Оценка корреляционной связности геоданных горного предприятия

© В.А. Антонов, В.М. Аленичев, 2007

УДК 622.142

В.А. Антонов, В.М. Аленичев

ОЦЕНКА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗНОСТИ ГЕОДАННЫХ ГОРНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Семинар № 14

В процессах прогнозирования минерально-сырьевых и технологических показателей на горных предприятиях важным является установление пространственно-временных и атрибутивных связей разнородных геоданных. Информативная база геоданных включает в себя накопленные за период разведки и эксплуатации месторождения полезного ископаемого результаты маркшейдерских и геофизических измерений, геологического, технологического опробования горного массива, а также перерабатываемых рудопотоков. Поэтому многочисленные выборки геоданных отражают состояние геосистем горного предприятия разного иерархического уровня как совокупностей структурно связанных и взаимодействующих между собой геологических и технологических объектов. Для оценок прогнозируемых признаков геосистем исследуют их корреляционную связность с пространственными, временными и другими имеющимися на предприятии атрибутивными признаками, которые могут дополнить, уточнить прогнозные оценки и таким образом повысить их достоверность.

Корреляционная связь геоданных в наиболее полном объеме выражается матричной корреляционной функцией, транслируемой в геопространстве и времени [1]. При этом элементом связности геоданных является матричная корреляционная функция

вдоль пространственного или временного профиля. На основе профильных корреляций составляется представление о площадной или объемной связности геоданных в форматах 20 или 30.

В данной статье предложена матричная модель формирования профильной корреляционной функции. Показано, что по характерным особенностям множеств однородных

геоданных, вовлеченных в корреляцию, и элементов корреляционных матриц можно судить о степени проявления трендовой и случайной составляющей искомого признака геосистемы вдоль профиля.

Предположим, что атрибутивные признаки геосистемы измерены в точках профиля, образующих однородное множество координат Х^ с установленной регулярностью, т.е. интервал ДХ^, между двумя любыми последовательно расположенными точками на профиле выдерживается постоянным. Обозначив координату точек профиля в единицах указанного интервала, пронумеруем их рядом натуральных чисел. Однородные наборы атрибутивных признаков по профилю обозначим соответствующими множествами Х2, Хз, Х4 и так далее, где индекс указывает на физическую принадлежность множества, например, содержание в руде какого либо компонента, плотность горной породы, мощность ее пласта. Полагая, что

профиль содержит п точек, а количество однородных множеств т, составим профильную метрическую матрицу геоданных

[ М

тп

Хп Х12

X X

21 22

Хі:

Х2

Хті Хт2 Хт

Х

Х2

Хт

•

Преобразуем элементы матрицы (1) к безразмерному виду [2], представив их параметрами

X.-,,

хк -X

где і - номер строки (однородного множества геоданных); к - номер столбца (точки профиля); X , а і -среднее значение и, соответственно, среднеквадратичное отклонение от него значений физической величины, составляющей /-строку матрицы (1). В результате преобразования получим матрицу профильных центрированных параметров

[м ]

11

21

12

22

13

23

1п

2п

XXX т1 т2 т3

Обозначим I количество единичных интервалов, разделяющих две точки профиля, и ограничим целочисленные значения I в пределах от 0 до п-2. Для отображения координатно-атрибутивной связи геоданных сформируем профильную корреляционную матричную функцию. Представим ее в виде произведения матриц

[ Кх (1) 1 =-

М -

п-1-11_

где [М (1)], [М +(1)] - матрицы, получаемые из матрицы (2) в результате удаления 1 столбцов с левого края

(знак минус) и, соответственно, с правого края (знак плюс); Т - знак транспонирования матрицы. Значения коэффициентов корреляции, составляющих матрицу (3), зависят от количества точек профиля, интервала I и характера распределения атрибутивных признаков вдоль профиля.

В случае I =0 из (3) получим матрицу коэффициентов корреляции с диагональными элементами, равными единице, отображающую факторную связь геоданных по совмещенным точкам профиля. Коэффициенты корреляции атрибутивных признаков с координатой профиля составляют первую строку матрицы. По значениям коэффициентов этой строки оценивают уровень координатной связи заданного атрибутивного признака или находят признак, имеющий наибольшую координатную связь. По коэффициентам корреляции других строк судят о связях выбранного (определяемого) атрибутивного признака с остальными признаками, которые могут, наряду с координатой, вовлекаться в число аргументов при трендовой оценке определяемого признака.

