Метод вложенных линейных сверток для оценки качества здоровья населения

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Финогенко И.А., Финогенко В.И., Дьякович М.П.

УДК681.3-167/168:616-056.22

МЕТОД ВЛОЖЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СВЕРТОК ДЛЯ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ЗДОРОВЬЯ НАСЕЛЕНИЯ_

Введение. Работа посвящена проблемам построения интегральных показателей качества здоровья на основе системного анализа и скаляризации векторного показателя качества исследуемого объекта методом вложенной линейной свертки. Декомпозиция основных характеристик объекта и построение его структурной модели проводится в виде некоторой иерархической структуры (графа).

Задача построения комплексной оценки состояния объектов или процессов является актуальной для различных отраслей знаний (экономики, экологии, медицины). Такие оценки должны быть просты в применении, чувствительны к изменению тех или иных характеристик объекта и учитывать их значимость и влияние на состояние объекта, как единого целого.

С математической точки зрения построение интегральных показателей относится к задачам многокритериального анализа иерархий, поэтому первым шагом при построении интегрального показателя является декомпозиция объекта на составляющие его части. Такую декомпозицию удобно представлять в виде графа.

Вторым этапом решения задачи является определение относительной значимости характеристик объекта на различных уровнях иерархии. И, наконец, следует выбрать способ упорядочения или сравнения состояний объекта. Всюду в дальнейшем состояние объекта будем называть его качеством. Мы исходим из того, что качество объекта должно оцениваться количественным показателем, который зависит как от абсолютных не подлежащих изменению показателей различных характеристик объекта, так и от экспертных оценок значимости этих характеристик. При этом «абсолютные показатели» характеристик суть величины, заданные априори, в то время как качество всего объекта оценивается условным пока-

зателем, представляющим собой меру отклонения характеристик объекта от «нормы». Характеристики объекта понимаются в широком смысле, как некоторые множества, а их абсолютные показатели интерпретируются, как количества элементов в этих множествах. Тогда качество объекта может быть определено, как вектор абсолютных показателей характеристик объекта.

Отметим, что задача упорядочения и сравнения качества заключается в выборе отношении доминирования на множестве состояний исследуемого объекта. Одна из основных проблем многокритериального анализа состоит в том, что использование бинарных отношений частичного порядка может приводить к появлению несравнимых состояний объекта. Она, как правило, решается методами скаляризации векторного критерия качества. Простейший из них — метод линейной скалярнойсвер-тки с использованием весовых коэффициентов значимости характеристик объекта. Но и на этом пути требуется решить ряд задач. Необходимо ввести шкалу весовых коэффициентом, определив при этом степень формализации предлагаемого подхода, и обосновать связь между качественными градациями и соответствующими значениями количественных показателей качества.

В данной работе предлагается метод иерархической декомпозиции основных характеристик исследуемого объекта, построения интегральной оценки качества отдельного объекта, а также проведения сравнительного анализа качества двух и более объектов.

Статья состоит из двух частей и заключения.

В первой части описываются некоторые бинарные отношения частичного порядка и иерархические структуры характеристик исследуемого объекта в общем виде, представляющие собой частный случай общего математи-

ческого понятия — графа (см., например, [1]). Затем приводится правило построения интегрального показателя качества объекта на основе метода вложенных скалярных линейных сверток.

Во второй части развиваемый подход применяется к описанию методики исследования качества здоровья населения. Рассмотрены случаи с двумя видами характеристик: группы лиц с различными уровнями рисков основных общепатологических синдромов (РООС) [2] и сами РООС с соответствующими количественными показателями. Предлагается и обосновывается способ градации качества здоровья населения по шкалам значений интегральных показателей, расположенных между нулем и единицей.

В заключении приводится конкретный пример исследований.

1. Структурная модель качества объекта.

1.1. Бинарные отношения частичного порядка. Для полноты изложения приведем некоторые понятия бинарных отношений частичного порядка (см., например, [3]). Пусть M — произвольное множество. Любое подмножество R из декартова произведения M \ d7 M называется бинарным отношением. Бинарное отношение R называется отношением частичного порядка, если выполняются следующие свойства:

1. (x, x) е R (рефлексивность);

2. Если (x, у )е R и (у , x)е R, то x = у (антисимметричность);

3. Если (x, у ) е R и (у, z) е R, то (x, z) е R (транзитивность).

