Исследование математических моделей неустойчивых сетей множественного доступа в диффузионной среде

В.А. Вавилов, А.А. Назаров

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА В ДИФФУЗИОННОЙ СРЕДЕ

Предлагаются математические модели неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде. Исследуются распределение вероятностей состояний канала, асимптотическое среднее нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов и величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от асимптотического среднего значения. Проводится глобальная аппроксимация процесса изменения состояний сети в диффузионной среде и исследуется плотность распределения вероятностей значений этого процесса.

Исследования данной работы касаются сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа. Стохастические свойства таких сетей достаточно хорошо изучены [1 - 9]. Однако производительность сетей связи зависит еще и от воздействий случайной среды. Результаты исследований влияния случайной среды на функционирование сетей множественного доступа изложены авторами в трудах [10 - 14]. Однако в этих работах случайная среда представлена в виде однородной цепи Маркова с конечным множеством состояний. В реальных ситуациях не всегда внешние воздействия можно описать таким образом. Например, изменение степени ионизации атмосферы при рассмотрении спутниковых сетей связи невозможно описать цепью Маркова с непрерывным временем. В этом случае в качестве математической модели случайной среды можно рассмотреть диффузионный процесс.

Итак, в данной работе исследуем математические модели неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующие в диффузионной среде.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ

МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА В ДИФФУЗИОННОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим математическую модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания (СМО) [15 - 18], на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: к = 0, если он свободен; к = 1, если он занят обслуживанием заявки; к = 2 , если на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за это время другие требования не поступили, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения

о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Повторное обращение заявок к прибору из ИПВ происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром у. Число заявок в ИПВ обозначим г. Длины интервалов оповещения о конфликте также имеют экспоненциальное распределение с параметром 1/ а, где а - средняя продолжительность этих интервалов.

Сеть функционирует в случайной среде. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим диффузионный процесс [19 - 20], определяемый уравнением

ds(t) = а^)& + Р(s)dw(t).

Влияние случайной среды на функционирование сети связи определяется зависимостью интенсивности обслуживания ц от состояний ) = 5 случайной среды, то есть ц = ц(5). Вероятность окончания обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени Дt равна ц(s)Дt + о^).

В силу свойств приведенной математической модели, трехмерный случайный процесс {к^), ), 5^)}

изменения во времени состояний (к,г) математической модели сети связи и состояний 5 математической модели случайной среды является марковским процессом.

Обозначим

Р(к^) = к, г^) = г, 5 < 5^) < 5 + ds)/ ds = Рк (г, 5, t).

В любой момент времени должно выполняться условие нормировки

2 <» «>

XX | Рк 0,5, t^ = 1.

к=0 г=0 _ад

Теорема 1. Распределение вероятностей Рк (г, 5, t) удовлетворяет прямой системе дифференциальных уравнений Колмогорова

яр

0 ’ ’ + (^ + г у) Р (г, 5, t) = ц( 5) р (г, 5, t) +

дt

1 д

+-Р2 (г, 5,0 _—{(5) Р0 (г, 5,0} + а д5

1 д2

+ 2 д52 {2( {) Р0(г,5,t)},

др(д,‘s, t) + (^ + г'У + Ц( 5)) Р (г, 5, t) = дt

= ХР0 (г, 5, t) + (г +1) уР0 (г +1,5, t) _

-д-{а(5) Р (г, 5, t)} +1 { Р2 (5) Р (г, 5, t)},

д5 2 д521 ’

51) + (^ + - ^ Р2 0', 5, t) = Щ (г _ 1,5, t) +

+ХР (г _ 2,5, t) + (г _ 1)уР (г _ 1,5, t) _

-~{а

д5 2 д52 1 ’

Доказательство. Известно, что прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова является сопряженной к обратной, поэтому вначале составим обратную систему для функционала

ик (і, 5, ґ) =

= М {(к(Т),і(Т), 5(Т)) | к(ґ) = к,і(ґ) = 1,5(ґ) = 5} , где ф(к, і, 5) - заданная функция трех аргументов, два из которых - к и і - дискретные, а 5 - непрерывная переменная, затем запишем сопряженную к ней систему. Получим (1).

Для составления сопряженной системы рассмотрим бесконечно малый интервал времени (ґ, ґ + Дґ).

Будем полагать, что в момент времени ґ среда находится в состоянии 5 , то есть 5(ґ) = 5 , а в момент времени ґ + Дґ она достигает состояния 5 + Д5 , то есть 5(ґ + Дґ) = 5 + Д .

Касательно состояний СМО положим, что в момент времени ґ канал находится в состоянии к , то есть к(ґ) = к, а число заявок в ИПВ равно і, то есть

і(ґ) = і. В момент времени ґ + Дґ состояние канала равно к1, то есть к (ґ + Дґ) = к1, а число заявок в ИПВ равно 1, то есть і(ґ + Дґ) = і1. В общем случае можно записать

ик (і, 5, ґ) =

= М {М { ф(к (Т), і(Т), 5(Т)) | к (ґ + Дґ) = к1, і(ґ + Дґ) = і1, 5(ґ + Дґ) = 5 + Д)} | к(ґ) = к, і(ґ) = і, 5(ґ) = 5} =

= М { икі

Рассмотрим частные случаи.

Допустим, что в момент времени ґ обслуживающий прибор свободен, в ИПВ і требований, то есть система в состоянии {0,і} . За время Дґ в системе могут произойти следующие изменения.

