Анализ оптимального трехимпульсного перехода на орбиту искусственного спутника Луны

УДК 531.01:629.191

БОТ 10.18698/2308-6033-2016-03-1472

Анализ оптимального трехимпульсного перехода на орбиту искусственного спутника Луны

© Е С. Гордиенко1,3, В.В. Ивашкин2,3

1НПО им. С.А. Лавочкина, Химки, 141400, Россия 2ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 125047, Россия 3МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Исследована задача оптимального выведения космического аппарата от Земли на высокую круговую полярную орбиту искусственного спутника Луны (ИСЛ) радиусом 6 тыс. км. Выполнено сравнение одноимпульсной и трехимпульсной схем выведения. Анализ проведен с учетом возмущений от нецентральности поля Луны, гравитационных полей Земли и Солнца, а также конечности тяги двигателя. Показано, что трехимпульсный переход с начальной селеноцентрической гиперболы подлета к Луне на конечную орбиту ИСЛ заметно лучше по конечной массе, чем обычное одноимпульсное торможение. Приведены параметры управления, реализующего данный маневр и обеспечивающего практически те же энергетические затраты, что и в кеплеровском случае. Выявлено, что в отличие от кеплеровского в рассмотренном случае реального гравитационного поля существует оптимальное максимальное расстояние маневра.

Ключевые слова: космический аппарат, лунные траектории, оптимальный переход, трехимпульсный переход, спутник Луны.

Введение. В данной работе рассмотрена задача оптимального выведения космического аппарата от Земли на высокую круговую орбиту исскуственного спутника Луны (ИСЛ) с заданными величинами радиуса и наклонения к плоскости лунного экватора. Для случая импульсов и кеплеровского поля при достаточно большом радиусе орбиты ИСЛ энергетически оптимальным будет трехимпульсный перелет с начальной селеноцентрической гиперболической орбиты подлета к Луне на конечную орбиту ИСЛ. В работе исследован случай перелета в реальном поле и с учетом конечности тяги.

Анализ выполнен в три этапа. На первом этапе трехимпульсный перелет рассмотрен для кеплеровского случая. Первый, тормозной импульс сообщается в периселении начальной гиперболической орбиты, максимально близко к Луне, на высоте 100 км. Затем КА летит от Луны к точке приложения второго импульса — далеко от Луны, близко к границе сферы действия Луны. Принято, что расстояние от Луны равно 50 тыс. км. Второй импульс — ускоряющий — увеличивает расстояние в периселении до радиуса конечной орбиты ИСЛ, принятого равным 6 тыс. км. Третий, тормозной импульс — переводит КА на конечную орбиту ИСЛ. Определены характеристики перелета для данного случая кеплеровского поля.

На втором этапе при анализе движения КА учтены возмущения от нецентральности поля Луны, гравитационные поля Земли и Солнца. При этом рассмотрен импульсный случай, когда величина тяги неограниченна. В результате исследования определено, что можно так выполнить трехимпульсный перелет в реальном поле, что он будет реализован при практически тех же энергетических затратах, что и в кеплеровском случае. При этом влияние возмущений парируется для обеспечения конечных условий подходящим выбором вектора прицельной дальности гиперболы подлета к Луне. Показано, что для данного реального поля существует оптимальное максимальное расстояние перелета, в отличие от случая кеплеровского поля, когда энергетика перелета уменьшается с ростом максимального расстояния.

На третьем этапе анализа учтена ограниченность тяги двигателя при перелете, при этом энергетические затраты практически не изменены.

Постановка задачи. Необходимо решить задачу оптимизации (с точки зрения минимизации расхода топлива) перехода с селеноцентрической гиперболической орбиты на высокую круговую орбиту ИСЛ с заданными величиной большой полуоси а(^ = ау = Ям + Ну (6000 км), эксцентриситета е(1]) = еу = 0 и наклонения к плоскости лунного экватора = ¡у(90°). Задана также начальная масса КА т0 (~2040 км). Сравним одноимпульсный и трехимпульсный варианты перехода на орбиту ИСЛ.

Одноимпульсный вариант торможения. Рассмотрим схему прямого перелета, при котором КА, стартуя с космодрома (Байконур, Восточный, Куру), выходит на промежуточную опорную орбиту, где в течение примерно 1-1,5 часов происходит пассивный полет. В расчетный момент двигательная установка (ДУ) разгонного блока (РБ) сообщает импульс скорости, переводящий КА на траекторию полета к Луне. Далее в течение около 4,5-5,5 суток после отделения от РБ КА летит к Луне. Для перехода на орбиту ИСЛ двигатель КА сообщает тормозной импульс. Рассмотрим минимизацию характеристической скорости для этого торможения.

