Расслоения неевклидова 3-пространства гиперболического типа, порожденные алгеброй антикватернионов. I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

РАССЛОЕНИЯ НЕЕВКЛИДОВА 3-ПРОСТРАНСТВА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ПОРОЖДЕННЫЕ АЛГЕБРОЙ АНТИКВАТЕРНИОНОВ. I

В.Н. Шапуков

Аннотация

Изучению биаксиальных и связанных с ними пространств А.П. Норден посвятил несколько своих работ. Он заинтересовался этим классом пространств с точки зрения применения алгебр комплексных, двойных и дуальных чисел, имея прежде всего ввиду приложения к линейчатой геометрии неевклидовых пространств (см., например, [2]). Из этих его работ в дальнейшем и развилась общая теория пространств над алгебрами [3].

Если А - некоторая алгебра, то ее проективизация приводит к проективному пространству, наделенному некоторой структурой. Так, при проективизации алгебры кватернионов получим 3-мерное эллиптическое пространство. Подобным же образом алгебра антикватернионов определяет 3-мерное гиперболическое пространство с линейчатым абсолютом. В этой связи представляют интерес расслоения неевклидовых пространств, возникающие с помощью подалгебр (расслоение эллиптического 3-пространства, порожденное алгеброй кватернионов, было рассмотрено в [4]). Как известно [5], алгебра антикватернионов содержит все три типа подалгебр второго порядка: комплексных, двойных и дуальных чисел. В этой статье рассматривается расслоение 3-мерного гиперболического пространства, порожденное подалгеброй комплексных чисел. Построена нормализация расслаивающей линейной конгруэнции и выяснен геометрический смысл полученных объектов.

1. Расслоение, порожденное подалгеброй комплексных чисел

Алгебра А антикватернионов [6] - это 4-мерная ассоциативная неприводимая алгебра с единицей, которая допускает сопряжение х ^ х и невырожденное скалярное произведение1

(Х,У) = 7}(ХУ + У*)-

Оно определяет в А структуру 4-мерного псевдоевклидова пространства Е| • Элементы алгебры, для которых а2 = аа = 0, обратимы: а-1 = а/|а|2. Они образуют группу Ли О С А. Необратимые элементы образуют изотропный конус простран-

2=0

Выберем в А ортонормированный базис {1, е^}, комплексные единицы которого умножаются согласно таблице

в! е2 е3

в! 1 ез в2

е2 -ез 1 -в!

ез -ег в! -1

13аметим, что среди алгебр 4-го порядка только алгебры кватернионов и антикватернионов

имеют невырожденное скалярное произведение, соответственно евклидово и псевдоевклидово.

Отсюда видно, что всякий антикватернион х = ж0 + + ж2в2 + ж3ез можно записать в виде

х = ¿1 + ¿2в2, гк е Ж(ез),

где комплексные числа

0 з 2 1

¿1 = ж + ж ез, ¿2 = ж + ж ез.

Тогда умножение антикватернионов х и у = № + определяется формулой

ху =

сопряжение имеет вид х = Х1 — ¿262 > а скалярный квадрат антикватерниона равен

х2 = (ж0 )2 — (ж1 )2 — (ж2 )2 + (ж3 )2 = ¿1X1 — Х2Х2.

Как показано в [5], алгебра антикватернионов содержит 2-мерные подалгебры всех трех типов: комплексных, двойных и дуальных чисел. В этом параграфе мы рассмотрим подалгебру комплексных чисел С = К.(ез). Она определяется уравнением ¿2 = 0, а множество ее ненулевых элементов С0 есть подгруппа Ли группы О. Рассмотрим фактор-пространство правых смежных классов О/С0 . Если элементы х и у принадлежат одному смежному классу, то ху-1 е С0, откуда получим два условия

¿1^2 — ¿2^1 = 0, ¿1^1 — ¿2^2 = 0.

