ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА-ЛЯВА С УСЛОВИЯМИ НЕПРОНИКАНИЯ ДЛЯ ИЗВЕСТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ИЗГИБА

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2021. Том 28, № 2

УДК 517.97

ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ

ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА -ЛЯВА

С УСЛОВИЯМИ НЕПРОНИКАНИЯ ДЛЯ ИЗВЕСТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ИЗГИБА Н. П. Лазарев, Е. Ф. Шарин, Г. М. Семенова

Аннотация. Изучена нелинейная модель, описывающая равновесие пластины Кирхгофа — Лява с трещиной и объемным жестким включением. Предполагается, что под действием определенных заданных нагрузок пластина имеет деформации с определенной заранее известной конфигурацией кромок вблизи трещины. На кривой в срединной плоскости, соответствующей трещине, заданы краевые условия непроникания в виде системы неравенств и равенства. Рассматривается семейство вариационных задач, зависящих от параметра, который задает расположение включений. Формулируется задача оптимального управления с функционалом качества, определенным с помощью произвольного непрерывного функционала, заданного на подходящем пространстве Соболева. Для этой задачи параметр расположения включения выступает функцией контроля. Для семейства задач о равновесии доказана непрерывная зависимость решений от параметра расположения включения, а также разрешимость задачи оптимального управления.

Б01: 10.25587/8УРи.2021.49.33.002

Ключевые слова: вариационное неравенство, трещина, условия непроникания, задача оптимального управления, жесткое включение.

Авторы поздравляют глубокоуважаемого коллегу, опытного руководителя, директора НИИ математики СВФУ, профессора, доктора физико-математических наук, действительного члена АН РС(Я) Ивана Егоровича Егорова с юбилейным годом, и желают ему крепкого здоровья, дальнейших творческих успехов!

1. Введение

Создание и применение высокотехнологичных композитов с оптимальными свойствами является одной из основ технологического процесса. Разработка и

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-29-10007 тк).

© 2021 Лазарев Н. П., Шарин Е. Ф., Семенова Г. М.

внедрение композитов включает предварительную стадию численного моделирования, основанного на применении подходящих математических моделей. На этой стадии оптимальные геометрические и механические свойства композитов могут быть предвидены и улучшены. Соответствие численных экспериментов реальным процессам во многом зависит от качеств выбранной математической модели. В этой связи обоснование и изучение наиболее точных математических моделей, описывающих напряженно-деформированное состояние композитов, является актуальным направлением научных исследований. Хорошо известно, что вследствие производственных нагрузок или особенностей условий эксплуатации неоднородные свойства композитов могут привести к образованию трещин. Для тел с трещинами адекватность той или иной математической модели реальному физическому процессу (явлению) зависит в значительной степени от выбора тех или иных граничных условий на трещине.

С математической точки зрения наличие трещины приводит к таким формулировкам задач, в которых области имеют нерегулярные компоненты границ. Это обстоятельство представляет одну из главных трудностей в теории трещин [1-6]. Анализ влияния геометрических и физических свойств включений на напряжения вблизи кончика трещины является одной из трудных и актуальных задач теории трещин [7-11]. Следует отметить, что задание граничных условий в виде равенств на трещине может привести к физическому противоречию, поскольку это условие не исключает возможности взаимного проникания точек разных берегов трещины друг в друга [1, 2, 5, 6]. Отметим, что в [5, 6] на основе численных экспериментов показано, что берега трещины могут проникать друг в друга в случаях, когда условие непроникания не задается.

Альтернативный подход к формулировке задач теории трещин, который исключает взаимное проникание берегов трещины, развивается с 1990-х гг. Этот подход характеризуется граничными условиями типа Синьорини, заданными на берегах трещины [1,4,9,12-23]. В течение последних десяти лет в рамках моделей с условиями непроникания опубликовано большое количество статей, касающихся оптимизации форм для включений с отслоением, см., например, [24-30].

В настоящей работе изучена нелинейная модель, описывающая равновесие упругой пластины с жестким объемным включением. Рассмотрено семейство вариационных задач, которые зависят от параметра расположения жесткого включения. Предполагается, что включение меняет свое местоположение вдоль графика некоторой заданной непрерывной функции. Важно отметить, что функция графика может не удовлетворять условию Липшица. Для этого семейства задач мы формулируем задачу оптимального управления с функционалом качества, определенным с помощью произвольного непрерывного функционала, заданного на подходящем пространстве Соболева. Управлением в этой задаче выступает параметр I, характеризующий расположение включения. До-

казана непрерывная зависимость решений семейства задач по отношению к параметру Ь. Найдены достаточные условия на функции внешних нагрузок, обеспечивающие разрешимость задачи оптимального управления.

В предыдущих результатах, относящихся к оптимальному размеру или расположению жестких включений в упругих телах [29,31,32], рассматриваются такие функции внешних нагрузок, которые не изменяются при вариации расположения или же размера жесткого включения. В отличие от этого подхода в настоящей работе исследуется более общий случай, когда внешние нагрузки зависят непрерывным образом от Ь. Отметим, что такой способ задания внешних нагрузок является с физической точки зрения более обоснованным.

