Использование упругопластических моделей для описания экспериментальных данных по откольному разрушению при плоском соударении пластин

Механика

УДК 539.3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПО ОТКОЛЬНОМУ РАЗРУШЕНИЮ ПРИ ПЛОСКОМ СОУДАРЕНИИ ПЛАСТИН

А. Б. Киселёв1, А. В. Мищенко2

В работе представлено численное исследование процессов необратимого динамического деформирования и откольпого разрушения при плоском соударении пластин. Поведение материалов пластин описывалось двумя моделями — повреждаемой упругопластической среды и дислокационной моделью. Расчеты проводились с помощью оригинального программного комплекса ТИС-ID, основанного на методах разделения по физическим процессам и конечного объема и использующего подвижные эйлеровы сетки.

Ключевые слова: упругопластичность, параметры поврежденности, дислокации, плоское соударение пластин, откольное разрушение, вычислительный комплекс ТИС-ID.

A study of numerical investigation of irreversible dynamic deforming and spallation fracture under plane impact of plates is given. The following two models for the behavior of the materials of the plates are used: a model of a damageable elastoplastic medium and a dislocation model. The computations were performed with the use of the TIS-1D software complex based on the method of separation into physical processes, the finite volume method, and moving Eulerian grids.

Key words: elastoplasticity, damage parameters, dislocations, plane impact of plates, spallation fracture, TIS-1D software complex.

Для описания уиругоиластических процессов, происходящих при интенсивном кратковременном нагружении деформируемого твердого тела, наиболее часто используются следующие модели: модели упругопластического течения типа Прандтля-Рейса, упруговязкопластичности типа Соко-ловского-Пэжины и основанные на них модели повреждаемых сред; дислокационные модели [1-8]. Типичным примером динамического воздействия является высокоскоростной удар. Наиболее информативный эксперимент для изучения ударно-волновых процессов — плоское соударение тонких пластин с откольным разрушением. Характерные временные и линейные масштабы в этом процессе позволяют с хорошей степенью точности применять простую модель одноосного деформированного состояния. При этом напряженное состояние является пространственным. Многочисленные экспериментальные данные (см., например, [9, 10]) по измерению скорости свободной поверхности пластины-мишени отражают основные волновые процессы, а также процесс откольпого разрушения. Поэтому они могут служить достоверным источником как для валидации математических моделей сред, так и для подбора их определяющих параметров моделей.

1. Базовая математическая модель твердого тела в одноосном приближении. Рассматривается задача динамики необратимого деформирования и разрушения твердого тела в приближении одноосного деформированного состояния, когда все параметры зависят только от времени t и эйлеровой координаты х.

В общем случае напряженно-деформированное состояние тела описывается симметричными тензорами деформаций и напряжений aij. Полные деформации раскладываются на упругую и пластическую е^ составляющие: е^ = + е^ (i,j = x,y,z). Тензор скоростей деформаций представляется аналогичным образом: ¿^ = ¿1- + Пластическое течение среды считается несжимаемым: еркк = 0. Тензор напряжений раскладывается на шаровую и девиаторную части: a ij = a ¿¿j+SV/, а = р = —а — давление, 6ij — символы Кронекера, Skk = 0.

В случае одноосной деформации тензор скоростей деформаций имеет одну отличную от нуля компоненту вдоль оси х: ех = е = где v — скорость, девиатор напряжений — три отличные от нуля компоненты вдоль каждой из осей: Sx, Sy, Sz; при этом Sy = Sz = —

1 Киселёв Алексей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: akis2006Qyandex.ru.

2 Мищенко Александр Васильевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. ВНИИ автоматики им. H.JI. Духова, e-mail: 7sanchesQrambler.ru.

Выпишем законы сохранения массы, импульса и энергии в дивергентной форме:

dp d(pv) _ d(pv) d(pv2 + р) _dS д(рЕ) д{{рЕ+р)у) _ d(Sv) dt дх ' дt дх дх' dt дх дх

2

Здесь р — плотность материала, Е = е + Ц^ — полная удельная энергия на единицу массы, е — удельная внутренняя энергия.

Для связи между девиаторами напряжений и деформациями используются материальные соотношения упругопластической модели. В качестве основной (базовой) модели выбрана модель Прандтля Рейса [1]. Материальное соотношение без учета накопления повреждений имеет вид

S + XS = ^jie.

