Расчет изгибаемой подкрепленной пластины методом конечных элементов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ

ТЕХНОЛОГИИ

УДК 539.3

РАСЧЕТ ИЗГИБАЕМОЙ ПОДКРЕПЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ МЕТОДОМ

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

© 2011 г. П.П. Гайджуров, Э.Р. Исхакова

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет Technical University

Предлагается пластинчато-стержневая конечноэлементная дискретизация подкрепленной пластины с эксцентричным расположением ребер жесткости, позволяющая сократить трудоемкость подготовки исходных данных о геометрии конструкции и вычислительные затраты. Ребра пластины моделируются двухузловыми балочными конечными элементами, реализующими гипотезу С.П. Тимошенко. Для проведения численного эксперимента используются программы-макросы на языке APDL вычислительного комплекса ANSYS.

Ключевые слова: метод конечных элементов; подкрепленная пластина; схема дискретизации.

It is proposed plate-rod finite element discretization of a reinforced plate with an eccentric arrangement of ribs, allowing to reduce the complexity of the preparation of baseline data on the geometry of the structure and the computational cost. Edges of plate are modeled by a two-node plate beam-finite element realizing the hypothesis S.P. Timoshenko. To implement the numerical experiments are used macros-program in a language APDL of computer system ANSYS.

Keywords: finite element method; reinforced plate; discretization scheme.

Общеизвестно, что пластинчатые конструкции, усиленные ребрами жесткости, позволяют наиболее рационально распределять материал в сооружении, удовлетворяя условиям жесткости и прочности.

Основной проблемой при конечноэлементной идеализации подкрепленных пластин является трудоемкость представления геометрии ребер жесткости, эксцентрично расположенных относительно срединной поверхности пластины. Поэтому для моделирования пластины и ребер, как правило, используют соответственно пластинчатые (SHELL) и стержневые (BEAM) конечные элементы (КЭ). В работе [1] предложена расчетная схема для расчета ребристых плит методом конечных элементов с применением так называемых жестких вставок. Суть данной методики состоит в подвешивании к пластинчатым КЭ, моделирующим плиту толщиной h пл, на расстоянии

(h c + h пл)/2 стержневых КЭ прямоугольного поперечного сечения hc хbc (hc, bc - высота и ширина

сечения стержня). Жесткие вставки располагаются между пластинчатыми и стержневыми элементами вдоль главных осей инерции поперечных сечений стержней. Недостатком данного подхода остается сложность построения пространственной конечноэле-ментной сетки.

В настоящей работе предлагается упрощенная расчетная схема изгибаемой подкрепленной пласти-

ны, базирующаяся на пластинчато-стержневой конеч-ноэлементной модели переменной жесткости, имеющей узлы только на срединной поверхности пластины.

Для выполнения вычислительных экспериментов применен расчетно-вычислительный комплекс ANSYS Mechanical в программном режиме.

В качестве исследуемой конструкции рассмотрим квадратную в плане подкрепленную пластину с плоской и пологой формами срединной поверхности. Пластина подкреплена системой ортогональных ребер прямоугольного поперечного сечения, жестко закреплена по контуру и нагружена равномерно распределенным давлением интенсивностью q =1,5 МПа. Учитывая симметрию геометрии и нагрузки, расчетную схему представим в виде 'Л части пластины с заданием соответствующих граничных условий на краях (рис. 1). Размеры элементов пластины приведены в метрах. Механические постоянные материала пластины и ребер: модуль упругости Е = 2-105 МПа; коэффициент Пуассона v = 0,25.

На первом этапе исследований пластину и ребра жесткости моделируем пластинчатыми КЭ SHELL63. Результаты вычислений прогиба (w) в центре пластины для различных сеток представлены в таблице. В обозначении n х n х m значения n и m указывают на количество элементов, на которое разбивается соответственно пластина вдоль осей X, Y и ребро вдоль оси Z (по высоте).

Результаты расчёта прогиба м> для различных сеток

Форма срединной поверхности пластины Значения w, м, на сетке КЭ

6x6x1 12x12x2 24x24x2 24x24x4

Плоская (рис. 1 а) -0,000757 -0,000744 -0,000740 -0,000743

Пологая (рис. 1 б) -0,000383 -0,000373 -0,000369 -0,000370

Из представленных данных следует, что вполне приемлемая точность вычислений достигается на сетке 12^12x2. Полученный на первом этапе результат служит эталоном для верификации пластинчато-стержневой схемы конечноэлементной дискретизации подкрепленной пластины.

На втором этапе исследований ребра жесткости моделируем стержневыми КЭ BEAM188. Причем их узлы располагаем на срединной поверхности пластины таким образом, чтобы они совпадали с соответствующими узлами пластинчатых КЭ. В итоге получаем общую регулярную конечноэлементную сетку.

Введем коэффициент увеличения жесткости k > 1, с помощью которого можно искусственно увеличивать исходные размеры поперечного сечения каждого ребра: k  h с, k  Ь с.

