О некоторых модификациях обобщенной теоремы Джексона для наилучших приближений периодических функций

УДК 517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1

В. В. Жук, О. А. Тумка

О НЕКОТОРЫХ МОДИФИКАЦИЯХ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА ДЛЯ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Рассмотрим пространство непрерывных периодических функций с равномерной нормой. Структурные свойства функций в настоящее время принято характеризовать посредством модулей непрерывности различных порядков. В 1911 г. Д. Джексон установил ряд фундаментальных теорем, дающих оценки наилучших приближений посредством модуля непрерывности первого порядка самой функции и ее производных. Эти результаты были позднее распространены на случай, когда оценки наилучших приближений производятся при помощи модулей непрерывности произвольного порядка. Такого типа неравенства играют важную роль в теории аппроксимации, и их изучению (в различных направлениях) посвящено большое количество работ многих авторов. Аналогичные соотношения принято называть прямыми теоремами или обобщенными неравенствами Джексона. Неравенства, содержащие оценки нормы промежуточной производной посредством норм самой функции и ее производной более высокого порядка, чем оцениваемые производные, также играют важную роль в теории аппроксимации. Их принято называть неравенствами Ландау—Колмогорова. В данной работе для широкого класса пространств получены нестандартные модификации неравенств типа Джексона с учетом направления, подсказанного неравенствами типа Ландау-Колмогорова. Основным аппаратом, используемым в работе, служат методы приближения, построенные на основе функций В. А. Стеклова. Библиогр. 8 назв.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модули непрерывности, обобщенная теорема Джексона.

Zhuk V. V., Tumka O. A. On some modifications of Jackson's generalized theorem for the best approximations of periodic functions // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 40-50.

Let us consider the space of continuous periodic functions endowed with the uniform norm. The structural properties of the functions are commonly characterized by moduli of continuity of various orders. In 1911, D. Jackson established a number of fundamental theorems that give estimates for the best approximation by the modulus of continuity of the first order for the function and its derivatives. These results were later extended to the case when the estimates of the best approximations are produced by the moduli of continuity of arbitrary order. Inequalities of this type play an important role in the theory of approximation and is studied (variously ways) in a large number of works of many authors. Similar relations are called direct theorems or generalized Jackson inequalities. Inequalities that contain the estimates of norm for intermediate derivative by the rules norms of the function and its derivatives of a higher order than the ones being estimated also play an important role in approximation theory . They are called the inequalities of Landau-Kolmogorov. In this paper the non-standard modification of Jackson-type inequalities with respect to the direction suggested by inequalities of Landau-Kolmogorov are obtained for a wide class of spaces obtained. The main instruments used in the work are approximation methods built on the basis of functions of V. A. Steklov. Bibliogr. 8.

Keywords: best approximation, moduli of a continuity, Jackson's generalized theorem.

Пусть C - пространство 2^-периодических непрерывных функций с равномерной нормой, En(f) - наилучшее приближение функции f тригонометрическими полиномами порядка не выше n в пространстве C, wr (f, h) - модуль непрерывности функции f порядка r в пространстве C.

© В. В. Жук, О. А. Тумка, 2014

Хорошо известно (см. [1, с. 274-275; 2, с. 202-208]), что для любой / € С « при п € Ъ+ справедливо неравенство

и ' (п+1)к У ' п + 1У' ^

где постоянная С(к, г,7) зависит только от выписанных аргументов.

Неравенства типа (1) играют важную роль в теории аппроксимации, и их изучению (в различных направлениях) посвящено большое количество работ многих авторов.

Утверждения, аналогичные соотношению (1), принято называть прямыми теоремами теории аппроксимации или обобщенными неравенствами Джексона.

В настоящей работе устанавливается ряд утверждений, содержащих нестандартные модификации неравенства (1).

