Математическое моделирование магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и эквивалентных им соленоидов

УДК 519.711.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ И ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ИМ СОЛЕНОИДОВ1

Ю. Н. Слесарев, Б. В. Малышев, А. А. Борисова, А. А. Воронцов

MATHEMATICAL MODELING OF MAGNETIC FIELDS OF PERMANENT MAGNETS OF A CYLINDRICAL FORM AND SOLENOIDS EQUIVALENT TO THEM

Yu. N. Slesarev, B. V. Malyshev, A. A. Borisova, A. A. Vorontsov

Аннотация. Актуальность и цели. В настоящее время в приборостроении все большее внимание уделяется разработке магнитострикционных приборов различного назначения. Это объясняется их хорошими техническими характеристиками и широкими функциональными возможностями при относительной простоте и невысокой стоимости изготовления. Отмеченные обстоятельства обусловливают актуальность работы. Целью работы является проведение исследований, направленных на анализ и сравнение результатов моделирования магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и эквивалентных им соленоидов. Материалы и методы. Методы исследования основаны на использовании положений теории расчета магнитных полей постоянных магнитов и принципе суперпозиций. Результаты. В работе приводятся результаты моделирования магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и эквивалентных им соленоидов. Было установлено, что использование того или иного метода расчета определяется предъявляемой точностью и замена постоянного магнита эквивалентным соленоидом вносит погрешности в расчеты. Выводы. Математическое моделирование магнитных полей магнитострикционных преобразователей линейных перемещений является важной задачей при проектировании и модернизации магнитострикционных приборов. Для расчета магнитных полей в них возможно использование метода эквивалентного соленоида, но это вносит погрешности в результаты измерений.

Ключевые слова: математическая модель, метод моделирования, постоянный магнит, напряженность магнитного поля, магнитное поле постоянного магнита, математическое моделирование магнитных полей.

Abstract. Background. Now in instrument making the increasing attention is given to development of magnetostriction devices of different function. It is explained by their good technical characteristics and wide functionality at relative simplicity and low cost of production. Noted circumstances cause relevance of work. The purpose of work is carrying out the researches directed to the analysis and comparison of results of modeling of magnetic fields of permanent magnets of a cylindrical form and solenoids equivalent to them. Materials and methods. Methods of a research are based on use of provisions of the theory of calculation of magnetic fields of permanent magnets, the principle of superpositions. Results. Results of modeling of magnetic fields of permanent magnets of a cylindrical form and equivalent him to solenoids are given in work. It has been established that use of this or that method of calculation is defined by the shown accuracy and replacement of a permanent magnet with the equivalent solenoid brings errors in calculations. Conclusions. Mathematical modeling of magnetic fields of magnetostriction converters of linear movements is an im-

1 Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания высшим учебным заведениям (проект № 3036).

portant task at design and modernization of magnetostriction devices. For calculation of magnetic fields in them use of a method of the equivalent solenoid is possible, but it brings errors in results of measurements.

Key words, mathematical model, modeling method, permanent magnet, tension of magnetic field, magnetic field of a permanent magnet, mathematical modeling of magnetic

При анализе процессов в магнитострикционных преобразователях линейных перемещений (МПЛП) и магнитострикционных преобразователях углов наклона (МПУН) необходимо принимать в расчет величину и распределение магнитного поля, создаваемого как постоянным магнитом, так и соленоидом.

В теории магнетизма доказывается [1], что магнитное поле постоянного магнита эквивалентно магнитному полю от тока, протекающего по поверхности, совпадающей с боковой поверхностью магнита. В работе [2] приведены рассуждения о замене соленоида магнитом, но не даны результаты количественных сравнений.

С инженерной точки зрения реализовать протекание тока в поверхностном слое бесконечно малой толщины сложно, а аналогом такого устройства является соленоид, в котором ток протекает в объемном слое, что указывает на целесообразность сравнения распределения магнитных полей постоянного магнита и однослойного соленоида с конечной толщиной провода. Исследованиям математических моделей постоянных магнитов и эквивалентных им соленоидов, а также вычислительным экспериментам над ними посвящена статья.

Для материалов с прямоугольной петлей гистерезиса намагниченность М можно определить как М = Вг / ц0, где В, - остаточная индукция,

вающего тока эквивалентного соленоида можно выразить приближенной формулой / = бг / ц0, где / = ///? — линейная плотность намагничивающего тока.

С использованием закона Био-Савара и подхода, изложенного в работе [3], для соленоида конечных радиусов обмотки R1 и R2 и конечной высоты ^ изображенного на рис. 1, было получено выражение для осевой составляющей магнитного поля соленоида Н^

fields.

