Асимптотики резонансов для двумерных волноводов, соединенных малыми отверстиями, при граничном условии Неймана

2

МАТЕМАТИКА

АСИМПТОТИКИ РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ВОЛНОВОДОВ, СОЕДИНЕННЫХ МАЛЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ, ПРИ ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ НЕЙМАНА

Л.В. Гортинская, И.Ю. Попов, Е.С. Тесовская

Развитие наноэлектроники вызывает интерес к исследованию резонансных эффектов и электронного транспорта в связанных волноводах. Изучение таких систем во многих случаях сводится к решению краевой задачи для уравнения Гельмгольца [1]. Асимптотики связанных состояний, близких к нижней границе непрерывного спектра, при граничном условии Дирихле были получены в [5]. Условие Дирихле на границах характерно для полупроводниковых структур. При описании металлических наноструктур встречается как задача Дирихле, так и задача Неймана [1]. В случае краевого условия Неймана резонансные эффекты значительно сильнее, чем при условии Дирихле. Этот случай менее изучен, поэтому представляется актуальным его исследование.

В данной работе рассматривается система двух плоских волноводов О+, О. шириной ё+ и ё., соединенных малыми отверстиями (рис. 1), при граничном условии Неймана, т.е. анализируется следующая краевая задача:

Аи + к 2и = 0,

ди дп

= 0.

дО

Наличие соединяющих отверстий приводит к возникновению резонансов (квазисобственных значений), близких ко второму (третьему и т.д.) пороговому значению (нижней границей непрерывного спектра является нуль). В работе будут получены первые члены асимптотических разложений этих резонансов. Мы используем метод согласования асимптотических разложений [3], [4]. Исследуется также задача рассеяния плоской волны на одном и двух отверстиях.

Ч

Рис.1. Два волновода, соединенные через п малых отверстий.

Резонансы

Пусть волноводы соединены малыми отверстиями с центрами в точках (хЧ,0), 1,..., п, диаметры которых равны 2аЧ=2^Ч (а - малый параметр). Будем считать,

что волноводы различны (ё+ > ё.). Построим асимптотику резонанса ка , который лежит близко к точке П/ ё+2:

2-к2а = т11п 1 а + т21п 2 а +....

Асимптотики функции Грина в окрестности точки (0,0) границы области при

значениях к2, близких к П/ ё+2, имеют вид:

а +

-1/2

008-

пх2

ехр-к1 I х1 |)-пп1п1 х I +£+ (x,каX

1

а - (хА ка) =--1п 1 х 1- (x, ка),

П

где х=(х],х2), х1, х2 - декартовы координаты точки х. Тогда асимптотическое разложение квазисобственной функции уа(х) ищем в виде

¥а

-к2а ТаР+(х,(xq,0),ка), х е ^,

у?

+ у4

V а у

V а у

•1па +..., х е ^

-П- к2а ~(х,(xq,0),ка), х еО"^,

V q=l

где - круг радиуса I с центром в середине д-го отверстия, ад - некоторые коэффициенты. Метод согласования сводится к поиску таких "склеивающих" функций уд (х/а), у^ (х/а), удовлетворяющих краевым условиям Неймана и являющихся

решениями уравнения Гельмгольца, что члены соответствующих порядков в

асимптотических разложениях (3) будут совпадать в областях: ("+ ^ ("" ) ^

х

Опишем подробнее эту процедуру. Сделаем замену переменных: £ = —, р=|£|.

а

Выделим в разложении (3) члены порядка а0 и 1па:

1

-1 Г Т

¥а (х) = "

ё+ п Т

ж

ц/+а

\

П

ё+

П

у

+ 1п-1 а

П

г т, п . т2 1

1пр +

v п а+ п у

+ о(1п 1 а).

Для нахождения т1 рассмотрим члены порядка а . В качестве уд (£) можно выбрать функции, принимающие постоянные значения:

VIЮ = -П

П

Тогда условие согласования принимает вид:

а Г1 - Т а = 0.

П

д=1,д Фг

Так как нас интересуют ненулевые решения системы, то получаем:

2

+

2

т =

пп

2d+

Чтобы найти следующий коэффициент, рассмотрим члены порядка 1па в выражении (4). Из теории потенциалов [2] известно, что необходимые для согласования функции vq (£) существуют:

vq юЧ

-—xq Ю+Cq , & > О, п

TTaXt (£) + Cq , £ < 0,

п

где cq - константы, обеспечивающие согласование,

xq —=x0(—- xq), X0(z)=ln(z+VZ7^!),

Wq

Xq (£) = ln| ¿;\+ ln2 - ln | wq | +o(1), Из условий согласования асимптотик (4) и (7) находим, что т2 есть собственное значение матрицы Г = {y q}:

Ун =

п2п

4d,

g+(x, П)+g- (x, П) - ^ d, d, d,

пп ,

+-ln

2d,

w.

Y,q =

П2 n

4d+

Q-(x', xq, к) + G (x', xq, к) - (п2 - к2d+2 )~2

Если волноводы одинаковы (ё+ = ё. = ё), то, следуя аналогичной процедуре, получаем:

пп

т1 =

d

п2п , ' п пп,

Y',' =~Г g(x^) + ln d d d

w

п2 n d

п2 n

Y,q d

Q (x', xq, к) - (п2 - к2d2) 2

к=— d

Следует отметить, что данный результат не получается предельным переходом из (9) при ё+ — ё..

