Проектирование оптимальных ХТС на основе двухэтапных задач оптимизации

УДК 66.011

А. С. Сильвестрова, Т. В. Лаптева, Н. Н. Зиятдинов, Н. Н. Закиров

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ХТС

НА ОСНОВЕ ДВУХЭТАПНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

Ключевые слова: оптимизация с учетом неопределенности, вероятностные ограничения, работоспособные химико-технологические системы, проектирование оптимальных систем, двухэтапные задачи оптимизации.

В статье предлагается подход к решению задач проектирования оптимальных работоспособных ХТС на основе двухэтапных задач оптимизации с учетом отдельных вероятностных ограничений, позволяющий значительно снизить вычислительные затраты на решение. Подход основан на аппроксимации зависимости значений управляющих переменных от значений неопределенных параметров и на преобразовании вероятностных ограничений к детерминированному виду. На модельном примере показано преимущество предлагаемого подхода в сравнении с известными.

Key words: optimization under uncertainty, chance constraints, flexible process systems, optimal system design, two-stage optimization

problem.

The article suggests an approach to the solution of optimal and operable CTS design task based on the two-stage optimization problem with an account for separate probabilistic constraints. It allows to significantly reduce computational resources spent on the problem solution. This approach is based on the approximation of relationship between control and uncertain parameters values and transformation of probabilistic constraints into deterministic ones. The advantage of suggested method over other known techniques is demonstrated on the model case.

Введение

Функционирование современных производств происходит в изменяющихся условиях, что вносит неопределенность в информацию, используемую в качестве исходной при проектировании оптимальных химико-технологических систем (ХТС). Отказ от учета неполноты исходной информации при проектировании ХТС может привести к созданию неэффективных установок либо не гарантирует, что в течение оговариваемого периода эксплуатации будут выполнены требования, предъявляемые к работе создаваемых установок.

Задачу проектирования оптимальной ХТС можно записать в виде

тЩсие)

С, ЪеН

д

где 1ХС , ъ , е) - некоторая функция характеризующая эффективность работы ХТС за рассматриваемый период функционирования, С - пс -вектор конструктивных параметров, ъ - пъ -вектор управляющих переменных, Н - область изменения конструктивных и управляющих параметров, е - пе -вектор неопределенных параметров, характеризующих изменение условий работы ХТС за оговоренный период функционирования. Очевидно, что ее Т, где Т - область неопределенности, формируемая диапазонами изменения неопределенных параметров е . Решить задачу (1)-(2) невозможно, поскольку на этапе проектирования неизвестны точные значения параметров е , изменяющихся на этапе функционирования независимо от нашего желания.

В настоящее время задачи оптимизации с учетом неопределенности в исходной информации решаются на основе одноэтапных (ОЭЗО) или двухэтапных задач оптимизации (ДЭЗО), позволяющих получать

оптимальные работоспособные ХТС (ОРХТС). Выделив в жизни ХТС этапы проектирования и функционирования, мы можем различать эти задачи по следующему фактору:

а) в ДЭЗО учитывается возможность изменения значений управляющих переменных ъ на этапе функционирования в зависимости от состояния ХТС. То есть ъ = ъ(е);

б) в ОЭЗО предполагается, что управляющие переменные ъ постоянны на этапе функционирования.

Очевидно, что учет возможности изменения значений управляющих переменных ъ в зависимости от состояния ХТС позволит ДЭЗО получить лучшие значения критерия и поисковых переменных в сравнении с ОЭЗО. Методы решения ОЭЗО с отдельными вероятностными ограничениями были рассмотрены во многих работах, например [1], [2].

Значительно меньшее внимание уделялось решению ДЭЗО с вероятностными ограничениями. Здесь можно упомянуть работы [3], [4], использующие штрафную целевую функцию (функцию потерь Та-гучи). Однако этот подход приводит к значительным сложностям решения задачи при росте штрафных коэффициентов.

Учет неопределенности в ограничениях задачи проектирования ОРХТС приводит к использованию жестких ограничений, которые должны выполняться в любой момент функционирования ХТС, либо мягких ограничений, среди которых выделим отдельные вероятностные ограничения. Такие ограничения должны выполняться с заданной вероятностью за период функционирования.

