О числе симметрических координатных функций APN-функции

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

№8

ПРИЛОЖЕНИЕ

Сентябрь 2015

Секция 2

ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

УДК 519.7

DOI 10.17223/2226308X/8/8

О ЧИСЛЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

APN-ФУНКЦИИ1

В. А. Виткуп

1

Исследуются симметрические свойства APN-функций. Доказана теорема о несуществовании перестановки на координатах, относительно которой APN-функция сохраняет свои значения. Получены верхние оценки количества симметрических булевых функций среди координатных функций APN-функции, а также количества функций, сохраняющих своё значение на циклических сдвигах координат. Получена нижняя оценка числа различных значений APN-функции. Доказаны утверждения о максимально возможном количестве одинаковых значений у APN-функции при малом числе переменных.

Ключевые слова: векторная булева функция, APN-функция, симметрическая функция.

Важной частью в конструкции блочных шифров являются векторные булевы функции (S-блоки), которые должны обладать определёнными криптографическими свойствами. Доказанной стойкостью к дифференциальному криптоанализу обладает класс APN-функций — почти совершенно нелинейных функций [1]. В основе данной крипто-атаки лежит анализ пар открытых текстов (P, P') и соответствующих им пар шифр-текстов (C, C'), между которыми существуют разности AP = P ф P' и AC = C ф C'.

Функция F : Fn ^ F^ называется APN-функцией, если для любого a G (F^)* и любого b G Fn уравнение F(x) + F(x + a) = b имеет не более двух решений. В разное время [2] были получены некоторые алгебраические конструкции APN-функций: R. Gold (1968), T. Kasami (1971), H. Dobbertin (1999, 2000), T. Beth и C. Ding (1993), L. Budaghyan, C. Carlet, G. Leander (2008, 2009, 2013) [3], C. Bracken, E. Byrne, N. Markin, G. McGuire (2008, 2011). Исследованию свойств APN-функций посвящено много работ (М. М. Глухов, В. А. Зиновьев, K. Nyberg, C. Carlet, P. Charpin, H. Dobbertin, L. Budaghyan и др.). Тем не менее класс APN-функций до сих пор не описан и мало изучен, поэтому в данной области существует много интересных открытых вопросов, таких, как классификация и оценки количества функций этого класса, поиск конструкций и построение новых APN-функций, в частности взаимно однозначных. В силу сложности описания этого класса естественно рассматривать свойства его наиболее простых представителей, таких, например, как функций с низкой алгебраической степенью, симметрических функции и т. д.

Булева функция f от n переменных — симметрическая, если для любой перестановки п G Sn для любых Xi,... , Xn выполнено f (xi,... , xn) f(xn (1), . . . ,xn(n)). Можно заметить, что значение симметрической булевой функции f (x) зависит только от веса вектора x, следовательно, вектор значений и АНФ такой функции могут быть

24

Прикладная дискретная математика. Приложение

представлены в более компактном виде, что может быть полезно при аппаратной и программной реализации шифра.

Теорема 1. Пусть F — APN-функция от n переменных. Тогда не существует перестановки п £ Sn, отличной от тождественной, такой, что F(x) = F(n(x)) для любого x £ Fn.

Пусть функция F принимает t различных значений yi,... , yt. Определим множество Mi = {x : F(x) = yi}. Заметим, что если F — APN-функция от n переменных и принимает t различных значений yi,... , yt, то множества Mi, i = 1,... , t, не могут все одновременно являться слоями булева куба En.

Теорема 2. Пусть F — APN-функция из Fn в F£, F = (fi,... , fn), fi — координатные булевы функции. Тогда среди fi,... , fn не более a(n) симметрических, где

a(n)= [n - log2 Cn(n-i)/2jJ .

Помимо симметрических булевых функций, интерес в криптографии представляют также функции, которые сохраняют значения на всех циклических сдвигах координат вектора x, т. е. f (xi, x2,..., xn) = f (x2,..., xn, xi) = ... = f (xn, xi,..., xn-i) для любого вектора x из Fn — так называемые rotation symmetric Boolean functions (RotS). Следующее утверждение даёт верхнюю оценку количества координатных RotS-функций у APN-функции.

Теорема 3. Пусть F — APN-функция из Fn в F£, F = (fi,..., fn), fi — координатные булевы функции. Тогда среди fi,... , fn не более p(n) RotS-функций, где

p(n) = Ln - log2 nj.

