Задача оптимизации для перестановочного семейства вероятностных моделей систем с управлением

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 222-227

УДК 519.21

ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ПЕРЕСТАНОВОЧНОГО СЕМЕЙСТВА ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С УПРАВЛЕНИЕМ

© 2012 г. М.А. Федоткин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

fma5@rambler.ru

Поступила в редакцию 10.09.2012

В [1, 2] приведены четыре подхода к построению вероятностных моделей для управляющих систем, которые функционируют в условиях структурных неопределенностей. Первый подход основан на рассмотрении колмогоровской модели эксперимента с управлением как «черного ящика». Второй подход связан с применением условных распределений и исследованием соответствующих выборочных вероятностных пространств для измерителей результатов эксперимента. Третий подход предполагает представление системы в виде составляющих её элементов. При этом каждый такой элемент является более простым экспериментом, для изучения которого применяются первые два подхода. В [1, 2] отмечаются недостатки первых трех подходов. В связи с этим в [1-3] предлагается кибернетический подход, основанный на выделении общих свойств управляющей системы произвольной природы, т.е. на выделении ее схемы, информации, координат и функции. В данной работе с помощью этого подхода решается проблема выбора адекватной модели для эксперимента из перестановочного семейства вероятностных моделей.

Ключевые слова: управляющая система, вероятностная модель, кибернетический подход, выборочное пространство, стратегия, функция риска, семейство перестановочных распределений.

Введение

Известно [4], что одним из основных предметов теории вероятностей является построение

математической модели (£Г2, /Г. Р(-)) статистически устойчивого случайного эксперимента Э. Произвольный элемент со из множества О определяет с помощью некоторого языка описание элементарного исхода эксперимента Э. Подмножество ^ априори заданного множества всех допустимых исходов эксперимента (системы) Э является а-алгеброй и содержит все его наблюдаемые исходы А а О. Наконец, вероятностная функция Р(А): ¿Г—> [0,1] задается на ст-

алгебре <^. Заметим, что при использовании первых трех указанных в аннотации подходов

построение вероятностной модели (О, /Г. Р(-)) удается только для простых экспериментов. Поэтому при четвертом подходе [1-3] рассматривают некоторым образом построенное семейство {(О, сГ, Р„(-)): и из более простых вероятностных моделей для статистически устойчивого случайного эксперимента Э сложной структуры. Это семейство зависит от значения неизвестного параметра и из некоторого множества и. При этом стоит трудная задача выбора

из семейства {(О, /Г. Ри(-)): и <=Щ по некоторо-

му признаку в одних случаях адекватной модели для реального эксперимента Э, а в других -его целевой модели для решения наилучшим образом некоторой поставленной задачи.

Измеримые пространства и отображения для построения адекватной модели

Для пояснения и решения этих задач, прежде всего, введем в рассмотрение следующие измеримые пространства [5] произвольной природы:

- пространство (и, X) значений неизвестного параметра и е11, где X есть а-алгебра подмножеств С множества и;

- пространство (X, 35) значений измерения или наблюдения х еХ над элементарными исходами эксперимента Э с помощью некоторых

приборов, где 35 - а-алгебра подмножеств В множества X;

- пространство (V, Ж) значений высказывания или решения V еУ относительно истинного

значения неизвестного параметра и, где 31 есть а-алгебра подмножеств Б множества V;

- пространство (Т, Ж) значений всех потерь

или затрат г е7 от возможных решений, где Я С - а-алгебра подмножеств Е множества 7..

- пространство (II х V. X О Ж) есть прямое

произведение [4, 5] пространств (и, X) и (V, Ж). Здесь ст-алгебры обозначаем рукописными буквами X, Ж, Ж, №.

С перечисленными измеримыми пространствами связаны следующие измеримые отображения.