Использование вероятностных ограничений в задачах оптимизации с учетом неопределенности в исходной информации впервые было рассмотрено в работе [6]. Учет вероятностных ограничений при проектировании в области химической технологии предложен Неппоп Я. с соавторами, РеЛоу 8.Б. с

соавторами [7], [8]. Заметим, что использование вероятностных ограничений в постановке задачи позволит получать лучшие значения критерия и поисковых переменных в сравнении с задачами, включающими только жесткие ограничения.

Поэтому далее будем рассматривать ДЭЗО с отдельными вероятностными ограничениями (ДЭЗОВО). Сформулируем ДЭЗОВО, используя в качестве критерия математическое ожидание функции f (см. задачу (1)-(2)) за период функционирования, который характеризуется областью T [9].

min Гf

d,z( 6)eH T

Pr{gj

где p(9) - плотность распределения параметров 9 , Pr{gj (d,z(9),9) < 0} - вероятность удовлетворения ограничения gj(d,z(9), 9) < 0

Pr{gj

Qj = {9 :gj

Если положить в (3)-(4) поисковые переменные z не зависящими от неопределенных параметров, задача примет вид ОЭЗО с отдельными вероятностными ограничениями [10].

Решение ДЭЗОВО в формулировке (3)-(4) требует известного вида зависимости z(9). Кроме этого, решение задачи оптимизации в виде (3)-(4) потребует на каждом шаге оптимизационной процедуры вычислять многомерные интегралы для получения значений критерия и левых частей ограничений (4), что даже при использовании современных методов численного интегрирования приведет к значительным вычислительным затратам.

Для снижения вычислительных затрат на многомерное интегрирование обычно используют следующие три техники.

Модификации квадратурных формул. В [11] Acevedo J. и Pistikopoulos E.N. предложили три модификации Гауссовых квадратур. В работе Pintaric N. и Kravanja Z. [12] рассматриваются эффективные методы приближенных вычислений многомерных интегралов. Однако предлагаемые методы по-прежнему требуют значительных вычислительных затрат.

Использование техник дискретизации на основе метода Монте-Карло. Bernardo F.P., Saraiva P.M. [13] и Diwekar U.M., Kalagnanam J.R. [14] показали, что среди подходов дискретизации метод дис-кретизирующих последовательностей Hammersley (HSS) наиболее эффективен. К сожалению, даже подход HSS требует сотен аппроксимационных точек для получения приемлемой точности.

Преобразование вероятностных ограничений в детерминированные. В работе [15] Maranas C.D. предложил преобразование для случая нелинейной зависимости ограничений от поисковых переменных и линейной зависимости от неопределенных параметров. В работе [16] Wendt M. с соавторами предложил метод для случая монотонной зависимости

между значениями ограничений и значениями неопределенных параметров. В результате левые части ограничений сводятся к более простым интегралам. В статье [17] Li P. с соавторами распространили этот подход на невыпуклые ограничения при негауссовом распределении значений неопределенных параметров. Далее авторы предложили обзор методов преобразования вероятностных ограничений в детерминированные [18]. Однако рассмотренные подходы по-прежнему требуют проведения процедур многомерного интегрирования, хотя и для более простых видов зависимостей, либо предлагаемые методы невозможно распространить на случай, когда функции ограничений gj(d,z, 9) произвольно

зависят от поисковых переменных и неопределенных параметров.

Для случая ОЭЗО с отдельными вероятностными ограничениями при нормально распределенных независимых неопределенных параметрах в [10] нами был предложен подход к решению задачи, позволяющий преобразовывать вероятностные ограничения в детерминированные для любого вида зависимости функций ограничений gj(d,z, 9) произвольно

зависят от поисковых переменных и неопределенных параметров.

