Моделирование и оптимизация динамических характеристик smart-структур с пьезоматериалами

УДК 539.3

Моделирование и оптимизация динамических характеристик smart-структур с пьезоматериалами

В.П. Матвеенко, Е.П. Клигман, М.А. Юрлов, Н.А. Юрлова

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия

Рассматривается проблема оптимизации динамических характеристик smart-структур на основе пьезоматериалов с внешними электрическими цепями, содержащими элементы сопротивления, емкости, индуктивности. Оптимизируемыми динамическими параметрами являются резонансные частоты и демпфирующие свойства. Для численной оценки динамических характеристик моделируемой системы предлагается задача о собственных колебаниях электровязкоупругого тела с различными вариантами внешних электрических цепей. На модельных примерах демонстрируется эффективность задачи о собственных колебаниях при поиске оптимальных по динамическим характеристикам smart-структур на основе пьезоматериалов с внешними электрическими цепями.

Ключевые слова: электроупругость, smart-структуры с пьезоэлементами, внешние электрические цепи, собственные колебания, оптимизация

Simulation and optimization of dynamic characteristics of smart structures

based on piezoelectric materials

V.P. Matveenko, E.P. Kligman, M.A. Yurlov and N.A. Yurlova

Institute of Continuum Mechanics UrB RAS, Perm, 614013, Russia

The paper deals with optimization of dynamic characteristics of piezoelectric smart structures with external electric circuits characterized by resistance, capacitance and inductance. The dynamic parameters to be optimized are resonance frequencies and damping properties. For numerical estimation of the dynamic characteristics of the model system, a natural vibration problem of an electroviscoelastic solid with differing external electric circuits is proposed. Model examples are given to demonstrate the efficiency of the natural vibration problem in finding dynamically optimum piezoelectric smart structures with external electric circuits.

Keywords: electroelasticity, piezoelectric smart structures, piezoelectric elements, external electric circuits, natural vibrations, optimization

1. Введение

Концепция систем smart-материалов или smart-конструкций является относительно новой. В последнее время ей уделяется большое внимание в научных исследованиях и различных приложениях. При оценке перспектив применения smart-материалов в качестве примера можно привести выдержки из отчета 1996 года «Новые материалы для грузовых и пассажирских транспортных средств нового поколения» [1], подготовленного в США совместно Комитетом по новым материалам для современных гражданских самолетов, Комиссией по конструкциям и техническим системам и Национальным исследовательским советом. Эти организации пришли к следующим выводам:

- в ближайшие 15-20 лет конструкции, содержащие элементы из адаптивных материалов, станут доступны, практичны и достаточно экономичны, что сделает возможным их применение для грузовых и пассажирских самолетов;

- область smart-материалов исследуется экстенсивно, но быстро развивающиеся технологии позволят реализовывать разработки в данной области;

- способности smart-материалов, в первую очередь, найдут применение для мониторинга состояния конструкций и фиксирования состояния окружающей среды;

- сначала smart-материалы найдут применение в самой простой форме — в виде пассивных систем.

© Матвеенко В.П., Клигман Е.П., Юрлов М.А., Юрлова Н.А., 2012

С момента появления этих выводов прошло уже более 15 лет, и анализ литературы показывает, что они близки к настоящей реальности.

Smart-материалы или smart-конструкции, которые также известны в литературе как интеллектуальные, чувствительные, многофункциональные или адаптивные, можно охарактеризовать как системы, которые изменяют свои свойства в зависимости от изменения окружающей среды, которое они фиксируют. Для smart-систем вполне уместна аналогия с биологическими объектами, и, следуя этой аналогии, они содержат, как и нервная система, чувствительные элементы, которые чаще называют датчиками или сенсорами, исполнительные механизмы или актуаторы — подобно мускулатуре, устройства обработки данных в реальном режиме времени, что аналогично отдельным функциям мозга.

В зависимости от сочетания этих трех компонентов можно получать различные структуры smart-систем. Один из удачных и наглядных вариантов классификации smart-систем приведен в [2] (рис. 1). Здесь правый круг соответствует чувствительным элементам, левый — исполнительным механизмам, нижний — устройствам обработки данных. Пересечение этих кругов определяет класс smart-систем.

Smart-системы, имеющие в своем составе только датчики, называются пассивными. Встраивание датчиков в smart-материал, который, по существу, является композиционным материалом, позволяет вести наблюдение за состоянием конструкции. Успешное развитие пассивных smart-структур зависит от наличия пригодных датчиков, принципов их работы и методов обработки сигналов, технологий, позволяющих встраивать датчики в композиционный материал. В настоящее время внимание исследователей сконцентрировано на двух типах материалов, которые наиболее удобны для встраивания в smart-структуры в качестве датчиков или сенсо-

Рис. 1. Классификация 8шаг1-структур [2]

ров. Это оптические волокна и пьезоэлектрические материалы.

Для изготовления активных управляемых или реагирующих smart-структур необходимы актуаторы или исполнительные механизмы, которые способны вызывать деформацию основной конструкции. В настоящее время в качестве актуаторов применяют сплавы с памятью формы, пьезоэлектрические материалы, электрострик-ционные и магнитострикционные материалы, электро-реологические жидкости.

Способы применения материалов, которые могут выполнять роль актуаторов, можно разделить на две группы. Первая — это исполнение некоторых элементов конструкций из таких материалов. Например, секция ферменной конструкции, длиной которой можно управлять. Вторая группа связана со встраиванием внутрь конструкции элементов из материалов, выполняющих роль актуаторов. Например, заплатка из пьезоматериала, соединенная с конструкцией путем встраивания внутрь или закрепления на поверхности, может создавать локальные деформации.