Отображение 9(ю): О — и, которое при необходимости позволяет рассматривать в общем случае неизвестный параметр и случайным элементом 9. В этом случае предполагается, что априори существует адекватная или целевая

вероятностная модель (О, &, Р(-)) для эксперимента Э. Поэтому при необходимости можно использовать априори заданное выборочное вероятностное пространство [4, 5] вида

(и, X, 0(0), где {0(С) = Р({ю: 9(ю) е С}): С е X} есть распределение для случайного элемента 9.

Отображение Е(ю): О — X, которое является математической моделью измерителя элементарных исходов {ю } реального эксперимента Э.

Случайный элемент Е и семейство {(О, ^, Ри (•)): и е и} порождают семейство {(X, Ж, Ри(0): и е и} из выборочных вероятностных пространств, где {Ри(В) = Ри({ю: Е(ю) е В}): В е Ж} есть распределение для случайного элемента Е при каждом фиксированном значении параметра и е и.

Отображение С(ю): О — V, которое является математической моделью высказывания или решения V е V относительно истинного значения и неизвестного параметра. Случайный элемент ^ и семейство {(О, &, Ри(0): и е и} вероятностных пространств порождают семейство

{(V, Ж, 0и(0)): и е и} из выборочных вероятностных пространств, где распределение для случайного элемента ^ при каждом фиксированном значении и е и параметра обозначено через семейство {0И(0) = Ри({ю: С(ю) е О}):

О е Ж}.

Отображение v(u; х): и х X — V, которое определяет высказывание или решение V = = v(u; х) е V при фиксированном значении и неизвестного параметра и при наблюдении х для случайного элемента Е. В дальнейшем будем также использовать отображение г = 1(и, V): их V —— X, определяющее потери или затраты при использовании решения V, когда значение неизвестного параметра было равно и.

Семейства выборочных пространств вероятностной модели

Обозначим для любых фиксированных и е и и х е X регулярную условную вероятность

Ри(А|ст(Е)), А е относительно ст-алгебры, порожденной случайным элементом Е [5]. Тогда при любых фиксированных и е и и х е X отображение 0И(0; х) = Ри({ю: С(ю) е О}|{ю:

Е(ю) = х}): Ж — [0, 1] задает вероятностную меру на (V, Ж), а при заданном множестве О е Ж функция 0и(0; х): и х X — [0, 1] является

X  Ж-измеримой. Можно сказать, что 0и(0; х) определяет условное распределение для случайного элемента С(ю). Следовательно, мы можем рассматривать семейство {(V, Ж, 0И(0; х)): и е и, х е X} из выборочных вероятностных пространств для случайного элемента ^. Функцию 0и(0; х) следует интерпретировать как регулярную условную вероятность принятия высказывания О при наблюдении значения х для измерителя эксперимента Э и при фиксированном значении и неизвестного параметра. К сожалению, для большинства статистически устойчивых случайных экспериментов Э функция 0и(0; х) не является известной и ее требуется найти. Отображение вида 5 = 0и(0; х):

и х X х Ж — [0, 1] как функция от и е и, х е X

и от О е Ж называется рандомизированной стратегией или решающей функцией. Класс всех таких стратегий 5 будем обозначать через S. В частном случае, когда при любых фиксированных и е и их е X условная вероятность 5 = 0и(0; х) равна единице при О = &(и; х)} и v(u; х) е V, стратегия называется нерандомизированной. Нерандомизированную стратегию целесообразно представлять как измеримое отображение v(u; х): и х X — V. Стратегия такого типа заключается в принятии решения v(u; х) е е V при заданном значении и неизвестного параметра и на основе наблюдения х для случайного элемента Е. Если решающая функция не зависит от значений и неизвестного параметра, то рандомизированную стратегию будем обозначать через 0(0; х), а нерандомизированную стратегию - через v(x). В теории статистических решений [6, 7], когда необходимо выбрать распределение случайного элемента Е из некоторо-

го семейства {Ри0: и е и} распределений на основе наблюдения х е X, рассматривается именно такая ситуация. Более того, в теории статистических решений априори задано не семейство {(О, <^, Ри(0): и е и} вероятностных моделей эволюционной управляющей системы

Э, а семейство {(X, Ж, Ри( )): и е и} из выборочных вероятностных пространств для случайного элемента Е. В этом случае упорядоченная пара (X, Ж) содержит всю информацию об измерителе, и вполне естественно считать, что стратегия не зависит от параметра и е и, а зависит только от наблюдения х.

