Исследование свободного и стабилизируемого рьнка, описываемого динамической моделью Вальраса Маршалла с запаздыванием

В.В. Поддубный, Е.А. Сухарева

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНОГО И СТАБИЛИЗИРУЕМОГО РЫНКА, ОПИСЫВАЕМОГО ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛЬЮ ВАЛЬРАСА - МАРШАЛЛА

С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Исследуется поведение свободного и стабилизируемого рынка, описываемого линейной динамической моделью Вальраса -Маршалла при наличии постоянного запаздывания. Рассматриваются как двумерные модели в пространстве переменных цена - предложение, так и трехмерные модели в пространстве переменных цена - предложение - спрос. Стабилизация рынка направлена на ускорение перевода его в состояние равновесия и поддержание в этом состоянии при квадратичном критерии качества управления. Расчет оптимальных траекторий и реализующих их оптимальных управлений производится по схеме Р. Беллмана и К. Кука путем исключения траекторий из функционала качества с последующей оптимизацией функционала по управлениям и построением оптимальных управлений и соответствующих им оптимальных траекторий. Показано, что оптимальное управление удовлетворяет неоднородному линейному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Для расчета траекторий движения неуправляемого (свободного) и управляемого (стабилизируемого) рынков в условиях запаздывания используются модифицированные применительно к дифференциальным уравнениям с запаздыванием методы второго порядка точности - Эйлера с уравниванием, Рунге - Кутта и Хьюна. Исследуются вопросы устойчивости неуправляемых и управляемых траекторий поведения рынка с запаздыванием и вопросы экономической эффективности управления. Приводятся численные примеры.

Вопросы математического описания и исследования динамики поведения рынка во времени в окрестности точки рыночного равновесия приходится признать еще слабо изученными. Процессы «нащупывания» равновесия по Вальрасу и Маршаллу, описываемые дифференциальными соотношениями первого порядка [1], можно считать простейшими динамическими математическими моделями поведения рынка во времени, объясняющими механизм перехода рынка от неравновесного состояния к равновесному. На основе этих моделей можно строить различные модификации динамических моделей рынка, включающие в себя учет различных факторов, так или иначе влияющих на взаимодействие спроса, предложения и цены товара на рынке.

В работе [2] рассмотрена одна из модификаций динамической модели Вальраса - Маршалла - линейная динамическая модель второго порядка, описывающая динамику рынка в пространстве переменных цена - предложение. В работе [3] рассмотрена модель более высокого (третьего) порядка, описывающая рынок системой линейных дифференциальных уравнений в пространстве переменных цена - предложение - спрос. Обе модели являются модификациями и обобщениями линейной динамической модели Вальраса -Маршалла [1] в предположении возможности мгновенной реакции объема предложения на изменение цены товара и рыночного спроса, то есть без учета запаздывания реакции предложения на изменение рыночной цены и спроса. В этом предположении в работах [2, 3] поставлена и решена задача оптимального управления рынком, ускоряющего процесс перехода рынка из неравновесного состояния в равновесное и обеспечивающего оптимальную стабилизацию рынка в состоянии равновесия. Однако без учета запаздываний (рыночных лагов) динамические модели рынка остаются мало реалистичными. Как показано, например, в работе [4], запаздывания существенно меняют картину поведения рынка вплоть до потери его устойчивости.

В настоящей работе исследуется влияние запаздывания на динамику как неуправляемого, так и управляемого рынка, описываемого линейными динамическими моделями Вальраса - Маршалла второго и третьего порядков. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом проводилось по алгоритмам, предложенным в работе [5] и обобщающим известные вычислительные схемы второго порядка точности (Эйлера с уравниванием [6, с.61], Рунге - Кутта [7. С. 166] и Хьюна [8. С. 36]) на случай запаздывающего аргумента. Расчет оптимальных траекторий и реализующих их оптимальных управлений производился по схеме Р. Беллмана и К. Кука [9] путем исключения траекторий из квадратичного функционала каче-

ства с последующей оптимизацией функционала по управлениям. Построение оптимальных управлений и соответствующих им оптимальных траекторий проводилось по методике, близкой к предложенной в работе [10].

ЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЫНКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Модифицированная модель Вальраса - Маршалла второго порядка

Линейная динамическая модель поведения рынка по Вальрасу-Маршаллу хорошо известна [1]. В работе [2] предложена и исследована модификация этой модели в пространстве переменных цена - предложение без учета запаздывания реакции рынка на изменение цены (или в предположении пренебрежимо малого запаздывания). Запаздывание связанно с тем, что предложение товара на рынок в данный момент времени определяется на самом деле рыночной ценой товара в некоторый предыдущий момент времени, поскольку требуется некоторое отличное от нуля время для заказа товара, исполнения заказа, транспортировки и доставки товара на рынок. В данной работе рассматривается та же модель, что и в работе [2], но с учетом запаздывания реакции поставщика товара на изменение рыночной цены.

