О коррекции эффекта перекрытия дифракционных порядков в спектрометре на основе схемы Оффнера

О КОРРЕКЦИИ ЭФФЕКТА ПЕРЕКРЫТИЯ ДИФРАКЦИОННЫХ ПОРЯДКОВ В СПЕКТРОМЕТРЕ НА ОСНОВЕ СХЕМЫ ОФФНЕРА

Досколович Л.Л., Безус Е.А., Быков Д.А. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) (СГАУ), Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

Проведён анализ работы спектрометра в конфигурации Оффнера с дифракционной решёткой в качестве диспергирующего элемента. В параксиальном приближении получены формулы для положения спектров на регистрирующем устройстве, формируемых в различных дифракционных порядках. Предложен метод коррекции негативного эффекта наложения спектров за счёт обработки зарегистрированного изображения.

Ключевые слова: спектрометр, изображающий спектрометр, гиперспектрометр, схема

Оффнера, дифракционная решётка.

Введение

Широкий круг задач оперативного мониторинга земной поверхности может быть эффективно решён с использованием малых космических аппаратов (КА), несущих компактную гиперспектральную аппаратуру (ГСА). Перспективными спектрометрами для использования на малых КА являются изображающие спектрометры в конфигурации Оффнера [1 - 7]. Основными преимуществами таких спектрометров являются их компактный размер и возможность снижения хроматических аберраций и дисторсии до низкого уровня. В простейшем случае спектрометр Оффнера содержит два концентрических зеркала. В качестве диспергирующего элемента используется дифракционная решётка, выполненная на одном из зеркал [1 - 5, 7], или призма, расположенная между зеркалами [5 - 7]. Использование дифракционной решётки позволяет достичь большей компактности и меньших хроматических аберраций. В то же время при широком спектральном диапазоне использование дифракционной решётки приводит к негативному эффекту перекрытия спектров, формируемых в различных дифракционных порядках. Действительно, из формулы дифракционной решётки несложно показать, что для излучения кратных длин волн 1, 1/2, 1/3, ..., 1/т направления распространения порядков дифракции с номерами +1, ..., +т (или -1, ..., - т) будут совпадать. В качестве примера рассмотрим компактный спектрометр Оффнера с дифракционной решёткой из работы [1], ориентированный на анализ минералогического состава и предназначенный для использования на спутниках, летающих на низких орбитах. Данный спектрометр рассчитан на диапазон длин волн от 400 нм до 3000 нм при спектральном разрешении в 10 нм. В данном случае направления отражённых дифракционных порядков с номерами +1, ..., +7 будут совпадать, например, для длин волн Хт=тч-2800 нм, т = 1, ..., 7. Для устранения эффекта перекрытия порядков в спектрометр дополнительно вводятся спектральные фильтры, отсекающие нерабочие дифракционные порядки. Создание таких фильтров, а также их интеграция в спектрометр является сложной задачей.

В настоящей работе проведён анализ работы спектрометра Оффнера в параксиальном приближении и

показано, что эффект наложения спектров может быть скорректирован за счёт простой обработки зарегистрированного изображения.

Спектрометр на основе схемы Оффнера

Стандартный спектрометр на основе схемы Офф-нера состоит из двух концентрических зеркал 1 и 2 с радиусами 2Я и Я соответственно [1, 2, 7]. Зеркало 2 содержит дифракционную решётку (рис. 1).

Рис. 1. Оптическая схема Оффнера Данный спектрометр используется вместе с объективом, формирующим изображение наблюдаемого объекта в плоскости г=0. С помощью щели из формируемого изображения выделяется строка. Пусть щель расположена вдоль оси Оу при х = х> Система из двух указанных зеркал в параксиальном приближении переносит изображение щели из точки х = х0 в точку х = -х0 (рис. 1). Диспергирующим элементом является дифракционная решётка на зеркале 2, которая формирует спектр щели в окрестности точки х = -х0.

