Робастная система слежения с компенсацией возмущений и помех

УДК 681.5 ББК 32.965.9

А. М. Цыкунов

РОБАСТНАЯ СИСТЕМА СЛЕЖЕНИЯ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ И ПОМЕХ

A. M. Tsykunov

ROBUST TRACKING SYSTEM WITH COMPENSATION OF PERTURBATIONS AND NOISES

Решается задача слежения с компенсацией возмущений и помех для объекта, когда весь вектор состояния измеряется с помехами, а параметры математической модели известны. Источником помех и возмущений является один и тот же векторный сигнал. Получен алгоритм управления, позволяющий компенсировать внешние ограниченные возмущения и помехи. Приводится числовой пример и результаты моделирования.

Ключевые слова: робастное управление, вектор состояния, возмущения, помехи.

The problem of tracking of an object compensating perturbations and noises, when the whole vector of state is measured with noises, is solved, and parameters of mathematical model are known. The source of noises and perturbations is one and the same vector signal. The algorithm of the control allowing compensation of the external limited perturbations and noises is received. A numerical example and the results of modeling are given.

Kew words: robust control, state vector, perturbations, noises.

Введение

Одной из основных проблем теории автоматического управления динамическими объектами является проектирование алгоритмического обеспечения регулирующих устройств в условиях априорной неопределенности параметров математических моделей объектов и при наличии внешних неизмеряемых возмущений и помех. В таких условиях проектируемая система управления должна обеспечивать выполнение основной цели управления, например слежение за эталонным сигналом с требуемой точностью, что возможно осуществить, если скомпенсировать параметрические и внешние возмущения.

Впервые на возможность создания систем управления, нечувствительных к внешним воздействиям, было указано в [1]. Впоследствии такие системы были названы инвариантными [2-4]. По этой проблеме имеется большое число публикаций. Достаточно подробно эта проблема изложена в [5], где приводится классификация задач проектирования инвариантных систем управления и различных типов возмущений.

Бурное развитие теории робастных систем управления началось с публикации [6], в которой были доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости интервальных полиномов. Разработаны различные подходы и методы построения робастных систем управления и исследования их устойчивости [7-9]. Это минимаксные методы [10, 11]. В [5] с помощью алгебраических методов получены условия разрешимости задачи построения инвариантных систем с помощью обратной связи.

Синтез робастных систем с помощью матричных неравенств изложен в [12]. Применение адаптивных систем вместе с внутренней моделью возмущений рассмотрено в [13, 14]. В [15, 16] используются специальные фильтры, применение которых позволяет скомпенсировать возмущения, а также путем идентификации параметров гармонического сигнала получить его оценку для формирования компенсирующего управления. В [17] излагается подход к синтезу статических робастных регуляторов для линейных систем на основе решения линейно-квадратичной задачи, основанной на параметризации уравнения Лурье - Риккати.

Применение метода инвариантных эллипсоидов для подавления возмущений рассмотрено в [18]. Особенно следует отметить различные подходы, базирующиеся на методе «2-Риккати подход». Данный метод, предложенный в [19], является способом решения задачи оптимального управления в норме Нш. При этом постановка задачи осуществляется в частотной области,

а решение ищется в пространстве состояний путем решения двух уравнений Риккати. В этом же направлении выполнены исследования в [20, 21]. В [22, 23] для компенсации возмущений выделяется сигнал, несущий информацию обо всех возмущениях. Этот сигнал служит для получения их оценки, на базе которых формируется управляющее воздействие.

В предлагаемой статье приведен принцип построения робастной системы слежения с измеряемым вектором состояния, все компоненты которого подвержены действию помех. Источником возмущений и помех является один и тот же векторный сигнал. При этом предполагается, что параметры математической модели объекта управления известны. Предлагаемый подход позволяет получить оценку значения помех, в результате чего появляется возможность спроектировать систему управления, в которой осуществляется компенсация помех и подавление внешних ограниченных возмущений. Естественно, что на математическую модель объекта управления накладываются определенные ограничения, которые будут приведены в следующем разделе.

Постановка задачи

Пусть математическая модель динамических процессов в объекте управления имеет вид

х^) = Лх^) + Ви

где х^) е Rn - вектор состояния; ) е Rn - вектор измерения; и(^) е R - управляющее воздействие; у^) е R - регулируемая переменная; ф) е Rn - вектор помех и возмущений; Л, В, D, С -

числовые матрицы соответствующего порядка. Сформулируем хорошо известную задачу слежения.

