Магистральные движения управляемых систем (i)

Известия Института математики и информатики УдГУ

2014. Вып. 1

УДК 517.91 © Е. Л. Тонкое

МАГИСТРАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ (I)1

Рассматриваемый текст предназначен в первую очередь магистрам, занимающимся на специализации «дифференциальные уравнения». Он посвящен применению к рассматриваемым управляемым системам хорошо разработанной теории классических динамических систем, методов дифференциальной геометрии, а также теории дифференциальных включений, разработанной в основном А. Ф. Филипповым. Основное содержание текста состоит в исследовании так называемой стандартной управляемой системы. Фазовым пространством такой системы является конечномерное гладкое многообразие. Это предположение очень важно с точки зрения приложений. Кроме того, предполагается, что векторное поле системы локально липшицево, а геометрические ограничения на управляемые параметры компактны. Рассматриваемые здесь допустимые управления могут быть как программными, так и позиционными. В первом случае мы приходим к так называемым системам уравнений Каратеодори, во втором — в случае разрывов векторного поля по фазовым переменным — к дифференциальным включениям Филиппова. Серьезное внимание уделяется здесь изучению условий, при которых сохраняются заданные по условиям задачи свойства управляемой системы при замыкании множества сдвигов (в топологии равномерной сходимости на компактах) исходной стандартной управляемой системы.

Ключевые слова', динамические системы, конечномерные гладкие многообразия, обыкновенные дифференциальные уравнения, управляемые системы, магистральные движения.

Содержание

Введение..................................................................................................................70

Г л а в а 1. Топологическая динамическая система ....................................72

§ 1. Предварительные сведения................................................................................................72

Евклидово пространство (72). Касательное пространство и диффеоморфизмы (72).

§ 2. Стационарное векторное поле ..........................................................................................73

Условие Липшица (73). Теорема о существовании топологической динамической системы (74).

§ 3. Топологическая динамическая система..........................................................................75

Определения и простейшие свойства (75). Примеры динамических систем (76).

§ 4. Введение в теорию динамических систем......................................................................77

Предельные точки и множества (77). Компактность и связность предельных множеств (79).

1Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН (№ 12-П-1002), гранта РФФИ (12-01-00195) и Минобрнауки России в рамках базовой части.

Г л а в а 2. Минимальные множества динамической системы, рекуррентность и почти периодичность............................................ 81

§ 5, Минимальные множества и рекуррентные движения........................ 81

Минимальные множества (81). Рекуррентные движения(82). Теорема о рекуррентности (82).

§ 6. Почти периодические движения динамической системы ..................... 84

Определение почти периодического движения (84). Основная теорема о почти периодических движениях (85).

Г л а в а 3. Динамическая система сдвигов и конструкция Фавара .... 86

§ 7, Динамическая система сдвигов............................................ 86

Локально-компактная топология (86). Рекуррентность и почти периодичность (88). Задача о колеблемости (89).

§ 8. Конструкция Фавара..................................................... 90

Линейная система дифференциальных уравнений и соответствующая ей динамическая система (90). Нелинейная система (91). Задача о быстродействии (92).

Г л а в а 4. Стандартная управляемая система ...................... 94

§ 9. Конечномерные гладкие многообразия..................................... 94

Несколько примеров конечномерных гладких многообразий (94). Карты многообразий (95). Согласованность карт многообразия Mn (95). Диффеоморфные многообразия (96).

§ 10. Касательное расслоение TM многообразия M............................. 98

§ 11. Управляемые дифференциальные системы на гладких многообразиях конечной размерности ................................................................ 99

Стандартная управляемая система (99). Допустимый процесс (101).

Г л а в а 5. Теорема о равномерной локальной управляемости магистрального процесса......................................................... 102

§ 12. Позиционное управление и решения управляемой системы в смысле А. Ф. Филиппова ....................................................................... 102

§ 13. Теорема о равномерной локальной управляемости допустимого процесса .... 104

§ 14. Линейная управляемая система....................................................................................107

§ 15. Неосцилляция....................................................................................................................109

Список литературы ............................................................................................111

Введение

Стандартный курс дифференциальных уравнений для студентов-математиков классических университетов страны основан на обстоятельном изучении свойств решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

заданной на множестве , ¿*) х С, где С — область 2 в Мга, а векторное поле у(Ь,х) системы уравнений (0,1) непрерывно по совокупности переменных (Ь,х) и имеет непрерывные частные производные

Для магистров-математиков, решивших специализироваться на теории дифференциальных уравнений (специализация ВАК 01,01,02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление), такой объем знаний по обыкновенным дифференциальным уравнениям явно недостаточен, поскольку исключает из рассмотрения большинство важных прикладных задач теории оптимального управления, теории дифференциальных игр, теории устойчивости так называемых магистральных процессов, многие задачи классической механики, связанные с управлением мобильными роботами и ряд задач, имеющих отношение к математической экономике,

В течение последних пятидесяти лет теория обыкновенных дифференциальных уравнений интенсивно развивалась в связи с необходимостью решения отмеченных прикладных задач управления, и сейчас мы получили прекрасную возможность пересмотреть классический курс дифференциальных уравнений и довести его до уровня, необходимого для изучения и развития некоторых важных прикладных задач,

В связи со сказанным рассматриваемый текст имеет следующие особенности. Основным объектом нашего изучения является так называемая управляемая система дифференциальных уравнений

заданная на множестве (¿*,Ь*) х М х и, где М — гладкое многообразие размерности п (называемое фазовым пространством системы (0,2)), а вектор параметров и = со1(и.. .ит), порождающий так называемые допустимые управления, имеет компактные геометрические ограничения и € и в евклидовом проетранетве

Среди допустимых управлений системы (0,2) рассматриваются два принципиально различных допустимых вида управления:

(1) допустимое программное управление Ь ^ и(Ь);

(2) допустимое позиционное управление (Ь,х) ^ и(Ь,х).

2То есть открытое связное множество.

г,] = 1... п, при всех (Ь,х) € (¿*,Ь*) х С.

В первом случае управление u(t) — это измеримая по Лебегу функция со значениями в заданном множестве U, удовлетворяющая при всех t G (t*,t*) так называемому условию невырожденности. Это означает, что для любого (в смысле Каратеодори [1]) решения t ^ x(t) системы

x = v

имеет место включение

v

где TxM — линейное пространство, касательное к многообразию M в точке x G M.

Во втором случае позиционное управление u

u

где

lt(i,x) = p| p| œu(t, Oe(x) \ fi),

£>0 mes jU=0

mes — мера Лебега в Жп, côA — замыкание выпуклой оболочки множества А С Кга, x

x = v(t, x, u(t, x)), то есть дифференциального включения

x G v(t, x, U(t, x)).

И наконец, важной особенностью этого текста является массированное применение классической теории динамических систем и, в частности, динамической системы сдвигов при исследовании асимптотического поведения решений множества предельных уравнений, образующих так называемое омега-предельное множество при замыкании (в топологии равномерной сходимости на компактах) множества сдвигов исходной системы уравнений (0.2).

Дело в том, что во многих задачах, связанных с асимптотическим поведением исследуемого свойства управляемой системы (0.2), это свойство, как правило, сохраняется при всех сдвигах влево системы, но в замыкании множества сдвигов системы (0.2) может не сохраниться. Простой пример: для каждого t G R множество управляемости уравнения

u

X=(t + rY + 1'

па отрезке времени 0 ^ t ^ 1 совпадает со всем фазовым проетранетвом R, но множество управляемости, соответствующее предельному (при t ^ œ) уравнению x = 0, состоит из одной точки {0}.

Возможность такого непредсказуемого поведения свойств систем дифференциальных уравнений вынуждает нас обратиться к методам хорошо разработанной теории динамических систем и в связи с этим посвятить часть рассматриваемого текста теории динамических систем.

Г л а в а 1. Топологическая динамическая система

§ 1. Предварительные сведения

Обыкновенные дифференциальные уравнения — это динамические системы [2-5], конечномерные гладкие многообразия [6-11] и диффеоморфизмы, а современная теория оптимального управления — это, в частности, конкретные задачи из практики, допускающие регулярный синтез управляемых систем.

Евклидово пространство. Начнём с напоминания основных понятий, на которых базируется теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Вспомним [9], что:

(1) — это прямое произведение п экземпляров числовой прямой М = (-то, то) с нормой

(2) Ла — это аффинное пространство размерности п; в аффинном пространстве не фиксировано начало координат, и поэтому сумма точек х, у в Ла не определена, но определена разность х — у, которая называется вектором V = х — у; следовательно, в аффинном пространстве действует группа параллельных переносов;

(3) евклидово пространство Ега размерноети п — это пространство, снабженное группой параллельных переносов и положительно-определенной билинейной симметрической формой x*Qy, называемой скалярным произведением. Если в пространстве Ега, фиксирован ортонормированный базис, то предполагается, что Q = Е, где Е — единичная матица, и тогда

\х-у\ = л/(хг - ух)2 Л-----Ь (хп - уп)2.

В дальнейшем применяются следующие обозначения:

СЛх) = {у € Ега: |у — х| < г}, О?(х) = {у € Ега: |у — х| ^ г}

— открытый и замкнутый шары радиуса г с центром в точке х пространства Ега (если х = 0, то пише м ОП, ОП ил и Ог, Ог, если размерность шаров понятна); дМ — граница и с1 М, или X — замыкание множества М.

Далее, в рассматриваемых лекциях область — это всегда открытое связное множество полного метрического пространства (в частности, евклидова пространства Мга); а компактность множества К в полном, метрическом пространстве § означает, что всякая последовательность {х^} такая, ч то х^ € К при всех г = 1, 2... имеет сходящуюся в § подпоследовательность, предел которой принадлежит К.

Касательное пространство и диффеоморфизмы. Нам понадобится определе-

дМ М х

Определение 1,1 (касательного пространства). Пусть заданы связное множество М в и точка х, принадлежащая дМ. Для каждой гладкой3 функции

р : (—е,е) ^ дМ,

проходящей через точку р(0) = х, построим вектор скорости v(x,p) кривой Ь ^ р(Ь) х

ф

v

г=о

3То

есть имеющеи по крайней мере одну непрерывную производную.

Совокупность всех векторов скорости с естественными операциями сложения

и умножения на число оказывается линейным пространством, это пространство называется касательным, пространством к множеству М в точке х и обозначается ТхМ, Несложно убедиться, что размерность п касательного пространства ТхМ удовлетворяет неравенству п ^ N.

На протяжении этого текста касательное пространство ТхМ снабжается структурой евклидова, пространства Ега,

Определение!.,2 (диффеоморфизмы (предварительное определение)). Функция /: Ш — и, действующая го заданного множества Ш С Жм в облаеть и евклидова пространства Кга, называется диффеоморфизмом, если существует обратная функция

/-1: и — Ш

и обе функции у = /(х) и х = /-1(у) непрерывны и непрерывно-дифференцируемы,

§ 2. Стационарное векторное поле

Условие Липшица. Рассмотрим стационарную систему дифференциальных уравнений

X = г>

векторное поле и(х) которой задано в об ласти X евклидова проетра нетва Кга и удовлетворяет локальном, условию Липшица.

Определение 2,1 (условие Липшица (предварительное определение)). Функция V: X — Ега, удовлетворяет локальному условию Липшица, если для каждой точки х области X и любого положительного е такого, что 0£(х) С X, найдётся число 1£(х), обеспечивающее для всех у, г € 0£(х) неравенство

Ку) - v

Далее, если функция у(х) определена на множестве X, где X — замыкание области X в Мга и для всех х € дХ =Х\Х имеет место включение

v(x) € Тх(^),

то условие Липшица выполнено, если оно выполнено в области X и для каждой точки х € ^ и любого е > 0 найдётся такое число 1£(х), что для всех

у, г € Ое

имеет место неравенство (2,2),

Напомним, что решением системы уравнений (2,1) на интервале (¿*, ¿*) времени называется всякая непрерывная функция Ь — ^(¿) € X, удовлетворяющая при всех Ь из интервала (¿*, ¿*) равенству

¿(¿) = v(p(t)) .

