Блочное решение алгебраических уравнений при расчётах электрических сетей и систем

Проведенные исследования свидетельствуют о возможности создания САО с последовательной процедурой, успешно функционирующей в условиях сильных помех при наличии существенной инерционности ОУ и возможности изменения режима работы объекта.

Практическая полезность проведенных исследований состоит в том, что разработанные алгоритмы САО могут быть использованы при управлении реальными объектами энергетики. При этом для исследования характеристик и выбора параметров алгоритмов может быть использован метод имитационного моделирования САО, реализованный в системе [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самонастраивающиеся системы. Справочник. / Под ред. П.И. Чинаева. -Киев: Наукова думка, 1969.

2. Методы робастного нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред.

Н.Д.Егупова. - М.: Изд -во. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002.

3. Молчанов А.Ю. Финаев В.И. Адаптивная система автоматической оптимизации с нечеткими процедурами / Материалы конференции С-2003 “Системный подход в науках о природе, человеке и технике”. Ч. 5.-Таганрог: ТРТУ, 2003.

4. Казакевич В.В., Родов А.Б. Системы автоматической оптимизации. -М.:”Энергия”, 1977, 288 с.

5. Вальд А. Последовательный анализ.- М.:ГИФМЛ, 1960.

6. Финаев В.И., Молчанов А.Ю. Метод моделирования самонастраивающихся систем управления / Известия ТРТУ. Специальный выпуск. Таганрог: ТРТУ, 2004, №1.

7. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974.

М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко

БЛОЧНОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАСЧЁТАХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ И СИСТЕМ

Введение. Во многих проектных задачах часто необходимо находить ряд решений, отличающихся друг от друга небольшими изменениями проектных данных. В эксплуатационных задачах энергетических систем, например, конфигурация в сети на заданный период времени считается неизменной, если не считать ремонтного или аварийного отключения линий. Для обеспечения надежности системы необходимо убедиться, что при отключении одной или более линий в исходной схеме электрической сети не произойдет перегрузки оставшихся в работе линий. Эта и подобные ей задачи требуют получения нескольких решений при небольших изменениях в исходной сети. Особенно часто такие задачи возникают при оперативном управлении электрической сети.

В этих случаях результаты можно получить путем последовательного изменения матрицы коэффициентов исходной системы уравнений и ее решения с помощью известных стандартных алгоритмов [1 - 11]. Однако такой подход требует больших затрат времени на вычисления.

Если каждый новый вариант отличается от предыдущего изменением небольшого количества параметров сети, то можно использовать другой подход, основанный на так называемым методе канонизации решения алгебраических уравнений.

В работе [12] предложен оригинальный метод решения произвольных матричных уравнений, основанный на приведении преобразуемой матрицы к каноническим базисам [13]. Этот метод, с одной стороны, отличается от известных методов (псевдообращения, обобщенного обращения, спектрального разложения и т.д.) существенной простотой, а с другой стороны, позволяет значительно углубиться в исследование свойств матриц как таковых и решения матричных уравнений в общем виде.

Данная работа посвящена дальнейшему развитию метода канонизации в отношении блочных матриц, к которым неприменимы известные формулы Фробениуса и Шура [14], и применению его к решению электроэнергетических задач.

1. Основные положения метода канонизации. Канонизацией матриц названо представление любой матрицы А размера Ж X П и ранга г в виде не обязательно единственной тройки матриц:

А аь,А,ая

где ль и ЛК - левый и правый делители нуля максимального ранга для

исходной матрицы, Л - сводный канонизатор этой матрицы, вычисляемый как произведение правого и левого ее канонизаторов по формуле:

ЇЯ

А = А ЯАЬ.

По определению делители нуля максимального ранга и канонизаторы вместе удовлетворяют следующему тождеству в блочной записи:

А

Ь

Аь

А

А

Я

А*

I 0

г

0 0

Здесь /г - единичная матрица размера Г X Г .

