Дополнение множеств до тел постоянной ширины

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 2

Физико-математические пауки

2006

УДК 517.9

ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ДО ТЕЛ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ

E.G. Половипкип, C.B. Сидеико

Аннотация

В данной статье исследована некоторая формула, которая для произвольного ограниченного множества из гильбертова пространства указывает тело постоянной ширины того же диаметра, содержащее исходное множество. Установлен критерий единственности дополнения произвольного множества до тела постоянной ширины и предложено некоторое описание всех тел постоянной ширины, содержащих исходное множество.

Введение

Тола постоянной ширины, отличные от кругов (и шаров), возникли в математике около двух веков назад. Так, Эйлер [1] впервые рассмотрел эти множества на плоскости R2. С тех пор плоские тела постоянной ширины принято называть орбиформами. Простейший пример орбиформы, отличной от круга, был построен в девятнадцатом веке немецким инженером Францем Рело (Franz Rouleaux) правильный криволинейный треугольник, граница которого состоит из круговых дуг. Позднее из-за некоторых своих экстремальных свойств (в том числе минимальности площади) эта фигура стала основой многих механизмов (например, сверла Уаттса).

С начала двадцатого века предпринимались попытки явно построить тела постоянной ширины в трехмерном евклидовом пространстве. Простейший пример такого тела можно получить путем вращения плоского тела постоянной ширины вокруг его оси симметрии. Однако с другими примерами были большие сложности. Трудности возникли уже при построении тел постоянной ширины, содержащих правильный тетраэдр.

Задачи, связанные с исследованием тел постоянной ширины, описаны в работах Г. Минковского, А. Лебега, В. Бляшке, Т. Боннезена, В. Фенхеля и других математиков (см., например, [2 14]). Их подходы были основаны на методах дифференциальной геометрии, что не всегда было удачным, так как граница тел постоянной ширины может и не быть гладкой, как, например, в случае с треугольником Рело.

К настоящему времени доказано (см., например, [12 14]), что, по крайней мере, одно тело постоянной ширины d > 0, содержащее заданное ограниченное замкнутое множество (диаметра d) из Rn (а также из гильбертова пространства и некоторых других банаховых пространств), существует. Однако указанные теоремы существования не давали способов описания этих тел постоянной ширины.

В работе E.G. Половинкина [15] впервые получена формула, позволяющая для любого ограниченного замкнутого множества находить некоторое тело постоянной ширины (без увеличения диаметра), содержащего данное множество. Такие тела будем называть регулярными дополнениями исходного множества до тела постоянной ширины. Достоинством полученной формулы является ее простота. Однако указанная формула записывается через операции с множествами вида алгебраической суммы и геометрической разности Г. Минковского. Так как часто необходимо

получать аналитическое описание тела постоянной ширины (или его границы), то даже при наличии указанной формулы при попытке аналитического описания указанных тел возникают принципиальные трудности. Связано это с тем. что для нахождения опорной функции геометрической разности двух выпуклых множеств необходимо решать задачи о вычислении выпуклой оболочки разности опорных функций исходных множеств. Каждая такая задача является трудной задачей на глобальный экстремум (невыпуклой) непрерывной функции. В нашей работе [16] показано, как можно преодолеть указанные трудности на примере вычисления опорной функции регулярного дополнения правильного тетраэдра.

В данной работе, опираясь на аппарат выпуклого анализа (см.. например. [17. 18]). развиваются результаты работы [19]. Так как тел постоянной ширины, содержащих заданное множество, диаметр которого равен ширине искомых тел. может быть много, то в работе получен критерий единственности различных дополнений произвольного начального множества до тел постоянной ширины. В случае неединственности дополнения предложено некоторое описание всех тел постоянной ширины, содержащих исходное множество, диаметр которых равняется диаметру исходного множества.

1. Основные понятия

В этой работе будем рассматривать замкнутые ограниченные множества из гильбертова пространства H, хотя многие утверждения будут справедливыми и в рефлексивных банаховых пространствах E.

