Классификация заузленных дуг в утолщенном проколотом торе

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Я. К. ИЛЬИНА

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАУЗЛЕННЫХ ДУГ В УТОЛЩЕННОМ ПРОКОЛОТОМ ТОРЕ

Классифицируются заузленные дуги до сложности 2 включительно в утолщенном проколотом торе То х I. Дуги строятся с помощью трехступенчатого перебора. Сначала рассматриваются графы с 0, 1, 2 вершинами валентности 4 и двумя вершинами валентности 1, потом — отвечающие им проекции, затем — диаграммы. Различность полученных дуг доказывалась с помощью обобщенного полинома Кауффмана.

Ключевые слова: заузленная дуга, утолщенный проколотый тор.

1. Основные определения

Определение 1. Пусть Т0 — тор с удаленным диском, I — отрезок [0; 1], Т0 х I — утолщенный проколотый тор, а, Ь — пара фиксированных точек на дТ0 х I. Заузленной дугой в Т0 х I называется кривая без самопересечений с концами в точках а, Ь.

Дуги рассматриваются с точностью до гомеоморфизмов пар (Т0 х ^Ь^ ^ (Т0 х I, Ь2) (Ь1, Ь2 — заузленные дуги), относительно которых точки а, Ь остаются неподвижными.

Будем называть заузленную дугу Ь С Т0 х I составной, если существует такой шар V С Ш;(То х I), что Ь пересекает V по заузленной дуге. Дуга называется тривиальной, если она ограничивает диск. Дуги, отличные от составных и тривиальных, назовем примарными.

Хорошо известно, что тор можно представить как квадрат Р с попарно отождествленными сторонами по параллельным переносам. Удалив из Р открытый диск О, получим квадрат без диска Р\1пЮ = Р0.

Определение 2. Проекцией в Т0 называется граф с несколькими вершинами валентности 4 и вершинами валентности 1 в квадрате Р0, причем

1. Все вершины валентности 4 лежат внутри Р0, вершины валентности 1 лежат либо на сторонах Р0, либо на краю дырки.

2. Точка х]^(х, 0) € Р0 является вершиной валентности 1 тогда и только тогда, когда точка х1(х, 1) € Р0 является вершиной валентности 1. Точка х2(0,у) € Р0 является вершиной валентности 1 тогда и только тогда, когда точка х2(1,у) € Р0 является вершиной валентности 1.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00605, гранта НШ-1414.2012.1 по государственной поддержке ведущих научных школ и программы ОМН РАН (проект 12-Т-1-1003/2).

3. Проход через все вершины валентности 4 по правилу «прямо вперед» определяет полный обход графа.

Диаграмма получается из проекции указанием разрывов в точках самопересечения, то есть вершинах валентности 4. Проекции и диаграммы дуг рассматриваются также с точностью до гомеоморфизмов пар. Число вершин валентности 4 будем называть сложностью проекции или диаграммы.

Определение 3. Диаграмма заузленной дуги называется минимальной, если ее сложность не превосходит сложности любой другой диаграммы эквивалентной дуги.

Определение 4. Проекция заузленной дуги называется минимальной, если ей соответствует минимальная диаграмма хотя бы одной заузленной дуги.

Диаграмма задает заузленную дугу в Т0 х I.

2. Теорема о графах

Теорема 1. Существует один граф с нулем вершин валентности 4 и двумя вершинами валентности 1, один граф с одной вершиной валентности 4 и двумя вершинами валентности 1 и три графа с двумя вершинами валентности 4 и двумя вершинами валентности 1.

• •

сX ~

ос<-б^Г~©"

Рис. 1. Все графы с 0, 1, 2 вершинами валентности 4 и двумя вершинами валентности 1

Доказательство. Указанные пять графов находятся перебором всех возможных графов.

3. Теорема о проекциях

Теорема 2. В Т0 существуют две минимальные проекции сложности 0, шесть проекций сложности 1, три из которых минимальны, и двенадцать минимальных проекций сложности 2 (см. табл. 1).

Доказательство. 1. Заклеим на торе дырку диском, заменим его на хорду, соединяющую концы дуги. Получим кривую без самопересечений на торе. С точностью до эквивалентности их ровно две — тривиальная и нетривиальная. Удаляя диск, получим ровно две минимальные проекции сложности ноль.