На прибор поступит новая заявка, тогда система перейдет в состояние {1, і} - обслуживающий прибор занят, в ИПВ і требований. Вероятность этого события 1 - е~ш = ХДґ + о(Дґ).

Обратится заявка из ИПВ, тогда система перейдет в состояние {1, і -1} - обслуживающий прибор занят, в ИПВ і -1 требований. Вероятность этого события равна 1 - е-г'Д = іуДґ + о(Дґ).

Новое требование на прибор не поступит, заявка не обратится из ИПВ, то есть система останется в том же состоянии. Вероятность этого события равна еЧ^'у)Дґ = 1 - (х + іу)Дґ + о(Дґ).

Итак, для описанного случая равенство (2) перепишется в виде

и0 (і, 5, ґ) =

= М { икі (і1, 5 + Д5, ґ + Дґ) | к(ґ) = 0, і(ґ) = і, 5(ґ) = 5} =

= ХДґМ { и1 (і, 5 + Д, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} +

+іуДґМ {и1 (і - 1, 5 + Д, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} +

+(1 -(Х+іу)Дґ)М{и0(і,5 + Д5,ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} + о(Дґ) =

ХІ и0(і, 5, ґ) + Дґ

ди0

дґ

д5

М {Д | 5(ґ) = 5} +

+ 2 д ^2 ^ ґ) М { (Д5)2 | 5(ґ) = 5} + о(Дґ) =

= ХДґи1 (і, 5, ґ) + іуДґи1 (і - 1, 5, ґ) + и0 (і, 5, ґ) +

, ди0 (і, 5, ґ) ди0 (і, 5, ґ) , ч ^

+Дґ 0 + 0 а( 5)Дґ +

дґ

д5

+1----о(2 , ) р2 (5)Дґ - (Х + іу)Дґи0 (і, 5, ґ) + о(Дґ) .

2 д5

Выполнив несложные преобразования, получим

ди0

дґ

= -(Х + іу )и0 (і, 5, ґ) + Хи1 (і, 5, ґ) +

дио(і,5,ґ) + р2(5)д2ио(і,5,ґ) +іуи1 (і -1, 5, ґ) +а(5)— ------+---------- —-----.

д5 2 д52

Допустим, что в момент времени ґ прибор занят обслуживанием заявки, в ИПВ і требований, то есть система в состоянии {1, і} . За время Дґ в системе могут произойти следующие изменения.

На прибор поступит новая заявка, тогда система перейдет в состояние {2, і + 2}, то есть начнется этап оповещения о конфликте, а две заявки, попавшие в конфликт, перейдут в ИПВ. Вероятность этого события 1 - е-ХДґ = ХДґ + о(Дґ).

Обратится заявка из ИПВ, тогда система перейдет в состояние {2, і +1}, то есть начнется этап оповещения о конфликте и в ИПВ станет і +1 заявка. Вероятность этого события равна 1 - е~г<Ді = іуДґ + о(Дґ).

Завершится обслуживание заявки и прибор освободится, тогда система перейдет в состояние {0, і} . Вероятность этого события равна ц(5)Дґ + о(Дґ).

Новая заявка на прибор не обратится, требование не поступит из ИПВ и обслуживание заявки не завершится, то есть система останется в состоянии {1, і}. Вероятность события равна

Є-(Х+іУ+Ц(5)) = 1 - (Х + іу + ц(5))Дґ + о(Дґ) .

Итак, для описанного случая (2) перепишется в виде

и1 (і, 5, ґ) =

= М { ик1 (і1, 5 +Д5, ґ + Дґ) | к(ґ) = 1, і(ґ) = і , 5(ґ) = 5} =

= ХДґМ { и2(і + 2, 5 + Д, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} +

+іуДґМ { и2(і + 1, 5 + Д, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} +

+ц(5) ДґМ { и0(і, 5 + Д5, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} +

+(1 - (Х + іу + ц(5))Дґ)М {и1 (і, 5 + Д5, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} +

+о(Дґ) = ХДґи2 (і + 2, 5, ґ) + іуДґи2 (і + 1, 5, ґ) +

+ц(5) Дґи0 (і, 5, ґ) + (1 - (Х + іу + ц(5)) Дґ) (и1 (і, 1 ґ) +

, ди,(і,5,ґ) ди,(і,5,ґ)^гСк , , ч .

+Дґ 1 у 7 ^ 7 М {Д | 5(ґ) = 5} +

дґ

1 д 2и1

----------------о

2 д52

д5

М {(Д)2 | 5(ґ) = 5} 1+ о(Дґ) =

би,

+Дґ 1 _ + 1 а( 5)Дґ +

дґ

д5

1 д2и1 (і, 5, ґ) 2

+--------------Р (5)Дґ - (Х + іу + |а(5))Дґи1 (і, 5, ґ) +

2 д52

+о(Дґ).

Выполнив несложные преобразования, получим равенство

ди1

дґ

= -(Х + іу + ц( 5))и1 (і, 5, ґ) +

+Хи2 (і + 2, 5, ґ) + іуи2 (і + 1, 5, ґ) +

ди1

+ц

+ І 1 -І Х+ — І І! и2(і,5,ґ) + Дґ

ди2

2

дґ

ди2 (і, 5,ґ)ч . -—--- М { | 5(ґ) = 5} +

д5

1 д и2

+2 д52

МІ (Д)2 | 5(ґ) = 5} І + о(Дґ) =

= ХДґи2 (і +1, 5, ґ) + — Дґи0 (і, 5, ґ) + и2 (і, 5, ґ) + а

ди2

д5

а( 5)Дґ +-

1 д и2(і,5,ґ) в2

2 д52

Р2(5)Дґ -

-І Х+ — ІДґи2(і,5,ґ) + о(Дґ).