Подход основан на следующих операциях:

а) разбиении области T на области R|, l = 1,...,L, и аппроксимации в каждой подобласти функции f(d,z, 9) с помощью линейной части f(d,z,9) ее разложения в ряд Тейлора по переменным 9 [19] Eap[f(d,z, 9);R|] =

= 8|f(d,z,9l) + Î^^^f(d9,9)(E[9i;R|]-a||) (7) i=i ô9i

Eap[f

i=i

Выбор области R| для разбиения проводится по правилу: разбиению подвергается та область R| , в которой качество аппроксимации функции f

зависимостью f(d,z,9) является наихудшей.

б) способе сведения отдельных вероятностных ограничений к детерминированному виду [20], основанному на аппроксимации неизвестных областей выполнения ограничений Ta. многомерными прямоугольниками Tj, j = 1,...,m , вида

Tj = {9i : 9L,j <9i <9U,j,i = 1,...,ne}.

В [19] была приведена задача верхней оценки критерия ОЭЗО, которая имеет вид

min Eap[f

d,zeH,eL,j,eU,j i i

maxg:

OeT '

П[Ф(0|

U,j) -Ф(6L'j)l >аj

i=i

eL <ej-j, eU'j <eU,

5L,j _ "i

L,j - B[e¡]

5u,j _ ui

U,j - E[e¡]

] = 1,...,т, I = 1,...,пе,

где Е[е|] - матожидание, (ст|)2 - дисперсия неопределенного параметра е|, I = 1,...,пе.

Для случая ДЭЗО мы предложили [21] два способа аппроксимации зависимости ъ(е) на основе кусочно-линейной функции и способ уточнения такой аппроксимации, эффективность использования которых была показана в [22].

Однако, поскольку для улучшения оценки (11)-(15) в [19] используется процедура разбиения областей Т, границы которых входят в число поисковых

переменных задачи, происходит рост размерности решаемой задачи оптимизации.

Кроме этого, совмещение подхода к решению ОЭЗО со способом аппроксимации зависимости ъ(е) кусочно-линейными зависимостями для решении ДЭЗО приводило к появлению недифферен-цируемых ограничений в ходе реализации оптимизационной процедуры (см. [9]), что не позволяло использовать современные методы оптимизации. Предложенные методы исключения таких ситуаций приводили к увеличению числа ограничений в решаемой задаче [23].

В данной статье будет предложен более экономный в смысле вычислительных затрат подход к решению ДЭЗОВО (3)-(4), основанный на преобразовании вероятностных ограничений в детерминированные для случая, когда неопределенные параметры статистически независимы и имеют нормальное распределение.

Подход к вычислению вероятностных ограничений

Рассмотрим предлагаемый подход сначала на получении оценки критерия ОЭЗО с отдельными вероятностными ограничениями.

В [25] мы предложили аппроксимировать области Та криволинейными областями Т. Области Т

построены на основе многомерных прямоугольников со сторонами Би, I = 1,...,пе, где сторона Э^

получена в результате следующей аппроксимации. Выразим неопределенный параметр еп из уравне-

ния

9¡(d,z,e) = 0,

получив уравнение ene =^j(d,z, ei.....e„e-i).

Подставив

Будем аппроксимировать гиперповерхность (17) плоскостью Sn j, которая строится в центре области

размерности ne -1, накрытой гиперповерхностью (17).

На рис. 1 показан способ построения области Tj для случая ne = 2 . В данном случае кривая АВЕ представляет собой вид (17). Аппроксимация Sn j

строится в середине отрезка [e^eU] - в точке eimid. В результате мы получаем отрезок DE, который будет аппроксимировать кривую АВЕ. Тогда область Tj примет вид прямоугольника eLDEeU .

С

В

D i.......

Ф,

'1 "1 "I

Рис. 1 - Способ аппроксимации областей выполнения вероятностных ограничений

Теперь мы можем записать задачу оценки критерия ОЭЗО с отдельными вероятностными ограничениями в виде

minE

d.zeH

ap[f(d,z,e)]

JP(e)de>

а j

Поскольку мы сузили спектр возможных форм областей выполнения вероятностных ограничений до многомерных прямоугольников, то задача (19)-(20) даст верхнюю оценку критерия ОЭЗО.

