Формализация, компьютерное моделирование и исследование задачи о вкладах

УДК 519.95

ФОРМАЛИЗАЦИЯ, КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ О ВКЛАДАХ

© А.А. Арзамасцев, Е.Г. Поздникина, Н.А. Зенкова

Arzamastsev A.A., Pozdnikina E.G., Zenkova N.A. Formalization, computer simulation and research of a problem of deposits. The article presents the results of computer simulation of the problem of definition of the minimal losses at preservation of savings. The correlation analysis of data on a macroeconomic situation in Russia is carried out, adequate mathematical models are constructed by means of the artificial neural network device, the algorithm and the program of minimization of losses are developed.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема сохранения накоплений является важной для любого гражданина Российской Федерации. Несмотря на большое количество публикаций по этой тематике в прессе, Интернете и других СМИ, отсутствуют работы, в которых данная проблема решалась бы относительно корректно. Это связано с тем, что разные люди по-разному могут понимать термин «сохранения накоплений».

Способ сохранения сбережений зависит как от предпочтений самого индивида, так и от социальноэкономической ситуации в стране, которая характеризуется изменением различных макроэкономических показателей. Построение прогнозов для таких показателей является важнейшей задачей.

ЦЕЛИ ДАННОЙ РАБОТЫ

1) Формализация задачи о вкладах.

2) Корреляционный анализ данных по макроэкономической ситуации в России и построение математических моделей на этой основе.

3) Проведение вычислительных экспериментов и выдача рекомендаций по наиболее выгодным способам сохранения накоплений.

На основе индивидуальных особенностей человека, его желаний и приоритетов нами была разработана классификация понимания ситуации о «сохранении накоплений», которая включает в себя следующие типы индивидов:

- «полностью пассивный» индивид - это человек, который в 2000 году имел некоторую сумму (в качестве которой выбрали 10 тыс. долл. США) и хотел бы сохранить их стоимость, используя лишь первоначальное перераспределение в евро (ЕИЯ), долларах США (ШБ), рублях (РУБ);

- «частично активный» индивид - это человек, который пользуется услугами официальной банковской сферы с ее ставками, процентами по вкладам и т.д.;

- «активный» индивид - это человек, который может вкладывать свои денежные средства в банки, ценные бумаги, недвижимость, организовывать бизнес и т.д.

Реальные расчеты выполнены для первого и второго типов классификации.

В соответствии с целями и задачами схема реализации настоящей работы, представленная на рис. 1, включает: корреляционный анализ макроэкономических показателей, построение прогностических моделей, связывающих эти факторы; решение задачи о минимизации потерь с помощью специально разработанной программы для различных способов сбережений, указанных в классификации. Предполагается, что данная программа позволит оценить оптимальные решения для случаев «полностью пассивного» и «частично активного» индивидов за семилетний период, а совместно с разработанными математическими моделями, связывающими макроэкономические показатели, позволит решить аналогичные задачи для будущих периодов времени.

Для решения указанных задач использовали корреляционный анализ, методы нелинейного программирования, а также аппарат искусственных нейронных сетей (ИНС).

Реальные данные по макроэкономическим показателям России

Корреляционный анализ макроэкономических показателей

Построение схем Взаимосвязи макроэкономических показателей В соответствии с заданными уровнями значимости

Построение математических моделей связи макроэкономических показателей на основе аппарата искусственных нейронных сетей

Данные прогнозов по курсам иББ, Е1Л? и другим макроэкономическим показателям

Классификация понимания ситуации о «сохранении накоплений»

Поиск наименьших потерь (В нашем случае: для стоимости жилья и потребительской корзины) для случаев пассивного и частично активного индивидов

Построение прогнозов для макроэкономических показателей

Рис. 1. Общая схема реализации работы

Рис. 2. Относительные макроэкономические показатели России за 1994-2005 гг. Значения каждого из показателей отнесены к некоторому характерному его значению, так что все 16 показателей приведены в безразмерном виде

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Макроэкономические показатели России были получены с сервера Госкомстата за период 1994-2005 гг. (адрес в Интернет http://server1.data.cemi.rssi.ru). Это официальная информация по развитию экономики страны. На рис. 2 представлены изменения показателей за двенадцатилетний период.

