Доказательство обобщенной формулы Ито — Вентцеля с помощью дельта-функции и плотности нормального распределения

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2014. Том 21, № 3

УДК 519.21

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБОБЩЕННОЙ ФОРМУЛЫ

ИТО - ВЕНТЦЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ И ПЛОТНОСТИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Е. В. Карачанская

Аннотация. Представлено доказательство обобщенной формулы Ито — Вентцеля с использованием стохастической аппроксимации и функции плотности нормального распределения.

Ключевые слова: формула Ито — Вентцеля, обобщенное уравнение Ито, пуассо-новская мера, дельта-функция, плотность нормального распределения, сходимость в среднем квадратическом.

Введение

В теории стохастических случайных процессов очень важны правила построения стохастических дифференциалов — правила дифференцирования сложной функции. Такими являются формула Ито [1,2] — дифференциал неслучайной функции от случайного процесса и формула Ито — Вентцеля [3], позволяющая построить дифференциал для функции, которая сама является решением стохастического уравнения. Множество работ посвящено получению вариантов этих формул для различных классов процессов путем распространения формул Ито и Ито — Вентцеля на более широкий класс функций (см., например, [4-12] для формулы Ито и [13-19] — для формулы Ито — Вентцеля).

Следующий уровень — получение новой формулы, связанной с обобщенным уравнением Ито [2], содержащим винеровскую и пуассоновскую составляющие. В 2002 г. В. А. Дубко [20] представил обобщение стохастических дифференциалов от случайных функций, подчиненных обобщенному уравнению Ито (ОС-ДУ) на основе представления о ядрах интегральных инвариантов (в [20] были намечены идеи для доказательства этой формулы). Полученная формула названа обобщенной формулой Ито — Вентцеля. В 2007 г. для одномерного процесса при отсутствии винеровской составляющей обобщенная формула Ито — Вентцеля была построена в [21] на основе классической теории СДУ Ито, и в 2013 г. в [22] была представлена «формула Ито — Вентцеля со скачками» для одномерного случайного процесса, которая содержит как винеровскую, так и пуассоновскую составляющие, со ссылкой на доказательство, опубликованное в предыдущей работе [21].

© 2014 Карачанская Е. В.

В [23] в отличие от работы [20] предложена обобщенная формула Ито — Вентцеля для пуассоновской меры (НЦПМ) (полное доказательство см. в [24]). В этом случае требование о характере пуассоновского распределения носит только общее ограничение, не требующее знания явного вида. В статье [24] представлено доказательство обобщенной формулы Ито — Вентцеля с помощью метода стохастических интегральных инвариантов и уравнения для ядер этих инвариантов.

В данной работе предлагается доказательство, основанное на традиционном стохастическом анализе и использовании в качестве аппроксимации случайных функций, относящихся к стохастическим дифференциальным уравнениям, «усреднение» их значений в каждой точке. Для такой аппроксимации применяется последовательность функций плотности нормального распределения при стремящейся к нулю дисперсии. Поскольку экспонента — бесконечно дифференцируемая функция (нам достаточно второй производной) и соответствующая последовательность быстро сходится, и допредельное представление позволяет применять обобщенную формулу Ито без дополнительных замечаний.

Отметим, что полученная на основе ядер интегральных инвариантов в [23, 24] обобщенная формула Ито — Вентцеля требует более жестких условий для коэффициентов всех рассматриваемых уравнений — существование для них вторых производных [25]. Связано это с тем, что ядра инвариантов для дифференциальных уравнений существуют при определенных ограничениях на коэффициенты.

1. Обозначения и предварительные утверждения

Пусть , ^ — вероятностное пространство с фильтрацией,

= (1 (£),... ,тога({))т — то-мерный винеровский процесс, одномерные ви-неровские процессы к = 1,... ,т, определены на заданном пространстве,

^-измеримы и взаимно независимы.

Пусть 7 — вектор со значениями в М" , и(ДЬ, Д7) — стандартная пуассо-новская мера на [0, Т] х М" , моделирующая независимые случайные величины на непересекающихся интервалах и множествах. Одномерные винеровские процессы 1(£), к = 1,..., то, и пуассоновская мера ^([0; Т],^) определены на заданном пространстве, ^¿-измеримы и взаимно независимы. Появляющиеся далее случайные процессы и функции ^¿-измеримы и согласованы с указанными процессами.

