Фронты образования нелинейной упругой среды из среды без касательных напряжений

УДК 539.3 : 534.1

ФРОНТЫ ОБРАЗОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ИЗ СРЕДЫ БЕЗ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

А. Г. Куликовский1, Е. И. Свешникова2

Рассматриваются фронты фазового превращения среды без касательных напряжений в нелинейную несжимаемую анизотропную упругую среду. Поток массы через единицу площади фронта считается известным. Изучается изменение касательных составляющих скорости среды и возникающих сдвиговых напряжений. Явный вид граничных условий, обеспечивающих их корректность на фронте, находится из условия существования структуры фронта разрыва. Для структуры принята модель вязкоупругой среды Кельвина-Фойгта.

Ключевые слова: упругая среда, структура фронта разрыва, ударная адиабата.

Fronts in which a medium without tangential stresses is converted in an incompressible nonlinear anisotropic elastic medium are considered. The mass flow through unit area is considered as known and variations of velocity tangential components and stresses are investigated. The boundary conditions at the fronts which correspond to the correction conditions are obtained as the existence conditions of the front structure. The model of a visco-elastic Kelvin-Voight medium is adopted for this structure.

Key words: elastic medium, structure of shock front, shock adiabatic curve.

Введение. Рассматриваются фронты образования несжимаемой упругой слабонелинейной слабоанизотропной среды из среды, не имеющей касательных напряжений. Среда перед фронтом может представлять собой поток невзаимодействующих частиц или идеальную жидкость, которая затвердевает в результате полимеризации или охлаждения. При этом в образующейся среде могут возникать отличные от нуля касательные напряжения.

Фронты подобного типа представляют интерес с теоретической точки зрения в том плане, что соотношений, следующих из законов сохранения, недостаточно для их описания. Для эволюцион-ности [1] таких разрывов требуются дополнительные условия, причем их число оказывается различным в зависимости от соотношений между скоростью разрыва и скоростями малых возмущений по обе стороны от разрыва. Как было показано в работе [2] (см. также [3, 4]), дополнительные соотношения на разрывах в нужном числе могут быть получены как требование существования структуры разрывов. К подобного типа разрывам, для которых необходимы дополнительные соотношения, относятся фронты горения [5], фронты ионизации и рекомбинации [6], неклассические разрывы в упругих средах, обладающих мелкомасштабной дисперсией и диссипацией [7], поверхности разрыва в упругопластических средах [8, 9]. Фронты различных типов, возникающие при уплотнении потока невзаимодействующих частиц с образованием изотропной упругой среды, рассматривались в [10], фронты образования анизотропной упругой среды, обладающей определенным типом нелинейности, — в [11]. В настоящей работе исследуются фронты образования нелинейной анизотропной среды с другим типом нелинейности. Как будет видно далее, тип нелинейности качественно изменяет свойства изучаемых разрывов.

Процесс образования упругой среды (процесс затвердевания) будем представлять в виде распространения некоторого плоского фронта. Скорость его движения в направлении, ортогональном своей плоскости, будем считать известной, определяющейся некоторыми процессами, различными в разных задачах. Так, в случае, когда упругая среда образуется в результате слипания частиц, скорость фронта определяется из закона сохранения массы при известном потоке налипающих частиц, а в случае замерзания или полимеризации — из решения тепловой задачи или задачи кинетики полимеризации. Далее скорость волны затвердевания считается постоянной и произвольно заданной, а изучается изменение компонент поперечной скорости и напряжений в образовавшейся упругой среде.

1 Куликовский Андрей Геннадьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kulikQmi.ras.ru.

2 Свешникова Елена Ивановна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sveshnQmech.math.msu.su.

Движение в среде за фронтом затвердевания. Предполагается, что в результате прохождения фронта затвердевания образуется несжимаемая упругая среда. Ее движение будем рассматривать в связанной с фронтом системе координат, в которой ось х идет по нормали к фронту в направлении его движения относительно среды, а оси х\ и х2 параллельны плоскости фронта. Вследствие несжимаемости образовавшейся среды нормальная к фронту компонента скорости во всей области упругости одна и та же: их = —\¥ и изменяться могут только касательные к фронту (т.е. поперечные) составляющие скорости, напряжений и деформаций.

