Оценка размерностей алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности с дополнительными условиями. I

УДК 514.76

оценка размерностей алгебр ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения двух пространств аффинной связности с дополнительными условиями. I

М. В. МОРГУН

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

кафедра алгебры

В работе исследуется размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензором Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности.

Работы, связанные с исследованием аффинных преобразований пространств аффинной связности занимает видное место в геометрии. Среди большого числа геометров, занимавшихся этой проблемой, важные результаты были получены такими ученными как Л. П. Эйзенгардтом и М. С. Кнебельманом, И. П. Егоровым, П. К. Рашевс-ким, К. Яно, У. Муто, Г. Вранчану. Задача, связанная с исследованием размерностей алгебр Ли инфинитезималь-ных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности, остается открытой.

В данной работе установлена максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензором Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности. Работа состоит из двух параграфов: основные факты и определения приведены в § 1, а § 2 посвящен непосредственно решению поставленной задачи.

теорема 3. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензором Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности не превосходит п2 + п22 - п2 + 3 («1, п2 > 3), причем указанная граница точная.

Во всей работе будем придерживаться следующей схемы использования индексов: г, ],... = 1,«1 ; а, в,... = 1,«2 ; а,в,... = п1 + 1,п; А,В,... = 1,п (п = п1 + п2).

§ 1. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ

Пусть (Мп^ ,1У) и (2ЫП1,2 V) - пространства аффинной связности без кручения. Стандартным образом построим их прямое произведение ('Мщ х2Мщ ,1Ух2 V) [1], в дальнейшем это пространство будем обозначать

(Мп, V) (п = п + п2).

Будем считать, что пространство (1МЩ ,1 V) является неплоским проективно-евклидовым с симметричным тензором Риччи, причем в каждой точке пространства будем выбирать систему координат таким образом, чтобы форма К^йх1 йх] принимала канонический вид.

В качестве второго пространства (2М^ ,2 V) рассмотрим непроективно-евклидовое пространство, то есть Ф 0 . Условие непроективно-евклидовости равносильно выполнению одному из следующих условий:

(а) существует карта гладкого атласа (и, ха ), такая, что существует хотя бы одна составляющая тензора кривизны вида ^а^О^ отличная от нуля для некоторых попарно различных между собою индексов;

(б) в каждой карте (V,уа ) все составляющие тензора кривизны вида 2равны нулю, но существует карта (и, ха ) такая, что составляющая тензора кривизны вида 2 Л—--отлична от нуля [2].

а 2 а з а 4

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ

Следовательно, при построении (Мп, V) возникает два случая:

1. (2МЩ ,2 V) удовлетворяет условию (а).

2. (2М^ ,2 V) удовлетворяет условию (б).

Векторное поле X называется инфинитезимальным аффинным преобразованием пространства (Мп,V),

если

Ьх V = 0.

В локальных координатах это уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Первую серию условий интегрируемости этой системы составляют уравнения

ЬхЯВсо =

Составляющие тензора кривизны Я'Асо пространства (Мп, V) имеет следующее строение [1]:

ра Явсо

1Я)Ы, если А = I, В = к, С = к, О = I;

2Я^-,если А = аВ = в,С = у,О = Л, РуЛ

0, в остальных случаях.

На основании этого заключаем, что система (2) равносильна системе

ЬхК)ы = 0,

К'мхьа = о,

Я^Х Р = 0,

= 0,

Ьх Я руЛ = 0,

Яах х) = 0,

Яву, х\ = 0,

Я)уЛх) = 0.

Если ранг системы (3)-(10) не менее Г , то размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преоб-

2

разований пространства (Мп, V) не превосходит п + п — Г , где п - размерность пространства.

§ 2. ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТЕЙ АЛГЕБР ЛИ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА

Так как (*Мп ,1 V) - проективно-евклидовое пространство, то = 0. Развернув это соотношение подробно [3], получаем, что

Я*ы ((щЯк + Я,к!)8! -пЯл + Я,Щ)-^-Я[Щ.

п1 -1 п1 +1

Учитывая это соотношение, получаем, что система (3)-(6) равносильна системе

5 тЯкк + Я( !к 1Г

хт9 тя ,, + я

-^-Хпя, + Якк )8; -

п1 -I

В силу симметричности тензора Риччи из (12) находим, что

Як1х°а = 0,

из

] - я^ )х:=о.