Выполнив несложные преобразования, получим равенство

ди2

1

= -I Х+ — Iи2(г,5,t) + Яи2(г'+,5,t) +

дt V а у

1,ч , чдм2

+-и0(1,5,t) + а(5) 2у ’ У+ ^---------Т^.

а д5 2 д52

Итак, запишем получившуюся обратную систему дифференциальных уравнений Колмогорова для функционала ик (г', 5,t) от трехмерного марковского

процесса {к^), г^), 5^)} :

д5 2 д52

Допустим, что в момент времени ґ в системе реализуется этап оповещения о конфликте, в ИПВ і требований, то есть система в состоянии {2, і} . За время Дґ в системе могут произойти следующие изменения.

На прибор поступит новая заявка, тогда система перейдет в состояние {2, і +1}, то есть заявка перейдет в ИПВ, поскольку прибор занят оповещением о конфликте. Вероятность этого события 1 - е“ш = ХДґ + о(Дґ).

Завершится этап оповещения о конфликте, тогда система перейдет в состояние {0, і}, то есть прибор станет свободен, в ИПВ заявок. Вероятность этого события равна 1 - е(1/а)Дґ = (1/а)Дґ + о(Дґ).

Новая заявка на прибор не поступит, этап оповещения о конфликте не закончится, то есть система останется в состоянии {2, і} . Вероятность этого события

равна е-(Х+1/а)Д = 1 - (Х +1/а)Дґ + о(Дґ).

Итак, для описанного случая (2) перепишется в виде

и2(і, 5, ґ) =

= М { ик1 (і1, 5 +Д5, ґ + Дґ) | к(ґ) = 2, і(ґ) = і, 5(ґ) = 5} =

= ХДґМ{ и2(і +1,5 + Д,ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} +

+ - ДґМ { и0(і, 5 + Д5, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} + а

+ ^1 -^Х+ -^ДґМ { и2(і, 5 + Д5, ґ + Дґ) | 5(ґ) = 5} + +о(Дґ) = ХДґи2(і + 1, 5, ґ) + - Дґи0 (і, 5, ґ) +

ди0(і, 5, ґ) дґ

= -(Х + іу )и0 (і, 5, ґ) + Хи1 (і, 5, ґ) +

-н-тСі -1,5 ґ)+а(») ди0(і,",ґ > + Р2<д 2и"(і,^' >

ди1 (і, 5, ґ) дґ

д5 2 д52 = -(Х + іу + |а(5 ))и1 (і, 5, ґ) + Хи2 (і + 2,5, ґ) +

+іуи2 (і + 1, 5, ґ) + ц(5)и0 (і, 5, ґ) +

+

+а< (5) + _ ,

д5 2 д52

- ди2 (І, s', ґ) = -1Х +11 и2 (і, 5, ґ) + Хи2 (і +, 5, ґ) + дґ V а у

+1 и0

ди2

а д5 2 д52

Сопряженная система для распределения вероятностей этого процесса имеет вид

дР0(і, 5, ґ) дґ

+ (Х + іу) Р0 (і, 5, ґ) = |а( 5) Р (і, 5, ґ) +

1д

+-Р2 (і, 5, ґ) -—{(5) Р0 (і, 5, ґ)} + а д5

1 д2

+ 2 {2( 5) Р0(і,5,ґ)},

дР (і, 5, ґ) дґ

+ (Х + і у + |а( 5)) Р (і, 5, ґ) = ХР0 (і, 5, ґ) +

д

+(і +1) уР0 (і + 1, 5, ґ)------{а( 5) Р1 (і, 5, ґ)} +

д5

1 д2

+2 {{) Р<г,»,')},

«кМ!» + (,. + ! || Р2(г, 5,,) = ХР2(г--1, ,, t) +

+ХР1

д5 2 д52 1 ’

Система (3) совпадает с (1) и является прямой системой дифференциальных уравнений Колмогорова, определяющей распределение вероятностей Рк (г, 5, t). Теорема доказана.

Решение Рк (г, 5,t) системы (3) достаточно полно определяет функционирование математической модели сети связи и ее вероятностно-временные характе-

ристики, но для нее не существует точных аналитических методов решения, поэтому данную систему будем решать модифицированным для нестационарных распределений методом асимптотического анализа [21] в условиях большой задержки у — 0 .

Необходимость рассмотрения модификации метода асимптотического анализа для нестационарных распределений заключается в том, что рассматриваемая сеть связи неустойчива в том смысле, что для ее математической модели не существует стационарного режима при любых значениях параметров, определяющих эту модель.

Обозначим

2 дН2

є2—2^_’ ’ -єх(т)----2^_’ ’ ’ ' +

22 у = є , є ґ = т,

2 дН0

--------------------єх (т)----------------------

дт ду

+(Х + х + єу) Н0 (у, 5, т, є) =

= ц(5)Н1(у, 5, т, є) +1Н2 (у, 5, т, є) -а

- д- {(5)Н0 (у, 5, т, є)} +1 { Р2 (^)Н0 (у, 5, т, є)} ,

д5 2 д521 '

є 2 дН1( у, 5, т, є)-єх'(т) дН1( у, 5,т, є) +

дт ду

+(Х + х + єу + ц(5))Н1 (у, 5, т, є) =

= ХН0 (у, 5, т, є) + (х + є( у + є)) Н0 (у + є, 5, т, є) -

-д-{а(5)Н1 (у, 5, т, є)} +1 { р2 (5) Нх (у, 5, т, є)}

д5 2 д52

дт

ду

и рассмотрим предельный процесс х(т) = ііш є2і(т / є2),

є^0

имеющий смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ, покажем, что он является детерминированной функцией.

