Принципы построения теории прочности и деформативности древесно-минера льного композита

ДЕРЕВООБРАБОТКА

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ И ДЕФОРМАТИВНОСТИ ДРЕВЕСНО-МИНЕРАЛЬНОГО КОМПОЗИТА

A. С. ЩЕРБАКОВ, проф. каф. безопасности жизнедеятельностиМГУЛ, д-р техн. наук,

B. И. ЗАПРУДНОВ, проф. каф. геодезии и строительного дела МГУЛ, д-р техн. наук

Обеспечение максимальной несущей способности конструкции из древесно-минерального композита требует изучения зависимости прочности древесно-минерального композита от ряда факторов физико-химического и механического характера. Можно выделить три основных элемента, наличие которых необходимо для обеспечения высокой несущей способности древесно-минерального композита. Это высокая прочность заполнителя, затвердевшего и вяжущего, высокая прочность связи между ними и низкий уровень напряжений в слабых местах композиции. Прочность связи зависит от факторов физико-химического характера, например, вида вяжущего, химической обработки органического заполнителя, способа формования и т.п. Напряженное состояние зависит от чисто механических факторов, таких, как деформативные свойства компонентов, объемное их содержание в материале, форма, размеры и ориентация частиц заполнителя.

Теория механической прочности древесно-минерального композита ставит своей задачей исследование напряженного состояния в композиции в зависимости от деформативных свойств заполнителя и вяжущего, объемного содержания компонентов, пористости, форм включений, их размеров и ориентации с целью выбора оптимальных параметров структур, обеспечивающих минимальные напряжения в опасных местах материала. Экспериментальное решение этих вопросов связано с большими материальными и временными затратами. В связи с этим существенное значение приобретает прогнозирование физико-механических свойств древесно-минерального композита, позволяющее свести к минимуму экспериментальные работы.

В настоящей работе в основу теории деформативности и прочности древесно-мине-

scherb@mgul.ac.ru; zaprudnov@mgul.ac.ru

рального композита положена модель механической смеси или композиционного материала.

Суть ее состоит, в том, что древесноминеральной композит представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняется условие непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить, распределение напряжений и деформаций в материале и его эффективные или макроскопические свойства. Однако практическое решение указанной задачи связано с огромными математическими трудностями. Прежде всего, сказывается нерегулярность расположения включений и их формы в реальном материале, что не позволяет воспользоваться хорошо разработанным классическим аппаратом решения задач сопряжения кусочно-однородных тел. Исключение составляют только слоистые материалы и материалы, армированные непрерывными волокнами, Для слоистых материалов, находящихся под воздействием однородной нагрузки, решение задачи находится в замкнутом виде. Если материалы армированы непрерывными волокнами, вводится предложение о регулярности расположения волокон, в результате чего задача сводится к нахождению, двоякопериодических решений плоской теории упругости.

Характерными особенностями структуры древесно-минерального композита являются дискретность включений, неправильность их формы, а также хаотичность расположения. Это исключает возможность применения методов регуляризации. Постановка и решение задач механика для таких структур возможны только на основе методов теории случайных функций.

Ниже дается постановка и приводится решение задачи о прогнозировании

130

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

ДЕРЕВООБРАБОТКА

напряженно-деформированного состояния древесно-минерального композита и его жесткостных и прочностных свойств. Предлагается схема расчета упругих свойств древесно-минерального композита с учетом пористости вяжущего, базирующаяся на модели стохастически неоднородных упругих сред.

цать компонент симметричных тензоров напряжений и деформаций

а11, а22, а33 , а23 = а32 а13 = а31, а12 = а21,

S11, S22, S33 , S23 — S32, S13 — S31, S12 — S21 ,

а также три компоненты вектора перемещений Uv U2, U3.

Пользуясь тензорной символикой, уравнения (1-3) можно записать в более ком-

Будем рассматривать древесно-мине- пактной форме

ральной композит как линейно-упругое ста- а j,. + Fi—0;

тистически изотропное тело, для которого справедливы общие уравнения теории упру- Sj —2

гости. аи —Аг pp д j + 2Gs j

ного тела может быть описано тремя группами уравнений [1]. Первая группа представлена уравнениями равновесия

дап да,9 да

дх1

да

+ -

12

+ -

-’13

21

+ -

дх2 дх3

да22 да

дх1 дх2

да31 да

+ -

23

дх

+ F — 0,

+ F2 = 0

+ -

32

дх1 дх2

+ -

да

33

дх

+ F3 = 0 ,

где а.. - компоненты тензора напряжений,

F. - компоненты вектора массовых сил. Вторая группа уравнений определяет тензор деформаций г., через вектор перемещений U

г11 =

dUt

дх1

S22 =

S33 =

S23 = S32 =

S13 — S31 —

S12 — S21 —

д_Щ дх2

dU + dU

U

дх

дх дх

dU dU - + -

2

\

У дх3 дх1 j Гдф + dU 2Л

дх2 дх1

j

В третьей группе уравнений формулируется закон состояния упругого тела. Для изотропных материалов при изотермических или адиабатических процессах этот закон записывается в форме

а 11 — As о + 2^j01 1, а 23 — 2^js 23,

а 22 — As о + 2^j-022 , а13 — 2^j-S13, а33 — As о + 2GS33, а12 — 2^j-S12,

S0 — S11 +S22 +S33 .

Пятнадцать уравнений трех групп содержат такое же число неизвестных: двенад-

8j —

а«п

Индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате. По повторяющимся индексам выполняется суммирование. Символом 8 обозначена дельта-функция Кронекера

I1 при i— j ,

[0 при i Ф j К системе уравнений (4-6), определяющей поведение линейно-упругого тела в точках его объема, добавляются условия на ограничивающей поверхности. Задаются внешние поверхностные силы, действующие на тело,

, — 1 ,

или перемещения точек поверхности

_ _ Ui|, — U,,

гдеf,U , - заданные функции координат поверхности S,

п - компоненты вектора нормали к поверхности S.

Рассмотрим решение системы (4) - (6) для случая неограниченной упругой среды. Подставляя уравнения (5), (6) в систему (4), получаем

Пусть вектор перемещения убывает на бесконечности как Rl ,

где R — (хрхрУ2.

Тогда из (10), воспользовавшись тензором влияния Кельвина-Сомильяно U.., найдем

U(х(1)) — JU .(х(2) - х(2))А. (х(2))йх(2), (11) где

U ,, (х) —

8nG(A + 2G) R

А + 3G_ х - х. 8,, +-

А + G

R

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

131