Формальные реконструкции силлогистики Венна

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2011. № 1

ЛОГИКА

В.И. Маркин*

ФОРМАЛЬНЫЕ РЕКОНСТРУКЦИИ СИЛЛОГИСТИКИ

ВЕННА

В статье осуществляются две различные формализации силлогистики Джона Венна с пятью нестандартными исходными силлогистическими константами. Первая из них, основанная на диаграммной семантике атрибутивных высказываний, оказывается рекурсивно эквивалентной силлогистике Лукасевича (современному варианту традиционной позитивной силлогистики). Другая, базирующаяся на алгебраической интерпретации атрибутивных высказываний, рекурсивно эквивалентна фундаментальной силлогистике (системе Шефердсона). Установлено, что в обоих силлогистических исчислениях доказуемы одни и те же силлогизмы и правила обращения, которые имеют место в силлогистике Венна.

Ключевые слова: логика, силлогистика, исчисление, семантика, формализация, погружающая операция, Джон Венн.

V.I. Markin. Formal reconstructions of Venn's syllogistic

We implement two different formalizations of John Venn's syllogistic with five non-standard initial syllogistic constants. The first formalization based on the diagram semantics of attributive propositions is recursively equivalent to Lukasiewicz's syllogistic. The second one based on algebraic interpretation of attributive propositions is recursively equivalent to "fundamental" syllogistic (J.C. Shepherdson's system). We demonstrate that the same syllogisms and conversion rules of Venn's syllogistic are provable in both syllogistic calculi.

Key words: logic, syllogistic, calculus, semantics, formalization, embedding translation, John Venn.

Многие предшественники и основоположники современной символической логики не обходили своим вниманием и силлогистику — созданную гением Аристотеля исторически первую дедуктивную логическую теорию. Так, усилиями Г. Лейбница и Ф. Брентано была создана так называемая «фундаментальная» силлогистика, выражавшая взгляд новой логики на смыслы силлогистических констант «все... есть», «некоторые... есть» и др. и допускавшая неограниченное оперирование пустыми терминами. Лейбницем была осуществлена также оригинальная попытка по-

* Маркин Владимир Ильич — доктор философских наук, профессор, заведующий кафедрой логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: (495) 939-18-46; e-mail: markin@philos.msu.ru

строения силлогистики, с одной стороны, на базе арифметической интерпретации атрибутивных высказываний, с другой — на основе интенсиональной трактовки их субъектов и предикатов, когда указанные термины репрезентируют не объемы понятий (множества предметов), а содержания понятий (совокупности признаков). Б. Больцано, предложив семантический постулат, гласящий, что любое атрибутивное суждение с пустым субъектом ложно, создал, по существу, особую систему силлогистики, альтернативную аристотелевской и традиционной. А. Де Морган включил в учение о силлогизме выводы из таких высказываний, которые выражают отношения между объемами субъекта и предиката в фиксированном универсуме, например: «Всё есть S или P», «Нечто не есть ни S, ни P». Наш выдающийся соотечественник, казанский логик Н.А. Васильев свои революционные идеи по созданию неаристотелевой, воображаемой логики развивал в силлогистической форме, вводя в свою дедуктивную систему, наряду с утвердительными и отрицательными, так называемые индифферентные высказывания, которые содержат связку «есть и не есть одновременно» и предназначены для выражения суждений о противоречивых объектах. Помимо этого, Васильевым была высказана и реализована идея построения силлогистики не с четырьмя, а с тремя исходными типами атрибутивных суждений — общеутвердительными («Все S есть P»), общеотрицательными («Ни один S не есть P») и определенно-частными («Только некоторые S есть P»). Эти высказывания образуют треугольник противоположностей: они попарно несовместимы и их дизъюнкция логически истинна [Н.А. Васильев, 1989].

В этом ряду значительное место занимают разработки в области силлогистики одного из наиболее известных создателей современной логики Джона Венна. Собственно с обсуждения силлогистической проблематики и начинается его главный, фундаментальный труд «Символическая логика» [/. Venn, 1881]. Венн так же, как и Васильев, строит силлогистику на основе нестандартного набора исходных силлогистических констант, каждой из которых соответствует особый тип суждения.

