Порядковое проектирование в пространстве операторов Урысона

Владикавказский математический журнал октябрь-декабрь, 2006, Том 8, Выпуск 4

УДК 517.98

ПОРЯДКОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ОПЕРАТОРОВ УРЫСОНА1

М. А. Плиев

Светлой памяти А. М. Рубинова

В пространстве операторов Урысона рассматриваются проекторы на различные полосы. Изучается полоса, дизъюнктная полосе латерально непрерывных операторов.

Введение

Порядковое проектирование является важным инструментом для изучения линейных регулярных и мажорируемых операторов, действующих в векторных решетках и реше-точно нормированных пространствах. Изучение различных полос в пространствах операторов, формулы вычисления осколков положительных и мажорируемых операторов — все это являлось областью интенсивных исследований последних двух десятилетий [1,2, 3, 7, 5, 10]. В в работе [9] было установлено, что для широкого класса нелинейных операторов, действующих в векторных решетках можно построить порядковое исчисление типа Рисса-Канторовича. В статье [6] был введен новый класс — мажорируемых операторов Урысона, действующих в решеточно нормированных пространствах. Возникает задача — распространить на нелинейный случай результаты о порядковом проектировании, известные для линейных операторов. Первый шаг в этом направлении был сделан в [8]. Настоящая заметка продолжает этот круг исследований.

1. Предварительные сведения

Здесь мы приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. Цель настоящего параграфа — зафиксировать терминологию и обозначения и ввести необходимые понятия. Стандартный источник для ссылок по теории векторных решеток — монография [4]. Теория операторов Урысона, действущих в векторных решетках, подробно изложена в [9].

1.1. Рассмотрим векторную решетку ¥ и векторное пространство Ш. Говорят, что оператор Т : ¥ ^ Ш ортогонально аддитивен, если Т(/ + /2) = Т/1 + Т/2 для дизъюнктных /1 и /2. Ортогонально аддитивный оператор Т называется порядково ограниченным, если он переводит порядково ограниченные множества в порядково ограниченные множества. Оператор Т : Е ^ ¥, действующий между векторными решетками Е

© 2006 Плиев М. А.

1 Работа выполнена при поддеpжке Российского фонда фундаментальных исследований (Гpант РФФИ №06-01-00622).

и F, называется абстрактным оператором Урысона, если он порядково ограничен и ортогонально аддитивен. Множество всех абстрактных операторов Урысона из E в F обозначается U(E, F). Частичный порядок в векторном пространстве U(E, F) вводится с помощью конуса U+(E,F), определяемого следующим образом:

T Є U+(E, F) ^ (Ve Є E) Te ^ 0.

При этом оператор S ^ T в том и только том случае, если S — T Є U+(E, F).

В случае, когда пространство образов оператора порядково полно, для U(E, F) аналогично линейному случаю, можно построить порядковое исчисление типа Рисса-Канторовича.

1.2. Пусть E и F — векторные решетки, причем решетка F порядково полна. Тогда U(E, F) — порядково полная векторная решетка и для любых двух операторов T, S Є U(E, F) и вектора f Є E справедливы формулы [9]:

(T V S)(f) := sup{Tg + Sh : g + h = f; g±h|;

(T Л S)(f) := inf{Tg + Sh : g + h = f; g±h|;

T+(f) := sup{Tg : g < f, (f — g)±g|;

T -(f) := — inf {Tg : g < f, (f — g)±g|;

1.3. Говорят, что сеть (va)(a6S) С V латерально сходится к элементу v, если v = o-limа va и (va — ve)^v^ для любых а, в Є Н,в ^ а. При этом пишут v = l-lim a va. Ортогонально аддитивный оператор T называется латерально непрерывным (латерально о-непрерывным), если для всякой латерально сходящейся сети (fa) (последовательности (fn)), такой что f = l-lim а fa (f = l-limn fn), выполняется Tf = o-lim a Tf (соответственно Tf = o-lim n Tfn).