В этом случае пишут xRy и говорят, что х не превосходит (подчинен) у, а у доминирует над x. Применительно к понятию качества будем употреблять также термины «хуже» и «лучше». Элементы п-мерного векторного

пространства будем обозначать х = (х 1,..., хп ), у = (у 1, ..., у п ). На множестве всех пар векторов частичный порядок может быть определен следующим образом. Будем говорить, что вектор х подчинен вектору у, если для всех индексов I =1,..., л выполняется х1 < у1. Такую упорядоченность будем называть покоординатной. Для покоординатной упорядоченности во множестве всех векторов имеются несравнимые элементы, т.е. возникают случаи, когда нельзя сказать, что вектор х доминирует над вектором у или наоборот. Существуют различные методы «скаляризации» задачи сравнения, позволяющие заменить векторный критерий качества на скалярный. Метод линейной свертки состоит в следующем. Пусть а =(а 1, ..., ап ) — некоторый фиксированный вектор. Символом <а, х > обозначается скалярное произведение векторов а и х:

< а, х >=а 1 х 1 +...+а пхп.

Будем полагать, что векторы х и у находятся в отношении Rp, (вектор х подчинен у), если < а, х ><< а, у >. Функция /(х) =< а, х > называется линейной сверткой. Бинарное отношение Rp не обладает уже свойством антисимметричности, но сохраняет два других свойства и не имеет при этом несравнимых элементов. Такие бинарные отношения называются частичным квазипорядком. Как правило, для определения линейных сверток весовые коэффициенты а 1 выбираются неотрицательными и такими, что бы сумма их равнялась единицы. Последнее требование для нас существенным не является.

1.2. Иерархические структуры. Пусть Х1 обозначает основную характеристику качества исследуемого объекта. Она имеет количественный показатель х1 . Предположим, что Х1 распадается на несколько непересекающихся

множеств

Х

21 I

Х

22

так,

что

Рис. 1. Структурная модель качества.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

X1 = X21 иX22 и.... Будем говорить, что эти характеристики образуют второй уровень декомпозиции объекта. Каждое из множеств X21, X22, ... в свою очередь могут иметь непересекающиеся составляющие, которые образуют третий уровень декомпозиции и т.д. Полученную таким образом конструкцию будем называть структурной моделью качества (СМК). X1 декомпозируется на части Xij с показателями состояния xij, которые распределены по всем уровням СМК. Каждый уровень вносит свой «вклад» в качество всего объекта. Схематично СМК объекта представлена на рис. 1.

Вектор показателей характеристик нижнего уровня СМК объекта будем называть его состоянием (качеством), которое и подлежит сравнительному анализу. Можно сказать, что СМК представляет собой взаимосвязанный набор иерархий характеристик объекта, каждая из которых декомпозируется на составляющие ее части до самого нижнего уровня СМК. Отметим следующее:

1. Все характеристики СМК образованы из однородных элементов основной характеристики (множества). Это важно с точки зрения сравнения этих характеристик.

2. Сумма показателей качества характеристик любого уровня равна сумме показателей характеристик любого вышестоящего уровня и, в частности, основному показателю вершины x 1.

3. Характеристики одного и того же уровня СМК попарно не пересекаются. Это означает, что один и тот же абсолютный показатель не будет использоваться дважды в интегральных оценках качества уровней и СМК в целом.

1.3. Весовые коэффициенты. Для получения интегральных показателей качества для каждой характеристики вводятся весовые коэффициенты. Задача выбора весовых коэффициентов не может быть формализована полностью. Роль субъективных факторов в решении многокритериальных задач оценивается по-разному (см., например [3-5]). Весовые коэффициенты определяют относительную значимость отдельных характеристик объекта для оценки его качества. Они определяются экспертным путем, и в значительной мере зависят от опытности и квалификации эксперта, а также от системы его индивидуальных предпочтений и набора приоритетов. Но о некоторых

правилах выбора весовых коэффициентов целесообразно договориться.

1. Практика показывает (см. [5]), что эксперту не следует одновременно сравнивать более девяти объектов. Поэтому целесообразно ограничиться значениями весовых коэффициентов, например, в пределах от 0 до 1 с шагом 0,1. Т.е. значения весовых коэффициентов будем выбирать из множества 0, 0,1, 0,2,..., 0,9, 1.

2. Допускается равенство весового коэффициента нулю. В соответствии с методом вложенных линейных сверток (см. ниже) дальнейшая декомпозиция характеристики с нулевым весовым коэффициентом прекращается.

3. Чем больше влияет характеристика на уменьшение качества объекта, тем больший весовой коэффициент ей приписывается. На каждом уровне СМК самой значимой в указанном смысле характеристике приписывается коэффициент 1.