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, мы рассматриваем только максимальные решения системы (2,1), то есть такие решения, которые рассматриваются на максимальном интервале (¿*,£*) существования решения. Следует отличать:

(1) решение системы (2,1) (это функция Ь ^

(2) движение системы (2,1), или по-другому интегральную кривую (это множество точек (Ь, ^(¿)) в расширенном фазовом пространстве);

(3) траекторию

огЬ(^Л,Ь*) = {^(Ь) € X : Ь € )}

движения системы (2,1) (это проекция интегральной кривой на фазовое пространство X системы (2,1)),

Для дальнейшего изложения существенны следующие две теоремы, для доказательства которых полезно ознакомиться с замечательной книгой Л, С, Понтрягина [12].

Теорема 2.1. Пусть векторное поле системы (2.1) локально липшицево. Тогда, для каждой точки х € X найдётся интервал (¿*(х),¿*(х)) существования решения Ь ^ ^(¿,х) задачи, Коши

х = v

Решение задачи, (2.3) единственно. Кроме того, концы ¿*(х), ¿*(х) интервала, существования решения задачи, (2.3) равномерно непрерывны по х в области X.

Теорема о существовании топологической динамической системы. Это теорема о глобальном продолжении решений стационарной системы в предположении, что векторное поле системы имеет под.пшенный рост. Различные обобщения этой теоремы будут даны ниже.

Теорема 2.2. Предположим,, что векторное поле v(x) системы,

х = ь

локально липшицево на множестве X, где X — облаеть в Шп и для всех х € дX имеет место включение v(x) € Тх (дX).

Если, область X ограничен а, в Мп или, в противном случае, правая часть системы (2.4) имеет подлинейный рост

_1ш1 ——— < оо,

х£Х, |ж|—>оо \Х\

то всякому начальному условию ж(0) = х Е X отвечает решение Ь —> (р(Ь,х) системы (2.4), определенное на, числовой, прям,ой, М. Далее, в сил,у липшицевости векторного поля системы (2.4) оно единственно и непрерывно по совокупности, переменных (Ь,х) на множестве ЕхХ. Кроме того, из условия ь(х) € Тх(дХ) следует, что для, каждой точки х € дX решение Ь ^ х) остается, в дX для, всех Ь € М.

Задача 2.1. Докажите теоремы 2.1 и 2.2.

Для дальнейших рассуждений удобно значение решения х) системы (2.4), удовлетворяющее начальному условию х(0) = х, переобозначить так: ^(¿,х) = $*х. В силу

стационарности системы (2.4) при всех Ь, в € М. имеет место равенство

+ в,х) = р(Ь,р(в,х)),

которое теперь перепишется в следующем виде:

/+*

Рис. 1. Джорж Давид Биркгоф

Из равенства (2,5) следует, что при каждом I функция д* \ X —> X представляет одн,опара метрическую группу преобразований пространства X в себя. Эта функция в теории дифференциальных уравнений называется оператором сдвига вдоль траекторий системы (2,4),

Таким образом, система (2,4) порождает пару (Х,д*), полностью описывающую поведение решений системы (2,4), В действительности, в силу инвариантности пространства ^ относительно решений системы (2,4), начинающихся в дX, имеет смысл рассматривать две независимые пары: (дX, д*) и (X, д*), которые отвечают двум системам дифференциальных уравнений: системе

х = v

и системе

х = v

§ 3. Топологическая динамическая система

В этом параграфе приведены необходимые дня дальнейшего сведения из теории динамических систем. Изложение опирается в основном па главу 5 монографии В, В, Не-мыцкого и В, В, Степанова |5|, что вполне достаточно дня наших целой. Современное состояние теории динамических систем см, в |3|,

Определения и простейшие свойства

О н р е д о ,н е и и о 3,1 (динамической системы Биркгофа |2|). Топологическая динамическая система — это пара (£,д*), оде £ — фазовое пространство (которое далее предполагается полным метризуемым 4 пространством), а д* — однопараметрическая

4Напомним, что топологическое пространство £ называется метризуемым, если существует метрика р, сохраняющая топологию пространства £, и в этой метрике пространство £ полное.

группа преобразований пространства £ в себя. Это означает что параметр ¿, называемый «временем», меняется на прямой М = (-то, то) (или та полуоси М+ = [0, то)), а функция (¿,ж) ^ д'ж удовлетворяет следующим трем условиям:

(1) непрерывна по совокупности переменных (¿,ж),

(2) удовлетворяет начальному условию д'ж| 0 = ж,

(3) удовлетворяет свойству группы д'д5 = д(или полугруппы, ^ 0), Функция Ь ^ д'ж называется движением (точки ж), а множества

тете о

огЬ(ж) = и д'ж, огЬ+(ж) = д'ж и огЬ-(ж) = д'ж

4=-те 4=0 4=-те

— траекторией, положительной полутраекторией и отрицательной полутраекторией точки ж фазового пространетва Е.

Далее, точка ж0 € Е называется ш-предельной {а-предельной) для точки ж, если найдется такая последовательность } моментов времени, что ^ то (соответственно ^ — то) и д*кж ^ ж0. Множества ш-предельных и а-предельных точек, отвечающих точке ж, обозначим ш(ж) и а(ж), тогда

те __—те _

ш

Т=0 4^Т Т=0 4<Т

Простым следствием перечисленных свойств потока д' служат следующие леммы,

Лемма3.1. Всякое движение топологической динамической системы (£, д') непрерывно зависит от начальной точки равномерно относительно Ь но любом, конечном отрезке врем,ени, то есть для, каждой точки ж0 € Е и любых £ > 0 и $ > 0 найдется такое 5 > 0, что если, р(ж,ж0) ^ 5, то

р(д'ж,д'ж0) ^ £

для, всех ^

Действительно, фиксируем £> 0, $ > 0 и ж0. Из непрерывности функции

ж) ^ р

следует непрерывность функции

ж ^ к(ж) = тахр(д'ж,д4ж0).

Так как к(ж0) = 0, то при ж, близких к ж0, будет выполнено неравенство к(ж) ^ £.

Лемма 3,2, Имеют место следующие вложения:

ш(х) С огЬ+(ж), а(х) С огЬ_(ж).

Это утверждение просто следует из следующих рассуждений. Если ж0 € ш(ж), то найдется такая последовательность }, что ^ ^ то и № ж ^ ж0. Следовательно при всех ^ имеет место включение € огЬ+(ж). Отсюда следует, что жо € огЬ+(ж), и это доказывает лемму.

Примеры динамических систем. Теория топологических динамических систем возникла в связи с исследованием стационарных векторных полей. Рассмотрим в связи с этим два поучительных примера.

I

' иппи

Рис. 2. Николай Николаевич Краеовекий

Пример 3,1, Примеры автономных систем (2,6) и (2,7), рассмотренных в предыдущем параграфе в условиях теоремы 2,2, доставляют два типичных примера (дX, д4) и (X, д4) топологических динамических систем,

ео

нений с последействием. Пусть в = С ([-г, 0], Мп) — линейное пространство непрерывных функций с нормой

Пусть, далее, при каждом Ь задана функция в ^ х4(в) = х(Ь + в) перемениой в € [-г, 0], Рассмотрим автономную систему уравнений с последействием |13|, |14| и соответствующую задачу Коши

х

х4|4 0 = и, и € в, Ь ^ 0.

Н. Н. Краеовекий показан |15|, что естественным фазовым пространством системы уравнений (3.2), обладающей свойством 'непрерывной зависимости и глобальной правосторонней единственности решения Ь ^ х(Ь, и) задачи (3.2), (3.3), является фазовое пространство в, в котором движение Ь ^ х4(-,и) € в строится по решению Ь ^ х(Ь, и).

Таким образом, автопомпой системе (3.2) отвечает топологическая динамическая система (в,д4), где полупоток д4 : в ^ в, Ь ^ 0, определен равенством

д4и = {х4(в, и), в € [-г, 0]}.

§ 4. Введение в теорию динамических систем

Предельные точки и множества. Начнем с простого примера, связанного с так называемой динамической системой сдвигов.

Рис. 3. Александр Александрович Марков

Пример 4.1. Рассмотрим функцию

I sin(ln(t + 1)), если t ^ 0, I 0, если t < 0.

Сдвиг функции t — p(t) на константу т обозначим pT(t): pT(t) = р(т + t). Рассмотрим множество сдвигов {t — pT (t): т G М} функции p(t) и добавим к этому множеству все функции t — q(t), полученные из p(t) с помощью замыкания множества сдвигов в топологии равномерной сходимости на отрезках.

Это означает, что всякой предельной функции q(t) отвечает последовательность {т} обеспечивающая для любых £ > 0 и д > 0 неравенства,

|q(t) - Ртг(t)| ^ £,

выполненные при t G [—д,д] и есеж i, начиная, с некоторого i0 = i0(£,d). Построенное так семейство функций обозначим

F(p) = cl{ t — pT(t): т G R }.

Это семейство содержит наряду с функциями pT (t) (полученными из p(t) с помощью

т

q(t) = const G [-1,1]

(полученные на различных последовательностях {т^}, т — сю) и функцию q(t) = 0 (полученную из функции p(t) на любой последовательности {т^}, т — —ю). Определим далее поток hT на множестве F(p) равенством т — hTq = qT, оде q G F(p).

Тем самым построена динамическая система (F(p), hT), которую, следуя за А. А. Марковым (мл.), называют динамической системой сдвигов. Пусть w(p) — множество

всех частичных пределов (в локально-компактной топологии) движения т — hTp при т — +то. Множество ш(р) является омега-предельным множеством точек q G F(p), отвечающих начальной точке p (омега-предельным множеством), и, несложно проверить (см, (3,1)), что оно определяется равенством

ш(р) = { q(t) = const G [-1,1] }.

Аналогичным образом, множество a(p), состоящее го одной функции q(t) = 0, является альфа-предельным множеством, отвечающим точке p. Эти множества ш(р) и а(р) характеризуют асимптотические свойства функции p(t) и ее сдвигов.

Определение 4,1, Напомним, что множество M С Е называется инвариантным относительно потока h^ если orb(x) С M для каждой точки x G M. Аналогично определяются положительно инвариантные и отрицательно инвариантные множества: orb+(x) С M или orb-(x) С M для каждой точки x G M.

Теорема 41, Каждое из множеств w(x), a(x) инвариантно и замкнуто.

Доказательство, Докажем, что омега-предельное множество w(x) инвариантно, Фиксируем xo G w(x) и т G R. Достаточно доказать, что hTx0 G w(x). Найдется такая последовательность {tk}, что — то и p(htkx,x0) — 0. В силу леммы 3,1 для любого е > 0 найдется но мер k0 такой, что

p(htk +Tx, hTx0) ^ е при всех k ^ k0.

Следовательно, p(htk+Tx, hTx0) — 0 при k — то. Так как tk + т — то и htfc +Tx = htfchTx, то hTx0 является омега-предельной точкой для x, и поэтому hTx0 G w(x).

Докажем, что множество w(x) замкнуто. Рассмотрим сходящуюся последовательность {xk} точек xk из w(x). Пусть x0 — предел этой последовательности. Надо показать, что точка x0 находится в ш (x). Действительно, для любого е > 0 найдется такой номер k0, что p(xk,x0) ^ е/2 при всех k ^ k0. Кроме того, для каждого k существует момент времени такой, что p(htfcx,xk) ^ е/2. Следовательно,

p(htfcx, x0) ^ p(htfcx, xk) + p(xk, x0) ^ е,

то есть x0 является омега-предельной точкой для точки x.

В дальнейшем расстояние p(x, Е0) от точки x до компактного множества Е0 С Е означает кратчайшее расстояние:

p(x, Е0) = min{p(x, x0): x0 G Е0}.

Аналогично, расстояние между двумя компактными множествами Е0 и Е1 определяется равенством

p

Замкнутая е-окрестноеть Ое(Е0) компактного множества Е0 определяется равенством

Ое(Е0) = {x G Е: p(x, Е0) ^ е}.

Е0, Е1 x G Е

имеет место неравенство треугольника

p^0, Е1) ^ p(x, Е0) + p(x, Е1),

и если x G Е0, то в силу равенства (4.1) выполнено неравенство p^0, Е1) ^ p(x, Е1).

Компактность и связность предельных множеств. Докажем теорему об основных свойствах предельных множеств.

