Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 мерных уравнений, имеющих общую задачу рассеяния

МНТЕН

ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ СОЛИТОННЫХ 1+1 И 2+1 МЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИМЕЮЩИХ ОБЩУЮ ЗАДАЧУ РАССЕЯНИЯ

Т.В. Редькина

THE POSSIBILITY OF CONSTRUCTING SOLITON 1+1 AND 2+1 -DIMENSIONAL EQUATIONS HAVING GENERAL PROBLEM OF DISPERSION

T.V. Redkina

The article considers one of the possibilities to apply the soliton theory to 2+1 - dimensional situation. Using Lake's operator structure with the same dispersion operator L, two differential quotations have been formulated: one of them is 1+1- dimensional; the other describes 2+1- dimensional function. Here the dispersion operator L depends para-metrically upon an additional variable, which differentiation enters the operator А, describing the dynamics of eigenfunctions, but doesn't enter the operator L.

В статье рассматривается одна из возможностей распространитьсолитонную теорию на 2+1 - мерную ситуацию. Используя операторную структуру Лакса, с одним и тем же оператором рассеяния L построены два дифференциальных уравнения: одно является 1+1 - мерным, другое описывает 2+1 - мерную функцию. При этом оператор рассеяния L параметрически зависит от дополнительной переменной, дифференцирование по которой входит в оператор А, описывающий динамику собственных функций, но не входит в оператор L.

УДК 517.95

Совокупность нелинейных уравнений представляется чрезвычайно обширной для того, чтобы можно было надеяться найти общие методы для построения решений этих уравнений и исследования их свойств. Поэтому наибольший интерес с практической точки зрения должны представлять точно интегрируемые уравнения или уравнения, допускающие богатые классы точных решений. Число таких примеров заметно увеличилось именно в XX веке и особенно в последней его половине, во многом благодаря развитию новых математических методов анализа нелинейных систем уравнений в частных производных, и в частности, такому важному и замечательному открытию математической физики как теория солитонов и метод обратной задачи рассеяния.

С момента создания теории солитонов при построении нелинейных уравнений в частных производных часто используется операторная структура изоспектральной деформации или как ее еще называют уравнение Лакса

ц = [ь, л] = ЬЛ - ЛЬ, (1.1) которая при некоторых условиях эквивалентна условию совместности системы

Ьр = ¡р,

(I - собственное значение оператора Ь, р -собственная функция оператора Ь). Система (1.2) допускает применимости метода обратной задачи рассеяния к полученным уравнениям.

Большинство известных солитонных уравнений описывают поведение функций,

Редькина Т.В.

«Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений...»

зависящих от двух пространственно-временных переменных. Попытка распространить солитонную теорию на 2+1, 3+1-мерную ситуацию не привела к заметным успехам. Но интересные результаты можно получить если оператор Ь параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирование по которым входит в оператор А, но не входят в оператор Ь. Если рассматривать класс функций, зависящих от трех и более переменных, а оператор Ь задает дифференцирование только по переменной х, то следует ожидать, что собственные числа 1(у) не являются постоянными, а удовлетворяют дифференциальным уравнениям. В силу этих уравнений с течением времени возможна их многозначность. Один из примеров был описан Богоявленским О.И. [1] как двумерное взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х, в некотором приближении наблюдающиеся в волнах на поверхности моря, а так же при возникновении ударной волны.

Продемонстрируем возможность построения двух уравнений, обладающих одной и той же задачей на собственные значения.

Теорема 1. Уравнение

Ь ~ . а

V =

1 2ак

(1п + — [и, + (ак + Ь К ]+

2а

(

+

ь+

ь

2 л

2ак

(1п и)х

обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида

0 I 5

Ь =

' а

, а

- +

+

- а 0 дх

Ь (1п и) 2к ,х

а- + Ды и) х + (а 21 ак 0 ' V 2а

-| а + 2к 1(1пи)х

А =

| 2ак + Ь 0

ь

\

ак

5

дх

+

+

V

к| I и (1п и), 12а 0 2а '

ки V + (1п и),

где v( х,') - произвольная функция.

Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда операторное уравнение Лакса (1.1) с маточными коэффициентами 2x2

= -

Va 21 а22 0 дх V и 21 и22 0

| Ь11 Ь12 5 + 1 V!!

