Упругопластическое деформирование анизотропных материалов при динамических нагрузках

Упругопластическое деформирование анизотропных материалов

при динамических нагрузках

М.Н. Кривошеина

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Для упругопластических ортотропных металлов приведена модель поведения при динамическом нагружении, включающая в себя упругую, пластическую стадии деформирования и разрушение. Нагружение ортотропной преграды моделируется в трехмерной постановке, упругопластическое поведение материала преграды и ударника описывается теорией течения. Деформирование изотропного ударника моделируется упругопластической моделью Прандтля-Рейса. В качестве численного метода решения используется метод конечных элементов.

Elastic-plastic deformation of anisotropic materials under dynamic loading

M.N. Krivosheina

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The behavior model is given for elastic-plastic orthotropic metals under dynamic loading, which involves the elastic and plastic stages of deformation and fracture. The loading of an orthotropic target is simulated in a 3D statement, and the elastic-plastic behavior of the material of the target and a striker is described by flow theory. The deformation of an isotropic striker is simulated by the elastic-plastic Prandtl-Reuss model. The finite-element method is used as a numerical method of solution.

1. Введение

Значительную часть конструкционных материалов составляют анизотропные. Металлы имеют выраженную текстуру, поэтому даже после небольшой пластической деформации в металлах возникает анизотропия механических свойств. Поведение одного и того же материала может описываться разными моделями: например, изотропной по характеристикам упругости, ортотропной по характеристикам прочности и транс-тропной по характеристикам пластичности. Различаются материалы и по степени анизотропии отдельных механических свойств. Например, для сплава АЛ19 в исходном состоянии анизотропия по пределу прочности значительно превышает анизотропию по пределу текучести, а у стали с процентным содержанием углерода 0.47 — наоборот [1]. Пути возможного усовершенствования методов расчета и конструирования деталей из анизотропных материалов связаны с согласованием

направлений действия наибольших напряжений с направлениями наибольшей прочности материала. Динамический отклик анизотропной среды на удар вызывает появление напряжений, которые могут привести к разрушению. В анизотропных материалах зависимость скоростей трех волн от направления распространения вносит дополнительные сложности при численном анализе динамического поведения таких сред. Влияние анизотропии механических свойств стального прокатанного листа на амплитуду волны сжатия иллюстрируют результаты [2], где проведено ударное нагружение изотропного листа и проканного в направлении, перпендикулярном направлению удара. В первом случае относительное уменьшение амплитуды волны сжатия составило 12.4 % (при скорости удара 290 м/с), во втором — уже 43.4 % (при скорости удара 335 м/с).

Ограниченное количество работ по экспериментальному исследованию закономерностей упругопластичес-

© Кривошеина М.Н., 2006

кого деформирования анизотропных материалов в условиях двумерного и трехмерного напряженных состояний не позволяет оценить достоверность того или иного варианта теории пластичности анизотропных сред. Анизотропией, развивающейся в процессе холодной обработки, обычно пренебрегают до тех пор, пока полная деформация не слишком велика, например, меньше 30 % обжатия при прокатке [3]. Для металлических полуфабрикатов (листов, лент, профилей и т.д.) в основном характерна ортогональная анизотропия свойств металла. Как показывают эксперименты, теория пластического течения удовлетворительно описывает процесс сложного нагружения многих металлов и сплавов. В теории течения Прандтля-Рейса предполагается, что скорости изменения пластических деформаций в каждый момент единственным образом определяются через мгновенный девиатор напряжений, но соотношения не обладают обратной единственностью. Это следствие того, что идеально пластический материал не имеет вязкости при течении его под влиянием напряженного состояния на пределе текучести. После того как началось пластическое течение, деформации в данный момент уже не определяются только мгновенным напряженным состоянием, а зависят от истории нагружения.

