О выборе параметров подкрепляющих элементов пластин и оболочек, максимально повышающих жесткость системы

УДК 51.31 735.01

О ВЫБОРЕ ПАРАМЕТРОВ ПОДКРЕПЛЯЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, МАКСИМАЛЬНО ПОВЫШАЮЩИХ

ЖЕСТКОСТЬ СИСТЕМЫ

Л.В. МОСКАЛЕНКО, Б.П. УМУШКИН

Сформулированы необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять упругие инерционные связи, наложенные на прямоугольную пластину и круговую цилиндрическую оболочку, для максимального повышения частоты основного тона собственных колебаний системы.

Ключевые слова: инерционные связи, прямоугольная пластина, цилиндрическая оболочка, основной тон собственных колебаний.

1. Основные определения. Постановка задачи

В некоторых случаях при проектировании конструкции возникает необходимость обеспечить условия, при которых минимальная частота основного тона собственных колебаний была бы не ниже заданного определенного значения. При этом, если речь идет о тонкостенных конструкциях типа подкрепленных пластин и оболочек, то обычно их основные размеры (толщина, форма в плане или длина и диаметр) определяются заданными габаритами изделия и условиями прочности под действием ожидаемых эксплуатационных нагрузок. В этом случае целесообразным путем отстройки частот собственных колебаний может быть выбор числа и параметров упругих подкрепляющих элементов, наилучшим образом обеспечивающих оговоренные выше условия.

Близкая проблема была поставлена в 1912 году И.Г. Бубновым при решении задачи по устойчивости стержней [1]. Им было показано, что при некоторых условиях балка, лежащая на упругих опорах, будет равноустойчива с балкой, лежащей на абсолютно жестких опорах. Благодаря сходству математического аппарата, эта задача родственна соответствующей задаче об упруго-инерционных опорах, максимально повышающих частоту собственных колебаний балки.

В 1957 году в работе М. Д. Дольберга [2] приведены необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять точечные связи (число их задано), максимально повышающие частоту основного тона собственных колебаний упругой системы. Полученные результаты были использованы в работе [3] для определения оптимальных динамических параметров транспортной системы, схематизированной в виде балки переменного сечения на упругих инерционных опорах.

Целью настоящей работы является определение условий для связей, наложенных на двумерную упругую систему, максимально повышающих частоту основного тона ее колебаний. Задача решается применительно к прямоугольным пластинам и цилиндрическим оболочкам в предположении, что связи наложены по линиям.

Введем некоторые определения.

Системой S будем называть исходную пластину или оболочку с функцией влияния K(х,в,д,ф), выражающей обобщенные перемещения точки (х, в) под действием единичной обобщенной нагрузки в точке (д, j) .

Заметим, что K(х,в,д,ф) может быть определена как функция Грина самосопряженного дифференциального оператора задачи о равновесии исходной системы, а для ее интегральной

свёртки с произвольными функциями ип, определенными в области существования аргументов, справедливо неравенство

Л К

свидетельствующее о том, что в силу неотрицательности работы К(х,в,д,р) является позитивным ядром. Из самого факта существования ядра следует, что система £ удовлетворяет условиям, накладываемым на нее опорами, т. е. удовлетворяет исходным связям.

Ядру К(х,в,д,р) можно поставить в соответствие резольвенту Г(х,в,д,р,ю2'), являющуюся функцией динамической податливости системы под действием единичной гармонической нагрузки с частотой о.

Ограничимся рассмотрением такой системы £, исходные связи которой выражаются граничными условиями Навье, т.е. фундаментальными функциями резольвенты Г (х,в,д,р,ю2) являются гармонические функции, а резольвента может быть представлена двойным тригонометрическим рядом с коэффициентами Атп (о2) в виде

Атп (У) =

2л _ ё

где П(т, п, О)2) — характеристический полином уравнений колебаний системы £, имеющий восьмую степень по волновым числам т и п для оболочки и четвертую - для пластины, ё(т, п, О)2) — полином, степень которого ниже степени полинома П(т,пу2).

Системой £К назовем такую, которая образована из системы £ наложением на нее упругих

связей по к линиям с неизвестными пока очертаниями.

Если места расположения, очертания и другие параметры упругих связей обеспечивают максимально возможную частоту основного тона колебаний образованной системы, то систему £К будем называть системой наибольшей динамической жёсткости.

Будем рассматривать так называемые идеальные связи, удовлетворяющие условию

где 8и(х, 0) — виртуальное перемещение точек системы £К, йК(х, 0) — реакция связей.

Интегрирование ведется по точкам срединной поверхности системы £ .

