Оптимальный алгоритм и программы построения изохронного магнитного поля на основе статических равновесных орбит в ускорителях с азимутальной вариацией

Сер. 10. 2009. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.938

С. Н. Андрианов, С. А. Артамонов

ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ И ПРОГРАММЫ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОХРОННОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ОСНОВЕ СТАТИЧЕСКИХ РАВНОВЕСНЫХ ОРБИТ В УСКОРИТЕЛЯХ С АЗИМУТАЛЬНОЙ ВАРИАЦИЕЙ

Введение. Основной проблемой при создании изохронного циклотрона является задача формирования такого магнитного поля, которое было бы способно обеспечить устойчивость движения ускоряемых частиц в вертикальном и радиальном направлениях, а также изохронный режим ускорения во всем диапазоне требуемых радиусов. Если при этом дополнительно ставится задача получить поле нужной конфигурации с помощью только железных масс, не используя подстроечные катушки, то проблема еще более усложняется, так как в таком случае изохронное магнитное поле должно быть создано с высокой точностью. Поскольку приближение к нужному распределению поля осуществляется, как правило, методом проб и ошибок, т. е. путем неоднократных экспериментальных измерений и последующих коррекций тех или иных элементов магнитной структуры, то объем магнитных измерений и механических работ довольно высок. Потому для практических нужд крайне необходимо построение такой расчетной процедуры, которая позволяла бы значительно уменьшить число итераций на пути создания требуемой конфигурации магнитного поля. Напомним, что в изохронном циклотроне измерения поля проводятся в цилиндрической системе координат (r,<p,z), в результате чего становится известным азимутальное распределение поля на различных окружностях фиксированного радиуса.

Цель настоящей работы - создание эффективного алгоритма нахождения такого же поля на круговых орбитах, как при практических измерениях, которое позволяло бы обеспечивать как устойчивость движения, так и изохронность ускорения во всем необходимом диапазоне радиусов. Тем самым оптимальным образом конструируется

Андрианов Сергей Николаевич — доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 150. Научное направление: разработка математических и компьютерных моделей сложных динамических систем с управлением. E-mail: sandrianov@yandex.ru.

Артамонов Станислав Александрович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, заведующий группой обработки информации Лаборатории физики и техники ускорителей ускорительного отдела Петербургского института ядерной физики РАН. Количество опубликованных работ: 110. Научные направления: ускорительная физика, теоретическая физика и компьютерное моделирование. E-mail: start@pnpi.spb.ru.

© С.Н.Андрианов, С.А.Артамонов, 2009

изохронное, способствующее фазовой устойчивости, магнитное поле в ускорителях с азимутальной вариацией и облегчается процедура его практического построения. Алгоритм реализован на языке Еойгап для двух возможных вариантов периодичности магнитной структуры: с периодом Т = 2п/Ж и суперпериодом Т = 2п. Эти пакеты программ совершенно автономны и могут быть поставлены на любую платформу. Отличительными особенностями алгоритма являются те обстоятельства, что уравнения движения в нем не линеаризуются, как это делали ранее, а также не переводятся в представление сопровождающего трехгранника. Алгоритм реализован в той системе координат, которая близка и понятна экспериментаторам. Кроме того, в нем на основе точного численного определения частоты обращения равновесной орбиты строится такое среднее изохронное поле, которое и должен будет сформировать физик-экспериментатор. Одновременно при численных расчетах определяются частоты вертикальных и горизонтальных бетатронных колебаний, уточняются другие параметры изучаемой магнитной структуры, включая и нелинейные эффекты.

Алгоритм прошел всестороннюю апробацию при конструировании сооружаемого в настоящее время многоцелевого изохронного циклотрона в Петербургском институте ядерной физики РАН на энергию 75-80 МэВ и током выведенного пучка порядка 100 мкА. Циклотрон предполагается использовать как для решения фундаментальных проблем ядерной физики, так и для наработки для Северо-Западного региона радиоизотопов и лечения мелономы глаза.

Кроме того, данный алгоритм широко применялся для изучения возможности ускорения Н~-ионов в циклотроне К-130 в г. Ювяскюла в Финляндии. Сейчас К-130 успешно работает и ускоряет, наряду с другими частицами, Н~-ионы с последующим их выводом для трех уровней энергии.

Следует отметить, что для современных циклотронов, используемых, в частности, для наработки радиоизотопов, характерно ускорение именно отрицательных ионов водорода. В этом случае возможен вывод пучка с любого достаточно удаленного от центра циклотрона места, устанавливая на нужном радиусе тонкую обдирочную фольгу. Отрицательные ионы, проходя через фольгу, теряют электроны и превращаются в положительные; кривизна траектории меняется на обратную, и протоны легко выводятся из области магнитного поля. Пучок протонов, извлеченный из циклотрона подобным образом, обладает рядом желаемых характеристик. Во-первых, эффективность вывода составляет практически 100%, что повышает КПД ускорителя, уменьшает дозовые нагрузки при выполнении ремонтных работ и снимает экологические проблемы, связанные с активацией. Во-вторых, пучок имеет хорошую вертикальную фокусировку. В-третьих, радиус вывода пучка (и соответственно энергия протонов) может быть изменен перемещением обдирочной фольги.

Основные уравнения. На частицу с зарядом д, движущуюся в статическом магнитном поле В со скоростью V, действует, как известно, сила Лоренца

Е = - [у, В],

С

здесь с - скорость света.

Тогда релятивистские уравнения движения в общем случае можно представить следующим образом:

£=^,В],

аъ с

где импульс частицы р и ее масса т связаны обычными соотношениями

Р

то 1 V ¿И

7 ’ 7 л/1 — /З2 ’ с’ У А'

в которых то - масса покоя частицы, а И. - радиус-вектор орбиты, вид которого зависит от конкретного выбора системы координат.

Выберем для рассматриваемого случая цилиндрическую систему координат, тогда положение частицы в пространстве будет определяться координатами г, у>, г. Переходя в уравнениях движения от независимой переменной Ь к независимой переменной <р и выполнив необходимые преобразования, можно получить

г" = г + 2------------1-

г

д\/ г'2 + г2 + г'2 у/Е?-Щ ~

Ч

\/ г'2 + г2 + г'

2-----+ ,________________

г у/Е2 - Е2

( г 2\ г.ігі

Вг I г -|-I — Вг-В^г'

гг

Вг--Вг г+— — Всрг'

гг

Здесь штрих означает дифференцирование по у>, Вг ,ВГ, Вр - компоненты магнитного поля В, Е = тс2 - полная энергия частицы, Ео - ее энергия покоя.

Для идеального изохронного циклотрона в медианной плоскости г = 0 компоненты поля Вг = 0, Вр = 0. В этом случае уравнения (1) описывают периодические движения с периодом

п

Т=21,1 = ~,

где N - число элементов периодичности магнитной структуры. В частности, для Гатчинского изохронного циклотрона (ГИЦ) N = 4.

Однако из-за неточностей в изготовлении элементов магнитной структуры, например перекосов ярма магнита при монтаже и тому подобных обстоятельств, такое условие в реальных машинах не всегда выполняется. Поэтому, строго говоря, элементом периодичности возмущенной по указанным выше причинам магнитной системы циклического ускорителя является не выражение (2), а весь оборот, так называемый суперпериод [1]:

Т = 21, I = п.

В этом случае, вообще говоря, Вг = 0 и Вр = 0. Но в статическом магнитном поле гс^В = 0, что приводит вблизи медианной плоскости к уравнениям

Вг =

дВ дВг -аг = ——г,

дг

дг

В^ = -г

дВ _ дВгг

дір дір г

Это обстоятельство позволяет при магнитных измерениях ограничиться определением только компоненты поля Вг, поскольку другие компоненты могут быть выражены через соответствующие производные от нее (4). Тем не менее и для периода 2п^, и для суперпериода Т = 2п предполагается наличие в системе плоскости симметрии -медианной плоскости г = 0, где компонента магнитного поля является периодической функцией с периодом Т только переменных г и у>, т. е. Вг (г, ц>) = В (г, у>).

При проведении магнитных измерений в цилиндрической системе координат эта компонента измеряется датчиками Холла при каждом фиксированном значении г

2

2

2

г

2

2

по полному кругу или на элементе периодичности, а затем, как правило, разлагается в ряд Фурье для последующего анализа:

- коэффициенты ряда Фурье, Ак(г) = \/а2к(г) + Ь2к(г), Фк(г) = аг&%(Ьк{г)/ак{г)) -амплитуда и фаза к-й гармоники соответственно.

В этих и дальнейших формулах I принимает значения из (2) или (3) в зависимости от того, на каком элементе структуры выполняются измерения, а также поиск периодических решений для уравнений (1). Отметим также, что верхний индекс суммирования в выражении (5) в практических расчетах, как правило, не превосходит значения Ып, где п = 5, и может быть легко изменен.

Статические равновесные орбиты. Как известно, соответствие между радиусом г и импульсом р в периодическом по азимуту магнитном поле удобно для равновесной частицы, совершающей движение по г, записать в форме, аналогичной аксиальносимметричному полю [1]:

Тогда интегрирование модифицированного с учетом соотношения (6) первого уравнения системы (1) с некоторыми начальными условиями г(0) и г'(0) дает траекторию частицы для фиксированного радиуса г = гк. Чтобы она была равновесной, необходимо выполнение условий периодичности

Будем определять равновесную орбиту методом последовательных приближений. Пусть первым из них будет приближение, полученное численным интегрированием первого уравнения системы

а выражение для г'1 (0) извлекается из (8) путем дифференцирования его по г. Здесь введены обозначения

Здесь В (г) = ^ /д1 В (г, <р)<1<р - среднее по азимуту ср магнитное поле,

21

21

р = -гкВ(гк). с

гвя(21) = ^(0), геч(21) = геч(0).

из [2]:

В(гк) Лг

\т = Гк ,

\т=тк .

В результате такого численного интегрирования будут получены, в частности, значения г 1(21) и г\(21). Приближенные начальные условия г'(0) и г' (0) могут, вообще говоря, отличаться от истинных начальных условий гед(0) и ^(0) на некоторые поправки Дг1 (0) и Дг' (0). Тогда можно написать

геЧ

Для определения этих поправок привлечем метод линейной интерполяции, впервые предложенный в работе [3], который получил развитие и хорошо зарекомендовал себя при различных практических программных реализациях [4,5]. Поскольку первое приближение дает орбиту, которая совершает свободные колебания около искомой равновесной орбиты, то можно надеяться, что поправки связаны друг с другом простыми линейными уравнениями

Дг1

где Р, Q, К, Б - пока еще неизвестные коэффициенты. Учтем теперь условие периодичности (7), что даст

Дг1(21)+г1 (21) = Дг1(0) + г1(0), Дг' (2/)+г' (21) = Дг' (0) + г'(0).

Тогда соотношения (10) примут вид

Система уравнений (11) служит для расчета неизвестных поправок Дг1(0) и Дг' (0). Коэффициенты Р, Q, К, Б должны быть предварительно определены при помощи двух дополнительных численных интегрирований модифицированного первого уравнения системы (1) с начальными условиями

г2(0) = г'(0) + 5г, г'2(0) = г'(0) и гз(0) = г'(0), г'3(0) = г'(0) + 5г',

где 5г и 6г' - заранее заданные малые константы. В результате, опираясь на предположение о линейности отклонений орбиты г'

г2

5г ’ 4 5г' ’ 5г ’ 5г' '

Решив систему (11) относительно Дг'(0) и Дг' (0), после четвертого интегрирования модифицированного первого уравнения системы (1) с поправленными начальными условиями

г4

можно получить первое приближение к равновесной орбите: г4(<^>). Мерой нелинейности отклонения г'(^) от гед(^) служит отличие определителя системы (10) от единицы.

Если же найденное с начальными условиями (12) решение не удовлетворяет условиям (7), то описанную процедуру следует повторить и тем самым получить более близкое приближение к гед(^), чем предыдущее. Для этой цели нужно переопределить г'(^) и г' (у>), положив г'(^) = г4 (у>), г' (у>) = г4 (у>) и перейти к выражениям (9). Критерием окончания такого итерационного процесса может служить условие

(|г4(2/) - г4(0)| + |г4(2/) - г4(0)|) < £,

где е - заданная заранее константа, которая может быть изменена. Как правило, значения е ^ 10~6 оказывается вполне достаточно для большинства расчетов.

Расчет параметров равновесных орбит и изохронного поля. После нахождения равновесной орбиты при некотором радиусе г = гк можно вычислить период обращения Тец частицы на ней:

Teq = l-f,

где ¡ец - длина найденной равновесной орбиты, определяемая выражением

21 ___________

/еч = У у/^Т^)Лр,

0

а V = су/1 — (Ео/Е)2) - скорость частицы при движении по этой орбите. Также можно вычислить и среднее по равновесной орбите магнитное поле Вец

¿1 j-----------------------

I B(r Ф) V r2(<p)+r,2(<p)dv

~2l i

I yr2(^) + r>2(фМф

ДеЧ=° 2i ,___________________•

i

о

Найдем теперь частоты бетатронных колебаний. Для определения радиальных частот vr проинтегрируем сначала первое уравнение в (1) дважды с начальными условиями

r5(0)= req(0)+ СЬ r5 (0) = req(0) и r6(0) = req(0), r6(0) = ^(0) + Ch

где req(0) и req(0) - начальные условия для установленной равновесной орбиты; ci -произвольная малая заранее заданная константа. Затем, построив матричные элементы матрицы перехода M

Mil = r5

M21 = r5

как обычно, можем вычислить

Мц + M22 oi n ^

COS Hr = --------------, jj,r = ¿lvr.

2ci

Аналогично, для определения аксиальных частот vz проинтегрируем второе уравнение в (1) дважды со следующими начальными условиями:

zi(0) = С2, zi (0) = 0 и z2(0) = 0, z2 (0) = C2,

где c2 - произвольная малая заранее заданная константа. Строя затем подобно (16) матричные элементы матрицы перехода L для z-движения, находим

Lii + L22 0, /1 0ч

cos fj,z =---- --------, fj,z = 2 lvz.

2c2

Теперь, когда известны все параметры равновесной орбиты, можно перейти к процедуре построения изохронного магнитного поля, которая состоит из двух основных этапов.

Первый этап использует некоторые результаты работы [2], полученные в рамках определенных приближений. В частности, следуя этой работе, среднее по азимуту магнитное поле будет изохронным, если оно изменяется с радиусом согласно выражению

В,ъ = , В°т

•у/1 — Г2Т2(г)/Д2

в котором

л2 I л Л!

-(’) =1 - £ цп’ т

n=1 ^ ' *

Rc = c/w0 = const - циклотронный радиус, B0 - поле в центре циклотрона, w0 =

qBo/moc - циклическая частота циклотрона. Вместе с тем период обращения в этом

случае может быть вычислен таким образом:

Г,„ =

V

При строго изохронном режиме ускорения для каждого радиуса r = rk должно выполняться условие

Tth = To,

где

2П

То = — = const.

^о

Если соотношение (22) нарушается хотя бы при одном значении радиуса r = rk, то произведем замену экспериментального значения В (г) в выражении (5) на соответствующее BthW из (19). Затем, пересчитав все необходимые величины, вновь найдем равновесные орбиты в требуемом диапазоне изменения r и определим новые их параметры. Критерием окончания этого итерационного процесса служит условие

Tth

п

где £th - заданная заранее малая константа, которая может быть изменена при необходимости.

На самом деле период обращения равновесной частицы определяется выражениями (13) и (14). Среднему же полю, которое будем принимать в дальнейшем за изохронное, соответствует соотношение (15). Однако на эксперименте среднее поле измеряется только на круге, и только оно может быть в дальнейшем каким-то образом изменено и измерено экспериментатором. Поэтому построим второе приближение к изохронному полю, опираясь уже на период обращения, определяемый выражением (14). По своей идее данная процедура близка к так называемому баллистическому методу, который часто применяется в ядерной физике для поиска собственных функций и энергий одночастичного уравнения Шредингера [6]. Положим в самом начале этой процедуры Вiz = Вth- Пусть г - номер итерации, тогда

в£\г) = Btl\r) - АВ, если Teq(r) < То,

или

вЦ\г) = Btl\r) + АВ, если Teq(r) > То,

где АБ - заранее заданная константа изменения поля, которая специальным образом уменьшается в процессе итераций. Естественно, что на каждой итерации вновь находим равновесные орбиты и пересчитываем параметры движения частиц во всем требуемом для анализа диапазоне изменения г. Попутно будут уточнены радиальные (17) и аксиальные (18) частоты, характеризующие устойчивость движения. При этом блок, соответствующий первому этапу построения изохронного поля (см. уравнения (19)-(24)), должен быть пропущен. Критерием окончания данного итерационного процесса служит условие

Тес То

-1

ея,

где еея - заданная заранее малая константа, которая может быть легко изменена.

Выполнив два этапа по построению среднего поля, можно в первом приближении уточнить амплитуду основной гармоники. Для этой цели используем выражение (20) при п =1. Найдем сначала т(г) из (19) и подставим в (20). Затем в (20) сделаем тривиальную подстановку

у

и выполним интегрирование дифференциального уравнения. Тогда, возвращаясь к АN (г), получим

А% (г) =

2(М2 - 1) I 1

О (г ~го)~

г]г

[Во/виг)]2 + [г/ЕсГ

+

го

2

г ) "4лг°’

где

А2

АМ0

АЫ0 (г)\г=т0 ,

а го - минимальный радиус, при котором магнитное поле практически не изменялось в процессе интегрирования.

Таким образом, предложенная процедура позволяет прогнозировать изменения и амплитуды основной гармоники. Итерационный процесс нужно повторять до тех пор, пока будет не достигнута требуемая точность определения магнитного поля.

Результаты некоторых расчетов ГИЦ и К-130. Работоспособность представленного выше алгоритма была проверена сначала на одном из вариантов магнитного поля модели строящегося в ПИЯФ ГИЦ.

Данной модели соответствовали сравнительно небольшая спиральность секторов и коэффициент подобия к\ = 1.36. При этом результат расчета новых значений AN(г), согласно выражению (25), представлен на рис. 1, б. Видно, что изменения в амплитудах Адг(г) в точности соответствуют изменениям в изохронном поле В;2(г) (см. рис. 1, а).

Затем на такой модели подробно изучались основные параметры магнитной системы создаваемого ГИЦ, в частности аксиальная фокусировка и потери Н~-ионов на электродиссоциацию в процессе их ускорения до 80 МэВ [8]. Было выявлено, что для сокращения потерь в 2 раза необходимо увеличить геометрическую спиральность секторов примерно до 65-70°, сохранив те же самые соотношения между зазорами холмов и долин, а также азимутальную протяженность секторов [7].

Для исследования новой, крутоспиральной магнитной структуры была создана еще одна модель магнита ГИЦ с коэффициентом подобия к2 = 8. Из-за малых ее размеров требуемое изохронное поле было смоделировано более грубо, чем на модели с к\ = 1.36.

Г

2

г

Рис. 1. Зависимость изменения в изохронном поле В (а) и амплитуд Лы (б) от радиуса г

а: 1 - экспериментальное среднее по азимуту магнитное поле модели ГИЦ [7], 2 - изохронное магнитное поле, полученное с помощью предложенного алгоритма; б: 1 - исходная экспериментально измеренная амплитуда основной гармоники [7], 2 - уточненная амплитуда основной гармоники.

Заменяя экспериментальное среднее поле расчетным изохронным полем, удается получить необходимые для дальнейшего анализа параметры магнитной структуры ГИЦ, например оптимальные радиальные уг и аксиальные бетатронные частоты для модели с к2 = 8 (рис. 2, а, б).

Рис. 2. Частоты радиальных (а) и аксиальных (б) бетатронных колебаний для модели ГИЦ с &2 = 8 [7]

Результат оптимизации поля по предложенному алгоритму приведен на рис. 3. Для ориентировки на нем дана кривая 3, которая представляет собой так называемое релятивистское среднее поле

В0

в геї (г) =

у/1 -г2/Щ'

Эти расчеты позволили установить зависимость уг от уг и получить в первом приближении положение так называемой рабочей точки циклотрона ГИЦ (рис. 4).

Рис. 3. Экспериментальное (1) среднее по Рис. 4. Положение рабочей точки модели

азимуту магнитное поле модели ГИЦ с ГИЦ с к2 = 8, полученное на основе алго-

&2 = 8 [7], изохронное магнитное поле (2), ритма

полученное с помощью предложенного алгоритма, релятивистское среднее поле

Тем самым было выявлено, насколько близко данная точка может проходить около линий, определяющих реализацию резонансных условий [1]:

кг уг + кг тг + I = 0,

где кг кг ,1 - целые числа.

На рис. 4 изображены как линейные, так и возможные нелинейные резонансы, представляющие опасность для ускоряемых Н--ионов в ГИЦ. В первом случае речь идет о влиянии так называемых паразитных гармоник с номерами, меньшими, чем N, которые появляются в реальном магнитном поле циклотрона из-за неполной идентичности элементов периодичности при изготовлении, а также вследствие неточностей в их расстановке и других причин. Были исследованы внешний, параметрический, суммовой и разностный резонансы, а также их совместное воздействие на движение частиц в циклотроне. При этом получены ограничения на допустимую величину компонент возмущающего поля и их градиентов.

Также было проведено всестороннее исследование влияния возможных нелинейных резонансов, \кг \ + \ кг\ ^ 3, на динамику частиц в ГИЦ. Конечно же полученные данные будут со временем уточнены, но они представляют и самостоятельный интерес.

Следует особо отметить, что разработанный алгоритм широко использовался и при реализации проекта по ускорению Н--ионов в изохронном ускорителе К-130 в г. Ювяскюла [9], где до этого, в частности, ускорялись протоны. В циклотроне К-130 N = 3, и он не имеет таких крутоспиральных секторов, как в ГИЦ. Здесь так же, как и в ГИЦ, с к2 = 8 активно эксплуатировались алгоритмы и для элемента периодичности с периодом Т = , и для суперпериода с Т = 2п.

На рис. 5 представлены развертки по азимуту оптимальных равновесных орбит в циклотроне К-130, отвечающих большим радиусам ускорения. Видно, что при построении изохронного поля важно учитывать существенные отклонения орбит от соответствующих круговых (прямые линии на рисунке), особенно вблизи выводного радиуса.

Интересно отметить, что для К-130 положение рабочей точки (рис. 6) существенно иное по сравнению с ГИЦ. Так, если в ГИЦ требуют внимания и изучения резонансы = 1, 3иг = 1, Зуг + = 4, то в К-130 следует тщательно рассмотреть и исследовать

резонансы 4иг = 1, 3иг = 1, 2иг — иг = 2. Однако и в том, и в другом варианте равновесная частица проводит большую часть времени ускорения вне потенциально опасных областей.

