Матричные неравенства в синтезе управления ростовыми установками

УДК 621.3.078.3 DOI: 10.20998/2411-0558.2017.21.08

В.С. СУЗДАЛЬ, д-р техн. наук, ст. науч. сотр., Институт сцинтилляционных материалов НАН Украины, Харьков, Ю.М. ЕПИФАНОВ, д-р техн. наук, ст. науч. сотр., Институт сцинтилляционных материалов НАН Украины, Харьков, И.И. ТАВРОВСКИЙ, канд. техн. наук, Институт сцинтилляционных материалов НАН Украины, Харьков

МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В СИНТЕЗЕ УПРАВЛЕНИЯ РОСТОВЫМИ УСТАНОВКАМИ

Рассмотрен синтез управления установкой для выращивания методом Бриджмена-Стокбаргера органических монокристаллов, позволяющий решить многоэтапную задачу адаптивной стабилизации скорости роста кристалла. Синтез управления системой проведен на основе решения матричных неравенств с таблично задаваемыми параметрами стабилизирующего регулятора для разных этапов выращивания монокристаллов. Ил.: 4. Библиогр.: 8 назв.

Ключевые слова: матричные неравенства; монокристалл; метод Бриджмена-Стокбаргера; система; синтез управления.

Постановка проблемы. В настоящее время в качестве сцинтилляторов в науке и технике получили широкое распространение органические монокристаллы. Органические кристаллы (ОМК) обладают наилучшими характеристиками для решения задач спектрометрии короткопробежных заряженных частиц и быстрых нейтронов. Наиболее известны органические кристаллы стильбена и паратерфенила. Последний кристалл, является наиболее эффективным органическим сцинтиллятором с наилучшими механическими характеристиками.

ОМК выращиваются методом Бриджмена-Стокбаргера в ростовых ампулах на затравочный кристалл [1]. Современная установка для выращивания ОМК представляет собой вертикальную шахтную печь, разделенную диафрагменной перегородкой на верхнюю "горячую" камеру и нижнюю "холодную", в которой проводят отжиг выращенного кристалла (рис. 1) [2]. В промышленных условиях ростовая камера установки для выращивания ОМК состоит из двух концентрически расположенных и центрированных стеклянных труб. На внутренней трубе (внешняя - не показана) намотаны нижний и верхний нагреватели, которые при управлении тепловым режимом выращивания взаимно влияют друг на друга. Ампула с кристаллом перемещается в ростовой печи с помощью вытягивающего механизма. При выращивании крупных ОМК (диаметр 80-120 мм) наблюдается эффект существенного ослабления конвекции воздуха диафрагмой, разделяющей камеры печи. На начальной стадии роста, когда ампула опускается из верхней в

© В.С. Суздаль, Ю.М. Епифанов, И.И. Тавровский, 2017 92

нижнюю камеру, перекрывая отверстие диафрагмы, возникают нестационарные конвективные потоки, за счет увеличения площади экранирования ростового пространства.

Рис. 1. Структурная схема установки для выращивания ОМК 1 - ампула, 2 - внутренняя труба, 3, 4 - верхний и нижний нагреватели, 5 -теплоизоляция нагревателя 4, 6 - разделительная диафрагма, 7 - металлический трос, 8 - груз, 9 - система шкивов, 10 - двигатель перемещения ампулы

Это приводит к изменению тепловых условий выращивания и к тому, что фронт кристаллизации вначале смещается вниз, относительно первоначального положения, затем поднимается вверх, по мере прохождения дна ампулы через диафрагму, в результате чего меняется форма фронта кристаллизации и скорость роста. Фронт кристаллизации имеет вогнутую форму, а скорость роста вначале уменьшается, а затем возрастает, причем более чем в два раза. При этом происходит нарушение условий торцевого теплоотвода и однородности теплофизических условий кристаллизации на поверхности раздела кристалл-расплав и, следовательно, ухудшается качество монокристалла.

Данные для идентификации объекта управления (ОУ) получены в реальном масштабе времени при выращивании монокристалла стильбена на двух этапах роста ОМК: до перекрытия и при перекрытии дном ампулы отверстия диафрагмы.

Процесс выращивания рассматривался как двухмерный линейный стационарный ОУ второго порядка с двумя входными величинами и двумя выходами - напряжение управления температурой и температура "горячей" и "холодной" камеры, соответственно.