Таблица 1

2. Можем считать, что проекция заузленной дуги сложности больше нуля — это вложение графа с соответствующим числом вершин валентности 4 на Т0. Строить проекции дуг будем по следующему алгоритму: берем проекцию сложности на единицу меньше и добавляем к ней последовательно либо тривиальную дугу, либо нетривиальную, проходящую вокруг дырки, либо нетривиальную, проходящую вдоль меридиана. В результате, последовательно получим проекции дуг сложности 1, 2, причем некоторые из них имеют стягиваемые петли, а значит, не минимальны. Их рассматривать в дальнейшем не будем. Получим 3 минимальные проекции дуг сложности 1, 10 минимальных проекций дуг сложности 2. Для сложности 2 отдельно рассмотрим вложение графа, представляющего собой окружность с диаметром (этот граф требует отдельного рассмотрения, поскольку его вложения на Т0 нельзя получить, пользуясь общим алгоритмом). Заклеим на То дырку диском с тривиальной дугой, получим две окружности, пересекающиеся по двум точкам. Если обе эти точки трансверсальны или обе нетрансверсальны, то при удалении диска получим проекции двухкомпонентных зацеплений. Если одна из точек трансверсальна, другая нет, то при удалении диска получим две проекции дуг сложности 2.

Различность дуг докажем следующим образом. Для каждой проекции укажем, из скольких компонент состоит ее дополнение, из вложения какого графа она получена, какие типы петель у нее имеются. Для каждой проекции дуги совокупность этих фактов уникальна, значит, все проекции различны.

По проекциям построим диаграммы дуг. На каждом перекрестке разметим, какой участок проходит выше другого. Для проекции дуги сложности п возможно 2п диаграмм. Поскольку при одновременной смене типов всех перекрестков

получим эквивалентные диаграммы, то для каждой проекции можем рассматривать в два раза меньше диаграмм. Также из списка диаграмм можно исключить те, где при разрешении перекрестков получается ситуация, изображенная на рис. 2, поскольку тогда можно применить движение Райдемайстера К2 и тем самым уменьшить сложность диаграммы.

В итоге получим 24 минимальные диаграммы заузленных дуг, все они представлены в табл. 2.

4. Обобщение полинома Кауффмана для заузленных дуг в

Введем обобщенный полином Кауффмана для заузленных дуг в Т0 х I.

Определение 5. Пусть Ь — заузленная дуга в Т0 х I. Состояние дуги в Є 5(Ь) — выбор маркеров на всех перекрестках, а(в), в(в) — число выбранных маркеров типа А и В соответственно, 7(в) — число тривиальных окружностей, полученных при разрешении всех перекрестков вдоль маркеров, 5(в) — число нетривиальных окружностей, проходящих вдоль меридиана, ^(в) — число нетривиальных окружностей, проходящих вокруг дырки, V(в) — число тривиальных дуг, А(в) — число нетривиальных дуг. Полином вида

X(К) = (—а) Зш(к) ^23 аа(^ ^(—а 2 — а2)7('5)^('5)е^('5)/^д^3) называется обоб-

щенным полиномом Кауффмана.

Свойства полинома Кауффмана и доказательства его инвариантности относительно движений Райдемайстера для дуг в Т0 х I полностью совпадают с классическим случаем, описанным в [1].

5. Основная теорема для заузленных дуг в Т0 х I сложности < 3

Теорема 3. В утолщенном торе с дыркой существуют 24 заузленные дуги сложности < 2, из них: 2 дуги сложности 0, 3 дуги сложности 1, 19 дуг сложности 2.

Доказательство. Доказательство того факта, что перечислены все возможные дуги и других нет, следует из метода их построения. Поскольку дуги каждой сложности строились по дугам сложности на 1 меньше, а начиналось построение с дуг сложности ноль, про которые доподлинно известен факт, что их на Т0 ровно две, то перечислены все возможные дуги.

