Динамика двумерных широтно-импульсных систем управления

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1.Вып. 5.2003

УДК 681.511.4 .

Динамика двумерных широтно-импульсных систем

УПРАВЛЕНИЯ

H.A. Антонова

Для импульсных систем управления второго порядка с широтно-импульсным модулятором первого рода получены необходимые и достаточные условия существования периодических колебаний с одним, двумя или тремя импульсами на периоде.

В данной работе исследуется задача существования периодических колебаний в широтно-импульсных системах управления второго порядка с широтной модуляцией заднего фронта импульса и постоянным внешним возмущением. Ранее задача решалась в [1], где для систем произвольного порядка были получены достаточные условия существования и устойчивости вынужденных периодических колебаний с наперед заданным числом импульсов на периоде. Но эти условия неэффективны для систем первого и второго порядков. В [2,3] с помощью вычислительных экспериментов была исследована одномерная система и выяснилось, что она может обладать множеством периодических решений , сколь бы велика не была частота импульсации. В [3] сформулированы и доказаны аналитические условия существования периодических колебаний в таких системах.

В данной статье для двумерных систем управления приводится аналитическое описание областей в пространстве параметров системы, где существуют устойчивые периодические колебания одним, двумя или тремя импульсами на периоде.

©. Антонова H.A., 2003.

1. Описание системы.

Двумерная широтно-импульсная система управления описывается уравнением вида

1 cPU , 1 1 dU . тт _

aia2 at2 af  a2 at  ;

Здесь a2,ai - положительные постоянные времени управляемого объекта, a2 > Q!i > О, U - состояние системы управления, <р - сигнал на выходе импульсного элемента, а - ошибка управления объектом, ф -постоянное внешнее воздействие на систему.

Рассматривается широтно-импульсная модуляция первого рода, для которой выход <р модулятора определяется как кусочно-постоянная функция вида

m(i\ - ! siSn a(nT)i пТ < * < пТ + тп, > m

~ { • • пТ + тп< t <

Здесь

тп = Г;тт{ИпГ)|/<т.;1}, '

ег« - порог насыщения импульсного элемента, Т - период модуляции импульсного элемента.

2. Формулировка результатов.

Пусть т— заданное натуральное число. Будем исследовать тТ— периодические решения уравнения (1), для которых

cr

Среди периодических решений выделим многотактные релейные периодические (МРП) режимы с насыщенными импульсами, для которых

<p

и простейшие нетривиальные колебания, для которых

<p{t) ф 0, t € [0, г]; <p

при этом все значения сг(кТ), к = 3,4,..., m одного знака.

Здесь т € (0, Г) - длительность первого ненасыщенного импульса, а остальные импульсы на периоде являются насыщенными. Известно,

что все МРП режимы в системах с ШИМ-1 устойчивые в малом. Нас интересуют условия тта параметры системы си, аг, 0,Т, 0"», при которых колебание с заданным числом импульсов реализуется. Теорема 1 (гп = 1).

1. Устойчивый однотактный релейный периодический режим су-

члесгпвует тогда и только тогда, когда

\Ф\ > <т, + 1.

2. Простейшее нетривиальное Т— периодическое колебание существует тогда и только тогда, когда

О < \р\ < о* -f 1.

Теорема 2(гп = 2).

Устойчивый 2—тактный релейный периодический режим существует тогда и только тогда, когда

а\ а2 ( с:У'Т - L _ е^7 - 1 \ _

Теорема 3(га = 3). Устойчивый 3—тактный релейный периодический режим существует тогда и только тогда, когда

I +

где

Q 1 «2

=-

о2-01 \0|

pOl Т а2Т \

К->

«3

а 1 q 2

а2 - О] уа^е20!7 + ea>T + 1) a2

ata2 / c2°lT e2ajT

У

пУ

а2 - ах \сн(е2°1т + еа'т + 1) а2(е2а*т + еа*т +

Выводы теоремы 1 оказались такими же, как в [4], но здесь исследуется система второго порядка, а в [4] изучалась система управления первого порядка. Теоремы 2 и 3 дают аналитическое описание областей существования устойчивых периодических колебаний с двумя и тремя импульсами на периоде. Поскольку "цикл три рождает хаос", то в изучаемой системе возможны колебания с любым числом импульсов на периоде. Вычислительные эксперименты подтверждают это предположение, но аналитическое описание областей существования периодических колебаний с числом импульсов на периоде больше трех получить в явном виде пока не удается.

