Моделирование и оптимизация электростатического компаратора напряжения в системе ФРУНД

УДК 531.714

А. И. Нефедьев, А. С. Горобцов, О. К. Чесноков

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО КОМПАРАТОРА НАПРЯЖЕНИЯ В СИСТЕМЕ ФРУНД

Ключевые слова: подвижная часть, растяжка, балка, математическая модель, моделирование, компаратор.

В статье рассмотрено устройство подвески подвижной части электростатического компаратора напряжения. Разработана математическая модель подвески, описывающая поведение подвижной части при воздействии на корпус прибора внешних сил по разным координатам.

Key words: moving part, taut band, beam, mathematical model, model-based analysis, comparator.

The moving part suspension construction of electrostatic voltage comparator is considered. The mathematical model of moving part, describing work of moving part in presence vibration acts on measurement instrument in various directions, is present.

Высокие метрологические характеристики средств измерений электрических величин, такие как точность, стабильность, могут быть обеспечены при использовании электромеханических преобразователей. Одним из перспективных направлений улучшения метрологических характеристик является увеличение размеров их подвижной системы. Особенно актуально это для электростатических компараторов напряжения (ЭКН), обладающих низким вращающим моментом [1,2].

Однако возможности дальнейшего повышения чувствительности электростатических преобразователей в настоящее время в значительной степени исчерпаны. Известные конструкции подвески электростатических преобразователей, а также капельные успокоители подвижной части при ее увеличенных размерах не обеспечивают высокой устойчивости к механическим помехам. Поэтому проблема разработки конструкции подвески подвижной части электромеханических приборов, обеспечивающей совмещение высокой чувствительности, устойчивости к механическим помехам и высокой точности является актуальной. Особенно важной представляется проблема подвески подвижной части ЭКН, которые имеют низкий вращающий момент.

Для реализации этой задачи была разработана конструкция подвески подвижной части, предназначенная для применения в ЭКН, которая представляет собой четыре растяжки с каждой стороны подвижной части, расположенные под острым углом друг к другу и в разных плоскостях, что позволило обеспечить как совмещение функций крепления подвижной части, так и эффективное предотвращение ее поперечных колебаний [3, 4].

Высокая чувствительность и помехоустойчивость электростатических преобразователей получена благодаря применению системы из тонких и длинных растяжек, которая и обеспечивает высокие метрологические характеристики преобразователей. Факторов, ограничивающих длину растяжек, в рассмотренной конструкции подвески не имеется, и растяжки могут быть сколько угодно длинными. Такая конструкция позволяет снизить противодействующий момент растяжек, что также снижает влияние на результат измерения остаточных дефор-

маций растяжек до пренебрежимо малого значения [5-8].

Устройство подвески подвижной части ЭКН выполнено в виде подвешенной параллельно основанию горизонтальной балки по типу весов, на краях которой установлены подвижные части (электроды) двух электростатических преобразователей, а неподвижные электроды укреплены на основании ЭКН [9-11]. Подвижная часть поддерживается системой из четырех растяжек с каждой стороны, прикрепленных к оси балки. Внешние концы растяжек прикреплены к амортизационным пружинам, помещенным в специальные резервуары, заполненные вязкой (этилполисилоксановой) жидкостью.

Для исследования поведения подвижной части компаратора была разработана математическая модель, представленная на рис. 1, и включающая в себя модель балки с электростатическими преобразователями, модели растяжек, несущей платформы и стола, на котором расположено измерительное устройство ЭКН [12, 13].

Рис. 1 - Математическая модель

Разработанная модель описывает поведение системы при воздействии на корпус ЭКН вибраций и других сил по разным координатам, что может быть вызвано вибрациями стола, на котором находится ЭКН.

В математической модели балка и несущая платформа считаются твердыми телами, а несущая платформа установлена на неподвижном основании (столе) на амортизаторах, передающих усилия по

трем координатам. Уравнение движения в общем виде можно представить как:

МХ + F

где М - диагональная матрица вида М=diag(m1, т2, ... т18), коэффициентами которой являются моменты инерции и массы тел относительно главных центральных осей; Ре(Г)- возмущающие силы, Х=(Х1, Х2, ..Хп) - вектор

обобщенных координат (п=18); Г - время; F(Х) - вектор сил от упругих элементов.

Для определения собственных частот системы уравнение (1) удобно представить в линеаризованной форме:

МХ + КХ = 0,

где К - матрица жесткости системы, коэффициенты которой определяются выражением:

где ^ (X)- г-я компонента вектора F(X) , г - номер строки (номер уравнения), ] - номер обобщенной координаты.

Для определения собственных частот ю решается уравнение:

с1вЦК-ю2М) = 0

С помощью системы ФРУНД (системы моделирования многотельной динамики) было проведены решение задачи на собственные значения и линеаризация уравнения (1) движения [14].

Для линеаризованной математической модели с размерностью 18 степеней свободы были построены матрицы жесткости и масс. Диагональные коэффициенты матрицы жесткости, соответствующие обобщенным координатам балки, равны 533,1; 7064; 416,8 (Н/м); 0,277; 0,00118; 0,138 (Н-м/рад). Диагональные коэффициенты матрицы масс соответственно равны 0,03; 0,03; 0,03 (кг) и 7,5-10-5, 8,16-10-4, 8,16-10-4 (кг-м2).

Существует 6 форм колебаний подвижной части ЭКН:

1-я форма колебаний - вращение вокруг оси У подвижной части (рис. 2);

2-я форма колебаний - вращение в горизонтальной плоскости вокруг оси 2 (рис. 3);

3-я форма колебаний - вращение относительно оси Х и смещение вдоль оси У (рис. 4);

4-я форма колебаний - смещение вдоль оси Ъ (рис. 5);

5-я форма колебаний - смещение вдоль оси Х (рис. 6);

6-я форма колебаний - смещение вдоль оси У с поворотом вокруг оси Х (рис. 7).

В качестве примера на рисунке 2 приведены результаты моделирования 1-й формы колебаний. При этом частота вращения подвижной части вокруг оси У составила 0,191 Гц. Частота вращения подвижной части в горизонтальной плоскости вокруг оси Ъ (2-я форма колебаний) составила 2,07Гц. Частота вращения подвижной части относительно оси Х и смещение вдоль оси У (3-я форма колебаний) происходило с частотой 6,505 Гц.

Смещение вдоль оси Ъ при 4-й форме колебаний происходило с частотой 18,75 Гц. Смещение вдоль оси X при 5-й форме колебаний происходило с частотой 21,21Гц. При 6-й форме колебаний сме-

щение вдоль оси У с поворотом вокруг оси Х происходило с частотой 77,26 Гц.

">У ^ч ^—*

Рис. 2 - 1-я форма колебаний подвижной части ЭКН

Результаты расчетов собственных частот при различных значениях жесткости растяжек (С) и их предварительного натяжения (Д) приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Собственные частоты подвижной части компаратора

Д = 0 Д = - Д = - Д = - Д = - Д = 10

С=103 С=103 С=300 С=103 С=2-103 С=103

0,191 0,191 0,191 0,191 0,191 0,191

1,966 7,06 1,69 3,84 4,086 3, 48

8,25 11,3 6,25 13,63 15,23 11,17

18,74 20,35 11,2 21,76 27,87 20,28

21,11 22,64 12,42 24,04 31,68 29,32

77,24 77,32 42,387 77,4 109,14 75,04

Для анализа собственных частот колебаний можно использовать парциальные частоты, которые определяются отношением соответствующих диагональных коэффициентов матрицы жесткости к коэффициентам матрицы масс. Рассчитанные по диагональным коэффициентам матриц жесткости и масс парциальные собственные частоты в порядке возрастания равны соответственно 0,194; 2,069; 10,01; 18,76; 21,2; 77,23 (Гц).

Как следует из сравнения парциальных частот с собственными частотами, все парциальные частоты, кроме третьей, практически совпадают с собственными частотами. Зависимость диагональных коэффициентов матрицы жесткости линеаризованной модели от жесткости упругих элементов подвеса имеет линейный вид для всех коэффициентов, кроме коэффициента, соответствующего повороту балки вокруг поперечной оси. Так, при увеличении продольной жесткости растяжек в 4 раза, диагональные коэффициенты матрицы жесткости приняли значение 2104; 2,8-104; 1598 (Н/м), 1,006; 0,00117; 0,472 (Н-м/рад).

Поскольку все коэффициенты, кроме пятого, увеличились в 4 раза, можно сделать вывод, что частота форм колебаний относительно оси подвижной части не зависит от осевой жесткости растяжек, а определяется только геометрией подвижной части и угловой жесткостью растяжек. Угловая жесткость растяжек в расчетах принималась равной 1-10-5 (Н-м/рад), а геометрия характеризовалась следую-

щими углами: 30° между растяжками в вертикальной плоскости, и 60° между растяжками в горизонтальной плоскости.

Форма угловых колебаний имеет достаточно низкую частоту, и прибор не будет реагировать на возмущения основания с частотой более 1 Гц. Все остальные формы колебаний могут оказывать возмущающее воздействие на компаратор с частотой в диапазоне от 2 до 20 Гц. Следовательно, для повышения помехоустойчивости компаратора необходимо устанавливать его корпус на упругое виброизолирующее основание, обеспечивающее собственные частоты корпуса в диапазоне 2,5 - 4 Гц.

Таким образом, для точной работы ЭКН наибольшее значение имеют формы колебаний, при которых происходит значительное изменение расстояния между электродами преобразователя. Это форма колебаний относительно оси подвижной части (форма 1, частота 0,191 Гц), и вертикальные колебания подвижной части (форма 4, частота 18,75 Гц).

Таким образом, разработанная математическая модель подвески подвижной части ЭКН позволяет проанализировать поведение системы при воздействии на его корпус различных сил по разным координатам, а также позволяет исследовать степень их воздействия на подвижную часть.

Литература

1. Векслер, М.С. Измерительные приборы с электростатическими механизмами / М.С. Векслер. - Л.: Энергия, 1974. - С. 126,127.

2. А.И. Нефедьев, Новые промышленные технологии, 4, 33-34 (2011).

3. Авт. свид. СССР 1668997 (1991).

4. А.И. Нефедьев, Новые промышленные технологии, 5, 37-42 (1995).

5. Патент РФ на изобретение 2076328 (1997).

6. Патент РФ на изобретение 2307362 (2007).

7. A.I. Nefed'ev, S.A. Kravchenko, Measurement Techniques, 43, 4, 368-373 (2000).

8. А.И. Нефедьев, С. Кравченко, Измерительная техника, 4, 63-67 (2000).

9. А.И. Нефедьев, Measurement Techniques, 52, 6, 650-655 (2009).

10. А.И. Нефедьев, Новые промышленные технологии, 1, 36-39 (2009).

11. А.И. Нефедьев, Новые промышленные технологии, 4, 35-36 (2011).

12. А.И. Нефедьев, В.С. Поляков, С.В. Поляков, Вестник Казанского технологического университета, 16, 17, 215-217 (2013).

13. А.И. Нефедьев, В.С. Поляков, С.В. Поляков, Вестник Казанского технологического университета, 17, 21, 372-374 (2014).

14. А.С. Горобцов, С.В. Солоденков, Машиностроение и инженерное образование, 4, 31-38

© А. И. Нефедьев - д.т.н., профессор кафедры «Электротехника», ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет», nefediev@rambler.ru; А. С. Горобцов - д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика», ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университетvm@vstu.ru; О. К. Чесноков, ст. преподаватель кафедры «Высшая математика», ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный технический университет», vm@vstu.ru.

© A. I Nefed'ev - doctor of technical sciences, professor of Electrical engineering Dept., Volgograd State Technical University, nefediev@rambler.ru, A. S. Gorobtsov - doctor of technical sciences, head of the Department of Mathematics, Volgograd State Technical University, vm@vstu.ru, O. K. Chesnokov - lecturer of the Department of Mathematics, Volgograd State Technical University, vm@vstu.ru.