Приведем один пример полученных результатов. Утверждение 1. Пусть п € Ъ+, т € К, а € (0, 2т],

вир .Н^^Н

0<г<к

га

где (/) - симметричная разность порядка 2т с шагом Ь. Тогда для функции / €

С(2) такой, что вир&2т,а(/(2),к) < ж, справедливо неравенство

к>0

П( , Л ЕМ) V

Еп

где

ко

а постоянные В(т) и К (а) (они выписаны явно) зависят только от выписанных аргументов.

Для В(т) при любом т € N справедлива оценка: В(т) < п2.

Отметим, что при г € К, г ^ 2т для любой / € С(т) будет

&2т,т (/, к) < Ш2т-г(/(т), к),

а для / € С(2) при п € Ъ+ справедливо неравенство

п2

ЕМ) <

1. Обозначения. Вспомогательные предложения.

1.1. Пусть в дальнейшем И., И+, Z+, N - соответственно множества вещественных, неотрицательных вещественных, неотрицательных целых, натуральных чисел; [а], где а € И, - целая часть числа а.

Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв, доопределяются в ней по непрерывности; в других случаях символ ^ понимается как 0; символ 0 • (+оо) понимается как

Через С обозначаем пространство непрерывных 2п-периодических функций /: И ^ И с нормой \\/1| = тах \/(ж)\.

Если г € Z+, то

п

С(г) = {/ € С : 3/(г) € С],С0г) = {/ € С(г), ! / = 0},Со = С(0).

—п

Для / € Со при г € N через /г) обозначаем функцию из СоГ) такую, что

(/{—г))(г) = /.

Пусть в пространстве С введена полунорма Р. Будем говорить, что Р принадлежит классу А, если выполнены следующие условия:

1) существует такая постоянная М, не зависящая от /, что Р(/) ^ М\\/У для любой / € С;

2) полунорма Р инвариантна относительно сдвига, т. е. для любой / € С и любого Н € И. справедливо равенство Р(/( + Н)) = Р(/).

Линейное множество ММ С С, в котором введена полунорма Р, принадлежащая классу А, будем называть пространством МР.

Пусть / : И ^ И,г € Z+. Тогда 6Г (/,х) - центральная разность г-го порядка функции / с шагом Ь:

г

та *) = £(-! )кС?/(х + (^-к) *);

к=0

если / € СР, то

\t\^h

ее модуль непрерывности порядка r в пространстве CP. Пусть f € CP, а € [0, r], h> 0. Тогда полагаем, что

Slr,a(f,h)= SUP Р(<!(/)), iir,a(/,0)= lim ilr,a(f,h).

0<t^h

,,,, i — i v j i ~ ) ----- — i'.a \

ta h^0+

Пусть п € Z+. Тогда Нп - множество вещественных тригонометрических полиномов порядка выше п. Если / € СР, то

Еп(/)= ЬТ Р(/ - Т) т

- наилучшее приближение порядка п функции / в СР.

Легко видеть, что при Р € А и полунорма Еп также принадлежит классу А. Пусть / € С, Н > 0. Через Бку1(/) обозначаем функцию Стеклова первого порядка для функции / с шагом Н:

к/2

х) = \ J + —к/2

Функция Стеклова второго порядка определяется равенством Бк,2(/, х) = Бк,1(Бк,1(/)). Для / € С при т € N полагаем

2 т

2т

к=1

2 т С2тт

к=1

Имеют место соотношения

1

2( — 1)т+1 Г

ин,Мх) = >-- / 5%?и,х){1-±) + /

С2т )

о

1/2

14,т

С2т ./

о

2(_1)т+1

2 т Ст+к

= 7^В-1)*"1^- &

2т к=1

2 т Ст+к

к=1

Полагаем

Г "г— 1 1

I 2 I ^т+гй+Х л/ N т ^т+й

= = ^ = 4Е 2т

к=о (2k + 1) С<2т к=1

к

С

~<т

2т

П/ ч ^ 1 \ ' _

1=0

Величины Кт в литературе часто называются константами Фавара. Отметим, что

1.2. Нам понадобятся следующие известные результаты.

