Исследование разностного уравнения Шрёдингера для некоторых физических моделей

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2013. Вып. 2

УДК 517.958: 530.145.6 © Т. С. Тинюкова

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В статье рассматривается дискретный оператор Шрёдиигера на графе с вершинами на двух пересекающихся прямых, возмущенный убывающим потенциалом. Исследуются спектральные свойства этого оператора. Исследуется задача рассеяния для данного оператора в случае малого потенциала, а также в случае, когда малы как потенциал, так и скорость квантовой частицы. Получены асимптотические формулы для вероятностей распространения частицы во всех возможных направлениях. Кроме того, исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шрёдиигера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Описана картина рассеяния. Получены простые формулы для вероятностей прохождения и отражения вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов. Рассматривается одночастичный дискретный оператор Шрёдиигера с периодическим потенциалом, возмущенным функцией, периодической по двум переменным и экспоненциально убывающей по третьей. Исследуется задача рассеяния для данного оператора вблизи точки экстремума по третьей координате квазиимпульса некоторого собственного значения оператора Шрёдиигера с периодическим потенциалом в ячейке, то есть для малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер. Получены простые формулы для вероятностей прохождения и отражения.

Ключевые слова: разностное уравнение Шрёдиигера, резонанс, собственное значение, уравнение Липпмапа-Швингера, рассеяние, вероятности прохождения и отражения.

Введение

Работа посвящена исследованию спектральных свойств, а также рассеяния для некоторых разновидностей одночастичного уравнения Шрёдиигера, возникающих в квантовой теории твердого тела. При этом рассматривается конечно-разностное приближение, но можно также считать, что физические модели рассматриваются в приближении сильной связи, поскольку оба приближения с математической точки зрения приводят к похожим разностным уравнениям.

Важность математического исследования уравнения Шрёдиигера в разностном подходе (или в приближении сильной связи) объясняется, во-первых, значительно возросшей в последние 20-30 лет популярностью такого подхода в физической литературе, относящейся к нанораз-мерным устройствам — основе будущей микроэлектроники (см., например, [2-5]). (Заметим, что классическая теория рассеяния для уравнения Шрёдиигера, основанная на интегральном (матричном) уравнении Липпмана-Швингера, в настоящее время особенно актуальна для данных физических приложений, поскольку вероятность прохождения оказывается пропорциональной электронной проводимости в квантовой проволоке (см. [1]).) Во-вторых, это связано с тем, что, несмотря на физическую актуальность, математических работ, исследующих данные модели, сравнительно немного и относятся они, как правило, к решеткам Zd, ^ ^ 1. Между тем математические модели в этой области даже в одномерном случае (на графе) имеют достаточно интересные и необычные свойства.

Отметим некоторые математические работы, близкие по содержанию к теме статьи.

В статье [6] рассматривается двумерная модель периодического волновода с дискретным неоднородным оператором Лапласа. Доказано существование квазиуровней (мод) и решения уравнения Липпмана-Швингера. Обсуждаются, на основе численных расчетов, особенности рассеяния вблизи квазиуровней.

В статье [7] рассмотрен разностный оператор Шрёдиигера на графе, полученный из обычного оператора Шрёдиигера электрона в системе, состоящей из квантовой проволоки и квантовой точки. Изучаются существование и поведение в зависимости от малой константы связи собственных значений и резонансов, а также задача рассеяния для малых потенциалов.

Автор работы [8] рассматривает систему, состоящую из конечной цепочки атомов (бильярда), которая присоединена (параллельно или последовательно) к бесконечной цепочке. Исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса в случае слабой связи бильярда с бесконечной цепочкой.

В статье [9] рассматривается семейство дискретных операторов Шрёдингера Н(к), полученных из двухчастичного оператора, где к — двухчастичный квазиимпульс. При определенных условиях для размерностей 1, 2 доказано, что если нуль является квазиуровнем оператора Н(0), то операторы Н(к) имеют собственное значение левее существенного спектра.