Пусть Q(t) - объем продаж в текущий момент времени ^ Р^) - рыночная цена товара; т - запаздывание, задержка во времени, связанная с тем, что для производства товара и доставки его на рынок требуется некоторое время т. Объем предложения в момент времени t определяется рыночной ценой товара в предшествующий момент времени t -т.

Тогда изменение во времени цены товара и объемов его поставок на рынок определяется в модифицированной модели Вальраса - Маршалла второго порядка решением начальной задачи для системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом:

= -а( РО1) - Р*) - q(Q(t) - Q*),

ш

^=/1

ш

при заданных в начальный момент ^ = 0 начальных условиях

Р

и заданных начальных значениях вектора решения (начальных функциях) ф^1 ), ф2^ ) на интервале [-т,0]

р

таких, что ф1 (0) = Р0, ф2 (0) = Q0 (условие непрерывности начальных условий в точке ^ = 0). В системе уравнений (1) Р* - равновесная цена товара; Q* -равновесный объем продаж; а >0, Ь >0, q >0, г1 > 0, г2 > 0 - некоторые константы (коэффициенты системы уравнений); т - постоянное запаздывание. Поведение рынка будем рассматривать на некотором конечном промежутке времени t е [!0, Т].

Как видно из уравнения (1), рыночная цена падает, если она больше равновесного значения и (или) если рынок затоварен (объем предложения больше равновесного). И наоборот, рыночная цена растет, если она меньше равновесного значения и (или) если имеется дефицит товара на рынке (объем предложения меньше равновесного). Точно так же, как видно из уравнения (2), объем предложения растет, если имеется дефицит товара и (или) если рыночная цена выше равновесного значения в данный момент (слагаемое г1(Р(1) - Р*) в правой части) или в предыдущий момент (слагаемое г2(Р(! -т) -Р*) в правой части). И

наоборот, объем предложения падает, если рынок затоварен и (или) если рыночная цена меньше равно -весного значения.

Введем векторно-матричные обозначения:

y(t) = [ P(t) - P* Q(t) - Q* ]T

dy(t) : dt

dP

dt

dt

A =

y(t-t) =[ P(t-t)-P* Q(t-t)— Q* J 9(t) =

-a —q

r —b

B

менные - рыночную цену товара P(t) и объем продаж Q(t). Очевидно, более реалистичной была бы модель, учитывающая изменения во времени не только объема продаж, но и объемов предложения QS (t) и спроса Qd (t). При этом объем продаж в каждый данный момент времени определялся бы как минимальная из величин QS (t) и QD (t):

Q(t) = min (QS (t), Qd (t)).

В работе [3] предложена и исследована динамическая модель рынка, описываемого в пространстве переменных цена - предложение - спрос системой линейных дифференциальных уравнений третьего порядка, модифицирующая и обобщающая модель Вальраса - Маршалла в отсутствие запаздывания реакции рынка на изменение цены. В данной работе рассматривается та же модель, что и в работе [3], но с учетом запаздывания реакции поставщика товара на изменение рыночной цены.

Пусть равновесная рыночная цена товара равна P*, а равновесные объемы спроса, предложения и

*

продаж

dt

= —a(P(t) — P ) —

—q (QS (t) — Q ) + qD (QD (t) — Q ),

dQS(t) = Г (P(t) — P*) + r2S (P(t — t) — P*) — dt

— bSS (QS (t) — Q*) + bSD (Qd (t) — Q *), dQD (t) = ,d

dt

= rD (P(t) — P ) —

Ф:(1 ) - Р _Ф2(1 ) - й* _

где Т - знак транспонирования. Тогда система линейных дифференциальных уравнений (1)-(3) с запаздыванием т в векторно-матричных обозначениях запишется следующим образом:

^ = Ау(,) + Бу(,-т),

ш

У

Состояние равновесия (точка покоя рынка) в этих обозначениях есть нуль-вектор у* = 0 .

Модифицированная модель Вальраса - Маршалла третьего порядка

Линейная динамическая модель рынка второго порядка (1) - (3) содержит только две зависимые пере-

-Ъ°5

при начальных условиях в момент ґ0 = 0

Р

и начальных функциях на интервале [-т,0]

Р(Ґ) = Фі (Ґ) , б5 (Ґ) = Ф2 (Ґ) , 0° (Ґ) = Фз (Ґ) ,

ґ є[-х,0],

таких, что фі (0) = Р0, ф2 (0) = 00І , фз (0) = 0° (условие непрерывности начальных условий в точке Ґ0 = 0). В системе уравнений (5) а > 0, д5 > 0 ,

> 0, Ъ55 > 0, Ъ5° > 0, Ъш > 0 , Ъ°° > 0 , 1 > 0,

> 0 , г25 > 0 - некоторые константы (коэффициенты системы уравнений).