г, см

Ф, рад 0.8 0.9 1.0 1.1

Рис. 5. Статические равновесные орби- Рис. 6. Положение рабочей точки К-130

ты для К-130, соответствующие круговым орбитам с г = 88 (точечная линия),

90 (штрихпунктирная), 92 (штриховая) и 94 (сплошная) [9]

Заключение. Предложен и реализован в виде отдельных программ на языке высокого уровня (РогЪгап) оптимальный алгоритм построения изохронного магнитного поля в ускорителях с азимутальной вариацией. Эти пакеты программ совершенно автономны и могут быть поставлены на любую платформу. Для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) привлечен широко известный метод Кутта-Мерсона, имеющий определенные преимущества по сравнению со стандартным методом Рунге-Кутта [10,11]. Отличительными особенностями алгоритма являются те обстоятельства, что уравнения движения в нем не линеаризуются, как часто делали ранее, а также не переводятся в представление сопровождающего трехгранника. Алгоритм реализован в той системе координат, которая близка и понятна экспериментаторам. Все необходимые производные по полю, амплитудам, фазам и т. п. вычисляются численно по пятиточечной схеме, а в промежуточных точках производится квадратичная интерполяция данных карты поля. Алгоритм реализован для двух возможных вариантов периодичности магнитных структур изохронных циклотронов: с периодом Т = 2п/Ы и суперпериодом Т = 2п. Для этой цели привлекается процедура нахождения статических равновесных орбит и периода обращения на них ускоряемых частиц. Попутно извлекаются частоты радиальных и аксиальных колебаний, характеризующие устойчивость движения, а также другие параметры, представляющие практический интерес. Тем самым реализуется возможность оптимальным образом конструировать изохронное, способствующее фазовой устойчивости, магнитное поле в ускорителях с азимутальной вариацией.

1. Коломенский А. А. Физические основы методов ускорения заряженных частиц. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. 302 с.

2. Басаргин Ю. Г., Белов В. П. Некоторые вопросы динамики движения частиц в циклотроне с пространственной вариацией магнитного поля // Электрофизическая аппаратура: сб. статей. М.: Атомиздат, 1965. Вып. 3. С. 3—24.

3. Velton T. A. Specter-focused cyclotrons // Proc. of Conference at Sea Island. 1959. P. 48.

4. Басаргин Ю. Г., Литуновский Р. Н. К расчету параметров орбит в изохронном циклотроне // Электрофизическая аппаратура: сб. статей. М.: Атомиздат, 1966. Вып. 5. С. 135—148.

5. Artamonov S. A., Kuznetsov S. Yu. Optimization of the isochronous magnetic field in accelerators with azimuthal variation // Proc. of the Second Intern. Workshop Beam Dynamics—Optimization, July 4—8, 1995. SPb., Russia, 1995. P. 53-60.

6. Артамонов С. А., Харитонов Ю. А. Программа вычисления парных матричных элементов центральных сил с одночастичными волновыми функциями в потенциалах Вудса-Саксона и гармонического осциллятора: препринт ЛИЯФ № 69. Л., 1973. С. 3-31.

7. Абросимов Н. К., Артамонов С. А., Елисеев В. А., Рябов Г. А. Разработка магнита и магнитной структуры циклотрона для ускорения Н--ионов до энергии 80 МэВ. Ч. 1. Анализ особенностей и расчет: препринт ПИЯФ № 2085, NP-58-1995. СПб., 1995. С. 3-27; Ч.2. Исследования на моделях: препринт ПИЯФ № 2285, NP-71-1998. СПб., 1998. С. 3-32.

8. Абросимов Н. К., Артамонов С. А., Елисеев В. А., Рябов Г. А. Анализ потерь H--ионов из-за электродиссоциации и их влияние на выбор магнитной структуры изохронных циклотронов: препринт ПИЯФ № 2146, NP-3-1997. СПб., 1997. С. 3-12.

9. Heikkinen P., Liukkonen E., Nieminen P. et al. Feasibility studies of the H— acceleration in the K-130 cyclotron in Jyvaskyla // XV Intern. Conf. on Cycl. and their Application. Caen, France, 1998. P. 650-653.

10. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 2002. 300 c.

11. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. 336 c.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.