Энергетический критерий устойчивости анизотропной тонколистовой прямоугольной пластины

УДК 539.374; 621.983

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф.,

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНОЙ ТОНКОЛИСТОВОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрен энергетический критерий устойчивости в виде волнистости тонколистовой прямоугольной пластины, обладающей плоскостной анизотропией механических свойств.

Ключевые слова: анизотропия, энергетический критерий, устойчивость, деформация, напряжение, сила.

Важной проблемой теории обработки металлов давлением является устойчивость процесса деформирования тонколистовых метаплов. Повышение устойчивости формообразования операций листовой штамповки обеспечивает снижение брака, значительную экономию металла, способствует увеличению надежности автоматических и поточных линий штамповки, улучшает качество продукции.

Одним из типов потери устойчивости тонколистовых материалов является волнистость (гофрообразование, выпучивание) вследствие потери устойчивости на сжатых и сжато растянутых участках листовой заготовки, которая приводит к искажению формы изделия и последующему разрушению. Большинство исследований этого вопроса касались малых упругих и упругопластических деформаций изотропных материалов. Потеря устойчивости при обработке металлов давлением происходит при значительных пластических деформациях, а листовой материал, полученный прокаткой, обладает анизотропией механических свойств. Поэтому представляет большой интерес исследование потери устойчивости в виде волнистости (гофрообразования) тонколистовых анизотропных материалов.

При решении технологических задач по формообразованию листового анизотропного материала исходят из следующих предположений: листовой металл пластически ортотропен или трансверсально изотропен, приобретенная анизотропия в процессе пластического формообразования мала по сравнению с начальной анизотропией; материал заготовки несжимаем; упрочнение материала изотропно; эффект Баушингера отсутствует. Напряженное состояние принимается плоским.

Следуя работам [1, 2], запишем уравнения связи в главных осях анизотропии между приращениями деформаций и напряжениями в следующем удобном виде, при котором в случае пренебрежения анизотропи-

114

ей эти соотношения переходят в соответствующие зависимости для изотропного тела:

~ ф(с11°х с12^_у)’

сі&у — <р(с\2х с22^у)’

ху = Ф с33^ху’

где

СІЄ,}

ф=р^,р=

О;

2(і+і/ігх + і/^) і

. і

>сп =1 + ^~’

Кх

с12=-1; с22 = 1 +

с33 =

сі^і, <3^

у “ху

приращение интенсивности деформации и интенсивности напряжений соответственно; Кх, Яу, Яху - коэффициенты анизотропии.

Так как приращение удельной работы пластической деформации анизотропного материала на единицу объема при плоском напряженном состоянии

Ох^£х &у

то с учетом соотношений (1) получим выражение для интенсивности напряжений анизотропного материала

/2 2 2 ~ л/Р(с11^л; 2спах°у с22у с33^ху) •

Ретттив зависимости (1) относительно напряжений и используя соотношение (3), аналогично найдем выражение для интенсивности приращения деформаций

СІЄ і

(С22^&Х 'Ї.Су^СІЄ, х^Є у +С^^/Єі;)+ сіу ху

§ с33

где

g = cnc22 ~с12-

Указанные выше соотношения отличаются от соотношений Р. Хилла [3] только по форме записи.

При простом нагружении коэффициенты анизотропии Кх, Яу, Яху

являются постоянными для неупрочняющегося и изотропно упрочняющегося материала. В результате интегрирования зависимостей (1) получим соотношения между деформациями ех, Еу, Уху и напряжениями для пластически ортотропного материала в главных осях анизотропии х, у г:

Є/

&х = Р (С1 \*х с\2у)?

О,

8/

£у — Р (с12^х с22^у)>

Уху=^с33*ху’

