Постановка задачи и формулировка математической модели изнашивания поверхностей в виде задачи с двумя подвижными границами

УДК 621

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ФОРМУЛИРОВКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗНАШИВАНИЯ

ПОВЕРХНОСТЕЙ В ВИДЕ ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ПОДВИЖНЫМИ

ГРАНИЦАМИ

Лукашев Евгений Алексеевич, д.т.н., профессор, главный научный сотрудник, (e-mail: elukashov@yandex.ru) ОАО «Тураевское машиностроительное конструкторское бюро

«Союз», г.Москва

Сидоров Михаил Игоревич, к.т.н., первый заместитель директора - заместитель директора по научной работе, (e-mail: info @niigeo.ru) ФКП «НИИ «Геодезия», г.Москва

Предложена математическая модель водородного изнашивания в форме задачи с подвижной границей (задачи Стефана). В качестве основы математической модели износа использована задача с двумя подвижными границами. Данная модель дает возможность поставить вопрос о стационарной толщине адгезионной пленки (активированного слоя металла) и может быть использована для качественного анализа решений и сравнения их с экспериментальными данными.

Ключевые слова: модель, трибохимия, кинетика, изнашивание.

Как уже отмечалось во введении, в последнее время в триботехнике достигнут значительный прогресс, благодаря трибохимическим исследованиям водородного изнашивания, избирательного переноса и разработки ме-таллоплакирующих присадок к смазочным материалам и ряда технологических приемов, например, финишной антифрикционной безабразивной обработки. Однако процессы трения являются сложными и для исследований требуют большого числа методов: трибохимии, механохимии, химмотологии, электрохимии, катализа, органической химии и химии полимерных материалов. В связи с этим всегда стоит задача выделения значимых факторов, влияющих на износ в определенных условиях проведения экспериментов или эксплуатации деталей, и исключения или нивелирования других. Для задач, с которыми сталкивается триботехника, выполнить эти условия в эксперименте нелегко, а часто просто невозможно. В таких случаях необходимо теоретическое "разбиение" сложного явления на части (декомпозиция), построение математической модели, изучение поведение объекта на модели с последующей проверкой этих результатов в условиях специально поставленных экспериментов.

Одна из серьезных проблем трибохимии связана с объяснением явления избирательного переноса и действия металлоплакирующих присадок. Существует ряд подходов к объяснению эффекта Гаркунова-Крагельского: в одном из них принимается, что основным механизмом переноса меди на сталь при фрикционном взаимодействии поверхностей, является электро-

химический, в другом предполагается механохимическое диспергирование и перенос в виде коллоидных частиц. Электрохимический механизм, как правило, предполагает образование ионов меди, и последующее их восстановление за счет взаимодействия с железом стали. Такой механизм может быть реализован при применении металлоплакирующих присадок, вводимых в смазку в форме солей меди, например, олеиновой кислоты. Однако объяснение большого количества экспериментальных данных образованием ионов меди из металла не может выдержать критики, поскольку большинство смазочных материалов принадлежит к восстановительным средам.

Данное положение в трибохимии приводит к необходимости разработки математических моделей фрикционного диспергирования, что может предоставить возможность уточнить физико-химические механизмы безыз-носного трения и избирательного переноса.

Экспериментально при водородном износе фиксируются два режима изнашивания, которые предложено называть водородное изнашивание диспергированием и водородное изнашивание разрушением. Есть все основания предполагать, что механизм изнашивания и в том, и в другом случае одинаков, однако в первом случае процесс износа является стационарным процессом и характеризуется линейным изменением геометрических параметров деталей пары трения во времени. Во втором случае износ во времени происходит ступенчато, т.е. чередуются интервалы времени, в которых изнашивания практически не происходит, тогда как в другие промежутки времени износ реализуется скачком и на некоторую глубину. В работах [1-3] имеются экспериментальные данные, иллюстрирующие эту ситуацию. При определенных условиях в триботехническом эксперименте фиксируется ступенчатый (скачкообразный) износ, но в то же время момент силы трения и температура в зоне фрикционного контакта меняются монотонно.

