Модель эффективного слоя для резинокордного материала

Механика

УДК 539.3

МОДЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОГО СЛОЯ ДЛЯ РЕЗИНОКОРДНОГО МАТЕРИАЛА

C.B. Шешенин1, С. Г. Бахметьев2

В статье рассматривается численное сравнение двух моделей резинокорда при изгибе. Ключевые слова: механика композитов, резинокорд, конечный элемент, механика шин.

Two models of rubber cords are compared numerically in the case of bending.

Key words: mechanics of composite materials, rubber cord, finite element, mechanics of

tires.

Автомобильная шина является единственным элементом, связывающим дорогу и автомобиль, поэтому важны не только прочностные свойства пневматической шины, но и ее деформационные характеристики, которые влияют на качество управления автомобилем. С конца XIX в. шина непрерывно совершенствовалась, параллельно шло развитие и методов ее расчета. В последние десятилетия широкое применение нашел метод конечных элементов для моделирования механического и теплового состояния пневматической шины. Для адекватного описания полной картины внутренних напряженно-деформированных состояний и перемещений необходима точная модель структуры шины. Точное описание внутренней структуры вызывает серьезные проблемы из-за сильной неоднородности структуры шины. Известно, что волокна в резинокордных слоях, являющихся основным силовым элементом шины, не превышают в диаметре и половину миллиметра, в то время как слой имеет толщину 1 мм. Грубый подсчет показывает, что для описания всех структурных элементов пассажирской шины, в том числе корда, необходимы десятки миллионов конечных элементов. В настоящее время задачи механики шин, включающие не более полумиллиона степеней свободы, требуют до двух десятков часов компьютерного времени в случае моделирования сильного нелинейного деформирования. Поэтому детальная дискретизация структуры пока находится за пределами возможностей численного решения на компьютерах.

Основным способом упростить задачу является замена резинокордных слоев с волокнами эффективным слоем, обладающим эффективными характеристиками, найденными экспериментальным или численным путем. Замена связана не только с упрощением модели, но и с затруднениями при определении свойств некоторых типов корда, например текстильного. Определение свойств эффективного волокна, представляющего собой сплетение нескольких реальных волокон, является обратной задачей [1, 2], и описанные методы позволяют определить свойства только в направлении волокна. Замена резинокорда на анизотропный слой с эффективными характеристиками видится естественной, потому что упрощается вся модель шины в целом. Исследование ряда аспектов модели эффективного слоя дано в работе [3]. Возможны различные модели для эффективного слоя. Один из вариантов рассмотрен ниже.

Основная идея, заложенная в модель эффективного слоя, заключается в разделении упругой энергии на части, связанные с растяжением, изгибом, и на другие части энергии материального элемента. Рассмотрим элемент эффективного слоя в системе координат x\ = x, Х2 = y X3 = z, причем ось хз направлена перпендикулярно слою, как показано на рис. 1. Пусть размеры материального элемента Ve\ = Ах x Ay x h. Для перемещений срединной плоскости используем аппроксимирующую формулу

Ua(x,y,z) =

1

u+(x,y)\ i + x.

+иа (х, у) ( 1 - ;

а = 1,2,3,

где u+ u- — перемещения на лицевых поверхностях, функция ха задает аппроксимацию вдоль оси z. Например, если положить Ха(х) = x, а = 1, 2, 3, то получим аппроксимацию в поперечном направлении, свойственную конечному элементу типа "кирпич" (brick, см. [4, 5]). Если же выбрать xi(x) = x, I = 1, 2, и

%з = 0, то Us = — (и+ + и~) = и(х, у, 0) + 0(h2), т.е. это соответствует модели пластинки Кирхгофа-Лява

с точностью O(h2) [6]. Для обеих гипотез при I = 1, 2 получаем

1 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: Sergey.ShesheninQgmail.com.

2 Бахметьев Сергей Геннадьевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: quattro6872Qgmail.com.

2

Ui

U

+

1 +

•2z ~h

+ u7[1 -

2£ ~h

= ^

uj + ui.

