Геометрия пучков управляемых динамических процессов, обладающих нелинейной дифференциальной реализацией в равномерно выпуклом банаховом пространстве. Ii

3. Функциональный анализ и дифференциальные уравнения

УДК 517.938.5

© В.А. Русанов, Л.В. Антонова, А.В. Данеев

ГЕОМЕТРИЯ ПУЧКОВ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОБЛАДАЮЩИХ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИЕЙ В РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛОМ БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. II

... всякое обобщение до известной степени предполагает веру в единство и простоту природы.

А. Пуанкаре [34]

Проведено изучение необходимых и достаточных условий существования нелинейных дифференциальных реализаций пучков бихевиористических систем (динамических систем Я. Виллемса) в классе квазилинейных нестационарных обыкновенных дифференциальных уравнений в равномерно выпуклом банаховом пространстве.

Ключевые слова: обратные задачи системного анализа, нелинейная дифференциальная реализация.

V.A. Rusanov, L.V. Antonova, A.V. Daneev

BEAM GEOMETRY OF CONTROLLED DYNAMIC PROCESSES WITH NONLINEAR DIFFERENTIAL IMPLEMENTATION IN UNIFORMLY CONVEX BANACH SPACE. II

The study of necessary and sufficient conditions has been conducted on the existence of nonlinear differential implementations of behavioristic systems beams (dynamical systems of J. Willems) in the class of quasilinear nonstationary ordinary differential equations in a uniformly convex Banach space.

Keywords: inverse problems of system analysis, nonlinear differential implementation.

В этой работе (являющейся продолжением [1]) обратимся к вопросу разрешимости задачи нелинейной дифференциальной реализации на континуальном пучке динамических процессов; терминология и обозначения из [1] сохранены, нумерация параграфов, формул и утверждений продолжены.

3. Дифференциальная реализация континуального пучка динамических процессов

Как подчеркивалось в [1], основной задачей качественной теории дифференциальной реализации систем (1) [1] с нелинейным законом x—(x) является анализ геометрической структуры пучков динамических

процессов на многообразии Пи#. Таким образом, стратегия, которую следует выбрать исходя из программы исследований [1], состоит в том, чтобы сосредоточиться на изучении фиксированного семейства Ncnu# (фиксированное экзогенное поведение «вход-выход» исследуемой .D-системы с позиционным управлением x^u (x)). Желательно, чтобы при этом означенное семейство было настолько «обширным» по CardN, насколько это возможно; в локальном смысле (CardN=1) эта проблема решена в теореме 1 [1].

Обозначим через L(T,^R) пространство классов ц-эквивалентности всех вещественных ц-измеримых на Т функций и пусть <L-квазиупорядочение в L(T,^R) такое, что ф^фг, когда фl,ф2eL(Т,ц,R) и при этом ф1(^)<ф2(^) ц-почти всюду в Т. Наименьшую верхнюю грань для подмножества WcL(T,^R) обозначим supLW, если она существует для W в структуре частичного упорядочения <L.

Для равномерно выпуклого пространства X введем (конечномерный прототип данной конструкции был введен в статье [2]) энтропийный оператор Релея-Ритца

W : AC

построенный согласно правилу:

II ^^ с)/ dt\\x (I g (t )|| X +1И )ll Y +1 kc )ll Z )-1/q,

¥(g, w, q)(t):=| если (g (t), w (t), q (t)) * 0 eU;

0 e R, если (g (t), w (t), q (t)) = 0 eU.

Пусть Ncnu#, CardN>1 и Q - некоторое (следовательно, любое) поглощающее множество в SpanN; в геометрии поглощающего множества следуем [3, с. 302], т.е. u{aQ}a>0=SpanN. В такой постановке принцип максимума энтропии, выраженный теоремой 2 [2] в аналитическом решении задачи дифференциальной реализации поведения . -системы в классе конечномерных систем (1) [1], трансформируется в его аналог для реализации поведения N^nu# бесконечномерной D-системы.

