Обтекание продольных канавок потоком вязкого газа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том X 19 7 9

№ 2

УДК 533.6.011.55:532.582.33

ОБТЕКАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КАНАВОК ПОТОКОМ ВЯЗКОГО ГАЗА

О. В. Денисенко

Рассмотрено влияние узкой (по сравнению с толщиной пограничного слоя) канавки, расположенной по потоку на течение в пограничном слое. Найдено распределение коэффициента теплопередачи. Показано, что если канавка расположена под углом порядка единицы к набегающему потоку, то решение задачи сводится к задаче о поперечном обтекании канавки.

Задача обтекания потоком вязкого газа двумерного или осесимметричного тела, на поверхности которого имеются расположенные вдоль по потоку узкие и неглубокие (по сравнению с толщиной пограничного слоя) канавки, рассмотрена в работе [1]. Как показано, форма профиля канавки оказывает существенное влияние на распределение тепловых потоков, которые могут достигать больших значений в окрестностях угловых точек. В данной работе при тех же предположениях, что и в [1], исследуется случай, когда глубина канавки по порядку величины больше ее ширины. Методом сращиваемых асимптотических разложений получено решение задачи в первом приближении и найдено распределение значений коэффициентов теплопередачи и трения. При этом получено, что существенное изменение характеристик локализовано в окрестностях угловых точек на длинах порядка ширины канавки. По мере продвижения в глубь канавки напряжение трения и тепловой поток экспоненциально уменьшаются и близки к нулю на глубинах больше, чем ширина канавки. Показано, что если канавка расположена под углом порядка единицы к набегающему потоку, то решение задачи сводится к рассмотренной в работе [2] задаче о поперечном обтекании канавки.

1. Пусть L — характерная длина в продольном направлении, к которой отнесены все линейные размеры. Система координат х, у, г — прямоугольная: х—расстояние от передней кромки пластины вдоль по потоку, у— расстояние по нормали к пластине, г — поперечная координата. Пусть ии00, vuто, wu^ — компоненты скорости вдоль осей Ох, Оу и Ог соответственно; рр^, — плотность; ЯРоо давление; — энтальпия (Н — h -)- (и- + v'¿ -f- w3)¡2); — коэффициент

динамической вязкости, причем предполагаем, что вязкость зависит только от температуры, т. е. ¡а = ц (Л) (|а0— коэффициент вязкости при Л = 1/2). Индексом .со“ обозначены параметры в набегающем потоке. Если параметр R,, = рж Z./fi0 1, то вблизи пластины имеется пограничный слой (для пластины с острой передней кромкой при je — 0(1)), течение в котором описывается уравнениями Прандтля. Для толщины пограничного слоя 5, если рассматривать течения в широком диапазоне чисел Мю набегающего потока, удобно использовать оценку 3 =

= (Яо гр) 1,2 > гДе ‘р — порядок давления в пограничном слое. (Например: гр1 при Ер ~82 —тонкое тело, гиперзвуковой режим сильного вязкого вза-

имодействия; вр М“2 — тонкое тело, гиперзвуковой режим слабого вязкого взаимодействия).

Далее, пусть на поверхности пластины имеется узкая (по сравнению с толщиной пограничного слоя о) канавка, расположенная вдоль по потоку. В выбранной системе координат поверхность тела представим в виде

ут= йа [~

Величины Ь.Ь и й/й будем считать малыми параметрами задачи, и функция чр(г/6, л:) является непрерывно дифференцируемой по 2 = г/6 при —

2. Для определения влияния канавки на течение рассмотрим область с характерными размерами х ~ 1, у — Ь, г~Ь, которую ниже будем называть областью 2. (Схема течения в поперечном сечении изображена на рис. 1). Ясно,

Рис. 1

что при 6/5 0 течение в пограничном слое соответствует внешнему решению

в первом приближении для решения в области 2. На основании принципа сращивания с внешним сдвиговым течением в области 2 вводим следующие асимптотические разложения для функций:

у — Ь У, г — />Й, и = — И]

•Л, (К, О, х) +

Р = -р\Ро{х)

Ь-

Р1

) Р = гр ^Ро +

Р1

Подставив соотношения (2.1) в уравнения Навье — Стокса, отбросив члены более высокого порядка, получим распределение продольного компонента скорости и температуры в первом приближении, описывающимися уравнениями Лапласа:

дг Ы1 д- и, „ д2 Й1 „ '

ТУ? + ¿0? = ¿у» — ¿й? = °.

