Метод геометро-динамического формообразования линейчатых полос

УДК 514.182

Д.С. Корчагин, К.Л. Панчук

МЕТОД ГЕОМЕТРО-ДИНАМИЧЕСКОГО ФОРМООБРАЗОВАНИЯ

ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОЛОС

Под фрагментом линейчатой полосы будем понимать линейчатые сегменты (или области линейчатых поверхностей, ограниченные отрезками образующих линий), состыкованные между собой по общим образующим отрезкам.

Рассмотрим метод построения фрагментов линейчатых полос, в котором полоса образуется путем непрерывного перемещения образующего отрезка через наперед дискретно заданные образующие отрезки. Перемещение образующего отрезка фрагмента линейчатой полосы производится вдоль направляющей линии, непрерывно связанной с заданными образующими отрезками и определяется как линия, содержащая центры масс образующих отрезков проектируемого фрагмента линейчатой полосы.

Ранее был предложен способ динамического проектирования направляющей линии [1], основанный на определении исходной информации о линии в дискретном виде, исходя из физико-динамических данных образующих -центров масс и центральных эллипсоидов инерции. Центры масс и центральные эллипсоиды инерции образующих в этом способе принимаются в качестве основы для определения локальных систем координат, связанных с соответствующими образующими. Полученная дискретная информация, включающая координаты узловых точек (начал локальных систем координат), направления (орты трехгранников Френе) и модули векторов касательных (полуоси эллипсоидов инерции) в узловых точках, преобразуется в непрерывную информацию с использованием методов сплайн-интерполяции.

Предлагаемый метод образования фрагментов линейчатых полос использует аппарат, основанный на динамических характеристиках задаваемых образующих отрезков, таких как осевые и центробежный моменты инерции [2], представляющих в геометрической интерпретации цилиндрические поверхности вращения. На основании этой интерпретации для образующих отрезков введены геометрические образы, являющиеся сечениями цилиндрических поверхностей вращения одной из координатных плоскостей и отображаемые на плоскость проекции. Это дает возможность получать визуально информацию о пространственных прообразах, используя лишь одну плоскость проекции, на которую отображаются эти образы. Введенные геометрические образы образующих отрезков помимо визуализации являются параметроносителями моделируемого фрагмента линейчатой полосы.

Рассмотрим алгоритм, лежащий в основе предлагаемого метода образования фрагментов линейчатых полос. Исходными данными для образования служат дискретно заданные образующие в виде отрезков прямых линий, представленные в расчетной декартовой системе координат 0ху2 в параметрическом виде

хп = хп () , Уп = Уп () , гп = гп (О , 0 < г < 1

где п - порядковый номер образующего отрезка, I - параметр. Заданные образующие отрезки ориентированы произвольным образом относительно этой системы.

Для построения фрагментов будем рассматривать каждый из п исходных образующих отрезков в собственной локальной системе координат Опхпуп^п, получаемой как результат переноса начала базовой системы координат Охуг в центр масс Оп соответствующего образующего отрезка, при этом оси Ох„, 0пуп, 0п2п локальных систем координат О^пу^п остаются параллельными осям Ох, Оу, 02 базовой системы координат 0ху2. Введем в рассмотрение пространственную кривую, являющуюся геометрическим местом вершин локальных систем координат, именуемую направляющей линией [3]. Эта линия будет обеспечивать направление формообразования фрагмента линейчатой полосы. Локальные системы координат для построения текущих образующих отрезков будут совершать пространственно-параллельные перемещения вдоль направляющей линии, при этом текущая точка направляющей линии будет являться началом координат локальной системы координат. Очевидно, что от точки к точке будет изменяться лишь положение начала координат, в то время как одноименные оси остаются параллельными базовым осям координат.

Для получения исходной информации, необходимой для проектирования направляющей линии, будем использовать геометрические образы, связанные с каждым из образующих отрезков и являющиеся одновременно параметрами линии с позиции механики твердого тела. Такими параметрами являются центры масс Оп образующих отрезков. Таким образом, определив центры масс образующих отрезков, мы получим в виде координат дискретную информацию для проектируемой направляющей линии. Эту дискретную информацию преобразуем в непрерывную с помощью нормализованных кубических сплайнов [4]. В результате направляющая линия будет являться кусочным

полиномом третьей степени, обеспечивающим в точках соединения непрерывность второго порядка, т.е. в каждой узловой и промежуточной точке все производные до второго порядка не будут иметь разрыва. Применение данного типа сплайна позволяет получить цельный обвод, состоящий из отрезков кривых линий, описываемых уравнениями одного класса функций, удовлетворяющими граничным условиям, а именно прохождение через центры масс образующих отрезков. На основании анализа [5] данный тип интерполяции является универсальным как для работы на плоскостях ортогональных проекций, так и в пространстве, поскольку существует взаимно однозначное соответствие между пространственной

интерполяцией и интерполяцией на паре плоскостей проекций.

