Модель радиально-упорного шарикоподшипника для анализа нелинейных вибраций ротора

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

135

УДК 534.1

МОДЕЛЬ РАДИАЛЬНО-УПОРНОГО ШАРИКОПОДШИПНИКА ДЛЯ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ВИБРАЦИЙ РОТОРА

С.В. Филипковский, доцент, к.т.н.,

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

Аннотация. Получена математическая модель нелинейных сил упругости радиальноупорного шарикоподшипника с предварительным осевым поджатием. Контактные силы определены на основе теории Герца и разложены в ряд Тейлора. Предлагаемая модель предназначена для решения задач нелинейной динамики машин. Примеры расчётов показали соответствие расчётам традиционной модели.

Ключевые слова: радиально-упорный шарикоподшипник, контактные силы, степенной ряд, ротор, нелинейные колебания.

МОДЕЛЬ РАДІАЛЬНО-УПОРНОГО КУЛЬКОВОГО ПІДШИПНИКА ДЛЯ АНАЛІЗУ НЕЛІНІЙНИХ ВІБРАЦІЙ РОТОРА

С.В. Філіпковський, доцент, к.т.н.,

Харківський національний автомобільно-дорожній університет

Анотація. Отримано математичну модель нелінійних сил пружності радіально-упорного кулькового підшипника з попереднім осьовим підтисненням. Контактні зусилля визначені на основі теорії Герца і розвинені в ряд Тейлора. Запропонована модель призначена для розв’язання задач нелінійної динаміки машин. Приклади розрахунків показали відповідність розрахункам традиційної моделі.

Ключові слова: радіально-упорний кульковий підшипник, контактні зусилля, степеневий ряд, ротор, нелінійні коливання.

THE MODEL OF THE RADIAL-THRUST BALL BEARING FOR ANALYSIS OF NONLINEAR VIBRATIONS OF THE ROTOR

S. Filipkovskyi, Assoc. Prof., Ph. D. (Eng.),

Kharkov National Automobile and Highway University

Abstract. The non-linear model of resilient forces of pre-loaded ball bearing is developed. The contact forces are obtained and arranged in the Heyn’s row on the basis of Herts theory. The obtained model is used for solving the problem of non-linear dynamics of vehicles. The design samples correspond to calculations performed with the help of the traditional model.

Key words: angular ball-bearing, contact forces , power series, rotor, nonlinear vibration.

Введение

Радиально-упорные шарикоподшипники используют во многих машинах, в том числе в машинах и механизмах, в которых ротор нагружен осевым усилием. Если при этом необходимо минимизировать вибрации, то радиально-упорные шарикоподшипники уста-

навливают с гарантированным осевым под-жатием, чтобы исключить раскрытие и закрытие зазоров между шариками и канавками подшипников. Это объясняется тем, что при закрытии зазора происходит удар шарика по поверхности канавки, что может вызвать повышенные вибрации ротора. Жёсткость шарикоподшипников нелинейна

136

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

потому, что она обусловлена контактными силами между шариками и канавками, которые определяются теорией контактных напряжений Герца. При анализе динамики любой системы в первую очередь надо решить задачу о свободных колебаниях. Для анализа свободных колебаний нелинейной системы надо построить скелетные кривые. Эффективным методом построения скелетных кривых роторных систем с несколькими степенями свободы является метод нелинейных нормальных форм (ННФ) [1]. Этот метод предполагает представление движения системы в виде степенных рядов по фазовым координатам. В этом случае все нелинейные слагаемые уравнений движения также удобно представить в виде степенных рядов по фазовым координатам. Точность такого представления нуждается в оценке.

Анализ публикаций

В статье [2] изучено влияние радиального зазора и угловой скорости ротора на периодические, субгармонические и хаотические колебания. В [3] рассмотрен ротор с диском на двух шарикоподшипниках, радиальная жёсткость которых принята линейной, построены траектории центра ротора и подшипников. Основное внимание статьи [4] уделено диагностике повреждений (дефектов внутреннего и внешнего колец) подшипников и их влиянию на динамику ротора.

В работе [5] исследована динамика ротора при разных значениях предварительного осевого натяга радиально-упорных шарикоподшипников. В работе [6] рассмотрен ротор с диском на предварительно нагруженных шарикоподшипниках. Для выбранной частоты вращения определяется линеаризованная жёсткость путём минимизации невязки работы нелинейной силы упругости и линейной силы упругости за один период колебаний. Далее итерационным путём уточняется жёсткость подшипников и решаются линейные уравнения движения.

