О некотором свойстве строго монотонных нелинейных операторов в нормированных пространствах

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№ 114

УДК 517.988.8

О НЕКОТОРОМ СВОЙСТВЕ СТРОГО МОНОТОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

А.А. ФОНАРЁВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

В статье приводятся критерии для строго монотонных нелинейных операторов и для обобщённого решения нелинейного уравнения в нормированных пространствах. В качестве примеров рассматриваются сходимость галёр-кинских приближений к обобщённому решению уравнения и оператор средней кривизны.

1. Общая постановка задачи

Метод монотонных операторов [1-3] широко применяется в теории нелинейных уравнений и вариационных неравенств с монотонными операторами. Этот метод применяется при изучении интегральных уравнений, нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, эллиптических и параболических квазилинейных граничных задач, вариационных неравенств и задач оптимизации. С использованием метода монотонных операторов построены приближенные методы решения нелинейных уравнений и вариационных неравенств с монотонными операторами. В частности, при построении приближенных методов применяются сильная и равномерная монотонности нелинейных операторов [1], которые были заменены автором в [4-5] на понятие обобщенного решения при построении итерационных процессов в гильбертовых пространствах.

Автор рассмотрел в статье критерии для строго монотонных нелинейных операторов и для обобщённого решения нелинейного уравнения в нормированных пространствах. Условия критериев позволяют строить приближенные методы решения нелинейных уравнений и вариационных неравенств с монотонными операторами, заменив сильную и равномерную монотонности нелинейных операторов на условия из критериев. В качестве применения условий из критерия для обобщённого решения для нелинейного уравнения в нормированных пространствах рассматривается сходимость галёркинских приближений к обобщённому решению нелинейного уравнения. Введённое автором понятие обобщённого решения нелинейного уравнения в нормированных пространствах сформулировано в [4-5] в гильбертовом пространстве.

В качестве примера к критерию для строго монотонных нелинейных операторов рассматривается оператор средней кривизны.

2. Критерии для строго монотонных нелинейных операторов и для обобщённого решения нелинейного уравнения в нормированных пространствах

Далее используются терминология и обозначения из [1].

Пусть Е — вещественное нормированное пространство с нормой ||х|| для х е Е, Е* — сопряженное с Е пространство; (у, х) — значение линейного непрерывного функционала у е Е* на векторе х е Е, множество К с X. И пусть Е : К  Е* — нелинейный оператор.

Условие (А). Оператор Е называется оператором, удовлетворяющим условию (А), если для каждого вектора 2 е К и чисел г0, г таких, что г0 > 0 и г >||г|| + г0, существует такое число

у = у(г, г0, г) > 0, что (Ех - Ег, х - г) > у для всех х е К с ||х|| < г и ||х - г|| > г0.

Условие (В). Оператор Е называется оператором, удовлетворяющим условию (В), если он строго монотонный (т. е. (^Ех - Ег, х - г) > 0 для х, г е К, х ф г ) и для любого вектора 2 е К из

ограниченности последовательности {гп} с К и (Егп - Ег, гп - г)  0 (п ¥) следует, что гп  г в Е при п  ¥.

Критерий 1. Условия (А) и (В) эквивалентны.

Доказательство. Докажем необходимость. Предположим, что существуют такие элемент г е К и ограниченная последовательность {гп} с К, что (Егп - Ег, гп - г)  0 (п ¥) и последовательность {гп} не сходится к г в Е. Тогда существуют такие подпоследовательность {гп } последовательности {гп}^=1 и числа у> 0, г0 > 0, г, что г >|+ г0, гп < г, гп - г > г0

и {¥гп - Ег, гп ^ > у для каждого г > 1, что противоречит предположению.

Докажем достаточность. Предположим, что существуют такие элемент г е К и числа г0, г, что г0 > 0, г >| г|| + г0 и т^ц х <г^х-2>г (Ех - Ег, х - г) = 0. Следовательно, существует такая последовательность {гп} с К, что ЦгЛ < г, ||гп - г|| > г0 и (Егп - Ег, гп - г)  0 (п  ¥). Значит, гп  г в Е при п  ¥, что противоречит предположению. Критерий 1 доказан.

