Влияние сдвигового течения на ориентационные фазы ферронематика в магнитном поле

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007

Физика

Вып. 1

Влияние сдвигового течения на ориентационные фазы ферронематика в магнитном поле

Л. Н. Захлевных, Д. В. Макаров

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

На основе обобщенной континуальной теории Эриксена-Лесли изучено влияние сдвигового течения на индуцированные магнитным полем ориентационные фазовые переходы в ферронематике. Рассмотрены три типа ориентации магнитного поля относительно направления потока. Получены однородные стационарные решения для плоских полей директора и намагниченности при различных значениях напряженности магнитного поля, энергии сцепления магнитных частиц с нематиком и градиента скорости сдвигового потока. Найдены аналитические выражения для критических полей перехода между ориентационными фазами в случае слабых сдвиговых течений, зависимости углов ориентации директора и намагниченности при слабых и сильных напряженностях магнитного поля. Показано, что наличие сдвигового течения накладывает ограничения на границы существования ориентационных фаз в ферронематике. Течение меняет значения пороговых полей или же размывает переходы между фазами в зависимости от значений материальных параметров и ориентации магнитного поля. Для предельного случая сдвигового течения чистого нематика в магнитном поле обнаружены пороговые эффекты, не обусловленные упругими свойствами нематического жидкого кристалла.

V'-»

1. Введение

Ферронематик (ФН) представляет собой суспензию магнитных частиц в нематическом жидком кристалле (НЖК). Внедрение вытянутых частиц ферромагнетика в жидкие кристаллы с целью управления его ориентационной структурой впервые было предложено Брошар и де Женом в 1970 г. [1]. Благодаря сцеплению магнитных частиц с молекулами жидкого кристалла существуют два механизма влияния магнитного поля на ориентационную структуру ферронематика: диамагнитный (воздействие на нематическую матрицу) и ферромагнитный (воздействие на магнитные частицы), В отсутствие течения при наложении магнитного поля на неограниченный ферронематик эти механизмы приводят к различным типам ориентационного упорядочения его структуры: можно выделить фазы с гомеотропным, угловым или планарным типом сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицеЙ [2]. Кроме того, изменить ориентационную структуру ферронематика можно, используя вязкие анизотропные свойства нематической матрицы, т.е. подвергнув его течению. Так, течение с постоянным градиентом скорости в чистом нематике приводит к упорядочению его моле-

кул под некоторым углом (углом Лесли) относительно направления потока [3].

Цель данной работы - проанализировать влияние сдвигового течения на ориентационные фазы ферронематика в магнитном поле, границы их существования и характер перехода из одной фазы в другую. Для описания динамики ферронематика используется обобщенная континуальная теория Эрикссна-Лесли [3-5]. Рассмотрено устойчивое сдвиговое течение ферронематика в однородном магнитном поле, приложенном в плоскости сдвига. Получены однородные стационарные решения для плоских полей директора и намагниченности ферронематика как функции напряженности магнитного поля, энергии сцепления и градиента скорости сдвигового потока. Найдены аналитические выражения для критических полей перехода между ориентационными фазами при слабых сдвиговых течениях, асимптотические зависимости углов ориентации директора и намагниченности в случае сильных напряженностей магнитного поля. В предельном случае нулевой концентрации магнитной примеси (чистый нематик), а также в отсутствие сдвигового течения полученные решения переходят в ранее известные [6] и [2] соответственно. Кроме того, для частного случая сдвигового тече-

© А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров, 2007

ния чистого нематика в магнитном поле обнаружены пороговые эффекты, не обусловленные упругими свойствами нематического жидкого кристалла.

2. Основные уравнении

2.1. Свободная энергия ферронематика

Континуальный подход к описанию феррожид-кого кристалла был впервые предложен в работе [1]. Ею основу составляет обобщение термодинамического потенциала

F = JFc/K жидкого кристалла с учетом того, что в

матрицу введены в небольшом количестве однодоменные игольчатые частицы магнитной примеси. В работе Брошар и де Жена [I] сцепление магнитных частиц с жидкокристаллической матрицей полагалось абсолютно жестким. В реальных ферронематиках это не так, и позднее Бурыловым и Райхером [5] был предложен потенциал мягкого поверхностного сцепления магнитных частиц с матрицей, позволяющий рассматривать поля директора и намагниченности как независимые переменные. Объемную плотность свободной энергии ферронематика с учетом мягкого сцепления можно записать в следующем виде:

F = F1+F2 + F3 + F4 + FS, (1) F] = —Г K](divii)2 + К2 (п  rot я)2 +К3(ихго1и)21,

2 L

F4=&I|n/, Fs =з/(я ff.)2. v a

Здесь , K2, Kj - модули ориентационной упругости нематического жидкого кристалла (константы Франка), п - директор ферронематика (единичный вектор, характеризующий направление преимущественной ориентации длинных осей молекул нематика), Ms - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, / - объемная доля магнитных частиц в суспензии, т - единичный вектор вдоль намагниченности суспензии, ха

- анизотропия диамагнитной восприимчивости нематика (далее всюду предполагается, что Ха > 0), v - объем феррочастицы, кв - постоянная Больцмана, Т - температура, w - поверхностная плотность энергии сцепления молекул нематического жидкого кристалла с поверхностью магнитных частиц, d - диаметр феррочастицы. Значение w выбирается положительным, так что в отсутствие магнитного поля минимуму энергии F5 соответствуют гомеотропные условия сцепления на частицах (m 1 п).