В анизотропных металлах отсутствует пластическое изменение обьема. Это верно с высокой точностью, т.к. уменьшение обьема менее 0.5 % наблюдалось даже после 90 % обжатия при прокатке. Исключение — пористые материалы и металлокерамика. Для многих металлов и сплавов в пластической области модуль всестороннего сжатия настолько велик, что материал можно считать практически несжимаемым (коэффициент кубической сжимаемости чистого алюминия X = = 13.4-10-7, дуралюмина х = 11-7-10-7 [4]. В опытах П. Бриджмена найдено, что помимо уменьшения обьема под действием напряжений сжатия возможно также и его увеличение. Первое может указывать на закрытие микротрещин, второе — на их раскрытие. Остаточное увеличение плотности наблюдается у отожженной высокоуглеродистой стали, холоднотянутой латуни, уменьшение плотности — у серого чугуна, норвежской стали, некоторых сортов мягкой стали. Очень малое изменение обьема у холоднокатаной стали, дуралюмина [4]. Поэтому для рассмотренных материалов изменение обье-ма в течение пластической деформации моделируется упругим и для пластической деформации в данной работе принимаем условие пластической несжимаемости.

Имеющиеся литературные данные по экспериментальному исследованию поведения анизотропных упругопластических материалов относятся к экспериментам в статической или квазистатической постановке при одно- либо двумерных нагружениях. Первые разработки методов высокоскоростного разрушения анизотропных материалов посвящены созданию элементов остекления

самолетов и проблеме использования композитов в кольцевых защитных экранах газотурбинных двигателей в целях локализации последствий разрушения лопаток внутри газового тракта.

2. Модель упругопластического деформирования ортотропных материалов

В данной работе предложена модель поведения ор-тотропного материала в условиях динамического взаимодействия. Также как и для изотропных материалов, система уравнений, описывающая поведение такого материала, включает в себя уравнения движения, неразрывности, энергии — универсальные уравнения, которые описывают нестационарные адиабатные движения сжимаемой среды и выполняются всюду внутри тела: уравнение неразрывности Эр

дt

+ divpv = 0,

векторное уравнение движения сплошной среды которое в проекциях на оси декартовой системы координат записывается следующим образом:

д„к

Р

- + Fk,

dt дхі

уравнение энергии

¿Е 1 „]

• = — „іеіі.

dt р

Здесь р — плотность среды; V — вектор скорости;

-¡-''к „Л

F — компоненты вектора массовых сил; „ — конт-равариантные компоненты симметричного тензора напряжений; Е — удельная внутренняя энергия;

ев = Р] + в )>

ец — компоненты симметричного тензора скоростей деформаций; vi — компоненты вектора скорости.

Дополнительно еще необходимо записать уравнения, которые характеризуют физические свойства изучаемой среды. Упругое поведение материала описывается обобщенным законом Гука:

¿а,

dt

11 = С11е11 + С12 е22 + С13е33,

12

&

22

&

¿„13

&І

= С44 е12,

= С12 е11 + С22 е22 + С23 е33 ,

= С66 е13,

&

23

&

33 = С13е11 + С 23е 22 + С33е33,

= С55е23.

Здесь упругие постоянные Су можно выразить через модули сдвига Gу , модули Юнга Е- и коэффициенты Пуассона Vу•:

Cii =

1

(

e2 a

1

!2 Л ! 23

Cl2 =-

E3 A

V31V 23 + V12

C13 =

E2 A

C33 =

C22 =

E1A

V12V 23 + V31

42

E3 A

C23 ='

1

Г

E1A

31

V12 V31 + V 23

E E.

V /

C44 = G12, C55 = G23, C66 = G13 ,

A =

1

(

1 - 2v12 v 23 V 31 -

\

V 31 -"

23

Е3 Е1 Е2

Полную деформацию представим в виде суммы упругой и пластической деформации. В основе теоремы о разгрузке упругопластических материалов лежит предположение о справедливости закона Герстнера — при разгрузке материала после пластической деформации связь между напряжениями и деформациями описывается обобщенным законом Гука и упругие свойства материала не зависят от пластической деформации.

Примем ассоциированный закон течения в виде:

ёЕ?. = .