Наибольшее распространение при изготовлении smart-композиционных материалов получили пьезоэлектрические материалы. В частности, это объясняется наличием у них прямого и обратного пьезоэффекта. Это позволяет использовать пьезоэлементы как в качестве сенсоров, так и в качестве актуаторов.

Smart-материалы выполняют следующие функциональные задачи: контроль профиля объекта, обнаружение повреждений, в том числе на ранней стадии, контроль и управление динамическими процессами, микропозиционирование, управление геометрией, превращение паразитных шумов в полезную энергию.

Примерами практических приложений smart-материалов могут служить работы по их использованию в авиации для противодействия аэроупругим и вибрационным эффектам [3-8], для гашения вибраций кабины самолета [9-11], в космической технике для управления динамическим поведением спутниковых конструкций [12, 13], на железнодорожном транспорте для обнаружения износа вагонных колес [14, 15] и подавления вибраций корпуса вагона [16], в автомобильной промышленности для устранения вибраций [14], в тонкой оптике [17], в высокоточных приборах [18, 19], в новых поколениях спортивного инвентаря: горных лыж, ракеток для тенниса и гольфа, бейсбольных бит [5, 9, 20].

Одним из главных факторов, определяющих применение smart-материалов, является проблема самих материалов. В настоящее время производится широкий спектр пьезоматериалов для различных технических целей. Это пьезокерамика [21], пьезополимеры [22, 23], полимерные пьезопленки [24], многослойные пьезоэлементы [25, 26], пьезоволокна различного сечения [27], пьезокомпозиты с использованием пьезоволокон [9, 2835] и пьезопленки [24].

В литературе [28] отмечается, что к настоящему времени известно около 1500 материалов, обладающих пьезоэлектрическими свойствами. В этом многообразии наиболее известными классами пьезоэлектрических материалов являются пьезокерамические и полимерные пьезоматериалы. Керамика более эффективна по пьезосвойствам, но менее технологична из-за высокой хрупкости и жесткости.

Целью настоящей работы является исследование наиболее распространенной функции smart-структур с пьезоэлементами, связанной с управлением динамическим поведением конструкций. Пьезоэлектрические элементы, соединенные шунтирующей цепью и присоединенные к механической конструкции, являются устройствами, на которых происходит диссипация энергии и тем самым осуществляется дополнительное демпфирование колебаний. Из-за пьезоэлектрического эффекта часть механической энергии, связанной с колебаниями, может быть преобразована в электроэнергию и просто рассеяна через шунтирующую цепь, которая и представляет собой механизм пассивного демпфирования [5].

Среди шунтирующих цепей заслуживают особого внимания резонансные цепи. Обычно в их состав входят катушка индуктивности и резистор. Эти цепи позволяют настраиваться на любую демпфируемую частоту. Кроме того, усовершенствование топологии цепи делает возможным одновременное демпфирование нескольких мод колебаний. С механической точки зрения система в целом (пьезоэлемент и резонансная шунтирующая цепь) подобна динамическому демпферу. Так как пьезоэлемент электрически представляет собой конденсатор (емкость), то применение шунтирующих цепей для диссипации энергии является для этой цели самым простым методом. Это впервые экспериментально продемонстрировано в [36] и позднее в [37]. Детальный обзор способов шунтирования пьезоэлектрических элементов электрическими цепями для подавления вибраций приведен в работе [38].

Шунтирующие цепи по своей топологии могут быть последовательными, параллельными или их комбинацией. Резонансная последовательная шунтирующая цепь была предложена в [37]. Та же самая схема рассматривается в работах [10, 38-40] и др. Параллельная резонансная шунтирующая цепь впервые была предложена в [41] при попытке преодоления трудностей реализации последовательной схемы.

Преимущество пьезоэлектрического пассивного демпфирования, по сравнению с традиционным (т.е. вязкоупругими включениями), состоит в способности настройки демпфера в более широком диапазоне частот и улучшенной температурной стабильности.

Однако есть существенное различие между механикой пьезоэлектрического и классического демпфирования. Добавление пассивных пьезоэлектрических слоев в конструкцию позволяет не только рассеивать энергию

посредством резистивного разогрева (т.е. генерированием электроэнергии), но, что не менее важно, изменять основной резонанс конструкции посредством электромеханической связи [8].

Пассивному способу гашения колебаний присущи следующие недостатки:

- для демпфирования определенной моды колебаний необходимо, чтобы пассивная внешняя электрическая цепь была настроена на соответствующую резонансную частоту; для одновременного демпфирования нескольких мод колебаний требуются сложные комбинированные цепи, что снижает их эффективность;

- для демпфирования низших, как правило, самых опасных, мод колебаний с частотами до 100 Гц оптимальная индуктивность цепей составляет десятки и сотни Гн, что требует применения катушек значительного веса и габаритов; применение же электронных устройств — гираторов (эмуляторов индуктивности) — хотя и является альтернативой катушкам индуктивности, но имеет свои специфические недостатки;

- на низких частотах наличие токов утечки снижает эффективность преобразования в пьезоэлементах электрической энергии в механическую.

Несмотря на недостатки пассивного способа гашения колебаний, он широко используется и благодаря развитию микроэлектронной схемотехники и новых методов анализа постоянно совершенствуется.

Наряду с пассивным способом управления динамическим поведением конструкций существует активный способ демпфирования колебаний. Суть его заключается в том, что одни пьезоэлементы (сенсоры) дают информацию о механическом состоянии системы, а к другим пьезоактивным элементам (актуаторам) подводят электрический потенциал, формируемый с помощью особых соотношений (уравнений обратной связи) в зависимости от потенциала на сенсорах. Если потенциал актуатора пропорционален потенциалу сенсора, то изменяются интегральные жесткостные характеристики системы. Если потенциал актуатора пропорционален первой или второй производной потенциала сенсора, то изменяются соответственно характеристики демпфирования или инерционные характеристики конструкции. Это позволяет в широких пределах корректировать динамические свойства объекта.

