Математическое моделирование распространения и затухания волновых процессов в двухфазовых гетерогенных структурах методом автономных блоков

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

УДК 539.3

А. А. Кичкидов, О. А. Голованов, А. М. Туманов, А. М. Мазур МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ЗАТУХАНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ДВУХФАЗОВЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СТРУКТУРАХ МЕТОДОМ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ

Аннотация. Гетерогенная структура рассматривается как трехмерная периодическая структура, в которой выделяется ячейка в виде прямоугольного параллелепипеда (автономного блока) с вязким и сжимаемым неоднородным заполнением. Для автономного блока из решения краевых задач для уравнений Навье - Стокса определяется дескриптор в виде матрицы импеданса. Из условий теоремы Флоке для матрицы импеданса получено характеристическое уравнение определения комплексных постоянных распространения волн в периодической структуре.

Ключевые слова: автономные блоки, гетерогенные структуры, периодические структуры, теорема Флоке, матрица импеданса.

Abstract. The heterogeneous structure is considered as three-dimensional periodic structure in which the cell in the form of a rectangular parallelepiped (the independent block) with viscous and compressed non-uniform filling is allocated. For the independent block from the decision of regional problems for the equations of Nave -Stoksa the descriptor in the form of an impedance matrix is defined. From conditions of the theorem the Flock for an impedance matrix the characteristic equation of definition of complex constants of distribution of waves in periodic structure is received.

Keywords: ndependent blocks, heterogeneous structures, periodic structures, the theorem the Flock, an impedance matrix.

Введение

Если среда, в которой происходит распространение акустических волн, обладает вязкостью и теплопроводностью или в ней имеются другие процессы внутреннего трения, то при распространении волны происходит поглощение акустической энергии, т.е. по мере удаления от источника амплитуда колебаний становится меньше, так же как и энергия, которую они несут. Среда, в которой распространяются акустические волны, вступает во взаимодействие с проходящей через нее энергией и часть ее поглощает. Преобладающая часть поглощенной энергии преобразуется в тепло, меньшая часть вызывает в передающем веществе необратимые структурные изменения. Поглощение, которое преобразуется в тепло, является результатом трения частиц друг об друга, в различных средах оно различно. Затухание акустических волн в жидкости связано с вязкостью жидкости, т. е. ее способностью оказывать сопротивление относительному сдвигу частиц. Влияние вязкостей жидкостей на

затухание акустических волн особо резко проявляется на границе раздела двух сред, обладающих существенно различными значениями коэффициентов вязкости (двухфазовые гетерогенные структуры). Вблизи таких границ раздела сред напряжение трения может иметь значительные величины и существенно влиять на затухание акустических волн.

Целью статьи является разработка на основе метода автономных блоков вычислительного алгоритма для моделирования распространения и затухания акустических волн в двухфазовых гетерогенных структурах.

1 Волновые уравнения гидродинамики

Движение вязкой жидкости описывается с помощью уравнений Навье -Стокса (F = 0) [1]:

р — = -gradp + цАУ +1 цgraddivv ,

dt 3

где p - плотность жидкости; ц - коэффициент динамической вязкости, p -давление; у = (vx, vy, vz) - вектор скорости частиц.

Учитывая, что rot rot у = graddiv у - Av [2], запишем (1) в виде

dv ,4 ,

р— = -gradp + — цgraddivv - цrotrotv .

dt 3

Запишем систему уравнений для сжимаемой и вязкой жидкости, состоящей из уравнения неразрывности [1] и уравнения движения, в форме Навье - Стокса (2) для случая, когда массовые силы отсутствуют (F = 0):

— + pdiv у = 0;

dt

р — = -grad p + — ц grad div у - ц rot rot v,

dt 3

где

dр = Эр ^ Эр dx ^ Эр dy ^ Эр dz _

dt Эt Эx dt Эу dt Эz dt ’

dv = Эу ^ Эу dx ^ Эу dy ^ Эу dz

dt Эt Эх dt Эу dt Эz dt

Распространение акустических волн не связано с перемещением частиц

dx dy dz

вещества в пространстве, поэтому в

dt dt dt

можно записать в виде

^div v = 0;

Эt

р— = -grad p + — ц graddiv у - ц rotrotv.

