Об определении коэффициента запаса по усталостной прочности при регулярном нагружении

УДК 539.43

Об определении коэффициента запаса по усталостной прочности при регулярном нагружении

А.А. Ширшов

Расчеты на выносливость определяют срок службы машин, конструкций и их элементов. Традиционные методы основаны на использовании элементарных формул и различных экспериментально полученных коэффициентов. В работе предложен способ расчета на выносливость по значениям вычисленных напряжений в зоне концентратора, полученный преобразованием классических формул. Показано, что при расчетах на выносливость в случае неодноосного напряженного состояния нецелесообразно приводить напряжения цикла к эквивалентному напряжению и по нему определять амплитудное и среднее эквивалентные напряжения. Необходимо сначала определить амплитудные и средние напряжения, а затем по ним вычислять значения эквивалентного амплитудного и эквивалентного среднего напряжений. На примере доказана эффективность применения этого способа. Предложенный способ расчета на выносливость может быть использован при расчетах на выносливость, как для одноосного, так и для многоосного напряженного состояния.

Ключевые слова: выносливость, одноосное и многоосное напряженное состояние.

ШИРШОВ Анатолий Артемович

SHIRSHOV Anatoliy Artemovich

Determining the safety factor

for fatigue strength under regular loading

A.A. Shirshov

A method for calculating endurance in terms of stresses in concentration areas is presented. The method is based on the transformation ofclassical formulas. It is shown that the endurance in the case of a non-uniaxial stress state is not practical to determine in terms of cycle stresses reduced to an equivalent stress that can be used to calculate the amplitude and average equivalent stresses. It is suggested that the amplitude and average stresses should be determined first in order to calculate the values ofequivalent amplitude and average stresses afterwards. The efficiency of the method is proved by an example. The method can be usedfor calculating the endurance both in the case of uniaxial and multiaxial stress states.

Keywords: endurance, uniaxial and multiaxial stress state.

'Традиционные методы расчета на выносливость основаны на использовании так называемых номинальных напряжений, определяемых по элементарным формулам, в которых не учитываются возмущения, вызываемые местными изменениями геометрии детали, приводящими к концентрации напряжений. Современные вычислительные методы позволяют получить с достаточной степенью точно-

Известия высших учебных ©аведений

сти распределение напряжении практически в любой детали, в том числе и в очаге концентрации; такие напряжения назовем истинными напряжениями а ^.

При расчетах на выносливость по коэффициенту запаса прочности при одноосном напряженном состоянии (растяжение, изгиб) коэффициент запаса по напряжениям п а определяют по формуле [1]

а

-1

а

а ном а д

Ка д + ¥аа

а т ном

где а а ном, а т ном — номинальные амплитудное и среднее напряжения цикла; а-1 — предел выносливости материала; Ка д — эффективный коэффициент концентрации детали,

Ка д =

К.+1 - в

\£а

1

в /ву

1

Ка — эффективный коэффициент концентрации полированного образца с концентратором, определяемый экспериментально; ва — масштабный коэффициент; в — коэффициент качества поверхности; ву — коэффициент упрочнения поверхности; уа — коэффициент, учитывающий влияние асимметрии цикла, который может быть рассчитан по корреляционным формулам: ♦ для сталей

уа = 0,02 + 2-10—4а

ъ'

♦ для легких сплавов

уа = 0,48 - 5,5-10—4аъ.

При отсутствии экспериментальных данных для определения Ка согласно ГОСТ 25.504—82 рекомендуется использовать приближенное соотношение

Ка = «а /n-1,

где аа — теоретический коэффициент концентрации, определяемый как отношение максимального напряжения а тах к номинальному аном; п—1 — коэффициент, характеризующий чувствительность материала к концентрации напряжений [1]

п_^=1+тШ/100'33+а т/710;

— относительный градиент напряжений в рассчитываемой точке.

Перейдем в формуле (1) к максимальному и минимальному истинным напряжениям цикла, используя характеристику цикла Я и равенства (2), (3):

1-Я

а

а тах ном X

X

а

1

+ *- в

УП-1£а в

1 1 + Я

— + -

/в,

2

"¥аа

а тах ном

Заменив максимальное номинальное напряжение максимальным напряжением в очаге

а

-1

ат

1-Я

X

X

+

\П-1£а

1

а

1 1+ Я

-+

а /У у

ву 2а а

Эта формула применима для одноосного напряженного состояния. Запишем ее в более общем виде, применимом и для многоосного напряженного состояния:

а-1

п а = ат*?

