МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭЛЕМЕНТАРНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

Методика введения понятия производной в элементарном исчислении

Гилев Валерий Георгиевич,

кандидат педагогических наук, доцент, Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова, Филиал Тюменского государственного университета E-mail: gilev.valery@gmail.com

Под элементарным исчислением понимается раздел «Алгебры и начал анализа» в котором исследуются элементарные основные функции на монотонность методом обобщения при помощи функции обобщения (которая для рациональных функций является производной) без использования теории пределов. Предлагается нетрадиционная методика введения понятия производной, которая эффективно готовит учащихся к введению определения производной.

Показывается, что для рациональных функций угловой коэффициент касательной и значение функции обобщения в точке касания совпадают. Этот факт дал возможность сформулировать определение касательной через мгновенную скорость и доступно подойти к формированию представления о пределе. Показано, что в имеющихся представлениях функция обобщения не может быть производной для трансцендентных функций, но является основой для построения элементарного исчисления.

Отмечаются отличия в построении теорий элементарного исчисления и дифференциального исчисления. В поддержку легитимности функции обобщения называются Ферма, Лагранж, Каратеодори. В рамках теории элементарного исчисления представлены примеры интерпретаций известных утверждений.

Ключевые слова: монотонность, метод обобщения, функция обобщения, мгновенная скорость изменения функции, производная функция, элементарное исчисление, дифференциальное исчисление.

Метод обобщения при исследовании функций на монотонность

В реальной жизни, особенно в технологических процессах, важно знать, как ведет себя интересуемая нами величина: возрастает, убывает, принимает экстремальные значения, с какой скоростью изменяется и какова скорость изменения в данный момент - мгновенная скорость.

Различные процессы описываются с помощью функций. Поэтому, чтобы ответить на первую часть вопросов необходимо знать свойство монотонности функции и способ его доказательства. Вместе с тем оказывается, что с решением проблемы исследования функций на монотонность, возможно ответить и на другие вопросы [1].

Функция обобщения, о которой идет речь в данной статье, выгодно отличается тем, что она позволяет исследовать функцию на монотонность, находить среднюю скорость на промежутке и мгновенную в точке без использования пределов.

Пусть у = f (х) элементарная основная функция.

Выбираем х1,х2) е Df такие, что (х1,х2) е Р.

Возможно f (х2) - f (х1) = В (х1; х2 )• А (х1; х2), где В (х1;х2) = 0 при

х1 = х2; А( х1; х2)- выражение с двумя фиксированными значениями х1,х2 аргумента функции у = f (х). Числовое значение выражения А( х1; х2) = к.

При В(х1; х2)> 0, знак выражения f(х2) -f(х1) будет зависеть от знака А(х1;х2). Для установления знака выражения А( х1; х2) выполним в нем логическую операцию обобщения, заменив х1их2 на

X : Х1 = Х2 = X.

Обобщение путем замены х1 и х2 на х в выражении А(х1;х2) определило функцию 8(х) = А(х). Функция 8(х) называется функцией обобщения.

Функция обобщения позволяет находить промежутки монотонности функции у = f (х).

Решение неравенства 8(х)> 0 определяет промежутки, в которых функция возрастает.

Решение неравенства 8(х) < 0 определяет промежутки, в которых функция убывает.

Решение уравнения 8(х) = 0 определяет критические точки экстремума или перегиба.

сз о со "О

1=1 А

—I

о

сз т; о m О от

З

U

о со

о с

U

см оо

Метод, при помощи которого находятся промежутки монотонности функции называется методом обобщения при исследовании функций (метод обобщения). Примеры

1. Исследовать на монотонность функцию об-

к

ратной пропорциональности у =—.

Решение. Df =(-»;0)^(0; +<»).

Пусть (х1,х2 е Р) и х2 > х1, т.е. х2 - х1 > 0. Р -

промежуток монотонности. Имеем:

1 (Х2 )- 1 (Х1)= к - к = = ( Х2 - Х1 )• -к

Х2 Xj Х1Х2 = B (xi; x2 )• A( xi; x2 ) , где B(Xjx2) = x2 - Xj > 0, A(Xj, X2) =

XiX-

1A2

-k XJX2

Найдем функцию обобщения, имея в виду

Х1 = Х2 = Х :

5(Х) =А(Х)=~Хк = -Х2 ;8(Х) = -Х2 *0 - крити-

АЛ Х Х

ческих точек нет.

