Математическое моделирование высокотемпературного тепломассопереноса в бетонных конструкциях

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОЖА

О

В. Ё. Страхов

д-р техн. наук, профессор, заместитель генерального директора ЗАО “Теплоогнезащита”

А. С. Мельников

младший научный сотрудникЗАО “Теплоогнезащита”

Вл. О. Каледин

канд. техн. наук, старший научный сотрудник ЗАО “Теплоогнезащита”

УДК 614.841.411

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В БЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

Разработана уточненная математическая модель совместного нестационарного тепло-и влагопереноса в бетонных конструкциях. Модель включает в себя дифференциальные уравнения сохранения энергии, переноса массы пара и жидкой воды внутри проницаемого материала с замыкающими соотношениями и краевыми условиями. Приведено конечно-разностное решение краевой задачи тепломассопереноса для двумерной расчетной области. Проверка разработанного алгоритма и программы расчета проводилась путем сопоставления результатов расчетов с решением аналогичной задачи, полученным другими авторами, а также с данными огневых испытаний бетонных плит с различным влагосодержанием. Экспериментальная и теоретическая проверка предложенной математической модели, алгоритма и программы расчета показала их достаточную точность и достоверность. Ключевые слова: влагоперенос, тепломассоперенос, бетонные конструкции, объемная скорость испарения -конденсации пара, равновесное давление пара.

Введение

Как известно, бетон представляет собой конгломерат, состоящий из отвердевшего цементного камня (вяжущего), мелкого и крупного минерального камня (заполнителя). Мелким заполнителем бетона является песок, состоящий из зерен размерами от 0,14 до 5 мм. Для его получения используются изверженные, метаморфические и плотные осадочные породы, имеющие предел прочности не ниже 60 МПа. Крупным заполнителем бетона является щебень из изверженных и метаморфических пород, обычно классифицируемый на фракции 5-10, 10-20 и 20-40 мм. Заполнители бетона не содержат химически связанную воду, при этом она входит в состав цементного камня. Кроме химически связанной воды, в порах бетона содержится адсорбционная влага.

Физико-химические процессы, протекающие при нагревании бетона, достаточно подробно рассмотрены в работе [1]. При повышении температуры бетона начинается удаление воды, адсорбированной в его порах. Количество водяного пара, образовавшегося из 1 кг бетона, пропорционально

его влажности, которая зависит от вида бетона, условий его эксплуатации и изменяется в пределах от 1,5 до 9 %. Причем вследствие того, что влага связана со скелетом различными силами (капиллярными, сорбционными и т. п.), процесс испарения происходит в некотором интервале температур — от 60 до 270 °С. При этом поглощается 3150 кДж на 1 кг испарившейся воды, что превышает значение теплоты испарения воды со свободной поверхности. Основным процессом, происходящим при дальнейшем нагреве цементного камня, является удаление конституционной воды, входящей в состав его минералов. Этот процесс также сопровождается поглощением значительного количества теплоты и выделением водяного пара.

При эксплуатации строительные конструкции часто испытывают тепловые воздействия различных длительности и интенсивности, например в тепловых агрегатах, технологическом оборудовании и строительных конструкциях горячих цехов. В условиях пожара конструкции подвергаются воздействию газовой среды, температура которой достигает 1100-1200 °С. Нестационарный прогрев

бетонных (железобетонных) конструкций сопровождается указанными физико-химическими превращениями и процессами массопереноса, влияющими на формирование температурного поля в них. При многочисленных огневых испытаниях бетонных конструкций зафиксирован достаточно сильный эффект быстрого подъема и последующей продолжительной стабилизации температуры в толще конструкции на уровне около 100 °С [2]. Попытки учесть этот физический эффект использованием “эффективных” теплофизических характеристик к успеху не приводят.

Состояние вопроса

Известны математические модели тепломассопереноса в бетонных и огнезащитных конструкциях [2-12], основанные на приближенном учете влияния указанных выше физико-химических процессов на температурное поле.

Модель [3-5] построена при допущениях о том, что:

1) отсутствует перенос массы жидкой воды в пористой среде;

2) теплофизические характеристики пористого материала не зависят от влагосодержания.

