Алгоритмы комплексной обработки в задаче коррекции показаний навигационных систем при наличии нелинейных измерений

УДК 681.51

АЛГОРИТМЫ КОМПЛЕКСНОЙ ОБРАБОТКИ В ЗАДАЧЕ КОРРЕКЦИИ ПОКАЗАНИЙ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Мансур Мостафа Элсайед Элсайед, О. А. Степанов

Проанализированы основные варианты решения задачи коррекции показаний навигационных систем при условии, если корректирующие измерения нелинейным образом зависят от оцениваемых навигационных параметров. Обсуждены соответствующие алгоритмы и свойства получаемых оценок. Значительное внимание при этом уделяется комплементарному фильтру, получившему широкое применение.

Ключевые слова: комплементарный фильтр, комплексная обработка, коррекция показаний навигационных систем, нелинейные измерения.

Введение. При обработке навигационных измерений нередко возникает задача их комплексирования (интеграции) [1-11]. Когда один и тот же навигационный параметр измеряется несколькими датчиками или системами, широкое применение получает прием, основанный на формировании разностных измерений. Особенно эффективным он оказывается в случае, когда данные от датчиков или систем линейным образом зависят от отыскиваемого параметра и удается сформировать разностные измерения таким образом, чтобы они не содержали подлежащий оцениванию полезный сигнал. Используя эти измерения, решается задача оценивания ошибок одного измерителя на фоне ошибок другого измерителя, а искомый навигационный параметр формируется путем коррекции показаний одного из датчиков с учетом уточненных значений ошибок. Потребность в использовании такой схемы (алгоритма, фильтра) возникает в тех ситуациях, когда не удается ввести какой-либо обоснованной модели для оцениваемого вектора навигационных параметров. В линейном случае оказывается, что ошибка оцениваемого параметра от него не зависит (инвариантна). В различных источниках эта схема называется по-разному: инвариантная схема или метод получения инвариантных оценок [1], принцип распределения информации [3], метод компенсации [4], комплементарный фильтр [2, 5]. Последний термин (англ. complimentary), используется в русскоязычной литературе достаточно часто [12 - 15]. При этом заложенный в него смысл, обоснованный в работах [2, 5], передается не всегда достаточно верно. Суть же этого термина, как, впрочем, и самого комплеметарного фильтра, заключается в том, что при его использовании удается компенсировать неизбежно возникающие (наряду с подавлением помехи) при обработке данных от одного измерителя искажения самого оцениваемого параметра. Это достигается путем обработки данных от другого измерителя таким образом, чтобы не только «подавить» его ошибки, но и ликвидировать

искажения полезного сигнала, внесенные при обработке данных от первого измерителя, т.е. должным образом дополнить искаженный сигнал. Как показано в работе [2], именно это и достигается в линейном случае с помощью комплементарного фильтра, использующего разностные измерения.

Заметим, что при наличии существенно нелинейных измерений, т.е. таких, которые не допускают линеаризованного их представления с приемлемой точностью, не удается непосредственно сформировать разностные измерения, не зависящие от оцениваемого навигационного параметра [2, 10, 11, 16]. В этом случае можно реализовать идею комплементарного фильтра, понимая под этим возможность замены исходной задачи оценивания искомого навигационного параметра (не требующую привлечения какой-либо о нем информации) на вспомогательную задачу оценивания ошибок одной системы на фоне ошибок другой системы с последующей коррекцией показаний одной из систем.

Обычно в работах, посвященных использованию комплементарных фильтров, основное внимание уделяется вопросам сокращения вычислительной загрузки при их реализации. Вместе с тем, интерес представляют и вопросы, касающиеся свойств получаемых оценок и их точности. При этом важно не только умение анализировать точность в камеральном режиме, но и получение текущих характеристик точности непосредственно в ходе решения задачи, что весьма актуально при обработке навигационной информации. Следует заметить, что трудности в получении ответа на эти вопросы появляются лишь в случае, когда предполагается использование нелинейных измерений. Одной из задач, в которой возникает потребность применения комплементарного фильтра при наличии таких измерений, является задача коррекции показаний навигационной системы (НС).

Цель настоящей работы заключается в выявлении свойств оценок, формируемых при использовании комплементарного фильтра в задаче коррекции показаний НС при наличии нелинейных измерений.