3. Доказательства 3.1. Вывод основных формул

•Я- <м — <ч -»и —__

л

Стандартной заменой переменной V = и, г» = % уравнение (1) све-

дем системе двух уравнений

¿V ¿11) '

— = го, —- = -(ах + а2)гу - аха2ь + оца21р. аъ аъ

Характеристическое уравнение левой части уравнения (1) имеет вещественные корни — и — а2, поэтому заменой пременной

х = ги + а2и, у = гл + о.\У

последняя система дифференциальных уравнений преобразуется к системе уравнений вида

с[х с1у х — у

— = -ос^х + ага2

(1.1 ш а2 — «1

Введем обозначения

хп = х(пТ), уп = у(пТ), <тп = <т(пТ), \п = з1§пст(пТ).

Решение системы линейных уравнений (12) с функцией определяемой (2), позволяет получить рекуррентные соотношения

= еио,1Т-[хп + Какё011^ -1)], У»+1 '= е"а2Т[уп -Ь Аггаг

ПрИЭТОМ" ............ * г \ -

= ^^^ = 0,1,2,3,.,.

а2 — аг

Величина тп определяется в соответствии с

3.2. Доказательство теоремы 1. Периодическим колебанием периода Т может быть однотактный релейный периодический режим либо простейшее нетривиальное Т- периодическое колебание. Начальную точку такого колебания определить нетрудно. Полагаем в формуле (13) значения а>„ = х, = у, \п = Л для всех п, получаем

е°1Т — 1 еа2Т — 1

ж = Ла2е°'Г_1' ^ = Ла1еа2т_1-

Подставив это в (14), приходим к выражению для модуля начальной ошибки управления объектом <т в виде

II ч/ а1а2 ( еа1Т — 1 еа»т-1 \ .

В правой части (17) стоит монотонно убывающая функция аргумента г на отрезке [О, Т]. Это легко проверяется с помощью производной этой функции при условии «2 > «1 > 0. Наибольшее значение функции Аф, а наименьшее - (Хф — 1). Поскольку в левой части (17) стоит неотрицательная величина, то необходимо выбрать А = sign^>. Подставляем (17) в формулу (15), приходим к уравнению для определения длительности импульса г простейшего нетривиального Т- периодического колебания

1/1 ( еа1Т~1 е°2Т-1 \ Пяч

ТТ т а2 - ах \ах(е^т - 1) а2(е^т _ I)) ' ^

Левая часть этого уравнения монотонно возрастает, а правая часть монотонно убывает по аргументу т на отрезке [0, Г]. Следовательно, необходимым и достаточным условием существования решения уравнения (18) на интервале (0,Т) являются неравенства \ф\ > 0 и <х» > \ф\ — 1, эквивалентные условию (9). Определив корень уравнения (18), подставим его в (16), найдем начальные условия для простейшего нетривиального Т- периодического колебания.

Неравенство <т» < \ф\ — 1 влечет к отсутствию решения уравнения (18) на интервале (0,Т), поэтому из (15) заключаем, что длительность импульса т = Т. Из (16) находим начальные условия х = а^'щпф, и у = alsigш/^ отвечающие за однотактный релейный периодический режим. Теорема 1 доказана.

3.3. Доказательство теоремы 2. Для двухтактного релейного периодического режима все импульсы на периоде являются насыщенными, т.е. т„ = Т. Знаки импульсов будут чередоваться

А2п+1 = А, А2п = —А, п = 0,1,2,...

Значения сигналов х и у будут периодическими с периодом 2Т. Можно считать

Х2п+1 = У2п+1 = У1, Х2п = Х2, У2п = У2, П = 0, 1, 2, 3, .... Из рекуррентных соотношений (13) находим

Х2 = е-а1Т[хх + Аа2(е*'т - 1)], у2 = е""^ + Аах(е1Г - 1)],

- = е~^т[х2 - Ха2(е^т - 1)], ух = е^т[у2 - Ха^'1 - 1)].

