О влиянии октупольных составляющих геомагнитного потенциала на процесс электродинамической стабилизации космического аппарата

МЕХАНИКА

УДК 531.36:521.1 К. А. Антипов

О ВЛИЯНИИ ОКТУПОЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ГЕОМАГНИТНОГО ПОТЕНЦИАЛА НА ПРОЦЕСС ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА*

Рассматривается космический аппарат (КА), центр масс которого движется по кеплеровой круговой околоземной орбите в гравитационном и магнитном полях Земли. Космический аппарат снабжен электрическим зарядом Q с управляемым расположением центра заряда, а также управляемым собственным магнитным моментом I. Благодаря указанным свойствам, КА взаимодействует с магнитным полем Земли (МПЗ), в результате чего возникают момент лоренцевых сил и магнитный момент.

Как было показано в работе [1], путем управляемого изменения радиуса-вектора центра заряда КА 1о относительно центра масс КА можно создать управляемый момент лоренцевых сил и использовать его для обеспечения требуемой ориентации КА в орбитальной системе координат. В работе [2] была педложена концепция совместного использования лоренцева и магнитного моментов для электродинамической стабилизации КА. В обеих упомянутых работах анализ динамики КА проводился в предположении, что МПЗ аппроксимируется квадрупольным приближением.

В настоящей работе анализируется влияние октупольных составляющих МПЗ на процесс электродинамической стабилизации КА.

Гравитационное поле Земли считается ньютоновским центральным. Предполагается, что электростатический заряд КА Q распределен по некоторому объему V с плотностью а: Q = а (IV.

Вводятся в рассмотрение следующие системы координат1. Орбитальная система координат С&( (рис. 1) с началом в центре масс КА, ось С£(1о) которой направлена по касательной к орбите в сторону движения, ось Сц(цо) —по нормали к плоскости орбиты, ось С£(1о) —вдоль радиуса-вектора Я = О3С = Я1о центра масс КА относительно центра Земли О3. Система главных центральных осей инерции КА — Схуг (орты г, 2,к). В качестве инерциальной системы координат принимается система ОзХ*У*^*,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-01073).

1В работе используются правые декартовы прямоугольные системы координат.

© К. А. Антипов, 2007

ось O3Z*(k*) которой направлена по оси собственного вращения Земли, ось ОзХ*(**) — в восходящий узел орбиты, а плоскость (X*Y*) совпадает с плоскостью экватора. Ориентация орбитальной системы координат относительно системы O3XtYtZt определяется на основании равенств

i0 = — sin u £0 + cos u (jo, j0 = cos i cos u £0 — sin irj0 + cos i sin u (jo, k0 = sin i cos u£0 + cos irj0 + sin i sin u <jo,

где i = (k*,rj0) —наклонение орбиты; u = (i*,Z0) — аргумент широты, причем u = W0t, где ^0 —орбитальная угловая скорость центра масс КА.

Рис. 1. Системы координат.

Ориентация осей xyz относительно осей £nZ определяется матрицей A направляющих косинусов аг, вг, Yi (i = 1, 2, 3) так, что имеют место равенства

'0 = aii + a2j + agk, rj0 = Pii + в2' + взк, '0 = Yi i + Y2j + Y^k.

если определять ориентацию КА в орбитальной системе координат с помощью «самолетных» углов p, в, ф (рис. 1), то элементы матрицы A примут вид

a1 = cos ф cos в, a2 = — cos p sin ф + sin p cos ф sin в,

a3 = sin p sin ф + cos p cos ф sin в, в1 = sin ф cos в,

в2 = cos p cos ф + sin p sin ф sin в, вз = — sin p cos ф + cos p sin ф sin в,

Yi = — sin в, y2 = sin p cos в, y3 = cos p cos в.

В процессе движения КА относительно МПЗ взаимодействие заряда экрана с МПЗ приводит к возбуждению сил Лоренца. Главный момент этих сил относительно центра масс КА определяется по формуле

Мл = jаР х (V х B) dV,

где I —радиус-вектор элемента экрана (IV относительно центра масс КА, V — скорость элемента (IV относительно МПЗ, В — индукция МПЗ. В работе [3] показано, что для большинства КА момент Мл можно аппроксимировать выражением

MЛ = P x AT(vC x B),

где P = Qp0, р0 = xQi + yQj + zQk = Q 1 fva pdV — радиус-вектор центра заряда КА относительно его центра масс,

vc = R — сиз x R = R(uq — из cos i) jo + R^ sin i cos urjo

— скорость центра масс КА относительно МПЗ, из = шзк* — угловая скорость суточного вращения Земли. Магнитное поле Земли в этом случае можно считать однородным в объеме КА, поэтому значение В в формуле (9) совпадает со значением В в центре масс КА. Введя в рассмотрение вектор Г = AT(vc x B), представим момент Mл в виде

МЛ = P x Г .

