РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПЕРВЫМ ИНЖЕНЕРАМ РОССИЙСКОЙ ИМПЕРИИ ПО УЧЕБНИКАМ МАЮРОВА А.И. И СЕВАСТЬЯНОВА Я.А.

2. Вапник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов. — М.: Наука, 1974.

3. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.

4. Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. — Springer, 2001. ISBN 0-387-95284-5.

5. Савчук В. П. Байесовские методы статистического оценвания -М.: Наука, 1989. - 328 с.

6. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии / Зельнер А.; пер. с англ. Г. Г. Пирогов и Ю. П. Федоровский -М.: Статистика, 1980. - 438 с.

7. Теория вероятностей: учебник для втузов / Печинкин А. В., Тескин О. И., Цветкова Г. М. [и др.]; ред. Зарубин В. С., Крищенко А. П. - 3-е изд., испр. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 455 с. : ил. - (Математика в техническом университете. Комплекс учебников из 21 выпуска ; вып. 16). - Библиогр.: с. 446-447. - ISBN 5-7038-2485-0.

8. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов / Фукунага А. -М.: Наука 1979. - 368 с.

9. Дж. Ту, Горсалес Р. Принципы распознавания образов. -М.: Мир 1978. - 411 с.

10. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. -М.: Мир 1976. - 511 с.

Vladimir A. Pankratov,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia ivankovpl@mail. ru Elena S. Tverskaya,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia e tverskaya@bmstu.ru

Bayesian decision theory as the basis of the statistical theory of pattern recognition

Abstract. The paper presents the theoretical material of a lecture course on machine learning. This information is a necessary minimum for further learning the course on the statistical theory of pattern recognition. The article proposes a Bayesian classification approach and confirms a Bayesian decision rule that minimizes the decision error and the risk function.

Key words: machine learning, supervised learning, classification, Bayes' theorem.

РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПЕРВЫМ ИНЖЕНЕРАМ РОССИЙСКОЙ ИМПЕРИИ ПО УЧЕБНИКАМ МАЮРОВА А.И. И СЕВАСТЬЯНОВА Я.А.

Аннотация

Статья посвящена двум оригинальным курсам аналитической геометрии, впервые изданным на русском языке в начале XIX века, «Вышняя геометрия в пространствах, или Приложение анализа к начертательной геометрии: С изложением теории дефилирования крепостных строений» Маюрова А.И. (1817) и «Начальные основания аналитической геометрии» Севастьянова Я.А. (1819). Оба автора являлись преподавателями Института корпуса инженеров путей сообщения. Изучается различная методика преподавания аналитической геометрии будущим инженерам.

Ключевые слова

аналитическая геометрия, методика преподавания, история образования, Институт корпуса инженеров путей сообщения, высшая школа, инженерное образование, Маюров А.И., Севастьянов Я.А.

АВТОРЫ

Птицына Инга Вячеславовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва inpt@mail.ru

Бахтиярова Ольга Николаевна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва olga-bakh06@mail.ru

Птицына Елена Владимировна,

студентка ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», г. Москва elena-pt@yandex. ги

Введение

Первым учебником по аналитической геометрии на русском языке считается учебник «Начальные основания аналитической геометрии» (Севастьянов, 1819), изданный в 1819 году выпускником и преподавателем Института корпуса инженеров путей сообщения Севастьяновым Яковом Александровичем (1796-1849). Несмотря на молодость автора (в год выпуска учебника ему было 23 года) книга являлась его собственным учебным курсом, а не переводом иностранного учебника.

Но в 1817 году вышел еще один учебник на русском языке «Вышняя геометрия в пространствах, или Приложение анализа к начертательной геометрии. С изложением теории дефилирования крепостных строений» Маюрова Алексея Ивановича (17801848) (Маюров, 1817), в названии которого нет слова «аналитическая». Его автор инженер-полковник из свиты императора Александра I, член Санкт-Петербургской академии наук и Парижского академического общества. Книга также являлась его собственным учебным курсом.