Начнем с описания допустимой геометрии. Пусть О С К2 — ограниченная область с гладкой границей Г € С2,1. Предположим, что липшицева кривая 7 С О без самопересечений имеет следующие свойства. Предположим, что 7 может быть продолжена таким образом, что это продолжение пересекает Г в двух точках и тем самым разбивает О на две подобласти О1 и О2 с липшицевыми границами дО1, дО2, шеав(Г П ЗО^ > 0, г = 1,2. Относительно выбранной нормали V = к 7 определяются берега 7+, 7- кривой 7. Скачок [д]

функции д на кривой 7 находится по формуле [д] = д| 7+ — д| 7-. Обозначим = Г2\7- Пусть шо — односвязная область класса С2'1 такая, что (О,^) £ сио, сио С Рассмотрим семейство областей {с^}, t (Е [0,Т], определенных равенством

2. Семейство вариационных задач

Ш = {х + (Ь,ф(Ь)) | ж € шо}, ф(Ь) € С[0,Т], ^(0) = ж!

.о 2.

1

Рис. 1. Геометрия задачи.

Пусть выполнено следующее предположение.

Предположение 2.1. Объединение всех областей , определенное с помощью соотношения

и 0 < А < в < т, ге[х,в]

удовлетворяет условиям Г17 = П Г = 0.

Замечание 2.1. Заметим, что в соответствии с предположением 2.1 существуют некоторые области О, Ош с гладкими границами дО, дОш класса С2,1 такие, что С Ош, Ош С О, О С

Чтобы убедиться в справедливости замечания, приведем кратко доказывающую схему рассуждений. Очевидно, что существует замкнутая кривая 2, ограничивающая односвязную липшицеву область ¿¡н такую, что С Бе, Бн С 07. Далее применяем результат, доказанный в [33], в котором липши-цева область приближается областями с регулярными границами.

Замечание 2.1 дает возможность использования хорошо известных результатов, касающихся пространств Н2(Б) для областей Б с границей дБ класса С2,1, а именно, будут применены теоремы о следах [34] и следующая характе-ризация:

дц

V е Н2(Б) Н2(Б), V = — = О на дБ,

дт

где т — единичная нормаль к дБ.

Пусть произвольная область вида , соответствующая фиксированному параметру € [0,Т], удовлетворяет следующему предположению.

Предположение 2.2. Пусть I' € [0,Т]. Для любой строго внутренней подобласти Б С существует достаточно малое положительное число 6 > 0 такое, что Б С П ш для всех I € (£' — 6,1' + 6) П [0, Т].

Пример 2.1. Для областей, заданных кругами, пример негладкой кривой, удовлетворяющей предположению 2.2, дается непрерывной функцией =

1 — | ^(I — |. В точке I = условие Липшица не выполняется.

Для того чтобы сформулировать математическую модель рассмотрим трехмерное декартово пространство {ж1,ж2,г}, выбранное таким образом, чтобы множество {07} х {0} С К3 соответствовало срединной плоскости пластины. Предположим, что толщина пластины постоянна и равна 2. Кривая 7 задает трещину (разрез) в пластине. Это означает, что сквозная трещина описывается цилиндрической поверхностью, заданной соотношениями:

х = (ж1;ж2) € 7, —1 < г < 1,

где | — расстояние до срединной поверхности. Зафиксируем параметр Ь € [0, Т] и предположим, что область ш соответствует жесткому включению, а область — упругой части пластины.

Обозначим через х = х(х) = (Ш, ад) вектор перемещений срединной плоскости (х € 07), где Ш = (,ш1,'ш2) — перемещения в плоскости {х1;х2}, ад — перемещения вдоль оси г. Тензор деформаций и тензор усилий обозначены следующим образом: ец = ец(Ш), ст^ = ст^(Ш) соответственно [1]:

где {cijki} — заданный тензор коэффициентов упругости, обладающий свойствами симметричности и положительной определенности:

Cijki = ckiij = Cjiki, i,j,k,l = 1, 2, Cijki £ ),

Ctjki£ijЫ > co|C|2 V£, = j, i,j = 1, 2, co = const > 0. Обозначим моменты следующим образом [1]:

d2w

mij(w) = dijkiw,ki , i,j = 1, 2 w,ki

dxk dxi

где тензор {dijki} имеет те же свойства, что и тензор {cijki}. Пусть B(S, , ) — билинейная форма, определенная равенством

B

S

гДе X = {W, w)> X = (W,w) и S — некоторая подобласть Г27.

Функционал потенциальной энергии выражается следующей формулой [1]:

ЩП7,х) = ^В(Щ,х,х)- J FtXdx, x={W,w),

О

где вектор Ft = (fit, f2t, f3t) £ C([0, T]; L2(Q))3 задает внешние силы [1]. Этому пространству принадлежат, например, функции, заданные равенствами

Ft =

гДе XwtJ Хп~,\щ — характеристические функции соответствующих множеств, Ai, Bi, i = 1, 2, 3, — некоторые заданные функции из L2(ilY), не зависящие от t £ [0,T]. В самом деле, поскольку fit, f^ совпадают на множествах (ш^П wt), 0\(ш£U ш-t), имеем равенство

f - IdUuY) = /

I 2

)

В силу предположения 2.2 меры множеств теаз(шДш^) стремятся

к нулю при Ь ^ поэтому в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега правая часть выражений (3) стремится к нулю. Отметим, что в указанном виде (2) представима функция силы тяжести, действующая на единицу объема в зависимости от плотности материала.

