Устойчивость модели пространственного распределения кукурузы вследствие процессов запаздывания

УДК 518.5.001.57

И .А. Ляпунова

УСТОЙЧИВОСТЬ МОДЕЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КУКУРУЗЫ ВСЛЕДСТВИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Показано воздействие процессов динамической самоорганизации на пространственное распределение кукурузы, возникающих вследствие эффектов запаздывания. Построена и численно исследована модель пространственного распределения кукурузы вследствие , .

Трсшсгенная кукуруза; плотность биомассы; динамическая устойчивость (неустойчивость).

I.A. Lyapunova STABILITY OF MAIZE SPATIAL DISTRIBUTION MODEL ARISING FROM THE EFFECTS OF RETARDATION

This paper shows the impact of processes of dynamic self-organization on the spatial distribution of maize, arising from the effects of retardation. A model of the spatial distribution of maize as a result of the dynamic processes of self-organization and study its stability.

Transgene corn; biomass density; dynamic stability (instability).

.

России: Кабардино-Бадкарской республики, Ростовской области, Краснодарского и Ставропольского краев. Но, несмотря на высокотехнологичный уровень культивирования и обработки, ущерб, наносимый насекомыми-вредителями, по-прежнему высок. В связи с этим все более актуально выращивание новых ГМ-сортов кукурузы, содержащих ген почвенной бактерии, называемых трансгенными.

Многие демогенетические модели, в частности [1], позволяют достаточно эффективно исследовать поведение и динамику численности конкретного вида вредителя под воздействием трансгенного растения. Одними из наиболее успешных моделей являются двухуровневые демогенетические модели «растительный ресурс -вредитель» и «вредитель-пар^итоид», предложенные Жадановской Е.А. [2]. Однако

Bt- , ,

, ,

« » .

Наиболее существенная особенность многих фитоценозов заключается в более или менее выраженной пространственной неоднородности: большинство видов рас, , , -ления и пустоты, что далеко не всегда удается убедительно объяснить неоднородностью условий внешней среды [3]. То же относится и к кукурузе, хотя процесс посадки и культивирования культуры здесь контролируются. Неоднородность в данном случае объясняется внутривидовым разнообразием в зависимости, например, от высоты и диаметра ствола. В свою очередь, учет пространственных взаимодействий приводит к появлению пятнистости (диссипативных) структур как стационарных, ( ).

.

одномерном физическом пространстве Д R=R(x,t) - прирост биомассы кукурузы; q - , -ней высоты и среднего диаметра ствола. Уравнение динамики плотности биомассы:

dR = rRR

dt R KR

l26

Известно, что все одновидовые модели с непрерывным временем, в которых рассматривается динамика только общей численности популяции и не учитывается , ,

состоянию. Однако, для большинства однолетних растений, к которым относится кукуруза, имеет место эффект запаздывания. Согласно [4] уравнение роста биомассы популяции (7), для любого момента времени t £ [0;Т] может быть записано в виде

г

R'

KR

где Т - средняя продолжительность жизни поколения популяции.

Из (2) следует, что скорость роста популяции зависит не только от общей численности R(X, г) В любой момент времени г, определяемой емкостью среды

обитания KR, но и от количества взрослых особей в момент времени г - Т.

Численное исследование модели. Для исследования поведения решения воспользуемся модифицированным методом Эйлера второго порядка точности.

Пусть имеется решения в точке Rk=Rk(tk). Опишем процедуру нахождения решения в точке модифицированным методом Эйлера второго порядка точности. В этом методе надо использовать значение решения в точке и предварительное решение в точке гк=гк+Н. Соответственно от этих точек надо брать запаздывание т, то есть надо найти значение решения в точках гк- г, гк+И/2- т.

На рис. 1 показана зависимость прироста биомассы кукурузы от времени с учетом фактора запаздывания. Здесь 0<г<0,6, т=0,5.

т

/

/

/

—*—обг 0,2 0,4 0,& 0,8 1 1,2 эем биомассы кукрузы

Рис. 1

V. График

-

Зависимость объема кукурузы от времени

1 ООО ООО 00С000 4--------{--------------1-------------1------

£ 900 ООО 00С000 - - -

е 800 000 00С000-----------1-----

| 700 ООО 00С000 - - -

^ 600 ООО оосооо - - -

>• 500 ООО оосооо - - -

* 400 ооо оосооо-----------\—

1 300 ООО оосооо-----------|------

2 200 ооо оосооо-----------;--------------:------1-.....4.......

о юо ооо оосооо-------------\......\........;....................4-

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Время

Выход

Рис. 3

Начальный объем биомассы кукурузы составлял R0(x,t)=1500 ц.

Период исследования 2 года ге[0;2]. Как видно по рисункам, при заданном г поведение решения не меняется и носит колебательный характер.

, -нием решения на достаточно больших интервалах времени. При этом выполняется от сотен до тысяч шагов по времени. Но трансгенные зерна не дают потомства, поэтому рассматривать большие промежутки времени не имеет смысла.