Введем векторно-матричные обозначения:

у(ґ) =[Р(ґ) - Р* 05 (ґ) - 0* 0° (ґ) - 0* ]Т ,

йрц) ад55

а

а

а

у О1 -т) =

Р(1 -т) -Р д5 (1 -т)-д* д° (1 -т) -д*

- С - 1 4° " 0 0 0"

А = со -С - 5С Ь5° , В = г5 г2 0 0

г° -Ь° Ь°° 0 0 0

ф(0 =

Фа(0 - Р Ф2 (1) - д* Фз(1) - д*

Тогда система уравнений (5) с начальными условиями (6)-(7) запишется в виде

ау(0

а

У(1) = ф(0

= Ау(0 + Ву(/ -т), 1 е [-т, 0],

вости может возникнуть лишь из-за чрезмерного запаздывания. Чтобы рыночное равновесие не теряло устойчивость даже при больших запаздываниях, необходимо иметь механизм стабилизации рынка в положении равновесия. Этот механизм обеспечивается оптимальным управлением рынком, стабилизирующим рынок в состоянии равновесия. Система дифференциальных уравнений, описывающая управляемую линейную динамическую модель рынка при наличии постоянного запаздывания, в векторно-матричной форме принимают вид

ау(о

а

- = Ау (1) + Ву (1 - т) + Би(1),

Уо = Ф(0),

так что формально модели второго (4) и третьего (8) порядка имеют в векторно-матричных обозначениях одинаковый вид.

УПРАВЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЫНКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Уравнение движения управляемого рынка с запаздыванием

Характер свободного (неуправляемого) движения рынка из начальных условий определяется параметрами системы уравнений, описывающих поведение рынка, - матрицами А и В, а также величиной запаздывания т . Если матрица А выбрана так, что в отсутствие запаздывания (при т = 0) точка покоя (равновесия) устойчива, т. е. вещественные части всех собственных чисел матрицы А отрицательны, то точка равновесия рынка будет устойчивой и при не равном нулю, но сравнительно малом запаздывании. С увеличением запаздывания приближение траектории состояния рынка к точке равновесия замедляется, и при не-

*

котором критическом значении запаздывания т = т траектория рынка перестает приближаться к точке равновесия, точка равновесия становится изолированной точкой, и рынок начинает совершать периодические колебания вокруг точки равновесия. При даль/ * \

нейшем увеличении запаздывания (т>т ) точка равновесия теряет устойчивость, траектория состояния рынка удаляется от точки равновесия, и рынок «разваливается». То же самое происходит и в случае, если точка равновесия рынка неустойчива даже в отсутствие запаздывания, т.е. если матрица коэффициентов А выбрана так, что вещественная часть хотя бы одного собственного числа этой матрицы положительна. Однако в этом случае рынок, очевидно, просто не может существовать. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что в отсутствие запаздывания положение равновесия рынка устойчиво, и потеря устойчи-

у

где и(1) - т -вектор-столбец управлений; Б - п х т -матрица передачи управлений; п - размерность вектора состояния у(1). Вид этой матрицы определяется механизмом управления рынком. Для простоты рассмотрим скалярное управление и(1), когда размерность вектора управления равна единице (т = 1). В этом случае матрица Б является п-вектором-столбцом.

Оптимальная стабилизация рынка с запаздыванием в положении равновесия

Примем в качестве критерия оптимальности управления рынком квадратичный интегральнотерминальный критерий вида:

/ (у, и) = уТ (Т )Ьу(Т) +

Т Т

0 0

Здесь Ь > 0, М(1) > 0 — симметричные неотрицательно определенные п х п -матрицы; N(1) > 0 - положительная кусочно-непрерывная функция. В частности, М(1) = М > 0 - постоянная матрица, N(1) = N > 0 -константа.

Поставим задачу оптимального управления рынком (оптимальной стабилизации рынка в положении равновесия) как вариационную задачу минимизации функционала (10) на решениях системы (9).

Необходимым условием минимума функционала (10) является равенство нулю на оптимальной траектории и оптимальном управлении первой вариации функционала по у(1) и и (1): 5/(у, и) = 0 .

