Межатомное взаимодействие в металлах имеющих объёмно-центрированную кубическую решётку

УДК 539.186.3

МЕЖАТОМНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В МЕТАЛЛАХ ИМЕЮЩИХ ОБЪЁМНО-ЦЕНТРИРОВАННУЮ КУБИЧЕСКУЮ РЕШЁТКУ

Приводятся параметры потенциала взаимодействия для 10 металлов имеющих при нормальных условиях ОЦК решётку. Потенциал взаимодействия построен на основе метода внедрённого атома (В.Е. Зализняк,

0.А. Золотов, Наносистемы: Физика, Химия, Математика, 2012, 3(1), 76). Подбор параметров потенциала взаимодействия осуществляется из условия устойчивости равновесной решётки для экспериментальных значений параметров решётки и с использованием экспериментальных значений энергии связи, энергии образования вакансии и упругих постоянных.

Ключевые слова: потенциал межатомного взаимодействия, метод внедрённого атома.

Обозначения

a — параметр равновесной кристаллической решётки, Ec, Evf — энергия связи и энергия образования вакансии, B — модуль объёмного сжатия, с11, с12, с44 —упругие постоянные кристалла.

1. Введение

Популярным методом построения эмпирических потенциалов взаимодействия в металлах является метод внедрённого атома (EAM). Основные идеи этого метода изложены в работах [1, 2]. Часто для описания взаимодействия в металлах имеющих ОЦК решётку используется потенциал FS (Finnis-Sinclair potential) [3], который параметризован для шести металлов: Fe, V, Mo, Nb, Ta, W. Недавно был предложен потенциал для щелочных металлов [4]. Также были разработаны потенциалы и для отдельных металлов: Nb [5], Cr [6] и Fe [7]. В методе внедрённого атома энергия набора атомов есть сумма энергии парных взаимодействий и энергии необходимой для внедрения каждого атома в электронную плотность, которая создаётся всеми другими атомами. Такое приближение математически формулируется следующим образом

где Еил — энергия системы из N атомов, рп — электронная плотность в точке положения атома п в которую вносят вклад все окружающие атомы, р(гпт) — вклад электронной плотности от атома т в точке положения атома п, Е(рп) — энергия необходимая для того чтобы

В. Е. Зализняк

Сибирский Федеральный Университет, Красноярск, Россия vzalizniak@sfu-kras.ru

PACS 34.20.Cf

n=1

m =1

m = n

m =1

m = n

поместить атом в электронную плотность рп, р(гпт) — парный потенциал взаимодействия между атомами п и т , находящимися на расстоянии гпт.

2. Потенциал взаимодействия

В работе [8] была предложена следующая аппроксимация плотности заряда электронного облака:

р

где а и в — параметры распределения заряда. Потенциал парного взаимодействия строится на основе электростатического взаимодействия двух атомов с приведённой выше плотностью заряда электронного облака и имеет вид [8]

6

р

п= — 1

где параметры ап зависят от а и в. Функция Е(р) задавалась в следующем виде

4 /

р

= 2^с

п=0

где ре —равновесная электронная плотность

е

3. Результаты параметризации

Для того чтобы определить потенциал взаимодействия между атомами металла одного сорта необходимо подобрать только два параметра а и в. Из процедуры параметризации [8] следует, что параметр равновесной решётки, значения энергии связи, энергии образования вакансии и модуля объёмного воспроизводятся точно. При параметризации учитывалось влияние только ближайших атомов, при этом радиус усечения задавался равным 2а.

Далее приводятся результаты параметризации для десяти металлов имеющих ОЦК решётку при нормальных условиях. Значения физических величин, используемых для нахождения параметров а и в для этих металлов, приведены в Таблице 1. Параметры функции распределения электронной плотности приведены в Таблице 2. Таблицы 3 и 4 содержат параметры парного потенциала взаимодействия. Коэффициенты функций Е(р) приведены в Таблицах 5 и 6.

