Верхние оценки сложности многообразий, склеенных из двух многообразий Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

чем многообразий без этих дополнительных структур. А для больщинства аналогичных инвариантов соответствующие ТКТП имеют дело с еще более необозримыми множествами объектов. Здесь t-инвариант оказывается интересным как пример, позволяющий входить в тематику ТКТП ценой сравнительно небольших вычислений.

Литература

[1] Turaev, V. G. State sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols / V. G. Turaev,

O. Y. Viro // Topology. - 1992. - Vol.31. - P. 865 -902.

[2] Матвеев, С. В. Построение и свойства t-инварианта / С. В. Матвеев, М. А. Овчинников, М. В. Соколов // Записки научных семинаров ПО-МИ. - 2000. - Vol.267. - P. 207 - 219.

[3] Morimoto, K. Some orientable 3-manifolds containing Klein Bottles / K. Morimoto // Kobe J. Math. - 1985. - Vol.2. - P. 37 - 44.

[4] Овчинников, М. А. Построение простых спайнов многообразий Вальдхаузена / М. А. Овчинников // Труды Международной конференции “Маломерная топология и комбинаторная теория групп. Челябинск 1999“. - Киев: Институт математики, 2000. - P. 65 - 86.

[5] Ovchinnikov, M. A. Values of the t-invariant for small Seifert manifolds / M. A. Ovchinnikov // [Электронный ресурс]. - Режим доступа: Preprint. arXiv:math.GT/0806.2073, свободный.

[6] Овчинников, М. А. Представление гомео-топий тора простыми полиэдрами с краем / М. А. Овчинников // Математические заметки. — 1999. - Vol.66,4. - P. 533 - 540.

УДК 515.162

ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ СЛОЖНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ, СКЛЕЕННЫХ ИЗ ДВУХ МНОГООБРАЗИЙ ЗЕЙФЕРТА С БАЗОЙ ДИСК И ДВУМЯ ОСОБЫМИ СЛОЯМИ

Е. А. Фоминых

UPPER BOUNDS OF COMPLEXITY FOR GRAPH-MANIFOLDS OBTAINED BY GLUING TOGETHER TWO SEIFERT MANIFOLDS FIBERED OVER THE DISC WITH TWO EXCEPTIONAL FIBERS E. A. Fominykh

В работе доказана формула, позволяющая вычислять верхние оценки сложности граф-многообразий, склеенных из двух многообразий Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями.

We prove a formula for an upper bound of complexity of graph-manifolds obtained by gluing together two Seifert manifolds fibered over the disc with two exceptional fibers.

Ключевые слова: трехмерные многообразия, сложность.

Keywords: 3-manifolds, complexity.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 10-01-96035) и Программы, выполняемой совместно Институтом математики и механики УрО РАН и Институтом математики СО РАН (проект № 09-С-1-1007).

1. Введение

Пусть М — компактное трехмерное многообразие. Напомним [1], что подполиэдр Р С М называется спайном многообразия М, если либо дМ = 0 и многообразие М \ Р гомеоморфно дМ х (0,1], либо дМ = 0 и многообразие М \ Р гомеоморфно открытому шару. Спайн Р называется почти простым, если линк каждой его точки вкладывается в полный граф К4 с четырьмя вершинами. Точки, линки которых гомеоморфны графу К4, называются истинными вершинами спайна Р. Оложность с(М) многообразия М определяется как минимальное возможное число истинных вершин почти простого спайна многообразия.

Задача вычисления сложности трехмерных

многообразий является весьма трудной. В настоящее время точные значения сложности известны только для табличных многообразий [2] и для нескольких бесконечных серий многообразий [37]. Поэтому проблема построения "потенциально точных” верхних оценок сложности довольно актуальна. Важные результаты в этом направлении были получены в работах [8-12]. В данной работе доказана формула, анонсированная в [13], позволяющая вычислять потенциально точные верхние оценки сложности граф-многообразий, склеенных из двух многообразий Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

