О стабилизации двумерных линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием

УДК 517.997.1 ББК 22.19 Ш 96

Шумафов М.М.

Кандидат физико-матшатических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-05

О стабилизации двумерных линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием

Аннотация

Рассматривается задача о статической стабилизации по выходу двумерных линейных стационарных управляемых систем с помощью обратной связи с запаздыванием. Показаны возможности стабилизации систем обратной связью с запаздыванием. Даны необходимые и достаточные условия стабили-зируемости исследуемых систем. Доказанные теоремы в целом хорошо иллюстрируют эффективность введения запаздывания в обратной связи для стабилизации двумерных линейных стационарных систем. Ключевые слова: линейная стационарная система, обратная связь с запаздыванием, стационарная , .

Shumafov M.M.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor, Head of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty at Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-05

On stabilization of two-dimensional linear controllable systems by delayed feedback

Abstract

The problem of stabilization of two-dimensional linear time-invariant controllable systems by means of static time-invariant delayed output feedback is considered. It is shown the potential of delayed output feedback. Necessary and sufficient conditions for output feedback stabilizability of systems considered via delayed feedback are given. The theorems proved in this paper show that such a delayed feedback approach allows to extend the possibilities available with static time-invariant output feedback for stabilizability of second-order linear systems.

Key words: linear time-invariant system, delayed output feedback, static time-invariant output feedback stabilization, asymptotic stability.

1. Введение

Стабилизация динамических систем - одна из основных задач теории управления. Вопросы стабилизации интенсивно изучались в последние десятилетия и в настоящее время остаются в центре внимания исследователей. Интерес к проблемам стабилизации мотивируется как запросами практики управления, так и постановками открытых проблем.

Наиболее эффективные методы и алгоритмы стабилизации разработаны для линейных систем управления, в особенности для стационарных систем.

Вопросам стабилизации линейных стационарных систем посвящено большое число публикаций как отечественных, так и зарубежных авторов. Обзоры результатов этих работ имеются, например, в [1-5] (см. также библиографию в [6]). Следует отметить, что и в настоящее время поток публикаций по проблеме стабилизации (и смежным вопросам) линейных стационарных систем не ослабевает.

Одной из проблем, стимулировавшей немало публикаций в последнее десятилетие, была сформулизованная в [4] проблема стабилизации линейной стационарной системы путем построения нестационарной обратной связи (проблема Брокетта).

Первыми публикациями, где дано решение проблемы Брокетта в ряде важных случаев. были работы Г.А. Леонова [7,8] и JI. Моро и Д. Аэлса [9]. В этих работах были построены алгоритмы соответственно низкочастотной и высокочастотной стабилизации линейных стационарных систем. Для случаев двумерных и трехмерных систем было показано, как введение нестационарной обратной связи расширяет возможности стационарной стабилизации (определяемые условиями Рауса-Гурвица).

Возникает естественный вопрос: существуют ли иные ( кроме нестационарных) способы линейной стабилизации линейных стационарных систем, позволяющие расширить возможности стационарной стабилизации?

Задача: можно ли, ограничиваясь лишь линейной стационарной обратной связью, стабилизировать линейную стационарную систему введением запаздывания в обратную связь? Каковы возможности линейной стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации линейных стационарных систем?

Данная постановка задачи принадлежит Г.А. Леонову.

Отметим, что стабилизация систем при помощи обратной связи с запаздыванием имеет большое практическое значение. Как показано в работах К. Пирагоса (К. Pyragas) [10-14]. такой подход позволяет управлять хаосом в различных физических и химических системах, в частности в электронных осцилляторах и лазерных системах [11,13]. В этих работах управление хаосом осуществляется введением в систему обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивой периодической орбиты, погруженной в странный аттрактор.

Уравнениями в вариациях для указанных выше в работах нелинейных систем относительно их периодических орбит являются линейные периодические системы, которые, как хорошо известно, приводимы к линейным стационарным системам. Асимптотическая устойчивость последних согласно теореме А.М. Ляпунова влечет за собой асимптотическую устойчивость периодической орбиты соответствующей исходной нелинейной системы. Таким образом, и здесь мы приходим тоже к задаче стабилизации линейных стационарных систем с помощью обратной связи того или иного вида.

В настоящей статье решается задача Леонова для случая двумерных линейных управляемых систем. Для таких систем нами получены необходимые и достаточные условия стабилизации с помощью обратной связи с запаздыванием. Исследование проводится на основе метода D - разбиения [15] пространства параметров изучаемой системы.

2. Постановка задачи

Рассмотрим двумерную линейную стационарную систему со скалярным входом и скалярным выходом

x

где x(t) = (xi(t),x2(t)) Gi2- вектор состояния, u(t) gK - управление (вход), y(t) Gl-выход. Здесь A,b и с - вещественные постоянные матрицы размеров 2 х 2,2 х 1 и 1 х 2, соответственно.

Предположим, что система (1) управляема и наблюдаема.

Введем в систему (1) обратную связь с запаздыванием

u(t) = ky(t — т).

где >0 - постоянные.

Основная наша задача заключается в следующем:

требуется найти значения параметров к ф 0 и т > 0 такие, чтобы система (1), замкнутая обратной связью (2), была бы асимптотически устойчивой.

Система (1). замкнутая обратной связью (2). представляет собой линейное стационарное дифференциальное уравнение (векторное) с запаздывающим аргументом.

Отметим, что для скалярного случая, когда x{t) G R, А и b постоянные числа, а к = с = 1. вопрос об асимптотической устойчивости решений соответствующего дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (1), (2) рассматривался в [16].

3. Переформулировка задачи

Так как система (1) управляема, то невырожденным линейным преобразованием переменных ее можно привести к канонической форме Фробениуса-Калмана [6]:

•4=(_°ai _12). 6=(-°i)’ С = (С"С2>'

Здесь ai, <22; Ci, С2 - вещественные числа.

Система

x

В

F

Таким образом, основную пашу задачу можно переформулировать так:

найти значения параметров к ф 0 и г > 0 такие, чтобы вещественные части всех корней характеристического квазиполинома (5) имели отрицательные вещественные части.

Заметим, что уравнение вида (4) описывает при некоторой идеализации систему автоматической стабилизации курса судна при дистанционной задержке в измерении угла уклонения судна от курса [15].

4. Формулировка результатов

Сначала отметим результат, касающийся стабилизации одномерной линейной управляемой системы

x

где x(t), u(t), y(t) G R, a, b и с - постоянные (b ф 0, с ф 0).

Без ограничения общности можно считать, что с = 1. В [16. стр. 125-128] установлено. что область асимптотической устойчивости в пространстве параметров {(а, 6)} уравнения x(t) + ax(t) + bx(t — т) = 0 (т > 0) представляет собой часть DT области D0 = {a + b > 0} асимптотической устойчивости уравнения x(t) + (a + b)x(t) = 0. причем DT —> D0 при т —У 0 (DT С Do V т > 0).

Отсюда непосредственно следует

Утверждение. Если a + b > 0 (с := 1), то система (6) стабилизируема обратной связью u(t) = y(t — т) при всех достаточно малых запаздываниях г > О.

Если а + b < О, то ни при каких значениях к и т > О стабилизация системы (6) обратной связью (2) невозможна.

Теперь рассмотрим двумерную систему (1). (3).

Будем различать три случая

1) С\ ф О, С2 = 0. 2) С\ = О, С2 ф 0. 3) С\ ф О, С2 ф 0.

Случай 1): С\ ф О, С2 = 0. Не умаляя общности, можно считать, что с\ = 1.

Из условий Рауса-Гурвица следует, что стационарная стабилизация системы (1). (3) обратной связью u(t) = ky(t) (к = const) без запаздывания возможна тогда и только тогда, когда а2 > 0.

Введем в систему (1). (3) обратную связь с запаздыванием вида (2).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в системе (1), (3) сг ф0,с2 = 0. Тогда:

1) Если

а\ < 0. а2> 0 или а\ >0. а2 > —л/2а\ ,

то существуют значения параметров к и г > 0 такие, что обратная связь (2) стабилизирует систему (1), (3). При этом в качестве значений параметров кит можно взять: к = — aL + S и

г = ^/2/(ai — S). если aL > 0: т = a2/(—ai + 8). если < 0.

где 5 > 0 - достаточно малое число.

2) Если условие (7) не выполнено, то стабилизация системы (1), (3) обратной связью (2) невозможна ни при каких значениях параметров к и г > 0.

Случай 2): сг = 0,с2 ф 0. Без ограничения общности можно считать, что с2 = 1.

Из условий Рауса-Гурвица следует, что стационарная стабилизация системы (1). (3) обратной связью без запаздывания возможна тогда и только тогда, когда а\ > 0. Введем в систему обратную связь с запаздыванием вида (2).

