Рассеяние высокочастотной поперечной волны на полости в упругой среде

УДК 539.3

РАССЕЯНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ ВОЛНЫ НА ПОЛОСТИ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

© 2004 г. Н. В. Боев

There is developed a method to study the classical problem about scattering of a high-frequency wave from a point source, placed in elastic medium, by arbitrary smooth surface of the elastic body. The method is based on asymptotic estimate of diffraction integrals by the twodimensional stationary phase method. In the case of the transverse incident wave there obtained explicit expressions for the amplitude of reflected longitudinal and transverse waves.

Введение. Классическая задача рассеяния падающих волн на поверхностях в сплошных средах имеет важные технические приложения. В акустических средах отраженные волны несут необходимую информацию о форме препятствия. В ультразвуковом неразрушающем контроле такая информация служит основой реконструкции характерных размеров и формы дефектов.

Задача рассеяния акустической волны на криволинейном контуре исследована различными методами в [1, 2]. В случае однократного отражения упругих волн ее решение в двумерном случае рассмотрено в [2]. В трехмерном случае в [3, 4] получено коротковолновое приближение в замкнутом виде для давления в акустической волне при ее однократном отражении от произвольной гладкой поверхности. В настоящей работе излагается метод исследования рассеяния поперечной волны на граничной поверхности полости однородной изотропной упругой среды, основанный на оценке дифракционных интегралов методом двумерной стационарной фазы.

Постановка задачи. Пусть из точки х0 бесконечной упругой среды на граничную поверхность 80 находящейся в ней полости падает сферическая монохроматическая высокочастотная волна, порождаемая

^ ^ —/О

сосредоточенной в точке х0 силой ^ е , где со — частота колебаний. При этом перемещения в точке у упругого пространства определяются матрицей Куп-радзе [5]

и (к) (у, хо) = и %) (у, хо) + и (к ) (у, хо), к, ] = 1,2,3

д2 Р дУк дУ]

Ко = |хо — у| > Рр = 1 2

4лра

U jk) (y, X o )--ßp

ŸpRo/Ro ),

Uj,) (y,Xo)-ß

KSjj

Í eiksRo Л

~rT

dyk dyj

Í eiksRo Л

~rT

Здесь р - плотность; Я , /и - коэффициенты Ля-

мэ; kp - а / cp

k* -а /c*, c.

и скорости продольной и поперечной волн; 8^ - символы Кронекера.

Цель работы - исследование амплитудных характеристик рассеянного поля на поверхности полости, свободной от напряжений.

Метод решения. Зависимость характеристик задачи от времени - монохроматическая, в частности, для перемещений в упругой среде она имеет вид:

u (хь X2, x3, t) = Re [ u (xj, x2, x3) exp (- irn t) ].

Матрица Купрадзе определяет в точке у в ради-Ч _ x о У

альном направлении Ч _

ненулевые перемеще-

ния в продольной (P-волне) и поперечной (S-волне) волнах.

(

Чy) - Ö, qß.

l + i-

2

2

kpRo

(pR.)2

e

pRo

Ro

Q, -(Q,q) , ßn -ßp kn

u ÿ( y) - Q^ßl

Q,l -(Q,ql ).

l - i-

Л eikR

k*Ro

(kR )2

Ro

Тангенциальное направление Яі перпендикулярно

Я. ^ и - проекции силы Q на направления Я

и Я1. В высокочастотном режиме колебаний при

кр и к!1 в направлениях Я и Яі имеем

асимптотические представления перемещений в падающей волне.

u

в

u %

(p)(y) -(öqqß2 elkPRo

Компоненты вектора перемещений в отраженной от свободной граничной поверхности волне в точке х упругой среды определяется интегралом [5]

т

Uk ( X)-Я Ty [U(k )( y, x)] * u( y)dSy

S

Ty [U(k)(y, x)J-

- 2/u

dU

dn

ln * div (u (k) )+ u(n x rot (u (k) )),

где матрица Купрадзе и(к-'(у,х) получается из матрицы и(к )(у, х0) заменой х0 на х и Я0 на Я = |у - х|; Ту - вектор силы в точке у ; и(у) - вектор полного поля перемещений на граничной поверхности; п - нормаль к поверхности £0.