Рассмотрим подробно вычисление левой части ограничения (20). Используя независимость неопределенных параметров е , можно записать

jp(e)de

11,j ' '2 , j---' 'ne-1,j ' 'n

где

1|,] = | Р(е|)С9| , I = 1... ,пе- 1,

'пе,] = | Р(епе )Сеп6 . Эпе,

Для одномерных интегралов (22) верно !и = Ф(еи])-Ф(е^]), I = 1,...,пе -1, где Ф(г|) - функция стандартного нормального распределения случайной величины ^, е^, е^ -

имеют вид (15).

Для вычисления (21) потребуется вычисление только одного одномерного интеграла (23). Его можно вычислить следующим образом

!пе,] = Ф(ф](С'Ъ, е1.....Эпе-1)) -Ф(е .

Тогда задача (19) может быть записана в виде

n

ii

т!пЕар[Г(си,е)]

С,2еН ^

п-[Ф(Ф](С,7,е-)) -Ф(е „е)] >а

где

п=п [Ф(е и,]) - Ф(е ¡-о], Ф,(с,2,е-) = ф дс,2, е1,...,еПе-1).

Задача (24)-(25) является задачей нелинейного программирования, причем в число ее поисковых переменных не входят границы областей, аппроксимирующих области выполнения вероятностных ограничений, что снижает размерность задачи в сравнении с (11)-(15).

Подход к решению ДЭЗОВО

Распространим предложенный подход на решение ДЭЗО с отдельными вероятностными ограничениями. Будем использовать предложенную в [21] аппроксимацию зависимости 2

где , д = 1,...,Ы, подобласти области неопределенности Т. Рассмотрим ниже построение этих подобластей.

Можно в качестве подобластей брать подобласти ^, I = 1,...,Ь, использованные при построении аппроксимации (7). В этом случае каждой области Р| будет соответствовать своя поисковая переменная 2 с соответствующим индексом, то есть г1. Запишем вид верхней оценки критерия ДЭЗОВО (3)-(4) для такого способа построения последовательности областей

тт

С,2'еИ

¡п ХЕар[ОД2',е);Р|]

п-[Ф(ф](с,2|, е-)) -Ф(е печ)] >«,,

где

Ф](с,2|,е-) = ф](с,2|,е1,..., 9"е-1).

Получена задача нелинейного программирования, и в число ее поисковых переменных не входят границы областей, аппроксимирующих области выполнения вероятностных ограничений.

Однако процедура разбиения областей ^ на подобласти предусматривает последовательное использование всех параметров е1,...,еПе в качестве

переменных разбиения. Такой подход приемлем для решения ОЭЗО, но при решении ДЭЗОВО использование параметров еПе в качестве переменной разбиения областей может привести к тому, что ограничения (28) (вид кривой и ее местоположение на рисунке 1 для случая пе = 2) будут скачкообразно изменяться при изменении поисковых переменных С,2| в ходе решения задачи (27)-(28), что значительно снизит эффективность современных методов оптимизации.

Поэтому при решении ДЭЗОВО мы будем использовать следующие дополнения:

а) в качестве переменных разбиения при построении аппроксимации (26) будут использованы только параметры е1,...,еПе-1.

б) для построения аппроксимации (26) будет строиться собственный набор подобластей ,

д = 1,...,Ы:

N

Т = У Ц, , ПЧ1 П Ц,2 =0 , ^2 = , ^ Ф . д=1

Кроме того, запишем правило выбора области для разбиения: область должна будет подвергаться разбиению, если выполнятся следующие два условия:

- 3 I, что П ^ Ф0 , и область ^ подвергается разбиению;

- для номера Б переменной еБ , по которой разбивается область ^, выполняется Б Ф пе.

В противном случае область не будет разбита.

Очевидно, что при использовании такого правила разбиения число областей Р| может стать больше, чем число областей , то есть верно 1_ > N.

Тогда для зависимости 2(е) будем использовать

аппроксимацию (26), учитывая правила

2

2(е) = 2| = 2Б,если 3{д,Б,|}, что (Оч П^ Ф0)&(Пч П ^ Ф0).

