Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов на основе метода подвижных клеточных автоматов

УДК 539.3, 539.4

Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов на основе метода подвижных клеточных автоматов

Иг.С. Коноваленко1, А.Ю. Смолин12, С.Г. Псахье1,2,3

1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

2 Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

3 Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Предложен подход к многоуровневому описанию деформации и разрушения хрупких пористых сред с одним максимумом на гистограмме распределения пор по размерам в рамках метода подвижных клеточных автоматов. Подход основан на определении эффективной функции отклика клеточного автомата прямым моделированием представительного объема пористой среды. Разработана иерархическая модель механического поведения керамики на основе ZrO2 с размером пор соизмеримым со средним размером зерна при сдвиговом нагружении и одноосном сжатии. Исследованы возможности разработанного подхода по учету неоднородности пространственного распределения прочностных свойств пористых сред путем изменения параметров межавтомат-ного взаимодействия по стохастически выбранным направлениям. Показано, что такой способ учета неоднородности открывает широкие перспективы для многоуровнего описания пористых сред с иерархической структурой порового пространства.

Ключевые слова: многоуровневый подход, пористые материалы, динамическое нагружение, деформация и разрушение, метод подвижных клеточных автоматов

Multilevel simulation of deformation and fracture of brittle porous materials using the method of movable cellular automata

Ig.S. Konovalenko1, A.Yu. Smolin1,2 and S.G. Psakhie1,2,3

1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

2 Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

3 Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

Using the method of movable cellular automata method we propose the approach to the multilevel description of deformation and fracture of brittle porous media with the single maximum in the size distribution histogram of pores. The approach is based on the definition of the effective response function of a cellular automaton by the explicit simulation of the representative volume of the porous medium. We develop the hierarchical model for the mechanical behavior of ZrO2-based ceramics with the pore size comparable with the average grain size under shear loading and uniaxial compression. In the paper we study the approach possibilities to take into account the nonuniformity of spatial distribution of strength properties of porous media by changing inter-automata interaction parameters in stochastically chosen directions. This method of account for the nonuniformity shows much promise for the multilevel description of porous media with the hierarchical structure of the porous space.

Keywords: multilevel approach, porous materials, dynamics loading, deformation and fracture, movable cellular automata method

1. Введение

В настоящее время во многих областях человеческой деятельности широко применяются пористые материалы, и в частности наноструктурная пористая керамика [1]. Эти материалы имеют достаточно сложную порис-

тую структуру. В зависимости от технологии изготовления в них могут присутствовать поры нескольких масштабных уровней в различных соотношениях и вариантах их пространственного распределения. Например, стенки макропор (ячеек) могут включать поры

© Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю., Псахье С.Г., 2009

меньшего размера [2, 3]. Детальная экспериментальная информация о структуре и механических характеристиках таких материалов не всегда доступна. Более того, экспериментальные исследования зачастую дают информацию об испытываемом материале только на макроуровне, в то время как крайне важными являются достоверные данные о свойствах материала на других структурных уровнях, в частности для оценки их вклада в процессы деформации и разрушения. Поэтому для решения таких задач перспективно использование численного моделирования. В рамках одноуровневого подхода невозможно учесть явным образом особенности структуры и поведение материала на каждом из масштабных уровней. Это связано как со значительными вычислительными затратами (большим количеством расчетных элементов) при явном задании поровой структуры материала в модели, так и с иерархическим строением порового пространства керамики [2,3]. Последнее обстоятельство само по себе предполагает использование многоуровнего подхода при описании подобных систем. В связи с этим целью работы является развитие многоуровнего подхода и разработка соответствующей иерархической модели для описания деформации и разрушения наноструктурных пористых керамик при сдвиговом нагружении и одноосном сжатии на основе метода подвижных клеточных автоматов [4]. Выбор метода подвижных клеточных автоматов обусловлен тем, что он успешно зарекомендовал себя при исследовании механического поведения хрупких пористых сред от момента зарождения первых повреждений вплоть до разрушения [5-8]. Расчеты проводились для модельного материала со свойствами спеченной керамики 2г02 со средним размером пор, соизмеримым с размером зерна, и одним максимумом в распределении пор по размерам [2, 3].

