Восстановление изображения с цифровой Фурье-голограммы в условиях превышения частоты Найквиста

Для каждого столбца данных в томограмме в соответствии с формулой (2) вычисляли значения сигнала спектральной интерференции S(k). После этого независимо для каждого столбца восстанавливали функцию a( z ) методом обратного преобразования Фурье и методом логарифмического преобразования. На рис. 2 иллюстрируются полученные результаты. Из рисунков видно, что использование метода обратного преобразования Фурье приводит к значительным искажениям восстановленного изображения. Метод логарифмического преобразования позволяет устранить влияние ложных составляющих в (4) и восстановить исходную томограмму с существенно более высоким качеством. Отличия в яркости изображений (рис. 2, а, в) обусловлены нелинейностью логарифмического преобразования и не снижают информативности томограмм.

Заключение

В работе проведен сравнительный анализ двух методов восстановления томографических изображений в спектральной ОКТ: стандартного метода, основанного на обратном преобразовании Фурье, и метода логарифмического преобразования. Приведенные результаты демонстрируют, что при больших значениях исходного сигнала автокорреляционные артефакты, присутствующие в стандартном методе, ведут к существенным искажениям восстановленного изображения, тогда как метод логарифмического преобразования позволяет устранить искажения и повысить качество восстановленных томограмм в спектральной ОКТ. Следует отметить, что повышение качества изображений достигается за счет более высокой вычислительной сложности алгоритма обработки интерферометрических данных, поскольку в методе логарифмического преобразования используются три операции преобразования Фурье. Повышение вычислительной мощности современных компьютерных систем позволяет преодолеть указанный недостаток и обеспечивает возможность использования метода логарифмического преобразования в практических разработках систем спектральной ОКТ.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.

Литература

1. Гуров И.П. Оптическая когерентная томография: принципы, проблемы и перспективы II Проблемы когерентной и нелинейной оптики I Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. - С. б-З0.

2. Tomlins P.H., Wang R.K. Theory, developments and applications of optical coherence tomography II J. Phys. D: Appl. Phys. - 2005. - V. З8. - P. 2519-25З5.

3. Häusler G., Lindner M.V. «Coherence radar»» and «Spectral radar»» - new tools for dermatogical diagnostics II J. Biomed. Opt. - 1998. - V. З. - P. 21-З1.

4. Sekhar S.C., Leitgeb R.A., Bachmann A.H., Unser M. Logarithmic transformation technique for exact signal recovery in frequency-domain optical-coherence tomography II Proc. SPIE. - 2007. - V. бб27. - P. бб2714-1.

5. Boer J., Srinivas S., Malekafzali A., Chen Z., Nelson J. Imaging thermally damaged tissue by polarization sensitive optical coherence tomography II Optics Express. - 1998. - V. З. - № б. - P. 212-218.

Гуров Игорь Петрович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, gurov@mail.ifmo.ru Киракозов Александр Христофорович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет

информационных технологий, механики и оптики, аспирант, kirakozov@rain.ifmo.ru

УДК 535.417 + 681.787

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ С ЦИФРОВОЙ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ В УСЛОВИЯХ ПРЕВЫШЕНИЯ ЧАСТОТЫ НАЙКВИСТА К. А. Гребенюк, А. А. Гребенюк, В.П. Рябухо

Проведено экспериментальное исследование особенностей регистрации цифровых безлинзовых внеосевых Фурье-голограмм в условиях превышения несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста. Показано, что превышение несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста ведет не к исчезновению изображения, а к постепенному уменьшению его интенсивности, что свидетельствует о снижении дифракционной эффективности голограммы. Ключевые слова: цифровая голография, Фурье-голограмма, голограммная структура, пространственный спектр, частота Найквиста.

Введение

Цифровые оптические методы, основанные на принципе внеосевой голографии, находят широкое применение при анализе динамических фазовых объектов, в первую очередь, объектов медико-биологических исследований in vivo [1-5]. Одно из основных ограничений этих методов связано с отно-

сительно низкой пространственной частотой пиксельной структуры матричных фотодетекторов (МФД), используемых для регистрации голограммы. В литературе указывается, что записываемое МФД распределение интенсивности оптического поля не должно содержать пространственных частот, превышающих частоту Найквиста, равную половине пространственной частоты расположения пикселей МФД [6-8]. Однако при этом не рассматривается вопрос о свойствах голограмм, записанных в условиях превышения частоты Найквиста.