где

к =1-Я X

2

X

+

п-1£а

1 1 1

1 - вк

1 1+ Я в:+

Входящие в формулу (4) коэффициенты Я и п-1 рассчитывают, а еа, в, в уа берут из справочников. Для определения аа при отсутствии справочных данных можно воспользоваться элементарными формулами (если это позволяют форма детали и условия нагружения) или вычислить в процессе расчета среднее напряжение в анализируемом сечении. В точках, где аа <1, следует принимать аа =1.

При расчете сложной детали одноосное напряженное состояние имеет место на кромках, где а еч = а тах. В очаге концентрации на поверхности напряженное состояние — двухосное, а в теле детали — трехосное.

п

а

2

п

а

концентрации а тах = а а а тах ном , получим

п

а

2

1

1

МАШИНОСТРОЕНИ

До настоящего времени отсутствует единый критерий для расчетов на усталость при неоодноосном напряженном состоянии, хотя проводятся многочисленные исследования в этом направлении. При обработке экспериментов одни авторы используют энергетический критерий [2—4], другие — критерий, сформулированный на основе инвариантов напряженного состояния [5, 6]. При расчете валов, нагруженных изгибающим и крутящим моментами, используют условие Гафа — Полларда или его модификации, например [7]. В справочнике [1] для валов рекомендуется определять коэффициент запаса по усталостной прочности п по формуле

п =

4

п ' + п 2

где па и пт — коэффициенты запаса по усталостной прочности при одноосном напряженном состоянии и чистом сдвиге соответственно, определяемые по формуле (1). Переходя к эквивалентному напряжению, получаем

а

ед ном

+ k Т

2_2 а ном

где k = а_1д /т_1д; для стандартных образцов k = а _1 / т_1.

В общем случае напряженного состояния для определения эквивалентного напряжения а ед будем использовать классические «теории прочности»: гипотезу максимальных нормальных напряжений, гипотезу максимальных касательных напряжений, энергетическую гипотезу. После расчетов будем использовать меньшее значение коэффициента запаса [8]. С целью учета различия в пределах выносливости при растяжении и кручении представим условие (5) в виде, аналогичном критерию Мора:

а

ед

= а1 _ (к _ 1)а 3.

Здесь ах — наибольшее, а а3 — наименьшее в алгебраическом смысле главные напряжения.

Непосредственное применение классических гипотез при некоторых соотношениях между напряжениями цикла может привести к парадоксальным результатам. Действительно, по определению а ед — это напряжение одноос-

ного растяжения, равноопасное неоодноосному, т. е. оно всегда положительно, а в переделах цикла главные напряжения могут иметь разный знак.

Покажем это на примере возможных вариантов изменения главных напряжений ах и ау в пределах одного цикла (рис. 1) при плоском напряженном состоянии (аz = 0). В первом варианте (рис. 1, а) всегда аx > аy (т. е. ах = а.,, а2 = ау, а3 = 0) и по условию (6) а ед = ах. Во втором варианте (рис. 1, б) соотношение между ах и ау меняется, но а3 = 0 и по условию (6) а ед =

= тах(ах, ау). В третьем варианте (рис. 1, в) ах меняет знак, а ау отрицательно и всегда а3 = ау. Кривая изменения а ед, определяемого по условию (6), показана сплошной линией. Для всех вариантов штриховой линией показано изменение эквивалентного напряжения, рассчитанного по критерию Мизеса. Сравнение характера изменения напряжений ах и ау с эквивалентным напряжением показывает, что переход к а ед обусловливает изменение характеристики цикла, значительно уменьшая амплитудные напряжения, что, в свою очередь, приводит к завышенным значения коэффициента запаса.

Рис. 1. Варианты изменений главных напряжений ах и ау в пределах одного цикла:

а — а1 = ах, а2 = ау, а3 = 0; б — а3 = 0; в — а3 = ау,

а1 = ах или а1 = 0;----аед по критерию Мизеса;

— — аед по условию

Таким образом, приведение напряжений в цикле к аед нецелесообразно. Более целесообразно, по мнению автора, вычислять амплитудное а ед а и среднее а ед т эквивалентные напряжения, а уже по ним а ед тах и Я. Такой подход не является новым (например [3]).

Чтобы при вычислении Я по значениям а ед а для циклов с изменяющими знак глав-

и а е

ными напряжениями сохранить знак Я формулу (6) представим в следующем виде:

п а п т

3 a'

CT eq a = CT 1 a " (k " 1 К . CTeq m = [ct 1 m " (k " 0CT 3m ]Sign(ai + CT 3 m ).