Критерий 1, являющийся свойством строго монотонных операторов, является основным результатом статьи.

Рассмотрим уравнение

Ех = 0

Определение. Вектор х0 е К называется обобщённым решением уравнения (1), если для

любых чисел г0, г таких, что г0 > 0 и г >||х0|| + г0, существует такое число у=у(г0, г) > 0, что

Отметим, что определение обобщённого решения дано в [4-5] при К = Е в гильбертовом пространстве.

Критерий 2. Вектор х0 е К является обобщённым решением уравнения (1) ^

Ех, х-х0) > 0 для каждого хе К \{х0} и из ограниченности последовательности {хп}п1 с К и Ехп,хп -х0)  0 (п  ¥) следует, что хп  х0 в Е при п  ¥.

Критерий 2 доказывается так же, как критерий 1.

Критерий 2 является свойством обобщённого решения уравнения (1).

Замечание. Доказательство теорем в [4-5] упрощается при использовании критерия 2.

3. Сходимость галёркинских приближений к обобщённому решению нелинейного уравнения

Пусть далее пространство Е является сепарабельным. И пусть (р1,ф2,... ,фп,... — такая линейно независимая система векторов в пространстве Е, что множество всевозможных линейных комбинаций векторов этой системы плотно в Е.

Рассмотрим последовательность конечномерных подпространств {Еп}п=1 пространства Е, где Еп — п-мерное пространство, натянутое на векторы ф„ф2,... ,фп (п > 1).

Для каждого п > 1 рассмотрим систему уравнений Галёркина [1, с. 340]

относительно хе Еп. Решение хпе Еп системы (2) называют галёркинским приближением решения уравнения (1).

Справедлива следующая теорема о сходимости галёркинских приближений к обобщённому решению уравнения (1).

Теорема 1. Предположим, что:

1) К = Е, оператор Е монотонный (т. е. (Ех - Ег, х - г) > 0 для всех х, ге Е ) и уравнение (1) имеет обобщённое решение х0 Е;

2) для каждого п > 1 система (2) имеет решение хп Еп и последовательность {хп}п=1 ограничена в Е.

Тогда хп  х0 в Е при п  ¥.

Доказательство. Для х0 существует такая последовательность

Отсюда, учитывая ограниченность последовательности {Ехп}п=1 с Е* [4, с. 84, Следствие 1.2], имеем

что в силу критерия 2 влечёт сходимость последовательности {хп} к х0 в Е. Теорема 1 дока-

зана.

Теорема 2. Предположим, что:

1) К = Е, оператор Е ограниченный (т. е. оператор Е преобразует любую ограниченную последовательность { уп}п=1 с Е в ограниченную последовательность {ЕУ„ }Г=,с Е ‘ ) и уравнение (1) имеет обобщённое решение х0 Е;

2) для каждого п > 1 система (2) имеет решение хпе Еп и последовательность {хп} ограничена в Е.

Тогда хп  х0 в Е при п  ¥.

В силу единственности предела последовательности в теоремах 1, 2 обобщённое решение уравнения (1) единственно.

Теоремы 1, 2 являются результатами о сходимости галёркинских приближений к обобщённому решению уравнения (1).

Вышеприведённые результаты анонсированы в докладе автором при К = Е на 49-й научной конференции МФТИ [6, с. 110].

(Ехп , хп - хЛ  0 (п

4. Оператор средней кривизны

Пусть №п — п -мерное евклидово пространство со скалярным произведением

п I-----

(х, у) = ^ хгуг и нормой |х| = ^(х, х) для х = (х1,., хп), у = (у1,., уп) е №п; О — ограниченная

2=1

>п

область в №п, т. е. О — открытое связное множество, содержащееся в шаре пространства №п, Ж1,1 (О) — пространство Соболева с нормой [2, с. 44]

ни™ = I

где V" = ("^"х ) — вектор их первых частных производных функции "є Жи(О),

IV"! = "2 + ...+"2.