Одной из ключевых проблем демпфирования колебаний с помощью внешних электрических цепей является нахождение самой простой шунтирующей цепи, с помощью которой осуществляется наиболее эффективно управление колебаниями конкретной конструкции.

Оценивая возможности использования smart-конструкций с элементами из пьезоматериалов для управления колебаниями, можно выделить следующие сценарии. В первом из них пьезоэлементы используются как сенсоры и актуаторы, реализуя пассивный, активный метод или их комбинацию для управления колебаниями.

При втором сценарии пьезоэлемент является источником энергии для внешних электрических цепей. При этом возможен пассивный и активный вариант. Возможна также комбинация первого и второго сценариев.

При многообразии вариантов управления динамическими характеристиками smart-структур с пьезоэлементами поиск оптимальных вариантов практически невозможен без математического моделирования. В большинстве известных работ моделирование осуществляется на основе пакета ANSY S или на основе алгоритмов, в той или иной мере реализованных в коммерческих пакетах программ.

Из динамических характеристик наиболее важными являются резонансные частоты и параметры, определяющие демпфирующие свойства моделируемой системы. На основе пакета ANSYS или других известных алгоритмов демпфирующие свойства smart-систем оцениваются по величине амплитуды при резонансном режиме или по скорости переходных процессов. В первом случае решается задача о вынужденных установившихся колебаниях, во втором — динамическая задача с начальными условиями. Эти задачи малоэффективны при оптимизации динамических характеристик в силу следующих причин. Для получения амплитуд при резонансных режимах на основе решения задачи о вынужденных установившихся колебаниях требуется многократное решение задачи при различных частотах внешних воздействий. При использовании задачи о вынужденных установившихся колебаниях или задачи с начальными условиями найденные оптимальные решения связаны с моделируемым вариантом нагружения исследуемой системы.

В настоящей работе для оптимизации динамических характеристик smart-систем с использованием пьезоэлементов и внешних электрических цепей предлагается задача о собственных колебаниях. На основе этой задачи строятся эффективные численные процедуры оптимизации с использованием в качестве управляющих параметров значений механических характеристик материалов, составляющих smart-композит, геометрии, в том числе расположение пьезоэлементов, а также величин, определяющих граничные условия. Наличие внешних электрических ЛХС-цепей, соединяющих электроды пьезоэлементов, увеличивает число параметров оптимизации.

2. Математическая постановка задачи

о собственных колебаниях

Рассматривается кусочно-однородное тело объемом

V = V + У2, где объем V состоит из однородных упругих и вязкоупругих, а объем V2 — из пьезоэлектрических элементов. К пьезоэлектрическим элементам через электродированную поверхность (электроды) могут быть подключены генераторы тока, напряжения или

Л^С-цепи произвольной структуры, состоящие из сопротивлений, емкостей и индуктивностей.

Вариационное уравнение движения тела, состоящего из упругого и пьезоэлектрических элементов, формулируется на основе соотношений линейной теории упругости и квазистатических уравнений Максвелла [4244]:

I (°/ 8% + РЩ № +

V

+ I (о/8е/ - DiЩ + рщЬщ ^ -

V2

- I 8щрёй - I = 0,

^е1

где D, Е — векторы электрической индукции и напряженности электрического поля; О/ — компоненты симметричного тензора напряжений Коши; щ — компоненты вектора перемещений; р — компоненты вектора нагрузок; Е/ = 1/2(щ-. / + и) — компоненты тензора линейных деформаций (точкой с запятой в формулах обозначена частная производная по соответствующей координате); ^е1 — поверхность, ограничивающая пьезоэлектрический элемент; qe и ф — поверхностная плотность зарядов и электрический потенциал. Уравнение (1) записано в прямоугольных декартовых координатах. Для электрического поля выполняется условие эквипотенциальности:

ф,- =- Е.

Для изотермических процессов в линейных электро-упругих средах справедливы следующие физические соотношения:

О/ = СуИЕи для У\,

ДЛЯ V2,

[^ = Рї/'і Еї/ + екїЕі

где Су^ — тензор упругих констант; ву и екі — тензоры пьезоэлектрических и диэлектрических коэффициентов.

Если элемент тела V или У2 обладает вязкоупругими свойствами, то тензор упругих констант С/щ должен быть заменен соответствующим вязкоупругим оператором. В настоящей работе для учета диссипативных свойств материала используются физические соотношения наследственной теории упругости Больцмана-Вольтерра:

Здесь / — компоненты тензора мгновенных модулей; ЯуЫ — компоненты тензора ядер релаксации. Отметим, что тензоры ядер релаксации обладают той же симметрией, что тензоры мгновенных модулей. Уравнение (5) может быть записано в тензорно-операторной форме:

О/ ^) = / Ек1 ^).

Рассмотрим механическую задачу о собственных колебаниях, связанную с нахождением решений вида:

щ

где (» = (»£ + -ю1 — комплексная собственная частота колебаний, (Юд соответствует собственной частоте колебаний, ю1 характеризует скорость затухания колебаний; Щ (х) — собственные формы колебаний.

При наличии в моделируемой системе вязкоупругих элементов в задаче о собственных колебаниях физические соотношения (4) заменяются их приближенным комплексным аналогом [45]:

/ [Сци - (Ю ) +

_+ Щи К )]еи = с/т К )еи >

где / — компоненты тензора комплексных динамических модулей; — косинус- и синус-образы

Фурье ядер релаксации:

= I/ т)ёт,

0

Щи = I / (фт(ю Т)ёт.

