Оценивание параметров системы взаимозависимых уравнений с ограничениями на структурные параметры в задачах эконометрики

УДК 330.43

В. А. Талызин, А. П. Кирпичников, И. Н. Аглиуллин

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА СТРУКТУРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМЕТРИКИ

Ключевые слова: оценка, параметры, система, уравнения, ограничения.

В работе предлагается новый метод оценки параметров системы взаимозависимых уравнений, встречающихся в задачах эконометрики, с учётом дополнительных линейных ограничений на структурные параметры.

Key words: estimation, parameters, system, equations, constraints.

A new method ofparameters estimation system of interdependent equations, encountered in problems of econometrics, is proposed taking into account additional linear restrictions on structural parameters.

Введение

Многие экономические процессы наиболее полно могут быть описаны только с помощью систем эко-нометрических уравнений. Наибольшую трудность для исследования представляет система взаимозависимых уравнений, когда одни и те же переменные рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как объясняющие в других. Такая система получила название структурной формы модели [8]. Для оценки параметров структурной модели используют приведенную форму модели, которая с помощью преобразований получается из структурной формы и представляет собой уже систему независимых уравнений.

В классической постановке такой задачи по оценке параметров предполагается, что параметры структурной формы модели не связаны никакими ограничениями. Вместе с тем, в реальных социально-экономических процессах, можно предположить, что значения этих параметров не могут быть произвольными. Подобные задачи с ограничениями на параметры решались для моделей, содержащих одно уравнение [5-7]. При этом следует отметить, что традиционный подход к решению этих задач заключается в определении параметров таких моделей определенными коррекциями значений параметров модели, оцененной учета без учета ограничений. Это приводит к возрастанию вычислительной сложности алгоритмов реализации методов оценивания. В случае построения полиномиальных моделей трендов равномерных временных рядов с ограничениями на параметры снижение вычислительных затрат на реализацию алгоритмов оценивания можно достичь с использованием алгоритмов на основе как ортогональных, так и неортогональных быстрых дискретных преобразований Уолша и их обобщений [1-3].

В данной работе проведено развитие метода оценивания, предложенного в [6]. Предлагается метод оценивания параметров системы взаимозависимых уравнений с дополнительными линейными ограничениями на эти параметры.

1. Постановка задачи

Пусть в результате формализации экономического процесса получена следующая модель с взаимозависимыми уравнениями, называемая системой одновременных уравнений [8]:

yi =До +Дл +-Аз xp +Дрт2У2 + + Д1 p+mym

у 2 = Д20 +Д21Х2 +-+&pXp +fi2p+iyi2p+y + &p+mym +£2>

ym ~Pm0 +P«lX1 +...+PmpXp + Pmp+iyi ++Pmp+m-iym-1 + Sm

Здесь

, x - экзогенные, У2 ,, Ут - энд°"

генные переменные, д., г= 1, т, у = о, р + т _ структурные параметры системы.

Неизвестные структурные параметры

I = 1, т, ] = 0, р + т системы одновременных уравнений (1) должны удовлетворять линейным ограничениям типа уравнений:

«10р10 +«11р11 +  + «1рр1р +  + «1р+тр1р+т = dl,

а2оРю +а21Р21 +  + «2р+1Р2р+1 +  + а2р+тР2р+т = ^ 2,

атоРт0 +ат1Рт1 +  + атрРтр +  + тр+т_1Ртр+т_1 = ^т,

где коэффициенты ау, , = у = 0, р + т считаются известными.

Особенностью ограничений (2) является то, что в каждое уравнение этих ограничений входят структурные параметры только одного из уравнений системы (1).

Будем считать, что система (1), по крайней мере, сверхидентифицируема [8], а по экзогенным и эндогенным переменным имеются статистические данные, представленные в таблице 1.

На основе этих статистических данных требуется оценить неизвестные параметры

Ри, г = 1т, у = 0, р + т взаимозависимых уравнений

(1), удовлетворяющих ограничениям (2). Таблица 1

Номер наблюдения

1

v1n

xp

V

> 2

pn

У1

У11

У12

Уш,

ym

У mi

ym2

ym

x,. x

1' 2

x

x

x

2

12

n

2. Метод решения

Приведенная форма представленной модели имеет

вид:

у, = 7 о +Y.rvxj ,

j=i

i = 1, m ,

где г,,, i = 1, m

, = о, р _ приведенные параметры.

Каждое независимое уравнение системы (3) может быть оценено обычным методом наименьших квадратов (МНК):

+Х<

,=i

i = 1, m •

Здесь _ полученные МНК- оценки приведенных параметров у,, соответственно.

