О типичных однородных векторных полях на плоскости

УДК 517.925

DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-2

В. Ш. Ройтенберг

О ТИПИЧНЫХ ОДНОРОДНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЯХ НА ПЛОСКОСТИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Для приложений математики представляет интерес изучение динамических систем с симметрией. В статье рассматриваются векторные поля на плоскости, компоненты которых являются однородными функциями натуральной степени n. Их фазовые портреты инвариантны относительно группы растяжений плоскости. Целью работы является описание открытого и всюду плотного множества в банаховом пространстве HF^ одно-

2

родных векторных полей степени n , класса C в R \{0} (r > 2, n > 2).

Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, функционального анализа и проективной геометрии. Результаты и выводы. Вводится понятие грубого векторного поля

X е HF^, топологическая структура фазового портрета которого не меняется

при переходе к векторному полю, достаточно близкому к X в HF^ . Получены необходимые и достаточные условия грубости. Показано, что грубые однородные векторные поля типичны: они образуют в пространстве HF^ открытое всюду плотное множество.

Ключевые слова: однородное векторное поле на плоскости, грубость, особая точка, сепаратриса.

V. Sh. Roytenberg

ON GENERIC HOMOGENEOUS VECTOR FIELDS ON THE PLANE

Abstract.

Background. For applications of mathematics, it is of interest to study dynamical systems with symmetry. We consider vector fields on the plane whose components are homogeneous functions of natural degree n. Their phase portraits are invariant with respect to the group of extensions of the plane. The aim of this paper is to describe an open and everywhere dense set in a Banach space HF^ of homogeneous vector fields of degree n and class C in

R \{0} (r > 2 , n > 2 ). Materials and methods. We use the methods of the qualitative theory of differential equations, functional analysis, and projective geometry.

Results and conclusions. The concept of a structurally stable homogeneous vector field is introduced, the topological structure of the phase portrait of which does

not change when passing to a vector field sufficiently close to X in HF^ . Necessary

© 2018 Ройтенберг В. Ш. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

and sufficient conditions for structural stability are obtained. It is shown that structurally stable homogeneous vector fields are generic: they form an open everywhere

dense set in the space HFr .

Key words: homogeneous planar vector field, structural stability, singular point, separatrixes.

Введение

Однородным векторным полем степени n е N и класса Cr (r > 2) на 2

плоскости R будем называть векторное поле вида

X

2 2

где P: R ^ R и Q : R ^ R - однородные функции степени n, т.е. такие, что

VX е R P(Xx, Xy) = XnP(x, y), Q(Xx, Xy) = XnQ(x, y), 2

принадлежащие классу Cr в R \{(0,0)}.

Множество таких векторных полей обозначим HF^. Хотя в дальнейшем мы этим пользоваться не будем, отметим, что при r < n функции P и Q имеют непрерывные производные до n -го порядка включительно и в точке O = (0,0) (равные нулю в этой точке). Множество HF^ имеет естественную структуру линейного пространства. Определим в нем норму, положив

1X1 := mx max{|P(x,y)|,| Q(x,y)|,

x2 + y 2 =1

С такой нормой HF^ является банаховым пространством. Обозначим

HPn - подпространство HF^, состоящее из векторных полей, компоненты которых являются однородными многочленами степени n .

Фазовый портрет векторного поля X е HF^ инвариантен при растяжениях (x,y) ^(Xx,Xy), X>0 . Кроме того, он естественно продолжается на круг Пуанкаре и на проективную плоскость.

В работах [1-4] изучались грубые полиномиальные векторные поля на круге Пуанкаре и на проективной плоскости, а также их бифуркации. В настоящей работе мы с аналогичных позиций рассмотрим однородные векторные поля.

1. Траектории однородных векторных полей

в круге Пуанкаре и на проективной плоскости.

2

Компактифицируем R двумя способами - вложив в круг K и в про-

2 3

ективную плоскость RP . Рассмотрим в R гладкое подмногообразие - по-

лусферу K := {(X, У, 2) е R3 | X2 + У2 + 22 = 1, 2 > 0}. Она естественно отож-

2 2 2

дествляется с кругом Пуанкаре K = {(X, У) е R | X + У < 1}. Окружность

дK = {(X,У,2) е K | 2 = 0} = {(X,У) е K | X2 + У2 = 1}

2

называется экватором. Будем считать, что R отождествлено с K\дK посредством отображения (X, У, 2) ^ (х, у) = (X / 2, У / 2).

