Модельный дельта-потенциал в релятивистской квантовой механике

УДК 539.182

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2

А. В. Головин1, В. М. Лаг о думским2

МОДЕЛЬНЫЙ ДЕЛЬТА-ПОТЕНЦИАЛ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1 Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

2 Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, 190000, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В работе рассматривается возможность применения модели дельта-потенциала в релятивистской квантовой механике, основанной на теории дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Приводится решение релятивистской задачи о квантовых состояниях бесспиновой частицы в глубокой и узкой одномерной прямоугольной потенциальной яме. Решение сравнивается с решением краевой задачи, определённой введёнными краевыми условиями. Показано, что использование этой модели в релятивистской квантовой механике для состояний непрерывного спектра, соответствующих скоростям частицы, сравнимым со скоростью света, возможно, но приводит к результатам, существенно отличающимся от тех, которые получаются из решения задачи о состояниях частицы в пространстве с бесконечно глубокой и бесконечно узкой прямоугольной потенциальной ямой. Решение последней задачи приводит к тому, что коэффициент отражения частицы стремится к нулю, если скорость частицы стремится к скорости света. Для рассмотренной модели дельта-потенциала коэффициент отражения частицы при тех же условиях не стремится к нулю. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: релятивистская квантовая механика, дельта-потенциал, дифференциальные уравнения.

A. V. Golovin1, V. M. Lagodinski2

MODEL DELTA-POTENTIAL IN RELATIVISTIC QUANTUM MECHANICS

1 St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation

2 Saint-Petersburg State university of aerospace instrumentation, 190000, St. Petersburg, Russian Federation

In this article the possibilities of the delta-potential model based on the theory of differential operators of the infinite order are analyzed on the relativistic quantum-mechanics level. The relativistic problem of the quantum states for spinless particles in the deep and narrow one-dimension potential well is presented and solved. This solution is compared with the solution of the boundary-value problem, based on the boundary conditions introduced in our delta-potential model. It is shown that in relativistic quantum mechanics for the particles with the speed near to the speed of light this model can be used, but the resulting solutions are significantly different from the solutions for the problem of the particle states in the space with infinitely deep and infinitely narrow potential well. The solution of the last mentioned problem leads to the fact that the reflection ratio tends effectively to zero. On the other hand for the potential model analyzed here the reflection ratio does not tend effectively to zero. Refs 10.

Keywords: relativistic quantum mechanics, delta-potential, differential equations.

Как известно, в нерелятивистской квантовой механике часто приходится иметь дело с задачами о движении частицы в пространстве, где потенциал отличен от нуля в предельно малой области пространства. При математической постановке таких задач бывает удобно использовать модель дельта-потенциала [1]. Казалось бы, эта модель должна получаться из модели прямоугольной потенциальной ямы глубины Uo и ширины a предельным переходом Uo ^ ж, a ^ 0, однако при увеличении глубины ямы растёт и скорость частицы в яме, и если глубина ямы достаточно велика, значение

скорости частицы становится сравнимым со скоростью света, что приводит к некорректности использования нерелятивистского приближения. Поэтому для обоснования модели дельта-потенциала необходимо применение релятивистской квантовой механики. Но в основное уравнение релятивистской квантовой механики — уравнение Клейна—Фока—Гордона

д

г— - V{r) ) - m2 + Д

Ф-С*, r) =0,

входит квадрат потенциала, а квадрат дельта-функции не может быть определён [2]. В уравнение Дирака [3], казалось бы, потенциал входит линейно, но это связано с входящими в его состав матрицами. В «квадрированном» виде [4], который полностью эквивалентен обычному, это уравнение также включает квадрат потенциала.

Однако модель дельта-потенциала легко вводится в релятивистской квантовой механике, основанной на определении функции дифференциального оператора как локального дифференциального оператора бесконечного порядка, предложенном одним из авторов настоящей работы [5]. Это определение вводит соответствие между дифференциальным оператором А и функцией комплексного переменного /(г) (которая называется символом определяемого оператора) и оператором /(А), с областью определения, включающей функции и(х) (х € (а,Ь)), для которых при каждом х € (а,Ь) существует такой конечный набор (ах, ..., ап), что кратный ряд

<?(*) = £ (1 - £ (а"-1 ~а"~2)* • • • Е 7Г /сг+"+"'+г)(0)(1г+й+"'+гы)И ¿=0 ' к=0 ' 1=0

сходится абсолютно (для этих функций Б(х) не зависит от выбора набора). Этот ряд и определяет действие оператора /(а!) на функцию и(х) [5]:

(/(А)и)(х) = Б(х), Ух € (а, Ь).

В частности, если f(z) = у/т2 + z2, и(х) = exp(ipx), Vx G (a,b), А = —id/dx, то

I ¡¿Г _

(f(A)u)(x) = dm2 — -j-p; и(х) = \Jт2 + p2 u(x), Ух G (a, b).

Эта формула иллюстрирует локальность оператора f (A). В работе [5] исследовалось дифференциальное уравнение бесконечного порядка

¿W

Там же было показано, что соответствующее временное уравнение

инвариантно относительно преобразований Лоренца. Можно предположить, что уравнение

е — \ / m2 —

— это релятивистский аналог уравнения Шрёдингера свободной бесспиновой частицы с массой т (в системе единиц, в которой скорость света с и постоянная Планка Н равны единице). Из этого уравнения, как и из нерелятивистского уравнения Шрёдингера, следует уравнение непрерывности. Действительно, уравнение, комплексно сопряжённое уравнению (2), имеет вид

д_

т

^-¿^ - л/т2 ~ V2 ^ Ф*(*,г) = 0.

Умножим уравнение (2) на г), а уравнение (3) на Ф(г, г):

д_

'Ш

гФ*

-гФ

Вычитая (5) из (4), получим

Предположим, что определены функции (т2 —V2) 1/2Ф(г, г) и (т2 —V2) 1/2^*(г, г), тогда

л/т2 - V2 г) = (т2 -V2) ^Ф(^г),

V т2 — V2

л/т2 -V2 = (т2-У2)— 1 Ф*(*,г).

V т2 — V2

Используя это, получаем

Ф* , г)л/т2 - У2Ф(*,г) -Ф(*,г)"\/т2 - V2 Ф*(*,г) =

1 .1

+

т2

V т2 — V2 л/т2 — V2

л/т2 — V2 ут2 — V2

- V-

Ф* (*, г) 7 *(*, г) - *(*, г) 7 Ф* (*> г) V т2 — V2 Vт2 — V2

•

Кроме того, из уравнений (4) и (5) следует

д 1 д 1 *

дг у>т2 — V2 дг у?т2 — V2

Используя (6), (7) и (8), получаем

д р „

где

р(г, г) = |Ф(г, г)|2 + т2\(т2 — У2)-1/2Ъ(г, г)|2 +

+

}

Легко убедиться, что эти выражения выгодно отличаются от тех, которые получаются из УКФГ [6]: функция р(£, г) неотрицательна, а определение функции j(t, г) включает оператор

у(у) = -г-=^_ =г[я, г],

m2

где

а/'/7?2 — V2

Я(У) = У7«'2 - V2

— гамильтониан свободной бесспиновой частицы, т. е. V(V) — оператор скорости, что подтверждает интерпретацию функции (10) как плотности потока (при определённом выборе нормировки).

В работах [7-9] с помощью локального определения квадратного корня из дифференциального оператора получены решения задач об в-состояниях пионного атома с произвольным зарядом ядра, об отражении бесспиновой частицы от скачка потенциала и об отражении бесспиновой частицы от идеального зеркала конечной массы. Показано, что в релятивистской квантовой механике, основанной на таком определении, нет тех трудностей, которые неизбежны в теории, основанной на УКФГ: отрицательных значений энергии свободной частицы, парадокса Клейна, комплексных значений энергии в кулоновом поле. В этом новом варианте релятивистской квантовой механики система N бесспиновых частиц описывается одной функцией 3Ж + 1 переменных (3N координат и времени), которая является решением одного уравнения, содержащего N квадратных корней из дифференциальных операторов. Это уравнение лишь выглядит как бесспиновое уравнение Бете—Солпитера [10], но оно имеет совершенно другие свойства и решения, поскольку квадратный корень из дифференциального оператора мы определяем совершенно иначе. Такое уравнение следует называть релятивистским уравнением Шрёдингера (РУШ).

В настоящей работе математический аппарат бесспиновой релятивистской квантовой механики, основанной на РУШ, используется для обоснования применения модели одномерного дельта-потенциала к описанию движения бесспиновых частиц в пространстве с глубокой и узкой потенциальной ямой.

Введём в уравнение (1) потенциал (вернее, потенциальную энергию) и(х):

е - U{x) - \1т2 - ] \|/

dx2

Пусть потенциал имеет вид

u <х>=Г' ix i t:t ,i2)

где U0 > 0, что соответствует прямоугольной потенциальной яме. В работе [8] показано, что граничные условия должны обеспечивать непрерывность решения, а при е > 0 ещё и непрерывность функции ф(х) = (Vxy)(x), где

v  1 d

Кг =

ср dx

dx2

m2

Итак, волновая функция у(ж) должна удовлетворять уравнениям:

е + Uо - \/т2 - j \|/

d2 \

— U

и граничным условиям

lim \y

6^0 6^0

а также быть ограниченной.

Пусть 0 < е < т. Чётное решение, ограниченное на всей числовой оси R, имеет вид

у

{Aexp[—к(|х| — a)], Vx € [-a, a], B cos qx, Vx € [—a, a],

где

к = s/m2 — e2, q = у/ (e + Uq)2 — m2.

Используя граничные условия, получаем однородную систему двух линейных уравнений относительно коэффициентов A и B:

A = Bcosqa, — А = ^ = В sin да.

Vm2 — к2 y'm2 + q2

Эта система имеет ненулевые решения, если её определитель равен нулю. Отсюда получаем уравнение относительно к:

к у/т2 + ф

tg qa=—==j.

qy/m2 — К2

Правая часть этого равенства — монотонно убывающая функция, при q ^ 0 она стремится к а при q ^ — к величине к(т2 — к2)-1/2. Так как функция tgx на каждом из промежутков ((2к — 1)я/2, (2к + 1)я/2) при всех целых к принимает все вещественные значения, то уравнение (17) имеет по одному корню на каждом из промежутков ((2к — 1)n/(2a), (2к + 1)я/(2а)), причём первый строго положительный корень — на промежутке (0, Jt/(2a). Но решения с q > y/2mUo + Uq не принадлежат дискретному спектру. Поэтому дискретный спектр (во всяком случае, соответствующий чётным решениям) содержит лишь конечное число значений.

Аналогично рассмотрим нечётное решение:

Í—Aexp[K(x + a)], Ух < —a, B sin qx, Ухе [—a, a],

Aexp[—к(х — a)], Ух > a.

Система для коэффициентов имеет вид

А = —В sin qa, — А =-- ^ В.

у/ т2 — е2 ^(е + U0)2 — т2

е — \ / m2 —

Уравнение для значений д, соответствующих нечётным решениям:

о\/пг2 — к2

Ча = ~~

ку т2 + д2

Теперь справа функция, монотонно убывающая от нуля при д = 0 и стремящаяся к —а/т2 — к2/к при </ —> оо. И в этом случае на каждом промежутке {(2к — 1)тс/(2а), (2к + 1)п/(2а)) находится по одному корню, но теперь первый строго положительный корень находится на промежутке (п/(2а), 3п/(2а), т. е. он больше, чем для чётного решения.

Каждому корню дп уравнений (17) и (18) соответствует значение дискретного спектра нашей граничной задачи:

е„ = л/'1112 + Чп ~ Неочевидно, глубина ямы и о может быть настолько мала, что дискретный спектр содержит только одно значение. Тогда это будет значение, соответствующее чётному решению. Легко убедиться, что при д ^ т правая часть (17) перестаёт зависеть от д. Кроме того, левая часть принимает все положительные значения, если д меняется от нуля до я/(2а). Пусть Ко удовлетворяет неравенствам

Ко П

О < аг<^ <

у'т2 — к2 2

тогда найдутся такие д ^ т и а < п/(2д), что при к = Ко справедливы равенство (17) и неравенство

П2

т2 + - \и0\ > т.

Очевидно, в этом случае дискретный спектр нашей задачи будет содержать единственное значение

ео = л т2 — к?.

Так как при д т д = \/(£ + |^о|)2 ~~ т2 ~ то значение ео останется неизменным, если перейти к пределам |Ио| ^ те, а ^ 0, сохраняя неизменным произведение аИо. Обозначим значение этого произведения через а.

Рассмотрим теперь решения, соответствующие непрерывному спектру. Пусть частица налетает слева, тогда решение имеет вид

{ехр[гр(ж + а)] + Аexp[—ip(x + а)], Ух < —а,

В ехр^дх) + Сехр(—iqx), Ух € [—а, а],

О ехр^р(х — а)], Ух > а,

где

р = \/е2 — т2, д = \/(е + [/о)2 — т2.

Используя граничные условия (15), получаем неоднородную линейную систему относительно коэффициентов А, В, С и О:

1+ А = Ве-^а + Се{да, ур(1 — А) = Уд(Ве-*а — Се{да),

Beiqa + Ce-iqa = D, vq(Beiqa — Ce-iqa) = vpD,

где

p q

\]т2 + р2 у т2 + д2

Определитель этой системы не равен нулю, и она имеет единственное решение:

¿(1 - у2) sin 2qa _ у(1 + y)e~iqa

2y cos 2qa — i (1 + у2) sin 2qa 2y cos 2qa — i (1 + y2) sin 2qa'

C =_Y

2y cos 2qa — i (1 + y2) sin 2qa 2y cos 2qa — i (1 + y2) sin 2qa

где y = vp/vq.

Отсюда получаем выражения для коэффициента отражения R и коэффициента прохождения S:

*=w2 =,, л"у2!7т^а. , =\d? -

4у2 cos2 2qa + (1 + у2 )2 sin2 2qa' 4у2 cos2 2qa + (1 + у2 )2 sin2 2qa'

Очевидно, что сумма этих коэффициентов равна единице:

R + S = 1.

Если считать, что эти коэффициенты — вероятности отражения и прохождения соответственно, то это означает, что отражение и прохождение являются несовместными и противоположными событиями. Исходя из равенства (21) можно сделать вывод, что отражённый поток не взаимодействует с падающим. Это резко отличает волны, связанные с частицами и являющиеся решениями уравнения Шрёдингера, от звуковых, электромагнитных волн или волн на воде. Причина такого отличия состоит в том, что решения уравнения Шрёдингера — это комплексные функции.

Следует заметить, что при p ^ ж коэффициент отражения R стремится к нулю и, соответственно, коэффициент прохождения S — к единице. Это говорит о том, что ультрарелятивистская частица является классической в том смысле, что не отражается от потенциальной ямы любой глубины.

Перейдём к пределу бесконечно глубокой, но бесконечно узкой потенциальной ямы, причём такой, что дискретный спектр включает лишь одно значение. Это значение должно соответствовать чётному решению. Пусть qa = а. Перейдём к пределу q ^ж и a ^ 0 в уравнении (17), так, чтобы величина qa = а оставалась постоянной:

Ко

tga =

л/т2 - кд

Отсюда получаем единственное значение дискретного спектра — энергию локализованного состояния:

en = sjm2 ~ кд = т

Поскольку при q ^ж vq ^ 1, коэффициенты A, B, C и D принимают вид

1 = i(l-t.|)sin2a в= г.р(1+г.р)е-'°

2iipCos2a — ¿(1 + n2)sin2a' 2[2ир cos 2a — ¿(1 + v2) sin 2a]'

-М!-^-*"- в=-Ц- -.

2[2ур ес8 2а — ¿(1 + Vр)ят2а] 2vp ес8 2а — ¿(1 + Vр)ят2а

В этом пределе

Я = А

Б = 1Б12

(1 — V2)2 яш2 2а

4v? соя2 2а +(1 + V?)2 sin2 2а'

2 , 2 (25) 4v2

р

4v? соя2 2а +(1 + v2)2 sin2 2а

Таким образом, и теперь Я ^ 0, Б ^ 1 при vp ^ 1.

Сравним формулы (22) и (25) с теми, которые получатся в результате решения граничной задачи, соответствующей модели дельта-потенциала, т. е. предположим, что потенциал (потенциальная энергия) имеет вид

и (х) = —дЬ(х), где д > 0, 6(х) — известная дельта-функция Дирака [3]:

е + дЪ

Ищем ограниченное и непрерывное решение. Ещё одно граничное условие получим, проинтегрировав уравнение (26) по интервалу (—Ч, Ч) и перейдя к пределу Ч ^ 0:

Ит /

Ч^о,]V ах2 у

Из непрерывности решения следует, что

Г Ч

Ч^о,/

Кроме того, поскольку

Ит / у(х) в,х = 0.

Ч^^-Ч

а2 1 / * * ¥

непрерывная функция, функция

1

т2 -

ах.

¥

непрерывна, следовательно,

Ч1 Ит / — = \|/(ж) (¿ж = 0.

У-1

т2 —

Поэтому

lim [ \ т2--—тг 14i(x) dx =

i^oj _t\ dx2

= lim j[ (m2 - ^ (m2 - 7 ¥(x) dx = -г lim[(14v)(4) -

Проинтегрировав (26) от -i до i (i > 0) и перейдя к пределу i ^ 0, получим

lim[

i^o

Это и есть искомое граничное условие.

