Разложение тригонометрической суммы сетки с весами в ряд по точкам решетки

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 37-49

Математика

УДК 511.3

Разложение тригонометрической суммы

*

сетки с весами в ряд по точкам решетки *

Е. М. Рарова

Аннотация. В работе выводится формула для представления тригонометрической суммы обобщенной параллелепипедальной сетки с весами в ряд по точкам соответствующей решетки.

Ключевые слова: алгебраические сетки, алгебраические

решетки, весовая функция, абсолютно сходящийся ряд Фурье, тригонометрические суммы сетки с весами, метод Фролова.

В работе [9] следующим образом сформулирована проблема значений тригонометрических сумм сеток:

"Нормированные тригонометрические суммы параллелепипедальных сеток имеют два значения: 0 и 1. Для нормированных тригонометрических сумм двумерных сеток Смоляка таких значений три: 0, 1 и —1. Для

неравномерных сеток имеется или хорошая равномерная оценка О

или они 'равны 1.

Очень важно получить оценки нормированных тригонометрических сумм для алгебраических сеток.

Если эти суммы имеют спектр значений не сосредоточенный около точек 0 и 1, то алгебраические сетки нельзя хорошо приблизить параллелепипедальными сетками, а алгебраические решётки нельзя хорошо приблизить целочисленными решетками."

Алгебраические сетки являются частным случаем обобщенных параллелепипедальных сеток. Общая теория обобщенных параллелепипедальных сеток была заложена в работах [11-13].

Цель работы — получить формулу для тригонометрической суммы сетки с весами, выражающую значение этой суммы через ряд по точкам решётки.

1.1. Алгебраические сетки. В 1976 году вышла работа К.К. Фролова [27], в которой впервые появились алгебраические сетки. Наиболее полно в авторском изложении метод Фролова представлен в его кандидатской

* Работа выполнена при финансовой подготовке РФФИ (проект № 11-01-00571).

1. Введение

диссертации [28]. Позднее в работах [11-16] Н.М. Добровольский предложил модификацию метода Фролова с использованием специальных весовых функций. Современное полное изложение метода Фролова и его модификации по Н.М. Добровольскому дается в работах [4-7, 24].

Будем использовать следующие обозначения и определения из работ [21, 24]. Рассматриваются:

единичные в—мерные кубы

С3 = {X | 0 ^ хи ^ 1, V = 1, 2,..., в},

С3 = {X | 0 ^ хи < 1, V = 1, 2,..., в};

непрерывные периодические функции с периодом равным единице по

каждой из переменных хи (V = 1, 2,..., в), принадлежащие классу ),

который состоит из периодических функций

/ (х) = ^2 с (т )е2

е2пі

ті,. . . ,т3=—ж

для которых

с

и т = тах(1, |т|) для любого вещественного т.

Для произвольного вектора X его дробной частью называется вектор {X} = ({хі},..., {хз}). Отсюда следует, что всегда {X} Є Сз. Целой частью вектора называется вектор [X] = X — {X}. Через р(Х) = [X + (1,..., 2)] обозначим ближайший целый вектор в смысле нормы 11X111 = тах(|х1|,..., 1x^1). Для нормы вектора отклонения от ближайшего целого 5(Х), заданного равенством

«(х)=р(х)—х = (22) —{х + (22

справедливо неравенство ||5(Х)У1 ^ 1/2.

Далее везде под произвольной решеткой Л С К5 будем понимать только полные решетки, то есть

Л = {ш1А1 + ... + тзАз = т  А | т = ( т1,..., тз) Є ^з},

где А1 = (А11,...,А15),...,А5 = (Аз1,...,А55) — система линейно-независимых векторов в К5, а матрица решётки А задана соотношениями

/ А11 ... А1 ^ \ / А1 \

А= •  =1 І ,

\ Ав 1 ... Ав в / у Аз )

Взаимная решетка Л* = {X |Уу € Л (X, |д) € ^}. Непосредственно из определения следует равенство (-Л)* = - Л*.

Определение 1. Для произвольной решетки Л обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л) называется множество М(Л) = Л* П П ва.

Сетка М1(Л) = Л* П [—1; 1)а.

Обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода М'(Л) называется множество М'(Л) = {X | X = {у}, у € М1(Л)}.

Определение 2. Весовой функцией порядка г с константой В называется гладкая функция р^), удовлетворяющая условиям

о

р^ +

£1,. . . ,£3=-1

р^) = о при X €

1 1

...у p(X)e2ni(<?>x)dX -1 -1

^ B

Если выполнены условия (1) и (2), то говорим просто о весовой функции p(x).

Определение 3. Квадратурной формулой с обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа и весовой функцией р(Х) называется формула вида

i 1

[... f f (X)dX = (de^)-1 Pxf (X) - Rn'(Л)[/],

0 0 хем '

где Px = ^ Р(у), ^/(Л) = |М'(Л)|>

?7еМ1(Л),{?;}=х

Rn'(Л) [f] _ погрешность квадратурной формулы.

Для погрешности квадратурной формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода на классе Ef справедлива оценка

Rn'

C1(a) = 2“+1 ^3 + , Zh(Л|а) = ^ (X1.. .Xs)-“.

где

Отметим важное обстоятельство — квадратурные формулы с обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа и весовой функцией р^), вообще

говоря, задают насыщаемый алгоритм численного интегрирования, если весовая функция конечного порядка и решетка не является целочисленной.

Этот алгоритм будет ненасыщаемый для целочисленных решеток, то есть для параллелепипедальных сеток, или для весовых функций бесконечного порядка. Определение ненасыщаемых алгоритмов дано в монографиях [1, 22].

Вопросы построения численных алгоритмов с правилом остановки рассмотрены в работах [8, 10, 23-26, 29].

Параллелепипедальные сетки и метод оптимальных коэффициентов изучаются в работах [2, 3, 9, 17-21] и других.

Пусть а = (ао, а1,..., аа-1) — целочисленный вектор такой, что многочлен

неприводим над полем рациональных чисел и все корни 0^ (V = многочлена (4) действительные.

Обозначим через Т(а) матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел 01,... ,0$ — корней многочлена Ра(х):

$—1

1

01

1

0$

т

где ТТ — транспонированная матрица к матрице Т.

Тогда параллелепипед

задаваемый матрицей

содержит s-мерный куб

V=1,- . . ,s

max l©^x1 + ... + ©kxs| ^ |e1|fc + ... + |0s|k, (k = 0,1,..., s — 1).

v = 1,. . . ,s

Для любого t > 0 решетка Л(£  T(a)) называется алгебраической. Она имеет вид

Л^  T(a)) = |x= ^t^©V-1mV,..., t ^ ©V-1mV^ = t  m  T(a) m € Zsj .

Таким образом, алгебраическая решетка Л^  T(a)) имеет базис

= t  (©V-1,..., ©V-1) (v = 1,...,s).

Так как координаты любой ненулевой точки X € Л^(a)) — алгебраически сопряженные целые алгебраические числа, то произведение X1...XS — ненулевое целое рациональное число.

Кроме этого, если T — произвольная невырожденная матрица и T* = = (T-1)т, то решётки Л^) и Л^*) — взаимные решётки: Л*^) = Л^*).

Для алгебраических решеток и сама решетка, и её взаимная решетка не имеют ненулевых точек с нулевым произведением координат.

1.2. Тригонометрические суммы сетки с весами. Совокупность M С Gs точек Mk = ({1(k),..., £s(k)) (k = 1...N) называется сеткой

M из N узлов, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины Рк = p(Mfc) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные и являются значениями специальной весовой функции.

Для произвольных целых m1,...,ms суммы SM,p(m1,..., ms), определённые равенством

N

Wm1,...,ms) = £ pfc e2ni[mi«l

fc=1

называются тригонометрическими суммами сетки с весами.

Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами

^м,р(т1,..., т5) = N £М)Д(ть..., ms).

N

Положим р(М) = ^ р |, тогда для всех нормированных тригонометричес-^=1

ких сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

15^)1 < N р

Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать 5 м (т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки 5М (т).

Пусть ^ — натуральное число больше 1 и д1 = [^г-1], д2 = [§], тогда множество {—51, .. . , ^2} является полной системой вычетов по модулю д.

Пусть матрица Т = Т(а) и г > 0. Рассмотрим алгебраическую сетку М(г) = М'(г  Л(Т)) из Ж'(г  Л(Т)) узлов хк (к = 1,..., Ж'(£  Л(Т))) с весами

Рк = РХк =

Ш=жк ,?7еМ1

и её тригонометрическую сумму с весами

5м(!),?(«) = (<3е^г  Л(Т)))-1 £ ( £ Р(й| е2*‘(т’г).