Теорема 4,2, Если замыкание положительной полутраектории огЬ+(ж) движения £ ^ компактно, то омега-предельное множество ш(ж) непусто, компактно и связно. Кроме того, р(^ж,ш(ж)) ^ 0 при £ ^ то. Аналогичные утверждения верны и для, альфа-предельного множества а (ж).

Доказательство. Обозначим огЬ+ (ж) замыкание положительной полутраектории огЬ+(ж) точки ж. Если множество огЬ+(ж) компактно, то из всякой последовательности ж}, £к ^ то, можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой является омега-предельной точкой. Следовательно, омега-предельное множество ш(а) непусто.

Покажем, что омега-предельное множество ш(а) компактно. Действительно, пусть дана произвольная последовательность {жк} точек из ш(а). Тогда для любого положительного е найдется такой момент времени £к, что р(Л*кж,жк) ^ е/2. Выделим из последовательности ж} сходящуюся подпоследовательность ж}. Тогда, начиная с некоторого г, выполнено неравенство ж, ж) ^ е/2, где ж — предел подпоследова-

тельности {Л,^ж} и, следовательно, ж € ш(а). Поэтому

Таким образом, подпоследовательность {жкг} сходится к ж.

Докажем, что р(^ж,ш(ж)) ^ 0 при £ ^ то. Если это не так, то найдутся число е > 0 и последовательность {¿к} такие, что выполнены неравенства

Последовательность а} имеет предельную точку (обозначим ее ж), и ж € ш(ж). Переходя в неравенстве (4.2) к пределу па соответствующей подпоследовательности, приходим к противоречию р(ж,ш(а)) ^ е.

Покажем, кроме того, что множество ш(ж) связно. Если это неверно, то

где ш0(ж) и ш:(ж) здмкиуты и ш°(ж) Р| ш:(ж) = 0. Следовательно, в силу компактности шг(ж) р(ш°(ж),ш^ж)) = е > 0. Далее, ясно, что найдутся две такие последовательности {£к} и {тк}, что Ьк ^ то, тк ^ то и

р(жк1 ,ж) ^ р(ж^ , ^ж) + р(^ж, ж) ^ е.

р(Л*кж,ш(ж)) ^ е, ¿к ^ то.

№ж € 0£/з(ш°(ж)), йТкж € 0£/з(ш^ж)).

Эти последовательности можно выбрать так, что выполнены неравенства

¿1 < Т1 < ¿2 < Т2 <    < £к < Тк < £к+1 <    . Из непрерывности функции £ ^ р(^ж,ш°(ж)) и неравенств

р

е

следует, что найдется последовательность {$к}, для которой

а, ) = е/3, ¿к ^ ^к ^ Тк.

Переходя в равенствах

p(X, ш^x)) ^ p(w0(x),ш1^)) — p(X^0(x)) = 2е/3,

X / ш 1(x), что противоречит равенству w(x) = ш0(x) (J ш 1(x).

Задача 4,1, Пусть М — компактное выпуклое подмножество пространства Е. Докажите, что для любой точки x £ Е функция t — p(h*x, М) непрерывна на R.

Г л а в а 2. Минимальные множества динамической системы, рекуррентность и почти периодичность

§ 5. Минимальные множества и рекуррентные движения

Минимальные множества. Если инвариантное множество минимально, то оно состоит из рекуррентных по Дж, Д, Биркгофу движений. Введем необходимые определения.

Определение 5,1, Множество М С Е, где (Е,д4) — динамическая система, называется минимальным, если оно непусто, замкнуто, инвариантно относительно потока h и не содержит собственного подмножества, обладающего этими свойствами.

Непосредственно из определения 5,1 следует характеристическое свойство минималь-М

ки х £ М замыкание траектории orb (ж) совпадает с М. Действительно, множество orb(x) инвариантно, замкнуто и содержитея в М. Если для некоторой точки x £ М множество orb(x) те совпадавт с М, то оно является собственной частью М.

Те о р е м а 5,1, Всякое инвариантное компактное множество содержит компактное минимальное подмножество.

М

метрическом пространстве Е и x £ М. Движение t — h*x называется рекуррентным,, если для любого е > 0 множество

Д

относительно плотно на числовой прямой R, то есть найдется такое $ = $(е) > 0, что для каждого s £ R отрезок [s,s + $] имеет непустое пересечение с множеством Д(е). В частности, если х £ Е и множество orb (ж) компактно, то движение t —> ¡1гх рекур-рентно в том случае, если для любого е > 0 множество (5.1) относительно плотно на R, Если движение t — hx рекуррентно, то точка x называется рекуррентной.

Теорема 5,2, Движение t — hV в компактном пространстве Е рекуррентно в том и только в том, случае, если, для, любых е > 0, $ > 0 .множество

0

(е, $)-почти периодов относительно плотно на, прям,ой R.

Доказательство, Если точка я рекуррентна, то для заданных е и § найдется 6 > 0, что для любой точки т € А(6) и всех £ € [-§,§] выполнено неравенство

р(й4+тя, й4х) ^ е.

Поэтому т € 0(е,§). Так как множество А(6) относительно плотно, то множество 0(е, §) тоже относительно плотно. Обратное утверждение очевидно,

Компактное множество

7

точек фазового пространства Е будем называть дугой траектории огЬ(х) временной длины §. Далее, е-трубкой дуги (5.3) назовем множество точек фазового пространства Е, отстоящих от дуги (5.3) не более чем на е. Пусть Ое(7(х,£0,£0 + §)) — е-трубка дуги, определенной равенством (5.3).

Рекуррентные движения. Характеристическим свойством, рекуррентности движения £ — в компактном проетранетве Е служит следующее свойство: для всякого е > 0 найдется такое § > 0, что любая, дуга 7(х, £0, £0 + §) временной длины, § оп-проксимирует траекторию огЬ(х) с точностью до е, то есть

огЬ

для любого ¿0 € К.

е > 0

дется § > 0, обеспечивающее следующее свойство: каждому £ € К и любому ¿0 отвечает такой момент времени в € [¿0, £0 + §], что р(Л*х, Л,5х) ^ е. Но последнее неравенство, очевидно, выполнено при в = £ + т и любом

т € 0(е,§)р|[*0 - М0 - £ + §],

где 0(е, §) — множество (е, §)-почти периодов движения £ — Нгх (см. (5.2)).

Несложно доказывается, что всякая точка, лежащая на траектории рекуррентного движения, тоже рекуррентна, то есть если движение £ — рекуррентно, то для каждого т € К движение £ — Нг(Л,тх) тоже рекуррентно. Поэтому каждое из множеств А(е,ж) и 0(е, §, ж) (см. (5.1) и (5.2)) относительно плотно па числовой прямой К для всех ж € огЬ(х). Более того, из характеристического свойства рекуррентности следует, что если точка х рекуррентна, то всякая точка х из замыкания огЬ(ж) траектории огЬ(х) тоже рекуррентна.

Лемма 5.1. Замыкание огЬ(х) траектории огЬ(х) рекуррентного движения £ — в компактном пространстве компактно.

е > 0 § > 0,

огЬ(х) С 0£/2 (7(х, £0, £0 + §)).

В силу компактности дуги 7(х, £0, £0 + §) существует конечная е/2-сеть |х1... хг } (иными словами, для любой точки х* дуг и 7(х, £0, £0 + §) найдется такой и ндеке г € {1... г}, что х* € Ое/2(хг)). Поэтому из замкнутости множества Ое/2(7(х,£0,£0+§)) следует включение

огЬ(х) С Ое/2 (7(х, £0, £0 + §)).

Далее непосредственно проверяется, что выбранное множество точек {х1... хг} образует е-сеть для множества огЬ(ж).

Теорема о рекуррентности. Сформулированное ниже утверждение принадлежит Дж.Д. Биркгофу,

Теорема 5,3, Всякая точка x минимального компактного множества порождает рекуррентное движение t ^ hx Верно и обратное утверждение, если точка х в компактном пространстве порождает рекуррентное движение, то множество orb(x) минимально и

а(х) = огЬ_(ж) = огЬ(ж) = огЬ+(ж) = ш(х).

Доказательство, Пусть M есть минимальное компактное множество в Е их £ M. Покажем, что движение t ^ hx рекурреитно. Если это не так, то найдутся число е > 0, последовательность отрезков [tj — tf^t + -tf], где -tf ^ то, и последовательность таких точек т, что

hTix / Ое

(другими словами, траектория orb(x) не аппроксимируется дугой

Y

длины 2tfj с точностью до е).

Рассмотрим две последовательности {xj} и {x*} точек, лежащих на траектории orb(x) : xj = hTix, x* = h^x. Каждая из этих последовательностей имеет предельную точку, и мы, не усложняя обозначений, будем считать, что сами последовательности имеют предел. Пусть x — предел первой, ax* — второй последовательности. Покажем тогда, что множество orb (ж*) является собственной частью множества М.

Фиксируем tf > 0 и рассмотрим дугу y(x*, —tf,tf) траектории orb(x*) длины 2tf. Пусть 6 > 0 таково, что из неравенетва p(x*,xo) ^ 6 для всех t £ [—tf,tf] следует неравенство

p(hV, h*x0) ^ е/3.

Далее, найдется такое i, что

tf ^ tfj, p(x*,x*) ^ 6, p(X,xj) ^ е/3. Следовательно, p(hx*,hx*) ^ е/3 при всех t £ [—tf,tf], но с учетом неравенств

имеем следующее неравенство:

p(hx*, xj) = p(hi+iix,xj) ^ е.

Из полученных неравенств и неравенства р(Х, xj) ^ е/3 при всех |t| ^ tf следует неравенство р(Х, h4x*) ^ е/3, что ввиду произвольности tf влечет неравенство р(х, огЬ(ж*)) ^ е/3. Так как х* £ М, то множество огЬ(ж*) является собственной частью множества M, что противоречит минимальности M. Следовательно, всякое движение в M рекуррентно.

x

orb(x) = w(x).

Действительно, в силу рекуррентности точки x для всякого положительного е найдется относительно плотная последовательность {rj} такая, что p(hTix,x) ^ е. Поэтому найдется такая последовательность {tj}, что tj ^ то и h^x ^ x. Следовательно, в силу инвариантности и замкнутости множества w(x) имеет место включение x £ w(x), и поэтому orb(x) С w(x).

Пусть хо G а (а), тогда огЬ(жо) С а(х). Если

огЬ(жо) |^|огЬ(ж) ф 0,

то огЬ

С другой стороны, найдется последовательность {t^} такая, что x ^ жо. Следовательно, огЬ(жо) = огЬ(ж) (в силу произвольности Жо), и поэтому ш{х) С огЬ(ж).

Отметим далее, что, не уменьшая общности, мы можем считать все последовательности {ti}, участвующие в доказательстве равенства orb (ж) = ш{х), неотрицательными (ti ^ 0), поэтому равенство огЬ+(ж) = ш{х) доказывается аналогично равенству orb(x) = ш(ж).

Пусть точка ж рекуррентна. Покажем, что множество ш(ж) (а следовательно, и множество orb(x)) минимально. Если это неверно, то найдется такое ж0 G ш(ж), что компактное и инвариантное множество огЬ(ж0) является собственной частью множества ш{х). Но это противоречит только что доказанному равенству огЬ(жо) = ш{х).

§ 6. Почти периодические движения динамической системы

Определение почти периодического движения. Почти периодические движения занимают промежуточное положение между периодическими и рекуррентными движениями и зачастую более точно (по сравнению с периодическими движениями) моделируют колебательные процессы в прикладных задачах. Теории почти периодических движений и функций посвящены монографии [16-18].

Определение 6.1. Движение t ^ Лж называется почти периодическим (по Бору), если для любого е > 0 множество е-почти периодов

относительно плотно па К. В этом случае мы будем говорить также, что 'точка х почти периодична.

х

этому замыкание огЬ(х) траектории огЬ(х) является минимальным компактным мно-

огЬ

же теореме Бохнера утверждается, что в действительности множество огЬ(х) состоит только из почти периодических точек. Для доказательства теоремы 6.1 нам понадобится лемма о равномерной двусторонней устойчивости по Ляпунову почти периодической точки относительно своей траектории.