Рассмотрим также процесс

, Л є2і(т/є2)-х(т) у(т) = Ііш--------------,

є^0 є

который характеризует изменение величин отклонения числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего, и покажем, что он является диффузионным процессом авторегрессии. Процесс изменения состояний канала к(т/є2) при є^-0 является дискретным марковским процессом, независимым от процесса у(т).

Используя предельные процессы х(т) и у(т) для достаточно малых значений параметра є, рассмотрим процесс

2(т) = Х(т) + єу(т) , который аппроксимирует процесс изменения числа заявок в ИПВ є2і(т/є2), и покажем, что он является однородным диффузионным процессом.

Учитывая обозначения (4), выполним замены в системе (3):

21

є і = х + єу , -Рк

є

тогда получим систему вида

--єх'

+ |Х + — у Н2 (у, 5, т, є) = ХН2 (у - є, 5, т, є) +

+ХН1 (у - 2є, 5, т, є) + (х + є(у - є))Н1 (у - є, 5, т, є) -

- д- {

д5 2 д52

2. ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СРЕДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА В ДИФФУЗИОННОЙ СРЕДЕ

Теорема 2. Асимптотически при у ^ 0 распределение вероятностей Як (х) состояний к канала имеет вид

ад х) =---Х+х + у(х)------,

а

Р( х) =

Х + х

а

^( х) =-

а

-----,

а

где а и X заданы; х = х(т) - детерминированная функция, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением вида

х'

в котором у( х) есть величина вида

+ад /+ад

у

-ад / -ад

Здесь 21( х, 5) определяется решением дк (х, 5), к = 0,1,2 системы (12) и условием нормировки (13).

Доказательство. В системе (6) перейдем к пределу при е — 0 и, полагая, что существуют конечные пределы

Иш Нк

е—>0

получим систему

(X + х)Н) (у, 5, т) = ц(5)Н1 (у, 5, т) +1Н2 (у, 5, т) -

а

- д- {а(5)Н0 (y, 5 т)} +1 { Р2 (5)Н0 (y, 5 т)} ,

д5 2 д52 1 ’

(X + х + ц(5))Н1 (у, 5, т) = (X + х)Н0 (у, 5, т) -

- д- {а(5)Н1 (у, 5, т)} +1 { р2 (5)Н1 (у, 5, т)} ,

д5 2 д521 '

1

Н2 (у, 5, т) = (Х + х)Нх (у, 5, т) -

- д- {

д5 2 д52

Решение Нк (у, 5, т) системы (11) будем искать в виде

Нк

Тогда Як (х, 5), имеющая смысл условного совместного распределения вероятностей состояний к канала и 5 среды при условии х(т) = х, как следует из (11), определяется системой вида

(X + х)00 (х, 5) = ц(5)01 (х, 5) +102 (х, 5) -

а

- д- {а(5)00 (X, 5)} +1 ^ { Р2 (5)00 (X, 5)} ,

д5 2 д521 ’

(X + х + ц(^))21 (х, 5) = ^ + х)00 (х, 5) -

(x, 5)}+1 { р2 (5)01(x, 5)},

д5 2д52 1 ’

1д

- 02 (х, 5) = (X + х)01 (х, 5) - — {а(5)02 (х, 5)} + а д5

1 д2

+--7 {р2

2 д5

и условием нормировки

2 +ад

X10к (х5)=1.

к=0 -

Обозначим

X 0к(x, 5) =г(5);

к=0 +ад

| Як (х, = ^к (х) .

| г(s)ds = 1;

X Кк (х) = 1.

к=0

О(5) = С ехр

{21

а

С учетом замены получим

С

Я(8) =

Р2

а

Р2

Константу С найдем из условия нормировки (17), тогда стационарное распределение вероятностей г (5) состояний 5 диффузионной среды примет вид

1 и Г

— ехр < 2 J

а

г (5) =

Р2

Р2

+ад 1 I 5

1 ^2^еХР{2 1

а

3Р2

Р2

4и:

Проинтегрируем каждое из уравнений системы (13) по 5, учтем (16), обозначим

+ад

| ц(5)01 (х, s)ds = у (х)Я1 (х),

-ад

то есть величина у( х) определяется равенством

+ад /+ад

у

Положим, что

-а(5)0к (х, 5) + 2дТ { Р2 (5)0к (х, т)} тогда система (13) примет вид

Здесь Як (х) - маргинальное распределение вероятностей состояний к канала связи, а г (5) - маргинальное распределение вероятностей состояний 5 случайной среды. Очевидно, для этих распределений также должны выполняться условия нормировки

^ + х) Я0( х) = у( х) Я 1( х) +—Я2( х),

а

(X + х + у (х)) Я1 (х) = (X + х) Я0 (х), 1Я 2( х) = (X + х) Я1 (х).

= 0,

Система (23) совместно с условием нормировки (18) дает решение

X + x + у

Сложим по к уравнения системы (13) и с учетом обозначения (15) получим уравнение

-~{а

д5 2 д52 1 ’

которое совместно с условием нормировки (17) определяет стационарное распределение вероятностей г (5) состояний диффузионной среды.

