Отрезок провода с переменным током над проводящей плоскостью

УДК 621.31

ОТРЕЗОК ПРОВОДА С ПЕРЕМЕННЫМ ТОКОМ НАД ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

И.А. ДМИТРИЕВ, А.И. КИЛЕЕВ

В работе содержится решение задачи “отрезок провода с переменным током над проводящей плоскостью” методом зеркальных изображений.

Введение

Существующие методы расчёта электромагнитных полей (ЭМП) делятся на две основные группы: аналитические и численные. Аналитическими методами решается достаточно ограниченный круг задач. К настоящему времени наряду с имеющимися решениями задач по отражению - преломлению электромагнитных волн на плоской границе раздела сред получены строгие решения дифракционных задач для шара и бесконечного цилиндра. Также получены частные решения для некоторых других тел правильной формы - идеально проводящих бесконечного конуса, клина, образованного двумя пересекающимися бесконечными полуплоскостями, сфероида в падающем поле и др. [1, 2, 3]. Вместе с тем, практика требует решения более сложных электродинамических задач.

Известно применение метода зеркальных изображений для расчета

стационарных ЭМП и полей в квазистационарной [4] и квазиоптической областях

поля [5]. В работе предпринята попытка, применить этот метод к решению задач

электродинамики в резонансной области. Согласно [2], решение, полученное для

резонансной области поля, справедливо для любой его области1. Т.е. является

решением задачи в «общем» случае. Как следствие, точность этого решения,

2

равно как и применяемые зависимости, не зависят от длины волны ЭМП .

Первоначально эта работа проводилась в рамках разработки универсального метода расчета переменных ЭМП. Идея этого метода высказана в статье [6]. Но при этом в работе остались за кадром выкладки, при помощи которых получены граничные условия. Также, остались, нерасшифрованными силовые характеристики источников поля и т.д. Все эти вопросы косвенно затронуты в настоящей работе.

Кроме того, всякий новый метод нуждается в тестировании. Тест заключается в том, что результаты расчета сравниваются с результатами, полученными при помощи точного метода. То есть, наличие нижеприведенного решения позволит протестировать ранее заявленный численный метод расчета [6].

Постановка задачи

Основная трудность при расчете поля заключается в необходимости

1 Для исследования поля в резонансной области применяются строгие методы. Решение, полученное строгими методами, справедливо для любой области, тогда как приближенное решение справедливо только для рассматриваемой области при

принятых ограничивающих допущениях [2].

2 „

Т.е. от частоты тока первичных источников поля и параметров среды

(а, Ц а ) .

© И.А. Дмитриев, А.И. Килеев Проблемы энергетики

удовлетворения решения задачи граничным условиям. В случае переменного ЭМП условия для векторов поля на границе раздела всех возможных сред, включая идеально проводящие, записываются в следующем виде [7]:

Е&Т1 = Е&т2,

~а1Еп1 = ~а2 Еп2 + Я э ,

Нт1 = Нт 2 + V э

. (3) .

a1Hnl = ~a 2 Hn 2

Здесь электрических

CT —

э

поверхностная плотность сторонних

зарядов,

V э —

э плотность поверхностного электрического тока.

Кроме того, на поверхности проводников необходимо добиться выполнения условия равенства скалярного потенциала поля заданному значению:

ф = C

и

Jnp

h

провода f 1^1 в1

7Т777

Рис. 1.

Полеобразу-

где С — комплексное число.

Предположим, что около границы раздела (параметры сред известны) находится отрезок тонкого проводника (провода), по которому протекает

переменный электрический ток

Между проводом

и плоскостью существует разность потенциалов U (рис. 1). Примем, что поперечные размеры провода значительно меньше размеров полеобразующей системы, а плотность электрического тока постоянна в его поперечном сечении.

В [4] утверждается, что поле, создаваемое переменным током, протекающим по отрезку провода, аналогично полю элементарного электрического вибратора (рис. 2):

Ie - jyrl sin©,

Hm = —

ф

4nr

/ • \

E = ^j0^+JYr)

ea 2nr3

Рис. 2. Система координат отрезка провода

йэв-*Ч зт©

э ~ . 3— I1 + лг — У г )

еа 4пг у = Юл/и ~ —

I '“у г^а^а ъ

где ’ комплексный

коэффициент распространения,

г — расстояние до точки наблюдения,

I —

э сила электрического тока,

1 — длина отрезка провода (вибратора),

й э=——

^ величина электрического заряда на концах отрезка провода.

Преломление вектора напряженности электрического поля на плоской границе раздела сред

Электрическая компонента поля

состоит из двух составляющих:

1) В случае электростатических полей Е является функцией потенциалов проводников. Очевидно, что в случае переменного поля эта составляющая поля также будет иметь место.

2) Согласно выражениям (6) - (8) переменный электрический ток, протекающий по проводу, в отличие от постоянного, имеет электрическую составляющую и её также необходимо учесть.

Для нахождения первой составляющей расположим точечные1 электрические заряды, имитирующие поле поверхностных зарядов провода и плоскости, как показано на рис. 3. Запишем условия равенства скалярного потенциала поля на поверхности проводников заданному значению:

а) б)

Рис. 3. а) Скалярный потенциал провода б) потенциал поля в верхнем полупространстве в) потенциал поля в нижнем полупространстве

Ф пр =

-Л1гщ

е«14ПГг

-+

-Л12*

пр

ъа18пк

ф = ~е = ~е Л1Г + Л1Г

пл ~а г4ПТ ~а14ПГ ~а14ПГ

где

(ф пр —

скалярный потенциал поля на поверхности провода

Сф —

пл потенциал проводящей плоскости, Примем Фпл 0 . Отсюда

&3 = 0, 41 = —&2

1

1 в первом приближении ©Проблемы энергетики

41 =

~а1 4пф п

пр

- Л12к

2к

поля

Е

создаваемую

Е

Е(4)=—дф

найдется, как

и окончательно:

Найдем напряженность электрического электрическим зарядом. По определению дА

Е =----------graaф

д#

где А — векторный потенциал поля.

Т.к. А является функцией от 1 э равного в данном случае нулю, то дф дг

Ё'

4ПеаГ .

Для нахождения вклада переменного тока, протекающего по проводу, в

6 э = 0

напряженность электрического поля примем в (2) э и расположим фиктивные вибраторы, как показано на рис. 4. Поле в верхнем полупространстве

(там, где расположен провод) определится от вибраторов 11 и й (рис. 4, а), причем и верхнее, и нижнее полупространства заполняет среда с параметрами верхнего полупространства. Поле в любой точке нижнего полупространства

определится от фиктивного й3 (рис. 4, б). При этом все пространство заполняет среда с параметрами нижнего. На основании теоремы единственности решения можно утверждать, что если на границе раздела сред суммарное поле от первичного и фиктивных источников поля удовлетворяет условиям (1) - (2), то

это есть

единственное решение рассматриваемо й задачи.

Составим уравнения для определения векторов поля на границе

раздела. Для этого возьмем произвольную точку а на границе раздела сред, которая принадлежит

© Проблемы энергетики

Рис. 4 Определение электрической компоненты поля а) в верхнем полупространстве

б) в нижнем полупространстве

е

е

одновременно обеим средам:

Ег (11 й ^ © + Е© (^ & ^П © = Ег (й3 )е08 © + Е©(й3 © .

Если считать её принадлежащей первой среде, то проекция на ось т электрической компоненты поля в ней будет соответствовать левой части уравнения (16), а если второй среде, то правой части (16). Раскроем его:

& Л е-ЛіГ/ & є ли / * ч

7 + йг — (і + лі')с0«2 ©- + 4 г(і + /у1г — 2 )іп2 0 =

7

г

Єйі2пг

7

єйі4яг

е-ЛіГ1 / ч 2 Є--"і / / 2 2\ 2

йз~ (і + /УгГ^08 0 — йз ~ ,__з (і + /УгГ — У2Г ^ЯІП ©

8в 22пг

Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического

смещения О в точке а на границе раздела имеем:

1 ^ е"^ іГ1 ( 1 ^ /1 / / \

+ й2 ------------(і + /Уіг)с08 © вІП ©— + й2 -------^ (і + /УіГ — У2Г2 )ІП © С0в © =

7

Г т

2пг

4пг

• Є ~/У 27/ Ч • Є “Л 2 7

й3—--------------------(і + /У 2Г )с0в © вІП © — й

2пг

'3 4пг3

(і + ТУ 2Г — У 2г 2

)іп © С0в ©

Е „ Е ©

Структура поля у составляющих г и © разная, поэтому, чтобы система уравнений

выполнялись отдельно для Ег и отдельно для Е© :

+ й*

Ґ

ЄЙі2пг

^ Є~/ігі

(і + Л іГ )с0^2 © = йз

Є~Л ігі ~2 2пГ*

-(і + /у2Г)с0в2 ©

2пг

Є—Л 2 Г /

(і + /у іГ )с0в © вІП © = —й3---------------т (і + /У2Г )с0в © sin ©

2пг

—“Т + й2 / 2

^ Є-їїіГі

А + й Є 1

V /

^ 1 їє-*ігі/ . 22\. „ Л • є-**'// . 2 2\ . Л Л

—^і + /уіг — ухг ©С0в© = —й3------------г\і + /У2Г — У2г ©С0в©

ЄЙі4пг

(і + (іГ — У*г2)віп2 © = — й

Є - л іГі 3 ~24ПГ 3

(і + (2Г — У2Г 2

)іп2 ©

4пг

4пг

Совместное решение (19), (20) дает:

Q =л,і

J- ,

Q3e_JY2r

Sal і Sa2 J- ,

(24) ~ ~

X = ~ai - ~a2 XEl ~ , ~

є 1 і є 2

где al a2 .

Перепишем (7) с учетом (24):

і, Q )= Ь - " , (1 і JY 2 r^^ = -І- Є - J1, (11 JY 1,))^ ^

Sa22nr Sal +єa2 J- Sa22ПГ Sal

і, (Q )=X, 2 E,

Т. е.

(25) .

X , =

Lл J-

Є 2 . - , . -

Є , + Є 2

где а1 а 2 .

Решение системы (21), (22) приводит к выражению (23) и аналогичному (25):

і ©(& )=X„ E,

( І '

S2 е © .

J-

l

Проделав аналогичные вышеприведенным выкладки для проекций вектора напряженности электрического поля на ось ^, получим опять таки зависимости (23), (25) и (26). Проанализируем эти формулы. Зависимость (23) означает, что Е фиктивного тока на границе раздела отличается от Е первичного источника

ХЄі

поля в Є1 раз. С учетом принципа суперпозиции эта зависимость превращается в первое правило: в любой момент времени, на границе раздела сред любой конфигурации, напряженность электрического поля первичных источников

(токов) отличается от Е их зеркальных изображений на этой границе в ^Єі раз. Зависимости (25), (26) отражают тот факт (второе правило), что за границей раздела сред напряженность электрического поля отличается от напряженности, создаваемой первичным источником поля (током) в отсутствие этой границы, в

ЬЄ1

Є1 раз.

Окончательно искомая напряженность электрического поля в верхнем Е* Е

и нижнем н полупространстве найдется, как сумма всех составляющих:

Ев = Ег (Л, 4і)1 г 1 + К (^2, Чі )і г 2 + Е(і1 1 + Е@і@2 )і0 2 ,

Ен _ 2

Преломление магнитной компоненты поля на плоской границе раздела сред Для нахождения распределения магнитной компоненты поля в пространстве поступим следующим образом:

1) Найдем распределение Н в случае отсутствия поверхностного электрического тока на границе раздела сред «диэлектрик - проводящая плоскость».

2) Найдем распределение Н для случая, когда проводящая плоскость состоит из идеального металла.

3) Искомое решение найдем наложением этих двух частных решений. Рассмотрим магнитную компоненту поля в отсутствие поверхностного тока.

Расположим элементарные электрические вибраторы, как показано на рис. 5.

Как и ранее, 11 и 12 определяют поле в верхнем полупространстве, при этом все пространство заполняет среда с параметрами верхнего. Поле нижнего

полупространства определяется вибратором 1з, а все пространство заполняет среда с параметрами нижнего. Из условия равенства тангенциальных

составляющих Н на границе раздела сред имеем:

e jyirl sin 0/ . ч & e JY27 sin 0 / . 4

(1 + JY! r )cos Ф = I3------------—-2---------(1 + JY 2 r )cos ф

Отсюда получаем первую связь между токами:

Из условия равенства нормальных составляющих комплекса B на границе раздела сред получим вторую связь:

(& & \e~JY1lsin 0 /. . \— & e~JY2rl sin 0/ . v——

(1 + I2 )----~2------(1 + JY 1r)Мa1 sin Ф = I3----1—2----(1 + JY2r)Ma2 sin Ф

4nr 4nr

(1 + I2 —*1Г (1 + JY 1r)—— a1 = I3e~J2Г (1 + JY2r)— a2

т.е.

Совместное решение (29), (30) дает:

12 = V -&1

V~J2Г

V =

2M— a

M 2

где

То есть ©Проблемы энергетики

Ma 2 + M a1 , Ma1 + Ma 2

HФ

Рис. 5. Определение магнитной компоненты поля а) в верхнем полупространстве,

Аналогично первым двум формулируются два последних правила. Третье правило: в любой момент времени на границе раздела сред любой конфигурации в отсутствие поверхностного тока напряженность магнитного поля первичных

источников (токов) отличается от Н их зеркальных изображений на этой границе

в Ац1 раз. Четвертое правило: за границей раздела сред при отсутствии поверхностного тока напряженность магнитного поля отличается от напряженности, создаваемой первичным источником (током) в отсутствие этой

А..

границы, в

“и 2

раз.

Решим задачу в случае, если проводящая плоскость состоит из идеального металла. В этом случае граничные условия (3), (4) упростятся:

Нтї = v э

НП1 = О

Расположим токи, как показано на рис. 6. Токи 4, 5

верхнем полупространстве, поле в нижнем полупространстве отсутствует. Распишем граничные условия для этого случая:

определяют поле в

(- І4 + 15>

JYir

l sin О

4nr

-]Yirl sin О

(1 + Л ir )cos ф = v 3 (l + Ліг )~ «isin Ф = 0

4nr2

После преобразований получим:

14 =-15,

• е ~ ]Yirl sin О

v э = -214------;—-----(1 + ]Y ir )os Ф

.

4пг .

Решим задачу в общем случае, наложив два полученных частных решения друг на друга. Расположим

вибраторы, как показано на рис. 5, 6. Условимся, что 16, 12

и 1з преломляются по правилам № 3, 41, а І4 и І5 имитируют действие поверхностного тока. Учитывая, что

11 _ 14 + 16, а І4 _ І5 из (31), (33) получим:

і, = Чї (Ii - і, ),

нф

Рис. 6. Определение магнитной компоненты поля в верхнем полупространстве, если нижнее полупространство заполнено идеальным металлом

Необходимо найти 4. По определению:

1 т.е. в (29) - (30) формально заменим І1 на І 6. ©Проблемы энергетики

V э = У пов Ет.

V э —

2 I

пповe < lF >п

где э плотность поверхностного электрического тока,

пов поверхностная концентрация электронов проводимости,

заряд электрона,

масса электрона,

F пов

У пов =-------------------

m < uF >пов

F пов удельная поверхностная проводимость,

n —

пов

e — m —

< i >____

F средняя длина свободного пробега электрона, имеющую энергию

Ферми,

< и > —

F средняя скорость движения такого электрона.

Запишем уравнение связи между поверхностной концентрацией электронов

П Q

проводимости пов и их суммарным зарядом ^пов:

ПповedS = йпов = 6э^ ^ Пповe = 6э ,

6 — v э

Подставим (42), (43) в (39):

• e~Л1Ч sin 0* \ 1 6 je < lF >п

где э поверхностная плотность сторонних электрических зарядов

I ^ «ЦЫ»0 (1 + jy 1Г )= 1

F пов

, ...................... E

4 2 ^ */ J1 ^ т

4nr 2 cos ф m < uF >пов

тж Ёт(й. )+ Ёт(я2 )= 0

Из (27) с учетом того, что 11 ТХ12' , найдется компонента

Ет

вектора напряженности электрического поля т касательная к плоскости раздела сред:

Ёх = Ег (/ )е08 ©1 + Ег (4 )со8 0 2 + Ё0 (/1 ©1 + Ё0 (^2 )вШ 0 2 .

0 0 - ^ 10

где 15 2 углы при вибраторах 1 и ^2 соответственно.

Е

Аналогично из (28), найдется т для нижнего полупространства:

Е = ^Е2Е (/1 ^08 0 + ^Е2Е© (/ 0 .

Найдем °э, проведя предварительные рассуждения. Выше при нахождении распределения потенциала была использована система из трех фиктивных

зарядов ^1, ^2 и ^3 (рис. 3). При этом заряд ^2 имитировал силовое воздействие на верхнее полупространство поверхностных зарядов, распределенных по границе

раздела сред “диэлектрик - проводящая плоскость”, а ^3 - на нижнее. Перейдем от фиктивных зарядов к поверхностной плотности электрических зарядов э, ©Проблемы энергетики

находящихся на границе раздела сред “ диэлектрик -проводящая плоскость”. Запишем теорему Гаусса для

участка границы раздела сред площадью S (рис. 7):

о S

| EndS = ^ о э = 2ея1 Er (q2 )sin 0 cos ф

S ея1 .

где S .

Перепишем это выражение с учетом (15):

- fiir

q^ 'W . 2\ . _

О э _ ——— ^1 + ]y1r Jsm О cos Ф

Рис. 7. Поверхностная плотность зарядов на границе раздела сред.

2nr

При помощи формулы (48) находится поверхностная плотность зарядов при

анализе поля в верхнем полупространстве. Аналогично находится ^э при анализе поля нижнего полупространства:

q^ ]Y2 / . 2\ .

О э _ ——— ^1 + ] 2r jsm О cos Ф

2nr

Подстановка (46), (49) в (44) и (41) даст искомую зависимость распределения магнитной компоненты поля в нижнем полупространстве. Аналогичные

подстановки в (40) приводят к нахождению силовой характеристики І2.

Токи проводимости в проводе

Величина электрического тока в проводе 11 определяется, как сумма

заданного стороннего тока эс1 и неизвестного тока проводимости

1 1 _ 1эс1 + 1эп1 _ 1 эс1 + у пр ЕТ

эп1

пр Т

Принимая во внимание второе правило, найдем Т как

І1 _ 1эс1 +Y

2 Sa

пр

Sai + Sann

Ев! )_ І„ї

+Y

2 Sa

пр

Sai + ^пр

Ев! )

В соответствии с

Ев

]© Sa14n8I

окончательно получим:

Ії _ І„ї +Y 2

Sal - Sa2

Ії е

-'Лі2 It

Sal + «^р ~ai + ~a. > 32n8h

Решив это уравнение относительно неизвестного тока & 1 , получим:

& = 4:1

1 2 ~ ~ 1 e~jy12hJ / \

1 — Y „ -© 3—h3

P ВЯ1 + ейПр ЕЯ1 + Sa2 J© 32n8h

Заключение

Приведено описание решения задачи “отрезок провода с переменным током над проводящей плоскостью”. Получены правила преломления поля элементарного электрического вибратора на плоской границе раздела сред. Предлагаемый подход расширяет класс задач электродинамики, для которых можно получить точное решение. На основе этого решения создан новый метод численного расчета поля [6].

THE PIECE WITH ALTERNATING CURRENT OVER CONDUCTIVE PLANE

Dmitriev I.A., Kileev A.I.

Kazan State Power Engineering University

The solution description for "The piece of conductive with alternating current over conductive plane" problem is given.

Литература

1) Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения радиоволн. -

М.: Советское радио, 1970. - 520 с.

2) Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. -М.: Высшая школа, 1974. -536 с.

3) Белашов В.Ю. Дифракция низкочастотного поля на симметричных проводящих объектах. Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2001. №5-6. с. 76-84.

4) Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.; Высшая школа, 1973. - 752 с.

5) Фрадин А.З. Антенно-фидерные устройства. - М.: Связь, 1977. -440

с.

6) Расчет переменного электромагнитного поля. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2002. №7-8. с. 76-84.

7) Федоров Н.Н. Основы электродинамики. - М.: Высшая школа, 1980. - 398 с.