Построение матричных инвариантных операторов на однородных многообразиях

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 33-35.

УДК 512.81, 539.1 О.Л. Курнявко

ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ОДНОРОДНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

Рассматривается задача построения матричных дифференциальных операторов на однородных пространствах, инвариантных относительно структурной группы данного пространства.

Ключевые слова: группы Ли, алгебры Ли, однородное пространство, группа движений, уравнение Клейна-Гордона, калибровочные поля.

Введение

Развитие точных методов интегрирования дифференциальных уравнений является актуальной задачей теории дифференциальных уравнений и математической физики. В связи с этим особое место занимают так называемые классификационные задачи, состоящие в перечислении всех классов точных решений для заданного вида дифференциального уравнения. Один из подходов к решению данного класса задач связан с исследованием свойств симметрии, рассматриваемых дифференциальных уравнений, который в свою очередь требует разыскания наиболее общего вида дифференциального оператора, инвариантного относительно действия заданной группы симметрии.

Одним из аспектов, обусловливающих актуальность описанного выше круга задач, является построение дифференциальных уравнений, описывающих физические модели. В частности, применительно к квантовой теории поля наибольший интерес вызывает построение точных решений моделей квантовых полей с внешними калибровочными полями. В связи с этим важной задачей является построение калибровочных полей, обеспечивающих инвариантность полевых уравнений. Актуальность этого направления обусловлена многочисленными приложениями в области физики элементарных частиц и астрофизики, например [1-3].

Построение инвариантного дифференциального оператора

Рассмотрим задачу построения матричного дифференциального оператора, инвариантного относительно группы преобразований, действующей на некотором однородном пространстве.

Пусть М - однородное правое О-пространство, где О - группа Ли, действующая на М, Н - подгруппа изотропии некоторой точки x0 е M , а О и Н алгебры Ли групп О и Н соответственно, причем G = H + P, P = TXoM , т. е. базис в алгебре Ли О имеет вид:

{е,} = К,ea}, г = 1,2,...,ашG, а = 1,2,...,dimM, а = 1,2,...,а™H,

где {еа} - базис алгебры Н, а {еа} - базис пространства Р. Обозначим О

и 0е - алгебры Ли левоинвариантных и правоинвариантных полей на О соответственно, реализованные однородными линейными дифференциальными операторами первого порядка, действующими в пространстве С ” (О), т. е.

О = {ё =(к ) е, } ° ={п = -(Я' )* 4 [ё, 4]=,, [п,п,] = Сп.

причем алгебра Ли правоинвариантных полей

Нк ={1ае О",а = 1,2,... ,dim Н} является реализацией алгебры Н.

© О.Л. Курнявко, 2012

34

О.Л. Курнявко

Группа О является главным расслоением над М, т. е. О = О(М = О/Н,Н,п). Задавая (локально) гладкое сечение 5 :М ^ О расслоения О произвольный элемент группы g е О можно представить в виде g = Ъ.?(х) . Над областями тривиализации в расслоении О можно ввести координаты прямого произведения:

Н х и = {Ъа,ха}, а = 1,2,...,а™М,

а = 1,2,...,а™ Н,

где и с М - область в М (область тривиализации). Тогда имеет место локальное расщепление координат элемента группы на координаты слоя и базы, т. е. g = (Ъа, ха) .

Введем еще один необходимый в дальнейшем объект - линейное пространство V, и будем считать, что лево- и правоинвариантные поля реализованы однородными линейными операторами, действующими в пространстве функций С“ (О, V) , т. е. в пространство функций на О, принимающих значение в линейном пространстве V (п-компонентные функции).

Введем функциональное пространство Р , определяемое следующим образом:

Р = {р(g) е С"(О,V) р) = и(Ъ)р(g)},

где и(И) - некоторое представление подгруппы изотропии Н. Инфинитезимальным критерием, определяющим данное пространство, является выражение:

Ма+Ла)Р

где Ла - генератор представления алгебры Н Каждой функции из данного функционального пространства соответствует некоторая функция на однородном пространстве из класса С“ (МV) , т. е. имеет место изоморфизм Р = Ст (М,V) . Явный вид данного изоморфизма можно получить следующим образом: р(g) = р(Ъ^(х)) = и(Ъ)р(х) , где принято обозначение р(5(х)) = р(х) .

Введем на Р пространство линейных операторов Ь(Р) , тогда, в силу условия (3), данное пространство состоит из линейных операторов е, действующих в пространстве

С “ (О^) и удовлетворяющих условию

[,Па+Ла]|р =0 .

Условие

В частности, генераторы действия группы О на М общего вида могут быть получены следующим образом:

X,. = *. ((Ь )^и (Ь)).

Тогда, очевидно, что матричный дифференциальный оператор Ям є Ь(С“ (М,У)), инвариантный относительно действия группы О на М, т.е. удовлетворяющий условию

[ Ям, X, ] = 0,

имеет вид (5), где для К выполняется условие (4).