В статье [10] различными способами получены формулы для функции Грина некоторых разновидностей разностного оператора Лапласа.

В [11] показано, что расстояние между собственными значениями дискретного одномерного оператора Шрёдингера для конечной цепочки с граничными условиями Дирихле или Неймана отделено от нуля равномерно по длине цепочки (получена явная оценка снизу). В частности, у спектров таких операторов нет вырожденных собственных значений.

Статья [12] посвящена описанию существенных спектров, а также оценкам убывания собственных функций на бесконечности разностных аналогов операторов Шрёдингера и Дирака.

В статье [13] строится общая теория самосопряженного дискретного оператора Лапласа на графе, при этом основные результаты получены для графов-деревьев определенного вида.

В статье [14] изучается поведение на бесконечности решений одномерного разностного уравнения Шрёдингера с потенциалом, который в некотором смысле убывает на бесконечности. Кроме того, в статье представлен дискретный аналог метода ВКБ.

В данной работе исследуются собственные значения и резонансы, а также изучены задачи рассеяния для разностного уравнения Шрёдингера с потенциалами, описывающими электрон в квантовых проволоках, в квантовом волноводе и в периодической слоистой структуре.

Перейдем к подробному обзору содержания работы.

Обозначим через Я объединение двух «целочисленных» координатных прямых, то есть

а через 12(Х), где X С Ъ2,— гильбертово пространство квадратично суммируемых функций на X со скалярным произведением

В первых шести параграфах работы рассматривается разностный (дискретный) оператор Шрёдингера Но, действующий в I2(Я) следующим образом:

Оператор Но является гамильтонианом (оператором энергии) электрона вблизи пересечения двух одномерных квантовых проволок. Подобные структуры часто встречаются в физической литературе (см., например, [2]). Близкие модели исследованы в работах [7,8]. Уравнение Шрёдингера рассмотрено для двух различных классов убывающих на бесконечности потенциалов, при этом изучаются спектр и вероятности прохождения квантовой частицы в возможных направлениях движения.

В первом параграфе приводятся определения и утверждения, наиболее часто используемые в работе.

Резольвенту оператора Но обозначим через ^о(Л) = (Но — Л/)-1 (в дальнейшем, следуя [17], для краткости опускаем единичный оператор).

Во втором параграфе найден вид ^о(Л), исследованы существенный и дискретный спектры оператора Но.

Я =

(п,т)€Х

(Но^)(0, 0) = ^(1, 0) + ^(-1, 0) + ^(0,1) + ^(0, —1) (Ноф)(и, 0) = ф(п + 1,0) + ф(п - 1,0), п = 0, (Но,0)(0, т) = ^(0, т + 1) + ^(0, т - 1), т = 0.

Теорема 2.1. Существенный спектр оператора Ho совпадает с отрезком [-2, 2]. Введем в рассмотрение оператор Hoi : l2(Z) — 12(Z), действующий по правилу

(Hoi^) (n) = p(n - 1) + p(n + 1), n € Z.

Резольвенту оператора Hoi обозначим Roi(A) = (H01 — А)-1. Ядро резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру А па соответствующую риманову поверхность M, будем называть

Hoi

п - т) = "vn I-2-J •

Поверхность M получена склейкой двух экземпляров комплексной плоскости вдоль интервала (—2, 2); при этом [—2, 2] является существенным спектром оператора Hoi (см. [15]).