Выделим в векторах полного перемещения на граничной поверхности и в векторе Ту слагаемые, определяемые продольной (Р) и поперечной (£) волнами.

c * - волновые числа

u

q

2

2

2

д

uk(x) = Я К [u p)(У, x)]+

So

+ Ty [U s> (y, x)]}* [u(p> (y) + u(s> (y)] dSy

( x) = JJ Ty [U p '( y, x)] * u( p > ( y)dSy +

+ 11 Ty [U s > ( y, x)] * u( p > ( y)dSy +

( p ) і

+ Я T y [U p > ( y, x)] * u(s ) ( y)dSy +

+ 11 Ту [и {к) (у, X)] * и) (у)^ .

«о

Первое и последнее слагаемые описывают р-р и 5 - 5 отражения, а второе и третье р - 5 и 5 - р трансформации. В общем случае полное поле в точке х складывается из указанных четырех слагаемых и падающей сферической волны.

Как и в классической геометрической теории дифракции, разработанной в задачах скалярной акустики [6] и развитой в задачах динамической теории упругости [7], следует различать высокочастотную асимптотику в локальном и в глобальном смысле. Асимптотическое решение, построенное ниже, имеет локальный характер и дает главный асимптотический член амплитуды дифрагированного поля в малой окрестности любого луча, вышедшего из точки хо , отразившегося от поверхности в точке у и пришедшего в точку х. Очевидно, что такие лучи могут существовать только в том случае, если обе точки у * их

лежат в освещенной области.

В дальнейшем будет детально рассматриваться распространение поперечной составляющей сферической волны (2) в фиксированном направлении ц. При

этом точки приема х и ~ различны и будут расположены на лучах, вдоль которых распространяются отраженные поперечная и продольная волны. В этом

* ч_/

случае точка у пересечения гладкой поверхности с

направлением

q

x о У

I*

x 0 У

= {- cosa,-cos ß,-cosy}

раженного сигнала может быть получена в рамках лучевых представлений. Рассмотрим 5 — 5 отражение поперечной волны (2) (^-волны) в поперечную и ее 5 — р трансформацию в продольную Р-волну.

1. Случай 5-5 отражения. Остановимся вначале на 5-5 отражении. Выпишем в этом случае координаты вектора перемещений в отраженной ^-волне

uks) (x) в развернутом виде.

uks) (x )=^Л

'U)+т

і дУз дУ1

ul( )-

ди 2s )+ди зs

дУз Су

(2 (y )+2

дУ з

u з

dSy.

Приводимые ниже соотношения представляют главные члены соответствующих асимптотических представлений при высоких частотах колебаний.

Для асимптотической оценки при к5 ^ да интеграла (3) используем асимптотические представления при к5 ^-да

дУт

skJ -

CR cR

дУк dy,

\

дR e

дУт R

У(Уl, У 2 , Уз ), x(xl, x 2 , x3 ), У є S 0 ,

дR y, - x, дR y, - x2

------= —1------------L = - cos a,, --------= —--------- = - cos ß,,

1 ^ R

дУі R

JR = Уз - Xз дУз R

дУ 2 = cosy, .

Здесь {- cosaj,-cos pi,cosY1} - направляющие косинусы вектора yx.

