Калибровочная модель трещины

УДК 539.374.1, 422.2

Калибровочная модель трещины

A.M. Авдеенко

Академия государственной противопожарной службы МЧС РФ, Москва, 129366, Россия

Система трещин в твердом теле рассматривается как нарушения локальной симметрии для группы трехмерных вращений, для компенсации которых вводятся фиктивные поля, делающие ковариантными выражения для лагранжиана плотности упругой энергии в эффективном римановом пространстве. Уравнения равновесия решаются методом теории возмущений по малому параметру, которым является концентрация надрезов. Для двумерного случая приведены точные выражения для напряжения и калибровочного поля с помощью использования преобразования Гильберта для ортогональных полиномов Чебышева. Рассматривается обобщение модели на случай нелинейной упругости (деформационной теории пластичности) и для моделей статистической мезомеханики. Получено решение задачи о концентрации напряжений в системе произвольно ориентированных трещин, учитывающее их взаимное влияние в любом порядке теории возмущений, которое сводится к системе линейных уравнений, имеющих точное решение в явном виде.

Ключевые слова: разрушение, трещина, преобразование Гильберта, статистическая мезомеханика

Gauge model of a crack

A.M. Avdeenko

State Fire Academy of EMERCOM of Russia, Moscow, 129366, Russia

A system of cracks in a solid is considered as the breaking of local symmetry for a group of three-dimensional rotations. The rotations are compensated by introducing fictitious fields that make Lagrangian equations for elastic energy density covariant in the effective Riemannian space. Equilibrium equations are solved by the perturbation theory method with a small parameter which is the number of notches. Exact expressions for the stress and gauge field are derived for a two-dimensional case using the Hilbert transform for orthogonal Chebyshev polynomials. A generalization of the model to the case of nonlinear elasticity (deformation theory of plasticity) and for statistical mesomechanics models is considered. The problem of stress concentration in a system of arbitrarily oriented cracks is solved by taking into account their mutual influence in any order of perturbation theory. The obtained solution reduces to a system of linear equations for which an accurate explicit solution can always be obtained.

Keywords: fracture, crack, Hilbert transform, statistical mesomechanics

1. Введение

Структура материала определяет его прочность. Под структурой металла (материала) понимается размещение, форма, анизотропия и иные характеристики частиц равновесной или неравновесной второй фазы, определяющие в конечном счете его потребительские характеристики: равномерную деформацию, напряжение и деформацию разрушения, /-интеграл, критическую интенсивность напряжений и т.д., в зависимости от конкретных условий нагружения и эксплуатации [1, 2].

Поверхность разрушения — результат движения магистральной трещины по образцу. Магистральная трещина, прежде чем сформироваться, проходит не-

сколько этапов эволюции — от почти изотропного зарождения обычно на дефектах структуры, например на частицах второй фазы — чаще неметаллических включениях, через перерезание некогерентных частиц, заторможенный сдвиг и вскрытие за счет концентрации напряжений, отслоение и т.д.

Разрушение обычно начинается от ряда «плохих мест» — неудачно расположенных включений, крупных сегрегаций (так называемый «камневидный излом») и т.д. Концентрация плохих мест мала, их статистики находятся на «хвостах распределений», что ведет к дополнительным затруднениям при использовании статистических моделей [3-5].

© Авдеенко A.M., 2015

Однако полевые и связанные с ними статистические описания имеют определенные преимущества, связанные с универсальностью подхода, наличием развитого математического аппарата, возможностью серьезных обобщений и аналогий. Поэтому представляется целесообразным включение самих трещин в контекст полевого описания.

Одним из вариантов теории дефектов является рассмотрение дислокаций и дисклинаций в качестве калибровочных полей, восстанавливающих локальное нарушение симметрии, структурной группой которых служит полупрямое произведение группы трансляций на группу вращений T(3)xSO(3).

Обобщение полевой теории дефектов на теорию разрушения и построение точных (явных) решений для калибровочных полей и полей напряжений в системе произвольно ориентированных надрезов является целью предлагаемой работы.

