Петр Евгеньевич Товстик (к 70-летию со дня рождения)

МЕХАНИКА

ПЕТР ЕВГЕНЬЕВИЧ ТОВСТИК

28 декабря 2005 года исполнилось 70 лет со дня рождения заведующего кафедрой теоретической и прикладной механики математико-механического факультета доктора физикоматематических наук профессора Петра Евгеньевича ТОВСТИКА.

Вся его жизнь неразрывно связана с математико-механическим факультетом. В 1958 году Петр Евгеньевич с отличием окончил факультет и был оставлен в аспирантуре. После защиты в 1963 году кандидатской диссертации он работал в лаборатории вибраций НИИММ ЛГУ. Защитив в 1968 году докторскую диссертацию, он стал доцентом, а затем профессором кафедры теоретической и прикладной механики. С 1978 года он заведует этой кафедрой.

Первые научные исследования, выполненные П. Е. Товстиком в лаборатории вибраций НИИ математики и механики под руководством заведующего лабораторией доцента Г. Н. Бухаринова, были посвящены колебаниям винтовых пружин. Асимптотический анализ уравнений колебаний криволинейного стержня, имеющего форму винтовой линии, позволил обосновать некоторые явления, наблюдаемые в эксперименте.

Фундаментальные научные результаты, полученные Петром Евгеньевичем, принадлежат к различным областям механики твердого деформируемого тела. Особенно велик его вклад в теорию колебаний и устойчивости тонких оболочек. Для научного стиля П. Е. Товстика характерна умелая постановка задач и изящное их решение с использованием современного математического аппарата. Общие теоретические результаты в его работах неизменно сопровождаются решением доведенных до числа конкретных примеров. При этом следует отметить, что Петр Евгеньевич хорошо знаком с современными компьютерными технологиями и собственноручно составил и отладил множество программ.

© Г. А. Леонов, Н. Ф. Морозов, С. А. Зегжда, В. С. Сабанеев, С. Б. Филиппов, М. П. Юшков, 2006

Свободные колебания тонких оболочек. Исследования П. Е. Товстика в области колебаний оболочек вращения внесли существенный вклад не только в теорию оболочек, но и в теорию асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих интересных для практики случаях классическая асимптотика оказывается непригодной. Это происходит при наличии на промежутке интегрирования так называемых точек поворота, в которых обращается в нуль один из коэффициентов уравнения колебаний. В работах Петра Евгеньевича основное внимание уделяется определению структуры решения в окрестности точек поворота.

В случае осесимметричных колебаний асимптотические выражения для интегралов в окрестности точек поворота построены с помощью эталонных функций, не зависящих от формы оболочки и частоты колебаний. На основании полученных результатов разработан более простой, чем известные ранее, общий метод асимптотического интегрирования целого класса дифференциальных уравнений, включающего уравнение Орра—Зоммерфельда. Найденные асимптотические разложения интегралов использованы для определения частот и форм осесимметричных колебаний оболочки вращения. В частности, для конической оболочки характерной является форма колебаний, изображенная на рис. 1. Пунктирная линия на этом рисунке соответствует точке поворота и является границей зоны интенсивных колебаний.

Рис. 1. Форма осесимметричных колебаний конической оболочки.

При неосесимметричных колебаниях оболочки вращения асимптотическое поведение интегралов существенно зависит от числа волн в окружном направлении. В случае небольшого числа волн точки поворота будут такими же, как и при осесимметричных колебаниях. При большом числе волн происходит качественное изменение асимптотических свойств интегралов. Для этого случая проведен подробных анализ решений, получены приближенные уравнения для определения частот колебаний как при наличии, так и при отсутствии точек поворота.

Перечисленные результаты, а также исследования Петра Евгеньевича по устойчивости оболочек вращения, вошли в его докторскую диссертацию «Свободные колебания и устойчивость оболочек вращения». В 1970 году за цикл работ по теории оболочек он был удостоен первой премии Ленинградского университета.

В дальнейшем были изучены низкочастотные и высокочастотные колебания оболочек вращения. Низкочастотными называются колебания, частоты которых стремятся к нулю вместе с толщиной оболочки. У достаточно тонкой оболочки эти частоты образуют нижнюю часть спектра, представляющую обычно наибольший интерес для приложений. Частоты высокочастотных колебаний стремятся к бесконечности при стремлении толщины оболочки к нулю. Получены приближенные асимптотические формулы для определения частот и форм низкочастотных и высокочастотных колебаний. Кратко

изложенные здесь результаты исследований П. Е. Товстика по теории колебаний оболочек вращения включены им в книгу [1], опубликованную в 1979 году.