В этом случае мы также можем говорить о том, что для каждой области Р|, | = 1,...,Ь, будет известно значение управляющей переменной 2| . Тогда аппроксимация (7) может быть переписана в виде

Еар[Г(С,2|, ВД] =

1=1 1

Вычислительный эксперимент

Рассматривается задача проектирования системы реакторов, представленной на рисунке 2 [16]. В реакторах 1 и 2 протекают реакции превращения вещества А в вещество В и, далее, в вещество С .

К к ЛхБХС

ЛхБхС

0 [2 Рис. 2 - Система из двух реакторов

п

Математические модели реакторов имеет вид: Реактор 1 СА1 + кА^ = 1;

СВ1 + СА1 + кзСЕиЧ = 1;

к = к р-Е^Т . к1 = к10е ;

к = к р-Е2/КТ1 ; к3 = к20е ;

Реактор 2

СА2 - СА1 + к2СА2^2 = 0 ;

СВ2 - СВ1 + СА2 - СА1 + к4СВ2^2 = 0 ;

к = к Р-Е1/КТ2 ; к2 = к10е ;

к4 = к^-^ .

Здесь СА1 , СВ1 , СА2 , СВ2 - концентрации веществ А и В в реакторах 1 и 2, соответственно (моль/м3), V,, V - объемы реакторов 1 и 2 (м3), Т,, Т2 - температуры в реакторах (К), к10, к20 - предэкспо-ненциальные множители в уравнениях Аррениуса скорости реакции превращения вещества А в вещество В и реакции превращения вещества В в вещество С , соответственно, Е1 , Е2 - энергии активации реакции превращения вещества А в вещество В и реакции превращения вещества В в вещество С , соответственно (Дж/моль), Р - универсальная газовая постоянная (Дж/(моль-К)).

В качестве неопределенных параметров выбраны е = {Е1;Е2;к10;к20}. Характеристики неопределенных параметров: Е1: ем =6665'948; 5 =200; Е2: ем =7985,248; 5 =240; к10: ем =0,715; 5 =0,0215; к20 : ем =0,182; 5 =0,0055.

Неопределенные параметры предполагаются независимыми и подчиняющимися нормальному закону распределения. Область неопределенности имеет вид многомерного параллелепипеда

{ем - к-5<е<ем + к-5}.

Целевая функция представляет собой капитальные затраты

1 = ^ + ^.

Ограничения задачи имеют вид:

0 < СА1 < 1, 0 < Са2 < 1 СВ2 > СВ.

0 < Св1 < 1 ,

0 < Св2 < 1 :

Все ограничения, кроме (32), жесткие, ограничение (32) - вероятностное

Р{Св2 > СЭР} >а .

В качестве поисковых переменных выбраны: конструктивные переменные с - объемы реакторов 1 и 2 - ^, V; управляющие переменные ъ - температуры в реакторах 1 и 2 - Т1 , Т2 . Диапазоны изменения поисковых переменных: 0 < V1 < 16 , 0 < ^ < 16 481,1 < Т < 1202,7 , 481,1 < Т2 < 1202,7

Для этой ХТС была решена ОЭЗО с использованием подхода, основанного на получении верхней оценки решением задачи (11) [24], а также на основе задачи (24) [25]. Также для ХТС были решены ДЭЗОВО с использованием подхода [9], а также на основе оценки (27) с учетом (29), (30).

В таблицах 1, 2 приведены значение СВ и значения а вероятности выполнения ограничения (33), для которых решались ОЭЗО и ДЭЗО, а также полученные значения критерия 1 и затраченное на решение время 1, сек. В таблицах использованы индексы: А - решение авторов [16] в постановке ОЭЗО; 1 - значение верхней оценки ОЭЗО, полученное в работе [24], 2 - значение верхней оценки ДЭЗО, полученное в работе [9]; 3 - подход к решению ОЭЗО, использующий задачу (24) [25], 4 - подход к решению ДЭЗО, использующий задачу (27)). Прочерк в ячейке таблицы указывает на то, что решение задачи не было получено.