Уравнение (19) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Его порядок можно понизить заменой

Р2( 5)г ( 5) = О (5),

в результате будем иметь линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка

*!<£> = 2 ^ О (5).

д5 р2

Решение этого уравнения имеет вид

Яо( х) =

Я1(х) = Я2(х)=-

a

X + x

а(}» + х)2 + 2(X + х) + у (х) а(}» + х)2

2 -.

а^ + х) +2

Вид равенств (24) совпадает с видом равенств (7).

Далее покажем, что х = х(т) является детерминированной функцией.

В системе (6) функции Нк (у ± е, 5, т, е) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о(е), получим

-ех'

дН 0

ду

+ (X + х + еу)Нз (у, 5, т, е) =

= ц(5)Н1 (у, 5, т, е) +1Н2 (у, 5, т, е) + а

д 1 д2 + — {(5)Н0 (у, 5, т, е)} + - — { Р2 (5)Н0 (у, 5, т, е)} ,

2 д5 21 ’

д5

-ад

дН

-єх '(т) —1—^ ’ ’------- (Х + х + єу + ц(5))Н1 (у, 5, т, є) =

ду

= (Х + х + єу) Н0 (у, 5, т, є) + єх

дН0

ду '

-д^{а(5) Н (у, 5, т, є)} +1 {р2 (5) Н (у, 5, т, є)} + о(є),

д5 2 д52

дН 2 (у, 5, т, є) 1

-єх (т) —2---------------------------- -Н2 (у, 5, т, є) =

ду а

= (Х + х + єу) Н1 (у, 5, т, є) -

д

-є {ХН2 (у, 5, т, є) + (2Х + х) Н1( у, 5, т, є)} -

ду

д

- — {(5)Н2 (у, 5, т, є)} +

д5

1 д2

+ - — { Р2 (5)Н2 (у, 5, т, є)} + о(є).

2 д5

Все уравнения системы (25) просуммируем по к , проинтегрируем по 5 и, полагая, что

2

-а(5) X Нк (у, 5, т, є) +

к=0

= 0,

запишем

д I 2 +ад {

-ех'(т) — ^ 1 Нк (у, 5, т, е) ds 1 =

у [к=0 -ад ]

д I +ад +ад

= е----\х | Н0(у, 5, т, е^5-XI Н2(у, 5, т, е^5 -

ду [ -ад -ад

-(2X + х) I Н1(у, 5, т, е^5 1 + о(е).

-ад ]

Поделим на е обе части полученного уравнения, выполним предельный переход (10), учтем (12), получим

2 +ад ( \ I +ад

- х '(т) X I <2к (х, 5) ds-------ду~~ =\х 1 00( х, г)dг -

к=0 -

-Х | б2 (х, і-)^ - (2Х + х) | (х,

дН

’ ду '

Согласно условию нормировки (14) и обозначению (16), можно записать

{х'(т) + хЯ0(х)-XЯ2(х)-(2X + х)Я1 (х)}дНут- = 0 .

у

Поскольку производная плотности распределения Н (у, т) не может тождественно равняться нулю, следовательно, функция х = х(т) является решением обыкновенного дифференциального уравнения

х '

В силу равенств (24) уравнение (27) можно представить в виде

х'

где у(х) определяется равенством (22), в котором

01( х, 5) определяется решением системы (13) и усло-

вием нормировки (14). Таким образом, (28) совпадает с (8). Теорема доказана.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕЛИЧИН ОТКЛОНЕНИЯ НОРМИРОВАННОГО ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИСТОЧНИКЕ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ ОТ ИХ АСИМПТОТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ

Теорема 3. Асимптотически при у ^ 0 случайный процесс у(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида

dу

где ^(т) есть стандартный винеровский процесс, А(х) определяется равенством

А

дх

функция В (х) определяется равенством

В2 (х) = ХЯ2 (х) + (2Х + х) Я1 (х) +

1 + ^а + ^ (Х - у (х)Я1 (х)) - ау (х)Я (х)^ Я12 (х).

Здесь параметры а и Х заданы; Як (х) определяются равенствами (7), х - дифференциальным уравнением (8), у(х) - равенством (9).

Доказательство. Будем искать решение Нк(у-,т,е) системы (25) в виде следующего разложения:

Нк (у, 5, т, є) = ^ (х, 5)Н(у, т) + єИк (у, 5, т) + о(є). (32) Прежде всего, отыщем вид функций Нк (у, 5, т). Перепишем систему (25) в виде

-(Х + х) Н0 (у, 5, т, є) - єуН 0 (у, 5, т, є) +

+ц(-)Н1(у, 5, т, є) + — Н2 (у, 5, т, є) -а

- д- {(-)Н0 (у, 5, т, є)} +1 { Р2 (-)Н0 (у, 5, т, є)} =

д- 2 д-21 ’

ч ч дН0

= -єх (т)-- ---------,

ду

-(Х + х + ц(-)) Н1 (у, 5, т, є) - єуН1 (у, 5, т, є) +

+(Х + х) Н0 (у, 5, т, є) + єуН0 (у, 5, т, є) -

- д- {(-Н (у, 5, т, є)} +1 { Р2 (-)Н (у, 5, т, є)} =

д5 2 д52

д

= -є — {х '(т)Н1 (у, 5, т, є) + хН0(у, 5, т, є)} + о(є),

ду

-1Н2 (у, -, т, є) + (Х + х)Н} (у, -, т, є) + єуН} (у, -, т, є) -а

- д- {(-)Н2 (у, 5, т, є)} +1 { Р2 (-)Н2 (у, 5, т, є)} =

д5 2 д52

ччдН9

= є(Х-х (т)) —2^ У +

ду

чдН1

+є(2Х + х)—1--------------- о (є).

