Исправление сферической аберрации и хроматизма в синглете и дублете введением осевого градиента показателя преломления

ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 535.317

А. Л. Сушков

ИСПРАВЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ И ХРОМАТИЗМА В СИНГЛЕТЕ И ДУБЛЕТЕ ВВЕДЕНИЕМ ОСЕВОГО ГРАДИЕНТА ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Рассмотрены теоретические модели исправления сферической и сферохрома-тической аберраций в одиночной линзе и дублете при наличии в линзах осевой неоднородности показателя преломления. Показано, что в одиночной линзе хроматизм можно устранить при аномальном ходе дисперсии градиента показателя преломления. В дублете исправление хроматизма возможно как при нормальном, так и аномальном ходе дисперсии градиента.

Ключевые слова: линза, дублет, хроматизм положения, сферохроматизм, неоднородность показателя преломления, дисперсия градиента показателя преломления.

Анализ возможности исправления сферической аберрации третьего порядка и хроматической первого в одиночной линзе (синглете) и блоке из двух склеенных линз (дублете) будем рассматривать при задании распределения показателя преломления (ПП) зависимостью:

п(г) = по (*<) + п01 (Х)2 + п02 (Ъ)2(1) где п0(Х) — показатель преломления в исходной точке; п01(Х), п02(Х) — аберрационные коэффициенты. Оптическая ось совпадает с осью 2 системы координат 0ХУ2, привязанной к входной поверхности линзы.

Сферическая аберрация. Известно [1] выражение для коэффициента сферической аберрации 51:

_ _ 51 = + + 5Ь

где , — однородно-поверхностная и неоднородно-поверхностная составляющие, 51 — вклад переноса.

Составляющие 51н, вычисляются при суммировании по поверхностям, согласно формулам:

2

= 1ИР, Р = М 5

где 5а = ак+1 - ак, 5 ц = цк+1 - дк, I — глубина зоны неоднородного ПП, составляющей не менее величины стрелки прогиба поверхности, в область которой вводится градиент ПП; ц=1/п, а — угол с оптической осью первого вспомогательного луча; И, г— высота луча и радиус кривизны оптической поверхности. Условия нормировки осевого луча: а1=0, И1=/', а'р=1.

Для упрощения анализа будем считать распределение показателя преломления линейной функцией от г (п02=0).

Очевидно, чтобы исправить сферическую аберрацию, не принимая во внимание составляющую вклада переноса, должно выполняться условие:

£ ПР = п4.

г

Сферическую аберрацию в одиночной линзе или дублете можно исправить за счет введения неоднородности 1111 в одной или обеих линзах.

При последовательном расположении в блоке однородной и градиентной сред (Н-О), разделенных поверхностью с радиусом кривизны г, имеем:

S1H - 2 п r

откуда

= - г2

П01 = -—1Н 74.

п

При переходе луча из градиентной среды в однородную (Н-О) имеем:

2

о n01 1 4 S1H --0- h и n

— r

01 - sih "Jh

Таким образом, по величине коэффициента S1 исходной однородной системы, рассчитанной с помощью программ анализа аберраций третьего порядка, например OPAL-PC, используя формулу (4) или (5), получим исходное значение коэффициента n01 линейного распределения ПП, которое в дальнейшем уточняется путем экстраполяции по результатам расчета через градиентную оптическую систему реальных лучей. Следует обратить внимание на то, что коэффициенты n01 в формулах (4) и (5) определяют необходимую величину показателя преломления n лишь на границе однородной и неоднородной сред. Данный подход исправления сферической аберрации можно распространить и на более сложные конструкции оптических систем.

Хроматизм положения одиночной линзы. Известно [2] выражение для хроматической аберрации положения однородной оптической системы, включающейp поверхностей:

ds'p -

npa p k-1

где k — текущий номер поверхности. При

Ck -

коэффициент хроматической аберрации положения —1хр обычно записывают как

р _

—1хр = £ ПкСк . к=1

Тогда (6) будет иметь вид:

=

1

Г—1

, ,2 1хр ' Пр а р

Для линзы конечной толщины в воздухе можно записать

р =-|г (П1С1 + П2С2 ).

