Оценка точности по состоянию конечномерных аппроксимаций задач оптимизации для полулинейных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 3 (2014). С. 72-87.

УДК 519.626

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПО СОСТОЯНИЮ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И РЕШЕНИЯМИ

А.Р. МАНАПОВА*, Ф.В. ЛУБЫШЕВ

Аннотация. В работе рассматриваются нелинейные задачи оптимального управления для полулинейных уравнений эллиптического типа с разрывными коэффициентами и решениями, с управлением в граничных условиях сопряжения. Построены разностные аппроксимации экстремальных задач, установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию.

Ключевые слова: задача оптимального управления, полулинейные эллиптические уравнения, разностный метод решения.

Mathematics Subject Classification: 49J20, 35A35, 35J61, 65N06

1. Введение

Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) — это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для нелинейных задач оптимального управления. Под «нелинейными задачами оптимизации» для УМФ мы понимаем такие, в которых отображение g ^ и(д) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным. Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от многих факторов: куда входят управления (в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений); линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем; какова структура множеств допустимых управлений и функционалов цели; какова гладкость состояния, обеспечиваемая заданной априорной гладкостью входных данных и гладкостью управлений и т.д. В настоящее время наиболее полно исследованы линейные системы управления с достаточно гладкими входными данными и функциями состояния процессов управления. Особый интерес с теоретической и практической точек зрения представляет физико-математическая постановка задач оптимального управления, в которых, в силу характера исследуемого физического процесса, состояния описываются нелинейными УМФ с разрывными коэффициентами и, кроме того, изначально по своей физико-математической постановке сами решения УМФ допускают разрывы.

A.R. Manapova, F.V. Lubyshev, Accuracy estimate with respect to state of finite-dimensional approximations for optimization problems for semi-linear elliptic equations with discontinuous coefficients and solutions.

© Манапова А.Р., Лубышев Ф.В. 2014.

* Работа выполнена при поддержке гранта Республики Башкортостан по итогам конкурса научных работ молодых ученых и молодежных научных коллективов 2014 года.

Поступила 14 января 2014 г.

Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимации задачами более простой природы — «конечномерными задачами». Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера об изучаемом процессе. Центральными в проблеме аппроксимации являются вопросы «конструирования» аппроксимаций, сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций [1]-[5]. Для систем с распределенными параметрами построения и исследования аппроксимаций проводились в основном также для линейных задач оптимального управления, причем с достаточно гладкими коэффициентами УМФ и состояниями. Актуальными являются вопросы «конструирования» конечномерных аппроксимаций и исследования их сходимости для задач оптимального управления, описываемых нелинейными УМФ с разрывными коэффициентами и решениями (состояниями). Заметим, что разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами, но непрерывными потоком и решением (с условиями сопряжения типа идеального контакта) построены и исследованы в [6], [7] для УМФ с классическими решениями некоторой степени гладкости. Исследованию сходимости разностных схем для параболических уравнений с разрывными коэффициентами и решением в классической постановке задач с достаточно гладкими решениями посвящены работы [8], [9]. Отметим также, что оптимизационные аспекты в этих работах не рассматривались.

В настоящей работе, по тематике, примыкающей к [1]-[5], [10]-[13], рассмотрены математические модели нелинейных задач оптимального управления, описываемых полулинейными уравнениями эллиптического типа в неоднородных анизотропных средах с разрывными коэффициентами и решениями (состояниями), с граничными условиями сопряжения типа неидеального контакта [6], [14]. В качестве управления выступает коэффициент в граничном условии сопряжения. Построены разностные аппроксимации экстремальных задач, установлены оценки скорости сходимости аппроксимаций по состоянию.

В теплофизических терминах поставленную задачу можно трактовать как задачу оптимального управления коэффициентом граничного условия сопряжения теплопроводящих сред. При этом этот коэффициент характеризует термическое сопротивление неидеального контакта разнородных сред [6], [14].

2. Постановка задач

Пусть П = {г = (г\,г2) € К2 : 0 ^ га ^ 1а,а = 1, 2} - прямоугольник в К2 с границей дП = Г. И пусть область П разделена прямой г1 = £, где 0 < £ < 11 («внутренней контактной границей» 5 = = 0 ^ г2 ^ /2}, где 0 < £ < /1) на подобласти П = П- = {0 < г1 < 0 < г2 < 12} и П2 = П+ = < г1 < 11, 0 < г2 < 12} (на левую и правую подобласти П1 и П2 соответственно) с границами дП1 = дП- и дП2 = 5П+. Так что область П есть объединение областей П1 и П2 и внутренних точек «контактной» границы в подобластей П1 и П2, а дП - внешняя граница области П. Далее, через Г д. будем обозначать границы областей П без Б, к = 1, 2. Так что дП = Г и Б, где части Г д., к = 1, 2 - открытые непустые подмножества в дП, к =1, 2; Г1 и Г2 = дП = Г. Через па, а = 1, 2 будем обозначать внешнюю нормаль к границе дПа области Па, а = 1, 2. Пусть, далее, п = п(х) - единичная нормаль к в в какой-либо ее точке х € в, ориентированная, например, таким образом, что нормаль п является внешней нормалью к в по отношению к области П1, то есть нормаль п направлена внутрь области П2. Ниже, при постановке краевых задач для состояний процессов управления, в - это прямая, вдоль которой разрывны коэффициенты и решения краевых задач, которые в областях П1 и П2 обладают некоторой гладкостью.