Время и дату подлета к Луне выбирают так, чтобы в момент перехода на орбиту ИСЛ обеспечить видимость КА с наземных станций слежения, расположенных в Медвежьих озерах и Уссурийске.

Определим характеристическую скорость одноимпульсного перехода на круговую орбиту ИСЛ:

где У1 — величина вектора скорости в периселении подлетной гиперболической орбиты.

Время перелета с орбиты ИСЗ на орбиту ИСЛ составляет примерно 4,6 суток, скорость на бесконечности при подлете к Луне

= 821,627 м/с, V = 1519,651 м/с. В нашем случае г'у = ау = 6000 км, Уу = 903,954 м/с. Тогда АУ1Шр = 615,697 м/с.

Конечную массу после торможения вычисляем по формуле Циолковского: ту = 1653,064 кг. (Здесь и далее в расчетах использованы следующие параметры ДУ: Р = 420 кГс, Руд = 298,7 с,

= Ру^0, где g0 = 9,80665 м/с2 — ускорение свободного падения.)

Трехимпульсный вариант торможения. Известно, что в случае кеплеровского поля Луны при достаточно большом радиусе орбиты ИСЛ энергетически оптимальным будет трехимпульсный перелет с начальной селеноцентрической орбиты подлета к Луне на конечную орбиту ИСЛ [1-3]. Рассмотрим схему трехимпульсного маневра у Луны (рис. 1).

Первый, тормозной импульс АУ1 сообщается в периселении Р1 начальной гиперболической орбиты Т0. После этого КА летит от Луны к точке Р2 приложения второго импульса АУ2 на эллиптической орбите Т1 далеко от Луны. Второй импульс — ускоряющий — увеличивает расстояние в периселении Р3 эллиптической орбиты Т2 до радиуса гу конечной орбиты ИСЛ Ту. Третий, тормозной импульс АУ3 переводит КА на конечную орбиту ИСЛ Ту. Все импульсы — апсидальные.

Анализ задачи трехимпульсного перехода. Анализ проведен в три этапа. На первом рассмотрено движение КА в центральном ньютоновском гравитационном поле притяжения Луны (кеплеровский случай), в импульсном приближении.

ак2 Т\

х

А Г3

Рис. 1. Трехимпульсный маневр торможения КА у Луны

Сравним одноимпульсный и трехимпульсный переходы. Имеем задачу оптимального схода с гиперболической орбиты с известной величиной У^ на заданную околокруговую орбиту ИСЛ.

Если задано максимальное расстояние ттах, которое больше, чем т1 и ту при переходе с гиперболической орбиты на круговую, тогда для оптимальной траектории перехода все импульсы будут апсидальными [1-3], при этом сообщается либо один, либо три импульса (см. рис. 1):

а) при У^< У * = м оптимальной будет траектория одно-

V ттах

импульсного перехода с тангенциальным импульсом в перицентре эллипса;

б) при У^> У * оптимальной будет траектория трехимпульсного перехода, причем для нее:

Т1 = Тл0 = Тп\; Ттах = Т2 = Та1 = Та2; Т3 = Тп3 = Ту.

Первый импульс сообщается в периселении пролетной гиперболической орбиты Т0 на минимально возможном расстоянии, второй — в апоселении высокоэллиптической орбиты Т1 на максимально возможном расстоянии, третий — в периселении высокоэллиптической орбиты Т2;

в) при У^ = У * имеет место независимость (по сумме импульсов скорости) трехимпульсного перехода Т0 ^ Т1 ^ Т2 ^ Ту от начального перицентрического расстояния в диапазоне

Тшп ^ тп0 ^ ту.

3 2

При цм = 4902,79944 км /с , гтах = 50 000 км — критическая скорость У * = 442,845 м/с. Для заданных нами условий У^ = 821,627 м/с; следовательно, имеем второй случай, т. е. оптимальна трехимпульсная траектория перехода на орбиту ИСЛ.

Теоретический анализ показал, что для данной задачи трехим-пульсного перехода суммарная характеристическая скорость становится меньше с увеличением т2 и уменьшением т1. Рассмотрим соответствующие зависимости для задачи торможения у Луны.

Влияние максимального расстояния г2 на величину суммарного импульса скорости. «Заморозим» величины радиусов приложения первого и третьего импульсов: т1 = 1838,57 км и т3 = 6000 км — и будем изменять расстояние в апоселении Т2 эллиптической орбиты Т1 в диапазоне от 6000 км до 105 км. На рис. 2 и 3 представлены зависимости суммарной характеристической скорости трехимпульс-ного перехода, а также величин первого, второго и третьего импульсов в зависимости от величины радиуса апоселения т2.

