Математика гармонии: от Евклида до современной математики и компьютерной науки

МАТЕМАТИКА ГАРМОНИИ: ИННОВАЦИИ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ, В ОСНОВАНИЯХ МАТЕМАТИКИ, В ОБРАЗОВАНИИ

ОТ РЕДАКЦИИ

Соавторы предлагаемой серии статей под общей рубрикой сводят воедино ключевые результаты своей более чем сорокалетней исследовательской деятельности.

Алексей Петрович Стахов является крупным специалистом в области теории информации и криптографии. В его творческом активе более сотни авторских свидетельств СССР и более шестидесяти зарубежных патентов в области особо надёжного и помехоустойчивого кодирования информации на основе кодов золотой пропорции и её авторских обобщений. Эта прикладная сторона исследовательской деятельности А. П. Стахова находится в редком единстве с фундаментальным значением его разработок для теории чисел и её геометризации, для переосмысления и новых постановок проблем оснований математики, а также ряда проблем теоретического естествознания. Как один из наиболее результативных разработчиков математики золотой пропорции и её авторских обобщений, А. П. Стахов имеет все основания для того, чтобы дать этому направлению науки своё краткое название по существу - «математика гармонии (МГ)».

Сергей Константинович Абачиев является разносторонне результативным разработчиком эволюционной теории познания в её традиционной геге-левско-марксистской версии как науки логики наиболее общего типа. В его творческом активе выявление общенаучного содержания соответствующих законов познания и технологической практики, впервые осознанных и сформулированных родоначальниками марксизма в 50-70-х гг. XIX века. В качестве побочного, математического результата своей основной исследовательской деятельности в этой области С. К. Абачиев в период 1980-1987 гг. в полной мере открыл и математически доказал наличие фрактальных субструктур в арифметическом треугольнике Паскаля на уровне организации в нём простых чисел-субэлементов. Треугольник Паскаля генерирует двоичный ряд, последовательность Фибоначчи и её обобщения, осуществлённые А. П. Стаховым. Эти обобщения положены в основу МГ первого уровня (МГ-1), разработанной А. П. Стаховым в 70-90-х гг. ХХ в. Фрактальные субструктуры Абачиева в треугольнике Паскаля указывают на то, что МГ-1 может быть качественно углублена в МГ-2 подобно тому, как макроскопические теории физики, химии и биологии качественно углубляются в микроскопических теориях.

Четыре статьи А. П. Стахова и С. К. Абачиева дают концентрированную информацию как для дальнейшей разработки МГ-1, так и для стартовых ис-

следований в области МГ-2, которая уже должна быть существенно фрактальной. Мощное возрождение этих научно-теоретических и прикладных разработок в России и странах СНГ представляется актуальным в преддверии перехода цифровых информационных технологий на посттранзисторную элементную базу и аппаратную основу, так как этот переход потребует также их перехода на качественно новую арифметическую первооснову.

Статья первая (автор А. П. Стахов) сводит в единое компактное целое МГ-1. Она представляет собой сжатую версию его книг по МГ-1, изданных в последние годы за рубежом на английском и русском языках.

Статья вторая (автор С. К. Абачиев) проводит историко-научный и научно-методологический анализ МГ как направления разработки фундаментальной и прикладной науки. В ней освещаются объективные общественные причины, по которым МГ-1 в 70-80-х гг. ХХ в. в принципе не могла быстро вытеснить в мировой индустрии информационных технологий двоичный код Дж. фон Неймана, лишённый свойства избыточности.

Статья третья (соавторы С. К. Абачиев и А. П. Стахов) уникально концентрирует в себе наибольшую полноту сведений о треугольнике Паскаля, который на высшем уровне структурной организации своих элементов-чисел генерирует МГ-1, а на более глубоком уровне простых субэлементов таит в себе качественно более эффективную и существенно фрактальную МГ-2.

Статья четвёртая (автор С. К. Абачиев) в свете научно-методологического принципа соответствия предсказывает, что МГ-2 с логико-гносеологической необходимостью рано или поздно будет эвристически сформирована в свете МГ-1 и на основе знаний о фрактальных «недрах» треугольника Паскаля.

В целом, предлагаемая серия статей, по замыслу авторов, должна стимулировать мощное возрождение в отечественной науке МГ в роли научно-теоретической основы переосмысления как ряда фундаментальных проблем математики, так и арифметических первооснов цифровых информационных технологий. Статьи дают богатый научно-теоретический и научно-методологический задел для дальнейшей разработки МГ как одного из особо инновационных научных направлений.

МАТЕМАТИКА ГАРМОНИИ: ИННОВАЦИИ В ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ, В ОСНОВАНИЯХ МАТЕМАТИКИ, В ОБРАЗОВАНИИ

Статья первая

Математика гармонии: от Евклида до современной математики

и компьютерной науки

Стахов Алексей Петрович.

A. P. Stakhov

Доктор технических наук, профессор International Club of the Golden Section (Canada) Doctor of Sciences in Computer Sciences, Professor E-mail: goldenmuseum@rogers.com

Аннотация: Излагается нетрадиционный взгляд на историю происхождения и развития математики, основанный на так называемой гипотезе Прокла. Согласно этой гипотезе, «Начала» Евклида были написаны под непосредственным влиянием «гармонических идей» Пифагора и Платона, а главной целью «Начал» было создание завершенной геометрической теории Платоновых тел. Из гипотезы Прокла вытекает, что «Начала» Евклида являются источником двух направлений в развитии математики - классической математики, которая позаимствовала в «Началах» аксиоматический подход, теорию чисел и другие достижения греческой математики, и математики гармонии, которая позаимствовала в «Началах» Платоновы тела и золотое сечение. В развитии математики гармонии принимали участие выдающиеся мыслители, философы и математики: Пифагор, Платон, Евклид, Фибоначчи, Лука Пачо-ли, Иоганн Кеплер, Бине, Люка, Цейзинг, Феликс Клейн и др. Начиная с 60-х годов 20 в., советский математик Николай Воробьев и американский математик Вернер Хоггатт возродили интерес к этому направлению в современной математике. Выдающиеся научные открытия современнной науки, в частности квазикристаллы и фуллерены, удостоенные Нобелевских премий, свидетельствуют о том, что современная наука взяла на вооружение «гармонические идеи» Пифагора и Платона. В статье изложены основные концепции, теории и приложения математики гармонии как нового междисцилинаронго направения современной науки.

Abstract: We present an unconventional look at the history of the origin and development of mathematics, based on the so-called Proclus' hypothesis. According to this hypothesis, Euclid's Elements have been written under the direct influence of the "harmonic ideas" of Pythagoras and Plato, and the main purpose of the Elements was to create a complete geometric theory of Platonic solids. It follows from Proclus' hypothesis that Euclid's Elements are the source of two directions in the development of mathematics - "Classical mathematics", which borrowed axiomatic approach, number theory and other achievements of Greek mathematics in the Elements, and "Harmony Mathematics", which borrowed in the Elements Platonic solids and the "golden ratio in the Elements." The eminent thinkers, philosophers and mathematicians Pythagoras, Plato, Euclid, Fibonacci, Luca Pacioli, Johannes Kepler, Binet, Lukas, Zeising, Felix Klein, etc have participated in the development of the "Harmony Mathematics." Since the 60s of the 20th century., the Soviet mathematician Nikolai Vorobyov and American mathematician Verner Hoggatt have revived an interest in this area in modern mathematics. Outstanding scientific discoveries of modern science, in particular, quasicrystals and fullerenes, won the Nobel Prize, testify that modern science has adopted a "harmonic ideas" of Pythagoras and Plato. The paper presents the basic concepts, theories, and applications of the "Mathematics of Harmony" as a new interdisciplinary direction of modern science.

Ключевые слова: гипотеза Прокла, математика гармонии, золотое сечение, числа Фибоначчи, числа Люка, теория измерений, теория чисел, коды золотой пропорции, основания математики.

Key words: hypothesis Прокла, the mathematics of harmony and the Golden section, Fibonacci numbers, Lucas numbers, the theory of measurements, theory of

numbers, codes of the Golden proportion, foundations of mathematics.

* * *

Содержание

1. Введение

2. Идея гармонии мироздания в древнегреческой науке

3. О термине «математика гармонии»

4. Золотое сечение в «Началах» Евклида

5. Гипотеза Прокла

6. Основные понятия математики гармонии

6.1. Диагональные суммы треугольника Паскаля и р-числа Фибоначчи

6.2. Золотые р-сечения

6.3. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

6.4. Лямбда-числа Фибоначчи

6.5. Формула Кассини для лямбда-чисел Фибоначчи

6.6. «Металлические пропорции»

6.7. Гиперболические лямбда-функции Фибоначчи и Люка

6.8. Матрицы Фибоначчи и «золотые» Q -матрицы

7. Приложения математики гармонии в теории измерения и теории чисел

7.1. Математика гармонии и математическая теория измерения

7.2. Математика гармонии и системы счисления с иррациональными

основаниями

7.3. Начала «золотой» теории чисел

7.4.Троичная зеркально-симметричная арифметика

8. Математика гармонии как «золотая» парадигма современной науки

8.1. «Золотая» парадигма древних греков и математика гармонии

8.2. Красота и эстетика математики гармонии

8.3. Важнейшие периоды в развитии математики гармонии

8.4. Математика гармонии и проблемы Гильберта

8.5. Новая задача для теоретического естествознания

8.6. Идея гармонии как ключевая идея современного теоретического естествознания

8.7. Математика гармонии и образование

9. Роль математики гармонии в преодолении «стратегических ошибок» в развитии математики

9.1. Математика: утрата определенности и авторитет природы

9.2. Стратегические ошибки в развитии математики: взгляд со стороны

математики гармонии Заключение Литература

1. Введение

Дифференциация современной науки и ее разделение на отдельные сферы не позволяют зачастую увидеть общую картину науки и основные тенденции ее развития. Однако в науке существуют объекты познания, которые объединяют разрозненные научные факты в единое целое. К разряду таких объектов можно отнести Платоновы тела и золотое сечение. Древние греки возвысили их до уровня «главных выразителей гармонии Миро-здания». На протяжении веков или даже тысячелетий, начиная с Пифагора, Платона, Евклида, эти геометрические объекты были предметом восхищения и поклонения выдающихся умов человечества: в эпоху Возрождения - Леонардо да Винчи, Луки Пачоли, Иоганна Кеплера; в 19 веке - Цейзинга, Люка, Бине, Клейна. В 20-м веке интерес к этим математическим объектам значительно возрос в математике благодаря исследова-ниям советского математика Николая Во-

робьева и американского математика Вернера Хоггатта. С их работ которых начинается процесс «гармонизации математики». Развитие этого направления привело к созданию математики гармонии как нового междисциплинарного направления современной науки [1-4].

Новейшие открытия в различных областях современной науки, основанные на Платоновых телах, золотом сечении, числах Фибоначчи, и новые научные результататы, полученные с использованием фундаментальных математических понятиий математики гармонии (квазикристаллы, фуллерены, новая геометрическая теория филлотаксиса, "золотые" геноматрицы, общая теория гиперболических функций, решение 10-й и 4-й проблем Гильберта, алгоритмическая теория измерения, коды Фибоначчи и золотой пропорции, "золотая" теория чисел, микропроцессоры Фибоначчи и так далее) создают общую кар-

II *-» II ' и

тину движения науки к "золотой" научной революции, что является одной из существенных тенденций в развитии современной науки.

Целью настоящей статьи является сжатое изложение основных концепций, теории и приложения математики гармонии в современной науке.

2. Идея гармонии мироздания в древнегреческой науке

Что такое гармония? Как подчеркивает В. П. Шестаков в книге „Гармония как эстетическая категория" [5], «в истории эстетических учений выдвигались самые разнообразные типы понимания гармонии. Само понятие „ гармония " употреблялось чрезвычайно широко и многозначно. Оно обозначало и закономерное устройство природы и космоса, и красоту физического и нравственного мира человека, и принципы строения художественного произведения, и закономерности эстетического восприятия».

Шестаков выделяет три основных понимания гармонии, сложившихся в процессе развития науки и эстетики:

- Математическое понимание гармонии или математическая гармония. В этом смысле гармония понимается как равенство или соразмерность частей друг с другом и части с целым. В Большой Советской Энциклопедии мы находим следующее определение гармонии, которое выражает математическое понимание гармонии:

«Гармония — соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия».

- Эстетическая гармония. В отличие от математического понимания, эстетическое понимание является уже не просто количественным, а качественным, выражающим внутреннюю природу вещей. Эстетическая гармония связана с эстетическими переживаниями, с эстетической оценкой. Наиболее четко этот тип гармонии проявляется при восприятии красоты природы.

- Художественная гармония. Этот тип гармонии связан с искусством. Художественная гармония - это актуализация принципа гармонии в материале самого искусства.

Математик и философ Эдуард Сороко утверждает в своей книге «Структурная гармония систем» [6]:

«Если и существуют «вечные» проблемы, которые постоянно держит в поле зрения исследовательская мысль, то среди них в первую очередь можно назвать проблему гармонии. Наука, физика в частности, по словам Б. Г. Кузнецова, всегда имела своей извечной фундаментальной целью «найти в лабиринте наблюдаемых фактов объективную гармонию» ... . То же можно сказать в адрес философии, искусства (живописи, музыки, архитектуры) и других областей самореализации «человеческого духа»..., прохдящего в своем становлении различные исторические стадии, но сохраняющего в последовательности возводимых концептуальных систем и построений устойчивый интерес к названной проблеме. Задача состоит в том, чтобы проследить эти построения как отдельные акты или детали единого механизма, созданного усилиями различных культурных эпох».

Самое главное, что вытекает из рассуждений, проведенных в [5], [6], состоит в том, что «гармония» является универсальным понятием, которое имеет отношение не только к математике и науке, но также к искусству и другим областям самореализации «человеческого духа».

Следует подчеркнуть, что в математике гармонии понятие гармонии исследуется, прежде всего, с математической, количественной, числовой точки зрения, что было характерно для пифагорейцев. Следуя своей главной доктрине «Всё есть число», пифагорейцы начали изучать гармонию с математической точки зрения. Именно с пифагорейской математики, которая названа в [7] и [8] «математикой гармонии», начался процесс «математизации гармонии», который получил свое наиболее яркое воплощение в «Началах» Евклида.

Числовая гармония пифагорейцев. Философами, с именами которых обычно связывают начало философского учения о гармонии, были Пифагор и Гераклит. По признанию многих авторов, ключевая идея о гармонии, как о соразмерном единстве про-ивоположностей, принадлежит Пифагору. Пифагорейцы впервые выдвинули мысль о гармоническом устройстве всего мира, включая сюда не только природу и человека, но и весь космос. Согласно пифагорейцам, «гармония представляет собою внутреннюю связь вещей, без которой космос не смог бы существовать». Наконец, согласно Пифа-ору, гармония имеет численное выражение, то есть, она органично связана с концепцией числа.

Пифагор (ок. 570 - ок. 500 до н .э.) - едва ли не самая известная личность в истории науки. Это имя известно каждому человеку, изучавшему геометрию и знакомому с теоремой Пифагора - одной из самых известных теорем геометрии. Знаменитый философ и ученый, религиозный и этический реформатор, влиятельный политик, полубог в глазах своих учеников и шарлатан, по отзывам некоторых из его современников, - таковы отображения Пифагора в античной литературе. Об исключительной популярности Пифагора уже при жизни свидетельствуют монеты с его изображением, выпущенные в 430-420 гг. до н. э. Для 5-го века до н. э. это случай беспрецедентный! Пифагор первым из греческих философов удостоился специально посвященного ему сочинения. Считается, что выдающаяся роль Пифагора в развитии греческой науки состоит в исполнении исторической миссии в передаче знаний египетских и вавилонских жрецов в культуру Древней Греции. Именно благодаря Пифагору, который был, без всякого сомнения, одним из наиболее образованных мыслителей своего времени, греческая наука получила огромный объем знаний в области философии, математики и естественных наук, которые, попав в благоприятную среду древнегреческой культуры, способствовали её бурному развитию и приумножению.

Пифагор

Пифагорейцы создали учение о созидательной сущности числа. Аристотель в «Метафизике» отмечет именно эту особенность пифагорейского учения:

«Так называемые пифагорейцы, занявшись математическим науками, впервые двинули их вперед и, воспитавшись на них, стали считать их началами всех вещей ... Так как, следовательно, всё остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную [признали] гармонией и числом».

Вклад Гераклита в развитие учения о гармонии. Начиная от античности и вплоть до наших дней, имя Гераклита остается одним из популярнейших в истории философии. В 1961 г. по рекомендации Всемирного Совета Мира отмечалось 2500-летие со дня его рождения. Подобный юбилей обычно отмечается в истории какого-то всемирно известного античного города или стра-

ны, но применительно к человеку подобная дата просто не умещается в сознании.

Гераклит считал, что всё непрерывно меняется. Положение о всеобщей изменчивости связывалось Гераклитом с идеей внутренней раздвоенности вещей и процессов на противоположные стороны, с их взаимодействием. Гераклит считал, что всё в жизни возникает из противоположностей и познается через них. Идея вечного движения нашла у Гераклита в гениальном образе вечно текущей реки. Постулат о всеобщей изменчивости мира - один из краеугольных камней всей диалектики - сжат у Гераклита в знаменитой формуле: «В одну и ту же реку нельзя войти дважды».

Гераклит

Как подчеркивает Шестаков [5], «в эстетике Гераклита на первом плане стоит онтологическое понимание гармонии. Гармония присуща, прежде всего, объективному миру вещей, самому космосу. Она присуща и природе искусства. Характерно, что когда Гераклит хочет наиболее наглядно раскрыть природу гармонии, он обращается к искусству. Лучше всего гармонию космоса иллюстрирует у Гераклита образ лиры, в которой различно натянутые струны создают великолепное созвучие».

Но в эстетике Гераклита присутствует и момент оценки. Особенно ярко это выражается в учении о двух видах гармонии: «скрытой» и «явной». Гераклит отдает предпочтение «скрытой» гармонии. Широко известно следующее изречение Гераклита: «Скрытая гармония сильнее явной».

Космос, как высшая и совершенная красота, представляет собой пример «скрытой» гармонии. Только на первый взгляд мир представляется хаосом. На самом деле за игрой стихий и случайностей скрывается «прекраснейшая гармония».

Музыкальная гармония Пифагора и музыка сфер. Замечательные открытия пифагорейцы совершили в музыке. Пифагор обнаружил, что самые приятные слуху созвучия - консонансы - получаются только в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как первые числа нату-

рального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, то есть, 1:1, 1:2 (унисон и октава), 2:3, 3:4 (квинта и кварта), 4:5, 5:6 (терции) и т. д. Сделанное открытие потрясло Пифагора. Именно данное открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе, и именно оно послужило отправной точкой в развитии пифагорейской философии, в формировании её основного тезиса: «Всё есть число». Поэтому день, когда Пифагор открыл закон консонансов, немецкий физик А. Зоммерфельд назвал днем рождения теоретической физики.

Открытие математических закономерностей в музыкальных созвучиях стало первым «экспериментальным» подтверждением пифагорейского учения о числе. С этого момента музыка и связанное с ней учение о гармонии начинает занимать центральное место в пифагорейской системе знаний. Идея музыкальных соотношений вскоре обрела у пифагорейцев «космические масштабы» и переросла в идею всеобщей, или мировой, гармонии. Пифагорейцы начали утверждать, что вся Вселенная устроена на основе простых чис-ловых отношений и что движущиеся планеты издают «музыку небесных сфер», а обычная музыка является лишь отражением царящей всюду «всеобщей гармонии». Таким образом, музыка и астрономия были сведены пифагорейцами к анализу числовых закономерностей, то есть, к арифметике и геометрии. Все четыре дисциплины стали считаться математическими и называться одним словом - «математика».

Космология Платона. Греки предприняли первую попытку выразить гармонию в числовой и геометрической форме, то есть, «математизировать гармонию». И это им бле-стяще удалось. Для геометрического выражения гармонии они пользовались так называемыми Платоновыми телами. Как утверждает Эдуард Сороко [6], «представление о «сквозной» гармонии бытия древние греки связывали с её воплощением в Платоновых телах». Другими словами, Платоновы тела, получившие широкое распространение в античном мире, считались геометрическими выразителями гармонии Мироздания. Существует только пять таких многогранников (этот факт был доказан в «Началах» Евклида): тетраэдр (правильный четырехгранник), гексаэдр или куб (правильный шестигранник), октаэдр (правильный восьмигранник), додекаэдр (правильный двенадцатигранник) и икосаэдр (правильный двадцатигранник).

Платон

Платон (427-347 гг. до н. э.) родился в Афинах в знатной аристократической семье. В честь деда его назвали Аристоклом. Его отец Аристон происходил из рода последнего афинского царя Кодра, а мать Периктиона была прямой родственницей афинского мудреца Солона. Как отпрыск старинной, царского происхождения семьи, Аристокл получил блестящее образование. Юноша рос широкоплечим атлетом и широко образованным интеллектуалом. За его широкую грудь и мощное сложение его уже в юности прозвали Платоном. По другой версии, Платоном его прозвал Сократ за широкий лоб.

Широкую известность получила знаменитая философская школа - Платоновская Академия, которая была основана Платоном в 385 г. до н. э. Название берёт свое начало от названия парка на северо-западе Афин, где и была расположена эта философская школа. Предание говорит, что при входе в свою Академию Платон сделал надпись: "Негеометр - да не войдёт».

Рисунок 1. Платоновы тела: тетраэдр

cube

Согласно Платону, четыре первые из пяти правильных многогранников (тетраэдр, икосаэдр, куб и октаэдр) олицетворяли четыре сущности или "стихии". Тетраэдр симво-лизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, так как он самый "обтекаемый" многогранник; куб -землю, как самый "устойчивый" многогранник; октаэдр - воздух, как самый "воздушный" многогранник. Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "всё сущее", «Вселенский разум», символизировал эфир и считался главной геометрической фигурой мироздания.

Пифагорейское учение о числовой гармонии мироздания имело огромную созидательную силу и оказало большое влияние на развитие всех последующих учений о природе и сущности гармонии, в частности, оно лежит в основе космологии Платона. В своих работах Платон развивает пифагорейское учение, особенно подчёркивая космическое значение гармонии. Он твёрдо убеждён в том, что мировую гармонию можно выразить в числовых пропорциях. Влияние пифагорейцев особенно прослеживается в «Тимее», где Платон, вслед за пифагорейцами, развивает учение о пропорциях и анализирует роль правильных многогранников («Платоновых тел»), из которых, по его мнению, Бог создал мир.

Главный вывод, который вытекает из учений Пифагора и Платона, состоит в том, что гармония объективна, она существует независимо от нашего сознания и выражается в гармоничном устройстве всего сущего, начиная с космоса и заканчивая микромиром. Но если Гармония объективна, то она должна стать предметом математического исследования.

3. О термине «математика гармонии»

Впервые термин «математика гармонии» был введен в небольшой статье "Harmony of spheres", помещенной в «The Oxford dictionary of philosophy» [7]. Проанализируем эту статью:

«Гармония сфер. В этой доктрине, часто приписываемой Пифагору, происходит объединение математики, музыки и астрономии. Её сущность состоит в том, что небесные тела, будучи огромными объектами, при своём движении должны производить музыку. Совершенство небесного мира требует, чтобы эта музыка была гармоничной, она скрыта от наших ушей только потому, что всегда присутствует. Математика гармонии была центральным открытием огромного значения для пифагорейцев».

Таким образом, понятие "the mathematics of harmony" («математика гармонии») в этой статье ассоциируется с «гармонией сфер», которая называлась также «гармонией мира» (harmonica mundi) или мировой музыкой (лат. musical mundane). Гармония сфер представляет собой античное и средневеко-

вое учение о музыкально-математическом устройстве космоса, восходящее к пифагорейской и платонической философской традиции.

Ещё одно упоминание о «математике гармонии» применительно к древнегреческой математике мы встречаем в книге Vladimir Dimitrov. A new kind of social science. Study of self-organization of human dynamics», опубликованной в 2005 г. [8]. Приведём цитату из этой книги:

«Гармония была ключевой концепцией греков, с помощью которой осуществлялась связь трёх значений. Его корневое значение было aro, соединение, то есть, гармония было тем, что соединяет. Другое значение было «пропорция», «баланс вещей», который позволял простое соединение. Качество соединения и пропорции позже стали рассматриваться в музыке и других видах искусства.

Предпосылка для гармонии для греков была выражена во фразе "ничего лишнего". Эта фраза содержала таинственные положительные качества, которые стали объектом исследования лучших умов. Мыслители — такие, как Пифагор - стремились раскрыть тайну гармонии как нечто невыразимое и освещённое математикой. Математика гармонии, изученная древними греками, по-прежнему является вдохновляющей моделью для современных ученых. Решающее значение для этого имело открытие количественного выражения гармонии, во всем удивительном разнообразии и сложности природы, через золотое сечение Ф (фи): f = (i+V5)/2, что приблизительно равно 1,618. Золотое сечение описано Евклидом в его «Началах»: "Говорят, что прямая линия может быть разделена в крайнем и среднем отношении, когда вся линия так относится к большей части, как большая часть к меньшей".

Таким образом, в книге [8] понятие "the mathematics of harmony" («математика гармонии») непосредственно ассоциируется с «золотым сечением» -важнейшим математическим открытием античной науки в области гармонии, которое в тот период называлось «делением отрезка в крайнем и среднем отношении».

