О сингулярно возмущенных задачах в случае пересечения корней вырожденного уравнения -

УДК 517.956.226

В. Ф. Бутузов

О СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧАХ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ1

Введение. В классической работе А.Н. Тихонова [1], посвященной исследованию дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных, рассмотрен вопрос о предельном переходе при стремлении малого параметра к нулю от решения задачи Коши для сингулярно возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений к решению соответствующей вырожденной задачи. Существенным условием теоремы Тихонова является то, что вырожденное уравнение имеет изолированный корень и этот корень является устойчивым, т.е. асимптотически устойчивой точкой покоя присоединенной (по Тихонову) системы. В прикладных задачах, например в задачах химической кинетики, нередки случаи, когда вырожденное уравнение имеет пересекающиеся корни (см. [2]). В точке (на линии) пересечения корней происходит смена устойчивости в том смысле, что устойчивый корень становится неустойчивым и наоборот. Поэтому сингулярно возмущенные задачи такого типа получили название "задачи в случае смены устойчивости". Классическая теорема Тихонова для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и ее аналоги для уравнений с частными производными в случаях пересекающихся корней вырожденного уравнения не работают. Эти случаи являются более сложными, чем случаи изолированных корней вырожденного уравнения. Интенсивное исследование сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости началось восемь лет назад. За эти годы для многих классов сингулярно возмущенных задач со сменой устойчивости (системы дифференциальных уравнений тихоновского типа, системы с разными степенями малого параметра, уравнения параболического и эллиптического типа, системы уравнений с частными производными) установлены условия, при которых имеют место теоремы о предельном переходе от решения исходной задачи к, вообще говоря, негладкому решению вырожденной задачи, которое строится с использованием составного корня вырожденного уравнения, составленного из устойчивых ветвей пересекающихся корней. Доказательство этих теорем потребовало разработки новых подходов, в частности, для обоснования существования решения исходной задачи и оценки разности между этим решением и решением вырожденной задачи был развит асимптотический метод дифференциальных неравенств. Основные результаты по задачам со сменой устойчивости, полученные в последние годы, представлены в большой обзорной статье [2].

Вместе с тем немало интересных вопросов для указанного класса задач остается на повестке дня. В данной работе рассмотрен один из таких вопросов.

1. Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу

e2Au = f

ди , .

где е > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, D — ограниченная односвязная область с гладкой границей Г, д/дп обозначает производную по направлению внутренней нормали к Г. Пусть функция f(u, х) удовлетворяет следующим условиям.

(А1) Существуют функции й(ж) и и(ж) из класса С2 (D) такие, что в области G = {(и, ж) : и(ж) ^ ^ и ^ й(х), х £ D} функцию f(u, х) можно представить в виде

f(u, х) = h(u, х)(и - Vi(x))(u - ¥>2(ж)), где /г, ipi — дважды непрерывно дифференцируемые функции, h(u, х) ^ т = const > 0 в G.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00465).

(А2) Существует простая замкнутая кривая С С -О, разделяющая область £) на подобласти £>1 (вне С) и (внутри С) так, что

V?!

и(ж) < (р\{х) < ¥>2 (ж) < й(ж), Ж е £>2-

Соотношения (3) показывают, что поверхности и = <-Р1{х) и и = — корни вырожденного урав-

нения /(и, ж) = 0 — пересекаются по кривой, проекцией которой на область £) является кривая С. Из корней (рх (ж) и <¿>2 (ж) вырожденного уравнения образуем два составных непрерывных, но не гладких на кривой С корня:

(Р!(х), X е £>1, /<¿>2 (ж), Ж 6 £>2,

Из условий (А1) и (А2) следует, что

й(ж) > й(ж), ж 6 й(ж) = й(ж), ж 6 С;

/„(й(ж), ж) > О, /„(й(ж), ж) < О, ж 6 £>\С; /„(й(ж), ж) =/„(й(ж), ж) = О, ж 6 С.

