Пространственно-временная масштабная инвариантность при динамической фрагментации квазихрупких материалов

УДК 539.4

Пространственно-временная масштабная инвариантность при динамической фрагментации квазихрупких материалов

М.М. Давыдова, С.В. Уваров, О.Б. Наймарк

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия

Исследовано влияние интенсивности нагружения и структуры материала на статистические закономерности фрагментации. В качестве модельного материала выбрана керамика на основе диоксида циркония с различной пористостью. Статистические закономерности фрагментации изучены с использованием модифицированной установки Гопкинсона-Кольского, что позволило сопоставить динамические диаграммы деформирования и статистические характеристики процесса фрагментации — распределения по размерам фрагментов и временных интервалов между импульсами фрактолюминесценции. Результаты эксперимента показали, что увеличение пористости керамики приводит к изменению как характера деформационных кривых, так и распределения по размерам интервалов. Для керамики с пористостью до 45 % распределение интервалов описывается бимодальным степенным законом, образцы с пористостью 60 % имеют степенное распределение. Распределение фрагментов по размерам для образцов керамики с различной пористостью соответствует степенному закону с величиной показателя степени, зависящей от уровня пористости и интенсивности нагружения.

Ключевые слова: динамическая фрагментация хрупких материалов, масштабная инвариантность, фрактолюминесценция

Space-time scale invariance under dynamic fragmentation of quasi-brittle materials

M.M. Davydova, S.V. Uvarov, and O.B. Naimark

Institute of Continuous Media Mechanics, UrB RAS, Perm, 614013, Russia

The paper studies the influence of loading intensity and material structure on statistical regularities of fragmentation. The model material is zirconia-based ceramics with different porosity. The statistical regularities of fragmentation are investigated using a modified split Hopkinson pressure bar system. Dynamic stress-strain diagrams are correlated with the statistical characteristics of the fragmentation process, such as fragment size distribution and fractoluminescence pulse spacing distribution. Experimental results show that porosity increase leads to changes both in the form of stress-strain curves and in pulse spacing distribution. For ceramics with up to 45 % porosity the pulse spacing distribution is described by a bimodal power law; specimens with 60 % porosity demonstrate a power series distribution. The fragment size distribution for ceramic specimens with different porosity corresponds to a power law for which the exponent value depends on the porosity value and loading intensity.

Keywords: dynamic fragmentation of brittle materials, scale invariance, fractoluminescence

1. Введение

Закономерности разрушения квазихрупких материалов вызывают в настоящее время большой интерес в связи с разработкой материалов, способных к эффективному поглощению механической энергии при интенсивных нагрузках. Специфика исследования механических свойств и разрушения этих материалов заключается в существенном статистическом разбросе традиционных прочностных характеристик (например предела прочности), что обусловлено физической природой квазихрупкого разрушения — длинно-корреляционным мно-

гомасштабным взаимодействием дефектов и, как следствие, природой диссипации энергии, характерной для неравновесных критических систем.

Исследование масштабно-инвариантных закономерностей при переходе от дисперсного к макроскопическому разрушению является одним из наиболее интенсивно развиваемых направлений применительно к широкому классу материалов (стекла, керамики, горные породы [1-10]) и условий нагружения (квазистатические, циклические, динамические и ударно-волновые). Это обусловлено фундаментальной значимостью пони-

© Давыдова М.М., Уваров C.B., Наймарк О.Б., 2015

мания общих закономерностей поведения неравновесных открытых систем и рядом важных приложений для разработки принципов создания новых материалов, оценкой их прочности и временного ресурса в широком диапазоне интенсивностей воздействий. Особенностью развития повреждений и перехода к разрушению является выраженная многомасштабность кинетики повреж-денности, включая решеточные, микро- и мезоскопи-ческие дефекты, взаимодействие которых приводит к формированию дефектных структур, приводящих к макроскопическому разрушению. Обсуждаемый сценарий развития разрушения демонстрирует черты явления, характерные для поведения критических систем и соответствующих статистических распределений, когда многомасштабное поведение дефектов демонстрирует качественно новые закономерности коллективного поведения. Статистическим аспектам развития повреж-денности и перехода к разрушению на основе данных акустической эмиссии в ударно-нагруженных образцах плавленого кварца и гранита посвящена работа [10], в которой особенности кластеризации разрушения анализируются с использованием представлений неэкстенсивной статистики [11—13].

