Геометрия грассманиана g (2,4)

Секция 1. Фундаментальные вопросы

УДК 512.734.3

Геометрия грассманиана G

В. С. Куликов

«Учиться и время от времени повторять и совершенствовать изученное — вот в чем радость.»

Конфуций

Введение

Многообразие Грассмана, или грассманиан, G(d, V) = = G(d, n) — это многообразие d-мерных линейных подпространств (кратко, d-плоскостей) в векторном пространстве V размерности n над полем к. Пусть k = C. Подпространство Л С V размерности d — это тоже самое, что (d — 1)-мерное линейное подпространство в проективном пространстве P(V) = = Pn-1. Поэтому о многообразии G(d, V) можно думать как о многообразии Gd-1(P(V)) = Gd-1,n-1 линейных подпространств размерности (d — 1) в проективном пространстве P(V). Чтобы подчеркнуть какой из вариантов определения, аффинный

7

или проективный, мы рассматриваем, будем обозначать многообразие Грассмана либо G(d,n), либо Gd-l,n-l. Обзор теории многообразий Грассмана содержится в работе [1].

Простейший случай, когда многообразие Грассмана отлично от проективного пространства, это — многообразие Грассмана G(2,4) — многообразие прямых в проективном пространстве P3. Вложение Плюккера отождествляет грассманиан G( 2, 4) с квадрикой Клейна Q С P5. Данная работа (лекция) посвящена детальному описанию геометрии грассманиана G( 2, 4), квадрики Клейна, и связи геометрии расположения прямых и плоскостей в P3 с геометрией прямых и плоскостей на квадрике Клейна. Кроме того, вычисляется структура кольца Чжоу G(2, 4) и рассматриваются применения этих вычислений для решения некоторых классических задач исчислительной алгебраической геометрии. Помимо красоты данного сюжета классической алгебраической геометрии, он чрезвычайно полезен для изучения линейчатых поверхностей [3].

1. Вложение Плюккера

Один из способов задания на множестве G(2, 4) структуры проективного многообразия состоит во вложении его в проективное пространство, называемом вложением Плюккера.

1.1. Координаты Плюккера

Пусть V — векторное пространство размерности n = 4. В инвариантных терминах отображение Плюккера

p : G

сопоставляет 2-плоскости Л С V прямую Л2Л С Л^. Если vl, v2 — базис в Л, то Л2Л — это прямая w = C • w, натянутая на бивектор w = vl Л v2, и точка w £ Р(Л2V) не зависит от выбора

8

базиса. В координатах это выглядит так. Пусть e^e2,e3,e4 — базис в V, V ~ C4. Тогда 6 бивекторов вд = вг Л вд, i < j, 1 < < i, j < 4, образуют базис в векторном пространстве Л^ ~ C6. Координаты бивектора w Е Л2V в этом базисе обозначим рд, то есть w = ^2 Pijвг Л вд, i < j, и соответственно,

проективные координаты точки w.

Запишем координаты векторов базиса v1, v2 2-плоскости Л в строках 2 х 4 матрицы

A= / an a12 a13 a14

\ a21 a22 a23 a24

v1 = ^2 а1гвг, v2 = ^2 а2гвг. Тогда координаты рд бивектора v1 Л v2 есть 2-миноры матрицы A, составленные из столбцов с номерами i и j. Координаты рд называются плюккеровыми координатами 2-плоскости Л.

Выбор другого базиса v1, v2 в Л дает матрицу A = CA, где C — невырожденная 2 х 2-матрица. При этом 2-миноры матрицы A равны 2-минорам матрицы A, умноженным на |С|. Это еще раз говорит о корректности определения отображения Плюккера, p : [Л] ^ (рд) Е P5.

Отображение Плюккера p является инъективным. Действительно, 2-плоскости Л С V определяется бивектором w = = v1 Л v2, или точкой w = р([Л]), так как, очевидно, Л = {v Е Е V | v Л w = 0}.

1.2. Квадрика Клейна

В пространстве Л^ имеется каноническая билинейная симметрическая невырожденная форма (скалярное произведение) ф

q : Л^ х Л2V ^ Л4V = Ce1 Л е2 Л е3 Л e4, q

9

В координатах Плюккера она записывается в виде

q

гДе w = Ei<j Pij ei A ej, w' = Ei<j Pij ei A ej .

Пусть

q

соответствующая квадратичная форма в A2V,

2 q

Билинейная форма q является поляризацией квадратичной формы q.

Квадрика П С P5 = P(A2V), задаваемая уравнением

q(w) = 0,

П : Р12Р34 - Р13Р24 + Р14Р23 = 0

называется квадрикой Клейна (или квадрикой Плюккера).

