Моделирование тепловой конвекции в слое с поверхностной фазой ПАВ

Конвективные течения..., 2013

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ В СЛОЕ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ФАЗОЙ ПАВ

Р.В. БИРИХ

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

614013, Пермь, ул. академика Королева, 1

В двумерной постановке численно моделируется развитие тепловой конвекции, вызванной всплывающей горячей каплей той же жидкости в плоском слое, на свободной поверхности которого находится нерастворимое поверхностноактивное вещество (ПАВ). Эксперименты показывают, что в узких каналах поверхностная пленка ПАВ задерживает развитие капиллярной конвекции. В работе показано, как может меняться структура конвективного течения и распределение температуры в слое при изменении свойств пленки ПАВ. Для характерных режимов приведены изолинии температуры и функции тока, распределения скорости на поверхности жидкости.

Ключевые слова: поверхностная фаза ПАВ, конвекция Марангони, гравитационная конвекция.

Эксперименты [1, 2] показали, что в узких каналах конвекция Марангони при локальном выходе ПАВ на поверхность жидкости возникает только при достаточно большом градиенте концентрации ПАВ. Задержка возникновения конвекции объясняется наличием пленки неконтролируемых ПАВ, которая удерживается боковыми стенками канала. В связи с этим кажется интересным рассмотреть случай тепловой конвекции с пленкой нерастворимого ПАВ, которая будет мешать возникновению тепловой конвекции, создавая трение на поверхности и формируя встречный градиент поверхностного натяжения. Специальный вид реологического уравнения для поверхностной вязкости позволил непрерывно перейти от модели с

©Бирих Р.В., 2013

Бирих Р.В. Моделирование тепловой конвекции в слое с поверхностной

верхней твердой поверхностью к модели со свободной поверхностью с термо- и концентрационно-капиллярными эффектами.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим в двумерной постановке задачу о тепловой конвекции в плоском горизонтальном слое со свободной верхней границей, под которой на некоторой глубине в начальный момент находится «облачко» более теплой жидкости. На поверхности жидкости равномерно распределено нерастворимое поверхностно-активное вещество (ПАВ) с поверхностной концентрацией Г .

Пусть плотность жидкости линейно зависит от температуры: р = р0(1 — рт), где T - отклонение температуры от среднего значения, при котором плотность жидкости равна р0. В поле тяжести неоднородность плотности жидкости приводит к возникновению гравитационной конвекции и переносу нагретой жидкости к свободной поверхности. Поверхностное натяжение жидкости s зависит от поверхностной концентрации ПАВ Г на свободной верхней границе и ее температуры: s = s0 —аГГ — атГ. Неоднородность поверхностного натяжения в такой системе может вызвать конвекцию Марангони.

Математическую постановку задачи удобно начать с обсуждения граничных условий на верхней границе слоя z = h (z - направленная вертикально вверх координата с началом на твердой нижней границе). Эта граница предполагается плоской vz = 0 и теплоизолированной дГ / dz = 0 . Поверхностный слой ПАВ представляет собой отдельную поверхностную фазу, которая за счет трения взаимодействует с объемной фазой. Для вещества поверхностной фазы записывается обычное одномерное уравнение переноса [3]:

ддГ+dx (v - и=-х

дг

дх2

где Ds - коэффициент поверхностной диффузии, х - горизонтальная координата. Уравнение для касательных напряжений запишем, пренебрегая массой поверхностной фазы,

d2v х dv х ds Л

—2х- — h—- +-----= 0

дх dz дх

257

Конвективные течения..., 2013

Здесь h - объемная динамическая вязкость жидкости, hs - поверхностная вязкость, величина которой предполагается зависящей от напряжений на поверхности z = h . Для простоты численной модели при вычислении поверхностной дивергенции от поверхностного тензора вязких напряжений здесь пренебрегается дилатационной поверхностной вязкостью и производной от поверхностной вязкости по продольной координате x.

Реологические свойства поверхностной фазы будем описывать, задавая вид функции hs от касательного напряжения на межфазной поверхности. При достижении касательными напряжениями некоторого порога Р0 квазитвердая поверхность разрушается, поверхностная вязкость резко уменьшается, и поверхностная фаза приходит в движение. Такие свойства поверхностной вязкости можно описать, например, следующей функцией:

Здесь Р - текущее значение касательного напряжения, d - ширина области перехода по напряжениям от экстремально большого значения поверхностной вязкости h¥ к ее минимальному значению h0. Переход между предельными значениями вязкости будет быстрым при малом значении d по сравнению с Р0. Реологическое уравнение (1.3) описывает частный случай твердой поверхности при Р0 и h¥ и случай «ньютоновской» поверхности при

h¥  0 .