Эt 3

Рассмотрим баротропную жидкость, для которой давление является функцией только плотности р = р(р). Дифференцируя эту функцию по переменной t как сложную функцию, получаем

Эр _ ёр Эр дґ ёр дґ ’

ёр 2

где —_ с [3], с - скорость распространения звука. ё р

Таким образом, с учетом (9) полная система уравнений акустики для сжимаемой и вязкой жидкости имеет следующий вид:

1 dp

+ div v = 0,

c2p dt

dV ,4 , ^

p— = -gradp + — цgraddivv -цrotrotv. dt 3

Для гармонических колебаний уравнения гидродинамики для сжимаемой и вязкой жидкости (10) имеют следующий вид:

где

) i ю p + с р div v = 0,

[iюVр = —qgradp — цrotrotv,

4юц

q=1+i~r-

3с2р

Запишем (11) в виде, удобном для дальнейшего получения интегральных проекционных форм:

г^ ю div V = —i—— p,

с Р

grad p = H,

rot V = -E,

rot E = i •^P V + qH. ц ц

2 Проекционная интегральная форма для автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с вязким и сжимаемым неоднородным заполнением

На рис. 1 показан звукопоглощающий материал в виде трехмерной периодической структуры. Выделим в ней - трехмерной периодической структуре - элементарную ячейку с геометрическими размерами а, Ь, I (рис. 1,б), объемом Уо и представим ее автономным блоком с кусочно-неоднородным заполнением объемом У (рис. 1,в). Звукопоглощающий материал представляет

собой сплошную среду (плотность рм) с воздушными или другими включениями (плотность рв). Скорости звука для сплошной среды и включений известны и соответственно равны см, св .

с

л

о \ I ‘ y

s k py Pz

Px J

x o

а)

S'--*-1 '

—U—I—• I t

л

I I

У-

"I

-ц=

I (

II

\/

I ~Л--------------------1—Tf

-/\---------~/\-----------71—

' \ ' I ' I

б)

в)

Рис. 1 Звукопоглощающий материал: а - направление распространения свободного волнового процесса; б - трехмерная периодическая структура; в - моделирование ячейки периодической структуры автономным блоком

В объеме параллелепипеда (автономного блока) акустическое поле удовлетворяет системе уравнений (12) (в области V - V:

с = См, р = рм, Ц = ^м; в области V : с = Св, р = рв, Ц = Мв).

Преобразуем систему дифференциальных уравнений (12) к интегральной проекционной форме [4]. Для этого сформулируем две вспомогательные краевые задачи на собственные значения.

Первая задача:

grad pk=~i (akvk, divvk =-iщрк, k = 1,2,...,«>;

Pk (Si) = pk (S4), Vk (Si) = Vk (S4);

Pk(S2) = Pk(S5), Vk(S2) = Vk(S5); Pk (S3) = Pk (S6), Vk (S2) = Vk (S6). Вторая задача:

. j—?k k

r0t El =i ^ ,

rot Vi =-i Ю/Е/*, l = 1,2,..., ^;

в области VQ;

на гранях.

в области Vq ;

Е/(S1) = Ei(S4), Vl(S1) = Vt(S4); Е/(S2) = Е/(S5), V/(S2) = V(S5);

Е/(S3) = El(S6), V/(S2) = V(S6).

на гранях.

Здесь * - комплексно-сопряженные величины. Объем V совпадает с объемом автономного блока (рис. 1,в).

a

l

b

z

1

Системы функций {рк }, {vfr }, порождаемые краевой задачей (13), (14), и системы функций {É¡} , {v¡} , порождаемые краевой задачей (15), (16), полны, ортогональны и нормированы [5]:

j PnPkdV = J vn • vkdV = 8nk ;

V Vo

J Én • ÉkdV = J Vn • V^áV = 8ni,

Vo Vo

Í1, n = k,

где 8nk - символ Кронекера, 8nk = <

[0, n Ф k.

Используя формулы векторного анализа ( div^a = a grad\^ + ^ divo , div(a Xb ) = b roto - a rotb ) и формулу Остроградского - Гаусса, из (12), (13) и (12), (15) получаем интегральную проекционную форму:

6 * 1 * *

2 J P*Vp • dSp = -iœ J “2“ PP*dV - imk J v • V¡dV,

p= Sp VoC “ Vo

6

2J PpV¡ • dSp = -iœk J PP¡dV + J H • V¡dV,

p=1 Sp Vo Vo

6 (19) 2 J (p X V¡ ) • dSp = iœ J ^V • V*dV + J qH • V¡dV - iœz J É • É*dV,

p=1 Sp VoЦ VoЦ Vo

2 J ( VpT X é* ) • dSp = - J é • é*dV - iœ J V • v;dV,

p=1 Sp Vo Vo

где Pp - давление на поверхностях граней параллелепипеда Sp ( p = 1,2,...,6); Vp - нормальные составляющие вектора скорости V на поверхностях граней

параллелепипеда Sp ; Vp , Ép - касательные составляющие векторов V, É на поверхностях граней параллелепипеда Sp.

