Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка

Известия Института математики и информатики УдГУ

2016. Вып. 1

УДК 517.968 © Т. К. Юлдашев

ОБ ОДНОМ СМЕШАННОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Рассмотрены вопросы разрешимости и построения решения нелокальной смешанной задачи для однородного смешанного дифференциального уравнения четвертого порядка. Использован спектральный метод, основанный на разделении переменных. Установлен критерий однозначной разрешимости поставленной задачи. Также изучены вопросы существования решений в случае, когда нарушается единственность решения.

Ключевые слова: смешанная задача, дифференциальное уравнение смешанного типа, уравнение четвертого порядка, интегральные условия, однозначная разрешимость.

§ 1. Постановка задачи

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению смешанных, краевых и обратных задач для уравнений в частных производных. Теория смешанных и краевых задач в силу ее прикладной важности в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений.

Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений и дифференциальные уравнения четвертого порядка (см., например, [1-6]). Изучению нелинейных уравнений в частных производных четвертого порядка посвящены, в частности, работы автора [7,8].

В случаях, когда граница области протекания физического процесса недоступна для измерений, в качестве дополнительной информации, достаточной для однозначной разрешимости задачи, могут служить нелокальные условия в интегральной форме [9,10].

Задачи, где меняется тип дифференциального уравнения в рассматриваемой области, имеют важные приложения (см. [11-13]). Дифференциальные уравнения смешанного типа изучались в работах многих авторов, в частности, в [11,14-20].

В настоящей работе изучается нелокальная смешанная задача для смешанного дифференциального уравнения четвертого порядка. Итак, в прямоугольной области О = {(г,х) \ — а < г < в, 0 < х < 1} рассматривается смешанное уравнение вида

Ъи = и ц — и цхх + 1)ПХХ = 0,

где а и в — заданные положительные действительные числа.

Задача. Найти в области О функцию и(Ь,х), удовлетворяющую условиям

и

ъи

и

г/3 ГО

/ и

]о >-а

где ^>(х) и ф(х) — заданные достаточно гладкие функции, О- = {(г, х) \ —а<г< 0, 0 < х < 1}, О+ = {(г,х)\0 <г<в, 0 <х < 1}.

§ 2. Поиск частных решений

Нетривиальные частные решения уравнения (1.1) в области П будем искать в виде и(Ь, х) Т(Ь)  X(х). Тогда из уравнения (1.1) получаем

т"(ь)  х(х) — т"(ь)  х"(х) = —(щпь)т(ь)  х"(х).

Здесь почленно разделим на — ^пЬ)Т(Ь)  X(х):

Т "

— (^п Ь)Т(Ь) —^п Ь)Т(Ь) X(х) X(х) ' то есть справедливы соотношения

Х"(х) 2 Т"(1) Т"(1) Х"(х) 2

Х(х) ^ ' -^п*)т(*) -(^пг)т(г) Х(х) ^ '

где —ц2 — постоянная разделения, 0 < ц. Отсюда с учетом граничных условий (1.4) получаем

X"

X

Т"

Т"

2

где Л 2 =

V

1 + V 2'

Спектральная задача (2.1), (2.2) имеет решение

X 0

Тогда общие решения дифференциальных уравнений (2.3) и (2.4) имеют вид

í aneхnt + bne-Xnt, t> 0, , ч

Tn

сn cos Лnt + dn sin Лnt, t< 0,

где an, bn, cn, dn — произвольные постоянные, Xn = \ —^n о •

V 1 + Ц n

Поскольку решения Un(t,x) = Tn(t)  Xn(x) должны удовлетворять условию (1.2), то постоянные an, bn, cn, dn подберем так, чтобы выполнялись условия

Tn

Из (2.6) с учетом условий (2.7) получаем, что cn = an + bn и dn = an — bn. Тогда функции (2.6) принимают вид

i c n ch Л nt + d n sh Л nt, t> 0, T n

I cn cos Лnt + dn sin Лnt, t< 0.