Теорема 2. Если X, Y, Z -равномерно выпуклы, то семейство процессов N<^nu#-K - решения уравнения (1) [1] тогда и только тогда, когда supL^(Q)eLp(T,^R), или (что равносильно) существует такая ц-непрерывная положительная мера v+, что для произвольного подинтер-вала 1 :=lt*, t ]сТ и любой тройки (g,w,q)eQ справедливо неравенство v_(1')<(v+(T'))1/p(v(T'))1/q, где v и v_суть меры вида

S

v_(S) := J || dg(T)/dr||xu(dr),S ep^.

S

Замечание 7.

Реализация фиксированной системой (1) [1] семейств динамических процессов из nu#- свойство конечного характера [4, с. 28], что позволяет

(при желании) с учетом теоремы 2 и леммы Тейхмюллера-Тьюки [4, c. 28] построить (определение 1 [2]) весьма элегантную структурную по Бурбаки [5, c. 395] аксиоматику ^-систем с реализацией в классе моделей (1) [1]; аналитическая основа - построение для заданного закона u*(-).AC(T,X)—Lq(T,^L,Z) шкалы множеств, содержащей Пи#, и фиксация в ней максимального в Пи# множества N с характерным (структурным) теоретико-множественным свойством вида

3supL W(Q) е Lp (T,ц,R).

Доказательство теоремы 2.

Структуру доказательства можно построить на базе вывода теоремы 1 [1], но ниже за ее основу возьмем следующий цикл импликаций:

3 supl w(Q) е Lp (T, м, R) ^

^ 3 v+ : v _(T*) < (v+ (T* ))1/p (v(t* fq, VT* = [t*, t* ] с T, V(g, w, q) e Q ^ ^N-K - решения (K-пучок) некоторого уравнения (1) [1] ^ ^3 supL W(Q) е Lp (T, ц, R).

Пусть существует supLW(Q)eLp(T,^,R), тогда справедливо положение: 3/eLp(T,M): ||dg(-)/dt||x<iA-)(\\g(-)\\xq+\\w(-)\\Yq+\\q(-)\\zq)l1q, V(g,w,q)eQ,

следовательно, в силу неравенства Коши - Буняковского, мера v+(S):=JS/(x)\p^(dx), Sep позволяет обнаружить (подтвердить) первое - следствие:

v_(T*) < (v + (Tq(v(t*))11 q,

VT * = [t*, t *] с T, V( g, w, q) e Q.

Теперь покажем, что данное неравенство означает. Семейство динамических процессов N представляет K-решения некоторого дифференциального уравнения (1) [1]. Пусть Q:={raeH:3TrcT, 3(g,w,q)eQ, &=%Tr-(g,w ,q)}, %Tr- характеристическая функция интервала Tr=[t0,tr]cT, t0<tr. Рассмотрим оператор Z Q—X

C(Xir •(g, w, q) := j T(Xrr (T)dg(t) 1 dT)M(dt).

T

Покажем, что оператор Z допускает линейное непрерывное распространение, обозначаемое далее через Z*, на линейную оболочку SpanQ. Для этого в силу теоремы 1 [6, с. 243] достаточно указать такую постоянную с >0, что каковы бы ни были конечные совокупности векторов {ffl,}i=i!.,tcQ и чисел {аг}г=1. ,kcR для них всегда выполняется характеристическое неравенство \\Еа£(юг)\\х<с \\Еагюг\\д.

С этой целью рассмотрим произвольный (но фиксированный) набор векторов {(Xrf(g,w,q)}!=1,. ,k из Q; при этом, не теряя общности, можно предположить, что все функции %Ti различны, а сам набор упорядочен таким образом, что ti<tj^i<j. С семейством {(%Ti'(g,w,q)i}i=1,.,k и произвольной совокупностью чисел {ai}i=1,,k сопоставим подмножество {i}i=1,.,kcQ, такое, что каждый его элемент &i образован согласно сле-

дующему алгоритмическому правилу: ,д)п, п=',...,£. Ясно, что

имеет место равенство 11ажтг(я,'м,д)1=11('1тгХт1-1)ь /=1,...,£.