Наконец, уместно упомянуть, что этот термин использован автором настоящей статьи в докладе «The Golden Section and Modern Harmony Mathematics», сделанном на 7-й Международной конференции «Fibonacci Numbers and Their Applications" (Австрия, Грац, 1996) [9]. Именно эта статья стала началом современной математики гармонии, изложенной в книгах [14].

4. Золотое сечение в «Началах» Евклида

«Начала» Евклида - величайшее математическое сочинение древнегреческой эпохи. В настоящее время каждый школьник знает, кто такой Евклид, который написал самое значительное математическое сочинение греческой эпохи - «Начала». Это научное произведение создано им в 3 в. до н. э. и со-

держит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

Сведения о Евклиде крайне скудны. К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в «Комментариях» Прокла к первой книге «Начал» Евклида. Прокл указывает, что Евклид «жил во времена Птолемея I Сотера», потому что Архимед, живший при Птолемее I, упоминает об Евклиде. В частности, Архимед рассказывает, что Птолемей однажды спросил Евклида, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии. Учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306-283 до н. э.) он преподавал во вновь основанной школе в Александрии. «Начала» Евклида превзошли сочинения его предшественников в области геометрии и на протяжении более двух тысячелетий оставались основным трудом по элементарной математике. В 13 частях, или книгах, «Начал» содержится большая часть знаний по геометрии и арифметике эпохи Евклида.

«Начала» Евклида состоят из тринадцати книг. В Книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается Книга I знаменитой теоремой Пифагора. В Книге II излагается так называемая геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. В Книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд. В Книге IV — правильные многоугольники. В Книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (Книга VI) и метода исчерпывания (Книга VII), также восходящих к Евдоксу. В Книгах VII—IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (алгоритм

Евклид

Евклида). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности количества простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории рациональных (положительных) чисел. В Книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратич-ных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты Книги Х применяются в Книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть Книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В Книге XI излагаются основы стереометрии. В Книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в Книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует.

Предложение II.11 «Начал» Евклида. В «Началах» Евклида мы встречаемся с задачей, которая в дальнейшем сыграла большую роль в развитии науки. Речь идет о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении». В «Началах» Евклида эта задача встречается в двух формах. Первая форма сформулирована в виде Предложения 11 Книги II «Начал» Евклида.

Предложение II. 11. Данную прямую ЛВ разделить на две неравные части ЛЕ и ЕВ так, чтобы площадь квадрата, построенного на большем отрезке ЛЕ, равнялась бы площади прямоугольника, построенного на отрезке ЛВ и меньшем отрезке ЕВ.

Вникнем в суть этой задачи. Для этого изобразим эту задачу геометрически (Рис.2).

Рисунок 2. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Таким образом, согласно Предложению II. 11, площадь квадрата ЛОНЕ должна быть равна площади прямоугольника ЛВСВ. Если обозначить длину большего отрезка ЛЕ через Ь (она равна стороне квадрата ЛОНЕ), а сторону меньшего отрезка через а (она равна вертикальной стороне прямоугольника ЛВСВ), то условие Предложения II. 11 можно записать в виде:

Ь2 = а х

Комментарии Мордухай-Болтовского, касающиеся золотого сечения.

«Начала» Евклида переведены на многие языки мира. Наиболее авторитетным изданием сочинения Евклида на русском языке являются «Начала» в переводе и с комментариями Д. Д. Мордухай-Болтовского [10]—[12]. Интересно ознакомиться со следующими комментариями Мордухай-Болтовского, касающимися золотого сечения:

«Теперь посмотрим, какое место занимает золотое сечение в «Началах» Евклида. Прежде всего, нужно отметить, что оно встречается в двух формах, разница между которыми почти неощутима для нас, но была очень существенной в глазах греческого математика ¥-¥1-го веков до н. э. Первая форма, прототип которой мы видели в Египте, является в Книге II «Начал», а именно в Предложении 11 вместе с вводящими его предложениями 5 и 6; здесь золотое сечение определяется как такое, в котором квадрат, построенный на большем отрезке, равняется прямоугольнику на всей прямой и меньшем отрезке. Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией — как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему — и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен только Евдокса. Интересно отметить, что предложениям 5, 6 и 11 книги II соответствуют предложения 27, 28 и 30 — шестой. Затем, предложения 5 и 6 книги IIразорвали связь между предложениями 4 и 7, соответствующим нашим формулам квадратов суммы и разности; «та же фигура», о которой упоминается в предложении 7, строится в 4-м.

В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1—5 и во второй — в предложениях 8—10. Правда в формулировке и тексте доказательства 1—5 предложений встречаются слова «в крайнем и среднем отношении», в доказательствах есть некоторые следы пользования пропорциями, но при внимательном чтении нетрудно заметить, что все эти места не связаны органически с общим текстом и легко из него могут быть исключены; все доказательство по существу ведется исходя из равенства на большем отрезке прямоугольнику ... Более того, предложение 2 книги XIII по существу равнозначно геометрическому построению предложения 11 книги II.

Всё это позволяет думать, что предложения 4, 7, 8 книги II и предложения 1—5 книги XIII представляют остатки одного из самых древних в истории греческой геометрии документов, восходящего по всей вероятности к первой половине V века и возникшего в пифагорейской школе на основании того материала, который был привезен из Египта. Сравнительную древность этого документа можно установить из того обстоятельства, что предложения 4 и 7 книги II служат в ней для доказательства обобщенной теоремы Пифагора [квадрат стороны против острого и тупого угла (предложения 12 и 13 книги II)], которая, несомненно, была известна Гиппократу

Хиосскому ... Несмотря на то, что первые пять предложений книги XIII составляют одно целое с рядом предложений книги II, нужно отметить, что при непосредственном использовании предложений книги II (в особенности предложения 11, которое и дает построение золотого сечения) доказательства были бы в отдельных случаях значительно проще»

Мы можем сделать следующие выводы из этих комментариев:

1. Во-первых, в «Началах» Евклида имеется не одна (Предложение II.11), а, по крайней мере, две различные формулировки задачи о золотом сечении. Приведём ещё раз цитату Мордухай-Болтовского: «Вторую форму мы имеем в определении 3 книги VI, где золотое сечение определяется пропорцией - как вся прямая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему - и называется делением в крайнем и среднем отношении; в этой форме золотое сечение могло быть известным только со времен Евдокса». И далее: «В книге XIII золотое сечение является в обеих указанных формах, а именно в первой форме в предложениях 1-5 и во второй - в предложениях 8-10». То есть, Евклид широко использует в своих «Началах» как первую форму (Предложение II.11 и предложения 1-5 книги XIII), так и вторую форму как представление золотого сечения в виде пропорции (предложение 3 книги VI и предложения 8-10 книги XIII).

2. В задаче о золотом сечении Мордухай-Болтовский видит «египетский след» и явно намекает на Пифагора, который 22 года провел в Египте и привез оттуда огромное количество египетских математических знаний, включая теорему Пифагора и золотое сечение. Отсюда вытекает, что Мордухай-Болтовский не сомневался в том, что не только Евклид, но и Пифагор (а отсюда следует, что и Платон, который был пифагорейцем), а также и древние египтяне знали о золотом сечении и широко его использовали.

В книге Валентина Бунина [13] также обращается внимание на «египетский след» в происхождении золотого сечения: «Нелишне напомнить, что изначальный геометрический смысл "золотого сечения" весьма прост и был связан с ежегодным переделом земельных площадей, заливаемых Нилом. При этом решалась задача нахождения стороны такого прямоугольника, площадь которого должна была равняться площади квадрата, а отношение сторон обеспечивало бы удобство компоновки. Можно предположить, что соотношением "золотого сечения" египтяне пользовались и при сооружении пирамид для определения объёма, равновеликого кубу».

Вторая форма задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении и современная формулировка задачи о золотом сечении. Перейдём теперь ко второй форме формулировки задачи о золотом сечении, о которой упоминает Мордухай-Болтовский. Вторая форма вытекает из первой, задаваемой выражением (1), если проделать следующие преобразования. Разделив

обе части выражения (1) вначале на а, а затем на Ь, получим следующую пропорцию:

Ь _ а + Ь

аЬ

Пропорция (2) имеет следующую геометрическую трактовку (Рис. 3). Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ (Рис. 3), то есть:

АВ _ СВ'

СВ АС

Это и есть определение золотого сечения, используемое в современной науке.

С Б

А     в

Рисунок 3. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Обозначим пропорцию (3) через х. Тогда, учитывая, что АВ _ АС+СВ, пропорцию (3) можно записать в следующем виде:

АС+СВ л АС л 1 1 х _-_ 1 +-_ 1 + ——_ 1 + —,

СВ СВ СВ х

АС

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомого отношения х:

х2-X-1 _ 0'

Из «физического смысла» пропорции (3) вытекает, что искомое решение уравнения (4) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (4), который мы обозначим через Ф, то есть,

Ф_ '

2

Это и есть то знаменитое число, которое имеет много восхитительных названий: золотое сечение, золотое число, золотая пропорция, божественная пропорция.

Выведенное выше алгебраическое уравнение (4) часто называют уравнением золотой пропорции.

Заметим, что на отрезке АВ существует еще одна точка В (Рис.3), которая делит его «золотым сечением», так как

АВ АО 1 + 75

АО ОВ 2

5. Гипотеза Прокла

С какой целью Евклид написал свои «Начала»? На первый взгляд кажется, что ответ на этот вопрос очень простой: главная цель Евклида состояла в том, чтобы изложить основные достижения греческой математики за 300 лет, предшествовавших Евклиду, используя «аксиоматический метод» изложения материала. Действительно, «Начала» Евклида являются главным трудом греческой науки, посвященным аксиоматическому построению геометрии и математики. Такой взгляд на «Начала» наиболее распространён в современной математике.

Однако, кроме «аксиоматической» точки зрения существует и другая точка зрения на мотивы, которыми руководствовался Евклид при написании «Начал». Эта точка зрения высказана греческим философом и математиком Про-клом Диадохом (412-485), одним из первых комментаторов «Начал».

Прежде всего, несколько слов о Прокле. Он родился в Византии в семье богатого адвоката из Ликии. Намереваясь пойти по стопам отца, подростком уехал в Александрию, где учился сначала риторике, затем заинтересовался философией и стал учеником александрийского неоплатоника Олимпиодора Младшего. Именно у него Прокл начал изучать логические трактаты Аристотеля. В возрасте 20 лет Прокл переезжает в Афины, где Платоновскую Академию в то время возглавлял Плутарх Афинский. Уже к 28-летнему возрасту Прокл написал одну из своих главнейших работ - комментарий на платоновского «Тимея». Около 450 г. Прокл становится главой Платоновской Академии.

Среди математических сочинений Прокла наиболее известным является его «Комментарий к первой книге «Начал» Евклида». В этом «Комментарии» он выдвигает необычную гипотезу, которую называют "гипотезой Прокла". Суть ее состоит в следующем. Как известно, Х111-я, то есть, заключительная книга «Начал», посвящена изложению теории пяти правильных многогранников, которые играли главенствующую роль в «Космологии Платона» и в современной науке известны под названием Платоновых тел. Именно на это обстоятельство и обращает внимание Прокл. Как подчеркивает Эдуард Соро-ко [6], по мнению Прокла, Евклид «создавал «Начала», якобы, не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизирован -

ную теорию построения пяти «Платоновых тел», попутно осветив некоторые новейшие достижения математики».

Значение гипотезы Прокла для развития математики. Главный вывод из гипотезы Прокла состоит в том, что «Начала» Евклида - это величайшее греческое математическое сочинение - было написано под непосредственным влиянием греческой «идеи Гармонии», которая была связана с Платоновыми телами. Таким образом, гипотеза Прокла позволяет высказать предположение, что хорошо известные в античной науке пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания и космология Платона, основанная на правильных многогранниках, были сознательно и целенаправленно воплощены в величайшем математическом сочинении греческой математики - в «Началах» Евклида. С этой точки зрения мы можем рассматривать «Начала» Евклида как первую попытку создать математическую теорию гармонии мироздания, которая ассоциировалась в античной науке с Платоновыми телами. И это было главной идеей греческой науки! Это и есть главная тайна «Начал» Евклида, которая приводит к пересмотру истории возникновения математики, начиная с Евклида.

К сожалению, оригинальная гипотеза Прокла, касающаяся истинных целей, которые преследовал Евклид при написании «Начал», проигнорирована современными историками математики, что привело к искаженному взгляду на структуру математики и всего математического образования. И это является одной из главных «стратегических ошибок» в истории математики.

Гипотеза Прокла оказала большое влияние на развитие науки и математики. В 17 веке Иоганн Кеплер, развивая идеи Евклида, построил «Космический кубок» - оригинальную модель Солнечной системы, основанную на Платоновых телах.

В 19 в. выдающийся математик Феликс Клейн выдвинул предположение [14], что икосаэдр - одно из прекраснейших тел Платона - является главной геометрической фигурой математики, которая позволяет объединить все важнейшие разделы математики: геометрию, теорию Галуа, теорию групп, теорию инвариантов и дифференциальные уравнения. Эта идея Клейна не получила дальнейшего развития в математике, что также можно считать еще одной «стратегической ошибкой» в развитии математики.

Гипотеза Прокла и «ключевые» проблемы античной математики. Как известно, академик Колмогоров в книге [15] выделил две главные, то есть, «ключевые» проблемы, которые стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения - проблему счёта и проблему измерения. Однако из гипотезы Прокла вытекает ещё одна «ключевая» проблема - проблема гармонии, которая была связана с Платоновыми телами и золотым сечением - одним из важнейших математических открытий античной математики (Предложение II.11 «Начал» Евклида). Именно идея гармонии была положена Евклидом в основу «Начал», главной целью которых было создание геометрической тео-

рии Платоновых тел, которые в космологии Платона выражали гармонию Мироздания. Но тогда из гипотезы Прокла вытекает новый взгляд на историю возникновения математики (Рис.5) изложенный в статье [16].

Подход, демонстрируемый с помощью Рис.5, основан на следующих соображениях. Уже на этапе зарождения математики был сделан ряд важных математических открытий, которые фундаментально повлияли на развитие математики и всей науки в целом. Важнейшими из них являются:

1. Позиционный принцип представления чисел, разработанный вавилонскими математиками во 2-м тысячелетии до н. э. и воплощенный ими в Вавилонской 60-ричной системе счисления. Это важное математическое открытие лежит в основе всех последующих позиционных систем счисления, в частности, десятичной системы и двоичной системы - основы современных цифровых информационных технологий. Это открытие, в конечном итоге, привело к формированию понятия натурального числа - важнейшего понятия, лежащего в основе математики.

2. Доказательство существования несоизмеримых отрезков. Это открытие, сделанное в научной школе Пифагора, привело к переосмысливанию ранней пифагорейской математики, в основе которой лежал принцип соизмеримости величин, и к введению иррациональных чисел - второго (после натуральных чисел) фундаментального понятия математики. В конечном итоге, эти два понятия (натуральные и иррациональные числа) и были положены в основу «Классической Математики».

3. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении (золотое сечение). Впервые описание этого открытия дано в «Началах» Евклида (Предложение II.11). Это предложение было введена Евклидом с целью создания полной геометрической теории Платоновых тел (в частности, додекаэдра), изложению которых посвящена заключительная (Х111-я) книга «Начал».

Рисунок 4. «Ключевые» проблемы античной математики и новые направления в современной математике, теоретической физике и информатике

Сформулированный выше подход (Рис.4) приводит к выводу, который может оказаться неожиданным для многих математиков. Оказывается, что параллельно с «классической математикой» в науке, начиная с древних греков, развивалось ещё одно математическое направление, которое восходит к пифагорейской математике и космологии Платона и названо в [7] и [8] "математикой гармонии». Эта математика лежит в основе «Начал» Евклида и, в отличие от «классической математики», акцентирует своё внимание не на аксиоматическом подходе, а на геометрической «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (Предложение II.11) и на теории правильных многогранников, изложенной в Книге XIII «Начал» Евклида. И в развитии математики гармонии в течение нескольких тысячелетий принимали активное участие выдающиеся мыслители и ученые: Пифагор, Платон, Евклид, Фибоначчи, Пачоли, Кеплер, Кассини, Бине, Люка, Клейн, а в 20-м веке -Воробьев и Хоггатт.

Как и зачем Евклид использовал золотое сечение? Возникает вопрос: зачем Евклид ввел в своих «Началах» различные формы «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (золотое сечение), которые встречаются в Книгах II, VI и XIII? Для ответа на этот вопрос мы вновь возвратимся к Платоновым телам (Рис.1). Как известно, гранями Платоновых тел могут быть только три вида правильных многоугольников: правильный треугольник (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр), квадрат (куб) и правильный пятиугольник или пентагон (додекаэдр). Для того, чтобы сконструировать Платоновы тела, мы должны, прежде всего, уметь геометрически (то есть, с помощью линейки и циркуля) построить грани Платоновых тел. У Евклида не было никаких проблем с построением правильного или равностороннего треугольника и квадрата, однако он столкнулся с определенными трудностями при конструировании правильного пятиугольника (пентагона), который лежит в основе додекаэдра (Рис.5).

Рисунок 5. Додекаэдр

Именно для этой цели Евклид в Книге II ввел золотое сечение, представленное в «Началах» в двух формах. Используя золотое сечение, Евклид вначале конструирует «золотой» равнобедренный треугольник, чьи углы при основании равны удвоенному углу при вершине (Рис.ба).

А

Рисунок 6. «Золотой» равнобедренный треугольник

Для этого вначале отрезок АВ разделяется точкой С в золотом сечении. Затем проводится окружность с центром в точке А и радиусом АВ. После этого раствор циркуля выбирается равным отрезку АС и затем на окружности (с помощью циркуля) отмечается точка В, такая, что АС = СБ. Затем с помощью линейки проводятся отрезки АВ, СБ и ВВ. Полученный таким образом треугольник АВВ обладает тем свойством, что углы В и В при его основании ВВ равны удвоенному углу при его вершине А, а отрезки СБ и ВВ оказываются равными.

А теперь перейдём к конструированию пентагона (Рис. 6Ь). Для этого начнём с треугольника АВВ, построенного на Рис. 6а. Проведём окружность через точки А, В и В (Рис. 6Ь). После этого разделим угол АВВ пополам и проведём отрезок ВЕ до его пересечения с окружностью в точке Е. Заметим, что этот отрезок пересекается в точке С с отрезком АВ, разделяя его золотым сечением. Подобным же образом находим точку ^ на окружности и затем находим регулярный пентагон АЕВВЕ. А далее - один шаг к геометрическому построению додекаэдра (Рис. 5) - одного из важнейших правильных многогранников, который символизировал в космологии Платона Гармонию Мироздания.

Числа Фибоначчи. С золотым сечением тесно связаны числа Фибоначчи,

открытые в 13 веке итальянским математиком Леонардо из Пизы, по прозвищу Фибоначчи. Они составляют числовой ряд, начинающийся с двух единиц, в котором каждое последующее число является суммой двух предыдущих. Отношение соседних чисел ряда Фибоначчи в пределе стремится к золотому сечению. Математическая теория чисел Фибоначчи получила дальнейшее развитие в работах французских математиков 19-го века Бине («формулы Би-не») и Люка («числа Люка»). Во второй половине 20-го века эта теория полу-

чила дальнейшее развитие в работах канадского геометра Дональда Коксе-тера [17], советского математика Николая Воробьева [18], американского математика Вернера Хоггатта [19] и английского математика Стефана Вайды [20]. Развитие этого направления, в конечном итоге, в 21 в. привело к возникновению математики гармонии [1] -[4] - нового междисциплинарного направления современной науки, которое имеет отношение к современной математике, к информационным технологиям, к экономике, а также ко всему теоретическому естествознанию. Работы известных математиков Коксетера, Воробьева, Хоггатта и Вайды, а также исследования математиков-фибонач-чистов, членов Американской Фибоначчи-Ассоциации, стали началом процесса «гармонизации математики», который активно продолжается и в 21-м веке.

H^B Series on Knuisand l'>eiything

THE MATHEMATICS OF HARMONY

From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science

by Alexey Stakhov

m robot »4 the Golden Sm«» and tliir ¡mHctioai |r.jiTOvx(r* j brad inlreductjcta in iti- tucmaiiag anil beautiful wbjwi oi iht "MailenuiiB n Hamony' a nrw ntriditciidinjffy JiiccbOD Id modem lril№. THi dui-ctkin has ill ar«ilui in The

Ebnrnu ofEmii'!.«! ilic m.».i un.-.-.i» • led.qvi'-J'i1 ......f^ni;...... nuUirraauoi

1 a oew aMriarh 1111 he hfelnryil umlwiisitiai, Ifcfi gtnnalowl filx«orci numhen mil llicgnirralijwl golden (.rcp«lii«i. lie "RuHni" Jgrl«MCTi|iiiiu<i»,)lir >*iiri jliird Billet fwniufas. FiL-ipjtci jjul 'nuJdni' mjuiicsi iheoieOol physic* (new liyperbdie Itr-'inw

liMrfuirWoiili'oraj.iiiri numb« fyitUUWilfe

irra'KHWil ririim, ril«*acci crro|nit<i». ternary mmiir tynmriricjl Miihmnj'-.  new iliroo' coding and iivi-Uigmjily Inerd upon Kiboium and "wJrtftrmairic«.)

One m« wilder «dwt |J»- tbn -mk h» in 'h- K-nmjl ilwory '4 mmIwmwjis, It urn» innw thai iiUr bt frwcmum,aiXiktJay labarliwAy ud 'M:irhrm.vi itr« i«l ih? nri«i!i««1 M»JiW6»kx and r> n« «dlinR «•> din mi.j 1I1- field ib* to already 1«--ti lurvrjird by then and Irit behind" At a mult, ihi» has crraud a »Hi bet we* n" Elr men (any Mailwmatic»- aalh«-b:w t of moAim ttathmulHiu education and

"AJvaiKed Marhcmnore" In ray opinion, ihe Ma hemic in ot Harmony drv-l<i*d by Piole»M"SuU)'0r IBI( ihnr¿ap Tw M-thtnaria <* Harmon} is. J rremendom itao MbcJ Minbin.nri Uithederelotnnoni ^'BerambgMUhnnaliu' aid a»uch diould

Ynn Miirupubtkv. Academician. I>n:ti«.J Physics knd Mailmnatlci: PMe»t*jf ifce l»muie <<Maibonai|ci,

nute sui ii j |.т1 'I'-.-iiad anil .¡uniliiaiil study "iriuiilii'iiuiiiv ТЪг li'ji- .1 this research 1.

of viul кг^сфпы tor the advance*»«! hi modern пийк mains theoretical phytic

^УлгЙ'гешЬ Го'зикЬт 'няшЫш жЬа fe laNobrfPrSe*' *"'1J" ' aml

Sories on Knots ап^Ь^ггЫтгё '

\*LEXEY STAKHOV

9 ' * - From Euclid

> Co n te mp ог'а РуЛЛа thematia and Computer Science

„ I l

л CS

Книга Алексея Стахова «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science"

6. Основные понятия математики гармонии

6.1. Диагональные суммы треугольника Паскаля и р-числа Фибоначчи.

В книге известного американского математика и популяризатора науки Джорджа Пойа «Математическое открытие» [21] описан способ получения так называемых диагональных сумм треугольника Паскаля, которые приводят к числам Фибоначчи.

Таким образом, изучая треугольник Паскаля, Джордж Пойа сделал неожиданное математическое открытие: он установил связь треугольника Паскаля с числами Фибоначчи. Интересно отметить, что этот предельно простой математический результат, который, как говорится, «лежал на поверхности», в течение нескольких столетий оставался «тайной» как для Блеза Паскаля, впервые разносторонне исследовавшего этот арифметический треугольник, так и для других математиков, которые соприкасались с треугольником Паскаля и числами Фибоначчи.

В своей книге [21] Пойа в виде упражнения также предложил несколько задач, связанных с треугольником Паскаля. Первая из них состоит в том, чтобы выразить числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты, то есть, найти общую формулу для диагональных сумм треугольника Паскаля.

Вторая задача оказалась более интересной и более сложной. Пойа увеличил наклон диагонали в треугольнике Паскаля и установил, что при этом диагональные суммы порождают новую числовую последовательность: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 9, 13,... . Он предложил доказать, что эта числовая последовательность задается рекуррентной формулой: Оп = Gn_1 + Оп_3 , а также выразить Оп через биномиальные коэффициенты. А затем Пойа предложил ещё больше увеличить наклон диагонали и обобщить полученный результат.

Все задачи, поставленные Пойа, были решены в книге [22] путем использования так называемого прямоугольного треугольника Паскаля (Табл. 1).

Суммируя в Табл. 1 биномиальные коэффициенты по столбцам, получим последовательность двоичных чисел: 1, 2, 4, 8, 16, 32,.... Этот результат широко известен в комбинаторике. Используя прямоугольный треугольник Паскаля, в работе [22] были построены так называемые прямоугольные р-треугольники Паскаля, которые получаются из исходного прямоугольного треугольника Паскаля (Табл. 1) путем сдвига биномиальных коэффициентов каждой строки исходного треугольника Паскаля на р столбцов вправо относительно предыдущей строки, где р может принимать значения из множест-

ва {0,1,2,3,...}. Получаемые таким путем «деформированные» треугольники Паскаля были названы р-треугольниками Паскаля [22].