Система дифференциальных уравнений теории упругости для поперечных компонент в лагран-жевой декартовой системе координат начального состояния имеет вид

дУа _ дОа диа _ дУа_

Р сЯ ~ дх1 сЯ ~ дх ] и

дФ

диа

Здесь р — плотность образовавшейся среды, <та ш иа — значения касательных напряжений и касательных компонент скорости в упругой среде. Если и)а — поперечные смещения точек среды, то ьа = дъиа/сЯ — скорость, а иа = дюа/дх — деформации сдвига. Функция Ф представляет упругую энергию единицы лагранжева объема.

Предполагается, что деформации сдвига иа малы и мала анизотропия образующейся среды. Это позволяет записать Ф в виде [3]

Ф

где /, д, я — упругие параметры среды. Коэффициент д, характеризующий анизотропию в плоскости фронта, считается малым, так что два последних члена предполагаются сравнимыми по порядку величины. Знак коэффициента д соответствующим выбором нумерации осей координат х\ и х2 всегда можно сделать положительным.

Коэффициент нелинейности я может быть любого знака. Среды с разными знаками я имеют существенно различное качественное поведение [3] и должны рассматриваться отдельно одна от другой. Для сред с я > 0, типичных для металлов, подобная задача изучалась в [11]. В настоящей работе коэффициент я считается отрицательным, что характерно для материалов типа резин.

Система (1) имеет гиперболический тип и обладает двумя семействами характеристик. Характеристические скорости ±С1 соответствуют семейству медленных волн, а ±С2 — быстрых, с\ ^ с2-Квадраты этих скоростей с^ и представляют собой собственные числа матрицы ^ д2Ф/диадир. Предполагается, что собственные числа положительны. Величины с\ и с2 зависят от щ и и2. В ненапряженном состоянии 0^(0,0) = \/(/ Т <?)/Р = с12-

Основными граничными условиями для системы (1) служат законы сохранения массы и импульса на фронте затвердевания. Если рассматривать фронт затвердевания как поверхность, не имеющую толщины, то закон сохранения массы определяет скорость движения фронта \¥ по заданным параметрам набегающего потока частиц, а из закона сохранения поперечного импульса получаем соотношения на разрыве

<т£ = рУГ

Здесь — значения касательных напряжений и касательных компонент скорости за разрывом,

уа — касательные компоненты скорости перед разрывом, р\¥ — поток массы через разрыв, р — плотность образовавшейся среды. В равенстве (4) учтено отсутствие касательных напряжений в среде перед разрывом.

Поскольку значения \¥ могут быть как меньше, так и больше характеристических скоростей упругой среды, то законов сохранения может оказаться недостаточно для корректной постановки граничных условий на фронте (что называют эволюционностью разрыва) и возникает необходимость в дополнительных граничных условиях.

Источником для получения дополнительных граничных условий при теоретическом изучении служит требование существования структуры разрыва, которое при достаточно общих условиях дает как раз столько граничных условий, сколько необходимо для эволюционности разрыва [2-4], т.е. для корректности постановки задачи о взаимодействии разрыва и течения сред.

Структура фронта затвердевания. Под структурой фронта разрыва будем понимать здесь узкую зону где происходит процесс фазового превращения (в данном случае затвердевания потока и превращения его в упругую среду), сопровождаемый диссипативными механизмами и появлением касательных напряжений и деформаций. В работе для описания структуры принята модель вязкоупругой среды Кельвина-Фойгта, в которой наряду с упругими напряжениями (2), задаваемыми упругим потенциалом, присутствуют еще вязкие напряжения, характеризуемые коэффициентом вязкости ц. Существенные изменения величин происходят в слое, толщина которого зависит от величины коэффициента вязкости /л.

Система уравнений модели Кельвина-Фойгта для поперечных фронту компонент скорости и деформаций в лагранжевых переменных имеет вид

дУа _ дОа ^ д2Уа диа _

9 сЯ дх ^ дх2 ' сМ дх '

а* =

Передняя граница зоны затвердевания примыкает к области, где аа = 0, а вдали, на бесконечности, влияние вязких членов исчезает и среда становится упругой.

Для этой системы отыскивается решение, которое стационарно в системе координат, связанной с фронтом, т.е. имеет вид бегущей со скоростью \¥ волны. Это позволяет ввести эйлерову переменную £ = —х + где \¥ — скорость образовавшейся несжимаемой среды Кельвина-Фойгта относительно фронта, и получить из системы (5), (6) систему обыкновенных дифференциальных уравнений. После однократного интегрирования уравнений движения по £ и исключения уа система уравнений приводится к виду

сЬ« дР(и1,и2) , .

