Гиперзвуковое течение вязкого газа в сопле

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м VI 19 7 5

№ 2

УДК 533.6.011.55.011.6

ГИПЕРЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА В СОПЛЕ

Ю. Н. Ермак

Проведено теоретическое исследование передачи возмущений вверх по потоку при течении вязкого газа в гиперзвуковых осесимметричных соплах методом внешних и внутренних асимптотических разложений для режима умеренного взаимодействия пограничного слоя с невязким гиперзвуковым течением в ядре лотока.

1. Введение. В гиперзвуковых соплах взаимодействие толстого пограничного слоя с невязким гиперзвуковым течением в ядре потока существенно влияет на течение в ядре потока. В таких соплах статическое давление при увеличении числа М сильно падает. В результате толщина гиперзвукового пограничного слоя значительно возрастает, а сам гиперзвуковой пограничный слой может занимать заметную часть сопла. Давление на срезе сопла (например, в камере Эйфеля) в этом случае оказывает заметное влияние на течение во всей гиперзвуковой части сопла.

В работах [1] и [2] исследуется взаимодействие ламинарного пограничного слоя с гиперзвуковым потоком в коническом сопле. Для расчета вязкого течения используются уравнения пограничного слоя Прандтля, а для расчета течения в потенциальном ядре — уравнения Эйлера. Расчет ведется методом последовательных приближений. В результате получают поле течения в сопле, включая распределение давления по стенкам сопла, и таким образом влияние давления на срезе сопла на течение в сопле не учитывается.

В настоящей работе течение в сопле при использовании методов внешних и внутренних асимптотических разложений разбивается на две области: область малых сверхзвуковых чисел М с тонким пограничным слоем на стенках сопла, слабо влияющим на течение в невязком ядре, которое описывается решением для сверхзвукового источника, и область гиперзвуковых чисел М с толстым пограничным слоем на стенках сопла. Для описания течения в невязком ядре потока строится гиперзвуковая теория малых возмущений относительно течения из гиперзвукового источника. В уравнениях пограничного слоя градиент давления заранее не задан ц определяется при совместном интегрировании уравнений

для невязкого ядра и пограничного слоя. При такой постановке краевой задачи появляется возможность по аналогии с работой [3], где исследуется влияние распространения возмущений вверх но потоку от донного среза пластинки, помещенной в гиперзвуковой поток, изучить влияние распространения возмущений вверх ио потоку от среза сопла на поле течения в гиперзвуковой части сопла.

2. Основные оценки. Рассмотрим гиперзвуковое ламинарное течение вязкого термодинамически совершенного газа в осесимметричном коническом сопле. Предположим, что &—1 = 0 (1), где & — отношение удельных теплоемкостей газа, а характерное число Рейнольдса Яе0 для течения в окрестности критического сечения Сопла велико, так что влияние толщины вытеснения на невязкое течение в этой части сопла мало. Тогда в этой области реализуется течение, описываемое решением для сферического сверхзвукового источника. Известно [4], что источник не является точечным, как в несжимаемой жидкости, а образован сферой радиуса г*, внутри которой течения не существует. На этой сфере скорость имеет критическое значение (М=1), а во всей области вне сферы до бесконечности скорость течения и возрастает до своего максимального значения ит. Решение для сферического сверхзвукового источника записывается в виде'

Для течения в коническом сопле в области умеренных значений числа М^>>1 (область /), если использовать решение (2.1) и соотношения для изэнтропического течения, можно получить следующие оценки:

здесь / — характерная длина области умеренных значений числа М; Р— давление; р — плотность; и—скорость в  направлении радиальной координаты г, индекс я0“ соответствует условиям торможения.

Для течения в коническом сопле в области, где выполняется условие М^> 1 (область II) (как и выше имеется в виду характерное значение числа М), если использовать решение (2.1) и соотношения для изэнтропического течения, можно получить следующие оценки:

здесь £ — характерная длина гиперзвуковой области течения в сопле.