0

Компоненты тензора комплексных динамических модулей могут быть представлены следующим образом:

Сук1 (ЮЙ ) = [ С/И - Щук1 (ЮД ) + Щ]к1 (ЮД )] =

= С*И К) + -С/к! К),

где с£к1 (юд), Сф (юд) — модули накопления и потерь соответственно.

В задачах электроупругости граничные условия можно разделить на две группы: механические и электрические.

Механические граничные условия в задаче о собственных колебаниях имеют следующий вид:

^ О/П/ = 0, Sn: и- = 0,

где S = Sc + Sn — поверхность, ограничивающая объем

V рассматриваемого тела.

Формулировка физически реализуемых электрических граничных условий зависит от способа передачи электрической энергии пьезоэлектрическому телу. Как подведение, так и снятие энергии с деформируемого пьезоэлектрического тела осуществляется с помощью электродных покрытий, нанесенных на части поверхности тела. Предполагается, что они являются весьма тонкими идеальными проводниками с пренебрежимо малой массой. Наличие покрытия токопроводящим слоем (электродирование) поверхности ^ е1 делает ее эквипотенциальной:

I 8ф де ^ = 8ф I де^ = Ще1-

^е1 ^е1

Здесь Ще1 — суммарный заряд на электроде.

В данной работе нас интересуют граничные условия, связанные с подключением к пьезоэлементам внешних цепей.

Рассмотрим вариант электрических граничных условий, когда одна часть электродированной поверхнос-

г\Ш ~

ти пьезоэлемента ^ соединена с точкой нулевого потенциала последовательной ЛХС-цепью, а на другой части ^ задан нулевой потенциал. В этом случае потенциал на незаземленном электроде будет вычисляться по следующей формуле:

фт = С + Ыт + Ыт = От + КЩШ + ьОт,

где фт и Щт = I де^ — электрический потенциал и ^ т • суммарный заряд на ^е1; 1т = Щт — ток в проводнике; Л — активное сопротивление; С — емкость; L — индуктивность. Тогда интеграл по поверхности ^т в уравнении (1) будет определять электрические граничные условия для пьезоэлектрических участков:

I де8ф^ = -8фт°т.

^е1

В уравнении (13) учтено, что электродированная поверхность ^т эквипотенциальна, а цепь является внешним элементом по отношению к исследуемой системе (смена знака перед интегралом). В этой постановке уравнение (1) при отсутствии внешней нагрузки (р = 0) является однородным:

I(о/8е/ + РЩ8Щ )dV +

VI

+ I(о/8е/ - DІ8Ei + рщ8щ )dV +

V2

+ 8фтОт = 0

Уравнение (12) с учетом вида решения задачи о собственных колебаниях (7) может быть разрешено относительно суммарного заряда:

От ^) = -1 фт2е

С -ю I + -юД После очевидных преобразований получаем вариа ционное уравнение для задачи о собственных колеба ниях (черту над переменной опускаем) [46, 47]:

I (8е-/ (С/к1 Ек! - в/кЕк) - 8Ек(Рг/кЕг/ + ек-Е-) -

- Ю2Р8ЩЩ)dV + I (8Е/С-/-кгЕк! -ю2р8щ-щ)dV+

VI

фт8фт

С 1 - 1ю2 + -юД

= 0.

Таким образом, для электровязкоупругого тела получено вариационное уравнение квазигармонических колебаний, которое содержит диссипативные слагаемые, обусловленные потерей энергии во внешних электрических цепях с сопротивлением Л. Индуктивность

внешнего контура L и емкость С выступают в качестве своеобразных аналогов механической массы и жесткости, с помощью которых можно управлять собственными частотами колебаний.

Для параллельной ЖС-цепи протекающий через нее ток равен сумме токов, протекающих через ее элементы:

I = Iя +1ь + Iе = фш + сф + 1фШ^.

*т *т ^т т п с тт Т ‘

Я Ь

Здесь фк и Щк = I — потенциал и заряд на к-

Учитывая квазигармонический характер протекающего процесса, получим

1т =фт (Д+ Ю е'“

Выполнив в последнем уравнении интегрирование по времени, получаем суммарный заряд на электроде

.. -VI-------+ с — 1

Щт =фт | ~+С “ 2

юЯ Ью2

После преобразований, аналогичных, как и для последовательной Л£С-цепи, получаем вариационное уравнение для задачи о собственных колебаниях (черту над переменной опускаем) при параллельных внешних электрических цепях:

I (8е-/ (С/к1Ек! - в/кЕк ) - 8Ек (Рг/кЕг/ + ек-Е-) -

м

электроде; ^е1 = Ё ^е1 — электродированная поверх-

к=1

ность, состоящая из п участков. Не нарушая общности подхода, рассмотрим случай, когда на г-й электрод передается заряд =0/ф/, где а// — коэффициент обрат-

ной связи. Тогда уравнение (20) примет вид:

I(О/8е/ +РЩ8Щ)dV +

VI

+ I(оу8еу - DiЩ +рщ8и )dV -

-I Р8щЖ -Е8фкОк -

Sо к=3

-8ф-0/ф/ -8фЩ =0.

Современная электронная элементная база позволяет «измерять» электрический потенциал на электроде, практически не меняя на нем заряда, т.е. Щ/ = 0:

I (о/ 8е/ +рЩ 8щ )dV +

VI

+ I (О/8е/ - DiЩ +ри-8и )dV -

- ю2Р8ЩЩ )dV + I (8Е/С/к1 % - юЮрРи-и-)dV +

+ фт8фт| --^ +с-1=0.

К^'КШ | -г, 1 т 2

юЯ Ью2

При отсутствии в ЖС-цепях тех или иных элементов в уравнениях (16) и (19) должны быть опущены соответствующие слагаемые. Более сложные цепи могут быть синтезированы комбинацией уравнений (16) и

(19).