Будем использовать обозначения, аналогичные [26]:

Н2[0,Т] = <«(*), а : [0, Т] ^ Мт | ^ |а(£)|2 & < те п. н.

Я8(П) = < р(г, у) = р(г, у; ш), р : [0, Т] х М х П ^ М"

\ ! I Иг,у)\8П(^у) ¿г< ж п. н..

Рассмотрим случайный процесс х(г) со значениями в Мп, определяемый следующим уравнением [26, с. 271, 272]:

¿х(г) = Л(г)^г + В(г)^(г) + д(г, тМ^, ¿7),

где Л(г) = {а1(г),...,ап(Ь)}*, д(г, 7) = Ыг,7),..., д„(*, 7)}* е Мп, 7 е Мп , w(í) — т-мерный винеровский процесс,

1^,7)1 е Я1,2(п), е я2[о,т],

Б(г) = (Ьзк (г)), о = 1,...,п, к = 1,..., т.

Отметим, что коэффициенты Л(г), В(г) и д(г,7) — в общем случайные функции, зависящие, в том числе, от х(г). Поскольку ограничения на эти коэффициенты явно относятся только к переменным г и 7, будем использовать именно такое обозначение для коэффициентов уравнения (1) вместо Л(г, х(г)),

В(г, х(г)) и д(г, х(г); 7).

Для случайной функции Б(г, х(г)), где х(г) — решение уравнения (1), дифференциал представлен обобщенной формулой Ито [2] (используем ее в виде из [26, с. 271-272]):

¿г Б(г, х(г)) =

дБ

дг

дх.

1=1

1 п п т д2 б

+ 9 Е Е Е1м*,

ф)

г=1 ¿=1 к=1 п т

+ ЕЕ ь» к

дБ

г=1 к=1

дх»

х=х

¿'шк

¿г

х=х

+ J [б

Дельта-функция является удобным инструментом, когда необходимо выделить значение функции в какой-либо точке, не обращая внимание на ее непрерывность или гладкость. Рассмотрим следующие свойства ¿-функции:

/'(Х) ¿Х = 1,

+ оо

/(х) = J /(уЖу - х) ¿у.

о

Первое из этих свойств позволяет использовать в качестве ¿(ж) функцию плотности распределения. Выберем функцию плотности распределения, удовлетворяющую следующим условиям:

1) симметричную относительно точки ж,

2) достигающую в точке ж максимума,

3) носитель функции должен быть сосредоточен вблизи точки ж (необходимо «выделить» значение функции /(ж) в этой точке),

4) минимум дважды дифференцируемую в ж (это условие необходимо для применения формулы Ито).

Таким условиям удовлетворяет функция плотности нормального распределения (ж, е2), е ^ 0. Второе из указанных свойств ¿-функции позволяет ввести для каждого сечения /е(Ьа,ж) при Ь = € [0,Т], функцию

сю

/е

— с

Таким образом, для любой точки ж будем случайную функцию /(Ь, ж) аппроксимировать последовательностью неслучайных функций /е(Ь, ж) при е ^ 0.

2. Формула и ее доказательство

Теорема 1 (обобщенная формула Ито — Вентцеля). Пусть ^(Ь, к), (Ь, к) € [0; Т] хМ" — скалярная функция, обобщенный стохастический дифференциал которой имеет вид

т ,,

dtF

к=1 ^ и для коэффициентов (7) выполнены условия:

(a): х), .(4, х), х; 7) € М — в общем случайные функции, измеримые относительно того же неубывающего потока а-алгебр , что и процессы ^(Ь,^) для любого множества л/ € В из фиксированной борелевской а-алгебры [26, с. 266];

(b): сечения случайных функций х), х), х; 7) € М для любых Ь = Ьа, а € [0, Т], имеют нормальное распределение ¿Ж(ж, е2), е ^ 0;

(c): с вероятностью единица функции х), .(Ь, х), х; и) и их первые и вторые частные производные по компонентам вектора х непрерывны, ограничены и удовлетворяют условию Гёльдера.

Если случайный процесс х(Ь) подчинен системе (1) и выполняются ограничения (2), то существует стохастический дифференциал

т

dtF(Ь, х(Ь)) = х(Ь)) ¿Ь + ^ .(Ь, х(Ь)^к

+

^ дF(Ь, х) .¿=1

к=1

п п

1 п п т т?(х \

джi дж^-

¿=1 ^ = 1 к=1 ^

^

x=x

. ^

¿ь + М*)

...... джг

г=1 к=1

x=x

x=x

+ У [

+ J G

Поскольку известные свойства дельта-функции относятся к детерминированным функциям, а мы будем иметь дело с функциями, являющимися в общем случайными, для доказательства понадобятся следующие утверждения.

