Влияние торосов на напряженно-деформированное состояние льда от движения подводного судна

УДК 531.001.362

В. Л. Земляк, В. М. Козин, Н. О. Баурин

ВЛИЯНИЕ ТОРОСОВ НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЛЬДА ОТ ДВИЖЕНИЯ ПОДВОДНОГО СУДНА

Воздействие ветра и течения на ледяные поля может вызвать в них процессы сжатия, приводящие к торошению. Данная работа посвящена теоретическому исследованию напряженно-деформированного состояния заторошенного льда от движения судна вблизи его поверхности.

Ключевые слова: подводное судно, лед, торосы, изгибно-гравитационные волны.

Vitaliy L. Zemlyak, Victor M. Kozin, Nikita O. Baurin INFLUENCE OF HUMMOCKS ON STRESS-STRAINED STATE OF THE ICE CAUSED BY THE MOVEMENT OF THE SUBMARINE

The effect of wind and currents on the ice fields may cause squeezing, leading to ice hummocks. The given article is a theoretical research on the topic of strain stressed state of hummocked ice caused by motion of a submarine vessel near its surface.

Key words: submarine; ice; hummocks; flexural-gravity waves.

Введение

Известно, что при действии на лед движущейся нагрузки в последнем возникает система прогрессивных изгибно-гравитационных волн (ИГВ), при определенной интенсивности которых может произойти растрескивание или полное разрушение льда [1].

В свою очередь проблема возникновения изгибно-гравитационных волн при движении твердого тела под ледяным покровом изучена недостаточно. В работе [2] на основе полученных интегральных зависимостей анализировалось влияние длины и ширины подводного судна на возможность разрушения льда изгибно-гравитационными волнами. В

Земляк Виталий Леонидович — кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой технических дисциплин (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан), е-mail: vellkom@list.ru

Козин Виктор Михайлович — доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией «Механика деформируемого твердого тела» (Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, Комсомольск-на-Амуре), е-mail: vellkom@list.ru.

Баурин Никита Олегович — студент (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан), е-mail: baurin79@mail.ru.

© Земляк В. Л., Козин В. М., Баурин Н. О., 2013

Работа выполнена при поддержке гранта в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (на 2009—2013 гг.)» (соглашение № 14. В37.21.1839); при поддержке гранта РФФИ (проект № 12-01-31014); при поддержке гранта РФФИ (проект № 13-01-90713); проекта № 7.8121.2013 гос. задания вузу.

54

работе [3] экспериментально доказана возможность разрушения ледяного покрова изгибно-гравитационными волнами, что может быть использовано для всплытия подводных судов (ПС) в сплошных льдах при возникновении аварийных ситуаций или при выполнении различных маневров. В работах [4, 5] авторами экспериментально исследовалось влияние неоднородностей в вице продольной трещины и разводий различной ширины, а также глубины акватории на эффективность всплытия подводных судов в ледяном покрове, экспериментально определена величина волнового сопротивления подводного судна при движении в различных ледовых условиях [6].

Однако в арктических районах ровный сплошной ледяной покров встречается крайне редко. Воздействие ветра и течений на ледяные поля может вызвать в них процессы сжатия, приводящие к торошению, поэтому было бы актуально исследовать напряженно-деформированное состояние (НДС) заторошенного льда при воздействии на него изгибно-гравитационных волн от движения подводного судна.

Математическая модель деформирования заторошенного ледяного покрова от движения подводного судна

Для определения напряженно-деформированного состояния зато-рошенного льда была использована разработанная авторами методика расчета, основанная на комбинации метода граничных элементов при определении давления на лёд в предположении его жёстким и метода конечных элементов в гидроупругой постановке задачи при вычислении НДС ледяного покрова [7, 8].

При построении математической модели деформирования ледяного покрова полем гидродинамических давлений, возникающих от движущегося ПС, вода считалась идеальной несжимаемой жидкостью, а лед рассматривался как вязко-упругая пластина. Тогда уравнение движения однородной пластины (ледовой поверхности) можно представить в виде:

+ + + =

где: М, М, М соответственно — функции прогиба, нормальной скорости и нормального ускорения пластины, зависящие от координат поверхности пластины х, у и от времени £ £> = Ек3/\\2(\ - V2)! — цилиндрическая жёсткость; Е — модуль упругости; V — коэффициент Пуассона; рБ — плотность материала пластины; т — время релаксации деформаций; в — коэффициент вязкого сопротивления; к — толщина пластины; / — интенсивность внешней нагрузки действующей на пластину.