Теорема A (см. [3, с. 148]). Пусть п € Ъ+, г € К, / € С(т)Р. Тогда

К

(п + 1)т

Теорема B (см. [3, с. 148]). Пусть г € К, / € С<0т)Р. Тогда

Р(/) < КтР(/(т)).

Теорема C (см. [3, с. 58]). Пусть функция К непрерывна на множестве И х [а, Ь], где —ж < а < Ь < +ж, К(-,Ь) € С при любом фиксированном Ь € [а,Ь], полунорма

ь ь

Р € А. Тогда функция д = / К(, € С и Р(д) < / Р(К(-,г))А.

а а

1.3. Установим ряд утверждений, имеющих вспомогательный характер.

Лемма 1. Пусть / € СР, г € N а € [0, г]. Тогда, если

Пг,а(/, Но) = 0

при некотором Н0 > 0, то Пг,а (/, Н) = 0 при любом Н € И+.

Доказательство. Будем писать П(Н) вместо Пг,а (/, Н). Из соотношения (6) следует, что иг(/, Н0) = 0. При Н € [0, Но], в силу возрастания функции П(Н), будет П(Н) = 0. Так как при Н > Но

иг(/, Н) <

Н

Но

+ 1 иг(/,Но) = 0,

то П(Н) = 0 при всех Н € Я+.

Лемма 2. Пусть г € N а € [0,г], / € СР такова, что вирк>о Пг,а(/,Н) < Тогда функция П(Н) = Пг,а(/) непрерывна на И+.

Доказательство. Непрерывность П(Н) в точке Н = 0 непосредственно следует из определения функции П. Пусть Н1 > 0. Докажем непрерывность П в точке Н1 справа. Доказательство непрерывности слева аналогично. Пусть Н2 > Н1. Используя элементарные свойства модулей непрерывности (см. [3, с. 96-100]), имеем

ад-ЖМ« «р

Н'а

= вир

рщ)) рты , рты тллц

гс

+

5£Г

Н'^

7

<

< вир Р (61 (/)) < 2ГР(/) вир

1

1

1

1

Н1 ге[к1,к2]

Н'^

+ — вир {Р№(/))-Р№1(/))}< 1

иа

Н1 ге[к1,к2]

вир {Р(61 (/)) - Р(6к1 (/))} <

< 2ГР

На

На

+

На

к=о

-к

Н2 - Н1

к2^к1

0.

Лемма 3. Пусть т € N Н > 0, а € [0,2т], функция / € СР такова, что вирк>о П,2т,а(/,Н) < Тогда

Р(/ - иКт(/)) <

2На

1

-П,2т,а(/, Н).

Ст (а +1)(а + 2) Доказательство. Учитывая равенство (2) и теорему С, находим

Р(1 - Е4,т(/)) = -щгР |/р(4т(/))( <

1 1

2 2На

С2т ) С2т >

Г

1

1

1

г

2ha 1 = r<m 1 I ïT7 rTT^2m,a(/j h).

C2m

Лемма 4. Пусть m G N, h > 0, a G [0,2m], функция f G CP такова, что

supQ2m,a(f,h) < Тогда

h>0

2ha 1 / h\ P

Доказательство. Учитывая равенство (3) и теорему C, имеем

' 1/2 \ 1/2

2

P(f-Vh,m(f)) = —P

C2m

1/2 1/2 2 f 2ha i h\ Г

J ihmAfM{th)adt<^—ihm (/,-J J tadt

7^2m,a (f, — ) •

Ст 2а+1(а +1) 2та ^ '2^ Лемма 5. Пусть т € К, к > 0, функция / € СР. Тогда

Р

Доказательство. Опираясь на равенство (4), получаем

т т+к

О ~D( I m r^m+k m

2m \ k=1 k=1 Лемма 6. Пусть m G N, h> 0, f G CP. Тогда

m+k fc+1 °2 m

k2

B(m)h-2P (f ).

PW,m

Доказательство. Опираясь на равенство (5), находим

2 / m cm+k \ 2P(f) m 2Cm+k

P(YUf)) = -hP Œ^r^SUf)) < {^Y^f- = D(m)h-^P(f).

