Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критической прямой

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2009, том 52, №5_____________

МАТЕМАТИКА

УДК 511

Член-корреспендент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев

Первым результатом о нулях дзета-функции Римана £(я) на критической прямой является теорема Г.Харди [1]. В 1914 г. он доказал, что О(1/2 + и) имеет бесконечно много вещественных нулей. Затем Харди и Литтлвуд [2] в 1921 г. доказали, что промежуток (Т,Т + Н) при Н > Т1//4гЕ содержит нуль нечетного порядка 0(1/2 + ¿0. Ян Мозер [3] в 1976 г. доказал, что это утверждение имеет место при Н >Т1б]п2Т . В 1981 г. А.А. Карацуба [4] доказал теорему Харди-Литллвуда уже при Н > Т5 32]п2 Т .

В работе [5] задача о величине промежутка (Т, Т + Н) критической прямой, в которой содержится нуль нечетного порядка дзета-функции, сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм, то есть: пусть (к, I) - произвольная экспоненциальная пара, отличная от (1/2,1/2), Т > Т0 >0,

тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка дзета-функции Римана.

Заметим, что минимизация в(к; I) равносильна минимизации вх (к; I). В этой работе мы находим нижнюю грань величины вх (к; I) по множеству всех экпоненциальных пар. Рассмотрим преобразование

Пусть Р - множество всех экспоненциальных пар, получающихся из пары (0,1) применением А и В -процессов:

Так как В2 (к, I) = (к, I) и А(0,1) = (0,1) , то множество Р состоит из экспоненциальных пар вида

СОСЕДНИЕ НУЛИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА, ЛЕЖАЩИЕ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

Н > Тв(к;1 )1п2 Т,

а, Ь, с, ё, е, / - вещественные.

Р = {А91 БА92Б.Л%Б(0,1)} ВА91БА92В...Л%Б(0,1)}.

По очевидным соображениям АР = {А?1 БА42Б...АЯк Б(0,1)}, БАР = {БАд1БА2В...А?кБ(0,1)} . Следовательно, Р = АР и БАР . Напомним, что А и Б -процессы можно задать как линейные преобразования в проективном пространстве. Пусть

' 1 0 0^ ^0 2 - 1

A = 1 1 1 , в = 2 0 1

v2 0 2V 0 0 2

Тогда

( к ' ( к л ( к ' ( 2l -1л

A l = к +1 +1 , в l = 2к +1

v 1V v 2к + 2 v v 1V v 2 V

и в проективном пространстве они соответственно эквивалентны

\

2к + 2 к +1 +1

2к + 2 1

(М 2 м

2к +1

л = л

2

v1V 1 v 1 V

где (к, Л) = A(k, l) и (к, Л) = B(k, l). Отождествление A и B -процессов с их матрицами особенно удобно, ибо композиции этих процессов соответствуют произведению их матриц. Например, матрицы, представляющие композиции A(B(k, l)), имеют вид AB .

Из соотношения Р = AP'u BAP для множества всех экспоненциальных пар следует,

что inf 01 = inf 01A, либ° inf 91 = inf 91BA.

p p p p

Для нахождения inf {^(k,l) : (k,l)ер} мы будем применять метод минимизации ak + bl + c

с/, (k, l) =-----, в котором используются следующие три леммы:

dk + el + f

Лемма 1. Пусть для 0Х, определенного в (1), выполняется dk + el + f >0 V(k, l) еР.

Определим r : r <inf (k +1) и Y = max(wr + v-u, w + v-u), Z = min(wr + v-u, w + v-u).

p

Если Z > 0, то inf 6l = inf Qx A, если же Y < 0, то inf Qx = inf QxBA.

Доказательство см. [6].

Эта лемма не дает ответа в случае Y >0 и Z <0 . На такой случай нам частично даст ответ лемма 2.