Модель [2] построена при следующих допущениях:

1) перенос теплоты осуществляется только через твердую матрицу (излучением и конвекцией в порах пренебрегают);

2) теплофизические характеристики пористого материала не зависят от влагосодержания;

3) водяной пар переносится только диффузией (конвекцией под действием градиента полного давления пренебрегают);

4) жидкая вода переносится только диффузией;

5) воздух сепарируется на начальной стадии нагрева (поэтому бинарная смесь воды и сухого воздуха не рассматривается).

Модель [6-12] построена с использованием следующих дополнительных упрощений:

1) отсутствует перенос массы жидкой воды в пористой среде;

2) в зоне конденсации, расположенной в области температур ниже 100 °С, пар находится только в состоянии насыщения;

3) испарение влаги происходит во фронте с постоянной температурой 100 °С;

4) процесс переноса массы пара квазистацио-нарен.

Целью данной работы является уточнение модели высокотемпературного тепломассопереноса в бетонных конструкциях.

Основная часть

Проведенные авторами данной статьи теоретические и экспериментальные исследования [1] позволили (с учетом основных положений теории тепломассопереноса [13]) построить уточненную математическую модель совместного нестационарного тепло- и влагопереноса в бетонных конструкциях, отказавшись от использования перечисленных упрощений и приняв только три последних допущения работы [2]. Математическая модель включает в себя следующие дифференциальные уравнения:

1) уравнение сохранения энергии, учитывающее перенос теплоты через влажный скелет и поры материала, выделение теплоты при конденсации и поглощение теплоты при последующем испарении влаги, поглощение теплоты при выходе из скелета химически связанной воды, соответствующее изменение теплофизических характеристик материала, а также влияние на температурное поле переноса массы жидких и газообразных продуктов разложения:

(1 - Ф) Р' = div (ХЕ grad Т) +

dt

+ cv mv grad T + ew mw grad T - rRvc - QRd;

2) уравнение переноса массы пара внутри пористого проницаемого материала:

dv . .

Р О = div

dt

3) уравнение переноса массы жидкой воды внутри пористого проницаемого материала:

dw .

РО dd = div(PoDw grad w) - Rv

ot

В общем случае записанные дифференциальные уравнения решаются при следующих краевых условиях:

а) начальные условия:

Т I г=0 = Т0, v|

б) граничные условия на обогреваемой поверхности конструкции:

-X—

dn

h - 0

= аf

I h - 0

= V

dw

On

= 0;

h-0

в) граничные условия на необогреваемой поверхности конструкции:

-xdT

дп

= а е(Tc - Te) + Aea(Tc4 - T4);

c-0

dv

-P oDv o-dn

= а,

c-0

dw

e(vc - v0)> -d-

dn

= 0.

c-0

Для учета влияния влагосодержания на теплофизические характеристики пористого материала и лучистого переноса теплоты в порах на теплопроводность (в приближении лучистой теплопроводности) используются формулы, обоснованные в публикации [1].

Объемная скорость испарения - конденсации в пористом подповерхностном слое конструкции определяется из соотношения работы [2]:

Яус = у уед - V)

Можно видеть, что когда содержание пара в порах меньше равновесного значения, происходит испарение, в противном случае — конденсация.

Процесс выхода химически связанной воды необратим. Для описания его скорости можно воспользоваться известным уравнением для одностадийной реакции первого порядка:

Х-а = РаАё™сГ ехР(-Ей!КТ).

Связь между массовым содержанием пара в пористом теле и давлением внутри пор определяется из уравнения состояния идеального газа:

ФР

Р оКТ

Равновесное давление пара находится из соотношения [2]:

Іпр, /а) = -0,1892/(Т^2’01).

Температурная зависимость давления насыщения аппроксимируется следующей формулой [14]:

р5 (Т) = 146,95 ехр| 18,681 -

4105 Т - 35

С учетом данных работ [15-18] формула для расчета коэффициента самодиффузии пара в порах бетона может быть представлена в виде:

в. = В„|Т і0,5 > оф 1,5

0

V ф 0

Значение коэффициента самодиффузии пара на открытом воздухе (при ф = 1) в нормальных условиях составляет 2,7710-5 м2/с [15]. При уменьшении пористости коэффициент самодиффузии пара уменьшается.

Коэффициент диффузии влаги в тяжелом бетоне определяется из соотношения [2]:

= 5,56 • 1(Г10 ехр(19,2^).

Значения коэффициента диффузии влаги в тяжелом бетоне согласно формуле (10) имеют порядок 10-9 м2/с. Для пористого газобетона этот коэффици-

ент относительно слабо зависит от влагосодержания и его значения имеют порядок 10-8 м2/с [17].

