Wave propagation in functionally-graded nanoplates embedded in a Winkler–Pasternak foundation with initial stress effect

УДК 539.3

Распространение волн в функционально-градиентных нанопластинах на основании Винклера-Пастернака под действием начального напряжения

M. Ellali1, M. Bouazza2,3, A.M. Zenkour4

.4

1 Университет Айн-Темушента, Айн-Темушент, 46000, Алжир 2 Университет им. Тахри Мохаммеда, Бешар, 08000, Алжир 3 Университет Сиди-Бель-Аббеса, Сиди-Бель-Аббес, 22000, Алжир 4 Университет Кафр-эль-Шейха, Кафр-эль-Шейх, 33516, Египет

4

В статье изучено распространение волн в функционально -градиентных (ФГ) нанопластинах, лежащих на основании Винклера-Пастернака. Исследование выполнено в рамках нелокальной теории упругости и новой теории перемещений высшего порядка с четырьмя неизвестными, включая неопределенные интегральные переменные. Путем решения задачи о собственных значениях с применением принципа Гамильтона и метода Навье получены частотные уравнения для ФГ нанопластин в различных условиях. Результаты расчетов частоты и фазовой скорости распространения волн в ФГ нано-пластине сопоставлены с результатами проведенных ранее исследований.

Ключевые слова: функционально-градиентная нанопластина, неопределенные интегральные переменные, распространение волны, основание Винклера-Пастернака, масштабный эффект, начальное напряжение

DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_1_47

Wave propagation in functionally-graded nanoplates embedded in a Winkler-Pasternak foundation with initial stress effect

M. Ellali1, M. Bouazza2,3, and A.M. Zenkour4

1 Smart Structures Laboratory, University of Ain Temouchent, Ain Temouchent, 46000, Algeria 2 Department of Civil Engineering, University Tahri Mohamed of Bechar, Bechar, 08000, Algeria

3 Laboratory of Materials and Hydrology, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria

4 Department of Mathematics, Faculty of Science, Kafrelsheikh University, Kafrelsheikh, 33516, Egypt

This paper presents the analysis of wave propagation in functionally-graded (FG) nanoplates on a Winkler-Pasternak foundation. The investigation is carried out in the framework of nonlocal elasticity theory and a new four-unknown higher-order displacement theory including indeterminate integral terms. Hamilton's principle and Navier's method are used to obtain the frequency relations of FG nanoplates for different conditions by solving an eigenvalue problem. The obtained results for the frequency and phase velocity of wave propagation in an FG nanoplate are compared with recent outcomes of similar research.

Keywords: functionally-graded nanoplate, indeterminate integral variables, wave propagation, WinklerPasternak foundation, scale effect, initial stress

1. Введение

меняются по толщине. Они широко применяются при изготовлении корпусов реакторов, самолетов, космических аппаратов, в оборонной промышленности, биомедицине и т.д. [1, 2]. В настоящее

Композитные и функционально-градиентные

материалы представляют собой многокомпонент-

ные материалы, свойства которых непрерывно из-

© Ellali M., Bouazza M., Zenkour A.M., 2023

время изучаются разные аспекты поведения композитных материалов. В рамках теории сдвиговой деформации третьего порядка для изучения свободных колебаний и изгиба нанопластины проанализированы масштабные эффекты и квадратичное отклонение напряжений сдвига по толщине нанопластины [3]. В работе [4] проведено численное исследование распространения волн в функционально-градиентном материале с использованием метода спектральных конечных элементов в двумерной временной области и полинома Чебышева высокого порядка в качестве аппроксимирующих функций. Влияние температуры и влажности на колебания многослойных пластин изучено с использованием микромеханического подхода и уточненной теории сдвиговой деформации п-го порядка [5]. В рамках нелокальной теории сплошной среды исследовано влияние масштабного эффекта на характеристики изгиб-ных волн в нанопластинах [6]. В [7] предложен безэлементный комбинационный принцип Ритца для аппроксимации поля перемещений для обобщенного регуляризованного уравнения длинных волн. Многие исследования посвящены изучению функционально-градиентных (ФГ) наноструктур в рамках теорий высшего порядка и различных уточненных теорий [8-11].

В работе [12] на основе нелокальных теорий упругости с учетом влияния граничных условий рассмотрены колебания балок из углеродных на-нотрубок, внедренных в полимерную матрицу, на упругом полимерном основании Винклера. В [13] проведен анализ распространения звука в одно-стенных зубчатых углеродных нанотрубках в тепловой среде. Новые и модифицированные теории сдвиговой и нормальной деформации представлены в [14-19]. Большой интерес вызывает изучение распространения волн и вибраций в микропластинах из композитов, упрочненных функционально-градиентными углеродными нанотрубка-ми [20-23]. Авторы [24] исследовали изменение частоты волны в ФГ пьезоэлектрической композитной микропластине, упрочненной углеродными нанотрубками, с градиентом свойств по толщине материала на вязкоупругом основании Пастернака с использованием нелокальной теории упругости Эрингена. Влияние аксиального магнитного поля и пористости на распространение волн в двухслойных нанобалках и нанопластинах, упрочненных ФГ графеновыми пластинками, обсуждается в [25, 26]. В работе [27] для анализа от-

клика нанопластины предложена математическая модель на основе метода конечных элементов и нелокальной теории упругости. В [28] в рамках новой квазитрехмерной теории пластин изучено распространение волн в ФГ нанопластинах, упрочненных пористыми графеновыми пластинками, под действием продольной механической нагрузки и магнитной силы Лоренца. Различные методы и модели на основе нелокальной теории Эрингена обсуждаются в [12, 29-31]. Модели на основе нелокальной теории градиентов высшего порядка рассмотрены в [32, 33]. В литературе встречаются разные типы моделей градиентной упругости [34-39]. Нелокальная теория предсказывает поведение материалов только в случае разупрочнения, тогда как градиентная теория упругости позволяет исследовать материалы при увеличении жесткости [37].