Связь проблемы выбора адекватной модели с задачей оптимизации

В общей постановке проблема выбора адекватной или целевой модели сводится к рассмотрению следующей задачи оптимизации. Прежде всего, определим математическое ожидание затрат Ми 5(1(и, ^)) или средние потери

Н(и, 5) = Ми, Д(и, О) =

= | (11(Ц-У)0и (^; х))Ри (ёх).

X V

В случае вырожденного распределения Ри(0; х), когда оно сосредоточено в точке О = &(и; х)} и, следовательно, стратегия 5 = Ри(0; х) является нерандомизированной, величина средних потерь равна

Н(и, 5) = Ми, 5(1(и, v(u; Е))) =

= 11(и v(u; х))рИ (ёх).

X

Функция Н(и, 5) аргумента и, которая определяет средние потери от использования стратегии 5 е 5, называется функцией риска. Тогда цель состоит в нахождении равномерно лучшей стратегии 5' е 5, для которой Н(и, 5') < Н(и, 5) для всех и е и и 5 е 5 . Стратегии 5' отвечает некоторое оптимальное высказывание v' относительно истинного значения неизвестного параметра и. Оптимальное высказывание v' позволяет выбрать оптимальное значение и' е и. Значению и' соответствует модель (О, ^, Ри- (•)) =

= (О, 3, Р(0), которая объявляется адекватной для заданного эксперимента Э или целевой при синтезе эксперимента.

К сожалению, далеко не всегда существует стратегия 51, и поэтому не для всех реальных экспериментов Э удается построить вероятностную модель вида (О, <^, Ри (•)). В этом случае очень часто используют два следующих подхо-

да. При первом подходе рассматривают более узкий класс 50 с 5 стратегий, в котором удается определить равномерно лучшую стратегию 5'е е 50. При втором подходе вместо функции риска Н(и, 5) используют некоторые ее интегральные характеристики по аргументу и. Например, качество принимаемых высказываний относительно истинного значения неизвестного параметра определяется байесовской функцией риска вида

Н

и

или экстремальной функцией риска вида Н(5) = = 8ир{Н(и, 5): и е и}. Если имеет место равенство Н(0(-), 5*) = тДН((20, 5): 5 е 5}, то стратегия 5* называется байесовской. Если выполняется равенство Н(5+) = тДН(5): 5 е 5}, то стратегия 5+ называется минимаксной, и эта стратегия ориентирована на самые неблагоприятные случаи потерь. В классической теории статистических решений [6, 7] при достаточно общих

ограничениях на семейство {(X, Ж, Ри(0): и е Ц) из выборочных вероятностных пространств для случайного элемента Е доказывается соотношение 5* = 5 при некотором априорном распределении 0*(О для случайного элемента 9(ю). Другими словами, минимаксные стратегии оказываются байесовскими, и при этом Н(0*(О, 5*) = Н(5+).

Постановка задачи для управляющих дискретных систем

Рассмотрим достаточно широкий класс эволюционных дискретных систем с управлением [1-3]. В качестве примера такого рода систем приведем: 1) интеллектуальные транспортные системы; 2) системы обслуживания неоднородных требований и управления конфликтными потоками; 3) экспертные системы диспетчерского контроля процессов взлетов и приземлений самолетов; 4) системы управления технологическими сигналами адаптивных автоматов сборки микросхем для суперкомпьютеров; 5) системы обработки полезных слабых сигналов на фоне мощных помех; 6) системы организации работы таможен в крупных аэропортах мира; 7) системы отслеживания информационных потоков в локальных сетях и т.п. Для построения и анализа вероятностной модели каждой такой реальной системы требуется предварительно решить ряд конкретных задач, которые были математически формализованы в общей постановке во Введении. На содержательном уровне такими задачами для некоторых из при-

веденных систем могут быть: 1) задача определения места положения транспортных пачек на магистралях с целью квазиоптимального управления дорожным движением; 2) задача определения координат и закона движения летательных объектов в пространстве; 3) задача обнаружения инородных тел в некоторой биологической среде.