Построение иерархической модели материала со свойствами рассматриваемой керамики проводилось в несколько этапов. На первом этапе для определения эффективных функций отклика подвижных автоматов макроскопического структурного уровня выполнены расчеты с явным учетом структуры материала на микроуровне при различных видах механического нагружения. Определен представительный объем данного иерархического уровня. На втором этапе расчеты проводили на макроуровне для «сплошных» образцов, где данные о пористой структуре более низких уровней учитывали в найденных на первом этапе эффективных функциях отклика. Однако такая модельная среда характеризовалась бы однородным распределением механических свойств по объему и не содержала бы в себе концентраторов напряжений и неоднородностей, присущих пористым материалам на выбранном масштабном уровне. Одним из способов учета неоднородности, присущей пористым материалам на макроуровне, является

разброс механических параметров автоматов, например прочностных. В данной работе предложен вариант такого способа, основанный на том, что для стохастически выбранных автоматов по стохастически выбранным направлениям изменяется величина критерия разрыва межэлементных связей. На третьем этапе проведена верификация разработанной модели и исследованы возможные пути ее совершенствования с помощью неявного учета стохастической неоднородности распределения прочностных свойств в пористых материалах.

2. Определение представительного объема и соответствующих ему эффективных функций отклика автоматов на микроскопическом масштабном уровне

На микромасштабном уровне предлагаемой модели представительный объем определялся на основе анализа сходимости упругих и прочностных характеристик модельных пористых образцов по мере увеличения их размеров. Для решения этой задачи в работе моделировалось механическое поведение шести групп плоских пористых керамических образцов в условиях как сдвигового нагружения, так и одноосного сжатия. Внутри каждой группы образцы характеризовались одинаковыми размерами, но различным пространственным расположением пор. Каждая группа содержала пять образцов. Рассматривались квадратные образцы, у которых сторона h составляла 6, 12, 36, 60, 90 и 120 мкм. Принято допущение, что все поры модельного материала одинаковы и имеют форму сферы. Их размер в соответствии с максимумом на гистограмме распределения реальной керамики составлял 1.8 мкм [2,3]. Размер клеточного автомата выбран в соответствии со средним размером зерна и составлял 0.6 мкм. Поровая структура образцов задавалась путем удаления в случайном порядке одиночных автоматов, а также шести их ближайших соседей. Величина пористости образцов составляла 15 %. Начальная структура одного из модельных образцов представлена на рис. 1.

В случае сдвигового нагружения механическая нагрузка прикладывалась путем задания одинаковой скорости в горизонтальном направлении верхнему слою автоматов при жестком закреплении автоматов нижнего слоя образца (рис. 1, а). На начальном этапе скорость движения автоматов верхнего слоя нарастала по синусоидальному закону от 0 до 1 м/с, а затем оставалась постоянной (рис. 1, в). Такая схема использовалась для устранения искусственных динамических эффектов и обеспечения плавного и быстрого выхода процесса деформирования образца на квазистационарный режим. По горизонтальной оси использовались периодические граничные условия.

При одноосном сжатии скорость автоматов верхнего слоя в вертикальном направлении нарастала так же, как

Ух = УХЮ, V, = О м/с

Рис. 1. Начальная структура модельного образца со стороной к = 60 мкм и схема приложения механической нагрузки при сдвиговом нагружении

и при сдвиге по синусоидальному закону (до 1м/с), а нижнего — была задана равной нулю. Для автоматов верхнего и нижнего слоев образца были разрешены горизонтальные смещения, а боковые поверхности образца были свободны (рис. 1,6). Задачи решались в условиях плоской деформации. Функция отклика автоматов имела линейный вид и соответствовала диаграмме нагружения моделируемой керамики с пористостью 2 % [2, 3]. Модуль сдвига для клеточного автомата G составлял 30.8 ГПа, коэффициент Пуассона V = 0.3. В качестве критерия разрыва межавтоматных связей использовался критерий разрушения по интенсивности касательных напряжений [9].

