Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде - Чебышева для последней промежуточной строки. Рациональный случай

УДК 517.53

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ АППРОКСИМАЦИЙ ПАДЕ- ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ПОСЛЕДНЕЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ СТРОКИ. РАЦИОНАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ

В.М. Адуков, О.Л. Ибряева

В статье рассматривается асимптотика знаменателей аппроксимаций Па-де— Чебышева рациональной функции для последней промежуточной строки таблицы Паде-Чебышева. В явном виде найдены все предельные точки множества полюсов аппроксимаций Паде-Чебышева для данного случая.

1. Введение

Классическое определение аппроксимаций Паде для степенных рядов легко может быть перенесено на случай рядов по системе ортогональных многочленов. Однако теория сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений в настоящее время пока далека от завершения. Основные результаты были получены С.П. Суетиным [1-3] и Д.С. Любинским, А. Сиди [4]. Полная теория имеется только для одной строчной последовательности аппроксимаций (аналог теоремы Монтессу де Болора, доказанный С.П. Суетиным [1-2]).

В статье [5] был предложен метод исследования равномерной сходимости для так называемой последней промежуточной строки классической таблицы Паде. Соображения устойчивости позволили показать, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимации Паде для ме-роморфной функции и ее рациональной части одинаково. Тем самым задача исследования равномерной сходимости аппроксимаций Паде для данной строки была сведена к рациональному случаю.

Частным случаем ортогональных разложений являются разложения по системе многочленов Чебышева Тк(г), к = 1,2,____ Мы собираемся перенести методы и результаты [5] на случай аппроксимаций Паде-Чебышева. Мы полагаем, что предельное поведение аппроксимаций Паде-Чебышева для мероморфной функции и для ее рациональной части также будет одинаковым. Поэтому в этой работе мы изучаем рациональный случай.

2. Постановка задачи

Обозначим Гх - эллипс с фокусами в точках -1,1 и - его внутренность. Пусть I(г) -функция, аналитическая вза исключением точек , в которых она имеет полюсы крат-

ностей 51,...,, и X = +...+ ^ . Будем предполагать, что £ [-1,1].

Проведем через 21 систему эллипсов с фокусами в точках -1,1. Пусть внутри эллипса с максимальной суммой полуосей лежит р полюсов. Обозначим этот эллипс - Гр, а его внутренность - Вр . Пусть Г0 - любой эллипс, не содержащий полюсов , и Б0 - его внутренность. Функция /(г) может быть разложена в Б0 в ряд по многочленам Чебышева:

I

I(г) "у+/Д^)(см., например, [6]).

Рпт

Рациональную функцию Яп т(г)Ш—пт-, такую , что многочлены Рп т(г), Qn т(г) удовлетворяют условиям deg Рп т (г) £ п, deg Qnmm (г)£ т, Qnmm (г)^0 , и выполняется соотношение

I (г (г) - Рпт (г)" 0(т„+тЛ)т ^ акТк (г),

кшп+ т+1

будем называть линейной аппроксимацией Паде- Чебышева типа (п,т).

Набор таких аппроксимаций принято записывать в виде таблицы, которая называется таблицей Паде-Чебышева. Аппроксимации Паде-Чебышева типа (п, т) при фиксированном т образуют строку таблицы с номером т .

Если т = X ( т = р), то, по теореме С.П. Суетина [1], примененной к аппроксимациям Паде-Чебышева, Яп т (2) сходится к /(2) равномерно внутри области () с выброшенными полюсами функции /(г).

Строка с номером т таким, что р < т< X , называется промежуточной строкой. Мы будем изучать строку с номером т = X—1, т.е. последнюю промежуточную строку. Для этой строки мы собираемся найти в явном виде для рациональных функций все частичные пределы последовательности подходящим образом нормированных знаменателей аппроксимаций Паде-Чебышева. Будет описано множество всех предельных точек полюсов аппроксимаций Паде-Чебышева в данном случае.

3. Явная формула для знаменателей аппроксимаций Паде-Чебышева

N( г) X x_l Пусть г (г) =--правильная рациональная дробь и Б( г) = 2 + dX_1z +-----+ d0.