дау

Параметр ¿А = 0 при упругой деформации, а при пластической всегда положителен, определяется с помощью условия пластичности; ¿Ер — приращение пластической деформации; F — функция пластичности.

В предположении, что отсутствует эффект Баушин-гера, критерий пластичности можно записать через квадратичную функцию компонент напряжений. Если предположить, что наложение гидростатического давления не влияет на текучесть, то условие пластичности для случая совпадения осей координат и осей анизотропии может быть записано через разность компонент напряжения (или их девиаторов). В этом случае определение нормальных напряжений через деформации возможно с точностью до некоторой функции, например,

давления. Давление как функция удельной внутренней энергии E и плотности р и для изотропного материала ударника и для анизотропного материала преграды определяется в зависимости от конкретных условий нагружения из уравнения состояния

P = P

Для того чтобы решить проблему определения полей напряжений через поля деформации при условии пластической несжимаемости материала, обратимся к теории упругопластических процессов Ильюшина. Процессы нагружения и деформирования ортотропного материала представим в пятимерных векторных пространствах напряжений St и деформаций 3t Ильюшина. Ильюшин A.A. вводит вместо 6 зависимых между собой функций времени 5 независимых функций так, чтобы преобразования были взаимнооднозначно линейными [5]. Например, преобразования компонент девиа-тора напряжений из шестимерного пространства в пятимерное можно записать следующим образом:

^1 = V2(Sn cos(ß + —) - S22 sin ß), 6

S2 = V2(Sn sin(ß + —) + S22 cos ß), 6

S 3 =V2S12, S 4

^3-^012, 04 =^І2S23, »5 ='J2S31.

В формулах (7) »і и »у — компоненты девиаторов напряжений в пяти- и шестимерном пространствах соответственно; в — любое не зависящее от времени число, которое в данном случае можно считать фиксированным и равным нулю. По такому же правилу происходит преобразование компонент девиаторов деформаций, записанных в шести- и пятимерных пространствах.

Для ортотропных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, в пятимерном пространстве напряжений примем начальное условие пластичности в виде [6], записанное через девиаторы напряжений Ильюшина:

2

f (Si) =

n

4+4 +

'1

о 2 о 2 о 2

S3 S4 Ji л

+ -3 + —— + —— = 1

2 2 2 1

Г3 Г4 г5

где г- и Ci — функции, связанные с пределами текучести материала в направлении осей анизотропии и пределами текучести при сдвиге в плоскостях осей анизотропии:

>/ 2 а 1^

1Т,

= л/2

12Т, '4

v

= л/2

23Т,

Г5 = V2T31T , Ci = Ci (^1т , СТ2т )•

+

Безразмерный параметр п (0 - п -1) является характеристикой материала и определяется из опытов, в которых величины пределов текучести, предсказываемые теориями Мизеса-Хилла и Треска, наиболее расходятся, например, при двухосном растяжении. Для конструкционных алюминиевых сплавов этот параметр варьируется (0.31^0.36) [1, 7]. Следовательно, параметры, используемые в условии пластического течения ортотропного материала, одинаково сопротивляющегося при растяжении и сжатии, определяются при нахождении в эксперименте следующих характеристик материала: „1т, „2т, „3т, Т12т, т23т, Т31Т, П. Здесь „іт пре-

делы текучести в направлении осей симметрии материала; Тут — пределы текучести материала при сдвиге в плоскостях анизотропии.

Для описания изменения поведения поверхности текучести в процессе пластической деформации используется модель изотропного упрочнения, согласно которой уравнение последующих поверхностей нагружения имеет вид [6]:

F (»і, R) =

2

п.

4+4 +

+

-+^+

4- - я2 = о.

Для конструкционных алюминиевых сплавов при статическом нагружении функция R, характеризующая изотропное упрочнение, инвариантна к виду напряженного состояния, определяется из опытов на простое нагружение и линейно зависит от эффективной пластической деформации ^ [6]:

К

где у = | (ёЭ? dЭ У)2, для конструкционных алюминиевых материалов £ = 1.1.