Для определения наличия взаимосвязи между показателями был проведен корреляционный анализ, т. е. рассчитана матрица парных коэффициентов корреляции. Полученная матрица парных коэффициентов корреляции 27 макроэкономических показателей представлена в табл. 1. Из визуального анализа матрицы видно, что большое число показателей имеют сильную взаимосвязь (коэффициент корреляции близок к 1 или -1). По диагонали матрицы значения коэффициентов корреляции равны единицам, т. к. они определяются от одного показателя. Анализ матрицы показывает наличие в ней положительных и отрицательных значений коэффициентов корреляции, что говорит о существовании между показателями как прямых, так и обратных зависимостей.

Для того чтобы выделить показатели, которые наиболее сильно связаны между собой, и постепенно добавлять новые, связанные в меньшей степени, были взяты пять уровней значимости коэффициентов корреляции и рассчитаны соответствующие им матрицы (табл. 2-6).

Для визуализации взаимосвязи между макроэкономическими показателями в соответствии с заданным уровнем значимости были построены пять схем - информационных моделей показателей (рис. 2 и табл. 1-6), представленные на рис. 3. Кружками с цифрами внутри обозначены различные показатели. Сплошной линией между ними обозначены прямые зависимости, пунктирной - обратные зависимости. По изменениям схем наглядно видно - какие показатели добавляются и как увеличиваются связи между ними с уменьшением уровней значимости.

Таким образом, результаты корреляционного анализа макроэкономических показателей России за период 1999-2005 гг. позволяют говорить о наличии «сильных» связей, что, в свою очередь, указывает на возможность построения детерминированной математической модели такой системы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СВЯЗИ

МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ АППАРАТА ИНС

Хорошо известно, что для построения математических моделей объектов с большим числом входных переменных и их параметрической идентификации на основе эмпирических данных в настоящее время широко используется аппарат искусственных нейронных сетей. По этой причине он был выбран для реализации моделей. В качестве искусственной нейронной сети была выбрана программа типа freeware - Neural Network Constructor (NNC), version 3.01, 2001, разработка ВЦ РАН.

Таблица 1

Матрица парных коэффициентов корреляции 27 макроэкономических показателей

1 2 3 4 í 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 H 17 18 19 20 21 22 23 24 25 :6 27

1 1 П73 159 П flQfi П 91 П 74 -ПЧ7 41.3 fl.77 П9 П9 П39 ПЯ4 flJÍ4 n* ПЗ ПЯ6 -06 41.97 ПЯ5 41.98 4137 4123 Í13R 4U1 П 79

2 0.73 1 -0J04 092 0j63 03 038 -0j03 039 0¿6 0.74 0.74 0j65 031 0.73 0.46 032 038 -031 033 035 -032 -033 -027 026 -0.19 035

3 032 -0J04 1 0J4 0j68 034 031 -0.13 -0.1 0.48 0.16 0.16 0.1 035 039 03¿ 031 033 -039 -034 0.13 0.11 -0.13 037 0.13 -037 0.17

4 039 0р2 3.14 1 0,78 0.93 0.75 -033 -C.17 0jÉ9 036 036 03 0J87 0j87 032 0J94 0j85 -0.7 -0,15 0.93 -0.29 -033 -03 038 -0.46 034

5 036 033 338 0,78 036 034 -0,72 -C,48 051 031 034 0,77 033 037 039 0,72 0,75 -0,7 -062 0.74 035 -0,72 -0,45 0,75 -016 031