Теперь предположим, что задача (1.2)—(1.5) в области Q имеет единственное решение U(t, x). Тогда с учетом функций (2.5) это решение, согласно методу Фурье разделения переменных, представляется в виде

$ (t) ^

U(t, х) = —|--Ь ^ [&n(t) COSfXnX + un(t) sin ¡лпх\,

n=1

где

u n

J 0

$n

0

§ 3. Определение коэффициентов Фурье

Покажем, что функции (2.9) и (2.10) удовлетворяют уравнениям (2.3), (2.4) в соответствующих интервалах и условию (2.7). Дифференцируя по г равенства (2.9) и (2.10) два раза и учитывая уравнение (1.1), получим

u"n(t) = 2 Utt sin /nx dx = 2 (Uttxx - Uxx) sin /nx dx, t> 0, J0 Jo

u"n(t) = 2 Utt sin /nx dx = 2 (Uttxx + Uxx) sin /nx dx, t < 0, oo

$"n(t) = 2 Utt cos /nx dx = 2/ (Uttxx - Uxx) cos /nx dx, t> 0, (3.3) oo

$"n(t) = 2 Utt cos /nx dx = 2/ (Uttxx + Uxx) cos /nx dx, t< 0. (3.4) oo

Интегрируя два раза по частям в интегралах (3.1)-(3.4), с учетом условий (1.4) получаем следующие уравнения

u"n

u'n

i-nW i Q" \2,

$'n(t) - An$n

К

где A n =

2 _

1+/Л2

n

Дифференциальные уравнения (3.5) и (3.6), (3.7) и (3.8) при Л = Лп совпадают соответственно с уравнениями (2.3) и (2.4). Далее с учетом условий (1.2) из (2.9) и (2.10) получаем

un(0 + 0) = 2 U(0 + 0,x)sin/nxdx = 2 / U(0 - 0,x)sin/nxdx = un(0 - 0),

oo

$ n(0 + 0) = 2 / U (0 + 0, x) cos /л nxdx = 2 f U (0 - 0,x)cos/ nxdx = $ n

oo

t

u'n

n o o n

$'n(0 + 0) = 2 f U t(0 + 0, x) cos /л nxdx = 2 f U t(0 - 0,x)cos/ nxdx = $'n

n o o n

Условия (3.9), (3.10) и (3.11), (3.12) совпадают с условиями (2.7). Тогда для задач (3.5)—(3.12) аналогично формуле (2.8) имеем

\ cn ch Ant + dn sh Ant, t> 0,

u n

cn cos Ant + dn sin Ant, t< 0,

f Cn ch A nt + dn sh A nt, t> 0, $ n

[ cn cos Ant + dn sin Ant, t< 0.

Для нахождения постоянных cn, dnrn cn, dn воспользуемся интегральными условиями

гв г 1 гв г 1

/ u n(t) dt = ^ / U (t,x) dt sin /л n xdx = 2 I ^(x)sin/ nxdx = p n, (3.15) Jo Jo Jo Jo

ГР [1 г в п

/ $п(Ь) йЬ = 2 / и(Ь,х) йЬ сов цпхйх = 2 ф(х)совцпхйх = фп,

Л) ]о Л)

/0 г-1 г-0 г-1

ип(Ь) йЬ = 2 / и(Ь,х) йЬ вш цпхйх = 2 ф(х)в\пцпхйх = фп,

-а ./0 > —а Л)

/0 Г1 г0 [-1

$п(Ь) йЬ = 2 / и(Ь,х) йЬ сов цпхйх = 2 ф(х)совцпхйх = фп.

