Применение теоремы Бейкерса к проблеме однородной алгебраической независимости значений некоторых Е-функций

УДК 51 ББК 22.14

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БЕЙКЕРСА К ПРОБЛЕМЕ ОДНОРОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ Е-ФУНКЦИЙ

А.Е. Зимин

Аннотация. А.Б. Шидловский указал проблему эффективного поиска алгебраических точек, в которых понижается степень трансцендентности системы независимых Е-функций, являющихся частью решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений. Такие точки были названы им «исключительными», и в общем случае проблема остается нерешенной. В данной работе полностью разобран случай единственной однородной алгебраической связи в наборе Е-функций, а также усилен результат о линейной независимости значений гипергеометрической Е-функции и ее производных.

Ключевые слова: теория чисел, Е-функция, алгебраическая независимость.

Summary. A.B. Shidlovsky specified the problem of effective search of algebraic points in which the degree of transcendence of system of the independent E-functions, which are part of the solution of some system of linear homogeneous differential equations, are decreasing. Such points were called by him "exclusive", and generally the problem remains unresolved. In this work the case of the only algebraic relation in a set of E-functions is completely sorted, and also the result of the linear independence of values of hyper geometrical E-function and its derivatives is strengthened.

Keywords: number theory, E-function, algebraic dependency.

221

В работе [1] А.Б. Шидловским была доказана теорема о равенстве степени однородной трансцендентности совокупности Е-функций, составляющих решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений, и степени однородной трансцендентности системы значений этих функций в алгебраической точке. Было отмечено, что наборы функций, образующих максимальные независимые подсистемы, не всегда состоят из одних и тех же функций. Таким образом, была указана проблема эффективного поиска ал-

222

гебраических точек, в которых понижается степень трансцендентности системы независимых Е-функций, являющихся частью решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений. Шидловский назвал такие точки «исключительными», и в общем случае проблема их поиска остается открытой. В данной работе полностью разобран случай единственной однородной алгебраической связи в наборе Е-функций, а также усилен результат о линейной независимости значений гипергеометрической Е -функции и ее производных.

Основным результатом, на который опирается данная работа, является доказанная в 2006 г. (см. [2]).

Теорема Бейкерса. Пусть набор Е-функций /1,..,/п является решением системы однородных дифференциальных уравнений

^У, =^ , ^п,

аг м

где (г) е А(г). Обозначим общий знаменатель коэффициентов системы (г) за Т (г).

Тогда для всех алгебраических чисел ^ с условием ^ Т

р (№),.., / 6) )= 0,

где Р(х1,..,хп)е А[х1,..,хп] - однородный по своим переменным, найдется многочлен Qе А[г, х1,.., хп], однородный по переменным х1,..., хп такой, что

Q

и

Р

В формулировке теоремы и далее А обозначает множество всех алгебраических чисел.

Следствием теоремы Бейкерса является ключевой для данной работы факт, который может быть сформулирован следующим образом: если значения системы Е-функций, удовлетворяющих системе (1), связаны однородным многочленом положительной степени /, то существует однородный многочлен степени /, связывающий сами функции.

Перейдем к формулировке и доказательству основного для данной работы утверждения.

Теорема 1. Пусть /1(г),..., /п(г), и^2, - набор Е-функций, составляющий решение системы (1), степень однородной трансцендентности набора над полем  (г) равна п-1. Далее, функции /¡(г),..,/п-1(г) однородно алгебраически независимы над  (г), а функции /1(г),...,/п(г) связаны минимальным по степени однородным алгебраическим соотношением

Р = Лт

Р = Р

где многочлены Л1 (х, х1,.., хп-1) е А[х, х1,.., хп-1], - взаимно просты в сово-

купности. Пусть Се А, СТ(С) Ф 0.

Тогда числа /1(С),..., /п-1(С) однородно алгебраически зависимы над А тогда и только тогда, когда при всех 1:1</<т многочлены Л (х, х1,.., хп-1) делятся на х -С .

Доказательство.

Обозначим для удобства за М множество точек а, при подстановке которых вместо переменной х многочлены Л(х, х1,.., хп-1),1^1%т обращаются в нуль. Или, что тоже самое, множество таких а, что х - а является делителем Л(х, х1,.., хп-1) при 1^/^т . Из последнего, в частности, следует, что М с А.

Рассмотрим произвольное а е М и подставим в тождество (5) х = а . Поскольку Л (а, /1(а),.., /п-1(а)) = 0,1^1^т, получим

Ао

Поскольку многочлены Л взаимно просты в совокупности, и все Л (х, х1,.., хп-1),1^1^т делятся на х - а, то Л0(а, х1,.., хп-1) Ф 0 . Следовательно (7) есть нетривиальное однородное алгебраическое соотношение между числами Л(а),..,/п-1(а). Таким образом, точка а является исключительной.