Таблица 1

а, Л Ес, eV Е^, eV Б, eV/A3 сц, eV/A3 С12, eV/A3 с44, eV/A3

Li 3,51 [9] 1,65 [9] 0,34 [10] 0,081 [18] 0,09 [18] 0,076 [18] 0,067 [18]

№ 4,29 [9] 1,13 [9] 0,39 [11] 0,045 [19] 0,052 [19] 0,042 [19] 0,032 [19]

K 5,34 [9] 0,94 [9] 0,39 [12] 0,023 [20] 0,026 [20] 0,021 [20] 0,018 [20]

V 3,03 [9] 5,31 [9] 2,10 [13] 0,97 [21] 1,427 [21] 0,743 [21] 0,277 [21]

& 2,84 [9] 4,10 [9] 2,20 [14] 1,01 [22] 2,185 [22] 0,423 [22] 0,630 [22]

Fe 2,87 [9] 4,28 [9] 1,60 [15] 1,04 [21] 1,440 [21] 0,84 [21] 0,726 [21]

№ 3,30 [9] 7.57 [9] 2,75 [16] 1,02 [21] 1,50 [21] 0,784 [21] 0,176 [21]

Mo 3.147 [9] 6.82 [9] 3,10 [16] 1,62 [21] 2,89 [21] 0,985 [21] 0,680 [21]

Ta 3,30 [9] 8,10 [9] 2,18 [3] 1,25 [23] 1,66 [23] 0,987 [23] 0,545 [23]

W 3,16 [9] 8,90 [9] 3,95 [17] 1,937 [21] 3,26 [21] 1,276 [21] 1,020 [21]