При выделении базисных видов атрибутивных высказываний Венн существенным образом опирался на теорию суждений, развивавшуюся У. Гамильтоном [W. Hamilton, 1863], который считал необходимым при определении количественной оценки суждения принимать во внимание характер квантификации не только его субъекта, но и предиката. Поэтому при делении множественных высказываний по количеству получаются не два их типа — общие и частные, а четыре — обще-общие, обще-частные, частно-общие и частно-частные. Если же учесть, что по качеству категорические высказывания делятся на утвердительные и отрицательные, то при 64

совместной, «количественно-качественной» классификации получается восемь исходных типов высказываний.

Что же касается Венна, то он предложил выделять пять базисных разновидностей атрибутивных высказываний: утвердительные высказывания распадаются на четыре класса в полном соответствии с гамильтоновской классификацией, но рассматривается лишь один тип отрицательных высказываний, а именно общеотрицательные высказывания. Таким образом, согласно Венну, категорические высказывания относятся к следующим пяти типам:

1) обще-обще-утвердительные «Все £ есть все P» (будем использовать для них символическую запись £ааР);

2) обще-частно-утвердительные «Все £ есть некоторые Р» (символически — £агР);

3) частно-обще-утвердительные «Некоторые £ есть все Р» (символически — £гаР);

4) частно-частно-утвердительные «Некоторые £ есть некоторые Р» (символически — £ИР);

5) общеотрицательные «Ни один £ не есть Р» (символически — £еР).

Высказывания последнего типа Венн часто формулирует также в стиле Гамильтона как обще-обще-отрицательные: «Ни один £ не есть ни один Р», но подчеркивает при этом их равносильность обычным высказываниям типа е.

Заметим, что приведенные гамильтоновские формулировки утвердительных высказываний с квантифицированным предикатом имеют в русском переводе не совсем ясный и однозначный смысл. Более точно смыслы высказываний указанных типов можно передать следующим образом:

£ааР — «Класс £ совпадает с классом Р», £шР — «Класс £ совпадает с частью класса Р», £гаР — «Часть класса £ совпадает с классом Р», £НР — «Часть класса £ совпадает с частью класса Р», где под частью класса понимается правильный его подкласс (не совпадающий с самим классом).

Укажем на особенности системы силлогистических констант {аа, аг, 1а, «, е} по сравнению со стандартной системой {а, е, г, о}, лежащей в основе аристотелевского и традиционного вариантов позитивной ассерторической силлогистики.

Известно, что при семантическом построении силлогистик указанного типа используются в качестве модельных схем круговые диаграммы Эйлера—Жергонна, фиксирующие различные типы возможных отношений между объемами субъекта и предиката элементарных формул силлогистического языка (форм категорических высказываний). Всего таких диаграмм пять:

5 ВМУ, философия, № 1 65

I II III IV V

В традиционной силлогистике при принятии исходной предпосылки о непустоте терминов атрибутивных высказываний формула БаР («Все £ есть Р») оказывается истинной на диаграммах I и II, БеР — на диаграмме V, БгР («Некоторые £ есть Р») — на диаграммах I—IV, БоР («Некоторые £ не есть Р») — на диаграммах Ш—У

Что же касается пяти типов высказываний, выделяемых Венном, то при условии непустоты терминов каждому типу соответствует ровно одна диаграмма, на которой высказывания данного (и только такого) типа принимают значение «истина». Высказывания формы БааР истинны только на диаграмме I, БагР — на диаграмме II, БгаР — на диаграмме III, БиР — на диаграмме IV, БеР — на диаграмме V

Кроме того, силлогистические константы аа, аг, 1а, и, е Венна, в отличие от стандартных констант а, е, г, о, составляют в терминологии В.А. Смирнова [В.А. Смирнов, 1989] базис: элементарные формулы различных типов с одинаковыми субъектами и предикатами попарно несовместимы, а их дизъюнкция является законом. В этом они сходны с тремя исходными константами силлогистики Васильева, образующими треугольник противоположностей.

Действительно, для любых отличных друг от друга силлогистических констант у и # из множества {аа, аг, га, гг, е} логически истинными оказываются утверждения

-(БуР & БдР),

которые в духе Васильева следовало бы называть законами «пятиугольника противоположностей»; имеет место также и «закон исключенного шестого»:

БааР V БагР V БгаР V БИР V БеР.

