Применение теории вычетов при построении аналитической модели автокорреляционной функции виброакустических колебаний в динамической системе станка

УДК 681.5

DOI 10.21685/2072-3059-2017-1-12

А. А. Игнатьев, Е. М. Самойлова, С. А. Игнатьев

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ СТАНКА

Аннотация.

Актуальность и цели. Динамическое качество металлорежущих станков, оказывающее существенное влияние как на геометрические параметры точности, так и на физико-механические характеристики поверхностного слоя деталей, базируется на измерении виброакустических (ВА) колебаний. Последующая их обработка направлена на определение спектральных, корреляционных и других характеристик, на основе которых дается оценка как техническому состоянию станков, так и назначенному режиму резания с точки зрения качества и производительности обработки деталей. При этом весьма важным является выбор и обоснование информативной характеристики, базирующейся на измерении ВА колебаний динамической системы станка при резании, которая позволяет установить целесообразный режим обработки. Данный режим устанавливается по максимальному запасу устойчивости динамической системы, определяемому из передаточной функции, которая, в свою очередь, определяется из автокорреляционной функции (АКФ), ВА колебаний узлов, участвующих в процессе формообразования. Актуальность работы связана с тем, что построение аналитической модели автокорреляционной функции ВА колебаний динамической системы важно с точки зрения последующего сопоставления с экспериментальной АКФ, вычисленной по результатам измерений колебаний на станке и применяемой в дальнейшем для получения запаса устойчивости динамической системы, служащего оценкой динамического качества станка.

Материалы и методы. Для вычисления АКФ ВА колебаний в динамической системы металлорежущего станка используется ее связь со спектральной плотностью мощности входного сигнала типа «белый шум» и частотной характеристикой динамической системы станка.

Результаты. Аналитически с применением теории вычетов получено выражение для АКФ ВА колебаний в динамической системы металлорежущего станка в виде затухающей косинусоиды, аналогичном идентифицированному по экспериментальным данным измерений ВА колебаний.

Выводы. Построенная теоретическая модель АКФ ВА колебаний динамической системы шлифовального станка адекватна АКФ, полученной по экспериментальным данным, что позволяет обосновать целесообразность ее использования для вычисления передаточной функции динамической системы станка с последующей оценкой ее запаса устойчивости.

Ключевые слова: виброакустические колебания, металлорежущий станок, динамическая система, автокорреляционная функция, теория вычетов.

A. A. Ignat'ev, E. M. Samoylova, S. A. Ignat'ev

APPLICATION OF THE RESIDUE THEORY IN CONSTRUCTING

ANALYTICAL MODELS OF THE AUTOCORRELATION FUNCTION OF VIBROACOUSTICAL VIBRATIONS IN THE MACHINE TOOL'S DYNAMIC SYSTEM

Abstract.

Background. The dynamic quality of machine tools, greatly influencing the geometric parameters of precision and the physical and mechanical characteristics of the surface layer of parts, is based on the measurement of vibro-acoustic (VA) oscillations. The subsequent treatment thereof is aimed at determining the spectral, correlation and other characteristics, on the basis of which the technical condition of machines and the designated mode of cutting are assessed in terms of quality and productivity of part machining. It is very important to select and substantiate informative characteristics, based on the measurement of the dynamic oscillations of the VA (DS) system of a machine when cutting, which allows to set a suitable processing mode. This mode is set by the maximum margin of DS stability, determined by the transfer function, which, in turn, is determined from the autocorrelation function (ACF), VA oscillation nodes involved in the forming process. The work is topical as the construction of an analytical model of the autocorrelation function (ACF) of VA oscillations of DS is important from the point of view of the subsequent comparison with the experimental ACF, calculated from measurements of vibrations on the machine and used subsequently for determination of the DS stability margin serving a machine tool's dynamic quality estimate.

Materials and methods. To calculate the ACF VA oscillations in DS of metal-cutting machine tools the authors used its connection with the spectral density of the input "white noise" signal power and the frequency response of the machine tool's DS.

