Семейство поверхностей, заданное формулами преобразования координат, и его огибающая

Семейство поверхностей, заданное формулами преобразования координат, и его огибающая

А. А. Ляшков, А. М. Завьялов Введение

Вопросам исследования отображения ортогональным проецированием поверхности на плоскость посвящено значительное количество работ: [1, 2, 3, 4] и другие. В них, в основном, определяются некоторые дифференциальные характеристики очерка двумерной поверхности или алгебраической поверхности большей размерности. Так в работе [3] предлагается определять точки контурной линии по уравнениям поверхности, заданным в неявной форме и уравнениям, содержащим дифференциальные характеристики этой поверхности. Для расчета предлагается использовать методы вычислительной математики и методы нелинейного программирования. Что является не простой задачей. Анализа контурной линии и ее проекции не приводится.

Во многих прикладных задачах, связанных с профилированием режущего инструмента, определяют огибающую семейства поверхностей. Наряду с классическим подходом к определению огибающей в последнее время используется и новый. Так, если спрое-

4

цировать график семейства двумерных поверхностей в пространство Я , то получим некоторую трехмерную гиперповерхность Е. Криминанта этой поверхности является огибающей рассматриваемого семейства. Исследование поверхности Е при задании ее параметрическими уравнениями и уравнением в неявной форме проведено в работах [5], [6]. Установлено ряд новых свойств такой поверхности. В связи с тем, что при профилировании режущего инструмента семейство поверхностей задается формулами преобразования координат [7], важной задачей является исследование полученной таким образом гиперповерхности.

Криминанта гиперповерхности

Пусть исходная поверхность задана в подвижной системе координат 0ХУ2 уравнением в неявной форме

^

Эта поверхность совершает некоторое движение относительно неподвижной системы координат 01Х1У11Г В общем виде формулы преобразования координат, выражающие х1, у

г1 через х, у, г , можно записать так

х1 = х y, 2,ф\

у = Л

21 = /з(^ y, 2,^).

где ф - параметр относительного движения.

Уравнения (1) и (2) определяют семейство поверхностей в пространстве Я . При

4

проецировании графика этого семейства в пространство Я будет получена гиперповерхность Е в системе координат Х1У121 &1 и заданная в виде

х1 = /1( х y, 2,^Х у = /2( х y, z,Ф), 21 = /3( х y, 2,^Х вх = р ^,

гдер - некоторая константа.

Наложим на две координаты у1 и 21 условия связи

у1=а, 2г =Ь,

где а и Ь - некоторые константы.

Тогда функция Лагранжа, позволяющая определить условный экстремум координаты х1 , будет

к = /(X y, 2 ф) + лг  [/2 (x, y, ¿, р)- а] + Л2  [/3 (x, y, 2,р)- Ь] +

+ Л3  Р(х, у,г) + Лл(вх - рр).

Соответствующая система уравнений, из решения которой устанавливается связь параметров поверхности и параметра семейства, имеет вид

кх = Ах (X У 2,Р) + Л  /2 х (x, У, 2,ф) + Л2  /з х (x, У, 2,Р) + Л3  Рх (x, У, г) = 0

кв1 = Л4 = О,

ку = /1 у (^ У, 2,ф) + Л1  /2 у (x, У, 2,ф) + Л2  /3 у (^ У, 2,ф) + Л3  ¥У (X, У, г) = 0

к2 = /1, (X, У, 2,ф) + Л1 ^ /2г (X, У 2,Р) + Л2  /32 (X, У, *, Р) + Л3  ^ (X, У, 2) = 0,

кр = /1р(X, У, 2,ф) + Л  /2р(X, У, 2,ф) + Л2  /3р (X, У, ^ Р) + Л3  Рф (X, У, 2) -Л4  Р = °.

Рассматриваем последние три уравнения, с учетом Л4=0, как систему неоднородных линейных уравнений относительно множителей Лагранжа. Из решения этой системы по формулам Крамера имеем

А,

Л

А,

А

Л

Л2

А

Л

А

Л

А

а соответствующие определители будут

/2 у /г у

А = /2 2 /3 2 2

/ 2р /3р 0

Ьн II /г 2 /3 2 - ^ • /г у 3/ У

у /2р /3р 2 /2р /3р

АЛ =

АЛ =

/2 у 3/ у

АЛ = /2 2 /3 2

2 /2 /3р

- /1 у /3 у

/2 /32

/ 1р /3 р

/2 у /2 2 / 2р /1 у

А

/1р

F

х

2

О

/1 у

/и

/1ф

= - /1

Ьн II - /1 2 /Ъ 2 Ьн 1 - /1 у /3 у

у /1ф /3р 2 - /1р /3

У

F

2

О

II /г 2 - /1 2 - ^ • /2 у - /1 у

у /2р /1ф 2 /2р - У1р

1 у

2р

/3

/3

3р

+ /12

/2 у /,

2р

/3 у /3

3р

/1р

/2у /3 у

/2 2 /3 2

После подстановки полученных зависимостей в первое уравнение системы неоднородных линейных уравнений получим

