Численное моделирование гидродинамических процессов, ответственных за распространение загрязняющих примесей в глубоком водоеме

Вычислительные технологии

Том 2, № 2, 1997

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, ОТВЕТСТВЕННЫХ ЗА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ПРИМЕСЕЙ В ГЛУБОКОМ ВОДОЕМЕ**

Е. А. Цветова Вычислительный центр СО РАН, Новосибирск, Россия

В работе физическое явление, называемое термобаром, рассматривается с точки зрения возможности быстрого распространения поверхностных вод, а следовательно, и загрязнений в толщу вод глубокого озера. Для моделирования термобара используется двумерная негидростатическая модель. Одной из основных особенностей модели является учет сжимаемости воды, в частности, в уравнении состояния, что вызвано необходимостью адекватного описания физических процессов, протекающих в глубоком водоеме. В численных экспериментах использованы параметры, соответствующие условиям озера Байкал.

Основная цель большинства исследований природоохранного характера — выявление источников загрязняющих примесей и тех способов, которыми загрязнения распространяются в природной среде. В настоящей статье представлены математические модели, используемые как инструмент, позволяющий решать природоохранные задачи для озера Байкал. В частности, рассматриваются численные модели гидротермодинамики и распространения примесей. Предлагаемый подход заключается в создании комплекса численных моделей различной степени сложности, построенных на единой методической основе, согласованных по информационным потокам и использующих совместную базу данных.

В моделях учтены различные пути поступления примесей от естественных и антропогенных источников, расположенных на боковых границах, на поверхности и внутри водоема. Особый интерес представляет аккумулированный источник, распределенный по поверхности озера. Дело в том, что зимой поверхность Байкала почти на пять месяцев покрывается льдом. За этот период в снежном и ледовом покрове накапливаются загрязняющие вещества, попадающие из атмосферы. Во время таяния снега и льда все эти примеси поступают в воду. Очевидно, что с точки зрения загрязнения весенний период может оказаться довольно опасным, поскольку за сравнительно короткий период таяния ледового покрова в воду поступает все, что копилось в течение многих месяцев.

*© Е. А. Цветова, 1997.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №94-05-16106.

Как же распространяются примеси в озере? Первая наша попытка прояснить этот вопрос с помощью математических моделей была предпринята на трехмерной модели распространения загрязняющих примесей. В численных экспериментах учитывались три основных источника примесей, связанных с самыми крупными реками, впадающими в Байкал: Селенгой, Баргузином и Верхней Ангарой. Еще один постоянно действующий источник примесей задавался в толще вод вблизи Байкальского целлюлозно-бумажного комбината, являющегося основным антропогенным источником примесей, расположенным непосредственно на берегу озера. И последний, распределенный по поверхности источник включался в модели в период таяния ледового покрова. В соответствии с целями исследований моделировались сценарии климатического характера с тем, чтобы выделить в озере зоны повышенной антропогенной нагрузки. Для воспроизведения гидродинамического фона при изучении процессов переноса примесей использовалась трехмерная модель общей циркуляции озера, основанная на системе уравнений гидротермодинамики в гидростатическом приближении. Результаты численных экспериментов были обобщены в [1].

В последнее время, благодаря интенсивной деятельности Лимнологического института и Байкальского международного экологического центра, наши знания о Байкале значительно расширились. В то же время возникли новые задачи, требующие решения, в связи с чем возникла необходимость исследований с помощью численного моделирования более тонких механизмов, управляющих природными процессами распространения примесей в глубоких водоемах. Одной из недавних работ, результаты которой обсуждаются ниже, является исследование Байкальского термобара.

Термобар — это природное явление, возникающее два раза в год во всех димиктических водоемах. Оно связано с формированием температурного фронта и двухъячейковой конвекции при переходе температуры воды через отметку температуры максимальной плотности (ТМП). Температурный фронт, зарождаясь вблизи берега, постепенно продвигается к центру озера. Весной он может возникать по двум причинам термической природы: из-за поступления из рек более теплой, чем в озере, воды и благодаря более быстрому прогреванию мелководных прибрежных участков по сравнению с глубоководными. Другая причина, не термической природы, состоит в различии в солевом составе озерных и речных вод. Специфика термобара в глубоких озерах, в том числе и в Байкале, в отличие от мелких, заключается в том, что изменения температуры максимальной плотности, являющейся ключевым параметром в термобаре, настолько значимы, что создают особые условия для перемешивания. Важность изучения термобара как явления, которое может оказать существенное влияние на процессы загрязнения, состоит в том, что интенсивные нисходящие течения, возникающие между двумя конвективными ячейками, могут привести к быстрому распространению загрязнения из поверхностных слоев до очень больших глубин.