С учетом физических особенностей процесса квазихрупкого разрушения получили развитие методы, основанные на изучении in situ статистических закономерностей развития поврежденности, фрагментации [1-3, 14] и динамики трещин (переходы от прямолинейного распространения к режимам с ветвлением и последующей фрагментации) [15, 16]. Сценарий распространения трещин определяется особенностями поведения материала в вершине магистральной трещины (в так называемой «зоне процесса»), где развиваются процессы формирования локализации поврежденности, которые существенно влияют на динамику трещины.

Закономерности разрушения керамик при динамических нагрузках связаны с исследованием статистических закономерностей фрагментации, которые обнаруживают различные статистические законы в зависимости от структуры керамики, ее пористости, интенсивности нагружения.

Фторопластовое кольцо

Образец

Входной стержень IIN Выходной стержень

Вставка WC

7

Пластиковый цилиндр

Рис. 1. Схема экспериментальной установки. ФЭУ — фотоэлектронный умножитель

2. Материал и условия испытаний

Керамические образцы системы 2г02 (8.6 мол. % MgO) были изготовлены плазмохимическим методом в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск) [17]. Керамические образцы получены прессованием порошков на гидравлическом прессе при давлении 70 МПа и последующим спеканием. Для формования порошков использовались стальные пресс-формы, спекание прессовок происходило на воздухе при температуре 1550 °С, продолжительность изотермической выдержки составляла 1 ч. Образцы представляли собой цилиндры с диаметром от 8.5 до 13.0 мм, длиной от 6.8 до 12.2 мм и массой от 2.2 до 6.3 г. Пористость материала варьировалась от 10 до 60 %.

Испытания проводились на установке Гопкинсона-Кольского (рис. 1), состоящей из входного (длиной 3 м и диаметром 25 мм) и выходного (длиной 1 м и диаметром 25 мм) стержней, что обеспечивало условия нагружения одиночным импульсом. Стержни были изготовлены из высокопрочной стали (ав ~ 1900 ГПа). Между стержнями и образцом находились согласованные по импедансу вставки из карбида вольфрама WC, чтобы избежать внедрения образцов в стрежни, т.к. твердость исследуемой керамики превосходит твердость материала стержней. Положение стержней тщательно регулировалось перед каждым нагружением для обеспечения равномерного распределения нагружающего усилия на торцы образцов. Во избежание дисперсии в стержнях и обеспечения равновесных условий нагружения (т.е. равенства усилий на торцевых поверхностях образцов) использовался латунный «шейпер» в форме пластины размером 7х7 мм и толщиной 1.4 мм. Инициируемый им импульс приведен на рис. 2. Изменяя скорость ударника, варьировали скорость деформации от 400 до 3000 с-1.

Для исследования статистических закономерностей фрагментации (распределения фрагментов по размерам) традиционная схема установки Гопкинсона-Кольс-кого была модифицирована (рис. 1). Образец и концы стержней, прилегающие к нему, были помещены в пластиковый цилиндр, что позволяло сохранить фрагменты керамики после разрушения и создать затемнение

Время, мс

Рис. 2. Импульс на входном стержне

3 4 5

Деформация, 10

Рис. 3. Деформационные кривые для керамических образцов с пористостью 10

для регистрации импульсов фрактолюминесценции. Цилиндр имеет два отверстия, вблизи которых были установлены фотоэлектронные умножители. От разлетающихся фрагментов фотоэлектронные умножители были защищены поликарбонатной пленкой толщиной 0.5 мм. Фотоэлектронные умножители регистрировали вспышки фрактолюминесценции, сопровождающие разрушение керамики. Последовательность сигналов, каждый из которых ассоциировался с образованием новой поверхности разрушения в материале, записывалась с помощью цифрового осциллографа Tektronix DP07254. Подобная методика использовалась авторами при исследовании динамической фрагментации кварца [1]. Установка позволяла получать кроме деформационных кривых временны е последовательности формирования многомасштабных очагов разрушения и распределения фрагментов по размерам. Временны е распределения соответствовали интервалам между импульсами фрак-толюминесценции.

