Приближенное оптимальное управление углом крена в задаче возвращения гиперзвуковых аппаратов

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том III

1972

№ 4

УДК 629.782.015

ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УГЛОМ КРЕНА В ЗАДАЧЕ ВОЗВРАЩЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВЫХ АППАРАТОВ

Рассматривается задача возвращения в заданный район гипер-звукового летательного аппарата на пассивном участке движения в атмосфере. Приводится удобная форма записи условий для выбора оптимального угла крена, минимизирующего функционал в задачах пространственного маневра в атмосфере, позволяющая представить в явном виде некоторые характерные свойства оптимального управления. На основании приближенного качественного анализа оптимального управления строится упрощенная программа управления углом крена, описываемая функцией от текущих значений фазовых координат и единственного варьируемого параметра.

Задача возвращения в заданный район гиперзвуковых летательных аппаратов рассматривается на пассивном участке движения в атмосфере. Предполагается, что возвращаемый аппарат обладает аэродинамическим качеством, а осуществление пространственного маневра достигается за счет управления углом крена. В предположении квазистационарности движения задача возвращения гиперзвуковых аппаратов в заданную точку земной поверхности рассматривалась ранее в работе [1], где были получены основные качественные результаты. В настоящей работе на основе приближенного качественного анализа оптимального управления строится упрощенная программа управления углом крена, являющаяся приемлемой для начальных условий движения, существенно отличных от условий квазистационарного планирования.

Автор благодарит В. Ф. Илларионова, просмотревшего рукопись и сделавшего важные замечания.

Постановка задачи. В предположении изотермичности атмосферы, а также без учета вращения Земли уравнения движения аппарата запишем в следующем виде:

В. Т. Пашинцев

ЛУ

сИ

= - £о -Цг — £ 0;

di\ 1 / iy K2cos20

-rfT= Kcos0'^o^-P^sm7-------------------cos nr, tg <

d<f Vcosflsinv)

dt ~~ r ’ dX V cos 0 cos rj

dt ~ r cos ф ’

);

cxS CyS _ R3

где ax*=—Q—; gy = -q— ; p = p0e , r = R + h; g = g0-pr'> г = const;

r) — курсовой угол (между проекцией вектора скорости на плоскость местного горизонта и местной параллелью); tp, X— географические широта и долгота;

7— угол крена (положительное значение 7 увеличивает т));

R — средний радиус Земли.

Остальные обозначения общепринятые.

Пусть Заданы координаты точки возврата <ра и Ха, а также величина конечной скорости полета VK:

? = ?., Х = Ха> К

Примем в качестве функционала, характеризующего недолет аппарата до точки возврата на пассивном участке возвращения, величину

I

где о> — угловое расстояние на земной сфере от конечной точки траектории

ГС

(9к> ^-к) ДО точки возврата (<ра, Ха); предполагается, что 0 <; ш ^ -у.

Задача состоит в построении достаточно простой программы управления углом крена ч(^), близкой по функционалу (3) к оптимальной программе fopt(0. максимизирующей /(<рк, Хк) при ограничении на функцию 7 (t) вида

17

Конечное время полета Т не ограничено.

Условия оптимальности. Воспользуемся принципом максимума Л. С. Понт-рягина [2, 3], согласно которому управление 7opt (t), максимизирующее I (?к, Хк), определяется из условия минимума по у функции Гамильтона

Н

при краевых условиях

Р(Т) = —цоgrad*K [F(xK)],

Н(Г) = 0; [A0 = const>0,

где F(xK) — I (<рк, Хк) 4- (J.KK; fi = const;

jc={V, 0, h, 7], tp, X}—вектор фазовых координат;

/= {/,} —вектор правых частей уравнений системы (1); p={pj) —сопряженный вектор, определяемый из условия

ip, *<<**•1).. ,_,.2.................6;,-И,.,

dt dxi

После подстановки (1) в (5) условие оптимальности управления сводится к минимизации по 7 функции

Q

Представляя (8) в виде скалярного произведения

где

cos 7*

Р 6 N

sin у

(Р, 9. т) — JV cos (7 —7*), pnlcos 6

; JV= Vpl+ip-r,/cos 6)2 > О,

(9б>

/*

Фиг. 1

приходим к следующему условию оптимальности:

cos (lopt — 1*) = inf cos (7 — 7*). (10>

76 U

Из (10) следует (фиг. 1), что если величина 7 не ограничена, то

7opt (0 = Tf* (0 + *.