Данная работа посвящена сравнению двух оригинальных русскоязычных курсов аналитической геометрии начала XIX века.

Методология и результаты исследования

Работа написана на основе анализа литературы по истории российского инженерного образования, изучения особенностей двух учебных курсов аналитической геометрии и методики их преподавания.

Создание транспортных коммуникаций, как водных так и сухопутных, было одной из первоочередных задач развития российской империи конца XVIII - первой половины XIX века. Однако до создания в 1809 году Института корпуса инженеров путей сообщения инженерное образование находилось на уровне среднего технического.

Происхождение Маюрова А.И. (Майорова, Маирова - в некоторых источниках) неизвестно. Получив образование в Горном ведомстве и будучи приглашенным в Департамент водяных коммуникаций для занятий теоретической гидравликой, Маюров А.И. был одним из пятерых талантливых молодых людей, отправленных Департаментом

водяных коммуникаций за границу обучаться инженерному делу (Краткий исторический очерк, 1898). C 1808 по 1811 год он обучался во Франции в Политехнической школе и в Школе мостов и дорог.

Вернувшись в Россию, был приглашен в созданный в его отсутствие Институт корпуса инженеров путей сообщения, где летом 1812 года получил должность профессора. Исследователем истории российских путей сообщения Кореневым Л.И.

В конце 1814 года Маюров числился в Квартирмейстерской части Императора Александра I, а в 1815 году он ненадолго возвратился в Институт (Коренев, 2011). В том же 1815 году (35 лет) за научные труды был избран членом-корреспондентом Петербургской Академии наук. В 1817 году опубликовал собственный курс «Вышняя геометрия в пространствах...», на титульном листе которого написано, что его автор является также членом Парижского академического общества. Но Маюрову не удалось полностью посвятить себя академической науке и ее преподаванию. В том же 1817 году ввиду неизвестных осложнившихся отношений с Александром I, ему пришлось отбыть из столицы на военную службу (Коренев, 2011). После выхода в отставку в 1822 году Маюров - советник по особым поручениям генерал-губернатора Одессы и Новороссийского края. Занятий математикой он не оставлял, и за математическую работу «Новая теория о численном решении алгебраических уравнений всех степеней», опубликованную в 1833 году на французском языке, был избран членом Парижской Академии наук.

Севастьянов Я.А. происходил из семьи академика Севастьянова А.Ф., блестяще окончил Санкт-Петербургскую гимназию и был принят в Институт корпуса инженеров пути сообщения сразу на второй год обучения (Елисеев, Елисеева, 2016). В 1814 году Севастьянов окончил с отличием Институт и был оставлен в нем репетитором (преподавателем) (Кузнецов, 2013). С 1818 года Севастьянов публикует свои первые учебники «Начальных оснований аналитической геометрии» (1819), «Основания начертательной геометрии» (1821) (Севастьянов, 1819) на русском языке и читает разнообразные учебные курсы по-русски и впоследствии их издает. В 28 лет Севастьянов стал первым русским профессором начертательной геометрии, в 40 лет - помощником директора института по учебной части, в 47 лет назначен в Главное управление путей сообщения.

Интересно отметить, что должность Маюрова в Институте корпуса инженеров путей сообщения после его отбытия на войну в 1813 году занимал профессор и академик Гурьев С.Е. (1766-1813), выдающийся ученый и педагог, много сделавший для создания российской математической школы.

На начало преподавательской деятельности и Маюрова А.И., и Севастьянова Я.А. оказала огромное влияние Отечественная война 1812 года.

Маюрову пришлось вести занятия с небольшим по численности контингенту учащихся Института ввиду отбытия многих на войну. Тем не менее, не хватало преподавателей, так как французские профессора на время военных действий были сосланы в Иркутск. Прямо с военных действий прибывали на короткий срок бывшие учащиеся Института, «для повышения квалификации»: им надо было читать курсы в сжатое время (ноябрь 1812 года - март 1813 года). Возможно, это и является причиной своеобразного построения учебника Маюрова.