3 Матрица импеданса автономного блока

Функции V*, Vx, Pa, É¿ ( a = 1,2,...,6) представим рядами Фурье по ортогональным функциям, определенным на гранях параллелепипеда

{ek(a)}, {ekx(a)}, {%(a)}, {%(a)} :

œ œ

Va = 2 ak(a)ek(a), Va = 2 ak(a)ek(a) ; k=1 k=1

ра 2 Ьк

к=1 к=1

Системы функций (базис) {е|(а)}, {ек(а)}, {^(а)}, {^(а)} на гранях

параллелепипеда (автономного блока) могут иметь различное происхождение, главное, чтобы они обладали полнотой [6]. В качестве базиса будем использовать продольные и поперечные компоненты собственных волн канала

Флоке [7] ( {е|(а)}, {¿|(а)} - продольные компоненты, {ек(а)}, {*к(а)} - поперечные компоненты). Эти системы функций полны, ортогональны и нормированы:

^

^ ек

^а $х

Из (20) с учетом (21) и (22) следуют проекционные формы:

ак(а) = ^ ^а %( а)^а, ак(а) = ^ (^а *^к{а) )й^а,

bk(a) J Pa ek(a)dSa, bk(a) J ( ek(a) * Еа )dSa.

В области V автономного блока решение ищем в виде рядов Фурье по собственным функциям {Рк}, {^к}, {VI} , {Е} краевых задач (13), (14) и (15), (16):

P = Z cP Pn , H = Z Cn Vn , V = Z dVV5n , Е = Z Еп .

n=1 n=1 n=1 n=1

На гранях Sp автономного блока решение ищем в виде рядов Фурье по

собственным функциям |ek(p)}, |ekk(p)}, \hzk(p)}, {4T(P)} :

VP Z an

n=1 n=1

рр =2 ьк

п=1 п=1

Подставляя (24) и (25) в проекционную форму (19), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Г Я11 0 3 0

Я 21 Я 22 0 0

0 Я32 Я 33 Я34

ч 0 0 Я 43 Я 44

^ Г р '№11

0 0 0

у у

0

W

0

0

22

0

0

0

W

0

33

W'

44

У чЬ У

.

Я

33

11 13 21 22 32

В системе алгебраических уравнений (26) Я , Я , Я , Я , Я ,

Я34, Я43, Я44 , W11, W22 , W33, W44 - матрицы с элементами:

ВЬг = _гю ^ _2 рп рк ёУ ; В1т = -юк 8кп ; Вкп = —юк8кп ;

У0 с Ро

ВЫ = Г Vп • Ч ёУ ; Я^2 = -тп Г ^ ? ёУ; рЩ =1 ю Г ^^ • V/ ёУ ;

•> •> И •> N.

Уо

Уо

Уо

В1п -ю1 8/п ; В4 *ю/ 8/п ; В1п 81п ;

^кп1(Р)=Г е7п{§) рк ^р; ^п2р)=Г х Е*) • ;

33

кп

*• 4*; <р) = Г (%) х 1?;) • ёБр.

Компонентами вектора ср являются коэффициенты |ср }, сН - |с^ }

[апф)}, аТ - |алТ

Обращая матрицу, находящуюся слева, преобразуем (26) к виду

й - ^} , ¿Е - ^} ^р)} .

с р Г 811 12 1л 813 /•" 14 18 Г а2"

с Н 8 21 8 22 823 824 а т

831 832 833 4 3 8 У 2

ч й Е У ч 8 41 8 42 3 4 8 4 4 8 чуТ у

где

Г 811 гч 1л 3 1л /•" 14 1л Г Я11 0 3 0 ^ -1 Г W11 0 0 0

8 1 3 2 т 4 2 т Я 21 2 2 Рй 0 0 0 2 2 £ 0 0

831 832 3 3 т 4 3 т 0 Я32 3 3 ей 4 3 ей 0 0 3 3 £ 0

С/3 842 3 4 т 4 4 т ч 0 0 3 4 ей 4 4 ей ч 0 0 0 4 4 £

р

р

Составляем векторы с = зуем (27) к виду

Г Г ^ > Г а2 > Г Ь 2 >

, а = , а = , ь = и

сн У V а * У V аТ у V Ь Т У

б11 б12 >

уё21 §22,

где

ё11 =

Г 8П §12 >1 чё21 ё22,

, ё12 =

Г ё13 ё14 > чё23 ё24,

ё21 =

V Ь У

Г ё31 ё32 > чё41 ё42у

и преобра-

ё22 =

Гё33 ё34> чё41 ё42,

Между векторами а, Ь в (28) существует линейная зависимость в виде матрицы У, которая в акустике и называется матрицей импеданса:

Ь = Z • а.