Варьируя коэффициент внутривидовой конкуренции, видим, что с увеличением конкуренции q скорость прироста биомассы резко снижается. На рис. 4 и рис. 5 представлены значения для q=0,2 и q=1.

Зависимость объема кукурузы от времени

^ 50 ООО 000 000---

& 45 000 000 000..........................................|......

| 40 000 000 000..........................................'......

5 35 000 000 ооо --3 30 000 000 000

1 25 ООО 000 000.........................................і......

£ 20 000 000 000..........................................|......

| 15 000 000 000..........................................і......

2 юооооооооо.............................................;......

о 5 000 000 000---

Э 1

Время

Выход

Рис. 4

Моделирование воздействия процессов динамической самоорганизации на пространственное распределение кукурузы. Учитывая сезонные изменения среды г0(г), скорость иммиграции /(г), и выражая эффект запаздывания интегралом г г

0 0

из (2) получим следующее уравнение:

R' (х, t) = {rR

r _ q

I

- jR

. 5

Интеграл (4) при г=еотг>0 сводится к известным в математической биологии уравнениям рождаемости [4]. Скоростью иммиграции /(г) в случае кукурузы , .

Функция р = р(т), 0 ^ Т ^ г в (2)-(4) является диссипативной памятью и выражается следующей формулой:

(Р(Т) =Ло +

А1т

,-а-1

Г

где Л0,Л1 = const > 0 - параметры явления последействия.

Итак, учитывая преобразования Римана - Лиувилля и (5), получаем уравнение для описания динамики популяции:

R' (х, t) = {rR

q

(Л d.-/ +W) R(g, t)] + r.(t )}R( х, t).

Здесь - оператор дробного интегродифференцирования порядка (X в смыс-- . Множитель ^D0f1R(^,t) + Л^DaR(^,t) уравнения (6) выражает нелокальное

.

Для любого а<0 имеем

Da0tl=ta/r(l-a).

0

Полученное таким образом уравнение показывает структуру пространственного распределения кукурузы как следствие процессов динамической самооргани-( ).

Исследование устойчивости. Пусть г - малое отклонение от состояния равновесия R=R*.

Подставим функцию R=R*+r в (6), введем обозначения: rR=Аl, _rLq(t) =Л2

К*

и отбросим нелинейные члены как величины более высокого порядка малости. В результате получим уравнение первого приближения:

г - А1 Яг- А2

Интересующее нас решение г(0 уравнения (8) должно удовлетворять начальному условию

г

Когда главным фактором, влияющим на биомассу популяции, служит не эффект Ферхюльста, а явления последействия с параметрами / = 0, / > 0, можно

положить А1=0. Тогда уравнение (8) будет эквивалентно нагруженному интегральному уравнению Вольтерра второго рода [5]:

Я^+Щ^) = г

Решение уравнения

“ (_1)к _(1-а)к

Я

кк=0 Г

где _ = Лг1~а - [5]

^ к

Ер

к=0

Г(^ + к / р)'

Согласно А.М. Нахушеву [4], для любого Х>0 существует нечетное число п моментов времени г1, г2, ..., гп, где отклонение от равновесного состояния популяции обращается в нуль.

: г0 .

. -

водит к системам уравнений, изучение существования и устойчивости которых представляет серьезную математическую проблему, а сами решения, описывающие динамику численности, могут носить не только колебательный, но и квази-

. -

сеть от периода запаздывания.

Обычно не все члены уравнений содержат запаздывание. Например, увеличение численности популяции может сказаться на скорости роста лишь через оп-, ,

а хищничество сокращает численность жертв в тот же момент времени и не со-

. , ,

, , в реакции хищника - дестабилизирует. Короткие времена запаздывания в размножении как хищника, так и жертвы могут как стабилизировать, так и дестабилизи-.

, . -

тивное представление о том, что чем больше запаздывание, тем больше его деста-, .

видов малые времена запаздывания наиболее опасны для стабильности системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сухинов А.К.,Кажарова КА. Устойчивость модели пространственно-временной динамики стеблевого кукурузного мотылька под воздействием трансгенной кукурузы // Известия. - Новочеркасск, ЮРГТУ, 2007.

2. Жадановская E.A., Тютюнов Ю.В.,Ардити Р. Моделирование стратегии “высокая доза - убежище” при использовании генетически модифицированной кукурузы для подав// , - .

Естественные науки, 2006. - Приложение, № 11. - 5 с.

3. Фрисман ЕЯ. Изменение характера динамики численности популяции: механизмы перехода к хаосу // Вести. ДВО РАН. - 1995. - № 4. - С. 97-106.

4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995.

5. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит, 2003.

Ляпунова Ирина Артуровна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» . .

347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

E-mail: setchan2009@gmail.com.

Тел.: +79281047300.

Lyapunova Irina Arturovna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: setchan2009@gmail.com.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +79281047300.