Исследование рыночного графа российского фондового рынка в контексте структурной динамики

Исследование рыночного графа российского фондового рынка в контексте структурной динамики

Гольцева А.Ю.

Финансовый университет при правительстве РФ anastasiagoltseva @ gmail. сот Аннотация. В работе описаны основные принципы и методы построения рыночного графа для российского фондового рынка. Проанализированы полученные результаты распределений корреляций акций на фондовом рынке в течение двух лет. Изучено применение элементов теории графов к моделированию поведения рынка ценных бумаг. Представлены результаты изучения изменения поведения фондового рынка ММВБ в рассматриваемый период в контексте структурной динамики.

Ключевые слова: рыночный граф, фондовый рынок, коэффициент корреляции, доходность ценных бумаг, структурная динамика

Введение

Математическое моделирование процессов и поведения фондового рынка - одна из наиболее актуальных задач современной финансовой экономики. Важную роль в данном вопросе играет совокупный анализ взаимосвязей акций между собой, так сказать, анализ полной картины рынка. Наиболее информативной характеристикой для таких исследований является корреляция между объектами.

Сеть определяется как набор узлов и связей между ними [Кочкаров и др., 2013]. Структура, построенная по принципу сети, называется сетевой системой. Для такой структуры характерны следующие свойства:

1) отсутствие единого узла - центра;

2) связанная структура;

3) фрактальные свойства.

Ранее считалось, что сложные сетевые системы имеют случайный характер в формировании своих структур, но позднее эмпирически было показано, что большинство сетевых системы формируются как безмасштабные сети и сети «малого мира». Эти открытия существенно изменили подходы к моделированию сложных сетевых систем [Гольцева, 2013].

Фондовый рынок можно представить как сеть. Каждая акция рассматриваться как узел графа. Ребро соединяется две вершины графа в том случае, если коэффициент корреляции доходностей больше установленного порогового значения. При таком подходе появляется возможность отождествления структурных характеристик графа как структурных характеристик рынка ценных бумаг. Можем проследить,

Исследование рыночного графа российского фондового рынка

_в контексте структурной динамики

насколько связным оказывается граф фондового рынка, как велик разброс доходностей акций.

В настоящей работе продолжено исследование модели Московской межбанковской валютной биржи (ММВБ) по результатам работы Визгунова А.Н., Гольденгорина Б.И. и др. [2012].

Построение рыночного графа

Будем обозначать граф как С = (V, Е), где V = {1,... - множество его вершин, Е £ V X V - множество рёбер. Рассматривается неориентированный граф. Вершины графа называются смежными, если между ними есть ребро, т.е. вершины и и V смежные: (и, у) Е Е. Внутренне устойчивое множество вершин (независимое множество) определяется как множество вершин графа С такое, что любые два узла несмежные.

Введём определение характеристику плотности рёбер:

Р (Ы  (Ы - 1)/2)'

где N - это количество узлов в графе в.

Описанная величина определяется как количество всех рёбер в рассматриваемом графе, делённое на число рёбер, если бы граф был полным. Легко увидеть, что объявленная величина изменяется в пределах от 0 до 1. Для полного графа плотность рёбер равна 1.

При использовании финансовых характеристик будем придерживаться устоявшихся обозначений. Пусть ^ (1) - цена акции 1 в день и 1 = 1,... ,N,1=1,..., п.

Доходность акции (ставка доходности) - отношение прибыли на единицу обыкновенной акции к её рыночной стоимости. Настоящая величина показывает, насколько эффективны вложения в рассматриваемый финансовый инструмент. На доходность акций оказывают воздействия различные факторы: скорость роста курса акции, темпы инфляции, величина дивидендов и другие обстоятельства. Доходность за одни день акции [ рассчитывается по формуле:

Р; СЮ = 1л , .

14 — 1)

Соответственно, средняя доходность акции 1 за п дней находится как математическое ожидание:

п

н(к1> = - У ад).

п ¿—к

Дисперсия, очевидно, вычисляется по следующему соотношению:

п

Уаг(Кг) =-У(К1(1-)-Е(К1))2.

II £—1

1=1

В качестве меры близости доходностей акций выбран коэффициент корреляции между двумя акциями 1 и j - с^. Данная характеристика определяется по формуле:

Е(щ  КЛ - Е(И|) - Е(К|) . - -^_!_

При построении рьшочного графа ребро между двумя вершинами \ и] проводится, если коэффициент корреляции с^, соответствующий значению между рассматриваемыми акциями, превосходит или равен заданному пороговому значению. Область определения порогового значения определяется из выше сказанного как отрезок между значениями -1 и 1. На главной диагонали матрицы стоят единицы, но с содержательной стороны данная информация не представляет интереса. Получившаяся матрица отражается исследуемую структуру рынка ценных бумаг.

