Понятийные и операционные кластеры в процессе обучения математике

ББК 74.580.2 YAK 378.147

ПОНЯТИЙНЫЕ И ОПЕРАНИОННЫЕ КЛАСТЕРЫ В ПРОНЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

CONCEPTUAL AND OPERATIONAL CLUSTERS IN THE COURSE OF TRAINING IN MATHEMATICS

П.И. СОВЕРТКОВ, Н.В. СУХАНОВА

P.I. SOVERTKOV, N.V. SUKHANOVA

В статье представлена систематизация кластеров понятий и кластеров операций в процессе обучения математике. Изучены особенности применения данных кластеров при подготовке к текущему и итоговому контролю знаний и умений обучающихся систематизировать знания (на примерах школьной геометрии и теории матриц).

The article presents the systematization of concept clusters and operation clusters in the process of teaching mathematics. The peculiarities of application of these clusters in the course of preparation for current and final control of knowledge and skills of students to systematize knowledge (on the basis of school geometry and matrix theory) have been investigated.

Ключевые слова: кластер, типы кластеров, элемент и система в кластере причинно-следственная связь.

Key words: cluster, cluster types, element and system in a cluster, cause-and-effect relationship.

В настоящее время у педагогической общественности вызывает неподдельный интерес опыт применения технологий развития критического мышления. Педагоги средней и высшей школы обсуждают идеи применения ставшей популярной в последние годы технологии «Развития критического мышления через чтение и письмо» (далее - РКМЧП) в обучении различным предметам [1, 2, 4]. В публикациях по использованию технологии РКМЧП недостаточно представлен материал о применении этой технологии в процессе обучения математике. В данной статье частично компенсируем этот пробел.

Одной из задач технологии РКМЧП является установление причинно-следственных связей, т. е. понимание того, как различные части информации связаны между собой. Для решения этой задачи используется приём создания кластеров. В дальнейшем под кластером будем понимать наглядное представление однородных элементов в виде графа, таблицы, т. е. некоторых символов со своим значением для изученных объектов и установленными причинно-следственными связями.

Важной проблемой при создании кластеров является порядок поступления информации и его предстоящий анализ. Процесс чтения сопровождается действиями ученика (определением уровня новизны материала и его соотнесение с имеющимся опытом, составление словарика новых терминов, списка основных формул и таблиц).

Для составления кластера ученик рисует в центре листа овал и записывает в него ключевое понятие. В математике многие объекты имеют прямоугольную форму, поэтому иногда основное понятие логичнее изображать в виде прямоугольников. От овала рисует стрелки в разные стороны, соединяя это слово с окружностями, в которых расположены производные понятия, полученные из основного понятия наложением некоторых ограничений.

Интерактивная форма, происходящая в виде внутреннего диалога ученика с собой при попытке изображения прочитанной информации в виде некоторого кластера (или диалога с одноклассниками, или диалога с учителем) при попытке упорядочивания изображённых символов, делает процесс обучения активным, целеустремлённым и творческим.

Целью настоящей статьи является классификация кластеров по математике как инструментария для формирования личностного отношения к тексту.

Подготовка к текущему и итоговому контролю знаний предполагает систематизацию полученных знаний. По некоторым темам иногда приходится запоминать много различных понятий и отношений между объектами. Визуализация объектов, изученных по тексту или рассказу преподавателя, является на начальной стадии подкреплением полученных знаний. Использование кластеров, т. е. построение графа для объектов, позволяет вначале вызвать из памяти усвоенные понятия и зафиксировать их наглядным образом. Построение графа в большинстве случаев совершается хаотическим образом с фиксацией элементов в порядке, определяемом воспоминаем.

В математике важно не только название объекта, но и его характеристика посредством определения (выявления) его существенных свойств. В этом случае важно понимание причинно-следственных связей между объектами. Следовательно, возникает понимание того, что хаотично построенный граф усложняет демонстрацию связей между объектами, и созревает необходимость его перестройки.

Даже опытный преподаватель иногда рассматривает несколько вариантов для лучшего изображения как объектов, так и отношений между элементами, поэтому актуальна систематизация различных видов кластеров по их структуре, изображению и назначению.

