Математическое моделирование процессов отражения и распространения электромагнитных волн в тонкой градиентной диэлектрической пластине

БростиловС.А., КучумовЕ.В.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОТРАЖЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ТОНКОЙ ГРАДИЕНТНОЙ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЕ

При финансовой поддержке в форме гранта Президента РФ молодым ученым

Как известно, полное внутреннее отражение (ПВО) при переходе света через границу из оптически более плотной в менее плотную среду является фундаментальным явлением волновой физики [1] и было описано ещё в начале XVII в. И. Кеплером.

Эффект ПВО был с успехом применён во многих прикладных областях оптики (рефрактометры, призмы и т.д.), однако, подробное теоретическое исследование на основе электромагнитной теории света было проведено лишь в начале прошлого века А.А. Эйхенвальдом[2].

Данное исследование показало, что электрическое и магнитное поля падающей волны не обрываются на границе двух сред, а проникают во вторую среду. По мере углубления во вторую среду они быстро убывают по экспоненциальному закону, но не вследствие поглощения света, т. к. обе среды являются вполне прозрачными, а из-за постепенного отражения во второй среде.

Таким образом, движение энергии на границе сред при ПВО происходит так, что в среднем поток энергии, проникающий из первой среды во вторую, равен обратном потоку, причём места входа и выхода прямого и обратного потоков несколько смещены друг относительно друга вдоль границы раздела. В результате имеется движение энергии вдоль границы раздела с выходом обратно в первую среду. Во второй среде сколько-нибудь заметное поле захватывает лишь тонкий слой с толщиной, сравнимой с длиной световой волны и зависящей от угла падения и показателя преломления.

Заход электромагнитной волны во вторую среду наблюдался экспериментально в опыте Шеффера-Гросса, Квинке, а так же в наиболее наглядном эксперименте с флуоресцентной жидкостью Л.И. Мандельштама и П. Селени[1].

Квинке осуществил опыт со световыми волнами и двумя стеклянными призмами, через воздушный зазор между которыми свет частично проникал из первой призмы во вторую и распространялся дальше в ней по обычным законам. Эффект проникновения света через непрозрачный барьер (воздушный зазор) позже был назван нарушением полного внутреннего отражения (НПВО).

Возникновение и развитие оптоволоконных средств передачи светового сигнала, а так же нелинейной оптики сделали явление ПВО ещё более мощным и гибким инструментом, и стимулировало более глубокое изучение распространения волн в сильно и слабо неоднородных средах, в частности, в средах с индуцированной неоднородностью [3].

С другой стороны, эквивалентность математических моделей НПВО и процесса туннелирования квантовой частицы через потенциальный барьер подняло множество фундаментальных вопросов [4], важных как с точки зрения теории, так и практики.

В сочетании с развитием нанотехнологии тонких градиентных плёнок [5] появилась возможность экспериментального исследования и практического применения градиентных диэлектрических плёнок [б].

В связи с этим становятся актуальными разработки новых приборов и датчиков с применением градиентных материалов, принцип действия которых основан на эффектах ПВО и НПВО.

Геометрические построения к решению поставленной задачи представлены на рисунке 1.

Рисунок 1

Для упрощения выкладок в данной работе будем рассматривать монохроматическую электромагнитную волну без учёта её поляризации с использованием вспомогательной функции Y [4] . Вопросы, связанные с поляризацией волны, будут разобраны ниже.

Вначале рассмотрим процесс распространения для преломлённой волны.

На границе средщ (стекло) и щ (воздух,вакуум) происходит отражение и преломление падающей плоской волны по классическим законам, описываемым формулами Снеллиуса

q = q, щ sin q = ^ sn q .

Угол q определяется условиями конструкции чувствительного элемента датчика, который требуется определить с помощью отдельного анализа и дополнительных расчётов. В этом случае преломлённая волна может быть описана плоской волной Y = ^2^'((k2yy+k2zZ -w* , чей фронт распространяется под углом 02 относительно нормали к поверхности раздела сред.

Если 0 = 0кр , где 0кр = arcsn(n/щ) , то 02 = р/2 и на границе сред происходит ПВО.Однако решение для вспомогательной функции преломлённой волны существует и имеет следующий вид [2-4]

-— +i

Y = Y0e Z0 ,

где Zo =m-X - характерный размер в несколько длин волн (чаще всего m = 1 или 2 ) .

В случае q > 0Kp решение для преломлённой волны отсутствует.

Стоит отметить, что при q  вКр решение для преломлённой волны в виде поверхностной волны всё-таки существует, но в этом случае z0 < Z0Kp , т.е. поле выходит во вторую среду на меньшее расстояние.

С другой стороны, при q <вКр преломлённая по классическим законам волна полностью попадает в градиентную диэлектрическую пластину, а при q = q - частично «заходит» в пластину при d  Zo .

Так как градиентная пластина представляет собой сильно оптически неоднородную среду, то возможно нарушение эвристического критерия применимости приближения геометрической оптики [7]

af

где

1 ,

максимальное сечение френелевского объёма,

коэффициент преломления среды,

V, =V - r(rV) - оператор дифференцирования в направлении, перпендикулярном лучу. В этом случае необ-

ходимо применение электромагнитной теории Максвелла, которая приводит к следующему волновому уравнению в декартовой систем

32Y 32Y n2(z) 32Y

= 0 ,

3y2 3z2 c2 3t2

и в общем случае

DY-ПМ = 0 .

c2 3t2

В силу геометрии задачи (так как n = n(z) ) и диэлектрических свойств градиентной пластины, будем искать решение (1) в виде

Y = Y

Подстановка (2) в (1) преобразует его к обыкновенному дифференциальному уравнению вида d2Y+ ( n2(z)W . 2 '

dz2

-ky I Y = 0 ,

V±n

n

a

n -

2

c

с краевыми условиями, определяемыми исходя из поляризации волны.

