Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.95

doi: 10.18101/2304-5728-2016-4-76-86

© M. А. Керефов, С. X. Геккиева

Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения

В работе рассматривается нелокальное волновое уравнение с переменным коэффициентом в прямоугольной области. Исследована первая краевая задача в дифференциальной форме, а также метод прямых для решения в разностной форме. Получено решение системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих при использовании метода прямых.

Ключевые слова: нелокальное волновое уравнение, производная дробного порядка, метод прямых, априорная оценка.

О M. A. Kerefov, S. Kh. Gekkieva

First boundary problem for the inhomogeneous wave nonlocal equation

In this paper, we consider nonlocal wave equations with variable coefficients in a rectangular domain. First boundary value problem for differential equation is studied, as well as method of lines for solving difference equations. Solution to the difference equation with constant coefficients appearing when applying the method of lines obtained.

Keywords: nonlocal wave equation, a derivative of fractional order, method of lines, a priori estimate.

Введение

При математическом моделировании сплошных сред с памятью возникают уравнения, описывающие новый тип волнового движения, занимающего промежуточное положение между обычной диффузией и классическими волнами [1, 2]. В монографии [3] приведена подробная библиография по уравнениям в частных производных дробного порядка, в частности, рассматривается диффузионно-волновое уравнение. В работе [4] рассмотрены краевые задачи для модифицированного уравнения вла-гопереноса с дробной по времени производной.

Данная работа посвящена изучению краевых задач для волнового уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках.

1. Первая краевая задача в дифференциальной форме

Задача. В области От = (0. () х (О. /-1 рассмотрим следующую краевую

задачу:

п«+1 ^

ох

11 \С>и к(х,П—

v ' дх

+ 0 <х</, 0<г<Т,

Д>

ы

где 0 < сх < к (х, г1) < с2, 0 < щ < кх (х, г1) < т2, к( < 0 всюду на <9Г . Здесь 1 д \и(х,т\<Зт

УУ'чи = —---— —1-——, 0 < а < 1, - дробная производная Римана-

Г(1-а)а^0 (,-т)м

Лиувилля порядка а .

В случае, когда коэффициент уравнения (1) является постоянной величиной, решение задачи (1)-(3) можно найти методом разделения переменных [1].

Допустим существование регулярного решения [3] задачи (1)-(3), тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть кх(х, г1), £Дх, г1), /(х,г)бС(07|; и„(х),

Н](х)еС[0,/], к>сх> 0, к(< 0 всюду на О и выполнено условие щ (0) = щ (/) = 0, тогда для решения задачи (1)-(3) справедлива априорная оценка

1М +К

Доказательство. Введем новую неизвестную функцию пола-

и (x,t) = v(x,t) + ^-у^их (х),

так, что у(х./) представляет отклонение функции и(х.)) от известной

!'/. 1

функции —-—-их (х) . С учетом 1 = 0 [3], имеем

Г

М— 1

=/№) +—(кхи[{х) + Щх)) •

Итак, функция у(х./) будет определяться как решение уравнения

Щ>-

с начальными условиями

АХ*,0и = К 1

и ( X I

Г(а] 'г-о

Г

ДГЧ*,0[=0 = ДГ1

и, (х) , ,

г»

= 0

¡=0

и граничными условиями

v(0,t) = v(l,t) = 0, 0 <1<Т,

где = /(х,г) + {х) + Щх)) .

I ^

Аналогично [4] получим априорную оценку в терминах дробной производной Римана-Лиувилля, для чего умножим уравнение (5) скалярно на

А>) - ({кух)х ,А>) = ;

1

где = |ига?х, {и,и) = ЦмЦ^.

о

Преобразуем слагаемые тождества (6): / , \ г 1 д2 гу(х,т)с1т 1 д гу(х,

т ат

Г

_'г 1 д2 гу(х,т)с!т дгу(х,т)<1т

-¿/х =

(^,Д>)< — И2 +е||£>0>|Г.

