Алгоритм вычисления функции неопределенности в задаче одновременной оценки частотно-временных характеристик сигналов

УДК 621.396

А. А. Логинов, Д. С. Марычев, О. А. Морозов, В. Р. Фидельман

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАЧЕ ОДНОВРЕМЕННОЙ ОЦЕНКИ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛОВ

Аннотация. Актуальность и цели. К числу широко известных и перспективных методов оценки частотно-временных характеристик сигналов относятся методы, основывающиеся на построении и анализе функции неопределенности. В задачах радионавигации и оценки местоположения источников радиоизлучения такими характеристиками являются взаимная временная задержка и относительный доплеровский сдвиг частоты, возникающие при распространении сигнала от источника до разнесенных в пространстве приемников. Функция неопределенности в данном случае используется для одновременной оценки задержки и доплеровского сдвига частоты. На основе расчета взаимных временных задержек построен разностно-дальномерный метод оценки местоположения объектов, а значение доплеровского сдвига частоты используется для оценки скорости движения излучающего объекта. Одной из серьезных проблем, возникающих при практическом применении функции неопределенности, является большой объем вычислений, требующихся для ее расчета. Основной целью данной работы является разработка вычислительно эффективного метода расчета функции неопределенности с использованием параллельных вычислений на графических процессорах. Материалы и методы. Результаты, представленные в работе, получены путем компьютерного моделирования работы предложенного алгоритма на современных графических процессорах и многоядерных процессорах общего назначения. Результаты. Разработан метод расчета функции неопределенности, основу которого составляет алгоритм параллельного вычисления линейной свертки. Показана применимость предложенного подхода для практической реализации с использованием графических процессоров. Проведено сравнение с существующими алгоритмами расчета функции неопределенности, использующими параллельные вычисления. Выводы. В работе показан существенный прирост производительности расчета функции неопределенности при использовании предложенного подхода. Важность данного результата состоит в возможности получения адекватной производительности при расчете функции неопределенности и оценки взаимной временной задержки без использования специализированного оборудования, такого как цифровые сигнальные процессоры, что является существенным в системах многоканальной обработки данных.

Ключевые слова: функция неопределенности, радар, параллельные вычисления, взаимная временная задержка.

A. A. Loginov, D. S. Marychev, O. A. Morozov, V. R Fidel'man

ALGORITHM OF COMPUTING THE AMBIGUITY FUNCTION IN THE TASK OF SIMULTANEOUS ESTIMATION OF TIME-FREQUENCY PARAMETERS OF SIGNALS

Abstract. Background. Among widely-known and promising methods of estimating different time-frequency parameters of signals are those based on computing and

analysis of the ambiguity function (or the cross-ambiguity function). In different tasks of radio navigation and estimation of location of the radio-emitting engines such characteristics as time delay of arrival (TDOA) and frequency difference of arrival (FDOA) are extremely important. These appear when the signal spreads from the emitter to a number of spatially separated receivers. Both emitter and receivers might make arbitrary moves in the space as well. The ambiguity function in this case is used for simultaneous assessement of TDOA and FDOA. The TDOA is commonly used in the range-difference method of location of emitting sources, at the same time FDOA is used to estimate their velocities. The most serious problem in practical usage of the ambiguity function is a large amount of computations taken. The main purpose of the work is to develop an efficient method of computing the ambiguity function which would be suitable for implementing in modern graphics hardware. Materials and methods. All the results presented in the paper have been obtained by computational modeling of the proposed algorithm on modern graphics processors and multi-core processors of general purpose. Results. A method of computing the ambiguity function has been proposed. The method is based on parallel implementation of computing linear convolution. It has been proved that the method is quite applicable in practical cases for graphics hardware. Comparison of existing parallel approaches to computing the ambiguity function with the proposed one is also presented. Conclusions. The results presented in the paper show a significant increase in computing the ambiguity function in case of using the proposed approach. The importance of the result enables to achieve adequate capacity without any special hardware like DSP being involved. This is especially important for multi-channel systems.

Key words: ambiguity function, radar, parallel computing, mutual time delay.

Введение

Функция неопределенности (ФН) [1-3] играет центральную роль в многочисленных задачах, связанных с оценкой взаимных частотно-временных характеристик сигналов. Например, в системах навигации и связи с подвижными объектами необходимо с высокой точностью определять местоположение источника сигналов. Для этого обычно используется разностно-дальномерный метод (РДМ), который предполагает наличие нескольких (не менее трех) синхронизированных приемников, находящихся в разных местах. Ключевым моментом является оценка взаимных временных задержек прихода сигнала на различные приемники.

