Динамическое демпфирование резонансных колебаний гироскопической системы жидкостным демпфером

УДК 531.383

ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТНЫМ

ДЕМПФЕРОМ

С. А. Черников, Сюэ Юнцзя

Рассмотрено динамическое демпфирование резонансных колебаний гироскопической системы демпфером, представляющим собой полость в форме соосного цилиндра, полностью заполненного вязкой жидкостью. Получено аналитическое выражение амплитуды вынужденных колебаний гироскопической системы с демпфером. Исследуется численное моделирование такой же задачи в пакете ОрепЕОЛМ методом контрольного объема и подвижных сеток. Проведено сравнение результатов расчета и численного моделирования. Представлены амплитудно-частотные характеристики объекта демпфирования при изменении вязкости жидкости, когда в полости устанавливаются демпфирующие элементы в виде радиальных ребер. Показано влияние отношения моментов инерции жидкостного маховика и объекта демпфирования на эффективность демпфера.

Ключевые слова: динамическое демпфирование, гироскопическая система, резонансные колебания, вязкая жидкость, вычислительная гидродинамика, ОрепЕОЛМ, соосный цилиндр.

Введение. Гироскопические системы обладают ярко выраженными резонансными свойствами, которые могут быть опасными в случае совпадения собственной частоты системы с частотой внешних возмущений. Именно поэтому проблема эффективного демпфирования резонансных колебаний гиросистем в гироприборостроении занимает одно из центральных мест.

Известно, что динамические демпферы являются одними из наиболее эффективных виброзащитных средств, способных подавлять резонансные колебания гироскопических систем (рис. 1) [1]. При этом динамический демпфер с жидкостным маховиком (т. е. жидкостный демпфер) имеет нескольких потенциальных преимуществ перед другими системами динамического демпфирования [2].

Для увеличения эффекта демпфирования колебаний объекта в полостях, заполненных жидкостью, устанавливают демпфирующие элементы в виде радиальных ребер [3, 4]. Исследование данных демпферов преимущественно ведется экспериментальными методами, на основе которых разрабатываются различные полуаналитические модели, и методами, основанными на численном решении приближенных уравнений гидродинамики [5, 6].

В настоящее время OpenFOAM является одной из известных платформ для численного моделирования задач механики сплошных сред методом контрольного объема. Пакет OpenFOAM содержит многочисленные

решатели и утилиты, обеспечивающие выполнение широкого диапазона задач. Основное преимущество ОрепРОАМ состоит в том, что новые решатели и утилиты могут быть созданы пользователями с некоторыми минимально необходимыми знаниями использования методов физики и программирования [7, 8].

Рис. 1. Одноосный индикаторный гиростабилизатор с жидкостным демпфером: 1 - платформа; 2 - гироскоп; 3 - датчик угла; 4 - датчик момента; 5 - жидкостный демпфер; 6 - вязкая жидкость;

Н - собственный кинетический момент гироскопа

Постановка задачи. В качестве объекта демпфирования рассмотрим одноосный гиростабилизатор индикаторного типа. На оси стабилизации гиростабилизатора установлен жидкостный демпфер (см. рис. 1). Полость демпфера имеет форму соосного цилиндра. Предположим, что ось симметрии полости совпадает с осью стабилизации. Введем цилиндрическую систему координат с осью г, направленной по оси симметрии демпфера, и полярными координатами г п <р в плоскости, перпендикулярной оси г. Поскольку полость имеет форму кольцевого цилиндра, то траекториями движения частиц жидкости являются концентрические окружности, поэтому векторы абсолютной скорости жидкости V удовлетворяют условиям: Уг « У(р,У2 « У(р. Кроме этого, размеры полости предполагаются такими, чтобы днище и крышка полости не вносили заметных возмущений в течение жидкости во всем ее объеме, т.е. чтобы У^ не зависело от г.

