Обобщенные минимальные формы стохастических автоматовс периодически меняющейся структурой

УДК 519.71

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2

А. Ю. Пономарева

ОБОБЩЕННЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ

С ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩЕЙСЯ СТРУКТУРОЙ*

Введение. В математической теории автоматов различного вида одними из важнейших являются проблемы поиска оптимальных форм их представления. Для стационарных стохастических конечных автоматов, абстрактная структура которых не меняется во времени, основные проблемы их оптимизации к настоящему времени решены. В частности, в работах [1, 2] теоретически обоснованы и детально разработаны эффективные матричные методы построения различных приведенных и минимальных форм таких автоматов. В последние годы основную часть этих методов удалось обобщить на существенно более сложный случай нестационарных стохастических конечных автоматов с периодически меняющейся структурой. В результате для таких нестационарных автоматов также были разработаны специальные методы построения их стохастических приведенных и минимальных форм, которые не выводят их из класса стохастических автоматов [3-5].

Вместе с тем стохастические конечные автоматы с периодически меняющейся структурой фактически являются таким специальным случаем обобщенных над полем вещественных чисел конечных автоматов с периодически меняющейся структурой, при котором на значения элементов матриц переходов, начальных и финальных векторов накладываются известные ограничения. При этом ранее для обобщенных конечных автоматов с периодически меняющейся структурой, для которых эти специальные ограничения отсутствуют, были теоретически обоснованы и детально разработаны эффективные методы решения задач оптимизации, обобщенные в монографии [6]. Эти методы, будучи примененными к стохастическим автоматам с периодически меняющейся структурой, в общем случае приводят к более оптимальным по структуре обобщенным над полем вещественных чисел автоматам с периодически меняющейся структурой, которые, не являясь корректно заданными стохастическими автоматами, тем не менее индуцируют то же стохастическое (вероятностное) отображение, часто имея при этом существенно меньшее число состояний по сравнению со стохастическими минимальными формами. Тем самым возникает весьма интересная, ранее не исследовавшаяся для нестационарных стохастических автоматов проблема построения для них более оптимальных эквивалентных нестохастических форм представления.

Цель данной работы как раз и состоит в том, чтобы исследовать вышеуказанную проблему применительно к стохастическим автоматам с периодически меняющейся структурой. При этом под оптимальными обобщенными формами данного стохастического конечного автомата с периодически меняющейся структурой понимаются обобщенные над полем вещественных чисел конечные автоматы с периодически меняющейся структурой, имеющие в определенном смысле минимальное число состояний и эквивалентные по индуцируемому отображению этому стохастическому автомату.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №01-01-00334). © А. Ю. Пономарева, 2004

1. Стохастический автомат Лру. Стохастическим (вероятностным) конечным автоматом с периодически меняющейся структурой (иначе, периодически нестационарным стохастическим конечным автоматом) Лру называется система [3-5]:

Лру =

где ЬР —длина предпериода; Т — период повторения параметров структуры автомата, т = т(£) — структурный номер такта, определяемый через текущий номер такта £ = 0,1, 2,... по правилу

т = т

' '{Ч \

X(т),У(т) — алфавиты входных и выходных символов, допустимых в т-ом такте, т = Мр + Т, А(т) — алфавит состояний автомата в г-ом такте, = тот, т = 0, +

А(*р+т) = А(4р), Ра —стохастическая матрица, размера (£о хшо), определяющая множество £с (Ра ) допустимых начальных распределений вероятностей состояний в момент £ = 0, такое, что стохастический вектор Ра € £с(Ра) в том и только том случае, если он может быть представлен в виде выпуклой линейной комбинации строк матрицы Ра, {Ра\3,1)},хэ € X(т),у1 € У(т) —совокупность (тт_1 х тт)-матриц вероятностей переходов в т-ом такте, с элементами

тт

Р%\з,1) е [0,1], ]Г ]Г р%\3,1) = 1, г = Т~гщ~[.

з=1 уь€У

Любая пара слов (чл,у), л = х81 х82 .. .х8л, V = у\1у12 .. .у\л, одной длины допустима для автомата Ару, если для всех £ = 1 выполняется: xSt € у^ € Обозначим через ^дОп множество всех пар слов (л, V) любой длины с! = 0,1, 2,..., допустимых для автомата Лру ("пустые" слова е, не содержащие ни одной буквы, всегда допустимы, то есть (е,е) € ZдOП). Множество 1Ра = {Рр\ра € £с(Ра)} стохастических (вероятностных) отображений Рр : ^дОП ^ [0, 1], индуцируемых автоматом Лру при различных ра € £с(Ра), определяется выражением

РрЫл)= р^ рАт{т(зг,1г)еАШ, (л^) € Zдоп,

4=1

где е^) —вектор-столбец размера тт, все элементы которого равны 1.