Нелинейные нормальные формы колебаний вала на подшипниках скольжения исследованы в статье [1]. В статье [7] методом ННФ исследованы свободные колебания ротора на радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительным поджатием и получены скелетные кривые при разных углах между линией действия контактных сил и осью

подшипника. Поскольку ННФ описываются полиномами фазовых координат, то и жёсткость подшипников в [7] представлена в виде степенного ряда по фазовым координатам.

Цель и постановка задачи

Целью работы является поверка, сходится ли решение задачи динамики ротора разложением нелинейной жёсткости радиальноупорных шарикоподшипников с предварительным осевым поджатием в степенной ряд к решению задачи интегрированием нелинейных уравнений теории Герца.

Расчётная схема

Ротор представляет собой вал с диском, закреплённым несимметрично относительно опор (рис. 1). Назначение и условия работы агрегатов, в которых применяют осевое под-жатие шарикоподшипников, таковы, что соотношение длины и диаметра вала обуславливает жёсткость вала на порядок больше жёсткости подшипников. Поэтому считаем вал недеформируемым телом, а степенями свободы являются перемещения цапф относительно внешних колец подшипников.

Компоненты упругих реакций подшипника (рис. 2) вдоль осей х, y, z получены в работе [8]. Они имеют следующий вид:

Pa = *£ X cos a cos Pv + y, cos a sin Pv +

v=1

+ (z + z0)sina]/2 cos a cos Pv,

N B

p, = *£ X cos a cos Pv + y, cos a sin Pv +

v=1

+ (z + z0) sin a]

3/

/2

cos a sin Pv,

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

PK = Pol(Nв sin a) • Угол а удовлетворяет уравнению

137

Nb

Pzl = k£ [x, cos a cosPv + y, cousinPv +

V=1

+ (z + z0) sin a]22 sin a,

где

K = —— z0 ^ sin /2 a, 2N в 0

(2Rk + W + w

dB )cos a = R1 + 2RK — R2,

где R1 и R2 - радиусы внутреннего и внешнего колец, измеренные от оси подшипника до середин канавок качения.

х,, у,, z - смещения центра внутреннего кольца относительно центра наружного кольца; і = 1,2 - номер обобщённой координаты цапфы; a - угол контакта (угол между линией действия контактных сил и плоскостью, перпендикулярной оси вращения подшипника); Pv - угол между координатной плоскостью xOz и плоскостью, проходящей через ось вращения и центр шарика (рис. 2); v и NB - номер и количество шариков; Р0 -сила предварительного осевого натяга; z0 -осевое смещение внутреннего кольца относительно внешнего кольца от действия силы P0. Величина z0 определяется из геометрических соотношений в зонах контакта

Коэффициенты формулы Герца определены выражением [9]

b = 3 F 3 (Kii + Ki2 + K 21 + K 22 )k 2 (01 +0 2 )2 2 1 3F2 ’

где F1, F2 - эллиптические интегралы первого и второго рода; K11, K12, K21, K22 - кривизны главных нормальных сечений контактирующих поверхностей; k - корень трансцендентного уравнения

F - f2 = K11 - к 21 .

F1 — F/k K12 — K 22

z0 = (2RK + w1 + w2 — dB)sin a.

где RK - поперечные радиусы канавок в кольцах подшипника; w1 и w2 - сближения внутреннего и внешнего колец с шариком по направлению линии контакта, вызванное предварительным осевым поджатием; dB -диаметр шарика.

Рис. 2. Схема шарикоподшипника

Сближения вычисляем по формуле Герца [9]

Wi = b,pK3;i =1,2,

где b1 и b2 - коэффициенты формулы Г ерца; PK - сила сжатия, действующая по направлению линии контакта

Величины 1 и 2 зависят от свойств материалов контактирующих тел. Они определяются следующим образом:

0i =(1 — ^2)/("Ei) ;i = 1,2,

где pi и Et - коэффициенты Пуассона и модули упругости материалов подшипниковых колец и шариков.

Уравнения колебаний ротора

Длину вала обозначим l; перемещения срединной линии вала по направлениям координатных осей ux (С, t), uy (С, t) записываются следующим образом:

l — С С

ux (С t)= х1 (t)— + Х2 (t)l,

uy (С, t) = У1 (t) 1——Г + У 2 (t)у ’

где Z - координата сечения вала вдоль оси z; X1(t) , Х2 (t) , У1 (t), у2 (t) - обобщённые координаты, описывающие радиальные перемещения цапф; t - время. Внутренние кольца

138

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

шарикоподшипников совершают как радиальные, так и осевые колебания относительно наружных колец. Отметим, что перемещения малы по сравнению с длиной вала. Тогда продольные колебания ротора вдоль координатной оси z можно описать одной обобщённой координатой uz (t) = z(t).