207

Тогда уравнение движения гиростабилизатора относительно оси стабилизации можно записать в виде

Аф + Кф = Мж + Мв,

где А - момент инерции гиростабилизатора относительно оси г с демпфером без жидкости; ф - угол поворота гиростабилизатора вокруг оси г; К -коэффициент обратной связи по каналу стабилизации; Мж - момент сил, действующих на гиростабилизатор со стороны жидкости;Ме = М0Б1п со-возмущающий гармонический момент.

Для того чтобы вычислить Мж(1^>), необходимо найти поле скорости жидкости Уф, которое удовлетворяет уравнению Навье - Стокса:

\ дг* г дг г^) оС

где V - кинематическая вязкость жидкости.

Течение жидкости удовлетворяет граничным условиям: на поверхности полости Уф = ф(£)  г. В начальный момент жидкость находится в покое, то есть У^ = 0 при I = О.

Подробная процедура решения уравнения (2) с помощью преобразования Лапласа приведена в [9], где показано, что скорость жидкости У^ имеет вид

У

1

гдег) = ($/у)2г; 5 -переменная преобразования Лапласа;/^), К±(г|) - модифицированные функции Бесселя и Ханкеля; С, И константы, подлежащие определению из граничных условий.

Постоянные С, И в (3) определяются из граничных условий:

кО71Ж1 Ш-кШ*!(лг) ^

р _ Г111(712)-Г211(711) . ,

11(Л2)К1(Л1)-11(Л1)К1(Л2) 1 1

где г]1 = (б/у)2гъг]2 = (5/у)2г2; г1;г2 - радиусы цилиндрических поверхностей полости.

Для больших по модулю значений аргумента функции /хСпХ^Сп) допускают асимптотическое представление:

Напишем уравнение касательного напряжения на площадке, перпендикулярной радиусу в направлении оси <р в цилиндрических координатах:

Ргср РУ(дг г) Ру г) ^ ^2П7] 6 2?/

\л/у г) " л/2пг1 " \г ' \1 У/ " \1 27] ~

где р - плотность жидкости.

Диссипативная сила, действующая со стороны жидкости на еди-

{дУд,

ницу площади стенки полости, равна —ру (—- —-1

\ ОТ Т / 17* = 7*^^7*2

При этом момент сил, действующих на твердое тело со стороны жидкости, определяется так:

мж (ig = inrti

ж

-ру

<р

дг

+ 2 7ГГ22 /

г=гг.

Ж.

-pv

<р

дг

г=г2.

= 2nplv

Г1 + Т2 +

S0O),

где / - длина полости.

При^ (гг - r2) > 1, coth [J|(ri - r2)] « 1

M^s) = 2nplv

rl + r22 + (r2 ~ rl) /

S0O)

Подставляя (4) в (1) и применяя преобразование Лапласа к этому дифференциальному уравнению, получаем линейное алгебраическое уравнение:

Л52ф(У) — 2пр1у(гI + Г2 У) + — Г23)27Гр/л/5:У5ф(5) +

+кф

Из (5) получим передаточную функцию

И/(5) =

0

Mg(s) As2 + {rl-r^)2nply[svs-2nplv{rl+r2^s+K '

При этом амплитуда колебаний объекта

i

(t>o = M0\W(s)\s=jo)=M0

- А о) 2 + (гр - г|) 2 пр } о) - 2 пр IV (г2 + г|)_/'а»+К

Обозначим Я = (гх3 — Г2)2пр1л[у, к = 2лр1у(г% + г22). Так как

с учетом (6) получим выражение амплитуды вынужденных колебаний:

1

•

Фо = М0-

Численная методика. Численное моделирование поставленной задачи было реализовано методом контрольного объема в пакете Ореп-FOAM-extend-3.2. Решение гидродинамической части данной задачи проводилось с помощью стандартного решателя icoDyMFoam на подвижных сетках. Нестационарный решатель icoDyMFoam использовался для расчета несжимаемого ламинарного потока [7]. При совместном решении уравнений для давления и импульса решатель использовал алгоритм PISO. С целью подготовки подвижной сетки был создан собственный класс роди-

209

тельского класса dynamicFvMesh [8, 10], в котором движение сетки осуществлялся за счет движения полости, а частота вращения полости динамически изменялась и непрерывно обновлялась. Для определения гидродинамического момента на поверхность полости использовался функциональный объект forces.

На рис. 2 показана блок-схема численного решения задачи, на котором решатель логически делился на два блока. На каждом шаге интегрирования последовательно вычислялись два блока, затем переходили к следующему шагу. Два блока взаимодействовали друг с другом: гидродинамический момент участвовал в движении полости, а движение полости использовался для определения движения сетки. Для обеспечения устойчивости и сходимости численного решения, шаг по времени выбирался из условия Сотах < ОД.

Рис. 2. Блок-схема численного решения задачи на базе подвижной сетки

На рис. 3 представлены экспериментальная и расчетная зависимости амплитуды от частоты возмущения. Значения параметров моделирования были: гг = ОД м, г2 = 0,06 м, I = ОД м, плотность жидкости р = 1000 кг/м3. При этом, момент инерции жидкости В = 0,0137 кг  м2.

210

Момент инерции объекта демпфирования А = ОД кг  м2, коэффицент упругой связи К = 100 (Н  м)/рад; амплитуда возмущающего момента М0 = ОД Н  м. Собственная частота системы депфирования с1>0 = 31,6 рад/с. Из рис. 3 видно удовлетворительное совпадение теории и моделирования, что свидетельствует о том, что пакет ОрепРОАМ можно использоваться как инструмент при изучении динамического демпфирования резонансных колебаний гироскопической системы жидкостным демпфером.

0.09------

23 29 30 31 32 33 34

частота

Рис. 3. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущения при v = 5  10-4м2/с: 1 -расчетная зависимость; 2 - зависимость моделирования

Размещение ребер в полости демпфера. Для увеличения эффективности демпфера применяются различные дополнительные механизмы, интенсифицирующие диссипативные процессы в жидкости. Одним из вариантов является размещение в полости радиальных ребер. Поперечное сечение полости показано на рис. 4. Параметры ребер: rlb = 8,2  10~2м, г2ь — 7,8  10"2л/. Авторы считают ребра абсолютно жесткими. При численном моделировании данной задачи нет никаких препятствий для использования алгоритма, рассмотренного выше.

Наличие ребер в полости приводит к возникновению вихревого течения (рис. 5). На рис. 6 представлена зависимость гидродинамического момента от времени при установившихся вынужденных колебаниях (d) = 31 рад/с, v = 8  10-4м2/с). Из рис. 8 видим, что момент от давления

211

имеет одну и ту же фазу как момент сил вязкого трения. Кроме этого, из рис. 7 и 8 амплитудные кривые имеют по одному максимуму. Введение ребер играет ту же роль, что и вязкость жидкости.

Рис. 4. Поперечное сечение полости демпфера

На рис. 7 показаны амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) системы при разных вязкостях жидкости. Видим, что все кривые пересекаются приблизительно в одной точке. С увеличением вязкости резонансный пик АЧХ перемещается влево. При этом поиск оптимальной вязкости требует проведения серии моделирований. Оптимальная вязкость жидкости примерно равна 8  10_4>/2/с, при которой амплитуды колебаний становятся наименьшими.

Рис. 5. Линии тока в полости

212

время

Рис. 6. Моменты сил, действующих со стороны жидкости на объект демпфирования: 1 - суммарный момент; 2 - вязкий момент;

3 - момент от давления

Рис. 7. Амплитудно-частотные характеристики системы при разных вязкостях жидкости

213

Рис. 8. Амплитудно-частотные характеристики системы при использовании жидкости с разными плотностями

На рис. 8 показано влияние плотности жидкости на эффективность демпфера. Момент инерции объекта постоянен при моделировании, поэтому чем больше плотность жидкости, тем больше отношение моментов инерции жидкостного маховика и объекта демпфирования. Чем больше отношение моментов инерции жидкостного маховика и объекта демпфирования, тем эффективнее демпфер. Такое же явление имеет место для динамического демпфера с твердым маховиком [11].

Заключение. На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

- пакет с открытым исходным кодом OpenFOAM в версии extend может быть успешно использован в качестве инструмента при изучении динамического демпфирования резонансных колебаний гироскопической системы жидкостным демпфером;

- введение абсолютно жестких ребер в полость демпфера играет ту же роль, что и вязкость жидкости;

- эффективность демпфера зависит не только от вязкости жидкости, но и от отношения моментов инерции жидкостного маховика и объекта демпфирования. Эффективность демпфирования будет тем лучше, чем больше отношение моментов инерции. Оптимальная вязкость жидкости может быть найдена при проведении серии моделирований.

Список литературы

1. Черников С. А., Самер Салек. Демпфирование резонансных колебаний гироскопических систем динамическим гасителем переменной структуры // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2006. № 4. С. 111 - 125.

2. Черников С.А., Сюэ Юнцзя. Динамическое демпфирование вынужденных колебаний гироскопической системы демпфером с жидкостным маховиком// Инженерный журнал: наука и инновации.2017. Вып. 10. URL: http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2017-10-1685 (дата обращения: 03.11.2017).

3. Боталов А.Ю., Родионов С.П. Вынужденные колебания твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью // Вестник Тюменского государственного университета, 2014. № 7. С. 120 - 126.

4. Вязкоупругий демпфер: пат. 2098689 РФ. Опубл. 10.12.1997.

5. Богоряд И.Б., Лаврова Н.П. Численное моделирование вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей радиальные ребра // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. № 2. С. 135 - 139.

6. Математическая модель космического аппарата с полостью, частично заполненными жидкостью. Режим нестационарного вращения / Б.И. Рабинович, О.П. Клишев, А.И. Мытарев, Г.А. Чурилов // Полет. 2003. № 10. С. 50 - 56.

7. Openfoam: Userguide [Электронный ресурс] URL: https://www. openfoam.com/documentation/user-guide (дата обращения: 15.08.2017).

8. Li Yulong, Zhu Renchuan, Miao Guoping Simulation of ship motions coupled with tank sloshing in time domain based on OpenFOAM // Jour-mal of Ship Mechanics, 2012. Vol. 16. No. 7. P. 750-758.

9. Покусаев М.Н. Демпфирование крутильных колебаний в валах судовых дизелей: моделирование, экспериментальные и натурные исследования: дис. ... д-ра техн. наук. Астрахань, 2005. 345 с.

10. Erik Krane Project work: A tutorial on modification of the tur-boFvMesh class for flow-driven rotation. Gothenburg, Sweden, 2015.

11. Черников С. А. Расширение полосы гашения виброзащитной системы динамическим гасителем с обратной связью // РАН: Проблемы машиностроения и надежности машин, 2015. № 5. С. 54 - 61.

Черников Сергей Акимович, д-р техн. наук, проф., SA chernikov a mail.ru, Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

Сюэ Юнцзя, асп., xueyongjia88@gmail. com, Россия, Москва, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

215

DYNAMIC DAMPING OF RESONANCE VIBRATION OF GYROSCOPIC SYSTEM

BY LIQUID DAMPER

S.A. Chernikov, Xue Yongjia

In this article, we consider the dynamic damping of resonance vibration of gyroscopic system by damper which is a cavity in the shape of coaxial cylinder filled with viscous fluid. An analytical expression for the amplitude offorced oscillations of gyroscopic system with damper is obtained. Numerical simulation of the same tasks in the package OpenFOA-Musing Finite Volume Method and dynamic meshes are presented. The results of calculation and numerical simulation are compared. The amplitude-frequency characteristics of the damped object of different fluid viscosity when introducing radial ribs into the damper are presented. The influence of the liquid density on the effectiveness of the damper is also shown.

Key words: dynamic damper, resonance vibration, gyro system, liquid damper, viscous fluid, OpenFOAM, coaxial cylinder.

Chernikov Sergei Akimovich, doctor of technical sciences, professor, SA chernikovamail.ru, Russia, Moscow, Bauman Moscow State Technical University,

Xue Yongjia, postgraduate, xueyongiia88@gmail. com, Russia, Moscow, Bauman Moscow State Technical University