Если T ортогонально аддитивный оператор, то следующие условия эквивалентны:

1) T есть латерально о-непрерывный оператор;

2) для каждой последовательности (fn)^=i попарно дизъюнктных элементов выполняется:

ГО ГО

£ffc = f Tfk = Tf.

k=i k=i

Множество всех латерально непрерывных (латерально о-непрерывных) операторов обозначается через Uc(E, F) (UCT>c(E, F)).

1.4. Если E и F — векторные решетки, и решетка F порядково полна, то пространства Uc(E, F) и Uo-;C(E, F) являются полосами в U(E, F). Для векторной решетки E множество M С E называется латерально замкнутым (о-латерально замкнутым), если оно содержит пределы всех латерально сходящихся сетей (последовательностей), составленных из элементов M. В [8] был установлен следующий критерий латеральной непрерывности. Пусть T : E ^ F положительный оператор Урысона, где E — решетка с проекциями на главные полосы, а F — K-пространство. Множество векторов, на которых оператор T обращается в нуль называется ядром оператора и обозначается ker(T). Оператор T латерально непрерывен (латерально о-непрерывен ) тогда и только тогда, когда ядро любого оператора S Є U(E, F), 0 ^ S ^ T, латерально замкнуто (латерально о-замкнуто). В [8] также были указаны формулы проекции положительного оператора Урысона на полосы латерально непрерывных и латерально о-непрерывных операторов. С каждым

положительным оператором Урысона T свяжем операторы Tc и Tac определяемые по формулам:

Tc u := inf {sup Tua : u = l-lim ua};

a a

T^u := inf {sup Tun : u = l-lim un}.

n n

Инфимум берется по всем сетям ua латерально сходящимся к u. Аналогично и в отношении последовательностей. Операторы Tc и Tac являются проекциями положительного оператора T на полосы латерально непрерывных и латерально a-непрерывных операторов соответственно.

1.5. В [6] были введены мажорируемые операторы Урысона, действующие в решеточ-но нормированных пространствах. Пусть (V, E) — решеточно нормированное пространство, а (W, F) — пространство Банаха-Канторовича. Оператор T : V ^ W называется ортогонально аддитивным, если T(v + w) = Tv + Tw, когда v и w дизъюнктны. Оператор T : V ^ W называется мажорируемым оператором Урысона, если выполняются следующие условия:

1) T ортогонально аддитивен;

2) существует S Є Usim(E, F) такой, что выполняется неравенство:

Под Usim(E, F) понимается множество ортогонально аддитивных, положительных, возрастающих, симметричных операторов. Выражаясь точнее, T Є Usim(E, F) в том и только том случае, когда T ортогонально аддитивен, Te Є F+ для любого вектора e Є E, T возрастает на E+ и кроме того T(—e) = Te для любого e Є E+. Оператор S, обладающий указанными свойствами называется мажорантой T. Множество всех мажорант обозначается через maj(T). Множество Usim(E, F) само является подрешеткой U(E, F), и поэтому наследует векторный порядок из U(E, F). Наименьший элемент в maj(T) относительно этого естественного порядка, называется точной мажорантой оператора T и обозначается |T|. Множество всех мажорируемых операторов Урысона из V в W обозначается через Mu(V, W). Разложимость мажорантной нормы не имеет места, однако существуеет некоторый аналог разложимости [6]. Для любого T Є Mu(V, W) и любых S, P Є Usim(E, F) таких, что

найдется оператор St Є Mu (V, W) и

2. Основные результаты

В пространстве и(Е, F) латерально непрерывные операторы играют роль аналогичную порядково непрерывным операторам в линейном случае. Поэтому вызывает интерес изучение полосы иС"(Е, F), дизъюнктной полосе латерально непрерывных операторов. Пусть Е — векторная решетка. Напомним, что порядковый идеал М С Е называется фундаментом (а-фундаментом), если для любого е+ Є Е найдется сеть (еа) С М (найдется последовательность (еп) С М) такая, что еа | е (еп | е). Для дальнейшего

важно отметить, что любого фундамента (а-фундамента) его латеральное замыкание (латеральное а-замыкание) совпадает с Е.