На остальных границах полости поставим следующие условия. На всех границах отсутствуют тепловые потоки, и они твердые. В переменных функция тока у, вихрь j и температура T эти условия имеют вид:

hs = h /{exp[(P - Р,)/ d] +1} + h0

z = 0 : y = 0,

Эу

dz

x = ±L : у = 0,

dy

dx

258

Бирих Р.В. Моделирование тепловой конвекции в слое с поверхностной

Движение жидкости будем описывать в приближении Буссине-ска. В качестве единиц измерения расстояния, времени, функции тока, температуры и поверхностной концентрации ПАВ выберем, соответственно, h, к2 lv , v, T0 и Г0, где h - толщина слоя жидкости, v - кинематическая вязкость, Т0 - начальная температура «облачка», Г0 - начальная концентрация ПАВ. Размерные и безразмерные величины будем обозначать одинаковыми буквами, так как из текста и вида уравнений всегда будет ясно, о каких величинах идет речь. Уравнения конвекции в безразмерном виде в принятых переменных могут быть записаны в виде:

dj+dydj_dydj = Aj_ Gr дс , Ay = _j

dt dz dx dx dz dx

dT + dydT _dydT = pr_iAT dt dz dx dx dz

Gr = gfiT0к lv2, Pr = vlc

Граничные условия (1.4) в безразмерных переменных своего вида не меняют, а условия (1.1) - (1.3) в безразмерных переменных принимают вид:

1 dT _ z = 1: — = 0

dz

—+ — f ^Г1 = Sc-1

dt dx v dz ) dx

d3y

hs dx2dz

Mar =

d2y u dr u dT

- = Sc Mar-+ Pr MaT —

dz2

dx

dx

, MaT = STT0k , Sc = vlD hDs hC

259

Конвективные течения..., 2013

Здесь hs - безразмерная поверхностная вязкость, измеренная в единицах rh , ее значение задается по-прежнему (1.3), в которой параметры r¥ и r0 должны быть взяты в единицах rh .

2. ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Уравнения (1.5) - (1.6) интегрировались методом конечных разностей по неявной схеме Кранка - Николсона в половине области с условиями симметрии относительно линии x = 0. Решение уравнения Пуассона для функции тока находилось методом последовательной верхней релаксации. Граничное условие (1.2) переформулировалось в условие для вихря, с использованием разложения функции тока у верхней границы слоя. На твердых границах для вихря записывалось условие в виде формулы Тома. Большинство результатов было получено на квадратных сетках размером 80 х 40 и 160 х 80.

Пусть в начальный момент жидкость покоится (у = 0, j= 0), и температура ее во всех точках одинаковая (ее значение принимается за начало отсчета температуры), за исключением области внутри круга радиуса r0 с координатами центра (0, 0.5), в которой она равна 1. Под влиянием архимедовой силы это облачко будет подниматься к свободной поверхности и растекаться вдоль нее. Когда на свободной поверхности жидкости возникнет градиент температуры, может начаться конвекция Марангони. В численном эксперименте прослеживается влияние свойств поверхности на момент возникновения конвекции Марангони. Предельные значения поверхностной вязкости принимались равными 104 и 10-4. Область перехода задавалась параметром d = 0.1.

На рис.1 показано изменение со временем скорости точек верхней границы слоя в случае, когда концентрационное число Маран-гони MaG = 0, для трех значений предельного напряжения поверхностной пленки Р0 = 100,500 и 1000. При малом пороговом значении поверхностных напряжений слабое движение поверхности наблюдается сразу, как начинает всплывать теплое облачко. Когда оно достигает поверхности (t» 0.2), возникает конвекция Маран-гони, которая приводит в интенсивное движение всю поверхность и быстро выравнивает температуру поверхности. При Р0 = 500 заметна задержка в развитии термокапиллярной конвекции и умень-

260

Бирих Р.В. Моделирование тепловой конвекции в слое с поверхностной

шение ее интенсивности. При больших пороговых напряжениях конвекция Марангони не возникает, наблюдается слабое движение поверхности (на два порядка меньшее), вызванное гравитационной конвекцией под поверхностью и связанное с неточным выполнением граничных условий.