После подстановки (4) в (3) получаем

u|s)(x) = /иіРз Ц

1-2

S

CR дR / \\ дR e "s

дУі

iksR

/ \ дR дR ¡ \ uiV)- 2^^т u2 W-дУі дУ2

RR

- 2 CT

дУі дУз

dSy дУз R

і + 0

(ks_1j

будет являться точкой зеркального отражения падающей волны (2). Ниже получим формулы для амплитуд отраженных волн в точках приема x и ~ . Направление падения волны q =

= {- cos a1,- cos в,- cos y1 } отнесем к правой декар*

товой системе координат OXi X2X3 в точке у , ось апликат OX3 которой совпадает с внешней нормалью n к поверхности полости, а оси OXi и 0X2 - с касательными к линиям кривизны поверхности в точке

*

у . В этой системе координат вектор q1 имеет координаты {- ctg Yi cos ai,- ctg Yi cos в, sin Yi}, а нормаль n = {0,0,i}. Известно, что амплитуда в отраженной высокочастотной волне в точке x определяется направлением падения волны и малой окрестностью

о* * ^

S точки зеркального отражения у граничной поверхности. Поэтому с ростом частоты амплитуда от-

u(s)(x) = pißs л]-2^|Rui(y) +

дУі дУ2

Г CR ^ 1 2

1-2

ldy2 J

ikR

----------изи^ г----------

Cy2 дУз \дУз R

)( x) = Miß! íí<

S*

-dSy

1+0к

(1).

2(У)-

Г CR ^ 2

- 2

1СУз J

CR í \

—ui (y j +

дУі

+ 2

1 - 2

1 -

Г CR ^ 2

і^з J

CR ( \ t—u2 (y )+

СУ2

Г CR ^ 2

ідУз J

CRUз(y)\-RRdSy [1+ о(к;1)].

Перейдем в (5) к локальной сферической системе координат гв точке у * . Тогда главные члены

u

к

S

o

S

S

О

S

О

+

X

2

*

u

S

e

u

з

зо

вектора перемещений поперечной волны в сферической системе координат имеют вид

м^(х) =

= juipS Я—1—{-cos2y cos «1u1(j)+cos/e^ (y) s * sinY

- 2(1 - cos2 Yi )cos Yu (y)}-uD )(x)= 0, )(x)= °.

AR

-----dSy.

R y

При асимптотической оценке интеграла Кирхгофа в формуле (6) компоненты полного поля перемещений ик (у), к = 1,2,3 под знаком интеграла следует выбрать как решение локальной задачи дифракции об отражении плоской падающей «- волны от плоской свободной от нагрузок границы упругого полупространства [8, 9] .

ит

( , I--------72----- 'А

Vss

К SinrJ кі F

^q,

(y).

V = -

ss

z

4 ctg Y- ctg Y - (ctg Yi - -

(ctg2 Yi - i)2

Vsp = - ctgYi (ctg2 Yi - -

z = 4 ctg y- ctg Y + (ctg Yi - -

(g2 Yi - i)2

где и У5р - коэффициенты 5-5 отражения и 5-р

трансформации [7, 8].

Подставляя

и ()(х) = 011 -П {-С0^[П((у)-1)-8Ьп^р(у)]-4п «*

- sin 2Y1

+h ks

sin Yi (Vss (y) + -)-

1 - TsTsin2 Yi Vsp

^s

R0 R

dSy.

Подстановкой соотношений (8) в подынтегральное выражение (9) аналитически доказывается, что

-COS2Y! [ COSY!((,y)-l)-sinYiVsp(У)] -

- sin 2Y1

к

sin Yi (Vss (У )+

к.

1 -7Tsin2 Yi Vsp

= -2cosYiVss (У).

ú: '

L7t LqLi S

p = |xo - у+\y - x|; Lo = |xo-/|; Li = \y*- x| •

Лучевое представление можно получить из (10), используя метод стационарной фазы [10]. В выбран-

\у *

ной системе координат в точке у произвольная точка y e S* из окрестности точки у* будет иметь координаты у (as1; As 2,-0,5(k1 (As1 )2 + k 2 (As 2 )2 )), где As1; As2 - приращения дуг вдоль линий кривизны;

k = R^1 и k2 = R2— - главные кривизны; R1 и R2-главные радиусы кривизны поверхности S0 в точке у e S0, (k1 (As1 )2 + k2 (As2 )2) - вторая квадратичная

форма поверхности в точке у e S0, отнесенной к линиям кривизны.