В §§ 3-5 рассматривается оператор Шрёдингера H£ = Ho + eV с малым параметром е > 0 здесь V — оператор умножения на вещественную функцию V(n,m) = 0, удовлетворяющую условиям

В дальнейшем функции, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экспоненциально убывающими. Оператор H£ является гамильтонианом электрона вблизи пересечения

V

Уравнение Шрёдингера для оператора H£ имеет вид

Спектр и существенный спектр оператора А обозначим как a(A) и aess(A) соответственно. Уравнение (0.3), рассматриваемое в классе 12(G), для А € ^(Ho) можно записать в виде

ф = —Ro

Перейдем к новой неизвестной функции <р = л/^ф и положим \/V = л/| V|sgnV (только для V). Тогда уравнение (0.4) можно переписать в виде

V = o

и, продолжая оператор — \/|V|7£o(A)\/V на двулистную риманову поверхность М функции Грина оператора Ho (ядра резольвенты R-^А)) (см. ниже), рассматривать его как оператор в 12(G) для А € M.

А,

«нефизическому») листу римановой поверхности M, будем называть резонансом оператора H£, если существует ненулевое решение р € ¿2(G) уравнения (0.5).

Определение 0.2 (ср. [27]). Квазиуровнем оператора H£ будем называть его собственное значение или резонанс.

В случае когда А принадлежит второму листу римановой поверхности M, ненулевые решения ф уравнения (0.4) (соответствующие решению р € 12(G) уравнения (0.5)), вообще говоря, экспоненциально возрастают.

В третьем параграфе работы найден критерий существования квазиуровня оператора H£. Кроме того, в этом параграфе исследовано наличие квазиуровней в окрестности нуля для оператора H£.

Для произвольной функции p(n, m), определенной на G, будем пользоваться обозначениями

f (р) = f (А, р) = (Дс1(А)р) (1) + (Дс1(А)^) (—1), ^i(n) = p(n, 0), p2(m) = р(0, m), n, m € Z.

Теорема 3.1. Оператор %£ для всех достаточно малых е не имеет, ненулевых квазиуровней в окрестности нуля.

В четвертом параграфе доказаны существование и единственность для решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера

' А) = y/\vT\eikn - e^\vT\R0i(X)VV~m(n, А) +

+ -• rn+efWM- eKw^ms) neZ)

<р2(т, A) = -S\fW2\Roi{X)^/V^Lp2{m, A) +

+ Vlv2|-1 _ p^-R0i{X)ô{m), meZ,

при определенной взаимосвязи между А и е; получена асимпотическая формула этого решения.

В следующей теореме рассматривается случай малого потенциала и «медленной» квантовой частицы.

Теорема 4.1. Предположим, что к = Ае в случае зна ка, «+» ил и к = Ае в случае знака, «—», где к = —п — к, А = 0 — вещественная константа. Тогда, для, достаточно малых е существует единственное решение ^ € 12(G) модифицированного уравнения Липпмана Швингера, (0.7), имеющее вид

VI {п, ё) = л/Щп)\(± 1)га+1(1 + П- \n\)Aie + 0(е2), <р2(т, е) = ^\V2{m)\{±l)m+l Aie + 0(е2).

В § 5 описана картина рассеяния для оператора H£, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Обозначим через А) вероятности прохождения вдоль оси m вверх и вниз соответственно, через Р±(А) — вероятности прохождения вдоль оси n вправо и влево соответственно. Положим

С" -Ь j — _ 2 -Ь |1 — -Ь |1 -Ь J|)(l -Ь J — IJD^IO"),

jez jez

= 2A2 ~ TjAi + j — \j\)^2(j) + (^j — 2 + |1 — j\ + |1 + j|)(l + j — |i|)Vi(j).

jez jez

Теорема 5.2. В условиях теоремы 4.1 для А, достаточно близких к точке 2, справедливы, равенства

Р+(А) = Р+(А) = Р-(А) = A2 е2 + O(e3), P-(А) = 1 + (A2 - 2C")е2 + O(e3);

для А, достаточно близких к точке —2; равенства

Р+(А) = Р2+(А) = Р-(А) = A2 е2 + O(e3), P-(А) = 1 + (A2 — 2K- )е2 + O(e3).

В следующей теореме, в отличие от теоремы 5.2, потенциал мал, а k любое.