Рис. 2. Зависимость суммарной характеристической скорости трехимпульсного перехода, а также ее асимптотического значения от величины г2

АКьАКг.АКз.м/с

Рис. 3. Зависимости величин первого (красная кривая), второго (черная кривая) и третьего (фиолетовая кривая) импульсов скорости от величины r2

В рамках центрального поля Луны получают следующее:

Vno = , к + ^, Vnl = щ = Ко -

М r1 V r1 r1 + r2

Val = A, Va2 = l2^-^, AV2 = Va2 - Val,

\ r2 r1 + r2 V r2 r3 + r2

Vf = , AV3 = Vn2 - Vf,

f rf + Г2 V rf

В асимптотическом случае, когда r2 ^ ^,

AVf ^ A Vac = Vn

f

ас

п0

Тогда получаем следующие значения:

Vn0 = 2451,193 м/с, Vn1 ^ 2309,388 м/с, AV1 ^ 141,804 м/с, Vn2 ^ 1278,384 м/с, AV3 ^ 374,431 м/с, AVf ^ AVac = 516,235 м/с.

Асимптотические значения импульсов представлены в виде горизонтальных линий на рис. 2 и 3.

Анализ показывает, что без учета возмущений в рамках центрального поля Луны суммарная характеристическая скорость монотонно уменьшается с увеличением расстояния r2: чем дальше отлетаем от центра Луны, тем меньше топлива затратим. Для r2 = = 60 000 км суммарная характеристическая скорость составляет AVf = 542 м/с (больше AVVас на 26 м/с), а для r2 = 50 000 км - AVf = = 548 м/с (больше AV^ на 32 м/с).

При подходе к границе сферы действия Луны и выходе за ее возмущения траектория полета КА существенным образом изменяется. Поэтому в качестве расстояния в апоселении промежуточной орбиты, выбираем расстояние в пределах сферы действия Луны: r2 = 50 000 км. Для получения результатов, более близких к реальным, следует учесть нецентральность гравитационного поля Луны и конечность тяги двигателя КА.

Влияние величины т\ на величину суммарного импульса скорости. «Заморозим» величины радиусов приложения второго и третьего импульсов и будем менять величину радиуса в периселении r1 пролетной орбиты T0 в пределах от rmm = 1838,57 км до rf = 6000 км.

Зависимость суммарных затрат характеристической скорости от радиуса r1 в периселении пролетной орбиты T0 имеет монотонно возрастающий характер (рис. 4).

Из анализа формул для вычисления AV3, a2, e2 видно, что AV3 = f (a2, e2, r3), аa2 =f (Г2, Г3), e2 =f (/2, Г3) ^ AV3 =f (/2, Г3). Отсюда следует, что при фиксированных r2, r3 = rf величина третьего импульса торможения не зависит от r1: AV3 = const.

1500 2500 3500 4500 5500 гькм

Рис. 4. Зависимость суммарной величины трехимпульсного перехода от величины г1

АГьАГьАУ3,м/с

Рис. 5. Зависимости величин первого (красная кривая), второго (синяя кривая) и третьего (черная кривая) импульсов перехода от величины г1

Из анализа рис. 4 и 5, а также формул А¥\ = /(г1, г2), А¥2 = /(г1, г2, г3), А¥3 = /г2, г3) следует, что с увеличением радиуса г1 величина суммарного импульса скорости монотонно возрастает. Таким образом, критерию минимизации характеристических затрат соответствует условие максимально близкого пролета КА от центра Луны в точке Р\. Поэтому для радиуса пролетной орбиты выбираем величину г1 = = 1838,57 км.

Итак, оптимальным считаем вариант трехимпульсного перехода в центральном поле Луны при следующих значениях параметров, характеризующих траекторию перелета КА на орбиту ИСЛ: г1 = =1838,57 км, Г2 = 50 000 км, тъ = 6000 км, АГ/ = 548,689 м/с, масса КА шг = 1691,315 кг.

Энергетически такой переход лучше, чем одноимпульсный. Выигрыш в характеристической скорости и конечной массе КА для трехимпульсного перехода по сравнению с одноимпульсным в центральном поле Луны при величине г2 = 50 000 км составит: ЪУ = 67,008 м/с и Ъш = 38,251 кг; а при г2 = 60 000 км: Щ = 543,459 м/с, ЪУ = 72,238 м/с, Ъш = 41,273 кг.

Отметим, что далее будут необходимы характеристики перехода при Г2 = 45 000 км. Приведем их: АУ/= 551,632 м/с, А У = 187,128 м/с, АУ2 = 67,626 м/с, АУ3 = 296,878 м/с, ЪУ = 64,035 м/с, Ъш = 36,552 кг.