г)

Цель данного параграфа - найти явно знаменатели линейных аппроксимаций Паде-Чебышева типа (п,Х _ 1) для функции г(2). Это будет сделано в терминах специальных решений некоторых многочленных уравнений.

Пусть 21,...,21 - корни знаменателя 2) кратностей s1,...,:1 . Пустьм1,...,- образы этих

корней при отображении м = 2 + л/22 _ 1 такие, что | му | < 1 для всех у . Составим многочлен

У

Уравнением Безу назовем уравнение вида

N

где у1 - коэффициенты многочлена (1).

Очевидно, что, в силу взаимной простоты N(22) и 2), решение уравнения (2) всегда существует. Можно показать, что существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию deg¥п(2) < X _ 1. Его мы будем называть минимальным. Если (¥п(¿),и„(2)) - минимальное решение, то легко доказать, что deg ип (2) = п при п > X _ 1. Следующая теорема является одной из основных в этом параграфе. Теорема 1. Пусть (¥п (2),ип (2)) - минимальное решение уравнения Безу (2). Тогда

г (2)Уп (2) + ип (2) = а 0Tn+X( 2) + а1Tn+X+1

(2) + ... = О^ ).

Если дополнительно выполнено условие п > X _ 1, то _ ( ) = - линейная аппрок-

Уп

симация Паде-Чебышева типа (п,X _ 1).

Доказательство. Из уравнения Безу получаем

Г(2)Уп (2) + ип (2) = (УоТп (2) + уТп+1 (2) + — + у^ (2)) .

В правой части равенства сделаем замену 2 =11 м + —]. Легко видеть, что при такой замене

2 К м )

~ (_1)X Г1 1

2) = Б(м>) = —--у(м>)у I — I, и мы получаем:

2X м? ... К м )

Б

(у0Тп (2) + ПТп+1 (2) + — + УxTn+x (2) ) = (_1^ 2^ У? ... м:1

п

м —Т-Г +

л

1 1 1

У

м

1 1 мп у

1

Без ограничения общности можно считать, что | wi\ < | щ2 | < ... < | щ( |. Тогда функция —1—

у

аналитическая во внешности круга | щ | < | щ^ | < 1. Разложим ее в ряд Лорана в | щ | > | щ^ |:

1 - 1 - во + в + ....

У (щ) (щ - щ )51...(щ - щ( ЩХ щ Тогда в круге | щ | < имеем следующее разложение: } л - в0ЩХ + вщХ+1 + •

V Щ/

И, следовательно, в кольце | щ( | < | щ | < ——, получаем:

Щп-^ +---— - в0 Г Щп+Я + —'г 1 + в1 í Щп+Я+1 + —Хт 1 + . •

Г1 ^ Щп у

Возвращаясь к старой переменной ъ и учитывая, что щк + -2- - 2Тк (г), получаем:

щк

г(г)Уп (г) + Пп (г) - (уоТ. (г) + пТ^ (г) + • • • + УхТп+х (г)) - «оТп+я (г) + щТп+х+1 (г) +....

Поскольку п > X -1, то deg ип (г) - п и, следовательно, это соотношение означает, что - Пп(2)) является линейной аппроксимацией Паде-Чебышева типа (п,X -1).

Для получения явной формулы знаменателя ¥п (г) нам потребуется два вспомогательных утверждения.

Предложение 1. Для Уп (г), Пп (г), п -1,2,., справедливы следующие рекуррентные соотношения:

1 .4 . _ 1

2 V п—1 ^ ^ пт! ^ ✓ / IV / п V ✓ ^2 п-

где Уп - формальный старший коэффициент многочлена Уп (2).

Эти рекуррентные соотношения легко следуют из уравнения Безу и правила умножения для многочленов Чебышева.

Предложение 2. Для к - 0,1,., п - к,к +1,..., справедливы следующие формулы:

2Уп+к(г) + Уп-к(г)) - Тк(2)уп(2) - Хк(2)Я(г), где Хк (г) находятся из рекуррентного соотношения

2

и Х0 - ° Х! - Уп.

Проверяется непосредственно по индукции, с использованием предложения 1. Теперь мы можем найти Уп (г) в терминах многочленов Хк (г).

