О рождении устойчивой замкнутой траектории из гомоклинической траектории седла кусочногладкого векторного поля

УДК 517.925

В. Ш. Ройтенберг

О рождении устойчивой замкнутой траектории из гомоклинической траектории седла

кусочно-гладкого векторного поля

Даны условия рождения устойчивой замкнутой траектории из гомоклинической траектории седла кусочно-гладкого векторного поля, содержащей дуги на поверхности скользящих движений.

Ключевые слова: бифуркации, кусочно-гладкие векторные поля, гомоклиническая траектория, устойчивая замкнутая траектория.

V. Sh. Roitenberg

On the birth of a stable closed trajectory from a homoclinic trajectory of the saddle

of a piecewise smooth vector field

Conditions of the birth of a stable closed trajectory from a homoclinic trajectory of the saddle of a piecewise smooth vector field which include arcs on the surface of sliding motions are given.

Keywords: bifurcations, piecewise smooth vector fields, homoclinic trajectory, stable closed trajectory.

1. Введение. «Механизмы» возникновения автоколебаний в процессах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с гладкими правыми частями, хорошо известны. Математически они представляют бифуркации рождения устойчивых замкнутых траекторий гладких векторных полей [1]. Аналогичные бифуркации разрывных (кусочно-гладких) векторных полей изучены хуже. Некоторые локальные бифуркации описаны в книге [7], в основном для случая двумерного фазового пространства. Ряд нелокальных бифуркаций при размерности фазового пространства п > 3 изучен в работах автора [3-6].

Л. П. Шильниковым в работе [8] было доказано рождение единственной устойчивой замкнутой траектории из гомоклинической (двоякоасимптотической) траектории седла гладкого векторного поля, имеющего характеристические показатели Я,., такие, что Re Я) <... < RcЯя_2 < Яя_1 < 0 < Яя, Яя_1 + Яя < 0 .

Эти результаты, очевидно, переносятся и на кусочно-гладкие векторные поля в случае, когда седло не лежит на поверхности разрыва поля, а гомоклиническая траектория состоит из дуг, трансверсаль-ных поверхности разрыва.

Здесь мы изучим бифуркацию рождения устойчивой замкнутой траектории в трехмерном пространстве из гомоклинической траектории седла, содержащей участки скользящих движений, т. е. лежащие на поверхности разрыва.

2. Кусочно-гладкие векторные поля. Пусть М — компактное трехмерное С" -многообразие, D -разбиение М на компактные трехмерные Сх -подмногообразия М:. / е {1,2,.....у}. такие, что М=М, иМ2и...иМ5, М, пМ. = dMir\dMj при 1 < / < / < \ . Если MinMj^0 при / Ф / . то Мj с\ М. является замкнутым двумерным С00 -подмногообразием в М .

Кусочно-гладким векторным полем класса на многообразии M с разбиением D назовем элемент банахова пространства

Xr (М,D) := Хг (Мх) <8> Хг (М2) <8>... <8> Xr (MJ, где X' (Mi) - банахово пространство векторных полей класса (" на М с (" -топологией (/е {1,2,. ,.,s}, r> 1). Траекториями поля X = (Хт ,...,X(s)) из Xr(M,D) следуя [7, С. 95] будем называть траектории дифференциального включения хеХ(х), хеМ, где Х(х) - \Х1п(х)} при

© Ройтенберг В. Ш., 2013

х g int Л/Г и Х(х) - выпуклая оболочка векторов X'" (х) и X(j)(x) при xeMi п M ; Ф0, гФ j. Кусочно-гладкое векторное поле X = (Х(Г),...,X(s)) g Xr(M,D) можно отождествить с классом векторных полей X* :М —>ТМ , где X* (х) = Х(г) (х) при xeintMt. Векторные поля X*, вообще говоря, имеют разрывы на поверхностях йМ .

