Композиционный синтез терминальных регуляторов для систем с разделением движений

УДК 519.21

КОМПОЗИЦИОННЫЙ СИНТЕЗ ТЕРМИНАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ СИСТЕМ С РАЗДЕЛЕНИЕМ ДВИЖЕНИЙ

ДУБОВИК С.А.

Рассматриваются задачи терминального управления для линейных систем, содержащих малый параметр при производных. Показывается, что для таких систем квадратический критерий можно выбирать, исходя из заданных траекторных и терминальных требований к процессу управления. Приводится пример синтеза в задаче со скалярным терминальным выходом.

Предлагается метод композиционного синтеза, основанный на сингулярно возмущенном представлении системы [1,2], т. е. на использовании малых параметров в математическом описании задачи управления. Теория сингулярных возмущений широко применяется в теории управления, но в основном область ее приложений ограничена построением аппроксимаций стандартных алгоритмов оптимизации [3,4]. Не менее важным, но не отмеченным пока, оказывается тот факт, что с помощью моделей с разделением движений удается формулировать и решать задачи синтеза, адекватные целям проектирования сложных систем управления, таких как системы автоматической посадки, наведения летательных аппаратов, стыковки в космосе и тому подобное.

Можно отметить близость предлагаемой процедуры и метода асимптотических частотных характе -ристик, существенным элементом которого является пренебрежение малыми постоянными времени в рассматриваемом диапазоне частот. Вместе с тем, предлагаемый метод не ограничен рамками стационарных задач и основные результаты, представленные здесь, касаются задач терминального управления, т. е. существенно нестационарных, которые вводятся в п. 1. В стационарном случае использование сингулярно возмущенной структуры задачи позволяет выбрать квадратический критерий синтеза, связывая его весовые матрицы с вырожденной и присоединенной системами [3]. В общей задаче терминального управления необходимость такого выбора остается, при условии определения траекторных требований к системе, но наряду с ними появляются условия на элементы вектора состояния в конечный момент tf, сформулированные с той или иной степенью неопределенности. Для описания такой неопределенности предлагаются распределения, также приводящие к квадратическому критерию, что позволяет согласовать траекторные и терминальные требования к системе.

1. Задачи терминального управления

Пусть fy является плотностью распределения конечного состояния линейной инвариантной во времени неоднородной системы, которую представим в канонической форме

xt = Jxt + but + gVt, x0 = x,

где J = {0,en1,en2,---,en(n-1)} b = enn = en,

eni — n -вектор, i -й элемент которого равен 1, а остальные — 0.

Управление ut в (1) формируется посредством обратной связи

Ut = D

так что для замкнутой системы имеем

xt = A

где A(t) = J + bD(t) . Здесь vt — стандартный “белый шум”, а начальное условие x — гауссовская случайная величина с нулевым средним, поэтому распределение

m -вектора yt = Hxt (m < n) при t = tf является гауссовским, N(my,Ry), с параметрами

Ey(tf) = my = 0 ,

covy(tf) = Ry, Ry > 0.

Наряду с действительным распределением вектора y(tf), формируемым совместным действием ut и vt, рассмотрим эталонное распределение с плотностью f типа N (mn,Rn) для вектора

П Rm, mn = ° R > 0, а также функцию “расстояния” в Rm:

fy

Ф

которая равна 0 при fy(x) = fn(x) и положительна в

остальных случаях. Если эталонное распределение задано, то этот функционал можно использовать для оценки управления системой (1), считая наилучшим такое управление (2), которое минимизирует (4). Легко видеть, что детерминантное условие

сводит минимизацию

I

2 fx

Требуемая конечная точность, которую и задает детерминантное условие (5), на самом деле определяется ресурсами управления и траекторными требованиями к системе, поэтому условие (5) в общей задаче

терминального управления на Tf = {t:0 < t < tf} может быть отброшено. Однако в соответствии с результатами [1,2] квадратический критерий позволяет задать и траекторные требования. Минимальное

из них—ограничение на “стоимость” управления ut, приводящее к задаче

tf

I

0 u‘

48

РИ, 1998, № 3

при подходящем выборе r > 0 • Обозначим Sn = AR^, т. е. |Sn |= 1. Особый интерес представляет случай малого A > 0.