Условимся через gi, wi и д, обозначать компоненты тройки (g,w,q)ieQ, а через giffl, Wiffl и дги - соответственно компоненты тройки ^г(^гш,дгш)=<вгеО и пусть Т):= :=[^г-1]. В такой постановке будет справедлива следующая цепочка транзитивных отношений (ниже все суммы Е берутся при индексах ¿=1,...,£):

Ia,Z

^ 1 ' X t

ii((( (T)llxq +lk (t)||„ +|\q,a (r)L (TldTj(dT

T

i

<

<I

<

Ii|\dgia(r)l dT x j(dT

<

<I

xll q

<

xll q

< с

= с

= с

= с

Ii Ю1 xq +1 Wi

1lq

v

T

( ( (

I

V V v ( ( (ll

I

+1x2, -Xti_i )(T)q, (t)||Zq

XT,(T)g, (t)|xq +|«iX7;(t)wi (t)| xi^q, (t)| zq

Yq

1lq

ju

J JJ

X q

V V v

Iaxr.

j

J JJ

где с*=^+(Т))1/р . Таким образом, первый и последний члены этой цепочки показывают [6, с. 243], что линейное непрерывное распространение существует.

T

Далее, пусть idspanQ - единичный оператор на многообразии SpanQ. Аналогично введем следующие операторы: idKerid на KeridSpanQ и idKerç* на KerÇ*.

Используя введенные выше конструкции, наглядно все необходимые дальнейшие рассуждения содержатся в следующей коммутативной диаграмме:

Ker idspanQ—idKer id^ Span Q—idspanQ^ Span Q

n || KerZ*--idKerç*^SpanQ—Z*-->X.

Для каждого элемента ю из области значений оператора idSpanQ в силу условия {0}=KeridSpanQcKerZ* следует, что вектор idSpanQ-1(ra) переводится оператором Z* в Z*(). Этот элемент Z*() поставим в соответствие с элементом ю при действии оператора Полученный оператор отображает SpanQ в пространстве X и, очевидно, линеен. Он непрерывен. Действительно, если D - открытое множество в X, то его прообраз при отображении равен idSpanQ[Z*-1[D]]. Но Z*-1[D] открыто в силу непрерывности оператора Z*, тогда как область idSpanQ[Z*-1[D]] является открытой в силу гомеоморфизма idSpanQ. Теперь с учетом теоремы 2 [6, с. 245] почти дословное повторение доказательства теоремы 1 [1] в части построения непрерывного продолжения оператора на все пространство Иф а также выбора (лемма 2 [1]) для - модели эквивалентной ей (А, В, B#)p - модели — (А, В, B#) eLp убеждает, что dg(-)/dt=Ag+Bw+B#q,V(g ,w,q)eQ (установили второе - следствие).

Осталось показать, что из N—^-решения (1) [1], следует 3supL^(Q)eLp(r,M):

dg (t )/ dt = A(t ) g (t ) + B(t )w(t ) + B #(t )q(t ), V(g, w, q) e Q ^

dg

l(z , X t

V(g, w q) e Q ^

1/p

^ ^КИ^ ,+| В • (•):,,X ) е: (Г

У(g, w, д) е

Последнее означает, что множество имеет в пространстве

Ьр(Г,ц,Л) мажоранту, следовательно (теорема 17 [6, с. 68]), существует 8ирь^(0 класса Ьр(Г,цД).

4. Инвариантность дифференциальной реализации на конечном семействе пучков динамических процессов

Качественное изучение дифференциальной реализации состоит прежде всего в выработке языка геометрической структуры пучков управляемых динамических процессов, поэтому естественно спросить: когда два К-

Z

пучка имеют одно (общее) дифференциальное уравнение реализации, выраженной в терминах этого языка? Требуется, следовательно, установить некоторое геометрическое отношение на заданном (для начала на конечном) семействе пучков моделируемых процессов. Ниже исследуем «угловое отношение», которое индуцирует означенную структуру; назовем ее угловым инвариантным расширением реализации ^-системы.

Пусть О и М - произвольные (но фиксированные) ненулевые замкнутые подпространства в (Н9,\\ •||н), такие, что 0оМ={0}. Далее, через конструкцию

у[О,М]:= ^' (И/ и||н -И'/|И'||н : И е О/{0 }, И'е М/{0 }}

обозначим угловое расстояние [7, с. 21] между подпространствами О и М; ясно, что при д=2 функция углового расстояния у[ • , • ], посредством скалярного произведения в Нч, тесно связана [7, с. 42] с обычной конструкцией угла в гильбертовом пространстве (например, теоремы 11. Б [7, с. 21] и 14. С. [7, с. 42]).