С учетом полученных неравенств из (6) получим

15 II ГШ II2 1 Г, / Ч д К(Х>Т)й'Т л --Д> +—-—---ск:

2а" "о Г(1-а){ Л ((-т)а

Проинтегрируем (7) по т от 0 до ^ и получим:

-М + / . и-с к (х,т: 2» а "о Г(1-а){ I Д >дт{ (Т_Т1)"

1И1ад =1Изс'т)1о^т-

где

о

Предположим, что кг< 0, тогда неотрицательность интеграла в левой части неравенства (8) доказывается так же, как в [5]. Усиливая неравенство (8), получим

или

о

где ф(г) = А.||^а+||ы0(х)[.

Введем обозначение

г о

тогда неравенство (9) примет вид

|<2 ^(0 + Ф(0-

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма Гронуолла-Беллмана [6]:

Лемма. Пусть неотрицательная абсолютно непрерывная функция _у (/) удовлетворяет для почти всех / из [0, 7] неравенству

где ci (/) - суммируемые на [0, 7] неотрицательные функции. Тогда

ехр

I ^

3^(0) + /С2 (^)ехР -¡ф)^

о V 0

< ехр 1^(7)^7 _у(0) + |с2 (7)^7

<

/

Применяя лемму, получим

\\Щ <ехр(2ег)гф(г).

Откуда следует оценка

11А>1Г<м

или, возвращаясь к и (х./),

А"« <

Теорема доказана.

Если / = и0=и1= 0 из (4) получаем

1 д ги(х,т)с1т _

• J

Г(\-а)дт{ (,_т)° С помощью обобщенной формулы Ньютона-Лейбница [3]

из (10) имеем

ДзТ Д>

I [а)

' (*,') = —-НтД^Цх,^ = -—-Щ (х) = 0 .

Откуда следует единственность решения задачи (1)-(3).

2. Первая краевая задача в разностной форме

2.1. Метод прямых для решения первой краевой задачи

В области <2Т = (0.1) х (О./-) рассмотрим первую краевую задачу для волнового уравнения дробного порядка

0^и =

с краевыми условиями

£>0>(х,0[=0 = и0(х), = 0,

ы

к (х, > с > 0 , к{< 0 всюду на <2Г .

Будем решать задачу (11)-(12) методом прямых [7]. Получим приближенное решение в виде системы функций, приближенно представляющих

искомое решение вдоль прямых = /7г, / = 0,1,..., /V . Будем предполагать, что решение рассматриваемой задачи обладает требуемой по ходу

изложения гладкостью. Разобьем отрезок [0,/] точками х; = ¡И. И = — и

N

заменим производные по переменной х на разностные производные

(к(х,т)их)х~(а(х,т)и-)х =-Н я,+1-

и.^, -и. и. -и. ,

г + 1 _1_ _^ __1_г-1

а

/—

2

Тогда для сеточной функции получим следующую систему

уравнений метода прямых

М^.Л _ и,

Ф,, о,

(р(х1,0 = (р(х1,0 + О(к2), аг>с> 0, /' = 1, 2,..., N Уо{*) = Уы{*) = Ъ> Оаыу(х1,Ъ) = и0(х1), АТМх,,0) = 0

или

М^.Л _ и,

о

6

аг>с> 0, А> 0, / = 1, 2,..., /V-1, = = П^у(х1,0) = и0(х1), ^(х„0) = 0, где ^ (/) = _>'(х;./). При этом (13) дает аппроксимацию уравнения с точностью И2, а (14) - с точностью /г4.

2.2. Априорная оценка для системы разностных уравнений

Для решения системы (13) получим априорную оценку. При оценке системы разностных уравнений будем предполагать, что /(х,^), ии (х) имеют нужное по ходу изложения число производных. Умножим (13) скалярно на V = /.),'', у(х;,г). В результате получим тождество

{0^у,1) = {

Преобразуем слагаемые, входящие в

7У-1

N-1 а ЛГ-1 1 Я <1

=^щ;1у{х„тр^у{х„г)и=-Х^лВД=--и.

