Упругопластическое деформирование материалов и локализация сдвигов

Упругопластическое деформирование материалов и локализация сдвигов

О.П. Бушманова

Алтайский государственный университет, Барнаул, 656099, Россия

Представлено математическое моделирование процесса локализации сдвигов. Линии сдвига рассматриваются в виде разрезов криволинейной формы, вдоль которых возможны разрывы касательных перемещений. Такая возможность реализуется при помощи различных условий на разрезах. Предполагается, что пластичность локализуется на линиях сдвига, вне линий поведение материала линейно упругое. На основе метода конечных элементов разработаны алгоритмы и программы численного решения, рассмотрен ряд различных краевых задач. В частности, приводятся численные решения задач о начальной стадии выпуска материала из емкости.

Elastic-plastic deformation and shear bands in materials

O.P. Bushmanova

The mathematical modeling of shear bands is proposed. Shear bands are represented as slits of a curvilinear form. Abrupt changes in tangential displacements take place along the slits. This possibility is realized by means of different conditions on the slits. It is supposed that plasticity is localized on slip lines and the material outside shear bands is linearly elastic. A finite-element method is applied. A numerical algorithm and programs are constructed and a number of boundary problems are considered. In particular, numerical solutions for initial stage of material output from a reservour are discussed.

1. Введение

Существует класс задач упругопластического деформирования материалов, в которых образование и развитие линий локализации сдвигов играет определяющую роль [1-4].

В работах [5-8] представлено математическое моделирование процесса локализации сдвигов в плоском случае на дискретных системах линий. Построен численный алгоритм, реализующий метод конечных элементов на проблемно-ориентированных сетках с двойными узлами, позволяющий исследовать возникновение и распространение любого числа произвольно направленных разрезов криволинейной формы с различными типами условий, обеспечивающими возможность возникновения разрывов касательных перемещений.

Получено решение задачи о деформировании материала в условиях локализации сдвигов на системах логарифмических спиралей в окрестности круглого отверстия. Показано, что численное решение задачи с большим количеством разрезов близко к аналитическому упругопластическому решению. Получено решение задач о де-

формировании материала в условиях локализации сдвигов на системах замкнутых линий, задачи об откосе.

2. Общая постановка задач с дискретными системами линий сдвига

Рассмотрим моделирование процесса локализации сдвигов на системах линий в плоской области и, ограниченной кривой Ги. Форма и расположение линий локализации сдвигов определяются в рамках метода последовательных нагружений в ходе решения задачи или предполагаются известными на основе экспериментальных и теоретических исследований. На первом шаге нагружения начало линии сдвига может быть задано при помощи некоторой малой локальной неоднородности в свойствах материала или граничных условиях. На последующих шагах нагружения развитие линии локализации происходит, если выполняются определенные критерии локализации.

Линии сдвига представим в виде разрезов. Берега разрезов Г+, Г- будем рассматривать как участки общей границы Г = Ги иГ+ иГ- исследуемой области.

© Бушманова О.П., 2004

Поставим задачу определения на каждом шаге нагружения в области с границей Г полей приращений перемещений и{ и приращений напряжений (і, j =

= 1, 2), которые должны удовлетворять уравнениям равновесия:

, 7 = 0

Рассматриваемый алгоритм допускает выбор любой модели, адекватно описывающей деформирование материала вне линий сдвига. Для того чтобы выделить эффекты, связанные только с локализацией сдвигов, для материала вне линий выберем наиболее простую модель — модель линейно-упругого тела.

В случае плоской деформации закон Гука имеет вид:

Е , V _

(еа +"—є кк),

1 - 2v

где Ер ^, j = 1, 2) — компоненты тензора приращений деформаций:

1 /

= — («г, р + ир,1 \

Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона; по k проводится суммирование от 1 до 2.

Представим уравнения состояния в зоне локализации сдвигов в виде граничных условий, описывающих взаимодействие берегов разрезов Г±. Нормальная составляющая приращения вектора перемещений ип и вектор напряжений рп непрерывны на площадке касательного разрыва перемещений:

у'І + —

Г • ип = ип >

Г± • (р п )+ = (р п )—

(рП ) + = (рП )—, (рП )+ = (Ртп)—,

где индексы + и - соответствуют разным сторонам линии разрыва; рП, рП — нормальная и касательная составляющие вектора напряжений. Направляющие косинусы нормали и касательной здесь одинаковые на разных сторонах линии.

Моделирование линий локализации сдвигов при помощи разрезов обеспечивает возможность скольжения берегов разрезов друг относительно друга, то есть возможность относительного смещения первоначально совпадающих точек вдоль определенных линий. Такая возможность реализуется в зависимости от критериев локализации сдвигов и условий, заданных на разрезах.

Если критерий локализации на данном шаге нагружения не выполняется на участках разрезов Г“, то скольжения берегов разрезов друг относительно друга не возникает.

Касательный разрыв приращений перемещений отсутствует:

Гс±: и += и-,

где и т — касательная составляющая вектора приращений перемещений.

При выполнении критерия локализации возникновение касательного разрыва перемещений в данной точке на линии сдвига оказывается возможным при одном из следующих условий на различных участках разрезов

Г± г± :

Г 1 , Г 2 :

Г1± : Ртп = Й

и

Г2± : РП = g2

где х1, х2 — декартовы координаты точки; g1, g2 —

заданные функции, которые описывают поведение материала на линии скольжения. График функции g2 при фиксированных х1, х2 может иметь ниспадающую ветвь, то есть описывать эффект разупрочнения.

В качестве критериев локализации рассматриваются условия:

т = т*,

или, при отсутствии растягивающих напряжений:

т + ст sin ф — т* cos ф = 0,

где

т = -7(°11 — ст2і)2 + 4(ст12)2,

ст = т(СТп + СТ22) < 0,

22/

2

(і, j = 1, 2) — полные напряжения на текущем 1-м шаге нагружения; т*, ф — параметры материала.

Круг различных условий, которые можно реализовать на берегах разреза в рамках разработанного численного алгоритма, достаточно широк. Наряду с описанием линий сдвига, в условиях отсутствия разрыва нормального перемещения разработанный численный алгоритм позволяет задавать разрыв приращения нормального перемещения, зависящим и от других параметров задачи:

или

и+ — ип = gз

— и„ = g4(Рп , х1, Х2І

где gз, g4 — заданные функции.

Существенной особенностью представленной постановки является возможность задания на границах определенных связей между усилиями и перемещениями вместо их конкретных значений.

Таким образом, систему разрезов в исследуемой области представим в виде:

Г±=Гс±иГ1±иГ2±.

В дальнейшем будем считать, что на двух берегах

т-' +

границы Г выполняются четыре граничных условия: условие (1) или условие (6), два условия (2) и одно из трех — (3) или (4) или (5).

Рис. 1. Кинематическая картина деформирования материала при развитии одной линии сдвига

В свою очередь, Г^ может содержать участки с условиями разного типа, связывающими на данных участках границы соответственно нормальные и касательные компоненты вектора приращений перемещений и вектора приращений напряжений.

Алгоритм численного решения поставленной задачи строится на основе метода конечных элементов с использованием адаптивных проблемно-ориентированных сеток конечных элементов с двойными узлами.

3. Начальная стадия выпуска материала из емкости

В работе [9] представлен новый режим течения в суживающемся радиальном канале, сопровождающийся сильной локализацией сдвиговых деформаций, при котором течение приобретает существенно несимметричный характер. Различные формы течения сыпучих материалов в бункерах исследовались в работах [10, 11].

Рассмотрим задачу о начальной стадии выпуска материала в сходящемся симметричном канале. Все величины в задаче будем считать безразмерными. В качестве характерного напряжения выберем модуль упругости, в качестве характерного линейного размера — ширину нижнего основания (дна). Используя предложенный алгоритм, исследуем несимметричное развитие линий скольжения. Будем считать, что процесс нагружения осуществляется по шагам заданием на каждом шаге определенной подвижки дна. Верхняя горизонтальная поверхность свободна от напряжений, жесткие наклонные стенки могут быть как гладкими, так и с сухим трением. На линии сдвига в сходящемся канале использовались

различные варианты условий для разрыва нормальной компоненты вектора приращений перемещений: условие (1) или условие (6) в виде:

ип - U- = С

На рис. 1 изображена сетка конечных элементов, полученная путем суммирования координат узлов первоначальной сетки и соответствующих перемещений этих узлов в результате деформирования материала при развитии одной линии сдвига. Смещение материала вдоль линии сдвига демонстрируется образованием ступенек на чередующихся темных и светлых полосах, которые до деформирования были горизонтальны. Условие (7) при с = -0.3 приводит к расхождению берегов разреза, являющемуся следствием сдвига.

На рис. 2 приведен график максимального касательного напряжения т(x1, x2) при условии непрерывности нормальной компоненты вектора перемещений на линии сдвига.

Представленные результаты расчетов получены при следующих значениях параметров: ширина нижнего основания (дна) — 1, высота емкости — 3, угол наклона боковых стенок к вертикали — п/15, подвижка дна — и1 = 0, и 2 = -0.12, на левой боковой стенке задается условие сухого трения с коэффициентом трения -0.1, правая стенка гладкая, v = 0.3. На разрезе предполагается непрерывным вектор напряжений. При этом нормальная и касательная составляющие вектора напряжений связаны линейным соотношением:

РП + Рп t^ = k.

Здесь ф = п/6, k = 0.025. В исследуемой области задано однородное начальное напряженное состояние: о11 = = -0.015, о22 = -0.035, о?2 = 0.

Рассмотрим влияние подвижки части дна в емкости с прямолинейными стенками в предположении образования симметричных линий сдвига. В исследуемой области предполагается однородное начальное напряженное состояние: о^1 = -0.018, о22 = -0.042, of2 = 0, v = 0.3. На рис. 3 представлено изменение сетки конечных элементов при следующих значениях параметров: ширина подвижки дна — 1, высота емкости — 3, подвижка дна — и1 = 0, и 2 = -0.2, боковые стенки гладкие:

Рис. 2. График максимального касательного напряжения т(хь х2) при развитии одной линии сдвига

Рис. 3. Кинематическая картина деформирования при симметричном развитии линий сдвига

и1 = 0, ст12 = 0. На линии сдвига заданы условия (1), (2), (8) (ф = п/6, к = 0.025).

4. Заключение

Разработаны все этапы моделирования процесса локализации сдвигов на линиях, представленных в виде разрезов: постановка задачи, построение численного алгоритма, компьютерная реализация в виде универсальных программ, решение конкретных задач, визуализация картины деформирования.

Предложенный подход можно использовать при решении контактных задач с различными условиями на контактах.

Автор благодарит профессора А.Ф. Ревуженко за постоянное внимание к работе.

Литература

1. Ревуженко А.Ф. Механика сыпучих сред. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2003. - 428 с.

2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

3. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: Мир, 1969. - 863 с.

4. Райс Дж.Р. Локализация пластической деформации // Теоретичес-

кая и прикладная механика: Тр. III Международного конгресса ШТАМ. - М.: Мир, 1979. - С. 439-471.

5. Бушманова О.П. Численное моделирование локализации сдвигов // Вычислительные технологии. - Т. 6. - Спец. вып. - Ч. 2. - 2001. -С. 154-158.

6. Бушманова О.П., Ревуженко А.Ф. О пластическом деформировании в условиях локализации сдвигов на дискретной системе линий // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3.- С. 9-16.

7. Бушманова О.П. Численное исследование деформирования материала в условиях локализации сдвигов // Вычислительные технологии: Региональный вестник Востока № 3, Совместный выпуск по материалам Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании», Усть-Каменогорск. - 2003. - Т. 8. - Ч. 1. - С. 204-210.

8. Бушманова О.П. Моделирование локализации сдвигов // ПМТФ. -

2003. - № 6. - С. 164-169.

9. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.Б., Шемякин Е.И. О несимметрии

пластического течения в сходящемся симметричном канале // ФТПРПИ. - 1977. - № 3. - С. 3-9.

10. Стажевский С.Б. О первой форме течения сыпучих материалов в бункерах // ФТПРПИ. - 1983. - № 3. - С. 4-21.

11. Стажевский С.Б. О второй форме течения сыпучих материалов в бункерах // ФТПРПИ. - 1985. - № 5. - С. 3-15.