Постановка углового расширения: пусть N1, Л^2сПи#, - пучки

динамических процессов с дифференциальной реализацией (1) [1] (необязательно с одной и той же (А, В, В#)р - моделью для N1 и N2). Рассмотрим задачу, не прибегая к теореме 2, но используя факт существования реализаций для N1, необходимо определить на языке угловой метрики у[ • , • ] условия, когда расширенный пучок тоже характеризуется К-

решениями некоторого дифференциального уравнения (1) [1].

Замечание 8. Другой геометрический подход к решению задачи инвариантного расширения реализации можно развить, опираясь на свойство полуаддитивности оператора Релея-Ритца (теорема 1 [8]) или, в варианте CardN=K0, на модифицированную из [9] конструкцию индуктивного расширения К-решений.

Обозначим через Е\ и Е2 замыкания в пространстве Нч линейных многообразий 8рап{х • (х, и, и#(х)):%еЕ, (х, и, u#(x))еN\} и 8рап{%• (х, и, и#(х)):%еЕ, (х, и, и#(х))е^}, где ЕсЦГ, ц, Я) - семейство классов эквивалентности (modц) всех характеристических функций, индуцированных элементами а-алгебры

Теорема 3. Пусть X, У, 2 -равномерно выпуклые пространства, тогда семейство динамических процессов состоит (исключительно) из К-решений некоторого дифференциального уравнения (1) [1], если у[ЕьЕ2]>0.

Доказательство. Факт у—ь— 2]>0 приводит к Е]ПЕ2={0}, Е1фЕ1+Е2фЕ2 и для каждой тройки ^0,^0,д0)е 8рапМ^Е1+Е2 имеет место равенство (go,Wo,go)=(gbWьg\)++(g2,W2,g2), где слагаемые (g\,w\,q\)е 8рапМсЕ: и ^2,^2,д2)е 8рап^сЕ2 определяются единственным представлением соответственно в 8рапМ и 8рапЛ^2.

В соответствии с теоремой 2 для каждого множества а также

означенных выше троек и (£2,^2,д2), будут справедливы два не-

равенства

V; (5) < (V; (5))1/^ ^ (5))1/9, V- (5) < (V (5))1/р V5))1/9,

где соответствующие меры равны у; (5 ):=Л\dgiir)/ёт\\х »(¿Т),

VI (5):= |dgl(т)/dт\\X dw.iT)/dт\\I +||^1(г)/dт\\\)»№),' V (5) := ||^2(Т)/ ТX ^(dr)'

У2(5) :=!(|^(г)/dт\\qх +\сЪ,2(т)/dт\\qr + 1^)/dт\\\»¿Т);

5

+

здесь V . и V 2 - некоторые положительные меры, абсолютно непрерывные относительно ц и независящие от «конкретизацию» множества и троек вектор-функций 8рапМ и ^2,^2,г2)е 8рапЖ2.

Теорема 3 будет доказана, как только покажем (теорема 2), что существует такая положительная мера v+, абсолютно непрерывная относительно ц, что при произвольном выборе тройки ^0,^0,г0)е 8рапЛ^ и множества выполняется неравенство v_(S)<(v+(S))1/í(v(S))1/q, где меры v_, V соответственно равны

V _

Рассмотрим Е1хЕ2 с нормой ||ю',ю"||*:=(||ю'||Нг+||ю''||Нг)1/г, ю'еЕь ю''еЕ2; ясно, что это пространство банахово. Обозначим через О соответствие между Е1хЕ2 и линейным многообразием Е.+Е2 пространства Нг, организованное по правилу (ю', ю' ')^О(ю ',ю' ')=ю '+ю '', которое линейно, непрерывно и взаимно однозначно (последнее в силу неравенства У[ЕьЕ2]>0). На основании 11.Б [7, с. 21] (устанавливающего замкнутость Е.+Е2) и следствия [6, с. 454] заключаем, что непрерывен и оператор О"1. Пусть число с*>0 - норма оператора О"1 и пусть с:=шах{1, с*}.