А=2 cos k, k € (—п, 0), фиксировано. Тогда,

Р+(А) = (1 + E)2 + B2 + O(e), P- (А) = E2 + B2 + О(е),

P2± (А) = D2 + B2 + О(е),

где

Е_ 2 + 2 cos 2к + sin2 2к в_ sin2A;(l +cos2fc) _ 2sin22fc

~ "(1 + cos2fc)2 + 4 sin2 2 к' ~ (1 + cos 2к)2 + 4 sin2 2к' ~ (1 +cos2fc)2 + 4sin22A;'

В § 6 получены следующие результаты о квазиуровнях оператора H = Ho + V. Здесь V — это оператор умножения на функцию

V(n,m) = { + ^m—^

I 0, n — 0,

при некотором натуральном N > 1. Потепциал V имеет ярко выраженный «резонансный» характер.

Теорема 6.1. 1) В сколь угодно малой окрест,ност,и каждой из точек ±2 для значений V0, достаточно близких к ±1 /N, существует единственный квазиуровень А± — 2 cos k± оператора H, причем

2) В сколь угодно малой окрест,ност,и каждой из точек ±2 для, значений У0; достаточно близких к ±——существует единственный квазиуровень А± = 2 сое к± оператора Н, причем

k- — — п —

(N - 1)2i / 1 \ / 1 \

(N - 1)2 + 1

Кроме того, в этом параграфе доказаны существование и единственность и найден вид решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора Н с «налетающей волной», распространяющейся вдоль Z х {0}, а также получен следующий результат.

Теорема 6.2. В сколь угодно малой окрест,ност,и точки А0 = 0 для всех достаточно малых Уо существует единственное решение А уравнения Р— (А) = 0, причем

А = 0(Уо3).

В §§ 7-9 исследуется двумерное разностное уравнение Шрёдингера в полосе, что отвечает электрону в квантовом волноводе, также являющееся моделью (более реалистичной) квантовой проволоки (ср. одномерные операторы из предыдущих параграфов). Здесь изучаются резонан-сы и собственные значения, возникающие, в случае малых потенциалов, вблизи особенностей невозмущенной функции Грина. Также рассматривается задача рассеяния для данного оператора. Получены простые формулы для прохождения (отражения) вблизи упомянутых выше особенностей.

Положим Г = Z х {1,..., N} С Z2.

Введем в рассмотрение оператор Н0 = (Я01  1) + (1  Н02), действующий в 12(Г). Оператор Н01, действующий в 12^), определен выше. Оператор Н02 действует в г2( {1,..., N })= см и определяется равенствами

(Яо2^) (т) = <р(т - 1) + <р(т + 1), т = 2,...,N - 1, (Яо2^)(1) = р(2), (Нгар)^) = - 1).

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для т = 0, N.

Положим Н£ = Но + еУ, где е > 0, а V является оператором умножения на вещественную функцию V (п, т) = 0, заданную на Г и удовлетворяющую условию

причем а > 0.

В § 7 найден вид функции Грина оператора Но. Положим

¿í,- = A-2cos-£4t, j = l,...,N, а ' 2

N + 1' V N + 1

Л е м м а 7.2. Имеет место формула

N

G0

j=1

N

A £ (J |^ — 2 + 2 eos ) 2 + 2 eos j=1 N + 1

N + 1J

nN n

- 2 + 2eos ——-,2 + 2eos

N + 1' N + 1_

Теорема 7.2. Спектр оператора, Hq имеет, вид

N

v(Ho) = \j[-2 + 2coSjj^—,2 + 2coS J7T

N+1 N+1

j=1

Nn n

- 2 + 2 cos ——-, 2 + 2 cos

N+1 N+1

§8 посвящен изучению спектральных свойств оператора Н£. Теорема 8.1. Справедливо равенство сте55(Н£) = ст(Но). Теорема 8.2. Предположим, что для некоторого ] € {1,... , N}

f= (±1)п,вт2(^)Пп',ш')^0.

(га',т')€Г2

Тогда, в некоторой окрестности точек А±0 = ±2+2 cos ——- для всех достаточно малых е > 0

существует единственный квазиуровень А± = А± (е) оператора H£, аналитически зависящий от е, для которого справедлива формула

= ±2 + 2cos лГ+Т ± (ж+l)2 +

В § 9 описана картина рассеяния, изучен характер рассеяния вблизи особенностей невозмущенной функции Грина для малых потенциалов. Положим

sin kj = — ^ 1 - (м/2)2, j = 1,..., N.

В окрестности точки Ао рассмотрим уравнение Липпмана-Швингера

0

(n' ,m')er

где «налетающая волна» (записанная для переменной kj0) имеет вид

Мп,т,Х) = a sin *>

и удовлетворяет уравнению Нофо = Лфо. Положим

= Y, sin

j (n',m')er

Будем предполагать, что

^/cos-^—+cos-^—, j,f = 1,...,N.

^ N + 1 N + 1' x- >

Теорема 9.1. Пусть выполнено (0.12). Тогда для вероятностей прохождения Р+ и отражения Р- = 1 — Р+ в точке Ао справедливы формулы

= £

j + А+

\

4-

P- =

Е

А-

j:X0-2cosj^-&

\

4-

2 '

г(9е (А) определяются равенством, (0.11).

Л е м м а 9.2. Предположим, что для из (0.Ю) и всех достаточно малых £ справедливо равенство kj0 = а£ в случае зна,ка, «+» ил,и = а£ в случае зна,ка, «—», где kj0 = —п — к^0, а = о — вещественная константа. Тогда, для, решения ф уравнения Липпмана-Швингера (0.9) имеет место равенство

(±1)na2v± гр(п,т, А) = 1 - — 30

2ia + a2v+

• ( njo m л

gcte

j = E

(га,т)€Г

(±1)nV(n,m) sin2

N+1

2

Теорема 9.2. В условиях леммы 9.2 справедливо равенство

4а2 + а4

В §§ 10-12 изучается рассеяние для уравнения Шрёдингера на трехмерной решетке с возмущенным периодическим потенциалом, отвечающим бесконечному кристаллу с внедренным плоским слоем. В частности, для малых потенциалов слоя и одновременно малых перпендикулярных по отношению к слою компонент скорости налетающей «блоховской» частицы получены формулы прохождения (отражения), имеющие в своем составе скорость частицы и интеграл по ячейке от произведения квадрата модуля блоховской волновой функции и потенциала слоя.

Рассмотрим оператор Шрёдингера вида

Н = Но + У(п) + £Ш(п), П = (П1,П2,Пз) €

действующим в l2 (Z3). Здесь Но действует по формуле

(Но^)(п) = ^(П1 + 1,П2,Пз) + ^(П1 - 1,П2,Пз) + ^(п1, П2 + 1,Пз) +

+ ^(пЬ п2 - 1, пз) + ^(п1, п2, пз + 1) + ^(п1, п2, пз - 1),

у(п) — вещественный периодический потенциал по в сем переменным nj, ] = 1, 2, 3, с периодом Т ^ 1; Ш(п) — вещественный периодический по пвременным щ, п2 с периодом Т ненулевой потенциал, удовлетворяющий оценке

е > 0 — малый параметр. Оператор Н представляет собой гамильтониан электрона в конечно-разностном приближении в периодической слоистой структуре.

Через 12(А)  Ь2(В), где А с Ъп, В —измеримое множество в Мт, будем обозначать гильбертово пространство измеримых по ж функций <^(п,ж), где (п,ж) € А х В, таких, что

У^ / |^>(n,x)|2dx < то,

и£А

с обычным скалярным произведением.

В § 10 приведены вспомогательные конструкции и утверждения.