Для составления уравнений движения воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода. При принятых допущениях выражение кинетической энергии вала TB в виде функции обобщённых координат будет иметь вид

TB =Yl (3 “ y2 )2 + 2- (x2 - )2 +

+P//Q2 - 2^ ( ^2 - x )( У1 - У2 ) +

/

pS/

6

pS/ .2

+ ^~ z 2. 2 '

(.2-- -2 .2 . . . 2 \

*1 + Х1Х2 + x2 + y y y 2 + У 2 ) +

где p - плотность материала вала; I - полярный момент инерции сечения вала; S - площадь сечения вала; Q - угловая скорость вращения ротора. Кинетическая энергия диска TD в виде функции обобщённых координат будет

T = Ы у1 - У 2 D 2 I /

I1 | *2 - *1

--0 Q2 2

2

m0

п

/2

С d' ) + г Cd"

/, ) 2 /

С d' Lу Cd'

/ J + 32 2Т

2

2

m

2

0 ^2

2

2

0

2

где I1 и 10 - экваториальный и полярный моменты инерции диска; m0 - масса диска; С D - координата диска по оси z.

Из допущения о том, что вал недеформируемый, следует, что потенциальная энергия деформации системы представлена только энергией деформации подшипников П = П п (x1, у 1, x2, у2, z) . Производные потенциальной энергии по обобщённым координатам представляют собой выражения (1).

Демпфирование, обусловленное смазкой опор, описываем функцией Рэлея

Ф= —

где C - коэффициент вязкого сопротивления, который определяют экспериментально [10]. Колебания возбуждаются силой Q(Q, t), обусловленной дисбалансом диска.

В работе [8] показано, что перемещения цапф при колебаниях малы по сравнению с осевым смещением z0 . Поэтому представим выражения (1) в виде степенных рядов по обобщённым координатам цапф, ограничившись третьим порядком малости по xt/z0 ,

yj z0, z/z0 :

где

crxx z crx[

P„ = c„x'r i r i

xi Г i

2 z0 32z0 tg2 a

22 CrxJ i Crxiz

32z0 tg2 a 8z0

c у z c у3

Pyl = cryl +-^---------2^-^

y 2z0 32z0 tg2 a

cryxi2 cryzi2

32z0 tg2 a 8z0

ca 2 z0

P = ^^ + c„z-' ~r'~l '~rJ

Crxi , СгУі

3

4z0 4z0

2 2 2 3

c z c zx c zy c z

a ^r i r J\ a

4 z0 8zq 8zq 24 z0

2

D 7 7 2

c = — NBKz02 sin/2acos a.

'r y B 0

ca = 2cr ^2 a .

Преобразовав выражения (2)-(5), получим уравнения колебаний в матричном виде

M • U + G • u + C • u + K • U + K -{u2}+

+ K •{ uu,}+K -{u3}+ K • (u2uv }= (6) = Q(Q, t),

где M - матрица масс; G - гироскопическая матрица; C - матрица демпфирования; K-

матрица жёсткости; K , K , K и K - матрицы коэффициентов нелинейной жёсткости;

u = [x1 у1 x2 у2 z]T - вектор обобщён-

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

139

ных координат. Компоненты векторов {UJ}, {U2 }, {u2Uv }, {и3 } представляют

собой произведения обобщённых координат второй и третьей степени; Q(Q, t) - вектор правой части. Если вместо разложений (5) использовать непосредственно выражения упругих сил (1), то уравнения движения примут вид

M • U + G • U + C • U + K

где K (и) - вектор, компонентами которого являются нелинейные функции (1). Выбор уравнений (6) или (7) для дальнейших исследований зависит от цели работы.

Результаты численных исследований

Для выяснения, насколько близки характеристики модели шарикоподшипника, полученной разложением сил упругости в степенной ряд, к характеристикам, описываемым формулами теории Герца, проведено сравнение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), построенных решением систем (6) и (7). Под АЧХ понимаем зависимость полуразмаха колебаний от частоты Q. Характеристики строим в безразмерных координатах, которые определим следующим образом:

ХА = Х\/ Z0 , yA = yi/ Z0 , XB = Xll Z0 ,

yB = У2ІZ0 , ZA = Z/Z0 ,  1 , ^ = t • 1 ,

где 1 - основная резонансная частота линеаризованной системы при a = 15°.

