Принятие решений в процессе оперативного управления производством на основе вероятностного подхода

УДК 658.513.4

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ОПЕРАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ НА ОСНОВЕ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПОДХОДА С.В. Амелин

Работа посвящена совершенствованию методической базы организации принятия решений в системе оперативного управления производством

Ключевые слова: организация производства, оперативное управление, принятие решений, математическое моделирование

Промышленное производство занимает ведущую роль в народном хозяйстве страны. Его эффективность существенно зависит от качества системы управления производством и, в частности, от рациональности, обоснованности, оперативности принимаемых управленческих решений. Важным принципом повышения качества оперативных решений в процессе производства является применение организационно-

экономического моделирования на основе использования экономико-математических методов. Выигрыш при этом не только в увеличении объема и оперативности перерабатываемой информации, но и возможности решать слабоструктуризованные задачи управления с непосредственным участием ЛПР в диалоге с ПЭВМ.

Основой принятия любого управленческого решения в процессе производства является информация. Исходной информацией для разработки решения являются данные о состоянии производства. Важнейшей характеристикой исходных данных является точность и достоверность этой информации.

Недостаточная информативность приводит к неправильному выбору управляющих воздействий, к снижению их качества и эффективности управления производством. Как известно [1, с. 106], "Роль информации при управлении настолько велика, что нередко все управление сводится к информационным процессам" .

Творческая работа при выработке управленческих решений предполагает сбор информации о текущей производственной ситуации. Важно при этом определить, какая информация необходима, какого качества и к какому сроку.

Источниками информации могут служить [2,8]: оперативные данные, полученные опытным путем (эмпирические) и результаты модельных экспериментов; знания, опыт и интуиция лица, принимающего решения; помощь специалистов, консультантов, экспертов; данные, полученные с помощью новых информационных технологий из банков данных, баз данных и баз знаний.

Для решения задач управления в процессе производства необходимо определенный уровень информации об объекте управления, условиях работы системы и возникших отклонениях от нормы.

Исходная информация представляет смесь детерминированных случайных и нечетких параметров. При случайных параметрах в управленческих алгоритмах и моделях используются статистические, то есть усредненные значения случайных величин.

Амелин Станислав Витальевич - ВГТУ, д-р экон. наук, профессор, тел. (473) 243-76-67

Эти характеристики используются при их достаточно высокой вероятности и точности представления. Маловероятный параметр, определенный с невысокой точностью, не вызывает доверия ЛПР, и его не используют при решении задач управления. Эффективность управленческих решений в значительной мере определяется объемом, точностью и качеством исходной информации.

Для повышения точности и информативности исходных необходимо привлекать различные методы и алгоритмы, в том числе байесовское оценивание. Т ак, у вероятностных параметров оцениваемых экспертно при оперативном планировании, при получении опытных данных в ходе производства путем байесовского оценивания при необходимости может быть повышена точность. Такой процесс, как показано в [3], должен быть непрерывным по мере получения дополнительной информации.

Такие задачи могут возникать, например, при сбоях производства и необходимости выполнения плана по товарной продукции за счет резервных изделий. При этом требуется оценить вероятность выполнения в срок нового задания.

Потребное количество информации, отображающей свойств объекта управления, определяется типом управляемого производства, системой его управления и конкретной решаемой задачей [21]. По форме своего выражения параметры и показатели, характеризующие процесс производства, подразделяются на количественные и качественные. Наряду с приборной объективной информацией при решении задач управления производством широко используют различные формы экспертных опросов.

Эти опросы позволяют получить не только качественные характеристики в порядковой шкале (ранги, баллы) различных факторов, но и субъективно оценить вероятность события в будущем. Как показано в [5, с.40]: "Подобно объективной вероятности - самой популярной и распространенной из концепций неопределенности - субъективная вероятность удовлетворяет аксиоме вероятностной меры...".