В середине 1980-х годов Петром Евгеньевичем был разработан новый эффективный метод приближенного определения низших частот колебаний некруговых цилиндрических и конических оболочек. С его помощью получены решения большого числа задач теории колебаний оболочек, для которых характерна локализация форм колебаний вблизи так называемых наиболее слабых образующих. В частности, для цилиндрической оболочки с косо срезанным краем наиболее слабой оказалась наиболее длинная образующая, а для оболочки в форме эллиптического цилиндра наиболее слабыми являются две образующие, проходящие через концы меньшей оси эллипса (см. рис. 2).

В указанных задачах, как правило, невозможно провести разделение переменных и свести решение уравнений в частных производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Петр Евгеньевич получил приближенное асимптотическое решение краевой задачи для системы уравнений в частных производных путем решения последовательности краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Применению и развитию этого метода посвящены докторские диссертации его учеников Г. И. Михасева и С. Б. Филиппова.

Линейная теория устойчивости тонких оболочек. Задачи устойчивости, рассматриваемые в линейном приближении, по используемому математическому аппарату близки к задачам о свободных колебаниях. И те, и другие сводятся к решению краевых задач на собственные значения. Основное различие заключается в том, что в задачах устойчивости представляют интерес лишь наименьшие собственные значения.

В случае безмоментного начального состояния проведена оценка порядка критических нагрузок и качественный анализ форм потери устойчивости для произвольной гладкой оболочки. Эти оценки служат ориентиром при построении асимптотических разложений и оказываются различными для оболочек положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизны. Проведен также анализ зависимости порядка критической нагрузки от закрепления краев оболочки.

Размеры и расположение вмятин, возникающих на срединной поверхности оболочки при потере устойчивости, зависят от функций, определяющих радиусы кривизны, толщину, начальные безмоментные усилия и др. В классических задачах теории устойчивости оболочек эти функции считаются постоянными, а вмятины покрывают всю срединную поверхность оболочки. Если же определяющие функции меняются при пе-

Рис. 2. Локализованные формы колебаний цилиндрической оболочки с косым краем и оболочки в форме эллиптического цилиндра.

реходе от одной точки срединной поверхности к другой ее точке, то возникает локализация форм потери устойчивости.

В работах П. Е. Товстика изучены три типа локализации. Первый из них характеризуется тем, что вмятины сосредоточены в окрестности некоторой линии на поверхности оболочки. Он встречается в задачах с разделяющимися переменными. Так, например, выпуклые оболочки вращения могут иметь форму потери устойчивости, локализованную между двумя точками поворота. К первому типу относится и задача устойчивости цилиндрической оболочки при неоднородном осевом сжатии, для которой локализация происходит вблизи наиболее слабой образующей цилиндра. Асимптотические разложения решений этих задач получены с помощью одномерного варианта алгоритма В. П. Маслова.

При втором типе локализации малые вмятины сосредоточены вблизи наиболее слабой точки на срединной поверхности. К этому типу относятся задачи устойчивости оболочек при комбинированном нагружении и задача об изгибе моментом цилиндрической оболочки переменной толщины. Асимптотический анализ, основанный на двумерном варианте алгоритма В. П. Маслова, позволил получить в явном виде приближенные формулы для критических нагрузок и обнаружить интересные качественные особенности форм потери устойчивости.

Третий тип локализации возможен у оболочек нулевой гауссовой кривизны (конических и цилиндрических) и сопровождается образованием вмятин, вытянутых вдоль наиболее слабой образующей (см. рис. 2). Новый метод асимптотического интегрирования, предложенный Петром Евгеньевичем, позволил получить простые приближенные решения множества актуальных задач теории устойчивости оболочек, для которых ранее были известны лишь отдельные численные результаты.

В работах Петра Евгеньевича рассмотрены также такие задачи потери устойчивости, при которых вмятины локализуются в окрестности слабо закрепленного края и экспоненциально убывают при удалении от него. Впервые эффект снижения критической нагрузки при сжатии пластины в связи с наличием свободного края был обнаружен академиком А. Ю. Ишлинским. Для оболочек этот эффект проявляется значительно сильнее, чем для пластин.

Результаты своих исследований по теории устойчивости оболочек Петр Евгеньевич изложил в монографиях [2] и [3]. В 1998 году за труды по теории оболочек ему присуждена Государственная премия РФ. В том же году П. Е. Товстику присвоено звание «Заслуженный деятель науки РФ».

Нелинейная теория оболочек. Погрешность линейной теории оболочек имеет порядок безразмерной толщины оболочки. В нелинейных задачах погрешность теории оболочек возрастает с увеличением деформаций, причем основную неточность вносят соотношения упругости, связывающие усилия и моменты с деформациями. В работах П. Е. Товстика из трехмерных уравнений теории упругости выведены уточненные соотношения упругости, при использовании которых погрешность нелинейной теории оболочек имеет порядок безразмерной толщины оболочки в достаточно широком диапазоне изменения деформаций. Уточненные соотношения упругости позволили, в частности, исследовать большие осесимметричные деформации оболочки вращения.