Первое из них дает : х2 = : №2 , и имеем каноническую проекцию п : О ^ СР1 в комплексную проективную прямую, определяемую формулой

п

Второе условие означает, что образом проекции является подмножество М С СР1, для которого ¿1X1 — ¿2X2 = 0. Тем самым исключаются точки подмножества С С С СР1, соответствующие изотропному конусу.

Теорема 1. Расслоение п : О ^ М есть несвязное объединение двух тривиальных главных расслоений.

М

крытое вещественное подмногообразие конформной плоскости (или 2-сферы) без

М

нент: М = и и V. Рассмотрим сначала ограничение расслоения п на область и : ¿1х1 — х2Х2 > 0. Так так в ней = 0, то можно ввести неоднородную координату г = ¿2/х1 и, следовательно, имеем круг единичного радиуса хХ < 1. Пусть антикватернион х е п-1 (и). Представив его в виде х = ¿1(1 + ¿е2), рассмотрим биективное отображение ^ : п-1 (и) ^ и х С0 то формуле <^>(х) = (з^). Обратно, для любого z е и и а е С0 определен антикватернион <^-1 (¿,а) = а(1 + ¿е2)-Нетрудно видеть, что это диффеоморфизм, определяющий тривиализацию расслоения п|и  Чтобы доказать тривиальность расслоения п|у, достаточно применить инверсию 11 : гш = 1/ г.

=0

расслоение О ^ М можно расширить до расслоения ненулевых антикватернионов п : А0 ^ СР1, что мы и будем предполагать в дальнейшем.

Рассмотрим проективизацию этого расслоения [9]. Заметим сначала, что про-ективизация А : А0 ^ Р3, которая всякому х € А0 ставит в соответствие точку X € Р3 проективного пространства, определяет гиперболическое пространство 5*1, линейчатая квадрика которого

д :

порождается изотропным конусом.

Теорема 2. Подалгебра комплексных чисел алгебры антикватернионов определяет тривиальное главное расслоение пространства с помощью линейной конгруэнции эллиптического типа.

Доказательство. Коммутативная диаграмма

А ^ —^ ^ 53

п \ / Р

СР1

с проекцией p(X) = (zi : z2) определяет расслоение этого неевклидова пространства линейной конгруэнцией прямых K. Ясно, что это расслоение также тривиально. В главном расслоении п имеется структурная группа C0, которая действует левыми сдвигами х' = ax, a € C0 или согласно (2) zi = az1, z2 = az2. Однако в S| это действие неэффективно и имеет ядро R0. Поэтому структурной группой расслоения p является фактор-группа C0 /R0, изоморфная группе Ли комплексных чисел единичного модуля S. В результате получим

z' = eivzb z2 = eiv z2 или в вещественных однородных координатах

ж0 (<^) = ж0 cos ^ — ж3 sin ж 1 (<^) = ж 1 cos ^ + ж2 sin ж2 (<^) = —ж 1 sin ^ + ж2 cos ж3 (<^) = ж0 sin ^ + ж3 cos

Эти преобразования, которые мы обозначим х' = А(<^>)х, А(^) € 5, естественно

назвать левыми паратактическими сдвигами. Так как при таких сдвигах (при со-

'2 = 2 2 = 0

абсолюте, т. е. конгруэнция состоит из эллиптических прямых. Если же х2 = 0, то соответствующая прямая конгруэнции принадлежит абсолюту, являясь его образующей. Такие прямые образуют одно из 1-параметрических семейств образующих квадрики, являющихся прообразами точек окружности С.

Отождествляя СР1 с конформной плоскостью, проекцию расслоения локально можно записать в вещественных координатах. Пусть, например, z € и. Положив z = и + «ез, получим

ж0ж2 | ж1 ж3 ж0ж1 _ж2ж3

(ж0)2 + (ж3)2' (ж0 )2 + (ж3 )2'

Найдем неявные уравнения слоев. В рассматриваемой области z2 — zz1 = 0, откуда получим систему двух линейных уравнений

£(х) = ж1 — «ж0 — мж3 = 0, п(х) = ж2 — мж0 + «ж3 = 0.