1—а '10 ! —а

При Ь > 0 из (3.13) и (3.15) получаем

гв

0

вв фп = I ип(Ь) йЬ = I (сп А ЛпЬ + йп вЬ Лп Ь) йЬ = 00

зЪХпЬ + ^ сЬ ХпЬ

Лп Лп

При Ь < 0 из (3.13) и (3.17) получаем

в с й 0 Л п Л п

/0 г0

ип(Ь) йЬ = (сп сов ЛпЬ + йп вт ЛпЬ) йЬ =

-а )—а

с п  \ , й п х ,

— 81ПА„< — — СОв А„.£

Л п Л п

= вт Хпа + -^(сов Хпа — 1).

Л п Л п

Из (3.19) и (3.20) получаем систему уравнений для определения неизвестных коэффициен-

тов спи й„\

с п вЬ Л пв + й п (А Л пв — 1) = Л пф п с п вт Л па + й п (сов Л па — 1) = Л пф п

Система однозначно разрешима, если ее определитель не обращается в нуль при любых 0 <а 0 <в

Ап(а, в) = вЬ Лпв  сов Лпа — сЬ Лпв  вт Лпа + вт Лпа — вЬ Лпв = 0.

Аналогично из (3.14), (3.16) и (3.18) получаем систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов сп и йп:

Сп вЬ Л пв + йп (сЬ Л пв — 1) = Л пф п, Сп вт Л па + йп (сов Л п а — 1) = Л п ф п.

И эта система однозначно разрешима, если выполняется условие (3.22). Пусть выполняется условие (3.22). Тогда из (3.21) и (3.23) находим

Л,

(ц>п{сое Лпа-1)-фп(сЪ Хп(3-1)), <1п = д . (-(рпБтХпа+фп вИ Ап/з),

А п

Л п

ф п(сов Л па—1)—ф п(сЬ Л пв—1л, йп =

Ап(а, в) Л п

А п

Подставляя эти коэффициенты в формулы (3.21) и (3.23), получим

ф п вт Л па+ф п вЬ Л пв

и п (Ь) =

Л п

Ап

ф п

сЬ Л пЬ  (сов Л па — 1) — вЬ Л пЬ  вт Л па

+

и п(Ь) =

+ ф п сЬ Л пЬ  (1 — сЬ Л пв) — вЬ Л пЬ  вЬ Л п в] } , Ь> 0,

Л п

А п

ф ,

сов Л пЬ  (сов Л па — 1) — вт Л пЬ  вт Л па

+

0

—а

с

п

п

$ n (t) =

+ фn cos Лnt  (1 — ch Лпв) — sin Лnt  sh Лпв t< 0,

Ara Г

Лга(а,/?) ^

+ ф n ch Л nt  (1 — ch Л ne) — sh Л nt  sh Л

ch Л nt  (cos Л na — 1) — sh Л nt  sin Л na

, t> 0,

+

$ n(t) =

Л n

p ,

cos Л nt  (cos Л na — 1) — sin Л nt  sin Л na

t < 0.

A n

+ ф n cos Л nt  (1 — ch Л ne) — sin Л nt  sh Л ne

+

Теперь предположим, что p(x) = 0 ф(х) = 0, Тогда pn = pn = 0 Фn = Фn = 0 и из формул (2.9), (2.10) и (3.24)-(3.27) следует, что

/ U (t, x)sinц n xdx = 0, n = 1,2,... Jo

/ U(t, x)cos^nxdx = 0, n = 0,1,2,.. o

Отсюда в силу полноты системы собственных функций {1,cosцnx, sinцnx} в L2[0,1] заключаем, что U(t, x) = 0 для всех x £ [0,1] и t £ [—a, в].