При проектировании оптической схемы записи цифровых голограмм удовлетворение критерию Найквиста может быть затруднительно. В связи с этим значительный интерес представляет исследование вопроса о возможности восстановления изображения с цифровой голограммы, записанной с нарушением критерия Найквиста. В настоящей работе исследована возможность восстановления изображения объекта с цифровых безлинзовых Фурье-голограмм, записанных в условиях, когда частота несущей голо-граммной структуры превышает частоту Найквиста.

Теоретический анализ

Интенсивность монохроматического оптического поля в плоскости регистрации голограммы определяется известным выражением

I

1к (х у) = ик (х у)и'к (х у) , 4 (х у) = и, {х, у)Ц'* (х у) ,

и; (х у) = и; (х у)и*я (x, у) , И*(x, у) = и* (х уи(x, у) ,

где и;(х, у), ия(х, у) - распределения комплексных амплитуд объектного и опорного полей в плоскости регистрации. В выражении (1) слагаемое 1;(х, у) описывает распределение интенсивности объектного поля, которое в рассматриваемом случае рассеивающего объекта имеет спекл-модулированный характер. Далее будем называть распределение 1;(х, у) спекл-структурой. Слагаемое И; (х, у) + И* (х, у) описывает систему полос, возникающих в результате интерференции объектной и опорной волн и обеспечивающих голографическую запись объектной волны. Будем называть каждое из распределений И; (х, у) и

И* (х, у) голограммной структурой. Под несущей частотой голограммной структуры будем понимать

среднюю частоту ее пространственного спектра.

Запись цифровой голограммы заключается в регистрации набора дискретных отсчетов (1(х, у))а пространственного распределения интенсивности 1(х, у). Этот набор дискретных отсчетов (1(х, у))а называют цифровой голограммой. Восстановление изображения в случае безлинзовой голографии Фурье сводится к вычислению двумерного дискретного преобразования Фурье цифровой голограммы (1(х, у))д. В этом случае квадрат модуля Фурье-образа цифровой голограммы не только является ее пространственным спектром мощности, но и содержит восстановленные изображения объекта - прямое и комплексно сопряженное.

Фурье-образ F{(I(x, у))а] цифровой голограммы (1(х, у))с можно представить в виде

Р {

Овс = Р {(( (х, у)) } + Р {(I, (х, у)) } ,

Си = Р {(( (х, у)) } , СИ = Р {(И* (х, у) ) } .

Фурье-образы СИ и 0*И голограммных структур И; (х, у) и И* (х, у) представляют собой комплексные амплитуды полей восстановленных изображений объекта - прямого и сопряженного, а квадраты их модулей |СИ |2 и - соответствующие изображения объекта.

Во внеосевой цифровой голографии вопрос о соотношении максимальной частоты пространственного спектра голограммы и частоты Найквиста делится на две составляющие:

1. соотношение ширины пространственного спектра голограммной структуры и частоты Найквиста (ширина пространственного спектра голограммной структуры при записи безлинзовой Фурье-голограммы определяется угловой апертурой объекта);

2. соотношение несущей частоты голограммной структуры и частоты Найквиста (несущая частота голо-граммной структуры определяется углом между основным направлением из центра МФД на объект и направлением из центра МФД на опорный источник).

Ширина пространственного спектра голограммной структуры не должна превышать частоту Найквиста, поскольку в противном случае может произойти наложение положительных и отрицательных высокочастотных частей компонент СИ и 0*И Фурье-образа цифровой голограммы, а также их перекрытие с низкочастотной компонентой ОпС. Таким образом, дискретизация голограммной структуры, вносимая МФД, накладывает ограничения на угловой размер объекта, голографическое изображение которого может быть записано.

Вопрос о соотношении несущей частоты голограммной структуры и частоты Найквиста более сложен. Теоретический анализ данного вопроса требует учета свойств не только дискретного преобразования Фурье, но и свойств МФД, в частности, конечного размера его регистрирующих элементов. В связи с этим наиболее эффективным методом исследования здесь представляется натурный эксперимент.