Докажем, что исключительных точек, не входящих в множество М, нет.

От противного. Предположим, для некоторого Се А, СТ (С) Ф 0 степень однородной трансцендентности совокупности чисел /1(С),...,/п-1(С) меньше п-1, но х-С делит не все многочлены Л1 (х,х1,х2,..,хп-1),1^/^т.

По Лемме об исключительных точках [см.: 1, с. 152-153] все коэффициенты Р(х,/1,/2,...,/п), как многочлена от /, обращаются в нуль при подстановке х = С :

Л

Поскольку многочлены Л взаимно просты в совокупности, найдется у > 0 такой, что Лу не делится на х -С . Тогда ё = deg Лу = deg Р - у < deg Р .

Многочлен Л] = Л](х, х1,.., хп_1) е А[х, х1,.., хп_1], однородный по переменным х1,..хп-1, при подстановке в него х =С задает нетривиальное нулевое соотношение между значениями /1(С),..,/п(С) (/п(С)можно считать входящей с нулевым коэффициентом). Обозначим Q(xl,.., хп) = Лу (хх,.., хп-1), где Q(xl,.,хп)е А[х1,..,хп] — однородный многочлен степени ё. Тогда

Q

Соотношение (9) и функции /1(х),..,/п(х) удовлетворяют условию теоремы Бейкерса. Применяя ее, получаем, что существует нетривиальный многочлен Я(х, х1,..хп), однородный по переменным х1,.., хп, такой, что

Я

и

Я

223

Из (10) следует, что степень многочлена Я по переменным х равна а < degР . Противоречие минимальности степени многочлена Р .

При помощи доказанного утверждения докажем однородную алгебраическую независимость множества значений обобщенной гипергеометрической функции и значений ее производных.

Рассмотрим гипергеометрическую Е-функцию [см.: 3].

ф (г)=Фх(г)=х 1

г г л*1

(А + 1)п ...(А, + 1)п

где А е  ,-А,. Ф 1,2,3,...,, четно, , = 2ж.

Функция ф (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

¿а

аг

Следствие 1. Пусть А = (Ар...,А,) = (0,1/2,Хх,-Хр...,Х^_1,-Х^_х). Тогда при всех ^е А,^Ф0 числа ф^(£,),ф'(£,),...,фА^'Ч^) однородно алгебраически независимы над А.

Доказательство. Рассмотрим набор Е-функций

ф =

В случае, когда

А = (А!,..., А,) = (0,1/2, X, -X,..., Х^, -Хм_1 (15) функции (14) связаны соотношением, построенным в работе [4]:

224 Р

где

' '-1

Р = ХХаг,'г_1 г,. + г'г02 е  [г'][гo,г1,г2,...,г^

г=1 1=0

С = (1/4)(-1)^Ф 0 - отличная от нуля константа, ач е . Следовательно, набор из ' +1 Е-функции

Ф, ф,

однородно алгебраически зависим над , и минимальный по степени многочлен, осуществляющий зависимость, есть

Р

Поскольку С — ненулевая константа и не делится на г-^ при любом ^ , то по Предложению 1 числа ф(£,),5ф(£,),...,5,-1ф(£,) при любом ^е А\{0}однородно алгебраически независимы над А.

Отметим, что над полем A степень однородной трансцендентности системы чисел ф (£,), 8ф (£,),..., 8 '-1ф (£,) равна [см.: 1, с. 239] степени трансцендентности системы

ф(£ ),ф'(^),...,ф('-1)(^). (20) Данное следствие является усилением доказанного в работе [3] факта о линейной независимости этих чисел над A.

На основании изложенного можно заключить, что теорема Бейкерса является эффективным инструментом в исследовании «исключительных» точек для наборов Е-функций. Представляет интерес обобщение Предложения 1 на случай нескольких зависимостей в наборе Е-функций, что открыло бы дорогу к изучению более широкого круга известных наборов Е-функций, составляющих решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шидловский, А.Б. Трансцендентные числа [Текст] / А.Б. Шидловский. - М. : Наука, 1987.

2. Beukers, F. A refined version of the Siegel-Shidlovskii theorem // Ann. Math. - 2006. - Vol. 163. - P. 369-379.

3. Салихов, В.Х. Алгебраические соотношения между гипергеометрической Е-функцией и ее производными [Текст] / В.Х. Салихов, Г.Г. Вискина // Матем. Заметки. - 2002. -71:6. - P. 832844.

4. Салихов, ВХ. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений Е-функций [Текст] / В.Х. Салихов // ActaArith. - 1990. - V. 53. - № 5. -P. 453-471.

5. Нестеренко, Ю.В. О линейной независимости значений Е-функций [Текст] / Ю.В. Несте-ренко, А.Б. Шидловский // Матем. сб. - 1996. - T. 187. - № 8. - С. 93-108.

225