Оптимальная форма треугольного крыла при заданной балансировке в вязком гиперзвуковом потоке

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м III 197 2 № 6

УДК 533.69.01 + 533.662.013

ОПТИМАЛЬНАЯ ФОРМА ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА ПРИ ЗАДАННОЙ БАЛАНСИРОВКЕ В ВЯЗКОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. С. Николаев

Рассмотрена вариационная задача определения формы срединной поверхности тонкого треугольного крыла максимального аэродинамического качества при заданном положении центра давления. Расчет аэродинамических сил, действующих на крыло, проводился методом полос с учетом гиперзвукового взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязким потоком. Решение вариационной задачи строилось численно-аналитическим методом подбора множителей Лагранжа.

В работе [1] была рассмотрена задача об оптимальной форме профиля в вязком гиперзвуковом потоке. При расчете аэродинамических сил, действующих на наветренную и подветренную стороны профиля, было учтено взаимодействие пограничного слоя с невязким возмущенным потоком. Было показано, что в некотором диапазоне относительных толщин профиля влиянием толщины профиля на его аэродинамические характеристики можно пренебречь. При этом достаточно рассчитать обтекание средней линии профиля (т. е. некоторого эквивалентного профиля нулевой толщины). В работе [1] получены формы средних линий профилей, аэродинамическое качество которых максимально при различных заданных положениях центра давления (в условиях балансировки центр давления совпадает с центром тяжести).

В настоящей работе аналогичная задача решена для крыла. В случае тонкого тела планарного типа, характерный размер которого в вертикальном направлении много меньше двух других характерных размеров (средней хорды и размаха), расчет невязкой возмущенной зоны при гиперзвуковых скоростях набегающего потока может быть проведен по методу полос. Согласно этому методу течение в каждом продольном (по потоку) сечении рассчитывается независимо от течения в других сечениях, как течение около профиля [2]. В пограничном слое на крыле скорость в боковом направлении (вдоль поверхности крыла перпендикулярно набегающему потоку) имеет тот же порядок, что и скорость набегающего потока, и метод полос, вообще говоря, неприменим.

Однако результаты расчетов обтекания пластины со скольжением и с учетом гиперзвукового вязкого взаимодействия, приведенные в работе [3], свидетельствуют о том, что при углах стреловидности, меньших 60°, метод полос может быть использован для приближенного определения составляющей коэффициента трения по потоку и толщины вытеснения пограничного слоя. Влияние угла скольжения на упомянутые величины при значениях, равных 40° и 55°, не превышает соответственно 2 и 5%. В связи с этим аэродинамические силы, действующие на крыло, в настоящей статье определяются путем интегрирования соответствующих аэродинамических характеристик профилей. Конечно, если крыло имеет несимметричную форму в плане, боковая сила может иметь тот же порядок, что и продольная. В случае же симметричных в плане крыльев (вектор скорости набегающего потока предполагается параллельным плоскости центрального сечения крыла) силы трения в боковом направлении на левой и правой половинах крыла компенсируют друг друга.

Рассмотрим обтекание совершенным газом средней поверхности симметричного в плане крыла (нулевой толщины) под малым углом атаки. Принимаем:

<4 < 1; М^Ое >1; з = const; tw = const; to = const.

Здесь Mco—число M набегающего потока; ае — эффективный местный угол атаки с учетом толщины вытеснения ламинарного пограничного слоя; о — число Прандтля; ш — показатель степени в зависимости коэффициента вязкости ц от температуры Т (¡г—Тш); tw — TJTо — температурный фактор; Т0 — температура торможения набегающего потока, индекс „w* относится к условиям на поверхности, индекс „оо“ — к невозмущенному потоку.

Пусть b, bl, blxu bm, bx (х = mlxt), L, Lz, Sby соответственно центральная хорда, местная хорда, расстояние в сечении (по потоку) до передней кромки, координата передней кромки (по потоку), координата (по потоку) точки на крыле, половина размаха крыла, координата сечения относительно центрального сечения, вертикальная координата. Начало координат помещено в передней точке центральной хорды, оси Ох, Оу, Ог направлены соответственно по потоку, вертикально вниз и по размаху крыла.

Аэродинамические характеристики сечений будем вычислять по методу работы [4], основанному на осреднении некоторых коэффициентов, полученных из автомодельных решений уравнений ламинарного пограничного слоя, и на использовании при расчете давления, определенного согласно методу касательных клиньев с учетом толщины вытеснения пограничного слоя.