ж€М

2. Разложение тригонометрической суммы обобщенной параллелепипедальной сетки в ряд

Пусть = (Л^ 1,...,Л^8) (V = 1, ...,«) — базис решетки Л и X*

V -- 1) ♦ ♦ ♦ 5 ''V 5/ ♦ ♦ ♦ 5 «-> / иСЮ-ПЪ 14.^1 11. *1 /\^

(Л* 1,..., XV5) (V = 1, ..., з) — взаимный базис взаимной решетки Л*. Пусть д натуральное число такое, что

тах

^=1, ... ,5

\М=1

£іл*„і < «• (9>

Через К5(д) обозначим 8-мерный куб К5(д) = [—д,д]5, а через П5(Л, д) 8-мерный параллелепипед

П8(Л,д) = < X

-д ^2^ Л^жм ^ д (V = 1,...,$) м=1

Из определения К5(д) и П5(Л, д) следует, что в-мерный куб С П5(Л, д) и при линейном преобразовании

Л11 ... Л51

(У1,... ,у8) = (Ж1,. ..,ж8) •( . ... . | = (жь...,ж8)  А,

Л1 5 ... Л5 ;

= ^ Л^ЖМ (V = 1, ...,$) М=1

8-мерный параллелепипед П5(Л,д) переходит в К5(д). Действительно, пусть х Є К5, тогда

Л

^=1

< ^ 1Л^1 < д

м=1

и следовательно, X € П5(Л, д).

Рассмотрим функцию д(ж) на 8-мерном кубе К5(д), определенную равенством

#(ж) = р(ж *)в2™(х *>т), где векторы ж = (ж1,..., ж5) и ж * = (ж1, ..., ж*) связаны соотношением

Л1

л*

= (Ж1, • • • ,Жй)  А 1,

Л1

V = ^ЖЛ ^

М=1

то есть Ж* = ж1Л1 + • • • + ж5Л*.

Гладкая функция д(х) обращается в нуль на границе куба К5(д), поэтому ее можно разложить в абсолютно сходящийся кратный ряд Фурье на кубе

Кй(д):

где

с(П) = (2д)“

2 -

^(Ж)е- Пі 2« ^х.

К,

Лемма 1. Для функции

п(Ж) Г р(Ж*)е2п-(х*>т), при Ж Є Кй(д),

( ) \ #(у), при

при Ж = у + дп, у Є К5(д), п Є справедливо разложение в ряд Фурье

---- - -

4(х) = ^ с(П)е Пі 2« ,

5

*

где

1 1

с

-1 -1

Доказательство. Действительно,

с(п) = (2д)-^^ У д(ж)е-2пг 2<? ^ж =

К,

= (2д)-^ У р(ж  А-1)е2™(х'А-1’ т)е-2П^^ж =

К,

Я „ 2 •

р(ж  А-1)е ( >т)е-2пг------------^---------------^ж =

К,

/* /* ^ •/-» -»\ О —,•

= (2д)-5 det Л I р(у)е2пг(у> т)е~ -------^--------^у =

I I ^ /-> ->\ 2—;

= (2д)-5(еЛЛ ... р(д)е2пг(у’т)е-2пг-------------------------------^-^у =

Пв

1 1

-1 -1

1 1

= (2д)-5 («л/ ... ^(йеМ^- •А1+-2«+"-А0 Д/

-1 -1

и лемма полностью доказана.

Теорема 1. Для произвольной решётки Л и произвольной весовой функции р(ж) справедливо равенство *

1 1

5м,дд) = *

ХеЛ-1 -1

где

^( т) = / 1, при т = 0; т \ 0, при т = 0, т € ^5.

* Здесь и далее символ ^' означает, что из области суммирования исключена нулевая точка.

Доказательство. Рассмотрим для решётки Л квадратурную формулу 1 1

/... / р(у}е2п-(у’т)^у = (ёе! Л)-1 Е рхе2пі(х’т)-

^ хем'

р

-1 -1

— '

Для интеграла в левой части равенства по свойствам весовой функции и периодичности экспоненты имеем:

1 1

у.../ р(у)е2пгт)^ =

-1 -1 0 1 1

= Е /7р(у+ (^...,^))е2пгт)^=

£Ь. . . ,е3=-1 0 0

= /."/( Е р(У +(^1,...,£в)^ е2-т)^у =

0 0 \£15- . . 5£5=— 1 /

1 1

= у.. .у е2п^’т)^д = й

00

Сумма в правой части равенства (13) есть в точности тригонометрическая сумма сетки с весами 5м(*),,?(т), которую можно записать следующим образом

5м,дт) = (йе^Л))-1ЕI Е р(У0 е2пг(т’х) =

ХеМу {у}=Х, ;у€М1(Л) у

=

х* ек3 п л*

Так как вне в-мерного куба функция р(ж) обращается в нуль, то

Е р(ж*)е2™(т’Х*) = Е р(ж *)е2™(Х*> т) =

Х*€К3р| Л* Х*еЛ*П Пв

д—1 д—1

Е р(ж*)е2™(Х*’т) = Е р(ж  А-1)е2п^(Х'А_1’т) = Е #(ж).