Лемма 2. Пусть C есть конечное произведение A и B - такое, что inf OXBA = inf OXBAC и sup{k +1 :(k, l) е CAP} = r • Если min(rw + v - u, ryw + v - u) > 0, тогда

inf O = inf O A.

Доказательство см. [6].

Суть нашего будущего алгоритма состоит в следующем:

^ ak + bl + c ~ „

Пусть нам дано O (k, l) =---------- с dk+el + f >0. Применяем лемму 1 или лемму 2

1 dk + el + f

(если это возможно) и определяем, какой из случаев inf O = inf OA и inf O = inf QxBA выполняется. Далее заменяем O на соответствующее OA или OxBA (зависит от того, inf O = inf OA или inf O = inf OBA ) и снова повторяем процедуру.

Через определенное количество итераций мы получаем:

inf O = inf OBJAqiBA92B...AqiBA, j = 0,1; qt > 0.

Вполне возможно, что inf O = inf OAq для каждого q > 0. На этот случай ответ дает следующая лемма.

Лемма 3. Пусть O, u, v, w такие, как в лемме L Тогда следующие условия эквивалентны:

a) inf O = inf OAq Vq > 0;

b) inf O = Oi(0,1) ;

c) w + v > u, u < 0 .

Доказательство см. [6].

Таким образом, пошаговое описание алгоритма определения оптимальных экспоненциальных пар [6] имеет следующий вид.

л ak + bl + c „ . ^

1. Проверяем для O =------------условие dk+el + f >0.

dk + el + f

2. Вычисляем £(O ).

3. Применяя лемму 3 к O , проверяем, выполняется ли условие inf O = O (0,1) . Если выполняется, то останавливаемся.

4. Используя лемму 3 к OB , проверяем, выполняется ли условие inf O = ^ .

Если выполняется, то останавливаемся.

5. Используя лемму 1 для проверки равенства inf O =inf OA, либо inf O = inf OBA . Если лемма 1 неприменима, применяем лемму 2. Если и лемма 2 неприменима, то завершаем алгоритм, ибо он не работает в этом случае.

6. Если inf вх =inf вхA, заменяем %(вх) на %(вх A) . Если inf вх =inf вхBA, заменяем %(6Х) на £(0ХBA). В противном случае возвращаемся к шагу 5.

Справедлива следующая теорема

Теорема 1. Пусть Pj множество всех экспоненциальных пар (k, l) отличных от (1/2,1/2) и

ex(K l ) =

l

0,5 - к

Тогда справедливо соотношение

inf 0x(h;l) — R +1,

(k ,l )єР1

где Я = 0.8290213568591335924092397772831120... - постоянная Ранкина. Доказательство. В представлении

, ак+Ы+с

1 ёк+ЄІ + /

в нашем случае а = 0, Ь = 1, с = 0, ё = -1, І = 0 , / = 0.5 .

1. Условие ёк+еІ + / >0, то есть - к + 0.5 > 0, выполняется.

2. Согласно алгоритму минимизации преобразования (1), сопоставим матрицу

(0 1 0 ^

-1 0 0.5

^х =

Определим числа и, v, w следующим образом

и =

а по ним составим вектор

x 0 о о 0 x

II о v = I 0, w =

in 0, 0 - x 0.5 -x 0

= х,

^х) =

V х У

3. Согласно лемме 3, следующие условия эквивалентны:

а) inf вх = inf вхAq, Vq > 0;

б) inf вх = вх (0.1); c) w + v > u, u < 0 .

В нашем случае w + V = 1, и = 0.5 то есть условие с) не выполняется, следовательно, и условии а) и б) также не выполнимы.