Если задача решается для случая подвижного источника сигналов или подвижного приемника, вследствие эффекта Доплера происходят частотный сдвиг и масштабирование спектров сигналов. Такая ситуация характерна для систем, использующих космический сегмент. В этом случае ФН позволяет решать задачу, давая мгновенные частотно-временные распределения. Следствием масштабирования спектров сигналов с цифровой модуляцией является изменение длительности символов, однако при обработке небольших выборок данных (до нескольких сотен символов) этим эффектом можно пренебречь.

В случаях, когда величиной взаимного сдвига спектров Af, обусловленного эффектом Доплера, можно пренебречь, задача оценки взаимной временной задержки At распространения сигнала sq (t) относительно sj (t) решается с помощь корреляционного приемника [4]:

д

—^

где д (т) - корреляционный интеграл.

Следствием частотного рассогласования является резкое снижение эффективности корреляционной обработки сигналов, что приводит к некорректным оценкам даже при высоком отношении сигнал/шум (ОСШ). Одним из возможных способов преодоления данного ограничения является предварительная компенсация частотного рассогласования сигналов за счет нелинейной фильтрации сигнала [5, 6] с последующим применением корреляционной обработки. Вместе с тем целесообразность такого подхода является оправданной при достаточно высоких ОСШ (> 0 дБ). В общем случае, особенно при низких ОСШ, произвести оценку взаимной временной задержки и частотного рассогласования позволяет ФН:

Аг, А/ = а^шт-ах! |б (т, / ))2,

2

—^

Наиболее серьезной проблемой, ограничивающей практическое применение ФН, является существенная вычислительная сложность алгоритма расчета, которая составляет О (3), где N - число отсчетов сигнала 5о (). Так,

для вычисления ФН сигналов длиной N ~ 30000 отсчетов понадобится при-

13

близительно 10 операций. Очевидно, что применение последовательных

алгоритмов расчета ФН в приложениях, обрабатывающих данные в режиме жестких временных ограничений, затруднительно, и актуальным является синтез параллельных алгоритмов.

В данной работе предложен подход к параллельному вычислению ФН с использованием графического процессора (ОРИ). В качестве технологии разработки программного кода использовалась КУГО1Л СИБЛ [7]. Повышение производительности по сравнению с последовательным алгоритмом обусловлено обработкой данных блоками на большом числе вычислительных узлов, работающих параллельно.

1. Подходы к вычислению функции неопределенности

Традиционно в системах цифровой обработки сигналов используется дискретизованное представление ФН следующего вида:

N0 1 ( Т„7™,Л

Q(n,m)= ^ sq [kK[k -n]exp

k=0

. 2nkm

v -~nq

где п и т - индексы по времени и частоте; -0 [п] и -1 [п] - последовательности отсчетов сигналов с частотой дискретизации / (обычно считают, что / = 1) и с числом отсчетов, равным N0 и N1 соответственно. Предполагается также, что сигнал -1 содержит в себе сдвинутую по времени и частоте копию сигнала -0 (N1 > N0). Формула (3) может быть интерпретирована как дискретное преобразование Фурье над последовательностью

гп [к] = -0 [к] -1*[к — п] [8]:

N0 1 f

Q (n m )= 2 rn [k ]exp

k=0

. 2nkm

v —~N~o

Один из известных способов повышения производительности вычисления ФН основан на применении алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) [8, 9]:

б (п т ) = ^ТМ {-0 [к ] -1 [к—п]} = ¥¥Т {гп [к ]} ,

где FFTN {•} обозначает операцию N -точечного быстрого преобразования Фурье. В данном случае за одну итерацию происходит вычисление среза ФН по задержке; при этом последовательности гп [к] дополняются нулями до N .

Вычислительная сложность данного подхода существенно ниже, чем сложность прямого вычисления ФН, и оценивается приблизительно как

О (21ое N).

Известны также корреляционный подход [10] и аналогичный ему подход, использующий сверточную фильтрацию [8, 9]. Они основаны на интерпретации формулы

N0 —1 *

К-0\т [п]= 2 -0 [к]-1*,т [к — п] = б

к=0

последовательностей -0 [к] и -1 т [к], где

-1,т [к] = -1 [к]ехР

1-

N

о

Л-0-1 [п] - отсчеты взаимной корреляционной функции. Применение БПФ

в данном случае возможно исходя из теоремы о корреляции:

б(n,т) = РРТК0+ N1 —1 {FFTN0 + N1 —1 {° [к+ N1 —1 {-1,т [к]}} .