Лемма 6.1. Допустим, что движение £ — Лх почти периодично. Тогда, всякому е > 0 отвечавт 6 = 6е > 0 такое, что для, любых двух точек к, к0 € огЬ(х), удовлетворяющих неравенству р(к, к0) ^ 6, при всех £ € К выполнено неравенство р(Ык, Л*к0) ^ е.

Доказательство. Пусть задано е > 0. Найдется такое 1£ > 0, что

р(огЬ(жо),огЬ(ж)) = е > 0.

sup p(hi+Tж, Лж) ^ е teR

Д(е/3,ж)р|[М + 4] = 0

для любого t £ R. Здесь

Д

е x.

вытекает следующее свойство:

если к £ orb(x), то Д(е,x) = Д(е, к).

Фиксируем произвольные t £ R и т £ Д(е/3,а). Тогда

p(ht+Tк, hк) ^ е/3, p(ht+Tко, ^ е/3.

Выберем теперь такое 6£ > 0, что го неравенства р(к, к0) ^ 6£ при всех п £ [0,1е] следует неравенство p(hnк, hnк0) ^ е/3. Пусть, кроме того, т £ [—t, —t + IJ, тогда t + т £ [0,le], и поэтому

p(ht+Tк, ht+Tко) ^ е/3.

Отметим теперь, что в силу компактности множества orb(x) и непрерывности функции (к, к0) — р(к, к0) константу 6£ > 0 можно выбрать общей для всех точек к, к0 £ orb(x). Поэтому, с учетом доказанных е/3-неравенств, получаем для всех t £ R неравенство р(^к, ^к0) ^ е.

Основная теорема о почти периодических движениях.

Теорема 6.1. Если движение t —> Ых почти периодично и не совпадает с положением равновесия и периодическим движением, то для любой точки х* G orb (ж) движение t — h4x* тоже почти периодично.

Доказательство. Для всякой точки x*, находящейся на траектории orb(x), движение t — h4x* почти периодично (сдвиг почти периодического движения — почти периодическое движение). Пусть х* G огЬ(ж) и х* ^ огЬ(ж). Тогда существует последовательность {xj}, где xj = hfix £ orb(x), такая, что xj — x*. Покажем, что движение t — h4x* тоже почти периодическое.

Так как последовательность {xj} фундаментальная, то для любого положительного 6 найдется такой номер k<s, что неравенство p(xj,xj) ^ 6 выполнено для всех индексов i, j ^ k^. Далее, го леммы 6,1 следует, что для любого е > 0 найдется такой номер k£, что для всех i, j ^ k£ и всех t £ R выполнены неравенства p(hxj, hixj-) ^ е. Последнее неравенство означает, что последовательность функций t — htxj фундаментальная в полном метрическом пространстве C(R, Е) с метрикой sup p(hк, hк0).

teR

Следовательно,

sup p(hxj, h4x*) — 0, i — то. teR

Покажем, что движение t — htx* почти периодично, Дейетвительно, пусть т £ Д(е^), тогда т £ Д(е, xj) при любом i. Следовательно, неравенство p(ht+Txj, htxj) ^ е выполнено при всех t £ R. Переходя в последнем неравенстве к пределу при i — то, получим неравенство

p(ht+Tx*,htx*) ^ е,

Г л а в а 3. Динамическая система сдвигов и конструкция Фавара

§ 7. Динамическая система сдвигов

Локально компактная топология. Пусть X — линейное конечномерное пространство с нормой |x|, X — линейное пространство непрерывных функций, определенных на всей числовой прямой К и принимающих значения в X. Введем на пространстве X метрику Бебутова

Р

teR L J

X

метрическим пространством. Топология, порожденная, метрикой (7.1), эквивалентна

(

)

Доказательство. Непосредственно из определения метрики (7.1) следует, что неравенство ^ е влечет за собой неравенство |<^(t) — ^(t)| ^ е, выполненное

для всех таких t, что |t| ^ е-1. Следовательно, из сходимости p(^fc, — 0 последовательности } функци й G X к функц ии ^ G X следует сходим ость (t) — <^(t), равномерная на любом отрезке /# = [—$,-$].

Пусть теперь заданы функциональная последовательность }, где G X, и функция t — <^(t) G X, определенная при всех t G R. Предположим, что для любого отрезка /# сужение последовательноети |^fc} на /# равномерно сходитея к Следовательно, функция t — <^(t) непрерывна на числовой прямой R и для люб ого е > 0 найдется такой номер k0 = ^(е), что для каждого k ^ fco при всех t, удовлетворяющих неравенству |t| ^ е-1, выполнено неравенство (t) — <^(t)| ^ е. Из этих двух

t

min{|/(t) — p(t)|, |t|-1} ^ е,

из которого ясно, что p(^fc, ^ е. Мы показали, что сходимость последовательности } к ^ в метрике p эквивалентна сходимости, равномерной на отрезках.

X

образует множество полиномов вида

aotn +-----+

с рациональными коэффициентами а0 ... an G X, n = 0,1...),

Пусть задано подмножество X0 пространства X. Каждой точке ^ множества X0

поставим в соответствие движение т — gT где

gT= ^т(), ^T(t) = <p(t + т), t G R,

и траекторию

orb(^) = { gT^ G Xo : т G R },

а затем замкнем её в метрике Бебутова. Объединение замыкания всех траекторий, построенных по каждой точке ^ множества X0, обозначим R(X0) и вместе с оператором сдвига gT построим динамическую систему (R(X0),gT), которая называется динамической системой сдвигов A.A. Маркова (мл.).

Рис. 4. Михаил Валерьевич Бебутов

Лемма 7.2. Пара (X,дт) образует топологическую динамическую систему.

Доказательство. Очевидно, что дту принадлежит X для любых т € № и у € X. Кроме того, дту|т_0 = у и дт+ = дтдй. Далее, пусть (тк, ук) — (т, у), к — то, тогда сходимость дтк ук к дту следует из неравенства

|ук(£ + тк) - у(£ + т)| ^ |ук(£ + тк) - у(£ + тк)| + |у(£ + тк) - у(£ + т)|.

Лемма 7.3. Для любой ограниченной и равномерно непрерывной на прямой № функции £ —>> у(£) Е X замыкание огЬ(у) траектории

огЬ(у) = {дгу € X: £ € К}

в метрике (7.1) компактно.

Доказательство. Достаточно доказать, что семейство функций

{ф} = {ф: М X, <ф е огЬ(у)}

равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на К.

Для всякой функции ф из этого семейства найдется послед о вательность {д гк у}, сходящаяся к ф в локально компактной топологии. Поэтому равномерная ограниченность семейства {ф} с учетом неравенства

|ф(£)| < |ф(£) - у*к (£)1 + К (£)1, £ € К,

следует из неравенства

вир |ф(£)| ^ вир |у(£)1,

г г

а равностепенная непрерывность — из неравенства

|ф(£ + т) -ф(£)| < |ф(£ + т) -угк(£ + т)| + |ф(£) -^(£)| + |у4к(* + т) -у^ (£)|, £ € К.

Из этой леммы и теоремы 4,2 следует, что если функция р равномерно непрерывна и ограничена на числовой прямой R, то омега-предельное множество ш(р) непусто, компактно и связно. Если, кроме того, движение т — gTр рекуррентно, то в силу теоремы 5,3 множество orb(p) минимально и

ш(ф) = orb(p) = orb+(p).

Рекуррентность и почти периодичность. Если омега-предельное множество ш(р), отвечающее функции р G X, содержит эту функцию (р G ш(р)), то найдется такая последовательность (т} моментов времени, что т — то и р(рп, р) — 0. Последнее означает, что для любых е > 0 и $ > 0 и любо го t0 множество

имеет непустое пересечение с полуинтервалом [t0, то). Функция р, обладающая этим свойством, называется P+-уетойчивой (устойчивой по Пуассону вправо). Попятным образом вводятся P--устойчивость и P-уетойчивоеть (в этом последнем случае имеет место включение р G а(р) Р| ш(р)).

Таким образом, P+-уетойчивоеть характеризует некоторое свойство «повторяемости» (говорят еще «возвращаемоети») траектории т — рТ, отвечающей функции р: существует бесконечно возрастающая последовательности сдвигов рп, возвращающая эти сдвиги, в е-окрестность функции р временной длины, 2$. Рекуррентность и почти периодичность демонстрируют более сильные свойства возвращаемоети.

Определение 7,1, Ограниченная и равномерно непрерывная па R функци я р^) со значениями в конечномерном пространстве X называется рекуррентной, если для любых положительных е и $ множество

0

(е, $)-почти периодов относительно плотно на R. Если же для всякого е > 0 относительно плотно множество

0

^ teR J

е-почтп периодов, то функция р^) называется почти периодической (в смысле Бора).

Лемма 7.4. Пусть функция t — р^) ограничена и равномерно непрерывна на прям,ой, R. Движение т — gTр рекуррентно (см. определение 5.2) в том, и только в том, случае, если, функция р^) рекуррентно,. Аналогично, движение т — gTр почти периодично (определение 6.1) в том, и только в том, случае, если функция р^) почти периодична.

Доказательство. Как уже отмечалось, неравенство р(р,—) ^ е эквивалентно неравенству |р(t) — — (t)| ^ е, выполненному для всех |t| ^ е-1. Поэтому если т G @(е,$), то

т G Д(6) = {т G R: p(hTр,р)}

при всех 6 G (0,$-1). Следовательно, го рекуррентности функции р^) следует рекуррентность движения т — gTр.

Пусть движение т — gTр рекуррентно. По заданным е > 0 и $ > 0 выберем 6 > 0, удовлетворяющее неравенствам 6 ^ е и 6 ^ $-1. Тогда если т G Д(6), то т G @(е,$).

Утверждение об эквивалентности двух определений почти периодичности доказывается аналогично.

Задача 7.1. Пусть X — конечномерное пространство с нормой |х|, § — линейное пространство локально интегрируемых по Лебегу функций у: К — X с метрикой

д

(пространство В. В. Степанова). Метрика (7.5) порождает топологию равномерной в среднем сходимости на отрезках (которая тоже называется локально компактной топологией). Поток на § определим обычным образом: дту = ут, где дту(£) = у(т + £).

Получите аналоги лемм 7.1, 7.2 и 7.3 для динамической системы (§,дг). Введите определения рекуррентности и почти периодичности, отвечающие метрике (7.5), и получите аналог леммы 7.4 для пространства §. Докажите следующее утверждение: если пространство X состоит из непрерывных на прямой К функций, то сходимость в пространстве (X, с метрикой (7,5) эквивалентна сходимости в пространстве (X, р) с метрикой р, определенной равенством (7,1),

Задача о колеблемости. Рассмотрим пример применения динамической системы сдвигов в задаче о колеблемости нетривиальных решений уравнения

у+ р

с заданной функцией

) вт(1п(1 + £)), если £ ^ 0,

Р(£) = Л П Ф^П

I 0, если £ < 0.

С этой целью построим замыкание ^(р) множества сдвигов функции р(£) (уравнения (7.6)) в топологии равномерной сходимости на отрезках.

Напомним, что уравнение (7.6) называется колеблющимся, если:

(1) для, каждой точки £0 любое нетривиальное решение уравнения (7.6) имеет на, интервале (£0, то) по крайней мере один нуль

и уравнение (7.6) называется равномерно колеблющимся, если:

(2) найдётся, такое число I > 0, что для, любого £0 € Я всякое нетривиальное решение уравнения (7.6) имеет по крайней мере один нуль на отрезке времени,

М0 +1].

Рассмотрим соответствующую уравнению (7.6) динамическую систему (^(р),дт) и ш-предельное множество П(р). Множество П(р) состоит из функций, тождественно равных константам р0 (£) = с, принадлежащим отрезку [-1,1]. Следовательно, среди уравнений

У + сУ = 0

есть не только колеблющиеся, но и неколеблющиеся, а это означает, что уравнение

колеблющееся, но неравномерно относительно врем,ени, £

§ 8. Конструкция Фавара

Линейная система дифференциальных уравнений и соответствующая ей динамическая система. Рассмотрим линейную систему

х = Я

с ограниченной на, оси К локально интегрируемой по Лебегу функцией Я: К — М(п), удовлетворяющей условию равномерной непрерывности в среднем: для каждого £ > 0 найдется такое положительное число 8, что неравенство

Г г+1

Уг

выполнено для любых |т| ^ 8 и всех £ € К.