Всюду ниже будем полагать, что Е — это векторная решетка с проекциями на главные полосы, F — К-пространство. Под Вг(е), как всегда, будем понимать булеву алгебру осколков элемента е. Оператор Т Є Ы(Е, F) называется сингулярным (а-сингулярным), если он равен нулю на некотором фундаменте(а-фундаменте). Множество всех сингулярных (а-сингулярных) операторов обозначим через Ы5(Е, F) (ЫСТ5(Е, F)).

2.1. Теорема. Пусть Е и F — это указанные выше векторные решетки. Тогда ЫС(Е, F) = Ы^(Е, F), т.е. классы латерально непрерывных операторов и операторов, дизъюнктных сингулярным, совпадают.

< Рассуждения достаточно провести для положительных операторов. Пусть положительный оператор Урысона Т латерально непрерывен. Допустим, что Т Є Ы^"(Е, F). Тогда существует оператор Урысона Б Є Ы5(Е, F), Б > 0, для которого О := Т Л Б > 0. Так как О ^ Б, то О равен нулю на некотором фундаменте. Но с другой стороны О Є Ыс (Е, F). Следовательно оператор О тождественно равен нулю. Обратно, пусть Т Є Ы^(Е, F) и Т ^ 0. Покажем, что Т латерально непрерывный оператор. Предположим, что существует сеть (ха)аєЛ, латерально сходящаяся к х и удовлетворяющая неравенству у = о-1іта Тха < Тх. Через па обозначим проектор на полосу {х — ха}^. Для каждого элемента е Є Е, положим

Ое := о-1іт Тпае.

а

Ясно, что соответствующие пределы существуют для всех е Є Е. Таким образом определен положительный оператор Урысона 0 ^ О ^ Т и кроме того О Є Ы^(Е, F). Оператор О ненулевой, так как

Ох = о-1іт Тпах = о-1іт Т(х — ха) = Тх — о-1іт Тха > 0.

а а а

Теперь покажем, что оператор О одновременно и сингулярный. Обозначим через Е' множество всех е Є Е, которые дизъюнктны с некоторым х — ха0. Если е Є Е', то Ое = 0. Ясно, что Е' — порядковый идеал в Е. Докажем, что Е' — фундамент в Е. Если бы это было не так, то нашелся бы элемент е' > 0, который бы принадлежал всем полосам {х — ха}^. Пусть пе' — проектор на полосу {е'}^. Тогда для любого индекса ао мы бы имели

0 < е' Л (х — хао) ^ Пе' (х — ха) ^ Па(х — ха).

Но последняя формула противоречит условию, что о-1іта(х — ха) = 0. Таким образом, Е' — фундамент и оператор О сингулярен. Однако из определений следует, что оператор О нулевой. Полученное противоречие доказывает, что оператор Т латерально непрерывен. >

С каждым фундаментом М С Е свяжем множество операторов Мм := {Т Є Ы(Е, F) : М С кег(Т)}.

2.2. Лемма. Множество Мм является полосой в пространстве Ы(Е, F). Проектор на полосу М^ задается формулой:

пмТе = 8ир{Те' : е' Є М, е' Є Вг(е)}.

< Ясно, что для любых положительных Ті, Т2 Є Мм их произвольная линейная комбинация также принадлежит Мм. Кроме того для операторов Б, Т Є Ы+(Е, F) можно

написать |Б| ^ Т, Т Є Мм ^ Б Є Мм. Рассмотрим возрастающую сеть (Та Є Мм)аеЛ, Т = о-1іт а Та и возьмем е Є М. Очевидно, что

Те = о-1іт Тае = 0 ^ Т Є Мм.

а

Таким образом множество Мм является полосой в пространстве Ы(Е, F). Чтобы установить, что оператор Пм является проектором на полосу Мм достаточно доказать, что для любого Т Є Ы+(Е, F) оператор ПмТ ортогонально аддитивен и кроме того выполняются следующие соотношения:

1) 0 ^ ПмТ ^ Т;

2) Пм (пмТ) = ПмТ;

3) пмТ = Т ^ Т Є М^;

4) П — линейный оператор.