Требуется спроектировать алгоритмическое обеспечение системы управления для слежения за эталонным сигналом ут ^) таким образом, чтобы выполнялось целевое условие

где величина 5 характеризует точность слежения по истечении времени Т0 с момента начала работы системы.

Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1. Известны значения элементов матриц Л, В, D, С.

2. Объект является управляемым и наблюдаемым.

3. Полином kR(k) = С (А! - Л) 1 В - гурвицев, т. е. объект является минимально-фазовым,

где X - комплексная переменная в преобразовании Лапласа; I - единичная матрица; k - высокочастотный коэффициент усиления.

4. Источник помех возмущений !ф) является ограниченной векторной функцией времени.

5. Матрицы Л, Л - D - гурвицевы.

Оценка вектора помех

Для решения сформулированной задачи будем пользоваться методом, предложенным в [22]. Возьмем вспомогательный контур, математической моделью которого является уравнение

Хь ^) = Лхь ^) + Ви

и составим уравнение для вектора рассогласования д(0 = г(0 -хь(0 = х() -хь(0 + £,(0, вычитая (3) из (1):

ф) = Лф)-(Л -D)ф) + ф).

Если бы производная ф) измерялась, то оценку вектора ф) можно было бы получить, решая уравнение

ф) = (Л - D) ф) + ф) - Лф).

Поэтому необходимо получить оценку вектора ф), для чего воспользуемся устройством, динамические процессы в котором описываются уравнением

<К0 = -0#) - ф)),

Ц

где ц> 0 - достаточно малое число. Покажем, что существует число ц> 0, обеспечивающее требуемую точность оценки вектора ф). Введем вектор пО) = ~Ф) - Ф), тогда из (4) получим следующее уравнение:

П ^),

Ц

из которого следует, что выбором числа ц > 0 можно обеспечить сколь угодно малое значение |П )|, т. к. по предположениям 4 и 5 величина ф) ограничена.

Тогда оценку вектора помех получим из уравнения

%) =

Таким образом, получение оценки вектора ф) равносильно решению уравнений (4)-(6). Применим преобразование Лапласа к уравнениям (4) и (6):

(И - Л)д(А) = (И - (Л - D))£(А) + д(0),

(И - (Л - D))£(А) = (И - Л)д(А) + Ап(А).

Подставив значение (И - Л)д(А) из первого уравнения во второе, получим (II - (Л - D))£(А) = (II - (Л - D))£(А) + д(0) + Ап(А),

откуда следует

£(А) = £(А) + (И - (Л - D))-1 (д(0) + ЭД).

Применив обратное преобразование Лапласа, получим

ф) = ф) + т(t), т(t) = Т2 (t) + т (t).

Здесь составляющая L{(А/ - (Л - D))-1g(0)} = t1(t) стремится к нулю, а величина

L{(А/ - (Л - D))-1Аn(А))} = т2(t) достаточно мала в силу малости величины |п^)|. Число ц> 0

выбирается так, что выполнено неравенство |Ст^)| < 51, 51 > 0.

Сформируем новый вектор 0(0 = г(^) - ф) = x(t) + т^), который является оценкой вектора х^), и получим оценку регулируемой переменной:

у (() = С0^) = Сх^) + Сф).

Система слежения

Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа, считая, что выходом является сигнал

У(0 :

Q

где Q(А) = det(А/ - Л), kR(А) = С(И - Л)+В, (И - Л)+ - транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы (XI - Л), G (А) = С (И - Л)+D, полиномы Q(А), Я (А) - гурвицевы и нормированы; К (А) - изображение начальных условий.

Применим алгоритм деления Евклида к полиному Q(А):

Q(X) = Qo (А)Я (А) + N1 (А),

где degQ0(А) = у, у = п - да, degN^1) < т -1.

Полином Q0 (А) разложим на суммы двух составляющих:

Qo(А) = Qm (А) + ДQ (А).

Здесь degQm (А) = у, deg ДQ(А) = у -1, Qm (А) - гурвицев полином.

Тогда, подставив полученные многочлены в (7) и применив обратное преобразование Лапласа, получим

Qm (Р)У ^) = ки(0 + ),

N

где ) = ДQ(P) у (О У (t) - ЯР) £(0 + Cт(t) + v(t); v(t) - оригинал изображения

К (А) „ „ „ „

----------, который мажорируется затухающей экспоненциальной функцией, т. к. полином

Qm

Qm (А)Я(А) - гурвицев, Р = й / Л - оператор дифференцирования.

Составим уравнение для ошибки ё^) = у (t) - ym (t):

Qm (Р)ё (t) = ки^) + ).

