Структурная оценка сингулярного спектра в задачах анализа динамики моделей дискретных последовательностей

виде двух двухпроводных нитевидных линии, помещенных между многослойными проводящими полупространствами, которая является

математической основой для разработки более сложных ММ ВТП;

- разработаны методика и алгоритм расчета выходных характеристик более сложной ММ ВТП в виде попарных параллельных линейно-протяженных проводящих пластин с поперечным сечением в виде многоугольника или в виде гладкой фигуры.

Решение задач, поставленных в данной работе, совместно с результатами, полученными в работах [5, 6, 12], позволяет однозначно и объективно построить алгоритм расчета универсальной ММ трансформаторного ВТП для ВТК плоских проводящих сред и расширить ее функциональные возможности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Герасимов В.Г., Клюев В.В., Шатерников В.Е. Методы и приборы электромагнитного контроля. - М.: издательский дом «Спектр», 2010. -256 с.

2. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. - М.: Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2002. - 336 с.

3. Степанов А.Л. Ориентированная для САПР универсальная ММ ВТК плоских проводящих сред. Часть 1. Постановка вспомогательной задачи. Труды СКГМИ (ГТУ). Выпуск двадцать первый. Владикавказ, 2014. С. 103-111.

4. Степанов А.Л., Дедегкаев А.Г. Ориентированная для САПР универсальная ММ ВТК плоских проводящих сред. Часть 2. Решение задач для

построения ММ. Труды СКГМИ (ГТУ). Выпуск двадцать первый, Владикавказ, 2014. С. 112-122.

5. Дедегкаев А.Г., Степанов А.Л. Ориентированная для САПР универсальная ММ вихретоко-вого преобразователя. Часть 1. Результирующее поле обмотки возбуждения. ВЕСТНИК Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №1 (т. 36), 2015 С.70-78.

6. Степанов А.Л., Воронин П.А. Математическая модель линейно-протяженного вихретокового преобразователя для контроля плоских многослойных проводящих сред. Деп. в ВИНИТИ 06.08.97. № 2619-В97.

7. Никольский С.М. Курс математического анализа. т. 1. - М.: Наука, 1983. - 461 с.

8. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Т.1. - М.: Энергоиздат,

1981. - 536 с.

9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1974. - 832 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

11. Штафль М. Электродинамические задачи в электрических машинах и трансформаторах. -М.-Л.: Энергия, 1966. - 200 с.

12. Степанов А.Л., Дедегкаев А.Г. Математическая модель вихретокового преобразователя. ЭДС измерительных обмоток. Труды СКГМИ (ГТУ). Выпуск двадцать второй, 2015. С. 22-31.

13. Математическая энциклопедия / Под ред. И.М. Виноградова. - М.: Советская энциклопедия,

1982, т.3. - 592 с.

УДК 519.715 Кедрин Виктор Сергеевич,

к. т. н., доцент, Иркутский государственный университет, тел. (3952) 24-22-14, 24-22-28, e-mail: kedrinvs@mail.ru Кузьмин Олег Викторович, д. ф.-м. н., профессор, Иркутский государственный университет, тел. (3952) 24-22-14, 24-22-28, e-mail: quzminov@mail.ru

Хоменко Андрей Павлович, д. т. н., профессор, ректор, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел./факс 8(3952)63-83-11, e-mail: homenko@irgups.ru

СТРУКТУРНАЯ ОЦЕНКА СИНГУЛЯРНОГО СПЕКТРА В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

V. S. Kedrin, O. V. Kuzmin, A. P. Khomenko

STRUCTURAL EVALUATION OF THE SINGULAR SPECTRUM IN TASKS OF DISCRETE SEQUENCES MODELS DYNAMICS ANALYSIS

Аннотация. В данной работе, относящейся к области разработки методов и алгоритмов решения задач системного анализа и обработки информации, предложена модификация аппарата сингулярного разложения матрицы развертки для графического анализа структуры сложной динамики моделей дискретных последовательностей. Разработаны критерии и методы

вычислительная техника и управление

решения задач системного анализа для обработки информации. Сформирована концепция сравнения относительных сингулярных спектров разных участков дискретной выборки и разработан алгоритм получения оценки структуры относительного сингулярного спектра с целью изучения особенностей его изменения для нестационарных мультипликативных и аддитивных моделей функций, образующих дискретные последовательности. Проведена серия экспериментов по построению относительного сингулярного спектра для некоторых моделей элементарных функций, а также их аддитивных и мультипликативных комбинаций. Исследованы структурные характеристики изменений относительного сингулярного спектра для анализа нестационарной осциллирующей модели функции, меняющей свой структурный и функциональный режим. Определены графические образы относительного сингулярного спектра, характеризующие изменения режимов состояния системы, порождающей исследуемую дискретную выборку, а также наличие в ней элементарных подсистем, характеризующих ее определенное квазидинамическое состояние. Показана зависимость количества осциллирующих подсистем от совокупности наибольших по значению относительных сингулярных чисел. Выявлены ключевые особенности аппарата для разработки новой методологии анализа нестационарной динамики дискретных выборок процессов на базе когнитивных графических образов.

Ключевые слова: нестационарная система, дискретная последовательность, сингулярное разложение, относительный сингулярный спектр, анализ структуры модели, разделимость.

Abstract. The work proposes modification of the apparatus of singular value decomposition of a matrix sweep for graphical analysis of the structure of the complex dynamics models of discrete sequences. The concept of comparing relative singular spectra of different parts of discrete sampling is formed and the proposed algorithm for estimating relative structure of singular spectrum for the purpose of studying the characteristics of its changes for non-stationary multi plicative and additive models functions that form a discrete sequence is carried aut. A series of experiments on the construction of relative singular spectrum for some models of elementary functions and their additive and multiplicative combinations is provided. Structural characteristics of relative singular spectrum analysis for non-stationary oscillating function, changing their structural andfunctional re-press. Defined relative singular spectrum graphic images characterizing system generating the analyzed discrete sample modes change, and the presence of elementary subsystems, characterizing qua-sidynamic condition are investigated. The the number of oscillating subsystems dependence on set of the largest relative singular numbers. Key features of the apparatus for creating a new methodology for the analysis of nonstationary dynamics of discrete samples of cognitive processes on the basis of graphic images are identified.

Keywords: non-stationary system, discrete sequence, singular value decomposition, relative singular spectrum, model structure analysis, separability.

Введение

В целях управления сложными техническими системами в современных условиях необходимо понимание природы нестационарного поведения их процессов, приводящей к изменениям параметрического и структурного состава подсистем, ее образующих, с течением времени. Причин возникновения нестационарного поведения существует достаточно много. К ним можно отнести [1]:

- наличие в системе процессов, характерный временной масштаб которых больше длительности интервала наблюдения;

- влияние внешних факторов воздействия;

- наличие переходных процессов;

- дрейф параметров системы.

Зачастую указанные воздействия могут приводить к нештатным режимам работы технических систем и аварийным ситуациям. Поэтому разработка алгоритмического аппарата для решения задач обработки информации с целью фиксации фактов нестационарного поведения является актуальным для многих областей исследований в рамках системного подхода. В основе разработки такого рода аппарата лежит анализ временных рядов, фиксирующих развитие параметров состояния исследуемой системы, с помощью различных дискретных методов.

В настоящий момент наметилось несколько направлений для анализа нестационарного поведения. Одно из них основано на методах, заимствованных из нелинейной динамики [2-6]. Однако данный аппарат является ограниченным, так как

подразумевает постоянство оператора эволюции системы, генерирующей дискретную последовательность [7]. В силу этого нестационарность, вызванная изменением структурного и количественного состава элементов системы и их связей, не может быть адекватно исследована и определена с помощью данного вида анализа.

Альтернативным подходом к анализу нестационарности дискретной выборки является разделение его на квазистационарные участки с последующей их классификацией. В этом случае целью анализа является отслеживание состояния выделенных участков. Само состояние квазистационарных участков может быть определено:

1) с помощью оценки спектрального состава на базе оконного преобразования Фурье, как, например, в работах [8, 9]. Однако данный аппарат применительно к анализу нестационарного поведения системы также является ограниченным в силу чувствительности Фурье-преобразования к «локальным» скачкам и пикам функции. Поэтому его применение является неэффективным для процессов, которые могут быть представлены функциями, являющимися суммами периодических компонент с эволюционирующими во времени частотой и амплитудой [10]. Кроме того, преобразование Фурье является взаимно однозначным преобразованием. Вся случайная составляющая, которая содержится в гладкой функции, переходит в спектр. Для уменьшения случайности переходят к спектральной плотности и используют спектральные окна. Од-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

нако возникает проблема с интерпретацией спектров в случае детерминированной функции, так как трудно заранее определить долю случайности в исследуемом процессе;

2) с помощью специальных статистических тестов, основанных на анализе характера распределений выделяемых участков, как, например, в работах [2, 11]. Однако такой анализ может привести к неконтролируемой ошибке [12]. Также существенным недостатком статистической классификации является неопределенность взаимодействия отдельных осциллирующих составляющих модели, связанная с трудностями учета относительных фазовых сдвигов комплексных выборок компонент.

Очевидно, что в силу указанных ограничений использование любого из вышеперечисленных подходов будет недостаточно эффективным для обоснованного анализа нестационарной системы, характеризующейся интенсивными и значительными изменениями показателей, а также непостоянством составляющих движения.

Таким образом, задачу исследования поведения нестационарной системы нельзя считать решенной, и необходим поиск новых эффективных методов, которые позволяют фиксировать не только момент изменения нестационарного поведения системы, но и изменения в структурном составе подсистем, ее образующих, что косвенно характеризует изменение закона эволюции систем.

Алгоритм оценки относительного сингулярного спектра

Одним из эффективных быстро развивающихся разделов дискретного анализа для исследования скрытой динамики системы на основании подхода, предложенного Ф. Такенсом, является метод сингулярного разложения SSA. Данный метод основывается на преобразовании одномерной выборки процесса в многомерную матрицу развертки с помощью однопараметрической процедуры задержки элементов ряда и сингулярном разложении этой ганкелевой матрицы [13, 15] по фундаментальному соотношению

А = ТОУг,

где U - унитарная матрица размером m^m левых сингулярных векторов; V - унитарная матрица размером п*п правых сингулярных векторов; W - диагональная матрица размером m^n с сингулярными неотрицательными числами, расположенными в порядке невозрастания.

Математическое содержание метода SSA -описание пространства данных, заключенных в матрице A, как суммы взаимно ортогональных собственных подпространств, сопоставимых с количеством сингулярных чисел [14, 16]. При этом количество значимых (отличных от погрешности и шума) подпространств будет зависеть от количества сингулярных чисел, существенно отличных от

Рис. 1. Концепция сравнения относительных сингулярных спектров разных участков дискретной выборки

Сингулярное разложение выборки:

Л = (а. ам......Ог+0

Расчет относительного сингулярного спектра

лу;

Графики относительного сингулярного спектра

лу;

Т -

Конец

Рис. 2. Алгоритм графической оценки относительных сингулярных спектров на разных участках последовательности

нуля. Логично предположить, что если совокупность диагональных сингулярных чисел формирует образ разложения на элементарные подсистемы, то она должно отражать скрытую структуру взаимосвязи этих подсистем, характеризующих режим или закон поведения системы в определенной точке ее состояния [15]. При этом предсавляет интерес изучение изменения структуры сингулярного спектра при изменении оператора эволюции. С этой целью авторами был разработан алгоритм графической оценки относительного сингулярного спектра (далее ОСС). В данном контексте под ОСС авторы понимают расчет относительной меры для двух рядом стоящих сингулярных чисел с учетом их среднего значения. Иными словами если мы имеем исходную совокупность сингулярных чисел = (щ,щ,...,щ ,...щ), то чтобы перейти к ряду, характеризующему ОСС = Щ', Щ,..., щ[,...щ'1-1),

необходимо осуществить следующее преобразование:

1)

Щ = <

Щ+1 (щ + Щ

2щ

, если щ Ф 0;

0, если = 0.

Данное преобразования позволяет учесть относительное изменение пары сингулярных чисел с

учетом их средней доли в общей совокупности диагональных чисел матрицы W. Это свойство позволяет исследовать структурные изменения в матрице W при сравнении разных участков дискретной выборки, к которым применяется метод СРМР (рис. 1).

Таким образом, идея оценки ОСС состоит в том, чтобы рассмотреть особенности изменения в структуре совокупности ряда относительных сингулярных чисел (далее ОСЧ) при итерационном перемещении сингулярного окна заданной ширины k и параметром траекторной матрицы развертки m, согласующейся с динамическими свойствами изучаемого временного сечения. Для реализации данной идеи в программной среде авторами был составлен алгоритм графического анализа изменения ОСС при итерационном сдвиге окна выборки значений заданной динамической размерности k (см. рис. 2).

Структуры относительного сингулярного спектра частных моделей дискретных последовательностей

Алгоритм, представленный на рис. 2, был включен в экспериментальную версию программного комплекса визуального проектирования моделей анализа и прогнозирования сложных энергетических процессов [17, 18], разрабатываемого

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

в среде Qt с помощью объектно ориентированного языка С++. Формирование сингулярного разложения было осуществлено с помощью алгоритма Голуба Рейнша [19], включенного в состав библиотеки численных вычислений в прикладной математике и науке GSL.

С помощью разработанного алгоритма была проведена серия экспериментов для изучения изменения структуры ОСС выборок дискретных последовательностей, элементы которых характеризуют определенные модели функций. Алгоритм был применен с параметрами ширины матрицы сингулярного окна K и длины матрицы развертки M. В результате формировались графические зависимости в одной области диаграммы для всех итерационных сингулярных окон:

- значения относительных сингулярных чисел в зависимости W'(i) от их индекса i (зависимость структуры ОСС);

- значения относительных сингулярных чисел W'(is) в зависимости от индекса сингулярного

окна iS (зависимость изменения структуры ОСС).

Эксперимент 1

Исследования особенностей формирования ОСС для элементарных функций:

а) модель 1.1 - равносторонняя гипербола:

I =

6

, х = 0;50;

х + 6

б) модель 1.2 - равносторонняя гипербола с разрывом первого рода: 6

I =

х + 6 12

, х < 20

, х = 0;50;

, х > 20

х +12' в) модель 1.3 - синус:

I = 0,Ьт х, х = 0;50.

Графические зависимости W'

для моделей 1.1, 1.2 и 1.3 при параметрах ширины матрицы сингулярного окна K = 21 и длины матрицы развертки M = 9 представлены на рис. 3-5.

Вывод

1) каждая структура изменения ОСС для определенных типов функций (см. рис. 3-5) имеет свою индивидуальную особенность с позиции структуры ОСС W'(/) и зависимости ее изменения;

2) модель 1.1. для равносторонней гиперболы характеризуется первыми двумя ОСЧ, из которых первое ОСЧ имеет плавную прямо пропорциональную зависимость изменения, а второе ОСЧ

\\ \\г

а) , б) ,

Рис. 4. Графики изменения ОСС для модели 1.2: а) W'

обратно пропорциональную зависимость (см. рис. 3);

3) модель 1.2. равносторонней гиперболы с разрывом первого рода имеет равномерно убывающую динамику по всей совокупности ОСЧ (см. рис. 4, а) и характеризуется трапецеидальной зависимостью изменения структуры ОСС (см. рис. 4, б), которая имеет более четкую форму в совокупности последних по индексу ОСЧ;

4) модель 1.3 синуса характеризуется двумя ОСЧ (см. рис. 5, а), которые имеют постоянную зависимость изменения (см. рис. 5, б), при этом второе ОСЧ превышает первое, образует пик на графике (см. рис. 5, а).

Эксперимент 2

Исследования особенностей формирования ОСС для аддитивных моделей функций, состоящих из двух подсистем:

а) модель 2.1 - сумма равносторонней гиперболы и синуса:

/ = —^ + 0,Ып х, х = 0;50 х + 6

б) модель 2.2 - сумма равносторонней гиперболы и синуса с разрывом первого рода: 6

/ =

х + 6 12

+ 0,Ып х, х < 21

, х = 0;50;

+ 0,1 Б1П х, х > 21

х+12

в) модель 2.3 - сумма синуса и косинуса с разной частотой:

/ = 0,18т х + 0,2ео82х, х = 0;50.

Графические зависимости W'

для моделей 2.1, 2.2 и 2.3 при параметрах ширины матрицы сингулярного окна K = 21 и длины матрицы развертки M = 9 представлены на рис. 6-8.

Вывод

1) аддитивная модель 2.1 равносторонней гиперболы и синуса характеризуется первыми двумя ОСЧ. Все графики имеют схожий пиковый образ (см. рис. 6, а), который согласуется со структурой ОСС для модели 1.3 синуса (см. рис. 5, а),

w

а) б)

Рис. 7. Графики изменения ОСС для модели 2.2: а) W'

W

?л

¿Як

v_ г

] 2 3 » i С 7 Й

1 I ins f 7« ! Lqjilí]3NliJbiriJ19!0¿]íí23ii2i¿bí/íi¿?ítl

-I —Ш— II л. III _|V

-vi —i—vil -4111

а) б)

Рис. 8. Графики изменения ОСС для модели 2.3: а) W'

причем наблюдается плавный дрейф данного образа по прямо пропорциональной зависимости для первых двух ОСЧ (см. рис. 6, б);

2) аддитивная модель 2.2 равносторонней гиперболы и синуса с разрывом первого рода характеризуется всей совокупностью ОСЧ (см. рис. 7, а). Первые два ОСЧ формируют схожий пиковый образ (см. рис. 7, а), который согласуется со структурой ОСС для модели синуса (см. рис. 5, а). Первые два числа имеют нелинейную прямо пропорциональную зависимость для первых двух ОСЧ (см. рис. 7, б). Последние по индексу ОСЧ характеризуется трапецеидальной зависимостью изменения структуры ОСС (см. рис. 7, б), которая согласуется с моделью 1.2 с точкой разрыва первого рода (см. рис. 4, б);

3) аддитивная модель 2.3 синуса и косинуса с разной частотой характеризуются четырьмя ОСЧ, которые формируют два пика на графике структуры ОСС (см. рис. 8, а) и имеют постоянную зависимость изменения структуры ОСС (см. рис. 8, б);

4) в структуре и зависимости изменения ОСС для аддитивных моделей функций, состоящих их двух подсистем, проявляются локальные черты

ОСС каждой подсистемы в отдельности, что позволяет идентифицировать структуру аддитивных моделей.

Эксперимент 3

Исследования особенностей формирования ОСС для мультипликативных моделей функций, состоящих из двух подсистем:

а) модель 3.1 - произведение равносторонней гиперболы и синуса:

f = —6— х sin х, х = 0;50; х + 6

б) модель 3.2 - произведение равносторонней гиперболы и синуса с разрывом первого рода:

6

f =

х + 6 12

х sin х, х < 21

, х = 0;50

х sin х, х > 21

.х +12

в) модель 3.3 - произведение синуса и косинуса с различными частотами:

I = 0ДБт х х 0,2ооб2х, х = 0;50

Графические зависимости W' и W'

для моделей 3.1, 3.2 и 3.3 при параметрах ширины

<

вычислительная техника и управление

а) б)

Рис. 9. Графики изменения ОСС для модели 3.1: а) W'

а) б)

Рис. 10. Графики изменения ОСС для модели 3.2: а) W'

»л ад

9

(1.9:

0Л ^^^^^^

^ Р-

12 3*5 6 7 3 9 10111 718193^21

* ' —*—ИИ —ЛГ —<—V ——VI -

а)

б)

Рис. 11. Графики изменения ОСС для модели 3.3: а) W'

матрицы сингулярного окна K = 21 и длины матрицы развертки M = 9 представлены на рис. 9-11.

Вывод

1) мультипликативная модель 3.1 равносторонней гиперболы и синуса характеризуется первыми двумя ОСЧ. Все графики изменения структуры ОСС имеют схожий пиковый образ (см. рис. 9, а), согласуется со структурой ОСС для модели синуса 1.3 (см. рис. 5, а), причем наблюдается скачкообразное изменение структуры ОСС по прямо пропорциональной зависимости для первых двух ОСЧ (см. рис. 9, б);

2) мультипликативная модель 3.2 равносторонней гиперболы и синуса с разрывом первого рода характеризуется всей совокупностью ОСЧ (см. рис. 10, а). Первые два формируют схожий пиковый образ (см. рис. 10, а), который согласуется со структурой ОСС для модели 1.3 синуса (см. рис. 5, а). Также первые два ОСЧ имеют нелинейную прямо пропорциональную зависимость изменения структуры ОСС для первых двух ОСЧ (см. рис. 10, б). Последние ОСЧ характеризуется трапецеидальной зависимостью изменения структуры

а) б)

Рис. 12. Графики изменения ОСС для модели 4.1

w W

а) б)

Рис. 13. Графики изменения ОСС для модели 4.1

ОСС (см. рис. 10, б), которая согласуется с моделью 1.2 с точкой разрыва первого рода (см. рис. 4, б);

3) мультипликативная модель синуса и косинуса с разной частотой характеризуются четырьмя ОСЧ (см. рис. 11, а), которые имеют периодическую зависимость изменения структуры ОСС (см. рис. 11, б);

4) в структуре и зависимости изменения ОСС для мультипликативных моделей функций, состоящих их двух подсистем, проявляются локальные черты ОСС каждой подсистемы в отдельности, что позволяет идентифицировать структуру мультипликативных моделей.

Эксперимент 4

Исследования особенностей формирования относительного сингулярного спектра для аддитивной модели функций состоящих их трех подсистем. В качестве модели 4 возьмем последовательность, определяемую суммой трех тригонометрических компонент с разной частотой:

f = 0,1 sin х + 0,2sin2x + 0,3 sin0.5x, x = 0;50

Графики исследования изменения ОСС для модели 4 представлены: 1) при ширине матрицы сингулярного окна K = 21 и длине матрицы развертки M = 9 - на рис. 12; 2) при ширине матрицы сингулярного окна K = 24 и длине матрицы развертки M = 12 - на рис. 13.

Вывод

1) аддитивная модель функции состоящей их трех осциллирующих подсистем с разной частотой

характеризуются шестью сингулярными числами, которые формируют три пика на графике структуры ОСС (см. рис. 12, а) и имеют постоянную зависимость изменения структуры ОСС (см. рис. 12, б).

2) зависимость структуры ОСС проявляется четче при увеличении параметра M и K соответственно (см. рис. 13), что подтверждает вывод о том, что параметр М согласуется с фрактальной размерностью системы (порядок системы дифференциальных уравнений, описывающий виртуальный объект), порождающий временной ряд, сделанный авторами в работах [13-14].

Эксперимент 5

Исследования особенностей формирования относительного сингулярного спектра для нестационарной осциллирующей модели функции, меняющей свой структурный и функциональный режим -модель 5 (рис. 14):

0,18ш х, х < 50;

= ] 0.Ыпх + 0.2ео82х,50 < х < 100; х = 0;150. 0.18шх*ео82х, х > 100;

Исследование модели 5 при ширине матрицы сингулярного окна K = 21 и длины матрицы развертки M = 9 представлено на рис. 15-16.

Вывод

1) на основании зависимости изменения структуры ОСС для модели 5 (см. рис. 16) можно выделить три локальных участка: а) участок 1 характеризуется первыми двумя ОСЧ и имеет схожий

-0.4

Рис. 14. Модель 5

\У

з

12345678

Рис. 15. Графики изменения ОСС W' для модели 5

I -II -III -IV -V -VI -VII -VIII

Рис. 16. Графики изменения ОСС W' (^ ) для модели 5

постоянный характер изменения с моделью 1.3; б) участок 2 характеризуется первыми четырьмя ОСЧ и имеет схожий постоянный характер изменения с моделью 2.3; в) участок 3 характеризуется первыми четырьмя ОСЧ и имеет схожий периодический характер изменения, согласующийся с моделью 3.3;

2) выделенные три участка имеют две точки перехода, которые характеризуется трапецеидальной зависимостью изменения ОСС для последних по индексу значений ОСЧ, что согласуется с моделями 1.2, 2.2, 3.2, имеющими точки разрыва первого рода;

3) характер изменения структуры ОСС и количество ОСЧ позволяют судить о моментах изменения режима состояния системы, порождающей дискретную выборку, и наличии элементарных подсистем, характеризующих данное состояние.

Заключение

На основании проведенного экспериментального исследования можно заключить, что расширение и модификация классического алгоритма сингулярного разложения позволяет создать новый, достаточно перспективный и наглядный аппарат анализа динамической нестационарности и ее структуры в локальном квазистационарном состоя-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

нии. При этом данный аппарат может быть применим не только для аддитивных моделей, но и для мультипликативных, что расширяет возможности методики сингулярного разложения. Выделенные выше ключевые особенности структуры и изменения ОСС могут стать основой для разработки новой методологии анализа нестационарной динамики на базе когнитивных графических образов, что особенно актуально для мониторинга параметров управления в режиме реального времени сложных структурно неустойчивых систем. К этим особенностям, которые, безусловно, нуждаются в проверке и дополнительном уточнении, можно отнести следующие:

1) количество осциллирующих подсистем прямо пропорционально совокупности наибольших по значению ОСЧ, при этом каждая осциллирующая подсистема характеризуется двумя ОСЧ;

2) точки разрыва (перехода состояний) характеризуется трапецеидальной зависимостью изменения структуры ОСС для последних по индексу ОСЧ;

3) абстрактные изолинии зависимости изменения структуры ОСС имеют индивидуальный характер для определенного вида функций и вида модели (мультипликативная и аддитивная).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Диканев, Т. В. Анализ нестационарности и выбор структуры уравнений при моделировании по временным рядам : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.04.03 / Тарас Викторович Диканев; Саратов. гос. ун-т. им. Н.Г. Чернышевского — Саратов, 2005. — 140 с.

2. Manuca, R. Stationary and nonstationary time series analysis / R. Manuca, R. Savit // Physica D. - 1996. Vol. 99. - P. 134-161.

3. Kennel, M. B. Statistical test for dynamical nonsta-tionarity in observed time series data / M. B. Kennel // Phys. Rev. E. - 1997. Vol. 56. - P. 316-321.

4. Dejin, Yu. Space time-index plots for probing dynamical nonstationarity / Yu. Dejin, Lu Weiping, Robert G. Harrison // Phys. Lett A. -1998. Vol. 250. - P.323-327.

5. Rieke, C. Measuring nonstationarity by analyzing the loss of recurrence in dynamical systems / C. Rieke, K. Stemickel, R. G. Andrzejak, and other // Phys. Rev. Lett. - 2002. Vol. 88, J№ 24. - P. 2441021-244102-4.

6. Schreiber T. Detecting and Analyzing Nonstationarity in a Time Series Using Nonlinear Cross Predictions / T. Schreiber // Phys. Rev. Lett. - 1997. Vol. 78. - P. 1-4.

7. Хоменко, А.П. Операторные методы оценка свойств колебательных систем / А.П. Хоменко, С.В. Елисеев // Труды XIX Байкальской Всероссийской конференции. - 2014 г. -C. 146-155.

8. Mallat, S. Matching pursuit with time-frequency dictionaries S. Mallat and Z. Zhang // IEEE Trans. Sign. Process. - 1993. Vol. 41. - P. 3397-3415.

9. Горюнова, Н.К. Влияние параметров режима электрической системы на ее частотные характеристики / Н.К. Горюнова, А.Н. Дойников, Л.А. Терешко // Тр. Ленингр. политехн. ин-та. - 1981.

- №380. - С.26-30.

10. Кузьмин, О. В. Анализ структуры гармонических рядов динамики на базе алгоритма сингулярного разложения. / О. В. Кузьмин, В.С. Кедрин // Проблемы управления. - Москва: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2013. - №1. - С. 26-31.

11. Гребенюк, Е.А. Анализ и оперативная диагностика систем, описываемых нестационарными случайными процессами//Проблемы управления, 2003, 4, стр 23-29.

12.Жиров М.В. Идентификация и адаптивное управление технологическими процессами с нестационарными параметрами / М.В. Жиров, В.В. Макаров, В.В. Солдатов - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 203, [5] с.: ил.

13. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 320 с

14. Кедрин, В.С. Выделение осциллирующих и трендовых компонент на базе критериальной модификации сингулярного анализа / В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин // Вестник СибГАУ. -2012.

- Вып. 2 (128). - С. 27-32.

15. Кузьмин, О.В. Сингулярное разложение в моделях дискретных последовательностей. / О.В. Кузьмин, В.С. Кедрин - Иркутск: Иркутский государственный университет, 2014. - 214 с.

16. Кузьмин, О.В. Анализ структуры гармонических рядов динамики на базе алгоритма сингулярного разложения. / О.В. Кузьмин, В.С. Кедрин // Проблемы управления. - Москва: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2013. - №1. - С. 26-31.

17. Кедрин, В. С. Применение программной архитектуры Model-View-Controller для построения системы визуального проектирования и моделирования алгоритмов / В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин // Научно-технические ведомости СПбГТУ.

- 2011. №4(128). - С. 36-42.

18. Кедрин, В. С. Системная методология моделирования когнитивной графики в информационной системе научных вычислений / В.С. Кедрин, О.В. Кузьмин // Вестник Бурятского государственного университета - 2011. Выпуск 9. -С. 262-273.

19. Golub, G.H. Singular Value Decomposition and least squares solutions. / G. H. Golub and N. Rein-sch // Handbook for Automatic Computation, II, Linear Algebra J.H. - Wilkinson and C. Reinsch (Eds.), Springer-Verlag, New York, 1971. -P.134-151.