В пятимерном пространстве запишем закон Гука для анизотропных материалов в приращениях:

¿Яу = Ау (¿Эк - ¿Э£) = А

¿Эк - ¿А—

где j, k = 1, 2, ..., 5; Dу — компоненты матрицы упругих постоянных в пятимерном векторном пространстве; Э, Э ? — полная и пластическая деформация соответственно.

Для определения неотрицательного скалярного множителя ёА используется условие нахождения конца вектора напряжений на поверхности нагружения в процессе пластической деформации:

дF дF

dF (Si, К) = — dSi + — ёК = 0. оЛг- ЭК

Уравнения, связывающие напряжения и пластическую деформацию согласно ассоциированному закону

пластического течения, разрешаем относительно приращений девиаторов напряжений [7]:

=

= А

к 1

¿Эк -

А лЭ дада

тп т дЯп дЯк

А ж ж+25

,

где

=2

4+4 +

Г1 г2

ПЯк

гк

г+ (1 -п)Ск

- + -

при к = 1, 2;

= 2-2- при к = 3, 4, 5;

'1 '2

ЪР_

ЭS¿ Ъ

нижние индексы i, j, ^ I, п, т, р = 1, 2, ., 5.

Модель пластического течения анизотропного материала основывается на теории упругопластических процессов малой кривизны и применима для описания упругопластического течения ортотропных материалов, в процессе пластического деформирования которых наименьший радиус кривизны траектории деформирования у превышает след запаздывания векторных свойств материала. Согласно принципу запаздывания [5] ориентация вектора напряжений относительно траектории деформации зависит от внутренней геометрии ограниченного отрезка траектории деформации, предшествующего рассматриваемой точке, длина которого называется следом запаздывания. Для начально-анизотропных сред при деформировании по траектории малой кривизны мгновенное значение угла между вектором напряжений и касательной к траектории деформации равно углу между вектором напряжений и траекторией деформирования в случае простого нагружения [8]. При этом 1

У = —.

V

След запаздывания векторных свойств материала является характерной величиной материала или группы материалов и зависит от пределов текучести и модулей упругости материала [9]. Кроме этого, необходимо выработать ограничения на параметры кручения пути пластического деформирования. Модель не учитывает изменение упругих постоянных в процессе пластичес-

X

п

X

+

кой деформации (нет деформационной анизотропии), что оправдано для упругопластических процессов малой кривизны.

В зависимости от материалов ударника и преграды, вида нагружения возможно в рамках модели использование различных критериев разрушения для материалов ударника и преграды. В качестве критерия разрушения ортотропного материала на первом этапе исследований возможно использование критерия разрушения, описывающего разрушение материала при статических нагрузках. В данном случае выбирается критерий максимальной деформации. Поведение ортотропного материала после выполнения критерия разрушения моделируется следующим образом [10]. Если оно происходит в условиях сжатия (еи < 0), то считается, что материал теряет прочностные свойства анизотропии и его поведение описывается гидродинамической моделью:

ау =-Р(рЕ)8у ,

если разрушение происходит в условиях растяжения (ви > 0), то материал считается разрушенным и компоненты тензора напряжений становятся равными нулю:

а у = °.

Упругопластическое деформирование материала изотропного ударника описывается моделью Прандтля-Рейса [11].

При конечно-элементном анализе в условиях динамического нагружения возможен поворот отдельных элементов относительно расчетной системы координат и всей анизотропной среды в целом. Поскольку уравнения движения записаны для определенной системы координат, то напряжения, определенные в элементе, жестко повернутом в пространстве, должны быть пересчитаны, например с помощью производной Яуманна, и приведены к этой системе координат:

А„у ¿„у

Аt

ік юук ук ю

где = -(VуVI -Vіиу).

3. Постановка задачи динамического взаимодействия изотропного ударника с анизотропной преградой

Взаимодействие изотропного металлического ударника с анизотропными преградами будем рассматривать в общем трехмерном случае в декартовой системе координат ХУ2 (рис. 1). Оси симметрии ортотропного материала совпадают с осями системы координат. Ударник имеет форму цилиндра и занимает область А1. Вектор скорости ударника в начальный момент времени нормален к преграде и совпадает с его осью симметрии. Преграда занимает область А2.