Введение

1. Теоретические исследования

|а0 = 4 • п  10 7 Гн/м - магнитная постоянная. Линейную плотность намагничи-

K(kv) +

r-r}

r + r

П

- полный эллиптическии интеграл первого

71/2

рода, v - аргумент; I \(h.kv) = |

о (l-/2Sin2(P))-7l-(^v)sin2(P) 151

d р

- полный эл-

липтический интеграл третьего рода, И =

4/т'

-, в - переменная интегриро-

вания; ку =

4гг'

(г + г')2

2 - параметр; /V Н2 - внутренний и внешний

радиусы соленоида; г2' = Ъ - расстояние от нижнего торца катушки до начала координат; ' = Ъ + - расстояние от верхнего торца катушки до начала координат; ^ - высота соленоида; 7 - плотность тока в витках соленоида, в А/ м2; г, z - координаты точки наблюдения; г' - переменная интегрирования.

Для анализа магнитных полей соленоида при задании значения плотности тока / также следует учитывать коэффициент заполнения обмотки Х = п/4.

Рис. 1. Математическая модель магнитного поля соленоида

Для постоянного кольцевого магнита с намагниченностью М и с внешним и внутренним радиусами соответственно R22 и R11 (рис. 2) осевую составляющую напряженности магнитного поля Нтг (г, г) можно определить по формуле [4]

Нш(г,г) = ±- Нг2(г,2)-Нл(г,2) 4л

где

-1 2

Пг2(г,2) = 4 |

МргЕ2

[

2 2

г-р

г + р 2 + г2

с/р;

Нй{г,2) = 4 |

Мр г-км Е2 {кг)

[ г-р 2+ г-км 2

^ г + р 2 + г-км 2

R

R

Е2 ^ ) = • ^ - полный эллиптический интеграл второго рода;

о

ф - амплитуда полного эллиптического интеграла второго рода;

4-г-р 4-г-р =-2-2 ' 2 =-2-2 ' г ~ расстояние от центра посто-

г + р + г-км г + р + г

янного магнита до точки наблюдения; г = ^¡х2 + у2 + г2 ; hM - высота постоянного магнита; г - координата в направлении, перпендикулярном плоскости магнита; р - полярный радиус, определяемый расстоянием от центра постоянного магнита до точки, лежащей на его верхней или нижней поверхности,

Р=у[х 2+ у 2+* 2 .

Рис. 2. Математическая модель магнитных полей постоянного магнита

Таким образом, для проведения вычислительных экспериментов при моделировании магнитных полей постоянного магнита и эквивалентного ему соленоида будем использовать выражения (2)-(4) и (1) соответственно.

2. Вычислительный эксперимент

Для проведения вычислительных экспериментов будем использовать сплошные постоянные магниты (Л11 = 0) и эквивалентные им соленоиды высотой hM = hS = h. Намагниченность М постоянного магнита и соответствующую ей линейную плотность тока соленоида] принимаем равной М = ] = 5000 А/т. Расстояние от торца соленоида до начала координат Ь для удобства проведения вычислительного эксперимента принимаем равным нулю (Ь = 0). Диаметр провода намотки соленоида ds выбираем равным 0,2 мм = 0,2 мм), намотка соленоида однослойная.

Для первого вычислительного эксперимента будем использовать постоянный магнит и соленоид радиусом R1 = R22 = 2,5 мм и высотой h = 10 мм. Результат моделирования изменения значений напряженностей магнитных полей вдоль оси 0Z (г = 0) приведен на рис. 3.

Рис. 3. Результат первого вычислительного эксперимента по сравнению распределений магнитных полей магнита и эквивалентного ему соленоида

^ = R22 = 2,5 мм, h = 10 мм)

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о полном несовпадении магнитных полей внутри соленоида и постоянного магнита, а также вблизи его торца (г = 0,01 м). Однако при удалении от поверхности на расстояние «0,03 мм (г ~ 0,0103 м) значения напряженностей магнитных полей, созданных постоянным магнитом и эквивалентным ему соленоидом, уже отличаются не более чем на 1 %.

Для исследования изменений в результатах моделирования магнитных полей постоянных магнитов и эквивалентных им соленоидов проведем второй вычислительный эксперимент. Его результаты приведены на рис. 4.

— 241.41:

-232.3

- 324.144

Нг1

-Зй5<

-ШзЦО^) —_

407 0" 3

-443-

-439.902

-531.5

-572.731

-614.146

5x1

5x10

1x10

1.5x10 " 2x10 2:5x10 " 3x10 3.5x10 " 4x10 4.5x10

Рис. 4. Результат второго вычислительного эксперимента по сравнению распределений магнитных полей магнита и эквивалентного ему соленоида

^ = R22 = 10 мм, h = 2,5 мм)

Моделирование магнитного поля постоянного магнита осуществлялось лишь в области, где результаты моделирования отличались не более чем на 1 %. Для вычислительного эксперимента использовались постоянный магнит и соленоид высотой h = 2,5мм и радиусом Rl = R22 = 10 мм. Анализ результатов позволяет сделать вывод, что на расстоянии, приблизительно равном 0,13 мм от верхнего торца (г ~ 2,63-10~3 мм), результаты моделирования также отличаются не более чем на 1 %.

