Расчет двумерных тепловых стационарных периодических полей в многослойных плитах

УДК 536.21

С. Б. Бойко, канд. физ.-мат. наук И. Г. Величко Таврический государственный агротехнологический университет, г. Мелитополь

РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ ТЕПЛОВЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛИТАХ

Предложен метод расчета тепловых стационарных, периодических по пространственной координате, полей в многослойных плитах. На верхней границе плиты температура описывается четной периодической функцией. На нижней границе плиты температура нулевая. На общих границах слоев выполняется условие непрерывности температурного поля и равенство тепловых потоков. Решение обобщено для случая известных температур на верхней и нижней границах плиты, заданных периодическими функциями с одинаковыми периодами. Приведены примеры результатов числовых исследований для разных граничных условий. Проведен сравнительный анализ и сделаны выводы.

Ключевые слова: многослойные плиты, гармоническое уравнение, рекуррентные соотношения, последовательности податливости, закон Фурье.

Введение

Составными элементами многих инженерных сооружений являются многослойные плиты, пластины, основания, оболочки. Это связано с тем, что за счет слоистости материалов можно добиться уменьшения веса, улучшение звукоизоляционных, теплоизоляционных свойств при уменьшении их стоимости. При разработке соответствующих сооружений необходимо уметь рассчитывать результаты действий различных физических полей на многослойные конструкции. Особый интерес представляют разработка аналитических методов, поскольку в этом случае можно гарантировать требуемую точность вычислений и исследовать влияние физических и механических характеристик конструкций на их поведение. Однако такие решения можно получить лишь в исключительных случаях. Одним из важных видов физических полей является тепловое поле. Таким образом, задача аналитического описания теплового поля в многослойной плите с плоскопараллельными слоями актуальна. Более подробному анализу построения и применения модели, описывающей теплопроводность многослойных конструкций, посвящена работа [1].

Решению задач термоупругости посвящены такие фундаментальные исследования как, например, [2-4]. Известны различные способы получения точных и приближенных аналитических решений. Так метод однородных решений используется в работах [5, 6]. Метод Грина, с использованием аппарата обобщенных функций, используется в работе [7]. Метод жесткостных функций в применении к подобным задачам применялся в [8]. Приближенные методы анализа термоупругих многослойных пленок обсуждаются в [9].

В данной работе используется идея метода матриц податливости, введенная в работе [10]. Метод матриц

податливости есть модификация метода функций податливости, который для задач теплоупругости рассмотрены в работах [11-13]. Предложен подход, где неизвестные функции раскладываются в ряды Фурье, а для нахождения неизвестных коэффициентов используются рекуррентные соотношения и метод функций податливости, который используется в задачах теории упругости как уже зарекомендовавший себя метод нахождения достоверных результатов.

Физическая постановка

Имеется многослойная плита, на верхней и нижней границе которой известна температура, причем тепловое поле в плите стационарно. Количество слоёв равно т. Будем рассматривать двумерную задачу, то есть полагать, что вдоль одного из направлений температурное поле не изменяется. На границе верхнего слоя температура описывается четной периодической функцией, а на нижней границе нижнего слоя температура считается нулевой. На общей границе двух соседних слоев выполняется условие непрерывности температурного поля и равенство тепловых потоков (закон Фурье). Каждый слой характеризуется толщиной и коэффициентом теплопроводности а;. Ставится задача про определение функций, которыми характеризуются изменения температурного поля в каждом слое.

Математическая постановка

В каждом слое вводим локальную декартову систему координат с началом на верхней границе соответствующего слоя так, чтобы все оси лежали на одной прямой и были направлены вглубь слоя (рис. 1). Перейдем к безразмерным величинам таким образом, чтобы период функции, описывающий температуру на верхней границе, был равен 2п. Задача сводится к ре-

© С. Б. Бойко, И. Г. Величко, 2014

шению гармонического уравнения для каждой из функций Ti (х, 2), описывающей температуру в /-том слое:

д2Т д2Т -+-

dx2 dz2

= 0, i = 1,...,

Oí, Ü2, Оз

hí

h2 h3 '

* Xí

* X2 + X3

21, 22, 23

Рис. 1. Локальная система координат для т = 3 слоев

Граничные условия задаются для верхней границы верхнего слоя и для нижней границы нижнего слоя

г ад

Tí

2 n=i

Tm (x, hm ) =

Условия сопряжения слоев задаются следующими соотношениями

Т

дТ- дТ-

а, С^hi) = а-+1 --г+Чx,0).

дz д2

В формулах (4), (5) i изменяется от 1 до т -1.