В настоящей работе исследуется распространение волн в ФГ нанопластинах с применением теории сдвиговой деформации высшего порядка, которая позволяет более точно рассчитывать поперечные касательные напряжения. Кроме того, использование поля перемещений с новыми интегральными переменными по толщине ФГ нано-пластины позволяет сократить число неизвестных. Для решения волнового уравнения, оценки частоты и фазовой скорости распространения волн в ФГ нанопластине на основании Винклера-Пастернака применяли метод Навье. Исследовано влияние нелокального параметра, волнового числа, объемной доли, модуля сдвига, а также коэффициентов Винклера и Пастернака на частоту и фазовую скорость распространения волн.

2. Математические модели

2.1. Модель нелокальной упругости Эрингена

Рассмотрим модель нелокальной упругости Эрингена, в которой напряженное состояние в некоторой точке зависит не только от деформированного состояния в данной точке, но и от деформированного состояния во всех точках тела. Основные соотношения нелокальной теории упругости для ФГ нанопластины приведены в работах [6, 8, 13, 16, 40]:

Су, у = 0

с,

,

еу = 1/2(и,,+ ии + ик и,, X

где Сум — тензор модуля упругости классической (локальной) теории упругости; 8у, огу — тензоры деформации и напряжения соответственно; и — вектор перемещения; а(|х - х'|, т) — нелокальный модуль; |х - х'| — евклидово расстояние; т = е0а/1, где I — характерная внешняя длина; е0 — константа, соответствующая типу структуры материала; а — характерная внутренняя длина материала (например, длина связи С-С, период решетки, межзеренное расстояние).

Определяющее уравнение нелокальной модели упругости может быть записано в виде [6, 8, 13, 16]

где = е0а — нелокальный параметр; V2 — оператор Лапласа.

2.2. Свойства материала ФГ нанопластины

Рассмотрим ФГ нанопластину толщиной И, шириной Ь и длиной а (рис. 1). Нанопластина расположена на основании Винклера-Пастернака и подвергается начальному напряжению. Вдоль направлений х и у в пластине распространяется волна. Предположим, что начальное напряжение в направлении х равно начальному напряжению в направлении у. Кроме этого, считаем, что ФГ нанопластина состоит из керамической фазы (индекс с) и металлической фазы (индекс т), при этом состав материала изменяется вдоль оси 2, т.е. только по толщине. Следовательно, выражения для определения свойств материала ФГ нанопластины, такие как модуль Юнга Е и массовая плотность, можно представить следующим образом [8-11]

Р

Рис. 1. Распространение волн в ФГ нанопластине на основании Винклера-Пастернака под действием начального напряжения

где Рт и Рс — свойства металла и керамики. Объемная доля керамики определяется выражением

¥{( 2) =

'2 2 + И^

V 2И у

Используя уравнения (3), (4), запишем выражения для модуля Юнга и массовой плотности:

Е

'2 2 + И^

Р

V 2И

'2 2 + И

+ Ет

У

V

2И

+ Рт.

2.3. Модель с неопределенными интегральными переменными

Модель основана на предположениях обратной тригонометрической теории сдвиговой деформации, в которой уравнение для продольных перемещений содержит интегральную составляющую:

дж0

и(х, у, 2, t) = и0 (х, у, t) - 2 + /(2)16(х, у, t

дж0

дх

у(х, у, 2, t) = У0(х, у, t) - 2-

+ ¿п

ду

>2/( 2 ) |Э( х, у, t )ёу, ж(х, у, 2, t) = ж0(х, у, t),

где t — время; и0, у0, ж0, 9 — четыре неизвестные функции перемещений срединной поверхности пластины; /(2) — функция формы, описывающая распределение поперечных касательных напряжений и деформаций по толщине пластины. Постоянные величины ¿1 и ¿2 зависят от геометрических параметров пластины. В данной работе функция / (2) задается выражением

/

2 И 2 2

В рамках линейной упругости зависимость деформаций от перемещений, связанная с уравнением (6), описывается следующим образом:

4 х кЬ К

8 у = 8у > + 2< кЬ • + / (2 )' К

8 ху. 80 ху кЬ>. &.

= 8 (2 )•

ух

где

ди0 д 2™0

дх кУ дх2

>, < ку д Ч

ду ду 2

ди0 , ^0 кху 2 дЧ

ду дх 2-— дхду

8 (^) =

ху

I У

*2е

ух J

1 т!У 1е<х

су1

< )

сХ

/0<у

,

Интегральные члены в уравнениях поля перемещений найдем с помощью решения Навье:

[е<х = А'—, — Геах = А'

дх дуЗ

|0<у = Б'дУ, дх |е<у=б' дхд

-1 СУ Су1 дхду

с 2е

дхду'

с 2е

В соответствии с типом используемого решения, в данном случае решением Навье, задаем выражения для коэффициентов А', Б', к\ и к2:

А' = "А", В' = -"к2, .1 =к', .2 =к22. (11) к1 к2

Определяющие уравнения для ФГ нанопластин в рамках линейной упругости имеют вид

х х

с у с у

Т ху т ху

Т уг т уг

„Т хг, ,т хг J

вп в21 0 0 0

в12 0

в22 0

0 вбб

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

в44 0

0

в55

8 х 8 У

8 ху У у2 У хг

в = в = Ш в = в =УЕ

_ ¡¿22 _ , 2 > ¡¿12 " ¡¿21 _

1 -V2

в44 = в55 = в66 =

1 -V2

Е

2(1 + ^

Выражения для результирующих напряжений (, МЬ, М.) и (^, ^) в ФГ нанопластине получим путем интегрирования уравнения (12) по толщине нанопластины:

к/ 2

(М, МЬ,М*) = | стД1, г, /(¿)}<к, г = х,у, ху,

-к/ 2

к/ 2

(^, ^) = | 8(2){тХ;, ту2}<к.

