О некоторых характеристиках математической модели процесса понимания информации

деленность, отражающая нечеткость знания игроками своих целей». Выявление единой целевой функции снимает эту неопределенность.

Процесс уточнения по последовательности конусов позволяет уменьшить неопределенность, а в пределе выявить единую целевую функцию. Такое уточнение существенно использует знания экспертов по рассматриваемой проблеме. Их мнения формализуются в форме матрицы отношений экспертов к критериям. Эта матрица и соответствующий ей многогранный конус позволяют

свести т-критериальную проблему к стандартной задаче динамического управления.

Для последней задачи разработаны эффективные методы решения. В частности, в данном случае управление осуществляется по принципу обратной связи, т. е. управляющее воздействие зависит от времени и сложившейся позиции. Для нахождения такого оптимального управления можно использовать метод динамического управления Беллмана. Этот алгоритм решения позволяет выявить явный вид оптимального управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воробьёв, Н.Н. Современное состояние теории игр [Текст]/Н.Н. Воробьёв/Успехи матем. наук.-1970.-25. Вып. 2.-С. 81-140.

2. Жуковский, В.И. Риски и исходы в многокритериальных задачах управления [Текст]/В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе.-Тбилиси: Интелекти, 2004.

3. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры [Текст]/В.И. Жуковский, А.А. Чикрий.-Киев: Наукова Думка, 1994.

4. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]/Л.С. Понтрягин.-М.: Наука, 1974.

5. Ногин, В.Д. Принятие решений в многокри-

териальной среде: количественный подход [Текст]/ В.Д. Ногин.-М.: Физматлит, 2002.

6. Матвеев, В.А. Исследование оптимальности по конусу в многокритериальной задаче [Текст]/В.А. Мат-веев//Научно-технические ведомости СПбГПУ -2009. -№ 4.-С. 169-176.

7. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц [Текст]/ Ф.Р. Гантмахер.-М.: Наука, 1967.

8. Пантелеев, В.И. Теория управления в примерах и задачах [Текст]/В.И. Пантелеев, А.С. Бортаковский. -М.: Высш. шк., 2003.

9. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления [Текст]/Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М.: Наука, 1972.

УДК 004.942

А.Д. Тазетдинов

О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПОНИМАНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Формальное представление любого процесса, отражающее в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. позволяет не только упростить задачи организации и управления этими процессами, но и существенно повысить качество такого управления [1].

Большой практический интерес для построения автоматизированных обучающих систем представляют математические модели процессов восприятия, понимания и забывания информации. В то же время разработка таких моделей сопряжена с целым рядом трудностей. Одна из которых

связана с тем, что естественный язык человека наряду с преимуществами в осуществлении коммуникативной функции обладает и недостатками. К числу таких недостатков относятся многозначность слов, сложность грамматических норм, громоздкость и необозримость его конструкций, ситуативность многих конструкций, контекстно-зависимое представление информации, небрежность употребления терминов и т. д.

В большинстве случаев подобные исследования сосредоточены в отдельных направлениях кибернетики и связаны с разработкой вероятностных способов скорости запоминания информации

при проверке остаточных знаний и на моделях забывания информации. Между тем, результаты многочисленных исследований когнитивной психологии говорят о том, что понимание учебного материала (УМ) является важнейшим фактором, влияющим как на скорость запоминания, так и на длительность хранения информации в памяти [2-4]. Существует множество работ, описывающих проблему понимания с философской и образовательной стороны, при недостаточной освещенности этой проблематики с точки зрения формального описания самого процесса. Поэтому в данной статье на основе теоретико-множественного подхода предлагается и исследуется математическая модель процесса понимания информации, что и определяет ее актуальность.

Математическая модель «понятия»

Под термином понятие в данной статье подразумевается следующее. Понятие - это символическое отображение существенных свойств, являющихся общими для определенного класса предметов, явлений или процессов окружающего мира, выделенных в результате сравнительной аналитической работы, систематизации и классификации. В каждом понятии свернуто особое предметное действие, воспроизводящее предмет познания посредством ментального представления.

