Эффекты поляризации вакуума в мезоатомах и нелокальность взаимодействия мюона с ядром

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 14 7, ки. 2

Физико-математические пауки

2005

УДК 539.189.1

ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ВАКУУМА В МЕЗОАТОМАХ И НЕЛОКАЛЬНОСТЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЮОНА С ЯДРОМ

Р.Х. Гайпутдипов, A.C. Июдип, A.A. Мутигуллипа

Аннотация

Эффекты поляризации вакуума в мюоппых атомах исследуются с помощью формализма обобщенной квантовой динамики. Показано, что влияние эффектов, связанных с пелокальпостыо взаимодействия мюопа с ядром, па свойства мюоппых атомов может быть значительным. В работе обсуждаются новые перспективы использования формализма обобщенной квантовой динамики в теории мюоппых атомов.

Введение

Важность использования мюона как пробной частицы при исследовании электромагнитной структуры атомных ядер была понята достаточно давно. Из-за большой массы мюона в мюонных атомах радиус боровской орбиты в 200 раз меньше, чем у соответствующего обычного атома, и. следовательно, расположение 1 в-уровня очень чувствительно к распределению заряда в ядре. В тяжелых ядрах, таких, как свинец, мюон в низшем энергетическом состоянии проводит примерно половину времени жизни внутри ядра. Исследование электромагнитной структуры ядра предполагает, что существующая теория мюонного атома, а именно, уравнение Шредпнгера (Дирака) с учетом эффектов поляризации вакуума и поправок на собственную энергию частиц обеспечивает достаточную точность квантово-электродинамических вычислений. Проверкой такой теории может служить сравнение ее предсказаний для случая, когда ядро не сильно влияет на энергетические уровни атома, с результатами точных измерений. Однако теоретически рассчитанные энергии перехода отличаются от экспериментальных значений, и эти различия не укладываются в ожидаемую точность квантово-электродинамических вычислений. Например, в работе [1] была рассчитана поправка шестого порядка поляризации вакуума, приводящая к дэмбовксому сдвигу состояний 2Р1/2 — 251/2 мюонного водородного атома (связанного состояния Учет этой поправки

позволяет уменьшить разногласие между теоретическими предсказаниями и экспериментом, но все же не избежать их. Однако в случае тяжелых атомов теория возмущения неприменима и необходимо более последовательное описание эффектов поляризации вакуума. Причина этого состоит в том, что в случае тяжелых мюонных атомов эффекты поляризации вакуума очень значительны и не могут считаться малой поправкой. Это происходит потому, что электрон-позптронные пары распространяются на расстояния порядка комптоновской длины волны электрона, а многие мюонные орбиты лежат внутри этого интервала. Более того, при таких масштабах проявляется нелокальность во взаимодействии электрон-позитронных пар. Учет этого эффекта невозможен на основе обычной теории мюонного атома, так как уравнение Шредингера локально во времени и не может описать эволюцию квантовой системы с нелокальным во времени взаимодействием. В данной статье

эффекты поляризации вакуума исследуются с использованном формализма обобщенной квантовой динамики, развитого в работе [2]. Этот формализм основывается на обобщенном динамическом уравнении, полученном как наиболее общее динамическое уравнение, совместное с современными концепциями квантовой физики. Будучи эквивалентным уравнению Шродингора в случае мгновенных взаимодействий. это уравнение допускает обобщение на случай, когда динамика в системе задается нелокальным во времени взаимодействием. В работе показано, что динамика мюона в поле ядра описывается обобщенным динамическим уравнением с нелокальным во времени оператором взаимодействия, и это позволяет учесть ноло-кальность во времени взаимодействия мюона с ядром, связанную с поляризацией вакуума, при описании мюонных атомов.