Метод решения

Однослойная плита. Рассмотрим один из слоев. В этом подразделе для удобства индекс i - номер слоя, будем опускать, поэтому (1) запишется следующим образом

д2Т д 2T дx2 дг2

= 0

В предположении, что Т (х, 2) является четной периодической функцией с периодом 2п, с использованием разложения в ряд Фурье на интервале (-п, п), общее решение примет вид

T (x, z) =

c1z + c2 2

+ Z

n=1

Для определения произвольных постоянных, входящих в (7), необходимо использовать граничные условия.

Введем понятия вспомогательных последовательностей для слоя

{Ли }п=0 , {е п }n=0,

которые связаны с температурой и потоком на поверхности слоя следующим образом:

T(x,0) = П- + Znn - cos(nx),

n=1

дТ

дz 2 n=1

Искомая функция выражается через элементы введенных вспомогательных последовательностей

T (x, z) =

s 0 z + По 2

+ X

п=1

Таким образом, для определения температуры в слое достаточно найти две его вспомогательные последовательности.

Многосойная плита. Для многослойной плиты, состоящей из т слоев достаточно определить 2т вспомогательных последовательностей. Покажем, что на самом деле достаточно знать только вспомогательные последовательности первого слоя.

Температура в i -том слое определяется формулой

T (x, z) = Si0 z + По

+

+ X

п =1

Используя (11), температура на нижней границе /'-го слоя запишется в виде

T- (x, h-) =

si0 hi +По 2

+ Z (n in ' cin +Sin

- s-n) - cos(nx).

n=1

тут введены обозначения

ch(nhi ) = c-n , sh(nhi ) = sin .

По определению вспомогательных последовательностей в (/+1)- том слое имеем

Т) П

Т(/+1) (х,0) = +ХП(/+1)п • со8(пх). (13) 2

т .

+

+

+

Подставив (12) и (13) в условие сопряжения слоев (4), получаем рекуррентные соотношения

[П(г +1)0 = 8г0 • +П0, ГЛ(г' +1)п _ Пгп • Сгп + 8гп • 5гп.

В развернутом виде условия сопряжения (5) запишутся следующим образом

аг

+ X

= а

г+1

(г +1)0 2

+ Х п •е

Отсюда получаем еще два рекуррентных соотноше-

~-(г+1)0

ъ(г +1)п

1г+1

' СП г п ' '5гп + 8гп ' Сгп )

Таким образом, зная вспомогательные последовательности первого слоя по формулам (14), (15) можно найти вспомогательные последовательности второго, третьего и т. д. слоев.

Из граничных условий (2) можно найти элементы вспомогательной последовательности гц0, "Ль по формулам

2 п

П10 = -[ / (х)' ёX, — „

Пы _ — | /(х) • СО8(хп)йх .

В следующем пункте мы укажем способ нахождения последовательностей е10, 81п с использованием того факта, что температура на нижней границе нулевая.

Аналоги матриц податливости. Для каждого слоя введем последовательности {ё}™_0, связанные с вспомогательными последовательностями г-го слоя соотношениями

Пгп _8гп • ёгп .

Вычислим величину П(г-+цп двумя способами с использованием (14), (15) и (17).

П(г+1)п _8(г+1)п • ё(г+1)п =

= Аг '8гп • (5гп ' ёгп + Сгп ) • ё(г+1)п ,

П(г+1)п _ "Лги ' Сгп + 8гп ' 5гп _ _ 8 гп ' (ёгп ' Сгп + 5гп ) .

= Аг .

Здесь вводится обозначение

Приравняв (18) и (19), получаем соотношение

Аг 8

из которого определяются элементы последовательности податливости, начиная для элементов нижнего слоя

_ —

- А: • сп • ё

(г+1)п

Сп - А, • ^ • Л

(г+1)п

Аналогично находим рекуррентные соотношения для первых слагаемых разложения с нулевыми индексами для

ёг0 =Аг • ё(г+1)0 - Иг .

Из граничных условий (3) и формулы (11) следует равенство

Т (х и ) = 8т0^т + Пт0 + 1 т( , т) _ , "г"

+ X (Птп • Стп + 8 тп • 5тп ) • сО§(пх) = 0 ,

из которого получаем

Пт0 8т0^т , Птп

Используя (17), (22), находим элементы последовательности податливости нижнего слоя

ёт0 _ ^т,

ётп = -НпК ) ,

с которых начинаются вычисления элементов последовательностей податливости.

Таким образом, используя (20), (21), (23) находятся

все последовательности {ёгп }=0 вплоть до ё1п , а следовательно 81п . В результате приведенных аналитических выкладок можно описать выражения для теплового поля Т (х,г) для каждого слоя по формуле (12).

Алгоритм решения

1. Определяем значения элементов последовательности податливости на нижнем т- том слое ёт0 и ётп

по формулам (23).

2. Последовательно находим элементы последовательности податливости {ё.п}°°_0 для каждого слоя, начиная с нижних слоев, а именно, для г _ т -1, г _ т - 2,..., г _ 1 по формулам (21), (20).

