Нормализованные тригонометрические сплайны лагранжева типа

А. А. Макаров

НОРМАЛИЗОВАННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ЛАГРАНЖЕВА ТИПА*.

Сплайны и вэйвлеты (всплески) широко применяются при составлении эффективных алгоритмов обработки больших потоков цифровой информации (см. [1-2]). Если удается установить вложенность пространств сплайнов на последовательности измельчающихся сеток и представить цепочку вложенных пространств в виде прямой суммы вэйвлетных пространств, а также реализовать базисные функции с минимальной длиной носителя, то это ведет к вэйвлетному разложению потока информации (см. [3-4]) и существенно экономит ресурсы вычислительных систем. Более того, использование неравномерной сетки (см. [5]) позволяет улучшить приближение функций без усложнения вычислений. Таким образом, исходный поток информации удается разложить на составляющие так, что можно выделить основной и уточняющий информационные потоки. Это приводит к сжатию поступающего цифрового сигнала и к возможности быстрой передачи основного потока и фрагментарной передаче уточняющего потока в зависимости от потребностей.

Еще одним приложением сплайнов является автоматизированное геометрическое проектирование (см. [6]). Здесь используются методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. На этом пути исследуются различные способы построения сплайнов, обладающих свойствами B-сплайнов (см., например, [7-9]).

В работах [10-12] введены и исследованы B^-сплайны, в частности, являющиеся неполиномиальным обобщением известных полиномиальных B-сплайнов. В данной работе продолжаются исследования в упомянутом направлении: здесь строятся нормализованные тригонометрические сплайны лагранжева типа (нулевой высоты) третьего порядка, определяемые порождающей вектор-функцией y>(t) = (1, sin t, cos t, sin2t)T. Источником B^-сплайнов являются соответствующие аппроксимационные соотношения, рассматриваемые как система линейных алгебраических уравнений, из которой выводятся (как полиномиальные, так и неполиномиальные) сплайны. Получаемые сплайны дважды непрерывно дифференцируемы и имеют минимальный компактный носитель. В работе также построена система функционалов, биортогональная системе координатных B^-сплайнов, в пространстве B^-сплайнов найдено решение соответствующей интерполяционной задачи, порожденной упомянутой биортогональной системой.

1. Предварительные обозначения

Пусть Z — множество целых чисел, R1 —множество вещественных чисел. Линейное пространство четырехмерных вектор-столбцов обозначим через R4, причем векторы в нем будем отождествлять с одностолбцовыми матрицами и применять к ним обычные матричные операции; в частности, для двух векторов a, b £ R4 выражение aTb представляет собой евклидово скалярное произведение этих векторов. Компоненты векторов обозначаются квадратными скобками и нумеруются цифрами 0, 1, 2, 3; например, a = ([a]o, [a]i, [a]2, [a]3)T. Квадратная матрица, столбцами которой являются векторы

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ

© А. А. Макаров, 2008

а, Ь, с, d € М4 (в только что указанном порядке), обозначается символом (а, Ь, с, d), а выражение det(a, Ь, с, d) обозначает ее определитель.

Упорядоченное множество A == {aj}jez векторов aj

будем называть це-

введем полилинеиную

почкой векторов. Цепочка А называется полной цепочкой векторов, если матрица

А' =£ ^а'_з, а^-_2, а^-_1, а^ является неособенной матрицей при любом 3 € Z.

Для произвольных векторов х, х', х'', у, у', у'', z, z ', z '' € М4 вектор-функцию а, задаваемую символическим определителем

( ' '' ' '' ' '' \ ^е£

а(х, х ', х ' ', у, у ', у ' ', z, z ', z '') =

/ X х'

det

det

ydet(

z, z , z , x

) det

det

det

Через С2 (а, в) обозначим линейное пространство функций, непрерывных вместе с первой и второй производными на интервале (а, в).

