

где

1 =

а минимизация проводится по матричной переменной Р = РТ е М(га+т) х (га+т) и скалярному параметру а > 0; определяет, матрицу

СРСТ

Доказательство. Введем в рассмотрение квадратичную форму

V(д)= дтЯд, Я> 0,

построенную на решениях системы (4). Вычисляя ее производную в силу системы, имеем

V (д) = (Ад + Б w)тQg + gтQ(Ag + Б 'ш) = дт (А1 Я + ЯА)д + 2д ТЯИ и/.

Для того чтобы траектории системы не вышли за границу эллипсоида £д = [д: дтЯд ^ 1}, потребуем, чтобы при V(д) ^ 1 и ^ 1 выполнялось условие V(д) ^ 0. Иными словами,

дт

Применяя б'-теорему [9] с двумя ограничениями, заключаем, что (6) эквивалентно выполнению следующего матричного неравенства при некоторых значениях а, Р таких, что а ^ Р ^ 0

(А? Я + ЯА + <у,Я

;)

-гг , < 0.

-р1;' ^

По лемме Шура полученное линейное матричное неравенство эквивалентно

АТЯ + ЯА + аЯ + рЯоЪТЯ < 0.

Домножив (7) на матрицу Р = Я-1 слева и справа, приходим к матричному неравенству

АР + РАТ + аР + \ЪЪТ ^ 0;

Р

при этом, согласно [10], можно положить Р = Ртах =

Выбирая среди эллипсоидов полученного семейства

АР + РАТ + аР + 155т ^ 0

а

эллипсоид Р > 0 такой, что соответствующий ему ограничивающий эллипсоид с матрицей СРСТ обладает минимальным следом, приходим к утверждению теоремы. Теорема доказана.

Заметим, что V(д) является квадратичной функцией Ляпунова для системы (4) вне инвариантного эллипсоида с матрицей Р.

3. Задача синтеза

Рассмотрим линейную непрерывную систему управления:

х = Ах + Ви + 0/ (Ь), х(0) = хо, г = /(г) - Сх,

где А е Мгахга, В е Мгахр, С е М1хп, И е Мгахг, х(Ь) е М™ — фазовое состояние системы, и(1) е М — управление, г(1) е Мг — выход системы. Пусть сигнал /(1) е Мг удовлетворяет условиям (1), (2).

Задача состоит в построении регулятора К в форме статической линейной обратной связи по состоянию

и = Кіх + К2/,

где Кі є Мрхга, К2 Є Мрхі, который стабилизирует замкнутую систему и минимизирует

(по критерию следа) ограничивающий эллипсоид для выхода г. Будем предполагать, что текущее значение сигнала /(Ь) известно, и поэтому можно его использовать для построения обратной связи.

Рассмотрим расширенную систему

X = Ах + Ви + И/,

/ = А0/ + Бо-ш,

г = /(г) — Сх,

или, в виде, замкнутом регулятором (8),

X = (А + ВКі)х + (ВК2 + О)/,

/ = А0/ + Бои,,

г = / — Сх.

Система (10) представима относительно вектора д в следующем матричном виде:

А + ВК1 О + ВК2\ ( 0

9 = I 0 Ао )9 + I п. )ш.

00»)

А Б

В следующей теореме устанавливается способ нахождения искомого регулятора для рассматриваемой системы, а также соответствующий ограничивающий эллипсоид.

Теорема 2. Решение Р > 0 ^ задачи минимизации

^ СР С т —> тіп

при ограничении

где

АР + РАТ + аР + ВУ + УтВт + 1 ББт < 0,

^« а- >=т- >-о.:

а, минимизация проводится по матричным переменным Р = РТ € ^(п+1)х(п+1) ^

¥ € м(га+0х(га+0 и скалярном,у пара,метру а > 0; определяет, статический регулятор по состоянию

К = (Кг К2) = У Р-1

и матрицу

СРСТ

соответствующего ограничивающего эллипсоида, для выхода, системы (9).

Доказательство. Применяя теорему 1 к замкнутой системе, приходим к задаче минимизации

^ СРСТ —> шт

при ограничении

(А + В Кг О + ВКЛ„^„(А + В Кг О + ВКЛТ , _ 1 / 0 0\Т

( о л„ )р + Ч 0 Л, ) + “р + 7,{^) Ы <0

которое представимо в виде

(о а)р + р(о л)Т + аР+ ('0) (к'1 К*)Р+

+ р ^ К*)Т (оУ + 1 Ц)Ц,У « 0. <12>

В матричное неравенство (12) переменные Р, Кг ж К2 входят нелинейно. Введя матричную переменную

У = {Кг К2) Р,

неравенство (12) примет линейный (по переменным Р и У) вид (11). Теорема доказана.

