Гладкая аппроксимация решений эллиптических систем

УДК 517.518.85+517.53

ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ1

© 2011 А.В. Болучевская2

В данной работе рассматривается задача кусочно-линейной аппроксимации отображений, являющихся решением эллиптической системы уравнений, и их дифференциалов по значениям в узлах треугольной сетки. Построено отображение, аппроксимирующее дифференциал, и получена оценка погрешности аппроксимации, не зависящая от степени вырожденности треугольников сети. Аналогичная оценка получена для отображений, аппроксимирующих дифференциал решения уравнения Бельтрами.

Ключевые слова: кусочно-линейная аппроксимация, аппроксимация дифференциала, эллиптическая система уравнений, уравнение Бельтрами, погрешность аппроксимации, триангуляция.

1. Постановка задачи

В статье исследуется кусочно-линейная аппроксимация решений эллиптических систем, заданных на нерегулярных треугольных сетках, а также аппроксимация дифференциалов таких решений. Важно, что в подобных задачах погрешность аппроксимации производных, как правило, зависит от некоторых характеристик треугольников сети (например, от максимального или минимального углов) (см. напр. [1-3]). Это в свою очередь затрудняет построение сеток, поскольку присутствие вырождающихся треугольников с углами, не удовлетворяющими определенным условиям, может привести к отсутствию сходимости производных вообще. Поэтому при изучении аппроксимации дифференциалов решений эллиптических систем определенного вида возникла задача построения отображения, приближающего дифференциал с погрешностью, не зависящей от триангуляции.

Перейдем к точным формулировкам.

Пусть О С К2 — область, в которой задана последовательность {Рт}т=1 конечных наборов точек.

Для каждого такого набора рассмотрим его триангуляцию Тт [3, с. 32]. Для всякого треугольника Б € Тт определим длину ¿з его максимальной стороны. Положим

¿т = тах .

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-97021-р_Поволжье_а).

2Болучевская Анна Владимировна (a.v.boluch@gmail.com), кафедра компьютерных наук и экспериментальной математики Волгоградского государственного университета, 400062, Российская Федерация, г. Волгоград, пр. Университетский, 100.

Будем рассматривать такие наборы точек Рт и их триангуляции Тт, для которых

dm ^ 0 при т ^ то

и

Vе > 0 3 т0 € N : Vт > т0 Vх € В 3 а € Рт такая, что |а — х| < е.

Пусть /(х): В ^ В*, В* С М2 — отображение вида / (х) = (и(х),У(х)), х = = (х1,х2), где и(х),У(х) € С2(В) являются решениями эллиптической системы уравнений [4, с. 176]

IV

^

а «1(х),«2(х) € С 1(В), «1(х) • а2(х) > 0 Vx € В — условие эллиптичности.

Для всякого натурального т построим приближающее отображение /т(х): В ^ В*, /т(х) = (ит(х), Ут(х)) такое, что ит(х),Ут(х) — кусочно-линейные функции и

/т(а) = /(а) для любой точки а € Рт.

Для всякого х € В рассмотрим дифференциал отображения /(х):

/ ^

«Т

V дх1 \х) дх2 Ух)

Для всякого Б € Тт требуется построить матрицу Ат(х), х € аппроксимирующую /(х), и оценить погрешность аппроксимации вида

хея

Полученная оценка не должна зависеть от степени вырожденности треугольников.

2. Оценка погрешности

Пусть в В задана прямоугольная декартова система координат. Для всякого т рассмотрим треугольник Б € Тт. Если 1 — направление наибольшей стороны треугольника, ^ — угол в положительном направлении (против часовой стрелки) между этой стороной и осью абсцисс и

К1(аь «2, <р) = , ч 2 , К2(«1, «2, = , ч • 2^ 2 ,

27 Г/ а1 (х)81П2^ + а2 (х)с°82 7 24 17 27 а1 (х)81П2^ + а2 (х)с°82

Кз(«1, «2, ¥>) = «1(х)К2 , К4(«1, «2, ¥>) = —«1(х)«2(х)К2,

Кб(а1,«2,^) = — К1, Кв(а1,«2,^) = «1(х)Кь

то верна

Теорема 2.1. Если Vx € Б, элементы матрицы Ат(х) = (а^-) имеют следующий вид:

аи = К1(«1 ,«2,^) ^ЦТ (х) + К2(«1,«2,^) (х),

а12 = Кз(а1 ,«2,^) ^дГ (х) + Кб(а1,«2,^) (х), а21 = #4(0:1 ,«2,^)^дГ (х) + К1(«1,«2,^)(х),

а22 = К6(а1 ,«2,^) ддТ (х) + Кз(«1,«2,^) (х),

то справедлива оценка:

e(S) < Midm + M2di,

где а = «(0:1,0:2) > 0, в = в(а1,а2) > = ¿ИзЬ^Б, дО), М1 = М1(а1,а2,и,

¿, сИашО, у), М2 = М2(а1, «2, У, сИашО, у).

Доказательство. Доказательство теоремы опирается на идеи, предложенные в работе [5].

Обозначим вершины Б как ро,Р1,Р2 так, чтобы точки ро и р1 образовывали максимальную сторону. Пусть теперь V х € Б

ит(х) = С1 + (А, х - ро), Ут(х) = С2 + {Б,х - ро),

где А = (а1, а2), Б = (61, 62), а^ , , с^ € К, к =1, 2 и

Um(pi) = U (pi),

Vm(Pi) = V(pi), i = 0,1, 2.

Преобразуем систему координат путем переноса ее в точку ро и поворота против часовой стрелки на угол p следующим образом:

X? = (x? — x?) cos p + (x2 — x°) sin p, X2 = —(xi — x?) sin p + (x2 — x§) cos p,

где (Xi,X2) — новые координаты точки x, ро = (x°,x2). Тогда U(x) = = U(x?(Xi,X2),x2(Xi,X2)), и коэффициенты матрицы Am(x) преобразуются к виду:

aii = Ш

ai2 = Li(ai,a2, p)|Xf (x) + L2(a?, «2, p)fXr(x), a22 = L3(ai, 02, p)f^T(x) + Li(ai,02, p)f^(x),

где

Li

sin ф cos

ai ()sin2^+a2(x)cos2^ '

где

L2 (ai ,a2,p) ai()sin2^-ia2 (x)cos2 ф ,

L3(ai, «2, p) = ( ) a^-*2^ 2 .

3v ? 2 г/ ai (x)sm^+a2 (x)cos^

А система (1.3) примет вид:

— dX (x) = Ai(x) dU (x) + A2(x) dX (x), dX (x) = A3(x) Щ- ( x) + Ai(x) dU (x),

A?(x) = sin pcos p (0:2(x) — a?(x)), A2(x) = a?(x)sin2p + a2(x)cos2p, A3(x) = a?(x)cos2p + a2 (x)sin2p.

Поскольку функции U(x) и V(x) дифференцируемы, то, согласно (2.1), полу-

ci +

U (p°) + (VU (p°),pi — p°) + r?(pi — p°), V (p°) + (VV (p°),pi — p°) + Г2 (pi — p°),

где r?(pi — p°), Г2 (pi — p°) — остаточные члены формулы Тейлора.

чим

Учитывая, что и(ро) = С1,У(ро) = С2 и раскладывая векторы А — Уи(ро), В — УУ(ро), р» — ро по базису, образованному в результате поворота системы координат, будем иметь

дХ-

(1X1 (х) — дХЫ) (Х1 — X?) + {Ш(х) — ^

дХ2

Ы

Х2 — Хо ) =

= п(р» — р>о),

X» — Х2о) =

= Г2(р» — ро ),

где р» = (X»,Х2),г = 0,1, 2.

Поскольку Хо = Хо = 0 и Х2 = 0, то при г = 1 получим

/ Ш(х) — Щ(ро) = ^^, I 1X7 (х) — ^ (ро) = ^^.

Система (1.3) является эллиптической в В. Следовательно, дифференцируя первое уравнение системы по х2, второе — по х1 и складывая уравнения, получим, что и(х) удовлетворяет следующему эллиптическому уравнению второго порядка [6, с. 11]:

, ,02и, , д2и да^ да2 , , ди . .