6 031 03 334 093 036 1 039 -032 -C33 055 033 034 03 033 094 05 038 036 -056 -032 035 -0,15 -032 -0,19 037 -055 0.78

7 0,74 0,58 03 0,75 0J84 0J89 1 -034 -C35 0¿6 0,76 0,77 036 038 03 0,17 035 0,78 -0,45 -032 03? 0,19 -034 -031 0,77 -037 036

8 -037 -0J33 -0,13 -033 -0,72 -032 -034 1 033 -0JQ5 -0,47 -0,46 -032 -337 -032 -0,47 -032 -0,44 -038 057 -03* 035 1 034 -0,4 0j61 -0,41

9 -03 0J09 -0,1 -0.17 -0,48 -033 -035 033 1 -0JQ5 -0,44 -0,43 -03 -332 -036 -0,46 -034 -034 -03 33 -032 034 033 034 -033 0j6 -039

10 0,76 036 D.48 0¿9 031 0,75 036 -0Д5 -CJQ5 1 034 038 0,4 037 0,78 0,2 032 036 -036 -0.11 0,43 -034 -035 -0,11 035 -034 0,44

11 03 0,74 3,16 096 03: 0,93 0,76 -0,47 -C,44 0^4 1 1 036 034 03 0,7¿ 031 039 -0,45 -0,41 033 -039 -0,47 -027 0,41 -052 038

12 03 0,74 3,16 096 034 034 0,77 -0,46 -C,43 0^8 1 1 035 033 0J82 0,7¿ 031 039 -0,44 -0,41 037 -039 -0,46 -027 039 -051 037

и LW U35 U,1 из U,7'f из U36 -U3¿ -из U.4 ЩУ6 U 35 1 изи Ujd'J U“ U31 UJtíl -U3ü -U.47 UJbU -U3H -U32 -из/ U31 -U.4 из/

14 0J84 0,71 335 037 033 0,93 038 -037 -C32 0j£7 034 033 038 1 096 032 031 0,78 -035 -031 0,73 039 -037 -028 0,73 -0j62 0,75

15 034 0,73 339 037 031 034 0,9 -032 -C36 0,78 03 032 0j63 036 1 037 03 0,76 -033 -031 0,73 0,11 -032 -029 037 -0j61 0,7

16 0j6 0,46 DJ04 052 039 03 0,17 -0,47 -С,4б 0,19 0,74 0,74 03 032 0,27 ] 035 036 -039 -037 0,7? -032 -0,47 -02 -021 -0j06 0,72

17 03 032 331 094 0,72 038 034 -032 -C34 0j£2 031 031 031 031 03 035 1 037 -033 -0,41 032 037 -032 -0,45 032 -0J89 0,71

18 0J86 038 333 035 0,75 036 0,78 -0,44 -C34 0.Í6 039 038 031 0,78 0,76 036 037 1 -0,46 -039 034 -037 -0,44 -031 0,42 -051 036

14 -0£ -0j61 -039 -0.7 -0.1 -056 -0.45 -OJOS -0,2 -0,56 -0.45 -0.44 -033 -3j65 -0f3 -0JQ9 -033 -0.46 1 -035 -039 -0.12 -038 0.18 -0.45 025 -038

20 -027 0JQ3 -0J04 -0.15 -0j62 -032 -032 0.56 03 -0J1 -0.41 -0.41 -0.47 -З31 -031 -0.47 -0.41 -039 -035 1 -0.47 023 037 032 -036 0/4 -031

21 035 036 3.13 093 0.74 036 0j69 -034 -C32 0.43 038 037 038 038 0.73 039 032 033 -039 -0.47 1 -039 -034 -029 0.4 -055 03

22 -0,28 -032 3,11 -039 035 -0,15 0,19 0J05 034 -0j04 -039 -039 -038 039 0,L 1 -032 037 -037 -0,12 023 -039 1 035 -032 032 -0.41 -034

