Применение матрицы Крылова для апериодического управления динамическими объектами

Список литературы

1. Голоскоков Д. П. Моделирование температурных полей при частичном нарушении теплоизоляции // Журнал университета водных коммуникаций. — 2010. — Вып. 4 (8). — С. 53-56.

2. Голоскоков Д. П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. — СПб.: Питер, 2004. — 539 с.

3. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. — 524 с.

4. Снеддон И. Преобразования Фурье. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. — 668 с.

5. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. — М.; Л.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. — 360 с.

УДК 629.12.10 В. В. Сахаров,

ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ КРЫЛОВА ДЛЯ АПЕРИОДИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ KRYLOV MATRIX APPLICATION TO DYNAMIC PLANTS APERIODIC CONTROL

В статье рассматривается алгоритм синтеза апериодических управлений динамическими объектами, основанный на применении матрицы Крылова, что обеспечивает повышение эффективности решения двухточечных граничных задач в классе дискретных систем и адаптацию вычислительной процедуры к изменениям граничных условий и времени действия системы.

The article is devoted to the application ofe Krylov matrix for aperiodic control synthesis employment to dynamic plants. Krylov matrix ensures the efficiency of solving two-point boundary problems for discrete systems and adaptive algorithmic properties to boundary and time condition changes.

Ключевые слова: пространство состояния, матрица Крылова, алгоритм, динамический объект, псевдоинверсия, матричный экспоненциал, дискретная модель.

Key words: state space, Krylov matrix, algorithm, dynamic plant, pseudoinverse, matrix exponential, discrete model.

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;

В. И. Королев,

канд. техн. наук, профессор, ФГОУ ВПО «Морская государственная академия имени адмирала Ф. Ф. Ушакова»

ИСКРЕТНЫЕ динамические системы с конечным временем установления переходных процессов называ-

системы повышенного порядка особенно часто используются в цифровых управляющих комплексах различного назначения [3].

ют апериодическими системами управления. Хорошо приспособленные к техническим приемам модификации и применению численных методов оптимизации производственных и технологических процессов, апериодические

Применение современных вычислительных сред для управления технологическими процессами на объектах водного транспорта позволяет кардинально изменить процедуру синтеза апериодических систем. Вы-

Выпуск 1,

¡Выпуск 1

сокое быстродействие и производительность дают возможность для класса дискретных динамических объектов при вариации числа интервалов дискретности решать комплекс задач: идентифицировать объект по экспериментальным характеристикам, оценивать внешние воздействия и компенсировать их влияние на поведение управляемого объекта, оптимизировать технологический процесс при управлении по нескольким каналам с различными критериями качества.

Важным этапом синтеза апериодических систем является определение управляющих сигналов, позволяющих в течение заданного времени (в условиях ограничений) переводить объект из определенного начального состояния в конечное состояние при минимизации (максимизации) целевой функции.

В системах апериодического управления динамическими объектами кусочно-постоянные квантованные по времени сигналы генерируются при наличии в контуре обратной связи цифровых регуляторов выхода и состояния.

Рассмотрим модель динамической системы в пространстве состояний

X

где: А — матрица состояния размерности n х n, B — (n x 1)-матрица, X ( t ) — вектор состояния.

При цифровом управлении вектор U ( t ) изменяется ступенчато на границах интервалов дискретности (в моменты квантования сигналов), а непосредственно на интервалах имеет постоянные значения.

Из работ Калмана и Toy известно, что в общем случае для перевода динамической системы (1) с помощью дискретных управлений из начального в конечное (например, нулевое) состояние требуется синтезировать n сигналов управления. С этой целью весь временной интервал N должен состоять из не менее чем n интервалов, на которых управления могут быть кусочно-постоянными функциями.

Рассмотрим способ синтеза управлений, обеспечивающих решение двухточечной граничной задачи (начальное условие — левая граница, конечное — правая), основанный на использовании матрицы Крылова. Для определенности положим, что (1) является систе-

мой с одним входом. При кусочно-постоянных сигналах управления, амплитуда которых изменяется в моменты квантования по времени с помощью квантователя, решение уравнения (1) при заданном векторе начальных условий X ( (0 ) имеет вид

-Кг-и,

где: X ( ) — вектор состояния объекта в мо-

мент Кг — матрица Крылова, Ж — матричный экспоненциал, и — вектор кусочно-постоянных управлений размерности N х 1.

Матрица Крылова полного ранга размерности п х N имеет вид:

Кг=\^А И^~2 ••• Ж1 Ж0].*#,

где: Ж = еА5 и Н = (I - еАЗ) • А"1 • В, 5 — шаг квантования, I — единичная п-матрица.

В формуле (3) знак (.*) означает выполнение операции поэлементного умножения на вектор-столбец Н.

Согласно (2) на шаге N при 5 = 1, т. е. в момент ( = ( вектор состояния X ( ^) является функцией вектора начальных условий X ((0) и управлений и=Щ и ,иЛГ_1]Г, приложен-

ных к системе в моменты квантования. Для перевода динамического объекта из состояния X ( ( ) в состояние X (^) Ф 0 требуется получить вектор и с помощью соотношения

и = Кг+ •

Из (4) следует, что, если N = п, объект переводится из начального состояния в конечное за минимальное время. При этом квадратная матрица Крылова, имеющая полный ранг, должна инвертироваться. Если же N > п, переход осуществляется за N шагов по критерию минимума расхода энергии на управление [3]. Матрица Крылова становится прямоугольной, и для получения наилучшей оценки вектора управления и можно воспользоваться операцией псевдоинверсии Мура — Пенроуза.

Случай приведения объекта в начало координат является частным и получается из (4), если X (^) = 0. Если матрица А является особенной, то вычисление Н следует производить путем численного интегрирования

-*„)=} е^Ви^Ос

по переменной т.

Соотношениями (1)-(5) представлен

алгоритм апериодического управления динамическими объектами. Рассмотрим практическое применение полученного алгоритма на конкретных примерах.

Предположим, что объект управления описывается матричным дифференциальным уравнением третьего порядка [1]:

йХ1

dt

dX2

dt

dXi

dt

1

0

1

*1 0

• + 0

*3 1

•U

с вектором начальных условий X (0)= [-1 1 2]т. Обратим внимание на то, что матрица

'0 1 о'

Л= 0 -1 1

0 0-1

является особенной. Для определенности примем N = 5. Нетрудно убедиться, что собствен-

ные значения A равны: ^ = 0, Х2 = -1, Хъ = -1.

Возвращаясь к уравнению (2), мы видим, что первое слагаемое в правой части представляет собой переходный процесс, вызванный ненулевыми начальными условиями. Вторая составляющая есть реакция системы на сигнал управления U, изменяющийся в виде ступенчатой функции, полученный с помощью (4). Выберем 5 = t. - tiA = 1. Тогда переходную матрицу Н можно получить как реакцию (6) на единичный ступенчатый сигнал в момент t = 1 при нулевых начальных условиях [1]. В среде MatLAB эта операция выполняется с помощью функции матричного экспоненциала: Dr = expm(A) = [ 1.0000 0.6321 0.2642; 0 0.3679 0.3679; 0 0 0.3679].

Формирование элементов матрицы Крылова при изменении N в среде MatLAB выполняется с помощью операции gallery. Матрица Крылова, входящая в (4), для динамического объекта (6) имеет следующие численные значения элементов:

Апериодическое управление динамическим объектом

Рис. 1. Управление объектом с нулевой правой границей

Выпуск 1,

л

са

Кг = [0.9373 0.8610 0.7076 0.4377 0.1036;

0.0512 0.1076 0.2069 0.3298 0.2642;

0.0116 0.0315 0.0855 0.2325 0.6321].

Оценка управления и на каждом шаге, полученная по формуле (4), представляется вектором

и =[-1.2561 -0.8893 -0.2522 0.5022

-0.1047].