§ 4. Существование решения

Сначала рассмотрим случай, когда нарушается условие (3.22). Пусть An(a, в) = 0 при некоторых a и n = m, тогда однородная задача (1.2)—(1.5) при p(x) = 0 ф^) = 0 имеет нетривиальное решение

dím{ sh Л mt  ch Л тв — sh Л тв

dm( sin Лmt  ch Лтв — sh Лтв  (cos Лmt — 1)  Xm(x), t < 0,

где dm — произвольные постоянные, не равные нулю, Xm(x) £ {1, cos ц,nx, sinц,nx}. Условие An(a, в) = 0 эквивалентно равенству

sh Лnв  cos Лna + (1 — ch Лnв)  sin Лna = sh Лnв,

где Л n =

ц n

-тг, цп = 2тт. Здесь 0<АП<1,АП—>1 при п —> оо.

1 + ц n

Последнее уравнение записываем в следующем виде

cos^ na — в n) =

sh Л nв

sh 2 Л ^ + (1 — ch Л nв)2

где в n = arccos

sh Л nв

sh 2 Л nв + (1 — ch Л nв)2

Данное уравнение имеет две серии решений:

2nfc 2вn 2nk ,

1) ак = —) к £ N; 2) CKfc = —--1—-—, к G 7V, где N — множество натуральных чисел.

Л n Л n Л n

2nk

Первая серия решений а к = -т— удовлетворяет уравнению A n(ctk,/3) = 0. Нетрудно про-

Л

2в n 2пк

верить, что и вторая серия решений а к = —--Ь -т— удовлетворяет уравнению А п(ак>Р) = 0.

Лп Лп

а

Покажем, что существует постоянная С о > 0 ^то ^^и достаточно больших п спра-

ведлива оценка

тНД п

n

Так как Л n ^ 1 при n ^ то имеем

в = lim в n = lim arccos

nn

sh Л n в

^/sh2 \nf3 + (1 — ch\n/3)2

= arccos

sh в

д/sh2 /3 + (1 -ch/?)2

V2 / sh¡3 = arccos — д / -—-th p.

2 V ch (3 - 1 H

Предположим, что существует постоянная С о > 0 такая, что при достаточно больших п справедлива оценка (4.2). Тогда с учетом того, что 0 < Лп < 1, Лп — 1 при п — те, из (3.22) имеем

+ (1 -сЬ/?)2

cos(a - в)\ ^ 1 +

C с

sh в йИ в

Это неравенство имеет место, если выполнено следующее условие

'l+^-f^lcosCa-fObl.

sh /3 1 V п

/ (1 - ch в)2

Так как v = w 1 и--— > 1) т0 неравенство

I cos(a — в) > v

-1

имеет решение. Поскольку 0 < V-1 < 1, то при любых значениях 0 < а, удовлетворяющих неравенству (4.3), выполняется оценка (4.2).

0<а

полнении условий (3.22) и (4.2) с учетом частных решений (2.5), (3.24)-(3.27) решение задачи (1.2)—(1.5) в области О можно представить в виде ряда

$ (t) ^

U(t, х) = —--Ь ^ [&n(t) COSfXnX + un(t) sin ¡лпх\.

n=1

Покажем, что при определенных условиях относительно функций ^р(х) и ф(х) сумм а и (Ь, х) ряда (4.4) удовлетворяет условиям (1.2).

п

\un(t)\ ^ C|фJ + |Фn

\u'n(t) \ ^ C2(|фn| + Ф'

W'n (t) < C J \ф n\ + Ф n

+ \Фn J ,

+ ф n ),

+ Ф n ),

где 0 < Ci = const, г = 1,3.

Действительно, так как 0 < Лn < 1, Лn ^ 1 при n ^ те, то на основании формул (3.24)-(3.27) с учетом оценки (4.2) найдем

\u n(t) \ =

1

С~о

2 ф J • e в + \ф J •

C0

t > 0, t < 0,

1$ n(t)\ =

C0

2 ф J • e в + ф J •

C0

3\ф J + \ф J •

t > 0, t < 0.

n

n

1

1

1

Отсюда следует оценка (4.5), где С\ = —тах {з; 2 • е13] сЬ 2/3 + сЬ/З; 1 + е13

С о ^

Дифференцируя выражения(3.24)-(3.27), получаем

К(г)| =

К(*)| =

1

С~о

21фП ' ев + |фП ' (1 + ев) • сЬ в

Со

3фП + П '

Со

2|фП • ев + \фП • (1 + ев) • сИв

Со

, г > 0,

, г< 0,

, г> 0,

, г< 0.