2. Пространство B^-сплайнов

На интервале (а, ß) С R1 рассмотрим сетку X d==f {xj}jez,

X : ... < ж_1 < xo < xi < ...; пусть а d= lim Xj, ßd

lim :

j^ + TO def

Введем обозначения: М = (х', х'+1), = [х',Х'+4], == {& — 3, & — 2, & —

1,&}, где &,3 € Для определенности в дальнейшем будем считать, что интервал (а, в) конечен (небольшая модификация предположений позволяет рассмотреть случай полубесконечного интервала, а также случай, когда (а, в) = М1).

При Ко > 1, Ко € М1 обозначим через X(Ко, а, в) класс сеток вида (2.1) со свойством локальной квазиравномерности К—1 < (х'+1 — Х')(х' — Х'_1)-1 < Ко для У? € ^ и положим =£ вир'еХ (х'+1 — х').

Пусть у(£) —четырехкомпонентная вектор-функция (столбец) с компонентами из пространства С2(а, в); вводя обозначения у а= ^(х^), у' = у '(х^), у'' с=£у''(х^), определим цепочку векторов {а'} формулой

а' =' а(У'+1, У '+1, У '+1, У'+2, У '+2, У '+2, У'+3, У '+3, У '+3), 3 € ^

и рассмотрим векторы dj € М4, задаваемые тождеством

dJх = det(уj, У ', У ", х), х € М4, 3 € Z.

Если цепочка векторов {а^ } полная, то из условий

а^/ '(¿) = у>(£) У € (х^, х^+1), & € Z; О'(¿) = 0 для У € П М,

З' ^Jk

однозначно определяются функции О' (¿), £ € М, 3 € ^.

Линейная оболочка Б^(Х) функций О'(¿), 3 € ^ называется пространством Б^-сплайнов на сетке X, функции О'(¿) — координатными Б^-сплайнами (третьего порядка), а у — порождающей вектор-функцией для пространства Д^(Х). Условия (2.4) называются аппроксимационными соотношениями.

j

Лемма 1. Если ^ € С4[а, в], вронскиан Ш(¿) а=det(^, ^///)(4) отличен от

нуля на отрезке [а, в] и X € X(Ко, а, в) для некоторого Ко > 1, то существует е > 0 такое, что при Лх < е цепочка векторов {а^-} является полной.

Доказательство сводится к использованию формулы Тейлора в представлении (2.2) для получения асимптотики, равномерной на интервале (а, в). Более подробное доказательство здесь приводить не будем.

Замечание 1. Если [у>]о = 0 на отрезке [а, в], то и [а^-]о = 0 на [а, в].

Теорема 1. Если цепочка векторов {а^-} полная, то функции о (£) дважды непрерывно дифференцируемы на интервале (а, в), и справедливы формулы

Wj

Wj

Wj

dja¿

=

dJaj

dJaj+i

dja¿

при t Є [xj, Xj+i),

dJ+iaj+i

dT+4^

d

T

j+4aj

Wj

j+4aJ-l d

dT+3^

T

j+4aj

d

при t Є [xj+i,Xj+2), при t Є [xj+2, Xj+з),

dT+4^

d

T

j+4aj

j+3aj-1

при t Є [xj+3,Xj+4],

7-(t) = 0 при t Є [xj, Xj+4].

Доказательство получается подстановкой формул (2.5)—(2.8) в аппроксимацион-ные соотношения (2.4) с использованием определения векторов aj и dj (см. (2.2) и (2.3)). Непрерывность функции Wj (t), ее первой и второй производных проверяется в узлах xj+j, i = 0,1, 2, 3,4, непосредственным применением формул (2.5)—(2.8). В остальных точках интервала (а, ß) их непрерывность очевидна.

3. Тригонометрические B^-сплайны

В этом пункте рассмотрим y>(t) d= (1, sin t, cos t, sin 2t)T. Имеем ^ '(t) = (0, cos t, — sin t, 2 cos 2t)T, ^''(t) = (0, — sin t, — cos t, —4 sin 2t)T, ^'"(t) = (0, — cos t, sin t, —8 cos2t)T.