В случае одноосного сжатия поиск представительного объема проводился в два этапа: для беспористой и пористой керамики. В случае сдвигового нагружения — только для пористой среды. Для модельного материала, не содержащего пор, поиск представительного объема осуществлялся по шести квадратным монолитным образцам, размеры которых соответствуют размерам пористых образцов. При увеличении размеров образца анализировалась сходимость эффективного упругого модуля модельного образца Ее1Г к соответствующему упругому модулю клеточного автомата Е0, заложенному в модели. Результатом анализа являлся размер образца (представительного объема), начиная с которого отклонение Ее1Г от Е0 не превосходит приемлемой для решения поставленной задачи величины, в качестве которой в данной работе было выбрано значение 3 %. На втором этапе производился поиск представительного объема непосредственно для пористой керамики по группам пористых образцов, чьи размеры равны или превосходят размеры представительного объема для сплошной среды (внутри группы все образцы были одинакового размера, но с различным пространственным расположением пор). Анализировалась величина отклонения эффективного упругого модуля модельного образца Ее{г и его прочности ас (определяемых по расчетной диаграмме нагружения) от соот-

ветствующих средних по группе величин (Ее^, (стс)-Результатом анализа являлся размер образца (представительного объема), начиная с которого отклонение ЕеП и ас от (Ее1Г) и (стс^ не превосходит приемлемой для решения поставленной задачи величины. В данной работе использовались величины 3 % для Ее1Г и 20 % для стс, что является приемлемым для гетерогенных сред с величиной пористости более 10 %. Необходимость предварительного анализа обусловлена почти трехкратным сокращением вычислительных ресурсов. Проводить подобные исследования для беспористой керамики в случае сдвигового нагружения нецелесообразно, поскольку ее упругие характеристики с изменением размеров образца почти не меняются. Это обусловлено периодическими условиями, накладываемыми на образец в направлении горизонтальной оси.

Результаты расчетов, отражающие относительное изменение эффективных упругих свойств монолитных (сплошных) образцов в зависимости от их размера, представлены на рис. 2. Видно, что для Ее1Г существует нелинейная сходимость к Е0, а при размерах образца 60 мкм и более величина Ее1Г /Е0 не превосходит 1.5%. Указанная точность более чем достаточна для целей данной работы, в связи с чем монолитный образец со

Рис. 2. Отклонение эффективного упругого модуля модельного образца Ее{{ от упругого модуля клеточного автомата Е0 в зависимости от размеров образца

110 в, мкм

Тс/СО

-0.1

0 6е*/(Се») 0

1 о 0.2 '

8 Д V $ < 0.1

- А —к < о.о   е В -1 0 Ф

о Д V $ < -0.1 '

о -0.2 '

. 1

0 20 40 60 80 100 (1, мкм -0.3 0 20 40 60 1 1 1 1 1  80 100 I"!, мкм

Рис. 3. Отклонение упругого модуля Ее

стороной I = 60 мкм можно считать представительным объемом для рассматриваемой сплошной модельной среды.

Для пористого модельного материала результаты расчетов, отражающие относительное изменение эффективных упругих и прочностных свойств образцов (модулей сжатия ЕеВ и сдвига Geff, прочности на сжатие стс и на сдвиг тс) в зависимости от их размеров при различных видах механического нагружения, представлены на рис. 3. Для этих характеристик также получена нелинейная сходимость в рассматриваемом диапазоне изменения размеров образцов. Величины относительного отклонения Еег, Geff, стс и тс от соответствующих средних по группе величин £ег), (Се1г), (стс), (тс^) составляют 1.85, 0.94, 13.7 и 9.3 %, что не превосходит требуемого предела (3 и 20%) и достаточно для решения поставленной задачи.