Такая аппроксимация момента M,л допустима при не слишком малых величинах |ро| ввиду пренебрежимо малого в этом случае влияния характера распределения заряда по объему КА на его динамику.

Магнитный момент имеет вид

Mм = р x В.

В условиях октупольного приближения МПЗ вектор Bj определяется по формуле

B c

B C1) + B + B,

j

где BC , BC , BC — дипольная, квадрупольная и октупольная составляющие вектора Bj C соответственно:

B(1) BC£ B(1) BCn B(1) \ BCZ

Дз

R

mQ1) • г

о  1CЛ

M(1) Г(1) MQ 1C6

\ —2М

B(2) ( BCB B(2) BCn B(2) \ BCZ

І !

< BCf

п(З) BCn

Р

\ BCZ

R3 R

-m

2Mq

2M

0

CЛ Г(2) ' 'ГCQ

\

f 3М0

С '

V —4MQ2)    Г

3M

C

Г

1CЛ

Г

C

Тензорные величины ГІ^^Л, Г1^, Г^, входящие в (11)—(13), определяются следующим образом (см. [4]):

Г

(cos u, sinu, 0)T, = (— sin u, cosu, 0)T, Г(

Q

(0, 0,1)5

З

4

T

= tca ^ тСА, т CQ = тСв ^ тСв ,

L C ~ TC  тс > J-CX — J-CX ^ -'-см -‘-св ~ -‘-св ^ -‘-св

тСз) = tC1)  tC1)  tC1), tC3X = tC?1a)  tC?1a)  т£1 тСв = тСв  тСв  TCV,

г

где М0 ; — мультипольный тензор п-го ранга, преобразованный к осям системы координат 03Х0Y0Z0 по формуле

M

i

Е

jl,j2,---,jn = 1

cos ф — sin ф 0

Здесь Г = (jij) = I cos i sin ф cos i cos ф sin i |, ф — часовой угол восходящего уз-

ч— sin i sin ф — sin i cos ф cos ij ла, а элементы первых трех мультипольных тензоров M^ геомагнитные постоянные [4]:

г(п) ,i2 ,

выражаются через

Mi(1) = gj, m2(1) = h1, M3(1) = g0,

МГі = Ы - hi = -Ъд\ - \gl M&> = g\

= з hi m$ = Щ, mif

MkV = hi

2

M

111

r

222

12i

M123 = Бh3, M233 = 2h3,

Miii = g0,

М1з3 = 2g3,

^112 = — h-3), M221 = — i(30^| + <?з),

M

113

(10д'І ~ д'І), M§)3 = -5(10g'i + g'i).

Входящие сюда геомагнитные постоянные на эпоху 2000.0 имеют следующие значения в нТл (см. [5]):

0 ^—1 g —2961Б, g11 = — 1728, h1 = Б186, g00 = —2267, g21 = 3072,

12 h —2478, 22 g 1672, h22 = —4Б8, gi = 1341, gi1 = —2290,

h3 = —227, gi2 = 12Б3, h2i = 296, ii g 71Б, ii h —492.

Операция определяется для пары тензоров ранга п по следующему правилу:

П

3 3 3

А В ^ . ^ '   ' ^ ' А*п,---,*2,*1 В*1,*2,---,*п

П *1 = 1 *2 = 1 *п = 1

После подстановки (14), (15) в (11)—(13), а далее в (10), получаем выражения для проекций вектора индукции МПЗ в октупольном приближении:

Вех = I (^1 cos ^ — ^2 sin Ф) sinw—

— (M1 cos i sin ф + М2 cos i cos ф + M3 sin i) cos u+

M1^cos u sin u (cos2 ф — cos2 i sin2 ф) — cos ф sin ф cos i cos(2u)j +

+ M12 ^cos i (2 cos2 u sin2 ф + 2 cos2 фsin2 u — 1) — 2 cos u sin u cos фsin ф (1 + cos2 i)^ —

— M13 sin i ^cos ф cos(2 u) + sin ф sin(2 u) cos i j + M22 ^cos u sin u (sin2 ф — cos2 ф cos2 i) + + cos ф sin ф cos i cos(2 u) j + M23 sin i ^cos(2 u) sin ф — cos ф sin(2 u) cos i j —

