О применении метода потенциальных функций для построения системы оперативного прогнозирования состояния больных после травм головного мозга

УДК 681.3

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ОПЕРАТИВНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЯ БОЛЬНЫХ ПОСЛЕ ТРАВМ ГОЛОВНОГО МОЗГА

И.Б. ИВЕНИН, А.В. ОШОРОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Рассмотрены методические особенности применения метода потенциальных функций для решения задачи распознавания образов, принадлежащих пересекающимся классам. Сделана попытка построения решающих функций, позволяющих оперативно прогнозировать состояние больных после травм головного мозга.

Ключевые слова: метод потенциальных функций, оперативное прогнозирование, состояние больных.

Введение

В прикладных задачах распознавания образов часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда множества образов, принадлежащих различным классам, пересекаются, т.е. являются линейно не разделимыми. В таких ситуациях используются статистические методы распознавания, преимуществами которых также является использование безразмерных решающих функций, что дает возможность работать в пространстве признаков различной физической природы.

В статистической теории распознавания образов различают два взаимосвязанных подхода. При использовании первого (Байесовского) подхода в качестве решающей функции рассматривают функции правдоподобия для каждого 1-го класса

di (х) = р(х / Щ ),

где х = (х1,х2,...,хп )Т- вектор признаков, характеризующих образ; р(х / щ)- плотность распределения признаков 1-го класса. Для построения классификатора в этом случае, кроме решающих функций, необходимо на основе методов статистической классификации [1; 2] определить уравнения границ между классами в пространстве признаков.

Второй подход предполагает использование в качестве решающей функции вероятность принадлежности образа х классу

di

или некоторых монотонных функций от этих вероятностей Я(щ / х), обладающих свойством

Я(щ / х)> ЯЩ / х), если р(щ / х) > р(щ;. / х) .

При использовании второго подхода классификатор строится на основе сравнения значений самих решающих функций

х £Щ, если Я (щ / х )> тах Я Щ / х).

В рамках данной работы рассматривается построение обучаемого классификатора образов в рамках второго подхода на основе метода потенциальных функций, который в настоящее время является одним из наиболее разработанных, математически обоснованных и часто применяющихся методов распознавания образов [1; 2; 3]. Этот метод применяется для построения обучаемых классификаторов образов как при детерминированном, так и при статистическом подходе [2].

1. Описание проблемной ситуации

В рамках данной работы рассматривается проблемная ситуация, связанная с оценкой возможности построения на основе метода потенциальных функций системы оперативного прогнозирования состояния пациентов после черепно-мозговой травмы (ЧМТ).

При прогнозировании состояния пациентов после тяжелой ЧМТ особое внимание уделяется диагностике состояния ауторегуляции мозговых сосудов. На сегодняшний день одним из надежных и безопасных методов непрерывной оценки ауторегуляции мозговых сосудов можно считать мониторинг коэффициента реактивности мозговых сосудов на изменение АД (pressure reactivity index - Prx). Далее будем обозначать: Prx - коэффициент ауторегуляции мозговых сосудов за все время наблюдения; Prx24 - коэффициент ауторегуляции за первые 24 часа.

В настоящее время для определения дискретного множества состояний (исходов) после ЧМТ предложена шкала исходов Глазго (ШИГ), в которой предусмотрено пять вариантов исходов (табл. 1), которые далее будем называть классами ( 0)i).

Таблица 1

Номер исхода Тип исхода Обозначение класса

1 Смерть о

2 Вегетативное состояние 02

3 Г рубая инвалидизация о

4 Умеренная инвалидизация о4

5 Выздоровление о5

С точки зрения прогнозирования состояния пациентов после ЧМТ интерес представляют дихотомические шкалы исходов, представленных в табл. 2.

Таблица 2

Номер исхода Тип исхода Обозначение класса

1 Неблагоприятный исход W1 = 0 U°2 Uo

2 Благоприятный исход Q2 =w4 U°5

1 Умер w* =о

2 Выжил W2 =0 Uw U°4 U°5

На рис. 1 в пространстве параметров Ргх24-Ргх представлена статистика исходов для 5 классов в соответствии с ШИГ.

Ргх

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

V

*

_ ☆ V

V.

о

О С * “V

й**^ V *4

0 & Ф? й7 V

в

V

о

-0,2

0,2

_____I_____

0,4

0,6

Ргх24

Рис. 1. Распределение образов пяти классов исходов На рис. 2 приведено распределение исходов, соответствующих дихотомической шкале.

Ргх

о,а

0,6

0,4

0,2

-0,2

*<!»