Наряду с системой (8.1) рассмотрим семейство Х(Я) систем, полученных из Я замыканием множества сдвигов Я в локально компактной топологии. Сказанное означает, что включение О € ) выполнено в том и только в том случае, если найдется такая последовательность (т}, что д(Ят., О) — 0 при всех г — то, где метрика д определяется равенством (7.5), или, что эквивалентно, для любых £ > 0 и § > 0 найдется такой номер последовательности что выполнено неравенство

г г+1

тах / |Ят. Ы - О(з)| ^ £

Л

для всех г ^

Снабдим пространство ) метрикой (7.5) и определим поток (дт} па ) равенством

дтО = От, О € ), т € К,

где по-прежнему От (£) = О(т + £). Тогда мы имеем возможность изучать семейство систем

х = А(дгО )х,

зависящих от параметра О. Здесь функция А: ) — М(п) определена равенством А(дгО) = О(£). Отметим еще, что в силу условий на функцию А пространство ) компактно и инвариантно и поэтому имеет непустые альфа и омега-предельные множества (см. лемму 7.3 и теорему 4.2). Вводя привычные обозначения

Е = ), а = О, А :Е — М(п), А(дга) = а(£) = О(£),

полученное семейство запишем в виде

х = А

где а — параметр, пробегающий пространство Е. Особенность системы (8.3) состоит в том, что она стационарна относительно потока. Тем самым, рассуждая формально, нестационарной системе (8.1) можно поставить в соответствие «стационарную систе-

а

сдвигов правой частью.

Эту конструкцию удобно использовать в ситуации, когда сужение системы (8.3) на омега-предельное множество ш(а0), а0 € Е, приводит к более обозримому семейству систем

х = А

а свойство, которое мы изучаем у системы (8,3), наследуется системой (8,4),

Простой пример: если функция ^(£), порождающая систему (8,1), стремится при £ — то к Т-периодической функции £ — Н(£) (в смысле введенной метрики д, т. е, для любого е > 0 найдется такой сдвиг (£), что

г *+т

^ |^т(в) - Н(в)| ^ ^ е

при всех £ € [0, Т]) и система

х = Н (£)х

экспоненциально устойчива, то система (8,3) тоже экспоненциально устойчива. Действительно, в этом случае омега-предельное множество {Нт} состоит из всех функций £ — Н(т + £), где т € [0,Т]. Оно компактно и минимально, а экспоненциальная устойчивость (совпадающая в этом примере с асимптотической устойчивостью) сохраняется при малых (в метрике д) возмущениях исходной периодической системы.

Можно не фиксировать систему а рассматривать проетранетво X всех систем вида (8,1) с локально интегрируемыми по Лебегу функциями £ — ^(£) € М(и) (и фиксировано), Тогда, проводя аналогичные рассуждения, мы получим динамическую систему (X, Л*), содержащую все линейные системы дифференциальных уравнений заданной размерности. Это очень «обширная» динамическая система, и, не смотря на то, что X — полное сеиарабельное метрическое пространство, а поток {$*} «устроен» достаточно просто, надеяться на содержательную математическую теорию в такой ситуации не приходится. Но в X есть инвариантные компактные (а следовательно, есть и минимальные, см, теорему 5,1) множества. На таких множествах можно вводить дополнительные структуры (например, инвариантные вероятностные меры), и поэтому сужение потока на такие множества уже приводит к содержательным результатам.

Нелинейная система. Отметим теперь, что аналогичную конструкцию можно повторить для нелинейной системы

х = д(£,х), (£,х) € Кх М,

где М — облаеть в и правая часть q ограничена и локально интегрируема по Лебегу относительно £ на прям ой К равномерно относительно х на любом компакте в М. Пусть X(q) — пространство систем (функций (£, х) — д(£,х)), полученных из д замыканием множества сдвигов дт функции д по переменной £ в локально компактной топологии. Тогда включение д € X(q) выполнено в том и только в том случае, если найдется такая последовательность {т}, что для любых е > 0, $ > 0 и всякого компакта К С М найдется такой номер последовательности к = к(е,$,К), начиная с которого при всех (£, х) € [—$] х К выполнено неравенство

г *+т

/ (в,х) — д(з,х)| ^ е, г ^ к.

Определив на X(q) поток {$*} равенством дтд = д, получим топологическую динамическую систему ^(д)^*) и семейство систем дифференциальных уравнений, которое в понятных обозначениях можно записать в виде

х = (£,а,х) € К х Е х

где Е = X(q), а = д, а = д, ^а,х) = д(£,х).

Задача 8,1, Докажите, что если функция (£,х) — ?(£, х) € М ограничена и локально интегрируема по Лебегу относительно £ на числовой прямой К равномерно относительно х на любом компакте в М, то £(д) — полное (в компактно открытой топологии) сеиарабельное пространство (см, доказательство леммы 7,1), Более того, пространство (£(?), д) компактно (см, доказательство леммы 7,3),

Задача о быстродействии. Рассмотрим принцип максимума Л, С, Понтрягина (задача о быстродействии [19]) содержащий управляемую систему

x = v(í,x,u), x е Rn, u e U С

Г,

с геометрическими ограничениями U на допустимые управления u(t), где U — компакт, Пусть заданы дополнительные граничные условия

x(to ) = xo, x(to + т ) = Xi,

функционал быстродействия

T(uO) ^ mn .

Тогда имеет место принцип максимума

maxH(í,x(í),^(í),u) = H(í, x(í), ^(í), u(í)), í e [í0,í0 + т],

где

H

— гамильтониан, (x(í),u(í)) — допустимая пара, оптимальная в смысле быстродействия, — решение сопряженной системы

dv(t,x(t),u(t)) ^ = —^-•

При мер 8,1, Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

а = v, .

2 , , (8-5) v = — ш sin а + u, |u| ^ 1,

описывающую колебания математического маятника, снабженного мотором в точке подвеса, Предполагаем далее, что масса т груза (точки р) равна единице, а константа ш определяется равенством ш = \fífg} где Í — длина маятника, д — ускорение свободного падения точки p.

Отметим теперь, что естественным фазовым пространством системы (8,5) является гладкое двумерное многообразие M = S х R, где S — окружность. Следовательно, локальные координаты точки p рассматриваемой системы (8,5) имеют вид (a mod2n,v), где а — угол отклонения точки p от вертикал и, —п ^ а ^ п (точк и — п и п отождествляются), a v — угловая скорость движения точки p, v е R.

Предположим теперь, что управление маятником осуществляется с помощью допустимых позиционных управлений u(a,v), а задача состоит в построении допустимого позиционного управления u(a, v), приводящего маятник из всякой точки (a,v) фазового пространства M в заданную точку (п, 0) за минимальное время T(a,v) (задача стабилизации маятника в нижней точке подвеса).

Рис. 5. Лев Семенович Поптрягип

Рассмотрим сначала поведение траекторий свободной системы (8,5) (то есть системы (8,5) при управлении u(t), тождественно равном нулю):

а = v, ,

. 2 • (8-6) v = — ш sin а.

Система (8,6) имеет две особые точки (0, 0) и (п, 0) (точки (—п, 0) и (п, 0) отож-деетвляютея) и две сепаратрисы

v

из седла (п, 0) в седло (—п, 0), которые являются решениями двух задач Коши

dv 2 sin а _ „ dv 2 sin а _ — = -о;"5-, г;(0) = 2ш, — = -ш -, г;(0) = -2ш.

da V da V

Остальные траектории системы (8,6) — замкнутые кривые. Они определяются при каждом значении параметра в равенством

V2 = 2(ш2 cos а + в),

где в меняется в следующих пределах: — ш2 ^ в < Отметим еще, что особым точкам (0, 0) и (п, 0) системы (8.6) отвечают значения параметра в = — ш2 и в = ш2. Кроме того, легко попять, что всякая точка фазового пространства системы (8.6), двигаясь вдоль своей траектории с возрастанием времени t, движется по часовой стрелке.

Рассмотрим область Gi многообразия M, ограниченную двумя сепаратрисами (8.7), и две области G-¿, G¿, объединение которых совпадает с областью М \ GБудем считать, что нижняя граница области G2 ограничена первой сепаратрисой (8.7), а верхняя

граница области G3 — второй сепаратрисой. Построим теперь позиционное управление

Í1, если (a,v) е G1, — 1, если (a,v) е G2 I) G3.

Тогда замкнутая система имеет вид

а = v, ,

• 2 • + ( ) (8-8) v = —ш sin а + u(a,v),

и несложно заметить, что все точки фазового пространства, двигаясь по траекториям

Задача 8,2, Представляет интерес найти время быстродействия для системы (8,5) из произвольной точки (a,v) е S х R в точку (п, 0).

Г л а в а 4. Стандартная управляемая система

§ 9. Конечномерные гладкие многообразия

Дифференцируемым многообразием называется [6-11] конечномерное топологическое многообразие снабженное гладким атласом,. Атлас, покрывающий многообразие, называется дифференцируем,ой структурой. Характерной особенностью многообразия является отсутствие глобальной системы координат.

Несколько примеров конечномерных гладких многообразий.

1, Евклидово пространство размерности n или область G в .

2, Сфера

Sn = {ж G Rn+1: ж? +    + x^+1 = 1}

в Rn+1 и всякое множество, диффеоморфное сфере Sn.

3, Mn = {x G RN: fi(xi ...Xn ) = 0 .../fc (xi ...xw ) = 0},

rank (= N — k = п. V dxJ i=i...k

x J / j=1...N

4, Top

Tm = S1 x    x S1 размерности m, локальные координаты в Tm могут быть такими:

у = (^1 ...ym), о ^ у < 2п, i =1 ...m.

5, Проективное пространство

RPn = {жо : X1 : ... : ж„},

— это множество прямых, проходящих через начало координат в Rn+1.

6, Гладкое многообразие Mn с краем (край многообразия Mn — это гладкое многообразие Mn-1 размерности n — 1),

мп

W

<р

( р( хЛ

^^ и = р^)

Рис. 6. Карта (^ р, Еп) многообразия Мп

Л

м,

пространствами Хаусдорфа со счетной базой.

Карты многообразий. Напомним [20], что пространство Хаусдорфа со счетной

м,

точек х, у существуют открытые множества X и У пространства М такие, что

х е X, у е У и хр|У = 0, и, кроме того, существует счетное семейство В (А) открытых подмножеств проетран-

м м,

V пространства М найдётся такое подмножество и е В (А), что и С V.

Определение 9,1 (карта многообразия (см, рис, 6)), Карта многообразия Мп — это область и в евклидовом пространстве размерности п вместе с взаимнооднозначным отображением р : W — и, где ^ ^ ^^^жество в Мп:

х е W, р(ж) = (ж1... хп) е и с кга.

Для записи карты р : W — и могут употребляться также следующие обозначения

(W,р,U) ми (^р, Еп). Согласованность карт многообразия Мп

Определение 9,2 (см, рис, 7), Две карты (^г, р^, и), (Ж?-, р ^, и) многообразия Мп называются согласованными, если множества

и? = ^ ) и и? = р? (^р| ^

образуют области в Мп и при этом отображения

р? = р?р- 1: и? — и?, р? = р*р,- 1: и? — и

диффеоморфны:

р1 (х1 •••хП)=х1

рп? (х1 . . . хп) хП

др? (х1

' г=1...п «=1...га

г

И

1Ып\

Еп

У ^ = У/У- 1 : ^ ^ У* (х1 • • • хП) = 4> к = 1 . . . П

Рис. 7. Согласованность карт многообразия Ип

Определение 9,3 (структура гладкого многообразия Ип), Атлас на И — это совокупность таких карт, что любые две карты согласованы и любая точка х множе-И

Два атласа эквивалентны если любая карта одного атласа согласована с любой

И

ся класс эквивалентных атласов.

Определение 9,4 (диффеоморфизмы класса Ск), Напомним, что функция р: (—е,е) ^ И допустима, в точке х (принадлежит классу Ск), если р(0) = х и в локальных координатах

непрерывно дифференцируема к раз в точке * = 0,

Диффеоморфные многообразия. Пусть И и N — многообразия класса Сг, г ^ 1, вложенные в евклидовы пространства, и f: И ^ N. Тогда по определению

в локальных координатах непрерывно дифференцируема к раз в точке * = 0.

