Выбор параметризации входного сигнала в задаче планирования эксперимента для моделей стохастических систем

УДК 519.24

ВЫБОР ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ВХОДНОГО СИГНАЛА В ЗАДАЧЕ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ МОДЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В.И. Денисов, В.М. Чубич, Е.В. Филиппова

Рассмотрена задача планирования оптимального эксперимента при параметризации входного сигнала, заключающаяся в представлении управляющих воздействий в виде линейных комбинаций различных базисных функций. Проведен сравнительный анализ эффективности применения различных параметризаций и выработаны конкретные рекомендации по их использованию.

Ключевые слова: стохастическая система, параметризация входного сигнала, полиномы Чебышева первого рода, функции Уолша, кусочно-постоянные функции, планирование эксперимента, информационная матрица, критерий оптимальности.

Планирование оптимальных входных сигналов [1-3] относится к наиболее сложному этапу процедуры активной параметрической идентификации и позволяет повысить качество результатов за счет более полного учета специфики динамической системы и оптимизации экспериментальных данных [4-9].

В [10-14] были представлены основные авторские результаты, относящиеся к решению задачи активной идентификации стохастических динамических систем для случая, когда входные сигналы рассматривались в классе кусочно-постоянных функций. Это предположение позволило обойти трудности, связанные с вычислением градиентов в процедурах синтеза оптимальных управляющих сигналов и разработать соответствующие вычислительные алгоритмы. При этом остался невыясненным вопрос относительно потерь, которые приходится нести, принимая предположение о кусочном постоянстве синтезируемого входного сигнала. В связи с этим были проведены исследования, связанные с применением параметризаций входного сигнала, предполагающих представление управляющих воздействий в виде линейных комбинаций полиномов Чебышева первого рода и функций Уолша [15-19]. В настоящей статье на примере одной модельной структуры проводится сравнительный анализ эффективности применения различных способов параметризации управляющих сигналов и даются рекомендации по их практическому использованию в задачах планирования эксперимента для моделей стохастических систем.

Постановка задачи. Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой динамической системы в пространстве состояний:

-—х

—г

у (tk+1 ) = A(tk+1) + H )х(tk+1) + V), k = 0,1,...,N -1, (2) где х (t) - п - вектор состояния, u (t) - детерминированный г - вектор управления (входа), w (t) - p - вектор шума системы (возмущения), У (¡к+1) - m - вектор измерения (выхода), V (¡к+1) - m - вектор шума

(ошибки) измерения.

Предположим, что:

случайные векторы w (t) и V (¡к+1) являются стационарными белыми гауссовскими шумами, для которых

Е [ м (I) ] = 0, Е Г м( () мТ (т)] = Q5( I - т),

Е[V

= Ми-

Е

п

= 0

где Е[ ] - оператор математического ожидания; 8(t -т) - дельта-функция Дирака; 5^ - символ Кронекера);

начальное состояние х(0) имеет нормальное распределение с параметрами

Е [ х (0)] = Х0, Е{[ х( 0)- Х0 ][ х( 0)- Х0 ]Т } = Р0

и не коррелирует с м (t) и V (¡к+1);

неизвестные постоянные параметры сведены в ^ - вектор 0, включающий в себя элементы векторов а [и (?),t], А (¡к+1), х0 и матриц ^ (t), Г(t), Н (¡к+1), Q, Я, Р0 в различных комбинациях.

Выполним параметризацию входного сигнала, для чего разложим и (t) по некоторой системе предварительно выбранных базисных функций. В результате получим представление

и

где О - г х d - матрица; состоящая из коэффициентов разложения; Т (t) - d - вектор, компонентами которого являются базисные функции

(размерность аппроксимирующего линейного пространства d выбирается экспериментатором с учетом выполнения условия

N 2

| и(г)-и(г| dt£5,

0

где 5 - некоторое наперед заданное малое положительное число.

388

Необходимо для математической модели (1), (2) с учетом высказанных априорных предположений выполнить сравнительный анализ решения задачи планирования входных сигналов с использованием полиномов Че-бышева, функций Уолша и кусочно-постоянных функций и выработать практические рекомендации по их применению.

Параметризация входного сигнала. В случае использования полиномов Чебышева первого рода элементы gaр матрицы О в представлении (3) находятся по формуле [20] ЛВ tN

gab=— / иа(t)Тр_1 (t)г(t)Л, а = 1,2,...,г, р = 1,2,...,Л,

где

0

1 [1, если ¡5 = 1, ¡ = [2, если ¡5 = 2,3,...,й;

г(0 = 1

Сами полиномы Чебышева определяются по следующим рекуррентным соотношениям:

Т) (t ) =1; Т (t )=^ -1;

tN

Ть+1 (t )=- 1>]ть( t)-Ть-1 (t), р=1,..., л - 2.

V tN

В случае применения функций Уолша элементы ga¡ вычисляются в соответствии с равенством [20]

1 tN

gab=— / иа(t) ТЬ-1 (t) Л, а = 1,2,..., г, ¡ = 1,2,..., Л tN о

Функции Уолша в нумерации Пэли находятся с помощью функций Раде-махера ^ (t) по формулам [21]

То (t ) = 1;

Тр(t)=П [г](t), р = 1,2,...Л-1.

7=1

где V = 1о§2 Л, р 7 - значение 7 -го разряда в записи номера р в коде Грея,

^ (t) =

7

tN

(  t ^ бШ2 —

Ч N у

Тр( t ) =

В случае использования кусочно-постоянных функций й = N и элементы gab определяются равенством

ёа/3 = %(Ь-1) ' Ь =й •

При этом

1, если Ь £ 1 £ Ь+1 0, в противном случае.

Планирование эксперимента. При построении оптимальных входных сигналов используются оценки неизвестных параметров 9, полученные на первом этапе процедуры активной идентификации. Рассмотрим процедуру планирования входных сигналов при условии наличия указанных оценок.

Для каждой точки начального плана идентификационного эксперимента

u1

p 1 , p 2

P

q

q

u

1 (t)^W u , Pi * 0, I Pi = 1

i=1

осуществим параметризацию (3). В результате получим представления

u

(t) = GlT(t), i = 1,2,..., q, по которым сформируем план

Х par

G1, G 2.

Gq

P 1 P 2,K, Pq

q

, GiT (t )gQ u, Pi * 0, I Pi = 1,

i=1

информационная матрица которого определяется соотношением

q)

M(XPar )= I PiM(Gi;0).

i=1

вы-

Информационные матрицы точек спектра плана м

числяются в соответствии с [10,11,16] и зависят от вектора оценок неизвестных параметров.

Найдем оптимальный план эксперимента для некоторого выпуклого функционала от информационной матрицы X[М(Xраг)], решив следую-

щую оптимизационную задачу

XPar = argmin X [М (Х Var )]

sPar шь ^ чъPar

x Par

т.е. задача планирования эксперимента сводится к выбору оптимальных коэффициентов параметризации.

При решении экстремальной задачи (4) в случае критериев A - и D- оптимальности возможны два подхода: прямой и двойственный [22-26].

Первый из них предполагает поиск минимума функционала X М

непосредственно с привлечением методов нелинейного программирования, второй - решение двойственной задачи и основан на обобщенной теореме эквивалентности [3]. Применение градиентных алгоритмов при решении оптимизационной задачи (4) повышает скорость сходимости и невозможно без вычисления производных от информационных матриц

эм

-:- (подробнее см. [15]). Возможные варианты прямой и двойства р

венной градиентных процедур синтеза непрерывных оптимальных планов представлены в [3].

Пример планирования оптимального входного сигнала. Рассмотрим следующую стационарную модель стохастической линейной системы:

ж

х1

0 91

1

92

Х1

+

0 1

и

(1)+

1 1

^ (

(1), 1 е [0,20],

у(^+1 ) = у(к +1) = х1 (к +1) + V(к +1), к = 0,1,...,19, с неизвестными параметрами 91 и92, где -5 £ 91 £-0.01, -5 £92 £-0.5.

Будем считать, что выполнены все априорные предположения, высказанные при постановки задачи, причем

/ ч "2

Q = 0.6, Я = 0.8, X

0

, Р

0.5 0 ' 0 0.5

Выберем в качестве области допустимых входных сигналов й и ={0 £ и (1) £ 5} , в качестве исходного входного сигнала

и (1) = 0.01 +1.28661 - 0.175912 + 0.006213 .

Как видно из рисунка, при 1 е [0,20] и(1 )е й

и •

Исходный сигнал

391

Оценки неизвестных параметров примем равными 01 =-1.5 и

02 =-1.5. Осуществим параметризацию и (t) тремя рассмотренными способами, результаты вычислений приведем в табл. 1.

Различные параметризации исходного сигнала

Таблица 1

Базисные функции

О

График и ^)

М

Полиномы Чебышева

4.5

3 2.5 2 1.5

П I

32.204

Функции Уолша

64

5.5 5

3 2.5 2 1.5

11 1

32.507

Кусочно-постоянные функции

20

5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1

0,5 0

25.51

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

4

Выберем критерий Б - оптимальности, для которого X [ М (Х)] = - 1иёе1 М (X). Применение этого критерия способствует минимизации объема эллипсоида рассеивания оценок параметров. В качестве начальных планов возьмем одноточечный план, сосредоточенный в точке О из табл. 1. Применяя прямую градиентную процедуру с проверкой необходимого условия оптимальности из [3], синтезируем оптимальные планы X раг, представленные в табл. 2 (все полученные планы оказались одноточечными).

Таблица 2

Результаты построения Б-оптимальных планов

Базисные функции

О

График и

^ М

1

Полиномы Чебышева

5

4 3.5 3 2.5 2

1

0

293.6

Функции Уолша

5

4 3.5 3 2.5 2

1

0

293.6

ю

12 14

16

18

20

2

3

4

Продолжение таблицы 2

1 2 3 4

Кусочно-постоянные функции (5,5, 0, 5, 5, 0, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 0, 0, 0, 5, 5, 5, 5,5) 308.8

1111111111

4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

\ 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

----1---г--- ----1 - 1 - г----1---1

1

_1_ ____1___1___ 1 ____|_ _ 1____1___J

1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 8 10 1 2 14 16 18 20

Как видно из табл. 2, в случае применения полиномов Чебышева и

*

функций Уолша ёйМ(Храг) меньше соответствующего значения для кусочно-постоянных функций, что позволяет сделать вывод о целесообразности применения кусочно-постоянной аппроксимации при решении задач планирования входных сигналов. Тем не менее, следует отметить, что при больших объемах выборки N размерность оптимизационной задачи (4), равная q (^ +1), может существенно увеличиться, в результате чего приходится делать выбор между качеством получаемого решения и временем, необходимым для его вычисления.

Заключение. На примере одной модельной структуры осуществлен сравнительный анализ качества решения задачи планирования входных сигналов с использованием полиномов Чебышева, функций Уолша и кусочно-постоянных функций. На основании полученных результатов можно сделать вывод об эффективности и целесообразности применения кусочно-постоянных аппроксимаций входного сигнала при относительно небольших объемах выборки.

Список литературы

1. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. 112 с.

2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

3. Денисов В.И., Чубич В.М., Черникова О.С., Бобылева Д.И. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем: монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. 192 с.

394

4. Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе линеаризации во временной области // Информационно-управляющие системы. 2010. № 6. С. 54 - 61.

5. Чубич В.М. Информационная технология активной параметрической идентификации стохастических квазилинейных дискретных систем // Информатика и ее применения, 2011. Т. 5. Вып. 1. С. 46-57.

6. Денисов В.И., Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная параметрическая идентификация стохастических непрерывно-дискретных систем, полученных в результате применения статистической линеаризации // Сибирский журнал индустриальной математики, 2012. Т. XV. №4 (52). С. 78 -89.

7. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе планирования входных сигналов // Научный вестник НГТУ, 2013. Ч. I. №2(51). С. 25 - 34.

8. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе планирования входных сигналов // Научный вестник НГТУ, 2013. Ч. II. №3(52). С. 24 - 31.

9. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Применение методов теории планирования экспериментов при параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы 10 Международной конференции. Новосибирск, 2010. Т.6. С. 85 - 93.

10. Чубич В.М. Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Научный вестник НГТУ, 2009. №1(34). С. 41 - 54.

11. Чубич В.М. Алгоритм вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных не прерывно-дискретных систем // Научный вестник НГТУ, 2009. №3 (36). С. 15 - 22.

12. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Вычисление производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Научный вестник НГТУ, 2010. №2 (39). С. 53 - 63.

13. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Нахождение производных от информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для стохастических непрерывно-дискретных моделей, полученных в результате применения статистической линеаризации // Научный вестник НГТУ, 2011. №4 (45). С. 35 - 48.

14. Денисов В.И., Чубич В.М., Филиппова Е.В. Алгоритм вычисления производных от информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для стохастических непрерывно-дискретных моделей, полученных в результате применения статистической линеаризации // Научный вестник НГТУ, 2012. №1 (46). С. 29 - 46.

15. ^ubich V.M., Filippova E.V. Calculation of derivatives Fisher information matrix in problem of active identification stochastic linear systems with input signal parameterization // 11 International forum on strategic technology (IFOST 2016): proc. Novosibirsk: NSTU, 2016. Pt. 1. P. 324 -328.

16. ^ubich V.M., Filippova E.V. Synthesis of D - optimal continuous input signals for stochastic linear systems // 13th International Scientific-Technical Conference on Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE 2016): proc. Novosibirsk: NSTU, 2016. Vol. 1. Part 2. P. 381 - 384.

17. Денисов В.И., Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная идентификация стохастических систем при параметризации входного сигнала // Научный вестник НГТУ, 2017. № 1 (66). С. 86 - 98.

18. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Планирование входных сигналов для моделей стохастических систем с использованием функций Уолша // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 12. Ч. 2. С. 360 - 369.

19. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Информационная технология активной идентификации стохастических динамических систем с использованием параметризации входного сигнала // Евразийское Научное Объединение, 2017. Т. 1. № 11 (33). С. 63 - 66.

20. Пупков К.А., Егупов Н.Д. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления. Методы классической и современной теории автоматического управления. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. Т. 2. 640 с.

21. Вадутов О.С. Математические основы обработки сигналов: учебное пособие. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. 212 с.

22. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. 312 с.

23. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ -экспериментатор (регрессионный и дисперсионный анализы). М.: Наука, 1977. 251 с.

24. Ермаков С.М., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. 320 с.

25. Walter E., Pronzato L. Identification of parametric models from experimental data. Berlin: Springer-Verlag, 1997. 413 p.

26. Григорьев Ю.Г. Методы оптимального планирования эксперимента. Линейные модели: учебное пособие. СПб.: Лань, 2015. 320 с.

Денисов Владимир Иванович, д-р техн. наук, проф., советник проректора по научной работе, videnisanstn. ru, Россия, Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет,

Чубич Владимир Михайлович, д-р техн. наук, доц., зав. кафедрой, chuhich a ami.nstu.ru, Россия, Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет,

Филиппова Елена Владимировна, канд техн. наук, доц., e.filippovaacorp. nstu. ru, Россия, Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет

THE CHOICE OF THE PARAMETERIZA TION OF THE INPUT SIGNAL IN THE PROBLEM OF EXPERIMENT DESIGN FOR MODEL STOCHASTIC SYSTEMS

V.I. Denisov, V.M. Chuhich, E. V. Filippova

The problem of the optimal experiment design with the parameterization of the input signal, consisting in the performance of control actions in the form of linear combinations of different basis functions. The comparative analysis of efficiency of application of various pa-rametrizations is carried out and concrete recommendations on their use are developed.

Keywords: stochastic system, parameterization of the input signal, the Chehyshev polynomials of the first kind, Walsh functions, piecewise-constant functions, design of experiments, information matrix, optimality criterion.

Denisov Vladimir Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, advisor of rector on scientific work, videnisanstn.ru, Russia, Novosibirsk, Novosibirsk state technical University,

Chudich Vladimir Mikhalovich, doctor of technical sciences, docent, department head, chubich^ami. nstu. ru, Russia, Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University,

Filippova Elena Vladimirovna, candidate of technical sciences, docent, e.filippovaacorp. nstu. ru, Russia, Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University