Следует заметить, что реализация идеи комплементарной фильтрации в принципе возможна в рамках как стохастического, так и детерминированного подходов. Так, в работах [12 - 15] обсуждаемая проблема рассматривается в рамках детерминированного подхода, построения специального вида наблюдателей и анализа их точности. Принимая во внимание, что в задачах обработки навигационной информации традиционно используется стохастический подход, обсуждение затронутых вопросов проводится с этих позиций.

Постановка задачи коррекции показаний навигационных при наличии нелинейных измерений и анализ алгоритмов ее решения при различном уровне априорной информации. Рассмотрим постановку задачу коррекции в следующей упрощенной форме. Пусть имеются показа-

90

ния навигационной системы (НС) у1, вырабатывающей информацию об п -мерном векторе навигационных параметров X, и показания у11 некоторого корректирующего датчика, представляющие собой т -мерный вектор, которые могут быть представлены в виде

у1 = X + Л/ ;

у1 = 5

где у1, Лу1 - п -мерные векторы показаний навигационной системы (НС) и ее ошибок; у11, Лу11 - т -мерные векторы показаний корректирующего средства и его ошибок; 5(X) - известная т -мерная, в общем случае нелинейная, векторфункция п -мерного векторного аргумента.

Ставится задача: используя измерения (1), (2) и имеющуюся априорную информацию статистического характера о векторах, X, Лу1, Лу11, найдём оценку неизвестного вектора X и по возможности некоторую характеристику, позволяющую оценить ее точность.

Легко убедиться, что к такой постановке сводится, например, задача определения координат путем комплексной обработки показаний некоторой НС, вырабатывающей двумерные координаты подвижного объекта на плоскости, и измерений дальностей до точечных ориентиров с известными координатами. Обычно эта задача трактуется как задача коррекции показаний этой системы, а измерения дальностей рассматриваются как измерения, позволяющие откорректировать эти показания [8]. Такая трактовка задачи в какой-то степени предопределяет алгоритм ее решения, основанный на использовании комплементарного фильтра, в котором как раз и предполагается оценивать ошибки одного измерителя с последующей коррекцией показаний другого измерителя.

Прежде чем обсуждать особенности построения комплементарного фильтра и получаемых с его помощью оценок, рассмотрим возможные традиционные варианты решения этой задачи комплексной обработки в зависимости от априорной информации о векторах, X, Лу1, Лу11 и обсудим соответствующие им алгоритмы и свойства получаемых при этом оценок.

Помимо случая нелинейных измерений (2), особо выделим случай, когда эти измерения линейны и могут быть записаны в виде

у11 = Ш + Лу11,

где Н - т х п известная матрица.

Вариант 1. Полагаем, что какая-либо априорная информация о векторах X, Лу1, Лу11 отсутствует. В этом случае для решения задачи можно использовать метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому оценка X отыскивается путем минимизации следующего критерия:

1мнк (7) = arg min {(у7 - (у7 - X) + (у77 - s(X))7 (у77 - s(X))},

где Y = ((y1 )r,(y11 ) - составной вектор измерений.

Для нахождения оценки X в общем нелинейном случае требуется привлечение численных методов.

Если измерения (2) линейные, то выражение для оценки ее ошибки могут быть представлены в виде

Xмнк (Y) = (E + Hт H )-1 (y1 + Hт у11), емнк = X - Xмнк (Y) = (Е + HтH )-1 (Ау7 + HтАу11).

Поскольку информация о свойствах ошибок Ау7, Ау77 отсутствует,

то не удается оценить уровень ошибок оценок емнк (Y) = X - Xмнк (Y) и выработать какие-либо характеристики точности. Тем не менее, можно констатировать, что ошибки не зависят от искомого вектора X.

Вариант 2. Предполагается, что Ау], j = 7, 77 - случайные векторы с известной совместной функцией плотности распределения вероятности (ф.п.р.в.), а априорная информация о векторе X, как и ранее, отсутствует.

В этом случае задача оценивания может быть решена в рамках небайесовского подхода, например, опираясь на широко применяемый метод максимума функции правдоподобия (МФП). Согласно этому методу в качестве оценки вектора X выбирается такое его значение, которое максимизирует функцию правдоподобия, т.е.

1мфп

где f(Y / X) - функция правдоподобия для составного вектора измерений Y.