4. Первый уровень (вершина СМК) имеет весовой коэффициент равный единице. Сравнение характеристик объекта по приведенной выше шкале осуществляется по горизонталям СМК, т.е. в пределах каждого отдельного уровня.

Цель расстановки весовых коэффициентов состоит в определении относительной значимости всех характеристик объекта для его качества. Считаем, что, придерживаясь, правил 1-4 эксперт может руководствоваться какими-то дополнительными соображениями, но и субъективность эксперта должна иметь имеет свои границы. Он должен быть рациональным, учитывать нормативные или иные требования, статистические данные и т.п., для того, чтобы иметь возможность объяснить всем заинтересованным сторонам мотивы своего выбора.

1.4. Метод вложенных линейных сверток. Обычную линейную свертку можно использовать, если число критериев качества объекта (характеристик декомпозиции) элементов не велико. Тогда их легко ранжировать по значимости. Если же критериев много и они распределены по уровням иерархии, то возникает задача расстановки весовых коэффициентов не только по горизонталям СМК с учетом значимости характеристик одного уровня, но и распространение весовых коэффициентов по вертикалям от вышестоящих уровней на нижестоящие по соответствующим иерархиям

декомпозиции характеристик объекта. Иными словами, нужно учитывать «вклад» отдельных иерархий и уровней СМК в целом в качество исследуемого объекта.

Предлагается следующий метод достижения этой цели. Вначале расставляются весовые коэффициенты для всех характеристик СМК с учетом их относительной значимости по уровням СМК. Затем на самом нижнем уровне СМК строятся линейные свертки для декомпозиции каждой характеристики предыдущего уровня. Эти свертки служат компонентами линейных сверток на вышестоящем уровне и т.д. Полученную в итоге свертку на самом верхнем уровне, будем называть вложенной линейной сверткой для векторного критерия качества всего объекта. Очевидно, она имеет вид скалярного произведения вектора показателей (х 1, х2,...) характеристик нижнего уровня СМК и некоторого вектора весовых коэффициентов (а 1, а2,...), в которых учитывается значимость (весовой коэффициент) каждой характеристики на вышестоящих уровнях СМК.

3

Вниз по вертикалям СМК значимость каждой характеристики распространяется посредством умножения ее весового коэффициента на весовые коэффициенты всех составляющих ее частей, а именно: пусть X^ — ] -ая характеристика на I -ом уровне СМК с весовым коэффициентом а ^. Предположим, что на (I +1)-ом уровне эта характеристика декомпозируется на составляющие ее части Х{+1к,

X,

а

с весовыми коэффициентами а *

лучше, чем I(а, х) ближе к единице. Это легко достигается, если пользоваться формулой

. 3

I(а, х)=1 - ^ >,

А х*

*+11, .... Они умножаются на а и для следующего (I + 2)-го уровня декомпозиции характеристики Х{+1 к, Х{+11,... рассматриваются уже с

коэффициентами а{]а* +1,к, а{]а* +1,1 .... Последовательное выполнение этой операции по всей СМК, начиная с верхнего уровня, позволяет получить весовые коэффициенты в результирующей вложенной свертке в формуле (1).

Следует отметить, что качество двух любых объектов Л и В всегда сравнимо по сверткам 3 Л и 3В. Качество В хуже качества Л, если значение свертки для объекта В больше значения свертки для объекта Л.

1.5. Интегральный показатель качества. Обычно требуется, чтобы интегральный показатель 1(а,х) качества принимал значения в пределах от 0 до 1, и качество считалось бы тем

где 3(а, х) — вложенная линейная свертка СМК, х - (х1, х2,...) — вектор показателей нижнего уровня СМК.

Вопрос о градации качества объекта в зависимости от значений интегрального показателя рассматриваться экспертом с учетом специфики задачи. Отметим, что формула (2) позволяет придать интегральному показателю определенный содержательный смысл и неформально решить этот вопрос применительно к качеству здоровья населения.

2. Интегральный показатель качества здоровья населения. Объектами исследования являются группы людей с различной, вообще говоря, численностью.

2.1. СМК по тяжести заболеваний с учетом кратности РООС. Основной характеристикой Х1 считаются лица с различной степенью РООС.

Второй уровень СМК образуют характеристики X21, X22 и X23 больных с величинами РООС (Я), лежащими в промежутке 0,75 < Я < 0,95 (лица со средним риском), Я< 0,75 (практически здоровые) и величинами Я > 0,95 (условно больные) соответственно. Это второй уровень СМК. Характеристиками третьего и последнего уровня являются лица со средним риском и условно больные с различными крат-ностями рисков, у которых установлено 1, 2, 3, или 4 и более РООС (многократные риски). Характеристика X22 (практически здоровые) не декомпозируется, так как ее весовой коэффициент принимается равным нулю и поэтому ее показатель не изменяет значения вложенной свертки. Но он влияет на интегральный показатель качества всей СМК в целом. СМК и весовые коэффициенты представлены на рис. 2.