Предварительная серия экспериментов, проведенная на необработанных после спекания образцах, показала, что для повышения стабильности исследований необходимо обеспечить строгую параллельность торцов образцов и избавиться от поверхностных дефектов. Поэтому

в дальнейшем спеченным образцам придавалась правильная цилиндрическая форма с помощью алмазного полого сверла. После чего образцы помещались в стальную оправку (кассету) с цилиндрическими отверстиями (до 30 штук) и полировались шлифовальным кругом из карбида кремния до тех пор, пока основания цилиндров не становились строго параллельными.

3. Деформационные диаграммы динамического сжатия керамик

На рис. 3, а приведены характерные деформационные кривые для керамических образцов с различной пористостью. Необходимо отметить, что для образцов, пористость которых составляла менее 45 %, кривые напряжение-деформация а- 8 имеют один максимум по напряжению (рис. 3, а), тогда как для образцов с пористостью 45 и 60 % характерно наличие двух максимумов на зависимостях а- 8. Зависимость а- 8 для керамики с пористостью 60 % носит немонотонный характер. Наличие двух максимумов связывается с тем, что сжатие материала происходит в два этапа. На первом этапе деформируется исходный образец, содержащий значительное количество пор (рис. 3, в), на втором — спрессованный на начальной стадии материал. Влияние пористости на вид деформационных кривых отмечалось также при статическом сжатии в [18, 19]. Кроме того, пористость керамики влияет на статистический разброс механических характеристик.

Распределение удельной энергии деформации между двумя стадиями для керамики с пористостью 60 % приведено на рис. 4. Энергия деформации определялась как площадь под кривой а-8. С увеличением скорости деформации происходит перераспределение энергии, а именно, увеличивается количество энергии, соответствующее второй стадии.

4. Фрактолюминесценция в динамически нагруженных образцах

Поверхности разрушения, возникающие в процессе фрагментации керамики, инициируют эмиссию света,

Рис. 4. Распределение удельной энергии деформации между двумя стадиями для керамики с пористостью 60 %

5.700

5.704 5.708 Время, 106 мкс

5.712

80 120 Время, мкс

Рис. 5. Зависимости напряжения и интенсивности фрактолюминесценции во времени для керамики

интенсивность которой регистрируется двумя фотоэлектронными умножителями со временем нарастания 0.8 нс, расположенными у противоположных боковых поверхностей образца. Два фотоэлектронных умножителя использовались для повышения достоверности эксперимента. Сигнал с фотоэлектронного умножителя передавался на быстродействующий осциллограф с поло-

сой пропускания 3.5 ГГц и частотой дискретизации до 10 ГГц. В экспериментах частота дискретизации устанавливалась равной 1 ГГц.

На рис. 5, а приведены зависимости напряжения и интенсивности фрактолюминесценции во времени. Наличие импульсов фрактолюминесценции после завершения импульсного нагружения (~60 мкс) свидетельст-

Рис. 6. Изменение величины и количества интервалов для образцов с различной пористостью: 10

вует об активной стадии фрагментации (зарождение и рост пор и микротрещин), которая продолжается в течение 300-400 мкс после импульсного нагружения. Увеличение временно го разрешения позволяет сделать предположение о самоподобии последовательности сигналов фрактолюминесценции (рис. 5, а—г), что усложняет процесс выделения и оценки интервалов, соответствующих формированию очагов разрушения в керамиках, в отличие от фрактолюминесценции в образцах кварца [1], для которых формирование очагов соответствовало появлению четких пиков (рис. 5, д, е).

Для определения последовательности интервалов фрактолюминесценции в керамиках данные с осциллографа обрабатывались в несколько этапов: 1) при помощи фильтра низких частот выделялись фронты импульсов; 2) затем измерялся уровень шума на участке, где импульсы отсутствовали; 3) по измеренному уровню шума устанавливался порог дискриминации (горизонтальная линия на рис. 5, в); 4) далее вычислялась величина интервалов (расстояние между вертикальными линиями на рис. 5, в) между импульсами, превысившими этот порог. Величина интервала между импульсами фрактолюминесценции составляет от 2 до нескольких сотен наносекунд в активной стадии разрушения и увеличивается до 106 нс на финальной стадии (рис. 6). Количество интервалов зависит от пористости керамики. Увеличение пористости от 10 до 60 % приводит к увеличению количества интервалов (или импульсов) в 18 раз, что, по-видимому, определяется множественным разрушением «перегородок» между распределенными по объему материала порами (рис. 3, в).

