К дифференциальной геометрии пятимерных $b$-комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве $p^5$

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПЯТИМЕРНЫХ В-КОМПЛЕКСОВ

ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р5 И. В. Бубякин

Аннотация. Рассматривается дифференциальная геометрия пятимерных B-комп-лексов двумерных плоскостей в проективном пространстве P 5. Определяется строение пятимерных B-комплексов двумерных плоскостей.

Ключевые слова: комплексы двумерных плоскостей, грассманово отображение, многообразие Сегре.

I. V. Bubyakin. On the Differential Geometry of Five-Dimensional B-Complexes of Planes in the Projective Space P5.

Abstract: The differential geometry of five-dimensional B-complexes is considered in the projective space P5. The structure is determined five-dimensional B-complexes of two-dimensional planes.

Keywords: complexes of two-dimensional plane, Grassman map, Segre manifold.

1. Данная работа относится к многомерной проективно-дифференциальной геометрии, той ее части, в которой изучаются семейства плоскостей различных размерностей в проективном пространстве. Этой теории посвящено большое количество работ советских, российских и зарубежных геометров. Такая проблематика оформилась в работах по теории конгруэнций прямых, а также по теории комплексов прямых. Эти исследования объединены в известных монографиях С. П. Финикова [1] и Н. И. Кованцова [2] соответственно. Впоследствии с использованием метода внешних форм Картана [3] эти теории были развиты в более общей ситуации семейств m-мерных плоскостей в пространствах произвольной размерности. Многие вопросы представляют интерес не только для многомерной дифференциальной геометрии, но и для интегральной геометрии Радона — Хелгассона — нового направления в современной математике, которому посвящена книга [4] И. М. Гельфанда, С. Г. Гиндикина и М. И. Граева, а также для общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, например исследуемой в работе [5] И. М. Гельфанда и М. И. Граева, где рассматриваются гипергеометрические функции, связанные с грассмановым многообразием двумерных плоскостей пятимерного пространства. В интегральной геометрии при решении основной задачи рассматриваются комплексы m-мерных плоскостей, размерность которых совпадает с размерностью пространства.

УДК 514.755

К В

© 2015 Бубякин И. В.

Одной из наиболее красивых областей дифференциальной геометрии, где всей полнотой проявляются преимущества инвариантных бескоординатных методов исследования, является теория комплексов многомерных плоскостей проективного пространства. Этот интерес к теории комплексов многомерных плоскостей обусловлен также и задачами интегральной геометрии, в которых требуется восстановить функцию, зная ее интегралы по плоскостям некоторого семейства. Основная задача состоит в выделении так называемых допустимых комплексов, для которых такое восстановление возможно. Для успешного решения этой задачи необходимо, очевидно, соединить методы интегральной геометрии с многообразными и красивыми конструкциями, которые получаются в рамках проективной теории комплексов многомерных плоскостей. В этой связи дифференциально-геометрические исследования допустимых комплексов плоскостей, которые играют важную роль в интегральной геометрии, остаются в то же время в стороне. Поэтому актуальной представляется также проективно-дифференциальная геометрия комплексов многомерных плоскостей. Некоторые допустимые пятимерные комплексы двумерных плоскостей в проективном пространстве Р5 и являются объектом исследования в данной работе. Комплексы двумерных плоскостей в пятимерном пространстве являются обобщением комплексов прямых трехмерного пространства в том смысле, что двумерные плоскости в пятимерном пространстве самодвойственны так же, как и прямые в трехмерном пространстве. Семейство двумерных плоскостей р в пятимерном проективном пространстве Р5 также будет самодвойственным, так как при коррелятивном преобразовании ему соответствует семейство того же типа. Ввиду этого построения, связанные с таким семейством, допускают двойственное толкование. Двойственные построения позволяют проводить исследования без дополнительных рассуждений. В дифференциальной геометрии семейств пятимерных комплексов двумерных плоскостей [6] такие построения широко применяются.

