К проблеме Варинга для многочленов специального вида

УДК 511

К ПРОБЛЕМЕ ВАРИНГА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Б. Г. Федорищев1

В работе дается оценка числа слагаемых в обобщенной проблеме Варинга для нечетных целозначных многочленов.

Ключевые слова: проблема Варинга, целозначно-примитивный многочлен, нечетный многочлен, оценка числа слагаемых.

An estimate of the number of summands in the generalized Waring problem for odd integer-valued polynomials is given in the paper.

Key words: Waring problem, integer-valued primitive polynomial, odd polynomial, estimate for the number of summands.

Варинг [1, c. 204-205] сформулировал ряд утверждений, обобщающих известные утверждения Ферма о том, что всякое натуральное число является суммой не более трех треугольных чисел и всякое натуральное число является суммой не более четырех квадратов натуральных чисел. Он утверждал, что всякое натуральное число является суммой четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвертых степеней и т.д. То есть это можно сформулировать так: для всякого фиксированного натурального числа k ^ 2 существует целое s = s(k), зависящее только от k, такое, что любое натуральное число является суммой s неотрицательных k-х степеней натуральных чисел. И в общем виде утверждение Варинга таково: всякое натуральное число, удовлетворяющее подходящим условиям делимости, представляется суммой ограниченного числа значений многочлена с целыми коэффициентами.

Современные постановки задач и наилучшие результаты в проблеме Варинга, связанные с методами Харди-Литтлвуда и Виноградова, для больших k принадлежат А.А. Карацубе и Р. Вону.

В 1986 г. Д.А. Митькин [2] дал окончательную оценку числа слагаемых в проблеме Варинга для многочленов общего вида и указал на возможность ее улучшения для многочленов специального вида.

Рассмотрим постановку задачи для нечетных целозначных многочленов.

Многочлен f (ж) называется целозначным, если f (ж) целое для всякого целого ж, и примитивным, если не существует такого натурального q > 1, что сравнение f (ж) = 0 (mod q) удовлетворяется тождественно для всех целых ж. А также будем называть f (ж) нечетным многочленом, если для любого ж выполняется равенство f(-ж) = —f(ж).

Пусть n ^ 3; s, N — натуральные числа; f (ж) — нечетный целозначно-примитивный многочлен степени n с положительным старшим коэффициентом а. Обозначим через Is (N) число решений уравнения

f

в целых положительных ж1,..., ж^ Хуа (см. [3, гл. 4]) показал, что если

( 2п + 1 при 2 < n < 10,

s ^ { 2

[ 2n2(2 ln n + ln ln n + 2, 5) при n > 10,

то имеет место асимптотическая формула

I8

где p > 0 не зависит от N, а особый ряд as (N) определяется равенством

те

as(N) = £ As(q,N),

q= 1

1 Федорищев Борис Георгиевич — ст. преп. каф. алгебры, геометрии и методики преподавания математики Благовещенск.

гос. пед. ун-та, e-mail: borisfed@mail.ru.

где

Л i АП V^ f S(h,q)\s -2-Ki^N a(u \ V^ 2тгг^£М _ , n

As(q,N) = [—=— ) e « , S(h,q) = 2^e « , q = q{d,qn),

h=1 \ q ' x=i

(h,q) = 1

d — наименьшее общее кратное знаменателей коэффициентов многочлена f (ж). При s ^ 2n +1 для (N) выполняется оценка cts(N) ^ 1, где постоянная в символе ^ зависит только от n.

Асимптотическая формула (2) имеет смысл лишь в случае, когда величина as(N) положительна и не слишком мала при большом N. Разрешимость сравнения

f

для всех простых p и натуральных k в целых является необходимым условием разрешимости

уравнения (1) и достаточным при большом N (см. [3, гл. 4; 4], если

^ _ Г 8 при n = 3, S ^ SR _ \ 2m + 2n + 5 при n > 4 ,

где

-)Г1— 1

m

b _ ^ ,2

2n-i, если n < 12,

2n2 (2 ln n + ln ln n + 3), если n > 12

Обозначим через Gn(f (ж)) и Hn(f (ж)) наименьшие s, при которых для всех достаточно больших N и всех p и к разрешимы уравнение (1) и сравнение (3) соответственно. Далее положим

Gn = max Gn

где f (ж) пробегает все нечетные целозначные многочлены степени n. Тогда справедливо неравенство

Hn ^ Gn ^ max

Хуа [5] доказал, что Gn ^ l(2n+1 ~ 1) при п > 20.

Рассмотрим оценку величины Hn снизу. Обозначим через Hn(f (ж),р, k) наименьшее натуральное s, при котором сравнение (3) разрешимо в целых ж1,..., ж8. И пусть

Hn(f (ж),р) = max Hn(f (ж),р,к), Hn(p) = max Hn(f (ж),р).

k f

Тогда величины Hn и Hn(p) связаны формулой Hn = maxp Hn(p).

Если существует нечетный целозначный многочлен f(ж), принимающий при целых ж только три значения по (mod pk) при p > 2, то для разрешимости сравнения

pk - 1

/(xi) + ... + f(xs) = - (mod

необходимо условие ^ ^(Р — !)• Таким образом, для этого многочлена будет справедлива оценка Нп(Цх),р,к) ^ \{рк- 1).

Критерием целозначности многочлена является представимость его в виде

п / ' X

g

i=0 ^

где an, ...,ai,ao целые (см. [6]). А условие (an, ...,ai, ao) = 1 в представлении (5) обеспечивает примитивность многочлена д(ж).

Лемма 1 (см. [2]). Пусть п натуральное, t = , д(ж) — целозначный многочлен степени п. Тогда

при любом натуральном l для всех целых ж выполняется сравнение

Api+tд(ж) = 0 (mod p1).

Лемма 2 (см. [2]). Пусть n, к натуральные; f (ж) = ап(П) + •• •+ ai(i) + а0 — целозначный многочлен с условием (ап, • • •, ai, ао,р) = 1, и пусть Yk — наибольшее неотрицательное целое с условием, что сравнение Apkf(ж) = 0 (mod р1к) выполняется тождественно. Тогда ^ к + [^Ej] и имеют место сравнения

где

an-j = 0 (mod pan-j), j = 0, ,n - 1,

an-j = maWo,Yk — к —

p — 1

Положим при i = 0,1, 2,

рДж) =

+ Ш

и <(ж) = 0 при целом г < 0.

Построенные таким образом многочлены являются целозначными, так как при любом натуральном г множество значений многочлена <г(ж) совпадает с множеством значений многочлена . Лемма 3. Для любого натурального г справедливы следующие равенства:

жрДж) = (i + 1)pi+i (ж) + (—1)г

i + 1

Pi (ж),

рДж + 1) =

рДж) + Pi—i(ж), если i нечетное;

<г(ж) + <г—(ж) + <^¿-2(ж), если г четное. Лемма 4. Для любого натурального г имеют место соотношения

Pi (ж) =

Е

j=0

ж i—j

j

(ж) = j= Pj (ж)а«'

где

ai,j =(—1)i j Pi-j

+ 2

2

Целозначный многочлен f (ж) будем называть рк-нечетным, если для всех целых ж выполняется сравнение f (—ж) = —f (ж) (mod рк).

Теорема 1. Пусть р простое, к и n натуральные. Целозначный многочлен f (ж) степени n является рк-нечетным тогда и только тогда, когда он представим в виде

n

f(ж) = > OiPiW,

i=0

га+1 р-1

к натуральное, M С Zp, M = 0,

где ага,..., а\, ао целые и d2j = 0 (mod pk), j = 0,1,..., .

Теорема 2. Пусть n нечетное, p ^ 3 простое, в =

MП—M = 0. Пусть f (ж) — pk-нечетный целозначно-примитивный многочлен степени n, принимающий по (mod р)к только три значения. Тогда к ^ в и справедливо равенство f (ж) = А^П(ж) + ркр(ж), где А целое, р(ж) — произвольный целозначный многочлен степени не выше n,

^П(ж) = ^ b

П •>Сж),bj = ¿(—1j-'(f)g(l),

j=o ^j' г=о

^—^ ^—^ / 27гга

^ = -LL'е 5 -е 5

р аем a=i

j

ж

2

Заметим, что при a ф 0

Hn(f (x),p,k) = Hn(af (x),p,k).

Так как для любого нечетного многочлена f (0) = 0, а из примитивности многочлена следует, что существует целое x, такое, что f (x) ф 0 (mod p), то без ограничения общности можем говорить о многочленах, принимающих по (mod pk) значения —1 ,0 ,1. Если в качестве множества M в теореме 2 взять отрезок натурального ряда [1, ], то многочлены Fn(x) по модулю рк будут удовлетворять условию

{0 , если x ф 0 (mod p); 1, если х = a (mod р), 1 ^ а ^ Щ^-] — 1, если х = a (mod р), ^ а ^ р — 1.

п +1

Например, при р = 3 это будет многочлен Fn(x) = (—3)г— 1 1 (ж): Для ДРУГИХ значений р коэффи-

циенты разложения Fn (x) по t£>2i-i(x) не такие "красивые" и здесь приводиться не будут. Однако для всех

п+1 р-1

, что дает нижнюю оценку Нп(р) ^ — 1).

справедливо неравенство к ^ Рассмотрим случай р = 2.

Теорема 3. Пусть п нечетное, тогда для многочлена

Fn

i=1

n+1

no модулю 2 2 справедливо соотношение

(mod 2^) f °> = 0 (mod 2);

Fn(x) ф <1, если x ф 1 (mod 4);

[ —1, если x ф 3 (mod 4).

n — 1

Указанный в теореме 3 многочлен дает возможность получить оценку Нп{2) ^ 2 2 ; так как для разрешимости сравнения

. п — 1 . п-\-1 л

Fn

n-1

необходимо условие s ^ 2 2 .

n-1

Выводы из теорем 2 и 3 позволяют дать оценку F[n ^ 2 2 .

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waring E. Meditationes Algebraicae. Cambridge: Cambridge University Press, 1770.

2. Митькин Д.А. Оценка числа слагаемых в проблеме Варинга для многочленов общего вида // Изв. АН СССР. Сер. матем.1986. 50.1015-1053.

3. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел. М.: Мир, 1964.

4. Hua L.-K. On Waring problem with cubic polynomial summands //J. Indian Math. Soc. (N.C.). 1940. 4. 127-135.

5. Hua L.-K. On a generalized Waring problem // Proc. J. London Math. Soc. Ser. 2. 1937. 43. 161-182.

6. Hua L.-K. Additiv Primzahlentheorie. Leipzig: Feubner, 1959.

Поступила в редакцию 25.12.2009