Объем требуемой для задачи управления информации определяется ее ценностью, качеством. Хотя, как отмечено в [6, с 10]: "Мы сегодня еще не умеем определять "качество" информации, определять ее "ценность", т.е. тот эффект, который получает человек или производство при получении данной информации в определенное время, при ее использовании...".

В целевых системах, к которым относится производство ценность информации определяется близостью достижения конечной цели.

В этих случаях, как показано в [7, с. 18]:

"...ценность информации связывается с конечным эф-

фектом, ради достижения которого эта информация используется: чем конечный эффект больше, больше ценность информации".

При управлении производством руководителю приходится при-решения в условиях некоторой неопределенности, которую можно понимать как недостаток информации об исходных параметрах и как свойство самой информации. Неопределенность информации может определяться или ее вероятностным содержанием, или нечетким, расплывчатым описанием исходных параметров. В теории вероятностей рассматриваются параметры, неопределенность которых связана с их недетерминизмом. В теории расплывчатых множеств рассматриваются детерминированные параметры, неопределенность которых связана с нечетким восприятием их человеком. Вероятностные и расплывчатые категории основаны на различной аксиоматике, и в ряде случаев характеризуются различными свойствами.

Рассматривая процесс управления как информационный процесс, возможно использование энтропийной оценки [8] производственной ситуации. Энтропию можно использовать как меру отклонения параметров производственного процесса от запланированных значений [9], сравнивая вычисленное значение энтропии с априорным.

Процесс управления связан с переработкой и использованием информации и по существу является борьбой с неупорядоченностью системы, тесно связанной с энтропией. Приобретенная информация сопровождается уменьшением неопределенности, поэтому количество информации измеряют количеством исчезнувшей неопределенности, то есть разницей между априорной и апостериорной энтропией. Таким образом, информация имеет количественную меру поэтому можно говорить о количестве априорной и текущей информации. Традиционно количество информации определяется через вероятность информационных параметров.

В теории информации известны три способа определения энтропии: хартлиевский, больцмановский и шенноновский [10]. Применение каждого из них связано со спецификой решаемых задач. Теория информации изучает зависимость информации от случайности, а зависимость информации от нечеткости пока еще изучена мало. Количественная оценка определения нечеткости параметров разработана с помощью функции принадлежности, но нет общепризнанного способа оценки ее энтропии. Исследования в этом направлении проводятся: предложен метод определения энтропии нечетки параметров, имеющих функции принадлежности [11].

Именно в открывающейся возможности оценки информативности единой мерой - энтропией всех видов производственных параметров и факторов как случайных, так и нечетких и детерминированных автор видит перспективу использования такой оценки в интересах решения задач управления производством. Детерминированные параметры рассматриваются при этом как достоверные, т.е. имеющие вероятность Р=1, и для них энтропия равна нулю. В некоторых задачах управления производством специалисты применяют энтропийную оценку информационных параметров.

По мнению автора, для правильного выбора рациональной альтернативы ЛПР помимо оценок аль-

тернативных вариантов (АВ) по принятым показателям следует предъявлять уровень информативности и точности исходных данных, по которым проводилась эта оценка. Чем выше неопределенность, оцениваемая энтропией, и ниже точность исходных данных об управляемом процессе, тем ниже доверие к этой информации, тем выше риск принятия нерационального решения. Для объективной оценки ЛПР информативности исходных параметров, по нашему мнению, следует ввести понятие "степень недоверия" к информации этих параметров, определяемой относительной энтропией. Относительную энтропию исходных данных по _]-ой альтернативе, то есть "степень недоверия", определим по формуле

ьг

’ Н^:Н)оГ<Щ 1 :

-г-,

где ^ 1 1 - совместная энтропия всех

исходных данных по ]-той альтернативе; - эн-

тропия 1-го параметра ]-ой альтернативы;

= ^ ^ - максимальная эн-

тропия исходных данных по _]-ой альтернативе; Н]1тах -максимально возможная энтропия 1-го параметра ]-ой альтернативы; п - количество параметров в ]-ой альтернативе.

