Курс нелинейных колебаний в системе фундаментальной подготовки физиков-исследователей по образовательной программе магистратуры

педагогические науки

Рыжов Игорь Викторович, Косова Ирина Святославовна Аниськин Владимир Николаевич КУРС НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ...

УДК 378.048.2

КУРС НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ ФИЗИКОВ-ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ ПО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЕ МАГИСТРАТУРЫ

© 2018

Рыжов Игорь Викторович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики и астрономии факультета физики Косова Ирина Святославовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры факультета математики Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Аннотация. На основе анализа конвергентных моделей, объединяющих актуальные направления точных, естественнонаучных и гуманитарных наук, рассматривается дидактический и научно-исследовательский потенциал учебного курса «Теория нелинейных колебаний» с целью определения возможности его включения в учебные планы основной образовательной программы магистратуры по направлению «Физика» для повышения качества фундаментальной подготовки физиков-исследователей. По мнению авторов, данный курс может быть органически интегрирован в программу подготовки магистров и обеспечить развитие мировоззрения обучающихся. Основанием для этого служит фундаментальное отличие теории колебаний от тех учебных дисциплин, которые определяют свой предмет с позиции материальной природы исследуемого объекта. В отличие от них теория колебаний определяет свой предмет по наличию «колебательной природы» исследуемых явлений для систем различной научно-исследовательской направленности, что позволяет с определенной степенью условности считать ее базисной учебной дисциплиной, в содержание которой входит материал из разных областей знания и их теоретические и практические приложения. Отмечено значительное влияние компьютерных средств на содержание и методологию теории нелинейных колебаний, позволившее моделировать и анализировать численными методами нерешаемые аналитически задачи и способствовавшее зарождению нелинейной динамики и синергетики, как теоретической абстракции математических моделей различной направленности. Приведены сведения об использовании вузами образовательных спецкурсов по нелинейным процессам в подготовке физиков-исследователей по основным образовательным программам магистратуры, в том числе, опыт Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена, частично включающего разделы курса «Теория нелинейных колебаний» в программу спецкурса «Нелинейные уравнения математической физики» учебного плана магистратуры по направлению «Физика». В качестве вывода сделано предположение о том, что курс нелинейных колебаний может служить необходимым дополнением к программе магистратуры по направлению «Физика» и играть одну из ведущих ролей в качественной фундаментальной подготовке физиков-исследователей.

Ключевые слова: магистратура; конвергентные модели; фундаментальная подготовка магистров-физиков; традиционная теория колебаний; нелинейные колебания; численные методы; нелинейная динамика и синергетика; учебный курс нелинейных колебаний.

COURSE OF NONLINEAR VIBRATIONS IN THE SYSTEM OF FUNDAMENTAL PREPARATION OF RESEARCH PHYSICISTS ON THE EDUCATIONAL PROGRAM OF THE MASTER

© 2018

Ryzhov Igor Viktorovich, candidate of physico- mathematical sciences, assistant professor of the department of Theoretical Physics and Astronomy of the Faculty of Physics Kosova Irina Svyatoslavovna, candidate of pedagogical sciences, assistant professor of the department of Algebra of the Faculty of Mathematics Russian State Pedagogical University of A.I. Herzen

Abstract. Based on the analysis of convergent models that combine relevant areas of exact, natural sciences and humanities, the didactic and research potential of the course «The theory of nonlinear oscillations» training course is considered in order to determine the possibility of its inclusion in the curricula of the master's educational program in the direction of «Physics» to improve quality fundamental training of physicists and researchers. According to the authors, this course can be organically integrated into the master's curriculum and ensure the development of the students 'worldview. The basis for this is the fundamental difference between the theory of oscillations and those academic disciplines that define their subject from the standpoint of the material nature of the object under study. In contrast, the theory of oscillations determines its subject matter by the presence of the "oscillatory nature" of the phenomena studied for systems of various research directions, which makes it possible, with a certain degree of conditionality, to be considered as a basic academic discipline, the content of which includes material from different fields of knowledge and their theoretical and practical applications. The significant influence of computer tools on the content and methodology of the theory of nonlinear oscillations was noted, which allowed to model and analyze unsolvable analytically problems by numerical methods and contributed to the emergence of nonlinear dynamics and synergetics as a theoretical abstraction of mathematical models of various directions. Provides information on the use of educational special courses by universities in nonlinear processes in the preparation of physicists and researchers in the main educational programs of the magistracy, including the experience of the Russian State Pedagogical University. of A.I. Herzen, partially including the sections of «The theory of nonlinear oscillations» course in the program of the special course Nonlinear Equations of Mathematical Physics of the Master's curriculum in the direction of «Physics». As a conclusion, it was suggested that the course of nonlinear oscillations can serve as a necessary complement to the master's program in the direction of «Physics» and play a leading role in the qualitative fundamental training of physicists and researchers.