Итак, в обоих случаях перемещения иI можно представить в виде (2), где

= \ (ui +Uj), иЬ! = уг (uj -Uj),

ЗЕ

верхний индекс е характеризует растяжение/сжатие, а Ь — изгиб.

Точка р+ материального элемента располагается над точкой р, а точка р- — под р (см. рис. 1). Толщина элемента Н предполагается постоянной. Таким образом, вдоль поперечного направления имеем три точки (узла), а именно р-, р и р+. Перемещения в этих точках будем обозначать и— и и и+ соответственно. Из формул (1) и (2) перемещения, параллельные срединной плоскости, могут быть представлены в виде двух перемещений: одно связано с растяжением/сжатием, а второе с изгибом в срединной плоскости.

Рис. 1. Расположение узлов в поперечном направлении пластины

Удельная энергия деформации записывается следующим образом:

W = C ijklUk,iUi,j = CIJKLUk,lUi,j + CIJ33U3 , з Ui j + C3333 (ua.a )2 + CI3K 3£k3ei3-

Индексы, указанные заглавными буквами, принимают значения 1 и 2.

Используя представление (4), получаем разложение энергии деформации элемента, приходящейся на единичную площадь:

1

V

ДХ

WdV = + V2 + V3 + V4, AS = Ax Ay,

Vel

где

V1

ДХ

C

ijkl

V

uk,lui,j dV, ip2 = J c/j33t/,3,3t/./, j dV,

v

r :< j С3333(г/,з,з)2 d\\ r-, j CI3K3£K-s£i,3 dV.

v

v

Энергию Vi можно также разложить: Vi = Vе + Vb> гДе

Vi

/ (l) cijkl(uk + ur:\l(u++uJ\jdV,

v

Vi =

is J {l)2c!lJKL^t-^KlM-uJ),jdV.

v

В вышеприведенных формулах модули Оикь(х) представляют собой свойства реального резинокорда и поэтому являются функциями координат.

На основе разложения перемещений и энергии можно строить различные теории эффективного слоя. 1. Модель Кирхгофа-Лява получим, если положим с точностью 0

~(uf + Uj ) = щ(х, у), ~(uf - Uj ) = Ulj(x, у),

а также a3I = 0 I = 1, 2.

Теперь предположим, что реальная структура резинокорда заменена модельным однородным материалом с модулями Cjjkl, которые будем обозначать просто Cijki• Тогда разложение энергии деформации

1

в модели Кирхгофа-Лява будет иметь вид ф = ф\ + фь, где

_е 1

фь =

дх

у

у eijkluk,lUi,j dV = hEe//KLUK,LUi,j,

h3

2 jtiIJKL.,, , ,„„ „„ длг _ п pe//

Ф\ = д^т J z E w,ijw,kl dV = —EbIJJJKLwJjw,KL. у

Модули Eijkl получаются из CIJKL за счет исключения £33 вследствие предположения а33 = 0:

Еаа/З/З = Саарр--««зз дезз ^ а,/3 = 1,2,3, a^¡3.

C3333

Применяя в случае резинокордной пластины асимптотическое разложение [7, 8], будем иметь в пределе при h — 0

ф\

где Aijkl, dijkl — жесткости на растяжение/сжатие и изгиб. Эти жесткости могут быть вычислены, как описано в [2, 3], если детальная структура резинокордного слоя и свойства его компонентов известны. Также эти жесткости могут быть найдены экспериментально.

Эквивалентность однородного модельного (эффективного) слоя и резинокордного слоя для конечно-

h

hEIJKL = Aijkl,

что является определением для эффективных модулей EIJKL. Однако соотношение

Heijkl = dijkl

12 v ;

h - 0

h - 0 h

женно.

