К вопросу об оптимальных допусках на контролируемые параметры

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Авионика и электротехника

№ 89

УДК 629.375

К ВОПРОСУ ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ДОПУСКАХ НА КОНТРОЛИРУЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ

Е.Р. МАЙСКАЯ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кривенцевым В.И.

В данной статье рассматривается вопрос о необнаруженных и ложных отказах и предлагается метод расчета оптимальных контрольных допусков.

Оценка технического состояния изделий авиационной техники в процессе эксплуатации производится средствами контроля путем разделения их на исправные (пригодные для дальнейшей эксплуатации) и неисправные (подлежащие ремонту). При этом возможны ошибки первого рода - признание неисправного объекта исправным и второго рода - признание исправного объекта неисправным. Первая ошибка количественно характеризуется вероятностью «необнаруженного отказа» РНО, вторая - вероятностью «ложного отказа» РЛО. Уменьшение вероятностей необнаруженного и ложного отказа является одной из основных задач повышения эффективности технической эксплуатации. Это достигается за счет повышения надежности изделий, снижения погрешности измерений и рационального назначения контрольных допусков. Речь идет о достоверности контроля, которая является показателем степени объективного отображения технического состояния объекта контроля. Различают методическую составляющую достоверности, определяемую качеством или выбором метода контроля, и инструментальную составляющую, определяемую качеством средств контроля (прежде всего их точностью и надежностью). Погрешность средств контроля складывается из погрешностей датчиков, преобразователей, линий связи, средств обработки информации.

Пусть исправное состояние изделия определяется нахождением контролируемого параметра х. внутри поля допуска А. < х. < В.. Если измеряемый параметр имеет плотность распределения /(х), а плотность распределения погрешности измерения есть р(х), то величина фиксируемого средством контроля параметра у1 = х1 + д1 может оказаться вне поля допуска, хотя значение самого параметра лежит в области допустимых пределов А. < х. < В. (рис. 1). Это ошибка первого рода.

Рис. 1. Влияние погрешностей измерений на достоверность контроля

С другой стороны, возможен случай, когда истинное значение контролируемого параметра выходит за рамки допустимых пределов, а в результате измерения величина у2 = х2 +^2 контролируемого параметра окажется внутри поля допуска А. < у. < В{ вследствие

погрешности, например, измерительного прибора или средства, обрабатывающего информацию. Эта ошибка - вероятность пропустить в эксплуатацию неисправное изделие -значительно более опасна для эксплуатации. Для ее уменьшения устанавливается более узкое поле допусков, которые называются эксплуатационными допусками.

Однако это приводит к вероятности ложного забраковывания исправного изделия (ошибка второго рода), что ведет к экономическим потерям.

Таким образом, представляется целесообразным минимизировать вероятность необнаруженного отказа при фиксированном (приемлемом для эксплуатации) значении вероятности ложного отказа и наоборот.

Перейдем непосредственно к решению поставленной задачи.

Пусть техническое состояние изделия однозначно определяется вектором X = {х1, х2,..., хп}, координаты которого представляют собой контролируемые параметры. В пространстве М возможных значений X, (X е М) можно выделить область N допустимых значений вектора X, т.е., если X е N - изделие пригодно для эксплуатации («исправно»), если X £ N - изделие должно быть снято с эксплуатации («неисправно»). Назначение области N допустимых значений измеряемых параметров является прерогативой производителя изделия и в данной работе обнаружению не подлежит. Результат измерений характеризуется вектором У = {У^ У2 ^.^ Уп}. В соответствии с требованиями эксплуатации назначается более узкая область контрольных допусков п, такая, что, если У е п, то изделие признается исправным, в случае У £ п изделие в эксплуатацию не допускается, при этом У е М .

Тогда вероятность необнаруженного отказа:

РНО = Р{У е п,X£ N}.

Вероятность ложного отказа:

Рло = Р{У £ п, X е

Задачу нахождения оптимальной области п, такой, чтобы при заданном значении вероятности ложного отказа вероятность необнаруженного отказа была минимальной или, наоборот, при заданном значении вероятности необнаруженного отказа была бы минимальной вероятность ложного отказа, будем решать методом неопределенных множителей Лагранжа. Будем рассматривать величины х. как отклонения от некоторых номинальных значений

X0 ={х10,х20,...,х°}, за которые могут быть приняты, например, математические ожидания контролируемых параметров. Положим, что контролируемые параметры взаимонезависимы, имеют плотности распределения (х) .

На каждую координату установлены допустимые значения А. < х. < В{. Ошибки измерения 8{ = у{ — х. случайны, взаимонезависимы, имеют п-мерную плотность функции распределения

Рг (^>.

Пусть искомая оптимальная область п представляет собой п-мерный параллелепипед с центром в точке X0, при этом на каждую координату вектора У установлен контрольный допуск А. +а < Уг < Вг — Д, где а, Д. - параметры области п (а е ( —¥, °),Д е (—°°, оо) ).

Тогда для каждого параметра:

В. А. +а—х В. °

рло. (а, Д)=| / (х)* | р 1 /(х)ах | р ;

А

А

В —Д—х

А. В1 — Д — х ° В. — Д — х

РНО г (а , Д ) = | / (х)& | Р. + | / (х)& | Р. .

—° а.+а— х в. а. +а— х

В целом для изделия, характеризуемого п независимыми параметрами:

Рло = 1—п (1—Рло,(а. Д));

Рно = 1—П (1—Рно, (а, Д)),

.=1

т.к. практически значения вероятностей ложного и необнаруженного отказа достаточно малы:

Рло»1ЬРло.

