Деятельностный подход к обучению старшеклассников распознаванию геометрических образов

УДК 372.851

ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ СТАРШЕКЛАССНИКОВ РАСПОЗНАВАНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

© 2017

Дорофеев Сергей Николаевич, доктор педагогических наук, профессор, профессор кафедры «Алгебра и геометрия» Тольяттинский государственный университет

Аннотация. В статье исследуется проблемы обучения старшеклассников методам распознавания геометрических образов. В качестве фундаментальной основы эффективного обучения этим методам выбирается активная мыслительная деятельность учащихся. Как известно, основная трудность в реализации деятельностного подхода в обучении геометрическим методам распознавания геометрических образов состоит в развитии способности выбирать надлежащим образом факты, аксиомы и теоремы, комбинировать их, вводить разного рода дополнительные преобразования, делающие возможным применение тех или иных математических утверждений. Разработка методики преодоления этих трудностей и ее применение в процессе обучения школьников геометрическим методам распознавания геометрических образов позволит обеспечить качественно новый уровень в усвоении знаний. Это относится как к пониманию и запоминанию отдельных геометрических понятий, суждений, способов рассуждения, так и к формированию отдельных узловых умений. Если в каждой конкретной теме школьного курса геометрии выделить перечень основных опорных понятий, суждений, видов умозаключений, узловых умений и навыков и определить минимально необходимый уровень их усвоения и запоминания и разработать соответствующую методику обучения этим понятиям, суждениям и умозаключениям, то можно значительно повысить качество обучения школьников методам распознавания геометрических образов. В статье показано, что если в основу реализации деятельностного подхода к обучению старшеклассников распознаванию геометрических образов положить определенную систему геометрических задач, то можно достичь значительных успехов в усвоении учащимися приемов и методов математической деятельности в распознавании образов.

Ключевые слова: распознавание геометрических образов, математическая деятельность, математические способности учащихся, задача как средство обучения распознаванию геометрических образов, методы распознавания, аналогия и сравнение, конкретизация и обобщение, анализ и синтез

ACTIVITY APPROACH TO TEACHING HIGH SCHOOL STUDENTS THE RECOGNITION

OF GEOMETRIC IMAGES

© 2017

Dorofeev Sergey Nikolaevich, doctor of pedagogical Sciences, Professor, Professor of the Department "Algebra and geometry" Togliatti state University (445667, Russia, Togliatti, Belorusskaya St., 14,e-mail:komrad.dorofeev2010@yandex.ru) Nazemnova Nataliya Vladimirovna, candidate of pedagogical Sciences, docent of the Department

"Higher and applied mathematics" Penza State University

Abstract. The article deals with the problem of high school students learning to recognize geometrical images. As the fundamental basis of effective teaching techniques chosen active mental activity of students. As is well known, the main difficulty in implementing the activity approach in teaching geometric geometrical image recognition techniques is to develop the ability to choose properly facts axioms and theorems, combine them, to impose all sorts of additional transformations that make possible the use of those or other mathematical statements. Development of methodologies to overcome these constraints and its application in the process of teaching students geometrical methods of recognition of geometric images will provide a qualitatively new level in the development of knowledge. This applies to both understanding and memorizing certain geometric concepts, ways of reasoning, and the formation of individual nodes. If each specific topic school course geometry select a list of the main supporting concepts, types of inference, nodal skills and determine a minimum level of their learning and memorization and develop an appropriate methodology for learning these concepts, judgments and reasoning, you can significantly improve the quality of teaching students to recognize geometrical images. The article shows that if the basis for the implementation of the activity approach to teaching high school students to recognize geometrical images to put a certain geometric problem system, you can achieve significant successes in students mastering methods and techniques of mathematical activities in pattern recognition.

Keywords: recognition of geometric images, mathematical activity, mathematical abilities of students, the task as a learning tool for the recognition of geometric images, methods of recognition, analogy and comparison, concretization and generalization, analysis and synthesis.

Постановка проблемы в общем виде и ее связь с важными научными и практическими задачами. На современном этапе развития математического образования усилился интерес к обучению старшеклассников распознанию геометрических образов. Усвоение геометрического образа (понятия, объекта) будем считать доведенным до минимально необходимого уровня, если при встрече с соответствующим термином в сознании ученика без специального требования (со стороны учителя, учебного пособия или задачника) отображаются все фиксируемые в определении свойства понятия и соответствующие им методы изучения этого понятия [1].

Например, при изучении геометрических ситуаций, связанных с параллелограммом, через сознание учащегося "пробегают" в виде суждений разные свойства этой фигуры (не только те, которые содержатся в определении параллелограмма): противоположные стороны равны, диагонали делятся в точке пересечения пополам, сумма величин углов, прилежащих к одной стороне равна 180° и т. п. Это значит, что на этом уровне распознавания геометрического образа (понятия, объекта) такого как параллелограмм, усвоения суждений (свойств параллелограмма) также становятся "рабочими", они могут быть использованы при решении соответствующих задач.

Следует отметить, что здесь (так же, как в случае понятия) присоединяется, конечно, и умение анализировать данную ситуацию, чтобы выделить именно тот элемент, который явно связан с соответствующим суждением, однако в этом случае речь идет только об анализе в почти тривиальных ситуациях. Вследствие этого, данное понятие становится вполне доступным для достаточно полного усвоения его существенных признаков и методов их изучения. Нет сомнения в том, что смысл и значимость каждого геометрического образа (понятия, объекта) с высокой долей эффективности отрабатывается в процессе решения соответствующих задач. Наряду с овладением понятиями каждый обучающийся должен овладевать методами и умениями проводить логические рассуждениями, делать выводы и соответствующие умозаключения, обобщать полученные результаты[2]. При изучении школьной геометрии каждый учащийся должен овладеть такими видами умозаключений и в такой степени сложности, какая в данном возрасте или на данной ступени развития мышления является для него доступной [3]. Будем считать уровень понимания и готовности к построению учащимися умозаключений минимально необходимым, если ученик, прослеживая мысли учителя (учебника), не только понимает и не только может повторить ход изложенного рассуждения, но сам (или с небольшой помощью со стороны учителя) может сделать заключение, выводы в аналогичных ситуациях.

Только лишь понимание изучаемого материала (понятий, суждений, способов рассуждения) еще недостаточно, чтобы можно было говорить об усвоении знаний. Необходимо еще и запоминание хотя бы некоторых ключевых положений. Совершенно очевидно, что запоминание и воспроизведение изученного материала (геометрического образа, его свойств) необходимы не только для овладения новыми знаниями, но и для повышения уровня усвоенных знаний и сформированных умений и навыков, обусловливающих применение этого образа и его свойств при решении задач[4].

Итак, в процессе обучения математике можно выделить качественно решающий уровень знаний, причем это относится как к пониманию и запоминанию отдельных математических понятий, суждений, способов рассуждения, так и к формированию отдельных узловых умений. Если по данной теме школьного курса математики выделить перечень основных опорных понятий, суждений, видов умозаключений, узловых умений и навыков и определить минимально необходимый уровень их усвоения и запоминания и разработать соответствующую методику обучения этим понятиям, суждениям и умозаключениям, то можно значительно повысить качество математических знаний у обучающихся. Обучение школьников математическим методам может происходить только при активной мыслительной деятельности учащихся. Одним из основных средств реализации деятельностного подхода к обучению старшеклассников распознаванию геометрических образов служит задача. Основная трудность в решении геометрической задачи состоит в построении упорядоченной системы действий, приводящих к правильному умозаключению. Каждое действие этой системы представляет собой результат надлежащего выбора соответствующих теорем и аксиом, в комбинировании их, во введении разного рода дополнительных преобразований, дополнительных элементов фигуры, делающих возможным применение тех или иных геометрических утверждений. Иногда эта трудность сводится к математическому оформлению условий или требований задачи, к переводу их на общепринятый математический язык (например, решение задач методом координат), использованию приема переформулирования. В то время как решение задач имеет целью либо содействие лучшему усвоению теории, либо тренировку в технике применения того или иного приёма, решение задач в собственном смысле имеет целью развитие математического мышления и является пер-

вичной формой деятельностной работы обучающихся.

Формирование целей статьи. Как известно, задача считается решённой тогда и только тогда, когда найдено безошибочное и обоснованное решение, дающее исчерпывающий ответ на все поставленные в задаче вопросы. Эти требования являются категорическими, если не выполнено хотя бы одно из них, то решение или вовсе непригодно, или оно верно, но не обосновано. Кроме этих обязательных требований, можно указать ещё четыре не обязательных, но весьма желательных: решение должно быть по возможности простым; оно должно быть надлежащим образом оформлено; желательно, чтобы был ясен путь, приводящий к решению; иногда желательно представить обобщённое решение задачи[5]. Нет сомнения в том, что математическая теория, изучаемая без практики ее применения в решении задач, влечет недостаточно высокий уровень формируемой познавательной деятельности обучающегося, которая характеризуется прежде всего способностью производить новые идеи, способностью переключаться с одной идеи на другую, способностью к преобразованию и мысленному конструированию новых суждений.