Венн дал набросок позитивной силлогистики с исходными константами аа, аг, га, гг, е, каждая из которых репрезентирует ровно один тип отношений между объемами субъекта и предиката на круговых диаграммах Эйлера—Жергонна.

Попытка формальной реконструкции силлогистики Венна была предпринята Д.В. Дубаковым и В.И. Маркиным [Д.В. Дуба-ков, В.И. Маркин, 2007]. По сути дела, ими была осуществлена переформулировка в рамках языка с венновской силлогистической сигнатурой традиционного варианта позитивной силлогистики. Он

формализуется посредством известной силлогистики Лукасевича [Я. Лукасевич, 1959] (системы С4 в классификации В.А. Смирнова [В.А. Смирнов, 1980]), и, с семантической точки зрения, предполагает принятие исходной экзистенциальной предпосылки о непустоте субъектов и предикатов атрибутивных высказываний.

Постулатами системы С4, которая формулируется в обычном силлогистическом языке, являются тавтологии классической логики высказываний, правило modusponens и силлогистические аксиомы следующих типов:

А1. (MaP & SaM) з SaP, А4. SiS, А2. (MaP & MiS) з SiP, А5. SeP = -SiP, А3. SaS, А6. SoP = -SaP.

Д.В. Дубаковым и В.И. Маркиным была построена такая система силлогистики C4V с множеством исходных силлогистических констант {aa, ai, ia, ii, e}, которая, как говорят, «с точностью до определений» эквивалентна силлогистике Я. Лукасевича. Именно исчисление C4V претендует на роль наиболее адекватной формализации силлогистики Венна.

В алфавит C4V входят бесконечный список общих терминов, силлогистические константы aa, ai, ia, ii, e, пропозициональные связки -, &, v, з и =, скобки. Элементарными формулами языка системы являются выражения следующих типов: SaaP, SaiP, SiaP, SiiP, SeP, где S и P — произвольные общие термины. Сложные формулы образуются из элементарных с помощью пропозициональных связок.

Схемами аксиом силлогистики C4V помимо классических тавтологий являются:

V1. (MaaP & SaaM) з SaaP, V11. SeP з PeS, V2. (MaaP & SaiM) з SaiP, V12. SaaS, V3. (MaiP & SaaM) з SaiP, V13. -(SaaP & SaiP), V4. (MaiP & SaiM) з SaiP, V14. -(SaaP & SiaP), V5. (MeP & SaaM) з SeP, V15. -(SaaP & SiiP), V6. (MeP & SaiM) з SeP, V16. -(SaiP & SiaP), V7. SaaP з PaaS, V17. -(SaiP & SiiP),

V8. SaiP з PiaS, V18. -(SaaP & SeP),

V9. SiaPз PaiS, V19. -(SiiP & SeP),

V10. SiiP з PiiS, V20. SaaPvSaiPvSiaPvSiiPvSeP.

Единственное правило вывода в системе C4V — modus ponens. Понятия доказательства и теоремы обычные.

Схемы аксиом V1—V6 представляют собой аналоги правильных модусов первой фигуры силлогизма. Схемы аксиом V7—V11 суть принципы обращения различных типов высказываний, выделяемых Венном. Схема V12 — закон силлогистического тождества. Схемы

аксиом V13—V19 есть не что иное, как законы «пятиугольника противоположностей». Три других закона данного типа — —(SaiP & SeP), —(SiaP & SiiP) и -(SiaP & SeP) — являются теоремами данной системы. Схема V20 — закон «исключенного шестого».

Сравнение позитивных силлогистик C4V и С4 можно осуществить в терминах переводов с одного формального языка на другой и погружающих операций.

Перевод v1 из множества формул языка силлогистики Венна в множество формул языка силлогистики Лукасевича задается следующим образом:

V j(SaaP) = SaP & PaS, V 1 (SiiP) = SiP & SoP & PoS,

V 1(SaiP) = SaP & PoS, Vj (SeP) = SeP, Vj(SiaP) = SoP & PaS, Vj(-A) = -V1(A), Vj(A V B) = v1(A) V V1(B),

где V — бинарная пропозициональная связка.