В качестве характеристики точности получаемой таким образом оценки в рамках небайесовского подхода используется матрица ковариа-ций, определяемая как

Рмфп (X) = MY / X {e мфп (Y )(емфп (Y ))T,

где емфп (Y) = X - Xмфп (Y), а MY/X - знак математического ожидания, соответствующего ф.п.р.в. f (Y / X).

Заметим, что эта матрица может быть использована лишь для решения задачи анализа точности, выполняемого заранее. В качестве текущей характеристики точности эта матрица мало пригодна, поскольку она должна вычисляться при известном значении вектора X , которое собственно и подлежит оцениванию.

Предположим, что ошибки центрированы и независимы между собой. В этом случае для функции правдоподобия можно записать следующее выражение:

/

где /у (•) - ф.п.р.в. для векторов ошибок Лу], ] = I, II .

Таким образом, для того чтобы конкретизировать алгоритм МФП, получаемый в рамках небайесовского подхода, необходимо задаться ф.п.р.в. для ошибок измерения. Например, если ошибки гауссовские и представляют собой центрированные векторы с невырожденными матрицами ковариаций Я], ] = I, II, то, переходя к максимизации логарифма функции правдоподобия, выражение для оценки можем записать в виде

X мфп (у) = а^шт1 X 2

I V1, .I

Решение задачи нахождения оценки (6) существенно упрощается, если измерение (2) линейно и имеет, например, вид (3).

В этом случае нетрудно получить выражение для оценки вектора X и матрицы ковариаций ее ошибок [8]:

1 мфп

Рмфп =

Полученная таким образом оценка для случая линейных измерений обладает очень важным свойством несмещенности. Напомним, что в рамках небайесовского подхода оценка называется несмещенной, если

Му/XX(У) = X . Представим оценку (7) в виде

1мфп (У) = ((Я )-1 + Нт (Я" )-1 Н)-1 ((Я )-1 y1 + Нт (Я" )-1 у") = K1y1 + Кпуп, (9) где

К1 =

К11 =

Принимая во внимание вид измерений (3), можем записать

мфп (У) = (К1 + К11Н) X + К1 Лу1 + К11 Лу11 = X + К1 Лу1 + К11 Лу11. (12) Таким образом, очевидно, что оценка (7) является несмещенной, а ее ошибка не зависит от вектора X, т.е. по отношению к нему инвариантна. Последнее равенство следует из того факта, что (К1 + К11 Н) = Е и именно оно обусловливает несмещенность оценки, поскольку обеспечивает неискажение оцениваемого сигнала при обработке измерений. В этом смысле можно говорить об инвариатности алгоритма и вырабатываемых им оценок.

Ясно, что поскольку ошибка оценки в линейном случае не зависит от вектора X, этим же свойством обладает и матрица ковариаций (8). Более того, можно показать, что оценка (7) в линейном гауссовском случае будет эффективной, т.е. эта матрица ковариаций будет совпадать с матрицей нижней границы по Рао-Крамеру, соответствующей небайесовской постановке задачи [8].

В случае нелинейных измерений для нахождения оценки (6) путем отыскания экстремума функции (5) также требуется привлекать численные методы. В общем случае получаемая оценка не обладает свойством несмещенности, и в этом смысле она не является инвариантной относительно вектора X.

Замечание 1. Требование об известном виде совместной ф.п.р.в. для векторов ошибок можно заменить на менее жесткое требование об известных значениях первых двух моментов - математических ожиданий и матриц ковариаций. В этом случае можно ставить задачу нахождения оценок, минимизирующих Рмфп(X) в классе линейных оценок [8, 17]. В настоящей работе этот вариант в силу ограниченности объема работы не обсуждается. Вместе с тем, можно заметить, что в линейном случае для случая центрированных, не обязательно гауссовских, ошибок такой алгоритм будет совпадать с алгоритмом (7).

Вариант 3. Наряду с терминами «инвариантные» схемы обработки при построении алгоритмов нередко используется термин «неинвариантная» схема или алгоритм [8, 18]. Для уточнения смысла этого термина обсудим еще один возможный вариант построения алгоритма решения сформулированной выше задачи.