О

Переход от упругого режима деформирования к пластическому определяется условием текучести в форме Мизеса [1] и записывается следующим образом:

В соотношениях (1), (2) Y — предел текучести при простом растяжении, ¡л — модуль сдвига; здесь и далее точка над символом означает материальную производную по времени; Su — интенсивность девиатора напряжений. В случае идеальной пластичности параметры материала Y, ¡л считаются постоянными: Y = Yo, ¡л = /хо-

В уравнении (1) Л = 0 в упругой области и при разгрузке материала и Л = H(Se) в пластической области (Н(х) — единичная функция Хевисайда). Среда предполагается термодинамически двухпараметрической, т.е. любые три термодинамических параметра связаны определенной функциональной зависимостью, которая называется уравнением состояния (УРС). УРС служит для замыкания системы дифференциальных уравнений и в общем случае имеет вид р = р(р, е). Приведем следующие примеры аналитических УРС.

1) Двучленное УРС [11]

Р =

Здесь 7 — показатель адиабаты; ро, со — плотность и скорость звука недеформированного материала. Уравнение (3) используется для описания термодинамических свойств материалов как в твердом, так и в жидком состоянии. При равенстве нулю константы со уравнение (3) переходит в УРС идеального газа.

2) УРС Ми-Грюнайзена [11]:

р = рх+Тр{е-е0),

где

= = + 1 Л { = £, Г = 7 — 1.

п п \ п — 1 Ь ) ро

Здесь рх — упругое давление, ех — энергия упругого сжатия холодного вещества (упругая энергия), Г — коэффициент Грюнайзена. Внутренняя энергия и абсолютная температура связаны соотношением

e-ex = cv

где То — начальная температура, cv — теплоемкость при постоянном объеме.

УРС Ми-Грюнайзена является более общей и сложной формой двучленного УРС и используется для описания состояния твердой деформированной среды при 5 ~ 1 4- 2 в задачах с высокоскоростными ударными нагрузками.

3) УРС твердого тела (в логарифмической форме) [11]

р = *К£)+<£)-

Здесь К — объемный модуль (в случае идеальной пластичности К = Ко = const), а — коэффициент объемного расширения.

2. Описание численного метода. Система определяющих дифференциальных уравнений упругопластической модели Прандтля-Рейса без учета микроразрушения в дивергентной форме имеет следующий вид:

' dp d(pv) = Q д t дх ' d(pv) d(pv2 + р) dS dt дх дх '

д(рЕ) д((рЕ+р)у) _ d(Sv) [ }

dt дх дх '

d(pS) d(pvS) /4 dv _ AS dt дх ^ \ 3 ^ дх

Эта система замыкается критерием пластичности и тем или иным УРС из соотношений (3)-(7).

Представим систему дифференциальных уравнений (8) в векторной форме

9Q + 9F H (Ъ

где Q = (p, pv, ре, pS)T — вектор консервативных переменных; F = (pv,pv2 +p — S,(pe + p — S)v, pSv)T — вектор потоков; Hм = (0,0, 0,|— вектор правой части, описывающий vnpv-гопластические процессы.

Если Нщ = 0, то уравнения (8) переходят в уравнения гидродинамического приближения, где роль давления играет величина р — S. Первые три уравнения системы — уравнения сжимаемой жидкости. Последнее уравнение системы (8) означает, что девиатор напряжений переносится средой без изменения как лагранжева переменная (является "вмороженным" в среду). Его изменение происходит только из-за вектора Ни, что позволяет использовать метод разделения по физическим процессам [12], т.е. расщепить систему (9) на две подсистемы:

f=H„

и разбить соответственно расчетный цикл временного шага на 2 этапа, условно называемые "гидродинамический" и "упругопластический".

Подробное описание численного решения при использовании данного метода представлено в работах [13, 14]. Остановимся кратко на его основных аспектах.

Для численного решения одномерных упругопластических задач методом разделения по физическим процессам был создан вычислительный комплекс ТИС-ID. Он имеет многоблочную структуру. Расчетная область разбивается на множество подобластей, называемых блоками. В разных блоках могут содержаться различные материалы с разными уравнениями состояния и наборами констант. В каждом блоке вводится своя равномерная по пространству сетка. Границы блоков называются блочными узлами. В качестве типов граничных условий в комплексе реализованы следующие: контактная граница между двумя областями, лагранжева граница с заданным напряжением (в частном случае — свободная поверхность) и лагранжева граница с заданной скоростью (в частном случае — жесткая стенка).