Напомним некоторые обозначения и понятия выпуклого анализа.

Опорной функцией множества A с E называется функция вида

s (p, A) = sup {(p, x) | x £ A} , p £ E*.

Шириной ограниченного множества A с E в направлении вектора p £ E*, где ||p||* = 1, называется величина

sup {(p, ж) | x £ A} — inf {(p, x) | x £ A} = s (p, A) + s (— p, A),

то есть она равна расстоянию между двумя опорными гиперплоскостями к миоже-Ap A

Следуя Минковскому [2. 3]. напомним понятия алгебраической суммы и геометрической разности множеств.

Алгебраической суммой двух множеств A и B из E называется множество вида

A + B = {а + b | а £ A, b £ B} .

Произведением множества A £ E на число А £ R называется множество

AA = {Аа | а £ A} .

A B E

ство

А — В = {х £ Е \ х + В С А} .

Отметим, что между опорной функцией ограниченного множества и его диаметром существует следующее соотношение, которое нам понадобится в дальнейшем.

Лемма 1. Для ограниченного множества А справедлива формула

и включение

А +

где й ^^ А а Ба (0) = {ж е Е | ||ж|| < й} обозначает замкнутый шар радиуса й с центром в точке 0.

А с Е

янной ширины й > 0, если его ширина то всем направлениям р е Е* постоянна и равна числу й, то есть справедливо равенство

5

Из определения тела постоянной ширины и леммы 1 очевидно следует

Лемма 2. Ограниченное выпуклое замкнутое множество Ж с Е являет-

й > 0

равенство

Ж +

Отметим, что в силу определения геометрической разности множеств из равенства (4) следуют равенства

1У = Ва

= ВС1

Замечание 1. В дальнейшем будем рассматривать множества, принадлежа-

Е

шар Бх(0) является порождающим множеством. В соответствии с работами [19, 20] последнее означает, что для всякого непустого множества X, представнмого в виде пересечения некоторого семейства единичных шаров, то есть X = р|{Бх(у) | у е У}, существует множество 2 такое, что справедливо равенство

X + 2 = Б1

Как показано в работах [19, 20], к указанному классу пространств принадлежат пространство М", гильбертовы прострапства Н и некоторые другие банаховы пространства.

Б1 (0) с Е

порождающим множеством (см. [19, 20]), является то, что для любого множества А С Е такого, что 61(0) — А ф 0, справедливо равенство

2. Ограничения на тела постоянной ширины

А с Е й > 0

А с Е

ширина которых равняется тому же числу й > 0, будем обозначать через Н1 (А).

Для исследования указанного семейства Н (А) определим два множества Иа (А) и та (А) вида

Иа

та

Приведем некоторые свойства указанных множеств.

А с ша(А) с Ма (А).

Доказательство. Из равенства П(Ва (у) | у € А} = (ж | Уу € А, ||ж — у|| <

следует эквивалентность следующих утверждений:

Таким образом, равенство (11) доказано.

Если А с Ва (ж), то расстояние от точки ж до любой точки из множества А не больше, чем то есть ж € Ма (А). Отсюда с учетом определения множества ша (А) получаем, что ша (А) = р|(Ва (ж) | ж € Ма (А)}, что означает равенство та (А) = В а (0) — (—МС1 (А)), откуда и из равенства (11) очевидно следует равенство (12).

Из определения геометрической разности для Ва(0) — А следует включение А + (Ва(0)—А) С Ва(0). Из последнего включения опять же по определению геометрической разности получаем включение А С Ва(0) — (Ва(0) — А), то есть справедливо левое включение в (13).

Из включения (2), формулы (11) и определения геометрической разности следует включение А с Ма(А). Вычитая то очереди из шара Ва(0) множества —А и —Ма(А), в силу последнего включения и формул (11) и (12) получаем правое включение в (13).