По формулам (4) можно получить расчетные значения эндогенных переменных ~ для всех п наблюдений, поскольку значения Х, известны. Если эти

расчетные значения подставить в правую часть уравнений системы (1) вместо эндогенных переменных у., то теперь каждое уравнение этой системы будет

независимым и его структурные параметры можно оценить обычным МНК с учетом соответствующего ограничения (2).

Рассмотрим этот прием на примере первого уравнения системы (1). Требуется оценить структурные параметры уравнения

У =/?0+М +РХ +...+ДрХр +Рр+У +/?ръ3>3 +...+Ррт~т ^ (5) когда они связаны линейным уравнением

°1оАо +а1^Ри+...+а1рР1р +ар+Ар+2 +...+а1ртЛ,*т = 4 (6) Введем в рассмотрение следующие обозначения:

Хр+1 = у1, Хр+2 = У2 ,"', Хр+т = Ут ,

а также векторы

Х = (1 Х1 Х2 ... Хр+т )'; Р = (Рю Ри... Рр 0 Рр+2-Рр+т )' ^

в = е2 ... ея)'; а = (аю ап...а1р+т); Ь = Ьп...Ьр+тУ; у = (уп У12... Уш У

и матрицу

X =

(1 1

1 x,.

p+m1 Xp+m2

v1n л2п p+mn у

Тогда уравнение (5) для n наблюдений и ограничение (6) запишутся в матричной форме

Y1 = Xp + s,

ар = d1 •

В соответствии с МНК требуется получить вектор оценок b, который минимизирует квадратичную функцию

52 =

при выполнении ограничения в виде равенства (8).

Это задача на условный экстремум и она решается

методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа

имеет вид

L(b, Л) = (Y - Xb)'(Y1 - Xb) - Л(аЬ - d1).

Используя необходимые условия экстремума, получим уравнение

дТ

— = -2XY1 + 2(XX)b -Ла' = о db

или

2(XX )Ь = 2 X У +Ла'. Умножая обе части последнего уравнения на матрицу (XX) 1 справа, получим

2Ь = 2(XX)_1 XY1 +Л(XX)_1а'. Но Ь = (XX )_' XY1 является МНК-оценкой вектора Р уравнения (7) без учета ограничений (8) [8]. Отсюда

Ь = Ь +1Л^У а'.

Найдем множитель Лагранжа Л. Умножим обе части соотношения (9) слева на вектор а

аЬ = аЬ + -2-Ла(XX)_1а'.

Поскольку для вектора Ь должно выполняться условие (8), то аЬ = и

= аЬ) + 2Ла(XX)_1а'.

Умножая обе части последнего равенства на а^Я )1а']_1 справа, находим множитель Л

Л = 2[а(XX )_1а']_1(^1 _аЬ). Подставив найденное значение Л в выражение (9), окончательно получаем формулу для определения искомого вектора оценок Ь :

Ь = Ь + [ах(XX) 1 а']_'(XX)1а'(Ы ГаЬ). (10) 3. Численный пример

Построена следующая модель с взаимозависимыми уравнениями [4]:

У1 = Р10 + Р11*1 +Р2У2 +е1> У 2 = Р20 +Р21У3 + ^2'

Уз =Рз0 + Рз1*2 +Р32У2 Структурные параметры модели должны удовлетворять линейным ограничениям:

2Рю +РП +Р12 = 25,

Рз0 +Рз1 +Рз2 = 8. Наблюдения эндогенных и экзогенных переменных модели дали следующие результаты Таблица 2

t У1 У 2 У3 x1 Х2

1 46 3,4 24 2,3 1,0

2 48 3,4 25 2,4 1,1

3 49 3,5 25 3,2 1,1

4 52 3,7 26 3,4 1,0

5 52 3,8 27 3,4 1,1

6 54 3,8 27 3,4 1,2

7 57 3,9 28 3,3 1,1

8 59 4,0 29 3,4 1,3

9 59 4,3 31 3,5 1,5

10 60 4,5 33 3,5 1,6

11 61 4,8 35 3,6 1,7

Показано [4], что первое и третье уравнение системы (11) точно идентифицируемы, а второе - сверх-идентифицируемо.

У, = а,о

x

21

x

22

Приведенная модель системы (11), оцененная обычным МНК, имеет вид:

У = 20,9805 + 5,7338х1 + 11,8721х2, ~2 = 1,1991 + 0,2888х1 + 1,4339х2,

= 7,9565 +1,6339х1 + 11,9946х2.

Если не учитывать ограничения (12) то оценки структурных параметров системы (11) имеют вид:

V = 10,9107 + 3,34698х1 + 8,32596у2, у2 = 3,8696 + 0,00173у3, у3 = 1,0890 + 3,87128х2 + 5,68962у2.