Анализируя полученные результаты, заметим, что использование предложенных в [9], [21] подходов для значений СВ не больших 0,52, дает решение лучшее, чем полученное авторами [16]. При этом, способ преобразования отдельных вероятностных ограничений, описанный в настоящей статье, имеет преимущество перед подходами авторов [16], а также [9], [21] как в найденном значении критерия, так и во времени решения задачи. Отметим, что достигнуто сокращение времени в «50^15000 раз. Таблица 1 - Результаты решения задачи оптимизации, верхняя оценка критерия ОЭЗО и ДЭЗО

СВ 1а ОЭЗО ДЭЗО

а 11 11 12 12

0,50 0,90 3,62 2,96 96,4 2,83 534,7

0,50 0,95 3,67 3,07 58,3 2,92 426,8

0,52 0,90 3,9 3,74 11248 3,57 2113

0,52 0,95 3,96 3,83 12224 3,9 18111

0,54 0,90 4,33 - - - -

Таблица 2 - Результаты решения задачи оптимизации, верхняя оценка критерия ОЭЗО и ДЭЗО

СВ а ОЭЗО ДЭЗО

13 13 14 14

0,50 0,90 2,71 0,22 2,7 105

0,50 0,95 2,75 0,26 2,74 136

0,52 0,90 3,03 0,24 3,01 105

0,52 0,95 3,13 0,43 3,1 554

0,54 0,90 4,28 0,88 4,27 410

Кроме этого, из таблицы 2 видно, что предложенный способ позволил решить задачу для СВ =0,54, что не удалось достигнуть на основе [9], [21]. Следует отметить, что критерий рассмотренной задачи не зависит от неопределенных параметров, и полученный эффект достигнут только благодаря предложенному способу преобразования отдельных вероятностных ограничений в детерминированные.

Заключение

В статье предложен подход к решению задач проектирования гибких ХТС, представленных в форме ДЭЗОВО. Сложность решения таких задач состоит в необходимости вычисления многомерных интегралов на каждой итерации метода при прямом решении, а также неизвестной форме зависимости значений управляющих переменных от значений неопределенных параметров.

Использование предложенного в статье подхода для решения ДЭЗОВО показало его преимущество перед известными способами решения задачи, при этом достигнуто значительное сокращение времени решения задачи, что подтверждено результатами вычислительного эксперимента.

Литература

1. Bernardo F.P., Saraiva P.M. Robust optimization framework for process parameter and tolerance design. AIChE J. 1998. V. 44. Р. 2007-2117.

2. Diwaker U.M., Kalagnanam J.R. An efficient sampling technique for optimization under uncertainty. AIChE J. 1997. V. 43. Р. 440-447.

3. Ierapetritou M.G., Pistikopoulos E.N. Global optimization for stochastic planning, scheduling and design problems. In: Grossmann, I.E. Global optimization in engineering design. Kluwer Academic Publ.: Boston, 1996. Р. 231-287.

4. Bernardo F.P., Pistikopoulos E.N., Saraiva P.M. Robustness criteria in process design optimization under uncertainty. Comput Chem Eng. 1999. Р. 459-S462.

6. Charnes A., Cooper W.W. Chance-constrained programming. // Management Science. 1959. V. 6. P. 73-79.

7. Henrion R., Moller A. Optimization of a continuous distillation process under random inflow rate // Comput. Math. Appl. 2003. V. 45. P. 247-262.

8. Petkov S.B., Maranas C. Multiperiod planning and scheduling of multiproduct batch plants under demand uncertainty // Ind. Eng. Chem. Res. 1997a. V. 36. P. 48644881.

9. Островский Г.М., Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н. Проектирование оптимальных химико-технологических систем в условиях неопределенности // Теоретические основы химической технологии. 2014. Т. 48. № 5. С. 527-537.

10. Ostrovsky G., Zyatdinov N., Lapteva T. One-stage optimization problem with chance constraints // Chemical Engineering Transactions. 2011. Т. 25. С. 225-230.