Р0 = 1000

Рис.1. Скорость точек верхней границы для разных моментов времени (цифры у кривых) для МаТ = 104, MaG= 0, Pr = 10

W) щ

1Щ

ШР,

J

Ш)

Ш) шо

т 1

/// /

Р0 = 1000

Рис.2. Изолинии температуры (левая колонка) и функции тока (правая колонка) для моментов времени t = 0.15, 0.3, 0.5 и 0.8 и МаТ = 104, MaG= 0, Pr = 10

261

Конвективные течения..., 2013

Изменение со временем распределения температуры и структуры течения в объеме жидкости для этих же параметров показано на рис.2, на котором хорошо видно подавление термокапиллярного течения при увеличении порогового напряжения на поверхности жидкости.

Влияние нерастворимого ПАВ на поверхности жидкости иллюстрирует рис.3, на котором представлено распределение скорости точек поверхности для различных моментов времени при значениях концентрационного числа Марангони MaG = 5 104. Как видно из представленных графиков, наличие ПАВ заметно снижает интенсивность термокапиллярной конвекции и формирует на поверхности возвратное течение. Эволюцию со временем температурного поля и структуры движения при возникновении концентрационнокапиллярной конвекции иллюстрирует рис.4. На нем для разных моментов времени представлены изолинии температуры и функции тока при MaG = 5 • 104.

Рис.3. Скорость точек верхней границы для разных моментов времени (цифры у кривых) для МаТ = 104, MaG= 5• 104, Pr = 10,

Sc = 103

262

Бирих Р.В. Моделирование тепловой конвекции в слое с поверхностной

Р0 = 100 Р0 = 500 Р0 = 1000

Рис.4. Изолинии температуры (левая колонка) и функции тока (правая колонка) для моментов времени t = 0.15, 0.3, 0.5 и 0.8 и МаТ = 104, MaG = 5  104, Pr = 10 , Sc = 103

Как демонстрируют карты изолиний функции тока, при предельном напряжении Р0 < 500 поверхностно-активное вещество со временем формирует у поверхности жидкости достаточно интенсивное встречное течение гравитационной и термокапиллярной конвекции. При большой поверхностной вязкости ПАВ себя не проявляет - его концентрация на поверхности остается практически однородной.

Заключение. В представленной модели удалось показать, как влияет величина предельного напряжения поверхностной пленки на развитие термокапиллярной конвекции. Поверхностная концентрация нерастворимого ПАВ при возникновении термокапиллярной конвекции изменяется: ПАВ сдвигается течением к краям области. Возникающий градиент ПАВ тормозит термокапиллярную конвекцию и через некоторое время вызывает встречное движение. При большой поверхностной вязкости термокапиллярное движение не возникает и нерастворимое ПАВ, кроме как в создании поверхностной пленки, себя не проявляет.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00656) и интеграционного проекта СО, УрО, ДВО РАН № 38/12-С-1-1006.

СПИСОК ССЫЛОК

1.Бирих Р.В., Денисова М.О., Костарев К.Г. Возникновение конвекции Марангони, вызванной локальным внесением ПАВ // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 6. C. 56-68.

263

Конвективные течения..., 2013

2. Threshold onset of Marangoni convection in narrow channels / A.

Mizev, M. Denisova, K. Kostarev et al. // EPJ ST. 2011. Vol. 192.

P. 163-173.

3. Братухин Ю.К., Макаров С.О. Межфазная конвекция. Пермь:

ПГУ, 1994. 328 с.

NUMERICAL SIMULATION OF THERMAL CONVECTION IN A LAYER OF FLUID WITH A SURFACTANT SURFACE PHASE

R.V. Birikh

Abstract. A two-dimensional numerical simulation has been carried out to investigate the development of thermal convection in a plane layer of fluid caused by a rising hot drop of the same fluid in the presence of insoluble surfactant on the free layer surface. The experiments have shown that in thin channels the existence of a surfactant film on the fluid surface leads to a delay in the development of the capillary convection. Based on the results of numerical simulations it has been found that the structure of the convective flow and temperature distribution in the layer can be changed by varying the properties of the surfactant film. The temperature and stream function isolines and the distributions of velocity on the fluid surface have been obtained for characteristic regimes.

Key words: surface phase of a surfactant, Marangoni convection, gravitational convection.

264