= V Ь 21 Ь 22 0 -

дх V V21 V22 0

удовлетворяет дополнительным условиям

а11 а 22 а,

а12 = 0

а21 = а Ф 0,

Ь12 = 0 Ь21 = ка21 , 2а„к = ри - ^22 , Ь22 = Ь, ^2 = ки 12 ,

12 а

V2l = ки21 + — ^ц - V22 + к(и22 - и11)),

2а

где к - коэффициент пропорциональности. Учитывая ограничения, получим операторы:

Ь=

А=

а

0 I 5

ч а - а 0

и

5х

+

11

V и21

Л

12

22 0

12ак + Ь 0 ак Ь

+

дх

11

+

кии I

ки21 +:а-

2а

22

Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого предварительно найдем элементы матричного уравнения Ь, =[Ь, А], используя обозначение

(ак + Ь + — = — и принимая условие

5х д' 52

и12 Ф 0:

а (^'11 - ки11) х +

а ,

+ — М^ - ки11 - V22 + кип) = и112 2а

к(и11 - и22) - + V22 = = (ак + ^ )(1п М12) х + (1п и12)',

-^11 - к (и11 + и22) + V22) х +1 и21 + ~ (и22 ~ ^ Г

х (v11 - к(и11 - и22) - v22) = и2

5

и

2

и

2

а(У22 -ки22)х +

а

+ Т и12(у11 - ки11 - У22 + ^22) = -и22 2 •

2а

С учетом равенства (1.5) определим дополнительные условия так, чтобы

^2 = ^11 +

ип = и22 + у^Оп *12)х .

Подставим найденные значения в оставшуюся систему

а 6>11 - ки22 - (ак + Р )(1п и12) х X -

а Г Р )

- 2а и12 2 = и222 +1 а + к Г и ,

2 [2уп - 2ки22 + (1пи12), - (ак + Ь )(1пи12) х ]х -

-(и21 -(а + 2аак ,)(1пи12)х )(1пи12)г = ^,

аКх +

2а

Найдем разность (1.1°) и (1.12):

и22 2 = -|а + 2к^ и12 ), или

и22 =-|а + 2к^ и12)х

при этом функция и11 примет вид

и11 = ^ (1п и12) х . 2к

Функцию и21 можно найти в явном виде, для этого найдем сумму

а(2уп - 2ки22 + (1пип)< - (ак + р)(1пи12)х)х -

- ааи122 =[^а + Р^)(1п и12)х2 ,

выразим

(2У11 - 2ки22 )х = -аТ и122 + \ 1 + р )(1п и12)х2 -

22/х а 2 12 2 [ ка

- (1п и12) х, + (ак + Р )(1п и12) хх.

а ( Р А, \ а2

-1--+ 1 1(1п и12) +--- и12 2 -

2 Ч ак Г 12; хг 2а2 12 2

Приведение подобных слагаемых и умножение на и12 позволяет выделить полную производную

а ( Р п^ч а2

2 [ ак + Ти12)х^и12 + 202и122и12 -

( (а ра V . ) ~ + 1(1п и12) х 2 2ак 0

и21 -1 - +

и122 = и12и21г ,

а ["Г" + 1 |[

, "42/х"^ + 1 - 1 (и12) г = (М12М2^ г'

2 [ ак ) [ 2ау

выполнив интегрирование по 2, найдем

^ = ^ + ^ и'2)' "'22- (114) В результате остается одно уравнение, связывающее две функции и12 = и и Уп = V

(1п и ) хх.

Р (1 ) а ( р р

vx (1пи)х +-7 и 2 + р +

х 2ак 2а2 2 [ 2ак 0

где (ак + р )--1--= — , V - произвольная

дх й

функция. Операторы Лакса, порождающие уравнение (1.14), будут такими, как указано в условии теоремы.

Получим 2+1-мерное дифференциальное уравнение в частных производных из операторного уравнения Лакса (1.1).

Теорема 2. Уравнение а2 к V2

О^х + — (1п и)хх - (1п и)уу =

= 2а(и2 + V*у) + 2к(1п и)У2 - а(1п и)х2

обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида

(а 0 ) д

Ь =

(

+

ч а - а у

дх

— (1п и) - а (1п и) 2к у 2

2

а Уа п ч —-и + ——

ч 4а2 2ак

у

- — (1п и) у - а (1п и)х 2к у 2 х

и

л

Редькина Т.В.

«Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений.»

12ак 01 5 | у 01 5 А = —+ — +

V0 у05у

V ак 00 5х

(

+

ки

а

ки ((1п и) 2 + У(1п и )у ) V + (1п и ) 2 2а

5 5 5

где ак--1--= —, v

5х 5' 52

произвольная

функция.

Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда оператор Ь не содержит дифференцирования по х и имеет ту же структуру, используемую в первой теореме

Ь =

'а 0 I 5 |и11 и12 Л

V а - а у

5х

+

V и21

22 0

12ак 01 5 | У 01 5 А = —+ — +

ч ак 0 )дx V 0 У 05у

+

ки, 2

ки12 + ~ (V11 - V22 + к(и22 - и11)) V2: 2а

где а, а, у, к - произвольные постоянные, Vy, щ - произвольные функции трех переменных х, у и '. Такой выбор операторов

обуславливает равенство нулю коэффициен-

52 52 5 5

тов при дифференциалах —-,-, —, —.