Представленные на рис. 6 зависимости позволяют сделать вывод, что единичные события разрушения, инициирующие импульс, происходят чаще и их больше для более пористого материала. Значительное увеличение количества средних и малых интервалов влияет на вид функции распределения (рис. 7). На рис. 7 в двой-

ных логарифмических координатах построена дополнительная интегральная функция распределения интервалов по размерам — зависимость количества интервалов N размера больше заданного от размера интервала Такая функция распределения соответствует традиционному статистическому анализу пространственной фрагментации. Функция распределения интервалов по размерам для образцов с пористостью 10—45 % хорошо описывается

lg^V

з-2-

0

lg^v

4-

У = -0.1782л:+ 3.1914 а

R2 = 0.9933

30- -40% -0.887Л: + 5.1911

0.9726

60-70 ~2 %° Л

0 1

6

2-

1-

1б

<10 % ^ -0.8398л: + 4.7854

0.9925

90 %\ 8 О ~2 % А

0

1

5

6 lg t

Рис. 7. Распределение по размерам интервалов между импульсами фрактолюминесценции; пористость 10

lg^V 4

3'

2'

1

0

lg^v

4 3210

UN= 10 ON= 12 A N= 13

"3

S

-1.5

-1.0

-0.5

нв-

Jïï]

0.0 lg/и/З

Ж

й

ON= 1

A7V=3  N=4 О N=5 XN=6

-1.5

-1.0

\gm/3

Рис. 8. Распределение фрагментов по размерам керамики с пористостью 10

n( > о = et

- D

зависит не только от пористости керамики, но и от условий нагружения (удельной энергии).

5. Распределение фрагментов по размерам

Исследование статистических закономерностей фрагментации, как правило, предполагает построение кумулятивной функции распределения фрагментов по размерам, т.е. определения зависимости количества фрагментов Щ(г, т) размера г (массы т) больше некоторого заданного от размера фрагмента г (массы т). Масса фрагментов определялась путем взвешивания на электронных весах HR-202i (точность весов равна 10-4 г). Крупные фрагменты взвешивались индивидуально, а мелкие фрагменты просеивались через систему сит, и, используя режим «счета фрагментов», определялись масса и количество фрагментов в каждом сите. На рис. 8 в двойных логарифмических координатах приведено распределение фрагментов по размерам для образцов с минимальной 10 % и максимальной 60 % пористостью. По оси абсцисс отложен логарифм линейного размера фрагмента г, который вычислялся как корень кубический из объема V (массы т): ^ г ~ ^ V/3 ~ т/ 3; по оси ординат — количество фрагментов Щ(г) размера г больше некоторого заданного. Распределение хорошо (R2 > 0.96) описывается степенной функцией

На величину показателя распределения влияет интенсивность нагружения (удельная энергия деформации) и структура материала (пористость). Для малопористой керамики (10 %) увеличение удельной энергии деформации с 2912 до 9783 Дж/кг (т.е. увеличение в 3.35 раза) приводит к незначительному увеличению показателя распределения фрагментов по размерам с 1.98 до 2.20 (на 0.22). В то же время показатель распределения для пористой керамики (60 %) возрастает с 2.03 до 3.19 (на 1.16) при увеличении удельной энергии деформации с 1517 до 2830 Дж/кг (т.е. увеличение в 1.86 раза).

Интенсивность фрагментации можно охарактеризовать количеством фрагментов, приходящихся на единицу массы Nm (рис. 9). Эта величина зависит от интенсивности нагружения (удельной энергии деформации Е, Дж/кг), структуры материала (пористости керамики), а также тщательности обработки образцов (полировка торцов и строгое соблюдение их параллельности) и настройки оборудования (регулировка положения стержней перед нагружением). Условия проведения эксперимента играют значительную роль, т.к. мы исследуем квазихрупкое разрушение, сопровождающееся значительным статистическим разбросом характеризующих его величин. Как видно из рис. 9, предварительная обработка образцов керамики (обведены овалом) значительно уменьшает разброс величины показателя распределения. Кроме данных для циркониевой керамики на рис. 9 приведены значения показателя распределения, полученные по результатам обработки эксперимента по фрагментации кварцевых стержней при ударной нагрузке (ромбы) [1], а также фрагментации керамики на основе карбида кремния SiC (закрашенные кружки) на стержне Гопкинсона-Кольского и фрагментации сими-нала (синтетический минеральный сплав) (пустые кружки) в условиях сверхскоростного удара [20]. Анализ графика на рис. 9 позволяет сделать заключение, что показатель распределения фрагментов по размерам зависит от вида материала, интенсивности нагружения,

N(> t)~ Cr"

Рис. 9. Зависимость в двойных логарифмических координатах экспоненты степенного распределения Ds от количества фрагментов на единицу массы N

подготовки образцов и возрастает с увеличением количества фрагментов на единицу массы.

