Решение интегрального уравнения энергии для турбулентного пограничного слоя высокотемпературной диссоциированной газовой смеси

УДК 621.455

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ДИССОЦИИРОВАННОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ

А.А. Бураков, С.А. Стецкий, Е.В. Панов, А.Г. Бездетко

Численный метод взвешенных невязок на базе нейросетевых пробных функций применен при решении интегрального уравнения энергии для турбулентного пограничного слоя высокотемпературной химически реагирующей газовой смеси в сочетании с полученной нейросетевой зависимостью закона конвективного теплообмена

Ключевые слова: пограничный слой, диссоциация, теплообмен

Введение

Моделирование конвективного теплообмена в условиях высокотемпературного потока газовой смеси основано на решении дифференциальных уравнений, аппроксимациях законов теплообмена, аппроксимациях справочной информации. Можно отметить традиционные источники возникновения погрешностей численных результатов, такие как погрешности дискретизации, недостаточная аппрокси-мационная мощность пробных функций решения, низкая точность критериальных соотношений теплообмена и пр. Таким образом, если устранить источники возникновения этих погрешностей, то точность расчетных результатов можно существенно повысить даже при использовании типовых расчетных методик. В данной работе получена нейросетевая аппроксимация закона конвективного теплообмена для уточнения теоретических решений уравнения энергии для турбулентного пограничного слоя сжимаемых химически реагирующих продуктов сгорания, при получении которых (решений) используется численный метод взвешенных невязок на базе нейросетевых пробных функций [1-4].

Уравнение энергии для пограничного слоя

Интегральное уравнение энергии в форме В.М. Иевлева имеет вид [5]:

Бураков Александр Александрович - ВГТУ, аспирант, тел. (4732)52-34-52

Стецкий Сергей Анатольевич - ВГТУ, аспирант, тел. (4732) 52-34-52

Панов Евгений Викторович - ВГТУ, аспирант, тел. (4732) 52-34-52

Бездетко Александр Григорьевич - ВГТУ, студент, тел. (4732) 52-34-52

dzT Zt Zt dD

dx a

T

D dx

d(l0-x IcT ) _ Rg ß px МЮге dx 0 Pore Mx

где

px M0re _ (i — ß2 )k/k-1

>1,88

(1 + Tct )52 (3 + Tct Г

1 -

ß2

2

1,52

1-

9ß2 4

0,18

и для получения возможности решения используется зависимость одной неизвестной от другой (закон конвективного теплообмена):

0 56 2 ч 0,9225

ат _

z

\ zT J

1 - 0,21

1 - Pr ß2 Pr43 1-T

CT

307,8 + 54,8lg2

Pr

19.5

Pr0,45 z-°>08 - 650

В формулах (1)-(3) х = х^кр - относительная координата вдоль образующей камеры; йкр - диаметр критического сечения;

В = 2R|dKр - относительный текущий диаметр; 10х, Т0а, - энтальпия и температура

адиабатически «заторможенного» потока вне пограничного слоя; 1СТ - энтальпия газа при

~2Т Р^кр^к

температуре стенки; Яе0 =Л1

к -1 [ЯТ)о’г Цог характерное число Рейнольдса, определяемое по плотности и вязкости «заторможенного» потока, диаметру критического сечения и теоретически возможной максимальной скорости истечения данного газового потока ишах (вк -

ШаА ' А.

показатель неизобаричности камеры сгорания);

z

X

1

X

Тст — Tct Тою - относительная температура стенки (температурный фактор);

в = u/umax = (к + 1)(к -1) - относительная

скорость истечения (Л, - коэффициент скорости, к - показатель адиабаты); рx, цx - определяемые для данного газового потока характерные значения плотности и вязкости (рx - var, цx - const по длине камеры), при которых для газа будут справедливы теплообменные соотношения, полученные В.М. Иевлевым экспериментально для несжимаемой жидкости; Pr - критерий Прандтля, z, Zt -функции, пропорциональные толщинам потерь импульса и энергии в пограничном слое.