' - [ I Л Слагаемое представляет собой объемную

плотность энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Франка), ~

объемная плотность энергии взаимодействия магнитного поля Н с магнитными моментами /г-М^т феррочастиц (дипольный механизм

влияния магнитного поля на ФН), - объемная

плотность энергии взаимодействия магнитного поля Я с нематической матрицей (квадрупольный механизм влияния магнитного поля), ^ - вклад энтропии смешения идеального раствора магнитных частиц в объемную плотность энергии, 7^ -

объемная плотность энергии поверхностного взаимодействия магнитных частиц с директором. Магнитными диполь-дипольными взаимодействиями будем пренебрегать вследствие малой объемной доли / « 1 феррочастиц в суспензии.

2.2. Уравнения движения ферронематика

Уравнение движения ферронематического жидкого кристалла [3] согласно теории Эриксена-Лесли можно записать следующим образом:

здесь ¿/¿Й = д/д/ + и*3* - полная производная но времени, а1а = ст’ь + - тензор напряжений, яв-

ляющийся суммой тензора вязких напряжений а'к, и тензора напряжений Эриксена <г$. Здесь введено обозначение дк =д/дхк и далее всюду предполагается суммирование по повторяющимся тензорным индексам.

Уравнение несжимаемости имеет вид

др,=Аи= 0,

где А1к = (\/2)(дkvi +д^к) - симметричная часть

тензора градиентов скоростей.

Выражение для тензора вязких напряжений ак/, записанное в предположении линейности

обобщенных потоков по отношению к сопряженным им обобщенным силам, может быть записано в следующем виде:

аЬ=а,пкп{п,лтА,т +а2пк^+а3п^к +

+а4 Аш + а5пкп, Аи + А,к.

Шесть коэффициентов а3 имеют размерность вязкости и носят название коэффициентов Лесли по имени ученого, который впервые ввел их в гидродинамику жидких кристаллов. Только пять из них являются независимыми, т. к. между ними существует связь, впервые выведенная Пароди [3]:

а2+а3 - а6 ~а5.

Вектор N1 представляет собой скорость изменения директора относительно движущегося жидкого кристалла и определяется соотношением

1Г ¿И/

где % = (1/2)(дкvt-дivk) - антисимметричная часть тензора градиентов скоростей.

Тензор напряжений Эриксена о$, входящий в тензор напряжений ак1, дается выражением

4е)=-А-

dF

-дм ,

д{ дкп,)

где р - давление, 5Ы ~ символ Кронекера.

2.3. Уравнения движения директора и вектора намагниченности

Уравнение движения директора я, [3] имеет

вид

ІЇП) =Уі^ +Г2пкЛкП

где коэффициенты вращательной вязкости нематика у] и у2 соотношением взаимности Онсагера связаны с коэффициентами Лесли:

у2 =а2 +ау

Уравнение движения единичного вектора намагниченности т, [4]

где Y\p и Yip - коэффициенты вращательной вязкости магнитных частиц.

Вектор Mj характеризует скорость изменения единичного вектора намагниченности т, относительно движущегося жидкого кристалла:

dm,

dt

Молекулярные поля и h\m^, входящие в урав-

вення движения директора (7) и вектора намагниченности (8), определены следующим образом:

dF

- + dL

hW=-HL + d

0я, д

dF

+ бь----------

dm. d

Вследствие единичности векторов п, и /и, вариация свободной энергии Г должна производиться

при дополнительных условиях л2 = 1 и т2 = I, учитываемых методом множителей Лагранжа.

2.4. Уравнение диффузии магнитных частиц

Уравнение диффузии магнитных частиц в нематике (закон сохранения числа магнитных частиц) запишем следующим образом [4]:

Здесь и, I- скорость феррочас-

тиц относительно нематической матрицы, О - коэффициент переноса, - вклад

магнитных частиц в свободную энергию Е ферронематика (1).

Таким образом, уравнения (1) - (9) представляют собой полную систему уравнений динамики ферронематика.

3. . Сдвиговое течение ферронематика

в магнитном поле

Рассмотрим сдвиговое течение неограниченного ферронематика V = (и(?), О, 0) с постоянным

градиентом скорости А = сЬ/сЬ , направленным по

оси г (см. рис.1). Пусть к ферронематику приложено однородное магнитное поле в плоскости сдвига Н - Н(со$<рн, 0, $\п(рИ). Тогда плоские

поля директора п и единичного вектора намагниченности т будем искать в виде

я = (cos <p{z), 0, sin (p{z)) , т = (-sin^(2), 0, cos^(z)).

Рис. 1. Сдвиговое течение ферронематика . в магнитном поле й ^ .

Для однородного стационарного сдвигового потока ферронематика с однородными полями директора и намагниченности уравнение диффузии магнитных частиц (9) выполняется тождественно, а уравнения движения ферронематика (2) - (3) значительно упрощаются: ,-

du

du f ,2 \

p = —(^sm (р + аь)ъ\х\(рсо$(р, dzv '

где A = const.