1

Отсюда следует оценка

Со

Дифференцируя выражения (3.24)-(3.27) два раза, получаем

К Щ = ' С 0

К(г)\ = ' С0

2 ф П • е в + ф П •

Со

3фП + |фП •

2 фп • ев + \фп\ •

Со

3|фп + А •

, г > 0,

, г< 0,

, г> 0,

, г< 0.

1

Отсюда следует оценка (4.7), где С3 = — тах \ 3; 2 • е13] сЬ 2/3 + сЬ/3; 1 + е'3 >.

Со

Так как по предположению задачи ф(х) е С 3[0;1], ф(х) е С3 [0; 1], и на сегменте [0; 1] ф ф(0) = ф(1) = 0(0) = 0(1) Ф'(0) = Ф1 (1) = ф'(0) = ф'(1) ф"(0) = ф"(1) = ф''(0) = ф''(1), ф"'(0) = ф''(1) = ф''' (0) = ф''' (1), то справедливы оценки

, 1\ Рп

<Рп = -[~) -4

ф п

фп = —

0 п = —

1 \ 4 1\ д

ж п

те

^Рп < 4 ф1У (х) 2 йх,

п=1 70

те „1

п < 4 Ф (х)] 2 <х,

п=1 70

1 \ 4 -1 \ р

п= те

ж / п

1 \ 4 -

^ Яп

п=1 те

Ж / п

Е^4/

п=1 70

С помощью этих оценок нетрудно убедиться, что ряд (4.4) и ряды из производных первого

О

Пусть Д п(а, в) = 0 при некоторых 0 < а и п = к 1, ... ,к3, где 1 ^ к 1 < к 2 < ... < к3, в — фиксированное натуральное число. Тогда для разрешимости уравнений (3.21) и (3.23) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ортогональности

Фп = 2 ф(х) • 8тцпхйх = 0, п = к 1, ... ,к3, 0

фп = 2 ф(х) • совцпхйх = 0, п = к 1, ... ,к3, 0

1

1

1

1

1

1

1

п

1

Фп = 2 ф^)  sinцnxdx = 0, n = к1, ... ,ks, o

фn = 2 ф(x)  cosцnxdx = 0, n = к1, ... ,ks. o

В этом случае решение задачи (1.2)—(1.5) определяется в виде суммы ряда

к 1 — 1 к 2 — 1 те

£+ Е + - + Е

n=1 n=k1+1 n=kä+1

tf n(t) CÖSf nX+

к 1 — 1 к 2-1 те

+ Е + Е ++ Е

п=1 п=к1+1 п=к3+1

где в последней сумме т принимает значения к 1 функции ит(г,х) определяются из формулы (4.1). Таким образом доказана

un(t) Sin fnx + E CmUm(t, x),

, к Cm

произвольные постоянные,

Теорема 4.1. Пусть ф(х) е С3[0; 1], ф(х) е С3[0; 1] и на сегменте [0; 1] имеют кусочно-непрерывные производные четвертого порядка и ф(0) = ф(1) = ф(0) = ф(1), ф'(0) = ф'(1) = ф'(0) = ф'(1), ф''(0) = ф''(1) = ф''(0) = ф''(1), ф'''(0) = ф'''(1) = ф'''(0) = ф'''(1). Тогда задала, (1.2)-(1.5) в области О однозначно разрешима, если выполняются условия (3.22) и (4.2). Это решение определяется рядом, (4.4). Пусть Дп(а, в) = 0 при некоторых 0 < а и п = к 1, ... ,к3 и выполнено условие (4.2). Тогда задача, (1.2)-(1.5) разрешима в области О, если выполняются условия ортогональности (4.8)-(4.11). При этом решения определяются рядом, (4.12).

m

Список литературы

1. Баев А.Д., Шабров С.А., Мои Меач. О единственности решения математической модели вынужденных колебаний струны с особенностями // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2014. № 1. С. 50-55.