Выполнив серию вычислений, получим графики зависимости прогибов V в различных точках плоской

(рис. 2 а) и пологой (рис. 2 б) пластин от значения k . На рис. 2 кривые 1, 2, 3 соответствуют точкам пластины, расположенным на стороне у = 0 и имеющим координаты: х = 0; х = 0,1 м; х = 0,2 м.

Из приведенных на рис. 2 графиков следует, что с увеличением величины k жесткость подкрепленной пластины увеличивается нелинейно. Следует отметить, что эталонные значения прогибов лежат на соответствующих кривых.

На рис. 3 и 4 приведены графики прогибов подкрепленной пластины соответственно плоской (рис. 1 а) и пологой (рис. 1 б) формы для следующих сечений: а) - у = 0; б) - у = 0,1 м; в) - у = 0,2 м. Здесь

сплошной линией показано эталонное решение на сетке 12x12x2, пунктирной линией - решение, полученное с помощью пластинчато-стержневой модели на сетке 12x12. При этом число узлов для эталонной модели составило 219, для пластинчато-стержневой -181.

Для плоской подкрепленной пластины калибровка конечноэлементной модели осуществлялась по прогибу в центре пластины (точка х = 0, у = 0). Эталонное значение прогиба в данной точке равно V = -0,000744 м (таблица). Наилучшее приближение к эталонному значению прогиба, полученное с использованием пластинчато-стержневой модели, составило V = = -0,000742 м при коэффициенте увеличения жесткости k = 2,53.

Y

Z 0

0,1

0,3

Лт X

////////

о, о"

0,07

Л

*—И

У R

0,01

Рис. 1

1 1,5 2 2,5

1_I_I_i_

-1000 -2000 -3000 E

w —

1 1,5 2 2,5 k

-50 -

-100 -

-150 "

-200"

-250" E

w

qa

Рис. 2

б

а

б

а

0 0,1 0,2 X, м

-0,0001 _ -0,0002-0,0003-0,0004-0,0005-0,0006-w, м

0 0,1 0,2 X, м Л I I I I I

0 0,1 0,2 X,

-0,00005 -0,00010-0,00015-0,00020-0,00025" w, м

-0,0001 --0,0002 -0,0003 w, м

"1 I I I I I

Рис. 3

0 0,1 0,2 X, м "1 I I I I I

0 0,1 0,2 X, м

0,1

0,2 X,

-0,00005-0,00019--0,00015-0,00020-w, м

-0,00050-0,00010-0,00015-

w, м

-0,0001

-0,0002

-0,0003

-0,0004 w, м

Рис. 4

Для пологой подкрепленной пластины калибровка конечноэлементной модели выполнялась по прогибу в точке х = 0, у = 0,1 м (свободный конец ребра жесткости). Эталонное значение прогиба в данной точке составляет V = - 0,000383 м. Наилучшее приближение к эталонному значению прогиба, полученное с использованием пластинчато-стержневой модели равно V = - 0,000384 м при коэффициенте увеличения жесткости k = 1,86.

.410E-04 .123E-03 .205E-03 .287E-03 .3 69E-03 .451E-03 . 533E-03 .615E-03 .697E-03

Рис. 5

Рис. 6

Более полная картина визуализации полей перемещений в виде изолиний для плоской пластины представлена на рис. 5 (эталонная модель) и рис. 6 (пластинчато-стержневая модель).

Из представленных результатов следует, что пластинчато-стержневая модель даже в предлагаемом упрощенном варианте однородного изменения жесткости стержневых КЭ качественно отражает совместную работу пластины и подкрепляющих ребер, а так-

м

б

а

в

0

м

б

а

в

же дает достаточные с практической точки зрения значения прогибов в контрольных точках подкрепленной пластины. Получить более высокую точность можно путем создания неоднородной жесткости стержневых КЭ, сделав их более податливыми в зоне пересечения ребер.

Представленную в работе расчетную схему подкрепленной пластины (рис. 1) можно рассматривать как повторяющийся фрагмент несущей панели сооружения. Поэтому применение пластинчато-стержневой конечноэлементной дискретизации, позволяющей сократить время на подготовку данных о геометрии конструкции и вычислительные затраты, имеет опре-

деленные преимущества перед более точной (эталонной) моделью, состоящей только из пластинчатых КЭ.

Литература

1. Расчет и проектирование конструкций высотных зданий из монолитного железобетона / А.С. Городецкий [и др.] Киев, 2004. 106 с.

Поступила в редакцию 16 декабря 2010 г.

Гайджуров Петр Павлович - д-р техн. наук, профессор, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. 2-55-4-14.

Исхакова Эльвира Рашидовна - студентка, строительный факультет, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).

Guyjurov Peter Pavlovich - Doctor of Technical Sciences, professor, South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 2-55-4-14.

Iskhakova Elvira Rashidovna - student, South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)._