О роли задач на приложения математики в достижении метапредметных образовательных результатов

УДК 372.851 ББК 74.262.21

О РОЛИ ЗАДАЧ НА ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ДОСТИЖЕНИИ МЕТАПРЕДМЕТНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

М. В. Егупова, Ю. В. Мошура

Аннотация. Авторами ставится проблема реализации идеи практикоориентиро-ванности обучения математике в условиях внедрения федеральных государственных образовательных стандартов общего образования (ФГОС ОО). В статье устанавливается связь между обучением решению задач на практические приложения геометрии методом математического моделирования и достижением метапред-метных образовательных результатов. Подчеркивается связь между учебными действиями, выполняемыми на этапах математизации, формализации и интерпретации метода математического моделирования и универсальными учебными действиями. Приводятся примеры задач. Таким образом намечаются пути решения задачи разработки методических подходов к обеспечению связи универсальных учебных действий с содержанием обучения математики в целом.

Ключевые слова: обучение математике в школе, метапредметные умения, математическое моделирование, задача на практические приложения математики, геометрия.

ON THE ROLE OF THE TASK ON THE APPLICATION OF MATHEMATICS IN THE ACHIEVEMENT OF METASUBJECT EDUCATIONAL OUTCOMES

M. V. Egupova, Yu. V. Moshura

Abstract. The authors raise the problem of implementing the idea of practice-oriented teaching mathematics in the context of the introduction of Federal state educational standards of General education (FSES). The article establishes a link between learning to solve problems in the practical application of geometry by mathematical modeling and the achievement of meta-subject educational results. The connection between the educational actions performed at the stages of mathematization, formalization and interpretation of the method of mathematical modeling and universal educational actions is emphasized. Examples of problems are given. Thus, the ways of solving the problem of developing methodological approaches to ensure the connection of universal educational actions with the content of mathematics education in General are outlined.

Keywords: teaching mathematics at school, meta-subject skills, mathematical modeling, the task on practical applications of mathematics, geometry.

Одной из ведущих идей современной модели школьного образования является ее ориентация на приобретение обучающимися способности применять полученные знания в измененных условиях - вне учебного процесса, проектировать свою деятельность в реальных жизненных ситуациях. Очевидно, что эта идея далеко не нова и попытки ее реализации предпринимались и ранее. Не совсем успешный опыт политехнического обучения и прикладной направленности обучения показал, что необходимы какие-то иные пути включения задач, связанных с практическими приложениями математике в образовательный процесс [1].

Очевидно, что такие задачи, с одной стороны, должны демонстрировать подлинные возможности математики в исследовании, преобразовании и описании реальности, а с другой - способствовать приобретению школьниками математических знаний и умений. Со второй частью этого тезиса в методике обучения математике справляться удавалось и ранее, а вот с первой имелись и имеются объективные трудности.

Имеющиеся задачи на приложения в большинстве носят дидактический характер и максимально «очищены» от реальной ситуации, в которой они могли возникнуть. Как правило, при решении такой задачи не требуется применения метода математического моделирования, математическая модель задачи очевидна. Школьникам остается только использовать нужный математический аппарат для получения верного ответа. В первую очередь, такие задачи направлены на проверку математических знаний, а не прикладных умений школьников, то есть успешно реализуется только вторая часть ранее сформулированного тезиса.

Действительно интересных и содержательных примеров практических приложений математики (и одновременно понятных школьникам) имеется не так уж и мно-

го. Ряд из них давно растиражирован в школьных учебниках. Например, это задачи об измерении высоты дерева или расстояний до недоступных предметов из учебников геометрии для 7-9-х классов. Однако и про эти классические примеры нельзя сказать, что они подлинно интересны современным школьникам.

Очевидно, что простым добавлением задач и методических рекомендаций, пусть и хороших в нашем представлении, реализовать идею практикоориентированности обучения математике в школе довольно затруднительно.