Наиболее острой становится проблема поиска средств, форм и методов, способствующих эффективному усвоению математической теории, особенно теории, связанной с изучением геометрического материала. Эффективность усвоения геометрического материала в значительной степени зависит от эффективности обучения школьников, как решению геометрических задач, так и от эффективности обучения их приемам исследования геометрических ситуаций. Исследуем, как можно использовать геометрические задачи и ситуации для обучения старшеклассников математическим методам распознавания геометрических образов при изучении темы «Метод координат в пространстве» в 11 классе.

Изложение основного материала исследования с обоснованием полученных научных результатов. Векторный, векторно-координатный и координатный методы позволяют решать геометрические задачи и исследовать геометрические ситуации средствами алгебры, заменять геометрические построения алгебраическими преобразованиями. Формирование действия по распознаванию образа с помощью метода координат способствует развитию вычислительных и графических навыков, пространственных представлений, геометрической интуиции учащихся, так как его применение связано с выбором системы координат, вычислением координат точек, переводом с языка уравнений и неравенств на язык геометрии и наоборот [6].

Координатный метод обогатил геометрической наглядностью алгебру, позволил представить в наглядных геометрических образах течение различных процессов. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. Только большой опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно. В ходе решения каждой задачи учащиеся отрабатывают умения и навыки по применению метода координат, как в стандартных, так и в нестандартных ситуациях.

В процессе обучения решению геометрических задач и исследованию геометрических ситуаций учащиеся овладевают не только новыми методами и способами познания объектов реального мира, но и новыми качествами, определяющими становление их как личности [7]. Важным компонентом становления каждого обучающегося как личности является формирование действия по распознаванию образа. Обычно выделяют четыре этапа формирования действия распознавания образа. На первом этапе распознание осуществляется через ощущения, которые являются результатом воздействия данного объекта на органы чувств; на втором этапе через суждение, как форму мышления, представляющую собой сочетание понятий, из которых одно определяет и рассказывает содержание другого; на четвёртом - через умозаключе-

ния, как выводы из каких-нибудь суждений. Обучение старшеклассников поиску решения задач, связанных с изучением одной и той же геометрической фигуры, обуславливает формирование этого действия, приобретает аналитико-синтетический характер или как его иногда называет, характер встречного движения с двух сторон: от данных в условии задачи к требованию и, наоборот, от требования к условию задачи. Методическая особенность аналитико-синтетического характера обучения состоит в том, что на начальном этапе обучения учащихся решению задачи их, как правило, учат формулировать различные следствия из условия задачи. Иными словами обучение школьников поперечного движения с двух сторон будет эффективным, если каждый из них овладеет умением делать различные выводы из данных условий.

Рассмотрим систему задач, соответствующих дея-тельностному характеру обучения старшеклассников методам и приемам распознавания геометрических образов, умениям строить различные варианты переформулирования условия и требования задачи, строить умозаключения, делать выводы, получать разнообразные следствия из условия задач.

Задача 1. В плоскости даны четырехугольник АВСМ и точка О. Доказать, что точки, симметричные точке О, относительно середин сторон этого четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

Данная задача относится к типу задач на распознавание геометрического образа на уровне понятия. Для того чтобы решить эту задачу учащимся необходимо вспомнить существенные признаки, однозначно определяющие параллелограмм. Если в качестве определения взять положение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то в качестве существенных признаков, характеризующих четырехугольник как параллелограмм, могут служить:

1. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны является параллелограммом;

2. Четырехугольник, у которого диагонали в точке их пересечения делятся пополам, является параллелограммом;

3. Четырехугольник, у которого точка пересечения диагоналей является его центром симметрии, является параллелограммом;

4. Четырехугольник.1ВС 1). является параллелограммом тогда и только тогда, когда =

В данном случае с целью распознавания геометрического образа на уровне понятия ученик рассуждает так: «Чтобы доказать, что четырехугольник РЕКН — параллелограмм, необходимо и достаточно показать, что две его противоположные стороны равны и парал-дельны. А для этого необходимо и достаточно доказать, что ЕК — рн. Чтобы доказать равенство этих векторов, необходимо выразить их через одни и те же векторы». Далее требуется помощь учителя. Он дает общую рекомендацию, полезную и для последующих задач: За данные векторы удобно принимать такие, которые «связывают» все данные задачи. В нашем случае положение всех заданных точек определяется векторами ОЛ, ОБ., Их: и считаем данными.

Теперь, используя условие задачи (точки Е и О симметричны относительно середины АВ), получаем

= ОБ- Аналогично и для других точек. Способ решения задачи найден:

ЕЁ = оё - ОЁ = {оЁ + 0?) - (0 + =

Отсюда ЕК = РН. Значит, ЕКНР — параллелограмм.

Задача 2. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды прямые. Доказать, что высота пирамиды про-

ходит через точку пересечения высот основания.

По рекомендации учителя учащиеся располагают пирамиду так, чтобы ее основанием служил один из прямоугольных треугольников, например, АВК.

Далее учащиеся пытаются доказать, что высота КО пирамиды пересекает высоты основания АВС. Как правило, значительная часть учащихся испытывают затруднения на этом этапе поиска решения задачи. Учителю необходимо обратить их внимание на то, что для решения этой задачи достаточно показать, что

1) высота КО пирамиды перпендикулярна прямым АО и ВО. Для доказательства этого факта используем следующее рассуждение: «Вместо того чтобы доказывать, что КО пересекает высоту основания АА} (ВВ проведем отрезок АО (ВО) и докажем, что он перпендикулярен ВС (АС)». Для этого достаточно доказать, что скалярное произведение векторов (£>q ) и ) равно нулю.

2) Необходимо обратить внимание обучающихся на тот факт, что = J[Q. Значит,

AÓcÉ= + кб)сЁ = АЁсв + кб~сВ

3) Поскольку высота пирамиды КО перпендикулярна СВ. поэтому ~К$СВ = 0 •

4) Далее учителю следует обратить внимание обучающихся на анализ исходных данных в условии задачи. По условию АК перпендикулярна прямым СК и KB, a значит, она перпендикулярна плоскости КСВ и, следовательно, перпендикулярна прямой СВ. Таким образом, высота основания АА} проходит через основание высоты КО пирамиды. Аналогичными рассуждениями доказывается, что высота ВВ1 проходит через основание этой же высоты

Задача 3. В тетраэдре ABCD противоположные ребра AD и ВС, а также BD и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра CD и АВ также перпендикулярны.

Решение. На примере данной задачи учителю важно познакомить учащихся с методикой реализации деятель-ностного подхода к распознаванию данного в условии задачи геометрического образа. С этой целью важно акцентировать внимание обучающихся на тот факт, что

1. Для доказательства перпендикулярности ребер CD и АВ достаточно показать, что скалярное произведение векторов ~сб и ~АВ равно нулю.

2. Введем векторы ¿ = fj = Щ} , с = Ш  ТогДа

AS — b — а, АС — с — á, ВС — с — b

3. По условиюАО перпендикулярен ВС и BD перпендикулярен АС, поэтому, о (с - £) = О и ¿Ce-я) = О

Отсюда получаем, что - -_ у -.

а с — a a be — b а

4. Из последних двух равенств следует, что а с = b с или (fj - ¡j) ё = q. _____

5. Поскольку Ь — о = АВ , с = DC. то АВ DC - 0, и, значит, ребра АВ и CD взаимно перпендикулярны.

Задача 4. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC со стороной, равной единице. Ребро AD перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна единице. Точка М - середина

BD. Через прямую МС параллельно высоте АН треугольника ABC проведена плоскость. Определить величину угла между этой плоскостью и плоскостью ABD.

Решение. Данная задача ориентирована не только на распознавание геометрического образа как угла между двумя плоскостями, но и на определение методики вычисления этого угла. В ходе поиска решения этой задачи внимание учащихся акцентируем на применение координатного метода. Учителю на примере данной задачи необходимо ознакомить учащихся с методикой реализации деятельностного подхода к распознаванию данного в условии задачи геометрического образа.

1. Присоединим прямоугольную декартовую систему координат Oxyz так, чтобы ее начало О совпадало с точкой А(0;0;0), за ось Оу примем прямую АВ , за ось Оz примем прямую AD , за ось абсцисс примем такую направленную прямую, которая перпендикулярна направленным прямым АВ и AD и вместе с ними образует правую прямоугольную декартовую систему координат.

2. Относительно прямоугольной декартовой системы координат Oxyz находим координаты точек B,D,C. Получаем, что B(0;l;0), D(0;0;l).

3. Поскольку координаты точки М, как середины отрезка ВГ) , равны полусуммам координат точек В и £>, то получаем, что ( о; - ; ^ ]. Аналогично находим коорди-

наты точки

Н

4. Обозначим через а плоскость, проходящую через МС параллельно АН. Её нормальный вектор « перпендикулярен векторам ^ = . 0. _ Г) и ^ = . 1. 0|

5. Поскольку пШ = О, п АН = 0 , т0 2

Va 1 п

х — - z — 0

i

и 4 ' \у=0.

6. Из этой системы находим, что х — V 3, у — • Итак, - _ (у^, _1;3).

-1 ,z = 3

7. Нормальный вектор т плоскости /У . IШ) параллелен оси абсцисс, поэтому ^ = [д; д; о].

8. Искомый угол ф между плоскостями а и в находим по формуле:

Из рассмотренных примеров следует, что приведенные эвристические правила совместно с аналитико-син-тетическим методом оказывают учащимся существенную помощь при поиске решения задачи на вычисление угла между двумя геометрическими образами. Поэтому

при доказательстве, например, параллельности двух прямых на плоскости можно рекомендовать им использовать систему специальных эвристик: «Чтобы доказать параллельность двух прямых на плоскости, достаточно доказать их перпендикулярность к третьей прямой, или равенство соответственных углов при их пересечении секущей, или что эти прямые содержат основание и среднюю линию треугольника, или что векторы, параллельные этим прямым, коллинеарны, или что четырехугольник ABCD с вершинами А и В, лежащими на одной прямой и вершинами С и D, лежащими на другой прямой, есть параллелограмм с основаниями АВ и CD ».

Выводы исследования и перспективы дальнейших изысканий данного направления.

Таким образом, деятельностный подход в обучении старшеклассников распознаванию геометрических образов позволяет реально обеспечивать новый качественный уровень в обучении математике, прежде всего, в овладении компетенциями и методами познания; в развитии фундаментальных и практических умений и навыков; в формировании умения выделять существенные стороны исследуемой задачной проблемы; умения переформулировать задачу с целью получения нового более эффективного пути ее решения; умения отождествлять исходные понятия с другими математическими эквивалентами; умения преобразовать интересующие нас стороны исходного явления в строгую формулировку математической задачи; умения переходить от общих утверждений к их частным случаям; обусловливает знакомство с методами проверки соответствия полученных решений исходной задачной ситуации и умения применять эти методы на практике; развивает критичность по отношению к полученным выводам; видение динамики развития геометрической ситуации; развитие наглядно-образного, абстрактного и логического мышления в процессе распознавания геометрических образов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Дорофеев С.Н. Теория и практика формирования творческой активности будущих учителей математики в педагогическом вузе / С.Н.Дорофеев: Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук / Пенза, 2000.-410 с.

2. Дорофеев С.Н. Индивидуальные траектории обучения как средство реализации личностно ориентированного подхода // Вестник Северо-Арктического федерального университета //Архангельск.-№2, 2013. С.117-121.

3. Дорофеев С.Н. УДЕ как метод подготовки будущих бакалавров педагогического образования к профессиональной деятельности // Гуманитарные науки и образование. 2013. №1, С.14-17.

4. Дорофеев, С. Н. УДЕ в подготовке старшеклассников к творческой математической деятельности // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2016. Т.5, №4 (17). СЛ18-Ш

5. Наземнова Н.В. Метод координат как основа формирования действия по распознаванию образа./ Наземнова Н.В.// Гуманитаризация математического образования в школе и вузе. Межвузовский сборник научных трудов.Выпуск 2. - Саранск: Издательство Поволжск. отд. РАО, МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 2002. -С.105-107.

6. Саранцев Г.И. О методике решения планиметрических задач. Москва «Просвещение» 1979г. с.116

7. Антонова И.В., Демченкова Н.А., Аблеева А.А. О различных технологиях формирования понятий у учащихся при обучении математике в общеобразовательной школе // Балтийский гуманитарный журнал. 2016. Т. 5. № 1 (14). С. 17-51.

Статья поступила в редакцию 25.04.2017.

Статья принята к публикации 23.06.2017.