а1(х) ах2(х) + а2(х) ах2(х) + дхт(х) дх1(х) + (х) дх2(х) =0.

дх22

Пусть £ € [0,1]. Тогда получим

Уи (ро + ¿(х — ро)) — Уи (ро) = Й(ро + ¿(х — ро)), где, в силу эллиптичности (2.4), функция Д(ро + ¿(х — ро)) удовлетворяет условию

Д(ро + ¿(х — ро))| < С1«-а|£(х — ро)|а,

где С1 = С1(«1, «2, и, ¿гатВ) [6, с. 297].

Полученное равенство умножим скалярно на вектор х — ро и проинтегрируем по ¿. Тогда имеем

1

и (х) — и (ро) = (Уи (ро), х — ро) + | (Й(ро + ¿(х — ро)), х — ро)Л.

Откуда, учитывая условие на |Д(ро + £(х — ро))|,

|и (х) — и (ро) — (Уи (ро),х — ро)| < С1«

а+1

а + 1

«а+1

а +1

Тогда из (2.3) получаем

дит ди

дХ1

а +1

Также ввиду эллиптичности (2.4) для всех х € Б можем оценить

ди

дХ

< С1«-а|х — ро|а < С1«-а«а.

Следовательно,

ди

дХ

< + 2 С1^ а +1

я

1

1

Поскольку функция V(ж) также удовлетворяет эллиптическому уравнению

1 д^ 1 д2V д

а 2(ж) ажзт (ж) + а 1(ж) аХ2 (ж) + а

дж1 дж1 дж2

то, проведя аналогичные рассуждения, получим оценку

а 17 (*)£-(*) = О,

дV

дХ

в +1

где С2 = 6*2(0:1, «2, V, ¿«атО).

Теперь из системы (2.2) и уже полученных оценок имеем

дХ2 (ж) (

А1

__ш

А2(Ж) дХ1 Vх А2(Ж) дХ1

<

ЭХ2

Щ-

"1(х)«2(х) дЦщ (ж) _ А1(х) дУш (ж0 1 А2(ж) дХ1 А2(ж) дХ1

< а+г(¿з(«1 ¿т + в±?|Ь1(а1,а2,^)|С2Й-в¿т.

Отсюда, полагая, что || А ||= (а^-) = 5^ |, для всех ж € Б получим

+1+11 + ^1(01, «2, у) | + ^2(01, «2, у)|) ¿т.

Обозначая

М = 0+11 + 8^^1(01, 02, у) | +8Ир|Ьз(01,02,у)П ,

+ у жей жей у

М = 1+1 С2дгН 1 + 8^^1(01, 02, у) + вир|¿2(01,02,у)П ,

в+1 V жей жей '

получаем требуемое.

Следствие 2.1. Пусть в области О С М2 задана последовательность {-Рт}т=1 конечных наборов точек и их триангуляций Тт. Тогда, если выполнены условия (1.1), (1.2) и О СС О — произвольная компактно вложенная подобласть, то

тах е(Б) = тах вир || (ж) — Ат(ж) II—> 0 при т —> оо.

3. Оценка погрешности для уравнения Бельтрами

Пусть теперь О — область в С, в которой задана последовательность {Рт}т=1 конечных наборов точек и их триангуляций Тт. Предположим также, что выполнены условия

^ 0 при т ^ то

V£ > О 3 т0 € N : Vт > т0 Vг € О 3 а € Рт такая, что |а — г| < е.

Пусть /(г) — определенная в О комплекснозначная функция вида /(г) = = и(ж1,ж2) + «V(ж1,ж2), г = ж1 + гж2 € О, и(Ж1,Ж2),V(ж1,ж2) € С2(О), удовлетворяющая уравнению Бельтрами [7, с. 80]

1

и

где |^(г)| < 1, ^(г) = ^1(х1, х2) + ¿^(хь х2), ^(х1, х2), ^(хь х2) € С 1(В), г € В и

/*(*) = Ц& (*) + гй (*)) ,

/(г) = 2 (й (г) — гй (*)) .

