Об эффективных теоремах о дедукции в нормальных модальных логиках

А.В.Чагров

ОБ ЭФФЕКТИВНЫХ ТЕОРЕМАХ О ДЕДУКЦИИ В НОРМАЛЬНЫХ МОДАЛЬНЫХ ЛОГИКАХ1

Abstract. Questions about effective variants of deduction theorem for normal modal logics are discussed. Some proof of an external deduction theorem for minimal normal modal logic K - a formula у is deducible from ф in K iff the formula П*ф ^ у belongs to the dynamic logic - is given.

Ниже везде речь идет об исчислениях гильбертовского типа. В частности, всякая нормальная модальная логика задается следующим образом. Полагаем, что в качестве схем аксиом и правил вывода берутся: какой-нибудь набор схем аксиом, обеспечивающий полноту классического исчисления высказываний с единственным правилом вывода modus ponens, модальная схема аксиом П(а ^ Р)^ (Па ^ QP), быть может, еще какие-либо схемы аксиом и ровно два правила вывода - modus ponens и правило Геделя ф/Пф. Разумеется, всегда, говоря о схемах аксиом, мы подразумеваем, что они задаются над соответствующим языком - модальным в случае модальных логик, безмодальным в случае классической логики и т.д. Еще одно соглашение, обычно принимаемое «по умолчанию»: вместо «дополнительных схем аксиом» говорят о «дополнительных аксиомах» и в соответствии с этим пишут, к примеру, вместо схемы Па ^ Ша, где а - произвольная формула, формулу Up ^ p, считая, что в нее можно вместо переменной p подставлять произвольные формулы.

Обычная теорема о дедукции для классического исчисления высказываний (для имеющегося здесь в виду определения классического исчисления в предыдущем абзаце нужно опустить все упоминания про модальную и «еще какие-либо» схемы и правило Геделя) позволяет сводить вопрос о производности правила вывода к выводимости некоторой формулы: правило вывода ф1 ,..., ф n /у производно (т.е. из гипотез ф1 ,..., фп можно вывести у) в классическом исчислении высказываний тогда и только тогда, когда в нем выводима формула ф1 ^ (ф2 ^(...(фn ^ у).)). Таким образом, поскольку классическая логика разрешима, то разрешима и проблема производности в ней правил вывода,

1 Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 99-03-19706.

причем алгоритм выяснения производности правил вывода по сложности таков же, как и для выяснения выводимости.

Похожа ситуация и во многих стандартных нормальных модальных логиках. Так, если нормальная модальная логика L содержит K4, которая получается из минимальной нормальной модальной логики K добавлением аксиомы Dp ^ Шр, то для нее теорема о дедукции выглядит следующим образом:

Г, ф„ L у ^ Г„ L ф л Пф ^ у. (В дальнейшем можно считать, что Г = 0, поскольку для наших целей этого достаточно. Скажем, при рассмотрении проблемы производности правил вывода мы, ввиду возможности соединения формул в конъюнкцию, вполне можем обойтись однопосылоч-ными правилами.) И так же, как и для классической логики, разрешимость самой логики K4 с помощью этой теоремы о дедукции позволяет установить разрешимость и проблемы производности в K4 правил вывода (без изменения порядка сложности алгоритма). Отметим ключевую роль здесь того факта, что в правой части эквивалентности стоит формула, фиксированным образом полученная из формул из левой части. Точнее, если обозначить x(p,q) = р л Dp ^ q, то теорему о дедукции для логики L, расширяющей K4, можно переписать так:

Г, ф„ l У Г„ l х(ф,у).

В общем случае можно было бы рассматривать вопрос о теореме о дедукции для логики L как вопрос о существовании формулы x(p,q) с указанным свойством. Этот вопрос в свое время получил неожиданный и тем не менее естественный ответ (см. об этом в [2] и/или [8]): такая формула x(p,q) для нормальной модальной логики L существует тогда и только тогда, когда логике L принадлежит какая-нибудь формула вида р л Dp л ППр л ... л Wp ^ 0"+'p, причем тогда можно полагать, что %(p,q) = p л p л HDp л ... л Wp ^ q.