Теорема 2. Пусть разложение знаменателя г) по многочленам Чебышева имеет вид: Щг) - ¿0 + ^Т (г) + . + Яя (г), где 5Я - .

я

Тогда для п > X -1 справедливо равенство Уп (г) - ^ 5кХк (г).

к-0

-(Уп-1(г) + Уп+1 (г)) - Т1(г)Уп (г) - г), -(^(г) + г)) - ВД^ (г) + у.м(г),

Доказательство. Рассмотрим уравнения 2(Кп+к (2) + ¥п_к(2)) = Тк (2)Уп (2) - Хк (2)0(2) для к = 0,...,X, умножим каждое на 8к и сложим полученные равенства. В результате будем иметь:

1 х

1 Е 5к К к

•к=0

Гп

к=0

Слева в этом равенстве стоит многочлен степени не выше X _ 1, справа произведение многочлена В (2) степени ровно X на многочлен формальной степени X _ 1. Очевидно, что знак ра-

х

венства возможен лишь, если Уп (2) = Е 5кХк (2).

к=0

Окончательный результат выглядит теперь следующим образом.

Теорема 3. Многочлен Уп (2) представляется в виде:

X к _1 1 ( к _ у _1

Уп (2) = 2Е5к Е Е п_к+у+1

к=1 у=0 V т=0

Т (2) .

Здесь V; коэффициент при 2X 1 многочлена V=

Штршу суммы означает, что смгаеше, с°°тветств„е у = 0 б^ты с каэффициентом ^.

к _1 1 ( к _ у _1 Л

Доказательство. Достаточно показать, что Хк (2) = 2Е Е v2m+п_к+у+1 Ту (2), к > 1.

У=0 V т=0 У

Для к = 1 формула, очевидно, верна. Предполагая, что она верна также для 2,...,к , докажем

к ( к _ у

Т (2).

Т (2) + Vn+к + Vn_к .

ее справедливость и для к + 1, Т.^ что Хк+1 ( 2 ) = 2 Е' Е ^т+п_к+у

у=0 V т=0

Из рекуррентного соотношения для многочленов Хк (2) получаем:

к_1 1 (к_у _1 Л к_2 1 ( к_у _2

Хк+1 ( 2 ) = 4Т1 ( 2 )Е ' Е ^т+п_ к+у+1 Ту (2) _ 2 Е' Е ^т+п_к+у+2

у=0 V т=0 у у=0 V т=0

Воспользовавшись правилом умножения для многочленов Чебышева, имеем:

к (к _ у Л к _1 к _2

Хк+1 ( 2 ) = 2Е Е ^т+п_к+у Ту (2) + Е V2m+n_к+1Т1(2) + Е ^т+п_к+2 + ^+к + Vn_k

у=1 V т=0 у т=0 т=0

откуда после несложных преобразований и получим требуемое.

Замечание. Легко видеть, что Vn (2) может также быть представлено в виде:

X-1 1 X к _ у _1

Кп (2) = 2Е ' Е Е 5к^т+п_к+у+1Ту (2).

у=0 к=у+1 т=0

Осталось получить явное представление для коэффициентов vn . Это можно сделать, однако, формулы будут достаточно громоздкими и не понадобятся нам в дальнейшем. Для получения асимптотики V (2) нам достаточно доказать лишь следующий результат.

Теорема 4. Для старшего коэффициента vn многочлена V (2) справедливо представление:

Vn = + ••• + Р1 (п)А", где Р = С,0 + с1п + .• + С8_1.

I

Коэффициент С* 1 = С, вычисляется по формуле:

с=

2X_ * _1

X_1

ж*1... ж

Н (

V,

I

28, _1

(_ 1)! N (ж, )у, (ж, )ж^

_ ж,-

V ж

1

Здесь у, (щ) -—^(щ)—, N(щ) - функция, полученная из N(г) при замене г -1| щ + — |.

ч5' 2 V щ,

(щ - щ Т

Доказательство. Будем рассматривать многочлен Уп (г) - 25хУпТх-1(г) +— - упгх 1 +— как интерполяционный многочлен Эрмита с узлами интерполяции г^...,скратностями 51,...,^ [7].

