О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ МЕТОДА ПРОГНОЗА – КОРРЕКЦИИ

УДК 519.642.2

О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ МЕТОДА ПРОГНОЗА - КОРРЕКЦИИ

ИБРАГИМОВ ВАГИФ РЗА оглы

Профессор, заведующий кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

ШАФИЕВА ГЮЛЬШАН ХАЛИК кызы

Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

Аннотация. Как известно, многие проблемы естествования сводятся к решению дифференциальных, интегральных или интегро - дифференциальных уравнений. К таким задачам относятся: задачи популяций, эпидемии гриппа, изучения памяти земли, некоторые задачи атомной физики, изучения биосистем, а также экосистем и т.д. Известно, что неявные методы являются более точными, чем явные методы. Специалисты утверждают, что результаты полученные по неявным методам бывают более точными, чем результаты полученные по явным методам в случае, даже когда точности этих методов совпадают. Следовательно, использование неявных методов считается более предпочтительно. Однако, при использовании неявных методов получается необходимость нахождения решений нелинейных алгебраических уравнений. Так как для нахождения решения этих уравнений применяются итерационные методы, то вопрос о нахождении решения нелинейных алгебраических уравнений считался исчерпанным. Однако здесь мы покажем, что это не так. Для разрешения выше отмеченного вопроса, в данной работе предлагается использовать метод прогноза - коррекции, который используется для нахождения решения интегрального уравнения Вольтерра, предполагая, что ядро интеграла является вырожденным.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, интегральные уравнения Вольтерра, методы Эйлера, устойчивость и точность, методы прогноза -коррекции

Введение Рассмотрим следующий интеграл Вольтерра:

x

y

x0

Предполагаем, что заданные непрерывные функции f (x) и K(x, s, y) определены на отрезке [x0, X ] и в некотором замкнутом множестве, соответственно. А также предполагаем, что уравнение (1) имеет единственное решение на отрезке [x0, X], функция f (x) имеет непрерывные частные производные до некоторого порядка p, а функция K(x, s, y) имеет непрерывные частные производные до некоторого порядка p, включительно. Для нахождения численных решений уравнения (1), отрезок [x0, X] разбиваем на N равных частей точками xM = x + h, здесь h > 0 шаг разбиений отрезка [x0, X] на N равных частей.

Отметим, что решением уравнения (1) занимались многие ученые разных стран (см. например [1]-[15]). Вито Вольтерра исследовал интегральное уравнение (1) в линейном случае, использовав некоторые простые квадратурные формулы, как левые и правые прямоугольные методы. Последователи Вольтерра также использовали левые и правые прямоугольные методы, а также методы трапеции.

Затем ученые к этим методам добавили методы центральных разностей, а также методы Симпсона. В настоящее время существует много численных методов, которые можно разделить на некоторые классы. Этот класс методов обычно разделяют на одношаговые и многошаговые методы. Однако, следующий метод центральных разностей

Уп+1 = Уп + ^Пн^

не входит в выше названные классы методов. Таким образом, получаем, что обобщая метод

(2) можно построить новый класс методов. Попытаемся построить класс методов, как обобщение метода (2) и определить связь между этим классом и выше названными классами численных методов. Отметим, что методы типа (2) исследованы многими авторами. Академик Яненко расширил класс таких методов, которые применимы к решению многих прикладных задач. Класс этих методов назвали "методом с дробным шагом". Мы здесь также будем обобщать метод (2), который будем сравнивать с классом многошаговых методов. Сначала в методе (2) заменим к через 2к. Тогда имеем:

Уп+2 = Уп + кУ'п+1-

Здесь использовались нетрадиционные обозначения, поскольку именно такое обозначение метода (3) легко можно применить к решению задачи Коши, как для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, так и для интегро -дифференциальных уравнений типа Вольтерра, и к решению уравнения (1).

1. Построение многошагового метода с постоянными коэффициентами C целью построения многошаговых методов с постоянными коэффициентами сначала обобщим метод

(3), тогда имеем:

«2 Уп+2 + «0 Уп + «Уп+1 = к

Если здесь коэффициенты а2,«,а0 подобрать в виде:

« = 1,« = о,а = -1, Д = 0, д = 1, д = о,

тогда из метода (4) следует метод (3). Однако, если коэффициенты в методе (4) подобрать в следующем виде:

«2 = Д2 = 0,«1 = -«0 = 1 Д0 = Д1 = ^

то в этом случае из метода (4) следует известный метод трапеции. Отметим, что из метода (4) можно получить метод Симпсона, который имеет следующий вид:

к

Уп+2 = Уп + 3

Учитывая выше изложенные, рассмотрим обобщение метода (4), который в одном варианте может быть представлен в следующем виде (см. например [11]-[18]):

к к

^«гУп+г = к^Д1УП+1 •

1=0 г=0

Обычно при использовании этого метода налагаются некоторые условия, которые можно считать естественными (см. например [18]-[22]):

A. Коэффициенты «, Д (г = 0,1,...,к) некоторые действительные числа, причем ак Ф 0.

B. Характеристические многочлены метода

к к 3(Л) = , ад =

1=0 1=0

не имеют общих множителей.