А как быть в том случае, когда такой фиксированной формулы x(p,q) нет? Ответ не столь уж оптимистичен. Конечно, для всякой нормальной модальной логики L справедлива теорема о дедукции в следующей форме:

Г, ф„ L у ^ Зп Г„ L ф л Пф л Шф л . л П"ф ^ у,

однако квантор существования здесь весьма (невольный каламбур) существенен: a priori нет никаких эффективных методов подтверждения существования или отсутствия требуемого п. Например, автором в [3] (см. раздел 16.7) построена разрешимая нормальная

модальная логика, для которой проблема производности правил вывода неразрешима.

С другой стороны, для стандартных нормальных модальных логик удается упомянутый квантор существования эффективизи-ровать, установив верхнюю границу для его параметра в зависимости от размеров участвующих в утверждении о выводимости формул, см. [3]. Приведем точную формулировку эффективной теоремы о дедукции для K:

Г,ф„ L у 3n (n<2|SubiuSuby| & Г„ L ф л Пф л Шф л ... л > ^ у),

где 8иЬф и Suby - множества подформул формул ф и у, соответственно, а ^иЬф и Suby| - количество всех этих подформул. В результате мы вновь получаем эффективный способ распознавать производность правил вывода в рассматриваемой логике. Правда, в отличие от ситуации, когда существовала фиксированная формула %(p,q) (см. выше) из-за экспоненты в формулировке эффективной теоремы о дедукции для K сложность алгоритма, распознающего производность в K правил вывода, оказывается существенно выше сложности алгоритма, выясняющего принадлежность формулы логике K. Более того, эту экспоненциальную оценку, по-видимому, невозможно понизить существенно ввиду того, что проблема производности правил вывода в K является EXPTIME-полной (см. [7]) в то время как проблема выводимости в K «всего лишь» РУР^СЕ-полна (см. [5]). Аналогична ситуация с этими вопросами и в других логиках, скажем, в T = K + Dp ^ p, в D = K + Dp ^ Op.

Варианты теоремы о дедукции, о которых шла речь до сих пор, уместно называть внутренними теоремами о дедукции, в самой рассматриваемой системе существует возможность говорить о выводимости из гипотез. Теперь обратимся к иной возможности обсуждать в рамках формальных систем выводимости из гипотез в других системах - к типу утверждений, которые можно было бы назвать внешними т еоремами о дедукции.

Прежде всего обратим внимание на то, что при выводе из гипотез у нас нет никаких ограничений на размеры совокупности гипотез, множество гипотез может быть даже бесконечным. Конечно, реально в выводе мы не мож емиспользоват ь все гипотезы из бесконечной совокупности, но можем использовать сколь угодно много. Поясним это.

При использовании одного лишь правила modus ponens для любой рассматриваемой логики выводимость формулы у из гипотезы ф равносильна выводимости импликации ф ^ у. Поэтому приводившиеся выше теоремы о дедукции можно интерпретиро-

вать как утверждение об элиминации правила Геделя при подходящем изменении совокупности гипотез. Допустим, нам нужно вывести с помощью правила modus ponens и правила Геделя из гипотезы ф формулу у. Это равносильно тому, чтобы вывести формулу у из бесконечного множества гипотез {ф, Шф, Шф, Шф, ... } уже без применения правила Геделя2. И если бы у нас были формульные средства записи бесконечной конъюнкции в формулах, то мы могли бы записать последний факт в виде выводимости соответствующей импликации. В самих нормальных модальных логиках таких средств нет!

