Составная капля эмульсии в однородном потоке вязкой жидкости

УДК 532.529:541.182

С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина

СОСТАВНАЯ КАПЛЯ ЭМУЛЬСИИ В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Аннотация. Рассматривается обтекание составной капли эмульсии однородным потоком вязкой жидкости. Учитывается гидродинамическое взаимодействие составных частей капли. Получены приближенные выражения для скорости и давления в каждой из составных частей капли.

Ключевые слова: вязкая жидкость, эмульсия, капли, взаимодействие.

Abstract. Dynamics of complex droplets of emulsion in viscous flow is considered. Hydrodynamic interactions of droplets are taken into account. The solution of problem was obtained by analytical and numerical methods.

Keywords: viscous flow, emulsion, droplets, interaction.

Введение

В последние годы все больший интерес представляет моделирование системы «жидкость - частицы». Это связано как с многочисленными приложениями, в которых требуется применение таких моделей, так и с возросшими возможностями компьютерных технологий, позволяющими дальше развивать численные методы моделирования. Интенсивное развитие в последние годы методов аналитического и численного моделирования поведения таких сред при различных внешних воздействиях связано с созданием новых материалов, в которых используются эффекты многофазности, и c управлением их свойствами. Одна из задач, возникающих при моделировании таких сред, это учет взаимодействия частиц между собой и жидкостью. Такое взаимодействие называется гидродинамическим и определяет свойства самой системы в целом, а также сказывается на всех процессах, происходящих в ней. Интерес к этой тематике связан и с теоретическими проблемами построения моделей на основе получения зависимости средних параметров системы от различных характеристик ее составляющих, в том числе и от объемной концентрации частиц.

Вопрос о том, можно ли получить выражения такого рода путем усреднения выражений, полученных из решения задач о двух или нескольких взаимодействующих частицах как в стационарных, так и нестационарных полях, действующих на систему, один из актуальных в проблеме построения моделей таких сред. Известные оценки [1] показывают, что простое суммирование возмущений от каждой частицы без учета их взаимодействия, приводит к расходящимся рядам для большого числа частиц, и получить средние выражения не представляется возможным. В работах [2, 3] показано, что, например, решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих частиц. Это связано с тем, что даже для линейных уравнений и граничных условий последние являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. Это означает, что для получения общего решения необходимо учитывать вклад каждой частицы. С учетом того, что для

реальных систем «жидкость - частицы», таких как, например, суспензия, число частиц в единице объема смеси имеет порядок 1016-1018 , то возникает принципиальный вопрос о возможности моделирования таких систем путем учета вклада каждой частицы в поведение системы в целом. Даже с учетом современного развития компьютерных технологий прямое численное моделирование таких систем не представляется возможным. Вместе с тем в работах [2, 3] развит метод, позволяющий учитывать гидродинамическое взаимодействие произвольного конечного числа твердых частиц в различных потоках. Метод основан на представлении решения задачи в виде мультипольного разложения с тензорными коэффициентами, не требует больших вычислительных затрат (все числовые значения параметров могут быть найдены на персональном компьютере с хорошей точностью) и реализуется в любой проблемно-ориентированной системе, например МаШешайса. На его основе разработаны [4, 5] и программно реализованы методы по расчету взаимодействий большого числа частиц в облаке и бесконечного числа частиц в периодической решетке произвольной симметрии. Результаты работы [4] свидетельствуют, что динамика частиц в облаке имеет сложный характер: скорость частиц внутри облака больше, чем на его краю. Это приводит к относительному движению частиц внутри облака и его деформации в результате гидродинамического взаимодействия. Однако средние кинематические характеристики частиц в облаке таковы, что они практически не зависят от их первоначальной конфигурации, а их зависимость от числа взаимодействующих частиц такова, что асимптотические значения достигаются уже при учете только, примерно, нескольких сот взаимодействующих частиц. Это означает, что для корректного учета вклада взаимодействия частиц в выражениях для средних характеристик смеси оказывается достаточным учитывать вклад не всех частиц, а только их части, причем учитываемое число частиц имеет разумные для численного счета значения. Все это позволяет предположить, что прямое численное моделирование таких систем возможно. В работе [5] найдены усредненные по объему смеси уравнения движения смеси с бесконечным числом частиц, образующих периодическую решетку любой симметрии.