Results. Analytically, using the theory of residues the authors obtained an expression for the ACF VA oscillations in the machine tool's DS in the form of a damped cosine curve. The expression was similar to the one identified by experimental data of VA oscillations measurement.

Conclusions. The constructed theoretical model of the ACF VA oscillations of the gridning machine's DS is adequate to the ACF derived from the experimental data, which makes it possible to prove the feasibility of its use for calculation of the transfer function of the machine tool's DS with subsequent evaluation of its safety factor.

Key words: vibroacoustic oscillations, metal-cutting machine tool, dynamic system, autocorrelation function, residue theory.

Введение

Конкурентоспособность продукции машино- и приборостроения на внутреннем и внешнем рынках во многом определяется ее качеством, существенным образом зависящим от качества металлообработки, которое, в свою очередь, во многом определяется динамическим качеством станков [1-3]. Определение параметров режимов резания, при которых динамическое качество станков обеспечивает наиболее высокую точность и производительность, наиболее важно, когда в технологическом процессе применяются новые модели станков и новый инструмент [4-6].

Оценка динамического качества станков на практике осуществляется на основе измерения виброакустических (ВА) колебаний динамической системы (ДС) станка и последующей их обработки для получения ряда характеристик: спектров колебаний, среднего значения ВА колебаний в выбранном диапазоне частот, амплитудно-фазочастотной характеристик ДС станка, корреляционных функций, кепстров и др. [7-9]. По результатам измерений осуществляется не только анализ технического состояния станков, но и обосно-

вывается назначение наиболее эффективного режима резания по качеству деталей и производительности обработки. В этом случае существенным является определение информативного параметра, значение которого вычисляется на основе измерения ВА колебаний ДС станка при резании, который позволяет установить целесообразный режим обработки.

Результаты ряда исследований на шлифовальных и токарных станках, проведенных в Саратовском государственном техническом университете, показали, что достаточно перспективным с точки зрения оперативности и применимости в производственных условиях является назначение режима резания, учитывающего как качество обработки, так и производительность, на основе вычисления запаса устойчивости замкнутой ДС станка [5, 9]. Запас устойчивости определяется из передаточной функции ДС, которая, в свою очередь, вычисляется из автокорреляционной функции (АКФ) ВА колебаний при резании при условии, что на вход ДС поступает сигнал типа «белый шум». Указанное справедливо для станков в стационарном режиме резания [2, 10]. Получаемые АКФ при различных значениях параметров технологического режима имеют вид затухающих косинусоид.

Актуальность данной работы связана с тем, что научный и практический интерес представляет получение теоретической АКФ ВА колебаний на выходе ДС станка при подаче на вход сигнала типа «белый шум», формируемого процессом резания, при условии, что известна передаточная функция ДС станка.

Аналитический расчет автокорреляционной функции с использованием теории вычетов

Из классической работы [11] известно, что формула для вычисления АКФ на выходе ДС Kyy (т) имеет вид

^

—^

где Буу (ю) - спектральная плотность мощности (СПМ) сигнала на выходе

ДС.

В свою очередь известна формула

^

где (ю)2 - квадрат модуля частотной функции ДС; «хх (ю) - СПМ сигнала на входе системы.

В нашем случае СПМ входного сигнала типа «белый шум» «хх (ю) = «о = 1, а ДС станка может быть описана колебательным звеном [2, 5, 9] с передаточной функцией

ж

Т2 р2 + 2 gTp +1

причем О < g < 1.

Квадрат модуля частотной функции |К(ую)| , полученный из (3) заменой р = ую, выражается формулой

К

(1 -ю2Т 21 + 4 g 2Т 2ю2

Из формул (1), (2) и (4) следует, что

K 2ejwzd ю

^ (т) = Т~ J 1-ä-

2л J Л 2гг2\, Л 2гр2 2

/V. •> п тот

>(l -Ю2Г2 ) +4g2T2Ю2

Следует отметить, что корни знаменателя в формуле (5) юд (k = 1,2,3,4) определяют полюса подынтегральной функции.

