Среднее горизонтальное перемещение упругого полупространства под прямоугольной областью нагружения от касательной нагрузки

МОДЕЛИРОВАНИЕ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

УДК 624.1 5:536.3

И.В. Наумов

СРЕДНЕЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОД ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТЬЮ НАГРУЖЕНИЯ ОТ КАСАТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Современные численные методы физико-математического моделирования основания под сооружениями имеют существенные недостатки. Отличие полученных с их помощью вертикальных напряжений от строгих решений в отдельных точках достигают до 30 %. По горизонтальным напряжениям неточность более существенная. По этим расчетам под прямоугольной площадкой, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, горизонтальные напряжения — сжимающие, с глубиной они уменьшаются до нуля. Считается, что глубже этой нулевой точки горизонтальных напряжений нет. В действительности горизонтальные напряжения, пройдя через нулевую точку, меняют свое направление и становятся растягивающими, возрастая до определенной глубины в зависимости от формы и размеров площадки нагружения [2]. А далее по мере увеличения расчетной глубины эти напряжения уменьшаются до нулевых значений. Формы и размеры площадки нагружения практически не влияют на напряжения, получаемые причисленных методах расчетов.

Наука давно стремилась к идеальному варианту физико-математического моделирования основания под сооружениями в виде бесконечного основания и получению конечных формул. Такие формулы получены в работе [2]. Однако формул для определения среднего перемещения от равномерно распределенной вертикальной и касательной нагрузки по прямоугольной площадке в виде конечного интеграла в этой работе не представлено.

Современные методы физико-математического моделирования очень сложны в использовании и труднодоступны проверке при сбоях

в программе. Эти программы моделируют лишь приближенно, причем ограниченный объем основания под сооружениями. Небольшим проектным организациям затруднительно их приобрести, освоить и проверить результаты расчета. Им нужны более простые и доступные формулы, полученные более строгим в теоретическом отношении решением и позволяющие проверить сбой программы простым тестовым расчетом. В предлагаемой статье получена формула для определения среднего горизонтального перемещения прямоугольной площадки нагружения от равномерно распределенной касательной нагрузки, направленной параллельно оси X.

В работе [2] рассматривалась задача по определению перемещений произвольной точки упругого полупространства от нагружения прямоугольной площадки равномерно распределенной касательной нагрузкой, направленной параллельно оси X:

ТЛ1 + К>

Г, x, И

у, х,

ДХ = -

Т+^г+С1"2^)

г г

2ке 1

г + г г1 + г)

ёхёу.

В результате выполнения интегральных преобразований получена формула в виде конечного интеграла

^ =

0 +

2яЕ

-Х21п

X, 1п

+

7, +

+у22 +

1х,2 + г,2 +

^Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование В'2010

+ 2

y2 ln

X, +^x{2 + y¡+z2

ух2+^х22 + y¡ +z2

-К 1п

x, +^xl2 + yl2 + z2 x2+^x22 + yl2 + z2

-z

arctg

r2x,

ф

z4x? + y¡ + z2

-

ф

ZJX^ + Y^+Z2

+z

arete

y2x2

Z^X22 + K22 + Z2

- arctg

y;x!

ф

Z^IX22 + 7,2 +Z2

-

X, 1п

72+Jx,2 + 722+Z2 jx+^x2 + y2+z2

-

Y2+^X22 + Y¡ +Z2 yx +^x22 + yl2 + z2

+z

arctg

y2z

xxy[x{2 + +z2

(

+ z

- arctg

- arctg

+ arets

у-,

ytz

x{,¡x2 + y2+z2 yi z

x2^x^ + y¡ +z2

ytz

x2*jx22 + y{2 +z2

Y,

Y2

-arctg ^ + arctg —- + arctg - arctg

Y,

X

X

X,

X

2 У

При Z = 0 представленная выше формула принимает следующий вид:

