Многоуровневость и влияние параметров на конфигурацию линий реакции и точек равновесия в однородной ЛКМ-дуополии

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

COMPUTER SCIENCE, COMPUTER ENGINEERING AND MANAGEMENT

УДК 330.42+519.83

МНОГОУРОВНЕВОСТЬ И ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ

НА КОНФИГУРАЦИЮ ЛИНИЙ РЕАКЦИИ

И ТОЧЕК РАВНОВЕСИЯ В ОДНОРОДНОЙ ЛКМ-ДУОПОЛИИ

В.А. Коршунов

Аннотация. Приведены результаты выполненного в диалоге с авторской компьютерной программой учебного назначения «Дуополия с управлением выпусками» (Duopoly2) исследования влияния параметров на конфигурацию линий реакции на плоскости выпусков и точек равновесия на плоскости прибылей фирм и плоскости выпусков.

Ключевые слова: линейно-квадратичная модель дуополии, плоскость выпусков, плоскость прибылей, линии реакции, точки равновесия.

MULTILEVEL AND INFLUENCE OF PARAMETERS ON THE CONFIGURATION OF THE REACTION LINES AND POINTS OF EQUILIBRIUM IN A HOMOGENEOUS LQM-DUOPOLY

V.A. Korshunov

Abstract. The results of a study of the influence of parameters on the configuration of reaction lines on the plane of the volume of releases and equilibrium points on the plane of company profits and the plane of releases are presented in a dialogue with the author's computer program «Duopoly control of the volume of releases» (Duopoly2) of the educational purpose.

Keywords: linear-quadratic model of the duopoly, the plane of releases, the plane of the profits, the reaction lines, the equilibrium points.

Среди различных классов экономико-математических моделей важное методологическое значение исследователи отводят моделям олигополии с управлением выпусками [1], [2, с. 53-62, 68-72], [6]-[9],

[16]-[17], [24]-[25], в частности, моделям дуополии [2, с. 63-68], [3]-[5], [10]-[12], [18]-[22], [24], [27].

В разработанных автором этой статьи компьютерных реализациях биматричных линейно-квадратичных моделей (linear-quadratic model, LQM) дуополии:

- в 1995-2002 гг. («Дуополия с выбором выпуска или цены», Duopoly [10; 11] - на языке Borland Pascal), и

- в настоящее (2016-2017 гг.) время: а) «Дуополия с управлением выпусками», (Duopoly2) и б) «Дуополия с управлением ценами», (Duopoly3) с самого начала было реализовано структурное и динамическое соответствие между:

1) геометрическими изображениями линий реакции и точек равновесия для четырех чистых стратегий у каждой из фирм

- на плоскости управляемых переменных (выпусков либо цен

- для дифференцированной дуополии) и геометрическими изображениями точек равновесия (на плоскости прибылей фирм, то есть выигрышей игроков) значений платежных матриц двух фирм, а также

2) движения (сходимости или чередования сходимости к той или другой точке равновесия) ломаной покоординатного процесса динамики игры на плоскости выпусков и аналогичным движением на плоскости прибылей фирм. Компьютерные модели Duopoly2 и Duopoly3 имеют двухуровневую структуру, являясь реализацией посредством программирования на языке Visual Basic Application (VBA) в среде электронных таблиц EXCEL [23] совместного использования математических ЛКМ-дуополии двух типов:

1) на верхнем уровне - теоретико-игровой (многошаговая бима-тричная игра двух лиц, схематично изображенная в таблице 1);

2) на нижнем уровне - аналитической модели поиска (из необходимых условий) неотрицательных значений оптимума выпусков однородного товара методом последовательности поочередных полуходов.

На нижнем уровне общую постановку задачи дуополии с управлением непрерывными функциями qx(t), q2(t) выпусков в дискретном времени {t = 0, 1, 2, ..., Т} можно сформулировать таким образом [3; 5, c. 268-274; 10; 11; 24, c. 31-37].

Отрасль состоит из двух фирм, которым известна формула для одинаковой у каждой фирмы цены за однородный товар

о^ад^-й^о+^о]

Общие затраты 7-й фирмы - линейно-квадратичные функции от выпуска

у ^О + + 4

где с,- линейные ставки переменных затрат 7-й фирмы; сд. - квадратичные [24] ставки переменных затрат 7-й фирмы; d7 - постоянные затраты 7-й фирмы; 7 = 1,2.