Следует отметить важность такого параметра, как радиус сверхзвукового источника г*. Нетрудно получить связь между этим параметром и геометрическими параметрами сопла:

и ~ р ~ р0>

(/./г*)~М*-»; (Я/Р„)~ М *-і;

4 вігі (а0/2) ’

где й0 — диаметр критического сечения сопла, а0 — полуугол раствора конического сопла. Для гиперзвуковых сопл величина г* обычно составляет несколько сантиметров.

Прежде всего рассмотрим область сверхзвукового течения (фиг. 1) М^1, здесь выполняются условия (2.2), характерное число Яе0 = (ит р г^/цо) = &о2— велико ((х0 — значение коэффициента вязкости при температуре торможения). Тогда в большей части этой области течения справедливы уравнения Эйлера, которым удовлетворяет решение (2.1), а вблизи стенок сопла справедливы уравнения

пограничного слоя Прандтля. Действительно, если ввести безраз» мерные независимые переменные в сферической системе координат

г = гтг, 6 = 0

и асимптотические разложения

Р = Р0 Р + ...; р = р0 р + • • •; I

°_ 0 _

, и = ити+ ..V = иту + ..., )

где Р = О (1); р = О (1); и —О (1); V = О (1); г = О (1), а скорость V соответствует азимутальному углу 6, и подставить эти выражения в уравнения Навье — Стокса, нетрудно получить уравнения Эйлера, которым удовлетворяет решение (2.1). Граничным условиям на стенках сопла является условие непротекания, т. е.

г/ = 0 при 0 = + а0.

Для того чтобы удовлетворить условию прилипания на стенках сопла, необходимо ввести новые независимые и зависимые переменные, равные по порядку величины единице в вязком слое. Следует отметить, что в этом случае необходимо использовать систему- координат связанную с поверхностью сопла. Введем следующие безразмерные переменные:

« = г* 5; я = г* е0 га;

здесь координата 5 отсчитывается вдоль поверхности конического сопла, а координата л —по нормали к ней. Асимптотические разложения имеют вид

V- = 1*1 + • • •; Л> (5) = г* r0l (s); J

здесь скорость и — соответствует координате s\ скорость v — соответствует координате п\ Т — статическая температура; i ~ полная энтальпия; r0 (s) — расстояние от оси сопла до стенки сопла.

Если выражения (2.5 а) и (2.5 в) подставить в уравнения Навье— Стокса, записанные в системе координат, связанной с поверхностью сопла, то с точностью порядка е0 можно получить обычные уравнения пограничного слоя Прандтля.

Граничные условия на стенке для этих уравнений имеют обычный вид

Внешнее краевое условие для уравнений пограничного слоя Прандтля легко получить, если воспользоваться одним из методов сращивания асимптотических разложений для невязкого (2.4) и вязкого течения (2.5) в области /

Здесь использовано условие независимости скорости в решении для источника от азимутальной координаты.

Необходимо коротко остановиться на начальных данных уравнений Эйлера и уравнений пограничного слоя Прандтля в области /. В общем случае начальные условия для сверхзвукового течения в расширяющемся канале ставятся на предельной характеристике в окрестности критического сечения сопла. Начальные условия для уравнения пограничного слоя также можно поставить в окрестности критического сечения.

3. Постановка задачи о течении в гиперзвуковой части сопла. Перейдем теперь к исследованию течения в области II. Пусть М2 — расчетное гиперзвуковое число М на срезе сопла (полученное без учета влияния вязкости). Предположим, что полуугол раствора сопла а0~ 1/М2, т. е. а0 = 0О/М2, где 60 = 0(1). В соответ-вии с оценками (2.3) для невязкого течения введем следующие безразмерные переменные, равные по порядку величины единице в области II:

и = ити1 +V = ume0vt+..р = р0р1 + ...; Р — Ро Pi ! Т — TQTt \ і — г0 іг -f- ...;

щ = 0, г, = iw при п = 0.

иг (s, оо) = и (r = s); ^(s, оо) = 1.