Для всякого натурального т построим кусочно-линейную, определенную в В приближающую функцию /т(г) = ит(х1, х2)+ гУт(х1,х2) такую, что

/т(а) = /(а) для любой точки а € Рт.

Рассматривая /(г) как отображение (и(х1,х2),У(х1,х2)), обозначим

ч ^ Iй(х1,х2) дг-(х1,х2) /(*0 = эх! 2 IV 1, 2

^

Для всякого Б € Тт требуется построить отображение Ат(г), г € Б, аппроксимирующее /(г), с погрешностью вида

хеБ

не зависящей от степени вырожденности треугольников сети.

Заметим, что уравнение Бельтрами приводится к эллиптической системе IV / „ ч _ , , / „.\ди/„„\,,,/„. „ ч ди

где

— а^" (х1,х2) = ^1(х1,х2) дх! (х1,х2 ) + ^2(х1,х2) ^ (х1,х2), Ц2 (х1,х2) = ^з(х1 ,х2) дТ" (х1,х2) + ^1(х1,х2) Iй (х1,х2),

Ш1(х1 х2) =__2М1 (х1 ,х2 )_

и 1 2 1-м2(х1,х2)-м2(х1,х2)'

Ш

1, 2 1-М?(х1,х2)-М2(х1,х2) ,

Ш

^ 1, 1-м?(х1,х2)-м2(х1,х2) .

Эта система является более общим случаем системы (1.3).

Тогда, если 1 — направление наибольшей стороны треугольника Б, ^ — угол

в положительном направлении (против часовой стрелки) между этой стороной и

осью абсцисс и

К1 ф) = С08 ^ + ^(х1,х2) 81П ^

К2(^ ^ = Ц2(х1,х2) 81П ^

К3 ^ = ^ — ^(х1,х2) С0в ^

К4(М,^) = — ^2(х11,х2) С0В ^ 2

к5(^ <¿0 = —шз(х1,х2)в1п ^ + ^2(х1,х2) ^ ^

К6(^ <¿0 = шз(х1,х2)сов ^ — со3 ^

то верна

Теорема 3.1. Пусть Vz € Б, коэффициенты матрицы Ат(г) = (а^-) имеют следующий вид:

а11 = К^,^) дит(х1,х2) + К2(м, ¥>) ддТ (х1,х2),

а12 = диТ(х1,х2) + К^, у)ддт(х1,х2),

а21 = диГ

а22 = Кб(М,

Тогда справедлива оценка:

д^л-ь л-2; т "-нр, ^у

а22 = диГ(х1,х2) + Кз(^, д|т(х1,х2).

е(Б) < М1«т + М2«т,

где а = а(^) > 0,в = > 0, d = dist(S, dD), Mi = M^, U, d, diamD, y), M2 =

= M2 V, d, diamD, y).

Доказательство. Производя поворот системы координат, аналогичный повороту, описанному в доказательстве теоремы 2.1, получаем, что (xi,x2) = = (xi(Xi, X2), X2(Xi, X2)), и система (3.3) примет тот же вид, что и система (2.2):

- dX (xi,X2) = Ai(xi,x2) drXri (xi,X2) + A2(xi,x2) ¿X (xi ,^2), dX (xi,x2) = A3 (ж i ,X2) drX^I (xi,X2) + Ai(xi, Ж2) ¿X (xi,x2),

где

A (ж Ж ) _ 2^1 (Ж1 ,Ж2 ) sin 2^-2^2 (xi ,X2 ) cos 2^

i(Xi,X2)= i-M2(xi,2 ) M2 (xi ,X2 ) ,

A (ж ж ) _ i+Ml (xi ,X2) + M2(xi ,X2) + 2^1 (xi ,X2 ) cos 2y + 2^2(xi ,X2) sin 2y

2(Xi,X2)= i-M2(xi,x2)-M2(xi,x2) ,

A (ж ж ) _ i+M2 (xi ,x2) + M2(xi ,x2)-2Mi (xi ,x2) cos 2y —2M2(xi ,x2) sin 2y

3(Xi,X2)= i-M2(xi,x2 ) M2 (xi ,x2 ) .

