Цифровые фильтры с конечной памятью, основанные на полиномиальной аппроксимации данных

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.

2. Brener E.A., Malinin S. V., Marchenko V.I. Fracture and friction: stick-slip motion // Eur. Phys. J. 2005. E17, N 101. 101-113.

3. Hao S., Liu W.K., Klein P.A., Rosakis A.J. Modeling and simulation of intersonic crack growth // Int. J. Solids and Struct. 2004. 41, N 7. 1773-1799.

4. Bouchon M., Bouin M.P., Karabulut H, Toksoz N, Dietrich M., Rosakis A.J. How fast is rupture during an earthquake? New insights from the 1999 Turkey earthquakes // Geophys. Res. Let. 2001. 28. 2723-2726.

5. Звягин А.В. Сверхзвуковое движение тела в упругой среде при наличии трения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 4. 52-61.

6. Звягин А.В., Ромашов Г.А. Образование отрывных зон при наличии асимметрии движения тела в упругой среде // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 3. 122-132.

7. Звягин А.В., Ромашов Г.А. Актуальные проблемы механики сплошной среды // Тр. II Междунар. конф. Т. 2. Ереван: ЕГУАС, 2010. 99-102.

8. Rosakis A.J. Intersonic shear cracks and fault ruptures // Adv. Phys. 2002. 51, N 4. 1189-1257.

9. Rosakis A.J., Samudrala O., Coker D. Cracks faster than the shear wave speed // Science. 1999. 284, N 5418. 13371340.

Поступила в редакцию 20.12.2010

УДК 519.218.22

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ, ОСНОВАННЫЕ НА ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДАННЫХ

В. В. Тихомиров1

Для оценки низкочастотной составляющей широкополосного сигнала и его производных широко применяются цифровые фильтры, основанные на полиномиальной аппроксимации данных. Простейшим цифровым фильтром является алгоритм вычисления среднего арифметического. Важные для приложений свойства этих фильтров связаны с видом их передаточных функций. В работе приводятся формулы для передаточных функций фильтров, с помощью которых оцениваются постоянная составляющая и первая и вторая производные входного сигнала при его аппроксимации полиномом второй и третьей степени.

Ключевые слова: случайная последовательность, полиномиальная аппроксимация, метод наименьших квадратов, цифровой фильтр с конечной памятью, функция веса, передаточная функция, частотная область.

Digital filters based on polynomial approximation are used to estimate the low-frequency component of a broadband signal and its derivatives. The simplest digital filter is an arithmetical mean algorithm. The filter properties important for applications are associated with the types of transfer functions. Explicit formulas are given for the transfer functions of such filters used to estimate the constant component of an input signal and its first and second derivatives for the second- and third-degree polynomial approximation.

Key words: random sequence, polynomial approximation, least-squares method, finite-memory digital filter, weight function, transfer function, frequency domain.

Введение. Задача оценки низкочастотной составляющей и ее производных для заданного сигнала часто встречается при обработке цифровых данных. Потребность в построении фильтров с указанными свойствами существует не только в технических областях, связанных с передачей и обработкой информации, но и в механических дисциплинах. В частности, такая задача возникает при анализе и построении

1 Тихомиров Владимир Викторович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tmrv45@mail.ru.

моделей сложных механических систем и синтезе законов их управления. Например, инерциальная навигация является одной из прикладных дисциплин, в которой остро стоит вопрос построения моделей при калибровке инструментальных погрешностей датчиков первичной навигационной информации — гироскопических датчиков угловой скорости [1].

Распространенные методы решения задачи построения оценок среднего значения сигнала и его производных используют полиномиальную аппроксимацию данных, предложенную Лагранжем. Цифровые фильтры с конечной памятью для оценки среднего значения, основанные на простых и эффективных алгоритмах, широко применяются для решения указанной задачи [2]. К их недостаткам следует отнести не очень хорошую фильтрацию высокочастотных составляющих сигнала. Улучшение в этом направлении достигается за счет повышения степени полинома, при котором возможна оценка производных. Сглаживание данных, основанное на их полиномиальной аппроксимации по методу наименьших квадратов и приводящее к фильтрам с конечной памятью, предложено в [3]. Благодаря хорошим сглаживающим свойствам такие фильтры представляют интерес и в настоящее время [4, 5].