2. Верхние оценки сложности

Будем говорить, что замкнутое ориентируемое граф-многообразие принадлежит классу Л тогда и только тогда, когда ^^разбиение этого многообразия состоит из двух многообразий Зейферта с базой диск П2 и двумя особыми слоями каждое. Пусть О — множество всех целочисленных матриц порядка 2 с определителем — 1. Многообразия класса Л удобно задавать меченными молекулами вида (М\,М2,А), где

Mi

M2

(D2, (pi,qi), (Р2,Я2), (Mi)), (D2, (P3,q3), (P4,q4), (М2)), A Є G,

Х3) замена двух пар параметров (рі,лі), (р і,Лі), і = і, слоев одного атома на пары (рі, ді + рі),

(р і ,лі — р і );

Х4) замена матрицы А, отвечающей выходящему из атома ребру, и пары параметров (рі,Лі) слоя этого же атома на матрицу А

її) и пару (рі, Лі + єрі), где є = ±1;

Х5) замена матрицы А, отвечающей входящему в атом ребру, и пары параметров (рі, лі) слоя

1 0 4 е

этого же атома на матрицу

-1 1

A

пару (pi, qi + epi), где є = ±1.

(рі,Лі) — пары взаимно простых целых чисел, іі,І2 Є Известно, что меченная молекула (М\, М2, А) полностью определяет некоторое многообразие М Є Л следующим образом. Рассмотрим две копии N2, N2 двумерного диска В2 с двумя удаленными открытыми дисками. Граничные окружности этих поверхностей обозначим через 01,02,0' и 03,04,0" соотвественно. Ориентируем поверхности N“1, N22 и многообразия N х Б1, N22 х Б1. На каждом торе Ті = 0і х Б1, 1 ^ і ^ 4, выберем систему координат, состоящую из ориентированных меридиана іі = 0і х {*} и параллели Лі = {*} х Б1. Ориентация меридиана индуцирована ориентацией соответствующей ему поверхности N‘2; параллель ориентируем так, чтобы вместе с внутренней нормалью к тору Ті меридиан и параллель давали выбранную ориентацию многообразия N2 х Б1. Аналогичным образом выберем системы координат ¡і', Л' и ц", Л'', соответственно на торе Т' = 0' х Б1 и торе Т'' = 0'' х Б1. Наконец, заменим две последние системы координат на системы ¡л'(Л'У1 ,Л' и і''(Л'')І2,Л''. Итак, мы задали системы координат на граничных торах многообразий N2 х Б1, N2 х Б1. Дальнейшее построение разбивается на два шага. На первом шаге мы получаем многообразия М1 и М2, приклеивая к N“22 хБ1 и N2 х Б1 полные торы Уі = Б2 х Б1, 1 ^ і ^ 4, по гомеоморфизмам Ні : дУі ^ Ті, каждый из которых переводит меридиан дВ2 х{*} полного тора V в кривую типа (рі, ді). На втором шаге мы получаем многообразие М, склеивая между собой многообразия М1 и М2 по гомеоморфизму р : Т' ^ Т'', задаваемому матрицей А.

Будем говорить, что меченная молекула (М1, М2, А) многообразия класса Л приведена, если ¿1 = ¿2 = —1 и параметры (рі,ді) особых слоев удовлетворяют условию рі > ді > 0, 1 ^ і ^ 4.

Известно, что граф-многообразие не меняется при следующих операциях над меченной молекулой:

Х1) перенумерация особых слоев одного атома;

Х2) удаление или вставка неособого слоя атома типа (1, 0);

Несложно показать, что операций Xi - X5 достаточно для преобразования произвольной меченной молекулы многообразия класса Л в приведенную молекулу этого же многообразия.

Пусть S(p, q) — сумма всех неполных частных в разложении числа p/q в непрерывную дробь, где p, q — натуральные числа. Каждой матрице A Є G сопоставим число

£(A) = S(H + \b\, |c| + \d\).

Следующая теорема представляет основной результат статьи.