--- = 1Уут)Г ^ '

Vk=1 / ~2m"- k=1

2. Основные результаты.

Теорема 1. Пусть m G N, a G (0,2m], функция f G Cjf'P такова, что suph>0 &2m,a(f(2) ,h) < Положим

2 / a 2 \

1 f 9 1 a+2 a / / 9 \ a+2 / 9 \ a+2 \

^'-^{(a+lKa + î)"»-^'-*') + (") j

Тогда при любом Н > 0

/2

а

Доказательство. Принимая во внимание (7) и (9), при любом Н > 0 имеем

Р

С2т

+ = 4 {^

Пусть Но > 0. Покажем, что в условиях теоремы соотношения Р(/(2)) = 0, Р(/) = 0, П2т,а(/, Но) = 0 равносильны. Пусть сначала Р(/(2)) = 0. Так как Р(/) < К2Р(/(2)) (в силу теоремы В), то и Р(/) = 0. Далее,

П2т,М{2)^ 0)<2т вир

о<к^ко На

Пусть теперь П2т,а(/(2),Но) = 0. Тогда на основании леммы 1 выполняется П,2т,а(/(2), Н) = 0 при любом Н > 0, и неравенство (12) переходит в неравенство

Р(/(2)) <

Переходя в последнем неравенстве к пределу при Н ^ получаем Р (/(2)) = 0.

Пусть, наконец, Р(/) = 0. Тогда неравенство (12) переходит в неравенство

2На

С2т

Отсюда, переходя к пределу при Н ^ 0, находим, что

Р (/(2)) = 0.

Положим

'А{т){а + 1)(а + 2) Р(/) \ ^

7 - '

а П2т,а(/(2),Но)'

Если 7 = 0, то Р(/(2)) = 0 и неравенство (11) выполняется при любом Н > 0. Будем считать, что ^ > 0. Если Но ^ 7, то, полагая в неравенстве

справедливом при любом Н ^ Но, Н = 7, получаем Р(/(2)) ^ О(Но).

Пусть 7 > Но. Тогда, полагая в неравенстве (12) Н = Но и учитывая, что

аНа+2

имеем

Теорема доказана. 46

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1,

, 2 N рт ^ 1/2

а

Тогда

_ а + 2 / £ \ с* + 2

С&^Ч^ У

х

Доказательство. Если Н > 7 (/), то из соотношения (11) следует, что Р(/(2)) < О(Н). Устремляя Н к 7(/) и принимая во внимание лемму 2, находим, что Р(/(2)) < СШ)), т. е.

а+2 1 /2\ а+2

и:; >

Неравенство (13) - другая запись неравенства (14).

Близким образом, с использованием неравенств (8) и (10) вместо (7) и (9) соответственно доказываются следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть т € N а € (0,2т], функция / € С(1)Р такова, что вирк>о П2т,а(/',Н) < Положим

Тогда при любом Н > 0

1

Р(/') < тах|я(/1),Р»(т)^ + |.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3,

Тогда

В теоремах 1-4 в качестве полунормы Р может быть взята полунорма Еп.

Приведем некоторые следствия теорем 2 и 4. Положим

/ се п__

2 f ( 2 ^ с* + 2 ( / 2 \ а + 2 \ 2 Z

W J (а+1)(а + 2)'

а + 2

Следствие 1. Пусть m G N, n G Z+, а G (0, 2m], функция f G C(2)P такова, что supfe>0 ü2m,a(f (2),h) < Тогда

3

yEn[f{2)))

где

Приведем эквивалентную формулировку следствия 1.