Решение этой системы уравнений относительно у^ х2, уг имеет вид

е°чТ _ 1 е<*2т _ I

е«!^ _ \ еа2Т — 1

х2 = Ха2 т , у2 = Лах- _ . е"*1-' + -1 еа^ + 1

Для исследуемого колебания из (15) вытекают неравенства

с» <7*

Заменяя х?\ и <т2 по формуле (14), Приходим к неравенствам

Хф + / еа'т — 1 _ е°2Т — 1 \ > ^

а2 - О! \0!(еа1т + 1) а2{еа*т + \)) ~

_д , агаа / еа'г - 1 _ е°*г - 1 \ > ^ а2 - «1 уа^е«!7 + 1) а2(еа*т + 1)) ~

Считаем Л = ъ'щпф, тогда последние два неравенства легко преобразуются к виду (10).

Начальное условие для двухтактного релейного периодического режима определяется парой ¿1, уг из уравнения (19). Теорема 2 доказана.

3.4. Доказательство теоремы 3. Для трехтактного релейного периодического режима все импульсы на периоде являются насыщенными, т.е. тп = Т. Знаки импульсов будут чередоваться в цикле три, т.е.

^Зп+1 = ^Зп+2 = А, Л3п = —А, п = 0,1,2,...

Значения сигналов х и у будут периодическими с периодом 3Т. Можно считать

ЯЗп+1 = XI, УЗп+1 = 1/1, ^Зп+2 = х2, Узп+2 = 2/2,

Хзп = хз, Узп = Уз, П = 0,1,2,3,.... Из рекуррентных соотношений (13) находим

х2 = е-а1Т[х1 + Аа2(ев1Т - 1)],у2 = е~^т[У1 + Ас^е'7 - 1)],

х3 = е"а1Г[х2 + Ха2(е^т - 1 )},у3 = е~а2Т[у2 + Ха,(е1Т- 1)].

x1 = e-aiT[x3-Xa2(e^T-l)ly1=e-^T[y3-Xa1(elT-l)}.

Решение этой системы уравнений относительно хх, yi, х2, у2, ^з, Уз имеет вид

1 + еа«т - e2aiT 1 + еа2Т - е2в2Т

«^^l+e-ir+eaatT. ^ = + (2°}

1 _ e°iт + e2aiT 1 - ёа2Т + е2с"2Т

*2 = Аа21+е^ + е2^' У2 = Aail+e^ + e2^'

-14- eQl7 -f e2aiT . -1 + е«2Г + е2«*7

з = Аоа г +eeiT + etelT , уз = Aqi 1+eQ2T + e2a2T •

Для исследуемого колебания из (15) вытекают неравенства

<7« С* (7,

Заменяя сгх, <т2, и сг3 по формуле (14), приходим к неравенствам aia2 / 1 + eQ'T - е2а'г 1 + е'г - e2azT Л ^

ах<*2 / 1 - eaiT + е2а'г 1 - elT + е2а2Т -Л

У ~ а2 - ах \ai(l + e2aiT) _ а2(1 + ea*T + е2«2Т)) ~

aia2 / -l + ea'T + e2aiT -1 + elT + е^аТ V ' 7- Т + ol2 - ai \ati(l + е°чт + ~ а3(1 + е°2Т + е2°2Т)/ ~ Пользуясь обозначениями «х, /с2, к3, из формулировки теоремы 3, неравенства преобразуем к виду

Хф — кх — к2 + к3> ov, >

Хф - Ki + к2 - «з > <t*,

— Хф — «х + К2 + К3 > (Т..

Так как имеет место соотношение

«1 + /с2 + «з = 1) то последние три неравенства преобразуем к виду

Хф > 1 + «г* — 2«з, А^ > 1 + <т» — 2/с2, Хф < 1 — a, — 2/ci.

Если положить А = sign^, то приходим к неравенствам (11).

Начальное условие для трехтактного релейного периодического режима определяется значениями хг, ух из (20). Теорема 3 доказана.

Литература

1. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993. 268 с.

2. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика ши-ротно- импульсных систем управления//Докл. РАН. 1992. Т.824-№2i С. 2J8-276.

3. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления / / Из в. РАН. Техн. кибернетика. 1992. №1. С. 108-112.

4. Антонова Н.А. Динамика одномерных широтно-импульсных систем управления//Вестник Сыктывкарск. ун-та. Сер.1: мат., мех., инф: 1999. Вып.З. С. 127-144.

Summary"

Antonova N.A. Dynamics of two demensional pulse-width modulated control systems

Nesessary and sufficient conditions are obtained for existence of mT -periodic modes (m=l,2,3) in two dimensional control systems employing pulse-width modulation of the first kind.

Сыктывкарский университет

Поступила 30.09.2003