Для вычисления интеграла (5) следует использовать теорему о вычетах [12], в соответствии с которой при аналитичности однозначной функции f(z) в области D за исключением изолированных особых точек, а замкнутый контур С принадлежит вместе со своей внутренностью области D и содержит внутри себя конечное число особых точек z1, z2, ..., zn и не проходит ни через одну из них, тогда

1 n

—Jf

2л j

к=1

где Res f (zk) - вычет функции f (zk) в точке z^

Применяя к интегралу (5) теорему о вычетах, а также используя лемму Жордана [11], можно записать

1 7 K 2ejwzd ю х — J--Л-= 2 Res f К ),

m j J . т\2 т

2л j

— (1 -ю2Г 2 ) +4 g 2T 2ю2 к=1

где f (ю) - подынтегральная функция; Юд - полюса функции f (ю), причем

интегрирование выполняется по точкам верхней полуплоскости, т.е. учитываются два корня знаменателя уравнения (5).

Для вычисления вычета в точке z = zk, где zk - простой полюс, а f (z) = p(z)/q(z), причем p(z) и q(z) - аналитические функции в точке zk и p (zk 0, q (zk ) = 0, q(zk 0, используется формула [11]:

Res f

где q'(z) - производная от q(z).

Тогда из формул (5), (7) и (8) следует, что

7 KУютdю = . 2 p^k )

2m(1 -ю2Т2) + 4 g 2T 2ю2 k=1 q '(юк),

где

p(w) = eiwt,, q(w) = (1 - w2T2) + 4g2T2w2;

ю^ - корни уравнения д(ю) = 0.

Для дальнейшего вычисления интеграла (9) необходимо получить выражения для комплексных корней ю1,...,ю4 и выяснить их расположение на комплексной плоскости.

Преобразуем функцию д(ю) к более удобному виду:

^

Затем вычислим значения корней ю^ из биквадратного уравнения:

Т 4ю4 + 2Т 2(2 g2 — 1)ю2 + 1 = 0. Введем замену переменных 2 = ю2, тогда имеем Т4 22 + 2Т 2(2 g2 — 1) 2 +1 = 0

и, соответственно,

z1,2 =

(1 -2g2) ± 2g^g^i

T 2

Из выражения (13) следует, что

I ю1,2 = ±^í21,

[ю3,4 = ±У122. Следовательно, имеем четыре комплексных корня:

ю=42!=тУа/О^Й//!—^,

ю2=—72! = — ?,

юз=722=,

ю4 = —422 = — ^"¡(У-^ё2)-2!^1-^2. В общем виде корни ю^ записываются в форме

юк = ак + /рк,

где а к , рк - действительная и мнимая части корней соответственно.

Для того чтобы привести выражения для корней (14) к виду (15), выполним операцию извлечения квадратного корня из комплексного числа:

»1 = ^(1 - 2 g2) + 2 jg^Jl-g1

)У

2

+j

|У(1 - 2g2)2 + 4g2(1 - g2) + (1 - 2g2) =

- g2 +JP) = а +jß,

где

; Р = ¡Т .

По аналогии вычисляются выражения других корней, тогда из соотношений (14) и (16) следует

Œ>1 =a + jß,

2 = -(a + jß),

3 =a- jß,

Ю4 =-(a- jß) •

Из (17) следует, что при вычислении интеграла (9) в соответствии с леммой Жордана необходимо учитывать только два вычета, которые определяются корнями юу = а + /Р и ю4 = —а + /р, лежащими в верхней полуплоскости.

Предварительно найдем выражение для производной от функции д

Подставив в формулу (18) вместо ю выражение юу =а + /р и выполнив алгебраические преобразования, получим

q'

л2гг2

2arr2 , o^2

или

ч'(ю\) = А + /В ,

где А и В - многочлены действительной и мнимой частей. Аналогично для ю4 = —а + /р получаем

'

i2rr2

2arr2 , o^2

или

^'Ю = — А + /В Вычислим интеграл (9) с учетом формул (17)-(19):

-1 f

?<П- J

т^2 гют ?