Рассмотрены колебания недеформируемого ротора с одним диском. Параметры ротора таковы: l = 0,5 м, Ср = 0,125 м, диаметр вала d = 0,025 м, т0 = 10 кг, I1 = 0,1 кг-м2, I0 = 0,2 кг-м2. Ротор вращается на радиальноупорных подшипниках средней серии по ГОСТ 831-75. Стандартом определён ряд из пяти разных значений углов контакта а. Характерные параметры подшипника таковы: радиусы внешней канавки качения R2 для углов а, равных 12°, 15°, 26°, 36° и 40° соответственно, равны 27,5125 мм, 27,5167 мм, 27,5399 мм, 27,5709 мм и 27,5858 мм; радиус внутренней канавки качения R1 = 16,000 мм; радиус поперечного сечения канавок качения RK = 5,930 мм; диаметр шарика dB = 11,510 мм; количество шариков NB = 7; модуль упругости E = 2,11011 Па; коэффициент Пуассона р = 0,3.

Характеристики построены методом продолжения по параметру, в соответствии с которым точки АЧХ находятся экстраполяцией по предыдущим точкам с определённым шагом по параметру продолжения (частоте или фазовой координате). На каждом шаге результат уточняется итерационным методом Ньютона, как показано в работе [11]. На рис. 3-7 представлены АЧХ обобщённой координаты yB вблизи основного резонанса для каждого из углов контакта а, определённого стандартом. На всех рисунках характеристики, полученные решением системы (6), обозначены 1, а характеристики, полученные решением системы (7), обозначены 2. АЧХ других координат аналогичны.

140

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

Из рисунков видно, что АЧХ, построенные решением систем уравнений (6) и (7), практически совпадают при малых значениях ю. В окрестностях резонансных частот амплитуды решений систем (6) и (7) заметно отличаются, но сами резонансные пики совпадают по частоте, и можно сделать вывод, что у них общие скелетные кривые.

На левых ветвях всех АЧХ в точках, в которых касательные к кривым параллельны оси ординат, появляются седло-узловые бифуркации [12]. Выше этих точек штриховыми линиями показаны неустойчивые режимы. На правых ветвях АЧХ, построенных решением наших систем, вблизи оснований резонансных пиков появляются бифуркации двумерного тора [12], которые обозначены точками на графиках рис. 4, 5. Для других углов контакта такие точки бифуркации также появляются, но они не попали в показанные на графиках диапазоны.

Проведенный анализ позволяет определить границы применимости предложенной модели в зависимости от значения силы осевого поджатия и амплитуды возмущающей нагрузки. При заданной осевой силе 200 Н и дисбалансе диска 10-5 м раскрытие зазоров в шарикоподшипниках появляется, когда вычисленные безразмерные обобщённые координаты достигают значений 0,2-0,25.

Выводы

Исследованная в настоящей работе расчётная модель радиально-упорного шарикоподшипника с предварительным осевым поджатием, которая основана на разложении контактных сил в степенной ряд, позволяет получить достоверные характеристики нелинейных колебаний ротора.

Из рисунков видно, что построенные решением систем (6) и (7) АЧХ стремятся к одним и тем же скелетным кривым. Предлагаемую модель целесообразно использовать для анализа свободных нелинейных колебаний, в частности, методом нелинейных нормальных форм.

Применение данной модели к расчёту вынужденных нелинейных колебаний роторов ограничено значениями амплитуд, при которых отсутствует раскрытие зазоров между шариками и канавками качения в шарико-

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

141

подшипниках. Такими роторами являются роторы гироскопических приборов, шпиндели высокооборотных станков, роторы центробежных насосов и других машин.

Литература

1. Legrand M. Nonlinear Normal Modes of a

Rotating Shaft Based on the Invariant Manifold Method / M. Legrand, D. Jiang, C. Pierr, S. Shaw // Int. J. of Rotating Machinery. - 2004. - Vol. 10, № 4. - P. 319335.

2. Harsha S. Nonlinear dynamic analysis of an

unbalanced rotor supported by roller bearing / S. Harsha // Chaos, Solitons & Fractals. - 2005, - Vol. 26, № 1. - P. 47-66.

3. Villa C. Stability and vibration analysis of a

complex flexible rotor bearing system / C. Villa, J.-J. Sinou, F. Thouverez // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2008. - Vol. 13, № 4. - P. 804-821.

4. Cong F. Vibration model of rolling element

bearings in a rotor-bearing system for fault diagnosis / F. Cong, J. Chen, G. Dong, M. Pecht // Journal of Sound and Vibration. -2013. - Vol. 332, № 8. - P. 20812097.

5. Alfares M. Effects of axial preloading of

angular contact ball bearings on the dynamics of a grinding machine spindle system / M. Alfares, A. Elsharkawy // Journal of Materials Processing Technology. -2003. - Vol. 136. - P. 48-59.