Теорема. Пусть (Mi, M2, A) — приведенная меченная молекула многообразия M Є Л. Тогда

4

c(M) < max{£(A) - 2,0} - 2 + ^ S(pi,qi).

i=1

3. Построение спайнов

3.1. Простые относительные спайны

Тэта-кривой в С Т на двумерном торе Т будем называть граф, гомеоморфный окружности с диаметром, дополнение Т \ в к которому есть открытый диск. Обозначим через 0(Т) множество всех тэта-кривых на Т. Хорошо известно, что произвольную тэта-кривую на торе можно преобразовать в любую другую тэта-кривую при помощи изотопии и так называемых флип-преобразований (см. рис. 1).

Рис. 1. Флип-преобразование

Пусть М — компактное ориентируемое трехмерное многообразие с фиксированным графом Г С дМ. Граф Г будем называть узором на крае многообразия М. Обозначим через Т класс всех таких многообразий (М, Г) , у которых каждая

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

компонента Т края дМ является двумерным тором, а Т П Г есть тэта-кривая.

Подполиэдр Р С М называется относительным спайном многообразия (М, Г) £ Т, если выполнены три условия:

1. М \ Р есть открытый шар.

2. дМ С Р.

3. дМ П С1(Р \ дМ) =Г.

Относительный спайн Р называется простым, если линк каждой точки х £ Р гомеоморфен либо окружности (такая точка х называется неособой), либо окружности с диаметром (такая точка х называется тройной точкой), либо графу К4.

Кратко напомним три примера простых относительных спайнов многообразий класса Т, построенных в [14]. Оказывается [15], с их помощью можно построить простой спайн любого замкнутого граф-многообразия.

Пример 1. Пусть V — полноторие с фиксированным меридианом ¡1. Выберем простую замкнутую кривую £ на дV, дважды пересекающую 1 в одном и том же направлении. Заметим, что £ разбивает ¡1 на две дуги. Рассмотрим тэта-кривую ву С дV, состоящую из кривой £ и одной из дуг меридиана 1. Тогда многообразие (У,ву) имеет простой относительный спайн без внутренних истинных вершин, образованный вложенным в полноторие V листом Мёбиуса и частью меридионального диска, ограниченного меридианом 1 (рис. 2а).

Пример 2. Пусть в! ,в2 — такие тэта-кривые на торе Т, что в2 получается из в! одним флип-преобразованием. Тогда многообразие

имеет простой относительный спайн Р с одной внутренней истинной вершиной (на рисунке 2(Ь) тор Т представлен в виде квадрата с отождествленными сторонами). Заметим, что Р удовлетворяет следующим условиям:

• для каждого £ £ [0,1/2) тэта-кривая в1, где Р П (Т X {£}) = в1 X {£}, изотопна в!;

• для каждого £ £ (1/2,1] тэта-кривая в1 изотопна в2;

• Р П (Т X {1/2}) есть букет двух окружностей.

Пример 3. Пусть N2 — диск с двумя удаленными открытыми дисками. Выберем в N2 произвольную внутреннюю точку и соединим ее дугой с каждой компонентой края дN2 так, чтобы эти дуги не имели общих внутренних точек. Построенный букет трех отрезков обозначим через У. В многообразии N2 X £1 рассмотрим полиэдр Р, являющийся объединением дN2 X £1), N2 X {*} и У X £1. При этом удобно считать, что объединение N2 X {*}) и (У X £1) получается приклейкой У X [0,1] к N2 X {*} посредством отображения ф : (У X {0}) и (У X {1}) ^ N2 X {*}. К сожалению, полиэдр Р не является простым. Это легко исправить, меняя приклеивающее отображение ф так, чтобы образы букетов У X {0} и У X {1} пересекались в точке, лежащей внутри их ребер (рис. 2(с)). Тогда новый полиэдр Р является простым относительным спайном с тремя внутренними истинными вершинами многообразия (М, Г) £ Т, где М = N2 X £1 и Г = дМ П С1(Р \ дМ).