Построение рыночного графа

В данной работе в качестве данных рассматриваются ценные бумаги (акции), которые торгуются на ММВБ, за промежуток времени со 2 февраля 2011 г. по 1 февраля 2013 г. Данные для исследования получены из открытых источников информации. Исследуемые котировки акций относятся к разным областям экономики - все, какие представлены на ММВБ. Было условлено, что если в определённый торговый день не осуществлялось сделок по акции, то её цена принимается равной значению цены предыдущего торгового дня. Так как в рассматриваемых данных присутствуют акции как голубых фишек12 (например, Газпром, Сбербанк, Роснефть), так и акции совсем небольших компаний (Кыштымский медеэлектролигный завод, Завод ГРАЗ и другие). У нас есть основания предполагать, что исследуемый объект по своей физической структуре является безмасштабной сетью. За последние несколько лет учёные выявили множество разнообразных безмасштабных структур. Обнаружено, что во многих сетях - от Всемирной паутины до метаболической системы клетки - доминирует относительно небольшое количество узлов (концентраторов), имеющих практически неограниченное количество связей [Барабаши и др., 2003]. Для таких структур свойственна масштабная инвариантность, т.е. другими словами, данные структуры обладают свойством: при изменении масштабов измерения величин, все соотношения теории остаются неизменными. Поведение безмасштабных сетей весьма специфично: например, они очень устойчивы к случайным отказам, но чрезвычайно уязвимы по отношению к скоординированным нападениям. Отличительной особенностью таких сетей является степенной закон, которому подчиняется распределение

12 Голубые фишки - ценные бумаги и акции наиболее крупных и экономически стабильных компаний, для которых характерна высокая ликвидность и надёжность.

Исследование рыночного графа российского фондового рынка

_в контексте структурной динамики

количества связей узлов. При построении в двойном логарифмическом масштабе количество узлов от количества связей сети в результате получается линейный график. В свою очередь, для случайной сети характерно колоколообразное распределение, т.е. у большинства узлов в структуре приблизительно одинаковое количество связей.

В результате в работе исследуется рыночный граф с 123 вершинами, которые соответствуют акциям, торгующимся на ММВБ. Для достоверных результатов при вычислении корреляции большое значение имеет количество наблюдений, полнота расчёта.

Гистограмма коэффициентов корреляции с^ за рассматриваемый период представлена на рис. 1.

Рис. 1. Плотность распределения коэффициентов корреляции

По оси абсцисс - коэффициент корреляции с.ц, по оси ординат -плотность распределения с^. Сразу можно отметить чётко обозначенный максимум на данном рассматриваемом промежутке времени. Стоит обратить внимание, что отрицательных значений для с^ не наблюдается. Это можно проинтерпретировать следующим образом: нет возможности составить диверсифицированный портфель из акций разнонаправлено колеблющейся доходностью. Интересный вывод можно сделать на данном этапе изучения. Рыночный граф представляет собой структуру случайной сети, а не безмасштабной. Следовательно, к построенной структуре возможно применение уже хорошо известных алгоритмов и методов. Для описания структурной динамики системы удобно применять элементы теории графов: такие операции, как добавление, удаление и стягивание

ребер, добавление и удаление вершин. Случайные сети характеризуются достаточно низким критерием устойчивости. Это логично объясняет относительно высокую чувствительность фондового рынка к изменениям.

Если взять для сравнения полученные результаты на промежутке с 20 октября 2008 г. по 25 октября 2010 г., представленные в работе Визгунова А.Н., Гольденгорина Б.И. и др. [2012] также для акций, торгуемых на ММВБ, то можно сделать вывод о схожести проведённого анализа. Изучение плотности распределения коэффициентов также дали результаты унимодальности плотности. Но в настоящей работе график получился немного сдвинутым вправо: на участке 2008-2010 гг. среднее арифметическое значение коэффициентов корреляции Сц получилось меньше, а именно около 0,1. Стоит также отметить, что присутствовали отрицательные значение коэффициентов корреляции, хотя и достаточно немного.