Условия проведения эксперимента играют важную роль для оценки роли различных структурных факторов на статические закономерности квазихрупкого разрушения, существенным образом влияющие на «диссипатив-ную способность» неравновесной системы. Последняя имеет для квазихрупких материалов энтропийную природу [13] и определяется сценариями структурно-скей-линговых переходов, сопровождающихся формированием коллективных мод ансамблей дефектов, и влиянием структуры квазихрупкого материала на тип и взаимодействие между коллективными модами, что и определяется степенным показателем, значение которого и ширина статистического разброса (рис. 9) отражают инициирование связности в динамике коллективных мод дефектов.

6. Обсуждение результатов

Исследование закономерностей пространственного и временного скейлинга при динамическом разрушении квазихрупких материалов установило качественные различия пространственных и временных статистических распределений, обнаруживающих масштабную инвариантность с различными степенными показателями в зависимости от структуры материала (включая пористость) и интенсивности нагружения. Масштабная инвариантность по временным и пространственным переменным позволила подтвердить теоретический вывод о том, что явления многомасштабной кластеризации в ансамблях дефектов, сопровождающие переход от дисперсного к макроскопическому разрушению, имеют признаки явлений, характерные для неравновесных критических систем. Применительно к квазихрупким материалам, для которых основным механизмом структурной релаксации является зарождение и рост дефектов, диссипативная способность может быть связана со сценариями формирования и взаимодействия многомасштабных коллективных мод дефектов в условиях специального типа критических явлений — структурно-скейлинговых переходов [13, 21, 22].

Важной чертой критических явлений этого типа является наличие структурной переменной — параметра структурного скейлинга, представляющего собой отношение двух структурных масштабов: размера зародышей дефектов и расстояния между ними. Коллективные моды дефектов имеют природу диссипативных структур обострения и соответствуют автомодельным решениям, определяющим макроскопическую кинетику параметра поврежденности (ассоциированного с деформацией, обусловленной дефектами или объемной концентрацией дефектов) в условиях развитой локализации по-врежденности. Масштабы и времена локализации при «обостряющейся» кинетике локализованных мод по-врежденности зависят от исходного распределения па-

раметра структурного скейлинга, который может быть связан с разными масштабами инициирования повреж-денности, например, характерный размер порошка керамики и характерный размер пор. Таким образом, формирование коллективных локализованных мод поврежден-ности для наноструктурированных квазихрупких материалов (плавленый кварц) может развиваться по универсальному сценарию, стартуя с формирования простых «структур обострения», их объединения в «сложные» [23], до формирования многомасштабного кластера, приводящего к зарождению макроскопической трещины или фрагментации образца. В этом случае пространственно-временная универсальность определяется многомасштабной динамикой взаимодействия коллективных мод, начиная с масштабов локализации «простых структур», что проявляется в монотонности статистических распределений (размеров фрагментов, временных интервалов фрактолюминесценции) в широком диапазоне интенсивности нагружения. Предельным случаем многомасштабного сценария развития локализованной поврежденности, наблюдаемого при разрушении наноструктурированных квазихрупких материалов, является возникновение «волн разрушения», когда при прохождении ударно-волнового импульса возникает единичная «сложная диссипативная структура обострения». С проявлением «самоорганизованной критичности» в наноструктурованных квазихрупких материалах связываются выраженность пиков фрактолюминес-ценции в плавленом кварце (рис. 5, д, е), высокая чувствительность данных материалов к условиям нагружения (в терминах предельных напряжений) и относительно слабая зависимость степенных показателей от количества фрагментов (рис. 9). Наличие в исходном материале двух выраженных структурных масштабов (например размеров порошка и пор) может инициировать два сосуществующих пространственно-временны х сценария развития коллективных мод поврежденности. Наличие двух статистических распределений и соответствующих им степенных показателей (рис. 7, а) отражает переход от процесса локализации поврежденности, контролируемого минимальными структурными масштабами (размером порошка), к структурным масштабам, ассоциируемым с порами. В свою очередь, увеличение концентрации пор может привести к «вырождению» минимального структурного масштаба (рис. 7, б). Слабая чувствительность степенного показателя от интенсивности нагружения для керамик с низкой пористостью (рис. 8, а) подтверждает сценарий последовательного «подчинения» формирования коллективных мод по-врежденности: от наноструктурных масштабов «порошка» к масштабам, контролируемым пористостью. Аналогичный сценарий разрушения (эффект «динамической ветви» при отколе) наблюдается при ударно-волновом нагружении керамик [24]. В свою очередь, сильная чувствительность степенного показателя к интенсив-

ности нагружения определяется широким распределением пористости по размерам (по сравнению с распределением по размерам порошка), что определяет соответствие начальных масштабов локализации повреж-денности, определяемых размером пор и уровнем интенсивности нагружения (амплитуда, скорость нарастания импульса).

Авторы благодарят за поддержку Российский научный фонд (грант № 14-19-01173).

Литература

1. Давыдова М.М., Уваров С.В., Наймарк О.Б. Масштабная инвариантность при динамической фрагментации кварца // Физ. мезо-мех. - 2013. - Т. 16. - № 4. - С. 129-136.

Davydova M.M., Uvarov S.V, Naimark O.B. Scale invariance in dynamic fragmentation of quartz // Phys. Mesomech. - 2014. - V. 17. -No. 1. - P. 81-88.

2. Davydova M., Uvarov S. Fractal statistics of brittle fragmentation // Fract. Struct. Integr. - 2013. - V. 24. - Р. 60-68.

3. МамалимовР.И., Синани А.Б., Чмель A.E., ЩербаковИ.П. Особен-

ности инициации ударного разрушения в керамике SiO2 // ЖТФ. -2013. - Т. 83. - № 10. - С. 61-67.

Mamalimov R.I., Sinani A.B., Chmel' A.E., Shcherbakov I.P. Initiation of impact fracture in SiO2 ceramics // Tech. Phys. - 2013. - V. 83. -No. 10. - P. 1453-1458.

4. Katsuragi H., Ihara S., Honjo H. Explosive fragmentation of a thin ceramic tube using pulsed power // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 95. -P. 095503.

5. Grady D.E. Fragment size distributions from the dynamic fragmentation of brittle solids // Int. J. Impact Eng. - 2008. - V. 35. - P. 15571562.

6. Grady D.E. Length scales and size distributions in dynamic fragmentation // Int. J. Fract. - 2010. - V. 163. - No. 1-2. - P. 85-99.

7. Sagy A., Reches Z., Roman I. Dynamic fracturing: field and experimental observations // J. Struct. Geol. - 2001. - V. 23. - P. 12231239.

8. Chmel A., Shcherbakov I. Correlated failure initiation in impact-fracturing silica glass and silica ceramics // J. Non-Crystall. Solids. -2013. - V. 369. - P. 34-37.

9. Rundle J.B., TurcotteD.L., ShcherbakovR., Klein W., Sammis C. Statis-

tical physics approach to understanding the multiscale dynamics of earthquakes fault systems // Rev. Geophys. - 2003. - V 41. - P. 1019.

10. Щербаков И.П., Куксенко В.С., Чмель A.E. Неэкстенсивный статистический анализ данных высокоскоростной регистрации ударного разрушения твердых тел // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94. -№ 5. - C. 410-413.

Shcherbakov I.P., Kuksenko V.S., Chmel A.E. Nonextensive statistical analysis of the data on the high-speed impact fracture of solids // JETP Lett. - 2011. - V. 94. - No. 5. - P. 378-381.

11. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics // J. Stat. Phys. - 1988. - V. 52. - P. 479-487.

12. Cohen E.G.D. Superstatistics // Physica D. - 2004. - V. 193. - P. 3552.

13. Наймарк О.Б., Баяндин Ю.В., Леонтьев В.А., Пермяков С.Л. О термодинамике структурно-скейлинговых переходов при пластической деформации твердых тел // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. -№ 5. - С. 23-29.