Keywords: magistracy; converged models; fundamental training of master physicists; traditional theory of oscillations; nonlinear oscillations; numerical methods; nonlinear dynamics and synergy; nonlinear oscillation training course.

Постановка проблемы в общем виде и ее связь с важ- ными научными и практическими задачами.

Ryzhov Igor Viktorovich, Kosova Irina Svyatoslavovna, Aniskin Vladimir Nikolaevich COURSE OF NONLINEAR VIBRATIONS IN THE SYSTEM OF FUNDAMENTAL ..

pedagogical sciences

В настоящее время в точных науках весьма интенсивно формируются конвергентные модели, объединяющие в себе не только актуальные направления физики, математики, информатики, химии, биологии, а и некоторых гуманитарных наук [1]. Рассматривая исторические аспекты развития естественнонаучных учебных дисциплин, можно наблюдать тенденцию перехода от дифференциации к интеграции наиболее актуальных разделов науки [2]. Для отображения данной тенденции в системе университетского физического образования, в частности, на уровне магистратуры по направлению «Физика», наиболее эффективным было бы строить такой учебный процесс, который складывается из объединённых, по строго определённой конвергентной модели, дисциплин.

Тем самым можно обеспечивать, вследствие эффекта мультипликативности, существенное повышение научного уровня подготовки физиков-исследователей по основным профессиональным образовательным программам магистратуры. В этом случае важно определить такой раздел знаний, изучение которого аккумулировало бы в себе, по определённым признакам, подчиняющиеся ему естественнонаучные дисциплины. При этом, соответствующий учебный курс, обладая богатством закономерностей разных дисциплин, будет существенно развивать мировоззрение студентов, обучающихся в магистратуре. По нашему мнению, в подготовке магистров по направлению «Физика» таким разделом, удовлетворяющим сформулированным выше требованиям, может служить учебный курс «Теория нелинейных колебаний» [3]. Почему же именно такой курс необходим для фундаментальной подготовки будущих магистров-физиков, и в каком ракурсе его строить?

Анализ последних исследований и публикаций, в которых рассматривались аспекты этой проблемы и на которых обосновывается автор; выделение неразрешенных раньше частей общей проблемы.

Как известно, начиная с середины XX века, теория нелинейных колебаний всё больше проникает во многие области человеческого знания, чему всемерно способствуют достижения научно-технического процесса. Естественным результатом такого проникновения является модернизация некоторых существующих учебных курсов, например, математики и физики, что подчеркивает, как это отмечается в работах [1; 3-7] тенденцию к их возрастающей интеграции.

Актуальность и значимость введения в учебный процесс университетской магистратуры по направлению «Физика» курса «Теория нелинейных колебаний» заключается в следующем. Как известно, большинство научных дисциплин определяют свой предмет с позиции материальной природы исследуемого объекта. Фундаментальное отличие теории колебаний состоит в том, что ее предмет определяется по другому принципу, а именно, по наличию «колебательной природы» исследуемых явлений [8], несущей в себе закономерности для систем различной научно-исследовательской направленности таких, как: физика, химия, биология, психология, социология, экономика и т.д.

