Экономико-математическая модель анализа и прогноза фактора человеческого капитала

И,Г. Русяк,

д. т. н., профессор, К.В. Кетова,

к. физ.-мат. н., доцент, Ижевский государственный технический университет

Экономико-математическая модель анализа и прогноза фактора человеческого капитала

Предложена экономико-математическая модель анализа и прогноза фактора человеческого капитала, объединяющего в себе количественные и качественные демографические характеристики. Математическая постановка задачи описания динамики человеческого капитала основана на использовании уравнений переноса. Данная модель предназначена для учета указанного фактора при решении задач экономической динамики и, в частности, задач прогнозирования и управления. В качестве примера определена динамика фактора человеческого капитала за период 1996— 2006 гг. по статистическим данным экономики.

Главной компонентой развития любой территории, главной производительной силой развития общественного производства, является население [1]. Причем не только количественные, но и качественные демографические характеристики в конечном счете определяют экономическое и социальное развитие региона. Именно люди, с их здоровьем, образованием, квалификацией, профессиональным опытом и культурой, определяют возможности и границы необходимых перемен.

В Послании Президента Федеральному Собранию РФ [2| сформулированы приоритетные направления экономического развития, где основным фундаментом экономического роста является фактор человеческого капитала.

Фактор человеческого капитала имеет многоаспектный характер. Среди этих аспектов важную роль играет демографическая составляющая, определяющая устойчивость развития человеческого фактора. Одним из элементов демографической составляющей является численное воспроизводство населения. Высокий уровень смертности и низкий уровень рождаемости сформировали в России демографический кризис. Изменение демографических отношений неизбежно повлечет изменение и в экономических отношениях, поскольку спад рождаемости приведет к нарушению существующих пропорций между производящей и потребляющей группами населения. Экономику страны, уже ощущающую нехватку трудовых ресурсов, ожидают еще большие сложности, связанные с вхождением в трудоспособный возраст малочисленного поколения родившихся после 1990 г.

Другим элементом проблемы фактора человеческого капитала является сто качество. Низкий уровень здоровья и, как следствие, продолжительности жизни, снижающееся качество образования и культуры развиваются на фоне недостаточного финансирования социальной сферы.

В развитых странах здравоохранение стало одним из ведущих факторов экономического роста — применение современных медицинских технологий позволяет существенно улучшит!» здоровье и продлить жизнь, кардинально повышая ее качество.

XXI век обоснованно характеризуется как век перехода к экономике знаний. Способность к генерированию и применению новых знаний — один из главных источников современного экономического роста. Повышение интеллектуального потенциала страны требует крупномасштабных государственных инвестиций в образование и науку.

Расходы на здравоохранение, образование, науку и культуру становятся ключевой составляющей в развитие, инвестициями в воспроизводство человеческого капитала. Их доля в совокупных инвестициях развитых стран составляет более половины и намного превышает инвестиции в материально-техническую составляющую производственного потенциала.

Таким образом, в сложившейся ситуации фактор человеческого капитала, включая численность, особенности структуры и качество населения, является основным условием экономического развития России. Из этого следует, что приоритетными источниками экономической динамики становятся инвестиции в человека.

В связи с вышесказанным становится очевидным и актуальным при решении задач прогнозирования экономической динамики и. в частности, задач оптимального управления рассматривать производственный фактор, связанный с челове-

ческим капиталом, объединяющий в себе количественные и качественные демографические характеристики.

Данная статья посвящена построению экономико-математической модели динамики фактора человеческого капитала.

1. Человеческий капитал и его составляющие

Под человеческим капиталом в экономике понимается запас знаний, здоровья, навыков, опыта, культуры, которые используются индивидом для получения дохода [31.

Виды человеческого капитала экономисты классифицируют по видам затрат (инвестиций). Выделяют следующие составляющие человеческого капитала: капитал образования, капитал здоровья, капитал культуры. Ясно, что оценка человеческого капитала чрезвычайно трудная задача. Его можно рассматривать как качество жизни [4], или как объем инвестиций [51, или как способность к инновационной деятельности [61 или как объем заработков (доходов) человека [7].

Инвестиции в образование способствуют формированию высококвалифицированных специалистов, труд которых оказывает наибольшее влияние на темпы экономического роста [81. Капиталовложения в здоровье приводят к сокращению заболеваний и смертности. продлению трудоспособной жизни человека 191. В течение жизни человека происходит износ человеческого капитала. Инвестиции, связанные с охраной здоровья, способны замедлить данный процесс. Капиталовложения в культуру снижают уровень криминализации общества, повышают творческий потенциал человеческой личности, формируют нравственные ценности человека, что в конечном счете сказывается на эффективности экономики.