ТАБЛИЦА 2. Параметры функции распределения электронной плотности

а, 1/А в, 1/А Ро, е/А3

Li 1.3741 12.3400 0.0003

№ 0.9492 0.9872 0.0185

К 0.9388 -14.0020 0.0002

V 1.4807 3.4820 0.0365

Сг 1.9612 -4.1890 0.1678

Fe 2.0645 -3.0010 0.5162

№ 1.0430 0.4320 0.3339

Мо 1.8801 -2.7450 0.6233

Та 1.8775 -2.2190 1.8014

1.9080 -2.5400 1.4323

ТАБЛИЦА 3. Параметры парного потенциала взаимодействия

Li № К V Сг

е, eV 1.6338 1.5319 2.2685 8.4994 14.2185

а_1 1 1 1 1 1

ао 0.6745 0.6226 0.6859 0.6545 0.7108

а1 0.4595 0.2537 0.5265 0.3657 0.7286

а2 1.03397Е-02 -1.2357Е-02 1.7636Е-02 -1.4538Е-05 3.9014Е-02

аз -1.2734Е-02 -1.0752Е-02 -1.3196Е-02 -1.1957Е-02 -1.4280Е-02

а4 -1.5054Е-03 -1.1333Е-03 -1.5977Е-03 -1.3547Е-03 -1.8196Е-03

а5 -1.2215Е-04 -7.5668Е-05 -1.3531Е-04 -1.0206Е-04 -1.6944Е-04

аб -5.5350Е-06 -2.5469Е-06 -6.6116Е-06 -4.1006Е-06 -1.0051Е-05

ТАБЛИЦА 4. Параметры парного потенциала взаимодействия

Fe № Мо Та

е, eV 12.7692 6.3981 20.2139 17.5124 30.1879

а_1 1 1 1 1 1

ао 0.7225 0.5545 0.7224 0.7294 0.7255

а1 0.8810 9.8373Е-02 0.8787 1.0154 0.9320

а2 5.4477Е-02 -2.7933Е-02 5.4244Е-02 6.7676Е-02 5.9530Е-02

аз -1.4891Е-02 -8.2447Е-03 -1.4882Е-02 -1.5333Е-02 -1.5067Е-02

а4 -1.9459Е-03 -7.2414Е-04 -1.9442Е-03 -2.0365Е-03 -1.9823Е-03

а5 -1.9019Е-04 -3.6451Е-05 -1.8990Е-04 -2.0530Е-04 -1.9626Е-04

аб -1.2778Е-05 -8.5227Е-07 -1.2735Е-05 -1.5251Е-05 -1.3710Е-05

Таблица 5. Параметры функции Г

Li Ыа К V Сг

ре, е/А3 0.1163 0.2262 0.2102 1.3742 1.7591

со, eV -1.6457 -1.1292 -0.9396 -5.3075 -4.0968

С1, eV -0.2957 -0.3890 -0.3896 -1.8050 -1.9960

С2, eV 2.4344Е-04 2.5376Е-03 2.4749Е-04 3.9380 2.1053

Сз, eV -0.8247 -0.2078 -0.1210 0.4088 0.3708

с4, eV 0.5251 0.5298 0.4287 -2.6673Е-02 0.3663

В Таблице 7 приведено сравнение экспериментальных и вычисленных значений упругих постоянных металлов. Первая строка соответствует экспериментальным значениям, вторая — вычисленным значениям. Измерение упругих постоянных проводилось при температуре <100 К, погрешность измерений не превышала 1%. Наблюдается хорошее соответствие между вычисленными и экспериментальными значениями упругих постоянных оц и С12 для всех металлов, кроме калия. Различие между вычисленными и экспериментальными значениями упругой постоянной С44 несколько больше. При этом относительная погрешность определения постоянной С44 не превышает 8%, исключая Li, Ыа, К и Fe.

Таблица 6. Параметры функции Г

Fe ЫЬ Мо Та Ж

ре, e/A3 1.8271 1.7488 2.2401 3.3355 3.8809

со, eV -4.2754 -7.5695 -6.8180 -8.0983 -8.897501

С1, eV -1.5941 -2.1397 -2.5389 -2.0207 -3.662787

С2, eV 0.0121 10.0992 5.4617 1.4612 2.721835

Сз, eV -0.4083 1.9908 1.1016 -1.3857 0.3652

С4, eV 2.2608 -2.6786 -8.1063Е-02 3.2307 2.8781

В Таблице 8 приведены значения упругих постоянных и энергии образования вакансии, вычисленные с помощью потенциала FS в сравнении с экспериментальными данными которые использовались для нахождения параметров потенциала. Первая строка соответствует экспериментальным значениям, вторая - вычисленным значениям. Параметры потенциала FS приведены только для шести металлов [3]: Fe, V, Мо, ЫЬ, Та, Ж Погрешность определения упругих постоянных с помощью потенциалов (1-3) и FS приблизительно равна. Вычисленное с использованием потенциала FS значение энергии образования вакансии для некоторых металлов может значительно отличаться от экспериментальных значений, даже учитывая тот факт, что погрешность определения этой величины в эксперименте может достигать 10%.

ТАБЛИЦА 7. Сравнение экспериментальных и вычисленных значений упругих постоянных

С11, С12, С44,

eV/A3 eV/A3 eV/A3

Li 0,090 0,076 0,067

0,096 0,073 0,040

№ 0,052 0,042 0,032

0,052 0,042 0,019

К 0,026 0,021 0,018

0,038 0,015 0,014

V 1,427 0,743 0,277

1,428 0,741 0,300

Сг 2,185 0,423 0,630

2,185 0,423 0,635

Fe 1,440 0,84 0,726

1,486 0,82 0,580

№ 1,50 0,784 0,176

1,50 0,780 0,185

Мо 2,89 0,985 0,680

2,896 0,982 0,691

Та 1,66 0,987 0,545

1,66 1,040 0,539

3,26 1,276 1,02

3,23 1,292 1,03

ТАБЛИЦА 8. Сравнение экспериментальных и вычисленных с помощью потенциала FS [3] значений упругих постоянных и энергии образования вакансии

с11, МЬаг с12, МЬаг с44, МЬаг Е^, eV

V 2,29 1,21 0,444 2,20

2,24 1,175 0,448 2,123

Fe 2,26 1,40 1,16 1,79

2,263 1,406 1,155 1,861

№ 2,47 1,35 0,287 2,75

2,47 1,347 0,287 2,746

Мо 4,637 1,578 1,092 3,10

4,631 1,589 1,087 2,555

Та 2,663 1,582 0,874 2,18

2,308 1,435 0,913 2,905

5,32 2,049 1,631 3,95

5,308 2,058 1,626 3,707

Литература

[1] Daw M.S. and Baskes M.I. Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen embrittlement in metals. // Phys. Rev. Letters. — 1983. — V.50, №17. — P. 1285.

[2] Daw M.S. and Baskes M.I. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals. // Phys. Rev. B. — 1983. — V.29. — P. 6443.

[3] Dai X.D., Kong Y., Li L.H. and Lin B.X. Extended Finnis-Sinclair potential for bcc and fee metals and alloys. // J. Phys.: Condensed Metter.—2006.—V.18. —P. 4527.

