Связь пространственно временных параметров в OFC-модели тектонических процессов

4. J.J.Binney, N.J.Dowrick, A.J.Fisher, M.E.Newman. The Theory of Critical Phenomena. Oxford University Press. 1992.

СВЯЗЬ ПРОСТРАНСТВЕННО ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ В OFC-МОДЕЛИ ТЕКТОНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Фрактальные структуры встречаются в различных физических системах: от моделей образования снежных хлопьев до распределения галактик. Турбулентность является примером системы, проявляющей фрактальные свойства. Диссипация энергии в такой системе происходит не пространственно инвариантно, а каскадом на определенных пространственных масштабах.

Другой известной системой, демонстрирующей фрактальные свойства, является сейсмичность. Система тектонических плит имеет масштабно-инвариантные закономерности: измерение распределения плит по размерам. Распределение энергии землетрясений по частоте повторений, описываемое законом Гуттенберга -Рихтера, также дается степенной функцией. Наряду с этим и геометрическое распределение эпицентров (проекций центров землетрясений на поверхность) и их временная последовательность показывают фрактальность структуры.

Фактически сейсмичность имеет много общего с турбулентностью. Обе являются открытыми динамическими системами с большим количеством независимых элементов, взаимодействующих между собой. Обе системы управляются внешними процессами, с постоянным притоком внешней энергии и диссипацией через каскад масштабных размеров. Диссипация энергии в обеих системах показывает дискретный характер во времени и пространственно-временную фрактальную организацию.

Модель скольжения тектонических блоков при рассмотрении их как отдельных объектов, обладающих локальными напряжениями, предложили Олами, Фе-дер, Кристиансен (ОРС) [1]. Данная модель носит неконсервативный характер, т.е. общая энергия системы уменьшается со временем, и для поддержания системы в динамически активном состоянии требуется наличие внешнего источника энергии.

Пусть дана кубическая решетка размерностью ё и размером Ьа. Поставим в соответствие каждой г-й ячейке некоторый динамический параметр Ег. В простейшем случае под Ег будем понимать внутреннюю энергию, запасенную в г-й ячейке. Предположим, что в единицу времени все ячейки получают одну и ту же добавочную величину приращения энергии:

Такое изменение во времени энергии любой отдельной ячейки, в случае отсутствия влияния соседних ячеек происходит до тех пор, пока Е1 < Етах, где Етах -некоторое пороговое максимальное значение упругой энергии, при превышении которого ячейка сбрасывает накопленную энергию, часть из которой передается соседним ячейкам:

А.С. Черепанцев, С.Ф. Черепанцев

где индекс кк определяет соседние ячейки.

После возникновения сброса энергии (2) часть внутренней энергии системы теряется. Если Пі - число соседних ячеек, то данная система будет являться диссипативной при выполнении условия

=

Дальнейшая эволюция ячейки определяется (1), до тех пор, пока она снова не достигнет состояния (2).

В зависимости от состояния системы, достижение одной из ячеек критического значения может слабо отразиться на состоянии системы в целом, а может вызвать лавинный процесс сброса энергии и переход всей системы в новое энергетическое состояние.

В случае задания произвольного распределения начальных значений Е, данная модель демонстрирует сходимость во времени к некоторому устойчивому состоянию, определяемому как состояние самоорганизованной критичности.

В соответствии с данной концепцией [2] система, состоящая из большого числа взаимодействующих элементов может иметь некоторое общее характерное поведение. При этом при достаточно общих условиях, в процессе эволюции динамические системы самонастраивают себя в состояние с общими структурными закономерностями. Сложность системы заключается в том, что в ней отсутствуют характерные размеры- нет характерного времени и характерного пространственного размера которые бы контролировали эволюцию системы. Но хотя динамическое поведение системы является сложным, статистические свойства ее описываются достаточно простыми степенными законами, которые могут быть одинаковыми для поведения системы как на микро, так и на макро уровнях. Переход в устойчивое состояние при этом осуществляется без всякого внешнего управляющего воздействия. Более того состояние к которому система приходит имеет свойства аналогичные свойствам равновесной системы в критической точке фазового перехода.

На рис.1 представлены этапы эволюции ОБС-модели на двумерной квадратной решетке ЬхЬ , Ь=100 и открытых граничных условий. Исходные значения параметров Б1 представляют собой равномерно распределенную случайную величину Еі єЯ(0,Етт). Стационарное состояние считается достигнутым в случае, если распределение сбросов по размерам остается неизменной во времени величиной.