Здесь ) = у (t) - Qm (Р)уm ^).

В [22] показано, что алгоритм управления

u(t) = а3(0, ((оР +1)* -1) 3) = Qm(Р)ё(t),

где а > 0; о - достаточно малая величина, обеспечивает выполнение условия |ё^)| < 52;52 -произвольное малое число. Тогда из равенстваё(t) = у(t) - ym(t) = Cx(t) + Ст(0 - ym(t) = = у(0 - ym(t) + Ст(0 следует оценка |y(t) - уш (0| < |ё(0| + |Ст (t)| < 52 + 51. Если выбрать числа ц, с так, чтобы выполнялось условие 5 2 + 51 <5, то будет выполнено целевое условие (2).

Таким образом, система управления, компенсирующая ограниченные внешние возмущения и помехи измерения, описывается следующими уравнениями:

х, (0 = Лхь (0 + Ви(0, <#) = г^) - х, (t), ф) = ) - д (t)),

Ц

£(0 = (Л - D)£(0+^0 - Лф), £(0) = 0,0(0 = г(0 - £(0, у (t) = С0(О, ё^) = у^) - Уm ^), u(t) = а3^), ((оР +1)* -1) 3(0 = Qm(Р)ё(t).

Для иллюстрации работы данного алгоритма слежения рассмотрим числовой пример. Пример

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид

£,, z = x + £,, y =[i О О]x.

'-2 І О' 'О' 'З О О'

x = -3 О І x + 2 u + О З О

-2 О О 2 О О 4

Эталонный сигнал имеет вид ym = sin 2t + sin 1,7t.

Система управления (8) описывается следующими уравнениями:

"- 2 1 0" "0"

хь = - 3 0 1 х + 2

- 2 0 0 2

и, д = г - х,, д =

1

0 0

ц

1

0 0

ц

1

0 0

ц

(& - 3,

"-5 1 0 " "- 2 1 0"

£ = - 3 - 3 1 £+? - - 3 0 1 £(0) = 0,0(0 = 2(() - ^),

- 2 0 - 4 - 2 0 0

У (О = [1 0 0]9(Г), е (О = у (О - ут (Г), и(Г) = а3(0, (о2Р2 + оР)д(Г) = -(Р2 + 7Р + 12)е (О.

На рис. 1 приведены результаты моделирования при следующих исходных данных: хГ =[1 1 1],^ =[0,5яп* 0^т0,7^ 0^т1,3/‘]Д = 300, о = 0,01, а = 1.

ц

-5

и\ \ \ 11111 11111

1 1 1 1 1 1 11111 11111

1 1 1 1 1 1 11111 1 1 1 /Л 1 1

1 / »Л1 1 1 / \| 1 1 1 1 \ 1 У \ 1 1 '/ \ 1 / \

I / т /| Л II 11 / 1 \_ / \ 1 1 / \1 /1 \ / V 1 \

1 / 1» Г 1 г Ч Як/ 1 \ 1/ | ЧГ , V/ Л /1 V 1 Т Л / 1 \ /1 \ /| 1 1 \у 1 1 \ / 1 \

1 1 1 / 1 1 1 1 1 м Г 1 \ 1 1 1 1 1 1 \

1 1 1 1 1 1 11111 11111

1 1 1 1 1 1 : /, С

0 10 20

0,4

0

-1

е

'и

/, с

10

20

0,4

0

-1

е

17"

t, С

0 10 20

Рис. 1. Переходные процессы в системе слежения

На управляющее воздействие было наложено ограничение и < 5 . Результаты моделирования показывают, что через 4 секунды величина ошибки слежения не превышает значения 0,005.

На рис. 2 представлены переходные процессы, когда 1 = 50, о = 0,1.

ц

Рис. 2. Переходные процессы по управлению и ошибке слежения

Величина ошибки слежения через 6 секунд не превышает значения 0,04.

Заключение

Предложен простой подход к проектированию робастных систем слежения, в которых компенсируются внешние ограниченные возмущения и помехи измерения вектора состояния, когда источником возмущений и помех является один и тот же векторный сигнал.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Щипаное Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов / Г. В. Щипанов // Автоматика и телемеханика. 1939. № 1. С. 49-66.

2. Кухтенко А. И. Проблемы инвариантности в автоматике / А. И. Кухтенко. Киев: Госиздат техн. лит. УССР, 1963. 376 с.

3. Петров Б. Н. О реализуемости условий инвариантности / Б. Н. Петров // Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах: Тр. 1-го Всесоюз. совещ. Киев: Изд-во АН УССР, 1959. С. 59-80.

