О наследственности формаций унаров

References

1. Löwner K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I. Math. Ann., 1923, vol. 89, no. 1-2, pp. 103-121.

2. Markina I., Vasil'ev A. Virasoro algebra and dynamics in the space of univalent functions. Contemp. Math., 2010, vol. 525, pp. 85-116.

3. Aleksandrov I. A. Parametric continuations in the theory of univalent functions. Moscow, Nauka, 1976, 344 p. (in Russian).

4. Lind J., Marshall D. E., Rohde S. Collisions and spirals of Loewner traces. Duke Math. J., 2010, vol. 154(3), pp. 527-573. DOI: 10.1215/00127094-2010-045.

5. Kufarev P. P. Odno zamechanie ob integralakh uravneniia Levnera. [A remark on integrals of Lowner's equation] Doklady Akad. Nauk SSSR, 1947, vol. 57, no. 7, pp. 655—656 (in Russian).

6. Kager W., Nienhuis B., Kadanoff L. P. Exact solutions for Loewner evolutions. J. Statist. Phys., 2004, vol. 115, no. 3-4, pp. 805-822.

7. Prokhorov D. V., Zakharov A. M. Integrability of a partial case of the Lowner equation. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2010, vol. 10, iss. 2, pp. 19-23 (in Russian).

8. Marshall D. E., Rohde S. The Loewner differential

equation and slit mappings. J. Amer.Math. Soc., 2005, vol. 18, no. 4, pp. 763-778.

9. Prokhorov D., Vasil'ev A. Singular and tangent slit solutions to the Lowner equation. Analysis and Mathematical Physics, eds. B. Gustafsson, A. Vasil'ev. Berlin, Birkhauser, 2009, pp. 455-463.

10. Sansone G. Equazioni differenziale nel campo reale. P. 2a, 2a ediz., Bologna, 1949.

11. Poincare H. Sur les courbes définies par une équation différentielle. J. Math. Pures Appl., 1886, vol. 4, no. 2, pp. 151-217.

12. Bendixson I. Sur les courbes definies par les equations differentielles. Acta Math., 1901, vol. 24, pp. 1-88.

13. Golubew W. Differentialgleichungen im komplexen, veb deutsch. Berlin, Verlag Wiss., 1958, 398 p.

14. Sansone G. Equazioni differenziale nel campo reale. P. 1a, 2a ediz., Bologna, 1948.

15. Borel E. Memoire sur les series divergentes. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1899, vol. 16, no. 3, pp. 9-131.

16. Hayman W., Kennedy P. Subharmonic functions. London, Academic Press, 1976.

17. Goluzin G. Geometric theory of functions of a complex variable. Transl. Math. Monographs, vol. 26, Providence, RI, AMS, 1969. 676 p.

УДК 512.577

О НАСЛЕДСТВЕННОСТИ ФОРМАЦИЙ УНАРОВ

А. Л. Расстригин

Старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и математического анализа, Волгоградский государственный социально-педагогический университет, rasal@fizmat.vspu.ru

Формацией называют класс алгебраических систем, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. В работе показано, что любая формация, состоящая из не более чем счетных унаров, является наследственной.

Ключевые слова: унар, формация, наследственная формация.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Формацией называется класс алгебраических систем, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Формацию называют конечной, если она содержит лишь конечные системы. Мы будем называть формацию не более чем счетной, если она содержит лишь не более чем счетные системы.

Пусть X — совокупность алгебраических систем. Через H(X) и R0(X) обозначаются совокупности всех гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений X-систем соответственно. Через S(X) обозначается класс всех подсистем X-систем. Класс X называется наследственным, если S(X) С X. Через form X (sformX) обозначается наименьшая (наименьшая наследственная) формация, содержащая X или, иначе, порожденная совокупностью X. Через Si X обозначается совокупность всех подпрямо неразложимых X-систем. Множество целых неотрицательных чисел обозначается N0, N = N0 \ {0} и Z — множество целых чисел.

