Круговой цилиндр в околозвуковом потоке вязкого совершенного газа

Том XXXVIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 7

№ 3 — 4

УДК 533.6.011.35:629.7.024.36

КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР В ОКОЛОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОГО СОВЕРШЕННОГО ГАЗА

В. А. БАШКИН, И. В. ЕГОРОВ, И. В. ЕЖОВ, Д. В. ИВАНОВ

На основе численного интегрирования нестационарных двухмерных уравнений Навье — Стокса смоделировано обтекание кругового цилиндра установившимся трансзвуковым потоком вязкого совершенного газа. Расчеты для цилиндра с теплоизолированной ([дТ/дп\к = 0) поверхностью выполнены при числах Мш = 0.8 и

Яе = 105, когда обтекание тела носит нестационарный характер. Изучена эволюция структуры ближнего следа и местных аэродинамических характеристик цилиндра. Проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными.

При обтекании кругового цилиндра диаметром В неограниченным потоком вязкой несжимаемой жидкости со скоростью Vх определяющим параметром подобия является число Рейнольдса Яев = В/V, где V — кинематический коэффициент вязкости. Обширные экспериментальные и расчетные исследования позволили установить различные режимы его обтекания в зависимости от числа Яед (см., например, [1\).

При числах Яев < 10 реализуется безотрывная схема обтекания кругового цилиндра, а при числах 10 < ЯеВ < 60 в ближнем следе наблюдается классическая схема течения с замкнутой областью стационарного отрывного течения. С последующим возрастанием числа Яед (60 < Яев < 5000) течение в ближнем следе становится нестационарным и с поверхности

цилиндра периодически сходят вихри, что приводит к формированию в ближнем следе последовательности вихрей — вихревой цепочки Кармана.

3 5

Увеличение числа Рейнольдса в диапазоне чисел 5 -10 < ЯеВ < 10 вызывает усложнение структуры поля течения в ближнем следе из-за проявления пространственных эффектов, а в диапазоне чисел 105 < ЯеВ < 7 -105 приводит к турбулизации течения в нем. При числах

ЯеВ > 7 -105 точка ламинарно-турбулентного перехода располагается в пограничном слое на обтекаемой поверхности и после того, как она займет предельно верхнее положение, наступает стабилизация структуры поля течения и гидродинамических характеристик кругового цилиндра, т. е. независимость их от числа Яе.

Несмотря на имеющиеся достижения в изучении структуры поля течения около кругового цилиндра и поведения его гидродинамических характеристик, ряд частных проблем остается под вопросом. Поэтому и в настоящее время продолжаются интенсивные экспериментальные и теоретические исследования обтекания цилиндра потоком несжимаемой жидкости. Так, например,

в [2] экспериментально и численно исследовано обтекание цилиндра при малых числах Рейнольдса (Яед < 280) с особым акцентом на его отрывные характеристики.

В потоке сжимаемой жидкости число определяющих параметров подобия возрастает: наряду с числом Яе появляются число Маха М», температурный фактор, а также параметры, характеризующие модель движущейся среды.

При дозвуковых, трансзвуковых и малых сверхзвуковых скоростях невозмущенного потока, когда максимальные температуры в поле течения сравнительно невелики, обычно принимается, что обтекаемая поверхность тела является теплоизолированной ([дТ/дп\^ = 0). Тогда для фиксированной модели среды динамическое подобие полей течения около кругового цилиндра определяется двумя параметрами подобия — числами Яе и М ».

Согласно многочисленным экспериментальным исследованиям (см., например, [3—5]) при до- и околозвуковых скоростях набегающего потока влияние числа Яе на структуру поля течения около кругового цилиндра в качественном отношении аналогично тому, как это имеет место в несжимаемой жидкости, но с другими значениями критических чисел Яе. Только при числах М»> 0.9, когда около цилиндра формируется достаточно обширная область сверхзвукового течения, происходят качественные изменения в характере влияния числа Яе на структуру поля течения: сокращение размеров отрывной зоны, отсутствие режимов обтекания с периодическим сходом вихрей с обтекаемой поверхности и другие.

Таким образом, для кругового цилиндра в качественном отношении по числу М» имеем два характерных интервала: М» < 0.9 и М» > 0.9.

При числах М» > 0.9 численное моделирование обтекания кругового цилиндра обычно проводится в предположении, что движение в ближнем следе стационарно и симметрично относительно продольной оси координат. Поэтому расчеты выполняются для одной половины поля течения, результаты которых в целом хорошо согласуются с экспериментальными данными (см., например, [5\).

Большой научный и прикладной интерес представляет исследование обтекания кругового цилиндра однородным потоком вязкого газа при больших числах Рейнольдса в трансзвуковом диапазоне скоростей, в котором происходят качественные изменения в характере движения среды в ближнем следе.

В настоящей работе поперечное обтекание кругового цилиндра с теплоизолированной поверхностью ламинарным околозвуковым потоком вязкого совершенного газа численно смоделировано без предположения о симметрии течения. Расчеты выполнены при числах

М» = 0.8 и Яе = V»Я/V,» = 105 (Я — радиус цилиндра), когда поле течения около цилиндра является нестационарным. Цель расчетов — изучить особенности структуры поля нестационарного течения около кругового цилиндра и поведение его местных аэродинамических характеристик, а также провести верификацию метода численного моделирования. Следует отметить, что при указанном числе Яе в несжимаемом потоке при обтекании цилиндра течение в ближнем следе носит ярко выраженный пространственный характер. В сжимаемой среде для указанных условий обтекания кругового цилиндра пространственные эффекты практически не проявляются, что позволяет моделировать его обтекание на основе нестационарных двухмерных уравнений Навье — Стокса.

1. Нестационарные двухмерные уравнения Навье — Стокса в произвольной криволинейной системе координат ^, п, где х = х(^, п), У = У (^, п) — декартовы координаты (начало координат

помещено в центр цилиндра, а ось х направлена вниз по потоку и совпадает с направлением вектора скорости набегающего потока), записываются в дивергентном виде

д2+* + с = 0.

д( д£, дп

Здесь Q — вектор зависимых переменных задачи, Е и С — векторы потоков в криволинейной системе координат.

Векторы Q, Е и С связаны с соответствующими векторами Qc, Ес и Сс в декартовой системе координат формулами:

Q = ^с, Е = 1( Ес ^ + Сс ^

і дх ду

\

Ес 51 + Сс ^

дх ду

Здесь I = д(х, у)/д(Д, п) — якобиан преобразования.