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть в системе (1), (3) сг = 0, с2 ф 0. Тогда необходимым и достаточным условием стабилизируем,ости системы (1), (3) обратной связью (2) является выполнение неравенства aL > 0.

Случай 3): С\ ф 0,с2 ф 0. Не умаляя общности, можно считать, что с2 = 1. Стабилизация системы (1). (3) обратной связью без запаздывания возможна тогда и только тогда, когда сг > 0 или сг < 0,cia2 < ai. Введем в систему обратную связь с запаздыванием (2).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть в системе (1), (3) сг ф0,с2ф 0. Тогда:

1) Если выполнено хотя бы одно из условий

а) С\ > 0. Ъ) С\ < 0. сга2 < ai < 0.

с) Сх <0. ai > 0. Ci<22 < yjai(ai + 2cf),

то существуют значения параметров к и т > 0 такие, что обратная связь (2) стабилизирует систему (1), (3).

2) Если не выполнено ни одно из условий а),Ь),с), то стабилизация системы (1), (3) обратной связью (2) невозможна ни при каких значениях к и г > 0.

Следствие. Пусть С\ = — 1 (сг := 1) и а\ + а2 < 0, а\ + а2 ф — 1. Для стабилизи-руемости системы (1), (3) обратной связью (2) необходимо и достаточно, чтобы

ах > 0, (ах + I)2 — а\ > 1.

Замечание 1. Если ах < суа2 и выполнено условие с) теоремы 3. то в качестве значений параметров к и т можно взять

к = (ах - 5)/(-сх), г = 1(1-+ 2с?/(ах - 5)),

где 5 - достаточно малое число.

Замечание 2. Нижней границей области стабилизации, определяемой условием с) теоремы 3. является ветвь гиперболы (ах + Сх)2/^ — «|/с1 = 1 с асимптотой ах = С\а2 — с2.

5. Идея доказательства теорем 1-3

Доказательства теорем 1-3 основаны на применении метода I) - разбиения пространства параметров системы (1). (3) или. что то же самое, пространства коэффициентов характеристического квазиполинома Р.

Определяем границу = {Р(гу; а\, а2; Сх, с2) = 0} И - разбиения пространства коэффициентов квазиполинома Е. точкам которой соответствуют квазиполиномы, имеющие по крайней мере один нуль на мнимой оси. Граница разбивает плоскость коэффициентов {(«х, а.2)} на области с одинаковым числом р нулей с положительной вещественной частью. Среди этих областей находим области И°к т (р = 0), точкам которых соответствуют асимптотически устойчивые системы. Выделение областей осуществляется с помощью теоремы Руше о нулях аналитической функции [17]. Областью стабилизации 5 будет объединение всех найденных областей £)£ т при всевозможных значениях параметров к € К, г € М+. Отсюда выводятся утверждения теорем 1-3.

6. Заключение

В работе рассматривается задача о статической стабилизации по выходу двумерных линейных стационарных управляемых систем с помощью обратной связи с запаздыванием. Показаны возможности стабилизации рассматриваемых систем обратной связью с запаздыванием вида (2). Теоремы 1-3 дают необходимые и достаточные условия стабилизируемое™ системы (1) обратной связью (2).

Теоремы 1 и 3 (в случаях С\ ф 0, с2 = 0 и С\ ф 0, с2 ф 0) хорошо иллюстрируют, как введение запаздывания т > 0 в обратной связи расширяет возможности обычной стационарной стабилизации и{Ь) = ку{£). Исключение составляет случай сг = 0,с2 ф 0. Из теоремы 2 следует, что в этом случае области стабилизации системы (1) обратной связью с запаздыванием (2) и без запаздывания совпадают.

Автор благодарит Г.А. Леонова за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

7. Доказательства теорем 1-3

1. Доказательство теоремы 1. Достаточность (первая часть 1) теоремы 1). Доказательство достаточности разобьем на несколько этапов.

A. И - разбиение плоскости параметров. Найдем границу И - разбиения

плоскости К2 = {(01,02)} коэффициентов квазиполинома ^(г; а) из (5) := 1,С2 = 0).

Имеем Р{ъу, а) = 0. или после разделения вещественной и мнимой частей

Г а1 = у2 - к С08 ту, ^

\ а2 = кятту/у,

при у ф 0, и а\ = —к при у = 0.

Следовательно, граница состоит из особой прямой К = {<21 = —к} и кривой Ьк}Т, определяемой параметрическими уравнениями (8):

Л^т = к и ьк^т.

В силу четности функций а\ = а\{у), а2 = а2(у) достаточно рассмотреть (8) для значений у € (0;+оо). При заданных к и т граница разбивает плоскость Я2 на области Щ.т, точкам которых соответствуют квазиполиномы (5) с одинаковым числом р корней в правой полуплоскости Лег >0 (г £ С). Области I) - разбиения будем нумеровать римскими цифрами: I, II, III и т. д., как показано на рис. 1. Из полученного I) - разбиения выделим области И т (р = 0) - области асимптотической устойчивости уравнения (4).

B. Выделение областей Применим теорему Руше ([17]) к функциям /(г; а) =

г2+а2г+а1 и ср(г) = кехр(-тг), заданным на контуре Сд = , где ^ = [—Ш, гЩ -

отрезок мнимой оси, а Сд - лежащая в полуплоскости Лег > 0 полуокружность радиуса И с центром в начале координат. При достаточно большом И на полуокружности Сд будем иметь (г = х + гу) :

\/(г,а)\ = \г\2(1 + ф)) > Л2(1 - е0) > \к\ > Iк\е~тх = \(р(г)\,

т. е. \/

На отрезке $5(2: = гу) имеем |/(,г;а)|2 = у'1 + (а| — 2а1)у2 + а2. Положим 2а\ = а2. Тогда при достаточно больших а\ > 0 на З' будем иметь \/(г,а)\ > а\ > \к\ = |^(^)|. Поэтому \/(г,а)\ > \<р{г) \ на контуре Сд.

При ах > 0, а2 > 0 полином $(г, а) не имеет корней в полуплоскости Яег > 0. Следовательно, по теореме Руше там нет и нулей квазиполинома ^(г; а) = /(г; а) + (р(г). Таким образом, та область И - разбиения, которая содержит дугу параболы 2а\ = а2 при достаточно большом а2 > 0 будет одной из областей

Так как а\{у) —> —к, а2(у) —> кт при г/ —> 0 и а\(у) —> +оо, а2(у) —> 0 при у —> +оо, то выделенная область 1)°т есть часть I правой полуплоскости а\ > —к, лежащая выше кривой Ьк^т : I = £)^т (рис.1).

Аналогично устанавливается, что III =

C. Единственность области 1^т. Докажем, что других областей £)£т кроме найденной области I нет. Для этого сначала установим возможные формы границы И

- разбиения при различных к ф 0 и г > 0.

Будем рассматривать два случая: 1) \к\т2 <2 и 2) \к\т2 > 2.

Рис. 1. Область асимптотической устойчивости т уравнения (4) в случае \к\т2 < 2 при к < О

В случае 1) легко проверить, что функция ах (у) монотонно возрастает на полупрямой [0; +оо). В случае 2) функция а\{у) монотонно возрастает при достаточно больших значениях у > У, У > 0. а на промежутке [0; У) при к < 0 имеет или только один промежуток убывания [0 ,у), у < У, или имеет конечное число перемежающихся промежутков убывания и возрастания, а при к > 0 или ах (у) монотонно возрастает на [0, +оо) (при не слишком больших т > 0). или возрастает для достаточно больших у > У. а на [0, У) имеет конечное число перемежающихся промежутков возрастания и убывания (при достаточно больших т > 0).

Следовательно, с учетом поведения функции а2 (у) заключаем, что в первом случае граница не имеет самопересечений, а во втором случае имеет при к < 0 (при к > 0

- при достаточно больших г).

Во втором случае при к < 0 кривая начинающаяся в точке А$(—к, кт) на прямой К, возрастая уходит в полуплоскость ах < —к (при этом а2(у) возрастает) и снова пересекает прямую К в точке Во(—к,а2). соответствующей некоторому значению у = у* (а2 = а2(у*);а2 > кт). Далее, при у > у* кривая не имеет самопересечений при небольших т > у/2/\к\, и имеет самопересечения (т. е. содержит петли) при достаточно больших т (рис. 2).

При к > 0 (в случае 2)) кривая лежит в полуплоскости а\ > —к для любого т > 0 и содержит петли при достаточно больших т (а при небольших т > \j2jk - не содержит).