Модель поля и уравнения движения КА при учете возмущений. Расчет траектории перелета к Луне при учете возмущений осуществляют в рамках задачи четырех тел (КА, Земля с учетом ее сжатия (т. е. 2-й зональной гармоники 32), Луна с учетом ее нецентральности в разложении в ряд 8*8 и Солнце) и определяют численным интегрированием системы дифференциальных уравнений движения точки в невращающейся геоцентрической геоэкваториальной системе прямоугольных координат 0ХУ2. При этом используют среднее равноденствие и средний геоэкватор стандартной эпохи 32000.0. Дифференциальные уравнения, описывающие движение КА, имеют вид:

¿2г _ цм -

йг г

г +

X 2=1ц г

/ _ _ _ л

I — — |3 —3 1Г - г 1 Г У

- - Р ™

+ аЕ + ам + —, (7) ш

где г — селеноцентрический радиус-вектор КА; цм — гравитационный параметр Луны; ц и Г[ — гравитационные параметры и радиус-векторы возмущающих небесных тел (Земля, Солнце), где г = 1 соответствует возмущениям от притяжения Земли, а г = 2 — притяжению Солнца; ам = {ам, аму, аш} — возмущающее ускорение, вызванное нецентральностью поля тяготения Луны в разложении в ряд 8*8; аЕ = = {аЕх, ау, ай} — возмущающее ускорение, вызванное нецентральностью поля тяготения Земли,

5 г2 х 5 г2 у

аЕх = аЕ0[-1 + аЕу = аЕ0[—1 + 2Г]_, Г Г Г Г

г . 5г2 г

аЕг = аЕ0[—3 + , аЕ0 = 1""4 ,

г Г 2Г

где Яе, 32 — экваториальный радиус и коэффициент 2-й зональной гармоники геопотенциала Земли.

Векторы состояния Луны и Солнца определяем из табличных эфемерид ББ-405 [4]. В исследовании использованы следующие константы: цЕ = 398600,4481 км3/с2; цм = 4902,79914 км3/с2; ц =

= 1,32712439935-Ш11 км3/с2; J2 = 0,0010826348; Re = 6378,136 км. Эфемеридная поправка At(TDB-UTC) принята равной 68,184 с.

Анализ трехимпульсного перелета с учетом гравитационных возмущений. На втором этапе анализ проведен с учетом возмущений от Земли и Солнца, а также гармоник поля Луны. При этом рассмотрен импульсный случай, когда величина тяги не ограничена, а трехимпульсный переход выступает в качестве биэллиптического с обеспечением наклонения конечной орбиты КА к плоскости лунного экватора if (точка Р3). Движение КА описывается дифференциальными уравнениями (7).

Решение задачи трехимпульсного перехода на орбиту ИСЛ проведено по следующей методике.

КА, двигаясь по гиперболической траектории, достигает периселения в момент tf, при этом расстояние в периселении (точка Р1) r1 равно 1838,57 км, наклон конечной орбиты радиусом rf = 6000 км к плоскости лунного экватора if (90°). Определим энергетические характеристики трехимпульсного перехода при наличии возмущений.

Первый, тормозной, импульс сообщается в точке Р1 противоположно скорости; величина его изменяется так, чтобы обеспечить заданное расстояние r2 в апоселении эллиптической орбиты Г1. При этом допустимая ошибка по радиусу апоселения принята равной e(ra) = 10 м.

Второй, разгонный, импульс сообщается в точке Р2 по скорости. Его величина меняется так, чтобы обеспечить нужное расстояние в периселении эллиптической орбиты Т2 (точка Р3), равное большой полуоси конечной орбиты ИСЛ: r3 = rf = af. Допустимая ошибка по радиусу периселения равна e(rn) = 10 м.

В точке Р3 определяют необходимую величину третьего, тормозного, импульса скорости для перехода с высокоэллиптической орбиты T2 на конечную круговую орбиту ИСЛ. Затем в точке Р3 определяют наклонение получившейся конечной орбиты i3 и его рассогласование Aif с заданной величиной if : Aif = i3—if и сравнивают с заданной величиной точности e(if).

Изменяем наклонение i0 начальной гиперболической орбиты так, чтобы конечное наклонение i3 равнялось заданному if, lAf < e(i/). При расчетах допустимая ошибка e(zf) принята равной 0,001°. При этом сходимость получается хорошей. Задачу решаем за 4-5 итераций.

Применим описанную выше методику к задаче анализа трехимпульсного перехода на орбиту ИСЛ с учетом возмущений. Учтем, что радиус апоселения орбиты Т1 менялся в диапазоне r2 = = [6000, 56 000] км с тем, чтобы можно было выявить зависимость характеристик перехода от расстояния r2. Результаты анализа представлены на рис. 6-8 и в табл. 1.