В данном случае, в отличие от метода (4), за одну итерацию происходит вычисление одного среза ФН по частоте. Отметим также, что, поскольку в данном случае речь идет о линейной корреляции, а не о циклической, длина

преобразования Фурье N = N0 + N1 — 1, последовательности -0 [к ] и -1 т [к]

дополняются нулями до N . Вычислительная сложность представленного алгоритма оценивается приблизительно как O{bNNm (2 + 5logN)) [11], где Nm - число отсчетов по частоте (индекс m). Метод вычисления ФН на основе фильтрации эквивалентен представленному, однако требует инверсии порядка следования элементов последовательности s [k ] для преобразования

корреляции в свертку.

Один из известных способов повышения производительности вычисления ФН основан на том факте, что во многих случаях результат, полученный прямым вычислением по формуле (3) (метод «грубой силы» [9]), избыточен. Так, во многих случаях известно априорно, что величина задержки распространения сигнала находится в некотором интервале, заданном физикой задачи. Подобного рода информация обычно также имеется и относительно величины доплеровского смещения частоты. Таким образом, вычисление ФН для всех возможных с технической точки зрения значений задержки и частотного смещения не требуется. Учет информации о диапазоне временных задержек исходя из определения ФН производится тривиально, тогда как информация о ширине спектра сигнала и возможных значениях доплеровского сдвига частоты, как будет показано далее, в существующих приложениях учитывается с помощью децимации [9, 12, 13].

2. Описание предложенного подхода

Объем вычислений, выполняемых по формуле (4), для получения одного отсчета ФН может быть существенно сокращен с учетом предположения, что частотный сдвиг Af << fs. Разделим последовательности Sq [n] и S1 [n] на неперекрывающиеся блоки длины d . С учетом теоремы дискретизации выбор величины d должен производиться следующим образом:

d<

fs

2

где /т - граничная частота в спектре сигналов и д^.

Число блоков, укладывающихся в последовательности ^ [п], будет Ь = Nо/й . С учетом этого формула (4) примет вид

Q (n, m ) =

L—1 d—1

ZZrn

l=0 j=0

[ld + j ] exp

2n(ld + j )m

N0

L—1

= Z exp

s=0

. 2njdm

N0

\ d—1 f

Z rn [ld + j]exp

l=0

V

2njm

~N0T

\

Принимая во внимание, что exp(— i2njm/No) ~ 1. Введем обозначение:

0 У

m/N0 =Af/fs <<1,

получим

d —1

[l] = Z rn [ld + j]h[j].

j=0

Выражение (7) может быть интерпретировано как НЧ фильтр с децимацией отсчетов последовательности гп [к] с шагом ё. Несмотря на то, что

в ряде приложений [9] имеет смысл применение фильтра И [ у], отличного от прямоугольного окна, в данной работе подобные случаи не рассматриваются: И [ 7 ] = 1 для у = 0..ё — 1 и И [ у ] = 0 в остальных случаях.

Окончательно выражение (6) принимает следующий вид:

Q(m) = Z rn [l]exP

l=0

Nq

Отметим, что в практических целях имеет смысл использовать для расчетов БПФ, что позволит существенно повысить производительность алгоритма:

2 (п т ) = ррть {Гп [1 ]}.

Очевидным способом повышения производительности вычисления ФН по формуле (8) вместе с применением БПФ является параллельный расчет последовательностей Гп [I] для различных значений задержки. Вычисление

Гп [I] для временного сдвига п может быть представлено как скалярное про-

г т —Н — изведение Гп [I] = Sо п Sl п векторов

Т

*0,п [] =

и

51,п = ( [(],(1 [їй +1]...,51 [(І + 1)й -1])Т .

Скалярное произведение векторов может быть эффективно реализовано на ОРИ за счет инструкции умножения с накоплением (шаф, однако серьезной проблемой является избыточное число затратных по времени обращений к глобальной памяти ОРИ. Так, для вычисления Гп [I] необходимо использовать по большей части те же отсчеты 5о [п] и 51 [п] , что и для Гп_1 [I], тем не менее на каждом шаге они будут загружаться из памяти повторно. В данной работе предлагается способ вычисления Гп [I] на основе операции матричного умножения, лишенный указанного недостатка. Существующие реализации матричного умножения на ОРИ обладают высокой производительностью и позволяют избежать больших потерь при загрузке данных из памяти за счет буферизации часто используемых данных в кэш-памяти. Вместе с тем предложенный подход позволяет рассчитать Гп [I] для всех допустимых значений индексов ї и п за одну операцию умножения матриц.