Введем пространства Соболева

Н 1'°(07) = {V £ Н 1(П7) | V = 0 на Г}, Я2'°(07) = [у £ Я2(07) | у = = 0 на Г

+

Рис. 2. Пример конфигурации берегов трещины в начальном состоянии (верхний рисунок) и в состоянии равновесия (нижний рисунок).

Н(П7) = Н 1'°(07)2 х Н2'°(07),

где п = (п1, п2) — единичная внешняя нормаль к границе Г области О. Следует отметить, что по предположению, выполненному для области О7, неравенства Фридрихса и Корна справедливы в негладкой области О7 [1, 35]. С их помощью можно вывести оценки

В

с константой с > 0, не зависящей от х [1].

Замечание 2.2. Неравенство (4) обеспечивает эквивалентность обычной нормы в Н(О7) и полунормы, определенной с помощью левой части равенства

(4).

Используя термин «жесткое включение», мы подразумеваем, что перемещения в пределах данного включения имеют специальный вид, например, для области ш (с фиксированным произвольным значением 4 € [0, Т]), перемещения х|ш4 = С принадлежат следующему пространству Д(ш4) инфинитезимальных жестких перемещений на

й(^) = {С(х) = (р, 1) | р(х) = Ь(х2, —х1) + (с1, С2); 1(х) = а° +Й1х1+а2х2, х €

где 6, с1, с2, а°, а1, а2 € К (см. [13]). Для описания возможного контактного взаимодействия берегов трещины в случае заранее известной конфигурации вблизи трещины в равновесном состоянии (рис. 2), будем использовать следующее условие непроникания [21, 22]:

дад д^

> 0, [Ш]^ >

дад

д^

[ад] = 0 на 7,

где [г>] = г>+ — V- — скачок функции V, следы v± на 7+, 7- соответствуют положительному и отрицательному направлениям нормали V. Отметим, что если условие (6) выполнено для некоторой функции, то для нее также выполнено следующее хорошо известное общее условие непроникания для вертикальных

трещин в пластине Кирхгофа — Лява [1,3]:

dw

\W\v >

dv

на Y.

Предположим, что 4 € [0, Т] фиксировано. Задача о равновесии пластины с трещиной и жестким включением может быть сформулирована в виде следующей задачи минимизации:

найти & = € К такие, что П

где множество допустимых функций имеет вид

К = {х = (Ж,ад) € Н(07) | X удовлетворяет (6); хк € Д(ш4)>.

В соответствии с [3,13] для каждого фиксированного 4 € [0,Т] задача (8) имеет единственное решение & € которое удовлетворяет вариационному неравенству

& € К,, В

3. Задача оптимального управления

Пусть С : Н(07) ^ М — произвольный непрерывный функционал. Рассмотрим функционал качества, определенный равенством

3

на промежутке [0, Т].

В качестве примера таких функционалов, имеющих физический смысл, можно дать функционал Сх(х) = ||х — ХоУн(о^), который характеризует отклонение от заданной функции хо € Н(07). Также следует отметить, что при дополнительных предположениях на Р,, О и 7 существует первая производная

ад =

de

е=0

функционала энергии П(Ое; хе) по отношению к параметру возмущения области e при e = 0. Здесь хе обозначает соответствующие решения для задач равновесия относительно возмущенных областей Предлагаем читателю обратиться к [36] для ознакомления с явной формулой для производной функционала энергии. Как следует из [36], функционал, который выражает первую производную, непрерывен в пространстве H(07). Итак, рассмотрим задачу оптимального управления:

найти t* € [0,T] такую, что J

te[0,T ]

Это означает, что мы хотим найти наилучшее расположение включения вдоль графика функции ф, которое доставляет максимальное значение для функционала качества.

Настоящая работа следует схеме рассуждений статьи [32], отличие состоит в том, что функция внешних нагрузок зависит от параметра t. Это вполне обоснованно с точки зрения физики. Кроме того, отличие состоит также в наборе краевых условий на кривой трещины — они соответствуют специальному случаю конфигурации берегов трещины. Основной результат, полученный в настоящем пункте, представлен в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Задача оптимального управления (10) имеет решение.

Доказательство. Пусть {tn} — максимизирующая последовательность. Ввиду ограниченности интервала [0, T] существует сходящаяся числовая подпоследовательность {tnk} С {tn} такая, что

tnk — t* при k — ж, t* £ [0, T].

Легко видеть, что если существует подпоследовательность {tni} С {tnk} со следующими свойствами: tni = t*, l £ N, то J(t*) — решение задачи (10). Поэтому предположим, что tnk = t* для достаточно больших k.