Вронскиан W(t) =f det(y>(t), ^ '(t), ^''(t), ^'' '(t)) = 6 cos 2t отличен от нуля на отрезке [а, /3] С ( —f; f), поэтому в нашем случае для достаточно мелкой сетки из фиксированного класса локально квазиравномерных сеток координатные B^-сплайны существуют и supp Wj (t) = [xj, xj+4], j £ Z.

Из (2.3) найдем вектор

dj

(—3sin2xj, 2(2 — cos2xj) cos xj, 2(2 + cos2xj) sin xj, —1)T.

Тогда

dTy>(t) = 2[sin(t + xj )(2 — cos(t — xj)) — sin(t — xj) cos 2xj — sin 2xj].

В соответствии с (2.2) вектор aj представим в следующем виде:

\

( Zj £ü,j

Zj

Zj

VCj((£ü,j — 4^2,j) sin 2xj+1 — 2¿1,j cos2xj+1)/

W

a

j

где Zj и £су вычисляются по формулам

def xj + 2 xj+i xj + 3 xj+i

= sm——-—— sm——-—J-—.

d= 16(2cos(xj+3 + Xj+1) + cos2xj+3)x

/о xj+2 + 3xj+1 | xj+2 xj+1 о \ • xj+3 xj+1

x (2 cos —------—----h cos —-----cos 2жо i 2) sm —---------±—

v 2 2 3+1 2

— 16(2cos(xj+2 + xj'+1) + cos2xj+2)x

/о xj+3 + 3xj+1 | xj+3 xj+1 о \ • xj+2 xj+1 /о o\

x

а для определения £1^ и ^2,j используются формулы

t def 00/0 Xj + 3 + 3xj+1 I Xj+3 Xj+1 о \

= 32(2 cos —---- —-----b cos —------- —-—cos2xJ+3)x

3xj+2 + xj+1 • 2 xj+2 xj+1

x cos ——-------sin —---------—----

2 2

- 32(2 cos Xj+2 + ЗЖд'+1 + cos Жд'+2 ~ Жд'+1 cos 2xj+2) x

3xj+3 + xj+i • 2 xj+3 xj+i /0 A\

x cos———-—— sm ——-—:L1—,

&, i 320(2с«С,« + ,Jtl) + «2^,«* *22±a±i sm

- 32С,

Общий подход к нахождению векторов dj и а^- можно найти в работе [12].

Лемма 2. Для узлов сетки {ху}уЄ2 из отрезка [ск, /3] С ( — ^;^) числа м отличны от нуля.

Доказательство. Числа = 0, ибо рассматриваемые узлы ж^+2,х^+з сетки различны для всех і Є Ъ .

Далее, [у>]о = 1 на [а, в], поэтому, согласно замечанию 1, [а^-]о = =0, а следо-

вательно, числа ^0,^ 7^ 0 на [«,/?].

Из представления вектора а^- видно, что а^- = е^- а*, где е^- =££су,

* def

=

( 1 \

(1 - &,j Со,]) sin xj+1 - £l,j Со,] COS xj+1 £i,j Со0] sin xj+i +(1 - c2,j Co-j) cos xj+i V(1 - 4C2,j Co0j1)sin 2xj+i - 2ci,j Co0] COS 2xj+i/

Цепочка векторов |а^} согласно лемме 1 является полной, числа е^-, і Є Ъ, отличны от нуля, а значит и {а*} —полная цепочка векторов, поэтому аппроксимационные соотношения (2.4) (система линейных алгебраических уравнений с векторами а*) по теореме Крамера однозначно разрешимы, а их решение представлено формулами (2.5)-(2.8). Нетрудно видеть, что выбор длины векторов а^- влияет лишь на нормировку соответствующих функций (, а на пространство Д^(Х), натягиваемое на эти функции, никакого влияния не оказывает.