Кроме информации о направляющей линии необходима информация, позволяющая в каждой точке этой направляющей восстанавливать образующий отрезок моделируемого фрагмента линейчатой полосы. С этой целью произведем преобразование уравнений образующих отрезков

(1) в базовой системе координат Охуг к уравнениям в полученных локальных системах Опхпуп^п, соответствующих каждому образующему отрезку п. В результате получим новые уравнения образующих отрезков

хп = ХП (0, у’п = у’п (0, 4 = 4 (0, 0 ^ ^1.

Используя преобразованные уравнения образующих отрезков, вычислим их осевые Jxn, Зуп, и центробежные Jxyn, Jxzn, Jym моменты инерции

[2] относительно связанных с ними локальных систем координат Огхпупгп.

На основании рассчитанных осевых и центробежных моментов инерции получим тензоры инерции образующих отрезков [2] или матрицы квадратичной формы уравнений поверхностей второго порядка

(рис.1).

( т т хп — Т т хуп —т ^ Т хп

Т п — Т т ухп — Т ^ т гхп Т уп — Т т гуп — Т Т угп Т гп J ,

Рис.1. Направляющий отрезок с цилиндрической поверхностью вращения

Выполнив сечение каждой из цилиндрических поверхностей вращения (4) координатной плоскостью 2=0 базовой системы координат, получим уравнения сечений, являющиеся в общем случае уравнениями эллипсов

о

у — 2' Тху 'х'у = 1 •

ху

Преобразовав уравнения (5) к каноническому виду [6]

2 2

X у ,

-------= 1

2 т,2 ''

ап Ьп

позволяющие составить уравнения центральных эллипсоидов инерции образующих отрезков в общем виде

¿ш*2 + ¿упУ2 + ¿?пг2 - ^уУ - Х - ЫхуХУ = 1

Поскольку используемые образующие

являются отрезками прямых линий, то для них эллипсоиды инерции вырождаются в цилиндрические поверхности вращения [2].

Таким образом, каждому образующему отрезку будет соответственно определена своя цилиндрическая поверхность вращения, являющаяся его динамической характеристикой

найдем значения больших ап и малых Ьп осей эллипсов (рис. 2).

Используя тот факт, что в пересечении цилиндрической поверхности вращения с плоскостью у получаемого в сечении эллипса малая полуось является равной радиусу направляющей окружности цилиндрической поверхности вращения и опираясь на известную теорему механики [2]: если через какую-нибудь точку будем проводить прямые N и определив относительно каждой из них момент инерции К данного тела, будем откладывать на этих прямых N от взятой точки векторы, выражаемые числом

, то концы этих векторов будут лежать на поверхности эллипсоида, имеющего центром упомянутую точку, - выразим зависимость между длиной 1п образующего отрезка и малой полуосью Ьп соответствующего этому образующему отрезку эллипса

12

2

Таким образом, с помощью установленной зависимости (7) между длиной образующего отрезка и малой полуосью эллипса можно по

п

одной плоскости проекции иметь возможность визуально оценить длину образующих отрезков (рис. 2). При этом эллипсу с большим значением малой полуоси будет соответствовать меньший образующий отрезок, т.к. зависимость (7) обратно пропорциональная.

По уравнениям эллипсов (5) в общем виде вычислим углы наклона фп больших полуосей ап эллипсов к оси Ох базовой системы координат [6]. Применительно к сферическим координатам это будут азимутальные углы.

Рис.2. Проекция направляющего отрезка с сечением цилиндрической поверхности вращения на плоскости Оху

Зенитные (или полярные, или нормальные) углы, являющиеся углами наклона образующих отрезков п к оси 02, определим при помощи полуосей эллипсов через отношение вида

V an J

Используя интерполяцию нормализованными кубическими сплайнами [4], преобразуем дискретную информацию об азимутальных углах фп образующих отрезков и полуосях эллипсов an, bn, являющихся их образами на плоскости Оху, в непрерывную. При этом параметры сегментов сплайнов, как для направляющей линии, так и для азимутальных углов фп и полуосей эллипсов an, bn будут одинаковыми и изменяются в пределах 0 < t < 1. Это позволит поставить в соответствие каждой точке направляющей линии набор параметров am(t), bm(t), qm(t), где m - номер сегмента, 1 < m < n — 1.