2. Стохастические минимальные формы автомата Лру. Рассмотрим произвольный структурный номер такта т, т € {0, ...,£р + Т}, и всевозможные текущие такты ¿1 такие, что т(¿1) = т. Обозначим через С(Лр'у>) векторное пространство, порожденное при заданном т вектором-столбцом е^) и всеми векторами-столбцами вида

Ь(т ){^2)= п РАт (4))М)е(1 ^

г=а1+1

при всевозможных (и>1и>2^1 V2) € ZдOп таких, что \л1 \ = \ = с!1, \w1w2\ = \viV2l = с!,, с! = ¿1 + ¿2, ¿2 = 1, 2,... Любая матрица Н(т) размера (тт х г/т), где г/т = ^ш^Лр^), столбцы которой образуют базис в пространстве С(Лрп)), называется базисной матрицей автомата Лру в т-ом такте. Совокупность матриц н(т\ т = о, гр + т, называется семейством базисных матриц автомата Лру.

Стохастический автомат с периодически меняющейся структурой находится в минимальной (приведенной) форме, в том и только том случае, если ни одна базисная матрица его семейства базисных матриц не имеет ни одной строки, являющейся выпуклой линейной комбинацией других строк этой матрицы [3].

Пусть заданы автомат Apv (1) и стохастический автомат с периодически меняющейся структурой

BPv = {X

с одинаковыми предпериодом tp и периодом T и одинаковыми алфавитами X(т), Y(т),

r = l,tp + T.

Автоматы Apv и Bpv называются эквивалентными, если совпадают множества Va и Vb индуцируемых ими вероятностных отображений, Va = Vb , то есть если для каждого pa € £g(pa) в автомате (1) найдется такое рв € Lc (рв ) в автомате (3) (и, обратно, для каждого рв € £с(рв) в автомате (3) найдется такое pa € Lc(Pa) в автомате (1)), что автоматы Apv и Bpv индуцируют одно и то же вероятностное отображение.

Стохастической минимальной (приведенной) формой (при заданных tp и T) автомата Apv назовем любой эквивалентный ему автомат Bpv, с теми же tp, T, X(T), Y(T), r = 1, tp + T, находящийся в минимальной форме.

В работах [3-5] теоретически обоснован и подробно описан способ построения стохастических минимальных форм стохастического автомата Apv с периодически меняющейся структурой. Этот метод основан на нахождении семейства базисных матриц Н(т\ г = 0,tp-\-T, автомата Apv и построении на их основе специального семейства

Л (т) -

общих преобразующих матриц H^ , т = 0,tp + T, и семейства псевдообратных к ним

Л(т)/ -

матриц H^, т = 0,tp + T. В результате эквивалентное преобразование стохастического автомата с периодически меняющейся структурой Apv, необходимое для построения его стохастической минимальной формы, и последующий синтез множества всех стохастических минимальных форм автомата Apv по любой одной найденной его стохастической минимальной форме сводятся к последовательности специальных матричных процедур, подробно изложенных в работах [3-5].

Рассмотрим теперь автоматы более общего типа [6], и сформулируем исследуемую в данной работе задачу.

3. Обобщенный автомат Agv. Пусть R есть поле вещественных чисел. Обобщенным периодически нестационарным конечным автоматом Agv, заданным над полем R (иначе, обобщенным над полем R автоматом с периодически меняющейся структурой), будем называть систему

Agv = {X

где в отличие от (1) г a —матрица, размера (£о х то ), строки которой задают базис в пространстве L(Pa) допустимых начальных распределений весов состояний в момент t = 0, {Ra )(s,l)}, xs € X(т), yi € Y(т) —совокупность nTkT прямоугольных (mT_i х тт)-матриц весов переходов с элементами из 72. в т-ом такте, г = 1 ,tp + T, q^ — финальный вектор-столбец весов состояний с mT элементами из R в т-ом такте, т = 0,tp + T, причем^р+Т) =

Множество фа = {Фг |га € L(Pa)} обобщенных отображений Фа : ^дОп ^ R, индуцируемых автоматом Agv при различных допустимых начальных распределениях

весов состояний г а € С(т а ), определяется выражением

Фг м = га п {г))ы льат№),

4=1

где (чл, V) € ZдOП, а т(£) и т(!) определяются по формуле (2).