Теперь рассмотрим динамику плотности рёбер рыночного графа при изменении порогового значения. Результат представлен на рис. 2 ниже. Плотность ребер графа характеризует степень глобализации рынка [Визгунов и др., 2012]. При анализа полученных результатов отметим быстрый перепад на интервале (0; 0,5) и достаточно незаметные колебания на краях. В работе Визгунова А.Н., Гольденгорина Б.И. и др. результат на данном этапе очень схож с полученным.

Рис. 2. График плотности рёбер рыночного графа

Исследование фондового рынка в динамике

Изучим поведение фондового рынка во времени. Рассматриваемый период времени разделим на 4 равных непересекающихся временных промежутка (полгода). Затем для каждого периода проведём исследования, аналогичные описанным выше для всего периода наблюдения.

Исследование рыночного графа российского фондового рынка

_в контексте структурной динамики

Графические иллюстрации вычисления соотношений плотности распределения от коэффициента корреляции представлены ниже на рис. 3.

к =

=

и

3

и я

-

=

5

-1 период

2 период

3 период

4 период

-0,2-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Коэффициенты корреляции

Рис. 3. Плотность распределения коэффициентов корреляции для периодов

При сравнении плотностей каждого из выделенного периода времени видно, что все периоды, кроме первого, имеют приблизительно одинаковые графики плотности. И только первый период заметно отличается от остальных. Стоит заметить, что график плотности распределения, соответствующий первому периоду, различается и с распределением, полученным для всего рассматриваемого периода на рис. 1. В работе, проведённой для 2008-2010 гг., авторы также получили достаточно значительные отличия между периодами. Считаем, что на этих основаниях можно сделать выводы о нестабильности российского фондового рынка и достаточно высокой чувствительности.

Заключение

Применение теории графов к анализу фондового рынка предоставляет широкий спектр возможностей для исследований. Представление рынка с помощью модели графа позволяет осуществлять сравнение рынков различных стран между собой, находить закономерности, моделировать дальнейшее развитие. По сравнению с лидерами мирового рынка фондовый рынок России достаточно молод. Данный подход к анализу выявляет определённые структурные свойства и особенности изучаемого объекта. В проведённых исследованиях для рынка США [Boginski й а1, 2006] выявлен независимый характер этого рынка, высокая степень свободы при составлении диверсифицированных портфелей, ярко выраженная стабильность во времени по показателям плотности

коэффициентов корреляции. Это принципы в настоящее время малохарактерны для отечественного фондового рынка. Но сделанные выводы дают нам преимущества в моделировании и более глубоком исследовании процессов рынка.

Как новый возможный подход в данной теме можно выделить исследование также российского фондового рынка, но уже выбрать в качестве меры близости доходностей акции не коэффициент корреляции, а другую характеристику. Вариации возможны и с выбором узлов для рыночного графа.

В настоящей работе также сделана попытка проанализировать рыночный граф отечественного фондового рынка с точки зрения структурной динамики [Кочкаров и др., 2006].

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность свою научному руководителю Кочкарову Азрету Ахматовичу за интерес к настоящей и многим другим работам.

Список литературы

[Барабаши и др., 2003] Барабаши A.JL, Бонабо Э. Безмасштабные сети // В мире науки. 2003,-№8.-С. 55-63.

[Визгунов и др. 2012] Визгунов А.Н., Гольденгорин Б.И., Замараев В.А., Калягин В.А., Колданов А.П., Колданов П.А., Пардалос П.М. Применение рыночных графов к анализу фондового рынка // Журнал НЭА. - М., 2012. - № 3(15). - С. 66-81.

[Гольцева, 2013] Гольцева А.Ю. Мониторинг информации в сетевых системах с переменной структурой // Труды 56-й науч. конф. МФТИ: Всероссийской науч. конф. «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе», Всероссийской молодежной науч.-инновац. конф. «Физико-математические науки: актуальные проблемы и их решения». Радиотехника и кибернетика. - М.: МФТИ, 2013. - С. 182-183.

[Кочкаров и др., 2006] Кочкаров A.M., Кочкаров A.A., Никищенко С.П. Структурная динамика и исследование структурно-временных характеристик дискретных систем // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2006. - Т. 58. -№ 3. - С. 235-238.

[Кочкаров и др., 2013] Кочкаров A.A., Сенникова Л.И., Халикова A.A. Новые подходы в моделировании сетевых систем. Препринтное издание. - М.: Финансовый университет, 2013. - 45 с.

[Boginski et al, 2006] Boginski V., Butenko S., Pardalos P.M. Mining Market Data: A Network Approach // Computer & Operations Research. - 2006. - Vol.33. - P.3171-3184.