Таблица 1. Прямоугольный треугольник Паскаля

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 1 3 6 10 15 21 28 36

3 1 4 10 20 35 56 84

4 1 5 15 35 70 126

5 1 6 21 56 126

6 1 7 28 84

7 1 8 36

8 1 9

9 1

1 2 4 8 16 32 64 128 512 1024

Таблица 2. Р-треугольник Паскаля для случая р = 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 3 6 10 15 21

3 1 4 10 20

4 1 5

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Суммируя в Табл.2 биномиальные коэффициенты по слолбцам, получим последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... .

Таблица 3. Р-треугольник Паскаля для случая р=2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 3 4 5 6 7

2 1 3 6 10

3 1

1 1 1 2 3 4 6 9 13 19

Суммируя биномиальные коэффициенты по столбцам р-треугольника Паскаля, мы получим бесконечное число рекуррентных числовых последовательностей, которые для заданных р = 0,1,2,3,... задаются следующим общим рекуррентным соотношением:

^

при начальных условиях

Гр

Числовые последовательности, порождаемые рекуррентной формулой (6) при начальных условияях (7), были названы р-числами Фибоначчи [22]. Заметим, что р-чис-ла Фибоначчи в духе методологического принципа соответствия включают в себя в качестве частных случаев двоичные числа (р = 0) и классические числа Фибоначчи (р = 1).

6.2. Золотые р-сечения

Известно, что отношение соседних чисел Фибоначчи ¥п / Рп-1 при п ¥ стремится к золотой пропорции:

ишЛ.=Ф=.

^ F 2

п¥ ^ п—1 ^

Доказано [22], что при заданном р = 0,1,2,3,... отношение соседних р-чисел Фибоначчи при п  ¥ стремится к некоторой константе Фр:

п¥

причем константа Фр является положительным корнем следующего алгебраического уравнения:

х

^ - хр-1 = 0.

Заметим, что это уравнение может быть также получено в результате решения следующей геометрической задачи. Зададимся целым неотрицательным числом р = 0,1,2,3,... и разделим отрезок АВ точкой С в следующей пропорции (Рис. 7):

СВ (АВ

а) р = 0 А .

b) р = 1 А.

c) р = 2 А . ё) р = 3 А. е) р = 4 А •

АС \ СВ

С

С

С

С

С

В Ф0=2

В Ф1=1,618

В Ф2=1,465

В Ф3=1,380

В Ф4=1,324

Рисунок 7. Золотые р-сечения

р

Деление отрезка в пропорции Фр было названо [22] золотым р-сечением, а сама пропорция Фр - золотой р-пропорцией.

Этот математический результат вызвал восхищение выдающегося украинского матема-тика академика Юрия Митропольского. В своем отзыве на научное направление автора он написал [23]:

«Давайте вдумаемся в этот результат. В течение нескольких тысячелетий, начиная с Пифагора и Платона, человечество пользовалось широко известным классическим Золо-тым Сечением, которое считалось единственным, уникальным и неповторимым. И вот в конце 20-го века украинский ученый Стахов обобщает эту задачу и доказывает существование бесконечного числа Золотых Сечений! И все они имеют такое же право на существов-ние, как и классическое Золотое Сечение. Более того, Стахов показывает, что Золотые р-пропорции Фр (1 <Фр < 2) представляют собой новый класс иррациональных чисел, которые выражают некоторые неизвестные нам до этого математические свойства треугольника Паскаля. Ясно, что такой математический результат имеет фундаментальное значение для развития современной науки и математики».

6.3. Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

В 19 в. французский математик Бине вывел две замечательные формулы, которые связывают золотую пропорцию с числами Фибоначчи и Люка. В книге [24] эти формулы были представлены в следующем виде:

Фп +Ф-

Ф" _ф-

К =

Ф" +Ф-"

"¡75^

Ф " ~Ф~"

для п = 2к; для п = 2к +1

для п = 2к +1;

для п = 2к

Заметим, что именно такое представление формул Бине обнаруживает связь с гиперболическими функциями, которые лежат в основе геометрии Лобачевского. Это простое наблюдение привело украинских математиков Алексея Стахова, Ивана Ткаченко и Бориса Розина к открытию нового класса гиперболических функций, названных гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка [25, 26]:

Гиперболический синус Фибоначчи

Фх - Ф-х

sFs(x) =

75

Гиперболический косинус Фибоначчи

cFs(х) =

Фх + Ф-

75

Гиперболический синус Люка

эЬэ^) = Фх - ф-х Гиперболический косинус Люка

С^(х) = Фх + ф-х

где х - непрерывная переменная, принимающая значения в диапазоне от до +¥ .

Числа Фибоначчи и числа Люка Ьп связаны с гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка следующими простыми соотношениями:

п

п

х

| яРя (п) при п = 2к

К = \р

[сря (п) при п = 2к +1

I сЬя (п) при п = 2к /1 оч

1п = 1 Г

[яья (п) при п = 2к +1 где к принимает значение из множества к е{0, ±1, ±2, ±3,...}.

Из этих формул вытекает, что при всех чётных значениях п = 2к функция гиперболического синуса Фибоначчи Р (п) = Р (2к) совпадает с числами Фибоначчи с чётными индексами Рп = Р2к, а при всех нечётных значениях п = 2к+1 функция гиперболического косинуса Фибоначчи сРя (п)= сРя (2к +1) совпадает с числами Фибоначчи с нечётными индексами Рп = Р2к+1. В то же время при всех чётных значениях п = 2к функция гиперболического косинуса Люка яЬя (п)= яЬя (2к) совпадает с числами Люка с чётными индексами Ьп = Ь2к, а при всех нечётных значениях п = 2к +1 функция гиперболического синуса Люка Р (п)= яРя (2к +1) совпадает с числами Люка с нечётными индексами Ьп = Ь2к+1. То есть, числа Фибоначчи и Люка как бы вписываются в гиперболические функции Фибоначчи и Люка в «дискретных» точках непрерывной переменной х.

Доказано [26], что гиперболические функции Фибоначчи и Люка (ГФФЛ), с одной стороны, обладают всеми свойствами классических гиперболических функций. Например, известное тождество для классических гиперболических функций

[ск

для случая ГФФЛ выглядит следующим образом:

[сРЯ

Но при этом ГФФЛ обладают рекуррентными свойствами, подобными свойствам чисел Фибоначчи и Люка. Например, известному в теории чисел Фибоначчи тождеству Кассини

Р„2 - Рп+1Р„-1 =

соответствует два непрерывных тождества для гиперболических функций Фибоначчи:

[р (х)]2 - Р (х +1)ср (х -1) = -1 [сРЯ (х)]2 - Р (х + 1) яр (х -1) = 1.

Важно подчеркнуть, что каждому «дискретному» тождеству для чисел Фибоначчи и Люка соответствуют два «непрерывных» тождества для ГФФЛ. И наоборот, используя соотношения, связывающие числа Фибоначчи и Люка с ГФФЛ, каждому тождеству для ГФФЛ мы можем поставить в соответствие некоторое «дискретное» тождество для чисел Фибоначчи и Люка. Поскольку числа Фибоначчи и Люка являются «дискретным» случаем ГФФЛ, с которыми они совпадают для дискретных значений непрерывной переменной х = 0,±1,±2,±3,..., это означает, что с введением ГФФЛ классическая теория чисел Фибоначчи [18]-[20] как бы «вырождается», поскольку она становится частным («дискретным») случаем более общей («непрерывной) теории ГФФЛ.

Наиболее ярким приложением ГФФЛ в совремнной науке является новая геометрическая теория филлотаксиса, разработанная украинским исследователем, доктором искусствоведения Олегом Боднаром [27].

6.4. Лямбда-числа Фибоначчи

Современная математика гармонии [1]-[4] является активно развивающимся направлением современной науки и математики. В конце 20-го и начале 21-го вв. сразу несколько исследователей из разных стран - аргентинский математик Вера Шпинадель [28], французский математик египетского происхождения Мидхат Газале [28], американский математик Джей Кап-прафф [30,31], российский исследователь Александр Татаренко [32], армянский философ и физик Грант Аракелян [33], российский исследователь Виктор Шенягин [34], украинский физик Николай Косинов [35], украинско-канадский исследователь Алексей Стахов [36], испанские математики Falcon Sergio, Plaza Angel [37] и др. независимо друг от друга начали изучать новый класс рекуррентных числовых последовательностей, которые являются обобщением классических чисел Фибоначчи. Эти числовые последовательности были названы l-числами Фибоначчи.

Для введения l-чисел Фибоначчи зададимся действительным числом l > 0 и рассмотрим следующее рекуррентное соотношение:

Это рекуррентное соотношение «генерирует» бесконечное количество новых числовых последовательностей, так как каждому 1 > 0 соответствует своя числовая последовательность. Важно подчеркнуть, что их частными случаями являются некоторые числовые последовательности, получившие широкую известность в современной науке.

Fi( n + 2) = lFi( n +1) + Fi( n); Fx( 0) = 0, F¡(1) = 1.

В частности, для случая 1 = 1 это рекуррентное соотношение сводится к рекуррентному соотношению для классических чисел Фибоначчи

П + 2) = П +1)+П); /1

При 1 = 2 это рекуррентное соотношение сводится к рекуррентному соотношению

/2

которое задает так называемые числа Пелля: 0,1,2,5,12,29,70,...

6.5. Формула Кассини для лямбда-чисел Фибоначчи

Напомним, что упомянутая выше формула Кассини (21), связывающая три соседних числа Фибоначчи /П-1, ¥п, /П+1, является одним из наиболее удивительных тождеств для чисел Фибоначчи.

Доказано [4], что такое свойство присуще и 1 -числам Фибоначчи, то есть, три соседних 1 -числа Фибоначчи связаны между собой следующим соотношением:

Ниже в Табл.4 приведены так называемые расширенные 1 -числа Фибоначчи для значений 1 = 1,2,3,4.

Таблица 4. Расширенные 1 -числа Фибоначчи

П 0 1 2 3 4 5 6 7 8

/ ( П ) 0 1 1 2 3 5 8 13 21

/ (—П ) 0 1 -1 2 -3 5 -8 13 -21

/2 (П) 0 1 2 5 12 29 70 169 408

/2 (—П ) 0 1 -2 5 -12 29 -70 169 -408

(П) 0 1 3 10 33 109 360 1189 3927

(—П ) 0 1 -3 10 -33 109 -360 1199 -3927

/4 (П) 0 1 4 17 72 305 1292 5473 23184

/4 (-П) 0 1 -4 17 -72 305 -1292 5473 -23184

Приведём примеры выполнения обобщенного тождества Кассини для различных последовательностей, приведенных в Табл.4. Для случая 1 = 2 рассмотрим следующую тройку чисел: /2 (6) = 70, /2 (7) = 169, /2 (8) = 408, взятых из

указанной таблицы. Произведя вычисления над ними согласно формуле Кас-сини, получим следующий результат:

(169)2 - 70X408 = 28561 - 28560 = 1, что соответствует тождеству Кассини, поскольку (-1Г+1 = (-1)8 = 1.

Теперь рассмотрим /3 (п)- последовательность соответствующую случаю П = 6 . Для этого мы должны рассмотреть следующую тройку чисел из указанной таблицы:

/3 (5) = 109, /3 (6) = 360, /3 (7) = 1189.

Произведя вычисления над ними согласно тождеству Кассини, получим следующий результат:

(360)2 -109Х1189 = 129600-129601 = -1, что соответствует тождеству Кассини, поскольку (-1)П+: = (-1)7 = -1.

Таким образом, в случае 1 -чисел Фибоначчи (для целых значений 1) мы имеем бесконечное количество целочисленных последовательностей, простирающихся от +¥ до -¥, обладающих уникальным математическим свойством, выражаемым обобщенной формулой Кассини (26), которая гласит:

Квадрат некоторого 1 -числа Фибоначчи п) всегда отличается от произведения двух соседних 1 -чисел Фибоначчи п -1) и п +1), которые его окружают, на 1, причем знак этой единицы зависит от чётности числа п; если число п является чётным числом, то 1 берется с минусом, а если нечётным, то с плюсом.

Очевидно, что для многих математиков, в частности, специалистов в области теории чисел, может оказаться совершенно неожиданным доказательство существования в множестве целых чисел бесконечного количества рекуррентных числовых последовательностей, подобных числам Фибоначчи, которые обладают уникальным математическим свойством, задаваемым (26).

6.6. «Металлические пропорции»

Разделим обе части рекуррентного соотношения ддя 1 -чисел Фибоначчи на / ( п+1) и представим его в следующем виде:

/ (П + 2) / (П) 1

/

/

рЛ П +1)

Если обозначить через х предел отношения 14 ; при п , то, осуще-

П)

ствляя предельный переход в (27), мы получим следующее квадратное уравнение:

х2 =1х+1.

Мы будем пользоваться также следующей традиционной формой записи этого квадра-тного уравнения:

X2-1х-1 = 0.

Нам хорошо известно из средней школы, что квадратное уравнение (29) имеет два корня:

1 + >/ 4 + 12 . 1-7 4 + 12

х =-2-; Х2 =-2—.

Обозначим через Фх положительный корень х и рассмотрим новый класс мате-матических констант, задаваемых следующим выражением:

= .

Заметим, что для случая 1 = 1 эта формула сводится к выражению для классической золотой пропорции:

Ф=!^.

Аргентинский математик Вера Шпинадель [28] назвала математические константы, задаваемые выражением (31), «металлическими пропорциями». Если в этом выражении мы примем 1 = 1,2,3,4, то тогда мы получим следующие математические константы, имеющие, согласно Шпинадель, следующие названия:

Ф1 = 1 +2^ (золотая пропорция, 1 = 1); Ф2 = 1 + 72 (серебряная пропорция, 1 = 2);

Ф3 = 3 + (бронзовая пропорция, 1 = 3); Ф4 = 2 + 75 (медная пропорция, 1 = 4).

Остальные металлические пропорции (1 > 5) не имеют специальных названий:

_ 5 + N/29 Л „ „ г— Л 7 + ^л/14 Л „ г— Ф5 =-; Ф 6 = 3 + 2лД0; Ф 7 =-; Ф8 = 4 + л/17.

Ясно, что количество «металлических пропорций» теоретически бесконечно, так как каждому действительному числу 1 > 0 соответсвует своя «металлическая пропорция» вида (31). И наиболее важным является тот факт, что «металлические пропорции» (31) являются «естественным» обобщением одной из важнейших математических констант - золотой пропорции (1 = 1). Это дает нам основание предположить, что «металлические пропорции», возможно, представляют такой же интерес для математики и теоретического естствознания, как и золотая пропорция.

Любопытно подчеркнуть, что простейшее квадратное уравнение (28) известно более двух тысячелетий (Вавилон, Древняя Индия, Древний Китай). И, тем не менее, только в конце 20-го века - начале 21-го века ученые разных стран (Шпинадель, Газале, Каппрафф, Татаренко, Аракелян, Шенягин, Косинов и др.) обратили внимание на уникальность этого квадратного уравнения, изучение которого привело к открытию нового класса математических констант - «металлических пропорций».

Подставляя Фх в квадратное уравнение (28), получим следующее тождество:

Ф2 =1Ф1 +1.

Это выражение приводит нас к следующим самоподобным («фрактальным») представлениям для «металлических пропорций»:

+ IV1 +... ; фх=1 +----

1 +

1 1

1 + -

1 +...

Заметим, что при 1 = 1 эти выражения сводятся к широко известным представлениям для золотой пропорции:

ф=^ 1+>/!+>/1+>С ; Ф*=1+-—1—

я+- 1 1+...

Как известно, представление золотой пропорции в виде цепной дроби вы-

^ 1

деляет золотую пропорцию Ф =- среди других иррациональных чисел.

То есть, золотая пропорция является уникальным иррациональным числом. Но рассмотренное выше представление «металлических пропорций» в виде цепной дроби (34) является обобщением этого «уникального» свойства для золотой пропорции, и поэтому «металлические пропорции» также могут быть отнесены к разряду «уникальных» иррациональных чисел.

Таким образом, проведённые выше рассуждения являются ещё одним подтверждением того, что «металлические пропорции» действительно являются новыми математическими константами, обладающими математическими свойствами, подобными свойствам золотой пропорции. Поэтому изучение свойств «металлических пропорций» и поиск их приложений в теоретическом естествознании является одной из важнейших задач.

6.7. Гиперболические лямбда-функции Фибоначчи и Люка

В книге Мидхата Газале [29] и статье Алексея Стахова [36] выведены две замечательные формулы, которые связывают 1 -числа Фибоначчи п) и 1 -числа Люка Ь1( п) с «металлическими пропорциями» Фх:

Ъ (п) =

Ф1 - (-1)п Ф-п

л/т2

Ь (п) = Ф 1 + (-1)п Ф—п,

где п = 0, ±1, ±2, ±3,....

В работе [36] эти формулы были названы формулами Газале. Важно подчеркнуть, что эти формулы являются обобщением классических формул Бине для чисел Фибоначчи и Люка (11), (12).

Формулы Газале являются исходными для введения нового класса гиперболических функций - гиперболических 1 -функций Фибоначчи и Люка [36]. Рассмотрим эти функции:

Гиперболический 1-синус и 1-косинус Фибоначчи

(1 + л/ 4 + 12(1 + л/ 4 + 12 1

sFx (х) =

(х) =

Ф1 -Ф1х

1

л/4 + 12 л/4 + 12 1

2

2

Ф1 + Ф-х

л/4 + 12 л/4+12

V У V У

( Х^л/^+Х2 Т (1 + л/ 4 + 121

+

2

\

/

2

\

/

Гиперболический 1-синус и 1-косинус Люка

sLx (х) = Ф1 -Ф1х =

1^л/4+12 Т (1 + л/ 4 + 12

2

2

оЬх (х) = Ф1 + Ф-х =

V /V /

(1 + 4 4 + 12 У ( 1 + У1 4 + 121х + -

2

х

—х

где х - непрерывная переменная и 1 > 0 - заданное положительное действительное число.

1 -числа Фибоначчи и Люка определяются через гиперболические 1 -функции Фибоначчи и Люка следующими простыми соотношениями:

К (п) =

(п) =

(п), п = 2к еЕ^ (п), п = 2к +1'

(п),

п = 2к п = 2к +1'

Из формулы (41) вытекает, что при чётных значениях п = 2к функция гиперболического 1 -синуса Фибоначчи п) = 2к) совпадает с 1 -числом Фибоначчи п ) = Е1( 2к), а при всех нечётных значениях п = 2к+1 функция гиперболического 1 -косинуса Фибоначчи еЕ1(п) = еЕ1(2к +1)совпадает с 1 -числом Фибоначчи (п) = (2к +1). В то же время из формулы (42) вытекает, что при чётных значениях п = 2к функция гиперболического 1 -косинуса Люка еЕ1( п ) = еЕ1( 2к) совпадает с 1 -числом Люка ьх( п ) = ьх( 2к), а при нечётных значениях п = 2к +1 функция гиперболического 1 -синуса Люка Е(п) = Е(2к +1) совпадает с 1 -числом Люка ьх(п) = ьх(2к +1). То есть, 1 -числа Фибоначчи и Люка как бы вписываются в гиперболические функции Фибоначчи и Люка.

6.8. Матрицы Фибоначчи и «золотые» Q -матрицы

В книге [19] рассмотрена квадратная Q -матрица Фибоначчи размером 2 х 2:

(1 11

Q =

1 о

Доказано [19], что матрица (43) обладает следующими математическими свойствами:

detQ = 1-0-11 = -1

Qn =

где Еп-1, Еп, Еп+1 - числа Фибоначчи. Детерминант матрицы (45) равен:

Еп+1 Еп Еп Еп-1

ё<* ) = Еп+1Еп_! - =

п

Выражение (46) можно переписать следующим образом:

ё*

откуда вытекает, что детерминант матрицы (45) совпадает с формулой Касси-ни (21).

В статье [38] введена квадратная -матрица Фибоначчи (р е {0,1,2,3,...} -заданное целое число) размером (р+1)х( р+1):

'1 1 0 0 ... 0 0* 0 0 10 ... 0 0 0 0 0 1 ... 0 0

( =

0000 0000 1000

10 01 00

которая является обобщением ( - матрицы (43) и обладает следующими замечательными свойствами:

ё*

( =

Ър

Ър

Ър

Ър

Ър

где (п) - р -число Фибоначчи, п = 0, ±1, ±2, ±3, ..., причем

ёа ( =(-1)р

В статье [39] введены «золотые» (—матрицы, элементами которых являются гиперболлические функции Фибоначчи (13), (14):

((х) =

cFs

; ( (х)=

sFs

Эти матрицы обладают следующими замечательными математическими

свойствами:

ёе1

7. Приложения математики гармонии в теории измерения и теории чисел 7.1. Математика гармонии и математическая теория измерения

Классическая математическая теория измерения. Проблема измерения» играет такую же значительную роль в математике, как и в других областях науки, в частности в технике, физике и других «точных» науках. Как известно, первой «теорией измерений» был свод правил, которыми пользовались древнеегипетские землемеры. От этого свода правил, как свидетельствуют древние греки, берёт начало геометрия, обязанная своим появлением (и названием) задаче об «измерении земли». Одним из главных математических достижений древнегреческой математики считается открытие несоизмеримых отрезков, сделанное в научной школе Пифагора. Это открытие вызвало первый в истории математики кризис в её основаниях и привело к введению иррациональных чисел - второго (после натуральных чисел) фундаментального понятия математики. Это открытие привело к формулировке «метода исчерпывания» Евдокса и «аксиомы измерения» (см. ниже), к которым в своих истоках восходят теория чисел, интегральное и дифференциальное исчисление.

Для преодоления кризиса в основаниях античной математики, связанного с открытием «несоизмеримых отрезков», выдающийся геометр Евдокс предложил "метод исчер-пывания", с помощью которого он построил остроумную теорию отношений, лежащую в основе античной теории континуума. "Метод исчерпывания" сыграл выдающуюся роль в развитии математики. Будучи прообразом интегрального исчисления, "метод исчерпыва-ния" позволял античным математикам решать задачи вычисления объема пирамиды, конуса, шара. В современной математике метод исчерпывания находит свое отражение в аксиоме Евдокса-Архимеда, называемой также аксиомой измерения.

Аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора. Теория измерения геометрических величин, восходящая к «несоизмеримым отрезкам», основывается на группе аксиом, называемых аксиомами непрерывности [40], которые включают в себя аксиомы Евдокса-Архимеда и Кантора или аксиому Дедекинда.

Аксиома Евдокса-Архимеда («аксиома измерения»): Для любых двух отрезков А и В (Рис.8) можно найти такое натуральное число п, чтобы

пВ > А.

А

,_, А0 А1 А2 Ап Бп В2 В1 В0

I-1-1-1  I-1-1—I

С

Б Б Б Б Б Б

I-1-1-1-1-1-1

Рисунок 8. Аксиома Евдокса-Архимеда Рисунок 9. Аксиома Кантора

Аксиома Кантора (о «стягивающихся отрезках»): Если задана бесконечная последовательность отрезков Л0В0, Л1Б1, Л2В2,...,ЛпБп,..., «вложенных» друг в друга (Рис. 9), то есть, каждый отрезок являются частью предыдущего, то тогда существует, по крайней мере, одна точка С, общая для всех отрезков.

Главным результатом теории геометрических величин является доказательство существования и единственности решения q «основного уравнения измерения»:

где V - единица измерения; ( - измеряемая величина и q - результат измерения.

Несмотря на кажущуюся простоту сформулированных выше аксиом и всей математической теории измерения, она, тем не менее, является продуктом более чем двухтысячелетнего периода в развитии математики и содержит в себе ряд глубоких математических идей и понятий. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что "метод исчерпывания" Евдокса и вытекающая из него аксиома измерения имеют практическое (эмпирическое) происхождение; они были позаимствованы античными математиками в практике измерений. В частности, "метод исчерпывания" является математической моделью процессов измерения объемов жидкостей и сыпучих тел путем "исчерпывания"; аксиома измерения, в свою очередь, концентрирует тысячелетний опыт человека, задолго до возникновения аксиоматического метода в математике миллиарды раз измерявшего расстояния, площади и временные интервалы, и представляет собой сжатую формулировку алгоритма измерения отрезка Л с помощью отрезка В .

Конструктивный подход к построению математической теории измерения. Аксиома Кантора содержит в себе ещё одно необычное творение математической мысли - абстракцию актуальной бесконечности. Именно такое представление о бесконечном лежит в основе канторовской теории бесконечных множеств. Представление об актуальной бесконечности в качестве образца канторовского (теоретико-множественного) стиля математического мышления было подвергнуто резкой критике со стороны представителей так

называемого конструктивного подхода, который возник в математике 20-го века с целью преодолния кризиса в математике, связанного с обнаружением парадоксов в канторовской теории множеств. По меткому выражению А. А. Маркова [41], «мыслить себе бесконечный, т. е, никогда не завершаемый процесс как завершенный не удается без грубого насилия над разумом, отвергающим такие противоречивые фантазии».

Из этих рассуждений вытекает, что существующая теория измерения и вытекающая из неё теория действительных чисел, основанные на аксиоме Кантора, являются внутренне противоречивыми и такие теории не могут быть положены в основание математики! Иначе и вся математика становится внутренне противоречивой теорией. Что на самом деле и случилось в математике в начале 20-го века, когда были обнаружены противоречия в канторовской теории бесконечных множеств [42]. Удивительно, что такая простая идея до книги [22] не была замечена математиками.