Теорема 1. Пусть даны тело Ш постоянной ширины и множество А одного и того же диаметра Для справедливости включения А с Ш необходимо и достаточно, чтобы выполнялись включения

Доказательство. Пусть Ш € ' (А). Для любой точки у € Ж и для любой точки ж € А с Ш следует, что ||ж — у|| < то есть у € Ва (ж) для произвольного ж € А. Таким образом, в силу определения (9) получаем, что у € Ма (А), то есть Ш с Ма (А).

Из включения А С IV следует включение Ва(0) — А Э Ва(0) — \¥, нз которого в свою очередь следует включение Ва(0) — (Ва(0) — А) С Ва(0) — (Ва(0) — }¥), что в силу леммы 3 и равенства (6) влечет включение та (А) с Ш.

Пусть теперь множество постоянной ширины Ш удовлетворяет включению (14). Тогда нз этого включения и леммы 3 (включения (13)) следует включение

1) ж € Ма (А);

2) для любого у € А : (ж — у) € Ва (0);

3) ж +(—А) с Ва (0);

4) жеВЛО) - (-А).

ша(А) с Ш с Ма (А).

А с Ш.

3. Регулярное дополнение

В работе [15] (а затем и в книге [20]) доказана теорема, содержащая формулу для построения одного из тел постоянной ширины для заданного ограниченного множества А (без увеличения диаметра).

Теорема 2 [15]. Если рефлексивное банахово пространство Е таково, что в нем единичный шар является порождающим множеством, то для любого ограниченного множества А с Е, диаметр которого равен й> 0, множество

\У°

принадлежит совокупности множеств W (А).

В дальнейшем множество Ш0 (А) (15) будем называть регулярным дополнением А

Следствие 1. Опорная функция тела Ш0 (А) (15) имеет вид

в

где функция а(р) есть опорная функция множества Ыа(А), причем а(р) = = со(й||р||* - в(—р,А)), где со/ означает замыкание выпуклой оболочки функции f.

Доказательство. В силу известной формулы для вычисления опорной функции геометрической разности множеств через опорные функции этих множеств

(см.. например. [20]) и в силу леммы 3 получаем, что в(р, М^(А)) = со(й||р||* — — в( — р, А)). В свою очередь в силу равенства (8) получаем равенство

в

которое в итоге и доказывает формулу (16).

Замечание 2. Таким образом, задача нахождения регулярного дополнения множества до тела постоянной ширины сведена к вычислению выпуклой оболочки разности опорных функций шара и данного множества.

Отметим, что в силу теоремы 2 показано, что семейство ^ (А) тел постоянной ширины, содержащих заданное ограниченное множество А диаметра не пусто, причем любое тело Ш £ ^ (А) содержит ша (А) и содержится в Ыа (А). Покажем, что данные оценки улучшить нельзя, то есть Ыа (А) - наименьшее по включению множество, содержащее произвольное тело Ш £ ^ (А), а ша (А) - наибольшее по включению множество, содержащееся в произвольном теле Ш £ ^ (А).

Теорема 3. Справедливы следующие соотношения

Ыа

та

Доказательство. Из соотношения (9) для произвольной точки у £ Ыа (А) и любой точки х £ А имеем ||х — у|| < то есть диаметр множества Аи{у} будет не больше, чем Поэтому множество Ш0 (А У {у}) будет принадлежать семейству

№ (А) и содержать произвольно выбранную точку из Ма (А). Обратное включение следует из теоремы 1. Таким образом, первое соотношение доказано.

Пусть теперь точка у € ша (А). Тогда в силу соотношения (10) существует такой шар Ва (г), который содержит множество А, но не содержит точку у. Тогда множество Ш0 (А и{г}) принадлежит семейству № (А), то те содержит точку у. Обратное же включение следует из теоремы 1. Таким образом, второе соотношение доказано.

Анализируя доказательство последней теоремы, получаем, что если для каждой граничной точки у € дМ^(А) определим множество А и {у}, то получим, что сИат (А и {у}) = сИатА = й. В силу этого, если определим множество Шу = Ш 0(А и {у}), то очевидно справедливо включение Шу € № (А). В результате этого определим семейство тел постоянной ширины вида

т т

V

г=1 г=1

Очевидно, что справедливо включение V (А) с № (А), причем каждое тело Ш € € V(А) с помощью формул (15) и (20) может быть описано конструктивно.

