Математическая модель системы стандарта GSM с поддержкой полноскоростных и полускоростных речевых кодеков

Математическая теория телетрафика

УДК 621.39

Математическая модель системы стандарта GSM с поддержкой полноскоростных и полускоростных

речевых кодеков

Г. П. Башарин, С. Н. Клапоущак, А. М. Коннон,

H. В. Митькина

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

Кодирование и передача голоса в двухскоростном режиме в стандарте GSM дают возможность значительно увеличить производительность радиоресурсов в соте. В работе построена математическая модель системы со стягиванием, поддерживающей полноскоростной (Full-Rate, FR) и полускоростной (Half-Rate, HR) режимы. Введён целочисленный порог для ограничения числа вызовов, обслуживаемых в FR-режиме. Выводятся СУГБ для равновесного распределения вероятностей и формулы для расчёта основных ВВХ. На нескольких численных примерах показаны преимущества двухскоростного режима.

Ключевые слова: метод множественного доступа TDMA, канал трафика, полноскоростной логический канал, полускоростной логический канал, СтМП, СУГБ, вероятностно-временные характеристики.

I. Введение

Цифровой стандарт для мобильной сотовой связи — GSM (Global System for Mobile Communications) — разработан под эгидой Европейского института стандартизации электросвязи (ETSI) в конце 80-х годов и в настоящее время является Федеральным стандартом России. В GSM применяются методы множественного доступа TDMA и FDMA (Time- and Frequency-Division Multiple Access) с целью оптимального распределения ширины полосы между всеми возможными пользователями. За выделение каналов в GSM отвечают приёмопередатчики (Transmitter-Receiver, TRX), установленные на базовых станциях (БС). Каждому приёмопередатчику соответствует комбинация восходящего диапазона (для передачи от Мобильной Станции, МС) и нисходящего диапазона (для передачи от БС) частот. На одной полосе в 200 КГц (частотном канале) одновременно может быть организовано до восьми физических каналов в режиме разделения времени. Дискретной единицей времени при этом является один временной слот, длительность которого составляет 0.577 мс [1]. Восемь последовательных слотов объединяются в один кадр (frame) TDMA (см. рис. 1). Слоты с одним и тем же номером в последовательных кадрах образуют один физический канал или канал трафика (Traffic Chanel, TCH).

Часть общей канальной ёмкости системы используется для передачи служебной информации. Для организации соединения между МС и БС на базе TCH организуются логические каналы [2, гл. 7]. Каждому соединению соответствует один полноскоростной или полускоростной логический канал. Логический канал, использующий слот с одинаковым номером в каждом кадре, будем называть полноскоростным (Full Rate Channel, FR), а логический канал, использующий слот с одинаковым номером в каждом втором кадре, — полускоростным (Half Rate

Статья поступила в редакцию 12 января 2009 г.

5 °

пз ь °

3 m

КГц {

КГц (| 200 КГц {

200 200

Г*- 1 Каналы 1 управления Каналы трафика —^

0 1 2 3 4 5 6 7 Нисходящий частотный канал

I

I задержка t

I

Восходящий частотный канал

Слот

Кадр

J200 КГц| 200 КГ| 200 КГ

Рис. 1. Принцип каналообразования в системе GSM

0

2

3

4

5

6

7

Channel, HR). В большинстве современных GSM сетей для организации соответствующих каналов используются расширенный полноскоростной кодек (Enhanced Full Rate codec, EFR) со скоростью передачи 12.2 Кбит/с и полускоростной кодек (Half Rate codec, HR) со скоростью передачи 5.6 Кбит/с [2, гл. 8]. На рис. 2 представлена схема загрузки двух FR-каналов и трёх HR-каналов, т.е. пяти соединений, в четыре TCH, три из которых загружены полностью, а один — наполовину.

Кадр 4 Кадр 3 Кадр 2 Кадр 1

Рис. 2. Схема загрузки логических FR- и HR-каналов в каналы трафика

Каналы трафика

2 3 4 5 6 7

FR#1 FR#2 | H R#2 | \ H R#3 [

FR#1 FR#2 | HR#1 \

FR#1 FR#2 \ H R#2 I ^ H R#3 |.