Таблица 1

Биматричная схема предположительных вариаций обеих фирм

а^.а

Стратегии 1-й фирмы

{Щ

Стратегия Курно

^ = 0

Стратегия Штакельберга

еп1 = о

Стратегия Баумола

^ = 0

Стратегия кооперации

рЕИйЦ

Стратегии 2-й фирмы •! ' = ?

Стратегия Кущю

Стратегия Щгакельберга

Стратегия Стратегия кооперации

К=о} |«Ь=о1 К = о1 [з(п,+п2) 0]

\д9г 1 1вь 1 [092 1 1 ВЯг 1

{0;0} (о;- * } 1 2 Ь + с01\ {0;0} {0;0}

1- 6 4 1 2 Ь + с02 \ \ Ь . Ь ] 1 2Ь+сю' 2Ъ+ст {44 {- 2* ;о) 1 2 Ь + сю \

{0;0} Н} {0;0} {0;0}

{0;0} 1 2 6 + с01/ {0;0} {0;0}

Выручка (оборот, продажи) 7-й фирмы - линейная функция от выпуска

S

Прибыль П .(¿;д ) . -й фирмы есть разница между выручкой и затратами

Щ^Б

Найти формулы для управляемых параметров дД0>0, д2(0>0 из необходимых условий как некооперативной, так и кооперативной максимизации прибыли.

Знания формул (1)-(4) и таблицы 1, содержащей значения предположительных вариаций (зависимостей друг от друга) выпусков фирм для каждой из 16-ти возможных пар чистых стратегий фирм, достаточно для вывода, исходя из необходимых условий оптимальности, формул:

1) 16-ти пар равновесных объемов выпусков фирмами однородного товара;

2) 5-ти пар прямых линий реакции выпусков фирм на выпуск конкурента;

3) 16-ти пар равновесных прибылей фирм (на плоскости выигрышей фирм);

4) формул для расчета координат (как на плоскости выпусков, так и на плоскости прибылей фирм) ломаной прямой покоординатной линии динамики игры с правом первого хода как у 1-й фирмы (1Ф), так и у 2-й фирмы (2Ф).

16 пар равновесных прибылей фирм изображаются на плоскости выигрышей фирм по результатам формирования биматрицы выигрышей (прибылей) фирм, которая, в свою очередь, является результатом применения формулы (4) к элементам предварительно сформированной биматрицы равновесных объемов выпусков (графически отображаемой на плоскости выпусков).

Пользуясь предъявленной в таблице 1 схемой можно условно отображать стрелками смены стратегий фирм на каждом ходе игры (то есть при однократном вызове модели нижнего уровня - всякий раз с новыми стратегиями игры).

Однако, для отображения всех возможных ситуаций в игре двух фирм условное изображение ее динамики с помощью схематической таблицы 1 может стать, с одной стороны недостаточно информативным, с другой - излишне громоздким по той причине, что на ней:

1) нельзя явно указать начальную (стартовую) точку объемов выпуска, которая может находиться не только между точками равно-

весия, но и вне соединяющего их обрамляющего многоугольника на плоскости выпусков; 2) нет наглядного обозначения, учитывающего разницу между одноходовым и многоходовым применением пары стратегий: под (или над) стрелками пришлось бы подписывать текущие значения номеров ходов игры.

Между тем, сходимость динамической игры двух фирм к одному из 16-ти положений равновесия (с приемлемой точностью) [4] осуществляется не за один, а за несколько (обычно, за три - четыре хода) шагов игровой ЛКМ-дуополии.

На рисунке 1 приведен пример двухуровневой схемы выбора фирмами стратегий на временном игровом горизонте в семь ходов. Более точно и наглядно игровая динамика отображается графически на: а) плоскости объемов выпусков фирмами однородного товара и соответствующей б) плоскости прибылей обеих фирм.

Рисунок 1. Пример двухуровневой схемы выбора фирмами стратегий (уже реализованного или планируемого) на временном игровом горизонте в семь ходов

В более ранней (1995-2002 гг.) авторской компьютерной модели (то есть в прежней программе Duopoly) возможность смены значений параметров была обеспечена на том же, втором, уровне иерархии модели (см. рисунок 2), что и смена стратегии фирмами, что затрудняло ведение диалога с программой, нарушая, тем самым, принцип Дж. Миллера 7±2 («семь плюс - минус два») [26].