Рассмотрим в качестве Я є І(-Р) дифференциальный оператор второго порядка, удовлетворяющий условию (4), тогда

Я = Biir|iцj + Б'Пі + Б ,

где Б' - некоторые действительные постоянные, а Б' и Б - действительные матрицы, их значения определяются из условия (4). Таким образом, в силу формулы (5) оператор К вида (6) определяет оператор

Ям = и-\Ь) яи (Ь)| ^ , который является матричным дифференциальным оператором второго порядка, инвариантным относительно действия группы О на М. Можно показать, что без ограничения общности вместо оператора (6) можно рассматривать оператор вида:

Я = БаЪпаПь + БПа + Б .

Нетрудно видеть, что условие (4), примененное к оператору (7), приводит к системе линейных уравнений относительно неизвестных Ба , Ба и Б вида:

БаЪСа+ БаСЪа= 0;

БаЪСваС;ь - 2БаЪСваЛа + БаСа + [Бс, = 0;

-

Таким образом, мы показали, что построение матричного инвариантного оператора фактически есть задача нахождения

величин БаЪ, Ба и Б , решаемая методами линейной алгебры. Таким образом всякий матричный линейный дифференциальный оператор второго порядка К, действующий в пространстве на однородном правом О-пространстве М, инвариантный относительно действия группы О, имеет вид:

Я = и-

причем Ба, Ба и Б удовлетворяют системе матричных линейных алгебраических уравнений (8)-(10).

Построение инвариантного уравнения Клейна-Гордона при наличии калибровочных полей

Используя предложенный выше метод, можем получить наиболее общий вид линейного дифференциального оператора

Построение матричных инвариантных операторов на однородных многообразиях

35

второго порядка ЯМ е Ь(С“ (МV)) , инвариантного относительно действия группы О на М. Пусть данный оператор имеет вид:

Ям = ^

где gab (х), Ра (х), Р(х) - некоторые матричные функции. Оператор ЯМ , по определению, удовлетворяет условию:

Rm =jg B „ + Aa ))ggab (d b + Ab ) + 9,

[ Rm , X, ] = 0,

где = Х1 + ^ - оператор симметрии, соот-

ветствующий действию О на М. Согласно теореме о g/(V)-продолжениях [4], на всяком однородном пространстве XI определяются с точностью до калибровочного преобразования формулой:

X, =ёа(еН, х)Ла .

Нетрудно видеть, что условие (13) приводит к уравнению Киллинга относительно gab (х) , т.е. gab (х) - инвариантная метрика

на пространстве М. Согласно утверждению, приведенному выше, произвольный инвариантный матричный дифференциальный оператор имеет вид (11). Отсюда имеем:

Ям = - ваЬи-'(Ъ )Лаи (Ъ )и-\к )Ъи (Ъ) +

+ваи- (Ъ)паи(Ъ) + и- (Ъ)ви(Ъ))| ,

где а, Ь = 1,2,..., ат М. Отсюда после несложных вычислений получим, что компоненты инвариантной метрики gab (х) имеют вид

(25), а Ра (х) и Р( х) в формуле (27) определяются:

Ра (х) = 2gаaЛа + МПд, (П) + всп ),

Р ( х) = gаPЛаЛp +

+ (вы п д, (па)Ла + ВЧаЛа)0 + в, гдеgаb = вП(х)П(х)|Ъ=0, gав = всЛП(х)П(х)\Ъ 0.

Отметим, что всЛ, будучи решениями системы (8)-(10) обеспечивают независимость величин gab (х), являющихся компонентами инвариантной метрики, от переменных К.

Очевидно, что произвольный дифференциальный оператор второго порядка всегда может быть приведен к виду:

где

Aa 2

9 =

- gabAA

Отсюда окончательно калибровочный потенциал Aa имеет вид:

Aa = gabgbaЛa+ - gob *

((5, (nb) + Bcvbc ) +-gdc (ggcb)) .

Можно показать, что 9 является постоянной диагональной матрицей и имеет вид:

9 = - (BabCc Cf, - B ,BaBb).

' 4 V ac bd ab j

что обеспечивает инвариантность оператора

H =7g B a + Aa gab В5 b + Ab ),

H e L(C“ (M,V)), который является не чем иным, как оператором Лапласа на римановом пространстве с калибровочным полем Aa , а соответствующее дифференциальное уравнение

-jg (da + Aa )gab B b + Ab )Ф + mV = 0

является волновым уравнением для скалярного поля.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Rodionov V. N. Effects of Vacuum Polarization in Strong Magnetic Fields with an Allowance Made for the Anomalous Magnetic Moments of Particles // arXiv: hep-th/0403282v1.

[2] Spinelly J., Bezerra de Mello E.R. Vacuum Polarization by a Magnetic Flux Tube at Finite Temperature in the Cosmic String Spacetime // arXiv: 0704.1990v2 [hep-th].

[3] Matyjasek M. Vacuum polarization of massive spi-nor and vector fields in the spacetime of a nonlinear black hole // arXiv: 0802.4065v1 [hep-th].

[4] Барановский С. П., Широков И. В. Продолжения векторных полей на группах Ли и однородных пространствах // ТМФ. 2003. Т. 132. № 1. С. 70-81.