Внешняя нагрузка на пластину со стороны жидкости определяется полем давлений, которое формируется от движения подводного судна. Так как при изгибе ледяного покрова перемещения, скорости и ускорения являются малыми по сравнению с соответствующими размерами подводного объекта и его параметрами движения, использована линей-

55

ная постановка задачи гидроупругости. Граничные условия на пластине снесены на её недеформированную поверхность, а гидродинамическая нагрузка определялась в виде:

/ = /о-/*

где /о — гидродинамическое давление на поверхность льда как на твёрдую стенку от движения подводного судна; /¡ь = pwgw — гидростатическая реакция жидкости на изгиб пластины; — плотность жидкости; g — гравитационная постоянная; /й — интенсивность силы волнового демпфирования; / — интенсивность силы инерции жидкости от изгиба пластины.

Для определения гидродинамических нагрузок /о рассмотрено движение подводного судна с заданной скоростью V (Ь) в невязкой и несжимаемой жидкости. Поле скоростей жидкости в каждый момент времени определялось решением краевой задачи для уравнения Лапласа:

Дф

=у-со 5,х,п\ на Г

Ydn=v'cosx'"' на

% = 0 на Г.,

lim^ = 0; lim5^ =0 на

где ф — потенциал скорости жидкости; О — область жидкости; Г = Гв + Гт + Гш — граница области О; Г — поверхность подводного судна; Гш — поверхность ледяной пластины; Гш — условная граница — часть сферы радиуса Я на бесконечном удалении от судна; п — нормаль к границе жидкой среды; V — поступательная скорость ПС.

Давление в жидкости определялось из интеграла Коши — Лагранжа: Р/ - -д<р/ _ ]_

/Р ~ /т ~ 2"

где р — давление; Ъ — отстояние точки от свободной поверхности жидкости (поверхности нулевого потенциала массовых сил). Давление на ледяную поверхность в предположении малости прогибов можно определить из линеаризованного уравнения:

/д1

Для определения гидродинамических нагрузок /т рассмотрены деформации ледяного покрова со скоростью ^ . Поле скоростей жидкости в каждый момент времени определялось из решения краевой задачи для уравнения Лапласа (1.3), (1.4), (1.6) с граничным условием на поверхности льда:

% = % На

Эти уравнения решались совместно с уравнениями движения пластины (1.1) — (1.2).

56

Дифференциальные постановки краевых задач (1.3) — (1.6), а также (1.3), (1.4), (1.6), (1.8) могут быть преобразованы к граничному интегральному уравнению [4]:

с

где: х и £ — точки области О с декартовыми координатами соответственно (х, у, г) и (д, I], <р; Г = Г, + Г,„ — граница области ¿2; с (§) — относительный внутренний угол границы в точке §; (р - фундаментальное

решение для уравнения Лапласа; о* = ^^

Для численного решения уравнения (1.9) использовался метод граничных элементов (МГЭ). Для этого функции ср(х) и и(х) представлялись в виде рядов:

п

<р(х)=^>2 (р,и,{х\

'=1

п

¡=1

где (р1 и и/ - значения функций в заданных точках (узлах) на границе Г; и, (х) - заданные интерполирующие функции локального вида; п — число узлов на границе Г. Тогда формулы (1.10) можно представить отдельно для каждого граничного элемента к в виде:

т

(ркО;) = X=\и1.<Р: к>

,г. . С-")

г. 1е п — точка границы в местной нормированной системе координат граничного элемента; т — число узлов элемента.

После подстановки (1.11) в (1.9) заменим интегралы по границе суммами интегралов по граничным элементам, учитывая свойство локальности базисных функций. Тогда уравнение (1.9) для каждого узла г примет вид:

е е

с(£Ж£) + £ J и Tko\^Vk)drk # I U\ Itp'i^JdT, о\ к t

k=l Г„ k=l Г

/=1,2

где N — число элементов. Систему уравнений (1.16) можно записать в матричном виде

\н':р=\в\\и,

где [ Н\ и С\ — заполненные, несимметричные матрицы порядка п х п  <р и и — векторы узловых значений функций (Р и и.,

57

Рассмотрим матричное уравнение (1.13) для случая, когда граница исследуемой области состоит из двух частей: Г — поверхность движущегося судна; Гш — свободная поверхность или поверхность ледяного покрова:

G

Gs

G,,

v. +\g.