и асимптотические разложения

Если эти выражения подставить в уравнение Навье — Стокса, -записанные в сферической системе координат, и совершить предельный переход е0 -* О, М2 -* оо, то для первых членов асимптотических разложений можно получить уравнения

которые представляют собой гиперзвуковые уравнения в малых возмущениях относительно течения из гиперзвукового источника. Начальные условия для системы (3.2) можно найти путем сращивания асимптотических разложений (3.1) с асимптотическими разложениями (2.4). В результате получаем

Граничные условия для системы (3.2) будут получены ниже путем сращивания асимптотических разложений (3.1) с асимптотическими разложениями для вязкого гиперзвукового течения в окрестности стенок сопла. Для того чтобы удовлетворить условию прилипания на поверхности сопла, введем следующие безразмерные переменные:

Если эти выражения подставить в уравнение Навье — Стокса, записанные в системе координат, связанной с поверхностью сопла,, и выполнить предельный переход М2 -* оо, е0 —> 0, так что Д=0(1),

її-

дУ , V дУ V 1 дР

дС ‘ С дФ "* с + ад <ЭФ

р С-2*; (рЩк) -» 1 при С -> 0.

асимптотические разложения и параметр Д:

к

л г*

2

к+1

Iа —

,4

М*-1 гх (5);

*+1

можно получить следующую систему уравнений для гиперзвуко-вого пограничного слоя:

-4- Кг, - Л'; /?, Щ + ^ [(Г1 - = °:

Граничные условия на поверхности сопла для этой системы имеют привычный вид:

Нетрудно увидеть, что параметр подобия Д представляет собой аналог гиперзвукового параметра вязкого взаимодействия. Таким образом, условие Д = 0 (1) соответствует умеренному взаимодействию гиперзвукового пограничного слоя с невязким течением в ядре потока.

Внешние краевые условия для системы (3.5), а также граничные условия для системы (3.2) получим путем сращивания асимптотических разложений (3.1) и (3.4):

Здесь §г — толщина гиперзвукового пограничного слоя, $5 — уравнение внешней границы пограничного слоя.

Начальные условия для системы уравнений гиперзвукового пограничного слоя также нетрудно получить:

Это условие также получается методами сращивания асимптотических разложений и соответствует тому факту, то толщина пограничного слоя Прандтля §„ много меньше толщины гиперзвукового пограничного слоя 8Г.

Таким образом, гиперзвуковое течение вязкого газа в сопле описывается системами уравнений (3.2), (3.5), с граничными условиями (3.6)—(3.8), требующими совместного решения этих систем. Заметим также, что системы (3.2) и (3.5), граничные условия (3.6)—

(3.8) и начальные условия (3.3) и (3.9) допускают следующую группу преобразований:

и, (0, 3) = К, (0, 5) = 0; (0, 5) =

иг^ = Ъг, 5) = 1; МЛГ = 8г, 5) = /?(Ф = 0а, С = 5); К(Ф=»«, С = 5) = 5^г.

(А^, 0) = 1; ^(ТУ, 0)=1.

^ = Щ 5 = £5; Ф = А-<*-1>Ф; N = /V;

Я=1-2ЙР; = ^-

Г] = г^; А = /:-(«-8)Д; ^ = 0,; gl-gi. .

4. Результаты расчетов. Для расчета уравнений (3.2), (3.5) при граничных и начальных условиях (3.3), (3.6)—(3.9) использовались интегральные методы. На первом этапе исследований для расчета течения в невязком ядре потока использовался однополосный интегральный метод Дородницына А. А., а для расчета течения в гиперзвуковом пограничном слое использовался метод Польгаузена (т. е. Pr = l; р(х = const, = 1). Таким образом, системы (3.2), (3.6) при граничных и начальных условиях (3.3), (3.6)—

(3.9) свелись к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

кового пограничного слоя, Рт = 8~2к С — давление на внешней границе гиперзвукового пограничного слоя. Краевые условия для этой системы:

Собственным решением (в соответствии с терминологией работы [3]) для системы (4.1), описывающим передачу возмущений от среза сопла вверх по течению, является такое решение однородной системы, которое при стремится к нулю. Для случая

к = 3/2 такое решение имеет вид

^о = ^о1 +.У; С! и dol — какое-либо решение системы (4.1), удовлетворяющее начальным условиям (4.2); В — произвольная постоянная.