Так как (М , V) неплоское, то существует ненулевая составляющая тензора Риччи вида Raa. Тогда из (14) получаем, что

Х'а = 0.

При к = а, ] = а из (15) находим, что

Х,ст= 0, I Ф а.

Таким образом, система (11)-(13) равносильна

' хтд „Як + к( ]к\т) хт = о, •х'а = о,

х 1 = 0, I Ф а.

Так как ранг системы (11) в случае, когда тензор Риччи симметричный, не меньше чем пх [2], причем коэффициенты при переменных Х1а, X в, Xр равны нулю, поэтому ранг всей системы не меньше, чем пх + щп2 + п2 (п -1). Рассмотрим систему (7)-(10), ее ранг зависит от типа пространства (2Мп ,2 V).

Пусть (2М ,2 V) удовлетворяет условию (а), тогда ранг системы (7) не менее 3п2 - 5 [2]. Учитывая соотношения (16) и (17), из (8) и (9) приходим к системе

\каУх ха = о,

1 с

[Кр^я х! = 0.

Рассмотрим матрицу при неизвестных х^2, х^3 в уравнениях ], ] . Матрица системы (18) приобретает следующий вид:

А =

(ка1 * ^

а 2^ 2^ 3

0 -яа1

а2а2аз^

Исходя из этого делаем вывод, что ранг (18) не менее двух. Следовательно, ранг всей системы (3)-(10) не менее п1 + п1п2 + п2 (п1 -1) + 3п2 - 5 + 2 , то есть п1 + 2п1п2 + 2п2 - 3.

Таким образом, имеет место

Теорема 1. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензором Риччи и

непроективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющее условию (а), не превосходит

22 п1 + п2 - п2 + 3.

Для доказательства точности оценки, указанной в предложении 1, рассмотрим пример 1. В пространстве Мщ = Ящ зададим линейную связность ^ следующим образом:

1т-1 1т-2 1т- п, -1 1 1т-п, 1 1т-. 1 п

Г1п1 = Г2п = ...= Гп1-1 щ = 2 Гп1 = 2 , другие ]к = 0. В качестве пространства (2М„2,2 V) возьмем Я с линейной связностью 2 V, определенной условиями:

2 Г^ = х2, остальные 2 Г-— = 0. 23 ар

Непосредственные вычисления позволяют убедиться, что условия интегрируемости уравнений движений пространства (Я х Я ,'Ух2 V) следующие:

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

X? = 0,

X? = 0,1 Ф п1,а Ф п1 + 2, п1 + 3, Ха = 0,' Ф и1,а Ф п1 +1,

Х^+1 = 0, Б Ф П1, П1 +1,

Х^2 = 0, ^ Ф п1 +1, п1 + 2, Х"Е+Ъ = 0,Е Ф п1 +1,п1 + 2,п1 + 3, Х"1+1 = 2Хп'+2 + хп1+з

п^+1 п1+2 п1+3 '

Вторая, а значит и последующие серии условий интегрируемости, являются следствиями системы (19). Ранг этой системы равен точно п1 + 2п1п2 + 2п2 - 3. Следовательно, алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобра-

и 2 2

зований рассматриваемого пространства, имеет размерность равную щ + п2 - п2 + 3.

В качестве базиса алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований можно выбрать следующую систему векторных полей:

дА (А Ф п1 + 2), х1 дг (' Ф п1),

V "1

X да (у Ф п1 +1, а Ф п1 + 2, п1 + 3), ех дх (X Ф п1 + 2, п1 + 3),

2хп1 +1д + хп1+2д д - хп1+2хп1 +3д 2х д п1 +1 + х д п1 + 2, д п1 + 2 х х д п1 +1,

п1 + 2

+1

хп1 + 2д - !( хп1 + 2)3 д хп1 +1д + хп1 +3д х дп1 +3 3(х ) дп1 +1, х дп1 +1 + х дп1 + 3-

Пусть теперь (2МЩ ,2 V) удовлетворяет условию (б). Тогда оценка ранга системы (7) не менее 4п2 -8 [2]. Оценим ранг системы (18). Для этого рассмотрим матрицу при неизвестных Х"2, Х"3, Х"4, в уравнениях

\a3a4h \a2a4h \a2a3J'

Проведя аналогичные рассуждения, в случае, когда пространство (2М^ ,2V) удовлетворяет условию (а), находим, что ранг системы (18) не менее трех и, следовательно, ранг всей системы условий интегрируемости не менее п1 + 2п1п2 + 3п2 - 5. Значит размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензором Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющее условию (б), не превосходит п12 + п22 - 2п2 + 5 .