Запишем уравнение (1.14) в виде:

я '' <р\ +\н I! в>! = \с

5 5 | ^ 5М; ^ I 5

Из первого уравнения исключим значения потенциалов скоростей на поверхности судна {<р,}:

:<р,: =\н... + ~ . В результате получим следующее матричное уравнение:

\о1, Ас\Ан\ н.

где

\HSW

"1Ig„

V\ = , G„„ - Я

H,

G,

vc

В этом уравнении {фш} и {иш} неизвестны, а {%} известен, так как движение судна задано.

При численном решении задачи гидродинамики по МГЭ давления воды на поверхность ледяного покрова представляются вектором их значении в узловых точках | р , которые могут быть получены по формуле (1.7). Производная по времени вычисляется с использованием конечных разностей.

Нормальные силы в узлах, действующие на ледяную пластину со стороны жидкости, выражаются через узловые давления с помощью вектора распределения {Л/}:

Вектор {М} в модели МГЭ формируется путём объединения векторов распределения отдельных элементов. Узловые силы к-го ГЭ определяются в виде:

F

wo\ k

j' : />: = \ N: к \ Р. к.

Следовательно, вектор распределения для к-го элемента вычисляется по формуле

\Кк = [и kdTk = ]\Mk\J\kdr,,dV^

n

к

-1-1

k

58

Элементы вектора N\ к определяются численным интегрированием.

При движении ледяного покрова как вязко-упругой пластины на ней должно выполняться граничное условие (1.8), которое в численной модели имеет вид:

'-»„:= А >

где j uw — нормальные скорости течения в узлах расчётной сетки поверхности пластины; j w\ — узловые значения производной от прогиба по времени.

Подставляя (1.17) в уравнения (1.15), получим выражение для потенциала скорости на поверхности льда в виде

<pj + к ! •

Далее подставим это выражение в (1.7), а затем в (1.17). В результате гидродинамические силы в узлах пластины будут определяться следующим выражением:

•Ко. ' ) К .

В соответствии с выражением (1.18) гидродинамические инерционные силы на поверхность льда включают две составляющие: 1) от движения подводного судна (как на твёрдую стенку) {F0"}; 2) от изгиба пластины {Fa,"}:

! ^о"! = -g-fl ^ll^Cj"1Ml;

дг

гп\ /. м\\н" ' а ||-й>'| =-\и .

: \г I -w.il м>м> . | м>м> |1 1 I А-*-. г к I \ /

Матрица [ //] = N \ Н] 1 [ ] определяет инерцию жидкости при упругих деформациях пластины.

При вычислении сил {Р0"} производная по времени определяется с применением конечных разностей. Силы {Рш"} зависят от ускорений при деформации пластины. Таким образом, процесс изгиба ледяного покрова от движения подводного судна имеет гидроупругий характер.

Для сплошного ледяного поля (пластины бесконечной протяжённости) при отсутствии существенных течений волновым демпфированием и вязким трением водной среды можно пренебречь. Тогда с учётом (1.2) и (1.7) уравнение движения упругой пластины бесконечной протяжённости (1.1) можно представить в виде

ДУ4^ + ДгУ4^ + р,Ш + р^ + р  д

При движении подводного судна вблизи ледяного покрова с относительно большой скоростью (Рг > 0,2) характер изгиба ледяного покрова является динамическим и гидроупругим. Соответствующее напря-

59

жённо-деформированное состояние (НДС) определялось из полученного уравнения (1.21).

На основе конечноэлементной аппроксимации вязко-упругих перемещений пластины в уравнениях (1.1), (1.21) получаются уравнения движения конечных элементов. Обобщённые перемещения каждого узла к в МКЭ определяются нормальным смещением и углами поворота относительно осей х и у:

k

q =

W

A л..

Переходя к этим обобщённым перемещениям, гидродинамические силы в каждом узле к сетки конечных элементов будут определяться в виде:

'рп

F k -

1 0. _

F" 1 0

0 0

J7 1 k -

Fw\ -

?п

w 0 0

Используя стандартные способы сборки общей системы уравнений МКЭ на основе условий совместности перемещений в узлах конечных элементов, получим систему уравнений движения пластины в виде

K

q

с

\м\

= Fn

где [К]=[К*]+[К°]+[К™] — матрица жёсткости пластины, включающая матрицы, определяющие жёсткости в плоскости пластины от поперечного сдвига и от упругого основания (от гидростатических сил); [С] = т [К] — матрица коэффициентов внутреннего сопротивления; [А!] = [М°]+[//] — матрица масс, включающая коэффициенты инерции упругой пластины и прилегающей жидкости.