Таким образом, нашей задачей является определение условий, которым должны удовлетворять идеальные связи, наложенные по конечному числу к линий на двумерную исходную систему £ , чтобы вновь образованная система £К имела максимально возможную частоту основного тона собственных колебаний.

2. Доказательство однозначности определения системы £К

Представим реакцию связей, действующих на исходную систему £, в виде суммы реакций по каждой из к линий

ёК( х, 0, V, р, У) = 2 С& (х, 0, V, Р, У),

2—1

где Сі — некоторый параметр, а функции удовлетворяют условию

[ и( х.0, V, рУ )ёг1 (х,0, V, рУ) = 0,( I = 1,2,..., к).

£

Примем, кроме того, условие независимости связей, выражающееся в том, что

к г

J пёгу ф 0,

1=1 51

если хотя бы одно ц отлично от нуля.

Понятно, что выполнение последних двух соотношений обеспечивает выполнение условия идеальности связей.

Построим по известной функции Г(х, в, V, р,а>2) функцию динамической податливости ГК (х, в, V, р, со2) системы 5К

к

Г К (х, в, V, р, со2) = Г (х, в, V, р, СО2) - Г (х, в, 5, ф, о2 )ёгг (5, ф, V, р, о2).

1=1 51

Умножив полученное равенство на ёгз (х,в,р,а>2) и проинтегрировав по х,в, получим

| Г к (х, в, V, р, со2 )ёг] (х, в, V,р,ю2) = | Г (х, в, V, р, со2 )ёг] (х, в, V, р,а>2) -

к

111Г (х,в , 5, ф, со2 )ёгу (5, ф, V, р, со2 )ёгз (х, в, V, р, со2).

1=1

Полученное соотношение может рассматриваться как система алгебраических уравнений относительно неизвестных С у с определителем

Л(о2) = \у (о2)|*

I ' \1, з =1

к

где г (°2) = 111Г (х,в ,5,ф, со2)ёг(5,ф, V, р, о2)ёгз(х, в, V, р, со2).

1=1

При статической нагрузке

Г (У )1о=о = 8у Е11К (x,в, s, ф)ёг1(5, ф V, р)ёгз(x, в V, р).

Необходимым условием однозначности определения системы 8К является отличие от нуля

I 2 к определителя . (а> ) .

I .1 Н, 1=1

Требуемое положение будет доказано, если установлена положительность квадратичной формы

к

,

. , 1=1

что, как нетрудно проверить, следует из позитивности ядра К(х,в,д,ф)(1) и условия независимости связей (3).

Если удастся показать, что при некоторых параметрах системы связей обеспечивается максимально возможная частота основного тона колебаний системы 8К, то будет доказано и

достаточное условие однозначности определения системы наибольшей динамической жёсткости.

3. Особенности спектра частот собственных колебаний системы 5К и максимально возможное значение частоты основного тона

Обратимся к исследованию свойств определителя Л(о2).

Условие Л(о2) = 0 является уравнением для определения частот собственных колебаний системы 5К , сопровождающихся перемещениями линий соединения системы 5 со связями.

Выше была доказана положительная определенность квадратичной формы (4), откуда следует вывод о том, что Л(о2) |о=0>0.

Имея в виду, что для рассматриваемых систем Г(х,в^,р,о2) выражается в виде тригонометрических рядов с коэффициентами Атп (о2), делаем заключение о том, что элементы Гз(о2) имеют полюсы при тех значениях о, которые соответствуют полюсам Атп(о2) . А эти значения совпадают с частотами собственных колебаний системы 5 .

Таким образом, частотный определитель Л(о2) положителен при о = 0 и терпит бесконечные разрывы при о, равных частотам собственных колебаний исходной системы 5 . На интервале между точками разрыва определитель Л(о2) меняется непрерывно и имеет разные знаки слева и справа от полюсов.

Если потребовать, чтобы первая частота системы связей была достаточно высокой, то можно прийти к заключению, что первый полюс функции Л(о2) меньше всех ее нулей. Все эти особенности рассматриваемого определителя приводят к результату, аналогичному теореме Рэлея для систем с конечным числом связей, гласящему, что

с° <°к)2

где о и о(к) - частоты основного тона собственных колебаний систем 5 и 5К соответственно; ок+1 - частота к +1- й формы колебаний исходной системы.

Из неравенства (5) следует, что

<)2 < .

Таким образом, имея в виду определение требований к связям наибольшей динамической жёсткости, найдём условия, которым должны удовлетворять связи, чтобы обеспечивалось равенство

4. Определение очертаний и параметров системы связей наибольшей динамической жёсткости

Прежде всего, приведем без доказательства некоторые общие положения математической теории колебаний.

