О некоторых логических проблемах курса математического анализа в педвузе

О НЕКОТОРЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ПЕДВУЗЕ

ON SOME LOGICAL PROBLEMS IN THE COURSE OF MATHEMATICAL ANALYSIS AT A PEDAGOGICAL UNIVERSITY

И. Л. Тимофеева

Рассмотрен ряд проблем логического характера, возникающих в курсе математического анализа в педвузе. Некоторые проблемы проиллюстрированы примерами логических ошибок. Отмечены некоторые возможности и особенности решения этих проблем. Приведены методические рекомендации.

Ключевые слова: математический анализ, логические проблемы, кванторы.

Математические курсы, изучаемые в вузе, отличаются от школьного курса математики, в первую очередь, богатством и сложностью используемого математического языка со специфическими для него логическими конструкциями. Часто проблемы, возникающие у студентов при изучении математических дисциплин, по существу, имеют логический характер.

Действительно, для математического языка, прежде всего языка высшей математики, в отличие от естественного языка, характерно особое понимание логических союзов и кванторных слов, а также использование особых языковых конструкций с переменными и квантор-ными словами. У студентов трудности логического характера возникают наиболее часто при изучении курса математического анализа, поскольку используемый именно в этом курсе математический язык изобилует сложными языковыми конструкциями с различными сочетаниями кванторных слов. В связи с этим логические проблемы курса математического анализа в вузе заслуживают особого внимания.

Логическая составляющая математики явно недооценена как в школе, так и в вузе. И это особенно досадно, когда речь идет о преподавании математических дисциплин в педагогическом вузе, поскольку обучить студентов - будущих учителей математики - правильно рассуждать, точно и четко выражать свои мысли важнее, чем обучить их технике вычислений или преобразований. Пренебрежение логическими нормами (математического языка и дедукции) ведет к логическим проблемам математической подготовки студентов в целом.

Логические нормы математического языка представляют собой правила использования логических средств этого языка. Их соблюдение обеспечивает точность выражения мысли и однозначность понимания смысла математических предложений и определений. Безусловно, эти нормы следует соблюдать в процессе преподавания всех

I. L. Timofeeva

A number of logical problems in the course of mathematical analysis at a pedagogical university is regarded in the article under consideration. Some problems are illustrated by examples of logical errors. Some opportunities are highlighted and special features in resolving these problems are stated. Methodical recommendations are given.

Keywords: mathematical analysis, logical problems, quantifier.

математических дисциплин. Однако отметим, что при изучении математического анализа следование этим нормам вызывает наибольшие трудности. Несоблюдение логических норм ведет к различным логическим, а порой и математическим ошибкам.

Логические проблемы обучения математическим дисциплинам можно условно разделить на группы в соответствии с видами деятельности логического характера, вызывающей трудности у студентов. Перечислим эти виды деятельности:

- логическое конструирование формулировок математических определений и теорем;

- логическое преобразование математических предложений;

- использование логических символов для записи математических предложений и определений;

- оперирование понятиями логического характера;

- построение математических доказательств.

В соответствии с указанными видами языковой деятельности в статье [1] выделены группы логических норм математического языка. При нарушении логических норм и возникают проблемы логического характера.

Логические проблемы обучения доказательству, а также проблемы и ошибки, связанные с оперированием понятиями логического характера (обратное, противоположное и контрапозитивное предложения, необходимое условие, достаточное условие и другие), являются общими при изучении всех математических дисциплин и нередко обсуждаются в методической литературе. Поэтому на них останавливаться не будем.

Специфика обучения математическому анализу в вузе заключается в необходимости оперировать предложениями и определениями сложной логической структуры. Подробно остановимся на логических проблемах, связанных с формулировкой теорем и определений, на логических нормах использования кванторов

в этих формулировках и на ошибках, которые вызваны нарушением этих норм.

Сложность теорем и определений в курсе математического анализа обусловлена прежде всего использованием в их формулировках нескольких кванторных слов («существует», «любой» и их аналогов) в разных комбинациях. Достаточно вспомнить определения по Коши (на языке е-5) предела функции в точке или функции, непрерывной в точке.

Далее кванторные слова для краткости будем называть просто кванторами (соответственно существования и общности).

Недопонимание роли кванторов в математике ведет к их некорректному употреблению не только студентами, но и преподавателями, а иногда даже авторами учебных пособий. Такая ситуация обусловлена традиционной недооценкой в обучении логического компонента математики, и прежде всего таких его элементов, как кванторы. Начинается эта недооценка при изучении математики в школе, а затем продолжается в вузе, что негативно отражается на процессе изучения математических дисциплин, в первую очередь математического анализа.