Декартовы компоненты векторов Qc, Ес и Сс для двухмерных уравнений Навье — Стокса имеют вид:

Qc

р ри рv ри Pv

, Ес = ри2 + р -тхх рот -тху , Сс = Puv -тху рг;2 + р - туу

е и \ дТ риН итхх -vтxy -Х~дх и і дТ р\>Н -итху -Vтyy -Х~ду

Здесь р — плотность; и, V — декартовы компоненты вектора скорости; р — давление;

е = р (елГ + (и2 + V2 )у^) — полная энергия на единицу объема; Н = СрТ + (и2 + V2 )^2 — полная

энтальпия; Ср и су> — удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме; V — вектор

скорости; ц и X — коэффициенты динамической вязкости и теплопроводности; т — тензор вязких напряжений с компонентами:

, 2 ,. , 7 . ди Л (ди дvЛ

тхх = Н- V + 2 — I, т ху =т ух =ц

(

2

дv

Л

—аіу V+2—

, 3 ду.

ду дх

Система уравнений (1.1) для совершенного газа замыкается уравнением состояния

рЯёТ

Р = -

м

Здесь — универсальная газовая постоянная; М — молярный вес газа. Коэффициенты

переноса определяются следующим образом: динамический коэффициент вязкости в

0 7

зависимости от температуры изменяется по степенному закону ц/цю = (Т/Тю) ' , а число

Прандтля принимается постоянным Рг = цср I X = 0.7.

На искомое решение задачи накладываются граничные условия. На границе расчетной области, совпадающей с твердой поверхностью тела, ставились граничные условия непротекания и прилипания и условие теплоизолированности ([дТ/ди]^ = 0) обтекаемой поверхности. На

внешней границе расчетной области задавались условия излучения, записанные в инвариантах Римана и соответствующие расходящейся волне:

--------u-------v— = const, a2

Y -1 dx dy

p

— = const,

PY

SE

a3 = v-----------u — = const, a 4

3 dx dy 4

-------+ u--------+ v— = const,

Y -1 dx dy

где a — скорость звука. При этом в каждой точке входной границы анализировались знаки собственных чисел

определяющих направление распространения возмущений относительно £, = const. При Хг- > 0 («входная граница») соответствующий инвариант на внешней границе вычислялся по значениям газодинамических переменных набегающего потока, а в случае Ху < 0 использовалась мягкая интерполяция вида - 2Uk-i + Uk-2 = 0, где U — вектор инвариантов Римана. На внутренней границе расчетной области, совпадающей с положительной осью абсцисс, ставились условия периодичности.

Для численного анализа система уравнений (1.1), (1.2) приводится к безразмерному виду путем деления декартовых координат на характерный линейный размер R, компонентов вектора

2

скорости — на скорость V», давления — на удвоенный скоростной напор 2q» = p»V», время — на характерное время пребывания жидкой частицы около тела t* = R/V»; остальные газодинамические переменные относятся к их значениям в набегающем потоке.

Затем система дифференциальных уравнений преобразовывается к системе алгебраических разностных уравнений с помощью интегро-интерполяционного метода (метода конечного элемента). При этом конвективные потоки аппроксимируются монотонной схемой второго порядка точности, а диффузионные составляющие вектора потока - схемой типа центральных разностей второго порядка точности. Система нелинейных разностных уравнений решается модифицированным методом Ньютона с формированием матрицы Якоби при помощи конечных приращений вектора невязки по вектору искомых сеточных переменных. Подробное описание методики численного анализа приведено в [6].

Численное моделирование на основе уравнений Навье — Стокса обтекания цилиндра с теплоизолированной поверхностью околозвуковым потоком (М» = 0.8) совершенного газа при

Re = 105 без предположения о симметрии поля течения проведено на ортогональной неравномерной сетке с числом узлов 201 х 401. Расчетная область простиралась в горизонтальном направлении вверх и вниз по потоку на 50 калибров и в вертикальном направлении вверх и вниз от цилиндра на 100 калибров.

Расчеты нестационарных уравнений Навье — Стокса выполнены в интервале 0 < t =

установления общей структуры поля течения требуется время ^ < 100, а для установления «тонкой» структуры — время ^ < 150. Таким образом, выбранный временной интервал вполне достаточен для выхода решения задачи на квазипериодический режим течения.

2. Об общей структуре поля стационарного течения около тела, обтекаемого однородным стационарным потоком, обычно судят по картинам полей газодинамических переменных. В случае нестационарного течения около тела приходится рассматривать эволюцию картин мгновенных полей газодинамических переменных.

Согласно численным экспериментам при получении стационарного решения для

Применительно к цилиндру, обтекаемому околозвуковым потоком газа, наиболее интенсивные нестационарные процессы происходят в донной области и связаны с формированием и сходом вихрей с обтекаемой поверхности и диффузией их в следе за телом. Но влияние этой нестационарности распространяется достаточно далеко вверх по потоку, обусловливая осцилляции газодинамических переменных. Для подтверждения сказанного на рис.

1 показана эволюция коэффициента давления ср =(р - рю)^(0 5рюК02 ) в четырех характерных

точках А (-1,0), В (0,1), С (1,0), В (0, -1), расположенных на поверхности цилиндра в горизонтальной и вертикальной плоскостях симметрии.

б)

<0

г)

Рис. 1. Эволюция коэффициента давления ср в характерных точках на поверхности цилиндра:

а — точка А

В точке А коэффициент давления слабо осциллирует с максимальным отклонением от среднего значения Срт = 1.21483 менее 1%, что позволяет говорить о квазистационарности

течения

в окрестности точки А и рассматривать ее как неподвижную переднюю критическую точку (точку растекания) во все время движения. Далее вниз потоку от нее нестационарность течения усиливается, и в миделевом сечении (точки В и В) коэффициент давления осциллирует с большой амплитудой — наибольшее отклонение от среднего значения (Срт =-1.24761 в точке В

и Срт =-1.14559 в точке В) порядка 70%. При этом в указанных точках осциллирующие

составляющие коэффициентов давления находятся в противофазе. В точке С наблюдаются сильное разрежение и пульсации с большой амплитудой (максимальное отклонение от среднего значения срт = -1.55895 порядка 50%).