По данным интерполяции, определив длины образующих отрезков, а также соответствующие им зенитные и азимутальные углы в каждой точке направляющей линии, запишем уравнения образующих отрезков формируемых сегментов в декартовых координатах через сферические координаты

xm

zm

где

(t,T) = a(t) -P(t) -yit),

a(t) = з

12

%m(t)f

y

an (t )!

V an (t ),

На основании изложенного уравнения для линейчатых образующих фрагмент линейчатой координатно-параметрической форме

хт ~ хт (0 ^ хт (?, ,

ут ~ Ут (?) + Ут (?,^'),

2т ~ 2т (0 + 2т (^> О-

^.нл _ ЯД / >\ нл /->\

где хт

0<т <1.

составим сегментов, полосы в

текущие

координаты направляющей линии да-го сегмента фрагмента линейчатой полосы, 0 < < 1 .

В результате изменения ґ и т образующий отрезок будет непрерывно перемещаться вдоль направляющей линии, изменяя свою длину в зависимости от Ът, а также непрерывно поворачиваясь относительно локальной системы координат в зависимости от ат, Ът, фт. Таким образом, при движении образующего отрезка вдоль направляющей линии формируется непрерывный фрагмент линейчатой полосы с линией центров масс образующих отрезков, совпадающей с направляющей линией.

Рис.3. Заданные образующие отрезки и направляющая линия

В качестве примера применения данного метода рассмотрим построение фрагмента

линейчатой полосы, состоящего из пяти

сегментов, опирающихся на шесть образующих отрезков, с использованием системы

компьютерной алгебры Мар1е.

Исходные данные об образующих отрезках приведены в таблице в виде математических моделей в координатно-параметрической форме. По исходным данным таблицы необходимо

Таблица. Математические модели исходных образующих отрезков

Исходные данные Значение исходных данных для образующего отрезка

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

Xn(t) 1+2t 13+t 22+3t 30+2t 38+t 48+t

yn(t) 2+10t 3+10t 5+14t 6+12t 10+10t 9+12t

Zn(t) 2+10t 4+6t 6+2t 6+3t 7+3t 5+8^t

о

Рис. 4. Фрагмент линейчатой полосы с заданными образующими отрезками и направляющей линией

выполнить формообразование фрагмента линейчатой полосы в виде непрерывного каркаса образующих отрезков, включающим исходные образующие отрезки.

В результате вычислений по предложенному алгоритму на промежуточном этапе получена направляющая линия, представленная на (рис. 3).

В результате формообразования получен фрагмент линейчатой полосы, вид которого с

заданными образующими отрезками и направляющей линией представлен на (рис. 4).

Рассмотренный в статье метод геометро -динамического формообразования может быть применен в технических изделиях для проектирования переходных линейчатых поверхностей по дискретному набору их образующих отрезков.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Корчагин, Д.С. Способ динамического проектирования направляющей линии // Вестник СибАДИ. Омск, 2012. - №26. - С. 72-78.

2. Добронравов, В.В. Курс теоретической механики / В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин. - М.: Высш. школа, 1983. - 575 с.

3. Осипов, В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. - М., Машиностроение, 1979. - 248 с.

4. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс. - М., Мир, 2001. - 604 с.

5. Корчагин, Д.С. О проекционных свойствах некоторых типов сплайнов, проявляющихся при восстановлении кривых // Ориентированные фундаментальные и прикладные исследования - основа модернизации и инновационного развития архитектурно-строительного и дорожно-транспортного комплексов России: материалы Всеросс. научно-технич. конференции.- Омск, 2011. Кн. 2. - С. 247-251.

6. Делоне, Б.Н. Аналитическая геометрия: в 2 т. / Б.Н. Делоне, Д.А. Райков. - М.;Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949. - Т. 1- 456 с.

Авторы статьи

Корчагин Денис Сергеевич ведущий инженер-конструктор ОАО «ОНИИП»,г. Омск/ Е -mail: Korch-Den@yandex.ru.

Панчук

Константин Леонидович, докт.техн.наук, доц., проф. каф. «Инженерная геометрия и САПР»(Омский государственный технический университет). E-mail: Panchuk_KL@mail.ru