Утверждение 1. Пусть функция f (t,x) ограничена с вероятностью единица для любых t £ [0, T] и удовлетворяет условию Гёльдера по компоненте x. Тогда имеет место представление

сю — с

сс

= j f

—с

Доказательство. Пусть для функции f (t, x) выполняется условие Гель-дера:

|f (t,yi) - f (t,y2)| < L(t)|yi - У2Г, 0 < 1.

Поскольку t в доказательствах рассматривается как фиксированное, для упрощения записи параметр t будем опускать. Таким образом, вместо f (t,x) будем писать f (x), а вместо L(t) — просто L.

Выполним замену переменных: (y - x)e—1 = z, y = ez + x. Добавляя и вычитая одно и то же выражение и используя свойства интеграла вероятности, получим

с сю

11

2П

—с

J f(ez + х) ехр{—z2/2] dz = f(x)—j= J ехр{—z2/2} dz

—с

сс

--= J (f(ez + x)-f(x))exp{-z2/2}dz

—с

сс

= /

Оценим последний интеграл:

сс

J (f (ez + x) - f (x)) exp{-z2/2} dz

a/27T

с

< _ f \(ez + x) — ж^ exp{—z2/2} dz

V 2n J

с

< еЬ 2

а/27Г

1 СЮ

/. * ехр{-г2/2} *-I ехР{-г2/2И-г2/2)

I 0 1

2 4

Так что при е ^ 0, е > 0 для произвольных функций /(4, ж), которые для любых 4 € [0, Т] ограничены с вероятностью 1 и удовлетворяют условию Гельдера по компоненте ж, справедливо равенство (9).

Следовательно, результатом свертки ¿-функции со случайной функцией также является случайная функция, т. е. получен результат, аналогичный детерминированному случаю.

Поскольку применение формулы Ито к ¿-функции невозможно, понадобится следующий результат. Для удобства дальнейших действий будем использовать обозначение

с / ^ 1 ( (у-х)2

°е{у -х) = —= ехр < -

гурБ * I 2е2

Утверждение 2. Пусть функция /(4, ж) и ее производные первого и второго порядков по ж ограничены с вероятностью 1 для любых 4 € [0, Т] и удовлетворяют условию Гельдера по компоненте ж. Тогда имеют место представления

С

д [ д -Жж) = -Ит ] ¡{1,у)-5е{у-х)<1,у

С

С

д2 Г д2

— /(¿,ж)=1пп J /^,у) — 8е(у-х)йу

€

С

= I

— С

Доказательство. Покажем, что и в этом случае справедливы оценки, подобные выполненным выше на основе соответствующих предельных представлений. Продифференцируем (9) и применим интегрирование по частям:

д Г д 1 [ д Г - ж)

— С

I

1 Г

+ С

С

С

При условии, что производная / (у) удовлетворяет условию Гельдера, для асимптотического представления производной от ¿(ж) доказательство совпадает с предыдущим. Аналогично устанавливается справедливость соотношений, где присутствуют вторые производные ¿(ж) и выполнено условие Гельдера для второй производной /у (у). Обобщая использовавшиеся ограничения, видим, что необходимо потребовать существование и непрерывность /'(у) и гёльдеровость для вторых производных.

Перейдем к доказательству соотношения (8) теоремы, воспользовавшись установленными в утверждениях 1 и 2 свойствами ¿(ж) на классе всех непрерывных и ограниченных с вероятностью единица функций.

Доказательство теоремы. Пусть Б(£, х(£))—решение (8). Введем функцию х(£)) следующим образом:

Ли n

~\5e(yi - x,(t))F(t, y) dr(y), dr(y)=H dyi.

»n 1=1 l=1

Докажем, что при условии F(0, x(0)) = Fe(0, x(0)) имеет место сходимость в среднем квадратическом:

F

Утверждение (15) по определению равносильно равенству

limM[|Fe

которое и будем доказывать.

Воспользовавшись обобщенной формулой Ито (3), продифференцируем вы-

n

ражение П Se(yi — x,(t))F(t, y) в (14), полагая, что h(t, £) = h(t, x; F) и

1=1

h(t, £(t)) = h(t, x(t); F(t, y)) = Д 5e(yi — xi(t))F(t, y),

1=1

где х(£) подчинено уравнению (1), а Б(£, х) — уравнению (7).