Расчеты выполняются на подвижной эйлеровой сетке. Ее движение происходит следующим образом. Исходя из граничных условий вычисляются скорости блочных узлов и производится смещение последних. Затем сетка в каждом блоке заново равномерно разбивается на заданное число ячеек и вносятся соответствующие коррективы в расчет потоков на подвижной сетке.

На первом этапе система уравнений в частных производных (10) численно решается на временном шаге A t подвижной эйлеровой сетки. Система (10) уравнений эквивалентна системе уравнений Эйлера для газовой динамики, поэтому для ее решения можно применить численные методы газовой динамики. Для этого прибегают к методу конечного объема, используя точное (схема Годунова [15]) или приближенное (схемы Русанова и HLLE [16, 11]) решение задачи о распаде произвольного разрыва. Необходимо отметить, что точное решение задачи о распаде произвольного разрыва существует для случая двучленного УРС, если параметр УРС ро заменить на ро +

При использовании другого УРС его необходимо локально аппроксимировать двучленным УРС. Это делается следующим образом. Пусть р, р, е — значения плотности, давления и внутренней энергии в данной ячейке на некотором временном шаге, ео — выражение внутренней энергии через те же давление и плотность из двучленного УРС. Тогда локально параметры 7, ро, со аппроксимирующего двучленного УРС находятся из решения следующей системы алгебраических уравнений:

де(р,р) _ де0(р,р) де(р,р) _ де0(р,р) 6° 9р 9р 0р 0р •

Интегрирование уравнений по времени осуществляется с помощью явной схемы второго порядка по времени и координате, что обеспечивается использованием подхода с кусочно-линейным восполнением сеточных данных по ячейке. Схема устойчива благодаря выполнению условия Куранта-Фридрихса-Леви [3].

На втором этапе сетка остается неподвижной, и система обыкновенных дифференциальных уравнений (11) интегрируется на шаге в каждой расчетной ячейке. На этом этапе ячейка, по сути, "замораживается" и рассматриваются происходящие в ней процессы как в лагранжевой частице. Начальными данными являются решения, полученные на первом этапе. Для численного решения системы (11) используется двухшаговый метод Рупге-Кутты [17].

3. Постановка задачи о плоском соударении пластин. Задача о плоском соударении двух тонких пластин наиболее часто используется для сопоставления экспериментальных данных и результатов численного моделирования. Эта задача является важным валидационным тестом, оценивающим адекватность и эффективность применения как численного метода, так и выбранной математической модели, описывающей процессы упругопластического деформирования и разрушения. Поскольку толщины пластин существенно меньше их размеров и характерное время процесса соударения порядка времени нескольких пробегов упругих волн по толщине пластины-мишени, задача может быть рассмотрена в одномерной постановке (одноосная деформация) и адиабатическом приближении.

Экспериментально данная задача была подробнейшим образом изучена для множества различных материалов и скоростей соударения [9, 10]. Приведем математическую постановку данной задачи.

Начальные условия задаются следующим образом. Ударник: р\г=о = рог, у\г=о = сгхх\г=о = 0. Мишень: р\г=о = рм^ 'v\t=o = 0, сгхх\^о = 0 (<7ХХ = —р + Зхх). Здесь и далее параметры с нижними индексами г и £ относятся соответственно к ударнику и мишени. Верхними индексами Ь и К обозначены левая и правая границы каждой из пластин.

Начальные координаты пластин задаются следующим образом:

= xf\t=Q = = 0, = 1ц.

Здесь — толщины ударника и мишени соответственно.

На левой границе ударника и правой границе мишени ставится условие свободной поверхности:

&хх\х=хь — 0, ^хХ\х=хя — 0.

Условие на контактной границе между пластинами (х = 0) имеет вид

у\х=х? = у\х=х£ = Ус, ахх\х=хв. = (тхх\х=хь = {(тхх)с при (ахх)с < 0;

г I г I

(ТхХ\х=хв- = (Тхх\х=хь = 0 при (ахх)с > 0.

г I

Это означает, что пластины находятся в контакте друг с другом до тех пор, пока напряжение на границе сжимающее. Как только оно становится растягивающим, происходит отскок пластины-ударника от пластины-мишени. Соответственно на правой границе ударника и левой границе мишени ставится условие свободной поверхности. Пластины больше не взаимодействуют друг с другом.

