Об эллиптичности G-трансляторов на многообразиях с изолированными особенностями

УДК 515.168.5

Об эллиптичности ^-трансляторов на многообразиях с изолированными особенностями

Нгуен Ле Линь

В работе рассматриваются С-трансляторы на многообразиях с изолированными особенностями, т.е. трансляторы, инвариантные относительно действия группы С. Получены условия эллиптичности С-трансляторов и теорема конечности в ситуации, когда группа С является конечной циклической группой простого порядка.

Ключевые слова: эллиптические операторы, краевые задачи для эллиптических уравнений, стратифицированные многообразия, С-транслятор.

1. Введение

При изучении задачи Соболева (относительной эллиптической теории) для граничных подмногообразий с особенностями возникает новый класс операторов, которые называются трансляторами. Такие операторы впервые были введены в 1979 г. в работе [1] (см. также [2-4]). В данной работе вводится и изучается новый класс операторов, которые назовём С-трансляторами. Эти трансляторы инвариантны относительно действия конечной циклической группы С простого порядка на многообразии с точечными особенностями. Интерес к такому классу операторов возникает в связи с изучением нелокальных псевдодифференциальных операторов. В настоящей статье введено понятие эллиптичности для С-трансляторов, доказана для них теорема конечности и проведено сравнение С-эллиптичности с обычной эллиптичностью.

В первом параграфе даётся геометрическое описание многообразий с особенностями и действием группы на них. Точнее, перечисляются всевозможные действия группы С в окрестности точки пересечения подмногообразий.

Во втором параграфе изучаются С-трансляторы. Вводится понятие эллиптичности С-транслятора и доказывается теорема конечности.

В двух последних параграфах сравниваются понятия С-эллиптичности и обычной эллиптичности транслятора в скалярном и векторном случаях. Оказывается, эти понятия, вообще говоря, не совпадают, и в статье приводятся соответствующие контрпримеры.

2. Геометрическое описание многообразия и действия

группы на нем

Пусть М — гладкое замкнутое многообразие. Пусть далее т — простое число и Ур, р = 1, 2,... ,т — замкнутые подмногообразия многообразия М размерностей пр, которые трансверсально пересекаются в одной точке О. Выберем такие координаты у = (у1 ,...,ут), что подпространство Ур выделяется следующими уравнениями:

у1 = ... = ур = ... = ут = 0.

Здесь знак ^ над индексом означает, что его надо пропустить. Обозначим далее через

н 3 (У) = РН ^ (Ур),

прямую сумму пространств Соболева на подмногообразиях Ур. Здесь У = У1 и У2и.. .иУт, 8 = (в1,82,..., 8т) — набор вещественных чисел, и = (и1,и2,..., ит), где ир (ур) — функции на Ур.

Статья поступила в редакцию 30 апреля 2011 г.

Автор признателен А.Ю. Савину и Б.Ю. Стернину за постановку задачи и помощь в написании статьи.

Пусть на многообразии М действует группа С = Ът, так что СУ = У. Заметим, что при этом точка пересечения О является неподвижной. Действие группы С на У естественным образом индуцирует представление этой группы на пространстве С-инвариантных функций Нв(У)°:

Нз

В силу простоты числа т имеют место два случая.

1. При действии группы С все подмногообразия Ур инвариантны.

2. Подмногообразия Ур переходят друг в друга.

Рассмотрим оба этих случая.

2.1. Все подмногообразия Ур инвариантны

Пусть д, образующий элемент группы С, действует на У следующим образом: д = (дъ...,дт): У1 и ... и Ут ^ У1 и ... и Ут,

где др : Ур ^ Ур, д™ = 1 ур, р = 1,... ,т. Тогда в некоторой окрестности точки О

1ш Ур

существуют координаты у такие, что точка О имеет координаты у = 0, а элемент д действует как линейный оператор с матрицей1

д = diag

по отношению к разложению у = (у1,..., ут), где Bi — диагональная матрица,

fab

на главной диагонали которой присутствуют только элементы вида I ^ а и а + bi — корень уравнения Хт = 1, а Е — единичная матрица.