1. Математическая модель

Натурные исследования термобара показывают, что основные изменения всех характеристик происходят в направлении перпендикулярном фронту, т.е., как правило, от берега к центру озера. При этом характеристики в направлении параллельном берегу достаточно однородны. На данном основании полагают, что модель, в которой исключены все градиенты в направлении параллельном берегу, должна качественно правильно описывать процесс. Модель [2], описываемая здесь, также использует гипотезу о квазидвухмерности.

Однако, поскольку речь идет о термобаре глубокого озера, система уравнений отличается от традиционной: она учитывает влияние сжимаемости. Система уравнений выражает законы сохранения момента, массы и энергии для сжимаемой жидкости. Предполагается, что движение осуществляется в плоскости х — г, перпендикулярной к оси фронта. В систему входят три уравнения движения для компонент вектора скорости и,ь,ш в направлениях х,у,г соответственно:

ви I 1 др + д ди + д ддп

вЬ р дх дг дг дх дх ’

вш

вЬ

вь д дь д дь

вЬ + П дг^ д г + дх дх’

1 др д дш д дш

рдг + д + дги д г + дх дх'

Уравнение неразрывности для сжимаемой жикости имеет вид

др дри дрш

дЬ + дх

+

дг

0.

Перераспределение тепла в водной толще описывается уравнением для температуры

вТ вр _ д дТ д дТ

вЬ вЬ дгит дг + дх^ дх + д'

Дополняет систему нелинейное уравнение состояния

р = р(р,Т, Б0)'

Здесь I — параметр Кориолиса, который из-за сравнительно небольших горизонтальных размеров озер практически всегда принимается постоянным; р — давление, р — плотность, А, V, ^, ит — коэффициенты турбулентной диффузии, Т — температура, Г — адиабатический градиент, Г = аТ/рср, Т — абсолютная температура, ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, д — источник, отвечающий за поступление тепла в приповерхностные слои, 50 — соленость, а — коэффициент термического расширения. Особенности поглощения тепла в Байкале изучались в [3]. В настоящей модели используется параметризация, предложенная в этой статье. Солнечная радиация поглощается в воде по закону д = Q0Bexp(—/3г), где в — коэффициент ослабления, В — размерный параметр, Q0 — поток тепла на поверхности.

Система уравнений (1) - (6) рассматривается в области О = О х [0, Ь], где О — область изменения пространственных переменных [0 < х < Ь, 0 < г < Н], [0,Ь] — временной интервал.

Граничные и начальные условия: на поверхности при г = 0

ди тх ди ту дТ Q

и о , и о , ит ,

дг р дг р дг рср

на дне при г = Н

ш = 0, р = ра(х, Ь), дТ

и = у = ш = 0,

дМ

0

на боковых границах

дТ

начальные условия при і = 0

Здесь д/дЫ есть производная по конормали

где п — вектор внешней нормали к границе области, ра — атмосферное давление, тх,ту — напряжение ветра, Q — поток тепла на поверхности. В некоторых вариантах расчетов в качестве краевых условий на боковой поверхности задается температура.

Уравнение состояния (6), используемое в модели, специально приспособлено к лимнологическим целям [4]: в нем интервалы изменения Т, р, Б отвечают тем значениям, которые встречаются в озерах. В соответствии с этим уравнением плотность является нелинейной функцией температуры, давления и солености. В такой версии модели соленость задана постоянной величиной 0.098 г/кг. Адиабатический градиент температуры, коэффициент термического расширения, удельная теплоемкость и другие термодинамические величины, используемые в модели, также вычисляются по формулам из [4].