т. е. в области 2 силы инерции и градиент давления по порядку величины меньше, чем силы вязкости. Вследствие того что ¿>6, в координатах )’, 2 профиль

канавки вида

С/г л С и о [2 4 ос,

«і -* ~~~ У; /г, • У при 1 ’

г1-«; гш У -* х.

Кроме того, и, —Л]= 0 на поверхности тела, Сро и Сно — соответственно значения коэффициента трения и теплопередачи в невозмущенном пограничном слое. Для решения уравнений (2.2) применим теорию аналитических функций. Обозначим через V? плоскость переменных У и Й. Пусть 2— V + Н комплексная переменная и аналитическая функция ¿(г) осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости плоскости 2 на область на рис. 2. Причем

ТГ7Т7ТТГГГГ77 ’ПГГТ

7Т77~ГГГТГГ77~

IV Й

¥

Рис. 2

точка Z — 0 соответствует точке А2, точка Z=\—точке А и точка Z = -f- ос — точке А1 (единственность отображения следует из [3]). Пусть U(W) — аналитическая функция, причем Re U — и,. Для аналитической функции U* (Z) — U(ty (Z)J после простых преобразований получим Rei/* = 0 при < = 0 и

д Re U* Ср о dii

lim —зг------------ = С,-, если lim Re -г- = С{.

]Z\-*x ot [Zl-ao az

Так как реальная и мнимая части функции Ü*{Z) удовлетворяют уравнению Лапласа, то функция U*, с учетом условий (2.4), имеет вид: U* (Z) = — iQ CF 0 Zfoiw. Тогда для функции ц, и аналогично для Л,

С . С

«1 = С, 1тф-1

rw г©

здесь функция ф-1 (W') — обратная функция к 4 (Z).

Поскольку область на рис. 2 является четырехугольником, то с помощью интеграла Шварца — Кристоффеля получаем

Ф

Таким образом, поля продольной составляющей скорости и температуры в окрестности канавки полностью определяются значениями потока импульса и энергии в невозмущенном пограничном слое и функцией конформного отображения области на рис. 2 на верхнюю полуплоскость. При заданном значении х распределения локальных значений коэффициента трения CF и теплопередачи Сн, отнесенные к соответствующим значениям в аевозмущенном пограничном слое при сделанных выше предположениях (/?0 » Г, Ь < о, b < d) являются универсальными функциями, г. е. не зависят от условий в набегающем потоке, на внешней границе пограничного сдоя или от вида профиля канавки.

Асимптотика поведения решений при У -> — оо

U\ P'ti» ^1 Pw ^ Л О *2

-----= “=----------Чё sln---------------* я

е

°//о

Итак, при К -* — оо тепловые потоки и напряжения трения уменьшаются экспоненциально.

3. Рассмотрим течение в области 3, в которой у — й, г ~ 6, х ~ 1. Исходя из вида решения в области 2 при К -> — эо, искомые функции представим следующим образом:

и =

“з Н-Ц) 'F О

Ио — g С2 Sin

je (Qg - Q) —— _1

Q2 — O, ’ !tí

«w + r

LH0

u,: v

<Ka)

« & V2(K2Q, Jt);

b~ do.,

W = -у- е ~ь (Ks) w2 (К3. Q. JC); z = 6Й; у = d К2; л: = ж.

Разложения для давления и плотности имеют такой же вид, как и в (2.1), Функции Й2(К) и (Уз) — координаты пересечения линии У2 = const с функцией ?(й, х). (Предполагается, что й>(0) — 1 и fij (0) = — 1 и прямая К2 = const пересекает профиль канавки не болёе двух раз). Подставив соотношения (3.1) в уравнения Навье — Стокса, получим

Г dY

óyJ - (Q„—Q,)» ИЛИ!Р2-г^ Q2_Q,

' ' u n

Сращивание решений в областях 2 и 3 следует непосредственно из выбранного вида разложения (3.1) и условия, что

О ( К2) при Y-;

0.