Квадрика П является образом отображения Плюккера. Действительно, если w = v1 A v2 G A2V разложимый бивектор, то, очевидно, w A w = 0 и для 2-плоскости Л, натянутой на векторы v1 и v2, р(Л) G П. Наоборот, если w G A2V и w A w = 0, то нетрудно показать, что бивектор w разложим, то есть w = v1 A v2. Мы получаем теорему.

Теорема 1.1. Отображение Плюккера p взаимно однозначно отображает грассманиан G(2, 4) на квадрику Клейна П С P5 = = P(A2V).

Таким образом, прямые в P3 параметризуются точками квадрики Клейна. Множество прямых в P3, которые соответствуют точкам пересечения П с гиперповерхностью Z С P5 степени n классики называли алгебраическим комплексом (прямых в P3) степени n. Алгебраические комплексы степени n =1 называются линейными комплексами. Если гиперплоскость Z

10

касается квадрики П в какой-то точке, то линейный комплекс называется специальным.

Для удобства соберем вместе обозначения, которых мы будем в дальнейшем придерживаться:

• v £ V = C4 — вектор;

• w £ A2V = C6 — бивектор;

• w = C • w — прямая в A2V, а также соответствующая точка в P(A2V) = P5;

• w = Vi A v2 £ A2 V — разложимый бивектор, соответствующий 2-плоскости Л С V; l £ P(V) = P3 — прямая, соответствующая Л;

• [Л] £ G(2,4), или просто Л, а также l £ G13 — точка грассманиана;

• w = р([Л]) = p(l) £ П С P5 (а иногда просто l) — соответствующая точка на квадрике Клейна;

• p, l, h — точка, прямая и плоскость в пространстве P3 =

= P(V);

• P, L, П, M, H — точка, прямая, 2-плоскость, 3-плоскость и гиперплоскость в пространстве P5 = P(A2V).

11

2. Покрытие грассманиана аффинными картами и касательные пространства к квадрике Клейна

2.1. Корреляция и поляритет

Наличие в векторном пространстве W = Л2V невырожденной билинейной формы q — «скалярного произведения» — позволяет применить связанные с этим обстоятельством общие понятия. С билинейной формой q связан линейный оператор корреляции q : W ^ W* в двойственное пространство W*, wo ^ q(wo),

q(wo)(w) = q(w,Wo).

Так как форма q невырождена, то q является изоморфизмом.

Корреляция q : W = W* индуцирует линейный проективный изоморфизм

q: P(W) ^ P(W*) ,

который называется полярным преобразованием (или поляритетом) квадрики П. Поляритет переводит точку W0 Е P(W) в гиперплоскость H0 С P(W), заданную уравнением q(w,w0) = 0. Напомним, что точка w0 Е P(W) и гиперплоскость Н0 С P(W) называются полюсом и полярой друг друга относительно квадрики П. Таким образом, каждая гиперплоскость Н С P^2V) имеет вид Н = {w Е P(W) : w Л w0 = 0}, где прямая w0 = C  w0 (нормаль) однозначно определена.

12

2.2. Касательная плоскость

Билинейную форму q(x, y) c симметричной матрицей A = = (aij) в некотором базисе можно записать в виде

q(x, y) = £ a.jxy = x-A;J = i £ y, 8AA = 2 £ x,Ш.

i,j i i ^

Касательная плоскость к квадрике q(x) = 0 в точке y0 имеет уравнение q(x, y0) = 0. Отсюда следует, что для w0 Е П прямая L = ww0 касается П в точке w0 тогда и только тогда, когда q(w,w0) = 0. Мы получаем два факта.

1. Боли точка W0 Е П, то ее поляра H0 = {W Е P(W) :

q(w,w0) = w Л w0 = 0} = Tw0П есть касательная гиперплоскость к квадрике П в точке w0.

2. Если точка w0 Е П, то ее поляра Н0 высекает на П видимый из этой точки контур квадрики, то есть геометрическое место точек касания с П всевозможных касательных к П, проходящих через w0.

2.3. Специальные линейные комплексы

Предложение 2.1. Две прямые l1, l2 С P3 пересекаются тогда и только тогда, когда образы точек l1,l2 Е G1,3 при отображении Плюккера ортогональны относительно квадрики Клейна, то есть

^

Доказательство. Пусть l1 = Р(Л1), l2 = Р(Л2), где Л1 и Л2 —

2-плоскости в пространстве V ~ C4. Очевидно, что l1 П l2 = = 0 ^ Л1 П Л2 = {0}. Если Л1 П Л2 = {0}, то V = Л1 ф Л2 и если e1, e2 и e3, e4 — базисы в Л1 и Л2, то e1, e2, e3, e4 — базис в V и p(l1) Л p(l2) = e1 Л e2 Л e3 Л e4 = 0. Если же Л1 П Л2 = {0}

13

и e0 Е Л1 П Л2 не нулевой вектор, то мы можем дополнить его до базисов eo,e1 и e0,e2 в Л1 и Л2. Тогда p(11) Л p(12) = = e0 Л e1 Л e0 Л e2 = 0.