Пусть S1 := R / 2лЖ . Диффеоморфизм

Z :[0,~)х S1 ^ K \ {O}, Z(r, ф):= (X,7) =

(  \ cos ф sin ф

4l + r2 л/ъ

где

вводит в K\{O}, цилиндрические координаты r, ф . Координаты (х, y) точки

Т. 2 1 г™ , cos ф

из R \ {O} выражаются через координаты r, ф по формулам х =-,

r

sin ф

y =-, поэтому

r

X = R (r, ф)Э / dr + Ф* (r, ф)Э / Эф,

R (r, ф) = -r2-n [P(cos ф, sin ф) cos ф + 2(cos ф, sin ф) sin ф] ,

Ф* (r, ф) = r1-n [Q(cos ф, sin ф) cos ф - P(cos ф, sin ф) sin ф] . Векторное поле

X = —Л

Я

Ф

определено в K \ {O} и имеет в R \{O} = K \ ЭК \ {O} те же ориентированные траектории, что поле X . В точках экватора (r = 0) векторное поле X касается экватора. Поэтому он состоит из траекторий поля X. Траектории

2 — I

векторных полей X в R и X дк назовем траекториями векторного поля

X в K . На траекториях, отличных от особых точек, векторные поля X и X задают ориентацию, совпадающую на общих траекториях. Траектории, принадлежащие экватору, будем называть бесконечно удаленными.

Отождествив диаметрально противоположные точки экватора, получим

2

из K проективную плоскость RP . Поскольку

Уф Д

где

то траектории векторного поля X в K при этом перейдут в траектории

2

векторного поля X в RP . При четном п согласованную ориентацию на них задать нельзя.

2. Бесконечно удаленные особые точки. Бесконечно удаленный предельный цикл

Пусть 5° - бесконечно удаленная особая точка векторного поля X с координатой ф = ф° . Тогда ф° является нулем функции Ф(ф). В точке 5° матрица линейной части поля X в координатах r, ф диагональна:

A = diag(-R(фо), Ф'(ф°)). Хотя точка 5° находится на крае K , мы будем для нее пользоваться той же терминологией, что и для внутренних особых точек.

Точка 5° - гиперболическая особая точка поля X, если диагональные элементы (собственные значения) матрицы A ненулевые. Если они одного зна-

0 о Т7 о

ка, то 5 - узел, если противоположных знаков, то 5 - седло. Если 5 - сед-

2

ло и R^o) > 0 (R^o) < 0), то прямая на плоскости R , задаваемая уравнением ф = ф° , является входящей (выходящей) сепаратрисой седла 5° .

Если Ф

это возможно только при нечетном n . Если характеристический показатель 2п

h = -f R(^ dфФ °, то ЭК - гиперболическая замкнутая траектория -

° Ф

устойчивый (неустойчивый) предельный цикл при hФ(ф) < ° (hФ(ф) > °).

3. Особая точка O

Точка O = (°, °) - особая точка векторного поля X е HF^ . В полярных координатах р, ф (x = р cos ф, y = р sin ф) получим

X = рп"^(ф)Э / Эр + рп-2Ф(ф)Э / Эф,

где R^) и Ф(ф) - функции, определенные формулами (2) и (3). Векторное поле X = рR(ф)д / Эр + Ф(ф)д / Эф можно считать определенным в кольце

1 12 R х S . Обозначим p: R х S ^ R отображение, ставящее в соответствие

12 точке (р, ф) е R х S точку (x, y) = (р cos ф, р sin ф) е R . Его ограничение на

(°, го) х S1 является диффеоморфизмом, переводящим ориентированные траектории поля X в ориентированные траектории поля X . Особые точки поля

X, принадлежащие {°} хS1, имеют координату ф, являющуюся нулем функции Ф(ф).

Точку O = (°, °) для поля X назовем элементарной, если: а) либо поле X имеет особые точки, причем все они являются гиперболическими: если Ф(ф°) = °, то Ф'(ф°) Ф °, R^°) Ф °;

б) либо окружность {0} xS1 является гиперболической замкнутой тра-

2п )

екторией поля X : ^ф Ф(ф) Ф 0 и И = - Г —— ёф Ф 0 .