1. Для того чтобы некоторая частота системы 5 была также частотой системы 8К,

необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна амплитудная функция системы 5, отвечающая этой частоте, удовлетворяла условию связи.

2. Каждая амплитудная функция системы 5, удовлетворяющая условию связи, является также амплитудной функцией системы 8К .

3. Если существует такая амплитудная функция системы 5, которая удовлетворяет условию связи и отвечает частоте с номером т, п, то условием определения этой частоты, являющейся

также частотой системы 5К, будет условие разрыва Г(х,в,д,ф,а>2') при со=а>тп, т.е. сотп

является полюсом коэффициента Атп(о2) .

В разделе показано, что наибольшими частотами системы 5К являются некоторые частоты

системы 5 , т. е. для реализации условия наибольшей динамической жесткости требуется выполнение условий 1 и 2.

Условию 1 можно удовлетворить в том случае, когда связи наложены по узловым линиям соответствующей формы колебаний системы 5 .

Так как фундаментальные функции рассматриваемых систем являются синусы и косинусы соответствующей координаты, то узловыми линиями свободно опертой пластины являются линии, параллельные ее краям и расположенные через равные интервалы. Для круговой

цилиндрической оболочки - линии с координатами по длине хг = —Ь—г и по окружности

т +1

2р

в. =-----з. Здесь Ь — длина оболочки, а т и п — целые волновые числа, определяемые

3 п +1

соответствующей формой колебаний. При этом следует иметь в виду, что волновым числам п, равным числу волн по окружности цилиндрической оболочки, соответствует 2п (удвоенное число) расположенных по образующим узловых линий.

Отсюда следует важный вывод о том, что для обеспечения наибольшей динамической жесткости рассматриваемых систем необходимо набор подкрепляющих элементов располагать через равные интервалы параллельно краям пластины и по линиям главных кривизн цилиндрической оболочки. При всех других линиях контакта исходной системы с подкрепляющими элементами система 5К не имеет общих частот с системой 5 , и условие (6) выполнено быть не может.

Таким образом, задача отыскания связей наибольшей динамической жесткости сводится теперь к задаче определения параметров пластины или оболочки, обеспечивающего равенство частоты первого тона подкрепленной системы частоте такой формы колебаний исходной системы, при которой линии контакта с подкрепляющими элементами совпадают с узловыми линиями.

Конкретизируем нашу задачу с учетом некоторых особенностей спектров частот исходных систем.

Если в качестве исходной системы рассматривается неподкрепленная прямоугольная пластина, то можно утверждать, что каждой паре волновых чисел т и п соответствует единственный корень ее частотного уравнения (это не относится к квадратной пластине, для которой отп = опт ). Для спектра частот гладкой круговой цилиндрической оболочки характерно наличие трех значений частот для каждой пары волновых чисел, соответствующих трем видам колебаний (радиальным, тангенциальным и продольным). Кроме того, минимальная частота собственных колебаний оболочки в отличие от пластины не соответствует в общем случае простейшей форме колебаний, т.е. минимум частоты оболочки наблюдается при одной полуволне (т = 1) по ее длине и большей, чем две волны (п >2) по ее окружности. С учетом этих особенностей следует раздельно рассматривать задачу для каждой из исходных систем.

Пусть связи накладываются по узловым линиям форм колебаний прямоугольной (неквадратной) пластины, определяемых волновыми числами т, п. Тогда на основе оговоренных выше свойств функции Л(т.п.о2) можно сделать заключение о том, что при наложении связи по одной из к узловых линий соответствующей формы колебаний справедливо неравенство

Поставим задачу подобрать параметры наложенной связи таким образом, чтобы обеспечивалось равенство

°+1.

Можно показать, что это равенство будет выполнено, если потребовать неположительности Л(о2) на интервале (ок, (ок+1), включая и правую границу этого интервала

Л

Достаточность условия (8) следует из монотонности возрастания утп на интервале (ок, 0)к+1), благодаря чему единственный корень утп на этом интервале не может быть при соблюдении неравенства (8) меньше, чем ок+1 .

Необходимость этого условия легко доказывается от обратного.

Действительно, если предположить, что равенство (7) выполняется без соблюдения условия (8), то это будет противоречить монотонности возрастания У11(т,п,со2) на рассматриваемом интервале.

Накладывая на полученную систему связь еще по одной из к узловых линий, приходим теперь к неравенству

,2 ^ ,»(2)2^ 2

°тк-1 < °тк-1 < °тк+1,

которое свидетельствует о возможности постановки и решения задачи

о1'2'12 = о2

штк-1 штк+1 •

Таким образом, последовательным построением систем с добавлением связей по узловым линиям формы колебаний, соответствующей заданным значениям т и п = к , придем к утверждению следующего положения.