На рис. 3 слева показана форма меридиана оболочки до (сплошная линия) и после (пунктир) деформации под действием силы Р. Ее зависимость от осевого укорочения оболочки Д схематически изображена на рис. 3 справа. В точке А сжимающая сила максимальна. Дальнейшее увеличение Д приводит к уменьшению силы Р. Выбор соотношений упругости не оказывает существенного влияния на величину си-

Рис. 3. Осесимметричное деформирование оболочки вращения.

лы Ра, соответствующей точке А. Для силы Рв, соответствующей точке В, главный член асимптотического разложения оказывается равным нулю, и выбор соотношений упругости играет решающую роль при ее вычислении. Использование недостаточно точных соотношений упругости, основанных на использовании модифицированных гипотез Кирхгофа—Лява, может привести к завышению истинного значения силы Рв более, чем на 40%.

Уточненные соотношения упругости являются новым фундаментальным результатом нелинейной теории оболочек. Они вошли в монографию [4], за которую ее авторам и, в том числе, Петру Евгеньевичу в 2002 году присуждена Университетская премия первой степени.

Прикладные задачи. Научные интересы П.Е.Товстика никогда не ограничивались исследованиями в области теории оболочек. Долгие годы он руководил многочисленными и разнообразными хоздоговорными работами, выполняемыми в том числе и по Постановлениям правительства СССР. Удивительная интуиция помогает ему сразу же выделить основные черты изучаемой механической системы и создать для нее превосходную математическую модель. Многие его труды посвящены решению самых разнообразных прикладных задач механики. Отметим здесь только некоторые из них.

В рамках многолетнего сотрудничества с ГОИ выполнен большой цикл работ, связанных с расчетом облегченных металлических зеркал телескопов. Зеркало телескопа моделировалось кольцевой слоистой пластиной переменной толщины. Для успешной эксплуатации телескопа должны быть выполнены очень жесткие ограничения на прогиб отражающей поверхности зеркала, который существенно зависит от расположения точек крепления опор зеркала. Разработаны приближенные методы расчета дефома-ции зеркал, а также методы определения оптимального расположения опор. Основные результаты этих исследований отражены в монографии [5].

В 1992 году в связи с задачей расчета кварцевых резонаторов Петр Евгеньевич проанализировал сложную проблему определения высокочастотного спектра пластины переменной толщины. Используя асимптотический подход к трехмерным динамическим уравнениям теории упругости, он нашел высокочастотные формы колебаний пластины, локализованные в окрестности максимума ее толщины [6].

С 1994 Петр Евгеньевич принимает активное участие в построении механических моделей глаза. Предложенные им модели используются при разработке методики хирургических глазных операций, описания процессов развития патологических изменений глаза, различных способов измерения внутриглазного давления. Некоторые результаты, полученные им в этой области, отражены в монографии [7].

В 2001 году П. Е. Товстик по инициативе Института истории искусств был привлечен к исследованию проблемы оптимизации формы русского колокола. Для решения

этой сложной и многогранной проблемы был предложен эффективный вычислительный алгоритм, позволяющий определить влияние геометрической формы колокола на тембр его звучания [8].

При исследовании нелинейных колебаний, описываемых уравнением Дуффинга, наряду с периодическими решениями Петр Евгеньевич обнаружил решения типа «странный аттрактор». Найдены их вероятностные характеристики. Изучено движение центрифуги на воздушной подушке под действием случайных импульсов. Проведен анализ нелинейных колебаний стержневых конструкций, находящихся под действием случайного волнового давления. Анализ ориентирован на проектирование и расчет морских стационарных платформ.

Неклассические модели в теории оболочек. В последние годы внимание Петра Евгеньевича привлекают неклассические модели в задачах динамики и устойчивости тонких оболочек. К ним относятся модели многослойных оболочек, оболочек армированных нитями и оболочек, лежащих на упругом основании.

Уточненные соотношения упругости, выведенные первоначально для однослойных оболочек [3], получены теперь и для многослойных оболочек. Проведено сравнение двумерной и трехмерной теорий многослойных оболочек, исследована устойчивость многослойной оболочки при осевом сжатии.

П. Е. Товстиком разработана двумерная теория анизотропных оболочек вращения, армированных нелинейно упругими нитями, не воспринимающими сжимающих усилий. В качестве примера решена задача о равновесии цилиндрической оболочки под действием равномерного внутреннего давления. Анизотропия проявляется в окрестности краев оболочки, где имеют место деформации сжатия.