0 Ф

Отметим, что это равносильно тому, что либо все бесконечно удаленные особые точки являются гиперболическими, либо дK - гиперболическая замкнутая траектория. В случае (б) точка О является устойчивым (неустойчивым) фокусом при ИФ(ф) > 0 (ИФ(ф) < 0). Если О - элементарная особая

2

точка поля X, то других особых точек в R поле не имеет. Если ^0 - седло поля X с координатой ф0 и Л(ф0) > 0 (Л(ф0) < 0), то уравнение ф = ф0 (р > 0 ) задает выходящую (входящую) сепаратрису 50 . Соответствующую траекторию поля X будем называть входящей (выходящей) сепаратрисой особой точки О . Ясно, что не существует траекторий, являющихся и выходящей (входящей) сепаратрисой точки О, и входящей (выходящей) сепаратрисой бесконечно удаленного седла.

4. Основные результаты

Векторное поле Xo е ШБП назовем грубым в K (в RP2) если существует такая его окрестность и (Xo) в , что для любого векторного поля

2 2

X еи^0) существует гомеоморфизм Иx : K ^ K (Иx : йР ^ йР ,

2 2 2 Иx (й ) = й ), переводящий траектории поля X в K (в RP ) в траектории

поля X,) в К (в йР2).

Заменив в этом определении пространство ШРГ на ШРп , получим определение векторного поля Xo е ШРп грубого в К

множество векторных полей из

ШРГ (ШРп ), удовлетворяющих одному из двух следующих условий:

1) имеются бесконечно удаленные особые точки и все они гиперболические;

2) дК - гиперболическая замкнутая траектория. Орбитно неустойчивыми траекториями поля

X еГ [5] являются

в случае (1) все особые точки и их сепаратрисы, включая, сепаратрисы, принадлежащие дК, а в случае (2) точка О и дК . Множество орбитно устойчивых траекторий разбивается на связные компоненты - ячейки. Возможные

2

типы ячеек изображены на рис. 1. Ячейка представляет собой область в й , расположенную между лучами ф = ф0 и ф = ф1, где ф0 < ф - два соседних нуля функции Ф с добавленной к ней в случае гиперболической ячейки дуги экватора. Под действием центральной симметрии (х, у) ^ (—х, — у) каждая ячейка переходит в ячейку, при этом траектории переходят в траектории с сохранением (сменой) ориентации на них, если п нечетно (четно).

а)

в)

г)

Рис. 1. Типы ячеек: а - эллиптическая; б - гиперболическая; в - параболическая; г - цилиндрическая

Теорема. 1. Множество ^Н^ (£°НРп) открыто и всюду плотно в Н^П (НРп ). 2. Множество векторных полей из Н^ (НРп), п > 2, грубых в К [грубых в ЯР2 ], совпадает с множеством Х°НРП (^°НРп ).

Доказательство теоремы для пространства Н^П дано в разд. 5, 6. Для пространства НРп оно такое же; надо только заменить везде Н^П на НРп .

Замечание. В определении Андронова - Понтрягина [6] грубости векторных полей на плоскости от сопрягающего гомеоморфизма Их требовалась близость к тождественному гомеоморфизму. Для рассматриваемой ситуации это означает, что Их - тождественный гомеоморфизм, а отображение

X ^ Нх непрерывно в «точке» Х°. Из приведенного ниже доказательства

следует грубость уравнений из Е° и в таком варианте.

5. Плотность Е°

Пусть и (Х°) - произвольная окрестность поля Х° = Р Э / Эх + Q д / ду е НРП \ . Мы должны доказать, что существует векторное поле XеХ° пи(Х°). Для поля Х° возможны следующие варианты:

А) ЭК - негиперболическая замкнутая траектория.

Б) Имеется негиперболическая бесконечно удаленная особая точка.

В случае (А) рассмотрим векторное поле

№ 2 (46), 2018 Физико-математические науки. Математика

Xц = (Р — ц0д / дх + (б + цР)д / ду .

Выберем 5> 0 так, чтобы Xц е и(Xo), если <5 . Соответствующее Xц векторное поле X¡1, определенное в разд. 3, имеет вид

Xц = —г (Я(ф) — цФ(ф))д / Эг + (Ф(ф) + мЛ(ф))д / дф,

а соответствующий характеристический показатель -

2П

= —Г *(ф) — цФ(ф)) ёф. ^ 0 Ф(Ф)+Ц^(Ф) у

2п 2 2

Так как И'(0) = Г ^ (ф),+ Ф (ф) ёфФ 0, то при достаточно малом

0 Ф 2

ц е (0,5) И(ц) Ф 0 , потому Xц еЕ0 п и(X0). В случае (Б) рассмотрим векторное поле

Xa,в,Y = Ра,р,Тд / дх + ба,р,Тд / дУ е ШрпГ ,

где Ра,р,у(х,у) = Р(х,у) — ауп — ухп , ба,р,т(х,у) = б(х,у) — рхп .

Выберем 5>0 так, чтобы Xа,p,yеU(Xo), если |а| < 5, в <5,|у|<5. Соответствующее Xа р у векторное поле:

Xа,р,у = —г^а,р,Т(ф)д / дг + Фа,р,у (ф)д / дф,

где

Ra,p,T (ф) = Л(ф) - (a sin" фcos ф + Р sin фcos" ф + у cosn+1 ф);

Фа,р,т (ф) = Ф(ф) + (a sin "+1 ф - в cosn+1 ф + у sin ф cos" ф). Выберем a е (0,5) так, чтобы Ф a 0 0 (п /2) = Ф(п /2) + a Ф 0 , Фа 0 0 (-п / 2) = Ф(-п / 2) + (-1)n+1 a Ф 0. Тогда найдется такое се (0,п/ 2), что

Фa,0,0(ф) Ф0 для фе [-п/2, -п/2 + с]и[п/2-с, п/2 + с]. Выберем теперь столь малое 51 е (0,5), что

ФоД y

Рассмотрим функцию ^(ф)=Фао o(9)/cosw+1 ф, фе [-п/2+с, п/2-а].

Поскольку Фа,р,о(ф) = Фа,0,0(Ф)-рcos^1 ф, то ^(ф) =Р^Фа,р,о(Ф) = 0. По теореме Сарда [7] существует некритическое значение во е (0, ôi ) функции F(ф), т.е. если F(ф) =в0, то ^'(ф) Ф 0. Но при F(ф) =в0 имеем

Фа,0,0 (ф) = в0 cosw+1 ф, и потому

F'(ф) = [Ф'а,0,0 (ф)cos"+1 ф - Фа,0,0(ф)(^и+1 ф)'] / cos2(w+1) ф =

=[Ф'а,0,0(ф) -в0 (cos-(n+1) ф)'] / cosn+1 ф = Ф'а,р0,0(ф)/ cosw+1 ф. Следовательно, при фе[ - п / 2 + а, п / 2 - а]

Фа,р0,0

Так как Фар0(ф + п) = (-1)и+1Фа р0(ф), то (7) будет верно и для фе D := [-п/2 + а, п/2-а] и [ п/2 + а, 3п/2-а]. Выбрав достаточно малое Ô2 е (0,01 / 3), вследствие (6) и (7) будем иметь Фар у (ф) Ф 0, если

Фа,р,у(ф) = 0, фе D , ре (р0-Ô2,Р0 +Ô2), уе (0,Ô2), и потому все нули у Фа,р,у (ф) простые.

Так как бару(cosф^тф) = Q(cosф,sinф)^cos"ф, а cos"ф>0 при фе D , то, используя, как и выше, теорему Сарда, получим, что для некоторого ре (р0 -Ô2, р0 +Ô2) Qaр у (cos ф,sin ф) имеет простые нули, не зависящие от у. Фиксируем такое р. Поскольку

Ра,р,у (cos ф, sin ф) = Ра,р,0 (cos ф, sin ф) - у cos" ф,

то аналогично получаем, что при достаточно малом У0 е (0, Ô2) Ра р y0 (cos ф, sin ф) будет иметь только простые нули на D, и потому их число конечно.

Предположим, что Ра р у0 (cos ф, sin ф) и Qa р у0 (cos ф, sin ф) имеют на D общие нули. Так как нули P^y^cosф^тф) простые, а Уфе D Ра р у (cos ф^ш ф) > P^y^cos ф,sin ф), если 0 <У<У0, то при у достаточно близком к У0 Ра р у (cos ф^т ф) имеет нули, не совпадающие с нулями Ра р у0 (cos ф,sin ф), а потому и с нулями Qa р у (cos ф^т ф). Таким образом, всегда существует такое уе (0, Ô2), при котором Ра р у (cos ф^т ф) и Qa р у (cos ф^т ф) не имеют общих нулей на D. Но тогда Фару (ф) и

Ra р у (ф) не имеют общих нулей. Поэтому Xa р у еХ0 п U(X0). Тем самым плотность Х0 в HFn доказана.