Исходя из определения, предлагается математическая модель понятия, основанная на теоретико-множественном подходе:

понятие = { А, Ь,У, Я),

где А - обобщенное множество понятий (элементов), используемое для описания существенных свойств и характеристик определенного класса предметов, явлений или процессов, и отражающее сущность представляемого понятия; Ь - множество связей между элементами множества А, обеспечивающее логическую целостность, отличающую данную совокупность элементов от среды, и приобщающую к этому системообразующему, интегративному свойству каждый из элементов множества А; V - множество элементов, которые называются свойствами (двуместными предикатами), V с А; Я - множество высказываний (аксиом), назначающих каждому элементу множества V множество элементов из множества А , к которым оно применимо, и множество элементов или литералов (примитивных типов, таких, как строки и числа), которые могут быть их значениями.

В качестве формы представления структурной основы понятия, обеспечивающей смысловую связь его частей, предлагается использовать графы понятий. Каждая вершина такого графа содержит одно понятие (семантическую единицу информации), которое в свою очередь может быть также представлено в виде графа, имеющего свои собственные исходные вершины (свои семантические единицы информации, изученные на предыдущих этапах обучения). Каждая дуга графа есть не что иное, как символ отношения (связи) между понятиями, которые она соединяет. Связи между понятиями могут быть не только прямыми, но и транзитивными (иерархическими, косвенными), когда путь между двумя вершинами (понятиями) содержит больше одной дуги. В дальнейшем, поскольку речь идет о понятиях учебного материала и их связях, а графовая модель является лишь математическим аппаратом и средством визуализации этих связей, для обозначения дуг и путей на графе понятий будет использоваться термин -связь и длина связи (минимальная длина соответствует одной дуге графа).

Свойства модели понятия

Одной из основных характеристик процесса понимания следует считать субъективность оценки степени понимания. Рассмотрим некоторое понятие С(х) = (Ас (х), Ьс (х),^ (х), Яс (х)) (идеализированное, обобщенное представление о данном понятии в целом) (рис.), где множество Ас(х) = {я а2, ..., ап} состоит из п понятий, п е N множеству натуральных чисел. Множество понятий, используемое преподавателем при изложении УМ, можно определить как А(х) = (АА(х),ЬА(х),УА(х),ЯА(х)), частично или полностью пересекающееся с С(х).

[к ад

В

Рис. 1. Пересечение представлений о понятии

с

Пересечение знаний о понятии вычисляется следующим образом:

Е{х) = А{х)г\С{х) =

= {Ае{х),Ье{х),Уе{х)Яе{х)) =

' Ае{х) = Аа

" УЕ(х) = УА(х)пУс(х) '

Количество понятий, знакомых обучающимся в изучаемой предметной области, определяется как В(х) = (Лв(х), Ьв(х), Ув(х), Яв(х)). Явная очевидность разницы в степени понимания, тем не менее, возможна только на рисунке. Обычно при сравнении двух представлений возникают две субъективные оценки. Поэтому, также введем две оценки степени понимания понятия в виде функций принадлежности. «Верхнюю», с точки зрения множества с большим количеством элементов (в данном случае - с позиции преподавателя):

Мир(А,В) (•*) =

- + -

тл

L

т.

т„

L

пл

L

т„

и»

h

если

если

ка > к в >

^В ^

*в '"в "в "в где кЛ - количество элементов множества ЛЛ(х); тЛ - количество элементов множества ЬЛ(х); пЛ -количество элементов множества УЛ(х); I - ко-

личество элементов множества RA(x); kB, mB, nB, lB, - соответственно множеств AB(x), LB(x), VB(x), RB(x); kAnB - количество элементов пересечения множества A /x) n L„(x); m. „, n. „, l. „ - коли-

Av ' Bv '' An^' AnB AnB'

чество элементов пересечений соответствующих множеств L(x), V(x), R(x).