Однопараметрическим семейством кусочно-гладких векторных полей назовем С -отображение (-v, v) э s \—> Х£ = (Х\]; '..... ) g X' (М. 1)). v>0. Будем его обозначать {X r } ^. Так как отображения значений Mt. х Хг (Мг.) э (х, X(l) ) I—> X(l) (х) g 1М1., i е {1,2,...,5}, принадлежат классу С', то и отображения Mi x (-v, v) э (х, г;) н» (х) принадлежат классу (" .

3. Поверхность скользящих движений. Пусть для кусочно-гладкого векторного поля X - (Х(Г) ,...,X(s)) е Xr(M,D) вектор X'" (х" ) касается dMi. Будем говорить, что это простое касание, если в окрестности U точки x0 можно выбрать локальные координаты (x1, x2, x3 ) так, что точка х° имеет нулевые координаты, дМ{ n U задается уравнением х3 = 0 , при x е U

Х(г) (x) =Р1(х1,х2, х3)д / дх1 + Р2(Xj, х2, х3)д / дх2 +Р3(х1,х2,х3)д / дх3, где Р3(0) = 0 , (дРъ(0) / cbq )2 + (йР3(0) / дх2)2 * 0.

Пусть все точки касания векторных полей Xw , / е {1,2,...,5} , с dMj — простые. Тогда множество SiV, состоящее из точек x g йМ , в которых вектор X'" (х) направлен из Mj или касается йМ;, является компактным С -многообразием с краем dSx = {x g дМг : X(l) (x) g Тх дМ{} . Множество Sx = U («^ц- i^i Sjx ) \ (д^х пЖд) является (" -многообразием с краем. Назовем его устойчивой по-

верхностъю скользящих движений поля X <=Xr (M,D). Для любой точки xeSx в Х(х) имеется единственный вектор Xs (x) е TxSx , при этом Xs (•) g ( " . Тем самым, на S, задано С -векторное поле Xs . Дуги траекторий поля Xs (скользящие движения) являются и дугами траекторий поля X .

Обыкновенными точками поля X будем называть точки x е int M; и точки x g Mj глМ . Ф 0, i Ф / . в

которых векторы X'" (х) и X'J ' (х) не касаются Mi r\Mf и направлены оба внутрь или Mf или M..

4. Гиперболические замкнутые траектории, содержащие участки скользящих движений. Пусть L : x = ). t g r, замкнутая (периодическая) траектория поля X е x' (M,D) периода Т и существуют числа fj <...<t2m < t2m+l = ij +T такие, что дуга ^\t2i_x, l2i \. / g {1,..., m} , принадлежит Sx и пересекается с dSx в единственной точке ç(t2i ), причем это пересечение трансверсально; дуги ç(l2i, t2i+l ), /е{1,..., га} состоят из простых точек. Тогда для любого i g {\.....m\ определено отображение f2j по траекториям векторного поля X некоторой окрестности l2i точки ç(t2, ) на dSx в окрестность точки, принадлежащую int Sx. Это отображение является С -вложением. Потребуем, чтобы для любого i е {\.....т\ оно было трансверсально в точке l ) вектору Xs (<H(t2i+l )). Тогда для любого ie{0,...,m-l} определен диффеоморфизм f2M

некоторой окрестности /2j+1 точки ^(t2t+] ) на дуге /г; (4, ) в окрестность точки ¿¡(l2ll2 ) на dSx по траекториям векторного поля Xs . Теперь в некоторой окрестности точки р := ¿'С, ) на /, определено отображение последования по траекториям поля X -локальный диффеоморфизм / = f2m ° ,../2 ° /,', для которого р - неподвижная точка. Если | / '( /?)| <1, то L - устойчивая гиперболическая замкнутая траектория, с m участками скользящих движений.

5. Формулировка результатов. Рассмотрим однопараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей {^}|£|<v класса С, г >2. Предположим, что векторное поле Х0 удовлетворяет

следующим условиям.

С ) Для него определена поверхность скользящих движений Sx .

С2) При некотором k, е {1,2,...,s} векторное поле Xf'^ имеет гиперболическое седло z° е miMk .

С3) Характеристические показатели Л° седла z° таковы, что Л,0 < < 0 < Я^', Л^ + Я^ <0 .