5х 2 5х5у 5х 5у

Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого найдем элементы матричного уравнения Ь, =[Ь, А], используя

_ ,555 обозначение ак--I--= — и принимая во

5х 5, 52

внимание условие и12 Ф 0 :

а 0>11 - ки11) х - Уи11 у +

а

+ — и12(У11 - ки11 - V22 + ки22) = и112 , 2а

V— + кип - V11 - ки22 = У(1п и12)у + (1п и12)2 ,

2^22 + V11 - ки11 - ки22)х - Уи21у +

и 21 + (и 22 - и11) 2а

(Vll -кип -V— + ки-) =

= и

212'

а(V22 - ки22)х + Уи22у +

а

+ ~ и12 (1 ки11 ^^22 + ки22) = и222 • 2а

С учетом равенства (2.5) определим дополнительные условия так, чтобы

^2 = +

иц = и22 + у

к

Подставим найденные значения в оставшуюся систему

а(У11х - ки22х - У(1п и12) ху ) - Уи22 у -

- и12) уу =

= ^а (и12 2 + У и12 у ) + и22 2 + к (1п и12 ) у2,

-(>11 - 2ки22 + (1пи12)2 - У(1пи12)у )х - Уи21у -

аУ

и21 (!пи12)у

2ак

а(^'11х + (1п и12)х2 - ки22 х ) + Уи22у

[

а

(и12 2 + Уи12у ) = -и222 .

2а

Найдем разность (2.10) и (2.12):

У 2

- аУ(1пи12)ху - 2У122у -1~(1пи12)уу - а(1пи12)х2 =

У/

= 2и—2 + к (1П и12) у2 '

или

У

+

У

а(1п и12)х + 2и22 +Т (1п и12)у к _

а (1п и12)х + 2и22 + У (1п и12)у к

+

= 0,

что позволяет определить функцию и

22

Уа

и22 =- 2к и12)у - 7

V

V

2

+

Выразим ^1х - ки22х из

^1х - ки22 х = (и12 2 + У*12 у ) -

1 У

и22 2 - (1п и12) х2 и22 у .

аа

и выполним подстановку найденной функции

V11x - ки22х = (и122 + Уи12у ) + ^ и12)У2 -

- 2

22 а , \ Уа п \ У а п л

(и12 2 + ^12 у ) + Ш (1п и12) у2 + Ш (1п и12) уу -

2а2

- У*21у = и212

аУ п \

и21 - (1П и12) у

[(1п иИ) 2 + У (1п иИ) у ]

и умножим все члены на и12

2

а

2а

и12 (и122 + У*12у ) +1Г^и12 (1п и12)у2 +

2ак

2

У а

+ 2аки12(1п и12)уу- Уи12и21 у -

- и21(и 212 + ^21 у ) +

+ 2ак и12)у (и212 + У*21 у) = и12и21г,

тогда выделяя полные производные, имеем

- [(и!22 )2 + У(и!22 )у ]+ -а [и12 (1п и12 )у ]2 +

4а'

2

У а Г 1

+ ^Т[и12(1пи12)у ]у - У(и12и21)у = (и12и21)2

2ак

или

2

¡¡а

а 2 ¡а /1 \

и12 (--и12(1п и12) - "п"

4а

+ У

2 12 2ак у

2

2 и12 + ——- и12(1п и12) у - и^и.

+

4а

2ак

12 12 у 12 21

=°

в результате можно найти функцию и

21

и21 =

2

а Уа п \

—-и12 + —— (1пи12)у . 4а2 2ак у

Итак, в ходе преобразований систем (2.10-12) из (2.11) наедена функция и21, а из (2.12) - и 22, поэтому осталось единственное уравнение (2.10), связывающее две функции и12 = и и V" = V

а к

аух +-

х2

У

(1п и) хх - 2к (1П и) уу =

=2* (*у+у* у )+2к(1г1 ^ ~ а~(1пи) х2,

где (ак + р )— + — = — .

дх д/ д2

Полученное уравнение в частных производных имеет вид локального закона сохранения, при этом функция V является произвольной и может описывать некоторое возмущение уравнения. При подстановке в (2.2), (2.3) найденные значения v22, ип, и21, и22 из равенств (2.8), (2.9), (2.15), (2.13) получим операторы Лакса, указанные в теореме 2.

Уравнения (1.15) и (2.16) имеют общий оператор рассеяния Ь, а, следовательно, уравнения на собственные значения совпадают формально, но при этом собственное значение оператора Ь в одном случае является постоянным, а во втором представляют собой некоторые функции, зависящие от дополнительной переменной у.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся соли-тоны в новых двумерных интегрируемых уравнениях // Изв. АН СССР Сер. матем. -1989. - Т.53. - № 2. - С. 243-258.

Об авторе

Редькина Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета. Основные научные интересы лежат в области, связанной с нелинейными уравнениями в частных производных: рассмотрение операторных структур Лакса и уравнения нулевой кривизны, проблемы построения и решения уравнений солитонного типа, применение метода обратной задачи рассеяния, нахождение законов сохранения и др. Автор имеет более 2° публикаций в этой области.

2

2

у