2. Рассмотрим теперь другой вариант эффективного слоя. Будем исходить из следующей задачи: построить такую линейную вдоль z аппроксимацию (аналогично аппроксимации элемента типа "кирпич"), чтобы равенства (9), (10) выполнялись точно. Исходя из того, что жесткости AIJKL и dijkl заданы, необходимо определить два эффективных материала с жесткостями EIJKL и E^JKL так, чтобы одно-

h3

временно выполнялись равенства hEj,JKL = AIJKL, — E\jkl = DIJKL. При определении ф\ мы будем использовать модули EIJKL, а для энергии ф1 — модули E^JKL. Соответствующие им CIJKL и C^JKL

е " b

используем в фЬ и фЬ-

Предлагаемая модель эффективного слоя основана на предположениях (1), (2) и задании удельной энергии в виде ф = фь + ф2 + ф3 + ф4 где ф2,ф3, ф4 определены в (5), (6), причем в (6) входят уже модули Cijki- Дополнительно предполaraется, что фь = фЬ + фЬ_, где

Ф\ = hC¡JKL(u+K + u-K),L(uj + uj),j, ф\ = ^ CIbJKL(u+ - u-K),L(uj - uj),j, причем CIJKL и C[JKL выбираются через заданные EIJKL и E^JKL по формулам

£,««/3/3 = ^««/3/3 + С««33 С/3/333 = ^,««/3/3 С««33 С/3/333

6 6 С3333 ' ь ь С3333

3. Рассмотрим реализацию старой модели эффективного слоя в виде модифицированного элемента типа "кирпич". Для этого используем конечно-элементную аппроксимацию перемещений и+ и и-. Будем считать рассматриваемый материальный элемент Уе\ конечным элементом. Внутри этого элемента

и+ = Е Np

p=b p=b

где Up+, Up- — узловые перемещения элемента Ve\.

Комбинируя формулы (3) и (11), перемещение внутри элемента представим в виде двух перемещений, одно из которых связано с растяжением, а второе — с изгибом, согласно формуле

2n n

1 / z

u

p=l

функции формь: ции формы элемента Np2).

ue + vb.

Р

р=1 р=1

Итак, функции формы трехмерного растяжения N и изгиба N выражаются через двумерные функ-

2n n 2n n

= = Е £^fo*.+°р~)> = Е= Е | (ж>- °р~)-=l =l =l =l

Индекс р относится к номеру узла элемента и принимает значения 1,... ,8. Индексы р+ и р~ меняются от 1 до 4. Естественно заметить, что функции формы растяжения и изгиба отличаются друг от друга, одним из важных свойств функции растяжения является независимость от третьей координаты:

К = \^2\х,у), N;j = ±N$(x,y), 1 = 1,2, ^з = 0;

К = f Ai2W)sign(p), Nbp>1 = ^N^(x,y)Sign(p), 1 = 1,2, <3 = ± A/J2) у) sign(p),

. , , f i, p = p+; sign(p) = <

[-i, p = p

Представим удельную энергию в виде

Р = / CijklNp^Nq<i dVupuqk = pik(Np, Nq)ирг uqk,

Уе1

где ргк = /У1 СN^1 йУ. Тогда элемент матрицы жесткости К%к = ргк (Np, N) элемента Уе1 представляется разложением

К%к = К (1Ук + К (2Ук + К (з)к + К (4)к рд рд 1 рд 1 рд 1 рд '

(а)к к ТК (е)1К (Ь)1К

где КРд) = (Np ,N5), а = 1, 2, 3, 4. Разложение = ф\) + ^ ) соответствует разложению

= + •

(е)1^ (Ь)1К

Все выражения, кроме Кр? и Крд , вычисляются традиционным способом. Индексы, указанные

12

(1)1К

Матрица Крд выглядит так:

кЦ1К = j cijkl(Nj+Nbpíj)(Nqe, l+Nl) dv.

IK Vel

Матрица k^ может быть разбита на два выражения, так как и нтегралы типа V I c ijklne j n l dv

)1K = k (e)1K eI ' ' ipq = Kpq

(l)1K (e)1K (b)1K равны нулю. Следовательно, Kpq = Kpq + Kpq , где

4Г = \ j dv, KffK = sign(p) Sign(9) j £ CIJKLN^l dV.

)1К - I / С1ШЬМ(2) м(2) й {Ь)Ш

Уе1 Уе1

Материальные свойства резинокорда, полученные из экспериментов на растяжение, изгиб или численно, используются при вычислении этих интегралов. Применяя жесткости на растяжение AIJPQ и изгиб Оырд, преобразуем интегралы к виду

{е)1К _ Ацрд [

4Г - ^ j «2 «Я, КГ - Dupq sign(p) sign(,) j ¿Е-

Sel Sel

Мы предполагаем, что жесткости па растяжение Aijpq и изгиб Djjpq независимы друг от друга.