Для вычисления вариации функционала /(у,и) и получения уравнения для оптимального управления и(1) воспользуемся схемой Р. Беллмана и К. Кука [9] исключения из функционала (10) вектора состояния у(1) через решение системы (9) при фиксированном управлении и(1) с последующей минимизацией функционала по управлению и(1) как функции времени. Аналогичный подход используется в работе С. А. Минюка [10].

Вариация функционала (10) с учетом симметрии матриц Ь = ЬТ , М = МТ представляется через вариа-

ции состояния 5у(1) и управления 5и (1) следующим образом:

5 / (у, и) = 2уТ (Т )Ь5у(Т) +

Т Т

+21 уТ

0 0

В работе Р. Беллмана и К. Кука [9] показано, что решение системы (9) представляется в виде 0

у(1) = К(1 )у0 + | К(1 - т - х)Вф(х)ёх +

уТ (Г)ЬК(Т - х)Б +

ь|К(ґ - х)Би(х)ёх, ґ > 0 ,

Ж

- = ЛК(ґ) + ВК(ґ-т), ґ >0,

1

| Ф(ґ)п(ґ)& = 0,

Т

+| уТ (ґ)М(ґ)К(ґ - х)Б Ж + N(х)и(х) = 0 ,

0

ґ є [0, Т].

Используя выражение (12), исключим из уравнения (15) вектор состояния у(ґ):

у0 КТ (Т )ЬК (Т - х) Б +

0

+ | ФТ (9)ВТ КТ (Т - 9 - т)ЬК(Т - х)Б ё9 +

-т

Т

+| БТ КТ (Т - 9)ЬК (Т - х)Би (9)ё 9 +

где п х п -матричная функция К

и начальным условиям К(1) — 0 при 1 < 0, К (0) — I. Здесь 0 - нулевая п х п -матрица; I - единичная п х п -матрица.

Вычислив вариацию 5у(1) решения у(1), представленного формулой (12), получим Т

5у

0

Подставив (14) в (11), исключим из вариации функционала вариацию вектора состояния 5у(1) и

получим выражение для вариации функционала, зави-

сящее только от вариации управления 5и (1):

Т

5 / (у, и) — 2уТ (Т )Ь | К(Т - х) Б5и (х)ёх +

0

Т Т

+21 уТ (1 )М(1) | К(1 - х) Б5и(х)ах.а? +

0 0

Т

+21N (1 )и(1 )5и(1 )й1 .

0

Приравняв вариацию функционала нулю, получим необходимое условие его минимума:

Т

| [уТ (Т )ЬК (Т - х)Б +

0

Т

+| уТ (1)М(1)^(1 - х)БЖ + N(х)и(х)] 5и(х)ёх — 0 .

0

По основной лемме вариационного исчисления [6], утверждающей, что если для любой непрерывной функции п(1) имеет место равенство

+| уТ КТ (ґ)М(ґ)К(ґ - х)Б Ж +

0 Т0

+| Ж | фТ (9)ВТ КТ (ґ - 9 - т)М(ґ)К(ґ - х)Б ё9 -0 -т

Т Т

+| Ж | БТ КТ (ґ - 9)М(ґ)К (ґ -х)Б и(9)ё 9 +

0 0

+N(х)и(х) = 0, х є [0,Т].

Введем обозначения:

/ (х) = у0 КТ (Т )ЬК (Т - х)Б +

0

ь | фТ (9)ВТ КТ (Т - 9 - т)ЬК(Т - х)Б ё9 + -т

Т

+| Ж [у0 КТ (ґ )М(ґ )К (ґ - х)Б +

0

0

І фТ (9)ВТ КТ (ґ - 9 - т)М(ґ)К(ґ - х)Б ё9],

^0

где функция Ф(1) непрерывна на отрезке 1, ¿¡], то Ф(1) = 0 на том же отрезке, получаем уравнение Эйлера для оптимального управления в следующем виде:

-т

^ (х, 9) — БТ КТ (Т - х)ЬК (Т - 9)Б +

Т

+| БТ КТ (1 - х)М(1)К(1 -9)Б Ж,

0

х е [0,Т], 9 е [0,Т].

Используя обозначения (17), приведем уравнение (16) для оптимального управления и (1) к виду неоднородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

Т

/(х) + |^(х,9)и(9)ё9 + N(х)и(х) — 0, хе [0,Т]. (18) 0

Уравнение (18) вместе с уравнением (13) и соотношениями (16), (17) полностью определяет оптимальное управление и(1), переводящее рынок из про-

*

извольного состояния у0 в состояние равновесия у и стабилизирующее рынок в этом состоянии. Оптимальная траектория движения рынка к равновесию, соответствующая оптимальному управлению и(1), определяется равенством (12) или непосредственно решением дифференциального уравнения (9).