Входящие в математическую модель тепломассо-переноса основные разрешающие уравнения (1) - (3) имеют сходную структуру и могут быть записаны в виде:

А(и) — = аіу( Х(и) gradU) +

дг

+ В(и) gradU + ю(и).

Аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений трудно применимыми к нелинейному уравнению (16), определенному на двумерной области общего вида при нетривиальных граничных условиях. В силу этого краевая задача тепломассопереноса в сечении конструкции решается численно, методом конечных разностей, получившим широкое распространение благодаря своей универсальности и хорошо разработанной теории.

Алгоритм решения сформулированной краевой задачи тепломассопереноса применительно к случаю двумерной расчетной области заключается в следующем. На расчетном сечении конструкции строится равномерная по каждой из координат дискретная сетка, которая может быть представлена как совокупность узлов, расположенных на пересечении N +1 строк и М +1 столбцов. Заменяя в уравнении (16) производные разностными соотношениями, можно построить следующую схему расщепления этого уравнения на два одномерных дискретных аналога:

А

1 , і

и

. -х« .

І, і І + 1, і І -1, і

4 Н2

1 , і

х [и

[ І + 1, і І -1, і ] і 2 [ І -1, і 1 , І

Пу

и(г + 1/2)і І + 1, і ]

В(г) І, і

2НХ

(г +1/2) - и(г +1/2)] , і І -1, і ]

[иІ(++1

Ю

(г) І, і

А(

и(г+!) -+1/2) А,(.°• , -^(0• ,

(г) ь і__________ь і = ь і +1 ь і -1

І і X

[и(г+-і, і +1 и(г+ 1) І і -1 х(Рі 1 + -^ Н 2

+ и{і ++1] і, і + 1 В(г ) + —— 2 Ну [и ЇЇ +1!

Ю

Неявная схема (17) может быть приведена к разностной краевой задаче следующего вида:

ахи (^и2) + Ъши?+ 1/2> + си (1У/2) = /£\

XI I— 1, j XI I, ] XI 1 + 1, j XI '

а и

аУіи І, і -1 Ь Уіи І, і Уіи І, і +1 і Уі ’

0 < І < N 0 < і < М.

V =

2

Нетрудно показать, что все сформулированные выше граничные условия к разрешающим уравнениям в общем случае могут быть представлены их дискретными аналогами:

аІ - 1, т иі - 1, т + Рі, т иі, т уІ, ] ^п,і - 1 ип,і - 1 + ^п,і ип,і уп,і ,

1 < і < N 1 < і < м,

0 < п < N 0 < т < М,

здесь а, Р, у, 5, к, у — параметры граничных условий, в общем случае зависящие от времени и искомой функции.

Разностная краевая задача (18) с краевыми условиями (19) решается стандартным методом прогонки с затратой числа арифметических действий пропорционально числу узлов двумерной дискретной сетки [14, 19].

Для обоснования сходимости полученного решения к точному решению следует определить порядок аппроксимации краевой задачи разностной схемой и выяснить ее устойчивость. Построенная схема аппроксимирует дифференциальные задачи (1) - (3) со вторым порядком по пространству и с первым — по времени. Однако устойчивость теоретически обосновать затруднительно вследствие того, что коэффициенты уравнений (1) - (3) при нагреве изменяются в широких пределах. Поэтому целесообразно обоснование сходимости путем проведения численных экспериментов на сгущающейся сетке в каждом конкретном случае.

В то же время знание порядка аппроксимации позволяет в ходе решения получать оценку составляющей погрешности, зависящей от шага по времени (например, по правилу Рунге). Это дает возможность построить алгоритм с автоматическим выбором временного шага.

Выбор параметров применявшейся четырехточечной разностной схемы проводился таким образом, чтобы обеспечить аппроксимацию не ниже Ах2 во всех точках разностной сетки. Сравнение результатов расчетов по разработанной компьютерной программе с имеющимися аналитическими решениями соответствующих линейных задач теплопроводности показало достаточные для практики точность и достоверность полученного решения рассматриваемой краевой задачи тепломассопереноса.

Кроме того, проверка разработанного алгоритма и программы проводилась путем сопоставления результатов расчетов с решением аналогичной задачи, полученным другим методом авторами работы [2], и с данными проведенных ими огневых испытаний бетонных плит с различным влагосодержанием*.

* При огневых испытаниях на обогреваемой поверхности плиты устанавливалась стальная пластина, препятствовавшая выходу пара.

С этой целью при расчетах была использована постановка краевой задачи работы [2] — в уравнении сохранения энергии опущены второе и третье слагаемые правой части и соответствующим образом изменены граничные условия:

-Д

дп

= аі (Ті ТН );

дv

дп

Н-0

=0, дг

дп

= 0;

Н-0

-Д

дп

= а е(Тс - Те ).

с-0

При проведении расчетов использовали представленные в работе значения переносных характеристик бетона [2]:

- плотность р0 = 2200 кг/м3;

- теплоемкость с = 921 Дж/(кг-К);

- теплопроводность X = - 1,971Т0-9Т3 +

+ 4,522Т0-6 - 3,898 10-3 + 2,189;

- пористость ф0 = 0,4;

- коэффициент диффузии пара

= 1,9410-5м2/с;

- коэффициент диффузии воды

= 5,56-10-10ехр(19,2н');

- объемная скорость испарения - конденсации в порах у = 7,2104;

- предэкспонента Ла = 1,08 108 1/с;

- энергия активации Ей/Я = 8331 К;

- коэффициент теплоотдачи от газовой среды огневой печи к обогреваемой поверхности плиты а^ =25 Вт/(м2-К);

- коэффициент теплоотдачи от необогреваемой поверхности плиты ае =18 Вт/(м2-К);

- коэффициент массообмена между необогреваемой поверхностью и окружающей средой ау е = 2,44 кг/(м2-с);

- температура окружающей среды Те = 20 °С;

- значения влажности бетона в первом (^0 = = 0,087), втором (и'о = 0,082) и третьем (^0 = = 0,077) опытах.

Толщина бетонной плиты составляла 100 мм.

Изменение во времени температуры газовой среды печи принимали по экспериментальным данным.

Результаты

Результаты проведенных расчетов представлены на рис. 1 и 2.

На рис. 1 дано сравнение результатов расчетов, проведенных применительно к условиям огневых испытаний бетонной плиты толщиной 100 мм со стальным листом на обогреваемой поверхности, с экспериментальными данными, опубликованными в работе [2]. Можно видеть, что, несмотря на слож-

О 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Время, с

Рис. 1. Зависимость от времени температуры бетонной плиты толщиной 100 мм, обогреваемой по одной из поверхностей по температурному режиму, реализованному при огневых испытаниях [2]: а — для эксперимента № 1 при влажности бетона 8,7 %; б — для эксперимента № 2 при влажности бетона 8,2 %; в — для эксперимента № 3 при влажности бетона 7,7 %; 1 — температура обогреваемой поверхности стальной пластины; 2 — температура поверхности бетонной плиты под стальной пластиной; 3 — температура на расстоянии 25 мм от обогреваемой поверхности плиты; 4 — то же на расстоянии 50 мм; 5—тоженарасстоянии75мм; 6—температуранеобогреваемой поверхности плиты; -------- расчет; **** эксперимент

0,12

X0’10 | 0,08 О са

Й 0,06

!о,м а и

§ 0,02 О

Л а

///

^1 ^2 3 4 ^5

і

.

2000

4000 6000

Время, мин

8000

10000

03

&

в

&

§

О

б

3 \

1 ц

2І1 /

5 \

\ш/

2000

8000

10000

Время, мин

Рис. 2. Расчетная зависимость от времени массового содержания пара (а) и воды (б) в бетонной плите толщиной 100 мм, обогреваемой по одной из поверхностей по температурному режиму, реализованному при огневых испытаниях [2]: 1 — на обогреваемой поверхности (под стальной пластиной); 2 — на расстоянии 25 мм от обогреваемой поверхности плиты; 3 — то же на расстоянии 50 мм; 4 — то же на расстоянии 75 мм; 5 — на необогреваемой поверхности плиты

Время, ч

ной пластиной); 2 — на расстоянии 25 мм от обогреваемой поверхности плиты; 3 — то же на расстоянии 50 мм;

4 — то же на расстоянии 75 мм; 5 — на необогреваемой поверхности плиты

ный характер зависимостей от времени температуры в плите, согласование расчетных и экспериментальных данных удовлетворительное.

На рис. 2 приведены расчетные зависимости от времени содержания пара и влаги в порах плиты. Восходящие участки на кривых влагосодержания соответствуют зоне конденсации пара, а участки с резким падением влагосодержания — испарению

влаги. Характер кривых содержания пара свидетельствует о существенно меньшей инерционности процесса переноса массы пара по толщине бетонной плиты по сравнению с процессом переноса воды.

На рис. 3 представлены результаты расчетов, выполненных авторами работы [2] для условий данных экспериментов. Сопоставление результатов расчетов авторов данной работы и публикации [2] свидетельствует об их удовлетворительном согласовании между собой.

Вывод

Таким образом, экспериментальная и теоретическая проверка предлагаемой математической модели высокотемпературного тепломассопереноса в конструкциях из бетона свидетельствует об ее достаточных точности и достоверности и о возможности широкого практического применения.

***

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 08-08-00354.

Условные обозначения: ф — пористость; р — плотность;

р0 — объемная плотность материала; с — теплоемкость;

Т — температура;

? — время;

— эффективная (суммарная) теплопроводность материала, учитывающая лучистый перенос теплоты;

т — вектор массовой скорости; г, Я т — тепловой эффект и объемная скорость выделения (поглощения) массы пара при испарении (конденсации) соответственно;

Q, Я 1 — суммарный тепловой эффект и объемная скорость газовыделения при дегидратации соответственно;

Рис. 3. Результаты проведенных авторами работы [2] расчетов тепломассопереноса в бетонной плите толщиной 100 мм, обогреваемой по одной из поверхностей по температурному режиму, реализованному при огневых испытаниях: 1 — на обогреваемой поверхности (под сталь-

V — массовое содержание пара;

— коэффициент диффузии пара; и — массовое содержание воды;

и0 — массовая доля адсорбированной влаги в исходном материале;

— коэффициент диффузии жидкой воды; п — нормаль к поверхности;

а — коэффициент конвективного теплообмена;

А — приведенная степень черноты газовой среды и поверхности;

а — постоянная Стефана - Больцмана; аv — коэффициент массообмена; у — объемная скорость испарения - конденсации в порах;

Лй, Ел — предэкспоненты и энергия активации процесса дегидратации; р — давление;

Ял/ — газовая постоянная водяного пара; и = Т, V, и — искомые функции; х — шаг по времени;

Нх, Ну — величины шагов сетки по координатам х и у соответственно;

I = 0, 1,..., N — номер шага по координате х;

] = 0,1,., М — номер шага по координате у;

верхний индекс (^ = к = 0,1,. — номер временного слоя, соответствующего моменту времени 1к;

и = и^к) и и( +1) = и^к + х) — значения искомой сеточной функции на соседних временных слоях, и( +1/2) — ее промежуточное значение, формально рассматриваемое как и(1к + х/2);

Л = Л^,у(и«); =Х,,у(и«);

* > 1

Индексы:

' — каркас пористого материала;

" — газ, заполняющий поры;

0 — начальное значение;

V — пар; и — вода;

Н — обогреваемая поверхность; с — необогреваемая поверхность;

/ — газовая среда пожара;

е — газовая среда, омывающая необогреваемую поверхность;

ед — равновесное значение; сг — кристаллическая вода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Архангельский, И. В. Комплексное исследование высокотемпературных термохимических, термомеханических и теплофизических характеристик разлагающихся при нагреве материалов / И. В. Архангельский, А. С. Мельников, В. Л. Страхов // Электронный журнал “Исследовано в России”. — 2009. — № 23. — С. 236-243 [http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/ 2009/023.pdf].

2. Kazunori Harada. Numerical Simulation of Fire Resistance Test of a Concrete Slab / Kazunori Harada, Toshio Terai // Fire Safety Science : Proceedings of Second International Symposium. — NewYork, Washington, Philadelphia, London, 1989. — P. 707-717.

3. Богословский, В. H. Тепловлагоперенос в интенсивно прогреваемых конструкциях /

В. Н. Богословский, В. М. Ройтман // В кн.: Тепломассообмен в капиллярно-пористых телах.

— Минск : ИТМО АН БССР, 1976. —Т.5. — С. 142-146.

4. Ройтман, В. М. Решение теплотехнической задачи огнестойкости конструкций с учетом процессов влагопереноса на ЭВМ по неявной конечно-разностной схеме / В. М. Ройтман, Т. Н. Зырина//Огнестойкость строительных конструкций : сб. науч. тр. — М. : ВНИИПО, 1974.

— №2. — С. 58-71.

5. Ройтман, В. М. Исследование влияния влагосодержания огнезащитных материалов на их прогрев в условиях пожара / В. М. Ройтман, А. Г. Бережной, А. И. Яковлев // Огнестойкость строительных конструкций : сб. науч. тр. — М. : ВНИИПО, 1978. — № 6. — С. 75-81.

6. Страхов, В. Л. Математическое моделирование процесса работы теплоогнезащиты из водосодержащих материалов / В. Л. Страхов, А. Н. Гаращенко, В. П. Рудзинский // Вопросы оборонной техники. — Сер. 15. — 1998. — Вып. 2(119). — С. 6-12.

7. Страхов, В. Л. Разработка, численная реализация и апробирование математических моделей работы теплоогнезащиты с учетом процессов термического разложения, испарения -конденсации и вспучивания - усадки /В. Л. Страхов, А. Н. Гаращенко, В. П. Рудзинский [и др.] // Вопросы оборонной техники. — Сер. 15. — 1999. — Вып. 1(122). — С. 17-21.

8. Озеров, H. А. Влияние влаги, содержащейся в теплоизоляции и клеевых составах, на огнезащитные свойства противопожарных судовых конструкций / Н. А. Озеров, В. Л. Страхов, А. Н. Гаращенко [и др.] // Сборник Морского Регистра Судоходства. — 1999. — Вып. 23. — С. 234-239.

9. Страхов, В. Л. Высокотемпературный тепломассоперенос в слое влагосодержащего огнезащитного материала/ В. Л. Страхов, А. Н. Гаращенко, Г. В. Кузнецов [и др.] //Теплофизика высокихтемператур. — 2000. — Т. 38, № 6. — С. 958-962.

10. Страхов, В. Л. Процессы тепломассообмена в водосодержащих материалах при пожаре /

B. Л. Страхов, А. Н. Гаращенко, Г. В. Кузнецов [и др.] // Математическое моделирование. —

2000. — Т.12, № 6. — С. 22-26.

11. Страхов, В. Л. Огнезащита строительных конструкций / В. Л. Страхов, А. М. Крутов, Н. Ф. Да -выдкин ; под ред. Ю. А. Кошмарова. — М. : Информационно-издательский центр “ТИМР”,

2000. — 433 с.

12. Страхов, В. Л. Математическое моделирование работы водосодержащих вспучивающихся огнезащитных покрытий / В. Л. Страхов, А. Н. Гаращенко, В. П. Рудзинский [и др.] // Пожаро-взрывобезопасность. — 2003. — Т. 12,№1. — С. 39-46.

13. Лыков, А. В. Теория тепло- и массопереноса /А. В. Лыков, Ю. А. Михайлов. — М.: Госэнер-гоиздат, 1963. — 535 с.

14. Самарский, А. А. Теория разностных схем/А. А. Самарский. — М.: Наука, 1983. —616 с.

15. Физические величины : справочник/А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина, А. М. Братковский [и др.]; под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. — М. : Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.

16. Красников, В. В. Кондуктивная сушка / В. В. Красников. — М. : Энергия, 1973. — 288 с.

17. Низовцев, М. И. Экспериментальное определение коэффициентов диффузии влаги в пористых материалах при капиллярном и сорбционном увлажнении / М. И. Низовцев,

C. В. Станкус, А. Н. Стерлягов [и др.] // Инженерно-физический журнал. — 2005. — Т. 78,

№ 31. — С. 67-73.

18. Яковлев, А. И. Исследование теплофизических характеристик бетонов путем решения обратной задачи теплопроводности с помощью ЭВМ / А. И. Яковлев, Л. В. Шейнина, А. М. Сорокин // Огнестойкость строительных конструкций : сб. науч. тр. — М. : ВНИИПО МВД СССР,

1975. — Вып. 3. — С. 3-11.

19. Годунов, С. К. Разностные схемы /С. К. Годунов, В. С. Рябенький. — М.: Наука, 1977.—439 с.

Материал поступил в редакцию 16.07.09. © Страхов В. Л., Мельников А. С., Каледин Вл. О., 2009 г. (e-mail: strakhovvl@rambler.ru, melnikovas1981@mail.ru).