4. Для вышеописанного конечного элемента была рассмотрена тестовая задача о цилиндрическом изгибе пластины. Концы пластины длиной Ь = 20 мм и толщи ной Н = 0,1 мм закреплялись шарнир-но, и прикладывалась равномерно распределенная нагрузка, причем правый конец мог свободно перемещаться в плоскости пластины. Из-гибная жесткость О и максимальный прогиб Wi (в мм) фиксировались для трех случаев. В силу одно-

N ki Изменение Изменение

жесткости прогиба w

1 1Д 1,1 1,09

2 1,2 1,2 1,18

3 1,4 1,4 1,35

мерности задачи менялся только один корректирующий коэффициент так что Оцц =

Ецц1г 12

ki

Проводилось изучение влияния на ирогиб w. Расчеты 300,

что типично для резинокорда. Здесь Сцц — модуль в продольном направленпп, С3333 — в поперечном. Сравнение результатов расчетов представлено в таблице. Заметим, что при увеличении жесткости в 1,2 раза прогиб уменьшался в 1,18 раз, а для коэффициента 1,4

уменьшение составило 1,35 раза. Эксперимент показал небольшое отклонение от линейной зависимости.

Для двух моделей резинокорда проводился численный эксперимент на изгиб. Модель эффективного волокна и модель эффективного слоя, описанные в [3], жестко закреплялись с двух концов и воспринимали равномерно распределенную нагрузку в виде давления. По результатам расчетов были построены графики зависимости максимального прогиба от величины прикладываемого давления. Расчеты выполнялись с использованием обычного элемента типа "кирпич", также в качестве параметра рассматривалось отношение продольного и поперечного модулей резинокорда. Были проведены четыре серии расчетов, для первой серии отношение Сцц/С3333 ~

3000

для каждой последующей серии отношение уменьшалось в 10 раз. Результаты расчетов представлены на рис. 2: кривые с маркерами соответствуют модели эффективного волокна, кривые без маркеров модели эффективного слоя. Номер кривой соответствует серии. Видно, что для серии, когда отношение модулей уменьшилось в 100 раз, графики дают наилучшее совпадение. Этот результат дает основание полагать, что обычный элемент типа "кирпич" может давать неверные результаты для сильноанизотропного материала. Так как свойства резинокорда являются сильноанизотропными, применение модифицированного конечного элемента оправданно. Благодаря подбору коэффициентов в независимых направлениях можно придавать необходимые свойства элементу и тем самым получать возможность не только решать задачи, связанные с наездом шины на препятствие или с тестом на разрыв, но и моделировать снос колеса, проверяя управляемость шины.

Графики показывают, что коррекция изгибных жесткостей резинокорда может оказаться полезной.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13 01 00688.

Рис. 2. Результаты для разных материалов: 1 Сцц/С3333 « 3000, 2 -« 300, 5 - « 30, ^ - « 3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бухип В.Л. Введение в механику пневматических шин. М.: Химия, 1988.

2. Шешепип C.B., Демидович П.Н., Чистяков П.В., Муравлев А.В. Определение модулей резинокорда при плосконапряженном состоянии // Вести. Моск. ун-та. Матом. Механ. 2007. № 5. 49 53.

3. Шешепип C.B., Д&миёович П.Н., Чистяков П.В., Бахметьев С.Г. Определяющее соотношение резинокорда при трехмерном напряженном состоянии // Вести. Моск. ун-та. Матом. Механ. 2010. № 3. 32 35.

4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

5. ПобеОря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981.

6. Амеизаёе Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976.

7. Шешепип C.B. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вести. Моск. ун-та. Матом. Механ. 2006. № 1. 47 51.

8. Шешепип C.B. Асимптотический анализ периодических в плане пластин /'/' Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2006. № 6. 71 79.

Поступила в редакцию 20.02.2013