Обратим внимание, что в действующем образовательном стандарте основного общего образования (ФГОС ООО) обозначены требования к метапредметным образовательным результатам [2]. Именно в требованиях к таким результатам заложена идея приобретения учащимися способов деятельности, применимых как в рамках образовательного процесса, так в ситуациях, возникающих в обыденной жизни. Таким образом, направленность на практическую ориентацию обучения математике и требование достижения метапредметных образовательных результатов имеют тесную связь. А идея метапредметности позволяет предложить ряд методических подходов, позволяющих влиять и на качество приобретаемых школьниками знаний и умений, и на их применимость в реальных обстоятельствах.

Покажем это на примерах.

Как известно, метапредметные результаты включают межпредметные понятия и три группы универсальных учебных действий (УУД), которыми должны овладеть учащиеся. В частности, к регулятивным УУД относится умение оценивать правильность выполнения учебной задачи.

В контексте обучения математике под учебной задачей обычно понимают тренировочное упражнение, математическую за-

дачу. В метапредметном смысле под учебной задачей будем понимать единицу учебной деятельности, которая заключается, например, в освоении новых способов действия, алгоритмов, правил, поиске закономерностей и т. п.

Для того, чтобы перевести проверку решения математической задачи в метапред-метную плоскость, то есть показать школьникам, что оценка правильности выполнения учебной задачи (в реальных обстоятельствах - оценка правильности принятого решения) необходима не только при обучении, предлагаем провести следующую методическую работу. Рассмотрим задачу, в которой дано описание игры в монеты.

Задача 1. Двое по очереди кладут на лист бумаги прямоугольной формы монеты одинакового размера. Монеты можно класть только на свободные места так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти. Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монеты начинающий игру, чтобы выиграть?

После прочтения условия этой задачи учащиеся, как правило, сразу предлагают варианты ее решения исходя из своей интуиции, жизненных представлений без опоры на математические знания. Это является естественным для школьников, так как в условии задачи нет ни одного математического термина. Однако аргументировать, почему предложен тот или иной вариант решения, учащиеся, как правило, не могут, то есть не могут оценить правильность принятого решения. Проверку правильности видят в проведении реальной игры, то есть предлагают опытную проверку. Однако тогда принятое решение уже будет исполненным, в реальных обстоятельствах это может грозить, например, финансовыми потерями.

Дальнейшая работа над задачей в рамках метода математического моделирования позволяет учащимся убедиться в воз-

можности использовать приобретенные математические знания - в частности, понятие центральной симметрии - и найти выигрышную стратегию. Она заключается в том, что первым ходом определяется центр симметрии прямоугольника (бумажного листа). В дальнейшем первый играющий каждый раз кладет свою монету симметрично относительно центра листа монете, положенной вторым играющим. Это он всегда сможет сделать после каждого хода второго игрока. Поэтому именно начинающий сделает последний ход в этой игре и, следовательно, выиграет.

Таким образом, критерием правильности выполнения этой учебной задачи является предъявление стратегии, при которой первый игрок выигрывает. Выбор и обоснование стратегии связано с применением соответствующего математического инструментария - центральной симметрии.

Не рассматривая подробно, заметим, что умение оценивать правильность выполнения этой учебной задачи проявилось на этапах формализации и интерпретации метода математического моделирования.

Приведем пример возможности формирования умения смыслового чтения. Это умение относится к познавательным УУД и в его состав входят, в частности, следующие учебные действия: «находить в тексте требуемую информацию; ориентироваться в содержании текста, понимать целостный смысл текста, структурировать текст; устанавливать взаимосвязь описанных в тексте событий, явлений, процессов» [3].

Покажем, как перечисленные действия могут формироваться в процессе решения задачи на практические приложения. Выберем задачу, в тексте которой имеется описание некоторого способа действий в реальной ситуации. Такая задача будет иметь метапредметную направленность. Для того, чтобы ответить на ее вопрос, школьнику необходимо не только прочитать и понять довольно обширный текст, но и перевести его на язык математики. Поэтому важным этапом в решении таких задач является этап математизации метода математиче-

ского моделирования [1]. Именно на этом этапе проявляется умение смыслового чтения. Напомним, что суть математизации состоит в проведении подготовительной работы к составлению математической модели: осуществляется предварительный анализ условия задачи с целью установления возможности применения математического аппарата для ее решения, происходит уяснение смысла нематематических понятий, входящих в условие задачи; выделение реальных объектов, значимых для решения задачи; установление связей между этими объектами; подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реальным объектам.