K e а ю

2л(1 -a?T2) + 4 q 2T

2гг2 2

ю

= K2

ej(a+jß) ej(-a+jß) +

A + jB - A + jB

= jK

(A - jB)ejaTe-ßT - ( A + jB)e-jaTe-ßx

A2 + B2

2

A2 + B2

B (ejax + e-jaT) + jA (ejax — ejax

2K

2

A2 + В2

e Px

Следовательно, выражение для АКФ имеет вид

Kyy

причем во времени оно представляет собой затухающую косинусоиду. Коэффициенты Ко, a , Р, А, В являются постоянными и определяются значениями параметров К , Т, g исходной передаточной функции (3).

Указанное справедливо в стационарном режиме резания при небольшой подаче круга при шлифовании и, следовательно, при невысоких силах резания.

При предварительной обработке значения параметров режима резания достаточно велики, тогда ДС станка представляется в виде двух параллельно соединенных колебательных звеньев [5]:

W

где W¡(p) и W2(p) - передаточные функции шпиндельных узлов детали и инструмента, выражаемые формулами:

W

Ti2 p 2 + 2 giTi p +1

W2

T22 p2 + 2g2 T2 p + 1

С учетом соотношений (1) и (2) выражение для АКФ имеет вид

Kyy (x) = ¿ í W ^•/Ю) + W2 (Н2 ^хх (ю/dю, (26) —^

причем СПМ Sxx (ю) = 1, так как входной сигнал рассматривается как «белый шум».

Прежде чем вычислить интеграл (26), преобразуем выражение для квадрата модуля частотной функции:

h (/ю) + W2 (/ю)|2 = [W1 (/ю) + W2 (/ю)][^ (— jю) + W2 (—/ю)] =

Первое и последнее слагаемые выражения (27) по аналогии с формулой (4) имеют вид

W (Н2

W (Н2

K 2

(l -ю2^ ) + 4 g^T2«2

K 2

(1 -ю2Г22 ) +4^|Т22Ю2 Затем вычислим сумму второго и третьего слагаемых выражения (27): 0МИ2 (-ую) + 0 (-ую)0 (ую) =

=_К___^2_+

Т2 (ую)2 + 2^Т] (ую) + 1 Г? (-ую)2 + 2^ (-ую) + 1

K1

K2

Ti2 (-ую)2 + 2 giTi (- ую) + l T2 (ую)2 + 2 g 2T2 (ю) + l

l

(l - T12 ю2 ) + 4 g 21Т12ю2 (l - Т2ю2 ) + +4 g 21Т12ю2 ( 1 - Т2ю2 ) - 2 glTvj ] "( 1 - T12 ю2 ) + 2 glTvj

(l - Tl2v2 ) + 2 glTlVj T(l - Tl2v2 ) - 2 glTlVj

x

xKlK2

После раскрытия скобок и сокращения ряда членов в последнем выражении третья компонента модуля частотной функции примет вид

01 (ую) 02 (-ую) + 01 (-ую) 02 (ую) =

2KlK2 "(1 - TV )(l - T22ю2 ) + 4 glg 2TlT2Ю2

(l - T2«2 )2 + 4 g2Tl2 ю2 (l - T2V )2 + 4gfTîV

Далее разложим выражение (31) на два слагаемых с использованием метода неопределенных коэффициентов:

2KlK2 (1 - Tl2 ю2 )(l - T22ю2 ) + 4glg2TlT2 ю2

(l - T2œ2 )2 + 4g2T2 ю2 (l - T2V )2 + 4 g^V

С1ю+ £\ю

С2 ю + D2 ю

(l - Tl2ю2 ) + 4 gl2TlV (l - T2V ) + 4g^т22ю

Н 4 ю4 + Н2 ю2 + Н0

(l - Tl2ю2 ) + 4gl2Tl2 ю2 |(l - T22ю2 ) + 4g^T2rrn2

где

Но = 2КК, Н2 = 2^(4^2^2 - Т2 - Т22), Н4 = 2^2Т2 -Т22 •

Преобразуем знаменатель последней формулы, предварительно введя 2

замену 2 = ю , и определим корни уравнений:

; (2 gl2 -1)2 +1 = 0, ; (2 g2 -1)2 +1 = 0.