а 3

„ _ 1 „ йп 1 - ц

Согласно принятому обозначению ц = —, с учетом известной зависимости — =-

п п уг

'00

будем иметь:

С =

С =

а 2 -а1

V

V ц 2 ц1 У

йП2 йП1

V П2

П

1 У

= -

йП1 П1 -1

а2 -а1

VI

'а3-а2 VйП3 йП2 ^

V Ц3 ц2 у

V Пз

П

= -

йП2 _ аз - а2

'2 У

П2 - 1

V-

где йщ = (п^1 - П^2 )1 — средняя дисперсия на поверхности линзы 1; йП2 =((д - П^2) — средняя дисперсия на поверхности линзы 2, V!, V2— коэффициенты дисперсии на поверхно-

стях линзы.

С учетом известных соотношений П = а1—1 и П2 = П -а2^ = а^ -а2^ получим

^'р = —2 а2

(

п1 02^01 + п2 аз-а2

Л

V1

V 2

1

(

а2з

п

После преобразований будем иметь

Ч = "2 К

а3 I

а2 а1 аз а 2

VI

V^

+ (п-а 2й) V1 V2

й (аз-а 2 ).

Л

Если ввести обозначения

ф =а 2-а1 ф 1пов , 2пов

V

а3 -а2

п

то получим

й5'р = 2 а

П1

— ф1пов п1 + ^ — ф2пов

VI

"1 V 2

В случае тонкой линзы й~0 можно считать, что П1=П2, и в окончательном виде хроматическая аберрация положения однородной тонкой линзы будет такова:

- — й ф2повП2

V-

ds р = —п2

а

2

з

ф1пов + ф 2пов

V1

V 2

Оптическая сила линзы Ф равна сумме оптических сил поверхностей ф1пов и ф2пов, где

ф1

По -1

ф 2

1 - П

1пов ' 2пов •

г1 г2

Если ввести понятие „поверхностный коэффициент дисперсии vпOв", то из (15) и (16) получаем условие исправления хроматической аберрации положения в одиночной линзе с осевым градиентом:

' По -1 - П2 -1 " V V1повг1 v2повг2 У

= 0.

Из (17) получаем соотношение для радиусов кривизны поверхностей, чисел Аббе и показателей преломления в полярных точках поверхностей при исправленном хроматизме положения:

Л = У2пов

г2 ^пов (nz -1) '

Анализ (18) показывает, что при известных параметрах градиентных сред исправление хроматизма положения возможно в довольно узком диапазоне радиусов кривизны поверхностей одного знака.

Для исправления хроматизма положения при известных параметрах исходной однородной линзы (15) получаем желаемую величину коэффициента дисперсии на поверхности 2 у2пов в полярной точке второй поверхности:

= ^1повФ2пов

У2пов = Ф1 •

1 пов

При линейной зависимости распределения 1111 можно получить выражение для коэффициента У2пов :

^ =

У 2пов = 7-Гч-""7-,

(п0 - 1)У01 + А^1

где Ап — перепад показателя преломления, у01 — коэффициент дисперсии градиентной среды:

п01Х0

V 01 = шли .

nom noix2

Приравняв (19) и (20), с учетом (16) и (21) получим выражение для числа Аббе среды Voi:

Voi =__

01 (no -1) [(no - 1)P1 +(1 - nz )P2 ] + ( - 1)p1An' где p1, p2 — кривизна поверхностей линзы; n0, nz - величины 1111 в полярных точках первой и второй поверхностей.

Расчет по формуле (22) дал значение v01= - 4,17. Полученные формулы являются приближенными, их точность повышается с уменьшением толщины линзы.

Пример. Было выполнено моделирование в среде OPAL положительного мениска для определения возможности исправления сферической аберрации и хроматизма положения при градиенте 1111 в области второй поверхности.

Рассчитанная система имеет параметры: r1= - 355,0; d=8; Ф6; ne=1,607; nF = 1,6154; no =1,599 29; r2 = - 49,998; Dзр =20 мм; Д =6,25 мм; no1e = 0,033мм-1; noF = 0,030 мм-1; no1C=0,035 26 мм-1; щ =1,664 75; hn=0,057 75; v01 = -6,27 ; V1=37,67; Vlпов=37,67; V2пов =96,3.

Здесь hz — смещение плоскости начала неоднородного 1111 от начала предыдущей поверхности. Величина коэффициента n0^ рассчитана по формуле (5).

Зона градиентного показателя преломления в области поверхности 2 начинается на расстоянии hz = 6,25 мм от входной поверхности. Уточнение коэффициента v01, полученного по (22), привело к V01 = - 6,27. Таким образом, получена отрицательная величина коэффициента дисперсии градиентной среды, из чего, согласно (21), следует no^ < Щхк2 .

Анализ показал, что хроматизм положения в положительном мениске может быть исправлен GRIN-средой с отрицательным градиентным числом Аббе. Такой коэффициент получается при аномальном ходе дисперсии градиента 11 .

Результаты моделирования мениска в среде OPAL на исправление хроматизма положения и сферохроматизма приведены на рис. 1: а — ход лучей осевого пучка; б, в — графики продольной и поперечной сферических аберраций при исправленном хроматизме положения

(б, у01= - 6,27) и сферохроматизме (в, у01= -5,50). Видно, что при у01= -6,27 в мениске исправлена хроматическая аберрация положения, при у01= -5,50 исправлена хроматическая разность сферических аберраций на середине входного зрачка.

б)

-. Ьк

к*

0"2Е . сЙо

/

/

ПОПЕРЕЧНЫЕ

( МН>

ЛЛИНН ВОИН

. '54607 . <48000 , 1ЧЭвО

НС.ИООП АТ И Э И

.явооо . бяззо

--2.С00-1 .ООО О

1 .Ьоо

ПРОДОЛЬНЫЕ «НН>

.еМИНЫ ВО/1Н

.54607 .48000

А"1

.-а.ооои ооо

I /

X

у

I

1.Ьоо2. С

в)

ПОПЕРЕЧНИК

.зиины ВОИН

.54607 . 48000' . 6-4380

ЗОПИДНДТИЭМ

(У, >

ДА ИНЫ ЕО,-1Н

0 - • 54607

1 . . 43000 , , 64380

-а, 000-1 . ооо

ПРОДОЛЬНЫЕ

I ПИ 1

¿МНН И вОИН

.54607

.чаооо

.64380

. Е46 1ЧЭ

Рис. 1

Хроматизм положения дублета. Дублет обычно рассматривают как блок из двух линз, находящихся в соприкосновении [2]. При наличии градиента показателя преломления в первой линзе блока при положении предмета на конечном расстоянии -а1 от передней главной плоскости первой линзы хроматическую аберрацию положения можно записать в виде:

('к = -а2

Ф1пов , Ф 2пов , Ф 2

^ у1пов у2пов у3 )

где Ф1пов, Ф2пов — оптическая сила первой и второй поверхностей первой линзы, Ф2 — оптическая сила второй линзы.

Для первой линзы имеем:

Ф1пов + Ф2пов = Ф1,

где

Ф

1пов

n0 - 1

Ф

1 - nz

2пов

Подстановка (24) в (23) дает в окончательном виде

(

no -1

1 - nz

dsk = -a2

ЧУ1повг1 v 2повг2

при положении предмета на бесконечности a2 = f ':

Ф 2

v

3

dsk = -f'

f

no -1

nz -1 +Ф2

Л

^1пов1 V2пов>2 V3 У

Из (26) получаем условие исправления хроматизма положения при наличии градиента в первой линзе блока:

(

no -1

nz -1 Ф

Л

= 0.

^1пов1 ^пов>2 V3 )

При наличии градиента показателя преломления во второй линзе блока и нахождении предмета на конечном расстоянии -а1 от передней главной плоскости первой линзы:

dsk = -a2

Ф1 | Ф2пов | Ф 3пов V v1 v2пов v3пов

Для второй линзы имеем:

Ф

где

Ф

2пов

2пов

no -1

+ Ф 3пов =Ф 2

Ф

1 - n.

3пов

Подстановка (24) в (23) дает в окончательном виде

(

n0 -1 1 - nz

Ф

л

dsk = -a2

V^WI v2повг2 v3 У

При положении предмета на бесконечности имеем a2 = f':

f no - 1 nz -1 , Ф2 ^

dsk = -f '

VV1повr1 v2повг2 v3 У

Из (26) получаем условие исправления хроматизма положения

(

no -1

nz -1 + Ф

Л

= 0.

VV1повr1 *^повг2 v3 У В случае однородных линз получаем известную формулу:

(n - О

(

1 1

Л

V '1 2 У

1 Ф2 Л

—+ ^ = 0.

v1 v3

Анализ (27) показывает, что в дублете из однородной и градиентной линз возможность исправления хроматизма существенно выше, чем в одиночной градиентной линзе за счет наличия в каталогах большого разнообразия стекол с различными n и v.