Для выполнения расчета Гп [I] из последовательностей (о [п] и 51 [п]

формируются матрицы 8 0 и 81 следующим образом:

(

So =

sQ [Q] sQ ld]

sQ ld -1] ^

Sq [2d -1]

so do -1 -d] ... Sq do -1]

(

, S1 =

s1 [Q] s1 ld ]

S1 [d -1] ^ s1 [2d -1]

S1 [Nq -1 -d] ... S1 [Nq -1]

.

Рассмотрим матрицу Р = §, где (•^ обозначает эрмитово сопряжение. Структура матрицы I показана на рис. 1, ее элементы представляют собой гп [I], упорядоченные следующим образом:

d-1

Pl,l-n = Z SQ ldl + jК [d(l - n) + j] = rdn ll] .

j=Q

11=0

n=l

n=2

n=3

n=4

n=5

?4Q, ftQ,' РбО '

Poi

''Plu.

"P2K

-'P61

P02

Pl2

'Pzi

-Рзз

'P42

"Pas'

W

Роз

Різ

Різ

'Р-Ц

'#43

•~РбЗ

Ро

.. Pl

.. Рг

Pu-lXi-1)

Л'.

-,.Р

Р(^2 -1)0 Р(Л^-1)1 Р(Л^-1)2 Р(Л^-1)3  Р(^-1)и-1)'

Рис. 1. Структура матрицы произведений

Перемножение матриц в данном случае является комбинацией перемножения последовательностей ^ [п] и 51 [п] и децимации с шагом ё . Вместе

с этим матрица I* содержит в себе гп [/] для всех значений индексов 5 и п . Значения ФН могут теперь быть вычислены следующим образом:

L-1

Q ( т ) = Z Pl ,l-n exP

l=Q

. 2nldm N0

\

где рц_п располагаются на диагоналях матрицы I1 (рис. 1).

Как уже упоминалось ранее, для проведения расчетов по формуле (8) целесообразно использовать БПФ. Тем не менее для того чтобы использовать существующие реализации БПФ, необходимо упорядочить элементы Р так, чтобы они располагались в смежных ячейках памяти:

Рї,ї-и ^ Рп,1 -п •

Необходимо отметить, что ввиду того, что матрицы 18 о, 18і и I* насчитывают большое число элементов, преобразование (12) имеет смысл выполнять на ОРИ. Структура матрицы Iі после преобразования представлена на рис. 2.

Рис. 2. Структура матрицы произведений после преобразования

В результате выполнения БПФ над первыми (Nj/d - L) строками в них будут находиться отсчеты ФН. Следует отметить, что представленная на рис. 2 структура матрицы I* позволяет применять для расчета пакетные реализации БПФ, имеющиеся, в частности, в библиотеке CUFFT, которые позволяют выполнять одномерные преобразования одновременно. Максимальному по абсолютному значению элементу P будут соответствовать индексы n и s , определяющие значения временной задержки и сдвига частоты (At и А/). Погрешности оценки задержки и частотного сдвига в данном случае определяются как

5а/ = f, 8At =

L

fs

соответственно. Для уменьшения погрешности вычислений (13) могут применяться различные методы уточнения значений задержки и частотного сдвига. Время вычислений пропорционально произведению количества отсчетов в выборках [п] и 51 [п]:

Te

1 £>'

NN

d

3. Результаты численного моделирования

Целью численного моделирования являлась оценка производительности параллельной реализации алгоритма расчета ФН. Сравнительный анализ результатов, полученных для предложенного алгоритма и существующих аналогов, позволил сделать выводы о возможностях его применения в практических приложениях. Для реализации алгоритма применялась технология КУГО1Л СИБЛ [7], в частности, библиотека СИБЬЛ8 для матричного умножения и СИРБТ для преобразования Фурье.

На рис. 3 представлены графики зависимости времени, затраченного на расчет ФН (кривая 1) и времени перемножения матриц (кривая 2), от шага децимации ё . В эксперименте число отсчетов сигнала ^ [п] полагалось равным N1 = 300000, параметр Ь, соответствующий длине преобразования Фурье, полагался равным 512, значение шага децимации ё изменялось в пределах от 2 до 64. Длина сигнала ^ выбиралась, исходя из значений Ь и ё .

d

Рис. 3. Производительность умножения матриц и вычисления ФН

Умножение матриц является наиболее трудоемкой операцией при расчете ФН, занимающей порядка 70-80 % общего времени. Таким образом, дальнейшие исследования следует проводить в направлении повышения производительности умножения матриц.