к

8(х) > 0 при к< 0. Функция у = — возрастает в

(-о>;0) И(0; +<») .

k

8(х) < 0 при к> 0 . Функция у = — убывает в

(-а>;0) и (0; +<») .

2. Исследовать на монотонность функцию

у = э'тх .

Решение. Пусть х1, х2 е Р - промежуток монотонности и

г\ г\ Х2 — Х1 П _

0 < х2- х1 < п, тогда 0 < 22 1 < — Откуда

sin

X2-XL 1 > 0.

2

Имеем:

f (X2) - f (xj) = sinx2 - sinxj = 2sin

i x2 — xj | i x2 + xj

cos

= B (Xj; X2)• A(Xj; X2) ,где B (Xj; X2) = 2 sin I I > 0.

A( Xj; X2) = cos

2

Найдем функцию обобщения при Xj = x2 = x :

S(x)=A ( x ) = cos|X + X| = cos|"2xj = cosx . Имеем S( x ) = cosx .

S(x) = 0; cosx = 0; x = n + nn, ne Z - критические точки.

8(х) > 0; соэх > 0; -—+2пп < х<—+2пп,пеZ -1 ; 2 2

функция

у = э/пх возрастает.

8(х) < 0; соэх < 0; —+2пп < х<—+2пп,пе Z -V ) ' '2 2

функция

у = э/пх убывает.

Так как критические точки являются точками экстремума, имеем: функция синус возрастает

на каждом из промежутков

-— + 2пП; — + 2nn 2 2

, n e Z

; функция синус убывает на каждом из промежут-

ков

П „ 3п —+2 nn;—+2 nn 2 2

,neZ.

Методика определения производной

Скорость изменения функции. Мгновенная скорость

Пусть задана функция у = 1 (х), для которой:

1 (х2)-1 (Х1 ) = (х2 - Х1 )• А(х1;х2).

х2 - х1 = Ах - приращение аргумента, 1 (х2)-1 (х1) = Ау - приращение функции.

Отношение АХ определяет среднюю скорость

изменения функции

у = 1 (х) на промежутке [х1; х2 ]:

Ау

— = А(х1;х2) = к - средняя скорость изменения

функции на промежутке [х1; х2 ].

При х2 = х1,А(х1 ) = 8(х1 ) = к1 - мгновенная скорость в точке х1.

При х1 = х2, А(х2) = 8(х2) = к2 - мгновенная скорость в точке х2.

При х2 = х1 = х, А(х) = 8(х) = к - мгновенная скорость в каждой точке х из области определения функции.

Зная 8( х), можно найти мгновенную скорость в данной точке х0 е Df:

^гн. =8( х0 ).

При 8(х)> 0 функция возрастает, мгновенная скорость в каждой точке х положительна; при 8(х)< 0 функция убывает, мгновенная скорость

в каждой точке х отрицательна; при 8( х0) = 0 -точка х0 критическая (экстремум или перегиб). Примеры

1. Найти среднюю скорость изменения функции 1 (х) = х2 на промежутке [1,5;3,5] и мгновенную скорость в его концах.

Решение.

у = х2 :

У2 - У1 = х| - х2 = (х2 - х1) • (х2 + х1); Ау = Ах • (х2 + х1);

А( х1; х2) = х1 + х2. Найдем функцию обобщения, имея в виду х1 = х2 = х :

8( х ) = А( х ) = 2х; 8( х ) = 2х.

Уср. = Ах = А(х1;х2); Уср. = х1 + х2; Уср. = 5.

При х = х1,Умгн=8( х1) = 2х1 = 3. Или 8(1,5 ) = 3.

При х = х2 Умгн. = 8( х2) = 2х2 = 7. Или 8( 3,5) = 7.

2. Найти мгновенную скорость изменения функции в любой точке х из области определения функции f (х ) = х3. Решение.

f (х2 ) - f (х1) = х3 - х13 = (х2 - х1) • (х2 + х1х2 + х2 ^ где А (х1; х2) = х| + х1х2+х|. При х1 = х2 = х 8( х) = А( х) = х2 + х2 + х2 = 3х2; 8( х) = 3х2.

3. Найти скорость изменения линейной функции у = кх +1.

Решение. у2 - у1 = (х2 - х1) • к; А^ = к - средняя

скорость на промежутке и в каждой точке прямой

у = кх +1: 8 (х) = к.

Касательная. Мгновенная скорость в точке касания

Пусть задана функция у = f (х) (рис. 1).

Точки М1 и М2 принадлежат графику функции. [х1; х2]с Df. х2 - х1 = Ах - приращение аргумента. f (х2)-f (х1) = Ау - приращение функции.

Через точку М1 графика функции проведем касательную у = к1х +11.

Для касательной приращение функции у2 - у1 = Су , приращение аргумента х2 - х1 = Сх. Приращение бу называют дифференциалом

сСе^

и определяют: сСу « кСх. Это корректное определение дифференциала.

Определение. Касательной к кривой называется прямая, угловой коэффициент которой равен мгновенной скорости в точке касания.

Так, если у = к1х +11 касательная, то к1 = 8( х1) -мгновенная скорость в точке х1.

Имеем : 8( х1 ) = к1 - мгновенная скорость в точке х1;8(х2) = к2 - мгновенная скорость в точке х2; 8(х) = к - мгновенная скорость в каждой точке х из области определения функции (рис. 2).

Секущая и касательная

Пусть задана функция у = f (х), для которой :

f (х2) - f (х1 ) = (х2 - х1 )• А(х1;х2).

Ау

Отношение — определяет среднюю скорость изменения функции

у = f (х) напромежутке [х^х2]: Ау = А(х1;х2) = к -

средняя скорость изменения функции на промежутке [х1; х2 ].

Через точки М1 и М2 (рис. 3) с абсциссами соответственно х1 и х2 проведем секущую у = кх +11

для которой к = Ах = А(х1;х2) - средняя скорость

изменения функции на промежутке [х1; х2 ].

Очевидно, касательная у = кх +12 определит точку касания х е[х1;х2], в которой мгновенная скорость равна средней скорости на отрезке:

8( х) = к.

Вообще, возможность «проведения» касательной у = кх +1 к графику функции у = f (х) дает способ убедиться в существовании мгновенной скорости в точке х Ммгн (х) = к.

сз о со "О

1=1 А

—I

о

сз т; о т О от

З

и о со

о с

U

см со

Линейная функция играет важную роль в построении элементарного исчисления. Во-первых, она обладает тем свойством, что в любой точке прямой мгновенная скорость равна средней скорости. Во-вторых, параллельные касательная и секущая имеют одинаковую среднюю скорость изменения функции, которая равна мгновенной скорости в точке касания (рис. 3).

Понятие производной

Мгновенная скорость изменения функции 1 (х) в точке есть число:

8( х1) = к1 Если рассматривать мгновенную скорость функции 1 (х) в различных точках х, то мы

будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, мгновенная скорость есть функция переменной х. Эта функция называется производной функции 1 (х) в точке х.

Следовательно, можно говорить о том, что функция обобщения является производной 8(х) = к, впрочем как и коэффициент к касательной.

Таким образом, функция обобщения не только позволяет исследовать функцию 1 (х) на монотонность, но и находить мгновенную скорость в каждой точке из области ее определения, то есть является производной функцией.

Понятие предела. Определение производной

Пусть дан график функции у = 1 (х) (рис. 4).

Зафиксируем на графике точку М1 с абсциссой х1. Точку М2 с абсциссой х2 сделаем свободной. Точка М1 (х1;у1) - фиксированная, точка М2 (Х2;у2) - свободная.

Устремим точку М2 к точке М1. Касательная у = к2х + /2 будет двигаться вместе с точкой М2

по графику. При этом она будет занимать положения всех касательных у = кх + / пока не достигнет касательной у = к1х + /1.

При движении точки M2 ее абсцисса х2 будет стремиться к абсциссе х1 точки M1.

Приращение аргумента Ах = х2 - х1 и приращение функции

Ау = f (х2)-f (х1) будут стремиться к нулю.

В результате, при очень близком расстоянии точек M2 и M1 мгновенная скорость в точке х2 стремится сравняться с мгновенной скоростью в точке х1.

В математическом анализе слово «стремится» заменяют символом —, а результат такого стремления обозначают символом lim . В нашем случае будем иметь:

- 8(х2) —8(х1): lim 8(х2) = 8(х1).

х2 —> х1

- А = 8(х) —8(х1 ) = kjАУ — k1: lim ^ = k,

Ах v 1 1 Ах 1 х2 —х. Ах 1

При х2

х1, Ах

Ау

0, поэтому пишут lim — = k1.

Ах—0 Ах

Заметим, что :8(х1 ) = k1 - мгновенная скорость в точке х1;8(х2) = k2 - мгновенная скорость в точке х2; 8(х) = k- мгновенная скорость в каждой точке

х е[х1; х2 ].

Итак, Jljm"Ах = 8(х1 ) = k1. Обобщая, получим

lim Ау = 8(х) = k.

Ах—0 Ах

Определение. Производной функции у = f

в данной точке х называется предел отношения приращения функции Ау к соответствующему приращению аргумента Ах при Ах — 0, если этот предел существует:

f (х)= lim —У; у' = lim —У .

v ' Ах—0 Ах Ах—0 Ах

Таким образом, f(х) = Jim^А" = 8(х) = k. Откуда делаем вывод, что функция обобщения и угло-

вой коэффициент касательной являются производными.

При введении понятия производной используется интуитивное представление учащихся о непрерывности функции и наглядно-интуитивное представление о пределах.

Вычисление производных без использования пределов

Пример 1. Найти производную обратной прок

порциональности у = ^

Решение.

Df = (-о>;0 )^|[0; +<»).

Ау = f (х)-f (х1 )= к - х1 = =

x-,x

1Л2

-k XiX

1Л2

= В

= х2 - х1, А(х1;х2) = ——.

х1х2

Найдем производную:

Г( х) = 8( х) = А( х) = ^ = -А; Г( х) = -А

\ > V/ V / хх х х2

к

Ответ: Г (х) = —2.

Пример 2. Найти производную квадратичной функции

f (х) = ах2 + Ьх + с.

Решение.

Ау = f (х2) - f (х1) = (ах| + Ьх2 + с) - (ах2 + Ьх1 + с) =

= (ах| - ах^) + (Ьх2 -Ьх1) = а(х2 - х1)(х2 + х1) + Ь(х2 - х1) =

= ( х2- х1)(а (х2 + х1)+ь) = В (х1; х2 )• А( х1; х2), где В (х1; х2) = х2 - х1,

А( х1; х2) = а (х2 + х1 )+Ь.

Найдем производную:

Г(х) = 8(х) = а(х)= а(х + х)+Ь = 2ах + Ь ;

Г (х) = 2ах + Ь .

Ответ: Г (х) = 2ах + Ь.

Вывод

1. Метод обобщения при исследовании рациональных функций на монотонность позволяет образовать функцию обобщения, с помощью которой можно находить мгновенную скорость в любой точке области определения.

2. Для создания представления о производной, мгновенная скорость объявляется значением производной в точке и самой производной без символических обозначений из теории пределов.

3. Отношение равенства функции обобщения и углового коэффициента касательной позволяет дать определение касательной через мгновенную

скорость, что значительно упрощает формирование представления о пределе.

4. Знакомство учащихся с функцией обобщения как производной является мощной пропедевтикой определения производной через предел, нивелируя проблемы методического характера.

5. Представляется необходимым включение теории элементарного исчисления в программу подготовки будущих учителей математики.

Не всякая функция обобщения является производной

Проблема заключается в том, что не для каждой функции y = f (x) можно найти функцию обобщения

S( x) = k1, которая является производной.

Такими функциями являются только те, для которых возможно разложение

f (x2)- f (x1 ) = (x2 - x1 )• А(x1; x2). Для трансцендентных функций такое разложение невозможно. Действительно, возможно:

1. f (x2)-f (x1 ) = (x2 - x1 )• А(x1;x2) и

2. f ( x2 ) - f ( x1 ) = B ( x1; x2 )• Л ( x1; x2 ), где B (x1; x2) ф x2 - x1. Тогда

1. f ( x2 )-f ( x1 ) = ( x2 - x1^ А( x1; x2 ). Имеем,

f(x1)= lim *L = lim f (x2) -f (x1) =

v ' Ax^ü Ax x2 ^xj x2 - x1

= lim А(x1;x2) = А(x1 ) = S(x1).

f( x ) = 8( x1 ) = kv

После обобщения :f (x) = 8(x) = k,k = А(x) при xo = xi = x.

k - угловой коэффициент касательной в точке

x.

Равенство Г'(х) = 8(х) позволяет вычислять

производные рациональных функций без использования пределов.

Функция обобщения является производной. Поэтому можно говорить о построении теории элементарного исчисления1.

2. Г

x2 - x1

x2 - x1

• А( x1; x2).

1 Элементарное исчисление - раздел «Алгебры и начал анализа» в котором исследуются элементарные основные функции на монотонность и выпуклость методом обобщения

при помощи функции обобщения - интерпретации производной, без использования теории пределов .

сз о со -а

А

—I

о

сз т; о m О от

З

ы о со

2

о с

U

см со

f (xj)= lim ЛУ = lim ÍÍX^HÍXl! =

v / л„ .n Av x2—x- - v

lim A(x1;x2) =

Окончание

Ax—o Ax x2 —>x1 x2 - x1 B(xi;X2) .

X2 — Xl

lim

X2 —> Xi X2 — X-

= lim

X2 — X- X2 — X-

B (Xi; X2) , . B (Xi; X2) , .

v 1 27 •A^ )= lim v 1 2 •S(x1 ).

X2 — Xi Xo — Xi

ч B (Xi; X2) , .

Откуда f(x1 )= lim v 1 2 ^8(x1 ).

X2 —x- X2 — X-

f (x1 ) = S(x1), если lim B(x-;X2) = 1 -

условие

X2 — X- X2 — X-

равенства производной и функции обобщения.

B

Таким образом,

при

lim v - 2/ ф

X2 — X- X2 — X-

1(х1 ) = к1 *8(х1), где к1 - угловой коэффициент касательной у = к1х + /1.

Функция обобщения не является производной. Очевидна необходимость в построении теории дифференциального исчисления1.

В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных, правила диф-ференцирования2. Вывод

1. Утверждается существование двух теорий:

1) Элементарное исчисление с основным понятием функция обобщения;

2) Дифференциальное исчисление с основным понятием функция производная.

Первая теория представляет элементарную математику в разделе изучения свойств функций. Вторая характеризует высшую математику.

Сравнение теорий. Замечательные пределы

В рамках представленной методики по-иному интерпретируются некоторые отношения и утверждения (см. таблица 1).

Таблица 1. Сравнение теорий в школьном курсе математики

Элементарное исчисление Дифференциальное исчисление

Предмет - рациональные основные функции Предмет - элементарные основные функции

Основное понятие - функция обобщения Основное понятие - производная функция

Метод - метод обобщения при исследовании функций Метод - теория пределов

Операция - логическая операция обобщения Операция - операция предельного перехода

1 Дифференциальное исчисление - это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.

2 Дифференцирование - в математическом анализе - операция взятия производной функции.

Элементарное исчисление Дифференциальное исчисление

Корректное определение дифференциала Условное определение дифференциала

Аргумент х - постоянная: Х = Х1; Х = Х2 Аргумент х - переменная

Мгновенная скорость в точке х - значение функции обобщения при Ах = 0 Мгновенная скорость в точке х - предел отношения приращения функции к приращению аргумента

Отношение 0 = к,к - угловой коэффициент прямой у = кх + / 0 Отношение ^ - неопределенность

Касательная - прямая, угловой коэффициент которой равен мгновенной скорости в точке касания Касательная - предельное положение секущей

Геометрический смысл производной; алгебраический смысл производной Геометрический смысл производной; физический смысл производной

Теоремы о существовании замечательных пределов Теорема 1. Существует первый замечательный

Sinx

предел, который выражается формулой lim-= -.

X—0 X

Доказательство. Рассмотрим функцию f (x) = tgx. Определим условия, при которых

8(X) = tg (x).Ay = f(x) — f(Xo) = tgx — tgxo =

sin (x - x0) cosxcosx0

B (X0; x) = sin (X - x0 ), A( X0; x) = !

= B (Xo; x )• A (Xo; x), где

cosxcosx0 Найдем функцию обобщения:

8( X) = A( X)= —)— = -L- = f (X); f (x)=-l

cosxcosx cosX

cosX

Найдем условие, при котором 1 (х) = 8( х).

В

Г (Х) = 8(Х) при условии, что /т ^ 0' ' = 1;

X—x0 X — Xf

lim^íXoA = am Sin(X—Xo) =

x—Xo X — Xn x—Xo X — Xn

При

n г 51пх 1 х0 = 0, lim-= 1.

х —0 х

Данный предел называют первым замечатель-

.. эпх 1

ным пределом и записывают lim-= 1. Что

х—0 х

и требовалось.

Sinx

Раскроем смысл отношения lim-= L

X—o X

,-, ^ Sinх ... ,_

При х ^ 0 имеем : —— = 1; sinх = х. Графики

функций у = s¡nх и у = х пересекаются в точке (0;0). Секущая у = кх, приближаясь к касательной у = х сколь угодно близко, никогда не сможет

ее достичь. Вместе с тем, мгновенная скорость в точке касания равна 1 :y = 1Ax , k = 1. Производная существует (рис. 6). Поэтому lim sinx = 1. Вы-

x—ü x

полнена операция предельного перехода.

Теорема 2. Существует второй замечательный предел, который выражается формулой

1

lim 11 + — | = е.

x—<»l x

Доказательство. Для доказательства установим условия равенства производной и функции обобщения для функции f (x) = ax.

Пусть дана функция f (x) = ax, где ü и a ф 1.

Ay = f (x)- f (xü) = ax -axo = (ax-xo -1) • axo =

где ß(x0;x)= ax~x° -1, A{ x0; x) =ax°. 8(x) = А(x) = ax. Значит ,8(x) = ax. Найдем условие, при котором 8(x) = ax = f (x).

B(xü;x) = ax-xü -1; lim ^^ =

x— xü x — xü

ax-x° -1 ax-x° -1

= lim-= 1; lim-= 1.

x—>xü x - x.

ü

x—xü x - x

ü

ax -1

При xü = 0, lim

x—ü x

= 1;

x — 0,

ax -1 x

= 1; ax - 1 = X; ax = 1 + X;

1 1 a = (1 + x)x. lim (1 + x)x = a, a - число постоян-

v ' x—üv '

ное по условию. Его принято обозначать буквой

е : a = е.

1

Имеем lim (1 + x)x = е. Чаще этот предел запи-

x—ü

сывают в виде

lim |1 + = е и называют вторым замеча-

x—o>^ x)

тельным пределом. Что и требовалось.

Раскроем смысл отношения lim (1 + x)x = е.

1

При x — ü имеем :(1 + x)x = е; еx = 1 + x. Графики функций y = еx и y = x +1 пересекаются в точке (ü;1). Секущая y = kx +1, приближаясь к касательной y = 1Ax +1 сколь угодно близко, никогда не сможет ее достичь. Вместе с тем, мгновенная скорость в точке касания равная 1 существует (рис. 7).

Производная существует. Согласно операции предельного перехода 1

lim (1 + x) x = е.

x—üv '

Вывод

1. Использование условного равенства dy = f (x)dx,dy ф ü; понятия предела и операции

предельного перехода представляют возможность вычислять производные различных функций (рациональных, иррациональных, трансцендентных и др.), что позволило создать мощнейшую теорию дифференциального исчисления, предвестником которого был великий Ферма.

2. Для теории элементарного исчисления достаточно равенства dy = kdx,k - угловой коэффициент касательной, и функции обобщения 8(x).

В теории элементарного исчисления возможно находить производные только рациональных функций, но в случае ее внедрения в систему математического образования будут во многом решены проблемы методики преподавания математики, а также пропедевтики производной и предела.

О легитимности функции обобщения

Назову три источника, которые явились аргументом в поддержке результатов исследования.

сз о со -а

А

—I

о

сз т; о

m О

от

З

ы о со

1

1) Задача о наибольшем и наименьшем значении, которую решал Ферма (1601-1665) без объяснения, так как не знал дифференциального исчисления [2].

2) Теорема Лагранжа (1736-1813) [3, с. 260].

Если функция у = Г(х) непрерывна на отрезке

[а; Ь], а также дифференцируемая на интервале (а; Ь), то на интервале (а;Ь) найдется хотя бы одна точка с, для которой будет справедливо равенство:

ГШМ = г (с).

Ь - а ^ '

3) Теорема Каратеодори (1873-1950) [4].

Функция Г, определенная в окрестности и

точки х0 дифференцируемая в этой точке, если существует такая определенная на рассматриваемой окрестности и(х0) непрерывная в точке х0

функция Ф(х), что на и(х0) будет иметь место

представление Г (х)- Г (х0 ) = Ф( х)(х - х0).

Функцию Ф (х) называют производной Каратеодори функции Г в точке х0.

Обе теоремы доказывают существование функции, значение которой равно средней скорости изменения функции на отрезке. В некоторых исследованиях приводятся примеры таких функций.

Из равенства Г(х2)-Г(х1 ) = (х2 -х1 ) 8(х) видим, что функция обобщения 8( х) равна производной по Каратеодори: 8(х) = Ф(х). Имея в виду операцию предельного перехода, получаем

8( х) = Ф( х) = Г (х).

В настоящем исследовании доказывается существование целого класса рациональных функций, для которых функция обобщения получается без использования операции предельного перехода. В данном случае это не так важно. Суть заключается в том, что функция обобщения не только позволяет исследовать функции на монотонность, но и является производной, которая получается без использования пределов. Это исключительный момент для формирования представления учащихся о производной и методики введения определения производной.

Заключение

В статье представлены начала теории элементарного исчисления, в которых разработана методика введения понятия производной на основе функции „ обобщения. Внедрение метода обобщения при ис-с= следовании функций и функции обобщения в систе-^ му математического образования явится эффективен ной пропедевтикой изучения дифференциального исчисления.

В своем исследовании я не покушаюсь «на основы фундаментальных исследований величайших учёных». Я считаю его всего лишь методической находкой не противоречащей математическим основам. Это пришлось доказывать, опираясь на историю развития дифференциального исчисления [5].

В результате получилась эксклюзивная методика введения понятия производной на основе функции обобщения - интерпретации производной.

Литература

1. Дворянинов С. В., Розов Н.Х. Некоторые замечания об изучении функций в школе // Математика в школе. - 1994. - № 5.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - Том 1. - Физматгиз, 1960, - Глава 14. - С. 416-417.

3. Ильин В. А., Куркина А.В. Высшая математика: Учебник. - 2-е изд., - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004. - 600 с.

4. Калинин С.И. Производная Каратеодори при изложении основ дифференциального исчисления функций одной переменной // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2002. - № 4. - С. 7488.

5. Гилев В.Г. Метод обобщения при исследовании функций как фактор исторического развития математики и методики ее преподавания // «Заметки Ученого - nauka-prioritet.ru», Архив номеров, Апрель 2021-5 (часть 1), с. 130-140.

METHODOLOGY FOR INTRODUCING THE CONCEPT OF A DERIVATIVE IN ELEMENTARY CALCULUS

Gilev V.G.

Ishim State Pedagogical Institute. P.P. Ershova, Branch of Tyumen State University

Elementary calculus is understood as the section "Algebra and the beginnings of analysis" in which elementary basic functions are studied for monotonicity by a generalization method using a generalization function (which is a derivative for rational functions) without using the theory of limits.

An unconventional method for introducing the concept of a derivative is proposed, which effectively prepares students for the introduction of the definition of a derivative.

It is shown that for rational functions the slope of the tangent and the value of the generalization function at the point of contact are the same. This fact made it possible to formulate the definition of the tangent in terms of instantaneous velocity and to approach the formation of the concept of the limit in an accessible way. It is shown that in the existing representations, the generalization function cannot be a derivative for transcendental functions, but is the basis for the construction of elementary calculus. Differences are noted in the construction of theories of elementary calculus and differential calculus.

In support of legitimacy, generalization functions are called Fermat, Lagrange, Caratheodory. Within the framework of the theory of elementary calculus, examples of interpretations of known statements are presented.

Keywords: monotonicity, generalization method, generalization function, instantaneous rate of change of a function, derivative function, elementary calculus, differential calculus.

References

1. S. V. Dvoryaninov and N. Kh. Rozov, "Some remarks on the study of functions at school," Math. at School. - 1994. - No. 5.

2. Fikhtengol'ts G.M. Fundamentals of mathematical analysis. -Volume 1. - Fizmatgiz, 1960, - Chapter 14. - S. 416-417.

3. Ilyin V.A., Kurkina A.V. Higher Mathematics: Textbook. - 2nd ed., - M .: TK Velby, Publishing House Prospekt, 2004. - 600 p.

4. Kalinin S. I. Derivative of Caratheodory in the presentation of the foundations of differential calculus of functions of one variable. -2002. - No. 4. - S. 74-88.

5. Gilev V.G. The method of generalization in the study of functions as a factor in the historical development of mathematics and the methodology of its teaching // "Notes of a Scientist -nauka-prioritet.ru", Archive of numbers, April 2021-5 (part 1), p. 130-140.