Одной из важных задач математического моделирования является параметризация движений подсеточного масштаба, которые непосредственно не воспроизводятся в модели. В данном случае это делается с помощью диффузионых операторов второго порядка, причем, как принято в океанологии, горизонтальные и вертикальные процессы параметризуются по-разному, а именно, горизонтальные коэффициенты предполагаются постоянными, а вертикальные определяются в зависимости от градиентного числа Ричардсона

Численный алгоритм основан на методе расщепления по физическим процессам [5]. Для построения энергетически-сбалансированных аппроксимаций используется вариационный принцип [6]. В соответствии с идеей метода расщепления решение задачи на каждом шаге по времени осуществляется в несколько этапов. В данном конкретном случае основными этапами являются перенос плюс диффузия и динамическое согласование полей [2,

2. Обсуждение результатов численных экспериментов

[2]

Ш = Ы2/

где N2 — частота Брента — Вяйсяля

N 2

7].

С помощью описанной модели было выполнено несколько серий численных экспериментов, которые показали возможности модели в воспроизведении типичных характеристик термобара .

Двумерная область, в которой решается задача, представляет собой полость с горизонтальным масштабом 20 км. Небольшие отвесы ограничивают область слева и справа, дно имеет трапециевидную форму, причем углы наклона боковых сторон трапеции различны. Максимальная глубина водоема 960 м. Область покрывается регулярной сеткой: Ах = 40 м, Дг = 20 м. Шаг по времени АЬ = 60 с. В численной реализации рельеф дна аппроксимируется отрезками, параллельными осям координат.

Обобщая полученные результаты, можно сделать следующее описание термобара в глубоком озере. В начальный период одной из основных особенностей температурного поля является одновременное существование типичных летних, зимних и промежуточных вертикальных профилей температуры. Летнее распределение температуры формируется вблизи берегов после прохождения термобара. Нагревание воды выше ТМП приводит к формированию термоклина и установлению устойчивой стратификации. В этой зоне изотермы от поверхности и до глубины термоклина располагаются почти горизонтально, что свидетельствует о преобладании горизонтальной адвекции и ослаблении вертикального обмена. В области фронта изолинии температуры вертикально ориентированы. Это значит, что горизонтальный обмен здесь затруднен, и движение происходит преимущественно в вертикальном направлении. Интервал температур этой зоны 3.6-4.0 °С соответствует интервалу изменения температур максимальной плотности до глубины приблизительно 300 м. Впереди термобара типичный зимний профиль с инверсным распределением температуры до глубины мезотермического максимума при нагревании поверхности постепенно выравнивается благодаря обычным конвективным процессам весеннего периода. Кстати, при заданном потоке тепла на поверхности, соответствующем байкальским данным, эти процессы происходят достаточно интенсивно, в силу чего два термобара, движущиеся с разных сторон, не успевают встретится до того момента, когда температура поверхности всюду станет выше соответствующей ТМП.

Система течений, связанных с термобаром, представляет собой две конвективные ячейки, между которыми происходит опускание вод. Типичные абсолютные значения скоростей, полученные в численных экспериментах, были следующими: компоненты и — 13 см/с, у — 10-20 см/с, ш — 0.01-0.3 см/с. Интересно отметить, что вертикальная скорость изменяется в широком диапазоне и достигает максимальных значений около 1 см/с, однако такие величины сохраняются очень недолго. В глубинных слоях, где нисходящее течение встречает подводный береговой склон, дальнейшее опускание происходит вдоль этого склона до самых больших глубин. По мере того, как термобар отодвигается от берега, размеры ячеек постепенно увеличиваются, простираясь в вертикальном направлении от поверхности до дна.

На рис. 1, 2 представлены результаты численных экспериментов: на первом изображен фрагмент поля скоростей вблизи правой границы области, на втором показаны изолинии функции Т—ТМП(р, 50). Нулевая изолиния указывает положение термобара. Среди сопутствующих термобару и весенней конвекции процессов следует отметить возникновение глубокой конвекции вблизи слоя мезотермического максимума.

Основной вывод, который можно сделать по результатам численных экспериментов, подтверждает гипотезу [8-10] о том, что во время существования термобара может происходить быстрое опускание вод из поверхностных слоев в глубинную зону.

Рис. 1. Фрагмент поля скоростей. Изображен каждый третий по горизонтали вектор.

Рис. 2. Изолинии функции T—ТМП(р, Sq). Фрагмент области.

Список литературы

[1] Пененко В. В. и др. Оценка антропогенного влияния на регион озера Байкал с помощью численного моделирования. Метеорология и гидрология, №7, 1989, 76-84.

[2] Tsvetova E.A. A numerical model of thermal bar in lake Baikal. Bull. Novosibirsk Computing Center, Ser.: Numerical modelling in atmosphere, ocean and environmental studies, vol. 2, 1995, 85-100.

[3] ЗвонковА Т. Н. Некоторые результаты измерений подводной радиации на Байкале летом 1960 г. Труды Лимнологического ин-та, 5, 1964, 188-193.

[4] Chen C. Т., Millero F. J. Precise thermodynamic properties for natural waters covering only the limnological range. Limnology and Oceanography, 31, No. 3, 1966, 657-662.

[5] Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Гидрометео-издат, Л., 1974.

[6] ПЕНЕНКО В. В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. Гидро-метеоиздат, Л., 1981.

[7] Tsvetova E. A. Compressibility effects in lake hydrodynamics. Bull. Novosibirsk Computing Center, Ser.: Numerical modelling in atmosphere, ocean and environment studies, vol. 1, 1993, 91-103.

[8] ШИМАРАЕВ М. Н., ГРАНИН Н. Г. Термическая стратификация и механизм конвекции в озере Байкал. Докл. АН СССР, 321, 1991, 831-835.

[9] Shimaraev М. N., Granin N. G. Deep ventilation of lake Baikal waters due to spring thermal bars. Limnology and Oceanography, 38, No. 5, 1993, 1068-1072.

[10] Weiss R. F., Carmack E.C., Koropalov V. М. Deep water renewal and biological production in lake Baikal. Nature, 349, 1991, 665-669.

Поступила в редакцию 15 сентября 1995 г.

Редактор Е. Н. Казарезова Корректор Н. А. Лившиц Оператор компьютерной верстки Р. Д. Сидельникова

Подписано в печать 05.08.97 Офсетная печать Тираж 300 экз.

Подписано в свет 18.08.97 Усл. п. л. 12.6 Заказ №120

Формат 60 x 84 1/8 Уч.-изд. л. 9.4

Журнал зарегистрирован Комитетом РФ по печати (свидетельство №013787) Издательство Сибирского отделения РАН, 630090, Новосибирск, Морской пр. 2 Оригинал-макет изготовлен на издательской системе Дм^-ЬТЁХ Отпечатано в Издательстве СО РАН

Правила для авторов

1. Статья должна быть представлена в редакцию в одной из двух форм:

1.1. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + файлы рукописи в формате LTEX или AmS-LTEX + файлы рисунков на дискете;

1.2. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + электронная версия рукописи, набранная в текстовом формате Microsoft Word (RTF) + файлы рисунков на дискете.

Время прохождения издательского цикла для рукописей, представленных в форме 1.1, минимально, а для рукописей в форме 1.2 — максимально.

2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5" формата 1440 Кбайт. Возможна пересылка файлов по электронной почте jct@ict.nsc.ru в виде *.zip архива. Текстовые файлы и файлы TEX представляются в кодировке CP866 (MS-DOS).

3. Статья предваряется аннотацией, содержащей не более 300 знаков. На отдельной странице прилагаются на русском и английском языках название статьи, имена авторов, аннотация и ключевые слова.

4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail автора, с которым будет вестись переписка.

5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного файла следующая информация:

о Фамилия, имя, отчество о место работы и должность о почтовый адрес о ученая степень и звание о год рождения

о телефоны с кодом города

6. Рекомендации по оформлению статьи в LaTeX.

Оформление статьи в LTEX 2.09 Оформление статьи в LTEX 2є

7. Все материалы следует направлять по адресу: редакция журнала “Вычислительные технологии", Институт вычислительных технологий СО РАН, проспект Ак. Лаврентьева б, 630090, Новосибирск, 90, Россия, Пестунову Игорю Алексеевичу (отв. секретарь) — тел.: +7(3832)343785, Митиной Галине Григорьевне (зав. РИО).

Оформление статьи в LTeX 2.09

Стиль журнала jctart.sty.

Для представления статей на английском языке используйте стиль jctart-e.sty.