Будем говорить, что ¡принадлежит классу Ск на многообразии И, если f принадлежит классу Ск в каждой точке х € И,

Далее, отображение (х), действующее из пространства ТХИ, касательного к многообразию И в точке х, в пространство ТуN касательное к многообразию N в точке у = f (х) и определенное равенством

£ ^ р

¡принадлежит классу С , 1 ^ к ^ г, в точке х € И,

<к

если для любой допустимой функции * ^ р(£) вектор-функция

4/" (х)^ =

г

p(t)'

x

M

f

N

f

y

-i

ij(fm))=(fMt))---fn(Pm

y(x) (fi(pi.. •Pn) . . . fn (Pi . . -Pn

Рис. 8. Диффеоморфные многообразия

для всякой Ск-кривой

p : (-е,е) ^ M, p(0) = x,

dp

dt

t=0

= v

называется производной отображения / в точке х.

По определению отображение f : М — X называется Ск-диффеоморфизмом, где к ^ 1, если оно принадлежит классу Ск в каждой точке многообразия М и имеет обратное того же класса.

Определение 9,5 (эквивалентные кривые). Рассмотрим карту (Ж, у, и) гладкого многообразия Мп и точку х € Ж По определению две гладкие кривые

Ь — р(£) € Ж, * € (-£,£),

принадлежат одному классу эквивалентности, в точке х, если р1(0) = р2(0) = х и имеет место равенство

ИР1(Ь)) - У(Р2(*)) | г

lim

t

0.

Теорема 9,1 (о диффеоморфных многообразиях (см, рис, 8)), Пусть М и N — гладкие конечномерные многообразия, вложенные в евклидовы, пространства, а f: М — N — отображение класса, Ск, к ^ 1, и

#(х): ТхМ — 7>

— изоморфизм5 для, каждого х € М.

Тогда, отображение f является, диффеоморфизмом класса, Ск.

Напомним, что

1) многообразие Мп называется ориентируемым, если неравенства

det

<Vfc(xl---xn) dxS

> 0

fc,s=1...ra

5То есть для любых VI, «2 € ТХМ имеет место равенство V — 1 = |/(х)у 1 — /(ж)«21.

Л

выполнены для всех карт , рг,иг), (^7, р?, и?) многообразия Мп, имеющих непустое пересечение; здесь

р? = р?р-1 : иг? — и?г, иг? = р^ р| W?), и?г = р? р|

2) связность означает, что для любых двух точек х,у многообразия М найдется такой набор карт (^г, рг, иг), г =1... к, что х е W1, у е Wfc и

^_1р| ^^г = 0, г = 2 ...к;

3) существование счетного атласа означает, что существует атлас не более чем из счетного числа карт;

4) множество С многообразия М размерности п называется открытым, если его изображение р(^ Р| С) на каждой карте (^ р, и) является открытым подмножеством области и пространства Еп;

5) подмножество К многообразия М называется компактным, если для каждого покрытия множества К открытыми множествами найдется конечное покрытие.

Теорема 9,2 (теорема X, Уитни), Всякое гладкое многообразие Мп со счетной базой допускает гладкое вложение в евклидово пространство Е2п+1.

§10. Касательное расслоение ТМ многообразия М

Мп

ТМ = у ТМ

жем

2п.

М

Оказывается далее, что если М — многообразие класса Сг, г ^ 1, то ТМ — многообразие класса Сг_1.

Каждая точка (х1... хп, ... £п) касательного расслоения ТМ имеет 2п координат, где х = (х1... хп) — координаты точки х е М, а £ = ... £п) — координаты вектора, находящегося в касательном пространстве Тж М к многообразию М в точке х. Пусть заданы карта (^ р, Кп) многообразия М,, и локальные координаты

р

точки х е W• Тогда, как несложно убедиться, этой карте отвечает карта (Т^ —, М2п), где

TW = и ТжМ, -(х,£) = (х1 ...хга,£1 ...£„) е WxTW,

М

ты касательного пространства ТжМ. Следовательно, множество ТМ всех касательных М 2п.

§11. Управляемые дифференциальные системы на гладких многообразиях конечной размерности

Стандартная управляемая система. Введем в рассмотрение важное для дальнейшего изложения определение так называемой стандартной системы. Важным свойством таких систем является свойство сохранять «стандартность» управляемой системы не только при сдвигах по времени векторного поля, но и при замыкании множества сдвигов исходной системы в топологии равномерной сходимости на компактах. Кроме того, пространство стандартных систем — это достаточно общее пространство, оно содержит многие важные для приложений объекты.

Определение 11,1, Управляемую систему

(¿,х,м) е КхМ хи, будем называть стандартной, если выполнены следующие условия,

М

п

М

вложено в евклидово пространство К2га+1 размерноети 2п + 1 (при высказанных предположениях в силу теоремы X, Уитни [7] такое вложение всегда возможно),

и

мы (11,1) предполагается, что и — компакт в евклидовом проетранетве конечной размерности (как правило, т ^ п, но это неравенство не предполагается),

3, Для любой абсолютно непрерывной функции £ — х(£) е М в каждой точке (¿,х(£)) выполнено условие невырожденности

где ТжМ — евклидово пространство, касательное к многообразию М в точке х е М,

4, Предположим далее, что для каждой фиксированной точки (х,и) множества М х и функция £ — г>(£,х, и) локально интегрируема по Лебегу, ограничена и равномерно непрерывна в среднем, на числовой прямой К равномерно относительно любого множества = К х и, где К — произвольный компакт многообразия М.

5, Кроме того, предполагается, что функция х — х,и) удовлетворяет локальному условию Липшица для каждой точки (£, и) множеетва К х и.

Напомним теперь, что по определению для любой точки (£, и) е К х и функция

удовлетворяет локальному условию Липшица, если для каждой точки хо е Ми всякой карты а, V) многообразия М, содержащей точку х0, выполнено следующее условие:

для каждого компакта К С W такого, что х0 е К, найдется число 1К (х0), обеспечивающее для, всех х, у е К неравенство

x = v

v(t,x(t),U )f| ТЛ(4) M = 0

x ^ v(t,x, u), x £ M,

gcte a(x) = (xi... xn) — локальные координаты точки x £ W, a

v

m

— координаты векторного поля v(t,x,u) системы (11,1), выходящего из точки a(x) £ V и находящегося в пространстве TxM, касательном к M в точке x.

Далее, напомним, что локально интегрируемая по Лебегу функция t ^ v(t,x,u) называется равномерно непрерывной в среднем, на числовой прямой R равномерно относительно каждого множества = K х U, где K — компакт в M, если

для любого положительного £ найдется, такое число ß = ß(£,K) > 0, что при всех t £ R, т £ [—ß,ß] и любых (x,u) £ выполнено неравенство6

г t+1

Л Rn

Фиксируем удовлетворяющие условиям определения 3.1 многообразие M = Mn и множество U С Rm и введем в рассмотрение пространство S = S(M, U) стандартных управляем,ы,х систем, с метрикой

b

t,K

построенной на основе метрики М. В. Бебутова (см. [4,5]). Здесь К — произвольный компакт многообразия М, и = («1... ит) £ и,

а(х) = (х1 ...х„) £ Жк = а(жр|к), = ( У Жк) х и, (11.5) где (Ж, а, V) — карта многообразия М, имеющая непустое пересечение с множеством

Ж пк.

Введем в рассмотрение однопараметричеекую группу дт преобразований пространства § в себя, определенную равенством дтV = , вде (¿,х, и) = г>(£ + т,х,и), т £ М. Несложно убедиться, что

дтv|т_0 = V, дт(д^и) = дт+^ и функция (т, V) — дтV непрерывна.

Следовательно, пара (§,дт) определяет топологическую динамическую систему сдвигов.

Рассмотрим теперь траекторию

огОД =

движения т — дтV системы (11.1) и замкнем её в метрике (11.4).

Лемма 11.1 (о замыкании). Пусть V £ Включение V £ огЬ(г>) выполнено тогда, и только тогда, когда, существует последовательность |т^} моментов врем,ени, удовлетворяющая следующему свойству: для любого положительного £ и всякого компакта, К С М найдется такой индекс г0 = г0(£,К), что для, всех г, удовлетворяющих неравенству г ^ г0, и всех то чек (¿, х, и) множества [—£-1 ,£-1] х , г<?е определено равенством (11.5), выполнено неравенство

г

/ тах ^

Кроме того, всякое векторное поле д, принадлежащее огЬ(г>), содержится, в §.

6Это неравенство следует понимать так: для каждой карты М") многообразия М, имею-

щей непустое пересечение с компактом К и карты (ТШ, 7, М2") многообразия ТМ неравенство (11.3) выполнено для всех £ £ М, т £ [—в, в]> (Ж1 ...хп) £ а(ТУр| К), и = (и 1 ...ит) £ и и включения Х1 . . . х" и1 . . . ит) . . . (£, Х1 ... X", и1 ... ит)) £ 7 (Т^).

Допустимый процесс. Для того чтобы выяснить условия существования магистральных процессов, введем в рассмотрение следующее важное для дальнейшего определение допустим,ого процесса.

Определение 11,2, Функция

£ — С

состоящая из управления и(£) и решения р(£) системы

х =

называется допустимым процессом стандартной управляемой системы (11.1), если

1) программное управление и: К — и локально интегрируемо по Лебегу и равномерно непрерывно в среднем,;7.

2) решение р(£) системы (11.9) понимается в смысле Каратеодори и предполагается, что оно определено на, прям,ой К и ограничено на полуоси К+ = [0, то);

3) Для процесса (11.8) при почти всех £ е К выполнено условие согласованности,

(£,р(£),и(£)) е Т^)М.

Если £(£)—допустимый процесс, то и(£) и р(£) называются допустимыми управлением и решением системы (11.9).

Замечание 1. В силу предположения о локальной липшицевоети векторного поля

М

при каждом £ из интервала существования решения.

Определение 11,3 (условия Каратеодори), Функции

V : К х М х и — ТМ удовлетворяет условиям Каратеодори, если:

1) при каждом фиксированном ¿функция (х, и) —  (£, х,и) непрерывна на множестве М х и, и — компакт в Кт;

2) для любой фиксированной точки (х,и) е М х и функция £ —  (£, х,и) локально интегрируема по Лебегу;

К С М

функция £ — тК (£), что для всех (£, х) е К х К х и в локальных координатах

(£,х,и) = (!(£,х1.. .х„,и1.. .ит)... п х1 . . . xra, и1 . . . ит)) выполнено неравенство

|V(£,х1.. .х„,и1.. .ит)\ ^ тК(£).

7Это означает, что для каждого положительного е найдется такое положительное число в = в(е),

г- t+l

что для всех \т| ^ ^ ( е К выполнено неравенство / |мо(в + т) — мо(в)| ¿в ^ е.

Рис. 9. Константин Каратеодори

Г л а в а 5. Теорема о равномерной локальной управляемости магистрального процесса

§12. Позиционное управление и решения управляемой системы в смысле А. Ф. Филиппова

О н р с д с ,11 с и и с 12,1 (допустимое позиционное управление). Заданная функция

и : М х М — и

называется допустимым позиционным, управлением стандартной системы (11.1), если

1) для каждой точки х £ М функция £ — и(£,х) переменно го £ локально интегрируема по Лебегу и равномерно непрерывна в среднем:

2) любая ограниченная область С многообразия М состоит из конечного числа областей Сг, в каждой из которых векторное поле

х) = х, и

замкнутой системы уравнений

х = д

локально липшицево (см. (11.2)) и при приближении к любой точке X границы области Сг векторное поле (12.1) имеет конечный предел 8;

8При высказанных условиях функция х — и(х) суперпозиционно измерима в следующем смысле: если функция £ — х(£) локально измерима по Лебегу, то функция £ — и(х(£)) тоже локально измерима по Лебегу (см. [21]).

3) существует допустимый процесс £(t) = (p(t),u(t)) системы (12,2), этот процесс определяется следующим образом:

а) p(t) — определенное на оси R и ограниченное па полуоси R+ решение дифференциального включения

x G v(t, x, U(t, x)),

где

U

a {u(t,ж)} — множество предельных точек функции x ^ u(t,x) при фиксированном x и всевозможных y ^ x;

б) u(t) — такое допустимое программное управленпе, что u(t) G U(t, p(t)) при

tt

v(t,p(t),u(t)) G T¥,(t)M.