Впервые некоторые обобщения допустимых комплексов прямых проективного пространства Рп и описание их геометрической структуры рассматривались Л. З. Кругляковым в [7,8] (назовем их К-допустимыми комплексами), А. М. Васильевым и В. А. Нерсесяном в [9,10] (назовем их Ж-допустимыми комплексами), а также венгерским геометром Майусом [11-13] и А. Б. Гончаровым [14-16] ( назовем эти комплексы допустимыми в смысле интегральной геометрии или просто допустимыми комплексами плоскостей). При этом конструкции К-допустимых комплексов двумерных плоскостей совпадают с некоторыми описанными конструкциями допустимых комплексов двумерных плоскостей из [14-16] и [11-13], а конструкции Ж-допустимых комплексов двумерных плоскостей не совпадают с описанными конструкциями допустимых комплексов двумерных плоскостей в смысле интегральной геометрии.

В п-мерном проективном пространстве Рп А. М. Васильев и В. А. Нер-сесян [9,10] называют допустимыми (Ж-допустимыми) п-мерные комплексы Сп то-мерных плоскостей, которые обладают следующим свойством: для точки М произвольной образующей р € Сп содержащая касательная плоскость к конусу, образованному плоскостями комплекса, проходящими через точку М,

не зависит от выбора точки М € Сп. Л. З. Кругляков [7,8] называет допустимыми (К-допустимыми) п-мерные комплексы Сп т-мерных плоскостей, которые обладают следующим свойством: для (т — 1)-мерной плоскости рт-1 произвольной образующей р € Сп содержащая касательная плоскость к конусу, образованному плоскостями комплекса, проходящими через (т — 1)-мерную плоскость рт-1, не зависит от выбора (т — 1)-мерной плоскости рт-1 € Сп.

Грассманово отображение [17] представляет собой биективное отображение многообразия С(2, 5) двумерных плоскостей проективного пространства Р5 на девятимерное точечное алгебраическое многообразие 0(2, 5), принадлежащее проективному пространству Р19. Касательное пространство Тр0(2, 5) к многообразию 0(2, 5) в его произвольной точке р содержит пятимерный асимптотический конус Вр(2) [18], связанный с окрестностью второго порядка, проекти-визацией которого является многообразие Сегре 5Р(2, 2). Многообразие Сегре Бр(2, 2) остается при этом инвариантным при проективных преобразованиях пространства Р8 = РТр0(2, 5), являющемся проективизацией с центром в точке р касательного пространства Тр0(2, 5) к многообразию 0(2, 5). Кроме того, пространство Тр0(2, 5) содержит восьмимерный асимптотический конус Вр(3) [18], связанный с окрестностью третьего порядка, проективизацией которого является кубическая гиперповерхность РВр(3) в пространстве Р8.

Пятимерному комплексу двумерных плоскостей С5 на алгебраическом многообразии 0(2, 5) соответствует пятимерное гладкое многообразие V5. Изучение взаимного расположения четырехмерной касательной плоскости PTpV5, являющейся проективизацией с центром в точке р касательного пространства TpV5 к многообразию V5 с многообразием Сегре 5Р(2, 2) и кубической гиперповерхностью РВр(3), дает возможность выделить N и К -допустимые комплексы с единой точки зрения. А именно, как выясняется в книге [6], Ж-допустимые комплексы характеризуются тем, что для каждой двумерной образующей р четырехмерная плоскость PTpV5 пересекает гиперкубику РВр(3) по трехмерной кубической поверхности О3, которая распадается на конус О2 второго порядка и трехмерную плоскость, принадлежащую а-образующей гиперкубики РВр(3), а К-допустимые комплексы характеризуются тем, что для каждой двумерной образующей р четырехмерная плоскость PTpV5 содержит а-образующую многообразия Сегре 5Р(2, 2). Более того, такой методический подход позволяет выделить также и некоторые пятимерные комплексы двумерных плоскостей, которые являются допустимыми комплексами в смысле интегральной геометрии.

Тем самым возникает задача обобщения понятия допустимости комплекса прямых в проективном пространстве Рп на основе отображения грассманова многообразия С(т, п) на алгебраическое многообразие 0(т, п) пространства РN, где N = Ст++11 — 1. Для выделенных п-мерных допустимых комплексов т-мерных плоскостей в проективном пространстве Рп ставится задача нахождения полного геометрического описания и строения. Полное геометрическое описание выделенных комплексов позволит использовать некоторые его результаты в многомерной дифференциальной геометрии, а также в интегральной геометрии. Естественно такие исследования начать с обобщения комплекса прямых

в трехмерном проективном пространстве, а именно с пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Р5.