Таким образом, показано, что пористые образцы со стороной h > 60 мкм являются представительными объемами рассматриваемой модельной среды на «микромасштабном» уровне. На основе полученных результатов стало возможным продолжение исследований на более высоком, макромасштабном уровне, при этом средние по группе значения (£е^ и ^стс) были приняты в качестве параметров функции отклика автоматов на этом масштабном уровне. Переход от упругого модуля, определяемого по рассчитанной диаграмме нагруже-

ния в условиях плоской деформации Епдс, к модулю Юнга осуществлялся на основе соотношения Е = Епдс X х(1 -V2) [10].

3. Проведение расчетов на макроуровне с неявным учетом неоднородности прочностных свойств

На макроуровне расчеты проводились на плоских квадратных «сплошных» образцах со стороной h = 6 мм. Диаметр автомата в соответствии с размером определенного представительного объема составлял 60 мкм.

Перенос информации о поровой структуре и определяемых ею эффективных прочностных и упругих свойствах материала с микромасштабного на макромасштабный уровень осуществлялся посредством использования для автоматов макроуровня функций отклика, определенных на основе расчетов для представительных объемов материала на микроуровне. Функция отклика автоматов макроуровня имела линейный вид, а ее параметры (максимальное значение удельной силы сопротивления и модуль Юнга) составляли 298 МПа и 46.8 ГПа при сдвиговом нагружении и 474 МПа и 45.23 ГПа при одноосном сжатии соответственно. Схема приложения механической нагрузки и предположение о виде напряженного состояния аналогичны используемым в задаче об определении представительного объема.

Рис. 4. Схема изменения параметров связей для двух из шести соседей одного автомата

Неоднородность прочностных свойств материала на макроуровне, обусловленная наличием соответствующих дефектов, а также неравномерным распределением пористости в образце на данном иерархическом уровне, учитывалась в модели путем изменения критерия прочности для двух из шести межавтоматных связей (по стохастически выбранным направлениям) для стохастически выбранных автоматов (рис. 4).

Параметрами, характеризующими эту неоднородность на макроуровне, являются доля автоматов £ модельного образца, для которой изменяется пороговое значение прочности межавтоматных связей ст, относительная величина его изменения ф для стохастически выбираемой связи отдельного автомата, а также количество таких связей N для этого автомата. В общем случае N = 1-6. Стоит заметить, что параметры ф и N имеют более локальный характер, чем £, поскольку относятся только к отдельным элементам, составляющим образец (клеточным автоматам), в то время как £ определяет количество таких элементов и, следовательно, характеризует образец в целом.

В работе моделировались четыре группы образцов, у которых величина £ составляла 1, 5, 10 и 15% соответственно, а N=2. Величина ф изменялась от -15 до +50 %. Каждая группа образцов содержала в себе три подгруппы по пять образцов с одинаковыми комбинациями изменения ст. Соответственно рассматривались три комбинации значений ф, при которых его величина составляла -10 и -10 %, -10 и 10 %, -15 и 50 % для первой и для второй стохастически выбранных межав-

томатных связей соответственно. Для удобства изложения далее будем называть эти подгруппы образцов первой, второй и третьей подгруппами. Выбор максимальных и минимальных значений ф при составлении этих комбинаций осуществлялся таким образом, чтобы суммарная прочность образца по всем связям в первой подгруппе была наименьшей, а в третьей — наибольшей, что соответствует трем различным материалам при фиксированном значении £. Для корректного исследования взаимосвязи степени неоднородности прочностных свойств образцов £ и их отклика на макроуровне необходимо сопоставлять между собой поведение образцов из одного материала. На языке модели это соответствует сопоставлению механического поведения серий образцов с одинаковыми комбинациями значений ф, но различными значениями £.