Предположим, что все векторы, входящие в измерения, включая вектор X, случайны и для них задана совместная ф.п.р.в. В этом случае при решении задачи может быть использован байесовский подход, с помощью которого может быть найдена оптимальная в среднеквадратиче-ском смысле оценка, минимизирующая матрицу ковариаций их ошибок. Выражение для такой оптимальной оценки и условной матрицы ковариаций ее ошибок определяется, как известно, в виде [11]

где £в (X^) = (X - XB (У)), а представляет собой апостериорную, условную к измерениям ф.п.р.в.

PB (у) = | £B (X, Y)(£в (X, Y))г f (X / Y)dX ,

f

fy

Н fyy' (у7 - X)fyf (У77 - *(X^

Матрица ковариаций (14) может быть использована как текущая характеристика точности для оценки (13), которая и обеспечивает минимизацию этой матрицы. При анализе же точности, осуществляемом в камеральном режиме, используется так называемая безусловная матрица кова-риаций, определяемая как

Ов = | | ев (X, У)(ев (X, У))Т /(X / У)/(У)сКс[У .

Для получения конкретных алгоритмов в рамках байесовского подхода используют различные способы аппроксимации апостериорной плотности [11]. При линейном гассовском характере ошибок получаем алгоритм фильтра Калмана для простейшей задачи оценивания случайного вектора X по измерениям (1) и (3) [5, 6, 8].

Следует подчеркнуть, что в отличие от предыдущего случая оценка (13) всегда является несмещенной. При этом следует помнить, что несмещенность в рамках байесовского подхода определяется по иному, т.е. требуется выполнение условия МУ)Св (У) = X, где X - априорное математическое ожидание. В то же время, если записать выражение для ошибки оценки, например для линейного гауссовского случая, можно убедиться, что эта ошибка будет зависеть от вектора X. Таким образом, оценка не обладает свойством инвариантности, под которым в данном случае понимается независимость ошибки оценки от вектора X. В связи с этим постановки задач и вытекающие их них алгоритмы, в которых сами навигационные параметры предполагаются случайными, относят к неинвариантным постановкам и алгоритмам [18 - 21].

Решение задачи с использованием комплементарного фильтра. Обсудим решение задачи оценивания X, которое получается при использовании комплементарного фильтра. Идеологию построения соответствующего ему алгоритма можно обосновать с позиций принципа распределения информации [2, 3]. Согласно этому принципу часть измерений может трактоваться как измерения, а часть - как известные входные сигналы. Применительно к рассматриваемой задаче такое разделение делается, как правило, в условиях, когда отсутствует априорная информация о векторе навигационных параметров X. При этом в качестве входного сигнала выбирается измерение (1). В этом случае измерение (2) может быть представлено в виде

у11 = 5

где у1 - входной сигнал, а Лу1, Лу11 - ошибки измерения.

Располагая измерением (1), задачу нахождения оценок X можно решить в два этапа.

Сначала решается задача нахождения оценки Ау' по измерениям

(16), а затем отыскивается оценка вектора X с использованием соотношения

X = у7 -Ау7.

Заметим, что именно два таких этапа предполагаются при построении комплементарного фильтра [2, 5].

Отличительная особенность комплементарного фильтра заключается в том, что вместо оценивания искомого вектора X на первом этапе решается задача оценивания ошибок одного измерителя Ау 7 на фоне ошибок другого измерителя Ау 77 .

Нахождение оценки Ау7 по измерениям (16) при реализации ком-племетарного фильтра может осуществляться так же, как и в случае с использованием различных подходов, в зависимости от уровня априорной информации.

Если полагать, что априорная информация об ошибках отсутствует, то в этом случае можно использовать, например, МНК и находить оценку Ау7 по измерениям (17) путем минимизации критерия

Ау7 ""(У) = а^шт {(у77 - .(у7 -Ау7))Т (у77 - .(у7 -Ау7))}.

Ау *

Наиболее часто обсуждаемая схема в задачах обработки навигационной информации используется, когда предполагается, что ошибки измерения случайны и имеется априорная информация о них в виде ф.п.р.в. fyyl (•), ] = 7,77 .