ду

-го

Подставим в эту систему разложение (32), учтем (13) и запишем полученную систему, сократив на є все уравнения, в следующем виде:

-(Х + х)/ (у, 5, т) + ц(5)/?! (у, 5, т) +1 ^ (у, 5, т) -

а

д 1 д 2

(а(5)/0(У, ^ т)} + - ~2 { Р2 (-)/0(У, ^ т)} =

д- 2 дї у ’

= 00

дН

ду ’

-(Х + х + Ц(-))/1 (у, 5, т)) + (Х + х)/0 (у, 5, т) -

- д- {а(-)/1 (у, 5, т)} +1 { р2 {)/ (у, 5, т)} =

д- 2 д-21 '

=

-(х'(т)01 (х, 5) + х00 (х, -)) -

ду

1 д

---/2 (у, -, т) + (Х + х)/1 (у, 5, т) - — {а(5)^2 (у, 5, т)} +

а д-

2

= -х'(т)00(х, -),

-(Х + х + ц(-))/1(1) (х, -) + (Х + х)/0(1) (х, -) -

-д- {а(5)/1(1) (х, -)} + 2 д-т { Р2 (-)/1(1) (х, -)} =

= -х'(т)01 (х, 5) - х00 (х, -),

-1 /21) (х, -) + (Х + х)//(1) (х, -) -—{а(-)/2 (х, -)}

а д-

=

-(Х + х)/02) (х, -) + ц(-)/1(2) (х, -) +1 /22) (х, -) -

а

- д- |а(-)А02) (х, -)} +1 ду { Р2 (-)/02) (х, -)} = 60 (х, -), -(Х + х + |а(5-))//(2) (х, -) + (Х + х)/02) (х, -) -

-і-{)/1(2)(х, -)} +1 д-2 { в2 (-)/1(2)(х,-)} =

= 61 (х, -) - 00(х, -),

1д

—/22) (х, -) + (Х + х)к1(2) (х, -)-|а(-)/22) (х, -)} +

а д- * ’

1 д2

+ о Т7{ в2

2 д52

Продифференцировав систему (13) по х, получим

-(Х + х) +й(5) ЩМ +1 -

дх дх а дх

-! И Є0єх^}+1 £ { :

= 00(х, -),

/ччд0і

-(Х + х + ц(-))-- ----- (Х + х) -

-ІЬ-) д011М)) + і ІІ. {

д- \ дх ) 2 д521 дх

дх дх

2

= 01 (х, -) - 00( х, -),

1 д02

1д

+-— { в2 {)/ (у, -, т)} = -01 (х, 5) уН (у, т) +

2 д-

+[

ду

Будем искать решение системы (33) в виде

кк

ду

Подставим (34) в (33) и представим систему в виде двух систем

-(Х + х)/^ (х, -) + ц(-)//(1) (х, -) +1 к^1 (х, -) -

а

- д- |а^)к01) (х, -)} + 2 +7 {в2 ^)к01) (х, -)} =

а дх

д і / \д02

—{а

д-

+ (Х + х) -

1 дд— {

2 д-21

дх

+^тт в2

2, ч д02

дх ; 2

= -01 (х, -).

дх

Из (36) и (37) следует, что решение к()( х, 5) темы (36) имеет вид

к(х,5) .ОМ.

дх

С учетом (38) и (34) разложение (32) примет вид

Нк (у, 5, т, е) = Як (х, 5)Н(у, т) + ек(р (х, 5) дН^ т) +

сис-

ду

+єуН(у, т) д0kд(x, -) + о(є). дх

Теперь найдем вид функции Н (у, т). Для этого функции в правой части системы (6) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о(е2), получим

„2 дН0(у, 5, т, е) дН0(у, 5, т, е) +

е ех (т) I

дт ду

+(X + х + еу)Н0 (у, 5, т, е) = ц(5)Н1 (у, 5, т, е) +

1д

+ - Н 2 (у, 5, т, е) - — {а (5) Н 0( у, 5, т, е)} + а д5

1 д2

+ 2дГ2 ^в2(5)Н0(y,Г,т,е)},

е2 дН1( у, 5, т, е)-ех-(т) дН1( у, 5, т, е) +

дт ду

+(X + х + еу + ц(5))Н1 (у, 5, т, е) =

д

= (XI х + еу) Н0 (у, 5, т, е) + е—{(х + еу) Н0 (у, 5, т, е)} +

ду

е2 д2 д

+ — —г {(х + еу)Н0 (у, 5, т, е)} - — {а(5)Н (у, 5, т, е)} +

2 ду 2 д5

1 д2

{ Р2 (5)Н (у, 5, т, е)} + о(е2),

2 д52 ^ ’

и

2 дН2 (у, 5, т, е) дН2 (у, 5, т, е) 1

е2----2^> > » /-ех (т)—2^’ ’ + - Н 2( у, 5, т, е) =

дт ду а

= (XI х + еу) Н1 (у, 5, т, е) -

д

-е — {(2X1 х + еу)Н1 (у, 5, т, е) + XH2 (у, 5, т, е)} + ду

е2 д2

+-2 {(4X1 х) Н1(у, 5, т, е) + XH2 (у, 5, т, е)} -

2 ду

д 1 д2 - —{а(5)Н2 (у, 5, т, е)} + - — { Р2 (5)Н2 (у, 5, т, е)} +

д5 2д52 1 ’

+о

Сложив все уравнения системы (40) по к, получим

Нк(У, ^ т, е)} - ех'(т) Нк(У, ^ т, е)} =

дт

к =0

ду

к =0

д

= -є — {-(х + єу) Н0 (у, 5, т, є) +

дУ

+(2Х + х + єу)Н1 (у, 5, т, є) + ХН2 (у, 5, т, є)} +

є! .д!

2 дУ2

+(4Х + х) Н1 (у, -, т, є)} -

+ ----2 {хН0 (у, 5, т, є) + ХН2 (у, 5, т, є) +

1 д2 и 2, 2

дт

ду

-є2 х’(т) | {X 0к (х, - а^му^.

дх {к=0 ] дУ

-є2х

(т) X к (х, -)д Н(У т) = -є (-х00 (х, 5) +

к=0 ду

+Х02

дН

ду

-є I 01(х, 5) - 00(х, 5) - х

д00

дх

+Хд02( х,-) + (2Х + х) д01( х,-) 1дуН (у,т) -

дх дх у ду

+ — [х00 (х, 5) + Х02 (х, 5) +

+(4Х + х)01 (х, -) + 2 (х/1 (х, -) - Хк21) (х, -) -

—(2Х + х) к1(1) (х, -))] д Н^ т) -

у 2

-^-|а(5)X Нк (У, ^T, є)І +

д- { к=0 ]

1 д2 Г 2 ]

+2д-2 і в2

к=0

Проинтегрируем уравнение (41) по 5, воспользуемся условием нормировки (17), обозначением (16), также обозначим

+ад 2

1 к

-ад к=0

учтем (26), получим

2 дН

дт

--єх'(т)-

ду

-є2 хХФ'Лі х) Є2Н<^ =

ду2

= -є

дН

ду "

-є2- [ Я1(х)-Я0(х)- х^ -Х^ +

дх

дх

+(2Х + х) ^ )Є{уН (у,т)} +

дх

ду

+—[ хЯ0 (х) + ХЯ2 (х) + (4Х + х) Я1 (х) +

+2( хк^ (х) - Хк21) (х) - (2Х + х) к1(1) (х))]

д2 Н

ду2

+о

+ отг\ Р2(5)X Нк (У, ^ т, е)} + о(е2).

2 д5 [ к=0 ]

Подставим в полученное равенство разложение функций Hk(y,г,т,e) в виде (39), учтем обозначение (15), получим

е2 г

В силу дифференциального уравнения (27) уничтожим слагаемые порядка о(е), поделим обе части

полученного уравнения на е2 , учтем

дт

= -Я х) - Я,

дх

дх

дх у дУ

+2 [ хЯ0 (х) + ХЯ2 (х) + (4Х + х) Я1 (х) + +2 (хк^) (х) - Хк21) (х) - (2Х + х)к1(1) (х) -

+(Х - у( х) Я (х)) к(1) (х))] д2 Н ^ т).

ду2

В уравнение (44) входят величины к([\х) и

к(1)( х), которые определяются равенствами (42) и системой (35). Проинтегрируем систему (35) по 5 , обозначим

+ад /+ад

|(х) = 1 ц(5)к1(х, s)ds 1 к1(х, s)ds,

также учтем обозначение (16) и тот факт, что

-а(-)к/к1) (х, -) + 2 д- {в2 (5)к(к) (х, -)}

= 0,

получим

-(Х + х)к((1)(х) + |(х)к1(1)(х) +—к21)(х) = -х'(т)Я0(х),

-(Х + х +1( х))к1(1) (х) + (Х + х)к0^) (х) = = х'(т)Я1 (х) - хЯ0 (х),

2

2

-ОТ

-1 к21) (х) + (XI х)к1(1) (х) = а

= (XI х'(т))Я2 (х) + (2X + х)Я1 (х).

Выразив функции к (х) через функцию к1(1) (х),

получим

Л")( х) -

у

X + x a

хЯ0

X+x X+x

к21) (х) = -а^ I х) Я0 (х) - aXЯ1 (х) I Iау(х)Я1 (х)(Я0 (х) IЯ1 (х)) I a(X I х)к1(1) (х).

Подставив полученные равенства в уравнение (44) и выполнив преобразования, получим

дН (у, т) дт

= -| Я1(х) -Яд(х) - х

дЯэ

дх

дх

дх

ду

I—[ЯЯ, (х) I (2X I х) Я1 (х) I

I ^ 2у

а I-

X + x

ЯГ

д 2 Н

ду2

Получили уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения вероятностей Н (у, т) значений диффузионного процесса авторегрессии у(т). Обозначим коэффициент переноса уравнения (45) как А(х). Заметим, что А(х) является производной по х от правой части дифференциального уравнения (27), то есть

А( х) = Я1 (х) - Я0 (х) - х

Ж х)

+XдЯІ^^> I

дх

дх дЯ1

дх

= —{-хЯ0 (х) IXЯ2 (х) I (2X I х)Я1 (х)} .

дх

Получили, что (46) совпадает с (30).

Коэффициент диффузии обозначим следующим образом:

Б2

1

X + x ,

. , (X - у (х)Я1 (х)) - ау (х)Я0 (х)1 Я12 (х).

X + x) )

Получили, что (47) совпадает с (31).