С помощью инверсии ад = 1/г, положив ад = и' + г>'ез, получим над областью V аналогичную систему

£'

Параметры (и, V) и (и'^') семейств связаны соотношениями

и2 + V2

Что касается слоев над окружностью 5, то в силу условия и2 + V2 = 1 обе системы совпадают.

Нетрудно проверить, что приведенные выше параметрические уравнения слоев (5) после исключения параметра сводятся к (6) или (7) в зависимости от положения точки г = п(х).

Рассмотрим в А0 преобразования вида

х' = ахЬ, х' = ахЬ, а,Ь € О.

Известно ([6], гл. 12), что эти преобразования описывают полную группу подобий (при |а|2|Ь|2 > 0) и антиподобий (при |а|2|Ь|2 < 0) первого и второго родов про-

следует, что формулы (8) определяют полную группу движений гиперболического пространства. Она зависит от шести параметров и состоит из 4-х связных компонент. Рассмотрим отдельно правые и левые сдвиги, положив а = а! + и Ь = 61 + 6^2 • Здесь а1 = а0 + а3ез , а2 = а2 + а^з и аналогично 61,62 ~ комплексные числа.

Теорема 3. Правые сдвиги я! = хЬ, Ь € О пространства А0 определяют в 5| 3-параметрическую подгруппу Ли В С О движений я! = Вж с матрицей

В

1 62 63

О)

60 61 62 -63

61 60 -63 62

62 63 60 -61

63 62 -61 60

Она сохраняет расслоение и индуцирует на базе подгруппу проективных преобразований, которые в однородных координатах имеют вид

г' 1 = 612:1 + 62^2, г' 2 = 62^1 + 6 1^2.

Доказательство. Правые сдвиги х' = хЬ, Ь € О преобразуют правые смежные классы в правые. Поэтому они сохраняют расслоение п, а определяемые ими движения в 53 сохраняют расслоение р. Отсюда следует, что правые сдвиги индуцируют на базе СР1 некоторую группу преобразований. Найдем эти преобразования. Использовав формулу (2), получим в А0 линейные преобразования в комплексном виде (10). Перейдя к вещественным координатам и затем рассмотрев их как однородные, получим в пространстве 5| 3-параметрическую группу проективных преобразований с матрицей (9). С другой стороны, формулы (10) индуцируют в СР1 проективные преобразования однородных координат.

Эти преобразования можно записать в неоднородных координатах. Тогда для я € и и ад € V получим соответственно

' 6 1 я + 62 ' 61гу + 62

2 = =-, ад = -

622 + 61 621« + 61

и

—V

и

V

и2

V2

Заметим, что детерминант detB = (6161 — 62 62)2 = |Ь|4 = 0 определен в с точностью до вещественного положительного множителя. Поэтому можно считать, что detB = 1. Группа (9) состоит из двух компонент - движений первого (при |Ь|2 > 0) и второго (при |Ь|2 < 0) рода. При этом связная компонента единицы изоморфна специальной псевдоунитарной группе Би (1,1). Отметим также, что преобразование группы (10), преобразующее слои в себя, может быть только тождественным.

Рассмотрим теперь левые сдвиги х' = ах, а € О. Использовав опять формулу (2), получим

2'1 = «1^1 + 0.2^2, 2/2 = Й221 + «1^2.

В пространстве этим преобразованиям соответствуют преобразования однородных координат с матрицей

(

А =

V

—о3 \ 2

/

Теорема 4. Преобразования (12) образуют, в пространстве б*3 3-параметрическую подгруппу Ли движений А с О. Она, вообще говоря, не сохраняет расслоение, но содержит 1-параметрическую подгруппу левых сдвигов структурной группы Б этого расслоения. В частности, она содержит абсолютную инволюцию пространства.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Далее, рассматривая отношение : , найдем, что оно совпадает с отношением 21 : 22 исходных координат лишь при условии «2 = 0. Это значит, что а € С0, а преобразование х' = ах яв-

Б23

индуцирует преобразование х' = А

АМ =

/ соя 0 0 — я1п 1р \

0 соя ^ 0

0 — я1п ^ соя ^ 0

У я1п 0 0 соя J

В частности, из левых сдвигов, определяемых базисными единицами е^ алгебры, только преобразование I : х' = езх является паратактическим. Так как I = А(п/2), оно имеет матрицу

0 0 0 —1

0 0 1 0

0 —1 0 0

1 0 0 0

Б23

Б23

ства эллиптического типа с аффинором абсолютной инволюции I, по отношению к которому метрика пространства является эрмитовой, а конгруэнция К абсолютной линейной конгруэнцией.