6. Открытость X0 . Необходимые и достаточные условия грубости

Пусть векторное поле Xq = P д / дх + Q д / dy е HF^ - грубое в K , U ( Xq) - окрестность поля Xq, фигурирующая в определении грубости. Тогда любые два векторных поля из U(Xq) топологически эквивалентны: существует гомеоморфизм K ^ K, переводящий траектории одного поля в траектории другого.

Докажем, что Xq е X0 . Предположим, что это не так: Xq е HFr \ X0. Рассмотрим, как и в разд. 5, случаи (А) и (Б).

В случае (А) характеристический показатель h = 0, и из (2) следует, что все траектории поля X замкнутые. Как показано в разд. 5, в U(Xq) есть векторное поле Хц, для которого характеристический показатель h(^) Ф 0, и потому траектории Хц , отличные от экватора, незамкнутые. Но

это противоречит тому, что в U ( Xq ) все векторные поля топологически эквивалентны.

Рассмотрим случай (Б). Тогда либо (Б1) функция Ф имеет нуль фо, в котором Ф'(фо) = 0, либо (Б2) все нули Ф простые и существует нуль фо , в котором и Д(фо) = 0. Без ограничения общности можно считать в обоих случаях фо = 0 . Действительно, поворот плоскости на угол -фо индуцирует

изоморфизм пространства HFr, переводящий векторное поле Xq в грубое

векторное поле Х * =—гR*д / дг + Ф*д / дф, где R* (ф) = Л(ф-фо),

Ф* (ф) = Ф(ф — фо) и мы можем вместо поля Xq рассматривать поле Х *. В случае (Б1) рассмотрим поле

ХХ ц у = Х0 — (Xxn—1 y + цуп )д / дх + vxnд / дх е HFnr.

Ему соответствует векторное поле

X^,v = —г\цу (ф) д / дг + Фх,ц,у (ф) д / дф ,

где (ф) = Ф(ф) + ^sin2 ф cosn—1 ф + цsinn+1 ф + v cosn+1 ф .

Выберем 5> 0 так, что если < 5, |ц| <5, |v| <5, то Х^ ц v е U(Xq) . Выберем ^е (0,5) так, чтобы Ф^цо(О) =Ф"(0) + 2^Ф 0. Так как при этом Фя,цо(0) =Ф^1цо(0) = 0, то найдутся такие ае (0, п /2) и 51 е (0,5), что Ф^ цо(ф) Ф 0 при фе [—а,а] \ {0} и |ц| < 51. Используя теорему Сарда, получаем, что ц е (0,51) можно выбрать так, что все нули функции Ф^ ц q (ф), принадлежащие [—п/2, —а] и [а, п /2], простые. При достаточно малом v е (—5,5) число нулей у Ф^ ц v (ф) на [—п /2, — а] и [а, п / 2] то же, что и у

Ф^,ц,о(ф). При vФx,ц,о (0) > 0 Ф^,ц,v (ф) =Ф^,ц,о(ф) +vcosn+1 ф> 0 для всех фе [—а,а]. Таким образом, на отрезке [—п/2, п/2], а потому и на всей

окружности S1, функция Ф^ ^ v (ф) имеет меньше нулей, чем функция Ф^ ц 0 (ф) • Соответственно поле X^ ц v имеет меньше особых точек, чем поле X^ ц о, и потому они не топологически эквивалентны, в противоречии с тем, что они принадлежат U(Xo).

В случае (Б2) рассмотрим векторное поле

Xа,р,у = / dx + 6a,p,Td / dy е HF«r ,

где ^a,p,T(x,y) = P(x,y) + axn-1y + yrn +pxyn-1, Qa,p,y(x,y) = Q(x,y) + pyn и соответствующее векторное поле Xapy=-r^apy(ф)Э/dr + Фару(ф)Э/Эф, где

Ra р,т (ф) = R(ф) + (а sin ф cosn ф + в sinn-1 ф + у cosn+1 ф);

Фа,р,т (ф) = Ф(ф) -asin2 фcosn-1 ф - у sin фcosn ф.