где

лч ЛГ .----

0^)> СМ=> И=' Ц=•

1=1 1=1

С учетом полученных соотношений из (15) получим

1 Я м м2 1 и и2 цт.||2

--7 +> ау-У-И<— Ы + £ 7 .

о я* II Пи ¿—I ' X X А„ IIт-|1о II Пи

2 Ы

4е

Проинтегрируем (16) по т от 0 до I

1 N л 1 1

0 >=1 о о

Учитывая положительность интеграла в левой части неравенства

м '.М-1

]Т,аУх¥хШт = ]Т,аГ,ыУх {х,^)Ух (х,,т)Мт =

0 '=1

0 >=1

ч-\( К

получим

Откуда следует

Л>0.

= Е {х„т)Ух

'=1 V о

1£ о о

где

1

м +

На основании леммы Гронуолла-Беллмана из (18) окончательно находим

\ы

112,й

I)-

Отсюда следует сходимость решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка (13) со скоростью О(й2) .

2.3. Решение системы разностных уравнений, возникающих при решении методом прямых

Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую системе (13) при ак = 1, к = \, 2,.1,

ДГ1 V = ^[{ук+1 (Г) - 2ук (Г) + (0)] ,

Уо

ДГ^(х,,0) = 0, к = 1,2,..., N-I. Частные решения этой системы будем искать в виде

Подставляя в систему (19) последнее равенство, получим у{кЩ;\^) = ±1У^)\у(к + \)-2у(к) + у(к-\)\, к = 1,2,...,Ы у( 0) = 0, у(Ж) = 0,

или

ДТХО у

,У=—- \,\ У-^ = -<52=соп81, к = 1,2,...,Н-1.

Для отыскания у (/: ) получим однородное разностное уравнение

у(к + \)-[2-И282]у(к) + у(к-\) = Ъ, к = \,2,...,Н-\, (21) с граничными условиями

г(0) = 0, у{Ы) = Ъ. Общее решение разностного уравнения (21) имеет вид

у(к) = сЛ+сЛ,

где сх,с2 - произвольные постоянные, \, /Ц - корни характеристического уравнения

Я2-[2-/?2<52]Я + 1 = 0. Из граничных условий имеем:

у(0) = сг+с2 = 0, с2 = -сх,

у(Ы) = сХ + = с, - № ) = 0 . ^ =1 или ^ = 5 = 0,1,...,ЛГ-1. Так как

Отсюда

Л2) А,

V 2 /

2,тл

4 А, = 1, то 42 = е " и Л, = — = ^ . Тогда

X,

1 - N

откуда

,2 4 . 2 TIS 4.2 nsx

- - -= —-sin -1

2 N h2 21

f Ttis nis Л

= ^Sin2 ^ = ^sin2 * = 0,1,..., N -1,

y.Ak) = ci

N

. Ttsk

= csin-= csin-

N I

\ /

Нетривиальные решения будут только при 5 = 0,1,..., А^-1. Из уравнения (20) имеем

общее решение, которого имеет вид [1]

уДО = а,Г(« + 1)^Е1/(а+1) (-<52^+1;а +1) +

5 V / 1/(«+1) V 5 / 5 Т-2 ^

Итак, мы имеем Nчастных решений однородной линейной системы (19), которые между собой линейно независимы, и, следовательно, общее решение этой системы имеет вид

х

4 п

где as, b, - произвольные постоянные, 82=—ún2—xs.