Получить элементы матрицы импеданса можно, используя дополнительно проекционные формы

Ьк(а) = ^ Ра ек(а)^а , Ьк(а) = ^ (ек(а) * Еа )^а

Sa ^

из (23). Подставляя в них ряды Фурье

р=2 сП Рп, Е=2 ёпЕп,

п=1 п=1

из (24) получаем следующие системы алгебраических уравнений:

Ьк = 0к • сР;

Ьт= 0 "• АЕ,

где элементы матриц 0к, 0к вычисляются следующим образом:

Qk(а )п = ^ рпек (а )^а , бкт(а)п = ^ ( ек( а) * Еп )^^а .

^а $х

Подставляя в (31) первое уравнение из (28), а в (32) - четвертое уравнение из (28), и преобразуя матричное выражение, получаем матрицу импеданса автономного блока:

Ъ = (I - О • ё1)-1 • О • ё2,

где I - единичная матрица;

О

Г о 2 о > о О1

ё1 =

Г ё11 ё12 > чё41 ё42у

Г ё13 ё14 > чё43 ё44,

4 Методика определения комплексных постоянных распространения волн в трехмерной периодической двухфазовой гетерогенной структуре

На рис. 1 показан звукопоглощающий материал в виде трехмерной периодической структуры. Строение периодической структуры является периодическим вдоль оси С (рис. 1,а): через длину Л геометрия структуры в плоскости поперечного сечения ^оц повторяется. Поперечная структура свобод-

ных акустических полей в периодической структуре в силу симметрии также должна повторяться через период Л . Если фазовый сдвиг на двух отстоящих на расстояние Л поперечных сечениях равен ф, то при дальнейшем смещении на пЛ дополнительный фазовый сдвиг составит пф . Для комплексных амплитуд акустического поля справедливы соотношения

Р(£, ц, С + Л) = p (£, ц, С)ехр(—ф);

v

Эти равенства выражают содержание теоремы Флоке [4].

Свободный волновой процесс в бесконечномерной периодической структуре в направлении оси С можно рассматривать как наложение бесконечной совокупности плоских неоднородных волн [4]

^ ГГ 2тсп ^ Л

p(l,ц,С) = 2 pп(£,Ц)ехр —(v + ---1С

п=—то ( ( '

v

п=—то ( (

с компонентами рп (^, ц), Vn (^, ц) и постоянными распространения

2пп ф

Гп = v +--------(п = 0,±1,±2,...,±^), где v = —. Значение величины v является

Л Л

неизвестной и подлежит определению.

Физическое содержание пространственных гармоник заключается в том, что в области существования акустического поля можно реализовать взаимодействия одной из них с кусочно-неоднородными включениями в звукопоглощающем материале. Будем рассматривать взаимодействие с основным типом пространственной волны в периодической структуре, которая имеет постоянную распространения волны Г).

Волновой процесс в трехмерной периодической структуре (рис. 1,б) в направлении k = (cos Рx, cos Py cos Рz) подчинен теореме Флоке в форме

р(X + a, y, z) = p(x, y, z) ехр(—фx), v(x + a, y, z) = v(x, y, z) ехр(—фx),

P(x, y + b, z) = p(x, y, z) ехр(—фу), v (x, y + b, z) = v (x, y, z) ехр(—фy), (36) p(x, y, z +1) = p(x, y, z) ехр(—фz), v (x, y, z +1) = v (x, y, z) ехр(—фz),

где ф x = Г па cos Px, фу = Гп b cos $y, ф2 =Гп1 cos $z; Px, Py, fiz - углы ориентации направления распространения волнового процесса.

На гранях автономного блока должны выполняться условия теоремы Флоке (36). Для матрицы импеданса автономного блока

Ь = Z • а,

где векторы а и Ь составлены соответственно из коэффициентов ап(р) и

принимают следующий вид:

ап(4) = ап(1) ехр(-фх), ап(5) = ап(2) ехр(-*'фу ),

< ап

Ьк(5) = Ьк(2) ехР(-/фуX Ьк(6) = Ьк(3) ехр(-/фг), к, п = 1, 2,...

