Тематическая модель ВЧЕ-разряда в аргоне при больших межэлектродных расстояниях

УДК 543.4:544.2

И. Ш. Абдуллин, В. С. Желтухин, В. Ю. Чебакова, М. Н. Шнейдер

ТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЧЕ-РАЗРЯДА В АРГОНЕ

ПРИ БОЛЬШИХ МЕЖЭЛЕКТРОДНЫХ РАССТОЯНИЯХ

Ключевые слова: Математическое моделирование, высокочастотный разряд, электронная температура, концентрация электронов, концентрация ионов, концентрация метастабильных атомов.

В работе построена одномерная математическая модель нестационарного высокочастотного емкостного разряда пониженного давления при больших межэлектродных расстояниях. Показано, что определяющую роль в формирование разряда играют процессы, происходящие в приэлектродных слоях, а так же процессы возбуждения и девозбуждения метастабильных атомов в объеме разряда.

Keywords: Mathematical modeling, radio-frequency discharges, electron temperature, electron density, positive ion density, metasta-

ble density.

One-dimensional model of non-stationary low pressure RF discharge at large-scale inter-electrode distances is constructed. It is shown that processes occurring in the near-electrode layer plays a decisive role in a discharge formation as well as gas excitation and heating in bulk discharge.

Введение

В последнее время устройства, использующие низкотемпературную плазму, интенсивно внедряются в промышленность и в повседневную жизнь. Плазма эффективно используется в нанотех-нологиях для создания и модификации наноструктур (например, для обработки материалов с целью повышения срока службы и надежности изделий машиностроения, создания легких и прочных полимерных композиционных материалов, полиэтилен-пластиков, получения нанодисперсионных порошков металлов и соединений и т.д.) [1-2]. Высокочастотный емкостный (ВЧЕ) разряд при давлении />=13,3 -133 Па и межэлектродных расстояниях 2030 см эффективно применяется для обработки коже-венно-мехового полуфабрикатов [3] Отличительной особенностью такой обработки является большие размеры образцов (порядка 1 м2) и партионность, когда производится обработка одновременно нескольких образцов (партии). Это требует разработки плазмотронов с большими размерами электродов (порядка 0,5х1,4 м2) и большим межэлектродным расстоянием (порядка 0,2 - 0,5 м).

В настоящее подробно исследованы модели ВЧЕ разряда среднего и низкого диапазонов давлений при межэлектродных расстояниях ё = 3-5 см. Разряд в таких условиях отличается от разряда пониженного давления, так как толщина приэлектрод-ного слоя пложительного заряда (СПЗ) много меньше области положительного столба.

При небольших межэлектродных расстояниях ё = 3-5 см нагрев газа не играет существенной роли в балансе рождения и гибели заряженных и метастабильных частиц в разряде, поэтому, как правило (см., например, [4, стр. 54-60]), математическая модель включает в себя только процессы, описываемые краевыми и начально-краевыми задачами: для электронной и ионной концентраций, уравнения Пуассона. Однако таунсендовский режим ионизации, согласно [5, 6] не учитывает потери энергии на возбуждение атомов и нагрев газа. Кроме того, эта

модель неприменима в случае сильных полей, так в этом случае частота ионизации монотонно нарастает с ростом отношения Е/р, тогда как в очень сильных полях ионизационная способность с ростом поля падает. Здесь Е - напряженность электрического поля.

Так как энергия первого возбужденного уровня аргона достаточна для того, чтобы через процессы возбуждения и девозбуждения метаста-бильных атомов, ступенчатой ионизации влиять на нагрев газа и электронную температуру [7-10], то при больших межэлектродных расстояниях потери энергии на нагрев газа являются существенными. Поэтому необходимо при расчете характеристик ВЧ плазмы в таких плазмотронах необходимо рассматривать уравнения нагрева атомов и электронов, баланса метастабильных атомов.

Таким образом, необходима разработка математической модели, которая учитывала бы перечисленные выше эффекты при расчете технологических процессов плазменной обработки в плазмотронах с большими межэлектродными расстояниями.