2. Калибровочная модель трещины

Рассмотрим твердое тело граница которого нагружается силой Р. Пусть г — исходная (при отсутствии нагрузки) координата точки i, R (г) — ее текущая координата, и 1 = R (г) - г — вектор перемещения. Исходное пространство описания будем полагать евклидовым с метрикой , для декартова пространства метрика [+++], четырехвалентный тензор кривизны для евклидова пространства тождественно равен нулю = 0. Обозначим ко- и контравариантные производные вектора R:

^ = * = К

д к К,к' д к >к.

дх дх

Для описания деформации тела воспользуемся тензором деформации Альманси екш = 1/2 Кк тКк т --8кп1%кт, где 8кп — символ Кронекера.

В порядке линейном по производным полей смещения Е-т совпадает с обычным выражением:

е = 1 (Мк Ъп 2 [Эхт дхк

Если в теле трещины отсутствуют, то плотность лагранжиана упругой энергии в пренебрежении инерционными членами имеет стандартный вид L0 = А(еПт + +2 ц/А етпетп), где А, ц—константы Ламе. Варьирование этого выражения по полям смещений и дает обычное уравнение равновесия.

Если в теле имеются трещины, то их наличие будем описывать с помощью фиктивного симметричного тензорного поля (со спиновым состоянием, вообще говоря, «2» или «0»), которое создает «эффективное» риманово пространство с метрикой g«подключаемой» через выражение

(g ), где g = det(^^^), g = g^).

В дальнейшем полагается использовать разложение по малому параметру у << 1, характеризующему вклад энергии поля фцу в общий лагранжиан:

Ф^=Ф^+Ф^+....

В нулевом приближении (среда без трещин) = 0.

По порядку величин у пропорциональна приросту упругой энергии в теле с трещинами, по сравнению с упругой энергией бездефектной структуры, т.е. величине, зависящей от концентрации трещин п.

Например, для двумерной упругой задачи концентрация напряжений пропорциональна г~а, где г —расстояние от вершины трещины, а = 1/2 для надреза и а = 1 для отверстия. Упругая энергия ~ г~2а+2 и, поскольку г ~ и"1/2, относительный вклад ~ п1_а, т.е. для реальных систем п = 10-2-10-4 величина у ~ 10-4 -10-2 << 1, что, естественно, не исключает сингулярности в окрестности вершины трещины.

Теперь в эффективном римановом пространстве обычную производную заменим на ковариантную = *т,п +ГПА, где Г'т„ — символ Кристоффеля, причем при у ^ 0 Г'тп ^ Гтп и для декартова пространства г тп=о.

Выражение для поля напряжений аП может быть получено дифференцированием лагранжиана по полю Еп •

ап = --

дЦ дЕП

Варьирование по полю К дает уравнения равновесия в виде

да к

-Г + Гь ап-Гп а = о

дх

или с учетом симметрии тензора алп и выражения символов Кристоффеля через g•

?м_ ак1 = о.

Эо* -1

дхк 2 Эхг-

В соответствии с принципом минимального дополнения построим лагранжиан поля фцу. Ограничимся степенью по полю фцу. Вообще говоря, для его конкретизации достаточно задать инфинитезимальное преобразование поля фцу таким образом, чтобы лагранжиан отличался на полную дивергенцию произвольного вектора.

Например, можно выбрать часто используемое преобразование вида

Л^ +^Jggyadaюц -

- ),

где — бесконечно малый прирост, который реализует соответствующую алгебру Ли. Здесь введены обозначения

Э

й „ =-

3 О

ах

Для этого случая при дополнительном условии (^) = 0 (аналог лоренцевой калибровки в электродинамике), при данном преобразовании ^ ^ ^ + ^ (), ^ + ^ ), где R — ска-

лярная кривизна эффективного риманова пространства, построенного на основе поля фцу. Существенно, что введение поля не меняет «покрытия»: йх = йх1, т.е. поле «калибровочное». Отсюда выберем простейшее выражение Ц = = -X1y[gR9 и его варьирование по полю д/ggЦY или даст соответствующие уравнения движения. Они очевидны и здесь не приводятся, тем более в тех порядках теории возмущения, которые будут рассматриваться далее, они не потребуются.