Уравнения движения директора (7) приобретают вид

2wf

ха Нх (cos (pHх + sin (pH z) + sin у sin(p-ц0 +

d

А

+Л, cos<p = (j2-Y\)-s\n<p,

2wf

Ха Я, (cos (pHx + sin (pHz)--— COS у/ SÍn(p - if/) +

d

A

+^Ъ\ХМр =

а уравнения (8) для вектора намагниченности можно записать следующим образом:

2wf

MKfHx---------cos^)sin(^-^)- sin^ =

d

= ЯУгр-У\р)^™Ь'И >

2 wf

M^fH,------— sin^sm^-^ + ^cos y =

d

= -пУгр+У\р)^пъу .

Исключая из уравнений (11) - (12) множители Лагранжа Д, и и используя полярные координаты для напряженности магнитного поля Нх = Н cos (ри , Н. = Н sin (ри (см. рис. 1), получим замкнутую систему уравнений для углов (р и у/, описывающих ориентации директора п и вектора намагниченности т соответственно:

А(у\ + у2 cos2p) + Xa**2 sin 2((р -<рн) +

2 wf

+----sin 2{$> - у/) = 0,

d

Af (rip - Yip cos 2y/) + 2MsfH cos(^ ~(pH)~

- sin 2{

Введем безразмерные параметры

У2 Y\p

У = ~> % =--------

Y\ Yi

a2p

Yii

h =

H__

Hn

dMtf

Yi АУіХа M]f2

и проведем обезразмеривание системы уравнений

£ (I - у cos 20>) + /г2 sin 2(р - ) +

+2<х sin 2(р - у/) = 0,

~<*2рcos2^)+2Acos(^-?я)-

-2ст sin 2

В качестве единицы измерения напряженности магнитного поля используется величина = MsfIха> выбранная из условия баланса энергий взаимодействия нематика F3 и магнитных частиц с магнитным полем F2 (см. (1)). При Н » Н0 происходит смена управляющего механизма влияния магнитного поля на систему от ферромагнитного (влияние на магнитные моменты, Я < Я0) к диамагнитному (влияние на НЖК-

матрицу, Я > Я0).

Параметр h является безразмерной напряженностью магнитного поля, реактивный параметр у,

коэффициенты a¡p и а2р представляют собой отношение коэффициентов вращательной вязкости нематика и магнитных частиц (в нематиках, составленных из палочкообразных молекул, у > 0),

<т характеризует энергию сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей, а £ - безразмерный градиент скорости сдвигового потока. Типичные значения материальных параметров нематика и магнитных частиц следующие: ха ~ 10-7 5

у2 ~ 0.1 пуаз, у\р,у2р ~1 пуаз, /~10"6,

Мх ~ I О2 Гс, w ~ 10~2 эрг/см2, d~10'5 см, А ~ 0.1 с-1, откуда находим у~\, а]р, а2р ~ 10,

а ~ 0.01 и £-0.1.

Из сделанных выше оценок видно, что для реальных значений материальных параметров /£ « а. В этом случае, как видно из второго

уравнения системы (14), можно пренебречь влиянием течения на ориентацию магнитных частиц, тогда система (14) примет следующий вид:

4(\-у cos2(р) + h2 s\n2{(p-<pH) +

+ 2<jsin 2{q> -y/) = Q,

hcos

Первое слагаемое в уравнении для директора (15а) характеризует влияние сдвигового течения на ориентацию нематика, второе слагаемое описывает воздействие магнитного поля на НЖК-матрицу (диамагнитное влияние) и, наконец, третье - отвечает за сцепление нематика с магнитными частицами. В уравнении для намагниченности (156) слагаемое, характеризующее влияние течения на переориентацию магнитных частиц, отсутствует по причине его малости, как эго было сказано выше. Крайне низкая концентрация магнитной примеси / в ферронематике позволяет пренебречь этим

воздействием. На ориентацию магнитных частиц влияет магнитное поле (ферромагнитное воздействие), за которое отвечает первое слагаемое в уравнении (156), кроме того, она зависит от ориентации нематика и энергии сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей (второе слагаемое в уравнении (156)).

Таким образом, система уравнений (15) определяет зависимости углов ориентации директора <р и намагниченности у/ ферро нематика в сдвиговом потоке от напряженности А, угла ориентации магнитного поля (рн , градиента скорости сдвигового потока £ и энергии сцепления и ,

4. Предельные случаи

4.1. Нематик без магнитной примеси

Рассмотрим ситуацию, когда объемная доля магнитных частиц в ферронематике / = 0, что соответствует течению неограниченного нематика в отсутствие магнитной примеси. Тогда из системы уравнений (13) имеем

А{у, + r2 cos2<р) + хаН2 sin 2(ф- q>H) = 0, (16) откуда получаем квадратное уравнение

[¿(Ті - Г2) + ХаН2 sin 2(рн ] tg2p +

- „ - +[2хаН2 cos2<pH~\tg(p

О + Гг)~ ХаН1 sin 2<Рн ] = 0 *

решение которого имеет вид

ZaH2 cos2<pH ±Q

tg tp =

АУг-У\)~ХаН sin2<pw

1/2

tgV¿=(/2+ri)/(?'2-/]).

которое может быть записано в виде

cos 2(pL = -у, / у2 =Уу-

{ - <

Тем самым ориентация директора зависит только от отношения коэффициентов вращательной вязкости, а угол ориентации директора <рь в потоке называется углом Лесли. Уравнение (18) имеет решения при у - -/2//1 -1 > а нематики с таким

значением реактивного параметра называют ориентируемыми течением. Если реактивный параметр лежит в диапазоне значений 0 < у < 1, то

уравнение (18) не имеет решений, что соответствует ЖК, неориентируемым течением. В этом случае уравнения нематодинамики не имеют стационарных решений.