На первом этапе роста параметры модели ОУ в пространстве состояний:

А =

В =

- 0.5443 - 0.007845 - 0.007845 - 0.5207

0.2296 - 0.6169 0.44 - 0.2748

С =

1.047 0 -0.198 -0.2383

, В = 0.

На втором этапе роста параметры модели объекта:

А=

-1.049 0.0715

В=

С=

- 0.07195 -0.5738 1.077 - 2.26 0. - 0.5644

0 0.4942 - 0.5708 - 0.9914

В = 0.

Модели полностью управляемы и наблюдаемы.

Следовательно, установку для выращивания ОМК необходимо рассматривать как многомерный линейный непрерывный объект управления с неопределенностью, для которого необходимо решить задачу стабилизации температурного поля. При этом выбор оптимального регулятора проведем на основе синтеза управления с таблично задаваемыми параметрами стабилизирующего регулятора, для разных этапов выращивания.

Анализ литературы. Синтез управления процессами кристаллизации ОМК для решения задачи стабилизации в терминах матричных неравенств можно производить на основе LQR оптимального синтеза [3, 4]. Синтез основан на интегральных квадратичных функционалах, с достаточной для практики исследовательского проектирования, мерой адекватности. Они характеризуют точность управления и энергетические затраты управляющих устройств, т.е. решается задача о таком выборе законов управления, чтобы эти характеристики достигали своих экстремальных значений с учетом требования устойчивости замкнутых систем.

Пусть математическая модель ОУ в пространстве состояний:

х(г) = Ах(г)+Вп(г), х(0) = х0,

y

где x(t) е Rn - n-мерный вектор состояния системы, u(t) е Rm -m-мерный вектор управления и y(t) е Rq - q-мерный вектор контролируемых координат. Реализацию в пространстве состояний (3), (4) обозначим тройкой матриц (A, B, C).

Введем понятие - стабилизирующий регулятор:

u = Kx

где K - матрица параметров регулятора соответствующего порядка.

В системе для синтеза LQR с реализацией (A, B, C) и указанными начальными условиями, задается интегральный квадратичный функционал в виде

¥ ¥ J =J

0 0 где Q - знакоположительная матрица, R - положительно определенная матрица, v > 0 - весовой коэффициент.

Решая задачу LQR-оптимального синтеза, находят такую матрицу K, чтобы функционал (6) достигал своего наименьшего значения, по отношению ко всем другим матрицам коэффициентов усиления, обеспечивающим асимптотическую устойчивость замкнутой системы

J = J (K)  min ,

K eW

где W - множество матриц K таких, что корни характеристического полинома замкнутой системы А = det(/n - A + BK) расположены в

открытой левой полуплоскости.

Предполагается, что матрицы R, Q и коэффициент v в функционале (6) LQR-синтеза заданы. Однако, на практике их приходится многократно изменять, чтобы добиться желаемого качества процесса управления с учетом ограничений на реальные возможности управлений.

Вместе с тем, возможен альтернативный и более эффективный путь синтеза стабилизирующих регуляторов, основанный на применении теории линейных матричных неравенств и алгоритмов их решения, реализованных в среде МАТЛАБ [5, 6]. В основу численных методов решения линейных матричных неравенств положены методы выпуклой оптимизации [7].

Цель статьи - разработка адаптивного управления процессом выращивания ОМК путем решения задачи стабилизации температурного поля, в терминах теории линейных матричных неравенств.

Управление по состоянию. В терминах матричных неравенств задача синтеза стабилизирующих регуляторов в пространстве состояний сводится к решению системы неравенств

YAT + AY + Y0TBT + B0Y < 0, Y > 0.

Из СМН необходимо найти пару матриц (Y, 0 ).

Известны два способа решения этой задачи [5]. Один из этих способов состоит в том, чтобы ввести новую матричную переменную Z = 0Y и записать неравенства (7) в виде линейных матричных неравенств

YAT + AY + ZTBT + BZ < 0, Y > 0.