Системы с жидкими частицами (каплями) и процессы в таких системах играют важную роль в жизнедеятельности человека. Примером таких систем являются эмульсии [6]. При их моделировании необходимо учитывать, что внутри частиц также происходит движение, влияющее на свойства всей системы. Учет гидродинамического взаимодействия большого числа таких частиц значительно усложняет задачу. Имеются различные подходы к решению такого рода задач [7, 8]. Между тем подход, аналогичный тому, что использован в работах для твердых частиц [2-5], может быть применен и для случая капель. При этом в силу линейности уравнений решение задачи о движении большого числа капель можно представить как сумму возмущений от каждой капли при наличии остальных, где суммирование берется по всем частицам из заданной конфигурации.

В проблеме моделирования взаимодействия большого числа частиц в вязкой жидкости задача о взаимодействии двух частиц является основополагающей в силу линейности уравнений и граничных условий, описывающих движение жидкости при малых числах Рейнольдса. Из сказанного выше возникает интерес рассмотреть задачу о взаимодействии двух капель и исследо-

вать влияние гидродинамического взаимодействия на их динамику при внешнем воздействии какими-либо силами, например силой тяжести.

Решение этой задачи позволяет найти силы и моменты, действующие на частицы со стороны жидкости, и провести анализ возможности получения усредненных выражений для сил и моментов, действующих в системе, с точностью до слагаемых по объемной концентрации частиц в степени выше первой. Кроме того, решение этой задачи, так же как и в работах [2-5], дает способ моделирования для случая произвольного конечного числа частиц.

Практический интерес представляет вопрос о распределении скорости и давлении в каждой из фаз. Распределение этих величин в капле зависит от многих факторов: вязкостей фаз дисперсной системы, размеров и структуры включений и т.д. В данной статье рассматриваются эмульсии, в которых капли могут содержать внутри себя жидкие, твердые или газовые частицы. Такие составные капли могут образовываться в результате перемешивания смеси или создаваться искусственно. В последние годы такого рода составные частицы создаются в медицине для транспорта лекарственных препаратов в организм человека.

Ниже рассматривается постановка и решение задачи об обтекании составной капли эмульсии однородным потоком жидкости. Учитывается гидродинамическое взаимодействие капель.

1. Постановка задачи

Пусть в неограниченной несжимаемой жидкости вязкости ц находится жидкая капля А вязкости ца радиуса а. Сама капля представляет собой сложную структуру: внутри нее расположена жидкая частица В вязкости Цв, радиуса Ь. Размеры частиц достаточно маленькие, чтобы уравнения движения жидкости вне и внутри включений были линейными. Положение точки дисперсионной фазы относительно выбранных центров в каплях обозначим векторами Xа , Хв . Для введенных векторов имеем соотношение Хв = Xа ~ г , где г - радиус-вектор между центрами частиц А и В.

Учитывая маленький размер частиц, уравнения для скорости и давления в несущей жидкости и внутри каждой из частиц можно записать в приближении Стокса [9, 10]:

Уц = 0, V• VА = 0, V• VВ = 0;

цУ2ц = Ур1, ЦаУ2vA =Ура, ЦвУ2Vе =Урв,

А

здесь ц , р1 - скорости и давления в несущей жидкости; V , Ра - скорости

в

и давления внутри капли А; V , рв - скорости и давления внутри капли В.

На поверхности жидкой частицы А записываются следующие граничные условия:

1) условие равенства скоростей жидкостей на границе капли А:

Щ + и = уА + УА, |Ха| = а ,

где и - скорость невозмущенного потока; VА - скорость частицы А;

2) условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой частицы А :

V

А А

здесь пит- единичные векторы нормали и касательной к поверхности каплиА;

3) условие непротекания несущей жидкости внутрь частицы А:

Щ + и-) пА = ° |Ха| = а.

Соответствующие граничные условия можно записать и на поверхности жидкой частицы В:

1) условие равенства скоростей жидкостей на границе капли В:

VА + V/1 = Vе + Vе, |Хв| = ь ,

В

здесь V - скорость частицы В;

2) условие равенства касательных напряжений на поверхности жидкой частицы В:

V /

3) условие непротекания жидкости из частицы А внутрь частицы В:

ЩА + V,A) п) = 0, |Хв| = ь.

При бесконечном удалении от частицы А скорость возмущенного потока стремится к нулю:

Щ Н ° IX Н “ .

Система уравнений и граничные условия линейны по скорости.