© Расстригин А. Л, 2013

А Л. Расстригин. О наследственности формаций унаров

Унаром называется унарная алгебра с одной операцией /. Через Ст = (а | /п(а) = /п+т(а)} обозначается унар с образующим а и определяющим соотношением /п(а) = /п+т(а), где п, т е N0, т > 0. Унар Ст называют циклом длины т. Через С^ обозначается объединение возрастающей цепи Ст С Ст С ... унаров Сгт для всех £ е N. Элемент а унара называется периодическим, если /п+т(а) = /п(а) для некоторых п, т е N0, т > 0. Глубиной £(а) периодического элемента а называется наименьшее п е N0, для которого элемент /п(а) принадлежит циклу. Периодом р(а) периодического элемента а называется наименьшее т е N, для которого /¿(а)+т(а) = /*(а)(а). Унар называется периодическим (циклическим), если все его элементы периодические (принадлежат циклам). Глубиной £(А) (периодом р(А)) периодического унара А, для которого {£(а) | а е А} ({р(а) | а е А}) ограничено, называется тах{£(а) | а е А} (НОК{р(а) | а е А}).

Если А, В — унары, причем А П В = 0, тогда унар А и В обозначается А + В и называется прямой суммой унаров А и В. Унар, не являющийся прямой суммой двух своих подунаров, называется связным. Для любого подмножества В унара А обозначим (В} подунар унара А, порожденный В. Если В — подунар унара А, то через рв обозначим конгруэнцию Риса для подунара В, т. е. конгруэнцию на А: (х, у) е рв ^ х, у е В или х = у. Наибольшая и наименьшая конгруэнции унара А обозначаются Vа, и Да соответственно. Через обозначается свободный однопорожденный унар, а через И/ — унар, изоморфный унару (й, /}, где /(п) = п + 1 для любого п е Запись А ^ ГЬе/ А* означает, что алгебраическая система А разложима в подпрямое произведение систем А* (г е I).

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть X — класс алгебр. В [1, леммы 3.2, 3.5] приведены следующие формулы.

Лемма 1 [1]. Гогт X = ИК0 (X); вГогт X = ИК0 Я(Х).

В работе [2] автора показано, что любая конечная формация $ унаров определяется множеством которое образует наследственный класс. По лемме 1 из этого следует, что любая конечная формация унаров наследственна [2, следствие 2]. Целью последующего изложения является доказательство наследственности не более чем счетных формаций унаров.

Нам понадобится следующая

Лемма 2. Пусть $ — формация унаров. Тогда А + В е $ ^ А, В, С° + С0 е

Доказательство. Импликация была доказана в [2, лемма 4].

Пусть А, В и С0 + С0 е Тогда унары А + С0, В + С0 принадлежат так как они являются гомоморфными образами А х (С0 + С0) = А х С0 + А х С0 и В х (С0 + С0) соответственно. Отсюда следует, что унар (А + С°) х (В + С°) = А х В + А х С° + С° х В + С° х С° принадлежит Положим Б = А х С° + С° х В. Покажем, что Б является подпрямым произведением унаров А + С° и В + С°. Пусть, для определенности, Б С (А + (а}) х (В + (6}) и Б = А х (6} + (а} х В, где (а} = (6} = С°. Тогда для произвольного х е А + (а}, если х е А, то п 1 (х, 6) = х, а если х = а, то п 1 (а,у) = х для любого у е В, где п 1 — проекция произведения (А + (а}) х (В + (6}) на А + (а}. Таким образом, п 1 (Б) = А + (а}. Аналогично п2(Б) = В + (6} для п2 — проекции произведения (А + (а}) х (В + (6}) на В + (6}. Таким образом, Б е но Б = А + В. Поэтому А + В е что и требовалось показать.

3. О НАСЛЕДСТВЕННОСТИ ФОРМАЦИЙ УНАРОВ

Покажем, что если некоторая формация содержит непериодический унар, то она содержит все счетные унары.

Лемма 3. ^ х ^ — свободный унар счетного ранга в многообразии всех унаров.