Проведём анализ работы спектрометра. Для простоты рассмотрим двумерный вариант схемы (рис. 1). Анализ выполним в параксиальном приближении. Сначала предположим, что дифракционной решётки на зеркале 2 нет.

От источника (щели) на зеркало 1 падает цилиндрическая волна со следующей функцией эйконала:

¥

( а; *) = » * +

* 2*

Рассмотрим отражение от зеркала в рамках приближения тонкого оптического элемента. В этом приближении набег (изменение) эйконала с точностью до константы описывается выражением:

где * = *1(а) - уравнение 1-го зеркала. Соответственно, эйконал волны после отражения от зеркала примет вид:

(а) = ¥ ( а, 2Я) + Д¥1 ( а) =

= 2Я + (А Ао)2 - — + 4Я =

4Я

2Я

( а + а,) 4Я

+ ^

где С; - константа, несущественная для последующего анализа. Заметим, что эйконал (3) в параксиальном приближении соответствует эйконалу сходящейся цилиндрической волны с фокусом в точке (-а0, 0). Таким образом, отражённый от зеркала 1 пучок с точностью до константы имеет следующий эйконал:

*1 ( А; * ) = - ^

Данная волна далее падает на зеркало 2. В приближении тонкого оптического элемента набег эйконала при отражении от зеркала 2 с точностью до константы описывается выражением:

д¥2

Таким образом, эйконал волны после отражения от зеркала 2 примет вид:

(а)=-<х±х^+а!-2Я=^А-Ао)! + с2. (6) 2У ' 2Я Я 2Я 2

Сформированный эйконал в параксиальном приближении соответствует эйконалу расходящейся цилиндрической волны с фокусом в точке (а0, 0). Таким образом, при последующем отражении от первого зеркала мы получим сходящийся цилиндрический пучок с центром в точке (-а0, 0).

Итак, было показано, что система двух концентрических зеркал с радиусами Я и 2Я в параксиальном приближении переносит точку (а0, 0) в точку (-а0, О), то есть имеет коэффициент увеличения М= -1. Несложно показать, что в параксиальном приближении указанный результат остаётся верным для произвольной точки щели с отличной от нуля координатой у. При этом изображением точки щели (а0, у0, О) будет точка (-а0, -у0, О). Вышеприведённый результат можно также получить, используя параксиальную формулу отражения в сферическом зеркале.

Рассмотрим далее случай, когда на зеркале 2 расположена дифракционная решётка с периодом ё.

Обозначим ¥Да) набег эйконала, соответствующий решётке. В этом случае формула (6), описывающая эйконал после отражения от зеркала 2, примет вид:

¥2 (а) = + ¥, (а)+ С,

Пусть сначала щель является монохроматическим источником излучения с длиной волны X. Тогда фазовая функция отражённой волны (7) с точностью до константы будет описываться выражением:

Ф2 ( А) = ко^^-Ят + ^ * ( А) ;

где к, = 2пА, - волновое число. С учётом периодичности функции ^/а) (период ё), комплексную амплитуду отражённого поля щ2(х)=ехр{1ф2(х)} представим в виде [8]:

1 '1

щ

где сп - коэффициенты Фурье, которые задаются следующим выражением:

Сп =1 {еХР^^ (А)-^Ш} Ах =

1

= | ехр |1к0 ¥ г (хё) - 12япх} dx.

Отражённое поле (9) соответствует суперпозиции световых пучков (дифракционных порядков) с фазовыми функциями:

Фп (А)= ко

(А- А,)2 , —

2Я

- + кп—х =

"о

2Я

А - I А - пЯ—

+ с.

В параксиальном приближении фазовые функции (11) описывают расходящиеся цилиндрические пучки с

фокусами в точках хп=х0 - пЯ—/ё, п = О, ±1, ±2,.....Таким

образом, при последующем отражении от первого зеркала в плоскости * = 0 будет формироваться набор точек (дифракционных максимумов) с координатами

—

( — ) = - Х0 + пЯ- ; п = О; ±1; ±2;.... л > 0 ё

Значения энергии 1п(к) в точках хп(Х) будут описываться квадратами модулей коэффициентов Фурье (10) [8]:

1П (1) = Сп (1)|2; п = О; ± 1; ± 2,...

В случае, когда щель является полихроматическим источником излучения с длинами волн — е [—т1П, —тах], в каждом дифракционном порядке будет формироваться спектр с шириной

ДА- = пЯ — ; п = О; ± 1; ± 2,.... п ё

где Д— = —тах - —т1П. Обычно спектр регистрируется в +1-м порядке дифракции. Будем считать, что регист-

о

2

рирующая ПЗС-матрица расположена в плоскости г = 0 при хе [хт1П,ь хтах>1], где хт1П>1 = Й1т1п /1 и Хтах,1 = ^1тах /1 - границы области спектра +1-го порядка дифракции.

Коррекция эффекта перекрытия порядков

Обозначим К= [1тах /1т1п], где [ ] обозначает операцию взятия целой части. Из (12) получим, что х1(1)=хК(1К). Поэтому при К> 1 спектры порядков с номерами от +2 до К будут накладываться на область спектра +1 -го порядка.

Е (х) = Е (1) =

5 (1) 11 (1),

5 (1) 11 (1) + 5 [ 2) 12 (1

^ 1 т) т 1 т

Из формулы (15) несложно видеть, что спектр падающего на решётку излучения может быть последовательно восстановлен по формуле:

5 (1) =

1

11 (1) Е (1),

Е<*>-5(11'2 (1),

1е[1тт,21тШ ) ;

1е[21т1п,31т,п ) ;

Е (1)-I 51т ) Iт (тт ^ К^ ^тах ].

Гиперспектральная аппаратура, используемая на спутниках дистанционного зондирования Земли, как правило, осуществляет наблюдение в диапазоне длин волн от 1т1п = 0,4 мкм до 1тах = 1,05 мкм [2, 5, 6]. В данном случае К = 2, и поэтому при использовании схемы Оффнера возникает эффект перекрытия +1-го и +2-го порядков дифракции. Проиллюстрируем эффект перекрытия дифракционных порядков при следующих типичных геометрических параметрах: х0 = 25 мм, Я = 80 мм, 1= 30 мкм [1, 2, 5]. При указанных параметрах ширина спектра +1-го порядка составляет Ах1 = 1613 мкм.

В качестве дифракционной решётки обычно используется решётка с треугольным профилем [2]. Эйконал треугольной решётки определяется выражением

¥ (х) = 1ор4 х /1,

где - длина волны, на которой интенсивность +1-го порядка максимальна и равна единице. В последующих расчётах мы использовали значение = 0,640 мкм, выбранное из условия максимизации среднего значения интенсивности +1-го порядка дифракции в рассматриваемом диапазоне длин волн.

Покажем, что эффект наложения спектров может быть скорректирован за счёт простой обработки зарегистрированного изображения. Пусть 5(Х), X е [^т1п, Х^] -спектр излучения, падающего от щели. Именно этот спектр требуется восстановить по измерению интенсивности сигнала Е(х), регистрируемого ПЗС-матрицей в области спектра +1 -го порядка. При этом предполагается, что длины волн, не попавшие в указанный диапазон, отсекаются спектральным фильтром, расположенным либо на входе спектрометра, либо непосредственно перед ПЗС-матрицей. Согласно (9), (12), регистрируемая интенсивность имеет следующий вид:

1е[1т1п,21 т1п ), х е [ х

, 1е [21тт,31тт),хе [х

1т1п,2' т1п,3

);

1е [ К1ШЛ11 тах ], х е [ хтт,К, ^тах.1 ] .

Интенсивности порядков треугольной решётки несложно получить из (10), (13) в виде [2]:

1п (1) = бШС2

1

--п

V ^ )

где sinc (х) = sin (х) /х. На рис. 2 показаны спектры +1-го и +2-го порядков дифракции треугольной решётки.

0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 2. Спектры дифракционных порядков с номерами +1 и +2 треугольной решётки, рассчитанной из условия максимума средней интенсивности в диапазоне [0,4-1,04]мкм

Эффект наложения порядков показан на рис. 3, где спектры +1-го и +2-го порядков приведены в зависимости от линейной координаты на ПЗС-матрице. Согласно (16), спектр падающего на решётку излучения может быть восстановлен по следующей формуле:

5 (1) =

1

I,

Е (1) , 1е[1тт,21т1п ) ,

Е (1)- 5 Г 2 ] 12 {| 1, 1е [21тп, 1тах ],

где 1п (1) имеет вид (18).

я

X

X

X¡, ос т 0,4 0,8 1,0

и +2 треугольной решётки в зависимости от линейной координаты на регистрирующей ПЗС-матрице

Отметим, что в общем непараксиальном случае зависимость xJ()C} в порядках дифракции имеет более сложный вид по сравнению с (12}. Точный расчёт положения спектров на регистрирующем устройстве может быть выполнен на основе результатов моделирования схемы спектрометра в одной из программ для расчёта оптических систем, например, в программе Zemax [9]. Для строгого описания взаимодействия излучения с дифракционной решёткой, расположенной на зеркале, может быть использован асимптотический метод из работы [7].

Заключение

Проведён анализ работы спектрометра Оффнера с дифракционной решёткой. Анализ проведён в параксиальном приближении и позволяет оценить положение спектров, формируемых в различных дифракционных порядках. Показана возможность коррекции негативного эффекта наложения спектров за счёт последовательной обработки зарегистрированного изображения (композиции спектров}. При этом обработка сводится к поэлементному линейному преобразованию фрагментов зарегистрированного изображения. Для повышения точности коррекции расчёт границ положения спектров может быть выполнен на основе результатов моделирования схемы спектрометра в программе для расчёта оптических систем Zemax.

Благодарности

Работа выполнена за счёт гранта Российского научного фонда (РНФ) 14-31-00014.

Литература

1. Mouroulis, P. Optical design of a compact imaging spectrometer for planetary mineralogy / P. Mouroulis, R.G. Sellar, D.W. Wilson, J.J. Shea, R.O. Green // Optical Engineering. - 2007. - Vol. 46(6} - P. 063001.

2. Mouroulis, P. Convex grating types for concentric imaging spectrometers / P. Mouroulis, D.W. Wilson, P.D. Maker, R.E. Muller // Applied Optics. - 1998. - Vol. 37(31), -P. 7200-7208.

3. Prieto-Blanco, X. Analytical design of an Offner imaging spectrometer / X. Prieto-Blanco, C. Montero-Orille, B. Cou-ce, R. de la Fuente // Optics Express. - 2006. - Vol. 14(20).

- P. 9156-9168.

4. Prieto-Blanco, X. The Offner imaging spectrometer in quadrature / X. Prieto-Blanco, C. Montero-Orille, H. Gon-zález-Nuñez, M.D. Mouriz, E.L. Lago, and R. de la Fuente // Optics Express. - 2010. - Vol. 18(12). - P. 1275612769.

5. Lee, J.H. Optical Design of a Compact Imaging Spectrometer for STSAT3 / J.H. Lee, T.S. Jang, H.-S. Yang, S.-W. Rhee // Journal of the Optical Society of Korea. - 2008. - Vol. 12(4). -P. 262-268.

6. Lee, J.H. Optomechanical Design of a Compact Imaging Spectrometer for a Microsatellite STSAT3 / J.H. Lee, C.W. Lee, Y.M. Kim, J.W. Kim // Journal of the Optical Society of Korea. - 2009. - Vol. 13(2). - P. 193-200.

7. Казанский, Н.Л. Моделирование работы гиперспектрометра, основанного на схеме Оффнера, в рамках геометрической оптики / Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов, А.В. Карсаков, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 2. - С. 271-280.

8. Soifer, V. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation / V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich. - London: Taylor & Francis Ltd., 1997. - 244 p.

9. Zemax - Программное обеспечение для разработки оптики и систем освещения [Электронный ресурс]. -2014. - URL: https://www.zemax.com/ (дата обращения 27.11.2014).

References

1. Mouroulis, P. Optical design of a compact imaging spectrometer for planetary mineralogy / P. Mouroulis, R.G. Sellar, D.W. Wilson, J.J. Shea, R.O. Green // Optical Engineering. - 2007. - Vol. 46(6) - P. 063001.

2. Mouroulis, P. Convex grating types for concentric imaging spectrometers / P. Mouroulis, D.W. Wilson, P.D. Maker, R.E. Muller // Applied Optics. - 1998. - Vol. 37(31), -P. 7200-7208.

3. Prieto-Blanco, X. Analytical design of an Offner imaging spectrometer / X. Prieto-Blanco, C. Montero-Orille, B. Cou-ce, R. de la Fuente // Optics Express. - 2006. - Vol. 14(20).

- P. 9156-9168.

4. Prieto-Blanco, X. The Offner imaging spectrometer in quadrature / X. Prieto-Blanco, C. Montero-Orille, H. Gon-zález-Nuñez, M.D. Mouriz, E.L. Lago, R. de la Fuente // Optics Express. - 2010. - Vol. 18(12). - P. 12756-12769.

5. Lee, J.H. Optical Design of a Compact Imaging Spectrometer for STSAT3 / J.H. Lee, T.S. Jang, H.-S. Yang, S.-W. Rhee // Journal of the Optical Society of Korea. - 2008. - Vol. 12(4). -P. 262-268.

6. Lee, J.H. Optomechanical Design of a Compact Imaging Spectrometer for a Microsatellite STSAT3 / J.H. Lee, C.W. Lee, Y.M. Kim, J.W. Kim // Journal of the Optical Society of Korea. - 2009. - Vol. 13(2). - P. 193-200.

7. Kazanskiy, N.L. Modeling action of a hyperspectrometer based on the Offner scheme within geometric optics / N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov, A. V. Karsakov, S.N. Khonina // Computer Optics. - 2014. - Vol. 38(2). -P. 271-280.

8. Soifer, V. Iterative Methods for Diffractive Optical Elements Computation / V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich. -London: Taylor & Francis Ltd., 1997. - 244 p.

9. Zemax - Optical and Illumination Design Software [Electronic resource]. - 2014. - URL: https://www.zemax.com/ (request date 27.11.2014).

ON THE COMPENSATION OF THE DIFFRACTION ORDERS OVERLAP EFFECT IN THE OFFNER SPECTROMETER

L. L. Doskolovich, E. A. Bezus, D. A. Bykov Samara State Aerospace University, Image Processing Systems Institute, Russian Academy of Sciences

Abstract

We analyze the performance of a diffraction-grating-based Offner spectrometer. We use the paraxial approximation to derive analytical expressions for the spatial and spectral point spread function for each diffraction order. We show that a disruptive effect of the diffraction orders overlap occurs. However, it can be compensated for by means of simple image post-processing.

Key words: spectrometers, imaging spectrometer, multispectral and hyperspectral imaging, Offner spectrometer, diffraction gratings.

Сведения об авторах

Сведения об авторах Досколович Леонид Леонидович и Быков Дмитрий Александрович -

см. стр. 597этого номера.

Сведения об авторе Безус Евгений Анатольевич -см. стр. 628этого номера.

Поступила в редакцию 30 октября 2014 г.