Дистрибутивные группоиды для узлов в проективном пространстве

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Д. В. ГОРКОВЕЦ

ДИСТРИБУТИВНЫЕ ГРУППОИДЫ ДЛЯ УЗЛОВ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ1

В статье предлагается подход к построению дистрибутивного группоида для узла в случае проективного пространства, а также доказательство факта, что узел полностью характеризуется своим группоидом. Группоид узла служит для построения других инвариантов узла.

Ключевые слова: дистрибутивный группоид, проективное пространство.

Введение

Дистрибутивные группоиды введены С. В. Матвеевым в статье [1] и независимо Д. Джойсом [2]. В статье [1] каждому нормально ориентированному узлу в 53 сопоставляется дистрибутивный группоид и доказывается, что два узла в 53 эквивалентны тогда и только тогда, когда их группоиды изоморфны.

Теория узлов в МР3 была заложена Ю. В. Дроботухиной в статье [3], где, в частности, были заданы диаграммы зацеплений в МР3 и введены дополнительные преобразования Райдемайстера.

Настоящая статья посвящена доказательству следующей теоремы.

Теорема 1. Два узла в МР3 эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им дистрибутивные группоиды изоморфны.

1. Геометрический группоид узла

Определение 1. Множество Г с бинарной операцией о называется группоидом, если для произвольных элементов а, Ь, с £ Г выполняются следующие аксиомы:

1) уравнение х о а = Ь имеет единственное решение (левообратимость);

2) а о а = а (идемпотентность);

3) (а о Ь) о с = (а о с) о (Ь о с) (праводистрибутивность).

Левая обратная операция к операции о в дистрибутивном группоиде Г обозначается через /.

Пример 1. Пусть О — произвольная группа и п — целое число. Тогда О относительно операции а о Ь = ЬпаЬ-п является дистрибутивным группоидом. Этот группоид обозначается через О(п).

Пусть С — категория дистрибутивных группоидов, где объектами являются группоиды, а морфизмами — гомоморфизмы группоидов. Пусть Р : Со ^ С — функтор из некоторой категории С0 в категорию С.

1Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 07-01-96026-р_урал_а ).

Определение 2. [1] Объект А £ ОЬ С ассоциирован с группоидом Г с помощью гомоморфизма /0 : Г ^ Р(А), если для любого другого объекта В £ ОЬ С и другого гомоморфизма / : Г ^ Р(В) существует и единственен такой гомоморфизм Н : А ^ В, что / = Р(/

Пусть Г — группоид и О — группа, ассоциированная с Г с помощью некоторого гомоморфизма /0 : Г ^ Р(О). Введем действие элементов ассоциированной группы на группоид. Пусть д £ О, в £ Г, тогда д(в) = в о х, где д = /0(х).

Определение 3. Двухкомпонентным группоидом относительно ассоциированной группы О называется группоид Г, все элементы которого можно разбить на два непересекающихся класса, являющихся орбитами некоторых элементов а1, а2 £ Г, то есть формально Г = Г1 и Г2, где Г1 = О(а1), Г2 = О(а2).

Пусть дан двухкомпонентный группоид Г = Г1 и Г2 и О — группа, ассоциированная с ним с помощью гомоморфизма /0. Обозначим через Н группу, порожденную образами элементов группоида Г2 при отображении /0. Так как /0 — гомоморфизм, то Н = (/0(Г2)) < О.

На группоиде Г1 введем отношение эквивалентности, согласно которому для х1 , х2 £ Г1 выполняется

(х1 ~ х2) ^ (ЗН £ Н х2 = Н(х1)).

Определение 4. Пусть Г = Г1 и Г2. Факторгруппоидом группоида Г1 по группе Н = (/0(Г2)) называется группоид Г1/Н, состоящий из классов эквивалентностей, выделенных согласно введенному отношению эквивалентности.

Покажем, что факторизация задана корректно. Пусть а, в £ Гк /Н, а, в — их представители соответственно. Тогда а о / = [а о в]. С другой стороны, пусть

Н, / £ Н, тогда а ~ Н(а), в ~ /(30. Так как Н/-1 £ Н и Н/-1/(а) = Н(а), то Н(а) /(а). Поэтому

[Н(а) о /(/)] = [/(а) о /(/)] = [/(а о /3)] = [а о /] = а о вПеред тем, как строить геометрический группоид, введём некоторые обозначения. Пусть К — зацепление в МР3, N к — его трубчатая окрестность, хк £ Ек — базисная точка, где Ек = МР3\1ПЫк, а = [а] — гомотопический класс путей, где а — его представитель, О к = п1 (Ек ,хк).