Примечание: Я — величина РООС, х^ — относительные численности групп, выраженные в процентах, а ^ — весовые коэффициенты, КР — кратности РООС;

Вложенная линейная свертка рассчитывается по формуле:

4 8

31(а,х) -а 21 Ха 31х3! + а23 Еа 3гх3* .

I-1 ! - 5

Интегральный показатель качества имеет

вид

11

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис. 2. СМК по тяжести заболеваний с учетом кратности РООС.

2.2. СМК по частоте заболеваний с учетом формы РООС. Основной характеристикой СМК являются РООС, как таковые. Второй уровень СМК образуют РООС с величинами, лежащими в интервале 0,75-0,95 и величинами более 0,95. Третий уровень СМК образуют 11 РООС, принятые в медицине. В данной работе они распределены в 5 групп по классам заболеваний. Все показатели рассчитаны в количествах РООС относительно группы численностью в 100 человек. СМК представлена на рис. 3.

Примечание: N — величина РООС, х^ — количества РООС относительно группы лиц численностью 100 человек, а ^ — весовые коэффициенты; ССС — риск заболеваний сердечно сосудистой системы, ПС — риск заболеваний пищеварительной системы, НС — риск заболеваний нервной системы, ОД — риск заболеваний органов дыхания, П — риск прочих заболеваний.

Вложенная свертка:

3 2(а, х) = а 21 £

а

3ix 3i + а22

а

Интегральный показатель:

12

2.3. Градация качества здоровья по шкалам значений интегральных показателей. На множестве всех исследуемых групп людей можно ввести бинарное отношение эквивалентности — рефлексивное, симметричное и транзитивное. Две любые группы считаются эквивалентными (равноценными) с точки зрения качества здоровья, если они имеют один и тот же интегральный показатель качества здоровья. Таким образом, значение интегрального показателя определяется одинаково сразу для целого класса эквивалентности. С этих позиций каждый класс полностью определяется любым своим конкретным представителем

(группой). Анализируя формулу (3), заключа-

Т1

ем, что интегральный показатель I имеет следующий смысл: он представляет собой часть (в долях от единицы) практически здоровых лиц символической группы, состоящей из двух частей — практически здоровых и условно больных лиц с многократными рисками. Такие символические группы, рассматриваемые как

Рис. 3. СМК по частоте заболеваний с учетом формы РООС.

10

i =1

! = 6

Рис. 4. Шкала качества здоровья по тяжести заболеваний.

представители своих классов, полностью определяют все возможные равноценные между собой группы людей со значениями интегрального показателя от 0 до 1. При этом значению 11 =1 соответствует класс эквивалентности, состоящий из единственной группы практически здоровых лиц, а значению 11 = 0 — из единственной группы условно больных с РООС кратности не менее 4. Эти рассуждения позволяют ввести шкалу качества здоровья по показателю 11 с использованием его указанного выше содержательного смысла, а именно: будем считать, что качество здоровья какой-либо группы низкое, если для ее интегрального показателя выполняется неравенство 11 < 0,5. Такая группа равноценна некоторой группе людей, в которой не более половины людей практически здоровы, а оставшаяся часть — условно больные с кратностями РООС не менее 4. Среднее качество определим значением показателя 0,5 < 11 < 0,75. Группа с таким показателем качества равноценна такой группе людей, в которой от половины до трех четвертей лиц практически здоровы, а оставшаяся часть — условно больные. Высокое качество определим значением 11 > 0,75 с аналогичным смыслом. Шкала качества здоровья по тяжести заболеваний представлена на рис. 4.

Анализ формулы (4) позволяет утверждать, что смысл интегрального показателя 12 состоит в следующем: для условного множества частоты РООС, состоящего из двух частей, одна из которых наиболее благоприятна (средние риски с минимальным весовым коэффициентом во вложенной свертке, равным 0.2), а другая — наиболее неблагоприятна (условно больные с максимальным весовым коэффициентом, равным 1) интегральный показатель представляет собой относительную долю первой части в общем количестве частот РООС. Значению 12 = 0,8 соотве- Рис. 5. Шкала качества здоровья по частоте заболеваний.