Ию - является усредненной по всем вероятностным параметрам "степенью недоверия", а не суммой "степеней недоверия" к каждому параметру. Это обусловлено тем, что при нескольких параметрах с высокой "степенью недоверия" к каждому из них, сумма "степеней недоверия" получается большой, что дезориентирует ЛПР.

Обычно по альтернативам априори известны только возможные вероятности исходов некоторых событий (параметров) и энтропия неопределенности в этом случае определяется, как усредненная энтропия, по формуле Шеннона

Н1=-£Р|к1ое2Ра1,

> ' (2) где Р^ - вероятность к-го исхода 1-го параметра, когда параметр может иметь N исходов.

Следовательно, степень неопределенности системы определяется не только числом ее возможных состояний, но и вероятностями этих состояний. При этом максимальная энтропия соответствует равновероятным оценкам по всем возможным исходам

н,г,,, = -£ Г* 1<% Р* = -К ^ 1ой, ~ --1оЙ2 Р, = 1ис>? N.

Ь-: ' ^

где Р;к - вероятность исхода.

Если вероятность параметра известна, т.е. она соответствует текущей вероятности, то для оценки неопределенности такого параметра следует использовать формулу Хартли, позволяющую определить индивидуальную энтропию [81]

Н = -1ов2Р1,

которая более точно будет характеризовать неопреде-

ленность исходного параметра, чем усредненная энтропия.

При получении дополнительной информации об исходных Данных энтропия их изменяется. Вместе с тем усредненная "степень недоверия" по всем исход-

ным параметрам при большом их количестве мало чувствительна уточнению и повышению информативности только нескольких параметров. Поэтому для особенно важных. Для задачи параметров "степенью недоверия" следует оценивать информацию каждого параметра

н„. = Н|0 : Н,р[бД],

н,

где Н,=-1од2Р1 - индивидуальная энтропия,а H1max=1og2N - максимальная энтропия 1-го параметра.

Информативность исходных параметров можно оценивать и "степенью доверия"

5;fl = 1

И:

'.

"Степень недоверия" к детерминированному известному параметру равна нулю, а "степень доверия" -единице.

Зная величину "степени недоверия" к информации параметров, по которым была проведена оценка эффективности альтернатив или решены другие задачи управления, ЛПР имеет большую возможность выбирать рациональное решение. "Степень недоверия" может использоваться как показатель того, в какой мере одни данные более вероятны, чем другие.

Низкая "степень недоверия" к исходным для принятия решений (ПР) параметрам может обусловить необходимость повышения 1 информативности этих параметров, а низкая точность их определения - повышения точности и достоверности. Т акое повышение информативности и точности параметров возможно при привлечении дополнительной информации. В прикладной статистике для повышения точности априорно оцененных вероятностей исходов параметров используется байесовский подход [12].

Если имеется экспертная априорная оценка параметра и значение этого параметра по опытным данным, то для повышения точности экспертной оценки применяют байесовский подход.

Рассмотрим один из возможных вариантов практического применения байесовского метода для повышения информативности и точности определения вероятностных параметров при принятии решений в процессе оперативного управления производством.

Априорная реализация прогнозируемого события при байесовском принципе определяется путем экспертного оценивания специалистами вероятности наступления этого события. При этом, как показано в [13, с188]: "...при внутренне согласованных операциях над субъективными вероятностями выполняются обычные законы теории вероятностей, включая и теорему Байеса". Экспертное оценивание используется во многих областях экономики. Более того, в настоящее время создаются экспертные системы для разработки программ, позволяющих решать трудно формализуемые задачи в диалоге с ЭВМ с качеством, не уступающим решению задач управления в случае привлечения эксперта-человека [19].

Известно, что [17, с.291]: «При вероятностном моделировании поведение эксперта, его ответ рассматривается как испытания Бернулли». Точечная оценка экспертной прогнозируемой вероятности Рэ и ее минимальная эффективная дисперсия, как параметры биномиального закона, рассчитываются по формулам [16]:

РЭ

->

где Рэ1 - оценка вероятности события, данная i-м экспертом; пэ - количество экспертов.