Существенно, что лагранжиан поля не может иметь вид Ц = -X1yfgR - Х2 ^^, поскольку в этом случае исчезнет ковариантность уравнений движения.

Полученные соотношения представляют собой систему из девяти (3 + 6) нелинейных дифференциальных уравнений относительно двенадцати переменных — шести компонент тензора напряжений и шести компонент тензора (пять независимых и одно уравнение связи).

Три дополнительных уравнения следуют из стандартных условий совместности, либо из выражения деформации через вектор перемещений. Фактически реализован «принцип геометризации» при описании системы трещин.

При заданных граничных условиях систему можно решить (первая или вторая задачи теории упругости), хотя бы в принципе, численно. Однако нас в дальнейшем будут интересовать аналитические решения в ряде интересных и важных случаев.

Кроме того, переход к ковариантному описанию в римановом пространстве, т.е. фактически включение трещин в систему полевых уравнений не как граничных условий (стандартные схемы описания), существенно усложняет описание: задача в пределах теории упругости становится нелинейной и увеличивается число анализируемых уравнений. Однако количество независимых констант осталось прежним и равным количеству констант изотропной упругости X, ц, но сама задача стала нелинейной в отличие от стандартной упругости.

3. Теория возмущений

Решение уравнений для полей о^, ф^ будем искать в виде формального ряда возмущений по малому параметру у о п

—п 0 . _п1 .

: от + от + ...,

+....

В нулевом порядке по возмущениям трещины отсутствуют ф т = 0 и поле о т0 = о т 0( х) полагается из-

Рис. 1. Трещина в неоднородном внешнем поле

вестным. В дальнейшем введем обозначения Эф дх1 = = .

В первом порядке уравнение равновесия принимает

вид

М1 1*1

дхк

2 °

М 0

0.

Представим решение о™1 в виде

охр1 (х) = Р (х - Х1) 4 (Х1 )ок/ 0 (Х1 )йХ1,

где 0?р1 (х - х1) — известная функция действия в точке х для сосредоточенной силы в точке х1.

Вычисляя о1р/ (х), можно аналогичным образом вы-

12

числять второй порядок для поля и о2 (х) и т.д.

В наиболее интересном случае для двумерной трещины функция действия может быть представлена через комплексные потенциалы, а поправка к полю через аналитическое продолжение.

4. Точные решения для двумерного случая

Рассмотрим плоский надрез длиной 2d = 2 в направлении оси 1 в неоднородном поле большой плоской трещины длиной 2Б >> 2d (рис. 1). Размеры второй трещины настолько велики, что можно пренебречь влиянием первой (малой) трещины на вторую.

Вся система находится под действием растягивающего напряжения о вдоль оси 2.

Дополнительное условие (разгрузка на поверхности трещины) позволяет выразить поля через отношение двух ортогональных полиномов Чебышева. Действительно, для поля напряжений вдоль разреза (-1, 1) справедливо

г 1 1

, + / -о22 (У1)^122(У1)йУ1 = 0

22

о12 +

-1 х1 - У1

Г 1 }-о

12 (л) ^112 (У1)йУ1 = 0

-1 х1 - У1

поскольку в этом случае &гр1 (х - х1) ~ 1/(х - у).

Далее воспользуемся интегральным соотношением Гильберта для полиномов Чебышева порядка ик (х1) первого и второго рода Тк+1 (х1 )1:

1} Тк+1(у1) = ик (х1),

п-1 У1 - х1

'Г-

I х, | < 1.

У1

1 Впервые преобразование Гильберта в задаче о полях системы тре-

щин использовал М.А. Штремель [4].