Таким образом, колебательная теория выступает как некая базисная дисциплина, привлекающая материал из разных областей знания, в том числе, и, их теоретических и практических приложений. Основоположником данной идеи, а именно, теории колебаний как «интернационального языка», которым могут пользоваться представители различных наук, выступал один из основателей отечественной научной школы по радиофизике Л.И. Мандельштам [9; 10].

Формирование целей статьи (постановка задания).

На основании приведенных рассуждений цель нашей статьи можно определить как изучение дидактического, учебно- и научно-исследовательского потенциала курса «Теория нелинейных колебаний» и определение его содержания для решения задач фундаментальной подго-

товки физиков-исследователей в процессе их обучения в педагогическом университете по основной образовательной программе магистратуры.

Изложение основного материала исследования с полным обоснованием полученных научных результатов.

В силу растущих практико-ориентированных потребностей конкретных научных дисциплин теория колебаний бурно развивалась и обогащалась примерами сложных колебательных систем. Особым катализатором этого развития стало появление и распространение компьютерных средств, которые оказали существенное влияние на содержание и методологию теории нелинейных колебаний. Например, нерешаемые аналитически задачи оказалось возможным моделировать и анализировать численными методами. При этом обнаружились закономерности, характеризующиеся сложной временной зависимостью динамических переменных, обладающих высокой чувствительностью к малым возмущениям начальных условий. Данное явление получило название динамического хаоса и потребовало привлечения широкого арсенала новых математических идей, что вызвало появление передовых синтетических научных дисциплин, тесно связанных с теорией нелинейных колебаний.

Так возникли нелинейная динамика и синергетика, как некоторая теоретическая абстракция математических моделей различной направленности. Появилась универсальная техника приближенного решения нелинейных колебательных систем (Крылова-Боголюбова-Митропольского [11]), была доказана теорема о сохранении инвариантов (теория Колмогорова-Арнольда-Мозера [8]), и, наконец, возникло определение нового свойства нелинейных систем - динамическая энтропия Колмогорова-Синая [12; 13], которая, будучи новым инвариантом системы, отражает в количественной форме возможность нелинейных систем совершать фазовые движения с перемешиванием.

Расширяя предмет исследования по сравнению с традиционной теорией колебаний, можно рассматривать, наряду с временными, еще и пространственные зависимости динамических переменных и в этом случае будет целесообразно говорить уже о распределенных системах [14]. Характерный пример таких систем представляют, например, задачи гидродинамики (в том числе, волновые) и тепломассообмена в сплошных средах, когда мгновенное состояние системы задается непрерывным распределением величин (скорости, плотности, температуры и т.д.) в некоторой области пространства. При этом сводить динамику такого рода систем к колебаниям ограниченного числа переменных допустимо лишь в специальных случаях. Например, распространяющийся в пространственно-распределенной среде колебательный процесс есть не что иное, как волна. Поэтому, обращаясь к рассмотрению колебаний в таких системах, мы приходим к теории волн и диффузии. Такой переход сопровождается радикальным усложнением решаемых задач. Однако вся методологическая основа теории колебаний остается в силе [15; 16]. При этом важно отметить, что в настоящее время все линейные закономерности, рассматриваемые научным сообществом, являются частным случаем более сложных нелинейных колебательных систем.

В настоящее время, в ряде вузов, готовящих физиков-исследователей по основным образовательным программам магистратуры, в учебном процессе используются образовательные спецкурсы, ориентированные на новые разделы знаний, связанные с нелинейными процессами. Можно также отметить, что данные курсы и их разделы частично задействованы в программах физического образования большинства вузов. Так, например, в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена предлагаемые разделы курса «Теория нелинейных колебаний» частично включены в программу спецкурса «Нелинейные уравнения математической физики» учебного плана магистратуры по на-

194

Azimuth of Scientific Research: Pedagogy and Psychology. 2018. Т. 7. № 4

педагогические науки

Рыжов Игорь Викторович, Косова Ирина Святославовна Аниськин Владимир Николаевич КУРС НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ...

правлению «Физика».