Теперь рассмотрим меру v+:=сp(v+l+v+2). Тогда с учетом непрерывности оператора О"1, а так же используя (5), (6) и неравенство Ко-ши-Буняковского, имеем

v_(S) = | ^{т)/¿т-dg2(т)/¿Т\\х»(dт) <

Ы

< Л|dg1(r)/х»(¿т) + Л^(г)/х»(¿т) <

< К (^))1/Р (^))1/<? + (К (£))1/Р (к^))1'* < (к; (5) + К (5 ))1/Р (к(5) + к2(5 ))1/* =

= (5) + К2+ (5))1/ Р |\Х5* (g\, w\, *1), Х5* (g2 , ^2 , *2 ^ * < <С(К1+ (5) + (5))1/(gl + g2,^ + *1 + *2) ||Н = К+ (5))1/р(к(5))1/*,

тут Хя- характеристическая функция Теорема доказана.

Теорема 3 позволяет, не используя прямо апелляцию к теореме 2, исследовать свойство реализации ^-системы М^ПИ# , 1<CardN<£<K0 через анализ угловых расстояний уР^.^Е/Еш] на конечном семействе пучков, в частности, «одноэлементных» N (/=1,...,£) из N прошедших предварительную апробацию (теорема 1: ^(Д)еЬР(Т,ц,Я)) на предмет существования реализации (1) [1] для каждого динамического процесса N В данном контексте особый аналитический интерес приобретает постановка дифференциального моделирования слабоструктурированных ^-систем, связанная с методологической позицией д) замечания 6 [1]. С учетом общих положений, высказанных в замечании 7, теорема 3 имеет как «контрпункт» положения г) замечания 6 [1], очевидное, хотя и парадоксальное:

Следствие 2. Пусть N\, N2 _различные максимальные элементы в упорядоченном по включению семействе всех подмножеств К-решений из Пи#, обладающих реализацией (1) [1] с и#(• ):АС(ТХ)^Ь9(Т,ц,2). Тогда у[Е1,Е2]=0, при этом пучки динамических процессов N и N2 не обладают общей (А,В,В#)Р _ моделью в дифференциальной реализации (1) [1] с нелинейным позиционным законом х^и (х).

5. О вложении класса вполне непрерывных нестационарных реализаций в пространство абсолютно суммируемых последовательностей

Для ^-системы, представленной произвольным семейством процессов, построение уравнений ее дифференциальной реализации (1) [1] довольно сложное (даже у стационарной (А, В, В#)Р _ модели [14, 16, 20]). Правда оно становится вполне обозримым в одном важном случае - в контексте проблемы аппроксимации [6, с. 513], когда для дифференциальной реализации (1) [1] ее интегральный ^-оператор (2) [1] нагружен дополнительными условиями, приближающими реализацию к dimX<<x>. Это построение формализует следующая «(А, В, В#)Р _ конструкция».

1Любопытно сравнить данную позицию математического моделирования с мнением Калмана [24, с. 36]: «Построение конкретных моделей обычно относится к компетенции физиков и не входит в компетенцию ни специалистов по теории управления, ни даже по теории систем»; авторам стоит большого труда воздержаться от обсуждения философских аспектов данного вопроса; хотя отметим, что частично его теоретико-множественная методология обозначена в выводах доклада [25].

Определение 4. Квазилинейную дифференциальную реализацию (1) [1] будем называть вполне непрерывной, если ее интегральный оператор (2) [1] компактный.

Для удобства подкласс (А, В, В#)р - моделей, отвечающих в силу конструкции (2) вполне непрерывным квазилинейным дифференциальным реализациям, обозначим через Ьрсош, при этом согласно (Ь) замечания 1 [27] далее считаем (Х,||-||х), (7,||-||7),(2,||-||2) - вещественные сепарабельные гильбертовы пространства (предгильбертовость задают ||-||х, ||-||7, ||-||г), кроме того, используем «стандартные» обозначения 1Г, ге[1,<х>] банаховых пространств последовательностей [6, с. 147].

Одним из основных инструментов доказательства теоремы 2 служит лемма 2 [1]. Чтобы подчеркнуть роль, которую она играет, вначале докажем вложение Ьрсошв ¡\ в несколько большей общности.

Теорема 4. Ьр является фактор-пространством ¡ь

Доказательство. Пространства (Х,||-||х),(7,||-||у),(2,||-||2) изоморфны пространству последовательностей ¡2[6, с. 176], следовательно, Ь(Х,Х), Ь(У,Х), Ь(2Х) изоморфны банахову пространству Щ2,12), которое сепарабельно (содержит всюду плотное множество матриц-операторов (2) [6, с. 409] с рациональными коэффициентами), а значит (теорема 1.5.18 [23, с. 150]) сепарабельно и пространство (Ьр,||-||ь).