Обратный перевод v2 с языка силлогистики Лукасевича на язык силлогистики Венна определяется так:

V2(SaP) = SaaP v SaiP, V2(SeP) = SeP,

V^(SiP) = -SeP, V^SoP) = -SaaP & -SaiP,

V2(-A) = -V2(A) V2(A V B) = V2(A) V V2(B).

Доказана метатеорема о том, что переводы v1 и v2 являются погружающими операциями: v1 погружает C4V в С4 (всякая формула А венновского языка является теоремой C4V, если и только если формула V1(A) доказуема в системе С4), а v2 погружает С4 в C4V (всякая формула А стандартного языка силлогистики является теоремой С4, если и только если формула v2(A) доказуема в системе C4V). Это означает, что формальный аналог C4V силлогистики Венна и силлогистика Лукасевича рекурсивно эквивалентны.

Смысл данного результата заключается в том, что венновские суждения видов aa, ai, ia, ii, e имеют адекватную интерпретацию в традиционной силлогистике, а стандартные атрибутивные суждения видов a, e, i, o выразимы средствами силлогистики Венна.

Возникает вопрос: является ли исчисление C4V единственно возможной современной реконструкцией силлогистики Венна, ведь в языке с исходными константами aa, ai, ia, ii, e могут быть сформулированы и другие силлогистические теории? Особый интерес представляет построение «фундаментального» варианта силлогистики указанного типа. С семантической точки зрения, переход от «традиционной» к «фундаментальной» версии силлогистики венновского типа заключается в отказе от принятия исходного допущения о непустоте субъектов и предикатов высказываний. Однако при этом сами трактовки силлогистических констант, по существу, остаются прежними: aa репрезентирует равенство объемов

терминов, ai — строгое включение объема субъекта в объем предиката, ia — строгое включение объема предиката в объем субъекта, ii — перекрещивание объемов терминов, e — их объемную несовместимость.

Данная семантика формализуется исчислением СФУ, дедуктивными постулатами которого являются правило вывода modus ponens, классические тавтологии, схемы аксиом V0, V1—V17, У19— У20 системы С4У, а также две дополнительные схемы аксиом: У21. SeSз SeP, У22. SeS з (SaaP v SaiP).

Формулы указанных типов являются теоремами С4У, а формулы типа У18 недоказуемы в СФУ, поэтому силлогистика СФУ является подсистемой силлогистики С4У, но не наоборот.

Систему СФУ естественно сопоставлять с позитивной фундаментальной силлогистикой СФ в стандартном языке, которая была впервые аксиоматизирована Дж. Шефердсоном [J.C. Shep-herdson, 1956] и подробно исследована мною [В.И. Маркин, 1991]. Постулатами силлогистики СФ являются тавтологии классической логики высказываний, правило modus ponens и силлогистические аксиомы следующих типов:

Ф1. (МаР & SaM) з SaP, Ф5. SiP з SiS, Ф2. (MeP & SaM) з SeP, Ф6. SoP з SiS, Ф3. SeP з PeS, Ф7. SeP = -SiP,

Ф4. SaS, Ф8. SoP = -SaP.

Мною было доказано, что эта силлогистика погружается в классическое одноместное исчисление предикатов посредством «фундаментального» перевода *:

SaP* = Vx(Sx з Px), SeP* = Vx(Sx з -Px),

SiP* = 3x(Sx & Px), SoP* = 3x(Sx & -Px),

(-А)* = -(А*), (А V B)* = А* V В*.

Нетрудно показать рекурсивную эквивалентность системы СФУ, сформулированной в языке с исходными константами aa, ai, ia, ii, e, и позитивной силлогистики СФ в языке со стандартными константами a, e, i, o. При этом применяется тот же самый метод, что и в уже упоминаемой работе [Д.В. Дубаков, В.И. Маркин, 2007]. Более того, в качестве переводов из венновского языка в стандартный и обратно используются те же самые функции v1 и v2.

Таким образом, всякая формула А венновского языка является теоремой СФУ, если и только если формула v1(A) доказуема в системе СФ, и всякая формула А стандартного языка силлогистики является теоремой СФ, если и только если формула v2(A) доказуема в системе СФУ.

Из данного утверждения и результата о погружаемости СФ в исчисление предикатов следует, что «фундаментальный» вариант

силлогистики Венна погружается в исчисление предикатов посредством композиции переводов v1 и *. Иначе говоря, суждения, анализируемые в силлогистике Венна, имеют следующую адекватную интерпретацию в классической логике предикатов: БааР ^ Ух(Бх з Рх) & Ух(Рх з Бх), БагР ^ Ух(Бх з Рх) & Зх(Рх & -Бх), БгаР ^ Зх(Бх & -Рх) & Ух(Рх з Бх), БИР ^ Зх(Бх & Рх) & Зх(Бх & -Рх) & Зх(Рх & -Бх), БеР ^ Ух(Бх з -Рх).

Зададимся вопросом, какая из силлогистик — С4У или СФУ — более адекватно выражает логические идеи самого Дж. Венна. Для этого следует выделить силлогистические законы, явно принимаемые им.

Венн осуществляет подробный анализ лишь одной разновидности законов силлогистического типа, а именно модусов I фигуры категорического силлогизма в языке с константами аа, аг, га, гг, е. Он выделяет 13 правильных модусов, обосновывая их с помощью круговых диаграмм, и демонстрирует некорректность остальных модусов фигуры I, также опираясь на семантику высказываний.

Эти 13 правильных венновских модусов доказуемы как в силлогистике С4У, так и в СФУ, а некорректные модусы фигуры I не являются теоремами ни в одной из двух систем.

Правомерность или неправомерность остальных силлогистических утверждений можно оценить, во-первых, так же, как сам Венн, — с опорой на принимаемую им семантику, и, во-вторых, исходя из релевантных данному вопросу замечаний, содержащихся в текстах Венна.

Заметим, что Венном предлагаются две интерпретации элементарных высказываний. О первой из них, базирующейся на круговых диаграммах, уже было сказано выше. Вторая фактически представляет собой перевод этих высказываний в алгебру множеств: БааР ^ БР = 0 & БР = 0, БагР ^ БР = 0 & БР * 0, БгаР ^ БР = 0 & БР * 0, БИР ^ БР * 0 & БР * 0 & БР * 0, БеР ^ БР = 0.

Несложно установить, что эквивалентная запись указанных алгебраических выражений в языке логики предикатов оказывается равносильной в этой теории приведенной выше трактовке элементарных силлогистических формул посредством композиции переводов v1 и *.

И диаграммная, и алгебраическая семантика позволяют обосновать справедливость обращений в силлогистике Венна всех пяти

типов элементарных высказываний: высказывания типов аа, И и е обращаются простой перестановкой терминов, а1 обращается в га, а га — в аг. Аналоги всех этих законов обращения доказуемы и в С4У, и в СФУ.

Более того, в силлогистике Венна посылка и заключение при операции обращения в каждом из пяти случаев эквивалентны друг другу. Это обстоятельство имеет важные следствия применительно к простым категорическим силлогизмам фигур II, III и IV:

— из правильного модуса фигуры I посредством обращения большей посылки получается правильный модус фигуры II;

— из правильного модуса фигуры I посредством обращения меньшей посылки получается правильный модус фигуры III;

— из правильного модуса фигуры I посредством обращения сразу обеих посылок получается правильный модус фигуры IV;

— из неправильного модуса фигуры I посредством обращения одной или сразу обеих посылок получается неправильный модус.

Таким образом, в силлогистике Венна корректны в точности 52 модуса категорического силлогизма — по 13 в каждой фигуре. И все эти модусы доказуемы как в системе С4У, так и в системе СФУ. Налицо разительный контраст с тем, что мы наблюдаем в позитивных силлогистиках, формулируемых в языке со стандартными константами. Напомним, что из 24 модусов, корректных в обычной традиционной силлогистике, лишь 15 можно считать правильными в силлогистике фундаментальной.