Постановка задачи

При построении математической модели предполагается, что плазма состоит из частиц четырех сортов: нейтральные атомы в основном состоянии, возбужденные атомы (метастабили), электроны и положительные однозарядные ионы. Оценки элементарных процессов в плазме ВЧ разрядов пониженного давления показывают, что длина свободно-

_3

го пробега электронов 1= < 10 м, толщина дебаев-ского слоя Яё = 10_5 м, толщина СПЗ к = 10_3 м

[3]. Таким образом, для описания процессов в ВЧ разряде можно использовать приближение сплошной среды [11].

Изменение электронной температуры электронов может привести к изменению остальных характеристик плазмы, поэтому расчет температуры электронов при постоянном токе и давлении газа в разряде является важной задачей,. Температура

электронов в газовом разряде устанавливается самосогласованно и зависит от природы газа, давления и плотности тока. Кроме того при ё~10 см и более существенную роль в определении электронной температуры играют нагрев газа и потери энергии на возбуждение метастабильных состояний. Так как массы ионов и метастабилей в одноатомном газе практически совпадают с массой атомов, и при их столкновениях не происходит преобразования кинетической энергии во вращательную или колебательную, то можно считать, что температура ионов совпадает с температурой атомов в основном состоянии. Поэтому уравнения переноса тепла ионами и метастабилями в математической модели можно не рассматривать.

В связи с этим, для определения диапазона устойчивого горения ВЧЕ разряда пониженного давления в плазмотроне с большим межэлектродным расстоянием разработана математическая модель, учитывающая перенос энергии электронами, нагрев газа и потери энергии на возбуждение атомов.

Математическая модель включает в себя: 1) Уравнения непрерывности для электронного газа:

дпр д —- +—

дt дх

(

-п тЕ - Б

ее е

дп

_е_

дх

\

= п п. - Ьп п + Я,п п +Я~п ,

е 1 + е 1 те 2 т '

при -1 < х < 1, t > 0

с граничными условиями

Се

если поле направлено в электрод,

дв

е 1 ' = 0, t > 0,

дх

если поле направлено от электрода.

Здесь в = -п тЕ - Б дп дх -

м е ее ее/

электронов, = п+т+Е - Б+дп+/дх -

плотность потока плотность

потока ионов, пе, п+, пт - концентрации электронов, положительно заряженных ионов и мета-стабильных атомов, соответственно, т, т - подвижности электронов и ионов, Е = -д// дх — напряженность электрического поля Бе, Б + — коэффициенты диффузии электронов и ионов, Ь — эффективный коэффициент рекомбинации, п1 — частота ионизации, g = 0.01 - 0.1 коэффициент вторичной эмиссии, который зависит от материала электрода, х - пространственная координата, координата х = -1 соответствует заземленному электроду, х = 1 - нагруженному, t - время, Я1у Я2 - скорости ионизации из возбужденного состояния (табл. 1).

Таблица 1 - Коэффициенты Яа

Номер q процесса Процесс Коэффициент Я.

1 Аг* + е ^Аг + + 2е [8]

2 л * , * Аг +Аг ^ ^Аг+ +Аг* +е [8]

3 Аг+е^Аг*+е [8]

4 Аг * + Аг ^ 2Аг [7]

5 * Аг ^ Аг + кп [9]

6 Аг * + е ^ Агг + е [7]

Примечание. В табл. 1 Агг, А г , А г + - резонансный и метастабильный атомы, положительный ион аргона соответственно, е - электрон, кп - энергия испущенного атомом кванта.

2) Уравнения непрерывности для ионного газа:

дп + д д1 дх

(

п т Е - Б

дп+ дх

= п п. - Ьп п + Я,п п +Я~п ,

е 1 + е 1 те 2 т'

при -1 < х < 1, t > 0

с граничными условиями

в,

К')

= -0, t > 0 .

если поле направлено в электрод, дв+

дх

= 0, t > 0 .

если поле направлено от электрода,

3) Уравнения Пуассона для распределения потенциала ф электрического поля:

д2' е

--— = е(п - п ), -1 < х > 1, t > 0,

•^..2 V + еГ

дх2 е0

с граничными условиями

—

где е - заряд электрона, е0 - электрическая постоянная, ю - круговая частота электромагнитного поля, Уа - амплитуда колебания приложенного напряжения;

4) Уравнение теплопроводности атомно-ионного газа:

д_

дх

1 = /¡Е) + - пкск ((т) - Т ),

а дх ) ^ ' 2 е т\\ е/ а/'

при -1 < х < 1, t > 0, с граничными условиями

Та Цt)= То, t > 0

Здесь Та —атомная температура, Тм> - температура электрода, 1 — коэффициент теплопроводности атомно-ионного газа, — = е в — ионный ток, к —

'> г + '

постоянная Больцмана, ё = 2т / М — доля энергии, теряемая электронами в упругих столкновениях с атомами и ионами, т — масса электрона, М — масса атома аргона, Те — электронная температура, пт — эффективная частота столкновений электронов с атомами и ионами,^ — среднее за период значение.

5)Уравнение для скорости нагрева движущегося электронного газа:

3 dT д I дГ

n k е е = —— \l _e

2 e dt дх I e dx

Л

d

дх

о

en (eV ) - -n к (t - T \dn -

e\ el 2 e \ e a/ m

- 11--kT In n. +1,R,n n ,

2 e | e i 11 m e'

при -1 < х < I, * > 0, с граничными условиями

Те

Здесь I — коэффициент электронной теплопроводности, ре = кТепе — электронное давление Уе — электронная скорость дрейфа, /=15,76 эВ потенциал ионизации, Т* - температура на поверхности электродов, /1 = 11,56 эВ — энергия возбуждения первого уровня,

ёТ = дТ / дТ + У дТ / дх

е е I е / ее/

— субстанциональная производная; 6) уравнение баланса метастабильных атомов:

dn д

m + w

дt дх

I дn

D m

m дх

V

m - R 5n 5 m

= R.Nn -

1 e

Vi и и

1 me

2

-Rm -Rn n

2 m 6 me'

при -1 < x < l, t > 0, с граничными условиями

nm

Здесь Dm — коэффициент диффузии метастабиль-ных атомов, N - концентрация нейтральных атомов, рассчитываемая из условия,p = NkTa , коэффициенты Rq, q=1,...,6 - скорости соответствующих процессов (табл.1).

В качестве начальных условия для перечисленных задач выбирались постоянные значения

n (х, 0) = const,, -1 < х < l,

m \ ' / 1' '

ne (х, 0) = n + (х, 0) = const2, -1 < х < l,

Te

Ta (х, 0) = const4, -1 < х < l.

В достаточно сильно ионизированной плазме, при максвелловской функции распределения электронов по энергиям частоту ионизации в плазме аргона можно аппроксимировать функцией вида [4]:

W (

n. = NvC. (15,76 + 12,4 • 10kT I e

|18 kT \e

_ I / \1/ 2 Здесь V = (8кТрт ) — средняя тепловая скорость, С{ - константа, характеризующая наклон сечения ионизации у порога [12,стр. 59].

В диапазоне энергий электронов, где происходят неупругие столкновения, спектр значительно обедняется по сравнению с максвелловским распределением, и фактически частота ионизации значительно меньше [13]

п. = 0,89(3/2))3 (/ /кТ ) (п N^ .) Л.

1 \ / / \/ е / \ т! 11) .

где s . = С/, V. = ^2/ / т .

В коэффициенте рекомбинации необходимо учесть процессы фоторекомбинации и тройной ударно- радиационной рекомбинации [12]

Ь = 2,7 • 10-19 (Те )-0,75 + 8,75 • 10-39 (Те )-45 пе.

Здесь Те в электрон-вольтах. Остальные транспортные коэффициенты аппроксимировались зависимостями [12]

Б = кТ т ¡е , Б = кТ /е , т = 2е1Мп ,

е ее! + +/ + / т '

т = е/тп , I = 5п кТ Б /2 , п = 4,1 • 107Р .

е / т ' е е е е / ' т '

Уе = ве/пе [6], Бт = 1,9 • 1018 / N [12],

5 / , \0,66 1а = 4,25 • 10-5 ((/300) [14,С. 21].

Численный метод и результаты решения

Построенная модель характеризуется большим количеством специфических особенностей:

1) наличием областей медленного и быстрого изменения решения, как по пространству, так и во времени;

2) сильной нелинейностью;

3) наличием уравнений разного типа ( параболических и эллиптических, с параметрической зависимостью от времени).

Поэтому численные методы решения задачи должны ставиться с учетом этих особенностей.

Для численного решения системы использовалась неявная разностная схема на равномерной сетке. Оператор конвективного переноса аппроксимировался направленными разностями. Разностная схема строилась интегро-интерполяционным методом [15], что обеспечило консервативность разностной схемы.

Нелинейная система начальных и начально-краевых задач (1)-(15) решалась итерационным методом со сносом нелинейности на предыдущий слой. При этом для линеаризации нелинейных членов в уравнениях (11) и (13) применялся метод Ньютона.

Результаты тестовых расчетов ВЧЕ разряда в плазмотроне с межэлектродным расстоянием 22 мм, при давлении р=13,3 Па, амплитуде приложенного напряжения Уа=25 В, показали что концентрация метастабильных атомов достигает максиму-

в области квазинейтральной

ма п = 5,3 • 1013

т '

плазмы.

Температура электронов имеет два локадь-ных максимума в приэлектродных областях (рис. 1). Максимальные значения электронной температуры

Т = 2,85 эВ, в области квазинейтральной плаз-

е,тах ' ' *

мы минимальное значение Т . = 1,89 эВ, при

е,тт ' ' г

этом температура газа остается практически посто-305 К.

0.005

0.01 0.015

Х.т

0.025

Рис. 1 - Распределение средней за период электронной температуры в межэлектродном пространстве

Концентрация электронов имеет характерную колоколообразную форму с максимумом в центре разряда (рис. 2).

0.01 0.015

Х.т

0.025

Рис. 2 - Распределение концентрации электронов в различные моменты времени: сплошная кривая соответствует моменту времени м = р!4 , пунктирная - мг = р , штрих-пунктирная -

wt = 3р/ 4

В межэлектродном промежутке значения полной плотности тока

— (^ ) = еЕ (еп.т. - пете ) + е0 дЕ!дt

в каждый момент времени остаются постоянными, но во времени испытывают практически гармонические колебания

1.4144 1.4194 1.4194 1.4194 1.4194 1.4194 1.4194 1.4194 1.419!;

ВреМЯ Т,С 11и)

Рис. 3 - Колебания значений полного тока в течение периода

Результаты расчета качественно совпадают с данными авторов [16]. Количественные отличия по величине потенциала электрического поля и концентрации метастабильных частиц связаны с учетом

в модели, рассматриваемой в настоящей работе, неоднородного распределения газовой температуры.

Предложенная модель актуальна и в случае небольших межэлектродных расстояниях, так как позволяет провести более точные расчеты и в случае плазмообразующих устройств с небольшими межэлектродными расстояниями с различной степенью приближения:

а) при отсутствии физической диффузии -система (1)-(8) при Бе = Б+ = Я1 = Я 2 = 0;

б) без учета нагрева электронного и атомно-ионного газов (классическая диффузионно-дрейфовая модель) - система (1)-(8) при

Б =Б =0;

е + '

в) с учетом изменяющихся по пространственной переменной электронной и газовой температур в пренебрежении влиянием метастабильных атомов - система (1)-(15) при Я1 = Я 2 = Я 4 = Я 5 =

=Я 6 =0;

г) с учетом процессов нагрева газа и образования возбужденных атомов, процессов ударной и ступенчатой ионизации система (1)-(15) со всеми ненулевыми коэффициентами.

Выводы

Таким образом, в результате анализа математических моделей высокочастотного емкостного разряда пониженного давления в классической постановке (учитывающей потенциал электрического поля, концентрацию электронов и ионов) и с учетом переноса энергии электронами и нагрева нейтральных атомов установлено, что они не дают адекватного описания состояния плазмы в плазмотроне с большим межэлектродным расстоянием. В связи с этим построена математическая модель высокочастотного емкостного разряда пониженного давления, в которой, в отличие от предложенных ранее, учитываются процессы ступенчатой ионизации, передачи энергии от электронов атомам в основном и возбужденном (метастабильном) состояниях, а также влияние метастабильных атомов на распределения заряженных частиц и электронной температуры, поскольку изменение последней оказывает существенное влияние на остальные характеристики плазмы.

Описанная система краевых задач позволяет провести расчеты параметров ВЧ разряда пониженного давления с различной степенью приближения: а) отсутствию физической диффузии; б) классическая диффузионно-дрейфовая модель без учета нагрева электронного и атомно-ионного газов; в) неоднородное пространственные газовой и электронной температуры\; г) с учетом процессов нагрева газа и образования возбужденных атомов, ударной и ступенчатой ионизации.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 14-01755.

Литература

1. Р. Оулет. М. ,Барбье, П. Черемисинофф и др. Технологическое применение низкотемпературной плазмы. М: Энергоатомиздат, 1983.- 144с

2. В.В. Кудинов,Н.В. Корнеева // Матер. Международ. конф. «Физ. Высокочастот. разрядов» и Международ. школы молодых ученых и специалистов «Высокочастот. разряд: теория и техн.».- Казань, октябрь 2011 г. / Казан. нац. исслед. технол. ун-т, 2011. - С. 35-35.

3. И.Ш.Абдуллин, В.С. Желтухин, Н.Ф. Кашапов. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения.- Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2000.- 348 с.

4. Ю.П. Райзер, М.Н. Шнейдер, Н.А. Яценко. Высокочастотный емкостный разряд: Физика. Техника эксперимента. Приложения. - М.: Изд-во МФТИ, 1995.- 320 с.

5. В.А. Лисовский, Н.Д. Харченко // Вест. Харьк. нац. унта. Сер. физ.: ядра, частицы, поля.- 2010. - № 887, вып. 1 (45), С. 81-87.

6. А.Н. Ткачев, А.А Феденев, С.И. Яковленко // Ж. техн. физ.- 2007. - Т. 77, № 6. - С. 22-27.

7. Р. Dimitris Lymberopoulos, Demetre J.Economou // J. Appl. Phys.- 1993.- Vol. 73, № 8, P. 3668-3679.

8. Б.Т. Байсова, В.И. Струнин, Н.Н Струнина, Г.Ж.Худайбергенов // Ж. техн. физ.- 2003.- Т. 73, № 8.-С. 30-33

9. Н.А. Дятко, Ю.З. Ионих, А.В. Мещанов, А.П. Напар-тович // Физ. плазмы.- 2005._- Т. 31, № 10.- С. 939-953.

10. Б.М. Смирнов. Возбужденные атомы.- М.: Энергоиз-дат, 1982.- 232 с.

11. М. Митчнер, Ч. Кругер. Частично-ионизованные газы. М.: Мир, 1976.- 496с.

12. Ю.П.Райзер. Физика газового разряда.- М.: Наука, 1987.- 592 c

13. Ю.П. Райзер , М.Н. Шнейдер // Теплофиз. высоких температур.- 1991.- Т. 29, № 6.- С. 1041-1052.

14. В.Г. Фастовский ,А.Е Ровинский , Ю.В. Петровский Инертные газы.- М.: Атомиздат, 1972.- 352 с.

15. А. А Самарский, П.Н. Вабищевич. Численные методы решения задач конвекции-диффузии.- М.: Эдиториал УРСС, 1999.- 248с.

© И. Ш. Абдуллин - д. т.н., зав. каф. ПНТВМ КНИТУ; В. С. Желтухин - д.ф.-м.н., зав. каф. мат. статистики КФУ, vzheltukhin@gmail.com; В. Ю. Чебакова - асс. каф. мат. статистики КФУ, vchebakova@mail.ru; М. Н. Шнейдер - проф. Принстонского университета (США), shneyder@princeton.edu.