Ортогональная аддитивность легко выводится, если принять во внимание, что для дизъюнктных е, / Є Е + любой элемент 0 ^ с ^ е + / допускает представление с = е' + /' где 0 ^ е' ^ е и 0 ^ ^ /. Пусть е Є Е и е' Є Вг(е). Тогда можем написать:

е = (е — е') + е'; Те = Т((е — е') + е')) = Т(е — е') + Те' ^ Те' ^ ПмТе ^ Те.

Для оператора Т Є Ы+(Е, F) справедливы формулы:

пм(п мТ)(е) = 8ир{п мТе' : е' Є Вг(е),е' Є М} = зир{Те' : е' Є Вг(е),е' Є М} = п мТ.

Для доказательства пункта (3), установим следующее соотношение:

Т ЄМІ ^ Уе Є Е, Те = 8ир{Те' : е' Є Вг(е), е' Є М}.

Действительно, пусть для каждого е Є Е, Те = 8ир{Те' : е' Є Вг(е), е' Є М} и существует оператор Б Є Мм для которого О := Б Л Т > 0. Теперь можем написать:

Ое — Ое' = О(е — е' + е') — Ое' = О(е — е') ^ Т(е — е') = Те — Те'.

Переходя к супремуму по всем е' Є Вг(е), е' Є М, получим, что Ое = 8ир{Ое' : е' Є Вг(е),е' Є М}. Но так как Мм является полосой и 0 ^ О ^ Б, то О Є Мм и О = 0. Обратно, пусть Т Є М^ и найдется такой е Є Е, е Є М, что V := Те — 8ир{Те' : е' Є Вг(е),е' Є М} > 0. В этом случае можно полагать, что имеет место неравенство

Те > 8ир{Те' : е' Є Вг(е)}.

В противном случае заменим оператор Т на оператор Т', определяемый формулой

Т'(V) = 8ир{Т(V'), V' Є ф), V' Є М}.

Пусть Те — 8ир{Те' : е' Є Вг(е)} = V > 0. Определим положительный оператор Урысона О формулой О := Т — п мТ. Ясно, что О/ = 0 для всех / Є М. Оператор О ненулевой, так как

Ое = Те — 8ир{Те' : е' Є М, е' Є Вг(е)} > 0.

Итак оператор О определен корректно, О Є Мм и Ое > 0. Далее, по условию Т±О, следовательно,

Т

= 8Ир{Т(еі) + О(е2) : еі + е2 = е, Єі±Є2}

= 8Ир{Т(е) — п мТ(е2) : е2 Є Вг(е)} ^ Т(е).

Получили противоречие, доказывающее (3).

Далее для T, S Є U+(E, F) очевидно, что пм(T + S) ^ пм(S) + пм(T). Докажем противоположное неравенство. Для этого возьмем Єї, Є2 Є Br(e) и положим eo = ei ЛЄ2, e' = e1 — e0 и є" = e2 — e0. Тогда e0, є', є'' Є Br(e), e'±e", e'±e0, e''±e0; e1 Vє2 = є'+e''+Є0 Є Br(e).

Sei + Te2 = S

^ S

= (S + T)(Є1 V Є2)= пм(T + S)(є).

Переходя в этом неравенстве к супремуму, сначала по Єї Є Br(e), а затем по Є2 Є Br(e) получим пмS + пмТ ^ пм(S + M), что доказывает аддитивность пм. Однородность пм очевидна. >

Напомним, что семейство множеств A называется насыщенным вверх, если VA Є A, B D A ^ B Є A.

2.3. Лемма. Пусть A — насыщенное вверх семейство фундаментов. Тогда оператор па : = inf {пм : M Є A} является проектором на полосу Ua(E, F )^, где Ua(E, F) = {T Є U(E, F) : (3M Є A) M С ker(T)}.

< Оператор па является проектором на некоторую полосу в пространстве U(E, F). Обозначим через а проектор на полосу Ua(E, F)^. Если T Є Ua, то паТ ^ пкег(т) = 0. Значит па ^ а. Пусть теперь T Є Ua(E, F)^. Тогда для любого множества M Є A оператор T — п мТ равен нулю на M. Отсюда следует, что T — пмТ Є Ua(E, F) П Ua(E, F)^ = 0. Таким образом получаем, что T = п мТ = паТ, п ^ а и па = а. >

Следствие 2.4. Пусть A и ACT обозначают множества фундаментов и а-фундаментов соответственно. Тогда проекторы

пс = inf {па : A Є A}; пет := inf {па; A Є ACT}

являются проекторами в пространстве U(E, F) на полосы Us(E, F)х и Uso-(E, F)х соответственно.