4. Петров Б. Н. Принцип инвариантности и условия его применения при расчете линейных и нелинейных систем / Б. Н. Петров // Тр. 1-го Междунар. конгресса ИФАК по автоматическому управлению. М.: Изд. АН СССР, 1961. Т. 1. С. 259-263.

5. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем /

В. Н. Буков. Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкарёвой, 2006. 720 с.

6. Харитонов В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений / В. Л. Харитонов // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 11. С. 2086-2088.

7. Поляк Б. Т. Робастная устойчивость и управление / Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков. М.: Наука, 2002. 303 с.

8. Поляк Б. Т. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем / Б. Т. Поляк, Я. З. Цыпкин // Автоматика и телемеханика. 1990. № 9. С. 45-54.

9. Цыпкин Я. З. Робастная устойчивость линейных систем / Я. З. Цыпкин, Б. Т. Поляк // Итоги науки и техники. Сер.: Техн. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 32. С. 3-31.

10. Барабанов Н. Е. Синтез минимаксных регуляторов / Н. Е. Барабанов. СПб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 1996. 224 с.

11. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А. Б. Куржанский. М.: Наука, 1977. 392 с.

12. Баландин Д. В. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств / Д. В. Баландин, М. М. Коган. М.: Физматлит, 2007. 280 с.

13. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений / В. О. Никифоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4. С. 69-73.

14. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений / В. О. Никифоров. СПб.: Наука, 2003. 282 с.

15. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения / А. А. Бобцов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 93-97.

16. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной / А. А. Бобцов // Автоматика и телемеханика. 2003. № 8. С. 82-96.

17. Буков В. Н. Аналитический синтез робастных регуляторов на основе параметрических уравнений Лурье - Риккати / В. Н. Буков, Н. И. Сельвесюк // Автоматика и телемеханика. 2007. № 2. С. 6-16.

18. Назин С. А. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов / С. А. Назин, Б. Т. Поляк, М. В. Топунов // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3. С. 106-125.

19. Doyle J. C. State-space solution to standard H2 and HM control problems / J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargonekar, B. A. Francis // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. Vol. 34, N 8. P. 831-847.

20. Francis B. A. On HM-optimal sensitivity theory for SISO feedback systems / B. A. Francis, G. Zames // IEEE Trans. Automat. Control. 1984. Vol. 29. P. 9-16.

21. Glover K. Robust stabilization of linear multivariable systems: relation to approximation / K. Glover // Intern. J. Control. 1986. Vol. 43, N 3. P. 741-766.

22. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу / А. М. Цыкунов. М.: Физматлит, 2009. 268 с.

23. Цыкунов А. М. Робастное управление с компенсацией возмущений / А. М. Цыкунов. М.: Физмат-лит, 2012. 298 c.

REFERENCES

1. Shchipanov G. V. Teoriia i metody proektirovaniia avtomaticheskikh reguliatorov [Theory and methods of designing of automated regulators]. Avtomatika i telemekhanika, 1939, no. 1, pp. 49-66.

2. Kukhtenko A. I. Problemy invariantnosti v avtomatike [Problems of invariants in automatics]. Kiev, Gosizdat tekhn. lit. USSR, 1963. 376 p.

3. Petrov B. N. O realizuemosti uslovii invariantnosti [On realization of invariant conditions]. Teoriia invariantnosti i ee primenenie v avtomaticheskikh ustroistvakh. Trudy 1-go Vsesoiuznogo soveshchaniia. Kiev, Izd-vo AN USSR, 1959, pp. 59-80.

4. Petrov B. N. Printsip invariantnosti i usloviia ego primeneniia pri raschete lineinykh i nelineinykh sistem [The principle of invariant and conditions of its application at calculation of linear and nonlinear systems]. Trudy 1-go Mezhdunarodnogo kongressa IFAK po avtomaticheskomu upravleniiu. Moscow, Izd-vo AN SSSR, 1961, vol. 1, pp. 259-263.

5. Bukov V. N. Vlozhenie sistem. Analiticheskii podkhod k analizu i sintezu matrichnykh sistem [System investment. Analytical approach to the analysis and synthesis of matrix systems]. Kaluga, Izd-vo nauchnoi litera-tury N. F. Bochkarevoi, 2006. 720 p.

6. Kharitonov V. L. Asimptoticheskaia ustoichivost' semeistva sistem lineinykh differentsial'nykh urav-nenii [Asymptotic stability of the series of linear differentiation equations]. Differentsial’nye uravneniia, 1978, vol. 14, no. 11, pp. 2086-2088.