В [12] изложен эффективный способ одновременного формирования делителей нуля и канонизаторов. В соответствии с этим способом матрица А дополняется двумя единичными матрицами слева и снизу, так что получается конструкция типа планшета:

1ш К» І I.

Затем выполняются элементарные преобразования строк и столбцов матрицы А с одновременным преобразованием входящих в конструкцию единичных матриц. Цель такого преобразования - привести матрицу А к каноническим базисам:

їЬ

г х т

~АЬ

(т - г) х т

0.

(т - г) х г

0

г х

0

їг

п х г

АГ

п х

Тогда блоки первоначально единичных матриц напротив (по строкам или столбцам) нулевых блоков правой верхней матрицы будут содержать делители

и Аг

а блоки напротив единичной матрицы -

нуля максимального ранга А

канонизаторы АЬ и АК .

В частных случаях отсутствия у матрицы одного из делителей нуля (мы будем приравнивать такой делитель нулю, хотя, строго говоря, соответствующий блок содержит нулевое число строк или столбцов [15]) сводный канонизатор принимает значение одностороннего делителя единицы, т.е.

ААг = /

АЬА = / .\

где по определению - ~т “ ~ -п.

Принципиальным является то, что канонизация матриц путем повторного ее выполнения позволяет придать процедурам и результатам решения матричных уравнений аналитический характер. Ниже в табличной форме приведены условия разрешимости и формульное представление решений некоторых широко распространенных матричных уравнений.

Таблица 1.

Условия разрешимости и формульное представление решений уравнений

Вид уравнения Условия разреши- мости Формульное представление

название формула

Левостороннее АХ = В АЬВ = 0 {Х }» = АВ + Агм

Правостороннее ХС = В вСг = 0 {х },= вС+С

Двустороннее АХС = В АЬВ = 0 вСг = 0 {X} = АВС + Лг» + ^С1

Обертывающее АХ + ЇВ = С АСВг = 0 {X }м = АСВг (Вг )Ь + ф + Аг» {у }М==Ь )гАЬСВ+ +А[ АйВ-,]+рВЬ,

Б = С—СВ* (В* )1 — (А1 )КЛ1С

Здесь буквами /л, 7 и р обозначены матрицы подходящих размеров с произвольными элементами, фигурными скобками выделены множества эквивалентных решений, все элементы которых порождаются варьированием указанных в нижнем индексе матриц.

2. Обращение блочной матрицы. Рассмотрим обратимую квадратную матрицу А размера П X П, которую произвольным образом разобьем на два блока строчного вида (в каждом блоке число строк меньше числа столбцов):

Л =

'А А

Пусть для определенности первый блок содержит к строк, к Є [1, П — 1] .

Поскольку все строки обратимой матрицы А линейно независимы, то при любом ее разбиении на блоки имеют место тождества:

АIі = 0, А; = 0.

Относительно же правых делителей нуля этих блоков сформулируем лемму.

Лемма. Если матрица А обратима, то при произвольном ее разбиении на

строчечные блоки типа (7) квадратные матрицы Л^А* и А.А' обратимы, т. е. справедливы неравенства:

йєї(ЛА ) Ф 0, йєї(А2А* ) ^ 0.

Доказательство леммы. Матрица

А I Ая'

составленная из односторонних канонизатора и делителя нуля максимального ранга, всегда обратима как матрица преобразования базиса по типу (3) в «-мерном пространстве.

Умножим матрицу А (7) справа на матрицу (10), в результате чего получим:

'А

А

Ак  А*

Л2 : Л2

'А а* \Л А*" " А Л* | а л2* "

А Л* |Л Л? _ 1п—к І 0(п—к)хк

(п—к )хк получен на основе определения

Здесь нулевой блок 0

случая отсутствия у блока А левого делителя нуля.

В силу обратимости сомножителей матрица (11) тоже обратима. Вычисляя определитель этой матрицы, получаем

л л*

і

—к

= — ёе< ЛА) * 0,

что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается второе неравенство (9). Доказательство леммы закончено.