2. Турбин М.В. Исследование начально-краевой задачи для модели движения жидкости Гершель-Балкли // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2013. № 2. С. 246-257.

3. Benney D.J., Luke J.С. Interactions of permanent waves of finite amplitude // Journal of Mathematical Physics. 1964. Vol. 43. P. 309-313.

4. Ахтямов A.M., Аюпова A.P. О решении задачи диагностирования дефектов в виде малой полости в стержне // Журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. № 3. С. 37-42.

5. Шабров С.А. Об оценках функции влияния одной математической модели четвертого порядка // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 2. С. 168-179.

6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

7. Юлдашев Т.К. Об одной обратной задаче для линейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных четвертого порядка // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 2. С. 180-189.

8. Юлдашев Т.К. Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма четвертого порядка с вырожденным ядром // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2015. Т. 19. № 4. С. 736-749.

9. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 1. С. 94-103.

10. Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями 1 рода с ядрами, зависящими от времени // Известия вузов. Математика. 2012. № 10. С. 32-44.

11. Гельфанд II. М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1959. Т. 14. № 3. С. 3-19.

12. Франкль Ф.И. Избранные труды в газовой динамике. М.: Наука, 1973. 711 с.

13. Уфлянд Я.С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инженерно-физический журнал. 1964. Т. 7. № 1. С. 89-92.

14. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболиче-ского типа. Ташкент: Фан, 1986. 220 с.

15. Моисеев Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № И. С. 1565-1567.

16. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 10. С. 1412-1417.

17. Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного типа. М.: Физматлит, 2014. 301 с.

18. Сабитова Ю.К. Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии // Математические заметки. 2015. Т. 98. № 3. С. 393-406.

19. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: Фан, 1997. 165 с.

20. Юлдашев Т.К. О разрешимости смешанной задачи для линейного параболо-гиперболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма // Журнал Средневолжского математического общества. 2013. Т. 15. № 3. С. 158-163.

Поступила в редакцию 03.05.2016

Юлдашев Турсун Камалдинович, к. ф.-м. п., доцент, кафедра высшей математики, Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 660014, Россия, г. Красноярск, пр. им. газеты Красноярский рабочий, 31. E-mail: tursun.k.yuldashev@gmail.com

T.K. Yuldashev

On a mixed type fourth-order differential equation

Keywords: boundary value problem, mixed type differential equation, fourth-order equation, integral conditions, unique solvability.

MSC: 35A02, 35M10, 35S05

We consider questions of solvability and constructing the solution to a nonlocal mixed boundary value problem for a homogeneous mixed type fourth-order differential equation. We use the spectral method based on separation of variables. A criterion for unique solvability of the problem is obtained. We also study questions of existence of solutions in the case where uniqueness of the solution does not hold.

REFERENCES

1. Baev A.D., Shabrov S.A., Mon Meach. Uniqueness of the solution of the mathematical model of forced string oscillation with singularities, Vestn. Voronezh. Gos. Univ., Ser. Fiz. Mat., 2014, no. 1, pp. 50-55 (in Russian).

2. Turbin M.V. Investigation of initial boundary value problem for the Herschel-Bulkley mathematical fluid model, Vestn. Voronezh. Gos. Univ., Ser. Fiz. Mat., 2013, no. 2, pp. 246-257 (in Russian).

3. Benney D.J., Luke J.C. Interactions of permanent waves of finite amplitude, Journal of Mathematical Physics, 1964, vol. 43, pp. 309-313.