общие нули только ф = ^, т.е. все бесконечно удаленные особые точки ги-

0 п

перболические, кроме точки S с координатой ф = 0 и точки S с координатой ф = п. При достаточно малом 51 е (0,5) Ууе (-51,5^\{0} у векторного поля Xa р у все бесконечно удаленные особые точки будут гиперболическими, на дугах экватора с координатами фе [-a,a] и фе [-a + п,a + п] имеется

по единственной особой точке S0 и Sп, причем ввиду (5) S0 и Sп имеют одинаковый тип (седло или узел), число седел вне этих дуг одинаковое. Так

0 п

как Ra^y(0^,р,-у(0) <0 (Да,р,т(п)Ra^-y(п) <0), то точка S (S ) будет

иметь разный тип для векторных полей Xa р у и Xa р . Следовательно,

векторные поля Xa р у и Xa р -у имеют разное число седел на экваторе и

потому не топологически эквивалентны в K . Это противоречит тому, что векторные поля из выбранной окрестности U (X0) должны быть топологически эквивалентны.

Таким образом, предположение, что грубое в K поле Xq е HF^ \ i0

приводит к противоречию, поэтому Xq е i0 .

2 0

Поле, грубое в RP , является грубым и в K , а потому принадлежит i .

Доказательство открытости i0 и грубости в K векторных полей Xq е i0 проводится аналогично доказательству в [7] открытости и грубости векторных полей, называемых в современной терминологии векторными полями Морса - Смейла [6]. Выбрав на K какую-нибудь метрику d(•,•) и задав

число е> 0 , следуя [7], можно найти окрестность U(Xq) и VXе U(Xq) , построить гомеоморфизм hx , фигурирующий в определении грубости, так, чтобы VMе K d(M,hx(M)) <£, что равносильно непрерывности отображения в Х ^ hx в Xq . Ввиду (5) гомеоморфизм hx можно сделать переводящим диаметрально противоположные точки 3K в диаметрально противоположные точки и потому задающим гомеоморфизм RP2 . Тем самым век-

0 2 торное поле Xq е i является грубым и в RP .

Теорема доказана.

Библиографический список

1. Ройтенберг, В. Ш. О типичных полиномиальных векторных полях на плоскости / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. - 2014. - № 4 (147). -С. 13-21.

2. Ройтенберг, В. Ш. Грубость полиномиальных векторных полей в окрестности экватора сферы Пуанкаре / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Костромского государственного университета. - 2014. - Т. 20, № 7. - С. 26-30.

3. Ройтенберг, В. Ш. О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. - 2015. - № 4 (171). - С. 22-29.

4. Ройтенберг В. Ш. О рождении предельных циклов полиномиальной системы из «бесконечности» / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.: Естественно-математические и технические науки. - 2017. -№ 1 (196). - С. 13-18.

5. Андронов, А. А. Теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. - М. : Наука, 1966. - 568 с.

6. Андронов, А. А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. - М. : Наука, 1967. -487 c.

7. Хирш, М. Дифференциальная топология / М. Хирш. - М. : Мир, 1979. - 280 с.

References

1. Roytenberg V. Sh. Vestnik Adygeyskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bulletin of Adyg State University. Series: Natural, mathematical and engineering sciences]. 2014, no. 4 (147), pp. 13-21.

2. Roytenberg V. Sh. Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Kostroma State University]. 2014, vol. 20, no. 7, pp. 26-30.

3. Roytenberg V. Sh. Vestnik Adygeyskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bulletin of Adyg State University. Series: Natural, mathematical and engineering sciences]. 2015, no. 4 (171), pp. 22-29.

4. Roytenberg V. Sh. Vestnik Adygeyskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bulletin of Adyg State University. Series: Natural, mathematical and engineering sciences]. 2017, no. 1 (196), pp. 13-18.

5. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. I., Mayer A. G. Teoriya dinamicheskikh sistem vtorogo poryadka [Theory of dynamic systems of second order]. Moscow: Nau-ka, 1966, 568 p.

6. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. I., Mayer A. G. Teoriya bifurkatsiy dinamicheskikh sistem na ploskosti [Theory of dynamic system bifurcation on the plance]. Moscow: Nauka, 1967, 487 p.

7. Khirsh M. Differentsial'naya topologiya [Differential topology]. Moscow: Mir, 1979, 280 p.

Ройтенберг Владимир Шлеймович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет

E-mail: vroitenberg@mail.ru

Roytenberg Vladimir Shleymovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Yaroslavl State Technical University

УДК 517.925 Ройтенберг, В. Ш.

О типичных однородных векторных полях на плоскости /

В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2°18. - № 2 (46). - С. 15-26. Б01 10.21685/2072-3040-2018-2-2.