Доказательство. Первое утверждение следует из свойства 12 = — Ы. Этот

Б23

о

1

2

о

о

о

1

о

3

о

о

о

2

3

о

1

о —о

о

о

3

2

1

о

оо

о

о

того, / определяется левым сдвигом и поэтому сохраняет скалярное произведение

х2 = 2

. Отсюда следует,

что прямая конгруэнции принадлежит той области p-1 (U) ми p-1(V), в которой находится исходная точка х.

Заметим, что если x£ Q, то также /х £ Q, а прямая h(x,/х) является обра-Q

S23

ведение своих подгрупп A и B.

S23

композицией правого и левого сдвигов, причем в любом порядке. С другой стороны, A П B = Id. В самом деле, предположим, что существу ют элементы a, b £ G такие, что ах = xb для любого х = 0. Вследствие линейности здесь в качестве х достаточно выбрать базисные элементы алгебры A Тогда получим а = b = Л £ £ R0. Но гомотетии х' = Лх определяют в пространстве Sf лишь тождественное преобразование.

S23

смежными классами по подгруппе C0. Элементы х и у группы G принадлежат одному левому смежному классу по этой подгруппе, если х-1 у £ C0. Отсюда получаем условия

Z1W2 — z2W1 = 0, z1W1 — z2W2 = 0.

Из них следует ¿1 : z2 = w : w2 • Это означает, что имеем расслоение p' : S23 ^ ^ M С CP1, которое определяется проекцией p'(x) = (¿1 : z2). Его слоями являются прямые линейной конгруэнции эллиптического типа K'. Например, для z = z2/z1 £ U они имеют уравнения

ж1 — «ж0 + мж3 = 0, ж2 — мж0 — «ж3 = 0,

аналогичные (6). Отсюда видно, что симметрия ж3 ^ —ж3 переводит конгруэнцию K в конгруэнцию K', взаимную с K.

Что касается группы движений, то теорема 6 остается справедливой и в этом

AB

A ' = p'

BS p'

ственное преобразование базы этого расслоения при условии 62 = 0. Здесь можно считать, что 61 £ S, и тогда эти преобразования принимают вид

z1 = e^ z1, z2 = e-i^ z2.

В S23 им соответствуют преобразования 1-параметрической группы В(ф), которые в однородных координатах имеют вид

ж0 (ф) = ж0 cos ф — ж3 sin ф, ж^ф) = ж1 cos ф — ж2 sin ф,

ж2(ф) = ж1 sinф + ж2 cosф, ж3(ф) = ж0 sinф + ж3 cosф.

Эти преобразования, орбитами которых являются прямые взаимной конгруэнции, аналогичны (5). Назовем их правыми паратактическими сдвигами. В частности,

3 = В(п/2), 32 = — Ы есть аффинор взаимной абсолютной инволюции эллиптического типа. Отметим, что при х £ Q соответствующие прямые конгруэнции образуют второе семейство образующих этой квадрики.

2. Нормализация конгруэнции

Рассмотрим конгруэнцию К, порожденную правыми смежными классами. Для точек пространства, не принадлежащих абсолюту, выберем каноническое нормирование х2 = е = ±1. Другими словами, мы задаем их точками 3-сфер единичного и мнимоединичного радиуса псевдоевклидова пространства, которые 2-листно накрывают пространство 5*1.