Из (96) и (11) следует, что если величина 7рр1(0 определена в пределах

П TZ

~ ~2~ ^ ^°Р‘ ^ ~2~

(12>

то при этом всегда имеет место

Р0<О. (13>

Следовательно, при любом значении | 7 |щах <;~2- условие (13) является необходимым для существования неграничного оптимального управления

lYoptl<iTln,ax<_2_ при/70<О. Согласно (96) и (11) имеем также

sign 7opt = - sign Oycos в).

(14a>

Условие оптимальности, вытекающее из (4), (96), (10), (14а) и (146), окончательно может быть представлено в следующем виде*:

tg Yopt

/’rj/cos I

при —

I pJcos 9 I

і T Irnax siSn (Pi)/COS fl) при

>Ръ>

їх .

1 pJcos 8 I

lg І ї I

<Pe.

Как показано в [1], функция р^) в (15) может быть выражена через текущие значения фазовых координат и некоторые константы интегрирования. Для окончательного установления свойств оптимального управления 7ор1(0 воспользуемся приближенным представлением функции Рд(0-

* Сходная с (15) запись была впервые использована g работе [1] применительно к оптимальному управлению 7nnopt(0 в условиях квазистационарного’

( Л

планирования ( ~ 0).

качественный анализ оптимального управления (приближенный закон).

В [1] показано, что в результате использования в системе (1) допущений, принятых в [5],

, g sin 8 < £о 4г~ р К3; sin б — 6; cos0~l; r~R

из сопряженной системы (?) выделяется линейное уравнение вида

р$ “Ь RzSpq + Rz ^ у2 1^/7о = ^г9> 0^)

где

> , COS Y)

: Я = - Р-ч cos т) tg ср + рх -f Pv sin Ч

' • dPt J V ...

Rz = const; pe = ; as = -g- dt.

В диапазоне докруговых скоростей полета — 1>о) уравнение

!

описывает процесс вынужденных колебаний.

Подобно тому, как это сделано в [4], используем вместо рн (в) некоторое

осредненное значение />е(«), определяемое из условия р6(х)~0:

Рв = ’ РнК = сопв!.

' у 2 ~~ 1

Подстановка (19) в (15) приводит к приближенному закону управления по х

— даи —~ТдТТ1—>с;

*К7ор*— •! щ

*П1ш„-8П*при-

где

: b=p^Щ--\']j, c = q+phRд.

Из (20) видно, что Тор^ОО подобно 70р1 (^) в (15) всегда гранично при с>0

(Рв>°)’- „ '

7оР1

при рь = 0 (с = у) управление 7^ (7) совпадает с оптимальным управлением определяемым в условиях квазистационарного планирования [1]. Обратимся теперь к численным результатам, получаемым при использований ТорН^) в точной системе уравнений движения (1). Воспользуемся первыми интегралами систем (1) и (7), полученными в [1]:

= МГ) ^Х_(7~)$!П?К- sin (X - Хк) +р9 (Т) cos (X - Хк),

’Л

9 COS <рк

Рп(Т)—Рх(Т) sin <рк

cos

COS !fK v rt

Подставляя в (23) краевые условия

cos?+рх(Г) sin<р.

P<f (T) = Но [sin <Рк сое <ра cos (Хк — Ха) — COS <рк sin 9а];

Р\

Л, СП* о,

вытекающие из (3) и (6), а затем подставляя (23) в (18) и (21), выражения для функций 6(0 и с (0 в (20) приведем к виду

где

6(0

— 11 с05 £ 81п р + В сое 5 сое Р);

1

с (0 = -ду (й сое £ вт р Е сое 5 сое р + вт £0),

)

А = сое <р вШ (X — Ха);

В = сое <р сое (X — Ха) — вш <р;

Д = в1п ср сое т| з!п (X — Ха) + в1п 7] сое (X — Ха);

Е = сое 9 сое г) -{- *2 <ра [вш 9 сое т) сое (X — Ха) — вт т] вт (X — Ха)];

сое £ р 1 = М

сое £совр

вт 5

сое 9а б1п 9к — БШ 9а СОБ 9к сое

м

[С08 9а8т9к — вт 9а сое 9К сое

Итак, имеем двухпараметрическую программу приближенного управления (20) с параметрами р и 5. При этом необходимость в интегрировании сопряженной системы уравнений (7) отпадает подобно тому, как это имело место в работе [1],

На практике установлено, что параметр р в (25) удобно подбирать из условия выполнения на правом конце траектории (V — Кк) равенства

СОБ 9а БШ 9к — 81п 9а СОЭ 9к соб

1 = сое сра СОБ 9к вШ

следующего из соотношения (27), а параметр 5 — из условия максимума функционала (3).