* *

Применим к треугольникам х0 у у и ху у теорему косинусов и, пренебрегая величинами, малыми по сравнению с (As1 )2, As1 As 2, (As 2 )2, получим для расстояний |х0 - у| и |х - у| следующие представления

|х0 - у| = L 0- A s1 cos а - A s2 cos в1 +

+ 0,5 (l -1sin2 а + k1 cosy1 ) (As1) --L 01cosa1 coseiAs1As2 +

+ 0,5 (l-1 sin2 в + k2 cosy1 ) (As2 )2,

|x - у = L1 + As1 cosa + As2 cos Д +

+ 0,5 (li-1 sin2 a + k1 cosy1 ) (As1 )2 -

- L1-1 cosa cos eiAs1As 2 +

+ 0,5 (l1-1 sin2 в1 + k2 cosy1 ) (As2 )2. Следовательно, p = L0 + L1 + 0,5d11 (As1 )2 + d12As1As2 + 0,5d22 (As2 )2;

d11 = (l-1 + L^1) sin2 a + 2k1 cos y1 ; d12 = -(l-1 + L1-1) cosa cosД; d22 = (l-1 + Lj-1) sin2 Д + 2k2 cosYi •

Отсутствие первых степеней As1, As2 в фазе p говорит о том, что точка у * прямого лучевого отражения соответствует стационарному значению фазы p. Таким образом, главный член асимптотики интеграла (10) определяется коэффициентами при (As1 )2, As1As 2, (As 2 )2 и может быть получен из выражения (10) применением метода двумерной стационарной фазы [10].

Полученное соотношение позволяет получить следующее основное представление главного члена

и^(х) (после вынесения неосциллирующих функций

за знак интеграла в высокочастотном приближении):

s )(x )= Q4i Vss (У * ) к2s

exp ] i

Ks

L0 Ll

^|det (d(ss)]

где D

гессиан симметричной структуры

(di, = d.t ; i, j = 1,2); S(ss)= sign D

разность

+

u

2

зі

между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы В(“ ^.

Окончательное представление с учетом равенства Л21=й12 имеет вид:

Ф{У ) = 2н

CR , ч CR

ui {У ) + _---------------u 2

д у

д У 2

{У )

CR

д y з

4s>(x) =

Qq1Vss

CR ,

2н \ —— \ + X

дУ 2

з (y).

Ik + L1)2 + 2L0 Aik + L )(k2 sin2 a, + k, sin2 ß)os 1 y, + 4L0L,2k|

Здесь K = к1к2 - гауссова кривизна поверхности S0 в точкеу*; {-cosa,-cos Д,-cos y1} - вектор, определяющий направление падения луча x0 - у * в выбранной системе координат.

В случае к1 = к 2 = 0 из (11) следует известный результат для тангенциального перемещения [8] ue )(x) = -Qq1 Vss (L0 + L1)- exp [ (l0 + Lj)].

Замечание. Формула (11) получена для случая, когда высокочастотная поперечная волна падает на вы-

Перейдем к локальной сферической системе координат гв точке у *. Компоненты вектора перемещений приводятся к виду ¡крК

urp)(~) = ißp Л ф(У)~^—dSy R

,{p)(x)= 0, n'y )(хх)= О

ф(у ) = -2^ [cosa u1 (у) + cos в u2 (y)]cosY +

+ (2^ cos2 Y + Л-) u3(у).

При асимптотической оценке интеграла Кирхгофа (15), как и в случае s — s отражения компоненты век-пуклую со стороны упругой среды граничную по- тора полного перемещения в точках граничной поверхность. Если поверхность вогнутая, то главные верхности у є S* следует взять в виде (7), (8).