Следствие 2. Семейство V(А) тел постоянной ширины, содержащих множество А, является существенным подмножеством семейства № (А) в том смысле, что справедливы равенства

Ма

ша

4. Единственность дополнения

Исходя из полученных результатов, приведем критерий единственности дополнения данного множества до тела постоянной ширины.

Теорема 4. Дополнение множества А диаметра й до тела постоянной ширины единственно тогда и только тогда, когда справедливо равенство Ма (А) = = ша (А).

Доказательство. Предположим, что множество Ма (А) \ ша (А) не пусто. Возьмем произвольную точку у € Ма (А) \ Ш0 (А) (такая точка, очевидно, существует, так как в противном случае получили бы равенство Ма (А) = ша (А)). Тогда существуют два тела Ш1 = Ш°(Аи{у}) и Ш0(А) семейства № (А) такие, что у € Ш1 и у € Ш0(А). Таким образом, в этом случае дополнение не единственно.

Так как для любого Ш € № (А) справедливо включение (14) из теоремы 1, то в случае равенства Ма (А) = ша (А) получим равенство ша (А) = Ш = Ма (А). Таким образом, дополнение единственно.

На практике, однако, проверка равенства двух множеств довольно затруднительна. Поэтому приведем равносильный критерий, более удобный для использования.

Следствие 3. Дополнение множества А диаметра й до тела постоянной ширины единственно тогда и только тогда, когда

сИат Ма (А) = й.

Доказательство. Пусть дополнение единственно. Тогда по теореме 1 и по теореме 4 справедливо равенство md (A) = W0 (A) = Md (A), откуда diam Md (A) = d.

Пусть теперь diamMd (A) = d. Тогда по формуле (1) из леммы 1 получаем для любого p € E* неравенство

s (p,Md (A)) + s (—p, Md (A)) < d||p||*.

В свою очередь, как было показано в теореме 1, справедливо включение Md (A) D D W0 (A), откуда доя любого p € E* получаем обратное неравенство

s (p, Md (A)) + s (-p, Md (A)) > s(p, W0(A)) + s(-p, W0(A)) = d||p||*.

В итоге, для любого p € E* получаем равенство, которое в силу леммы 2 означает, что Md

до тела постоянной ширины единственно.

Замечание 3. Дополнение правильного треугольника в R2 до тела постоянной ширины единственно, так как очевидно равенство Md (A) = md (A). Однако дополнение правильного тетраэдра в R3 до тела постоянной ширины уже не единственно.

В самом деле рассмотрим правильный тетраэдр A из R3 с вершинами в точках Vi = (1,1,1), г>2 = (-1,-1,1), v-з = (1,-1,-1) и Vi = (-1,1,-1). Нетрудно убедиться в том, что диаметр d данного тетраэдра равен 2а/2, а две точки xi = = (0,0, а/6 — 1) и Х2 = (0, 0,1 — д/б) принадлежат множеству Md (А), то есть принадлежат каждому из шаров Bd(n.¿), где i = 1, 2, 3, 4. Однако Ц.гч — Ж21| = 2а/6 — 2 > > d, то есть критерий единственности (23) не выполнен. При этом тела постоянной ширины W°(AU{ж^) и W0(AU{x2}) тетраэдр A и различны.

5. Общее описание тел постоянной ширины

W

p € E* A С E

для него выполнено равенство

s

Конус R (A), составленный из всех таких векторов, будем называть конусом един-

A

Конус Rc (A), дополнительный к конусу единственности, будем называть конусом неединственности. Конус Rc (A), очевидно, состоит из таких векторов p € E*, для которых справедливо неравенство

s

W

ной ширины тогда и только тогда, когда конус Rc (A) не пуст.

