Метод R-функций в задачах численного интегрирования

УДК 517.95

МЕТОД R-ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕРКОТАН Д.В.

Рассматривается проблема вычисления двойных несобственных интегралов по областям сложной формы, необходимость решения которой часто возникает при решении задач математической физики. Предлагается новый метод численного интегрирования, основанный на теории R-функций, как альтернатива существующим методам. Описываются численные результаты при решении конкретной задачи, на их основе производится сравнительный анализ методов.

1. Постановка задачи

Предлагаемый метод численного интегрирования, который использует в своей основе теорию R-функций [1] и вычислительные мощности специализированной системы ПОЛЕ [2], призван помочь математикам в решении задач математической физики, в которых точное нахождение интегралов не представляется возможным или является слишком сложным процессом, и волей-неволей им приходится обращаться за помощью к тем или иным методам интегрирования. Особенно это актуально при решении задач с помощью вычислительной техники (см. “Система ПОЛЕ” [2]).

При решении многих задач математической физики [3] часто производят переход от исходной краевой задачи к вариационной задаче о минимуме функционала:

F

Решая эту задачу (1), например, методом Ритца [3], приходим к системе уравнений

n ___

X aj[Pi>Pj] =

j=i

В формуле (2) произведения в круглых и квадратных скобках являются интегралами, которые к тому же могут оказаться несобственными, да еще по областям весьма сложной формы. В таких условиях в ход вступают численные методы интегрирования.

2. Описание метода

При выборе тех или иных методов интегрирования учитывают их достоинства и недостатки. Особенно важное значение имеют такие параметры, как точность метода и скорость сходимости. В настоящее время существует большое количество численных методов интегрирования и их модификаций [4]. В упомянутой системе ПОЛЕ [2] выбран метод Гаусса (см. [4]).

Часто случается так, что в задаче приходится отыскивать несобственные интегралы по настолько сложным формам областей, что даже достаточно точные методы интегрирования, к которым относится метод Г аусса, дают ощутимую погрешность.

Именно для таких ситуаций и разрабатывался предлагаемый метод.

В основе метода лежит следующая теорема (сформулирована Рвачевым В.Л. [5]):

пусть существует интеграл

I = J f(P)dQ,

а

где p є En, а = (ю(р) > о), за = (ю = о).

Тогда замена переменных

Зю /. \

Xi ^ Xi -ю—, ^

приводит к равенству

I = J f(P)dQ = J f*(P)|j|dQ

аа

здесь f*

нормализована, то J

= 0 (предполагается, что

ю=0

якобиан J Ф 0 почти везде внутри области а ).

Замену переменных вида (4) под знаком интеграла (3) назовем нормализантной заменой. Якобиан этого преобразования имеет вид:

J =

1 -

f Зю ^2 3 2 ю ю 2 3x2 Зю Зю 3 2ю ю 3x3y

[cx j 3x Зу

Зю Зю 3 2ю ю 3x3y 1 - ^Зю ^ 2 3 2 ю “ 2 Зу2

3x 3y l^y 7

Наряду с нормализантной заменой (4) рассмотрим другую замену переменных (двумерный вариант):

x ^ x - ю(х + ю, у) + ю(х, y) = u; у ^ у - ю(х, у + ю) + ю(х, у) = v .

Назовем ее разностной заменой. В случае замены вида (5) получим выражение для якобиана:

3u 3u

dx dy dv dv ,

dx dy

3u , dю дю , дю 3 дю | дю

dx dx dx dp \ dx) dx

3u _ dю + Зю _ dю dю

dy dy dy dp dy

dv _ dю + Зю _ Зю Зю

dx dx 3x 3q dx

dv _ 1 dю + Зю dy dy dy

1 Зю

3q

(

Зю

Л

1 + —

Зю

dy) dy

РИ, 2002, № 1

143

где p = x + ю, q = y + ю.

Таким образом, якобиан имеет вид:

J =

dp дх/

дю дю dq дх

дю

дх

дю дю

dp ду

1 дю dq

(

л дю

1 + —

. ду v

л

дю

ду

Разностная замена вида (5) более “универсальна”, чем нормализантная вида (4), поскольку она не требует существования производных от функции, описывающей уравнение области интегрирования. Она может давать лучшее приближение на областях с угловыми изгибами, резкими скачками и т.п.

3. Пример интеграла

Рассмотрим интеграл

{ и

о.

в котором в качестве области интегрирования взята область, изображенная на рис.1.

Рис.1. Область интегрирования

Пусть подынтегральная функция задана своими значениями на двух подобластях:

и(х у) ={1 накруге,

|- 1 на остальной части области .

Добавляя подобным образом к области интегриро -вания линию разрыва подынтегральной функции, мы получаем либо полное подавление особенности на ней, либо понижение ее порядка путем того, что якобиан преобразования будет стремиться к нулю на этой линии.

На рис.2 изображен график подынтегральной функции в 3-мерном виде (аксонометрия) в градациях серого, построенный в системе ПОЛЕ.

Рис.2. Трехмерная “картинка” в системе ПОЛЕ

Согласно общей теории [1], подынтегральную функцию можно представить единым аналитическим выражением, используя так называемую “интерлокационную” формулу (обобщение интерполяционной формулы Лагранжа):

Су +С2

и =

О1 О 2

—+— О1 О 2

где (рх= 1,02 =-1,; о 1 - уравнение круга; о2-уравнение прямоугольника вне круга:

2

окр

Очевидно, что функция u(x,y), заданная таким образом, в области интегрирования терпит разрыв (“скачок”) на окружности.