Большинство преподавателей не воспринимают технологию РКМЧП, считая её возможности ограниченными , а сущность - игрой с картинками. Приведённые ниже примеры показывают, что с помощью этой технологии можно выполнять задания высокой сложности, причём в совершенно новой постановке.

1. Систематизация кластеров по содержанию.

1.1. Понятийные кластеры.

Если в теме изучается несколько понятий, которые появляются либо посредством перехода от общего понятия к более частным понятиям с помощью наложения некоторых ограничений, либо восхождением от некоторых частных понятий к более общему, то возникает необходимость изображения этой системы понятий с помощью понятийного кластера.

Понятийный кластер можно быстро построить, если он строится только записью названий в круги на плоскости. Но для ученика важно понимание сути названий, поэтому наряду с ними лучше строить образ (символ с расшифровкой) изучаемого понятия (если это возможно). Построение образа понятия может потребовать большой затраты времени и искусства, поэтому создание кластера должно быть изначально целенаправленным. Перед освоением текста следует указать ориентиры для дальнейшего анализа поступившей информации.

Приведём пример понятийного кластера по теме «Четырёхугольник» (рис. 1), на котором, кроме перечисления различных понятий, представлены их наглядные изображения в виде соответствующих четырёхугольников, а также прослеживаются линии получения частных понятий с помощью стрелок.

Если от одного понятия идёт стрелка к другому, то она означает, что второе понятие выходит из первого понятия наложением некоторых условий.

Основное понятие - четырёхугольник, производное понятие - дельтоид записаны в овальные линии и не изображены четырёхугольниками.

Множество всех четырёхугольников по принципу выпуклости делится на два класса: выпуклые четырёхугольники и невыпуклые четырёхугольники. Эти классы представлены соответствующими рисунками. Но если попытаться изобразить четырёхугольник какой-то одной фигурой, то мы автоматически его изобразим с помощью какой-то частной фигуры.

невыпуклы четырёхугольник

невыпуклыи дельтоид

Рис. 1

Также на первой стадии нельзя рисовать дельтоид, пока не представлены его два класса. Каждый из этих классов можно изобразить соответствующим символом.

При изображении вписанного или описанного четырёхугольника на кластере сопутствующие окружности изображены пунктирными линиями, чтобы подчеркнуть первооснову четырёхугольника в этом понятии и вторич-ность понятия окружности.

При установлении связей между объектами некоторые стрелки могут пересекаться. Для упрощения структуры связей объекты лучше расположить на плоскости листа так, чтобы минимизировать число пересечений стрелок. В начальный момент построения кластеров не нужно требовать от учащихся минимизации точек возможных пересечений стрелок. При построении кластеров учащиеся должны проявлять фантазию и свободу мысли, не следует выдвигать на первый план требования по лучшему оформлению изображения кластера. Некоторые понятия появляются в процессе продолжительного изучения темы, поэтому кластер формируется постепенно. По завершении изучения темы кластер нужно изобразить совместными усилиями учителя и учащихся в таком виде, чтобы он сохранился в памяти, легко извлекался из памяти, выполнял систематизирующую и справочную роль.

Кластер на рис. 1 позволяет провести классификацию четырёхугольников по шести линиям: выпуклый или невыпуклый; вписан в окружность, описан около окружности или не является ни вписанным, ни описанным. Отдельная линия проходит от четырёхугольника через дельтоид, который фактически не изучается в школьном курсе математики, но это понятие используется в научно-популярной литературе, поэтому эта линия должна быть отражена при классификации четырёхугольников.

Среди заданий ЕГЭ встречаются задачи о трапеции, вписанной в окружность, об окружности, вписанной в ромб, поэтому линии о вписанных и описанных четырёхугольниках являются востребованными на завершающей стадии обучения, а также на этапе обобщения и подготовки к итоговому контролю.

Если элементы А и В кластера соединены стрелкой, то это означает, что понятие В выводится из понятия А наложением некоторого условия U1. Пусть от элемента В к элементу С идёт стрелка, тогда понятие С получается из понятия В наложением условия U2. От понятия А к понятию С можно также провести стрелку, т.к. понятие С можно получить из понятия А наложением сложного условия и П и2, т. е. если одновременно выполняется как одно условие U1, так и другое условие Ц2. Но в действительности стрелку от А к С не рисуют в обход элемента В, а понимают транзитивный переход от А к С через элемент В.

В общем все понимают, что это очевидное утверждение, и сокращают число стрелок на кластере, но все ли понимают, что всякая свёртка нескольких мыслей и П и2 может быть выражена другим высказыванием Ц3 (рис. 2). Замена другим высказываем - это сложный мыслительный акт, который нужно тренировать, и она приносит свои плоды, как будет показано в следующем примере.

и П и 2

и1

Рис. 2

Прямоугольник в школьном курсе математики определяется как параллелограмм, у которого все углы прямые. Условием Ц на кластере рисунка 3 является равенство всех углов параллелограмма.

и П и2

и

Рис. 3

Квадрат в школьном курсе определяется как прямоугольник, у которого все стороны равны. Условием Ц на кластере является равенство всех сторон прямоугольника. Транзитивное определение от параллелограмма к квадрату без упоминания понятия прямоугольника (условие и П и2 ) может быть сформулировано следующим образом: «Квадратом называется параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Очевидно, что такое сложное условие можно сократить, заменив его более простым условием Ц3.

Условие и П и2 обусловлено методикой введения понятий, т. к. каждое следующее понятие должно вводиться посредством дополнения условий предыдущего понятия. Кластер позволяет по-новому сформулировать определения, а правильнее сказать, выявить необходимые и достаточные условия, т. е. установить критерии опознавания производного понятия кратчайшим способом.

Иногда понятийный кластер сложно построить. В целях экономии времени можно предложить учащимся рассмотреть элементы кластера, для которых нужно установить причинно-следственные связи, т. е. переход от более общего понятия к частному случаю, производному понятию, отмечая стрелкой минимум ограничений.

В теории решёток, а кластеры относятся к решёткам, рассматривают множества с частичным порядком. Кластер предполагает расположение всех его элементов в соответствии с одной или некоторыми линиями упорядочения.

Для различных элементов А и В кластера, удовлетворяющих условию А ^ В, будем говорить, что элемент А «накрывает» элемент В, если не существует такого элемента С кластера, что А ^ С ^В. Другими словами, элемент А накрывает элемент В, если элемент А является ближайшим понятием кластера, из которого можно получить понятие В.

В кластере на рис. 1 понятие ромба «накрывает» понятие квадрата, понятие прямоугольника также «накрывает» понятие квадрата, но понятие параллелограмма не «накрывает» понятие квадрата.

Учащийся не должен знать понятие накрывающего элемента, но интуитивно он должен его использовать. Располагая рядом два элемента, из которых ни одно из них не является накрывающим элементом, он вынужден потом их раздвигать и вставлять промежуточный элемент.

Итак, возникает новый тип заданий - по заданной совокупности элементов кластера упорядочить их с помощью стрелок таким образом, чтобы переход от одного понятия к следующему осуществлялся при минимуме наложений условий. Этот тип заданий имеет место при изучении математики в высшей школе.

Например: для матриц В и С на рис. 4 введите отношение В ^ С, если матрица В является частным случаем матрицы С при некоторых дополнительных условиях на элементы матрицы С.

( Л

а\\ • • • а\п

О ••• а

V тпУ

верхняя треугольная

а 1 •• • а,

а , ••• а

п\ пп

/

квадратная порядка п

Г _ Л

а\\

а , V п\ У

матрица-столбец

Г d ... О

О ••• d

скалярная

Г \ ... О

О ••• 1

\ /

единичная

Г 0 ... О

О ••• 0

\ /

нулевая

Рис. 4

1.1.1. Построение кластера по основным элементам.

Каждое понятие в математике имеет несколько элементов. Некоторые из них называются основными, т.к. участвуют в определении этого понятия. Далее для этого понятия определяются другие элементы, которые можно назвать второстепенными.

Например, для матрицы основными элементами являются те, которые полностью определяют эту матрицу и её размеры.

Для квадратной матрицы можно определить главную диагональ, второстепенную диагональ, вычислить след матрицы, равный сумме элементов на главной диагонали, и определитель этой матрицы. Это её второстепенные элементы.