6. Panda K. Optimum support characteristics

for rotor-shaft system with preloaded rolling element bearings / K. Panda, J. Dutt // Journal of Sound and Vibration. -2003. -Vol. 260, № 4. - P. 731-755.

7. Филипковский С.В. Свободные нелиней-

ные колебания многодисковых роторов на шарикоподшипниках / С.В. Филип-ковский, К.В. Аврамов // Проблемы прочности. - 2013. - № 3. - С. 86-96.

8. Новиков Л.З. Определение собственных

частот колебаний электродвигателя, связанных с нелинейной упругостью подшипников / Л.З. Новиков // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. -1961. - № 6. - С. 84-91.

9. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. /

Л.С. Лейбензон - М.-Л.: Гостехтеориз-дат, 1947. - 464 с.

10. О колебаниях момента сопротивления

вращению шарикоподшипника / В.Б. Ба-

льмонт, Б.О. Дубовецкий, А.М. Авдеев, Г.В. Селезнёв // Машиноведение. - 1988. - № 3. - С. 73-81.

11. Филипковский С.В. Нелинейные колеба-

ния ротора на радиально-упорных шарикоподшипниках / С.В. Филипковский, А.С. Беломытцев // Вестник ХНАДУ: сб. науч. тр. - 2014.- Вып. 64. - С. 66-73.

12. Анищенко В.С. Сложные колебания в

простых системах / В.С. Анищенко. -М.: Наука, 1990. - 312 с.

References

1. Legrand M., Jiang D., Pierr C., Shaw S.

Nonlinear Normal Modes of a Rotating Shaft Based on the Invariant Manifold Method. Int. J. of Rotating Machinery, 2004, Vol. 10, no. 4, pp. 319-335.

2. Harsha S. Nonlinear dynamic analysis of an

unbalanced rotor supported by roller bearing. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Vol. 26, no. 1, pp. 47-66.

3. Villa C., Sinou J.-J., Thouverez F. Stability

and vibration analysis of a complex flexible rotor bearing system. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2008, Vol. 13, no. 4, pp. 804-821.

4. Cong F., Chen J., Dong G., Pecht M. Vibra-

tion model of rolling element bearings in a rotor-bearing system for fault diagnosis. Journal of Sound and Vibration, 2013, Vol. 332, no. 8, pp. 2081-2097.

5. Alfares M., Elsharkawy A. Effects of axial

preloading of angular contact ball bearings on the dynamics of a grinding machine spindle system. Journal of Materials Processing Technology, 2003, Vol. 136, pp. 48-59.

6. Panda K., Dutt J. Optimum support charac-

teristics for rotor-shaft system with preloaded rolling element bearings. Journal of Sound and Vibration, 2003, Vol. 260, no. 4, pp. 731-755.

7. Filipkovskii S.V., Avramov K.V. Nonlinear

Free Vibrations of Multi-Disk Rotors on Ball Bearings [Svobodnye nelineynye kolebanija mnogodiskovych rotorov na sharikopodshipnikach], Strength of Materials, 2013, Vol. 45, no. 3, pp. 316-323.

8. Novikov L.Z. Opredelenie sobstvennyh

chastot kolebanij jelektrodvigatelja, svjazannyh s nelinejnoj uprugost’ju pod-shipnikov [Determination of the natural frequencies of the vibrations of an electric motor connected with the nonlinear elastic-

142

Автомобильный транспорт, вып. 37, 2015

ity of the bearings]. Izv. AN SSSR. Mehanika i mashinostroenie, 1961, no. 6, pp. 84-91.

9. Lejbenzon L.S. Kurs teorii uprugosti [Cou-

rse of Elasticity Theory]. Moscow-Lening-rad, Gostehteorizdat Publ., 1947. 464 p.

10. Bal’mont V.B., Duboveckij B.O., Av-

deev A.M., Seleznjov G.V. O kolebanijah momenta soprotivlenija vrashheniju sharikopod-shipnika [On the vibrations of moment of resistance to the bearing rotation]. Mashinovedenie, 1988, no. 3, pp. 7381.

11. Filipkovskii S.V., Belomytcev A.S. Nelinej-

nye kolebanija rotora na radial’no-upornyh

sharikopodshipnikah [Nonlinear vibration of a rotor on the angular contact ball bearings]. Vestnik HNADU, 2014, Vol. 64, pp. 66-73.

12. Anishhenko V.S. Slozhnye kolebanija v prostyh sistemah [Complicated oscillations in simple systems], Moscow, Nauka Publ., 1990, 312 p.

Рецензент: И.В. Янчевский, профессор,

д.ф.-м.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 22 июня 2015 г.