2. В проективном пространстве Р5 двумерная плоскость р определяется тремя линейно независимыми точками. Из матрицы координат этих точек мож-

грассмаповыми координатами плоскости р. Они связаны системой алгебраических уравнений и определяют биективное отображение грассманова многообразия С(2, 5) двумерных плоскостей пространства Р5 на девятимерное алгебраическое многообразие 0(2, 5) проективного пространства Р19. Это отображение называется грассмаповым отображением [17].

Исследуем более детально строение алгебраического многообразия 0(2, 5). Рассмотрим в пространстве

Р5

две двумерные плоскости, пересекающиеся по прямой. Они порождают линейный пучок плоскостей, т. е. семейство двумерных плоскостей, проходящих через прямую и лежащих в некоторой трехмерной плоскости. Этому линейному пучку на многообразии 0(2, 5) соответствует прямолинейная образующая. При этом прямая и проходящая через нее трехмерная плоскость вполне определяют линейный пучок, а следовательно, и прямую на многообразии 0(2, 5).

Рассмотрим все двумерные плоскости, лежащие в некоторой фиксированной трехмерной плоскости. Они образуют линейное трехпараметрическое семейство, которому на многообразии 0(2, 5) соответствует трехмерная плоская образующая, называемая а-образующей. Поскольку в пространстве Р5 содержится восьмипараметрическое семейство трехмерных плоскостей, многообразие 0(2, 5) несет семейство а-образующих, зависящее от восьми параметров.

Пусть в пространстве Р5 фиксирована некоторая прямая. Рассмотрим все двумерные плоскости, проходящие через нее. Такие двумерные плоскости порождают трехпараметрическую связку, которой на многообразии 0(2, 5) также соответствует трехмерная плоская образующая, называемая в-образующей. Поскольку пространство Р5 содержит восьмипараметрическое семейство прямых, многообразие 0(2, 5) несет семейство в-образующих, зависящее от восьми параметров. Таким образом, многообразие 0(2, 5) несет два семейства трехмерных плоских образующих.

Если трехмерная плоскость пространства Р5 содержит фиксированную прямую, то соответствующие а- и в-образующие многообразия 0(2, 5) пересекаются по прямой. Если трехмерная плоскость в пространстве Р5 не содержит прямую, то соответствующие им плоские образующие многообразия 0(2, 5) общих точек не имеют.

Рассмотрим в пространстве Р5 фиксированную двумерную плоскость р. Через эту плоскость проходит двупараметрическое семейство трехмерных плоскостей. Поэтому через соответствующую плоскости р точку на многообразии 0(2, 5) проходит двупараметрическое семейство а-образующих. В то же время плоскость р содержит двупараметрическое семейство прямых. Следовательно, через точку р проходит двупараметрическое семейство в-образующих многообразия 0(2, 5). При этом две образующие различных семейств многообразия

но составить

20 определителей третьего порядка, которые называются

0(2, 5), проходящие через точку р, имеют общую прямую, которой в пространстве Р5 соответствует линейный пучок двумерных плоскостей, а две образующие одного семейства имеют единственную общую точку р. Отсюда следует, что все трехмерные плоские образующие, проходящие через точку р, являются плоскими образующими конуса Сегре Ср(3, 3) [18] с вершиной в точке р, лежащего на многообразии 0(2, 5). Этот конус представляет собой пересечение касательной плоскости Тр0(2, 5) в точке р к многообразию 0(2, 5) с самим многообразием. В пространстве Р5 конусу Сегре Ср(3, 3) соответствует совокупность двумерных плоскостей, пересекающих двумерную плоскость р по прямым.