Определим теперь оценки структурных параметров с учетом ограничений (12). Рассмотрим первое уравнение

VI = 010 +011*1 +РиУ2 + £1 (15) и ограничение для его структурных параметров

2010 +011 +012 = 25.

Для применения формулы (10) используем расчетные значения ~)2 , полученные по второму уравнению системы (13): Таблица 3

(

№п/п У1 X1 ~ 2 x2 2 ~ 22

1 46 2,3 3,2972 5,29 7,5836 10,8717

2 48 2,4 3,4695 5,76 8,3268 12,0375

3 49 3,2 3,7005 10,24 11,841 13,6940

4 52 3,4 3,6149 11,56 12,290 13,0676

5 52 3,4 3,7583 11,56 12,778 14,1248

6 54 3,4 3,9017 11,56 13,265 15,2232

7 57 3,3 3,7294 10,89 12,307 13,9086

8 59 3,4 4,0450 11,56 13,753 16,3627

9 59 3,5 4,3607 12,25 15,262 19,0161

10 60 3,5 4,5041 12,25 15,764 20,2872

11 61 3,6 4,6764 12,96 16,835 21,8688

Сумма 597 35,4 43,05805 115,88 140,0096 170,46280

Отсюда [3]:

(X X ) =

( 11 35,4 43,05805^1

35,4 115,88 140,0096

43,05805 140,0096 170,4628

( 8,1685 - 0,317 -1,8029Л

(XX)-1 =

- 0,317 1,1448 - 0,860 -1,8029 - 0,860 1,1677

Вектор оценок уравнения (15), полученный без учета ограничения (16) имеет вид

(10,9107

b =

3,34698 8,32596

14,21701

Л

; a(X X )-1a' = 24,7866:

[a

(b Л u 10 10,91070^ ' 14,2701 ^ '6,039"

N 14) b11 = 3,34698 - 0,04034 • - 0,34943 • 8,49134 = 3,467

v b12 ) v 8,32596 ) v- 3,29828) , 9,457

и тогда

В итоге с учетом ограничений (16) уравнение (15) принимает вид

У = 6,039 + 3,467^ + 9,457у2.

Аналогичные вычисления позволяют определить оценки структурных параметров третьего уравнения системы (11) с учетом ограничений:

у3 =-0,81217 + 2,06243х2 + 6,74974у2.

В итоге получена следующая искомая модель взаимозависимых уравнений:

У = 6,039 + 3,467х! + 9,457у2, у2 = 3,8696 + 0,00173у3, у3 =-0,81217 + 2,06243х2 + 6,74974у2.

Как видно она существенно отличается от модели (14), полученной без учета ограничений (12).

Литература

1. Исмагилов И.И., Костромин А.В. Алгоритмы параметрического оценивания полиномиальных моделей цифровых сигналов // Вестник Казан. госуд. технич. ун-та им. А.Н. Туполева. 2004. №4. С.49-53.

2. Исмагилов И.И. Косоугольные обобщения дискретных базисов Уолша // Известия вузов. Радиоэлектроника. -2010. - №12. - С. 3-16.

3. Исмагилов И.И., Аглиуллин И.Н., Кирпичников А.П., Костромин А.В. Полиномиальные модели трендов цифровых сигналов: алгоритмы оценивания на основе дискретных преобразований и сравнительный анализ их вычислительной сложности // Вестник технологического университета. - 2015. - Т.18, №12.- С.132-138.

4. Новак Э. Введение в методы эконометрики. Сборник задач: Пер. с польск./ Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2004. -248 с.

5. Талызин В.А. Оценка параметров эконометрической модели с учетом их ограничений.// Вестник КГФЭИ, № 4(25). - 2011. - с.23-27.

6. Талызин В.А., Кирпичников А.П. Оценивание параметров эконометрической модели с учетом линейных ограничений. //Вестник технологического университета - 2015. -Т.18, №13.- с.185-189.

7. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика: Учебник. - М.: Издательство «Экзамен», 2003. - 512с.

8. Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Проспект, 2009. - 288 с.

© В. А. Талызин, кандидат техн. наук, доц. каф. экономико-математического моделирования КФУ, tlk08@yandex.ru; А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ,: kirpichnikov@kstu.ru; И. Н. Аглиуллин - канд. техн. наук, доц. каф. экономико-математического моделирования КФУ, agliullinilsur@yandex.ru.

© V. A. Talyzin PhD of Technical Sciences, docent of the Department of Economical-mathematical modeling of KFU, tlk08@yandex.ru; А. P. Kirpichnikov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control in KNRTU, kirpichnikov@kstu.ru, I. N. Agliullin, PhD. of Technical Sciences, docent of the Department of Economical-mathematical modeling of KFU, agliullinilsur@yandex.ru.