Рассмотрим реализацию этапа математизации при решении следующей задачи.

Задача 2. Пусть за окном мимо вас по улице идут прохожие. Вы можете отчетливо различить их шаги. Для того, чтобы узнать расстояние от вас до них, можно поступить следующим образом. Если пешеход идет в сторону правой руки, смотрите на вытянутый в его сторону палец сначала правым глазом. Как только палец закроет фигуру движущегося человека, надо закрыть правый глаз, а левый открыть. Пешеход словно отодвинется назад. Теперь подсчитайте количество шагов до того места, где ваш палец снова его закроет. Осталось полученное количество шагов умножить на 10, и вы узнаете расстояние от вас до человека, идущего по улице. Почему умножение числа шагов на 10 дает нужный результат? Всегда ли возможно воспользоваться этим способом оценки расстояния?

Опишем учебные действия, которые, с одной стороны, входят в состав умения смыслового чтения, а с другой стороны, соответствуют подготовительной работе к составлению математической модели на этапе математизации метода математического моделирования.

1. Уяснение смысла нематематических понятий и отношений, входящих в условие задачи.

В условии задачи нет терминологии, которая была бы непонятна школьникам. Од-

нако в задаче использован ряд оптических свойств зрения, которые должны быть уяснены школьниками. Например, необходимо ответить на вопрос, что означают слова «палец закрывает фигуру пешехода»? Как перевести эти слова на язык геометрии? Также требуется разобрать явление параллакса зрения, которое и лежит в основе предлагаемого способа оценки расстояний.

2. Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Установление связей между этими объектами.

Выделим реальные объекты: вы (наблюдатель), прохожие, расстояние от вас до прохожих. Эти объекты следует рассмотреть детально. Из условия следует, что наблюдатель использует для оценки расстояния левый и правый глаз, вытянутый вперед палец. А среди прохожих выделен один пешеход, шаги которого может различить и сосчитать наблюдатель. Оценивается расстояние от наблюдателя до этого выбранного пешехода. Важным для решения также является направление движения пешехода, два его местоположения, фиксируемые при параллактическом смещении.

В условии есть еще объекты

3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реальным объектам.

А

Ь ^^

р

в

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 2

По первоначальному рисунку сделаем новый, отбирая нужные объекты и устанавливая к ним подходящие геометрические эквиваленты (рис. 1). Изобразим на одном рисунке два местоположения пешехода. Точки L и Р -положение левого и правого глаза наблюдателя, R - конец большого пальца вытянутой руки, А - первое положение пешехода, В - второе. Будем считать, что прямая LP параллельна направлению АВ движения пешехода.

Заметим, что в условии не хватает данных. Для решения может потребоваться расстояние между глазами наблюдателя, а также расстояние от глаз до вытянутого пальца. Расстояние между глазами у взрослого человека колеблется от 0,054 м до 0,068 м, расстояние от глаз до кончика большого пальца вытянутой руки - от 0,54 м до 0,68 м. Поэтому примем, что LP = 0,06 м, PR = 0,6 м.

Для определенности мы предположили, что наблюдатель закрывает пешехода пальцем, вытянув руку. Вообще говоря, он может держать палец и довольно близко к глазам. Значение этой величины по сравнению с расстоянием до пешехода мало, поэтому в качестве расстояния от наблюдателя до пешехода примем расстояние АR.

Также неизвестно, сколько шагов сделал пешеход. Поскольку необходимо предложить способ расчета расстояния и исследовать его, то конкретное число шагов не понадобится. Допустим, что пешеход сделал всего N шагов.

В этом примере этап математизации описан достаточно подробно. Его изложение может быть сокращено с учетом уровня математической подготовки школьников, их интересов, жизненного опыта и наличия учебного времени.

Покажем в таблице соответствие выделенных нами действий школьников на этапе математизации и ряда учебных действий, соответствующих умению смыслового чтения, выделенных в ПООП ООО [3].

Из таблицы видно, что установленное соответствие не является взаимно однозначным. Например, для выполнения действий 2-го и 3-го этапа математизации необходимо устанавливать взаимосвязи сначала между реальными объектами, а затем между каждым таким объектом и адекватным ему математическим объектом, что описано одним действием (Э) согласно ПООП ООО. Также отметим, что действия, совершаемые при математизации, шире заявленного УУД, так как включают еще и специальные действия математического моделирования и ряд предметных действий.

Задачи 1 и 2, приведенные нами ранее, заимствованы из учебных пособий для школьников и несколько переработаны нами. Но и для формирования у учащихся математического взгляда на окружающий мир, и для достижения метапредметных результатов важно уметь выделять задачную

Таблица

Сопоставление учебных действий школьников

Учебные действия этапа математизации Учебные действия умения смыслового чтения

1. Уяснение смысла нематематических понятий и отношений, входящих в условие задачи. A. Нахождение в тексте требуемой информации. B. Ориентация в содержании текста

2. Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Установление связей между этими объектами А. Нахождение в тексте требуемой информации. C. Понимание целостного смысла текста, структурирование текста. D. Установление взаимосвязей описанных в тексте событий, явлений, процессов

3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реальным объектам D. Установление взаимосвязей описанных в тексте событий, явлений, процессов

ситуацию из обыденной жизни, профессиональной деятельности людей и т. п. Это умение связано со следующим требованием к метапредметным результатам, указанным в ПООП ООО: «выделять главную и избыточную информацию, выполнять смысловое свертывание выделенных фактов, мыслей; представлять информацию в сжатой словесной форме (в виде плана или тезисов) и в наглядно-символической форме (в виде таблиц, графических схем и диаграмм, карт понятий - концептуальных диаграмм, опорных конспектов)» [3].

Приведем пример такой составленной нами задачи к теме «Теорема Пифагора и площадь четырехугольника» [4].

Задача 3. Для вычисления площади земельного участка, имеющего форму произвольного четырехугольника, в сети Интернет предлагается воспользоваться он-лайн-калькуляторами (рис. 2, 3). Для получения результата необходимо измерить несколько величин и ввести в специальную форму их значения.

А. По набору этих значений предположите, как программа производит расчет?Запишите последовательность вычислений.

Б. Площади каких четырехугольных участков земли нельзя вычислить с помощью этих калькуляторов?

Ответом к пункту А будут являться следующие схемы (рис. 4, 5):

Приведем ответы к пункту Б. Воспользовавшись первым онлайн-калькулятором (см. рис. 2), возможно вычислить площадь выпуклого четырехугольника, у которого один из углов прямой. Возможность вычислить площадь любого выпуклого четырехугольника дает второй онлайн-калькулятор (см. рис. 3).

Согласно требованиям к метапредмет-ным результатам, приведенным ранее, ответ к п. А приведен в наглядно-символической форме, к п. Б дан в сжатой словесной форме.

Однако решение задачи на этом не заканчивается. Для формирования математического взгляда на мир и реализации прак-тикоориентированности обучения целесообразно обсудить представленные калькуляторы с точки зрения целесообразности и возможности их использования в реальной ситуации. Например, предложим школьникам подумать над такими вопросами.

Для первого онлайн-калькулятора (см. рис. 2).

1. Как установить, что участок земли имеет хотя бы один прямой угол?

2. Как измерить длины сторон четырехугольного участка земли, если обозначены

Рис. 2. Онлайн-калькулятор № 1 к задаче 3

Рис. 3. Онлайн-калькулятор № 2 к задаче 3

Рис. 4. Последовательность вычислений онлайн-калькулятора № 1 на рис. 2

Рис. 5. Последовательность вычислений онлайн-калькулятора № 2 на рис. 3 86 Наука и Школа № 2'2019

только вершины четырехугольника, а рулетки или веревки нужного размера нет?

Для второго онлайн-калькулятора (см. рис. 3).

1. Всегда ли возможно провести непосредственное измерение диагонали участка? Какие могут быть затруднения?

2. Как использовать метод триангуляции для преодоления возможных затруднений при измерении площади участка земли произвольной формы?

Не будем приводить ответы на поставленные вопросы ввиду ограниченности объема публикации, но думаем, что это совсем нетривиальная задача и для учителя. В этом примере еще раз подчеркнуто бинарное назначение задач на приложения, которое состоит в обучении математике, с одной стороны, и обучении применению математики для исследования и описания окружающей действительности - с другой.

Итак, при решении задач на практические приложения предоставляется возможность выйти за рамки учебного предмета, что является основным признаком мета-предметности. Главным умением, формируемым при решении таких задач, является умение моделировать - в частности, умение строить и исследовать математические модели. На примерах показано, что учебные действия, связанные с реализацией этапов метода математического моделирования, коррелируют с УУД. А значит, обучение школьников решению задач на практические приложения математики может способствовать достижению метапредмет-ных образовательных результатов.

Это позволит решить и другую проблему - проблему наполнения обучения математике метапредметным содержанием. В связи с этим имеется потребность в обновлении и приемов обучения. Пока новый формат результатов (УУД) требуется получить старыми форматами обучения.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Егупова М. В. Методические подходы к

использованию практических приложе-

ний в обучении геометрии // Математика в школе. - 2011. - № 10. - С. 39-44.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования // Министерство образования и науки РФ. - 2010. - URL: Ы1р://минобрнауки.рф/документы/938 (дата обращения: 01.12.2018).

3. Примерная основная образовательная программа основного общего образования. Одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию, протокол от 08.04.2015 № 1/15 // Реестр примерных основных общеобразовательных программ. Министерство образования и науки РФ. - 2010. - URL: http://fgosreestr.ru/registry/primernaya-osnovnayaobrazovatelnaya-programma-osnovnogo-obshhego-obrazovaniya-3/ (дата обращения: 01.12.2018).

4. ГлазковЮ. А., ЕгуповаМ. В. Тренажёр по геометрии: 8 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы». ФГОС (к новому учебнику). - М.: Экзамен, 2019. - 80 с. (Сер.: Тренажёр).

REFERENCES

1. Egupova M. V. Metodicheskie podkhody k ispolzovaniyu prakticheskikh prilozhe-niy v obuchenii geometrii. Matematika v shkole. 2011, No. 10, pp. 39-44.

2. Federalnyy gosudarstvennyy obrazova-telnyy standart osnovnogo obshchego obrazovaniya. 2010. Available at: http:// minobrnauki.rf/dokumenty/938 (accessed: 01.12.2018).

3. Primernaya osnovnaya obrazovatelnaya programma osnovnogo obshchego obra-zovaniya. Odobrena resheniem federal-nogo uchebno-metodicheskogo obyedi-neniya po obshchemu obrazovaniyu, pr-otokol ot 08.04.2015 No. 1/15. In: Reestr primernykh osnovnykh obshcheobrazo-vatelnykh programm. Ministerstvo obra-zovaniya i nauki RF. 2010. Available at: http://fgosreestr.ru/registry/primernaya-osnovnayaobrazovatelnaya-programma-

osnovnogo-obshhego-obrazovaniya-3/ (accessed: 01.12.2018). 4. Glazkov Yu. A., Egupova M. V. Trena-zher po geometrii: 8 klass. K uchebniku

L. S. Atanasyan i dr. "Geometriya. 7-9 klassy". FGOS (k novomu uchebniku). Moscow: Ekzamen, 2019. 80 p. (Ser.: Trenazher).

Егупова Марина Викторовна, доктор педагогических наук, доцент, профессор Кафедры теории и методики обучения математике и информатике Института математики и информатики Московского государственного педагогического университета e-mail: egupovam@mail.ru

Egupova Marina V., ScD in Education, associate Professor, Professor, Theory and methods of teaching mathematics and Informatics Department, Institute of mathematics and Informatics, Moscow Pedagogical State University e-mail: egupovam@mail.ru

Мошура Юлия Вячеславовна, аспирант кафедры теории и методики обучения математике и информатике Института математики и информатики Московского государственного педагогического университета e-mail: etova.julia@yandex.ru

Moshura Yulia V., postgraduate student, Theory and methodology of teaching mathematics and Informatics Department, Institute of mathematics and Informatics, Moscow Pedagogical State University

e-mail: etova.julia@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 05.12.2018 The article was received on 05.12.2018