В результате применения smart-систем с пьезоэлементами и внешними электрическими цепями получаются управляемые неконсервативные системы. Для более эффективной борьбы с вибрациями конструкций и расширения области их динамической устойчивости используют обратные связи по электрическому потенциалу и/или его производным по времени. Наличие в цепях обратных связей элементов, осуществляющих цифровую обработку сигнала, позволяет создавать эффективные системы автоматического управления. Расчет активных систем в рамках континуальной задачи электровязкоупругости требует формулировки новых типов граничных условий.

Перепишем уравнение (1), конкретизируя поверхностный интеграл:

I (о/ 8е/ +рщ 8и- )dV +

- I РЧ-^ - Ё 8фкОк - 8ф-«/-ф/ = °.

Sо к=3

Если тело свободно от внешних нагрузок, то вариационное уравнение (21) становится однородным и может трактоваться как задача на собственные значения:

I (о/ 8е/ +рщ 8и- )dV +

+ I(о/8е/ - Di8Е +ри-8и- )dV -

- Ё 8фкОк -8ф-а/ф/ = 0

к=3

3. Численная реализация

Сформулированная задача может быть решена с помощью метода конечных элементов. Для этого запишем вариационное уравнение (16) в матричной форме:

I (8{Е1}Т[ Д]{^} - ю28Ц }Т[р ] {и1 })dV +

+ I (8{Е2}Т|^2]{Е2} -Ю28{и2 }Т[Р2 ] {и2 }')dV +

V2

8фтфт

С 1 - ю2 Ь + -юЯ

= 0.

Аналогично для уравнения (19):

I (8{е1}т[Д]{е1 } - Ю28{и1 }Т[р ]{и1 })dV +

+ I (О/8е/ - Di8Е + Рщ-8щ )dV -

-I р8и-Ж-Ё 8фкОк = 0. s„ к=1

+1 (8{Е2}Т[D2] {Е2} - Ю28{и2 }Т[Р2 ]{U2})dV +

V2

+ фт8фт| -+С--^ | = 0.

юЯ Ью2

{О2} = [А]{Е2} =

{е2

Здесь обобщенные векторы перемещений, деформаций, напряжений и матрица плотности {и1}, {е1}, {о1}, [р1] и {и2}, {е2}, {о2}, [р2] относятся соответственно к областям V1 и V2.

Физические соотношения (4) для пьезокерамики в матричной форме будут иметь вид:

_ С р" вТ -е_

где [С], [в], [е] — матрицы упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант.

Вариационная задача (23) с помощью метода конечных элементов сводится к алгебраической проблеме собственных значений:

где {X} — комплексный вектор узловых параметров; ю — комплексная собственная частота; [К] — матрица жесткости (в общем случае комплексная); [М] — матрица масс; [О] — матрица коэффициентов внешних ^С-цепей. Полученные из решения задачи на собственные значения (26) комплексные частоты ю = юЯ + -Ю1 определяют резонансные частоты юЯ и показатели демпфирования Ю1 системы. Комплексные собственные векторы определяют формы и фазы колебаний.

Уравнение (26) существенно отличается от обобщенной проблемы на собственные значения наличием матрицы [б(ю)]. Условием существования нетривиального решения является

D

Для решения задач о колебаниях произвольного тела с ЛLС-цепями общего вида предложена универсальная схема метода конечных элементов, которая заключается в следующем.

Как известно из электротехники, поведение пассивных Л-, L- и С-элементов в цепях переменного тока описывается следующими зависимостями:

I = Я_1(ф- -ф/), I = Г11 (ф- -ф/ ^ и I = С(ф- -ф/).

Здесь I — ток; Л — сопротивление; ф — электрический потенциал; L — индуктивность; С — емкость.

В терминах метода конечных элементов поведение одномерных Л-, L- и С-элементов определяется следующим образом:

резистор Л

ГI/

11,

=Я

-1

1 -1

-1 1

индуктивность L

и-

=Ь

-1

1 -1

-1 1

ф-ф/ ф-ф /

емкость С

=С

1 -1

-1 1

Здесь I, I/ и ф-, ф/ — ток и потенциал в г-м и^м узлах элемента. Данная форма записи эквивалентна введению одномерных конечных элементов.

Соотношения (28) преобразуются с учетом тождеств

I = д или д = I Idt:

{дя} = Я'1^ {ф}dt = [ Кя ]I {ф}dt,

{дь} = = [ Кь ]II{ф}dtdt,

{дС} = С[С]{ф} = [ Кс ]{ф},

д-

где {д} =

{ф} =

[С] =

1 -1

-1 1

д[ф/

Здесь , Ц/ — заряд в г-м и j-м узлах элемента; [Кя],

[ Кь ], [ КС ] — матрицы «жесткости» элементов цепи.

Для удобства построения произвольных электрических цепей (параллельных, последовательных, параллельно-последовательных и т.п.) введем обобщенный элемент, представляющий собой параллельное соединение сопротивления, емкости и индуктивности.

Объединив узлы отдельных элементов и воспользовавшись формулой (29), получим

{д} =[ КС]{ф}+[ Кя ]I{ф}dt+

+ [ Кь ]Ц{ф}й&.

Это выражение описывает параллельную Л£С-цепь. Приравнивая нулю соответствующие элементарные матрицы «жесткости», можно получить любой элемент схемы [47].

Рассмотрим конечно-элементную модель для систем с активными обратными связями.

Пусть на электрод г передается заряд, пропорциональный потенциалу электродаj =а/ф/, где а- —

коэффициент обратной связи, в общем случае комплексный. Наличие в электроупругом теле электродирован-ных, а следовательно, и эквипотенциальных поверхностей позволяет связать с каждой из них одну электрическую степень свободы (потенциал), независимо от конечно-элементной сетки.