2.2. Подмногообразия Ур переходят друг в друга

Пусть образующий элемент д е С действует на У следующим образом:

д =(91,...,дт): У1 и ... и Ут ^ У1 и ... и Ут,

где др : Ур ^ Ур+1, др+т-1. ..дР+1дР = 1ур.

Тогда в некоторой окрестности точки О существуют координаты у с началом О, в которых д имеет вид

д

( 0 Е

0 0 Е

0

\ Е 0

0 \ ( У1 \

0

0 Е 0

\ут /

Замечание 1. В этом случае для того, чтобы действие д на пространстве Нв(У) было корректно определено, необходимо, чтобы были выполнены равенства Я! = ... = 8т и П1 = ... = Пт.

1 Существование такой системы координат обеспечивается изометричностью преобразования д.

3. ^-трансляторы 3.1. Определение

Рассмотрим оператор

Т =

0

Т21

Т12 0

\ Тт2

Т1т \

Т2т 0

: Н8(У) ^ Н8(У),

где Трд = В^^^Из : Н»«(У«) ^ Н8*(Ур) — транслятор (см. [4]), — псевдодифференциальные операторы порядков й^ на соответствующих многообразиях, а г*р и %р* — граничный и кограничный операторы, соответствующие вложениям гр : Ур ^ М, р = 1,... ,т. Заметим что здесь многообразия Ур, У4 рассматриваются как подмногообразия в многообразии Ур х У4.

Оператор Т на Н8 (У) называется С-инвариантным, если Уд е С имеем

д*Тд*-1 = Т.

Сужая С-инвариантный оператор Т на подпространство Н8 (У)°, получим оператор Т°, такой что диаграмма

-> Н 8

Н 8

грО

Н8(У)° —— Н8(У)° коммутативна. При этом оператор Т° будем называть С-транслятором.

3.2. Эллиптичность С-транслятора

В работе [4] было показано, что вне произвольно малой окрестности точки О оператор 1 + Т° равен диагональному оператору diag(1,1) с точностью до компактных операторов. Поэтому будем исследовать оператор 1 + Т° в окрестности точки О.

Определение 1. Пуст

1 + °

( 1 К12(г) К21(г) 1

V Кт1

К 1т(£) \

К 2т

1

: рЬ2(Бп?-1

) ^ рЬ2

символ оператора 1 + Т (см. [4]). Тогда его сужение

1 + а(Т°)(г) : (РЬ2 (§^-1))С ^ (РЬ2

будем называть символом оператора 1 + Т°.

Определение 2. Оператор 1+Т° называется эллиптическим, если функция 1 + а (Т(г) обратима всюду на прямой Ив ег = а = 8 + —, где п = dimM.

Теорема 1. Если оператор 1 + Т° эллиптичен, то он является фредгольмо-вым.

Доказательство. Воспользуемся схемой доказательства фредгольмовости оператора 1+Т из [4]. Заморозим коэффициенты оператора 1+Т° в рассматриваемой точке и сделаем преобразование Фурье от переменных х к двойственным переменным £. В результате получим интегральный оператор 1+Тс. Далее переходим в сферическую систему координат

= гршр, гр > 0, шр е БПр-1, р =1, 2.

Заметим, что в локальных координатах действия группы С имеют вид (2) и (3). Аналогичный вид имеют действия в ^-пространстве, следовательно, в сферических координатах (г, ш) радиальная переменная не меняется при действии группы О. Поэтому корректно определённо действие С на сферах §"р-1.

Редукция оператора 1 + Т° к меллиновской свёртке (см., например, [2]) по радиальным переменным с последующим применением преобразования Меллина

приводит к оператору умножения на символ 1 + а . Следовательно, обратимость символа 1 + а даёт почти обратимость оператора = ф + ф,

где ф — С-инвариантная срезающая функция, равная нулю в окрестности начала координат £ = 0 и равная единице при больших |£|. В силу этого получим фредгольмовость оператора 1 + Т°.

Замечание 2. Для полноты изложения дадим формулу для компонент символа а(Т)(х). Компонента Кря (х) является результатом применения преобразования Меллина по радиальной переменной к интегральному оператору Крч (г) с ядром

Крд (г, Шр, Шд) = (Шр) (ГШр, Шд) (Ш д) Г^^ ,

1

где Ъ = то (Е

3=1 8р 2 + 2 то.

4. Сравнение эллиптичности операторов 1 + Т и 1 + Та

Установим связь между эллиптичностью операторов 1 + Т и 1 + Т°.

Теорема 2. Если оператор 1 + Т эллиптичен, то оператор 1 + Т° также эллиптичен. Обратное утверждение имеет место, если выполнено одно из следующих условий:

1) действие группы С тривиально;

2) нетривиальный элемент группы имеет вид д = diag(Б, Е,... ,Е) по отношению к разложению у = (у1 ,у2,..., ут).

В остальных случаях (т.е. когда либо нетривиальный элемент имеет вид д = diag (В1,... ,Е,..., Е), где ] > 2, либо подмногообразия Ур переходят друг в друга) из эллиптичности оператора 1 + Т°, вообще говоря, не следует эллиптичность оператора, 1 + Т.

Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, поскольку символ 1 + а(Т°) есть сужение символа 1 + а(Т) на инвариантное подпространство. Обратное утверждение доказываем в зависимости от типа действия группы С.

1. Если действие группы О тривиально, то операторы 1 + Т и 1 + Т° изоморфны.

2. Нетривиальный элемент имеет вид д = diag(B, Е,..., Е).

С

При этом пространство (рЬ2 состоит из функций (и1 (ш1),..., ит (ш2)),

где щ (Вил) = 14 (ил) е Ь2 (§™1-1), а ир (шр) е Ь2 (§"р-1), р =2,...,т. Рассмотрим уравнение (1 + а (Т°) (г)) и = V или

( 1 К12 К21 1

К 1т \

к

2т

( и1 \

П2

( У1 \

У2

\ Кт1 Кт2 .. 1 ) \и™ ' '

Применяя стандартные преобразования, получим

К12

из

1 0 0

К1т \ ( и1 \ П2

К,

0

( VI \

Ь2 - К21^1 Уз - Кз1У1

' \ит ' \ут - Ктцл /

где 1С — некоторый оператор.

Для г = 2,... ,т функции щ, V; - Кг1ь1 суть обычные функции в Ь2 .

Поэтому для обратимости оператора 1 + Т° необходимо, чтобы был обратим оператор К,, а это и есть условие обратимости для символа оператора 1 + Т. 3. Нетривиальный элемент имеет вид д = diag (В1,... ,Е,...,Е). Для простоты все контрпримеры рассматриваются, когда т = 2. Определим пространство С-антиинвариантных функций, по формуле

Н3(у)-С = {и е Н8(у) \Уд = е д*и = -и} .

Легко проверить, что любой С-инвариантный оператор А сохраняет пространства С-инвариантных функций и С-антиинвариантных функций. Поэтому если С-инвариантный оператор А обратим, то его сужения на каждое из этих подпространств обратимы. Построим пример, в котором сужение символа С-инвариантного оператора 1 + Т на подпространство С-инвариантных функций обратимо, но сужение символа в подпространстве С-антиинвариантных функций не обратимо.

Пусть М = Т2, У1 = {у = 0}, У2 = {х = 0}, д = diag(-1, -1), а СиС2 — некоторые константы. Трансляторы определим следующим образом:

Т12 : Н8(У2) ^Н8-1 (У1),

1

где Т12 = 01г*02г2*0з, и Д; — ПДО с символами2 £1) = С^3, £1,&) =

(^ + й)-3 ,Вз( Ь) = С1,

Т21 : Н8-1 (У1) ^ Н8(У2),

1

где Т21 = Е11*Е2Ч*Ез, и Е; — ПДО с символами Е1(&) = С2Ц, Е2(£ 1,&) =

_ 1 1

(£1 + £2) 3, Ез(£1) = , а £2 — двойственные переменные к х, у.

Операторы Т12,Т21 непрерывны при 0 < в < 3.

2 Отметим, что здесь и ниже < 0 при < 0 (г = 1, 2).

Пусть

_ Г 6 6г _ С гг+1 6г

_ ^ .) (г4 + 1)6 г ' _ ^ .) (г6 + 1)6 г '

о 4 7 0 4 7

Символ оператора Т действует на пространстве РЬ2(Б0) (см. замечание 2) по формуле

К12(г)и2(г) _ С\ф\(г) Ju2(г,Ш2)ш\Ш2

К21(г)щ(г) _ (?) ! и\(

Фиксируем некоторое значение 1 < а _ 1 < 3, такое, что функции

отличны от нуля3 на прямой ^еег _ а. Далее выбираем

С _ —^, С2 _ 1

2^1(а)1 2 2^2(а)'

При этом можно записать действие оператора 1 + а(Т)(z) в виде

( ui(ui) + C\ipi (z)(u2(1) - и2(-1))ш1 = Vi(ui), \ C2^2(z)(ui(1) - Ui(-1))LÜ2 + U2(iü2) = V2(^2).

В подпространстве G-инвариантных, т.е. чётных функций, оператор 1+а(Т)(z) равен тождественному оператору для любого z на прямой Ree г = а. Ав подпространстве нечётных функций для z = а оператор 1 + а(Т)(z) имеет вид:

Ul

2 (Ui(1) - Ui (-1))Ш2 + U2{^2) = V2(U2).

Прямой подстановкой можем найти ядро этого оператора, которое порождается элементом (u1 (ш1) ,u2 (ш2)) = (ш1 = -ш2).

4. Подмногообразия Yр переходят друг в друга.

Подпространство G-инвариантных функций u = (u1 (ш1) ,u2 (ш2)) изоморфно пространству функций на одном подмногообразии. В силу этого символ G-инвариантного транслятора изоморфен оператору 1 + К 12д*. А оператор 1 + а(Т)(z) обратим тогда и только тогда, когда следующий оператор обратим

1 - К2(z)K2i(z) = + К2(z)gi) (1 -д*К21 (z)) .

Следовательно, чтобы доказать это утверждение достаточно построить пример, в котором для G-инвариантного оператора 1 + Т операторы 1 + К2(z)д*

обратимы на прямой Reez = а, а оператор 1 - g2K2i(z<S) не является обратимым всюду на прямой Re ег = а.

Пусть М = T4, Y1 = {у1 = у2 = 0}, Y2 = {х1 = х2 = 0}. Трансляторы определяются следующим образом:

Т2 : HS(Y2) ^ HS(Y1),

3Такое а всегда найдётся в силу аналитичности функций ipi(z),ip2(z)-

30 Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 3. 2011. С. 24-33

где Т12 = В11**В212*Вз, и Вг — ПДО с символами

А  = С1' (й + {8 + 1 + *)' • ^^

а , — двойственные переменные к х, . Также положим

Т21 : Н8(У^ ^ Н8(У2), где Т21 = Е^*Е211*Ез, и Е; — ПДО с символами

Ег(П) = С2, Е2Ц, п)= + + 2 + 2)2, Ез(0 = &

(+ й + ??2 +

Операторы T12,T21 непрерывны при 0 < s < 2.

Для некоторого 1 < а = Reez = s+1 < 3, такого, что функции (p1(z),(p2(z) отличны от нуля на прямой Ree z = а, подбирая константы

1 , , , , 1 Г rz+2 dr

1 1 Г rz+2 С\ = С2 =-, где ш\(z) = <£2(z) = , 2 , ^

i 2 * ' Г2у ' „Дк J

о

можем записать действие оператора 1 + а

к

ui(ui) + Ci<£l(z) J cos2 U2U2(lV2)dU2 = Vi(ui),

— к

к

C2V2(z) J cos2 U\U\(wi)dwi + 42(002) = V2(002).