-к/ 2

Подставляя (12) в (14), получим следующие уравнения, в которых результирующие напряжения можно выразить в деформациях и элементах матрицы жесткости:

' N ' N '

М >-^2У2< М =

М*\ М*

А Б Б*

Б Б Б*

Б

Б*

Н*

3 -^2У2 3 = А* У,

где

N = N, Ну, Мху Г, Мь = {МЬ, Мъу, МьХу Г, М* = {Мх, Му, М.у Г, 8 = {8х, 80у, 8ху Г,

у ху

,У иУ ^

к = {ку , ку, куу } , к = {кх, ку, кху } ,

3 = {^, Г }, У = {у^, У° Г, А* =

0

А =

Б* =

А11 А12 0 "

А12 А22 0 , Б =

0 0 А66 _

" Бп В12 0

В1*2 В22 0 , п

0 0 В(56

П* П* П12 0

П* 12 П* 22 0 , н*

0 0 П* и66

Б11 Б В12 Б.

12

44

0 А 0 0

Б6,

где

Б* =

Элементы матрицы жесткости в рассматриваемой модели записываются в виде

Пц П12 0

П12 П22 0

0 0 П66 _

" Н*1 Н12 0

Н1*2 Н 22 0

0 0 Н

И/ 2

| ^{1, 72,/(7), 7/ (7),[/(

-н/2

7, j = 1,2, 6,

И/ 2

(А44, А55 ) =

-И/ 2

Уравнения движения получим на основании принципа Гамильтона, который можно представить в виде аналитического соотношения

г

I

о

где ЪиР, ЪиР — компоненты изменения энергии деформации; 5К — изменение кинетической энергии; ЪУ — изменение потенциальной энергии, т.е.

5иР = I X58х + у58у + ху58ху + ХХ25УХ2

+ X у2 5у у2 )СУ = I (Мх58°х + Му58°у + Мху 58;

+мХ + мьу5кьу + мьХу 5кЬу + м;5к; + мх5кх + мху5кХу + ^5ух2 + Ssyz5ysyz )СА.

Изменение энергии деформации основания Винклера-Пастернака запишем в виде

5иР = 11[К№м

2 А

где К№ и Къ — коэффициенты поперечной и сдвиговой жесткости основания соответственно (коэффициенты Винклера и Пастернака).

Изменение кинетической энергии представим в виде

5К = | (й5й + + М5М)р( 7)СУ

- I

А

д5Мо , дМо

дх 1 дх

+ Jl 51 А' _ V

+ 52 Б'^ Уо

+ 12 'д5Мо

дх V

д5М) + дМо 5л, Л

у

ду су

559 се

Л

4о

—5й,

дх дх

д59 + д9

ду ду

Л'

5у

о

о дмо

дх дх ду ду

- J2

5 А'

(

дМо д59 д9 д5Мо

дх дх дх дх

/_дМо д59 + д9 д5Мо ^ 2 { ду ду ду ду

'\2

(

д59 д9

дх дх

Л

2

(

д59 д9

ду ду

>СА,

где точка сверху означает дифференцирование по времени г; р(7) — массовая плотность; (I, V) — масса инерции, определяемая выражением

И 2

(Iо, 11,12) = | {1, 7, 72}р(7,

-И/ 2

И/ 2

(V2, V,) = I {/(7), 7/(7), /2(7)}р(7)сЬ.

-И/ 2

Уравнение для потенциальной энергии приложенной нагрузки имеет вид

у=21

Мо д2Мо

14 х 2 ху

+ N

дх2

о д2Мо

ду2

дхду

ахау,

где

№ = № = Мо № = о

х у о' ху

Подставляя (19)-(21) и (23) в (18), интегрируя по частям и выделяя коэффициенты йо, уо, мо, 0, получим уравнения распространения волн:

СМ СМ 2 2

5йо : —-х + —^ =

(

дх Су дМо

д9^

1ойо 11 ~+ 51 A'J1 "Т-

дх дх

5уо:'

дМху СМ.

ху

=

дх ду дМо

д9^

1Уо - Л^1 + ^Б'Jl

ду ду

5мо:

д2мьх

дх 2

д 2мь д2мЬ

дхСу Су2

+ (1 - V 2) М - (1 - V 2) /е = (1 - V 2) 1о Мо +11

^ойо 3' -12

ч дх ду у 2

дх2 Су2

+V2

^ 51А'5^ + ^2 Б'5^ ^

1 дх2 2 ду2

50: - БМх - 52МУ -

д2 М4

^ ху

дхду

+ 5 А+ 52В'^ = (1 - £2V2) дх ду

- Л

- \

5 А

' ди0 + ^2 В'^

Л

дх

2

51А

ду, ,д ж

'¿А + 52 В'^2°

дх2 2

ду

- Л

(51 А')2 Ц + (52 В')2

дх ду

/

2

где

/е = К№ж(х, у, г) - К%V ж(х, у, г),

X = ^ д 2 ж0

дх2

ду2

N0 = Аст о-

Предположим, что решения для и0, у0, ж0 и 0, которые описывают волны, распространяющиеся в плоскости ху, имеют вид

^0( х, у, г У и ^

*0( х ^г) V

Ж)( х, у, г) Ж

0( х, у, г) X ^

?е

I

где и, V, Ж и X — коэффициенты амплитуды; к1, к2 — волновые числа волн, распространяющихся вдоль осей х и у соответственно; ю — частота. С использованием приведенных решений запишем уравнения распространения волн (25) в виде

где

([ К ]-ю2[ М ]{Д) = {0},

(А) = {и, V, Ж, X}*.