Приведём, как пример, варианты разделов предлагаемого курса:

1. Нелинейность колебательных систем с позиций её природы и характеристик (однородные и неоднородные гамильтоновы и диссипативные системы; неизохор-ность; комбинационные составляющие; ангармоничность и генерация гармоник; особые точки, предельные циклы, бифуркации; бистабильность, мультистабиль-ность; динамический хаос).

2. Гамильтоновы колебательные системы (осцилляторы с квадратичной и кубической нелинейностью, приведение уравнений к безразмерному виду; фазовая траектория, потенциальная энергия и особые точки колебательного процесса; асимптотические методы приближённого решения; численные методы вычислений Рунге-Кутта; к чему приводит неоднородность Гамильтоновой системы, резонанс, параметрический резонанс; примеры моделей Гамильтоновых колебательных систем).

3. Диссипативные колебательные системы (автоколебания, нелинейный резонанс, бифуркации при нелинейном резонансе; фазовый портрет, предельные циклы, особые точки, сечение Пуанкаре; биения, синхронизация, бифуркации, сопровождающие возникновение синхронизации; примеры диссипативных колебательных систем).

Выводы исследования и перспективы дальнейших изысканий данного направления.

Обобщая вышеизложенное, можно сделать вывод о том, что учебный курс «Теория нелинейных колебаний», содержание разделов которого будет наполнено приведёнными нами темами, может рассматриваться как необходимое дополнение к основной образовательной программе магистратуры по направлению «Физика» и программам физического образования, и занимать одно из центральных мест в качественной фундаментальной подготовке физиков-исследователей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Ковальчук М.В. Конвергенция наук и технологий — прорыв в будущее // Российские нано технологии, электронный журнал (www. nanorf.ru). 2011. Т. 6. № 1-2. С. 13-23.

2. Грабов В.М., Семенова Е.Ю. Учебный курс «История физики»: дифференциация и интеграция наук в историческом процессе развития научного естествознания // Физика в системе современного образования (ФССО-12): сборник материаловXIIмеждународной научной конференции. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2013. Т. 2. С. 286-288.

3. Рыжов И.В., Грабов В.М., Васильев Н.А., Тюканов А.С. О развитии теории нелинейных колебаний и ассимиляции в различных областях знаний // Физика в системе современного образования (ФССО-13): сборник материалов XIII международной конференции. Санкт-Петербург, 1-4 июня 2015 г. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2015. Т. 1. С. 177-180.

4. Васильев Н.А., Грабов В.М., Рыжов И.В., Тюканов А.С. О современной математике для физического образования // Физика в системе современного образования (ФССО-13): сборник материалов XII международной конференции. Санкт-Петербург, 1-4 июня 2015 г. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2015. Т. 2. С. 322-323.

5. Рудой Ю.Г., Санюк В.И. Необходимость обзорного курса современной математики в физическом образовании // Физика в системе современного образования (ФССО-13): сборник материалов XIII международной конференции. Санкт-Петербург, 1-4 июня 2015 г. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2015. Т. 2, С. 338-341.

6. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение: Учебное пособие. М.: КомКнига, 2006. 208 с.

7. Рыжов И.В., Косова И.С., Васильев А.А., Аниськин В.Н. Метод отображений Пуанкаре в исследовании нелинейных динамических систем //Вестник ПГСГА: ФМФИ. Вып.УШ. Самара: ПГСГА, 2013. С. 49-55

8. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / под ред. Ю.Л. Климонтовича. М.: Мир, 1985. 424 с.

9. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 512 с.

10. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов / под ред. С.М. Рытова. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1950. Т. 1, 2, 3.

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

12. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматгиз, 1995. 208 с.

13. Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию. М.: ФАЗИС, 1996. 132 с.

14. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

15. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики: Учебное пособие. М.: Наука, 1995. 208 с.

16. Абиев Р.Ш. Вычислительная гидродинамика и тепломассообмен. Введение в метод конечных разностей: Учебное пособие. СПб.: Изд. НИИ Химии СПбГУ, 2002. 576 с.

Статья поступила в редакцию 25.10.2018 Статья принята к публикации 27.12.2018