Следует отметить, что износ и амортизация человеческого капитала протекают иначе, чем эти процессы протекают в материально-вещественных ресурсах. В первые годы функционирования человеческого капитала за счет физического взросления работника, а также за счет накопления им производственного опыта экономическая ценность

запаса его знаний и способностей отнюдь не уменьшается, как это происходит с физическим капиталом, а напротив, возрастает. Обычно темпы физического и морального износа запаса знаний и квалификации начинают перекрывать значения непрерывно продолжающегося накопления другого актива производственного опыта где-то к концу второго десятилетия трудового стажа. Лишь с этого момента начинается процесс обесценивания человеческого капитала.

Существует несколько подходов к проблеме оценки производства человеческого капитала. Известны модели Бен-Порэта [101, Хекмана [111, Акопяна, Бу-шуева и Голубева [121.

Представленные выше работы носят скорее методологический и качественный характер. Количественной методики оценки величины человеческого капитала в настоящее время не существует. Однако для решения конкретных экономических задач, в данном случае одной методологии недостаточно. В то же время создание законченных методик затрудняется отсутствием некоторых необходимых для анализа статистических данных.

2. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала

Сделаем одно важное, на наш взгляд, замечание. А именно: если для величины вещественного капитала существует достаточно надежная система статистических измерений, то для величины человеческого капитала подобная система в настоящее время полностью отсутствует. Это обстоятельство заставляет прибегал» к оценке динамики данной величины на основе математического моделирования с использованием различного рода допущений. Кроме того, при решении задач управления и моделирования динамики развития экономических систем [см., например. 13, 141, помимо непосредственного определения величин факторов производства, в любом случае возникает также необходимость прогнозирования их динамики в будущем. Поэтому ниже рассмотрим задачу прогнозирования величины человеческого капитала.

В соответствии с вышесказанным примем, что человеческий капитал состоит из трех составляющих, полагая при этом, что удельное (на одну демографическую единицу) среднестатистическое значение человеческого капитала определяется их линейной комбинацией:

а, €(0,1): Ха, =1,

1=1

где I— время; т — возраст демографической единицы; а,— весовые коэффициенты соответствующих слагаемых; значения /г, = /г, т) измеряются в денежных единицах; индекс /= 1 соответствует образовательной составляющей, 1=2 — составляющей здоровья, / = 3 — культурной или духовной составляющей человеческого капитала.

Для описания эволюции составляющих человеческого капитала воспользуемся уравнением типа уравнения переноса, тогда имеем:

—^Г" + ' = (и т)+ т)+ !,(#, т). дг Эт

Здесь gi = £,(/,т), и =«|(м)— удельные расходы бюджета и удельные частные инвестиции в ?-ю составляющую человеческого капитала соответственно; V, — коэффициент износа /-й составляющей человеческого капитала, в общем случае V, = уд*, т).

Начальные условия при t = / имеют ВИД:

л, т)=Л

где й,0(т)— известные функции.

Граничные условия на левом конце демографической кривой

Ы/,0) = 0,

на правом конце при /=1,2, очевидно, следует записать

ЛД*, <*>)«/*,

где т^ = хт )— время дожития 5 процентов населения (5=1- 5%).

Очевидно, что коэффициенты амортизации V; слабо зависят от времени. Зависимость же от возраста для функций V, = V.(т) (/= 1. 2) примем в виде:

[0, т<ти/, У,и [Ь,{ехр[е,(т-т0,)]-1}, тш<т<тт,

где неизвестные параметры (Ь,, е, ) определятся из условий:

&(^xp[ef(xm-xal )]-l}=l,

О

= |^(ехр[е((т-хв( )]-ф, (м^т'

1а1

Здесь то/ — верхняя граница активного периода трудовой деятельности (/ = 1) или физического состояния (1 = 2).

В отличие от образовательной составляющей и составляющей здоровья, духовная составляющая человеческого капитала не подвержена износу, поэтому у3 = О

Решение задачи (2)—(5) может быть получено, если известны начальные функции /*,0(т). Заметим, что какие-либо данные для построения этих функций в настоящее время отсутствуют. Приближенно их можно найти, предполагая. что функции, входящие в уравнение (2), не зависят от времени t. Тогда мы приходим к задаче Коши с начальными данными. Строго это допущение выполняется в стационарном режиме воспроизводства человеческого капитала. Как правило, это не всегда имеет место, поэтому, чтобы уменьшить ошибку вычисления функций й,0(т). необходимо выбрать такой временной отрезок развития экономической системы. на котором функции т) и т) меняются наименее значительно:

Приняв для определенности, что точка / = / содержится именно в таком отрезке, получим уравнение:

а т

с начальными условиями:

Л/-0,

где по-прежнему у3 = 0. а коэффициенты амортизации V, и у2 определяются по формулам (6)—(8). При этом выражение (8) необходимо записать в виде

о

Тт

= J {fy (exp |е ,• (т - Tai )] -1 )}Л,0 (x)d\

Для построения кривой распределения по возрастам удельных составляющих расходов государства т). направленных на приращение человеческого капитала, необходимо определить численность населения в каждой возрастной группе в любой момент времени, для чего сформулируем задачу демографической динамики.