I 5 -1-к-1

Тогда Уп(г) -ЯхЧ(г)-ЕЕ Е

У

,-1 к-0 т-0

к !т!

V

(г - г, Г

5

\

5

) |г - г,

-. ( г - г,)"

-к-т

Отсюда получаем, что старший коэффициент многочлена Уп (г) = Их_1(г) равен:

1-к-1)

у.

^ Уп(к)(г,) Гу-гГ

-ЕЕ

<-к-0 к!( - к - 1)!

5

Для нахождения у1к^ (г,) запишем уравнение Безу в переменных щ

N(щ)у (щ) + 5(щ)у (щ) -1Г70 Гщп +Л1 + . + Ух Гщп+х + 1

О I ' 0 I п \ ' х I п+х

2IV щ ) V щ

продифференцируем его к раз по переменной щ, 0 < к < -1 и воспользуемся формулой Лейбница. Получим

Е О^(к-]\щ)У^}(щ)щ-щ + Пк-7}(щ)5' (щ)щ-щ - 2

j-0 7-0 2

;(7),

щ

+ А" 1 + — + Ух |щП+х + Ч+Т

щ

щ=щ

Здесь о^ - биномиальные коэффициенты.

'(7),

Поскольку г - г, - корень кратности многочлена 5(г), то (щ)|щ-щ - 5(7*(г) - 0, так

как 0 < ' < к < -1. Тогда

Ео' N(к - л(щ)У П }(щ)щ-щг - 2

2

7-0

щп/(щ) + —у | — щп V щ

Преобразуя последнее выражение по формуле Лейбница и, учитывая, что щ, является корнем многочлена у(щ) кратности , имеем:

Еок N(к - 7\щ)У п }(щ)щ-щ

- п-к к

щ Е О^

7=0

Отсюда находим:

2(п -1)! 7-0

Уп(к} (г,)-Уп(к} (щ) - Як (п)^п,

щ,

Г 1 1

V щ,)

(-1)к 7

Г 1 1

V щ,)

где Як (п) - многочлен к -й степени со старшим коэффициентом-.

Подставим найденные значения для у1к^ (г,) в формулу для Уп и после несложных преобразований получим: уп - р1(п)-1п + —+ р/ (п)--J, где р, (п) - многочлены степени -1 с коэффи-

щ1 щ

х-5, -1/ 1\х-1

циентом при старшей степени С, -

2х-5-1

щ51... щ;

? г

25, -1

(-1)!N(щ)7г(щ)щР

1

V,

-щ

V щ

4. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде-Чебышева

Изучим предельное поведение минимальных решений Vn (z) уравнений Безу, т.е. предельное поведение знаменателей аппроксимаций Паде-Чебышева. По теореме 4 многочлены Vn (z) выражаются через их старшие коэффициенты vn и vn = p^n)-1^ + —+ Pi(n)~j, где w1v..,wl - обра-

Wjn Wj

зы различных полюсов z^...,zt рациональной функции r(z).

Отметим, что в формулу для Vn (z) коэффициенты vn входят в виде сумм vn+j + vn_j .

Будем считать, что —,•••,—^ имеют максимальный модуль, а их кратности таковы, что

W1 W

s = s1 = ... = sv > sv+1 > ... > sл , J <v < /л . Полюсы zj,.,zv , соответствующие точкам wjv..,wv , будем называть доминирующими полюсами функции f (z). Именно они и будут определять асимптотическое поведение Vn (z).

J 2 ' 0 J 2 ' 0

Пусть — = Re ni1,..., — = Re ni v . Для получения асимптотики Vn (z) будем действовать в

wJ wv n

духе работы [5]. Определим монотетическую подгруппу F тора Tv как замыкание циклической

(2 ' 0 2 '0 \

e т J,...,e ni v ). Способ явного вычисления группы F приведен в [5].

Фиксируем произвольную точку т =(tj,...,tv ), принадлежащую группе F, и пусть Лт -любая последовательность номеров n1,n2,...,nj <nj+1 такая, что lim (e2nin01,...,e2nin0v ) = т , n еЛт .