Подставляя (28) в (15), получим

5ц 5 12 тп т12 т11

521 522 523 -ю2 т21 т22 т23

531 532 533 т31 т32 т33

541 542 543 _ _ т41 т42 т43

'и4 04

V 0

Ж 0

X 0 ^

Частотные зависимости распространения волн в ФГ нанопластине описываются уравнением

|[К ]-ю2[М ]|={0).

При к1 = к2 = к корни уравнения (31) можно представить как

ю = Щ

Полученные корни соответствуют волновым модам М0, М1, М2 и М3, при этом М0 и М3 соответствуют изгибной волне, а М1 и М2 — волне растяжения. Фазовую скорость распространения волны в ФГ нанопластине выразим в виде

С, = Щ

3. Численные результаты и обсуждение

3.1. Сравнение результатов

Математическая формулировка предлагаемой модели на основе теории высшего порядка и но-

Рис. 2. Алгоритм решения задачи о распространении волн в ФГ нанопластинах в рамках теории сдвиговой деформации высшего порядка

Таблица 1. Сравнение значений безразмерной частоты первой моды

Ыа а/И Ц Наст. статья ТББТ [3] ЕББТ [3] СРТ [3]

1 10 0 0.0932 0.0935 0.0930 0.0963

1 0.0853 0.0854 0.0850 0.0880

2 0.0791 0.0791 0.0788 0.0816

3 0.0738 0.0741 0.0737 0.0763

4 0.0696 0.0699 0.0696 0.0720

5 0.0664 0.0663 0.0660 0.0683

20 0 0.0239 0.0239 0.0239 0.0241

1 0.0218 0.0218 0.0218 0.0220

2 0.0204 0.0202 0.0202 0.0204

3 0.0189 0.0189 0.0189 0.0191

4 0.0178 0.0179 0.0178 0.0180

5 0.0170 0.0170 0.0169 0.0171

2 10 0 0.0590 0.0591 0.0589 0.0602

1 0.0558 0.0557 0.0556 0.0568

2 0.0528 0.0529 0.0527 0.0539

3 0.0504 0.0505 0.0503 0.0514

4 0.0481 0.0483 0.0482 0.0493

5 0.0463 0.0464 0.0463 0.0473

20 0 0.0150 0.0150 0.0150 0.0150

1 0.0142 0.0141 0.0141 0.0142

2 0.0134 0.0134 0.0134 0.0135

3 0.0128 0.0128 0.0128 0.0129

4 0.0123 0.0123 0.0123 0.0123

5 0.0118 0.0118 0.0118 0.0118

вой теории перемещений с четырьмя неизвестными, вводящими неопределенные интегральные переменные, позволяет изучать распространение волн в ФГ нанопластинах. В настоящей работе для анализа распространения волн в ФГ нанопла-стине использован алгоритм решения в рамках теории сдвиговой деформации высшего порядка, представленный на рис. 2.

С использованием численных примеров выполнена верификация предложенной модели с неопределенными интегральными переменными для исследования распространения волн в ФГ на-нопластинах. Полученные результаты сравниваются с результатами, полученными с помощью нелокальной теории первого и третьего порядка, а также классической нелокальной теории. Без-

Таблица 2. Сравнение значений безразмерной собственной частоты

Частота Ц Наст. статья ТББТ [3] ЕББТ [3] СРТ [3]

Ю„ 0 0.0932 0.0935 0.0930 0.0963

1 0.0853 0.0854 0.0850 0.0880

2 0.0791 0.0791 0.0788 0.0816

3 0.0738 0.0741 0.0737 0.0763

4 0.0696 0.0699 0.0696 0.0720

5 0.0664 0.0663 0.0660 0.0683

«22 0 0.3406 0.3458 0.3414 0.3853

1 0.2546 0.2585 0.2552 0.2880

2 0.2122 0.2153 0.2126 0.2399

3 0.1856 0.1884 0.1860 0.2099

4 0.1671 0.1696 0.1674 0.1889

5 0.1531 0.1555 0.1535 0.1732

Ю33 0 0.6842 0.7020 0.6889 0.8669

1 0.4104 0.4213 0.4134 0.5202

2 0.3203 0.3290 0.3228 0.4063

3 0.2716 0.2790 0.2738 0.3446

4 0.2403 0.2466 0.2420 0.3045

5 0.2174 0.2233 0.2191 0.2757

размерная собственная частота определяется выражением

й = йИ^ р/О.

Анализ выполнен для нанопластины с различным соотношением сторон при разных значениях нелокального параметра. Результаты представлены в табл. 1 и 2. Полученные данные сопоставлены с результатами аналитического решения [3]. Отметим, что нелокальные теории приводят к меньшим значениям собственных частот по сравнению с локальными теориями, особенно для частот высших мод (табл. 2), из чего следует, что локальные теории дают завышенные значения частот. При использовании поля перемещений с интегральными переменными по толщине ФГ нано-пластины суммирование интегральных членов в уравнении поля перемещений позволяет сократить число неизвестных. При этом пределы интегрирования бесконечны. В настоящем исследовании рассматриваются четыре неизвестных члена перемещений вместо пяти членов, которые присутствуют в теориях сдвиговой деформации пер-

0.36

Рис. 3. Сравнение полученных частотных кривых для изгибной волны с результатами классической нелокальной модели нанопластины без начального напряжения

0.42

0.38

иг и н

з"

ев 0.34

ё н о ев

V

0.30

0.26

• Растягивающая нагрузка ^--К'1

Наст.