Последние неравенства позволяют назвать корень й(ж) устойчивым, а корень й(ж) неустойчивым, однако обращение в нуль производной /и(й(ж), ж) на кривой С делает неоднозначным ответ на вопрос о существовании решения задачи (1), (2), которое стремится к й(ж) при е —> 0.

Пусть I — параметр, значение которого определяет положение точки на кривой С (0 ^ I ^ /о) - Через д/дщ обозначим производную по направлению нормали к С, внешней по отношению к подобласти £>2, а через Ь(1) обозначим разность — при ж ЕС. Пусть выполнено следующее условие:

(A3) Ь(1) > 0, 0 iC I iC /0-

Теорема 1. При условиях (А1)-(АЗ) для достаточно малых е задача (1), (2) имеет решение и = us(x,e) такое, что

us(x,e) = й(ж) + г(х,е),

где г(ж, г) = 0(е2/3) в 5-окрестности кривой С, г(ж, г) = О(е) в 5-окрестности кривой Г, г(ж, г) = = 0(е2) в остальной части области D, 5 — произвольно малое фиксированное (при е —> 0) положительное число.

Из теоремы 1 следует, что

lim us(x,e) = й(ж), ж G D, £—»0

т.е. пределом решения us(x,e) является негладкий на кривой С корень й(ж) вырожденного уравнения.

Теорема 1 доказана в [2] с помощью метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения для задачи (1), (2) подходящих нижнего и верхнего решений. В пункте 2 будет представлен другой способ построения нижнего и верхнего решений, отличный от рассмотренного в [2] и позволяющий решить задачи, поставленные ниже.

Функция и = us(x,e) является стационарным решением параболического уравнения

-щ +е2Аи = /

с краевым условием (2).

Встает вопрос об устойчивости (по Ляпунову) этого стационарного решения при t —> +оо. Положительный ответ на этот вопрос дан в пункте 3.

Следующий вопрос — об области притяжения устойчивого стационарного решения us(x,e), т.е. о множестве начальных функций щ(х) таких, что решение u(x,t,e) уравнения (5) с краевым условием (2) и начальным условием

и

удовлетворяет предельному равенству

lim u

t—» + oo

Ответ на этот вопрос содержится в пункте 4.

Отметим, что для одномерного случая по пространственным переменным (Д = 0 ^ х ^ 1) поставленные вопросы рассмотрены в [3].

2. Верхнее и нижнее решения стационарной задачи 2.1. Регуляризация вырожденного уравнения. Так как ]г(и,х) ф 0, х £ С, то вырожденное уравнение /(и, х) = 0 принимает вид

{и-<р1{х)){и-<р2{х)) = Ъ.

Вместо него рассмотрим уравнение

где а(х) ^ О — гладкая функция, которая будет выбрана ниже. Ее значения в точках кривой С обозначим а(1).

Если а(1) ф 0, то уравнение (9) имеет два гладких в И корня (обозначим их ср(х,а,е) и ф(х, а,е)):

<р(х,а,е) = ^ ф(х,а,е) = ^

( х 1/2'

¥>1 (х) + ¥>2(ж) + (^¥>1 (ж) - ¥>2 (ж))2 + 4а2 (х)е4/3) ¥'1 (ж) + ¥>2(ж) - ((¥>1 (ж) - ¥>2 (ж))2 + 4а2 (ф4/3) ^

Из этих формул непосредственно следуют соотношения

¥>(ж, а, е) ^ й(х), <р(х, а, е) = й(х) + 0(е2^3), ф(х, а, е) ^ и(х), ф(х, а, е) = й(ж) + 0(е2^3), ж £ D.

Таким образом, замена вырожденного уравнения (8) уравнением (9) является своеобразной регуляризацией вырожденного уравнения, позволяющей вместо негладких корней й(х) и и(х) ввести гладкие корни Lp(x,a,s) и ф(х,а,е), отличающиеся от й(х) и й(х) не более, чем на величину порядка 0(е2/3).