Х *еЛ* Х1,...,Х3 =—д Х1,...,Х3 =—д

Так как

q-1 . к

^ е2п ~2 = 2q^2q (n),

к=-q

где символ Коробова £а (b) задается равенством

Л Г 1 при b = 0 (mod a),

“( ) = | 0 при b = 0 (mod a),

то

q-1 q-1

- ---- --- r\

det(Л)  Sm(t),/3{m) = E g(X) = E E c(n)e ni~ =

xi,---,Xs = -q xi,- - - ,xs = -qn=-M

= E c(n)(2q)s^2q(n1)...^2q(ns) = (2q)s E c(2qn).

n=-<^ n=-^

Из выражения (10) для коэффициентов Фурье и леммы 1 находим c(2qn) = (2q)-s У j p(X  A-1 )e2ni(xA-i> m)e-2ni(n’X)dX =

Ks

= м-* / / р(х  A-1)e2n-(--1, m)e-2ni(ni^+- -- +-- - =

Ks

= (2q)-s detЛ f I p(y)e2ni(«>m)e-2ni(niXi+--- +газХ^,у)йу =

ns^,q)

1 1

= (2q)-s det Л J ... J p(y)e2ni(?7’ m) e-2ni(niXi+----1 -1

Отсюда и из равенства (15) следует, что

1 1

Sm(*),дт) = г(т) + ... / p(y)e2ni(?7’m-x)dy

хел-1 -1

и теорема полностью доказана.

Заключение

Теорема 1 и определение весовой функции р(Х) порядка r с константой B позволяет получить оценку для тригонометрической суммы обобщенной

параллелепипедальной сетки с весовой функцией

|5м,р(т) - £(ш)| ^ (т1 - ж1... т8 - ж5)—г.

Хел

В заключение выражаю благодарность научному руководителю профессору Н.М. Добровольскому за постановку задачи, постоянное внимание и полезные обсуждения.

Список литературы

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 3-18.

3. Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8. Вып. 1(21). С. 4 - 109.

4. Герцог А. С., Ребров Е. Д., Триколич Е. В. О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул // Чебышевский сборник. 2009. Т. X. Вып. 2(30). С. 10-54.

5. Герцог А. С. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля Дирихле <9(л/2 + %/3) // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 22-30.

6. Герцог А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер. Математика. Физика. 2011. № 23(188). Вып. 5. С. 41-53.

7. Герцог А. С. ПОИВС ТМК: Биквадратичные поля и квадратурные

формулы // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: матер. Междунар. научно-практической конф., посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения члена-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула, 2011. С. 242-247.

8. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе / Л.П. Добровольская [и др.] // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тр. X Междунар. конф. Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Ч. 2. С. 90-98.

9. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов / Л.П. Добровольская [и др.] // Чебышевский сборник. 2012 Т. 13. Вып. 4(44). С. 4-107.

10. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9. Вып. 1(25). С. 185 - 223.

11. Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6089-84.

12. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6090-84.

13. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах E^c) и #a(c). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091-84.

14. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 1984.

15. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1985.

16. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения // Теория чисел и ее приложения: тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. C. 67-70.

17. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестник МГУ. 1959. № 4. С. 19 - 25.

18. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207 - 1210.

19. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009-1012.

20. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. 224 с.

21. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (второе издание). М.: МЦНМО, 2004. 288 с.

22. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995. 582 с.

23. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. 2009. Т. 10. Вып. 1(29). С. 65-77.

24. Ребров Е. Д. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13. Вып. 3(43). С. 53-90.

25. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом остановки // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: матер. 7 Междунар. конф. Тула, 2010. С. 153-158.

26. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии: матер. Междунар. научно-практической конф., посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения члена-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула, 2011. С. 153-158.

27. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818-821.

28. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.

29. Algorithms fot computing optimal coefficients /N.M. Dobrovolskiy [et al.] // Computer Algebra and Information Technology: book of abstracts of the International scientific conf. Odessa, August 20-26, 2012. P. 22-24.

Рарова Елена Михайловна (rarova82@mail.ru), ассистент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.

Decomposition of trigonometric sum nets with weights in a series out on points of the lattice

E. M. Rarova

Abstract. The formula for the representation of the trigonometric sum generalized parallelepiped net with weights in a series out on points of the lattice is derived.

Keywords: algebraic net, algebraic lattice, the weight function, absolutely converging Fourier series, trigonometric sums grids with weights, Frolov’s method.

Rarova Elena (rarova82@mail.ru), assistant, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Поступила 12.01.2014