Любопытно также отметить пороговые эффекты, существующие в данном предельном случае, но не отмеченные в работе [6], а именно, наложение магнитного поля под некоторыми углами к сдвиговому потоку приводит к пороговому изменению ориентации директора.

В самом деле уравнение (16) допускает следующие тривиальные решения:

а) <Р = <Рн = >

. Ь) (р = <рИ= -<рь,

с) <Р = <Рь> <Рн =?1+*/2,

*0 Р = <Рн =-^+*/2-

•" I-

где Q= [xltl*-¿2(У)- у\) - 1АУгХа112 sin 2<рн ]

Это выражение для угла ориентации директора иематика в сдвиговом потоке и магнитном поле совпадает с полученным ранее в работе [6]. Авторы [6] показали, что устойчивыми по отношению к малым возмущениям являются решения со знаком минус перед Q в формуле (17).

В пределе сильных магнитных полей (Н —» оо) для положительной анизотропии диамагнитной восприимчивости из (17) получим

tgф »(1 - cos 2(рИ)/sin 2 фн = tg<рИ ,

откуда видно, что ориентация директора определяется только направлением магнитного поля.

В отсугствие магнитного поля (Н =0) угол поворота директора в сдвиговом потоке определяется из (17) известным выражением [6J

Здесь под углом <рь подразумевается положительное значение угла Лесли, определяемое соотношением (18). N , . ’ ^

В отсутствие магнитного поля устойчивой является ориентация директора под углом <рь >0 [6]. Очевидно, что при наложении магнитного поля под углом <рИ = <р, увеличение напряженности не

приведет к каким-либо изменениям ориентации директора, который уже ориентирован под этим углом к потоку, так как анизотропия диамагнитной восприимчивости Ха считается положительной. Однако если магнитное поле направлено под углом <ри=<р1+п!2, т. е. ортогонально направлению,

под которым директор ориентируется сдвиговым потоком (магнитное поле в этом случае конкурирует с ориентирующим воздействием течения), то ориентация директора изменится пороговым образом только при достижении некоторой напряженности магнитного поля. В самом деле, подставляя решение <р~<р1+8<рь фн = ^ + л)2 в уравнение (16) и линеаризуя последнее по ¿(р<< 1, получим уравнение для порогового поля

Лу2 5ш2^ + хаНс = 0 »

при котором появляются новые решения, откуда, используя соотношение (18), дающее связь угла Лесли с коэффициентами вращательной вязкости, находим

Hl=A4rl-yilx.-

Поскольку в нематиках со стержнеобразными молекулами у = -у2!у\ ^1, а величины А и Ха п0‘ ложительны, то выражение (19) определяет критическую напряженность поля Ис, при которой для

рассматриваемой ориентации магнитного поля произойдет поворот директора, ориентированного однородным сдвиговым потоком но направлению этого поля.

Кроме указанного выше случая, пороговый переход имеет место, если к потоку нематика приложить магнитное поле под углом <ри - -<pL, которому соответствует неустойчивое решение для директора в однородном сдвиговом потоке. В рассматриваемой конфигурации с увеличением магнитного поля при некоторой его напряженности система пороговым образом перейдет в угловую фазу с <р = (рн - -<pL. Как нетрудно убедиться, величина критического поля в данном случае совпадет с соотношением (19).

Пороговый переход в фазу нематика с ориентацией директора под углом <р = -<pL и ортогональным этому направлению магнитным полем (рн - ~(pL + л¡2 отсутствует.

Особо отметим тот факт, что пороговый характер перехода в указанных случаях, в отличие, например, от перехода Фредерикса, имеет место в отсутствие влияния упругих, деформаций нематика па его ориентационную структуру. Добавим еще, что аналогичный эффект был обнаружен в нематике, подвергнутом сдвиговому течению, в другой геометрии [7]. В работе [7] авторы анализировали устойчивость поля директора нематика, находящегося в магнитном поле, при наложении сдвигового течения в ортогональной этому полю плоскости; в нашем случае магнитное поле лежит в плоскости сдвигового потока.

4.2. Ферронематик в однородном сдвиговом потоке в отсутствие поля

Найдем зависимости углов ориентации директора п и намагниченности т в ферронематике в отсутствие магнитного поля. При h = 0 система уравнений (14) примет вид

£(l - /cos 2<p) + 2<7sin2(<p-y/) = 0,

/£

Рассмотрим случай сцепления магнитных частиц с нематиком, который соответствует реальным параметрам ферронематиков и приводит к усло-

вию /£ ««х. Это условие можно интерпретиро-^

вать как сильное сцепление магнитных частиц с , нематической матрицей. Из системы (20), пренеб-4, регая влиянием течения на ориентацию магнитных. ^ частиц, получаем ; ^

Z{\-yzQs2<p) + 2(ji\n2(<p-y/) = 0, crsm2(^-|^) = 0,

откуда сразу же находим

cos2^ = l//,

Как видно из (21), угол ориентации директора определяется таким же соотношением, что и в нематике (см. (18)). Ориентация магнитных частиц полностью задается ориентацией директора, и это не удивительно, так как слабым влиянием сдвигового течения на магнитные частицы можно пренебречь; опосредованное влияние течения на магнитные частицы обусловлено только сцеплением последних с НЖК-матрицей.