Возможен другой вариант вычисления ст ед а и

CTeq m (по аналогии с энергетическим напряже-

нием):

2 CT2

CT eq a = VCT 2a ~ (k " 1)ст 1 aCT 3 a + (k " 1

VCT 2m -(k -1)ст 1 m CT 3 m + (k " 1) 2 CT Xsign(CT 1 m + CT 3 m )-

CT eq m V CT1 m

3a 22

3m

X

Следует также вычислять коэффициент запаса по всем главным напряжениям и затем из полученных значений выбирать минимальное.

При наличии остаточных напряжений, являющихся следствием каких-либо технологических операций, необходимо проверять не только зону концентратора, но и весь объем детали.

Определение коэффициента запаса по усталостной прочности рассмотрим на примере циклического растяжения (сттах = 50 МПа, стт1п = 5 МПа) образца толщиной 10 мм с отверстием диаметра 8 мм. Материал образца алюминиевый сплав Д16Т (ств = 460 МПа, стт = = 232, ст—1 = 115 МПа на базе 107 циклов). Окрестность отверстия предварительно была обжата с двух сторон плоским штампом. Эпюры окружных ст х и радиальных ст г напряжений на поверхности образца в ослабленном сечении, построенные по расчетным значениям напряжений в 10 равномерно отстоящих узлах с шагом 0,167 мм, показаны на рис. 2 [9]. Значения напряжений приведены в таблице. Там же для сравнения даны эквивалентные напряжения, рассчитанные по формулам (7) и (8).

Некоторые из коэффициентов, входящих в формулу (4), одинаковы во всех узловых точках и для рассматриваемого образца согласно ГОСТ 25.504-82 равны: гст =0,98; в=0,9; ву = 1; уст =0,24. Коэффициенты R и п— были определены по результатам расчета. Значение аст было рассчитано для каждого узла как отношение осевого напряжения в ослабленном сечении при растяжении пластины с отверстием к номинальному напряжению в брутто сечении.

Коэффициент запаса по усталостной прочности п вычисляли по критериям Хубера —

100

-100

Лх

/ ^ I I^K

IN

/ /

1,25

1,5

Рис. 2. Эпюры окружных ст, (—) и радиальных стГ (---) напряжений при циклическом нагружении:

—,----максимальная нагрузка;

—,----минимальная нагрузка

Мизеса, Треска — Сен-Венана и отдельно по нормальным напряжениям ст, и ст г, а коэффициент запаса по текучести пт — по условию Хубера — Мизеса. Значения коэффициентов запаса приведены в таблице. Как видно на рис. 2 радиальные напряжения при циклическом нагружении изменяются незначительно и в приводимом примере менее опасны чем окружные напряжения. Поэтому значения п, рассчитанные по ст г в таблице не приведены. В том случае, если выполнялось условие ят< п, то использовали меньшее значение; в таблице эти значения отмечены звездочкой.

Значения напряжений ст, и ст г при циклическом нагружении и коэффициентов запаса

Напряжение, МПа Номер узла

1 2 3 4 5 6 7

CT t max 12 18 10 -23 136 100 88

CT t min -116 -92 -85 -107 60 27 23

CT r max 0 18,5 65 87 125 60 28

CT г min 0 9,5 42 71 107 42 12

n (ПО CTt) 2,2 2,2 2,7* 2,2* 1,6* 2,3* 2,6*

CT eqmax Формула (7) 12 4 139 186 154 100 88

CT eqmin -116 -106 44 -102 78 27 23

n 2,9 4,9 1,7* 1,25* 1,5* 2,3* 2,6

CT eq max Формула (8) 12 7,25 122 164 143 91 78

CT eq min -116 -98,5 36 86 74 25 19

n 2,8 3,7 1,9* 1,4* 1,6* 2,5* 2,9

Наименьшее значение параметра.

*

Сравнение коэффициентов запаса показывает, что однозначного ответа на вопрос, какой критерий предпочтительнее, нет. Поэтому, на наш взгляд, необходимо использовать все критерии. Предлагаемые формулы (6—8) могут быть использованы для вычисления коэффициента запаса при асинхронном и несинфазном изменении напряжений [1].

Выводы

1. Предложен способ расчета на выносливость по значениям напряжений, вычисленных в зоне концентратора, полученный преобразованием классических формул.

2. Показано, что при расчетах на выносливость в случае неодноосного напряженного состояния нецелесообразно приводить напряжения цикла к эквивалентному напряжению и по нему определять амплитудное и среднее эквивалентные напряжения. Необходимо сначала определить амплитудные и средние напряжения, а затем по ним вычислять значения эквивалентного амплитудного и эквивалентного среднего напряжений.

Литература

1. Кагаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П.Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. Справочник. М.: Машиностроение, 1985. 224 с.

2. Воробьев А.З., Олькин Б.И., Стебенев В.Н. Сопротивление усталости элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1990. 239 с.

3. Atzori B., Berto F., Lazzarin P., Quaresimin M. Multiaxial fatigue behaviour of a severely notched carbon steel // International Journal of Fatigue, 2006. Vol. 28. P. 485—493.

4. Shang De-Guang, Sun Guo-Qin, Deng Jing, Yan Chu-Liang, Multiaxial fatigue damage parameter and life prediction for medium-carbon steel based on the critical plane approach // International Journal of Fatigue, 2007. Vol. 29. P. 2200—2207.

5. Brighenti Roberto, Carpinteri Andrea, A notch multiaxial-fatigue approach based on damage mechanics // International Journal of Fatigue. 2012. Vol. 39. Р. 122—133.

6. Vu Q.H., Halm D, Nadot Y. Multiaxial fatigue criterion for complex loading based on stress invariants // International Journal of Fatigue. 2010. Vol. 32. Issue 7. Р. 1004—1014.

7. Zenner H., Heidenreich R. Fatigue behaviour under multiaxial stress // Review of vestgations on Aeronautical Fatigue in the Federal Republic of Germany / Ed. by O. Buxbaum, D. Schutz. 1979. P 52—54.

8. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 624 с.

9. Чернятин А.С., Ширшов А.А. Повышение долговечности элементов конструкций посредством глубокого пластического деформирования // Известия высших учебных. Машиностроение. 2013. № 2. С. 36—41.

References

1. Kagaev V.P., Makhutov N.A., Gusenkov A.P. Raschety detalei mashin i konstruktsii na prochnost' i dolgovechnost' [Calculations of machine parts and structures for strength and durability]. Directory Moscow, Mashinostroeniepubl., 1985. 224 p.

2. Vorob'ev A.Z., Ol'kin B.I., Stebenev V.N. Soprotivlenie ustalosti elementov konstruktsii [Fatigue resistance of structural elements]. Moscow, Mashinostroenie publ., 1990. 239 p.

3. Atzori B., Berto F., Lazzarin P., Quaresimin M. Multiaxial fatigue behaviour of a severely notched carbon steel. International Journal of Fatigue, 2006, vol. 28, pp. 485—493.

4. De-Guang Shang, Guo-Qin Sun, Jing Deng, Chu-Liang Yan. Multiaxial fatigue damage parameter and life prediction for medium-carbon steel based on the critical plane approach. International Journal of Fatigue, 2007, vol. 29, pp. 2200—2207.

5. Brighenti Roberto, Carpinteri Andrea. A notch multiaxi-al-fatigue approach based on damage mechanics. International Journal of Fatigue, 2012, vol. 39, pp. 122—133.

6. Vu Q.H., Halm D., Nadot Y. Multiaxial fatigue criterion for complex loading based on stress invariants. International Journal of Fatigue, 2010, vol. 32, issue 7, pp. 1004—1014.

7. Zenner H., Heidenreich R. Fatigue behaviour under multiaxial stress. Review of vestgations on Aeronautical Fatigue in the Federal Republic of Germany. 1979, pp. 52—54.

8. Kollinz Dzh. Povrezhdenie materialov v konstruktsiiakh. Analiz, predskazanie, predotvrashchenie [Damage to materials in the construction. The analysis, prediction, prevention]. Moscow, Mir publ., 1984. 624 p.

9. Cherniatin A.S., Shirshov A.A. Povyshenie dolgovechnosti elementov konstruktsii posredstvom glubokogo plasticheskogo deformirovaniia [Improvement of Structural Elements Durability by Deep Plastic Deformation]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Mashinostroenie [Proceedings of Higher Educational Institutions. МаЛ^ Building]. 2013, no. 2, pp. 36—41.

Статья поступила в редакцию 26.04.2013

Информация об авторе

ШИРШОВ Анатолий Артемович (Москва) — кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная механика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: chirchvaa@mail.ru).

Information about the author

SHIRSHOV Anatoliy Artemovich (Moscow) — Cand. Sc. (Eng.), Associate Professor of «Applied Mechanics» Department. Bauman Moscow State Technical University (BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya str., 5, 105005, Moscow, Russian Federation, Russia, e-mail: chirchvaa@mail.ru).