1. Обобщенная квантовая динамика

Кратко рассмотрим основные идеи, лежащие в основе обобщенной квантовой динамики. В настоящее время имеются две альтернативные формулировки квантовой теории: каноническая и фойнмановская. Эти две эквивалентные формулировки принципиально отличаются по используемому в них математическому аппарату. Каноническая формулировка основана на использовании векторов и операторов, определенных на гильбертовом пространстве состояний. Связь этих векторов и операторов, соответственно, с состояниями квантовой системы и наблюдаемыми определяется специальными постулатами, которые выражают основные принципы квантовой механики. Динамическим постулатом канонической формулировки является предположение о том. что динамика квантовой системы описывается уравнением Шродингора. В основу фойнмановской формулировки квантовой теории положен анализ явления квантовой интерференции, на основе которого был сформулирован принцип суперпозиции амплитуд вероятности [5]. Этот постулат используется как основополагающий постулат теории. Его можно использовать различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы [5]. В частности, амплитуду вероятности {ф2\и(¿,¿0)|'^1) того, что при измерении в момент времени £ система будет обнаружена в состоянии |^2) 5 если в момент времени ¿о она находилась в состоянии |^1), можно представить как сумму вкладов от всех альтернативных способов реализации соответствующего эволюционного процесса. В работе [2] было показано, что в качестве альтернатив можно использовать процессы с определенными временами начала и конца взаимодействия в системе. В этом случае амплитуда (^2|и(¿,£0)|^1) может быть представлена в виде

г ¿2

¿0 ¿0

Здесь (^2¿1)|^1) _ амплитуда вероятности того, что если в момент времени ¿1 состояние системы было |^1), то взаимодействие в системе начнется в момент времени ¿1, закончится в момент времени ¿2, и в тот же момент система будет обнаружена в состоянии |^2)- Первый член в правой части (1) описывает вклад от процесса, в котором взаимодействие в системе но происходит ни в один момент времени.

Как было показано в работе [2], для того чтобы оператор эволюции был унитарным и удовлетворял композиционному закону, оператор ¿'(¿2, ¿1) должен уд о-

влетворять уравнению

¿2 ¿4

Замечательная особенность этого уравнения заключается в том. что оно работает как рекуррентное соотношение и позволяет определить ¿>

¿>

¿2 —¿1

где т = ¿2 — ¿1. Если оператор Н^^^^ задан, то уравнение (2) позволяет определить оператор ¿^(¿2, ¿1) и, следовательно, оператор эволюции. Таким образом, это уравнение может рассматриваться как динамическое уравнение. В случае, когда обобщенный оператор взаимодействия имеет следующий вид

НШ,^2М) = —2г^2 — ¿1)Я/

где Н/(¿) - гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия, из уравнения (2) можно получить уравнение Шродингора [2]. В то же время уравнение (2) позволяет обобщить теорию на случай, когда взаимодействие в системе является нелокальным во времени и, следовательно, динамика не является гамиль-тоновой. Используя представление (1), для оператора эволюции можно записать выражение

г ГЭ

(?г2|г7(Мг>Ж} = (п^т) + — ¿г-ехр[-г(> - Еп^]х

<П2 |Т(г) Ю ехр[г(г — Ещ )^о]

(г — Е„ 2 )(г — Е„

где г = х + гу, у > 0, п обозначает полный набор дискретных и непрерывных переменных, описывающих систему, |п) - собственные вектора свободного гамильтониана Н0 и (п2|Т (г)|п1) определяется соотношением

¿•о

0

В терминах оператора Т(г) обобщенное динамическое уравнение (2) может быть представлено в форме [2]

¿(ф2\ТЩ1) = ^ЩЗДИИЗДкЫ

п  '

Как следует из (3), граничное условие для этого уравнения имеет вид

Т

В

21 — Э

ОС

где Н(П\(т) = ехр[—гНо^НиД^,^) ехр^Но^} является обобщенным оператором взаимодействия в представлении Шредингера. Как следует из уравнения (5). для описания низкоэнергетической динамики мы должны получить Т-матрицу для значений г, относящихся к низкоэнергетической теории. Уравнение (7) позволяет получить решения для любых г, если определено соответствующее граничное условие для этого уравнения. Граничное условие (8) означает, что наибольший вклад в Т(г) в пределе |г| ^ го дают процессы, ассоциируемые с фундаментальными взаимодействиями в рассматриваемой системе. Эти процессы описываются оператором В (г). Однако, чтобы низкоэнергетическое приближение имело смысл, оператор В (г) должен определяться, исходя из степеней свободы, значимых для данного низкоэнергетического приближения. Это означает, что несмотря на то, что в граничном условии (8) г устремляется к бесконечности, можно ограничиться рассмотрением области энергии, лежащей гораздо выше нашего низкоэнергетического приближения, но гораздо меньшей области энергии соответствующей фундаментальной высокоэнергетической теории. Такую область энергий обозначим как V. Тот факт, что область V лежит гораздо выше масштаба низкоэнергетической динамики, позволяет утверждать, что при таких «бесконечно больших» энергиях основной вклад в оператор Т(г) дают процессы, которые можно определить как «фундаментальные» для данной ннзкоэнергетнческой теории. И, как следствие этого, оператор взаимодействия В (г) достаточно близок к истинной Т-матрице. Так, чтобы учесть тот факт, что любая теория имеет границы применимости, вместо граничного условия (8) для уравнения (7) должны воспользоваться выражением