Утверждение 1. Пусть F — APN-функция от n переменных. Тогда:

а) F принимает не менее ^(n) различных значений, где

. ч 1 + V2n+2 - 7

Mn) = —2—;

б) мощность |Mmax| ^ 2n — ^(n) + 1, где Mmax — максимальное по мощности множество Mi.

Верхняя оценка из утверждения 1, к сожалению, не даёт приближенного значения величины |Mmax| для наиболее распространённых размерностей, однако следующие свойства множеств Mi дают близкие к точным (в некоторых случаях — точные) оценки для малых n.

Утверждение 2. Пусть F — APN-функция. Тогда для любого i, для любых попарно различных векторов vr ,Vj , vl, vs из Mi верно vr + Vj + vl + vs = 0. В частности, никакое аффинное подпространство L, dim(L) ^ 2, не может быть подмножеством Mi.

Из утверждения 2 и свойств линейных пространств следуют оценки размера множества Mmax.

Утверждение 3. Пусть F — APN-функция от n переменных, n ^ 9. Тогда мощность |Mmax| не превышает числа £(n), где £(n) имеет следующие значения:

n 2 3 4 5 6 7 8 9

3 4 6 7 9 11 14 15

Дискретные функции

25

На следующих функциях оценка £(n) достигается: n = 2, F =(0 0 0 1); n = 3, F =(0 2 2 2 2 3 6 5);

n = 5, F =(0 0 0 1 0 2 4 8 0 3 6 12 7 16 25 23 0 7 3 22 28 19 9 0 19 8 15 28 21 9 29 2). Для следующих функций достижима оценка £(n) — 1:

n = 4, F =(0 0 0 1 0 2 4 7 0 4 6 3 8 14 10 13);

n = 6, F =(0 0 0 1 0 2 4 7 0 4 6 3 8 14 10 13 0 8 16 25 5 15 17 26 32 44 54 59 45 35 63 48 0 16 26 36 34 48 60 0 45 57 49 11 7 17 31 39 43 28 14 23 12 57 45 54 38 21 5 24 9 56 46 49).

ЛИТЕРАТУРА

1. Nyberg K. Differentially uniform mappings for cryptography // Eurocrypt'1993. LNCS. 1994. V. 765. P. 55-64.

2. Тужилин М. Э. Почти совершенные нелинейные функции // Прикладная дискретная математика. 2009. №3. С. 14-20.

3. Budaghyan L. Construction and Analysis of Cryptographic Functions. Habilitation Thesis, University of Paris, Sept. 2013.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/8/9

О ПЕРЕСЕЧЕНИИ МНОЖЕСТВ ЗНАЧЕНИЙ ПРОИЗВОДНЫХ

APN-ФУНКЦИЙ1

А. А. Городилова

Исследуются пересечения множеств значений производных двух APN-функций. Формулируются два вопроса: какова минимальная мощность таких пересечений и как связаны любые две APN-функции, множества значений производных которых попарно совпадают по каждому направлению. Получены частичные результаты по каждому из вопросов.

Ключевые слова: векторная булева функция, производная по направлению, APN-функция.

В работе рассматривается специальный класс векторных булевых функций — почти совершенные нелинейные функции (APN-функции). Векторная булева функция F : Fn ^ Fn называется APN-функцией, если для любых векторов a, b G Fn, где a — ненулевой вектор, уравнение F(x) ф F(xФa) = b имеет не более двух решений. Данные функции представляют интерес для использования в качестве узлов замены в блочных шифрах в силу их оптимальной стойкости к разностному криптоанализу. Однако класс APN-функций достаточно слабо изучен (см., например, обзор [2]), остаётся большое число открытых вопросов [3].

Настоящая работа посвящена исследованию пересечений множеств значений производных APN-функций. Производной функции F : Fn ^ Fn по направлению a G Fn называется функция DaF(x) = F(x) ф F(x ф a). По определению F — APN-функция, если её производные по каждому направлению принимают в точности 2n-1 различных значений, т.е. |Ba(F)| = |{DaF(x) : x G Fn}| = 2n-1. Для автора представляется интересным найти ответы на следующие вопросы.

Открытый вопрос 1. Каково минимальное пересечение множеств значений производных двух APN-функций?