Пусть условия управляемого физического процесса позволяют моделировать его в области П = П1 и П2 и Б, состоящей из двух частей (подобластей) П1 и П2, разбитой на

части внутренней границей 51, следующей задачей Дирихле для полулинейного уравнения эллиптического типа с разрывными коэффициентами и решениями:

Требуется найти функцию и(х), определенную на П вида и(х) = и1(х), х € П = П-, и(х) = и2(х), х € П2 = П+, где компоненты ик, к = 1, 2, удовлетворяют условиям: 1) функции ик(х), к = 1, 2, определенные на Пк = Пк и дПк, к = 1, 2, удовлетворяют в Пк, к = 1, 2, уравнениям

2

2 ^ / ^^ \

Ък ик = — ^ £)^[к<")

а=1 а \

а на границах дПк \ в = Г& условиям

ик

2) Искомые функции ик (х), к = 1, 2, удовлетворяют еще дополнительным условиям на в - границе разрыва коэффициентов и решения, позволяющим «сшить» решения и\(х) и и2(х) вдоль контактной границы в областей П1 и П2 следующего вида:

С

ох1 ох1

Т7 1 г \ { и1 (х), х € П1; \ Я^), £1 € К;

Если ввести функции вида и(х) = | Щ^ х € П2, д(0 = | ^ € К,

„(11,

ка2(х),й2(х),/2(х), х € П2, а = 1, 2,

то задачу (1) = (1а) + (1Ь) + (1с) можно переписать в более компактном виде.

Требуется найти функцию и(х), определенную на П, удовлетворяющую в каждой из областей П1 и П2 уравнению

д

1 / \ и \ <ч \ I ка '1(х),й1 (х), Мх), х € П1; ка(х),й(х), ¡(х)={ %), ! , ( , ( 1

[ к>а)(х),(12 (х), /2(Х), X € П2,

Ьи(х) = — ^^ —— ( ка(х)—— ] + d(x)q(u) = ¡(х), х € П1 и П2,

«=1 а ^ а'

и условиям и(х) = 0, х € дП = Г1 и Г2,

\к1(х)-^~ 1 = 0, С(х) = (к1(х)) = в(х2)[и\, х € 5\

1 ОХ\ у ОХ\

Здесь [и] = и2(х) — и1(х) - скачок функции и(х) на 5; ка(х), а = 1, 2, с1(х), ¡(х) -известные функции, определяемые по-разному в П1 и П2, претерпевающие разрыв первого рода на $; да(£а), а = 1, 2, - заданные функции, определенные для £а € К, а = 1, 2; в(х) = д(х), х € в - управление. Относительно заданных функций будем предполагать: ка(х) € W2>(П1) х W2>(П2), а = 1, 2, ¿(х) € ¿со(П1) х Ь^П), ¡(х) € ¿2^1) х 12^); 0 < V ^ ка(х) ^ V, а = 1, 2, 0 ^ ¿0 ^ ¿(х) ^ с10, х € П1 и П2; и,~й, с10, с10 - заданные константы; функции ца(£,а), определенные на К со значениями в К, удовлетворяют условиям: да(0) = 0, 0 < до ^ (да(£а) — Яа(Са))/(£<* — ^ ^

< для всех ^а, € ^а = ,

а = 1, 2.

Введем множество допустимых управлений

и = {д

где Ь2(в) = Н - пространство управлений, и С Н, д0, ~д0 - заданные числа. Зададим функционал цели 3 : и ^ К1 в виде

Пх

где € ^^(П^ - заданная функция.

Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти такое управление д* € и, которое минимизирует на множестве и С Н функционал д ^ 3(д), точнее, на решениях и(г) = и(г; д) задачи (1), отвечающих всем допустимым управлениям д = 9 € и, требуется минимизировать функционал (3).

Введем в рассмотрение пространство У(П(1>2)), П(1>2) = П 1 и П2 пар функций и(х) = (и1(х),и2(х)): V(П(1,2)) = {и(х) = Ыж),^)) € ^(П^ х Ж^)}, где ^(Пд), к = 1, 2 - Соболевские пространства функций, заданных в подобластях Пк, с границами дПк, & =1, 2 соответственно и нормами [15]—[19]:

Л /дик\

1 V дха)

Ъ + «к.

¿Пк, & = 1, 2.

к),

Снабженное скалярным произведением и нормой (и,'д)у = ,$к(п

к=1

2

\\и\\у = ^^ \\адкИ^1 (п), ^ = ^(П(1'2)) является гильбертовым пространством. к=1

Можно показать, что в гильбертовом пространстве V(П(1'2)) можно ввести эквивалентную норму

\Н\2 = Е /Е (ттО2 ^к + £ / «к ^Гк + /м2

к=1П «=Л к=1Г Ь

где [и] = и2(х) — щ(х) = и+(х) — и-(х) — скачок функции и(х) на 5. Здесь и2(х) = и+(х), х € в и щ(х) = и-(х), х € в — следы функции и(х) на 5 со стороны П2 = П+ и П1 = П-соответственно. Понятно, что из условия и(х) € V(П(1'2)) следует, что отображения пространств (Пк), к = 1, 2 в пространства Ь2(дПк), к = 1, 2, ограничены, так как П1 и П2 — области с Липшицевыми границами дП1 и дП2. В частности, из условия и(х) € V(П(1'2)) следует, что [м(ж)] € Ь2(Б), так как в данном случае теорема о следах [15]—[19] справедлива для каждой из сторон Б +, Б- границы контакта Б (оператор сужения из Ж2(П±) в Ь2(Б) непрерывен). Заметим также, что применение теоремы о следах к П1 и П2 позволяет определить для любой функции и(х) € V(П(1'2)) два следа с помощью операторов сужения на С другой стороны, если элемент и € V(П(1'2)), то его следы на 5 с разных сторон (со стороны П1 и со стороны П2) в общем случае различны. Сужения функции и(х) на области Пк, к = 1, 2: и1пк ,к = 1, 2, принадлежат пространствам Ж2(Пк), к = 1, 2, соответственно, но пространству ^^(П) сама функция и(х) не принадлежит, поскольку на множестве Б (при переходе из П1 в П2) она имеет разрыв ($(ж) = и2(х) — и1(х) = и+(х) — и-(х), х € Б). Заметим также, что необходимым и достаточным условием для принадлежности функции $(х) € Ж2(П) = Ж21(П1 и П2 и 5) является условие склейки: $к (х) € Ж2(Пк), к =1, 2; = "$2(ж)|ь (см., например, [19]).