Запишем уравнение динамики возрастного состава без учета миграционных процессов:

где т) — функция распределения плотности населения по возрастам; т) — функция силы смертности. Начальное условие при / = ь

р(/0,т)= Ро(т). X >0,(13) где р0(т) — в общем случае, известная по исходным данным функция. Граничное условие при т = 0

р(*,0)= Ур(м)р(*,т)йт

г > *0,

где р(г, т) — плотность распределения рождений из диапазона фертиль-ности женщин [\ф9х2ф\.

Вид функций Ро(т), |д(г, т) и т) определяется по статистическим данным.

Суммы ВуДО' закладываемые в бюджете на ту или иную статью Л](здесь N. — упорядоченная нумерация статей бюджета, расходуемых на образование (/ = 1), здравоохранение (/' = 2) и развитие культурной или духовной состав-

р(/,т) • Ю \ чел.

ляюшей человеческого капитала (/'= 3)Х будем распределять равномерно на соответствующие периоды жизни человека [хш, х2М ] и на количество демографических единиц в этих периодах. В результате получим кривую распределения удельных составляющих расходов государства, направленных на приращение человеческого капитала, по возрастам

}р

N1

где

0, те [т1ЛГ„т2Л,].

Таким образом, суммарная величина человеческого капитала населения, участвующего в общественном производстве. определится из выражения:

« з

tf(t)= |£аД(^г>МрМ)*х,

0 1=1

где e = e(i,t) — доля населения возраста т, участвующая в общественном производстве в год /.

3. Моделирование динамики человеческого капитала на примере Удмуртской Республики

Решение задачи (12)—(14) рассмотрено в работе Русяка и Кетовой [16]. Кривая распределения функции ç>(t, т) для УР в 2006 г. приведена на рис. 1.

О to ?0 30 40 50 60 70 80

т, лет

Рис. 1. Распределение плотности демографических элементов по возрастам на момент времени t = 2006 г.

Таблица 1

Бюджетные инвестиции, направленные на развитие человеческого капитала (на основе расходных статей бюджета в ценах 2006 г.) [17]

№ статьи Наименование статьи расходов Временной интервал, год Год, тыс. руб.

2005 2006

0700 Образование 5018849,02 4752738,23

0701 Дошкольное 3 <Т<6 707123,50 691455,74

0702 Общее 7<т<17 2230816,00 2224867,23

0703 Начальное профессиональное 14 < т< 17 247671,79 221787,12

0704 Среднее профессиональное 18<т<21 267004,16 257595,11

0705 Переподготовка и повышение квалификации 25<т<59 41455,36 37894.11

0706 Высшее профессиональное 18 < т < 22 759119,56 785203.80

0707-0709 Прочие расходы в области образования 3 <т<59 765658,64 533935,08

0900 Здравоохранение и спорт 5505482,46 5150159,39

0901 Здравоохранение 1<т<т„ 4784538,29 4681434,05

0902 Спорт и физическая культура 3<т<т,„ 193388,24 256671.43

0903 Прикладные научные исследования в области здравоохранения и спорта 1<т<т,„ 9618,78 12059.15

0904 Другие вопросы в области здравоохранения и спорта 1 < X < т 1 !П 517937,16 199994,75

0800 Кулыура, кннемаго! рафии и средства массовой информации 968243,80 838474,28

0801 Культура 3<т<т — v — /II 540876.49 580572,44

0802 Кинематография 3<Т<Т„, 22674.04 21417,23

0803 Телевидение и радиовещание 3<т<т — v /II 116253,85 113764,00

0804 Периодическая печать и издательства 7 < т < т ' — * — * ni 36775.13 33731,10

0805 Прикладные научные исследования в области культуры, кинематографии и средств массовой информации 3<т<т * — * ni 1375,14 1317,61

0806 Другие вопросы в области культуры, кинематографии и средств массовой информации 3<t<t ^ — >11 250289,16 87671,89

Расходные статьи бюджетов всех уровней, направленные на развитие человеческого капитала, на примере УР представлены в табл. 1.

Расчеты на основе демографических кривых показали, что среднее время дожития 5% населения хт в рассматриваемом периоде с погрешностью, не превосходящей +1 год. равно 84 года. С учетом этого, приняв та1 = та2 = 40 лет. определяем константы функции (б): = 0,031. е, = 0,08 (/ = 1, 2). График функции V, = у2 = у(т) приведен на рис. 2.