Как правило, при функционировании управляющей дискретной системы Э можно зафиксировать числовые значения х1, х2, ..., хт измерителей Еь Е2, •••, Ет её наблюдаемых элементарных исходов. Здесь т > 2 есть некоторое число измерителей. Ради простоты изложения дальнейших результатов будем теперь считать, что каждый из измерителей Е1, Е2, . , Ет принимает значения из множества N = {0, 1, ...} целых неотрицательных чисел. Значит,

X = ^ , х = (хь х2, ..., хт), Е = (Е1, Е2, •••, Ет), х е Nm , Е(ю) е X. Предположим теперь, что и = {1, 2, ..., т}, V = {1, 2, ..., т}, 2 = {0, 1}. Так как и = V, то естественно принять, что функция потерь 1(и, v) равна единице, если и ф ф v, и равна нулю при и = v. В этих предположениях измеримые пространства (и, X), (X, Ж), (V, Ж) и (2, №) - дискретны [4, 5], а ст-алгебры

X, Ж, Ж и № являются множествами всех подмножеств множества и, X, V и 2 соответственно. Поэтому вместо семейства {0(С): С е X} распределений для дискретной случайной величины 9 будем по необходимости применять семейство {#(и): и = 1, 2, ..., т}, где функция д(и) = 0(С) при С = {и}. Аналогичным образом при каждом фиксированном значении параметра и

е и вместо семейства {Ри(В): В е Ж} распределений для многомерной дискретной случайной величины Е можно использовать [4, 5] более простое семейство вида (ри(хь х2, ..., хт): (хь х2,

..., хт) е ^ }, где функция ри(хЬ х2, ..., хт) = = Ри(В) при В = {(х1, х2, ..., хт)}. Будем также говорить [4, 5], что при каждом фиксированном

значении параметра и е и на пространстве Nm семейство вида {ри{х\, х2, ., хт): (хь х2, ., хт) е е Nm } задает распределение вероятностей. Далее, при каждом фиксированном значении параметра и е и вместо семейства {0И(О; х): О е

Ж} условных распределений для дискретной случайной величины ^(ю) можно использовать семейство ^и(у; х): v = 1, 2, ..., т}, где функция 5 = ёиЬ?; х) = 0и(О; х) при О = ^}. Так как при каждом фиксированном значении параметра

и є и семейство (£и(у; х): V = 1, 2, т} однозначно определяет семейство {Ои(Б; х):

Б є Ж}, то ради простоты в дальнейшем будем писать 5 = £и^; х) є S. В случае, когда решающая функция 5 = gu(v; х) не зависит от значений и неизвестного параметра, рандомизированную стратегию будем обозначать через 5 = g(v; х).

Построение адекватной модели в классе перестановочного семейства распределений для измерителей системы

Обозначим символом П множество всех взаимнооднозначных отображений п(г) множества {1, 2, ..., т} на себя. Множество П содержит т! элементов.

Определение 1. Семейство {ри(хь х2, ..., хт): (х1, х2, ..., хт) є Nm } распределений для вектора (Еь Е2, • ••, Ет) называется перестановочным, если для любого и є и, п(г) є П и для любого набора (х1, х2, ..., хт) є Nm имеет место соотношение Pu(xп(1), xл(2), •, хп(т)) = Рп(и)(х1, x2, •, хт).