Доверительный интервал точечной оценки вероятности Рэ, т.е. Рэт1п и Рэтах для требуемой доверительной вероятности Р при малой выборке определяется по таблицам (графикам) биномиального распределения [17, 18], входом в которые является значение в и число степеней свободы q = пэ-1. При большой выборке оценка доверительного интервала рассчитывается по нормальному закону распределения. Относительную погрешность оценки вероятности по этому доверительному интервалу определим по формуле

Р -Р

А __ * Э ЭГШП

0 ~ D

! (8) а СКО экспертной точечной оценки вероятности - по

Для правомерности дальнейшего использования экспертизы проводят проверку согласованности мнений экспертов. При оценке экспертами одного параметра согласованность определяется проверкой на непротиворечивость мнений экспертов, давших крайнюю Х^тах или пип) оценку параметру по отноше-

нию к средне экспертному значению 1А1. Если с вероятностью а=0,05 уровень расчетного коэффициента рэ не превышает табличное значение ртаб, зависящего от величины а и числа экспертов Пэ , то непротиворечивость! мнений экспертов не отвергается [19, с. 124]

I X k - х I о

<3

таб-

Экспертиза может представить прогнозируемую вероятность события с большой ошибкой и высокой степенью недоверия к рассматриваемому параметру по доверительному интервалу. Такие характеристики исходного для ПР параметра затрудняют ЛТТР выбор рационального действия. Для повышения точности и информативности искомой вероятности при байесовском методе необходимо привлечь опытные данные по реализации рассматриваемого события, то есть количество положительных исходов т при количестве опытов п. При таком оценивании для сочетания экспертных и опытных данных необходимо задаться априорной плотностью распределения среднеэкспертной оценки вероятности Рэ как случайной величины. Как показано в [20], априорное распределение можно сочетать с любым правдоподобием, но лучше выбрать распределения, приводящие к простым расчетам. Поэтому при экспертной! оценке вероятности за закон ее распределения целесообразно приннять бета-

распределение Р(а,Ь), которое обладает широкой общностью. Этому распределению подчиняется [4, с.226]: "Широкий класс исследуемых признаков, возможные значения которых заключены в интервале [0,1], например, экспертным путем полученные субъективные

вероятности интересующего нас события".

Приравняв полученные в экспертизе Рэ и о2(Рэ) соответственно выражениям для математического ожидания (МО) и дисперсии (о2) бета-распределения

Р, =МО[Р(а,Ь)] =

аг(р3) = а3[Р(а,Ь}] =

(а + Ь)г(а + Ъ + 1)’

находят параметры "а" и "Ь" этого закона по формулам

1-ст (Рэ)а

^2{р7)Р ’

1-р.

г,'т I = ;

р = 1 !• 31 + 31*+*1

С учетом полученных опытных данных получают параметры "а" и "Ь" нового бета-распределения

а=а+т; Ь=Ь+

По этому апостериорному закону оценивают бай-

есовское значение искомой вероятности и ее дисперсию по формулам [221

^ _ а а + т

а + Ь а + Ь + п

Апостериорная вероятность, как и всякая статистическая величина, имеет погрешность. Она определяет доверительный интервал для искомой вероятности, соответствующей закону бета-распределения, только частично табулированного.

Решение этой задачи облегчается возможностью аппроксимации этого закона с помощью нормального распределения [120, с 124]: "При достаточно большом значении а+Ь (скажем, больше 30) бета-распределение можно приближенно представить в виде нормального распределения с той же средней и той же дисперсией".

Доверительный интервал для нормального закона распределения вероятности определяется по формуле Р = Р±1рс

где % - квантиль нормального закона распределения при доверительной Р вероятности; о(Р) - СКО апостериорной вероятности.