И пусть Ж01Д(О) — замыкание множества С0°° (О) (С0¥ (О) — множество бесконечно диффе-

г1,1 /

ренцируемых на О функций с компактными (в О ) носителями) в Ж , (О) относительно нормы

(3).

В силу ограниченности области О формула

11"11 ,1Д

определяет в Ж01Д(О) норму, эквивалентную норме (3).

Рассмотрим функцию /(х) = ^ 1 + |х|2 для х = (х1,.,хп)є №п. И рассмотрим оператор

В : Жи(С) К‘(С))*

(Ву,") = | (УVУV")* (у "є Ж01'|(С)).

Оператор В выражает значение средней кривизны и его называют оператором средней кривизны.

Зафиксируем произвольное положительное число М и рассмотрим множество

К = {^ є Ж01Д (О) : |<М їі^д е апр аоаО}.

С использованием равенства

/

выполняющегося в О для функций V, " є Ж1,1 (О), имеем неравенство

(Vv V(v - ")) - (У" V(v - ")) ^ с | - "),2

/

О

О

для функций V, и є К с постоянной

> 0.

Следовательно, для функций V, и е К имеем неравенство

(Bv - Ви, V - и) > с | |У(У - и )|2 ёх.

о

Отсюда имеем неравенство

(Bv - Ви, V - и) > с IV - и Р її

\ ’ / 0 II \Щ,1

для функций V, и е К с постоянной с0 = с • даes(G) > 0, где даes(G) — мера G.

Значит, для оператора ЛК : К (Ж01Д^)) , где 5^ = ^ для V е К, выполняется условие

(А).

Вместо пространства Ж^^О) можно рассмотреть гильбертово пространство Соболева

тельной постоянной с. Выбор пространства Жд,2(0) вместо пространства является более предпочтительным при построении приближенных методов.

В работе рассматриваются критерии для строго монотонных нелинейных операторов и для обобщённого решения нелинейного уравнения в нормированных пространствах. С использованием критерия для обобщённого решения нелинейного уравнения доказывается сходимость галёркинских приближений к обобщенному решению нелинейного уравнения в нормированных пространствах. И рассматривается оператор средней кривизны.

1. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. -М.: Наука, 1972.

2. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978.

3. Гловински Р., Лионс Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - М.: Мир,

Ж01,2(0) [2]. В этом случае для оператора

определяемого так же, как

оператор В с заменами В на ^ и Ж0и(0) на Ж01,2(0), имеем неравенство

для функций V, и е К = е Ж01,2 (О) : |У^| < М гг+де апр аоаО} с определённой выше положи-

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

1979.

4. Фонарёв А.А. О решении уравнений с монотонными нелинейными операторами // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Труды ХЬУП научной конференции Московского физико-технического института. Ч. VII. - М.-Долгопрудный, 2004. С. 4-6.

5. Фонарёв А.А. О некотором проекционном итерационном методе решения нелинейных уравнений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики и их приложения в задачах физики: Сборник научных трудов. - М.: МФТИ, 2005. С. 241-247.

6. Программа 49-й научной конференции МФТИ. - М.-Долгопрудный-Жуковский, 2006.

ON SOME PROPERTY OF STRICTLY MONOTONE NONLINEAR OPERATORS

IN NORMED SPACES

Fonarev A.A.

Criteria for the strictly monotonic nonlinear operators and for the generalized solutions of nonlinear equation in normed spaces are given. The convergence of Galerkin approximations to a generalized solution of an equation is used as an application of the main technique. The operator of the mean curvature is another such application.

Сведения об авторе

Фонарёв Анатолий Афанасьевич, 1942 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1972), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ, автор 110 научных работ, область научных интересов - нелинейные уравнения в нормированных пространствах, приближенные методы нелинейного функционального анализа.