а0 = 0.01£ ----. статья

1--

0.0 0.5 1.0 1.5

Масштабный коэффициент нм

2.0

Рис. 4. Сравнение полученных частотных кривых для изгибной волны с результатами классической нелокальной модели нанопластины при растяжении

0.35

0.30

иг

1-н

н

3 0.25

^ 0.20

0.15

Сжимающая нагрузка ^ [6]

Наст.

а0 = 0 ~- статья

а0 = -0.005

а0 = -0.01£

0.0 0.5 1.0 1.5

Масштабный коэффициент нм

2.0

Рис. 5. Сравнение полученных частотных кривых для изгибной волны с результатами классической нелокальной модели нанопластины для различных значений сжимающей нагрузки

0.34-

0.32-

0.30

0.28 -

0.26

—Наст, статья

0.0 0.5 1.0 1.5

Масштабный коэффициент нм

2.0

Рис. 6. Сравнение полученных частотных кривых распространения изгибной волны в нанопластине на основании Винклера с результатами классической нелокальной модели нанопластины

Рис. 7. Сравнение полученных частотных кривых распространения изгибной волны в нанопластине с результатами классической нелокальной модели на-нопластины с учетом жесткости сдвигового слоя

вого (Р8БТ) и третьего порядков (ТББТ) [3]. В поле осевого перемещения используется функция гиперболического секанса сдвига по толщине, введенная для учета влияния деформации поперечного сдвига по толщине.

Для проверки адекватности описания процесса распространения волн с помощью предлагаемой теории проведено сравнение с результатами работы [6]. Рассмотрим изотропные пластины толщиной И = 0.34 нм со следующими механическими характеристиками: Е = 1.06 ТПа, V = 0.25, р = 2.25 г/см3, К^ = 1.13 • 1018 Па/м, К = 2 Н/м.

Сравнение проведено для различных значений масштабного коэффициента £ = 0-2 нм. Результа-

Таблица 3. Упругие свойства ФГ нанопластины [6, 9-11]

Материал Свойства

Е, ГПа V р, кг/м3

Алюминий (А1) 70 0.3 2702

Оксид алюминия (А120з) 380 0.3 3800

ты показаны на рис. 3-7. Следует отметить, что результаты работы [6] получены с помощью нелокальной модели сплошной среды, построенной в рамках классической теории. Из рис. 3-6 видно хорошее соответствие полученных результатов с данными [6].

Анализ выполнен для свободно опертой изотропной нанопластины со следующими параметрами: а = 10, Е = 30 • 106, V = 0.3, р = 1.

3.2. Параметрическое исследование

Предположим, что механические свойства ФГ нанопластин соответствуют значениям, приведенным в табл. 3. Нелокальный параметр £ считается равным нулю в диапазоне до 3 нм [6, 17]. Значения коэффициентов Винклера и Пастернака взяты из работы [6]. Итоговые решения получены с помощью аналитического решения уравнений методом Навье, описанного в разд. 2. В ходе параметрического исследования изучено влияние показателя степени N (уравнения (4), (5)), нелокального параметра £, а также коэффициентов упругой среды К^ и Кё на частоту и фазовую скорость распространения волн в ФГ нанопластине. Расчеты выполнены с помощью нелокальной (£ Ф 0) и классической (£ = 0) теорий упругости.

Частотные кривые функционально-градиентных и изотропных ^ = 0) нанопластин в зависимости от нелокального параметра £ представлены на рис. 8. Расчеты проводились для трех значений показателя материала N = 0.5, 1 и 2. Обнаружено, что увеличение значений масштабного коэффициента приводит к уменьшению значений частот для обоих типов нанопластин, причем это наиболее выражено для ФГ нанопластин с показателем степени N = 2. Это означает, что нанопластина с изотропными свойствами имеет большую жесткость по сравнению с ФГ нанопластиной.

Графики зависимости частоты и фазовой скорости ФГ нанопластин с N = 2 от волновых чисел для различных значений нелокального параметра приведены на рис. 9 и 10 соответственно. Из рисунков следует, что при увеличении значения нелокального параметра частота и фазовая скорость

Рис. 8. Влияние показателя материала на частоту распространения волны в ФГ нанопластине при к1 = к2 = 109 м-1, KW = Кё = 0

Рис. 9. Влияние нелокального параметра на частоту распространения волны в ФГ нанопластине при N = 2, KW = К% = 0

3.2

и

2.4

о

й-1.6

§

о 0.8

й

е

0.0

-я-Е, = 0.0 нм

-ф-Е, = 0.5 нм

-+-Е, = 1.0 нм

Е, = 1.5 нм

-*-Е, = 2.0 нм

-А А

0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 Волновое число к, 109 м

-1

2.5

3.0

Рис. 10. Влияние нелокального параметра на фазовую скорость распространения волны в ФГ нанопластине при N = 2, KW = Кё = 0

Рис. 11. Изменение частоты распространения волны в зависимости от показателя материала для различных значений нелокального параметра при k1 = k2 = k = 109 м-1, KW = Kg = 0

Рис. 12. Изменение частоты волны в зависимости от коэффициента Пастернака

Рис. 13. Изменение частоты волны в зависимости от коэффициента Винклера

уменьшаются для всех значений волновых чисел. Увеличение нелокального параметра, т.е. влияние малого масштаба, приводит к уменьшению частоты и фазовой скорости. Кроме того, как показано на рис. 10, фазовые скорости более чувствительны к изменению масштабного коэффициента при больших значениях волновых чисел к > 0.5 и менее чувствительны при к < 0.5.