Рассмотрим в проективном пространстве

Р5

пятипараметрическое семейство двумерных плоскостей — пятимерный комплекс С 5. Комплексу

С5

при

грассмановом отображении [17-19] соответствует пятимерное многообразие V5, принадлежащее алгебраическому многообразию 0(2, 5). Многообразие V5 в каждой своей точке р имеет пятимерную касательную плоскость Т^5. Про-ективизация плоскости Т^5 с центром в точке р представляет собой четырехмерную плоскость РТ^5. Различным видам взаимного расположения плоскости PTpV5 и многообразия Сегре 5Р(2, 2) соответствуют различные классы комплексов С5 [17-19] . Многообразие Сегре £р(2, 2) представляет собой четырехмерную алгебраическую поверхность шестого порядка, несущую два дву-параметрических семейства двумерных плоских образующих. При этом две образующие, принадлежащие различным семействам, имеют общую точку, а две образующие, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Поскольку многообразие Сегре 5Р(2, 2) является алгебраической поверхностью шестого порядка, в общем случае плоскость РТрУ5 пересекает это многообразие в шести точках. Эти точки определяют на многообразии V5 шесть полей направлений, интегральным кривым которых на комплексе С5 соответствует шесть семейств торсов (развертывающихся поверхностей с двумерными плоскими образующими) [6], образованных двумерными соприкасающимися плоскостями к некоторой кривой. При этом через каждую образующую комплекса проходит шесть торсов, по одному из каждого семейства. Каждый торс комплекса определяет для двумерной образующей р комплекса С5 характеристическую прямую — прямую пересечения двух бесконечно близких образующих торса и трехмерную характеристическую плоскость — касательную к торсу.

3. В проективном пространстве Р5 рассмотрим семейство точечных реперов {Л/}, I = 0,1,..., 5, и семейство реперов, образованных гиперплоскостями а1 = ( — 1)1 (Ло, ..., Л/_1, Л/+1,..., Л5). Уравнения перемещения этих реперов имеют вид

¿Л/ = ш/ AJ, ¿а1 = ш/ а3, где ш/ — линейные дифференциальные формы, удовлетворяющие структурным уравнениям проективного пространства Р5:

/ = шК л шК

¿ш/ = шКл шК, и, К = 0,1,..., 5.

Свяжем с двумерной плоскостью р пространства Р5 семейство точечных реперов так, что точки Л^, г = 0,1,..., 5, принадлежат плоскости р. Тогда

¿Лг = ш? Л? + шРЛр, ¿Лр = шр Лг + шчг Лч,

где i, j = 0,1, 2 и p, q = 3, 4, 5. Отсюда видно, что двумерная плоскость p в пространстве

р 5

зависит от девяти параметров, линейными комбинациями дифференциалов которых являются формы w?.

Пусть w?, i = 0,1, 2, p = 3,4, 5, — линейные дифференциальные формы, определяющие перемещение плоскости p = Ao л A1 л A2 в пространстве P5. Тогда поскольку размерность рассматриваемого комплекса C5 равна пяти, на нем будут выполняться четыре независимых уравнения:

лач = о,

где а = 1, 2, 3, 4. Эти же уравнения определяют четырехмерную плоскость PT?V5 в пространстве P8 = PT?0(2, 5).

Однопараметрическое семейство двумерных плоскостей p представляет собой

трехмерную поверхность с двумерными плоскими образующими. Эта поверхность является торсом [20], если она тангенциально вырожденная ранга один. Торсу на многообразии 0(2, 5) соответствует кривая, касательные к которой служат прямолинейными образующими этой поверхности. Данная кривая совпадает с асимптотической линией многообразия 0(2, 5). Поэтому в произвольной точке этой линии выполняется равенство

rang

Следовательно, уравнения торсов в пространстве можно записать в параметрическом виде:

w? = а, ж? dt.

На многообразии 0(2, 5) асимптотические направления второго порядка, выходящие из точки р, определяются условием

£2р = 0(шоаТр0(2, 5)),

откуда следует, что уравнения конуса Вр(2) асимптотических направлений второго порядка имеют вид

чМ — ч9 =

Из этих уравнений видно, что координаты точки конуса Вр(2) удовлетворяют условию (2) и, следовательно, допускают параметрическое представление:

Стало быть, конус B?(2) асимптотических направлений второго порядка совпадает с конусом Сегре C?(3, 3).

Асимптотические направления третьего порядка многообразия 0(2, 5), выходящие из точки p, задаются условием

d3p = 0

где

d3p = 6 det (w?) A3 л A4 л A5 (mod T?20(2, 5)).

w?