Из приведенных данных следует, что мгновенные поля газодинамических переменных, в частности, коэффициента давления являются асимметричными относительно оси абсцисс. Это обусловливает появление у цилиндра нестационарной подъемной силы, осциллирующей с большой амплитудой. Сопоставление зависимостей, приведенных на рис. 1, б и 1, г, показывает, что кроме сдвига фазы осцилляции они отличаются по форме и амплитуде. Это, в свою очередь, обусловливает асимметричность осредненных полей газодинамических переменных относительно оси абсцисс.

Как отмечалось выше, при обтекании кругового цилиндра однородным установившимся потоком газа на его поверхности в точке А располагается передняя критическая точка (точка растекания), в которой местное напряжение трения равно нулю. Далее вниз по потоку от нее как на верхней, так и на нижней поверхности цилиндра местное напряжение трения изменяется немонотонным образом и в ряде точек принимает нулевое значение. Это особые точки типа «седло»,

в которых происходит ветвление нулевой линии тока. Кроме упомянутой выше особой точки А, будем различать особые точки К, и Я — задняя критическая точка, точка отрыва и точка присоединения потока соответственно. Для последних двух точек используются нижние индексы 1, 2 и 3 для обозначения точек первичного, вторичного и третичного отрыва и присоединения потока соответственно.

Положение особых точек на поверхности цилиндра, за исключением особой точки А, сильно изменяется со временем. В качестве примера на рис. 2 показана эволюция положения первого нуля местного напряжения трения (вниз по потоку от точки А) на верхней и нижней поверхности цилиндра. Здесь 0 — центральный угол, отсчитываемый от передней критической точки по часовой стрелке. Согласно приведенным данным положение первых нулей на поверхности цилиндра изменяется во времени в интервале 6О°<|01 |<180° и указывает на

осциллирующий характер течения около цилиндра. Наличие разрывов в приведенных зависимостях говорит о том, что

в процессе эволюции бывают моменты времени, когда на обтекаемой поверхности образуются области нулевого или почти нулевого напряжения трения. Кроме того, можно видеть, что решение задачи при больших временах не является гармоническим с одной характерной частотой,

а представляет собой суперпозицию ряда гармоник. Каждый цикл имеет разную продолжительность по времени и различную амплитуду, в результате этого эволюция поля течения на протяжении разных циклов будет различной в некоторых деталях, но однотипной в главных закономерностях, связанных с формированием и сходом вихрей с обтекаемой поверхности. Поэтому анализ эволюции структуры поля течения около цилиндра проведем для цикла, соответствующего последним десяти единицам безразмерного времени (189.9 < t < 198.4).

100 120 140 160 180 I 200

Рис. 2. Эволюция положения первого нуля местного напряжения трения на верхней и нижней поверхностях цилиндра

Поле нестационарного течения около кругового цилиндра можно разделить на две области. Первая из них расположена непосредственно в окрестности цилиндра, и в ней происходит формирование и сход вихрей с обтекаемой поверхности. Вторая область располагается вниз по потоку от первой, и в ней происходит распространение и диффузия оторвавшихся вихрей.

Поскольку во второй области происходят количественные изменения, то можно ограничиться рассмотрением полей газодинамических переменных для одного момента времени. В качестве примера на рис. 3 приведены картины изолиний у = const и ю = const для момента

времени t =189.9. Здесь Y = Y*/(pMV»R) — функция тока, значение которой сохраняется

<a*R dv du

постоянным вдоль линии тока, и ю =-----------=---------— компонент вектора завихренности,

дх ду

ортогональный плоскости течения. При этом белым кривым соответствуют положительные, а черным — отрицательные значения функции тока и завихренности.

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 28 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46

б)

Рис. 3. Картина изолиний ю = const (а) и линий тока у = const (б) около кругового цилиндра в момент времени t = 189.9; Аю = 0.1, Ау = 0.265

В начале второй области оторвавшиеся вихри образуют цепочку Кармана (рис. 3, а). По мере продвижения вихрей вниз по потоку их интенсивность уменьшается, и в дальнем следе имеет место течение с почти однородной завихренностью в поперечном направлении.

Мгновенная структура поля течения второй области характеризуется наличием взаимопроникающих потоков с верхней и нижней полуплоскостей, глубина проникновения которых уменьшается вниз по потоку (рис. 3, б). «Нулевая» линия тока, разделяющая потоки с верхней и нижней полуплоскостей, представляет собой затухающую осциллирующую кривую, каждая петля которой охватывает соответствующий вихрь.

Ниже основное внимание уделено анализу эволюции картины линий тока и поля завихренности в первой области течения около цилиндра.

3. Поскольку картина линий тока в окрестности передней критической точки практически стационарна, то ниже в основном обсуждается изменение картины линий тока в первой области ближнего следа (рис. 4 и 5). При этом на приведенных картинах лучи, выходящие из центра цилиндра, показывают положение особых точек на обтекаемой поверхности.

Анализ эволюции картин линий тока показал, что в произвольный момент времени около цилиндра реализуется достаточно сложная структура поля течения, которая устанавливается по поведению «нулевой» линии тока и характеризуется следующим.

«Нулевая» линия тока из минус бесконечности вдоль оси абсцисс приходит в переднюю критическую точку A цилиндра, в которой происходит ее ветвление на две, одна из них идет вдоль верхней, а вторая — вдоль нижней поверхности цилиндра. Встречаются эти линии тока в задней критической точке K, которая располагается либо на нижней, либо на верхней поверхности цилиндра. Объединенная «нулевая» линия тока в точке K покидает обтекаемую поверхность и немонотонным образом уходит вниз по потоку в бесконечно удаленную точку,

а)

б)

в)

г)

Рис. 4. Эволюция картины линий тока в ближнем следе цилиндра на этапах I и II:

а — г =189.9; б — г =190.8; в — г =192.3; г — г = 192.4; Лу = 0.053, 0.0106

отделяя потоки, соответствующие верхней и нижней полуплоскостям набегающего потока. При этом малая дуга АК поверхности цилиндра обтекается безотрывно, а большая дуга АК — с отрывом потока с образованием нескольких последовательно расположенных замкнутых локальных зон отрывного течения; при этом некоторые из них могут содержать в себе локальные вторичные и даже третичные зоны отрывного течения. На протяжении цикла точка К несколько раз скачкообразно переходит с одной стороны цилиндра на другую. Каждый такой переход характеризуется сменой структуры поля течения и направленности эволюционных процессов в ближнем следе.