Критерий (7) домножим на детерминант матрицы

Rn и, считая величину r A = s > 0 малой, получим задачу на экстремум (y = Hx(tf)) :

(

tf ^

2

^ min.

Р = Р(У, П) = Е yTSny+sjut2dt

V 0 J ^

Пусть теперь для матрицы A(t) замкнутой системы (3), заданной на отрезке Tf = {t:0 < t < tf}, для любого конечного t существует предел

A = lim A

tf ^w ‘

С этой матрицей A, а точнее с предельным полиномом D (мы отождествляем полином степени n с единичным старшим коэффициентом и n -вектор остальных его коэффициентов) будем связывать траекторные требования к системе (3), которую

обозначим как Z[D(t)] или просто Z[D] • Рассмот-

рим предельную систему Z(D) = Z (D) = Z X(D) из класса Gn (g, x) инвариантных во времени систем с начальным условием x и вектором g при “белом” шуме, опуская черту над символами (A = J + bD) :

Xt = AXt + gvt, X0 = x•

Пусть на решениях (2) определен функционал

'f ґ,г \ Л

Pf =

M =

)M 1 Xt I dt+

V ut J

Г Q NT ^

yTS n y

J

V N R,

T

где Q > 0, Sn > 0, R > 0, y = Hx(tf).

Критерий ~f при Q ^ 0 позволяет, наряду с определенным терминальным качеством, обеспечить

в системе Z[D(t)] = Z[D] полином с заданным расположением корней, причем под полиномом системы Z[D] мы понимаем полином предельной

системы Z(D) eGn(g,x) • Но ввести соответствующие характеристики удается для сингулярно возмущенной системы.

2. Синтез терминальных регуляторов для сингулярно возмущенных систем

Рассмотрим систему (1) со скалярным управлением в канонической форме возмущений, т.е.

x = col(x0,x1), x0 Є Rm, m < n,

x

где

J=

Г J E ^ J 0 -^0 ~40b 1

V 0 A-1 J J, vA b1 J

{0,em1,em2, ..,em(m—1)}, E

{0,Є£1,Є£2 ,..., Є£ (£-1)}

b1 = e1, m+ £ = n,

(независимую переменную пишем в скобках, чтобы не путать с индексацией подвекторов x). Управление, формируемое здесь в соответствии с (2), где

D = (d0 d1) , приводит к матрице замкнутой системы

0

A = J + bD . Важная особенность таких сингулярно возмущенных систем состоит в том, что при некоторых условиях их динамика приближенно характеризуется динамикой двух независимых систем — вырожденной (или системой внешних переменных) и

присоединенной. Пусть для матрицы A(t) = A(t) выполнено условие (9) существования предела, а также условие гурвицевости матрицы A1 = J1 + b1d1 присоединенной системы. Тогда характеристикой медленных движений в системе является внешний

(частный) полином f0(D) = -d0 / d10, где знаменатель — свободный член частного полинома d1 присоединенной системы.

Теорема 1. При условии g = b и A = s для

оптимального решения u = Dx задачи на экстремум

j

f

Q

V N

N

T

x

u

dt + yTS n y

^ min

ut ’

при ограничении (1) справедливо асимптотическое равенство |Ry |=|covy| = O((slns)m) при s ^ 0, а при tf ^ w для любого t < w и при условии 011 ^ 0, где 011 — первый элемент на главной диагонали матрицы 0 = Q - NTN, существует пре-

дел lim D

tf

следующей P =

детерминированной задачи:

1 j (xT,uT)MV ut j dt

2

^ min,

M=

f Q NE

V N 1 J ‘

Наконец, для полинома C = (c0 c1), у которого частные полиномы c1 и f0(C) = —c0 / c10 — оба

гурвицевы, и при Q = CTC, N = 0 в системе (10) реализуется внешний регулятор с заданным m -полиномом f0(C) , т. е. для задачи (11) существует

РИ, 1998, № 3

49

предел limD - D и fo(D) = f0(C) . Если g ^ b ,

теорема остается в силе, кроме оценки для Ry .

Теорема реализует композицию терминальных условий (матрица Sn) и траекторных требований

(заданный внешний полином п0 — f0(C)) в виде линейно квадратического регулятора.

Обычный для асимптотического анализа круг проблем, связанный с аппроксимацией оптимальных решений, для терминального управления особенно актуален и наименее разработан.

Обозначая, как и выше, конечное состояние

y — H x(tf) , а через п — соответствующую эталонную случайную величину, на множестве решений (10) определим функционал

Pf(Q) = Pf =

где

Q-lQT

Q*

Q* Q1/s

Qo,Qi ^ 0, S n> 0, s — A,2

причем будем рассматривать внешнюю терминальную задачу, что соответствует наличию терминальных требований (в виде эталонной плотности

fn — N(0,Rп ), Rп — Sn1) только для внешних пере-

менных: H — (H0,0). Наконец, последним условием будет строгая положительность первого элемента (первого элемента первой строки (Q1)11) матрицы

Q1: (УТ.) (Q1)n > 0.

Решение оптимизационной задачи (10),(12) известно [5]:

ut — ut — A-1D

где P(t) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению Риккати

Р — -Pj - JTP + PbbTP / s - sQ,

P

Для построения аппроксимации этого решения рассмотрим задачу минимизации функционала

(У — H0x(tf)) :

Pf — Pf

1

2

( tf Л

y%y + sj u2dt

V 0 У

^ min

ut

определенного на движениях системы

x t — J0Xt + B0Ut, B0 — - E0A-1b1,

для m -вектора x, а также задачу о стационарном регуляторе:

1 си

Р — 21

2 0 Ut

на решениях присоединенной системы для £ -вектора x :

x t — J1xt + b1ut.

Теорема 2. При условии УТ оптимальное решение

D(t) задачи (13),(14) представляет собой асимптотическую композицию решений d0 и d1 задач (15),(16) и (17),(18) соответственно, что означает существование равномерного по t, 0 < t < t1 < tf предела

lin0D

где d0 — d0(t) — BTP0(t), d1 — -bTP1, матрица P0(t) является решением следующей матричной

задачи К°шш P0 — -P0J0 - J^P0 +

P0

а матрица констант P1 удовлетворяет матричному квадратному уравнению

0 — - P1J1 - JTP1 + P1b1bTP1 - Q1.

Матричное уравнение Риккати в задаче (20) является однородным (матричным уравнением Бернулли),

а матрица J0 в нем — нильпотентной, что позволяет существенно упростить вычисления.

Следствие. В условиях теоремы 2 для матрицы P0, зависящей от времени, справедливы соотношения

P0(t) — W0T(t)F0-1(t)W0(t) , W0(t) —

(

1

tf -1

(tf - t)2 2

— Hn

0 1 0 0

tf -1 1

(tf - t)m-1Л (m -1)!

(tf - t)m-2 (m - 2)!

(tf - t)m-3 (m - 3)! ,

V0 0 0

1 У

F0(t) — iPH {o4(t)|HT + S-1,

p1— -Ф ij

e£1A1 Є£, A1 J1 + b1d1,

1 (tf - t)2m-i-J+1

— (m- i)!(m - j)! (2m - i - j +1) ’

i, j — 1,2,...,m.

С помощью метода пограничных функций [3] можно усовершенствовать эту аппроксимацию, сделав ее равномерной на Tf. Рассмотрим задачу терминального управления (10),(12) с выходом

50

РИ, 1998, № 3

y = y = Hx(tf) . Однако вместо внешних терминальных условий введем несколько более жесткие,

считая матрицы H и Sn зависящими от

X:H = (H0,Hj) , но так, что в матрице

Qf = HTSnH =

Г Qf0 Qf*"

1 Qf Qf1 ^

блоки являются величинами следующих порядков:

Qfo = o

при X ^ 0 (O(Xn) — матричная функция f(X) , такая что существуют положительные константы c

и X , для которых и для нормы f(X) выполняется

неравенство ||f(X)|| < cXn при любом

X є[0,X*],n = 0,1,2,....).

Таким образом, вновь сформулированная задача отличается тем, что наряду с условиями на внешние переменные в ней появляются дополнительные, но более мягкие, условия на некоторые из остальных переменных — по “быстрым” переменным допускается больший разброс в конечный момент, чем по

Замечание 1. При H1 = 0 получается равномерный на Tf результат теоремы 2, при этом граничным

условием для погранслойной составляющей блока

*

P и свободным членом в уравнении оказываются Q0P*(0) = ^S^A-1, E0 = emeT1, и

Ф

В связи с этим возникает важный вопрос о возможности достижения предельной точности хотя бы в идеальных условиях отсутствия возмущений. Ясно, что в качестве терминальной весовой матрицы

тогда нужно взять R^1 = Sn / X в функционале (12),

где X — малый параметр, входящий также и в (10). Асимптотический анализ таких задач чрезвычайно сложен и нет никаких общих методов — как это видно

из (26); для P* в t = tf возникает особенность (вместо Sn надо взять Sn / X ) при X = 0, хотя в

точном решении ее нет (P*(tf) = 0 при H1 = 0).

Некоторые результаты имеются в [6]. Укажем еще на одну возможность обойти отмеченные трудности, которая возникает при условии

“медленным”.

Теорема 3. При условии УТ оптимальное решение D(t) задачи (10), (12), (22) представляет собой равномерную на Tf асимптотическую композицию решений d0(t) и d1(t) следующих задач

(т = (t - tf) / X) :

d0(t) = - BTP0(t) - bTQ0P*(T),

B0 = - E0A-V

dQ°dT*(T) = -Q0P*(T)(A1 - b1bTQ0P1(T)) + Ф(т) ,

Q0P*(0) = HTSn(H1 + H0E0A-1),

Ф( т) = HTSnH0B0bTQ0P1(T);

d1

d01( т) = dт

H0em = 0 .

Из (26) в этом случае следует Q0P*( т) = 0.

Пример. Процесс наведения летательного аппарата в горизонтальной плоскости описывается уравнением

Xt = AXt + But, X„ = x,

где X = col(z,P,w Ф,о) , имеющий компонентами (соответственно) линейное отклонение (м) от линии прямолинейного равномерного движения к неподвижной цели, угол скольжения (град), угловую скорость (град/с) и угол (град) рысканья, угол отклонения руля направления (град),

' 0 a12 0 a12 0 > Г 0^

0 a22 a23 0 a25 0

A = 0 a32 a33 0 a35 ,B = 0

0 0 1 0 0 0

v 0 0 a53 a54 a55 2 V by

= -01( т) J1 - JT01 (т) + 01(т)ЬХ01(т) - Q1, 01(0) = HTSnH1, т. е.

XimD

равномерно на Tf.

Здесь Q0P1 (т) = 01 (т) - Р1, а матрицы P0(t) и Р1 удовлетворяют уравнениям (20) и (21).

а элементы в соответствующих единицах измерения (опускаем их) равны

a12 = -12,57, a22 = -0,729, a23 = 1,

a32 = 18,79, a33 = -1.065, a35 = -53.93,

a53 = 5.40, a54 = 41.0, a55 = -10,0,

a25 = -0.125, b = 10.0.

Эта система приводится к канонической форме (1) (g = 0) с помощью следующего неособого преобразования:

РИ, 1998, № 3

51

' t11 0 0 0 0 л

0 0 t23 0 0

T = 0 0 t33 t34 0

0 t42 t43 0 0

V t51 0 t53 t54 t55^

ненулевые элементы которого выражаются через параметры системы. Формулы связи получаются в результате известного алгоритма и оказываются достаточно громоздкими, поэтому приведем здесь только

коэффициент tjj, которого достаточно для пересчета первой координаты вектора состояния:

t11 = — ba22a35ai2'

Построим теперь с помощью теоремы 3 терминальный регулятор для канонических переменных этой системы, считая внешними компонентами координату (x)1 и ее скорость (x)2, т. е. m = 1, £ = 3.

Для рассматриваемой задачи наведения Н0 = (1 0) ,

а Sf — скаляр, поэтому для вычисления F0(t) в следствии нужно определить только первый элемент

матрицы {Фij(t)}: Фп(0 = (tf -1)3 /3, а

W0(t) = (1, tf - t) . Так как H1 = 0 и выполнено

условие

присутствует только первое слагаемое, причем (следствие, S-1 = 0):

P0(t) = 3(1, tf - t)T|Д-2(1, tf -1)/(tf -1)3,

где д1 = -eT1A-1e3 . Чтобы вычислить здесь A1 = J1 + b1d1, необходимо решить матричное квадратное уравнение (21), так как d1 = -bTP1 . Выбирая

матрицу Q1 = diag(1,0,0) (условие УТ), получаем для элементов симметричной матрицы

P1 = {kij}, i, j = 1,2,3 систему уравнений:

0 = kj23 -1, 0 = -2k21 + k23,

0 = -k11 + k13k23, 0 = -k22 - k31 + k23k33,

0 = - ku + k13k33, 0 = -2k32 + k33.

Из этой системы легко находится единственное положительно определенное решение P1 уравнения (21) и

d1 = -

Отсюда сразу следует д1 = 1, т. е.

B0 = B1e2 = e2 и d0(t) = - BX(t) =

= -eT 3(1, tf - t)T(1, tf -1) / (tf -1)3 =

= -3(tf - о-2. (tf -1)-1) • (29>

Если оставаться в рамках теоремы 2 (неравномерной асимптотики), то (28), (29) дают необходимую

композицию, аппроксимирующую оптимальное решение и, как это следует из (28), (29), достаточно простую в реализации. Численные результаты показывают, что промах z(tf) достаточно мал для

tf > 10 с. При малых начальных дальностях, которым соответствуют меньшие полные времена сближения, промах может достигать значительных величин. Так, при z(0) = 40м и tf = 4с имеем

z( t f) = 12м. В этой ситуации для d1 строилась нестационарная коррекция с помощью (24), т. е. по “быстрым” переменным использовалась обратная связь

d1(t) = - bT (P1 +VQ0P1( т)) =

= -

Строго говоря, этот результат следует из теоремы 3 только при v = 1, но использовались и другие, в частности, меньшие значения v, учитывая асимптотический характер оценок. Так, наилучшие результаты (промах 10-3 м ) при tf = 4с достигаются для

v = 0,69 . При этом регулятор (29),(30) все еще остается значительно более простым, чем регулятор типа (13),( 14), где в данном случае нужно интегрировать (или запоминать решения) матричное 5x5 уравнение. Что же касается схемы (30), то для нее нужно интегрировать только 3x3 уравнение для

Q0P1 (т) , которое к тому же оказывается однородным и потому может быть разрешено в явном виде по схеме следствия .

Замечание 2. Условие (27) ограничивает снизу порядок внешних переменных при требовании высокой точности Rп ^ 0. Так, в рассмотренном

примере нельзя выбрать m = 1 и x0 = z. Хотя, если не требовать равномерной аппроксимации, то такой выбор сделает регулятор еще проще — фактически при этом получается реализация метода погони [5]. То, что в представленной асимптотике выполнено условие (27) — еще одно свидетельство преимущества пропорциональной навигации [5]. Точнее говоря, методу пропорциональной навигации (при малых углах визирования) соответствует только соотношение (29), а (30) — есть следствие того, что наша задача существенно многомерна в отличие от простейших кинематических рассмотрений в [5].

Замечание 3. Применение полученных результатов в задачах с векторным терминальным выходом имеет свои особенности, которые удобнее рассмотреть в отдельной статье.

Автор благодарит за поддержку этой работы А.Т. Барабанова.

Литература: 1. Дубовик С.А. Квадратический критерий качества систем управления // Вестник СевГТУ. Автоматизация процессов и управление. 1996. Вып.2. С.88-91. 2. Дубовик С.А., Скороход Б.А. Алгоритмизация систем управления. К.: Общество “Знание” Украины, 1992. 24с. 3. Васильева А.Б., ДмитриевМ.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники, мат. анализ. Т.20. 1982. 4. Kokotovic P.V., O’Malley R.E., Sannuti P. Singular perturbations and order reduction in control theory.