Конструктивные данные исходной однородной системы с f= 98,049 мм, S'f= 94,728 мм, Ар= 35,72 мм, f/2,8 следующие: тх= 100,0, Г2= -100; d1=7, GLA PSK52, nю =1,603101, nu =1,609503, nxi =1,600282, v00 =65,408; Г2= -100,0, r = -128,5849; d2=3, GLA G32SFN, nw = = nix = ni2 =1,766606 [3]. На рис. 2 представлены ход лучей (а) и сферохроматические аберрации (б).

Спектральный диапазон: i0=0,58756, i1=0,48613, i2=0,65627 мкм.

2

2

3

а)

б)

й.

А ч

&  ь»

>кй DH

ч

"ж, .

-it-тфг

Рис. 2

Расчет величин поверхностных коэффициентов S1 при нормировке h1=f позволил получить результаты: ¿1=98,049 мм; Su=21,689; S1.2= -38,956; S1.3= 245,871; S1=Si.1+S1.2+S1.3 = =228,606.

Сферическая аберрация третьего порядка на краю зрачка имеет значение: As 'край= -3,792 мм.

Реальная продольная сферохроматическая аберрация достигает -5 мм, волновая аберрация W(i) ~ - 50i. Пучок осевых лучей имеет явно выраженную каустику.

Градиент показателя преломления поочередно вводился в области всех поверхностей. Здесь Я=ткр/т — относительная высота луча на входном зрачке.

Вариант 1. Градиент 1111 в регионе 1 поверхности первой линзы.

Параметры градиента ПП: n01i0= - 0,0248 мм-1, n01i1= -0,034 мм-1, n01i2= - 0,020 мм-1, v01 = 1,77.

Исправлен сферохроматизм на высоте

0,75R , f ' =98,053 мм, s^'=94,723 мм. Вариант 2. Градиент в регионе 2 поверхности первой линзы.

Параметры градиента ПП: n01i0= 0,029 мм-1, n01i1= 0,016 мм-1, n01i2= 0,0358 мм-1, v01 =-1,46.

Исправлен сферохроматизм на высоте

0,5R , f ' =93,927

мм, sF-=90,681 мм. Вариант 3. Градиент в регионе первой поверхности второй линзы. Параметры градиента ПП: n01i0= -0,026 мм-1, n01i1= -0,034 мм-1, n01i2= -0,018 мм-1,

v01 = 1,62.

Исправлен сферохроматизм на высоте

0,75R , f '=98,052

мм, sF=94,725 мм. Вариант 4. Градиент в регионе 2 поверхности второй линзы.

Параметры градиента ПП: n01i0= 0,050 мм-1, n01i1= 0,032 мм-1, n01i2= 0,056 мм-1,

v01 =-2,08.

Исправлен сферохроматизм на высоте 0,25R , f -98,053, sF=94,723. Графики аберраций и ход осевого пучка варианта 2 приведены на рис. 3. Видно, что введение в область поверхности 2 первой линзы линейного градиента показателя преломления

позволило исправить сферическую аберрацию на краю и сферохроматизм на середине входного зрачка при относительном отверстии //3. Каустическая поверхность в осевом пучке отсутствует.

Рис. 3

Заключение. Рассмотрены пути повышения качества изображения за счет использования осевого неоднородного ПП в простейших линзовых конструкциях: одиночной линзе и дублете. Показано, что в одиночной линзе возможно исправить сферическую аберрацию и хроматизм при аномальном ходе дисперсии градиента ПП (отрицательной величине градиентного числа Аббе). В схеме дублета исправление сферической аберрации и сферохрома-тизма оказалось возможным за счет введения градиента показателя в регионы первой и второй поверхностей обеих линз. При этом градиентные числа Аббе у01 положительные на первых поверхностях и отрицательные на вторых поверхностях обеих линз блока.

список литературы

1. Сушков А. Л. Монохроматические аберрации граданов как базовых элементов жестких эндоскопов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. 44 с.

2. Апенко М. И., Дубовик А. С. Прикладная оптика. М.: Наука, 1971. 392 с.

3. Инструкция по эксплуатации программы "Optics Software for Layout and Optimization (OSLO)". Корпорация Lambda Research Corporation, 2005.

Александр Леонидович Сушков

Сведения об авторе канд. техн. наук, доцент; МГТУ им. Н. Э. Баумана; кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: ale-sushkov@yandex.ru

Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов научных исследований

Поступила в редакцию 28.10.10 г.