C. Выполняются условия р > 1 и £(1) Ф 0.

Здесь р -является степенью метода (6) и определяется следующим образом. Определение 1. Целочисленную величину р, называют степенью метода (6), если

имеет место следующее асимптотическое соотношение:

к

£ («у(х+гк) - кду'(х+гк)) = о(кр+1), к ^ 0.

1=0

Многие специалисты считают, что в частности, методы Адамса можно получить из метода (6). Отметим, что методы Адамса могут быть формально получены из метода (6), а коэффициенты методов вычисляются с помощью определенного интеграла. Однако, коэффициенты в методе (6) вычисляются с помощью решения некоторой системы линейных алгебраических уравнений.

Известно, что среди методов типа (6) как теоретический, так и практический интерес представляют устойчивые методы. Определение устойчивости и степени метода (6) дано Дальквистом.

Определение 2. Метод (6) является устойчивым, если корни многочлена р(Л) лежат внутри единичного круга, на границе которого нет кратных корней.

Из результатов Дальквиста следует, что если метод (6) устойчив и имеет степень p, то

p < 2[k/2]+2 и для любого k, существуют устойчивые методы с максимальной точностью.

Отметим, что в решении некоторых прикладных задач имеется необходимость построения устойчивых методов с высокой точностью. С этой целью создаются новые классы методов.

Как было отмечено выше, каждый метод имеет свои недостатки и преимущества. На практике обычно преимущественно используют явные методы, которые получаются из класса методов (6) при ак ^ 0, Рк= 0. Бахвалов исследовал данную проблему и доказал, что если метод (6) при акФ 0, /Зк= 0 устойчив и имеет степень p , то существуют устойчивые методы со степенью p < k, где k < 10. Дальквист доказал справедливость и оценку Бахвалова для любого k.

Учитывая, что неявные методы имеют некоторые преимущества, рассмотрим применение их к решению начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: y' = $>( x, y), y( x0) = y0. Здесь используем неявный метод Эйлера, который можно представить в виде

y+1 = yt + Ьф^ y,+i).

Легко можно понять, что уравнение (8) является нелинейным алгебраическим уравнением. К решению данного уравнения применяется метод простой итерации. Тогда имеем:

y^ = y, + Ифм,y^), j = 0,1,2,... .

Учитывая достаточную малость h, можно утверждать, что последовательность (9) сходится.

Здесь возникают некоторые трудности связанные с формой определения погрешностей, полученных при построении метода (8) и в применении итерационных методов. Это связано с тем, что погрешность метода (8) выражается с помощью асимптотического равенства (7), а погрешность итерации с помощью разности соседних итераций. Для разрешения данного вопроса здесь предлагаем использовать метод прогноза - коррекции.

Теперь рассмотрим применение выше изложенных к решению уравнения (1). Так как функция K(x, s, y) вырожденная, имеем

k

K

j=i

Учитывая равенство (10) в уравнении (1), получим:

k x

y

j=1 x0

x

Используя следующее обозначение vj (x) = J b; (s, y(s))ds j = 1,2,..., k,

x0

y

в равенстве (11) имеем

к

Л

1=1

Следовательно, если известны значения функций ^ (х) в точках разбиений X (0,1,2,...Ы), то, используя равенство (12), можно найти приближенные значения функции У(х) в точках разбиений хг (0,1,2,...Ы). Для нахождения этих значений, рассмотрим следующую систему задачи Коши:

у;

Таким образом, решение задачи (1) свели к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например, если к полученной задаче применить явный метод Эйлера, то для вычисления значений функций ^ (х) в точках разбиений, получим следующую систему реккурентных соотношений:

11 = 1 + ЬЪ]

В результате, получаем, что численное решение уравнения (1) легко сводится к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и выше предложенный способ для представления методов имеет некоторое преимущество.

2. Построение метода прогноза - коррекции Сперва изложим простой способ для построения метода прогноза-коррекции и с этой целью рассмотрим итерационное соотношение (9). Очевидно, что если ] = 1 и известно уг(°1), то по соотношениям (9) можно

вычислить следующие итерации. Здесь для вычисления у г(°1), предлагается некоторый явный метод с подходящей точностью. Например, для неявного метода можно использовать следующую схему:

у^ = уг + Ифг, у ), уг+1 = у + Мхг+1, у^).

Таким образом, используя итерационные методы, построен метод прогноза-коррекции, который можно назвать методом с одной итерацией или методом прогноза-коррекции.

Для иллюстрации преимуществ выше описанной схемы рассмотрим применение метода трапеции к решению задачи Коши (см.[8]):

к

Уп+1 = Уп + 2

Очевидно, что соотношение (16) является нелинейным алгебраическим уравнением для нахождения неизвестного уи+1. Используя выше указанные схемы, можно написать:

к

Уп+1 = Уп +-

Не трудно понять, что метод (17) можно представить в виде:

Уп+1 = Уп + Мхп , Уп X к

Уп+1 = Уп +-Ыхп , Уп ) + М(хп+1, Уп+0Х

В [13] доказано, что если метод прогноза имеет степень р, то степень метода коррекции должна быть не больше, чем р +1.

Очевидно, что с использованием метода (6), можно построить метод прогноза-коррекции в следующей форме:

к-1 к

Уп+к = Е

1=0 ак

где Уп+к определяется следующим образом:

к-1 _

Уп+к = Е Уп+, + )/«к •

1=0

Методы, описанные здесь, являются одним из представлений методов прогноза -коррекции. Для того, чтобы метод прогноза - коррекции сохранял точность метода коррекции, требуется, чтобы разность между точностями методов прогноза и коррекции не превышала единицы (см., например [16]-[36]).

Отметим, что методы (3) и (5) можно получить из метода (6), как частный случай при к = 2. Поскольку к четное число, то точность устойчивого метода полученного из метода (6) будет удовлетворять условию р < к + 2. Метод со степенью р = 4 единственен. А максимальная точность явного метода записывается в виде р = 2. Если построить методы прогноза - коррекции, то получим следующую последовательность методов:

У„+2 = Уп + 2МХп+1, Уп+^

_ к „

Уп+2 = Уп ЫХп , Уп ) + 4Ы

к _ Уп+2 = Уп + з

3. Численные результаты Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим следующую простую задачу:

У = со<х), У

точное решение данной задачи может быть представлено в виде: у(х) = Бт(х) . К решению данного примера применим метод Симпсона и его модификацию (т.е. метод полученный из метода Симпсона при шаге к /2 ) и разместим результаты в таблице 1: Таблица 1. Применение метода Симпсона и его модификаций к решению задачи (23):

h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01

модификаци Симпсон я модификация Симпсон модификация Симпсон

0.2 6.9E-9 1.0E-7 4.3E-10 6.8E-9 6.8E-13 1.1E-11

0.6 1.9E-8 3.0E-7 1.2E-9 1.9E-8 1.9E-12 3.1E-11

1 2.9E-8 4.4E-7 1.8E-9 2.8E-8 2.9E-12 4.6E-11

3. Выводы В данной работе построены некоторые конкретные методы прогноза и коррекции, при этом рассмотрено несколько разных способов для их построения. А также даны определенные сравнения методов прогноза - коррекции с итерациями. Рассмотрено общее представление численных методов, которые обеспечивают применение их к решению разных задач. Здесь, также показано, что при построении методов прогноза - коррекции выше указанный общий способ не всегда применим. Например, метод прогноза - коррекции построенный по схеме (20) - (22). Легко заметить, что методы (21) и (22) одинаковые. В таких случаях один и тот же метод может быть использован для разных начальных данных. Мы надеемся, что описанный здесь способ для построения методов прогноза - коррекции будет применяться к решению разных задач и найдет своих последователей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Volterra V., Theory of functional and of integral and integro-differential equations, (in Russian), Moscow, Nauka, 1982, 304 p.

2. Polenshuk E., Volterra V., Nauka, 1977, 113 p.

3. Verlan A.F., Sizikov V.S., Integral equations: methods, algorithms, programs, Kiev, Naukova Dumka, 1986.

4. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., Solving Volterra integro-differential equation by the second derivative methods applied mathematics and information sciences, Volume 9, No. 5, Sep. 2015, p.2521-2527.

5. Ibrahimov V., Mehdiyeva G., Yue X-G., Kaabar M.K.A., Noeiaghdam S., Jurayev D.A., Novel symmetric mathematical problems, international journal of circuits, Systems and signal processing 15 (2021) 1545-1557.

6. Bulatov M.V., Chistyakov E.V., Numerical solution of integro-differential systems with a degenerate matrix the derivative by multi-step methods, Differ. Equations, 2006, Vol. 42, No.9, p. 1248-1255.

7. Yanenko N.N., Methods of Fructional Steps. Nauka, Novosibirsk (1967).

8. Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R., Some refinement of the notion of symmetry for the Volterra integral equations and the construction of symmetrical methods to solve them, Journal of Computational and Applied Mathematics, 306, 2016, 1-9.