Экспериментальное исследование

Схема проведенного эксперимента представлена на рис. 1. Несущая частота голограммной структуры изменялась путем смещения объекта в плоскости, параллельной плоскости регистрации (и, соответственно, путем изменения углового расстояния 6 между объектом и опорным источником). Для каждого положения рассеивающего объекта на ПЗС-матрицу записывалась голограмма. Далее для каждой цифровой голограммы вычислялся квадрат модуля ее Фурье-образа, который, как указано выше, не только представлял собой пространственный спектр мощности голограммы, но и содержал восстановленные изображения объекта.

Рис. 1. Экспериментальная схема записи цифровых безлинзовых Фурье-голограмм: 1 - гелий-неоновый лазер; 2 - делитель; 3 - нейтральный светофильтр; 4, 8 - зеркала; 5, 9 - микрообъективы; 6 - поляризационный фильтр; 7 - ПЗС-камера; 10 - собирающая линза; 11 - исследуемый рассеивающий

объект

40

-40

40

-77 -38 0 38 77 -77 -38 0 38 77

1/мм ]/мм

в г

Рис. 2. Пространственные спектры мощности экспериментальных цифровых Фурье-голограмм, записанных при различных значениях углового расстояния 9 между центром объекта и опорным источником: 9=1,45 град

3 4

8 . mi

Рис. 3. Экспериментальная зависимость пространственно-частотного положения ^ изображения объекта

\GH |2 в спектре мощности голограммы от углового расстояния между центром объекта и опорным

источником 9. Угловое расстояние, соответствующее равенству несущей частоты голограммной структуры

частоте Найквиста, составляет 2,79 град

На рис. 2 представлены пространственные спектры мощности голограмм, записанных в условиях, удовлетворяющих критерию Найквиста (рис. 2, а, б), и голограмм, для которых несущая частота голограммной структуры превышает частоту Найквиста (рис. 2, в, г). Из рис. 2, в, г, видно, что, даже когда несущая частота голограммной структуры превышает частоту Найквиста, изображение объекта может быть восстановлено, однако интенсивность его ниже, чем в случаях, когда критерий Найквиста выполняется. Таким образом, если ширина пространственного спектра GH голограммной структуры удовлетворяет критерию Найквиста и позволяет избежать наложения комплексно сопряженных компонент GH и

GH (2), а также низкочастотной компоненты GDC, то изображение объекта |GH |2 можно наблюдать и в

условиях превышения несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста.

На рис. 3 представлена зависимость пространственно-частотного положения £. изображения объекта

|GH |2 в пространственном спектре мощности голограммы от углового расстояния 9 между центром объекта и опорным источником. При превышении несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста происходит «зацикливание» положения изображения объекта |GH |2: пространственно-частотное положение изображения |GH |2 претерпевает скачок, равный по величине удвоенной частоте Найквиста, и затем, с дальнейшим увеличением несущей частоты, постепенно возвращается к своему прежнему значению (рис.

3). Комплексно-сопряженное изображение объекта G^ проявляет аналогичные свойства.

Заключение

Экспериментально показано, что восстановление изображения объекта с цифровой внеосевой Фурье-голограммы возможно в условиях превышения несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста. При этом для визуализации объекта необходимо, чтобы пространственная структура объектного поля разрешалась матричными фотодетекторами так, чтобы в Фурье-образе голограммы было возможно разделение дифракционного гало, прямого и сопряженного изображений объекта. Получена экспериментальная зависимость положения спектра мощности голограммной структуры, представляющего собой изображение объекта, в пространственном спектре мощности голограммы от углового расстояния между центром объекта и опорным источником. Полученные результаты показывают, что в случаях, когда конструктивные особенности схемы не позволяют обеспечить достаточно малый угол между направлениями из матричных фотодетекторов на объект и на опорный источник, можно использовать схему с превышением несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста. При этом нужно иметь в виду, что при превышении частоты Найквиста фактически происходит уменьшение дифракционной эффективности голограммы и, как следствие, уменьшение интенсивности восстанавливаемого изображения.

Работа выполнена при поддержке ГК 14.740.12.08.41 «Проведение поисковых НИР в целях развития общероссийской мобильности в области физики и астрономии».

Литература

1. Kemper B., von Bally G., Pavesi L., Fauchet P.M. Coherent laser measurement techniques for medical diagnostics // Biophotonics. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2008. - P. 151-175.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАЛЫХ СМЕЩЕНИЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБЪЕКТОВ .

2. Гуров И.П. Компьютерная фотоника: принципы, проблемы и перспективы II Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2005. - Вып. 21. - С. 5-20.

3. Marquet P., Rappaz B., Magistretti P.J., Cuche E., Emery Y., Colomb T., Depeursinge C. Digital holographic microscopy: a noninvasive contrast imaging technique allowing quantitative visualization of living cells with subwavelength axial accuracy II Optics Letters. - 2005. - V. 30. - № 5. - P. 4б8-470.

4. Bernhardt I., Ivanova L., Langehanenberg P., Kemper B., von Bally G. Application of digital holographic microscopy to investigate the sedimentation of intact red blood cells and their interaction with artificial surfaces II Bioelectrochemistry. - 2008. - № 73. - P. 92-9б.

5. Langehanenberg P., Ivanova L., Bernhardt I., Ketelhut S., Vollmer A., Dirksen D., Georgiev G., von Bally G., Kemper B. Automated three-dimensional tracking of living cells by digital holographic microscopy II Journal of biomedical optics. - 2009. - V. 14. - № 1. - P. 014018-1-014018-7.

6. Schnars U., Jueptner W. Digital holography. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2005. - 1б4 p.

7. Балтийский С.А., Гуров И.П., Де Никола С., Коппола Д., Ферраро П. Современные методы цифровой голографии II Проблемы когерентной и нелинейной оптики I Под ред. И.П. Гурова и С. А. Козлова. -СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. - С. 91-117.

8. Горбатенко Б.Б., Гребенюк А.А., Максимова Л.А., Перепелицына О.А., Рябухо В.П. Спекл-фотография и голографическая интерферометрия с цифровой записью дифракционного поля в Фурье-плоскости II Компьютерная оптика. - 2010. - Вып. 34. - № 1. - С. б9-81.

Гребенюк Константин Александрович - Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского,

кандидат физ.-мат. наук, доцент, KonstantinAG@yandex.ru Гребенюк Антон Александрович - Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского,

аспирант, GrebenyukAA@yandex.ru Рябухо Владимир Петрович - Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского,

доктор физ.-мат. наук, профессор, rvp-optics@yandex.ru

УДК 535.4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАЛЫХ СМЕЩЕНИЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБЪЕКТОВ МЕТОДОМ ЦИФРОВОЙ ГОЛОГРАФИИ В.Г. Гендин

Представлены результаты исследования точности определения малых смещений поверхности объектов методом цифровой голографии. Рассматривается процесс регистрации цифровых голограмм и восстановления фазовой информации из голограмм. Сравнивается точность определения нормальных смещений поверхности объекта при использовании двух методов устранения нулевого порядка дифракции с последующим вычислением фазы предметной волны.

Ключевые слова: цифровая голография, восстановление изображений, устранение нулевого порядка дифракции.

Введение

Формирование и анализ изображений трехмерных объектов - актуальная задача в различных областях науки и техники. При этом особенно важно получение количественных оценок геометрических характеристик исследуемых объектов. Известно, что наиболее высокую точность определения геометрических характеристик обеспечивают интерферометрические методы. Однако методы классической интерферометрии применимы только к объектам с оптически гладкими поверхностями и относительно малыми отклонениями от правильной геометрической формы. Исследования объектов произвольной формы с интерферометрической точностью возможны при использовании голографических методов, в том числе методов цифровой голографии [1, 2]. Отличительная особенность голографических методов состоит в том, что голограмма содержит полную информацию об оптическом поле предметной волны, при этом из голограммы можно извлечь всю необходимую фазовую и амплитудную информацию о предметной волне, характеризующей объект.

В настоящей работе представлены результаты исследования точности определения малых смещений поверхности объектов методами цифровой голографии при записи цифровых голограмм с использованием интерферометра Майкельсона. При этом задача устранения нежелательного нулевого порядка дифракции решается двумя методами: с помощью фильтрации высоких частот в голограмме и с использованием метода управляемого фазового сдвига, когда для определения смещения поверхности записываются две или более голограмм в различных положениях объекта и далее проводится восстановление информации об изменениях фазы предметной волны.

Запись цифровых голограмм с использованием интерферометра Майкельсона

Запись голограмм в цифровой голографии осуществляется посредством регистрации с помощью видеокамеры суммы предметной волны, отраженной от объекта, и опорной волны. Для реконструкции