2 2

АЛ  /2 х

+

Или после подстановок выражений из определителей

- Ру (x, y, 2)  [/12(x, y, 2 р)  /3р(^ y, Z, р) - /32(x, y, 2 р)  /1р (x, y, 2 ф)] +

+Р2(x, y, 2) [/ у(x, у ^ р)  У3р( x, y, z, р) - /3 у(x, y, z, р)  У1р(x, у z, р]

У2 х(x, y, 2,р) +

- Ру(x, y, 2)  [/2 2(x, y, z, р)  у(x, у, z, р) - /12(X y, z, р)  /2р(x, У, z, р)]

+ Р2 (X, У, 2)  [/2 у (X, У, 2,ф)  У (X, У, 2,ф) - /1 у (X У, Z, ф)  /2р( X, У, Z, ф)]

/3х (X, У, 2,ф) +

- /1 у(х y, z, р) [ (x, у ^ р)  У(x, y, 2 р) - /3 2(x, y, z, р)  У(x, y, 2 р)]+

+У12(x, y, z, р)  [/2 у(x, / ^ р)  У(x, y, z, р) - /3 у(x, y, 2 р)  У(х y, z, р)] -

- /1ф (X, У, 2 Р)  [/2у (X, У, Z, ф)  [32 (X, У Z, ф) - /3у (X, У, Z, ф)  ./22 (X У, Z, ф)] Рх (X, У, 2,) +

ру (x, у, 2)  [/2 2(/ у, z, р)  У(x, y, z, р) - /3 2(х y, z, р)  У(x, y, z, р)] -'

- Р2 (X, У 2)  [/2у (X, У, Z, ф)  /3р (X, У Z, ф) - /3у (X, У, Z, Р)  У2р (X, У z, р)]

/1Х (х y, 2,рф = °

+

+

Полученное равенство устанавливает связь координат исходной поверхности и параметра ф их семейства. Тогда уравнения (4), (1) и (3) определяют дискриминанту гиперповерхности, а уравнения (4), (2), (3) - ее криминанту и, соответственно, огибающую рас-

сматриваемого семейства поверхностей.

Огибающая семейства сфер в их поступательном движении

В качестве примеров, иллюстрирующих достоверность полученных результатов, рассмотрим сферу, заданную в подвижной системе координат 0ХУ2 уравнением

х2 + у2 + 22 = Я2.

Эта сфера (пример 1) совершает поступательное перемещение вдоль оси у1 (рис. 1) неподвижной системы координат, которое задается формулами преобразования координат

х1 = X,

У = У + P,

2 = 2

где ф - параметр движения.

Тогда входящие в равенство (4) определители будут

А = 2у, АЛ = АЛ = АЛ = О,

^ Л^ Л2 Л3

Подставив полученные выражения в (4), получим у=0.

Уравнения сферы и формул преобразования координат, в которых у=0, позволяют определить огибающую рассматриваемого семейства сфер в виде

X2 + = Я2,

У1 =р.

Эти уравнения определяют проецирующую относительно координатной плоскости Х121 цилиндрическую поверхность (рис. 1).

Огибающая семейства сфер в их винтовом движении

Пример 2. Пусть задана та же сфера (5), но совершает она винтовое движение (рис. 2). Формулы преобразования координат, определяющие это движение, имеют вид

x1 = (x + R) • cos p- y • sin p,

y1 =

Zj = z + p •p.

3

Уравнения (5) и (7) определяют семейство поверхностей в пространстве R . График

4

этого семейства в R представляет собой гиперповерхность, заданную в системе координат X¡Y¡Z¡0¡ , в виде

x1 = (x + R) • cosp-y • sinp, Уі = (x + R) • sinp + y • cosp, Zj = z + p •p,

° = Pi • p.

Для установления связи параметров поверхности и движения вычислим определители, входящие в уравнение

А = -2 • y • [(x + R) • cos p - y • sin p] - 2 • p • z • cos2 p,

ДЛ = 2 • y •[- (x + R) • sinp-y • cosp],

\ =-2 • y • Z A* = y.

Тогда уравнение связи параметров будет: Я  у + р  2 = 0. Откуда имеем

Р у = -— 2.