Далее, так как Пк — области с границами Липшица дПк, к =1, 2, а Г1 и Г2 — соответственно их (открытые) части (куски границ 5П1 и дП2) с положительными мерами Лебега, тевГк > 0, к = 1, 2, то [20] существуют некоторые постоянные С1 и С2, зависящие только от данных областей Пд, к = 1, 2 и от кусков Г1 и Г2 соответственно, такие, что для каждой функции ид (х) € ^^(Пк), к =1, 2 имеют место соотношения:

\\ик^

^ / диЛ

г\— 4 '

¿Пк + ик АГ к

пк а 1

к = 1, 2.

2

Так как для рассматриваемых областей Пк, к = 1, 2 отображения пространств W2(Пk), к = 1, 2 в пространства Ь2(дПк), к = 1, 2, ограничены, то существуют такие постоянные С3 и С4 соответственно, не зависящие от функции ик(х), что для любых функций ик(х) € W2(Пk) справедливы оценки [16], [17]:

1К\\12(дпк) ^ Ск+2\\ик\\щ1(пк), к=1,22, вытекающие из теорем вложения пространств W2,(Пк) в Ь2(дПк).

Пусть Г& - часть дПк. Через W2 ^Пк; обозначим замкнутое подпространство пространства W2(Пk), плотным множеством в котором является множество всех функций

__о о

из С), равных нулю вблизи Г С дПк, к = 1, 2 - какого-либо участка Г границы

о

дПк, к = 1, 2. Под участками Г границы дПк понимаются куски границы дПк; естествен-

о

но, мы не рассматриваем случай, когда какой-либо из участков Г вырождается в точку;

(о\ о /о\ о о

Пк; Г ] совпадает с W2 (Пк) при Гй = 0; W2 1Пк; Г& ] =W2 (Пк) при Г = дПк. Заметим, что для элементов ик (х) € W2 [Пк; Г& ) справедливо неравенство [16]

2 о

У и2к(x)dQk ^ Ск+4(Пк, Гк) J ^)2, k = 1, 2,

Пк Пк

1 —'a a=1

с постоянной Ск+4(Пк, Г&), зависящей только от Пк и Г, при этом «площадь» куска Г

о

поверхности дПк должна быть положительной: тев Г&> 0.

о

Введем в рассмотрение пространство VГьГз (П(1,2)) пар функций и(х) = (и1(х),и2(х)): Угьг2 (П(12)) = {и(х) = (щ(х),и2(х)) € W22(Пl;Гl) х W2(П2;Г2)} с нормой:

N2, = £/£ (£)'ж» + IМ2^

УГЬГ2 „

к=1Пк a=1 S

Под решением прямой задачи (1) при фиксированном управлении д(х) = в(х) € и

понимается функция и

тождеству

Q{u,$) = J £ka (x) -ЦХи-^Г + d(x)q(u)§

dQ0+

П иП2 a=1

+ J e(x)[u][<d]dS = j f(x)ddQo = l(#).

S ПхиП2

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. При любом д Е U существует единственное обобщенное решение

u(x) = u(x; g) EVrir2 (^(1,2)) задачи (1), определяемое из интегрального тождества (5), причем

2

\\u

Г1,Г2 к=1

где C11 = Const > 0 (см. ниже).

Доказательство теоремы опирается на теорию монотонных операторов [17], [18], [21], при этом существенно используются введенные выше гильбертовы пространства V (П(1>2)),

о

Vг1г2 (П(1'2)) и введенные в них эквивалентные нормы и также неравенства (см. выше). Обратимся к тождеству (5). Нетрудно убедиться, что справедлива цепочка неравенств

Е

П1Ш2

ди

а=1 г 2

^ шах{^, ¿оЬд,до}

дха

Е

дд

дхп

'-«=1

X

Е

«=1

П1иП2 2

ди

дхс

¿П0 + в0 у | [и] | ^

¿По + J и2¿П0 + J [и]2¿Б

П1иП2 ь

1/2

X

дха

¿По + ^¿По + / ^¿Б

а

п1ип^ п1ип2 ь

1/2

Используя неравенство (4), нетрудно установить оценку

Е

а=1,

ди

< С27

¿По + [ и2¿По +1 [и]2¿Б = ^ дх« ] ]

п1ип2 п1ип2 ь к=1

2 р 2 ГЛ 2 2 р р

Е/Е Ц «Пк + Е/ "к Лк + М2^

ида») + / ^

к=10 а=1

пк

к=1

с?\М\2,

г*

где С*2 = шах{1, шах(С2, С^}. Принимая во внимание (8) и учитывая, что ид(х) = 0 на Гд, к = 1, 2, из (7) получаем оценку

Ю(и,$)1 ^ шах{й^оЬя, до}С2\Н\ о \Щ

У Г1,Г2 ^Г1,Г2*

Уи,д €Уг1,г2 .

Итак, для каждого фиксированного и €Т/г1;г2 форма (^(и,^) определяет в гильбертовом

оо

пространстве Vг1 ,г2 линейный ограниченный относительно $ €Уг1,г2 функционал (опре-

оо

деляемый функцией и €Уг1,г2), который обозначим Ф = Аи €Уг1,г2. Этот функционал задается с помощью соотношения

< Ф,$ >=< Аи,$ >= (Аи,$) о =д(и,$), Щ €\ог1 г2

УГ1,Г2

(где оператор А : Vг1,г2,г2 ставит в соответствие каждому элементу и €Угьг2 линей-

о

ный непрерывный функционал Ф = Аи в пространстве Угьг2 таким образом, что значение

о

функционала Ф = Аи на элементе $ €Уг1,г2 определяется соотношением (9)). Рассмотрим теперь правую часть тождества (5). Положим < Р,^ >= 1($). Нетрудно установить, что справедлива оценка

22

|< р,#> = IIо?)| ^ £ \\Л\\£2

к=1 к=1 1 2

где С8 = у/2шах{С1, С2}. Таким образом, функционал Р, определенный с помощью фор-

о

мулы < Р,^ >= 1($), ограничен на Vг1,г2, и, кроме того, этот функционал линеен, а

о

следовательно, Р €Угьг2. Итак, тождество (5) запишется в виде < Аи,$ >=< Р,$ >,

оо

€Угьг2 , из которого, в силу произвола § €Угьг2, получаем уравнение Аи = Р.

Покажем теперь, что существует единственное решение и ЕУгх,г2, удовлетворяющее тождеству (5). В силу теоремы Браудера [21] достаточно доказать непрерывность и сильную монотонность оператора А. Нетрудно убедиться, что справедлива оцен-

о

ка < Аи — Ад,и — § >> шт{ь',до}]\и — -$||2 , Уи,д ЕУГ1,Г2. Это означает, что опера-

Уг1,г2

оо

тор А : Уг1,г2^Vг1,г2 сильно монотонен. Докажем теперь непрерывность, точнее, даже Липшиц-непрерывность оператора А. Нетрудно убедиться, что справедлива оцен-

II о — 0

ка 1< Аи — А'в,,ц>1 ^ С9Ци — $|| о ||^|| о , ЕУГ1 Г2, С9 = тах{ь>,д>0Ь„,д0} С^.

^ГЬГ2 ^Г1,Г2

Поэтому

,, ,, 1< Аи — А'в,'п>1 о

\\< Аи — Ад,'ц>\\ о -—-1 ^ С9Ци — $|| о , Уи,д ЕУГ1 Г2,

УГ1,Г2 |М| о ^г1,г2

У Г1,Г2

т.е. оператор А непрерывен по Липшицу. Следовательно, условия теоремы Браудера выполнены, а значит, уравнение Аи = Р однозначно разрешимо.

оо

Далее, используя коэрцитивность (Vг1,г2 - эллиптичность) формы (^{и,^) на Vг1,г2:

о

Я{и,и) > С10||и||2о , Уи ЕУГьГ2, С10 = тт{^,д0} и оценку (10), получим

УГЬГ2

2

2

Сю|Н|о ^ Q(u,u) = l(u) ^ С8у || fk ||i2 (nfc)  |Ы| о . Откуда следует оценка (6) с

У Г1 ,Г2 ^ Г1 ,г2

константой Сц = С8  С—1. Теорема доказана.

В дальнейшем при изучении сходимости разностных аппроксимаций задач оптимального управления по состоянию сделаем относительно гладкости решения прямой задачи следующее предположение (аналогичное предположению, сделанному в работе [22], стр. 16, при исследовании там разностных схем для задачи с такими же условиями сопряжения), а именно: решение краевой задачи (1) принадлежит W22(H1) х W^(Q2), точнее, при-

О о

надлежит пространству VГ1,Г2 (П(1,2)) =УГьГ2 (П(1,2)) П {и = (и1,и2) Е W22(^1) х Wf(n2)}, и при каждом фиксированном управлении д Е U справедлива оценка 2 2 £ К (^)||wf(nfc) ^ М £ ||Д (х)ЦЬ2(Пк), Уд Е и, где М = Const > 0. fc=1 fc=1

Замечание 1. Здесь и далее, через С,Ск, к = 1, 7, М обозначены различные положительные постоянные, независящие от решения и(г) = и(г; д) и управления д Е U (сеточного решения у(х) = у(х; Ф^), сеточного управления Ф^ Е Uh).

3. Разностная аппроксимация задач оптимизации. Априорные оценки погрешности и скорости сходимости сеточных экстремальных задач

по состоянию

В связи с численным решением задач оптимального управления существенный интерес представляет вопрос об аппроксимации бесконечномерных задач оптимизации (1)-(3) последовательностью конечномерных задач оптимального управления. Ниже построим аппроксимации задач на основе метода сеток (см. [5], [6]) и исследуем сходимость этих аппроксимаций по состоянию при неограниченном измельчении шага h сетки дискретизации. Для аппроксимации задачи (1)-(3) нам понадобятся некоторые сетки на [0,/а], а = 1, 2, и в П. Введем в рассмотрение одномерные неравномерные сетки по х1 и х2: 0Ja = Е [0, la] : ia = 0,Na, Ха = ° ха = loc, haia = Ха Ха , Ъа = 1, ,

а = 1, 2, также введем неравномерную сетку по х1 и х2 в области П = U П2: ш = о;1 х ш2.

Очевидно, всегда можно построить сетку ш\ на [0,1\] так, чтобы точка x1 = £ была ее узлом.

При решении практических задач целесообразно выбирать в областях П и П2 равномерные шаги h^ и h12) соответственно, и исходя из положения точки Xi = £ число узлов находить из предположения h^ ~ h12). Положим xi— xi1-1) = h1, i1 = 1,N1 и x22) — x22 1) = h2, i2 = 1, N2. Значение x в точке x = С обозначим через x%, а соответствующий номер узла обозначим через N1%, 1 < N1% < N1 — 1.

Введем сетки узлов: = {x^l) = i1h1 G [0, £] : i1 = 0, N1%, N1%h1 = £},

^12) = {x(!l) = nh G [f, /1] : 11 = N1%,N1, N4h1 = /1}, ö11) = ö(11) \ {x1 = 0,x1 = £}, ш(2) = ö12) \ {xi = f,xi = /1}; Ö2 = {x22) = %2h2 G [0, /2] : 12 = 0;N2,N2h2 = /2}, ш2 = ш2 \ {x2 = 0,x2 = /2} ; ш1 = ö11) U ö12); wi = ш(1) U ш(2); ш(1) = ö11) x ш2; ш(2) = ö12) x ш2; ш(1) = ш(1) x ш2; ш(2) = ш(2) x ш2; ш = ш(1'2) = ш(1) Uш(2) = (w^ Uw12)) x ш2 = = {x{ll) = ¿ih1, гi = 07Ж, Nifh1 = (N1 — Nif)h1 = 11 — f, 1 < N1? < N — 1} x ш2, ш = ш(1>2) = ш(1) x ш(2); ш(1)+ = ш11) П (0,£], ш(1)- = й^ П [0,£), ш(2)- = ш12) П [£,/1), ш(1)(+1) = ш(1)+ x Ш2; 7S = {x = £, x2 = h2, 2h2, ..., (N2 — 1)h2> = = x^ = ^2, г2 = 1,N2 — 1}; 7(к) = дш(к) \7s; ш(1)+ x ш = ш(1) U7s = ш(1) \7(1); дш(к) = ш(к) \ш(к) - множество граничных узлов сетки ш(к), к = 1, 2. При исследовании сходимости разностных аппроксимаций нам потребуются скалярные произведения, нормы и полунормы сеточных функций, заданных на различных сетках. Множество сеточных функций y1(x), заданных на сетке ш(1) = x ш2 С П1 = П , обозначим через Н^1 (ш(1)), а множество сеточных функций y2(x), заданных на сетке ш(2) = ш12) x ш2 С П2 = П+, обозначим через Н^2)(ш(2)). Множество Н^к)(ш(к)), к = 1, 2, снабженное скалярным произведением и нормой

(Ук, Vк ^(с^)) = £ Ш (x) ^ (x) || Ук ^(с«) = (У^ Ук )^

(к)),

обозначим через ¿2(ш(к)), к = 1, 2. Здесь Н1 = Ь1(х1) — средний шаг сеток и , Н2 = Н2(х2) — средний шаг сетки ш2, [6]. Через Ж21(ш(1)) и Ш^^2'1) обозначим пространства сеточных функций, заданных на сетках ш(1) и ш(2) соответственно, со скалярными произведениями и нормами:

(Ук, Ук )\у1(ш(кУ) = Е Укх1 Vкх1 ^1^-2 + Е Ук*2 ркх2 ^1^2 + (Ук, Ук )L2(uJ(kУ),

(к)+ — —(к) +

\\Ук &!(*№) = \\^Ук\\2 + \\Ук\\1ф(к)у к=1, 22, где IV Ук\\2 = Е Укх! ^1^2 + Е ?/7X2 h1h2, к = 1, 2.

(fc)+ — —(к) + ¿1 ' хш2 с1 ' хш+

Введем в рассмотрение пространство V(с^(1'2)) пар сеточных функций у(х) = (у1(х), у2(х)), определяемое соотношением V (ш(1'2)) = {у(х) = (у1 (х), у2 (х)) € (ш(1)) х Ж2(ш(2) ^. Снабженное скалярным произведением и нормой

22

(У, и)У (с^(1,2)) = ^2(Ук, Vк )ж21 (u(k)), \\у\\у (^(1,2)) = Е \\Ук\\w-1 (w(fc)), к=1 к=1

является гильбертовым пространством. Определим сеточные аналоги скалярных произведений следов сеточных функций ук(х) и ук(х), х € ш(к), на границах дш(к сеток ш(к), к = 1,2 по формулам

дш

{у к, Vк )ь2(дш(к)) = ^^ У к {х)^к {х)тк {х), к = 1, 2, и сеточные аналоги норм Ь2{дш(кпорож-

х£дш

даемые этими скалярными произведениями ЦукН^^)) = {Ук,Ук)ь2(дш(к)) = £ У^(х)тк{х), к =1, 2,

Н1{х1), х1 Е ш^1, х2 = 0,12;

г1{х) = 4 ^2(^2), %2 Е Ш2, Х1 = 0,^;

ЫХ1) + Ь2{Х2) , х Е° (1),

к1{х1), х1 Е х2 = 0,12;

Т2{х) = { ^2{Х2), Х2 Е Ш2, Х1 = ^Ь;

1 }11{Х1) + к2{Х2) х ЕП

2

а 7 (к) - множество угловых точек прямоугольника Пк, к = 1, 2. В подробной записи, например, сеточный аналог нормы Ь2{дш(1^) будет определяться с помощью выражения

£ [у2^{0,Х2)+ у2г{С,Х2)} П2{Х2)+ £ [У2^{Х1, 0)+ У2^{Х1,12)] Ь,1{Х1).

Х2 ЕШ2 Х1 £Ш1

о( к) о

Пусть теперь 7 = дш(к П Г к = 7(к = дш(к \ - подмножество граничных узлов дш(к сетке ш(к С Пк,

к = 1, 2. Через 12{й(к); 7( к)) обозначим нормированное подпространство пространства сеточных функций Ь2 {ш(к), обращающихся в нуль на 7(к, к = 1, 2 с нормами

Ьк й^)^)) = £ У2к{ф1к2 + 2 £ у1{х)^1^2 =

хеш(к) хе^в

1

£ Ук{х)^2 + Уk{£,x2)hlh2, к =1, >2,

,.2(„\и и , _ „.2 2

хвш(к) Х2€Ш2

индуцированными скалярными произведениями

{Ук,Ук) ь2{и(к).1(к)) = £ ук{х)Ук{x)hlh2 + 1 £ Ук{х)Ук{x)hlh2, к = 1, 2.

хеш(к) хе1э

Нетрудно видеть, что

{У1,^1) 7(1)) = {У1,^1) Ь2 (Ш(1)+ХШ2) , {У2,^2) Ь2(^(2) . 7(2)) = {У2,У2) Ыш(?)-ХШ2) .

Через к); 7(к)) обозначим подпространство пространства сеточных функций

Ш^ш^), обращающихся в нуль на 7(к), к = 1, 2.

Введем в рассмотрение пространства Н^(1)^(2) {й(1,2)) {й(1,2)) пар сеточных

функций у{х) = {у1{х),у2{х)):

Н,(1),(2) {ш(1,2)) = {у{х) = {У1 {х),У2{х)) Е Ь2{ш(1); 7(1)) х Ь2{ш(2), 7(2))} , Т°7(1)7(2) {й(1,2)) = {у{х) = {У1 {х),У2{х)) Е W21 {й(1); 7(1)) х W21{й(2); 7(2))} , 2

сн°рмами ^^о = V Ьк к); 7(к)) , ||У ||2о = ^Ук |2 + ).