9с = ^ +

2яЕ

-х2ы

X, 1п

y2+jx2 + y2

yx+4x? + Y?

kyx+4x2 + y2)

+ 2

К21)1

x, +jx2 + y2

é

-i

кх2+^х2 + y^ у

-

ф

x,+jx2 + y2

^ Х2 + ^

-(1-2

А', 1п

y2+jx2 + y2

y+jxi2 + y2

-x2ln

y2+^x2 + y2

y{+4x2 + y2

Эта формула позволяет рассчитать перемещения в произвольной точке под прямоугольной площадкой. ПеременныеУ2определяют положение точки относительно сторон площадки, где вычисляются перемещения (см. рис. 1).

Воспользовавшись представленной выше формулой, можно получить среднее горизонтальное перемещение под жестким прямоугольным фундаментом от равномерно распределенной касательной нагрузки тх, направленной параллельно оси X:

1

xz^—j^dxdy.

ав о

Выразим Х{,Х2, Y{ и У2 через х, \\ а и Ь (см. рис. 1):

Хх = а — х; Х2 = — (а + х); У2 = Ь — у: ^ = -(Ь + у). Введем эти переменные под интеграл:

ДУ = х

ср 2авке

2 Ъ

Х2

а

х.

г,

2 сГ

Схема площадки нагружен ия

а Ь

и

-а-Ь

+ 2(а + х)1п

+2

(б + .у)1г

Ь-у+^(а-х)2 +(Ь-у) -(Ь + у) + у1(а-х)2 + (Ь + у)2

Ь-у + у1

а-х + ^

-(й + .у)1п

(а-х )1п

-(а + х) + у!(а + х)2 + {ь-у)'

а-х + ^(а-х) + (ь+ у) -(а + х) + ^(а + х)2 +[Ь + у)2

2пЕ 2пЕ

Ь-у + у!

-(а + х )1п

Ь-у + ^1

а Ь

+ х Л (й-х)1п

с1хс1у =

от*

авпе

-а-Ь

-(а+х)1п

-{ь-у)ы

~{Ь+у)\ г

Ь-у + ^

Ь-у + ^(а + х)2 +(Ь-у)2 -(+ у) + ^(а + х)2 + ( + у)2 ;

а-х + ^

а-х + ^

+

2пЕ

(а-х )1п

(а + х) + у!(а + х)) +(Ь + у)'

Ь-у + ^(а-х )2+(Ь-у ) ^ -(Ь + у) + ^(а-х ) +(Ь + у)2

+(а + х)1п

Ь-у + у1(а + х)2+(Ь-у)2 ~{Ь + у) + ,](а + х)2 + (Ь + у)2

с\хс\у.

а Ь

II

-а-Ь

Конечные интегралы получены в работе [3]: Ь-у+^а-х)1 +{ь-у)2

(а-х)1п

-{ь+у)+^

скйу =

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование В'2010

— а3 --Ь3 -АаЧ^+АЬ1 + -{4а2 +

3 3 Ч V /

+ 51п

а+4а

2 + в2

-а+4а

2 + в2

+ 4а2Ып

2Ь + <Д

а2 +4 Ь2

-2Ь + ^а2 +<\Ь2

а А

I К^1"

-а-Ь

Ь-у + ^(а+х)2 +{Ь-у)2 ~{Ь+у) + ^(а+х)г +{Ь+у)2

с1хс1у =

Ль3 + |(4а2 + 462)^ -4а2л/4а2+462 + 2Ь + ^4а2 + \Ь2

16 , 8 л 1

= — а —Ь +3 3 3

+

-2Ь + ^а2+АЬ2

а Ь

1

-а-ь

а-х + ^а-х)' +{Ь-у)'

~(а + х) + ,!(а + х)~ + (Ь-у)'

3 3 3^ >

йхйу =

-АьЧ<\а2+АЬ2 +\аЬ21п

+

-2а+^а2+АЬ2

а Ь

{ Д^У11

-а-ь

а-х + ^(а-х)' +(Ь+у)'

-

2/2 -

3 3 '

сЬсйу =

-4ьЧ4а2+4Ь2 +4 аЬ21п

+ 44а2+462

-2а+^а2 +4 Ь2

зав

-р

Аъ + Въ-\^2 + В2

+

Просуммировав, получим для площадки на-гружения со сторонами а = 2а, в= 2ь.

^2^ ср пЕ

а 1п

-в+^а2 + в2

АВ2пЕ

4

3

+51п

Г А + 4А2 + В2 Л -а + ^а2+в2

кЕ

+

аы

в+4а2 + в2

-в+<!А

2 + в2

а+4а2 + в2 -а+4а2 + в2

зав

-р

Л3 + Я3-(7л2 + Я2

авке

\2вг-а3-звча2 +в2 +(а2+в2у

+-ВЫ

2

(

+

+

-а+4а

+

X1+к>1

пЕ

+

а 1п

в+4а2 + в2

-в+4а2 + в2

+

+

-А+и+!2

зав

-р

аг + вг- ца 2 + в2

кЕ

и^2{2в2-а2)-{2в>-л)

зав

+

а+4а2+в2 -а+4А2+В2

Полученная формула для средних горизонтальных перемещений после незначительных преобразований, представленных в [3], приводится к виду

а 1п

в +

гв

2+а2

+ 51п

в

+ ц

зав

в 1п

а+^а2 + в2 в

зав

Формула среднего перемещения под площадкой, нагруженной равномерно распределенной касательной нагрузкой, которая направлена параллельно оси X, совпадает с решением, полученным Ф. Фогтом [1]. Совпадение средних горизонтальных перемещений позволяет сделать вывод о правильности формулы для определения

перемещений в произвольной точке под прямоугольной площадкой нагружения.

В статье показано, как в расчетных формулах перемещений и напряжений под прямоугольной площадкой, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, можно перейти от подвижных декартовых систем координат к неподвижным координатам. Расчеты, произведенные по формулам, представленным в работе [2], говорят о том, что ограниченный объем моделируемого основания под сооружениями, принимаемый ориентировочно, может привести к существенным ошибкам. Лучше воспользоваться конечными формулами вертикальных и горизонтальных напряжений [2], определить глубину, где напряжения будут близкими к нулю, и назначить по ним объем моделируемого основания. За пределами фундамента сооружений напряжения лучше определять также по указанным формулам по причине того, что численные методы не соответствуют строгому решению объемной задачи теории упругости.

Для правильного проведения фундаментных работ нужно знать, какие напряжения в месте строительства нового объекта возникли от ранее построенных сооружений. Разрушение старых сооружений вызывает ослабление напряжений под оставшимися домами, приводя к неравномерным осадкам под ними, что в свою очередь приводит к многочисленным трещинам в них.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фогг, Ф. О расчете деформации фундаментов |Текст| / Ф. Фогт; ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. / ОППНТИ НТВ, Перевод № 911,- 1973.

2. Наумов, И.В. Определение напряженно-деформированного состояния упругого полупространства от произвольной нагрузки [Текст]: дисс.

... канд. техн. наук / Иван Васильевич Наумов,— 2009,- 122 с.

3. Наумов, И.В. Средняя осадка упругого полупространства под прямоугольной областью нагружения |Текст] / И.В. Наумов // Научно-тех. ведомости СПбГПУ,- 2009. № 4 (89). Т. 2,- С.163-172.

УДК 681.5

С.О. Барышников, СЛ. Куликов

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В СУДОРЕМОНТЕ ПРОМЫШЛЕННЫМ РОБОТОМ

Промышленные роботы и манипуляторы на- ях. Они используются для выполнения сложных ходят широкое применение на отечественных су- технологических операций, обеспечения высо-достроительных и судоремонтных предприяти- кокачественной тепловой резки металлов, про-