Математическое моделирование и электродинамический расчет эффективных параметров магнитных наноматериалов

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 537.874.6

Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. В. Савченкова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ МАГНИТНЫХ НАНОМАТЕРИАЛОВ

Разработана математическая модель распространения электромагнитных волн в гиромагнитных наноструктурированных средах на основе декомпозиционного подхода с применением автономных блоков (АБ) с магнитными нановключениями и каналами Флоке. Получено характеристическое уравнение для определения постоянных распространения волн в трехмерной периодической решетке, включающее матрицу рассеяния (дескриптор) АБ.

Рассчитаны постоянные распространения правополяризованной и левополяризованной волн (при продольном подмагничивании) и обыкновенной и необыкновенной волн (при поперечном подмагничивании), и комплексные значения эффективных электромагнитных параметров магнитного наноматериала.

Введение

Магнитные нанокомпозиты, состоящие из решеток наноразмерных ферромагнитных металлических частиц в немагнитной твердой диэлектрической матрице, являются новым решением в создании микроволновых материалов с низкими потерями. Актуальной является задача построения адекватных математических моделей распространения и дифракции электромагнитных волн в периодических магнитных нанорешетках, базирующихся на решении уравнений Максвелла совместно с уравнением Ландау-Лифшица.

1 Математическая модель

На рис. 1 показана модель наноструктурированной гиромагнитной среды на основе решетки магнитных наночастиц (ферромагнитных наносфер радиуса г), находящихся в немагнитной матрице - диэлектрической среде

с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями £у, .

Волновой процесс в периодической наноструктуре (рис. 1) можно рассматривать как суперпозицию бесконечного числа плоских неоднородных волн (пространственных гармоник) [1]:

Е0

п=—ж п=—ж

с постоянными распространения

Г n = v +

2nn

~Л~

, n = o,і 1,і 2,...,іго,

где Л - длина ячейки вдоль направления ; символ ^ означает совокупность поперечных координат.

а

~ 1у '/

✓ 1 I I

i/j____К 1 1/ '

^ 'p-txat

І -Vf--T-^---1-

1,0

! !

w і

і/ і

!✓ I

~/\---------------—A---------------71—

' I I I

f 1 1

S51 і

51 i-SZ-1—V

I ✓ о I /

k<—

a)

Er Цг б)

в)

Рис. 1 Модель наноструктурированной гиромагнитной среды на основе решетки магнитных наночастиц: а - направление распространения волнового процесса z0 ; б - трехмерная периодическая решетка ферромагнитных наносфер; в - моделирование ячейки частично заполненным магнетиком автономным блоком с каналами Флоке

Постоянная распространения Гд = v волны основного типа (n = 0) является неизвестной величиной и подлежит определению.

Электромагнитное поле Eg, Hg волны, распространяющейся в трехмерной периодической наноструктуре (рис. 1,б) согласно теореме Флоке [1] может быть представлено в виде

Eo(X + a, y, z) = Eg(x, y, z) exp(-/фx ), Hg(x + a, y, z) = Hg(x, y, z) ехр(-/фx), Eo(x, y + b, z) = Eg (x, y, z) exp(-7^y ) , Hg(x, y + b, z) = Hg (x, y, z) exp(-/фу ) ,

Eo

где Фх = Ги a cos Px, Фу = T„b cos Py, фz = Г„ c cos Pz ; Px, Py, Pz - углы ориентации направления распространения волнового процесса.