Так как на практике инженер видит объемную картину, то Маюров сразу начинает изложение аналитической геометрии в пространстве. Предполагается (что соответствовало действительности), что начала аналитической геометрии на плоскости обучающимся известны. Однако сложные вопросы плоской аналитической геометрии, а именно о кривых второго порядка, которые обучающиеся или помнят недостаточно, или не знают не полностью, он дает внутри раздела о поверхностях второго порядка в теме: «Конические сечения». Таким образом Маюров создает мотивацию к изучению свойств кривых.

Значительный объем курса Маюрова посвящен изучению касательных для кривых и касательных плоскостей для поверхностей как их линейным приближениям, имеющим практическое значение.

Также он подводит обучающихся к изучению кривых и поверхностей, не являющихся кривыми и поверхностями второго порядка, но имеющих практическое применение.

В качестве практического применения геометрии Маюров рассматривает задачу дефилирования крепостных строений. Из Фортификационного словаря: дефилирование - это «определение высоты и направления бруствера крупных укреплений (фортов, редутов) в зависимости от расположения вокруг них командующих высот, оставляемых противнику. Дефилирование преследует цель так расположить брустверы укрепления и дать им такую высоту, чтобы внутренность укрепления была закрыта для противника, а самый бруствер предохранял от затыльного и продольного анфиладного огня» (Шперк, 1946).

Курс Севастьянова Я.А. создан как более последовательное изложение разделов аналитической геометрии, напоминая сжатый, но полностью обоснованный, хорошо структурированный конспект. Он был предназначен для обучающихся, впервые приступающих к изучению аналитической геометрии.

Сравним материал учебников «Начальные основания аналитической геометрии» (Севастьянов Я.А.) и «Вышняя геометрия в пространствах» (Маюров А.И.) по темам (таблица 1).

Таблица 1.

Сравнение материала учебников «Начальные основания аналитической геометрии»

Тема Севастьянов Я.А. Маюров А.И.

Система координат на плоскости Имеется Предполагается известным

Уравнения прямой на плоскости и задачи о прямых на плоскости Имеется Предполагается известным

Система координат в пространстве Имеется Имеется

Уравнения и задачи о прямых в пространстве Имеется Имеется

Уравнения и задачи о прямых и плоскостях в пространстве Имеется Имеется

Уравнения и свойства кривых 2-го порядка Имеется в разделе «Аналитическая геометрия на плоскости» Имеется в разделе «Аналитическая геометрия в пространстве (конические сечения)»

Поверхности 2-го порядка и их свойства Имеется Имеется

Другие кривые и поверхности Имеется

Приложения Отсутствует Имеется

Рассмотрим различия в подходах Севастьянова А.Я. и Маюрова А.И. к изложению материала о кривых 2-ого порядка более подробно (таблица 2).

Таблица 2.

Сравнение материала учебников «Начальные основания аналитической геометрии» (Севастьянов А.Я.) и «Вышняя геометрия в пространствах" (Маюров) по теме: «Уравнения и свойства кривых 2-ого порядка»

Севастьянов Я.А. Маюров А.И.

Уравнения и свойства кривых 2-го порядка Понятие кривых второго порядка вводится через общее уравнение (Глава «О разделении кривых линий на порядки и перемене координат», раздел «Разделение кривых линий на порядки»). В той же главе приводятся различные типы замены координат, позволяющие упростить уравнение. Понятие кривых второго порядка вводится через конические сечения (Глава III «О кривых линиях и кривых поверхностях второго порядка, в пространствах», разделы: «Сечение конуса плоскостью в пространствах; различные случаи, зависящие от его положения, которые дают уравнения, изображающие эллипс, Гиперболу и Параболу в пространствах», «Об асимптотах Гиперболы, об уравнении той же Гиперболы, отнесенной к асимптотам. Рассмотрение трех частных случаев положения конуса»).

