Математическое моделирование электромагнитных процессов в системе электрод пшаковая ванна в электрошлаковой технологии

УДК 681.32

В. И. Потапов, Н. А. Игизьянова, Н. Д. Демиденко

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОД - ШЛАКОВАЯ ВАННА В ЭЛЕКТРОШЛАКОВОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Исследовано распределение пондеромоторных сил в шлаковой ванне кристаллизатора в процессе электрошлакового переплава на постоянном токе. Математическая модель, описывающая электромагнитные процессы, происходящие при переплаве, основана на уравнениях Максвелла. В качестве способа решения выбран метод конечных разностей. Алгоритм реализован на языке Visual Basic. Создан программный продукт, позволяющий производить расчеты на ПЭВМ по исходным данным. Задача рассмотрена в осесимметрической постановке. На основе результатов расчетов электромагнитных процессов, протекающих в шлаковой зоне кристаллизатора в стационарном магнитном поле, получены значения пондеромоторных сил, оказывающих значительное влияние на электрошлаковый переплав.

Анализ современного состояния техники и технологии электрошлакового переплава (ЭШП) в России показывает, что вследствие ряда причин (устаревшее оборудование, несовершенные технологии и т. д.) излишне высок удельный расход электроэнергии, составляющий 1 500 кВт • ч/т переплавляемого металла. Это приводит к удорожанию ЭШП металла и снижению его конкурентоспособности по сравнению с металлом, получаемым в других плавильных агрегатах или методом внепечной обработки. Однако имеющееся преимущество технологии ЭШП, при которой обеспечивается направленная кристаллизация металла при получении слитка, остается бесспорным. В целом электрошлаковый переплав является наиболее перспективным способом повышения качества металла, что имеет большое значение для аэрокосмической промышленности, машиностроения, поскольку оно увеличивает технический ресурс приборов и агрегатов, повышает срок службы систем жизнеобеспечения. Поэтому разработка теоретических основ ЭШП и исследование влияния различных факторов на процесс кристаллизации имеет большую актуальность.

Трудность исследования ЭШП заключается в том, что этот переплав представляет собой совокупность взаимосвязанных высокотемпературных теплофизических, химических, электромагнитных процессов [1]. По этой причине перспективным направлением исследования процессов, происходящих при переплаве расходуемого электрода, является математическое моделирование на основе численных методов решения уравнений [2] с применением компьютерных технологий.

Ниже будет рассмотрено создание математической модели электромагнитных процессов и возникающих при этом пондеромоторных сил (ПМС). Эти силы приводят в движение жидкие проводники - шлаковую и жид-кометаллическую ванны, что искажает направленную кристаллизацию и ухудшает качество металла ЭШП. Поэтому исследование взаимодействия технологических параметров электромагнитных, теплофизических процессов с целью оптимизации управления вторичным переплавом представляет определенную практическую значимость. И если теплофизические процессы при вторичном переплаве достаточно полно исследованы в работе [3], то электромагнитные еще практически не изучены.

Печь для ЭШП представляет собой цилиндрический кристаллизатор, в верхний части которого закреплен электрод, а нижний конец погружен в шлаковую ванну (рис. 1). А поскольку исследуемая система представляет собой сплошную жидкую среду, то ее взаимодействие с электромагнитными полями полностью описывается феноменологическими уравнениями электромагнитной гидродинамики, которые являются совокупностью уравнений Максвелла для электромагнитного поля, гидродинамических уравнений движения, термодинамических уравнений состояния среды и уравнения закона сохранения энергии, которые можно решать раздельно при допущении, что электромагнитное поле и профиль скорости потока жидкости взаимно не деформируют друг друга:

rot H = J, divH = 0, dA

rot E = -

dt

div E = 0

(с допущением о том, что плотностью токов смещения можно пренебречь по сравнению с плотностью токов проводимости),

dH = rot [vH ] + v m AH, dt

dv 1 1

--+ (v v)v =— grad p--x

dt p 4np

Л 1 n

x[H • rot H ] + — Av + - (Z + — )grad div v

P P 3

(аналог уравнения Навье-Стокса). dp

dt

+ div (pv) = 0 (уравнение неразрывности),

p = p (p, T) (уравнение состояния среды),

d^ dt

p-v

2

+ p • u +

H

2 Л

8п

= -div w

(уравнение закона сохранения энергии),

_ I = 7*Н, _

где Н - напряженность магнитного поля; 7 -плотность объемного тока; Е - напряженность электрического поля; А - векторный потенциал магнитного поля; с2

t -время; Vт =-- коэффициент магнитной вязкости;

