Пподсчет запасов и оценка его погрешности методом «Красных чисел»

ПОДСЧЕТ ЗАПАСОВ И ОЦЕНКА ЕГО ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДОМ «КРАСНЫХ ЧИСЕЛ»

I

Подсчет запасов и ресурсов является важной заключительной частью каждой стадии геолого-разведочных работ. К сожалению, положениями о классификации запасов полезных ископаемых пока не предусмотрены количественные требования к точности (погрешности) их оценки по категориям. Это связано, в числе многих причин, со сложностью и недостаточной разработанностью методов расчета погрешностей. Еще на рубеже XVIII—XIX вв. был рассмотрен простейший случай оценки погрешностей запасов — по среднему квадрати-ческому отклонению самого изменчивого геологического параметра — мощности или содержания [1, 13]. Вскоре обозначились основные проблемы, связанные с применением теории вероятностей и математической статистики к подсчету запасов. Главная из них заключается в том, что в примененных методах математической статистики используются случайные величины, не привязанные к точкам пространства. Ситуация схожа с той, которая бывает при выборе жребия из сосуда, в котором шарики или бумажки перемешиваются. В геологии и при разведке месторождений всегда имеют дело с пространственными переменными, статистическая обработка которых существенно сложнее. Д. А. Казаковский, профессор Ленинградского горного института и Всесоюзного научно-исследовательского маркшейдерского института, показал [2—9], что решающее влияние на точность подсчета запасов имеет не просто изменчивость свойства, а характер изменения значения подсчетного параметра от точки к точке. Если оно случайно, то в этом и только в этом случае применимы формулы классической математической статистики. В рудных телах при близких расстояниях между разведочными точками (точками опробования) разность между содержаниями или мощностями в соседних точках значительно меньше, чем средняя разность в целом по объекту без учета расположения точек. Эту разность в 1937 г., задолго до

Д. г.-м. н. Ю. А. Ткачев

1каекеу@^во. котгзе. ги

создания геостатистики южноафриканскими геологами Д. Г. Криге, X. С. Зихелем (Сишелом), X. Дж. де Вийсом, а также Ж. Матероном, он назвал первой разностью и показал, что именно она определяет погрешность оценки параметра. Косвенно первая разность для заданного расстояния к между точками определяет значение так называемой полувариограммы или автокорреляционной функции. Развитие этих идей Д. А. Казаковским пошло по пути анализа вторых, третьих и последующих разностей и увело его от возможности создания геостатистики.

Вторая проблема состоит в том, что классическая математическая статистика дает погрешность запасов (с учетом указанного Д. А. Казаковским ограничения) лишь в целом по месторождению, т. е. позволяет вычислить погрешность лишь одной (общей) цифры запасов. Государственная комиссия по запасам именно по этой причине упорно возражала против официального включения погрешности оценки запасов в требования к их категориям и противопоставляла ей степеньразведанности, определяемую главным образом расстояниями между выработками, их типом и расположением. От погрешности оценки требовалась ее локализованность, что позволяло бы ее картировать, а по этой карте определять недостаточно разведанные участки и сгущать на них разведочную сеть.

В 1951 г. А. И. Осецкий, маркшейдер из Днепропетровска, предложил способ, фактически снимающий обе обсужденные здесь проблемы и защитил на эту тему кандидатскую диссертацию [10]. Разведочную сеть он разбил на четырехугольные ячейки. По аналогии с триангуляцией назовем этот процесс тетрангуляцией. Она легко осуществляется, если разведочная сеть изначально была запланирована прямоугольной, паралле-лограммной или трапецевидной. При случайном расположении разведочных точек, что на практике бывает крайне редко, тетрангуляция может

встретить некоторые затруднения и быть неоднозначной, впрочем как и триангуляция.

Противоположные стороны четырехугольника сети соединяются диагоналями и определяются координаты точки их пересечения. Для этой точки с помощью линейной интерполяции вычислялось два значения свойства (геологического параметра): одно интерполяцией по первой диагонали, другое — по второй. В простом случае, который рассмотрел А. И. Осецкий, а именно для прямоугольников (добавим сюда параллелограммы — Ю. Т.) интерполяция сводится к нахождению для каждой диагонали (I) среднего арифметического из значений на двух ее концах. В общем случае для точки пересечения диагоналей расчет производится по формуле

и = ((и2 -и{)  /^/(^ +12) + иь

где и1, и2 — значения свойства на концах диагонали; /1, 12 — длины частей диагонали от ее концов до точки пересечения диагоналей,

1\,2 =V(х2 - хд2 +(У2 - У1)2 ,

где х1, у1 — координаты конца диагонали, х2, у2 — координаты точки пересечения диагоналей.

В свою очередь х2, у2 определяются по известным формулам аналитической геометрии для координат точки пересечения отрезков, заданных координатами их концов.

А. И. Осецкий исходил из того, что в общем случае в точке пересечения диагоналей будет получено два отличающихся друг от друга значения свойства: от первой диагонали и от второй. И только в единственном случае, когда изучаемое свойство в пределах какого-либо четырехугольника аппроксимируется плоскостью, два значения будут совпадать. Чем больше разность между значениями, тем больше аппроксимирующая данное свойство поверхность будет отклоняться от плоскости, тем больше будет ошибка оценки запасов. Другими словами, разность значений свойства

кэ

Результаты моделирования случайного поля свойства и его обработки по программе МСШИЕООГ.

Таблица 1

Показа- Значения показателей по вариантам моделирования Среднее Заложено

тели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 из 14 в модель

Размещение значений свойства по точкам случайное, без автокорреляции, частотное распределение равномерное

Я 0.23 0.24 0.24 0.30 0.26 0.22 0.24 0.22 0.28 0.27 0.25 0.22 0.22 0.21 0.242 0.224

0.28 0.29 0.32 0.36 0.32 0.29 0.30 0.27 0.34 0.32 0.29 0.27 0.28 0.26 0.299 0.28

X 0.45 0.44 0.52 0.45 0.41 0.52 0.51 0.48 0.46 0.50 0.39 0.45 0.51 0.49 0.470 0.5

Эх 0.12 0.13 0.11 0.10 0.14 0.13 0.13 0.14 0.12 0.13 0.13 0.13 0.13 0.19 0.131 0.14

8 Л. , % 4.56 4.84 3.37 3.82 5.63 4.11 4.23 4.65 4.46 4.45 5.78 4.76 4.27 6.41 4.667 -

У 0.47 0.46 0.52 0.45 0.43 0.54 0.50 0.48 0.49 0.52 0.42 0.47 0.51 0.48 0.481 0.5

5у 0.29 0.32 0.26 0.30 0.29 0.30 0.31 0.28 0.28 0.27 0.28 0.26 0.28 0.30 0.287 0.28

е > % 8.76 9.74 6.92 9.39 9.56 7.85 8.77 8.26 8.29 7.26 9.30 7.88 7.87 9.00 8.489 -

Размещение значений свойства по точкам случайное, без автокорреляции, частотное распределение гауссовское О Я

К 0.26 0.26 0.24 0.18 0.23 0.20 0.25 0.23 0.25 0.26 0.19 0.17 0.28 0.24 0.231 0.224 ч я о\

0.31 0.30 0.33 0.22 0.28 0.24 0.29 0.28 0.29 0.31 0.24 0.22 0.35 0.30 0.283 0.28 о г

X 0.45 0.44 0.49 0.45 0.57 0.57 0.53 0.50 0.53 0.50 0.47 0.37 0.50 0.50 0.491 0.5 1 X

0.14 0.11 0.12 0.17 0.11 0.13 0.15 0.16 0.13 0.12 0.14 0.14 0.11 0.11 0.131 0.14 о я с\

8 Д. , % 5.31 4.26 3.95 6.24 3.08 3.76 4.90 5.37 4.24 4.17 5.12 6.27 3.58 3.56 4.558 - о г

V 0.46 0.46 0.50 0.46 0.55 0.56 0.50 0.47 0.53 0.48 0.48 0.37 0.49 0.50 0.486 0.5 То о

0.28 0.26 0.25 0.25 0.29 0.27 0.32 0.28 0.31 0.29 0.25 0.25 0.29 0.27 0.276 0.28 о (О п

со 8.83 7.96 7.17 7.81 7.50 6.78 8.96 8.50 8.34 8.53 7.42 9.81 8.40 7.47 8.10 - г о

Размещение значений свойства по точкам с существенной автокорреляцией, частотное распределение гауссовское О

Я 0.08 0.07 0.08 0.06 0.08 0.07 0.07 0.09 0.07 0.07 0.05 0.06 0.08 0.06 0.071 - 1

Зц 0.10 0.09 0.10 0.08 0.10 0.10 0.09 0.11 0.08 0.08 0.07 0.07 0.10 0.08 0.089 -

аг 0.62 0.34 0.45 0.78 0.51 0.56 0.50 0.76 0.70 0.66 0.77 0.67 0.61 0.43 0.597 -

X 0.39 0.68 0.72 0.40 0.60 0.60 0.66 0.43 0.72 0.48 0.52 0.35 0.45 0.44 0.531 0.5

0.26 0.30 0.27 0.19 0.20 0.17 0.18 0.19 0.15 0.20 0.09 0.19 0.17 0.17 0.195 -

ех,% 10.9 7.28 6.24 8.10 5.69 4.77 4.60 7.21 3.36 6.83 2.95 9.01 6.46 6.52 6.423 -

У 0.37 0.64 0.68 0.40 0.58 0.59 0.62 0.43 0.72 0.47 0.51 0.37 0.43 0.44 0.487 0.5

0.29 0.32 0.29 0.22 0.23 0.22 0.24 0.22 0.17 0.22 0.13 0.22 0.21 0.20 0.227 0.28

гу,% 11.12 7.16 6.01 7.69 5.73 5.27 5.36 7.23 3.43 6.57 3.53 8.47 7.06 6.53 6.511 -

Обозначения к таблице: к таблице № 4.

относительная погрешность оценки свойства по тетрагонам и разведочным точкам; аг - коэффициент автокорреляции. Остальные обозначения см.

в точке пересечения диагоналеи может меняться от нуля (минимум) в том случае, когда своИство в области дан-ноИ четырехугольной разведочноИ ячеИки можно изобразить линеИноИ функцией от двух аргументов — плоскостью — до (максимум) некоторого большого значения, которое мы установим далее.

Рассмотрим вариант, когда значения своИства по разведочным точкам (углам четырехугольников) в пределах месторождения размещены случаИ-ным образом. Тогда разности между значениями по диагоналям, которые А. И. ОсецкиИ назвал красными числами, достигнут некоторого значения, играющего особую роль в анализе степени разведанности месторождения.

Докажем следующее утверждение: при случаИном размещении значениИ своИства по разведочным точкам и. среднее квадратическое отклонение красных чисел К по совокупности тетрагонов стремится к среднему квад-ратическому отклонению своИства по совокупности разведочных точек : , или

j=1

u3 j -1

2

U2)^ (Щ1

üf

i=1

_2

CT,

1

n/2

I V - zt)

2

t=1

в силу независимости величин vi и zi равна сумме дисперсий слагаемых: _2

2 2 = CT2 + CTZ.

2 2

Поскольку CTv = CT z,

z

.2

то 2

2 7ud

1 CT2

= - u

как дисперсия среднего из двух независимых случаИных величин. Тогда

T2

)ud\ -ud2

2

1

= CTR =CTud = 2(- ct2) =

2

где и. — значение своИства в .-тоИ раз-ведочноИ точке; и у, и2/, и3/, и4/. — значения своИства в углах _/-того тетрагона, пронумерованные по часовоИ стрелке; п — число разведочных точек; к — число тетрагонов.

Пусть имеется совокупность слу-чаИных величин {и.}, г = 1..п, где п — четное число. Разобьем ее на две части случаИным образом: {у.}, г = 1..п/2 и {г.}, г = 1..п/2. Образуем случаИным образом пары и рассмотрим разность - г., г = 1..п/2.

Дисперсия этоИ разности п/2

Утверждение доказано.

Отклонение Стк от будет существенно лишь при небольших к и п, т. е. тогда, когда число разведочных точек существенно превысит число тетрагонов и когда точка будет принадлежать не четырем тетрагонам, а трем, двум или одному. Другими словами, это случится по тоИ причине, что при расчете разведочные точки будут взяты не с равными весовыми коэффициентами, как в случае расчета .

Таким образом, красные числа являются удобным инструментом оценки сложности тела полезного ископаемого и одновременно показателем погрешности объема, содержания или запасов. Эта оценка хорошо сопоставима с оценкоИ по среднему квад-ратическому отклонению своИства. При случаИном площадном размещении своИства погрешность оценки своИства в целом по объекту равна и одновременно как . Чем «более закономерно» (плавно) будет изменяться своИство, т. е. чем больше оно будет отклоняться от случаИного, тем выше будет корреляция своИства в соседних точках, проще аппроксимирующая своИство поверхность, тем меньше будут красные числа и меньше погрешность оценки. В пределе, если аппроксимирующая поверхность — плоскость, красные числа будут равны нулю и оценка своИства не будет иметь погрешности.

Можно ли значения своИства разместить по тетрагонам таким специ-

альным образом, чтобы красные числа в среднем превысили значение, характерное для случаИного размещения своИства по точкам. А. И. ОсецкиИ в докторскоИ диссертации рассмотрел этот вопрос [12] и разделил размещение значениИ своИства на три типа: 1) увеличение значениИ идет по периметру тетрагона, 2) оно идет по одноИ стороне, потом по диагонали, затем по другоИ стороне, 3) своИство увеличивается по диагонали, потом — по стороне, затем по другоИ диагонали. В последнем третьем случае может оказаться, что красные числа будут больше, чем в случаИном варианте. А. И. ОсецкиИ уделил большое внимание анализу этих вариантов по тоИ далеко не тривиальноИ причине, что третиИ вариант порождает неопределенность в проведении изолиниИ своИства. Так, на графике (см. рисунок), построенном по данным обработки одного из наших модельных примеров, в тетрагоне с красным числом 15.2 изолинию со значением 20 можно провести как слева-вверх-направо- (сплошные линии), изображая синклиналь, так и справа вверх налево (пунктир), изображая антиклиналь. Отметим, что здесь речь идет не о погрешности в проведении изолинии, а о принципи-альноИ ошибке в трактовке морфологии залежи. Этот тетрагон требует «до-разведки», как и тетрагон с красным числом 8.95. Разломы на структурных картах, резкие раздувы или выклинивания пластов на картах изопахит, безрудные зоны дадут цепочки тетрагонов с размещением типа 3.

Таким образом, карта красных цифр дает возможность: а) корректно оценить погрешность своИства по объекту в целом, б) оценить погрешность в каждом тетрагоне, в) выбрать участки, требующие доразведки вви-

Т а б л и ц а 2

Моделирование свойства с изотопной автокорреляционной функцией методом случайных «монет»

Дисперсия значениИ интерполированных на диагоналях в точке их

пересечения ст^ равна

Радиус влияния, в единицах шага разведочной сети h Число кругов, участвующих в моделировании значения свойства в разведочной точке (всего использовалось 1000 кругов) Среднее число кругов на точку аг h = 1* Теоретическое значение аг

1 3 5 10 9,13, 13, 14, 14,11,7, 11,8,9, 18, 26, 14... 57,85, 104, 110, 115, 108,101, 94, 79,57,77, 119... 106, 159, 201,226,252,274, 268,244,211... 364, 427,..., 401, 382, 419, 444, 456, 314,... 18 130 259 440 0.19 0.59 Не опр. Не опр. 0 0.52 0.70 0.85

* То есть между соседними точками.

Таблица 3

Моделирование двумерного случайного поля свойств в сравнении с автокоррелированным и его обработка по программе МОВКЕББ!

Значения показателей по вариантам моделирования

Среднее

тели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 из 14 в модель

Размещение значений свойства по точкам случайное, частотное распределение гауссовское

Я 0.72 1.14 0.74 0.69 0.61 0.56 0.63 0.71 0.68 0.71 0.83 0.61 0.59 0.76 0.712 -

0.87 1.35 1.00 0.85 0.72 0.70 0.89 0.83 0.80 0.90 0.99 0.74 0.78 0.88 0.878 -

X 0.64 0.86 0.45 0.41 0.62 0.60 0.42 0.61 0.53 0.71 0.65 0.45 0.29 0.80 0.574 0.5

0.54 0.33 0.45 0.48 0.50 0.40 0.43 0.33 0.32 0.37 0.44 0.40 0.35 0.45 0.413

гх,% 14.27 6.51 16.92 19.61 13.42 10.97 17.20 9.16 10.05 8.76 11.17 14.87 20.11 9.44 13.0 -

У 0.58 0.81 0.43 0.46 0.68 0.55 0.38 0.67 0.60 0.65 0.65 0.43 0.22 0.75 0.561 0.5

3У 0.96 0.97 0.92 0.82 0.92 0.87 0.89 0.80 0.83 0.93 0.97 0.84 0.84 0.89 0.889 0.9

гу,% 23.42 16.98 30.14 25.20 19.15 22.48 32.76 16.69 19.55 20.32 21.17 27.31 53.43 16.72 24.7 -

Размещение значений свойства по точкам с автокорреляцией, частотное распределение гауссовское

Я 0.20 0.22 0.21 0.27 0.27 0.25 0.30 0.24 0.25 0.23 0.25 0.27 0.28 0.27 0.251 -

0.24 0.27 0.27 0.32 0.33 0.32 0.39 0.30 0.30 0.29 0.32 0.31 0.35 0.33 0.31 -

аг 0.62 0.19 0.45 0.39 0.67 0.76 0.59 0.41 0.55 0.47 0.84 0.78 0.84 0.66 0.59 0.52

X 0.31 0.78 0.03 0.80 0.43 0.05 0.48 1.20 0.33 0.35 0.30 0.14 1.34 0.40 0.495 0.5

0.67 0.41 0.51 0.31 0.41 0.53 0.57 0.80 0.33 0.91 0.41 0.45 0.45 0.75 0.536

8 Л. , % 36.50 8.68 265.18 6.39 16.16 182.85 19.81 11.10 16.65 43.13 23.02 52.71 5.59 31.31 51.4 -

У 0.38 0.77 0.06 0.81 0.46 0.09 0.43 1.24 0.30 0.46 0.28 0.18 1.32 0.37 0.510 0.5

*у 0.82 0.55 0.67 0.45 0.55 0.71 0.72 0.98 0.49 1.04 0.55 0.59 0.61 0.81 0.681 0.9

30.51 10.01 166.90 7.75 16.93 105.89 23.64 11.24 22.94 31.82 28.19 45.50 6.60 31.04 38.497 -

Размещение значений свойства по точкам случайное, частотное распределение гауссовское

Л 0.21 0.22 0.20 0.23 0.24 0.30 0.23 0.22 0.18 0.22 0.20 0.29 0.17 0.15 0.219 -

0.26 0.27 0.25 0.29 0.29 0.38 0.27 0.25 0.24 0.27 0.26 0.37 0.21 0.21 0.273 -

X 1.47 1.48 1.51 1.54 1.48 1.54 1.45 1.53 1.48 1.45 1.42 1.48 1.45 1.48 1.48 1.50

0.15 0.14 0.15 0.18 0.15 0.16 0.17 0.15 0.15 0.11 0.17 0.12 0.11 0.12 0.145

гх,% 1.70 1.55 1.61 2.00 1.63 1.70 2.00 1.63 1.71 1.21 2.00 1.33 1.23 1.40 1.62 -

У 1.46 1.47 1.50 1.53 1.48 1.52 1.44 1.52 1.50 1.48 1.45 1.48 1.46 1.46 1.48 1.50

3У 0.27 0.28 0.27 0.29 0.26 0.32 0.30 0..27 0.30 0.25 0.31 0.30 0.22 0.23 0.284 0.28

гу,% 2.67 2.72 2.55 2.69 2.51 2.96 2.83 2.55 2.65 2.36 3.03 3.00 2.13 2.27 2.64 -

^о

Л

^

а

<3

£

а

ж

О

^ о

Н

о №

^ О

о о

с? и

а -

о а

я и

а

Я

а

о

О

с

!Ь

п

о &

а а

о

и с

&

а

518 о

8

в

§

18

О -

о

£ 5

с -

о я а

!

а

ч <и

0 1 л и

к о

¥ Ч

о О

ГО ш

и

и X Ч Ч"

а>

О. а

и

л>

го о * о СО о

о

>.

га

гч и

<и В о

п>

ч

—н а

с о га а

о

о

ч о В н

о

я н

га о

из га

о ГУ

а „

с о

о о\

ч я

о ся

а Ч о

¿1 а

се а

н о

в V

га 00 п

н

& со

т я

в

о

О с га

>а *

о ч

ч о

о н

а

т С

о с чо га д н о

Ч >а

3 в <и о д

о

ч «

га а

Я в

ГО о ч га ч

го

о

3

•41- В <и 3 Г)

5!

м

га

Он

ГО

гч

-

я

п га М О гели

С

гч

Ш

о

1/4

ч-о

о

оо гч

ч-о о

Оч

о

о\ ч-

00 о

ч-оч ч-

ч-

ГО см

о о

чо о

о о

ч-

гч

оч о

1X5

ч-

ч-

ГЧ

оо гч

о гч

оч о

г-ч-

ч-

см

о

чо о

ч-

чо

гч го

о гч

го го

ООО

ч

о

ч-

г-

чо гч

оо гч'

о о'

гч

ЧО

ЧО

КО ЧО

ЧО

о

00 о

о ч-

ОЧ гч

ч-ч-

ч-

гч

о о

чо о

гч о

чо о

го

ЧО

ч-

ЧО

о

1/0 оо

оо ч-

гч гч

г— о

00 о

о с-

но см

Оч Ч"

оо ЧО

о о

ч-о

г-ч-

гч о

ч-ч-

ЧО см

Г--

о

оо о

1-го

о

40

о

оо

ООО

г— о

СТч

о

чо

гч

гч о

оо гч

чо гч

ГО

гч

гч гч

гч гч

оч гч

ЧО гч

оо гч

00 чо

1/0 ГО

ЧО

ГО

КО

чо

00 р

гч

00 1/0

гч 1/0

00 чо

00 гч

I*

со

ч я

го

я

с;

ю «

н и я

X

я ^

V й я

эт о ю

о

ду больших локальных погрешностей, г) выбрать для первоочередной доразведки тетрагоны, по которым имеются принципиальные неопределенности.

Созданные задолго до геостатистики, они являются промежуточным графоаналитическим ее вариантом. При развитой и сложной системе программного обеспечения геостатистики они и сейчас могут широко использоваться при обработке геолого-разведочных, геохимических и экологических данных. К сожалению, красные числа в свое время не обратили на себя серьезного внимания, были незаслуженно забыты. В СССР и в России случился продолжительный не продуктивный в геологоразведке период, когда мог бы успешно применяться полезный паллиатив геостатистики.

Свойства и применение красных цифр были исследованы нами с помощью компьютерного статистического моделирования. В него входило моделирование разведочной сети, то есть вычисление координат ее узлов. В простейшем варианте изучалась прямоугольная сеть с регулируемым шагом сети по горизонтали (запад—восток) и вертикали (север—юг). Тетран-гуляция разведочной площади в этом случае заключалась в автоматическом создании файлов номеров разведочных точек по часовой стрелке и их координат для каждого тетрагона.

Важным этапом моделирования было получение значений свойства, удовлетворяющих заданной статистической функции распределения с заданными параметрами. Было использовано три вида функции: равномерное распределение, гауссово (нормальное), логарифмически-нормальное и гауссово распределение с заданной автокорреляционной функцией. При использовании каждого из перечисленных статистических распределений предусматривалась возможность произвольно менять параметры распределения: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Для получения сопоставимых результатов было необходимо так выбирать параметры моделирования, чтобы изучаемое геологическое свойство получало нужное математическое ожидание и дисперсию. Было составлено две программы: для обработки имеющихся геолого-разведочных данных, записанных в файлы установленного формата (КЭЮГТ), и для исследования поведения красных цифр на моделируемых совокупностях с

Результаты обработки модельного примера свойство 2 из табл. 4 по программе РВЮГТ. а) значения свойства 2 по разведочным точкам и красные цифры по тетрагонам

различными параметрами распределения (МОВКЕВВ1). Каждая из программ содержит более 450 строк операторов языка Турбо Паскаль 7.

Пример, исходные данные для которого были не смоделированы, а подобраны специально, обрабатывался по программе КВЮГТ. Анализировалась прямоугольная сеть с шагом и . Значения первого

свойства в узлах сети подбиралось так, чтобы образовался идеальный линейный тренд с градиентом в направлении х, равным единице, в направлении у — равным пяти. Таким образом точки, изображающие это свойство, легли в плоскость с уравнением

и = х + 5у.

Как и ожидалось, красные числа и их квадратические отклонения во всех тетрагонах оказались равными нулю. В соответствии с этим погрешность оценки свойства как в среднем по «объекту», так и в отдельности по тетрагонам была нулевой (см. табл. 4). Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации свойства были значительными (22.5 и 281.7 % соответственно). Но они ни в коей

мере не характеризуют погрешность оценки свойства ни по тетрагонам, ни в целом по объекту.

Сравнение средних квадратичес-ких отклонений по тетрагонам и по разведочным точкам показало парадоксальный результат. Первое значи-

тельно (более чем в пять раз) превысило второе, хотя, казалось бы, должно было быть наоборот: ведь средние по тетрагонам — величины, сглаженные с окном в четыре точки. Причина парадоксальности состоит в том, что свойство 1 планировалось очень сильно меняющимся по площади.

Второе свойство подбиралось так, чтобы получился большой разброс красных чисел от 1.55 до 15, причем в двух тетрагонах встретился самый неблагоприятный по А. И. Осец-кому вариант изменения свойств по вершинам тетрагона: наибольшие значения легли на одну диагональ, наименьшие — на другую. В этих тетрагонах принципиальная картина изменения свойства не выяснена. Красные числа в них максимальны, и можно сделать уверенный вывод о необходимости дополнительных скважин в этих тетрагонах.

Значения третьего свойства подбирались близкими к значениям первого и отличались от них тем, что линейный тренд первого свойства осложнен небольшими (не более чем на 10 %) отклонениями случайного характера.

В результате моделирования было установлено следующее:

1. При случайном пространственном размещении свойства, подчиняющегося равномерному частотному распределению, среднее квадра-тическое отклонение красных цифр значимо не отличается от среднего квадратического отклонения свойства, подсчитанного по совокупности разведочных точек (табл. 1). Это как

Т а б л и ц а 4

Результаты обработки трех свойств модельного примера по программе КОЮГГ

Статистические показатели Свойства

1 2 3

I 0.00 5.74 0.14

0.00 19.36 0.45

X 8.00 19.28 8.23

йх 22.5 51.84 23.19

Ух,% 281.74 268.9 281.71

У 8.00 17.78 8.29

5У 4.32 7.31 4.44

Уу, % 54.0 41.3 53.6

Обозначения к таблице: — среднее значение красных чисел, — среднее квадратическое отклонение Я, — среднее значение свойства по тетрагонам, зх — среднее квадратическое отклонение свойства по тетрагонам, Ух — коэффициент вариации свойства по тетрагонам, — среднее значение свойства по разведочным точкам, зу — среднее квадратическое отклонение свойства по разведочным точкам, Уу — коэффициент вариации свойства по разведочным точкам.

раз тот единственным случаи, когда средняя квадратическая погрешность оценки среднего значения своИства по объекту равна , где 8и — сред-

нее квадратическое отклонение своИства по точкам объекта, п — число точек. Эта закономерность выдерживается и при других функциях частотного распределения своИства, например при гауссовском или логнормальном. В последнем случае отличие заключается лишь в более сложном расчете доверительного интервала по логарифмическому среднему квадратическо-му отклонению.

2. Увеличение автокорреляции, т. е. усиление закономерности в площадном размещении своИств, достигается путем увеличения радиуса влияния а (табл. 2) в формуле автокорре-ляционноИ функции для сферическоИ модели

3к к

аг (к) = [1--+ —].

2а 2аз

3. Если геологическое своИство размещено по площади с существен-ноИ автокорреляциеИ, то при тех же, что и в п. 1 математическом ожидании и среднем квадратическом отклонении своИства, средние значения и средние квадратические отклонения красных чисел сильно (более чем в три раза) уменьшаются. Соответственно этому погрешность оценки своИства в целом по объекту также снижается (табл. 3). Часто применяемая при этом оценка погрешности сильно завышена и дает ложное представление о будто бы недоразве-данности залежи (0.23 против верноИ оценки 0.07).

4. При обработке своИства, в точности аппроксимируемого плоскостью, значения красных чисел по всем ячеИкам (тетрагонам), а также среднее квадратическое отклонение красных чисел равняются нулю, что свидетельствует о нулевоИ погрешности оценки данного своИства (табл. 4). Примером может служить структурная карта, изображающая правильную моноклиналь, или карта изопахит пласта с постоянноИ мощностью.

5. Увеличение математического ожидания своИства при прочих таких же параметрах моделирования соответственно повышает среднее значение своИства по объекту и не меняет среднеквадратическую погрешность оценки своИства.

6. Между средним значением красных чисел и их средним квадра-тическим отклонением во всех случаях сохраняется соотношение, приблизительно равное 0.8, как и следует из теории статистики.

Литература

1. Доборжинский С. Ю. Этюды теории опробования месторождениИ и неоднородных масс вообще // Журн. о-ва сибирских инж. 1910, № 2, стр. 69—73, № 10, стр. 438—450. 2. Казаковский Д. А. К вопросу о влиянии интервала между скважинами и способа их расположения на величину ошибки в подсчете объема тела полезного ископаемого. Тр. ЦНИМБ, вып. 6, ОНТИ, 1937. 3. Казаковский Д. А. Оценка точности результатов в связи с геометризациеИ и подсчетом запасов месторождениИ. М.: Углетехиз-дат, 1948. 4. Казаковский Д. А. Методика подсчета запасов полезных ископаемых и

оценка точности подсчета запасов. Изд. Моск. горн. ин-та, 1950. 5. Казаковский Д. А. К вопросу оценки ошибок аналогии при подсчете запасов месторождениИ. В сб.: «Исслед. По вопросам горн. и марк-шеИдерского дела». М.: Углетехиздат, 1951, № XXIV. 6. Казаковский Д. А. Методика оценки точности подсчета запасов полезных ископаемых. Зап. Ленингр. горн. ин-та, вып. 1, Углетехиздат, 1952, т. XXVI. 7. Казаковский Д. А. О приложении статистики к оценке точности подсчета запасов в сб. ВНИМИ. «Исслед. По вопросам маркшеИдерского дела». М.: Углетехиздат, 1954, № XXIX. 8. Казаковский Д. А. О применимости формул статистики к оценке точности подсчета запасов месторождениИ. В сб.: «Исслед. по вопросам горн. и маркшеИд. дела», Углетехиздат, 1957, № XXXI. 9. Казаковский Д. А. Ошибка аналогии при подсчете запасов месторождениИ полезных ископаемых // ГорныИ журнал, 1962, № 1. 10. Осецкий А. И. Показатель соответствия густоты разведочных точек характеру разведуемоИ залежи: Диссертация на соискание уч. степ. канд. техн. наук. Днепропетровск, 1953. 11. Осецкий А. И. Показатель соответствия густоты разведочных точек характеру разведуемоИ залежи. Исслед. по вопр. маркшеИд. дела. Изв. ВНИМИ, т. 30, 1956. 12. Осецкий А. И. Геометризация и горногеометрическиИ анализ пологопа-дающих осадочных месторождениИ с прерывистым залеганием слоев: Диссертация на соискание уч. степ. д-ра техн. наук (спец. 05.310 — маркшеИдерское дело). Ленинград, 1970 (Фонды Ленинградского горного ин-та). 13. Псарев Н. Приложение теории вероятностеИ к вычислениям при разведке на золото // Вестник золотопромышленности, 1899, № 15.