Н

U : 12(Z3) ^ 12(Qo)  L2(^0) d=[^ 12(^o)dk,

Jn*

/ T \ 3/2

^ e /2

v ez3

где Qo = {0,1,...,T — 1}3 и Q0 = [0,2n/T)3 — ячейки в прямой и обратной решетках соответственно. Положим Ну = Н0 + V(n). Оператор UHyU-1 задается семейством операторов Hv(k) = Но (fe) + V, действующих в 12(Q0), где k = (k1, fe2 ,fe3) € Q0 _ квазиимпульс, а оператор Но (fe) имеет тот же вид, что и оператор Н0, но с использованием свойства блоховости

+ Tn0, k) = eiT

в случае nj ± 1 € {0,..., T — 1}, j = 1, 2, 3. При этом говорят, что оператор Ну разложен в прямом интеграле пространств Jn* 12(Q0)dk.

Н

U|| : 12(Z3) ^ 12(Q) <g> L2(Q*) <=/ Г 12(Q)dk||,

*

^ e /2(Z3) и> (C/||^)(n,fe||) = ф(п,кy) = £ E e-^'fcllV(« + T(/x,0))|nxnt,

^ez2

где Q = {0,1,..., T — 1}2 x Z, Q* = [0, 2n/T)2, k|| = (k1,k2). Свойство блоховости здесь имеет вид

£(n + T(n0||, 0),ky) = eiT(no"'k")^(n,ky).

Оба оператора Ну и Н могут быть разложены в прямом интеграле пространств 12(Q)dk| в семейства операторов Ну(^|) и Н(^|).

Пусть А0 = Amo(k0), где k0 = (k10,k20,k30) — невырожденное собственное значение оператора Ну(^), отвечающее нормированному собственному вектору фто (n,k0). В дальнейшем предполагается, что

dAmo (k0)/dk3 = 0, d2 Amo (k0)/dk2 = 0.

Уравнение dAmo (к)/дкз = 0 задает в окрестности точки ko поверхность, описываемую аналитической функцией k3° = k30)(k|| ), где ky принадлежит некоторой окрестности точки koy = (kio ,k2o )•

Уравнение Amo(k) = A, рассматриваемое относительно кз, имеет для ky из окрестности точки koy ровно два решения k3j = k3j(ky, A), j = 1, 2, аналитически зависящие от ky, A там,

где k31 = k32, и сливающиеся, если k = ko. Положим £j = k3j — k3o)(ky ), j = 1, 2.

В § 11 рассмотрено уравнение Липпмана-Швингера в l2 (Z3) отвечающее оператору H, имеющее вид

ф

n'ez3

где Gv(n, n', A) — функция Грина оператора Ну в 12(Z3), A = Amo (k) принадлежит внутренности одной из зон (промежутков, образующих спектр оператора Н), причем выбираем k3 = k3i (см. выше). Положим

<W(k||) d= Y^ Ô(k\\

^ez2

Применим к (0.15) оператор С/ц, тогда уравнение ЛиппманаЛПвипгера в ячейке Q примет вид

Ф

n'en

где Gy(n, n', ky, A) — функция Грина оператора Hy(ky). В дальнейшем будем предполагать, что

£i = Ae, A = const = 0.

Лемма 11.1. Предположим, что выполнено (0.17). Тогда для кц из некоторой окрестности точки koy и достаточно малых е существует единственное решение уравнения Липпмана-Швингера в ячейке Q (0.16) вида,

"Ф

гАд2\то (кц, kg0-1 )/<9к2 '

-77л--Ь 0{е)

iAd2Amo (ky ,k3o) )/dk2 — Wo

¿per (ky — ky),

где

Wo = T(фто (n, (ky, kf )), W(n)^mo (n, (ky, k(0)))) ,

а величина аналитически зависит, от, ky, е как l2(Q) -значная функция, и удовле-

творяет оценке

||v/W(n)0(e) |К Се, С = const.

