Двумерная математическая модель промерзания засоленного влажного грунта

УДК 519.63 В. В. Попов

ДВУМЕРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОМЕРЗАНИЯ ЗАСОЛЕННОГО ВЛАЖНОГО ГРУНТА

Проведено исследование двумерной математической модели промерзания грунта, содержащего соленую воду. Граница раздела талой и двухфазной области определяется заданием температуры фазового перехода, определение температуры в статье не рассматривается. Приводится зависимость решения задачи от этой температуры. Мерзлая область, строго говоря, отсутствует. Но, как показывают расчеты, вблизи дневной поверхности (зимой) влажность практически можно считать равной нулю.

Решение задачи сводится к решению системы уравнений, которое состоит из трех уравнений с разрывными коэффициентами: уравнение диффузии, уравнение теплопроводности и уравнение термодинамического равновесия фаз. Для численной реализации системы алгебраических уравнений применяется итерационный метод сопряженных градиентов. Линеаризация проводится методом простых итераций. В области фазовых переходов распределение влажности вычисляется из уравнения диффузии, а концентрация вычисляется из уравнения термодинамического равновесия.

Вычислительные расчеты показали эффективность примененного метода, что обосновано быстрой сходимостью итерационного процесса и возможностью распараллеливания разработанного алгоритма.

Приведены сравнения результатов разностных аппроксимаций уравнения диффузии в дивергентном и недивергентном представлении. Оказалось, что обе аппроксимации дают практически одинаковые результаты.

Ключевые слова: фазовый переход, диффузия, теплопроводность, теплоемкость, температура, концентрация, влажность, водонасыщенность, теплота, пористость, аппроксимация, дивергентный, недивергентный, засоленный, грунт.

V. V. Popov

Two-Dimensional Mathematical Model of Frost of Saline Wet Soil

The research of two-dimensional mathematical model of soil freezing containing salt water is conducted. The interface and the melt-phase area are defined by specifying the phase transition temperature. The determination of the temperature in this article is not considered. The dependence of the solution of the problem of the temperature is given. The icy area, strictly speaking, is absent. However, calculations show that near the surface (in winter) the humidity is almost zero.

Solution of the problem is narrowed down to solving a system of equations of the three equations with discontinuous coefficients - diffusion equation, heat equation and the equation of thermodynamic equilibrium phases. For the numerical implementation of the system of algebraic equations iterative conjugate gradients method is applied. Linearization is conducted by the method of simple iterations. In the region of phase transitions moisture distribution is calculated from the diffusion equation, and the concentration is calculated from the equation of thermodynamic equilibrium.

Numerical calculations have shown the effectiveness of the method used, which is justified by the rapid convergence of the iterative process and the possibility of parallelization of the developed algorithm.

Comparisons of the results of difference approximations of the diffusion equation in divergent and non divergent view are represented. It was found that both approximations give almost identical results.

Key words: phase transition, diffusion, thermal conductivity, specific heat, temperature, concentration, humidity, water saturation, warmth, porosity, approximation, divergent, non divergent, saline, soil.

ПОПОВ Василий Васильевич - к. ф.-м. н., доцент-исследователь кафедры вычислительных технологий ИМИ СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: imi.pm.pvv@mail.ru

POPOV Vasily Vasilievich - Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Computing Research, the Institute of Mathematics and Informatics, the North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov.

E-mail: imi.pm.pvv@mail.ru

Введение

Для описания процессов промерзания и протаивания разработано множество математических моделей. В работах [1-2] предложены математические модели с фазовым переходом в протяженной области. Получены автомодельные решения. Численные решения этих моделей получены в работах [3-4]. В этих моделях характерным является выделение границы фазового перехода в виде уравнения, связывающего скорость движения границы с разностью потоков. Математи-

ческие модели без явного описания границ области фазовых переходов разработаны в [5-6]. Многомерные математические модели с фазовым переходом в протяженной области еще недостаточно изучены и численно не реализованы с применением современных вычислительных методов и многопроцессорных систем.

Постановка задачи

Распределение температуры описывается уравнением теплопроводности [1-6]:

с ддГ=А

д1 дх

АдТ

дх

д ду

ду,

-тР-л*

ду ~дг'

дус _ ^дс дt дх

дс дх

ду

V-

дс ду

, Т<Т{, >

с = -Т / а, Г<Г/, t>0,

где полагаем

Т =-с0а-е.