Рассмотрим проективизацию касательной плоскости ТР0(2, 5) с центром в точке р, которая представляет собой проективное пространство Р8 = РТР0(2, 5), где щР — однородные координаты произвольной точки. Асимптотические направления третьего порядка многообразия 0(2, 5) образуют конус с вершиной в точке р, который обозначается через ВР(3). Конус ВР(3) определяется в силу (3) уравнением

ае* К) = 0.

Ввиду этого конус Вр(3) представляет собой гиперконус третьего порядка в касательной плоскости ТР0(2, 5) в точке р к многообразию 0(2, 5).

Геометрический смысл конуса ВР(3) описывается следующим образом. Каждая гиперплоскость в пространстве Р 5, проходящая через плоскость р, содержит шестипараметрическое семейство двумерных плоскостей, которому на алгебраическом многообразии 0(2, 5) соответствует подмногообразие 0(2,4), проходящее через точку р. Шестимерные касательные плоскости к этим подмногообразиям образуют одно семейство плоских образующих конуса ВР(3), которые называются а-образующими. Через каждую точку плоскости р проходит шестипараметрическое семейство двумерных плоскостей, которому на многообразии 0(2, 5) соответствует подмногообразие 0*(2,4), также проходящее через р. Шестимерные касательные плоскости к таким подмногообразиям образуют второе семейство плоских образующих конуса ВР(3), которые называются его в-образующими. Таким образом, конус ВР (3) несет два семейства шестимерных плоских образующих. Из (3) следует, что шестимерное подпространство, определяемое в пространстве ТР0(2, 5) уравнениями

арщР = 0,

принадлежит асимптотическому конусу ВР(3). Это подпространство совпадает с а-образующими конуса ВР(3). Шестимерное подпространство, определяемое в пространстве ТР0(2, 5) уравнениями

вЧР = 0,

также принадлежит асимптотическому конусу ВР(3). Оно совпадает с в-обра-зующими конуса ВР(3). Легко видеть, что две образующие различных семейств конуса ВР(3) пересекаются по четырехмерной плоскости, которой в пространстве Р5 соответствует совокупность двумерных плоскостей, проходящих через некоторую точку и принадлежащих фиксированной гиперплоскости, а две образующие одного семейства пересекаются по трехмерной плоскости, совпадающей с образующей конуса ВР(2) асимптотических направлений второго порядка.

Асимптотическому конусу ВР(3) в пространстве Р8 = РТ;0(2, 5) соответствует кубическая гиперповерхность РВР(3), определяемая тем же уравнением (4), что и конус ВР(3) в касательном пространстве ТР0(2, 5). Гиперкубика РВР(3) несет семейство а-образующих, полученных при проективизации с центром в точке р а-образующих конуса ВР(3), и семейство в-образующих, полученных при проективизации в-образующих конуса ВР(3). Отметим, что многообразие Сегре 5Р(2, 2) представляет собой совокупность двойных точек гиперкубики РВР(3). Плоскость РТрУ и гиперкубика РВР(3) пересекаются в общем

случае по трехмерной кубической поверхности Q3, несущей два двупараметри-ческих семейства прямолинейных образующих, причем через каждую ее точку проходят две образующие различных семейств.

4. Пятимерные комплексы C 5 в проективном пространстве P5 можно определить как пересечение четырех гиперкомплексов, принадлежащих одной связке. В результате указанной выше специализации репера уравнение связки м гиперкомплексов C8 двумерных плоскостей p в проективном пространстве P5 запишется в виде

Ма л "w? = 0,

где i = 0,1, 2, p = 3,4, 5, а =1, 2, 3,4, а w? — линейные дифференциальные формы, обращение в нуль которых фиксирует двумерную плоскость p на пятимерном комплексе C 5. Проективизация этой связки гиперкомплексов представляет собой трехмерное проективное пространство P*3, однородными координатами точек которого являются коэффициенты ма связки гиперкомплексов.

Рассмотрим гиперкомплекс C8, определяемый уравнением (3) при фиксированных значениях коэффициентов ма. Через каждую прямую p1 с p проходит двупараметрическое семейство двумерных плоскостей p гиперкомплекса C8, образующих гиперконус с вершиной p1. Касательные гиперплоскости к этим конусам пересекаются в общем случае по двумерной плоскости p:

Ма л = 0.