С использованием газодинамических соотношений (1) можно преобразовать к виду, удобному для численного решения:

dzT

Zt daT Zt dD

dx ат dx

D dx

2k

k—1

PKdKpzк (i _p2)k/k-1_

-,1,88

(RT )0’5

о Г ц0 Г

0,18

1 -

в2

V’5V

2

/

1-

9в 2

0,18

V

4

где аТ = Az - n/2 z-n/2, A=0.01352, n=0.15,

1 -в2 +в2

1,769-

1 - 0,08696-

1 -в 2 1 - Тст + 0,1в2

0,54 '

1 - тСТ + 0,1в2

Теоретическое определение закона конвективного теплообмена

Метод решения уравнения (1) по Иевлеву основан на эмпирических зависимостях коэффициентов трения и теплообмена от вспомогательных функций г, гГ, полученных для несжимаемой жидкости и обобщенных для сжимаемого газа. Для исследования законов трения и теплообмена на микроуровне необходимо моделировать распределения скорости и температуры в пределах турбулентного пограничного слоя. В этих целях возможно использование аналитического решения интегрального уравнения энергии согласно газодинамической теории теплообмена [6]. Уравнение энер-

гии в этом случае удобно записать в виде (в дальнейшем предполагаем Рг = 1):

d Re

d0n R) + Re** d[(I0 - Ict )] =

dx

T + ReT "''v/ + Re

dx

Re0 p _P_

AT P0

dx

•

где величина AT —

р0и--------

p0

qCT

0

обратно

пропорциональна коэффициенту теплоотдачи от газа в стенку; Мо = - 1сг ; Ро™ - дав-

ление торможения вне пограничного слоя. Отличие записи данного уравнения от соответствующего в форме Иевлева заключается в определении чисел Рейнольдса, построенным по толщине потери энергии, и формах записи выражений для данной толщины. В

5т

риг

(

10 10

10 -1

dy,

CT у

ReT —

о *

р ли5т

ц эф0

где цэфох - вязкость, соответствующая температуре торможения недиссоциированных продуктов сгорания вне пограничного слоя. У В.М. Иевлева

5т —J

риг

р xU R

10 10

Л

v10 Ict

dy,

ReT —

£ * р xU5T

ц x

Поэтому

ReT* — ReT — ReT

ц эф0

— ReT

(1 + Tct -в2 ^

2 4

v

( T \

A xц

vT0y 0,7

0,7

ср

.

Здесь ГХц - средняя по длине камеры температура Гт (Гт - средняя температура в пограничном слое, соответствующая средней энтальпии в пограничном слое 1т, которая по

В.М. Иевлеву, определяется в виде разности средней энтальпии торможения и среднего динамического добавка). Из сопоставления выражений для АГ и закона конвективного теп-

X

5

1

х

z

z =

5

лообмена qcг = «гРxuда(/о™ - 1сг ) следует

р0™

1

Л$ =

рх р0™ аТ Р х = Р

и с учетом

ро™ ро™ Г1 + Г

сг _ Р_ 2 4

0,82 .

3 + Г,

сг

9в

16

0,18

получаем

Г1 + Т

2

ст _в 4

0,82 .

з+т

_/________ч_

О/Г

СГ _ 9в 16

0,18

Зависимость ЛГ (Яег, ТСГ, Р) может быть получена непосредственно из интегральных соотношений импульса и энергии при расчетных профилях скоростей и температур в погранс-лое. Согласно газодинамической теории теплообмена эта зависимость может быть найдена из совместного решения уравнений

ЛГ =

ГэфЖг

кал

КеТ =

^

где

Ф = %г

ГСГ +

VV

1,7 кха л

тсг+(1 - тсг т _гвкха

%Г

0,7

к - эмпирическая константа в формуле для длины пути перемешивания модели турбулентности Прандтля (к = 0,38 - 0,4); х - эмпирическая константа в условии Кармана для толщины ламинарного подслоя

5 X р -

Ц л

= X = 11,5; С, СТ - вспомогатель-

ные переменные, входящие в уравнения для профилей скорости и температуры в турбулентной части пограничного слоя, см. формулы (17).

Входящие в уравнения (11) величины -Гэф л - относительная температура недиссоции-

рованных ПС на границе ламинарного подслоя и ал - переменная преобразования координат при задании линейного в ламинарном подслое

и логарифмического в турбулентной части пограничного слоя профиля скоростей и температур, находятся из совместного решения уравнений

Гэф. л = ТСГ +

кХа-

ГРкха-

%

у

Г

эф. •

(1 - Тст ) 2 Р2 кХа

Тэф.л +

%т

- 2^2,- • %2

Таким образом, при расчетных значениях в вдоль контура камеры, задаваясь значениями Тсг , %Г и учитывая условие %г - % = 0,5, находят зависимость Лг (Кет , Тсг , Р), т.е. устанавливается закон теплообмена, зная который возможно получить решение интегрального уравнения энергии для пограничного слоя. Для получения аппроксимационной зависимости

