Математическое моделирование движения подвижной части электростатического компаратора напряжения

УДК 531.714

А. И. Нефедьев, А. С. Горобцов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ ЧАСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО КОМПАРАТОРА НАПРЯЖЕНИЯ

Ключевые слова: подвижная часть, растяжка, балка, математическая модель, моделирование, вибрация, уравнение.

В статье рассмотрена математическая модель подвески подвижной части электростатического компаратора напряжения. Проведено экспериментальное исследование и математическое моделирование движения подвижной части электростатического компаратора напряжения при воздействии на него внешних сил в различных направлениях.

Key words: movable part, stretching, beam, mathematical model, modeling, vibration, equation.

A mathematical model of the suspension of the movable part of the electrostatic voltage comparator is considered. Experimental study and mathematical modeling of movement of the movable part of the electrostatic voltage comparator in presence vibration acts on measurement instrument in various directions, is present.

Электроизмерительный прибор всегда работает в условиях механических помех. Особенно актуально это для высокоточных измерительных приборов, в частности, для электростатических компараторов напряжения (ЭКН). Конструкция подвески подвижной части таких приборов обеспечивает их очень высокую чувствительность, обусловленную системой растяжек, также выполняющей функцию крепления подвижной части [1,2]. Для исследования движения подвижной части ЭКН было проведено математическое моделирование движения его подвижной части при воздействии механических помех различной силы и в различном направлении, а также было проведено экспериментальное исследование движения его подвижной части.

На рис. 1 представлена конструктивная схема подвижной части ЭКН, использованная для изучения ее движения при воздействии на корпус внешних сил в различных направлениях. На рис. 1 обозначено: В - балка подвижной части, С1, С2 -конденсоры, Б1, Б2 - флажки фотоэлектрических преобразователей (ФЭП), РЯ1, РЯ2 -дифференциальные фоторезисторы, ТВ1-ТВ8 -растяжки, А - ось, Я - кольца, ЬУЕ1, ЬУЕ2 -подвижные (низковольтные) электроды

электростатических преобразователей, НУЕ1, НУЕ2 - неподвижные (высоковольтные) электроды электростатических преобразователей, Ь1, Ь2 -источники освещения.

Рис. 1 - Конструктивная схема подвижной части электростатического компаратора напряжения

Для изучения движения подвижной части была разработана математическая модель [3-5], включающая в себя модель подвижной части с электростатическими преобразователями, модели растяжек, несущей платформы и стола, на котором расположен ЭКН. Уравнение движения подвижной части в общем виде:

MX + F (X) = Fe (t),

где М - диагональная матрица вида М=diag(m1, т2, ... т18), коэффициентами которой являются массы и моменты инерции тел относительно главных центральных осей; Х=(^1, К2, ..X) - вектор обобщенных координат (п=18); F(Х) - вектор сил от упругих элементов, Fe ^)-

возмущающие силы, t - время.

Составление уравнения математической модели и его численное интегрирование проводились с помощью системы моделирования многотельной динамики ФРУНД [6].

Для идентификации результатов расчета были проведены экспериментальные измерения колебаний подвижной части, и выполнено сравнение расчетных и экспериментальных графиков процессов при импульсном возмущении основания ЭКН.

Силовое возмущение представляло собой импульсное воздействие на опорную поверхность, на которой установлен ЭКН. Направление силового возмущения было преимущественно вертикальное, а характеристики колебаний коромысла снимались в виде напряжения с выхода одного из двух ФЭП, расположенных над электростатическими преобразователями на концах балки подвижной части.

На рис. 2 представлены графики переходного процесса колебаний подвижной части ЭКН в вертикальном направлении при вертикальном ударном возмущении поверхности стола. Серым цветом выделен график переходного процесса реальной подвижной части, полученный в виде напряжения с выхода ФЭП [7, 8]. Черным цветом выделен график переходного процесса, полученный в результате анализа математической модели подвижной части при вертикальном ударном возмущении поверхности стола.

Параметры разработанной математической

модели:

- жесткость растяжек к = 103 Н/м,

- жесткость основания прибора косн = 106 Н/м,

- коэффициент демпфирования основания прибора Сосн = 50 Н/(м-с),

- жесткость опор стола кст = 108 Н/м,

- коэффициент демпфирования опор стола сст = 103 Н/(м-с),

- масса стола - 20 кг,

- масса подвижной части прибора - 30 г,

- масса прибора - 4 кг.

частот колебаний подвижной части ЭКН. Графики показывают достаточно хорошее совпадение результатов расчета и экспериментальных данных. Отличие составляет экспериментальная частота вертикальной формы колебаний - 16 Гц, расчетная -19 Гц, разница объясняется неточностью задания жесткости растяжки в математической модели. Разница в абсолютных значениях величин объясняется тем, что экспериментальный сигнал получен в форме напряжения и не нормирован, однако график хорошо показывает характер движения подвижной части ЭКН.