В § 12 найдена асимптотическая формула для решения исходного уравнения Липпмана-Швингера (0.15), результат отражен в следующей лемме.

Л е м м а 12.1 В условиях леммы 11.1 имеем, равенства

ф(п) = а+фто (п, (^|^31)) + п+(«) + 0(£), пз ^ 0,

Ф(п) = фто (п, (ky,kзl)) + а-фто (п, (kм, kз2)) + П- (п) + 0(£), Пз < 0,

¿Ad2Am^ ky ,k3o^ /dk2 idAmo (ky, k3i )/dk3

a+ ¿A92Amo(k||,40))/9fc3 "Wo ^Amo(fc||,fc3i)/9k3-eWo

Wo eWo , .

a- =-77л- = -7-Г^--Ь Ole),

iAd2Amo (ky,k3o0/dk2 — Wo idAmo (ky ,k3i) /dk3 — eWo

а функции П±(п) = П±(п, к) удовлетворяют неравенству (10.1) и аналитически зависят, от, к как 12(0±)-значные функции, где = 0 П {пз ^ 0}, 0_ = 0 П {пз < 0}.

Также в этом параграфе описана картина рассеяния вблизи точки экстремума по третьей координате квазиимпульса собственного значения оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом в ячейке, то есть для малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы на потенциальный барьер еШ. Получены следующие простые формулы для вероятностей прохождения Р+ и отражения Р_:

, 2 _ А2(д2\то{к11,к^))/дк2)2 {д\то{кьЫ1)/дЫ)2

+ |Й+1 А^д2\то{кьк^)/дк2)2+Щ2 ^ (д\то(кьк31)/дк3)2+е2Ш2 + [£)>

Р =\а |2 =_^_+ 0

А2(д2Хто{кьк1>))/дк2)2+Ш2 (д\то(кьк31)/дк3)2+е2Ш2

Автор выражает глубокую признательность д. ф.- м. н. Юрию Павловичу Чубурину за постановку задачи, руководство и всестороннюю помощь в ходе исследований.

§ 1. Предварительные сведения

Первые шесть параграфов посвящены изучению функции Грина оператора Но, действующего в 12(£), где

£ = (^ х {0}) и ({0} х Z),

следующим образом:

(ад)(0,0) = ф(1,0) + ф(-1,0) + ф(0,1) + ф(0, -1),

(Ноф)(п, 0) = ф(п + 1,0) + ф(п - 1,0), п = 0, (Ноф)(0, т) = ф(0, т + 1) + ф(0, т - 1), т = 0.

Оператор Но является оператором энергии (гамильтонианом) электрона вблизи пересечения двух квантовых проволок. Кроме того, в этих параграфах исследуются квазиуровни и рассеяние для двух разновидностей возмущенного оператора.

В данном параграфе приведены определения и вспомогательные утверждения, наиболее часто встречаемые в работе.

Через В(А) обозначим область определения оператора А.

А,

пространстве, самосопряжен. Оператор С, такой, что В(А) с В(С), называется относительно компактным по отношению к А тогда и только тогда, когда оператор С (А + г)-1 компактен.

АС относительно компактное возмущение. Тогда, ае88(А) = ае88(А + С).

Определение 1.2 (см. [24, с. 140]). Существенным спектром самосопряженного опера-АН точек спектра и собственных значений бесконечной кратности.

Теорема 1.2 (см. [15, с. 224], аналитическая теорема Фредгольма). Пусть В — открытое связное подмножество в С. Пусть А : В — £(Н) — аналитическая, операторнозначная функция, такая, что А(г) — компактный оператор для каждого г € В. Тогда, л,ибо

a) [I - А(г)]-1 не существует ни для какого г € В, либо

b) [I - А(г)]-1 существует для всех г € В \ Б, где Б — дискретное подмножество в В

В

функция, [I - А(г)]-1 мероморфна в В, аполитична в В \ Б, ее вычеты в полюсах операторы конечного ранга, и если г € Б, то уравнение А(г)ф = ф имеет ненулевое решение в Н.