Рассмотрим линейный оператор и: полагая

и: {а Ыг=и.......ах, {а Ь ¡1 ,

где {х1,...,х„,...}сЬр - счетное всюду плотное множество в единичном шаре (с центром в нуле) в Ьр. Оператор и - непрерывный; компиляция теоремы 5.1 [28, с. 132], теоремы 3 [6, с. 260] и положения (Дх1),...!Дх:и),...)е1<ю, У/еЬр . Далее, пусть 5 - единичный шар (с центром в нуле) в ¡\, и поскольку {хь...,х„,...}си(£1), то образ и(5) плотен в шаре 5ь, откуда заключаем: и - гомоморфизм пространства А на пространство Ьр( лемма 1 [6, с. 451]). Таким образом, пространства Ьр и Д/Кеги линейно гомеоморфные.

Следствие 3. Ь(НГХ) изоморфно фактор-пространству Д/Кеги.

С учетом следствия 3 и теоремы 3 [6, с. 326] следующая теорема представляется в достаточной степени очевидной.

Теорема 5. Класс Ь/ош вполне непрерывных (А,В,В#)Р - моделей изоморфен подпространству л°и_1(Ьрсош), где п - фактор отображения при ¡1/Кеги.

Заключение

Задача аналитического описания апостериорного множества данных возникает во многих разделах науки и техники и связана с моделированием и/или идентификацией сложных динамических систем [10]. В этом контексте выше даны строгие аналитические решения задачи дифференциальной реализации пучка динамических процессов, при этом необходимо отметить, что естественная потребность в построении теории диф-

ференциальной реализации в бесконечномерных пространствах ощущалась давно [11] в связи с развитием обратных задач математической физики. Первый шаг в этом направлении сделал Колмогоров [12]2.

Надо отметить, что до какого-то момента «механический» перенос результатов конечно мерной теории дифференциальной реализации на бесконечно мерный случай проводится без особых осложнений [13] - это относится, в частности, к линейным стационарным моделям в некоторых пространствах Фреше [14] или в гильбертовых пространствах в собственном смысле слова [15, с. 216], полные ортонормированные системы которых являются базисом3, что активно использовалось в работах [8, 16, 17]. Серьезные трудности начинаются при переходе к реализации системы с пространством состояний, не обладающим4 базисом, и при моделировании которой нельзя обойтись без учета фактора нелинейности ее динамики, на что, по существу, и акцентировалось внимание в данной статье.

За пределами работы остался прикладной аспект проблемы, и можно сказать, что материал статьи можно рассматривать как начальный (и совершенно необходимый) этап в изучении реализации/идентификации [26, 31, 32] квазилинейных систем - раздел качественной теории обратных задач системного анализа [19, с. 25]. В данном контексте определим Огозъотойо исследования по дифференциальной реализации в банаховом пространстве, которые могут представлять дальнейший интерес:

- реализация с вполне непрерывной ^-моделью [29];

- стационарные модели, т.е. (А,В,В#)еЦХХ)ЩУХ)^ЩХ) [30];

- модели при Т=Я [12];

- модели с минимальной операторной нормой \Н\дНх) [27].

А при ^хМ" еАС(ТХ и позиционном управлении ^(х^-х^х^-х2),.,х(^-хг)) с запаздываниями хьх2,...,хг означенные постановки распространить на модели вида:

Жкх / Жк = А, ,йк-1 х / Жк-1 +... + АЖх / Ж +

Г# 1

Ах + Ви + В и (х;т1,т2,......гг),

2 Статья в ДАН СССР (1940, т. 26, с. 6-9) с задачей реализации: каковы аналитические условия, при которых Б-система в гильбертовом пространстве X есть фазовый потокна Т=Я?; т.е. характеристика траекторий Б-системы как орбит ее движения относительно однопараметрической группы преобразований Я, действующей в X. Осознание этого обстоятельства имеет серьезные и весьма глубокие последствия. Во-первых, благодаря этому теория «бесконечномерной реализации» вводится в рамки математической строгости, приобретая «респектабельность». Во-вторых, что важнее, это сильно раздвигает ее границы, позволяя ставить и решать совершенно новые задачи.