Пора вспомнить, что содержательные бесконечные конъюнкции вида ф л Пф л Шф л ПШф л ... удавалось формализовывать средствами логик с конечноместными пропозициональными связками. А именно такая задача решалась при описании итерации в динамических логиках. Впервые о возможности использования динамических логик для описания вывода из гипотез в нормальных модальных логиках автор услышал от М.Крахта в августе 1994 г., но до сих пор не встречал в литературе формулировок (и доказательств3) утверждений, подобных приводимой ниже теореме.

Воспользуемся решением этой задачи описания итерации, содержащимся в [1] (или в более ранней работе [6]). При этом нам будет достаточен фрагмент динамической логики, в котором всего одна программа (действие) и ее (его) итерация. В соответствии с этим опустим все ненужные нам здесь детали, что, в частности, позволит нам, слегка изменив обозначения, сделать их менее громоздкими.

Логика K - это нормальная бимодальная логика, ее модальностями являются  (обычная необходимость) и  (подразумеваемый смысл:  ф означает то же, что и бесконечная конъюнкция ф л Шф л Шф л ПШф л.). Семантика Крипке для K определяется как и для обычных нормальных модальных логик, но с указанием, что формула вида  ф истинна в мире a данной шкалы при данной оценке, если формула ф истинна во всяком мире, достижимом из a за произвольное конечное число шагов (в част-

2 Чтобы сохранить конечность понятийного аппарата выводимости, можно факт выводимости из этого бесконечного множества формулировать так: «формула у выводится из подходящего конечного подмножества множества гипотез {ф, ф, Шф, ПШф, ...}». Здесь «подходящего» по существу и есть тот самый квантор существования, который участвует в формулировке общей теоремы о дедукции для нормальных модальных логик.

3 Это не оговорка. Часто бывает, что доказательство дает больше, чем требует доказываемое утверждение.

ности, и за 0 шагов, т.е. в самом мире а). Аксиоматизация логики K нам сейчас не важна, но для полноты картины приведем некоторый ее вариант: в качестве схем аксиом берутся те же схемы, что и для K (в языке, обогащенном модальностью *), а также

Я< Й< я< я<

схемы  p о p л  p, p ^ ( (p ^ Dp) ^  p), в качестве правил вывода берутся modus ponens и правила Геделя для обеих модальностей. В упомянутых сочинениях показано, в частности, что логика K полна относительно корневых конечных шкал Крипке4, а потому и просто полна по Крипке, и, кроме того, разрешима.

Нужную нам связь K и K устанавливает

ТЕОРЕМА. Для всяких формул ф и у, не содерж ащих модальности , справедливо:

ф „ K у ^ K „ П*ф ^ у.

Утверждение этой теоремы и предлагается расценивать как внешнюю теорему о дедукции для логики K. Ввиду разрешимости K эта теорема является эффективной и, в частности, позволяет распознавать производность в K правил вывода.

Итак, докажем сформулированную теорему.

Предположим, что ф „ K у. Тогда по теореме о дедукции для нормальных модальных логик найдется такое n, что логике K принадлежит формула ф л Шф л Шф л ... л Ппф ^ у, а потому и формулы ф л Шф л Шф л ... л > ^ у при всех m > n. Допустим теперь противное доказываемому, т.е. что формула  ф ^ у не принадлежит K . В соответствии с полнотой K относительно конечных шкал Крипке, найдется такая шкала, в корне которой при некоторой оценке истинна формула  ф, но опровергается у. Ввиду истинности в корне  ф мы получаем, что формула ф истинна во всех точках шкалы, а значит, в корне шкалы истинны все формулы вида Птф, т.е. мы получили, что в корне опровергаются все формулы ф л Шф л Шф л ... л Шф ^ у, и потому они не могут принадлежать K . Полученное противоречие показывает, что наше допущение неверно, т.е. на самом деле формула  ф ^ у принадлежит K .

