Вариант динамической модели переоборудования производственного предприятия, учитывающей эффект запаздывания внутренних инвестиций

Егорова А.Ю., Сараев А.Л., Сараев Л.А.

Вариант динамической модели переоборудования производственного предприятия, учитывающей эффект запаздывания внутренних инвестиций // Вестник Самарского государственного университета. 210 2015. № 5 (127). С. 210-216

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

УДК 330.101.54

А.Ю. Егорова, АЛ. Сараев, Л.А. Сараев*

ВАРИАНТ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕОБОРУДОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ, УЧИТЫВАЮЩЕЙ ЭФФЕКТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ВНУТРЕННИХ ИНВЕСТИЦИЙ

В публикуемой статье предложена однофакторная математическая модель динамики экономического развития предприятия, претерпевающего смену технологий производства. Уравнения баланса для такого предприятия учитывают эффект непрерывного распределенного ввода в производство внутренних инвестиций и описываются связанными нелинейными дифференциальными уравнениями.

Ключевые слова: предприятие, технологии, факторы производства, производственная функция, производственные фонды, ресурсы.

Пусть производственное предприятие выпускает готовую продукцию? затрачивая определенный ресурс в виде некоторого объема фактора производства Q, который складываются из основного капитала, производственных фондов, привлекаемых в производство трудовых ресурсов, используемых в производстве материалы, применяемых технологий, различного рода инновации и т. д. [1—4]

Этот объем фактора производства является функцией времени Q = Q(t) и представляв собой способную накапливаться и образовывать определенный фонд кумулятивную величину. Переменная времени t предполагается непрерывной, единицей ее измерения служит так называемый производственный период (месяц,

квартал, год), а сама функция Q = Q(t) предполагаются непрерывной, непрерывно дифференцируемой и ограниченной на числовой полуоси (О < t <«).

Qo <Q(t)<Q«,

Q« = lim Q(t), limQ(t) = Qo.

t¥ t0

* © Егорова А.Ю., Сараев А. Л., Сараев Л. А., 2015

Егорова Алена Юрьевна (egorovaalena@inbox.ru), Сараев Александр Леонидович (alex.saraev@gmail.com), Сараев Леонид Александрович (saraev_leo@mail.ru), кафедра математики и бизнес-информатики, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

Выпуск продукции производством предприятия V обеспечивается степенной производственной функцией Кобба-Дугласа [7]

V = р  оа.

Здесь степенной показатель производственной функции а, (0 < а < 1) представляет собой эластичность выпуска, р — стоимость продукции, произведенной на единичный объем ресурса.

Значение производственной функции в начальной точке (? = 0) имеет вид

Vo = р  оа.

Это позволяет записать производственную функцию (1) в виде

V = V0  да.

Ч = О-

Здесь Ч п — безразмерный фактор производства.

д0

Значения изменений объема фактора производства Ад за некоторый малый промежуток времени Аt определяются их частичными амортизациями в процессе производства

Л^) = —а  \А1,

их частичными восстановлениями за счет внешней экзогенной поддержки в виде государственных инвестиций в производства предприятий 0(:) Аt, и их частичными восстановлениями за счет внутренних эндогенных инвестиций t

Ж

Здесь а — доля выбывшего за единицу времени объема фактора производства О, Ж(^) — объем инвестиций, накопленный предприятием в моменту времени t, Я^ ,г) — функция распределения постепенного и непрерывного ввода инвестиций

за весь период работы предприятия, I (г) — инвестиции, сделанные в момент времени г. При этом функция распределения ввода инвестиций удовлетворяет условию

¥

| Я^ ,г> йг =1,

г

Процесс инвестирование и ввода инвестиций считается стационарным, поэтому формула (5) принимает вид

t

Ж

—¥

Для экспоненциального распределения ввода инвестиций я(^ — г) = е~А'(—г) соотношение (7) принимает вид

t

Ж

¥

С помощью дифференцирования обеих частей интегрального уравнения (8) по времени : легко убедиться, что оно эквивалентно дифференциальному уравнению

^ = Я. I (:)-Я-Ж (),

а:

или

^ = Я. т-V ()-Я. Ж ().

Здесь т — норма накопления внутренних эндогенных инвестиций.