FR#1 FR#2 \ HR#1 \

Время

В статье построена математическая модель системы стандарта GSM, поддерживающей FR и HR- кодеки. Представлены формулы для расчёта основных ВВХ и на численных примерах показана эффективность двухскоростного режима.

2. Построение математической модели системы стандарта GSM, поддерживающей полноскоростные и полускоростные каналы

Рассматривается ССПС, состоящая из однотипных сот. Пусть данная система поддерживает только один тип услуг — передачу голоса. В каждой соте выделено С TCH для обслуживания абонентской нагрузки (С С N). БС назначен некоторый целочисленный порог д, 0 < д ^ С. Выберем соту (сота 1) и рассмотрим её как СМО.

Заявка при поступлении одновременно занимает один TCH в режима FR, т.е. d\ = 1, если в момент её поступления в системе занято не более чем С — д TCH. Как только количество занятых TCH становится равным или больше С — д, вновь поступившая заявка принимается на обслуживание и занимает один TCH в режиме HR, т.е. ¿2 = 1/2. В таком режиме БС функционирует до тех пор, пока количество свободных TCH не станет больше д. Будем предполагать в работе, что если TCH работают в HR-режиме и каждый из них занят только одной HR-заявкой, то обе заявки сразу передаются в один из TCH, освобождая другой.

Например, TCH № 5 на рис. 2 способен принять ещё одну HR-заявку. Такой алгоритм функционирования соты 1 определяет СМО, как систему со стягиванием (repacking) [3, §5.2].

Поток поступления заявок в соте 1 пуассоновский и имеет постоянную интенсивность Л. Время занятия заявкой dk каналов, к = 1, 2, в соте 1 распределено по экспоненциальному закону с параметром /л. По завершении обслуживания в соте 1 заявка покидает систему, не оказывая влияние на её дальнейшее функционирование.

Если в момент поступления заявки на БС оказались заняты полностью все С TCH, то поступившая заявка получает отказ и теряется, не оказывая дополнительного влияния на интенсивность поступления породившего её пуассоновского потока. Если же в момент поступления полностью заняты С — 1 TCH, а один TCH занят наполовину, то заявка будет принята и получит один HR-канал.

В данной работе подробно рассматривается наиболее важный с практической точки зрения случай d\ = 1,d^ = 1/2, хотя все результаты могут быть легко обобщены на случай произвольных d\ и d%.

Определим вектор п = (п\,п2), описывающий состояние системы, где п\ = 0,1,... ,С — д — число заявок, обслуживаемых FR-каналами, П2 = 0,1,..., 2С — число заявок, обслуживаемых HR-каналами. Пространство П всех возможных состояний системы имеет вид:

П := {п : т = 0,1,...,С — д,п2 = 0,1,..., и(д) • 2С; щ + (1/2)«2 < С} , |П| = (С + д + 1)(С — д + 1).

В режиме со стягиванием d Т~п = Y1 ^кПк = : U(п) — число занятых TCH,

к=1

а п, = П\ + П2 — число обслуживаемых заявок, т.е. число занятых логических каналов в состоянии (пх,пч) £ П.

Описанную моносервисную двухскоростную модель функционирования соты

1 будем обозначать как ставлено на рис. 3.

м м С,д 0

X d\, d2

. Её схематическое изображение пред-

Я, ц

d

d.

Рис. 3. Схема функционирования соты

Подпространства приёма и блокировки заявок имеют вид:

S := Ы е П: d т J <С\ S := Ы Е П: J т1 = С !

0

а подпространства приёма заявок в РИ- и ИИ-режимах соответственно: 51 := {~п е П: ~с1т~п < С - д} , ^ = (С - д + 1) (С - д), := 5\51 = [~п е П: С - д < ~й т ё < С - 1/2} , |&| = 1^|-|^1| = 2д (С - д +1).

В случае д = 0 получим односкоростную РИ-систему, поведение которой описывается моделью Эрланг-В с параметрами р = ^ и С .В случае д = С — односкоростную ИИ-систему, поведение которой описывается моделью Эрланг-В с параметрами р = ^ и 2С, что физически очевидно.