В рамках конструктивного подхода к созданию математической теории измерения понятие «актуальной бесконечности» должно быть исключено из рассмотрения (вместе с аксиомой Кантора) в силу его внутренней противоречивости («завершенная бесконечность»).

Идеи современных математиков-конструктивистов, рассматривающих абстракцию актуальной бесконечности как внутренне противоречивое понятие («завершенная бесконечность»), приводят к мысли о возможности построения математической теории измерения на основе интуитивной, "практической" идеи о конечности измерительного процесса, согласно которой всякое измерение завершается за конечное число шагов, и конструктивной идеи потенциальной осуществимости, в соответствии с которой мы отвлекаемся от ограниченности наших возможностей в выборе средств и количества измерительных шагов (т. е. количество измерительных шагов может быть установлено как угодно большим и всегда существует потенциальная возможность для совершения следующего шага измерения).

Такое, на первый взгляд, незначительное изменение в подходе приводит к переосмысливанию самих задач математической теории измерения. При теоретико-множественном подходе измерение ведется "до точки", т. е. до абсолютно точного совпадения измеряемого и измеряющего отрезков (возможность такого абсолютно точного измерения вытекает из аксиомы Кантора). При конструктивном подходе измерение никогда не доходит "до точки ", а результатом измерения всегда является некоторый отрезок, некоторый интервал неопределённости относительно истинного значения измеряемой величины. С увеличением числа шагов измерения этот интервал сужается и может быть сделан как угодно малым, но никогда этот интервал не превращается в точку.

В своей известной работе "О философии математики" [43] Герман Вейль следующим образом выражает различие между классическим и конструктивным представлениями о континууме:

"Современному анализу континуум представляется в виде множества его точек, в континууме он видит лишь частный случай основного логического отношения элемента и множества. Но поразительно, что столь же фундаментальное отношение целого и части до сих пор не находило себе места в математике! Между тем обладание частями есть основное свойство континуума и брауеровская теория ... кладёт это отношение в основание математического изучения континуума. В этом заключается собственно основание сделанной выше ... попытки исходить не из точек, а из интервалов, как из первичных элементов построения".

Одним из моментов в теоретико-множественной теории измерения, основанной на аксиомах Евдокса-Архимеда и Кантора, является выбор способа или алгоритма измерения, задающего систему счисления, в которой нумеруется число, являющееся результатом измерения. При бесконечном (в актуальном смысле) числе шагов измерения, т. е. при измерении "до точки", алгоритм не влияет на конечный результат измерения, и поэтому проблема способов, алгоритмов измерения как серьёзная математическая проблема здесь не возникает. Выбор алгоритма в значительной степени носит произвольный характер и, как правило, сводится к «десятичному» или «двоичному» алгоритму.

При конечном числе шагов измерения, т. е. при измерения "до интервала" [43], между алгоритмами измерения появляется различие в достигаемой с их помощью "точности" измерения, под которой в данном случае понимается отношение исходного интервала неопределённости к интервалу неопределённости на последнем, завершающем шаге измерения. При таких условиях вступает в действие вторая конструктивная идея об "эффективности" алгоритмов измерения, а задача синтеза "эффективных" или "оптимальных" алгоритмов измерения и выдвигается в качестве центральной задачи конструктивной (алгоритмической) теории измерения [22].

Принцип асимметрии измерения. Рассмотренные выше принципы конечности и потенциальной осуществимости измерительного акта являются как бы «внешними» по отношению к измерению и носят столь общий характер, что есть опасность его сведения к некоторому тривиальному результату (например, к доказательству «оптимальности» так называемого «двоичного» алгоритма измерения, который сводит процесс измерения к последовательному сравнению измеряемой величины с «двоичными» гирями: 2""1,2""2,...,2° и лежит в основе двоичной системы счисления.

Для получения новых нетривиальных результатов методологический базис конструктивной (алгоритмической) теории измерения должен быть дополнен

неким общим принципом, вытекающим из самой природы, сущности измерения.

При внимательном анализе «двоичного» алгоритма измерения обнаруживается одна его особенность, которая имеет общий характер для любых мыслимых измерений, основанных на сравнении измеряемой величины с «эталонными гирями», и наглядно может быть продемонстрирована на модели взвешивания на рычажных весах неизвестного груза Q < 2я с помощью системы двоичных гирь: {2я-1,2я-2,...,20} (Рис. 10).

На первом шаге взвешивания на правую чашу весов кладется «старшая» гиря весом 2я-1, что обозначено символом «+» («добавить»). При этом могут возникнуть две ситуации: (2я-1 < Q) (Рис. 10а) и (2я-1 > Q) (Рис. 10Ь). В первом

случае (Рис. 10а) следующий шаг состоит в том, чтобы добавить (+) на правую чашу весов очередную по старшинству гирю 2я"2. Во втором случае (Рис. 10Ь) «весовщик» должен выполнить две операции: снять (-) с правой чаши

весов предыдущую гирю, после чего весы возвращаются в исходное положение; после возвращения рычажных весов в исходное положение он должен добавить (+) на правую чашу весов следующую по старшинству гирю 2я-2.

а)

Ь)

2П- ... 20

......I  ...

.....  ...

2П-1 2П-

... 20

-,п-1

с)

...

2 2 ... 20

Рисунок 10. Принцип асимметрии измерения

Следовательно, логика любого сравнения с помощью рычажных весов асимметрична, так как предполагает различную степень сложности действий «весовщика» в зависимости от положений, в которых оказываются рычажные весы (устройство сравнения) после очередного шага сравнения; при этом действия "весовщика" после получения сигнала "больше" (правая чаша перевесила) оказываются "сложнее" по сравнению с его действиями после получения сигнала "меньше" (весы остались в исходном положении).

Обнаруженное свойство измерения и составляет содержание принципа асимметрии измерения [44]. Сложность действий «весовщика» после получения сигнала «больше» определяется двумя факторами. Во-первых, он должен снять гирю с правой чаши весов и, во-вторых, учесть время, затрачиваемое на «восстановление» весов в исходное положение. Введение восстановительного периода устройства сравнения (рычажных весов) и учёт этого периода в математической модели измерения и его алгоритме и является одной из оригинальных идей алгоритмической теории измерения, вытекающей из принципа асимметрии измерения [44].

Фибоначчиевые алгоритмы измерения. Наиболее неожиданным результатом алгоритмической теории измерения [22] является решение задачи синтеза «оптимального» алгоритма измерения с учётом «принципа асимметрии измерения». Доказано [22], что для рычажных весов, обладающих «инерционностью» ре {0,1,2,3,...}, оптимальной является система гирь, веса которых

задаются р-числами Фибоначчи, обнаруженными выше при исследовании «диагональных сумм» треугольника Паскаля, то есть,

Такие алгоритмы измерения были названы фибоначчиевыми [22]. Главное прикладное значение фибоначчиевых алгоритмов измерения состоит в том, что они «порождают» так называемые р-коды Фибоначчи, которые могут стать основой для создания нового класса помехоустойчивых компьютеров -компьютеров Фибоначчи.

Значение алгоритмической теории измерения для развития математики. Таким образом, между алгоритмами измерения и способами представления чисел существует изоморфизм, так каждый алгоритм измерения «порождает» некоторый позиционный способ представления чисел. Оказалось [22], что все известные позиционные системы счисления, в частности, десятичная и двоичная, «порождаются» некоторыми «оптимальными» алгоритмами измерения, полученными в рамках алгоритмической теории измерения. Но в рамках алгоритмической теории измерения [22] получен ряд необычных алгоритмов, в частности, «биномиальные алгоритмы измерения», которые «порождают «биномиальные системы счисления», а также упомянутые выше

{рр (п),Рр (п -1)р ()р (2),р (1)} .

фибоначчиевые алгоритмы измерения, основанные на (56). Это означает, что алгоритмическая теория измерения касается одного из самых слабо развитых в теоретическом отношении разделов теории чисел - систем счисления. Благодаря концепции изоморфизма алгоритмическая теория измерения становится мощным источником для развития теории систем счисления как важного раздела «элементарной теории чисел».

Таким образом, алгоритмическая теория измерения [22] как бы предшествует «элементарной теории чисел», которая основывается на простейшем алгоритме измерения - алгоритме счета. Именно этот алгоритм лежит в основе акмиомы Евдокса-Архимеда и «Евклидова определения» натурального числа:

Если мы будем использовать другие алгоритмы измерения, синтезированные в алгоритмической теории измерения [22], то «элементарная теория чисел» будет другой, например, фибоначчиевой, основанной на

С другой стороны, новые системы счисления, синтезированные в алгоритмической теории измерения, порождают новые компьютерные арифметики, что представляет фундаментальный интерес для теории цифровых компьютерных технологий.

7.2. Математика гармонии и системы счисления с иррациональными основаниями

Нулевая избыточность - основной недостаток классической двоичной системы счисления. Как известно, двоичная система была введена в компьютерную технику в 1946 г. Джоном фон Нейманом совместно с его коллегами по Принстонскому институту перспективных исследований. Одним из «неймановских принципов» было обоснование использования в электронных компьютерах двоичной системы счисления. На тот период это было абсолютно правильное и взвешенное решение, так как двоичная система в наибольшей степени отвечала двоичному характеру электронных элементов и требованиям булевой логики. Кроме того, следует учитывать то обстоятельство, что в тот период других, альтернативных систем счисления в науке просто не существовало. Выбор был очень небольшой: десятичная система или двоичная система. Предпочтение было отдано двоичной системе. Однако вместе с двоичной системой в компьютерную технику был введен «троянский конь» в виде нулевой избыточности двоичной системы. Отсутствие избыто-чности означает, что все двоичные кодовые комбинации в рамках двоичной системы

N =1 + 1 + ... + 1.

N

(56).

являются «разрешёнными», что делает невозможным обнаружение каких-либо ошибок, которые неизбежно (с большей или меньшей вероятностью) могут возникнуть в элементах электронных систем под влиянием различных внешних и внутренних факторов (радиация, электромагнитные воздействия, помехи в шинах питания и т. д.).

Таким образом, из вышеизложенного вытекает далеко не оптимистичный вывод. Человечество становится заложником классической двоичной системы счисления, которая лежит в основе работы современных микропроцессоров и информационных технологий. Поэтому дальнейшее развитие микропроцессорной техники и основанных на ней информационных технологий, использующих двоичную систему счисления, следует признать неприемлемым направлением для определенных сфер приложений.

Двоичная система не может служить информационной и арифметической основой специализированных компьютерных и измерительных систем (космос, управление транспортом и сложными технологическими объектами), а также наноэлектроннных систем, где проблемы надежности, помехоустойчивости, контролеспособности, стабильности, живучести систем выходят на передний план.

Аварии национального масштаба в ряде стран (Россия, США), в частности, при запуске ракет, которые были вызваны сбоями в цифровых компьютерах систем управления, стали серьезным предупреждением. В этой связи не является случайным следующее заявление признанного российского эксперта в области компьютерной техники академика Я. А. Хетагурова:

«Применение микропроцессоров, контроллеров и программного обеспечения вычислительных средств (ВС) иностранного производства для решения задач в системах реального времени (СРВ) военного, административного и финансового назначения таит в себе большие проблемы. Это своего рода «троянский конь», роль которого только стала проявляться. Потери и вред от их использования могут существенно повлиять на национальную безопасность России... Отсутствие в иностранных вычислительных средствах широкого профиля контроля, необходимого для обеспечения требуемой достоверности выдаваемых данных в СРВ, приводит либо к использованию программных методов контроля, которые увеличивают быстродействие в 1,52,5 раза и потребление электроэнергии, либо применению мажоритарного метода контроля, использующего 3 вычислительных устройства ШП, что повышает требования к быстродействию на 10-15%, однако увеличивает объём аппаратуры ВС в среднем в 3,3 раза и потребление электроэнергии в 3,4 раза».

Таким образом, микропроцессоры иностранного производства, широко используемые в современных российских разработках, по мнению академика Хетагурова, являются «троянским конем», который угрожает национальной безопасности систем реального времени военного, административного и фи-

нансового назначения. Причем основным их недостатком, по мнению Хета-гурова, является «отсутствие в иностранных вычислительных средствах широкого профиля контроля, необходимого для обеспечения требуемой достоверности выдаваемых данных в системах реального времени».

Возрастание интереса к системам счисления в современной науке. Как

известно, этап зарождения математики [15] характеризуется повышенным интересом к системам счисления (вавилонская 60-ричная система счисления, египетская десятичная (но непозиционная) система счисления и др.) Но после создания десятичной и двоичной систем счисления интерес к проблеме систем счисления в «классической математике» угас и в этой области «классическая математика» недалеко ушла вперед по сравнению с периодом своего зарождения. Однако после создания электронных компьютеров отношение к системам счисления резко изменилась. Именно в этой области возник огромный интерес к способам представления чисел и к новым компьютерным арифметикам. Кроме использования двоичной системы счисления (неймановские принципы), уже на начальном этапе компьютерной эры были предприняты попытки использования в компьютерах и других, отличных от двоичной, систем счисления (в этом отношении наиболее ярким примером является первый в истории компьютеров троичный компьютер «Сетунь», спроектированный Н. П. Брусенцовым с использованием троичной симметричной системы счисления). В этот период появились системы счисления с «экзотическими» названиями и свойствами: система остаточных классов, с комплексным основанием, негапозиционная, фактори-альная, биномиальная системы счисления и др. [45]. Все они имели определенные преимущества по сравнению с двоичной системой и были направлены на улучшение тех или иных технических характеристик компьютеров; некоторые из них стали основой для создания новых компьютерных проектов (троичный компьютер «Сетунь», компьютер, основанный на системе остаточных классов, и др.).

Но есть и другой интересный аспект этой проблемы. Спустя 4 тысячелетия после изобретения вавилонянами позиционного принципа, в области систем счисления наступил период своеобразного «ренессанса». Благодаря усилиям, прежде всего, специалистов в области компьютерных технологий математика как бы вновь возвратилась к периоду своего зарождения, когда именно системы счисления являлись одним из важных математических направлений. Но ведь этот период, по мнению многих историков математики, считается чрезвычайно важным для развития математики на этапе её зарождения. Именно в этот период были заложены основы такого важнейшего математического понятия, как натуральное число, и истоки самой теории чисел, которая по праву считается «царицей математики». Но тогда вполне резонным является постановка следующего вопроса: а не могут ли современные системы счис-

ления, созданные для удовлетворения утилитарных потребностей компьютерной техники, повлиять на развитие самого понятия числа и теории чисел и таким путем оказать фундаментальное влияние не только наразвитие компьютерной науки, но и всей математики?

В рамках математики гармонии получено несколько важных математических результатов в области избыточных позиционных систем счисления, которые могут стать основой помехоустойчивых компьютеров и представляют теоретико-числовой интерес как новые определения натуральных и действительных чисел. К ним, в первую очередь, относятся так называемые системы счисления с иррациональными основаниями, и, в частности:

1. Р-коды Фибоначчи [22, 46-50]

2. Система счисления Бергмана [51]

3. Коды золотой р-пропорции [24, 52, 53]

4. Троичная зеркально-симметричная арифметика [54]

Р-коды Фибоначчи. Как упоминалось, фибоначчиевые алгоритмы измерения, основанные на (56), порождают следующее двоичное позиционное представление чисел:

N = апРр

где аг е {0,1} - двоичная цифра г -го разряда; п - разрядность представления;

Рр (г)(г = 1,2,3, ..., п) - вес г-го разряда, равный г -му р -числу Фибоначчи.

Важно подчеркнуть, что понятие «р-кодов Фибоначчи» включает в себя бесконечное число двоичных позиционных представлений типа (57). При этом частным случаем представления (57) является классическое двоичное представление (р = 0) и классический код Фибоначчи (р = 1):

N = ар + ап_1Рп_2 +...+ар +... + а^,

основанный на использовании чисел Фибоначчи р (г = 1,2,3,...,п) в качестве весов разрядов. С другой стороны, при р = ¥ все р-числа Фибоначчи Рр (г ) = 1 (г = 1,2,3,..., п); при этом р-код Фибоначчи сводится к рассмотренному

выше Евклидовому определению натурального числа - основы «элементарной теории чисел». Но тогда отсюда вытекает, что выражение (57) является новым определением натурального числа, которое может привести к бесконечному количеству новых «элементарных теорий чисел». По существу, классическая теория чисел Фибоначчи [18]-[20] и является одной из первых «элементарных теорий чисел», соответствующих случаю (58) (р = 1).

Теория р-кодов Фибоначчи и порождаемых ими компьютерных арифметик описана в работах [22], [46]-[50]. Для приложений основным свойст-

вом р-кодов Фибоначчи для случаев р > 1 является избыточность, которая может быть использована для создания помехоустойчивых компьютеров.

Система счисления Бергмана. Одним из наиболее революционных предложений в современной теории систем счисления по праву можно считать систему счисления, которую в виде развлечения предложил в 1957 г. юный (12-летний!) американский вундеркинд Джордж Бергман [51]. Математическое выражение для системы счисления Бергмана имеет вид:

А = I о,Фг,

г

где А - некоторое действительное число, а, е {0,1} - двоичная цифра г -го разряда (г = 0, ±1, ±2, ±3,...), Фг - вес г -го разряда, Ф =1 +^ (золотая пропорция) -основание системы счисления.

Коды золотой р-пропорции, введенные в [52] и развитые в [24], являются обобщением системы счисления Бергмана:

А = Iа,Фр ,

г

где, Фр - основание системы счисления (60), Фр - вес г - го разряда, аг е {0,1} -двоичная цифра г - го разряда, г = 0, ±1, ±2, ±3, ..., р = 0,1,2,3, ....

Заметим, что выражение (60) включает в себя бесконечное количество позиционных способов представления чисел (систем счисления), так как каждому р (р = 0,1,2,3,...) соответствует своя система счисления типа (60). Заметим также, что при р = 0 основание Фр = Ф0 = 2 и система счисления сводится к классической двоичной системе:

А = I о 2 .

Рассмотрим случай р = 1. Для этого случая основанием системы счисления

^ 1 + ^ т-г

является классическая золотая пропорция Ф = —-— . При этом система сводится к системе счисления Бергмана (59).

Заметим, что при р > 1 все основания Фр для кодов золотой р-пропорции являются иррациональными числами. Это означает, что коды золотой р-пропорции (60) при р > 1 вместе с системой Бергмана (59) (р = 1) задают новый класс позиционных систем счисления - системы счисления с иррациональными основаниями.

7.3. Начала «золотой» теории чисел

Как упоминалось выше, р-коды Фибоначчи (57) можно рассматривать как новое определение натуральных чисел, открывающее путь к созданию новой элементарной теории чисел, которую можно назвать фибоначчиевой. Но если следовать этой логике, то коды золотой р-пропорции (60) и её частный случай - систему счисления Бергмана (59) - можно рассматривать как новые определения действительных чисел, которые «порождают» ещё один вариант элементарной теории чисел. Его можно назвать «золотой» теорией чисел. Именно эта идея лежит в основе статьи «Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа» [55], опубликованной автором по рекомендации академика Ю. А. Митропольского в «Украинском математическом журнале».

Именно системы счисления с иррациональными основаниями, задаваемые (59), (60), претендуют на роль нового математического результата, который может повлиять не только на развитие компьютерной техники, но и определенных разделов современной математики, в частности, элементарной теории чисел.

Особенности представления чисел в системе Бергмана и кодах золотой р-пропорции. На первый взгляд может показаться, что не существует никакой особенности в математических выражениях для системы Бергмана (59) и кодов золотой р-пропорции (60) по сравнению с известными позиционными системами счисления, в частности, с двоичной системой (61), но это только на первый взгляд. Главная особенность этих систем счисления состоит в том, что в них основаниями являются некоторые иррациональные числа: класси-

чесая золотая пропорция Ф =1 +^ и золотые р-пропорции Фр. Системы

счисления с иррациональными основаниями выдвигают на первый план новый класс иррациональных чисел - золотые р-пропорции Фр, частным случает. 1 + ^ тт

ем которых является классическая золотая пропорция Ф = —-—. При этом

любое натуральное или действительное число может быть выражено в виде суммы степеней золотой р-пропорции или классической золотой пропорции, задаваемых (59), (60).

В работах [1 ]-[4], [24], [52], [53], [55] доказаны следующие необычные свойства систем счисления с иррациональными основаниями, которые вступают в противоречие с нашими традиционными представлениями о системах счисления:

1. Возможность представления некоторых иррациональных чисел (степеней золотой пропорции и их сумм) с использованием конечной со-

вокупности двоичных цифр. Например, двоичная кодовая комбинация 100101, представляющая в классической двоичной системе счисления число 37, в системе Бергмана представляет иррациональное число:

А = 100101 = Ф5 +Ф2 +Ф0 = 8 + 375.

В частности, основания всех рассматриваемых систем счисления представляются традиционным образом, то есть:

Фр = 10.

2. Любое натуральное число в системе Бергмана и кодах золотой р-пропорции представляется в виде конечной суммы степеней золотой пропорции. Это утверждение, возможно, есть один из наиболее неожиданных результатов, вытекающий из рассмотрения системы Бергмана (59) и кодов золотой р-пропорции (60).

Например, начальные числа натуралного ряда в системе Бергмана (59) представляются следующим образом:

1 = Ф0 = 1.00;

2 = 10.01 = Ф' +Ф-2;

3 = 100,01 = Ф2 +Ф-2;

4 = 101,01 = Ф2 +Ф0 +Ф-2

5 = 1000,1001 = Ф3 +Ф-1 +Ф-4

А теперь возвратимся на 2,5 тысячелетия назад и представим себе реакцию пифагорейцев на это утверждение. Согласно главной доктрине пифагорейцев «Всё есть число», в основе мироздания лежат натуральные числа и их отношения, так как любую вещь в природе можно выразить как отношение двух натуральных чисел (хотя после открытия «несоизмеримых отрезков» эта доктрина была подвергнута сомнению, в результате чего и появилось понятие иррационального числа). Но, как показано выше, любое натуральное число может быть выражено через «золотую пропорцию». Из этого рассуждения с необходимостью вытекает новая доктрина, которую пифагорейцы немедленно сформулировали бы, если бы знали об этом утверждении: «Всё есть золотая пропорция».

3. Z-свойство натуральных чисел. Но ещё больший восторог у пифагорейцев вызвало бы следующее свойство натуральных чисел, доказанное в [55].

Если представить в системе Бергмана некоторое натуральное число N, а затем заменить в этом представлении все степени золотой пропорции Фг (г = 0, ±1, ±2, ±3,...) соответствующими числами Фибоначчи ^ (г = 0, ±1, ±2, ±3,...),

то возникающая при этом сумма I ар тождественно равна нулю независимо

г

от исходного натурального числа N, то есть,:

I аР = 0.

г

Доказано [1], что таким же свойством обладают все коды золотой р-пропорции (60). В работе [1] такое свойство названо Zр-свойством.

Существенно подчеркнуть, что 2- и 2р-свойства справедливы только для натуральных чисел. Это означает, что спустя 2,5 тысячелетия после начала изучения натуральных чисел удалось обнаружить новые и весьма необычные свойства натуральных чисел. И это стало возможным только благодаря введению в рассмотрение новых способов представления натуральных чисел, названных системами счисления с иррациональными основаниями. Это означает, что системы счисления с иррациональными основаниями являются новым подходом в развитии теории действительных чисел, который и даёт начало новому направлению в элементарной теории чисел - «золотой» теории чисел [1]-[4], [55].

7.4.Троичная зеркально-симметричная арифметика

Впервые «золотая» троичная зеркально-симметричная арифметика описана автором в статье «Brousentsov's ternary principle, Bergman's number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic», опубликованной в международном журнале «The Computer Jour-nal» в 2002 г. [54]. Статья вызвала положительную реакцию представителей западного компьютерного сообщества. Первым из американских ученых, поздравивших автора с публикацией статьи [54], стал выдающийся американский математик Дональд Эрвин Кнут, автор всемирно известного бестселлера «Искусство программирования».

Что же заинтересовало Дональда Кнута? Оказывается, что любое целое (положительное и отрицательное) число N может быть представлено в виде следующего троичного кода:

N = X bF21,

i

где b е {l,0,l} - троичная цифра, Ф21 - вес i -го разряда, Ф =1 +^ - золотая пропорция.

Заметим, что основанием системы счисления (63) является квадрат золотой пропорции, то есть,

Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов

права и инновационных технологий

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №4 2012 Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

3 +>/5 2

ф 2 = 2.618.

Это означает, что система счисления (63) относится к разряду систем счисления с иррациональными основаниями.

Сокращённая троичная цифровая запись числа N в системе счисления (63) имеет вид:

N = ъпъп_х..ьж. ь.1ь_2...ь_{т_1)ъ_т.

Как вытекает из (64), троичная цифровая запись (64) состоит из двух частей, левой ЪпЪп-1...Ъ2Ъ1 и правой Ъ-1Ъ-2...Ъ-(п-1)ъ-т, симметрично расположенных

относительно нулевого разряда ъ0 .

В Табл. 5 представлены троичные цифровые записи начальных чисел натурального ряда в системе счисления (63).