4пу

П и £ - коэффициенты вязкости 1-й и 2-й среды; р - плотность среды; р - давление; и - удельная внутренняя энергия среды; К - коэффициент теплопроводности среды; Т - абсолютная температура; V - скорость движения среды; ^ - энтропия; / - электромагнитная объемная сила.

Из вышеупомянутого допущения следует, что можно пренебречь электромагнитными силами по сравнению с инерционным и индуцированным магнитным полем по сравнению с внешним полем. Для идеальной среды (г| = С = К = 0,у^го) в предположении, что теплообмен с окружением несуществен, и в случае стационарного процесса система уравнений магнитной гидродинамики (1) получает упрощенный вид. А в предположении об изотропности проводимости и отсутствии намагниченности жидкости ранее было показано, что для сред с ионной проводимостью задача описания электромагнитных явлений состоит в определении потенциала электрического поля, выражающегося первым уравнением системы (1). Применив операцию &у к обеим частям этого уравнения, получим уравнение Лапласа, описывающее поле потенциалов и, которое в стационарном случае и ввиду осесимметричности задачи представим в цилиндрических координатах (г, ф, г):

д 2U 1 dU д 2U п

—Г +--+ —г = 0.

дг r дг dz

Рис. 1. Схема печи

Граничные условия следующие: - на свободной поверхности шлаковой ванны:

ди

z = d, r = r ...R,

дz

= 0;

E =-VU, т. e. E =

E = -

дU

дг

E = -U. ф гдф

д^ дп

дU

Ez =-lU

ЛА = -j, или ^+ + = -j

и E =4 E2 + El + EZ2,

где n - нормаль к боковой поверхности ванны.

Плотность j электрического тока связана с напряженностью следующим образом:

j = оЁ.

По Максвеллу, переменное электрическое поле является источником магнитного поля. Опишем метод расчета характеристик электромагнитного поля.

Векторный магнитный потенциал А подчиняется уравнению Лапласа

д2 А 1 дА д2 А

—Г +--+ —

дг г дг дz

с граничными условиями А = 0 при г = R и z = d. А поскольку стационарное магнитное поле создает только постоянные электрические токи, т. е. при j = 0, то и его векторный потенциал, и напряженность равны нулю.

Представим векторный потенциал в виде разложения по радиусу и оси кристаллизатора и по полученным данным рассчитаем его модуль:

\А\ = .

Согласно [5], напряженность магнитного поля

H = rot А

со следующими граничными условиями: при г = R А = 0, тогда H = 0 ; при z = d А = 0, следовательно H = 0 .

Для расчетов введем третью компоненту вектора H по углу ф, так как

г 1 д4-дАф

г дф дг

1 \д(кАф) дА

rot А =

е. +

д4

дz

,д4

дг

еФ+-

дг

дф

Ротор есть векторное произведение, поэтому подразумеваем переход от двухмерной к трехмерной системе координат:

И

Hф (i, j, к) = -

h

h

- в области входа электрода в шлаковую ванну:

ди, Л

2 = d, Г = 0... гэ , — э = ,

дг о

где ]э - плотность тока на пятне электрода, кА/м2; Гэ, Я - радиусы электрода и кристаллизатора, м; о - коэффициент электропроводности шлака, (Ом • м)-1.

По известному электрическому потенциалу определим напряженность Е электрического поля [4]:

И (I, ], к) = 0.

Учитывая, что производные Л по угловой компоненте равны нулю, Лф= 0. Таким образом, только составляющая вектора напряженности по углу является ненулевой.