Выделим в трехмерной периодической наноструктуре элементарную ячейку (рис. 1,б) с геометрическими размерами a, b, c, содержащую ферромагнитную наносферу радиуса г, и представим ее модель в виде автономных блоков (АБ) с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке (рис. 1,в). Тогда вследствие периодичности наноструктуры согласно теореме Флоке на входных сечениях АБ (рис. 1,в) должны выполняться соотношения (4) для амплитудных коэффициентов падающих c'^(p)(mm) и отраженных c-(a)(rom) волн (a, Р = 1,2,...,6; k, n = 1,2,...; m = ±1, ± 2,... ) в каналах Флоке:

b

сп(4)(т ) = сп(1)(т )ехр( іфх), сп(5)(т ) = сп(2)(т )ехр( іфу ),

сп(6)(т ) = сп(3)(т )ехр( іф2 ), с—(4)(т ) = ск(1)(т )ехр( іфх),

ск

к,п = 1,2,...; т = ±1,± 2,...,

Подставим (4) в соотношение

с- = Я • с+,

где Я - матрица рассеяния (дескриптор) АБ с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке,

Я

С Яаа ЯаР ^ КРа ЯРР

здесь а - совокупность входных сечений АБ 51, і^, 13; Р - совокупность входных сечений АБ 54,і^, і,; векторы с- и с+ составлены соответственно

из сп(Р)(т) и ск(а)(т) .

В результате получим характеристическое уравнение для определения постоянных распространения Гп волн в трехмерной периодической нанорешетке:

л(гп)=

Яаа-Н 1 • ЯРа + ЯаР • Н-Н"

Ярр^ Н

= 0,

где Л(Гп) - определитель матрицы; Н =

СЬх 0 0 ^

0 Ьу 0

0 0 ь7 ,

* /

диагональная матрица

с элементами, определяемыми как

V } ) = 4 8/ } ГП ° С08 РХ , ку(I} ) = 4 8/ } ГП Ь С08 Ру , К(I} ) = 4 8/ } ГП С С08 Р •

В характеристическое уравнение входят клетки Яаа, Яра, Яар, Ярр

матрицы рассеяния Я АБ с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке. Дескриптор АБ (матрица рассеяния АБ в линейном приближении) определяется в результате решения нелинейной краевой задачи дифракции (стационарных нелинейных уравнений электродинамики с условием неасимптотического излучения на гранях АБ ) проекционным методом Галер-кина [2]. На основе полученного характеристического уравнения (7) возможен электродинамический анализ постоянных распространения волн в трехмерной периодической решетке различной геометрии из нелинейных магнитных наноэлементов произвольной формы (сфер, эллипсов, цилиндров, прямоугольников и т.д.) с использованием алгоритма для определения матрицы рассеяния Я АБ с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке. Расчет матрицы рассеяния Я производится в результате совместного решения краевой

задачи дифракции для уравнений Максвелла и уравнения Ландау-Лифшица, в котором учитывается поле обменного взаимодействия.

2 Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров гиромагнитной наноструктурированной среды

С использованием характеристического уравнения (7) и алгоритма расчета матрицы рассеяния Я АБ с магнитными нановключениями и виртуальными каналами Флоке [2] проведен электродинамический расчет постоянных распространения электромагнитных волн Гд = V, распространяющихся в трехмерной периодической решетке (а = Ь = с , рис. 1) ферромагнитных наносфер при постоянном поле подмагничивания Н0 = 1000 Э на частоте / = 30 ГГц . Ферромагнитные металлические наносферы радиусом г = 150 нм (материал наночастиц - железо с параметрами: константа обменного взаимодействия ^0 Ч = 2,2 -10_9 Э • см2; проводимость а = 1,03 -105 Ом-1 -см-1; параметр диссипации а = 0,0023 [3]; намагниченность насыщения

4пМ0 = 21580 Гс) находятся в немагнитной матрице - среде с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями = 2,25, = 1.

На рис. 2 приведены результаты расчета постоянных распространения правополяризованной и левополяризованной волн (кривые 1, 2) при продольном

поле подмагничивания Н0 = Н0 ^, а также обыкновенной и необыкновенной волн (кривые 3, 4) при поперечном поле подмагничивания Н0 = Н0 Х0 в зависимости от соотношения радиуса г наночастицы и периода решетки а.