Для треугольника основными элементами являются вершины, которые полностью задают его. Но в дальнейшем мы изучаем треугольники с точностью до движения, а поэтому основными их элементами являются длины сторон и величины углов, а точнее, тот минимальный набор из этих элементов, который полностью определяет треугольник.

Производными понятиями для треугольника являются медиана, биссектриса, высота, площадь треугольника, периметр и т. д.

На рис. 4 предлагается рассмотреть кластер систематизации понятий на основе анализа основных элементов. Такой кластер будем называть понятийным кластером по основным элементам.

1.1.2. Понятийный кластер типа «элементы системы».

Рассмотрим второй подтип в понятийном кластере, который характеризуется детальным изучением второстепенных элементов основного понятия.

На кластере нужно показать характеристику элемента изучаемого объекта, а также особенности расположения элемента или нескольких однотипные элементов в частных случаях объекта.

В качестве объекта рассмотрим треугольник и его элементы: медиану, биссектрису и высоту (рис. 5).

Характеристическое свойство элемента в системе

Изображение

семейства

однотипных

элементов в

остроугольном

треугольнике

Изображение

семейства

однотипных

элементов в

тупоугольном

треугольнике

Изображение семейства однотипных элементов в прямоугольном равнобедренном треугольнике

Рис. 5

На построенном кластере для элементов треугольника в первом горизонтальном ряду рисунков представлены характеристические свойства для медианы, высоты и биссектрисы.

Во втором горизонтальном ряду представлены все медианы, высоты и биссектрисы для остроугольного треугольника, в третьем ряду для тупоугольного треугольника и в последнем ряду для прямоугольного равнобедренного треугольника. Таким образом, представлена вся система однотипных элементов для каждого вида треугольников.

1.1.3. Понятийные кластеры с числовыми характеристиками.

Для геометрических понятий часто вводят различные числовые характеристики, которые не являются элементам треугольника.

Например, для треугольника с основными элементами а,Ъ,С,а, ¡5,у можно наглядно изобразить сопутствующие характеристики:

• площадь 5 треугольника;

• периметр р треугольника;

• радиус R описанной окружности;

• радиус г вписанной окружности.

На кластере для каждой метрической характеристики можно указать несколько различных формул вычисления.

1.2. Операционные кластеры.

Второй важный тип в математике образуют операционные кластеры, в которых фиксируются операции. Типичная ситуация, когда на множестве упорядоченных пар вводится отношение. Например, сложение и вычитание матриц, умножение матриц.

•Задание первого типа - применение операций к двум данным матрицам А и В (рис. 4). Положительные моменты формулирования задачи в виде кластера состоит в том, что в этом случае видны итоги применения различных операций к одной и той же паре. Результат применения операции 3А-2В формируется постепенно таким образом, что видны результаты предыдущих вычислений матриц 3А и -2В.

•Задание второго типа на применение обратной операции к данной операции:

Поиск обратной операции способствует укреплению дидактических единиц (далее - УДЕ), одновременно охватывая как данную операцию, так и обратную. Методика УДЕ не отражена при применении кластеров.

•Задание третьего типа на узнавание операции, которое отсутствует в задачниках по высшей математике. Вместо многоточия расставьте бинарные операции на множестве матриц:

Ограниченность этого типа задач заключается в том, что студенту понятно, к каким элементам применяется операция. Выстроив догадку об операции на первом или на двух первых элементах результирующей матрицы, остаётся проверить эту зависимость для остальных элементов, а она уже предопределена.

Чтобы проконтролировать проведение операции со всеми элементами матрицы, при выполнении одной операции полезно решить другой тип задач на поиск верного результата среди множества предложенных вариантов ответов. Среди них должны быть ошибочные ответы, но максимально приближенные к правильному. Преподаватель в этом случае должен предугадать типичные ошибки, которые совершают студенты.