относительно переменных Y и Z . Находя пару (Y, Z ), удовлетворяющую (8), вычисляют параметры искомой обратной связи

г-1

Q = ZY~

Для объекта (1) с реализацией (A, B, С) решим систему линейных матричных неравенств (8) в среде МАТЛАБ, используя команды lmivar, lmiterm, feasp из LMI Toolbox. Все детали, относительно использования этих и других команд LMI Toolbox, содержатся в [8].

Выбраны, следующие параметры алгоритма оптимизации команды

feasp:

options = [0 0 27e + 006 0 0]. Решение СМН (8) дает пару матриц

Y=

Z=

4.6861 0.2266

0.2266 4.5455

0.0166 1.5192"

0.0776 2.5222

x1.0e + 006,

x1.0e + 006.

Стабилизирующий регулятор 0 вычислен по выражению

0 =

- 0.0126 0.3349

- 0.0103 0.5554

Собственные числа замкнутой системы -0.5511 и -0.3020, то есть замкнутая система устойчива.

На рис. 2 приведены переходные характеристики температур "горячей" и "холодной" камер по управлению "горячей" камерой в системе с регулятором 0 для первого этапа выращивания. Здесь и далее (рис. 3, 4) температура "горячей" камеры, обозначена сплошной линией, а "холодной" камеры - штриховой линией.

переходные характеристики

8 10 сек

Рис. 2. Первый этап выращивания. Переходные характеристики, в системе с регулятором 0 по управлению "горячей" камерой

0

2

4

6

12

14

16

18

Управление по выходу. Рассмотрим управляемый объект (3), (4) с неизмеримым состоянием. Требуется построить линейный динамический регулятор ^-порядка, обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы. В [5] показано, что в терминах матричных неравенств синтез стабилизирующего регулятора по выходу ^-порядка, в случае k Ф 0, сводится к синтезу статического регулятора по выходу для вспомогательного объекта

где

A0 =

A 0nxk 0kxn 0kxk

x = Ao x + Bo u,

у = ^ x,

Bo =

0nxk В

Ь 0k хп

^ =

0k хп Ь

C 0

^ УJnxk

Пусть u = 0у , тогда матрица замкнутой системы Ac = Ao + Bo0Co и соответствующие блоки матрицы 0 будут определять параметры динамического регулятора ^порядка.

В терминах СМН задача синтеза сводится к решению системы неравенств

YAqT + A0Y + YCq 0TB0T + B00C0Y < 0, Y > 0.

Введем новую матричную переменную

Z = 0QY,

тогда из (11) получаем систему линейных матричных неравенств

YAQT + A0Y + ZTB0T + B0Z < 0, Y > 0,

относительно Y и Z . Пусть (Y, Z) - некоторое решение этой системы. Тогда, для нахождения элементов матрицы параметров 0 необходимо решить систему уравнений (12), которая может оказаться несовместной, даже если требуемый регулятор и существует. В этом случае задача решается через нахождение взаимнообратных матриц [5, 6].

Для первого этапа выращивания первый способ синтеза управления по выходу, при параметрах алгоритма оптимизации команды feasp:

options = [0 0 14e + 006 0 0],

дает следующую матрицу параметров регулятора:

0.7149 0.3063 0" 0= -1.2267 - 0.1043 0 0 0 0

Собственные числа замкнутой системы -0.5993+0.3504i, -0.5993 -0.3504i и -0.5435, то есть замкнутая система устойчива.

На рис. 3 приведены переходные характеристики температур "горячей" и "холодной" камер по управлению "горячей" камерой в системе с регулятором по выходу, для первого этапа выращивания.

Анализ переходных характеристик в системе с синтезированными регуляторами показывает, что для выращивания ОМК наиболее приемлемым является регулятор по выходу, параметры которого задаются матрицей (14). Этот регулятор обеспечивает в переходном процессе перерегулирование до 10% и постоянную времени до 2 с, что полностью отвечает требованиям к качеству управления.

Проведем синтез стабилизирующего регулятора по выходу для второго этапа выращивания. При параметрах алгоритма оптимизации команды feasp options = [0 0 16e + 006 0 0], синтез регулятора по выходу дает следующую матрицу параметров

0=

1.5842 7.2374 0 0.2404 2.5916 0 0 0 0

Собственные числа замкнутой системы -4.6187, -1.0756 и -0.8558, т.е. замкнутая система устойчива.