9. Bakhvalov N.S., Some remarks on the question of numerical integration of differential equation by the finite difference method, Academy of Science report, USSA, N3, 1955, 805-808 p., (Russian).

10. Burova I.G., Alcybeev G.O., Solution of Integral Equations Using Local Splines of the Second Order, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, Volume 17, 2022, p. 258262.

11. Mehdiyeva G., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., An application of mathematical methods for solving of scientific problems, British journal of applied Science technology 14(2), 2016, p. 1-15.

12. Imanova M.N., One the multistep method of numerical solution for Volterra integral equation, Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci, 2006, p. 95-104.

13. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., On the research of multistep methods with constant coefficients, Monograph, / Lambert, acad. publ., 2013. 314 p.

14. Burova I.G., Fredholm integral equation and splines of the fifth order of approximation, WSEAS Transaction on Mathematics, vol., 21, 2022, p. 260-270.

15. Ibrahimov V.R., Convergence of predictor-corrector method, Godishnik na visshite uchebni zavedeniya, Prilozhno math., Sofiya, Bulgariya, 1984, p.187-197.

16. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Application of the hybrid method with constant coefficients to solving the integro-differential equations of first order, AIP Conference Proceedings, 2012/11/6, p. 506-510.

17. Burova I.G., On left integro-differential splines and Cauchy problem, International journal of mathematical models and methods in applied sciences, vol.9, 2015, p. 683-690.

18. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012/12/29, p. 109-114.

19. Juraev D., Jalalov M., Ibrahimov V., On Approximate Solutions Of The Cauchy Problem For Systems Of Linear Equations Of The First Order, Mathematics, Mechanics And Intellectual Technologies Tashkent-2023, p.37.

20. Imanova M.N., Ibrahimov V.R., The New Way to Solve Physical Problems Described by ODE of the Second Order with the Special Structure, WSEAS TRANSACTIONS ON SYSTEMS, DOI: 10.37394/23202.2023.22.20, p.199-206.

21. Juraev D.A., Ibrahimov V., Agarwal P., Regularization of the Cauchy problem for matrix factorizations of the Frelmholtz equation on a two-dimensional bounded domain, Palestine Journal of Mathematics, 12(1), 2023, p. 381-403.

22. Dahlquist G., Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations. Math. Scand. 4, 33-53 (1956).

23. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On one generalization of hybrid methods, Proceedings of the 4th international conference on approximation methods and numerical modelling in environment and natural resources, 2011/5/23, p. 543-547.

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

24. Ibrahimov V., Imanova M., The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, American Journal of Biomedical Science and Research vol. 18, issue 6, 2023, p.531-542.

25. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On one generalization of hybrid methods, Proceedings of the 4th international conference on approximation methods and numerical modelling in environment and natural resources, 2011/5/23, p. 543-547.

26. Skvortsov L., Explicit two-step Runge - Kutta methods, Math., modelling 2009, 21, p. 54-65.

27. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On One Application of Hybrid Methods For Solving Volterra Integral Equations, World Academy of Science, Engineering and Technology, Dubai, 2012, p.809-813.

28. Henrici P., Discrate variable methods in ODE, John Wiley and Sons, Inc., New York. London, 1962.

29. Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Multistep methods of the hybrid types and their application to solve the second kind Volterra integral equation, Symmetry, 13(6), 2021, p.1087.

30. Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R., An application of the hybrid methods to the numerical solution of ordinary differential equations of second order, Vestnik KazNU, ser., math, mech., inf., 2012, No 4 (75), p. 46-54.

31. Xiao-Guang, Yue Zeying Zhang, Arzu Akbulut, Mohammed K.A. Kaabar, Melike Kaplan, A new computational approach to the fractional-order Liouville equation arising from mechanics of water waves and meteorological forecasts, Journal of Ocean Engineering and Science, 12.04.2022, p.209-222.

32. Han H., Sicheng L., Lin H., Nelson D., Otilia M., Xiao-Guang Y., Risk factor identification of sustainable guarantee network based on logistic regression algorithm, Sustainability 11, No 13 (2019) 3525.

33. Juraev D.A., Cauchy problem for matrix factorization of the Helmholtz equation, Ukrainian mathematical Journal 69, 2018, p.1583-1592.

34. Ibrahimov V.R., About one way construction A-sable methods, In the collection of "Application methods for solving differential and integral equations", Baku, 1983.

35. Ibrahimov V.R., One non-linear method of numerical solution of the Cauchy problem for ordinary differential equations, Diff. equation and application. Proceedings of the Report of the Second Intern. Conf. Rousse, Bulgaria, 1982, p. 310-319.

36. Imanova M., Ibrahimov V., The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, vol. 18, February 2023, issue 1, p. 74-80.