Ввиду леммы 2, которая доказана далее, решения £k задач (8), соответствующие параметрам tnk, сходятся к решению £t* сильно в H(07) при k — ж. Это позволяет установить сходимость

J (tnk ) - J (t*),

которая влечет равенство

J (t*) = sup J (t).

te[o,T ]

Теорема доказана.

В ходе доказательства были применены две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть t* £ [0, T] — фиксированное вещественное число, и пусть {tn} С [0,T] — последовательность вещественных чисел, сходящаяся к t* при n — ж. Тогда для любой функции n = (V,v) £ Kt * найдутся последовательность чисел {tk} = {tnk} С {tn} и последовательность функций {щ} такие, что nk £ Ktk, k £ N и nk — П сильно в H(07) при k — ж.

Доказательство. Зафиксируем n £ Kt*. Прежде всего отметим, что если существует подпоследовательность {tnk} такая, что tnk = t*, то утверждение леммы верно для nk = n, k £ N. Без ограничения общности можно считать, что {tn} — строго монотонно убывающая последовательность такая, что

t* = lim tn.

n—УЖ

Обозначим через £* = (р*, I*) функцию, описывающую структуру перемещений п в области , где р* = Ь*(ж2, — жх) + (сЦ,с2), 1*(ж) = а0 + аЦжх + а2ж2. Доопределим функцию £ * = (р*, I*) на всей области О с помощью равенств

С* = (р*, I*), где р* = Ь(ж2, —жх) + (с1, с2), ж € О, 1*(ж) = а0 + аЦжх + а2ж2, ж € О.

Пусть 5 > 0 — фиксированное положительное число. Далее зафиксируем произвольное значение 4 € [0, Т] П (£*,£* + 5) и рассмотрим следующее семейство вспомогательных задач:

найти элемент ф* € К* такой, что р

хек'

где Р(Х) = в(От, X — П> X — п^

I д'Ш

^ = |х = о*» € Я(П7) I X = V, д^ = о;; на ЗО,

хЦ. =С*, Х = ^вП\о|,

где р — единичная нормаль к дО. Очевидно, что функционал р(х) коэрцитивен и слабо полунепрерывен снизу на пространстве Н(О7). Нетрудно проверить, что множество К* выпуклое и замкнутое на Н(О7). Эти свойства обеспечивают существование решения п* задачи (11), кроме того, оно будет единственным [1]. Это решение эквивалентно характеризуется вариационным неравенством

п* € К*', В

Таким образом, построено семейство вспомогательных задач (11), зависящих от параметра 4 € [0, Т] П (4*, 4* + 5). Применяя оператор поднятия для гладких областей Г2\0 и 0\0Ш (см. замечание 2.1), можно построить функции х & Н(П7) такие, что X = С* в Ош и % = ту, ^ = щ на дО. Поскольку х принадлежит К^ для всех 4 € [0, Т] П (£*, 4* + 5), ее можно подставить в (13) в качестве тестовой, что влечет, в свою очередь,

В(О7, — п, X) + В(О7, п, ф*) > В(О7, V* € [0, Т] П (Г, ¿* + 5).

Из этого соотношения и неравенства (4) получаем следующую равномерную оценку сверху:

||ф*|| < С М € [0,Т] П (4*,4* + 5).

Следовательно, можно извлечь из последовательности } подпоследовательность {ф;}, которая определяется равенствами = , I € N (для удобства в дальнейшем определяем последовательность {¿г} равенством = ¿пг) и {фг} слабо сходится к некоторой функции пу в Н (О7). Теперь необходимо показать, что ту = ту. По построению ввиду гладкости областей включение (£¿1 — ту) (Е Щ(0\Щ.)2 х Н$(0Тдг) выполнено. Как следствие, имея в виду слабую замкнутость Н$(0\П}^)2 х Н§(0\Щ*), получим

{Щ-1у) е нЦо\щ.)2 X н2(о\и

Рассмотрим тестовые функции вида х± = Ql ± а, где а — функция, определяемая нулевым продолжением произвольной функции а £ в Г27. Заметим, что при достаточно больших I функции х± принадлежат К. Подставляя х+ и х- в (13), а затем сравнивая полученные неравенства, находим

Ql £ К,, Б

Зафиксируем а и перейдем к пределу в (14). В результате установим, что

-г], а) = В

В силу предположения 2.1 область принадлежит классу С2'1, поэтому

пространство Сд°(0\Щ*) плотно как в пространстве Н$(0Щ), так и в пространстве Н§(0Щ). Это означает, что равенство (15) влечет, что г) — г/ = О в Н$(0\Ед^)2 х По построению равенство г/ = г/ выполнено в об-

ластях и . Следовательно, п = п в Н(И7). В результате существует

подпоследовательность ВДг} такая, что Q^ £ К-,, I £ М, и Ql ^ п слабо в Н(07) при I ^ ж. Теперь мы можем доказать сильную сходимость. В силу теоремы Мазура существуют функция N : N ^ N и последовательность наборов действительных чисел {г(п), | г = п, .. . ^(п)}, удовлетворяющих г(п), > 0 и