Из уравнения (33) получим корни:

((2 gl2) + 2 ^^/¡М

T422 + 2T121

T24 22 + 2T221

21

21 =

Ti2

(l-2 g2 )-2

T2

Далее получаем четыре комплексных корня:

ю+1=>/2+=«1+7Р1,

ю-1 = -\/2+ = -(«1 + 7Р1) = -ю+ъ < _

ю+2 = Т2Т = «1 - УРь

ю12 = -Т2Т = - ( «1 - А) = -ю+2 •

Из уравнения (34) получим корни:

((2 g 2) + 2 g ^^/¡Г!

22 =

T1

22

((2 g| )-2 g 2y[gf^

T

2

и далее имеем четыре комплексных корня:

Ю+1 = «2 + 7Р2,

Ю21 = "V22 = "(а2 + 7Р2 ) = "Ю2Ь

ю22 ^ V22 = а2 " jP2,

ю22 = ">/22 = "(а2 " ./'Р2 ) = "ю22-

Учитывая формулы (36) и (38), выражение (32) можно преобразовать к виду, удобному для разложения на более простые слагаемые по методу неопределенных коэффициентов:

Н4ю4 + Н 2ю2 + Н0

Т\Т2

Cjro2 + D

С2Ю2 + D2

гт2{ 2 2 M 2 2

Т i ю - Юц )i ю - Ю12

) Т22 (ю2 - ю^! )(ю2 - Ю^2

= Т24С!ю2

+Т2 D2

+Т24С2ю2

Для нахождения коэффициентов С1, В1, С2, В2 приведем слагаемые в формуле (39) к общему знаменателю и преобразуем числитель:

(С1»2 + А ) ( " »21 )( " »22 ) + (»2 + ^2 )т4 ( Ю!2! )(»2 - ) =

~ 4 2(2 2 \ 22 » -Ю (»21 -»22 ) + »21»22

~ 4 2(2 2 \ 22 ~ » -Ю (»21 +»22 ) + »21»22

~ 4 2(2 2 \ 22 » -» (»11 -»12 ) + »11»12

~ 4 2( 2 2 \ 22 " » -» I »11 +»12 ) + »11»12

+Ti4 D2

После раскрытия скобок сравним коэффициенты при различных степенях » в формуле (40) с соответствующими коэффициентами числителя в формуле (39), а именно:

-при»6 :С1Г24 + С2Т14 = 0,

- при »4 : С4 (»21 +»22) + ВТ - С2Т4 (»21 +»22) + ОД4 = Я4,

- при »2 : С1Т24»21»22 - Т24

+ C2Tl4Ю2lЮ22 -Т4В4 (»21 +»22) = Н4,

- при »0 : Т24^»2^2 + Т14В2Ю2lЮ22 = Но.

Получено четыре уравнения для четырех неизвестных коэффициентов С1, С2, В1, В2, так что система (41) имеет единственное решение.

Путем элементарных алгебраических преобразований уравнений системы все четыре коэффициента вычисляются. Каждый из коэффициентов С1, С2, В1, В2 зависит от величин Н0, Н2, Н4, о^, Р1, а4, Р2 . При этом коэффициенты получаются действительными, но выражения для них достаточно громоздкими, так что здесь не приводятся. Отсюда следует, что третью компоненту модуля частотной функции (31) можно считать вычисленной, и ее вид определяется суммой двух слагаемых из выражения (39).