Z

з

Замечание 2. Для любых двух последовательностей ненулевых чисел {cj ,i}¿ez и {cj ,2 }jgz соответствующие образующие функции Wj , i и Wj , 2 пространства B^-сплайнов отличаются лишь постоянным множителем: iúj} \ = u¡jt2- То есть выбор последовательности ненулевых чисел Cj ,i, Cj ,2 не меняет порожденного пространства BV(X).

Далее, положим ai j =f [a*]1, a* j d=f [a*]2, a| j =f [a*]3. Тогда для j, k G Z, используя (3.1) и (3.6), получим

djak = 2a1 k

Подставляя вектор a* в формулы (2.5)-(2.8), учитывая равенства (3.2) и (3.7), получаем следующее представление функции Wj (t):

1) при t G [xj , Xj+i) справедливо тождество

Wj(t) = [sin(t + Xj)(2 — cos(t — Xj)) — sin(t — Xj) cos 2xj — sin 2xj] x

x [a* j (2 — cos 2Xj) cos Xj + a2 j (2 + cos 2Xj) sin Xj — (a3j j +3 sin 2Xj )/2 ] _i;

2) при t G [Xj+i,Xj+2) справедливо тождество

Wj(t) = [sin(t + Xj)(2 — cos(t — Xj)) — sin(t — Xj) cos 2Xj — sin 2Xj] x

x [a* j (2 — cos 2Xj) cos Xj + a2 j (2 + cos 2Xj) sin Xj — (a3j j +3 sin 2Xj )/2 ] _i —

— [a* j+i(2 — cos 2Xj) cos Xj + a2 j+i(2 + cos 2Xj) sin Xj — (a3j j+1 +3 sin 2Xj )/2 ] x x [a* j (2 — cos 2Xj) cos Xj + a2 j (2 + cos 2Xj) sin Xj — (a3j j +3 sin 2Xj )/2 ] _i x x [sin(t + Xj+i )(2 — cos(t — Xj+i)) — sin(t — Xj+i) cos2Xj+1 — sin2Xj+1]x x[a1 , j+ i(2 — cos2Xj+i) cosXj+i + a2 j+i(2 + cos2Xj+i) sinXj+i —

— (a3 ,j+i + 3sin2Xj+i)/2] i;

3) при t G [Xj+2,Xj+3) справедливо тождество

Wj (t) = [sin(t + Xj+4)(2 — cos(t — Xj+4)) — sin(t — Xj+4) cos 2Xj+4 — sin 2Xj+4] x x [a* j (2 — cos 2Xj+4) cos Xj+4 + a2 j (2 + cos 2Xj+4) sin Xj+4 —

— (a3 j +3 sin 2Xj+4)/2] — [a-^ j_i (2 — cos 2Xj+4) cos Xj+4 +

+a* j_i(2 + cos 2Xj+4) sin Xj+4 — (a3 j_i + 3 sin2Xj+4)/2 ] x x [a* j (2 — cos 2Xj+4) cos Xj+4 + a2 j (2 + cos 2Xj+4) sin Xj+4 —

— (a* j + 3sin2Xj+4)/2]_ix

x [sin(t + Xj+3)(2 — cos(t — Xj+3)) — sin(t — Xj+3) cos 2Xj+3 — sin 2Xj+3] x x [ai j_i(2 — cos2Xj+3) cosXj+3 + a* j_i(2 + cos2Xj+3) sinXj+3 —

— (a3 ,j_i + 3sin2Xj+3)/2] i;

4) при t G [Xj+3, Xj+4] справедливо тождество

Wj(t) = [sin(t + Xj+4)(2 — cos(t — Xj+4)) — sin(t — Xj+4) cos 2Xj+4 — sin 2Xj+4] x x [a* j (2 — cos 2Xj+4) cos Xj+4 + a2 j (2 + cos2Xj+4) sin Xj+4 —

— (a* j + 3 sin 2Xj+4)/2 ] i.

Назовем полученные функции оу (і) нормализованными тригонометрическими сплайнами лагранжева типа (нулевой высоты) третьего порядка.

Построим упомянутые сплайны на отрезке [— -|] для заданной сетки Х=£{ж^ |

жу = і/10, і = -5..5}. Функции о_5(і), о_4(і), ..., оо(і), оі(і) изображены на рис. 1.

4. Биортогональная система и интерполяционная задача

Рассмотрим некоторое линейное пространство И над полем вещественных чисел и сопряженное ему пространство И* линейных функционалов / над пространством И. Значение функционала / на элементе V Є И обозначим через (/, у). Система функционалов {/}уех биортогональна системе {оу/ }/єх, если (/, оу) = ¿у,у/ для Уі, і Є где ¿у, у/ — символ Кронекера.

Теорема 2. Система линейных функционалов {/}уех, заданных на пространстве С2 (а, в) формулами

где Со у, Сі ,у, С2 у вычисляются по формулам (3.3)-(3.5), биортогональна системе функций {оу/}у'ег, т. е.

(/,оУ) = ^, У, Є ^.

Доказательство. Для того, чтобы система функционалов /у,і Є Z была биортогональна системе В^-сплайнов {оу}у/ех, необходимо и достаточно, чтобы

Действительно, применив функционал /к к аппроксимационным соотношениям (2.4), получим равенство

к

]Г а*

У = к_3

Из упомянутой биортогональности выводим соотношение (4.2). Обратно, если выполнено соотношение (4.2), то из (4.3) получим

к

а*(/к,0У ) = ак.

у = к_3

C учетом полноты цепочки векторов {а* } из однозначной разрешимости полученной системы уравнений выводим свойство биортогональности.

Из определения вектора а* по формуле (3.6) видно, что а* = yj+i — Ci ,jCc-jy j+i + Отсюда получаем равенство (/¿, у>) = а*.

Рассмотрим интерполяционную задачу

ü

Vj g z, û gbv(x),

где {vj}j£Z —заданная последовательность чисел (бесконечная в обе стороны), а числа Со,j, Ci ,j, C2,j вычисляются по формулам (3.3)—(3.5).

Теорема 3. В пространстве BV(X ) существует единственное решение задачи (4-4), и это решение представимо формулой

û

j£Z

Доказательство вытекает из теоремы 2.

Замечание 3. При каждом фиксированном t G (а, в) в сумме (4.5) имеется не более четырех ненулевых слагаемых.

Литература

1. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир,

2005. 671 с.

2. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, №6. С. 53-128.

3. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения на неравномерной сетке // Труды С.-Петерб. матем. об-ва. 2007. Т. 13. С. 27-51.

4. Макаров А. А. О распараллеливании вэйвлетных методов сжатия информации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 4. С. 45-49.

5. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке // Докл. РАН. 2002. Т. 382, №3. С. 313-316.

6. Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.: ФИЗМАТЛИТ,

2006. 360 с.

7. Kvasov B.I. GB-splines and their properties // Int. J. Annals of Num. Math. 1996. N 3. P. 139-149.

8. Wang G., Li Y. Optimal properties of the uniform algebraic trigonometric B-splines // Computer Aided Geometric Design. 2006. Vol. 23, N 2. P. 226-238.

9. Wang G., Chen Q., Zhou M. NUAT B-spline curves // Computer Aided Geometric Design. 2004. Vol. 21, N 2. P. 193-205.

10. Демьянович Ю. К. Гладкость пространств сплайнов и всплесковые разложения // Докл. РАН. 2005. Т. 401, №4. С. 1-4.

11. Демьянович Ю. К., Макаров А. А. Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов // Проблемы матем. анализа. Вып. 34. Межвуз. сб. / Под ред. Н. Н. Уральцевой. Новосибирск: Изд-во Т. Рожковская, 2006. С. 39-54.

12. Макаров А. А. Минимальные тригонометрические сплайны нулевой высоты // Методы вычислений. Вып. 22. Сб. / Под ред. В. М. Рябова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 8299.

Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.