Теперь сформулируем основной результат по обращению блочных матриц.

Теорема. Если обратимая матрица А разбита произвольным образом на блоки в соответствии с формулой

А=

'А

А

то ее обратная матрица имеет блочную структуру

Л'' = [¥. \¥, ]

где каждый из блоков ¥г независимо определяется любой из следующих формул: • на основе канонизации первого блока исходной матрицы:

— п\—1

^1 =

ІП — Л (Л2 л )— А

¥2 = Л (Л2Л" )"',

на основе канонизации второго блока исходной матрицы:

¥

А* ( Л, Л* )"',

І„ — Л* (Л Л)—1Л

А.

Доказательство теоремы. По определению, обратной для невырожденной матрицы А является матрица 2, удовлетворяющая тождеству:

Л¥ = Т .

Доказательство будем осуществлять путем формирования решения уравнения (17) относительно матрицы ¥.

Будем полагать, что обратная матрица разбита на столбцовые блоки (в каждом блоке число столбцов меньше числа строк):

¥ = [¥. ! ¥2 ]

размеры которых согласованы с размерами блоков матрицы А, т.е. первый блок содержит к столбцов.

Подстановка (7) и (18) в тождество (17) дает в блочной записи тождество

Л¥1 \А¥ 2 Ік : 0кх

Л2¥1 |Л2¥ 2 _ 0( п—к)хк | Іп—к

или систему из четырех матричных тождеств:

Л¥ = Ік, Л¥ = 0, Л2¥1 = 0, Л2¥2 = Іп_к.

Первое тождество (20) будем рассматривать как левостороннее уравнение

относительно матричного блока ¥1. Поскольку у матричного блока А1 все строки

линейно независимы, то в соответствии с таблицей это уравнение разрешимо всегда, а все множество его решений с учетом соотношений (6) определяется формулой

{¥1^ = Л + А*P, Р = УаГ.

Подстановка этого решения в третье тождество (20) и соответствующая перестановка слагаемых дают всегда разрешимое (в силу утверждения леммы) левостороннее уравнение

Л2 Л1 р = А2 Л1

относительно матрицы р, единственное решение которого определяется формулой

Р=~

Подставив (23) в решение (21), получим одну из возможных формул для первого блока обратной матрицы

¥ 1 =

Іп—Л (Л2 л )—1Л2

Л1

использующую результаты канонизации первого блока матрицы А.

Теперь рассмотрим третье тождество (20) как левостороннее уравнение

относительно матричного блока ^. На основании линейной независимости строк матричного блока А это уравнение тоже разрешимо всегда, а его решение имеет вид

Й }Р= М = var.

Подставим решение (25) в первое тождество (20), в результате получим уравнение

Л Ам=І

к

для матрицы /л. В силу утверждения доказанной леммы это уравнение всегда разрешимо, и его единственное решение имеет значение

и = і aar )-''. <27>

Подставив (27) в решение (25), получим другую возможную формулу для первого блока обратной матрицы:

Т; = AR і A; AR )-1.

использующую результаты канонизации второго блока матрицы А.

Аналогично получаются две формулы для второго блока обратной матрицы 2. Доказательство теоремы закончено.

Таким образом, комбинируя записи (13) - (16), можно получить четыре различные равносильные формулы для обратной матрицы.

Нужно отметить, что, несмотря на неединственность матриц А1 , А^ и А ,

~~Л К.

А2 , матрицы (13) - (16) всегда оказываются единственными. Покажем это на

формуле (13). Все множество правых делителей нуля максимального ранга порождается формулой

{AR } = AR3, З = var, det3 ^ 0.

^ 0.

Подстановкой (29) в (13) можно убедиться в том, что результат вычислений не зависит от выбора произвольной обратимой матрицы 3. Множество же правых делителей единицы порождается формулой

| A } = A + AR-, - = var.

