Напряженно-деформированное состояние «Пограничный слой» в краевой зоне прямоугольной пластины

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ «ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ» В КРАЕВОЙ ЗОНЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

ПЛАСТИНЫ

В.В. Фирсанов, О.В. Павлова

Рассматриваются результаты численного эксперимента, подтверждающего наличие напряженного состояния «пограничный слой» в краевой зоне тонких пластин и оболочек. Представлены два варианта расчета НДС в зоне жестко защемленного края прямоугольной пластины. Первый вариант соответствует НДС краевой плоской деформации, определяемому аналитическими методами. Другой вариант представляет собой НДС, полученное с помощью детальной конечно-элементной 3П-модели САЕ-системы. Проводится сравнение результатов вычислений по двум вариантам расчета.

Ключевые слова: прямоугольная пластина, напряженное состояние «пограничный слой» краевая плоская деформация, вариационно-асимптотический метод, конечно-элементная модель, поперечные нормальные напряжения.

Конструкции современных объектов машиностроения, в том числе авиационной и ракетно-космической отраслей, состоят из различных деталей, узлов, панелей, соединяемых между собой различными способами. Наличие соединений предъявляет к конструкции повышенные требования в отношении ее прочностных свойств, что заставляет разрабатывать более совершенные методы расчета.

В настоящее время инженерные расчеты всех видов соединений авиационных конструкций, в том числе фланцевых, сварных и клеевых, как правило, базируются на результатах классической теории пластин и оболочек типа Кирхгофа-Лява.

Современная техника выдвинула в теории пластин и оболочек более сложные проблемы, чем те, которые исследуются классической теорией. Один из аспектов этих проблем заключается в построении НДС вблизи зон его искажения, так как в этом случае классическая теория не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трехмерности НДС.

Учет трехмерности НДС в зонах искажения в сочетании с методами механики разрушения дает возможность более обоснованно оценить прочность и долговечность в наиболее нагруженных зонах конструкций.

Один из возможных путей построения математически обоснованной теории пластин и оболочек состоит в применении прямого асимптотического метода [1], приводящего в конечном итоге к представлению решения в виде рядов, расположенных по степеням малого параметра И* - относительной толщины пластины или оболочки.

Сформулированные краевые задачи, в силу сложности соответствующих им дифференциальных уравнений и различного типа граничных условий, напрямую решить затруднительно. В связи с этим, в работах [2,3,4], указанные краевые задачи с помощью вариационного метода Вла-сова-Кантаровича решены и доведены до численных результатов для прямоугольных пластин и цилиндрических оболочек переменной толщины.

Другой подход [5,6] к построению утонченной теории, называемой энергетически согласованным, заключается в разложении перемещений в полиномные ряды.

Общий результат рассматривавших подходов состоит в том, что по сравнению с классической теорией уточнённая теория учитывает дополнительные быстрые затухания на расстоянии толщины краевой НДС типа «пограничный слой», которые вносят значительный вклад в общее НДС пластин и оболочек. Следует отметить, что компоненты НДС, полученные по результатам расчетов по величине практически совпадают. В данной работе рассматриваются результаты численного эксперимента, выполненного методом конечных элементов (МКЭ) с использованием 3Б-САЕ-системы. Необходимая точность вычислений достигается за счёт мелкой разбивки в нерегулярное зоне тонкостенного элемента. В качестве примера расчета НДС рассматривается прямоугольная пластина из изотропного материала. Проведено сравнение результатов расчетов по уточненной теории и конечно-элементной модели.

Рассмотрим прямоугольную пластину, нагруженную поперечной распределенной нагрузкой q(X, л) (рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольная пластина постоянной толщины

Обозначив через а, Ь, 2И длину, ширину и толщину пластины соответственно, отнесем ее к безразмерной системе координат (X, л, V), связанной с системой (х,у,2) равенствами

237

х =-, л =у, ? = I-

а а п

В продольном направлении наряду с координатой X будем применять координату Х1 = —, которая, очевидно, связана с координатой X зави-

п

симостью

xI =1х.

Для определенности будем полагать, что край пластины X = 0 жестко защемленный. Предположим, что функция прогибов пластины -к(Х, Л), отвечающая теории Кирхгофа, тем или иным способом определена.

Задача определения плоской деформации у края Х1 = 0 согласно результатам [1,2] сводится к отысканию бигармонической в полуполосе £ = ±1, Х1 - 0 функции Ф, убывающей до нуля при Х1  +¥ вместе с производными до второго порядка включительно. Кроме того, функция Ф должна удовлетворять однородным граничным условиям на нижней и верхней плоскостях пластины

ЭФ

Ф

Х=±1 Э£

0

Х=±1

и двум неоднородным граничным условиям на краю Х1 = 0, которые здесь выписывать не будем.

Если бигармоническая функция Ф будет определена, то компоненты напряженного состояния плоской деформации находятся с помощью равенств

э 2Ф

а уп =|1т(г0<—у

а —п = т

Э 2 Ф

э 2Ф

а2П = т

ЭХ2

э 2Ф

эх2

^ Х2П =- т

эх2 эх2

э 2 Ф

)

ЭХ1ЭС

где т(л) - функция, связанная с функцией — к соотношением [1,2], принимающим в рассматриваемой системе координат вид

т

I

Э 2-к

21а(1 ЭХ

2

Х=0

Согласно общему вариационному методу представим функцию Ф в виде конечного ряда

1=п

Ф = I ВДЖ(Х1): 1 =1

где )- функции, аппроксимирующие функцию Ф по толщине пластины и удовлетворяющие граничным условиям

^1^=±1 = ^ к=±1 = 0, а у 1 (Х1) — функции, определяемые в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Получаем систему уравнений для определения функций у 1(^1) и необходимое количество естественных граничных условий на жестко защемленном краю:

1 = ПГ ТУ " 1

£ [а1кУт - 2Ь1кУ1 + С1кУ1 ]= 0

1=1

1 = п

£

1=1

¿1к У1 + е1к У и

Х1 = 0

f1k У Г + Е1к У1

=Ок

Х=0;

1 = п

£

1=1

Х1 = о

= 0.