Если а + Ь < 30, апостериорный закон бета-распределения нельзя аппроксимировать нормальным законом. В этом случае доверительный интервал для апостериорной вероятности при байесовском оценивании проще определять, используя известное соотношение между бета- и Г-распределениями. Тогда нижнюю и верхнюю доверительную границу апостериорной вероятности оценивают соответственно по формулам

где У!=2а ; у2=2Ь - степени свободы Г-распределения;

Га;у1;у2 и Га;у2;у1 - значения случайной величины Г-распределения, определяемые по статистическим таблицам, входом в которые являются в нашем случае а=0,05; V! и у2 [18].

Полученные байесовские оценки повышают точность и информативность искомой вероятности, снижая ее неопределенность, энтропию и "степень недоверия" к параметру (событию). Последнее утверждение относится, по крайней мере, к нижнему пределу доверительного интервала рассматриваемой вероятности, так как ее среднее значение может и не увеличиться при байесовском оценивании.

При условии, что полученные значения апостериорной вероятности, точность ее определения и "степень недоверия" к ее неопределенности устраивает ЛПР, этот параметр используют в дальнейшем при принятии решений по регулированию производства? Приведем теперь алгоритм расчета апостериорной вероятности исходного параметра.

Алгоритм УБЯ байесовского оценивания вероятности ожидаемого события:

1. Организуют экспертизу по прогнозированию вероятности реализации в плановый период интересующего нас события. По результатам экспертизы по формулам (7) производят точечную оценку среднеэкспертной вероятности и ее дисперсии. По формулам (8) и (9) рассчитывают относительную погрешность по доверительному интервалу Д0(РЭ) и СКО экспертного разброса мнений по точечной оценке, определив по таблицам биномиального закона распределения значение Рэтп.

2. Проверяют согласованность мнений экспертов, рассчитав отношение максимального разброса экспертов к СКО экспертной оценки по формуле (10) и при доверительной вероятности Р=0,95, сравнив это значение с табличным, приведенным в [21]. При не-превышении расчетным отношением табличного значения, непротиворечивость мнений экспертов подтверждается и производится дальнейший расчет по алгоритму УБЯ. Если согласованность мнения эксперта, давшего крайнюю оценку, отвергается, то результат экспертизы считается недостоверным и организуется новая экспертиза.

3. При согласованности мнений экспертов определяют для Рэ и Рэт1п по формуле (4) индивидуальную энтропию неопределенности П(Рэ) и Н2(Рэтш)- Приняв за максимальную энтропию величи-

НУнпи1=-1оё2-1 = 1о82пэ! по (5) Рассчиты-

вают "степень недоверия" к информации рассматриваемого параметра по доверительному интервалу

Н01(Р э) и Не(Р зт]п).

4. В процессе производства по п опытным данным определяют т положительных исходов.

5. Полагая среднеэкспертную вероятность за случайную величину с законом бета-распределения, приравнивают выражение для МО и дисперсии этого закона соответственно Рэ и о2(Рэ) и по формулам (13) находят параметры "а" и "Ь" этого закона.

6. С учетом объема опытов п и количества в них положительных исходов т по формулам (14) определяют параметры " а "и" Ь " апостериорного закона бета-распределения.

7. По формулам

для апостериорного закона бета-распределения.

8. Для нормального закона распределения искомой вероятности, аппроксимирующего закон бета-

распределения при п и а > 30 по формуле (17) с надежностью р=0,95 находят доверительные интервалы

А

Р

вероятности

9 Для точечной оценки вероятности Р и ее мини-

Л

мально значения ^тт по формуле (8) определяют относительную га грешность по доверительному интервалу До(^), по формуле (14) индивидуальную энтро-

' Л Л

• Р Р

пию неопределенности Щ ) и Н2( тш), по формуле (5) "степень недоверия" к информации рассматривав-в ~

мого параметра Н^”) и Н2(Ртш) при Н^, полученном в п.З УБЯ. 10. Используя данные байесовского оценивания по п.1, 3, 8, 9 ,УБЯ производят оценку кратности повышения точности определения искомой вероятности Кг и снижения "степени недоверия" информации интересующего нас параметра по его среднему К2 минимальному по доверительному интервалу значению К3 по формулам

ш

Л0(Т)’

Р, .