Приходим к следующему результату (знаки суммирования опустим и далее будем иметь в виду, что суммирование проводится по индексам, встречающимся дважды):

dt

П<Ш — xi

1=1

д

1=1

i=i

n 1 д 2 n

1=1

д

+ h k

1=1

1=1 dt

i=i

i=i(t).

«

+

г=1

д

Р(Ь,у)Ь1к(Ь)— Лде(У1 -XI) у) П5е(г/| -

г=1

+

П ¿€

,г=1

-П¿€

г=1

).

Воспользовавшись утверждениями лемм 1 и 2, перейдем в правой части равенства от частных производных по компонентам вектора х к частным производных по компонентам вектора у и запишем полученное ОСДУ в интегральном виде, учитывая интегрирование по пространству Мп и равенство (14):

,, п ,, п

ВДх

г=1 г=1

К" г=1 К" г = 1

* п

- I! а1{т)Р{т,у)-^\{5е{у1-х1{т))йт<Ш{у)

К" о г=1

* п

+ / /«(т, уШ ¿€(Уг - жг(т)) ¿т^Г(у) г=1

К" о г=1

1 Г }' д 2 п

+ 2 ] ] Ьгк

о г 0 г=1

* п

- 11 Ъ1к

К" о г=1

* п

- I ! Р{т-у)Ь1к{т)^\{5е{у1-х1{т))йгик{т) ¿Г

К" о г=1

* п

+ / /Дъ

о г=1

п

¿€

г=1

-П ¿€

г=1

^

Запишем ОСДУ (8) в интегральном виде:

* *

Р

ъ

+ J Чк

дБ

дж,

¿Ш

х=х

+

а,

дБ

дж,

1, / м. / хд2Б

х=х(т) 2 дж,дж^

<

+

дЩт; х)

дж,

х=х

¿т

+ у У [Б(т; х(т)+ д(т; 7)) - Б(т; х(т))]^т; ¿7) о

ъ

+ 11 С(т; х(т)+ д(т; 7); 7)^т; ¿7). (19) о

Рассмотрим разность выражений (18) и (19) с учетом допредельных свойств ¿-функции и возможности изменения порядка интегрирования:

Бе(^ х(0) - Б(¿, х(^) = Бе(0, х(0)) - Б(0; х(0)) ъ Г П

| а<(т) - | Б(т, У) — ж((т)) ^Г(у) —

П I- Щ) " 1 =1

о

дБ

дж,

х=х

¿т

¿т

+ 1 I д(т, у)П ¿е(у - жг(т)) ¿Г(у) - Я(т; х(т)) о чкп 1=1

ъ г

0 '-К" 1=1

ъ Г П

+ J Ьцг

о ^ К" 1=1

ъ г

¿т

х=х

¿т

х=х

х=х

¿Ш

ъ Г "

+ 1 I Щт; уЩ ¿е

П 1_тат 1=1

¿Ш

+

П ¿е

.г=1

-П ¿е

1=1

¿Г

- Б

ъ

ъ

ъ

Поскольку дифференцирование по Ито ¿-функции невозможно, воспользуемся результатами утверждений 1 и 2 — равенствами (9), (12) и (13):

х(4)) - Р(4, х(4))| < |Ре(0, х(0)) - Р(0; х(0))|

+

аг

1

(ед/2тгУ

п

7п-

г=1

та " г — 1

ехр< -

(У1 ~ Х1(т))2 2е2

¿т

х=х

+

(ел/2тг)'

п

7 Я'

та" г=1

+

ехр1 - 2У))2 |д

п ь таш г=1

¿т

д2Р

+

Ьгй

(ел/2тг)'

дж^дж0-

« п

/Я

х=х

ехр

г=1

Ьгй (т)Ьо^(т) ¿т (уг - жг(т))21 д

2е2

дуг

Щт, у) ¿Г

дЯ*

¿т

х=х

+

Ьгй

джг

гр" г—1

дР

+

(ел/2тг)г

+

п

7п-

г=1

шт г— 1

ехР1 -

дж

(У1 ~ Х1(т)) 2е2

х=х(т) 2

« п

/П

ехР1 -

^

^(т; у) ¿Г(у) - Як(т; х(т)) (Уг - жг(т) - дг(т; 7))2

^

+

К" г=1

х Р(т, у)^Г(у) - Р(т; х(т) + д(т; 7)) (Уг - жг(т))2

2е2

(ел/2тт)'

л 1С

7 Пехр

та" г=1

2е2

^

^

4

1

г

1

1

1

1

+

(ел/2

Пехр -

1=1

(у - ж(т) - д(т; т))2

2е2

х С

V

.