В общем случае уравнение (3) аналитически не разрешимо, однако для специального вида функций n(z) можно получить точные решения. Несколько таких случаев рассмотрено в [4]. Приближённое решение (3) в общем случае можно получить с помощью метода ВКБ [8].

Реально получаемые структуры в виде градиентных и наноградиентных плёнок, по терминологии [5], с профилями коэффициента преломления n(z) в виде :

а) плавной (линейной или степенной) функции;

б) кусочно-плавной функции (многослойные структуры);

в) волнистой функции (например, синусоида с постоянной или переменной амплитудой);

г) вогнутой функции (наноградиентная плёнка/покрытие).

Стоит отметить так же наличие многослойных структур с профилем в виде кусочно-постоянной функции (просветляющие покрытия), многомерных вариантов градиентных и наноградиентных структур, а так же покрытия на основе фотонных кристаллов и композитные фотонные метапокрытия, содержащие наноразмерные включения с индуцированной электромагнитной реакцией [5].

Эвристический критерий применимости приближения геометрической оптики может нарушатьсядля наноградиентных плёнок или покрытий на пластинах, т. к. в этом случае значительные изменения коэффициента преломления (диэлектрических свойств) происходят на масштабах меньше и даже много меньше длины волны падающего света [5]. Для градиентных пластин и покрытий в большинстве случаев применима геометрическая оптика, в частности, уравнение для эйконала [7].

В случае а) для линейной функции n(z) (3) является, после преобразования координат, уравнением

Шрёдингера для одномерного гармонического осциллятора, б) - уравнением Хилла (частный случай - уравнение Матьё). Данные уравнения встречаются во многих областях физики (оптика, квантовая механика, небесная механика и т. д.), а их решением являются специальные функции, табличные значения и свойства которых можно найти в обширной литературе. Случай г) подробно разобран в [4].

Векторные компоненты волнового поля для конкретного вида поляризации можно выразить с помощью

вспомогательной функции Y и уравнений Максвелла. Например, для TE -моды в волноводе компоненты будут выражаться в следующем виде

= 1 3Y , иу  _ 3Y Hz = 3Y

х = c 3t ' У 3z , = 3y ,

а для TM их = 13Y , - моды Ey = 3Y Ez = 3Y

х c 3t У 3z , = 3y .

TE -мода и TM - мода в данном

случае являются аналогом S — поляризованных и P — поляризованных волн в стандартной геометрии в плоскости падения света на границу двух диэлектриков.

Касательно отражённой волны можно сказать следующее: если падающий пучок света имеет линейную по-

ляризацию, а вектор напряжённости E составляет угол j с плоскостью падения, то энергетический коэффициент отражения будет [9]

R = r2 cos2( j) + rj sn2( j) ,

tg

tg

волне, а j = 0 - TM -волне. При ПВО rD2 = rj2 = 1 .

Представленная выше математическая модель при дальнейшем анализе позволяет эффективно спроектировать и смоделировать чувствительный элемент датчика механического перемещения (с доработкой модели -так же и деформаций).

Предварительные выводы можно сделать уже сейчас:

формулы Френеля.В частности, угол j = p 2 соответствует TE -

- значение угла 9, в зависимости от геометрии конструкция датчика позволит либо:

а) с минимальными потерями провести свет к пластине;

б) получить ПВО на границе П,/П2 , что создаст поверхностную волну, часть поля которого будет заходить в пластину;

- структура градиентной пластины или пластины с наноградиентным покрытиемn(z) позволит, в зависимости от выбора угла 9, , либо:

а) максимально отражать падающий на неё свет;

б) минимально отражать свет;

в) промежуточный вариант, например, отражение с геометрическим смещением луча по оси Oy в зависимости от расстояния d .

Более подробный анализ получившейся модели даст конкретные схемы конструкции датчика оптимальные с точки зрения инженерного приложения.

ЛИТЕРАТУРА

1 Ландсберг, Г.С. Оптика. Учеб. пособие: Для вузов. - 6-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ,

2003. - 848 с.

2 Эйхенвальд, А.А. Избранные работы / Под ред. А.Б. Млодзеевского. - М.: Гос.изд.технико-

теорет.литературы, 1956. - 267c.

3 Сухоруков, А. П. Полное отражение оптических волн в средах с индуцированной неоднородностью

// Уч. зап. каз. гос. ун-та. - 2009. - Т. 151, кн. 1. - С. 189-196.

4 Шварцбург, А.Б. Туннелирование электромагнитных волн - парадоксы и перспективы // Усп. физ. наук. - 2007. - Т. 177. - С. 43-58.

5 Вольпян, О. Д. Применение импульсного магнетронного распыления для получения оптических метапокрытий с продольным наноградиентом показателя преломления / О.Д. Вольпян, А.И. Кузьмичёв // «Электроника и связь», тематич. выпуск «Электроника и нанотехнологии». - 2007. - №2 (55) - С. 28-33.

6 Шварцбург, А. Б. Нанооптика градиентных диэлектрических плёнок / А. Б. Шварцбург, М.Б. Агра-

нат, О.В. Чефонов // «Квантовая электроника» - 2009. - Т. 39. - №10. - С. 948-952.

7 Кравцов, Ю.А. Геометрическая оптика неоднородных сред / Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. - М.: Нау-

ка, 1980. - 304 с.

8 Маслов, В.П. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики / В.П. Маслов , М . В . Федорюк . - М.: Наука, 1976. - 296 с.

9 Ахманов, С.А. Физическая оптика: Учебник. 2-е изд. / С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин. - М.: Изд-

во МГУ; Наука, 2004. - 656 с.