г-

Алгоритмы расчета оптимального управления

и оптимальной траектории движения рынка с запаздыванием

Для построения алгоритма численного решения уравнения (18) разобьем промежуток [0,Т] на п не перекрывающихся, примыкающих друг к другу интервалов одинаковой длины к = Т/п равноотстоящими точками

*0 = 0 < ¿1 < *2 < - < 1к < - < 1п = Т ,

*к+1 = *к + к, к = 0, п .

Для численного решения матричного дифференциального уравнения (13) используем схему второго порядка точности, предложенную в работе [5] и обобщающую на случай уравнений с запаздыванием известные для уравнений без запаздывания схемы второго порядка точности (Эйлера с уравниванием, Хьюна и Рунге - Кутта).

Проинтегрируем формально матричное уравнение (13) на интервале времени от 0 до *:

* *

К(*) = К(0) + А| К(*)Ж + В| К(* - т)Л ,

0 0

0 < * < Т .

Вычитая друг из друга эти равенства, взятые при

* = *к+1 и * = *к , получим рекуррентное соотношение:

¿к +1 *к +1

К (*к+1) = К (*к) + А | К (* )Ж + В | К (* -т)Л,

*к *к

к = 0, п .

Вычислим приближенно интегралы с использованием формулы трапеций:

К(*к+1) = К(*к) + А (К(*к+1) + К*)) к /2 +

+ВККк+!-т) + К

Рассмотрим величину т/к > 0 . Обозначим через т = [т/к] целую часть числа т/к , а через £, = (т/к} -его дробную часть. Тогда т/к = [т/к]+(т/к}, так что т = (т + |)к, т > 0, 0 << 1. Подставив в (19) представление т = (т + §)к и *к = кк, к = 0, п, обозначив К (*к) = К к и произведя линейную интерполяцию

К

перепишем (19) в форме

К к+1 = К к + А (К к+1 + К к )/2 +

+В ((1 - |) К к - т+1 + К к - т + |К к=т-1 ) к / 2 .

Отсюда получаем рекуррентное соотношение для вычисления матриц Кк = К(*к), к = 0, п,

К к+1 =К - Ак /2)-1 (I + Ак / 2) К к +

+ (1 - Ак /2)-1 В ((1-|)Кк+1-т + Кк-т +^Кк-1-т )к/2, начиная с единичной диагональной матрицы К 0 = I с учетом того, что К-1-у = 0 , V = 0, т, где 0 - нулевая квадратная матрица.

Вычисляя по формулам (17) функции / (*) и Р(*, х) в точках *к = кк, хг = ¡к , ¡, к = 0, п , представляя интеграл в (18) в виде суммы интегралов по интервалам

[*г -^ *г ], г =1п ,

п

/

¡=1 *¡-1

и вычисляя интегралы под знаком суммы по формуле прямоугольников, получим неоднородную систему линейных уравнений для неизвестных значений управлений в дискретные моменты времени:

п

/(*к) + к X Р(*к,*г )«(*г) + N(*к )и(*к) = 0,

i = 0

к = 0“й . (22) Обозначим через / Р, и, N соответствующие векторы-столбцы и матрицы с элементами

Л = / (*к ) , Фк ,г = кР (*к , ) , ик = и (*г ) ,

ГДе і =

{0

^ = Ж(4 )5к,г, і, к = 0, п к ф і

к = і

- символ Кронекера. Используя

эти обозначения, запишем систему (22) для неизвестного вектора-столбца и в матричной форме f + (Ф + Ж) и =0.

Отсюда находим п-вектор-столбец значений оптимального управления и в дискретном наборе точек ґк,

к = 0, п :

и = -

Более точного вычисления управления можно добиться, вычисляя интегралы в выражении (20) по формуле трапеций. Тогда для вычисления неизвестных управлений в дискретные моменты времени получим неоднородную систему линейных уравнений вида

1 П

f (1к ) + 2 X ( (к , 1г )и(1г ) + Р (Ч , -1)и(4-1) ) +

2 і = 1

+N(*к )и(*к) = 0, к = 0, п .

С измененным обозначением Фк,г = к (2Г(*к, *г) - Г(*к ,*0)5сг- - Р(*к,*п )5пг)/2,

¡, к = 0,п , приходим снова к формуле (24).

При вЫЧислении Лк = Л (*к ) , Рк г = р (*к , ^ ) , ¡, к = 0, п , по формулам (17) интегралы также представляются суммами интегралов по интервалам, определяемым точками разбиения *к, к = 0, п, и вычисляются либо по формуле прямоугольников, либо по формуле трапеций с учетом представления запаздывания в виде т = ( т + |) к, т > 0, 0 <|<1, и с использованием формулы линейной интерполяции (20). Явный вид выражений, определяющих вектор / и матрицу Г, здесь не приводится ввиду их громоздкости.