Задача Копти для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.22) включает начальные условия. Для скоростей ¿[ и ускорений I ( можно принять нулевые стартовые значения. Если необходим анализ

движения при заданной постоянной скорости подводного судна V, то начальными условиями для перемещений удобнее всего принять перемещения, полученные из предварительного решения статической задачи:

\К\ д\ =\Г0\

При этом тедродинамическая нагрузка /',', вычисляется для скорости судна V.

В случае моделирования движения судна из состояния покоя начальные перемещения принимаются равными нулю.

Прямое интегрирование уравнений движения (1.22) выполним по конечно-разностной схеме [5]. Суть этой процедуры состоит в предпо-

60

ложении, что за один временной шаг At вариация ускорений | ц изменяется линейно. Используя это допущение, имеем

-I _' -I А?, ., А? ..

| Ч и+1 ч .. 1 ч „ 1 Ч „+1 ^

I II л  •' ' 2 | .., 1 2 | ..,

Ч я+1 = I Ч , ' А/ Ч , • Ч п + ——, Ч я+1

где п — номер шага по времени. В уравнение (1.22) для шага и +1

ч п+1 + я+1 я+1 =1 я+1

подставим формулы (1.24). В результате получим систему, из которой определяются ускорения;

2

где | Н\ = \М\ н--С -Н-—l-STl

2

ь n = .4 п + gi

AI2; 3

\а\ п -1 Ч „ 1 — ч „ .

Процедура вычислений включает следующую последовательность действий:

1) по начальным значениям , ! 4\ и определяются /' .. п с/ .. в момент времени и = 1;

2) из уравнения (1.25) вычисляются ускорения ; ц в следующий момент времени п +1;

3) по формулам (1.24) вычисляются перемещения и скорости в момент времени п +1.

Для последующих моментов времени процедура повторяется.

Выбор исходных данных для численных экспериментов

Рассмотрим прямоугольную ледяную пластину, вдоль оси симметрии х которой с постоянной скоростью и движется подводное судно. Гряда торосов моделировалась условно в виде утолщенной полосы, расположенной вдоль и поперёк линии движения ПС. Длина пластины принималась равной /=1000 м, полуширина Ъ=200 м. Ширина отдельных заторо-шенных участков для поперечных торосов Ъы=20 м, Ъьс2=40 м, Ъм=60 м, для продольных Ъи=20 м. Расстояние между соседними участками варьировалось в диапазоне /^=20 —140 м для поперечных и /и=20-40 м для продольных. Толщина торосов принималась кш=5Аш. Толщина льда //¡=1.8 м, плотность р,=90() кг/ модуль упругости Е,=5 МП а, коэффициент Пуассона ц=0.3, время релаксации деформаций 1=10 с. Глубина водоёма принималась бесконечной. Шаг расчётной сетки по времени составлял

n

n

61

At=0.3 с. Подводное судно в виде тела вращения каплевидной формы соответствовало субмарине с водоизмещением 0„=12000 т и относительным удлинением корпуса Ь/В=8 (1=110 м — длина судна, В — ширина судна. Скорость перемещения ПС лежала в диапазоне и=14-26 м/с при относительном заглублении Ьс/Ь = 0.2. Поверхность половины судна включала 280 узлов (21 поперечное сечение по 15 узлов). Размеры расчётной сетки пластины льда выбирались на основе тестовых расчётов таким образом, чтобы на краях пластины обеспечивались перемещения и напряжения на порядок меньше максимальных значений. Сетка содержала 500 узлов (50 поперечных сечений по 10 узлов). Края пластины быпли свободны.

Результаты численных расчётов по определению напряжённо-деформированного состояния заторошенного льда от движения ПС

Вначале быта вытолнена серия расчётов НДС для ровного сплошного льда при движении под ним ПС. Определялись значения прогибов щ, нормальных ох, оу и касательных напряжений тху. Их результаты приведены на рис. 1 — 2 и показывают, что при перемещении ПС со скоростью порядка 22 м/ с формировались прогрессивные ИГВ, а прогибы в пластине становились максимальными. Рост относительного заглубления приводил к существенному снижению уровня НДС льда.

В последующей серии расчётов в ледяном покрове моделировались неоднородные участки в виде гряды торосов различной ширины (рис. 3), при этом быыло установлено, что при рассмотренных условиях влияние заторошенных участков практически не сказывается на величине прогибов и напряжений до того момента, когда ПС, приближаясь к ним, не оказывается на расстоянии порядка 200 — 250 м.

Рис. 1. Зависимость НДС сплошного льда Ы=1 м от скорости движения ПС:

1 — прогиб щ; 2 — нормальные напряжения Ох; 3 — нормальные напряжения Оу; 4 — касательные напряжения Тху.

62

о ,т

1,2

0,8

0,4

СТх, СТу,

Т ху,МРа

1

4

0,2

0,3

0,4

0,5

ho/L

Рис. 2. Зависимость НДС сплошного льда М=1 м при движении ПС от относительного заглубления: 1 — прогиб щ; 2 — нормальные напряжения Ох; 3 — нормальные напряжения Оу; 4 — касательные напряжения Тху.

Рис. 3. Дискретизация пластины с поперечными торосами:

а) гряда торосов шириной ЪЬс1 =20 м; Ь) ЪЬ£2 =40 м; с) Ъ^з =60 м.

Далее наблюдается более сложная картина изменения НДС пластины, сопровождающаяся ростом, резким падением и возрастанием прогибов и напряжений до максимальных значений (рис. 4). Результаты сравнения с данными для сплошного льда представлены на рис. 5— 8.

63

Рис. 4. Прогибы пластины при прохождении ПС гряды торосов:

1 — при ширине заторошенного участка Ъьс1 =20 м;.2 — при ширине заторошенного участка ЪЬс2=40 м; 3 — при ширине заторошенного участка Ъь^з =60 м.

Рис. 5. Относительные прогибы при прохождении ПС гряды торосов:

1 — Ъьс1 =20 м;.2 — ЪЬс2=40 м; 3 — ЪЬг_з= 60 м.

Рис. 6. Относительные напряжения Ох при прохождении ПС гряды торосов:

1 — Ъьс1 =20 м;.2 — ЪЬс2=40 м; 3 — ЪЬг_з= 60 м.

64

Рис. 7. Относительные напряжения Оу при прохождении ПС гряды торосов:

1 — Ънс1 =20 м;.2 — Ъис2=40 м; 3 — Ънсз= 60 м.

Рис. 8. Относительные напряжения Тху при прохождении ПС гряды торосов:

1 — Ънс1 =20 м;.2 — Ъис2=40 м; 3 — Ънсз= 60 м.

Из полученных зависимостей следует, что в момент прохождения ПС под торосами величины прогибов и напряжений начинают уменьшаться на 12 — 35 % в зависимости от ширины гряды торосов. В свою очередь при приближении к заторошенному участку и в момент удаления от него наблюдается рост прогибов, т. е. взломать лёд будет легче, если судно движется курсом, поперечным по отношению к торосам, при этом наибольшая интенсивность ИГВ будет наблюдаться после прохождения судном заторошенного участка.

Далее рассматривалась задача, когда два тороса шириной 20 м располагались поперёк направления движения ПС параллельно друг другу на расстоянии от 20 до 140 м (рис. 9).

65

Рис. 9. Дискретизация пластины с двумя поперечными торосами:

a) расстояние между торосами /м=20 м; Ь) /Ьс2=40 м; ^ 1Ьсз=60 м; d) 1ш=80 м; e) /^5=100 м; f) 1кс6=120 м.

Анализируя результаты расчетов (рис. 10), можно проследить динамику изменения напряжённо-деформированного состояния ледяной пластины при прохождении ПС заторошенных участков. Из графиков видно, что наименьшие прогибы и нормальные напряжения возникали в пластине, когда расстояние между торосами составляло порядка 65 — 70 м. По сравнению со сплошным льдом НДС заторошенного поля уменьшалось на 5 — 25 % в зависимости от величины 1ьс. Стоит также отметить, что с ростом числа заторошенных участков напряжения и прогибы в пластине начинают существенно уменьшаться (рис. 11).