= —' а = 1'2-

Функция Р(и\,и2) в этих уравнениях отличается от упругого потенциала Ф(и\,и2), заданного равенством (3), наличием дополнительных членов, содержащих скорость фронта \¥, а также постоянных интегрирования 1 и

^

Напомним, что в настоящей работе рассматриваются среды, у которых я < 0.

Изменение величин вдоль интегральных кривых уравнений (7) можно себе представить как "сползание" точки {и\,и2) по склону рельефа, определяемого на плоскости и\,и2 функцией Р(и\,и2). При этом скорость сползания определяется градиентом этой функции.

В качестве граничных условий для решения, описывающего структуру изучаемого разрыва, примем следующие. На передней границе, за которую принята плоскость £ = 0, в момент образования среды Кельвина-Фойгта деформации еще не успели образоваться, т.е. и\ = 0 и и2 = 0 при £ = 0. На другой границе структуры, при £ = оо, как обычно, производные обращаются в нуль: (1иа/с1£ = 0 и решение асимптотически выходит на параметры упругой среды за фронтом и^,' Эти условия позволяют выразить постоянные интегрирования через параметры течения и+

при £ = оо. Таким образом, для заданной среды (т.е. заданных ¡, д, к, р, р) решение, описывающее структуру, определяется параметрами \¥, <51 и Я2- Полученное при варьировании \¥, <51 и Я2 множество состояний служит аналогом ударной адиабаты для фронта затвердевания. Построение ударной адиабаты — важнейшая часть выводов, получаемых из исследования структуры.

Таким образом, задача о структуре разрыва сводится к отысканию интегральной кривой, описываемой системой (7) на плоскости и\,и2, выходящей из начала координат и приходящей в одну из особых точек этой системы. Особые точки системы (7) — это стационарные точки функции Р(и\,и2), где дР/ди\ = 0, дР/ди2 = 0.

Тип особой точки определяется знаками собственных значений Л матрицы вторых производных функции Р(и\,и2) в этой точке. Действительно, в соответствии с правилами теории дифференциальных уравнений [12], рассматривая решения уравнения (7) в окрестности особой точки в виде <7« = Ца = иа — и^, получим, что значения Л находятся как корни определителя

д2р

+ А р \V5af3

ди„ди

Р

<92Ф

- (р\¥ - ХрШ)5ац

ди„ди

/з

Отсюда с учетом равенства (8) и представления характеристических скоростей через р и Ф(г/,1,г/,2) получим

Таким образом, при 0 < Ш < , и^) особая точка иа = г/,+ узел с входящими в него

интегральными кривыми, при с\< }¥ < с2(и^, и^) седло и при ]¥ > с2(и^,и^) узел с выходящими из него интегральными кривыми. Тип особой точки может изменяться при изменении параметров только в случае слияния ее с другими особыми точками или, наоборот, в случае ее расщепления на две или более особых точек.

Исследование структуры, типы разрывов и соотношения на них. Для различных интервалов значений скорости \¥ будем выяснять существование интегральной кривой системы (7), которая выходит из начала координат на плоскости и\,и2 и входит в некоторую особую точку этой системы.

1. Случай, когда 0 < }¥ < Сх(0, 0), т.е. р\¥2 < / — д.

Пусть €¿1 = § и С}2 = 0. При этом в начале координат располагается стационарная точка функции Р{и\,и2). При 0 < \¥ < Сх(0, 0) эта точка минимум, который обеспечивается квадратичными членами в выражении для функции Р{и1,и2). Член четвертой степени порождает положительно-определенную матрицу вторых производных при всех щ ф 0, и2 ф 0. Таким образом, при 0 < \¥ < сх (0, 0) и = 0, С,)2 = 0 имеется единственная стационарная точка, которая для системы (7) представляет собой входящий узел.