Доказательство. Пусть А = В = ^, где А = (а0}, В = (60}, и /(а*) = 1, /(6*) = 1 для любого г е N0. Определим на А х В следующие отображения:

1) Н : А х В ^ N, по правилу Н(х) = тт{г,

2) й : А х В ^ по правилу й(х) = ^ — г,

для любого x e A х B, где x = (a,, bj) для некоторых i, j e N0. Отметим, что x = y тогда и только тогда, когда h(x) = h(y) и d(x) = d(y) для любых x, y e A х B.

Ядро Ker d отображения d разбивает носитель A х B на классы. Эти классы являются подунарами унара A х B. Каждый такой класс как подунар порожден элементом вида (a,, bj), где i = 0 или j = 0, и изоморфен F. В самом деле, d(a,, bj) = j — i = j + 1 — (i + 1) = d(a,+i, bj+i) = d(f(a,, bj)). Для любого x e A х B, x = (a,, bj) = f h(x)(ai-h(x), bj-h(x)), где i — h(x) = 0 или j — h(x) = 0. Отображение У ^ ah(y), y e [x]Kerd, задает изоморфизм содержащего x класса на A = F1. Таким образом, F1 х F1 есть прямая сумма счетного числа унаров F1 — свободный унар счетного ранга.

Лемма 4. Пусть F — формация унаров. Следующие условия эквивалентны:

1) Zf e F; 2) F e F; 3) F содержит все счетные унары.

Доказательство. (1) ^ (2) Пусть A = B = F, где A = (a0), B = (b0), и f (a,) = ai+1, f (b) = bi+1 для любого i e N0. Покажем, что унар A х B разложим в подпрямое произведение унаров Zf. Определим на A х B следующие конгруэнции, пользуясь определенными в доказательстве леммы 3 отображениями d, h:

1) 0+ по правилу: x0+y ^ h(y) — h(x) = d(x) — d(y);

2) 0- по правилу: x0-y ^ h(y) — h(x) = d(y) — d(x).

Покажем, что П0_ = Д. Возьмем (x,y) e П0_, но тогда d(x) = d(y), h(x) = h(y) откуда x = y. Рассмотрим теперь A х B/0+ и L = Zf. Занумеруем элементы L = ({...,x-2, x—, x0, x1,...}, f), где f(x,) = xj+1 для любого i e Z. Зададим отображение ^ : L ^ A х B/0+, ^(xn) = [y]#+, где d(y) = n, h(y) = 0. Такое соответствие является изоморфизмом унара L на A х B/0+. Аналогично A х B/0- = L. Таким образом, F1 х F1 L х L. Следовательно, F1 e form L.

Далее, импликация (2) ^ (3) следует из леммы 3, а (3) ^ (1) тривиальна.

Для произвольного унара A определим конгруэнцию -у: (x,y) e —у, если

x, y — периодические элементы и t(x) = t(y),

x, y — непериодические элементы и f n(x) = f n(y) для некоторого n e N0.

Лемма 5. Если унар A непериодический, то F1 e form A.

Доказательство. Действительно, найдется непериодический элемент a e A. По лемме 2, наибольший связный подунар A' унара A, содержащий a, принадлежит формации form A. Унар A'/—у изоморфен либо F1, либо Zf. Лемма 4 завершает доказательство.

Для фиксированного n e N U через Nf обозначим унар, изоморфный фактор унару прямой суммы счетного числа Cf по рд для подунара D данной прямой суммы, содержащего все ее подунары C0.

Лемма 6. Унар Nf является свободным унаром счетного ранга в многообразии унаров, определяемом тождеством fn(x) = f n(y) (n e N).

Доказательство. Обозначим указанное в утверждении многообразие через V. Пусть S — множество всех элементов глубины n унара Nf. Очевидно S счетно и (S) = Nf e V. Достаточно проверить (см. например [3, п. 12.2, теорема 1]), что из истинности равенства вида f1 (x) = fm(y) для некоторых 1,m e N0 и различных x, y e S следует, что в многообразии V выполнено тождество (V xy) f1 (x) = fm(y).