Если выполняется условие

rang

то система уравнений (5) определяет гиперплоскость, касательную к гиперконусу двумерных плоскостей p с одномерной вершиной p1 с p. При этом каждая трехмерная плоскость, лежащая в этой касательной гиперплоскости, является касательной трехмерной плоскостью к некоторому торсу, принадлежащему пятимерному комплексу C5.

Проведем теперь двойственные построения. В каждой трехмерной плоскости p3 d p содержится двупараметрическое семейство двумерных плоскостей p гиперкомплекса C8, огибающей которого является двумерная тангенциально невырожденная поверхность, т. е. в каждой трехмерной плоскости p3 существует такая точка, которая описывает двумерную тангенциально невырожденную поверхность. Многообразие всех таких точек задается системой уравнений

Ма ла a = 0.

При выполнении условия (6) эта система уравнений определяют точку — центр пучка прямых, лежащих в двумерной образующей p гиперкомплекса C8, при этом каждая прямая этого пучка является характеристической прямой некоторого торса, принадлежащего пятимерному комплексу C5.

Условие (6) определяет в трехмерном проективном пространстве P*3 пересечение четырех линейно независимых квадратичных поверхностей которые в общем случае не имеют общих точек. Рассмотрим пятимерные комплексы C5 двумерных плоскостей p, которые определяются связкой гиперкомплексов C8, характеризующейся тем, что при грассмановом отображении гиперплоскости, принадлежащие связке гиперплоскостей PT?V8, содержат одну

а-образующую кубической гиперповерхности РВр(3), а пересечение четырехмерной плоскости РТрУ5 с многообразием Сегре $р(2, 2) содержит две прямые, принадлежащие двум различным а-образующим многообразия $р(2, 2) и одну прямую, принадлежащую в-образующей многообразия $р(2, 2). Назовем выделенные пятимерные комплексы С5 двумерных плоскостей р В-комплексами. Отметим при этом, что пятимерные В-комплексы двумерных плоскостей являются допустимыми комплексами [14-16].

Выбор указанного типа комплексов С5 двумерных плоскостей р приводит к четырем гиперкомплексам, для которых соответствующие при грассмано-вом отображении гиперплоскости РТрУ8, содержат а-образующие гиперкубики РВр(3):

ш0 = 0, ш4 = 0, ш| = 0, ш5 - ш| = 0.

Уравнение связки ^ гиперкомплексов С8 двумерных плоскостей р в этом случае запишется в виде

аш5 + вш 4 + + ¿(ш5 - ш|) = 0.

Центром этой связки ^ гиперкомплексов С8 служит пятимерный В-комплекс С5 двумерных плоскостей р, являющийся пересечением четырех вышеуказанных гиперкомплексов С8 и определяемый системой четырех дифференциальных уравнений (7).

Не составляет трудности проверить, что пересечение четырехмерной плоскости РТрУ5 с многообразием Сегре $р(2, 2) содержит две прямые, принадлежащие двум различным а-образующим многообразия $р(2, 2):

ш4 = 0, ш4 = 0, ш 5 = 0,

ш3 = 0, ш 3 = 0, ш 5 = 0,

и одну прямую, принадлежащую в-образующей многообразия $р(2, 2):

ш 3 = 0, ш4 = 0, ш 5 = 0,

Теперь выясним строение пятимерных В-комплексов С5 двумерных плоскостей р.

Теорема 1. Пятимерные В-комплексы

С5

представляют собой многообразие двумерных плоскостей, принадлежащих гиперплоскостям однопарамет-рического семейства и касающихся в каждой гиперплоскости этого семейства двух трехмерных тангенциально невырожденных поверхностей.

Доказательство. В-комплекс С5 определяется дифференциальными уравнениями (7), и на нем формы ш0, ш 3, ш 5 линейно независимы, следовательно, их можно принять в качестве базисных форм на В-комплексе С 5. Дифференцируя внешним образом уравнения (7), получим квадратичные уравнения

ш| л ш3 + ш5 л ш0 + (ш1 + ш2) л ш 5 = 0, ш 0 л ш0 - ш34 л ш 3 + ш 2 л ш4 - ш4 л ш 5 = 0, ш0 л ш0 + ш1 л ш 3 - ш| л ш3 - ш| л ш 5 = 0, ш5 л ш 3 + ш5 л ш3 + (ш 1 - ш2 + ш 2 - ш1) л ш 5 = 0.

