Информационные технологии в обучении проективной геометрии будущих учителей математики

# АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ. Теория и практика модернизации образования

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИИ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕМ МАТЕМАТИКИ

INFORMATION TECHNOLOGY IN TEACHING PROJECTIVE GEOMETRY TO FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS

B.P. Майер, E.B. Крум V.R. Mayer, E.V. Krum

Проективная геометрия, интерактивная геометрическая система, система динамической геометрии, Живая геометрия, теорема Дезарга, проективное преобразование, гомология, линия второго порядка. Разработано компьютерное сопровождение курса проективной геометрии, представляющее собой комплекс динамических моделей с элементами анимации, выполненных в интерактивной геометрической системе «Живая геометрия». Разработана компьютерная поддержка решения конструктивных задач проективной геометрии, включая задачи на построение одной линейкой. Предложен инновационный подход к проведению лабораторно-практических занятий по проективной геометрии в формате виртуальной лаборатории.

Projective geometry, interactive geometry system, dynamic geometry system, Live geometry, Desargues theorem, projective transformation, homology, conic section.

A new computer support of the course of projective geometry, which is a complex of dynamic models with the elements of animation executed in the interactive geometry system "Live geometry", is developed. Computer support of the solution of constructive tasks of projective geometry, including the tasks of constructing by a ruler, is described. We propose an innovative approach to carrying out laboratory practical classes in projective geometry in the format of virtual laboratory .

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования и новый Закон «Об образовании в Российской Федерации» ориентируют общеобразовательные школы, а вслед за ними и педагогические вузы к активному внедрению информационных технологий в учебный процесс, в практику обучения конкретным предметам. Анализ научной и методической литературы свидетельствует о том, что лидирующее положение здесь занимают математические дисциплины и дисциплины естественнонаучного профиля. Нас в первую очередь будут интересовать предмет «Проективная геометрия» и проблема использования информационных технологий при обучении этому предмету студентов - будущих учителей математики. Цель статьи - разработать компьютерное сопровождение курса проективной геометрии, используя для этого предназначенную для поддержки школьного курса математики систему динамической геометрии (СДГ), или интерактивную геометрическую систему «Живая геометрия».

Чем вызван выбор дисциплины «Проективная геометрия»? В отечественной системе высшего профессионального образования курс проективной геометрии всегда включался в качестве отдельной односеместровой дисциплины (или модуля дисциплины «Геометрия») в учебные планы специальностей и направлений подготовки учителя математики. Связано это с тем, что фундаментальные положения проективной геометрии составляют научную основу школьного курса геометрии, а сам курс способствует развитию пространственного воображения и геометрической интуиции. Курс интересен изначально присущими ему стройностью, логичностью и внутренней красотой, а также тем, что он является теоретическим фундаментом теории линейной перспективы, применяемой в изобразительном искусстве. В свою очередь, изобразительное искусство всегда служило и продолжает служить источником новых идей в проективной геометрии.

В настоящее время наблюдается снижение интереса студентов к изучению проективной гео-

В.Р. МАИ ЕР, Е.В. КРУМ. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИИ ПРОЕКТИВНОИ ГЕОМЕТРИИ

БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

метрии, что связано отчасти с чрезмерной теоре-тизацией этой учебной дисциплины и, как следствие, со снижением визуальной составляющей ее обучения - число рисунков и чертежей в ряде учебников и учебных пособий сократилось до минимума, Ситуация осложнилась и в связи с переходом отечественных педагогических вузов на кредитно-модульную систему организации образовательного процесса, в результате чего модуль «Проективная геометрия» основного курса геометрии (направление подготовки Педагогическое образование, сдвоенный профиль «Математика» и «Информатика») лишился около 30 % аудиторных часов.

Для того чтобы перечисленные выше факторы не повлекли за собой снижение качества геометрической подготовки будущего учителя математики, нами разработано компьютерное сопровождение курса проективной геометрии, представляющее собой комплекс динамических моделей с элементами анимации. Каждая динамическая модель комплекса - это, по сути, реализованный в СДГ «Живая геометрия» учебный информационно-ориентированный проект по проективной геометрии. Под учебным информационно-ориентированным проектом по геометрии понимается «специальное учебное задание по компьютерной реализации некоторой среды, состоящей из сложно организованных геометрических объектов, включающее в себя решение задач геометрического характера, составление аналитической и информационной моделей, ввод, обработку и вывод на экран дисплея графи-

ческой информации» [Майер, 2001]. СДГ «Живая геометрия», входящая в так называемый школьный комплект цифровых образовательных ресурсов, может с успехом использоваться для компьютерной реализации учебных информационно-ориентированных проектов по проективной геометрии.

«Живая геометрия» позволяет, не прибегая к программированию, не только строить компьютерные модели плоских и пространственных фигур, но и манипулировать ими, сохраняя при этом одновременно их целостность и иерархию зависимости друг от друга. Конструктивные, анимационные и вычислительные возможности «Живой геометрии» позволяют студентам самостоятельно создавать компьютерные динамические модели объектов проективной плоскости с элементами анимации, сохраняющие инцидентность точек и прямых, а также сложное отношение точек -основные инварианты центрального проектирования. Особо отметим заложенную в СДГ «Живая геометрия» возможность визуализации процесса доказательства геометрических утверждений, поэтапного сопровождения решения задач.