Структура файла формата LaTeX должна быть следующей:

\documentstyle{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} \^^є{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<^ О. Фамилия первого автора>}\\

\^{<Место работы первого автора>}\\[2mm]

\sc{<^ О. Фамилия второго автора>}\\

\^{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...}

\maketitle

\begin{abstract}

<Текст аннотации>

\end{abstract}

<Текст статьи>

\begin{thebibliography}

<Библиография (\item-список)>

\end{thebibliography}

\end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps).

Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью следующих команд:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<сдвиг рисунка по горизонтали в мм>шш}

\special{em:graph <имя файла рисунка>}

\vspace*{<BbicoTa рисунка в мм>шш}

\caption{<Подрисуночная подпись>}

\end{figure}

Оформление статьи в L-TEX 2е

Для представления статей на английском языке используйте опцию english: \documentclass[english]{jctart}.

\documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} ^^^{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}}

\author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\

\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm]

\sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\

\it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...}

\maketitle

\begin{abstract}

<Текст аннотации>

\end{abstract}

<Текст статьи>

\begin{thebibliography}

<Библиография (\item-список)>

\end{thebibliography}

\end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И.И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps).

Иллюстрации вставляются в текст с помощью следующих команд:

\includegraphics{<имя файла рисунка>}

Instructions for Authors

1. The paper may be submitted to the editorial board in one of the following forms:

1.1. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript in LTEX or AmSLTEX + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below);

1.2. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript (saved as RTF-format) with (or without) formules + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below).

The duration of the publishing cycle for the manuscripts, submitted in the second form is the longest one and for the manuscript in the forms first - the shortest.

2. All files should be submitted on a 3.5" floppy disc (1440 Kbytes) or sent by e-mail jct@ict.nsc.ru as a *.zip - archive. All text-files and TeX-files in Russian must be submitted in CP866 (MS-DOS) Code Page.

3. The “hard copies"must be typed neatly with a fresh black ribbon. The typing should be double-spaced

and lettered as neatly as possible. Any material that cannot be typed such as symbols and formulae should be inked carefully in black meeting the existing standards. The drawings must be printed on a laser or high-quality

ink-jet printer or drawn directly in Indian ink on a sheet of a strong (bond) white paper.

4. Each paper must be preceded by an abstract of no more than 300 characters. The title of the paper and its abstract in English should be submitted on a separate sheet accompanied by the list of the key words (not more than 20) in Russian and English as well as the AMS/ZBL classification codes.

5. Authors are required to obtain permission for the publication from the company or institution at which

the scientific results presented in the paper had been obtained. The accompanying letter should contain the communicating author, his mail address, telephone number(s), e-mail address.

6. The following information pertinent to every author have to be submitted as a separate file:

o First name, Second name, Last name o Affiliation data: Institution/Organization, Position o Scientific degree, Title o Address

o Telephone numbers, including the area code, Fax number, E-mail address, Homepage URL o Scientific Interests

7. Submission in LaTeX — Case (3). Recommendations.

Using LTEX 2.09 Using LTEX 2e

8. All materials should be mailed to the following address: Journal of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia, Ph. D. Igor A. Pestunov — Phone +7(3832)343785, Galina G. Mitina.

Writing paper in English in LTeX 2.09

Journal style jctart-e.sty

Writing paper in Russian using LTeX 2.09

Journal style jctart.sty.

In this case LaTeX file structure should look like this:

\documentstyle[jctart]

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm]

\sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...}

\maketitle

\begin{abstract}

<Text of the abstract>

\end{abstract}

<Body of the paper>

\begin{thebibliography}

<References(\item-list)>

\end{thebibliography}

\end{document}

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file. The illustrations are inserted into the text by the following commands:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<horizontal shift of the drawing in mm>mm}

\special{em:graph <name of the drawing file>}

\vspace*{<height of the drawing in mm>mm}

\caption{<caption>}

\end{figure}

Writing paper in LTeX 2e

Writing paper in English use the option english:

\documentclass[english]{jctart}.

\documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\usepackage{amsmath}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE(LESS THAN 40 SYMBOLS)>}

\title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm]

\sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...}

\maketitle

\begin{abstract}

<Text of the abstract>

\end{abstract}

<Body of the paper>

\begin{thebibliography}

<References (\item-list)>

\end{thebibliography}

\end{document}

<Russian translation of the paper title for papers in Russian>

<Abstract in Russian>

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file.