Автомодельное решение задачи о гидравлическом разрыве двух сомкнутых балок

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 11-01-00181.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела // Уч. зап. МГУ. Механика. 1940. 39. 3-81.

2. Магомедов О.Б., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопластического течения // Упругость и неупругость. Вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 1975. 152-169.

3. Муравлева Е.А., Муравлева Л.В. Нестационарные течения вязкопластической среды в каналах // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 5. 164-188.

4. Гноевой А.В., Климов Д.М, Чесноков В.М. Основы теории течений бингамовских сред. М.: Физматлит, 2004.

5. Вишняков В.И., Павлов К.Б., Романов А.С. Перистальтическое течение неньютоновской вязкопластичной жидкости в щелевом канале // Инж.-физ. журн. 1976. 31, № 3. 499-505.

6. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

7. Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.

8. Muravleva L.V., Muravleva E.A. Uzawa-like algorithm on semi-staggered grids for unsteady Bingham medium flows // Rus. J. Numer. Anal. and Math. Modelling. 2009. 24, N 6. 543-563.

9. Frigaard I.A., Ryan D. Flow of a visco-plastic fluid in a channel of slowly varying width //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2004. 123. 67-83.

10. Putz A., Frigaard I.A., Martinez D.M. On the lubrication paradox and the use of regularisation methods for lubrication flows //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2009. 163. 62-77.

Поступила в редакцию 08.10.2010

УДК 539.3

АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ РАЗРЫВЕ

ДВУХ СОМКНУТЫХ БАЛОК

А. В. Звягин1, А. Г. Геворкян2

В статье рассматривается задача разрыва несжимаемой вязкой жидкостью двух сомкнутых упругих балок. Изгибы балок описываются в рамках модели Кирхгофа-Лява. С помощью групповых методов ищутся автомодельные решения. Для разных краевых условий результаты численного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих задачу, приводятся в виде графиков распределений давления в жидкости, скорости жидкости и расстояния между балками в области разрыва.

Ключевые слова: гидравлический разрыв, изгиб балки, модель Кирхгофа-Лява, автомодельное решение.

The fracture problem for two linked elastic beams by an incompressible viscous fluid is considered. The beam bending is described in the framework of the Kirchhoff-Love model. The self-similar solutions are sought by the batch methods. The numerical results obtained when solving the corresponding system of differential equations with various boundary conditions are graphically illustrated in the form of pressure and velocity distributions within the fluid and in the form of the distance between the beams in the fracture zone.

Key words: hydraulic fracture, beam bending, Kirchhoff-Love model, self-similar solution.

Введение. Рассматривается автомодельная задача гидравлического разрыва двух сомкнутых упругих балок (рис. 1). Балки могут свободно изгибаться и рассматриваются в рамках модели Кирхгофа-Лява [1], т.е. имеют место следующие допущения:

поперечные нормальные сечения, плоские до деформаций, остаются плоскими и нормальными после деформаций;

осевая линия балки считается нерастяжимой;

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.

1 Геворкян Артак Гагикович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artakius@yandex.ru.

размеры поперечного сечения считаются малыми по сравнению с длиной балки и радиусом кривизны осевой линии балки;

различные, но статически эквивалентные локальные нагрузки вызывают в стержне одно и то же

напряженное состояние (принцип Сен-Венана).

Уравнения движения жидкости. Для описания движения вязкой несжимаемой жидкости используются закон сохранения массы, уравнение неразрывности и уравнение Навье-Стокса [2] с условием прилипания в области контакта с балками у = ±Ь(х)/2.

Закон сохранения массы записывается в виде

дЬ д (V  Ь) дЬ дх

Рис. 1. Гидравлический разрыв двух сомкнутых балок: Ь(х) — расстояние между балками, Ь — толщина балок, V — скорость движения жидкости

где V — средняя скорость движения жидкости через сечение разрыва.

В случае установившегося движения и предположения, что линии тока — прямые, параллельные оси х, с учетом ма-

лости скорости движения жидкости в рассматриваемой модели движения жидкости из уравнения нераз-

дР

рывностп и уравнения Навье-Стокса получаем зависимость перепада давления г = — —— от средней

дх

скорости жидкости и от расстояния между балками Ь [3]:

дР дх

12цу

где Р — давление жидкости, ц — коэффициент динамической вязкости жидкости.

Уравнения движения балок. Процесс изгибания балок описывается уравнением движения и законом изменения кинетического момента [4, 5]:

^ дv дЯ дТ

0 = т х Я +

<9М

95 '

где р — плотность балки; Е — площадь сечения балки; Я — перерезывающая сила, действующая по касательным к сечениям 5 и 5 + Д5 балки; Т — растягивающая сила, действующая по нормалям к сечениям балки; q — вектор распределенной нагрузки жидкости на балку; М — изгибающий момент балки; т — касательный вектор к балке.

В рамках рассматриваемой модели балок уравнения (3) сводятся к следующему уравнению:

рЬ д21г

ЕЬ3 д4Ь

24 дх4

+ Р,

где Е — модуль Юнга для балки.