а

а

а

г0

2

п_1

п _1

ния

а

г0

а

а

п_1

к • 5

тп тп

С

тп

3. Определяем п10, П\п по формулам (16).

4. Определяем е10 и е1п по формулам (17).

5. По рекуррентным соотношениям (14), (15) получаем значения элементов вспомогательных последовательностей, связанных с температурой и потоком на

поверхности слоев п/0, Ц/п, е/0 и е/п для / = 2, i = 3, — ,

/ = т.

6. Записываем выражения для теплового поля в каждом слое по формуле (11).

Если мы хотим получить приближенное решение поставленной задачи, то задается число N и в приведенном алгоритме п меняется от 1 до N.

Температура в многослойной плите при неоднородных условиях

Пусть в граничных условиях (2) функция / (х) произвольная, тогда её можно представить в виде

f (x) = f (x) + f (x),

здесь / (х) - четная функция, / (х) - нечетная функция, обе функции являются периодичными с периодом 2п. Следовательно, решение поставленной задачи можно записать в виде суперпозиции двух функций

T (x, z) = T (x, z) + T (x, z),

где Ti (х, 2) - ранее полученное решение для случая

четной функции, а для Т (х, 2) решение получаем аналогично с условием нечетности функции

~(xz) = Z(n« •ch(nz)+

+ £.insk(nz)) • sin(nx).

Тут используются формулы

2 п

~1п =- j f (x) • sin(xn)dx, ?!n =

0

где d/n находятся по формуле (20) при условии, что ётп = -к(пкт) и рекуррентные соотношения

n(i +1)n = nin • cin + Sin • sin ,

b(i+1)n

li+1

"fan •

siv> +

• Cin )

В случае, если известна ненулевая температура на нижней границе в условии (4), то задачу разбиваем на две подзадачи, когда температура равна нулю на нижней границе для первой подзадачи, а затем на верхней для второй подзадачи. Решение происходит по приведенному методу для каждого случая, после чего находится суперпозиция решений.

Пример расчета

Исследовалось влияние коэффициентов теплопроводности среднего слоя на распределение температуры в трехслойной плите. Для этого рассмотрим плиту с

безразмерными толщинами k1 = k2 = k3 = 1. На верхней границе верхней плиты задается функция f (x) = 1 + cos x - cos 2x , а на нижней границе нижней плиты температура поддерживается нулевая.

Рассмотрим случаи следующих коэффициентов теплопроводности:

a) а1 = а2 = а3 = 1; б) а1 =а3, а2 = 10а3 ; в) а1 = а3, а2 = 0,1а3.

Поскольку функция f (x) есть тригонометрический полином 2-й степени, то для получения точного решения достаточно удержать две гармоники кроме нулевой. На графиках (рис. 2, a, б, в)) изображена температура на границах слоев в рамках одного периода для случаев a, б, в.

Рис. 2. Температура на границах слоев

n=1

п

б

а

в

На графиках (рис. 3, а, б, в) изображена температура по глубине плиты в сечениях х = 0, х = —, х = п при тех же, сформулированных выше, условиях.

по горизонтальной координате и линейной по глубине. Это согласуется с физическим смыслом, что подтверждает достоверность полученных результатов.

Рис. 3. Температура в сечениях по глубине плиты

Из анализа рис.2 и рис.3 можно сделать вывод, что в слоях с высоким значением коэффициента теплопроводности температура мало изменяется, а в слоях под ними температура является практически постоянной

Рис. 4. Температура в трехслойной плите при неоднородных условиях

Для иллюстрации случая, когда ненулевая температура задается на обеих границах плиты, приведен трехмерный график функции температуры для трех слоев (рис. 4). Здесь на верхней границе верхней плиты задается функция f (x) = 1 + cos x - cos 2x, а на нижней границе нижней плиты g (x) = cos x . Слои задаются толщинами k = 2, k2 = 1, k3 = 4 и коэффициентами теплопроводности а1 = 3, а2 = 1, а3 = 5. Как видим, средний слой имеет практически нулевую температуру, а температурные колебания происходят в верхнем и нижнем слоях.

Выводы

В работе предложен метод точного решения двумерной стационарной задачи о распределении температур в многослойной плите с плоскопараллельными границами. Заданные функции, описывающие температуру на верхней и нижней границах, считаются периодическими с одинаковыми периодами. Используется модификация метода матриц податливости, которая хорошо зарекомендовала себя при решении задач теории упругости для многослойных тел. Основным преимуществом данного метода есть линейное возрастание объема вычислений с ростом количества слоев.

Предложенные и апробированные в работе алгоритмы в дальнейшем планируется использовать для систематического изучения свойств существенно многослойных конструкций, находящихся под действием тепловых полей с большими градиентами.