— M33 cos u sin u sin2 i

+

M11^cos ф sin ф cos i (p(u) cos i sin u sin ф + (p(u) + 1) cos u cos ф) +

+ cos u sin u (cos u cos3 ф — sin3 ф sin u cos3 i)J +

+ M112(—3 cos u sin u cos ф sin ф (cos u cos ф+

+ cos3 i sin ф sin u) — p(u)p(ф) cos2 i sin u sin ф — (1 + р(ф)) (1 + p(u)) cos u cos ф cos ij + + M221(3 cos u sin u cos ф sin ф (cos u sin ф — cos ф sin u cos3 i) —

— p(u) (1 + р(ф)) cos2 i cos ф sin u + р(ф) (1 + p(u)) cos i cos u sin ф^ +

+ 2M123 sin i ^ — cos u sin ф cos ф (1 + p(u)) + sin u cos i (3 cos2 u + cos(2 ф)) —

— 3 sin u cos u cos ф cos i (sin u sin ф cos i + 2 cos ф cos u) j +

+ M133 sin2 i sin u ^ — 3 cos u sin u cos i sin ф + p(u) cos ф^ +

+ M113 sin i ^(1 + p(u)) cos u cos2 ф + sin u sin ф cos i (—3 cos u sin u cos i sin ф+ +2p(u) cos ф)^ + M223 sin i^cos u sin2 ф (1 + p(u)) —

— sin u cos ф cos i (3 sin u cos u cos ф cos i + 2p(u) sin ф) j —

— M233 sin2 i sin u p(u) sin ф + 3 sin u cos u cos ф cos i +

+ M222 — p(u) cos2 i sin ф cos2 ф sin u — cos u sin u sin u cos3 ф cos3 i + cos u sin3 ф + + cos i sin2 ф cos ф cos u (1 + p(u))) — M333 cos u sin2 u sin3 i

Bc'v = ( I sin sin ф + M2 cos ф) — M3 cos *+

+ 2 -j^j Мц sin і sin ф ^sin и sin Ф COS І + С08МС0зф^ + + M12 sin i 2 cos ф (sin u sin ф cos i + cos u cos ф) — cos u —

— M13 ( sin u sin ф cos(2 i) + cos u cos ф cos i) +

+ M22 cos ф sin i sin u cos i cos ф — cos u sin ф +

+ М23 ( — sin u cos ф cos(2 i) + cos u sin ф cos i j — M33 sin u cos i sin i

^I '

+

M111 sin i sin ф cos2 u cos2 ф+

+ sin u cos i sin ф (sin u sin ф cos i + 2 cos u cos ф) +

+ M112 sin i^ — (1 + р(ф)) cos2 u cos ф + sin u sin ф cos i (3 sin u cos ф sin ф cos i —

—2р(ф) cos u)j + M221 sin i^sin u cos ф cos i (—2(1+ р(ф)) cos u+

+3 sin u cos ф sin ф cos i) + р(ф) cos2 u sin фj +

+ 2M123 ^ — cos u sin u (1 — 2 cos2 ф2 sin i) + sin ф cos i (sin ф sin(2 u) cos i + cos ф+ +p(i) cos фsin2 u)^ + M133 sin i sin u ^—2 cos u cos фcos i + p(i) sin ф sin uj +

+ M113( — sin(2 u) cos фsin ф cos(2 i)+

+ cos i sin2 ф 2 — 3 sin2 u cos2 i + cos2 u cos2 ф — 2 +

+ M223 cos2 ф 2 cos i — 3 sin2 u cos3 i +

+ sin(2 u) cos ф sin ф cos(2 i) — cos i cos2 u (1 + cos2 ф)^ +

+ M233 sin i sin u(p(i) sin u cos ф + 2 cos u sin ф cos i j +

+ M222 sin i cos ф cos u sin ф (cos u sin ф — 2 sin u cos i cos ф) + sin2 u cos2 ф cos2 i —

— M333 cos i sin2 u sin2 i

Bc( = (~j^j (Mi соэф — M2 єіпф) cosm + 2 (Mi cos*этф + M2 cos*созф+

+M3 sin i) sin u+

+ 3 Мц (sin и sin ф cos * (sin и sin ф cos* + 2 cos и cos ф) + cos2 и cos2 ф^ +

+ 2M12 ^ cos ф sin ф (sin2 u cos2 i — cos2 u) + cos u sin u cos i cos(2 ф) j +

+ 2M13 sin i sin u ^sin u sin ф cos i + cos u cos ф^ + M22 (sin2 u cos2 ф cos2 i + cos2 u sin2 ф—