Рис. 2. Примеры простых относительных спайнов

3.2. Операция сборки

Пусть (М, Г) и (М', Г') — два многообразия из множества Т с непустыми краями и простыми относительными спайнами Р и Р'. Выберем два тора Т С дМ, Т' С дМ' и гомеоморфизм ф : Т Т', переводящий тэта-кривую в = Т П Г в тэта-кривую в' = Т' П Г'. Тогда можно построить новое многообразие (Ш, А) £ Т, где Ш = М и<р М' и

А = (Г \ в) и (Г' \ в'). Простой относительный спайн многообразия (Ш, А) получается склейкой спайна Р со спайном Р' при помощи гомеоморфизма ф и удалением из объединения Р и^ Р' открытого диска, являющегося отождествлением диска Т \ в с диском Т' \ в'. Будем говорить, что многообразие (Ш, А) получается сборкой многообразий (М, Г) и

(м ', Г').

Известно, что операции сборки достаточно для

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

построения простого относительного спайна многообразия (Ш, Д) в общем случае, когда тэта-кривые ф(в) и в' не изотопны. Введем на множестве ©(Т) всех тэта-кривых на торе Т функцию расстояния й полагая, что для данных тэта-кривых в, в' € ©(Т) число й(в, в') равно наименьшему числу флип-преобразований необходимых для перехода от в к в'.

Лемма 1 [11, лемма 6]. Пусть (М, Г) и (М', Г') — два многообразия из множества Т с непустыми краями, имеющие простые относительные спайны с V и V' внутренними истинными вершинами. Пусть ф : Т ^ Т' — такой гомеоморфизм тора Т С дМ на тор Т' С дМ', что тэта-кривые ф(в) и в', где в = ТП Г и в' = Т' П Г', не изотопны. Тогда многообразие (Ш, Д), где Ш = М и^ М' и Д = (Г \ в) и (Г' \ в'), им,еет простой относительный спайн с V + V + й(ф(в), в') внутренними истинными вершинами.

Рис. 3. Идеальная триангуляция гиперболической плоскости

4. Вычисление расстояний между тэта-кривыми

Для вычисления расстояния й между тэта-кривыми на торе мы будем использовать классическую идеальную триангуляцию Фарея Е гиперболической плоскости Н2. В качестве модели плоскости Н2 рассмотрим верхнюю полуплоскость комплексной плоскости С, ограниченную абсолютом дН2 = М и {те}. Множество вершин триангуляции Е состоит из точек и {1/0} С дН2, где 1/0 = те. При этом две вершины а/с,Ь/й соединены ребром (геодезической в Н2) тогда и только тогда, когда ай — Ьс = ±1. Для удобства изображения на рисунке 3 приведен образ гиперболической плоскости

Н2

и триангуляции Е при отображении

.г ^ (г — г)/(г + г).

Построим отображение Фм,а множества ©(Т) на множество всех треугольников триангуляции Е, зависящее только от выбора системы координат ц, X на двумерном торе Т. Для этого рассмотрим отображение Ф^,а, которое каждой нетривиальной простой замкнутой кривой ¡ла Xе на Т сопоставляет точку а/в € дН2 (ориентация кривой не важна). Заметим, что любая тэта-кривая в на Т содержит три нетривиальные простые замкнутые кривые ¿1,£2,^з, каждая из которых состоит из двух ребер тэта-кривой в. Так как индекс пересечения любых двух кривых 1{,1^, г = у, равен ±1, то точки Ф^,а(£1), гФ^,а(^2), Ф^,а(2з) являются вершинами некоторого треугольника а триангуляции Фарея. Итак, мы полагаем ,А(в) = а.

Определим расстояние между треугольниками триангуляции Фарея как число ребер единственного простого пути в двойственном графе £ триангуляции, соединяющего вершины, лежащие в данных треугольниках (путь единственный, поскольку £ есть дерево). Ключевое для конкретных вычислений наблюдение заключается в том, что при любом выборе системы координат на торе расстояние между тэта-кривыми совпадает с

расстоянием между соответствующими им треугольниками из F. Это следует из того, что если тэта-кривая в' получается из тэта-кривой в одним флип-преобразованием, то соответствующие им треугольники имеют общее ребро.

Приведем два примера вычисления расстояний между треугольниками триангуляции Фарея. Обозначим через o

— ближайший к а (0/1,1/0,1/1) треугольник среди всех треугольников, имеющих вершину в точке a/ß.