ортжапьиь» перемещении (рзсчогМоеь 1] ?_с_аыхаде_ФЭП [ось 2]

и:н; | ачегщднмвнг

0,15 0.10

I"

1 I.....Г"1!""!""!""!""!""!""!1

I I I I ! I I I I

I I I I I I I I

Рис. 2 - Графики переходного процесса колебаний подвижной части в вертикальном направлении

В эксперименте частота колебаний подвижной части в вертикальном направлении по оси г составила 15 Гц (рис. 2). В результате моделирования была получена частота колебаний 20 Гц при следующих параметрах ударного возмущения: в вертикальном направлении: величина силы импульса 100 Н, время действия импульса -0,03 с, жесткость опор прибора - 102 Н/м, жесткость опор стола - 104 Н/м, демпфирование опор стола -100 Н/м-с. Такие параметры ударного возбуждения значительно превышают реальные механические воздействия, которым подвергается прибор в процессе измерения. Они выбраны для получения более высокого уровня выходного сигнала с ФЭП, что необходимо для уверенного выделения полезного сигнала на фоне помех, соответствующего положению подвижной части ЭКН. Причем характер движения подвижной части при ударных воздействиях различной интенсивности оставался постоянным.

График движения подвижной части прибора, полученный в результате расчета в системе моделирования многотельной динамики ФРУНД, имеет затухающий характер, что совпадает с результатами эксперимента. При визуальном контроле в ходе эксперимента переходной процесс составлял 1 - 3 с при ударных воздействиях различной интенсивности. Расчетная частота вертикальных колебаний балки достаточно хорошо согласуется с результатами эксперимента.

На рис. 3 приведен расчетный (нижний) и экспериментальный (верхний) графики спектра

Рис. 3 - Расчетный и экспериментальный графики спектра частот колебаний подвижной части электростатического компаратора

На рис. 4 приведены спектры частот колебаний подвижной части при различных жесткостях основания ЭКН. Нижний график соответствует "мягкому" основанию (косн = 100 Н/м), верхний график соответствует "жесткому" основанию ЭКН (косн = 106 Н/м). Спектр колебаний подвижной части по оси г в обоих случаях имеет ярко выраженный максимум на частоте 20 Гц, причем частота не зависит от жесткости основания. Жесткое крепление к столу, при условии, что стол является абсолютно твердым телом, имеет преимущества по сравнению с "мягким" креплением, что выражается в меньшей амплитуде колебаний подвижной части ЭКН в направлении оси г.

- жослюстьоснований тиши

I меткость основания ЮОООООН'ч

Рис. 4 - Спектры частот вертикальных колебаний подвижной части при различной жесткости основания электростатического компаратора

На рис. 5 приведены спектры частот вертикальных колебаний подвижной части ЭКН по оси г при различных жесткостях опор стола. Спектр колебаний по оси г во всех случаях имеет ярко выраженный максимум на частоте 20 Гц, причем эта частота не зависит от жесткости опор стола. Графики показывают, что с увеличением жесткости опор от 100 Н/м до 3-104 Н/м низкочастотный пик амплитуды колебаний в направлении оси г смещается от 1 Гц до 5 Гц, а также при жесткости опор стола кст = 3-104 Н/м появляется дополнительный пик амплитуды на частоте 15 Гц. Анализируя результаты, можно сделать вывод, что наименьший вклад в вертикальные колебания подвижной части прибора вносит крепление опор стола с жесткостью кст = 100 Н/м. То есть, "мягкое" крепление опор стола является предпочтительным для получения меньшей амплитуды вертикальных колебаний подвижной части ЭКН.

- »вс1ы1сгьс1>орс*йлаЧ1Ж,ШЗ - »вокосгь опорсгопаЗГОТРм

- »»ctkoctl спор стола ¡JOQUI им - imcrKOCTL опор стола ашкю Н'м

10"' U? И' 1С? 10s

Рис. 5 - Спектры частот вертикальных колебаний подвижной части при различной жесткости опор стола

Выводы

Результаты исследования движения подвижной части ЭКН при ударных воздействиях показали, что для обеспечения наименьшей амплитуды колебаний подвижной части при пространственных ударных возмущениях различной интенсивности необходимо обеспечить

максимально возможную жесткость основания прибора, и невысокую жесткость опор стола, на котором расположен электроизмерительный прибор. При соблюдении этих условий обеспечиваются максимальная чувствительность, что является необходимым условием не только для ЭКН, но и для других высокочувствительных электроизмерительных приборов.

Литература

1. Авт. свид. СССР 1668997 (1991).

2. А.И. Нефедьев, Новые промышленные технологии, 5, 37-42 (1995).

3. А.И. Нефедьев, В.С. Поляков, С.В. Поляков, Вестник Казанского технологического университета, 16, 17, 215-217 (2013).

4. А.И. Нефедьев, В.С. Поляков, С.В. Поляков, Вестник Казанского технологического университета, 17, 21, 372-374 (2014).

5. А.С. Горобцов, А.И. Нефедьев, Приборы, 6, 32-38 (2013).

6. А.С. Горобцов, Информационные технологии, 8, 14-17 (2004).

7. Патент РФ 2307362

8. А.И. Нефедьев, С. Кравченко, Измерительная техника, 4, 63-67 (2000).

9. А.И. Нефедьев, Измерительная техника, 6, 51-55 (2009).

© А. И. Нефедьев - д.т.н., наук, профессор кафедры «Электротехника», ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет», nefediev@rambler.ru; А. С. Горобцов - д.т.н., заведующий кафедрой «Высшая математика», ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет», vm@vstu.ru.

© A. I Nefed'ev - doctor of technical sciences, professor of Electrical engineering Dept., Volgograd State Technical University, Email: nefediev@rambler.ru; A. S. Gorobtsov - doctor of technical sciences, head of the Department of Mathematics, Volgograd State Technical University, E-mail: vm@vstu.ru.