Для любого грассманиана определена его стратификация многообразиями Шуберта (см. пункт 5.1). В частности, для прямой 10 определено многообразие Шуберта

ВД) = {1 Е G1,3 : 1 П 10 = 0} .

Следствие 2.2. Если w0 = p(10) Е Q, то касательное пространство Tw0 Q высекает на Q многообразие Шуберта

Q П Tw0Q = p

Две точки P1 = p(11) = w1 и P2 = p(12) = w2 Е Q называются сопряженными относительно Q, если q(w1, w2) = w1Лw2 = = 0. Это равносильно тому, что Р2 Е Tp1 Q, а тогда Р1 Е Tp2Q. В этом случае вся прямая Р1Р2 С Q. И наоборот, если прямая L С Q, то для любых ее точек Р1 и Р2 прямая L С Tp1 Q, L С Tp2 Q и поэтому точки Р1 и Р2 сопряжены.

Оказывается, что дополнение Q \T^0 Q — C4 соответствует аффинной карте грассманиана G(2,4).

2.4. Покрытие G(2,4) аффинными картами

Теперь напомним, как определяется структура проективного многообразия на грассманиане G(d, n) = Gd-1,n-1 с помощью аффинных карт, подобно тому как это делается для проективных пространств (см. [1]). Пусть G(d,n) грассманиан d-плоскостей Л в векторном пространстве V — Cn. Фиксируем (n — d)-плоскость Г и рассмотрим множество Ur С G(d,n), состоящее из d-плоскостей, дополнительных к Г:

Ur = {Л С V : Л П Г = {0}} .

14

Для таких Л имеем разложение V = ГфЛ. Или, на проективном языке, фиксируем (n-d-1)-плоскость Р(Г) ~ 1pn~d~l и рассмотрим множество Ur С Gd-i,n-i, состоящее из (d — 1)-плоскостей Р(Л) ~ Pd-1, не пересекающих Р(Г). Тогда Ur ~ cd(n-d) является аффинной картой в G(d, n).

Более подробно. Фиксируем d-плоскость Лг, дополнительную к Г, V = Лг Ф Г, которая будет играть роль начала координат. Тогда проекция V = Лг Ф Г ^ Лг, ограниченная на Л С V, Л Е иг, является изоморфизмом плг : Л ^ Лг и мы можем рассматривать Л как график линейного отображения ^л = пг о п-1 : Лг ^ Г. Мы получаем, что иг = Hom (Лг, Г) ~

~ Cd(n-d).

В нашем случае n = 4, d = 2 и из общего описания получаем следующее. Фиксируем 2-плоскость Г = Л0, или, что тоже самое, прямую l0 = Р(Г). Тогда карта иг = {l Е G1,3 : lПl0 = 0}. При вложении Плюккера дополнение G1,3 \ иг = o1(l0) = {l Е Е Gi,3 : l П l0 = 0} переходит в пересечение касательной гиперплоскости Tw0 П с П.

В координатах карта иг описывается так. Выберем базисы e1,e2 в Лг и e3,e4 в Л0 = Г. Тогда e1,e2,e3,e4 базис в V и 2-плоскость Л Е иг имеет базис, координаты которого записаны в строках матрицы

/10 ап а12 \ у 0 1 а21 а22 у

Плоскости Л отвечает линейное отображение ^л Е Hom (Лг, Г), которое переводит в! ^ (аи,а12), в2 ^ (а21,а22).

3. Связки и пучки прямых в Р3

Пучками (pencil) и связками (net) называют линейные системы дивизоров размерности один и два, то есть параметризованные прямой и плоскостью. В данном случае речь идет не

15

о дивизорах, а о системах прямых в P3. Другими словами, нас интересуют прямые и плоскости, лежащие на квадрике Клейна П.

3.1. п-плоскости и р-плоскости

Мы начнем с описания естественных семейств плоскостей и прямых на П, а затем покажем, что ими исчерпываются все плоскости и прямые, лежащие на П.

С каждой точкой р G P3 связано многообразие Шуберта

£2 — £2 (р) — {/ G Gi,3 : p G 1} ,

параметризующее все прямые I С P3, проходящие через фиксированную точку p.

Двойственным образом, с каждой плоскостью h С P3, то есть точкой h G P3, связано многообразие Шуберта

£1,1 — £i,i(h) — {/ G Gi,3 : I С h} ,

параметризующее прямые I С P3, лежащие в фиксированной плоскости h.