Область интегрирования подобрана таким образом, чтобы можно было вычислить этот интеграл точно. Он равен (с учетом значений функции u):

I = J dO

круг

Ґ \

J dO - J dO

^ прям круг у

= 2 J dO - J dO

круг прям

-8.716.

Согласно предлагаемой методике мы будем интегрировать функцию u(x,y) по области с границей

ю = (ю 1 Л а ю 2) л а ю 3 ,

где л а — символ R-операции (R-конъюнкция) [1]; ю 1 — нормализованное уравнение горизонтальной полосы, ю1 = - (3 - у) • у; ю2—нормализованное урав-3 1

нение вертикальной полосы, ю 2 = 5 (5 - х) • х; ю3 —

уравнение вида ю3 = |юокр|, где юокр — уравнение окружности.

144

О2 = ю4| -ю4) ю4 = (q ла ю2)ла юокр .

Применим формулу (8) для подынтегральной функции и формулы (4), (4а), (5), (6) для замен переменных и соответствующих якобианов преобразований в системе ПОЛЕ для решения поставленной задачи. Результаты сведем в таблицу.

Интегриро- вание Без замены С разностной заменой С нормализантной заменой

Значение интеграла -9,0066 -8,699 -8,7041

Абсолютная погрешность 0,29 0,017 0,012

РИ, 2002, № 1

Как видно из таблицы, обе замены приводят к существенному уточнению значения интеграла (в 10-20 раз), а следовательно, ведут к более точному решению краевой задачи, в которой встречается подобное интегрирование.

Литература: 1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук. думка, 1982. 552с. 2. Рвачев В.Л., Шевченко А.Н. Проблемно-ориентированные языки и системы для инженерных расчетов. Киев: Техника, 1988. 197с. 3. Михлин С.Г. Курс математической физики М.: Наука, 1968. 575с. 4. Березин И. С.,

Жидков Н.Ї. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. 632с. 5. Рвачев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Применение метода R-функций к интегрированию дифференциальных уравнений с частными производными // Кибернетика и системный анализ, 1999. №1. С.3-20.

Поступила в редколлегию 12.10.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Рвачев В.Л.

Меркотан Дмитрий Витальевич, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: вычислительная математика. Адрес: Украина, 61174, Харьков, пр. Людвига Свободы, 51б.

УДК 530.145

КОНЦЕПЦИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ, ПОВЕРХНОСТНОГО ИМПЕДАНСА И “АВТОФАЗИРОВКИ” (“SURFRIDING”) В АНАЛИЗЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН КВЧ-ДИАПАЗОНА С ТОНКИМ ПОВЕРХНОСТНЫМ СЛОЕМ КОЖИ ЧЕЛОВЕКА. ЧАСТЬ 31

ЧОВНЮК Ю.В, ОВСЯННИКОВА т.н._________

Представляется всесторонний теоретический анализ существующих моделей диэлектрического отклика, поверхностного импеданса и взаимодействия электромагнитных волн крайне высоких частот с тонким поверхностным слоем кожи человека.

Распространение волн в проводящей биосреде существенно отличается от их распространения в непроводящей среде. Если наряду с диэлектрической и магнитной проницаемостями є и ц биосреда характеризуется также проводимостью а, то к уравнениям Максвелла следует добавить закон Ома:

I = аЁ.

С учетом (1) можно представить уравнения Максвелла в виде:

р,н

div(= 0, rotE +—------= 0,

c dt

'divUE) = 0, rotS-l^E = 0,

I V ' c dt c

где использована гауссова система единиц.

Рассмотрим поперечные поля в проводящей биосреде, т.е. будем считать, что переменные во времени электромагнитные поля являются поперечными, а значит, векторы E и H перпендикулярны к направлению пространственного изменения элек-

1 Часть 1 в журнале “Радиоэлектроника и информатика”, 2001. №3. С. 143-146, часть 2 в журнале “Радиоэлектроника и информатика”, 2001. №4.С. 141-148.

РИ, 2002, № 1

тромагнитного поля (ЭМП). В предположении, что поля изменяются как expikx - rat), где і = V-Г, k — волновой вектор электромагнитной волны (ЭМВ), ю — частота (круговая), t — время, X = {x\, x 2, Х3 ) , из первого роторного уравнения (2) получаем соотношение:

H=~~ k х E,

а из второго — соотношение:

і

J ПІ ,  Є -

k хHI + is—E---E = 0 ,

c c

Исключая H или E из двух последних уравнений, находим:

k2

( 2 \ ю „ нюа

ив---h 4%і-----

r 2 2

I c c J

Отсюда следует, что волновой вектор k является комплексным:

, 2  k = ре

2

1 + і

4да

ЮЄ

Первый член в (6) соответствует току смещения, а второй — току проводимости. Ветвь квадратного корня в выражении для k выбирается таким

2

c

образом, чтобы при с = 0 получались известные результаты [1]. Предполагая, что проводимость а —действительное число, получаем:

k = а + і'Р,

где

а I

Р.

= у[^£

1 + (4да / юе)2 ± 1

2

Для плохого проводника (4да / юв << 1) справедливо приближенное соотношение:

k = а+ і'Р « ^/рв

ю 2п ц

- +і — д c c V в

с точностью до членов первого порядка по а / ює . В этом приближении ReA>>ImA, и затухание волны

145