Пусть к - прямые конгруэнции, принадлежащие для определенности области р-1 (и) над кругом и. Учитывая (6), их базисные точки можно выбрать, например, так:

а=-=

где в рассматриваемой области К =1 — и2 — V2 > 0,а точка а выбрана в плоскости ж0 = 0. Тогда параметрические уравнения прямых получим в виде

к : х

Здесь ^ имеет смысл кратчайшего расстояния точки х(<^>) до начальной точки а.

Введем в этой области пространства 5*1 криволинейные координаты, адаптированные к расслоению. В качестве базисных координат выберем гауссовы координаты (и) = (и, V) точки г = р(х), а слоевой координаты - параметр левого паратактического сдвига в соответствии с уравнением (15). Тогда операторы {$а} = {д., д^} образуют натуральный репер в точке х, применив которые к х, получим

$1Х = $1а соя ^ + д1 аэш д2х = $2а соя ^ + д2хяш д3х = х.

Найдем матрицу метрического тензора в этом репере. Так как левые паратактические сдвиги являются движениями пространства, то компоненты этой матрицы дАЕ = (д^х, ддх) достаточно вычислить в точке а = х(0). В результате получим

1 / V2 — 1 —мг> —К« \

К \ —К« Ки К2 )

Это метрика пространства постоянной отрицательной кривизны. В силу ее 5*-инва-риантности компоненты метрического тензора, как и следовало ожидать, зависят лишь от базисных координат.

Построим нормализацию конгруэнции, применяя результаты А.П. Широкова [7]. С этой целью присоединим к произвольной точке рассматриваемой области проективный репер, за две вершины которого примем точки х £ к и х = /х £ к. Еще две вершины у. (г = 1, 2) выберем на поляре к прямой к, положив

yi = д.х — г х,

где Г - некоторые функции криволинейных координат (иА) = . Условием

у. £ к эти функции определяются однозначно: Г = (х, д.х). Проективный репер {га } = {х,у., х}, связанный с точкой х, назовем сопровождающим репером конгруэнции. Применяя терминологию А.П. Нордена [1], точки у. можно назвать вершинами нормали первого рода слоев расслоения, ах- опорной точкой нормали второго рода.

Теорема 7. Поляра к есть прямая конгруэнции К.

Доказательство. Так как уг - опорные точки поляры, то (х,уг) = 0 и (х, уг) = 0. Тогда в силу /-инвариантности скалярного произведения (х, хг) = 0 и (х, у г) = 0. Поэтому точки у^ € Таким образом, поляра у инвариантна относительно инволюции I и поэтому есть прямая конгруэнции К.

-л 1 ^^^^ ^^ ^^^^^^ г» тх тт/Ч'чт/'тхт ТТ г» лттг >-* 1 /

Ясно, что если х € р 1 (и), то поляра принадлежит области р 1 (V). Положим к

уI = 7кук  Отсюда и из /х = х, /х = — х следует, что в сопровождающем репере

0 0 1

0 (75) 0 —1 0 0

Здесь удовлетворяют уеловию 7к тк = — и являются компонентами аффинора той инволюции 7, которая индуцируется на поляре к инволюцией / пространства. Несложно подсчитать, что в рассматриваемом репере эти компоненты постоянны и равны

Ы)=

Теорема 8. Компоненты {Гг} определяют инвариантную связность главного расслоения. Они не зависят от слоевой координаты и при преобразовании адаптированных координат изменяются по закону

Г' = / Г + / .

Доказательство. Рассмотрим плоскости Гх = {х, уг}. Как следует из условий (х, у г) = 0, они образуют распределение Н ^ , ортогональное прямым конгруэнции. В силу теоремы 4 это распределение инвариантно при левом действии структурной группы, которое в этих координатах имеет вид = + Как и в [8], будем Г

ординатах. Для этого заметим, что они не зависят от слоевой координаты и поэтому не изменяются при действии группы В самом деле, дзГг = (дзх, дгх) + (х, дгзх). Но дзх = —х и, следовательно, дгзх = дгх. Тогда получим дзГг = 0. Поэтому ком-

(0) =

в которой Гг = (а,д^). Учитывая (14), получим

01а = —^(0 : Д + и2 : -иь : и), <92а = —-/=(0 : иу : -(Д + V2) : у),

Д V Д Д VД

откуда

V м .