Рис. 2. Поле для маленькой трещины в поле большого надреза и отверстия диаметра 2В = 16. Внешнее напряжение а = 1

Полиномы Чебышева имеют вид и0(х) = 1, и1(х) = 2х, и3(х) = 4х2 -1,..., Т0(х) = 1, Т1(х) = х, Т2(х) = 2х2 -1,.... Разлагая поле вдоль разреза (-1, 1) в ряд по полиномам Чебышева первого рода:

N-1 N-1 2

а12( У1) = £ С1кик (У1), а22(Л) = £ Скик

к=0 к=0

имеем в области (-1, 1) выражения для поля:

N-1 1

£ скТк+1( л) . 5?22(Л) = к=0 1

N-11и (у ^ у2

£ с[ик (У1) V1 - У1

к=0

^ 2

511,2( У1) = N1

£ скТк+1

1

N4 1 Л 2 '

£ скщ(У!) V1 -У1

к=0

которые автоматически удовлетворяют уравнению, соответствующему вариационному уравнению.

Для схемы, представленной на рис. 1, единственно ненулевой компонентой является компонента S1122. В простейшем случае надреза (-1, 1) в однородном поле а

^22 (У1) = "

4

Не представляет труда решить аналогичную задачу для калибровочного поля надреза (-1, 1) в поле круглого отверстия с диаметром 2D >> 1 и схожие задачи.

На рис. 2 представлено калибровочное поле трещины в неоднородном внешнем поле, порождаемом большой трещиной с размером 2В и отверстием радиуса В. Внешнее поле а = 1, использовались полиномы Чебышева не выше четвертого порядка.

При изменении взаимного расположения надреза трещины или отверстия потребуется расчет другой компоненты поля фцу, что не представляет трудности. В частности, можно будет наблюдать «эффект тени», когда малая трещина расположена сверху или снизу большого надреза.

Теперь можно приступить к вычислению полей аи (х). Аналитическое продолжение для преобразований Гильберта полиномов Чебышева имеет вид [6]:

Т (Г, к) =11 Тк+'(2) йх = П-1 (2 - х N1 - х2

= ( 2-77-1 )к+1, | 21 > 1.

1 х-У1

л/г 2 -1

Учтем далее, что Re

х - 2 (х - У1)2 + У22

и введем

, , ат

функцию О(2) = -У2-, тогда непосредственно

62

подстановкой нетрудно показать, что функции действия имеют вид

^22 (У1, У2 ) = СУ2 + 6у2 , 2 (У1, У2 ) = СУ2 + 6У1У2 , 1 (У1, У2 ) = -3СУ2 - 6У2 , ^ 22 (У1, У2 ) = СУ1 + 6У1У2,

(У1, У2 ) = СУ2 + 6У2 , ^П (У1, У2 ) = СУ1 + 6У1У2 и, кроме того,

Ц^ = -0|1, ц22 = Ц^, ^22 = 1т(-3Т + О), ^ = - Re(-Т + О), ^ = 1т(-Т + О),

=- Re(-Т + О). Разлагая в ряд в окрестности z ~ ±1 и удерживая главные члены, имеем обычные выражения для концентрации напряжений в окрестности вершины трещины:

К

атп (Г >> 1) J(0)О?1, 2 = ГвВ

Л/г

Соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений К12 для правого +1 и левого конца трещи-

Рис. 3. Концентрация напряжений для левого а(-1) и правого а(+1) конца трещины в неоднородном поле большого надреза (а) и отверстия (б). Внешнее поле а = 1

ны -1 имеют вид К+2 = £ ск'2, К-2 = £ (-1)кск'2, т.е. выражаются через коэффициенты разложения калибровочного поля S.

Напряжения в окрестности левого и правого концов трещины представлены на рис. 3, а (в поле надреза) и рис. 3, б (в поле отверстия).

Хотя сами калибровочные поля для большого надреза и отверстия отличаются слабо (рис. 2), концентрации напряжений перед ближним и дальним концами малой трещины существенно различны: в поле надреза концентрация в 1.7-2.0 раза выше, чем в поле отверстия (рис. 3).