4. Проверка адекватности (верификация) модели

Обязательным шагом в построении любой модели механического поведения реального материала является проверка ее адекватности. Модель будем считать адекватной рассматриваемой пористой керамике, если результаты модельных расчетов удовлетворяют следующим критериям:

1) линейный вид диаграммы нагружения модельных образцов, характерный для пористых хрупких материалов;

2) качественное взаимное соответствие картин разрушения равновеликих макрообразцов с явным и неявным учетом поровой структуры;

3) попадание прочностных характеристик образцов в определенный интервал, найденный на основе приближенных оценок.

Типичные для всех модельных образцов диаграммы нагружения при различных способах приложения к ним механической нагрузки представлены на рис. 5. На диаграммах можно выделить несколько характерных участков. Первый, линейный участок соответствует упругому деформированию образца. Далее наблюдаются незначительный по протяженности восходящий участок со срывами кривой (соответствующий генерации и развитию отдельных повреждений по всему образцу) и

Рис. 5. Диаграммы нагружения модельных образцов со стороной к = 6 мм при одноосном сжатии (а) и сдвиговом нагружении (б); £ = 15 %

ниспадающий участок (соответствующий развитию макротрещины или системы макротрещин, а также генерации отдельных множественных повреждений). При сдвиговом нагружении (рис. 5, б) после перечисленных участков на диаграммах наблюдается также восходящий участок со срывами кривой и затем — еще один ниспадающий участок. В силу стесненных условий деформирования развитие системы макротрещин в образце соответствует именно этим участкам диаграммы, а первый ниспадающий участок соответствует единовременной генерации повреждений по всему образцу и их развитию без образования системы макротрещин.

Сравнение рассматриваемых диаграмм с соответствующими диаграммами хрупких пористых тел в условиях сдвига и одноосного сжатия [2, 8,11] показало их хорошее качественное соответствие. Таким образом, первый критерий адекватности модели на макроскопическом уровне, касающийся общего вида диаграммы нагружения материала, выполняется.

Непосредственная проверка выполнения второго критерия адекватности модели в настоящее время не представляется возможной. Это связано с огромными вычислительными затратами (в силу большого числа расчетных элементов и малого шага дискретизации по времени), требуемыми при явном учете поровой структуры материала в модели. В связи с этим для сравнения использовались результаты моделирования хрупких по-

ристых макроскопических образцов меньшего размера с явным учетом поровой структуры, взятые из [5-8].

Типичные для модельных образцов картины разрушения, отображаемые в виде сеток межэлементных связей, в момент образования в образцах макротрещин представлены на рис. 6. При одноосном сжатии (рис. 6, а, б) образцы разрушаются в результате развития в них несимметричной системы наклонных трещин по сопряженным направлениям, а при сдвиге — наклонных и горизонтальных трещин (рис. 6, в, г). В обоих случаях в образцах также имеет место генерация множественных отдельных повреждений вблизи трещин.

По характеру образовавшихся повреждений и макротрещин модельный материал с неявно учтенной пористостью 15% и неоднородным пространственным распределением прочностных свойств, соответствует как реальным [2, 3], так и модельным [8] хрупким пористым средам с малым значением пористости (5-10 %) при явном способе ее задания. Стоит заметить, что полного соответствия картин разрушения рассматриваемых модельных образцов и образцов с явными способами задания поровой структуры не может быть получено в принципе. Различия во внутренней структуре этих образцов в значительной степени определяют и различия в процессах, реализующихся в них при нагружении. При явном способе задания пор в модели присутствует свободный объем, а следовательно, и локальные гра-

Рис. 6. Картины разрушения образцов с одинаковыми комбинациями значений ф

диенты распределения массы, упругих и прочностных свойств. Кроме того, при этом реализуются процессы массопереноса, а пора «работает» и как концентратор, и как механизм релаксации напряжений, способствующий замедлению и остановке роста трещины. При неявном способе задания пор и изменении прочностных параметров межавтоматного взаимодействия для отдельных элементов образцы представляют собой однородный по распределению массы и упругих свойств материал, в котором отсутствуют процессы массопе-реноса, а «измененные» межавтоматные связи «работают» только как концентраторы напряжений. На основе изложенных соображений тот факт, что разрушение модельных макрообразцов качественно соответствует разрушению хрупких пористых сред, говорит о выполнении второго критерия адекватности модели.

Для проверки выполнения третьего критерия адекватности построенной модели интервал изменения прочности стс для групп образцов с одинаковыми значениями параметров £, ф и N определялся из следующих соображений. Верхняя граница интервала стстах соответствовала прочности макрообразца без «измененных» межавтоматных связей ст0 и равнялась 500 и 166 МПа для одноосного сжатия и сдвига соответственно. При удалении межэлементных связей у £ % автоматов, а также учете возможного изменения прочности представительного объема на 0 % нижняя граница интервала

определялась выражением

x(1 -Ц100)(1 -0/100).

Поскольку межавтоматные связи в модели не удаляются, лишь их прочность уменьшается на ф %, то прочность образцов ас должна изменяться в интервале астМ < <а < а

— ^с _ с max

Значения искомых ас ^ и ас тж, а также полученные в результате моделирования диапазоны изменения

Рис. 7. Интервалы изменения прочности модельных образцов с различными значениями параметров £ и ф, а также их верхние и нижние аналитические оценки при различных видах механического нагружения

прочности образцов стс для £ = 5 и 15% при сдвиговом нагружении и одноосном сжатии представлены на рис.7. Видно, что значения стс для всех образцов попадают в указанный интервал изменения прочности, а следовательно, выполняется последний критерий адекватности построенной модели.

5. Анализ возможностей разработанного подхода

На основе верифицированной модели исследованы возможности разработанного подхода по неявному учету различных степеней стохастической неоднородности распределения прочностных свойств £ в пористых средах.

Результаты расчетов показали, что при использованном в модели способе учета неоднородности пространственного распределения прочностных свойств эффективные упругие свойства Е&п, с изменением

£ практически не меняются. Эффективные прочностные свойства образцов стс, тс, безусловно, изменяются с изменением £, однако интервалы изменения прочности для групп образцов с одинаковыми комбинациями значений ф, но различными £ по большей части перекрываются (рис. 7). Таким образом, из множества образцов с одинаковыми значениями ф, но различными £ всегда могут быть выбраны образцы с одинаковыми или очень близкими значениями стс и тс.

Влияние параметра £ на характер разрушения рассматриваемых образцов исследовалось на основе анализа соответствующих им сеток межэлементных связей в момент образования в них системы макротрещин (рис. 6). Для более четкого выявления этих взаимосвязей рассматривались образцы с малым (5 %) и большим (15 %) значением параметра £. Выявлено, что с ростом параметра £ в образцах увеличивается количество локальных, не сливающихся друг с другом повреждений, а также макротрещин, проходящих «от края до края» образца, а их пространственное распределение становится более равномерным. При этом количество трещин, не развившихся до магистральных и уходящих внутрь образца, уменьшается. С уменьшением параметра £ наблюдается обратная тенденция. Кроме того, при малых значениях £ сдвиг образцов приводит к появлению внутри них горизонтальных макротрещин, в то время как в образцах с большими значениями параметра £ горизонтальные макротрещины образуются преимущественно у поверхностей приложения нагрузки (верхней) и фиксации (нижней).

Таким образом, изменение одного из модельных параметров £, определяющего степень неоднородности пространственного распределения прочностных характеристик по образцу, приводит к изменению картин разрушения модельных образцов при почти неизменных прочности и упругом модуле.

