Разноуровневый подход к обучению координатно-параметрическому методу решения задач с параметрами

3. Войшвилло, Е.К., Дегтярев М.Г. Логика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. - М.:Владос-Пресс, 2001. - 528 с.

4. Колягин, Ю.М., Луканкин, Г.Л., Саннинский, В.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. 2-е издание. - М.: Просвещение, 1980.- 480 с.

5. Кучеров, В. Геометрические аналогии / В. Кучеров. - М.: Бюро Квантум, 1995. - 128 с.

6. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

7. Макарченко, М.Г., Подходова, Н.С. Идея доказательства теоремы как составляющая профессионального контекста будущего учителя математики // Вестник Поморского университета. - 2009. - № 4. - С.158-166.

8. Макарченко, М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике // Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. - 2008. - № 11 (71). - С. 268-276.

УДК 514 ББК 22.151

О.В. Шилкина

РАЗНОУРОВНЕВЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ КООРДИНАТНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОМУ МЕТОДУ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Аннотация. В статье обоснована необходимость учета разных уровней сложности в использовании координатно-параметрического метода решения задач с параметрами и целесообразность разноуровневого подхода к обучению решению задач указанным методом.

Ключевые слова: Задачи с параметром, методы решения, уровни сложности.

O.V. Shilkina

MULTI-LEVEL APPROACH TO LEARNING COORDINATE-PARAMETRIC METHODS FOR SOLVING PROBLEMS WITH A PARAMETER

Abstract. In the article are proved the necessity of taking into account the different levels of difficulty in the use of coordinate-parametric method of solving problems with the parameters and feasibility tiered approach to teaching problem solving by this method.

Key words: Problems with parameters, methods of solution, levels of complexity.

Координатно-параметрический метод решения задач с параметрами относится к достаточно мощному методу, применимому к широкому классу указанных задач.

Он основан на нахождении множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координаты х и параметра а, каждой из которых, удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению).

Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра а = const поставить в соответствие координаты х точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения.

Рассмотрим соотношение

F

где значок V обозначает один из знаков: =, <, >, <, >, а F(x,a) — некоторая функция переменной х и числового параметра а.

Пусть на координатно-параметрической плоскости хОа найдено множество всех точек, значения координаты которых удовлетворяют рассматриваемому соотношению.

Тогда каждому допустимому фиксированному значению параметра а можно поставить в соответствие значения искомой величины х — координаты соответствующих точек найденного множества.

В зависимости от поставленной задачи дается ответ. В ответе могут указываться либо значения параметра, при которых решение уравнения или неравенства удовлетворяет определенным требованиям, либо значения переменной х при заданных (или допустимых) значениях параметра.

Следует отметить, что в рассматриваемом координатно-параметрическом методе центральное место занимает нахождение множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением (1).

В случае, когда соотношение (1) является уравнением, таким множеством является график этого уравнения.

В случае, когда соотношение (1) является неравенством, то для нахождения множества точек координатно-параметрической плоскости, удовлетворяющих неравенству применяется так называемый метод частичных областей, использование которого во многом аналогично применению метода интервалов для решения неравенств с одной неизвестной.

Кроме того, нахождение множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением (1), как правило, требует равносильных преобразований этого соотношения.

Таким образом, можно выделить два этапа при реализации координатно-параметрического метода:

1. Нахождение множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением (1).

2. Установление соответствия между значениями параметра и переменной с использованием чертежа (т.е. снятие с чертежа необходимой информации) и запись ответа на поставленный в задаче вопрос.

Анализ задач с применением координатно-параметрического метода, построенном как на личном опыте, так и на основных принципах передового педагогического опыта, показал, что:

1. В контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике представлены задачи с использованием координатно-параметрического метода высокого уровня сложности.

2. Можно выделить разные уровни сложности использования координатно-параметрического метода.

3. Разноуровневость в решениях задач с использованием координатно-параметрического метода требует разработки разноуровневого подхода к обучению учащихся использованию координатно-параметрического метода.

Данная статья посвящена выделению уровней сложности использования координатно-параметрического метода и выделению основных этапов работы как с методом в целом, т.е. на любом этапе обучения, так и специфических уровней внутри этапа.

Для этого выделим уровни сложности в использовании координатно-параметрического

метода.

На этапе нахождения множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением F(x, а) V 0 уровень сложности заданий определяется следующими факторами:

- необходимостью разложения выражения Г(х,а) (а в случае, когда Г(х,а) является дробью, числителя и знаменателя этого выражения) на множители и способа разложения;

- необходимостью производить равносильные преобразования исходного соотношения;

- структурой области определения функции ^(х,а);

- видами линий (прямая, кривая второго порядка, график элементарной функции), объединением которых является график уравнения Р(х,а)=0, или ограничивающих область определения функции F(x,a).