W W

цию а : E* ^ [0,1], которая удовлетворяет соотношению

s

При этом функция а на К0 (А) непрерывна, положительно однородна с показа-0

а

и для нее справедливо равенство

а

Доказательство. В силу теоремы 1 для каждого вектора р € Е* получаем неравенства в(р, ша(А)) < в(р, Ш) < в(р, Ма(А)), то есть можно выбрать такое значение а (р) € [0,1], что будет выполняться соотношение (26). При этом в случае, когда опорные функции множеств ша (А) и Ма (А) та этом векторе р совпадают (то есть р € К (А)), то выбираем значение функции а (р) € [0,1] произвольно.

В силу леммы 2 получаем равенство й||р||* = в (р, Ш) + в (—р, Ш). Подставляя в него выражение (26), получаем

й||р||* = а (р) в (р, Ма (А)) + (1 — а (р)) в (р, шЛ (А)) +

+ а (—р) в (—р, Ма (А)) + (1 — а (—р)) в (—р, ша (А)),

откуда и в силу равенства (17) получаем равенство

(а (р) + а (—р) — 1) (в (р, Ма (А)) + в (—р, Ма (А)) — й||р||*) = 0.

То есть для любого вектора р € К0 (А) должно выполняться равенство (28).

Непрерывность функции а па К0 (А) следует из того, что опорная функция ограниченного множества непрерывна, и для любого вектора р € К0 (А) из выражения (26) и равенства (17) получаем формулу

, ^ = *(р,\У) + 8(-р,Мс1(А))-с1\\р\и (Р) в(р,Ма(А)) + в(-р,Ма(А))-г"'~" ' 1 '

а

ства (25)) знаменатель на К0 (А) не равен нулю.

а

К0 (А) с показателем однородности 0.

Таким образом, каждому телу Ш из семейства № (А) соответствует некая скалярная функция. Например, регулярному дополнению Ш0(А) соответствует функция а (р) = 1/2.

Обратное соответствие, увы, совсем не очевидно. Условия непрерывности, постоянства суммы значений на противоположных аргументах и положительной од-

0

условиями того, что этой функции соответствует некоторое тело постоянной ширины. Придется воспользоваться еще одним условием.

А с Е

метра й. Пусть дана функция а : Е* ^ [0,1], непрерывная и положительно однородная с показателем 0 на К0 (А), удовлетворяющая равенству (28) и такая, что функция

в

удовлетворяет неравенству

в

в

рины из семейства № (А).

Множество всех функций а, удовлетворяющих условиям следствия 4, обозначим через А (А).

Отметим очевидное свойство.

А

Представляет интерес нахождение явных формул для вычисления конуса единственности К (А) исходного множества А диаметра й.

Для этого для любой точки а через Б а (а) обозначим множество всех точек из А, удаленных от точки а на расстояние, равное диаметру й множества А, то есть

Б а (а) = {ж е А | Уж — а|| = (Мат А} = А^ дБа(а).

Через сопе X будем обозначать выпуклую тоническую оболочку множества X:

сопе X = {Аа | а е со X, А > 0}, где через со X обозначена выпуклая оболочка множества X. Лемма 4. Справедливо включение

К

Доказательство. Пусть для точки а е А существует точка 6(а) е Б а (а), то есть 6(а) е А и ||а — 6(а)|| = й. Рассмотрим вектор ра = (6(а) — а)/||6(а) — а||. Тогда отсюда и в силу леммы 1 получаем

в(ра, А) + в(— ра, А) > (ра, 6а — а) = ||6(а) — а|| = й > в(ра, А) + в(—ра, А).

Следовательно, имеет место равенство

5

Отсюда и в силу включения А с Иа(А) и формулы (11) (по лемме 3) получаем

з(ра,А) < в(Ра,Ма(А)) = в(ра,ва(0) ^ (—А)) <<1-з(-ра,А),

откуда в силу (33) получаем равенство в(ра, А) = в(ра,Иа(А)). Аналогично получаем равенство в(—ра, А) = в(— ра, Ма(А)). Из последних равенств и равенств (24), (33) получаем, что ра еК(А).

Таким образом, все векторы из множеств Б а (а) — а и а — Б а (а) (если для выбранного а е А они не пусты) принадлежат конусу К (А). Кроме того, все векторы из выпуклых оболочек каждого из этих множеств также будут принадлежать конусу К (А), так как частью поверхности множества Ма (А), принадлежащей конусу а + сопе (Ба (а) — а), будет часть сферы с центром в точке а и радиусом й, равным диаметру множества А.

6. Решение проблемы Данцера

Для задачи дополнения множества из М" до тела постоянной ширины в работе [21] сформулирована следующая проблема Л. Данцера.

Пусть А с М" - выпуклое гладкое тело. Существует ли гладкое выпуклое

й = А А

Прежде всего, покажем, что регулярное дополнение Ш0(А) дает положительное решение этой проблемы. Для этого нам еще потребуется следующий результат М.В. Балашова (см. [20, § 4.5 ]):

Теорема 6. Пусть дано замкнутое выпуклое гладкое тело A из гильбертова пространства TL (состоящее более чем из одной точки), и пусть Ва(0) — А ф 0. Тогда множество md(A) является гладким телом.

Кроме этого очевидно справедлива следующая лемма

Лемма 5. Пусть даны выпуклые замкнутые ограниченные множества A, B С К, причем множество A является гладка телом. Тогда множество A + B также будет гладким. телом.

Опираясь на формулу (15) из теоремы 2. а также на приведенные выше теорему 6 и лемму 5 получаем, что регулярное дополнение положительно решает проблему Л. Данцера. то есть оно сохраняет гладкость тела. Но в связи с этим возникает и другая проблема.

Влечет ли гладкость тела A гладкость любого тела из семеиства W (A) ?

Покажем, что это не так. Для этого приведем пример в R2, дающий отрицательный ответ на последний вопрос.

Возьмем на плоскости R2 множество вершин А, В, D, С, Е правильного пятиугольника со стороной длины а и диаметром d = 2аsin (2тг)/5 = a{\J5 — 1)/2. Пусть для простоты сторона AB параллельна оси 0y, а точка C находится справа от AB. Проведем через две несмежные вершины указанного пятиугольника D, E эллипс с длинами полуосей d/2 и е > 0, где число е удовлетворяет неравенству

е + а < d.

Вместо пятиугольника будем рассматривать новое множество, состоящее из этого ABC

Заметим, что диаметр нового множества увеличился, так как эллипс очевидно пересекает окружности радиуса d с центрами в точках A и B. Для исправления этого слегка сдвинем эллипс влево по осп Ox та некоторое расстояние 5 > 0 так,

dA

B

Отметим, что величина 5 будет меньше, чем число е, так как сдвиг эллипса влево по оси Ox па е разместит этот эллипс таликом в одной с точками A и B полуплоскости относительно выброшенной диагонали пятиугольника DE, то есть окажется строго внутри указанных ранее окружностей.

Покажем, что теперь диаметр полученного множества, состоящего из эллипса A B C d

Действительно, с одной стороны, |AC| = |BC| = d, поэтому диаметр не меньше, dd A B A B

dC

не превосходящее е + а, что в силу (34) строго меньше d. Таким образом, диаметр

d

Пусть A' и B' - точки касания эллипса и окружностей радиуса d с центрами в вершинах A и B соответственно. Тогда |AA'| = |BB'| = d. Кроме того, |AC| = = | BC| = d

будут входить векторы из конусов cone {A' — A, C — A}, cone {B' — B, C — B}, cone {A — C, B — C}, a также вектора из конусов, противоположных этим трем конусам.

{A' — A, B' — B}

единственности. То есть на этом конусе опорные точки границы любого тела W

постоянной ширины d, описанного вокруг эллипса и вершин A, B и C, будут состоять из дуг окружностей A'C и B'C, то есть граница W не будет гладкой.