Стоит заметить, что прочность образцов Стс и \ сложным образом зависит от многих факторов, и в частности от распределения «измененных» межавтомат-ных связей по образцу, степени их изменения ф, их количества N для одного автомата, а также от ориентации этих связей по отношению к направлению нагружения. Так, образцы с одинаковыми значениями ф, N и £, но обладающие различным пространственным распределением «измененных» межавтоматных связей, характеризуются различными прочностными свойствами Стс и Тс. Таким образом, взаимосвязь данных параметров с поведением системы является достаточно сложной и требует дополнительного исследования. Однако анализ влияния только одного из этих параметров £ на механическое поведение системы уже дал интересные результаты, которые указывают на перспективность данного подхода по построению моделей керамики с неявным учетом пористой структуры на основе метода подвижных клеточных автоматов.

6. Заключение

На основе полученных результатов можно сделать вывод, что развитый в настоящей работе с помощью метода подвижных клеточных автоматов многоуровневый подход и разработанная соответствующая иерархическая модель позволяют адекватно описывать деформацию и разрушение пористых сред при механическом нагружении. Показано, что существующие в данном подходе способы учета неоднородности распределения прочностных свойств открывают широкие перспективы для многоуровнего описания пористых сред с иерархической структурой порового пространства.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ №№ 07-08-12179-офи, 08-08-12055-офи.

Авторы статьи выражают благодарность Шиль-ко Е.В., Кулькову С.Н. и Буяковой С.П. за внимание к работе и полезные замечания.

Литература

1. Global Roadmap for Ceramics: Proceedings of 2nd International Congress on Ceramics (ICC2) / Ed. by A. Belosi, G.N. Babini. - Verona: Institute of Science and Technology for Ceramics, National Research Council, 2008. - 833 p.

2. Буякова С.П. Свойства, структура, фазовый состав и закономерности формирования пористых наносистем на основе ZrO2 / Дис. ... докт. техн. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2008. - 309 с.

3. Кульков С.Н., Буякова С.П., Масловский В.И. Структура, фазовый состав и механические свойства керамик на основе диоксида циркония // Вестник ТГУ. - 2003. - № 13. - С. 34-57.

4. Псахье С.Г, Остермайер Г.П., Дмитриев А.И., Шилько Е.В., Смолин А.Ю., Коростелев С.Ю. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физ. мезомех. - 2000. -Т.3. - № 2. - С. 5-13.

5. Коноваленко Иг.С., Смолин А.Ю., Псахье С.Г. Особенности дефор-

мации и разрушения хрупких пористых сред с различной морфологией пор // Изв. вузов. Физика. - 2005. - Т. 48. - № 6. - С. 2526.

6. Смолин А.Ю., Коноваленко Иг.С., Кульков С.Н., Псахье С.Г. О возможности квазивязкого разрушения хрупких сред со стохастическим распределением пор // ПЖТФ. - 2006. - Т. 32. - № 17. -С. 7-14.

7. Смолин А.Ю., Коноваленко Иг. С., Кульков С.Н., Псахье С.Г. Моделирование разрушения хрупких пористых сред с различной внутренней структурой // Изв. вузов. Физика. - 2006. - Т. 49. - № 3. -С. 70-71.

8. Коноваленко И.С. Теоретическое исследование деформации и разрушения пористых материалов медицинского назначения и биомеханических конструкций / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Томск: ИФПМ СО РАН, 2007. - 174 с.

9. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974. -312 с.

10. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. - М.: Наука, 1970. -568 с.

11. Гогоци Г.А. К вопросу о классификации малодеформируемых материалов по особенностям их поведения при нагружении // Проблемы прочности. - 1977. - №1. - C. 77-82.

Поступила в редакцию 17.11.2008 г.

Сведения об авторах

Коноваленко Игорь Сергеевич, к.ф.-м.н., мнс ИФПМ СО РАН, igkon@ispms.tsc.ru

Смолин Алексей Юрьевич, к.ф.-м.н., доцент, снс ИФПМ СО РАН, доцент ТГУ, asmolin@ispms.tsc.ru

Псахье Сергей Григорьевич, д.ф.-м.н., профессор, директор ИФПМ СО РАН, профессор ТГУ, зав. каф. ТПУ, sp@ispms.tsc.ru