После вычисления всех компонент квадрата модуля частотной функции

| jW(,/ю)|2, описываемых формулами (28), (29) и (39), последовательно

найдем соответствующие компоненты АКФ ВА колебаний на выходе ДС. Для соотношений (28) и (29) АКФ, по аналогии с формулой (22), будут иметь вид

КУ)

К

Применение теории вычетов и леммы Жордана [11] позволяет найти выражение для третьей компоненты АКФ с использованием формулы (39) путем вычисления интеграла (26) по корням, лежащим в верхней полуплоскости, а именно:

К(3) (т) = K031)e "Р1Т (31Cos о1т + a31Sin о1т) +

+K02)e "Р2Т

где все коэффициенты вычисляются на основе значений 7j, 72, g1, g2, Q, C2, A, D2.

Следовательно, общая АКФ, включающая компоненты (42)-(44), содержит две частотные составляющие, определяемые значениями о^и a2 :

Куу (т) = (B01Cosа1т + ^01Sin а1т) +

+Ko2e"P2X

где коэффициенты K01, K02, A01, 4)2, B01, B02 вычисляются на основе соответствующих коэффициентов соотношений (42), (43) и (44).

Во временной области АКФ, описываемая формулой (45), представляет собой затухающую косинусоиду с модуляцией амплитуды (рис. 1), что соответствует идентифицированной АКФ по экспериментальным данным [5] (рис. 2).

10т

Рис. 1. Расчетная АКФ

Рис. 2. Экспериментальная АКФ

Заключение

При изменении режима шлифования колец подшипников (подача абразивного круга, частоты вращения круга и заготовки) изменяется вид АКФ, параметры которой связаны с параметрами передаточных функций (3), (24), (25). Отсюда следует, что запас устойчивости ДС станка также изменяется. Определение передаточной функции ДС выполняется на основе идентификации экспериментальной АКФ, что позволяет вычислить запас устойчивости ДС [5-9], а далее по его максимуму выбрать режим шлифования с наибольшей эффективностью.

Таким образом, построенная теоретическая модель АКФ ВА колебаний ДС шлифовального станка адекватна АКФ, полученной по экспериментальным данным, что подтверждает ее соответствие реальным процессам в металлорежущем станке и позволяет обосновать целесообразность ее использования для вычисления передаточной функции ДС станка с последующей оценкой ее запаса устойчивости. Далее, как показано в работах [5, 9], запас устойчивости ДС применяется для назначения эффективного режима обработки колец подшипников.

Библиографический список

1. Кудинов, В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов. - М. : Машиностроение, 1967. - 360 с.

2. Попов, В. И. Динамика станков / В. И. Попов, В. И. Локтев. - Киев : Техника, 1975. - 136 с.

3. Игнатьев, А. А. Мониторинг технологического процесса как элемент системы управления качеством продукции / А. А. Игнатьев, В. В. Горбунов, С. А. Игнатьев. -Саратов : СГТУ, 20009. - 160 с.

4. Risbood, K. A. Prediction of surface roughness and dimensional deviation by measuring cutting forces and vibrations in turning process / K. A. Risbood, U. S. Dixit, A. D. Sahasrabudhe // Journal of Material Processing Technology. - 2003. - Vol. 132. -Р. 203-214.

5. Игнатьев, А. А. Стохастические методы идентификации в динамике станков / А. А. Игнатьев, В. А. Каракозова, С. А. Игнатьев. - Саратов : СГТУ, 2013. - 124 с.

6. Козочкин, М. П. Влияние динамических характеристик станочных узлов на вибрации при резании / М. П. Козочкин // СТИН. - 2014. - № 2. - С. 4-9.

7. Ву, Д. Аналитическая модель динамики резания металлов / Д. Ву, К. Лю // Конструирование и технология машиностроения. - 1985. - № 2. - С. 89-100.

8. Добрынин, С. А. Методы автоматизированного исследования вибраций машин : справочник / С. А. Добрынин, М. С. Фельдман, Г. И. Фирсов. - М. : Машиностроение, 1987. - 224 с.

9. Игнатьев, А. А. Идентификация в динамике станков с использованием стохастических методов / А. А. Игнатьев, В. В. Коновалов, С. А. Игнатьев. - Саратов : СГТУ, 2014. - 92 с.