11. Acevedo J., Pistikopoulos E.N. Stochastic optimization based algorithms for process synthesis under uncertainty // Comput. Chem. Eng. 1998. V. 22. P. 647-671.

12. Pintaric N., Kravanja Z. A strategy for MINLP synthesis of flexible and operable processes // Comp.&Chem.Eng. 2004. V. 28. №№ 6-7. P. 1105-1119.

13. Bernardo F.P., Saraiva P.M. Robust optimization framework for process parameter and tolerance design //

AIChE J. 1998. V. 44. Р. 2007-2117.

14. Diwekar U.M., Kalagnanam J.R. An Efficient Sampling Technique for Optimization under Uncertainty // AIChE J. 1997. V. 43. P. 440-447.

15. Maranas C.D. Optimal Molecular Design Under Property Prediction Uncertainty // AIChE J. 1997. V. 43. P. 12501264.

16. Wendt M., Li P., Wozny G. Nonlinear Chance-constrained Process Optimization under uncertainty // Ind. Eng. Chem. Res. 2002. № 41. P. 3621-3629.

17. Geletu A., Hoffmann A., Klöppel M., Li P. A tractable approximation of non-convex chance constrained optimization with non-Gaussian uncertainties. Engineering Optimization, 2015, V. 47, 495-520.

18. Geletu A., Klöppel M., Zhang H., Li P. Advances and applications of chance-constrained approaches to systems optimization under uncertainty. International Journal of Systems Science. 2013, V. 44, P. 1209-1232.

19. Островский Г.М., Зиятдинов Н.Н., Лаптева Т.В., Первухин Д. Д. Оптимизация химико-технологических процессов с вероятностными ограничениями // Теоретические основы химической технологии. 2010. Т. 44, № 5, С. 507-515.

20. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д. Д. Подходы к аппроксимации критерия в одноэтапной задаче оптимального проектирования с учетом неопределенности // Вестник Казанского технологического университета. 2012. Т. 15. № 12. С. 216-219.

21. Ostrovsky G.M., Ziyatdinov N.N., Lapteva T.V., Zaitsev I.V. Two-stage optimization problem with chance constraints // Chemical Engineering Science. 2011. V. 66. № 17. С. 3815-3828.

22. Зиятдинов Н.Н., Зайцев И.В., Лаптева Т.В. Эффективность аппроксимации управлений в двух-этапной задаче проектирования оптимальных ХТС // Вестник Казанского технологического университета. 2012. Т. 15. № 16. С. 247-250.

23. Зайцев И.В., Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н. Алгоритм решения задачи двухэтапного проектирования оптимальных химико-технологических систем с вероятностными ограничениями с учетом неопределенности // Вестник Казанского технологического университета. 2013. Т. 16. № 1. С. 251-256.

24. Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Первухин Д.Д., Островский Г.М. Одноэтапная задача оптимального проектирования системы реакторов с вероятностными ограничениями // Вестник Казанского технологического университета. 2011. № 9. С. 281-287.

25. Островский Г.М., Лаптева Т.В., Зиятдинов Н.Н., Сильвестрова А. С. Вычисление ограничений при оптимизации химико-технологических систем с учетом неопределенности // Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17. № 24. С. 195-200.

© А. С. Сильвестрова, асс., асп. каф. системотехники КНИТУ, sensoriumsa@mail.ru; Т.В. Лаптева, д.т.н., профессор той же кафедры, tanlapteva@yandex.ru; Н. Н. Зиятдинов, д.т.н., профессор, зав. каф. системотехники КНИТУ, nnziat@yandex.ru; Н. Н. Закиров, студент той же кафедры.

© A. S. Silvestrova, assistant, graduate student, Process System Engineering Department, KNRTU, sensoriumsa@mail.ru; T. V. Lapteva, Doctor of Sciences in Engineering, Professor, Process System Engineering Department, KNRTU, N. N. Ziatdinov, Doctor of Sciences in Engineering, Full Professor, Chair of Process System Engineering Department, KNRTU, nnziat@yandex.ru; N. N. Zakirov, undergraduate student, group 8221-1, Process System Engineering Department, KNRTU.