7. Poliak B. T., Shcherbakov P. S. Robastnaia ustoichivost’ i upravlenie [Robust stability and control]. Moscow, Nauka Publ., 2002. 303 p.

8. Poliak B. T., Tsypkin Ia. Z. Chastotnye kriterii robastnoi ustoichivosti i aperiodichnosti lineinykh sistem [Frequent criteria of robust stability and aperiodicity of linear systems]. Avtomatika i telemekhanika, 1990, no. 9, pp. 45-54.

9. Tsypkin Ia. Z., Poliak B. T. Robastnaia ustoichivost' lineinykh sistem [Robust stability of linear systems]. Itogi nauki i tekhniki. Seriia: Tekhnicheskaia kibernetika. Moscow, VINITI, 1991, vol. 32, pp. 3-31.

10. Barabanov N. E. Sintez minimaksnykh reguliatorov [Synthesis of minimax regulators]. Saint Petersburg, Izd-vo Sankt-Peterburgskogo universiteta, 1996. 224 p.

11. Kurzhanskii A. B. Upravlenie i nabliudenie v usloviiakh neopredelennosti [Control and observation in conditions of uncertainty]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 392 p.

12. Balandin D. V., Kogan M. M. Sintez zakonov upravleniia na osnove lineinykh matrichnykh neravenstv [Synthesis of laws of control based on linear matrix inequations]. Moscow, Nauka Publ., 2007. 280 p.

13. Nikiforov V. O. Nelineinaia sistema upravleniia s kompensatsiei vneshnikh determinirovannykh voz-mushchenii [Nonlinear system of control with compensation of external determinant perturbations]. Izvestiia Ros-siiskoi akademii nauk. Teoriia i sistemy upravleniia, 1997, no. 4, pp. 69-73.

14. Nikiforov V. O. Adaptivnoe i robastnoe upravlenie s kompensatsiei vozmushchenii [Adaptive and robust control with compensation of perturbations]. Saint Petersburg, Nauka Publ., 2003. 282 p.

15. Bobtsov A. A. Algoritm robastnogo upravleniia lineinym ob"ektom po vykhodu s kompensatsiei neiz-vestnogo determinirovannogo vozmushcheniia [Algorithm of robust control of linear object by output with compensation of unknown determinant perturbation]. Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Teoriia i sistemy uprav-leniia, 2003, no. 2, pp. 93-97.

16. Bobtsov A. A. Algoritm robastnogo upravleniia neopredelennym ob"ektom bez izmereniia proizvod-nykh reguliruemoi peremennoi [Algorithm of robust control of an object without measuring derivatives of regulated variable]. Avtomatika i telemekhanika, 2003, no. 8, pp. 82-96.

17. Bukov V. N., Sel'vesiuk N. I. Analiticheskii sintez robastnykh reguliatorov na osnove parametricheskikh uravnenii Lur'e - Rikkati [Analytical synthesis of robust regulators based on parametric Lourie-Rikatti equations]. Avtomatika i telemekhanika, 2007, no. 2, pp. 6-16.

18. Nazin S. A., Poliak B. T., Topunov M. V. Podavlenie ogranichennykh vneshnikh vozmushchenii s po-moshch'iu metoda invariantnykh ellipsoidov [Elimination of limited external perturbations using the method of invariant ellipsoid]. Avtomatika i telemekhanika, 2007, no. 3, pp. 106-125.

19. Doyle J. C., Glover K., Khargonekar P. P., Francis B. A. State-space solution to standard H2 and H» control problems. IEEE Trans. Automat. Control, 1989, vol. 34, no. 8, pp. 831-847.

20. Francis B. A., Zames G. On H»-optimal sensitivity theory for SISO feedback systems. IEEE Trans. Automat. Control, 1984, vol. 29, pp. 9-16.

21. Glover K. Robust stabilization of linear multivariable systems: relation to approximation. Intern. J. Control, 1986, vol. 43, N 3, pp. 741-766.

22. Tsykunov A. M. Adaptivnoe i robastnoe upravlenie dinamicheskimi ob"ektami po vykhodu [Adaptive and robust control of dynamic objects by output]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 268 p.

23. Tsykunov A. M. Robastnoe upravlenie s kompensatsiei vozmushchenii [Robust control with compensation of perturbations]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2012. 298 p.

Статья поступила в редакцию 15.07.2013

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Цыкунов Александр Михайлович — Астраханский государственный технический университет, д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой «Математика»; a.tsykunov@astu.org.

Tsykunov Alexander Mikhailovich — Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department "Mathematics";_a.tsykunov@astu.org.