Рис. 1

Начальные условия (ґ = 0): при (X, у, г) є А1, і, у = X, у, z,

при (х, у, г) є А 2 „ у = Е = и = и = 0,

Т = Т = Т = 0

пп Т пт1 пт2 0

при (х, у, z)е Dk, к = 1,2, р=рк.

Граничные условия: на свободных поверхностях Б1 и Б2 реализуются условия свободной границы:

на контактной поверхности между ударником и преградой реализуется условие скольжения без трения:

гр + _гг — гг + _гг — _гг + _гг — _А

* пп = * пп ’ * пт1 = * пт1 = * пт2 = * пт2 = 0’ /л г\

+ —

ип = ип •

Здесь и, V, w — компоненты вектора скорости по осям X,, Y, Z соответственно; п — единичный вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке; т1 и т2 — взаимно перпендикулярные единичные векторы в плоскости, касательной к поверхности в этой точке; Тп — вектор силы на площадке с нормалью п. Нижние индексы у векторов Тп и у означают проекции на соответствующие вектора базиса; значок «+» характеризует значение параметров в ударнике, значок «-» — в преграде. Таким образом, система уравнений (1)—(11) совместно с начальными и граничными условиями (12)-(16) полностью определяет краевую задачу.

4. Выводы

Для случая упругопластических процессов малой кривизны построена математическая модель деформирования ортотропного материала. Поведение ортотроп-ного материала моделируется упругопластическим в рамках ассоциированного закона течения с изотропным упрочнением. Сделана математическая постановка трехмерной задачи о взаимодействии изотропного стального ударника с преградой, выполненной из орто-

тропного материала. Теория упругопластических процессов Ильюшина позволяет определять поля напряжений через поля деформации при пластическом течении материала, а это, в свою очередь, дает возможность проводить численное моделирование динамического нагружения упругопластически деформируемых анизотропных сред при условии их пластической несжимаемости. Для корректировки напряжений элементов преграды и ударника в случае их поворотов как жестких используется производная Яуманна.

Автор благодарит профессора ТПУ Светашкова A.A. за участие в обсуждении работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 06-01-00081-а, и программы Президиума РАН, проект № 9.5.

Литература

1. Ковальчук Б.И., Лебедев A.A., Уманский С.Э. Механика неупругого

деформирования материалов и элементов конструкций. - Киев: Наукова думка, 1987. - 280 с.

2. Радченко A.B. Сравнительный анализ ударно-волновых процессов

в изотропных и анизотропных материалах // Труды Всероссийской

конференции «Процессы горения и взрыва в физикохимии и технологии неорганических материалов», Москва, 24-27 июня 2002 г. -Черноголовка: ИСМАН, 2002. - С. 330-333.

3. Хилл Р. Математическая теория пластичности. - М.: Гостехиздат,

1956. - 407 с.

4. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрывов. Влияние высокого гидростатического давления на механические свойства материалов. - М.: ИЛ, 1955. - 444 с.

5. Ильюшин A.A. Пластичность. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

6. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И., Лебедев A.A. Теория пластического

течения анизотропных сред. 1. Определяющие соотношения // Пробл. прочности. - 1986. - № 4. - С. 50-57.

7. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И., Мельников C.A. Экспериментальная

проверка определяющих соотношений теории пластического течения анизотропных сред // Пробл. прочности. - 1991. - № 11.-С. 19-24.

8. Косарчук В.В., Ковальчук Б.И. К формулировке закона запаздывания векторных свойств начально-анизотропных материалов // Пробл. прочности. - 1986. - № 11. - С. 3-6.

9. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

10. Радченко A.В. Моделирование поведения анизотропных материалов при ударе // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т. 4. - № 4. - С. 51-61.

11. Johnson G.R. High velocity impact calculations in three dimension // J. Appl. Mech. - 1977. - March. - P. 95-100.