Исследование хаотической динамики в нелинейном осцилляторе

Физико-математические науки

197

13. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гамильтонова формулировка задачи о движении системы вихревых колец в присутствии границ потока // Ученые записки ЦАГИ. - 1992. - Т XXIII, № 2. - С. 74-77.

14. Брутян М.А. Диффузия вихревых колец в вязкой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. - 2007. - Т XXXVIII, № 3-4. - С. 82-85.

15. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гамильтонова формулировка и основные законы сохранения для модели малых эллиптических вихрей // ПММ. - 1988. - Т 52. - С. 164-167.

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В НЕЛИНЕЙНОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ

© Позднякова Н.В.*

Средняя общеобразовательная школа № 24, г. Елец

В статье приводятся результаты исследования хаотической природы одной из сложных динамических систем - нелинейного диссипативного осциллятора. Рассматриваются различные ситуации, иллюстрирующие типовые колебательные режимы осциллятора.

Ключевые слова динамическая система, хаотическая динамика, нелинейный диссипативный осциллятор.

Под динамической системой будем понимать математический объект, моделирующий реальную систему (физическую, химическую, биологическую и др.), эволюция которой однозначно определяется начальным состоянием. Динамическая система определяется системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.д.), допускающих существование на бесконечном интервале времени единственность решения для каждого начального условия. Состояние динамической системы описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты в описании, симметрии. Множество состояний динамической системы образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нем, а эволюция состояний изображается фазовыми траекториями. Совокупность состояний в фиксированный момент времени характеризуется фазовым объемом.

Математическим аппаратом, описывающим поведение нелинейных динамических систем при определённых условиях, является теория хаоса. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свой-

Заместитель директора по учебно-воспитательной работе.

198

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ства: 1) она должна быть чувствительна к начальным условиям, 2) она должна иметь свойство топологического смешивания, 3) её периодические орбиты должны быть всюду плотными. Примерами нелинейных систем с хаотической динамикой являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы.

В данной статье приводятся результаты исследования хаотической природы одной из сложных динамических систем - нелинейного диссипативного осциллятора (НДО). Это динамическая система, мгновенное состояние которой задается двумя величинами: обобщённой координатой х и скоростью х. Такие системы встречаются в механике (маятник, шарик на пружинке, частица в потенциальной яме), акустике (колебания пузырьков газа в жидкости под действием звукового поля), электронике (колебательный контур, содержащий нелинейные элементы).

Предположим, что нелинейная зависимость восстанавливающей силы для осциллятора определяется функцией /(х) = ах + /Sc3, а сила трения пропорциональна х. Тогда уравнение движения такого осциллятора при воздействии на него гармонической внешней силы имеет вид:

Здесь коэффициент 2 £ определяет диссипативные процессы в системе, а а и р - восстанавливающую силу; а и В - частота и амплитуда гармонического внешнего воздействия. Уравнение (1) известно в литературе как уравнение Дуффинга [1-3]. Наличие внешнего воздействия превращает осциллятор в неавтономную систему.

Запишем уравнение (1) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, заменив переменные: г х. z = at. Получим систему уравнений, определяющую автономный поток в трехмерном фазовом пространстве:

Рассмотрим несколько типичных ситуаций, иллюстрирующих типовые колебательные режимы нелинейного осциллятора.

Зафиксируем параметры 25 = 0,1; а = р = 1; а= 1, переменным параметром будет амплитуда внешней силы В.

Положим В = 29 и построим график зависимости координаты х от t / T, где T = 2п/ а - период внешнего воздействия. Видно, что в системе происходит периодическое движение с периодом Т. Вследствие сильной нелинейности системы зависимость x(t) существенно отличается от синусоидальной кривой гармонического внешнего воздействия (рис. 1) тем, что в спектре

х + 26х + ах + fix3 = Bcos

Bcosz

Физико-математические науки

199

отклика системы x(t) появляется ряд гармоник, кратных частоте возбуждающей силы.

Проекция фазовой траектории на плоскость xy представляет собой замкнутую кривую - предельный цикл системы (рис. 2).

Третьей координатой в фазовом пространстве динамической системы (2) является время (z = at). Траектория системы в трехмерном фазовом пространстве представляет собой спиралевидную кривую, расположенную вдоль оси z = at, каждое звено которой определяется проекцией на фазовую плоскость xy (рис. 4).

