О вероятностных моделях для оценки остаточного срока службы и износа машин и оборудования

О вероятностных моделях для оценки остаточного срока службы и износа машин и оборудования

С.А. Смоляк главный научный сотрудник федерального государственного бюджетного учреждения науки «Центральный экономико-математический институт Российской академии наук», профессор федерального государственного бюджетного учреждения образования «Государственный университет управления», доктор экономических наук

Сергей Абрамович Смоляк, smolyak1@yandex.ru

Введение

При оценке машин и оборудования (далее - машины) часто возникает необходимость в определении остаточного срока их службы (Remaining Useful Life; далее - ОСС). Нередко в этих целях используются экспертные оценки или проводится техническая диагностика. Однако, даже если состояние узла (детали) машины известно, то невозможно точно указать момент, когда он выйдет из строя, а его ремонт или замена окажутся технически или экономически нецелесообразными. Более того, машина - это сложная система, и любая ее характеристика не выводится из характеристик ее подсистем, поэтому, даже зная точно сроки службы каждого узла машины, определить срок ее службы в целом невозможно в принципе. Представляется, что именно по этой причине в оценочной деятельности не нашли применения описанные в литературе методы прогнозирования остаточного ресурса отдельных деталей и конструкций. В то же время здесь уместно использовать теорию надежности, в которой сроки службы машин рассматриваются как случайные.

Построению и применению вероятностной модели для оценки среднего ОСС машины в зависимости от ее возраста была посвящена пионерная для отечественной оценочной литературы статья Л.А. Лейфера и П.М. Кашниковой [1] (ранее опубликованная на www. labrate.ru). В последующие годы эта модель была использована во многих публикациях и отчетах об оценке. Принятый в указанной статье подход позволяет практически учесть вероятностный характер срока службы машины, при этом детальной информации не требуется. В настоящей статье предпринимается попытка его дальнейшего развития в двух направлениях. Прежде всего, как показывает анализ литературы по надежности машин, принятая в статье [1] модель вероятностного распределения срока службы машины требует уточнения. Более важно, однако, другое обстоятельство. Определение ОСС необходимо оценщикам для того, чтобы на его основе установить коэффициент или процент износа (обесценения, физического износа) машины. Однако зависимость коэффициента износа от ОСС нелинейная, так что средний коэффициент износа не отвечает среднему ОСС. В настоящей статье излагаются конкретные предложения по учету указанных обстоятельств. При этом мы считаем, что оценщики могут установить средний срок службы машин оцениваемого вида, используя следующую информацию:

1) сроки службы, установленные государственными нормативными документами (например [2 и 3]). Отметим, что в отличие от документа [3] в документе [2] сроки службы указаны в виде интервалов;

2) сроки службы машин, установленные их собственниками в целях составления бухгалтерской (финансовой) отчетности;

3) публикуемые в различных источниках сведения о средних сроках службы отдельных видов машин (например данные Федеральной службы государственной статистики [4] о среднем возрасте выбывающих основных фондов, полученные в результате выборочных обследований);

4) сроки службы машин, установленные их производителями в технической документации.

Нормативные сроки службы, приведенные в документе [2], являются обязательными только для начисления амортизации в целях налогообложения и не совпадают со средними сроками службы. Представляется, что при их использовании для целей стоимостной оценки в качестве нормативного срока службы должна использоваться верхняя граница соответствующего интервала. Для приближенного установления среднего срока службы в справочнике [5] рекомендуется применять повышающий коэффициент 1,3.

Приобретая машину в новом состоянии, фирма устанавливает ей срок полезного использования для начисления амортизации в системе бухгалтерского учета. Здесь требования документа [2] не являются обязательными, и указанный срок, в принципе, может дать более точную информацию о среднем сроке службы машин соответствующего вида. Однако нередко сроки полезного использования активов устанавливаются «с оглядкой» на документ [2], при этом не учитываются характеристики надежности и ремонтопригодности машин.

К публикуемым сведениям о средних сроках службы машин и оборудования следует относиться с осторожностью, поскольку они могут быть недостаточно представительными или относиться не к машинам оцениваемого вида, а к более широкой группе машин. Так, по данным Федеральной службы государственной статистики [4], в 2008 году средний возраст машин и оборудования в строительстве составил 10 лет, а средний возраст ликвидированных машин - 7 лет. Обратная ситуация была для транспортных средств: их средний возраст составил 10 лет, а средний возраст ликвидированных машин - 18 лет.