на нижней границе:

Т = Т0,0 <х<11,у = 12;

на боковых границах области:

О гт1

-=0, х=0,х = 11, 0 < у < 12.

дх

0<х<11, 0<у < 12, г>0.

В области фазового перехода распределение концентрации соли описывается дивергентным уравнением диффузии [1-6]:

и выполняется уравнение термодинамического равновесия [1-6]

где Т , Тд , Та - соответственно температура под зданием, на поверхности контакта с атмосферой, температура воздуха, 1р - длина здания.

Граничные условия для концентрации не требуются, т. к. из уравнения диффузии будем определять распределение влажности.

Численная реализация

Сначала приведем уравнения в виде, удобном для проведения численных рассчетов. В уравнении (1) исключим производную по времени от водонасыщенности, используя для этого уравнение диффузии (2):

С + тр^к —

дt дх

дх

+-

д ду

ду

б д

Т ду

Б _д_ Т дх

дт

ду

дТ)

дх

+

Дивергентный алгоритм

Уравнение диффузии (2) аппроксимируем в зависимости от направления потока:

Теплоемкость и коэффициент теплопроводности влажных пористых сред могут быть определены по формулам [1-6]:

с = (1- т)схр +тС,р(у° -У)рк / р+ тС^У,

Угсг —УиСг

—^-- = а1 + Ы + а] + Ы].

Здесь

если с+ц — С<0,

Х = (1 — т)\ + тХ1(у° —V)рк / р1+тХму,

где нижние индексы s, I, w относятся соответственно к скелету, льду и воде, а верхний индекс 0 - начальному, т - пористости, у - водонасыщенности. Начальные условия:

Т(х,у,0) = Т0, с(х,у,0) = с0,0< х < 1,0 < у < 12.

Граничные условия для температуры на верхней границе области:

Т = Тр,11 /2- /р/2 <х<11 /2+11/ /2,у = 0, Т = Т0,О<х<11/2/=0 2,р / 2 + /р/ 2<х<11,у = 0,

(//

0 2 х < /1 / 2- /р / 2,/1 / 2+/р / 2 2 х 2 /1 ,у = 0; 20 -

1о>< — 2 + ч ' 0р ' , ч ' > ' — Л — ч или д/

АТТ 2 а(Т-2 -

ду

тV с.+1\ с}

а1 = Бу.. ——-

} ^

с , • — с.. 1—1] 1}

в противном случае ai = ^

См1 С Ы = Г>у С,—и + и2 Щ к2

если

-у+1

7 4 к, 7 4—1 к, в противном случае

п ри

Т^ТТ-иТ-!'^! < -а- с°.

т

1

2

Недивергентный алгоритм

Уравнение диффузии (2) перепишем в недивергентном виде:

дvc ^дv дс ^ д2с ^дv дс ^ д2с

-= D--+ Бу—- + D--+ —т.

дt дх дх дх ду ду ду

Полученное уравнение аппроксимируем с учетом направления потока:

V.. С.. — V С,

J ij _

если

= ai + Dv,,

c^,. — 2c.. +c.

i+1j

ij i—1j

+aj + Dvii

j — 2cj+cj—1

h22

ai ^DV-VjC+j — c

h h

C+ii — c >0,

ai = D

+ -y

h h

при

Tмi,Tii, Ti—ij, Ti-1 ,Tii+i<Tf.

Численная реализация алгоритма основана на методе сопряженных градиентов [7]. Алгоритм распараллелен с помощью системы передачи данных MPI [8].

Результаты вычислений

Расчеты проведены при следующих значениях параметров:

Csps =1.86e6; Clp =1.80e6; Cwpw=4.19e6;

1=2.09; 1, =2.23; 1w=0.58;

pw=1000; p =910; a=66.7; =3.34e4; m=0.2—0.35; D=1.45e — 9;

c =0.003, v0 =0.9; lp =2, T0 = 4; Tp =4.

Ta = (T0 - 25) sin(p +1

2p

2 86400•210

) - 25

Cj+i — cii<°>

aj = D

aj = D

-ij+i

V- —V. , — C-

j y—1 V+l j 1

h2 h2

Cij+1 — Cij >0, j —v, j — ctj

На рис. 1 приведены результаты расчетов при е = 0, 0.1 и 0.2.