Рис. 6

•Задачи четвёртого типа:

Г \ 3 ^ Г 2 \ ^

Если А = I I , В = I ^ I , то среди матриц найдите произведение

« (0 ^ 2» Ц 0), з) С 11, 4) (:213

Метод отсечения лишних вариантов может выполняться различными приёмами, поэтому такой тип задач интересен тем, что при его решении естественно возникает дискуссия о выборе наиболее рационального способа решения. Задачи этого типа можно значительно расширить, если сформулировать на языке кластеров.

•Задачи пятого типа:

На следующем кластере (рис. 7) заданы две матрицы и результаты трёх операций (некоторые из них могут применяться несколько раз) над этими матрицами. Найдите зависимость между матрицами, записав около них обозначение или результат полученной операции.

Основная проблема в такой постановке задачи состоит в том, что неизвестно, к каким двум матрицам применяются операции. После нахождения такой пары (в данном примере это первая и четвёртая матрицы в порядке их прочтения) нужно ещё определить, в каком порядке к ним применяются операции.

Задачу можно усложнить следующим образом.

•Задачи шестого типа:

Предъявлены 6 матриц как элементы кластера. Требуется найти зависимость между ними.

В такой постановке задачи нет указания на то, что результат применяется к двум фиксированным матрицам. Если студент нашёл три матрицы А, В и С, удовлетворяющие условию С = А + В, то далее в этом кластере могут оказаться матрицы А + С,В + С,АС2,АТ.

Использование кластеров позволило вдвое расширить типизацию задач по сравнению с обычным задачником по математике, причём изображение их в виде кластеров дополнительно воздействует на запоминание и активизацию мыслительной деятельности посредством визуализации.

В большинстве пособий по высшей математике понятие операции применяется к паре объектов, т. е. рассматривается бинарная операция, но, с другой стороны, иногда для каждого объекта появляется спутник по некоторому отношению. Например, для каждой матрицы всегда можно рассмотреть противоположную матрицу, для каждой квадратной невырожденной матрицы можно рассмотреть обратную матрицу, для каждой матрицы можно рассмотреть транспонированную матрицу.

В действительности в этих примерах используются унарные операции, которые применяются к одному объекту. В приведённых примерах унарные операции обладают свойством инволюции, т. е. дважды применённая к объекту операция определяет первоначальный объект. Противоположная матрица к противоположной матрице является исходной матрицей. Обратная матрица по отношению к обратной матрице является исходной. Транспонированная матрица по отношению к транспонированной матрице определяет исходную матрицу.

Ориентировка для составления кластера с унарными операциями: для

двух матриц В и С введите отношение В < операция < С, если по одной матрице можно однозначно восстановить другую матрицу. Одна матрица является спутником другой матрицы при задании операции.

Определите унарные операции на множестве матриц (рис. 8) и запишите названия матриц:

-а11 • • -а1п \

\ • -а тп У

г \

4 - 0п • • 01п

\0п1 • • а

пп у

( а1 • • \ ^

А - \ат1 ^  а тп у

Роль математической символики для формирования речевой математической культуры представлена в пособии [3, с. 178-200].

Таким образом, как показывает практика, использование понятийных и операционных кластеров при обучении математике позволяет расширить типизацию задач, более осознанно подойти к обобщению и систематизации изученного материала. Это обеспечивает наглядность, активность и самостоятельность обучающихся при подготовке к текущему и итоговому контролю.

Систематизация сюжетных и алгоритмических кластеров для реализации принципа наглядности будет рассмотрена в другой статье.

Литература

1. Опыт применения технологии развития критического мышления на уроке 21 века : метод. материалы для учителя [Текст] / под общ. ред. О.Н. Крыловой. - СПб. : Изд-во «Аграф», 2004. - 100 с.

2. Российский вуз в европейском образовательном пространстве : метод. пособие по организации опытно-экспериментальной работы в контексте идей Болонской декларации [Текст] / под ред. А.П. Тряпицыной. - СПб. : Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2006.

3. Совертков, П.И. Некоторые направления развития поисковой деятельности учащихся по математике и информатике [Текст] : учебное пособие / П.И. Совертков. - Сургут : РИО СурГПУ, 2007.

4. Суханова, Н.В. Формирование критического мышления студентов при обучении математике в вузе [Текст] / Н.В. Суханова // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. - 2012. - № 9. -С. 155-163.