N (п) л

г(п), = 1, таких, что последовательность {(^п}, определенная через суммы

,=п

N (п) ,=п

сходится к п сильно в Н(07). Наконец, определим требуемую последовательность {пПк} с помощью равенств

пп1 = QN (1), пп2 = QN ^ (1))> ...,ппк = QNk (1),----

Построенные функции ппк, к = 1, 2,..., принадлежат множествам К-мк , соответствующим элементам подпоследовательности {tNк(1)} последовательности С

В другом случае, а именно, когда последовательность {Ьп} является строго монотонно возрастающей последовательностью, нужно рассмотреть множества К-, которые определяются с помощью областей , для фиксированного t £ [0, Т] П (^ - 6, где 6 > 0. Лемма 1 доказана.

Теперь докажем вспомогательное утверждение, которое использовалось при доказательстве теоремы 1.

Лемма 2. Пусть ^ £ [0,Т] — фиксированное вещественное число. Тогда ^ ^ сильно в Н(07) при t ^ ^, где являются решениями задачи (8),

соответствующими параметрам t £ [0,Т], ^ £ [0, Т].

Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что существуют число бо > 0 и последовательность {¿п} С (0, Т] такие, что

<9и„ ди

д^ 7 ди

где = , п € N — решения (8), соответствующие

В силу того, что х0 = 0 принадлежит К4 для всех 4 € [0, Т], можно подставить х = х0 в (9) для любого фиксированного Ь € [0, Т]. Это доставляет

& € Кг, В

Поскольку ^ € С([0,Т]; Ь2(0))3, существует постоянная С > 0, для которой ||^||£2(о)3 < С, для всех Ь € [0,Т]. Поэтому из (16) следует равномерная по параметру Ь € [0,Т] оценка

Значит, существует подпоследовательность обозначаемая прежним обра-

зом, такая, что сходится к функции & слабо в Н(07).

Покажем, что / € К4*. Действительно, имеем = С«. € ). Со-

гласно теореме вложения Соболева [34] получаем, что

^ сильно в )3 при п ^ то,

сильно в Ь2

сильно в ¿2

7

Выбирая при необходимости подпоследовательности, считаем, что при п ^ то имеет место сходимость ^ & п.в. на .

Далее зафиксируем произвольную строго внутреннюю подобласть Б С . Существует достаточно большое число N такое, что если п > N, то Б С П шп (см. предположение 2.2). Стало быть, последовательность {рп} сходится к & п.в. в Б при п ^ то. Это позволяет сделать вывод, что каждая из числовых последовательностей {Ьп}, {с^}, {с^}, {аоп}, {а1п}, {а2п}, определяющих структуру п = 1, 2,..., в Б, ограничена в М. Таким образом, можно выделить подпоследовательности (с сохранением обозначений) такие, что

^ Ь, аоп ^ ао, йп ^ с^, ^ а», г = 1, 2, при п ^ то.

Следовательно, для фиксированной области Б имеем

Ц; ^ (Ьж2 + с1, —Ьж1 + с2) п.в. в Б при к ^ то, ^ ао + а1ж1 + а2ж2 п.в. в Б при к ^ то. Последние два соотношения вместе с (17) приводят к равенствам И = (Ьж2 + с1, —Ьж1 + с2) п.в. в Б,

/ = ао + а1ж1 + а2ж2 п.в. в Б. В силу произвольности области Б С

* получаем, что С/ = (Ьх2 + С1, — Ьх1 + С2) п.в. в ,

и = ао + а\Х\ + а2х2 п.в. в шг*,

откуда следует, что £|Ш(* € Д(шг*).

Обратимся к условию непроникания в определении множества Кг*. Нужно показать, что £ удовлетворяет следующим соотношениям:

ди

дV

> 0, \IU\V >

ди

дv

[и] =0 на

Принимая во внимание сходимость (18), при необходимости можем еще раз выделить подпоследовательности такие, что

ип1

дип

дии дv

п.в. на 7+ и 7

Этот факт позволяет перейти к пределу в следующих неравенствах и равенстве:

дип

дv

> 0, \Un\v >

дип дv

[иП] = 0 на

и получить требуемое соотношение (20). Следовательно, получаем включение и € Кг*.

Приступим к доказательству равенства £ = £г * и существования последовательности решений {£п}, £п = £гп, п € М, сходящейся сильно к £г* в Н(07). Сначала докажем, что £ = £г*. Для этого проанализируем вариационные неравенства (9) и их предельный случай. Из леммы 1 следует, что для всех п € Кг* существуют подпоследовательность {¿к} = {¿пк} С {¿п} и последовательность функций {пк} такая, что пк € Кгк и пк — П сильно в Н(07) при к — ж.

Принимая во внимание сходимость Епк — Ег* в Ь2(0,1 )3 при к — ж, где Епк соответствует ¿пк, к € М, а также установленные выше свойства сходящихся последовательностей {пк} и {£п} можно перейти к пределу при к — ж в следующих неравенствах, полученных из (9) для ¿к и тестовых функций пк:

В(^7 ,£Пк ,ппк - £Пк ) > ^ Рпк (ппк - £Пк ) Лх.