Число точек разбиения п и, следовательно, величина шага дискретизации к выбираются исходя из требуемой точности вычислений оптимального

управления и оптимальной траектории. Если при удвоении п траектория заметно отличается от траектории, вычисленной при исходном п, следует продолжать удваивать п до тех пор, пока разность траекторий не окажется в допустимых пределах.

Наиболее простыми все вычисления становятся в случае точного выполнения равенства т = тк , т > 0. В этом случае £, = 0 , и никакой интерполяции не требуется. Однако в этом случае невозможно взять шаг вычислений к больше запаздывания т, что при малых т может привести к необоснованно большому объему вычислений.

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОДЕЛЕЙ РЫНКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Модели второго порядка неуправляемого и управляемого рынка с запаздыванием

Рассмотрим численные примеры, иллюстрирующие динамику перехода рынка в состояние равновесия в отсутствие управления (свободный рынок) и при наличии оптимального управления (стабилизируемый рынок). При этом исследуем обе рассмотренные выше модели рынка с запаздыванием - модель второго порядка в пространстве переменных цена - предложение и модель третьего порядка в пространстве переменных цена - предложение - спрос. Сначала рассмотрим модель второго порядка.

Пусть в модели второго порядка (4) матрицы А, В и Б имеют следующий вид:

А =

-0,4 -1,5 0,1 -0,5

В

0 0, 2

Б

ционале качества управления (10), - постоянные, единичные, диагональные:

Ь

1 0 0 1

Ш(ї) =

1 0' 0 1

а множитель, штрафующий в функционале (10) мощность управления и определяющий тем самым ресурс управления, принимает для рассматриваемого примера постоянное значение Ж(*) = 10. В отсутствие управления формально Ж(*) = да, на самом же деле просто В = 0 (нулевая матрица).

На рис. 1, 2 и 3 приведены траектории движения к состоянию равновесия неуправляемого (сплошные линии) и оптимально управляемого (пунктирные линии) рынков. На рис. 1 и 2 эти траектории приведены в координатах время - отклонение цены от равновесной и время - отклонение объема поставки от равновесного соответственно. На рис. 3 приведены

так что, как видно из структуры матрицы В, запаздывание имеется только во втором уравнении, описывающем скорость изменения объема поставки товара на рынок в зависимости от цены товара (в текущий момент времени и в момент, предшествовавший текущему со сдвигом на величину запаздывания т) и объема товара на рынке в текущий момент времени. Управление, как видно из структуры матрицы Б, предполагается осуществлять только через скорость изменения поставки товара на рынок (но не через цену).

Пусть начальное состояние рынка характеризуется отклонением его от равновесного значения на величину у0 = [5 -1,33]Т , то есть цена товара в начальный момент времени *0 = 0 выше равновесной, а количество товара - меньше равновесного (на рынке -товарный дефицит). Пусть запаздывание реакции рынка на изменение цены товара равно т = 10 , а время наблюдения за рынком Т = 200 в некоторых условных единицах времени. И пусть, наконец, рынок пребывал в течение времени т до начального момента

*0 в том же состоянии, что и в начальный момент времени. Следовательно, предполагается, что вектор-функция ф(*) = у0 оставалась постоянной в течение всего промежутка времени запаздывания * е [-т,0].

Пусть матрицы квадратичных форм, штрафующие отклонения рынка от состояния равновесия в функ-

Рис. 1. Динамика цены товара для неуправляемого (сплошная линия) и оптимально управляемого (пунктирная линия) рынка с малым запаздыванием

Рис. 2. Динамика поставки товара для неуправляемого (сплошная линия) и оптимально управляемого (пунктирная линия) рынка с малым запаздыванием

Рис. 3. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и оптимально управляемого (пунктирная линия) рышка с малым запаздышанием

фазовые траектории движения рынка к равновесию в координатах отклонение цены от равновесной - отклонение объема поставки от равновесного. Расчеты проведены по схеме, изложенной в предыдущем пункте. Как видно из приведенных графиков, при принятом здесь запаздывании т = 10 положение равновесия рынка устойчиво, но свободное движение рынка к равновесию происходит значительно медленнее, чем управляемое.