При выводе уравнения (4) использовались зависимость перерезывающей силы от изгибающего момен-дМ

та в виде К = —-—, вытекающая из второго уравнения системы (3), а также представление изгибающего

дх

момента в форме

/Е г е

ау с1Е = - у2 с1Е = -1,

3

где а — нормальное напряжение в сечении балки; I =

Ь_

12

момент инерции балки относительно цен-

11 д2Ь

трального волокна; — =--^ — кривизна элемента балки.

г 2 дх2

Уравнения (1), (2), (4) представляют полную систему дифференциальных уравнений с частными производными, описывающую задачу:

дЬ дv Ь дЬ дх

дР дх

12 цу

рЬ д21г

ЕЬ3 д4 Ь

24 дх4

+ Р.

Автомодельное решение системы дифференциальных уравнений с частными производными. Система уравнений (5) в безразмерных переменных записывается следующим образом:

дН* дк*у* _ дР^ Щг _ _Ь_ сРЪ^ ЕЪ3 д41г* _ р* _ п ~т*+ дх* ' ' 2/го ¿г2" + 24 д2р/г0 г^*1 ~ ~ '

1 о- 1 1 5], ^^ 5], 1 5], Н^ д, Ьо ^ 1

где п = ^— лг., = —~ х = — х, V = —V, р = ——г р, у = поуо — расход жидкости. /о Но2 /о Ц рЦ2

Для поиска автомодельного решения системы (6) используются групповые методы. Общий вид преобразования растяжения-сжатия зависимых и независимых переменных системы (6) имеет вид

= вЧ*, х1 = ех ж*, V1 = е^у*, Нх = еК Ь*, Рг = ер Р *,

где г, X, V, Ь, Р € Я1 — групповые параметры искомой подгруппы. Требование инвариантности системы (6) относительно преобразований (7) позволяет выразить групповые параметры и, V, Ь, р через параметр X:

4 ~ 8 t — и — х« /?< — х« .р — ж.

3 ' 3

Таким образом, система (6) допускает следующую однопараметрическую группу преобразований растяжения-сжатия:

п = е2Хг*, XI = ехх*, Рг = е-8Х/3Р *, уг = е-ху*, Ьг = е4Х/3Ь*. хг , Рг у1 Н1

„ г Х1 Р1 У1 /1

Нетрудно заметить, что комбинации —т- = —-т-рт, ——.- -—рг инвариантны относительно параметра х,

,1/2 ^-4/3 -I--1/2 л-2!3

г1 г1 г1 г1 поэтому автомодельное решение следует искать в виде

Р * = г*-4/з р у* = г*-1/2 у

где Р (£), Н (£), У(£), — некоторые функции от переменной удовлетворяющие следующей системе уравнений:

= о,

) Ъ

йР 12 и У

У 2к0 VI + 12^ ~ 9 ) + 24д2р/г0 ^

Таким образом, автомодельная задача сводится к решению системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (9). Конкретный вид искомых функций определяется граничными условиями решаемой задачи. Однако, даже не решая систему, можно понять тенденцию поведения решения (8) во времени. Сравнивая аналитическое решение для случая нелокального взаимодействия [6]

р

и автомодельное решение (8), видим, что они имеют общие черты, а характер поведения скорости жидкости одинаков.

На рис. 2 приведены результаты численного решения системы (9) для разных граничных условий. В качестве материала для балок был выбран песчаник с модулем Юнга Е = 2 • 104 МПа и плотностью р = 2400 кг/м3, а в качестве жидкости — вода с динамической вязкостью и = 1 МПа • с, что соответствует динамической вязкости воды при температуре 20,2° С. Расход жидкости Ц = 0,1 м2/с. Толщина балок Ь = 0,125 м, расстояние между балками в начале системы координат Ьо = 0,1 м.

Скорости и давления жидкости, соответствующие решениям на рис. 2, а и б, имеют общий характер со скоростью и давлением при гидравлическом разрыве упругой среды [7]. Для класса решений, подобных указанным на рис. 2, в, физического аналога пока не найдено.

Рис. 2. Результаты автомодельного решения задачи о гидравлическом разрыве двух сомкнутых балок при следующих граничных условиях: а — Р(0) = 105, Н'(0) = 0, Н'(1) = 0, Н''(1) = 0,55; б — Р(0) = 102, Н'(0) = 0, Н'(1) = 0,Н''(1) = 0,55; в — Р(0) = 102, Н'(0) = 0, Н'(1) = 0, Н''(1) = 0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kirchhoff G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastichen Scheibe // J. reine und Angew. math. 1850. 40. 51-88.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970.

3. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. 4-е изд. М.: Физматлит, 1963.

4. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978.

5. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5: Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1973.

6. Звягин А.В. Движение вязкой жидкости в канале с упругими стенками // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 1. 50-54.

7. Акулич А.В., Звягин А.В. Численное моделирование распространения трещины гидроразрыва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 1. 43-49.

Поступила в редакцию 26.05.2010