Как следует из Табл. 5, все троичные записи натуральных чисел обладают так называемым свойством «зеркальной симметрии». Суть этого свойства состоит в том, что левая часть ЪтЪп-1...Ъ2Ъ1 троичного кода (64) является зеркальным отражением правой части Ъ-1Ъ-2...Ъ-(п-1)Ъ-т. Доказано [54], что все целые числа (положительные и отрицательные) обладают свойством «зеркальной симметрии» при их представлении в «золотой» троичной системе счисления (63). Именно поэтому «золотая» троичная система (63) названа в работе [54] троичной зеркально-симметричной системой счисления.

Таблица 5. Троичные зеркально-симметричные цифровые записи натуральных чисел

г 3 2 1 0 -1 -2 -3

N Ф6 Ф4 Ф2 Ф0 Ф-2 Ф-4 Ф-6

0 0 0 0 0. 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

2 0 0 1 1. 1 0 0

3 0 0 1 1 0 0

4 0 0 1 1 0 0

5 0 1 1 1 1 0

6 0 1 0 1. 0 1 0

7 0 1 0 0 1 0

8 0 1 0 0 1 0

9 0 1 1 1. 1 1 0

10 0 1 1 0. 1 1 0

Отметим ещё одно необычное свойство троичной зеркально-симметричной системы счисления (63). В традиционных позиционных системах счисления (десятичной, двоичной) увеличение числа сопровождается расширением цифровой записи числа в сторону старших разрядов. Из Табл. 5 вытекает, что в троичной зеркально-симметричной системе счисления (63) расширение цифровой записи числа при его увеличении происходит симметрично - как в сторону старших, так и в сторону младших разрядов.

Доказано [54], что свойство «зеркальной симметрии» сохраняется при выполнении всех арифметических операций, то есть, результаты этих операций всегда представляются в зеркально-симметричной форме. Основное практическое приложение этого свойства состоит в том, что оно может быть использовано в компьютерах для контроля арифметических операций.

8. Математика гармонии как «золотая» парадигма современной науки

8.1. «Золотая» парадигма древних греков и математика гармонии

Что такое парадигма и научная революция? Как известно, термин «парадигма» происходит от греческого «paradeigma» (пример, образец) и означает совокупность явных и неявных (и часто не осознаваемых) предпосылок, определяющих научные исследования и признанных на данном этапе развития науки. Это понятие, в современном смысле слова, введено американским физиком и историком науки Томасом Куном [1922-1996] в книге «Структура научных революций» (1962) [56]. Согласно Т. Куну, парадигма - это то, что объединяет членов научного сообщества и, наоборот, научное сообщество состоит из людей, признающих определённую парадигму. Как правило, парадигма фиксируется в учебниках, в трудах учёных и на многие годы определяет круг проблем и методов их решения в той или иной области науки, в научной школе. К парадигме Т. Кун относит, например, взгляды Аристотеля, ньютоновскую механику и т. п.

Смена парадигм (англ. paradigm shift) - термин, также впервые введённый Томасом Куном [56] для описания изменения базовых посылок в рамках ведущей теории в науке (парадигмы).

Обычно изменение научной парадигмы относится к наиболее драматическим событиям в истории науки. Когда научная дисциплина меняет одну парадигму на другую, то по терминологии Куна это называется «научной революцией» или «сдвигом парадигмы». Решение отказаться от парадигмы всегда одновременно есть решение принять другую парадигму, а приговор, приводящий к такому решению, включает как сопоставление обеих парадигм с природой, так и сравнение парадигм друг с другом.

Что такое «золотая» парадигма? Для ответа на этот вопрос уместно обратиться к широко известному высказыванию гения российской философии, исследователя эстетики Античной Греции и эпохи Возрождения Алексея Лосева (1893-1988) [57]:

«Космос античным мыслителям периода зрелой классики представляется не просто некоей отвлеченной неопределенностью (в таком случае он был бы только чистой мыслью), но совершенно живым и единораздельным телом, содержащим в себе нерушимую цельность, несмотря на бесконечные различия всех его проявлений. С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления — золотого сечения (то есть, целое относится в нем к большей части, как большая часть к меньшей). Этому закону, кстати сказать, древние греки подчиняли и свои архитектурные сооружения. Их систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьёзный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

Таким образом, в центре созданного древними греками математического учения о природе стояла «концепция гармонии», а сама математика древних греков и была «математикой гармонии» ("the mathematics of harmony") [7], [8], которая непосредственно связана с золотым сечением - важнейшим математическим открытием античной математики в области гармонии.

А вот ещё одно широко известное высказывание, касающееся золотого сечения. Оно принадлежит гениальному астроному Иоганну Кеплеру, автору трех знаменитых законов Кеплера в кинематике Солнечной системы. Своё восхищение золотым сечением Кеплер выразил в следующих словах:

«В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Напомним, что старинная задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, которая упоминается в этом высказывании, - это и есть золотое сечение.

8.2. Красота и эстетика математики гармонии

Можно выделить различные аспекты оценки математики гармонии, в частности, прикладной и эстетический.

Прежде всего, следует отметить прикладную направленность математики гармонии, которая является истинной математикой природы. Математика гармонии обнаруживается во многих явлениях природы - таких, как движение Венеры по небосводу («пентакл Венеры»), пентагональная симметрия в природе, ботанические явление филлотаксиса, фуллерены, квазикристаллы, «золотые» геноматрицы, таблица Менделеева и др.

С другой стороны, математика гармонии обладает эстетическим совершенством. Гармоническое сочетание прикладного аспекта математики гармонии, как истинной математики природы, с её эстетическим совершенством, которое отражено в её математических формулах, дают нам основание высказать предположение о том, что именно математика гармонии в процессе её дальнейшего развития может стать «золотой» парадигмой современной науки.

Эстетические принципы Хатчесона. В чем заключается красота науки? Пожалуй, первым попытался ответить на этот вопрос шотландский философ Френсис Хатчесон (1694-1747), автор сочинения «Исследования о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах». В разделе «Красота теорем» Хатчесон выдвигает три основных принципа красоты науки: 1) красота есть единство в многообразии; 2) красота заключена во всеобщности научных истин; 3) научная красота - это обретение неочевидной истины.

Александр Волошинов объясняет суть принципа единства в многообразии следующим образом [58]:

«...Любая математическая теорема содержит в себе бесчисленное множество истин, справедливых для каждого конкретного объекта, но в то же время все эти конкретные истины собраны в единой общей для всех истине — теореме. Например, теорема Пифагора справедлива для бесконечного множества конкретных прямоугольных треугольников, но всё это многообразие треугольников обладает единым общим свойством, описываемом теоремой».

То же самое мы можем сказать и по поводу задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, называемом золотым сечением. Существует бесконечное количество отрезков, которые могут быть разделены на две неравные части в золотом сечении. При этом все эти деления обладают общим свойством: отношение большего отрезка к меньшему равно отношению всего отрезка к большему. Это и есть пример единства в многообразии.

Рассмотрим теперь второй «принцип Хатчесона» - принцип всеобщности научных истин. Хатчесон пишет (цитата взята из [58]):

« У теорем есть ещё одна красота, которую нельзя обойти и которая состоит в том, что одна теорема может содержать огромное множество следствий, которые легко из неё выводятся ... Когда исследуют природу, подобной красотой обладает познание определенных великих принципов или всеобщих сил, из которых вытекают бесчисленные следствия. Таково тяготение в схеме сэра Исаака Ньютона... И мы наслаждаемся этим удовольствием, даже если у нас нет никаких перспектив на получение какой-либо иной выгоды от такого способа дедукции, кроме непосредственного удовольствия от созерцания красоты».

В любой области науки мы можем найти подтверждение этому принципу Хатчесона: в математике - это теорема Виета, связывающая корни алгебраических уравнений с их коэффициентами, в физике - это законы Ньютона и уравнения электромагнетизма Максвелла, в химии - периодический закон Менделеева, в биологии - законы генетики.

Наконец, третий эстетический принцип Хатчесона - это обретение неочевидной истины. Теорема «2 х 2 = 4» представляет собой очевидную истину и не доставляет нам эстетического удовольствия. Волошинов подчеркивает [58]: «Только открытие истин, спрятанных от нас наукой или природой, открытие, требующее усилий, доставляет нам в конце пути истинное наслаждение — познание неведомой истины». Уместно вспомнить при этом известное высказывание Гераклита: «Скрытая гармония сильнее явной».

Ясно, что все три выведенные Хатчесоном эстетических принципа справедливы для любой науки, но, прежде всего, они относятся к математике. Всё дело в том, что математика во все времена считалась «царицей науки», и поэтому эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются именно в математике.

«Принцип математической красоты» Дирака. В настоящее время ни у кого не вызывает сомнения, что «наука прекрасна, ибо она отражает в себе и преломляет в нашем сознании красоту, гармонию и единство мироздания» [58]. Но физики пошли ещё дальше. Английский физик Нобелевский лауреат Поль Дирак выдвинул тезис: «Красота является критерием истинности физической теории». Дирак не только осознавал красоту выражений математических формулировок теории, но и понимал эвристическую, регулятивную роль красоты как методологического принципа построения научного знания.

Выдающемуся английскому математику, логику, философу и общественному деятелю лауреату Нобелевской премии Бертрану Расселу (1872-1970) принадлежат следующие замечательные слова, подчеркивающие красоту математики:

«Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлин-

ному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Это высказывание в полной степени можно отнести к математике гармонии

[1], [4].

Интересно проследить, насколько применимы эстетические принципы Хатчесона и принцип математической красоты Дирака к «математике гармонии» [1]-[4]. Практически все основные математические результаты и геометрические фигуры, относящиеся к математике гармонии [1]-[4] и к теории чисел Фибоначчи [17]—[20], обладают эстетическим совершенством и вызывают чувство красоты и эстетического наслаждения. Вспомним только некоторые из них.

Эстетика золотого сечения. В своих знаменитых «Началах» Евклид уже в Книге II ввел «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», которая в современной науке известна как золотое сечение. В течение многих тысячелетий золотое сечение вызывало восхищение благодаря его удивительным математическим и геометрическим свойствам (Табл. 6, 7).

Таблица 6. Эстетика алгебры золотого сечения

1 Уравнение ЗС х2 - х-1 = 0

2 Золотая пропорция ф = 1 + ^ 2

3 Основное тождество фп =ф п-1 + ф п-2 = фхф"-1; п = 0, ±1, ±2, ±3,...

4 Представление в виде цепной дроби ф = 1 + 11 1 +...

5 Представление в радикалах ф=^ 1+у! 11+41+...

Таблица 7. Геометрические фигуры, основанные на золотом сечении

1. Додекаэдр и икосаэдр

2. Золотой прямоугольник

3. Пентагон и пентаграмма

Эстетика чисел Фибоначчи и Люка. Числа Фибоначчи были введены в 13 в. знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи). Фибоначчи почти на два столетия опередил западноевропейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, который получил своё научное образование у египетских и вавилонских жрецов и затем способствовал передаче полученных знаний в древнегреческую науку, Фибоначчи получил своё математическое образование в арабских учебных заведениях и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попытался внедрить в западноевропейскую науку. И подобно Пифагору, историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими книгами способствовал передаче математических знаний арабов в западноевропейскую науку и тем самым заложил основы для дальнейшего развития западноевропейской математики.

В Табл. 8 приведено ряд широко известных математических свойств чисел Фибоначчи и Люка, полученных известными математиками в последующие века. Эстетический характер этих результатов не требует особых доказательств.

Таблица 8. Эстетика чисел Фибоначчи и Люка

Рекуррентные соотношения для чисел Фибоначчи и Люка

Расширенные

числа Фибоначчи и Люка

Формула Кассини

Формула Кеплера

Формулы Бине

Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

Матрицы Фибоначчи

Золотые матрицы

А = Рп-1 + Рп-2; А = ^2 = 1

^п = ^п-1 + ^п-2; А = 1 ^2 = 3

п 0 1 2 3 4 5 6

Ап 0 1 1 2 3 5 8

А-п 0 1 -1 2 -3 5 -8

Ln 2 1 3 4 7 11 18

L -п 2 -1 3 -4 7 -11 18

-^+1 = (-1) ; п = о,±1,±2,±3,...

шпА.=ф= ^ ш А 2

п¥ 1 п-1

А =

I. =

фп +ф-п фп -ф-п

для

для

п = 2к +1; п = 2к

фп +ф-п для п = 2к; фп-ф-п для п = 2к +1

sFs =

фх - ф-

cFs =

фх + ф-

л/5 ' л/5

sLs = фх - ф-х; ^ =фх + ф-х

б=11 ^ I; 0п =

Г А,

А

А А

пп

^; <1е* (бп ) = (-1)п

, . , cFs(2х +1) sFs(2х) , . .

бо (х) = | ^ ' ^ 1Ч I; бо (х) = +1

01 (х ) =

sFs

; ае1 бо (х ) = -1

Эстетика р -чисел Фибоначчи и Люка. Но ведь не меньшее эстетическое впечатление производят и новейшие результаты в области математики гармонии - такие, как р -числа Фибоначчи и золотые р-пропорции (Табл. 9).

1

2

3

4

5

х

х

6

7

8

Таблица 9. Эстетика р -чисел Фибоначчи и золотых р -пропорций

1 Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля

2 Рекуррентное соотношение для р -чисел Фибоначчи

3 Представление р -чисел Фибоначчи с помощью биномиальных коэффициентов

4 Уравнение золотой р -пропорции

5 Формула Кеплера для р -чисел Фибоначчи

6 Основное тождество для золотых р-пропорций

Fp (n ) = Fp (n -1) + Fp (n - p -1); Fp (1)= Fp (2 ) =... = Fp (p +1) = 1

Fp (n +1) = CП + C1-„ + C2-2 „ + C3, „ +.

x

p+1

- хр -1 = 0 Ф„ - золотая р - пропорция,

положительный корень уравнения

г Fp (n) _

lim—p-- = Fp

Fp

Fnp = op;-1 + Fn-p-1 = Fp X Fp-1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...

p = 0: 2n = 2n-1 + 2n-1 = 2X2n-1,n = 0,±1,±2,±3,...

>n-1

n—1

p = 1: Fn =Fn-1 +Fn-2 = FxFn-1,n = 0,±1,±2,±3

4n-2

n-1

Лямбда-числа Фибоначчи и «металлические пропорции». Не меньшее эстетическое впечатление вызывают математические тождества для 1- числа Фибоначчи и Люка и «металлических пропорций» (Таблица 10).

Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов

права и инновационных технологий

Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №4 Опубликовать статью в журнале -

2012 http://publ.naukovedenie.ru

Таблица 10. Эстетика 1- чисел Фибоначчи (1> 0) и «металлических

пропорций»

1 Рекуррентные соотношения для 1 - чисел Фибоначчи и Люка Ех(п + 2) = 1Е^п +1) + Ех( п); Ех( 0) = 0, = 1 ¿1( п + 2) = 1^( п +1) + ¿1( п); ¿1( 0) = 2, ¿х(1) = 1

2 Формула Кассини (п)-Е1 (п-1)Е1 (п +1) = (-1Г1; п = 0,±1,±2,±3,...

3 Металлические пропорции 2 1 ! А ^ 1 + >/ 4 + 12 х -1х -1 = 0 Ф, =- 1 2

4 Основное тождество Ф" = 1Ф"-1 +ф;;-2 = ф. хФГ1 1 11 11

5 Представление в виде цепной дроби Ф1="+ 1 1+ 11 1 + 1^ 1 +...

6 Представление в радикалах ф1=<! 1+1^ 1+1^ 1+1/1+...

7 Формулы Газале Ф1 - (-1)п Ф1п Е1 (п) = 1 ( \ 1 ; ¿1 (п) = Ф1 + (-1)пФ-п 44 + 12

8 Гиперблические 1 - функции Фибоначи и Люка Фх -Ф-х ФX +Ф-х Е (х) = 1-1 ; сЕ1 (х) = 1-1 л/4 + 12 >/4 + 12 (х) = Ф1 -Ф1х; сЕ, (х) = Ф1 +Ф1х

Таким образом, как вытекает из анализа математических формул и геометрических фигур, приведённых в Табл. 6-10, математика гармонии [1], [4], которая создавалась многими поколениями выдающихся учёных и мыслителей, начиная с античного периода, несомненно, обладает высоким совершенством и исключительными эстетическими свойствами.

Следует особо отметить восхитительную гармонию и красоту фрактальных субструктур треугольника Паскаля, в полной мере открытых Сергеем Абачиевым в 80-х гг. ХХ в. С одной стороны, предложенная им цветографическая символика является единственно эффективной для целостного отражения этих сложных субструктур. С другой стороны, такая символика представляет гармоничную красоту этих субструктур в наглядных и очевидных формах. Сильное эстетическое впечатление производит также изящный рекуррентный алгоритм этого автора, с помощью которого вся сложная и поистине радужная гармония треугольника Паскаля элементарно рассчитывается вручную. В этой связи представляется уместным вспомнить высказывание Антуана де Сент-Экзюпери о том, что совершенство в человеческой творческой продукции достигается не тогда, когда к ней уже нечего прибавить, а

тогда, когда от неё уже нечего отнять.

Принцип математической красоты Дирака применительно к математике гармонии уже воплощается в выдающихся современных научных открытиях, основанных на математических результатах, полученных ещё в античной науке. Два из них (квазикристаллы и фуллерены) уже удостоены Нобелевских премий по химии.

8.3. Важнейшие периоды в развитии «математики гармонии»

Как упоминалось в Предисловии, для обозначения наиболее характерной особенности пифагорейской математики был введён очень удачный термин «математика гармонии» [7], [8]. При этом наибольший интерес к математике гармонии, то есть, к идеям Пифагора, Платона и Евклида, всегда проявлялся в периоды наивысших взлётов человеческого духа. С учетом этого в развитии математики гармонии можно выделить три важнейших периода.

Древнегреческий период. Условно можно считать, что этот период начинается с исследований Пифагора и Платона. Завершающим событием этого периода являются «Начала» Евклида. Согласно гипотезе Прокла, Евклид создавал «Начала» с целью дать полную геометрическую теорию пяти Платоновых тел, которые ассоциировались в древнегреческой науке с гармонией Мироздания. При этом он попутно осветил некоторые новейшие достижения математики и ввёл в рассмотрение золотое сечение, которое было использовано Евклидом при создании геометрической теории Платоновых тел.

Эпоха Возрождения. Этот период связан с именами таких выдающихся личностей этой эпохи, как Пьеро дела Франческа (1412-1492), Леон Баттиста Альберти (1404-1472), Леонардо да Винчи (14521519), Лука Пачоли (1445-1517), Иоганн Кеплер (1571-1630). Именно в этот период появляются две книги, которые в наибольшей степени отражали идею гармонии Мироздания. Первая из них - это книга "Divina Proprtione" («Божественная Пропорция») (1509), написанная выдающимся итальянским математиком и ученым монахом Лукой Пачоли под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи. Вторая книга -это книга Иоганна Кеплера "Harmonices Mundi" («Гармония мира») (1619). Возникает вопрос: кто стимулировал возврат к «золотой» парадигме в эпоху Возрождения? Ответ однозначный: христианская рели-

гия, согласно которой Творец Вселенной и её Вседержитель есть наивысшая Гармония и Красота.

Морис Клайн в своей книге «Математика. Утрата определенности» (1984) [42] подчёркивает причину, по которой религия поддерживала идею математического исследование гармонии как воплощение в Природе Божественного промысла:

«Бог вложил в мир строгую математическую необходимость, которую люди постигают лишь с большим трудом, хотя их разум устроен по образу и подобию Божественного разума. Следовательно, математическое знание не только представляет собой абсолютную истину, но и священно, как любая строка Священного Писания. Исследование природы - занятие столь же благородное, как и изучение Библии».

Современный период. Условно этот период начинается в 19 в. с работ французских математиков Жака Филлипа Мари Бине (17861856), Франсуа Эдуарда Анатоля Люка (1842-1891), немецкого поэта и философа Адольфа Цейзинга (род. в 1810 г.) и немецкого математика Феликса Клейна (1849-1925).

В первой половине 20 в. развитие «золотой» парадигмы связано с именами российского профессора архитектуры Г. Д. Гримма (18651942) [59], французского исследователя Матилы Гика [60] и классика русской религиозной философии Павла Флоренского (1882-1937).

Во второй половине 20 в. и в начале 21 в. интерес к этому направлению возрастает во всех сферах науки, в частности, в математике. В области математики наиболее яркими представителями этого направления стали советский математик Николай Воробьев (1925-1995) [18], американский математик Вернер Хоггатт (1921-1981) [19], английский математик Стефан Вайда [20] и др. Возрождение идеи гармонии в современной науке определялось новыми научными реалиями. Проникновение Платоновых тел, золотого сечения и чисел Фибоначчи во все сферы теоретического естествознания (кристаллография, химия, астрономия, наука о Земле, квантовая физика, ботаника, биология, геология, медицина и др.), а также в информатику и экономические науки, стало главной причиной возрождения интереса к проблеме гармонии в современной науке и стимулом для всесторонней и систематической разработки математики гармонии [1]-[4].

Характерные особенности каждого из периодов. Отметим, что каждый из рассмотренных выше периодов характеризуется двумя особенностями:

1. Первая особенность состоит в существовании достаточно развитой научной среды, а также в наличии в ней определённой группы мыслителей, разделяющей «золотую» парадигму. Напомним ещё раз, что в древнегреческой науке к числу таких мыслителей относятся, прежде всего, Пифагор, Платон и Евклид, а в эпоху Возрождения -Леонардо да Винчи, Лука Пачоли и Иоганн Кеплер.

2. Выход в свет фундаментальных научных сочинений, в которых изложены основы математики гармонии. В древнегреческую эпоху таким сочинением являются «Начала» Евклида, которые, согласно Про-клу, посвящены разработке геометрической теории Платоновых тел, отражающих гармонию Мироздания в античной космологии. В эпоху Возрождения такими сочинениями являются книга Луки Пачоли «Divina Proportione» («Божественная Пропорция») (1509 г.) и книга Иоганна Кеплера "Harmonices Mundi" («Гармония мира») (1619 г.).

Эти особенности характерны и для новейшего периода развития этого направления. Возрождение интереса современного научного сообщества к золотому сечению, числам Фибоначчи и Платоновым телам, начиная со второй половины 20 в., подтверждается довольно внушительным перечнем книг по этой тематике, опубликованных в последние шесть десятилетий, а также созданием ряда научно-исследовательских групп и ассоциаций (пока неформальных), начавших профессионально изучать эту проблему. Наиболее известными из них являются американская Фибоначчи-ассоциация и Славянская «золотая» группа.

8.4. Математика гармонии и проблемы Гильберта

Пожалуй, одним из наиболее убедительных доказательств значимости теории чисел Фибоначчи [17]-[20] математики гармонии [1]-[4] для общей теории математики является их использование для решения 10-й и 4-й проблем Гильберта.

10-я проблема Гильберта и её решение. В своей знаменитой лекции «Математические проблемы», прочитаной на Втором Международном конгрессе математикова (Париж, 1900 г.), Давид Гильберт изложил 10-ю проблему следующим образом:

«Задано Диофантово уравнение с некоторым числом неизвестных и рациональными целыми коэффициентами. Необходимо придумать процедуру, которая могла определить за конечное число операций, является ли уравнение разрешимым в рациональных целых числах».

Десятая проблема Гильберта была решена молодым русским математиком Юрием Матиясевичем. Его имя стало широко известным в 1970 г., когда он завершил последний недостающий шаг в "негативном решении" десятой проблемы Гильберта.

Самое неожиданное состояло в том, что в основе решения 10-й по-блемы Гильберта лежат новейшие результаты в области теории чисел Фибоначчи, полученные советским математиком Николаем Воробьёвым [18]. В одной из своих работ Юрий Матиясевич написал следующее:

«Благодаря моей предыдущей работе, я понимал важность чисел Фибоначчи для решения 10-й проблемы Гильберта. Вот почему в течение лета 1969 года я читал с огромным интересом третье расширенное издание популярной книги по числам Фибоначчи, написанной Н. Н. Воробьевым из Ленинграда. Кажется невероятным, что в 20-м столетии можно было найти что-то новое о числах, введённых Фибоначчи еще в 13-м столетии в связи с размножением кроликов. Однако новое издание книги содержало, кроме традиционного материала, некоторые оригинальные результаты автора. На самом деле Воробьёв получил их на четверть столетия раньше, но он никогда их не публиковал. Его результаты привлекли моё внимание сразу же, но я был ещё не способен использовать их непосредственно для построения Диофан-товых представлений экспоненциального типа».

В развитие замечания Юрия Матиясевича, мы вправе поставить следующий вопрос: а что бы случилось, если бы итальянский математик Фибоначчи не открыл числа Фибоначчи в 13 в.? Возможно, 10-я проблема Гильберта не была бы решена до сих пор. Конечно, теорема Воробьева, использованная Юрием Матиясевичем, является важным математическим результатом, но всё же главным «виновником» решения 10-й проблемы Гильберта следует признать итальянского математика Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи). Ещё в 1202 г. он опубликовал книгу "Liber abaci", в которой ввел новую числовую последовательность - числа Фибоначчи.

Главный вывод из этих рассуждений состоит в том, что решение одной из наиболее сложных математических проблем - 10-й проблемы Гильберта - получено с использованием теории чисел Фибоначчи [17]-

[20]. И этот факт сам по себе поднимает на высокий уровень как теорию чисел Фибоначчи [17]-[20], так и математику гармонии [1]-[4].