Лемма 1. Пусть ри(х1, х2, ..., хт) =

хи

= IМх')р(х1, х2, ..., хи - х , ..., хт), и є и,

х '=0

где множество {^(п): п є N1 и множество

{р(хі, х2, ..., хт): (хі, х2, ..., хт) є ^ } суть некоторые распределения вероятностей на N и соответственно на Nm . Если при любом наборе (х1, х2, ., хт) є ^ и при любом отображении п(г) є П выполняется условие симметрии Р(хп(1), хп(2), ., х„(т)) = Р(хі, х2, ., хт), то семейство распределений для вектора (Е1, Е2, ., Ет) вида {Ри(хі, х2, ..., хт): (хі, х2, ..., хт) є ^ } является перестановочным.

Доказательство. Если неизвестный параметр равен и или п(и), то из условия Ри(хі, х2, ..., хт) =

хи

= I Мх')Р

х =0

леммы непосредственно получаем следующие два равенства:

pu(xп(1), xл(2), •, хп(т)) =

хп

= I ^(х ')Р(хп(1), хп(2),..., хп(и) - х',..., xп(m)),

х =0

Рп(и)(х1, x2, •, хт) =

хп

= I^(х')р(х,хо,...,х Ґ -х',...,х ).

4 1’ 2’ ’ п(и) ’ ту

х =0

В силу определения отображения п(г) и симметрии функции р(х1, х2, ..., хт) выводим, что

правые части последних равенств совпадают. Отсюда сразу следует, что

pu

для любых (х1, х2, ..., хт) е Nm, и е и и для любого отображения п(г) е П. Значит, семейство (ри(хь х2, ..., хт): (х1, х2, ..., хт) е N } является перестановочным. Определенное в этой лемме распределение {ри(х1, х2, ..., хт): (х1, х2,

., хт) е Nm } является композицией [4] дискретного распределения {м(п): п е N и многомерного дискретного распределения (р(хь х2, ..., хт): (х1, х2, ..., хт) е ^ } лишь по его компоненте с номером и. Лемма 1 установлена.

Лемма 2. Если {^(п): п е N и {м2(п): п е N} суть некоторые распределения вероятностей на N, то семейство {ри(х\, х2, ., хт): (х1, х2, .,

хт) е ^} является перестановочным, где ри(х1, х2, ., хт) = м1(хи) П м2 (хг) для всех и е и.

г Фи

Доказательство. Для любого отображения п(г) е П и и е и из соотношенияри(х1, х2,..., хт) = = м1(хи) П м2(хг) легко находим соотношения:

г Фи

РПи^, x2, ., хт) = М (хп(и)) П М2 (хг X

гФи

ри(хп(1), хп(2), •••, хп(т)) = Щ(хп(и)) П м2(хп(г)).

г Фи

Так как п(г): {1, 2, ..., т} ^ {1, 2, ..., т}, то

W\(xп(И)) П м2(хг ) = W\(xп(И)) П м2(хп(г)).

г Фи г Фи

Отсюда получаем равенство Ри(хП(1), хп(2), ..., хп(т)) = Рп(и)(х1, х2, ..., хт) для любых и е и, (хь х2, ., хт) е N и для любого отображения п(г) е П. Следовательно, семейство {ри(х1, х2, ..., хт): (х1, х2, ..., хт) е Nm } является перестановочным. Более того, это семейство возникает, когда измерители Еь Е2, •••, Ет независимы и один из них с номером и имеет распределение вида {м1(п): п е Ж}. При этом все остальные измерители одинаково распределены по закону {м2(п): п е ^. Утверждение леммы 2 доказано.

Заметим, что перестановочные распределения часто используются при составлении математических моделей измерителей элементарных исходов дискретных управляющих систем. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что семейство распределений вида {ри(х1, х2, ., хт): (х1, х2, ., хт) е ^ } является перестановочным.

Пусть пространство (X х V, Ж  Ж) есть

прямое произведение [4, 5] пространств (X, Ж) и

(V, Ж). Так как X = ^, (х1, х2, ..., хт) е ^ и

V = {1, 2, ..., т}, v е V, то произвольный элемент множества X х V будем обозначать символом у = (х1, х2, ..., хт, v). На дискретном пространстве (X х V, Ж  Ж) единственную вероятностную меру Ри, 5(Е), Е е Ж  Ж, можно задать [4, 5] с помощью равенства Ри, 5({(х1, х2, ., хт, v)}) = ри(хЬ х2, ..., Xm)gи(v; х), в котором в качестве Е выбирается специальное одноточечное множество {(х1, х2, ., хт, v)}.