Рассмотрим именно этот случай более подробно. При принятых предположениях задача нахождения оценивания Ау7 по измерениям (16) может решаться в рамках байесовского подхода, поскольку для этого есть все основания: входящие в правую часть измерений (16) ошибки Ау7, Ау77 случайны и считаются известными их ф.п.р.в. Для получения байесовской оценки Ау7в (У) необходимо использовать апостериорную плотность следующего вида:

ЯА , / „ fy1

Удобство описанной схемы, основанной на использовании комплементарного фильтра, заключается в том, что задача оценивания сводится к оцениванию ошибок одного измерителя Ау' на фоне ошибок другого измерителя Ау77, и при этом не требуется какая-либо информация о векторе оцениваемых навигационных параметров. Особо наглядно это проявляется для линейных измерений вида (3), т.е. когда

у'' = НХ + Ду''.

В этом случае выражение (16) примет вид

у11 = Ну1 - НДу1 +ДуП .

Поскольку у1 считается входным сигналом, то известные значения Ну1 можно перенести в левую часть и сформировать разностные измерения

у = у11 - Ну1 = -НДу1 + Ду'' .

С использованием разностных измерений (21) нетрудно получить выражение для оценки Ду1 в виде

Ду1 = -((Я' )-1 + Нт (Я11 )-1 Н)-1 Нт (Я11 )-1 (у11 - Ну') и таким образом оценку XX можем сформировать как

X = у1 +

Обсудим связь оценки (22), вырабатываемой комплементарным фильтром, с оценками, рассмотренными в предыдущем разделе. Сделаем это сначала для линейного случая.

Если в (22) вынести ((Я1) + Нт (Я1') Н) за скобку, то убеждаемся, что эта оценка совпадает с оценкой (7), соответствующей максимуму функции правдоподобия.

Заметим, что такое совпадение является следствием более общего факта, суть которого заключается в совпадении (с точностью до соотношения X = у1 -Ду1) векторов, соответствующих экстремуму функции правдоподобия (5) и функции, определяющей апостериорную плотность (18), для случая гауссовских ошибок измерения.

Из вышесказанного вытекает следующий весьма важный вывод.

Оценка, соответствующая комплементарному фильтру, при га-уссовском характере ошибок используемых измерений (1), (2) совпадает с оценкой МФП.

Из этого вывода вытекает важное следствие, гласящее о том, что свойства оценок, вырабатываемых комплементарным фильтром, совпадают со свойствами оценок, соответствующих МФП для измерений (1) и (2).

Отсюда, в частности, следует, что в линейном гауссовском случае оценка, формируемая комплементарным фильтром, является несмещенной эффективной оценкой, матрица ковариации которой совпадает с нижней границей по Рао-Крамеру.

При негауссовском же характере ошибок в линейном случае можно гарантировать лишь несмещенность оценок, вырабатываемых комплементарным фильтром.

Отличительное свойство комплементарного фильтра обеспечение несмещенности оценки, или воспроизведение оцениваемого параметра без искажений, наглядно иллюстрируется для случая двух измерителей, обеспечивающих однотипные данные вида (1), т.е. когда Н = Е. В этом случае

в соотношении (12) будет выполнено равенство (К1 + К11) = Е, которое собственно и обеспечивает «дополнение» искаженного параметра при обработке первого измерения до его истинного значения путем соответствующей обработки второго измерения.

При наличии нелинейных измерений не выполняется даже свойство несмещенности. Таким образом, в этом случае, как и при использовании метода МФП, нельзя говорить об инвариантности оценок.

Блок-схема, соответствующая комплементарному фильтру для нелинейного случая, приведена на рисунке.

Комплементарный фильтр для измерений

у1 = X + А/; у11 = s(X) + Ау11

Замечания 2. Полученные выводы легко обобщить и для случая, когда наряду с измерениями (1) имеется набор измерений вида (2), т.е. для случая, когда кроме (1) имеются измерения

у; = 5,

где у" , Ау1 - т -мерные векторы показаний корректирующего средства и его ошибок; (X) - т, -мерные, известные в общем случае нелинейные

функции , = 1, к, к - общее количество дополнительных средств коррекции.

Частным случаем такой задачи является задача комплексной обработки показаний однотипных навигационных систем, вырабатывающих одни и те же параметры, например, координаты объекта. В этом случае

(X) = X, ; = 1, к, и реализация идеи комплементарной фильтрации сводится к формированию к измерений следующего вида:

у = у1; - у1] =-ДуУ +ДУ, у=й,

решению задачи оценивания Ду' и последующей коррекции показаний измерителя (1).

Поскольку все измерения одинаковы, здесь в полной мере проявляется условность трактовки задачи комплексной обработки как задачи коррекции показаний одной системы по данным другой системы. Фактически цель заключается в комплексной обработке всех измерений для определения координат объекта. В случае гауссовского характера ошибок измерения и отсутствия информации от вектора X для нахождения оценки координат целесообразно использовать алгоритм, обеспечивающий максимизацию функции правдоподобия и нахождение эффективной несмещенной оценки, достигающей нижней границы точности по Рао-Крамеру. Комле-ментарный фильтр, использующий измерения (24), является в данном случае удобной в вычислительном отношении процедурой нахождения этой оценки. Заметим, что использование первого измерителя в качестве корректируемой системы здесь условно, поскольку любое из измерений (24) может выступать в этом качестве. Общее решение при этом будет одинаковым в силу совпадения этой оценки с оценкой, соответствующей МФП.

Замечания 3. Выше была рассмотрена задача коррекции в предположении, что вектор навигационных параметров X постоянный и имеются разовые корректирующие измерения. Все сказанное нетрудно обобщить и на динамический случай. Действительно, пусть имеются измерения

у' = X, + Ду!;

у' = в,

где Xl, у,, Ду' - оцениваемые навигационные параметры, показания навигационной системы и ее ошибки; в, (X,) - известная т-мерная вектор-

функция, определяемая видом корректирующих измерений; Ду'' - т-мерный вектор ошибок измерения.

Согласно принципу распределения информации можем сформировать измерение

у' = в,

Введя описание для ошибок Dy1, Dy11 с помощью формирующих фильтров, так как это описано, например, в [8], можем построить компле-

метарный фильтр, включающий баейсовский алгоритм оценивания Dy1 по измерениям (27) и последующую коррекцию показаний НС (25). Теперь, если ввести составные векторы X\ = (Xf,X2, ...XT)T,

(y )J =( (yT, yf ...yT )T )J, (Dy1 )j =( (DyT, DyT ...DyT )T ), j = I, II, включающие значения соответствующих векторов во все дискретные моменты времени, то нетрудно эту динамическую задачу свести к рассмотренной выше задаче оценивания постоянного вектора X1. Таким образом, все выводы, сделанные выше, сохраняются и для случая решения динамической задачи.

Заключение

1. В рамках стохастического подхода проанализированы основные варианты решения задачи коррекции показаний НС при условии, когда корректирующие измерения нелинейным образом зависят от оцениваемых навигационных параметров. Обсуждены соответствующие им алгоритмы и свойства получаемых оценок. Основное внимание уделено случаю, когда информация об оцениваемом векторе навигационных параметров отсутствует.

2. Рассмотрен комплементарный фильтр, получаемый на основе применения принципа распределения информации. Установлен факт совпадения комплементарного фильтра с алгоритмом, соответствующим методу максимума правдоподобия, при гауссовском характере ошибок измерения.

3. Показано, что в силу установленного соответствия в линейном гауссовском случае оценка, формируемая комплементарным фильтром, является несмещенной эффективной оценкой, матрица ковариации которой совпадает с нижней границей по Рао-Крамеру.

4. Отмечено, что при негауссовском характере ошибок в линейной случае можно гарантировать лишь несмещенность оценок, вырабатываемых комплеметарным фильтром, что и обосновывает название «инвариантная схема», нередко используемое применительно к комплементарному фильтру.

5. Отмечено, что в случае нелинейных измерений свойство несмещенности не выполняется, что делает неоправданным использование в этом случае термина инвариантный алгоритм применительно к комплементарному фильтру.

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-29-00160).

Список литературы

1. Челпанов И.Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных систем. М.: Наука, 1967.

2. Brown R.G. Integrated navigation systems and Kalman filtering a perspective II Navigation, USA. '1972- 1973. V.19 .N 4.

3. Красовский А. А., Белоглазов И.Н., Чигин Г.П. Теория корреляционно-экстремальных навигационных систем. М.: Наука, 1979. 448 с.

4. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь, 1985.

5. Brown R.G., Hwang Patrick Y. C. Introduction to random signals and applied Kalman filtering // John Wiley & Sons. New York, 1997.

6. Grewal M.S., Andrews A.P. Kalman filtering: Theory and practice using Matlab, John Wiley & Sons, Ltd. 2001.

7. Дмитриев С.П., Степанов О.А., Кошаев Д.А. Исследование способов комплексирования данных при построении инерциально-спутниковых систем // Гироскопия и навигация. 1999. N3. С. 36 - 52.