4-я проблема Гильберта и её решение. В своей лекции «Математические проблемы» Гильберт не мог пройти мимо нерешенных математических проблем, связанных с неевклидовой геометрией. В качестве геометрий, наиболее близких к евклидовой геометрии, Гильберт называет геометрию Лобачевского (гиперболическую геометрию) и геометрию Римана (эллиптическую геометрию). Саму же 4-ю проблему Гильберт формулирует так:

«Более общий вопрос, возникающий при этом, заключается в следующем: возможно ли ещё с других плодотворных точек зрения построить геометрии, которые с таким же правом могли бы считаться ближайшими к обыкновенной евклидовой геометрии».

Как известно, классическая модель плоскости Лобачевского в псевдосферических координатах (и, V) ,0 < и <+¥, 0 < V <+¥, имеющей гауссову кривизну К = -1 (интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере), имеет вид:

где (ъ - элемент длины, ъЪ (и) - гиперболический синус. Как вытекает из этой формулы, ключевую роль в ней играет гиперболический синус.

Развивая идею метрической формы плоскости Лобачевского, в работах [61]-[63] выведено общее выражение для так называемых метрических 1 -форм плоскости Лобачевского:

где Фх = + 1 - металлическая пропорция и ъЕк(и)- гиперболический 1 -синус Фибоначчи.

В Табл. 11 приведены выражения для частных случаев метрических 1 -форм плоскости Лобачевского, соответствующих значениям 1 = 1,2,3,4.

Таблица 11. Метрические 1 -формы плоскости Лобачевского

Название 1 Аналитическое выражение

Метрическая 1 - форма Лобачевского 1>0 1 + V 4 + 12 Ф =- 1 2 (ds )2 = ln2 (FJ( du )2 + ^ [ sFx(u )]2 (dv)2

"Золотая" форма 1=1 1+V5 ф =-— »1.61803 1 2 (ds)2 = ln2 (Ф)(du)2 + 5 [ sFs (u )]2 (dv)2

"Серебряная" форма 1 = 2 Ф2 = 1+ VI» 2.1421 (ds)2 = ln2 (Ф2)(du)2 + 2[sF2 (u)]2 (dv)2

"Бронзовая" форма 1 = 3 3 + л/13 Ф3 =--—» 3.30278 3 2 (ds )2 = ln2 (Ф)(du)2 +13 [sF3 (u )]2 (dv)2

"Медная" форма 1 = 4 Ф4 = 2 + V5 » 4.23607 (ds)2 = ln2 (Ф4)(du)2 + 5[sF4 (u)]2 (dv)2

Классическая форма 1 » 2.350402 e Фя = e » 2.7182 (ds)2 =(du)2 + sh2 (u)(dv)2

Общий итог исследования, представленного в работах [61]-[63], состоит в том, что получено бесконечное множество метрических 1- форм плоскости Лобачевского (1>0 - заданное положительное число). Все эти формы изометричны классической метрической форме плоскости Лобачевского (65). А это означает, что полученные в работах [61]-[63] новые модели плоскости Лобачевского, основанные на «металлических пропорциях» («золотой», «серебряной», «бронзовой», «медной» и др.), вместе с классическими геометриями Лобачевского, Римана и другими известными неевклидовыми геометриями "могут рассматриваться как ближайшие геометрии к обыкновенной геометрии Евклида» (Давид Гильберт). В этом и состоит суть оригинального решения 4-й проблемы Гильберта, предложенного в [61]-[63].

8.5. Новая задача для теоретического естествознания

Возникает вопрос: имеют ли рассмотренные выше гиперболические 1 -функции Фибоначчи и вытекающее из них решение 4-й проблемы Гильберта какое-либо прикладное значение? Перед тем, как дать ответ на этот вопрос, заметим, что все формулы для гиперболических 1 -функций Фибоначчи и Люка вызывают чувство эстетического наслаждения. Математическая красота этих формул завораживает, то есть, они в полной мере удовлетворяют принципу математической красоты Дирака.

Теоретическое значение этих формул не вызывает сомнений. Возникает однако вопрос: в чем же состоит прикладное значение введен-

ных выше гиперболических 1 -функции Фибоначчи и Люка и вытекающего из них решения 4-й проблемы Гильберта? Для ответа на этот вопрос мы должны еще раз обратиться к «геометрии Боднара» [27]. Она показывает, что «мир филлотаксиса», одного из самых удивительных ботанических явлений, является «гиперболическим миром». Он базируется на ГФФЛ, основанием которых является классическая золотая пропорция. Причём, к этому гиперболическому миру относится огромное количество ботанических объектов, с которыми мы сталкиваемся в окружающей нас природе: сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечника, корзинки цветов, деревья и т. д. Таким образом, в ботаническом явлении филлотаксиса «гиперболичность» проявляет себя в «золоте». Эта гипотеза, выдвинутая Боднаром, оказалась весьма плодотворной и привела к созданию новой геометрической теории филлотаксиса, имеющей огромное междисциплинарное значение [27].

Однако гиперболичесие функции Фибоначчи и Люка являются частным случаем гиперболических 1 -функций Фибоначчи и Люка. Последние основываются на «металлических пропорциях», в частности, на «серебряной», «бронзовой», «медной» и другим видам «металлических пропорций». В этой связи у нас есть все основания высказать предположение, что и другие типы гиперболических 1 -функций Фибоначчи и Люка могут стать основой для моделирования новых «гиперболических миров», которые могут реально существовать в природе, но которые наука до сих пор не обнаружила, потому что современной науке были неизвестны гиперболические 1 -функции Фибоначчи и Люка и перед ней никто не ставил такой задачи. Основываясь на блестящем успехе «геометрии Боднара» [27], мы можем поставить перед теоретической физикой, химией, кристаллографией, ботаникой, биологией и другими разделами теоретического естествознания задачу поиска новых «гиперболических миров» природы, основанных на других классах гиперболических 1 -функций Фибоначчи и Люка, количество которых теоретически бесконечно (их столько же, сколько существует действительных чисел 1 > 0).

При этом, возможно, первым кандидатом на «революцию» в естествознании может стать «серебряная пропорция» Ф2 = 1+72 и основанные на ней «серебряные» гиперболические функции.

Интерес к «серебряной» пропорции Ф2 = 1+72 и «серебряным» гиперболическим функциям значительно возрос в последние годы. В этой связи особый интерес представляет статья Олега Боднара «Серебря-

ные функции и обобщение теории гиперболических функций» [64] и статья известного российского исследователя Александра Татаренко [32]. В этой статье Александр Татаренко развивает теорию Тт -гармоний, которые по существу совпадают с «металлическими пропорциями». При этом особую роль в дальнейшем развитии теоретического естествознания он отводит «серебряной» пропорции Ф2 = 1+72, которую он называет Т2 -гармонией:

«Важнейшим и неожиданным результатом исследований Тт-гармоний было установление двух фактов:

1) вторая Золотая Тт=±2 =72 ± 1 - гармония (а не первая — согласно нумерации в ряде Т±т-чисел — классическая золотая пропорция Ф) является доминантой, царствующей в беспредельном мире Тт -гармоний.

2) «функцией» второй Золотой Тт±2 -гармонии является число 72 -реликтовое число — корень из двух, встречающийся в архи-громадном множестве формул и закономерностей различных областей естествознания, что"равнозначно причастности Т2 непосредственно или косвенно ко множеству (а возможно, и ко всем) законов Природы и её констант. Таким образом, Т2 буквально пронизывает всё мироздание, являясь его несущим каркасом — суперфундаментальной константой, не знающей ограничений, свойственных всем без исключения известным физическим константам.

Установление факта доминантности Т2 -гармонии, а с ней и особого статуса ее «функции» 72 , является заключительным аккордом — важнейшим научным прорывом на пути к Истине о Гармонии Мира, сравнимым со сменой птоломеевского геоцентризма на гелиосистему Коперника.

Требуется кардинально новое мышление о Гармонии Мира».

Таким образом, Татаренко обращает особое внимание на «серебряную» пропорцию Т2 = 1 + 72, которая «буквально пронизывает всё мироздание, являясь его несущим каркасом — суперфундаментальной константой, не знающей ограничений, свойственных всем без исключения известным физическим константам». Более того, он считает введение «серебряной» пропорции» Т2 = 1 + 72 в современную науку «важнейшим научным прорывом на пути к Истине о Гармонии Мира, сравнимым со сменой птолемеевского геоцентризма на гелиосистему Коперника».

8.6. Идея гармонии как ключевая идея современного теоретического естествознания

Самыми важными индикаторами достижений науки всегда были фундаментальные научные открытия, которые существенно реформировали (а подчас и опровергали) существующие представления и закладывали основу революционных преобразований в той или иной области науки. Часть из современных научных открытий неожиданно оказалась связанной с Платоновыми телами, золотым сечением и числами Фибоначчи. Рассмотрим эти открытия, ограничившись краткими комментариями и ссылками на соответствующие работы:

1. Резонансная теория Солнечной системы, основанная на золотом сечении (Кирилл Бутусов [65]). Это необычное исследование в области астрономии привело Бутусова к выводу о том, что «спектр гравитационных и акустических возмущений, создаваемых планетами, представляют собой консонантный аккорд, наиболее совершенный с эстетической точки зрения». Таким образом, в работе Бутусова идеи пифагорейцев и Кеплера о «музыке небесных сфер» приобрели новое звучание и весьма реальное содержание. В заключение своей уникальной работы Бутусов делает замечание, что, видимо, «только случайность не позволила Кеплеру, хорошо знакомому с золотым сечением и знавшему наизусть все параметры планетных орбит, открыть эту закономерность».

2. Квазикристаллы (Дан Шехтман, Нобелевская премия по химии за 2011 год). Как подчеркивается в статье [66], понятие квазикристаллов «привело к расширению кристаллографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике». Важно подчеркнуть, что в основе «квазикристаллов» лежит икосаэдр, основанный на золотом сечении.

3. Фуллерены. Открытие фуллеренов - новой формы существования одного из самых распространенных элементов на Земле - углерода, признано одним из удивительных и важнейших открытий в науке XX столетия. За своё открытие - обнаружение углеродных кластеров состава С60 и С70 - американские ученые Р. Керл, Р. Смолли и Г. Крото в 1996 г. были удостоены Нобелевской премии по химии. Наиболее

стабильный изомер С60 имеет структуру усеченного икосаэдра, который был известен ещё Архимеду. Российские ученые А. В. Елецкий и Б. М. Смирнов в своей статье [67] отмечают, что «фуллерены, существование которых было установлено в середине 80-х, а эффективная технология выделения которых была разработана в 1990 г., в настоящее время стали предметом интенсивных исследований десятков научных групп. За результатами этих исследований пристально наблюдают прикладные фирмы. Поскольку эта модификация углерода преподнесла ученым целый ряд сюрпризов, было бы неразумным обсуждать прогнозы и возможные последствия изучения фуллеренов в ближайшее десятилетие, но следует быть готовым к новым неожиданностям».

Весьма неожиданным является, например, использование фуллеренов в медицине. Как показано в [68], фуллерены составляют основу диетической добавки « С60 Water of Life», которая может быть использована для лечения многих болезней.

4. Новая геометрическая теория филлотаксиса («геометрия Бод-нара») [27]. Одной из интреснейших проблем ботаники, имеющей междисциплинарное значение, является проблема филлотаксиса. Ботаники установили, что на поверхности плотно упакованных «филло-таксисных» объектов (сосновых шишек, кактусов, ананасов, головок подсолнечников и т. д.) всегда наблюдаются две группы спиралей, связанных с числами Фибоначчи. Используя «золотые» гиперболические функции, украинский исследователь Олег Боднар создал новую гео-метричесекую теорию филлотаксиса [27]. «Геометрия Боднара» является фундаментальным открытием современной науки, так как она раскрывает механизм роста «филлотаксисных объектов».

5. Теория «Е-infinity». В последние годы внимание физической науки было привлечено к научным результатам английского физика египетского происхождения Мохаммеда Ель Нашие. В журнале «Chaos, Solitons and Fractals" он опубликовал много статей, посвященных этому открытию [69]-[71]. Суть открытия основана на обнаружении золотого сечения в знаменитом двухщелевом эксперименте, который лежит в основе статистической интерпретации волновой функции в квантовой теории. На основе этого открытия Ель Нашие сделал ряд предсказаний в квантовой физике.

6. Золотая гармония и сердце. Так называется книга известного российского исследователя Виктора Цветкова [72], опубликованная в 2008 г. Мы не имеем возможности углубляться в медицинские детали исследований Цветкова. Отметим наиболее важные результаты этих исследований:

1. Золотое сечение - это «технологический рецепт», используемый Природой для экономии энергии и живого строительного материала, что подчеркивает естественнонаучную сущность феномена золотой пропорции.

2. Структуры и процессы, организованные в пространстве и времени по золотой пропорции, эстетически благоприятно, гармонично воспринимаются благодаря их резонансу с сердечной ритмикой человека. Таким образом, в сердце возникает своеобразный резонанс между структурами и процессами сердечной деятельности, если они организованы по принципу золотой пропорции.

3. Согласно принципу оптимального вхождения, сформулированному Цветковым [73], любая из сердечных систем, совместно образующих сложную кардиосистему, включается в последнюю оптимальным образом, вследствие чего сложная система исполняет свою функцию с минимальными затратами энергии и строительного материала. Энергооптимальность сопряжения сердечных систем обеспечивается уникальными свойствами золотой пропорции и чисел Фибоначчи. Золотая гармония выступает как своего рода «знак качества» сердечных систем и сердца в целом. При этом «золотая гармония» и есть результат резонанса между структурами и процессами сердечной деятельности.

7. Экспериментальное доказательство проявления «золотого сечения» в квантовом мире. В Международном журнале "Science" от 9-го января 2010 г. опубликована сенсационная информация об экспериментальном обнаружении золотого сечения в квантовом мире [74]. Это - результат многолетних исследований, выполненных в Helmholtz-Zentrum Berlin fur Materialien und Energie (HZB) (Германия), Oxford and Bristol Universities и Rutherford Appleton Laboratory (Великобритания). Суть эксперимента состояла в следующем. Учёные сосредоточились на исследовании на наноуровне магнитных свойствах кобальта ниобата. Если воздействовать на этот материал магнитным полем, то удаётся перевести магнитную цепь в новое квантовое состояние, называемое критическим.

Настраивая систему и искусственно вводя большую квантовую неопределённость, исследователи заметили, что цепочки атомов дейст-

вуют подобно нано-гитаре, генерирующей колебания различных тонов. При этом первые два тона находятся в совершенном отношении друг к другу. Их частоты находятся в отношении 1,618, известном в искусстве и архитектуре под названием «золотое сечение»! Это открытие дало основание ведущим физикам высказать предположение, что на самом деле в основе квантового мира лежит совершенный порядок, гармония, основанная на золотом сечении. Следует отметить, что это научное открытие согласуется с теоретическими предсказаниями английского физика Ель-Нашие.

8. Платоновы тела и элементарные частицы. В последние годы удивительные симметрии Платоновых тел привлекли пристальное внимание физиков-теоретиков, специалистов в теории элементарных частиц [75]. Главное методологическое значение статьи [75] состоит в том, что она нацеливает физиков-теоретиков на использование Платоновых тел при создании современной теории элементарных частиц, а это и есть отражение «золотой» парадигмы древних греков в теоретической физике. Эта идея подтверждается и статьей [76], написанной известным российским физиком проф. Ю. С. Владимировым.

9. Исследования российского физика Анатолия Шелаева. В последнее время на сайте «Академия Тринитаризма» были опубликованы работы российского физика, доктора физико-математических наук Анатолия Шелаева [77]-[79].

Суть подхода Шелаева состоит в том, что золотое сечение обобщается от традиционного случая деления отрезка прямой линии в золотом сечении до отношения переменных отрезков ломаной линии, одни концы которых закреплены, а другие движутся по окружности. Кроме того, показывается, что характерным отрезкам и фигурам, определяемым этой ломаной линией, соответствуют экстремумы длин, площадей или их производных.

Работы Анатолия Шелаева как физика-теоретика отличаются чёткой направленностью на физическую трактовку новой геометрической модели золотого сечения для широкого круга физических явлений.

10. «Золотые» геноматрицы [80]. Основная идея российского исследователя Сергея Петухова [80] состоит в том, чтобы представлять генетические полиплеты в матричном виде. Простейшей является квадратная матрица второго порядка Р, которая используется для представления системы из четырёх азотистых оснований («букв») гене-

тического алфавита:

Р =

(с л) и о

Далее Петухов использует комплементарные водородные связи в азотистых основаниях генетического кода для создания «числовых ге-номатриц», а затем и «золотых» геноматриц. В частности, рассмотренной выше генетической матрице соответствует следующая «золотая» гено матрица:

м(1) =

(ф1

ф

-Л

ф-1 ф1

Основываясь на этой «золотой» геноматрице, Петухов даёт новое определение золотой пропорции: золотая пропорция и её обратная величина (Ф и Ф-1) представляют собой единственные матричные элементы бисимметричной матрицы М(1), являющейся корнем квадратным из такой бисимметричной числовой матрицы Рмульт второго порядка, элементами которой являются генетические числа водородных связей ( С = о = 3, А = и = 2).

Открытие Петухова показывает фундаментальную роль, которую играет золотое сечение в генетическом кодировании. Оно свидетельствует о том, что ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ ЛЕЖИТ В ОСНОВЕ ЖИВОЙ ПРИРОДЫ!

11. Фибоначчиева закономерность в периодической таблице Менделеева (Сергей Якушко [81]). Новая закономерность, открытая украинским исследователем Сергеем Якушко в периодической системе Д. И. Менделеева, состоит в следующем. Если каждый из семи периодов элементов в периодической системе представить в виде зависимости доли атомной массы последнего элемента данного периода, т. е. инертного газа, от атомных номеров соответствующих элементов, то каждый период представляется в виде прямых, тангенс угла наклона которых от первого периода к последнему меняется по следующему закону:

11111!_!_ 1,1,2,3,5,8,13

Как нетрудно усмотреть, этот числовой ряд связан с числами Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 отношением обратной пропорциональности и назван в [81] обратным рядом чисел Фибоначчи.

Предложенный Якушко подход позволил: во-первых, дать теоретическое обоснование периодов «фибоначчиевой» таблицы химических элементов; во-вторых, «исправить» атомные массы элементов и получить атомные массы «чистых», не загрязненных изотопами химических элементов; в-третьих, данный подход позволил обосновать значение инертных газов «фибоначчиевой» таблицы Менделеева как элементо-образующих для каждого периода.

Комиссия Международного объединения «Русское физическое общество» на своем заседании 30 декабря 2011 года присудила Якушко Сергею Ивановичу почетное звание «Лауреат Премии Русского Физического Общества» за открытие закона фибоначчиевого распределения химических элементов в периодах таблицы Д. И. Менделеева. С. И. Якушко С. И. стал также Почетным членом Русского физического общества

12. Закон структурной гармонии систем. К разряду важных научных открытий современной науки следует отнести «закон структурной гармонии систем», сформулированный белорусским математиком и философом Эдуардом Сороко [6]. Закон основан на использовании рассмтренных выше обобщенных золотых сечений, которые связаны с золотыми р-пропорциями соотношением обратной пропорциональности. Суть закона формулируется следующим образом:

«Обобщённые золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, стуктурно-функциональную ...устойчивость».

Сороко утверждает [6], что практическое использование "закона структурной гармонии систем" может принести существенный выигрыш при решении многих технологических, экономических, экологических и других задач, в частности, совершенствовать технологию изготовления структурно-сложных продуктов, контролировать биосферу и т. д.

13. Теория ЛМФ (Логика, Математика, Физика). В последние годы работы армянского ученого доктора философских наук Гранта Аракеляна (физика по базовому образованию) привлекли всеобщее

внимание, особенно после публикации на сайте «Академия Тринита-ризма» его фундаментальной монографии «Теория ЛМФ и принцип золотого сечения», а также статьи «О мировой гармонии, теории золотого сечения и её обобщениях» [82].

Суть своей «теории ЛМФ (Логика, Математика, Физика)» Аракелян объясняет следующим образом;

«... Согласно предлагаемой концепции, фундаментальная физическая теория вырастает поддерживаемая математическим стволом из чистой математики, корнями уходящей в логику. Таким образом, речь идёт о математике и логике (а не только математике) как не просто о языке физической теории, методе, средстве описания физической реальности и т. п., а об их единстве в более сильном смысле, о целостной системе со строгими естественными связями между отдельными её частями. Единство логики, математики и физики, точнее, оснований фундаментальной физической теории, понимаемой как теория фундаментальных физических величин, отражено и в самом названии. Словом, ЛМФ задумана как базисная теория физического мира, общая теория всех физических теорий, взращенная на почве математической логики и чистой математики. При этом каждая из трёх частей системы ЛМФ, особенно первая (Л) и в меньшей мере вторая (М), представляет собой относительно самостоятельные конструкции, подчинённые вместе с тем единству общего замысла, так что каждая последующая ступень восхождения покоится на предыдущей, задающей в определённой степени её структуру и основные параметры. В конструктивном плане главная цель исследования состоит в нахождении и использовании той "пуповины", которая помогает выявлению основных характеристик фундаментальной физической теории, соединяя ядро, сердцевину физической теории с её логико-математической основой. Другими словами, нужна такая логика и нужна такая основанная на ней математика, естественное продолжение которых приведёт к переходу от выделенных математических величин к фундаментальным физическим величинам, к основным физическим принципам и законам».

Наиболее существенно, что в центре «теории ЛМФ» находится обобщённая теория золотого сечения, совпадающая с упомянутой выше теорией лямбда-чисел Фибоначчи и теорией «металлических пропорций».

По-видимому, перечисленных выше примеров достаточно для следующего вывода: теоретическое естествознание перешло в новую стадию развития, которую можно назвать «гармонизацией теоретиче-

ского естествознания». Но появление книг [1]-[4] позволяет сделать вывод, что математика также перешла в новую стадию своего развития, которую можно назвать «гармонизацией математики».

8.7. Математика гармонии и образование

Какое место занимает «математика гармонии» в системе современных математических наук? Для ответа на этот вопрос уместно привести мнение выдающегося украинского математика, академика двух академий наук (Украинской и Российской) Юрия Алексеевича Митро-польского [23]:

«Возникает вопрос, какое место в общей теории математики занимает созданная Стаховым Математика Гармонии? Мне представляется, что в последние столетия, как выразился когда-то Н. И. Лобачевский, «математики все свое внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою». В результате между «элементарной математикой», лежащей в основе современного математического образования, и «высшей математикой» образовался разрыв. И этот разрыв, как мне кажется, и заполняет Математика Гармонии, разработанная А. П. Стаховым. То есть «Математика Гармонии» — это большой теоретический вклад в развитие, прежде всего, «элементарной математики», и отсюда вытекает важное значение «Математики Гармонии» для математического образования».

Таким образом, академик Митропольский акцентирует внимание на историческом аспекте. Его точка зрения состоит в том, что математика гармонии - это, прежде всего, новая элементарная математика, основанная на необычном прочтении «Начал» Евклида как исторически первого варианта математики гармонии, связанного с Платоновыми телами и золотым сечением. И поэтому внедрение идей гармонии и золотого сечения в современное образование является одним из направлений современной реформы образования.

Начнем со школьного образования. Как упоминалось, Иоганн Кеплер поставил золотое сечение на один уровень с теоремой Пифагора -одной из самых известных геометрических теорем. Но если теорему Пифагора знает каждый школьник, то, по мнению Кеплера, он должен так же хорошо знать и золотое сечение. И наш первый шаг состоит в том, чтобы ввести в школьную геометрию раздел «золотое сечение». В этом разделе школьникам будет интересно узнать о «золотом» прямо-

угольнике, пентаграмме, Платоновых телах, в частности, об икосаэдре и додекаэдре. В этом же разделе школьники должны познакомиться с гипотезой Прокла, которая подчёркивает роль проблемы гармонии в развитии античной математики.

В тех частях школьного курса математики, которые посвящены элементарной теории чисел и элементам комбинаторики, было бы разумным ввести специальный раздел "Числа Фибоначчи" и показать удивительную по своей красоте связь чисел Фибоначчи с треугольником Паскаля и биномиальными коэффициентами, а также ввести понятия р -чисел Фибоначчи и золотых р -сечений.

Переходим к алгебре. Здесь школьники изучают алгебраические уравнения и методы их решения. Но для школьников интересно было бы узнать о специальных видах алгебраических уравнений, в частности, о квадратном уравнении золотого сечения, которое порождает золотую пропорцию. Но школьникам было бы интересно узнать о семействе алгебраических уравнений, которые порождают более сложные гармонии «золотые р -пропорции и металлические пропорции. И мы имеем полное право ввести в алгебру небольшой раздел «Уравнения золотой пропорции».

Переходим к наукам о природе - физике, химии, астрономии, ботанике, биологии. В курсе "Физика" при изучении кристаллов желательно ввести раздел "Квазикристаллы", основанные на "икосаэдрической" симметрии. Но наши школьники уже знают об икосаэдре из курса "Геометрия". В курсе "Химия" целесообразно обратить внимание школьников на химические соединения, построенные "по Фибоначчи", а также рассказать о фибоначчиевой закономерности периодической системы элементов, обнаруженной украинским исследователем Сергеем Якушко. В курсе "Астрономия" необходимо рассказать школьникам о резонансной теории Солнечной системы, основанной на золотом сечении. Только таким путем школьники смогут понять причины устойчивости Солнечной системы.