Очевидно, что при n ^ да , n е Лт , последовательность vn имеет следующую асимптотику: vn = Rnns_J (С1т1 + —+ CvTv + о(1)). Тогда для любого фиксированного значения _n < j < n при n ^ да , n е Лт , сумма vn+j + vn_j имеет следующую асимптотику:

vn+j + vn_j = 2Rnns_J [CjTjTj

Обозначим S j (t) = C^ — + —+ CvTv — , Sj (т) = C1T1Tj (z1) + —+ CvTvTj (zv). Если

w1j wvj j j j

vn+ j + vn_ j Sj

S0(t) ф 0, то существует конечный lim—--- = —-. Точка т в этом случае называется

vn S0

регулярной точкой группы F. Следующее предложение является аналогом предложения 6.1 из [5] и доказывается аналогично.

Предложение 3. Среди любых чисел Sn(т), Sn+1(T),..., Sn+v-1(T) найдется хотя бы одно, отличное от нуля.

Будем называть целое неотрицательное число 8(т) дефектом точки т е F, если 5(т) - наименьшее число такое, что Ss^T )(т) ф 0. Из предложения 3 следует, что 0 < 5(т) <v _ 1. При фиксированном т будем использовать более короткое обозначение S .

Если S - дефект точки т е F, то из асимптотики (4) следует, что существует конечный предел

vn+j + vn_j Sj(т) . ...

lim-j-- = —-, n еЛт .

vn+S + vn_S SS

Будем говорить, что многочлен X(z) = x0T0(z) + x1T1(z) + —+ xnTn(z) является d -нормированным, если Xd = 1 для некоторого d , 0 < d < n .

Теперь мы готовы исследовать асимптотическое поведение Vn (z).

Теорема 5. Пусть т - произвольная точка группы F, Лт - соответствующая ей последовательность номеров и 5 - дефект этой точки. Тогда для всех достаточно больших n е Лт многочлен Vn (z) допускает (Я - 5 -1) - нормировку и существует предел

lim v(X-5-1) (z) = W(z,т), n еЛт . Здесь

n

n—

W

, 4 v A(z) , s , ч I 2я-3Ss\ 5 Ф Я -1,

где w ( ^т)-Е C1t1 A (z), Az (z) , A(z) = ( z - z1)•••(z - zv ) и A -J

г - г1 ' " * [2х-2 Б-1, 8 - х -1.

Доказательство. По формуле (3) коэффициент при Тх-8-1(г) в многочлене Уп(г) находится следующим образом:

Я i-Я+5

an,A-5-1 - 2 Е Е 5iV2m+n-i+Я-5

,-х-8 т-0

- 2 [8х-8уп + 8х-8 +1 (Уп-1 + Уп+1) + — + 8х (Уп-8 + Уп-8+2 + — + Уп+х-2 + Уп+8 )] -Здесь штрих означает, что при х - 8 -1 - 0 надо брать формулу без множителя 2. Из асимптотики (4) следует, что при всех достаточно больших п еАт коэффициент Уп+- + уп_- отличен

от нуля. Поэтому а'пЛ-8-1 - 2(Уп+8 + Уп-8 )Рп,х-8-1 , где

ß - 5 Vn__L 5 Vn-1 + Vn+1 +_____, 5

Pn,X-5 -1 _ °X-5 5Я-5 -1 + + °X

Vn+5 + Vn-5 Vn+5 + v n-5

( ^

1 + Vn-5+2 + Vn+5-2 V Vn+5 + Vn-5 j

Из определения дефекта 5 и формулы (5) следует, что lim ßnX-5-1 - 5Я - 1 , n еЛт, и

n—ю ' 2я 1

an Я-5-1 отличен от нуля для всех достаточно больших n е Лт . Таким образом, многочлен Vn (z) действительно может быть (Я - 5 -1) -нормирован.

Для получения нормированного многочлена Vn^-5-r)(z) воспользуемся формулой (3). Тогда

Я-1 Я i- j-1 v 1

Hm^-5-1)

n—<x>

'-0 ,-'+1 т-0 I-1 щ1

Докажем, что (7) совпадает с выражением: А8 ЕС1т1 5(г) . Для этого преобразуем это вы-

1-1

z-zz

ражение до вида (7).