переходные характеристики

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 сек

Рис. 3. Первый этап выращивания. Переходные характеристики в системе по управлению "горячей" камерой с регулятором по выходу

На рис. 4 приведены переходные характеристики температур "горячей" и "холодной" камер по управлению "горячей" камерой в системе с регулятором по выходу для второго этапа выращивания.

переходные характеристики

0.8 0.7 я 0.6

I 05

" 0.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Рис.4. Второй этап выращивания. Переходные характеристики в системе по управлению "горячей" камерой с регулятором по выходу

0

0

0

Анализ переходных характеристик в системе с регулятором по выходу для второго этапа выращивания, когда ростовая ампула перекрывает своим дном отверстие диафрагмы, показывает, что при удовлетворительном качестве управления температурой, ее изменение в "горячей" камере мало влияет на температуру "холодной", где проводится отжиг выращенного монокристалла.

Выводы. В результате проведенной работы для установки выращивания ОМК, которая рассматривалась как многомерный линейный непрерывный объект управления с неопределенностью, решена задача стабилизации температурного поля. Выбор оптимального регулятора для выращивания ОМК проведен на основе синтеза в терминах матричных неравенств с таблично задаваемыми параметрами стабилизирующего регулятора для разных этапов выращивания.

Оптимизация процесса управления установкой для выращивания ОМК позволила решить многоэтапную задачу адаптивной стабилизации скорости роста кристалла, а, значит, и повысить его качество.

Список литературы: 1. Stockbarger D. The production of large single crystals / D. Stockbarger . - Rev. Sci. Instr. - 1936. - Vol. 7. - № 3. - P. 133-136. 2. Пат. 93940 Украина, МПК С30 В 15/20, G05D 27/00. Устройство для выращивания монокристаллов из расплава в ампуле / Суздаль В. С., Епифанов Ю.М., Козьмин Ю.С., Будаковский С.В., Щелкалин В.Н., Тевяшев АД.; заявитель и патентообладатель ИСМА, г. Харьков. -№ а 200908356; заявл. 07.08.2009; опубл. 25.03.2011. Бюл. № 6. 3. Хлебников М.В. Синтез оптимальной обратной связи при ограниченном управлении / М.В. Хлебников, П.С. Щербаков. - Автоматика и телемеханика. - 2014. - № 2. - C. 177-192. 4. Честнов В.Н. Синтез дискретных Ида-регуляторов по заданному радиусу запасов устойчивости и времени регулирования / В.Н. Честнов. - Автоматика и телемеханика. - 2014. - № 9. - C. 65-82. 5. Федотов И.А. Синтез ПИД-регуляторов на основе методов пространства состояний и техники линейных матричных неравенств / И. А. Федотов // Вестник Нижегородского ун-та. - Н. Новгород: Нижегородский ун-т, 2014. - № 4-1. -C. 14-17. 6. Balandin D. V. LMI-based optimal attenuation of multistory building oscillations under seismic excitations / D.V. Balandin, M.M. Kogan // Structural Control and Health Monitoring. - 2005. - Vol. 12. - № 2. - P. 213-224. 7. Nesterov Y.E. Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. Studies in Applied Mathematics / Y.E. Nesterov, A. Nemirovski. - Philadelphia: SIAM Publications. - 1994. - 405 p. 8. Gahinet P. The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User's Guide / P. Gahinet, A. Nemirovski, A.J. Laub, M. Chilali. - Massachusetts: Natick, The MathWorks, Inc. - 1995. -310 p.

References:

1. Stockbarger, D. (1936), "The production of large single crystals", Rev. Sci. Instr., Vol. 7, No. 3, pp. 133-136.

2. Suzdal, V.S., Yepifanov, Yu.M., Kozmin, Yu.S., Budakovskiy, S.V., Schelkalin, V.N., and

Tevyashev, A.D. (2011), Device for growing single crystals from a melt in an ampoule, Patent UA, No. 93940.

3. Khlebnikov, M.V., and Shcherbakov, P.S. (2014), "Optimal Feedback Synthesis under Bounded Control", Automation and telemechanics, No. 2, pp. 177-192.

4. Chestnov, V.N. (2014), "Discrete Hco-controllers synthesis for a given radius of stability stocks and control time", Automation and telemechanics, No. 9, pp. 65-82.