И

0,т

К 3 =

ЩР)

H 2(РЭ1

,)

Р

1og 2 Рт

Н02

H02 (Ртт ) H2 (Ртт ) ^2Pm

Алгоритм байесовского оценивания вероятности некоторого события легко поддается программированию на ЭВМ. Повышение точности представления параметров и снижение "степени недоверия" к их информативности способствует правильной оценке альтернатив и выбору рационального решения. Это обеспечит ЛП возможность выбрать рациональный альтернативный вариант управленческого решения, что повысит эффективность организации управления и производства в целом. Информация требует затрат н ее получение. Поэтому прирост информативности исходных данных целесообразен, пока такие затраты не превышают прироста эффект производства при использовании информации в управлении.

Ценность информации определяется по влиянию на качество управленческих решений и зависит от конкретной ситуации и методов использования информации. Поэтому трудно получить формализованное выражение для подобных расчетов и задача прироста информации решается экспертным путем.

Воронежский государственный технический университет

В следующем разделе рассмотрим подходы к формированию альтернативных вариантов оперативных управленческих решений.

Литература

1. Николаев В.И., Брук В.М. Системотехника: методы и приложения. Л.: Машиностроение, 1985.199 с.

2. Варфоломеев В.И., Воробьев С.Н. Принятие управленческих решений. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001. - 288 с.

3. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно-целевое планирование и управление. М..: Сов. радио, 1976.440 с.

4. Черняк Ю.И. Информация и управление. М.: Наука, 1974. 184 с.

5. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения/ Под ред. P.P. Ягера; Пер. с англ. В.В. Кузьмина. М.: Радио и связь, 1986.408 с.

6. Теория систем и методы системного анализа в управлении и связи/ В.М. Волков, В.А. Воронцов, А.А. Денисов и др. М.: Радио и связь, 1983.248 с.

7. Коган И.М. Прикладная теория информации. М.: Радио и связь, 1981.216 с.

8. Цыгичко В.Н. Руководителю - о принятии решений.-М.: ИНФРА-М, 1996. - 272 с.

9. Совершенствование структур управления машиностроительным производством в условиях АСУ / Под общ. Ред. Л.Ф. Шклярского, А.А. Колобова. М.: Машиностроение, 1991.272 с.

10. Стратонович Р.Л. Теория информации. М.: Сов. радио, 1975. 424 с.

11. Дидук Н.Н. Нечеткость с точки зрения теории информации. Жур. Кибернетика. 1987. №2. С. 80-86.

12. Закс Ш. Теория статистических выводов: Пер с англ. Е.В. Че-пурина. М.: Мир, 1975. 776 с.

13. Кокс Д.Р., Смит В. Л. Теория восстановления: Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1967.299 с.

14. Попов Э.В. Экспертные системы. Решение неформальных задач в диалоге с ЭВМ. М.: Наука,1987.288 с.

15. Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа ЦЭМИ. М.: Наука, 1980. 421 с.

16. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М: ГИФМЛ, 1962. 564 с.

17. Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука 1983.416 с.

18. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных: Пер. с англ. Под ред. канд.техн.наук Э.К. Лецкого. М.: Мир, 1980. 610 с.

19. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математикостатистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980.263 с.

20. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. Пер с англ. Е.М. Чекурина. М.: Мир, 1978.560 с.

21. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л. Д. Основы модели-т рования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.471 с.

22. Статистические методы в экспериментальной физике: Пер с англ. B.C. Курбатова. М.: Атомиздат, 1976. 335 с.

DECISION MAKING IN THE OPERATIVE PRODUCTION MANAGEMENT BASED ON A PROBABILISTIC APPROACH S.V. Amelin

Work is devoted to improving the methodological basis for the organization of decision-making in the operations management

Key words: Industrial engineering, operational management, decision making, mathematical modeling