— 2 cos u sin u cos ф sin ф cos i j + 2M23 sin i sin u (sin u cos ф cos i — cos u sin ф j +

+ M33 sin2 и sin2 * Mm (cos3 и cos3 ф + sin3 и sin3 ф cos3 *+

+ 3 cos u sin u cos ф sin ф cos i (cos u cos ф + sin ф sin u cos i)) +

+ 3Mn2 (cos2 i sin ф sin2 u (sin u cos ф sin ф cos i — cos u) — cos3 u cos2 ф sin ф—

— (1 + р(ф)) cos2 u sin u cos ф cos i + 3 cos u sin2 u cos2 ф sin ф cos2 i j +

+ 3M221 (sin u cos2 ф sin ф cos i (sin2 u cos2 i — 3 cos2 u) +

+ cos2 u sin ф (sin u cos i + cos u cos ф sin ф) — (1 + р(ф)) cos u sin2 u cos ф cos2 i j +

+ 6Mi23 sin i sin u (cos ф sin ф (sin2 u cos2 i — cos2 u) + cos u sin u cos i cos(2 ф) j +

+ 3M133 sin2 i sin2 u (cos u cos ф + sin ф sin u cos i j +

+ 3Mii3 sin i sin u (cos i sin ф sin u (2 cos u cos ф + sin ф sin u cos i) + cos2 u cos2 ф^ +

+ 3M223 sin i sin u (cos ф cos i sin u (sin u cos ф cos i — 2 cos u sin ф) + cos2 u sin2 ф^ +

+ 3M233 sin i sin u ( sin u cos ф cos i — cos u sin ф I + M222 ( sin u cos ф cos i — cos u sin ф+

+ 3 cos u sin u cos ф sin ф cos i (cos u sin ф — sin u cos ф cos i)J + M333 sin3 u sin3 i где

p(x) = 1 — 3 cos2 x .

В работе [1] показано, что момент Мл лоренцевых сил может значительно превышать гравитационный и другие возмущающие моменты и может использоваться как восстанавливающий момент в системе ориентации КА.

Пусть задана программная ориентация КА в орбитальной системе координат некоторым значением матрицы направляющих косинусов A = Ao =const. В частности, матрица Ao может быть единичной. Подставляя A = Ao в выражение (9), найдем такие значения вектора P, при которых Мл обращается в ноль в программной ориентации КА, т.е. является восстанавливающим моментом в окрестности Ao. Очевидно, что вектор P должен удовлетворять условию P = клТо , где кл = kn(t) —произвольная скалярная функция, T0 = knAg" (vc х B). При этом компоненты вектора P определяются по формулам

Px = кл (t)[awvcvBz — fiiovcx Bq + Yio(vc£ Bv — vcvB^)],

Py = kn

Pz = kn(t)[a3ovcnBz — fhovc^ Bq + Y3o(vc£ Bv — vcvB^)].

Следовательно, если координаты центра заряда КА будут изменяться по закону (16), то момент Мл будет восстанавливающим в окрестности заданного положения и может быть использован для поддержания заданной ориентации КА. Равенства (16) можно рассматривать как закон управления положением центра заряда для осуществления заданной ориентации КА.

Использование магнитного момента для ориентации КА достаточно подробно изучено в литературе (см. например, [6, 7]).

Используемая в данной работе концепция построения электродинамической системы управления ориентацией КА на базе совместного использования лоренцева и магнитного моментов была предложена и обоснована в работе [2], где показано, что такой

подход позволяет избежать функциональных недостатков, присущих каждой из систем, основанных на использовании лишь одного из упомянутых выше управляющих моментов. При этом управляющие электродинамические параметры — статический момент заряда первого порядка Р и собственный магнитный момент I — можно выбирать в виде

Р = клТо + Нли' х Т, 1 = км Во + Нм и' х В,

где и' — угловая скорость КА в базовой системе координат, км, Нл, Нм —некоторые коэффициенты пропорциональности [2].

Тогда управляющие моменты Мл и Мм соответственно примут вид

Мл = клТо х Т + Нл

Мм = км Во х В + Нм

Дифференциальные уравнения вращательного движения КА под действием управляющих моментов (18), (19) строятся по схеме Эйлера—Пуассона:

——(Лс^) -\- 10 X (Лс^) = М^л -\- М^М:

^ ? &г)о ^ ^ &,о ? ^ ?

—— — £о X СО — иоСо, —ГГ — Щ X СО, — Со X СО + ^050,

аъ аъ аъ

где Л = diag(A, В, С) — тензор инерции КА в системе координат Схуг, и — абсолютная угловая скорость КА.