Весьма распространенными являются ошибки, связанные с опусканием (точнее, потерей) кванторов и перестановкой разноименных кванторов в формулировках теорем и определений, преобразованиями отрицаний предложений к позитивной форме, а также с записью предложений и определений с помощью логических символов.

Чаще всего некорректность в употреблении кванторов состоит в опускании кванторов в формулировках определений и теорем там, где это не предусмотрено никакими логическими нормами. В результате появляются некорректные и неоднозначно понимаемые формулировки определений и теорем, «неряшливые» рассуждения. Обычно преподаватели осознанно опускают кванторы, мотивируя это стремлением к «простоте изложения», однако такого рода «упрощение» на деле часто ведет к потере точности формулировки и однозначности ее понимания, а порой и к потере смысла.

Приведем некоторые нормы использования кванторов в формулировках теорем. Если квантор общности в теореме является внешним, его можно и принято опускать. Если квантор общности в теореме не является внешним, а входит в ее условие или заключение, то его нельзя опускать. Недопустимо опускать в формулировке теоремы квантор существования, куда бы он ни входил. Если в формулировке теоремы внешние кванторы общности опущены в соответствии с указанной нормой, при необходимости их всегда можно однозначно восстановить.

Приведем пример опускания (точнее, потери) квантора существования в одном из известных утверждений из курса математического анализа. Рассмотрим утверждение: «Две дифференцируемые на промежутке А функции ^ и Ф являются первообразными одной и той же функции в том и только том случае, когда они отличаются на постоянную» (см., напр.: [2, с. 454]). Оборот «функции отличаются на постоянную» имеет кванторный смысл, не всегда ясный студентам. Далее в [2] вторая часть теоремы поясняется следующей записью:

F

в которой кванторный смысл, связанный с действительной переменной С, не только не проясняется, а даже еще больше маскируется. Более того, в записи (1) появляется еще одна переменная - переменная x, по которой тоже необходим квантор. Таким образом, на наш взгляд, запись (1) в целом не улучшает ситуацию, а, наоборот, усугубляет ее.

Для уточнения смысла теоремы студенты сначала заменяют предложение «две дифференцируемые на промежутке А функции F и Ф являются первообразными одной и той же функции» из первой части теоремы равносильным ему предложением «две дифференцируемые на промежутке А функции F и Ф имеют равные производные на А». Затем полученное предложение студенты предлагают символически записать так:

F'

Для уточнения смысла и однозначности понимания предложения (2) следует восстановить кванторы по всем переменным, не забывая, что C - тоже переменная (по множеству действительных чисел). Для студентов это оказывается совсем непростой задачей.

Согласно традиции, при формулировке теорем принято опускать внешние кванторы общности. В соответствии с этим в предложении, представленном записью (2), опущены, но подразумеваются, внешние кванторы общности по переменной А, пробегающей множество числовых промежутков, а также по переменным F и Ф, пробегающим множество функций, дифференцируемых на промежутке А. Поскольку эти внешние кванторы общности опущены в соответствии с нормой математического языка, они однозначно восстанавливаются, не вызывая никаких затруднений: «Каковы бы ни были промежуток А и дифференцируемые на нем функции F и Ф, ...». Поэтому мы их будем опускать и далее. А вот как быть с кванторами по переменным x и С? Именно здесь и возникают трудности.

Поскольку в обеих частях теоремы речь идет о равенстве функций на промежутке А, то есть о совпадении их значений в каждой точке промежутка А, то восстановление в двух местах квантора по x не вызывает слишком больших затруднений у студентов:

VxxeJF'

Отметим, что опускание этих кванторов общности по x в записи (2) не отвечает норме опускания кванторов в теоремах, поскольку эти кванторы не являются внешними.

А вот с восстановлением квантора по C возникают серьезные проблемы. Сначала студенты, руководствуясь нормой математического языка, пытаются восстановить его как внешний квантор общности. В результате они получают предложение, которое символически записывается так:

VCceR

Полученное предложение ложно, что не удивляет, поскольку в исходном предложении квантор по C был опущен с нарушением нормы. После того как удается

опровергнуть предложение (4) путем приведения контрпримера, студенты, пытаясь исправить ситуацию, делают другую ошибку, предлагая заменить квантор общности по С квантором существования:

= Ф'

И только после дальнейших размышлений и обсуждений студенты понимают, что квантор существования по С должен относиться не ко всей эквиваленции (3), а только к ее правой части:

Ухге

Впрочем, иногда студенты предлагают и другой вариант, ошибочно переставляя разноименные кванторы:

Чх^

Последний вариант отвергается после того, как удается опровергнуть полученное предложение с помощью примера промежутка А и дифференцируемых на нем функций Е и Ф, для которых предложение в левой части эквиваленции (7) ложно. Предложение же в правой части этой эквиваленции истинно для любых А, Е и Ф. Заметим, что незаконная перестановка разноименных кванторов является типичной для студентов ошибкой.