Лемма 2 [11, лемма 2]. Для любого положительного рационального числа p/q расстояние между треугольником а (0/1,1/0,1/1) и треугольником a(p/q) равно S(p,q) — 1, где S(p,q) — сумма всех неполных частных в разложении числа p/q в непрерывную дробь.

Рассмотрим второй пример. Сопоставим каж-

л I а b

дой целочисленной матрице A = ( ) с

c d

определителем ±1 ребро єа триангуляции Фарея с вершинами a/c и b/d. Обозначим через <г+ и а— примыкающие к ребру є а треугольники

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

a(a/c, b/d, (a + b)/(c + d) и a(a/c, b/d, (a — b)/(c — d). Аналогично, единичная матрица E определяет треугольники а+ = а (0/1,1/0, 1/1) и а— = а(0/1,1/0, —1/1). В следующей лемме мы предъявляем явную формулу для нахождения наименьшего расстояния между парами треугольников (а+,а—) и (а+,а—).

Лемма 3 [11, лемма 3 (i)].

min d

p,n£{+,-}

5. Доказательство Теоремы

Пусть (МЬМ2,А) — приведенная меченная молекула многообразия М € Л. Для упрощения доказательства теоремы выделим наиболее существенные моменты в отдельные утверждения.

В параграфе 2 мы построили многообразия N“1 х Б1, N2 х Б1, все компоненты края которых снабжены системами координат. Склеим эти многообразия по гомеоморфизму ф : Т' ^ Т", задаваемому матрицей А. Полученное многообразие обозначим через М0.

Зададим узор Г0 на крае многообразия М0. Для этого мы введем понятие базовой тэта-кривой. Пусть Т — тор с фиксированной системой координат ц, Л. Тэта-кривая в на торе Т называется базовой, если кривые л и Л изотопны кривым, содержащимся в в. С точностью до изотопии существует ровно две базовые тэта-кривые: положительная и отрицательная. Базовую тэта-кривую будем называть положительной и обозначать в+,если Фм,л(в+) = а+. Аналогично, базовая тэта-кривая в- называется отрицательной, если ^мл(в-) = а—. В качестве узора Го выберем объединение четырех положительных базовых тэта-кривых в+ С Тг, 1 ^ г ^ 4, на крае многообразия

Мо.

Предложение 1. Описанное выше многообразие (Мо, Го) имеет простой относительный спайн с шах(£(А) — 2, 0) + 6 внутренними истинными вершинами.

Доказательство. На каждом из граничных торов Т1 ,Т'' зададим узор, являющийся базовой тэта-кривой. Тип (положительный или отрицательный) базовых тэта-кривых в' С Т', в" С Т" выбирается так, чтобы число ¿(р(в'), в'') было наименьшим из возможных. Из леммы 3 следует, что ¿(ф(в'),в'') = шах(£(А) — 2,0). Нам осталось показать, что каждое из многообразий (N2 х Б\в+ и в+ и в'), (N2 хБ\в+ ив+ ив") имеет простой относительный спайн с 3 внутренними истинными вершинами. Достаточно рассмотреть первое многообразие.

Напомним, что на каждом торе Тг, 1 ^ г ^ 2, выбрана система координат цг, Лг, тогда как на то-

ре T' выбрана система координат /л'(Х')-1, X'. Если вернуться к первоначальной системе координат ц', X' тора T', то пользуясь методом примера 3 можно построить два простых относительных спайна многообразия N2 х S'1, которые индуцируют узоры на d(N2 х S1), состоящие либо из двух положительных и одной отрицательной, либо из одной положительной и двух отрицательных базовых тэта-кривых. Можно считать, что на торе T' эти спайны индуцируют отрицательные базовые тэта-кривые. Поэтому в системе координат /л'(Х')-1, X' на торе T' эти же спайны индуцируют узоры на d(N2 х S1), состоящие либо из трех положительных, либо из двух положительных и одной отрицательной базовых тэта-кривых 6+ ,6+ ,6'.

Предложение 2 [11, предложение 2].