а

б

в

Список литературы

1. Ухин Д. В. Математическая модель расчета температуры многослойной конструкции дорожной одежды в условиях перемены температур / Д. В. Ухин // Вестник ВолгАСУ. Сер. : Стр-во и архит. 2010 - Вып. 17(36). -С. 66-69.

2. Подстригач Я. С. Теплоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подстригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Ко-ляно // М. : Наука, 1984. - 368 с.

3. Коваленко А. Д. Основы термоупругости / Коваленко А. Д. -К. : Наук. Думка, 1970. - 307 с.

4. Кудинов В. А. Аналитические решения задач тепломас-сопереноса и термоупругости для многослойных конструкций / В. А. Кадинов, Э. М. Карташов, В. В. Калашников // М. : Высшю шк. - 2005. - 430 с.

5. Алтухов Е. В. Метод однородных решений в трехмерных задачах термоупругости для транспортных пластин / Е. В. Алтухов // Теорет. и прикл. мех. (Киев). - 2003. -№ 37. - С. 8-13.

6. Алтухов Е. В. Однородные решения трехмерных задач о распространении гармонических волн в транспортных термоупругих пластинах / Е. В. Алтухов, В. П. Шевченко // Доп. НАН Украши. - 2007. - № 4. - С. 49-53.

7. Процюк Б. В. Метод функцш Грша в осесиметричних задач пружност та термопружност кусково-однорщних ортотропних тл / Б. В. Процюк // Мат. методи та фiз.-мех. поля. - 2000. - 43, № 1. - С. 94-101.

Бойко С.Б., Величко LE Розрахунок двовимiрних теплових стацюнарних перюдичних пол iB в багатошарових плитах

Запропоновано методрозрахунку теплових стацгонарних, перюдичних по просторовш координатi, полгв у багатошарових плитах. На верхнш межi плити температура описуеться парною перiодичною функщею. На нижнш межi плити температура нульова. На спшьних кордонах шарiв виконуеться умова безперервностi температурного поля i рiвнiсть теплових потоюв. Розв 'язання узагальнено для випадку вiдомих температур на верхнш i нижнш межах плити, заданих перюдичними функ^ями з однаковими перюдами. Наведет приклади результатiв числових до^джень дляр1зних граничнихумов. Проведено порiвняльний аналiз i зробленi висновки.

Ключовi слова: багатошаровi плити, гармотйне рiвняння, рекурентш спiввiдношення, послiдовностi пiддатливостi, закон Фур 'е.

Velichko S., Boyko I. Calculation of two-dimensional stationary periodic thermal fields in multilayered plates

Methods for calculating thermal stationary periodic fields in the multidimensional case are given. On the upper boundary plate temperature is described with even periodic function. On the lower boundary plate temperature is zero. On the common boundary layers, the condition of continuity of the temperature field and heat flow equation is fulfilled. Generalized solution for periodic functions defined on the upper and lower boundaries of the plates was found. The examples of the results of numerical studies for different input data are given. A comparative analysis and conclusions have been done.

Key words: multilayer plates, harmonic equation, recurrence relations, compliance sequence, the laws of Fourier.

8. Горынин Г. Л. Метод жесткостных функций в задачах расчета многослойных стержней при температурных нагрузках / Горынин Г. Л., Немировский Ю. В. // Мат. методи та фiз.-мех. поля. - 2012. - 55, № 2. - С. 144-155.

9. Neng-Hus Zhang Thermoelastic stresses in multilayered beams / Neng-Hus Zhang // Thin Solid Films. - 2007. - 515. -P. 8402-8406.

10. Величко О. В. Плоска деформащя пружно! багатошарово! плити тд дieю перюдично! системi навантажень /

0. В. Величко // Вюник Дншропетровського ушверси-тету. Серiя Механжа. - Дншропетровськ: видавництво Дншропетровського ушверситету - 2004. - № 6. - Вип. 8. -Т. 1. - С. 162-170.

11. Велико I. Г. Просторова термопружна деформащя ба-гатошарово! основи / I. Г. Велико, I. Г. Ткаченко // Вюник Дншропетровського ун-ту. Механжа. - 2004. - Вип. 8. -Т. 1. - № 6. - С. 154-161.

12. Величко I. Г. Просторова та осесиметрична термопружна деформащя багатошарово! основи / I. Г. Величко,

1. Г. Ткаченко // Вюник Дншропетровського ун-ту Механжа. - 2004. - Вип. 8. - Т. 2. - № 6/2. - С. 36-43.

13. Ткаченко I. Г. Двомiрна мшана задача термопружноси для багатошарово! основи / I. Г. Ткаченко // Прикладш пробл. механжи та математики. - 2005. - Вип. 3 - С. 7078.

Одержано 20.11.2014