C т 4C т J '

Используя разложение дроби —z—z— --Е wjT, (z) в ряд по многочленам Чебышева,

z - z 1 l j

z zz wz —- j-0 wz

Я x

получаем Е Cfl ^ - Е^КЕ Е Sj (z)T (z).

i-0 j-0

wl

D(z) - V 4CzTz_

z-1 z-1U - -

I)

Воспользовавшись далее правилом умножения для многочленов Чебышева и сделав замены индекса суммирования, будем иметь:

Zn ~ D( z) v

- Е?-tt Е

1 j-0

l -1 l l -1 1 11 w, -

w

Я

Е5, (w|j-i| + wj+i) i 0

Tj (z).

zj

Заметим, что коэффициент при Т.- (г) в квадратных скобках при всех у > X есть

я /

X5(wj-i + wr i=0

\ я я / ) = 2^5iwfTi (zz) = 2wJz D(zz ) = 0 и что выражение ( w\J-i

i=0 i=0

+ w;

j+i

) преобразо-

вывается

до X 5i ( wi j - wj i ). Тогда,

i=j+1

Я-1

X cz TzШ = X^CTh" X

=1

z - z,

z z=1 I 1

I wz--

I w,

j=0

я / X 5i (

i- j w - w

j-i

i= j+1

Tj ( z).

zy

Легко видеть, что w, j - w

j-i

w -

w

л,-j-1 ,

X wi-j-m-1—=

z .. m

z У m=0

w

^ i - j -1

w -

w

1

z y

=0 w

j-i+2m+1

v d(z) ^-1, я i-j-1 v 1

Окончательно получаем, XCzTz-= 2X X X 5iXCTz 2m-i+ i+1 Tj(z), т.е. что

" " ЛЛ) J

=1

Так как0(г) = Д(г)(г - ^.(г - *(г - - У1, то мы приходим к формуле (6).

Итак, мы нашли частичные пределы последовательности знаменателей линейных аппроксимаций Паде-Чебышева типа (п,Х -1) для рациональной функции г(г) по последовательностям

Лт . Нетрудно показать, что таким образом мы получили все частичные пределы. Поэтому, в полной аналогии с работой [5], нули семейства многочленов {Ж(г,т)} р дают множество всех предельных точек полюсов аппроксимаций Паде-Чебышева типа (п,Х -1). Геометрия множества нулей {Ж(г,т)} р изучена в [5].

Также, как и в [5], мы можем теперь доказать равномерную сходимость подпоследовательности Яп х-1(г), п еЛт внутри соответствующих областей к функции /(г). Можно также найти и

области равномерной сходимости для последовательности Яп х-1 (г).

Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № 04-01-96006.

О.Л. Ибряева благодарит также за финансовую поддержку Правительство Челябинской области (исследовательский проект 007.01.06-05.БХ).

z-z

z j=0 i=j+1 m=0 z=1

w

lim Ff-5-1)(z) = 4;XCzTz D^

=1

z-z

w -1

1

1

Литература

1. Суетин С.П. О сходимости рациональных аппроксимаций полиномиальных разложений в областях мероморфности заданной функции// Матем. сборник. - 1978. - Т. 105. - № 3. - С. 413-430.

2. Суетин С.П. О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разложений// Матем. сборник. - 1981. - Т. 114. - № 3. - С. 451-464.

3. Суетин С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда// Успехи математических наук. - 2002. - Т. 57. - № 1. - С. 45-142.

4. Lubinsky D.S., Sidi A. Convergence of linear and nonlinear Pade approximant from series of orthogonal polynomials// Transaction of the American mathematical society. - 1983. - V. 278. - № 1. -P. 333-345.

5. Adukov V.M. The uniform convergence of subsequences of the last intermediate row of the Padé table// J. Approx. Theory - 2003. - V. 122. - P. 160-207.

6. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том II. Дальнейшее построение теории. - М.: Наука, 1968.-624 с.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Физматгиз, 1962. - Т. I. - 464 с.

Поступила в редакцию 19 августа 2005 г.