На этапе установления соответствия между значениями параметра и переменной с использованием чертежа и записи ответа на поставленный в задаче вопрос сложность заданий определяется следующими факторами:

- количеством линий в графике Р(х,а)=0 и их взаимным расположением (чем больше линий и точек пересечения, тем больше случаев в «расслоении» решения по параметру);

- наличием «выколотых» точек на графике и статусом граничных точек в случае областей (принадлежат или не принадлежат граничные точки множеству), так как наличие граничных точек, не принадлежащих множеству порождает особые случаи в решении;

Понятно, что все перечисленные факторы в задачах могут достаточно сложно переплетаться, и классификация по сложности может носить только условный характер. Для создания системы задач, определим следующие уровни сложности:

1. Функция Г(х,а) является произведением двух линейных сомножителей, каждый из которых содержит только одну переменную.

Область определения функцииГ(х,а) - вся плоскость.

График уравнения F

2. Функция Г(х,а) раскладывается в произведение двух линейных сомножителей, каждый из которых содержит только одну переменную.

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость.

График уравнения F

3. Функция F(x,a) раскладывается в произведение двух линейных сомножителей, хотя бы один из которых содержит обе переменные.

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость.

График уравнения F(x,a)=0 - пара прямых, хотя бы одна не параллельна осям координат.

4. F(x,a) дробно-линейная функция.

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость за исключением прямой, определяемой знаменателем.

График уравнения F(x,a)=0 - прямая (возможно с выколотой точкой).

5. Функция F(x,a) раскладывается в произведение трех линейных сомножителей.

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость.

Графиком уравнения F(x,a)=0, являются три прямые (пересекающиеся в одной точке; параллельные; две параллельные и пересекаются третьей; пересекающиеся, но не в одной точке).

6. F(x,a) - дробно-рациональная функция.

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость за исключением прямых, определяемых знаменателем.

Графиком уравнения F(x,a)=0 является объединение прямых с выколотыми точками.

7. Функция F(x,a) раскладывается в произведение сомножителей: линейных и квад-

2 2 ратичных вида (а + рх + дх + s), (х + ра + да + s).

Область определения функции Р(х,а) - вся плоскость.

Графиком уравнения F(x,a)=0 является объединение прямых и парабол.

8. F(x,a) - дробно-рациональная функция, числитель и знаменатель которой раскладываются в произведение сомножителей: линейных и квадратичных вида

22 (а + рх + дх + s), (х + ра + да + s).

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость за исключением прямых и парабол, определяемых знаменателем.

Графиком уравнения F(x,a)=0 является объединение прямых и парабол с выколотыми точками.

9. Функция F

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость.

Графиком уравнения F(x,a)=0 является объединение окружностей и прямых.

10. F(x,a) - дробно-рациональная функция, числитель и знаменатель которой раскладываются в произведение сомножителей: линейных и квадратичных приводимых к виду

((х—р)2 +(а—д)2 —г).

Область определения функции F(x,a) - вся плоскость за исключением прямых и окружностей, определяемых знаменателем.

Графиком уравнения F(x,a)=0 является объединение прямых и окружностей с выколотыми точками.

Определим структуру системы задач по теме «Координатно-параметрический метод». Предлагаемая система задач разработана в соответствии с методикой обучения координатно-параметрическому методу, предложенному кандидатом физико-математических наук, доцентом Ляховой Н.Е. [2]. Как показал обзор литературы, посвященной изложению координатно-параметрического метода, авторы, изложив суть метода, переходят к рассмотрению примеров решения задач указанным методом. В лучшем случае [1] задачи классифицируются по принципу: уравнение или неравенство фигурирует в условии задачи и какие виды функций они содержат (рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и другие).

Такое обучение методу подходит лишь для хорошо подготовленного читателя, но не подходит для рядового школьника. Поэтому для изучения координатно-параметрического метода в средней школе необходимо придерживаться другого подхода.

Как следует из описания координатно-параметрического метода, процесс обучения методу можно разделить на три этапа.

Этап А. Обучение нахождению множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением F(x, a) v 0.

Обучение нахождению множества всех точек координатно-параметрической плоскости, определяемых соотношением F(x, a) v 0. В рамках этого этапа рассматриваются два шага: построение графиков уравнений и нахождение областей, задаваемых неравенством.

В рамках этого этапа можно выделить два шага:

Ai. Обучение решению задач вида: «Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x,a) удовлетворяют уравнению F(x,a)=0, то есть построить график заданного уравнения».