В результате имеем

В(П7,и,п - и) ЛХ > Ег* (п - £) Лх У п € Кг*.

Поскольку п выбиралось произвольным, последнее неравенство является вариационным. Однозначная разрешимость этого вариационного неравенства дает и = £г*.

Для завершения доказательства следует установить сильную сходимость £п — £г*. Подстановка х = 2£г и х = 0 в вариационные неравенства (9) для Ь € [0,Т\ позволяет прийти к равенствам

£г € Кг, В(Щ ,£г ,£г) = { Ег£гЛх УI € [0,Т\.

—

7

7

Равенства (22) вместе со слабой сходимостью £n ^ в H(07) при n ^ то влекут следующую цепочку соотношений:

lim B(07,£n,£n) = lim / Ftndx = Ft*dx = B(07, ).

n—n—J J

П

Отсюда ввиду эквивалентности норм (см. замечание 2.2) заключаем, что ^ сильно в Н(07) при п ^ то.

Таким образом, получили противоречие с исходным предположением. Лемма 2 доказана.

4. Заключение

Проведен анализ семейства вариационных задач, описывающих равновесие пластины с жестким включением и трещиной, которые зависят от параметра расположения включения 4 € [0,Т]. Существование решения задачи оптимального управления (10) доказано. Для этой задачи функционал качества J(4) определен с помощью произвольного непрерывного функционала, заданного на подходящем пространстве Соболева, в то время как параметр 4 служит управлением. Леммы 1 и 2 выявляют качественную связь между задачами о равновесии для тел с различным расположением жестких включений одинаковой формы. Отметим, что этот подход может быть применен для задач о равновесии пластин Кирхгофа — Лява с классическими линейными условиями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton: WIT Press, 2000.

2. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. M.: Наука, 1984.

3. Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

4. Khludnev A., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Method Appl. Sci. 2010. V. 33, N 16. P. 1955-1967.

5. Rudoy E. M., Kazarinov N. A., Slesarenko V. Y. Numerical simulation of equilibrium of an elastic two-layer structure with a through crack // Numer. Anal. Appl. 2017. V. 10, N 1. P. 63-73.

6. Rudoy E. Domain decomposition method for crack problems with nonpenetration condition // ESAIM. Math. Model. Numer. Anal. 2016. V. 50, N 4. P. 995-1009.

7. Leugering G., Sokoiowski J., Zochowski A. Control of crack propagation by shape-topological optimization // Discret. Contin. Dyn. Syst. Ser. A. 2015. V. 35, N 6. P. 2625-2657.

8. Kovtunenko V. A., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model // SIAM J. Control Optim. 2016. V. 54, N 3. P. 1329-1351.

9. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions // Eur. J. Mech. A. Solids. 2010. V. 29, N 3. P. 392-399.

10. Khludnev A., Sokoiowski J., Szulc K. Shape and topological sensitivity analysis in domains with cracks // Appl. Math. 2010. V. 55, N 6. P. 433-469.

11. Xavier M., Novotny A. A., Sokoiowski J. Crack growth control based on the topological derivative of the Rice's integral // J. Elast. 2019. V. 134, N 2. P. 175-191.

12. Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 1-14.

13. Khludnev A. M. Problem of a crack on the boundary of a rigid inclusion in an elastic plate // Mechanics of Solids. 2010. V. 45, N 5. P. 733-742.

14. Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for Euler-Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Quart. Appl. Math. 2016. V. 74, N 4. P. 705-718.

15. Kazarinov N. A, Rudoy E. M, Slesarenko V. Y, Shcherbakov V. V. Mathematical and numerical simulation of equilibrium of an elastic body reinforced by a thin elastic inclusion // Comput. Math. Math. Phys. 2018. V. 58, N 5. P. 761-774.

16. Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 11. P. 1306-1317.

17. Popova T., Rogerson G. A. On the problem of a thin rigid inclusion embedded in a Maxwell material // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 4. 105.

18. Pyatkina E. V. Optimal control of the shape of a layer shape in the equilibrium problem of elastic bodies with overlapping domains //J. Appl. Indust. Math. 2016. V. 10, N 3. P. 435443.

19. Lazarev N., Everstov V. Optimal location of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Math. Mech. 2019. V. 99, N 3. e201800268.

20. Itou H., Kovtunenko V. A., Rajagopal K. R. Well-posedness of the problem of non-penetrating cracks in elastic bodies whose material moduli depend on the mean normal stress // Int. J. Eng. Sci. 2019. V. 136, P. 17-25.

21. Lazarev N. P., Itou H. Equilibrium problems for Kirchhoff-Love plates with nonpenetration conditions for known configurations of crack edges // Мат. заметки СВФУ. 2020. Т. 27, № 3. C. 52-65.

22. Lazarev N. P., Semenova G. M., Romanova N. A. On a limiting passage as the thickness of a rigid inclusions in an equilibrium problem for a Kirchhoff-Love plate with a crack //J. Sib. Federal University. Mathematics and Physics. 2021. V. 14, N 1. P. 28-41.