В рамках макроскопического подхода базовой моделью является модель Прандтля-Рейса (соотношения (1), (2)).

Модификация данной модели с учетом вязкости [11] записывается следующим образом:

4 5"

о г

где

{2

0 при 15*1 < - Y,

„I 'у

при \S\>\Y.

Здесь ¡i — модуль сдвига, т — время релаксации. Учет упрочнения выражается линейной зависимостью предела текучести от накопленных пластических деформаций [18]: Y = Yo + /?|ер|.

Для описания процессов разрушения используется модель повреждаемой упругопластической среды [5-7]. С этой целью вводятся два скалярных безразмерных параметра поврежденности: со — объемная поврежденность, а — сдвиговая поврежденность (0 ^ со < 1, 0 ^ а < 1). Считается, что в областях интенсивного растяжения параметр со описывает накопление повреждений типа микропор, которые могут залечиваться при сжатии, а параметр а описывает сдвиговое разрушение. Основываясь на классических теориях [19—21], будем интерпретировать параметр со как относительное сокращение эффективной несущей нагрузки площадки вследствие появления распределенных внутри образца микропор. В неповрежденном материале со = а = 0, с накоплением повреждений параметры со и а растут, оставаясь меньше единицы. Поскольку рассматриваемая задача о соударении пластин решается в одноосной постановке, параметр а можно считать равным нулю и рассматривать модель с одним скалярным параметром объемной поврежденности со.

При введении параметра поврежденности необходимо внести соответствующие изменения в определяющее соотношение. Теперь в нем рассчитывается эффективная компонента девиатора напряжений и соответственно интенсивность эффективных напряжений: S' = у

Предполагается также, что накопленные микроповреждения влияют и на термодинамические свойства среды, что отражается в уравнении состояния. В расчетах по данной модели используется следующее УРС [5-7]:

р = К0(1-со) UJL) + а — - ВКЫ1 - ш) + К^-

V V Ро) cv 4г?о

Константы ¡iо, щ, Yo, Ко относятся к неповрежденному материалу; В, А — параметры материала, связанные с накоплением микроструктурных повреждений.

Принято, что в поврежденном материале его константы меняются с накоплением повреждений: Y = Yo(l — со), ¡л = jlío(1 — oj), r¡ = г]о(1 — со), К = Kq(1 — со). Здесь r¡o = /лот — динамическая вязкость неповрежденного материала.

Для нахождения параметра поврежденности используется следующее кинетическое уравнение [5-7]:

ш = в

V1 - ш ) \ 1 - ш ) 4г?о 4г?о

где а = —р, <т+ = —|lolnw, а~ = — <т+, <т* > 0.

Первый член в уравнении (12) описывает стадию зарождения пор и начального роста объемной поврежденности, второй член отвечает за ее рост при пластическом растяжении и, наконец, третий описывает пластическое затекание пор при сжатии. Отметим, что уравнение (12) без первого члена получается из решения задачи динамики одной сферической поры внутреннего радиуса а и внешнего радиуса b в вязкопластическом несжимаемом материале при со = (|)3 [6].

В качестве критерия начала макроразрушения используется энтропийный критерий предельной удельной диссипации [5-7]. В адиабатическом приближении этот критерий имеет следующий вид:

t*

D = - (йм + úf) dt = D*, J P

где — время начала разрушения, — предельная удельная диссипация (параметр материала), с1м = — механическая диссипация (в случае одноосного деформирования йм = ^ =

Аш2 — диссипация континуального разрушения.

4. Результаты расчетов. На рис. 1, 2 приведено сравнение результатов тестовых расчетов в рамках комплекса ТИС-Ш с экспериментальными данными [10] в задаче о соударении пластин (и— скорость тыльной поверхности пластины-мишени; здесь и на следующих рисунках кривая 1 —

эксперимент, 2 расчет). В обоих случаях удариик изготовлен из алюминиевого сплава АМгбМ и его толщина составляет 2 мм. В первом случае (рис. 1) мишень толщиной 4,1 мм также выполнена из АМгбМ, во втором (рис. 2) мишень толщиной 10 мм изготовлена из титанового сплава ВТ8. Скорость удара в обоих тестах составляла 680 700 м/с. Константы материалов, взятые из монографий 110, 111, и подобранные параметры модели приведены в табл. 1.

