Законы квадрата скорости движения планет Солнечной системы

дующие научно-технические проблемы в рамках «СибВПКнефтегаз-2000»:

- исследование физических механизмов повышенной виброчувствительности нефтяного пласта, определение энергетических и частотно-временных параметров вибрационного поля;

- разработка принципов и конструктивных решений технических средств создания вибрационного поля в нефтяных пластах месторождений Сибири.

Одним из перспективных способов повышения продуктивности скважин и степени извлечения нефти является вибросейсмическое воздействие на нефтяные пласты. Вибрационное поле, созданное с помощью технических средств и доведенное до пласта, приводит к снижению эффективной вязкости, повышению проницаемости, увеличению нефтеотдачи при напорном и капиллярном вытеснении нефти водой, увеличению коэффициента охвата при напорной фильтрации, а также ускорению гравитационной сегрегации нефти и воды. Применение сейсморазведочных вибраторов СВ-10/100 и СВ-20/60 с усилием на грунт 10 и 20 т.е. на сравнительно неглубоко залегающих и обводненных месторождениях «Краснодарнефтегаз» и «Киргиэнефтъ» привело к 40-процентному увеличению добычи.

Месторождениям Сибири характерно глубокое залегание нефтяных пластов (1,5-3 км), что требует значительного повышения мощности наземных вибромодулей (с усилием на грунт не менее 50-100 т.е.) или разработки принципиально новых технических средств и технологий для доведения необходимой энергии акустического поля до пласта через скважины, заполненные жидкостью.

Коллективом межвузовской лаборатории «Резон» разработаны принципиальные схемы и конструкции передвижного вибромодуля с усилием на грунт 50-100 т.е. в диапазоне частот 10-60 Гц, с применением в качестве инерционной массы (пригруза) стандартной тяжелой автотракторной техники и гидравлической системы в качестве силового привода, и гидравлического пульсатора, устанавливаемого на устье скважины и передающего перепад 50 атм. на резонансных частотах скважины для создания акустического поля непосредственно в пласте, т.е. без потерь на волну Релея.

Необходимо отметить, что в разработанных устройствах для создания вибрационного поля использованы либо серийно выпускаемые блоки и узлы, либо конструкции, которые могут быть изготовлены на предприятиях г. Омска.

Проведенные исследования по физическому механизму повышенной виброчувствительности пласта и возможностям спроектированных технических средств создания вибрационного поля позволяют утверждать, что при тщательном учете горно-геологических условий залегания пласта, выборе частот и режимов воздействия можно добиться значительного повышения добычи нефти на обводненных и достаточно истощенных месторождениях Сибири.

БУРЬЯН Юрий Андреевич - доктор технических наук, профессор, научный руководитель лаборатории «Резон».

УДК 531

ЗАКОНЫ КВАДРАТА СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

В.Н. Тарасов , Г.Н. Бояркин

Путем интегрирования дифференциального уравнения движения планет Солнечной системы установлена связь фокального параметра Р уравнения траектории с параметрами планеты и Солнца. Установлена взаимосвязь квадратов скоростей двух планет Солнечной системы с размерами больших полуосей и эксцентриситетами этих планет.

Движение небесных тел происходит по траекториям, описываемым семейством кривых второго порядка. В аналитической геометрии кривые второго порядка (окружность, эллипс, парабола, гипербола) описываются уравнением [1]

Р

г =-,

1 + есо э<р

где г,(р - полярные координаты ; Р - фокальный

параметр ; е - эксцентриситет.

В случае эллипса в уравнении (1) фокальный параметр является геометрической характеристикой [1].

» Ь2

Р = —

а

где а, Ъ - соответственно большая и малая полуоси эллипса.

Для использования уравнения (1) к решению космических задач необходимо установить связь параметров Р и е с параметрами планет Солнечной системы . С этой целью сделаем вывод уравнения (1) путем интегрирования дифференциального уравнения движения планет Солнечной системы, используя базовые исходные положения, известные из работ [1,2] и др.

Движение планеты Солнечной системы происходит под действием центральной силы, поэтому траектория планеты является плоской кривой. Планета Солнечной системы рассматривается как материальная точка, имеющая две степени свободы. Для решения поставленной задачи используют полярные координаты г, (р ,

располагая начало в центре О Солнца (рис.1). Радиус-вектор г направляют от Солнца к планете в точку М , полярный угол (р отсчитывают от положительного направления оси X, проходящей через точку Р - перигелий. Пусть в начальный момент времени планета находится в точке Р и удовлетворяет следующим начальным условиям: при \=0 (ро =0 \ скорость планеты в точке перигелий V = Ур , а г = Вр.

В произвольной точке М траектории на планету действует сила тяготения Р, которую можно записать в виде

Р = т(ас Ц-) , г

где т - масса планеты ; ас - ускорение силы тяжести вблизи поверхности Солнца;

R - радиус Солнца .