Г1 = "д' Г2 = д' <19>

Найдем закон преобразования компонент связности. Рассмотрим преобразования адаптированных координат

М = /г (м5'), мз' = /з' (м5' ,мз').

Тогда дг'Х = /г дгх + / дзх. Учитывая (13) и (15), имеем дзх = ¿.Поэтому Гг' = (х, дух) = /?, (х, д{х) + ¡1, откуда и следует указанная формула.

Для вершин сопровождающего репера имеет место следующая таблица полярных произведений

X у,- X

X 1 0 0

Уг 0 Gij 0

X 0 0 1

Заметим, что так как х = дзх, вершины сопровождающего репера {га } можно получить в результате действия на точку х линейных дифференциальных операторов - тождественного, Ег = дг — Ггд3 и Е3 = д3. Последние образуют адаптированный репер {Еа}, (А = 1,2, 3) в точке х. Рассмотрение структурных уравнений [Еа , Ев ] = Каб Ее приводит к объекту неголономности К этого репера. Но так как

Гг

от нуля лишь

Кц := Я= д,- Гг — дгГ,-.

Это тензор кривизны внутренней связности [8]. Он имеет единственную существенную компоненту, которая в силу (19) равна

R12 — —

Д2'

Таким образом, горизонтальное распределение внутренней связности не инволю-тивно. Так как оно ортогонально слоям, конгруэнция К не является нормальной.

Теорема 9. Метрический тензор (16) расслоенного пространства является Н^ -проектируемым и определяет на базе расслоения метрику плоскости Лобачевского.

Доказательство. Компоненты метрического тензора д в адаптированном репере образуют матрицу

Gj 0

где согласно (17) Gj — gj — TjTj. Таким образом, горизонтальные компоненты тензора g не зависят от слоевой координаты. Поэтому, как доказано K.M. Егиа-заряном [10], тензор g H^-проектируем на базу расслоения и определяет на ней некоторую метрику g*. № согласно теореме 3 метрика g инвариантна относительно 3-параметрической группы B правых сдвигов, сохраняющих расслоение.

Поэтому B индуцирует та базе некоторую группу B* проективных преобразова-

B B*

метрики [10] и имеет максимально возможный порядок r — 3. Поэтому (U,g*) есть

g*

натуральном репере, соответствующем при проектировании адаптированному реперу, равны

1 -

П. . —__А. .

Метрика д* отрицательно определенная и по существу совпадает с метрикой плоскости Лобачевского в конформной модели Пуанкаре. Нетрудно подсчитать, что ее гауссова кривизна равна К = —4.

Рассмотрим деривационные уравнения сопровождающего репера, записав их в виде Еа?б =  Учитывая специфику в выборе вершин и приведенную выше

таблицу произведений, получим

2

a) Е^х = у», д3х = х,

b) Е'У* = ркх + Г*Ук + Нух, е) дзу» = вгкУк,

c) Ех = 7кУк, /) дзX = —х.

Здесь компоненты аффинора 7 и его смысл определены в теореме 7. Найдем значения и геометрический смысл других коэффициентов. Уравнение (с) получается из (а) с помощью инволюции. Таким же образом уравнение (Г) получается из ((1). Рассмотрев преобразование адаптированных координат, придем к выводу, что компоненты Гк образуют объект некоторой линейной связности, ар, Н, 7 являются тензорными величинами с базисными компонентами.

Рассмотрев условия интегрируемости уравнений (22), придем к следующим выводам.

1) Из уравнений (а) с учетом (6) следует

1

Рм - °> Тм - °> кМ - ~2Кп-

х

соотношениям

Ру = —Оу, Ну = —О»к 7к.

2) Из (о) и (й) вытекает, что тензор в совпадает с 7. Но тогда, умножив уравнение (е) полярно на у? и учитывая, что компоненты Оу зависят только от базисных координат, получим О^7? + Оук7к = 0. С учетом предыдущего п. 1 это означает, что тензор Н является кососимметричным и поэтому Ну = — (1/2) Ду. Единственная существенная компонента этого тензора равна Н12 = —1/Д2. С учетом косой симметрии второе из равенств (23) дает

Окт 7? 7™ = Оу.