А коэффициенты матрицы Am(z) также преобразуются к виду:

aii = 1x7 (ж1,Ж2),

ai2 = L1(M,y)fX7(ж1, ж2) + L2(M,y) IX ^Ь^ a2i = 75X7 (ж1,ж2),

«22 = L3(M,y) 75X7 (ж1, ж2) + Li(M,y) §X7 (жl,ж2),

где

Li(M, y) = -"1(xi,x2),

г; Ш2 (xi ,x2 )'

L2(M, У) = - ^2(xii ,x2) , 2

У) = ^з(ж1,ж2) - ^feS. Далее, поступая как в доказательстве теоремы 2.1 и полагая

Mi = a+lCid-a (1 + sup|Li(M, y) I + впр|Ьз(м, У) |),

+ v zes zes '

M2 = 1+2C2d-^ 1 + sup|Li(^, y)| +sup|L2(M,y)|),

e+i v 1 re.41 v

zes zes

получаем требуемое.

Следствие 3.1. Пусть в области D С C задана последовательность |Pm}m=i конечных наборов точек и их триангуляций Tm. Тогда, если выполнены условия (3.1), (3.2) и G СС D — произвольная компактно вложенная подобласть, то

max e(S) = max sup II df(z) — Am(z) II—> 0 при m —> 00.

seTm,scG serm,scGzes

Замечание 3.1. Элементы матрицы Am(z) могут быть представлены как

<ii = Kiy)gi(z) + y)g2(z), <312 = K3 y)gi (z) + K4 y)g2 (z), Я21 = K5 y)gi(z) + Ki(M, y)g2 (z), Й22 = K6 y)gi (z) + K3 y)g2 (z),

где ___

gi(z) = 2 ((fm)z + (/m)J e-^ + i ((/m)z + (fm)J e^, g2(z) = -2i (Ш; - (/m)z) + 2i ((И - (/m)z) или ввиду дифференцируемости /m(z),

gi(z) = 2 /m (z)e-i^ +1 /mMef,

g2(z) = - i i/m (z)e^ + i i/m (z)e-iv.

Замечание 3.2. Если f (z) — голоморфное в D отображение, то есть ^(z) =

= 0 Vz € D, тогда

у) = Кб(м, у) = у) = cos у,

у) = у) = -K^, у) = sin у.

Литература

[1] Субботин Ю.Н. Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции // Труды Математического института АН СССР. 1989. № 189. C. 117—137.

[2] Shewchuk J. What is a good linear finite element? Interpolation, conditioning, anisotropy, and quality measures. Preprint, 2002. 66 p.

[3] Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. М.: Мир, 1989. 478 с.

[4] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

[5] Клячин В.А., Пабат Е.А. C-^-аппроксимация поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках // Сиб. журн. индуст. мат. 2010. № 13(2). C. 69-78.

[6] Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 464 с.

[7] Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. 134 с.

Поступила в редакцию 18/VT/2011;

в окончательном варианте — 19/VT7/2011.

SMOOTH APPROXIMATION FOR THE SOLUTIONS OF

ELLIPTIC SYSTEMS

© 2011 A.V. Boluchevskaya3

The paper is devoted to the problem of piecewise-linear approximation of mapping for the elliptic system of solutions defined on triangular grids. A mapping is build to approximate the differential, and the estimate of error of approximation that does not depend on the degree of degeneracy of triangles of the grid. An analogous estimate is obtained for mappings which approximate the differential of solution of Beltrami equation.

Key words: piecewise-linear approximation, approximation of a differential, elliptic

system of equations, Beltrami equation, approximation error bound, triangulation.

Paper received 18/ VT/2011. Paper accepted 19/V/7/2011.

3Boluchevskaya Anna Vladimirovna (a.v.boluchSgmail.com), the Dept. of Computer Science and Experimental Mathematics, Volgograd State University, Volgograd, 400062, Russian Federation.