5. Обсуждение результатов

Рассмотренные выше точные решения для двумерного случая могут быть распространены на систему произвольно ориентированных плоских надрезов. В этом случае для замыкания системы уравнений необходимо проводить разложение поля в месте расположения произвольного надреза по полиномам Чебышева порядка 2п, где п — количество надрезов. Вычисление полей для каждой трещины сведется к решению системы 2п алгебраических уравнений с последующей подстановкой в (1).

Получено решение задачи о концентрации напряжений в системе произвольно ориентированных трещин, учитывающее их взаимное влияние в любом порядке теории возмущений. Оно сводится к системе линейных уравнений, для которых всегда можно получить точное решения в явном виде. Для п >> 1 задача сведется к обращению невырожденной матрицы 2пх2п; алгоритм этой операции является стандартным для численных методов.

В рассматриваемой модели компенсирующие поля отсутствуют в нулевом порядке теории возмущений, в отличие от калибровочных моделей дефектов (дислокаций и дисклинаций) в подходе. Иными словами, это фиктивные поля, вводимые для разгрузки поверхности разреза, они необходимы для решения сингулярного интегрального уравнения.

Поскольку переход к ковариантным выражениям не сопровождался какими-либо допущениями об упругом характере деформации, то полученный алгоритм описания можно распространить на неупругие модели, в частности, положив в деформационной теории пластичности вместо инвариантов девиаторов полей деформации калибровочно-инвариантные девиаторы /2 = (ЕПЕ'п) и представив пластический потенциал в виде

V(Snmk, R) = J J2 +А2 J4 +.... Тем самым можно распространить полевое описание трещин на область пластической деформации.

Другой аспект применения рассмотренного подхода — это переход от описания деформации в классическом смысле к так называемой модели нелинейного псевдоконтинуума [3]. В модели нелинейного псевдоконтинуума основными являются не поля напряжений и деформации, а их корреляционные функции различного порядка, эволюция и особенности которых определяют критическое поведение деформированного тела.

В этом случае переход к ковариантным соотношениям с последующим континуальным интегрированием по полям s для вычисления полных корреляционных функций флуктуаций полей деформации приводит к так называемым перенормируемым моделям, что является косвенным подтверждением корректности подхода.

Аналоги данной модели имеются в квантовой теории поля: конфайнмет (невылет) кварков в нашем случае реализуется как притяжение — движение навстречу двух трещин во внешнем поле, что наблюдается экспериментально на тонких фольгах [4]. Отличие тоже существенно: кварки — точечные объекты, а в нашем случае (d- 1)-мерное многообразие (трещина) в d-мер-ном пространстве.

6. Выводы

Построены ковариантный лагранжиан упругой энергии среды с плоскими надрезами и решения соответствующих вариационных уравнений в рамках теории возмущений.

Для двумерной задачи получено точное выражение для калибровочных полей с использованием преобразования Гильберта для ортогональных полиномов Чебы-шева.

Литература

1. Разрушение. Математические основы теории разрушения / Пер. с англ. под. ред. А.Ю. Ишлинского. - М.: Мир, 1975. - 763 с.

2. Броек Д. Основы механики разрушения. - М.: Высшая школа, 1980. - 368 с.

3. Авдеенко А.М. Статистическая мезомеханика. Критические явления в механике сплошной среды. - Lambert Academic Publishing. -120 с.

4. Штремель М.А. Нелокальные взаимодействия многих трещин // ФММ. - 2001. - Т. 91. - № 3. - С. 9.

5. Мельниченко А. С. Прочность неоднородных структур. - М.: Издательский дом МИСиС, 2008. - С. 24.

6. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1. - М.: ИЛ, 1958. - 930 с.

Поступила в редакцию 31.05.2014 г., после переработки 26.11.2015 г.

Сведения об авторе

Авдеенко Алексей Михайлович, д.ф.-м.н., проф. АГПС МЧС РФ, aleksei-avdeenko@mail.ru