И, наконец, значения объемной плотности пондеро-моторных сил вычисляем согласно приведенной выше формуле / = ] хИ в цилиндрических координатах:

f =

7г H

ф 7ф

H ф

H

= ег (7фHz - jzHф ) -

-еф (jHz - jzHr) + ez (jrHti - 7фHr).

Для осесимметричной задачи

H = H = ;ф= о,

следовательно

f=*г (- jh ф)+e (JrH ф).

Граничные условия на боковой поверхности электрошлаковой печи имеют вид

z = с... d, r = R, J = 0, H = 0.

Для расчета этих характеристик электромагнитного поля был составлен алгоритм, реализованный на языке dBase средствами программного обеспечения Excel. В качестве численного решения использован метод конечных разностей. Параметры ЭШП были приняты близкими к реально действующему технологическому процессу переплава: постоянный ток переплава 2 кА; сопротивление 1 Ом; диаметр электрода 0,3 м, кристаллизатора -0,52 м; электропроводность шлака (зона z = c...d на рис. 1) принималась равной 500 (Ом • м)-1. При этом область шлаковой ванны была условно принята за сетку с узлами, расположенными на расстоянии 0,005 м друг от друга как по радиусу, так и по высоте, что удовлетворяет условию устойчивости конечно-разностной схемы. Таким образом, по радиусу число узлов разбиения оказалось равным 53, число слоев по высоте - 11. В общем случае число узлов, конечно, зависит от шага разбиения.

Приведем распределение плотности электрического тока в двух верхних слоях шлаковой ванны при допущении, что электрод касается своим нижним концом поверхности шлака (рис. 2). На графике видно равномерное распределение значений плотности по всей поверхности торца электрода и шлака, за исключением центра кристаллизатора и границы раздела электрод-шлак.

1800000 1600000 1400000 "2: 1200000 2 1000000 800000 600000 400000 200000 0

Амплитуда плотности электрического тока

-слой 1 - слой 2

5

0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 радиус, м

Рис. 2. Распределение абсолютных значений векторов плотности электрического тока

Что касается напряженности магнитного поля, то ее пик наблюдается лишь в центре кристаллизатора с резким падением до нуля по мере удаления от него (рис. 3).

Результаты расчетов позволяют сделать вывод о том, что распределение сил как по радиусу, так и по высоте происходит неравномерно и на поверхности шлака, а также во втором слое дает максимальный всплеск амплитуды в центральной зоне кристаллизатора (рис. 4, 5).

Таким образом, на основе математического моделирования были рассмотрены электромагнитные процессы, происходящие в кристаллизаторе при ЭШП на постоянном токе. Использовались уравнения гидродинамики,

включающие уравнения Максвелла. Полученная оценка электромагнитных сил в шлаковой ванне при ЭШП позволит в дальнейшем выяснить распределение ПМС в жидкометаллической ванне, что даст возможность найти ее положение в любой момент времени при ЭШП на постоянном токе и определить противодействующие силы, обеспечивающие нормальную кристаллизацию для получения металла высокого качества.

Напряженность магнитного поля 1Е+20

0

-1E+20

S

^ -2E+20 х"

-3E+20 -4E+20 -5E+20

-слой 1  слой 2

радиус, м

Рис. 3. Угловая составляющая напряженности магнитного поля в верхнем слое шлаковой зоны

Рис. 4. Амплитуда плотности пондеромоторных сил в верхнем слое шлаковой зоны

Рис. 5. Амплитуда плотности пондеромоторных сил во втором слое шлаковой зоны

Библиографический список

1. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Физматлит, 2001.

2. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Т. С. Николаев. М. : Наука, 1978.

3. Демиденко, Н. Д. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами / Н. Д. Деми-денко, В. И. Потапов, Ю. И. Шокин. Новосибирск : Наука. Сиб. изд. фирма Рос. акад. наук, 2006.