Частотные кривые распространения волн в ФГ нанопластине в зависимости от показателя степени N для различных значений нелокального параметра показаны на рис. 11. Видно, что с увеличением значения нелокального параметра значения частот уменьшаются. Подобное поведение кривых наблюдается также при увеличении показателя степени N.

Изменение частоты в зависимости от коэффициентов Пастернака и Винклера Кё и ^ для различных значений нелокального параметра при N = 2 показано на рис. 12 и 13. Видно, что при увеличении коэффициентов Пастернака и Винк-лера наблюдается увеличение частот для всех значений нелокальных параметров. Это указывает на увеличение жесткости ФГ нанопластины при увеличении коэффициентов Пастернака и Винклера. Из сравнения кривых изменения частоты в зависимости от Кё и KW следует, что коэффициент Пастернака оказывает большее влияние, чем коэффициент Винклера.

Графики зависимости частоты и фазовой скорости от волнового числа к для трех значений начального напряжения при растяжении показаны на рис. 14 и 15. Для расчетов приняты значения нелокального параметра £ = 0.5 нм и показателя материала N = 2. Видно, что с увеличением волнового числа к частота и фазовая скорость увеличиваются при всех значениях начального напряжения в случае растяжения.

Графики изменения частоты волн в ФГ нано-пластинах в зависимости от нелокального параметра для различных типов среды при значении показателя степени N = 2 приведены на рис. 16. На рисунке представлены четыре варианта рассматриваемой задачи: с основанием Винклера (^ = 0.5, Кё = 0), с основанием Пастернака (^ = 0, Кё = 2), с основанием Винклера-Пастернака (^ = 0.5, Кё = 2) и без упругого основания (^ = Кё = 0). Видно, что при наличии упругой среды частота колебаний ФГ нанопластины увеличивается, т.е. конструкция с упругим основанием становится более жесткой. При этом влияние осно-

Рис. 14. Зависимость частоты от волнового числа для различных значений начального напряжения при растяжении, N = 2, £ = 0.5 нм, KW = К% = 0

о 2-5 H

о 2.0

U

^ 1 5 H н 1J1 о о

Он

S 1.0

о §

§0.5

СО CÖ

е

о.о-

Растягивающая нагрузка

„-»-- -Д-- 1 А

0

( ÖQ = 0.01ЕС

0.005Ес

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Волновое число k, 109 м-1

3.0

Рис. 15. Зависимость фазовой скорости от волнового числа при различных значениях начального напряжения при растяжении, N = 2, £ = 0.5 нм, KW = Kg = 0

Рис. 16. Сравнение частотных кривых ФГ нанопластины

вания Пастернака на частотную кривую ФГ нанопластины более выражено по сравнению с основанием Винклера. Следовательно, можно сделать вывод, что модель Винклера подходит только для описания нормальной нагрузки упругой среды, тогда как с помощью модели Пастернака можно описывать как поперечный сдвиг, так и нормальную нагрузку. Основание Винклера-Пастернака оказывает более значительное влияние на частотную кривую ФГ нанопластины по сравнению с основанием Пастернака при значениях нелокального параметра менее 2.5.

4. Заключение

В статье исследовано распространение волн в функционально-градиентной нанопластине на упругом основании Винклера-Пастернака в рамках нелокальной теории Эрингена высшего порядка и на основе нового представления поля перемещений с неопределенными интегральными переменными. Изучено влияние нелокального параметра, степенного показателя материала N, волновых чисел и типа упругой среды на частоту и фазовую скорость распространения волн в ФГ наноплас-тине. Рассматриваемая нанопластина состоит из смеси металла (Al) и керамики (Al2O3) с изменением свойств по толщине материала. Частота и фазовая скорость распространения волн в ФГ на-нопластине рассчитаны аналитически методом Навье. В качестве частного случая приведены уравнения для однородной изотропной нанопластины. Выполнено сравнение полученных результатов с литературными данными.

Показано, что использование неопределенных интегральных переменных позволяет сократить количество уравнений движения и переменных. Предлагаемая модель достаточно проста и эффективна для изучения волновых характеристик ФГ нанопластин.

Изменение показателя материала влияет на частоту распространения волн в ФГ нанопласти-нах. Установлено, что частота распространения волн в ФГ нанопластинах ниже, чем в изотропных керамических нанопластинах.

Масштабный эффект приводит к увеличению частоты и фазовой скорости распространения волн в ФГ нанопластинах. Кроме того, обнаружено существенное различие между локальными и нелокальными теориями при больших значениях нелокального параметра.

Нелокальный параметр играет важную роль при изучении частотных характеристик ФГ нано-пластин при больших волновых числах. Влияние мелкомасштабного коэффициента на фазовую скорость более выражено при больших волновых числах и менее при меньших волновых числах.

Частота и фазовая скорость распространения волн уменьшаются с увеличением начального напряжения при растяжении.

Увеличение значений коэффициента упругости основания Винклера и жесткости сдвигового слоя приводит к увеличению частоты и фазовой скорости распространения волн.

Частота распространения волн в ФГ наноплас-тинах увеличивается при учете упругой среды.

Литература

1. Yamanouchi M., Koizumi M. Functionally Gradient Materials // Proc. I Int. Symp. on Functionally Graded Materials, Sendai, Japan, 1991.

2. Bouazza M., Antar K., Amara K., Benyoucef S., Adda Bedia E.A. Influence of temperature on the beams behavior strengthened by bonded composite plates // Geo-mech. Eng. - 2019. - V. 8. - No. 5. - P. 555-566.