A2. Обучение решению задач вида: «Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x,a) удовлетворяют неравенству F(x,a) v0». Выполнение этого шага предполагает: выполнение шага Ai (построить график уравнения F(x,a)=0) и определение знака функции в каждой полученной области (метод областей).

Этап В. Выработка умений устанавливать соответствие между допустимым фиксированным значением параметра a и значениями искомой величины х — координаты соответствующих точек заданного множества. На этом этапе вырабатываются навыки снятия информации с готового чертежа. На этом этапе также можно выделить четыре шага

Bi. Заданное множество - объединение линий и точек. Выработка навыков по множеству значений x, удовлетворяющему условиям задачи, находить значения параметра.

B2. Заданное множество - объединение линий и областей. Выработка навыков по множеству значений x, удовлетворяющему условиям задачи, находить значения параметра.

B3. Заданное множество - объединение линий и точек. Выработка навыков для каждого значения параметра находить соответствующее ему множество значений переменной x.

B4. Заданное множество - объединение линий и областей. Выработка навыков для каждого значения параметра находить соответствующее ему множество значений переменной x.

Этап С. Обучение непосредственно решению задач с параметром координатно-параметрическим методом. На этом этапе происходит соединение этапов А и В, то есть поставленная задача с параметром рассматривается полностью от условия до ответа. Именно этот этап хорошо представлен литературой по задачам с параметрами.

Предлагаемая обучающая система задач строиться по принципу матрицы, элементами которой являются блоки заданий. Для обозначения блоков используются обозначения Aj, Bj, Cj .

Буквы А, В, С соответствуют этапам обучения. Каждый блок имеет двойную нумерацию. Первый индекс обозначает номер шага в соответствующем этапе реализации координатно-параметрического метода. Второй индекс обозначает уровни сложности.

Уровни сложности

Эт апы реа лиза-ции ме то-да

l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. l0.

A All. Ai2. Ai3. Ai4. Al5. Ai6. Ai7. Al8. Al9. Allu.

A2i. A22. A23. A24. A25. A26. A27. A28. A29. A2l0.

B Bll. Bl2. Bl3 Bi4 Bi5 Bi6 Bl 7 Bl8 Bl9 Bll0

B2l. B22 B23 B24 B25 B26 B27 B28 B29 B2l0

ВН. В32. В33. В34. В35. В36. В37. В38. В39. В310.

В41. В42. В43. В44. В45. В46. В47. В48. В49. В410.

с С11. с'12. с'13. с'14. С'15. С16. с'17. с'18. с'19. с'110.

Приведем примеры заданий. Все задания первой строки матрицы имеют следующую формулировку:

А1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (х,а) удовлетворяют уравнению F(x,a)=0. При этом функция F(x,a) меняется в зависимости от выбранного уровня сложности. Так, например блокАи может содержать следующие задания..

1. Fx,a) =(х—1)(а+2).

3 2

2. Е(х, а) = (х — 1) (а + 2) .

2

3. Е (х, а) = (х — 1)( х + 2)(а — 2а + 2).

22

4. Е(х, а) = (а + 5) (а — 3)(х + 1).

Все задания второй строки имеют следующую формулировку:

А2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (х,а) удовлетворяют неравенству Е(х, а) > 0; Е(х, а) < 0, если:

2 3

А21. Е(х, а) = (х + 2) (4 — а) 2

А23. Е (х, а) = а — 2 х — 2а + ха.

А26. е (х, а) = (х — а)2( х2 — (а +1)2)( х — а +1.

(х + а)4

2

х — а — 1)( х ( „ 0 ч 2 ,

а210. Е (х, а) =

2 2 2 А27. Е(х, а) = (х — а — 1)(х — а ).

(х — 2)2 + а2 — 9

(х — 2)4

Все задания третьей строки имеют следующую формулировку:

В1. На рисунке изображен график уравнения Е(х,а)=0. Для каждого значения переменной а укажите всевозможные значения переменной х такие, что точка с координатами (х,а) принадлежит указанному графику.

Вц.

В:э.

В15.

Все задания четвертой строки имеют следующую формулировку:

В2 На рисунке изображено множество точек, удовлетворяющее соотношению F(x, а) V 0. Для каждого значения переменной а укажите всевозможные значения переменной х такие, что точка с координатами (х,а) принадлежит указанному множеству. Е>23

5 3 2 1 а / / / \х=а X

и 12 3 4

-2 •3 -5

B2

B2

Сц Для каждого значения параметра а решить уравнение

(х+1)(а-3) = 0.

С:2. Для каждого значения а решить неравенство

(х - а)(х - 2) < 0.

С13. При каких значениях параметра а уравнение

х2 + ах - х - а = 0.