4. Минимальная форма автомата Лду. Рассмотрим произвольный такт т € {0,. ..,ЬР + Т} в автомате Лду (4) и всевозможные моменты времени (текущие такты) со значениями ¿1, такие, что т (!1) = т.

Обозначим через С^ГаА^) векторное пространство, порожденное при заданном т € {0, ...,Ьр + Т} всеми векторами-строками вида

hiT)

t=i

а при т = 0 строками матрицы г а, и в случае, если tp = 0, всеми векторами вида (5) для т = T. Любая матрица нГт) размера (£т х тт), где £т = dimС(гАAgv1), строки которой образуют базис в пространстве C^aA^)), называется левосторонней базисной

(г) -

матрицей автомата Agv в т-ом такте. Совокупность матриц НГ ), т = 0,tp + T, где ) = Н^р+Т), называется семейством левосторонних базисных матриц автомата

Agv.

Обозначим теперь через C(Agv аАт)) векторное пространство, порожденное вектором-столбцом qA) и всеми векторами-столбцами вида

Цт )(W2,V2 )= 11 rAT {t))(st,lt)qA(d)) t=di + 1

при всевозможных (wiw2,viv2) e ^доп таких, что |wi| = |vi| = di, |wiW2| = |vi= d, d = di + d2, d2 = 1,2,... . Любая матрица Н^т) размера (тт х цт), где г/т = dimC(AgV^qA)), столбцы которой образуют базис в пространстве C(AgV}qA)), называется правосторонней базисной матрицей автомата Agv в т-ом такте. Совокупность матриц HgT\ г = 0,tp + Т, где Hgip') = Нqtp+T\ называется семейством правосторонних базисных матриц автомата Agv.

Процедуры построения семейств лево- и правосторонних базисных матриц для автомата Agv подробно описаны в работе [6]. Заметим, что в случае стохастического автомата ApV (1) определенное ранее семейство его базисных матриц Н(т), г = 0,tp + Т, есть ни что иное, как семейство правосторонних базисных матриц этого автомата, где

qA) = е(т).

Согласно определениям левосторонней нГт) и правосторонней Нт) базисных матриц автомата Agv они имеют бесконечное множество форм представления Н Гт) = аНГт), Нq) = Н^,т)в, где а, в — любые невырожденные квадратные матрицы размера (£т х £т) и (г/т х г/т) с элементами из 1Z. Рассмотрим матрицу Н^. Если аГ1 = есть

матрица, состоящая из £т линейно независимых столбцов матрицы нГт), то получим

— (т) (т) — (т) НГ') — нормализованную форму представления матрицы НГ ). В матрице Нr ) столбцы

с номерами ja,a = I, £т, имеют вид h^'") = hTR(a) = (0,..., 0,1,0,..., 0)TR, где элемент

1 стоит в ст-ой позиции. Назовем матрицу НГт^, такую, что НГт)нГт^ = 1(£т), матрицей,

псевдообратной матрице НтТогда НГТесть (тт х )-матрица, у которой все строки с номерами ] = , а = 1,£т, нулевые, а строки с номерами , а = 1,£т, имеют вид Ь(а). Нормализованная форма Н^' матрицы Н^т' и псевдообратная матрица Н^т определяются симметричным образом [6].

Условимся говорить, что автомат Лду (4) левосторонне (правосторонне) приведен, если семейство его левосторонних (правосторонних) базисных матриц в нормализованной форме имеет вид = I(шт) (НдТ') = 1(шт)), г = + Т, то есть состоит только из единичных матриц. Будем говорить, что автомат Лду (4) находится в .минимальной форме (при заданных Ьр и Т), если он левосторонне и правосторонне приведен.

5. Постановка задачи. Пусть теперь заданы стохастический автомат с периодически меняющейся структурой Лру (1) и периодически нестационарный обобщенный конечный автомат Лду (4), имеющие одни и те же величины Ьр и Т, одинаковые алфавиты Х(т\ У(т\ т = 1 , + и одинаковое число строк = Я в матрицах Ра и га . Условимся называть автоматы Лру и Лду, удовлетворяющие этим условиям, эквивалентными, если для каждого начального вектора Ра = (ах,...,ад)Ра, аз € [0,1], ^з аз = 1, индуцируемое автоматом Лру стохастическое отображение Рр будет совпадать с обобщенным отображением Фг, индуцируемым автоматом Лду при начальном векторе га = (а1,...,ад)га, и обратно, для каждого начального вектора га = (а1,...,ад)га, аз € [0,1], ^з аз = 1, индуцируемое автоматом Лду обобщенное отображение Фг будет равно стохастическому отображению Рр, индуцируемому автоматом Лру при начальном векторе ра = (а\,..., ач)Ра.

Обобщенной (в общем случае нестохастической) минимальной формой стохастического автомата с периодически меняющейся структурой Лру (1) назовем любой эквивалентный ему периодически нестационарный обобщенный автомат Лду (4), находящийся в минимальной форме.

Введение этого понятия дает возможность сформулировать следующую специальную задачу оптимизации стохастического автомата Лру с периодически меняющейся структурой. Пусть задан стохастичский автомат Лру (1). Требуется построить автомат Лду (4), являющийся обобщенной минимальной формой автомата Лру.

6. Метод решения задачи. Для решения этой задачи можно использовать следующий метод — рассматривать автомат Лру как частный случай периодически нестационарного обобщенного автомата Лду, где г а = Ра, К-А"'(в,0 = Ра '(в,0, Ча' = еа и минимизировать его в соответствии с процедурами, обоснованными в работе [6]. В этом случае метод решения сформулированной задачи будет определяться следующим утверждением.

Теорема 1. Пусть Лру есть стохастический конечный автомат с периодически меняющейся структурой (1), и Н*-1"^ г = 0, + есть семейство его базисных матриц, приведенных к нормализованной форме, а Н(т, т = 0, Ьр + Т, есть совокупность псевдообратных к ним матриц. Пусть Вду = (X (т ', В(т ',У(т ', , {ИВ" '(в,1)}, Чв\^р,Т) есть периодически нестационарный обобщенный над полем К конечный автомат, полученный из автомата Лру с помощью преобразований

гВ = Ра Н(0), Ивт '(м)= Н(т-1)1 Рат '(м)Н(тЧвт ' = Н(т ^'

для всех х3 е Х^Т\ уг € У{т), т = 1 ,гр + Т, где при т = гр + Т = Н^. Пусть

НгТ\ т = 0^р + Т, есть семейство левосторонних базисных матриц автомата Вду,

приведенных к нормализованной форме, а н^т)/, г = о, гр + т, есть совокупность псевдообратных к ним матриц. Тогда, если автомат

VgV =

получен из автомата Вдт с помощью преобразования

Ь = ?ВН0'1, В^'(М) = Нт-1)к(Т'(8,1)ЩТV, ' = Нт'чВТ'

для всех хв € Х(Т\ у1 € У(т\ т = 1 ,Ьр-\-Т, то автомат Т?ду есть обобщенная (в общем случае, нестохастическая) минимальная форма автомата Лрт.

7. Множество обобщенных минимальных форм автомата Лрт. Пусть задан периодически нестационарный обобщенный автомат Т>дт (6) и пусть задано любое семейство неособенных квадратных (тот х тт)-матриц а(т\ где тот = |_0(т)|, т = О, Ьр + Т, с элементами из К. Тогда любой периодически нестационарный обобщенный автомат

гО'дv такой, что

^ = (X(т),Б(т',У(тг'в, {ИВ(•,/)}, чВ"ГЛр,Т),

т'в = го

<&У = а^^, т = 0,гр + Т,

называется подобным автомату . На основании известных свойств преобразования подобия периодически нестационарных обобщенных автоматов [6] можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть Лрт есть стохастический конечный автомат с периодически меняющейся структурой (1) и пусть периодически нестационарный обобщенный конечный автомат (6) есть одна из его обобщенных минимальных форм. Тогда множество всех обобщенных минимальных форм автомата Лрт (с точностью до нумерации состояний) есть множество всех периодически нестационарных обобщенных автоматов, подобных автомату .

Таким образом, построив для автомата Лрт с помощью теоремы 1 одну из его обобщенных минимальных форм, можно с помощью преобразования подобия (7) решить и более общую задачу — определить множество всех его обобщенных (нестохастических) минимальных форм.

8. Сравнительная сложность минимальных форм. Следующая теорема касается сравнительной сложности представления стохастических конечных автоматов с периодически меняющейся структурой их стохастическими и обобщенными минимальными формами и является естественным обобщением утверждения, доказанного в работе [2] для случая стационарных автоматов.

Теорема 3. Пусть задана последовательность сколь угодно больших целых тт и любых целых кт, таких, что 3 < кТ < тт, т = 0, + Т. Тогда существует нестационарный стохастический автомат с периодически меняющейся структурой Лрт (1), такой, что его стохастическая минимальная форма имеет в тактах т = 0, Ьр + Т по тт состояний, а обобщенная минимальная форма в этих же тактах имеет по кт состояний.

Справедливость этого утверждения доказывается по той же схеме, что и доказательство соответствующей теоремы в работе [2], если учесть, что в условиях теоремы 3 всегда существует стохастический автомат с периодически меняющейся структурой,

имеющий в каждом такте т € {0,. + Т} базисную (тт х кт)-матрицу Н(т\ ни одна строка которой не является выпуклой линейной комбинацией других строк.

Таким образом в определенных случаях обобщенные минимальные формы стохастических автоматов с периодически меняющейся структурой могут иметь в структурных тактах и в сумме по тактам существенно меньшее число состояний, чем их стохастические минимальные формы.

9. Пример. В работах [4,5] приведен пример построения множества всех стохастических минимальных форм для стохастического автомата с периодически меняющейся структурой Ару типа (1), имеющего Ьр = 1, Т = 2 и число состояний по тактам Ц(0) | = | = 6, Ц(1) | = |А(3)| = 5, что в сумме дает ^=3 1^(т)1 = 22 состояния. При этом каждая из построенных его стохастических минимальных форм Вру типа (3) имеет, соответственно, |В(0)1 = |В(2)| = 4, |В(1) | = |В(3)| = 3, ^=3 В(т) | = 14 состояний. Используя же теорему 1, можно построить для этого стохастического автомата Ару с периодически меняющейся структурой одну из его обобщенных (нестохастических) минимальных форм — периодически нестационарный обобщенный автомат типа (6), у которого D(0) = {¿1, 3,2}, D(1) = D(2) = D(3) = {¿1, ¿2, ¿3},

0, 2 0,15

1, 65 1, 2

=

60 -20/3 ]

qъ) = ч0э) = ч0з) =

в предпериоде (т = 1):

И«

17, 8

14, 9

11, 8

-2,1 -403/240 -169/120

И(1>(12)=Г 6,2 3,2 6,1 N

И0 , -71/120 -59/240 -77/120 ,

в 1-м такте периода (т = 2):

И0

-0,1 0 0, 3 0, 25 -0,05

0, 375 0, 225 1 , И02)(1, 2) = ( 0, 3 00 -0, 05 0

-0, 05 0 0,45 0, 3

во 2-м такте периода (т = 3):

11/60 1/12 1/12 ( 1

V 0, 4 0,1 0,1

И03)(2, 2) = ( 0,1 0,05 0, 05

И?

^0,4 7/60 2/15\ 0, 6 0,1 0,1 ^0, 2 0,1 0,1

и который, следовательно, имеет всего |£(0)| = 2, |D(1)| = |D(2)| = |^(3)| = 3, 5^т=0 |^^(т) | = 11 состояний.

Такое же число состояний будут иметь все обобщенные (нестохастические) минимальные формы автомата Ару, которые могут быть найдены путем применения к построенному автомату преобразования (7).

Summary

A. Yu. Ponomareva Generalized minimal forms of stochastic automata with periodically varying structure.

The problem of constructing special generalized minimal forms — equivalent to it, generalized over the real number field, periodically nonstationary finite automata, being in a minimal form is solved for a stochastic finite automaton with periodically varying structure.

Литература

1. Чирков М. К., Наср Я. О методах и алгоритмах оптимизации стохастических автоматов // Математическое моделирование дискретных систем. СПб., 1995. С. 38-70.

2. Чирков М. К., Наср Я. О стохастических и нестохастических минимальных формах стохастических автоматов // Теория и приложения дискретных систем. СПб., 1995. С. 37-67.

3. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Приведенные формы периодически нестационарных стохастических автоматов // Проблемы оптимизации дискретных систем. СПб., 2001. С. 3-27.

4. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. О матричном методе редукции периодически нестационарных стохастических автоматов // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 1 (№1). С. 37-43.

5. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. О методе построения множества приведенных форм периодически нестационарного стохастического автомата // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 2 (№9). С. 24-31.

6. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Оптимизация обобщенных автоматов с периодически меняющейся структурой. СПб., 2000.

Статья поступила в редакцию 10 июня 2003 г.