Следовательно, метрика $* является эрмитовой относительно комплексной структуры 7.

3) Займемся компонентами линейной связности V = {Гк}. Если уравнения (6) умножить полярно на ук то получим дк Оу = Оу Г|к + О^ Гк . Но так как компо-

, * ненты Дк объекта неголономности равны нулю, связность V не имеет кручения.

Поэтому полученным соотношением ее компоненты определяются однозначно как

*

символы Кристоффеля метрического тензора Оу. Другими словами, V есть ри-манова связность спроектированной метрики.

4) Рассматривая условия интегрируемости уравнений (е), получим дзГ- =

*

= V»7? • Но компоненты Г к не зависят от слоевой координаты и поэтому аффинор 7 является ковариантно постоянным

*

V? 7] = 0.

Вследствие этого ковариантно постоянным является и тензор Ну . Таким образом, относительно комплексной структуры тензор $* является метрикой Широкова-Кэлера.

Заметим наконец, что при рассмотрении расслоения пространства б*3 над областью V получим аналогичные результаты. В частности, компоненты метрического тензора $* получаются из (21) с помощью инверсии и равны

п.,—__

где теперь R' = u'2 + v'2 — 1 > 0.

Работа выполнена при поддержке Фонда НИОКР РТ (проект № 05-5.1-244/2004 Ф(05)).

Summary

B.N. Shapukov. The bundles of non-Euclidean 3-spaces dsafdsf of hyperbolic type which are generated by the antiquaternion algebra. I.

A.P. Norden devoted some of his works to research biaxial spaces and spaces which is connected with them. This class of spaces interested him for application of algebras of complex, double and dual numbers, mainly like an application to linear geometry of non-Euclidean spaces (see, e. g., [2J). General theory of spaces over algebras developed further from this works of him [3]. Let U be an algebra. The projectivization of it will give the projective space with a structure. For instance, the projectivization of quaternion algebra is a 3-dimension elliptic space. Much the same the antiquaternion algebra is determining the hyperbolic space with the linear absolute. That's why it is interesting to look into the bundles of non-Euclidean spaces, which was constructed with the help of subalgebras. It is known [5j, antiquaternion algebra contain the whole three types of subalgebras secondary order: complex, double and dual numbers. This article is about the bundles of 3-dimension hyperbolic space, which generated by complex numbers subalgebra. The normalization of bundle linear congruence was constructed and the geometrical meaning of the getting objects was explained in this article.

Литература

1. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1978. - 432 с.

2. Норден А.П. Пространство линейной конгруэнции // Матем. сб. - 1949. - № 24(66). - С. 429-455.

3. Вишневский В.В, Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. - 263 с.

4. Кузьмина И.А., Шапуков В.Н. Конформная и эллиптическая модели расслоения Хопфа // Тр. геом. сем. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. - Вып. 24. -С. 81-98.

5. Белова Н.Е. Расслоения алгебр размерности 4. - Казань: Казан, ун-т, 1999. - 44 с. -Деп. в ВИНИТИ 11.10.99, № 3037-В99.

6. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966. - 746 с.

7. Широков А.П. О нормализациях в проективном пространстве с заданным расслоением // Изв. вузов. Математика. - 1974. - № 5. - С. 216-221.

8. Шапуков В.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. - 1983. - Т. 15. - С. 61-93.

9. Шапуков В.Н. Проективные расслоения и проективные связности // Изв. вузов. Математика. - 1995. - № 5. - С. 83-90.

10. Егиазарян К.М. Спроектированные инвариантные аффинные связности // Тр. геом. сем. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - Вып. 12. - С. 27-37.

Поступила в редакцию 13.12.04

Шапуков Борис Никитович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры геометрии Казанского государственного университета. E-mail: Boris.Shapukov@ksu.ru