Поскольку любое изменение объема фактора производства Q = Q(t) будет ограничено предельными возможностями выпуска продукции производства, то скорость их роста должна быть пропорциональна величине, характеризующей замедление роста выпуска продукции. Таким образом, соотношения для баланса изменений объемов факторов производства Q имеют вид [5]

(

V

ДQ(0 = в () - (- а - Q() + Ж() + С(0) -1 1 - ^ Здесь ^ = П - ОТ = - —

-Д:

СО у

Qo

предельное значение выпуска продукции произ-

водства экономической системы, в(:) — функция относительной удельной скорости изменения объемов факторов производства (0 < в(: )< 1).

Предельный переход при Д:  0 приводит к нелинейному дифференциальному уравнению

(

^ = в()-(-а -Q(() + Ж() + а())-[1 - V1

а: , V

(-а - Q^:) + Ж () + < ч//

V ' < 0

Уравнения (9) и (10) образуют систему нормальных нелинейных связанных уравнений первого порядка. Исключение из них величины V (:) дает

( па (: Л

^ = в(:)-(- а- Q(:)+Ж (:)+о(:))-

1 - Ш

Q:

а:

^ = Я-т-V, -Qa()-Я-Ж().

а:

Начальные условия для системы (11) имеют вид Q(0 ) = Q|:=о = Qo, Ж (0) = Ж|:=0 = Ж0..

Стационарным решением задачи Коши (11) и (12) являются значения Q = Q« и

Ж = Ж< = Я-т• Q<<. В общем случае нелинейная задача Коши (11) и (12) может быть решена только численно.

Легко видеть, что формы интегральных кривых уравнений (11) определяются уровнем отклонения функции относительной удельной скорости роста фактора

производства в = в(*) от единицы. Размер такого отклонения задает варианты развития процесса переоборудования рассматриваемого предприятия. Для значений функций в = в(*), близких к единице, кривые, построенные в соответствии с решениями уравнений (11), описывают монотонный эволюционный процесс работы предприятия. Для близких к нулю и для отрицательных значений функции в = в(*) интегральные кривые уравнений (11) описывают процессы смены технологий производства и кризисные явления динамики экономической системы.

Если в некоторой окрестности момента времени * = ** на рассматриваемом производственном предприятии выполняется полная или частичная замена технологического оборудования, то рост выпуска продукции может существенно замедлится и удельная скорость роста в = в(*) может резко снизится даже до нулевого

значения. В том случае если удельные скорости роста в = в(*) принимают отрицательные значения, может наступить кризис системы, описываемый уравнениями (11). Внедрение новых и обновление прежних производственных технологий, перевооружение и модернизация производства могут привести к росту этой функции и восстановлению мощности предприятия.

Процесс замедления, провала и последующего восстановления экономического роста выпуска продукции может быть описан уравнениями

ав 1/ Л ь п\

~2 Л* - * И1 — в)

а

с начальными условиями в(*)= 1 — со . Решениями уравнений (13) с такими начальными условиями является функция

М

2а2

в(() = 1 — ю-е

Здесь ю — максимальное значение глубины падений удельных скоростей роста, а — размер ширины временного интервала перестройки технологий производства или кризиса экономической системы.

На рис. 1 построены кривые функции (14) для различных значений параметров

ю и *

6

1,0

—1,0

10

15 20

0

г

0

5

Рис. 1

Цифры у кривых — значения параметра а , расчетное значение величины а = 1,2.

Если предприятие претерпевает несколько смен технологических укладов производства, разнесенных во времени, то в качестве функции относительной удельной скорости роста фактора производства целесообразно выбрать произведение функция вида

( ( ( *\2 ^

=П* (()=П

5=1

5=1

1 - а5 • ехр

(- С У

2-а\

/у

На рис. 2 построена кривая функции (15) в случае п = 3 для различных значе-

*

ний параметров а и г .

Цифры у кривых — значения параметров а5, расчетное значение величины а = 1,2.

На рис. 3 представлены интегральные кривые для функции Q(t), построенные по результатам численного решения задачи Коши (11), (12).

1,0

-1,0

1000

500

10 Рис. 2

15 20

10

20

Рис. 3

*

Цифры у кривых — значения параметра а, расчетные значения а = 2 и t = 5.