Следствие 1'. Пусть т € К, п € Z+, а € (0, 2т], функция / € С0Р такова, что вирь>0 &2т,а(/,к) < +ж. Тогда

ВД) < 2 Пь,„(/Л(/)),

где

Замечание 1 (см. теорему A). Пусть n G Z+. Тогда

En(f) .

sup - <

п

2

fееVP En(f (2)M 8(n +1)2'

Замечание 2 (см. [4]). При m G N

8 /7 л/2m < ^ B(m) < 8 /7 ^2m + 1

п2 V 2 2m п2 п2\ 2 2m

В частности, B(m) < 7г2. Приведем ряд первых значений В(т): В( 1) = 4, В(2) = ß(3) = 6A,ß(4)=6lf|,ß(5) = 6f.

Замечание 3. Пусть m G N, а G N, а ^ 2m, f G C(a) P. Тогда при любом h G R+

ü2m,a(f, h) < W2m-a(f , h) .

Следствие 2. Пусть m G N, n G Z+, а G (0, 2m], функция f G CP такова, что sup^>0 ü2m,a(f,h) < +ж. Тогда

^ , „ 1 -rr, 1 ^ /„ D(m,a)\

EM < -K(m, а — --— ü2m f, ,

c2m ("+!)" V n+1 J

где

( / 2 \ П2 1 1/2

Для доказательства следствия 2 достаточно сопоставить следствие 1' и замечание 1. Положим

1 ч , 1 ч__«+1 1

1 \ а + 1 / 1 \ а+1 \ 1

а) \а) J 2а(а + 1)'

Следствие 3. Пусть m G N, n G Z+, а G (0, 2m], функция f G C(1)P такова, что supk>0 &2m,a(f ',h) < Тогда

W(f>\< 1 rr л(ЕА!1\ао Л/ ДМ Г1 , Л ВД) А

Следствие 3'. Пусть m G N, n G Z+, a G (0, 2m], функция f G C0P такова, что supk>0 0.2m,a(f,h) < Тогда

Замечание 4 (см. теорему A). Пусть n G Z+. Тогда

ад) .

sup <

/ео(1) р ^(f ') " 2(n + 1)'

Следствие 4. Пусть m G N, n G Z+, а G (0, 2m], функция f G CP такова, что supk>o ^2m,a(f,h) < +ж. Тогда

En(f) < ——L(m, a) (1Г _1_П2т a f/, (I + l) -±-) .

cTm {n+l)a 2m'ay> 4 'n+lj

Приведем ряд первых значений D(m): D( 1) = 2, D(2) = 3, -D(3) = 3|, -D(4) = 4^, £»(5) = 4Я.

В заключение отметим, что настоящая работа в определенной степени является развитием части результатов, полученных в статьях [5—8].

Литература

1. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

2. De Vore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. Berlin; Heidelberg; New York: SpringerVerlag, 1993. 450 p.

3. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 366 с.

4. Foucart S., Kryakin Y., Shadrin A. On the exact constant in the Jackson—Stechkin inequality for the uniform metric // Constr. Approx. 2009. Vol. 29. P. 157-179.

5. Жук В. В. Некоторые точные неравенства между равномерными наилучшими приближениями периодических функций // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201, № 2. C. 263-265.

6. Жук В. В. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями периодических функций // Изв. вузов. Математика. 1973. № 9(136). C. 18-26.

7. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные неравенства между модулями непрерывности различных порядков и наилучшими приближениями периодических функций тригонометрическими полиномами и сплайнами // Докл. АН. 2003. Т. 389, № 5. С. 588-591.

8. Виноградов О. Л., Жук В. В. Дополнения к точным неравенствам типа Джексона и Ландау-Колмогорова для малых производных // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2003. Вып. 4. C. 11-19.

Статья рекомендована к печати проф. А. М. Камачкиным. Статья поступила в редакцию 31 октября 2013 г.

Контактная информация

Жук Владимир Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: zhuk@math.spbu.ru, zhuk@unitel.spb.ru

Тумка Олег Анатольевич — старший преподаватель; e-mail: tumka.oleg@rambler.ru

Zhuk Vladimir Vasilievich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: zhuk@math.spbu.ru, zhuk@unitel.spb.ru.

Tumka Oleg Anatolievich - senior teacher, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: tumka.oleg@rambler.ru.