V? — 2 * : — ^ 1 < 2;

Таким образом, непосредственно в канавке значения скорости, температуры и, следовательно, напряжения трения, теплового потока трансцендентально малы по сравнению с их значениями в области 2 или в пограничном слое. Можно сделать вывод, что отличные от нуля тепловые потоки локализованы на глубинах порядка ширины канавки. В окрестности дна канавки решение задачи сводится к решению задачи в области 2. Но ввиду малости тепловых потоков это решение интереса не представляет.

4. Пусть канавка расположена под углом а к набегающему потоку (рис. 3, вид сверху). Система координат выбрана следующим образом: ось х направлена вдоль канавки; ось г — поперек, ось у— по нормали к пластине. В окрестности канавки вводим разложения для функций:

Рис. 3

х — л:; у — 6 Y; z — bQ;

h — hw -f-

_6

5

_6_

o

- sin a,

Ai ( Y> 2, jí) + . . . ;

и = -y- eos aiíj (Y, Q, x) -b

V = -7Г-0

Po +

Sinaü, (K. )+

*) +

P — гр Po

Вид разложения (4.1) для а, ио и Л обусловлен сращиванием решений в области 2 с течением в пограничном слое, при этом граничные условия будут иметь

вид (2.3). Подставив соотношения (4,1) в уравнения Навье....Стокса, получим,

что в уравнениях неразрывности, энергии и импульса для поперечной состав-

ляющей скорости, члены с компонентом скорости ил меньше основных по порядку величины. Следовательно, течение в области 2 разделяется на пеперечное и продольное, причем определение температуры и составляющих скорости да и V сводится к решению двумерных уравнений в поперечной плоскости. Задача же о поперечном обтекании малых неровностей подробно рассмотрена в работе [2]. Ниже отметим случай, когда

Ь « 83'5 /

Тогда, как это следует из уравнений Навье — Стокса, вязкие силы больше но

порядку величины инерционных сил и задача о поперечном обтекании канавки

сводится к решению уравнений Стокса для составляющих скорости и V[ и к уравнению Лапласа. При этом локальное распределение коэффициента теплопередачи определяется из соотношений (2.5) и (2.6) и не зависит от угла наклона канавки а.

Условие (4.2) дает оценку применимости полученных в п. 2 результатов при наличии угла наклона. А именно, результаты остаются верными при

а < Ъ3'Ь2.

5. На рис. 4 представлено распределение коэффициента теплопередачи, отнесенное к его значению для невозмущенного пограничного слоя. Полуширина канавки принята за единицу и вершина угла соответствует точке А Видно, что на боковой поверхности пластины на расстояниях больших, чем ширина канавки, теплопередача отличается от единицы не более чем на 0,02%. На вертикальной стенке канавки, на расстояниях от вершины угла больших, чем ширина канавки, отнормированная величина теплового потока менее 0,04%. В окрестности угловой точки тепловой поток быстро возрастает и может достигать больших значений по сравнению с его величиной в невозмущенном пограничном

Рис. 4

слое. Качественно полученные результаты согласуются с данными работы [4]. (Точки на рис. 4). Количественное объяснить тем, что в работе [4] ширина канавки больше ничного слоя.

Зависимость максимального ния можно получить с помощью

экспериментальными несовпадение можно чем толщина погра-

ражениях [3]. Это дает результат:

теплового потока от малого радиуса скругле-теории скруглення углов в конформных отоб-

— 1,3

Сн = 2

"шах

где Я — радиус скруглення, отнесенный к полуширине канавки. В частности, С#шах при /? = 0,1 и С//ша ~ 5 при Я = 0,01. Согласно работе [I], результаты,

полученные в п. 2 и 3, допускают простое обобщение на двумерные, осесимметричные течения или на течения в окрестности точки торможения.

В заключение автор выражает признательность В. В. Михайлову и А. В. Зубцову за внимание к работе и весьма полезное и ценное обсуждение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Денисенко О. В. Обтекание продольных канавок потоком вязкого газа. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 9, № 4, 1978.

2. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1363, 1971.

3. Л а в р е н т ь е в М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., »Наука*, 1965.

4. Скуратов А. С. Экспериментальное исследование теплообмена на поверхности затупленного клина, обтекаемого гиперзвуко-вым потоком, при наличии продольной канавки на передней кромке и боковой поверхности. Труды ЦАГИ, вып. 2003, 1979.

Рукопись поступила 1611 1978

.Ученые записки“ >6 2