Теперь обратимся к противоположному предельному случаю, приводящему к требованию » а, которое можно интерпретировать как

слабое сцепление магнитных частиц с нематиком. Пренебрегая сцеплением магнитных частиц с нематиком, из системы уравнений (20) получаем два независимых соотношения:

eos 2(p=[¡y , eos 2W = Y\plYip-

Из полученных формул видно, что в этом случае ориентации магнитных частиц и директора не зависят друг от друга и определяются только коэффициентами вращательной вязкости соответствующих подсистем.

4.3. Ферронематик в магнитном поле в отсутствие сдвигового течения

Проанализируем другой предельный случай, когда градиент скорости потока отсутствует (£ = 0). Угол <рн , характеризующий ориентацию

магнитного поля относительно скорости потока, теперь теряет смысл, поэтому в отсутствие течения он может быть выбран любым. Полагая в (15) (рн = л¡2 , приходим к системе уравнений, полученной в работе [2],

h2 s\n2<p~2crs'\n2(<p-y/) = 0,

/гsin^ -crsin 2

Эта система имеет решения, отвечающие трем однородным ориентационным фазам ферронематика: гомеотропной, угловой и планарной (см. рис. 2), переходы между которыми происходят пороговым образом и являются фазовыми переходами второго рода [2].

1..........

'і ЧІЩЩ 1

!.11ПТПТПТТ111

iJii'iimjiiii

Iі! I|111 Iі! ЦІ,

ІЦЦ11Ш 1 1 11 TTflIII П Iі I

IIINIIII III II

//// л//✓ / гг,

✓ у ^ S -

— <z _ _s> - —

Гомеогропная фаза Угловая фаза

Планарная фаза

Рис. 2. Ориентационные фазы ферронематика в однородном магнитном поле

Первая (гомеотропная) фаза соответствует взаимно ортогональной ориентации намагниченности и директора, в которой <р = у/ =0 (л X Я || т). Она устойчива в слабых магнитных полях при

И < И± , где

/?± = а^-\ + yJl + 2/a

Вторая (угловая) ориентационная фаза стабильна при h±<k< ,^|, где

А|,=ст[ l + VT+2/ff],

а углы ср и у/ из (21) определяются выражениями

•о 2 •

Sin2fi7 = —sin у/ ,

h

2 Асу2 И2 -

sm у/ -

2\2

4а И2

В третьей (планарной) фазе (р = л ¡2 , у/ = О

магнитные частицы и директор ориентированы по направлению магнитного поля (л || //1| т). Эта

фаза является устойчивой при /г > ^ .

5. Индуцированные магнитным полем ориентационные фазы ферронематика в сдвиговом потоке

5.1. Магнитное поле ортогонально ориентации директора, созданной однородным сдвиговым потоком

Направим магнитное поле Н под углом <рн = <р} + л¡2 к скорости сдвигового потока ферронематика, т. е. ортогонально директору, ориентированному только однородным сдвиговым потоком (см. рис. 3). Здесь (рь = 1/2агссоз(1/у) - угол

Лесли (18), который определяет устойчивые плоские конфигурации директора в неограниченном сдвиговом потоке нематика с постоянным гради-

ентом скорости [3]. В этом случае система уравнений (15) имеет вид

^{\-yco%2(p)-h2 sin2(^> — ^0/)-+-2сгsin2(^> — V^) = 0.

hsu\(ys -<pL)-crsin 2(<р-у/) = 0.

Рис. 3. Магнитное поле ортогонально ориентации директора, созданной однородным сдвиговым потоком

Наложение магнитного поля в такой конфигурации допускает существование гомеотропной фазы (л 1 т) в ФН, которой соответствуют решения

ср-у/ = <рь системы уравнений (25). При возрастании напряженности магнитного поля директор и вектор намагниченности поворачиваются по направлению поля, что приводит к потере устойчивости гомеотропной фазы и переходу системы в угловую фазу. Представим решения системы (25) в виде

<р = <рь+8<р, у/ = (рь+8у/

и, линеаризуя по малым углам ¿5^ «1 и 8у/ «1, получим уравнение для порогового поля /»£ ь, при котором появляется угловая фаза

+ 2а -

здесь введено обозначение /? = ^у2 -1 . Результаты численного решения уравнения (26) в ориентируемых течением нематиках (у > 1) представлены на рис. 4. Для нематиков, неориентируемых течением (0 < у < 1), параметр р комплексный, и

уравнение (26) не имеет действительных решений, что влечет за собой отсутствие пороговых ориентационных переходов для рассматриваемой конфигурации.

Если Р = 0 (рис. 4, сплошная кривая), т. е. градиент скорости сдвигового течения £ = 0 или реактивный параметр у -1, то из уравнения (26) находим критическое поле

^х=а[-\ + У1\ + 2/ауИ1,

которое совпадает с порогом Л1 (23), полученным ранее [2] для ферронематика в статическом случае.

Рис. 4. Пороговое попе как функция

энергии сцепления ст для различных значений параметра Р

Из рис. 4 видно, что с увеличением р (т. е.

увеличением градиента скорости или реактивного параметра) и сг (увеличением энергии сцепления), критическое поле увеличивается. Причем в случае, когда сцепление НЖК-матрицы с магнитными частицами отсутствует, <т = 0 (обычный нематик), пороговый характер сохраняется, а критическое значение напряженности совпадает с полученным выше результатом для нематика (19).