Система уравнения (4.1) при краевых условиях (4.2) рассчитывалась на ЭЦВМ. Результаты расчетов в случае 60 = Д=1, А =1,5 представлены на фиг. 2. Толщина пограничного слоя во всех расчетных случаях на срезе сопла составляла —35% от радиуса среза

do [в0 («1 + - [а, + 1 - d? S-i] S -g- + Д (k-1) 60 -

- Cdl {‘Ik [вв (a! + - (a, + 1- —d0 5“-’] -ax \ (a+1) +

4-2

25-2(*-d

С k

_ (Bo-doS—')8

= 0;

здесь aj = 2 (In 2—1); a =...~rj~ ; 8r =— d0Sa — толщина гиперзву-

C- 1; S^-

г-lfl j. ii. v_ JL.

z~ 8 огз dS \ dS } ' 0O ’ У ~ S ’

здесь K=

0o

8дт _ q____ 9 15aj + 2 ,

сопла. Приведены распределение безразмерного давления /3ВД52А — на стенке сопла (сплошная линия) и Р052Й— вдоль оси симметрии сопла (пунктирная линия). Значения параметра В определяются величиной давления на срезе сопла. Кривые, приведенные на графике, соответствуют: минимальным возмущениям давления на срезе

Н-------^

и_____и-

/и

V 0,3 0^ 0,5 0,6 0,7 0,в 0,9 я

Фиг. 2

сопла В —0 (монотонная кривая), максимальному давлению на срезе сопла и минимальному давлению на срезе сопла. Распределение статического давления в гиперзвуковом источнике на этом графике описывается прямой 1. Взаимодействие гиперзвукового не-

вязкого течения с пограничным слоем в сопле приводит таким образом к заметному повышению давления на срезе сопла. Следует отметить, что наличие возмущений давлений (5^0) приводит к немонотонному поведению статического давления вдоль сопла. Статическое давление в некоторой области может оказаться меньше, чем в точках, расположенных ниже по течению. Такой немонотонный характер поведения параметров течения объясняется наличием волн сжатия и разрежения многократно отражающихся от стенок эффективного сопла, образованного внешней границей пограничного слоя. Аналогичное явление было обнаружено в работе [5] при расчете течения в соплах с разрывом кривизны контура.

На фиг. 3 представлены профили приведенной величины полного давления за прямым скачком уплотнения в невязком ядре

А 1 •

, 1к — \\к~х1Чк —2 Р'р

потока Ра — ущ^) \)Г+1/ М*-1 -р-, в двух сечениях 5 = 0,82

и 5 = 1,0 (см. фиг. 2). Сплошная линия соответствует В = 0, пунктирная линия соответствует В= 10п-0,375.

В расчетах обнаружена неоднозначность решений, т. е. одному

и тому же значению давления на

Фиг. 3

срезе сопла соответствуют по

МІ V S = 1>0

/

і /

\ 2}3 /

\ /

\ 1

V /

\ /

ч у

I_ __1111 -і

-/ о 10

крайней мере два распределения статического давления. В этом' нетрудно убедиться, если выбрать, к примеру, точку 5 = 0,6 на фиг. 2 и воспользоваться преобразованием подобия (3.10).

Автор приносит глубокую благодарность Нейланду В. Я-за предложение темы и полезные дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агафонов В. П. Взаимодействие пограничного слоя с ги-перзвуковым потоком в коническом сопле. „Изв. АН СССР, Механика", 1965, № 5.

2. Б ы р к и н А. П., М е ж и р о в И. И. О расчете течения газа в гиперзвуковом сопле с учетом влияния вязкости (прямая задача). „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 1, 1971.

3. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 4.

4. Зауэр Р. Течение сжимаемой жидкости. М., Изд. иностр. лит., 1954.

5. Верховский В. П. Численный расчет изэнтропических течений в осесимметричных гиперзвуковых соплах заданной конфигурации при высоких температурах торможения реального газа. Труды ЦАГИ, вып. 1494, 1973.

Рукопись поступила 29/111 1974 г.