Переходим к наукам о живой природе. Украшением курса "Ботаника" может стать раздел "Закон филлотаксиса". Природа дает огромное количество подтверждений этого закона - и это обстоятельство является главным аргументом в пользу этого раздела. О подобных закономерностях уместно упомянуть в курсах "Биология" и "Анатомия".

Рассмотрим теперь школьные курсы по искусству. Принципы использования золотого сечения в произведениях искусства ("золотой" прямоугольник, "золотая" спираль, "двухсмежный квадрат" и т. д.) дос-

таточно просты и примеры их использования в архитектуре, живописи и скульптуре были бы интересны для школьников.

Эти примеры можно было бы продолжить. Но радикальным решением в области школьного образования является введение специальной дисциплины «Гармония систем», которую можно было бы рассматривать как завершающую дисциплину физико-математического и эстетического образования учащихся. Очевидно, что углублённый вариант подобной дисциплины может быть введён в колледжах и университетах. Главной задачей такой дисциплины является формирование у школьников и студентов нового научного мировоззрения, основанного на принципах гармонии и золотой пропорции. Программа этой дисциплины зависит от специализации обучения.

9. Роль математики гармонии в преодолении «стратегических

ошибок» в развитии математики

9.1. Математика: утрата определенности и авторитет природы

Книга Мориса Клайна. В 1980 г. издательство Oxford University Press (New York) опубликовало книгу "Mathematics. The Loss of Certainty", автором которой является известный американский историк математики Морис Клайн, Почетный профессор математики Курантов-сого Института математических наук Нью-Йоркского университета. В 1984 г. эта книга Ю. А. Даниловым была переведена на русский язык и вышла в свет в издательстве «Мир» [42]. Книга М. Клайна заставила математиков задуматься над плачевным состоянием современной математики, в котором она оказалась после возникновения нового кризиса в её основаниях, который возник в начале 20 в. в связи с обнаружением парадоксов в канторовской теории множеств и не разрешён до настоящего времени. Об этом Морис Клайн написал следующее:

«В настоящий момент положение дел в математике можно обрисовать примерно так. Существует не одна, а много математик, и каждая из них по ряду причин не удовлетворяет математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин — величественной математике начала XIX в., гордости человека — не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившим в прошлом, пришла неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия по поводу оснований самой «незыблемой» из наук вызвали удивление и разочарование (чтобы не сказать больше). Нынешнее состояние математики —

не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ёе глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства».

Авторитет природы. Возникает вопрос: как преодолеть кризис в современной математике? На этот вопрос Морис Клайн отвечает в заключительной главе «Авторитет природы» своей книги. Суть предложений, изложенных в этой главе, сводится к следующему. Для развития тех или иных направлений математики вынуждены «руководствоваться внешними соображениями». При этом, как отмечает Клайн, наиболее важным соображением «остаётся традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики - её ценность для других наук».

Клайн подчеркивает:

«Приложения служат своего рода практическим критерием, которым мы проверяем математику... Почему бы и теперь не судить о правильности математики в целом по тому, насколько хорошо она продолжает описывать и предсказывать природные феномены?».

По мнению Джона Стюарта Милля (1806-1873), «глубоко заблуждаются те, кто считает, что математические теоремы качественно отличаются от подтверждённых гипотез и теорий других наук».

На этих же позициях находился один из выдающихся специалистов по основаниям математики поляк Анджей Мостовский. Он утверждает, что «математика - естественная наука. Её понятия и методы восходят к опыту, и любые попытки обосновать математику безотносительно к её естественнонаучному происхождению, приложениям и даже истории обречены на провал».

Такой же точки зрения придерживался Герман Вейль, который, как подчеркивается в [42], «открыто выступает за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук».

Джон фон Нейман в знаменитой статье «Математик» попытался объяснить, почему большинство математиков продолжает пользоваться классической математикой (цитата взята из [42]):

«В конце концов, именно классическая математика позволяет получить результаты, которые как полезны, так и красивы, и хотя прежней уверенности в её надёжности не стало, классическая математика покоится на столь же прочном основании, как, например, существование электрона. Следовательно, тот, кто принимает естественные науки, не может не принять классическую систему математики».

Клайн заключает [42]:

«Итогом всей этой бурной и разнообразной деятельности стал вывод о том, что правильная математика должна определяться не основаниями..., безошибочность которых можно и оспаривать, — о «правильности» математики следует судить по ее применимости к реальному миру. Математика — такая же эмпирическая наука, как и ньютоновская механика. Математика правильна, лишь покуда она действует, а если что-то не срабатывает, то в неё необходимо вводить надлежащие поправки. Математика не свод априорных знаний, каковой её считали в течение более чем двух тысячелетий, она не абсолютна и не неизменна».

Обращение к истокам математики. Преодоление кризиса в современной математике требует обращения к истокам математики. Согласно мнению выдающегося советского математика А. Н. Колмогорова [15], «ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющий собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникает впервые в Древней Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6—5 вв. до н .э. приурочить начало периода элементарной математики».

Морис Клайн пишет [42]:

«Подлинной целью греков было исследование природы. Этой цели служило всё — даже геометрические истины высоко ценились лишь постольку, поскольку они были полезны при изучении физического мира. Греки понимали, что в структуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство. Именно поэтому исследование пространства и пространственных фигур явилось существенным вкладом в изучение природы. Геометрия входила составной частью в более широкую программу космологических исследований... Подобные факты и более полное знание того, как происходило развитие математики в последующие времена, позволяют утверждать, что у греков к постановке математических проблем приводили естественнонаучные исследования и что математика была неотъемлемой частью изучения природы».

При этом в центре созданного древними греками математического учения о природе стояла «концепция гармонии», а сама математика древних греков и была «математикой гармонии» ("the mathematics of harmony"), которая непосредственно была связана с золотым сечением

- важнейшим математическим открытием античной науки в области гармонии, что и подчеркивается в работе [8].

И если мы хотим построить новую математику, лишённую противоречий, мы должны решительно ввести в математику идею гармонии и золотого сечения.

9.2. Стратегические ошибки в развитии математики: взгляд со стороны математики гармонии

Отход математики от теоретического естествознания. Что такое математика? Каковы её происхождение и история? В чём состоит связь математики с другими научными дисциплинами и в чём состоит отличие математики от других наук? Все эти вопросы всегда интересовали как математиков, так и представителей других наук. Математику всегда было принято считать образцом научной строгости. Её часто называли «царицей наук», тем самым подчеркивая её особый статус в науке. Именно поэтому появление книги Мориса Клайна «Математика. Утрата определенности» [42], о которой упоминалось выше, оказалось настоящим шоком для математиков. Книга посвящена анализу глобального кризиса, в котором оказалась математика в 20-м столетии в результате ее «нелогичного развития».

Настоящий параграф основывается на статье автора «Роль «золотого сечения» и «математики гармонии» в преодолении «стратегических ошибок» в развитии математики», опубликованной в престижном научном сборнике "The way to harmony: ART+MATHEMATICS" [83]. Эта статья является развитием идей, изложенных в книге [42]. Главная цель статьи [83] состоит в том, чтобы развить новый взгляд на историю математики с позиций математики гармонии и показать, что в процессе развития математики в ней был допущен ряд «стратегических ошибок», которые повлияли на развитие математики и ее структуру.

В книге [42] Морис Клайн пишет:

«История математики знает не только величайшие взлеты, но и глубокие падения ... Осознание того, что сверкающая великолепием витрина человеческого разума далеко не совершенна по своей структуре, страдает множеством недостатков и подвержена чудовищным противоречиям, могущим вскрыться в любой момент, нанесло ещё один удар по статусу математики. Но бедствия, обрушившиеся на математику, были вызваны и другими причинами. Тяжелые предчувствия и разногласия между математиками были обусловлены самим ходом развития математики за последние сто лет. Большинство

математиков как бы отгородились от внешнего мира, сосредоточив усилия на проблемах, возникающих внутри самой математики,— по существу, они порвали с естествознанием».

И далее:

«Естествознание было кровью и плотью математики и питало её живительными соками. Математики охотно сотрудничали с физиками, астрономами, химиками и инженерами в решении различных научно-технических проблем, а часто и сами являлись выдающимися физиками и астрономами. В 17—18 вв., а также на протяжении большей части 19 в. различие между математикой и теоретическим естествознанием отмечалось крайне редко. Многие ведущие математики, работая в области астрономии, механики, гидродинамики, электромагнетизма и теории упругости, получили здесь несравненно более важные результаты, чем в собственно математике. Математика была царицей и одновременно служанкой естественных наук».

Клайн подчеркивает, что задачи «чистой математики», которые выдвинулись на передний план в математике 20-го века, не очень сильно интересовали наших великих предшественников. Клайн приводит мнение Френсиса Бэкона по поводу «чистой математики»:

«Критику чистой математики - математики ради математики -можно найти в сочинении Френсиса Бэкона «О достоинстве и приумножении наук» (1620). Бэкон возражал против чистой, мистической и самодовольной математики, «полностью абстрагированной от материи и физических аксиом», сетуя на то, что таково уж свойство человеческого ума: не имея достаточных сил для решения важных проблем, он тратит себя на всякие пустяки».

В 1895 г. Феликс Клейн, бывший в то время признанным главой математического мира, также счёл необходимым выразить протест против тяги к абстрактной, чистой математике (цитата взята из книги [42]):

«Трудно отделиться от ощущения, что быстрое развитие современной математики таит в себе для нашей науки опасность всё более усиливающейся изоляции. Тесная взаимосвязь между математикой и теоретическим естествознанием, существовавшая к вящей выгоде для обеих сторон, с возникновением современного анализа грозит прерваться».

Рихард Курант, возглавлявший Институт Математических наук при Нью-Йоркском университете, также неодобрительно относился к увлечению чистой математикой. В 1939 г. он писал (цитата взята из книги [42]):

«Серьезная угроза самой жизни науки проистекает из утверждения, будто математика представляет собой не что иное, как систему заключений, выводимых из определений и постулатов, которые должны быть непротиворечивыми, а в остальном произвольными порождениями свободной воли математиков. Если бы подобное описание соответствовало действительности, то в глазах любого сколько-нибудь разумного человека математика не обладала бы никакой привлекательностью. Она была бы ничем не мотивированной бесцельной игрой с определениями, правилами и силлогизмами. Представление о том, будто разум по своему произволу может создавать осмысленные аксиоматические системы, - полуправда, способная лишь вводить неискушенных людей в заблуждение. Только сдерживаемый дисциплиной ответственности перед органическим целым свободный разум, руководствуясь внутренней необходимостью, может создавать результаты, имеющие научную ценность».

Таким образом, вслед за Бэконом, Фурье, Клейном, Курантом и другими выдающимися математиками, Морис Клайн усматривает причину современного кризиса в математике в её отходе от естествознания, которое в течение многих столетий было главным источником развития математики. Отход математики от теоретического естествознания является крупнейшей «стратегической ошибкой» математики 20-го века и главной причиной её современного кризиса. Но в истории математики имели место и другие «стратегические ошибки», анализ которых приведён ниже.

Пренебрежение «началами». А. Н. Колмогоров в предисловии к книге А. Лебега «Об измерении величин» [84] замечает, что «у математиков существует склонность, уже владея законченной математической теорией, стыдиться её происхождения. По сравнению с кристаллической ясностью развития теории, начиная уже с готовых её основных понятий и допущений, кажется грязным и неприятным занятием копаться в происхождении этих основных понятий и допущений. Всё здание школьной алгебры и весь математический анализ могут быть воздвигнуты на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени и т. д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними. Против этой тенденции и протестует Лебег».

В этом высказывании Колмогоров подметил одну особенность математиков - стыдливое отношение к «началам» математической науки, а точнее - пренебрежение «началами» («на разных ступенях обучения и с разной степенью смелости»). Задолго до Колмогорова на эту тенденцию в развитии математики обратил внимание Николай Лобачевский. В одной из своих работ он написал:

«Алгебру и геометрию постигла одна и та же участь. За быстрыми успехами вначале следовали весьма медленные и оставили науку на такой ступени, где она ещё далека от совершенства. Это произошло от того, что математики всё своё внимание обратили на высшие части Аналитики, пренебрегая началами и не желая трудиться над обрабатыванием такого поля, которое они уже раз перешли и оставили за собою».

И именно Лобачевский своими исследованиями показал, что «начала» математической науки, в частности, «Начала» Евклида, являются неисчерпаемым источником новых математических идей и открытий. Свои знаменитые «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (1840) Лобачевский начинает следующими словами:

«В геометрии я нашёл некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука ... до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий ...».

Как известно, Лобачевский, в отличие от других математиков, не пренебрегал «началами». Тщательное изучение У-го постулата Евклида («важный пробел в теории параллельных линий») привело Лобачевского к созданию неевклидовой геометрии, которая, по мнению А. Н. Колмогорова [15], считается наиболее крупным математическим достижением 19-го века.

Пренебрежение идеей гармонии и золотым сечением. Как неоднократно упоминалось выше, особую роль в учении пифагорейцев, в том числе и Платона, играло золотое сечение, которое в тот период называлось «делением в крайнем и среднем отношении». Золотое сечение буквально пронизывает «Начала» Евклида, начиная с книги II и заканчивая Книгой XIII. Возникает вопрос: а как обстоит дело с золотым сечением в современной математике, которая, как утверждают современные историки математики, начинается с «Начал» Евклида? К сожале-

нию, ответ пессимистичный: явно в недостаточной степени. К сожалению, многие современные математики считают золотое сечение неким едва ли не «эзотерическим понятием», недостойным для изучения в серьёзной математике, а сами «гармонические идеи» Пифагора и Платона считают, по выражению Алексея Лосева, результатом «безудержной и дикой фантазии». Пренебрежение золотым сечением мы находим не только в математике, но и в теоретической физике. В 2006 г. издательство «БИНОМ» (Москва) опубликовало научный сборник «Метафизика. Век 21» [85]. В предисловии составитель и редактор сборника профессор Ю. С. Владимиров (Московский университет) написал следующее:

«Третья часть сборника посвящена осмыслению многочисленных примеров проявления «золотой пропорции» в искусстве, биологии и в окружающей нас действительности. Однако, как это не парадоксально, в современной теоретической физике «золотая пропорция» никак не отражена. Чтобы убедиться в этом, достаточно пролистать 10-томник теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Назрело время заполнить этот пробел в физике, тем более, что «золотая пропорция» тесно связана с метафизикой, с тринитарностью».

Очень интересное объяснение причины пренебрежительного (в некотором смысле даже враждебного) отношения со стороны официальной академической науки к гармонии и золотому сечению содержится в статье Дениса Клещёва [86]. Он пишет:

«Безусловный успех теории Менделеева, который современные жрецы науки упорно ретушируют, объясняется именно тем, что «спекулятивное» разбиение периодической таблицы на семь периодов отражает объективное существование в строении атома семи энергетических уровней («оболочек»), которые вместе с ядром образуют гармоническую «октаву», заполняемую электронами, причем переход электрона с одного из внешних уровней на более близкий к ядру всегда связан с излучением кванта света, поэтому язык спектра был и остается одним из важных инструментов атомной физики. Эффективность введения квантовых чисел настолько поражала первопроходцев физики атома, что Зоммерфельд в первом издании своего фундаментального труда «Строение атома и спектральные линии» (1919) писал следующее:

«То, что мы слышим сегодня на языке спектров, и есть подлинная музыка сфер атомов, созвучие целочисленных отношений, одно из многих проявлений всё возрастающего порядка и гармонии. <...> Все целочисленные закономерности спектральных линий и атомистики берут

своё начало, в конечном счете, из квантовой теории. Она есть тот таинственный орган, на котором природа исполняет музыку спектров, и её ритму подчиняется строение атома и ядра».

В своем докладе 1925 года Арнольд Зоммерфельд не без горечи восклицал: «Вот если бы Кеплеру дожить до современной квантовой теории! Он бы увидел осуществлённой свою самую смелую юношескую мечту, но не в макрокосмосе небесных тел, а в микрокосмосе атома».

И далее Клещев продолжает [86]:

«Однако такие интерпретации теории атома были подвергнуты жёсткой критике. Больше всего за распространение «пифагорейства» во время формирования современной нормальной науки пострадал знаток теории относительности, выдающийся астрофизик Артур Эддингтон (с 1923 года иностранный член-корреспондент АН СССР, с 1938 года президент Международного астрономического союза). Его попытки связать постоянную тонкой структуры а=1/137,035... с теорией гармонии инициировали громкий процесс в АН СССР, в результате которого любое упоминание в квантовой физике слова «гармония» было запрещено и стало автоматически пониматься как «эд-дингтоновщина».

Вот, оказывается, где «зарыта собака»! Высокие академические круги ещё в советские времена приложили руку к тому, чтобы заклеймить позором понятие «гармония», а само слово «гармония» вычеркнуть из употребления в физической науке. Так что, не только кибернетика и генетика, но также и учение о гармонии подвергались гонениям со стороны официальной академической науки. Непонятно только, как это согласуется с упоминавшимся выше высказыванием Альберта Эйнштейна: «Религиозность учёного состоит в восторженном преклонении перед законами гармонии».

Несмотря на то, что академическая наука высказалась против использования понятия «гармонии» в современной физике, развитие теоретического естествознания в последние десятилетия показало, что уважаемые академики в оценке роли гармонии допустили очередную ошибку. Поскольку академическая наука на начальном этапе, как правило, ошибается при оценке тех или иных направлений фундаментальной науки (вспомним генетику и кибернетику, а ещё раньше - гиперболическую геометрию Лобачевского), а затем стыдливо забывает покаяться о содеянном, можно высказать твёрдое мнение о том, что пренебрежение гармонией и золотым сечением - еще одна «стратегическая ошибка» в развитии не только математики, но и теорети-

ческой физики. Эта ошибка породила ряд других «стратегических ошибок» в развитии математики и науки в целом.

Игнорирование «гипотезы Прокла». В начале этой статьи был тщательно проанализировали новый взгляд на «Начала» Евклида, выдвинутый греческим философом Проклом Диадохом (412-485).

Анализ гипотезы Прокла содержится во многих западных книгах по истории математики. Рассмотрим некоторые из них [87]-[89]. В книге [87] утверждается: «Согласно Проклу, главная цель «Начал» состояла в том, чтобы изложить построение так называемых Платоновых тел».

В книге [88] эта идея получает дальнейшую конкретизацию: «Прокл, ещё раз упоминая всех предшествующих математиков Платоновского кружка, говорит: "Евклид жил позже, чем математики Платоновского кружка, но раньше, чем Эратосфен и Архимед... Он принадлежал к школе Платона и был хорошо знаком с философией Платона и именно поэтому он поставил главной целью своих «Начал» построение так называемых Платоновых тел».

Этот комментарий важен для нас тем, что в нём обращается внимание на связь Евклида с Платоном. Евклид полностью разделял философию Платона и его космологию, основанную на Платоновых телах; именно поэтому он и поставил главной целью своих «Начал» создание геометрической теории Платоновых тел.

Как известно, одним из первых научных достижений Иоганна Кеплера было создание «Космического кубка» - оригинальной модели Солнечной системы, основанной на Платоновых телах. Эта модель была описана Кеплером в его первый книге «Mysterium Cosmographicum». «Космический кубок» нас интересует, прежде всего, с точки зрения отношения Кеплера к «гипотезе Прокла». Craig Smorinsky в книге [89] обсуждает влияние идей Платона и Евклида на Иоганна Кеплера:

«Кеплеровский проект в Mysterium Cosmographicum состоял в том, чтобы дать "истинные и совершенные причины для чисел, величин и периодических движений небесных орбит". Совершенные причины должны основываться на простых принципах математического порядка, который Кеплер нашел в Солнечной системе, используя многочисленные геометрические демонстрации. Общая схема его модели была взята Кеплером из Платоновского Тимея, но математические соотношения для Платоновых тел (пирамида, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр) были взяты Кеплером из трудов Евклида и Птолемея. При этом Кеплер следовал Проклу в том, что "главная цель Евклида

состояла в том, чтобы построить геометрическую теорию так называемых Платоновых тел. Кеплер полностью был очарован Проклом, которого он часто цитирует и называет «пифагорейцем».

В этой связи уместно ещё раз вспомнить также о книге выдающегося математика и геометра Феликса Клейна «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» [14], опубликованной в 1884 г. В этой книге икосаэдру, основанному на золотом сечении, - одному из главных Платоновых тел, отведено едва ли не центральное место в математике.

Некоторые советские математики в своё время также высказали идеи, близкие к «гипотезе Прокла». В статье [86] Денис Клещёв приводит мнение проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского (самого авторитетного советского историка математики и переводчика трактата Евклида на русский язык), которое полностью совпадает с гипотезой Прокла:

«Тщательный анализ «Начал» меня решительно убеждает, что построение правильных тел, и ещё более - доказательство существования пяти и только пяти тел - представляло некогда, ещё до Евклида, конечную цель того труда, из которого произошли «Начала».

Возникает вопрос: почему же гипотеза Прокла и мнение выдающегося советского историка математика не отражены широко в исторической литературе и учебниках по математике?

Еще раз обратимся к статье Дениса Клещёва [86]. Он пишет:

«...При внимательном изучении канонических «Элементов геометрии» Евклида можно обнаружить гармоническую составляющую данного трактата, который принципиально отличался от других сводных трактатов по геометрии (например, от «Элементов» Гиппократа Хиосского) и заслужил себе всеобщее признание в античности как раз тем, что все тринадцать книг, в которых Евклид дал систематическое изложение наиболее значимых открытий античных математиков, имели главной целью вывод и доказательство существования пяти правильных многогранников (Платоновых тел: тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра).

Несмотря на то, что геометрия Евклида стала основой стандартной математики и была возведена последующими поколениями математиков в ранг «абсолютно истинной науки», теория гармонии осталась метафизическим придатком, для которого в научной парадигме не нашлось достойного места, поэтому в наши дни понятие «гармония» было ассоциировано с музыкальным учением пифагорейцев, хотя на самом деле в античной науке гармония числовых соотношений распространялась на все области знаний. Главная причина того, что об-

щая теория гармонии не стала развиваться в рамках античной парадигмы, заключается в том, что изучение гармонических соотношений неизбежно приводило математиков к несоизмеримым отрезкам, к иррациональным числам, то есть к дробям, к которым античные философы питали нескрываемое отвращение».

Создается впечатление, что современные историки математики придерживаются этой же точки зрения. Они отказываются замечать, что золотому сечению и Платоновым телам Евклид уделил очень большое внимание и не могут дать этому никакого «научного объяснения». Более того, они отказываются признавать, что, согласно гипотезе Прокла, «Начала» Евклида написаны под прямым влиянием античной идеи гармонии. И главная цель Евклида при написании своего гениального математического произведения, к которому восходит вся современная математика, - это создание завершенной теории Платоновых тел, которые ассоциировались у древних греков с гармонией Мироздания.

Клещёв пишет [86]:

«Хотя свидетельство Прокла Диадоха (V век н.э.), в котором раскрывается смысл Евклидовых «Элементов», составленных как строго аксиоматическое построение пяти правильных многогранников, имеет множество подтверждений в античной науке, современные математики продолжают от нас скрывать этот исторический факт».

В этой связи уместно привести еще одно высказывание Дениса Кле-щёва [86]:

«Теория гармонизации, систематизации и обобщения информации кажется многим весьма несущественной. Большинство математиков считает для себя крайне скучным занятием изучение элементарной геометрии. Хотя ни один выдающийся математик XIX века (включая математиков-универсалов Гильберта и Пуанкаре), не испытывал такого равнодушия и презрения к элементарной математике, какое сегодня испытывает к ней среднестатистический доцент, аспирант или студент-математик. Так мы пожинаем плоды того стиля преподавания, который сложился после введения в математическое образование теоретико-множественного подхода».

Таким образом, мы можем констатировать, что оригинальный взгляд Прокла на «Начала» Евклида проигнорирован официальной академической математикой. Более того, современные российские историки математики скрывают от научной общественности этот исторический факт, признанный Иоганном Кеплером, Феликсом Клейном, а в наше время - Мордухай-Болтовским. Все это следует рассматривать как ещё одну «стратегическую ошибку» в раз-

витии математики, которая привела к искаженному взгляду на всю историю математики.

Односторонний взгляд на происхождение математики. Как известно, традиционный взгляд на происхождение математики [15] состоит в том, что в основе создания математики лежало две «ключевые» проблемы, которые возникли в науке на ранних этапах ее развития: проблема счёта и проблема измерения [15]. Проблема счёта привела к созданию первых способов представления чисел и выполнения над числами арифметических операций (Вавилонская 60-ричная система счисления, египетская десятичная арифметика и др.). Главным итогом этого процесса было формирование понятия натурального числа -фундаментального понятия математики, без которого немыслимо её существование. Проблема измерения лежит у истоков создания геометрии как науки об «измерении земли». Именно в рамках изучения проблемы измерения в научной школе Пифагора были открыты несоизмеримые отрезки, что считается одним из важнейших математических открытий античной математики. Это открытие привело к введению понятия иррационального числа - второго фундаментального понятия математики, без которого невозможно представить существование современной математики.