Как известно, ограничение 7±2 может и должно быть преодолено посредством многоуровневой организации [13]. В новой авторской программе Duopoly2 на верхнем, третьем, уровне биматричной

ЛКМ-дуополии реализована возможность изменения параметров как самого рынка {a; b}, так и затрат {с.; c0i; d.; i = 1,2} обеих фирм, - в рамках начальной установки параметров модели на один новый прогон программы (состоящей, по выбору пользователя, от одного до восьми ходов динамической игры двух фирм). Преемственность («многосерийность») игры в программах Duopoly2 и Duopoly3 достигнута тем, что пользователю дана возможность стартовать из той же точки на плоскости выпусков, где финишировала предыдущая игра (см. рисунок 1).

Влияние параметров модели на конфигурацию линий реакции и точек равновесия можно наблюдать, в частности, в следующих проявлениях:

1) наличия вырожденных ситуаций с прямыми линиями реакции выпусков однородного товара фирмами (параллельности и даже слияния двух прямых в одну вместо их пересечения);

2) перемещения точки равновесия Штакельберга выше или ниже точки равновесия Баумола (борьба фирм за лидерство по критерию максимизации выручки) на плоскости выпусков [10];

3) значительным различиям в удалении на плоскости прибылей обеих фирм двух точек равновесия, соответствующих выбору фирмами пар стратегий (1Ф - кооперации; 2Ф - Штакельберга) или (1Ф - Штакельберга; 2Ф - кооперации), в зависимости от величины безразмерного малого параметра s (эпсилон), вводимого наравне с другими параметрами в программу, чтобы избежать деления на нуль при выборе обеими фирмами стратегий кооперации [11] (эффект, который ранее, в 1995-2002 гг., не мог быть замечен автором, так как эти пары точек, наряду с еще 8-ью парами из 16-ти, программой Duopoly на экран не выводились [10; 11]).

Результаты исследования на отсутствие или наличие вырожденных ситуаций с прямыми линиями реакции выпусков однородного товара фирмами можно представить в матричной форме (см. таблицу 2). Например, для ситуации, когда 1-я фирма продолжает применять кооперативную стратегию, а 2-я фирма, отказываясь от кооперации, выбирает стратегию Штакельберга, вычисления на основе соответствующих необходимых условий

дают следующие результаты, которые более правильно, в методическом отношении, записать в матричной форме

о

_2Ь

"(26+Со1)(26+Со;

1-262

26 26+с0]

О

«До

26+с01 (а-с^ТЬ+с, (26+с01Х26+Сс

Таблица 2

Классификация взаимного расположения линий реакции

при нулевых квадратичных {с01= 0; с02= 0} и равных линейных {с1= с2= с} ставках переменных затрат

обеих фирм

Исследуя далее стационарную модель, приводящую к выводу формул для точки равновесия, к которой может сходиться динамическая игра при выборе и продолжении стратегий (5)-(6), можно получить матричное уравнение:

которое допускает сведение к матричному уравнению двух прямых общего вида:

чОу

4 В1 4 в2

Со

Ч

а

ъ .

А'

с

Как известно [8], для исследования условий параллельности двух прямых (и, тем более, слияния в одну прямую) необходимо

сформировать три отношения I В2 ( ± 1 и установить наличие (или отсутствие) равенств между ними, что аналогично обращению в нуль соответствующих определителей матриц (7)-(8).

В более ранней работе [10] автора этой статьи были установлены (способом исследования монопольных точек прямых реакции выпусков фирм) условия влияние параметров на конфигурацию линий реакции при выборе каждой из фирм кооперативных стратегий. Эти условия - следующие:

1) при равенстве нулю квадратичных ставок {с01= 0; с02= 0} переменных затрат фирм, прямые линии реакции выпусков фирм параллельны;

2) если же, кроме условия {с01= 0; с02= 0}, выполнено также условие равенства между собой ставок линейных {с1= с2= с} переменных затрат фирм, то обе параллельные прямые сливаются в одну;

3) при неравенстве нулю квадратичных ставок {с01 Ф 0; с02 Ф 0} переменных затрат фирм прямые линии реакции выпусков пересекаются в точке равновесия.