2. Решение задачи

Решение уравнения для жидкости вне частиц, удовлетворяющее условию на бесконечности, может быть записано в виде

__тт1А тА . г?1А тА . ^1АтА . рДА тА .

рі - Яі Ч + Чі] Ч] + иі]кЧ]к + иі]кіЧ]кі + •••

п/« -пи - 3я1^ - 3 ЩАьА - 7 о^ьАк - 5 оЦ -

1 Я1А тА X2 1 ч1А тА X2 1 ^1А тА х2 1 о1А тА х2

-6Я] Ч А -— Ч]к Ч]кХА -14^]к/Ч]к/ХА -18и]к/пЧ]к/пХА --,

где Ч] 3 - мультиполь, вычисляемый по правилу

Ч

‘уз

дхі

дх,-

V J

д ( 1

Внутри капли А выражения для давления и скорости не должны содержать особенностей при |ха| = 0, поэтому решение внутри капли А записывается в виде

РА = И2 АЬАХЪа + Р^ЬАХА + О^ьАиХА + ^гА-нХА + ... +

, и 2В тВ , т2В тВ , ^ 2В тВ , ^ 2В тВ ,

^И- т ^ ту ^ ^ук т-к ^ ^ ...,

ЦА^А = ЦAVІA + И2А (2 1АхАха1 + 5 1Ах5а ^ + — (21АкХ5АХМ + ^^А ) +

+&).к ^2т/-к!ХАхА- +12тА-к1ХА ^ + в]к1п ^2Т%пХАхА- +110тАк1пХА ^ +

+к^хА+^іАкхА + м^ьАыхА+V,-

т 2ачха+ф 2*]а +

і р2А тА х7 і О2А ТА X9 і

+ 1 ]к/Ч]к/Х А + О ]к/пЧ]к/пХ А + •••

2 Я 2В тВ 3 Ч 2В тВ 4 ^ 2 В тВ

- Яі Ч)- 5 Ч] - 7 ^і]кЧ]к-

5 т~\2В тВ 1 тт2В тВ 2 1 772В тВ ~у2 1 /^2В тВ ~у2 1 гл2В тВ ~у2

оі]кіЧ]кі -6Я] Ч]ХВ -10Ч]к ьукхВ ^к/имЛ в ик/п^ЛіпЛ в

7]кі і]кі В , о ]к/п ук/п В

9 6 10 14 18

Внутри капли В выражения для давления и скорости не должны содержать особенностей при |Х)| = 0, поэтому решение внутри капли В записывается в виде

рв = и!вьвх1+т2 Вт)/хВ+^¿^к'тВВкхВ+^в^хв+..., цвvf = И3В ^ ^2 т;)хВ хв- + 5 тВ)хВ ^ ^ 2 тВкХВ хв- + 42 4кХВ ^+

+^,^3к/ ^2Т]к1ХВхВ- +12тВк1ХВ 1 + ^.¡/к/п ^^2Т]к1пХВхВ- +110Т]к1пХВ '| +

+к^Звч^хВ + ^¿;вЧВВкХВ + мЦхВ + Vi

J3B тВ \т5 . уЗВ тВ \г! . глЗВ тВ у9 5 jk LjkX В + i jklLjklX В jklnLjklnX В

Последние слагаемые в выражениях для скоростей внутри жидких частиц должны удовлетворять уравнениям Лапласа и неразрывности.

3. Численный расчет

A A В В A

Введем следующие обозначения: W = V - U , W = V -V . Тогда

неизвестные тензорные коэффициенты, содержащиеся в выражениях для ско-

A В

рости и давления, должны зависеть от величин W- , Wj , rk , r / b и быть ли-

A В

нейными по Wj , Wj , так как граничные условия линейны по величинам Va - Uj, VB - Va. Векторы WA , WВ могут быть представлены в виде суммы компонент вдоль и перпендикулярно вектору r : WA = WA + WA1,

В Bll B1 A I

w = w 11 + W . Учитывая, что некоторые комбинации тензоров Wj ,

rk , Sin, и WP1, rk , Sin равны нулю, можно записать все отличные от нуля и

линейные по WjAI, WjBI комбинации WjAI, WBI, rk, Sln, дающие тензор-

ные коэффициенты в выражениях для давления и скорости и включающие неизвестные скалярные функции, зависящие только от параметра r / b .