Рис. 2 Постоянные распространения продольных и поперечных волн в периодической решетке из ферромагнитных металлических наносфер в зависимости от периода решетки а: кривые 1, 2 - Н0 = Н0 ?0; 3, 4 - Н0 = Н0 Х0 ; г = 150 нм; Н0 = 1000 Э; а = 0,0023, еу = 2,25, = 1; / = 30 ГГц

Определим эффективные электромагнитные параметры нанострукту-рированной среды на основе решетки магнитных наночастиц. Введем тензор

ц1 7ц1 0

- . Е Е 0

Ц = -Ц2 Ц1

0 0 1

эффективной магнитной проницаемости гиромагнитной наноструктуриро-ванной среды, который является тензором второго ранга

и эффективную диэлектрическую проницаемость , являющуюся скалярной величиной. Как известно [2], в неограниченной гиромагнитной среде

в направлении постоянного поля подмагничивания Н0 = Н0 ^ распространяются продольные правополяризованная и левополяризованная волны с постоянными распространения:

Гпр = 2яД/е0 е1 ^0

Глв = 2п/у]е0 е1 Ц0

а в направлении, перпендикулярном полю подмагничивания Н0 = Н0 Х0 , -поперечные обыкновенная и необыкновенная волны с постоянными распространения:

Гоб = 2лЛ/е0 е1 Ц0;

Гнб = 2/

е0е1 Ц0

Ц2

ц 2

Ц1

Сравнивая ход кривых на графике (рис. 2) с дисперсионными уравнениями (9)—(12), можно заметить, что кривые 1, 2 характеризуют правополяризованную и левополяризованную волны, соответственно; кривые 3, 4 - обыкновенную и необыкновенную волны, соответственно.

Подставляя рассчитанные значения постоянных распространения продольных и поперечных волн Г0 = V в уравнения (9)—(12) и решая эти уравне-

XXX

ния относительно неизвестных Ц1 , Ц 2 , е 1 , получаем комплексные значения эффективных электромагнитных параметров - компоненты тензора эффективной магнитной проницаемости Ц1, Ц 1 , и эффективную диэлектрическую проницаемость е1, приведенные в табл. 1.

Из результатов, приведенных в табл. 1, следует, что гиромагнитная на-ноструктурированная среда на основе решетки ферромагнитных металлических наносфер обладает лучшими электрическими и магнитными характеристиками, чем ферриты со структурой шпинели и граната [2], которые широко используются в технике сверхвысоких частот. Магнитные потери меньше на два порядка, диэлектрические потери - на порядок, значения недиагональных Е

компонентов Ц2 тензора, характеризующих гиротропные свойства среды, выше примерно в два раза.

Таблица 1

Компоненты ц 1, ц 1 тензора эффективной магнитной проницаемости

у

и эффективная диэлектрическая проницаемость е 1 гиромагнитной наноструктурированной среды на основе решетки ферромагнитных металлических (железо) наносфер в зависимости от соотношения радиуса г наночастицы и периода решетки а на частоте / = 30 ГГц

г/а ^2 * ?

0,1 0,995 -1,164/ •Ш-6 0,05 - 2,161/ -10-7 3,891 - 6,436/ -10-5

0,15 0,984 - 8,84/ -10-6 0,168 -1,641/-10-6 5,223 -1,197/ -10-5

0,2 0,963 - 3,725/ -10-5 0,398 - 6,917/-10-6 8,938 - 5,623/ -10-4

0,25 0,927 -1,137/ -10-4 0,777 - 2,111/ -10-5 14,141 -1,075/-10-3

0,3 0,874 - 2,829/ -10-4 1,343 - 5,252/ • 10-5 20,829 - 3,786/ -10-3

0,35 0,801 - 6,114/-10-4 2,132 -1,135/-10-4 29,004 - 8,317/ -10-3

Список литературы

1. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн / В. В. Никольский. - М. : Наука, 1978. - 543 с.

2. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. -М. : Наука,1994.