Эти и ряд других возможностей, заложенных в «Живую геометрию», превращают компьютер с таким программным средством в виртуальную мини-лабораторию, позволяющую строить на проективной плоскости конфигурации точек и прямых любой сложности, выдвигать и проверять гипотезы, проводить компьютерные исследования, анализ и эксперименты [Майер, 2012], насыщать процесс обучения динамикой и анимацией.

Рис. 1

Задача. Доказать, что если в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой параллельны диагонали четырехугольника, то непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

Б - центр перспективы^

Решение.

Треугольники КВ1_ и ЫОМ имеют ось перспективы -прямую АС. По теореме обратной к теореме Дезарга они имеют центр перспективы -точку Б.

# АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ. Теория и практика модернизации образования

Всего нами разработано около 50 динамических моделей с элементами анимации, поддерживающих теорию и практику всех основных тем курса. Остановимся на особенностях использования «Живой геометрии» при обучении студентов некоторым темам проективной геометрии.

Теорема Дезарга и ее приложения. Построение студентами на рабочем поле «Живой геометрии» конфигурации Дезарга позволяет за короткий промежуток аудиторного учебного времени на лабораторно-практическом занятии визуализировать все этапы доказательства теоремы Дезарга, рассмотреть различные варианты расположения дезарговых треугольников, решить целый ряд задач элементарной геометрии на применение этой теоремы (рис. 1).

Проективные преобразования, гомология. На лабораторно-практическом занятии студенты готовят «живой» чертеж, позволяющий находить образ точки С при гомологии. Помещая С на ломаную или окружность и задавая для ее образа С', опцию «Оставлять след», можно в режиме анимации провести компьютерное исследование, связанное с построением образа выбранной фигуры. Изменяя с помощью мышки расположение окружности по отношению к центру и оси гомологии, мы будем получать в качестве образа окружности эллипс (рис. 3), гиперболу или параболу.

Координаты точек на проективной прямой и плоскости. Применение на лекции подготовленного в «Живой геометрии» динамического чертежа, содержащего точки проективного репера плоскости (прямой), произвольной точки, а также векторов связки (пучка) прямых, порождающих эти точки, позволяет, используя вычислительные и анимационные возможности среды, провести компьютерный эксперимент, предваряющий доказательство утверждения о независимости координат точки в проективном репере от выбора центра связки (пучка) прямых. Для этого достаточно ухватиться мышкой за точку Б и перемещать ее по рабочему полю (рис. 2). Выведенные на мониторе значения всех трех координат точки X будут оставаться без изменения.

Л А2, А3, Е} проективной плоскости

\ ^Ч3

А \Ез

Е

Ао

Линии второго порядка на проективной плоскости. К лекции (или на лабораторно-практическом занятии) готовится «живой» чертеж, позволяющий наглядно проиллюстрировать теорему Штей-нера о множестве точек пересечения соответственных прямых двух проективных, но не перспективных пучков прямых. Для этого проективное отображение одного пучка прямых на другой задается в «Живой геометрии» тремя парами соответственных прямых: а —»а', Ь—*Ь', с—> с . Для произвольной прямой т первого пучка с помощью вспомогательных точек и прямых (на рис. 4 они спрятаны) строится ее образ т , находится общая точка М

Координаты точки Х(х^: х2: х3) в репере {А

ЭЕ, - 2,62 см ЗЕ2 = 4,40 см ЭЕз= 6,34 см

Рис. 2

В.Р. МАЙЕР, Е.В. КРУМ. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИИ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

А'

Рис. 3

Рис. 4

прямых т и т'. Вращая в режиме анимации прямую т вокруг центра Б пучка, можно увидеть линию, которую описывает М, выяснить, каким образом выбор пар соответственных прямых влияет на тип линии второго порядка.

Наш опыт обучения проективной геометрии студентов - будущих учителей математики позволяет сделать вывод о том, что использование на лекционных и лабораторно-практических занятиях интерактивной геометрической системы «Живая геометрия» дает преподавателю возможность насытить процесс обучения дисциплине «Проективная геометрия» элементами учебного исследо-

вания и компьютерного эксперимента, мотивирует студентов на изучение этого предмета, повышает качество обучения проективной геометрии.

Библиографический описок

1. Майер В.Р. Компьютерные исследования и эксперименты при обучении геометрии // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2012. № 4 (22). С. 22-27.

2. Майер В.Р. Методическая система геометрической подготовки учителя математики на основе новых информационных технологий: монография / Краснояр. гос. пед. ун-т им. В.П. Астафьева. Красноярск, 2001.

Задача. Гомология задана центром, осью и парой соответственных точек. Построить образ окружности в гомологии

гомологии

[Анимация точки