3 Говорят [6, с. 514], что последовательность {хп} элементов банахова пространства X является базисом в X, если каждый элемент xеX однозначно раскладывается в ряд х=Еапхп, п=1,.. сходящийся по норме пространства X.

4 В 1973 г. П. Энфло построил [18] сепарабельное рефлексивное банахово пространство без свойства аппроксимации (когда любой компактный оператор есть предел конечномерных операторов), а следовательно, и без базиса.

Ак-1,..., ае,в,в#) е Ьр(Т,Ц(X,x)) х ... хЬр(Т,Ц(X,x)) х Ьр (Т, Щ, x)) х Цр (Т, ц( 2, x));

В связи с этим сошлемся на работу [20], в которой предложена конструктивная процедура построения квазилинейных дифференциальных реализаций, позволившая, например, показать, как рассматривать уравнения Эйлера в качестве эмпирической экстраполяции модели (7) в реализации наблюдаемого пространственного вращательного движения твердого тела ([21, 33] в контексте математической постановки задачи структурной идентификации [10, с. 349] из замечания 2 [1]).

В то время, как обыкновенным дифференциальным уравнениям соответствуют векторные поля, а дифференциальным включениям - многозначные поля ориентиров, наряду с означенными выше возможными постановками в дифференциальной реализации, можно также определить подобные задачи для класса дифференциальных включений [22], при соответствующих предположениях для компактнозначных отображений х^ы*(х) и опорах на теорему 2 и теорему Кастэна [23, с. 177].

Эти, по необходимости краткие, формулировки обобщения задачи реализации в классе дифференциальных моделей (7), проясняя перспективу дальнейших исследований, несколько упрощают существо дела, если мы не склонны платить за максимальную общность дополнительными техническими осложнениями. Тем не менее отметим, что происходящее в настоящее время «изменение статуса» проблемы дифференциальной реализации следует рассматривать не как исключительный процесс, а скорее как возвращение к норме, поскольку помимо самостоятельного значения, которое имеет изучение дифференциальной реализации, эти изыскания оказываются чрезвычайно полезными в контексте общих теоретико-системных исследований, связанных с математическим моделированием ^-систем [11, 24], перестав быть областью системного анализа, замкнутого в себе, что уже подчеркивал Калман [24, с. 267]: «в теории систем задача реализации играет центральную роль».

Литература

1. Русанов В. А., Антонова Л.В. Геометрия пучков управляемых динамических процессов, обладающих нелинейной дифференциальной реализацией в равномерно выпуклом банаховом пространстве. I // Вестник Бурятского государственного университета. - 2011. - Вып. 9. - С. 188-201.

2. Данеев А.В., Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. Принцип максимума энтропии в структурной идентификации динамических систем. Аналитический подход // Известия вузов. Математика. - 2005. - № 11. - С. 16-24.

3. Акилов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. - Новосибирск: Наука, 1980. - 336 с.

4. Энгелькинг Р. Общая топология. - М.: Наука, 1986. - 752 с.

5. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, 1965. - 456 с.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

7. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. - М.: Мир, 1970. - 456 с.

8. Русанов В.А. Об одной алгебре множеств динамических процессов, обладающей дифференциальной реализаций в гильбертовом пространстве // Доклады РАН. - 2010. - Т. 433, № 6. - C. 750-752.

9. Данеев А.В., Русанов В.А. Порядковые характеристики свойств существования сильных линейных конечномерных дифференциальных моделей // Дифференциальные уравнения. - 1999. - Т. 35, № 1. - C. 43-50.

10. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Наука, 1991. - 432 с.

11. Willems J.C. System Theoretic Models for the Analysis of Physical Systems // Ric. Aut. - 1979. № 10. - P. 71-106.

12. Колмогоров А.Н. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений / Избранные труды. Т. 1. Математика и механика. - М.: Наука, 2005. - С. 296-300.

13. Данеев А.В., Русанов В.А. Геометрический подход к решению некоторых обратных задач системного анализа // Известия вузов. Математика. - 2001. -№ 10. - C. 18-28.