Если хотя бы одно из значений (^>1, С,)2 отлично от нуля, то эта особая точка сместится, оставшись единственной. В этом случае имеется интегральная кривая, идущая из начала координат в эту точку, представляющую состояние за фронтом затвердевания иа = , а = 1,2. Так как эта точка входящий узел, то, согласно сказанному выше, в ней выполняется неравенство Ш < С\(и^, и2). Такие фронты будем называть медленными. Изменяя и 2 при заданном \¥ < С1 (0, 0), можно поместить минимум функции Р(и\,и2) в любую точку плоскости и\,и2. Меняя \¥ в указанном диапазоне, получим, что в фазовом пространстве и\,и2, \¥ слой, ограниченный слева условием \¥ > 0, а справа равенством Ш = С1 (0, 0) = , соответствует области медленных фронтов затвердевания. На рисунке это выделено серым цветом.

W=c\

Ударная адиабата фронта затвердевания

Для существования и эволюционности фронтов такого типа не потребовалось каких-либо дополнительных условий, кроме вытекающих из законов сохранения.

2. Случай, когда ci(0, 0) < W < Сг(0, 0), т.е. / — д < pW'2 < f + д.

При W = const, и Q\ = 0, Q2 = 0 начало координат на плоскости и\,и2 представляет собой седло и как стационарная точка функции F(v,\,u2) (при d2F/dn2 < 0, d2F/du2 > 0, d2F/du\du2 = 0), и как особая точка уравнений (7). Помимо этого у функции F(v,i,u2) имеются два минимума, лежащие в симметричных точках на оси щ. Это значит, что существуют интегральные кривые, идущие из начала координат в эти точки. Если увеличивать по модулю Q2, оставляя Q2 < 0 и Q\ = 0, то седло и минимумы начинают сдвигаться. Их положение определяется уравнениями

dF('!l'U2) = (f — д — PW2)Ul - ф,2 + u2)ui = 0,

(JU1

dF{^2U2) = (/ + 9 ~ PW2)u2 - *(и2 + ul)u2 = -Q2.

Из первого уравнения видно, что седловая точка смещается вдоль оси и2 при щ = 0, а из второго уравнения — что с ростом модуля отрицательного значения Q2 ордината седла и2 > 0 увеличивается, т.е. седло смещается вверх по оси и2. Точки минимума функции F(u\,u2) расположены на окружности

2 . 2 pW2-f + g

и1+и2 =-,

—к

и их расстояние от оси щ тоже увеличивается с ростом \Q2\. Радиус этой окружности

п = Vif-g-pw2)/*

увеличивается с ростом величины скорости фронта W.

Там, где окружность пересекает ось и2, происходит слияние всех трех особых точек. В этих точках скорость фронта затвердевания W совпадает с медленной характеристической скоростью за фронтом W = C\(u^,u2) = с^. При дальнейшем увеличении \Q2\ остается только стационарная точка, лежащая на оси и2 и представляющая собой минимум. При Q2 > 0 картина изменений положения стационарных точек и интегральных кривых оказывается симметричной относительно оси и\ картине, описанной выше.

При Qi = 0 и при умеренных значениях \Q2\, когда существуют три стационарные точки функции F, единственная интегральная кривая, выходящая из начала координат, идет в седловую точку, расположенную на оси и2. Координаты этой точки и\ = 0, и2 = и\ могут соответствовать условиям при £ = оо. Тип этой точки (седло) указывает, что за соответствующим фронтом выполняется неравенство < W < с^, где и с^ — медленная и быстрая характеристические скорости за фронтом. Фронты, за которыми имеют место данные неравенства, будем называть быстрыми.

Рассмотрим положение стационарных точек при Q\ < 0. В этом случае интегральные кривые пересекают ось и2 слева направо (в сторону роста и\). Так же направлена и интегральная кривая, выходящая из начала координат. Седловая точка сместится с оси и2 влево, и интегральная кривая, вышедшая из начала координат, в нее попасть не может. Точка минимума функции F(u\,u2), находящаяся в правой полуплоскости при появлении Q\ < 0, сдвинется из положения, которое она занимала при Q\ = 0, вправо. Интегральная кривая, вышедшая из начала координат, придет в эту точку и, таким образом, будет изображать состояние за структурой медленного фронта. Точка, представляющая состояние за фронтом, лежит вне окружности (8), причем, очевидно, распоряжаясь значениями Q\ и Q2, ее можно поместить в любую точку плоскости и\,и2, W = const, кроме внутренности окружности (9).