Для того чтобы уравнение (7) с граничным условием (9) имело единственное ре-

В

Т-матрице в области V, другими словами, функция Н(г) должна быть малой для г е V. Развитая таким образом обобщенная квантовая динамика открывает новые возможности для решения многих проблем квантовой физики [3, 4].

2. Поляризация электронного вакуума

Важным процессом, дающим вклад в лэмбовский сдвиг в атомах, является процесс поляризации электронного вакуума. Этот процесс играет очень значительную роль и в случае мюонных атомов. Рассмотрим водородоподобный мюонный атом. Для описания физических свойств такого атома должны рассмотреть динамику мюона в поле ядра. Во-первых, должны определить оператор, описывающий взаимодействие между мюоном и полем ядра. Как было отмочено выше, оператор взаимодействия, определяющий динамику системы при энергиях, близких к энергии ионизации водородоподобного мюонного атома, определяется поведением соответствующей Т-матрицы в области V, которая расположена гораздо выше та-

Т

ядра, в области V дают упорядоченные во времени диаграммы квантовой элек-

Т

В

В(г) Т

В(г) г

в области V мала, то динамика системы является гамильтоновой и описывается уравнением Шредингера с потенциалом V = В (г), г е V. В общем случае оператор В (г) зависит от г в облас ти V. При этом динамика системы негамильтонова

ядро

ядро

ядро

т

мюон

мюон

мюон

Рис. 1. Упорядочеш1ые во времени диаграммы, описывающие взаимодействие между мю-опом и ядром

и описывается обобщенным динамическим уравнением с нелокальным во времени оператором взаимодействия. Исследуем, как зависит характер динамики в системе от атомного номера г для мюонных атомов. В квантовой электродинамике одно-петлевая диаграмма описывается поляризационным оператором (к), который после перенормировки принимает вид

= ?

где к - четырехимпульс фотона, - метрический тензор и

сю

1 ; 3 У х{х - в + Ю) У ' К

1

Упорядоченные во времени компоненты поляризационного оператора П(р0, р), показанные на рис. 1. даются выражением

(ро, р) =1 3АхО(х0) ехр[грх]Пм^(х) =

сю

= У 3,хо J ^оехр[-фо.г'о]ехр[гА;о.г-о]ПМ1/(А;о,р), (12) о

где (х) - поляризационный оператор в координатном представлении

1

пм"

0(х 0)41' Х0 < 0

[0, хо < 0.

Теперь, суммируя диаграммы, показанные на рис. 1. можно получить оператор Б

ге2

Ч2

где

и Ч = |р2 — Р11 • Здесь масса ядра полагается равной бесконечности и, следователь-р

1.5 1.25

N 1

^ 0.75 Си

0.5 0.25 0

-20 -15 -10 -5 0

э

Рис. 2. Зависимость функции Е(з,&) = \.7(;гЕгОп,9 = mZa)\ от в

то основной вклад в диаграммах, изображенных на рис. 1. исходит от кулоновских фотонов. Используя уравнение (10), для Поо(г, q) получаем

П00

п

ОС / \

Т( )_ 2те [ + ( 2 ,*2-Ч2\

3 ] хУЦ4т1х - ^ + + ¿0) ^ ^ф + Ат\х 4т\х ) ' 1 "

и Ч = • Однако, как видно из рис. 2, для Z > 10 зависимость функции J(г,q) г

та для функции, которая характеризует зависимость поляризационного оператора Поо(г, q) от г

Е (в, Z) = |J(гEion, Ч = mZa)|.

При этом учитываем, что в атоме с атомным номером Z характерный импульс мю-она имеет порядок т^а. Как видно из рис. 2, в случае мюонного водорода

В(г) г

энергии ионизации Е^оп. Это означает, что в такой системе динамика является гамильтоновой и и может быть описана уравнением Шродингора с потенциалом

е2 Z

<Р2|^|Р1> =--- + (Р2\Уро1\Р1),

Ч2

где<р2|Урог |р1> - потенции Юлинга. В то же время для Z > 10 зависимость оператора В (г) от г в области |г| > Е1оп становится значительной. Это означает, что в случае таких атомных номеров динамика мюона в поле ядра но является гамильтоновой и, следовательно, не описывается уравненном Шродингора. В этом случае должны использовать обобщенное динамическое уравнение с нелокальным во времени оператором взаимодействия (14).

3. Лэмбовский сдвиг в мюонных атомах

Преимущество обобщенного динамического уравнения заключается в том, что оно позволяет учесть нелокалыгость во взаимодействии мюона с ядром при описании динамики мюона в поле ядра. Используя уравнение (14), можно описать динамику мюона в поле ядра. В частности, таким образом можно найти связанные состояния для данной системы, которые определяют состояния мюонного атома

и ого энергетические уровни. Однако эффекты поляризации вакуума, которые в операторе взаимодействия (14) описываются нелокальным оператором Бро1(г), могут рассматриваться как поправка к кулоновскому взаимодействию, несмотря на то. что в мюонных атомах вклад в Лэмбовский сдвиг от эффектов, связанных с поляризацией вакуума, имеет первостепенное значение (поэтому в данной работе другие эффекты, дающие вклад в сдвиг энергетических уровней, не рассматриваются). По этой причине можно начать с решения уравнения (7) с оператором взаимодействия

<р2|ВД|р1> = -^,

Ч2

который совпадает с решением уравнения Шродингора с кулоновским потенциалом

е

2г

Ы^сЫ = - 9 • Ч2

Связанные состояния мюона в кулоновском поле ядра и их энергии могут считаться «голыми» состояниями и энергетическими уровнями мюонного атома, когда частицы системы не взаимодействуют с электронным вакуумом. Для того чтобы определить свойства реальных мюонных атомов, должны рассмотреть взаимодействие «голых» атомов с вакуумом.

Т-матрица, определенная в (7), описывает не только взаимодействие между частицами системы, но и их собственную энергию. Это отражается в том, что Т-матрица содержит член, который имеет такую же структуру, как первый член в операторе эволюции (5), описывающий вклад в этот оператор от процессов, когда в

Т

лена в форме

ЫТ (г)|«1) = (п2|п1)^(г,п1) + (п2|Т '(г)| «1),

где ^(г,п1) - некоторая функция, описывающая собственную энергию частиц, и (п2|Т'(г)|п1) описывает вклад в Т-матрицу от процессов, когда существует взаимодействие, по крайней мере, между двумя частицами в системе. Так как в моментом базисе («21«1) есть произведение дельта-функции б3(р2 — Р1) для каждой из частиц в состоянии |«1), присутствие собственной энергии частиц в уравнении (7) ведет к тому, что оно оказывается расходящимся в физической области. Эта трудность, однако, может быть преодолена, используя преобразование [6], которое приводит к замене пропагатора

г \" ММ

п г Еп

описывающего эволюцию свободных частиц, пропагатором О(г), описывающим эволюцию частиц, взаимодействующих с вакуумом, и, соответственно, оператор Т(г) заменяете оператором М(г), который описывает процессы, когда существует взаимодействие, по крайней мере, между двумя частицами в системе. Операторы Т(г) и М(г) связаны следующим образом:

Оо

Пропагатор С(г) может быть представлен в форме [6]

О(г) = ]Г

г — Еп — С

Функция С(г,п) определяет физические массы частиц.

В терминах М

=

аг

где <П1|^Й(г)|п1> и <п2|.т(г)|п1> связаны с операторами М(г) и С(г) следующим образом:

.(г) = М (г)С(г)М (г).

Здесь первый член с правой стороны в уравнении (22) описывает «сингулярную» часть <П21.0(г)|п1>, содержащую <п2|п1>. Соответственно, из уравнений (8) и (19) следует, что граничные условия для уравнений (20) и (21) будут иметь вид

С

\г\—

где В^(г) и Вт (г) описывают, соответственно, «сингулярную» и «регулярную» части оператора взаимодействия

<П2|В(г)|п1> = <П2|П1><П1|ВЙ (г)|п1> + <П2|Вт (г)|п1>.

Используем эти уравнения для описания взаимодействия мюонного атома с вакуумом. Прежде всего, должны выбрать соответствующее пространство свободных состояний. В качестве такого пространства можу^ использовать Наз, построенный в базисе связанных состояний мюона в поле ядра и свободных состояний мюона и ядра. Другими словами, будем рассматривать состояния мюонного атома |т> как «свободные» состояния. Здесь т обозначает полный набор дискретных переменных, характеризующих состояние атома в целом. Эволюция атомного состояния |т> описывается выражением

где Ст(г) = С(г, п), когда состояние квантовой системы, определяемое п, тождественно состоянию |т>. При описании взаимодействий атома с электронным вакуумом также должны учитывать состояния, содержащие атомы и электронные пары. При проведении расчетов с точностью порядка а2 достаточно учитывать состояния только с одной элоктрон-позитронной парой. Такие состояния обозначим |т; р, в>, где р — импульс электрона в с.ц.м. (соответственно, —р — импульс позитрона) и в описывает спин электрона и позитрона. Будем считать электрон и позитрон реальными с физическими массами, включающими поправки, связанные с собственной энергией частиц. По этой причине не будем рассматривать поправки на собственную энергию, и тогда для <т2; р2,в2; р1? в1|С(г)|т1; р2,в2; р1,в1> можно записать

<т2; р2, в2; р1, в1|С(г)|т1; р2, в2; р1, «1> =

= ¿(р2 — р1)<т|С(г — ЕР1 — ЕР2 )|т> =

_ _¿3231 ¿(Р2 - Р1)('»г2|'»н)_

г — Ет 1 — ЕР1 — ЕР2 — Ст(г — Ер1 — Ер2 ) '

где Ер = \/т2е + |р|2. Здесь предполагаем, что вектора |р, в) нормированы как (Р1, «1|Р2, «2)-

Для рассматриваемой проблемы уравнение (21) принимает вид

сЮт1(г) = х ^ (ш1|М(д)|ш)(ш|М(д)|ш1) сЬ ^ -Ст(;))2

^хт^ [л [л

Р1' Р2 ^-Е^-Ер1-Ер2-Ст{,-Ер1-Ер2)г '

Здесь учтено, что для расчетов с точностью порядка а2 нет необходимости рассматривать состояния мюона, принадлежащие непрерывному спектру. Очевидно, (т2|М(г)|т1) может быть ненулевым только для переходов между состояниями с одинаковым полным угловым моментом 1, его проекцией и четностью. В водо-родоподобных атомах энергетические уровни лежат очень далеко друг от друга и, следовательно, их влияние друг на друга мало. Таким образом, для водородопо-добных атомов уравнение (24) может быть переписано в форме

^Ст(г) I 73

т

[ ¡3

] ' " Е°т1 - ЕР1 - ЕР2 - - ЕР1 - ЕР2)Г ' 1

Тогда решением уравнения (20) с точностью порядка а2 будет выражение

(т2; Р2,«2; Р1,Й1|М(г)|т1) = (т2; Р2,«2; Р1, в1|Б(г)|т1) =

=

(т2;р2, в2;Р1, в1|Я^|лн) = -J ^ (к2)^пц (к^ х

X «е(рь в1)7%е(р2, в2)(5(к2 + р2 + Р1 - к1).

Соответственно, для (т1|М(г)|т;Р2,в2;Р1,«1) получим

(т1 |М(г)|т; Р2,в2; Р1, «1) = (т1|Б(г)|т; Р2,«2; Р1, «1) =

=

"¿е1

(т1|Я^|т;р2, в2;Р1, «1) = - I-ГТг'е(Р2> «2)7°'ые(Р1, «О^пцш,,

,2 Г Г

л3. / й, „,.*

(п?-1 \Hj\m] р2, й2; р1, йх) = 1Р1|2 J J ^^Фт^^^Ф-пц^^х

~Р1\2

X ^е(р2, в2)7°г(е(рь «1 )<5(к2 - р2 - Р1 - кх).

Подстановка (26) и (27) в (25) приводит к

dCm(z) _ ^-л i з i з _1_

s 1 s 2

x ((m|HN|m; S2; Pi, si)(m; p2, S2; Pi, si|HJ|m) +

+

Здесь учТено, что из-за большой массы мюона вклад от членов, содержащих два оператора Hj , мал и им можно пренебречь. Решая это уравнение с граничным условием (23), получим функции Cm(z), которые могут быть использованы для вычисления энергетических уровней Em(z) мюонных атомов. Эти энергии определяются из уравнения

Em — Em — Cm(Em) = 0,

где AEm = Em — Em - лэмбовский сдвиг энергетических уровней.