3. Построение СтМП и СУГБ

Процесс функционирования данной системы описывается двумерным СтМП X (£) = (Х1 (£) ,Х2 (£)), £ > 0, с пространством состояний П, где Хк (Ь) — число ^-заявок в системе в момент времени £ ^ 0, к = 1, 2. Диаграмма интенсивностей переходов процесса представлена на рис. 4.

(П -1 п21

( п2 + 1) Ц

Л  и

2  I

X  I

Ч

П 2 Ц

*]

Рис. 4. Диаграмма интенсивностей переходов процесса X (£), га 6 О

Пусть р (п) := Р |Х = п}, п е П, — равновесная вероятность состояния п .

Используя диаграмму интенсивностей переходов, (2), (3) и полагая р(~п) = 0, ~п е П, запишем СУГБ в виде:

2

р (п) (п,р + X  I (п е 5)) = р(п - ёк )1 (п - ёк е Б к) А +

к=1

2

+ ^ р

к=1

Здесь I() — функция-индикатор выполнения события в скобках, а ё! = (1,0), ё = (0,1) — единичные вектора.

Пусть к — вероятность того, что вновь поступившая заявка застанет систему в макросостоянии 5 = 51 р| 52 и будет заблокирована. Тогда

* := Р

Не§

Среднее число занятых TCH всеми вызовами равно [3, §2.6]:

2

UTIL := Е

7? бП fc=1

Можно заметить, что описанная модель не является частным случаем адаптивной многоскоростной системы, рассмотренной в [4], поскольку интенсивность обслуживания заявок остаётся постоянной независимо от скорости передачи.

Для данной модели не выполняется свойство мультипликативности в невырожденных случаях 0 < g < С. Проиллюстрируем это на примере системы С = 2, g = 1, di = 1, d2 = 1/2.

На рис. 5 представлен размеченный граф интенсивностей переходов соответствующего процесса X (i).

Рис. 5. Граф интенсивностей переходов процесса X(£) при С = 2, д = 1, йх = 1, А^ = 1/2

Как видно из рис. 5, для контура состояний (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) не выполняется критерий Колмогорова [3, прил. В]:

а(0,0)(0,1)а(0,1)(1,1)а(1,1)(1,0)а(1,0)(0,0) = 0 • ^ • М • М = = Л • л • ц • ц = а(0,0)(1,0)а(1,0)(1,1)а(1,1)(0,1)й(0,1)(0,0) '

Описанный пример подтверждает отсутствие мультипликативности при 0 < д < С ив случае произвольных dl = ¿2. Таким образом, ВВХ могут быть найдены лишь после вывода и численного решения СУГБ (3), порядок которой очень быстро возрастает с ростом значений структурных параметров. Однако часто удаётся найти специальные подходы, позволяющие использовать эффективные численные методы расчёта ВВХ.

Разобьём множество состояний П на подмножества Gi := {(п,1,П2) £ П : п1 + п2 = = 0,2С. Упорядочив множества С^, г = 0,2С по возрастанию индекса, а состояния внутри каждого множества по возрастанию П1, приводим матрицу А интенсивностей переходов СтМП X(¿) к блочно-трёхдиагональному, т.е. квазиякобиеву виду, что позволяет решить СУГБ методом ЬИ-разложения [5]. Возможен также поиск параметров модели с трёхдиагональной, т.е. якобиевой матрицей А, аппроксимирующей исходную модель с квазиякобиевой матрицей А. Соответствующие примеры приводятся в [6,7].

4. Пример численного анализа

Рассмотрим модель системы со структурными параметрами, представленными в табл. 1.

Исходные данные для численного примера

Таблица 1

с 2 3

9 0 1 2 0 1 2 3

Так как в системе отсутствует мультипликативность, для проведения точных расчётов ВВХ будем решать СУГБ (3) методом ЬИ-разложения, когда 0 < д < С.

Случай д = 0 соответствует модели Эрланга

М X

модели

м

X

м

2С

м

с

а случай д = С —

На рис. 6 и 7 приведены графики, отображающие зависимость вероятности блокировок от нагрузки для разных значений С = 2 и С = 3 соответственно при всех возможных значениях порога д = 0, С.