Для оценки пространственнофакторной связи геоданных из (3) при условии I >0 получим матрицы коэффициентов их корреляции в точках профиля, отстоящих друг от друга на интервале I . Поскольку распределение координаты профиля из-за ее регулярности является линейным, то имеет смысл оценивать вид распределения атрибутивных признаков вдоль профиля в сопоставлении с координатным распределением. При этом важным обстоятельством является то, что распределение центрированных параметров отображает лишь совокупность случайного и трендового проявления признака и не зависит от постоянных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение

трендовой компоненты. Выделим из матрицы (2) параметры координатного (X1) и атрибутивного (X г) признаков. Основное проявление тренда атрибутивного признака представим в виде степенной функции. Отклонения от поверхности тренда являются случайной составляющей атрибутивного признака. Профильное распределение атрибутивного признака оценим по значениям двух параметров:

ДК = (Кц -Ка)экс и а =аг ДХ^ /аг ,

дХг

X т - Хц (п -1X т - Хл 1

2 Ху(/+1) X»1

! = 1

атрибутивного признака ДКт и а рассчитываются по формулам

3 п—1

3 2

К11

п(п+1)(п—1—1) »=1

3

п

2 —

п

п э

} 1п — 1э ) + 2 Г(2» — п —1)(» + 1эУ

где дХ / - средний интервал между

последовательными по профилю значениями атрибутивного признака, определяемый равенством

(2» + 2Ээ — п —1) ]

.и

2а,

Параметр ДК представляет собой экстремальную (наибольшую или наименьшую) разность недиагональных коэффициентов корреляции выделенной пары признаков, зависит от величины и направления смещения центра множества Х! относительно

середины профиля. Такое смещение обусловлено отклонением тренда атрибутивного признака от линейной закономерности. Параметр а характеризует возрастание или убывание трендовой составляющей атрибутивного признака, показывает степень различия среднеквадратичного отклонения атрибутивного признака в множестве X/, приведенного к его среднему единичному интервалу, по сравнению с так же приведенным к единичному интервалу среднеквадратичным отклонением в множестве координат. В случае возрастания признака вдоль профиля а > 0, а в случае его убывания, соответственно, а < 0.

Отметив, что коэффициент автокорреляции координат Кц, экстремальный параметр степенного тренда

ДХ Лп(п +1

• И 1 ^ • и где » =—2» , Ц показатель сте-

п »=1

пени тренда, 1 э - интервал между точками профиля, соответствующий экстремуму ДКт, выделим следующие случаи распределения случайной и трендовой составляющей атрибутивного признака.

В первом случае положим наличие лишь случайной компоненты, т.е. тренд отсутствует (ц =0). Тогда матрицы К( 1) будут приближенно симметричными с убывающими коэффициентами корреляции. При этом ДК=0, а параметр а определяется соотношением

а = ±

Для

ля а = ±'

3/

п

— 1

многоточечного

профи-т.е. с увеличением п

параметр а стремится к нулю.

Во втором случае положим наличие линейного тренда (ц =1) атрибутивного признака. Центр его параметров совмещен с центром профиля.

дК т

X

3

Тогда, как и в первом случае, имеем ДК = ДКт = 0. Если случайная компонента атрибутивного признака отсутствует, то матрицы К( 1) будут однородными с вырожденными элементами, равными (4). Параметр а при возрастающем тренде равен единице и, соответственно, при убывающем тренде равен минус единице. Когда возникают случайные отклонения атрибутивного признака от поверхности тренда, то вырождение элементов матриц К( 1) снимается. Они остаются лишь симметричными, а модуль параметра а принимает значения меньше единицы. Чем больше амплитуда разброса случайной компоненты около тренда, тем больше отклонение модуля а от единицы. При существенном преобладании разброса случайной компоненты по сравнению с трендом параметр а приближается к значениям (6), т. е. значимость тренда утрачивается и осуществляется переход к первому случаю.