С целью выяснения влияния октупольных составляющих МПЗ на процесс стабилизации КА проведена серия численных экспериментов. Для выбранных значений параметров и начальных условий движения КА расчеты выполнялись по двум математическим моделям МПЗ — соответственно в квадрупольном и октупольном приближениях. В результате построены графики зависимостей «самолетных» углов ориентации КА от аргумента широты и на интервале 0 ^ и ^ 120, что соответствует примерно 20 оборотам КА по орбите.

На рис. 2 и рис. 3 приведены результаты расчетов затухания колебаний КА в окрестности стабилизируемого прямого положения равновесия под действием управляющих моментов (18) и (19), в которых управляющие векторы меняются по законам (17) для квадрупольной и октупольной моделей МПЗ соответственно. Сплошной линией показана зависимость р = р(и), штриховой — ф = ф(и), штрих-пунктирной — в = в (и).

Расчеты выполнялись при следующих значениях параметров КА и его орбиты: А = 103 кгм2, 6 = 0.95, £ = 0.9, Q = 5 • 10-3 Кл, Я = 7 • 106 м, I = 1.045 рад.

Выбранные значения параметров КА, входящих в управляющие моменты, обеспечивают изменение этих моментов в пределах величин, характерных для гравитационного момента, являющегося в большинстве случаев наибольшим из возмущающих моментов, действующих на КА.

В качестве начальных условий были взяты следующие значения угловых скоростей и «самолетных» углов отклонения КА от положения равновесия: их(0) = 0.1 рад/с,

иу (0) = 1.1 рад/с, иг (0) = 0.1 рад/с, р(0) = 0.2 рад, ф(0) = 0.2 рад, в(0) = 0.2 рад.

На рис. 4 представлены колебания КА при отсутствии управления при тех же значениях начальных условий и параметров орбиты. В этом случае для координат центра заряда были взяты следующие значения: хо = уо =0, ^о = 1 м. Из рис. 4 видно, что

под действием возмущающего влияния момента гравитационных сил происходит быстрое опрокидывание КА при тех же значениях инерционных параметров, при которых имел место режим затухающих колебаний в случае управляемого движения (см. рис. 2 и рис. 3).

Сравнивая графики на рис. 3 и рис. 2, видим, что уточнение модели МПЗ путем учета октупольной составляющей позволяет обнаружить незначительное увеличение времени стабилизации КА и амплитуды колебаний.

Из приведенных результатов видно, что учет октупольных составляющих приводит к многократному усложнению математической модели и незначительным уточнениям результатов, описывающих процесс стабилизации КА.

Учитывая все изложенное выше можно сделать следующий вывод: основные результаты исследования процесса электродинамической стабилизации КА могут быть получены на базе математической модели МПЗ, включающей квадрупольные слагаемые МПЗ, а дальнейшее уточнение математической модели МПЗ путем учета октупольных составляющих не является целесообразным.

Summary

K. A. Antipov. On the influence of geomagnetic potential octupole components on the process of a spacecraft electrodynamic stabilization.

The system of electrodynamic attitude control of a spacecraft on the basis of Lorentz and magnetic moments is considered. The expressions for projections of the Earth’s magnetic field induction vector in octupole approximation are obtained. The influence of octupole components of

the Earth’s magnetic field induction vector on the operational use of suggested control system is analyzed with the help of two mathematical models.

Литература

1. Тихонов А. А. Метод полупассивной стабилизации космического аппарата в геомагнитном поле // Космич. исследования, 2003. Т. 41. №1. С. 69-79.

2. Антипов К. А., Петров К. Г., Тихонов А. А. Выбор концепции построения систем электродинамической стабилизации космических аппаратов // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: Изд-во ВВМ, 2006. 702 с. С. 232-240.

3. Петров К. Г., Тихонов А. А. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч. 2: Вычисление момента и оценки его составляющих // Вестн. C.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 3 (№15). С. 81-91.

4. Тихонов А. А., Петров К. Г. Мультипольные модели магнитного поля земли // Космич. исслед., 2002. Т. 40. №3. С. 219-229.

5. Mandea M. et. al. International geometric referance field — 2000 // Physics of the Eerth and planetary interiors. 2000. Vol. 120. P. 39-42.

6. Коваленко А. П. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1975. 248 с.

7. Алпатов А. П., Драновский В. И., Салтыков Ю. Д., Хорошилов В. С. Динамика космических аппаратов с магнитными системами управления. М.: Машиностроение, 1978. 200 с.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.