0,35 -0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 -0 -

8 = 0

8 = 1

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

8 = 1

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4

8 = 3

пР

Рис. 6. Графики зависимости

к от р при С = 2

Рис. 7. Графики зависимости

к от р при С = 3

Из графиков видно, что использование ИИ-режима позволяет значительно снизить вероятность блокировок в сравнении с односкростной РИ-системой (9 = 0).

С помощью рис. 8 и 9 можно убедиться, что введение двухскоростного режима позволяет, кроме того, значительного уменьшить используемую ширину полосы частот при фиксированной нагрузке.

ЕЩ)

8 = 0

.-""8 = 1

8 = 2

Е(и) 2

8 = 0

—__' ^ 8 = 1

— ' — - — ' "

-----

8 = 3

--

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Рис. 8. Графики зависимости

Е(и) от р при С = 2

Рис. 9. Графики зависимости

Е(и) от р при С = 3

0,3

0,25

8 = 0

0,2

0,15

0,1

8 = 2

0,05

8 = 2

Р

0

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Р

Р

Максимальный выигрыш по обоим показателям достигается в случае полного использования ИИ-режима, т.е. когда д = С, но при этом, в зависимости от радиообстановки, может ухудшиться восприятие речи абонентом [8].

5. Заключение

В настоящей статье построена математическая модель адаптивной двухско-ростной системы, поддерживающей полноскоростной (FR) и полускоростной (HR) режимы. Было исследовано влияние HR-режима на производительность соты стандарта GSM. На основании численных примеров можно сделать вывод о том, что передача голоса в двухскоростном режиме в стандарте GSM даёт возможность повысить эффективность использования радиоресурсов в соте, но при этом могут ухудшиться показатели восприятия качества речи на уровне пользователя (QoE — Quality of Experience). Этот вопрос приобретает особую роль в сетях следующего поколения (NGN) [9, раздел 2.1.1] и нуждается в дополнительном исследовании с использованием статистических данных операторов ССПС [1, App. В].

Литература

1. Halonen T., Romero J., Melero J. GSM, GPRS and EDGE Performance: Evolution Towards 3G/UMTS. — 2nd edition. — Jhon Wiley and Sons, 2003.

2. Весоловский К. Системы подвижной радиосвязи. — М.: Горячая линия-Телеком, 2006.

3. Башарин Г. П. Лекции по математической теории телетрафика. — 2 издание. — М.: Изд-во РУДН, 2007.

4. Башарин Г. П., Клапоущак С. Н, Митькина Н. В. Математическая модель адаптивной многоскоростной системы с эластичным трафиком // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2008. — № 3. — С. 3139.

5. Наумов В. А. Численные методы анализа марковских систем. Учебное пособие. — М.: Изд-во УДН, 1985. — 36 с.

6. Башарин Г. П. О выводе систем уравнений состояния для двухкаскадных телефонных схем с потерями // Электросвязь. — 1960. — № 1. — С. 56-62.

7. Башарин Г. П. Об аналитическом и численоом методах исследования коммутационных систем // В сб. статей ИППИ АН СССР «Системы распределения информации». — М.: Наука, 1972. — С. 17-32.

8. Pedraza S., Romero J., Munoz J. '(E)GPRS Hardware Dimensioning Rules with Minimum Quality Criteria // IEEE Vehicular Technology Society Fall Conference. — 2002. — Pp. 391-395.

9. Системы сигнализации в сетях с коммутацией каналов и пакетов / А. И. Летников, А. П. Пшеничников, Ю. В. Гайдамака, А. В. Чукарин. — М.: МТУСИ, 2008.

UDC 621.39

Mathematical Model of Standard GSM System Supporting Full and Half-Rate Speech Codecs

G.P. Basharin, S.N. Klapouschak, A.M. Konnon, N. V. Mitkina

Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

Usage of dual (Full/Half) rate mode in standard GSM system gives the possibility to increase considerably the performance of radio resources in the cell. In this work we develop a mathematical model of a system with repacking, supporting Full-Rate (FR) and Half-Rate (HR) modes. We define a threshold for the number of FR-calls served simultaneously. The balance equations and formulas for QoS parameters are derived. The advantages of dual rate mode usage are shown through numerical examples.