Отметим, что можно было бы обойтись совсем без переменной х, договорившись об использовании распространенной записи равенства функций на заданном множестве, в данном случае на А:

Е' = Ф' ~ ЗС

где равенство функций Е' = Ф' означает следующее: Чх%<= А(Е'(х) = Ф'(х)), а равенство функций Е = Ф + С означает, что Чххе (Е(х) = Ф(х) + С).

При таких обозначениях проще обсуждать и неправильные варианты (4) и (5), поскольку их символические записи становятся короче и нагляднее:

ЧС (Е' = Ф' ~ Е = Ф + С);

ЗС (Е' = Ф' ~ Е = Ф + С).

Более того, долгих обсуждений по поводу опущенных кванторов можно было бы избежать вообще, если изначально не нарушать нормы, опуская квантор существования по действительной переменной С во второй части теоремы, то есть формулировать эту часть так: «...существует постоянная, на которую эти функции отличаются» или так: «.когда эти функции отличаются на некоторую константу». Полагаем, что именно с кванторным словом некоторая следует изначально формулировать эту теорему для однозначности ее понимания: «Две дифференцируемые на промежутке А функции Е и Ф являются первообразными одной и той же функции в том и только том случае, когда они отличаются на некоторую постоянную» или «Две дифференцируемые на промежутке А функции Е и Ф имеют равные производные на А в том и только том случае, когда они отличаются на некоторую постоянную». Последнее предложение сразу легко представить записью (8). При такой формулировке можно не восстанавли-

вать опущенные в соответствии с нормой внешние кванторы общности по А, Е и Ф.

Некоторые проблемы, связанные с использованием квантора существования, возникают также, если к изучению основного свойства первообразной подойти с других позиций - в контексте обсуждения обратных теорем. Например, можно перед студентами поставить вопрос: «Верно ли предложение, обратное предложению

Е = Ф + С ^ Е' = Ф' ?».

Если в предложении (9) не восстанавливать никакие кванторы, то, очевидно, обратное ему предложение будет таким:

Е' = Ф' ^ Е = Ф + С.

Теперь, если для уточнения смысла предложений (9) и (10) в соответствии с нормами языка восстановить внешний квантор общности по С, получим соответственно взаимно обратные предложения:

ЧС

ЧС

первое из которых истинно, а второе, обратное ему, ложно.

Однако, ставя вопрос о предложении, обратном предложению (9), преподаватель, скорее всего, имеет в виду следующее. В предложении (9) он подразумевает квантор существования по С, относящийся к посылке:

ЗС

Предложение, обратное предложению (13), будет истинным: Е' = Ф' ^ ЗС (Е = Ф + С). Заметим, что предложение (11) логически равносильно предложению (13), однако обратное первому ложно, а обратное второму истинно.

Таким образом, думая о том, верно ли предложение, обратное данному, следует обдумать, какую выбрать формулировку исходного предложения, и никогда не терять кванторы существования.

Рассмотренные примеры показывают, что для точного понимания сути утверждения, а также для выяснения, верно ли обратное ему предложение, важно следующее.

Во-первых, важно точно формулировать изучаемую теорему, не опуская кванторы, если это не предусмотрено нормами математического языка, а также уметь восстанавливать те кванторы, которые опущены в соответствии с нормами. Во-вторых, полезно выявлять и анализировать логическое строение предложения для более глубокого понимания его сути, а также если речь идет о построении обратного предложения. В-третьих, полезно использовать символическую запись предложения, однако делать это корректно, в соответствии с нормами использования символического языка.

К нормам логического преобразования математических предложений относим нормы преобразования отрицаний предложений (неверно, что.) к равносильным предложениям в позитивной форме, нормы оперирова-

ния с кванторами: правила пронесения кванторов через связки, перестановки одноименных кванторов и другие. Эти нормы диктуются логическими законами равносильности. Проведенные выше преобразования предложений осуществлялись в соответствии с законами равносильности. Поскольку эти законы студенты изучают в курсе математической логики, то предполагается, что соблюдение этих законов студентами-первокурсниками обеспечивается в основном опытом учебной математической деятельности и логической интуицией. Таким образом, соблюдение студентами логических норм при изучении математического анализа возможно преимущественно на основе подсознательной интуитивной логической саморегуляции речевой и мыслительной деятельности.