Пусть 0 < е < т. Чётное решение выбираем в виде

y(x) = Aexp[-K(\x\)], Ух е R.

Эта функция удовлетворяет условию непрерывности. Используя условие (28), получаем уравнение для к:

2 = д,

т2 - K2

которое имеет единственное решение

ко =

V4+F

Таким образом, единственное значение дискретного спектра

2т

Ё0=\/т2-к2= --_.

у^+д2

Сравним это значение с (22). Они будут одинаковы, если tgа = д/(2т). Но, казалось бы, предельный переход от потенциала (22) к дельта-потенциалу и(х) = —дЬ(х) должен состоять в переходе ио ^ то, а ^ 0, при оМо = д. Очевидно, это требование не выполняется. Причина состоит в существенной разнице краевых условий.

Следует заметить, что при Ко ^ т (в нерелятивистском пределе) мы получаем значение ео ~ Ео + т, где Ео известно из нерелятивистской квантовой механики [1]:

22

к0 = Е0 = -— = - —

2' 2т 8т

(в нерелятивистскую энергию не входит энергия покоя).

Пусть теперь е > т. Частице, налетающей слева, соответствует следующее решение уравнения (26):

I ехр(грх)+ Аexp(—ipx), Ух ^ 0, ¥(х) = <

[(1 + А) exp(ipx), Ух> 0.

Условие непрерывности выполнено. Используя условие (28), получаем

2vpA = ¿д(1 + А).

Решение этого уравнения:

д + 2тр

Отсюда получаем выражения для коэффициентов отражения К и прохождения Б:

д2 4«2

П=\А\2 = 6'= |1 + А|2 = , 9.

д2 +4«^ 1 д2 + 4«^ у 7

Опять Д + Б = 1.

Сравним формулы (25) и (31). Первая из них переходит в последнюю, если в ней пренебречь величиной «р по сравнению с единицей и положить tg2qa = д. Поскольку формула для энергии локализованного состояния в предельной яме переходит в энергию локализованного состояния в дельта-потенциале, если в ней положить 2tg да = д, то модель дельта-потенциала в квантовой механике соответствует пределу бесконечно глубокой и бесконечно узкой потенциальной ямы с одним локализованным состоянием, лишь если да ^ 1 и только при нерелятивистских скоростях налетающей частицы. Хотя и в том, и в другом случае спектр задачи состоит из дискретной части, включающей всего одно значение, и непрерывной части е ^ 0, но модель дельта-потенциала не приводит к пределу К ^ 0 при Vр ^ 1, к которому приводит переход к пределам и о ^ж, а ^ 0 в релятивистской квантовой механике.

Из всего сказанного следует вывод: модель дельта-потенциала можно использовать для оценки значения энергии локализованного состояния по коэффициенту отражения, лишь если скорость налетающей частицы мала по сравнению со скоростью света.

Литература

1. ЛипкинГ. Квантовая механика. М.: Мир, 1977.

2. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982.

3. ДиракП. А. М. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

4. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969.

5. Лагодинский В. М. Голоморфные функции дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2005.

6. БьёркенДж., ДреллС. Релятивистская квантовая теория. Т. 1. Релятивистская квантовая механика. М.: Наука, 1978.

7. Головин А. В., Лагодинский В. М. Задача об ^-состояниях пионного атома без учёта сильного взаимодействия в релятивистской квантовой механике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2009. Вып. 2. C. 143-155.

8. Головин А. В., Лагодинский В. М. Релятивистское уравнение Шрёдингера со ступенчатым потенциалом // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 2. C. 3-14.

9. Головин А. В., Лагодинский В. М. Задача о столкновении бесспиновой частицы с идеальным зеркалом конечной массы в релятивистской квантовой механике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2012. Вып. 4. C. 3-13.

10. Durand B., Durand L. Analytic solution of the relativistic Coulumb problem for a spinless Solpeter equation // Phys. Rev. (D). Vol. 28. P. 396.

Статья поступила в редакцию 16 января 2014 г.

Контактная информация

Головин Александр Викторович — кандидат физико-математических наук; e-mail: golovin50@mail.ru

Лагодинский Владимир Меерович — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: lagodinskiy@mail.ru

Golovin Alexander Victorovich — Candidate of Physics and Mathematics; e-mail: golovin50@mail.ru

Lagodinski Vladimir Meerovich — Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor; e-mail: lagodinskiy@mail.ru