Аналитические выражения для функций веса и передаточных функций цифровых фильтров, оценивающих постоянную составляющую сигнала при аппроксимации данных полиномом первой степени, приведены в [2]. Аналитические выражения для передаточных функций фильтров оценки постоянной составляющей сигнала, его первой и второй производных при аппроксимации данных полиномом второй или третьей степени в доступной литературе отсутствуют. В настоящей работе приведены аналитические выражения этих функций, позволяющие определять ширину полосы пропускания фильтра. Достоинством рассматриваемых фильтров является малый объем априорной информации.

Постановка задачи. В соответствии с работой [2] задачу поставим следующим образом. Пусть известны измерения хк = х(Ьк), к = —т, —т + 1,...,т, где хк — стационарная случайная последовательность с широкополосным спектром, Ьк — моменты времени, Ьк+1 — tk = ДЬ — постоянная величина. Необходимо построить нерекуррентный фильтр (фильтр с конечной памятью) для оценки постоянной составляющей и первой и второй производной низкочастотной составляющей измеряемого сигнала (непрерывного аналога измерения). К фильтру предъявляется следующее требование: ошибка оценки соответствующей величины (постоянной величины, первой и второй производной) на низких частотах должна быть "малой". Алгоритм оценивания основан на аппроксимации измерений полиномом второй степени по методу наименьших квадратов при заданном числе измерений.

Алгоритмы оценивания. При аппроксимации дискретных данных полиномом второй степени по методу наименьших квадратов будем считать, что ДЬ = 1, тогда минимизируемый функционал будет иметь вид

1 т / 1 \ 2 .] = - ^ [хк — а — Ьк — - ск2

к=—т

В качестве постоянной составляющей, первой и второй производной в средней точке интервала оценивания (при к = 0) примем коэффициенты а, Ь, с аппроксимирующей функции.

Обозначим оценки коэффициентов через а, Ь, с. Они получаются при решении системы нормальных уравнений, имеющей в рассматриваемом случае вид

т т т

воа + в2 С = Zo = Хк, в2Ь = Zl = кхк, в2а + в4 С = Z2 = ^ к2 Хк,

к= т к= т к= т

где

Ет т , 2 т(т + 1)(2т + 1) 1 = 2т + 1, 82=^2к=—-Т--•

к= т к= т

т1

= V к4 = — т(т + 1)(2т + 1)(3т2 + 3т — 1) —< 15

к=-т

(последняя формула приведена в [6]). Имеем

(т т \ т

82 ^ х(к) — 50 ^2 к2х(к))/О, Ь = ^2 кх(к)/в2,

к= т к= т к= т

( т т \

82 ^ х(к) - во ^ к2х(кЛ /Б,

к=-т к=-т

где Б — определитель подсистемы уравнений системы (1), включающих а и с:

Б = £034 — 8282 = -— т(т + 1)(2т + 1)2(4т2 + 4т — 3). 45

Во временной области фильтры для оценок а, Ь, с задаются функциями веса (весовыми последовательностями [2]), которые обозначим через fj(к), ] = а,Ь,с:

m m m

a = fa(k)xk, b = ^ fb(k)xk, c= fc(

k=—m k=—m k=—m

Соответствующие функции веса имеют вид

fa(k) = (S4 - 82k2)/D, fb(k) = k/s2, fc(k) = (82 — Sok2)/D.

Передаточные функции. Пусть составляющая измерения на заданной частоте и при спектральном представлении входного сигнала имеет вид х& = ещ>{гкш), i = \/—Т. Передаточные функции фильтров для оценки а, b, c по 2m + 1 измерениям обозначим ha(и), hb(и), hc(u). Чтобы вычислить передаточные функции, необходимо получить выражения для zo, zi, Z2 в (1) при Xk = exp(iku):

sin(2m + 1)u/2 i г . .. . , . ,

zo =-;-, zi =- msm((m + l)w) — (m + 1) sm(mw) ,

sin и/2 cos и — 1 L J

1

2 sin

sinw/2 sin2(w/2) 2 sin2(w/2)(1 - cos(w))'

Передаточная функция фильтра для оценки постоянной составляющей входного сигнала при аппроксимации его полиномом первой степени, которую обозначим через h\(u), приведена в [2]:

, . . sin(m + 1/2)w hi{uj) =

(2m + 1) sin и/2'

При и ^ 0 имеем Н\(ш) ^ 1. Таким образом, при уменьшении частоты уменьшается ошибка оценки постоянной составляющей входного сигнала.