Подставляя (38) в (37), получаем следующее характеристическое уравнение для определения постоянных распространения Гп волн в трехмерной периодической структуре:

А(ГИ)=

Ъ аа - Н-1 • Ъ ва + Ъ ав • Н - Н-1 • Z вв • Н

= 0,

где А(Гп) - определитель матрицы; Zав , Zва, Zав , Zвв - клетки матрицы

импеданса Ъ =

(А - совокупность входных сечений автономно-

го блока ¿і, ¿2, В - совокупность входных сечений автономного блока

¿4, £5, 56); Н =

диагональная матрица с элементами:

кх{1} ) = - 8/ ] Гпа с°8 рх , ку(I ]) = - 8/ ] Гп Ь с°8 ру , К(I ]) = - 8/ ] Гп1 с°8 Рг .

Решая характеристическое уравнение (39), определяем постоянную распространения Г0 основного типа волны в трехмерной периодической структуре (двухфазовая гетерогенная структура). Постоянная распространения Г0 акустических волн в звукопоглощающем материале является комплексной величиной: Го = Го - /Го . Акустические волны, распространяющиеся в двухфазовой гетерогенной структуре в направлении оси оС (рис. 1,а), затухают по экспоненциальному закону ехр(-Г0 С). На единицу длины (С = 1) затухание акустических волн равно ехр(-Г0), или в децибелах:

кз = 20^ехр(-Го) ~ -8,685 Г0 —

_ м _

Заключение

Получена система уравнений гидродинамики, адекватно описывающая физические явления затухания акустических волн в звукопоглощающих гете-

рогенных структурах. Система уравнений гидродинамики состоит из уравнений Навье - Стокса и уравнения неразрывности. Математические модели звукопоглощающих гетерогенных структур, построенные на основе совместного решения уравнений Навье - Стокса и неразрывности с учетом сжимаемости и вязкости жидкости, рассматриваются впервые и являются пионерскими.

Разработан численный метод решения краевой задачи для автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с вязким и сжимаемым кусочно-неоднородным заполнением. Путем интегрирования по частям уравнений Навье - Стокса и уравнения неразрывности получена проекционная форма, из которой получены системы линейных алгебраических уравнений для определения математических описаний автономного блока. Разработана методика определения математических описаний для автономного блока в виде матриц импеданса из системы линейных алгебраических уравнений.

Разработана методика математического описания свободного волнового процесса в бесконечной трехмерной периодической структуре. Свободный волновой процесс в периодической структуре в произвольном направлении рассматривается как наложение бесконечной совокупности прямых и обратных плоских неоднородных акустических волн. Разработан вычислительный алгоритм для определения постоянных распространения акустических волн основного типа в бесконечной трехмерной периодической звукопоглощающей структуре.

Список литература

1. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. - М. : Мир, 1973. - 757 с.

2. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1974. - 731 с.

3. Дейч, М. Е. Гидродинамика / М. Е. Дейч, А. Е. Зарянкин. - М. : Энергоатомиз-дат, 1984. - 384 с.

4. Никольский, В. В. Проекционные методы в электродинамике / В. В. Никольский // Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике. -М. : Высшая школа, 1977. - С. 4-23.

5. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - М. : Наука. 1972. - 357 с.

6. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. - М. : Физматгиз, 1962 - 343 с.

7. Голованов, О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006. - Т. 51. - № 12. - С. 1423-1430.

Кичкидов Анатолий Андреевич

кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой автономных информационных и управляющих систем, Пензенский государственный университет

E-mail: aius@penzgu.ru

Kichkidov Anatoly Andreevich Candidate of engineering sciences, professor, head of sub-department of autonomous information and control systems, Penza State University

Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и инженерной графики, Пензенский артиллерийский институт

E-mail: golovanovol@mail.ru

Туманов Антон Александрович кандидат технических наук, старший научный сотрудник, ФГУ «Третий центральный научно-исследовательский институт» Министерства обороны РФ

E-mail: tonytumano@gmail.com

Мазур Алексей Михайлович младший научный сотрудник ФГУ «Третий центральный научно-исследовательский институт» Министерства обороны РФ

E-mail: maz.05@list.ru.

Golovanov Oleg Alexandrovich doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and engineering graphics, Penza artillery institute

Tumanov Anton Alexandrovich Candidate of engineering sciences, senior staff scientist, Federal State Institution “Third Central Research Institute” of the Russian Federation Ministry of Defence

Mazur Aleksey Mikhaylovich Junior research engineer, Federal State Institution “Third Central Research Institute” of the Russian Federation Ministry of Defence

УДК 539.3 Кичкидов, А. А.

Математическое моделирование распространения и затухания волновых процессов в двухфазовых гетерогенных структурах методом автономных блоков / А. А. Кичкидов, О. А. Голованов, А. М. Туманов А. М. Мазур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 120-131.