Перейдем к другим постулатам рассмотренных силлогистик. Одна из версий закона силлогистического тождества — £аа£ — также может быть обоснована и с помощью диаграмм, и при алгебраической ее трактовке. Постулат £ааР V £агР V £гаР V £НР V £еР — мы назвали его законом исключенного шестого — при «алгебраическом» переводе становится выражением вида (А & В) V (А & —В) V (В & —А) V (—С & —А & —В) V С, которое является классической тавтологией. В диаграммной семантике общезначимость дизъюнктивной силлогистической формулы может быть обоснована тем обстоятельством, что на каждой из пяти диаграмм истинен какой-нибудь ее дизъюнктивный член. Указанные силлогистические утверждения опять-таки являются законами обеих теорий — С4У и СФУ.

Различия между этими силлогистиками обнаруживаются в связи с «законами противоположностей», которые имеют вид —(£уР & £дР), где у и q — отличные друг от друга силлогистические константы из множества {аа, аг, га, гг, е}. В системе С4У доказуемы формулы всех указанных типов, а в СФУ формулы некоторых типов недоказуемы, а именно —(£ааР & £еР), —(£агР & £еР) и —(£гаР & £еР).

Какую же позицию занимал сам Венн по поводу принятия или непринятия этих законов? На этот вопрос, на наш взгляд, нет од-

нозначного ответа. Именно в этом пункте проявляются различия между диаграммной и алгебраической интерпретацией венновских элементарных высказываний.

С одной стороны, вводя диаграммы, Венн четко и недвусмысленно заявляет, что каждому элементарному высказыванию — SaaP, SaiP, SiaP, SiiP и SeP — соответствует ровно одна диаграмма, причем она соответствует только ему и никакому из остальных четырех высказываний. Именно поэтому высказывания указанных типов попарно несовместимы по истинности. Данный тезис Венна в скрытом виде содержит предпосылку экзистенциального характера — о непустоте терминов в составе элементарных высказываний. Действительно, если допустить, что термины могут оказаться пустыми, этот тезис становится ложным. Так, высказывания SaaP и SeP при пустых S и P оказываются одновременно истинными на двух диаграммах — I и V. Аналогично высказывания SaiP и SeP при пустом S и непустом P одновременно истинны на диаграммах II и V, а высказывания SiaP и SeP при непустом S и пустом P — на диаграммах III и V.

С другой стороны, та алгебро-логическая теория, в язык которой Венн переводит элементарные высказывания и которую он и называет Символической логикой, отличая ее от «обычной» традиционной логики, вовсе не предполагает принятия предпосылки о непустоте терминов. Этому можно найти текстуальные подтверждения. Например, Венн не считает контрарными стандартные категорические высказывания типов «Все S есть P» и «Ни один S не есть P». Одновременное их принятие, согласно Венну, попросту означает, что термин S имеет пустой объем [/. Venn, 1881, p. 145]. Отказ от указанной экзистенциальной предпосылки влечет за собой исключение из числа логических законов утверждений видов -(SaaP & SeP), -(SaiP & SeP) и -(SiaP & SeP). Алгебраические аналоги остальных «законов противоположностей» оказываются верными в Символической логике Венна.

Подведем итог сказанному. Приведенные выше рассуждения показывают, что логические идеи Венна позволяют развить в языке с исходными константами aa, ai, ia, ii, e силлогистические теории в двух различных вариантах — «традиционном», формализуемом системой C4V, и «фундаментальном», формализуемом исчислением СФ^ Очень важен и тот факт, что эти два варианта силлогистики Венна имеют, в отличие от аналогичных систем обычной позитивной силлогистики, солидную общую основу: одни и те же принципы обращения высказываний, одни и те же корректные категорические силлогизмы, а также и некоторые другие одинаковые законы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Васильев Н.А. О частных суждениях, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного четвертого // Васильев Н.А. Воображаемая логика: Избр. труды. М., 1989.

Дубаков Д.В., Маркин В.И. Система силлогистики с исходными константами, соответствующими круговым диаграммам // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XVIII. М., 2007.

Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.

Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М., 1991.

Смирнов В.А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев, 1980.

Смирнов В.А. Логические идеи Н.А. Васильева и современная логика // Васильев Н.А. Воображаемая логика: Избр. труды. М., 1989.

Hamilton W. Lectures on metaphisics and logic. Vol. II. Logic. Boston, 1863.

Shepherdson J.C. On the interpretation of Aristotelian syllogistic // Journal of Symbolic Logic. 1956. N 2. Vol. 21.

Venn J. Symbolic logic. L., 1881.