Если u : R x M ^ U — допустимое позиционное управление, a система (11.1) стандартная, то систему

x = q

где q(t,x) = v(t,x, u(t,x)), тоже будем называть стандартной.

U

граммное управление u(t) ограничено на прямой R. Кроме того, из определения допустимого процесса, условий 1-4 определения стандартной управляемой системы и известной теоремы о локальном существовании и единственности решения задачи Коши

x = v

следует, что решение p(t) задачи (12.5) на максимальном интервале его существования

M.

Напомним формальное определение решения в смысле А. Ф. Филиппова [1] системы дифференциальных уравнений (12.2) с разрывным по фазовым переменным векторным полем q(t,x). Решением (в смысле Филиппова) системы (12.2) называется всякое абсолютно непрерывное решение включения

x G Q

правая часть Q(t,x) которого определена равенством

Q

£>0 mes jU=0

Здесь векторное поле q(t, x) системы (12.2) в локальных координатах многообразия M имеет представление

q(t, x) = (qi(t, xi ... x„) ... qn(t, xi... x„)),

mes — мера Лебега в Rra, a со A — замыкание выпуклой оболочки множества А С Rra.

9Есть простые примеры систем дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решения задачи Коши, на особых многообразиях которых (то есть на многообразиях, не обладающих свойством единственности решения задачи Коши) существуют решения, покидающие гладкое многообразие M, на котором рассматривается система.

Отметим [1, е, 40-42], что в силу условия 2 определения позиционного управления для каждой точки x £ M непрерывности векторного поля q(t, x) множество (12,7) состоит из одной точки, совпадающий с q(t,x); если же х — точка разрыва функции x ^ q(t,x) (в этом случае х находится на границе объединения областей (Сг|), то правая часть Q(t,x) включения (12,6) в точке x = х представляет собой выпуклый многогранник, образованный из всех таких точек ql(i,x), для которых выполнено условие

х) = lim q(t,x).

жес4

Из сказанного следует, что в рассматриваемом случае представление множества Q(t,x) упрощается: Q(t,x) = q(t,x), если x — точка непрерывности векторного поля q(t,x), если же х — точка разрыва векторного поля, то

Q(t,x) = cö{ql(t,x)},

где х)} — множество предельных точек векторного поля q(t, x) при всевозможных x ^ х.

§13. Теорема о равномерной локальной управляемости допустимого процесса

Пусть заданы стандартная управляемая система

х = г>

допустимое позиционное управление и(£,х) и допустимый процесс £(£) = (^(¿),н(£)) замкнутой системы

х = и

Введем в рассмотрение функцию

которую будем называть полным допустимым процессом,. Здесь

д(£,х) = и(£,х, и(£,х)).

Если процесс (13.3) является полным, но не обязательно допустимым в том смысле, что х, и) — стандартное векторное поле, и(£,х) — допустимое позиционное управление, но процесс £(£) = (х(£),н(£)) не предполагается допустим, то такой процесс мы

Будем рассматривать пространство Ф = {(?(£,х),£(¿))} полных процессов с метрикой, определенной равенством

b^1, -02) = supmin < / maxi |q1(s,x) — q2(s,x)| + t,K 1Л xe^

+ luV^x) - u2

I 4 / 4 / I I 4 / I Rn / ' ' Rn 111 4 7

где дг(£,х) = V1 (£,х, иг(£,х)), £г(£) = (рг(£),иг(£)), г = 1,2, К — произвольный комМ.

еходимоети на компактах [—$] х К,

Далее, для полного допустимого процесса, (13,3) и каждой точки х е М построим положительную полутраекторию

огЬ+(—,х) = {—т(-,х) : т ^ 0}

движения т — —т процесса — , где

—т (£,х) = (д(* + т,х),С (£ + т )),

и замкнем огЬ+ (—,х) в метрике (13,4),

В силу высказанных ранее условий о стандартном векторном поле (£,х,и), допустимом позиционном управлении и(£, х) и допустимом процессе С(£) и с помощью соответствующего утверждения Бебутова [4, теорема 1] несложно доказать, что при всех х е М пространство огЬ + (ф,х) компактно в метрике (13,4), Следовательно, для любой фиксированной точки х динамическая система (отЪ+(ф,х), дТ), где дтф = фт — оператор сдвига по времени т, имеет для каждого полного процесса —, принадлежащего фазовому пространству огЬ+(—,х), омега-предельное множество П(—); оно компактно

т

Определение 13,1 (равномерно управляемого полного процесса). Фиксируем допустимый процесс С0(£) = (р0(£),и0(£)) и обозначим р(£,х1) решение системы (13,2) с начальным условием р(0,х1) = х1 е М. Фиксируем полный допустимый процесс (13,3), Тогда множеством управляемости, (—) решения р0(£) системы (13,2) на отрезке [0, $] называется множество

Предполагается далее, что для всех £ е [0,$] выполнено условие согласованности

р(£,х1),и(£,х1^ е Т¥,(4>Л1)М,

где и(£,х1) е и(~Ь, , множество и(£,х) определено равенством (12,3), а управ-

ление и(£,х1) таково, что пара (р(£,х1),и(£,х1^) вместе с векторным полем (£,х,и) и позиционным управлением и(£,х) образуют полный допустимый процесс замкнутой системы (13,2),

Далее, положительная полутраектория

огЬ+(^0) = (Р0( + т) : т ^ 0}

решения р0(£) системы (13,2) полного допустимого процесса (13,3) называется равномерно локально управляемой, если найдутся такие положительные числа что для всех ф Е огЬ+(-0) имеет место вложение 0е(ро(0)) С Ъ#(ф).

Из сказанного в определении 13,1 следует, что если — (£, х) — управляемый полный допустимый процесс, то при каждом неотрицательном конечном т процесс — (£+т, х) тоже является управляемым полным допустимым процессом, но, как показывают простые примеры, в омега-предельном множестве И(ф) динамической системы (отЪ+(ф), дТ), отвечающей управляемому полному допустимому процессу, наряду с управляемыми процессами могут появиться и полные неуправляемые процессы. Отсюда следует, что из

условия управляемости полного допустимого процесса ^(¿,х) автоматически не следует его равномерная локальная управляемость.

Интересно, что есть и такие примеры: исходный полный процесс х) при каждом фиксированном х € М недопустим, но в омега-предельном множестве динамической системы (огЬ+(-0, х), дт) наряду с полными процессами, которые являются недопустимыми, есть и допустимые полные процессы. Рассмотрим по этому поводу следующий пример.

Пример 13,1, Рассмотрим стандартную управляемую систему

| вт(1п(£ + 1)) — 0.5 при £ ^ 0, х = а(£)и, а(£) = < У 7 |и| ^ 1,

I — 0.5 при £ < 0,

допустимое позиционное управление

— 1 при х ^ —1, и(х) = ^ х при —1 ^ х ^ 1, 1 при 1 ^ х

и допустимый процесс £(£) = (х0(£), г/.0(£)), где хо(0) = еехр(—(2 + л/3)/4), е € (0,1),

х0(£) = х0 (0) ехр^0.5(£ +1)[в1п(1п(£ +1)) — еов(1п(£ + 1))] — 0.5£ + 0.5^ , и0(£) = и(х0(£)),

при всех £ ^ 0, Так как решение х0(£) уравнения х = а(£)и(х), как несложно убедиться, удовлетворяет неравенству

|ж0(г)| ^ еехр(-Аг), где Л = (2 - л/3)/4,

то при всех £ ^ 0 выполнено неравенство |х0(£)| ^ е. Поэтому и0(£) = х0(£).

Мы показали, что при Л = (2 — л/3)/4 функция ф(1,х) = (а(^)м(х),£(£)) образует допустимый полный процесс. Покажем теперь, что в омега-предельном множестве П(^) полного процесса ^(¿,х) наряду с допустимыми полными процессами есть недопустимые,

£(£) = (х0(£), м0(£)) напомним обозначение

х) = х, и

и рассмотрим произвольное решение х(£) сиетеж1 ()3,2), удовлетворяющее при заданном положительном е включению 10 х(0) € О (х0(0)). Далее рассмотрим систему урав-

и такое решение х

£0(£) = (х0(£), м0(£)) введём в рассмотрение две функции, которые будем называть тоже допустимыми.

10Уместно напомнить, что поскольку рассматривая система (13.2) определена на многообразии М, то предполагается, что найдется область В, содержащая точку х(0) и находящаяся на одной карте (Ш,ф, М") мнотообразия М. Следовательно, найдется такое положительное е, что выполнено включение 0(жо(О)) С ф(В).

1. Скалярная функция £(£, у1... уп) переменных (£, у) € М х Мп при каждом у абсо-

д

лютно непрерывна по £ и ограничена на полуоси Е+ вместе с производными — д

—Ь{Ь,у), и при почти всех £ ^ 0 выполнено равенство ¿(¿,<т(хо(£))) = О11.

2. Функция а(£) локально интегрируема по Лебегу, ограничена, и при заданном положительном $ выполнено неравенство

г

вир / а(з) < 0.

^0 Л

Теорема 13,1, Пусть заданы, допустимая управляемая система (13.1), допустимое позиционное управление и(£,х), допустимый процесс £0(£) = (^0(£),м0(£)), отвечающий системе (13,2) и управлению и(£, х), положительные числа $, е, допустимые функции , х) м а(£) и омега-предельное множество П(^) траектории огЬ(п), где

,х,У) = ,х)) ,У),а(^).

Тогда, если для, всех х € П(^), £ € [0,$] м х € Ое(х(0)) выполнено неравенство

д ^ / д ^ \

^ а(£) sgn (£(£,х(£,х))0, где х(£, х) = ст(х(£,х)) — ст(<х0(£)), шо положительная полутраектория

0гЬ+(^0) = (Х0( + т) : т ^ 0} равномерно локально управляема.

§14. Линейная управляемая система

Линейную управляемую систему

х = А

будем называть стандартной, если функция £ ^ (А(£), В(£)) локально интегрируема по

Ми

ограничения на допустимые управления, компактно. В дальнейшем будем рассматривать только стандартную управляемую систему.

Определение 14.1 (задача быстродействия). Задача быстродействия состоит в отыскании интегрируемого по Лебегу программного управления

и0(£) = и(£; £0, х0) € и

т

скорость выполнения второго из условий краевой задачи

х

М,

та (Ш, а, V), V = ) С М", многообразия М, содержащая точку <0(0), и, следовательно, найдутся такие положительные е, что Ое(а(<о(£))) С V при всех £ € [0, $], а(<) = (< ... <п).

Рис. 10. Множество управляемости D3n

Таким образом, время быстродействия т(t0,x0) заДачи (14,1), (14,2) определяется равенством

т

KOK1

Если для некоторой точки (t0,x0) нет конечного времени т(t0,x0), обеспечивающего выполнение второго условия задачи (14,2), то по определению полагаем, что т(t0,x0) = оо.

Будем изучать задачу быстродействия дня стандартной управляемой системы (14,1) и ее множество управляемости па заданном отрезке времени, В связи с этим имеет смысл изучать два множества управляемости:.

1) множество управляемости

D

при заданном времени быстродействия т(t0,x0);

2) множество управляемости

A?

на заданном отрезке времени [t0,t0 + $].

Из определений множеств управляемости (14.4) и (14.5) системы (14.1) следует, что в эффективной области существования функции быстродействия т(t, x) имеют место равенства

dD(t,x) = т (t,x), D(t,x) = D(t>x)(i), где dD(t,x) — граница множества D(t,x). Кроме того, имеет место равенство

Ç

D^(Î0) = — / Xt0 (0,i)ßto (t)Udt.

0

На рисунке 10 показано множество управляемости D3n (0) системы

x 1 = — x2,

x 2 = xi — x3,

б

Рис. 11. Фрагмент расширенного множества управляемости системы (14.7) при ê = 6

на отрезке времени времени [0, 3п] (построенное Н. В. Миличем [15]). Тонкими линиями отделены многообразия, в которых оптимальное управление начинается с плюс единицы или минус единицы.