где £г- - интенсивность деформаций анизотропного материала, согласно выражению

а величины ог-,

Пусть прямолинейный элемент листа подвергается возрастающей внешней сжимаемой нагрузке, приложенной в его плоскости. До тех пор, пока параметр нагрузки со, возрастая, остается меньше некоторого критического значения со^, возможна только одна форма движения (равновесия) элемента - равномерное сжатие с сохранением исходной формы. При со> со' происходит бифуркация, т.е. разветвление формы движения, после чего становятся возможными две формы движения - или равномерное сжатие или изгибание (выпучивание). Возникновению выпучивания способствует малое начальное направление срединной поверхности элемента листовой заготовки или эксцентриситет при приложении сжимающих сил. Однако после этого элемент не теряет несущей способности и по мере роста нагрузки продолжает постепенно изгибаться. Только после достижения параметром нагрузки определенного значения со'. > со'я. наблюдаются резкое увеличение изгиба и потеря несущей способности элемента. Критический параметр со', соответствующий началу выпучивания, определяется касательным модулем, а критический параметр нагрузки, соответствующий потере несущей способности, - приведенным модулем. После начала изгиба с выпуклой стороны заготовки возникает упругая разгрузка. Протяженность по толщине листа зоны разгрузки возрастает с увеличением

и (6).

Решая зависимости (7) относительно напряжений, получим

1 <5 і

сжимающей нагрузки. При достижении параметра нагрузки, близкого к со", зона разгрузки по толщине листа составляет порядка (0,02...0,3)?. Поэтому упругой зоной разгрузки можно пренебречь и считать, что происходит пластическое выпучивание элемента листовой заготовки.

Рассмотрим энергетический метод исследования потери устойчивости в виде гофров прямоугольной пластины со сторонами, параллельными главным осям анизотропии, что позволяет получить необходимое уравнение для других форм из известного уравнения потери устойчивости прямоугольной пластины [4]. Сущность этого метода состоит в следующем [5]. Определяется изменение полной потенциальной энергии плоской листовой заготовки, нагруженной силами, лежащими в ее плоскости, после перехода из плоской формы равновесия в криволинейную:

An = AU0+Ui+U2,

где А i/o _ изменение потенциальной энергии деформации срединной плоскости листовой заготовки при выпучивании, U\ - потенциальная энергия деформации изгиба и кручения пластины, U2 - изменение потенциала внешних сил, приложенных к пластине. Потенциальной энергией деформации пластины поперечными силами Qxz и Qyz пренебрегаем по ее

малости.

Экстремум выражения (10) позволяет рассчитать нагрузку, при которой наряду с плоской формой равновесия пластины возникает новая криволинейная форма равновесия, так как общим признаком равновесия материальной системы является экстремальность полной потенциальной энергии 77 системы. Полная потенциальная энергия

П — 77q + АП,

где 77q - потенциальная энергия пластины до выпучивания (к выпучиванию не имеет отношения).

Пусть перед потерей устойчивости в элементе листовой заготовки возникает однородное плоское пластическое напряженное состояние ( ах,

о у, хХу) и выполняется условие простого нагружения. Предполагается,

что изгиб, сопровождающий выпучивание, незначителен и происходит без возникновения зоны разгрузки. Тогда можно считать, что при выпучивании нагружение остается близким к простому и всюду в элементе справедливы вышеприведенные зависимости напряжений от деформации и их обратные связи. При выпучивании деформации получают малые приращения ôex, 0£у, $Уху • Нейтральную поверхность элемента можно считать совпадающей с его срединной поверхностью. При этом в первом приближении изменением первой квадратичной формы можно пренебречь [2].

Рассмотрим прямоугольную пластину с постоянной толщиной t, малой по сравнению с размерами сторон а и Ъ. Отнесем ее к координат-

ной системе главных осей анизотропии хуг. Оси х и у расположены в срединной плоскости пластины и направлены вдоль сторон а и Ъ, ось г направлена по нормали к срединной плоскости. Пусть эта пластина нагружена по краям внешними силами, равномерно распределенными по толщине и отнесенными к единице длины соответствующего края пластины. В сечениях пластины, параллельных плоскостям хг и уг, имеют место нормальные Су, <зх и касательные тху, тух напряжения. Эти напряжения

равномерно распределены по толщине t пластины, поэтому при приведении внутренних сил к срединной плоскости будут иметь место только нормальные и сдвиговые силы Ых, Иу и Тху и Тух, которые определяются следующим образом:

При потере устойчивости пластины возникает новая искривленная форма равновесия пластины. Этой новой форме равновесия соответствуют и новые значения внутренних сил. Наряду с силами N и Т, соответствующими деформациям пластины в своей плоскости, возникают и другие внутренние силовые факторы (изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы), обусловленные изгибом пластины.

По гипотезе плоских сечений получим

где 2 - расстояние точки от срединной поверхности; %х, %у, %ху - приращения кривизны и кручения срединной плоскости элемента листа.