Ята) ^

Через е1\х1) будем обозначать элементарные ячейки отрезка [0,£]: е^1 {х\) = {Г1 : Х1 — 0.5^ ^ Г1 ^ Х1 + 0.5^}, Х1 Е ^ С [0,£], е(11){0) = {п : 0 ^ п ^ 0.5^}, е11){С) = {Т1 : С — 0^1 ^ г1 ^ ^}; а через е"22{х\) - элементарные ячейки отрезка [£,11]: е^{Х1) = {Г1 : Х1 — 0.5^ ^ п ^ Х1 + 0.5^}, хх Е С [^,/1], ¿^{О =

= {т1 : £ ^ г1 ^ £ + 0.5^}, е\ )(11) = {г1 : /1 — 0.5^ ^ г1 ^ /1}. Введем также элементарные ячейки отрезка [0,12]: е2(х2) = {г2 : х2 — 0.5h2 ^ г2 ^ х2 + 0.5h2}, х2 € ш2 С [0, /2], е 2(0) = {г2 : 0 ^ г2 ^ 0.5h2}, е 2(12) = {Г2 : I2 — 0^2 ^ Г2 ^ /2}.

Далее, через е(1)(ж) = е(1\х1,х2) = е11)(ж1) х е2(х2), х € ш(1) = ш11) х ш2 С П1, будем обозначать элементарные ячейки области П1, а через е}-2\х) = е (-2)(х1,х2) = е12)(ж1) х е2(ж2), х € ш(2) = х ш2 С П2 элементарные ячейки области П2. Пусть у(х) = ь1 (х), х € П1. Определим для функций ь1(х), х € П1 усредняющие операторы по Стеклову БХа по переменным ха, а = 1, 2:

Бх1 = J Г1,Х2)(1г 1, Х1 € ш(11), = ^(х) = | ^^ 0 £

е11)

БХ2 Ь1(х) = -1 У Ь1(Х1, Г2)^2, Х2 € Ш2, ^2 = ^2(^2) = | ^^ ^^ 0 12

е2

С помощью одномерных операторов БХа, действующих по направлению ха, а = 1, 2, определим усредняющий оператор Бх = БХ1БХ2 как произведение одномерных усредняющих операторов. Аналогично определяются усредняющие операторы по Стеклову для функций ь(х) = ь2(х), х € П2. В дальнейшем через Н^1 (ш(1) и ) = Ь2(ш(1) и ) будем обозначать пространство сеточных функций ь1н(х), х € ш(1) и , заданных на сетке ш(1) и , со скалярным произведением и нормой:

хеш

\\У1Ь(хЩ)(ш(1)и13) = (ут, ^н11)(ш(1)и1з) .

Аналогично вводится пространство сеточных функций Д^2)(ш(2) и уь) = Ь2(ш(2) и уь). Задачам оптимального управления (1)—(3) поставим в соответствие следующие разностные аппроксимации: минимизировать сеточный функционал

Мфн) = Е |У

х€-

о

при условиях, что сеточная функция у(х) = у(х, Фн) = (у1(х, Фн), у2(х, Фн)) € У1(1)1(2) (ш(1'2)), называемая решением разностной краевой задачи (разностной схемы) для зада-

о

чи (1), удовлетворяет для любой сеточной функции ь(х) = (ь 1(х, Фн), ь2(х, Фн)) € У7(1)7(2) (ш(1'2)) сумматорному тождеству

Яь(У, V) = < £ £ а[нУ1х1 У1Х1 h1h2 + £4/^1x2 ^Х2 +

+ 1 Еа2н)(С,%2)У1Х2 ,^2)У1Х2 (С,Х2)111^ > +

ш2+ I

Г 2

+ < £ ^а1)У2Х1 Ь2Х1 h1 h2 + ( ££ У 2x2 V2x2 h1h2 +

[Ш

+ 2 £ akk¡l{C,X2)У2х2 {с,х2)у2х2 } + ^ Ф Ь{х) [У{£, , %2)]Ь +

2

Ш2

+ И £ ¿(¡{^яЛу^))'"^)"^ + 1 £ ^н{£>,Х2)д1{у1{^,Х2))У1{£>,Х2^^2\ +

2

,.)(1) "2

+ ( £ d2h{x)q2{У2{x))v2{x)hlh2 + 1 £ (12н{£,Х2)д2{У2 {С, Х2))У2{£, Х2^^2

2

^(2) Ш2

£ flh{x)Vl{x)hlh2 + 1 £ ¡1на,Х2^1а,Х2^^Л +

Чш(1) Ш2 '

+ ¡2к{х)ь2{х)^ h2 + 2 £ f2h{C,x2)v2{C,x2)hlh^ > = 1Н {ь),

а сеточные управления Ф^х), х Е таковы, что

$^х) Е = ^ Е 12{-

где Ь2 {^в) = Hh - пространство сеточных управлений Фh, заданных на сетке С в со скалярным произведением и нормой

, Ф*)ь2Ш = Е ^ Фh{x)фh{x), 11 ^ 11 2Ь2Ы) =

х€-/з

Здесь а^^х), а^1{х), ¿„¡{х), а = 1, 2, /1}г{х), /2ъ,{х), ^¡¡{х) - сеточные аппроксимации функций ка ) {г), к{а){г), ¿а{г), а =1, 2, ¡({г), ¡2{г), и{01) {г), определяемые через усреднения по Стеклову:

а(¡){х1,х2) = — I к^{х( — 0.5"(,г2) ¿г2, х Е х и2,а = 1, 2; ">2 3

а2а>{х1,х2) = — к2а\г(,х2 — 0.5^) ¿г(, х Е х ш+,а =1, 2;

е(Г\х1) £

а(2{£,х2) = ! к(\г1,х2 — 0^2) <1г(, х2 Е ш+;

£-0.5^ £+0.5^

а<2н{£,х2) = h~ J к(2){г1,Х2 — 0^2) Х2 Е ш+;

1

<1^{х) = JJ йа{т'(, г2) <1г((1г2, х Е ш(а), а = 1, 2;

еа

¿1н(€,х2) = / J ^(ГЬГ2) ^Гфъ, Х2 € Ш2;

^+0.5 к!

¿2Н(£,х2) = ! J ¿2(Г1,Г2) ¿Г1(1Г2, Х2 € ш2;

£ е2

/ак(х) = JJ /«(г1,г2) ¿гф2, X € ш(а\ а = 1, 2;

е

?

ьН(£,х2) = ! J Ь(Г1,Г2) ¿Г1йГ2, Х2 € Ш2;

5-0.5^1 в2(х2) ^+0.5^1

¡2к(С,Х2) = ! J ¡2(Г1,Г2) дьГф2, Х2 € Ш2;

? е2

и0ь(Х) = ff М01)(Г1,Г2) 1^2, X € Ш(1) = Ш(11) X Ш2.

е

Теорема 2. Задача о нахождении решения разностной схемы (12) при любом фиксированном управлении Фк € ик эквивалентна решению операторного уравнения Аку =

где Ак - разностный оператор, действующий из У1

в У7(1)7(2) а се-

точная функция €Т/7а)7(2) (ш(1'2)) определяются равенствами

Задача (разностная схема) (12) однозначно разрешима для любого сеточного управления Фк € ик, причем справедлива априорная оценка

Х; Фк )Ь

^7(1)7(2) • )) ^ >ь>

Доказательство. Используя ограничения на входные данные краевой задачи (1), неравенства Коши-Буняковского и Гельдера, разностные аналоги теорем вложения, можно убе-

/

диться, что форма Qh(y,v) и 1к(и) для любого фиксированного у €У7(1)7(2) (ш(1'2)) и для УФк € и к определяют линейные ограниченные функционалы в пространстве сеточных

функций У7(1)7(2) (ш(1'2)) и, следовательно, однозначно представимы в виде (14). Отсюда и из (12), в силу произвольности V, получим, что сумматорное тождество (12) определяет операторное уравнение Аку = Рь. - разностную схему. Кроме того, можно убедиться, что оператор Ак разностной схемы (12) сохраняет основные свойства дифференциального оператора исходной задачи (1) - сильную монотонность и липшиц-непрерывность. Следовательно, условия теоремы Браудера [21] выполнены, а значит, уравнение АкУ = ^ однозначно разрешимо. Оценка (15) следует из коэрцитивности оператора Ак. Теорема доказана.

Задача (12) является сеточным аналогом исходной задачи для состояния (1) с разрывными коэффициентами и решением (состоянием).

Установим связь между и(г; д) - решением прямой задачи (1) с разрывными коэффициентами и решением у(х, Фи) = (у1(х;Фи),у2 (х; Фи)) - решением аппроксимирующей ее разностной задачи состояния (12) при к ^ 0, для любых фиксированных управлений д Е и и Фи Е и^, где и и и^ - множества допустимых управлений в задачах оптимального управления (1)-(3) и (11)-(13) соответственно. Пусть

и(г; д) = (и1(г; д),и2(г; д)) Е УГ1Г2(П(1'2)) - решение прямой задачи (1), отвечающее допустимому управлению д Е и, а у(х, Фи) = (у1(х;Фи),у2(х;Фи)) ЕУ7а)7(2) (ш(1'2)) - решение задачи (12), отвечающее сеточному допустимому управлению Фи Е и^. Обозначим через г(х) = г(х; д, Фи) = (г^х; д, Фн),г2(х; д, Фн)) = (у1(х;Фн) — щ(г; д),у2(х;Фн) — щ(г; д)) -погрешность метода по состоянию.

Для определения погрешности х(х) разностной задачи (12) получаем, очевидно, уравнение А^у — А^и = фи, где сеточная функция фи - погрешность аппроксимации разностной схемы (12) определяется соотношением

1 2(_(1,2)} = — А1ги,ь) о ^ 2(_(1,2)) = 1и(у) — Qh(u,v), Уу е^/7172 (^(1,2)).

Априорную оценку погрешности метода по состоянию устанавливает

Теорема 3. Пусть д Е и и Фи Е ии - произвольные управления, а и(г; д) и у(х, Фи) -соответствующие им решения задач состояния в экстремальных задачах (1)-(3) и (11)-(13). Тогда для любых к> 0 справедлива оценка скорости сходимости метода сеток по состоянию для экстремальной задачи (1)-(3):

2

| | у(х; Фи) — и(х; д) \\ о ^ с{ Щ (\\ к™ \\^(па) +

7172 ( ) I 1а=1 \

+ \ \ к2а) \ \

2 1 2 + \ \в \ \ \ \ Па \ \ \У2(Па) + \ \ ЯХ2 ^(х2) — ФИ(Х2)\\ь^(Ш2) £ \К\и22(Па) [ .

а=1 ^ а=1 ^

Доказательство. Пользуясь разностными формулами суммирования по частям, Грина, используя идеи работ [1]-[5], [10]—[13], приведем погрешность аппроксимации фи(х), после довольно громоздких преобразований, к специальному виду:

1 2(_(1,2)) = — £ £ (ФаХ1 к1Щ2 — ££ Е^Н^Х Щ1Щ2 —

а=1 ш(а0+ Ш2 а=1 ш2

1 Е ^21)(с,х2)у1х2 (С,Х2)Щ1Щ2 — ^2)(с,х2)у2Х2 (С,Х2)Щ1Щ2 +

--У II~ /— ( Л 7 1— /— I С\ I I I 1 I I С\ -

2

ш+

2

+ ЕЕ ^ ^а

а=1 ш(а) ш2

1

2

+ /Ч{з\£,Х2)М£,Х2)Щ1'к2 — £ Щ(Х2)[У(£,Х2)] • Щ2

Ш2 Ш2

где

^1а)(х) = а\а^(х)иа^1 (х) - ! к1а)(х1 - 0.5к1,Г2)х

£2

диа(х1 - 0.5-1, г2) , («)+ , п

х---аг2, х € ш1; х ш2,а =1, 2;

1

(а) / \ _ («)/\ /\ ^

^2 (Х) = а2к (Х)иах2 (х) - —

дг1

1

к^)(г1,х2 - 0.5к2)х

х

диа(г1 ,х2 — 0.5к2) дг2.