3. Aghababaei R., Reddy J.N. Nonlocal third-order shear deformation plate theory with application to bending and vibration of plates // J. Sound Vib. - 2009. - V. 326. -P. 277-289.

4. Hedayatrasa S., Bui T.Q., Zhang C., Wah Lim C. Numerical modeling of wave propagation in functionally graded materials using time-domain spectral Chebyshev elements // J. Comput. Phys. - 2014. - V. 258. - P. 381-404.

5. Abdelmalek A., Bouazza M., Zidour M., Benseddiq N. Hygrothermal effects on the free vibration behavior of composite plate using nth-order shear deformation theory: A micromechanical approach // Iran. J. Sci. Tech. Trans. Mech. Eng. - 2019. - V. 43. - No. 1. - P. 61-73.

6. Wang Y.Z., Li FM., Kishimoto K. Scale effects on flexural wave propagation in nanoplate embedded in elastic matrix with initial stress // Appl. Phys. A. - 2010. - V. 99. -P. 907-911.

7. Guo P.F., Zhang L.W., Liew K.M. Numerical analysis of generalized regularized long wave equation using the element-free Kp-Ritz method // Appl. Math. Comput. -2014. - V. 240. - P. 91-101.

8. Karami B., Janghorban M., Tounsi A. Wave propagation of functionally graded anisotropic nanoplates resting on Winkler-Pasternak foundation // Struct. Eng. Mech. -2019. - V. 70. - No. 1. - P. 55-66.

9. Ebrahimi F., Seyfi A. Studying propagation of wave of metal foam rectangular plates with graded porosities resting on Kerr substrate in thermal environment via analytical method // Waves Random Complex Media. - 2022. -V. 32. - No. 2. - P. 832-855.

10. Tahir S.I., Chikh A., Tounsi A., Al-Osta M.A., Al-Dulai-jan S.U., Al-Zahrani M.M. Wave propagation analysis of

a ceramic-metal functionally graded sandwich plate with different porosity distributions in a hygrothermal environment // Compos. Struct. - 2021. - V. 269. - P. 114030.

11. Zaitoun M.W., Chikh A., Tounsi A., Sharif A., Al-Os-ta M.A., Al-Dulaijan S.U., Al-Zahrani M.M. An efficient computational model for vibration behavior of a functionally graded sandwich plate in a hygrothermal environment with viscoelastic foundation effects // Eng. Comput. -2021. - https://doi.org/10.1007/s00366-021-01498-1

12. Belmahi S., Zidour M., Meradjah M., Bensattalah T., Dihaj A. Analysis of boundary conditions effects on vibration of nanobeam in a polymeric matrix // Struct. Eng. Mech. - 2018. - V. 67. - No. 5. - P. 517-525.

13. Naceri M., Zidour M., Semmah A., Houari M.S.A, Benzair A., Tounsi A. Sound wave propagation in armchair single walled carbon nanotubes under thermal environment // J. Appl. Phys. - 2011. - V. 110. - P. 124322.

14. Becheri T., Amara K., Bouazza M., Benseddiq N. Buckling of symmetrically laminated plates using nth-order shear deformation theory with curvature effects // Steel Compos. Struct. - 2016. - V. 21. - No. 6. - P. 13471368.

15. Bouazza M., Zenkour A.M. Free vibration characteristics of multilayered composite plates in a hygrothermal environment via the refined hyperbolic theory // Eur. Phys. J. Plus. - 2018. - V. 133. - P. 217.

16. BouazzaM., Becheri T., Boucheta A., Benseddiq N. Thermal buckling analysis of nanoplates based on nonlocal elasticity theory with four-unknown shear deformation theory resting on Winkler-Pasternak elastic foundation // Int. J. Comput. Meth. Eng. Sci. Mech. - 2016. - V. 17. -No. 5-6. - P. 362-373.

17. Frikha A., Zghal S., Dammak F. Dynamic analysis of functionally graded carbon nanotubes-reinforced plate and shell structures using a double directors finite shell element // Aerospace Sci. Tech. - 2018. - V. 78. -P. 438-451.

18. Bouazza M., Zenkour A.M. Hygrothermal environmental effect on free vibration of laminated plates using nth-order shear deformation theory // Waves Random Complex Media. - 2021. - https://doi.org/10.1080/17455030. 2021.1909173

19. Ezzin H., Mkaoir M., Arefi M., Qian Z., Das R. Analysis of guided wave propagation in functionally graded magneto-electro elastic composite // Waves Random Complex Media. - 2021. - https://doi.org/10.1080/17455030.2021. 1968541

20. Bouazza M., Kenouza Y., Benseddiq N., Zenkour A.M. A two-variable simplified nth-higher-order theory for free vibration behavior of laminated plates // Compos. Struct. - 2017. - V. 182. - P. 533-541.

21. Bouazza M., Zenkour A.M. Vibration of carbon nanotube-reinforced plates via refined nth-higher-order theory // Arch. Appl. Mech. - 2020. - V. 90. - P. 1755-1769.

22. Phuong N.T., Nam V.H., Trung N.T., Duc V.M., Loi N.V., Thinh N.D., Tu P.T. Thermomechanical postbuckling of functionally graded graphene-reinforced composite laminated toroidal shell segments surrounded by Pasternak's elastic foundation // J. Thermoplast. Compos. Mater. -2021. - V. 34. - No. 10. - P. 1380-1407.

23. Bouazza M., Becheri T., Boucheta A., Benseddiq N. Bending behavior of laminated composite plates using the refined four-variable theory and the finite element method // Earthq. Struct. - V. 17. - No. 3. - P. 257-270.