Пусть Гк — множество гомотопических классов путей в Ек с началами в хк и концами на дЫк, при этом начала должны сохраняться в процессе гомото-пии. Элементами геометрического группоида являются элементы Гк. Операция группоида действует на классах гомотопических путей следующим образом:

а о Ь = [Ьт^^Ь-1а],

где а, Ь — представители классов а, Ь соответственно, а Ь(1) — конец пути Ь, т — меридиан узла, выбирающийся согласно нормальной ориентации узла. Легко проверяется, что все аксиомы из определения группоида для этой операции корректны. Данная конструкция была приведена в статье [1], поэтому полная проверка аксиом опускается.

Известно, что фундаментальная группа дополнительного пространства зацепления К ассоциированна с его геометрическим группоидом (см. [1]).

Предложение 1. Пусть К — двухкомпонентное зацепление с заданной нормальной ориентацией, лежащее в Б3. Тогда геометрический группоид Гк зацепления К является двухкомпонентным группоидом относительно Ок.

Доказательство. Пусть К состоит из компонент А1 и А2. Множество всех элементов геометрического группоида Гк разобьем на два подмножества Г1 и Г2, где в £ Гг, если конец пути в лежит на , г = 1, 2. Очевидно, что Г1 и Г2 являются подгруппоидами Г. Группа О к действует на группоидах Г1, Г2 транзитивно (т. е. для любых путей в1, в2 £ Гк, заканчивающихся на А^, существует д £ О к такой, что в2 = д(в1), г = 1, 2, см. [1]). Поэтому орбита любого в £ Гг совпадает со всем Гг, г = 1,2. Следовательно, по определению Г = Г1 и Г2.

Пусть расщепляемое зацепление К состоит из компонент А1, А2. Этим компонентам соответствуют компоненты Гк и Гк геометрического группоида Гк. Пусть Н = (/0(Гк)), где /0 : Гк ^ О^ — гомоморфизм, с помощью которого О к ассоциированна с Гк. Обозначим через Га геометрический группоид компоненты А1 как отдельного узла в Б3. Тогда справедливо утверждение следующей леммы.

Лемма 1. Группоиды Гк/Н и Га изоморфны.

Доказательство. Обозначим через вН £ Гк/Н класс элементов, эквивалентных в, через г : Ек ^ Еа1 — естественное вложение. Введем отображение ^ : Гк/Н ^ Га, действующее по правилу ^(вН) = [г(в)], где в = [в]. Так как г — гомоморфизм, то ^ также является гомоморфизмом. Покажем сюръективность. Любой элемент в £ Га имеет в качестве своего представителя образ некоторого элемента х £ Гк, по построению Гк. Класс эквивалентности, содержащий х, будет прообразом в при отображении <^. Покажем инъективность. От противного, пусть в1Н = в2Н и ^(в1 Н) = ^(в2Н). Для любого в £ Гк элемент г(/0(в)) является тривиальным в Оа. Так как г(в1) ~ г(в2), то для любого элемента Н £ Н верно г(в1) = г{К)(г(з2)), что влечет равенство = /г<(з2). Противоречие.

2. Эквивалентность узлов с изоморфными группоидами

2.1. Геометрический группоид и накрытия над трехмерной сферой

Рассмотрим накрытие р : Б3 ^ МР3 со слоем ^2. Для любой точки х £ МР3 существует два прообраза. По лемме о поднятии пути, если мы зафиксируем прообраз базисной точки хк, то все элементы группоида Гк поднимаются в Б3 единственным образом.

Как известно, для каждого зацепления Ь £ МР3 существует зацепление-прообраз Ь = р-1(Ь) £ Б3 . Способ построения диаграммы зацепления Ь по известной диаграмме Ь был подробно описан в работе [3]. Пусть Г^ — группоид, составленный из поднятых элементов группоида Г^ с выбранным прообразом базисной точки в качестве базисной точки Г^, а операция в нем — стандартная для геометрического группоида.

Предложение 2. (Лемма о поднятии группоида). Пусть Ь — зацепление в МР3, Ь — его зацепление-прообраз в Б3. Тогда при выборе прообраза базисной точки группоида Г^ геометрические группоиды Г^ и Г^ изоморфны.

Доказательство. Пусть р* : Г^ ^ Г^ — ограничение р на Г^. По лемме о поднятии гомотопии отображение р* является инъекцией. Действительно, пусть в1, в2 £ Гь, в1 = в2, и р*(в1) = р*(в2). Тогда, так как пути р*(в1) и р*(в2) гомотопны, то гомотопны в1 и в2, что противоречит предположению. Сюръективность р* очевидна, так как для каждого элемента Г^ прообразом будет являться путь, начинающийся из прообраза базисной точки группоида Г^ и заканчивающийся на зацеплении Ь, нигде не пересекая его (в противном случае проекция такого пути пересекала бы узел Ь). Такой путь по определению является элементом группоида Г^. Отображение р* является гомоморфизмом, так как для любых а, Ь £ Г^ верно

р*

р*

ьт^) ь а

аа Ьа

а Ь,

где а = р* (а) Ь = р*( Ь), тЬ(1) = р*(тЬ(1)).

2.2. Основная теорема

Определение 5. Узел называется локальным, если он содержится в некотором шаре О3.

Теорема 2. Два узла К1, К2 в МР3 эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им геометрические группоиды Гк1 и Гк2 изоморфны.

Доказательство. Пусть К1 ~ К2. Тогда Гк1 — Гк2 в силу инвариантности группоидов.

Обратно, пусть К1, К2 — узлы, ^ : Гк1 ^ Гк2 — изоморфизм их группоидов. Возможны следующие случаи.

Случай 1. Пусть узлы К1, К2 нелокальные. Тогда многообразия Ек1 и Ек2 достаточно велики, неприводимы и гранично неприводимы. Этих условий достаточно для доказательства эквивалентности узлов в произвольном трехмерном многообразии, и это доказательство в точности повторяет доказательство аналогичной теоремы для узлов в Б3 (см. [1]).

Случай 2. Пусть К1 локален. Тогда многообразие Ек1 будет уже приводимым, что запрещает применение доказательства для первого случая. Поднятием К1 является двухкомпонентное расщепляемое зацепление К 1 в Б3 с компонентами, эквивалентными К1 (если рассматривать компоненты К1 и узел К1, лежащие по локальности в трехмерных шарах, как узлы в Б3). Обозначим компоненты К1 через А 1,В 1. Фундаментальная группа О к ассоциированна с Г^ с помощью гомоморфизма /0 : Гк^1 ^ О^ (см. [1]). Группоид Г— является двухкомпонентным группоидом относительно О к, т. е. Г^ = Гк и Г Л , где Гк соответствует компоненте А 1, Г— компоненте В 1. Пусть Н = (/0(Гк )). Тогда по лемме 1

Г-/Н — Га-1 •

Из леммы о поднятии группоида следует, что существует изоморфизм ф : Г^ ^ Гк2 , где К2 — поднятие узла K2. Поэтому для узла К2 существует компонента A2 такая что Г a — Га2. По аналогичной теореме для случая 3-сферы имеем A 1 ~ A 2. Так как узел K локален, то он содержится в некотором шаре DK1. Поэтому существует гомеоморфизм, переводящий DK1 \IntNKl в D^ \IntiVA, где D^ — шар, содержащий А\. Отсюда следует, что К\ ~ Х2.

Список литературы

1. Матвеев, С. В. Дистрибутивные группоиды и узлы в теории узлов / С. В. Матвеев // Мат. сб.- 1982.- Т. 119, № 1.- С. 78-88.

2. Joyce, D. A classifying invariant of knots, the knot quandle / D. Joyce // J. Pure Appl. Algebra.- 1982.- Vol. 23.- P. 37-65.

3. Дроботухина, Ю. В. Аналог полинома Джонса для зацеплений в RP3 и обобщение теоремы Кауффмана — Мурасуги / Ю. В. Дроботухина // Алгебра и анализ.— 1991.- Т. 2, № 3.- С. 613-630.

4. Матвеев, С. В. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии / С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко.— М. : Изд-во МГУ, 1991.