Аналогично можно получить общее решение однородной системы, соответствующей системе (14):

х(сДа + 1)ГЕ1/(а+1)(-<^«+1,а+1) + ^Г(а)Г-1Е1/(а+1)(-<5;2Г+1,а)),где

cs, ds - произвольные постоянные,

x,2 24 . 2 ж о =—7-vsin -X

1л Л 2 Is

n I 5 + COSyX^ I

Отметим, что решение смешанной краевой задачи для уравнения (1) было компьютерно реализовано с использованием среды программирования «Microsoft Visual Studio С#», а также ядра вычислительной системы Mathematica 9 фирмы Wolfram Research [8].

Заключение

В работе была рассмотрена первая краевая задача для волнового уравнения с дробной производной Римана-Лиувилля. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в терминах дробной производной для решения нелокального волнового уравнения с переменными

коэффициентами в дифференциальной и разностной трактовках. Получено решение системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающей при использовании метода прямых.

Литература

1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003. — 272 с.

2. Олемской А. И., Флат А. Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // Успехи физических наук. — 1993. — Т. 163. — № 12. — С. 1-50.

3. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — М.: Наука, 2005, — 199 с.

4. Керефов М. А. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной. — Дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Нальчик, 2000. — 75 с.

5. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче для уравнения sign\y\" и +иуу = 0 // Дифференц. уравнения. — 1976. —Т. 12. — № 1. — С. 79- 88.

6. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 407 с.

7. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. — ГИФМЛ, 1962. — 640 с.

8. Свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ №2015662568/ Решение смешанной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка/ Керефов М.А. и др.; заявка №2015619245 05.10.2015г.; зарегистрировано 26.11.2015 г.; Правообладатель КБГУ.

References

1. Nahushev А. М. Drobnoe ischislenie i ego primenenie. — M.: FIZMATLIT, 2003. — 272 s.

2. Olemskoj A. I., Flat A. Ja. Ispol'zovanie koncepcii fraktala v fizike kon-densirovannoj sredy // Uspehi fizicheskih nauk. — 1993. — T. 163. — № 12. — S. 1 - 50.

3. Pshu A. V. Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo poijadka. — M.: Nauka, 2005. — 199 s.

4. Kerefov M. A. Kraevye zadachi dlja modificirovannogo uravnenija vlagoperenosa s drobnoj po vremeni proizvodnoj. — Dis. ... kand. fiz.-mat. nauk. — Nal'chik, 2000. — 75 s.

5. Kumykova S.K. Ob odnoj kraevoj zadache dlja uravnenija sign\y\muxx+uyy= 0 // Differenc. uravnenija. — 1976. — T. 12. — № 1. — S. 79- 88.

6. Ladyzhenskaja O. A. Kraevye zadachi matematicheskoj fiziki. — M.: Nauka, 1973. — 407 s.

7. Berezin I. S: Zhidkov N. P. Metody vychislenij. T. 2. — GIFML,

1962. — 640 s.

8. Svidetel'stvo о gosudarstvennoj registracii programmy па JeVM №2015662568/ Reshenie smeshannoj kraevoj zadachi dlja volnovogo uravnenija drobnogo poijadka/ Kerefov M.A. i dr.; zajavka №2015619245 05.10.2015g.; zaregistrirovano 26.11.2015 g.; Pravoobladatel' KBGU.

Керефов Марат Асланбиевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Информатики и прикладной математики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Бербекова» (КБГУ), г. Нальчик, e-mail: kerefov@mail.ru.

Геккиева Сакинат Хасаноена, кандидат физико-математических наук, заведующий отделом Математического моделирования геофизических процессов, Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Институт прикладной математики и автоматизации» (ИПМА), г. Нальчик, e-mail: gekkieva_s@mail.ru.

Kerefov Marat Aslanbievich, PhD, Associate Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, Kabardino-Balkarian State University (KBSU), Nalchik.

Gekkieva Sakinat Khasanovna, PhD, Head of Department of Mathematical modeling of geophysical processes, Institute of Applied Mathematics and Automation (IAMA), Nalchik.