Приведем формулы для коэффициента сопротивления сечения сх 1, коэффициента подъемной силы сечения су i и коэффициента момента тангажа ст1 относительно начала хорды сечения. Указанные коэффициенты отнесены к скоростному напору набегающего потока и местной хорде (ст1 — к квадрату местной хорды) [1]. Отметим, что в соответствии с принятой постановкой задачи влиянием сил трения на коэффициент подъемной силы пренебрегалось [ошибка не превышает 0(а*)].

c,i=4(*-H)S?/xl; Ixl = ¡ (a + ft*)Vl +rt'dt\

Ü

Cyл = 4(x + 1) sUy /y , = j <!>*2 /Г+W2dt;

O

1 = 4(x + 1) S?/m /m , = J W VTTft'dt.

Здесь х — отношение удельных теплоемкостей; параметр ^ зависит от параметров набегающего потока и местной хорды; функция Ф пропорциональна местному углу атаки а; преобразованная продольная координата. Формулы

У Г

,=л/—

V х(х

32 А2

Vx

MJo

Re« =

роо Исо Ь 1^00

а

«Г;

V Rea

хС

а ~ 8А ' Х1

Y

F'a, ^оо . РсоТw ’

t\

Здесь р, и — плотность и скорость; А и С — коэффициенты, определяемые автомодельными решениями уравнений пограничного слоя, зависящие от х, а, со, и от показателя степени п в локальной зависимости давления от координаты л;Численные значения

Л и С при различных х, а, со, п получены в работе [5].

Используя метод полос и формулы (2) для определения аэродинамических характеристик сечений, нетрудно получить выражения для аэродинамических коэффициентов крыла сх, су, ст. При этом сх, су, ст отнесены к скоростному напору набегающего

потока и площади крыла в плане, а ст, кроме того, к длине

центральной хорды Ь. Коэффициент ст вычисляется относительно оси Ог, проходящей через начало центральной хорды:

1 1 1 1 0х^—\ся1(г)1(г)Лг\ су = —\суХ(г)1{г)йг-,

* П •  П

- ! 1

Ст = | \ст, (г) 12 (г) + су, (г) I (г) т (г)] | ^ (*) ¿г.

° и ' ‘ О

Здесь g является параметром, зависящим от формы крыла в плане.

4—Ученые записки ЦАГИ № 6 49

Сделаем замену переменных

2=1 — у4; / = Л4; /га=1— рі.

Новые переменные более удобны в случае равенства нулю концевой хорды (в частности, для треугольного крыла). В результате замены переменных (5) выражения (4) с учетом (2) и (3) преобразуются к виду

« 161* +J)& іх- іх _ С Г hv3 (а + f t2) /1 + у t* dt dv; g о o'

cy = (1)S-2 Iy, Iy = j Ih? v* <K2 / 1+f t*dt dv-

^ 0 0

^ = _16 (* -j- 1) g L = j jh2 vS ^ vr^Tj2{ii hi+ 1 _ ^

S 0 0 .

1

g = 4 j А4 Vя dv.

В формулах (6) h и p — заданные функции от v (форма в плане фиксирована), а ф является искомой функцией двух переменных t и V. Вид ty(t, v) определяется в результате решения вариационной задачи.

Используя соотношения (6), можно поставить ряд вариационных задач по определению формы средней поверхности тонкого крыла в вязком гиперзвуковом потоке, оптимальной в каком-либо отношении:

1) о минимуме сх при заданном су\

2) о минимуме сх при заданных су и ст\ ,

3) о минимуме сх\су (т. е. о максимуме аэродинамического качества К = су1сх);

4) о минимуме cxjcy при заданном положении центра давления хр—Ст/Су (за центр давления принимаем точку пересечения равнодействующей аэродинамических сил с центральной хордой).

Так как параметры набегающего потока, температура поверхности крыла и форма крыла в плане считаются заданными, то задачи 1—4 можно переформулировать применительно к функционалам 1Х, 1у, /от; задачи 1 и 2—-о минимуме функционала при изо-периметрических условиях; задачи 3 и 4 —о минимуме отношения функционалов, причем в задаче 4 накладывается еще условие на отношение двух других функционалов.

Рассмотрим подробнее задачу 2. Требуется найти функцию ^(i, v), при которой достигается минимум функционала 1Х при фиксированных значениях функционалов 1у и 1т. С учетом изопе-риметрических условий подынтегральная функция F(ty, t, v, Xm) имеет вид

F=hvsV 1 +1>2 + f — A^2lxy +M1— Pi + №i4)]}-

Здесь Ху и Хт— неопределенные множители Лагранжа. Ввиду отсутствия зависимости подынтегральной функции от частных производных ф по £ и V, уравнение Эйлера — Остроградского и условие минимума Лежандра принимают вид (Г$ = дГ1д$) = 0;

С учетом (7) получим:

/гг»3 Р

УТ+Щ2'

;г“~11. = {

Условие /^ф^-О, когда ф удовлетворяет уравнению (8), после преобразований принимает вид:

г - ^ ** I2 + а + ^5~2а) Ф2 ** + 6*4 **1 > 0 /д\

(1 + 2ф2£2)У 1 + ф2*2 ^ '

Условие положительности Рщ выполняется при — 1/2<а<23/2, что следует из рассмотрения многочлена в квадратных скобках. Анализ автомодельных решений уравнений пограничного слоя [5] показывает, что численные значения параметра а положительны и для всех практически интересных случаев не превышают 2. Таким образом, условие />ф>-0 выполняется вне зависимости от формы крыла в плане и изопериметрических условий на 1у и 1т.

