Определение акцессорных параметров для отображения на счетноугольник

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Математика и механика № 2

УДК 517.54

И.А. Колесников ОПРЕДЕЛЕНИЕ АКЦЕССОРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЯ НА СЧЕТНОУГОЛЬНИК

Метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца распространяется на случай конформного отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п.

Ключевые слова: конформное отображение, счетноугольник, симметрия переноса, акцессорные параметры, метод П.П. Куфарева.

Область Д называют областью с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, если при линейном преобразовании Ь(м>) = V + 2п область остается неизменной ЦД) = Д.

Область Д называют область типа полуплоскости, если при преобразовании Ь(м>) = V + 2п среди всех простых концов границы области Д в бесконечно удаленной точке неподвижным остается только один простой конец.

Определение 1. Счетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п называют [1] односвязную область Д типа полуплоскости, с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п, такую, что часть границы области Д от точки w0 до точки w0 + 2п состоит из конечного числа прямолинейных отрезков и лучей.

Двигаясь по границе счетноугольника Д от точки w0 до точки w0 + 2п в положительном направлении, обозначим последовательно встречающиеся угловые точки границы через Л,Л°,...,Л°,Л/, А11 = А10 + 2п , п е N, а углы счетноугольника обозначим соответственно через а1п, а2п ,..., апп, а1п. Для вершин Л(° в конечной части плоскости ак е(0,1) и (1,2], если вершина Л° находится в бесконечно удаленной точке, то а* = 0. Из геометрических соображений видим, что а1 + а2 +...+ ап = п. Остальные вершины Лт определяются сдвигом вершин Л° вдоль вещественной оси Лт = Л° + 2пт , т е Z , к = 1,...,п.

Согласно теореме Римана, существует отображение / однолистно и конформно переводящее верхнюю полуплоскость П+ = { е С :1т г > 0} на счетноугольник Д. Интерес к конформным отображениям верхней полуплоскости на счетно-угольники с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п появился в последние десятилетия [2, 3] благодаря приложению к некоторым задачам гидродинамики, задачам теплопроводности, СВЧ-теории и др.. Интегральная формула Кристоффеля - Шварца записана для отображения / верхней полуплоскости на счетноугольники с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п И.А. Александровым [4] с использованием принципа симметрии Римана - Шварца, С.А. Копаневым и Л.С. Копаневой [1] с помощью формулы типа формулы Шварца в следующей теореме.

Теорема 1. Для отображения / переводящего верхнюю полуплоскость на счетноугольник и удовлетворяющего условию ІІШ (/(х) - 2) = 0, имеет место

предел здесь равномерный относительно Яе г. Заметим, что это условие влечет за собой свойство /г + 2пт) = /г) + 2пт, т е Z .

В задачах на нахождение конформного отображения задаются вершины области, а прообразы вершин ак и константы с1, с2, называемые акцессорными параметрами, как и в классической формуле Кристоффеля - Шварца остаются неизвестными. К настоящему времени разработаны различные эффективные методы численного определения этих параметров в классической формуле Кристоффеля -Шварца. Один из таких методов определения акцессорных параметров восходит к работе П.П. Куфарева [6] (см., более подробно, [7]). Используя параметрический метод Левнера, П.П. Куфарев показал, что для отображения с внутренней нормировкой определение акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца может быть сведено к задаче интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений с начальными условиями Коши. Первые доведенные до конца расчеты выполнены Ю.В. Чистяковым [8]. Метод П.П. Куфарева получил развитие в работе [9], в работе [10] - применительно к случаю конформного отображения верхней полуплоскости на многоугольник при наличии граничной нормировки. В работе [11] с использованием идеи П.П. Куфарева и аппарата краевых задач Гильберта с кусочно-гладкими коэффициентами и вариации решений таких задач получен новый приближенный метод нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца. В настоящей статье метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров распространяется на случай конформного отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п.

Пусть Б есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п типа полуплоскости, представляющая собой плоскость С с разрезами по попарно непересекающимся простым кривым ут, уходящим на бесконечность,

= у0 + 2пт, т е Z, где у0 имеет некоторую параметризацию у0 : [0, +то) ^ С,

у0 = у0©. Часть кривой у0, когда § е [s, -+») с [0, +с»), обозначим через у[|'?), то есть

Согласно теореме Римана, для каждого 5 е[0, +го) существует однолистное и голоморфное отображение Т5 : П+ ^ С, Т = Т5 (г) = Т (г, 5), такое, что

формула

где сь с2, - комплексные постоянные, а° е [0,2п) - прообразы вершин счетно-угольника с углами акп.

На отображение / наложено дополнительно условие

Ит (/(2) - г ) = 0,

у0х) : [ 5, +^)^ С , у 0Х) = у о©.

Т5 (П+ ) = С \ и Ут = С \ { и Ут (§), 5 <§<+»}.

mеZ lmеZ ]

Ясно, что Т0 (п+) = Б . Выберем параметризацию кривой у0 =у0 (5^) ) = у0(/) так, чтобы 0 < t < +ад и выполнялось

Пт (Т(г,t)- г) = 0.

1т г^+ад

Обозначим Т (п+ ) = Б(Г). При фиксированном t Б(Г) является частным случаем

счетноугольника с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п.

Семейство отображений Т( г, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению типа уравнения Левнера [12]:

дТ( ^t) = дТ(£^ с1к X(t)- х

дt дг 2 '

Заметим, что 1(0 при каждом фиксированном t - точка вещественной оси, являющаяся прообразом конца кривой у0(^.

Построим континуальное семейство областей Б(Г), 0 < t < да, сходящееся к счетноугольнику Д как к ядру относительно точки ^0 при t, стремящемся к нулю, где Wo принадлежит области Д. Соединим какую-нибудь вершину Лк0 , к е {1,...,п}, и вершины Лт = А + 2пт , т е Z , счетноугольника Д с бесконечно удаленной точкой параллельными лучами /т, целиком лежащими вне Д. Проведем переменные разрезы ут ^), т е Z , удлиняющиеся из бесконечно удаленной точки по лучам /^ до начала этих лучей, получим семейство областей Б (^) = С \ и То* ^), 0 < ^ < t < ад . Каждому разрезу может принадлежать не-

mеZ

сколько вершин счетноугольника Д, выделим какие-нибудь из них с одинаковой мнимой координатой. Выпустим из выбранных вершин прямолинейные разрезы у1° (^ вдоль некоторых сторон Пт счетноугольника Д, примыкающих к лучам 10т в этих вершинах так, чтобы подвижные концы разрезов при изменении t от t0 до некоторого и, 0 проходили путь, равный длине стороны 1° счет-

ноугольника Д. Можем считать, что на этом и последующих этапах построения, для отображения Т(г, t): П+^ Б^) выполняется условие (2). Если

Б (^) = I С \ и Ут ^) I \ и ут ^^ ^ , то ^ > 0 и в этом случае продолжаем по-

\ mеZ У mеZ

строение, принимая область Б

вдоль некоторых сторон 1т счетноугольника, примыкающих к /0” и /1т . Получим

2

область Б (2) = С \ ии ут (t), 0 < ^ < t1. После п аналогичных шагов будет

mеZ к=0

п-1

построена полигональная область С \ ии у” (t) без внешних точек, содержа-

mеZ к=0

щая счетноугольник Д и не включающая в свою границу стороны /”, т е Z, этого счетноугольника. Проведя надлежащие разрезы у”, т е Z, вдоль этих

сторон счетноугольника Д, получим семейство областей, сходящееся к счетно-угольнику Д как к ядру относительно точки ^0 при t, стремящемся к нулю.

Семейство отображений Т : П+ ^ Б(t) можем выбрать таким образом, чтобы

выполнялось условие (2) и Т(0,t) = Л для всех t е [0, ад). Равномерная сходимость внутри верхней полуплоскости семейства отображений Т( г, t) к отображению / следует из приведенной далее теоремы.

Теорема 2. Пусть {Бп }пеМ - последовательность односвязных областей,

Бп с С. Все области Бп, п е N, содержат точку ^0 вместе с некоторой е-окрестностью, границе каждой области Бп, п е N, принадлежат точки ^1, ^2, w3. При п, стремящемся к бесконечности, последовательность областей Бп сходится к ядру Б относительно точки w0, причем границе области Б принадлежат точки w1,

w2, wз. Тогда последовательность отображений /п : П+ ^ С, /п (П+) = Бп , нормированных условиями /п (0) = w1, /п (1) = w2, /п (ад) = w3, сходится к отображению /: П+ ^ С, / (п+ ) = Б, при п стремящемся к бесконечности равномерно внутри П+ , причем /(0) = w1, /(1) = w2, /(ад) = w3.

Доказательство. Пусть последовательность отображений gn : П+ ^ С ,

ёп = gn (С) , gn (П+) = Бп удовлетворяет условиям gn (С 0 ) = ^ ^п(^0 )> ^

п е N, где еП+ . Согласно теореме Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру, последовательность отображений gn равномерно сходится к голоморфному однолистному отображению g, g (п+ ) = Б внутри верхней полуплоскости. Обозначим прообразы точек w1, w2, w3 при отображении g через а, Ь, с соответственно, пусть, для определенности, а < Ь < с. Обозначим прообразы точек w1, w2, w3 при отображении gn через ап = а + ап, Ьп = Ь + рп, сп = с + уп соответственно.

Построим последовательность дробно-линейных отображений ^п =Сп (2), удовлетворяющую условиям С:п (0) = ап, Сп (1) = Ьп, Сп (ад) = сп. Предположим сначала, что точки а, Ь, с - конечные, тогда отображение ^п будет иметь вид с (г )= г (Ь - а + Рп -а п )(с + У п )-(Ь - с + Рп -У п )( а +а п ) п г(Ь - а + Рп-ап )-(Ь -с + Рп -Уп) .

При п, стремящемся к бесконечности, последовательность отображений ^п сходится к отображению

) =г

Покажем, что последовательность отображений Zn сходится равномерно внутри верхней полуплоскости к отображению Z, т. е. что для всякого £ > 0 существует такой номер N, что |Zn (z) - Z (z)| < e при любом n > N и для всякого z е K , где K - компакт, содержащийся в верхней полуплоскости. Поскольку z принадлежит замкнутому, ограниченному множеству K, то существуют max| z | и minimz,

zeK zeK

обозначим их соответственно Ми m. Последовательности an, bn, cn сходятся к числам a, b, c, следовательно, можно указать такой номер N, что при n > N выполняется |an| < 5, |pn| < 5, |yn| < 5, для любого 5 > 0, пусть

5£Lb-ai. о

3

Оценим модуль разности отображений Z и Zn для n > N, имеем

n |z (b - a + Pn -a n ) + c - b + Y n -Pn|lz(b - c) + C - b\’

где последовательности An, Bn, Cn выражаются через a, b, c, an, pn, yn. Оценим сверху последовательность An, имеем

An = |yn ((b - a)2 + (b - a) (Pn - an ))| < 5((b - a)2 + | b - a | 25).

В силу (4) заключаем, что

An <5A,

5 2

где A = -j(b - a) - константа. Аналогично, для Bn, Cn получаем

Bn <5B, Cn <5C.

Оценим знаменатель правой части неравенства (5). Для первого множителя, учитывая (4), получаем

Iz (b - a + Pn -a n ) + c - b +Y n -Pn| > lb - a + Pn-a nlIm z >

> (| b - a | -25) Imz > -31 b - a | Imz,

а для второго Таким образом,

|z(b - a) + c - b| >j b - a j Imz.

IZn (z) -Z(z)| <SR

где R = 3

M2 A + MB + C

m2(b - a)2

£

Для заданного е > 0 возьмем 5 > 0, удовлетворяющее условию (4) и 5< —,

К

получим

%п (г) Ч(г^ <е.

Рассмотрим теперь случай, когда с = ад . Отображение

Zn (г) = г (Ь - а + Рп -ап ) + а +ап

переводит верхнюю полуплоскость на верхнюю полуплоскость так, что Z n (0) = an, Z n (1) = bn , Zn (“) = cn и при n, стремящемся к бесконечности, сходится к отображению

Z(z) = z(b - a) + a.

Покажем, что последовательность отображений Zn сходится равномерно внутри верхней полуплоскости к отображению Z. Пусть z е K , где K - компакт, обозначим max | z | через М. Зафиксируем £ > 0. Возьмем такое N, чтобы |an| < 5,

zeK

|pn| < 5, при всех n > N, где

С

5 = -

2М +1

Оценим модуль разности отображений £ и ^п для п > А, имеем

|С п (г)-С(Х>| = \г (Рп -а п ) + а п| < г II Рп I + I г II а п I + I ап I- 8(2М +1) <е. Таким образом, последовательность отображений ^п сходится равномерно внутри верхней полуплоскости к отображению £, С (0) = а, С (1) = Ь , С (ад) = с .

Пусть точка г е К , К - компакт, К с П+ . Начиная с некоторого номера N1,

образ точки г при отображении ^п содержится в и8 (<^(г)) - окрестности точки

Z(х) радиуса е1. Функция I g ’ [. ^ (К) ^ М непрерывна, задана на компакте и, в силу теоремы Вейерштрасса, принимает в ^(К) наибольшее значение ^'(0| < И < ад для всех С е С(К). Следовательно, при достаточно малых е1 окружность |С ~С(г) = е1 переходит в кривую, такую, что расстояние от любой ее точки до окружности ^ - g (С( г))| = Ие1 является малой высшего порядка относительно е1 т.е. образ окрестности и (С(г)) содержится в окрестности точки g (^(г)) радиуса е1(И+1). £

Пусть 8т =--------. Получаем, что

1 2

8

к (Сп(г))- g (ССг))| <£1(И +1) < -

для всех г е К при п > Ы1. Начиная с некоторого номера А2, для всех г е К выполняется

^ (Сп(г))-gn ( п(г) )|<|.

Из неравенства треугольника следует, что, начиная с номера N = шах(Аь N2), выполняется

кп (Сп(г)) - g (с( г) )\ < к (с п(г)) - g (с( г) ^+1 g (Сп(г)) - gn (Сп(г) )\ <8,

для всех г е К .

Получаем, что композиция gn (^п (г) ) = /п (г) сходится равномерно внутри

верхней полуплоскости к отображению / Теорема доказана.

Теорема 2 обычным образом обобщается на случай континуального семейства областей.

Теорема 2 может быть получена с помощью [13, теорема 14.6].

Таким образом, для отображения f, переводящего верхнюю полуплоскость П+ на счетноугольник А, существует производящая функция Т (z, t), совпадающая с отображением f при t = 0.

Зафиксируем на границе счетноугольника А точки A*" = A*1 + 2nm , m є Z , где A*0 - точка, принадлежащая части границы счетноугольника от точки A10 до точки Aj и A*0 Ф A10, A*0 Ф Ai. Из точек A*" проведем прямолинейные разрезы ф" = ф0 + 2nm, m є Z, переменной длины, зависящие от вещественного параметра ф0 = ф°(0, 0 < t < т' , внутрь области А. С увеличением параметра t от 0 до некоторого т'', 0 < т'' < т', разрезы ф" удлиняются соответственно до точек

Л" = Л« (т'') + 2nm , A*0 = lim ф(t). Обозначим прообраз конца разреза Л« (t) че-

t—>+0

рез X(t), пусть 0 < X(t) < 2п при 0 < t < т'. Углы, образованные разрезом фт(і) с

границей области А, обозначим через an+1n, an+2n. При t, стремящемся к т', разрезы ф™(0 могут замкнуться на границу счетноугольника А, в этом случае точка Л« (т') попадает на часть границы счетноугольника от точки A до точки Ai и Л« (т') Ф A10, Л« (т') Ф . Обозначим через А(ї) область А с разрезами, А(0 являет-

ся счетноугольником с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п.

Обозначим через f(z,t) отображение, переводящее верхнюю полуплоскость

П+ на счетноугольник с разрезами А(^, такое, что f (п+ ,0) = Д, lim (f (z,t) - z) = 0 и f (0,t) = A10. Отображение fz,t) удовлетворяет диффе-

Im z^+да

ренциальному уравнению (2). C другой стороны, отображениеfz,t), согласно теореме 1, представляется интегралом

f (z,t)=c(t)Jsin X(t2 zn

0 2 k=1

Sin-

V

d C+ + ,

где а0+1, а^+ 2 - прообразы точки А*, а0 = 0, 1(Г) - прообраз подвижного конца разреза Л0 Ц), 0 < а0+1 < Х(() < а^+2 < 2п , стк =ак -1, к = 1,.. ,,п+2. Отметим, что параметры ап+1 и ап+2 связаны соотношениями ап+1 + а„+2 = 1, если А*1 ф А0,

к = 1,...,п и ап+1 + ап+2 = ак, если А*1 = А^, к = 1,...,п.

Пусть при t = 0 известны значения всех параметров, входящих в формулу (6), то есть известно конформное отображение /: П+^Д, / = / (г,0). Требуется определить конформное отображение /: П+ ^ Д(t), /=/(г/), при всех допустимых значениях параметра t, иначе говоря, найти при таких t акцессорные параметры а0 ^), Х(^, с((). Для определения акцессорных параметров отображения /

получен следующий результат.

Теорема 3. Для всех 0 < t < т' акцессорные параметры удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Мм =_ 1С,В, к = 2.................п+2,

Л 2 2

=- 2 у2ak ctg'

2 k=1 2

c

с начальными условиями

„0 _0

ak (0) = ak, k = 2,...,n + 2,

a0+i (0) = a0+ 2 (0) = '(0) = f-(A*0,0).

Замечание 1. Если A*1 = A°p , p = 2,...,n, то в формуле (7) отсутствует уравнение при k = р, а в формулах (8), (9) должно отсутствовать слагаемое при к = p.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ф( z, t ) = ln f'2( z, t), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению

дФ(z,t) дФ(z,t) X(t)-z 1 . -2 X(t)-z

----y-^- =----ctg——-----------+ -sin 2 ——-----.

dt dz 2 2 2

Поскольку

ч . X(t) - z n+? . a? (t) - z

Ф^, t) = ln c(t) + lnsin------------+ f ak ln sin—k-,

2 k=1 2

то ее частные производные относительно параметра t и переменной z имеют вид

^ = %+ ^ 'ctg ^+f .k

^(z, t) 1 X(t) - z 1 n+? a°(t) - z

—“ = -T^g-^-------------------------2 f°k ct^^^.

dz 2 2 2 k“1 2

Подставляя (11) и (12) в уравнение (10), получим соотношение

c'(t) „ч X(t)-z Пт2 / 0,чV a°(t)-z

c-L + X'(t)ctg-^- +f ak (a°(t)) ctg^^- =

c(t) 2 k=1 2

1 2 X(t) - z 1 X(t) - z nT2 a0(t) - z 1 . -2X(t) - z

= — ctg2 ——------------ctg——--------f ak ctg—----+ - sin 22-------,

2 2 2 2 k= 2 2 2

которое должно выполняться при всех значениях параметра t и всех z из верхней полуплоскости.

Приравнивая вычеты левой и правой частей уравнения (13) в точках z = a° (t), X(t) и сравнивая свободные члены, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

= - 1ctg^

dt 2 2

dW =-1 fak ctg X

dt 2 k=1 2

d ln c(t) = i i

dt ~ 2 2

У

k=1

ak

с начальными условиями

lim ak0 (t) = a0, k = 2,...,

t ——+0

lim a0+i

—+0 t—+0 t—+0 v '

t ——+0

t ——+0

lim c (t) = c, .

t—+0

Так как у ak = -i, то

k=1

c(t) = const = c(0) = c, .

Теорема доказана.

Уравнения (14), (15), (17) вместе с начальными условиями (16) для акцессорных параметров позволяют путем интегрирования найти их значения в любой момент времени t, 0 < t < т'.

Предположим, что разрез ф0 выходит не из вершины счетноугольника А. Обозначим длину прямолинейного отрезка jA*1, Л0(t)| через s. Поскольку

ds

dt

дt

то, используя уравнение (3) и (6), можем показать, что

n+ 2

c(t )П

ds

dt

n+ 2 ( a0(t) -'(t) ^k

sin—-------------

k=1

Таким образом, значение т" параметра I, до которого проводится интегрирование, определяется в процессе интегрирования из соотношения

|a*0,Л«(т'')| = J c(t)П| sin

0 k=1 V

. ak

dt,

если разрез ф выходит не из вершины счетноугольника, и соотношения

i

A*0, Л« (т'')| = J

c(t) П

k=1, k Ф p

n+ 2 (sin a0(t) -'(t) ^k

dt,

если разрез выходит из вершины Ар .

Для определения значения т" параметра t, до которого проводиться интегрирование, также можно воспользоваться соотношением

:1 J

о0+і(т':

'(т'') -Z

sin

П

k=1

sin

dZ

если разрез ф выходит не из вершины счетноугольника, и соотношением

т

A

если разрез выходит из вершины A°p .

Теорему 3 можно применять и в том случае, когда разрезы фт замыкаются на границу счетноугольника. Тогда при t, стремящемся к т', r прообразов вершин

a°(t) стягиваются в одну точку lima°(t) = limal0+1(t) =... = lima°+ (t). Число r

равно числу вершин счетноугольника A(t), которые отделяются от счетноугольника Д разрезом ф0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Копанев С.А., Копанева Л.С. Формула типа формулы Кристоффеля - Шварца для счетноугольника // Вестник Томского государственного университета. 2003. № 280. С. 52-54.

2. Floryan J.M. Schwarz-Christoffel methods for conformal mapping of regions with a periodic boundary // J. Comput. and Applied Math. 1993. No. 46. P. 77-102.

3. Hussenpflug W.S. Elliptic integrals and the Schwarz - Christoffel transformation // Computers Math. Applic. 1997. V. 33. No. 12. P. 15-114.

4. Александров И.А. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса // Изв. вузов. Математика. 1999. № 6(445). С. 15-18.

5. Куфарев П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца - Кристоффеля // ДАН СССР. 1947. Т. 57. №. 6. С. 535-537.

6. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

7. Чистяков Ю.В. Численный метод определения функции, конформно отображающей круг на многоугольники: дис. ... к. ф.-м. н. Томский гос. ун-т, 1953.

8. Hopkins T.R., Roberts D.E. Kufarev's metod for determining the Schwartz - Christoffel parameters // Numer. Math. 1979. No. 33. P. 353-365.

9. Гутлянский В.Я., Зайдан A.O. О конформных отображениях полигональных областей // Укр. матем. журн. 1993. Т. 45. № 11. С. 1464-1467.

10. Насыров С.Р., Низамиева Л.Ю. Определение акцессорных параметров в смешанной обратной краевой задаче с полигональной известной частью границы // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. № 4. С. 34-40

11. Александров И.А., Копанева Л.С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284. С. 5-7.

12. Насыров С.Р. Геометрические проблемы теории разветвленных накрытий римановых поверхностей. Казань: Магариф, 2008. 276 с.

Статья поступила 17.02.2014 г.

Kolesnikov I.A. DETERMINATION OF ACCESSORY PARAMETERS FOR MAPPING ONTO A NUMERABLE POLYGON. We consider a simply connected region of the half-plane type with symmetry of translation along the real axis by 2n and such that a part of the boundary from a point w0 to a point w0+2n consists of a finite number of straight line segments and rays. The region is called a numerable polygon with symmetry of translation along the real axis by 2n. Con-formal mappings of the upper half-plane onto a numerable polygon find applications in some problems of hydrodynamics, heat conduction problems, microwave theory, etc. The representation of conformal mappings of the half-plane onto a numerable polygon with symmetry of translation along the real axis by 2n is known in a form of the Christoffel-Schwarz type integral. Different efficient numerical methods of finding the accessory parameters included in the classical

, Л°(Т")|:

^(т"

sin

Х(т") -z

1K

sin

a°k(T") -Z

\ak

dZ

a

Christoffel-Schwarz integral have been developed; one of them was proposed by P.P. Kufarev. In this paper, the problem of finding the accessory parameters in the Christoffel-Schwarz integral for mapping onto a numerable polygon with symmetry of translation by 2n along the real axis is reduced to the problem of integrating a system of ordinary differential equations with Cauchy initial conditions by use of an idea of P.P. Kufarev. The system of differential equations is derived using the Christoffel-Schwarz formula for mapping onto a numerable polygon and the differential equation of the Loewner type for mapping the half-plane onto the plane with cuts along pairwise disjoint simple curves ym tending to infinity, ym = y0 + 2nm, m e Z .

Keywords: conformal mapping, numerable polygon, symmetry of translation, accessory parameters, P.P. Kufarev’s method.

KOLESNIKOV Ivan Aleksandrovich (M.Sc., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: ia.kolesnikov@mail.ru

REFERENCES

1. Kopanev S.A., Kopaneva L.S. Formula tipa formuly Kristoffelya - Shvartsa dlya schet-nougol'nika

2. Floryan J.M. Schwarz - Christoffel methods for conformal mapping of regions with a periodic boundary (1993) J. Comput. and Applied Math. No. 46, pp. 77-102.

3. Hussenpflug W.S. Elliptic integrals and the Schwarz - Christoffel transformation (1997) Computers Math. Applic. V. 33. No. 12, pp. 15-114.

4. Aleksandrov I.A. Konformnye otobrazheniya poluploskosti na oblasti s simmetriey perenosa

5. Kufarev P.P. Ob odnom metode chislennogo opredeleniya parametrov v integrale Shvartsa-Kristoffelya

6. Aleksandrov I.A. Parametricheskie prodolzheniya v teorii odnolistnykh funktsiy. Moskow, Nauka Publ., 1976. 344 p.

7. Chistyakov Yu.V. Chislennyy metod opredeleniya funktsii, konformno otobrazhayushchey krug na mnogougol'niki. Diss. kand. fiz.-mat. nauk. Tomsk, 1953.

8. Hopkins T.R., Roberts D.E. Kufarev's metod for determining the Schwartz - Christoffel parameters (1979) Numer. Math. No. 33, pp. 353-365.

9. Gutlyanskiy V.Ya., Zaydan A.O. O konformnykh otobrazheniyakh poligonal'nykh oblastey

10. Nasyrov S.R., Nizamieva L.Yu. Opredelenie aktsessornykh parametrov v smeshannoy obrat-noy kraevoy zadache s poligonal'noy izvestnoy chast'yu granitsy

11. Aleksandrov I.A., Kopaneva L.S. Levnerovskie semeystva otobrazheniy poluploskosti na oblasti s simmetriey perenosa

12. Nasyrov S.R. Geometricheskie problemy teorii razvetvlennykh nakrytiy rimanovykh poverkhnostey. Kazan', Magarif Publ., 2008. 276 p.