Таблица! Т а б л и ц а 2

Сплав АМГ6М ВТ8

Константы материалов

ро, кг/м3 2610 4450

с0, Дж/(кг-К) 924,3 520,7

а, 1/К 6,72 • 10"5 2,52 • 10"5

К0, ГПа 71,94 116,65

ро, ГПА 26,22 38,74

Го, ГПА 0,18 1,08

Подобранные параметры вязкости и упрочнения

т, Па-с 78,7 688

/3, ГПа 0,5 0,1

Подобранные параметры разрушения

о *, ГПа 0,65 3,85

Л, Па-с 9,46 • 104 5,33 • 104

В, 1/(Па-с) 9,23 • 10"3 2,74 • 10"*

I)*, кДж/кг 30 50

Константы материала

ро, кг/м3 2610

с0, Дж/(кг-К) 924,3

со, м/с 5250

п 3,5

Г 2,13

1г, 1/К 6,2 • 10"4

Го, МПа 22

ро, ГПа 25,5

Параметры дислокационной модели

а 0,4

5о 2 • 10~'2

¿2 1•10"2

ка 10

Ь, м 2,8 • 1(Г*

В, Па-с 9•10"6

Графики свидетельствуют о достаточно хорошем описании профиля упругого предвестника и откольного разрушения материала. Однако хорошее описание пластической ударной волны и волны разгрузки получилось лишь в первом случае, во втором случае удалось добиться только удовлетворительного совпадения результатов расчетов с экспериментом.

В работе |8| показано, что в общем случае (разные соотношения толщин ударника и мишени, различные материалы и скорости соударения), используя только макроскопические модели упру-гопластики, не удается достаточно точно описать волну разгрузки. Для более точного описания экспериментальных профилей ударной волны и волны разгрузки в |8| предложена модель упруго-пластического деформирования с учетом дислокационной динамики.

1-1-1-1-1- _I_I_I_I.

О 0,5 1 1,5 г, МКС 0 0,5 1 1,5 ¿,мкс

Рис. 1. Профиль скорости свободной поверхности Рис. 2. Профиль скорости свободной поверхности пластины-мишени из алюминиевого сплава АМгбМ пластины-мишени из титанового сплава ВТ8

Определяющее соотношение (в случае одноосного деформирования) данной модели имеет следующий вид:

Модуль сдвига следующим образом зависит от температуры: /л = ¿¿о(1 — Ь(Т — То)), где /.¿о модуль сдвига материала в недеформированном состоянии, /?. константа материала.

Скорость пластической деформации £р и предел текучести следующим образом зависят от дислокаций:

£р = —^=УЪрп, У = У0 + афл/рБ-

Для определения плотности дислокаций рв и их скорости V используются кинетические уравнения

(1рр (к

1 -

то (IV 3,

у2 \ 2

Коэффициент вязкого трения В(У,Т) может быть представлен в следующем виде [22]:

В

1-4

С4

• 0,981 • Во —

1 + 0,0095 —

где 9 = 230 К, Во — константа материала ([-Во] = Па • с).

В уравнениях (13)—(16) масса покоящей ся дислокации то = 2,5 • Ю-16

кг/м3;

v2

1 — --релятивистский множитель: а

_ сь

£ — поперечная скорость звука; а. 4ь 6f.

и ' j

ка, Ъ,

Во — параметры материала.

Необходимо отметить, что метод расчета при использовании различных моделей принципиально не меняется, изменения касаются лишь состава расчетного вектора. А в задачах с разрушением при превышении критического значения удельной диссипацией ячейка считается разрушенной и производится перестройка сетки по следующей схеме.

Пусть в некоторой ячейке области выполнился критерий разрушения. В этом случае считается, что через данную ячейку проходит поверхность разрушения. Для определенности полагаем, что поверхность разрушения проходит через центр ячейки. Тогда исключаем разрушенную ячейку из дальнейшего расчета и разбиваем данную область на две новые области по центру данной ячейки. На образовавшихся новых границах ставится условие свободной поверхности. Пересчет параметров в крайних областях производится с учетом сохранения массы.