GJ ,т

1,2

0,4

1'СГх, Oy, Тху. MP а

2

1 ч 3

4

0 50 100 150 /;,,,т

Рис. 10. НДС ледяной пластины толщиной hi=1 м с двумя заторошенными участками шириной bhc =20 м расположенными поперек траектории движения ПС:

1 — прогибы fflhc; 2 — нормальные напряжения axh=; 3 — нормальные напряжения Oyhc; 4 — касательные напряжения Txyhc.

66

И Стх >

(Ту,

тху, МРа

2

ЛГ-

\ 3

_ _Z 4

0 1 2 3/7

Рис. 11. НДС ледяной пластины толщиной Ы=1 м в зависимости от числа торосов и:

1 — прогибы шъс; 2 — нормальные напряжения Ох^; 3 — нормальные напряжения Оуьс; 4 — касательные напряжения Тху1ю

На последнем этапе рассматривались две продольные гряды торосов шириной 20 м, вдоль которых перемешалось судно (рис. 12). Расстояние между торосами равнялось /^г=20—40 м. Расчёты показали, что наличие во льду продольных торосов уменьшает значения прогибов и напряжений по сравнению со сплошным льдом на 25 — 40 % в зависимости от расстояния между ними, при движении нагрузки с резонансной скоростью (рис. 13).

Рис. 12. Дискретизация пластины с продольными торосами шириной Ъы =20 м:

а) расстояние между торосами ¡т=20 м; Ь) расстояние между торосами 1ц2=30 м; с) расстояние между торосами ¡н1з=40 м.

67

и,т

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

20 25 30_ 35 40 1м,т

Рис. 13. НДС ледяной пластины Ы=1 м с двумя заторошенными участками Ьы=20 м, расположенными вдоль траектории движения ПС:

1 — прогибы шъс; 2 — нормальные напряжения Охь=;

3 — нормальные напряжения Оуьс;

4 — касательные напряжения Тху1ю

Основные выводы

В работе получены следующие результаты:

• Теоретически определена величина критической скорости движения ПС для заданной толщины льда равная и=22.5 м/с

• Показано, что разрушить ледяной покров, имеющий неоднородности в виде заторов, ИГВ значительно сложнее, чем сплошной лёд, при этом о уменьшаются более чем на 60 % для наименее благоприятных случаев расположения торосов;

• Теоретически установлено, что прогибы и напряжения в заторо-шенном ледяном покрове могут уменьшаться от 15 до 55 % в зависимости от количества, размеров и расположения торосов относительно траектории движения судна;

Список литературы

1. Козин В. М. Обоснование исходных данных для выбора основных параметров СВП, предназначенных для разрушения ледяного покрова резонансным способом: дис. ... канд. техн. наук. Горький: ГПИ им. А. А. Жданова, 1983. 314 с.

2. Погорелова А. В., Козин В. М., Земляк В. Л. Движение тонкого тела в жидкости под плавающей пластиной / / Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 1. С. 32—44.

3. Козин В. М., Онищук А. В., Марьин Б. Н. Ледоразрушающая способность изгиб-но-гравитационных волн от движения объектов. Владивосток: Дальнаука, 2005, 191 с.

4. Козин В. М., Земляк В. Л. Безопасность всплытия подводных судов в сплошных льдах в условиях мелководья / / Безопасность жизнедеятельности. 2010, № 10. С. 6 — 9.

68

5. Zemlyak V. L., Kozin V. M. Experimental Study on Ice-Breaking Capacity of Flexur-al-Gravity Waves Caused by Motion of Submarine Vessel / / ISOPE-2011: The Twenty-first International Offshore and Polar Engineering Conference. Mauli, Hawaii, USA, 2011. P. 1078—1081.

6. Земляк В. Л. Исследование волнового сопротивления подводного судна при движении под ледяным покровом / / Вестник Дальневосточной государственной социально-гуманитарной академии. Биробиджан: Изд-во ДВГСГА, № 2(9). 2011. С. 61—68.

7. Козин В. М., Земляк В. Л., Чижиумов С. Д. Исследования влияния ледовых условий на эффективность резонансного метода разрушения ледяного покрова, реализуемого подводными судами / / Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: Изд-во инст. им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2010. Т. 51. № 3. С. 118 — 125.

8. Земляк В. Л. Влияние ледовых условий на эффективность разрушения ледяного покрова подводными судами резонансным методом: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Комсомольск-на-Амуре: Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 2011.

•Jc -Jc -Jc

69