Наряду с множествами управляемости (14.4) и (14.5) имеет смысл при рассмотрении задачи быстродействия (14.1), (14.2) ввести в обиход два расширенных множества управляемости:

1) расширенное множество управляемости D(x) = (J (t, D(t, ж)) при заданном вре-

teR

мени быстродействия

2) расширенное множество управляемости = (J (t, (t)) на отрезке заданной

te R

длины ê.

На рисунке 11 в качестве примера построено расширенное множество управляемости системы управляемой системы

Х1 = ' Î14 7)

ж2 = —(1 + 0.5 sin 2t)x1 + u, |u| ^ 1,

построенное С. Ф. Николаевым.

§15. Неосцилляция

Определение 15.1. Управляемую систему

ж = А

будем называть докритической в точке ¿0 (а интервал [¿о, ¿о + ^(¿о)) _ докритическим), если найдется такое число а(£0) > 0, что функции

http://kite2J1.wordpress.com

Рис. 12. Пафпутий Лызович Чебышев (1821-1894) где х1(£) ... _ базис решений системы

X = —

образуют на интервале [¿0,£0 + а(£0)) систему функций П. Л. Чебышева,

Это означает, что всякая нетриоиальная линейная комбинация функций £1(£)... £„(£) имеет на, интервале [¿0,£0 + а(£0)) не бол,ее п — 1 геометрически различных нулей. Если а0 = то, то полуось [£0, то) называется докритической.

О н р е д е ,11 е и и е 15,2 (Условие (А)). Предположим, что система (15,1) докритиче-ская в каждой точке £0 прямой М. Максимальную длину интервала [£0,£0 + а) докритич-ности в точке £0 обозначим а(£0), Мы говорим, что выполнено условие (А) если имеет место неравенство

т£ а(£) = а0 > 0

(если а0 = го, то система (15.1) называется докритической на прямой М),

Теорема 15,1 (о структуре множества управляемости). Пусть выполнено условие (А). Для, каждой точки (£,х) такой, ч,то т(£,х) ^ $ ($ = а0, если а0 < го, и $ — любое, если а0 = го) граница множества управляемости управляемой системы

х = А

имеет вид

д£(£, х) = с1 (м+-1(£, х^ М--1(£, х)) ,

М+-1(£, х) = М+-1(£, х) У М--2(£, х^   - У М±(£, х),

М--1(£, х) = М--1(£, х^ М+-2(£, х^    У (£, х),

к =1 ... п. Кроме того, для любого к € {1...п} каждое из многообразий М+-1(£,х), М--1(£, х) ^^^^ инвариантно и многообразие М+-1(£,х)и М--1(£,х) является общим краем многообразий с1 М+(£,х), с1 М-(£,х).

Теорема 15,2 (теорема 15,1 (Ые)), Пусть выполнено условие (А). Для каждой точки (¿,х) такой, что т(¿, х) ^ $ ($ = а0, если, а0 < го, и $ — любое, если а0 = го), граница множества управляемости, системы (15,2) имеет вид

дД, (¿) = с1 (м,—1(£) у М,—1^)) , где

м,;1^) = м,-1^) и м,:2^) и    и м,:1^) = м*:1^) у м*_ 2 (*) у    у м^ (¿),

к =1... и. Кроме того, для любого к € {1... и} каждое многообразие М,*1^), М, -1(^) слабо инвариантно, а многообразие М,*1^) и М,—1^) является общим краем многообразий, с1 М,+ (£) и с1 М, :(¿).

Важное замечание. Если в условии (А) имеет место равенство

т£ = го,

то в теореме о структуре границы дД(£, х) множества управляв мости Д(£,х), так же как и в теореме о структуре границы дФ(х) расширенного множества управляемости Ф(х) = (¿,Д(£,х)), следует рассматривать множества

ДСО = {х € Ега : т(¿,х) ^ $}

и = (¿, Д,(£)) для любого конечного $ ^ 0, Аналоги этих теорем для множеств Д,(¿), тоже верны (см, теоремы 15,1 и 15,2),

Теорема 15,3 (о структуре расширенного множества управляемости). Пусть выполнено условие (А). Для, каждой точки (¿,х) такой, что т(¿,х) ^ $ ($ = а0, если а0 < го, и $ — любое, если а0 = го), граница расширеноого множества управляем,ости, системы (15,2) имеет вид дФ(х) = с1 (Ш+(х) У (х)),

ш* (х) = Я* (х) у ^ :1(х) у Я+: 2(х) у    у N2 (х),

ш_ (х) = N1 (х)у N1 : 1(х)у N1_ 2(х)у   у N (х),

1 ^ к ^ и. Далее, для, каждога к €{1... и} многообразия Ш+(х), Ш_ (х) слабо инвариантны и многообразие Ш+:1(х) и Ш_-1(х) является общим краем многообразий с1 (х), с1 Ш_ (х).

Теорема 15,4 (Теорема 15,3 (Ыс)), Пусть выполнено условие (А). Для, каждой точки (¿,х) такой, что т(¿,х) ^ $ ($ = а0, если а0 < го и $ — любое, если, а0 = го), граница расширенного множества управляем,ости, системы (15,2) имеет вид дъ, = с1 (N5+и ),

= < у 1 у 2 у    у ,

N5— = N1 у ж,-1 у ж,—2 у ••• у

к =1... и. Далее, для каждого к € {1... и} многообразия N5+, К,_ слабо инвариантны и многообразие К,*1 У 1 является общим, краем многообразий с1 и с1 К, _.

{х 1 = -х2,

х2 = х1 — х3,

Рис. 13. Множества управляемости D3n

Список литературы

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

2. Биркх'оф Д. Динамические системы. Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 407 с.

3. Каток А.Б., Хаееелблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.

4. Бебутов М.В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций /7 Бюллетень Института математики МГУ. 1940. Т. 2. № 5. С. 1-52.

5. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. Л.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

6. Ахрачев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005. 391 с.

7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: УГСС, 1986. 759 с.

8. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 35. 1989. 240 с.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. 239 с.

10. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

11. Крейн С.Г., Яцкин Н.И. Линейные дифференциальные уравнения на многообразиях. Воронеж: Воронежский государственный университет, 1980. 131 с.

12. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 331 с.

13. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 361 с.

14. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

15. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

16. Демидович Б.П. Лекции но математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

17. Левитан Б.М. Почти-нериодические функции. М.: Гостехиздат, 1953. 396 с.

18. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-нериодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978. 204 с.

19. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

20. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

21. Скворцов В.А. Борелевское множество // Математическая энциклопеция. М.: Советская энциклопеция, 1977. Т. 1. С. 535.

22. Хаусдорф Ф. Теория множеств. M.-JL, 1937.

23. Милич Н.В. Структура множества управляемости и позиционное управление линейной нестационарной системой: дис. ...канд. физ.-матем. наук / УдГУ. Ижевск, 2000. 117 с. http://minimax.school.udsu.ru/files/1275393018.pdf

24. Николаев С.Ф. Свойства функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой: дис. ...канд. физ.-матем. наук / УдГУ. Ижевск, 1998. 117 с. http://minimax.school.udsu.ru/files/1275393020.pdf

Поступила в редакцию 01.04.2014

Тонков Евгений Леонидович, д. ф.-м.н., профессор, Удмуртский государственный университет,

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1; Институт математики и механики имени

H.H. Красовского УрО РАН, 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

E-mail: eltonkov@udm.ru

E.L. Tonkov

Turnpike motions of control systems

Keywords: dynamic systems, finite-dimensional smooth manifolds, ordinary differential equations, control systems, turnpike motions.

MSC: 34-00

This paper is intended primarily for graduate students specializing in differential equations. It covers the applications to control systems of the well-developed theory of classical dynamic systems, methods of differential geometry and the theory of differential inclusions, mainly developed by A. F Filippov. The main content of the paper is the study of the so-called standard control system. The phase space of such a system is a finite-dimensional smooth manifold. This assumption is very important from the point of view of applications. In addition, it is assumed that the vector field of the system is locally Lipschitz, and the geometric constraints on the controlled parameters are compact. Admissible control functions can be program and/or positional. In the first case, we arrive at the so-called systems of Caratheodory equations. In the second case, if the vector field is discontinuous with respect to phase variables, we arrive at Filippov's differential inclusions. Serious attention is given to the study of the conditions under which specified properties of the control system continue to hold after closing the set of shifts (in the topology of uniform convergence on compact sets) of the initial standard control system.

REFERENCES

1. Filippov A.F. Differential equations with discontinuous righthand sides, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1988.

2. George D. Birkhoff, Dynamical systems, New York: American Mathematical Society, 1927, 295 p. Translated under the title Dinamicheskie sistemy, Izhevsk: Udmurt State Universuty, 1999, 408 p.

3. Katok A., Hasselblat B. Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, 1997, 802 p. Translated under the title Vvedenie v sovremennuyu teoriyu dinamichesckikh sistem, Moscow: Faktorial, 1999, 768 p.

4. Bebutov M.V. Dynamical systems in the space of continuous function, Bull. Mat. Inst. Moscow State University, 1940, vol. 2, no. 5, pp. 1-52 (in Russian).

5. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative theory of differential equations, Courier Dover Publications, 1989, 523 p.

6. Agrachev A.A., Sachkov Yu.L. Geometricheskaya teoriya upravleniya (Geometric control theory), Moscow: Fizmatlit, 2005, 391 p.

7. Dubrovin B.A., Fomenko A.T., Novikov S.P. Modern geometry — methods and applications: Part I: The geometry of surfaces, transformation groups, and fields, Springer, 1992, 470 p.

8. Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Nov. Dostizh., vol. 35, Moscow: VINITI, 1989, 240 p.

9. Arnol'd V.I. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya (Ordinary differential equations), Moscow: Nauka, 1971, 239 p.

10. Arnol'd V.I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii (Additional chapters of the theory of ordinary differential equations), Moscow: Nauka, 1978, 304 p.

11. Krein S.G., Yatskin N.I. Lineinye differentsial'nye uravneniya na mnogoobraziyakh (Linear differential equations on manifolds), Voronezh: Voronezh State University, 1980, 131 p.

12. Pontryagin L.S. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya (Ordinary Differential Equations), Moscow: Nauka, 1965, 331 p.

13. Myshkis A.D. Lineinye differentsial'nye uravneniya s zapazdyvayushchim argumentom (Linear differential equations with the retarded argument), Moscow: Nauka, 1972, 361 p.

14. Hale J. Theory of functional differential equations, Berlin: Springer-Verlang, 1977, 231 p.

15. Krasovskii N.N. Nekotorye zadachi teorii ustoichivosti dvizheniya (Some problems in the theory of stability of motion), Moscow: Fizmatgiz, 1959, 211 p.

16. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti (Lectures on the mathematical stability theory), Moscow: Nauka, 1967, 472 p.

17. Levitan B.M. Pochti-periodicheskie funktsii (Almost periodic functions), Moscow: Gostekhizdat, 1953, 396 p.

18. Levitan B.M., Zhikov V.V. Almost periodic functions and differential equations, CUP Archive, 1982, 211 p.

19. Pontryagin L.S., Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. Matematicheskaya teoriya optimal'nykh protsessov (Mathematical theory of optimal processes), Moscow: Nauka, 1969, 384 p.

20. Engel'king R. Obshchaya topologiya (General Topology), Moscow: Mir, 1986, 751 p.

21. Skvortsov V.A. Borel set, Mathematical encyclopedia, Moscow: Soviet Encyclopedia, 1977, vol. 1, p. 535.

22. Hausdorff F. Set theory, American Mathematical Soc., 1957, 352 p.

23. Milich N.V. Structure of the set of control and position control of a linear nonstationary system, Cand. Sci. (Phys.-Math.) Dissertation, Izhevsk, 2000, 117 p (in Russian).

http://minimax.school.udsu.ru/files/1275393018.pdf

24. Nikolaev S.F. Properties of the speed function and position control of a linear nonstationary system, Cand. Sci. (Phys.-Math.) Dissertation, Izhevsk, 1998, 117 p (in Russian).

http://minimax.school.udsu.ru/f iles/1275393020.pdf

Received 01.04.2014

Tonkov Evgenii Leonidovich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia;

Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Ko-

valevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia.

E-mail: eltonkov@udm.ru