Определим сечение Пуанкаре системы (2) в виде отображения фазового пространства на себя через период Т внешнего воздействия. Тогда на секущей плоскости отображаются две фазовые переменные хит х. Такое сечение показано на рис. 3. Как видно, точки в сечении Пуанкаре сконцентрированы вокруг одной точки, являющейся аттрактором фазового потока. Такое строение сечения Пуанкаре объясняется тем, что после переходного процесса система совершает периодическое движение с периодом внешнего воздействия T = 2n! а.

Изменим амплитуду внешнего воздействия, пусть В = 38. Проведем аналогичные действия (рис. 5). Очевидно, период движения в системе увели-

200

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

чился в 3 раза. Сечение Пуанкаре содержит три точки, представляющие собой «след» аттрактора системы. Таким образом, произошла бифуркация утроения периода.

Рис. 4

Рис. 5. Исследование НДО при новых значениях параметров

При амплитуде В = 36 в системе наблюдается хаотический режим. Отсюда можно сделать вывод, что временная зависимость x(t) не является регулярной. Проекция фазовой траектории на плоскость xy не формирует ха-

Физико-математические науки

201

рактерной кривой в виде предельного цикла. Наоборот, кривая заполняет хаотически некоторую область на фазовой плоскости (рис. 6). Эго хаотический аттрактор, который трудно описать и проанализировать. Однако, если посмотреть на сечение Пуанкаре, оказывается, что его точки образуют характерный рисунок.

Такой рисунок характерен именно для хаоса в детерминированной системе. Он доказывает, что случайность здесь имеет детерминированное основание. Если бы исследуемая система испытывала случайное внешнее воздействие, то сечение Пуанкаре представляло бы собой бесформенное образование.

Рис. 6

Можно проследить, как изменится сечение Пуанкаре при изменении диссипативных потерь в системе. Очевидно, при уменьшении коэффициента 25 сечение заполняет большую часть фазовой плоскости. Иными словами, при увеличении диссипации в системе отображение Пуанкаре становится, по сути, одномерным, а размерность аттрактора - близкой к двум. При слабой же диссипации отображение в большей мере заполняет фазовую плоскость, а сам аттрактор - фазовый объем и его размерность становится близкой к трем.

Итак, проведенный анализ осциллятора позволил обнаружить хаотические режимы колебаний в этой динамической системе.

202

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Список литературы:

1. Жук Л.В., Прокуратова О.Н. Лекции по математическому программированию и теории игр: учебное пособие. - Елец, 2011. - 80 с.

2. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. - М.: Наука, 1988. - 392 с.

3. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Книжный дом «Либроком». - URSS, 2009. - 424 с.

4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

О ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ОДЕЛЕВСКОГО ДЛЯ ОЦЕНКИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ СМЕШАННЫХ МИКРОКРИСТАЛЛОВ ГАЛОГЕНИДОВ СЕРЕБРА

© Шишканов О.Н.* *, Овеченко Д.С.*, Бойченко А.П.*

Кубанский государственный университет, г. Краснодар

На примере фотоэмульсионных микрокристаллов галогенидов серебра с различным соотношением ионов йода к ионам брома продемонстрирована возможность применимости уравнения В.И. Оделев-ского для оценки их диэлектрической проницаемости. С привлечением уравнения Дебая определена зависимость диэлектрической проницаемости рассматриваемых кристаллов от температуры.

Во многих задачах эффективной реализации электротопографического эффекта на галогенсеребряных фотоматериалах или электоролюминесцентной дефектоскопии на электролюминофорах (ЭЛ) [1] возникает необходимость оценки диэлектрической проницаемости s активных компонент, содержащихся в перечисленных средах, как то фотоэмульсионных микрокристаллов (МК) галогенидов серебра (AgHal) (особенно имеющих смешанный состав), так и МК ЭЛ в полимерном связующем. Причем, как отмечено в [2-4], МК AgHal также обладают заметной ЭЛ при низких температурах Т (< 120 K). Поэтому точное определение s МК AgHal представляет интерес с многих сторон.

Прямые измерения названного параметра затруднительны, т.к. фотоэмуль-сионые МК являются составляющими двухкомпонентной смеси с желатиной. В таких ситуациях нередко прибегают к теоретическим оценкам s по измеренным значениям этого параметра у фотографических эмульсий, снятых с под-

* Студент Физико-технического факультета.

* Студент Физико-технического факультета.

* Доцент кафедры Оптоэлектроники, кандидат физико-математических наук.