И «нижнюю», с точки зрения множества с меньшим количеством элементов (самооценки, в данном случае - с позиции обучающегося):

l^down

- + -

тл

h

т„

- + -

тл

I,

"-А тА "А 'А

Результаты вычислений количественных характеристик и оценок степени понимания для областей рисунка приведены в табл. 1 и 2.

Высокая степень субъективности «нижней» оценки приводит к тому, что для формирования объективной самооценки требуется уточнение внутренней модели понятия путем частичного или полного сравнения его с другими (внешними) моделями этого понятия. Поэтому процесс формирования самооценки описывается как

Вир{х) = В{х)(](\Ап{х).

В дальнейшем для всех оцениваний будет применяться «верхняя» оценка, как более объективная.

L

если

если

kА ^В'

к >к

Таблица 1

Количественные характеристики областей знаний о понятии x

Параметры С

к 50 45 8 4 40 2

т 58 51 9 5 46 1

п 19 19 7 5 17 2

1 24 25 10 7 20 3

Таблица 2

Сравнение «верхних» и «нижних» оценок степени понимания понятия x

Тип оценки М<в,о

ир 0,18 0,83 0,07

down 0,62 0,87 0,24

При большом количестве элементов, содержащихся в понятии (х), используется частичное сравнение областей знаний. Введем понятие частичной оценки, которая вычисляется так же как и «верхняя» оценка по формуле (1), но на ограниченном подмножестве элементов большего множества и полном объеме элементов меньшего:

^вр(А', В)(х),

где А'(х) с А(х) - подмножество элементов из множества АА(х) и связанные с ними элементы множеств ЬА(х), УА(х), ЯА(х).

На основании теоретико-множественного подхода и графовой формы представления модели понятия предлагаются следующие измеряемые параметры, кроме количества понятий (к) и количества связей (т), позволяющие проводить сравнения абсолютных показателей различных понятий:

• Количество уровней разъяснения (у). Язык изложения является одним из наиболее важных параметров, отвечающих за понимание. Для измерения сложности языка изложения разделим граф данного понятия на подграфы по уровням иерархии, каждый из которых объединит понятийные множества, необходимые для объяснения понятий вышележащего уровня. Графы первого уровня формируются из понятий множества АА(х), таким образом, что в множество Х1 должны входить только сложные понятия множества АА(х). Графы второго уровня формируются из понятий множеств Х1. Графы третьего уровня - из понятий множества X, необходимого для объяснения понятий множеств X. Графыу-го уровня - из понятий множестваX , необходимого для объяснения

понятий множества X ,. В этом случае, степень

1-1 л

сложности языка изложения будет измеряться в количестве уровней графа, где нулевому уровню сложности соответствуют графы второго уровня. То есть, чем сложнее язык изложения, тем больше шагов рекурсивного спуска требуется для объяснения предыдущих понятий.

• Количество сложных понятий (р) в множестве АА(х) (не обиходных), которые могут вызвать затруднение при понимании и требуют дополнительных разъяснений.

• Коэффициент сложности (р') - отношение количества сложных понятий к простым:

Р

Р =

к-0,

если к> р, если к = р.

• На основании вышеописанных параметров введем коэффициент общей трудоемкости (г), как общее количество смысловых единиц, требующих изучения:

" 1 К

¿=0 «¡=1

где у - количество уровней разъяснений; к - количество графов /-го уровня.

Введение этих параметров позволяет выполнить анализ и итерационную оптимизацию графа понятия, заключающуюся в уменьшении множества сложных понятий Х1 р ^ 0 и сокращении уровней разъяснения так, чтобы у ^ 0.

• Связность смысловых элементов определяется как отношение количества элементов множества АА(х) к количеству дуг графа или графов первого уровня:

= п(к - IV Ё т,

/=1

где п - количество графов первого уровня, к - количество элементов множества АА(х); т. = (V = у2, ..., Ут)) число дуг /-го графа.