♦

п

ф • •

_ Л А

*> Г ••

- о1

- о

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Ргх24

Рис. 2. Распределение образов двух классов исходов

Как видно из рисунков, и в шкале исходов Г лазго, и в дихотомической шкале исходов классы образов сильно пересекаются. Проблема заключается в оценке возможности применения метода потенциальных функций для построения классификатора, позволяющего прогнозировать состояние пациентов после ЧМТ по значениям параметров Ргх (Ргх24).

2. Постановка задачи

Существующая статистика из n = 138 упорядоченных исходов, отнесенных к соответствующим классам в шкале исходов Глазго (w, i = 1,5) и в дихотомической шкале (Ц, i = 1,2), рассматривается как обучающая последовательность для построения классификатора. Для каждого исхода известны значения двух параметров X1 = Pr x24 и x2 = Pr x.

Требуется построить аппроксимации решающих функций для каждого класса

f (x) » d.(x) = p(wi / x), . = ^ 5 ;

F (X) » D. (X) = р(Ц / 3c), i = 1, 2 и определить соответствующие ошибки классификации.

3. Построение обучаемого классификатора для двух классов

На каждом k -м шаге итерационного процесса обучения решающая функция di (X) аппроксимируется функцией

0, если -¥ < fk (X) < 0;

f

1, если 1 < fk (X),

где fk

m

fk

i=1

С каждым k -м выборочным образом связывается потенциальная функция вида

К

где a > 0 - положительная константа, а р(X-Xk)- расстояние от точки X = (X1,X2) до точки

Xk =

р( X - Xk )=V( X - X1k )2 + ( X2 - X2k )2 .

Для построения алгоритма обучения потенциальную функцию (3) представим в виде разложения по усеченному ряду тех же базисных ортонормированных функций р (X), что и в вы-

ражении

n mm

К

j=1 r=0 s=0

При записи выражения (4) учитывалось, что ортогональные многочлены двух переменных образуются как произведение ортогональных многочленов одной переменной.

Коэффициенты a.( Xk) этого разложения определяются в соответствии с методом наименьших квадратов

{аг (Xk X ai(Xk )} = argmin Ц

{а; ,а i}

К

i=0 j=0

dX1dX2

В качестве базисных ортонормированных функций выбираются функции

(рч м=у (x), q=1’2’"'’

где Pq (x) — сферические многочлены Лежандра, ортогональные на интервале [-1,1] с весовой функцией. Если область является прямоугольником G = x11, x12 ^ х x2, x2 ^, то предварительно переменные x1 и x2 должны быть приведены к интервалу ортогональности [-1,1]

1 = 2 X - X2 - X1

Х- 2 1-

X - X

В соответствии с [4] коэффициенты aq (xqk ) могут быть определены независимо по каждой переменной в виде

%(xk) =

Фа

где

К

( ^ ^) , ^т (х)) = | |еХР {-а ( X- XІ1 )2 +( ^- ^2 )2 (x^)jm ^2 АЖ

11

Фт (Фт (Х>) = | | Фт (х^Фт(X2 =

2

2т +1

Рекуррентный алгоритм обучения решающих функций может быть представлен следующим образом:

1. Начальные значения решающих функций и коэффициенты разложения выбираются, исходя из требования максимальной энтропии ситуации принятия решений

1г( X) = 1/2; о1 (Хк) =

£ 0

; г = 1,2; q = 0, т .

2. На каждом следующем (к -м) шаге обучения аппроксимация решающей функции изменяется в соответствии с выражением

я{=- я

V2, если Хк £й^ и £к-1 < £2к-1;

к 1 1 2 к-1 к-1

0, если^и / " >У2";

- V2, если ^ е и £к-1 > -1'

К последовательности корректирующих коэффициентов ук > 0, определяющих скорость

сходимости алгоритма, предъявляются требования [ 1]:

¥ ¥

Иш^ = 0; =¥; Т.Г2 =¥'

к¥ ы тй

Поскольку при реализации процесса обучения (5) выполняется соотношение

1 -1

1 -1

•<

XЯ У К (5,X ) = 0,

)

то при условии начальных условий (х) = 1/2 аппроксимации решающих функций в идеале

удовлетворяют условиям:

0 £ (X) £ 1; X !' (X) = 1,

)

что позволяет их рассматривать как приближенные оценки вероятностей р(щ / х).

Подставляя разложения (2) и (4) в выражение (6), можно получить рекуррентный алгоритм обучения коэффициентов разложения по схеме перцептрона [1; 2]

е\

С помощью выражения (7) на каждом шаге обучения определяются коэффициенты а\ в аппроксимациях решающих функций для каждого ) -го класса. Обучение коэффициентов по схеме перцептрона позволяет существенно сэкономить память при организации процесса на ЭВМ.

На рис. 3 - 10 представлены решающие функции для дихотомической шкалы исходов состояния пациентов после ЧМТ. Обозначения на рисунках соответствуют обозначениям в табл. 3.

Таблица 3

№ рисунка Обозначение класса исхода Обозначение решающей функции

3 Ф = щ Р

4 02 =щ2 ищ3 ищ4 ищ5 1 2-3-4-5

5 Ф =щищ2 Ъ-2

6 Ф2 =щ3 ищ4 ищ5 5 - 4

7 ф=щ ищ2 ищ Р1-2-3

8 Ф2 = Щ4 и Щ5 ^4-5

9 Ф ^^2 иЩ3 иЩ4 1 1-2-3-4

10

Рис. 3

Рис. 4

11-

Рис. 7

Рис. 8

Ошибки классификации, определяемые статистически по образам той же обучающей последовательности, для приведенных решающих функций не превышают 4 - 7%. Однако многомодальный вид решающих функций указывает на возможность увеличения ошибки классификации при использовании новых образов, не вошедших в обучающую последовательность, что обусловлено недостаточной исходной статистикой для построения достоверных классификаторов.

4. Построение обучаемого классификатора для пяти классов

Рассмотренный выше алгоритм может быть распространен на случай произвольного количества (Nщ) классов.

Обозначим через J - множество индексов ] , для которых /. (х- ) > (Xк ) при условии,

что хк е щ, а через М - мощность этого множества. Тогда в выражении (6) для обучения ре-

шающей функции и алгоритме обучения коэффициентов (8) индикаторы коррекции -Як определяются выражением

М/Ы^, если хк и /Ї-1 (^) < тах {^-1 (^)};

я:

°, если хк є щ и /ік-1

Л/Ыщ, если хкє щ, j є у и /і -1 > ^ -1.

Коэффициенты С (0) определяются в соответствии с выражением (5) при условии априорных вероятностей(X) = 1/ Nw, соответствующих максимальной энтропии ситуации принятия

решений перед процедурой обучения.

При назначении индикаторов коррекции решающих функций в соответствии с (9) должно выполняться дисциплинирующее условие

Ыщ

£

2=1

як/К

что позволяет при достаточно больших к рассматривать аппроксимации решающих функций /к (X) в качестве приближенных значений вероятностей рЩ / X).

Проведенные расчеты показывают, что статистическая ошибка классификации по 5 классам существенно превышает ошибку классификации в дихотомической шкале и достигает 30%.

Заключение

Результаты проведенных исследований показывают, что в пространстве параметров Ргх24-Ргх, характеризующих ауторегуляцию мозговых сосудов, на основе метода потенциальных функций принципиально могут быть построены классификаторы для прогнозирования состояния пациентов после ЧМТ.

Ввиду существенного пересечения классов в пространстве Ргх24-Ргх и, следовательно, их линейной неразделимости безошибочных классификаторов быть не может. При этом минимальные ошибки классификации соответствуют дихотомической шкале состояний.

Уменьшение ошибки классификации пяти классов может быть достигнуто: во-первых, за счет увеличения статистической выборки образов (статистики исходов); во-вторых, за счет привлечения дополнительных параметров классификации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзерман М.А., Браверман Э.М., Розоноэр Л.И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. - М.: Наука, 1970.

2. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. - М.: Мир, 1978.

3. Биргер И.А. Техническая диагностика. - М.: Машиностроение, 1978.

4. Ошоров А.В., Савин И. А., Горячев А.С., Попугаев К.А. и др. Первый опыт применения мониторинга ауторегуляции мозговых сосудов в остром периоде тяжелой черепно-мозговой травмы // Анестезиология и Реаниматология. - 2008. - № 2. - С. 61-67.

5. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. - М.: Наука, 1979.

ON THE APPLICATION OF THE METHOD OF POTENTIAL FUNCTIONS FOR BUILDING OPERATIONAL FORECASTING OF THE STATE OF PATIENTS AFTER BRAIN INJURY

Ivenin I.B., Oshorov A.V.

Considered are methodical peculiarities of application of the method of potential functions for the solution of the problem of pattern recognition, belonging overlapping classes. An attempt is made to build decision functions, allowing quickly to predict the state of patients after brain injury.

Key words: potential functions method, operational forecasting, the condition of patients.

Сведения об авторах

Ивенин Игорь Борисович, 1955 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1978), кандидат технических наук, начальник лаборатории ФГУП «ГосНИИАС», автор более 80 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.

Ошоров Андрей Васильевич, 1969 г.р., окончил Хабаровский медицинский институт (1994), кандидат медицинских наук, врач-реаниматолог НИИ нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко РАМН, автор более 60 научных работ, область научных интересов - мультимодальный мониторинг, оценка метаболизма и мозгового кровотока, оценка церебральной ауторегуляции у пациентов с острой церебральной паталогией.