.=1

Рно»I Рно,

=1

Для нахождения параметров оптимальной области п{а1 , Д1 ,а2Д2,...ап, Дп} решим систему уравнений, составленных по методу неопределенных множителей Лагранжа.

Для случая необнаруженного отказа система уравнений запишется следующим образом:

Л

[Рно. (а, Д)+тРлог (а, Д)] =0

э а

Л

эд [Рно. (а, Д)+тРлог (а, Д)] =0 ЭД

I = 1...п

¿Рта (аД) = Р

лоз

где Рлоз - заданное значение вероятности ложного отказа.

Для случая ложного отказа:

эа

э

э

[Рло. (а, Д)+тРног (а, Д)]=0 э Д \Рлог (а , Д ) + тРног (Щ , Д )] = 0

эД

I = 1...п

ЪРно.а, Д)=р

ноз

где Рноз - заданное значение вероятности необнаруженного отказа.

Решим задачу для случая, когда вероятность ложного отказа имеет фиксированное значение (задана), и необходимо найти параметры области п , минимизирующие вероятность необнаруженного отказа.

Рассмотрим распространенную для эксплуатации ситуацию, когда контролируемые параметры и погрешности измерения имеют нормальный закон распределения. Положим для упрощения выкладок х0 = 0, 1 = 1...п, введем коэффициент несимметрии поля допуска

А

=----- и обозначим В{ = А{, тогда:

В,

=1

г =1

А^-ь

21 а.

42

+

т

- кі А і -1

аі

42

ёх +

жа

_1| х+т2

21 а

42

ёх -

11 х + т,2

жа

42

ёх

жа

і А і

21 а і

42

+

жа

т

-кі А і -11 х + ті

і 21 аі

42

ёх +

жа

Аі -11 х + ті

ґ 21 аі

42

ёх +

¥ -1| х+ ті

С 21 аі

жа

і - к і А і

42

ёх

жа

і = 1... п

±Р.,о , («і, Ь) = Р

ЛО З

і = 1

^2 _ _2 , 2

а, = аХ + а7

і X і А і

т

2 _ аХі

2 2 2 а = т, а7

і і А і

2 2

где (7x1 и 721 - дисперсии параметра и погрешности измерения.

Введем обозначение Ф,

1 х і2

(х) = . I е 2 ёХ и перепишем систему (1) в следующем виде:

л/2ж 0

Фг

Аі+ тг

а

У

а

У

Ф

Аі + т

а

-Ф

кі Аі + ті2

а

С

\

С

= 1... п

±Рло, (а, ь)=Р

ЛО З

і=1

Для решения этой системы уравнений используется метод последовательных приближений. Аналогичным способом можно составить и решить систему уравнений для случая, когда задана вероятность необнаруженного отказа, и необходимо найти параметры области п , соответствующие минимальному значению вероятности ложного отказа.

В реальных условиях эксплуатации погрешность измерения мала (7Х. У)7г.), поэтому 7 @ 7г.,т. @ 1,1 = 1...п, что значительно упрощает систему уравнений (2):

2

1

1

2

е

е

2

А

1

I

!

2

а

О

е

е

2

1 ( кіхі-аі

1

1

е

е

1

О

е

е

А

Фг

Фг

С 2А г -Д ^

-Ф

А г

Аг

о

+ Фг

оzl

С а ^

С

V0Zг У

= С

г = 1...п

¿Р^ (а. Д) = Р

ЛОЗ

В случае симметричных допусков к г = 1, г = 1...и, а = Д тогда:

Фг

+ Фг

V zг у

= С

г = 1...п

¿р^, (а)=Р

ЛОЗ

г=1

Полагая. что а мало. упрощаем систему уравнений (4):

Ф

о

V zг У

=С

= 1... п

¿р.„, (а) = Р

ЛО З

г =1

Задавшись желаемым значением вероятности ложного отказа Р , при известных

ЛО З

допустимых значениях А1, величинах среднеквадратического отклонения <тх., и задаваясь

значениями С. по таблице в [5] находим значение

V 0z г у

; тогда по графикам зависимостей

вероятности ложного отказа от величин допусков и среднеквадратических отклонений определяем РЛО. для каждого параметра и проверяем, удовлетворяют ли они заданному

значению вероятности ложного отказа. После этого находим значение контрольного допуска и соответствующую вероятность необнаруженного отказа.

г=1

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. -М.: Наука, 1965.

2. Воробьев В.Г., Константинов В.Д. Надежность и эффективность авиационного оборудования: Учебник. - М.: Транспорт, 1995.

3. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. - М.: Советское радио, 1975.

4. Когге Ю.К., Майский Р.А. Основы надежности авиационной техники: Учебник. - М.: Машиностроение, 1993.

5. Дружинин Г.В., Степанов С.В. и др. Теория надежности радиоэлектронных систем в примерах и задачах: Учебное пособие. - М.: Энергия, 1976.

TO A QUESTION ON OPTIMUM TOLERANCES ON CHECKED PARAMETERS

Mayskaya E.R

In the article the question of wrong and undiscovered fault is considered. The method of calculation optimal control admission is proposed.

Сведения об авторе

Майская Елизавета Романовна, окончила МГТУ ГА (2003). аспирант МГТУ ГА . область научных интересов - авиационная электротехника. эксплуатационная технологичность. надежность систем авиационного оборудования.