Аналитическое исследование отрыва турбулентного пограничного слоя в нестационарных условиях

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРЫВА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ

Ю.Г. ВОЛОДИН, О.П. МАРФИНА, А.Н. БОГДАНОВ, Р.Н. ГАЛЛИЕВ Казанский государственный энергетический университет

В статье аналитически определен критический параметр трения, определяющий отрыв турбулентного пограничного слоя (ТПС), который может быть вызван нестационарными эффектами. Приводятся результаты математического эксперимента по определению критического параметра трения в функции числа Рейнольдса, построенного по толщине потери импульса.

Функционирование энергетических и тепловых установок сопровождается, как правило, воздействием на кинематическую и тепловую структуры потока эффектов нестационарности, неизотермичности и продольного градиента давления. Появление таких возмущающих течение факторов связано с выполнением регламентных мероприятий, выбором оптимальных маневренных характеристик, спецификой функционирования технологических аппаратов. В ряде случаев нестационарные режимы определяют прочностные запасы конструкций. Иногда резкое изменение начальных условий, например, при пуске энергетических установок приводит к ламинаризации ТПС, формирующейся нестационарными эффектами [1, 2]. Настоящая работа посвящена проблеме отрыва ТПС, обусловленного нестационарностью.

Рассмотрим течение в осесимметричном канале, по которому движется изотермический поток газа с начальными параметрами: /0 = const, Tq = const, расходом G = const. В момент времени t=t0 предположим развитие двух ситуаций:

- происходит изменение температуры газа от Tq„ до по монотонному закону за конечный промежуток времени At;

- происходит изменение расхода от Gta до Goi по монотонному закону за конечный промежуток времени At.

В первом случае изменение температуры газового потока, в силу теплоотдачи, приводит к увеличению температуры обтекаемой поверхности от начального Т^ до Twi, соответствующего конкретному моменту времени. Временное изменение температур основного потока и стенки вызывают тепловую нестационарность и, как следствие, гидродинамическую нестационарность. При этом последняя проявляется двояко. На участке изменения температуры потока происходит изменение скорости на входе в канал из-за изменения плотности и вязкости рабочего тела при постоянном расходе. Энтальпийный фактор ф* изменяется во времени и, воздействуя на толщину вытеснения, интенсифицирует процесс развития гидродинамической нестационарности. Во втором случае изменение расхода сопровождается, в целом, перестройкой кинематической структуры потока, что приводит к формированию гидродинамической нестационарности. Поскольку гидродинамика потока является основой процессов тепло- и массопереноса, то эволюция кинематической структуры формирует и другие дестабилизирующие факторы - неизотермичность и тепловую нестационарность.

© Ю.Г. Володин, О.П. Марфина, А.Н. Богданов, Р.Н. Галлиев Проблемы энергетики, 2006, № 3-4

Временная и пространственная эволюция потока в таких сложных термогазодинамических условиях в математическом плане адекватно отображается уравнениями неразрывности, движения и энергии при соответствующих начальных и граничных условиях:

Эрг дpwxr дpwr г

----+--------+--------= 0;

дt дx дг

дwx дwx ^х

Р^— + Р^-------+ Р^---------

дx

дг

дР 1 дтг

дх г дг

дt

дк* дк* дк* 1 дqr дР

р----------+ р^х----------+ р^------=--------------+ — •

д дх дг г дг дt

В научной и инженерной практике достаточно хорошо зарекомендовали себя интегральные методы расчета, поэтому названные уравнения используем в виде, преобразованном к интегральным соотношениям импульсов

1

др0 w0б дб

- + -

дt

дх

+ б*

1 дwo 1 др0 1 д-0

(2 + Н)------------------------------+-+-------

w0 дх р0 дх г0 дх

СГ

—,

и энергии 1

дЛИбк дбк

би дw,

+

+

0 би др0 би дАИ би д-0 ^

+------------+-------------+------------= St.

А^0 дt дх Wo дх р0 дх Ак дх Г0 дх

При решении уравнений (4 - 5) возникают вопросы определения коэффициентов трения, теплоотдачи, формпараметра Н = б / б .В основу аналитического исследования положен параметрический метод, разработанный в трудах Кутателадзе С.С. и Леонтьева А.И. [3]. Суть его заключается в изучении влияния конкретного воздействия на процессы трения и теплоотдачи с последующим синтезом явлений - изучением их совместного воздействия и установлением корреляционных связей между ними. В рассматриваемом случае имеют место следующие возмущающие течение факторы:

- неизотермичность;

- тепловая нестационарность;

- гидродинамическая нестационарность;

- продольный градиент давления.

Следуя [4], зависимость для коэффициента трения запишем в виде

£

—=}, г^ 1

2 Л р0 с.

“1

т dZ

т 0 хС

Входящее в уравнение (6) распределение плотности по сечению турбулентного пограничного слоя в стационарных условиях определяется интегралом Крокко [5]. Сделаем допущение о том, что и в нестационарных условиях имеет место данная зависимость, т.е.