Лг (КеТ*, Тсг , Р) весьма плодотворно использование новых высокоточных методов многомерной аппроксимации, основанных на нейро-сетевых вычислительных структурах. Сформируем нейросетевую зависимость ЛГ от числа Рейнольдса, построенного по толщине потери энергии в тепловом погранслое, температурного фактора и относительной скорости ПС. Диапазон применения данной нейрозависимости определим следующим образом

_ **

ТСГ = 0 ^ 1; р = 0 ^ 0,8 и Яег = 1000 +1000000. В качестве сети выберем персептрон с одним скрытым слоем. Обучающая выборка формируется согласно ЬРХ алгоритму [7] (генерировалось 1890 точек). На основе интеллектуальной базы данных оптимальной структуры пер-септронов [5] рассчитана структура сети, т.е. количество нейронов в скрытом слое, равное 7.

В результате обучения методом комбинированного обратного распространения ошибки (КОРО) была достигнута точность аппроксимации Ег = 0.001. На рисунке представлен сравнительный анализ нейросетевых значений Лг и определенных из системы уравнений (1113) для Тсг = 0,6 . Как видно из этого рисунка,

нейрозависимость Лг (ДеТ*, Тсг , Р) обладает очень высокой точностью и может быть использована для решения уравнения энергии

(4).

1

Т

4

а• =

4

/

- -

Ж у' ^ -

¿¡У/ Re*;

17,5

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

Результаты вычислений Aт

Нейросетевое решение уравнения энергии

Массив значений функции Б (х), определяющий геометрию расчетной области, удобно представить нейросетевой зависимостью Б = /шт (х), что позволяет определить аналитическую зависимость —. При представлении пробного решения уравнения энергии в

dzт йат

виде 2т = /шт (х) производные —и -------------

dx dx

также определяются аналитически. Настройка решения осуществляется нейросетевым МВН до получения заданного значения невязки уравнения (4) по заданной геометрии расчетной области.

Полученные результаты могут быть использованы для расчета распределения скорости и температуры поперек пограничного слоя. Определив из решения уравнений

** _ ______________________

значения %т, %Дет , тл при известных р и тст ,

ФХ<

с учетом Re =

і -21 exP©

кал ехр

пользуя определения

Re« = рлию§Т Д эф0ю

ис-

и

** р лию^

Re =------------

(рл - плотность на границе лаН- эф0<х>

минарной части пограничного слоя), имея в виду, что

ию = Ритах = Р

р = р0ю

Рл — frr

Лк

к-1 р0ю

(RT \

0ю

Тэф.л (rT )ою Тэф,

М эф0ю Д

1000

(Т ^

эф0ю v1000j

где вязкость ПС при 1000 К

1

М-1000 = —(—

pm

чЦі 2 Ріті

(т- молекулярная масса, Рі - парциальное давление), найдем толщины потери энергии и им** **

пульса 8у и 5 , зная которые найдем толщи-

ны теплового и динамического пограничного слоя 5тп, 5^ в данном сечении камеры:

** / \ я**

І = і (і - і1 и 5- =

5щ іт І 5І 5Л 51 5,

Здесь 5^п и 5^ отсчитываются в соответствии

с переменной п, коллинеарной у и выражаемой для турбулентной части пограничного слоя г р

соотношением ёц =—— ёу .

К р л

Толщина ламинарного подслоя в координатах х, п (ёп = — ёу в ламинарном подслое) Ц

определяется из ХЦл = ХЦл5 Рл™*ал Рлалкм<х> скорость (скорость трения) w* вводится усло-

условия Кармана где динамическая

т TCT Л

вием л = л = const = w* ’ рл и ию опреде-

ра рлал

ляются по (14)’ а вязкость на границе ламинар-

ного подслоя Д л = М1000

Ґ Т1 Т1 \0’7

Т лТэф0ю

1000

. Профи-

ли скорости и температуры в ламинарном подслое в координатах x, п линейные

л л л

и = тСТ п = рлал к ию п

Д л

лл

ДТ0 = п = ДТ°юрлк алию п ’

срДл ДлСт

а значения и, ДТ0 изменяются от 0 соответст-

венно до ил = ис

кХ

ал и ДТ0 л = ДТ0о

кХ

% %т

Преобразования координат х, п в х, у в ламинарном подслое можно провести по формуле