где введены обозначения +1

агк = I РгРА -1

+1

ъ!к = I ррк С -1

+1

с1к = I Р"рк С -1

+1

¿¡к =I ргрА -1

и +1 ' '

егк =~л-I Рг' Рк С

1 -и-1

ёгк

+1

/¡к = I ррА

-1

к =- ^ Р^к'Ъ

1 -и ,

1 +1

б (X)=- т I хрЛ -1

т=NI

Э 2 ™к (

эх 2 Х=0 V

/ / Э ™к ™к

эх 2

N = •

2 Е

1 -и2

I

э 2 щ

эх 2

Х=о,

Эл'

¿л

¿л,

Заметим, что решение системы (2) должно удовлетворять условиям затухания функции Ф при Х1  ¥ .

В качестве примера рассмотрим консольную стальную (и = 0.3 ^

прямоугольную 7 = 1 пластину с относительной полу-

VЕ = 20*10 Па)

толщиной 1/1 = 0.01, нагруженную нормальным давлением, изменяющим -

1

2

ся по закону q(X,л) = Л. Функция прогибов данной пластины соответствует теории Кирхгофа. Для нахождения напряженного состояния плоской

1=п

деформации на краю Х = 0 удержим в разложении

1=1

лишь первый член ряда. В качестве функции ) целесообразно принять

ад) = £- 7 £3 +1 £15,

6 6

удовлетворяющую условиям (Б

=Р1

С=±1 1

^ ) и позволяющую с точно-

стью порядка п построить искомое напряженное состояние уже в первом приближении.

Решая краевую задачу, запишем функцию Ф в окончательном виде:

Ф = Ее4 07Х1 (0.0609С08 2.476Х1 - 0.149вт 2.476Х1 /£ - 7£3 +1 £15

V 6 6

Соответствующие графики изменения напряжения (1) - (3) представлены на рис. 3 - 4 по толщине пластины на жестко защемленном краю.

Для предварительной оценки прочности и долговечности конструкции применяется МКЭ в 3Б-САЕ-системе, основанный на представлении конструкции в виде простых узлов и элементов. Необходимая точность вычисления достигается за счет мелкой разбивки в нерегулярной зоне пластины

/

Рис. 2. Конечно-элементная модель

В конечно-элементной модели получены 1 001 014 элементов, 1 071 798 узлов и использован тип элементов Нех8.

Проведен анализ напряженно-деформированного состояния типа «пограничный слой», т.е. в узких краевых зонах. Графики изменения искомых напряжений на краю пластины по толщине представлены на рис. 3 - 4.

Рис. 3. Распределение нормальных напряжений ахп (а, б) и wn, ип (в, г) по толщине пластины

а

б

в

Рис. 4. Распределение касательных напряжений тхш (а, б) по толщине пластины; ауп (в, г) распределение нормальных

напряжений по толщине пластины

г

На рис. 3 - 4 точечной линией показана классическая теория пластин и оболочек Кирхгофа-Лява, пунктирной линией - аналитический метод, сплошной линией - численный метод.

Результаты расчетов свидетельствуют о том, что напряжения краевой плоской деформации практически совпадают с аналитическим методом. Сравнение результатов расчета по двум вариантам показало хорошее совпадение в качественном и количественном отношении.

Список литературы

1. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

2. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т.8.№1. С. 20-64.

3. Фирсанов В.В., Чан НгокДоан Энергетически согласованная теория цилиндрических оболочек // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. №6. С.49-54.

4. Фирсанов В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок на основе неклассической теории// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2016. №6. С.35-43.

5. Фирсанов В.В., Доан Ч.Н. Исследование статики и свободных колебаний цилиндрических оболочек на основе неклассической теории // Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. Т.20. №1. С.104-123.

6. Фирсанов В.В. Погранслой и его влияние на прочность цилиндрической оболочки переменной толщины // Вестник МАИ. 2010. Т.17. №5. С.212-218.

Фирсанов Валерий Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой 906, k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

Павлова Ольга Викторовна, асп., k906@mai.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт

STRAINED DEFORMED CONDITION «BORDER LAYER» IN THE MARGINAL

RECTANGULAR PLATE ZONE

V. V. Firsanov, O. V. Pavlova

The results of the quantity experiment are observed which support the existence of the strained condition of the border layer in the thin plates and membranes zone. There are two variants of the strained-deformed condition account in the hard jammed edge zone of the rectangular plate. The right variant conforms the strained deformed condition of the marginal flat deformation defined with the help of analytical methods. The other variant represents strained deformed condition created by the detailed final elemental model in 3D-CAE-system. The results of the calculations are compared according to the account of these two variants.

Key words: rectangular plate, strained condition, border layer, marginal flat deformation, variational asymptomatic method, final elemental model, cross normal voltages.

Firsanov Valery Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Pavlova Olga Viktorovna, postgraduate, k906@mai.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute