Поврежденность и разрушение: классические континуальные теории

УДК 539.3

Поврежденность и разрушение: классические континуальные теории

П.С. Волегов, Д.С. Грибов, П.В. Трусов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

В обзоре приводятся результаты исследований в рамках так называемой континуальной теории поврежденности, восходящей к работам Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова. В рамках таких моделей в структуру определяющих соотношений явным образом вводятся внутренние переменные (имеющие в общем случае различную математическую природу), описывающие неориентированное (при помощи скалярных параметров поврежденности) либо ориентированное (при помощи тензорных характеристик различного ранга) распределение повреждений в материале. Далее исходя из соображений механического или термодинамического характера вводится критерий разрушения. Следует отметить, что для ряда материалов (например композиционных) модели этого типа до сих пор являются наиболее часто используемыми при расчете конструкций на прочность. Поскольку возникновение и развитие поврежденности тесно связаны с локализацией деформации, рассматриваются постановки и методы исследования устойчивости процессов неупругого деформирования. Значительное внимание уделено анализу влияния на результаты исследования конечно-элементной сетки, особенностям алгоритмов, применяемых для решения подобных задач, возможностям использования нелокальных конститутивных моделей. К этому же классу работ отнесены исследования с применением градиентных моделей: для процессов формирования повреждений характерны резкие пространственные изменения кинематических и/или динамических характеристик, для описания которых требуется использование неклассических определяющих соотношений (градиентных, нелокальных, микроморфных континуумов).

Ключевые слова: обзор, поврежденность, разрушение, усталость, микроструктура, конструкционные материалы, мера по-врежденности, критерий разрушения

Damage and fracture: classical continuum theories

P.S. Volegov, D.S. Gribov, and P.V. Trusov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

This paper reports the results of research in the framework of the so-called continuum theory of damage which goes back to the works of Kachanov and Rabotnov. In these models, internal variables that generally have different mathematical structure are explicitly introduced to constitutive relations. The variables describe a non-oriented (using scalar damage parameters) or oriented (using different rank tensors) damage distribution in the material. Then, a fracture criterion is introduced based on mechanical or thermodynamic considerations. The models of this type are still most frequently used in the structural analysis of strength of some materials (e.g., composites). Since damage nucleation and growth are closely related to strain localization, consideration is given to formulations and methods for analyzing the stability of inelastic deformation processes. Special attention is given to the influence of finite element mesh on simulation results, to algorithms applied to solve such problems, and possibilities of using non-local constitutive models. This group of research works also includes studies that use gradient models, because damage formation is characterized by sharp spatial variations of kinematic and/or dynamic characteristics, which must be described using non-classical constitutive relations (gradient, non-local, micromorph continuum).

Keywords: review, damage, fracture, fatigue, microstructure, structural materials, damage measure, fracture criterion

1. Введение

Статья является частью обзора современных работ, посвященных экспериментальным и теоретическим методам и подходам к исследованию вопросов накопления поврежденности и разрушению кристалличе ских тел [1].

Для описания процессов накопления поврежденности в различных материалах (металлах, сплавах, геологи© Волегов П.С., Грибов Д.С., Трусов П.В., 2015

ческих породах, строительных материалах), начиная с 50-х годов XX века, интенсивно развивались модели, основанные на континуальном подходе. Обстоятельный обзор теорий, основанных на континуальном подходе, представлен в [2]. Обзор работ по макрофеноменоло-гическим теориям накопления поврежденности и разрушению, опубликованных в период с конца 50-х годов

XX века по 2008 г., содержится в [3]. Кратко описаны физические механизмы разрушения и эволюции по-врежденности. Основное внимание уделяется образованию и росту пор. Рассмотрены так называемые «микромеханические» модели зарождения, роста и коалесцен-ции пор канонической (цилиндрической, сферической, эллипсоидальной) формы. Полагается, что поры возникают в окрестностях жестких включений. Для решения использованы как аналитические, так и численные методы (методы конечных элементов) в упругой и упру-гопластической постановках. В упругопластической постановке использована теория течения с учетом влияния на сопротивление пластического деформирования по-врежденности. Обсуждаются различные соотношения для описания поверхности текучести, учитывающие вид напряженного состояния (за счет включения в выражение функции текучести первого инварианта тензора напряжений), анизотропии, наведенной пластической деформацией и процессом эволюции расположения, формы и размеров пор.

2. Макрофеноменологические модели поврежденности и разрушения

Одной из первых работ по макрофеноменологичес-ким теориям поврежденности является статья [4]. Отмечается, что вязкое разрушение материалов реализуется в большинстве случаев как достижение критической величины пористости, эволюция поврежденности реализуется как процесс увеличения размера и слияния пор. Полагается, что представительный объем можно рассматривать как совокупность ячеек, каждая из которых представляет собой каноническую область (круговой цилиндр, сферу) с аналогичной по форме полостью. Предметом исследования предлагаемой работы и является поведение такой ячейки при деформировании. Материал матрицы принимается идеальным жесткоплас-тическим. Тензоры напряжений и деформации скорости для ячейки в целом определяются осреднением соответствующих локальных полей по объему. Получены приближенные решения в скоростях перемещений задач для указанных выше канонических областей. С использованием экстремальных принципов, доказанных Дж. Бишопом и Р. Хиллом [5], получены верхние оценки для функции текучести ячеек, которая зависит от напряжения текучести матрицы, интенсивности напряжений, среднего напряжения и пористости.

В работе [4] не учитывается процесс образования пор и возможность их слияния, в связи с чем ее применимость ограничена определенным критическим значением пористости (порядка 0.15). В статье [6] предлагается модификация данной модели, свободная от указанных выше недостатков. Представительный объем материала описывается моделью упругопластического тела, скорость пластических деформаций определяется соотношениями теории пластического течения с ассо-

циированным законом. Вид функции текучести подобен полученному в [4], однако область применимости расширена до значения пористости, соответствующего разрушению. Скорость изменения пористости полагается равной сумме составляющих от скорости роста размеров пор и возникновения новых пор. Для каждой из составляющих используются феноменологические законы в терминах средних для представительного объема параметров (напряжений, скоростей пластических деформаций). Для численной реализации модели использован метод конечных элементов. При достижении пористости предельного значения соответствующий элемент исключается из ансамбля. Значительная часть статьи посвящена описанию и анализу результатов исследования деформирования и разрушения цилиндрического образца с внесенным начальным несовершенством формы, подвергаемого одноосному растяжению. Отмечается существенная чувствительность результатов к размерам и форме конечных элементов (особенно в области образования шейки и последующего разрушения). Показано, что зарождающаяся в центре образца макротрещина имеет форму пластинки, перпендикулярной оси растяжения. При приближении к поверхности образца трещина распространяется зигзагообразно. Следует отметить, что предлагаемая модификация в значительной мере использует основные положения модели [4], поэтому модели данного типа в литературе часто называются моделями GTN (Guгson-Tvergaard-Needleman).

К числу самых известных отечественных работ, посвященных континуальному описанию разрушения и поврежденности, безусловно, относятся работы Л.М. Ка-чанова [7] и Ю.Н. Работнова [8]. В силу схожести подходов к описанию поврежденности часто говорят о моделях поврежденности Качанова-Работнова. В основе подхода к описанию хрупкого (квазихрупкого) разрушения, разработанного в основополагающих работах Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова, лежит идея о возможности ввести некоторую абстрактную характеристику поврежденности (тензор 0-го, 1-го или 2-го ранга), описывающую процесс развития так называемых рассеянных повреждений (микропор, микротрещин) в материале в целом (хотя и отмечается различный характер межкристаллитного и внутризеренного разрушения). Важной особенностью меры, которую в дальнейшем использовали практически все исследователи, является ее безразмерность (и, следовательно, независимость от выбранных масштабов измерений характеристик напряженно-деформированного состояния материала). Если в модели Качанова такой параметр называется параметром сплошности, то в рамках модели Работнова аналогичный параметр имеет смысл относительного уменьшения эффективной площади сечения стержня при одноосном растяжении и, соответственно, имеет название «поврежденность». Отмечается случайный характер возникновения и развития повреждений, но оговарива-

ется, что в рамках предлагаемого подхода рассматривается случай непрерывного распределения повреждений по материалу. В классических работах [7, 8] рассмотрены простейшие случаи деформирования изотропных макрообразцов, записаны эволюционные уравнения для соответствующих параметров (сплошности и повреж-денности), определены моменты наступления разрушения, предложены методики определения материальных параметров в эволюционных уравнениях. Кроме того, предлагается принцип линейного суммирования повреждений, вводится понятие фронта разрушения в условиях неоднородного напряженно-деформированного состояния, сделаны попытки описать более сложные процессы деформирования: с учетом температуры и скорости деформации, в случае анизотропной среды, в случае сложного нагружения. В последнем случае делается попытка обобщения скалярного параметра сплош-ности/поврежденности на случай векторзначной функции сплошности/поврежденности.

Рассмотренные работы породили целое направление исследований, основные результаты которых заключались в уточнении и усложнении предложенных Л.М. Ка-чановым и Ю.Н. Работновым эволюционных уравнений для сплошности/поврежденности. В [9] приводится ряд моделей накопления поврежденности ю при одноосном нагружении, в которых явно прослеживаются «родовые черты» классических моделей Качанова-Работнова (табл. 1). В таблице 1 ю — мера поврежденности; С, т, q, в — параметры материала; ^(ст) — некоторая функция напряжений ст; АК = Ктах - К(Ь, Ктах, К(Ь — максимальное и пороговое значение коэффициента интенсивности напряжений при циклическом нагружении; Аст = сттах - ст(Ь, сттах, ст(Ь — максимальное и пороговое значение напряжений. Последние два соотношения, приведенные в табл. 1, их авторы предлагают использовать при описании процессов накопления поврежден-ности при усталостном разрушении. Отмечается, что существуют некоторые пороговые значения напряжений (коэффициента интенсивности напряжений), до достижения которых не происходит рост усталостных трещин. Другим важным отличием этих моделей является традиционный для исследования усталостной прочности переход от анализа временных зависимостей к анализу изменения поврежденности от количества циклов нагружения. Кратко анализируя соотношения, приведенные в табл. 1, можно отметить ряд их существенных недостатков. Во-первых, все приведенные соотношения первоначально формулируются (и физически обосновываются) для случая одноосного нагружения. В связи с этим актуальным остается вопрос о способе перехода к описанию поврежденности при трехмерном напряженно-деформированном состоянии. Иначе говоря, в таких соотношениях не учитывается вид напряженно-деформированного состояния. Во-вторых, в приведен-

Таблица 1

Модели накопления повреждений при ползучести и усталости при одноосном нагружении

Уравнение Автор

Аю = с ( ст Т Аг 1 ( 1 -(^ Л.М. Качанов [7]

Аю = С2 Г ° I юв Аг 2 ^ 1 -ю) Ю.Н. Работнов [8]

Аю с ( 0 Т 1 Аг 3 (1 -(^ 1 -ю? J. Lemaitre [10]

Аю = с ( ст Т Г 1 )п(а) Аг 4(1 -юJ [ 1 -ю) В.П. Голуб, А.В. Романов [11]

¿(1 -ю„) с Ап Сы ( Аст ) 1 -юп V У тс Л.А. Сосновский [9]

¿(1 -юп) = с Ап К ( АК 1 -юп V / тК Л.А. Сосновский [9]

ных соотношениях размерность параметра С1 зависит от показателя степени т, что приводит к трудностям установления его физического смысла. В-третьих, сами авторы этих соотношений отмечают, что материальные параметры, входящие в состав эволюционных уравнений для поврежденности, являются скорее материальными функциями, и, следовательно, необходимо дополнительно обсуждать структуру этих функций. Характерным примером использования классического подхода Качанова-Работнова может служить работа [12], в которой при помощи скалярного параметра поврежден-ности описывается процесс накопления повреждений и перехода к разрушению элементов турбин гидроэлектростанций.

Отдельное внимание в рамках обзора уделено работам, в которых скалярный параметр поврежденности имеет трактовку, отличную от ранее приведенных. Так, например, в работе [13] для материалов без упрочняющейся стадии ползучести предлагается подход к описанию процессов деформирования вплоть до разрушения с использованием кинетических уравнений со скалярным параметром поврежденности ю = е/е*, 0 <ю < 1, где е — накопленная деформация; е* — деформация разрушения материала (вообще говоря, зависящая от условий нагружения, однако для определенных классов процессов нагружения принимаемая постоянной). Установлено, что падение напряжений на ст-е-диаграмме, полученной для постоянной скорости деформации е, начинается при деформациях, соответствующих переходу материала в третью, разупрочняющуюся стадию ползучести с той же величиной скорости деформации

£ о на установившемся участке при а = const. Развитием этой работы является статья [14], в которой на основе установленного из эксперимента геометрического подобия кривых ползучести при постоянных напряжениях и температурах в нормированных переменных ю = = е/е*, т = t/t* (т.е. в отнесенных текущих значениях деформаций е и времени t соответственно к деформациям е* и времени t* в момент разрушения) формулируются эволюционные уравнения для параметра по-врежденности и так называемой удельной работы рассеяния при разрушении для случая упрочняющихся материалов. Приводятся результаты расчетов зависимости «напряжение - деформация» и времени разрушения при деформировании круглых стержней из титанового сплава 3В при комнатной температуре, показывающие хорошее согласование с экспериментальными данными.

А.А. Ильюшин рассмотрел общую схему построения теории длительной прочности [15], во многом похожую на предлагаемую в подходе Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова. Вводится повреждение П (тензор второго ранга), характеризующее накопление повреждений, которое считается функцией состояния макрочастицы и, согласно принципу макроскопической определимости, однозначно определяется процессом нагру-жения, т.е. тензором напряжений с компонентами а^ (и, вообще говоря, моментами различных порядков) и температурой T(t). А.А. Ильюшиным предложены конкретные варианты теории накопления повреждений с использованием симметричного тензора повреждений второго порядка и различных мер повреждений для одного и того же материала. Одним из вариантов построения тензора поврежденности является подход, предложенный в [16]: поврежденность описывается тензором-девиатором второго ранга А, которому в пространстве деформаций Ильюшина ставится в соответствие вектор П с компонентами

П (t) = \ A (T (т), k (т), v(x))v j dx,

о

где v j (т) — компоненты вектора скорости деформаций; Aj — экспериментально определяемые функции (вместо функций Aj в соотношение могут входить соответствующие функционалы истории нагружения); к— показатель вида напряженного состояния (отношение гидростатического давления к интенсивности напряжений). В качестве одной из мер накопленной пластической деформации принимается pu = |п|, тогда исчерпанию ресурса пластичности соответствует условие Pu = 1.

С точки зрения общих подходов к построению критериев разрушения предполагается, что существуют неотрицательные меры повреждений M j (П), j = 1, m. Физический смысл этих мер соответствует тому или иному известному макромеханизму разрушения. Раз-

рушение происходит, если для какого-нибудь j = k Mk (П) = ck, где ck — константы материала.

В работах В.П. Тамужа с соавторами [17, 18] состояние поврежденности в окрестности материальной точки характеризуется распределением дефектов — микротрещин на малой сфере, окружающей данную точку; вводится соответствующая функция на сфере. При этом предполагается, что в рассматриваемом материале не наблюдается больших пластических деформаций или деформаций ползучести (что в целом соответствует рабочим режимам эксплуатации конструкций из полимерных и композиционных материалов). Для феноменологического описания поврежденного состояния и процесса разрушения формулируются некоторые гипотезы. Bo-первых, принимается, что во время циклического нагружения или нагружения с постоянной нагрузкой возникают разрывы между отдельными частицами материала, приводящие к потере его несущей способности. Однородное внешнее напряженное состояние вызывает однородное состояние разрушенности—так называемое дисперсное разрушение. Распространение магистральных трещин не рассматривается. Во-вторых, для характеристики поврежденности материала в некоторой точке при сложном напряженном состоянии в окрестности этой точки выделяется сфера. Принимается, что каждое повреждение имеет размер и ориентацию (например, микротрещина характеризуется площадью и направлением нормали). Выбирается некоторое направление и вокруг него — бесконечно малый пространственный угол dQ. Количество дефектов, ориентированных в пределах этого угла в единице объема, обозначается ndQ. Теперь, если проинтегрировать по всем направления, можно охарактеризовать состояние поврежденности в окрестности данной точки функцией П на сфере. Например, для разрушения, развивающегося только в одном направлении, соответствующей функцией на сфере является дельта-функция. Если повреждение развивается во всех направлениях одинаково, то П = const и т.д. В-третьих, критерием разрушения предлагается считать момент достижения некоторым инвариантом П критической величины, которую при соответствующей нормировке можно принять равной единице. Скорость изменения функции П определяется значениями компонент тензора напряжений в данной точке и текущим значением П, предлагается конкретный вид эволюционных уравнений для П в случае линейно-упругих полимерных материалов, направленных композитов и стеклопластиков.

В работе С.К. Канауна и А.И. Чудновского [19] накопление рассеянных микродефектов моделируется ростом в материале включений с другими (деградирующими) упругими свойствами. Можно определить упругие характеристики такой композитной среды в зависимости от концентрации p включений (которая и вы-

ступает в качестве меры поврежденности) и от упругих свойств основного материала и включений. Исходя из соотношений термодинамики необратимых процессов, выводится кинетическое уравнение для функции р: скорость изменения параметра определяется инвариантами напряжений, упругими характеристиками включений и матрицы (основного элемента) и набором в общем случае тензорзначных материальных функций. Приводятся примеры применения данного подхода к описанию разрушения в условиях ползучести, малоцикловой усталости, заявляется о возможности учета влияния сложного нагружения (тем не менее, ни в цитируемой работе, ни в последующих не удалось обнаружить сколь-нибудь убедительного обоснования возможности учета сложности нагружения единственным скалярным параметром).

В качестве основы для построения критерия разрушения А.И. Чудновский выдвинул концепцию критического значения энтропии, характерного для данного материала. Это предположение использовано в работе Д.А. Киялбаева и А.И. Чудновского [20]. На основе анализа аналогии между разрушением и плавлением и известных эмпирических законов плавления авторы формулируют следующее предположение: локальному разрушению соответствует достижение плотностью энтропии некоторого критического значения s*, являющегося характеристикой материала. Авторы указывают, что если предполагать адиабатичность процесса, то скорость возрастания энтропии связана прежде всего с диссипацией механической энергии — мощностью работы на деформациях ползучести (а через последние — с реологическими свойствами материала). Отмечается, что внешними источниками энтропии можно в большинстве случаев пренебречь и процессы идеально-упругого деформирования не вызывают роста энтропии среды, так что внутренний источник энтропии при отсутствии других факторов связан лишь со скоростью необратимой деформации. Иначе говоря, речь идет о накопленной диссипируемой энергии. Тем самым накопление повреждений связывается с деформационными характеристиками, т.е. носит «вязкий» характер. Эта схема позволяет теоретически получить принимаемый ранее как постулат закон линейного суммирования повреждений и подтвердить ряд найденных ранее эмпирических зависимостей. Также в работе предлагается обобщение предложенной схемы и для случая трехмерного напряженного состояния.

В работе [21] предлагается кинетическое уравнение накопления повреждений, на основе которого рассмотрены процессы нелинейного накопления повреждений. Для определения материальных функций, отвечающих за разрушение, предложены базовый эксперимент и метод идентификации. Приведены материальные функции для нержавеющей стали SS304. Исследованы процессы упругопластического деформирования нержавеющей

стали SS304 при нестационарных жестких режимах циклического нагружения при блочном изменении амплитуды и средней деформации цикла. Результаты расчетов показывают, что с уменьшением размаха деформации нелинейность процесса накопления повреждений возрастает, а с увеличением размаха деформации процесс накопления повреждений стремится к линейному. Наблюдается существенное отклонение от правила линейного суммирования повреждений при удовлетворительном соответствии результатов расчетов и экспериментов. К существенно новым результатам авторы работы относят, в первую очередь, построение на основе эволюционных уравнений для трех типов микронапряжений теории пластического течения при комбинированном упрочнении и кинетических уравнений накопления повреждений.

Отдельного внимания заслуживают попытки введения меры поврежденности как тензорной величины 2-го или 4-го ранга. Такие работы появились практически сразу же после введения Л.М. Качановым и Ю.Н. Ра-ботновым скалярных мер сплошности/поврежденности, и первые исследования в этом направлении касались попыток обобщения введенных скалярных мер на случай учета геометрически неоднородного распределения микроповреждений в различных направлениях образца. В работе [22] развивается так называемый геометрический подход механики поврежденности, в котором на основе представления об эквивалентной конфигурации континуума как совокупности элементов, повреж-денность которых некоторым воображаемым образом устранена (путем изменения их размера), приводится определение новой тензорной меры анизотропной по-врежденности (симметричного тензора поврежденнос-ти второго ранга). В работе [23], значительная часть которой посвящена анализу и обобщению упомянутого выше подхода к описанию поврежденности, отмечается, что поврежденность чаще всего носит ярко выраженный анизотропный характер, что доказывают многочисленные эксперименты по исследованию хрупкой по-врежденности, а также возникновению и развитию микроповреждений при ползучести. Первоначально вводится так называемая эквивалентная конфигурация континуума с внутренним распределением повреждений, для этого рассматривается континуум с непрерывным распределением повреждений в текущем деформированном состоянии. Следуя подходу Ю.Н. Работнова и обобщая понятие поврежденности как уменьшение эффективной площади сечения образца в случае одноосного растяжения, принимается, что вследствие трехмерного распределения микродефектов несущая нагрузку площадь плоского элемента, выбранного произвольно внутри объемного элемента dт, будет меньше геометрической площади этого элемента. Поэтому поврежденный плоский элемент можно заменить на неповрежденный элемент с сокращенными геометрическими размерами

и считать оба элемента эквивалентными. Показано, что такую процедуру можно проделать с любым плоским элементом внутри объемного элемента dт. Как следствие, вводится фиктивная дисторсия поврежденного элемента G, которая определяет искажение геометрии поврежденного элемента при описанной выше трансформации его в эквивалентный неповрежденный элемент. Далее показывается, что на основе введенного тензора дисторсии поврежденного элемента можно построить симметричный тензор второго ранга D, который автор и называет тензором поврежденности. Для введенного тензора поврежденности делается попытка установления физического смысла его компонент, а также его главных значений. Отмечается, что компоненты тензора поврежденности характеризуют относительное изменение эффективной площади произвольного сечения в материале. Соответственно, тензор D полностью определяет ориентацию и площадь эквивалентного неповрежденного элемента и в принципе может быть принят в качестве тензорной меры поврежденности. В работе приводится решение ряда совместных (пластичность-поврежденность) задач о деформировании образцов, имеющих хорошее согласование с ранее полученными решениями и с экспериментальными данными.

Еще одной попыткой обобщения классического подхода Качанова-Работнова на случай тензорзначной меры поврежденности является подход, развиваемый, например, в [24]. Использованы две меры, одна из которых определяет поврежденность, связанную с ростом объемной фракции пор (пластической дилатансии) и соответствующую параметру Качанова-Работнова, а другая определяет изменение формы дефектов. Отмечено, что нулевые значения этих параметров означают исходное состояние металла после рекристаллизационного отжига. Достижение вторым параметром поврежден-ности значения единицы соответствует стадии микроразрушения мезоструктуры, а единичное значение первого параметра говорит о макроразрушении деформируемого материала. Приведена методика экспериментального определения материальных функций, входящих в дифференциальные уравнения, описывающие кинетику деформационной поврежденности материала. Утверждается, что тензорная мера поврежденности позволяет учитывать пространственное распределение дефектов произвольной формы. Предложенный подход тензорной теории поврежденности с учетом изменения объема и формы дефектов в виде пор применяется при моделировании ряда процессов обработки металлов давлением.

Отдельно необходимо отметить ряд работ Ю.В. Со-колкина с соавторами, результаты которых обобщены в монографии [25], посвященных актуальной проблеме описания процессов накопления поврежденности и перехода к разрушению композиционных материалов. От-

мечается, что анализ деформирования и разрушения композитов включает в себя описание изменения деформационных свойств и накопления повреждений в компонентах композитов, предшествующих макроразрушению. При этом в работе применяется подход, согласно которому функция поврежденности явным образом входит в определяющие соотношения, а критерием разрушения (или появления критических напряженных состояний) являются условия достижения некоторыми инвариантными мерами функции поврежденности своих критических значений. Рассмотрены определяющие соотношения, описывающие деформирование анизотропных (в частности ортотропных, трансверсально-изо-тропных и изотропных сред), построенные с использованием тензора поврежденности четвертого ранга, характеризующего, по сути, изменение эффективных упругих свойств композита при накоплении в последнем различного вида повреждений. При этом использована теория пластичности анизотропных сред, предложенная Б.Е. Победрей [26, 27]. Bce процессы, приводящие к изменению свойств материала, описываются в рассматриваемой модели с помощью тензора-оператора по-врежденности О, компоненты которого однозначно определяются процессом деформирования (нагружения). Это означает, что в общем случае тензор напряжений в любой момент времени может быть определен, если известны значения тензора деформаций во все предшествующие времена. В случае когда для определения напряжений достаточно знания деформаций только в настоящий момент времени, тензор О является функцией. Отмечается, что зависимость свойств материала от температуры или других факторов также может быть учтена с помощью тензора поврежденности. Приводятся выражения для тензора О в случае упругопластического деформирования изотропного, трансверсально-изотроп-ного и ортотропного материалов, в каждом случае обсуждаются количество и способы определения материальных констант, входящих в уравнение для О. При формулировке критерия разрушения авторы придерживаются методологии, предложенной A.A. Ильюшиным [15] и упомянутой выше: предполагается, что некоторые меры тензора поврежденности Mn (О), называемые мерами повреждений и являющиеся функциями компонент О, могут быть использованы для построения критериев разрушения изотропных и анизотропных материалов. Далее авторы указывают, что существуют такие константы критической поврежденности материала Q*, что если для любого n выполняется Mn (О) < Q*, то частица не разрушена, а если для некоторого n = к выполнится Mk (О) > Q*, то происходит разрушение «типа к». Значительная часть цитируемой работы посвящена формулировке и обсуждению таких критериев разрушения для различных типов сред. Интересным приложением рассмотренной методики является работа [28],

посвященная исследованию влияния геометрии и свойств железобетона на распределения независимых инвариантов тензора напряжений в поперечных сечениях железобетонных крепей сферических подземных выработок и окружающем массиве осадочных пород и механизмам разрушения крепей.

Несколько в стороне от рассмотренных выше работ находится направление в теории поврежденности и разрушения, развиваемое О.Б. Наймарком и его коллегами [29]. В цитируемой статье приводятся характерные типы переходов в дислокационных субструктурах при продолжающемся деформировании и характерные плотности этих субструктур, отмечается универсальность в поведении ансамблей дефектов и коллективный характер их поведения. В частности, утверждается: «экспериментально установлено, что увеличение плотности дислокаций при деформации сопровождается формированием дислокационных субструктур, последовательность которых имеет достаточно регулярный характер. Подобный сценарий наблюдается при активной деформации, усталостном, динамическом и ударно-волновом нагружениях». Особое внимание уделяется оценке энергии формирующихся ансамблей дефектов на различных масштабных уровнях и возможности их статистического описания. Выделяется особый тип ансамблей субдислокационных дефектов — микротрещины, приводится выражение для собственной энергии такого дефекта. В части описания поврежденности вводятся два аналога тензоров дислокационной плотности: симметричные тензоры второго ранга, описывающие дискообразные микротрещины и микросдвиги. Статистическое осреднение этих микропараметров дает макроскопический тензор плотности дефектов, который в дальнейшем явным образом входит в определяющие соотношения в качестве деформации, обусловленной дефектами. Далее записано выражение для свободной энергии среды с дефектами, при этом анализ поведения материалов в зависимости от плотности дефектов позволяет выделить три характерных режима поведения ансамбля дефектов в зависимости от приложенной нагрузки. Переход от одного режима к другому осуществляется в зависимости от значения безразмерного параметра, называемого «параметром структурного скейлинга» и пропорционального отношению характерного расстояния между дефектами к характерному размеру самих дефектов. Полная система уравнений модели для описания деформирования среды с мезодефектами включает в себя определяющее соотношение (закон Гука с учетом деформации, обусловленной дефектами), а также эволюционные и замыкающие уравнения для внутренних переменных (скорость пластической деформации, скорость деформации, обусловленной дефектами, параметр структурного скейлинга, температура и т.д.). Авторы работ [30-33] отмечают универсальность предложенной методики при описании разрушения в широком диапазо-

не материалов (металлы, сплавы, горные породы) и скоростей воздействий. Несмотря на вышесказанное, следует отметить и некоторые недостатки рассматриваемых моделей: в первую очередь это неучет в явном виде микроструктуры материала, характерных механизмов его неупругого деформирования в различных условиях нагружения, в случае применения моделей для описания неупругого поведения монокристаллов — неучет анизотропии упругих характеристик. Эти перечисленные недостатки, на взгляд авторов настоящего обзора, существенно ограничивают возможности применения модели при описании реальных процессов деформирования моно- и поликристаллов.

В [34] для определения параметра поврежденности вводится понятие эффективной «площади сопротивления», которая для любой площадки, мысленно построенной в материале, определяется не только площадью, приходящейся на поры, трещины и т.д., но и вносимыми дефектами — концентраторами напряжений. Иначе говоря, эта площадь составляет часть неповрежденной площади. Эффективный вектор напряжений определяется вектором усилия, действующим на площадку, деленным на эффективную «площадь сопротивления». По эффективному вектору напряжений устанавливается эффективный тензор напряжений. Принимается гипотеза об изотропии поврежденности и упругопластических свойств материала, что позволило поврежденность в каждой точке материала определить скалярным параметром D. Для формулировки соотношений конститутивной модели использован термодинамический подход. Получено эволюционное уравнение для параметра поврежденности, отмечается существенное влияние на поврежденность параметра трехосности нагружения Т. Из полученных соотношений следует, что изменение скалярного параметра поврежденности может быть определено по измеряемым значениям модуля упругости на разных стадиях поврежденности. Приведены результаты для коммерчески чистой (99.9 %) меди.

Феноменологическая модель накопления повреж-денности и разрушения, ориентированная на анализ межзеренных взаимодействий, предлагается в [35]. Границы зерен рассматриваются как области конечной (малой) толщины, описываемые моделью изотропного уп-ругопластического тела с изотропным и кинематическим упрочнением и поврежденностью. Поля перемещений в этих областях аппроксимируются линейными функциями нормальной к границе координаты. Для области межзеренной границы используется так называемая «нестандартная модель диссипативного материала», определяющие соотношения которого формулируются на основе термодинамического подхода. В выражениях свободной энергии и диссипативной функции учтены поврежденность, линейные законы изотропного и кинематического упрочнения материала. Для реализации предлагаемой модели применен метод конечных эле-

ментов (в плоской постановке). Анализируемая область погружена в матрицу с эффективными изотропными свойствами; для воспроизведения зеренной структуры использован метод многогранников Вороного. Приведены результаты численных экспериментов для монотонного и циклического одноосного нагружения при варьировании числа зерен в исследуемой области, толщины межзеренной области и ее свойств. Отмечается, что материал в целом становится тем более склонным к хрупкому разрушению, чем меньшими выбираются значения начального предела текучести и модуля повреждаемости межзеренной области.

Континуальная модель поврежденности, основанная на анализе поведения микротрещин в квазихрупких материалах (типа горных пород), предложена в [36]. В качестве меры поврежденности используется двухвалентный тензор, определяемый плотностью микротрещин, умноженный на диаду из нормалей к их поверхности. В отличие от многих других работ, модель учитывает возможность закрытия трещин и относительное скольжение ее берегов, подчиняющееся закону трения Кулона. Вывод эволюционного уравнения для поврежден-ности основан на термодинамическом подходе. Для численной реализации модели применен метод конечных элементов. Приведены результаты расчетов для случаев простого и сложного нагружения, показано их удовлетворительное соответствие экспериментальным данным.

Как отмечается в [37], зарождение и распространение трещин в кристаллах осуществляется по определенным кристаллографическим плоскостям, в связи с чем разрушение изделий из поликристаллических материалов существенно зависит от текстуры, приобретаемой в процессе изготовления, и ее ориентации по отношению к осям нагружения. В то же время идеальная текстура, используемая в теоретических расчетах, в реальных технологических процессах не получается, имеет место некоторая «размытость», зависящая, в первую очередь, от степени деформации, достигаемой при изготовлении. Для оценки неустойчивости зародыша (начала распространения) трещины отрыва использован силовой критерий (достижение нормальным к плоскости залегания микротрещины напряжением критического значения). В качестве параметра, характеризующего прочностную анизотропию материала, используется отношение критических напряжений в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Для поликристаллического образца использована гипотеза «слабейшего звена», согласно которой трещины распространяются в кристаллографических плоскостях, наиболее благоприятно ориентированных относительно оси растяжения (при одноосных испытаниях). Поскольку возникновение и распространение трещин осуществляется во вполне определенных (для каждого типа решетки) кристаллографических плоскостях, появляющаяся при обработке материала текстура имеет следствием анизотропию

прочностных свойств. В процессах обработки металлов давлением обычно выделяются определенные «идеальные» текстуры, характеризуемые углами преимущественных ориентаций кристаллитов по отношению к характерным осям обработки. Как отмечено выше, в реальных процессах обработки идеальной текстуры не получается, ориентации кристаллитов распределены по некоторому статистическому закону; в рассматриваемой работе принято гауссово распределение. «Размывание» идеальной текстуры ведет к уменьшению прочностной анизотропии. В статье предложены оценки для определения прочностной анизотропии при наличии «размытой» текстуры.

В [10] рассматривается конечно-элементная модель, основанная на теории пластического течения применительно к анализу межкристаллитного разрушения образцов из поликристаллического крупнозернистого (со средним размером зерна 2 мм) алюминия. Задача поставлена в предположении реализации плоскодеформи-рованного состояния, сечения всех зерен имеют одинаковые размеры и форму правильных шестиугольников. Проанализированы образцы с отличающейся в два раза толщиной, нагружение — одноосное растяжение. Материал принимается упругопластическим с двумя участками линейного упрочнения в пластической области. Для границ зерен используются специальные элементы, материал в которых принимается упруго-идеально пластическим с исчерпанием несущей способности при достижении предписанной деформации. Предполагается, что границы зерен делятся на два типа: специальные и общие. Для первых прочностные характеристики в два раза выше, чем для границ общего типа. Расположение различных типов границ принимается случайным, с постепенным увеличением доли границ общего типа. Результаты большой серии вычислений позволили выявить три стадии изменения прочности образцов в зависимости от доли границ общего типа: на начальной стадии происходит резкое падение предельного напряжения, затем имеет место стабилизация, на финальной стадии опять наблюдается падение прочности. Показано также, что удельная энергия разрушения уменьшается с уменьшением толщины образцов.

В [38] для исследования эволюции поврежденности и разрушения применяется метод конечных элементов в двумерной постановке, материал полагается изотропным упругим телом, нагружение — одноосное растяжение. Рассматриваются случаи межзеренного разрушения компактного двухфазного материала и материала, содержащего поры. Возникновение трещины устанавливается с использованием энергетического критерия Гриффитса. Основное внимание уделено влиянию (случайной) микроструктуры на процесс разрушения, в том числе формы и размеров пор. Показано также влияние масштабного фактора (размера образца) на критическую нагрузку.

Различные подходы к определению эффективных свойств представительного объема материалов, содержащих неоднородности различной природы и геометрии (включения вторичной фазы, поры, трещины и т.д.), рассмотрены в [39]. Наиболее рациональным авторы считают подход, названный ими «микромеханическим», основанный на рассмотрении одиночных включений (Эшелби, Кренер и др.). Другой подход, называемый методом «генерирующих тензоров», основанный на априори вводимых тензорных (различного ранга) параметрах, характеризующих микроструктуру, с дальнейшим использованием теории тензорных функций и сим-метрийных свойств материала. Отмечается также, что с развитием вычислительной техники и численных методов все большее значение приобретает прямое моделирование представительного макрообъема, учитывающего реальную микроструктуру. Рассматриваются вопросы оценки влияния геометрических особенностей микроструктуры (формы и ориентации включений) на различные свойства (упругие и прочностные характеристики, параметры, описывающие проницаемость и электропроводность и т.д.).

Макрофеноменологическая модель поврежденности для упругих материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию (например бетон), рассматривается в [40]. Для вывода определяющих уравнений применяется термодинамический подход. В качестве меры по-врежденности используется тензор 2-го ранга. Принимается, что мера поврежденности пропорциональна положительной части тензора деформаций (записанного в терминах главных векторов и значений). Сформулированы локальный и нелокальный критерии хрупкого разрушения для рассматриваемого класса материалов. Значительное внимание уделено численной процедуре реализации модели, встраиваемой в коммерческий конечно-элементный пакет. Приведены примеры решения тестовой задачи, для которой имеются экспериментальные данные, а также задачи исследования предварительно напряженной железобетонной конструкции; показана адекватность предлагаемой модели. Применение данной модели к решению проблемы локализации деформации и поврежденности рассмотрено в [41].

В большинстве теорий пластичности полагается, что влиянием первого инварианта тензора и третьего инварианта девиатора напряжений на пластическое деформирование можно пренебречь. Однако для некоторых металлов и сплавов эксперименты обнаруживают зависимость функции текучести от указанных параметров. В [42] предлагается модификация теории пластического течения для изотропных (и с изотропным упрочнением), пластически несжимаемых упругопластических материалов. Предлагается выражение для уравнения поверхности текучести, включающее зависимость от первого инварианта тензора напряжений и от угла вида напряженного состояния (угла Лоде), в связи с чем в функции

текучести появляются дополнительные (по отношению к классической теории) 6 параметров. Значительная часть статьи посвящена обсуждению процедуры идентификации предлагаемой модификации, для которой используются имеющиеся в литературе и авторские экспериментальные данные. Для получения результатов при различных значениях введенных параметров используются образцы различной геометрии (гладкие цилиндрические, цилиндрические с выточкой различного радиуса, плоские с выточкой, плоские двутавровой формы («бабочки»)), подвергаемые различным видам нагруже-ния (растяжение, сжатие, сдвиг).

В то же время из экспериментов известно, что процессы накопления поврежденности и разрушения практически для всех материалов существенно зависят от параметра трехосности Т и угла вида девиатора напряжений. По аналогии с модификацией теории пластичности авторами предлагается построение поверхности предельных накопленных пластических деформаций, зависящей от указанных параметров. Для идентификации модели используются такой же набор испытаний, как и для функции текучести.

В [43] предлагается рассматривать параметр по-врежденности (пористость) как сумму влияющих друг на друга параметров, характеризующих поврежден-ность по различным физическим механизмам деформирования (скольжение и переползание дислокаций, диффузия точечных дефектов). Каждому из механизмов соответствуют свои характеристики изотропного и кинематического упрочнения. Для описания напряженного состояния вводится эффективное напряжение (скалярная характеристика), зависящее от текущей повреж-денности, интенсивности и первого инварианта тензора напряжений. Построение определяющих и эволюционных уравнений осуществлено на основе термодинамического подхода. Для реализации модели использован метод конечных элементов, приведены примеры ее применения.

В [44] приведено описание и результаты применения к анализу разрушения при изгибе листовых образцов «двухмасштабной» модели. Материал образцов — алюминиевый сплав с включениями частиц жесткой фазы FeALc (содержание Fe — 0.21 %), алюминиевая матрица принимается упругопластическим изотропным телом, частицы включений — изотропными нелинейно упругими телами. Задача поставлена в предположении реализации плоскодеформированного состояния. На первом этапе из решения задачи на макроуровне выделяется область наибольших интенсивностей деформации, которая затем исследуется с применением сетки с существенно меньшими (в 20 раз) размерами. Для материала матрицы используется критерий разрушения по предельным сдвиговым деформациям, для частиц включений расчеты проведены для двух критериев — по сдвиговым деформациям и по критическим гидроста-

тическим напряжениям. Основное внимание уделено влиянию на разрушение закона распределения частиц в матрице. Исследованы случаи полностью случайного расположения включений и при образовании последними (в различных долях — 20, 40, 60, 80 и 100 %) стержнеобразных конфигураций. Показано, что листы с однородным случайным распределением частиц демонстрируют большую изгибную прочность.

Детальное изложение алгоритма применения термодинамического подхода к построению конститутивных моделей термоупруговязкопластических материалов с поврежденностью содержится в [45]. Поврежденность вводится в качестве внутренней переменной. Рассматриваются варианты использования скалярного и тензорных (2-го и 4-го рангов) параметров поврежденности. Значительное внимание уделяется изотропному варианту со скалярным параметром поврежденности. Приведены эволюционные уравнения для последнего в случае вязкого и усталостного разрушения, накопления по-врежденности в условиях ползучести. Рассматривается процедура идентификации конститутивной модели, приведены используемые для этого экспериментальные данные. Для решения конкретных задач конститутивная модель «встраивается» в метод конечных элементов, для построения разрешающих соотношений последнего предлагается вариационный принцип в нескольких формулировках. Приведен алгоритм реализации модели, обсуждаются численные аспекты (влияние на точность и сходимость результатов используемой схемы интегрирования, конечно-элементной сетки). Приведены примеры применения предлагаемой конститутивной модели.

Краткий обзор теорий разрушения и соотношений для определения критического напряжения, начиная с работ Г.Р. Ирвина, представлен в [46]. Приведены результаты расчетов некоторых характеристик разрушения с использованием различным теорий, исследуется вязкохрупкий переход (характера разрушения), представлены соответствующие экспериментальные данные. Особое внимание уделяется теориям, учитывающим пластическое деформирование за счет движения дислокаций в окрестности вершины трещины на различных стадиях зарождения и распространения трещины.

Рассмотрению теории пластического течения для анизотропного материала с учетом поврежденности, основанной на неассоциированном законе течения, посвящена статья [47]. Анизотропия материала учитывается введением анизотропной функции текучести и/или обобщенного («неквадратичного») эффективного напряжения. Поврежденность материала описывается скалярным параметром, для которого приведено эволюционное уравнение. Для построения определяющих соотношений используется формализм линейной необратимой термодинамики. Модель ориентирована на рас-

смотрение интенсивных неупругих деформаций (больших градиентов перемещений). Учет геометрической нелинейности осуществлен за счет выбора различных не зависящих от выбора системы отсчета производных (Яуманна, Грина-Нагхди и др.) в определяющем соотношении. Для качественного анализа различных вариантов конститутивной модели решен ряд тестовых задач (растяжение стержней постоянного и переменного сечений, простой сдвиг, штамповка цилиндра из круговой листовой заготовки), для части из которых проведено сопоставление с экспериментальными данными.

В [46] предлагается основанная на термодинамическом подходе макрофеноменологическая модель для описания термоупругопластического деформирования с учетом поврежденности материала. Особое внимание уделяется рассмотрению кинематики, в основу которого положено мультипликативное разложение градиента места. Градиент места определяется произведением четырех составляющих: термической, пластической, за счет поврежденности и упругой. Отмечается, что в указанную кинематическую схему можно ввести описание поврежденности с использованием параметра повреж-денности любого ранга; в работе применен скалярный параметр. Сформулировано эволюционное уравнение для параметра поврежденности.

В [48] отмечается, что модель GTN не описывает изменение поврежденности в условиях простого сдвига (при параметре трехосности равном нулю), в связи с чем появились работы (см., например, [49]), в которых эволюционное уравнение для поврежденности (плотности пор) модифицировано для учета влияния сдвигового нагружения. В цитируемой работе для проверки адекватности указанной модификации используется прямая численная модель (метод конечных элементов). Задача ставится в плоской постановке; исследуемая область, содержащая в отсчетной конфигурации плоский ряд равноотстоящих цилиндрических пор кругового поперечного сечения, подвергается комбинированному нагружению (сдвиг + одноосное растяжение-сжатие). Показано, что упомянутая модификация качественно правильно отражает поведение исследуемой области для рассматриваемых нагружений.

Результаты экспериментальных и теоретических исследований закономерностей распространения трещин в подвергнутых облучению трубчатых образцах из сплава Zr-2.5Nb рассматриваются в [50]. Для теоретического анализа использовался метод конечных элементов в упругопластической постановке и различные определяющие соотношения (изотропный и анизотропный закон Гука, идеальная и с учетом упрочнения/разупрочнения пластичность, изотропный и анизотропный (Хилл) критерии пластичности). В качестве критерия распространения трещины использован критический угол раскрытия в вершине трещины. Для идентификации и верификации модели проведены эксперименты

на растяжение искривленных образцов, вырезанных из трубы сечениями, перпендикулярными оси трубы, с предварительно нанесенной (циклическим нагруже-нием) трещиной. Отмечается, что величина критического угла непостоянна в процессе роста трещины. Далее модель применена к анализу распространения продольной трещины, также созданной предварительным циклическим нагружением, при нагружении трубы внутренним давлением. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. При этом лучшее соответствие достигается на усложненных моделях, учитывающих анизотропию как упругих, так и пластических свойств, упрочнение/разупрочнение, накопление поврежденности за счет зарождения и коалесценции микропор.

Влияние анизотропии свойств матрицы и формы пор на процесс локализации деформации и коалесценции пор анализируется в [51]. Полагается, что материал матрицы является трансверсально изотропным, форма пор — сфероидальная, расположение пор — гексагональное, не нарушающее трансверсальную изотропию для материала в целом. Исследуется поведение отдельной ячейки, содержащей единичную пору, для которой выполняются условия осесимметричного нагружения. Для описания поведения матрицы используется упруго-пластическая модель, пластическая составляющая тензора деформации скорости определяется соотношениями теории пластического течения с анизотропным условием текучести Хилла. Реализация модели осуществляется методом конечных элементов. Особое внимание уделяется изучению влияния на поведение ячейки характеристик анизотропии матрицы и параметров начальной формы поры при различных значениях трехосности нагружения, поддерживаемой постоянной в каждом численном эксперименте.

В [52] рассматривается двухуровневая модель для описания деформирования и поврежденности неоднородных материалов. Рассматриваемая модель в значительной мере опирается на предложенный в [53] и развитый в дальнейшем в работе [54] так называемый «метод полевых преобразований», используемый для уменьшения числа степеней свободы внутренних переменных (например неупругих деформаций, параметров закона упрочнения). Согласно методу полевых преобразований неоднородный материал подразделяется на конечную совокупность подобластей («фаз»), в пределах каждой из которых внутренние переменные принимаются однородными (постоянными или по предписанным модам). Для связи переменных разных уровней могут применяться различные способы гомогенизации, например решение Эшелби для эллиптических включений в эффективной упругой среде. В анализируемой статье [52] рассматривается усложнение метода полевых преобразований на среды с нелинейным (упругопласти-ческим, вязкопластическим) поведением, особое внима-

иие уделяется описанию влияния на поведение материала поврежденности. Отмечается, что изменяющиеся в процессе нагружения параметры поврежденности (равно как температура) требуют переопределения на каждом шаге нагружения тензоров связи переменных мезо- и макроуровня, что, в свою очередь, влечет существенное увеличение времени счета. Для преодоления этого недостатка предлагается описывать изменения свойств материала за счет дополнительных («собственных») деформаций. Для проверки точности предлагаемой модели приведены результаты расчета для ячейки периодичности однонаправленного волокнистого композита одноосным растяжением (перпендикулярно волокнам), полученные по предлагаемой методике и прямым методам конечных элементов; показано хорошее согласование результатов. Адекватность модели подтверждена также удовлетворительным соответствием численных и экспериментальных результатов для циклического одноосного нагружения трубы, изготовленной из армированного волокнами композитного материала.

В [55] отмечается, что используемые в моделях поврежденности законы упрочнения принимаются обычно в виде степенных зависимостей напряжения течения от накопленной пластической деформации. При этом, как правило, не делается различия между III и IV стадиями упрочнения, поскольку стадия IV упрочнения проявляется при больших деформациях, которые для образцов в целом могут не достигаться в экспериментах на разрушение. Однако в пористых материалах, разрушающихся вследствие роста и коалесценции пор, большие деформации могут иметь место в локальных участках материала матрицы, например в перемычках между порами. Для исследования указанного влияния авторы использовали ячеистую модель материала, в котором в каждой ячейке расположена единичная пора (эллипсоидальной формы); на границах ячеек принимаются условия периодичности. Для анализа поведения ячеек применяется метод конечных элементов в осесиммет-ричной постановке. С использованием ячеистой конечно-элементной модели оценивается адекватность некоторых существующих континуальных моделей повреж-денности. Показано, что учет в этих моделях III и IV стадий упрочнения позволяет получить удовлетворительное соответствие результатов по эволюции формы и размеров пор, деформации начала коалесценции пор.

Во многих работах по поврежденности отмечается, что модель [4] при низких значениях параметра трех-осности не позволяет адекватно описывать поведение материала, в связи с чем в [56] предлагается модификация этой модели, применимая для широкого диапазона значений указанного параметра. Предлагаемая модификация основана на минимизации функции диссипации для ячейки из жесткопластического материала, содержащей единичную сферическую пору. Для опре-

деления допустимого поля скоростей перемещений используется полученное авторами решение задачи типа Эшелби. Результаты расчетов сравниваются с результатами решений, полученных с помощью других моделей, включая базовую модель [4].

В [57] рассматривается термоупругопластическая модель, учитывающая поврежденность, описываемую тензором 2-го ранга, и ориентированная на анализ поведения ортотропных материалов. В мультипликативном разложении транспонированного градиента места («градиента деформации») F наряду с упругой Fe и пластической Fp вводится составляющая, ответственная за изменение конфигурации за счет поврежденности Fd: F = Fe • F d • Fp, в соответствии с чем вводятся две промежуточные конфигурации. Первая, получаемая из от-счетной преобразованием Fp, названа «изоклинной» и принимается основной, в которой записываются все соотношения модели. Принимается, что главные оси орто-тропии (пересечения взаимно ортогональных плоскостей симметрии) совпадают для всех трех составляющих процесса и остаются взаимно ортогональными в течение всего процесса деформирования. Для вывода определяющих и кинетических (для поврежденности) уравнений используется формализм необратимой термодинамики. Упругое деформирование описывается гиперупругим законом, для пластических деформаций применяется теория пластического течения с критерием текучести Хилла. Эволюция параметра поврежденности зависит от температуры, при этом полагается, что этот параметр начинает изменяться при достижении насыщения пластического упрочнения. Значительное внимание уделяется идентификации и верификации модели, для чего использованы экспериментальные данные, имеющиеся в литературе и полученные третьим автором.

Анализ применимости трех феноменологических континуальных изотропных моделей поврежденности (Gurson-Tvergaard-Needleman [4, 6], Lemaitre [10] и Bai and Wierzibicki [42]) содержится в статье [58]. Особое внимание уделено зависимости результатов расчетов от вида напряженного состояния, характеризуемого величиной «трехосности» и параметром Лоде. Для теоретического исследования использован метод конечных элементов. Значительная часть статьи посвящена описанию численных алгоритмов реализации вышеуказанных моделей. Для оценки адекватности моделей использованы имеющиеся в литературе экспериментальные данные, полученные для образцов различной конфигурации (цилиндрические гладкие и с выточками различных радиусов, пластинчатый образец с круглым отверстием, плоские образцы Н-образной формы в плане (типа «баттерфляй»)) из сплава алюминия, подвергнутых монотонному растяжению (кроме последнего типа образцов, испытываемых на простой сдвиг и на комби-

нированное нагружение «растяжение - сдвиг»). Показано, что ни одна из рассмотренных моделей не позволяет удовлетворительно описать поврежденность и разрушение всех типов образцов одновременно, на основании чего авторы делают вывод о необходимости создания новых, более адекватных моделей.

В [59] детально рассматривается эволюция микроструктуры (включая дислокационные субструктуры) для построения кинетических уравнений, описывающих изменение внутренних переменных — так называемых эффективных напряжений и «обратных напряжений» (остаточных микронапряжений), при циклическом на-гружении образцов из стали АК1 316L. Остаточные микронапряжения формируются за счет двух основных источников — скоплений дислокаций вблизи границ зерен и внутризеренных дислокационных субструктур (стенок, плоских скоплений, ячеек). Приведено подробное описание методики и результатов микроструктурных исследований. Изменение введенных внутренних переменных устанавливается кинетическими уравнениями, связывающими внутренние напряжения с плотностями дислокаций различных дислокационных субструктур. Для определения плотностей дислокаций формулируются соответствующие эволюционные уравнения. Показано хорошее соответствие теоретических результатов и экспериментальных данных при одноосном циклическом нагружении при изотермических условиях (температура испытаний — 20 °С).

Феноменологическая двухмасштабная модель предлагается в [60]. Для описания поведения представительного макрообъема используется модель жесткопласти-ческого тела с поврежденностью [4]. Для решения макрозадачи может быть использован метод конечных элементов. Из решения задачи макроуровня на микроуровень (по терминологии автора) «передаются» градиент скорости перемещений и скорость изменения пористости; следует отметить, что в статье для упрощения не учитывается зарождение пор. На макроуровне задача ставится в осесимметричной или плоской постановке, на микроуровне — в предположении плоскодеформи-рованного состояния. В отсчетной конфигурации форма пор принимается круговой с одинаковыми радиусами, центры расположены в центре и вершинах правильного шестиугольника; в актуальной конфигурации расположение и форма пор определяются градиентом места (аффинные преобразования), устанавливаемом на макроуровне. Получены соотношения для диссипированной энергии в случае однородной деформации ячейки и при неоднородной деформации, обусловленной образованием межпоровой шейки (при коалесценции пор). Полагается, что разрушение наступает при уменьшении энергии диссипации на неоднородных полях деформаций по сравнению с диссипацией при однородном деформировании. Предлагаемая модель использована для анали-

за вязкого разрушения при одноосном растяжении, растяжении в условиях плоской деформации и простом сдвиге. Для одноосного растяжения полученные результаты сопоставляются с экспериментальными данными и с результатами прямого расчета метода конечных элементов, показано удовлетворительное соответствие.

Результатам исследования особенностей численного моделирования поведения несквозных трещин в трубах посвящена работа [61]. Рассматривается стальная труба, ослабленная несквозной поверхностной трещиной полуэллиптической формы. Трещина имеет продольную ориентацию и располагается на наружной поверхности трубы, испытывающей действие внутреннего давления. Для точек вдоль фронта дефекта с помощью пакета метода конечных элементов исследуется распределение значений коэффициента интенсивности напряжений, вычисленных при помощи инвариантного J-интеграла. Расчет значений J-интеграла выполняется методом интегрирования по области. Проводится сравнение полученных в работе результатов с данными других авторов, полученных для труб и цилиндрических сосудов давления, ослабленных несквозными трещинами. Отмечается, что применение регулярной сетки с большим числом конечных элементов вдоль фронта дефекта существенно повышает точность решения задачи механики разрушения. Исследование распределения параметров разрушения позволило выявить наличие краевого эффекта вблизи выхода фронта трещины на поверхность трубы, он заключается в наличии локальных максимумов, значения в которых существенно выше, чем в концевых точках фронта. Утверждается, что при исследовании роста трещины в условиях нестационарного нагружения, т.е. при наличии пульсаций давления, следует использовать именно эти значения.

Одним из наиболее распространенных источников накопления поврежденности и последующего разрушения большинства конструкций и деталей, работающих, как правило, во влажных средах, является коррозия. В [62] предлагается модель для описания накопления по-врежденности за счет различных видов коррозии, включающая кинематические, кинетические и определяющие соотношения. Модель основана на термодинамическом подходе и введении внутренних переменных. Для рассмотрения кинематики применяется мультипликативное разложение градиента места, расширенное сомножителями, описывающими изменение конфигурации за счет механической и коррозионной поврежден-ности, для количественного описания каждой из которых вводятся скалярные переменные. В свою очередь, коррозионная поврежденность представляется суммой поврежденности от общей, питтинговой (генерация, рост и коалесценция ямок) и межкристаллитной коррозии, для каждой из которых предложены кинетические уравнения. Результаты расчетов для образцов из магние-

вого сплава А231 (Mg-3Al-1Zn) показывают удовлетворительное соответствие экспериментальным данным.

Двухмасштабная модель эволюции поврежденности рассматривается в [63]. Полагается, что представительный объем макроуровня содержит конечное множество статистически распределенных пор; элементом мезо-уровня является подобъем, содержащий единичную пору. На обоих уровнях используется мультипликативное разложение метрического тензора на составляющие от поврежденности и пластических деформаций; упругими деформациями пренебрегается. В качестве меры деформации используется логарифмический тензор деформации (Генки). На основе мультипликативного разложения получено аддитивное представление скорости деформации. Вводится тензорная (2-го ранга) мера по-врежденности; для мезоэлемента шаровая часть этой меры отвечает за изменение объема поры, а девиатор-ная — ее формы. В качестве скалярных мер повреж-денности используется первый а^ и второй (интенсивность) ю2 инварианты тензорной меры поврежден-ности. Эквивалентная мера поврежденности определяется как ю = (ю>2 + ю2)1/2. Эквивалентная поврежден-ность нормируется таким образом, что разрушению соответствует ю = 1. В силу случайности распределения пор в пределах представительного макрообъема, случайным является и распределение меры поврежденнос-ти по мезоэлементам, составляющим представительный объем макроуровня. Предполагается, что мода (величина с максимальным значением плотности распределения) меры поврежденности мезоуровня является функцией интенсивности деформаций макроуровня, устанавливаемой или из численной модели, или экспериментально. Для вывода определяющих соотношений использован термодинамический подход. Диссипатив-ная функция принимается в виде суммы составляющих, описывающих изменение энергии за счет пластических деформаций и поврежденности. Кратко описаны методика и результаты экспериментальных исследований. Рассмотрены опыты на одноосное растяжение плоских образцов, для анализа пористости использована сканирующая электронная микроскопия. Реализована также серия экспериментов на одноосное сжатие цилиндрических образцов с различными геометрическими параметрами и искусственно внесенными порами (цилиндрическими отверстиями) с различным расположением отверстий относительно оси сжатия. Для численного исследования использован метод конечных элементов.

Большинство специалистов, занимающихся повреж-денностью и разрушением, отмечают важность учета при формулировке критерия вязкого разрушения материалов параметра трехосности напряженного состояния Т. При этом на основе анализа экспериментальных данных установлено, что существует критическое значение

Тс («величина отсечения») параметра трехосности, ниже которого разрушение не происходит. Для исследуемых в рассмотренных опытах материалов и нагружений получено, что Тс =-1/3. Однако в экспериментах на образцах из того же материала, но при другом виде нагружения было показано, что разрушение имеет место даже при Т = -0.496. Для устранения возникшего противоречия в [64] предлагается модификация критерия разрушения, в котором Тс является не константой материала, а меняется в ходе нагружения в зависимости от микроструктуры, температуры, скорости нагружения, параметра Лоде напряженного состояния. Предложенная модель применена для построения поверхностей разрушения в пространствах напряжений и деформаций для образцов из сплава АА 2024-Т351, показано удовлетворительное соответствие результатов данным экспериментальных исследований и результатам, полученным по другим критериям.

3. Модели, основанные на теориях обобщенного континуума

При анализе процессов деформирования, в которых в исследуемых телах возникают резкие пространственные изменения кинематических и/или динамических характеристик, требуется использование неклассических определяющих соотношений. Указанные виды определяющих соотношений будем относить к обобщенным континуумам — градиентным, нелокальным, микро-морфным и др. Одна из первых попыток применения нелокальной модели для исследования неустойчивости упругопластического деформирования пористого тела рассматривается в [65]. Модель основана на феноменологической изотропной теории [4], основное отличие состоит в соотношении для пористости. Согласно предлагаемой модели скорость изменения пористости в произвольной точке тела зависит от пористости и первого инварианта тензора деформации скорости в некоторой окрестности («окне осреднения») исследуемой точки. Модель применена для решения двух задач исследования устойчивости: появления разрывных полей градиента скорости перемещений в конечном неоднородном теле и возникновения неединственных решений при деформировании бесконечного однородного тела.

В [66] приведены результаты применения отмеченной выше нелокальной модели поврежденности [65] для решения двух тестовых задач для плоского деформированного состояния. В первой задаче исследуется эволюция напряженно-деформированного состояния и пористости при нагружении прямоугольной в сечении области с неоднородным распределением начальной пористости в условиях чистого сдвига. Во второй задаче анализируется поведение композитного материала, содержащего жесткие включения (отрезки волокон конечной длины), при одноосном растяжении. Для численной реали-

зации модели применяется метод конечных элементов. Детально исследуется локализация деформации и по-врежденности в зависимости от разбиения исследуемой области и размеров «окна осреднения». Отмечается, что, в отличие от локальной модели, результаты расчетов существенно менее чувствительны к размерам используемой сетки.

Как отмечается в [67], при использовании моделей поврежденности типа GTN решение приводит к сингулярности поля деформации и бесконечной скорости распространения трещины, вырождению области критической поврежденности в поверхность. Для устранения указанных трудностей в кинетическом уравнении для параметра поврежденности вместо локальной интенсивности деформаций предлагается использовать интенсивность, осредненную по малой окрестности исследуемой точки связанные между собой соотношением - 1/21= (заметим, что в [68] аналогичное соотношение использовано для связи локальной и осредненной поврежденности). Значительное внимание уделено процедуре конечно-элементной реализации модели и анализу результатов решения тестовых задач.

Модификация рассмотренной выше нелокальной модели поврежденности рассмотрена в [69], в которой в выражении для напряжения течения наряду с пористостью осредняется и напряжение текучести материала матрицы (с тем же «окном осреднения»). Значительное внимание уделяется определению размеров «окна осреднения» для плоской и пространственной постановок задач, а также анализу влияния размеров конечно-элементной сетки на результаты расчетов. Для идентификации и верификации модели использованы авторские экспериментальные данные по растяжению образцов со скругленной боковой выточкой, плоским надрезом (имитирующим трещину) и 4-точечному изгибу участка трубы с начальным круговым сечением.

В [70] приведено детальное описание вариационной постановки и алгоритмов решения задачи исследования напряженно-деформированного состояния и повреж-денности при деформировании образцов из гетерогенных материалов, состоящих из упругопластической пористой матрицы и упругих (жестких) включений. Полагается, что образец деформируется в условиях обобщенного плоскодеформированного состояния. Вся исследуемая область представляется совокупностью ячеек, каждая из которых содержит одиночное включение. Для разбиения использован метод многогранников Вороного. Для аппроксимации решения для матрицы и включения вводятся функции напряжений Эри. При описании поведения матрицы применяется нелокальная модель поврежденности. Включения полагаются упругими, разрушающимися хрупким образом в соответствии с критерием Вейбулла. Для верификации модели результаты решения на основе предлагаемой модели сопостав-

ляются с полученными с применением пакета ABAQUS, показано удовлетворительное соответствие результатов и более высокая вычислительная эффективность предлагаемого подхода. Для учета локализации деформации и более точного описания разрушения предлагается модификация модели, основанная на введении дополнительной (адаптивной) сетки ячеек в областях локализации.

Вопросам численной реализации модели [65] и соответствия теоретических и экспериментальных результатов посвящена статья [71]. При интегрировании соотношений для параметров, описывающих напряженно-деформированное состояние, используется широко распространенная схема «упругий предиктор - пластический корректор» и неявная схема интегрирования, тогда как для плотности пор применяется явная схема интегрирования. Показано, что в этом случае решение задачи на каждом шаге нагружения сводится к задаче минимизации выпуклого функционала, что, в свою очередь, обеспечивает существование и единственность решения. Для сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными использовался стандартный цилиндрический образец с надрезом и предварительно сформированной усталостной трещиной. Обнаружено существенное расхождение экспериментальных и теоретических результатов, полученных с помощью нелокальной модели. Авторы объясняют указанное несоответствие излишним «сглаживанием» решения для пористости в окрестности устья трещины. Предложена модификация исходного соотношения для определения локальной пористости и соответствующего нелокального соотношения. Данная модификация позволила значительно уменьшить несоответствие теоретических и экспериментальных результатов.

Модель и результаты исследования локализации деформаций при равномерном сжатии толстостенных цилиндров рассмотрены в [72]. Отмечается, что локализация деформации, как правило, предшествует разрушению изделий. Используется обобщенная упругоплас-тическая модель материала, в которой принято аддитивное разложение скорости деформации на упругую и пластическую составляющую. Скорость изменения напряжений (Коши) зависит от скорости упругих деформаций и лапласиана от последней. Принят комбинированный закон упрочнения, в котором скорости изменения тензора остаточных микронапряжений и параметра изотропного упрочнения зависят от лапласиана скоростей деформаций. Численные расчеты проведены с применением метода конечных элементов. Подробно изложена процедура построения разрешающих соотношений метода конечных элементов. Результаты расчетов показывают, что несмотря на осевую симметрию формы исследуемой области и нагружения поля перемещений, напряжений и деформаций на определенной стадии процесса нагружения становятся неосесимметрич-

ными, при этом наблюдается возникновение зоны интенсивных пластических деформаций. Приведены также результаты, демонстрирующие масштабный эффект: при увеличении радиуса внутреннего цилиндрического отверстия (при сохранении постоянным отношения радиуса внешней цилиндрической поверхности к радиусу внутренней поверхности) снижается давление, при котором возникает локализация деформации.

В [73] для исследования неоднородности напряженно-деформированного состояния в окрестности кончика трещины (остроконечного надреза) в монокристалле с ГЦК-решеткой предлагается использовать модель континуума Коссера, модифицированную на случай упру-гопластического тела. Пластические деформации реализуются сдвигом краевых дислокаций, для описания используется физическая вязкопластическая модель, критические напряжения сдвига определяются линейным законом упрочнения. Численная реализация модели осуществлена с применением метода конечных элементов. Рассмотрены два варианта ориентации плоскости залегания трещины по отношению к кристаллографической системе координат. Для обоих вариантов показано, что в окрестности кончика трещины появляются зоны локализации пластических деформаций (полосы сдвига). На расположение полос сдвига влияют ориентация плоскости трещины и упрочнение по системам скольжения.

В [74] предложен вариант расширения геометрически нелинейной теории упругопластичности, сформулированной в терминах отсчетной конфигураций на основе термодинамического подхода, на случай тел с по-врежденностью. Для описания зарождения, роста и коа-лесценции пор вводится новая континуальная внутренняя переменная, связанная с пористостью эволюционным соотношением, подобным уравнению теплопроводности, в котором аналогом теплового потока выступает член, пропорциональный градиенту введенной полевой переменной, а теплового источника — скорость изменения пористости. Значительное внимание уделено алгоритму численной реализации модели, основанного на методе конечных элементов и неявной схеме Эйлера. Приведен пример решения задачи об одноосном растяжении в условиях плоского деформированного состояния неоднородного образца (в одном из конечных элементов принята повышенная на 1 % пористость). Показано существенное влияние на результаты расчета масштабного фактора, входящего в эволюционное уравнение для внутренней переменной. Отмечается также, что предлагаемая модель значительно менее чувствительна к дискретизации исследуемой области по сравнению с классической моделью GTN.

В [75] приведено детальное описание многоуровневой микроморфной модели. Для каждой точки исследуемой среды наряду с представительным объемом макроуровня и присущими этому уровню кинематическими

и динамическими переменными вводятся вложенные друг в друга объемы микроуровня. Кроме скорости перемещений в исследуемой точке независимыми переменными являются градиенты скоростей перемещений каждого из микроуровней. Для вывода разрешающих уравнений используется принцип виртуальной мощности. При записи соотношения для мощности внутренних напряжений в рассмотрение на микроуровнях включены также вторые градиенты скоростей перемещений и сопряженные им моментные напряжения. Для совокупности кинематических переменных скоростного типа используется предположение об аддитивности упругих и пластических составляющих. В качестве определяющего соотношения на каждом из уровней принимается аналог закона Гука, причем на микроуровне скорость изменения тензора напряжений и тензора моментных напряжений зависит одновременно и от первых, и от вторых градиентов перемещений. В качестве меры скорости изменения динамических переменных использована производная Яуманна. Для описания пластических составляющих принята теория пластического течения с единым или множественным (для каждого из уровней) критерием текучести. Для учета поврежденности теория дополнена соотношениями модели пористого тела [4]. Реализация модели осуществлена с помощью метода конечных элементов, для демонстрации ее возможностей приведены и анализируются результаты решения двух тестовых задач в плоской постановке.

Результаты применения трехуровневого варианта рассмотренной микроморфной модели для анализа деформирования и эволюции поврежденности высокопрочной стали приведены в [76]. Сплав содержит популяции «первичных» (нитрид титана, характерные размеры ~1 мкм) и «вторичных» (карбид титана, характерные размеры ~10-100 нм) включений. Представлены результаты решения двух задач: простого сдвига и одноосного растяжения в плоской постановке. Для задачи простого сдвига проведено сопоставление результатов решения, полученных с помощью прямой и трехуровневой микроморфной моделей, показано удовлетворительное соответствие результатов.

В [77] рассматриваются возможности применения GTN-модели в сочетании с моделью микроморфного континуума [78] для анализа вязкого разрушения стальных образцов с надрезами. Основное внимание уделяется соответствию теоретических и экспериментальных результатов. Для реализации предлагаемой модифицированной модели используется метод конечных элементов. Подробно излагается пошаговая процедура решения нелинейной задачи анализа напряженно-деформированного состояния упругопластического пористого тела, для линеаризации применен метод секущей жесткости. Результаты расчетов сопоставляются с известными экспериментальными данными для трех типов цилиндрических образцов с кольцевой выточкой и предва-

рительно созданной усталостной трещиной. Показано удовлетворительное соответствие теоретических и эмпирических результатов. Авторы [77] в приложении подробно излагают основные положения и соотношения микроморфной теории Gologanu-Leblond- Ретп-Эе-vaux ^РЭ).

Еще одной сложностью численной реализации модели GLPD является появление дополнительных степеней свободы для компонент тензора деформации (по которым определяются их градиенты), что существенно увеличивает время счета. В [79] предлагается конечно-элементная процедура, позволяющая устранить указанные дополнительные переменные с использованием равенства в слабой форме узловых деформаций и деформаций, определяемых по полям перемещений. Предлагаемая процедура позволила сократить число узловых переменных до обычной схемы метода конечных элементов, применяющей классические определяющие соотношения для материалов первого порядка. Приведены примеры применения (в двумерной постановке) предлагаемой модификации GLPD, свидетельствующие о ее эффективности и удовлетворительной точности.

В [80] предлагается единообразная схема формулировки моделей различных (Коссера, микроморфного и др.) обобщенных континуумов, основанная на термодинамическом подходе и принципе возможных перемещений. Показано наличие тесной связи между соотношениями микроморфного континуума и теории фазового поля Ландау-Гинзбурга. Описано применение предлагаемой схемы к построению обобщенного континуума упругопластического тела с поврежденностью, отдельно рассмотрены соотношения для монокристалла. Приведены конечно-элементные соотношения и алгоритм реализации модели, в качестве примеров представлены результаты расчета распространения трещины при одноосном растяжении монокристаллической пластины при различной ориентации кристаллографических плоскостей по отношению к оси растяжения.

В многофазных материалах, в которых имеются включения резко различающихся размеров (некоторые сорта стали, чугун с шаровидными включениями графита), экспериментально наблюдается наличие разномасштабных пор. В [81] при рассмотрении подобных материалов выделяются поры двух характерных размеров — крупные («первичные») и мелкие («вторичные»). Размеры первичных пор и средние расстояния между ними на порядок (и более) превосходят аналогичные характеристики вторичных пор. Объектом исследования является «ячейка» материала, содержащая одну или две первичные поры заданных размеров. Матрица описывается упругопластической моделью с поврежденно-стью, обусловленной вторичными порами. Для анализа эволюции вторичной пористости использована градиентная модель [82] (модификация феноменологической модели GTN, подобная упомянутой выше модели

[74]) в сочетании с методом конечных элементов. Принимается, что разрушение реализуется за счет роста и коалесценции первичных пор. В серии численных экспериментов исследовано влияние на эволюцию пористости и разрушение геометрических характеристик первичных пор, начальной вторичной пористости, параметров трехосности и Лоде, а также масштабного фактора, входящего в соотношения градиентной модели и отражающего размеры вторичных пор. Отмечен интересный эффект: увеличение в определенных пределах размеров вторичных пор ведет к увеличению несущей способности материала в целом.

4. Заключение

В статье приведен обзор работ, посвященных исследованиям в рамках так называемой континуальной теории поврежденности, а также работ, основанных на теориях обобщенного континуума. Кратко рассмотрены основополагающие работы Л.М. Качанова и Ю.Н. Работ-нова, в которых впервые были предложены и обоснованы меры поврежденности как эволюционирующие характеристики, описывающие деградацию свойств материала вследствие образования и развития системы микроповреждений при деформировании. Приведены результаты исследований, развивающих подход Качанова-Работнова с использованием скалярных мер поврежден-ности. Отмечены работы, в которых мера поврежден-ности вводится как тензор 2-го или более высокого ранга, приведен краткий обзор таких работ. Отдельно рассмотрены статьи по макрофеноменологическим теориям поврежденности, в том числе использующие многоуровневый подход.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 14-01-96008 р_урал_а, 14-01-00069_а, 13-01-96006-р_урал_а) и гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1.

Литература

1. Волегов П.С., Грибов Д.С., Трусов П.В. Поврежденность и разруше-

ние: обзор экспериментальных работ // Физ. мезомех. - 2015. -Т. 18. - № 3. - C. 11-24.

2. Zervos A., Papanastasiou P., Vardoulakis I. Modelling of localization and scale effect in thick-walled cylinders with gradient elastoplas-ticity // Int. J. Solids Struct. - 2001. - V. 38. - Р. 5081-5095.

3. Bergheau J.-M., Leblond J.-B., Perrin G. A new numerical implementation of a second-gradient model for plastic porous solids, with an application to the simulation of ductile rupture tests // Comput. Method. Appl. Mech. Eng. - 2014. - V. 268. - P. 105-125. - http://dx.doi.org/ 10.1016/j.cma.2013.09.006.

4. Gologanu M., Leblond J.B., Perrin G., Devaux J. Recent Extensions of Gurson's Model for Porous Ductile Metals // Continuum Microme-chanics: CISM Courses and Lectures / Ed. by P. Suquet. - 1997. -V. 377. - P. 61-130.

5. Besson J. Continuum models of ductile fracture: A review // Int. J. Damage Mech. - 2010. - V. 19. - P. 3-52.

6. Tutyshkin N., Muller W.H., Wille R., Zapara M. Strain-induced damage of metals under large plastic deformation: Theoretical framework and experiments // Int. J. Plasticity. - 2014. - V. 59. - Р. 133151. - http://dx.doi.org/10.1016/j.ijplas.2014.03.011.

7. КачановЛ.М. Основы механики разрушения. - M.: Наука, 1974. — 312 с.

8. Работное Ю.Н. Введение в механику разрушения. — M.: Наука, 1987. — 388 с.

9. Сосновский Л., Щербаков С. Концепции поврежденности материалов // Вюник ТНТУ. — 2011. — Спец. вып. — Ч. 1. — С. 14—23.

10. Lemaitre J. A continuous damage mechanics model for ductile fracture // J. Eng. Mater. Tech. Trans. ASME. — 1985. — V. 107. — P. 83— 89.

11. ГолубВ.П., Романов A.B. К задаче построения нелинейных моделей накопления повреждений при ползучести // Проблемы прочности. — 1990. — № 6. — С. 9—14.

12. Kruch S., Chaboche J.-L. Multi-scale analysis in elasto-viscoplasticity coupled with damage // Int. J. Plasticity. — 2011. — V. 27. — P. 2026— 2039.

13. Горев Б.В., Банщикова И.А. К описанию ниспадающего участка кривой деформирования напряжение—деформация по кинетическим уравнениям со скалярным параметром поврежденности // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2008. — №2(17). — C. 110—117.

14. Горев Б.В., Банщикова И.А. К описанию процесса ползучести и разрушения упрочняющихся материалов по кинетическим уравнениям со скалярным параметром повреж^ннос™ // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2(19). — С. 90— 98.

15. Ильюшин А.А. Об одной теории длительной прочности // Инж. журн. МТТ. — 1967. — № 3. — С. 21—35.

16. Завойчинская Э.Б., Кийко И.А. Введение в теорию процессов разрушения твердых тел. — М.: Изд-во МГУ, 2004. — 168 с.

17. Малмейстер А.К., ТамужВ.П., ТетерсГ.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. — Рига: Зинатне, 1980. — 572 с.

18. Тамуж В.П. Об одной возможности построения теории длительного разрушения // Проблемы прочности. — 1971. — № 2. — С. 59— 64.

19. Канаун С.К., Чудновский А.И. O квазихрупком разрушении // MTT. — 1970. — № 3. — С. 185—186.

20. Киялбаев ДА., Чудновский А.И. О разрушении деформируемых тел // ПМТФ. — 1970. — № 3. — С. 105—110.

21. Бондарь B.C., Даншин В.В., Макаров Д.А. Математическое моделирование процессов деформирования и накопления повреждений при циклических нагружениях // Вестник ПНИПУ. Механика. — 2014. — № 2. — С. 125—152.

22. Monchiet V., CharkalukE., Kondo D. A micromechanics-based modification of the Gurson criterion by using Eshelby-like velocity fields // Eur. J. Mech. A. Solids. — 2011. — V. 30. — P. 940—949. — http:// dx.doi.org/10.1016/ j.euromechsol.2011.05.008.

23. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения: Учеб. пособие. — Самара: Самарский университет, 2004. — 562 с.

24. Тутышкин Н.Д., Запара М.А. Определяющие соотношения тензорной теории пластической повреждаемости металлов // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела. — Тверь: Изд. ТвГТУ. — 2011. — С. 216—219.

25. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. — М.: Наука, Физматлит, 1997. — 288 с.

26. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред // ПММ. - 1984. - Т. 48. - № l. — C. 29—37.

27. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд. МГУ, 1984. — 336 с.

28. Зайцев А.В., Соколкин Ю.В., Фукалов А.А. Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической горной выработки в массиве осадочных пород // Вестник ПНИПУ. Механика. — 2013. — № 4. — С. 59—74.

29. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. — 2003. — Т. 6. — № 4. — C. 45—72.

30. БанниковМ.В., Федорова А.Ю., Терехина А.И., Плехов О.А. Экспериментальное исследование фрактальных закономерностей роста

усталостной трещины и диссипации энергии в ее вершине // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2013. - № 2. - С. 21-36.