При этом прямой подстановкой можно проверить, что функция Ui (01) = с, где с = const = 0 принадлежит оператору д*К21(а) — 1.

С другой стороны, оператор K12(z)g* компактен. Поэтому 1 + K12(z)д* фред-гольмов, причём размерности его ядра и коядра одинаковы. Рассмотрим его ядро. Элемент ядра удовлетворяет уравнениям

к

Ui

— к

Следовательно,

к

Ui(oi) =U2(0i) = —CiPi(z) J cos2 02U2(02)d02 = kCi(fii(z).

где k — константа. Подставляя в (5), получим kCi^i(z)(1 + nCipi(z)) = 0, следовательно, k = 0 т.е. Ui = 0. В силу этого

dim Ker (1 + Ki2(z)g*^j = dim Coker (1 + Ki2(z)g*^j = 0, т.е. оператор 1 + К2(z)g* обратим.

2

5. Обобщённые действия на пространстве векторных

функций

В пространстве вектор-функций рассматриваются действия элементов группы а

д*и

где и — вектор-функция, А — матричнозначная функция. В локальных координатах (6) запишется в виде

д*1и1

д*тит

дг — действие элемента д, индуцируемое на подмногообразии Уг.

Теорема 3. Если оператор 1 + Т эллиптичен, то оператор 1 + Т° также эллиптичен, а в обратную сторону имеют место следующие утверждения:

1) Из эллиптичности оператора 1 + Т° следует эллиптичность оператора 1 + Т, если нетривиальный элемент имеет вид д _ diag(В, Е,..., Е) по отношению к разложению у _ (у1,..., ут) и матрицы А¿(уг) _ 1, г _ 2,... ,т.

2) В остальных случаях из эллиптичности оператора 1 + Т°, вообще говоря, не следует эллиптичность оператора 1 + Т.

Доказательство. Достаточно рассмотреть только те случаи, когда для скалярных функций условия эллиптичности операторов 1 + Т и 1+ Т° эквивалентны.

1. Действие группы С тривиально.

В векторном случае транслятор действует следующим образом:

1 + Т :Н8 (У, С) ^ Н8 (У, С) .

В силу тривиальности действия группы С имеет место равенство:

Аг(У1)Щ(У1) _ Щ(У1).

Отсюда при каждом фиксированном уг, щ(уг) — собственный вектор матрицы А-¿(уг) с собственным значением +1. Множество всех таких векторов образует собственное подпространство Еуг С С. Так как собственное значение не зависит от уг, то собственное подпространство Еу1 зависит от уг гладко. При этом определяется векторное расслоение Е £ УесЪ(М). И подпространство С-инвариантных функций в Н8(У, Ск) можно рассматривать как пространство Н8(У,Е) сечений расслоения Е. Поэтому С-транслятор можно рассматривать как транслятор на Н8(У,Е). Следовательно, условие эллиптичности этого транслятора, вообще говоря, не совпадает с условием эллиптичности оператора 1 + Т.

2. Нетривиальный элемент имеет вид д _ diag( В, Е,..., Е), и существует матрица Аг(у*) _ 1, г £ {2,...,т}.

Пусть для простоты т _ 2, при этом нетривиальный элемент в некоторых координатах в окрестности точки О имеет вид д _ (дд2) _ diag(В,Е). Тогда условие С-инвариантности имеет вид

и

В окрестности точки пересечения рассматривается оператор 1 + Т : Н8 (М£, С) ^ Н8 (М£, С*) ,

с его символом

1 + а

( 1 Kl2(z) \

V K21

: PL2

Если матрица А2(у2) = 1, то, аналогично скалярному случаю, условия эллиптичности операторов 1+Т и 1 +Т° эквивалентны. Если же матрица А2(у2) = 1, то дадим контрпример.