В работе [6] было сделано предположение о едином механизме водородного изнашивания при обеих реализациях процесса - монотонной и скачкообразной. Исходя из этого, предполагалось, что в первом случае процесс износа является устойчивым, во втором - неустойчивым. В связи с этим математическая модель должна иметь возможность иллюстрировать обе эти реализации при одинаковых исходных положениях.

Ниже в соответствии с [6] нами представлена попытка формулировки математической модели водородного изнашивания в форме задачи с подвижной границей (задачи Стефана). В качестве основы математической модели износа использована задача с подвижной границей, один из вариантов которой сформулирован в работе [7] и был использован в качестве аналога для постановки задачи с двумя подвижными границами.

При формулировке модели предполагалось, что существует процесс накопления дефектов, приводящий к изменению состояния твердой фазы на некоторой глубине от поверхности фрикционного контакта

М8, г + А1 ^ М^ 2,

где М51 - исходное состояние твердой фазы, А - дефекты, образующиеся

в ходе фрикционного контакта, Мз,2 - состояние твердой фазы, которое богато дефектами настолько, что частица металла может покинуть матрицу металла и перейти в форме частицы износа в объем смазки.

Возможные варианты последующих процессов могут быть представлены в виде:

М5,2 ^ М12 ,

М5 ,2 ^ М5,2

и

М5,2 ^ М7,2 ;

Процесс (2. а) означает, что связность частицы (кристаллита) с матрицей металла утеряна, но она еще адгезионно связана с матрицей, т.е. когезия преодолена, но еще не преодолена адгезия (как два процесса последовательно, протекающие во времени); процесс (2. б) означает, что адгезионно закрепленная на поверхности частицы уходит в объем смазки и обнажается поверхность металла с малой концентрацией дефектов; процесс (3) означает, что энергетические параметры процесса трения таковы, что частица сразу покидает матрицу металла, как только преодолевается когезия, т.е. минуя стадию адгезии (частица на поверхности не задерживается). Можно предполагать, но необходимо проверить сопоставлением результатов моделирования и эксперимента, что процесс (3) дает значительный вклад при больших нагрузках и высоких скоростях скольжения.

В одномерной модели фиксируется поток дефектов А через "активированный" нагружением поверхностный слой, т.е. к границе, где матрица металла является "нетронутой" (исходной). Далее предполагается, что этот процесс подчиняется уравнению диффузии

сА _ в

Ы ~ А Ых2 , 7М

где А - концентрация дефектов в области активированного трением поверхностного слоя, т.е. в области, которую можно считать пленкой (активированной пленкой), ограниченной ^М ) и ); здесь ^А - эффективный коэффициент диффузии дефектов в активированной пленке.

Таким образом, активированная пленка (дефектный слой металла) образуется на границе х _ ^М (() по реакции (1) и разрушается на границе

х _ ^(() по реакциям (2.а), (2.б) и (3). Эти реакции включаются в модель в качестве вспомогательных условий к процессу, задаваемому уравнением (4.4).

Уравнение (4) является дифференциальным уравнением 2-го порядка по пространственной координате ^, поэтому необходимо поставить два гра-

ничных условия, включающих концентрацию дефектов (или поток; скорость образования): первое на межфазной поверхности "матрица - поверхностный слой"; второе на межфазной поверхности "поверхностный слой -

смазка".

На межфазной поверхности "матрица - поверхностный слой" поток дефектов А] связан со скоростью реакции (1) первым граничным условием

^ щт = ^ } )

& ,

к

где кинетическая константа 1 определяется для единицы площади поверхности фрикционного контакта (А] с точки зрения формализма химической кинетики определяется как некоторый пул (порция) или "квант" дефектов, приводящий к потере когезионного сцепления, т.е. частица уже не связана с матрицей, но еще ее не покинула за счет адгезионного сцепления с поверхностью или матрицей).