Концепции натурального числа и иррационального числа лежат в основе «классической математики» и «классического теоретического естествознания». Заметим, что большинство важнейших математические констант, в частности, число р и Эйлерово число е, являются иррациональными (трансцендентными) числами. Эти числа лежат в основе важнейших типов элементарных функций, в частности, в основе тригонометрических функций (число р) и гиперболических функций (число е ).

К сожалению, историки математики, рассматривая главные проблемы математики, которые лежат в основе её происхождения, иногда стыдливо забывают упомянуть, что существовала еще одна научная проблема - проблема гармонии, которая была выдвинута Пифагором, Платоном и, согласно гипотезе Прокла, нашла своё отражение в «Началах» Евклида. Самое удивительное, что даже выдающийся математик Андрей Колмогоров в своей замечательной книге [15] не упоминает о гипотезе Прокла и о влиянии проблемы гармонии на создание «Начал» Евклида. Трудно предположить, что академик Колмогоров не знал о гипотезе Прокла. Скорее всего, он просто не решился о ней упоминать, потому что в этом случае историю математики, изложенную в его кни-

ге [15], пришлось бы пререписать по-новому. В результате в современной математике, восходящей к «Началам» Евклида, сформировался искаженный взгляд на «Начала» Евклида и на происхождение математики, что является еще одной «стратегической ошибкой» в развитии математики. Если бы проблема гармонии была включена в состав важнейших проблем, исторически повлиявших на создание математики на этапе её зарождения, то структура современной математики выглядела бы по-другому.

Величайшая математическая мистификация 19-го столетия.

Крупные «стратегические ошибки» были сделаны и в последующие периоды развития математики. В 19-м веке одна из таких ошибок состояла в том, что без достаточного критического анализа теория бесконечных множеств Георга Кантора была возведена на пьедестал «величайших математических открытий», лежащих в основаниях математики.

Канторовская теория бесконечных множеств вызвала бурю протестов уже в 19 в. Детальный анализ критики этой теории проведён в главе «Изгнание из рая: новый кризис в основаниях математики» книги Мориса Клайна [42]. Многие известные математики 19 в. высказались резко отрицательно по поводу этой теории. Леонид Кронекер (18231891), испытывавшей личную неприязнь к Кантору, назвал его шарлатаном. Анри Пуанкаре (1854-1912) называл теорию множеств «тяжелой болезнью» и считал её своего рода «математической патологией». В 1908 г. он заявил:

«Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились».

К сожалению, у теории Кантора были не только противники, но и сторонники. Б. Рассел назвал Кантора одним из великих мыслителей 19 в. В 1910 г. Рассел написал: «Решение проблем, издавна окутывавших тайной математическую бесконечность, является, вероятно, величайшим достижением, которым должен гордиться наш век». Рассела поддержал Д. Гильберт, заявив, что «никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

В своём выступлении на 1-м Международном Конгрессе математиков в Цюрихе (1897) знаменитый математик Адамар подчеркнул, что главная привлекательная черта Канторовой теории множеств состоит в том, что впервые в математической истории дана классификация множеств на основе концепции «кардинального числа». Удивительные ма-

тематические результаты, которые вытекают из теории множеств Кантора, вдохновляют математиков на новые открытия.

В последние годы в работах выдающегося российского математика и философа Александра Зенкина [90], [91], а также в работах других авторов [86], [92], [93] были предприняты радикальные попытки «очищения» математики от канторовской теории бесконечных множеств. Анализ канторовской теории бесконечных множеств, изложенной в статьях [90], [91], привел Александра Зенкина к заключению, что доказательства многих теорем Кантора о бесконечных множествах являются логически некорректными, а вся теория Кантора в некотором смысле является «величайшей математической мистификацией 19 в.».

Обнаружение парадоксов в канторовской теории бесконечных множеств значительно остудило восторги математиков по поводу этой теории, но окончательную точку в критическом анализе теории Кантора поставил именно Александр Зенкин [90], [91]. Он показал, что главной ошибкой Кантора было принятие абстракции актуальной бесконечности, что, начиная с Аристотеля, недопустимо в математике. Но без абстракции актуальной бесконечности теория бесконечных множеств Кантора является несостоятельной! На проблему актуальной бесконечности обратил внимание ещё Аристотель, который первым предупредил о невозможности использования понятия «актуальной бесконечности» в математике.

Таким образом, канторовская теория бесконечных множеств является не чем иным, как математической мистификацией 19-го века, или, по выражению Пуанкаре, своего рода «математической патологией», а её принятие математиками 19-го века, без должного критического анализа, является ещё одной «стратегической ошибкой» в развитии математики. Если бы канторовская теория бесконечных множеств была подвергнута серьёзному анализу ещё в 19-м веке, если бы математики всерьез прислушались к мнению выдающихся математиков Кронекера и Пуанкаре, возможно, удалось бы избежать возникновения современного кризиса в основаниях математики. Infinitum Actu Non Datur.

Недооценка формул Бине. В 19 в. в развитии теории золотого сечения было сделано важное математическое открытие. Речь идет о так называемых формулах Бине, выведенных французским математиком Бине в 19-м веке, а ещё раньше Бернулли. Удивительно, что в классической математике формулы Бине не получили должного признания, в отличие от других известных математических формул (формулы Эйле-

ра, формулы Муавра и т. д.). И не все математики о них знают. Изучение формул Бине, а также золотого сечения, чисел Фибоначчи и Люка, как правило, не включается в современные математические программы школьного и университетского образования. По-видимому, такое отношение к формулам Бине связано с золотым сечением, которое всегда вызывало «аллергию» у математиков.

Но главная «стратегическая ошибка» в оценке формул Бине состояла в том, что математики не усмотрели в этих формулах прообраз нового класса гиперболических функций - гиперболических функций Фибоначчи и Люка, которые были открыты украинскими учеными Бодна-ром, Стаховым, Ткаченко и Розиным спустя 100 лет после открытия формул Бине [25]-[27]. Если бы гиперболические функции Фибоначчи и Люка были открыты в 19-м столетии, то гиперболическая геометрия и её приложения в физической науке выглядели бы иначе и, может быть, уже в 19 в. была построена новая геометрическая теория филло-таксиса, которая в современной науке получила название «геометрия Боднара» [27].

Недооценка «икосаэдрической» идеи Феликса Клейна. Как упоминалось выше, в 19-м веке выдающийся математик Феликс Клейн попытался объединить все ветви математики на основе икосаэдра -Платонового тела, дуального додекаэдру [14]. По существу, исследования Клейна можно рассматривать как дальнейшее развитие так называемой «додекаэдро-икосаэдрической идеи», которая, начиная с Пифагора, Платона, Евклида и Кеплера, «красной нитью» проходит через всю историю науки. Клейн трактует икосаэдр, основанный на золотом сечении, как геометрический объект, из которого, по его мнению, вытекают ветви пяти математических теорий: геометрии, теории Галуа, теории групп, теории инвариантов и дифференциальных уравнений. Главная идея Клейна состоит в следующем: «Каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра». К сожалению, эта замечательная идея не получила должного развития в современной математике, что является ещё одной «стратегической ошибкой» в её развитии. Развитие этой идеи могло бы повлиять на структуру математической науки и привело бы к объединению многих важных разделов математики на основе икосаэдра, основанного на золотом сечении.

Недооценка математического открытия Джорджа Бергмана. В

математике существует одна «странная» традиция. Математикам свой-

ственно недооценивать математические достижения некоторых своих современников (как это случилось с геометрией Лобачевского, которая была подвергнута резкой критике со стороны официальной академической науки России) и переоценивать достижения других математиков (как это случилось с теорией множеств Кантора). К сожалению, традиционно действительно эпохальные математические открытия вначале подвергаются резкой критике и даже осмеянию со стороны известных математиков и только спустя примерно 50 лет (как правило, после смерти авторов математических открытий) новые математические теории признаются и занимают достойное место в математике. Примеры с недооценкой математических теорий Лобачевского, Абеля и Галуа в момент их провозглашения и с их реабилитацией спустя несколько десятилетий, когда Лобачевский, Абель и Галуа были признаны математическими гениями, являются хрестоматийными. Таким же хрестоматийным примером является переоценка канторовской теории множеств на начальном этапе и признание этой теории своего рода «шарлатанством», вызвавшим кризис в современной математике.

К сожалению, 20 в. не стал исключением из этого правила. Нечто подобное произошло и с былым математическим открытием юного тогда американского математика Джорджа Бергмана. В 1957 г. Джордж Бергман опубликовал статью «A number system with an irrational base» [51] в известном математическом журнале «Mathematics Magazine». В этой статье автор предложил весьма необычное расширение понятия позиционной системы счисления, которое переворачивает наши представления о системах счисления.

К сожалению, статья Бергмана [51] не была замечена в тот период ни математиками, ни теоретиками и инженерами в области компьютерной техники. Журналисты были удивлены только тем фактом, что Джордж Бергман написал свою выдающуюся статью в возрасте 12 лет (случай, беспрецендентный в математике!), в связи с чем в журнале «TIME» была даже опубликована статья о юном математическом даровании Америки. Но математики того времени (впрочем, как и сам Бергман) не сумели оценить значение этого открытия для развития математики и информатики. И только спустя 63 года значение этого открытие было по достоинству оценено в работе [94].

Стратегический просчет математиков 20-го века состоял в том, что они проигнорировали математическое открытие Джорджа Бергмана, которое по праву может быть отнесено к разряду крупнейших математических открытий в области систем счисления (после открытия вавилонянами позиционного принципа пред-

ставления чисел, десятичной и двоичной системы) и которое может дать начало новым компьютерам и новой («золотой») теории чисел, основанной на золотой пропорции [24], [52], 53[20].

Заключение

Выдающемуся французскому математику, физику, астроному и философу Анри Пуанкаре (1854 1912), которого причисляют к величайшим математикам всех времён, способным охватить все математические результаты своего времени, принадлежат следующие замечательные слова:

«Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук».

Если говорить о нынешнем состоянии математической науки, то наиболее глубоко оно раскрыто в книге Мориса Клайна [42].

В настоящей статье, как и в работах [1]-[4], автора интересовала, прежде всего, история математики, изучение которой, по мнению Анри Пуанкаре, является лучшим методом «для предвидения будущего развития математических наук». В этой статье, как и в книгах [1]-[4], предпринята попытка развить новый взгляд на историю происхождения математики, основанный на так называемой гипотезе Прокла. Согласно этой гипотезе «Начала» Евклида были написаны под непосредственным влиянием «гармонических идей» Пифагора и Платона, а главной целью «Начал» было создание завершенной геометрической теории Платоновых тел, которые в древнегреческой науке ассоцировались с гармонией Мироздания. Из гипотезы Прокла вытекает, что «Начала» Евклида, к которым в своих истоках восходит современная математика, являются источником двух направлений в развитии математики -«Классической математики» и «Математики гармонии».

«Классическая математика» позаимствовала в «Началах» аксиоматический подход, теорию чисел и другие достижения древнегреческой математики, в то время как «Математика гармонии» - Платоновы тела и золотое сечение. В развитии математики гармонии принимали участие выдающиеся мыслители, философы и математики: Пифагор, Платон, Евклид, Фибоначчи, Лука Пачоли, Иоганн Кеплер, Бине, Люка, Цейзинг, Феликс Клейн и др. Начиная с 60-х годов 20 в., канадский математик Гарольд Коксетер [17], советский математик Николай Воробьев [18], американский математик Вернер Хоггатт [19] и английский математик Стефан Вайда [20] возродили интерес к математике гармонии, создав современную теорию чисел Фибоначчи. Эту

теорию можно рассматривать как начало процесса «гармонизации математики», то есть, возврата математики к тому исходному состоянию, с которого она начиналась («Начала» Евклида). Выдающиеся научные открытия современной науки, основанные на Платоновых телах и золотом сечении (в частности, квазикристаллы и фуллерены, удостоенные Нобелевских премий) свидетельствуют о том, что современная наука взяла на вооружение «гармонические идеи» Пифагора и Платона и активно движется к новым Нобелевским премиям («геометрия Боднара», «золотые геноматрицы» Сергея Петухова, фибоначчиева закономерность периодической системы Сергея Якушко и др.).

Именно поэтому возникновение математики гармонии [1]-[4] как нового междисциплинарного направления современной науки можно рассматривать как отражение возрастающего интереса к «гармоническим идеям» Пифагора, Платона и Евклида и как важный этап в развитии процесса «гармонизации математики».

1. Stakhov A. P. The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathemartics and Computer Science. New Jersy, London, Singapore, Hong Kong: World Scientific, 2009. - 748 р. http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6635

2. Стахов А. П. Основы математики гармонии и ее приложения. Часть 1. Золотое сечение, числа Фибоначчи и Платоновы тела в истории науки и культуры. Lambert Academic Publishing (Germany), 2012. - 272 c. https://www.lap-publishing.com/catalog/details/store/gb/book/978-3-659-15024-1/Основы математики гармонии и её приложения

3. Стахов А. П. Основы математики гармонии и ее приложения. Часть 2. Коды Фибоначчи и золотой пропорции как альтернатива классической двоичной системе счисления. Lambert Academic Publishing (Germany), 2012. - 308 c. https://www.lap-publishing.com/catalog/details/store/gb/book/978-3-659-23499-6/Основы математики гармонии и её приложения

4. Стахов А. П. Основы математики гармонии и ее приложения. Часть 3. Математика гармонии как «золотая» парадигма современной науки. Lambert Academic Publishing (Germany), 2012. -372 c. https://www.lap-publishing.com/catalog/details/store/gb/book/978-3-659-26065-0/Основы математики гармонии и её приложения

Литература

5. Шестаков В. П. Гармония как эстетическая категория. М.: Наука, 1973. - 256 с.

6. Сороко Э. М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984. - 264 с.

7. Harmony of spheres. The Oxford dictionary of philosophy, Oxford University Press, 1994, 1996, 2005.

8. Dimitrov Vladimir. A new kind of social science. Study of self-organization of human dynamics. Morrisville Lulu Press, 2005.

9. Stakhov A. P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. - Applications of Fibonacci Numbers, 1998, V. 7. - pp. 323-399.

10. Начала Евклида. Книги I-VI. Перевод с греческого и коментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

11. Начала Евклида. Книги VII-X. Перевод с греческого и коментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

12. Начала Евклида. Книги XI-XV. Перевод с греческого и коментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

13. Бунин В. А. Код биоподобия. Троеначальный Код Метагармонии как биоподобия техногенных систем по критерию целевой функции // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15669, 24.11.2009.

14. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989. - 336 с.

15. Колмогоров А. Н. Математика в её историческом развитии. М.: Наука, 1991. - 224 с.

16. Stakhov A. P. The Mathematics of Harmony: Clarifying the Origins and Development of Mathematics. Congressus Numerantium, Vol. CXCIII, 2008.

17. Coxeter H. S. M. Introduction to Geometry New York: John Wiley and Sons, 1961.

18. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984. - 144 с. (первое издание - 1961).

19. Hoggat V. E. Jr. Fibonacci and Lucas Numbers. - Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.

20. Vajda S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. - Ellis Harwood Limited, 1989.

21. Пойа Д. Математическое открытие (перевод с англ.). М.: Наука, 1970. - 452 с.

22. Стахов А. П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. М.: Советское Радио, 1977. - 288 c.

23. Митропольский Ю. А. Отзыв о научном направлении украинского ученого, доктора технических наук, профессора Алексея Петровича Стахова // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 776567, публ.12452, 23.09.2005 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/006a/02320005.htm

24. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. М.: Радио и связь, 1984. - 152 с.

25. Стахов А. П., Ткаченко И. С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993. -с.9-14.

26. Stakhov A, Rozin B. On a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.

27. Боднар О. Я. Золотое сечение и неевклидова геометрия в природе и искусстве. Львов: Свит, 1994. - 204 с.

28. Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).

29. Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (Русский перевод: Мидхат Газале. Гномон. От фараонов до фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 272 с.).

30. Kappraff Jay. Connections. The geometric bridge between Art and Science. Second Edition. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. World Scientific, 2001. - 490 р.

31. Kappraff Jay. "Beyond Measure. A Guided Tour Through Nature, Myth and Number". Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. World Scientific, 2002. - 584 р.

32. Татаренко А. А. Золотые Tm - гармонии и Dm - фракталы — суть

солитоно-подобного Тm - структурогенеза мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12691, 09.12.2005

33. Аракелян Грант. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989

34. Шенягин В. П. «Пифагор, или Каждый создает свой миф» - четырнадцать лет с момента первой публикации о квадратичных мантиссовых s-пропорциях // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17031, 27.11.2011 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322050.htm

35. Косинов Н. В. Золотая пропорция, Золотые константы и Золотые теоремы // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14379, 02.05.2007 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321049.htm

36. Стахов А. П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 776567, публ.14098, 21.12.2006 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321063.htm

37. Falcon Sergio, Plaza Angel. On the Fibonacci k-numbers Chaos, Solitons & Fractals, Volume 32, Issue 5, June 2007 : 1615-1624.

38. Stakhov A. P. A generalization of the Fibonacci Q-matrix. Доклады Академии наук Украины, 1999, №9, с. 46-49.

39. Stakhov A. The "golden" matrices and a new kind of cryptography. Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.

40. Бахвалов С. В., Иваницкая В. П. Основания геометрии. Москва: Издательство «Высшая школа», 1972.

41. Марков А. А. О логике конструктивной математики. Москва: Издательство «Знание», 1972.

42. Клайн М. Математика. Утрата определенности (пер. с англ.). Москва: Мир, 1984. 434 с.

43. Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934.

44. Стахов А. П. Принцип асимметрии логики измерения. Проблемы передачи информации, №3, 1976 г.

45. Поспелов Д. А. Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия. М.: Высшая школа, 1970. - 308 с.

46. Стахов А. П. Избыточные двоичные позиционные системы счисления. В кн. Однородные цифровые вычислительные и интегрирующие структуры, вып.2. Изд-во Таганрогского радиотехнического института, 1974 г. - с.5-41.

47. Стахов А. П. Использование естественной избыточности «фибо-наччиевых» систем счисления для контроля вычислительных систем. Автоматика и вычислительная техника, №6, 1975 г. -с.80-87.

48. Стахов А. П. «Фибоначчиевые» двоичные позиционные системы счисления. В сб. Кодирование и передача дискретных сообщений в системах связи. Москва, Наука, 1976 г.

49. Стахов А. П. (редактор). Помехоустойчивые коды: Компьютер Фибоначчи, Москва, Знание, серия «Радиоэлектроника и связь», вып.6, 1989 г. - 64 с.

50. Стахов А. П. Алгоритмическая теория измерения: новый взгляд на теорию позиционных систем счисления и компьютерную

арифметику. Управляющие системы и машины, №4-5, 1994. -с.25-41.

51. Bergman G. A number system with an irrational base // Mathematics Magazine, 1957, No 31: 98-119.

52. Стахов А. П. «Золотая» пропорция в цифровой технике. Автоматика и вычислительная техника, №1, 1980 г. - с.27-33.

53. Стахов А. П. Перспективы применения систем счисления с иррациональными основаниями в технике аналого-цифрового и цифроаналогового преобразования. Журнал «Измерения, Контроль, Автоматизация», №6, 1981 г. -с.3-40.

54. Stakhov A. P. Brousentsov's ternary principle, Bergman's number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic. The Computer Journal 2002, Vol. 45, No. 2: 222-236.

55. Стахов А. П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал, том. 56, 2004 г.

56. Kuhn T. S. The Structure of Scientific Revolutions. Chicago, University of Chicago Press, 1962 (русский перевод, 1975).

57. Лосев А. История философии как школа мысли. - Коммунист, 1981, №11.

58. Волошинов А. В. Математика и искусство. М., Просвещение, 2000. - 399 с

59. Гримм Г. Д. Пропорциональность в архитектуре. Ленинград-Москва: ОНТИ, 1935.

60. Гика Матила. Эстетика пропорций в природе и искусстве (пер. с фр.). Москва: Издательство Академии Архитектуры , 1936.

61. Stakhov A., Aranson S. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, "Golden" Fibonacci Goniometry, Bodnar's Geometry, and Hilbert's Fourth Problem. Part I. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions and "Golden" Fibonacci Goniometry. Applied Mathematics, 2011, 2 (January), 74-84.

62. Stakhov A., Aranson S. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, "Golden" Fibonacci Goniometry, Bodnar's Geometry, and Hilbert's Fourth Problem. Part II. A New Geometric Theory of Phyllotaxis (Bodnar's Geometry). Applied Mathematics, 2011, 2 (February), 181188.

63. Stakhov A., Aranson S. Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, "Golden" Fibonacci Goniometry, Bodnar's Geometry, and Hilbert's Fourth Problem. Part III. An Original Solution of Hilbert's Fourth Problem. Applied Mathematics, 2011, 2 (March).

64. Боднар О. Я. Серебряные функции и обобщение теории гиперболических функций // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 776567, публ.17259, 26.01.2012 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322135.htm

65. Бутусов К. П. «Золотое сечение» в Солнечной системе. Сб. «Некоторые проблемы исследования Вселенной», вып.7. - Ленинград: Изд. ВАГО СССР, 1978.

66. Гратиа Д. Квазикристаллы. // Успехи физических наук, 1988, том 156, вып. 2.

67. Елецкий А. В., Смирнов Б. М. Фуллерены, Успехи физических наук,1993, том 163, №2.

68. Андриевский Г. В., Стахов А. П. О Харькове, р-числах Фибоначчи, математике гармонии, фуллеренах и диетической добавке «С60 Water of Life» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 776567, публ.17108, 15.12.2011

69. El Nashie M .S. Is Quantum Space a Random Cantor Set with a Golden Mean Dimension at the Core? Chaos, Solitons & Fractals, 1994; 4(2); 177-179.

70. El Naschie M. S. From symmetry to particles. Chaos, Solitons & Fractals, 2007; 32: 427-430.

71. El Naschie M. S. Hilbert space, Poincaré dodecahedron and golden mean transfiniteness. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, 31 (4), 787793.

72. Цветков В. Д. Золотая гармония и сердце. - Пущино: ООО «Фотон-век», 2008.

73. Цветков В. Д. «Золотая» гармония «противоположностей», энергооптимальность и сердце // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17017, 23.11.2011

74. Золотое сечение в квантовом мире http://www.strf.ru/ science. aspx?CatalogId=222&d_no=27618

75. Верховский Л. И. Платоновы тела и элементарные частицы // Химия и жизнь, 2006, №6.

76. Владимиров Ю. С. Кварковый икосаэдр, заряды и угол Вайн-берга // Труды международной конференции «Проблемы гармонии, симметрии и золотого сечения в природе, науке и искусстве», Винница - 2003.

77. Шелаев А. Н. Обобщённая геометрическая модель золотых сечений и соответствующие ей характерные экстремумы длин, площадей и их производных // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17431, 29.04.2012

78. Шелаев А. Н. Обобщённая геометрическая модель золотых сечений и функций средних значений // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17485, 28.05.2012

79. Шелаев А. Н. Электростатическая модель золотых сечений и функций средних значений // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17511, 08.06.2012

80. Петухов С. В. Метафизические аспекты матричного анализа генетического кодирования и золотое сечение. Метафизика. Век XXI. Сборник трудов (сост. и редактор Ю.С. Владимиров). Москва: БИНОМ, 2006. с.216-250.

81. Якушко С. И. «Фибоначчиевая» закономерность в периодической системе элементов Д. И. Менделеева // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15965, 27.06.2010 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001с/00161662.htm

82. Грант Аракелян. О мировой гармонии, теории золотого сечения и её обобщениях // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567,

http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322065.htm

83. Стахов А. П. «Роль «золотого сечения» и «математики гармонии» в преодолении «стратегических ошибок» в развитии математики». Сборник «Шлях до гармонии: МИСТЕЦТ-ВО+МАТЕМАТИКА» (The Way to harmony: ART+MATHEMATICS"). - Львiв, Львiвська нащональна академiя мистецтв, - 444 с.

84. Лебег А. Об измерении величин. Пер. с французского. Москва: Учпедгиз, 1960.

85. Метафизика. Век XXI (сост. и ред. Ю. С. Владимиров). Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2006. - 285 с.

86. Клещев Д. Лженаука: болезнь, которую некому лечить // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ. 17012, 22.11.2011 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322041.htm

87. Kann Charles H. Pythagoras and Pythagoreans. A Brief History. Hackett Publishing Co, Inc., 2001.

88. Zhmud Leonid. The origin of the History of Science in Classical Antiquity. Published by Walter de Gruyter, 2006.

89. Smorinsky Craig. History of Mathematics. A Supplement. Springer,

90. Zenkin A. A. Super-Induction Method: Logical Akupuncture of Mathematical Infinity. - Twentieth World Congress of Philosophy.

публ.17064,

06.12.2011

2008

Boston, U.S.A., 1998. Proceedings, Section "Logic and Philosophy of Logic."

91. Зенкин А. А. Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии. 2000, №2.

92. Стахов А. П., Клещев Д.С. Проблема бесконечного в математике и философии от Аристотеля до А.Зенкина // «Академия Три-нитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15680, 03.12.2009 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161588.htm

93. Стахов А. П. Не стоит ли современная математика на «лженаучном» фундаменте? (В порядке обсуждения статьи Дениса Клеще-ва «Лженаука: болезнь, которую некому лечить») // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17034, 28.11.2011 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322052.htm

94. Абачиев С. К. Математика гармонии глазами историка и методолога науки // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.15991, 11.07.2010.