При анализе нелинейных динамических систем степенной характер распределения энергий по масштабам можно продемонстрировать на примере изменения С2 в процессе эволюции системы к устойчивому предельному состоянию. На рис. 2 представлены кривые корреляционного интеграла [6] для исходного распределе-

1 ь ь

ния средней энергии системы (А = — IIА . для итераций, соответствующих

ь і=1

начальному временному участку со случайным характером распределения амплитуд и участку с достигнутым критическим состоянием.

Как следует из полученных зависимостей, начальный фрагмент ряда представляет собой участок с несформированным степенным распределением, что выражается в отсутствии у С2 участков с выраженным постоянным углом наклона. Для второго выбранного участка можно выделить диапазон амплитуд 0,1 - 1,0, имеющих постоянный наклон р = 3,62 ± 0,1 и характеризующих степенной характер распределения.

Рис.1. Эволюция ОЕС-модели: I - исходное распределение Ег; II - распределение Ег после N = 1000 итераций; III - распределение Ег после N = 6000 итераций; IV - распределение Ег после N = 100 000 итераций

Для выделения показателя степени р распределения плотности вероятности сбросов заданного масштаба E рассмотрена модель установившегося режима с параметрами L = 100; Emax = 30; DE = 0,1, Т = 200 000 при различных значениях а. После эволюции системы время сбора ДТ= 10000. Масштаб события определялся как сумма всех соседних активных ячеек, перешедших в начальное нулевое состояние за один шаг по времени. Тогда для выборочной плотности распределения таких событий справедливо

p(s) = Yj^Ln'k(s) / И< j,

ДТ к / ДТ i,j—1

где

t

ai, j

1: (і , .) активна в момент ґ, .

0, в противном случае;

1: к - е событие имеет масштаб я,

0, в противном случае.

Результаты расчетов представлены на рис.3 и в табл. 1.

k

Рис. 2. Изменение корреляционной размерности ё2 на различных временных участках установления критического состояния: а - вариации средней энергии системы с параметрами: Ь=100, а=0.05, Етах=30, ЛЕ=0.01 ; по оси абсцисс в качестве характеристики времени - число итераций; б - С2 для начального участка эволюции ґ=[1; 12000]; в - С2 для участка ґ=[196000,600000] с показателем степенного распределения амплитуд й2»3,5

Полученные данные показывают хорошо выраженную степенную зависимость для значений 0,05<а<0,25.

Таблица 1

Значение параметра р при различных значениях а

а 0,05 0,12 0,15 0,2 0,24

р - -0,9±0,2 -0,77±0,09 -0,78±0,05 -0,70±0,06

Данные табл. 1 указывают на отсутствие значимого изменения степенного показателя р при изменении параметра взаимодействия соседних ячеек а. На такое

изменение указывалось в работе [3]. Вместе с тем в более поздних работах [5] также не удалось обнаружить зависимость Р(а). Возможная причина такого расхождения заключается в проведении оценки р в системе, не достигшей устойчивого состояния при малых значениях а, где требуется большое число итераций. Так, в работе [4] указано на достижение предельного состояния самоорганизованной критичности после N = 108 - 109 сбросов на решетке Ь=100. Оценка числа необхо-

Етах N

димых итераций в этом случае : п.. =---------------------г. Для Етах = 30, АЕ = 0,1,

АЕ Ь

Ь = 100 число итераций должно быть не менее (1,5^2,5)-106 для диапазона

0,05<а<0,25.

С целью получения сравнительных данных с имеющимися геофизическими характеристиками сейсмического процесса, на основе модели ОБО проведена генерация пространственного распределения сбросов с заданием координат на поверхности событий различного масштаба.

Методика генерации заключается в получении для заданных параметров модели Етах АЕ, а, Ь критического состояния системы после заданного количества итераций N и дальнейшего накопления в течение определенного числа итераций ЛN координат сбросов (хі,уі). Для определения координаты сброса масштабом s, где 5 - число связанных сбросов при одиночном шаге приращения энергии, использован принцип центра масс, в соответствии с которым координаты і-го сброса масштабом 5 определяются как

х,

= Ё ху 5 , У =1У и

і=1 / І=1 /

где Ху, у у - соответствующие координаты единичных элементов, входящих в г-й сброс старшего масштаба. Полученный каталог представлен на рис. 3,а. Для характеристики структурной неоднородности распределения событий и группируе-мости принято использовать фрактальную размерность полученного множества.