Применение процедуры метода конечных элементов к вариационной задаче (22) приводит к уравнению

8{Х }Т([К ] {X} + [М ] {1}) - 8х/ = 0, где [К] — комплексная матрица жесткости; [М] — матрица масс; {X} — собственный вектор (форма собственных колебаний). Здесь принято, что потенциал на электроде г соответствует переменной х-, на j-м — Х/ в векторе состояния {X}. Это уравнение может быть записано через модифицированную матрицу жесткости [К ], в которой изменен элемент К/ = К/ - .

Решение ищется в форме {X^)} = {и}еЮ. Это приводит к алгебраической проблеме собственных значений для комплексных несимметричных матриц:

([К *] + Ю2[М ]){и} = 0.

Рис. 2. Расчетная схема трапецеидальной пластины с пьезоэлементом и внешней электрической цепью: геометрия расчетной области

4. Примеры численного анализа и оптимизации диссипативных свойств smart-констрyкций

Рассмотрим косоугольную пластину объема У1 из упругого материала с присоединенным пьезоэлектрическим элементом, занимающим объем У2 (рис. 2). Пластина имеет длину Ь = 15 м, параллельные грани \ = 9 м, К1 = 3 м, толщину ґ = 0.3 м и выполнена из

алюминиевого сплава со следующими механическими

11 /2

характеристиками: Е = 0.7-10 Н/м , V = 0.3, р = = 2 600 кг/ м3. Пьезослой длиной а = 3 м и толщиной Ц = 0.15 м выполнен из пьезокерамики PZT-5 со следующими механическими и пьезоэлектрическими характеристиками:

С11 = 13.9 -1010 Н/м2, С12 = 7.78-1010 н/м2,

С13 = 7.43 -1010 Нм2, С33 = 11.5 -1010 Нм2

м

С44 = 2.56 • 1010 Н/м2, в13 = -52 Кл/ в33 = 151 Кл/м2, в15 = 127 Кл/м2, э11 = 6.45-10"7 Ф/м, э33 = 5.62-10"7 Ф/м, р = 7 700 кг/м3.

Левый край пластины жестко закреплен.

Рассматриваемая модель является имитацией крыла самолета.

В качестве электрических цепей рассматривались как отдельные Л-, L-, С -элементы, так и последовательное и параллельное соединения Л- и L-элементов.

На рис. 3 приведены графики собственных частот / = юЯ/2п и коэффициентов демпфирования N = <% для элементарных Л-, L-, С-цепей (содержащих только один элемент) для первой моды колебаний. В данном случае демпфирование имеет место только для цепи, состоящей из сопротивления. Для первой собственной формы колебаний максимальное демпфирование будет при Я1 = 63 100 Ом. Для сравнения можно привести,

Рис. 3. Зависимость собственных частот и коэффициентов демпфирования первой моды колебаний макета крыла самолета от параметров внешней электрической цепи

что при Я2 = 15 850 Ом будет обеспечиваться максимальное демпфирование второй моды колебаний.

На рис. 4 приведены зависимости коэффициента демпфирования первой моды колебаний от величины сопротивления Л при различных значениях индуктивности L для вариантов последовательной и параллельной Я£-цепей. При последовательной цепи максимальное демпфирование достигается при L = 6 340 Гн, а при параллельной цепи — при L = 6 500 Гн.

К, Ом

Р, Ом

Рис. 4. Зависимость коэффициента демпфирования для первой моды колебаний от величины сопротивления К при разных значениях индуктивности Ь для последовательной (а) и параллельной (б) КЬ-цепей

При сравнении коэффициентов демпфирования элементарной К- и последовательной КЬ-цепей видно, что последняя обеспечивает существенно большее демпфирование. Это объясняется тем, что собственная емкость пьезоэлемента и индуктивность образуют резонансный ЬС-контур, что приводит к заметному увеличению электрического тока через цепь. При этом собственная частота ЬС-контура совпадает с соответствующей частотой механического резонанса электроупругой системы ^ = ]/(2пДС). Графики для более высоких мод колебаний по характеру не отличаются от первой.

В качестве второго примера рассмотрена задача оптимизации демпфирующих свойств параболической оболочки (рис. 5), имеющей в плане форму эллипса с полуосями а = 1 м, Ь = 0.75 м и толщиной 1 мм. Оболочка выполнена из алюминиевого сплава АД1М и подкреплена двумя парами ребер жесткости из однонаправленного композита П-5-13Н на основе карбоновых волокон. Материал оболочки принимался упругим с характеристиками Е = 0.7 • 1011 н/м2, V = 0.3, р = 2 600 кг/м3. Ребра жесткости считались вязкоупругими с танген-

Рис. 5. Схема параболической оболочки

сомпотерь Х = 10-5 и Е = 1.5 -1011 н/м2, V = 0.2, р = = 1000 кг/м3. Сечения вертикальных и горизонтальных ребер жесткости принимались равными 25x30 и 25x20 мм2 соответственно.

Для изучения возможности усиления эффекта демпфирования с помощью пьезоматериалов был выполнен расчет этой оболочки с четырьмя «заплатами» толщиной 1 мм из трансверсально-изотропного пьезокомпозита, размещенных в центральной части, к электродам которых могут быть присоединены внешние электрические Л£С-цепи.