е[а)

дьГ1} х € х ш+, а = 1, 2;

'п21] (С,Х2) = (£, Х2)иШ2 (С,Х2) - ^ У ^ (г1, х2 - 05-2) х

ди1

...... .... . , >2 ;

X

дг2

г1, х2 € ш+-

2

+ 0.5к1

ч22)(£,Х2) = а2)(£,Х2)тх2 (С,Х2) - 2 I к{2)(г1,Х2 - 0.Ъ-2)х

X

ди1

дг2

¿г1, х2 € ш+;

"п3а\х) = ¿ак(х)да(иа(х)) -

-1 -2

¿а(г)да(иа(г))йг, х € ш(а\а =1, 2;

г

ЧзЧ^^ = &1к(С,х2)Я1(П1(С,Х2)) -

<Л()(^,Х2) = ¿.2к(£,Х2)д2(П2(£,Х2)) -

-1-2

¿1(г)д1(и1(г))йг, Х2 € и2;

£-0.5к1 в2(х2) + 0.5к1

-1-2

й2(г)д2(и2(г))йг, Х2 € и2;

? £2

Щ(Х2) = Фк(х2) [и(£, Х2)] - I 9(г2) , Х2)] &2, Х2 € Ш^.

е-2

Принимая во внимание уравнения для погрешности АкУ - Аки = ^к, представление (16), а также разностные аналоги теорем вложения Соболева, эквивалентные нормировки пространства У7172(р(1,2)) (см. выше), неравенства Коши-Буняковского и Гельдера, получим оценку

Ых;д,(^(1,2)) = \\у(х;фк) - и(х;дЦ ° (^а>2)) С

77 \1/2 / 77 \1/2

С м<

Г 2 /

{Е ЕЕ^'

а=1 '-У , .(<*)+ Ш2

(а)/\\2

(х)) -1-2

+

/

1/2

( <*) , +

X)) -1 -2

+ (^(^2а)(^,Х2))2-1-2) + (^(^(^П-) +

+

1/2п

Ш2

1/2.

Ш2

1

2

2

Для оценки левой части неравенства (18) через параметр к и, тем самым, получения оценки скорости сходимости аппроксимаций по состоянию, достаточно установить оценки величин (17):

Е ЕС^))2^ ^ М211 к[а) | | |1 11 2 ,а = 1, 2;

(а)+ Ш2 °1

ЕЕ^ (х))% к12 ^ м211 к2а) 11к2 11 иа 112Щ2(Па),а =1, 2;

)

ЕС^3»)) %к2 ^ М2 11 к2а) 111МЩ211 иа 11 2^ а = 1, 2

:19)

(х))2Ьк12 ^ М2Ь211 ¿а111^а)Щ211 иа11 222(Пв),а = 1, 2;

о

\}12 ^ М2Ь2 11 ¿а 111МЩ2 11 иа 112^ а = 1, 2

Ш2

у£п1(Х2)Н2 < М2 [к211в11+11вХ20 - Фь1 Ц^] Е Ы ,

Ш2 к=1

доказательства которых содержат громоздкие выкладки. Поэтому мы ограничимся доказательством, например, первой из оценок в (19) при а = 1. Нетрудно убедиться, что справедлива цепочка неравенств:

1

Х1

к{1\х1 - 0.5к1 ,г2)

к к

1к2

Х1-к1 е2

Г1

д2и1

Х1-0.5к1

д2и1

2

} дг^дв

Х2

д2и1

¿8

¿г1д,г2

дт2

)Ф + Ц

« (к 112)-"2 11 11 ^(Щ X

д2и1

Х1

Х1 -к1 е2

дглдв

дт2

к1

Х1-И1 2 \ 1/2-

йг^з 1

(1)+

йт—

<

< 21/2 11 к11] 11 Ь^1)Шк1к2) 1/2 11Щ 11 Wi((хl-hl,х2)xe2(х2)), Х Е Ш11]+ Х "2. Теорема доказана.

Замечание 2. На основе установленных в настоящей работе оценок точности аппроксимаций по состоянию будут исследованы в дальнейшем проблемы сходимости аппроксимаций по функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций.

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс. 2002.

2. Ишмухаметов А. З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М.: ВЦ РАН. 1999.

3. Ишмухаметов А. З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: ВЦ РАН. 2001.

4. Потапов М. М. Аппроксимация экстремальных задач в математической физике (гиперболиче- ские уравнения. М.: Изд-во МГУ. 1985.

5. Лубышев Ф. В. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Уфа: БГУ. 1999.

6. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976.

7. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

8. Цурко В. А. О точности разностных схем для параболических уравнений с разрывным решением // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 7. С. 986-992.

9. Цурко В. А. Разностные методы для задач конвекции-диффузии с разрывными коэффициентами и решениями // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. № 2. С. 274-280.

10. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах // Докл. РАН. Т. 349. № 5. 1996. С. 598-602.

11. Лубышев Ф. В., Файрузов М. Э. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. Т. 41. № 8. 2001. С. 1148-1164.

12. Лубышев Ф.В., Манапова А. Р. О некоторых задачах оптимального управления и их разностных аппроксимациях и регуляризации для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. Т. 47. № 3. 2007. С. 376-396.

13. Лубышев Ф.В., Манапова А. Р. Разностные аппроксимации задач оптимизации для полулинейных эллиптических уравнений в выпуклой области с управлениями в коэффициентах при старших производных // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. Т. 53. № 1. 2013. С. 20-46.

14. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа. 1985.

15. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: СО АН СССР. 1962.

16. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.

17. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978.

18. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1988.

19. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989.

20. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир. 1985.

21. Браудер Ф.Е. Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с частными производными. Новосибирск. 1963.

22. Дренска Н. Т. Точность численных алгоритмов для одномерной задачи об остывании металла в формах // Вестник Московск.университета. Сер. 15. Вычислит. матем. и кибернетика. № 4. 1981. С. 15-21.

Айгуль Рашитовна Манапова, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: aygulrm@mail .ru

Федор Владимирович Лубышев, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: aygulrm@mail .ru