Численные расчеты с использованием в (1) условий (20) и (25) при исходных данных 7)0 = 0; 9а = 9о = 0; ^а = ^о = 0; Кк = 300 м/сек, <3^ = 0,0005 м/кг',

Л=^- = 2,5; р0 = 0,125 кг-се/с2/и«4; = 7000 Л?' = 9,81 м/сек2’ Л = 637Ы03л<

V

1'„=300м/се/с, 0{г3°'} А - 70ям-, II *

*—

Л

[нм]

50

-х—4= о 1 4=50° 1 ^ О

%огГ70

\ 1 4

\ А

V

0,05 6 [рад]

Фиг. 2

показывают, что:

1) оптимизация в (20) параметра £ в общем случае может оказаться существенной (фиг. 2);

2) при использовании в (25) ^ор^О (РьорхФ) по сравнению со случаем £ = 0(р/, = 0) реализуется несколько более ранний сход с ограничения по углу крена, хотя в обоих случаях большая часть полета аппарата происходит на

режиме |71 = I Т 1Шах (Фиг- 3):

3) в широком диапазоне начальных скоростей полета при максимальных значениях угла крена порядка 17|шах>'^° реализуются малые удаления аппарата от точки входа в плотные слои атмосферы. Максимальные значения координат ер и X при этом составляют всего лишь несколько градусов. Это обстоятельство позволяет принять в

в!п ср — <р; сое ср -— 1.

Простейшая программа управления углом крена. Воспользуемся следующими свойствами управления 70р1 (0> вытекающими из предыдущих аналитических и численных результатов:

а) начальный участок траектории возвращения характеризуется максимальным по модулю углом крена [ | ? (А) + е) I > Ра(^о + г)> так как ? (*о + 0 >0]‘>

б) сход с ограничения |7(0| = |7|щах происходит не ранее момента выполнения условия с (0 г ц (0 -)- рн Яд (0 = 0;

в) моменты выполнения условий с (0 = 0 и ц (0 = 0 при достаточно больших

I 7 1шах являются близкими (поправка р^Я на режиме [7 (0 I = I 7 1Шах мала)-

Используем также следующие выводы, сделанные в работе [1]:

г) на траектории возвращения знак угла крена остается неизменным:

д) конец траектории (<рк, Ак) на плоскости <рХ принадлежит вектору

Р = — ^га<1 /(?к, Ак).

Согласно пунктам „г“ и „д“ траектория возвращения в плоскости срХ расположена по одну сторону от вектора р. Следовательно, момент максимального удаления аппарата от точки возврата заведомо предшествует моменту достижения максимальной проекции радиус-вектора >-={<р; X} на вектор р (когда V ± р и 9=0). В то же время из приведенной в приложении геометрической интерпретации условия (14а) следует, что при ри = 0 угол крена -у(0 равен граничному значению (? = ± I 7 |шах) на всем начальном участке траектории вплоть до точки максимальной проекции г на р.

Согласно пунктам *а“ и „в“ ненулевое значение параметра £0рх(Рн) в (25) способствует (хотя и несущественно) лишь более раннему сходу с ограничения

V

2о

1°

°2° 3° 5° А.

Фиг. 3

V 70лм-, к= О-Х =

—х—4 = О

X-

N

ч У0= 4-000м/секз Утазг85°

-У- г < /

X N

X ,, 3000м/се/с. N

ч V ;

на угол крена, т. е. способствует приближению точки схода к точке максимального удаления. , , . ,

На основании сказанного выше, в качестве приближенного момента схчда с ограничения по у в дальнейшем целесообразно принять момент максимального

удаления аппарата от точки возврата [»_Ьг: ш (ср, X) = “>шах]• , ;

Введем в рассмотрение на плоскости угол Дт) — угол между направлением на точку возврата (—г) и текущим направлением движения (г<):

Дтг) (0 = г* (*) — г, (().

С учетом того, что начиная с момента, когда вектор скорости V направлен в точку возврата [т)(0 = г]*]> угол крена должен быть нулевым, в дальнейшем в качестве простейшей программы управления углом крена может быть предложена следующая:

К(Дт))  =

± I Т 1шах при

— . тс

7 = СОПв! при 0 < — Дтг) < у ;

О при Дт) = 0.

Параметр у в (32) следует выбирать из условия тах/(<рк, лк), а момент

перехода к управлению 7 (Дт]) = 0 ^ из условия (—г X V) =0, которое с учётом соотношений (346) и (36) (см. приложение) преобразуется к виду ;

[— у сое -Г) + (X — Ха)81П1Г1]11=ч« = 0,

Из (33) следует, что при Д-^ = 0

*1 (0 = V (0 — аг^ + Я.