На рис. 4 представлены графики зависимости времени вычисления ФН от шага децимации d при различных значениях длины сигнала [n]. Пара-

метр L полагался равным 512, значение d изменялось в пределах от 2 до 64, значение N1 изменялось в пределах от 16000 до 300000.

Из графиков непосредственно видно, что увеличение шага децимации приводит к существенному сокращению времени вычислений. Так, время вычислений сокращается приблизительно в 2 раза при изменении значения d от 10 до 50 для всех значений N1.

В табл. 1 представлены результаты сравнительного анализа производительности вычисления ФН для предложенного алгоритма и алгоритмов на основе формулы (9) с параллельным вычислением элементов rn [s ] на GPU,

использующих БПФ из библиотек CUFFT и Intel Integrated Performance Primitives (IPP) [14].

Результаты измерений показывают, что алгоритм на основе умножения матриц позволяет достичь увеличения производительности от 3 до 15 раз по сравнению с алгоритмами, производящими многократное вычисление последовательности rn [l] .

600

500

400

и

£2 зоо

ш т и

Q.

«

О.

ей

100

О 10 20 30 40 50 60

с/

Рис. 4. Производительность вычисления ФН

Таблица 1

Сравнение производительности алгоритмов вычисления ФН

N1 d Другие реализации Предложенный алгоритм

CUFFT БПФ IPP БПФ

3GGGGG S 1756 ms 643 ms 296 шє

1GGGGG 6G 676 ms 372 ms 46 шє

96GGG 3G 63G ms 245 ms 40 шє

5GGGG 14 37G ms 136 ms 35 шє

4SGGG 15 326 ms 9G ms 30 шє

32GGG 9 247 ms 9G ms. 30 шє

Заключение

В работе рассмотрена задача повышения производительности вычисления ФН, являющейся крайне важной для ряда технических приложений, связанных с цифровой обработкой сигналов. Рассмотрены особенности и представлен подход к вычислению ФН, характерный для существующих систем цифровой обработки сигналов. Показаны возможности увеличения производительности вычисления ФН за счет использования параллельных вычислений (в частности, использования ОРИ). Предложена параллельная реализация алгоритма вычисления ФН на основе операции матричного умножения. С учетом специфики вычисления произведения матриц показано, что целесообразна реализация данного алгоритма на ОРИ. Результаты компьютерного моделирования показали, что использование предложенного подхода позволяет достигать повышения производительности вычисления ФН до 15 раз по сравнению с существующими аналогами.

Список литературы

1. Woodworth, P. M. Probability and Information Theory with Applications to Radar / P. M. Woodworth. - Pergamon Press, 1953.

2. Макс, Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях / Ж. Макс. - М. : Мир, 1983. - Т. 2. - 256 с.

3. Levanon, N. Radar signals / N. Levanon, E. Mozeson // J. Wiley & Sons, Inc New Jersey, 2004. - 411 p.

4. Гришин, Ю. П. Радиотехнические системы : учеб. для вузов по спец. «Радиотехника» / Ю. П. Гришин, В. П. Ипатов, Ю. М. Казаринов и др. ; под ред. Ю. М. Казаринова. - М. : Высш. шк., 1990. - 496 с.

5. Логинов, А. А. Комбинированная цифровая фильтрация гармонического заполнения фазоманипулированных сигналов в задаче определения взаимной временной задержки / А. А. Логинов, О. А. Морозов, Е. А. Солдатов, С. Л. Хмелев // Известия вузов. Радиофизика. - 2007. - Т. L, № 3. - С. 255.

6. Логинов, А. А. Алгоритм нелинейной квазиоптимальной цифровой обработки сигналов с угловой модуляцией / А. А. Логинов, О. А. Морозов, С. Л. Хмелев // Автометрия. - 2010. - Т. 46, № 6. - С. 40.

7. Kirk, D. B. Programming Massively Parallel Processors A Hands-on Approach / D. B. Kirk, W. W. Hwu // Morgan Kaufman Publishers, 2010.

8. Tolimieri, R. Computing the Ambiguity Surface / R. Tolimieri, S. Winograd // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. - 1985. - Vol. ASSP-33, № 4.

9. Yatrakis, C. L. Computing the cross ambiguity function - a review / C. L. Yatrakis. -Binghamton University, State University of New York, 2005. - 131 p.