10. Lin, Z. H. In-process measurement and assessment of dynamic characteristics of machine tool structures / Z. H. Lin // Int. J. Mach. Tools Manufact. - 1988. - Vol. 28, № 2. - P. 93-101.

11. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического регулирования / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. - М. : Наука, 1975. - 768 с.

12. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн ; под ред. И. Г. Арамановича. - М. : Наука, 1984. - 832 с.

References

1. Kudinov V. A. Dinamika stankov [Dynamics of machine tools]. Moscow: Mashi-nostroenie, 1967, 360 p.

2. Popov V. I., Loktev V. I. Dinamika stankov [Dynamics of machine tools]. Kiev: Tekhnika, 1975, 136 p.

3. Ignat'ev A. A., Gorbunov V. V., Ignat'ev S. A. Monitoring tekhnologicheskogo protsessa kak element sistemy upravleniya kachestvom produktsii [Technological process monitoring as an element of the product quality management system]. Saratov: SGTU, 20009, 160 p.

4. Risbood K. A., Dixit U. S., Sahasrabudhe A. D. Journal of Material Processing Technology. 2003, vol. 132, pp. 203-214.

5. Ignat'ev A. A., Karakozova V. A., Ignat'ev S. A. Stokhasticheskie metody identifkatsii v dinamike stankov [Stochastic methods of identification in dynamics of machine tools]. Saratov: SGTU, 2013, 124 p.

6. Kozochkin M. P. STIN. 2014, no. 2, pp. 4-9.

7. Vu D., Lyu K. Konstruirovanie i tekhnologiya mashinostroeniya [Construction and mechanical engineering]. 1985, no. 2, pp. 89-100.

8. Dobrynin S. A., Fel'dman M. S., Firsov G. I. Metody avtomatizirovannogo issledovani-ya vibratsiy mashin: spravochnik [Methods of computer-aided study of machine vibration: a reference book]. Moscow: Mashinostroenie, 1987, 224 p.

9. Ignat'ev A. A., Konovalov V. V., Ignat'ev S. A. Identifikatsiya v dinamike stankov s ispol'zovaniem stokhasticheskikh metodov [Identification of dynamics of machine tools using stochastic methods]. Saratov: SGTU, 2014, 92 p.

10. Lin Z. H. Int. J. Mach. Tools Manufact. 1988, vol. 28, no. 2, pp. 93-101.

11. Besekerskiy V. A., Popov E. P. Teoriya sistem avtomaticheskogo regulirovaniya [The theory of automatic control systems]. Moscow: Nauka, 1975, 768 p.

12. Korn G., Korn T. Spravochnikpo matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Mathematics handbook for researchers and engineers]. Moscow: Nauka, 1984, 832 p.

Игнатьев Александр Анатольевич

доктор технических наук, профессор, кафедра автоматизации, управления, мехатроники, Саратовский государственный технический университет имени Ю. А. Гагарина

E-mail: atpa@sstu.ru

Ignat'ev Aleksandr Anatol'evich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of automation, control, mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Самойлова Елена Михайловна кандидат технических наук, доцент, кафедра автоматизации, управления, мехатроники, Саратовский государственный технический университет имени Ю. А. Гагарина

E-mail: atpa@sstu.ru

Игнатьев Станислав Александрович доктор технических наук, профессор, кафедра автоматизации, управления, мехатроники, Саратовский государственный технический университет имени Ю. А. Гагарина

E-mail: atpa@sstu.ru

Samoylova Elena Mikhaylovna Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of automation, control, mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Ignat'ev Stanislav Aleksandrovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of automation, control, mechatronics, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

УДК 681.5 Игнатьев, А. А.

Применение теории вычетов при построении аналитической модели автокорреляционной функции виброакустических колебаний в динамической системе станка / А. А. Игнатьев, Е. М. Самойлова, С. А. Игнатьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2017. - № 1 (41). - С. 138-151. Б01 10.21685/2072-3059-20171-12