Н>

ва= 3 • Ь0= 70 км; кд= 0-,7< = 2,5

2°

программа дада

\ > N

простейшая ляогра .

1 II'

V,- ШОм/сек-, 35°

- /,= 3000м/сек-, у -70° { 777ШГ

к

й !л У= 3000м/сек\ О 7

Фиг. 4

На фиг. 4 показано, что использование простейшего кусочно-постоянного управления углом крена (32) приводит к незначительным погрешностям в величине функционала по сравнению с использованием в (1) непрерывного управления вида (20). Различие по функционалу становится заметным лишь с уменьшением величины |7|шах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шкадов Л. М., Буханова Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., „Машиностроение*,

2. Понтрягин Л. С., Болтянский В, Г., Г ам к р е л и д-з е Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1961.

3. Розо но эр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем. „Автоматика и телемеханика”, том XX, № 10—12, 1959.

4. Пашинцев В. Т. К вопросу об оптимизации пространственного маневра орбитального аппарата в атмосфере. Труды ЦАГИ, вып. 1243, 1970.

5. Ярошевскйй В. А. Приближенный расчет траекторий входа в атмосферу. .Космические исследования", т. 2, № 4 (VII-VIII), 1964.

С учетом допущений , (16) и (30) система уравнений пространственного движения (1) обычно записывается в следующем виде:

Записывая для системы (34) функцию Гамильтона (5), а также сопряженную систему (7), в (17) будем иметь

С учетом (35) и (36) функцию с(() в (21) можно записать в виде

1972.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Геометрическая интерпретация условий

V=-ax PV;

h = №;

где

ax = go-%-R', ay = go^-R',

q(t)=p • v = p • v cos e; e = t) — p,

где

pf = const; px = const; p = Vp% + p{ > 0; .

P<9

sin p = ——; cos p

p '

с (t) = ПК,

где

п= {/у Рх< PhRY X, h}\ h =

h

~R

П

РІ+РХ + (PhW> 0; V

cos ? sin Р Рч

cos £ cos p = Px

sin £ PhR

j/"<p2 + X2 + W > 0; П '

С помощью нормирующего множителя ;л0 в (6) величины р и П в (35) и (37) при цо ф 0 всегда могут быть сведены к единице (анормальный случай, соответствующий (л0 = 0, из рассмотрения исключается). В результате приходим к тому, что функция с (і) физически характеризует скорость движения изображающей точки вдоль некоторого постоянного направления, определяемого вектором

п = —I^o grad/(<рк, Хк) + Др(рй),

где АР (Рй) — произвольный постоянный вектор, линейно независимый по отношению к gгad/(<fк. *к).

В частном случае, когда Д/^ (Рь) = 0, функция с (() характеризует скорость движения изображающей точки в проекции на плоскость :рХ и при этом с (0 = Я (0*- _

Следовательно, если Д/)(рй)^0 (что, как показано выше, имеет место в случае существенного отличия условий движения от условий квазистационар-ного планирования), то величина

£^д

характеризует собой необходимую поправку в q (<) на случай, когда допущение

іт

----0 оказывается несправедливым. Очевидно, что при движении аппарата

на режиме ограничения по 7 (I 7 (О I = | 7 |Шах) поправка (40) влияет на момент схода с ограничения, определяемый условием

c(t) =

tg I 7 I

так что при 0(i)<O [т. е. Л(*)<0] положительные значения /?/, (sin £ > 0) способст-

~ „ 16 (О I

вуют более раннему сходу по сравнению со случаем р^ = 0 т. e.q(t) = —-7—г-j------- .

'Snlmax.

Из сказанного выше следует также, что выполнение условия q(t)~ 0 соответствует достижению на плоскости <рХ максимальной (минимальной) проекции

ридиус-вектора r={cp, X} на постоянный вектор

Р = - Но grad / (<рк, Хк),

поскольку в этом случае v X р. В связи с этим приближенная геометрическая интерпретация условия (14а) сводится к тому, что на начальном участке движения вплоть до точки, в которой проекция г на р максимальна, управление 7n/iopt(0 заведомо должно быть граничным.

Видно, что условие (22) уточняет указанную геометрическую интерпретацию за счет поправки Aq (t).

* В работе [1] впервые дана геометрическая интерпретация функции (О как косинуса угла между мгновенной плоскостью движения и плоскостью большого круга, проведенного через начальную (<у0, Х0) и конечную (<рк, Хк) точки траектории.

Рукопись поступила 6VIII 1971 г.