На рассматриваемом интервале времени (189.9 < г < 198.4) задняя критическая точка К

испытывает четыре таких скачкообразных перехода, что позволяет выделить пять характерных эволюционных этапов: I) 189.9 < г < 192.3; II) 192.4 < г < 194.3; III) 194.4 < г < 195.5; IV) 195.6 < г < 196; V) 196.1 < г < 198.4. При этом она располагается на нижней поверхности на этапах I, III, V и на верхней поверхности цилиндра на этапах II и IV.

Рассмотрим эволюционные процессы, происходящие на каждом из этих этапов.

Этап I. В начале этапа задняя критическая точка К располагается на нижней лобовой поверхности цилиндра в окрестности миделевого сечения (рис. 4, а). При обтекании большой дуги АК образуются три последовательно расположенные локальные зоны отрывного течения; при

этом первая отрывная зона, которая начинается на верхней лобовой поверхности цилиндра и является наибольшей по размерам, содержит в себе локальные вторичные отрывные зоны.

В последующие моменты времени в поле течения происходят хотя и заметные, но в основном количественные изменения (^ =190.8, рис. 4, б).

Задняя критическая точка К несколько смещается вверх по потоку, а на верхней поверхности цилиндра точка первичного отрыва существенно смещается вниз по потоку и располагается в донной области. Такое сильное смещение точки первичного отрыва связано с образованием участка с почти нулевым напряжением трения (рис. 8, б).

Кроме того, на верхней части поверхности сократилось число локальных отрывных зон — первая и вторая локальные отрывные зоны объединились в одну, которая приняла форму асимметричной гантели. Можно сказать, что начался процесс оттеснения «белой» жидкости «черной» от донной поверхности цилиндра.

Далее с течением времени этот процесс оттеснения усиливается и сопровождается постепенным упрощением структуры ближнего следа — к моменту времени t =192.3 образуется одна локальная зона первичного отрывного течения, содержащая в себе небольшую локальную вторичную отрывную зону (рис. 4, в). При этом точка первичного отрыва на верхней половине цилиндра сместилась вверх по потоку, оставаясь в донной области, а задняя критическая точка К на нижней половине также сместилась вверх по потоку и заняла предельно верхнее положение на лобовой поверхности.

Этап II. При t =192.4 происходят скачкообразно качественные изменения в структуре поля течения (рис. 4, г). Задняя критическая точка К переместилась с нижней поверхности на верхнюю, а большая дуга АК обтекается с отрывом потока с образованием двух последовательно

расположенных локальных зон отрывного течения: первая зона располагается на нижней поверхности, вторая зона — на верхней поверхности цилиндра. С последующим возрастанием времени вторая отрывная зона увеличивается по своим размерам, а первая отрывная зона уменьшается и исчезает к моменту времени t =192.8. В результате этого остается одна отрывная зона с точкой первичного отрыва, расположенной в донной области в окрестности оси абсцисс, при этом в ней образуется вторичная отрывная зона. Главным итогом этого этапа является формирование «черной» петли.

Этап III. При t = 194.4 скачкообразно изменяется структура поля течения (рис. 5, а). Задняя критическая точка К перемещается с верхней поверхности на нижнюю, располагаясь в донной области в окрестности оси абсцисс, а большая дуга АК обтекается с отрывом потока с образованием двух последовательно расположенных локальных зон отрывного течения. При последующем возрастании времени происходят количественные изменения — точка К медленно смещается вверх по потоку, оставаясь в донной области цилиндра, а первая точка первичного отрыва располагается на верхней лобовой поверхности в окрестности миделя и практически не изменяет своего положения. На этом этапе происходит начальная стадия оттеснения «черной» петли «белой» жидкостью от донной области цилиндра.

Рис. 5. Эволюция картины линий тока в ближнем следе цилиндра на этапах III, IV и V:

а — ґ =194.4; б — ґ =195.6; в — ґ =196.1; г — ґ = 197.1; д — ґ = 198.4; Лу = 0.053, 0.0106

Этап IV. Почти мгновенное изменение структуры поля течения происходит при t = 195.6 (рис. 5, б). Задняя критическая точка К перемещается с нижней поверхности на верхнюю, располагаясь на лобовой поверхности в окрестности миделя. При обтекании большой дуги АК в донной области цилиндра образуются две последовательно расположенные локальные зоны отрывного течения, которые внутри себя содержат локальные вторичные отрывные зоны. Первая, наибольшая по размерам, зона начинается на нижней и заканчивается на верхней стороне цилиндра, а вторая зона целиком располагается на верхней стороне цилиндра. Далее по мере возрастания времени наблюдаются количественные изменения, связанные с процессом оттеснения «черной» петли «белой» жидкостью от донной области цилиндра. При этом точка первичного отрыва первой зоны медленно смещается вверх по потоку, а положение задней критической точки остается практически неизменным. Процесс оттеснения обусловлен ростом размеров первой отрывной зоны.

Этап V. Структура поля течения скачкообразно изменяется при t = 196.1 (рис. 5, в). Задняя критическая точка К перемещается с верхней поверхности на нижнюю, располагаясь в донной области, а большая дуга АК обтекается с отрывом потока с образованием двух последовательно расположенных локальных зон отрывного течения. При этом начало первой, наибольшей отрывной зоны располагается на лобовой верхней поверхности цилиндра в окрестности его миделя. Таким образом, заканчивается процесс оттеснения «черной» петли «белой» жидкостью от донной области цилиндра и начинается процесс формирования «белой» петли, который проходит две стадии.

На первой начальной стадии (196.1 < t < 197.1) «белая» петля формируется в основном за

счет перемещения вниз по потоку «черной» петли; при этом задняя критическая точка и первая точка первичного отрыва несколько смещаются вверх по потоку, что практически не сказывается на размерах отрывных зон (рис. 5, г). На второй заключительной стадии (197.2 < t < 198.4) этот

процесс сопровождается также заметной деформацией отрывных зон — первая зона уменьшается по своим размерам и перемещается в донную область, а вторая зона усиливает свою интенсивность (рис. 5, д). В результате имеет место картина течения, сходная с картиной линий тока

в начале рассматриваемого цикла при t = 189.9.

4. Рассмотрим теперь эволюцию поля завихренности ю, которая зарождается в окрестности кругового цилиндра и сносится далее вниз по потоку. При этом на каждой половине цилиндра порождается завихренность обоих знаков. Однако на верхней половине цилиндра преимущественно порождается положительная («белая»), а на нижней половине — отрицательная («черная») завихренность, что приводит к сходу с поверхности тела вихря соответствующего знака (цвета) (рис. 6).

а) б)

Рис. 6. Картины изолиний ю = const с интервалом Аю = 0.5 для разных моментов времени: a — t =189.9; б — t = 190.8; в — t = 192.4; г — t = 194.4; д — t =195.6; e — t =196.1; ж — t =197.6; з — f =198.4

Отметим, что поле завихренности при переходе от одного этапа к другому изменяется непрерывным образом.

Этап I. Поле завихренности в начальный момент времени ^ =189.9) характеризуется тем, что в верхней полуплоскости с обтекаемой поверхности цилиндра только что произошел сход «белого» вихря, а в нижней полуплоскости начинается процесс схода «черного» вихря (рис. 6, а). В окрестности цилиндра сформировался ряд вихревых образований. При этом на верхней стороне цилиндра главная «белая» вихревая область имеет форму криволинейного треугольника, основание которого начинается на лобовой поверхности и заканчивается в нижней части донной области цилиндра. На нижней стороне почти полностью сформировался «черный» отрывающийся вихрь. По своей форме эта вихревая область напоминает «головастика», большую «голову» которого образует отрывающийся вихрь; при этом часть «головы» размещается в верхней половине поля течения.

В последующие моменты времени в поле завихренности происходят в основном количественные изменения ^ =190.8, рис. 6, б), связанные с процессом оттеснения «черного» вихря «белой» вихревой областью. В окрестности цилиндра «голова» «черной» вихревой области смещается вниз по потоку и увеличивает свое проникновение в верхнюю полуплоскость. При

этом

несколько удлиняется ее «хвост», положение которого на поверхности цилиндра перемещается с кормовой на лобовую его часть. «Белая» вихревая область также увеличивает свое проникновение в нижнюю полуплоскость, занимая большую часть донной области. Она сохраняет форму криволинейного треугольника, который с небольшими деформациями поворачивается по часовой стрелке.

В последующие моменты времени продолжается процесс оттеснения «черного» вихря «белой» вихревой областью. При этом она сильно деформируется и принимает форму криволинейного четырехугольника; «белая» вихревая область настолько глубоко проникает в нижнюю полуплоскость, что занимает почти всю донную часть ближнего следа (рис. 6, в).

Этап II. На этом этапе продолжается процесс схода «черного» вихря с обтекаемой поверхности. Картина поля завихренности в начальный момент времени (У = 192.4) показана на рис. 6, в, и при последующем возрастании времени она непрерывно эволюционирует к картине, показанной на рис. 6, г. В конце этапа «черная» вихревая область почти окончательно разделяется на две части: «голова» превращается в отрывающийся вихрь, а «хвост» принимает форму криволинейного треугольника и начинает вытеснять из донной области «белую» вихревую область, которая принимает улиткообразную форму с головкой, направленной в зону раздела. Можно сказать, что на этом этапе одновременно начинает формироваться «белый» отрывной вихрь.

Этап III. На этом этапе происходит сход «черного» вихря с обтекаемой поверхности (У = 194.8), окончательно формируется «белый» отрывающийся вихрь, который сохраняет улиткообразную форму, и происходит процесс его оттеснения от донной области «черным» вихревым образованием (рис. 6, д).

Этап IV. На этом коротком этапе продолжается процесс оттеснения «белого» отрывного вихря, сохраняющего улиткообразную форму, от донной области «черным» вихревым образованием, принимающим в конце этапа форму, близкую к четырехугольнику, и занимающим большую часть донной области ближнего следа (рис. 6, е).

Этап V. В течение этого этапа происходит сход «белого» вихря с обтекаемой поверхности (У =197.6, рис. 6, ж), «белая» вихревая область на верхней стороне цилиндра сокращает свои размеры и принимает форму криволинейного треугольника, а «черная» вихревая область увеличивает свои размеры и принимает улиткообразную форму (рис. 6, з). Иными словами, происходит формирование «черного» отрывающегося вихря и начинается процесс его оттеснения от донной области «белым» вихревым образованием. В результате этих процессов в конце этапа структура поля завихренности близка к той структуре, которая имела место в начале цикла при У =189.9.

5. Эволюция распределения коэффициента давления по поверхности цилиндра показана на рис. 7 в виде зависимости ер от угла 0 для фиксированных моментов времени. При этом

интервал 0<0<18О° соответствует верхней половине цилиндра, а интервал 18О°<0<36О° — нижней его половине. На приведенных зависимостях указано также положение особых точек на обтекаемой поверхности. Можно видеть, что особые точки располагаются вблизи соответствующих локальных экстремумов в распределении коэффициента давления, но в общем случае

не совпадают с ними.

Этап I. В начале этапа на лобовой поверхности цилиндра на обеих его частях коэффициент давления монотонно уменьшается по мере отхода от передней критической точки и достигает

минимального значения с^ и при углах 0 = 0^^ ~72° и 0^ ~ 77° соответственно

(рис. 7, а). При этом на верхней половине цилиндра коэффициент давления почти сразу за точкой

минимума выходит на постоянное значение («полка»), т. е. сР,1)С0П8г « с^т, в то время как на

нижней половине он сначала увеличивается и лишь затем выходит на «полочное» значение, т. е.

срСмв! > . На обеих половинах цилиндра «полки» заканчиваются на соответствующей его

1-т

кормовой части. При этом ср С0П81 > ср С0П81 и

Рис. 7. Эволюция распределения местного коэффициента давления ср вдоль омываемой поверхности цилиндра:

в кормовой части цилиндра коэффициент давления изменяется немонотонным образом между «полочными» значениями.

С последующим возрастанием времени происходят в основном количественные изменения (рис. 7, б). Положение минимума коэффициента давления монотонно смещается вниз по потоку на верхней половине цилиндра и вверх по потоку на нижней его половине. «Полочное» значение коэффициента давления уменьшается на верхней половине и возрастает на нижней половине цилиндра; при этом в конце этого этапа наблюдается стабилизация «полочных» значений коэффициента давления, а точка минимума коэффициента дав-

ления достигает миделевого сечения цилиндра. На верхней половине цилиндра длина области «полки» сокращается и в конце этапа стягивается в точку, в то время как на нижней половине цилиндра она увеличивается.

Этап II. На рассматриваемом этапе в

распределении коэффициента давления на

верхней половине цилиндра начинают

происходить качественные изменения: в начале

этапа точка локального минимума коэффициента

давления занимает предельно нижнее положение

(рис. 7, в). С последующим увеличением времени

она начинает медленно смещаться вверх по

потоку, переходит с кормовой части на лобовую, а

«полочное» значение коэффициента давления

медленно возрастает. В результате постепенно

формируется распределение с условием

с

p const ^pmin •

На нижней половине цилиндра точка локального минимума давления достигает своего предельно верхнего положения на лобовой поверхности, а затем смещается вниз по потоку; при этом «полочное» значение коэффициента давления медленно уменьшается и формируется

„

„

a -

-1 =189.9; б — t =

д — t =

190.8; в — t = 196.1; e — t =

192.4; г -198.4

t =194.3;

распределение с условием cp Const - ~pmm-

Однако при этом остается в силе соотношение

с

p const p const •

Этапы III и IV. На рассматриваемых двух этапах в распределении коэффициента давления происходят в основном количественные изменения (рис. 7, г и 7, д). Точки минимума достигают предельно верхнего положения на верхней половине цилиндра и предельно нижнего положения на нижней половине цилиндра и слегка осциллируют около соответствующего положения.

медленно возрастают, и формируется четкая

1-Т

При этом значения с^ и соответственно cp const

«полка» конечной длины, а значения с

и соответственно с

p const

медленно уменьшаются

с одновременным сокращением длины «полки», которая стягивается в точку в конце временного

интервала. В результате уже в начале этого распределение коэффициента давления с выполнением условия с

временного

интервала

„

устанавливается

> c

p const p const •

Этап V. На протяжении этого этапа в распределении коэффициента давления наряду с количественными изменениями происходят и качественные изменения (рис. 7, д и 7, е). В начале этапа точки локального минимума смещаются вверх по потоку как на верхней, так и на нижней половинах цилиндра; при этом на обеих половинах цилиндра «полочные» значения коэффициента давления превышают соответствующие минимальные значения. В последующие моменты времени на верхней половине цилиндра точка минимума на лобовой поверхности достигает предельно верхнего положения, а затем начинает смещаться вниз по потоку. При этом различие между минимальным и «полочным» значениями коэффициента давления уменьшается

(1) (1) ТТ

и в конце этапа cp const * cp min. На нижней

половине цилиндра точка минимума смещается вверх по потоку и переходит с кормовой части на лобовую; при этом «полочные» значения коэффициента давления слегка подрастают, так

что в конце этапа cp2Const > cpl}const.

6. Эволюция распределения местного коэффициента сопротивления трения по обтекаемой поверхности цилиндра при числах

Мю = 0.8 и Re = 105 показана на рис. 8.

Этап I. На верхней половине цилиндра в передней критической точке местный коэффициент сопротивления трения принимает нулевое значение и монотонно возрастает по мере удаления от нее, достигая максимального значения при 9*67° (рис. 8, а). За точкой максимума напряжение трения резко уменьшается и достигает нулевого значения при 9 * 80° (точка ^1 первичного отрыва); затем оно сохраняет нулевое или близкое к нему постоянное значение на участке 80°<9<110° («полка» — участок поверхности между точками ^ и R2), где имеет место течение с профилем скорости отрывного типа. Далее на участке поверхности 110° < 9 <142° (длина вторичной зоны отрывного течения) вновь возникает положительное напряжение трения и при 9*142° (точка S2) наблюдается вторичный отрыв потока. На нижней половине цилиндра местный коэффициент сопротивления трения монотонно возрастает от нулевого значения в передней критической точке до максимального значения в точке 9 *-70°. За точкой максимума напряжение трения резко уменьшается и достигает нулевого значения 9 *-75°,

где имеет место задняя критическая точка K (точка стекания). В области течения между точками S2 и K напряжение трения изменяется

местного c^VRe

Рис. 8. Эволюция распределения коэффициента сопротивления трения С вдоль

ваемой поверхности цилиндра: г = 189.9; б — г =190.8; в — г = 192.4; г — г = 194.3;

омы-

^ 190.8; в — = 196.1; е -

- 192.4; г — 198.4

немонотонным образом с рядом локальных экстремумов, что указывает на сложную структуру ближнего следа.

В начале этапа с возрастанием времени характер распределения напряжения трения в целом сохраняется и происходят небольшие количественные изменения: на верхней половине цилиндра особые точки смещаются вниз, а на нижней половине — вверх по потоку (рис. 8, б). При последующем увеличении времени на верхней половине цилиндра точка первичного отрыва достигает предельно нижнего положения и затем начинает смещаться вверх по потоку; при этом длина «полки» сокращается, постепенно стягиваясь в точку и вызывая формирование «бесполочного» распределения напряжения трения. На нижней половине цилиндра задняя критическая точка К смещается вверх по потоку и в конце этапа занимает свое предельно верхнее положение.

Этап II. На этом этапе в связи со скачкообразной перестройкой структуры поля течения задняя критическая точка К располагается на верхней поверхности цилиндра, а первая точка первичного отрыва «І — на нижней (рис. 8, в). С течением времени точка К смещается вверх по потоку, переходя с кормовой части на лобовую, а точка отрыва «1 — вниз по потоку, достигая предельно нижнего положения. При этом к концу этапа имеет место «полочное» распределение напряжения трения как на верхней, так и на нижней половине цилиндра.

Этап III. На протяжении этого этапа задняя критическая точка К располагается на нижней поверхности цилиндра, а первая точка первичного отрыва «і — на верхней (рис. 8, г). С течением времени в распределении напряжения трения происходят небольшие количественные изменения. Точка отрыва «і находится на лобовой поверхности в окрестности миделевого сечения цилиндра и незначительно смещается вниз по потоку; точка К, занимая в начале этапа предельно нижнее положение, начинает медленно смещаться вверх по потоку.

Этап IV. На этом этапе, как и на предыдущем, с течением времени в распределении напряжения трения происходят небольшие количественные изменения (рис. 8, д). Задняя критическая точка К, располагаясь на верхней поверхности цилиндра, почти не меняет своего положения,

а точка отрыва «і на нижней поверхности смещается вверх по потоку, оставаясь в донной области цилиндра.

Этап V. На этом этапе первая точка первичного отрыва «і располагается на верхней поверхности цилиндра, а задняя критическая точка К — на нижней (рис. 8, д и 8, е).

В начале этапа точка отрыва «і находится на лобовой поверхности цилиндра. С увеличением времени она смещается вверх по потоку и достигает своего предельно верхнего положения (0« * 75°) на обтекаемой поверхности. При ґ =197.6 ее положение скачкообразно переходит

с лобовой поверхности на кормовую (0« * 125°). При последующем возрастании времени точка отрыва медленно смещается вниз по потоку, достигая в конце этапа своего предельно нижнего положения (0« * 133°).

Точка К в начале этапа располагается в кормовой части цилиндра (0к *-117°), а затем

непрерывно смещается вверх по потоку, переходя с кормовой поверхности на лобовую.

Отметим, что на протяжении цикла локальные максимумы местного напряжения трения в донной области цилиндра могут превышать его максимум на лобовой поверхности.

7. В [3, 4] приведены результаты экспериментального исследования поперечного обтекания кругового цилиндра трансзвуковым потоком воздуха, в частности для числа Мю = 0.8 приведены результаты измерений распределения по поверхности цилиндра давления и напряжения трения для чисел Яе = 0.83-105, 2.5-105 (Яе^ = 1.66-105, 5-105). При первом

числе Рейнольдса реализуется ламинарное, а при втором числе Рейнольдса — ламинарнотурбулентное обтекание цилиндра.

. ' ' ' '  i i i • i i i . i i . | . i i i | i i i .

2 ♦

3 *

i .... , ... i .... i .... '

О 20 40 60 80 100 0 120

Рис. 9. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по местному коэффициенту давления ер на поверхности цилиндра:

расчет: 1 — Re = 105 (t =189.9, верхняя сторона); эксперимент: 2 — Re = 0.83-105;

5 — Re = 2.5-105

Отметим, что приведенные экспериментальные данные по давлению и напряжению трения представляют собой некоторые средние значения, усредненные на различных временных интервалах. Экспериментально полученные распределения коэффициента давления для указанных чисел Рейнольдса представлены на рис. 9 и практически совпадают между собой. Они представляют собой монотонно убывающие зависимости с плавным выходом примерно при 9*73° на «полку» — почти постоянное отрицательное значение. Как было показано выше, такой тип распределения коэффициента давления реализуется на протяжении рассмотренного цикла в некоторые интервалы времени. Для целей сравнения был выбран момент времени, когда точка первого нуля напряжения трения занимает на лобовой поверхности предельно верхнее положение. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными (см. рис.

9).

Экспериментальные распределения напряжения трения по лобовой поверхности цилиндра показаны на рис. 10 в виде зависимости величины C° = Cf л/Re от угла 9. Это позволяет сделать

рассматриваемые величины порядка единицы, уменьшить влияние числа Рейнольдса на рассматриваемые зависимости и установить области турбулентного течения в пограничном слое.

В частности можно видеть, что при числе Re = 2.5 -105 в диапазоне 40° <9 <75° наблюдается аномальное поведение зависимости, что указывает на турбулизацию и реламинаризацию течения в пограничном слое. На рис. 10 проведено также сопоставление расчетных и экспериментальных данных, причем расчетные данные соответствуют тому же моменту времени, что и при сравнении результатов по коэффициенту давления. Можно видеть вполне удовлетворительное согласование расчета с экспериментом.

На основе расчетных данных были вычислены средние распределения коэффициента давления и напряжения трения по верхней и нижней поверхности цилиндра путем усреднения

 ' г , к ~ « « « ж * * «  ..«««: „ 3 * •

\ :

"Í« Л х V + :  \ х: *

' « i i . i , « . . ........

0 10 20 30 40 60 во 70 80 9 90

Рис. 10. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по местному коэффициенту сопротивления трения С ° = с/^ на поверхности цилиндра:

расчет: 1 — Re = 105 ( =189.9, верхняя сторона); эксперимент: 2 — Re = 0.83-105;

3 — Re = 2.5-105

соответствующих данных на временных интервалах = 200-1* = 10, 25.6, 50, где и — время, с которого начинается процесс усреднения. Сопоставление этих распределений с соответствующими экспериментальными данными показано на рис. 11 и 12.

Л ** х1 * * 2  з ; 4 . _

5 *

.... .... 1 ... .

во

а)

в 120

з : . . 4 ♦

5 * -

.... 1 .... 1 ... . х * х * У « ** *• Л . •

в 120

6)

Рис. 11. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по местному коэффициенту давления ер на верхней (а) и нижней (б) поверхностях

цилиндра:

расчет при числе Яе = 105: 1 — Аt = 10; 2 — = 25.6; 3 — Аt = 50; эксперимент:

в

с°

X * }— х , ж х 2 : X X ^ . .....

* * X 'Ч., \

X *х

.... 1 .... 1 ... . . ... 1 .... 1 .... 1 ... .

30 40

а)

80 0 90

в

с°

. ... 1 ... . ,...хх. х. X X ......... 1 ... . _ х 2 — * з :

* х ** * ♦ ♦ ♦ ♦ «. чх 5  :

. * . 1 . . . . 1     1   .  1 ....

30 40 50 во

80 0 90

4 — Яе = 0.83-105; 5 — Яе = 2.5• 105

Рис. 12. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по местному коэффициенту сопротивления трения С ° = С/Тяе на верхней

поверхностях цилиндра: расчет при числе Яе = 105: 1 — А = 10; 2 — А = 25.6; 3 — А = 50; эксперимент:

4 — Яе = 0.83 • 105; 5 — Яе = 2.5-105 Первый интервал включает в себя только один полный цикл, поэтому результаты усреднения на этом интервале учитывают специфику рассматриваемого цикла и отличаются от данных усреднения на двух последующих интервалах. В то же время интервалы А^ = 25.6и 50 содержат достаточно большое число циклов, и результаты усреднения на них практически совпадают между собой, т. е. при А^ > 25.6 наблюдается независимость результатов усреднения от величины временного интервала, на котором оно проводится.

Все расчетные распределения усредненного коэффициента давления имеют в качественном отношении одинаковый характер поведения, который соответствует экспериментальным данным (см. рис. 11). При этом наблюдается полное согласование между расчетными и

экспериментальными данными на лобовой поверхности цилиндра при 101 < 60° и

рассогласование их на остальной части поверхности. Распределение Ср, соответствующее интервалу А^ = 10, в силу специфики рассматриваемого цикла наиболее сильно отличается от

эксперимента на верхней поверхности цилиндра и имеет наилучшее согласование с ним на

нижней поверхности. Зависимости, соответствующие интервалам А^ = 25.6и 50, на обеих сторонах цилиндра указывают на более сильное разрежение по сравнению с экспериментом; при этом результаты расчетов на верхней стороне цилиндра располагаются ближе к

экспериментальной зависимости.