Заключение

Было показано, что в мюонных атомах эффекты нслокальности во взаимодействии мюона с ядром, вызванные поляризацией электронного вакуума, могут быть значительными. Формализм обобщенной квантовой динамики позволяет учесть эту нолокалыгость при описании мюонных атомов. Была намечена стратегию вычисления вклада в лэмбовский сдвиг энергетических уровней обусловленного эффектами поляризации электронного вакуума. Для этого нужно решать уравнение (7) с оператором взаимодействия (18), который определяет «голые» состояния и энергетические уровни мюонных атомов. Это решение совпадает с решением уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом. Для больших атомных номеров Z для определения «голых» состояний должны использовать уравнение Дирака. Энергетические состояния и энергетические уровни могут быть получены из решения уравнений (20) и (21), которые описывают взаимодействие атома с электронным вакуумом. Уравнение (28) не учитывает эффектов, связанных с конечным размером ядра н, следовательно, может быть напрямую применимо только к описанию переходов, где эти эффекты малы, например, 3d — 2p. Для таких переходов основной поправкой к дираковской энергии является поляризация вакуума. С другой стороны, расположение уровня 1s чувствительно к распределению заряда в ядре. В этом случае нужно учесть эффекты, связанные с конечными размерами ядер, и, как было указано, мюонныо атомы используются для изучения электромагнитной структуры ядер. Например, радиус ядра R для единичного распределения может быть получен из сравнения экспериментальных данных с теоретическими расчетами для точечного ядра. Однако для такого определения радиуса ядра теория мюонного атома должна обеспечивать достаточную точность вычислений. Но в настоящее время существует расхождение между значениями радиуса ядра, полученными при помощи электронного рассеяния и мюонных атомов. Можно надеяться, что учет нслокальности во взаимодействии мюона с ядром сможет устранить это расхождение.

Summary

R.Kh. Gainuttlinov, A.S. Iyutlin, A.A. Mutygullina. Effects of the vacuum polarization in muonic atoms and nonlocalit.y of the interaction of a muon with nucleus.

The vacuum polarization effects in the muonic atoms are investigated within the framework of the generalized quantum dynamics. We show that the effect of nonlocalit.y in time of the

interaction of a muon wit.li a nuclei caused by the polarization 011 the properties of the muonic atoms can be very significant. New possibilities that the generalized quantum dynamics opens in the theory of the muonic atoms are discussed.

Литература

1. Kinoshita Т., Nio M. Sixth-order vacuum-polarization contribution to the lamb shift, of muonic hydrogen // Pliys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3240 3243.

2. Gainuttlinov R.Kh. Nonlocal interactions and quantum dynamics // J. Pliys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. P. 5657 5677.

3. Gainuttlinov R.Kh., Mutygullina A.A. Nonlocalit.y of the NN interaction in an effective field theory /,/ Pliys. Rev. C. 2002. V. 66, Art.. 014006.

4. Gainuttlinov R.Kh., Mutygullina A.A., Seheid W. Effects of nonlocalit.y in time of interactions of an atom with its surroundings 011 the broadening of spectral lines of atoms // Pliys. Lett. A. 2002. V. 306. P. 1 9.

5. Feynman R.P. Space - time approach to 11011-relat.ivist.ic quantum mechanics // Rev. Mod. Pliys. 1948. V. 20. P. 367: Feynman R.P., Hibbs A.R. Quantum Mechanics and Path Integrals. N. Y.: McGraw-Hill, 1965.

6. Гайиутдииов Р.Х. Естественное уширепие спектральных лилий мпогозарядпых ионов и проблема поверхностных расходимостей // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. С. 1600 1613.

Поступила в редакцию 12.09.05

Гайнутдинов Ренат Хамитович доктор физико-математических паук, профессор кафедры оптики и спектроскопии Казанского государственного университета. E-mail: Renat.Gainutdinoveksu.ru

Июдин Алексей Сергеевич магистрант кафедры оптики и спектроскопии Казанского государственного университета.

Мутыгуллина Айгуль Ахмадулловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей физики Казанского государственного университета. E-mail: Aigul.Mutygullina Qksu.ru