Приращениям деформаций соответствуют приращения напряжений 8ох, 5<5у, ЬтХу. Эти величины определяют приращения изгибающих Мх,

Му, и крутящего Мху моментов на единицу длины элемента:

И2 И2

№х= Тху = \^ху^2 ’

-ґ/2 -И 2

//2 і/2

Nу — [<1 уСІя, Тух — I Тух с/я.

-И2 -і/2

(/2 И2

Мх = [ 8Схгс/г; Му = [ 5СуЯсіг;

Если принять кривую упрочнения в виде

и обозначить Ер - модуль пластичности, т.е.

Е

Р Є;

то после интегрирования соотношений (14) с учетом (15) и (16) выражения для определения приращений изгибающих Мх, Му и крутящего Мху

моментов будут иметь вид

р£

(с22Хх ~ с\2Ху) “ С1 - X

а,

1 ^ У

(спХу-спХх)-^-”)^;!

Р#

Мху = ЕР'1

2 Х*,-( 1-п)Цх

<57

Рс33

Здесь J - момент инерции площади поперечного сечения шириной, равной единице,

.3

J =

г

12

Х = <*хХх+°уХу+2їхуХху

Удельная работа деформации, т.е. работа на единицу площади срединной поверхности элемента, совершаемая изгибающими и крутящими моментами при пластическом выпучивании, когда кривизны и кручение получают приращение Хх> Ху И Хху ’ определяется так:

]¥ — [Мх^Хх + Мусі%у + 2Мхусі%ху •

Подставляя в выражение (22) соотношения (17) - (20) и интегрируя, получим

.2

1¥ = -Е^ 2 р

(с22Хх ^с12ХхХу "І" с1іХу) "* Хху (1 п) 2

Р#

Полная работа деформации, совершаемая изгибающими и крутящими моментами внутренних сил по всей площади срединной поверхности пластины, будет определяться по выражению

Ъа

Ах=их = \\і¥

00

Эта работа равна потенциальной энергии деформации изгиба и кручения пластины и\.

За пределом упругости потеря устойчивости сопровождается деформацией срединной поверхности, на которую затрачивается работа внешних сил на перемещениях контура. Кроме этой работы, контурные силы совершают работу на перемещениях точек контура в плоскости (х, у) за счет выпучивания пластины. Эта совокупная работа А2 связана с изменением потенциальной энергии деформации срединной плоскости пластины при выпучивании Д«о [6]. Можно показать, что выражения линейных и угловых деформаций срединной плоскости, обусловленных ее выпучиванием, имеют вид

_ду 1(' л2'

81—-----1--

ду 2,

д и \( дм>^

8 т —-------1

Эх 2

Эх

ди

дм?

¿У

Эу 1 Э™ Уху~ду + дх + 21к~ду’

где и, V, м? - составляющие смещения произвольной точки срединной поверхности пластины в направлении осей х,у,г. Работа А2, характеризующая изменение потенциальной энергии деформации срединной плоскости пластины при выпучивании, выражается через интенсивности внутренних сил , АГу, Тху и деформации ех, еу, уху следующим образом:

Ьа

А2 = Ли о = [ + N у2,у + ТХуУХу]<Зхс1у.

00

После подстановки в выражение (26) соотношений (25), разбив (26) на два интеграла, содержащих перемещения и, V им?, почленного интегрирования первого с использованием уравнений равновесия всех сил, действующих на элемент в проекции на оси х и у, получим

^ Ьа

А ио =Ь + -\\

00

N.

ґдм?^2

Эх

+ N

/Эи>л2

У

¿У

+ 2Г,

ху

дм? дм> Эх ду

сіхсіу;

1 = -и2.

Здесь и2 — изменение потенциала и2 внешних сил, приложенных к пластинке, связанной с работой Ь контурных сил.

Учитывая зависимости (10), (24), (27), (28), можно представить изменение А/7 полной потенциальной энергии пластины при ее выпучивании следующим выражением в системе координат х,у главных осей анизотропии:

1 Ьа А 00

^ (с22Хх ^с12ХхХу + с\\Ху) +

4 2 г

СУ;

Рс33

1 6а ^00

N.

где

Хх

'ЭиЛ2

ЧЭх J

Э2м;

+ ЛГ

'<ыл2 э>’ /

+ 27,

¿/х^/у + дм? дм?