На первых же лекциях по математическому анализу студенты встречаются с предложениями и определениями с несколькими разноименными кванторами, что вызывает у них немалые трудности. Студенты часто переставляют разноименные кванторы, даже не отдавая себе в этом отчета. Один из первых примеров - пример определения ограниченного сверху множества, в определяющем условии которого используются разноименные кванторы: «существует действительное число, большее любого элемента множества М» (в символической записи: ЗаеЯ V хеМ (х < а)). Студенты очень часто подменяют это определяющее условие следующим: «для любого элемента множества М существует большее его действительное число» (в символической записи: Vx еМЗ аеЯ(х < а)). Для объяснения этой ошибки можно привести такой пример: в качестве множества Мвзять множество всех действительных чисел Я. Тогда первое условие превратится в ложное высказывание З аеЯ V х еЯ (х < а), а второе - в истинное высказывание V х еЯ З аеЯ (х < а). Отметим, что мы опять прибегли к символической записи, поскольку она позволила наглядно выразить логическое строение рассматриваемых предложений, а значит, легче понять их смысл.

Очень важно, чтобы математическая речь студента и тем более самого преподавателя была логически корректной, поскольку именно это ее качество позволяет четко и однозначно выражать мысли. К сожалению, на практических занятиях по математическому анализу преподаватели часто не обращают должного внимания на логическую правильность (корректность) речи студента, следя в первую очередь за тем, чтобы в ней не было допущено собственно математических ошибок. Более того, преподаватели иногда сами позволяют себе некоторую логическую неряшливость речи, небрежное отношение к использованию логических элементов математического языка. На первый взгляд может показаться, что это вполне безобидно. К сожалению, это заблуждение весьма распространено. На самом деле, логическая неряшливость в математической речи наносит немалый вред для усвоения изучаемого материала.

Преподаватель математического анализа должен уделять большое внимание формированию логической культуры устной и письменной речи студентов во время практических занятий, зачетов и экзаменов, не ограничиваясь требованиями правильности собственно математического

содержания. Впрочем, трудно представить точное словесное выражение мысли при несоблюдении логических норм математического языка. Если студент вопреки нормам опустил кванторы в теореме или определении, следует попросить восстановить их. В требования к выполнению студентами письменных работ по математическому анализу желательно включить требование связной письменной речи, кратких и четких объяснений, на основании чего (и с какой целью) сделан тот или иной шаг в рассуждении, преобразовании или вычислении, а не только требования правильности математических формул, преобразований и вычислений. Такую работу следует проводить систематически, не жалея на нее усилий.

С некоторыми логическими проблемами, возникающими при изучении математического анализа, помогает справиться вводный курс математики, в котором изучаются логические основы математики [3]. В этом курсе студенты учатся грамотному использованию терминов логического характера, кванторов, простейших законов равносильности и символической записи математических предложений и определений. Однако это не означает, что в курсе математического анализа формированию логической культуры студентов не следует уделять серьезного внимания.

К сожалению, уровень логической культуры студентов математических факультетов педвузов по-прежнему остается недостаточно высоким. Потребность в осмыслении собственной математической речи и собственных рассуждений, их критическая оценка - это те качества студента, которые необходимы будущему учителю математики. Курс математического анализа предоставляет очень большие возможности для формирования у студентов этих качеств мышления. Однако только общими усилиями преподавателей всех математических дисциплин можно добиться успеха в логической, а значит, и в целом математической подготовке студентов - будущих учителей математики.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимофеева И. Л. О формировании логической культуры речи будущих учителей математики // Математическое образование: концепции, методики, технологии: сб. тр. по материалам II Междунар. науч. конф. «Математика. Образование. Культура»: в 4 ч. Тольятти: ТГУ, 2007. Ч. 3. С.348-353.

2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: учеб. пособие для студентов вузов в 3 т. Т. 1. М.: Дрофа, 2003. 704 с.

3. Тимофеева И. Л., Сергеева И. Е. Об опыте формирования логической грамотности студентов математического факультета МПГУ в рамках «Вводного курса математики» // Тр. VII Междунар. Колмогоровских чтений: сб. ст. Ярославль: ЯГПУ, 2009. С. 180-186.

4. Тимофеева И. Л. Размышления об обратных теоремах и кванторах // Математика в школе. 2005. № 5.С.64-68.