На межфазной поверхности "поверхностный слой - смазка" концентрация дефектов в пленке является некоторой предельной концентрацией, задаваемой режимом трения (нагружением, скоростью скольжения) в стационарном состоянии А . Это дает второе граничное условие

где Кн - коэффициент распределения, определяющий долю дефектов, активно участвующих в износе ( ^), т.е. отношение активных дефектов (проникающих в поверхностный слой), к общему числу образующихся на

внешней поверхности дефектов (А°°).

Описываемые таким образом две межфазные поверхности движутся, и положение этих поверхностей заранее не определено и должно определяться в ходе решения поставленной задачи.

Поскольку эти межфазные поверхности движутся, то дополнительно требуется уравнения их движения. Эти уравнения движения могут быть установлены как балансовые соотношения: для границы "матрица - адгезионная пленка" массовый баланс может быть задан уравнением

- -МГ^Г1 = к-А

ММ В ;

это уравнение означает, что граница х = ^М () движется в сторону от смазки за счет потока дефектов от поверхности фрикционного контакта с матрицей металла, с одной стороны, и за счет обратного по направлению потока частиц, покидающих матрицу и переходящих в адгезионную пленку, с другой стороны. Кроме того, это уравнение совместно с уравнением (5.а) есть утверждение, что поток дефектов пропорционален концентрации дефектов, образующихся за счет трения (кинетика образования дефектов задает градиент концентрации дефектов, который, в свою очередь, задает по-

ток дефектов). В уравнении (5.в) Рм и Мм - плотность и атомная масса металла матрицы.

Балансовые соотношения для адгезионной пленки (ее толщины) дают уравнения для обеих ее границ

р ( _ е) [ ()-^ ()] = _ [ а + к3 ]

Мл Л Мм Л ,

Ра и ма

где иа и а - плотность и молярная масса вещества адгезионной пленки, осредненная с учетом наличия в адгезионной пленке поверхностно-активных веществ и соединений смазки, 8 - параметр разрыхления (относительный поровый объем адгезионной пленки); член )а°° + ^3 ] определяет поток частиц износа, покидающих адгезионную пленку и уходящих в

объем смазки; а(у) - динамический параметр, задающий зависимость потока частиц износа, удаляющихся по реакции (2. б), от скорости скольжения (аналог гидродинамической интенсивности омывающего потока, отрывающего и уносящего в объем потока адгезионно закрепленные частицы);

параметр ^3 (кинетическая константа реакции (3)) определяет удельную скорость реакции (3), которая обеспечивает поток частиц износа непосредственно вырыванием из матрицы и подачей в поток, минуя стадию адгезионного закрепления. Параметр ^3, как отмечалось выше, также может зависеть от скорости скольжения и нагружения. Константы ^ и ^3 задаются уравнением Аррениуса, что позволяет дополнительно ввести зависимость скоростей соответствующих реакций, как функцию от температуры, развивающейся в зоне фрикционного контакта, а также механохимической активации поверхностей этого контакта (снижение энергии активации соответствующих переходов).

Сформулированная математическая модель дает возможность поставить вопрос о стационарной толщине адгезионной пленки (активированного слоя металла). Стационарное решение задачи (4), (5) соответствует постоянной толщине адгезионной пленки

^ =

Постоянный во времени (стационарный) износ будет означать постоянную скорость движения границ ^) и -м (): и°.

Для решения задачи используется замена переменных

! = I • х = х _ uоt

тогда

дА = дА А дА дх = дА дА дА _дА $ дА дх = дА

дt дt А дх Ж дI 0 дх ; дх д! дх дх дх дх .

Данная замена переменных дает вместо уравнения (4) следующее урав-

дА дА дА

нение

ел _ ел _ D d^A

st u° ex ~Da ex2 , e

здесь в(() есть локальные изменения Zm (t) в новых переменных t, а ^(t) -

локальные изменения Zs (() в переменных t. Уравнение (5. а) заменяется на уравнение

Da _ М

ex 1 v w \

а уравнение (4.5. в) - на уравнение

в _ u° 1_ кл

J ,

где Vm _ мм /Рм - мольный объем матрицы металла. Уравнение (5.г) заменяется на уравнение

1 (1 \clt () _ 1 ( ев (t) л

Vm

V St V

A ' M

±.(1 __J_ _uo _[a(vK+ k3]

I et J

; ,

где ка = ма ¡РА - мольный объем адгезионной пленки. Уравнение (5.б) заменяется на уравнение

А

В этих уравнениях и< - скорость движения границы "матрица металла -адгезионная пленка частиц износа", т.е. границы ^М () при стационарном движении с постоянной скоростью 0; в (О - колебания 0 около стационарного значения (отклонения () от и<); ^0 + а(!) значения (() с учетом

колебаний -а (?) около стационарного состояния 0.