500-1-1-1-1-1

6 000 16 000 26 000 36 000 46 000 гъ км

Рис. 6. Зависимость суммарной характеристической скорости при переходе на орбиту ИСЛ от величины г2

АГ1,ДК2>АК3,м/С

Рис. 7. Зависимость величин первого (синяя кривая), второго (красная кривая) и третьего (зеленая кривая) импульсов скорости от

величины г2

Рис. 8. Зависимость селенографического наклонения подлетной гиперболы ¿0 от величины г2

Таблица 1

Энергетические характеристики перелета с учетом возмущений для конечного наклонения ^ = 90°

г2, км АУи м/с АУ2, м/с АУ3, м/с А V, м/с ¿0, °

6000 430,702 284,955 0,012 715,778 89,997

10000 328,798 216,282 106,976 652,057 89,865

15000 271,806 165,199 177,073 614,079 89,768

20000 241,672 133,340 218,164 593,175 89,192

25000 223,318 111,492 245,157 579,967 87,777

30000 210,760 95,337 263,963 570,061 84,600

35000 201,360 82,733 277,132 561,225 78,560

40000 193,928 73,753 285,709 553,391 68,337

42500 190,494 71,563 288,577 550,6343 61,816

45000 187,209 71,532 290,916 549,657 55,357

47500 184,105 73,577 293,022 550,704 49,547

50000 181,355 76,650 295,184 553,188 45,617

55000 177,596 95,555 301,249 574,400 42,772

По данным рис. 6, 7 и табл. 1 видно, что для конечного наклонения в 90° оптимальным по критерию минимизации характеристической скорости будет трехимпульсный переход с параметрами: Т\ = 1838,57 км, г2 = 45 000 км, г3 = 6000 км и 10 = 55,357°. При этом получают следующие величины импульсов скорости: ДУ = = 187,209 м/с, ДУ2 = 71,532 м/с, ДУз = 290,916 м/с, суммарная характеристическая скорость ДУ/ = 549,657 м/с.

Анализ показывает, что при учете возмущений зависимость характеристической скорости от промежуточного расстояния г2 не является монотонно убывающей. Существует оптимальное значение г2 (~45000 км), при котором можно достичь минимальное значение суммарной характеристической скорости, в отличие от случая кеплеровского поля, когда энергетика перелета уменьшается с ростом максимального расстояния г2.

Для селенографического наклонения конечной орбиты // = 90° с увеличением расстояния г2 до 16 000 км, когда возмущения малы, начальное наклонение г0 в точке Р1 близко к конечному наклонению // (см. рис. 8). При дальнейшем увеличении расстояния г2, когда возмущения возрастают, наблюдается существенное уменьшение наклонения пролетной гиперболы /0. Так, при г2 = 55 тыс. км разница между начальным наклонением (г0 = 55,357°) и конечным наклонением (/ = 90°) достигает ~34,65°.

Таким образом, трехимпульсный перелет в реальном поле можно выполнить так, что его энергетические затраты будут практически теми же, что и в кеплеровском случае (АУ/ = 548,689 м/с).

Для оптимального трехимпульсного перехода в данном реальном гравитационном поле (см. рис. 6, 7) получаем следующие значения пара-метров, характеризующих траекторию перелета КА на орбиту ИСЛ: п = 1838,57 км, Г2 = 45 000 км, гз = 6000 км, АУ/ = 549,657 м/с, масса КА (в импульсном случае) т/имп = 1690,76 кг.

Выигрыш в характеристической скорости и конечной массе КА после трехимпульсного перехода по сравнению с одноимпульсным в центральном поле Луны составляет 5У = 66,04 м/с и 5т = 27,696 кг при оптимальной величине г2 = 45 000 км.

Анализ трехимпульсного перелета с учетом гравитационных возмущений и конечности тяги двигателя. На третьем этапе анализ проведен с учетом возмущений от полей Земли и ее сжатия, Солнца, Луны с учетом ее нецентральности в разложении в ряд 8 х 8, а также конечности величины тяги.

Приняты следующие параметры двигателя: тяга Р = 420 кг/с, удельный импульс Руд = 298,7 с, Же = Руд§ь, где g0 = 9,80665 м/с — ускорение свободного падения. Масса КА при подлете к Луне составляет т0 = 2039,736 кг.

Для решения задачи перехода на орбиту ИСЛ в рамках третьего этапа используем результаты, полученные на втором.

На первом активном участке торможения, в окрестности периселения Р1 начальной гиперболической орбиты Т0, тяга двигателя противоположна скорости, а длительность работы двигателя Д^АУ1 варьируется так, чтобы обеспечить заданное значение расстояния г2 в апоселении получающейся высокоэллиптической орбиты Г1.

При известной величине импульса А У длительность торможения АtАу1 определяем по формуле Циолковского:

т 0 —т г

=,

т

где т/ = т0 ехр

АУ!

Руд §0

конечная масса после торможения;

Р

т =--постоянный массовый расход топлива, в котором тяга Р

руд §0

задается в Ньютонах.

Тормозной импульс в точке Р\ (см. рис. 1) распределяется симметрично относительно периселения пролетной орбиты. Для этого длительность работы двигателя делится пополам — А^ау = = 0,5А^уь На заданный интервал времени А^ау отодвигаемся назад от периселения пролетной орбиты Т0, получившаяся точка считается точкой начала работы двигателя.

Итерационно решая краевую задачу методом Ньютона, варьируем длительность работы двигателя АtАУ! так, чтобы расстояние в апоселении получившейся орбиты Т получилось равным заданному г2. Допустимая ошибка по радиусу апоселения принята равной е(га) = 10 м. Сходимость получается хорошей, задача решается за три итерации.

Вектор тяги на втором активном участке в окрестности апоселения Р2 орбиты Т1 направлен по вектору скорости. Продолжительность работы двигателя Аtау2 изменяется так, чтобы обеспечить значение расстояния в периселении Р3 получившейся орбиты Т2, равное конечному радиусу г/. При этом допустимая ошибка принята равной е(га) =10 м. Сходимость также получается хорошей, задача решается за три итерации.

Решение третьей краевой задачи схода с высокоэллиптической орбиты Т2 на конечную круговую орбиту Т/ строится следующим образом.

Исходя из величины импульса, который надо сообщить КА в точке Р3 - АУ3, чтобы перейти на конечную круговую орбиту ИСЛ Т/, по формуле Циолковского определяется длительность работы двигателя АtАУ3. Так же как и при решении первых двух краевых задач, сдвигаемся назад от точки Р3 на время, равное половине длительности работы двигателя АtАУ3 = 0,5А^АУ3. Получившаяся точка считается точкой начала работы двигателя. Вектор тяги направлен против вектора скорости.

Момент выключения двигателя определяем условием достижения заданной величины большой полуоси для конечной орбиты а/.

Итерационно сводим к нулю величину радиальной скорости Уг (с точностью е(Уг) = 1 мм/с) в конце активного участка. При этом в качестве варьируемого параметра выбираем время начала работы двигателя Л^0Ау3. Сходимость получается хорошей. Задачу решаем за одну-две итерации.

Определяем апсидальное расстояние га3 получившейся орбиты Т3 в данной точке Р3 и его отклонение от конечного радиуса г/. Далее возвращаемся ко второму активному участку и изменяем расстояние в периселении высокоэллиптической орбиты Т2 так, чтобы после третьего активного участка га3 = г/ в пределах заданной точности е(Лг/) = 25 м. Сходимость получается хорошей. Задачу решаем за две-три итерации.

Приведем численные результаты решения задачи на третьем этапе. Анализ влияния конечности тяги выполнен для оптимального варианта, полученного на втором этапе. Для него: Г1 = 1838,57 км, г2 = = 45 000 км, г3 = 6000 км, конечная масса КА (при импульсной реализации тяги) т/имп = 1690,76 кг, наклонение начальной гиперболической орбиты к плоскости экватора Луны составляет ¡о = 55,357°, наклонение конечной орбиты к плоскости экватора Луны задано равным ¡/ = 90°.

Результаты решения задачи на третьем этапе представлены в табл. 2.

Таблица 2

Массово-энергетические характеристики решения задачи трехимпульсного перехода с учетом ограниченности тяги

Л4у1, с ЛУх1, м/с ЗУгр1, м/с Лау2, с ЛУх2, м/с ЗУгр2, м/с Лау3, с Л0ау3, с ЛУх3, м/с м/с ЛУхЕ, м/с ЗУгрЕ, м/с кг

90,11 187,845 0,636 32,803 71,536 0,004 125,532 61,273 290,929 0,013 550,31 0,653 1690,379

Примечание. ЛУХ — = Weln(m0/mf); 5Угр=ЛУХ характеристическая скорость с конечной тягой; ЛУХ = — ЛУимп, 5Угр — гравитационные потери.

Согласно проведенному анализу, суммарные гравитационные потери очень малы и составляют менее 1 м/с; начальное наклонение для третьего этапа практически совпадает с наклонением второго этапа, отличие менее 0,1о

Энергетические характеристики перехода (скорость и масса) и масса КА для всех трех этапов представлены в табл. 3. Отметим, что их значения очень близки друг к другу: скорость отличается в пределах 1 м/с, а масса — в пределах 1 кг. Геометрически траектория при учете возмущений заметно отличается от траектории в идеальном кеплеров-ском варианте по начальному наклонению ¡0 и по промежуточному расстоянию г2.

Таблица 3

Массово-энергетические характеристики решения задачи трехимпульсного перехода для трех этапов анализа

Номер этапа А¥х, м/с та, кг АтЫ/, кг Г2, км '0,град град

1 551,632 1689,616 36,552 45000 90 90

2 549,657 1690,756 37.696 55,357

3 550,406 1690,324 37,260 55,269

Примечание. Атка/ — выигрыш по массе трехимпульсного варианта перехода над одноимпульсным.

Заключение. При рассмотрении задачи оптимального торможения КА при подлете к Луне по начальной гиперболической орбите и переходе на высокую круговую орбиту ИСЛ проведено сравнение обычного одноимпульсного и трехимпульсного торможения с удаленной точкой приложения промежуточного импульса.

Анализ трехимпульсного перехода проведен в три этапа. На первом этапе рассматривали решение в рамках задачи двух тел, т. е. в центральном поле Луны. На втором создали математическую модель с учетом полей Земли и ее сжатия, Солнца, Луны и ее нецентральности при разложении в ряд 8*8. Проанализирован случай импульсной тяги. На третьем этапе к учтенным на предыдущем этапе возмущениям было добавлено условие конечности тяги двигателя.

Выявлено, что учет возмущений приводит к новым характеристикам оптимального трехимпульсного перехода по сравнению со случаем кеплеровского поля Луны. Показано, что существует оптимальное значение расстояния в точке сообщения промежуточного импульса — примерно 45 тыс. км для конечного наклонения в 90о. Кроме того, определено, что начальное наклонение за счет влияния возмущений отличается от конечного примерно на 35о.

Показано, что энергетические оптимальные характеристики трехимпульсного перехода при учете возмущений и конечности тяги практически те же, что и в кеплеровском варианте. Учет конечности тяги приводит к увеличению затрат топлива по массе и характеристической скорости примерно на 0,75 кг и 0,8 м/с соответственно.

Выигрыш в суммарной характеристической скорости и конечной массе КА для оптимального трехимпульсного перехода при учете возмущений и конечности тяги по сравнению с одноимпульсным составил примерно 65,3 м/с и 37,3 кг.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. Москва, Наука, 1975.

[2] Фролов К.В. и др., ред. Машиностроение: энциклопедия: в 40 т. Т. ГУ-22, кн. 1. Ракетно-космическая техника. Москва, Машиностроение, 2012.

[3] Нариманов Г.С., Тихонравов М.К., ред. Основы теории полета космических аппаратов. Москва, Машиностроение, 1972.

[4] Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides. Interoffice memorandum: JPL IOM 312, F, 1998, August 26, рр. 98-048. URL: ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/planets/ioms/de405.iom.pdf.

[5] Гордиенко Е.С., Ивашкин В.В., Лю В. Анализ оптимальных маневров разгона и торможения космического аппарата при его полете к Луне. Космонавтика и ракетостроение, 2015, № 1 (80), с. 37-47.

[6] Гордиенко Е.С., Ивашкин В.В. Разработка универсального алгоритма определения траектории попадания в Луну для случая центральной траектории подлета к Луне. Молодежный научно-технический вестник, 2012, № 5. URL: http://sntbul.bmstu.ru/doc/467776.html

[7] Гордиенко Е.С., Лю В. Анализ оптимального разгона КА при полете к Луне. Молодежный научно-технический вестник, 2013, № 9. URL: http://sntbul.bmstu.ru/doc/606352.html

[8] Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. Москва, Наука, 1965.

[9] Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Введение в механику космического полета. Москва, Наука, 1990.

[10] Степаньянц В.А., Львов Д.В. Эффективный алгоритм решения системы дифференциальных уравнений движения, Математическое моделирование, 2000, т. 12, вып. 6, с. 9-14.

Статья поступила в редакцию 27.01.2016

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Гордиенко Е.С., Ивашкин В.В. Анализ оптимального трехимпульсного перехода на орбиту искусственного спутника Луны. Инженерный журнал: наука и инновации, 2016, вып. 3. URL: http://engjournal.ru/catalog/arse/adb/1472.htm

DOI 10.18698/2308-6033-2016-03-1472

Статья подготовлена по материалам доклада, представленного на XL Академических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С.П. Королёва и других выдающихся отечественных ученых — пионеров освоения космического пространства, Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана, 26-29 января 2016 г.

Гордиенко Евгений Сергеевич родился в 1990 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2013 г. Аспирант кафедры «Динамика и управление полетом ракет и космических аппаратов» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 7 научных работ в области моделирования и построения лунных траекторий. e-mail: gordienko.evgenyy@gmail.com

Ивашкин Вячеслав Васильевич родился в 1937 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1960 г. Главный научный сотрудник ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Д-р физ.-мат. наук, профессор, академик Российской академии космонавтики им. К.Э. Циолковского, профессор-консультант Харбинского технологического института (Китай). Профессор кафедры «Динамика и управление полетом ракет и космических аппаратов» факультета «Специальное машиностроение» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 200 научных публикаций в области механики космического полета, оптимальных траекторий, лунных траекторий, космической навигации, проблемы обеспечения астероидно-кометной безопасности, истории космонавтики. e-mail: ivashkin@keldysh.ru

Analysis of optimal three-impulse transfer to an artificial lunar satellite orbit

© E.S. Gordienko1,3, V.V. Ivashkin2,3

1Lavochkin Research and Production Association, Khimki, 141400, Russia 2Keldysh Institute of Applied Mathematics, Moscow, 125047, Russia 3Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The article studies a problem of optimal transfer of a spacecraft from the Earth into a high circular Artificial Lunar Satellite (ALS) polar orbit with the radius of6000 km. The single-impulse scheme is compared with the three-impulse one. The analysis is performed taking into account lunar gravitational field harmonics, gravitational attractions of the Earth and the Sun, and the engine thrust being limited. The results show that the three-impulse transfer from the initial selenocentric hyperbolic orbit to the final ALS one is better in terms of final mass than ordinary single-impulse deceleration. Control parameters implementing this operation and providing virtually the same power consumption as in the Keplerian case are given. The study reveals that there exists an optimal maximum distance of the maneuver in the case of real gravitational field, unlike in the Keplerian case.

Keywords: spacecraft, lunar trajectories, optimal transfer, three-impulse transfer, lunar satellite.

REFERENCES

[1] Ivashkin V.V. Optimizatsiya kosmicheskikh manevrov pri ogranicheniyakh na rasstoyaniya do planet [Optimising space maneuvres when distances to planets are limited]. Moscow, Nauka Publ., 1975.

[2] Frolov K.V., ed. Mashinostroenie. Entsiklopediya. [Mechanical Engineering. Encyclopaedia]. In 40 vols. Vol. IV-22, book 1. Raketno-kosmicheskaya tekhnika [Missile and aerospace technology]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2012.

[3] Narimanov G.S., Tikhonravov M.K., ed. Osnovy teorii poleta kosmicheskikh apparatov [Basic aspects of the theory of spacecraft flight]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1972.

[4] Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides. Interoffice memorandum: JPL IOM 312. F-98-048, 1998, August 26. Available at: ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/planets/ioms/de405.iom.pdf

[5] Gordienko E.S., Ivashkin V.V., Lyu V. Kosmonavtika i raketostroenie -Cosmonautics and Rocket Engineering, 2015, no. 1 (80), pp. 37-47.

[6] Gordienko E.S., Ivashkin V.V. Molodezhnyy nauchno-tekhnicheskiy vestnik -Youth Science and Technology Herald, 2012, no. 5. Available at: http://sntbul.bmstu.ru/doc /467776.html

[7] Gordienko E.S., Lyu V. Molodezhnyy nauchno-tekhnicheskiy vestnik -Youth Science and Technology Herald, 2013, no. 9. Available at: http://sntbul.bmstu.ru/doc/606352.html

[8] Elyasberg P.E. Vvedenie v teoriyu poleta iskusstvennykh sputnikov Zemli [Introduction to the theory of artificial Earth satellites]. Moscow, Nauka Publ., 1965.

[9] Okhotsimskiy D.E., Sikharulidze Yu.G. Vvedenie v mekhaniku kosmicheskogo poleta [Introduction to the mechanics of space flight]. Moscow, Nauka Publ., 1990.

[10] Stepanyants V.A., Lvov D.V. Matematicheskoe modelirovanie - Mathematical Modeling, 2000, vol. 12, no. 6, pp. 9-14.

Gordienko E.S. (b. 1990) graduated from Bauman Moscow State Technical University in 2013. Post-graduate student of the Department of Dynamics and Flight Control of Rockets and Spacecraft, Bauman Moscow State Technical University. Author of 7 scientific papers in the field of modelling and lunar trajectory plotting. e-mail: gordienko.evgenyy@gmail. com

Ivashkin V.V. (b. 1937) graduated from Bauman Moscow Higher Technical School in 1960. Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor, Academician of the Russian Academy of Cosmonautics. Professor of the Department of Dynamics and Flight Control of Rockets and Spacecraft at Bauman Moscow State Technical University, Professor-Consultant at Harbin Institute of Technology (China). Chief Research Scientist at Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences. Author of over 200 scientific publications in the field of space flight dynamics, optimal space trajectories, lunar trajectories, space navigation, asteroid and comet impact hazard problems, history of astronautics. e-mail: ivashkin@keldysh.ru