2 dtp „

г —i- = С.

dt

Постоянную С определим из начальных условий . При 1=0 <р0 = О

С=М0

Для получения второго уравнения воспользуемся дифференциальной формой теоремы об изменении кинетической энергии.

2

Согласно рис. 1

Я2

<1А = -/ч/г = -т( ас —.

г

Используя это выражение найдем

= асХс24(~) или

2 г

—

а(р 2 а(р г

где

г2=к2+г;=&'+г2

а/ ш

Для получения уравнения траектории движения планеты Солнечной системы необходимо исключить время 1 из уравнений (6), (3).

Введем новую переменную и , из которой получим

1 ¿¡и \ с1г « = -;— = - — —.

г йф г аф

Учитывая равенства (7) и (3), найдем

с1г _ с1г с1ф _ 2 du с1ф _ с!и

Рис.1.

По теореме об изменении кинетического момента относительно оси OZ, перпендикулярной плоскости траектории планеты и проходящей через центр О, получим

МЛ F) = 0.

dt

Момент центральной силы F относительно оси Z равен нулю , поэтому функция L, = const . Момент вектора скорости V планеты относительно центра О является постоянной величиной М0 (V) = С (закон момента вектора скорости).

На рис.1 вектор скорости V планеты , касательный к траектории в произвольной точке М представлен в виде радиальной Vr и поперечной Vp составляющих , поэтому модуль момента вектора скорости планеты относительно центра О имеет вид

M0(V)=M0(V,) = rV,- const.

Т. dф

Учитывая, что Vm = г- , получим дифференци-

9 dt

альное уравнение

dt dф dt

dф dt

dф

¿Ф С г —^ = — = Си. dt г

Подставляя эти выражения в (6), найдем

du 2

V2=C2

Подставив V2 в выражение (5), найдем

" + (—) dф

С2

du du d2u и— +

dф dф dф2 du

= мс2

du dф

Сокращая на--и используя (4), получим

dф

d2u dф2

1

а X d2u

+ U =-— или -г- + и = —,

С2

где

dф

VlD2 р _ р р

Мс '

Решение дифференциального уравнения (8) состоит из суммы двух решений

и = щ+ и2 , где щ = С, соз(р + С2) - общее

решение уравнения (8) без правой части;

1

и2 = — - частное решение уравнения (8).

и = С, cos(ф + С2) + .

Для определения постоянных интегрирования С, ,С2 продифференцируем

du ^ . — = -С, sin(p + C2). dф

du

Определим начальное значение (-}

х J /О' dф

К 1 dr

Запишем — = —— . Используя (7), найдем

К г dф

du_ _ _J_dr_ _ 1 rVr _

d<p ~ r2 d<p~ r2 rV9'

.. du.

При t=0 Vr =0. Значит, (-)0 =0.

d<p

Подставляем начальные условия в уравнения (10),

е = С, Р =--1.

D„

VpDp - VaDa =VBb= const.

a,

Vl= 2

' Ka

r\2 ,2 0-i)

Учитывая, что L) = О

из (18) получим

2 2il±£)a^ ' e(l-e)a

— = С, соэС, +— , Вр Р

0 = -С, втС,.

Откуда С, =---; С, = 0.

Ор Р 2

Из решения (10), переходя от и кг, получим уравнение

Р

Г =-.

1 + С^Рсо^(р Введем новую постоянную - эксцентриситет

Формула (19) позволяет определить параметр планеты: ее скорость в перигелии, как функцию параметров

Солнца (ас,Яс) и геометрических параметров планеты

(а, е).

Записав выражение (19) для двух планет Солнечной системы можно получить

а2 0 + е,)(1

сVp)\ а,

Отношение квадратов скоростей двух планет Солнечной системы в перигелии обратно пропорционально большим полуосям этих планет, прямо пропорционально функции единица плюс эксцентриситет и обратно пропорционально функции единица минус эксцентриситет для этих планет.

Из выражения (19) , учитывая (15), можно получить

о2(1 + б)а с£>\

V = R

г Л Лс

(1-е) в D\

что

Тогда получим уравнение (1).

Таким образом, в результате интегрирования дифференциальных уравнений получено уравнение траектории движения планет Солнечной системы , в котором Р и е являются функциями параметров планет Солнечной системы.

Сопоставляя (2) и (9) , получим для эллиптической траектории

У2П2п Ъ2 Р = — - 04)

асЛ; а

На основании второго закона Кеплера момент вектора скорости планеты относительно центра Солнца является постоянной величиной, поэтому

Принимая во внимание

Dp = а (1 - е), получим

= а (1 + Е) ,

а

Записывая выражение (22) для двух планет Солнечной системы, получим

12 ~

1

а,

Выполняя замену числителя выражения (14) с помощью (15), получим

V2 1

—±Т = ~.

а

Используя (16) для двух планет Солнечной системы , можно записать

____

<Ул)\

Отношение квадратов скоростей двух планет Солнечной системы в афелии обратно пропорционально большим полуосям этих планет , прямо пропорционально функции единица минус эксцентриситет и обратно пропорционально функции единица плюс эксцентриситет для этих планет.