Зависимости h¡0 =/г10(х) для

мо-

мента времени t= 1996. полученные как решения задачи Коши (9) — (10), приведены на рис. 3-

Решение дифференциального уравнения (2) проводится с использованием конечно-разностной явно-неявной схемы с односторонними разностями [18]. Все расчеты выполнялись на разностной сетке в плоскости (/,т) с шагом л/ = Ат = 1 год. Базисным годом является 1996 г. Период прогноза составляет 10 лет.

И результате решения задачи (2)— (5) получим текущее распределение удельных составляющих человеческого капитала т) для любого момента времени. Для момента времени / = 2006 год соответствующие графики приведены на рис. 4.

Используя решение задачи (2)—(5) и задачи (12)—(14). по формуле (17) опре-

деляем величину человеческого капитала за период 1996—2006 гг. (в расчетах

принималось а, = а2 = а3 = 1/3 ). Полученные результата представлены на рис. 5.

Литература

1. Иванов В.И. Трудовые ресурсы и рост благосостояния народа. Минск: Наука, 1987.

2. Население и глобализация. М.: Наука, 2002.

3. Послание Федеральному Собранию Российской Федерации. 10 мая 2006 года // Официальный сайт Президента России htpp://www.kremlin.ru/text/ appears 2006/05/105546.slnml

4. Дятлов С.А. Инвестиции в человеческий капитал: критерий эффективности // Известия СГ16УЭФ. 1996. N2 4.

5. Борисов Г.В. Инвестирование в человеческий капитал в условиях трансформирующейся экономики России. СПб.: Наука, 1998.

6. Айвазян С.А. Анализ синтетических категорий качества жизни населения субъектов РФ: их измерение, динамика, основные тенденции Уровень жизни населения регионов России. 2002. Ns 11.

7. Ильинский И.В. Инвестиции в будущее: образование в инвестиционном воспроизводстве. СПб.: Изд-во СПбУЭФ. 1996.

8. Агабеков С.И. Инновационный человеческий капитал и эволюция социально-инновационной структуры России, м.: Наука. 2003-

9. Добрынин А.И., Дятлов С.А.. Цы-ренова Е.Д. Человеческий капитал в транзитивной экономике. СПб.: Наука, 1999.

10. Исследование человеческого капитала в зарубежной литературе / Общество и экономика. 1997. Ns т—8. С. 244—255.

11. Макконелл K.P.. Брю СЛ. Экономикс: принципы, проблемы и политика. Т. 2. М.: Республика, 1993.

12. Эренберг Р.Дж.. Смит P.C. Современная экономика труда. Теория и государственная политика. М.: Изд-во МГУ, 1996.

13. Корипкий A.B. Введение в теорию человеческого капитала. Новосибирск: СибУПК, 2000.

0.8

т, лет

10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 2. Зависимость коэффициента износа образовательной составляющей и составляющей здоровья человеческого капитала от возраста

fco (0-10 \ руб./чел.

х, лет

Рис. 3. Начальное распределение составляющих удельного человеческого капитала: 1 — образование. 2 — здравоохранение, 3 — культура

/?, (м)-10~\ руб./чел.

1 \/ 2 V \ 1

/ 3 \ !

14. Акопян A.C., Бушуев В.В., Голубев B.C. Эргодинамическая модель человека и человеческий капитал / Общественные науки и современность. 2002. №6. С. 98—106.

15. Беленький В.З., Кетова К.В. Полное аналитическое решение макромодели развития региона при экзогенном демографическом прогнозе /У Экономика и математические методы. Т. 42. Ns 4. М.: ЦЭМИ РАН, 2006. С. 85—95.

16. Булгаков В.К., Булгаков О.В. Моделирование динамики обобщающих показателей развития региональных экономических систем России // Экономика и математические методы. Т. 42. № 1. М,: ЦЭМИ РАН, 2006. С. 32—49.

17. Русяк И.Г., Кетова К.В. К вопросу о выводе уравнения динамики возрастного состава // Вестник ИжГТУ. 2004. № 2. С. 49-52.

18. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей // Вестник ИжГТУ. 2004. NTs 3. С. 44—46.

19. Отчетность об исполнении консолидированного бюджета РФ. Министерство финансов Российской Федерации. Федеральное казначейство (Казначейство России):

http: Vwww.roskazna.ru reports. cb.html.

20. Хемминг P.B. Численные методы. М.: Наука. 1972.

20 30 40 50

- т, лет

Рис. 4. Текущее распределение составляющих удельного человеческого капитала на момент времени * = 2006 г. год: 1 — образование, 2 — здравоохранение, 3 — культура

Я КГ9, руб-

1 »т 1998 ООСЮ 2001 200? 2003 2 00« 2005 2005

'> год

Рис. 5 Динамика человеческого капитала за период с 1996 по 2006 г.

№2, 2007 60