На произвольных различных элементах x, y e S выполняются только равенства вида fn'(x) = fm'(y), где n', m' > n, и fn +m'(x) = fn'(x), где n' > n (см. [4, лемма 1]). Все тождества такого вида являются следствиями тождества fn (x) = fn (y) и поэтому верны в V.

Лемма 7. Пусть A — связный унар, C0 с A и |A| < N0. Тогда A e form C^.

Доказательство. Покажем, что {Cf | n e N0} с formC^. Обозначим через Ah фактор унар прямой суммы B + B2 унаров B :l = C^ и B2 = Ch по конгруэнции 0 = рд, где D — подунар унара B1 + B2, изоморфный C0 + C0. Пусть B,0 = {[x]# e Ah | x e B,} (i = 1, 2). Унар Ah/pBl^

НО Научный отдел

А. Л. Расстригин. О наследственности формаций унаров

изоморфен Ch для любого h е N. В свою очередь, Ah е form Cf для любого h е N, так как Ah Cf х Cf. Действительно, А^/фц = Cf, Ah/р_в2б» = Cf и pB2# П фу = AAh. Таким образом,

е HRo(Cf) = form Cf для любого h е N.

Покажем, что Nf е formCf. Пусть A i = Bi = Cf. Будем обозначать A i = ({an | n е N0},f}, где f(an) = an-i для n е N и f(a0) = a0; аналогично B]^ = ({bn | n е N0},f}. Тогда унар A i х B]^ является связным унаром, содержащим цикл ((a0,b0)} = C0. Множество X = {(a, b0), (a0,bj), (a^, b) | i е N0} элементов унара A i х B]^ очевидно образует подунар унара A i х B i. Положим 0 = рх.

Определим на (A i х B i )/0 отображение d : (A i х B i )/0 ^ Z по правилу

d(x) = |i - если (а^' ) / X '^0, если (aj,bj) е X

для любого x = [(aj,bj)]# е (A i х Bi)/0.

Унар (A i х Bi)/0 связен и содержит подунар X0 = {[x]# е A i х Bi/0 | x е X} = C0. Заметим, что d(x) = 0 тогда и только тогда, когда (x} = C0 в (A i х B i)/0. Ядро Ker d разбивает (A i х B i)/0 на классы. Каждый такой класс C по Ker d в объединении с X0 образует подунар Cf унара (A i х B]^)/0. Таким образом, унар (A i х B i)/0 связен, содержит унар C0 в качестве подунара и бесконечное число различных подунаров Cf, а пересечение любой пары таких подунаров есть C0. Заключаем, что (Ai х Bi)/0 ^ Nf

Перейдем непосредственно к доказательству утверждения леммы. В случае, если унар A конечен, то получаем A е form{C f | n е N0} С form Cf.

Пусть A бесконечен. Возьмем B = Nf, B е form Cf.

Носитель A и множество попарно различных подалгебр вида Cf в B равномощны, т. е. между ними существует биекция. Обозначим ее через . Зададим отображение ^ : a ^ b из A в B такое, что b е ^0(a) и t(a) = t(b). Отображение ^ инъективно. Продолжим i до гомоморфизма ф : (Im^ A следующим образом: для произвольного x е (Imимеет место x = fn(x0) для некоторых n е N0 и x0 е Imположим по определению ф(x) = fn(^- i(x0)). Отображение ф сюрьективно, так как для любого a е A получаем равенство ф(^(а)) = a из определения. То, что ф является гомоморфизмом ясно из способа задания, поэтому ф — эпиморфизм (Im на A. Наконец, (Im е form Cf так как формация form Cf наследственна в силу леммы 1 и установленного ранее включения {Cf | n е N0} С form Cf. Таким образом A е form Cf.

Для произвольной формации F унаров обозначим через CF множество всевозможных сумм циклов из F и NF = {A е F | a = Nn, n е N}.

Предложение 1. Пусть F — не более чем счетная формация периодических унаров. Тогда класс X = Si F U CF U NF порождает F, т. е. F = form X.

Доказательство. Так как X С F, понятно, что form X С F. Необходимо показать обратное включение.