Расчеты показывают, что с увеличением запаздывания неуправляемый рынок все медленнее приближается к равновесию и, наконец, при некотором критическом значении запаздывания ткр точка равновесия рынка теряет устойчивость, траектория неуправляемого рынка перестает приближаться к положению равновесия. При дальнейшем увеличении запаздывания рынок «разваливается» (цена, раскачиваясь около равновесного значения, неограниченно увеличивает со временем амплитуду колебаний, товарный дефицит и затоваривание рынка, периодически сменяя друг друга, также увеличиваются со временем). Фазовая траектория неограниченно удаляется от положения равновесия. Однако оптимальное управление при достаточном ресурсе управления эффективно стабилизирует рынок в положении равновесия даже при больших запаздываниях, что хорошо видно на рис. 4 - 6, полученных при т = 50 (запаздывание больше критического). Кривые рис. 4 - 6 соответствуют кривым рис. 1 - 3, но, как видно из сравнения графиков на этих рисунках, характер поведения неуправляемого рынка резко отличается от поведения оптимально управляемого рынка, стабилизируемого в положении равновесия.

8

4

P(t)-P*0

-4

S-50 0 50 100 150 200

t

Рис. 4. Динамика цены товара для неуправляемого (сплошная линия) и оптимально управляемого (пунктирная линия) рынка с большим запаздыванием

4 ---------------------------------------------

2

Qft)-Q*0

-2

-4 -------------------------------------------------

-50 0 50 100 150 200

t

Рис. 5. Динамика поставки товара для неуправляемого (сплошная линия) и оптимально управляемого (пунктирная линия) рынка с большим запаздыванием

2.5 1.25 ОШ-О* 0 -1.25

2'-8.3 -4.15 0 4.15 3.3

Рис. 6. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и оптимально управляемого (пунктирная линия) рышка с большим запаздыванием

Модели третьего порядка неуправляемого и управляемого рынка с запаздыванием

Рассмотрим теперь более сложную модель (8) третьего порядка поведения рынка в пространстве переменных цена - предложение - спрос. Пусть матрицы динамики этой модели (матрицы коэффициентов) А и В, как и матрица передачи управления Б, постоянны и имеют следующий вид:

о" 1 -1,5 1 " " 0 0 0" "0"

A = 0,1 -0,5 0,4 , B = 0,2 0 0 , D = 1

-0,2 -0,3 -0,6 0 0 0 0

Как видно из структуры матрицы В, скорость предложения товара на рынок в текущий момент времени запаздывает по отношению к цене товара в предшествующий момент времени (сдвиг по времени т). А из структуры матрицы Б следует, что управление рынком осуществляется только через изменение скорости поставки товара (но не через регулирование цены).

Начальное условие у0 и начальные функции ф(*), описывающие начальное отклонение состояния рынка от точки равновесия для дифференциального уравнения (8) с запаздыванием, выберем аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае:

У0 = [5 -1.33 -1.33] , ф(*) = у0, * е [ т,0].

Матрицы, штрафующие отклонение состояния рынка от равновесного в функционале качества управления (10), выберем, как и в предыдущем случае, постоянными, единичными, диагональными:

"1 0 0" "1 0 0"

0 1 0 , M(í) = 0 1 0

0 0 1 0 0 1

а коэффициент N(*) > 0 , штрафующий управления и тем самым определяющий ресурс управления, равным N(*) = 10 , как и в предыдущем случае.

Рассмотрим два варианта рынка: с малым запаздыванием т = 10 < ткр (рис. 7 - 9) и с большим запаздыванием т = 50 > ткр (рис. 10 - 12). Расчеты оптимальных управлений и оптимальных траекторий проведены в соответствии с изложенной выше вычислительной схемой. Интервал времени - тот же, что и в предыдущем случае (от *0 = 0 до Т = 200).

Рис. 7. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и управляемого (пунктирная линия) рынка с малым запаздыванием в координатах цена - предложение

Рис. 10. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и управляемого (пунктирная линия) рынка с большим запаздыванием в координатах цена - предложение

Рис. 8. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и управляемого (пунктирная линия) рынка с малым запаздыванием в координатах цена - спрос

1.4

0.7

СЮЩ-СГО

-0.7

-1.4

V ма

V

-9

-4.5

0

РЩ-Р’

4.5

Рис. 11. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и управляемого (пунктирная линия) рынка с большим запаздыванием в координатах цена - спрос

Рис. 9. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и управляемого (пунктирная линия) рынка с малым запаздыванием в координатах спрос - предложение

3.5

1.75

йЗЙ-СГо

-1.75

-3.5

_ ^ _ ал--- У

У

-1.4

-0.7

0

СЮЙ-СГ

0.7

1.4

Рис. 12. Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (сплошная линия) и управляемого (пунктирная линия) рынка с большим запаздыванием в координатах спрос - предложение

На рис. 7 - 9 приведены фазовые траектории движения к равновесию рынка, описываемого модифицированной моделью Вальраса - Маршалла третьего порядка с малым запаздыванием. На рис. 10 - 12 приведены фазовые траектории движения к равновесию рынка, описываемого той же моделью, но с большим запаздыванием. Сплошными линиями изображены траектории движения неуправляемого (свободного) рынка, пунктирными - оптимально управляемого (стабилизируемого) рынка.