Найдем решение уравнения (8). В силу положительности множителя перед фигурными скобками, уравнение для ф принимает вид

Анализ коэффициентов линейного алгебраического уравнения третьей степени (10) показывает, что, во всяком случае, при а<2,5 уравнение (10) имеет только один действительный корень, определяемый по формуле Кардана. При ¿ = 0, а также при /г -»0 выражение для ф находится непосредственно из формулы (10):

1.=-------^--------- при( = 0;

Ф х + хт

11т1 =------2+~а------ приА-О.ф-О.

Последние формулы используются при численном интегрировании наряду с формулой Кардана.

Подставляя решение уравнения (10) ф = ф(£, V, Ху, Хт) в формулы (6), в результате интегрирования получим

КУ> *»); /«“/«

Определяя значения Х^, и Хот из последних двух соотношений (1у и 1т заданы) и подставляя их в первое соотношение, найдем оптимальное значение 1Х. Ввиду сложного вида зависимостей (11) подбор множителей Лагранжа и определение 1Х могут быть осуществлены лишь численно на ЭЦВМ.

Задачи 1, 3, 4 также сводятся к решению уравнения Эйлера— Остроградского (8) и различаются схемой подбора Ху, Хт [неравенство (9) остается при этом в силе]. В случае задачи 1 Хт = 0, из трех соотношений (11) остаются два, подбирается лишь один множитель Лагранжа:

- /,=МУ; /,=/,(*,)•

Найдем вариацию отношения функционалов 1х)1у (задача 3):

Ых 1ХЫУ

¡у Г 1у 12у ‘

В этом случае Хт = 0, а X =/ж// , где 1Х и 1у соответствуют оптимальной форме. На основе связи Ху = /х//у может быть построен процесс последовательных приближений

Рассмотрим задачу 4 определения минимума отношения функционалов 1х/1у при фиксированном отношении функционалов 1т,Иг Найдем вариацию выражения 1ХЦУ — Х/т//^. Здесь X — неопределенный множитель Лагранжа при определении минимума величины /*//у, зависящей от некоторых параметров, при наложении условия на величину /„// также зависящую от параметров. После преобразований получим:

Таким образом,

} ____ 1 х I т . \ ___ \

Ку К , кт к.

Ч 1У

Исключая X, получаем связь между множителями Лагранжа, существенно упрощающую подбор Ху) \т в задаче 4 (.1Х, 1у, 1т соответствуют оптимальной форме):

\ =

‘у ‘у

В работе [1] соотношение (14) не использовалось и решалась задача о минимуме функции двух переменных /л(Ху, Хт)//д,(Ху, Хт) при наложении связи /т(Ху, Хт)//у(/^, Хт) = хр- ,

В настоящей статье задача подбора X , Хот свелась к менее трудоемкой для ЭЦВМ задаче определения корней системы уравнений:

^т) „ , . , Ал (\у> ^т) ¡хО'у’ ^т) п

1у^у> К) Ху + А'я 1у(\, Хт) “/у(Х„, хт) =°- (15>

Система (15) может быть решена стандартным методом последовательных приближений Ньютона.

В данной статье численно решены задачи 3 и 4 для случая треугольного в плане крыла. Выражения для функций I, т, Л, р имеют вид:

1(г) —1—2; т(г) = г; h(v) — v, /?(г>) = г>.

Значение £ = 0,5. В соответствии с принятой постановкой (метод полос) решение не зависит от угла стреловидности и является универсальным в координатах (¿, V) или (х, г).

Было выбрано несколько значений параметра а, соответствующих различным условиям в набегающем потоке и на поверхности крыла: а = 1,735; 0,85; 0,532; 0,353. В качестве иллюстрации приводятся результаты для а= 1,735 (х=1,4; а = 0,7; (» = 0,67; ¿„,=0,05; п = 0) и а = 0,532 (х = 1,4; а = 0,7; со = 1; = 0,8; я = 0).