Теперь покажем единственность области ^т. Для этого выясним, как изменяется число р корней с Иег > 0 при переходе через границу I) - разбиения. Последнее определяется знаком дх/дах или дх/да2 производной вещественной части корня х = х-\-1у, вычисленной на границе Л^!Т. Из соотношения ^

Re(дz/да\) = дх/да,1^\ аг, а2) = — £/(£2 + I]2),

Рис. 2. Граница = К II 1//^т I) - разбиения в случае \к\т2 >2. к < 0. при достаточно больших т > 0

где

£ = 2х + а2 — ктехр

Используя (9) и (10). установим число корней р с Иег > 0 в каждой из областей I) -разбиения: I, II. III. IV и т. д.

На прямой К = {ах = —к} (где ^ имеет нулевой корень ^ = 0) имеем: дх/дах =

— 1/{а2 — кт). Поэтому при переходе из области I в область II через часть {ах = —к, а2 > кт} границы К число р увеличивается на единицу, а при переходе из области III в II через другую часть {ах = —к,а2 < кт} границы К это число уменьшается на единицу

Следовательно, в случае 1) и в случае 2). когда нет самопересечения у границы Л^!Т. областям I, II и III соответствуют числа р, равные 0. 1 и 2, т. е. / = -С^т, II = III = 0\т. Таким образом, в указанных случаях область И Т единственна.

Обратимся теперь к случаю 2), когда граница содержит петли.

Обозначим через М\, М2, М%.... точки пересечения (соответствующие значениям у. равным 7г/т, 2п/т, Зтг/т...) кривой с осью а2 = 0, а через А\, А2, А$,... - точки самопересечения границы Ьь,т, О - разбиения.

Легко подсчитать, что в точках ЬЦ (] = 1,2,3...) дх/дах = (—1 Укт/(к2т2 + 4у2).

Отсюда следует, что в случае 2) при к < 0 на части АоА{ кривой (где ^ имеет два чисто мнимых корня ±ъу,у ф 0) дх/дах > 0. Значит, при переходе из области II в область IV через дугу А^Ах границы появляются два корня с Дег > 0, т. е.

IV = т. Далее, при переходе из области III в IV через дугу петли А2М2М3А2 границы Ь/с!Т в направлении оси а\ число р увеличивается на две единицы, т. е. р = 4 в области

V (внутри петли). Совершенно аналогично устанавливается, что при к < 0 внутри других ординарных петель (т. е. в областях VI, VII ...) р = 4. Если петли налегают друг на друга, то число р в области их пересечения увеличивается на 2п, где п - число наложений ординарных петель. Для случая к > 0 рассуждения вполне аналогичны.

Таким образом, единственной областью Т (р = 0) при любом к ф 0 и т > 0 является только область I, лежащая над кривой Ь^ в полуплоскости а\ > —к : £>2)Т = I Ук ф 0, г > 0.

Область стабилизации. Обозначим через 5 объединение всех областей 1)°т по всевозможным значениям ^ / 0 и г > 0 : Б = и^)Т1)°г. Ясно, что система

стабилизируема обратной связью (2) тогда и только тогда, когда (01,02) € 5.

Так как |а2(у)| < \к\т (0 < у < +оо), то при любом фиксированном к ф 0 ^кт (а2 > 0. —ос < а\ < +00} при т —> 0. Следовательно, при а2 > 0 и любом ах стабилизация системы (1), (3) возможна при некотором к ф 0 и достаточно малом т > 0.

Пусть теперь а2 < 0.

Обозначим

При к > 0 и кт2 < 2 граница Ьк,т лежит выше отрицательной полуоси {ах < 0, а2 = 0}. поскольку а2(у) > 0 при 0 < у < ж/т (0,2(11/т) = 0). 01(11 /т) > 0 и а\(у) монотонно возрастает на [0, +оо). Поэтому в этом случае стабилизация в области {ах < 0, а2 < 0} невозможна ни при каких к > 0 и т > 0. удовлетворяющих неравенству кт2 < 2.

Так как да2/да1 = (—к)т3/3(2 + кт2) при ах = 0. то при к < 0 кривая Ьк,т касается прямой ах = —к при т = т*. где т* = у/2/(—к), и при 0 < т < т* целиком лежит в правой полуплоскости а\ > —к.

Так как при 0 < т < т* (к < 0) \а2(у)\ < —кт* для всех у > 0 и кт* = —\/—2к (к <

0). а при к > 0 в силу неравенства |а2 (у) | < к/у (0 < у < +оо) имеет место оценка |а2(у)| < л/—2к (к < 0), то справедливо равенство: ^к,т-.\к\т а<2С2 т = С.

Параметрическими уравнениями "нижней"(где а2 < 0) границы области С в (11) являются: ах = —к, а2 = — \[—2к (к < 0 - параметр). Отсюда получаем, что областью стабилизации при а2 < 0 является область С = {—у/2ах < а2 < 0. ах > 0}.

Тем самым, достаточность теоремы 1 доказана.

Необходимость (вторая часть теоремы 1).

Покажем, что область С в (11) совпадает с областью Е := 5 П {а2 < 0} = Ць)ТСг£т. Так как включение С С Е очевидно, то достаточно показать, что Е С (7.

Как показано выше, граница Ь^ при \к\т2 > 2 может содержать конечное число петель при достаточно больших г и может их вовсе не содержать (при небольших г > 0).

В силу доказанного выше соотношения ^к,т:\к\т2<200к т = Сг, остается установить, что

ик,т:\к\т2>2(^к,т С С.

В случае, когда нет петель, как и выше, в силу оценки

часть кривой ЬкуТ (к ф 0), являющаяся границей области Т)\т, лежит выше нижней ветви параболы 2ах = а2 (а2 < 0). Следовательно, объединение всех областей С°кт по тем значениям к ф 0 и т > 0. для которых Ьк^т не имеет петель, содержится в области (7.

Далее (в случае, когда имеются петли), формирование петель при фиксированном ко происходит в точках (ах(уо)? а2(уо)) кривой Ьк^т для тех значений т : \ко\т2 > 2, для которых а'х(уо) = а^Уо), т- е. вгптуо/туо = совтуо = 2/(-к0)т2.

И здесь тоже, как и выше. |а2(уо) | будет меньше, чем л/—2к (к < 0). Поэтому граница области 1)°т будет лежать выше нижней ветви параболы 2ах = а\. А образование петель приводит лишь к уменьшению модуля ординат соответствующих граничных точек кривой ЬкуТ, т. е. к "поднятию"соответствующей части границы области

Тем самым, в любом случае объединение всех соответствующих областей G т будет содержаться в области G. Следовательно. ^ С G. Необходимость установлена.

Теорема 1 доказана.

2. Доказательство теоремы 2. Достаточность (первая часть теоремы 2). Как и в доказательстве теоремы 1. находим границу NkjT D - разбиения плоскости R2 коэффициентов квазиполинома F. Эта граница состоит из кривой LkjT-, заданной параметрическими уравнениями

Г ai = у2 - ky sin ту,

[ а2 = —к cos ту (0 < у < +оо).

и особой прямой а\ = 0. Сначала выясним возможные формы границы при различных к и т > 0. Для определенности ограничимся случаем, когда к > 0.

Рассмотрим два случая 1) 0 < кт < 1 и 2) кт > 1 (к > 0).

Как и в доказательстве теоремы 1 с учетом поведения функций а\(у) и а2(у) из (12) заключаем, что в первом случае граница не имеет самопересечений и лежит полностью в полуплоскости ai > 0. а во втором случае содержит петли. (При

кт = 1 кривая касается прямой aL = 0 при у = 0. так как da\jda2 —> 2(1 — кт)/кт2 при у —> +0). Общий вид границы NkjT D - разбиения в случае 1) изображен на рис. 3.

Рис. 3. Граница В - разбиения в случае 0 < кт < 1 (к > 0, т > 0); Б т = I

Пронумеруем области И - разбиения: I, II. III,.... как показано на рис. 3. Выделим теперь области т.

Как и в доказательстве теоремы 1. рассматривая функции /(^;а) = г2 + а2г + а\ и (р(г) = кгехр(-тг), устанавливаем, что \/^;а)\ > |^(^)| на полуокружности Сд С {Лег > 0} достаточно большого радиуса Д. На отрезке [—Ш, Ш] последнее неравенство заведомо выполнено, если а2 — 2а± = к2. Следовательно, по теореме Руше функция ^(г; а) = /(^, а) + не имеет нулей в области I выше кривой ЬкуТ, имеет два корня с Иег > 0 в области III ниже этой кривой, и имеет один (вещественный) корень в области II.

Итак, в случае 1) имеем: / = 1)°т, II = 0\т, III = 1)\т. Единственной областью

т является область I.

Поскольку при любом фиксированном к > 0 а\(т:/2т) —> +ос (а2(7г/2т) = 0) и

с1а2/да1(0) = кт2/2(1 — кт) —> +0 при т —> 0. то для любой точки (а1,а2), где ах > 0.

будем иметь: (01,02) € Икт при к > —а2 и достаточно малых т > 0. Отсюда следует утверждение первой части 1) теоремы 2.

Необходимость. Покажем, что и в случае 2) (кт > 1) других областей в I) - разбиении с числом р = 0. кроме области I нет. Как и выше, здесь I = Окт, III = -0^т.

В рассматриваемом случае, как и выше, кривая ЬкуТ, начинающаяся в точке Ао(0, —к) оси а2, уходит в полуплоскость ах < 0 и снова пересекает эту ось в некоторой точке Во(0, о^)(а2 > —к). Далее, кривая не содержит петель при небольших т > 1/к, и содержит их при достаточно больших т.

Совершенно аналогично как и в доказательстве теоремы 1, используя формулы

Ке(дг/да{) = (<9ж/<9ах)(,г; ах, а2) = —£/(£2 + V2)-,

£ = 2х + а2 + кехр(—тх)[созту — тхсовту — тузгпту\,

7] = 2 у — кехр(—тх)[зтту + тхвтту — тусозту\

устанавливаем, что II = 0\т.

Если граница содержит петли, то аналогично как и выше число р > 3 внутри петель. Таким образом, и в случае 2) (кт > 1) единственной областью Г)к т в И - разбиении будет область I. Следовательно, если а\ < 0, то (ах,02) ^ Икт ни при каких значениях к и т > 0. Тем самым, вторая часть теоремы 2 доказана. Теорема 2 доказана полностью.

3. Доказательство теоремы 3. Оно аналогично доказательствам теорем 1 и 2.

А. И - разбиение. Граница Л^5Т I) - разбиения при каждом фиксированном С\ состоит из кривой (сх), имеющей параметрические уравнения

Г а1=у2 - кузгпту - ксхсовту, , ,

[ 02 = кс\8%пту/у — ксозту (0 < у < +оо),

и особой прямой К(с\) = {ах = — кс\}. Кривая начинается в точке Ао(—кс\, к(тс\ — 1)) особой прямой К.

Заметим, что в пространстве параметров {(0х,02,сх)} системы (1),(3) уравнения (13) задают поверхность, проекциями на плоскость {(ах,а2)} сечений которой плоскостями Сх = СОПвЬ ЯВЛЯЮТСЯ кривые Ьк,т(с1).

Как и в доказательствах теорем 1 и 2, применяя теорему Руше к функциям /(г; а\, а2) г2 + а2г + Ох и 92(2) = кехр(—тг)(г + с\), устанавливаем, что областью т будет область I, лежащая выше кривой в правой полуплоскости Ох > —кс\ (рис. 4).

Рассмотрим два случая:

1) \к\т(\с\т — 1| + 1) < 2 и 2) \к\т(\с\т — 1| + 1) > 2.

Аналогично как и в доказательствах теорем 1 и 2, в случае 1) граница А^5Т(сх) не содержит петель, а в случае 2) содержит, вообще говоря, петли.

Поскольку на особой прямой К дх/да\ = —1/(02 + к( 1 — тс\)), то при переходе из области I в область II, а также из II в III (см. рис. 4) через границу К появляется один положительный корень. Значит, в случае, когда граница Л^5Т не содержит петель (в частности, когда имеет место случай 1)) 1)°т = I, И\т = II, 1)^т = III. Если граница Л^5Т содержит петли (случай 2) при достаточно больших т > 0), то число р внутри петель подсчитывается аналогично как и в доказательствах теорем 1 и 2. В результате получим, что внутри петель р > 3. Таким образом, единственной областью

т И - разбиения будет область I.

Рис. 4. Область асимптотической устойчивости в случае с\ < 0 при к > 0 и достаточно малых т > 0 : т = I

В. Стабилизация. Так как при любом фиксированном к ф О

т (а1 > —ксх, а2 > —к} при т —> 0.

то при С\ > 0 или С\ <0. а\ > С\а2 стабилизация системы (1), (3) возможна при некотором к ф 0 и достаточно малом т > 0.

Пусть теперь С\ < 0 и Й1 < С\а2. (Тогда стабилизация обратной связью без запаздывания невозможна). При к > 0 кривая касается прямой ах = —кс\ при т = т*.

где т* = (1 — у/\ — 2с\/к)/с1 (т* = т*(к)), и при 0 < т < т* целиком лежит в правой

полуплоскости а\ > —кс\. Рассуждениями вполне аналогичными как и при доказательстве теоремы 1 устанавливаем, что параметрическими уравнениями нижней границы области, где возможна стабилизация при ах < с\а2 будут ах = —кс\. а2 = &(схт*(/с) — 1) (к > 0 - параметр) или

ах = —/ссх, а2 = — \/к

Отсюда получаем, что при С\ <0. ах < С\а2 и а\> 0 система (1), (4) стабилизи-

руема, если

ах < сга2 < у^аТ

Отсюда следует первая часть 1) теоремы 3. Достаточность теоремы 3 доказана.

Вторая часть 2) (необходимость) теоремы 3 доказывается совершенно аналогично как и необходимость в теореме 1. При к < 0 и кт2С1~2кг < 2 (а также при кт2С\ — 2кт >

2, когда нет петель) граница лежит выше прямой {ах = С\а2. а\ < 0} и. следовательно, область т не пересекается с областью {ах < Сха2, а\ < 0}, так как вдоль

кривой Ьк,т ах (у)—Сха2(у) = у2 — к(у+с\/у)зтту > 0 для всех у € (0,7г/2 г], ах(7г/2г) > 0 и ах (у) монотонно возрастает для всех у > 0. Поэтому в рассматриваемом случае стабилизация системы (1). (3) из области {ах < Сха2, ах < 0} невозможна ни при каких к < 0

и т > 0. удовлетворяющих неравенству kr2Ci — 2кт < 2 или неравенству kr2Ci — 2кт > 2 в случае отсутствия петель. В случае, когда граница содержит петли, наличие петель приводит лишь к "поднятию"соответствующей части границы области DT и. следовательно, к сужению области Dk т (рассуждения проводятся аналогично как и в доказательстве теоремы 1).

Следовательно.

Uk,rGk^T Cl U/j>o,t>0:—кт2с1+2кт=2^

где Gl T := Dl T n {ai < cia2}.

Нижняя граница области в правой части включения (16) задастся параметрическими уравнениями (14). а сама область совпадает с областью, определяемой неравенствами (15).

Поскольку обратное к (16) включение очевидно, то определяемая неравенствами (15) область будет максимальной (в смысле отношения включения), где возможна стабилизация системы (1). (3) обратной связью (2). Теорема 3 доказана полностью.

Примечания:

1. Bernstein D.S. Some open problems in matrix theory arising in linear systems and control // Linear Algebra Appl. 1992. Vol. 162-164. P. 409-432.

2. Blondel V.. Gevers М.. Lindquist A. Survey on the slate of systems and control // Eur. J. Control. 1995. Vol. 1. P. 5-23.

3. Static output feedback: a survey / V.L. Syrmos . C.T. Abdallah . P. Dorato . K. Grigoriadis // Automatica. 1997. Vol. 33. № 2. P. 125-137.

4. Open problems in mathematical systems and control theory. / V. Blondel . E. Sontag . M. Vidyasagar . J. Willems. L.: Springer. 1999. 288 p.

5. Поляк Б.Т.. Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // АиТ. 2005. № 5. С. 7-46.

6. Леонов Г.А.. Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб.: Изд-во С. - Петерб. ун-та. 2005. 420 с.

7. Леонов Г.А. Стабилизационная проблема Брокетта // АиТ. 2001. № 5. С. 190-193.

8. Леонов Г.А. Проблема Брокетта в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. вып. 4. С. 134-155.

9. Moreau L.. Aeyels D. Periodic output feedback stabilization of single - input single - output continuous - time systems with odd relative degree // Syst. & Control Lett. 2004. Vol. 51. № 5. P. 395-406.

10. Pyragas K. Continuous control of chaos by self - controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992. Vol. 170. P. 421-428.

11. Pyragas K. Control of chaos via extended delay feedback // Phys. Lett. A. 1995. Vol. 206. P. 323-330.

12. Namajunas A.. Pyragas K.. Tamasevicius A. Stabilization of an unstable steady slate in a Mackey - Glass system // Phys. Lett. A. 1995. Vol. 204. P. 255-262.

13. Pyragas V. Pyragas K. Delayed feedback control of the Lorenz system: An analytical treatment at a subcritical Hopf bifurcation // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. 036215. P. 1-10.

14. Tamasevicius A.. Mykolaitis G.. Pyragas V. Pyragas K. Delayed feedback control of periodic orbits without torsion in nonautonomous systems: Theory and experiment // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. 026203. P. 1-6.

15. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука. 1978. 296 с.

16. Эльсгольц Л.Э.. Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 1971. 336 с.

17. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука. 1991. 447 с.