Для минимального графа, состоящего из графов первого и второго уровня, связность смысловых элементов будет рассчитываться по формуле:

п

^ =

/=1

к к

Ёт +ЁЁ

т„

/=1 /=1 g=1 где к - количество графов второго уровня, разъясняющих а. понятие; т= {У^ = (у1, у2, ..., V) -число дуг g-го графа.

Чем больше значение 5, тем больше связанность. Значение 5 < 1 говорит о том, что материал слабо связан и требует реструктуризации либо разделения на части. Оптимальным можно считать 1 < 5 < 3.

• Структурированность. Для множества понятий АА(х) определяются связи (дуги графа) первого и второго уровня. Связи первого уровня формируют иерархическую структуру, идеальной топологией которой является дерево. Связи второго уровня обеспечивают дополнительную естественно-смысловую связанность понятий и условно считаются второстепенными. Величина показателя вычисляется из связей первого уровня, как показатель сформированности дерева (отсутствие циклов и несвязных частей) в процентном отношении. Оптимальность графа по данному по-

казатрЛЮl00(%)/(it-l), если \k-\-m\<к, str-\

[0, в остальных случаях,

где m - число дуг графа.

• Последовательность изложения представляет собой путь на графе понятия, включающий по возможности все вершины графа. Правильная последовательность изложения проявляется в отсутствии объяснений неизученных понятий неизученными. То есть отсутствие неразрешимых петель на графе, когда для понимания одного нового понятия требуется изучить второе понятие. При этом для понимания второго понятия требуется знание и понимание первого. Идеальная последовательность, это когда все понятия множества A((x) объяснены, но ни одно из понятий не объяснялось два и более раз (т. е. простой путь). Обычно в излагаемом преподавателем материале петель бывает немного, поэтому в качестве единицы измерения этого параметра предлагается использовать количество петель. Оптимизация графа будет заключаться в исключении петель из последовательности изложения loop ^ 0. Однако количество вершин (понятий) к' множества понятий A'A(x), входящих в путь (последовательность изложения) может не совпадать с количеством понятий множества AA(x) k Ф к. Этому может быть несколько причин. Первая - анализ знаний обучающихся (например, входной тест) показал, что часть понятий уже знакома обучающимся и дополнительное повторение не требуется. Вторая -это наличие петель в последовательности изложения. Третья - комбинация первой и второй. Предлагается следующий способ вычисления количества петель:

loop = к - к", где к"- количество понятий множества понятий (((x), являющегося пересечением множеств Aa(x) и A'a(x), A'A(x) = Aa(x) n A'a(x), A''A(x) сAa(x), к" < к.

Скорость и степень понимания

Частичное понимание начинается уже при (B(x) ф 0 и LB(x) ф 0, а при значении s > 1 из разрозненных элементов образуется система, выражаемая данным понятием. В то же время процессы запоминания и понимания похожи, но не идентичны. Если запоминание может проходить без понимания, то для понимания необходимо держать в памяти каждый из элементов, составляющих понятие. Поэтому на каждый элемент обла-

сти знаний В(х) о понятии х действуют законы о запоминании и забывании, а степень присутствия элемента в памяти на момент времени t вычисляется как функция принадлежности по формуле, подробно рассмотренной в работах [5-7]: Гсоя+1 если г =

М*.0 =

(0„(t), если t^t

F>

где t - время окончания повторения; юи(^) - уровень знаний сразу после п-го повторения; юя(t) вычисляется как

ю(0 =

где K - коэффициент скорости забывания, вычисляемый по формуле

10-^)

Коэффициент К зависит экспоненциально от количества повторений, а также от величины суммарного коэффициента 5 на момент п-го повторения, который вычисляется по формуле:

если

0, если п = 0,

1-со .

5(0 =

1--

1-olW

-п-1, если ^¡(tF) = 0.