При локальном подходе к задачам устойчивости переменные коэффициенты уравнений замораживаются, граничные условия игнорируются, а решение ищется в виде двояко-периодической функции. При определенных ограничениях этот подход дает хорошее приближение к точному решению задачи. Локальный подход использован П. Е. Товстиком при исследовании устойчивости оболочек и пластин, лежащих на упругом основании [9]. Для ряда задач получены явные аналитические решения. Основной качественный результат состоит в том, что для оболочек на упругом основании область применимости локального подхода существенно шире, чем при отсутствии основания.

Заключение. П.Е. Товстику принадлежит около 200 научных публикаций, в том числе 6 монографий, а также три учебных пособия по асимптотическим методам [10]-[12]. Петр Евгеньевич создал научную школу по применению асимптотических методов для изучения колебаний и устойчивости тонких оболочек. Среди его учеников 5 докторов наук и около 30-и кандидатов наук.

Петр Евгеньевич всегда вел большую научно-организационную работу. В настоящее время он является членом Национального комитета России по теоретической и прикладной механике, председателем секции теоретической механики имени Н. Н. Поляхо-ва Санкт-Петербургского Дома ученых РАН, ответственным редактором серии математика, механика, астрономия журнала «Вестник Санкт-Петербургского университета» и межвузовского сборника «Прикладная механика», председателем специализированного ученого совета по защите докторских диссертаций, Председателем методической комиссии математико-механического факультета, членом Ученого Совета Санкт-Петербургского университета.

Петр Евгеньевич награжден орденом Почета, Почетным знаком «За отличные успехи в работе в области высшего образования СССР» и Почетной грамотой университета «За педагогическое мастерство и подготовку научных кадров». Следует отметить, что

полученные им награды и премии Петр Евгеньевич не считает личной заслугой, а воспринимает их как положительную оценку деятельности всей кафедры.

Руководя ученым советом, принимающим к защите докторские и кандидатские диссертаций по трем основным направлениям механики, Петр Евгеньевич тщательно изучает все подаваемые в совет диссертации и дает им точную и объективную оценку. При обнаружении в работе недостатков он объясняет соискателю, как их следует устранить. Это относится не только к диссертациям, но и к статьям для журнала «Вестник СПб-ГУ» и сборника «Прикладная механика». Так исключительно ответственно и всегда доброжелательно по отношению к авторам Петр Евгеньевич выполняет свои обязанности ответственного редактора. Редактировать ему приходится не только периодические издания, но и монографии, посвященные различным разделам механики, а также учебники и учебные пособия.

Петр Евгеньевич обладает энциклопедическими знаниями почти во всех разделах современной механики. Его эрудиция постоянно расширяется и углубляется благодаря постоянным контактам с коллегами. К нему обращаются за консультациями не только аспиранты, сотрудники кафедры и факультета, но даже совершенно посторонние люди. И все они получают четкие и ясные ответы на свои вопросы. Не удивительно, что Петр Евгеньевич пользуется большим авторитетом у всех, кто его знает.

Петр Евгеньевич встретил свой юбилей в расцвете творческих сил. Желаем дорогому Петру Евгеньевичу счастья в личной жизни, дальнейших научных успехов и здоровья.

Summary

G. A. Leonov, N. F. Morozov, S. A. Zegzhda, V. S. Sabaneev, S. B. Filippov, M. P. Yushkov. Petr Evgenievich Tovstik (dedicated to his 70th anniversary).

Because of the 70th anniversary of Professor Petr E. Tovstik his most important results in the theory of shells are outlined.

Литература

1. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979. 384 с.

2. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

3. Tovstik P.E., Smirnov A. L. Asymptotic methods in the buckling theory of elastic Shells. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific Publishing Co Ltd., 2001. 347 p.

4. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд. СПбГУ, 2002. 388 с.

5. Бауэр С. М., Ковалев А. М., Петров М. Б., Тихомиров В. В., Товстик П.Е., Ули-тин М. И., Филиппов С. Б. Расчет и оптимизация металлических зеркал телескопов. СПб.: Изд. СПбГУ, 1997, 228 с.

6. Товстик П. Е. Свободные высокочастотные колебания пластин переменной толщины // Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 1994. №4. С. 162-170.

7. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 92 с.

8. Зегжда С. А., Товстик П. Е., Черняев С. П. Математическая модель колебаний колокола // Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2002, вып. 3. С. 81-88.

9. Товстик П. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании // Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 2005. №1. С. 147-160.

10. Bauer S. M., Filippov S. B., Smirnov A. L., Tovstik P. E. Asymptotic methods in mechanics with applications to thin shells and plates // Asymptotic methods in mechanics, CRM Proc. and Lect. Notes, R. Vaillacourt, A. L. Smirnov, eds., AMS, Providence, Rhode Island USA, 1993. P. 3140.

11. Товстик П. Е., Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. 188 c.

12. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в примерах и задачах. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1997. 276 с.

Г. А. Леонов, Н. Ф. Морозов, С. А. Зегжда, В. С. Сабанеев, С. Б. Филиппов, М. П. Юшков