В случае одного отверстия асимптотика резонанса имеет вид ж2

к2 = — - г21п 2 а - 2тхт2 1п 3 а - т\ 1п-4 а -..., ё,

т1 =<

п 2d+ п d,

d > d

d+= d = d,

T2

п

2

4d+

g+

\

п1п2

2d+ :

d, > d

п g(0 п) + п1п2 d ' d d

d+= d = d.

d

+

Задача рассеяния

Рассмотрим распространение волны по системе волноводов разной ширины (ё+ > ё.), соединенных через одно отверстие диаметром 2а. Будем считать, что волновое число к рассматриваемой волны близко к найденному выше резонансному значению ка. Отклонение от резонанса будем характеризовать отклонением соответствующего коэффициента с от т2 в формуле (1):

V

П 7 2 1 -1 1 -2 —--к = т 1п а + с 1п а +....

ё+ 1

Значение т1 соответствует резонансу (11). Очевидно, что

2 1 , С

2 =-1п а--г + ..

ё+т1 ёТ

Построим аналогично (3) асимптотику решения у(х) задачи рассеяния волны в1Юх, распространяющейся по волноводу О+:

-1кх

Щ( х) =

е-кх + а1С+ (х, 0, к), х е О+ \ ,

у-1Г о ]1п а+у0 (0х ]+у1 (0х ]1п-1 а+к, х е ^,

-а1С~ (х, 0, к), х е О \ .

Для определения коэффициента прохождения Т выделим из функции Грина

слагаемое, содержащее е-1кх (х^-да):

у/+ (х) = е гкх +а

1

21кё,

-е-1кх + ...

Тогда для коэффициента прохождения получаем выражение

Т =

1 _ 1а1

2кё+

где а1 находится из условий согласования асимптотических разложений. Подставляя (13) в асимптотику функции Грина, получим:

а+ (£0, к) = ^1п а-!1п а --1п р + % + (£,П) + ...,

ё+Т

ё+тх п

П

ё,

С - (£,0, к) = -1щ а -1щ р + % (£,П) + ...,

П

П

ё+

где £ = -, р=| £|. а

Выделим члены порядков 1па и а0 в разложении (14):

у+ (х) = 1+а

ё+т12

1

1

л

ёт п

п .

1

1п а + %+ (0—)--1п Р

ё, п

+ о(1),

у(х) = -а1

11п а + %- (0,П) — 1п Р

п ё+ п

+ о(1).

Для согласования членов порядка а выбираем функции у0(£) в виде

2

2

Ч

а

X0(£) + А, £ > с,

п

а

п

1Xс(^) + А, & < 0

хс(£)=1п (

-1

где А - некоторая константа.

Приравнивая члены соответствующих порядков, приходим к следующему выражению для а1:

а1(с) =

- - % +

Рис.2. Зависимость коэффициента прохождения от параметра с, см. (16),(20).

Для одинаковых волноводов (ё+ = ё. = ё) имеем

а1(с) =

2сё 2, „ п —---1п2 - %

п~ п ё

Теперь рассмотрим задачу рассеяния для волноводов, соединенных двумя отверстиями с центрами (х1,2, 0), диаметры которых равны 2а1,2=2а^1,2 (а - малый параметр). Пусть > й.. Процедура отыскания коэффициента прохождения аналогична. Асимптотику решения задачи рассеяния ищем в виде

Щ( X) =

- 1кх

е- + ахО+ (х, 0, к) + а2О+ (х, Ь, к), х ёО+ \ ,

I

2^а'

V , I Х 11п а + V I — I + V 1 — 11п 1 а + ..., х е 8,

^ а) \ а) \ а)

-а1О- (х, 0, к) - а2О + (х, Ь, к), х е О \ 8

та'

где Ь = х2 - х\ - расстояние между отверстиями. Выделяя нужные слагаемые по аналогии с (15), (16), получаем коэффициент прохождения:

Т =

1 --

2М

+а2е1кЬ)

Выбирая функции у0 (£) подобно (19) и склеивая соответствующие слагаемые, находим:

С - %2 - (С - У)е 1кь

а1(с) =

а2(с) = сё+

С1 =П

П

(с1 - %1)(с1 - %2) - (с1 -Г)2'

У-с1 + (с -Е1)е-'кЬ (с1 - %1)(с1 - % 2) - (с1 -Г)2'

+ / п . п . 21

%1,2 = % (х1,2^) + % (х1,2^) + ~1п ё+ ё+ п

Ч'1

1,2

г = С - (0, Ь, к) + С+ (0, Ь, к) - (П - к2 ё+2) 2

Рис. 3. Зависимость коэффициента прохождения от расстояния между отверстиями в случае двух окон. Спектральный параметр близок к резонансу, б+ / б. = 1.57, с = -9. В качестве единицы длины для L выбрана ширина

волновода 6+

2

к=п

ё

2

Для d+ = d. = d получаем:

ai(c) = -a2{c) =

1 ci -g2 -(ci-Y)e

-ikL

2 (ci - gi)(ci - g2) - (ci -Y)2

1 Y - ci + (ci - gi)e-'kL

2 (ci - gi)(ci - g2) - (ci -y)2

cd

Ci =

4n

gi,2 = g(Xi,2,n) + -ln d n

w

i,2

Y = G(0, L, k) - (П - k2d V

Видно, что коэффициент прохождения имеет резкие осцилляции в окрестности резонанса. Этот эффект может быть использован для разработки новых электронных устройств.

Работа поддержана грантом РФФИ 0i-0i-00253, Министерством образования России (грант Т02-02.2-599) и программой «Интеграция».

Литература

1. Duelos P., Exner P. // Rev. Math. Phys. i995. V. 7, p. 73-i02.

2. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, i966. 5i6 с.

3. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, i989. 334 с.

4. Гадыльшин Р.Р. // УМН. i997. Т. 52. № i. С. 3-76.

5. Popov I.Yu. // J. Math. Phys. 2002. V. 43. № i. Р. 2i5-234.

k=n

d