С4) Существует траектория L:x = ^(t), / е R . а - и со-предельная к z°, со следующими свойствами. Для некоторых —со = t0 <tx <...<t2m < t2m+l = +oo ,

а) дуга %(t21,t2M), i e {0,1,.,.,m], состоит из обыкновенных точек; б) дуга <H[t2i_l,t2i\, ie{l,...,m}, принадлежит Sx¡¡ и пересекается с dSx¡¡ в единственной точке %(t2i), причем это пересечение трансверсалъно; в) пусть f2i : l2i —> Sx¡¡ - отображение по траекториям векторного поля Х0 окрестности l2i точки %(t2i) на dSx¡¡ в окрестность точки %(t2M), принадлежащую int Л', . Это отображение является С -вложением. Потребуем, чтобы для любого ie{l,...,m} дуга f2i(l2i) была трансверсалъно в точке £(t2i+1) вектору Х^ (¿j(t2M )) ; г) дуга ¿;(t2m,+со) входит в седло по ведущему направлению (одномерному собственному подпространству, соответствующему д) Пересечения дуг положительных полутраекторий поля Х0, начинающихся в точках 12т, с intMk , образуют погруженное двумерное подмногообразие в vcAMk . Будем предполагать, что оно трансверсалъно пересекается с устойчивым инвариантным многообразием Ws (z0) седла z0.

При достаточно малом Sl > 0 для любого е е (-¿j. St) в окрестности V точки %{t2m) существуют такие локальные координаты (xj,x2,x3), что точка £(t2m) имеет при с — 0 нулевые координаты, Sx c\V = {p<eV\x3(p) = 0,x2(p)>0} , dSxr\V= dSx c\V = {p&V\x3(p) = x2(p) = 0}, при этом отображения (р,s) > xj(р), j = 1,2,3, принадлежат классу (" .

Вследствие С2) и С3) при достаточно малом <-), векторное поле Х[к{ 1, < с),. имеет седло z(s), где z(-) е (" , z(0) = z°. При этом для каждого s мы можем выбрать локальные координаты (у,г) = (у1,у2,т), в которых уравнение х = X(ek"-1 (х) имеет вид у = (А(е) + р(у,т,е))у, г = (Я,(е) + q(y,т, е))т, где А(е) = diag(4 (s), А, (е)) , А е С"1, А, (0) = Л°, j = 1,2,3, р, q е С"1, р{0) = q{0) = 0 . Можно считать, что при s = 0 направление, по которому L входит в седло, совпадает с положительной полуосью у2, а положительная полуось г принадлежит дуге /,). Пусть

П; ={р:т(р) = с11, у,2 +у22 <d¡}, , П+ :={р: у2 (р) = d3, | у, (р) | < d3, | т(р) \ < d3}, где dj> 0, 7 = 1,2,3. Числа ¿/, и д2 можно выбрать так, что при |í;| < fi2 векторное поле 1 было трансверсально подмногообразиям П^ и П~. Мы можем также считать, что определен (" -диффеоморфизм /' '. отображающий 11 . по траекториям поля Х(ек,) на некоторую окрестность точки ) в int .S'v . Тогда 7|'|3 отображает дугу у, = 0 в 11() в некоторую дугу / с int Л'.. . Следующее условие не зависит от произвола в выборе координат (у. г) и чисел ¿/( > 0 .

С5) Вектор Xs )) трансверсален дуге I в точке ).

Пусть 7_'3 отображает точку с координатами у = 0, т. е. точку пересечения выходящей сепаратрисы седла z(s) с 11, . в точку p(s) . Тогда /?(•) е (" 1, р(0) = ). Из пунктов а) - в) условия С4) следует, что при достаточно малом S2 е (0,5г ] положительная полутраектория поля X, < ё2, начинающаяся в точке р(в), пересекает dSx n V в точке с координатой х1 - ü(s), где й(-) е С'1, и(0) = 0 . Обозначим r¡; (и ) - точку dSx Г) V с координатой х1 =ü(s) + и . Мы можем считать, что при |¿'| < S2 r¡s (•) определена на интервале {-и,, м.).

В силу пункта г) условия С4) и выбора координаты у2 дуга ¿'(/2„, - +00) пересекает 11 ' в точке с координатой г = 0. При достаточно малых гТ е (0. и. | и ¿>3 е (0. д21 положительная полутраектория поля Хг., < с)',. начинающаяся в точке //, (и). |«| < й. пересекает П* в точке с координатами У\ = >', (и. •?)  г = т(и.с). где у, .иг- С' "1-функции, г(0,0) = 0. Пусть Т] : /'. —> - отображение, ставящее в соответствие точке (и) точку с координатами ^ - (м, е), г = т(и,е) .

Следующее условие не зависит от выбора координат (у, г) и чисел ¿/,.

С6) Производная т'£ (0,0) ф 0 .

Без ограничения общности можно считать, что в условии С6) г' (0,0) > 0.

Замечание. Можно показать, что векторные поля Х0, удовлетворяющие условиям С1) — С5) образуют в X' (М,П) погруженное С1-подмногообразие коразмерности один, а условие С6) означает трансверсальность семейства {Хе} в точке е — 0 этому подмногообразию.

Теорема. Пусть однопараметрическое семейство кусочно-гладких векторных полей {Хе ^^ удовлетворяет условиям С^-С^) . Тогда существуют такие число 8> 0 и окрестность (/(I) петли Г0 :=1и{г"}, что векторное поле Хе при —5<е< 0 не имеет замкнутых траекторий, принадлежащих Ч{\ ,,). а при ()<£'< () имеет в II{\ ,,) единственную замкнутую траекторию Т(с); эта траектория является устойчивой гиперболической; топологический предел Ь Г(а') = Г0.

е—>0

Рис. 1. Траектории векторного поля Х0 (т = 1).

6. Доказательство. Из пункта д) условия С4) следует, что г' (0,0) Ф 0. За счет выбора rje (сделав при необходимости замену i]i: (и) на //, (—и)) можно добиться, чтобы г' (0,0) > 0. Мы можем считать, что при выбранных й и 53 г' (и, s) > 0, если |и| < й. < дъ. Т. к. г(0,0) = 0, то по теореме о неявной функции й и S-. можно считать выбранными так, что при |«| < й. |б'| < д3 sgn т(и. е) — sgn(u — ип (V;)). где и0 : (—¿з, 5}) —> (—й, й) - С'-1-функция, ы0( 0) = 0. Т.к. г' (0. ())>(). то можно считать, что sgn и0 (с) = - sgn г( 0, s) = - sgn s . Обозначим /; - дугу в П.'1 := \р е П. : т(р) > 0} , задаваемую уравнениями yl=yl(u,s), т = т(и. с). u0(s)<u<i« . Т.к. г' (и. с) > 0. то /,.2 можно задать и уравнением Vj = w(r, г), 0 < т < т(й, б), где w е С'"1.

Обозначим у{е) := -/L, (г) / Л3 (г). По условию С3) /(0) > 1.

Из [2] следует, что координаты (у1, у2, г) и числа d3 и ()', можно считать выбранными так, что при lei < S3 определен диффеоморфизм У'2 : П, 1 —» П, по траекториям поля Х[.1: ', ставящий в соответ-

ствие точке с координатами y1 = v, т > 0 точку с координатами у1 = i\ (v, г, s),

у2 = а(е)тг(е) + r2 (v, г, s), где a(s) > 0, a,ri g С-1,

\ф,Т,Е)\Ц^ф,Т,е)\+\^-ф,Т,е)\<Нта , \^-ф,Т,£) \<Nt"-\ /=1,2,

OV OS от

при некоторых N > 0 и а > у(0) . Выберем числа у_ и у так чтобы 1 < ;/ < ;/(()) <у+ <а . Тогда найдется такое дл с (0, д\ ], что для <84 у < у (s) < у .В окрестности точки ç(l\ ) на Л',, введем координаты у1,у2, индуцированные с 11. диффеоморфизмом 7_'3. Обозначим := У';1 о 7'2(/,2 ). В координатах : jj = fj (w(r, г), г, s) y2 = y* (t, s) := a(s)Tr(s) + r2 (w(t, s),t,s), 0 < т < т(ïï, s).

Используя (1), получаем, что для некоторой постоянной С > 0

0 < ду2

Поэтому y*(-,s), |е|<с>4, имеет обратную функцию т*(-,е), причем т* (•, •) g С-1, г*(+0,е) = 0. Пусть g(0,s) :=0 и g(y2,s):~ r (w(T,s),T,e) y при y2>0 . Уравнение y^ = g(y2,s) задает дугу // = l\ u {p(s)} . Ввиду (1) при некотором К > 0

I g

Поэтому g непрерывно дифференцируема. Из (3) также видно, что за счет выбора и и 81 max I dg(y2,s) / <9ts | можно сделать сколь угодно малым. Но тогда вследствие условия С5) найдется такое g (0. 841. что при < 8- векторное поле Л'., трансверсально /е3. Поскольку траектория поля Хв, |ßj <д-. начинающаяся в точке p(s), пересекает дугу rjs(—и,,м„) в точке //, (0). то определен диффеоморфизм Tf : le3 —» //, {—и,. ut ) по траекториям поля Xs, переводящий точку с координатой y2=v в точку ije(<p(v, s)), где (р - С1-функция, <р(0, s) -0 . (p'Jv. i:) Ф 0 . Отображение последования Т£ "Т3 "Т2 "Т1 переводит точку f]s(u), u0(s)<u<ïï, в точку г/г(/£(и)), где fE (и) = (р(у2 (т(и, s), s), s)) . Доопределим fe (и) по непрерывности при и =и0 (s), положив fe (и0 (е)) = ç(0, s) = 0 . Так как (р и т - С -функции, то существует такая постоянная Q > 0, что I (p'v (v, s) I < Cj при < 8S, 0 < v < у* (т(й, s), s) , I f^ (м, e) I < Cj при < ö5, |м| < м .

Из (2) получаем, считая, что ми ö5 достаточно малы, 0 < ду*г (т(и, s), s) / дт < С[т(й, 1 < 1 / С2, если < S5, u0(s) <и <ïï.

Поэтому при всех u0(s) <и <ïï \ (fe)'(и) |< 1.

Пусть сначала (p'v(y,s)> 0 и, соответственно, (f,)'(ii) > 0 . Т.к. /о(0) = 0, то по формуле Лагранжа 0 < /0 (ы) < м и при некотором îJ е (0, ] 0 < /е (м ) < й , если < S. При 0 < s < 8 fe(u0 (s)) = 0 > и0 (s) . Поэтому Ts имеет единственную (причем устойчивую и гиперболическую) неподвижную точку т]Е (Uj (s)) . Ясно, что Uj (s) —> 0 при г, +0. Через точку а/. (u f ({:)) проходит устойчивая гиперболическая замкнутая траектория Г(7;), для которой It Г(г) = Г0. При -ö<s< 0 u0(s)> 0. По формуле Jla-

£->0

гранжа fs(u) = (fs)'(c)(u-и0(е)) <и, и потому Ts не имеет неподвижных точек. При —¿7 <и <u0(s) т(и,s) < 0, поэтому через точки //. (и) не может проходить замкнутая траектория, лежащая в достаточно малой окрестности петли Г0. Нетрудно построить окрестность £/(Г0) петли Г0, для которой при достаточно малом 8 любая траектория поля X. |б'| < 5. лежащая в ней, обязательно пересекает дугу //, (-ïï, ïï). Поэтому при достаточно малом 8 I (i:) - единственная замкнутая траектория в U(Г0 ).

Случай (fe)'(u)< 0 рассматривается аналогично.

Библиографический список

1. Арнольд, В. И. Теория бифуркаций [Текст] /В. И. Арнольд и др. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, Т. 5. - М. : ВИНИТИ, 1986. - С. 5-218.

2. Овсянников, И. М. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса [Текст] / И. М. Овсянников, Л. П. Шильников // Мат. сб. - 1986. - Т. 130. - № 4. - С. 552-570.

3. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях перерождения замкнутых траекторий кусочно-гладких векторных полей [Текст] / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое образование. Теория и практика : Межвуз. сб. науч. тр. Вып.4. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2004. - С. 75-81.

4. Ройтенберг, В. Ш. О рождения устойчивых замкнутых траекторий динамических систем, задаваемых кусочно-гладкими векторными полями [Текст] / В. Ш. Ройтенберг // Вестник ЯГТУ. 2004. - Вып.4. - С. 206-208.

5. Ройтенберг, В. Ш. О рождения устойчивых замкнутых траекторий кусочно-гладких векторных полей [Текст] / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое образование. Теория и практика : Межвуз. сб. науч. тр. Вып.5. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2006. - С. 37-49.

6. Ройтенберг, В. Ш. О рождения устойчивых замкнутых траекторий разрывных векторных полей [Текст] / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып.3. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2002. - С. 19-22.

7. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью [Текст] / А. Ф. Филиппов. -М. : Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1985. - 224 с.

8. Шильников, Л. П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий [Текст] / Л. П. Шильников // Мат. сб. - 1963. - Т. 61. - № 4. - С. 443-466.

Bibliograficheskij spisok

1. Arnol'd, V. I. Teorija bifurkacij [Tekst] /V. I. Arnol'd i dr. // Sovremennye problemy matematiki. Fundamen-tal'nye napravlenija, T. 5. - M. : VINITI, 1986. - S. 5-218.

2. Ovsjannikov, I. M. O sistemah s gomoklinicheskoj krivoj sedlo-fokusa [Tekst] / I. M. Ovsjannikov, L. P. Shil'nikov // Mat. sb. - 1986. - T. 130. - № 4. - S. 552-570.

3. Rojtenberg, V. Sh. O bifurkacijah pererozhdenija zamknutyh traektorij kusochno-gladkih vektornyh polej [Tekst] / V. Sh. Rojtenberg // Matematika i matematicheskoe obrazovanie. Teorija i praktika : Mezhvuz. sb. nauch. tr. Vyp.4. -Jaroslavl' : Izd-vo JaGTU, 2004. - S. 75-81.

4. Rojtenberg, V. Sh. O rozhdenija ustojchivyh zamknutyh traektorij dinamicheskih sistem, zadavaemyh kusochno-gladkimi vektornymi poljami [Tekst] / V. Sh. Rojtenberg // Vestnik JaGTU. 2004. - Vyp.4. - S. 206-208.

5. Rojtenberg, V. Sh. O rozhdenija ustojchivyh zamknutyh traektorij kusochno-gladkih vektornyh polej [Tekst] / V. Sh. Rojtenberg // Matematika i matematicheskoe obrazovanie. Teorija i praktika : Mezhvuz. sb. nauch. tr. Vyp.5. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGTU, 2006. - S. 37-49.

6. Rojtenberg, V. Sh. O rozhdenija ustojchivyh zamknutyh traektorij razryvnyh vektornyh polej [Tekst] / V. Sh. Ro-jtenberg // Matematika i matematicheskoe obrazovanie. Teorija i praktika: Mezhvuz. sb. nauch. tr. Vyp.3. - Jaroslavl' : Izd-vo JaGTU, 2002. - S. 19-22.

7. Filippov, A. F. Differencial'nye uravnenija s razryvnoj pravoj chast'ju [Tekst] / A. F. Filippov. - M. : Nauka, Glavnaja redakcija fiz.-mat. literatury, 1985. - 224 s.

8. Shil'nikov, L. P. O nekotoryh sluchajah rozhdenija periodicheskih dvizhenij iz osobyh traektorij [Tekst] / L. P. Shil'nikov // Mat. sb. - 1963. - T. 61. - № 4. - S. 443-466.