При аппроксимации измерений полиномом второго порядка передаточная функция оценки постоянной составляющей с учетом (2) вычисляется по формуле

ha(u) =

(2m2 — 3m + 1) sin(2m + 1)и/2 1 ( sin и sin ти

1 2m cos mu —

5sinи/2 2sin2 и/2\ 1 — cos и

В случае аппроксимации данных полиномом второго порядка для передаточной функции ha (и) также выполняется условие: при и ^ 0 ha(и) ^ 1, из чего следует, что ошибка оценки постоянной составляющей уменьшается при уменьшении частоты входного сигнала.

Передаточная функция фильтра для оценки первой производной представляется в виде

, . 3i m sin(m + 1)и — (m + 1) sin mи

llbliO) = —7-Г7-г-•

m(m + 1)(2m + 1) cos и — 1

При и ^ 0 отношение передаточной функции такого фильтра к передаточной функции идеального дифференциатора стремится к единице: hb(u)/íu ^ 1, что соответствует уменьшению ошибки оценки первой производной при уменьшении частоты входного сигнала.

Передаточная функция фильтра для оценки второй производной имеет вид

(2m + 1)(m — 2m2) sin((2m + 1)u/2) (2m + 1) пс(ш) —-

3D sin u/2 2D sin2

sin и sin mu

2 m eos mu--

1 cos и

При и ^ 0 отношение передаточной функции такого фильтра к передаточной функции идеального дифференциатора второго порядка стремится к единице: hc(u)/(-u2) ^ 1, что соответствует уменьшению ошибки оценки второй производной при уменьшении частоты входного сигнала. Следует отметить, что передаточная функция останется такой же и при аппроксимации данных полиномом третьей степени.

Приведенные в работе выражения для передаточных функций фильтров, основанных на аппроксимации данных полиномами, дают возможность определять полосу пропускания и уровень подавления высокочастотных составляющих в различных постановках прикладных задач оценивания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-08-00004а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы инерциальной навигации. Ч. 1: Математические модели инерциальной навигации. М.: Изд-во МГУ, 2010.

2. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Советское радио, 1980.

3. Savitzky A., Golay M.J.E. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures // Anal. Chem. 1964. 36, N 8. 1627-1639.

4. Jianwen Luo, Kui Ying, Ping He, Jing Bai. Properties of Savitzky-Golay digital differentiations // Digital Signal Process. 2005. 15. 122-136.

5. Schafer R. W. On the frequence-domain properties of Savitzky-Golay filters // HP Laboratories, HPL-2010-109.

6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963.

Поступила в редакцию 17.06.2011

УДК 532.54.031

К ПРОБЛЕМЕ КАВИТАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ

В. П. Карликов1, А. В. Розин2, С. Л. Толоконников3

Изучены некоторые особенности автоколебательных режимов кавитационного взаимодействия соосных монолитной водяной и кольцевой газовой струй со встречным потоком воды. Найдены зависимости частоты автоколебаний, максимального перемещения кавитационной полости навстречу натекающему потоку и амплитуды этого перемещения от диаметра трубы и числа Фруда. Обоснован вывод о механизме возникновения автоколебаний. Обнаружена возможность существенного увеличения дальнобойности встречной струи жидкости за счет подачи в ее окрестность струи газа.

Ключевые слова: струйный кавитатор, встречные потоки, автоколебания.

Some features of self-oscillation regimes for the cavitation interaction of coaxial water and annular gas jets with a water counterflow are studied. The dependence of the frequency of self-oscillations, the maximum longitudinal displacement of a cavity toward the incident flow, and the amplitude of this displacement on the pipe diameter and the Froude number is found. A conclusion on the self-oscillation onset mechanism is substantiated. The possibility of a significant increase in the counterflow range due to the gas jet injection in its vicinity is shown.

Key words: jet cavitator, counterflows, self-oscillations.

Исследование предложенного Л.И. Седовым [1] нового способа создания стационарных искусственных развитых кавитационных течений с помощью струйных кавитаторов обнаружило [2], что при отношениях

1 Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikov@mech. math.msu.su.

2 Розин Александр Владимирович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. экспериментальной гидродинамики НИИ механики МГУ, e-mail: rozin@imec.msu.su.

3 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolsl@mech.math.msu.su.