А ю^^) с учетом процесса забывания, функция, отражающая уровень знаний в момент окончания п+1 повторения, будет принимать вид следующего рекуррентного уравнения:

= 1 -

- (Юп(Р> - Юn(t)), Ю1 = 0. Таким образом, образуется массив, каждый элемент которого имеет разную степень присутствия в памяти:

г(х 0 = {^(Й^ t), t), цr(ar, t)}, где ц1(а1, t), - степень присутствия в памяти элемента а1 на момент времени V, г - коэффициент общей трудоемкости.

Аналогично формируется массив понятых элементов 2'(х, 0 = {ц\(ар t), ц'2(а2, t), ..., ц'г(аг, t)}, где степень понимания ц^(ар t) элемента а1 на момент времени t вычисляется так же, как функция принадлежности по формулам (2-5). Но т. к. скорость забывания информации может существенно отличаться от скорости потери понимания, коэффициент Е, отражающий скорости потери понимания для формулы (3) будет вычисляться как

где ц - количество понятых элементов понятия х на момент времени I (окончания очередного шага изучения); г - коэффициент общей трудоемкости; а, Ь - коэффициенты (экспериментальные данные говорят о том, что в большинстве случаев значения этих коэффициентов можно принять за а ~ 0,49, Ь ~ 0,5).

Разница между скоростью понимания и запоминания информации, а также между скоростью забывания информации и связанной с ней потерей понимания, хорошо видна на графике при попарном сравнении элементов массивов 2(х,{) и Т(х,1). Обычно при большом количестве элементов кривые Т и Т имеют значительные различия. Тем не менее, в качестве интегральной оценки степени понимания понятия х на момент времени t предлагается принять усредненное значение массива Г(х,0:

Л

Ориентировочное количество шагов, необходимых для полного понимания данного понятия рассчитывается как

(к=к + % )<г

п(х) = ^ I +1,

г=пд , к=Цо , 8=к/г

где пт - количество уже проделанных шагов; цт -количество уже понятых элементов из понятия х.

В то же время лишь часть элементов области знаний Л(х) о понятии х относится к структурно-смысловой составляющей этого понятия. Остальные элементы носят характер дополнительной и фактической информации. Именно восприятие смысловой основы понятия является тем, что обычно подразумевается под процессом понимания. Поэтому количество шагов и степень понимания смысловой основы понятия рассчитываются, соответственно, на подмножество элементов |'(хУ) и п(х'), где х' с х - подмножество элементов из множества ЛЛ(х), образующих структурную основу понятия, и связанные с ними элементы множеств ЬЛ(х), УЛ(х), ЯЛ(х).

Управление информацией с использованием разработанной модели

На основании разработанных моделей процессов понимания и усвоения информации предлагается модель управления, реализующая многоканальное, многорежимное управление этими процессами. Новыми элементами данной модели

и (t) =

тах.

У

являются расширенные функции самоуправления и соуправления, а также приспособление к уровню понимания УМ в подсистеме адаптации (формирование индивидуального графика повторений понятий УМ). Функцией управления в этой системе является вектор из четырех контуров управления: и() - контур обучающегося (студента), иТ(^ - контур преподавателя, и((Р) - контур влияния внешней среды и иЛ(^ - контур автоматизированной обучающей системы (АОС). Каждый из контуров также представляет собой вектор управления. Цель управления - максимизация выходного параметра у(х):

и8 0) иТ ^)

ио 0) иЛ 0)

Входная информация х представляет собой вектор, состоящий из к смысловых единиц информации х = {х.}, г = 1, ..., к. Под смысловой единицей информации понимается сложное или простое понятие, а также конкретные формулы, теоремы, определения, аксиомы, леммы, следствия, законы, правила, события и факты, рассматриваемые в контексте УМ. у - это вектор {у} результатов измерений уровня знания или понимания смысловых единиц информации хг, где каждому хг может соответствовать ноль или более результатов измерений у . Для измерения в процессе прохождения многошагового обучающего диалога усвоенной информации используется многобалльная целочисленная или вещественная шкала.