Покажем точность полученной границы. Для этого рассмотрим пример 2. В качестве первого пространства (1М^ ,1 V) возьмем то же пространство, что и в примере 1. = Я

п2

Положим Мп = Яп , а 2 V определим условиями:

2 Т-1 4 2 Т-1 о 2 2 г У п

123 = х , 134 = 2х , остальные 1 -- = 0 .

'зч- а р

В этом случае условия интегрируемости уравнений движений пространства (Я х Я ,1 Ух 2 V) представля-

ют собой систему

Х?1 = 0,

= 0, к Ф п1,а Ф п1 + 2, п1 + 3, п1 + 4, Х в = 0,' Ф п1, в Ф п1 +1 ХпБ+1 = 0, Б Ф п1, п1 +1, Х^1+2 = 0, ^ Ф п1 +1, п1 + 2, п1 + 3, Х^1+3 = 0, ^ Ф п1 +1, п1 + 2, п1 + 3, Х"Е+А = 0,Е Ф п1 +1,п1 + 4, Хи1+1 = Х^+2 + Хп1+3 + Х^+4

п1+1 п1+2 п1+3 п1+4'

В качестве базиса алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований можно выбрать следующую систему векторных полей:

дА (А Ф " + 2, и1 + 4), х1д{ (' Ф и1), хгда (у Ф " +1, аФ " + 2, " + 3, " + 4),

е^(ЛФ П1 + 2, П1 + 3, П1 + 4), хп1 ^ +1 + хп1 ^+2,

хп1 X +1 + х"1 +з, х"1 +1 + х"1 +43"1 +4,

дщ +2 -2хп +3хп1+1, х"1 +35"1 +2 -(х"1+3)2х"1 +1,

хП1 +2^"1 +3 " х"1+4(х"1+2)2+1, +4 - х"1 +2х"1 +\ +1-

Таким образом, доказано

Теорема 2. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензором Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности, удовлетворяющее условию (б), не превосходит "12 + "22 - 2"2 + 5 , причем полученная граница точная.

Из предложений 1 и 2 вытекает следующая теорема.

Теорема 3. Размерность алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности с симметричным тензором Риччи и непроективно-евклидового пространства аффинной связности не превосходит "12 + "22 - "2 + 3 ("1,"2 > 3), при-

чем указанная граница точная.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971. 297 с.

2. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности // Ученные записки Пензенск. пед. ин-та. Казань: изд-во Казанского ун-та. 1965. С. 3-179.

3. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 256 с.

УДК 514.76

ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИИ СИНЕКТИЧЕСКОй МЕТРИКИ

касательного расслоения псевдоевклидовой плоскости

Н. Д. НИКИТИН

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

кафедра алгебры

В работе определяется синектическая метрика касательного расслоения Т[е\ ) псевдоевклидовой плоскости Е\, алгебра Ли инфинитезимальных изометрий которой содержит подалгебру, проектируемую на алгебру Ли инфинитезимальных движений псевдоевклидовой плоскости.

В прямоугольной системе координат (0, е1, е2), е2 = 1, = -1, е1  е2 = 0, линейный элемент плоскости Е^

2 / 1 |2 / 2 г 11 2 2

запишется в виде ds = ) - ) . Тогда = 8{ 8^ - 8{ 8^ - компоненты метрического тензора g плоскости

Е2 . Найдем алгебру Ли инфинитезимальных движений плоскости Е2 . Векторное поле X =

дх'

является инфинитезимальным движением плоскости Е21 тогда и только тогда, когда

Lxg'J = 0,

поля

уравнения (1) относительно ^ (х1, х2), получим, что ^ = тх1 + ", = тх2 + d.

где Ьх - производная Ли в направлении векторного поля X , gij = 8}д1 -828^. Интегрируя дифференциальные