Подстановка (30) в формулу (13) дает результат:

Z = К - AR(AAR)-1 а}( A + aR-) = = A + aRi-aR (aaR )-1 a2 (a + aR- =

=A - aR (A aR )- AA - AR (AAr )- АД" -+aR-

' V '

I

который очевидным образом независимо от значения матрицы - приводится к виду (13).

Аналогичный с учетом симметрии результат может быть сформулирован для случая разбиения обратимой матрицы A на столбцовые блоки.

3. Рекурсивное решение матричных уравнений. Решение уравнения

AX = B

с обратимой матрицей A всегда существует единственно и выражается формулой

X = A- 1B.

Мы же будем полагать, что матрицы А и В с размерами П X П и П X т представлены в блочном виде:

А =

Г А1 , в = " В1"

_ А2 _ 5 _ в2 _

т.е.

Г А1 Г В1

X =

_ А2 _ _ в2 _

где первые блоки для определенности содержат по к строк.

Осуществим последовательное решение двух уравнений, вытекающих из (32), (33). Возьмем левостороннее уравнение:

АХ = в,

которое в соответствии с таблицей и линейной независимостью строк матрицы А всегда разрешимо. Для решения такого уравнения справедлива формула

{X = АВ + А*Л, Ц = Уаг

с произвольной матрицей л размера (П — к) X т . Это решение по определению должно удовлетворять другому уравнению:

АХ = в,

вытекающему из (32) и (33). Соответствующая подстановка дает равенство

А2 (А1В1 + А*л) = В2 ,

которое приводится к записи левостороннего уравнения:

7 я

А А*л = в2 — А АВ

относительно матрицы л

Итак, если найдется матрица л, удовлетворяющая уравнению (38), то с учетом значения этой матрицы формула (36) будет давать решение исходного уравнения (31).

С учетом леммы можно утверждать, что уравнение (38) разрешимо всегда, а формула решения уравнения (31) имеет вид

л = ( А_ А*)—1 (в2 — а2 Дв).

Подставляя (39) в формулу (36), получим окончательную формулу для решения уравнения (31):

X

Л - А1 (л2 л? )—1 л2 А | л? (л2 л? )—1

В

в'

4. Объединение решений двух уравнений. Другой путь получения аналогичных формул связан с объединением (определением пересечения) решений уравнений (35) и (37). Каждое из этих уравнений всегда разрешимо, а множества их решений определяются формулами:

{X }Ц = А В1 + Л^ц, ц = уаг,

{Х V = А2 В2 + ^ V = УаГ •

Для определения пересечения этих решений приравняем их. В результате получим равенство

А1 В + А\ Л~ А В + А 7

которое можно записать в виде левостороннего блочного уравнения:

[- А1IА? ]

Ц Г В1

= _ А - А

V 2 [ в2 _

для матриц л и 7 . Умножая это уравнение слева на обратимую матрицу А, приводим его к виду

0 \ А А1" ц А А А1Л2 г в

Л2 А1 1 о V — Л2 А1 Л2 Л2 в ю

откуда с учетом леммы и тождеств (6) следуют значения произвольных матриц:

ц —(А А1 )—1 л2 Лі (А а1)—1 л2 А В'

V (АЛ) 1А Л —(А Л2)—1 а Л2 [ В2

соответствующих пересечению решений (23).

Подстановка матриц л и 7 из (43) в формулы (41) с учетом утверждения леммы дает формулы решения блочного уравнения (34).

5. Решение уравнений общего вида. Теперь перейдем к более сложному случаю необратимой матрицы А. Тогда в соответствии с таблицей уравнение (31) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется условие:

А1 В = 0.

При этом исчерпывающее решение записывается формулой

>

{X} = АВ + Акр, р = уаг

заменяющей (32), где р- произвольная матрица подходящего размера.

В этом случае для разрешимости уравнения (35) и справедливости формулы (36) необходимо и достаточно выполнения условия:

А1 В = о •

В свою очередь разрешимость уравнения (39) по таблице связана с выполнением условия:

А Ак (В - Л АВ) = о.

Если же и это условие выполняется, то можно записать формулу

{ц}р = А А ~(В - 4АВ,)+А А* р,

для всех значений матрицы л, при которых решение (36) одновременно удовлетворяет уравнениям (41).

Само же решение в соответствии с таблицей записывается в виде

{X }р=ГД - Ай а? А А і А

В,

В'

+А? А А? р.

Аналогичные с учетом симметрии формулы могут быть получены для случая разбиения необратимой матрицы на столбцовые блоки.

6. Примеры. Пример 1. Решение балансового уравнения. Рассмотрим простой пример. Пусть задано матричное уравнение баланса ЭЭС с блочным разбиением по строкам:

"1 2 0" "Х1" "1"

0 1 2 х2 = 1

1 0 1 х 0

Решение этого уравнения по формуле (32) имеет значение

х1 "1 2 0" -1 Т 1 "1 - 2 4 ' Т 1 -1"

х = 0 1 2 1 1 2 1 -2 1 1 3

= 5 = 5

_ Х3 _ 1 0 1 0 -1 2 1 0 1

Осуществляя канонизацию первого блока матрицы коэффициентов, получим значения:

[Р 2 0] =

"1"

, ' 2 0'

0 [1 2 0] = -1 0

0 0 1

Можно убедиться в справедливости утверждения леммы:

А {

А

з/ V V "

"1 2 0" іл \ іл ' з "1 2 0

0 1 2 4/ з/ _ 2/ /5 /5 /5 = 2 _1 0

1 0 1 у _ 4/ 1/ _/5 /5 /5 _ 0 0 1

И .

(А1)т

Теперь воспользуемся формулами (13) - (14) для обращения матрицы А:

A- =

ґ ' 2 0" 1 2' -і '0 1 2' Л '1' '2 0' '-1 2' -1

ь _ _1 0 0 -1 0.

_ 2 1. 1 0 1_ _2 1.

0 1 / 0 0 1

Уъ _ 2/ /5 4/ /5

2/ /5 Уъ _ 2/ /5

_ У5 2/ /5 Уъ

в результате чего получаем то же самое решение:

X.! У _ 2/ /5 V " /5 "1" _ 1 = 5 "_1

х2 = 2/ /5 X _ V /5 1 з

__ Уъ 2/ /5 Уъ. 0 1

Выполняя аналогичные вычисления, можно убедиться, что выбор другого очевидного значения канонизатора

" 0

[?2 0] =

0

для первой строки матрицы А не изменяет значения получаемого решения уравнения.

Пример 2. Рекурсивное решение балансового уравнения. На основе формул решения уравнения общего вида можно построить следующую процедуру решения матричного уравнения. Первые блоки (строки) матриц исходного уравнения из примера 1 будем рассматривать в качестве уравнения:

[1 2 о]

=1

которое всегда разрешимо, и его решение определяется формулой:

і 1(1) РІ =

1" " 2 0"

0 1+ _1 0 М

0 0 1 М .

При этом уравнение (38) принимает вид:

т

"2 0" "1"

"0 1 2" М" "1" "0 1 2"

-1 0 — - 0

1 0 1 0 1 М _ 0 1 0 1 0

или

'-1 2" М " 1 '

2 1 М2 _ -1

Как видно, размерность этого уравнения по сравнению с исходной задачей снижена на единицу. Путем обращения матрицы

Л AR =

получим требуемое значение матрицы /л:

а затем и собственно решение:

-1 2

2 1

М 1 '-З"

М _ — 5 1

" Х1" Т 1 " 2 0" "-3" 1 "-1"

х — 0 1 + - -1 0 3

2 5 1 — 5

х 0 0 1 1

— R

Однако можно поступить иначе и не обращать матрицу Л2Л1 . Выпишем уравнения для матриц Ц\ и Ц2 первую строку:

из

[-1 2]

.^2

— 1 -

Это уравнение тоже всегда разрешимо, и множество его решений имеет вид:

МГ =

“-1“ + “2"

1 0 1 1

Р-

По аналогии с предыдущим шагом можно получить условие на скаляр р:

[2 1]

р = -1 -[2 1]

-1

0

или

5р = 1,

откуда следует значение р = 1/5. Последовательная подстановка дает то же самое решение исходного уравнения.

1

Пример 3. Решение вырожденного уравнения. Рассмотрим матричное уравнение:

"1 0 1" " х1" "4"

1 2 1 х2 - 2

2 2 2 х 6

у которого в отличие от примера 1 матрица коэффициентов вырождена. Уравнение:

[1 0 1]

х,

составленное из первых строк исходного уравнения, разрешимо всегда, а его множество решений имеет вид

Мм =

4" " 1 0"

0 + 0 1

0 -1 0 .М2 _

~~7 8

Вычислим матрицу А2А1 и полним ее канонизацию:

А А8 -А2А1 -

" 1 0"

"1 2 1" 0 1 - "0 2"

2 2 2 0 2

-1 0

(

А2 А1 А2 А1 ) ’ А2 А1

ДЛ

(

Теперь проверим выполнение условия (47):

[1 -1].

0 0 >2 0.

АА (Я, - 4АД)-[1 -1]

Ґ " 4" Л

2 "1 2 1"

- 0

6 2 2 2

V 0

- 0.

Следовательно, исходное уравнение разрешимо. Произвольные элементы формулы (48) принимают значения:

&} =

Ґ "4" Л

0 0 "2" "1 2 1“ 0 "1" р

X 0 - + р-

_/ 2 _ V

а собственно все множество решений выражается формулой:

"4" ' 1 0" 4 +

0 + 0 1 <р -1

-1

0 -1 0 _ -, _

с произвольным элементом р. Подстановкой можно убедиться в том, что это действительно решение исходного уравнения.

Заключение. В работе представлены различные приложения оригинального метода блочного решения произвольных матричных уравнений, возникающих в электроэнергетике. Его основанием являются эквивалентные преобразования преобразуемой матрицы к каноническим базисам.

9.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК ВаляхЕ. Последовательно-параллельные вычисления. - М.: Мир, 1985. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высш. шк., 1994.

Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения уравнений. - М.: Физматгиз, 1960.

Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2000.

Penrose R.A. A generalized inverse for matrices // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955. V. 51. P. 406 - 413.

Rothblum U.G. Computation of the eigenprojection of a nonnegative matrix at its spectral radius // Math. Prog. Study. 1976. V. 6. P. 188 - 201.

Ben-Israel A., Grevile N.T.E. Generalized Inverses: Theory and Applications. -N.Y.: Willey, 1974.

Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике / Перев. с англ. и научн. ред-е Е.М. Четыркина, Р.М. Энтова. - М.: Статистика, 1974.

Goldman A.J., Zelen M. Weak generalized isnverses and minimum variance linear unbiased estimators // J. Res. Nat. Bur. of Standards. 1964. V. 68B. P. 151 - 172.

10. Судаков Р.С. Теория псевдополуобратных матриц и ее применение к задачам оценки надежности. - М.: Знание, 1981.

11.Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ/ Пер. с англ. - М.: Мир, 1989.

12. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В., Зыбин Е.Ю. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации // Вестник Киевского университета. Сер. Физико-математические науки. Вып. 1. - Киев: Изд-во Киевского нац. ун-та, 2002. С. 19 - 28.

13. Петрова В. Т. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для вузов. В 2-х ч. -М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.

15. Бондаренко В.М., Дрозд Ю.А. Представленческий тип конечных групп. Модули и представления // Записки научн. семинаров ЛОМИ. 1977. Т. 71.-С. 24 - 42.

16. Тауфер И. Решение граничных задач для дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1981.

систем линейных