О целесообразности применения нечеткого логического вывода для моделирования фильтрации нефти

УДК 519.63, 004.02

И.М. Григорьев

аспирант, кафедра «Математические технологии в нефтегазовом машиностроении», ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова»

О ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ НЕФТИ

Аннотация. Рассмотрены варианты решения дифференциальных уравнений диффузии касательно математического моделирования фильтрации нефти в нефтеносных породах при интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин (ГДИС). Исследованы проблемы, возникающие при использовании конечно-разностной аппроксимации в ситуации, когда аналитическое решение получить весьма затруднительно или невозможно. Предлагается подход решения данных задач на основе систем нечеткого логического вывода.

Ключевые слова: гидродинамические исследования скважин, уравнение диффузии, нечеткая логика, фильтрация нефти, конечно-разностная аппроксимация.

I.M. Grigorev, Kalashnikov Izhevsk State Technical University

WHETHER TO APPLY FUZZY INFERENCE FOR SIMULATION OIL FILTRATION

Abstract. Consider the options for solving differential equations of mathematical modeling of diffusion on oil filtering oil in rocks in the interpretation of well test. The problems arising from the use of a finite difference approximation to a situation where an analytical solution to obtain a very difficult or impossible. An approach is proposed to address these problems on the basis of fuzzy inference.

Keywords: hydrodynamic study wells, the diffusion equation, fuzzy logic, filtering the oil, a finite-difference approximation.

Математические модели пласта-коллектора создаются путем решения диффузионного уравнения при различных граничных условиях. Модели определяются тремя различными компонентами, которые характеризуют пласт, скважину и ее окрестности (внутренние граничные условия) и внешние границы пласта (внешние граничные условия). В общем случае изменение давления сначала обусловлено влиянием внутренних границ, затем в промежуточные моменты времени изменение давления соответствует основному поведению продуктивного пласта, и, наконец, по прошествии еще достаточно продолжительного времени изменение давления определяется главным образом внешними граничными условиями.

Общее уравнение фильтрации флюида в нефтяном пласте описывается следующим диффузионным уравнением [2]:

d2P 1 dP <f>/uct dP

—Г +--= -,

dr2 r dr k dt

где P - давление; r - расстояние по радиусу от ствола скважины; t - время; < - пористость; X - вязкость; ct - общая сжимаемость системы; k - абсолютная проницаемость.

Для получения аналитических решений уравнения диффузии (1) применяется интегральное преобразование Лапласа, что приводит к сглаживанию погрешностей экспериментальных функций. Кроме того, часто, исходя из точного решения в изображениях, удается получить асимптотики при t ^<х> и t ^ 0 решений во временной области и эффективно использовать их при решении обратных задач [5].

Так или иначе, применение преобразования Лапласа ограничено, очевидно, только теми случаями, когда решение дифференциального уравнения может быть получено аналитически. Однако это возможно далеко не всегда. Поэтому если точное решение получить не удается, можно произвести замену дифференциального уравнения его конечно-разностным аналогом [5, 6]. Определение параметров линейных и нелинейных дифференциальных уравнений отно-

сится к построению так называемой модели «серого ящика». Модель называется так, поскольку ее математическая структура задается в явном виде. При этом взаимосвязи между всеми параметрами и переменными модели известны. Модель серого ящика удобна для использования различных методов идентификации систем.

Рассмотрим пример простой модели распространения тепла в изолированном металлическом стержне длиной L [4]. Один конец стержня нагревается с тепловой мощностью и^), на

другом конце осуществляется измерение температуры у ^). При идеальных условиях данная система описывается уравнением теплопроводности

дх

дt д£2 '

где к - коэффициент теплопроводности; х(^ г) - температура стержня в точке г в момент времени t.

Для получения непрерывной во времени модели в пространстве состояний вторая производная в правой части (2) заменяется конечно-разностной аппроксимацией

д2хг) _ хг+AL)- 2хг)+х

дг2 " ^)2 ,

где г _ кAL ; к _ 1, 2,..., п ; п _ ЦAL . Подобное преобразование приводит к системе с конечным набором п состояний х(^ кAL), каждое из которых представляет собой некую усредненную температуру стержня в диапазоне кAL < г < (к + 1)AL . Другими словами порядок системы зависит от размера

AL пространственной сетки.

В результате, уравнение диффузии (1) можно представить как непрерывную во времени линейную систему в пространстве состояний:

х^)_ Ах^) + Ви^) + Ке^), х(0)_ х0, у ^)_ Сх (t) + Du (t) + е (t), где х (t) - вектор состояний; и (t) - вектор входных воздействий; е - вектор шумов; у -вектор реакций системы; х0 - вектор начальных состояний системы. Для нашей задачи

; у (0_[ у ^)]; и ^ )_[и (t)];

" х (^ 0) " [ х (0, 0) ]

х ^ )_ х к AL) ; х0 _ х

[ х (t, L) ] [ х(а L) ]

А

-1 1 0 . 0 0 ] У AL" 0]

1 -2 1 . 0 0 0 0

к М2 0 1 -2 . 0 0 ; В _ 0 ; к _ 0

0 0 0. -2 1 0 0

[ 0 0 0. 1 -1] _ 0 ] 0]

С _[1 0 0 ... 0 0]; D _[0].

Далее, имея достаточный объем наблюдений, можно использовать любой подходящий метод идентификации систем (например, метод минимизации ошибки прогноза (РЕМ), который во многом основан на авторегрессионной модели скользящего среднего с учетом внешних воздействий (ARMAX) для оценки параметра к .

Несмотря на большую гибкость описанного способа замены дифференциального уравнения конечно-разностным, у него есть ряд серьезных недостатков. Данный подход следует применять с большой осторожностью, поскольку конечно-разностная аппроксимация эквивалентна непосредственному дифференцированию экспериментальных функций, чреватому большими погрешностями [5, 6]. Кроме того, существует, например, модель пласта с непроводящим сбросом, которая, по сути, является двумерной. Если использовать преобразование Лапласа, то применительно к данной модели существует аналитическое выражение для изменения давления в скважине. Однако использование численного решения этой задачи для получения системы (4) может потребовать чрезмерно большого количества переменных состояния. Также можно отметить, что существуют определенные трудности в создании модели вида (4) для обработки данных ГДИС, полученные методом восстановления давления. Проблема связана с зависимостью вектора начальных условий от параметров пласта.

Помимо упомянутых трудностей, возникающих при работе с конечными разностями, существует, пожалуй, главное препятствие для более широко применения моделей типа (4). Для каждого нового набора наблюдений требуется каждый раз численно решать соответствующее дифференциальное уравнение, что связано с большими вычислительными затратами. Удобней было бы заранее иметь некоторое множество численных решений, по которым можно было бы аппроксимировать сложную функциональную зависимость между независимыми переменными (в данном случае расход скважины), параметрами (в данном случае пласта) и зависимыми переменными (в данном случае давление скважины). Для подобных целей широко используются так называемые методы мягких вычислений (soft computing): нейронные сети и системы нечеткого логического вывода [3]. Как показывает ряд исследований [7], последние обычно предпочтительнее. Причинами являются более простая настройка нечетких систем, а также более понятная внутренняя структура и логика работы таких систем, основанная на правилах.

Современные системы нечеткого логического вывода основываются на применении того или иного метода структурной оптимизации для определения структуры ее базы правил [3]. К таким методам относятся различные способы кластеризации или классификации исходных данных, выступающих в роли обучающей выборки для нечеткой системы [1]. Так, например, достаточно успешно применяется нечеткая кластеризация по методу C-средних (fuzzy C-means или FCM). Тем не менее, для решения задач нелинейной регрессии особую популярность приобрел метод деревьев классификации и регрессии (classification and regression tree или CART), являющимися частными случаями деревьев решений. С небольшими изменениями CART можно использовать для идентификации структуры базы правил нечеткой системы.

Список литературы:

1. Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

2. Азиз Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз, Э. Сеттари. -М.-Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2004. - 416 с.

3. Круглов В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. - М.: Физматлит, 2001. - 224 с.

4. Курант Р. Методы математической физики: т. 2 / Р. Курант, Д. Гильберт. - М.-Л.: ГТТИ, 1945. - 620 с.

5. Мирзаджанзаде А.Х. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределенность / А.Х. Мирзаджанзаде, М.М. Хасанов, Р.Н. Бахтизин. -М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2004. - 368 с.

6. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

7. Jang J.-S.R. Neuro-fuzzy and soft computing / Jang J.-S.R., Sun C.-T. Mizutani E.. - New Jersey: Prentice-Hall, 1997. - 640 p.