23. Furtsev A., Itou H., Rudoy E. Modeling of bonded elastic structures by a variational method: Theoretical analysis and numerical simulation // Int. J. Solids Struct. 2020. V. 182-183, P. 100-111.

24. Shcherbakov V. V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. 71.

25. Khludnev A., Negri A. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2013. V. 64, N 1. P. 179-191.

26. Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Method. Appl. Sci. 2016. V. 39, N 17. P. 4980-4993.

27. Khludnev A. M. Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2013. V. 83, N 10. P. 1493-1509.

28. Rudoy E. M., Shcherbakov V. V. Domain decomposition method for a membrane with a delaminated thin rigid inclusion // Sib. Electron. Math. Rep. 2016. V. 13, N 1. P. 395-410.

29. Lazarev N. P. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 4. P. 509-518.

30. Khludnev A. M., Novotny A. A., Sokoiowski J. Zochowski A. Shape and topology sensitivity analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions //J. Mech. Phys. Solids. 2009. V. 57, N 10. P. 1718-1732.

31. Lazarev N. P., Rudoy, E. M. Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 9. P. 1120-1127.

32. Lazarev N., Itou H. Optimal location of a rigid inclusion in equilibrium problems for inho-mogeneous Kirchhoff-Love plates with a crack // Math. Mech. Solids. 2019. V. 24, N 12. P. 3743-3752.

33. Doktor P. Approximation of domains with Lipschitzian boundary // Casopis pro pestova ni matematiky. 1976. V. 101. P. 237-255.

34. Baiocchi C., Capelo A. Variational and quasi variational inequalities. New York: J. Wiley and Sons, 1984.

35. Hlavacek I., Haslinger J., Neccas J., Lovisek J. Solution of variational inequalities in mechanics. New York: Springer-Verl., 1988.

36. Rudoy E., Shcherbakov V. First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks // Appl. Math. Optim. 2020. https://doi.org/10.1007/ s00245-020-09729-5

Поступила в редакцию 12 марта 2021 г. После доработки 19 мая 2021 г. Принята к публикации 26 мая 2021 г.

Лазарев Нюргун Петрович, Шарин Евгений Федорович, Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 nyurgun@ngs.ru, ef.sharin@s-vfu.ru

Семенова Галина Михайловна

Якутское отделение Регионального научно-образовательного центра «Дальневосточный центр математических исследований», ул. Белинского, 58, Якутск 677891 sgm.08@yandex.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2021. Том 28, № 2

UDC 517.97

OPTIMAL LOCATION OF A RIGID INCLUSION

FOR AN EQUILIBRIUM PROBLEM

DESCRIBING KIRCHHOFF-LOVE PLATE WITH

NONPENETRATION CONDITIONS FOR KNOWN

CONFIGURATIONS OF PLATE EDGES

N. P. Lazarev, E. F. Sharin, and G. M. Semenova

Abstract: A nonlinear model describing equilibrium of a cracked plate with a volume rigid inclusion is studied. It is assumed that under the action of certain given loads, plates have deformations with a certain predetermined configuration of edges near the crack. On the crack curve we impose a nonlinear boundary condition as a system of inequalities and an equality describing the nonpenetration of the opposite crack faces. For a family of variational problems, we study the dependence of their solutions on the location of the inclusion. We formulate an optimal control problem with a cost functional defined by an arbitrary continuous functional on a suitable Sobolev space. For this problem, the location parameter of the inclusion serves as a control parameter. We prove continuous dependence of the solutions on the location parameter and the existence of a solution to the optimal control problem.

DOI: 10.25587/SVFU.2021.49.33.002 Keywords: variational inequality, crack, nonpenetration conditions, optimal control problem, rigid inclusion.

REFERENCES

1. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of Cracks on Solids, WIT Press, Southampton; Boston (2000).

2. Morozov N. F., Mathematical Problems of the Theory of Cracks [in Russian], Nauka, Moscow (1984).

3. Khludnev A. and Leugering G., "On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks," Math. Methods Appl. Sci., 33, No. 16, 1955-1967 (2010).

4. Khludnev A. M., Elasticity Problems in Non-smooth Domains [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2010).

5. Rudoy E. M., Kazarinov N. A., and Slesarenko V. Y., "Numerical simulation of equilibrium of an elastic two-layer structure with a through crack," Numer. Anal. Appl., 10, No. 1, 63-73 (2017).

6. Rudoy E., "Domain decomposition method for crack problems with nonpenetration condition," ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 50, No. 4, 995-1009 (2016).

7. Leugering G., Soko^lowski J., and Zochowski A., "Control of crack propagation by shape-topological optimization," Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. B., 35, No. 6, 2625-2657 (2015).

8. Kovtunenko V. A. and Leugering G., "A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model," SIAM J. Control Optim., 54, No. 3, 1329-1351 (2016).

© 2021 N. P. Lazarev, E. F. Sharin, and G. M. Semenova

9. Khludnev A. M., "Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions," Eur. J. Mech., A, Solids, 29, No. 3, 392-399 (2010).