23 -037 -0j03 -0,13 -033 -0,72 -032 -034 1 озз -0JQ5 -0,47 -0,46 -032 -337 -032 -0,47 -032 -0,44 -038 056 -03* 035 1 039 -0.4 0j61 -0,41

74 -П.71 41.97 1/17 -03 -П 4S 4119 41.91 П 9.4 П9.4 -(1.11 -0.97 -0.97 41.97 -19R 4199 41.2 -П 45 4131 OIR ПЛ9 4199 41 fU n/¡9 1 41.19 n.¿9 41Ж

25 038 036 3,13 037 0,75 037 0,77 -0,4 -сзз 035 0,41 039 031 0,73 0jd7 -031 032 0,42 -0,45 -036 0.4 032 -0,4 -0,12 1 -033 034

26 -0,41 -0,19 -0J07 -0.46 -0,76 -035 -0,77 0j61 03 -034 -032 -031 -0,4 -332 -051 -0J06 -039 -031 034 044 -035 -0,41 031 0,42 -033 1 -0,44

27 0,79 0^65 3,17 0¿4 0 js: 0,78 056 0,41 СЯ9 0,44 038 037 037 0,75 0,7 0,72 0,71 036 038 031 03? 034 0,41 036 034 0,44 1

Обозначения : 1 - индекс реального ВВП; 2 - индекс физического объема промышленного производства; 3 - индекс физического объема с/х производства; 4 - коммерческий грузооборот транспорта; 5 - индекс реального объема строительно-монтажных работ; 6 - индекс реального оборота розничной торговли; 7 - импорт товаров и услуг; 8 - индекс потребительских цен; 9 - индекс цен предприятий-производителей промышленной продукции; 10 - индекс реальных инвестиций в основной капитал; 11 - средняя номинальная заработная плата на одного работника; 12 - среднедушевой денежный доход; 13 - базовый индекс потребительских цен; 14 - реальная заработная плата; 15 - реальные располагаемые доходы на душу населения; 16 - номинальный обменный курс доллара; 17 - номинальный обменный курс евро; 18 - экспортная цена на российскую нефть; 19 - количество безработных; 20 -индекс тарифов на электроэнергию для конечных потребителей; 21 - базовый индекс тарифов на электроэнергию для конечных потребителей; 22 - дефлированный индекс тарифов на электроэнергию; 23 - темп инфляции на потребительском рынке; 24 - темп изменения номинального курса доллара; 25 - реальный эффективный обменный курс рубля; 26 - реальный обменный курс доллара; 27 - дамми-переменная

Таблица 2

Матрица парных коэффициентов корреляции с заданным уровнем их значимости

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

I 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

3 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

5 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 -1 1 1 -1 0 1 -1 1

б 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 l 1 -1 0 1 0 0 0 1 -1 1

7 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 -1 1

8 0 -1 0 1 1 -1 0 0 0 -1 0 1 -1 0 1 0 0 1 0

9 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 -1 1 0

10 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

11 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1

и 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1

13 1 1 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 -1 -1 0 0 0 1

14 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 l 1 -1 0 1 0 0 0 1 -1 1

15 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 1 -1 1

16 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 1

17 1 1 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 1 -1 0 1 -1 1

18 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1

19 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 0 0 -1 0 0 -1 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1

20 0 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

21 1 1 0 1 1 1 1 -1 -1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 -1 0 0 -1 1

22 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 l 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

23 0 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 1 -1 0 1 1 0 1 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

25 0 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 -1 0

26 0 0 0 0 -1 -1 -1 1 1 0 -1 -1 0 -1 -1 0 -1 -1 0 0 -1 0 1 0 -1 1 0

27 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

Таблица 3

Матрица парных коэффициентов корреляции с заданным уровнем их значимости

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

I 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

2 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

5 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 -1 1 1 -1 0 1 -1 1

6 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

7 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 -1 0

8 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

9 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

10 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

и 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

13 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

14 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 1 -1 1

15 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 1 -1 1

16 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1

17 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 1 0 0 1 -1 1

18 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

19 -1 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

21 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

22 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

23 0 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

25 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 -1 0

26 0 0 0 0 -1 0 -1 1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 1 0

27 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Примечание. Цифра «0» соответствует отсутствию связи между показателями, цифра «1» и «-1» - наличию такой связи. Коэффициент корреляции принимается равным «0», если I г I < 0,6, равным «1», если 0,6 < г < 1 и равным «-1», если -1 < г < -0,6. Обозначения показателей см. в табл. 1.