Наиболее надежной базой следует считать сроки службы машин, установленные их производителем (они также не совпадают со средними сроками). Проблема соответствующего их пересчета обсуждается в следующем разделе.

Вероятностное распределение срока службы

В теории надежности сроки службы объектов рассматриваются как случайные. В статье [1] рассматривается случай, когда логарифм срока службы машины имеет нормальный закон вероятностного распределения. Такое (логнормальное) распределение достаточно широко используется при моделировании сроков жизни биологических объектов или сроков полезного использования нематериальных активов. В то же время именно при исследовании сроков службы машин и оборудования это распределение почти не применяется. Укажем одну из причин.

При анализе распределения сроков жизни объектов в теории надежности обычно используются две его характеристики:

1) функция надежности (reliability function; в демографии - функция дожития) P(t);

2) функция риска (hazard function; функция интенсивности неустранимых отказов - failure rate function; функция выживаемости - survival function) l(t).

Значение функции надежности P(t) отражает вероятность того, что объект доживет до возраста t, а значение функции риска l(t) - вероятность того, что объект, доживший до

возраста t, проживет еще одну малую единицу времени. Математически функция риска выражается следующей формулой:

X(t) = -P'(t) / P(t).

Обычно у технических систем интенсивность отказов с возрастом растет (грубо говоря, чем старше объект, тем с большей вероятностью он выйдет из строя в следующем году). Между тем если срок службы объекта имеет логнормальное распределение, то интенсивность его отказов l(t) с возрастом сначала растет, а затем начинает снижаться.

На этом основании при анализе сроков службы машин чаще используют распределение Вейбулла *, которое характеризуется параметром формы k и параметром масштаба N и имеет следующие основные характеристики:

функция распределения: F (t ) = 1 - exp функция надежности: P (t ) = exp

' J_ N

v

V

N

\к

функция риска (интенсивности отказов) A(t ) = ^

/ t V<-1

N

средний срок службы: S = Nr 11

1

коэффициент вариации срока службы V = где символ Г означает гамма-функцию.

Г | 1 + 2 1 k

Г2

1 + - |-1 k

Параметр масштаба N в распределении Вейбулла выражает возраст, вероятность достижения которого составляет примерно 63 процента.

При к = 1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное, и здесь интенсивность отказов с возрастом не меняется. Но при к > 1 интенсивность отказов с возрастом увеличивается тем быстрее, чем больше к.

Параметры распределения Вейбулла в разные годы оценивались для различных видов машин и оборудования в основном иностранными авторами. В таблице 1 приведены некоторые оценки параметра формы к.

Технические специалисты нередко применяют распределение Вейбулла для оценки срока службы отдельных узлов и деталей машин. В качестве примера отметим, что в статье [16] для валов малой жесткости оборудования текстильной промышленности получена оценка к = 2,16.

В технической литературе надежность объекта часто характеризуется показателями гамма-процентного срока или ресурса. Гамма-процентный срок выражает календарное время, в течение которого с вероятностью у процентов объект не отказывает. Обычно в технической документации на изделия изготовитель указывает 80-процентный срок службы или наработку (для изделий, к надежности которых предъявляются повышенные требования - 90- или 95-процентный). Показатель 90-процентного срока службы машины используется и в статье [1], однако там он принимается равным нормативному или назначенному сроку службы. Мы не будем делать такого допущения, тем более что в разных

* Отметим, что в ряде публикаций распределение сроков службы машин описывалось другими законами распределения, а большое число публикаций посвящено срокам службы не самих машин, а отдельных их узлов и деталей.

Таблица 1

Параметр формы (^ распределения сроков службы машин и оборудования

Вид машины и оборудования к Источник

Посудомоечная машина 2,18 [6]

Стиральная машина 2,31

Холодильник 2,15; 1,83 [6, 7]

Морозильник 2,46; 1,89

Жатка-сноповязалка 2,42

Мельничное оборудование 5,08

Шлифовальный станок 3,39

Упаковочное оборудование 1,6...2,2

Измерительное оборудование 1,9...2,0 [8]

Электрогенератор 2,0...2,5

Пассажирский вагон 4,31

Вагон-платформа для перевозки угля 4,85

Буровой насос 2,52

Насос и компрессор 2,7...2,8

Насос 1.95 [9]

Грузовой автомобиль 3.22; 1,42 [8, 10]

Рапирный ткацкий станок 1,81

Перфорационная машина для текстильной промышленности 1,25 [11]

Швейная машина 1,32

Газотурбинный агрегат 3,33 [12]

Оборудование текстильной и кожевенно-обувной промышленности 1,70

Оборудование полиграфической промышленности 2,00 [13]

Оборудование для производства изделий из резины и пластика 1,34

Центробежный компрессор 1,9

Двигатель электрический 1,2

Насос центробежный 1,2 [14]

Котел 1,2

Паровая турбина 1,7

Пассажирский автомобиль и другой дорожный транспорт 1,13...2,12 [15]

Компьютер 1,14...2,84

Машины и оборудование 1,27...2,5

источниках термины «нормативный» и «назначенный» в отношении срока службы понимается по-разному. Так, нормативным обычно считают срок службы, принимаемый для начисления амортизации, а «назначенный срок службы» согласно официальным документам - это календарная продолжительность эксплуатации машины и (или) оборудования,

при достижении которой эксплуатация должна быть прекращена независимо от их технического состояния (при этом нормативные документы порой допускают неоднократное продление назначенных сроков).

Гамма-процентный срок службы SY для распределения Вейбулла выражается формулой: SY = Мп1 7 ^100 / у). Его отношение к среднему сроку службы (относительный гамма-процентный срок службы) п = SY / S не зависит от параметра масштаба. Таким образом, средний срок службы машин получается из установленного производителем гамма-процентного срока делением на лд.

Зависимости коэффициента вариации (V) и относительных 80- и 90-процентных сроков службы от параметра формы для распределения Вейбулла представлены в таблице 2.

Таблица 2

Характеристики распределения Вейбулла с разными параметрами формы

1( 1 1,25 1,45 1,7 2,1 2,7 3,6 5 6

V 1,00 0,81 0,70 0,61 0,50 0,40 0,31 0,23 0,19

П80 0,22 0,30 0,36 0,41 0,49 0,57 0,66 0,74 0,78

П90 0,11 0,17 0,21 0,27 0,34 0,43 0,54 0,64 0,69

Обратим внимание на то, что для большинства видов машин, указанных в таблице 1, соответствующие коэффициенты вариации срока службы лежат в довольно широком интервале 0,25...0,8, тогда как в статье [1] для них указывался довольно узкий интервал 0,3...0,4. Отсюда следует, что было бы нецелесообразным при оценке ОСС исходить из какого-то единого среднего коэффициента вариации для всех типов машин и оборудования и опираться только на 90-процентный срок их службы, как это сделано в работе [1].

Анализ имеющихся в литературе данных о распределении сроков службы машин показывает целесообразность разделения машин на три категории.

Первая категория включает машины, к чьей надежности и срокам службы предъявляются повышенные требования. Это достаточно сложные по конструкции машины с установленными производителем сроками службы либо машины, производимые малыми сериями или в единичных экземплярах, ремонт которых обходится слишком дорого или практически невозможен. Установленные в технической документации сроки службы таких машин можно рассматривать как 90-процентные, а фактические сроки их службы лежат в довольно узких пределах. Для таких машин коэффициенты вариации срока службы лежат в диапазоне 0,2...0,4, а параметр формы превышает 2,4. Машины с примерно такими характеристиками рассматривались в статье [1]. В среднем для этой группы можно принять k = 3,6; V = 0,31; п90 = 0,54. По этой причине средний срок службы таких машин превышает установленный производителем в 1 / 0,54 = 1,85 раза, что примерно соответствует экспертным оценкам для транспорта и спецтехники, железнодорожного и водного транспорта, серийного и узкоспециализированного оборудования (см. [5, табл. 4.2.1].

Вторая категория включает машины, к надежности которых предъявляются повышенные требования, но сроки службы которых особо не регламентируются и могут неоднократно продлеваться. Коэффициенты вариации срока службы таких машин лежат в диапазоне 0,4...0,6, а параметр формы - в диапазоне 1,7...2,4. Установленные в технической документации сроки службы таких машин (если таковые есть) можно рассматривать как 80-процентные. В среднем для этой группы можно принять k = 2,1; V = 0,50; п80 = 0,9. Таким

образом, средний срок службы этих машин превышает установленный производителем в 1 / 0,49 = 2,04 раза.

Третья категория включает машины и оборудование, к надежности и срокам службы которых не предъявляются какие-то особые требования. Это сравнительно простые по конструкции машины, производимые большими сериями и достаточно легко ремонтируемые. Их надежность мало меняется с возрастом. В принципе их работоспособность можно восстанавливать много раз, поэтому фактические сроки их службы могут меняться в достаточно широких пределах. Для таких машин коэффициенты вариации срока службы лежат в диапазоне 0,6...0,8, а параметр формы - в диапазоне 1,25...1,7. Установленные в технической документации сроки службы таких машин (если таковые есть) можно считать 80-процентными. В среднем для этой группы можно принять к = 1,45; V = 0,70; п80 = 0,36. В связи с этим средний срок службы таких машин превышает установленный производителем в 1 / 0,36 = 2,81 раза.

На этом основании в таблице 2 и графиках, далее представленных на рисунках, приведены данные, относящиеся к машинам разных категорий с граничными и средними значениями параметра формы к.

Разумеется, имеются и более детальные классификации машин по характеру распределения их по срокам службы. Так, в университете штата Айова был предложен 31 тип кривых, описывающих такие распределения (см. [16]). Некоторые авторы предлагали применять их и в России. Однако чтобы отнести машину к определенному типу кривых и оценить калибровочные параметры подходящей кривой, нужна детальная фактическая информация, которой у российских оценщиков обычно нет.

Оценка среднего остаточного срока службы и износа машин

Рассмотрим машины, распределение сроков службы которых описывается распределением Вейбулла с параметрами к и N. Если такая машина дожила до возраста t, то вероятность того, что она проживет еще в лет, равна отношению P(t + s) / P(t). Зная эти вероятности, можно рассчитать и средний ОСС такой машины (в демографии - средняя ожидаемая продолжительность жизни). Его отношение к среднему сроку службы машин (Б) назовем относительным средним остаточным сроком службы (ОСОСС).

Зависимости ОСОСС машин от их относительного возраста (ОВ, отношения возраста машины к среднему сроку ее службы) при разных значениях к представлены на рисунке 1. Как видим, в зависимости от к ОСОСС машин одного возраста могут меняться в довольно широких пределах.

Значения ОСОСС машины нужны оценщику для оценки ее износа (обесценения). В связи с этим попробуем выяснить характер соответствующей зависимости. Начнем с того, что стоимость машины отражает ожидаемые доходы от ее предстоящей эксплуатации. При этом приносимый машиной доход в общем случае измеряется стоимостью производимой машиной продукции за вычетом затрат на это производство. Однако (например когда производимая машиной продукция или работа не обращается на рынке) этот доход можно представить и как приходящуюся на машину часть дохода владеющего машиной предприятия (вопросам измерения доходов от использования машин посвящены соответствующие разделы работ [17, 18]).

Предположим теперь, как и в статье [19], что в процессе эксплуатации машины некоторого вида приносят постоянный годовой доход. Примем его за единицу. Учтем, что стоимость машины отражает ожидаемый доход от ее эксплуатации за предстоящий срок службы. Поэтому, если не учитывать разновременность доходов, она будет равна (в со-

8 о

О 0,9

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

\ \

\\\

Л

\

V

7 \

\

ч\\

• ч

\\ V

1 2 3 -к = 1,25 .........к = 1,45--к = 1,7

-----к = 2,7 ---к = 3,6 .........к = 5

5 ОВ

к = 2,1

Рис.

1. Зависимость относительного среднего остаточного срока службы машин от относительного возраста при разных значениях параметра формы к

ответствующих единицах) среднему оставшемуся сроку службы машины. В таком случае стоимость машины в новом состоянии (восстановительная стоимость оцениваемой машины, ВС) в этих единицах будет равна среднему сроку службы, а износ (обесценение) оцениваемой машины - отношению ее возраста к среднему полному сроку ее службы (сумме возраста и среднего ОСС). Это - известная так называемая линейная модель износа (см. [5, разд. 5.2.1]).

Рассмотрим, например, машины с к = 2,1 и средним сроком службы 12 лет. У такой машины в возрасте 12 лет относительный возраст составит 1,00, а относительный средний ОСС (согласно рисунку 2) - примерно 0,67. Отсюда находим средний ОСС машины (0,67 х 12 = 8,0 года) и коэффициент износа (И = 12 / (12 + 8,0) = 1,0 / (1,0 + 0,67) = 0,60 = 60%). Рассчитанные аналогичным способом коэффициенты износа И представлены на рисунке 2 как функции от относительного возраста машины.

Между тем линейная модель износа при такой ее реализации некорректна! Чтобы в этом убедиться, вернемся к рассмотренному примеру. Как мы видели, коэффициент износа у оцениваемой машины равен примерно 0,60. Если ее восстановительная стоимость равна 300 тысячам рублей, то ее износ составит 180 тысяч рублей, то есть в среднем 180 / 12 = 15 тыс. р. за 1 год эксплуатации.

Теперь возьмем машину того же вида в новом состоянии на ту же дату оценки. Она ежегодно приносит такой же доход, что и оцениваемая машина, и имеет такую же ВС - 300 тысяч рублей. Но средний остаточный срок ее службы равен 12 годам. Если пренебречь утилизационной стоимостью, то за год эксплуатации стоимость машины должна снижаться в среднем на 300 / 12 = 25 тыс. р., то есть значительно больше.

Полученное расхождение объясняется просто: определяя износ оцениваемой машины, мы исходили из среднего полного срока ее службы 12 + 8 = 20 лет, тогда как при оценке такой же машины в новом состоянии мы принимали, что этот срок равен 12 годам. Исправить ошибку можно следующим способом.

Как и ранее, примем условно, что рыночная стоимость машины определяется общей

51,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

— — "" .......""".......-

• • • *

• • • • / ✓ . • _____ • • _________

•'•/ / ^ - * ------

.«6

1

к = 1,25

-----к = 2,7

2

к = 1,45 к = 3,6

к = 1,7 к = 5

5 ОВ

к = 2,1

Рис. 2. Зависимость износа машин (по линейной модели) от относительного возраста

при разных значениях параметра формы к

суммой доходов, которые она принесет в среднем за остаточный срок ее службы. Тогда стоимость машины в новом состоянии будет соответствовать суммарному доходу в 12 единиц (напомним, что за единицу мы принимаем приносимый машиной годовой доход). Остаточный срок службы рассматриваемой машины - 8 лет, и за это время она принесет суммарный доход 8 единиц. Но тогда ее стоимость должна составлять 8 / 12 от стоимости машины в новом состоянии, а коэффициент износа будет равен 1 - 8 / 12 = 0,33 = 33%. Такую модель оценки износа можно назвать уточненной линейной. Другими словами, коэффициент износа (И) надо определять по формуле:

И = 1 - Бг / Б,

где Б - средний срок службы машин соответствующего вида;

Бг - средний остаточный срок службы оцениваемой машины.

Но отношение Бг / Б среднего ОСС оцениваемой машины к среднему сроку службы машин соответствующего вида - это просто средний относительный срок службы оцениваемой машины, который был обозначен нами ОСОСС. Таким образом, при уточненной линейной модели коэффициент износа можно определять по рисунку 1 как дополнение ОСОСС до единицы.

Учет фактора времени

Как мы уже отмечали, и «обычная», и модифицированная линейные модели не учитывают разновременность доходов от эксплуатации машин. Устранить этот недостаток можно достаточно просто. Грубо говоря, если за любой год службы машина приносит доход, равный 1, то за период I лет она принесет суммарный дисконтированный доход (1 - е_Л) / г, где г непрерывная ставка дисконтирования, связанная с годовой ставкой Е соотношением

г = 1п(1 + Е). Заметим, что приносимые машиной годовые доходы мы считаем постоянными, а это предполагает отсутствие инфляции, поэтому ставка дисконтирования г должна считаться реальной, а не номинальной.

Коэффициент износа машины возраста I лет в нашем случае будет равен отношению суммарного дисконтированного дохода за I лет к ожидаемому суммарному дисконтированному доходу за остаточный срок службы. Таким образом, подсчитанный износ будет зависеть не только от возраста машины и параметра формы распределения (к), но и от параметра масштаба М), поэтому его уже нельзя будет выразить через показатели относительного возраста. Тем не менее динамику коэффициентов износа можно рассчитать численно для разных значений N. Здесь может помочь следующее обстоятельство.

Как уже отмечалось, средние остаточные сроки службы и коэффициенты износа от параметра масштаба (и, значит, от среднего срока службы Б) не зависят, поэтому при построении графиков на рисунках 1 и 2 расчеты делались в предположении, что средний срок службы машин равен единице (Б = 1). Размерность этой единицы значения не имела. Однако от выбора единицы измерения времени зависит ставка дисконтирования г, имеющая размерность 1 / единицу времени. Пусть, например, при измерении времени в годах эта ставка составляет 0,1 (что соответствует е01 - 1 = 0,105 = 10,5 процента годовых). Если теперь за единицу измерения времени принять средний срок службы машин определенного вида, скажем 12 лет, то непрерывная ставка дисконтирования станет пропорционально больше - 1,2 (е12 - 1 = 2,320 = 232 процента за 12 лет).

Таким образом, чтобы рассчитать зависимость износа от относительного возраста для определенного вида машин, надо использовать в соответствующих расчетах (непрерывную) ставку дисконтирования, относящуюся не к одному году, а к среднему сроку службы оцениваемых машин. Например, сравнительно высокой ставке 8 процентов годовых и сроку службы 25 лет будет отвечать значение г = 1,9.

Подобную модель оценки износа можно назвать модифицированной линейной. Результаты расчетов износа по модифицированной линейной модели для машин трех указанных нами категорий при г = 0; 0,6; 1,2; 2,0; 3,0 показаны на рисунках 3-5 (значению г = 0 отвечают коэффициенты износа, исчисленные по уточненной линейной модели). Обратим внимание на то, что с увеличением ставки дисконтирования коэффициенты износа снижаются.

^ 0,7

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

0 1 2 3 4 5 ОВ -----г = 0 -г = 0,6--г = 1,2 .........г = 2---г = 3

Рис. 3. Зависимость износа машин первой категории по модифицированной линейной модели от относительного возраста при разных г

5 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

* ^ * * — — —*

т..-—:;;

-ЛТ...... • •• _ . - •

✓ / ✓

/ / / / ///

'/'У у'

//. • •

/

1 2 3 •г = 0 -г = 0,6--г = 1,2

5 ОВ

г = 2---г = 3

Рис. 4. Зависимость износа машин второй категории по модифицированной линейной модели от относительного возраста при разных г

5 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

^ гт о'

//V

/ /, ///У У ¿¿У/

// /// /У/

/ / /А-" /

7/ / • • V/ • '

I/' •

/Л. '

К "Г- - - - -

1

г = 0

2

г = 0,6

5 ОВ

--г = 1,2

г = 2---г = 3

Рис. 5. Зависимость износа машин третьей категории по модифицированной линейной модели от относительного возраста при разных г

До сих пор мы предполагали, что износ машины полностью определяется ее возрастом. Между тем техническое состояние машины и, значит, ее стоимость во многом зависят от условий ее эксплуатации. Так, в более тяжелых условиях эксплуатации машина изнашивается быстрее, а срок ее службы соответственно сокращается. Обычно для учета этого

обстоятельства состояние машины характеризуется не хронологическим, а эффективным возрастом.

Эффективный возраст оценщики находят, применяя к хронологическому возрасту корректирующие коэффициенты, учитывая при этом, например, следующее:

• влияние сменности и характера производства (см. [5, разд. 3.1]);

• нормативные данные о режимах работы машин в разных температурно-климатических зонах;

• нормативные данные о длительности межремонтных циклов машин в разных условиях эксплуатации;

• коэффициенты к нормам амортизационных отчислений для отдельных видов машин (см. [20]).

Вопросы определения соответствующих корректирующих коэффициентов более подробно рассмотрены в работе [21].

Применение метода эффективного возраста покажем на уже рассмотренном примере, в котором оценивалась машина в возрасте 12 лет со средним сроком службы 12 лет и к = 2,1. Теперь оценим эту же машину, работающую в более тяжелых условиях, которым отвечает корректирующий коэффициент 1,5. В этом случае ее эффективный возраст составит 12 х 1,5 = 18 лет, а относительный возраст - 18 / 12 = 1,5. Если износ оценивать по линейной модели, то, как видно из рисунка 2, он составит примерно 0,80, а при использовании уточненного линейного метода (рис. 1) - 0,68. Теперь для оценки износа применим модифицированную линейную модель. Если принять непрерывную реальную ставку дисконтирования 0,1 в год, то аналогичная ставка за срок службы составит г = 0,1 х 12 = 1,2. При этой ставке, как видно из рисунка 4, коэффициент износа составит примерно 0,56.

Однако и этот метод не вполне корректен. Дело в том, что ухудшение условий эксплуатации снижает средний срок службы всех машин оцениваемого вида, поэтому более правильным было бы оставить хронологический возраст машины без изменения, применив корректирующий коэффициент к сроку ее службы. В нашем примере надо было бы не менять возраст машины, а сократить средний срок ее службы в 1,5 раза, то есть до 12 / 1,5 = 8 лет. Относительный возраст машины при этом, как и раньше, составит 12 / 8 = 1,5. Не изменятся и коэффициенты износа, исчисленные как по «обычной», так и по уточненной линейным моделям - 0,80 и 0,68. Однако если учесть фактор времени и применить модифицированную линейную модель, то результат будет иным. Здесь ставка дисконтирования за срок службы машины составит г = 0,1 х 8 = 0,8. Этой ставке, как видно из рисунка 4, отвечает коэффициент износа, примерно равный 0,6 - ниже, чем при использовании линейной модели, но немного выше, чем при применении корректирующего коэффициента к возрасту машины.

Обратим внимание на то, что и в этом, и в предыдущем разделах приносимые машиной доходы считались неизменными во времени. Однако для большинства видов машин и оборудования их производительность с возрастом снижается, а операционные затраты увеличиваются. На этом основании целесообразно рассмотреть случай, когда приносимые машиной доходы снижаются с возрастом с некоторым постоянным темпом. Примем, как и раньше, за единицу годовой доход, приносимый машиной в новом состоянии, и обозначим через д (непрерывный) темп снижения годовых доходов с возрастом. Легко проверить, что тогда за период I лет суммарный дисконтированный доход от машины составит [1 - е~(г+д)|] / / [1 - е~(г+д)]. Повторив приведенные ранее рассуждения, мы увидим, что для оценки износа машин также можно использовать рисунки 3-5, используя при этом ставку дисконтирования, увеличенную на темп снижения приносимых машиной доходов.

Так, если в рассмотренном нами примере принять, что приносимые машиной доходы за

половину среднего срока службы, то есть за 6 лет, снижаются в 2 раза, то непрерывный темп снижения будет равен д = (1п2) / 6 = 0,115 в год, а для оценки износа машины понадобится применить ставку г = (0,1 + 0,115) х 8 = 1,72. Как видно из рисунка 4, при такой ставке коэффициент износа составит примерно 0,52.

Таким образом, более детальный анализ вероятностных моделей сроков службы машин и оборудования позволяет уточнить имеющиеся рекомендации по оценке остаточных сроков их службы и коэффициентов износа (обесценения) и тем самым повысить точность их стоимостной оценки.

ЛИТЕРАТУРА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Лейфер Л. А., Кашникова П. М. Определение остаточного срока службы машин и оборудования на основе вероятностных моделей // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2008. № 1(76).

2. О Классификации основных средств, включаемых в амортизационные группы : постановление Правительства Российской Федерации от 1 января 2002 года № 1 (с последующими изменениями).

3. Нормативные сроки службы основных средств : приложение к постановлению Министерства экономики Республики Беларусь от 30 сентября 2011 года № 161.

4. Средние сроки службы и возраст основных фондов. URL: http://www.gks.ru/wps/wcm/ connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/enterprise/fund/

5. Справочник оценщика машин и оборудования. Корректирующие коэффициенты и характеристики рынка машин и оборудования. Изд. 1-е. Нижний Новгород, 2015.

6. Welch C., Roger B. Estimating the Remaining Useful Life of Residential Appliances. In: 2010 ACEEE Summer Study on Energy Efficiency in Buildings. URL: http://aceee.org/files/ proceedings/2010/data/papers/1977.pdf

7. Lutz J. D, Hopkins A., Letschert V., Franco V. H., Sturges A. Using National Survey Data to Estimate Lifetimes of Residential Appliances. Berkeley National Laboratory. 2011.

8. Bekker P. C. F. A Lifetime Distribution Model of Depreciable and Reproducible Capital Assets. V.U. Universuty Press. Amsterdam. 1991.

9. Marshall J. An Introduction to Reliability and Life Disrtributions. The University of Warwick. URL: http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/wmg/ftmsc/modules/modulelist/peuss/slides/ section_8b_peussdistributions_2_slides_compatibility_mode.pdf

10. Dascar S. M. C, Nan M. S, Dascar S. Study of Reliability Modeling and Performance Analysis of Haul Trucks in Quarries. In: Advances in Information Science and Computer Engineering. Proceedings of the 9th International Conference on Computer Engineering and Applications. WSEAS Press. 2015.

11. Touama H. Y. Statistical Models and Parametric Methods to Estimate the Reliability and Hasard Rate Function of Weibull Distribution // European Journal of Business and Management. 2014. Vol. 6. # 38.

12. Melchor-Hernández C. L, Rivas-Dávalos F., Maximov S., Coria V., Moreno-Goytia E. L. An analytical method to estimate the Weibull parameters for assessing the mean life of power equipment // Electrical Power and Energy Systems. 2015. Vol. 64.

13. ErumbanA. A. Lifetimes of Machinery and Equipment Evidence from Dutch Manufacturing // Review of Income and Wealth. 2008. Vol 54. # 2.

14. Weibull Reliability Database. URL: http://www.barringer1.com/wdbase.htm Measuring Capital. OECD MANUAL 2009. OECD, 2009.

15. Шорин В. А, Смогунов В. В., Кочетков Д. В. Оценка показателей надежности маложестких валов // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 2 (46).

16. Marston A., Winfrey R. and Hempstead J. C. Engineering Valuation and Depreciation. Iowa State University Press. Ames, Iowa. 1953.

17. Смоляк С. А. Проблемы и парадоксы оценки машин и оборудования. М. : РИО МАОК. 2008.

18. Смоляк С. А. Эргодические модели износа машин и оборудования // Экономика и математические методы. 2009. Т. 45. № 4.

19. Мышанов А. И., Рослов В. Ю. Расчет совокупного износа оборудования : в 2 ч. // Эксперт. Оборудование: рынок, предложения, цены. 2007. Февраль - апрель.

20. Единые нормы амортизационных отчислений. М. : Инфра М, 2000.

21. Смоляк С. А. Оценка стоимости машин с учетом условий их эксплуатации // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2014. № 8.

* * *

Окончание. Начало на с. 25

Отличительная особенность массовой оценки в том, что математический аппарат, лежащий в основе ее использования, разработан достаточно хорошо. В частности, он позволяет определить не только оценку рыночной стоимости группы объектов оценки, но и рассчитать ошибку такой оценки, то есть определить интервал, в котором может находиться истинное значение искомой рыночной стоимости. При решении этой задачи необходимо учитывать, что оценщики в силу различных причин (проведение части сделок вне организованного рынка, платность некоторых данных и т. п.) не наблюдают всего рынка сделок и (или) предложений к ним. В таких условиях задача суждения о характеристике генеральной совокупности (всего рынка), что требует статистика, решается лишь по наблюдаемой (имеющейся в наличии) выборке объектов-аналогов. При таком подходе рыночная стоимость формируется как средняя скорректированная цена по наблюдаемой выборке, поэтому эта оценка не является «точным» значением рыночной стоимости, поскольку часть рынка скрыта от наблюдения. В связи с этим можно утверждать, что рыночная стоимость недвижимости всегда может отличаться от стоимости, определенной при ее оценке, и находиться в некотором интервале относительно ее значения. Причем, являясь единственным (точечным) значением, рыночная стоимость может находиться в любой из точек этого интервала неопределенности. Ставя мысленный эксперимент с получением оценки рыночной стоимости как средней скорректированной цены по случайно извлеченным выборкам равного объема из генеральной совокупности, можно говорить о равновероятном законе распределения рыночной стоимости по интервалу ее неопределенности, симметричному относительно полученной оценки рыночной стоимости.

Допустив равномерность распределения вероятности нахождения рыночной стоимости внутри интервала оценивания, мы можем установить в качестве рыночной стоимости для целей налогообложения значение рыночной стоимости, находящееся на левой границе интервала. Полученная таким образом рыночная стоимость может быть оспорена путем оценки рыночной стоимости методом индивидуальной оценки.

Такой подход, на мой взгляд, позволит минимизировать количество оспариваний и тем самым уменьшить социальную напряженность в сфере налогообложения.