14. Данеев А.В., Русанов В.А., Русанов М.В. От реализации Калма-на-Месаровича к линейной модели нормально-гиперболического типа // Кибернетика и системный анализ. - 2005. - № 6. - С. 137-157.

15. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979. - 592 с.

16. Русанов В.А. К качественной теории реализации квазилинейных систем в гильбертовом пространстве // Доклады РАН. - 2008. - Т. 421, № 3. - C. 326-328.

17. Русанов В. А., Козырев В. А., Шарпинский Д.Ю. К теории реализации квазилинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве // Кибернетика и системный анализ. - 2008. - № 5. - С. 82-95.

18. Enflo P. A counterexample to the approximation problem in Banach spaces // Acta Math. - 1973. - V. 130, № 3. - P. 309-317.

19. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. - 687 с.

20. Русанов В.А., Шарпинский Д.Ю. К теории структурной идентификации нелинейных многомерных систем // Прикладная математика и механика. 2010. -Т. 74. - Вып. 1. - С. 119-132.

21. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // Прикладная математика и механика. - 1952. - Т. XVI, № 6. - C. 659-670.

22. Касьянов П.О. Многозначная динамика решений автономного дифференциально-операторного включения с псевдомонотонной нелинейностью // Кибернетика и системный анализ. 2011. - № 5. - С. 150-163.

23. Варга Дж. Оптимальные управления дифференциальными и функциональными уравнениями. - М.: Наука, 1977. - 624 с.

24. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971. - 400 с.

25. Structural identification of dynamic systems: Entropy approach / V.A. Rusanov, A.V. Daneev, A.E. Kumenko, D.Yu. Sharpinsky // Proc. ICSE'06. 18-th International Conference on Systems Engineering. Coventry University, UK. 2006. - P. 419-424.

26. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров эллиптико-псевдопараболических распределенных систем // Кибернетика и системный анализ. - 2011. - № 4. - С. 28-50.

27. Differential realization with a minimum operator norm of a controlled dynamic process / V.A. Rusanov, L.V. Antonova, A.V. Daneev, A.S. Mironov // Advances in Differential Equations and Control Processes. - 2013. - Vol. 11, № 1. - P. 1-40.

28. Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975. - 448 с.

29. Русанов В.А., Лакеев А.В., Линке Ю.Э. Существование дифференциальной реализации динамической системы в банаховом пространстве в конструкциях расширений до Мр-операторов // Дифференциальные уравнения. - 2013. -Т. 49, № 3. - С. 358-370.

30. Русанов В.А., Лакеев А.В., Линке Ю.Э. К дифференциальной реализации автономной нелинейной системы «вход-выход» минимального динамического порядка в гильбертовом пространстве // Доклады РАН. - 2013. - Т. 451, № 1. -С. 24-27.

31. Камынин В. Л. Обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения // Математические заметки. - 2013. - Т. 94. - Вып. 2. - С. 207-217.

32. Гольдман Н.Л. Определение коэффициентов при производной по времени в квазилинейных параболических уравнениях в пространствах Гельдера // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 12. - C. 1597-1606.

33. Коровин С.К., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Нелинейные отображения вход-выход и их минимальные реализации // Доклады РАН. - 2010. - Т. 434, № 5. - C. 604-608.

34. Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983. - С. 94.

Русанов Вячеслав Анатольевич, доктор физико-математических наук, доцент, старший сотрудник Института динамики систем и теории управления СО РАН (ИДСТУ СО РАН), e-mail: V.Rusanov@mail.ru

Антонова Лариса Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент, директор Института математики и информатики Бурятского государственного университета, e-mail: antonov_vi_52@mail.ru

Данеев Алексей Васильевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Информатика» Иркутского государственного университета путей сообщения (ИрГУПС), е-mail: daneev@mail.ru

Rusanov Vyacheslav Anatolievich, doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, senior reseacher, Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS (ISDCT SB RAS), e-mail: V.Rusanov@mail.ru

Antonova Larisa Vasylievna, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, director, Institute of Mathematics and Computer Science, Buryat State University, e-mail: antonov_vi_52@mail.ru

Daneev Alexey Vasylievich, doctor of technical sciences, professor, head of the department of computer science, Irkutsk State Railway University - IrSRU, е-mail: da-neev@mail.ru