Рассмотрение наиболее значительных кривых 2-го порядка, свойства этих кривых и связанные с ними точки, прямые и отрезки (центры, касательные, нормали, диаметры и др.) (В Главе «Об эллипсе», в главе «О гиперболе», в главе «О параболе»). Общее уравнение кривых второго порядка, поясняющее предшествующий материал. (В Главе IV «О свойствах кривых линий в пространствах», раздел «Уравнение второй степени о двух неопределенных величинах, полученное из рассуждений Механики, Астрономии и проч. изображает один или несколько случаев, о коих говорено было»). В той же Главе IV «О свойствах кривых линий в пространствах» рассматриваются свойства: «Аналитические свойства вышеозначенных кривых линий...о касательных, нормалях, хордах, сопряженных диаметрах, о фокусах, радиусах-векторах. О начертании линий непрерывным движением».

Глава «Исследование уравне- «О полярных уравнениях, употребляемых в Астроно-

ний», раздел «Приложение об- мии; о бесконечном множестве систем координат, к

щего способа к исследованию которым кривые линии будучи отнесены, уравнения

общего уравнения кривых линий их сохраняют тот же вид». Общие теоремы. второго порядка». Частные случаи.

Как видно из таблицы 2, Севастьянов использует следующую схему: Общее уравнение - Перемены координат - Свойства и связанные прямые и отрезки - Исследование общего уравнения кривых линий второго порядка.

Маюров выстраивает темы иначе: Введение кривых второго порядка через конические сечения - Общее уравнение - Свойства и связанные прямые и отрезки - Перемены координат.

Отдельного внимания заслуживает методика изложения материала по свойствам и связанным прямым и отрезкам. Севастьянов разбивает этот раздел на отдельные главы «Об эллипсе», «Об гиперболе» и «Об параболе» и для каждой кривой пользуется фиксированной схемой изложения с одинаковыми словесными шаблонами (Пти-цына, Подзорова, Птицына, 2020). Маюров также пишет: «Так как сии кривые линии встречаются часто в аналитических исследованиях, то мы и намерены рассмотреть каждую из них порознь», и далее начинает рассматривать эти кривые по отдельности, но конспективная четкость изложения Севастьянова заменена более повествовательным текстом. При этом в пунктах, посвященных, например, эллипсу, могут встретиться фрагменты об окружности и гиперболе. Проиллюстрируем это на примере касательных. Севастьянов в каждой из трех глав («Об эллипсе», «О гиперболе», «О параболе») выделяет отдельные параграфы, называющиеся «Уравнение касательной, проведенной к .../к ... чрез точку, данную вне оного/оной», «Уравнение касательной к ..., проведенную чрез точку, данную на оной»; в каждом параграфе имеется вывод. Маюров, рассказывая об эллипсе, рассуждает о касательных: «Положим, что к сему эллипсу надлежит провести касательную в точке, коей координаты пусть будут х'' и у''...»(пункт 68), далее пишет: «Если бы требовалось провести касательную к кругу или к гиперболе чрез данную точку, то надлежит поступить точно таким же образом...» (пункт 70), после чего следует подробное пояснение. А потом снова возвращается к эллипсу.

Интересным также является сравнение выводов свойств точек, прямых и плоскостей в пространстве по двум учебникам.

Заключение

В работе показано, что в начале XIX века в России успешно складывалась отечественная школа математического и инженерного образования: создавались оригинальные математические курсы, в частности, по аналитической геометрии, предназначенные для обучения различных категорий учащихся и в различных образовательных условиях. Учебник Севастьянова - это подробный курс, последовательно и четко выстраивающий весь материал по аналитической геометрии, а учебник Маюрова - это изучение второй части аналитической геометрии (геометрии в пространстве) с повторением первой части как неотъемлимых свойств объектов второй части.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Севастьянов Я.А. Начальные основания аналитической геометрии - Санкт-Петербург: Печатано при Императорской Академии Наук, 1819. - 312 с.