4. Akhtyamov A.M., Ayupova A.R. On the resolution of the problem on detection of defects in the form of a small cavity in a rod, Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, 2010, vol. 12, no. 3, pp. 37-42 (in Russian).

5. Shabrov S.A. Estimates of the influence function for a fourth-order mathematical model, Vestn. Voronezh. Gos. Univ., Ser. Fiz. Mat., 2013, no. 1, pp. 168-179 (in Russian).

6. Whitham G.B. Linear and nonlinear waves, New York-London-Sydney-Toronto: A Wiley-Interscience Publication, 1974. Translated under the title Lineinye i nelineinye volny, Moscow: Mir, 1977, 622 p.

7. Yuldashev T.K. An inverse problem for linear Fredholm partial integro-differential equation of fourth order, Vestn. Voronezh. Gos. Univ., Ser. Fiz. Mat., 2015, no. 2, pp. 180-189 (in Russian).

8. Yuldashev T.K. An inverse problem for a nonlinear Fredholm integro-differential equation of fourth order with degenerate kernel, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2015, vol. 19, no. 4, pp. 736-749. DOI: 10.14498/vsgtu1434 (in Russian).

9. Gordeziani D.G., Avalishvili G.A. On the constructing of solutions of the nonlocal initial boundary value problems for one-dimensional medium oscillation equations, Matem. Mod., 2000, vol. 12, no. 1, pp. 94-103 (in Russian).

10. Pul'kina L.S. A nonlocal problem for a hyperbolic equation with integral conditions of the 1st kind with time-dependent kernels, Russian Mathematics, 2012, vol. 56, no. 10, pp. 26-37.

11. Gel'fand I.M. Some questions of analysis and differential equations, Uspekhi Mat. Nauk, 1959, vol. 14, no. 3, pp. 3-19 (in Russian).

12. Frankl' F.I. Izbrannye trudy v gazovoi dinamike (Selected works in gas dynamics), Moscow: Nauka, 1973, 711 p.

13. Uflyand Ya.S. On a question of the distribution of fluctuations in the composite electrical lines, Inzhe-nerno-Fizicheskii Zhurnal, 1964, vol. 7, no. 1, pp. 89-92 (in Russian).

14. Dzhuraev T.D., Sopuev A., Mamazhanov M. Kraevye zadachi dlya uravnenii parabolo-giperbolicheskogo tipa (Boundary value problems for parabolic-hyperbolic type equations), Tashkent: Fan, 1986, 576 p.

15. Moiseev E.I. Solvability of a nonlocal boundary value problem, Differential Equations, 2001, vol. 37, no. 11, pp. 1643-1646.

16. Repin O.A. An analog of the Nakhushev problem for the Bitsadze-Lykov equation, Differential Equations, 2002, vol. 38, no. 10, pp. 1503-1508.

17. Sabitov K.B. K teorii uravnenii smeshannogo tipa (On the theory of mixed type equations), Moscow: Fizmatlit, 2014, 301 p.

18. Sabitova Yu.K. Boundary-value problem with nonlocal integral condition for mixed-type equations with degeneracy on the transition line, Math. Notes, 2015, vol. 98, no. 3, pp. 454-465.

19. Salakhitdinov M.S., Urinov A.K. Kraevye zadachi dlya uravnenii smeshannogo tipa so spektral'nym pa-rametrom (Boundary value problems for the mixed type equations with spectral parameter), Tashkent: Fan, 1997, 165 p.

20. Yuldashev T.K. On the solvability of mixed value problem for linear parabolic-hyperbolic Fredholm in-tegro-differential equation, Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva, 2013, vol. 15, no. 3, pp. 158-163 (in Russian).

Received 03.05.2016

Yuldashev Tursun Kamaldinovich, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Higher Mathematics Department, Reshetnev Siberian State Aerospace University, pr. im. Gazety Krasnoyarskii Rabochii,

31, Krasnoyarsk, 660014, Russia.

E-mail: tursun.k.yuldashev@gmail.com