При заданной стратегии 5 е 5 дискретный случайный вектор (Еь Е2, •••, Ет, О задает семейство {(X х V, Ж  Ж, Ри> 50): и е и} из выборочных вероятностных пространств. Для случайного вектора (Еь Е2, •••, Ет, О известно только его распределение Ри, 5({(х1, х2, ..., хт, ^}), (х1, х2, ..., хт, у) е X х V, но каждая из его компонент не имеет поточечного задания [4] вида (Еь Е2, • ••, Ет, С): О ^ X х V. Поэтому далее вместо случайного вектора (Еь Е2, •••, Ет, О

на (О, <^, Ри0) удобно рассмотреть на вероятностном пространстве (X х V, Ж  Ж, Ри, 5(-)) случайный вектор (уь У2, ., Ут, у) с поточечным заданием у(у) = v, уг(у) = хг для всех г = 1, 2, ..., т. При этом первые т компонент случайного вектора (уь у2, •••, Ут, У) являются другого типа математическими моделями измерителей дискретной управляющей системы. Последняя компонента вектора (уь у2, •••, ут, у) определяет точечную оценку неизвестного параметра и, если и = {1, 2, ..., т} и V = {1, 2, ..., т}.

Из определения функции потерь 1(и, v) для дискретной управляющей системы легко получим, что функция риска Н(и, 5) = Ми 5(1(и, у)) = = 1 - Ри, 5({у: у(у) = и}) есть вероятность ошибочного выбора значения и неизвестного параметра. Основная проблема заключается в решении вопроса о существовании и построении адекватной или целевой модели, для которой соответствующая ей минимаксная стратегия 5 удовлетворяет следующему условию:

Н(5+) = тГ{шах{Ри>5({у: у(у) ф и}): и е и}: 5 е 5}.

Список литературы

1. Федоткин М. А. Нелокальный способ задания управляемых случайных процессов // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1998. Вып. 7. С. 332-344.

2. Федоткин М.А. Построение и анализ вероятностных моделей эволюционных систем с управлением // Теория вероятностей и математическая статистика.

Киев: КГУ, 2011. Вып. 85. С. 117-131.

3. Ляпунов А.А., Яблонский С.В. Теоретические проблемы кибернетики // Проблемы кибернетики. М.: Физматгиз, 1963. Вып. 9. С. 5-22.

4. Федоткин М.А. Модели в теории вероятностей. М.: Наука-Физматлит, 2012. 608 с.

5. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.

6. Бара Ж.-Р. Основные понятия математической статистики. М.: Мир, 1974. 275 с.

7. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974. 491 с.

OPTIMIZATION PROBLEM FOR A PERMUTATION FAMILY OF PROBABILISTIC MODELS OF SYSTEMS WITH CONTROL

M.A. Fedotkin

Four approaches are given in [1, 2] to construct probabilistic models for controlling systems operating under conditions of structural uncertainty. The first approach is based on the Kolmogorov model for a controlled experiment from the «black-box» point of view. The second approach concerns the application of conditional probability distributions and the study of corresponding sample spaces for experimental result measurers. The third approach assumes representing the system in the form of its constituting elements, each element being a simpler experiment to be studied using the first two approaches. The disadvantages of these three approaches are mentioned in [1, 2]. In this connection a cybernetic approach is proposed in [1-3] which is based on highlighting general properties of the controlling system of any nature, i.e. its scheme, information, coordinates and function.

Using this approach, the problem of choosing an adequate model is solved for the experiment with a permutation family of probabilistic models.

Keywords: controlling system, probabilistic model, cybernetic approach, sample space, strategy, risk function, family of permutation distributions.