Как видно из сравнения рисунков, иллюстрирующих динамику рынка при малых (меньше критического) и больших (больше критического) запаздываниях

в отсутствие и при наличии оптимального управления, точка рыночного равновесия устойчива при малых запаздываниях как в отсутствие управления, так и при оптимальном управлении. Но скорость перехода управляемого рынка к равновесию выше, чем свободного, причем, как показывают исследования, тем выше, чем больше ресурс управления. При больших запаздываниях, превышающих критический уровень, точка рыночного равновесия теряет устойчивость для свободного рынка, но сохраняет устойчивость в широких пределах изменения запаздывания для стабилизируемого рынка (при наличии достаточного ресурса управления).

ЭКОНОМИЧЕСКИМ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЫНКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В работе [3] проведен простой экономический анализ динамической модели рынка без запаздывания, показавший выгодность для поставщика товара (продавца) стабилизации рынка в положении равновесия. Покажем, что стабилизация рынка выгодна поставщику товара и при наличии запаздывания реакции поставщика на изменение рыночной цены до тех пор, пока запаздывание не приведет к потере устойчивости состояния рыночного равновесия.

Пусть С0 Р < Р - цена, по которой поставщик покупает товар у производителя (здесь С0 < 1 - доля цены производителя по отношению к равновесной рыночной цене). Подсчитаем суммарную прибыль поставщика на траектории движения рынка к равновесию.

В каждый данный момент времени t объем продаж в единицу времени равен минимальному из значений объемов спроса и предложения:

2(1) = шт(05 (1), 2° (1)).

Продавая этот объем товара по рыночной цене Р(1), продавец получает в единицу времени выручку Р(1)2(1). Если объем продаж в данный момент времени ниже объема предложения, то есть 2(1) < 2‘5(1), продавец вынужден платить за хранение непроданного товара (излишки товара на рынке) в каждую единицу времени сумму С Р(1)(2Х(0 - 2Х(0), уменьшающую его выручку на эту величину. Покупая товар у производителя по цене С0 Р , поставщик товара несет затраты в единицу времени, равные С0 Р*2?(1). В результате прибыль поставщика в каждый момент времени составит величину

5 (1) = Р(1 )2(1) - СР(1) ((1) - 2(1)) • 1(25 (1) - 2(1)) -

-С р*25 (1),

где

1( х) =

если х > 0, 0, если х < 0

- единичная ступенчатая функция Хевисайда.

Средняя прибыль в единицу времени на всей траектории движения рынка к состоянию равновесия выражается интегралом

Т

0

Возьмем С0 = 0,5. В следующей таблице представлена средняя прибыль на неуправляемом рынке и на оптимально управляемом (стабилизируемом) рынке при разной цене хранения товара С.

Траектория С = 0,2 С = 0

Неуправляемая 9334 9376

Оптимально управляемая 9933 9952

Равновесная 10000 10000

Как видно из таблицы, даже при отсутствии расходов на хранение товара (С = 0) на оптимально управляемом рынке поставщик получает большую прибыль, чем на неуправляемом. А при равновесном состоянии рынка прибыль поставщика максимальна. При этом, естественно, с ростом расходов на хранение товара прибыль поставщика уменьшается, но общий вывод остается неизменным: равновесный рынок выгоден поставщику (продавцу).

Из полученных результатов можно сделать вывод о выгодности для поставщика стабилизации рынка, описываемого модифицированной динамической моделью Вальраса - Маршалла в пространстве переменных цена - предложение - спрос, не только в случае отсутствия запаздывания реакции рынка на изменение рыночной цены, но и в условиях запаздывания изменения предложения товара к изменениям цены.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: В 2-х т. / Общ. ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2002. Т. 1. 349 с.

2. Поддубный В.В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной моделью Вальраса - Маршалла // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 161 - 171.

3. Поддубный В. В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной динамической моделью Вальраса - Маршалла в пространстве переменных предложение - цена - спрос // Вестник ТГУ. Сер. «Математика. Кибернетика. Информатика». № 284. 2004. С. 80 - 89.

4. Обросова Н.К. Потеря устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа // Математическое моделирование. Т. 10. № 5. 1998. С. 47 - 57.

5. Поддубный В.В. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интерполяцией // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. С. 165 - 174.

6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965. 424 с.

7. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 232 с.

8. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.

9. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

10. Минюк С.А. Об одной задаче оптимального управления для стационарных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. Вып. 1. С. 62 - 70.

Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 20 мая 2005 г.