В процессе подбора множителей Лагранжа \у и Хт на ЭЦВМ, помимо метода Ньютона (15), использовался метод последовательных приближений, специально построенный для данной задачи (Д — некоторое малое число):

"т, ¿ + 1

д Ал О'-У, Хт,,)

[ /,

Ал О'У. < хр А, ^т, I + Д) Ал

лу, г+1

Ау

1уО^У,й ^т, ¡)

Д>

; Ап г)

т,г+1 Т7х ГГ Г '

Подбор Х^, Хш по формулам (16) требует несколько меньше времени (примерно в 1,5 раза), чем метод Ньютона (15). Ошибка определения аэродинамических коэффициентов во всех случаях была существенно меньше 1%.

На фиг. 1—5 приводятся некоторые результаты решения вариационной задачи об оптимальной форме срединной поверхности треугольного крыла максимального аэродинамического качества при заданном положении центра давления хр. На фиг. 1—3 даны зависимости от хр множителей Лагранжа Ху, кт (см. фиг. 1), функционалов 1Х, /у, 1т, пропорциональных аэродинамическим коэффициентам сх, Су, ст (см. фиг. 2), пропорциональной качеству величины БК = /у//* и положения фокуса х/ = сИт/(Ну (см. фиг, 3). Сплошные кривые соответствуют значению а = 1,735, пунктирные а = = 0,532. При определении производная бралась при фиксированной форме тела. Штрих-пунктирная прямая на фиг. 3 разделяет области статической устойчивости (х^ — хру>0) и неустойчивости.

/

/

V

/ у'

> ч*

\

у \ \

Ч

В случае а == 1,735 при .*^<0,672 оптимальные крылья статически устойчивы, при хр> 0,672 неустойчивы. При а = 0,532 границей устойчивости является значение ^ = 0,670. Точке пересечения кривой Xт(хр) с осью абсцисс соответствует абсолютно оптимальная форма крыла (без наложения условия на хр). При этом хр=0,678 (а =1,735), ^ = 0,664 (а = 0,532), в обоих случаях запас статической устойчивости (х} — х^) близок нулю.

Следует отметить, что аналогично случаю профиля [1] оптимальные значения 1Х, соответствующие различным хр, весьма

V

/

6 V

/V у

/

/

/

Т*к

/ V <ч

/ "V

•*>

Фиг. 3

близки между собой (см. фиг. 2). По зависимости SK (хр) на фиг. 3 можно определить величину потери аэродинамического качества на балансировку [К{хр 0) — K{xp)\jK{xp0), где хр0 — положение центра давления для абсолютно оптимальной формы крыла.

Для сравнения были рассчитаны аэродинамические характеристики плоской треугольной пластины под углом атаки, определен оптимальный угол атаки, при котором аэродинамическое качество пластины максимально. При этом аэродинамические характеристики пластины под оптимальным углом атаки весьма близки к соответствующим аэродинамическим характеристикам крыла абсолютно оптимальной формы (без наложения условия на хр). Так, при а= 1,735 оптимальные значения SK, хр, xf, а/5 равны соответственно (первыми указаны значения для пластины): 0,210 и 0,212, 0,658 и 0,678, 0,665 и 0,675; 2,59 и 2,70. За угол атаки а крыла принимаем угол атаки хорды центрального сечения.

Положение центра давления хр плоской треугольной пластины при изменении угла атаки меняется в узких пределах от 7/11 при а 0 до 2/3 при больших а. Деформация поверхности крыла (при сохранении формы в плане) позволяет получать самобалансирующиеся формы поверхности для широкого диапазона хр.

На фиг. 4 и 5 для а =1,735 приведены оптимальные формы треугольных крыльев при хр — 0,4; 0,6; 0,8; 1,0. Следует отметить, что в соответствии с методом полос взаимное расположение сечений по потоку можно изменять (малый параллельный сдвиг в направлении оси у), не изменяя при этом аэродинамических коэффициентов. При построении зависимостей у(х) и y(z) принималось, что передние точки хорд крыла лежат на одной прямой,a yz=1 = = Уг=0 x=v На Фиг- ^ даны формы сечений поверхности крыла плоскостями, параллельными плоскости хОу, при различных значениях г. На фиг. 5 приведены сечения плоскостями, параллельными плоскости zOy при разных значениях х. Для оптимальных форм поверхности крыла характерно, что кривизна зависимостей у (х) (см. фиг. 4) и y(z) (см. фиг. 5) имеет разный знак.

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаев В. С. Оптимальная форма профиля при заданной балансировке в вязком гиперзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. J, № 6, 1970.

2. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.. Физматгиз, 1959.

3. Dewey С. F. Use of local similarity concepts in hypersonic viscous interaction problems. AIAA Journal, 1963, v. 1, No 1.

4. Николаев В. С. Профиль максимального качества в вязком гиперзвуковом потоке. Известия АН СССР, МЖГ, 1967, № 6.

5. Г а л к и н В. С., Ж б а к о в а А. В., Н и к о л а е в В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1187, 1970.

Рукопись поступила 5)1 1972 г.