Применение предварительной фильтрации проекций в задаче реконструкции теневой дифракционной томограммы

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 535.42-43: 53.086

Е.А. Блюштейн, А.О. Мантуров

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРОЕКЦИЙ В ЗАДАЧЕ РЕКОНСТРУКЦИИ ТЕНЕВОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ ТОМОГРАММЫ

Рассмотрена задача реконструкции двумерного изображения объекта методом теневой дифракционной томографии. Показано влияние дифракционного размытия на разрешение реконструируемого изображения. Предложен модифицированный алгоритм реконструкции теневых томографических изображений, позволяющий существенно снизить влияние дифракции на восстановление изображения.

Томография, дифракция, преобразование Радона, регуляризация Тихонова E.A. Blushtein, A.O. Manturov

PROJECTION PRE-FILTERING APPROACH TO PROBLEM OF SHADOW DIFFRACTION TOMOGRAM RECONSTRUCTION

The problem of reconstruction of two-dimensional image of the object by the shadow diffraction tomography is discussed. The effect of the diffraction blur on resolution of the reconstructed image is shown. The modified algorithm of reconstruction of shadow tomography images, which allows reducing the influence of diffraction on image reconstruction, is proposed.

Tomography, diffraction, Radon transform, Tikhonov regularization

Введение

Рассмотрим задачу реконструкции теневой томограммы с учетом действия дифракции. Получение теневой томограммы (рис. 1) по принципу технической реализации близко к известным методам томографии [1], однако в отличие от последних позволяет получать двумерное (2D) проекционное изображение внутренней структуры объекта с теоретически произвольно высоким разрешением.

При использовании в качестве объекта тонкого среза, прозрачного или полупрозрачного для заданного диапазона электромагнитного излучения, в результате дифракции зондирующего излучения на внутренней структуре среза изменяется интегральная интенсивность потока излучения, действующего на детектор. Построение проекций (сканирование объекта) в теневой томографии выполняется при помощи теневого элемента (например, непрозрачной нити, перемещающейся в направлении получения данной проекции). Как видно из рис. 1, теневой элемент расположен между источником зондирующего излучения и поверхностью объекта, причем расстояние d1>>d2. Теневой элемент изменяет интегральную интенсивность потока излучения, действующего на детектор.

Процесс получения 2D-изображения объекта можно условно разделить на два этапа: сканирование объекта и восстановление изображения. Сканирование объекта выполняется дифракционной тенью от сканирующего элемента, при перемещении последнего вдоль направления сканирования (вдоль данной проекции по координате r), с последующим изменением азимутального угла сканирования ф. Таким образом, получается исходный набор теневых проекций R(r,(p) (рис. 2).

Получение теневых проекций

Получение теневых проекций объекта выполняется с помощью специализированного аппаратного обеспечения, включающего точечный источник зондирующего излучения 8, сканирующий элемент (нить) W, тонкий срез объекта Ь и детектор потока излучения Б (рис. 1).

Рис. 1. Получение теневой томограммы

Показаны источник зондирующего излучения S и сканирующая нить W. В качестве объекта использован тонкий срез L. Детектор D регистрирует полный поток излучения за объектом.

Математическая формализация этапа сканирования объекта состоит в получении множества одномерных проекций исследуемого объекта в виде (1):

Ф <*

Ж

^ а

где /(х,у) - распределение оптической плотности исследуемого объекта, ^ - область сканирования, Фо -световой поток, проходящий через область ^, без учета поглощения излучения сканирующим элементом и исследуемым объектом, кГф(х,у) - коэффициент описывающий распределение интенсивности дифракционного излучения сканирующего элемента. В качестве сканирующего элемента используется круглая непрозрачная нить диаметром ё<<(ё1, ё2). Схематично процесс сканирования изображен на рис. 2.

У

Рис. 2. Схема получения теневых проекций:

1 - сканирующая непрозрачная нить, 2 - плоский срез наблюдаемого объекта

В ходе получения данных проекции нить движется в плоскости рисунка.

В результате сканирования объекта получается множество проекций изображения объекта в виде (2):

[я

где Ат << й.

Преобразование Радона для функции/(х,у) может быть представлено как [1,2]:

Ж

где область Ощг'у) представляет собой узкую полосу, составляющую с осью X угол ф, отстоящую от начала координат на г и имеющую ширину Аг. Нетрудно заметить, что формулы (1) и (3) похожи между собой, а при задании функции кГф(х,у) в виде (4), они становятся тождественными с точностью до констант:

кЧх,у)

Реконструкция изображения теневой дифракционной томограммы

Второй этап построения теневого томографического изображения заключается в восстановлении функции /(х,у) по известному набору проекций (2). Для решения этой задачи в вычислительной томографии обычно используются алгебраические итерационные методы [2]. Однако они имеют высокую вычислительную сложность и требуют для реализации больших объемов памяти, что делает их практически непригодными для изображений с высоким разрешением (например, построение изображения с разрешением 104 Х 104 пикселей потребует использования порядка 1 ГБ оперативной памяти). В то же время методы обращения преобразования Радона, экономно использующие память и процессорное время, хорошо известны [1-4]. Поэтому наиболее целесообразно осуществить переход от проекций в виде (1) к проекциям в виде (3). Между функциями (1) и (3) можно установить зависимость в виде (5):

р р

ф 2 . ф 2 ^

К

д р О д р

Р=-- % Р=-2

В выражении (5) учитывается, что ввиду симметрии сканирующей нити функцию кГф(х,у) можно переписать в виде к(1), где I - расстояние от осевой линии нити. Функция к(1) может быть рассчитана аналитически [5].

Записав уравнение (5) для каждого 1=1,2,...,К, для каждого фj получаем записанное в дискретной форме уравнение Фредгольма первого рода, которое эффективно решается методом регуляризации Тихонова [6].

Результаты численных экспериментов по применению данного алгоритма на тестовом изображении представлены на рис. 3. Множество проекций вида (2) получено численным способом. Для обращения преобразования Радона был использован метод фильтрации и обратного проецирования [1]. Как видно из рисунка, предложенный алгоритм позволяет восстанавливать изображение достаточно близкое к оригиналу (рис. 3в), в то время как непосредственное применение методов обращения преобразования Радона к проекциям вида (2) в результате дает сильно размытое изображение, что не позволяет добиться желаемого разрешения (рис. 3б).

а б в

Рис. 3. Результаты численного эксперимента по реконструкции теневой томограммы: а - тестовое изображение, б - изображение, восстановленное без учета дифракции, в - изображение, восстановленное с учетом дифракции

ЛИТЕРАТУРА

1. Kak A. Principles of computerized tomographic imaging / A. Kak, M. Slaney. Society for Industrial Mathematics, 2001. 342 p.

2. Губарени Н.М. Вычислительные методы и алгоритмы малоракурсной компьютерной томографии / Н.М. Губарени. Киев: Наук. думка, 1997. 328 с.

3. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. М.: Мир, 1990. 280 с.

4. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям / Г. Хермен. М.: Мир, 1983. 352 с.

5. Кугушев А.М. Основы радиоэлектроники / А.М. Кугушев, Н.С. Голубева. М.: Энергия, 1969. 880 с.

6. Тихонов А.Н.Я. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986.

Блюштейн Евгений Александрович -

аспирант кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Eugeny A. Blushtein -

Postgraduate

Department of Information Security

of Automated Systems

Gagarin Saratov State Technical University

Мантуров Алексей Олегович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Alexey O. Manturov -

Ph. D., Associate Professor Department of Information Security of Automated Systems Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 12.08.12, принята к опубликованию 06.11.12