24. Arani A.G., Jamali M., Mosayyebi M., Kolahchi R. Analytical modeling of wave propagation in viscoelastic functionally graded carbon nanotubes reinforced piezoelectric microplate under electro-magnetic field // Proc. Inst. Mech. Eng. N. J. Nanomater. Nanoeng. Nanosyst. -2015. - P. 17-33.

25. Zenkour A.M., Sobhy M. Axial magnetic field effect on wave propagation in bi-layer FG graphene platelet-reinforced nanobeams // Eng. Comput. - 2021. - https://doi. org/10.1007/s00366-020-01224-3

26. Sobhy M., Zenkour A.M. Wave propagation in magneto-porosity FG bi-layer nanoplates based on a novel quasi-3D refined plate theory // Waves Random Complex Media. - 2021. - V. 31. - No. 5. - P. 921-941.

27. Mehar K., Mahapatra T.R., Panda S.K., Katariya P.V., Tompe U.K. Finite-element solution to nonlocal elasticity and scale effect on frequency behavior of shear defor-mable nanoplate structure // J. Eng. Mech. - 2018. -V. 144. - No. 9. - P. 04018094.

28. AbazidM.A., Zenkour A.M., SobhyM. Wave propagation in FG porous GPLs-reinforced nanoplates under in-plane mechanical load and Lorentz magnetic force via a new quasi 3D plate theory // Mech. Based Design Struct. Mach. - 2021. - V. 53. - No. 1. - P. 11-22.

29. Shariati M., Shishesaz M., Mosalmani R., Roknizadeh S. Size effect on the axisymmetric vibrational response of functionally graded circular nano-plate based on the nonlocal stress-driven method // J. Appl. Comput. Mech. -2022. - V. 8. - No. 3. - P. 962-980.

30. Ahmad Pour M., Golmakani M., Malikan M. Thermal buckling analysis of circular bilayer graphene sheets resting on an elastic matrix based on nonlocal continuum mechanics // J. Appl. Comput. Mech. - 2021. -V. 7. -No. 4. - P. 1862-1877.

31. Kumar Y., Gupta A., Tounsi A. Size-dependent vibration response of porous graded nanostructure with FEM and nonlocal continuum model // Adv. Nano Res. - 2021. -V. 11. - No. 1. - P. 1-17.

32. Farajzadeh Ahari M., Ghadiri M. Resonator vibration of a magneto-electro-elastic nano-plate integrated with FGM

layer subjected to the nano mass-spring-damper system and a moving load // Waves Random Complex Media. -2022. - https://doi.org/10.1080/17455030.2022.2053233

33. Bouazza M., Zenkour A.M., Benseddiq N. Closed-from solutions for thermal buckling analyses of advanced na-noplates according to a hyperbolic four-variable refined theory with small-scale effects // Acta Mech. - 2018. -V. 229. - P. 2251-2265. - https://doi.org/10.1007/ s00707-017-2097-8

34. Saini R., Ahlawat N., Rai P., Khadimallah M.A. Thermal stability analysis of functionally graded non-uniform asymmetric circular and annular nano discs: Size-dependent regularity and boundary conditions // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2022. - V. 94. - P. 104607. - https://doi.org/ 10.1016/j. euromechsol.2022.104607

35. Bouazza M., Amara K., Zidour M., Abedlouahed T., El Abbas A.B. Thermal effect on buckling of multiwalled carbon nanotubes using different gradient elasticity theories // Nanosci. Nanotech. - 2014. - V. 4. - No. 2. -P. 27-33. - https://doi.org/10.1016/j.egypro.2014.06.078

36. Faghidian S.A. Higher order mixture nonlocal gradient theory of wave propagation // Math. Meth. Appl. Sci. -2020. - https://doi.org/10.1002/mma.6885

37. Barretta R., Faghidian S.A., Marotti de Sciarra F. Aifan-tis versus Lam strain gradient models of Bishop elastic rods // Acta Mech. - 2019. - V. 230. - P. 2799-2812. -https://doi.org/10.1007/s00707-019-02431-w

38. Reza Barati M., Nadhim M. Faleh, Zenkour A.M. Dynamic response of nanobeams subjected to moving nanopar-ticles and hygro-thermal environments based on nonlocal strain gradient theory // Mech. Adv. Mater. Struct. -2019. - V. 26. - No. 19. - P. 1661-1669. - https://doi. org/10.1080/15376494.2018.1444234

39. Zhang C., Eyvazian A., Alkhedher M., Alwetaishi M., Ameer Ahammad N. Modified couple stress theory application to analyze mechanical buckling behavior of three-layer rectangular microplates with honeycomb core and piezoelectric face sheets // Compos. Struct. - 2022. -V. 292. - P. 115582. - https://doi.org/10.1016/j.comp struct.2022.115582

40. Akavci S.S., Tanrikulu A.H. Buckling and free vibration analyses of laminated composite plates by using two new hyperbolic shear deformation theories // Mech. Compos. Mater. - 2008. - V. 44. - No. 2. - P. 217-230.

Поступила в редакцию 18.04.2022 г., после доработки 21.05.2022 г., принята к публикации 25.05.2022 г.

Сведения об авторах

Mokhtar Ellali, Dr., University of Ain Temouchent, Algeria, mokhtar.ellali@gmail.com

Mokhtar Bouazza, Prof., University Tahri Mohamed of Bechar, University of Sidi Bel Abbes, Algeria, bouazza_mokhtar@yahoo.fr Ashraf M. Zenkour, Prof., Kafrelsheikh University, Egypt, zenkour@gmail.com