Пусть A е F. Рассмотрим разложение A в подпрямое произведение:

A Аг, где Аг е SiF

iei

Если множество I индексов конечно, то А е form(Si F) С form X. Пусть I бесконечно для любого разложения вида (1).

Подпрямо неразложимыми унарами (согласно [5]) являются унары Ch (h > 1), Cf, C°fc (p — простое, k е N0) и Cpk + C0 и только они. Поэтому для каждого разложения вида (1) будем рассматривать разбиение множества I на непересекающиеся подмножества Ii и I2, I = Ii U I2 так, что

О™, где п е N и если % е Д,

Аг = \

О0 + О0 или О0, где е N0,^ — простое, если % е /2.

Тогда A Di х D2, где Dj П^ Ai, j = 1, 2. Покажем, что Di5 D2 е form X.

Пусть для некоторого разложения вида (1) множество {t(a) | a е Ai5 i е Ii,} не ограничено. Так как унар D i является гомоморфным образом унара А, то D i е F и является периодическим унаром. Тогда D i связный периодический унар, содержащий элементы сколь угодно большой глубины. В D i есть лишь один циклический элемент — все проекции которого являются подунарами вида C 0 унаров Ai (i е Ii). В D i есть элементы любой глубины, так как таковые есть в унарах Ai (i е Ii) (см. [4, лемма 2]). Тогда Di/фц = Cf, т. е. Cf е SiF. По лемме 7, Di е form(SiF) С formX.

Пусть теперь унары Ai конечны для всех i е Ii и множество {t(Ai) | i е Ii} ограничено для всех разложений (1). Выберем разложение вида (1) такое, что

m = max

где rt = |{i е h | t(Ai) = t}| для любого t е N. Если m = 0, то подпрямое произведение D i конечно и поэтому D i е form X. Пусть m > 0. Разложим D i в подпрямое произведение унара D' gI'cIi Ai', где t(Ai') < m (i' е I'), и какого-то конечного подпрямого произведения унаров

Ai (i е h), у которых t(Ai) > m. Разобьем множество М = {a е D' | t(a) = m} элементов D' глубины m на классы: a = b ^ (a} П (b} = C0. Пусть в М' входит ровно по одному представителю из каждого класса. Покажем, что если М/ = бесконечно, то С D' и е F.

Определим конгруэнцию, которая понадобится в дальнейшем. Пусть А — произвольный связный унар, такой, что (a0} = C0 для некоторого a0 е А и {t(a) | a е А} ограничено. Для некоторого множества B элементов глубины t(A) унара А такого, что для любых двух различных a, b е B верно (a} П (b} = C0, зададим эквивалентность фв на А через описание классов эквивалентности: для любого a е B и n < t(A) положим

[fn(a)U = {x е A | t(x) = t(A) - n и (x} П (a} = C°°}, [a0= {x е A | (x} П (a} = C для всех a е B}.

Вернемся к доказательству. Очевидно, что D'/фм' порожден множеством {[a]^M, | a е М'} элементов глубины m, мощность которого совпадает с мощностью М', т. е. счетна. Для любых двух различных a, b е М' имеем [a]^M' П [b]^M' = C0. Таким образом, D'/фм' =

Отсюда е X. По лемме 6, D' е formX как гомоморфный образ а за ним и D i е formX как конечное подпрямое произведение D' и какого-то конечного числа унаров Ai (i е Ii). Если же М/ = конечно, то с помощью конгруэнций р^м'}, ф{а} = A (по всем a е М') можно разложить D' в подпрямое произведение конечного числа унаров Cm и Ck, k < m, что противоречит минимальности m по условию (2). Действительно, пусть (x,y) е р(М'} П (РaeM' ф{а}), тогда x е (a}, y е (b} для некоторых a, b е М'. Если a = b, то из (x, y) е ф{а} следует t(x) = t(y), откуда x = y. Если же a = b, то (a} П (b} = C0 и, так как (x, y) е ф{а} П ф{Ь}, имеем x, y е C0, откуда также x = y. Таким образом, P(M'} П (Р|aeM' ф{а}) = A. Далее, унар D'/ф{а} порождается элементом [a]^{a} и изоморфен Cm для всех a е М'. Унар D'/р(М'} не имеет элементов глубины m, т. е. t(D'/р(М'}) < m. В самом деле, для любого a е D' такого, что t(a) = m, для некоторого b е М' выполнено (a} П (b} = C0. Из этого следует, что для некоторого n < m элемент fn(a) принадлежит (b}. Следовательно, элемент [fn(a)]P<M') принадлежит подунару C0 унара D'/р(М'}, т. е. t([a]p ) < m. Поэтому глубина любого гомоморфного образа унара D'/р(М'} строго меньше m, т. е. D'/р(М'} раскладывается в подпрямое произведение Ck, k < m.