В третьем случае положим наличие нелинейного возрастающего тренда атрибутивного признака с правым смещением центра его параметров относительно середины профиля (ц >1, а >0) или, соответственно, убывающего с левым смещением центра (ц < 0, а <0). Тогда корреляционные матрицы будут несимметричными с разностью недиагональных элементов ДК >0. Эта разность тем больше, чем больше модуль показателя ц. Если случайная компонента атрибутивного признака отсутствует, то ДК = ДКт и модуль параметра а близок единице. При росте случайной компоненты происходит совместное уменьшение ДК и модуля параметра а. Когда случайная компонента атрибутивного признака становятся настолько большой, что тренд перестает проявляться, то значения ДК и а, как и в прежних случаях, устремляются к нулю.

В четвертом случае положим наличие также нелинейного возрастающего тренда атрибутивного признака с левым смещением центра его параметров относительно середины профиля (0 < ц < 1, а >0) или, соответственно, убывающего тренда с правым смещением центра (а < 0). Разность выделенной пары недиагональных элементов в матрице К( 1) в этом случае отрицательная (ДК <0). Ее модуль зависит от показателя степени тренда. Так же, как в предыдущих случаях, при наличии только тренда ДК=ДКт и модуль параметра а близок к единице. Появление и рост случайной компоненты атрибутивного признака приводит к совместному уменьшению ДК и модуля параметра а.

Показанные выше оценки трендового и случайного распределения атрибутивного признака позволяют утверждать, что по совокупности значений параметров ДК и а, определяемых по приведенным соотношениям из массива геоданных, можно однозначно судить о виде и показателе степени одночленного степенного тренда атрибутивного признака вдоль профиля. Так же можно судить о полученном при этом среднеквадратичном отклонении случайной компоненты признака от поверхности установленного тренда. Такое суждение правомочно, когда размер профиля соизмерим или меньше размера значимой для данной прогнозной задачи неоднородности геопространства. Тогда тренд монотонно растущей или убывающей, а влияние незначимых неоднородностей геопространства в пределах профиля проявляется в виде случайной составляющей атрибутивного признака. Если неоднородности на каких-либо участках профиля необходимо включить в тренд как значимые, то для оценки его следующего члена в более сложном степен-

ном ряду следует повторить процедуру описанных расчетов, приняв в обработку по приведенным формулам вместо множества атрибутивного признака множество, составленное из разностей между его исходным и первым трендовым значением. Возможна также разбивка профиля на значимые участки и выявление указанным способом распределения трендовой и случайной компоненты атрибутивного признака на каждом из них.

После вычленения тренда атрибутивного признака его пространственная связность характеризуется также максимальным координатным интервалом корреляции случайной компоненты. При профильном распределении одного атрибутивного признака на таком интервале 1 к его коэффициент автокорреляции К/ , обращается в нуль. Интервал корреляции, в пределах которого существует связность нескольких признаков, по аналогии с [1] определяется из уравнения

^к) = |К*(0)| -

К

где

онной матрицы при I =0-

оп-

ределитель структурной матрицы, которая выражается через корреляционную матрицу следующим образом

ГхЭ} = ГКх(0)] — 2( [Кх/кЭ)] + [Кх,Ыэ)] ).

Полученные результаты профильных корреляционных распределений атрибутивных признаков представляются элементами, из которых в процессе интеграции по множеству профилей формируются оценка корреляционной связности геоданных на планах и разрезах геопространства. Таким способом можно установить характерные особенности проявления геосистем и использовать их при решении задач прогнозирования на горных предприятиях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калинченко, В. М. Математическое моделирование и прогноз показателей месторождений. Справочник / В. М. Калинченко. - М.: Недра, - 1993.- 317 с.

2. Аврамов В. Е. Планирование эксперимента и прогнозирование качества сырья на горных предприятиях / В. Е. Аврамов, Е. И. Азбель, Н. И. Ефремова. - Новосибирск: Наука, - 1979,- 303 с. ШИЗ

— Коротко об авторах------------------------------------------------------------------

Антонов Владимир Александрович - доктор технических наук, старший научный сотрудник,

Аленичев Виктор Михайлович - доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник,

Институт горного дела Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург.

Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 14 симпозиума «Неделя горняка-2006». Рецензент д-р техн. наук, проф. Н.И. Федунец.