По приведенным расчетным данным произведено построение переходного процесса при воздействии на объект вектора и1'. На рис. 1 представлен процесс перехода объекта за время N = 5 из начального состояния X (( ) = X (0) = [-1 1 2]т в конечное состояние X (д = X N = [0 0 0]т.

Алгоритм, в структуре которого используется матрица Крылова, хорошо адаптируется к изменениям граничных условий и времени действия системы. Так, например, если требуется перевести тот же самый динамический объект из состояния X ((0) = X (0) = [2 0.4 -1]т в состояние

X (^) = X N = [-1 0 -0.5]т, на вход следует подать управления, представленные.

В результате получим переходный процесс (рис. 2) с графической интерпретацией траекторий переменных состояния, изменяющихся под действием апериодических управлений во времени. Заметим, что на правой границе и1 должен быть принят равным нулю. Ниже приведен фрагмент скрипт-файла 8аЬ727.ш, предназначенного для вычислений апериодических управлений прямоугольной формы.

% фрагмент файла 8аЬ727.ш % Применение матрицы Крылова для % управления динамической системой % по критерию минимума энергетических затрат

%================================

% Динамика системы А = [0 1 0; 0 -1 1; 0 0 -1]; В = [0 0 1]’;

N = 5;

Апериодическое управление с заданными граничными условиями

до

Рис. 2. Управление объектом при ненулевых граничных условиях вектором Ш: и1 = [-2.2775 -1.3244 0.2583 1.8212 -1.3776]

С = еуе(3); Б = [0 0 0]’

% Начальные и конечные условия, число шагов N

х0 = [-1 1 2]’; xN = [0 0 0]’; N = 6;

% Выбор шага квантования: delt = 1.0;

% Переход к системе в пространстве состояний в терминах ЬТ1:

8у81 = 88(А, В, С, Б);

% Переход к дискретной системе в пространстве состояний sysd = c2d(sys1,delt,’zoh’);

% Вывод матриц дискретной системы по управлению ^оЬ’:

Ad = sysd.a; Bd = sysd.b;

Cd = sysd.c; Dd = sysd.d;

% МАТРИЦА КРЫЛОВА Кг = gallery(‘krylov’,Ad,Bd,N);

Кг = flipud(rot90(Kr,2));

КЯ = pinv(Kг);

% Оценка вектора управления дискретной системой с использованием % матрицы Крылова:

Бг = expш(A.*delt);

Ъ = БгА^)*х0; и5 = KR*(xN-Z);

%================================

% Формирование векторов управления непрерывной системой:

U = [];

for i = 0:N-1; for t1 = 0:0.001:N; if (t1>=i)&(t1<i+1) u = U5(i+1);

U = [U u]; end U; end U; end

u = [0 U];

% Моделирование и графические построения: t1 = 0:0.001:N;

[x, t] = lsim(sys1, u, t1, x0); plot(t1, x, t1, u), grid

Файл разделен на блоки и содержит комментарии, полностью отражающие последовательность операций по реализации алгоритма синтеза апериодических управлений, представленного соотношениями (1)-(4).

Алгоритм применим для синтеза апериодических управлений неустойчивыми объектами. Однако моделирование объектов и систем с матрицами состояния, содержащими большие положительные собственные значения, требует повышенной точности вычислений и компенсации влияния помех, приводящих к неустойчивости вычислительного процесса. Наилучший практический результат при моделировании может быть достигнут путем комбинации управления с обратной связью и апериодического управления.

Список литературы

1. Глущенко В. В., Сахаров В. В., Сумеркин Ю. В. Моделирование динамических систем и электрических цепей в среде МаЛАВ: Учебное пособие. — СПб.: СПГУВК, 1998. — 293 с.

2. Королев В. И., Сахаров В. В. Робастная система управления судном на курсе // Транспортное дело России. Спецвыпуск. Проблемы водного транспорта. — М., 2003. — С. 7-8.

3. Королев В. И., Лутков С. А., Сахаров В. В. Параметрическая идентификация и оптимальное управление макроэкономической системой // Транспортное дело России. Спецвыпуск. Проблемы водного транспорта. — М., 2003. С. 74-76.

Выпуск 1,