2. Маюров А.И. Вышняя геометрия в пространствах, или Приложение анализа к начертательной геометрии: С изложением теории дефилирования крепостных строений, / Сочинение Алексея Маюрова свиты его импе-раторскаго величества инженер полковника, Императорской Санктпетербургской академии наук и Париж-скаго академическаго общества наук члена. Императорскою Академиею наук, принятое с отличными похвалами; Печатано по высочайшему повелению. - Санкт-Петербург: В Морской типографии, 1817. - 235 с.

3. Краткий исторический очерк развития и деятельности ведомства путей сообщений за сто лет его существования (1798-1898 гг.). - Санкт-Петербург: тип. М-ва путей сообщ., 1898. - С. 21.

4. Коренев Л.И. Он же Майоров, он же Маиров, он же Маюров... [Электронный ресурс]. URL: http://korenev.org/index.php/ru/2011-04-07-13-55-37/2011-04-07-14-16-28/146-on-zhe-majorov-on-zhe-mairov-on-zhe-mayurov?hitcount=0 (дата обращения: 10.05.2021).

5. Кузнецов, Дмитрий Иванович. Бетанкур - Москва: Вече, cop. 2013. - 479 с.

6. Соколовский, Евгений Матвеевич. Пятидесятилетие Института и Корпуса инженеров путей сообщения: Ист. очерк, сост. Евг. Соколовским. - Санкт-Петербург: тип. торг. д. С. Струговщикова, Г. Похитонова, Н. Во-дова и К°, 1859. - XVI, 149 с.

7. Житков, С.М. Институт инженеров путей сообщения императора Александра I: Истор. очерк - Санкт-Петербург: Тип. т-ва И. Н. Кушнерев и К°, 1899. - [2], VI, 500 с.

8. Краткий исторический очерк развития и деятельности ведомства путей сообщений за сто лет его существования

9. Коренев Л.И. Указ. Соч.

10. Коренев Л.И. Указ. Соч.

11. Елисеев Н.А., Елисеева Н.Н. К 220-летию со дня рождения профессора ИКИПС Я.А. Севастьянова (17961849) - главы отечественной школы начертательной геометрии 20-40 годов XIX века // Бюллетень научных работ брянского филиала МИИТ. - 2016. - №. 1. - С. 85-88.

12. Кузнецов Д.И. Указ. Соч.

13. Севастьянов Я.А. Указ. Соч.

14. Шперк В.Ф. Фортификационный словарь. Воен.-инж. краснознам. акад. КА им. В. В. Куйбышева. - Москва: ВИА, 1946. - 126 с.

15. Птицына И.В., Подзорова М.И., Птицына Е.В. О первом русскоязычном учебнике по аналитической геометрии // modern european researches. - Salzburg, 2020. - т. 1. № 2. - p. 141-150. - url: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=43597004

Inga V. Ptitsyna,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University

named after N.E. Bauman, Moscow, Russia

iinpt@mail.ru

Olga N. Bakhtiyarova,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia olga-bakh06@mail. ru Elena V. Ptitsyna,

Student, Moscow State University named after M. V. Lomonosov, Moscow, Russia elena-pt@yandex. ru

Various methods of teaching analytical geometry to the first engineers of the Russian Empire using textbooks by A. I. Mayurov and Ya. A.Sevastyanov

Abstract. The article is devoted to two original courses of analytical geometry, first published in Russian at the beginning of the XIX century, "Higher geometry in spaces or the Application of analysis to descriptive geometry: With an exposition of the theory of fortress structures defilement" by A. I. Mayurov (1817) and " The initial foundations of analytical geometry" by Ya. A. Sevastyanov (1819). Both authors were teachers of the Institute of the Railway Engineers Corps. Various methods of teaching analytical geometry to future engineers are examined.

Key words: analytical geometry, teaching methods, history of education, Institute of the Railway Engineers Corps, higher school, engineering education, A. I.Mayurov, Ya. A.Sevastyanov