Naimark O.B., Bayandin Yu.V., Leontiev V.A., Permyakov S.L. On thermodynamics of structural-scaling transitions in solids under plastic

deformation // Phys. Mesomech. - 2005. - V. 8. - No. 5-6. - P. 2126.

14. Zinszner J.L., Forquin P., Rossiquet G. Experimental and numerical analysis of dynamic fragmentation a SiC ceramic under impact // Int. J. Impact Eng. - 2015. - V. 76. - P. 9-19.

15. Наймарк О.Б., Давыдова М.М., Плехов О.А., Уваров С.В. Экспериментальное и теоретическое исследование динамической стохас-тичности и скейлинга при распространении трещины // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 3. - C. 47-58.

Naimark O.B., Davydova M.M., Plekhov O.A., Uvarov S.V Experimental and theoretical studies of the dynamical stochasticity and scaling during crack propagation // Phys. Mesomech. - 1999. - V. 2. - No. 3. -P. 43-53.

16. Davydova М.М., Naimark O.B., Leontiev V.A., Uvarov S.V. Scaling properties of crack branching and brittle fragmentation // Eur. Phys. J. Web Conf. - 2010. - V. 10. - P. 00037.1-4.

17. ПромаховВ.В., Буякова С.П., Кульков С.Н., Калатур Е.С., Конова-ленко И.С. Структура и фазовый состав композиционных керамических материалов на основе системы ZrO2-MgO // Изв. вузов. Физика. - 2013. - Т. 56. - № 7/2. - С. 316-320.

Promakhov V.V., Buyakova S.P., Kulkov S.N., Kalatur E.S., Konova-lenko I.S. Structure and phase composition of composite ceramic materials based on ZrO2-MgO system // Izv. vuzov. Fiz. - 2013. - V. 56. -No. 7/2. - P. 316-320.

18. Кульков С.Н., Масловский В.И., Буякова С.П., Никитин Д.С. Не-гуковское поведение пористого диоксида циркония при активной деформации сжатием // ЖТФ. - 2002. - Т. 72. - № 3. - С. 38-42. Kul'kov S.N., Maslovskii V.I., Buyakova S.P., Nikitin D.S. The non-Hooke's behavior of porous zirconia subjected to high-rate compres-sive deformation // Tech. Phys. - 2002. - V. 72. - No. 3. - P. 320324.

19. Калатур Е.С., Буякова С.П., Кульков С.Н. Деформационное поведение пористых керамик, получаемых из высокодисперсных порошков // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2011. - Т. 8. - № 4. - С. 95-98.

Kalatur E.S., Buyakova S.P., Kulkov S.N. Deformation behavior of porous ceramics produced from fine powders // Fundam. Probl. Sovr. Materialoved. - 2011. - V. 8. - No. 4. - P. 95-98.

20. Davydova M., Uvarov S., Chudinov V. Scaling law of quasi brittle fragmentation // Proc. Mater. Sci. - 2014. - V. 3. - P. 580-585.

21. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - C. 45-72.

Naimark O.B. Collective properties of defect ensembles and some nonlinear problems of plasticity and fracture // Phys. Mesomech. -2003. - V. 6. - No. 4. - P. 39-63.

22. Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы в твердых телах с дефектами и некоторые симметрийные аспекты теории поля // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 5. - С. 113-126. Naimark O.B. Structural-scale transitions in solids with defects and symmetry aspects offield theory // Phys. Mesomech. - 2010. - V. 13. -No. 5-6. - P. 306-317.

23. Chmel A., Sherbakov I. Nanostructural scaling effect in fracturing homogeneous solids // Int. J. Fract. - 2014. - No. 6. - P. 187-190.

24. Беляев О.Б., Наймарк О.Б. Локализованные обостряющиеся структуры в процессах разрушения твердых тел при интенсивных воздействиях // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 312. - № 2. - С. 289293.

Belyaev O.B., Naimark O.B. Localized blow-up structures formed in fracture of solids under intense shock loading // DAN SSSR. - 1990. -V. 312. - No. 2. - P. 289-293.

Поступила в редакцию 26.09.2014 г.

Сведения об авторах

Давыдова Марина Михайловна, к.т.н., снс ИМСС УрО РАН, davydova@icmm.ru Уваров Сергей Витальевич, к.ф.-м.н., снс ИМСС УрО РАН, usv@icmm.ru Наймарк Олег Борисович, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИМСС УрО РАН, naimark@icmm.ru