Следует заметить, что в точки окружности (9) можно попасть при Q\ = 0 с помощью двух разрывов, у которых одинаковые скорости (поэтому их можно рассматривать как один разрыв) и каждый из которых имеет структуру: скачок из начала координат в седловую точку на оси и2 и второй скачок в точку минимума, находящуюся на окружности. Этот объединенный разрыв следует рассматривать как медленный фронт затвердевания (по типу конечной особой точки).

Таким образом, множество возможных состояний за фронтами при заданном W из интервала Ci(0, 0) < W < с2(0,0) — это внешность окружности (9) на плоскости и\,и2 (медленные фронты) и отрезок оси и2, лежащий внутри этой окружности.

Изменяя скорость фронта W в принятом диапазоне ci(0, 0) < W < сг(0, 0), находим множество состояний, которые могут реализовываться за фронтом затвердевания в трехмерном фазовом пространстве U\,U2,W. Во-первых, это множество содержит трехмерную область снаружи от поверхности вращения (9), пересекающей плоскость u2,W по линиям, на которых W = с^. На рисунке эта область служит продолжением трехмерного множества состояний, содержащего описанные выше медленные фронты, и также отмечена серым цветом. Во-вторых, в этом диапазоне W появляется еще двумерное множество в виде части плоскости щ = 0, находящейся внутри упомянутой фигуры вращения. На рисунке эта область, содержащая состояния, соответствующие быстрым фронтам, выделена вертикальной штриховкой. Заметим, что из существования решения задачи о структуре в этом слое следует необходимость введения одного дополнительного условия на фронте затвердевания в виде требования и^ = 0.

3. Случай W > Сг(0, 0), т.е. pW2 >/ + <?• Этот случай отличается от предыдущего тем, что в начале координат обе вторые производные функции F(u\,u2) отрицательны. Это означает, что

при малых значениях (¿1 т (¿2 в окрестности начала координат отсутствуют стационарные точки функции Р (111,112), в которые могли бы входить интегральные кривые. Как и в предыдущем случае, минимумы функции Р (111,112) при соответствующих значениях и (^2 располагаются на плоскости 11,1,11,2 вне окружности (9) и существует интегральная кривая, идущая из начала координат в эти точки. Так как эти конечные точки — минимумы, то это означает, что Ш < С\(и^, и^), т.е. эти фронты — медленные. Область возможных значений и^и^ такого типа примыкает к области значений, найденных выше при сх (0, 0) < \¥ < С2(0,0) и изображенных на рисунке затемнением. Кроме того, при фиксированном значении \¥ из рассматриваемого интервала наблюдаются два отрезка оси и2, состоящие из седел. Эти отрезки примыкают изнутри к окружности (9), их внутренние границы на оси у,2 определяются условием д2Р/ди\ = 0, или

-я)

В этих точках Ш = 02(11^, и^) = . Таким образом, в фазовом пространстве 111,112,^^ множество состояний за быстрыми волнами находится на плоскости и2, W между кривыми (9) и (10).

Отметим, что наряду с фронтами затвердевания, в которых происходит изменение иа, могут быть фронты, в которых иа остаются равными нулю. Но если в предыдущих диапазонах изменения \¥ эти тривиальные разрывы включены в непрерывную серию медленных или быстрых разрывов, то в случае \¥ > сг(0, 0) других фронтов с малыми изменениями щ и и2 нет. Скорость такого фронта больше скорости любых малых возмущений, которые его не догоняют и, следовательно, не могут изменить. Такой фронт будем называть сверхбыстрым.

Для существования фронтов такого типа необходимо выставить два дополнительных условия: и^ = 0, п,2 = 0. Состояния за таким фронтом представлены одномерным множеством в виде участка оси \¥ правее точки сг(0, 0) и выделены на рисунке жирной линией.

Заключение. Рассмотрена задача об одномерном движении при наличии фронта фазового превращения, в котором среда без касательных напряжений превращается в нелинейную анизотропную несжимаемую упругую среду.

Показано, что на фронте фазового превращения в зависимости от соотношений между его скоростью и скоростями малых возмущений может возникать необходимость в выставлении дополнительных граничных условий сверх основных граничных условий, следующих из законов сохранения. Эти условия были найдены как условия существования структуры разрывов в предположении, что образующаяся среда помимо упругих обладает вязкими напряжениями (среда Кельвина-Фойгта), действие которых определяет структуру волны. Исследовано множество состояний за всевозможными фронтами, которые могут распространяться по заданному состоянию (ударная адиабата). Это множество в пространстве состояний содержит части разной размерности от единицы до трех в зависимости от числа дополнительных соотношений на фронте.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 14-01-00049, 15-01-00361.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

2. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации в магнитной гидродинамике // Прикл. матем. и механ. 1968. 32, вып. 6. 1125-1131.

3. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Моск. лицей, 1998.

4. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

5. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.

6. Бармин A.A., Куликовский А.Г. Фронты ионизации и рекомбинации в электромагнитном поле // Итоги науки. Гидромеханика. М.: ВИНИТИ, 1971. 5-31.

7. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Классические и неклассические разрывы в решениях уравнений нелинейной теории упругости // Успехи матем. наук. 2008. 63, № 2(380). 85-152.

8. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Исследование разрывов в решениях уравнений упругопластической среды Ирандтля-Рейсса // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Вып. 4. 1363-1370.

9. Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. Автомодельная задача о волнах в упругопластической среде Прандтля-Рейсса // Тр. Матем. ин-та РАН. 2016. 295. 195-205.

10. Куликовский А.Г. О многопараметрических фронтах сильных разрывов в механике сплошных сред// Прпкл. матем и мехап. 2011. 75, вып. 4. 531-550.

11. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Образование анизотропной упругой среды на фронте уплотнения потока частиц // Прпкл. матем. и механ. 2015. 79, вып. 6. 739-755.

12. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд-во технико-теор. лит., 1953.

Поступила в редакцию 19.02.2016

УДК 539.3

О ЗАДАЧЕ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЯЕМЫХ В МЕХАНИКЕ ТЕНЗОРОВ И О ЧИСЛЕ СУЩЕСТВЕННЫХ УСЛОВИЙ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ СЕН-ВЕНАНА

М. У. Никабадзе1

Рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся задачи на собственные значения тензора А е ILi(f2) со специальными симметриями, где О. — некоторая область, вообще говоря, четырехмерного (трехмерного) риманова пространства. Доказано, что в данном случае невырожденный тензор четвертого ранга для четырехмерного (трехмерного) риманова пространства имеет не больше шести (трех) существенных компонент. Показано, что число существенных условий совместности деформации Сен-Венана меньше шести.

Ключевые слова: условия совместности, тензор деформаций, тензор несовместности, тензор напряжений, собственный тензор, полная ортонормированная система собственных тензоров, символ анизотропии тензора, символ структуры.

Several questions related to the problem on the eigenvalues of the tensor AelifO) with special symmetries are considered. Here Q is a certain region of, in general, four-dimensional (three-dimensional) Riemann space. It is proved that in this case a non-degenerate tensor of the fourth rank in the case of a four-dimensional (three-dimensional) Riemann space has no more than six (three) essential components. It is shown that the number of essential conditions of deformation Saint-Venant compatibility less than six.

Key words: compatibility conditions, strain tensor, incompatibility tensor, stress tensor, eigentensor, complete orthonormal system of eigentensors, symbol of anisotropy, symbol of structure.

О задаче на собственные значения тензора четвертого ранга со специальными симметриями. Пусть А — тензор модуля R^Q), состоящего из тензоров четвертого ранга, где Q — некоторая область, вообще говоря, четырехмерного риманова пространства (определения и свойства модулей см. в [1-3]). При этом компоненты тензора обладают симметриями Aijki = AkUj = —Ajiki-В этом случае его можно представить в виде2

6 6

^ — A^j^iGiGjG^Gi — ^ ^ ^ ^ AmnGmGn.

т=1п=1

Здесь г = 1,2,3,4, — ортонормированный базис относительно однократного скалярного умножения, a Gi, г = 1,6, — ортонормированный базис относительно внутреннего 2-произведения, обо-

2

значаемого символом  и являющегося также в этом случае скалярным произведением [1-3]. Базис Gi, г = 1,6, и компоненты Атп, т,п = 1,6, через базис е^, г = 1,2,3,4, и компоненты A^ki,

1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikabadzeQmail.ru.

Применяются обычные правила тензорного исчисления [1, 3—5]. В частности, по повторяющимся строчным латинским индексам в одночлене происходит суммирование от 1 до 4 включительно. Случаи, где нарушается это правило, оговариваются особо или там применяется знак суммы. Тензорное умножение опускается.