Теперь предположим, что у не выводится из ф в K, т.е. логике K не принадлежит ни одна из формул вида ф л Шф л Шф л ... л Ппф ^ у, и покажем, что формула  ф ^ у не принадлежит

4 Напомним, что мир шкалы называется ее корнем, если из него всякий другой мир этой шкалы достижим за конечное число шагов по отношению достижимости. Шкал с корнями (корневых шкал) всегда достаточно при рассмотрении полных, по Крипке, логик, причем можно считать, что опровержимые формулы опровергаются именно в корнях подходящих шкал.

К . Для этого воспользуемся известной полнотой К относительно конечных интранзитивных деревьев5.

Пусть р0, — , рк - все переменные, входящие в формулы ф и у. Рассмотрим класс моделей С для модального языка с этими переменными, основанными на конечных интранзитивных деревьях, которые в этом классе не имеют р-морфных образов (или редуктов в терминологии [3]). Обозначим модальную глубину формулы ф л Пф л Шф л — л П"ф ^ у. Для всякого п (п е ю) будем обозначать Сп класс моделей из С', опровергающих ф л Пф л Шф л — л пф ^ у в своих корнях и имеющих глубину, не превосходящую йп. Ясно, что все классы Сп не пусты и конечны (это легко доказывается индукцией по глубине). Определим бинарное отношение S на множестве С = ипеюСп: для М е Сп и М" е Сп+1 полагаем, что М8М\ если М и М" изоморфны или М является р-морфным образом модели, получаемой из М'' удалением миров, достижимых из ее корня более чем за dn шагов. Ввиду конечности всех классов вида Сп всякая модель в С имеет лишь конечное множество S-последователей. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: класс С конечен. Тогда существует некоторая модель М в С, в корне которой опровергаются все формулы вида ф л Пф л ф л — л Ппф ^ у. Ясно, что тогда в этом же корне опровергается и формула  ф ^ у, т.е. она не принадлежит К .

Случай 2: класс С бесконечен. Тогда по лемме Кенига мы имеем бесконечную S-возрастающую последовательность М1 8М2 8М3 8 — моделей из Сп. Нужную нам модель хотелось бы получить как «предел» этой последовательности. Однако этому мешает тот факт, что элементы этой последовательности непосредственно не связаны друг с другом своей «геометрией»: если М7 8М], то вполне может оказаться, что Mj не является «продолжением» М7. Чтобы устранить этот дефект, сделаем эти модели в определенном смысле однородными. Для этого для каждого 7 заменяем в модели М7 каждый мир вместе с порождаемой им моделью счетным множеством копий: сначала так поступаем с самыми верхними мирами (мирами глубины 0) - заменяем каждый такой мир на счетную совокупность миров с той же оценкой переменных, полагая, что все они достижимы из того же мира, что и в исходной модели, затем в получившейся модели каждую подмодель,

5 Напомним, что шкала с корнем является иррефлексивным интранзитивным деревом, если в ней для любых двух миров имеется не более одного способа попасть из одного мира в другой по отношению достижимости, т.е. если лД^Да^.. акДу и хД^ДЬ^..ЬДу, то к = I и а1 = Ь1, а2 = Ь2, ... , ак = Ьк. Всякая интранзитивная шкала, конечно же, иррефлексивна.

порождаемую миром глубины 1, заменяем на счетную совокупность изоморфных ей подмоделей, полагая, что их корни достижимы из того же мира, что и в предыдущей модели, затем аналогично поступаем с подмоделями, порождаемыми мирами глубины 2, и т.д. В результате получаем последовательность моделей Nb N2, N3, ... (N, получена из М). Поскольку наши преобразования моделей были обратными p-морфизмами, модель М, является p-морфным образом N,, а значит в мирах N, истинны в точности те же формулы, что и в их прообразах при копировании из МВторым достоинством полученной последовательности является то, что Ni+1 получается из N, присоединением каких-то верхних миров, т.е. Ni+1 - продолжение NЕсли теперь взять модель N как объединение («предел») всех моделей N,, то в ее корне будут опровергаться все формулы вида ф л Шф л Шф л ... л гф ^ у, т.е. опровергается у и истинны все формулы вида Пгф. Последнее означает, что формула ф истинна во всех мирах модели N, а потому в корне N истинна формула  ф. В результате мы получаем опровержение в корне N формулы  ф ^ у, т.е. вновь получили факт, опровергающий принадлежность этой формулы K*.