Из

где w(т) является стандартным винеровским процессом, А( х) определяется равенством (46), Б( х) - равенством (47). Следовательно, уравнение (48) совпадает с уравнением (29), а процесс у(т) является процессом авторегрессии. Теорема доказана.

4. ГЛОБАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЙ СЕТИ

Покажем, что для достаточно малых значений параметра е случайный процесс г(т) = х(т) I еу, аппроксимирующий процесс изменения числа заявок в ИПВ е2/(т / е2), является однородным диффузионным процессом. Докажем следующую теорему.

Теорема 4. С точностью до о(е) случайный процесс г(т) является решением стохастического дифференциального уравнения

dz

где w(т) есть стандартный винеровский процесс; функция А(г) определяется равенством (30), а функция Б( г) - равенством (31), то есть г(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса А(г') и коэффициентом диффузии

е2 Б 2(г).

Доказательство. Поскольку г(т) = х(т) I еу, то, дифференцируя г(т) по т, имеем

dz(т) = х’(т^ т + еdy.

В силу (8) и (29) правую часть этого уравнения перепишем в виде

х’(т^ т I еdy(т) = [-хЯ0 (х) IXЯ2 (х) I

д

+(2X I х) Я1 (х)^ т I еу—{-хЯ0 (х) IXЯ2 (х) I

дх

I (2X + х)Я1(х)} d т + Б( x)dw(т) =

= [-(х I еу) Я0 (х I еу) IXЯ2 (х I еу) I +(2X I х I еу)Я1 (х I еy)]dт I еБ(г - еу)dw(т) =

=[-гЯ0( г) +XЯ2( г) I (2X+г)Я1( z)]d т!еБ( z)dw(т) I о(е) = = А(г)dт I еБ(z)dw(т) I о(е).

Таким образом, г(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса А(г) и коэффициентом диффузии е2Б2(г) и определяется с точностью до о(е) стохастическим дифференциальным уравнением вида (49). Теорема доказана.

Следствие 4.1. Плотность распределения вероятностей значений процесса г(т) имеет вид

1

Р ( г)=

Б2

2 г А

Б 2

du

ехр

_2 г А

е2 J д2 \Ь 0

Б

du

dz

где А(г) определяется равенством (30), Б(г) - равенством (31).

распределения вероятностей значений процесса г(т), Итак, в данной работе представлены математиче-

тогда можно записать уравнение Фоккера - Планка ские модели сетей множественного доступа с опове-

для плотности этого процесса щением о конфликте, функционирование которых

др(г т) д е2 д2 рассматривается с учетом влияния диффузионной

—-Г— = -—{А(г)Р (г, т)}-----------^ |б 2(г) р (г, т)}, среды. Найдено распределение вероятностей состоя-

г 2 дг ний канала (7), асимптотическое среднее нормиро-

где А(г) определяется равенством (30), Б(г) - равен- ванного числа заявок в источнике повторных вызовов

ством (31). (8). Исследованы величины отклонения нормирован-

Рассмотрим функционирование процесса г(т) в ного числа заявок в источнике повторных вызовов от

стационарном режиме, то есть Р(г, т) = Р(г), тогда их асимптотического среднего значения и голу™

стохастическое дифференциальное уравнение для

снтиаяцФиоонкакренроае-рПаслпанрекдаеление можно найти из уравне- процесса изменения этих величин в виде (29). Прове-

ния Фоккера - Планка дена глобальная аппроксимация процесса изменения

0 =____— {А(г)Р ((а 2 (г)р (г)} состояний сети в диффузионной среде и показано, что

дг 2 -г2 аппроксимирующий процесс является решением сто-

Данное уравнение является однородным дифферен- хастического дифференциального уравнения (49).

циальным уравнением второго порядка. Его решение Найдена шотгостъ распределения вероятн°стей зна-

можно представить в виде (50). Следствие доказано. чений этого процесса в виде (50).

ЛИТЕРАТУРА

1. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган А.Я. Анализ очередей в вычислительных сетях. М.: Наука, 1989.

2. Бертсекас Д., ГаллагерР. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.

3. Бутакова Е.Л., Назаров А.А. Распределение времени доставки сообщения в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и вычислительная техника. 1997. N° 6. С. 65 - 75.

4. Кузнецов Д.Ю., Назаров А.А. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых протоколами случайного множественного доступа // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 89 - 98.

5. Назаров А.А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. № 2. С. 101 - 111.

6. Хомичков И.И. Об оптимальном управлении в сети передачи данных со случайным множественным доступом // Автоматика и телемеханика. 1991. № 8. С. 176 - 188.

7. Хомичков И.И. Исследование моделей локальной сети с протоколом случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. 1993. № 12. С. 89 - 90.

8. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование, анализ. М.: Наука, 1992.

9. Шварц М. Сети ЭВМ: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1981.

10. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 14 - 24.

11. Вавилов В. А. Исследование влияния случайной среды на величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего в неустойчивых сетях множественного доступа // Наука. Технологии. Инновации. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. С. 12 - 13.

12. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей случайного множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде // Информационные технологии и математическое моделирование. Ч. 2. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 7 - 9.

13. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети. Вып. 18. Мн.: БГУ, 2005. С. 226 - 231.

14. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей многостабильных сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005.

15. Гнеденко Б.В., Коваленко И.И. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.

16. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.

17. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1971.

18. Королюк В.С. Стохастические модели систем. Киев: Наукова думка, 1989.

19. Баруча-РидА.Г. Теория марковских процессов и ее приложения. М.: Наука, 1969.

20. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

21. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизуемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991.

22. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.