Корректная разрешимость системы линейных алгебраических уравнений с дополнительными условиями

С.М. Ситник,

кандидат физико-математических наук, доцент

О.М. Булгаков,

доктор технических наук, профессор, Краснодарский университет МВД России

М.Ю. Пакляченко

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ

УСЛОВИЯМИ

ADEQUATE RESOLVABILITY OF A SYSTEM OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS WITH SUPPLEMENTARY CONDITIONS

Рассматриваются математическая модель и численные методы для одной из прикладных задач радиоэлектроники, в которой изучается транзисторный усилитель мощности определённой структуры. После необходимых упрощений и линеаризации задача сводится к системe линейных алгебраических уравнений специального вида. Для полученной системы исследуется её корректность в зависимости от входного набора параметров. Получены условия на параметры, при которых система однозначно разрешима. Приведено описание численных методов, которые используются для расчёта данной модели, а также их сравнение со стандартными методами решения систем алгебраических уравнений.

In this paper we consider a mathematical model and numerical methods for an applied problem in radio electronics in which a transistor power amplifier is studied. After some simplifying and linearization the problem is reduced to a system of linear algebraic equations of special type. The correctness of this system and its dependence on an input set ofparameters is studied. Conditions on parameters for which the system is uniquely solvable is found. Also a numerical method is proposed to solve the system. This numerical method is briefly compared with standard known ones.

Математическая модель для описания транзисторного усилителя мощности.

Рассмотрим задачу о математическом моделировании работы транзисторного усилителя

155

мощности. Теоретические основы описания транзисторных устройств, которые являются основой современной технической элементной базы, изложены, например, в [1—3]. Устройства данного класса широко используются при решении прикладных задач радиоэлектроники, например при инженерном проектировании и расчетах РЭУ [3].

Приведём одну из известных упрощённых схем транзисторного усилителя мощности на рис. 1.

Рис.1. Упрощенная схема мощного ВЧ (СВЧ) транзистора без элементов внутреннего согласования, состоящего из N транзисторных ячеек (ТЯ), взаимодействующих между собой посредством суперпозиции потоков магнитной индукции: А, В, С, С', Б — контуры проводников, по которым протекают токи; 1вх, 1вых, ¡1 — входной, выходной, парциальные токи соответственно; и - падение напряжения на ТЯ

Как правило, окончательные расчёты математических моделей технических систем и устройств сводятся к решению некоторых систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), см., например, [4, 6—8]. Для решения СЛАУ разработаны многочисленные точные и приближённые методы решения [9, 10]. Эти методы демонстрируют различную эффективность на разных классах решаемых задач. Поэтому актуальной является задача подбора или модификации известных методов численного решения СЛАУ для достижения оптимальных результатов при расчётах конкретной задачи. Например, в задачах исследования электрических или информационных сигналов на основе метода квадратичной интерполяции также окончательные численные расчёты проводятся для СЛАУ специального вида [11, 12].

В работе [4] подробно изложен общий подход к изучению декомпозиционных моделей мощных ВЧ и СВЧ транзисторов, а в [5] рассмотрено применение этого подхода

156

для математического моделирования приведённого на рис. 1 транзисторного усилителя мощности. После необходимой линеаризации модели, содержащей дифференциальные уравнения, задача сводится к составлению, анализу и численному решению СЛАУ специального вида.

Как показано в [4, 5], рассматриваемая задача сводится к такой СЛАУ с дополнительными условиями на правую часть и уравнением баланса:

Х1 + а12 Х2 + — + а1ЫХЫ = У\ «12 Х1 + Х2 + — + а2 Ыхы = у 2

а1ЫХ1 + а2 ЫХ2 + — + ХЫ = Уы

£ Х! = X

У1 = У2 = ••• = Уы

В системе (1) величины имеют следующий физический смысл: Xi — токи в транзисторных ячейках, yi — падения напряжения на транзисторных ячейках, aij — элементы матрицы, характеризующей взаимную проводимость в транзисторе.

Из анализа физической постановки задачи [5] следует, что коэффициенты системы (1) удовлетворяют следующим ограничениям:

1) выполняется неравенство: 0 < а] < 1;

2) в каждой строке системы коэффициенты монотонно убывают от главной диа-

гонали;

3) для коэффициентов ^ой строки справедлива оценка: е[1,Ы], м е[0;1,5]

а,-

< е

где

В других рассмотренных моделях система получается того же вида (1), но переменные и коэффициенты могут иметь другой физический смысл, возникающий из рассмотрения конкретных систем и устройств [4—5].

Преобразование системы (1) с дополнительными условиями. Перейдем к исследованию системы (1). Здесь матрица А является в силу условий исходной задачи симметричной и имеет порядок N. Диагональные коэффициенты aп=1, кроме того, накладывается дополнительное условие: сумма всех неизвестных равна заданному фиксированному числу, которое можно выбрать любым ненулевым. Например, если нужно выполнить ограничение £ х{ = В, то, переходя к новым переменным = — , получим, что

В

£ = 1. Таким образом, без ограничения общности в дальнейших рассмотрениях будем считать, что В=1 и дополнительное ограничение имеет вид £ х^ = 1. Кроме того, накладывается ограничение, заключающееся в том, что все компоненты вектора свободных членов yi равны между собой, поэтому введем новую дополнительную переменную

Хы+1 = У1 = У2 = — = Уы.

С учетом приведенных обозначений и ограничений первоначальная система (1) преобразуется в систему:

Х1 + а12х2 +  + аШхЫ - ХЫ+1 = 0 «12Х1 + Х2 +  + а2мХЫ - хы+1 = 0

аШХ1 + а2^Х2 +  • • + ХN - ХН+1 = 0 Х1 + Х2 + Х3 + .. + ХN = 1

Перейдем к рассмотрению системы (2). Это неоднородная СЛАУ с (N+1) неизвестными, число уравнений равно числу неизвестных, поэтому матрица коэффициентов системы является квадратной и имеет вид

С =

( 1 а12 а13 аш - ^

а12 1 а12 аш-1 -1

а13 а12 1 а12 -1

аШ а13 а12 1 -1

1 1 \ 1 1 1 1

N +1 столбец

N+1 строка

Матрица С системы (2) также выражается через матрицу А системы (1) по фор-

муле

(

С =

1 1

1

- Л -1

-1

"0"

^ . ... ^ ; - У

Можно сказать, что матрица С получается окаймлением исходной матрицы А.

При решении системы (2) нужно помнить, что добавляются условия на коэффициенты, которые были сформулированы выше для системы (1).

Основными для исследования системы (2) являются следующие два вопроса:

1) является ли задача решения системы (2) при данном наборе входных параметров (или коэффициентов) корректной, то есть решение существует и единственно;

2) выбор и компьютерная реализация численного метода для решения системы (2) при больших размерностях матрицы СЛАУ.

Корректная разрешимость СЛАУ (2). Как известно из линейной алгебры, по теореме Крамера [9, 10] для корректной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы (2) был отличен от нуля, в этом случае решение системы существует и единственно.

Будем обозначать определители системы (2) через Б^а), где а — вектор коэффициентов соответствующей матрицы. Иначе, а — это вектор коэффициентов первой строки матрицы С без первого и последнего элементов, равных 1 и (-1) соответственно. Нужно обратить внимание, что размер определителя Б^а) на единицу меньше размера матрицы коэффициентов системы (2).

Задача о нахождении точных условий на коэффициенты системы, для которых гарантируется корректная разрешимость, оказывается с математической точки зрения достаточно сложной, поэтому рассмотрим результаты компьютерного решения системы (2) с помощью пакета МаШСаё для небольших размеров системы. 1. При N=3

¿>2 (а) =

1 а -1 а 1 -1 1 1 0

= 2-

Так как по условию 0 < а < 1, то получаем, что в данном случае система (2) корректно разрешима при всех допустимых значениях коэффициентов. 2. При N=4

(а, Ь) =

1 а Ь -1 а 1 а -1 Ь а 1 -1

= 3 - 4а + 4аЬ - 2Ь - Ь2 =

1110

Напомним, что по условию 0 < Ь < 1, следовательно, в этом случае при некоторых допустимых значениях параметров a и Ь, а именно при 4a-b-3=0, главный определитель системы обращается в ноль.

Изобразим графически в системе координат множество допустимых коэффициентов. Обозначим через А точку с координатами (%; 0), через В точку с координатами (1;1). Система однозначно разрешима тогда и только тогда, когда на множестве допустимых параметров, которым является изображённый на рис. 2 квадрат с единичной стороной, точка с координатами (a;b) не принадлежит отрезку АВ: (а; Ь) £ АВ (рис. 2).

Рис. 2. Область допустимых значений коэффициентов матрицы СЛАУ размера N=3, при которых она корректно разрешима

3. При #=5

1 а Ь с —1

а 1 а Ь —1

Д^(а, Ь, с) = Ь а 1 а —1 =

с Ь а 1 —1

1 1 1 1 0

= 2 - (а — с — 2 + 2Ь)-(а 2 +а — ас —

Ь + С + Ь — 1) .

Уже в этом случае становится затруднительной как проверка алгебраического условия Б4 (а, Ь, с) ф 0, так и компьютерная визуализация области корректной разрешимости системы в пространстве коэффициентов (а,Ь,с). При этом следует отметить, что вблизи начала координат в пространстве коэффициентов, т.е. вблизи точки с координатами а=0,Ь=0,с=0, находится область, для которой главный определитель отличен от нуля и, следовательно, система корректно разрешима.

Рассмотрим подробнее полученную формулу для определителя Б4(а,Ъ,с). С помощью пакета MathCad мы разложили его на два множителя, первый из которых представляет плоскость в пространстве (а, Ъ, с) с общим уравнением а + 2Ь — с — 2 = 0; второй множитель определяет некоторую поверхность второго порядка с общим уравнением 2 2

а + Ь — ас — 2аЬ + а + с — 1 = 0.

При помощи моделирования в MathCad были получены следующие пространственные графики указанной плоскости и поверхности второго порядка (рис. 3).

Рис. 3. Область допустимых значений коэффициентов матрицы СЛАУ размера N=4 ,

при которых она корректно разрешима

На рис. 3 отображена плоскость и седлообразная поверхность второго порядка, точки на которых приводят к равенству нулю главного определителя системы и потере корректности.

4. При N=6

D5

1 a b c d

a 1 a b c

b a 1 a b

c b a 1 a

d c b a 1

1 1 1 1 1

[a2 + c2 + b + d - bd - 2ac -1

• [a2 + c2 + 8b2 - 2ac - 12ab + 4da - 4bc - bd + 8a + 4c - 3d + b - 5) .

Для этой и тем более для следующих размерностей не представляется возможным ни аналитическое нахождение тех значений, при которых главный определитель системы обращается в ноль и утрачивается корректность, ни графическая визуализация соответствующих поверхностей, поскольку они задаются в многомерных пространствах.

Основным выводом из проделанных выше вычислений является тот факт, подтверждённый на нескольких примерах для небольших размерностей системы, что вблизи начала координат (нулевых значений) в пространстве коэффициентов внутри их допустимого множества изменения находится область значений, для которой система (2) корректно разрешима.

Для подтверждения справедливости данного вывода для матрицы любого размера проведем следующее вычисление.

Рассмотрим определитель DN(a) в том случае, когда значения всех недиагональных коэффициентов матрицы А равны нулю. Обозначим этот определитель Dn(0)=Dn, то есть

10 0 ... 0 -

0 1 0 ... 0 -

0 . 1 . 0 -

0 . . 1 0 -

0 . . 0 1 -

111110

Dn =

Вычисления с помощью MаthCаd для небольших значений N приводят к следующим значениям: Dз=2; D4=3; D5=4; D6=5; D7=6 и т.д. Можно предположить, что справедлива общая формула Он = N -1.

Теорема. Справедлива формула Он = N -1. Доказательство.

Вначале рассмотрим случай четного N. Для определенности положим N=4. Разложим определитель по элементам первой строки с использованием теоремы Лапласа

[9, 10]:

1 0 0 0 —1

1 0 0 —1 0 1 0 0

0 1 0 0 —1

0 1 0 —1 +(—1) - (—1)!+5 - 0 0 1 0

0 0 1 0 —1 = 1-

0 0 1 —1 0 0 0 1

0 0 0 1 —1

1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1 0

Б =

Первый определитель совпадает с определителем Бз, а для вычисления второго путем повторных перестановок перенесем последнюю строку на место первой. В результате будет сделано три перестановки строк во втором определителе, а он, в свою очередь, превратится в определитель диагональной матрицы, который, как известно, равен произведению диагональных элементов [9,10], в нашем случае — равен единице.

Получаем:

1111

Б4 = Бз +

ч3

0 10 0 0 0 10

= Бз +1

0 0 0 1

Аналогично доказывается формула для определителя и в случае произвольного чётного значения N.

Рассмотрим теперь случай нечетного значения N на примере N=5.

Б =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 1 1 1 1

= 1 - Б4 +

1+6

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 1 1 1 1

0

Первый определитель совпадает с определителем Б4, а для вычисления второго путем повторных перестановок перенесем последнюю строку на место первой. В результате будет сделано четыре перестановки строк во втором определителе, а он, в свою очередь, превратится в определитель диагональной матрицы, который в нашем случае равен единице.

Б5 = Б4 + (—1) - (—1)7 - (—1)4 -1 = Б4 +1.

Аналогично доказывается формула для определителя и в случае произвольного нечётного значения N .

Таким образом, вычисления для четных и нечетных N отличаются только четностью или нечетностью числа перестановок строк во втором определителе. В результате для всех N имеет место требуемая формула: = N — 1.

Теорема доказана.

Заключение. Можно сделать вывод, что при всех размерностях системы (2), по крайней мере, вблизи нулевых значений коэффициентов системы, имеет место ее однозначная разрешимость.

Так как коэффициенты каждой строки матрицы составлены из коэффициентов ее первой строки, для дальнейших вычислений удобно ввести обозначения Напом-

ним ограничение на коэффициенты системы вида а^ < е(1 ], которое по существу

означает, что за исключением нескольких первых коэффициентов остальные чрезвычайно быстро убывают и приближенно равны нулю.

Таким образом, хотя на теоретическом уровне вопрос о корректной разрешимости системы (2) нуждается в дальнейшем изучении, в рассматриваемых нами математических моделях с приведенными выше условиями формирования значений коэффициентов можно ожидать, что система (1) будет корректно разрешима. Компьютерные вычисления полностью подтверждают предположение, что для физически значимых реальных наборов параметров не происходит выхода из области корректной разрешимости.

Отмечено, что при численном исследовании системы (2) с применением к ней стандартного метода Гаусса в пакете MathCad при увеличении размера матрицы (N>33) возникают трудности ее представления в диагональном виде. Таким образом, необходима разработка специальной программы решения исследуемого класса систем, так как для приложений нужно рассмотреть системы больших размерностей (порядка100), а стандартные пакеты, такие как MathCad и программы, реализующие известные методы решения СЛАУ, за приемлемое время с этой задачей не справляются. Краткое описание разработанной специализированной программы для решения СЛАУ вида (2) приведено в [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Петухов В. М. Транзисторы и их зарубежные аналоги. Т. 2. — М. : РадиоСофт, 2000. — 544 с.

2. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. — 12-е изд. Т. I : пер. с нем. — М. : ДМК Пресс, 2009. — 832 с

3. Карапетян И. Г., Файбисович Д. Л., Шапиро И. М. Справочник по проектированию электрических сетей. — М. : ЭНАС, 2012. — 376 а

4. Булгаков О. М. Некоторые приложения декомпозиционных моделей мощных ВЧ и СВЧ транзисторов на основе изоморфно-коллективного подхода. — Воронеж : ВГУ — 2006. — 236 с.

5. Булгаков О. М., Пакляченко М. Ю. Модель расчета распределения входного тока в конструкции мощного ВЧ и СВЧ транзистора // Вестник Воронежского института МВД России. — 2015. — №2. — С. 79—87.

6. Кудряшов В. С. Моделирование систем. — Воронеж : Воронежский государственный университет инженерных технологий, 2012. — 208 а

7. Чикуров Н. Г. Моделирование систем и процессов. — М. : ИЦ РИОР : НИЦ Инфра-М, 2013. — 398 с.

8. Кобелев Н. Б. Теория глобальных систем и их имитационное управление : монография. — М. : НИЦ ИНФРА-М, 2014. — 278 с.

9. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — Москва : Лань, 2009. —736 с.

10. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М. : Наука, 1966. — 664 с.

11. Минин Л. А., Ситник С. М., Ушаков С. Н. Поведение коэффициентов узловых функций, построенных из равномерных сдвигов функций Гаусса и Лоренца // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия : Математика, Физика. — 2014. — Вып. 35. — С. 214—217.

12. Ситник С. М., Тимашов А. С., Ушаков С. Н. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика, Физика. — 2015. — Вып. 40. — С. 130—142.

REFERENCES

1. Petuhov V. M. Tranzistoryi i ih zarubejnyie analogi. T. 2. — M. : RadioSoft, 2000.

— 544 s.

2. Tittse U., SHenk K. Poluprovodnikovaya shemotehnika. — 12-e izd. T. : per. s nem.

— M. : DMK Press, 2009. — 832 s

3. Karapetyan I. G., Faybisovich D. L., SHapiro I. M. Spravochnik po proektirovaniyu elektricheskih setey. — M. : ENAS, 2012. — 376 c.

4. Bulgakov O. M. Nekotoryie prilojeniya dekompozitsionnyih modeley moschnyih VCH i SVCH tranzistorov na osnove izomorfno-kollektivnogo podhoda. — Voronej : VGU — 2006. — 236 s.

5. Bulgakov O. M., Paklyachenko M. YU. Model rascheta raspredeleniya vhodnogo toka v konstruktsii moschnogo VCH i SVCH tranzistora // Vestnik Voronejskogo instituta MVD Rossii. — 2015. — №2. — S. 79—87.

6. Kudryashov V. S. Modelirovanie sistem. — Voronej : Voronejskiy gosudarstvennyiy universitet injenernyih tehnologiy, 2012. — 208 c.

7. CHikurov N. G. Modelirovanie sistem i protsessov. — M. : ITS RIOR : NITS Infra-M, 2013. — 398 s.

8. Kobelev N. B. Teoriya globalnyih sistem i ih imitatsionnoe upravlenie : monografiya.

— M. : NITS INFRA-M, 2014. — 278 s.

9. Faddeev D. K., Faddeeva V. N. Vyichislitelnyie metodyi lineynoy algebryi. — Moskva : Lan, 2009. —736 s.

10. Demidovich B. P., Maron I. A. Osnovyi vyichislitelnoy matematiki. — M. : Nauka, 1966. — 664 s.

11. Minin L. A., Sitnik S. M., Ushakov S. N. Povedenie koeffitsientov uzlovyih funktsiy, postroennyih iz ravnomernyih sdvigov funktsiy Gaussa i Lorentsa // Nauchnyie ve-domosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya : Matematika, Fizika. — 2014.

— Vyip. 35. — S. 214—217.

12. Sitnik S. M., Timashov A. S., Ushakov S. N. Metod konechnomernyih priblijeniy v zadachah kvadratichnoy eksponentsialnoy interpolyatsii // Nauchnyie vedomosti Belgo-rodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, Fizika. — 2015. — Vyip. 40. — S. 130—142.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Ситник Сергей Михайлович. Доцент кафедры математики и моделирования систем. Кандидат физико-математических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России. E-mail: mathsms@yandex.ru

Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473)200-52-11.

Булгаков Олег Митрофанович. Первый заместитель начальника университета. Доктор технических наук, профессор.

Краснодарский университет МВД России. E-mail: ombfrier@yandex.ru

Россия, 350005, г. Краснодар, ул. Ярославская, д.128. Тел. (861)-258-40-03.

Пакляченко Марина Юрьевна. Адъюнкт кафедры информационной безопасности. Воронежский институт МВД Ро^ии. E-mail: marina_lion@mail.ru

Россия, 394065 г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. 8-920-440-38-45.

Sitnik Sergey Mikhailovich. Associate Professor of the chair of Mathematics and Modeling Systems. Candidate of Physical and Mathematical Sciences. Associate Professor. Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia. E-mail: mathsms@yandex.ru

Russia, 394065, Voronezh, prospect Patriots, 53. Tel. (473)-200-52-11.

Bulgakov Oleg Mitrofanovich. First deputy head. Doctor of Technical Sciences, Professor. Krasnodar University of the Ministry of the Interior of Russia. E-mail: ombfrier@yandex.ru

Work address: Russia, 350005, Krasnodar, ul. Yaroslavskaya, d. 128. Tel. (861)-258-40-03.

Paklyachenko Marina Yurievna. Post-graduate cadet of the chair of Information Security. Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia. E-mail: marina_lion@mail.ru

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. 8-920-440-38-45.

Ключевые слова: корректная разрешимость; система линейных алгебраических уравнений; матрица; определитель.

Key words: adequate resolvability; system of linear algebraic equations; matrix; determinant. УДК 591.612.2