8. Степанов О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1. // Введение в теорию фильтрации. Санкт-Петербург, 2010. 509 с.

9. Gibbs, Bruce P. (2011) Advanced Kalman Filtering, Least-Squares and Modeling: A Practical Handbook // John Wiley&Sons, Inc.

10. Дмитриев С.П., Степанов О.А. Нелинейные алгоритмы комплексной обработки избыточных измерений // Изв. РАН. 2000. No 4. С. 52 - 61.

11. Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. 2003. Санкт-Петербург, 370 с.

12. A complementary filter for attitude estimation of a fixed-wing UAV / M. Euston, P. Coote, R. Mahony, Kim Jonghyuk // International Conference on ntelligent Robots and Systems, 2008. IROS 2008. IEEE/RSJ Nice, 2008. P. 340 - 345.

13. Robert Mahony, Tarek Hamel, Jean-Michel Pflimlin. Non-linear complementary filters on the special orthogonal group // IEEE. 2008. 53 (5), p. 1203 -1217.

14. Oliveira Discrete-Time Complementary Filters for Attitude and Position Estimation: Design, Analysis and Experimental Validation / J.F. Vasconcelos, B. Cardeira, C. Silvvestre, P. // Control Systems Technology. IEEE Transactions on (V 19), 2011, P. 181 - 198.

15. Madgwick S., Harrison A., Vaidyanathan R. Estimation of IMU and MARG orientation using a gradient descent algorithm // Rehabilitation Robotics (ICORR), Zurich, 2011.

16. Мансур Мостафа Эл. Эл., Степанов О.А. Комплементарный фильтр в задачах комплексной обработки избыточных измерений// Всероссийская научная конференция по проблемам управления в технических системах (ПУТС-2015). 2015. N 1. С. 380 - 384.

17. Степанов О. А. Линейный оптимальный алгоритм в нелинейных задачах обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. 2006. N4(55) С. 11 - 320.

18. Дмитриев С.П., Степанов О. А. Неинвариантные алгоритмы обработки информации инерциальных навигационных систем // Гироскопия и навигация. 2000. N1(30). С. 24 - 38.

19. Дмитриев С.П., Кошаев Д.А. Оценивание непрерывного сигнала с учетом ограничений // Автоматика и телемеханика. 2011. N 7. С. 116 -133.

20. Koifman M., Bar-Itzhack, Mernav S.J. Dynamics Aided Inertial Navigation System// AIAA-95-3195-CP. Guidance. Navigation and control Conference, 1995.

21. Crocoll P. Model-Aided Navigation for a Quadrotor Helicopter: A Novel Navigation System and First Experimental Results/ Ph. Crocoll, J. Seibold, G. Scholz, G. F. Trommer //Journal of the Institute of Navigation. Vol. 61. No 4. 2014. P. 253 - 271.

22. Litvinenko Y A., Tupysev V. A. Using the principle of measurement reproduction in federated filters for navigation data processing // Proceeding of DGON Inertial sensors and systems, P09.

Степанов Олег Андреевич, д-р техн. наук, проф., нач., зам. зав. кафедрой, ostepanovaeprih.ru, Россия, Санкт-Петербург, Университет ИТМО,

Мансур Мостафа, асп., mostafa. e. mansonragmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Университет ИТМО

INTEGRA TED PROCESSING ALGORITHMS FOR CORRECTION OF NA VIGA TION SYSTEM USING NONLINEAR MEASUREMENTS

Mostafa Mansour, O.A. Stepanov

Main variants of the problem solutions of navigation systems correction hy using non-linear measurements are analyzed. Appropriate algorithms and the properties of the resulting estimates are discussed. Considerable attention is given to the complementary filters

Key words: algorithms, integrated processing, complementary filter, navigation system, correction, nonlinear measurements.

Stepanov Oleg Andreevich, professor, head of the Research and Education Center of OA Concern CSRI Elektroprihor, deputy head of the Department "Information and navigation systems", ostepanovaeprih.ru, Russia, St. Petersburg, ITMO University,

Mostafa Mansour, postgraduate, mostafa. e. mansonr a gmail. com, Russia, St. Peters-hurg, ITMO University