(20) На рис. 2 приведены сравнения одномерной задачи с двухмерной задачей при одинаковых условиях. На рис. 3 приведено сравнение распределений водонасыщенности по глубине вблизи границы х = 0 на разных сетках п = 200; п=400; п=800 . На рис. 4 приведены

(21) распределения водонасыщенности по глубине около границы х = 0 через 105 суток при т = 0.2; 0.4; 1 . На рис. 5-6 приведены распределения водонасыщен-ности и температуры через 105.

Рис. 1. Распределение концентрации при различных значениях e

Рис. 2. Распределение водонасыщенности одномерной и двумерной задачи

2

h

h

h

2

2

Рис. 3. Распределение водонасыщенности Рис. 4. Распределение водонасыщенности через 105 суток

через 105 суток на разных сетках при пористости 0.2, 0.4, 1

Рис. 5. Распределение водонасыщенности через 105 суток Рис. 6. Распределение температуры Т0 = -22

через 105 суток

Заключение

1. Вычислительные расчеты показали эффекивность алгоритма.

2. Аппроксимация уравнения диффузии в дивергентном в недивергентном виде приводят к одинаковым результатам.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИрвостока - региональный конкурс «ДАЛЬНИЙ ВОСТОК» № «12-01-98514».

Л и т е р а т у р а

1. Ентов В. М., Максимов А. М., Цыпкин Г. Г. Образование двухфазной зоны при промерзании пористой среды. - М.: Препринт / ИПМех. АН СССР; № 269.

- 1986. - 55 с.

2. Максимов А. М., Цыпкин Г. Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии талых и мерзлых пород с раствором соли. - М.: Препринт / ИПМех. АН СССР; № 305. - 1987. - 61 с.

3. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Математическая модель замерзания-таяния засоленного мерзлого грунта // Прикладная механика и техническая физика. - 1995. - Т. 36. - № 5. - С. 57-66.

4. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. - М.: Наука, 1996.

5. Васильев В. И., Попов В. В. Численное решение задачи промерзания грунта // Матем. моделирование. - 2008.

- Т. 20. - № 7. - С. 119-12.

6. Васильев В. И., Попов В. В. Численная реализация математической модели взаимодействия талого грунта с холодным раствором соли // Математические заметки ЯГУ.

- 2010. - Т. 17. - вып. 2. - С. 132-139.

7. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 562 с.

8. Корнеев В. Д. Параллельное программирование в MPI. - Новосибирск.: ИВМ и МГ СО РАН, 2002. - 210 с.

R e f e r e n c e s

1. Entov V. M., Maksimov A. M., Cypkin G. G. Obrazovanie dvuhfaznoj zony pri promerzanii poristoj sredy. - M.: Preprint / IPMeh. AN SSSR; № 269. - 1986. - 55 s.

2. Maksimov A. M., Cypkin G. G., Obrazovanie dvuhfaznoj zony pri vzaimodejstvii talyh i merzlyh porod s rastvorom soli. - M.: Preprint / IPMeh. AN SSSR; № 305. - 1987. - 61 s.

3. Vasil'ev V. I., Maksimov A. M., Petrov E. E., Cypkin G. G. Matematicheskaja model' zamerzanija-tajanija zasolennogo merzlogo grunta // Prikladnaja mehanika i tehnicheskaja fizika. - 1995. - T. 36. - № 5. - S. 57-66.

4. Vasil'ev V. I., Maksimov A. M., Petrov E. E., Cypkin G. G. Teplomassoperenos v promerzajushhih i protaivajushhih gruntah. - M.: Nauka. 1996.

5. Vasil'ev V. I., Popov V. V., Chislennoe reshenie zadachi promerzanija grunta // Matem. modelirovanie. - 2008. - T. 20. -№ 7. - S. 119-12.

6. Vasil'ev V. I., Popov V. V. Chislennaja realizacija matematicheskoj modeli vzaimodejstvija talogo grunta s holodnym rastvorom soli // Matematicheskie zametki JaGU. -2010. - T. 17. - vyp. 2. - S. 132-139.

7. Samarskij A. A., Nikolaev E. S. Metody reshenija setochnyh uravnenij. - M.: Nauka, 1978. - 562 s.

8. Korneev V. D. Parallel'noe programmirovanie v MPI. -Novosibirsk.: IVM i MG SO RAN, 2002. - 210 s.