10. Johnson, J. J. Implementing the cross ambiguity function and generating geometry-specific signals / J. J. Johnson. - Thesis, Naval postgraduate school, Monterey, California, 2001.

11. Айфичер, Э. Цифровая обработка сигналов: практический подход : пер. с англ. / Э. Айфичер, Б. Джервис. - 2-е изд. - М. : Вильямс, 2004. - 992 с.

12. Stein, S. Algorithms for ambiguity function processing / S. Stein // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. - 1981. - Vol. 29, June. - P. 588-599.

13. А uslander, L. Computing decimated finite cross-ambiguity functions // Acoustics, Speech and Signal Processing / L. Аuslander / IEEE Transactions on. - 1988. - Vol. 36. -P. 359-364.

14. Intel Integrated Performance Primitives for Intel Architecture. - 2007. - Vol. 1: Signal Processing. - 1352 p.

References

1. Woodworth P. M. Probability and Information Theory with Applications to Radar. Pergamon Press, 1953.

2. Maks Zh. Metody i tehnika obrabotki signalovpri fizicheskih izmerenijah [Methods and technology of signal processing in physical measurements]. Moscow: Mir, 1983, vol. 2, 256 p.

3. Levanon N., Mozeson E. J. Wiley & Sons, Inc New Jersey, 2004, 411 p.

4. Grishin Ju. P., Ipatov V. P., Kazarinov Ju. M. et al. Radiotehnicheskie sistemy: ucheb. dlja vuzov po spec. «Radiotehnika» [Radio engineering systems: university tutorial for “Radio engineering” specialty]. Moscow: Vyssh. shk., 1990, 496 p.

5. Loginov A. A., Morozov O. A., Soldatov E. A., Hmelev S. L. Izvestija vuzov. Ra-

diofizika [University bulleting. Radio physics]. 2007, vol. L, no. 3, p. 255.

6. Loginov A. A., Morozov O. A., Hmelev S. L. Avtometrija [Autometrics]. 2010, vol. 46, no. 6, p. 40.

7. Kirk D. B., Hwu W. W. Morgan Kaufman Publishers, 2010.

8. Tolimieri R., Winograd S. IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1985,

vol. ASSP-33, no. 4.

9. Yatrakis C. L. Computing the cross ambiguity function - a review. Binghamton University, State University of New York, 2005, 131 p.

10. Johnson J. J. Implementing the cross ambiguity function and generating geometry-specific signals. Thesis, Naval postgraduate school, Monterey, California, 2001.

11. Ajficher Je., Dzhervis B. Cifrovaja obrabotka signalov: prakticheskij podhod: per. s angl. [Signal digital processing: practical approach: translation from English]. Moscow: Vil'jams, 2004, 992 p.

12. Stein S. IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1981, vol. 29, June. pp. 588599.

13. Auslander L. IEEE Transactions on. 1988, vol. 36, pp. 359-364.

14. Intel Integrated Performance Primitives for Intel Architecture. 2007, vol. 1: Signal Processing, 1352 p.

Логинов Алексей Андреевич кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Научно-исследовательский физикотехнический институт Нижегородского государственного университета имени Н. И. Лобачевского

E-mail: loginov@nifti.unn.ru

Марычев Дмитрий Сергеевич аспирант, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского

E-mail: dsmarychev@nifti.unn.ru

Морозов Олег Александрович доктор физико-математических наук, доцент, кафедра информационных технологий в физических исследованиях, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского

E-mail: loginov@nifti.unn.ru

Фидельман Владимир Романович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий в физических исследованиях, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского

E-mail: loginov@nifti.unn.ru

Loginov Aleksey Andreevich Candidate of physical and mathematical sciences, senior stuff scientist, Physical-Technical Research Institute of Nizhny Novgorod State University named after N. I. Lobachevsky

Marychev Dmitriy Sergeevich Postgraduate student, Nizhny Novgorod State University named after Lobachevsky

Morozov Oleg Aleksandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of information technology in physics, Nizhny Novgorod State University named after Lobachevsky

Fidel'man Vladimir Romanovich

Doctor of engineering sciences, professor, Head of sub-department of information technology in physics research, Nizhny Novgorod State University named after Lobachevsky

УДК 621.396 Логинов, А. А.

Алгоритм вычисления функции неопределенности в задаче одновременной оценки частотно-временных характеристик сигналов /

А. А. Логинов, Д. С. Марычев, О. А. Морозов, В. Р. Фидельман // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2013. - № 3 (27). - С. 62-74.