Полученные формулы (9), (13) можно распространить для спутников планет Солнечной системы.

Для спутников Земли формула (9) имеет вид

Р =

V2D2

р р

gR

(Ув)\ я. '

Отношение квадратов скоростей двух планет Солнечной системы в точке В траектории обратно пропорционально большим полуосям этих планет.

Из (14) для планеты Солнечной системы в перигелии найдем

ь2 аЛ2

где Ур,Ор - параметры спутника в точке траектории наиболее приближенной к Земле ; д - ускорение силы тяжести на поверхности Земли ; Я, - радиус Земли . Эксцентриситет спутника Земли по формуле

е =

К ,

gRl ~

Из (25)определим

v,=

1

(1 + e)gR2

D,

где D = R,+h,

г

где И - высота расположения спутника над поверхностью Земли при кратчайшем расстоянии И .

Учитывая (27), получим

Уп=1--

р У

Таким образом, поведение спутника в околоземном пространстве можно оценить следующим образом. По формуле (25) определяется эксцентриситет е. Если е=0 - траектория спутника - окружность; е<1 - эллипс ; е=1 -парабола ; е>1- гипербола. При е>1 спутники огибают Землю по параболе , гиперболе, которые преобразуются в прямолинейные траектории в пределе.

______Рис.2

Из формулы (25) видно, что е могут быть и значительно больше 1.

На рис. 2 показаны возможные траектории спутников Земли, при заданном значении /г = 50 км и разных ско-

ростях Vp. Парабола и гипербола являются разомкнутыми траекториями спутников.

При заданных условиях первая космическая скорость по формуле (24) при £ = 0

ГНЁТ

К = J ' =7,9 км/с.

й \Az+h

Вторая космическая скорость по формуле (24) при £=1

12gRl

V„ = J—2—^- = 11,14км/с.

Литература

1. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики (Часть 1). Изд. Наука , М.: 1972 , 468 с.

2. Никитин H.H. Курс теоретической механики . - М.: Высшая школа , 1990 , 607 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Изд. Наука, М.: 1974 , 832 с.

20.07.98 г.

ТАРАСОВ Владимир Никитич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика» Сибирской автомобильно-дорожной академии.

БОЯРКИН Геннадий Николаевич - кандидат физ.-мат. наук, проректор по учебной работе Омского государственного технического университета.

УДК 621.831-86

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ УПРАВЛЕНИЯ НА ПОВЕДЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ПРИВОДА С АВТОВАРИАТОРОМ

П.Д. Балакин

Выделены случаи силового автоуправления компонентами мощности в автовариаторе, когда дифференциальное уравнение неголономной связи удается свести к квадратурам. Показано влияние массовых характеристик звеньев цепи управления и темпа автоизменения передаточной функции на динамику двухмассовой модели механического привода.

В [1 - 4] показано, что из-за наличия в строении автовариатора неголономной связи между входным и выходными валами, технически выполненной в виде двух-подвижного контакта основных звеньев, приведение сил и масс следует производить раздельно по ветвям кинематической цепи автовариатора, расположенным по разные стороны от неголономной связи. Именно таким приемом формируются параметры Л» и иг двух звеньев приведения, жестко связанных с входным и выходным звеньями.

Обозначив обобщенные координаты входного (ведущего) вала 1 и выходного (ведомого) вала 2 - <р1 и <рг соответственно, дифференциальное уравнение связи их движений будет общим для всех вариаторов, независимо от их схемного и конструктивного исполнения.

^1,2^2-^1=0.

где и|2- переменная передаточная функция автовариатора, реализуемая цепью управления.

Если закон управления их 2 не установлен, то дифференциальное уравнение связи (1) не может быть проинтегрировано, следовательно, задача о преобразовании движения в автовариаторе в общем случае не может иметь определенного решения.

Сам вид дифференциального уравнения связи (1) указывает, что решение в квадратурах (1) имеет место только в случаях, когда закономерность Ul 2 установлена и функционально зависит от одной из обобщенных координат <pi или <рг, либо от времени t, т.е.

^1,2 — ^1,2 (')  0 частном случае, когда СУ, 2 = const, вариатор вырождается в редуктор или мультипликатор с постоянным передаточным отношением с простой связью между входным и выходным движениями. Следует оговорить особо, что состав самой переменной функции

ui,2=uiA<Pi)- ui,2 = ^1,2 fa) и™ ^1,2 = ^1,2 (') существенно зависит от схемного и конструктивного решения как основной силовой цепи вариатора, так и цепи управления величиной £/,2.

Когда задают C/I 2 = U\t2{<P\) или I/, 2 = и] 2(<р2), то

тем самым синтезируется схема программного управления движением с цепью управления, жестко связанной с входным или выходным звеном и детерминированным относительным движением между ними.

Автоматическое же регулирование компонентами мощности N передаваемого приводом силового потока без учета потерь N = Мхфх = М2ф2, где М} и М2 -