На рис. 4 представлены интегральные кривые для функций Ж (г), построенные по результатам численного решения задачи Коши (11), (12).

*

Цифры у кривых — значения параметра а, расчетные значения а = 2 и t = 5.

На рис. 5 представлены интегральные кривые функций Q(t) и Ж (г), построенные по результатам численного решения задачи Коши (11), (12) для случая, когда предприятие претерпевает несколько смен технологических укладов производства, разнесенных во времени.

1000

500

1000

500

10 20 Рис. 4

10 20 Рис. 5

0

0

г

г

0

0

5

0

0

t

г

0

0

Здесь в качестве функции относительной удельной скорости роста фактора производства использована функция (15) при n = 3. Значения параметров ws, t* и ss

соответствуют значениям, использованных при построении графика, изображенного на рис. 2.

Кривые функций Q(t ) и W (t ) на рис. 5 показывают, что при t* = 5 происходит частичная смена технологического уклада предприятия, что соответствует поло-

<_» -I—Т * <_»

жительному наклону касательной. При tj = 10 технологический уклад предприятия меняется в полной мере, рост ресурса Q(t ) приостанавливается, при этом касательная в рассматриваемой точке становится параллельной оси абсцисс. При

t* = 15 предприятие попадает в условия кризиса — ресурс Q(t) убывает, при этом

касательная в рассматриваемой точке имеет отрицательный наклон. Далее происходит рост удельной скорости фактора производства, ситуация выправляется и предприятие снова переходит на стабильный выпуск продукции в новых условиях.

Библиографический список

1. Дубровина Н.А., Сараев А.Л. , Сараев Л.А. К теории нелинейной динамики многофакторных экономических систем // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 2(113). С. 186-191.

2. Дубровина Н.А., Сараев Л.А. Модель экономического развития машиностроения, учитывающая кумулятивную динамику факторов производства // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 4(115). С. 177-183.

3. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Особенности динамики выпуска продукции и производственных факторов модернизируемых предприятий // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 6(117). С. 251-260.

4. Сараев А.Л. Уравнения динамики экономического развития предприятия, модернизирующего производственные технологии // Основы экономики, управления и права. 2014. № 3(15). С. 93-100.

5. Сараев А.Л. Уравнения нелинейной динамики кризисных явлений для многофакторных экономических систем // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 2(124). С. 262-272.

References

1. Dubrovina N.A., Saraev A.L., Saraev L.A. On the theory of nonlinear dynamics of multifactor economic systems. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 2(113), pp. 186-191 [in Russian].

2. Dubrovina N.A., Saraev L.A. Model of economic development of mechanical engineering that takes into consideration cumulative dynamics of factors of production. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 4(115), pp. 177-183 [in Russian].

3. Saraev A.L., Saraev L.A. Peculiarities of dynamics of production output and production factors of modernized enterprises. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 6(117), pp. 251-260 [in Russian].

4. Saraev A.L. Equations of dynamics of economic development of enterprises that modernize production technologies. Osnovy ekonomiki, upravleniia i prava [Foundations of Economics, Management and Law], 2014, no. 3 (15), pp. 93-100 [in Russian].

5. Saraev A.L. Equations of non-linear dynamics of crisis phenomena for multifactor economic systems. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2015, no. 2(124), pp. 262-272 [in Russian].

A. Yu. Egorova, A.L. Saraev, L.A. Saraev *

VARIANT OF DYNAMIC MODEL OF RECONSTRUCTION OF PRODUCTION ENTERPRISE TAKING INTO ACCOUNT LAGGED EFFECT OF DOMESTIC

INVESTMENTS

In the published article the single-factor mathematical model of dynamics of economic development of the company undergoing the change of production technologies is suggested. The balance equations for such an undertaking take into account the effect of continuous distribution of input into the production of domestic investment and describes the coupled nonlinear differential equations.

Key words: enterprise, technologies, production factors, production function, production assets, resources.

* Egorova Alena Yuryevna (egorovaalena@inbox.ru), Saraev Alexander Leonidovich (alex.saraev@gmail.com), Saraev Leonid Alexandrovich (saraev_leo@mail.ru), Department of Mathematics and Business-Informatics, Samara State University, 1, Acad. Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.