Таблица 4

Матрица парных коэффициентов корреляции с заданным уровнем их значимости

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1

5 1 0 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 0 1 0 -1 0 1 -1 0

6 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0

8 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

9 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

10 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

12 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

13 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

14 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1

15 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

16 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1

17 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 -1 1

18 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

19 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

21 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

23 0 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

25 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0

26 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0

27 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Таблица 5

Матрица парных коэффициентов корреляции с заданным уровнем их значимости

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

5 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

12 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

13 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

14 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

17 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 -1 0

18 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

21 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

уу 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

23 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0

26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0

27 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Примечание. Цифра «0» соответствует отсутствию связи между показателями, цифра «1» и «-1» - наличию такой связи. Коэффициент корреляции принимается равным «0», если I г I < 0,8, равным «1», если 0,8 < г < 1 и равным «-1», если -1 < г < -0,8. Обозначения показателей см. в табл. 1.

Таблица 6

Матрица парных коэффициентов корреляции с заданным уровнем их значимости

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 25 26 27

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

12 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

13 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

21 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

23 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0

26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0

27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Рис. 3. Схемы взаимосвязи макроэкономических показателей в соответствии с заданным уровнем значимости: а) уровень значимости 0,9 < г < 1 (сплошная линия) и -1 < г < -0,9 (штрих); Ь) уровень значимости 0,8 < г < 1 (сплошная линия) и -1 < г < -0,8 (штрих); с) уровень значимости 0,7 < г < 1 (сплошная линия) и -1 < г < -0,7 (штрих); ё) уровень значимости 0,6 < г < 1 (сплошная линия) и -1 < г < -0,6 (штрих); е) уровень значимости 0,5 < г < 1 (сплошная линия) и -1 < г < -0,5 (штрих). Обозначения показателей см. в табл. 1

Выборочно для первой, второй и четвертой схем (рис. За, 3Ь, Зф были построены математические модели на основе аппарата ИНС. На рис. 4 изображена структура нейронной сети для первой модели. На входе первой модели находятся 18 нейронов, которые соответствуют 18 макроэкономическим показателям, на входе второй - 22 нейрона, третьей - 26. На выходе у всех трех моделей - нейрон, определяющий показатель реальной заработной платы, т. к. он является наиболее значимым для человека. Внутренняя структура у всех моделей одинакова: первый внутренний слой содержит два линейных нейрона, второй - один линейный нейрон. Такая конфигурация ИНС оказалась наиболее подходящей для данной задачи и соответствовала наименьшей погрешности при обучении.

Данные для обучения взяты за период времени 1999-2003 гг. На 2004-2005 гг. был сделан прогноз,

который оказался достаточно точным. Для первой модели средняя относительная погрешность составила 2,73 % (рис. 5а), для второй - 5,67 % (рис. 5Ь), для третьей - 5,39 % (рис. 5с).

Таким образом, математические модели, разработанные нами на основе аппарата ИНС (рис. 5), показывают, что корреляция между макроэкономическими показателями России настолько сильна, что при идентификации в течение пятилетнего периода такие модели позволяют делать прогнозы на двухлетний период со средней погрешностью, не превышающей 5,67 %. Такая высокая точность, в свою очередь, позволяет использовать данные математические модели для прогноза любого из макроэкономических показателей на годовой или полутора годовой период.

Входы И НС

4^*4^ Выход ИНС

Рис. 4. Структура искусственной нейронной сети в различных моделях. На примере первой модели

Реальная заработная плата, отн. ед.

170

150

130

110

і

у\/

Уv

сГ і II

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Время, год

Реальная заработная плата, отн. ед.

170

90

о°°У

і

/V

СГ I II

1999 2000 2001 2002 2003

Время, год

а)

Ь)

Реальная заработная плата, отн. ед.

160

50

о о

і

у\/ О

сГ I II

, . . 1 . . , 1 . , , 1 . . . 1 . . , . і і 1 і і і

2001 2002 2003

Время, год

с)

Рис. 5. Результат идентификации математической модели (I) и прогноза (II) для случаев: а) для первой модели прогноз О^. = 2,73 % на 2004-2005 гг.; Ь) для второй модели прогноз Оср. = 5,67 % на 2004-2005 гг.; с) для третьей модели прогноз Оср. = 5,39 % на 2004-2005 гг. Сплошная линия - график реальных изменений показателя; о - результат изменения по математической модели

РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО МИНИМИЗАЦИИ ПОТЕРЬ ПРИ СОХРАНЕНИИ ВКЛАДОВ

Поскольку индивид по постановке нашей задачи может вкладывать свои деньги в три основные валюты: рубли, доллары и евро, то для того чтобы решать задачу о минимизации потерь, мы должны принять некую универсальную «валюту», которая могла бы измерять соотношение указанных мировых валют. Считаем, что в качестве такой «валюты» могла бы выступать некоторая величина, которая характеризует реальные потребности человека. Например, стоимость потребительской корзины или стоимость одного метра жилья. Указанные данные можно найти как на сайте государственного комитета по статистике, так и в других источниках в Интернете. Таким образом, стоимость потребительской корзины и стоимость одного метра жилья брались нами в качестве универсальной единицы измерения соотношений трех валют.

Обычно минимизация целевой функции в нелинейном программировании осуществляется с помощью математических моделей специальными методами, например градиентными, безградиентными, методами Монте-Карло (Хоменблаун «Нелинейное программирование», Муррей «Практическая оптимизация»). В нашем случае предполагается, что для рассматриваемых периодов минимизация будет осуществляться на основе имеющихся эмпирических данных, а на будущие периоды - как с помощью эмпирических данных, так и с помощью математических моделей.

Программа по минимизации потерь (рис. 6) при накоплении вкладов реализована на языке программирования Эе1рЫ 7.0. С помощью данной программы были рассчитаны остаточные стоимости на основе стоимости жилья в Москве и потребительской корзины в Тамбове за выбранный промежуток времени для случаев «пассивного» и «частично активного» индивида.

Наименьшие потери рассчитаны по всевозможным распределениям сбережений в валютах ЕБЯ, ШЭ, РУБ до 1 % вклада в одну из них. Визуализация способов вложения вкладов ЕБЯ, ШЭ, РУБ осуществляется в работе с помощью специальной треугольной диаграммы, которая устроена следующим образом: угловые точки соответствуют вкладам в какой-либо одной валюте, промежуточные точки на диаграмме соответствуют начальному распределению этих валют.

В качестве метода минимизации использовался метод сканирования ввиду небольшого числа обрабатываемых данных, так что задача на компьютере решается за 0,5-1 секунду.

В ходе вычислительных экспериментов решались следующие задачи для двух указанных типов индивидов: выбранная треугольная диаграмма покрывалась сеткой для сканирования с шагом 0,01. Для полученных узловых точек определялись остаточные стоимости. Из всего массива выбиралась точка, определяющая такое начальное соотношение валют, которое обеспечивало минимальные потери.

На рис. 7 показаны результаты вычислительных экспериментов для «полностью пассивного» индивида.

Из этих рисунков видно, что оптимальное распределение денежных средств в различной валюте может меняться в зависимости от рассматриваемого периода. Так, за период 2000-2006 гг. независимо от способа оценки остаточной стоимости предпочтительно было сохранять сбережения в евро, при этом их остаточная стоимость на конец периода составила 0,217-0,545 (рис. 7а-7Ь). За период 2001-2002 гг., который соответствовал относительной стабильности ценам на жилье в Москве, оптимальный вариант сохранения накоплений - 33,3 % в евро и 66,6 % в долларах, что позволяло сохранить 0,745 стоимости (рис. 7с). В период 2005-2006 гг., когда наблюдался резкий скачок цен на жилье в Москве, оптимальным вариантом сохранения накоплений стали рубли, при этом сохранялось 0,539 стоимости (рис. 7ф.

Для случая «частично активного» клиента рассматривается его вложение 10000 ШЭ в банк на срок в семь лет (2000-2006 гг.) под 10 % годовых. При этом изначально 10 тыс. ШЭ могут быть перераспределены в валютах ЕБЯ, ШЭ, РУБ для наиболее выгодного хранения сбережений.

На рис. 8 представлены результаты вычислительных экспериментов для «частично активного» индивида. Так, за период 2000-2006 гг. оптимальный вариант сохранения сбережений на основе стоимости жилья в Москве - евро, а на основе стоимости потребительской корзины в Тамбове - 46 % в евро, 38 % в рублях и 16 % в долларах, при этом остаточная стоимость на конец периода составила соответственно 0,384 и 0,867 (рис. 8а-8Ь). За период 2001-2002 гг. оптимальный вариант - доллары, что позволяло сохранить 0,768 стоимости (рис. 8с). За период 2005-2006 гг. оптимальный вариант сохранения сбережений - рубли, при этом сохранялось 0,592 стоимости (рис. 8ф.

Таким образом, разработанная программа по поиску наименьших потерь относительно стоимости жилья в Москве и стоимости потребительской корзины в Тамбове при различных вариантах вложений в ЕБЯ, ШЭ и РУБ рассчитывает остаточные стоимости для фиксированных долей валют, а также по всевозможным вариантам распределений для случаев «полностью пассивного» и «частично активного» индивида. Остаточную стоимость можно искать для любого периода времени.

Рис. 6. Интерфейс программы по поиску наименьших потерь

Рис. 7. Схемы реальной остаточной стоимости (отн. ед.) для «полностью пассивного» индивида: а) для жилья в Москве за период времени 2000-2006 гг.; Ь) для потребительской корзины в Тамбове за период времени 2000-2006 гг.; с) для жилья в Москве за период времени 2001-2002 гг.; ф для жилья в Москве за период времени 2005-2006 гг.

с)

Рис. 8. Схемы реальной остаточной стоимости (отн. ед.) для «частично активного» индивида: а) для жилья в Москве за период времени 2000-2006 гг.; Ь) для потребительской корзины в Тамбове за период времени 2000-2006 гг.; с) для жилья в Москве за период времени 2001-2002 гг.; ф для жилья в Москве за период времени 2005-2006 гг.

ВЫВОДЫ

Таким образом, в данной работе:

1) сформулирована задача о сбережении вкладов, которая важна для большей части населения России;

2) осуществлена классификация различных типов индивидов в зависимости от их экономической активности, которая включает в себя три большие группы: «полностью пассивный» индивид, «частично активный» индивид и «активный» индивид;

3) проведен корреляционный анализ данных по макроэкономической ситуации в России, в ходе которого выявлены сильные связи между показателями;

4) за период 1999-2005 гг. построены адекватные математические модели на основе аппарата ИНС;

5) разработаны алгоритм, программа и проделаны расчеты по определению минимальных потерь для случаев «пассивного» и «частично активного» индивидов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Оссовский С. Нейронные сети для обработки информации / пер. с польского И.Д. Рудинского. М.: Финансы и статистика, 2004.

Поступила в редакцию 20 сентября 2007 г.