10. Khludnev A., Soko^lowski J., and Szulc K., "Shape and topological sensitivity analysis in domains with cracks," Appl. Math., 55, No. 6, 433-469

11. Xavier M., Novotny A. A., and Soko^lowski J., "Crack growth control based on the topological derivative of the Rice's integral," J. Elast., 134, N. 2, 175-191 (2019).

12. Khludnev A. M., Faella L., and Popova T. S., "Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Math. Mech. Solids, 22, No. 4, 1-14 (2017).

13. Khludnev A. M., "Problem of a crack on the boundary of a rigid inclusion in an elastic plate," Mech. Solids, 45, No. 5, 733-742 (2010).

14. Khludnev A. M. and Popova T. S., "Junction problem for Euler-Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Q. Appl. Math., 74, No. 4, 705-718 (2016).

15. Kazarinov N. A, Rudoy E. M, Slesarenko V. Y, and Shcherbakov V. V., "Mathematical and numerical simulation of equilibrium of an elastic body reinforced by a thin elastic inclusion," Comp. Math. Math. Phys., 58, No. 5, 761-774 (2018).

16. Shcherbakov V. V., "The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 11, 1306-1317 (2016).

17. Popova T. and Rogerson G. A., "On the problem of a thin rigid inclusion embedded in a Maxwell material," Z. Angew. Math. Phys., 67, No. 4, 105 (2016).

18. Pyatkina E. V., "Optimal control of the shape of a layer shape in the equilibrium problem of elastic bodies with overlapping domains," J. Appl. Ind. Math., 10, No. 3, 435-443 (2016).

19. Lazarev N. and Everstov V., "Optimal location of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack," Z. Angew. Math. Mech., 99, No. 3, e201800268 (2019).

20. Itou H., Kovtunenko V. A., and Rajagopal K. R., "Well-posedness of the problem of non-penetrating cracks in elastic bodies whose material moduli depend on the mean normal stress," Int. J. Eng. Sci., 136, 17-25 (2019).

21. Lazarev N. P. and Itou H., "Equilibrium problems for Kirchhoff-Love plates with nonpenetration conditions for known configurations of crack edges," Mat. Zamet. SVFU, 27, No. 3, 52-65 (2020).

22. Lazarev N. P., Semenova G. M., and Romanova N. A., "On a limiting passage as the thickness of a rigid inclusions in an equilibrium problem for a Kirchhoff-Love plate with a crack," J. Sib. Fed. Univ., Math. Phys., 14, No. 1, 28-41 (2021).

23. Furtsev A., Itou H., and Rudoy E., "Modeling of bonded elastic structures by a variational method: Theoretical analysis and numerical simulation," Int. J. Solids Struct., 182-183, 100-111 (2020).

24. Shcherbakov V., "Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 67, No. 3, 71 (2016).

25. Khludnev A. and Negri A., "Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 64, No. 1, 179-191 (2013).

26. Itou H. and Khludnev A. M., "On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies," Math. Methods Appl. Sci., 39, No. 17, 4980-4993 (2016).

27. Khludnev A. M., "Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies," Arch. Appl. Mech., 83, No. 10, 1493-1509 (2013).

28. Rudoy E. M. and Shcherbakov V. V., "Domain decomposition method for a membrane with a delaminated thin rigid inclusion," Sib. Elektron. Mat. Izv., 13, No. 1, 395-410 (2016).

29. Lazarev N. P., "Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 4, 509-518 (2016).

30. Khludnev A. M., Novotny A. A., Soko^lowski J., and Zochowski A., "Shape and topology sensitivity analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions," J. Mech. Phys. Solids, 57, No. 10, 1718-1732 (2009).

31. Lazarev N. P. and Rudoy E. M., "Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge," Z. Angew. Math. Mech., 97, No. 9, 1120-1127 (2017).

32. Lazarev N. and Itou H., "Optimal location of a rigid inclusion in equilibrium problems for

inhomogeneous Kirchhoff-Love plates with a crack," Math. Mech. Solids, 24, No. 12, 37433752 (2019).

33. Doktor P., "Approximation of domains with Lipschitzian boundary," Cas. Pestovani Mat., 101, 237-255 (1976).

34. Baiocchi C. and Capelo A., Variational and Quasi-Variational Inequalities, Wiley, New York (1984).

35. Hlavacek I., Haslinger J., Necas J., and Lovisek J., Solution of Variational Inequalities in Mechanics, Springer-Verl., New York (1988).

36. Rudoy E. and Shcherbakov V., "First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks," Appl. Math. Optim. (2020).

Submitted March 12, 2021 Revised May 19, 2021 Accepted May 26, 2021

Nyurgun P. Lazarev North-Eastern Federal University, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000 nyurgunSngs.ru

Evgenii F. Sharin North-Eastern Federal University, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000 ef.sharin@s-vfu.ru

Galina M. Semenova North-Eastern Federal University,

Yakutsk Branch of the Regional Scientific and Educational Mathematical Center "Far Eastern Center of Mathematical Research," 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia sgm.08@yandex.ru

, Russia

, Russia