Рис. 2. Участок диаграммы, где можно применить движение Д2

То х I

Таблица 2

Факт, что все полученные заузленные дуги в Т0 х I различны, доказывался с помощью обобщенного полинома Кауффмана. Было проведено сравнение значений полинома для всех построенных дуг и установлено, что значения полинома для всех дуг, кроме пары, в которой одна дуга сложности 0, а другая — сложности 2, различны, значит, различны и дуги. Дуги из указанной пары имеют одинаковое значение полинома, их различность с помощью данного инварианта установить не удалось.

Значения обобщенного полинома Кауффмана для заузленных дуг сложности 0:

1. X(0!) = /.

2. X(О2) = е.

Значения обобщенного полинома Кауффмана для заузленных дуг сложности 1:

1. X(1!) = — (а4е + а2/).

2. X(12) = —(а4е + а-2/).

3. X(13) = — (а2д + а4)е.

Значения обобщенного полинома Кауффмана для заузленных дуг сложности 2:

1. X(2!) = (а-4 — а-8^)е + ((^2 — 1)а-8 — а-4)/.

2. X(22) = (а2^ + 1)е + (^2 — а-4 — 1)/.

3. X(23) = (а-8 + 2а-5)е + а-4^2/.

4. X(24) = ((а-2 + а2)^ + 1)е + ^2/.

5. X(25) = (^2 — 1)а-4е + а-6/.

6. X(26) = (а2 — а4)е + а-2с1/.

7. X(27) = (а-6д + а-8 + а-4<^2)е + а-6/.

8. X(28) = (1 + ^2 + а-2д)е + а2/.

9. X(29) = (а-4^2 + а-8)е + 2а-6/.

10. X(210) = (^2 + 1)е + (а-2 + а2)/.

11. X(2ц) = (2а-6 + а-4д)& + а-8/.

12. X(212) = (а2 + а 2 + д)^е + /.

13. X(213) = ((д2 — 1)а-4 — а-6д)е.

14. X(214) = (а2д + д — а-4)е.

15. X(215) = а4е + (а6 — а10)/.

16. X(216) = (а-6 — а-10)^е + а-4/.

17. X(217) = ((а-6 — а-2)д + а-4)е.

18. X(218) = (а-6 + а-4 — а-10)е.

19. X (219) = е.

6. Инвариант Кассона для заузленных дуг сложности < 2

Определения гауссовой диаграммы заузленной дуги и стрелочной диаграммы аналогичны определениям гауссовой диаграммы и стрелочной диаграммы узла, данным в статье [2]. Различие в том, что на окружности указывается выделенный цветом диск.

Пример гауссовой диаграммы для некоторой дуги приведен на рис. 3.

Стрелочные диаграммы бывают различных типов. Мы используем стрелочную диаграмму конкретного типа (рис. 4).

Определение 6. [2] Пусть G — гауссова диаграмма заузленной дуги, A —

стрелочная диаграмма определенного типа (см. рис. 4). Рассмотрим вложение р : A ^ G, переводящее окружность в окружность, а хорду в хорду с сохранением ориентации. Для вложения р определим знак следующим образом: signp = П^sign(p(ci)), где c £ A, signp(ci) — это знак хорды р(с^) в G. Тогда число v2 = signp называется инвариантом Кассона данного узла.

Для всех построенных ранее заузленных дуг в T0 х I был посчитан инвариант Кассона. Оказалось, что для большинства дуг этот инвариант равен нулю, для трех дуг его значение отлично от нуля и равняется единице. Но этот инвариант позволяет различить пару дуг, которые не различает обобщенный полином Кауффмана. Для дуги сложности 0 v2 = 0, а для дуги сложности 2 v2 = -1.

Автор выражает благодарность за постановку задачи и помощь чл.-кор. РАН, доктору физ.-мат. наук, профессору Матвееву Сергею Владимировичу.

Список литературы

1. Kauffman, L. State models and the Jones polynomal / L. Kauffman // Topology. — 1987. —Vol. 26, № 3. — P. 395-407.

2. Viro, O. Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants / O. Viro, M. Polyak // Intern. Math.s Research Not. — 1994. — № 11. — P. 445-453.

в T0 х I

Рис. 3. Пример гауссовой диаграммы заузленной дуги

Рис. 4. Пример стрелочной диаграммы