[4] Wilson R.B. and Riffe D.M. An embedded-atom-method model for alkali-metal vibrations. // J. Phys.: Condens. Matter.—2012.—V.24. —P. 335401.

[5] Fellinger M.R., Park H. and Wilkins J.W. Force-matched embedded-atom method potential for niobium. // Phys. Rev. B.—2010.—V.81. —P. 144119.

[6] Lin Z., Johnson R.A. and Zhigilei L.V. Computational study of the generation of crystal defects in a bcc metal target irradiated by short laser pulses. //Phys. Rev. B.—2008.—V.77. —P. 214108.

[7] Chamati H., Papanicolaou N.I., Mishin Y., D.A. Papaconstantopoulos. Embedded-atom potential for Fe and its application to self-diffusion on Fe(1 0 0). // Surface Science. —2006. —V.600, №9.—P. 1793.

[8] Зализняк В.Е., Золотов О.А. Универсальный потенциал взаимодействия для чистых металлов // Наноси-стемы: физика, химия, математика. —2012. — V.3, №1.—C. 76-86.

[9] Kittel C. Introduction to solid state physics. — New York: Wiley, 1996.

[10] Feder R. Equilibrium defect concentration in crystalline lithium. // Phys. Rev. B. — 1970. — V.2, №4. —P. 828.

[11] Feder R. and Charbnau H. P. Equilibrium defect concentration in crystalline sodium. // Phys. Rev. — 1966.— V. 149, №2.—P. 464.

[12] MacDonald D. K. C. Self-diffusion in the alkali metals. // J. Chem. Phys. — 1953. — V.21, №1. —P. 177.

[13] Janot C., George B. and Delcroix P. Point defects in vanadium investigated by Mossbauer spectroscopy and positron annihilation. // J. Phys. F: Met. Phys. — 1982. — V.12, №1. — P. 47.

[14] Schultz H. and Ehrhart P. In Atomic defects in metals, Landolt-Bornstein, New series, Group III Springer, Berlin, 1991.

[15] Puska M. and Nieminen R.M. In: Density functional methods in chemistry and materials science. — New York: Wiley, 1997.

[16] Maier K., Peo M., Saile B., Shaefer H. E. and Seeger A. High-temperature positron annihilation and vacancy formation in refractory metals. // Phil. Mag. A. — 1979. — V.40, №5. —P. 701.

[17] Lee B. J., Baskes M. I., Kim H. and Cho Y. K. Second nearest-neighbor modified embedded atom method potentials for bcc transition metals. // Phys. Rev. B. —2001. —V.64, №18.—P. 184102.

[18] Felice R. A., Trivisonno J. and Shuele D. E. Temperature and pressure dependence of the single-crystal elastic constants of 6Li and natural lithium. // Phys. Rev. B. — 1977. — V.16, №12. —P. 5173.

[19] Martinson R. H. Variation of the elastic constants of sodium with temperature and pressure. // Phys. Rev.— 1969. —V. 178, №3.—P. 902.

[20] Marquardt W. R., Trivisonno J. Low temperature elastic constants of potassium. // J Phys and Chem. Solids. — 1965. —V.26, №2.—P. 273.

[21] Ledbetter H. and Kim S. Monocrystal elastic constants and derived properties of the cubic and the hexagonal elements: in Handbook of elastic properties of solids, liquids, and gases, V.2, Academic Press, 2001.

[22] Bolef D. I. and de Klark J. Anomalies in the elastic constants and thermal expansion of chromium single crystals. // Phys. Rev. — 1963. — V. 129, №3. — P. 1063.

[23] Lide D. R. Handbook of chemistry and physics, Boca Raton Fl, CRC Press, 2000.

INTERATOMIC INTERACTION IN BBC METALS

V.E. Zalizniak

Parameters of interatomic potential for 10 bcc metals are presented in this paper. The potential is based on the embedded atom method (V.E. Zalizniak, O.A. Zolotov. Universal interatomic potential for pure metals. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics 2012, v. 3(1), p.76). Parameters are determined empirically by fitting to the equilibrium lattice constant, sublimation energy, vacancy formation energy and elastic constants. Key words: interatomic potential, embedded atom method.

V.E. Zalizniak - Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia, Associate Professor, PhD, vzalizniak@sfu-kras.ru