31. Пантелеев И.А., Наймарк О.Б., Froustey C. Структурно-скейлин-говые переходы и универсальность статистики флуктуаций при пластическом течении металлов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. - Т. 2. - № 3. - С. 70-81.

32. Пантелеев И.А., Плехов О.А., Наймарк О.Б. Некоторые автомодельные закономерности развития поврежденности при квазихрупком разрушении твердых тел // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4. - № 1. - С. 90-100.

33. Naimark O.B., Plekhov O.A. Structural-scaling transitions in meso-defect ensembles and properties of bulk nanostructural materials modeling and experimental study // Solid Mech. Appl. - 2009. - V. 13.-P. 271-278.

34. Lecarme L., Tekoglu C., Pardoen T. Void growth and coalescence in ductile solids with stage III and stage IV strain hardening // Int. J. Plasticity. - 2011. - V. 27. - P. 1203-1223. - doi 10.1016j.ijplas. 2011.01.004.

35. Bishop J.F., HillR. A theory of the plastic distortion of a polycrystal-line aggregate under combined stresses // Philos. Mag. Ser. 7. - 1951. -V. 42. - No. 327. - P. 414-427.

36. Doltsinis I., Dattke R. Numerical experiments on the rupture of brittle solids—variation of microstructure, loading and dimensions // Int. J. Solids Struct. - 2005. - V. 42. - Р. 565-579.

37. Komori K. An ellipsoidal void model for simulating ductile fracture behavior // Mech. Mater. - 2013. - V. 60. - P. 36-54. - http://dx. doi.org/10.1016/j.mechmat.2013.01.002.

38. Desmorat R., Gatuingt F., Ragueneau F. Nonlocal anisotropic damage model and related computational aspects for quasi-brittle materials // Eng. Fract. Mech. - 2007. - V. 74. - P. 1539-1560. - doi 10.1016/j. engfracmech.2006.09.012.

39. Jirâsek M., Suàrez F. Localization Analysis of an Anisotropic Damage Model // Proc. 9th Int. Conf. Eng. Comp. Technology / Ed. by P. Ivanyi, B.H.V Topping. - Stirlingshire, Scotland: Civil-Comp Press, 2014. - Р. 1-21.

40. Cannmo P., Runesson K, Ristinmaa M. Modelling of plasticity and damage in a polycrystalline microstructure // Int. J. Plasticity. - 1995. -V. 11. - No. 8. - P. 949-970.

41. Jackiewicz J., Kuna M. Non-local regularization for FE simulation of damage in ductile materials // Comp. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. -P. 684-695. - doi 10.1016/j.commatsci.2003.08.024.

42. Bai Y., Wierzbicki T. A new model of metal plasticity and fracture with pressure and Lode dependence // Int. J. Plasticity. - 2008. -V. 24. - P. 1071-1096.

43. Besson J. Damage of ductile materials deforming under multiple plastic or viscoplastic mechanisms // Int. J. Plasticity. - 2009. - V. 25. -P. 2204-2221.

44. Hu C., Ghosh S. Locally enhanced Voronoi cell finite element model (LE-VCFEM) for simulating evolving fracture in ductile microstructures containing inclusions // Int. J. Numer. Method. Eng. - 2008. -V. 76. - P. 1955-1992. - doi 10.1002/nme.2400.

45. Zhang W., Cai Y. Review of Damage Mechanics // Continuum Damage Mechanics and Numerical Applications. - Berlin: Zhejiang University Press, Hangzhou and Springer-Verlag, 2010. - P. 15-57.

46. Armstrong R.W Dislocation viscoplasticity aspects of material fracturing // Eng. Fract. Mech. - 2010. - V. 77. - P. 1348-1359.

47. Badreddine H., Saanouni K., Dogui A. On non-associative anisotro-pic finite plasticity fully coupled with isotropic ductile damage for metal forming // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. - P. 1541-1575.

48. Tvergaard V., Needleman A. Effects of nonlocal damage in porous plastic solids // Int. J. Solids Struct. - 1995. - V. 32. - No. 8/9. -P. 1063-1077.

49. Murakami S. Mechanical modeling of material damage // J. Appl. Mech. - 1988. - V. 55. - No. 2. - P. 280-286.

50. Walton C.A., Horstemeyer M.F., Martin H.J., Francis D.K. Formulation of a macroscale corrosion damage internal state variable model // Int. J. Solids Struct. - 2014. - V. 51. - P. 1235-1245.

51. Kachanov M, Sevostianov I. On quantitative characterization of microstructures and effective properties // Int. J. Solids Struct. - 2005. -V. 42. - P. 309-336.

52. Kotrechko S., Stetsenko N., Shevchenko S. Effect of texture smearing on the anisotropy of cleavage-stress of metals and alloys // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2004. - V. 42. - P. 89-98.

53. Dragon A., Halm D., Desoyer Th. Anisotropic damage in quasi-brittle solids: modelling, computational issues and applications // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2000. - V. 183. - P. 331-352.

54. Malcher L., Andrade Pires F.M., Cesar de Sa J.M.A. An assessment of isotropic constitutive models for ductile fracture under high and low stress triaxiality // Int. J. Plasticity. - 2012. - V. 30-31. - P. 81115. - http://dx.doi.org/10.1016/j.ijplas.2011.10.005.

55. Leblond J.B., Perrin G., Devaux J. Bifurcation effects in ductile metals with nonlocal damage // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1994. -V. 61.- P. 236-242.

56. Michel J.C., Suquet P. Nonuniform transformation field analysis // Int. J. Solids Struct. - 2003. - V. 40. - P. 6937-6955.

57. Vernerey F.J., Liu W.K., Moran B., Olson G. A micromorphic model for the multiple scale failure of heterogeneous materials // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - V. 56. - P. 1320-1347. - doi 10.1016/j.jmps. 2007.09.008.

58. Lou Y., Yoon J.W., Huh H. Modeling of shear ductile fracture considering a changeable cut-off value for stress triaxiality // Int. J. Plasticity. - 2014. - V. 54. - P. 56-80.

59. Peerlings R.H.J., Mediavilla J., Engelen R.A.B., Geers M.G.D. Towards a micromechanics-based modelling of damage development during the forming of food-can lids // Eng. Fract. Mech. - 2008. - V. 75. -P. 3294-3305.

60. Keralavarma S.M., Hoelscher S., Benzerga A.A. Void growth and coalescence in anisotropic plastic solids // Int. J. Solids Struct. - 2011.-V. 48. - P. 1696-1710. - doi 10.1016/j.ijsolstr.2011.02.020.

61. Глушков C.B., Скворцов Ю.В., Перое C.H. Сравнение результатов решения задачи механики разрушения для трубы с несквозной трещиной // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2014. - № 3. - С. 36-49.

62. Vignjevic R., Djordjevic N., Panov V. Modelling of dynamic behaviour of orthotropic metals including damage and failure // Int. J. Plasticity. - 2012. - V. 38. - P. 47-85.

63. Reusch F., Svendsen B., Klingbeil D. Local and non-local Gurson-based ductile damage and failure modelling at large deformation // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2003. - V 22. - P. 779-792. - doi 10.1016/ S0997-7538(03)00070-6.

64. Linse T., HUtter G., Kuna M. Simulation of crack propagation using a gradient-enriched ductile damage model based on dilatational strain // Eng. Fract. Mech. - 2012. - V. 95. - P. 13-28.

65. Larin O.O., Trubayev O.I., Vodka O.O. The fatigue life-time propagation of the connection elements of long-term operated hydroturbines considering material degradation // Вестник ПНИПУ. Механика. -2014. - № 1. - С. 167-193.

66. Tvergaard V., Needleman A. Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar // Acta Metall. Mater. - 1984. - V. 32. - P. 157-169.

67. Nahshon K., Hutchinson J. Modification of the Gurson model for shear failure // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2008. - V. 27. - P. 1-17. -doi 10.1016/j. euromechsol.2007.08.002.

68. Peerlings R.H.J., Brekelmans W.A.M., de Borst R., Geers M.G.D. Gradient-enhanced damage modelling of high-cycle fatigue // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2000. - V 49. - P. 1547-1569.

69. Hu X.H., Jain M., Wu P.D., Wilkinson D.S., Mishra R.K. A macro-micro-multi-level modeling scheme to study the effect of particle distribution on wrap-bendability of AA5754 sheet alloys // J. Mater. Process. Tech. - 2010. - V. 210. - P. 1232-1242.

70. Gurson A.L. Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth. Part I. Yield criteria and flow rules for porous ductile media // J. Eng. Mater. Tech. - 1977. - V. 99. - P. 2-15.

71. Enakoutsa K., Leblond J.-B. Numerical implementation and assessment of the GLPD micromorphic model of ductile rupture // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2009. - V. 28. - P. 445-460.

72. Williams B.W., St Lawrence S., Leitch B.W. Comparison of the measured and predicted crack propagation behaviour of Zr-2.5Nb pressure tube material // Eng. Fract. Mech. - 2011. - doi 10.1016/j. engfracmech.2011.06.020.

73. Enakoutsa K., Leblond J.-B., Perrin G. Numerical implementation and assessment of a phenomenological nonlocal model of ductile rupture // Comput. Method. Appl. Mech. Eng. - 2007. - V. 196. - P. 19461957.

74. Pham M.S., Holdsworth S.R., JanssensK.G.F., Mazza E. Cyclic deformation response of AISI 316L at room temperature: Mechanical behaviour, microstructural evolution, physically-based evolutionary constitutive modelling // Int. J. Plasticity. - 2013. - V. 47. - P. 143-164.

75. Tvergaard V., Nielsen K.L. Relations between a micro-mechanical model and a damage model for ductile failure in shear // J. Mech. Phys. Solids. - 2010. - V.58. - P. 1243-1252. - doi 10.1016/j.jmps. 2010.06.006.

76. Vernerey F., Liu W.K., Moran B. Multi-scale micromorphic theory for hierarchical materials // J. Mech. Phys. Solids. - 2007. - V. 55. -P. 2603-2651. - doi 10.1016/j.jmps.2007.04.008.

77. Dvorak G. Transformation field analysis of inelastic composite materials // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1992. - V 437. - P. 311-327.

78. Forest S., BoubidiP., SievertR. Strain localization patterns at a crack tip in generalized single crystal plasticity // Scripta Mater. - 2001. -V. 44. - P. 953-958.

79. Bammann D.J., Solanki K.N. On kinematic, thermodynamic, and kinetic coupling of a damage theory for polycrystalline material // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. - P. 775-793.

80. Asian O., Forest S. The Micromorphic versus Phase Field Approach to Gradient Plasticity and Damage with Application to Cracking in Metal Single Crystals // Multiscale Methods in Computational Mechanics, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics / Ed. by R. de Borst, E. Ramm. - 2011. - No. 55. - doi 10.1007/978-90-481-9809-2_8.

81. Zhang W., Cai Y Theory of visco-elasto-plastic damage mechanics // Continuum Damage Mechanics and Numerical Applications. - Berlin: Zhejiang University Press, Hangzhou and Springer-Verlag, 2010. -P. 589-721.

82. Li J.-R., Yu J.-L. Computational simulations of intergranular fracture of polycrystalline materials and size effect // Eng. Fract. Mech. -2005. - V. 72. - P. 2009-2017.

Поступила в редакцию 17.03.2015 г.

Сведения об авторах

Волегов Павел Сергеевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, crocinc@mail.ru

Грибов Дмитрий Сергеевич, асп. ПНИПУ, gribowdmitrii@yandex.ru

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru