Формирование умений математического моделирования при проведении оценки эффективности финансовых операций

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 372.851

В. М. Караулов, Л. В. Караулова

Формирование умений математического моделирования при проведении оценки эффективности финансовых операций

В статье обозначена проблема формирования у студентов экономических направлений умений анализа и разрешения проблемных ситуаций при оценке эффективности финансовых операций с помощью математических моделей. Показано, что данная проблема объясняется предлагаемыми в учебных пособиях способами решения задач финансовой математики. В статье представлен подход к разрешению указанной проблемы.

In the article the problem of formation of students ' economic areas of skills analysis and resolution of problematic situations when evaluating the performance of financial operations with the help of mathematical models. It is shown that this problem is due to the proposed teaching materials ways of solving problems of financial mathematics. The article presents an approach to the resolution of this problem.

Ключевые слова: финансовая математика, математическое моделирование, оценка эффективности финансовых операций.

Keywords: financial mathematics, mathematical modeling, the efficiency of financial operations.

Формирование умений строить математические модели финансовых операций, реализо-вывать их и анализировать полученный результат с целью оценки эффективности и оптимизации этих операций - необходимое условие подготовки специалистов экономического профиля. Знакомство студентов экономических направлений с подобными математическими моделями обычно начинается на младших курсах при изучении дисциплины «Финансовая математика».

Построение математической модели финансовой операции заключается в аналитическом задании зависимости результативной переменной от факторных. В качестве результативной переменной обычно выступает критерий эффективности финансовой операции (в абсолютном или относительном выражении): наращенная сумма, начисленные по вкладу или за пользование кредитом проценты, процентная или учетная ставка и т. п. К факторным переменным относятся те величины, которые тем или иным образом сказываются на результате операции. Как в любой математической модели, факторы (независимые переменные) делятся на эндогенные (внешние) и экзогенные (внутренние). К эндогенным факторам можно отнести курсы валют, процент по вкладам или кредитам, предлагаемым банками, уровень инфляции и т. п., к экзогенным - срок вклада, его размер и т. п. Совместное влияние этих факторов на финансовую операцию делает ее результат неочевидным.

Математические модели финансовых операций обычно являются моделями балансовыми или оптимизационными. Смысл балансовой модели заключается в том, чтобы подобрать значения экзогенных факторов, при которых результативная переменная принимает некоторое нормативное значение (например, требуется выяснить, на какой срок нужно поместить вклад в банк, чтобы получить определенную сумму начисленных процентов). Оптимизационные модели финансовых операций обычно отражают ситуации, в которых необходимо из нескольких наборов факторных переменных выбрать тот, который подразумевает оптимальное значение критерия (результата) финансовой операции. Это может быть, например, выбор одной из предлагаемых схем начисления процентов или наиболее выгодных условий по погашению долга в рассрочку.

Если предполагается, что значения эндогенных переменных фиксированы (известны заранее), то количественный анализ финансовой операции производится в условиях определенности. Именно такие задачи обычно предлагаются в учебных пособиях по финансовой математике. Однако на практике экономическая ситуация может достаточно быстро меняться, причем не всегда

© Караулов В. М., Караулова Л. В., 2015 138

предсказуемо. Поэтому, производя финансовые расчеты, экономист должен уметь анализировать, как изменятся результаты финансовой операции, если изменятся эндогенные переменные (курс валют, ставка рефинансирования и т. п.), а значит оценивать возможные риски. Разумеется, имеются специальные учебники и учебные пособия, в которых рассматриваются вопросы, касающиеся неопределенности в финансовых расчетах (например, [1]). Однако это учебные пособия предназначены для лиц, уже знакомых с методикой проведения финансовых расчетов. В данной статье рассматривается проблема формирования умений анализировать результаты финансовой операции в условиях неопределенности в рамках изучения стандартного курса «Финансовой математики».

Дисциплина «Финансовая математика» имеет несколько особенностей. Прежде всего, она обладает ярко выраженной практической направленностью. При изучении на младших курсах других математических дисциплин задачи с практическим содержанием выступают, в основном, в качестве иллюстраций рассматриваемых математических методов, в то время как любая задача по финансовой математике может рассматриваться как реальная проблема, с которой можно столкнуться на практике. Действительно, покупка товаров в рассрочку, взятие кредитов в банке, оформление ипотеки прочно вошли в нашу жизнь. Реклама вкладов, предложения различного вида кредитов и условия их погашения находятся в широком доступе. Поэтому студенты имеют представление о том, насколько широко применение математических методов при проведении финансовых расчетов и оценке их эффективности. В то же время решение стандартных задач по финансовой математике предполагает использование сравнительно несложного математического аппарата. Расчет процентных начислений по простой и сложной процентным ставкам сводится к использованию арифметической и геометрической прогрессий. Сочетание этих двух особенностей должно, казалось бы, способствовать повышению мотивации к изучению финансовой математики.

Однако опыт показывает, что студенты, первоначально проявляющие интерес к этой дисциплине, впоследствии теряют его. Особые сложности вызывают задания, в которых требуется проанализировать изменение результата финансовой операции в зависимости от изменяющихся условий. Как уже было сказано, формулировки задач по финансовой математике действительно соответствуют реальным ситуациям. Поэтому проблема потери мотивации и сложности анализа полученных результатов, на наш взгляд, заключается в предлагаемых методах решения стандартных задач в учебных пособиях по финансовой математике. Эти методы должны быть такими, чтобы в дальнейшем студент имел возможность, умение и желание ими воспользоваться.

Продемонстрируем, какие методы решения стандартных задач по финансовой математике предлагаются в учебниках и учебных пособиях. Как уже отмечалось, большинство задач описывается балансовыми математическими моделями. В этих задачах требуется подобрать значение фактора, при котором результат финансовой операции достигнет определенного значения.

В качестве примера рассмотрим стандартную задачу: «Банк начисляет проценты по сложной ставке 8% годовых. За какой срок вклад, помещенный в банк, удвоится?» Задача очень простая с математической точки зрения. Если ввести обозначения: Р - первоначальный размер вклада, i = 0,08 - процентная ставка, Т - срок вклада (в годах), то наращенная сумма вклада S рассчи-

т

тывается по формуле S = Р • (1 +1 )т . По условию задачи S=2P, поэтому нужно из уравнения

т

2 = (1 + 0,08)т выразить срок Т. Однако в большинстве учебников студентам предлагается го-

1п 2

товая «формула удвоения»: 1 =-. Если студент использует готовую формулу, то при

1п (1 + ^

решении задачи, в которой вклад должен, например, утроиться, могут возникнуть проблемы.

Приведем еще один пример стандартной задачи: «Необходимо в течение двух лет погасить долг в размере 500 тыс. руб. равными срочными ежемесячными выплатами (в конце месяца). Банк начисляет проценты по ставке 1,5% ежемесячно. Определить размер срочной выплаты». В учебных пособиях ([2] и др.) предлагаются два основных подхода к решению данной задачи. Первый из них заключается в использовании готовых формул. Для случая постоянной ренты постнумерандо (одинаковых срочных выплат в конце периода) предлагается использовать формулу

R = Р--—^—-—, где R - размер ежемесячной выплаты, i = 0,015 - процентная ставка за месяц,

1 -(1+] Г

Р = 500 000 - первоначальный долг, п = 24 - число месяцев, в течение которых погашается кредит.

Второй подход также заключается в использовании готовой формулы. Предлагается выразить

R из выражения Р = Я • ап. , где ап. - коэффициент приведения постоянной ренты, значение

Вестник Вятского государственного гуманитарного университета

которого можно найти в соответствующей таблице. Использование таблиц, на наш взгляд, - самый неудачный подход. Прежде всего, подразумевается, что таблица всегда должна быть в распоряжении того, кто решает задачу. Если для студента на занятиях это требование приемлемо, то для человека, который собрался оформить покупку в кредит в торговом центре, сомнительно. Кроме того, в таблицах значения коэффициентов дисконтирования и наращения приводятся только для некоторых значений ставок и сроков дисконтирования (наращения). Например, для указанной в задаче ставки i = 0,015 значение коэффициента дисконтирования во многих таблицах отсутствует.

Остановимся подробнее на подходе к решению стандартных задач по финансовой математике по готовым формулам. На наш взгляд, многие учебные пособия «перегружены» ими. Например, в теме «Начисление простых процентов» для решения задач достаточно знать только две формулы: наращения процентов по ставке S = Р(1 + 1Т) и дисконтирования по учетной ставке Р = S (1 - dT). Однако во многих учебных пособиях приводится порядка 20 готовых формул, среди которых: нахождение срока ссуды, нахождение процентной ставки; формула «удвоения» и т. п.

Но если в указанной теме формулы сравнительно простые, то в дальнейшем они значительно усложняются. Например, при изучении темы «постоянные финансовые ренты» предлагаются формулы:

1

Г -\-ПР 1 +1

• а =---—^-- для нахождения коэффициента приведения ренты с р-кратным

I / р

начислением процентов,

' A>"

1--I

П v R ;

• П =- - для нахождения срока ренты;

ln

А

ln(1 + 0 1 - (1 + 0"

p

(1 + о17 p -1

для нахождения современной стоимости p -срочной ренты и т. п.

Обилие формул объясняется тем, что почти для каждого рассматриваемого примера приводится готовая формула. Можно сказать, что в некоторых учебных пособиях предлагается «кейс-метод», т. е. для конкретных перечисленных ситуаций предлагается свой метод решения в виде готовой формулы. Таким образом, у студентов исчезает необходимость в проведении хотя бы минимального рассуждения, все сводится к поиску нужной формулы. Студент осознает, что если в дальнейшей профессиональной деятельности перед ним этой формулы не окажется, то он применить свои знания на практике не сможет. А запомнить столько формул невозможно.

Можно возразить, что без формул в расчетах не обойтись. Однако их число можно существенно «уменьшить». Для решения большинства задач по финансовой математике достаточно знать четыре основных формулы: наращения по простой и сложной процентной ставке и дисконтирования по простой и сложной учетной ставке. Остальные формулы могут быть выведены из них. Элементы такого подхода предлагаются в [3].

В последнее время в учебных пособиях предлагается для поиска значений параметров использовать встроенные финансовые функции в MS Excel. Обычно с помощью этих функций (ПС, БС, ПЛТ, СТАВКА, КПЕР) рассчитывают параметры рент. По сравнению с использованием готовых формул применение встроенных функций имеет ряд преимуществ. Прежде всего, значительно ускоряется процесс решения задач, поскольку не тратится время на арифметические расчеты. Кроме того, в дальнейшем с большей вероятностью можно ожидать, что студенты будут использовать при проведении финансовых расчетов встроенные функции, нежели готовые формулы и таблицы.

Однако как готовые формулы, так и встроенные функции имеют общий недостаток: они рассматривают стандартные ситуации и могут стать неприменимыми в случае изменения этих ситуаций. Например, если требуется рассчитать размер аннуитетного (постоянного) платежа при изменяющейся процентной ставке, то готовой формулы для этой ситуации в учебниках, как правило, нет, а встроенные функции в «чистом виде» неприменимы. Или ставится задача рассчитать аннуитетный платеж при условии, что он вносится в определенный день месяца. Поскольку в месяцах разное число дней, рента перестает быть периодической, а значит неприменимы многие готовые формулы и встроенные функции.

На наш взгляд, для решения балансовых задач следует использовать инструмент «Подбор параметра». Этот инструмент позволяет подобрать значение фактора, при котором результат 140

П

принимает определенное значение. Несмотря на то что «Подбор параметра» очень прост в применении, ссылки на него в учебных пособиях практически отсутствуют. Исключение составляет задача о поиске внутренней нормы доходности IRR (размере ставки, при котором чистый доход от инвестиционных вложений равен нулю).

Использование «Подбора параметра» подразумевает создание в MS Excel шаблонов для нахождения результатов финансовой операции в зависимости от набора значений как внешних, так и внутренних переменных. Преимущества указанных шаблонов в том, что их можно адаптировать к реальным условиям. Например, вводится шаблон для расчета наращенной суммы при условии ежемесячной капитализации процентов (в качестве факторов вводятся значения первоначальной суммы, срока вклада и процентной ставки, в качестве результативных переменных - наращенная сумма и размер начисленных процентов). Этот шаблон может адаптироваться к реальной ситуации (учитывать возможные изменения процентной ставки, инфляцию, налогообложение и т. п.). «Подбор параметра» позволяет найти значение факторной переменной при условии, что результативная переменная принимает целевое значение. Кроме того, данный шаблон позволяет закладывать сценарный анализ развития (пессимистический, оптимистический, промежуточный), что позволяет оценивать риски отклонения фактического результата от ожидаемого значения.

Использование «Подбора параметра» позволяет решать (и проанализировать результат) задачи, описываемые оптимизационными математическими моделями. Оптимизационная модель обычно подразумевает проблему нахождения фактора, при котором одна финансовая операции более эффективна, чем другая. Например, требуется выяснить, при каких сроках вклада сложная процентная ставка более выгодна для вкладчика, чем простая. Решение этой задачи за-

Т

ключается в сравнении наращенных сумм S = P(1 + iT ) и S = P(1 + i) при различных значениях срока Т. Если ставки различные, то уравнение P(1 + i1T ) = P(1 + i'2 ) разрешить относительно Т стандартными алгебраическими методами невозможно. Однако с помощью «Подбора параметра» можно найти решение уравнения, которое является своеобразным «барьером». Данный барьер разбивает диапазон сроков вкладов на два промежутка: при сроках из одного промежутка более выгодна простая ставка, а из другого - сложная.

Таким образом, идея решения оптимизационных задач состоит в следующем. Нужно составить в MS Excel шаблон, в котором на основании введенных значений факторных переменных рассчитываются результаты двух финансовых операций. В качестве целевой функции рассматривается разница между этими результатами. «Подбор параметра» позволяет найти барьерное значение фактора, при котором разница результатов равна нулю.

«Подбор параметра» значительно упрощает составление схем погашения долга в рассрочку. Предполагается составление шаблона схемы расчетов и определение значения факторной переменной (например, аннуитетного платежа), при котором остаток долга после определенного числа выплат становится равным нулю.

Описанный подход к решению задач финансовой математики позволит значительно повысить качество подготовки студентов экономических направлений в области проведения финансовых операций и оценки их эффективности.

Примечания

1. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998.

2. Блау С. Л. Финансовая математика: учеб. для студ. учрежд. сред. проф. образ. М.: ИЦ Академия, 2013; Касимов Ю. Ф. Финансовая математика: учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2012; Четыркин Е. М. Финансовая математика: учебник. М.: ИД Дело РАНХиГС, 2011; Чуйко А. С. Финансовая математика: учеб. пособие. М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013.

3. Самаров К. Л. Финансовая математика: учеб.-метод. пособие для студ. М.: ООО «Резольвента», 2010.

Notes

1. Shiryaev A. N. Osnovy stohasticheskoj finansovoj matematiki [Fundamentals of stochastic financial mathematics. Vol. 1. Facts. Models]. M. FAZIS. 1998.

2. Blau S. L. Finansovaya matematika: ucheb. dlya stud. uchrezhd. sred. prof. obraz. [Financial mathematics: proc. for stud. of secondary vocational education]. M. RC Academiya. 2013; Kasimov Yu. F. Finansovaya matematika: uchebnik dlya bakalavrov [Financial mathematics: textbook for bachelors]. M. Yurait. 2012; Chetyrkin E. M. Finansovaya matematika: uchebnik [Financial mathematics: textbook]. M. Publ. house Delo of Russian Academy of national economy and public administration. 2011; Chuyko A. S. Finansovaya matematika: ucheb. posobie. [Financial mathematics: tutorial]. M. SIC INFRA-M. 2013.

3. Samarov K. L. Finansovaya matematika: ucheb.-metod. posobie dlya stud. [Financial mathematics: textbook.-method. manual for students]. M. OOO "Resolventa". 2010.