Осталось заметить, что W содержит в себе эллипс - множество с гладкой границей и того же диаметра d. Таким образом показали, что вокруг эллипса можно описать негладкое тело постоянной ширины того же диаметра, что и сам эллипс. Это и завершает построение примера.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 04-01-00787) и Минобразования РФ (проект по программе «Университеты России»).

Summary

E.S. Polovinkin, S.V. Sidenko. The addition of subsets to constant, width bodies. We research a well-known existence problem of constant width bodies which contain the given bounded set. We have got a formula for such bodies and a criteria of uniqueness for constant width body which contain a given bounded set.

Литература

1. Euler L. De curvis t.riangularibus // Acta Acad. Sei. Imp. Pet.rop. 1778. Bd. 2. S. 3 30.

2. Minkowski H. Geometrie der Zahlen. Leipzig Berlin: Teubner, 1910.

3. Minkowski H. Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs // Gesammelte Abhandlungen. Leipzig Berlin: Teubner. 1911. Bd. 2. S. 131 229.

4. Minkowski H. О телах постоянной ширины // Матом, сб. 1905. Т. 25. С. 505 508. = Gesammelte Abhandlungen. Leipzig Berlin: Teubner. 1911. Bd. 2. S. 277 279.

5. Blaschke W., Hessenberg G. Lelisät.ze über konvexe Körper // Jber. Deutsch. Math. Verein., 1917. Bd. 26. S. 215 220.

6. Pal J. Uber ein elementares Variationproblem//Math.-Pys. Medd. Danske Vid. Selsk.. 1920 1921. Bd. 3, H. 2. S. 1 35.

7. Lebesyue H. Sur quelques questions de minimum, relatives aux courbes orbifornes, et sur leurs rapports avec le calcul des variations // J. Math. Pures Appl. 1921. T. 4. F. 8. P. 67 96.

8. Reinhardt K. Extremale Polygone gegbenen Durchmessers. // Jber. Deutsch. Math. Verein., 1922. Bd. 31. S. 251 270.

9. Kritikos N. Uber konvexe Flächen und einschließende Kugeln // Math. Ann. - 1927. -Bd. 96. S. 583 586.

10. Jessen B. Uber Konvexe Punktmengen konstanter Breite // Mat.li. Z. 1928. Bd. 29. S. 378 380.

11. Боииевеи Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: ФАЗИС, 2002. = Bonnesen Т., Fenchel W. Theorie der konvexen körper. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1934.

12. Eggleston E.G. Sets of constant width in finite dimentional Ballack spaces // Israel J. Mat.li. 1965. No 3. P. 163 172.

13. Chakerian G.D., Groemer H. Convex bodies of constant, widt.li // Convexity and its Applications / Ed. by P.M. Gruber, J.M. Wills. Basel Boston Stuttgart.: Birkliauser, 1983.

14. Карасев Р.П. О характеризации порождающих множеств // Моделирование и анализ информационных систем. Ярославль: ЯрГУ. 2001. Т. 8, Л' 2. С. 3 9.

15. Половиикии Е.С. О телах постоянной ширины // Докл. РАН. 2004. Т. 397, Л' 3. С. 313 315.

16. Полооиикии E.G., Сидажо С.В. Дополнение тетраэдра до тела постоянной ширины // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики и их приложения в задачах физики: Междувед. сб. ст. М.: МФТИ 2005. С. 184 198.

17. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. 470 с.

18. Иоффе А.Д., Тихолтроо В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

19. Полооиикии Е.С. О сильно выпуклых множествах и сильно выпуклых функциях // Итоги пауки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1999. Т. 61. С. 66-138.

20. Полооиикии Е. С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. 436 с.

21. Данцер Л., Грюмба,ум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. М.: Мир. 1968. 159 с.

Поступила в редакцию 30.05.06

Половинкин Евгений Сергеевич доктор физико-математических паук, профессор. заведующий кафедрой высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета). E-mail: polovinkinQmail.mipt.ru

Сиденко Сергей Владимирович выпускник факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института (государственного университета) .