Унар D2 является суммой циклов и принадлежит X, а значит, D2 е form X.

Доказательство завершается, так как D i5D2 е formX, т. е. А е formX.

Теперь сформулируем основную теорему.

Теорема 1. Любая не более чем счетная формация унаров наследственна.

Доказательство. Пусть F — не более чем счетная формация унаров. Если F содержит только периодические унары, то по предложению 1 формация F порождается таким множеством X унаров,

112

Научный отдел

что S(X) с form X. Откуда HR0S(X) с formX = F. По лемме 1 получаем, что F — наследственная формация.

Пусть теперь F содержит непериодические унары. По лемме 5 имеем F1 e F. Тогда F является формацией всех счетных унаров по лемме 4 и поэтому F наследственная. Теорема 1 доказана.

Библиографический список

1. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М. : Наука, 1989. 256 с.

2. Расстригин А. Л. Формации конечных унаров // Чебышевский сб. 2011. Т. XII, № 2 (38). С. 102-109.

3. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М. : Наука, 1970. 392 с.

4. Карташов В. К. Квазимногообразия унаров // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 1. С. 7-20.

5. Wenzel G. H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras {A; f) // Archiv der Mathematik. 1970. Vol. 21. P. 256-264. DOI: 10.1007/BF01220912.

On Heredity of Formations of Monounary Algebras A. L. Rasstrigin

Volgograd State Socio-Pedagogical University, Russia, 400066, Volgograd, Lenin Ave., 27, rasal@fizmat.vspu.ru A class of algebraic systems is said to be a formation if it is closed under homomorphic images and finite subdirect products. It has been proven that any formation of at most countable monounary algebras is a hereditary formation.

Key words: unar, formation, hereditary formation.

References

1. Shemetkov L. A., Skiba A. N. Formatsii algebraiches-kikh sistem [Formations of algebraic systems]. Moscow, Nauka, 1989, 256 p. (in Russian).

2. Rasstrigin A. L. Formations of finite monounary algebras. Chebyshevskii Sbornik, 2011, Vol. XII, no. 2 (38), pp. 102-109 (in Russian).

3. Mal'tsev A. I. Algebraicheskie sistemy [Algebraic

systems]. Moscow, Nauka, 1970 (in Russian).

4. Kartashov V. K. Quasivarieties of unars. Math. Notes, 1980, vol. 27, pp. 5-12. DOI: 10.1007/BF01149807.

5. Wenzel G. H. Subdirect irreducibility and equational compactness in unary algebras (A; f). Archiv der Mathematik, 1970, vol. 21, pp. 256-264. DOI: 10.1007/BF01220912.

УДК 511.325

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

З. Х. Рахмонов

Доктор физико-математических наук, директор, Институт математики Академии наук Республики Таджикистан, Душанбе, zarullo-r@rambler.ru

Получена новая оценка суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю q на последовательности сдвинутых простых чисел р — I, = 1, р < х, нетривиальная при х > q5/6+e. Это уточняет оценку Дж. Б. Фридландера, ^ Гонга, И. Е. Шпарлинского, нетривиальную лишь при х > q8/9+e.

Ключевые слова: характер Дирихле, сдвинутые простые числа, короткая сумма характеров, тригонометрические суммы с простыми числами.

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И. М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В [1,2] он доказал: если q — простое, (1,д) = 1, х(а) — неглавный характер по модулю д, тогда

уу q x

T

© Рахмонов З.Х., 2013

113