Пьезокомпозит с поляризацией в поперечном направлении имеет следующие электромеханические характеристики:

С11 = 13.9-1010 Нм2, С12 = 7.78-1010 н/: С13 = 7.43-1010 н/м2, С33 = 11.5 -1010 н/ С44 = 2.56 -1010 Нм2, Р13 =-52 Кл/м2,

м

м

283.5

283.0 -

282.5

282.0 -

281.5

\ ч \ Юр \ X / /Г / / //сй|

\ /

\ ' /

\ / /

\ /

\ /

\ 1 1

/ \ / /

-—0.04

-—0.08

-—0.12

--0.16

-0.20

10°

101

102 103 К Ом

104

105

Рис. 6. Зависимость первой резонансной частоты и показателя демпфирования от величины сопротивления внешней электрической цепи

Рзз = 151 Кл/м2, Р15 = 127 Кл/м2,

эп = 6.45-10-7 Ф/м, э33 = 5.62-10-7 Ф/м,

р = 7 700 кг/м3.

Целью решения задачи является поиск параметров цепей, обеспечивающих наибольшее демпфирование колебаний системы. В качестве иллюстрации на рис. 6 для цепи, имеющей в своем составе только резисторную компоненту R, приводится зависимость первой резонансной частоты юЕ и соответствующего показателя демпфирования т7 от величины сопротивления. В данном случае можно констатировать, что при R = 36 кОм обеспечивается максимальное демпфирование.

5. Заключение

Рассмотрена проблема моделирования и оптимизации динамических характеристик, а именно разонанс-ных частот и величин, характеризующих демпфирующие свойства smart-систем на основе пьезоматериалов при наличии внешних электрических цепей, содержащих элементы сопротивления, емкости и индуктивности. Для получения указанных динамических характеристик предложена задача о собственных колебаниях электровязкоупругих тел с внешними электрическими цепями. Сформулированы граничные условия для пассивных внешних цепей при различных вариантах компоновки электрических элементов и активных внешних цепей.

Рассмотрены основные моменты, связанные с численной реализацией задачи методом конечных элементов. На численных примерах продемонстрирована эффективность приложения задачи о собственных колебаниях электровязкоупругого тела с внешними электрическими цепями для оптимизации демпфирующих свойств smart-систем, основанных на использовании пьезоматериалов.

Работа выполнялась при поддержке гранта Президента РФ (№ НШ-5389.2012.1) и Программы Президиума РАН (№ 12-П-1-1018).

Литература

1. New Materials for Next-Generation Commercial Transports / Report Committee on New Materials for Advanced Civil Aircraft, Commission on Engineering and Technical Systems, National Research Council, USA, 1996. - 98 р.

2. Concise Encyclopedia of Composite Materials / Ed. by A. Kelly. -Oxford: Pergamon Press, 1994. - 350 p.

3. Moheimani S.O.R., FlemingA.J. Piezoelectric Transducers for Vibration Control and Damping. - Berlin: Springer-Verlag, 2006. - 272 p.

4. Sodano H.A. Macro-Fiber Composites for Sensing, Actuation and Power

Generation / PhD Thesis. - Blacksburg, Virginia, 2003. - 151 p.

5. Viana F.A.C., Steffen V., Jr. Multimodal vibration damping through piezoelectric patches and optimal resonant shunt circuits // J. Braz. Soc. Mech. Sci. Eng. - 2006. - V. XXVIII. - No. 3. - P. 293-310.

6. Song Z.-G., Li F.-M. Active aeroelastic flutter analysis and vibration control of supersonic beams using the piezoelectric actuator/sensor pairs // Smart Mater. Struct. - 2011. - No. 20. - P. 1-12.

7. Agnes G.S., Mall S. Structural integrity issues during piezoelectric vibration suppression of composite structures // Composites B. -1999. - No. 30. - P. 727-738.

8. Elvin N. G., Elvin A.A. The flutter response of a piezoelectrically damped

cantilever pipe // J. Intel. Mat. Syst. Str. - 2009. - No. 20. - P. 20172026.

9. Niederberger D. Smart Damping Materials Using Shunt Control / Dr.

Sci. Dissertation. - Zurich, 2005. - 210 p.

10. Park C.H., Inman D.J. Enhanced piezoelectric shunt design // Shock Vib. - 2003. - V. 10. - No. 2. - P. 127-133.

11. Callahan J., Baruh H. Active control of exible structures by use of segmented piezoelectric elements // J. Guid. Control. Dynam. - 1996. -V. 19. - No. 4. - P. 808-815.

12. Sausse M., Ruggiero E., Park G., Inman D.J., Main J.A. Vibration Testing and Finite Element Analysis of Inflatable Structures / Preprint. - 12 p. - http://www.cimss.vt.edu/pdf/Conference%20Papers/ Park/C31.pdf.

13. Nye T.W., Manning R.A., Qassim K. Performance of active vibration control technology: the ACTEX flight experiments // Smart Mater. Struct. - 1999. - No. 8. - P. 767-780.

14. Nuffer J., Bein Th. Application of Piezoelectric Materials in Transportation Industry // Global Symposium on Innovative Solutions for the Advancement of the Transport Industry, 4-6 October 2006, San Sebastian, Spain. - 11 p.

15. Kawiecki G., Jesse S. Rosette piezotransducers for damage detection // Smart Mater. Struct. - 2002. - No. 11. - P. 196-201.

16. Hansson J., Takano M., Takigami T., Tomioka T., Suzuki Ya. Vibration suppression of railway car body with piezoelectric elements (A study by using a scale model) // ISME Int. J. C. - 2004. - V. 47. -No. 2. - P. 451-456.

17. Bronowicki A.J., Abhyankar N.S., Griffin S.F. Active vibration control of large optical space structures // Smart Mater. Struct. - 1999. -No. 8. - P. 740-752.

18. Bisegna P., Caruso G. Optimization of a passive vibration control scheme acting on a bladed rotor using an homogenized model // Struct. Multidiscip. O. - 2009. - No. 39. - P. 625-636.