Из теоремы 2.1 следует, что пс и петс являются проекторами на полосы Uc(E, F) и UOT (E, F).

2.5. Следствие. Для любого оператора T Є U+(E, F) справедливы следующие формулы [8]:

Tcv = inf {sup Tva : v = l-lim va},

a a

TrcV = inf {sup Tvn : v = l-lim vn}.

n n

< Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично. C оператором T и элементом v свяжем выражение

G(T, v) = inf {sup Tva : v = l-lim va}.

a a

Для каждой сети (va),v = l-lima va, рассмотрим семейство фундаментов C(v) содержащих сеть (va). Ясно, что supTva ^ пмTv, где M Є C(v). В то же время каждый фундамент M содержит некоторую сеть (va), v = l-lima va. Таким образом G(T, v) ^ пcTv и G(T — псТ, v) ^ пс(Т — псТ)v = 0. Оператор псТ — латерально непрерывный. Ясно, что С(псТ, v) = ^Tv. Далее можем написать

G(T, v) = С(пеТ, v) + G(T — псТ, v) = ^Tv, >

Теперь мы в состоянии вычислить латерально непрерывные составляющие мажорируемого оператора Урысона.

2.6. Теорема. Пусть (V, E) — РНП, а (W, F) — ПБК, A и ACT — семейства фундаментов и а-фундаментов в E соответственно. Тогда для любого мажорируемого оператора Урысона T : V ^ W справедливы следующие формулы вычисления латерально непрерывных составляющих:

Tc = bo-lim пмТ, M Є A;

Тетс = bo-lim п мТ, M Є ACT.

м

< Пусть T — мажорируемый оператор Урысона, тогда |т| Є Usim(E, F). Легко проверяется, что для любого фундамента M С E оператор п м|Т| Є Usim(E, F). Как показано в [6] в случае, когда E — решетка с проекциями на главные полосы, а F является K-пространством, векторное пространство Usim(E, F) — порядково полная векторная решетка. Следовательно

мєА мєА

Отсюда можем заключить, что пс |T| Є Usim (E, F). Далее мы можем написать

В силу разложимости имеем

|Т\ — 6о-Иш п МТ| = |6о-Иш (Т — п МТ)|

МбА МбА

МбА МбА

МбА

Для случая а — латеральной составляющей доказательство проводится аналогично. >

Литература

1. Колесников Е. В. Разложение положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1989.—Т. 30, № 5.— С. 77-79.

2. Колесников Е. В. Несколько порядковых проекторов, поржденных идеалами векторной решетки // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 6.—С. 1342-1349.

3. Колесников Е. В. В тени положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1996.—Т. 37, № 3.—С. 592598.

4. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

5. Кусраев А. Г., Малюгин С. А. О порядково непрерывной составляющей мажорированного оператора // Сиб. мат. журн.—1987.—Т. 28, № 4.—С. 127-139.

6. Кусраев А. Г., Плиев М. А. Ортогонально аддитивные операторы в решеточно нормированных пространствах // Владикавк. мат. журн.—1999.—Т. 1, вып. 3.—С. 33-43.

7. Кутателадзе С. С. Об осколках положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1989.—Т. 30, № 5.— С. 111-119.

8. Плиев М. А. Проекция положительного оператора Урысона // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, вып. 4.—С 46-51.

9. Mazon J. M., Segura de Leon S. Order bounded ortogonally additive operators // Rev. Roumane Math.

Pures AppL—1990.—V. 35, № 4.-P. 329-353.

10. Aliprantis S. D., Burkinshaw O. The components of the positive operator // Math. Z.—1983.—V. 184, № 2.—P. 245-257.

Статья поступила 7 мая 2005 г.

Плиев Марат Амурханович, к. ф.-м. н. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН и РСО-А E-mail: plimarat@yandex.ru