4. Потапов, В. И. Математическое моделирование тепловых и электромагнитных процессов при электрошлаковом переплаве / В. И. Потапов, Н. А. Игизьянова // Теория и технология металлургического производства : регион. сб. науч. тр. / Магнитогор. гос. техн. ун-т. Магнитогорск, 2006. С. 231-236.

5. Ячиков, И. М. Моделирование электромагнитных процессов в ванне дуговых печей постоянного тока / И. М. Ячиков, И. В. Портнова, В. Н. Манагаров // Новые программные средства для предприятий Урала / Магни-тогор. гос. техн. ун-т. Магнитогорск, 2004. С. 115-122.

V. I. Potapov, N. A. Igizjanova, N. D. Demidenko

MATHEMATICAL MODELLING OF ELECTROMAGNETIC PROCESSES IN THE ELECTRODE-SLAG BATH SYSTEM UNDER ELECTROSLAG REMELTING

It is investigated electromotive forces in the slag bath of the mould in the process of direct current electroslag remelting (ESR). The mathematical model describing electromagnetic processes under ESR is based on Maxwell's equations. The way of solving is the method of finite differences realised in the algorithm of Visual Basic. A program allowing calculations on the PC by given formulas has been created. The problem has been considered in the axially symmetric formulation. The calculations of the electromagnetic processes in the slag zone of the mould allows acquiring values of the so-called electromotive forces influencing the ESR to a great extent.

УДК 681.3

А. Н. Горошкин

АДАПТИВНОЕ ВЫДЕЛЕНИЕ СИМВОЛОВ РУКОПИСНОГО ТЕКСТА

Рассмотрен метод сегментации изображений рукописного текста на отдельные текстовые зоны. Описан метод сегментации текстовых зон на отдельные символы при помощи адаптивной процедуры подстройки выделяющей ячейки. Также рассмотрен метод определения угла поворота изображения.

При распознавании рукописных символов на изображениях в статическом режиме (offline) важную роль занимает обнаружение зон, содержащих рукописные знаки, а также сегментация изображений зон на отдельные символы. Для обнаружения зон очень часто используют метод гистограмм. Для этого изображение последовательно сканируется построчно, при этом количество пикселей в строке суммируется и строится гистограмма. Затем производится анализ гистограммы на максимумы и минимумы. Максимальное значение показывает вероятное расположение строки, содержащей символы. Данный подход эффективен в случае, если строки расположены горизонтально. Если же строки расположены не горизонтально, то необходимо многократное сканирование в различных направлениях и выбор такого направления, которое обеспечивало бы максимально выраженные максимумы и минимумы на полученной гистограмме. Это накладывает существенные вычислительные ограничения и требует больших ресурсов машинного времени и памяти. Автором предложен метод, основанный на обнаружении текстовых зон при помощи морфологической обработки с последующим обнаружением связанных областей. Кроме того, данный метод позволяет определить ориентацию входного изображения, что существенно упрощает процедуру распознавания, тем самым увеличивая эффективность системы распознавания, а также обеспечивает сегментацию изображений текстовых зон на отдельные изображения символов.

Метод обнаружения и сегментации текстовых зон условно можно разделить на следующие этапы (рис. 1):

- предварительную обработку (устранение шумов, бинаризация);

- морфологическую обработку (операции расширения и сжатия);

- обнаружение связанных областей и построение текстовых зон;

- определение угла поворота текстовых зон относительно горизонтального направления и поворот изображения;

- сегментацию полученных текстовых зон на отдельные символы при помощи адаптивной процедуры подстройки выделяющей ячейки.

Изображение входного документа подвергается предварительной обработке, где осуществляется наложение сглаживающих фильтров и последующая бинаризация изображения, после чего бинарное изображение подвергается морфологической обработке, при которой происходят последовательные операции расширения и сжатия. Далее выполняется обнаружение связанных областей и построение текстовых зон. Затем осуществляется нормализация изображения, т. е. вычисляется угол поворота текстовых зон относительно горизонтального направления, а также средний угол поворота всего изображения входного документа, и происходит поворот изображения входного документа. Заключительным этапом является сегментация текстовых зон на отдельные символы при