Рис.3. Распределение сбросов на сетке Ь=200 в модели ОЕС при достижении критического состояния: а - распределение сбросов на сетке, при длительности накопления / = 300 итераций; б - оценка фрактальной размерности ё2 » 1,4 распределения сбросов на сетке по наклону корреляционного интеграла С2

Для измерения фрактальной размерности множества координат сбросов можно использовать два типа оценки: клеточную и корреляционную размерности. Клеточная размерность оценивается исходя непосредственно из определения фрактальной размерности как показателя самоподобия. Разобьем рассматриваемую пространственную область на клетки размером l. и lj. Тогда отношение числа клеток, содержащих хотя бы одно событие для этих разбиений, равно

N/N = (hll. К

Следовательно, число непустых клеток N(l) ~ l d .

В случае если размерность d = r , где r - размерность евклидова пространства, в котором задано множество, то события распределены равномерно, если же d<r, то это означает неравномерность распределения событий , т.е. с уменьшением размера клетки плотность событий р = n/Г возрастает ( n - среднее число событий в клетке размером l). Исходя из этого клеточная размерность оценивается как

d0 = - lim lg NI lg l.

I  0

Корреляционная размерность определяется через корреляционный интеграл [6] как

d2 = lim lg C(l)/lg l.

I  0

Для однородных фрактальных множеств имеет место равенство d0 = d2. В общем же случае d 0 > d 2.

Оценка d2 предпочтительна с точки зрения требуемых объемов данных, так как при длине выборки L анализируется L2 пар событий.

На рис. 3,б представлена зависимость log C2(logl). Область линейного скей-линга определяется единичными размерами расстояний между ячейками. Значение корреляционной размерности по данным вычислений равно d2 = 1,36±0,01. Полученное значение d2<2 может служить характеристикой неоднородности распределения сбросов, их группируемости в пространстве.

Рассмотрим еще одну важную характеристику поведения данной модели, являющейся простейшей моделью сейсмичности - связь энергии сброса (масштаба сброса) и его размеров. В качестве размера сброса r будем рассматривать больший из линейный размеров сброса: rt = max( Dxt, Ay.). В случае

однородного распределения по масштабам, естественно, предполагается

E r

max

2

E = E max S-где S - площадь сброса. На рис. 4 представлена зависимость E(r) в двойном логарифмическом масштабе. Величина показателя степени у = -1,81±0,09.

Рис. 4. Распределение числа сбросов по размеру сброса

По результатам наблюдения сейсмичности в различных активных регионах мира выявлено [7], что величины показателей степени различных параметров функционально связаны соотношением d + b -у = 0.

Естественно предположить, что модель OFC, находящаяся в критическом состоянии, должна также давать данный результат. Выше получены следующие параметры показателей степеней - аналоги сейсмических параметров d,b,y: d=1,36±0,01 ; b = 0,77±0,09; у = -1,81±0,09. Тогда для величины невязки запишем

d + b - у = 0,0 ± 0,2,

что согласуется с экспериментальными данными по сейсмическому режиму в широком диапазоне пространственных и энергетических масштабов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Olami Z., Feder Christensen K. Self-organized criticality in a continuous, non-

conservative cellular automaton modeling earthquakes, Phys.Rev. Lett. 68, Р.1244-1247. 1992.

2. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise. Phys. Rev. Lett. 59, Р.381-384 , 1987.

3. Grassberger P., Phys.Rev. E 49,2436. 1994

4. Christensen K., Olami Z. Phys.Rev. A 46,1829. 1992.

5. Lise S., Paczuski M. Self-organized criticality in a nonconservative earthquake model, Phys.Rev. E 63,36111. 2001.

6. Шустер. Г. Детерминированный хаос. - М.: Мир, 1988. - 240 с.

7. Aki K. Probabilistic synthesis of precursory phenomena in earthquake prediction. Amer.Geoph.Union, Wash, An International Review. 1981. P. 556-574.

А.А. Афонин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕНАСЫЩЕННОЙ ОБЛАСТИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Пусть область фильтрации представляет собой открытую ограниченную односвязную область ПаЯ" (п = 2,3) с липшицевой границей. Граница дО, представляет собой совокупность измеримых множеств 51, 52, 53, имеющих соответственно непроницаемую границу, границу с воздушной средой и границу с водным резервуаром (одним или несколькими) (рис. 1).

Чтобы быть уверенным в существовании нетривиальных решений, предполо жим, что т(83) 0. Течение через О описывается давлением р(х). Предположим, что атмосферное Рис. 1. Геометрия задачи давление является постоянным

p0=const>0 на 52 и что давление жидкости на неотрицательно Это означает, что давление нормировано таким