На рис. 3-5 представлены результаты расчетов по дислокационной модели (13)-(15) в сравнении с экспериментальными данными [10]. Во всех случаях обе пластины изготовлены из монокристалла алюминия. Константы материала и параметры модели [8, 10, 11] приведены в табл. 2. Толщина ударника 0,4 мм, толщина мишени 2,9 мм. Скорость удара 640-680 м/с. Тесты отличаются лишь начальной температурой образцов (293 К, 680 К, 923 К соответствуют рис. 3—5). Во всех случаях можно отметить достаточно хорошее совпадение численного и экспериментального профилей ударной волны и волны разгрузки. При этом в расчетах с дислокационной динамикой явного

Рыс. 3. Профили скорости свободной поверхности алюминиевой пластины-лишены при начальной температуре Т0 = 293 К

Рис. 4. Профили скорости свободной поверхности алюминиевой пластины-лишены при начальной температуре Т0 = 680 К

Рис. 5. Профили скорости свободной поверхности алюминиевой пластины-.мишени при начальной температуре То = 923 К

введения поверхностей откольного разрушения не проводилось, поэтому на заключительной стадии процесса экспериментальные и расчетные кривые расходятся.

5. Заключение. Проведено численное исследование в одномерной математической постановке динамики необратимого деформирования и откольного разрушения при плоском соударении металлических пластин. При этом для описания поведения материалов пластин использовались две модели — модель повреждаемой упругопластической среды и дислокационная модель. Показано, что при расчете с помощью этих моделей удается хорошо описывать экспериментальные данные по форме профилей упругого предвестника, пластической волны, волны разгрузки, откольного разрушения. Несколько лучшие результаты дает модель с дислокационной динамикой.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12—01—00425а, 15-01—01541а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Высокоскоростное взаимодействие тел / В.М. Фомин, А.И. Гулидов, Г.А. Сапожников и др.; Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999.

2. Прочность и разрушение при кратковременных нагрузках / Х.А. Рахматулин, E.H. Шемякин, Ю.А. Демьянов, A.B. Звягин. М.: Университетская книга; Логос, 2008

3. Кукуджанов В.Н. Вычислительная механика сплошных сред. М.: Физматлит, 2008.

4. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.: Наука, 1990.

5. Киселёв A.B., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель поврежденной термоупругопластической среды // Прикл. механ. и техн. физ. 1990. № 5. 116-123.

6. Киселёв A.B., Юмашев М.В. Математическая модель деформирования и разрушения твердого топлива при ударном нагружении // Прикл. механ. и техн. физ. 1992. № 6. 126-134.

7. Киселёв A.B. Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного разрушения термовязкоупругопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 6. 32-40.

8. Красников B.C., Куксин А.Ю., Майер А.Е., Янилкин A.B. Пластическая деформация при высокоскоростном нагружении алюминия: многомасштабный подход // Физика твердого тела. 2010. 52, вып. 7. 1295-1304.

9. Канель Г.И., Разорёнов C.B., Уткин A.B., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К, 1996.

10. Канель Г.И., Разорёнов C.B., Уткин A.B., Фортов В.Е. Экспериментальные профили ударных волн в конденсированных веществах. М.: Физматлит, 2008.

11. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семёнов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

12. Яненко H.H. Метод дробных шагов для решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

13. Меньшов И.С., Мищенко A.B., Серёжкин A.A. Численное моделирование упругопластических течений методом Годунова на подвижных эйлеровых сетках // Матем. моделирование. 2013. 25, № 8. 89-108.

14. Киселёв A.B., Мищенко A.B. Упругопластические задачи в приближении односного деформированного состояния. Аналитические и численные решения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 2. 38-46.

15. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1976.

16. Русанов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. 1, № 2. 267-279.

17. Бахвалов Н.С., Жидков H.H., Кобельков P.M. Численные методы. М.: Физматлит, 1987.

18. Wilkins M.L. Computer simulation of dynamic phenomena. Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

19. Качанов Л.M. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. Отд-е техн. наук. 1958. № 8. 26-31.

20. Работное Ю.Н. Механизм длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Наука, 1959. 5-7.

21. Ильюшин A.A. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1967. № 3. 21-35.

22. Krasnikov V.S., Mayer А.Е., Yalovets А.P. Dislocation based high-rate plasticity model and its application to plate-impact and ultra short electron irradiation simulations // Int. J. Plasticity. 2011. 27, N 8. 1294-1308.

Поступила в редакцию 01.09.2014