Я

Из уравнения сферы для р=0 (сфера совершает вращательное движение) следует: х2+2=г2 . Из первых двух уравнений системы (7) X = х12 + у12 - Я, а из трех уравне-

ний этой системы получим

х2 + у2 + 22 = г2 + Я2 + 2  Я  х.

Рис. 2. - Винтовое движение сферы После подстановок и преобразований получим уравнение

21 = г 2 - х12 - у12 - Я 2 + 2  Я л!- + у12

графиком которого является тор

Рис. 3. - Модель тора и его сечение координатной плоскостью

X = ± 2 2-r — z • 1 + г p 1 2

\ 1R J

Подставив выражения для х и у в уравнения

*1 =

У =

— 2

< ± 22 r 2 — z2 • 1 + г Р + R

П - к R J - -

— í ^ 2

< ± 22 r 2 — z2 • 1 + Р + R

R 1R j

Р • 3

• cosp + —• z• sin P, R

Р • 2

• sinp — — • z• sin p^cosp,

R

2 = 2 + р -р.

Графиком полученных уравнений является трубчатая винтовая поверхность (рис. 4).

Рис. 4. - Модель трубчатой винтовой поверхности и сферы

Для p=0 система (11) преобразуется к виду

x1 = (±Vr2 - z2 + R)• cos p, y1 = (± Vr2 - z2 + R)• sin p, zi = z.

Система уравнений (12) в параметрической форме определяет ту же поверхность тора, что и уравнение (10).

Поверхность (11) может быть получена также винтовым движением окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору касательной к винтовой линии (рис. 2). Уравнение винтовой линии, образованной движением точки О, будет

x1 = R • cos p, У1 = R • sin p, zi = P •P.

Касательная к винтовой линии определяется равенствами

X1 - хо = Y1 - Уо = Z1 - zo

- R • sinp R • cosp p

Для ф=0 координаты касательного вектора а = (0, R, p). Из уравнения плоскости, ах • (X — х0) + ay • (Y — y0) + az • (Z — z0) = 0 , перпендикулярной этому вектору получим

P /!

y =-----z = —tgu • z.

R

Тогда уравнения поверхности, образованной винтовым движением окружности, будут

2 2 r — z

1

cos2 в

+ R^cosp + z• tgO• sin p,

У1 =1±J r — z

1

cos2 в

+ R f • sin p — z • tgO • sin p • cos p,

z1 = z + p •p.

Последние уравнения, так же как и уравнения 11, определяют трубчатую винтовую поверхность (рис. 5). 2

Рис. 5. - Модели трубчатой винтовой поверхности и сечение ее координатной плоскостью и плоскостью, перпендикулярной винтовой линии

Введя новый параметр и = сти в виде

z

получим уравнение трубчатой винтовой поверхно-

cosO

х1 = {±л/r2 — и2 + R}• cosp + и • sinO^ sinp, y1 = |±л/ r2 — и2 + R^sinp — и • sinO^ cosp,

z1 = и • cosO + p •p.

График трубчатой винтовой поверхности для новой параметризации представлен на рис. 6.

Рис. 6.

Таким образом, проведенные исследования, на основе полученных ранее результатов, гиперповерхности и ее отображения ортогональным проецированием на координатную гиперплоскость позволили получить в общем виде огибающую семейства двумерных поверхностей. Исходная поверхность задается уравнением в неявном виде, а семейство поверхностей определяется формулами преобразования координат.

Полученные результаты апробированы на двух примерах с получением как аналитических зависимостей так и соответствующих компьютерных полигональных моделей поверхностей, иллюстрирующих достоверность приведенных результатов.

Литература

1. Арнольд, В. И. Особенности гладких отображений [Текст] / В. И. Арнольд - Успехи мат. наук. - 1968. - т.ХХІІІ, вып. 1(139). - С. 4-44.

2. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности [Текст]. / Дж., Брус,- М.: Мир, 1988.

- 262 с.

3. Быков, В. И. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме [Текст] // В сб.: Тезисы Всесоюзного научно-методического симпозиума “Применение систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении”. - Ростов-на-Дону. - 1983 - С. 40-41.

4. Платонова, О. А. Проекции гладких поверхностей [Текст] / О. А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. - 1984. - т. 10. - С. 135-149.

5. Ляшков А. А., Волков В. Я., Отображение ортогональным проецированием гиперповерхности на гиперплоскость [Текст] // Вестник Иркутского Государственного Технического Университета. - 2012. - № 2. - С. 18-22.

6. Ляшков, А. А. Отображение ортогональным проецированием поверхности, заданной параметрическими уравнениями / А. А. Ляшков // Омский научный вестник. - 2012.

- № 2(110). - С. 9-13.

7. Лашнев С. И., Юликов М. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ [Текст] / М.: Машиностроение, 1975. - 392 с.