Результаты вычислительных экспериментов по исследованию напряжен-ностей магнитного поля вдоль оси 0г при г = ^2 (рис. 5, 6) также свидетельствуют о несовпадении значений как внутри постоянного магнита и соленоида, так и вблизи их поверхностей. Для вычислительных экспериментов были использованы постоянный магнит и соленоид радиусами Rl = R22 = 2,5 мм и Rl = R22 = 10 мм и высотой h = 10 мм и h = 2,5 мм для третьего и четвертого вычислительных экспериментов соответственно.

Рис. 5. Результат третьего вычислительного эксперимента по сравнению распределений магнитных полей магнита и эквивалентного ему соленоида

Рис. 6. Результат четвертого вычислительного эксперимента по сравнению распределений магнитных полей магнита и эквивалентного ему соленоида

Заключение

Таким образом, в результате вычислительных экспериментов было впервые произведено сравнение результатов моделирования магнитных полей, полученных для постоянных магнитов и эквивалентных им соленоидов. Моделирование является логическим продолжением работ авторов [4-8] по исследованиям магнитных полей сплошных и кольцевых постоянных магнитов. Анализ результатов моделирования, приведенных на рис. 3-6, позволил сделать вывод о несовпадении значений напряженностей магнитных полей как внутри постоянного магнита и соленоида, так и вблизи их поверхностей. При незначительном отдалении от поверхностей результаты моделирования магнитных полей отличаются не более чем на 1 %. Однако так как на практике создать бесконечно тонкий слой соленоида невозможно, то реальное расхождение результатов может быть более значительным. Поэтому возможность использования для расчетов значений напряженности метода эквивалентного соленоида определяется допустимой погрешностью расчетов.

Список литературы

1. Говорков, В. А. Электрические и магнитные поля / В. А. Говорков. - М. ; Л. : Гос. энергет. изд-во, 1960. - С. 179.

2. Тамм, И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. - М. : Наука, 1976. -С. 252.

3. Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ / М. Г. Александрова, А. Н. Белянин, В. Брюкнер и др. ; под ред. Л. В. Данилова и Е. С. Филиппова. - М. : Радио и связь, 1983. - 344 с.

4. Слесарев, Ю. Н. Математическое моделирование магнитных полей двухкоорди-натных магнитострикционных наклономеров, содержащих кольцевой или сплошной постоянный магнит / Ю. Н. Слесарев, А. А. Воронцов, Э. В. Карпухин // Известия Пензенского государственного педагогического университета. Физико-математические и технические науки. - 2012. - № 30. - С. 467-472.

5. Воронцов, А. А. Математическое моделирование и расчет магнитных полей маг-нитострикционных преобразователей угловых перемещений, содержащих сплошной постоянный магнит / Ю. Н. Слесарев, А. А. Воронцов, С. В. Родионов // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. - 2015. - № 3 (25). -С. 169-175.

6. Воронцов, А. А. Исследование и моделирование блока обработки сигнала магни-тострикционных преобразователей линейных перемещений на ультразвуковых волнах кручения / А. А. Воронцов, Ю. Н. Слесарев, С. В. Родионов // Современные информационные технологии. - 2015. - № 21. - С. 195-198.

7. Vorontsov, A. A. The mathematical modeling and calculation of magnetic fields two-co-ordinate magnetostrictive tiltmeters taking into account skin-effect / Yu. N. Slesarev, A. A. Vorontsov, S. V. Rodionov // Наука и технологии. - 2015. - № 1. - С. 8-18.

8. Моделирование магнитной системы конструкций двухкоординатных магнитост-рикционных наклономеров с расположением магниточувствительных элементов под углом 90 градусов / Ю. Н. Слесарев, А. А. Воронцов, С. В. Родионов, А. М. Зелик // Новое слово в науке: перспективы развития : сб. материалов Меж-дунар. науч.-практ. конф. - Чебоксары, 2014. - С. 238-240.

Слесарев Юрий Николаевич доктор технических наук, профессор, кафедра вычислительных машин и систем,

Пензенский государственный технологический университет E-mail: slesarevun@gmail.com

Малышев Богдан Владимирович

студент,

Пензенский государственный технологический университет E-mail: gggeeekkk@rambler.ru

Борисова Александра Анатольевна

студент,

Пензенский государственный технологический университет E-mail: alexa-13@yandex.ru

Воронцов Александр Анатольевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра вычислительных машин и систем,

Пензенский государственный технологический университет E-mail:aleksander.vorontsov@gmail.com

Slesarev Yury Nikolayevich doctor of technical sciences, professor, sub-department of computers and systems, Penza State Technological University

Malyshev Bogdan Vladimirovich student,

Penza State Technological University

Borisova Alexandra Anatofyevna student,

Penza State Technological University

Vorontsov Aleхandеr Anatofyevich candidate of technical sciences, associate professor,

sub-department of computers and systems, Penza State Technological University

УДК 519.711.3 Слесарев, Ю. Н.

Математическое моделирование магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и эквивалентных им соленоидов / Ю. Н. Слесарев, Б. В. Малышев, А. А. Борисова, А. А. Воронцов // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2016. - № 4 (20). - С. 150-157.