5. Fedotov, I.A. (2014), "PID-controllers synthesis on the basis of state space methods and linear matrix inequality techniques", Herald of the N. Novgorod Un-ty, N. Novgorod, No. 4-1, pp. 14-17.

6. Balandin, D.V., and Kogan, M.M. (2005), "LMI-based optimal attenuation of multistory building oscillations under seismic excitations", Structural Control and Health Monitoring, Vol. 12, No. 2, pp. 213-224.

7. Nesterov, Y.E., and Nemirovski, A. (1994), Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming, Studies in Applied Mathematics, SIAM Publications, Philadelphia, 405 p.

8. Gahinet, P., Nemirovski, A., Laub, A.J., and Chilali, M. (1995), The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User's Guide, Natick, MA: The MathWorks, Inc., 310 p.

Статью представил д-р физ.-мат. наук, зав. отделом 2319 ИСМА НАН Украины Тарасов В.А.

Поступила (received) 12.04.2017

Suzdal Viktor, Dr. Sci. Tech., Senior Researcher,

ISMA NAS of Ukraine,

Nauki Ave., 60, Kharkov, Ukraine, 61072.

Tel.: (057) 341-01-45, email: suzdal@isma.kharkov.ua

ORCID ID: 0000-0002-3816-9886

Yepifanov Yuriy, Dr. Sci. Tech., Senior Researcher, Nauki Ave., 60, Kharkov, Ukraine, 61072. Tel.: (057) 341-01-45, email: epiphanov@isma.kharkov.ua ORCID ID: 0000-0003-2303-9138

Tavrovskyi Ihor, PhD Tech.,

ISMA NAS of Ukraine,

Nauki Ave., 60, Kharkov, Ukraine, 61072.

Tel.: (057) 341-01-45, email: tawr@isma.kharkov.ua

ORCID ID: 0000-0001-9175-1667

УДК 621.3.078.3

Матричш HepibHOCTi в №HTe3i керування ростовими установками / Суздаль В.С., Сшфанов Ю.М., Тавровський 1.1. // Вюник НТУ "ХП1". Серiя: 1нформатика та моделювання. - Харк1в: НТУ "ХП1". - 2017. - № 21 (1243). - С. 92 -102.

Розглянуто синтез керування установкою для вирощування методом Бриджмена-Стокбаргера оргашчних монокристалiв, що дозволяе виршити багатоетапну задачу адаптивно! стабшзацп швидкосп росту кристала. Синтез керування системою проведений на основi рiшення матричних нерiвностей з параметрами стабiлiзуючого регулятора, що задаються в табличному виглядi для рiзних етапiв вирощування монокристалiв. 1л.: 4. Бiблиогр.: 8 назв.

Ключовi слова: матричнi нерiвностi; монокристал; метод Бриджмена-Стокбаргера; система; синтез керування.

УДК 621.3.078.3

Матричные неравенства в синтезе управления ростовыми установками / Суздаль В.С., Епифанов Ю.М., Тавровский И.И. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2017. - № 21 (1243). - С. 92 -102.

Рассмотрен синтез управления установкой для выращивания методом Бриджмена-Стокбаргера органических монокристаллов, позволяющий решить многоэтапную задачу адаптивной стабилизации скорости роста кристалла. Синтез управления системой проведен на основе решения матричных неравенств с таблично задаваемыми параметрами стабилизирующего регулятора для разных этапов выращивания монокристаллов. Ил.: 4. Библиогр.: 8 назв.

Ключевые слова: матричные неравенства; монокристалл; метод Бриджмена-Стокбаргера; система; синтез управления.

UDC 621.3.078.3

Matrix inequalities in control synthesis of growth installations / Suzdal V.S., Yepifanov Y.M., Tavrovskyi I.I. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2017. - №. 21 (1243). - P. 92 - 102.

The control synthesis of an installation for Bridgman-Stockbarger method growing organic single crystals is considered, which makes it possible to solve the multistage problem of adaptive stabilization of a crystals growth rate. The control system synthesis is based on the solution of matrix inequalities with tabulated parameters of the stabilizing regulator for different stages of growing crystals. Figs.: 4. Refs.: 8 titles.

Keywords: matrix inequalities; single crystal; Bridgman-Stockbarger method; system; synthesis of control.