4. Пример: двухмассовая система

Продемонстрируем предложенный подход к решению задачи слежения на примере двухмассовой системы [8] (см. рис. 1).

Рис. 1. Двухмассовая система

Обозначим через хг, координату и скорость левого тела, а через х2, у2 — координату

и скорость правого тела. Тогда

хг

Уг

х =

х2

2

есть вектор фазового состояния динамической системы. Пусть к левому телу приложено управляющее воздействие и, а задающий сигнал с компонентами ^ и /2 воздействует на каждое из тел.

Непрерывная модель возмущенных колебаний системы описывается уравнениями

хг = г , х2 = 2,

к к 1 „

Уг =-------хг +------Х2 +----/г + и,

тг т2 тг

к 1

У2 = —Хг---------Х2 +-----/2-

тг т2 т2

Будем считать массы тел и коэффициент упругости пружины единичными. Тогда в матричной форме имеем

Х = Ах + И/, г = / — Сх,

где

А =

0 1 0 0 0 0 0

—1 0 1 0 , о = 0 1 , в = 1

0 0 0 1 0 0 0

1 0 —1 0 1 0 0

а в качестве матрицы выхода выбрана

С =

ІООО

ОІОО

При

=

ОІОО

-0,5 0,5

—0,5

ч-0,5 —0,5 У = V—0,5У

с помощью теоремы 2 найдем охрани чивающий эллипс выхода и соответствующий рсгуля-

Заметим, что естественно потребовать ограничения на величину управления вида

Достаточное условие выполнения охраничения (13) установлено следующей леммой. Лемма 1 ([11]). Условие

(?Й) > «

гарантирует выполнение условия (13) внутри инвариантного эллипсоида с матрицей Р.

Это условие добавляется в качестве дополнительного охрани чения в формулировку теоремы 2.

Итак, полагая

№ = 5,

находим регулятор

К =

Ki

К2

и матрицу оіраничивающеі'о эллипса:

СрпТ = ( 0,3044 -0,1383\

= у-0,1383 0,6609 )

при этом tr СPСT = 0,9653.

На рис. 2 слева показан найденный охраничивающий эллипс выхода, а также траектория выхода системы при некотором начальном состоянии системы вне инвариантного эллипсоида и возмущении w(t) = sign sint; справа показан соответствующий график управляющих) воздействия.

1 2

0.5  1

0 ' \ 1 ] і 0

-0.5  4W Л -1

-1 \ -2

-1.5  \ -з

-2  \ -4

-2.5 \ -б

-1 -0.5 0 0.5 1

1.5 2 2.5

0

10

20

30

40

Рис. 2. Ограничивающий эллипс выхода, траектория выхода системы и управление

Заметим, что, не используя информацию о текущем значении сигнала /(і) (то есть при К2 = 0

ограничивающий эллипсоид окажется примерно в 6 раз больше по критерию следа.

5. Заключение

В статье предложен подход к построению обратной связи в одной из постановок линейной задачи слежения. Подход основан на методе инвариантных эллипсоидов, применение которого позволило переформулировать исходную проблему в терминах линейных матричных неравенств и свести поиск ограничивающего эллипсоида для выхода системы к задаче полуопределенного программирования, легко решающейся численно. Эффективность метода продемонстрирована на примере двухмассовой системы.

Литература

1. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб.: Наука, 2000.

2. Краснова С. А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. — М.: Наука, 2006.

3. Ахобадзе А. Г., Краснова С. А. Задача слежения в линейных многомерных системах при наличии внешних возмущений // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 6. — С. 21-47.

4. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. - 1960. — N 1. — P. 102-119.

5. Хлебников M.B., Поляк Б. Т., Кунцевич В. М. Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов) // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 11. — С. 9-59.

6. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. — Philadelphia: SIAM, 1994.

7. Поляк В. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002.

8. Reinelt W. Robust control of a two-mass-spring system subject to its input constraints // Proc. American Control Conference. — Chicago, USA, June 28-30, 2000. — P. 1817-1821.

9. Polyak В. T. Convexity of quadratic transformations and its use in control and optimization // Journ. Optim. Theory and Appl. — 1998. — V. 99. — P. 533-583.

10. Хлебников М. В. Время установления в линейной динамической системе с ограниченными внешними возмущениями // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 6. —

С. 3-17.

11. Назин С. А., Поляк Б. Т., Топунов М. В. Подавление ограниченных возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 3. - С. 106-125.

Поступим в редакцию 24-11.2012.