Исследование методом сведения уравнений (6)-(7) к матричному уравнению двух прямых общего вида (8) позволяет более компактно (в виде игровой матрицы, но без учета стратегий Баумола, максимизирующих выручку) записать зависимости всех конфигураций прямых линий реакции выпусков фирм (для чистых стратегий) от изменения значений ставок переменных затрат фирм (см. таблицу 2). На рисунке 2 представлен пример конфигурации

линий реакции при нулевых квадратичных и равных между собой линейных ставках переменных затрат фирм.

Исследование конфигурации точек равновесия Штакельберга и Баумола позволило автору этой статьи получить результат для ситуации равных линейных ставок (при равных нулю квадратичных ставках) переменных затрат фирм.

При равенстве нулю квадратичных ставок {с01 = 0; с02 = 0} переменных затрат координаты точки равновесия Штакельберга сводятся к матричному равенству

Рисунок 2. Пример конфигурации линий реакции при нулевых квадратичных {с01= 0; с02= 0} и равных линейных {с1= с2= с} ставках переменных затрат фирм

Сравнивая их с координатами ^Вт = a/3Ь; q2Bm=a/3Ь} точки равновесия Баумола, можно, для случая равенства между собой ста-

вок линейных {ct= c2= c} переменных затрат, получить следующий результат:

1) если верно неравенство: c > a/6), то тогда обе координаты точки равновесия Штакельберга меньше (ниже), чем координаты точки равновесия Баумола - пример, генерируемый новой программой Duopoly2, изображен на рисунке 3;

2) если же верно неравенство: c < a /6, то тогда обе координаты точки равновесия Штакельберга больше (выше), чем координаты точки равновесия Баумола - пример, генерируемый прежней программой Duopoly, изображен на рисунке 4;

3) при равенстве (c = a /6) координаты обеих точек совпадают, но сами прямые линии реакции объемов выпусков остаются различными.

Для ситуации, когда обе фирмы выбирают кооперативную стратегию, вычисления на основе соответствующих необходимых условий

Рисунок 3. Пример конфигурации точек равновесия Штакельберга и Баумола при условии выполнения неравенства с > а/ 6

Рисунок 4. Пример конфигурации точек равновесия Штакельберга и Баумола при условии выполнения неравенства c < a/6

оптимальных значений выпусков ^ (/ = 1,2), максимизирующих совместную прибыль фирм статической модели, предназначенной для вывода формул точки кооперативного равновесия, примут вид:

или, в эквивалентной форме

2 Ь + с0 2 b

2b 2b + ск

f Со\

9i

Со

\1г У

При решении матричного уравнения (11) по правилу Крамера детерминант

det

2b + CQ\ 2b 2b 2b + с 02

= (2b + c01X2b + c02)-4b:

обращается в нуль при равенстве нулю квадратичных ставок с и сд2 переменных затрат, то есть в ситуации, когда затраты фирм линейные [11]. Для обеспечения существования решения необходимо ввести малый параметр эпсилон (е) в матрицу уравнения (10.6), которое тогда примет вид [11]:

2 b + с01 + s 2 Ъ

2 Ъ

2 Ъ + ст + е

Г Со\

9i

Со

\1г У

Аналогичную замену (с ^ с0+е; i = 1,2} необходимо выполнить во всех (что не было ранее выполнено в программе Duopoly) вхождениях сш в формулах для остальных 15-ти пар чистых стратегий игры. Так, при выборе 1Ф - кооперации, 2Ф - Штакельберга, аналог матричного уравнения (12) будет иметь вид как в (7), но с учетом добавления малого параметра эпсилон:

В результате решения по правилу Крамера матричного уравнения (13) можно получить оптимальные равновесные объемы выпуска:

Вычисляемые по (4) прибыли фирм зависят теперь от параметра эпсилон.

Проведенное посредством компьютерной модели Duopoly2 исследование влияния безразмерного малого параметра е (эпсилон) на конфигурацию точек на плоскости прибылей фирм (при с01 = 0; с02 = 0) позволило выявить следующие закономерности, отображенные - в общей форме - в таблице 3, а также наблюдаемые на рисунке 2 и рисунке 5 по данным примера со значениями параметров: {а = 18,02; Ь = 1,02; с1 = 0,54 с2 = 1,56; ^ = 1,07; d2 = 0,93; с01 = с02 = 0; е = 0,15}, обобщающего пример из [5, с. 272].