Наконец, если р G h фиксированный флаг в P3, то имеем многообразие Шуберта

£2,1 — £2,1 (р, h) — о2(р) П £i,i(h) — {l G Gi,3 : l С h, l Э p} ,

Многообразия £2 и £11 С G1,3 имеют естественную структуру проективной плоскости P2. Покажем, что при вложении Плюккера p им также соответствуют плоскости в P5. Обозначим

П(Р) — Р (£2 (Р)) , n(h) — p(£1,1(h)), L(p, h) — P(£2,1(P, h)) .

16

Сначала выпишем условие того, что точка p Е P3 лежит на прямой l С P3. Пусть p = C • v, а l = Р(Л), Л = C • v1  C • v2. Тогда

p Е l ^ v Е Л ^ v Л w = 0 ,

где w = vi Л v2.

Группа проективных преобразований проективного пространства Р3 = P(V) действует на G1,3, и это соответствует действию на Q проективными преобразованиями Р5 = Р(Л2У). Теперь мы можем выбрать подходящим образом систему координат в V, в которой П(р) и n(h) легко описать уравнениями в Р5.

Выберем базис e^e2,e3,e4 в V так, что

p = е1 = Ce1, h = Ce1 + Ce2 + Ce3 .

Тогда из (11) следует, что

n(p) = {Y1 p1je1 Л ej} ,

1<j<4

и поэтому n(p) плоскость, состоящая из точек (p12 : p13 : p14 : 0:0:0) Е Р5 и она задается уравнениями n(p) : p23 = p24 = = p34 = 0. Очевидно, что

n(h) = {Х! p1jei Л ej } ,

1<i<j<3

и поэтому n(h) плоскость, состоящая из точек (p12 : p13 : 0 : p23 : : 0 : 0) Е Р5 и она задается уравнениями n(h) : p14 = p24 = p34 = 0. Тогда прямая L(p, h) = n(p) П n(h) = {(p12 : p13 : 0 : 0 : 0 : 0)}.

Таким образом, на квадрике П С Р5 имеется два семейства плоскостей, параметризованных точками p Е Р3 и точками h Е Р3, подобно тому как на квадрике в Р3 имеется два семейства прямолинейных образующих.

Плоскости n(p) классики называли п-плоскостями, а плоскости n(h) — p-плоскостями (см., например, [3], [5]), или, в другой терминологии, а- и в-плоскостями.

17

Очевидно, что две плоскости одного и того же семейства пересекаются ровно по одной точке:

n

а две плоскости разных семейств либо не пересекаются, П(р)П ПП(Л,) = 0, если p Е h, либо пересекаются по прямой,

П

если p Е h.

3.2. Прямые и плоскости на квадрике О

Предложение 3.1. (i) Плоскости П(р) и n(h) исчерпывают все плоскости, лежащие на О.

(ii) Прямые L(p,h) исчерпывают все прямые, лежащие

на О.

Доказательство. (i) Пусть П С О произвольная 2-плоскость. Пусть П натянута на 3 неколлинеарные точки Pi = p(/j), i = = 1,2, 3. Тогда в силу пункта 2.3 точки P1, P2, P3 попарно сопряжены и, следовательно, прямые /1, 12, 13 попарно пересекаются. Это возможно только в двух случаях: либо все прямые /1, /2, 13 проходят через одну точку (concurrent) p = 11 П 12 П 13 и тогда П = П(р), либо все прямые /1, 12, 13 лежат в одной плоскости, 11,12,13 С h, и тогда П = n(h).

Отметим также, что так как три точки Pi не коллинеарны, то бивекторы wi линейно независимы, и поэтому П является пересечением трех касательных плоскостей:

П = Tp О П Tp2 О П Tp3 О.

(ii) Пусть L С О произвольная прямая. Возьмем две точки P1,P2 Е L. Тогда эти точки сопряжены и соответствующие

18

им прямые 1\ и l2 С P3 пересекаются в некоторой точке р = liП^ и определяют плоскость h D 1i, l2. Тогда L = L(p, h).

Итак, на квадрике П имеется два семейства плоскостей: п-плоскости П(р), p Е P3, параметризующие прямые, проходящие через фиксированную точку р, и p-плоскости n(h), h Е P3, параметризующие прямые, лежащие в фиксированной плоскости h.

Две плоскости из разных семейств пересекаются по прямой L(p, h) = П(р) П n(h), если р Е h, либо вообще не пересекаются, если р Е h.

4. Квадратичные конусы точек квадрики Q

4.1. Структура квадратичных конусов

Вернемся к изучению пересечения П П Тр0 П квадрики Клейна П с касательными гиперплоскостями к П в точках Р0 Е Е П. Обозначим эти пересечения

C(Ро) = П П Тр0П .

Если Р0 = p(l0) соответствует прямой l0 С P3, то в силу (9) C(Р0) = p(aq(l0)) есть образ многообразия Шуберта S1(l0) С С Gi,3 при вложении Плюккера р. Классики называли C(Р0) квадратичным конусом точки Р0 Е П в пространстве ТРо П ~ ~ P4 (quadric point-cone in P4). Это действительно есть конус с вершиной в точке Р0: если Р Е П, то прямая L = Р0Р С П, так как degП = 2, а (L • П)р0 > 2, так как прямая L С Тр0П касательная.

Рассмотрим общую 3-плоскость M = P3 в ТРо П. Тогда Q = П П P3 неособая квадрика в P3 и C(Р0) = cone (Р0, Q) С P4 — конус с вершиной в в точке Р0 над неособой квадрикой Q, и точка Р0 есть обыкновенная квадратичная точка конуса C(Р0).

19

Более конкретно. Пусть П имеет уравнение (7) и пусть в стандартном базисе точка Р0 = p(l0) = W0, где w0 = e1 Л е2 . Тогда точка Р0 имеет координаты Р0 = (1 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0), а касательное пространство Тр0П задается уравнением p34 = 0. В подпространстве P4 с уравнением p34 = 0 конус C(Р0) задается уравнением —p13p24 + p14p23 = 0, которое является уравнением неособой квадрики Q С P3, где P3 : p34 = p12 = 0.

Предложение 4.1. Пусть C(Р0) — квадратичный конус точки Р0 = p(l0). Тогда C(Р0) заметается одномерным семейством п-плоскостей n(p), а также одномерным семейством р-плоскостей,

С

p&о hDZo

причем две плоскости одного семейства пересекаются только в точке Р0, а две плоскости разных семейств пересекаются по прямой, проходящей через точку Р0.

Доказательство. Пусть Р G C(Р0) точка конуса, отличная от вершины Р0, а L = Р0Р С C(Р0) прямая, соединяющая Р и Р0. Пусть l G ^1(l0) прямая, соответствующая точке Р, Р = p(l). Пусть p = l0 П l, а h — плоскость, проходящая через прямые l0 и l. Тогда Р G n(p) и Р G n(h) и, следовательно, (14) доказано. Утверждение о пересечении уже известно, см. (12) и (13). Если p G l0 и h D l0, то p G h и n(p) П n(h) = L(p, h).

Если Q = П П M, где M = P3 С TPo П = P4 есть 3-плоскость, не проходящая через Р0, то пересечения n(p) П M и n(h) П M дают два семейства образующих на квадрике Q С P3.

4.2. Пересечение квадрики П с 3-плоскостями

Предложение 4.2. Общая 3-плоскость M в P5 = P^2V) является пересечением двух касательных гиперплоскостей к ква-

20

дрике Клейна П в точках Р1 и Р2, однозначно определенных M,

M = Тр1 П П Тр2 П .

Доказательство. Общая 3-плоскость M С P5 определяет пучок гиперплоскостей H С P5, проходящих через M, и следовательно, прямую L в — пространстве P5. Пусть П С P5 квадрика, двойственная квадрике П, представляющая касательные гиперплоскости H = ТрП, Р Е П. Общая прямая L пересекает квадрику П в двух точках, соответствующих двум гиперплоскостям Тр1 П и Тр2 П. П

Отметим, что специальные 3-плоскости M, для которых прямая L касается квадрики П, лежат только в одной касательной гиперплоскости Тр П.

Если M С P5 произвольная 3-плоскость, то П П M есть квадрика в пространстве M ~ P3. Поэтому возможны следующие три случая:

1. Общий случай — П П M неособая квадрика в P3;

2. П П M — квадратичный конус над неособой коникой в P3;

3. П П M состоит из объединения двух плоскостей (быть может, совпадающих).

Это можно проиллюстрировать следующими примерами. Пусть П задается в P5 уравнением (7). Тогда

1. Если M : pi2 = p34 = 0, то П П M есть квадрика в P3 Э Э (pi3 : Pi4 : Р23 : Р24) c уравнением -Щ3Р24 + P14P23 = 0.

В этом случае M = Тр1 П П Тр2 П, где Р1 = w', Р2 = w'', w' = e1 Л e2, w" = e3 Л e4.

2. Если M : p34 = 0,p13 + p24 = 0, то П П M есть конус в M ~ P3 с уравнением p23 + p14p23 = 0.

3. Если M : p12 = p13 = 0, то П П M : p14p23 = 0 есть объединение двух плоскостей p14 = 0 и p23 = 0.

21

5. Кольцо Чжоу грассманиана G 1,3

5.1. Стратификация циклами Шуберта

Грассманиан G = Gi,3 = G(2, 4) прямых в P3, как и любой грассманиан G(d, n), разбивается в дизъюнктное объединение открытых клеток, изоморфных аффинным пространствам, и называемых клетками Шуберта. Их замыкания называются циклами Шуберта, а также многообразиями Шуберта. Эти многообразия уже появились в предыдущих параграфах.

Циклы Шуберта S\,^ = S\t^(F.) определяются по отношению к флагу F:

F. : po Е lo С ho С P3,

где р0 — точка, l0 — прямая, h0 — плоскость:

So = G, Si = {l : 1 П lo = 0} ,

Si,i = Si,i(ho) = {l : l С ho}, S2 = S2(p0) = {l : p0 Е l} ,

S2,1 = S2,i (p0, h0) = {l : p0 Е l С h0} S2,2 = {l0} .

При вложении Плюккера циклы Si i и S2 отображаются в р-плоскости и п-плоскости.

Имеем стратификацию грассманиана G замкнутыми подмножествами — циклами Шуберта:

S2,2 --- S2,i --- Si,i

S2 > Si С G = S0

(где стрелки — это вложения) и соответствующее дизъюнктное объединение клеток Шуберта:

G

S2,2 и S°,i и

So

Si,i

So

S2

и S0 и S0 .

22

Покажем, что все клетки Шуберта являются аффинными пространствами. Для E0 2, E0!, S0 1 и E0 это очевидно:

S2,2 = S2,2 = p = A0, S2 д = S2 ,1 \ S2,2 = P1 \ P0 = A1,

E?д = E1,1 \ E2>1 = P2 \ P1 = A2, SO = E2 \ E2,1 = P2 \ P1 = A2.

Для E? = G \ E1 нам уже известно, что это карта E? ~ A4. Покажем, что

E? = E1 \ (E1,1 U Е2) = {l : l П l0 = 0, но p0 ^ l и l С h0} ~ A3.

Рассмотрим плоскость h1 С P3, которая содержит точку p0, но не содержит прямую l0. Рассмотрим отображения Е° ^ l0\ \{p0} = A1, l ^ l П l0 = p и E0 ^ h1 \ (h1 П h0) = P2 \ P1 = A2, l ^ l П h1. Произведение этих отображений дает изоморфизм E0 ~ A1 х A2 = A3.

5.2. Структура кольца Чжоу

Пусть A^(G) группа Чжоу или группа сингулярных гомологий H(G, Z) грассманиана G. Из того, что G имеет аффинную стратификацию и из общей теоремы (см. [2]) следует, что циклы Шуберта порождают группу A(G) и являются ее свободными аддитивными образующими. Обозначим а\,ц классы циклов Ел,м в кольце Чжоу A(G) (или двойственные по Пуанкаре классы когомологий).

Найдем произведения образующих в кольце Чжоу A(G) = = A(G) = A•(G) или в кольце когомологий H•(G,Z).

Теорема 5.1. Шесть циклов Шуберта 0а,ь €= Aa+b(G), 0 < b < < a < 2, образуют свободный базис A(G) как абелевой группы и имеют следующую таблицу произведений

\ 01 01,1 02 02,1

01 01,1 + 02 02,1 02,1 02,2

01,1 02,1 02,2 0 0

02 02,1 0 02,2 0

23

а0 = 1 £ A0(G) является единицей кольца A(G), число a + b является коразмерностью цикла aa.b в G. Если сумма коразмерностей сомножителей > 4, то произведение равно 0. Компонента A4 = Z • а2.2 — Z, где а2.2 — класс точки. Имеем

а1 = ai,i + а2; ai • ащ = о\ • а2 = а2,1;

22

а1 • а2,1 = а1,1 = а2 = a2,2, а1,1 • а2 = 0.

Доказательство. Для вычисления пересечения классов циклов мы будем использовать циклы Шуберта по отношению к разным флагам F и F' = {p'0 £ 1'0 С h0}, находящимся в общем положении друг к другу. Тогда в характеристике 0 по теореме Клеймана они будут трансверсальны в общей точке и мы можем использовать их для вычисления произведения. (В случае конечной характеристики нужно использовать другие рассуждения с использованием касательных пространств к циклам Шуберта). Для краткости обозначим Ea.b(F) = Еа.ъ, S«,b(F') = К.ъ

Начнем с произведений циклов дополнительной размерности.

Пересечения циклов а1.1 и а2 мы по сути уже знаем.

а2 = Й(^2 Л ^2) • а2.2 ,

а пересечение

S2 П Т,'2 = {I : ро £ 1,р0 £ l}

состоит из одной точки, соответствующей прямой l = р0,р0 и 2

поэтому а2 = а2,2.

Аналогично,

а2,1 = Й(^1,1 П ^1,1) • а2.2 ,

а пересечение Е1.1 П Е11 = {l : l С h0,l С h'0} состоит из одной точки, соответствующей прямой l = h0nh0 и поэтому а2 1 = а2,2.

24

Далее

£2 П £'1Д = {l : po E l,l C h'o} = 0 , если p0 E h0 и поэтому

7 2  71,1 = 0 .

Наконец,

£1 П £2,1 = {l : l П lo = 0 и p0 E l C h0} = {p0q} , где q = l0 П h'o. Таким образом,

a1'a2,1 = a2,2 .

Теперь перейдем к пересечению циклов, сумма коразмерностей которых < 4.

Имеем

£1 П £2 = {l : l П lo = 0,pO E l} = £2,1 ,

где £'21 цикл Шуберта относительно фильтрации F'' : p'0 E l0 C C h0 = p0, lo. Отсюда получаем, что

a1  72 = a2,1 .

Аналогично получаем

£1 П £'м = {l : l П lo = 0, l C h0} = £2,1 ,

где £2,1 = £2,1 (FI"), а F'' : po' E lo' C h'o, где po' = lo П ho, и поэтому

a1  a1,1 = a2,1 .

Наконец, найдем af. В этом случае £1 П £1 = {l : l П lo = = 0 и l П lo = 0} не является циклом Шуберта, и для нахождения af мы применим, так называемый, метод неопределенных коэффициентов. Запишем a2 E A2(G1,3) в виде

а2 = аа2 + ва1,1 25

с некоторыми неизвестными коэффициентами а и в. Для их нахождения умножим это равенство на 72 и а\,\ соответственно. Получим

^1  72 = (а^2 + e^1,l)  72 = а  72,2 ,

где

а = «{S П Е1 П =

= «{1 : 1 П 10 = 0 , 1 П Г0 = 0 , р0 е 1} ,

/о, 10 — прямые, р0 — точка общего положения в P3. Любая прямая, удовлетворяющая этим условиям, должна лежать в плоскостях р'0,10 и рО», /0, и, следовательно, 1 = р0,10 П р'0,1'о и а = 1.

Аналогично,

72  71,1 = (а&2 + в&1,1)  71,1 = в  72,2 ,

где

в = «{S П S1 П Ем(h0°)} =

= «{1 : 1 П /о = 0,1 П 10 = 0,1 С h0} = {^} ,

где q = 10 П ho, q' = 10 П h^. Поэтому в =1 и

7

2

1

72 + 71,1 .

6. Применение

Рассмотрим применение вычислений в кольце Чжоу A(Gy3) для решения некоторых классических задач исчисли-тельной алгебраической геометрии. Поскольку A4(G1,3) = Z

72,2 — Z, мы будем заменять цикл а72,2 его степенью а.

26

6.1. Сколько прямых пересекают 4 прямые общего положения в P3?

Пусть 1\, /2, /3, /4 — эти прямые. Нам необходимо найти ${Si(/i)ПSi(/2)ПSi(/3)ПSi(/4)}. Поэтому для получения ответа

и 4

нам нужно найти 04,

af = af  aj = af  (02 + aM) = ai  ai  (02 + aM) = ai (o2,i + o2,i)= 2 .

Таким образом, ровно две прямые пересекают 4 данные прямые.

Этот ответ можно проиллюстрировать геометрическими рассуждениями. Во-первых, как известно (легко показать), что 3 прямые /i, /2, /3 общего положения определяют квадрику Q С С P3, на которой они являются прямолинейными образующими одного семейства. Тогда /4 П Q состоит из двух точек qi и q2 и искомые две прямые — это две образующие другого семейства квадрики, проходящие через точки qi и q2.

Во-вторых, мы можем применить классический метод сохранения числа. Рассмотрим 4 прямые такие, что пары прямых /i и /2, /3 и /4 пересекаются /i П /2 = {p}, /3 П/4 = {p'} и, следовательно, определяют две плоскости, h D /i,/2 и h' D /3,/4. Тогда искомые две прямые — это прямая p,p' и прямая h П h'.

6.2. Прямые, пересекающие данную кривую

Пусть C С P3 кривая степени d. По аналогии с циклом Si(/) определим многообразие

Г с = {/ G G : / П C = 0} .

Многообразие Г с является дивизором на грассманиане G. Действительно, рассмотрим многообразие инцидентности 1с С C х xG, IC = {(p, /) : p G /} и его проекцию на C. Ее слои Si,i(p) ~ ~ P2 двумерны и поэтому dim Ic = 3, а, следовательно, и dimrc = 3.

27

Пусть у с — класс Гс в A1 (G). Тогда

Yс = a  a i

для некоторого a E Z. Для того, чтобы найти а, рассмотрим пересечение с a2,1. Тогда, с одной стороны,

Yc  a2,i = a(ai  a2,i) = a.

А, с другой стороны, если a2,1 класс цикла S2,1(p, h), то

a = Й(Гс П ^2,1 (p, h)) = fl{l : p E l C h,l П C = 0} .

Пусть C П h = {q1,...,qd}. Тогда очевидно, что Гс П Е2,1

состоит из d прямых p,qi, i = 1,..., d. Таким образом, a = d и

Теперь мы можем решить, например, такую задачу. Пусть C1, C2, C3, C4 — 4 кривые общего положения степеней d1, d2, d3,

6.3. Хорды пространственной кривой

Пусть C C P3 кривая степени d и рода д. Хордой или секущей кривой C называется прямая l, пересекающая l по крайней мере в двух точках (или касающаяся ее). Мы можем определить многообразие S1(C) хорд кривой C как образ отображения симметрического квадрата C(2) ^ G = G1,3, отображающего точку (p, q) E C(2) в прямую l = p, q.

Пусть s1(C) = [S1(C)] класс многообразия S1(C) в кольце Чжоу A(G). Так как dimS1(C) = 2, то s1(C) E A2(G). Найдем s1(C) методом неопределенных коэффициентов. Пусть

Yc = d  a1.

d4 в P3. Найти число прямых l, пересекающих каждую из этих прямых. Получаем, что это число равно

S1 (C) — aa2 + ва1,1

28

где а, в Е Z некоторые числа. Имеем

Si(C)  а 1,1 = (а^2 + в^1,1)  ам = в .

С другой стороны, если S1,1(h) — цикл Шуберта прямых l в плоскости h, то

S1 (C)  а1,1 = B(S1(C) n EM(h)) ,

а это есть число прямых, соединяющих пары d точек C П h = = {p1,...,Pd}. Поэтому

в

d

Аналогично, для нахождения а умножим s1(C) на а2. Получим, что

а = fl(S1(C) П ^(р)) ,

где Е2(р) — цикл Шуберта прямых, проходящих через точку р. Рассмотрим проекцию np : C ^ P2 из точки р на плоскость Р2С С P3. Тогда а есть число хорд C, проходящих через точку р, а это есть число двойных точек кривой C = np(C). Как известно, геометрический род g = g(C) = ра(C) — а = (d-1) — а. Поэтому

S1

d — 1

д

а2 +

d

2 ^ .

В качестве примера можем решить следующую задачу. Пусть C и C С P3 две пространственные кубики. Сколько имеется прямых, пересекающих каждую из этих кубик дважды?

В этом случае д = g(C) = g(C) = 0, deg C = deg C = 3. Поэтому s1(C) = s1(C') = а2 + 3а1,1 и искомое число равно

tt(S1(C) n S1(C')) = (а2 + 3а1,1)2 = 10 .

Таким образом, C и C имеют ровно 10 общих хорд. 29

6.4. Прямые, касательные к поверхности

Пусть S С P3 неособая поверхность степени d. Рассмотрим множество Ti(S) С G = Gy3 прямых, касающихся S в каких-то точках. Многообразие T1(S) является дивизором в G. Действительно, рассмотрим многообразие инцидентности

I = {(p,l) е S х G : p е l с TPS} ,

где TpS С P3 плоскость, касательная к S в точке р. Тогда проекция I на S является P1 -расслоением. Поэтому dim I = 3, а также dimT1(S) = 3.

Найдем класс t1(S) = [T1(S)] е A1(G). Имеем t1(S) = а  01

для некоторого а е Z. Умножим это равенство на 021, t1(S)  02,1 = а(^1  02,1) = а.

Поэтому

а = tt(T1(S) П ^2,1 (р, h)) =

= fl{l е G1,3 : р е l С h,l С TqS для некоторой точки q е S} .

Пусть C = S П h гиперплоское сечение S. Это кривая степени d, а а равно числу касательных к C, проходящих через точку р, то есть а равно классу кривой C. Как известно, а = deg C = = d(d — 1). Таким образом,

t1(S) = d(d — 1)01.

В качестве примера применения этих вычислений решим следующую задачу. Сколько имеется прямых, касающихся четырех квадрик Q1,Q2,Q3,Q4 С P3 общего положения?

В данном случае d =2 и все t1(Qi) = 201, i = 1,..., 4. Поэтому искомое число равно

4

П t1(Qi) = (201)4 = 24  04 = 32 .

i=1

30

Библиографический список

1. Куликов В.С. Заметки об исчислении Шуберта // Вестник МГУП. — № 9 — 2008. C. 44-99.

2. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. — М.: Изд-во МЦНМО, 2006.

3. Edge W. The theory of ruled surfaces. Cambridge Univ. Press, 1931.

4. Eisenbud D., Harris J. Intersection theory in algebraic geometry (3264 and All That). March 30, 2012.

5. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. Oxford, 1949.

31