19. KajiwaraI., Uchiyama T., Arisaka T. Vibration Control of Hard Disk Drive with Smart Structure Technology for Improving Servo Performance // Motion and Vibration Control / Ed. by H. Ulbrich, L. Ginzin-ger. - Heidelberg: Springer, 2009. - P. 165-176.

20. http://www.ski.ru/static/127/2_11511.html.

21. Schulz M.J., Pai P.F., Inman D.J. Health monitoring and active control of composite structures using piezoceramic patches // Composites B. - 1999. - No. 30. - P. 713-725.

22. Kim Sung J., Jones James D. Quasi-static control of natural frequencies of composite beams using embedded piezoelectric actuators // Smart Mater. Struct. - 1995. - V. 4. - No. 2. - P. 106-112.

23. Simpson J.O., Wise S.A., Bryant R.G., Cano R.J., Gates T.S., Hink-ley J.A., Rogowski R.S., Whitley K.S. Innovative Materials for Aircraft Morphing // SPIE’S 5th Annual Int. Symp. on Smart Structures and Materials, San Diego, CA, March 1-5, 1998. - P. 1-10.

24. Piezo Film Product Guide and Price List. Measurement Specialities, Inc. - http://www.meas-spec.com.

25. ОАО «НИИ Элиа». - http://www.elpapiezo.ru/longitudal.shtml.

26. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. - М.: Физматлит, 2008. - 307 с.

27. Advanced Materials Technology Company. - http://www.advanced-cerametrics.com.

28. Janos B.Z., Hagood N. W Overview of active fiber composite technologies // MST News. Actuator Applications. Home Automation. -1998. - No. 3. - P. 25-29.

29. Pizzochero A. Residual Actuation and Stiffness Properties of Piezoelectric Composites: Theory and Experiment / M. Sci. Dissertation. -1998. - 162 p.

30. Nguyen Cu-Hai, Kornmann X. A comparison of dynamic piezoactuation of fiber-based actuators and conventional PZT patches // J. Intel. Mat. Syst. Str. - 2006. - V. 17. - No. 45. - DOI: 10.1177/1045389X 06056065.

31. Bennett J., Hayward G. Design of 1-3 piezocomposite hydrophones using finite element analysis // IEEE T. Ultrason. Ferr. - 1997. -No. 44. - P. 565-574.

32. Sigmund O., Torquato S., Aksay I.A. On the design of 1-3 piezocomposite using topology optimization // J. Mater. Res. - 1998. - No. 13.-P. 1038-1048.

33. Smith W.A., AuldB.A. Modeling 1-3 composite piezoelectrics: thickness mode oscillations // IEEE T. Ultrason. Ferr. - 1991. - No. 41. -P. 40-47.

34. Lloyd J.M. Electrical Properties of Macro-Fiber Composite Actuators and Sensors / PhD Thesis. - Blacksburg, Virginia, 2004. - 127 p.

35. Sato H. Study on metal core-assisted piezoelectric complex fiber // AIST Today. - 2003. - V. 3. - No. 7. - P. 13.

36. Forward R.L. Electronic damping of vibrations in optical structures // J. Appl. Optics. - 1979. - V. 18. - No. 5. - P. 690-697.

37. Hagood N. W., von Flotow A. Damping of structural vibrations with piezoelectric materials and passive electrical networks // J. Sound Vib. -1991. - V. 146. - No. 2. - P. 243-268.

38. Lesieutre G.A. Vibration damping and control using shunted piezoelectric materials // Shock Vib. Digest. - 1998. - V. 30. - No. 3. -P. 187-195.

39. Caruso G. A critical analysis of electric shunt circuits employed in piezoelectric passive vibration damping // Smart Mater. Struct. -2001. - No. 10. - P. 1059-1068.

40. Moheimani S.O.R., FlemingA.J., Behrens S. On the feedback structure of wideband piezoelectric shunt damping systems // Smart Mater. Struct. - 2002. - No. 12. - P. 49-56.

41. Wu S. Y Piezoelectric Shunts with Parallel R-L Circuit for Structural Damping and Vibration Control / Proc. SPIE Smart Structures and Materials, Passive Damping and Isolation, SPIE. - 1996. - V. 2720. -P. 259-269.

42. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир, 1987. - 542 с.

43. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 471 с.

44. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. -Киев: Наукова думка, 1988. - 319 с.

45. Kligman E.P., Matveenko VP. Natural vibration problem of viscoelastic solids as applied to optimization of dissipative properties of constructions // Int. J. Vib. Control. - 1997. - V. 3. - No. 1. - P. 87-102.

46. Клигман Е.П., Матвеенко В.П., Юрлова Н.А. Динамические характеристики тонкостенных электроупругих систем // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 2. - C. 179-187.

47. Matveenko VP, Kligman E.P., Yurlova N.A., Yurlov M.A. Optimization of the Dynamic Characteristics of Electroviscoelastic Systems by Means of Electric Circuits // Advanced Dynamics and Model Based Control of Structures and Machines / Ed. by H. Irschik, M. Krommer, A.K. Belyaev. - Wien: Springer-Verlag, 2011. - P. 151-158.

Поступила в редакцию 17.01.2012 г.

Сведения об авторах

Матвеенко Валерий Павлович, д.т.н., академик РАН, дир. ИМСС УрО РАН, mvp@icmm.ru Клигман Евгений Петрович, к.т.н., доц., снс ИМСС УрО РАН, kligman@icmm.ru Юрлов Максим Александрович, инж.-иссл. ИМСС УрО РАН, yurlovm@icmm.ru Юрлова Наталия Алексеевна, к.ф.-м.н., доц., уч. секр. ИМСС УрО РАН, yurlova@icmm.ru