Математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода

Вычислительные технологии

Том 1, № 3, 1996

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ ВНУТРИ ИЗОГНУТОГО ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА^

О.П.ТКАЧЕНКО Вычислительный центр ДВО РАН, Хабаровск, Россия

Из общих уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости (с учетом сопротивления потоку) и моментной оболочки выведены одномерные уравнения распространения волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого подземного трубопровода. На наружной поверхности трубопровода ставились краевые условия типа сухого трения и реакции упругой среды. В выражении для давления в жидкости в явном виде учитывалась кривизна профиля трубопровода.

Введение. Подземные и подводные трубопроводы обладают свойством изменять свое положение в грунте (или всплывать к поверхности воды) под влиянием внутреннего потока жидкости. Для диагностики этого явления можно использовать то, что характер распространения волны давления, проходящей сквозь жидкость внутри трубопровода, зависит от степени изгиба его профиля.

Влияние колена на распространение волны давления изучалось в работах [1, 2]. Метод, использованный в [1], был применен при построении математической модели нулевого порядка по кривизне профиля трубопровода в [3], где трубопровод считался безмоментной оболочкой и не учитывалось сопротивление внешней среды.

В данной работе построена одномерная математическая модель распространения волны давления в потоке жидкости внутри трубопровода, который считался моментной оболочкой, находящейся под действием сил трения и давления со стороны окружающего грунта. Слагаемые в уравнениях движения оболочки, описывающие взаимодействие с грунтом, получены при выводе из общих уравнений движения трехмерного упругого тела (см. [4]), который здесь не приводится.

Постановка задачи. Пусть дана следующая физическая система: внутри изогнутого подземного трубопровода равномерно течет жидкость (рис. 1). В точке каким-либо образом возбуждаются колебания давления внутри жидкости. Надо найти динамику системы.

Будем считать, что:

1) движение жидкости описывается с достаточной точностью уравнениями для идеальной жидкости с учетом сопротивления потоку;

*© О. П. Ткаченко, 1996.

^ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №93-01-17404.

2) движение стенки трубопровода подчиняется уравнениям движения моментной оболочки в приближении технической теории [4];

3) влияние грунта можно учесть через наложение краевых условий на наружной стенке трубопровода.

Геометрия задачи. Пусть осевая линия трубы Г является кривой, лежащей в плоскости ХОУ. Координатами произвольной точки внутри трубы являются:

1) полярные координаты 9, Я в плоскости сечения, перпендикулярной Г (рис. 2);

У I

А в 1 z

о’ і

Рис. 2.

2) расстояние s вдоль осевой Г от точки O до начала этой полярной системы координат O' (см. рис. 1).

Данная система координат ортогональна, поэтому для метрического тензора получим

gii = (l +-----— sin О), где p0 (s) — радиус кривизны Г; g22 = R2, g33 = 1, остальные

V Po(s) }

компоненты равны нулю.

Уравнения движения жидкости. Поток внутри трубы будем описывать уравнениями движения идеальной жидкости с учетом силы сопротивления:

dv

dt +(v,v)v

P

^р + div(pV) = 0,

1 f' s+A£

vo = д I Vods.

s

Здесь Vo — скорость в стационарном случае:

Pf (V0, V)Vo = -gradpo - avolvol, divvO = 0,

a — коэффициент сопротивления стационарному потоку. Вводя представление V = Vo + V, Р = po + Pi, P = Pf + P, линеаризуем уравнения (1) в окрестности стационарного решения. Принимая уравнение состояния в виде р = Р1, где Cf — скорость звука, и считая малыми

Cf

производные по пространству от Vo, а Pf — константой, получим:

dV 1

— + (Vo, V)V = -—grad Pi, dt cf

c2

Cf

^p1- +

+ div(pfV') = 0, dw

dt-

R=R° dt

Здесь система уравнений дополнена краевым условием на стенке трубы, в котором w — радиальное перемещение стенки.

Ниже используются следующие обозначения для параметров: pa — атмосферное давление; pf — плотность жидкости при нормальных условиях; Cf — скорость звука в жидкости; и — характерная частота процесса; £ — характерная длина волны процесса; a2 = pa/pf cj — параметр; е = minR° ,) ^ 1, где Ro — расстояние от оси Г до серединной поверхности

o<S<iP0

трубы; a = Ro/£ ^ 1.

Переменные и функции обозначаются: V = V/и£ — безразмерная скорость жидкости

с компонентами Vs, Vq , Vr; Vo = Vo/u£ — безразмерная скорость стационарного течения

жидкости; т = ut, Z = s/£, r = R/Ro — безразмерные время и координаты; W = w/Ro —

безразмерная величина радиального смещения стенки трубы; p = p/pa — безразмерная

mni р°

величина давления в жидкости; f (Z) = < sp°(z)---------------безразмерная функция кривизны оси

трубы.

Ограничимся исследованием случая

Vo = VsoeS = VoeS, Vqo = Vro = 0, grad po = const.

Отсюда следует, что vo = const.

После преобразования (2) к безразмерному виду разложим решения в ряды Фурье по угловой координате 9:

0 1 2

V =V +е V sin 9 + е V cos 9 + ...,

0 1 2 p =p +е p sin 9 + е p cos 9 +____

1

Затем решения систем уравнений для коэффициентов Фурье разложим в степенные ряды по параметру а:

а уз

3=0

г 3 г

Р=22 а' Рз •

3=0

Переобозначим:

0 0 0 ^0=^0 +а

0 0 0 Ро=Ро +аРі,

0 0 0 ^гі=^гі +а Ьг2,

0 0 0 Р2=Р2 +аРз,

і і Ь«і = Ь«0 +а ^81)

іі Рі =р0 +а рі,

2 2 2 ь0і=ь0і +а ^02,

і і і ^гі=^гі +а ^г2,

0 0 0 ьз2=ьз2 +а ь«3)

і і і Р2=Р2 +аРз,

і і і ь0і=ь0і +а ^02,

2 2 2 ^і=^гі +а ^г2,

2 2 2 ьз2=ьз2 +а ^«3)

2 2 2 Р2=Р2 +а Рз •

Проводя вычисления (см. [3, 5]), получим:

9у«о Зу3о .

+ ^о + а'

5т

д(

0

,дРо

д(

00 д Ро дРо

17 + щ ~д(

дь «0 д и)

+-----------80 + 2------

+ д( + дт

Р2= -

г2 д / д іи

2а2дт \ дт

+ ^0-

д и

00 = 0) ь«2=

г2 д2 и

2 д(дт’

0

ьгі = г

д и

дь«і дь«і

+ ^0-

дт

дС

2 гд'Р0

а г/

і “ д/ д и

э< - ”4,!<<| дс + /а7

д V0і д V0і а2 і „г2 д2 и

=-Р2 +'и0/^т-7Г)

дт д( г 2 д(дт

д ьгі д ьгі

+ Ь0-

дт

дС

а2 д Рі 2 3 2 д2 и0

—я- X у0/г )

г дг 2 д(дт

і ^ 3 1 Р'2= Сг + г3  805

^0(т,С) + 3ь0/

д2 и

д(дт

С (т,С ) = -

8а2

^0 (т,с) + 3ь0/

д2 и д(дт

+

зо

оо

0

2

0

а

0

3

+Ь0

+ 2 а2

... д2 и ( д д \ д и

(3/2)“°/асаГ — ( ат + ас) а7

дд ^>(т’<)^ ат +д<

дд дт + г’° ЗС

2 ,-д Р0 ,д и д V«0

- а Ь0^^— + /^----------/^^-+

дС

д

0

/ ь«0

+

А

дС

2 д Р0

а /-

дС

0 д/ — Ь0 ь«0

дС

2і

ь00=ьг0 = 0)

і

V*

ь«і)

2 2 2 і Р0=Рі= О, ьг0=ь00= О,

22 ь«0 ь«і

д д \ 2 зт+г’0 зс )И<2=

-а

2

,дР2

дС :

дд ат + ЗС

2

2 2 дР2

ьгі— —а

д

д

дг

2

Р2

т;—+ ь0^ ь0і= —а — дт д( / г

2г Р2= —о

д

дт + Ь0 дс^ "37 •

дС

Ь0

д/ д и д( дт ,

Разрешая системы (3)—(5), для описания движения жидкости получим следующий набор

величин:

Р =Р0 —

а2г2 д Іди 2а2 дт \ дт

+ Ь0-

д и

+

+є

г ,о 2 і \ „ 2 г / д ^ ди

Ь0/ ь«0 +а Р^ біп 0 — єа — I — + Ь0^ сое 0,

=ь«0 +а

д2 и0

+ єь8і біп 0 + єа2 ь«2 сое 0,

2 д(д т

і2 ь0 = єа ь0і біп 0 + єа ь0і сов 0 д и0

аг-

д

і2 + єа ьгі біп 0 + єа ьгі сов 0.

Уравнения движения трубопровода. В уравнения движения жидкости входят ве-

0і2

личины и, и, и, которые являются характеристиками радиального смещения стенки трубопровода. Следуя [4], для описания движения трубопровода в данной системе координат из общих уравнений движения трехмерного упругого тела были получены уравнения технической моментной теории оболочек.

Для заданных поверхности и системы координат они имеют вид

а 31 м ,дХ , (1 — V) ( * , .0 ди'

Аа< — (1 — *)!Ш + (/ 81110 — “ас"

0

і

а

0

2

г

2

V

г

1 — V2

Е1*

(X — кіто^),

31

д0

а ЗХ . є/ . ( , ди'

— * ) Аз^ + (1 — *) Т8111 Ч" —

1 — V2

Е1*

1 — V

т 81,1 т + а

/ ди' д ,

2є/и біп 0 + + є/ — (V біп/

д( д0

—12 ™ — 12v2v2 и = — 1—1^{г + л1А

д ( А \ дтв

30 <Ато“) — ““зс"

т- 1 / ди' , \ дv' Л є/ , '

1 = Д“^с + от/ сов 7 + 30 + V Т 8іп 0^

X

1

1

А

дv' ' Л ди'

“з< — є/исо8 V — Ш

А

^0

Р0

біп 0,

1 д2и' 1*2

-1 (X — кітв) = — р^2 ди 1

1

дт2

+Т2 (1+2 А біп 0)Ар*Д

0^2

д2 ди'

Ра

1*

1 + 1* ( 1 + є/ біп 0 2А

д

к“Д«ре3^(“' — 2А 3С

А^ 0 дт2 д(

1*а ди>г

1

1*

,3^' 1*2

—л^2 + и 12 + Т ™ 0) Рі Д^’2' Зтї 10

д2 ди'

Ра

1*

є/

1 + 1* ( 1 + — біп 0

д

- (г +

1* V + Д)А

кРе^Д0т-дт

30 ^ — “і^

1Л ' 1* ди'

тіv — Т Ж

д

дтв

д2и'

= —Р*До^2

дт2

+Ра

+1*

1 — 1т(1 + Т вь 0) )р; — (1 + “2 (1 + Т8іп

є/

А

1

"2

є/

А

—2 А 30

1*

є/ .

Ре + К и' Ра

1* ди'

Ч 1 + Т<1+ л 8т^)ре3т((1 + Т)г/ — 2 30

+

а д +А3С

1 + у(1 + ^б1п0))ре|ф.' 2А д(

1* а ди'

1° РіДО^2 12 А

с л/ д^' д2 ди'

є/ сов 0 3

дт2 дт2 д0

+ (2А + є/ біп/

д2 За'

'Зт2 50

. д2 д2и' а

— Зт2 ~30^ + А

д2 ди' д2 д2и' біп0)^^^тг— ^ ^ +

дт2 д( дт2 д(2

2

біп 0 3// 32и' З2 Зи''

+є^^777 2—- + а-

А д( \ 5т2 5т2 д(

Здесь используются следующие обозначения для параметров: V — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга, к* = к/Д0, где к — толщина стенки трубы, к — коэффициент трения стенки трубопровода о грунт, К — модуль упругости грунта, р4 — плотность материала трубы; для переменных: и' = и/Д0, г' = г/Д0, и' = и/Д0 — безразмерные перемещения срединной поверхности трубы вдоль осей 5, 0, г соответственно, ре — нормальное давление грунта на стенку, р' — давление жидкости на стенку, а2 д /1 диА 1 д (

2'

У2и

А дЦА д^ + Ад0 ^Ад0 Разложим и', г', и' в ряды Фурье:

оператор Лапласа для оболочки [4].

' 0 і 2

и =и +є и біп 0 + є и сов 0 + • • •

0 і 2 ^ +є V біп 0 + є V сов 0 +

и

0 і 2 =и> +є и біп 0 + є и сов 0 + • • • •

Для коэффициентов Фурье после пренебрежения слагаемыми порядка е2, ек*2 получим следующие уравнения:

,32 и

а

зс 2

+ V“

3 ии 3^

1 — V2

Е

2 2, 32 и 1*2 З2 3 р*Д0^ I ~ ~-------т"7а-

дт2 12 дт2

ЗСУ

+

+1* ^ + 1*/^Рак^Д0 ре Зт

о 3 / о 1*а 3 и

дт

и —

2 ЗС

о 3 и 1*2 / 2 32 и 4

— и — v“—---------------— I а „ ^ + а

д4 и0

ЗС 1М ЗС

2

зс 4

1 — V0

Е

р*я° ^2

з2 и 1*2 з2 / зи з2 и

----а------I ----- —

+

а

Зт2 12 Зт2 V 3(

а

ЗС0

Ра

1*

1-

1*

о Л 1* Р — (1 + Т

Ре +

к

Ра

и

+

Ре

3 / о 1*а 3 и

Зт \ Г зс"

і

3 I

,32 и

,3 и

а — /а — V“/ + (1 — V) X +(1 — V) I / м —а

ЗС

ЗС

ЗС

д иі

1 — V2 і

X,

Е

I +(1 — V )а

2

3 X

ЗС

1 — V2 2

У,

Е

V

о

о

2

о

3 и

З и

з и

„ „ „1 — V2 і

- 1 -/“:з^ — / м +а - ^ то +«^ — ./«^г ] = —г;

Здесь обозначено:

22 З/ , Зм і 1 — V2 2

“ ас — (1 - ,/)а ас" - (1 — ^ х= —Т~х'

— I +(1 — v)“

— I +(1 — V )“

і

З X

ЗС

зи Зс:

1 — V2 і

Е

1 — V2 2

У,

Е

г •

і 3 и 3 и 2 о і

1 = “зс — а/зс — +/м + ^

2 3 и і 2

I = “^-Т + V + м,

3С

і 1 / З V 2 * = 2 ас + и

2 1 / з V2 о і .

А’ =2 (“Зс — /и — и1,

З2 и

1

X = —РіДо^2"Зто 1* (1 + 1*/^рак^Д0^ ре

А

Зт

і 1*“ /3 М З ММ и ——І — — /

2 V ЗС зс

+

і З + Ре 7Г

дт

о 1*а з М\ і о з

и----:---І / — рак^Д0/ре

2 ЗС

о 1*“ 3 о

Зт V и 2~ Зс ™

З2 и

1

X = — РіДо 2----— (1 + 1*/2) Рак^Д0

У = —РіД(°^2

Зт2 1*

+Р

з 2 V

о 3 / 2 1*“ З М'

Ре — ( и-------------------— І +

дт

2 ЗС

2 З ( 0 1*“ 3 м

е зт

о

и—

2 ЗС

1 +1* . „ 0 З

Я 2 , * Рак^д0 ре

Зт2 1* Зт

1* 2

(1 + 1*/2) V +у м

2 о2 2 32 V

У = —р*до^ это

1 +1* . „ 0 З

1* Рак^ Д0 ре зт

2 1* і

V-------М

2

г = —р*До^

2 2 д 2 и Ра

Зт2 +1*

1*\ і Д 1*

1 — Т Р —1 + Т

і к і ,

Ре + — М ) — Ра

1*( о о к о -/ Р + Ре +— М 2 Ра

*

і

l / \ I О д

—2 (l + h*/2) k^RopJ — pe ит

(l + h*/2) V -

h*

І

w

+ а

_д

uz

Pe

A

ит

и-

h*а д w + h*аf д w

2 UZ

2

-аf

A

UZ

Pe

д_

дт

и-

UZ

h*а д w

д

+ “tjt UZ

Ід

Pe —

дт

о h*ttUw

U —

2 UZ

2 UZ

h* ад/ o U

+ ~ scPe ит

o h*аUw'

и —

2 UZ

2 2 2 д2 w2

Z= — PtR0W

+ pa

дт2 h*

l / \ o U

— 2^ + h*/2)kwRop«s pe ит

h*\ 2 / h*

l------P — H------------

2) V 2 h*

(l + h*/2) V + — w

2 K 2

Pe +— w Pa

д

+ а77 UZ

О д 2 Pe — I U —

дт

Л,*а д w

T"

+ а

A

UZ

Pe

U ( o h*а д w

итг г "д<~

Здесь мы ограничились рассмотрением только таких задач, в которых г>= 0. Этого можно добиться выбором соответствующих краевых и начальных условий.

Заключение Системы уравнений (3)—(5), (6)-(8) представляют собой замкнутую математическую модель совместного движения жидкости и трубопровода при условии малости деформаций стенки трубы. Это — одномерные гиперболические системы уравнений, каждая из которых распадается на три независимые подсистемы, что значительно упрощает

их решение. Более того, решения систем (4), (5) могут быть явно выражены через решения

0 12

системы (3) и величины ^, ^, ^. Уравнения построенной математической модели могут быть численно решены на ПК. Они позволяют проанализировать влияние степени изгиба профиля трубопровода на характер распространения волны давления внутри потока жидкости.

О

І

2

О

О

2

Список литературы

[1] Walker J. S., Phillips J. W. Pulse propagation in fluid-filled tubes. J. of Appl. Mech., March, 1977, 31-35.

[2] Wiggert D. C., Otwell R. S., Hatfield F. J. The effect of elbow restraint of pressure transients. J. of Fluids Eng., І0Т, 1985, 402-406.

[3] Ткаченко О. П. Построение математической модели распространения гидроупругих колебаний в длинной изогнутой трубе. В “Вычислительные технологии”, ИВТ СО РАН, Новосибирск, №6, 1993, 112-122.

[4] Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. В “Избранные труды”, І, Изд-во АН СССР, М., 1962, 15-439.

[5] Ткаченко О. П. К теории распространения волн давления в длинной изогнутой трубе. В “Методы численного анализа”, Дальнаука, Владивосток, 1993, 91-112.

Поступила в редакцию 15 сентября 1995 г.