Диаграмма прибылей фирм при праве 1-го хода у 2-й фирмы

Гео метрическая с (право ормэ матриць го хода у 2-го i прибылен ф игрока! фМ  равнс весив Курно <> 1Ф и-акольборга, 2Ф с-ратомя Kypi о ♦ 1Ф- гтяатвия hyp-т. УФ-ШтакягьЪзрга ♦ равнс весие U"SK3jit6epга

-н

Прибыль 2-й фирмы fad \ А РавноЕе;ие пс Оаумол/  1Ф- стэате-ия Бгучэла,2$-стратегия Куонс  1Ф-гтпэтв-ия hyp-m.VtiC-стратегия Ьауишя Д 1Ф- Боучи.1а,2Ф- UiicKttj ьбjpia А 1Ф- U-акельберга, 2Ф- Баумсла • Косператнкю« равновесие я и- стра-£ги? Курно. 2Ф- ксопэраиии  1Ф- пики ии киииерацяк, 2Ф- KyuHL 'О - ШтаиелкЕерг;, 2Ф- иооперации ♦ "О- гппгтрэцлн. 7Ф  Штжткпяпга ' Д 1Ф-Бзумола.2Ф- кооперации Ж 1Ф- кооперации, 2Ф-Еаумоле —«• • Линия реакции Курнэ приЕьли 1-м фирмы —х- -Линия реакцки Курнэ приеьли 2-й фирмы —*г Линии р«<КЦКИ III BüYMUIIf 1-й фирмы — Линия реакции пс Б*умолу2-й фирмы —-Линия коопэр. реакции поиЕылеЯ 1-й (мрмы — Линия коопэр. реакции пои? ылеа 2-й (нрмы

\ Ч

s

N

1 1

44

-

А

• V

\

13 ' __ —

—

я

А

Прибыль 1-й фирмы

Для показа диаграммы в окне кликните на нём нлн на пустом месте формы (С) Коршунов В .А., 2016 г. 1-й полуход - линия динамики игры синим, 2-й - красным

Рисунок 5. Полученный на основе значений параметра игры е = 0,15 {с01 = 0; с02 = 0} вид конфигурации точек равновесия на плоскости прибылей фирм. По горизонтальной оси отложена точка, соответствующая стратегиям

Таблица 3

Зависимость конфигурации точек равновесия на плоскости прибылей фирм от равных между собой либо различных значений квадратичных ставок переменных затрат фирм

Выбор фирмами пары стратегий На плоскости объемов выпусков товара при {coi = 0: со2 = 0} на плоскости прибылей фирм

при {coi Ф 0; со2^0}

1-я фирма - кооперации; 2-я фирма -Штакельберга К11 mm ^ 0 q2 >0 Со ь q¡ -> Е _ о Ч:"' > [п/^-оо При £ —» 0

1-я фирма - Штакельберга; 2-я фирма - кооперации \ hS>>° со пШ?ИЕ-0 А <0 \ S, с При £ —' 0 Я 2 " Í П* -ОО при £ —* 0

Алгоритмическое обнуление отрицательных значений Если q,Co < 0. то обнулить: q,Co = 0; i = 1,2 нет

Результаты и выводы, полученные в процессе исследования,

могут быть использованы в учебных дисциплинах: а) «Теория

игр» [5], б) «Основы системного анализа» [15], в) «Математические

методы исследования операций» [5].

Библиографический список

1. Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Моделирование сетевого взаимодействия на конкурентных рынках // Управление большими системами: сборник научных трудов ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН. 2013. № 43. С. 172-216.

2. Варшавский Л.Е. Методологические основы моделирования развития олигополистических рынков продукции с длительным жизненным циклом (на примере рынка гражданской авиационной техники) // Прикладная эконометрика. 2010. № 4 (20). С. 53-74.

3. Васин Л.А., Нечаев Ю.В. Анализ моделей дуополии при неравных издержках участников. // Известия Тульского государственного университета. Серия «Экономические и юридические науки». Тула, 2011. № 1-2. С. 109-116.