Аналогичная ситуация наблюдается и для местного коэффициента сопротивления трения. В качественном отношении расчетные зависимости для разных интервалов усреднения согласуются с экспериментальными данными (см. рис. 12), но имеет место количественное различие данных. При этом для 101 < 60°, т. е. в области течения, где слабо проявляются нестационарные эффекты, расчетные зависимости для разных интервалов усреднения совпадают между собой и

в целом хорошо согласуются с экспериментальными данными. Однако в области течения (| 0 | > 60°), где существенны нестационарные эффекты, наблюдаются заметные различия между

расчетом и экспериментом. Причина этого расхождения связана, по-видимому, с качеством экспериментальных данных для этой области течения. Так, например, согласно эксперименту местный коэффициент сопротивления трения на участке лобовой поверхности 80°<0<90° равен нулю; это означает, что во все время движения точка отрыва должна располагаться на лобовой поверхности цилиндра. Однако из-за нестационарности обтекания цилиндра точка первичного отрыва все время находится в движении, перемещаясь с лобовой поверхности на кормовую и

с кормовой поверхности на лобовую, так что усредненное значение коэффициента сопротивления трения для указанного участка поверхности должно быть отлично от нуля.

В [3, 4] эволюционные зависимости измеренных величин были подвергнуты

Фурье-анализу, результаты которого представлены в виде зависимости безразмерной амплитуды колебаний Ат от безразмерной частоты ^ = /Я/У» = 8Ь/2. Здесь /— частота колебаний, = /Б/У^ — число Струхаля. Частота колебаний, соответствующая наибольшей амплитуде, принималась за частоту схода вихрей. Согласно эксперименту при обтекании цилиндра в рассмотренном диапазоне чисел Маха имеют место высокочастотные осцилляции, соответствующие числу Струхаля * 0.18 (практически независящему от числа Маха). Вместе

с тем в [4] отмечается, что при числе Яе = 2.5 -105 при некоторых числах Маха наблюдается дуализм режима обтекания: в некоторых экспериментах реализуется спектр с ясно выраженной доминирующей частотой, в других — широкополосный частотный спектр.

Эволюционные зависимости коэффициента давления Ср в характерных точках на

поверхности цилиндра (см. рис. 1) были подвергнуты Фурье-анализу, для проведения которого использовался временной интервал А^ = 25.6. Результаты этого анализа приведены на рис. 13. Можно видеть, что во всех характерных точках цилиндра имеет место узкополосный непрерывный частотный спектр и, следовательно, наблюдаются низкочастотные осцилляции коэффициента давления. Подтверждением этого служит рассмотренный выше цикл, для которого безразмерный период схода вихрей Т * 8.5, чему соответствует число Струхаля * 0.235.

Заключение. Численное моделирование поперечного обтекания кругового цилиндра установившимся околозвуковым потоком (Мю = 0.8) совершенного вязкого газа на основе

уравнений Навье — Стокса показало, что при больших числах Рейнольдса (Яе = 105 ) в полном

соответствии с результатами экспериментальных исследований течение около него носит нестационарный характер, который обусловлен формированием вихрей и сходом их с обтекаемой поверхности. Эта нестационарность течения проявляется в окрестности не только кормовой, но и лобовой части цилиндра.

Поле течения около кругового цилиндра, где существенны нестационарные эффекты, разделяется на две области. В первой из них, расположенной непосредственно в окрестности цилиндра, происходит формирование вихрей и сход их с обтекаемой поверхности. Во второй области, расположенной вниз по потоку от первой, происходит распространение и диффузия оторвавшихся вихрей.

На примере конкретного цикла (189.9 < t < 198.4) проанализирована

эволюция структуры поля течения (картины линий тока) и поля завихренности для первой области течения, а также эволюция распределений местных коэффициентов давления и сопротивления трения. В частности показано, что мгновенная картина линий тока является асимметричной относительно оси абсцисс и характеризуется наличием ряда особых точек (точек ветвления «нулевой» линии тока) на

обтекаемой поверхности цилиндра: рис. 13. Частотные характеристики местного коэффициента

передняя критическая точка A, задняя давления ср в характерных точках на поверхности цилиндра: критическая точка К, точки отрыва и „, , ^

1 а — точка А (—1, 0); б — точка В (0, 1); в — точка С (1, 0);

г — точка Б

присоединения Ri потока. При этом малая дуга AK поверхности цилиндра обтекается безотрывно, а большая дуга AK — с отрывом потока с образованием нескольких последовательно расположенных замкнутых локальных зон отрывного течения; при этом некоторые из них могут содержать в себе локальные вторичные и даже третичные зоны отрывного течения. На протяжении цикла точка K несколько раз скачкообразно переходит с верхней поверхности цилиндра на нижнюю и с нижней поверхности на верхнюю. Каждый такой переход характеризуется сменой структуры поля течения и направленности эволюционных процессов в ближнем следе.

Проведенное сопоставление расчетных и экспериментальных данных по местным коэффициентам давления и сопротивления трения показало удовлетворительное согласование расчета

с экспериментом.

В дальнейшем предполагается исследовать влияние числа Маха в трансзвуковом диапазоне на поле течения около кругового цилиндра и его аэродинамические характеристики.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00562), Государственной поддержке ведущих научных школ (грант НШ-8597.2006.1) и ВЦП РНПВШ.2.1.1.5904.

ЛИТЕРАТУРА

1. Zhang J., Dalton C. A three-dimensional simulation of a steady approach flow past a circular cylinder at low Reynolds number // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1998. V. 26, N 6.

2. Wu M.-H., Wen C.-Y., Yen R.-H., Weng M.-C., Wang A.-B. Experimtntal and numerical study of the separation angle for flow around a circular cylinder at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 2004. V. 515.

3. Мэрти В. С., Роуз В. К. Детальные измерения аэродинамических характеристик кругового цилиндра при поперечном обтекании // Ракетная техника и космонавтика.

1978. Т. 16. № 6.

4. Murthy V. S., Rose W. C. Form drag, skin friction and vortex shedding frequencies for subsonic and transonic cross flows on circular cylinder // AIAA Paper. 77-687. 1977.

5. Башкин В. А., Ваганов А. В., Егоров И. В., Иванов Д. В., Игнатова Г. А. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по обтеканию кругового цилиндра сверхзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 3.

6. Башкин В. А., Егоров И. В., Иванов Д. В. Применение метода Ньютона к расчету внутренних сверхзвуковых отрывных течений // ПМТФ. 1997. № 1.

Рукопись поступила 17/XI2005 г.