Из первого квадратичного уравнения системы (11) следует, что формы щ3, щ5 выражаются через базисные формы щ§, щ0, щ5 В-комплекса С 5, а из последнего квадратичного уравнения системы вытекает, что те же формы выражаются через базисные формы щ3, щ5. Ввиду единственности разложения форм по базису В-комплекса С5 получим, что указанные формы выражаются лишь через одну базисную форму щ5, т. е. имеют место следующие уравнения:

Дифференциал гиперплоскости Ао л А 1л А2 л А3 л А4 в силу этих уравнений запишется так:

¿

+ а

Отсюда следует, что гиперплоскость Ао лА1лА2 лА3 лА4 описывает однопа-раметрическое семейство с трехмерной характеристической плоскостью, определяемой уравнением

X1 + ж2 + ах3 + Ьж4 = 0.

Поместим в эту трехмерную характеристическую плоскость однопараметриче-ского семейства гиперплоскостей Ао л А1 л А2 л А3 л А4 вершины Ао, А1, А2, А3, А4 подвижного репера. Ввиду такой специализации подвижного репера имеем

а = Ь = 0,

и уравнение (14) трехмерной характеристической плоскости примет вид

ж1 + ж2 = 0.

В фиксированной гиперплоскости Ао л А1 л А2 л А3 л А4, т. е. при щ5 = 0, получим, что двумерные плоскости р В-комплекса С5 касаются двух тангенциально невырожденных трехмерных поверхностей, уравнения которых имеют вид

щ4 = 0, щ| = 0.

При этом точки А1 и А2 в каждой гиперплоскости АолА1лА2лА3лА4 однопара-метрического семейства описывают трехмерные тангенциально невырожденные поверхности, касательные 3-плоскости к которым совпадают соответственно с трехмерными плоскостями Ао л А1 л А2 л А3 и Ао л А1 л А2 л А4.

Таким образом, двумерные образующие р пятимерного В-комплекса

С5

принадлежат гиперплоскостям однопараметрического семейства и касаются в каждой гиперплоскости этого семейства двух трехмерных тангенциально невырожденных поверхностей.

Докажем теперь обратное утверждение. Рассмотрим множество двумерных плоскостей р, принадлежащих гиперплоскостям однопараметрического семейства и касающихся в каждой гиперплоскости этого семейства двух трехмерных тангенциально невырожденных поверхностей. Поместим вершины Ао, А1, А2,

А3, А4 подвижного репера {А/} в гиперплоскость однопараметрического семейства, а точки Ао, А1, А2, А3, А4 — в трехмерную характеристическую плоскость этого семейства. Вершины А1 и А2 совместим с текущими точками трехмерных тангенциально невырожденных поверхностей. Точки Ао, А1, А2 поместим в двумерную плоскость, являющуюся пересечением трехмерных касательных плоскостей к тангенциально невырожденным поверхностям, а вершины А3 и А4 расположим соответственно в трехмерных касательных плоскостях к тангенциально невырожденным поверхностям.

Ввиду указанной специализации подвижного репера однопараметрическое семейство гиперплоскостей АолА1лА2лА3лА4 будет определяться следующими уравнениями:

щ5 = 0, щ5 - щ5 = 0, щ5 = 0, щ5 = 0,

где форма щ5 является базисной на этом семействе гиперплоскостей.

Трехмерные тангенциально невырожденные поверхности, лежащие в каждой гиперплоскости Ао л А1 л А2 л А3 л А4 однопараметрического семейства гиперплоскостей, в результате специализации подвижного репера будут задаваться уравнениями (16). На основании (16) и (17) получаем, что уравнения (7) определяют пятимерный комплекс С5 двумерных плоскостей р. При этом не представляет трудности установить, что такие комплексы определяются связкой гиперкомплексов С8, которая при грассмановом отображении характеризуются тем, что гиперплоскости, принадлежащие связке гиперплоскостей РТРУ8, содержат одну а-образующую кубической гиперповерхности РВР(3), а пересечение четырехмерной плоскости РТРУ5 с многообразием Сегре 5Р(2, 2) содержит две прямые, принадлежащие двум различным а-образующим многообразия 5Р(2, 2), определяемым уравнениями (8) и (9), и одну прямую, принадлежащую в-образующей многообразия 5Р(2, 2), определяемую уравнениями (10), т. е. являются пятимерными В-комплексами двумерных плоскостей р. Таким образом, утверждение о строении пятимерных В-комплексов двумерных плоскостей р полностью доказано.