2

Po [фh +(1 - фh)«]

где фh = . Обозначим знаменатель в (6) через A' :

h0

л-1

Zi

т dZ т о XZ

Интегрируя

J?-1

2 [! W Ф— +(1 - Ф h К l4'

Введем функцию относительного изменения коэффициента трения

. Преобразуя выражение (9), находим

Re

V

C

f

с

f о

— V-------—____________ 2(1 - Щ )1пСю

2 (1 - Ш10 ^ + V ф h +(1 - Ф h )Ш1 ]

т dZ

------; Ш10 и Z10 - значения относительной скорости на

To Z

Здесь A = J

Z1

границе вязкого подслоя и его толщина в стандартных условиях. Как видно из

(10), конечная реализация зависимости связана с распределением касательных напряжений. Следуя Федяевскому К.К. [6] и Фафурину А.В. [4], запишем их в виде:

т

— -1 + -

t'w о Z

т 0 V 2

т (v 2 + т w 0 ^ (v 2 + т"0 ^

---— 1 +---------------------------------------

ті^0 < 0;

2 t

т w 0

т о (1 -С)¥ 2 (1 -0¥

где т'^0 - параметр трения; й =

¥ ^ + т'и^о

Реализация зависимости (11) ограничена верхним пределом изменения величины т'^ о, которая, как это следует из (6), является функцией числа Ие** и неизотермичности. Данный предел соответствует значению параметра трения, при котором происходит отрыв пограничного слоя. Согласно [4], сам параметр трения равен

1

Р

тпо - 2¥ у + к о + го----------------¥ у

го

Здесь к о - параметр продольного градиента давления; го - параметр гидродинамической нестационарности.

В точке отрыва величина ¥ у стремится к нулю и т'п0 ^ т'п0кр. В

рассматриваемом случае нестационарного течения в конфузорном канале отрыв потока может произойти не за счет пространственного изменения характера течения, а в результате временных его эволюций. Действительно, величина параметра продольного градиента давления к о в конфузорном канале

дпо

отрицательна всегда, так как

дх

> о. В то же время параметр

дпо

гидродинамической нестационарности го при-----------< о положителен. Естественно,

д*

что может сложиться ситуация, когда | го | много больше | к о | и параметр т'по ^ т'покр . Интегрируя (1о) с учетом (11) и разрешая полученный результат относительно т'покр при ¥ у - о, находим:

ч 2

— 1кр )

тш окр — 2

Г

где С — 2

I1 + >/Фн +(1 - Фн)ш1кр ]С//21п|С|,

£ (1 + (.кр -д/2^),

1 +

ч *2,

— Ра**

1кр

^1кр —

2Ие

Г 0 '1 С о

** V 0 У кр 2

Г \

0

Кеп

V 0 кр У

окр '

С

/ о

окр

О

V 0 У

кр

: Г-—ш

о Ро

/ Л

1 у

1--------со« а

V го у

;

Ш — 1 + 1 _ фн СГо п _

Ш .кр 1 2 ^гкр

2х 2

2

1+1_фн £а

1 + 2х 2 2 ^“Ф

2

2

Решая (14) - (19), получим критическую величину параметра трения. Результаты решения аппроксимированы в виде логарифмической зависимости для случая ф* = 1 и Ке**>500:

Тк 0кр = 23,211пКе** - 50,34,

ш

ікр

_ Г 0,43

*5 ікр '

На рис. 1 приведены результаты математического эксперимента по определению критического параметра трения в функции числа Рейнольдса, построенного по толщине потери импульса. С ростом последнего устойчивость потока к внешнему возмущению возрастает и параметр трения увеличивается. Увеличивается он и с уменьшением энтальпийного фактора ф*. Отсюда можно сделать вывод, что путем охлаждения поверхности отрыв потока можно затянуть довольно существенно.

Рис. 1. Зависимость критического параметра трения в функции числа Ке Обозначения:

* - время, с; Т - температура, К; г - радиус канала, м; х - продольная координата, м; у - поперечная координата, м; р - плотность, кг/м ; Р - давление, Па; т - касательное напряжение, Н/м2; Су - коэффициент трения; х - константа турбулентности; ш = ^х/^о - безразмерная скорость; 8, 5, 8 - толщина

пограничного слоя, вытеснения и потери импульса соответственно, м; 8к, 8к -толщина теплового пограничного слоя, и потери энергии соответственно, м; Н=8*/8** - формпараметр; Ие - число Рейнольдса; Ке** - характерное число Рейнольдса, построенное по толщине потери импульса или энергии; к - энтальпия, Дж/кг; - число Стантона; фк =^к0 - энтальпийный фактор; ^0 - скорость

основного потока газа, м/с; С - массовый расход, кг/с; £ = у/5 - безразмерная поперечная координата.

Индексы:

о - параметры на внешней границе пограничного слоя или при стандартных условиях; 1 - параметры на входе в канал или на границе вязкого подслоя; w -параметры на стенке; h - тепловые параметры.

Summary

In article is analytically determined critical parameter of friction, defining frustration turbulent boundary layer, which can be caused an variable effect. Happen to the results of the mathematical experiment on determination of the critical parameter of friction in function of the number Reynolds, built on thickness of the loss of the pulse.

Литература

1. Володин Ю.Г., Фомин А.В. Экспериментальное исследование теплоотдачи при больших температурных напорах//Тепломассообмен - Минский международный форум. Секция 1. Часть 2. Конвективный тепломассообмен.-Минск, 1988.- С. 19-21.

2. Володин Ю.Г. Нестационарная теплоотдача на начальном участке цилиндрической трубы//Инж.- физ. журн.- 1989.- Т. 57.- № 4.- С. 574-577.

3. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое.- М.: Энергия, 1972.- 342 с.

4. Фафурин А.В. Законы трения и теплоотдачи в турбулентном пограничном слое//Тепло- и массообмен в двигателях летательных аппаратов.-Казань: КАИ, 1979.- Вып. 2.- С. 62-69.

5. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена.- М.: Атомиздат, 1979.- 415 с.

6. Федяевский К.К., Гиневский А.С., Колесников А.В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.- Л.: Судостроение, 1973.- 256 с.

Поступила 12.01.2005