Ниже приводится вид некоторых тензорных коэффициентов, записанных в выражениях для давления и скорости:

H¡A = ^W-^HA11 + ^lW¡B|lHBl1 + rlWlA1 HA1 + rlWjB 1HB1;

h2 A = г^^КА11 + rlWjB|lKBl1 + rlWjA1 KA1 + rlWjB± KB1;

H2B = rlW'All0A + r¡WjBllQBl + nW^QA1 + nWlB1QB1;

HfB = nWATA + г^Тв11 + rlWlA1TA1 + rWB 1TB1;

y2A = rlWA" YAy + rlWjB|l^B|! + rlWlA1YA1 + rWB ^B1;

Y3B = г^Фа11 + rlWjB|lOB|! + rlWlA±OA1 + rlWlB 1ФВ1.

Задача решена с точностью до (r / b) с использованием программного пакета Mathematica.

На рис. 1 приводятся графики зависимости значений неизвестной скалярной функции Ya11 от параметра a / b при фиксированных значениях параметров rl / Г A и Гв / Г A . Сплошной линией изображен график функции

YAl!(a / b) при rl / Г A = I,2, Гв / Га = 1,5, пунктирной - при rl / Г A = 0,5, Гв / Г а = 0,7 .

На рис. 2 построены графики зависимости значений неизвестной скалярной функции qA от параметра rl / Г A при фиксированных значениях

параметров а / Ь и Гв / ца • Сплошной линией изображен график функции QA\r\^ /ца) при а/Ь = 5, Гв /ГА = 1,5, пунктирной - при а/Ь = 10, Гв / Г А = 0,7 •

ТА11

Рис. 2

На рис. 3 приводятся зависимости значений неизвестной скалярной функции ТА11 от параметра Гв / Г А при фиксированных значениях параметров

а / Ь и Ц/ / Г А • Сплошной линией изображен график функции ТА^(Цв / Га ) при а / Ь = 5 , Г/ / Г а = 1,2 , пунктирной - при а / Ь = 10 , Ц/ / Г А = 0,5 .

- 0.2 - Г#

- 0.3

- 0.4 \

8 10

Рис. 3

Заключение

Аналитические и численные вычисления, проведенные в работе, показывают, что учет взаимодействия дает нелинейную зависимость скалярных коэффициентов, входящих в решение, от параметров, характеризующих свойства каждой фазы. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании динамики большого числа составных капель эмульсии на основе разработанных ранее подходов и методов расчета

Список литературы

1. Serrin, J. Mathematical principles of classical fluid mechanics, BerlinGottingen / J. Serrin. - Heidelberg, 1959. (Рус. перевод: Серрин, Дж. Математические основы классической механики жидкости / Дж. Серрин. - М. : Иностр. лит-ра, 1963).

2. Мартынов, С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 1998. - № 2. - С. 112-119.

3. Мартынов, С. И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости / С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. -2000. - № 1. - С. 84-91.

4. Баранов, В. Е. Влияние гидродинамического взаимодействия на скорость осаждения большого числа частиц в вязкой жидкости / В. Е. Баранов, С. И. Мартынов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2004. - № 1. - С. 152-164.

5. Мартынов, С. И. Симметрия периодической решетки частиц и потока вязкой жидкости в приближении Стокса / С. И. Мартынов, А. О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2007. - № 3. - С. 7-20.

6. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных систем / Р. И. Нигматулин. - М. : Наука, 1987. - Т. 1, 2.

7. Зинченко, А. З. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах Рейнольдса / А. З. Зинченко // Прикладная математика и механика. -1978. - Вып. 5. - С. 955-959.

8. Зинченко, А. З. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде / А. З. Зинченко // Прикладная математика и механика. - 1980. - Т. 44. -Вып. 1. - С. 49-59.

9. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. - М. : Мир, 1973. - 758 с.

10. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифщиц. - М. : Наука,

1986. - 736 с.

Мартынов Сергей Иванович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики в геологии и нефтегазовом деле, Югорский государственный университет

E-mail: martynovsi@mail.ru

Пронькина Татьяна Васильевна аспирант, Югорский государственный университет

E-mail: pronkinatv@mail.ru

Martynov Sergey Ivanovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of applied mathematics and computer science in geology and oil-and-gas industry, Yugra State University

Pronkina Tatyana Vasilyevna Postgraduate student,

Yugra State university

УДК 532.529:541.182 Мартынов, С. И.

Составная капля эмульсии в однородном потоке вязкой жидкости /

С. И. Мартынов, Т. В. Пронькина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2 (14). -С.87-93.