Можно провести двойственные построения, т. е. в определении В-комп-лексов С5 двумерных плоскостей р в проективном пространстве Р5 взять в-образующие кубической гиперповерхности РВР(3). Рассмотрим пятимерные комплексы С5 двумерных плоскостей р в проективном пространстве Р5, определяющиеся связкой ^ гиперкомплексов С8, которая при грассмановом отображении характеризуются тем, что гиперплоскости, принадлежащие связке гиперплоскостей РТРУ8, содержат одну в-образующую гиперкубики РВР(3), а пересечение четырехмерной плоскости РТРУ5 с многообразием Сегре 5Р(2, 2) содержит две прямые, принадлежащие двум различным в-образующим многообразия 5Р(2, 2), и одну прямую, принадлежащую а-образующей многообразия 5Р(2, 2). Назовем такие пятимерные комплексы С5 двумерных плоскостей р дуальными В-комплексами. Для этих комплексов имеет место утверждение, двойственное утверждению теоремы 1.

Теорема 2. Дуальные пятимерные В-комплексы

С5

представляют собой

многообразие двумерных плоскостей, пересекающих некоторую кривую и касающихся двух тангенциально невырожденных гиперповерхностей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фиников С. П. Теория конгруэнций. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

2. Кованцов Н. И. Теория комплексов. Киев: Киев. гос. ун-т, 1963.

3. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М.: Гостехиздат, 1948.

4. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2007.

5. Гельфанд И. М., Граев М. И. Гипергеометрические функции, связанные с грассманианом G3,6 // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 1. С. 3-38.

6. Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.

7. Кругляков Л. З. О некоторых комплексах многомерных плоскостей в проективном пространстве // Функцион. анализ и его прил. 1982. Т. 16, № 3. С. 66-67.

8. Кругляков Л. З., Мизин А. Г. Допустимые комплексы коразмерности два многомерных плоскостей проективного пространства // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 5. С. 110-115.

9. Нерсесян В. А. Допустимые комплексы k-мерных плоскостей в Pn // Уч. зап. Ереван. гос. ун-та. 1986. № 2. С. 34-38.

10. Нерсесян В. А. Классификация допустимых комплексов двумерных плоскостей в R5 // Докл. АН Армян. ССР. 1980. Т. 70, № 3. С. 151-155.

11. Майус К. Структура допустимых комплексов прямых в CPn // Тр. Моск. мат. о-ва. 1979. Т. 39. С. 181-211.

12. Майус К. Структура допустимых комплексов прямых в Cn // Функцион. анализ и его прил. 1973. Т. 7, № 1. С. 79-81.

13. Майус К. Допустимые комплексы прямых с одной критической точкой // Функцион. анализ и его прил. 1975. Т. 9, № 2. С. 81-82.

14. Гончаров А. Б. Интегральная геометрия на семействах k-мерных подмногообразий // Функцион. анализ и его прил. 1989. Т. 23, № 3. С. 11-23.

15. Гончаров А. Б. Интегральная геометрия и многообразия минимальной степени в CPn // Функцион. анализ и его прил. 1990. Т. 24, № 1. С. 5-20.

16. Гончаров А. Б. Допустимые семейства k-мерных подмногообразий // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 3. С. 535-539.

17. Akivis M. A. On the differential geometry of a Grassmann manifold // Tensor. 1982. V. 38. P. 273-282.

18. Akivis M. A.,Goldberg V. V. On the structure of submanifolds with degenerate Gauss maps // Geom. Dedic. 2001. V. 86, N 1-3. P. 205-226.

19. Akivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: NorthHolland, 1993.

20. Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry. Seoul, 1999. (Lect. Notes Ser. Seoul National Univ.; V. 45).

Статья поступила 15 января 2015 г. Бубякин Игорь Витальевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 bubyakiniv@mail.ru