Для того, чтобы прямоугольная пластина, подкрепленная к стрингерами, обладала в пределах заданного числа полуволн т наибольшей минимальной частотой собственных колебаний

о(к) = о , + ,

т,1 т,к+1 ’

необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий.

Первая частота собственных колебаний стрингеров должна быть не ниже от,к+1 .

Стрингеры должны располагаться параллельно краям пластины через равные интервалы, что соответствует их соединению с пластиной по узловым линиям волнообразования в направлении, характеризуемом числом п = к .

Параметры стрингеров должны обеспечивать неположительность суммы

п

X У. (^ к + 1,от,к+1).

и3=1

Обратимся к той же задаче для круговой цилиндрической оболочки. Решение ее не сопряжено с существенными особенностями, если речь идет о максимально возможном повышении частоты основного тона колебаний в пределах заданного числа полуволн т (например, т = 1 ) по длине с помощью стрингерного подкрепления.

Повторяя рассуждения, приведенные при определении условий наибольшей динамической жесткости пластины со стрингерами, получим, что для максимального повышения наименьшей

частоты оболочки в пределах заданного числа полуволн m по длине за счет подкрепления 2 к продольными стрингерами необходимо и достаточно, чтобы:

- первая частота колебаний стрингеров была не ниже Wf(k+i);

- стрингеры соединялись с оболочкой через равные интервалы по ее окружности;

- параметры стрингеров обеспечивали неположительность суммы

2к

£ g[m,2(k + 1)w5k.!)]

и i=1

Здесь Wik+1)_ предельная частота, равная первой (изгибной или радиальной) из трёх

частот гладкой цилиндрической оболочки с волнообразованием, определяемым m числом полуволн по длине оболочки и к числом волн по её окружности. Необходимость подкрепления оболочки по 2к равноотстоящим линиям определяется тем, что каждой волне по окружности соответствуют две узловых линии, расположенные по образующей оболочки.

При решении этой задачи надо иметь в виду наличие минимума собственных частот гладкой оболочки по волновым числам n. В связи с этим задача имеет смысл для числа стрингеров, большего, чем удвоенное число волн, соответствующее минимальной ее частоте при заданном числе полуволн по длине m .

Следует отметить, что те же выводы относятся к оптимизации подкрепленных оболочек с позиции максимальной статической устойчивости, так как математический аппарат решения задач устойчивости близок к аппарату решенной выше задачи динамики. Нетрудно показать, что формы собственных колебаний оболочки совпадают с формами потери ее устойчивости и характер изменения критических значений нагрузки при потере устойчивости в зависимости от волнообразования тот же, что и характер изменения частот собственных колебаний. На этом основании построение алгоритма выбора параметров оптимального подкрепления оболочки с целью обеспечения ее статической устойчивости при заданном значении сжимающей нагрузки аналогично алгоритму обеспечения максимальной динамической жесткости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. - СПб.: 1912. - Ч. 1.

2. Дольберг М.Д. О связях наибольшей жесткости // Записки математического отделения физико-математического факультета и Харьковского математического общества. - Харьков, ХГУ, 1957. - Т. XXV, серия 4.

3. Дольберг М.Д., Умушкин Б.П. Об определении оптимальных динамических параметров транспортировочной системы, схематизированной в виде балки переменного сечения на упругом инерционном основании / Избранные главы по строительной механике оболочек. - Харьков, 1967.

4. Умушкин Б.П. Колебания составных упругих систем // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2006. - № 109.

ABOUT CHOOSING PARAMETERS CONNECTING ELEMENTS PLATES AND JACKETS, MAXIMUM INCREASING STIFFNESS OF THE SYSTEM

Moskalenko L.V., Umushkin B.P.

We established the necessary and sufficient conditions, that satisfy elastic inertial connections placed on rectangle plate and spherically cylindrical for maximum increasing the frequency main tone of its personal vibration of the system. Discovered contour contact lines with connections and elastic-inertial characteristics of connection. The problem can be solved with the help of special fitting elements kit positioned the equal intervals along joint lines in according with shape of vibrations initial system. Also the frequency of main tone of created system vibrations becomes equal with the frequency of initial system, which connects these lines fitting with absolutely stiff supports.

Key words: elastic inertial connections, frequency main tone.

Сведения об авторах

Умушкин Борис Петрович, 1932 г.р., окончил Харьковское высшее авиационное инженерное военное училище (1955), доктор технических наук, академик Российской академии космонавтики и Международной академии информатизации, заслуженный испытатель космической техники, профессор кафедры двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, автор более 160 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.

Москаленко Лада Вячеславовна, окончила Московский институт инженеров гражданской авиации (1993), кандидат технических наук, доцент кафедры двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.