Рассмотрим случай р «1, что соответствует

слабым скоростям сдвига £ «1 или же малым углам Лесли у « 1. Пороговое значение магнитного

поля можно представить в виде разложения по малому параметру /? вблизи критического значения

поля /?_!_, соответствующего случаю без сдвигового

течения. В первом неисчезающем приближении получим

1 +

Для слабого сцепления сг «1 и слабых скоростей сдвига р «1, пренебрегая слагаемым ~ &Р в уравнении (26), получим для критического поля,

соотношение «>/2сг+7\Р=^1-о". V''1,

Найдем аналитический вид зависимостей <р(И) и у (И) в сильных полях И»1. В этом случае

векторы директора и намагниченности стремятся ориентироваться вдоль направления магнитного поля: (р~^<р1 + я/2, у/ (рь. Линеаризуя уравнения (25) по малым углам 8<р и 6у/, характеризующим отклонение ферронематика от планарного упорядочения, в пределе А »1 получим

Видно, что для рассматриваемой ориентации магнитного поля сдвиговое течение смещает порог устойчивости гомеотропной фазы в область больших полей, чем это было в статическом случае. Добавка, пропорциональная скорости сдвига, положительна, т. к. при любых значениях энергии сцепления а критическое поле И1 <\. Таким образом, течение оказывает стабилизирующее воздействие на гомеотропную («1т,^ = ^=^) ориентационную фазу ферронематика.

В пределе сильного сцепления сг» 1, пороговое значение магнитного поля (28) дается выражением а I + и зависит теперь только от

скорости сдвига £ и реактивного параметра у.

ж

р=?/.+-

±

И2

У=9і +

2а£

К

Рис. 5. Угол ориентации (р директора п как функция напряженности магнитного поля И для энергии сцепления <7 = 1, реактивного параметра у-1.1 и различных

значений градиента скорости сдвигового потока £

Зависимости углов ориентации директора (р и магнитных частиц у от напряженности магнитного поля А, полученные в результате численного решения системы уравнений (25) для различных градиентов скорости сдвигового течения, представлены на рис. 5 - 6. Видно, что угловая фаза, в которой намагниченность т и директор я составляют острый угол друг с другом, сменяет гомеотропную (я ±т, р = ^ -<Рі) при

Дальнейшее увеличение напряженности магнитного поля приводит к повороту намагниченности и директора вдоль направления поля, т. е. асимптотически приближает систему к планарной фазе (я [| т, (р = <ръ + л¡2, у - <р^); в статическом случае [2] переход в данное состояние осуществлялся пороговым образом при И > ^. При наличии сдвигового течения планарное упорядочение для рассматриваемой ориентации магнитного поля не яв-

ляется решением системы (25) при произвольных значениях реактивного параметра и скорости сдвига, которые соответствуют нематику со стержнеобразными молекулами. Система асимптотически приближается к планарной фазе только в пределе сильных магнитных полей (см. (29)). Увеличение градиента скорости сдвигового потока £ приводит

к стабилизации гомеотропной фазы, отодвигая порог в область больших напряженностей магнитного поля, чем это было в статическом случае, что согласуется с полученной выше зависимостью (28) для критического поля в пределе слабых градиентов сдвига. Пороговый же переход в планарную фазу размывается все больше и больше. Кроме того, максимальное значение угла отклонения вектора намагниченности т от направления магнитного поля снижается с ростом градиента скорости £

при заданном значении энергии сцепления а .

Рис. 6. Угол ориентации ц/ вектора намагниченности т как функция напряженности магнитного поля И для энергии сцепления а = 1, реактивного параметра / = 1.1

и различных значений градиента скорости сдвигового потока £

5.2. Магнитное поле ортогонально скорости сдвигового потока

Пусть магнитное поле Н приложено под прямым углом к скорости сдвигового потока ферронематика гак, что <Рц = яг/2 (см. рис. 7). В этой

конфигурации система уравнений (15) приобретает вид

- у со$2(р) - И2 >х2(р+2сг$\х\2

Как легко убедиться, она не имеет решений, отвечающих гомеотропному {п ± т, <р = у) или планарному (л || /л, (р = у - к¡2) упорядочениям ферронематика при произвольных значениях скорости сдвига £, напряженности магнитного поля И, энергии сцепления а и реактивного параметра у. Только для у - 1 при наличие сдвигового течения

одна из этих ориентационных фаз (гомеотропная) может реализоваться. Этот частный случай соответствует упорядочению директора в однородном сдвиговом потоке под углом <рь =0 (см. (21)), т. е. приводит к рассмотренной выше (см. п. 5.1) геометрии задачи, в которой магнитное поле направлено ортогонально ориентации директора, созданной однородным сдвиговым потоком. В этом случае в ферронематике при И < А± существует гомеотропная фаза, которая сменяется угловой при И>И± (см. (27)).

Рис. 7. Магнитное поле ортогонально скорости сдвигового потока

Результаты численного решения системы уравнений (30) для различных значений параметров ферронематика представлены на рис. 8-9. Как видно из рис. 8 - 9, в рассматриваемом случае имеются решения, отвечающие только угловой фазе, а оба пороговых перехода, существовавших в статическом случае, размыты. С увеличением напряженности магнитного поля ферронематик асимптотически приближается к планарной фазе упорядочения.