у =1 1 0

0,7

Т

К1 л j

ёп. В формулах

ДТ0 = Тэф.0 - ТСТ ’ ДТ0ю = Тэф.0ю - ТСТ

0.7

Распределения скорости и температуры в турбулентной части погранслоя, т.е. при 8^ < п ^ определяются выражениями

— = 1 + -ln %

Ф

ЛЛ

-1

п + 8пл

5Л exp

ATq

ATq

П + 8

цл

Ф

-1

8Tn

причем множитель ехр(т - %) в знаменатель формулы для скорости введен для выполнения условия 5п = 8щ при Рг = 1. Преобразование

координат х, п в х, у в турбулентной части погранслоя выполняется по формуле

п т

у =| —dn . Таким образом, можно получить

8П

T

расчетные профили скорости и температур поперек пограничного слоя продуктов сгорания для произвольной осесимметричной области течения.

Заключение

Получено распределение характерных параметров турбулентного пограничного слоя продуктов сгорания в огневом пространстве цилиндрической камеры, отличающееся использованием НМВН для решения интегрального уравнения энергии с нейросетевой аппроксимацией закона теплообмена [9-11]. Повышение точности математического моделирования тепловых потоков в камере сгорания позволяет повысить надежность и параметры

эффективности функционирования энергетического устройства.

Литература

1. Кретинин А.В. Метод взвешенных невязок на базе нейросетевых пробных функций для моделирования задач гидродинамики // Сиб. журн. вычисл. математики. РАН. Сиб. отд-ние. 2006. Т. 9. № 1. С. 23-35.

2. Кретинин А.В. Решение уравнений Навье-Стокса методом взвешенных невязок на базе нейросетевых пробных функций// Системы управления и информационные технологии. 2005. № 2(19). С. 17-20.

3. Кретинин А.В., Булыгин Ю.А., Волгин В .А., Апа-сов В.Н. Использование динамических расчетных сеток в нейросетевом методе взвешенных невязок для моделирования гидродинамических задач // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2007. № 9. С. 33-40.

4. Стогней В.Г., Кретинин А.В. Моделирование течений в канале с проницаемой стенкой на базе искусственных нейронных сетей // Известия вузов. Авиационная техника. 2005. № 1. С. 34-38.

5. Основы теории и расчета ЖРД. В 2 кн./ А.П.Васильев, В.М.Кудрявцев, В.А.Кузнецов и др.; Под ред. В.М.Кудрявцева. - М.: Высш. шк., 1993. 713 с.

6. Калихман Л.Е. Турбулентный пограничный слой на поверхности, обтекаемой газом. - М.: Оборонгиз, 1956. 213 с.

7. Антонов И.А., Салеев В.М. Экономичный способ вычисления ЛПт-последовательности // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1979, Т. 19, № 1. С. 243-245.

8. Кретинин А.В. Формирование нейросетевой базы данных для оптимизации структуры персептронов // Сиб. журн. вычисл. математики. РАН. Сиб. отд-ние. 2005. Т. 8. № 1. С. 43-55.

9. Использование нейросетевых конечных автоматов для моделирования функционирования агрегатов жидкостного ракетного двигателя / А. В. Кретинин, Д. В. Солдатов, А.А. Шалыто, А.В. Шостак // Информационные технологии. 2005. № 8. С. 47-53.

10. .Шостак А.В., Кретинин А.В, Гуртовой А.А. Построение нейросетевых моделей агрегатов кислородноводородного жидкостного ракетного двигателя // Известия вузов. Авиационная техника. 2005. № 1. С. 72-74.

11. Кретинин А.В. Математическое моделирование и расчет теплового состояния камер сгорания энергетических установок на основе нейросетевой вычислительной архитектуры/ Нейрокомпьютеры: разработка и применение. 2007, № 9.

V ал

Воронежский государственный технический университет

THE DECISION OF THE INTEGRATED ENERGY EQUATION FOR THE TURBULENT BOUNDARY LAYER OF THE HIGH-TEMPERATURE DISSOCIATED GAS MIXES

A.A. Burakov, S.A. Stezkij, E.V. Panov, A.G. Bezdetko

The numerical method of weighted residuals on the base of neuronet's trial functions is applied at the decision of the integrated energy equation of a turbulent boundary layer in the combustion chamber of the energy unit in a combination with received neuronet's dependence of the law of heat exchange Key words: boundary layer, dissociation, heat exchange