Интегралы, содержащие экспоненту, проинтегрируем по частям, проведем действия, аналогичные (10), и произведем оценки сверху, аналогичные (11):

1 Г Пехр {- {т ¿Т))2 у) - ^

г=1

¿т

П Ш>" 1=1

¿т

<

= I Ь^\т)

(%/2п)п (%/2п)п 7

Аналогично ъ

1 ГПехр

г=1

2е2

<

{^У

^П2П+1

Ь

¿Ш

.

Далее ъ

(ел/2тт)'

П

/П<

^ г=1

ш>" 1 — 1

Ы - ж;

2е2

- Б

V

<

ъ

] ^

(ел/2тг)'

« п

7п-

^ г=1

та п 1 —1

{У1 -Х1{т) -дг

2е2

- С

v

<

^п2п+1

(л/2тг)"

ъ

У У Ь

Су—X

помощью замены 2 = получаем

д/

д,г

= е

дж

д^2

=е

дж2

ъ

1

ъ

ъ

ъ

ъ

1

ъ

1

Тогда для выражений с первыми производными проведем действия, аналогичные (10), и оценки, аналогичные (11):

а,

« п

/п-

г=1

та " г — 1

1 Г^т Г 9

ехР1--—-}т—Р

2е2

дуг

дР

дж,

Ьгй

(ел/2тг)'

^ п

7 П

ТО" г — 1

¿т

х=х

(У1 - жг(

<

еп2п+1

2е2

— Г>к(г,у)ЙГ(у) дуг

дЯ*

дж,

¿т

х=х

<

еп2п+1

(л/2тт)п

* г п

К

дР

, Ы ~х1(т))2 \ д

дж,

х=х

<

*

Для выражения со вторыми производными выполняется оценка

* г

1 /-Л Г (У1-х1(т))2\ д2 ^ --2Ё2-

(ел/2тг)'

^ п

7 П

та" г — 1

д2Р

дж,джо

х=х

(т)Ьо^(т) ¿т

<

гп2п+1

(л/2тт)"

Поскольку Ь(в)(£), в = 1, 3 - 6, 8, — неслучайные ограниченные функции, а а,(4) и Ьо ^ (4) удовлетворяют условиям (2), при е | 0 выражения в (22), (24)—(27), (29) не превосходят 0.

*

Интеграл по винеровскому процессу / /(т)^ш(т) определен для функций

о

/(т) € Н2[0; таких, что с вероятностью единица выполняется условие

*

J /2(т) ¿т < те

[26, с. 12], т. е. выполняются ограничения (2), следовательно, выражения в (23) и (28) при е | 0 также не превосходят 0.

Стало быть, при совпадении начальных условий имеем

11ш |*€(*, х(4)) - Р(4, х(4))| = 0.

Это означает выполнение равенств (16) и (15):

Р(4, х(4)) = 1.1. ш.Р^, х(4)).

Тем самым имеет место утверждение (8), и теорема доказана.

п

2

1

еп2п+1

Заключение

Подобно классическим формулам — Ито и Ито — Вентцеля — обобщенная формула Ито — Вентцеля имеет большие перспективы для применения при различных исследованиях. В частности, с ее применением были получены уравнения для первого и стохастического первого интегралов системы стохастических уравнений Ито [24], уравнения для плотности стохастического динамического инварианта, уравнения Колмогорова для плотности переходных вероятностей случайных процессов, описываемых обобщенным СДУ Ито [27], а также построение программных управлений для стохастических систем с вероятностью единица [28].

Выражаю благодарность профессору В. А. Дубко за идею, предложенную для доказательства.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ито К. Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов // Математика. 1959. Т. 3, № 5. С. 131-141.

2. Кунита Х., Ватанабэ Ш. О мартингалах, интегрируемых с квадратом // Математика. 1971. Т. 15, № 1. С. 66-102.

3. Вентцель А. Д. Об уравнениях теории условных марковских процессов // Теория вероятностей и ее приложения. 1965. Т. 10, № 2. С. 390-393.

4. Кабанов Ю. М. Обобщенная формула Ито для расширенного стохастического интеграла по пуассоновской случайной мере // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29, № 4. С. 167-168.

5. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

6. Крылов Н. В. Об одном доказательстве формулы Ито // Тр. МИРАН. 1993. Т. 202. Статистика и управление случайными процессами. С. 170-174.

7. Норин Н. В. Формула Ито для расширенного стохастического интеграла с упреждающим ядром // Теория вероятностей и ее приложения. 1994. Т. 39, № 4. С. 743-765.

8. Перельман Г. В. К вопросу о справедливости формулы Ито для разрывной функции // Теория вероятностей и ее приложения. 2011. Т. 56, № 3. С. 478-493.

9. Bismut J.-M. A generalized formula of Ito and some other properties of stochastic flows // Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1981. V. 55. P. 331-350.

10. Es-Sebaiy K., Tudor C. Levy processes and Ito-Skorohod integrals // Theory Stoch. Process. 2008. V. 14, N 2. P. 10-18.

11. Krylov N. V. A relatively short proof of Ito's formula for SPDEs and its applications // SPDE Anal. Comp. 2013. N 1. P. 152-174.

12. Purtukhia O., Jaoshvili V. Ito type formula for Poisson anticipating integral // Rep. Enlarged Session Seminar I. Vekua Inst. Appl. Math. 2001. V. 25. P. 103-108.

13. Дубко В. А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1989.

14. Розовский Б. Л. О формуле Ито— Вентцеля // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1973. № 1. С. 26-32.

15. Flandoli F., Russo F. Generalized integration and stochastic ODEs // Ann. Prob. 2002. V. 30, N 1. P. 270-292.

16. Krylov N. V. On the Ito-Ventzel's formula for distribution-valued processes and related topics // Probab. Theory Relat. Fields. 2011. V. 120, N 1-2. P. 295-319.

17. Ocone D., Pardoux E. A generelized Ito-Ventzel's formula // Ann. Inst. Henri Poincare. 1989. V. 25, N 1. P. 39-71.

18. Purtukhia O. Itoo-Ventsel's formula for antisipative processes // New Trends Probab. Stat. 1991. P. 503-527.

19. Toronjadze T., Lazrieva N. Asymptotic properties of the maximum likelihood estimator, Itoo-Ventzel's formula for semimartingales and its application to the recursive estimation in a general scheme of statistical models // Proc. 1st World Congress Bernoulli Soc. (Tashkent, 1986). Utrecht: VNU Sci. Press, 1987. V. 2. P. 63-66.

20. Дубко В. А. Открытые эволюционирующие системы // В^дкрит еволюцюнуюч1 системи. Перша м1жнародна науково-практична конференщя «В1дкрит1 еволюц1онуюч1 системи» (26-27 кв1т. 2002 р.) Киев: ВНЗ ВМУРоЛ, 2002. С. 14-31.

21. 0ksendal B., Zhang T. The Ito-Ventzel's formula and forward stochastic differential equation driven by Poisson random measures // Osaka J. Math. 2007. V. 44. P. 207-230.

22. 0ksendal B., Sulem A., Zhang T. A stochastic HJB equation for optimal control of forward-backward SDEs. 2013. http:arxiv.org/abs/1312.1472v1.

23. Карачанская Е. В. Об одном обобщении формулы Ито — Вентцеля // Обозрение прикл. и промышл. математики. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 494-496.

24. Карачанская Е. В. Обобщенная формула Ито — Вентцеля для случая нецентрированной пуассоновской меры, стохастический первый интеграл и первый интеграл // Мат. тр. 2014. Т. 17, № 1. С. 99-122.

25. Дубко В. А., Карачанская Е. В. О двух подходах к построению обобщенной формулы Ито — Вентцеля. Хабаровск, 2012. 27 с. (Препринт/Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та; № 174).

26. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук. думка, 1968.

27. Дубко В. А., Карачанская Е. В. Стохастические первые интегралы, ядра интегральных инвариантов и уравнения Колмогорова // Дальневост. мат. журн. 2014. Т. 14, № 2. С. 1-17.

28. Карачанская Е. В. Построение программных управлений с вероятностью 1 для динамической системы с пуассоновскими возмущениями // Вестн. Тихоокеан. гос. ун-та. 2011. № 2. С. 51-60.

Статья поступила 17 ноября 2014 г.

Карачанская Елена Викторовна Тихоокеанский гос. университет ул. Тихоокеанская, 136, Хабаровск 680033 EKarachanskaya@mail.khstu.ru