имеет один корень.

См. Для каждого значения параметра а решить неравенство

x - a

< 0.

x + 2

Cl7. Для каждого значения параметра a решить неравенство

2

x + 2x-a > 0.

Результаты данной статьи и анализ приведенных примеров показывают, во-первых, необходимость учета разных уровней сложности в использовании координатно-параметрического метода, а во-вторых, важность и целесообразность разработки разноуровневого подхода к обучению решению задач при помощи координатно-параметрического метода.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Моденов, В. П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие / В.П. Моденов. — М.: Экзамен, 2007. - 288 с.

2. Ляхова, Н.Е., Яковенко, И.В. Методы решения уравнений и неравенств в задачах с параметрами: учеб. пособие / Н.Е. Ляхова, И.В. Яковенко; отв. ред. А.А. Илюхин. - Таганрог: ТГПИ имени А.П.Чехова, 20l4. - 92 с.

УДК 514 ББК 22.151я72-4

С.В. Лознева

ЗНАЧИМОСТЬ МИКРОСТРУКТУРНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПЕРВОГО РАЗДЕЛА СТЕРЕОМЕТРИИ

Аннотация. В статье рассмотрены некоторые микроструктурные средства решения задач первого раздела стереометрии и показана целесообразность их создания и активного использования на уроках математики.

Ключевые слова: стереометрия, решение задач, общая структура решения задач, микроструктура решения задач, деятельность по решению задач.

S.V. Lozneva

CONCERNMENT OF MICROSTRUCTURE MEANSS FOR TEACHING OF TASK SOLUTION

FROM FIRST PART STEREOMETRY

Abstract. In this article there are seen some microstructure means of task solution from first part stereometry and are demonstrated expediency their making and active utilization on lessons mathematics.

Key words: stereometry, task solution, general structure of task solution, microstructure of task solution, activity of task solution.

В школьном курсе стереометрии первым разделом является «Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей в пространстве». От того насколько качественно он будет изучен зависит усвоение всего последующего материала. А как показывает практика и анализ методической литературы, учащиеся плохо владеют стереометрическим материалом. Анализ ЕГЭ показывает следующие результаты [6]: в среднем 20% выпускников даже не приступают к решению стереометрических задач, 51% выпускников, пытающихся решить геометрическую задачу, допускают традиционные ошибки, в основе которых лежат незнание стереометрического материала и неумение проводить логические рассуждения. Чтобы устранить причины неумения учащимися самостоятельно решать сложные задачи, нужно представить себе процесс обучения поэтапно, т.е. каким образом сложную задачу можно разложить на составляющие её простые этапы или шаги. Рассмотрим пример того, как начинают процесс обучения изготовлению мебели или шитью платья. Нужна ли поэтапность или пошаговость этих процессов обучения? Неужели обучение начнем с того, что предложим им изготовить табуретку или какое-то платье? Нет, сначала учат разбираться в материалах, которые используются для мебели или платья. Затем учащихся обучают выполнению отдельных элементарных операций разными инструментами. И только после этого предлагают ученикам изготовить ту самую табуретку. Иными словами, для того чтобы человек сознательно овладел каким - либо сложным делом, ему нужно дать необходимые знания об объектах, с которыми ему придется иметь дело, научить отдельным действиям и операциям, из которых состоит его будущая работа, обучить основным методам этой работы. А ведь решение задач - это ещё более сложная деятельность, чем изготовление мебели или каких - либо других предметов (в умственном плане). Мы хотим, чтобы учащиеся научились решать самостоятельно (а не по подражанию) сложные задачи, но не даём им никаких знаний о задачах и их решении, не вырабатываем у них нужных для этого элементарных умений и навыков. Для того чтобы научить учащихся самостоятельно решать нестандартные задачи, выработать у учащихся общий подход к решению любых задач, сформировать способность разумного поиска способа решения задач незнакомого вида (имеются в виду задачи школьного типа, не требующие особых методов решения), необходимо следующее.

1. Дать учащимся элементарные знания теории задач. Эти знания не следует выделять в особую тему, а можно давать попутно с решением задач в течение всех лет обучения, возвращаясь к одному и тому же понятию неоднократно. Например, первое понятие о задаче и её структуре следует дать учащимся ещё в начальной школе, но затем в средних и старших классах это понятие необходимо уточнять и углублять многократно. То же следует делать с другими понятиями теории задач: генезис задач, классификация задач, сущность и процесс решения и т. д.

2. Выработать у учащихся прочные умения и навыки в выполнении отдельных элементарных действий, входящих в процесс решения сложных задач: умение проводить анализ задачи, построение различных её моделей, осуществление планомерного поиска способа