4. Лемму 3 применим и к в1В:

в В =

к + 0.5 к + 0.5

-I + 0.5 + 0.5 -l +1

как в случае вг, a = 1, b = 0, c = 0.5, d = 0, l = -1, f = 1. Сопоставим Вв} матрицу

Вв, =

(1 0 0.5 ^

0 -1 1

Определим числа u, v, w :

u =

0 0.5 1 0.5 1 0

= 0.5, v = = 1, w =

-1 1 0 1 0 -1

= -1,

то есть

£( Вв ) =

V-1 У

Как и в пункте 3, согласно лемме 3, следующие условия эквивалентны:

а) inf Вв = inf вBAq, Vq > 0;

б) inf Вв= Вв(0,1)= в( 1,1 j;

c) w + v > u, u < 0 .

Так как w + v = 0 и u = 0.5, то есть условия с) не выполняются, следовательно, и условия а) и б) также не выполнимы.

К нашему в =---------1--- применим лемму 1, полагая r < inf (к +1) . Согласно

- к + 0,5 р

определению экспоненциальной пары, 0 < к < 1 < l < 1.

Следовательно, l + к > 1. Тогда inf (к +1) > 1. Это означает, что одним из значений r в лемме 0 можно взять r = 1. Следовательно,

Y = max(wr + v -u, w + v -u) = max(r + 0 - 0.5, 1 + 0 - 0.5) = 0.5;

Z =min(wr + v- u, w + v-u) = r - 0.5.

Поэтому, так как Z > 0 , то, согласно утверждению леммы 1,

inf в = inf в A .

6. Так как inf вх =inf вх A, заменяем ^(в ) на ^(в1 A) и находим

к +1 +1

2 к + 2 к +1 +1 1 1

в A = —2к + 2 . =-----------= к +1 +1.

Таким образом,

k | 1 - k + k +1 2k + 2 2

inf = inf QXA = inf (k +1) +1.

Число inf (к +1) играет важную роль в алгоритме определения оптимальных экспоненциальных пар. Это число называется постоянной Ранкина [6] и обозначается через R.

Постоянная Ранкина вычисляется, как предел последовательности Aq1 BAq2 В... A%B..., где первые 50 членов q - последовательности имеют вид

13211 21122 12221 21122 11213 21112 11132 11132 11221 11122.

Результатом применения этих членов будет число

R = 0,82902135 6859133592 4092397772 8311205098 83432703 + 8 х10-43

Таким образом,

Теорема доказана.

inf вх = R +1.

Институт математики Поступило 04.01.2009 г.

АН Республики Таджикистан

ЛИТЕРАТУРА

1. Hardy G.H. - Compt.Rend. Acad.Sci, 1914, v.158, р .1012—1014.

2. Hardy G.H., Littlewood J.E. — Math.Z., 1921, bd. 10, s.283—317.

3. Мозер Я. — Acta arith., 1976, 31, s. 31—43.

4. Карацуба А.А. — Труды МИАН, 1981, т. 157, с.49—63.

5. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. — ДАН РТ, 2006, т. 49, № 5, с. 393—400.

6. Graham S.W. Kolesnik G. Vander Corput's Method of Exponential sums. Cambridge university press. 1991, Cambridge, New Vork, Port Chester, Melbourne, Sydney.

З.Х,.Рах,монов, Ш.А.Хайруллоев НУЛ^ОИ ^АМСОЯИ ДЗЕТА-ФУНКСИЯИ РИМАН, КИ ДАР ХАТИ РОСТИ КРИТИКИ МЕХОБАНД

Дар мак;ола бо истифода аз методи оптимизатсияи чуфтх,ои экспоненсиалй дарозии порчаи хати рости критикй, ки дорои нули тартиби токи дзета-функцияи Риман мебошад, бо воситаи доимии Ранкин ифода карда шудааст.

Z.Kh.Rakhmonov, Sh.A.Khairulloev THE NEIBOUR ZERO OF THE RIEMANN’S ZETA-FUNCTION LAYING ON A CRITICAL LINE

Applying the method of optimization exponent pairs we express the lenth of an interval of critical line which has an odd order zero of zeta-function by the Rankinn's constant.