52

РИ, 1998, № 3

Automatica. 1976. Vol. 12, №2. P . 123-132. 5. Брайсон A., Xo Ю-ши. їрикладная теория оптимального управления. М.: Мир. 1972. 521с. 6. Козырев В.Г. Об асимптотике системы оптимального управления с двумя малыми сингулярно возмущающими параметрами // Динам.-системы. 1992. Вып. 10. С. 57-63.

їоступила в редколлегию 20.09.98 Рецензент: д-р техн. наук Гайский В.А.

Дубовик Сергей Андреевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, докторант департамента технической кибернетики Севастопольского государственного технического университета. Научные интересы: асимптотические методы! в оптимальном управлении, математическое моделирование, управление движением. Увлечения и хобби: книги, музыка, кино. Адрес: Украина, 335053, Севастополь, Студгородок, СевГТУ, тел. 23-50-14.

УДК 519.81

ИДЕНТИФИКАЦИЯ АДДИТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА РЕШЕНИЙ

БЕСКОРОВАЙНЫЙ В.В.

Рассматривается применение метода компаратор-ной идентификации для синтеза аддитивных моделей многофакторного оценивания. їредлагаются подход и метод идентификации аддитивных моделей, использующие новый вид функции общей полезности.

Современная теория принятия решений предполагает выбор альтернативного варианта на основе предпочтений лица, принимающего решения (ЛЇР), или с использованием формальных моделей. Важнейшей задачей формализации процесса выбора ре -шений можно считать определение метрики для их ранжирования. В качестве методологической основы для построения метрики традиционно используется теория полезности, в соответствии с которой для каждого из альтернативных вариантов х из допустимого множества х может быть определено значение его полезности (ценности) Р(х). їри этом для х, у є X : х ~ у о Р(х) = Р(у);* х ^ у о Р(х) > Р(у);

х > у о Р(х) >= Р(у).

В моделях многокритериального выбора в основном используются функции общей полезности (ФОЇ), построенные на основе аддитивной или мультипликативной полезности видов

Р

i=1

Р

і=1 і=1

где Р(х) — полезность альтернативы х; n — количе-

для аддитивной модели (1) во многих случаях может быть сведена к задаче оптимизации вида

*

х = arg max Р

хєХ

В общем случае и вектор весовых коэффициентов X и ФЇ частных критериев (х), і = 1, n требуют своего определения. Определение вектора весовых коэффициентов X традиционно осуществляется экспертным путем методами ранжирования, приписывания баллов, последовательных предпочтений или парных сравнений. Недостатками перечисленных методов считаются субъективизм и относительно невысокая точность оценок, их независимость от значений частных критериев. В качестве Ф Ї обычно выбирается линейное нормирующее преобразование частных критериев вида

%i

" ki (х) - ki нх N v ki нл - kiHX ,

где , kiHX — наилучшее и наихудшее значения i -

го критерия.

Линейное преобразование (4) в общем случае не позволяет отображать существующие представления о характере изменения полезности факторов решения, например, не имеет насыщения в окрестности

kim и, таким образом, не позволяет описывать убывание предельной полезности. Учесть нелинейность зависимостей |г- (х), i = 1, n можно с помощью ФЇ более общего вида. Среди них: ФЇ вида [1]:

^(х ) =

Г1ц(х) - ki нх ^'

ki нл - ki нх

где аг — коэффициент, определяющий вид зависимости. їри ai = 1 имеет место линейная зависимость, при 0 < ai < 1 — выпуклая вверх, при аг- >1— выпуклая вниз зависимости; и универсальная ФП вида [2]

ство частных критериев; Хг — коэффициент, характеризующий степень важности фактора (критерия

ki), ZXi = 1, Xi > 0 ; i = 1n , %i (х) = %i (ki (х)) - фун-i

кция полезности (ФП) критерия ki .

Наибольшее применение в практике принятия решений находят модели вида (1). Если определен

вектор предпочтений X = [Хг ] и известен вид всех функций полезности ^i (х), i = 1, n , то задача выбора

I i( х) =

fkj (х) ^ V kia

a + (1 - a) •

если 0 < ki (х) < kia,

\a,2

kj

V1 - kia

если kia < ki < 1,

где kia, a — координаты точки перегиба ФП; 0 < a < 1; ai1, ai2 — коэффициенты, определяющие

a

РИ, 1998, № 3

53