Таким образом, теорема доказана.

Итак, мы получили точное формульное выражение того факта, что из бесконечного множества гипотез с помощью лишь правила modus ponens выводима некоторая формула. Недостатком приведенного доказательства, точнее - его доказательства, является то, что здесь речь идет только о логике K и специфика ее семантики используется существенно. Можно предположить, однако, что утверждение доказанной теоремы останется справедливым для любой нормальной модальной логики и ее бимодального напарника, получаемого так же, как мы из K получили K . С другой стороны, семантика K показывает, что мы поступали довольно естественным образом. Однако остались вопросы: является ли K минимальной бимодальной логикой, удовлетворяющей формулировке теоремы, есть ли иные подходы к получению указанного вида.

Что касается упомянутой минимальной бимодальной логики, то K ею не является. С учетом доказанного выше свойства K можно показать, что минимальной бимодальной логикой, для которой справедлив аналог нашей теоремы, является логика, определяемая как K , но вместо последних двух схем аксиом K следует взять бесконечное множество схем { ф ^ у : ф „ K у}. Эта

логика, в частности, не является конечно-аксиоматизируемой. Неминимальность K получается также из нижеследующего.

В [4] изучались возможности повышения выразительности модального языка при введении дополнительной модальности, семантический смысл которой - «истинность во всех мирах». Скажем, если L - некоторая нормальная модальная логика с модальностью , то логика Lu получается из нее добавлением новой модальности W с правилом Геделя для нее, схем аксиом

> ^ q)^ (aup^ auq), uup ^ p, uup ^ auaup, p ^ nu-nu-p

(т.е. W является 85-необходимостью) и схемы Wp ^ Dp, выражающей «универсальность» W. То, что это иной по сравнению с динамическим способ описания всеобщей необходимости, следует из того, что, например, K и Ku не содержатся друг в друге как бимодальные логики (считая их языки совпадающими и отождествляя символы W и  ). Несложно доказать (см. лемму 113 в [8]), что для любой нормальной модальной логики L и любых формул ф и ф и у, не содержащих модальности Du, справедливо:

ф „ L у ^ Lu „ uф ^ у. Ясно, что при отождествлении символов Пи и  мы получаем, что для K nKu также справедлива доказанная теорема, причем ввиду несравнимости K и Ku их пересечение строго содержится в каждой из них.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сегерберг К. «После» и «во время» в динамической логике // Модаль-

ные и интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки. М.: Наука, 1984.

2. Blok W., Pigozzi D. On the structure of varieties with equationally definable

principal congruences. I // Algebra Universalis. 1982. Vol. 15. P. 195227.

3. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford University Press,

1997.

4. Goranko V., Passy S. Using the universal modality: gains and question //

Journal of Logic and Computation. 1992. Vol. 2 P. 5-30.

5. Ladner R.E. The computational complexity of provability in systems of

modal logic // SIAM Journal on Computing. 1977. Vol. 6. P. 467-480.

6. Segerberg K. A completeness theorem in the modal logic of programs //

Universal Algebra and Application. Warsaw: PWN, 1982. P. 31-46.

7. Spaan E. Complexity of Modal Logics. PhD thesis. Department of Mathe-

matics and Computer Science, University of Amsterdam, 1993.

8. Zakharyaschev M., Wolter F., Chagrov A. Advanced Modal Logic // Gabbay

Dov (eds.), New Handbook of Philosophical Logic, 1998.