Найдем зависимости углов ориентации директора (р и намагниченности у в сильных магнитных полях И» 1, когда директор и вектор намагниченности асимптотически приближаются к направлению поля: <р -> л-/2 , у -»0. Представим решения системы (30) в виде

(р = л¡2 + 8<р, у - 8у

и линеаризуем уравнения по малым 8(р«1 и 8у «1, характеризующим отклонение угла ориентации директора и намагниченности ферронематика от планарного упорядочения. В итоге получим систему неоднородных линейных уравнений

(2И2 - 4а)8(р + 4а8у = -£(/ +1),

2о8ср + (И- 2а)8у = 0,

откуда при А »1, ославляя только главные слагаемые, получим

2 2 И2

¥ =

ОЇІГ +1)

Таким образом, в данной конфигурации в общем случае наблюдается только угловая фаза. Появление гомеотропной фазы возможно только в частном случае, когда реактивный параметр / = 1,

причем переход в угловую фазу осуществляется пороговым образом и не зависит от градиента скорости сдвига Критического поле перехода в

точности совпадает с пороговым полем, полученным в задаче без сдвигового течения [2]. Приближение системы к планарному упорядочению происходит асимптотически и описывается формулами (31).

Рис. 8. Угол ориентации <р директора п как функция напряженности магнитного поля И для энергии сцепления а = I, реактивного параметра / = 1.5 и различных

значений градиента скорости сдвигового потока £

Рис. 9. Угол ориентации у вектора намагниченности т как функция напряженности магнитного поля И для энергии сцепления а - 1, реактивного параметра / = 1.5

и различных значений градиента скорости сдвигового потока £

53. Магнитное поле направлено под углом Лесли к скорости сдвигового потока'

Пусть магнитное поле Н ориентировано под! углом Лесли к скорости сдвигового потока ферро^ нематика (см. рис. 10), т. е. <рн =<р1. к,*

Рис. 10. Магнитное поле направлено под углом Лесли к скорости сдвигового потока

При таком выборе ориентации магнитного поля система уравнений (15) имеет следующий вид:

£

Для рассматриваемой ориентации магнитного поля без сдвигового потока (£ = 0) гомеотропной

фазе ферронематика (л X т) отвечают решения систбмы (32) р = л/2 + ^ и у = - я/2 + ^ . При наложении сдвига (£ Ф 0) такое решение отсутствует, но имеются решения вида ,

у - - п¡2 + <рь , соответствующие планарной фазе упорядочения ферронематика (л || т). В статическом случае оно устойчиво в сильных полях при достижении порогового значения А)| (24) [2]. Наличие решения в системе (32), отвечающего планарному упорядочению, позволяет надеяться на существование порогового поля в ферронематике, подверженном сдвиговому течению. Определим условия появления планарной ориентационной фазы в данной конфигурации при наличии сдвигового течения. Подставляя решения (р = <р1+3<р,

у - -я/2 + 0^ + 8у в систему (32) и линеаризуя уравнения по малым углам 8<р «1 и 8у «I, получим уравнение для порогового поля , при котором появляется планарная фаза:

Лд, - 2о7^| -

где р = £^//2 -1. Результаты численного решения уравнения (33) представлены на рис. 11.

Полагая скорость сдвига в выражении (33) равной нулю /? = 0 (рис. 11, сплошная кривая), можно получить связь критического поля (24) в статическом случае с энергией сцепления а , которая повторяет полученный ранее результат [2]. Из рис. 11 видно, что с увеличением Р (т. е. увеличением градиента скорости или реактивного параметра) величина критического поля уменьшается, а с увеличением сг (увеличением энергии сцепления), наоборот, возрастает.

Рис. 11. Пороговое поле А^ как фунщия

энергии сцепления а для различных значений параметра р

Рассмотрим случай р « 1, что соответствует слабым скоростям сдвига £ «1 или же малым углам Лесли у «1. Пороговое значение магнитного поля А,у можно представить в виде разложения по малому параметру /? вблизи критического значения поля А|, которое соответствует случаю без

сдвигового течения (см. (24)). Первое неисчезающее приближение дает

Ая = \

1-

ферронематика в планарную фазу , которое при сг -> оо совпадает с пороговым полем ^ статического случая.

Для слабого сцепления а «1 и слабых скоростей сдвига р «1, пренебрегая слагаемым ~ сг/? в уравнении (33), получим для критического поля

А, Н * ^2о--£\р^7

+ СГ

Найдем зависимости (р и у при конечных скоростях сдвига £ и магнитных полях А«1. При А = О течение ориентирует директор под углом Лесли щ =<Р1-,ъ гомеотропное сцепление вызывает ориентацию магнитных частиц, при которой уй =(рь-п. Тогда в слабых полях решения для углов (р и у будем искать в виде разложений:

<р = '<р0+(р\£ + (р1£2 +..., у = ^0+ у^£ + у/2£~ +..., А = А^ + А^2 +....

Подставляя эти разложения в систему уравнений (32), в первом порядке по е получим следующие соотношения:

<Р = <Р1.+

, у - (р[ ~л + И

1

+

_1_

2сг

определяющие зависимость директора и намагниченности в слабых полях А «1 при у ф 1.