4. Евтеев Б.В. Оценка скорости сходимости состояний динамической модели дуополии Курно к точке равновесия // Современные аспекты экономики. 2012. № 5. С. 12 - 15.

5. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М., 1975.

6. Клочков В.В, Селезнева И.Е. Стохастическая модель двусторонней олигополии и ценовое управление конкуренцией на рынках высокотехнологичной продукции // Управление большими системами: сборник научных трудов ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН. 2016. Вып. 61. С. 191-225.

7. КорееваЕ.Б. Формирование модели поведения олигополистов на рынке услуг сотовой связи // Управление большими системами: сборник научных трудов ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН. 2007. № 19. С. 174-186.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1974.

9. Коршунов В.А. Оптимизация конкурентных стратегий на рынках количественной олигополии Курно и Штакельберга // Экономика и технология: сборник научных трудов Росчийской экономической академии им. Г.В. Плеханова. М., 2001. Вып. 12. Т 2. С. 192-200.

10. Коршунов В.А. Максимизация выручки: стратегии Баумола для количественной дуополии // Современные аспекты экономики. 2002. № 3. С. 186-200.

11. Коршунов В.А. Моделирование кооперативных стратегий фирм на рынке однородной дуополии // Современные аспекты экономики. 2002. № 11. С. 155-166.

12. Кузьменко С.П. Моделирование горизонтальной интеграции на вертикально ориентированных рынках // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2011. № 32. С. 52-68.

13. Линдсей П., Норман Д. Переработка информации у человека. М., 1974.

14. Мазалов В.В., Щипцова А.В., Токарева Ю.С. Дуополия Хотеллинга и задача о размещении на плоскости // Экономика и математические методы. 2010. Т. 46. № 4. С. 91-100.

15. Николис Дж. Динамика иерархических систем: Эволюционное представление. М., 1989.

16. Орлов А.В., Батбилэг С. Олигополистический банковский сектор Монголии и полиматричные игры трех лиц // Известия Иркутского государственного университета. Серия: «Математика». 2015. Т. 11. С. 80-95.

17. Першин В.К., Кислицын Е.В. Исследование олигополистического рынка природного газа методами теоретико-игрового моделирования // Управленец. 2016. № 5 (63). С. 70-76.

18. Плещинский А.С., Жильцова Е.С. Анализ результатов модернизации производства в условиях олигопольной конкуренции инноватора и его преследователя // Экономика и математические методы. 2013. Т. 49. № 1. С. 88-105.

19. Потехина Е.В., Балтер Е.Б. Модель апостериорного распространения информации между фирмами, выпускающими дифференцированный продукт на рынке Курно // Человеческий капитал. 2014. № 10 (70). С. 93-98.

20. Соловьев В.И. Экономико-математическое моделирование рынка программного обеспечения. М., 2009.

21. Соро М., Карпунин А.А. Математическая модель рынка олигополии гостиничных услуг и метод конфликтно-оптимального управления конкурентоспособностью гостиничных комплексов // Наука и образование: электронный журнал. 2015. № 10. С. 395-418.

22. Торбенко А.М. Модель линейного города с экзогенной конкуренцией по Штакельбергу // Математическая теория игр и ее приложения. 2013. Т. 5. № 2. С. 64-81.

23. Уокенбах Дж. Excel 2010: профессиональное программирование на VBA. М., 2012.

24. Филатов А.Ю. Модели олигополии: современное состояние // Теория и методы согласования решений. Новосибирск, 2009. С. 29-60.

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

25. Шаститко А.Е. Технологические нововведения в условиях конкуренции по Курно для N > 2 // Вестник Московского университета. Сер. 6. Экономика. 2015. № 3. С. 3-25.

26. Miller G. A. The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on our Capacity for Processing Information // The Psychological Review. 1956. V. 63. Р. 81-97.

27. Simaan M., Takayama T. The application of theory games to the problems of a dynamic duopoly with restrictions on production // Automatica. 1978. V. 14. Р. 161-166.

В.А. Коршунов

кандидат технических наук, доцент доцент кафедры общематематических и естественнонаучных дисциплин

Московского финансово-юридического университета МФЮА E-mail: vak_mfua@mail.ru