Пусть М = Т2, У1 = {у2 = 0}, У2 = {у1 = 0}, к = 1, матрицы Ад(у^ = 1, Ад ("У2) = -1. Трансляторы определяются следующим образом:

Т12 : Н8 (У2) ^ Н8(У где Т12 = В1ъ*{В212*В3, и D^ — ПДО с символами

Di(0 = Cli, D2(Z, V) = , D^) = 1,

а — двойственные переменные к у1, у2. Положим также

Т21 : НS(Y^ ^ Н8(У2), где Т21 = E1i*E2i1*E33, и Ei — ПДО с символами

Ei(V) = C2V2, E2Ü, v) = , E3(0 = e

Операторы Т12,Т21 непрерывны при —1 < s < 0.

Для некоторого — 2 < а = Reez = s + 2 < 2, такого, что функции '^1

отличны от нуля на прямой Ree z = а, подбирая константы

_ 1 _ 1

C1 = 2^1 (а), C2 = 2^2 (а),

где

, , 1 Г rz+1 dг , , 1 Г rz+2 dr

Mz) = 72^ J T, ^2(z) = 72^ .1 й+гv,

0 0

можем записать действие оператора 1 + а(Т)(z) в виде

f Ui(wi) + CiVi (z)(U2(1) + U2( — 1))W1 = Vi(wi), \ C2<fi2(z)(ui(1) — Ul( — 1)) + U2(W2) = V2 (w2).

Подпространство G-инвариантных функций состоит из пар (u1 , U2) вида (u1 , 0), где U1 — чётная функция. Тогда оператор 1 + а(Т°)(г) для Vz £ {Reez = а} равен тождественному оператору.

Далее оператор 1 + а(Т)(а) записывается следующим образом U1 (wi) + 2(U2(1) + U2( — 1))wi = Vi (wi), 2 (Ui(1) — Ui( —1)) + U2(W2) = V2 (W2).

Легко проверить, что пара (и\(ш\),и2(ш2)) = (—сш\, с), с = 0, принадлежит ядру

оператора 1 + а(Т)(а), т.е. он необратим.

Литература

1. Стернин Б. Ю. Эллиптические морфизмы на многообразиях с особенностями (оснащение эллиптического оператора) // ДАН СССР. — 1971. — Т. 200, № 1. — С. 45-48. [Sternin B. Yu. Ehllipticheskie morfizmih na mnogoobraziyakh s osobennostyami (osnathenie ehllipticheskogo operatora) // DAN SSSR. — 1971. — T. 200, No 1. — S. 45-48. ]

2. Стернин Б. Ю. Эллиптическая теория на компактных многообразиях с особенностями. — М.: МИЭМ, 1974. [Sternin B. Yu. Ehllipticheskaya teoriya na kompaktnihkh mnogoobraziyakh s osobennostyami. — M.: MIEhM, 1974. ]

3. Стернин Б. Ю. Задачи типа С. Л. Соболева в случае подмногообразий с многомерными особенностями // ДАН СССР. — 1969. — Т. 189, № 4. — С. 732735. [Sternin B. Yu. Zadachi tipa S. L. Soboleva v sluchae podmnogoobraziyj s mnogomernihmi osobennostyami // DAN SSSR. — 1969. — T. 189, No 4. — S. 732735. ]

4. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Об индексе эллиптических трансляторов // Доклады академии наук. — 2011. — Т. 436, № 4. — С. 443-447. [Savin A. Yu., Sternin B. Yu. Ob indekse ehllipticheskikh translyatorov // Dokladih akademii nauk. — 2011. — T. 436, No 4. — S. 443-447. ]

UDC 515.168.5

On the Ellipticity of G-translators on Manifolds with Isolated

Singularities Nguyen Le Linh

Higher Mathematics Department Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

The paper deals with G-translators on manifolds with isolated singularities, that is translators invariant with respect to an action of a group G. We describe ellipticity condition for G-translators and prove niteness theorem when G is a finite cyclic group of prime order.

Key words and phrases: elliptic operators, boundary value problems for elliptic equations, stratified manifolds, G-translators.