Пусть T — компонента края многообразия (М, Г) G T с фиксированной системой координат. При этом T П Г есть положительная базовая тэта-кривая на T. Предположим, что многообразие (M, Г) имеет простой относительный спайн с v внутренними истинными вершинами. Тогда многообразие (W, Д), получающееся заклейкой компоненты T края дМ полноторием с параметрами (p, q), где p > 0, q > 0 и Д = Г \ (T П Г), имеет простой относительный спайн с S(p,q) — 2 + v внутренними истинными вершинами.

Доказательство Теоремы. Последовательно применяя предложения 1 и 2 мы построим простой спайн многообразия М с max{£(A) — 2, 0} — 2 +

4

+ 2 S(pi,qi) внутренними истинными вершинами.

i=1

Литература

[1] Матвеев, С. В. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий / С. В. Матвеев. - М.: МЦНМО, 2007 - 456 с.

[2] Matveev, S. Atlas of 3-manifolds / S. Matveev, E. Fominykh, V. Tarkaev // [Электронный ресурс].

- Режим доступа: http://www.matlas.math.csu.ru, свободный.

[3] Frigerio, R. Complexity and Heeagaard genus of an infinite class of compact 3-manifolds / R. Frigerio, B. Martelli, C. Petronio // Pacific J. Math. - 2003. - Vol. 210. - P. 283 - 297.

[4] Anisov, S. Complexity and Heeagaard genus of an infinite class of compact 3-manifolds / S. Anisov // Mosc. Math. J. - 2005. - Vol. 5, no. 2. - P. 305 -310.

[5] Jaco, W. Minimal triangulations for an infinite family of lens spaces / W. Jaco, H. Rubinstein, S. Tillmann // J. Topology. - 2009. -Vol. 2, no. 1. - P. 157 - 180.

[6] Jaco, W. Coverings and minimal triangulations of 3-manifolds / W. Jaco, H. Rubinstein, S. Tillmann // Algebraic & Geometric

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий

Topology. - 2011. - Vol. 11, no. 3. - P. 1257 - 1265.

[7] Веснин, А. Ю. Точные значения сложности многообразий Паолюци - Циммермана / А. Ю. Веснин, Е. А. Фоминых // Докл. Акад. наук

- 2011. - Том 439, No. 6. - С. 727 - 729.

[8] Martelli, B. Complexity of geometric 3-manifolds / B. Martelli, C. Petronio // Geom. Dedicata. - 2004. - Vol. 108. - P. 15 - 69.

[9] Веснин, А. Ю. Двусторонние оценки сложности многообразий Лёбелля / А. Ю. Веснин, С. В. Матвеев, К. Петронио // Докл. Акад. наук

- 2007. - Том 416, No. 3. - С. 295 - 297.

[10] Matveev, S. Two-sided asymptotic bounds for the complexity of some closed hyperbolic three-manifolds / S. Matveev, C. Petronio, A. Vesnin // J. Australian Math. Soc. - 2009. - Vol. 86, no. 2. -P. 205 - 219.

[11] Фоминых, Е. А. Верхние оценки сложности для бесконечной серии граф-многообразий /

Е. А. Фоминых // Сиб. электр. мат. изв. - 2008. -Том 5. - C. 215 - 228.

[12] Фоминых, Е. А. Хирургии Дена на узле восьмерка: верхняя оценка сложности / Е. А. Фоминых // Сиб. мат. жур. - 2011. - Том 52, No. 3. -C. 680 - 689.

[13] Fominykh, Е. On the complexity of graph-manifolds / Е. Fominykh, M. Ovchinnikov // Сиб. электр. мат. изв. - 2005. - Том 2. - C. 190 - 191.

[14] Овчинников, М. А. Представление го-меотопий тора простыми полиэдрами с краем / М. А. Овчинников // Мат. заметки. - 1999. -Том 66, No. 4. - C. 533 - 539.

[15] Овчинников, М. А. Построение простых спайное многообразий Вальдхаузена / М. А. Овчинников // Сб. трудов Межд. конф. “Маломерная топология и комбинаторная теория групп”.-Киев: Институт математики НАН Украины, 2000.

- C. 65 - 86.