ху

Эх Эу

с1хс1у,

Э2^

д2м?

эх2'’Ху=~ду2'’Хху= айу' Х = 0хХ*+0^+2т^Ххк-

Ищется приближенное решение ™(х,>>), обеспечивающее минимум

А/7

Функция м?(х,у) должна удовлетворять граничным условиям закрепления пластинки.

Сформулируем часто используемые граничные условия закрепления сторон пластинки.

1. Защемленный край. В этом случает для всех участков защемления прогиб

м? = 0;

угол поворота в плоскости, перпендикулярной краю

^=о,

ду

где у - расстояние в направлении нормали к защемленному краю. 2. Свободно опертый край. На контуре

м? = 0.

Кроме того, на контурной боковой поверхности

д2м?

дп2

= 0

Это условие соответствует обращению в ноль изгибающих моментов Мх или Му для свободно опертого края.

Для вычисления А/7 задаемся уравнением срединной поверхности выпучивающейся пластины в виде одного или нескольких членов ряда

121

тт—к

™ = Т,сп/п

п=1

где /п(х,у) - функции, удовлетворяющие каждая в отдельности геометрическим (граничным) условиям, налагаемых на срединную поверхность пластины устройством ее опор. Желательно, но совершенно не обязательно, чтобы совокупность взятых членов ряда удовлетворяла также и условиям силового типа, т.е. отсутствию моментов и сил по тем или иным краям пластины.

Подстановка принятого выражения в соотношение (29) дает возможность выразить изменение энергии А/7 выпучившейся пластины в виде квадратичной функции параметров сп ряда (34). Используем полученные результаты для определения нагрузки на пластину, т.е. того значения нагрузки, при котором наряду с плоской формой равновесия пластины возникает новая криволинейная форма равновесия. Общим признаком равновесия материальной системы является экстремальность полной потенциальной энергии системы.

В рассматриваемом случае равновесия выпучившейся пластины полная потенциальная энергия

П = П0+АП,

где 7/0 - потенциальная энергия пластины до выпучивания (не зависящая от параметров сп); АП - изменение потенциальной энергии при выпучивании, определяемое формулой (29).

Из условия экстремума энергии 77 следуют уравнения

ЭЯ Э/7 ЭЯ

— = 0; -— = 0; ...; -— = 0,

оС\ дс‘2 осК

которые являются уравнениями равновесия.

Полученная система линейных, однородных уравнений (36) относительно параметров с2, ..., ск имеет нулевые решения

с1 = с2 = ... = ск = 0, которые соответствуют плоской форме равновесия пластины, и отличные от нуля решения, соответствующие равновесию искривленной пластины. Последние возможны только в том случае, если определитель А системы (36) обращается в нуль. Из условия А = 0 и определяется критическое значение нагрузки, при котором становится возможным выпучивание пластины. Если взятые члены ряда (34) совпадают с истинным уравнением срединной поверхности пластины (при весьма малых перемещениях), то энергетический метод дает точное значение кри-

тической нагрузки. В противном случае, что практически и имеет место, энергетический метод приводит к критической нагрузке, несколько превышающей ее действительное значение. В случае, когда уравнение срединной поверхности пластины аппроксимируется выражением, содержа-

т п я

щим только один параметр с, уравнение — = 0 может быть заменено

Э с

непосредственным приравниванием нулю изменения полной потенциальной энергии, т.е. А/7 = 0.

Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2011 годы)», грантам РФФИ и по государственному контракту в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.

Список литературы

1. Лихницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957.

463 с.

2. Головлев В. Д. Расчеты процессов листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1974. 136 с.

3. Хилл Р. Математическая теория пластичности М.:ГИТТЛ, 1956.

408 с.

4. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984с.

5. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 3. М.: Машгиз, 1959.

1118 с.

6. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: ОГИЗ, 1948. 376 с.

S.S. Yakovlev, K.S. Remnev, А.Е. Kalashnikov

THE ENERGETICAL CRITERION OF ANISOTROPIC THIN SHEET RECTANGULAR PLATE STABILITY

The energetical criterion of stability in the form of buckling for thin sheet rectangular plate possessing flat mechanical properties anisotropy is explored.

Key words: anisotropy, energetical criterion, stability, deformation, stress, power.

Получено 17.08.11