тствует частота РООС в группе лиц, все риски для которых являются средними и представлены рисками болезней органов дыхания. Значению 12 = 0 соответствует частота РООС в группе, полностью состоящей из условно больных лиц с рисками заболеваний сердечно-сосудистой системы. Шкала качества здоровья по частоте заболеваний представлена на рис. 5.

Итак, мы имеем показатели тяжести возможных заболеваний у обследованных лиц и показатели частоты случаев возникновения РООС. В эпидемиологии широко распространенным является использование общих (синтетических) показателей, например при изучении заболеваемости или травматизма работающего населения (форма № 9 — т (7-ТВР)). Снижение показателя частоты еще не означает повышения качества здоровья. Для этого надо, чтобы снизился также показатель тяжести. Вследствие этого введем общий показатель качества здоровья. Он представляет собой произведение (мультипликативную свертку) соответствующих показателей качества по первой и второй СМК и позволяет дать более точную оценку возникшей ситуации и получить ответ на вопрос о различии качества здоровья. Используя шкалы для показателей 11 и 12, можно представить шкалу общего показателя I из следующих соображений. Произведение значений для 11 = 0,5 и 12 = 0,4, определяющих низкое качество, даст оценку I = 0,2, ниже которой качество здоровья считается низким. Произведение средних значений 11 = 0,75 и 12 = 0,6 определит следующую градацию качества по общему показателю I, как среднюю. Ей соответствует среднее качество по показателям 11 и 12. Далее таким же образом определяем качество выше среднего по показателю I. Ему соответствует среднее качество по одному из показателей 11 или 12 и высо-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

1 = 12х11

Рис. 6. Шкала общего показателя здоровья.

кое по другому. И, наконец, высокое качество по общему показателю определится одновременно высоким качеством по обоим показателям 11 и 12. Шкала общего показателя представлена на рис. 6.

Заключение. Воспользуемся описанной в разделе 2 методикой для анализа качества здоровья реальной группы - населения одного из районов Иркутской области, в котором зарегистрированы низкие уровни антропотехно-генного воздействия, социально-экономи-чес-кого развития и общей заболеваемости. По данным автоматизированной оценки РООС доля практически здоровых лиц среди обследованного населения составила лишь 44,9% [6]. Наличие в обследованной группе такой же доли лиц, отнесенных к группе повышенного риска (с вероятностью более 0,95), может привести исследователя к неверному заключению о благоприятном качестве здоровья населения.

Расчеты интегрального показателя, выполненные на основе первой СМК по тяжести заболеваний с учетом кратности РООС, показали средний уровень здоровья (ближе к низкому) обследованного контингента: 11 - 0,541. Расчеты интегрального показателя, выполненные на основе второй СМК по частоте заболеваний с учетом разных форм РООС, показали такую же ситуацию: 12 - 0,366 (низкий уровень здоровья, ближе к среднему).Обобщенный показатель качества здоровья населения района составил I - 0,198. Следовательно, качество здоровья населения в соответствии с введенной шкалой низкое (находится примерно на нижнем уровне среднего). Таким образом, можно сделать обоснованное заключение о том, что необходимо неотложное внедрение меди-

ко-профилактических и оздоровительных мероприятий.

В заключении отметим, что предложенный в данной статье подход может являться методологической основой для оценки качества здоровья населения, необходимой для принятия управляющих решений в области здравоохранения. Процедура оценки качества здоровья состоит из следующих шагов: проведение массовых скрининговых обследований населения; получение количественных оценок РООС с использованием автоматизированной системы; построение СМК здоровья населения по тяжести и частоте рисков заболеваний; расстановка весовых коэффициентов; вычисление интегральных показателей качества здоровья; шкалирование уровня качества здоровья по значениям интегральных показателей.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973, 300 с.

2. Гичев Ю.П. Методологические и методические аспекты разработки медицинских экспертных систем для целей прогнозирования состояния здоровья // Использование АСКОРС в практике диспансеризации и оздоровления трудящихся промышленных предприятий: Материалы 3-го Всесоюзного совещания-семинара. — Черкассы. - 1990. - С.5-18.

3. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений. С.-Петербург: Лань, 2001, 384 с.

4. Воронин А.Н. Вложенные скалярные свертки // Проблемы управления и информатики. -2003. - № 5. - С. 10-21.

5. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. М.: Радио и связь, 1991, 224 с.

6. Дьякович М.П., Ефимова Н.В. Медико-социальные проблемы состояния трудового потенциала населения, проживающего в зоне освоения Ковыктинского газоконден-сатного месторождения // Материалы Всероссийского конгресса «Профессия и здоровье». - М, - 2005. - С. 360-361.