В случае реактивного параметра у = 1, т. е. при (рь- 0, первый порядок разложения уравнений (32) дает <Р\=У\, А, = 0. Во втором порядке по малому параметру є получаем:

Как видно из (34), добавка к пороговому значению к отрицательна, что говорит о дестабилизи-

рущем воздействии сдвигового течения на угловую фазу в данной конфигурации. Это легко понять, поскольку сдвиговое течение ориентирует директор в том же направлении, что и магнитное поле, тем самым способствуя переходу ферронематика в планарную фазу (п\\т, (р = <р1, у ~(р]- к¡2).

В случае сильного сцепления сг» 1 из выражения (24) следует, что И, «1 + 2сг, тогда для порогового значения напряженности (34) получим Аэд » . Это значит, что увеличение энергии сцепления приводит к ослаблению влияния градиента скорости сдвига £ на пороговое поле перехода

Рис. 12. Угол ориентации (р директора п как функция напряженности магнитного поля А для энергии сцепления а = 1, реактивного параметра у = 2 и различных значений градиента скорости сдвигового потока £

50

А : Я Захкееньй^^Макаров

Рис. 13. Угол ориентации ц/ вектора намагниченности т как функция напряженности магнитного поля И для энергии сцепления <7 = 1, реактивного параметра у = 2

и различных значений градиента скорости сдвигового потока £

Зависимости углов ориентации директора (р и магнитных частиц у от напряженности магнитного поля И, найденные численно из системы уравнений (32), изображены на рис. 12 - 13.

Видно, что пороговое значение напряженности магнитного поля , согласуясь со сделанными

выше расчетами (34), уменьшается при увеличении градиента скорости £, при этом пороговый переход в угловую фазу размывается все интенсивнее. В рассматриваемой конфигурации, как и в первой конфигурации (см. п. 5.1), существуют два типа ориентационного упорядочения, отвечающие угловой и планарной фазам, а переход из угловой фазы в планарную по-прежнему осуществляется пороговым образом.

6. Заключение

В работе проанализировано влияние сдвигового течения на ориентационные фазы ферронематика в магнитном поле, границы их существования и характер перехода из одной фазы в другую. Рассмотрены три типа ориентации магнитного ноля относительно направления потока. Получены однородные стационарные решения дня плоских полей директора и намагниченности при различных значениях напряженности магнитного поля, энергии сцепления магнитных частиц с нематиком и градиента скорости сдвигового потока. Найдены аналитические выражения для критических полей перехода между ориентационными фазами в случае слабых сдвиговых течений, зависимости углов ориентации директора и намагниченности при слабых и сильных напряженностях магнитного поля. Для предельного случая сдвигового течения чистого нематика в магнитном поле обнаружены

пороговые эффекты, не обусловленные упругими свойствами нематического жидкого кристалла.4

В отсутствие течения в ферронематике, к кото-* рому приложено магнитное поле, можно выдели^ ориентационные фазы с гомеотропным, угловым,.^ планарным типами сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей [2]. Показано, что наличие сдвигового течения накладывает ограничения на границы существования этих ориентационных фаз в ферронематике. Течение меняет значения пороговых полей или же размывает переходы между фазами в зависимости от значений материальпых параметров и ориентации магнитного поля.

Если магнитное поле направлено ортогонально направлению директора, ориентированному однородным сдвиговым потоком (<рн = <рь + я/2), то в

ферронематике существуют две ориентационные фазы: гомеогропная и угловая, причем переход в угловую фазу происходит пороговым образом. Критическое значение напряженности в этой кон-фшурации увеличивается с ростом градиента скорости сдвигового потока. В пределе бесконечных напряженностей магнитного поля система асимптотически приближается к планарной фазе упорядочения.

Для магнитного поля, направленного ортогонально скорости сдвигового потока ферронематика (<рИ - я/2), в общем случае существует только

угловая фаза. Пороги, существовавшие в статическом случае, размываются все интенсивнее с увеличением градиента скорости сдвига. Появление гомеотропной фазы возможно только при реактивном параметре у -1, переход из которой в угловую фазу осуществляется пороговым образом. Поле перехода не зависит от градиента скорости сдвига и в точности совпадает с пороговым полем, полученным в задаче без сдвигового течения [2]. Приближение системы к планарному упорядочению также происходит асимптотически с увеличением напряженности магнитного поля.

В конфигурации, где магнитное поле направлено под углом Лесли к скорости сдвигового потока (рн = ), как и в первой конфигурации, наблю-

даются два типа ориентационного упорядочения, отвечающие угловой и планарной фазам. Ориентационный переход из угловой фазы в планарную осуществляется пороговым образом, а значение критической напряженности магнитного поля для рассматриваемой конфигурации уменьшается с ростом фадиента скорости сдвигового потока.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов 07-02-96007 РФФИ-Урал и РЕ-009-0 Американского фонда гражданских исследований и развития (СИЮЕ).

Влияние сдвигового течения на ориентационные фазы ферронематика

\ ' *,

Список литературы

1. Brochará F., de Germes P. G. Il J. Phys. (France) 1970. Vol. 31. P. 691.

2. Zakhlevnykh A. N. Il J. Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238.

3. Жен de П. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1977.400 с.

4. Raikher Y. L., Stepanov V. I. II J. Int. Mater. Syst Str. 1996. Vol. 7. P. 550.

5. BurylovS. V., Raikher Y.L. H Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107.

6. Stephen M.J., StraleyJ.P. II Rev. Mod. Phys. 1974. Vol. 46, N4. P. 617.

7. Pieranski P., Guy on E. II Phys. Rev. A. 1974. Vol. 9,N 1. P. 404.