кривизны к1 и к 2 берутся отрицательными.

2. Случай з-р трансформации. Декартовы координаты вектора перемещений в отраженной Р- волне

икр)(~) к = 1,2,3 в точке ~ имеют вид

,

(х )=я

2

m=1

(сп!к)+спз2 ^

дУз C?m

,(У)-

Подставляя (7) и (8) в (15) с учетом того, что

{~2 sin Y cos y[cos Yi [ss (У) - j) - sin YiVsp (y)] +

sin Yi (Vss (y )+ -)-

2н----------------+X div U

з

uз

dSy

Г kj

+ s

к p

і p

kp

+ p

ks \

1 - TsTsin2 Yi Vsp

= cos Y

Vsp (y ),

Для асимптотической оценки при

тегралов (12) используем асимптотическое представ ление при к р ^ ж

перемещение

kp

u(.p)(x) преобразуется

к виду

'£p >

S

div U(k)ky,~)= iß

e

CR

CU

{k )

=iß

R дУк

ik R.

з e p CR CR CR

p

[i+o fc11

CVm R C ym C Ук C Уj

R = |y - X ; х(у,х2, ~з ); k, j, m = i, 2, з

У2 - ~2

CR y- - x- CR ..j

------= —1-------------1 = - cosa,--------------------------------= —- = - cos ß,

Су- R ду j ™

CR у з - ~з

R

дУз

R

= cos Y .

Здесь {- cosa,-cose,cosY} - направляющие косинусы вектора yx , определяющего направление отраженной P- волны.

После подстановки (13) и (14) в (12) получаем

ikpR

ukp)(~) = iP\№(y)—e—dSy [l + o(k-)],

S* ЧУк R

Psp =(ks/kp )х0 - y + |y - ~|. L0 = \x0 - /[ L = |y* - X| .

Разложения слагаемых (ks/kp )|x0 - y| и |y - x| фазе (psp имеют вид

{jís/kp )|x0 -y ={ks/kp )[l0 -Д! cosa! -Д^2 cos Д + + 0,5(l-! sin2 a1 + k1 cosy1 )(Ц )2 --L-j cosaj cosв1 Д51Д52 +

+ 0,5{loj sin2 в1 + k2 cos y 1 )(As2 )2 ] ,

|y - ~ |= L + Дs1 cos a + Дs2 cos в +

+ 0,5^L sin2 a + k1 cos Y ^(^j )2 -

-i

- L cosacos вД s1Д s 2 +

+ 0,з(і 1 sin2 ß + k2 cos y

Докажем, что в фазе PsP =(ks/kp )|xo - y| + |У - ~ отсутствуют слагаемые (-(k^k^ )cos a1 + cos a)As1,

+

+

u

S

в

2

u

S

ik _R

в

(-(ks/kp ) cos в1 + cos P)As2 с первыми степенями Asj и As2. При s - p трансформации выполняется соотношение ks, sinY1 = kp sin y. Рассмотрим, например,

первое слагаемое

ks

cosa-----cosa, = —

ks ( sin Yi

к

ks

(

= — sin y-

kp

p і SinY

А

cosa - cosa, \ =

cosa cosa,

cosa,

ства

cosa cos ß, cos ß

siny1 sin y sin y sin y

Следовательно, коэффициенты при As1 и As2 равны нулю.

Фаза psp может быть приведена к виду

Ppp =(ks/kp )L0 + L + 0,5d11 (As1 )2 +

+ d 12 As1 As2 + 0,5d22 (As2 )2 ;

sin2 a-

'(p)(x)= QqiVp (У' )kpks

exp] i

ksL0 + kpL +T

4' 2

L0L

i

щений для отраженных волн. Они имеют такую же структуру, как и формулы (11) и (18) .

Для p-p отражения и p-s трансформации

u Г)(x)= Qq Vpp (у* ) к1 X

exp^ i

kp D + L) + n

L0L

Vldet (D Dpp))|

sin y sin y1 у Поскольку падающий х0 - у* и отраженный

* \у

у - х лучи лежат в одной плоскости с нормалью к

* о*

поверхности в точке у e S , то выполняются равен-

U es)(x) = Qq Vps (у* )kskp

exp] i

kpL0 + KL +ПП D£ps)+ 2)

L0 L1

det1

(d

где V - коэффициент отражения Р-волны [8, 9];

гессиан Брр ^ имеет такую же структуру, как и б255 ^; V - коэффициент трансформации Р-волны в ^-волну [6, 7], а элементы симметричной матрицы гессиана

Б(р5^ = йіі, і, і = 1,2 имеют вид:

2 ]

dn = —^l0 sin2 a + L,1 sin2 a, - k,

ks

dii =(ks/kp )l-! sin2 a1 + L 1 sir - ki íks/kp) cosYi- cosy) ; dj2 = -(/kp ) cosaj cos Pi + L- cosacos p); d22 = (ks/kp sin2 Pi + L- sin2 P +

+ k2 ((ks/kp)cos Yi - cos Y).

Отсутствие первых степеней Asj, Дs2 в фазе q>sp доказывает, что точка y * прямого лучевого отражения соответствует стационарному значению фазы q>sp. Таким образом, главный член асимптотики

интеграла (i6) определяется коэффициентами при (Asi )2, Дs1Дs2, (As2 )2 и может быть получен из выражения (16) применением метода двумерной стационарной фазы [!0].

d 21 = d12 =

( kp

—cosy- cos Y-

і ks

( к - - А

—- Lj,1 cos a cos ß + L,1 cos a, cos ß,

ks

d22 = —Lf- sin2 ß + L,1 sin2 ß, + к2

( kp і ks

\

cosY- cosY1

где элементы симметричной матрицы гессиана ^) = dj, i, j = 1,2 определяются формулами (17);

g((P) = sign D(sp ) - разность между числом поло-

жительных и отрицательных собственных значений

n

матрицы D2 .

В случаях p-p отражения продольной волны (1) и ее p-s трансформации в поперечную волну на основе разработанного метода получены амплитуды переме-

Здесь вектор {- cosa,-cos ß,-cos y) определяет направление падения P-волны, а вектор

{- cos a,,- cos ß,,cos Y\} - отражения S'-волны.

Заключение. Полученные асимптотические выражения (\\), (\8), (\9) показывают, что амплитуды перемещений отраженных волн определяются локальными свойствами поверхности: главными кривизнами, гауссовой кривизной поверхности в точке зеркального отражения, удалением источника волны и точек приема отраженных волн от точки зеркального отражения, направлениями падающих волн, а также упругими характеристиками.

Разработанный метод может служить основой изучения переотражения упругих волн на поверхностях отражателей в упругих средах.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № НШ-2П3.2003Л.

Литература

\. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., ,972.

2. Sumbatyan M. A., Boyev N. V. // J. Acoust. Soc. Am. ,995. № 5. Pt. \. P. 2346 - 2353.

3. Namara D. A., Pistorius C. W. I., Malherbe I. A. G. Introduction to the uniform geometrical theory of diffraction. Norwood, ,990.

4. Боев Н.В., Сумбатян М.А. // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 5. С. 6,4 - 6,7.

5. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., ,963.

6. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. М., ,978.

7. Achenbach J. D., Gautesen A. K., Maken H. Ray methods for waves in elastic solids. London, ,982.

x

p

X

r

x

2

зз

8. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1973. 10. ФедорюкМ. В. Метод перевала. М., 1977.

9. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колеба- 11. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.,

ния и волны в упругих телах. Киев, 1981. 1972.

Ростовский государственный университет______________________________________________________________5 сентября 2003 г.