В дальнейшем понадобятся оценки Аср и Аф (А — оператор Лапласа), которые получаются из (10) в результате несложных, но громоздких вычислений:

Д^ = 2а2

|Д^| ^ cs, если х £ D\CS.

Здесь Ь(1) — функция из условия (A3); г — взятое со знаком плюс или минус расстояние точки х от кривой С вдоль нормали к С (знак плюс, если х £ Di, и знак минус, если х £ D2)] М > 0 — любое фиксированное (при е —> 0) число; с здесь и далее обозначает подходящую положительную постоянную, не зависящую от е; i — сколь угодно малое, но фиксированное при е —> 0 число; Cs — ¿-окрестность кривой С; постоянная es зависит от S, но не зависит от е. Такие же оценки имеет Аф.

2.2. Построение нижнего и верхнего решений. Напомним понятия нижнего и верхнего решений.

Определение 1. Функции U_(x,e) и U(x,e) называются нижним и верхним решениями задачи (1), (2), если выполнены условия:

1°) LeU = e2Ag- f(U,x) ^ 0 ^ LeÜ, x £ D;

2°)fr^g, ж £ Г.

Нижнее и верхнее решения называются упорядоченными, если

и_(х,е) •:; U(x,e), х £ D.

Известно [4], что если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения Ц_ и II задачи (1), (2), то существует решение и(х,е) этой задачи, удовлетворяющее неравенствам

и_

В [2] построены нижнее и верхнее решения задачи (1), (2), отличающиея от й(х) на величину порядка 0(г(х,е)), где г(х,е) имеет такие же оценки, как в теореме 1. При построении верхнего решения в [2] применялась процедура сглаживания й(х), поскольку в силу условия (АЗ) эта функция имеет на кривой С положительный скачок производной по направлению внешней нормали к С, что недопустимо для верхнего решения. Здесь мы построим нижнее и верхнее решения задачи (1), (2) иным способом, более подходящим для решения задач, поставленных в пункте 2. При этом вместо негладкого корня й(х) вырожденного уравнения (8) будет использоваться гладкий корень ср(х,а,е) уравнения (9).

Возьмем функцию а(х), входящую в уравнение (9), такую, что

Ь2

а

где ¡1(1) = к(й(х),х) при х 6 С.

Заметим, что в силу условия

к

Из (17) следует, что

<р

Верхнее и нижнее решения задачи (1), (2) построим в виде

и(х,е) = (р(х, а(х), е) + ег(х, е) + Ае2,

1

Ц_(х,е) = (р(х, а(х), е) — -а(х)е2'3 + ег(х, е) — Ае2.

Здесь А — достаточно большое (но не зависящее от е) положительное число, выбор которого связан с выполнением условия 1° из определения 1, а ег(х,е) — главный член погранслойной части асимптотики решения задачи (1), (2), т.е. г(х,е) = (0, 8)кд1(в) ехр ( — /го(в)|) х(/°); гДе (/0,— локальные координаты точки х в ¿-окрестности границы Г: в — координата, определяющая положение точки на Г, р — расстояние точки ж от Г вдоль нормали к Г; ¿^(в) = [/г(()о1(0, в), 0, в) • (^(О, в) — (/^(О, в))]1/2 > 0; х(р) — срезающая функция, равная 1 в ¿/2-окрестности Г и равная нулю вне ¿-окрестности Г (обозначим эту окрестность Г^), причем 8 берется столь малым, чтобы нормали к Г, проведенные в разных точках, не пересекались в IV

Такой выбор функции г(х,е) обеспечивает выполнение равенств

дТ/ ди

_ = 0, ^ = .,ег.

Эти равенства получаются с учетом того, что а(х) = 0, (р(х,а(х),е) = <-Р1(х) при х 6 Г<5, и потому ^ = = |= при х 6 Г. Кроме того, невязка, вносимая в уравнение Ьеи = 0 функцией ег(х1е)1

является величиной порядка 0(е2).

В силу (21) функции и(х,е) и Ц_(х,е) удовлетворяют условию 2° определения 1.

Рассматривая выражение для Ь£11 отдельно при |г| ^ Мг2/3 и в остальной части области И и используя в первом случае оценку (12), а во втором — оценки (13) и (14), нетрудно показать, что если выполнено условие

а3

то при достаточно большом А и достаточно малых е функция и(х,е) удовлетворяет неравенству Ь£11 ^ 0 в И и тем самым выполнено условие 1° определения 1, а значит, и(х,е) является верхним решением задачи (1), (2). Заметим, что в силу (20) и (11) построенное верхнее решение обладает тем свойством, что разность 11(х, е) — й(х) имеет такие же оценки, как функция г(х,е) в теореме 1. Заметим

также, что неравенство (22) следует из (16). Полностью условие (16) используется при рассмотрении выражения для Ь£Ц_. Снова используя оценки (12)—(14), можно показать, что если выполнено условие (16) и число А достаточно большое, то для достаточно малых е функция Ц_(х,е) удовлетворяет неравенству Ь£Ц_ ) 0 в О. Таким образом, Ц_(х,е) удовлетворяет условиям 1° и 2° определения 1 и, следовательно, является нижним решением задачи (1), (2).

Очевидно, что нижнее и верхнее решения, определенные формулами (20), являются упорядоченными. Поэтому существует решение и = и3(х,е) задачи (1), (2), удовлетворяющее неравенствам (15).

3. Асимптотическая устойчивость стационарного решения. Как уже отмечено выше, решение и3(х,е) задачи (1), (2) является стационарным решением параболического уравнения (5) с краевым условием (2).

Теорема 2. Если выполнены условия (А1)-(АЗ), то при достаточно малых е стационарное решение и3(х,е) задачи (5), (2) является асимптотически устойчивым (по Ляпунову) при £ —> +оо.

Доказательство. Покажем, что для производной /„(и, ж), взятой на стационарном решении, при достаточно малых е имеет место оценка

¡и(и8(х,е), х) ^ /ге2/3, ж е Д

где к — положительное число, не зависящее от е. Имеем

fu(us, ж) = hu(us, х)(us - pi)(us - <р2) + h(us, ж)(2us - tpi - <p2).

Рассмотрим сначала ¿-окрестность кривой С (как и ранее, обозначим ее С$). При достаточно малом 8 в этой окрестности г(х,е) = 0, и поэтому, как следует из неравенств (15) и вида нижнего и верхнего решений, стационарное решение и8(ж,г) можно представить в виде

и3(х,е) = (р(х, а(х),е) — а(х,е)е2^3 + /3(ж, е)е2, ж е С$,

где

О ^ а(х, е) ^

а ж

\ß(x,e)\^A.

Используя это представление, а также равенство (tp — tpi) (tp — (р2) = а2(ж)г4/3, из (24) получаем

fu

В силу

2ip - (fi! - ip2 = [(¥>! - tp2)2 + 4a2e4/3jФ ^ 2ae2'3.

Рассмотрим ту часть C's, в которой |r| ^ Me2!3. (Здесь M ж г имеют тот же смысл, что и в оценке (12).) В этой области

а(ж) = а(1) + 0(е2/3), h(us, ж) = h{(p, ж) + 0(е2/3) = h(l) + 0(е2/3), причем а(1) > 0, h(l) > 0 (см. (16) и (18)), и поэтому, используя первое неравенство в (25), получаем

fu(us, ж) ^2а(х)е2/3 \h(l) + 0(е2/3) 1 - 2h(l)a(x, е)е2>3 + 0(е4/3) ^ a(l)h(l)e2l3 + 0{е4'3).

Отсюда следует, что существует число к > 0 такое, что при достаточно малых е

fu

Если Me2'3 iC |г| <С S, то - = A-fa - <р2) +0(5) • |r| = \b(l) + 0(5)]\r\ ^ \Ъ{1)Ме2>3

г=о L J

(при достаточно малом 5), и поэтому 2<р — <р\ — ^ ^Ь(1)Ме213, а для fu(us, ж), учитывая, что h(us, ж) ^ m > 0, получаем из (26) оценку:

21

При достаточно большом M правая часть неравенства больше ке2!3, ж тем самым (27) выполнено во

всей окрестности

fu(us, ж) ^ h>{l)M£2'3 (m + 0(е2/3)) - 2h(us, ж)ае2!3 + 0(е4/3).

Вне ¿-окрестности кривой С справедливы оценки

(и g - (fi)(us - (р2) = 0(e), h(us,x)^m> 0, 2us - <p! - <p2 ^ cs > О, в силу которых из (24) получаем

fu(us, х) ^ 0(e) + mes > ке2/3.

Итак, во всей области D при достаточно малых е имеет место оценка (23).

Из этой оценки следует, что главное (наибольшее) собственное значение Ао задачи Штурма-Лиувилля

dv

е2Av — fu(us(x,e), x)v = Xv, x G D, — = 0, x G Г,

удовлетворяет неравенству Ао < —he2!3. В свою очередь из отрицательности всех собственных значений данной задачи Штурма-Лиувилля вытекает, как известно, асимптотическая устойчивость при t -7- +оо стационарного решения us(x,e) параболического уравнения (5) с краевым условием (2). Теорема 2 доказана.

4. Область притяжения стационарного решения. Рассмотрим уравнение (5) с краевым условием (2) и начальным условием (6). Пусть начальная функция щ(х) — гладкая и удовлетворяет следующему условию:

(A4) û(x) < uq (x) < й(х), x G d, где функция û(x) определена в (4), а й(х) — функция из условия (AI).

Сформулируем основной результат.

Теорема 3. Если выполнены условия (А1)-(А4), то для достаточно малых е решение u(x,t,e) задачи (5), (2), (6) существует и удовлетворяет предельному равенству (7).

Из данной теоремы следует, что любая начальная функция щ(х), удовлетворяющая условию (A4), принадлежит области притяжения стационарного решения us(x,e).

Доказательство. Докажем теорему 3 путем построения подходящих верхнего и нижнего барьеров для задачи (5), (2), (6). В связи с этим напомним их определение.

Определение 2. Функции v^ (x,t,e) и v^(x,t,e) называются нижним и верхним барьерами для задачи (5), (2), (6), если выполнены условия:

1°) Реи(-) = -v[~] +е2Аг;(-) - f(v(-\x) > 0 > Pev(+\ x G D, t > 0;

2°) ^ ^ 0 ^ xer,t^o-,

3°) и(-'(ж,0,е) ^ u0(x) ^ и(+)(ж,0,е), x ED.

Известно, что если существуют нижний и верхний барьеры и'-' и для задачи (5), (2), (6), то существует решение u(x,t,e) этой задачи и справедливы неравенства

и

Верхний барьер для задачи (5), (2), (6) возьмем в виде

v{+)

где a(x, е) = й(х) — tp(x, a(x),e), a(x) удовлетворяет условиям (16), (17), E(t, е) = ехр(—е2/3ßt), а число ß выбирается далее достаточно малым (но не зависящим от е) так, чтобы выполнялось условие 1° из определения 2. Отметим, что а(х,е) ^ Go = const > 0 при x G D, а Аа имеет такие же оценки, как и А<р (см. (12)—(14)).

Не ограничивая общности, можно считать, что

^ ^ 0, ж G Г.

on

Если это не так, то нужно прибавить к а(х) функцию типа ez(x,e) из (20), а именно прибавить ez(x,e) = еехр ( —x(p)i и тогда сумма a + ez (обозначим ее снова а(х,е)) будет удовлетворять неравенству (30) при достаточно большом к\. В силу (30) функция (x,t,e) удовлетворяет условию 2° из определения 2.

Так как и8(х,е) = й(х) + 0(е2/3), <р(х, а(х),е) = й(х) + 0(г2/3), то

и(+)(ж,0,г) = и3(х,е) + а(х,е) = й{х) + [й(ж) - й(х)] + 0(е2/3) = й(ж) + 0(е2/3). Поскольку щ(х) < ¥(ж) в силу условия (А4), то при достаточно малых е выполнено неравенство

и0(х) ^ (ж, 0, е),

т.е. удовлетворяет условию 3° из определения 2.

Остается проверить выполнение для условия 1°.

Это можно сделать таким же способом, как в [3] для одномерного случая. При этом число /3 выбирается достаточно малым.

Нижний барьер возьмем в виде

= и8

где Е{Ь,е) — та же функция, что и в (29),

;

w\

íp(x,a(x),e) — та же функция, которая использовалась в (29); ф(х,а(х),е) определена в (10); v

Lpi{x)-Lp2{x)

, и, кроме того, 8 иг/ выбираются затем

положительное число, которое меньше, чем_inf

D\cs/2

достаточно малыми, с тем чтобы функция и'-' (ж, t, е) удовлетворяла условиям 1° и 3° из определения 2; г](ж) — гладкая функция такая, что г](ж) = 0 в и г](ж) = 1 вне С,5; А(ж) — неотрицательная

функция, удовлетворяющая на кривой С неравенствам 0 < А(1) < а(1).

Если ^ 0 при ж G Г, то функция и'-'(ж,t,e) удовлетворяет условию 2° из определения 2. В противном случае в выражении (32) для w(x,e) нужно добавить в квадратных скобках слагаемое еехр ( —) x{p)i и тогда при достаточно большом к\ функция и'-' будет удовлетворять условию 2°.

Как и в одномерном случае (см. [3]), нетрудно проверить, что при достаточно малых /3, 8, v и е функция и'-'(ж,t,e) удовлетворяет условиям 1° и 3° из определения 2.

Таким образом, функции (ж,t,e) и и'-' (ж, t, е), определенные формулами (29) и (31), при достаточно малых /3, 8, v и е являются верхним и нижним барьерами для задачи (5), (2), (6). Отсюда следует, что существует решение u(x,t,e) этой задачи и выполняются неравенства (28). Так как E(t,e) —т- 0 при t —т- +00, то (ж,t,e) —> us(х,е) и ,t,e) —> us(х,е) при t —> +00. Поэтому в

силу (28) выполняется предельное равенство (7). Теорема 3 доказана.

Замечание. Теоремы об асимптотической устойчивости и области притяжения стационарного решения, аналогичные теоремам 2 и 3, имеют место и в том случае, когда функция / в уравнении (1) регулярно зависит от е: f(u,x,e) = f(u,ж,0) + e/i (и, ж, г), причем функция f(u, ж,0) удовлетворяет условиям (А1)-(АЗ), a fi(ii(x),x,0) < 0 при ж £ С (это неравенство имеет принципиальное значение, см. [2]). В этом случае характерный для многих величин в рассмотренной задаче порядок О (г2/3) заменяется на 0(е1!2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры // Матем. сб. 1952. 31(73). № 3. С. 575-586.

2. Бутузов В.Ф., Нефедов H.H., Шнайдер K.P. Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. 2002. 109. Тематические обзоры. Дифференциальные уравнения. Сингулярные возмущения. С. 5242.

3. Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // ЖВМиМФ. 2006. 46. № 3. С. 433-444.

4. Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. Plenum Press. New York; London. 1992.

Поступила в редакцию 06.03.06