Функция понимания и усвоения информации обучающимся в этой системе будет:

ц(х, 0 = /(и(0, и'0(0, Раг(х, t), ^(0, Раг(у, t), п, ...),

где u(x,t) - управляющее воздействие АОС в момент времени t, вычисляемое по формуле (6); и"0(1) - воздействие внешней среды; Раг(х,() - параметры входной информации; Ъ^) - совокупность внешних и внутренних факторов, влияющих на обучающегося в процессе восприятия им входной информации; Раг(у^) - параметры способа контроля уровня знаний обучающегося; п -количество повторений УМ на момент времени t.

В случае структурирования обучающей информации с помощью графов понятий могут быть использованы все вышеописанные способы из-

—»max.

мерения таких параметров, как язык изложения, связность, структурированность, последовательность изложения. Функция управления обучающей информацией представляется как система оптимизации параметров этой информации:

j^o

u(x,t) = < s —> max

str ->100% loop —» 0

Смысловое содержание учебного материала представляет собой целостное единство теоретической и фактической информации, а понимание отдельных слов непосредственно связано с правильным пониманием смысла учебного материала. Ряд проблем управления процессом понимания информации у обучающихся обусловлен,

прежде всего, несовпадением языков взаимодействия АОС или преподавателя с обучающимся. Поэтому один из ключевых моментов повышения качества обучения - анализ содержания информации и ее реструктурирование.

Введение дополнительных измеряемых параметров в случае использования графов понятий даст возможность более точно определять характеристики обучающей информации и, тем самым, более эффективно управлять процессом понимания. Кроме того, механизм управления, включающий контуры соуправления преподавателя, обучающегося и внешней среды, по сравнению с простым автоматизированным управлением, позволяет приблизить параметры функции управления АОС к параметрам внутренней функции переработки и усвоения информации обучающимся за счет неформального увеличения количества наблюдаемых параметров объекта управления и более гибкой адаптации к его социальной природе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мышкис, А.Д. Элементы теории математических моделей [Текст]/А.Д. Мышкис; 3-е изд., испр. -М.: КомКнига, 2007.-192 с.

2. Солсо, Р. Когнитивная психология [Текст]/Р. Сол-со; 6-е изд.-СПб.: Питер, 2006.-589 с.

3. Неволин, И.Ф. Процессы понимания и когнитивной самооценки в тестовых технологиях [Электронный ресурс]/И.Ф. Неволин, М.Б. Позина//www. nesterova.ru/nauch/testing.pdf.

4. Александров, И.О. Формирование структуры индивидуального знания [Текст]/И.О. Александров. -М.: Изд-во Ин-ут психологии РАН, 2006.-560 с.

5. Тазетдинов, А.Д. Анализ математических

моделей обучения в приложении к компьютерным обучающим системам репетиторского типа [Текст]/ А.Д. Тазетдинов//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2008.-№ 3(60).-С. 191-196.

6. Тазетдинов, А. Д. Математическая модель усвоения знаний для компьютерных систем репетиторского типа [Текст]/А.Д. Тазетдинов//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2008.-№ 4(62).-С. 134-140.

7. Тазетдинов, А. Д. Об использовании графов понятий для структурирования и управления информацией в автоматизированных обучающих системах [Текст]/А.Д. Тазетдинов//Научно-технические ведомости СПбГПУ-2009.-№ 5(86).-С. 7-12.

УДК 519.816

И.А. Шмарин

ОСОБЕННОСТИ УПРАВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫМ РАЗВИТИЕМ ПРЕДПРИЯТИЯ НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

В начале XXI в. во всем мире стали заметны признаки нестабильности в экономических, социальных и экологических системах. Население Земли неуклонно растет и по некоторым

оценкам к 2025 г. достигнет 8 млрд человек (в 2000 г. - 6 млрд человек). Чрезмерное общественное потребление в одних странах и ужасающая бедность в других оказывают огромное дав-