О развитии у школьников умения строить простейшие линейные оптимизационные модели

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

В.С. Абатурова

О РАЗВИТИИ У ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ СТРОИТЬ ПРОСТЕЙШИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года, утвержденной приказом Министерства образования Российской Федерации от 11.02.2002 г. № 393 отмечается, что «развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия» [1, с. 13]. Поэтому актуальной становится проблема формирования у школьников старших классов прикладного стиля мышления, развития у них умения строить простейшие математические модели реальных процессов.

Решить эту проблему можно лишь при наличии соответствующего методического обеспечения. Однако, разработка методики обучения школьников методу математического моделирования возможна лишь тогда, когда процесс создания школьником математической модели, процесс перехода от «языка природы» к «языку математики» будут изучены как педагогические задачи.

В настоящей статье речь пойдет об обучении школьников этапу построения (этапу формализации) простейших (двухмерных) линейных оптимизационных моделей. Выбор простейших линейных оптимизационных моделей в качестве средства обучения школьников методу математического моделирования не случаен. Область применения линейных математических моделей широка, а методы их построения обладают большой общностью и эффективностью. Кроме того, задачи, формализация которых приводит к линейным оптимизационным моделям, позволяют формировать у школьников прикладной стиль мышления, необходимый в практической деятельности каждому из тех, кто хочет достичь поставленной цели и имеет возможность выбора из множества различных способов действия наилучшего (оптимального) способа.

Простейшей (двухмерной) линейной оптимизационной моделью называют математическую задачу нахождения оптимального решения - пары

чисел, в которой линейная функция двух переменных принимает наибольшее или наименьшее значение, при условии, что переменные удовлетворяют конечному числу линейных уравнений и (или) неравенств.

Этап построения математической модели (этап формализации) характеризуется наличием двуязычия: естественного языка («языка природы»), используемого в данной прикладной задаче и языка математического, перевод на который и есть построение соответствующей математической модели. Трудность этого этапа заключается в том, что некоторый «нематематический» объект моделирования, описанный в условии задачи - явление природы, экономический процесс, производственная ситуация и т.д., нужно связать с некоторым известным математическим инструментарием и выразить его на языке этого инструментария.

Процесс создания математических моделей реальных процессов предполагает обследование объекта моделирования и содержательную постановку проблемы. В прикладных школьных задачах и объект моделирования и проблема чаще всего бывают сформулированы в виде текста задачи. Поэтому особенно важно начать этап формализации с анализа текста задачи, который позволяет выявить основные характеристики объекта моделирования и найти связи между ними.

Покажем этап построения простейшей линейной оптимизационной модели на примере одной прикладной задачи.

Задача. Фермер выращивает кроликов двух пород - Русский косой и Белый великан для продажи, причем число кроликов породы Белый великан как минимум втрое больше числа кроликов породы Русский косой. Спрос на кроликов породы Русский косой не превосходит 20 штук за 1 день продажи, а спрос на кроликов породы Белый великан достаточно высок - за один день удается продать от 25 до 50 штук. Фермер обычно везет кроликов в клетке, которая может вместить не более 60 кроликов. Сколько кроликов каждой породы нужно взять в клетку для получения мак-

© В.С. Абатурова, 2008

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2008

285

симальной прибыли от продажи за 1 день, если прибыль от продажи 1 кролика породы Русский косой составляет 45 рублей, а от продажи 1 кролика породы Белый великан - 30 рублей.

Решение. Этап формализации задачи начнем с анализа текста задачи. Предложим учащимся «смоделировать» (мысленно представить) реальную ситуацию, описанную в тексте задачи, выявить объект моделирования, а затем определить его характеристики и связи между ними. На этом этапе школьник применяет интуитивное моделирование, которое «основано на интуитивном (не обоснованном с позиций формальной логики) представлении об объекте исследования» [2, с. 27].

«Погрузившись» в текст задачи школьник замечает, что объектом моделирования является процесс принятия фермером решения - сколько кроликов породы Русский косой (далее - РК) и Белый великан (далее - БВ) он должен взять для дневной продажи, чтобы получить наибольшую прибыль. Определим и проанализируем характеристики объекта моделирования. Основной характеристикой объекта моделирования является план продажи - число кроликов каждой породы, проданных за один день. В приведенной задаче планом продажи является пара чисел (поскольку речь идет о продаже кроликов двух пород).

План продажи может быть разным - возможным или невозможным, например нельзя взять в клетку для продажи отрицательное число кроликов или нецелое число кроликов - такой план продажи будет невозможным. А вот пара чисел (0;0) хотя и является возможным планом продажи, т.к. теоретически фермер может вообще не брать кроликов для продажи, но вряд ли имеет для фермера интерес, поскольку он хочет получить прибыль от продажи, да еще и наибольшую. Кроме того, в силу существования условия в задаче, что клетка, в которой фермер обычно везет кроликов, может вместить не более 60 кроликов, делает невозможным планом продажи любую пару неотрицательных целых чисел, в сумме превышающая 60, например, (40;21) или (25;37), и т.п. Выбор фермером плана продажи зависит еще от нескольких условий, описанных в тексте задачи, например, от спроса на кроликов каждой породы. Так, зная, что спрос на кроликов породы РК не превосходит 20 штук за 1 день продажи, а прибыль от продажи 1 кролика РК составляет 45 рублей, фермер может взять, например, 20 кроликов породы РК, тогда кроликов породы БВ он может взять,

например, 40, т.е. план продажи будет (20;40), а прибыль от этого плана продажи будет равна 20-45+45-20=2700 рублей, что составляет одну из возможных прибылей. С другой стороны, поскольку спрос на кроликов породы Белый великан достаточно высок - за один день удается продать от 25 до 50 кроликов породы БВ, то фермер может взять для продажи, например, 50 кроликов породы БВ, но тогда в клетку можно поместить всего 10 кроликов породы РК, при этом прибыль от плана продажи (10;50) составит

10-45+50-30=1950 рублей. Но план продажи (10;50) менее выгодный, чем план продажи (20;40), поэтому фермер может выбрать наиболее выгодный вариант - взять 20 кроликов породы РК и 40 кроликов породы БВ. Однако нужно выяснить, все ли условия, описанные в задаче, выполнены. В условии задачи сказано: число кроликов породы Белый великан как минимум втрое больше числа кроликов породы Русский косой, это означает, что план продаж (20;40) этому условию не удовлетворяет, поскольку в этом случае число кроликов породы БВ больше, чем кроликов породы РК только в 2 раза, Итак, пара чисел (20;40) является недопустимым планом продажи, поскольку она не удовлетворяет условиям задачи (ограничениям задачи) и рассматривать ее как вариант решения нельзя.

Таким образом, мы выяснили, что план продаж может быть допустимым и недопустимым. Допустимый план продажи - это план продажи, который удовлетворяет всем ограничениям задачи. Из сказанного выше делаем вывод, что фермер может остановить свой выбор на плане (10;50) с прибылью 1950 рублей или попытаться найти более выгодный план продажи. Один из способов нахождения более выгодного плана -способ перебора всех возможных планов продажи. Например, фермер должен понять, как получить прибыль, близкую к 2700 рублям так, чтобы выполнялось условие, что число кроликов породы БВ как минимум втрое больше числа кроликов породы РК. Допустим, он будет уменьшать число кроликов породы РК, и подбирать соответствующее число кроликов породы БВ исходя из требуемого условия задачи. Например, если число кроликов породы РК равно 19, то минимальное число кроликов породы БВ будет 51, но в сумме 19+51=70, что не соответствует другому условию задачи (сумма не должна быть больше 60), т.е. план (19;51) является недопустимым. Уменьшая число кроликов породы РК далее, придем

к тому, что если число кроликов породы РК равно 15, то число кроликов породы БВ может быть равно, например, 45, тогда план продажи (15;45) является допустимым, и прибыль при этом составит 15-45+30-45=2025 рублей. Эта прибыль больше, чем прибыль, полученная от плана продажи (10;50), поэтому этот план продажи для фермера предпочтительнее. Далее также можно определить другие планы продаж и выбрать из них тот, который «доставляет» наибольшую прибыль. Этот план продаж называют оптимальным. Таким образом, оптимальный план продажи - допустимый план, доставляющий наибольшую прибыль.

Проведенный анализ текста задачи позволяет смоделировать процесс принятия фермером решения о нахождении оптимального плана продажи кроликов. Ценность анализа текста задачи заключается в том, что был выявлен объект моделирования, найдены все характеристики объекта моделирования и необходимые для построения математической модели связи между ними.

Теперь можно осуществить перевод реальной ситуации, описанной в задаче, на математический язык, те. формализовать задачу. Поскольку при анализе текста задачи появлялись разные варианты планов продаж кроликов, то для построения математической модели нужно ввести переменные (иногда говорят управляемые переменные). Обозначим через х число кроликов породы РК, а через у - число кроликов породы БВ, тогда (ху) - план продажи кроликов за 1 день. Поскольку число кроликов не может быть нецелым, то (ху) - пара целых чисел.

1-е предложение текста задачи «фермер выращивает кроликов двух пород - Русский косой и Белый великан для продажи, причем число кроликов породы Белый великан как минимум втрое больше числа кроликов породы Русский косой» означает, что если число кроликов породы РК равно х, то число кроликов породы БВ, может быть либо равно 3 х, либо больше, чем 3х, а поскольку число кроликов породы БВ мы обозначили через у, то математически это записывается в виде неравенства у>3х. Кроме того, число кроликов не должно быть отрицательным, что математически означает выполнение неравенств х>0, у>0. Итак, 1-е предложение можно формализовать так: пусть х - число кроликов породы РК, а у - число кроликов породы БВ, предназначенные для дневной продажи. Тогда для переменных х и у должны выполняться неравенства: у>3х, х>0,у>0.

11-е предложение «спрос на кроликов породы Русский косой не превосходит 20 штук за 1 день, а спрос на кроликов породы Белый великан достаточно высок - за один день удается продать от 25 до 50 кроликов», означает, что за 1 день фермер сможет продать не более 20 кроликов породы РК, т.е. либо 20 кроликов, либо меньше 20 кроликов, что в переводе на математический язык означает, что должно выполняться неравенство х<20. Для кроликов породы БВ выполняется условие, что наименьшее число кроликов, которое можно продать за один день равно 25, а наибольшее число кроликов породы БВ, которое можно продать за один день равно 50, что математически записывается в виде двойного неравенства 25<у<50. Таким образом, 11-е предложение в задаче можно формализовать так: для переменных х и у должны выполняться неравенства х<20, 25<у<50.

Ш-е предложение в тексте задачи «кроликовод обычно везет кроликов в клетке, которая может вместить не более 60 кроликов» означает, что сумма х+у, обозначающая общее число кроликов, должна удовлетворять условию х+у<60, причем никакого значения не имеют форма клетки, высота клетки и т.п. Поэтому, формализацией Ш-его предложения текста задачи является неравенство х+у<60.

1У-е предложение в тексте задачи «сколько кроликов каждой породы нужно взять для получения максимальной прибыли от продажи за 1 день, если прибыль от продажи 1 кролика породы Русский косой составляет 45 рублей, а от продажи 1 кролика породы Белый великан -30 рублей» содержит информацию о прибыли от продажи кроликов. В первой фразе «сколько кроликов каждой породы нужно взять для получения максимальной прибыли от продажи за 1 день» содержится основной вопрос задачи, который можно сформулировать так: в задаче требуется найти значения переменных х и у, для которых должно выполняться условие, что общая прибыль от продажи за один день х кроликов породы РК и у кроликов породы БВ должна быть наибольшей, или, другими словами - в задаче требуется найти оптимальный план продажи -пару чисел (ху). Вторая фраза «если прибыль от продажи 1 кролика породы Русский косой составляет 45 рублей, а от продажи 1 кролика породы Белый великан - 30рублей» означает, что если фермер продаст х кроликов породы РК, то его прибыль составит 45-х рублей, если он продаст за один день у кроликов породы БВ, то его

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2008

287

прибыль составит 30-у поэтому общая прибыль от продажи за 1 день х кроликов породы РК и у кроликов породы БВ составит 45х+30у рублей, или, другими словами, прибыль от плана продажи (ху) составляет 45х+30у. Итак, ГУ-е предложение формализуется следующим образом: найти значения переменных х и у, при которых выражение 45х+30у принимает наибольшее значение или, другими словами, найти оптимальный план продажи - пару чисел (х;у), доставляющий наибольшее значение линейной функции 45х+30у.

Теперь весь текст задачи переведен на математический язык, т.е. математическая модель задачи имеет вид: найти оптимальное решение (оптимальный план продажи) - пару целых чисел (х;у), в которой линейная функция 45х+30у принимает наибольшее значение, при условии, что переменные х и у удовлетворяют каждому из неравенств у>3х, х>0, у>0, х<20, 25<у<50, х+у<60.

Заметим, что эту построенную математическую модель можно переформулировать иначе, поскольку одновременное выполнение каждого из неравенств у>3х, х>0, у>0, х<20, 25<у<50, х+у<60 означает, что переменные х и у должны удовлетворять системе неравенств:

у > 3х, у > 0,

х > 0, х < 20,

25 < у < 50, х + у < 60.

Тогда математическая модель задачи примет вид: найти оптимальное решение (оптимальный план продажи) - пару целых чисел (х;у), в которой линейная функция 45х+30у принимает наибольшее значение, при условии, что переменные х и у удовлетворяют системе неравенств:

у > 3х, у > 0,

х > 0, х < 20,

25 < у < 50, х + у < 60.

Полученную систему можно записать с меньшим числом неравенств, что еще упростит запись созданной математической модели задачи.

Действительно, заметим, что из двух неравенств системы у>0 и 25<у<50 неравенство у>0 является лишним, поэтому его можно исключить из системы, а одновременное выполнение неравенств х>0 и х<20 можно записать в виде двойного неравенства 0<х<20. Таким образом, после преобразований, математическая модель задачи примет вид: найти оптимальное решение найти оптимальное решение (оптимальный план продажи) - пару целых чисел (х;у), в которой линейная функция 45х+30у принимает наибольшее значение, при условии, что переменные х и у удовлетворяют системе неравенств:

У > 3х,

0 < х < 20,

* 25 < у < 50, х + у > 60.

Теперь этап формализации задачи полностью закончен, математическая модель задачи построена. Отметим, что построенная линейная оптимизационная модель, при заданных параметрах в задаче, имеет целочисленное решение. Для внутримодельного решения можно воспользоваться наглядным геометрическим методом решения двухмерных задач линейного программирования, а можно, прибегнуть и к методам целочисленного программирования [см., например, 3; 4]. Главное - показать школьникам возможности использования математики в решении практических задач с помощью методов, доступных для их понимания, научно обоснованных и методически разработанных.

Библиографический список

1. О Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года (приказ от 11.02.02. .№393) // Вестник образования. - 2002. -№6. - С. 10-41.

2. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие / Под ред. П.В. Трусова. - М.: Логос, 2004. - 440 с.

3. Абатурова В.С. Математическое моделирование школьникам 1. Линейные модели: Учебное пособие / Институт прикладной математики и информатики. - Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А, 2007. - 112 с.

4. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов экон. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986. - 319 с.