Задача (9), (10) для стационарного решения, которое определяет стационарный профиль концентраций

А

, толщину пленки и скорость износа

ио

представляется системой уравнений

dA ^ d2A _ u° — _ D

° dx A dx2 ; ° <x <Z

Da^M _ kiA

dx

^ _ k1A

V

y M

0 _ ^ _

Vm

_ ;

А

Сформулированная математическая модель используется для качественного анализа решений и сравнения их с экспериментальными данными.

Для представления не только механического, а именно водородного износа, в данной модели в реакции (1) под A подразумевается водород, образующийся в ходе деструкции органических веществ смазки в зоне фрикционного контакта и растворяющийся в металле с образованием твердых растворов или гидридов.

Предполагается, что поскольку абсорбция водорода поверхностным слоем металла в значительной степени определяется градиентом температуры, то сформулированная задача может быть объединена с задачей теплопроводности. Таким путем может быть сформулирована обобщенная задача -неизотермическая задача Стефана. Аналогично модель может быть сформулирована с учетом поля механических напряжений.

Список литературы

1. Юдин В.М., Лукашев Е.А., Ставровский М.Е. Методы трибохимических исследований. М.: МГУС, 2004, 235 с.

2. Лукашев Е.А., Ставровский М.Е., Олейник А.В., Юдин В.М., Емельянов С.Г. Трибохимия водородного износа. - Курск, ФГБОУ ВО ЮЗГУ, 2007, -278 с.

3. Лукашев Е.А., Ставровский М.Е. К построению математических моделей технической диагностики узлов трения. М., Промышленный сервис. 2004. № 1. с. 10.

4. Ставровский М.Е., Сидоров М.И., Емельянов С.Г., Посеренин С.П. Исследование эксплуатационного наводороживания материалов деталей. Известия Юго-Западного государственного университета. 2016. № 2 (65), с. 59-65.

5. Махутов Н.А., Ставровский М.Е., Новиков В.Д., Кравчишин Д.Н. Оценка и оптимизация надежности технологических систем потенциально опасных объектов. Экология и промышленность России. 2003. № 9. С. 36.

6. Лукашев П.Е. Математическое моделирование трибохимической кинетики водородного износа. Дисс. ... канд. техн. наук. М.: МГУС, 2008, 250 с.

7. Perlstein A. J., Lee H. P., Nobe K. Film formation and current oscillations in the electrodissolution of copper in acidic chloride media. II. Mathematical model. // J. Electrochem. Soc., 1985, v. 132, N 9, P. 2159 - 2165.

Lukashev Eugene A., Ph. D., Professor, (e-mail: elukashov@yandex.ru), JSC "Turaevo machine-building design Bureau "Soyuz", Moscow

Sidorov Mikhail I., candidate of technical Sciences, (e-mail: info@niigeo.ru), PCF "Sri "Geodesy", Moscow

STATEMENT OF THE PROBLEM AND FORMULATION OF A MATHEMATICAL MODEL OF THE WEAR SURFACES IN THE FORM OF A PROBLEM WITH TWO MOVING BOUNDARIES

Abstract: a mathematical model of the hydrogen from the flap in the form of objectives with a moving boundary (Stefan problem). As the basis of a mathematical model of wear is used the problem with two moving boundaries. This model gives the opportunity to raise the issue of a fixed thickness of the adhesive film (the activated metal layer) and can be used for the qualitative analysis of solutions and their comparison with experimental data.

Keywords: model, tribochemi, kinetics, wear.