Обозначим множество всех наборов из п неотрицательных чисел а = («1,..., ап) через /+.

Определение 1.3 (см. [15, с. 152]). Множество быстро убывающих функций 5 (Мп) есть множество бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций <^(ж) на Мп, для которых при всех а, в € 1+

1М|а,в = йиР <^(ж)| < ОО.

Теорема 1.3 (см. [16, с. 49]). Пусть функция Р: Мп — М принадлежаит Сте(Мга) и и € 5(Мп) — такая функция, что и имеет компактный носитель. Пусть 2 — открытое множество, содержащее компактное множество ^гаё Р(к)|к € вирри}. Положим,

и(ж) = (2п)-га/^ У вхр[г(жк - ¿Р(Л))]и(Л)^Л.

Тогда, для, любого ш существует константа с, зависящая от, т, и и 2, такая, что

|и(ж)| < с(1 + |ж| + |£|)—т для всех ж, для, которых ж/1 не лежит в 2.

§ 2. Спектр и резольвента невозмущенного оператора для квантовых проволок

В этом параграфе найдены существенный и дискретный спектры оператора Но, а также вид резольвенты этого оператора.

Введем оператор ^ : 12(^) — Ь2[-п,п] следующей формулой:

ж) = ф(ж) = -^=(^(0,0) +ф(1,0)е2^ +ф(-1,0)е"2^ + ф(2,0)е^х + ф(-2,0)е~^х + у2п

+ ф(3, 0)еКх + ф(—3, 0)е—+ ... + ф(0,1)е*ж + ф(0, —1)е—^ + ф(0, 2)е3^ + ф(0, —2)е—+

+ ф(0,3)еКж + ф(0, —3)е—+ ...),

или

Ф

где

а±(2га+1) = Ф(0, ±(п + 1)), а±2га = ф(±П, 0), П = 0, 1, 2,.... Лемма 2.1. Оператор ^ унитарен.

Доказательство. Покажем, что

для всех ф € 12{9)- Функции {е^/у7^}^^ образуют ортонормированный базис в Ь2[—7г,7т]. В силу равенства Парсеваля

. еггаж ч 2 | , егтж етж ч 2

Е 1(^)1 = Е | Е = £ =

Далее, отображение ^ сюръективпо. Действительно, для каждого ф € Ь2[—п,п] найдется прообраз ф € ¿2(^), определенный с помощью равенства (2.1).

Теорема 2.1. Существенный спектр оператора Н0 совпадает с отрезком [—2, 2].

Доказательство. Положим Ho = FHoF 1. Тогда для каждой функции ф € L2[-п, п]

имеем

Поф(х) = FHoF'^ix) = FHotp(x) = [ф{ 1,0) + ^(-1,0) + ф{0,1) + ^(0, -1) +

\/2 п

+ (ф(0,0) + 0)) e2ix + (ф(-2,0) + ф(0,0)) e-2ix + (ф(1,0) + ф(3,0)) e4ix + + (ф(-3,0) + ф(-1,0))e-4ix + (ф(2,0) + ф(4,0))e6ix + (ф(-4,0) + ф(-2,0))e-6ix + ... +

+ (ф(0,0) + ф(0,2))eix + (ф(0, -2) + ф(0,0))e-ix + (ф(0,1) + ф(0,3))e3ix + + (ф(0, -3) + ф(0, -1))e-3ix + (ф(0,2) + ф(0,4))e5ix + (ф(0, -4) + ф(0, -2))e-5ix + ... ] =

= -^L [e2ia: (ф{ 0,0) + 0)e2ix + 0)e_2ia: + ф{ 2,0)e4i:c + ^(-2,0)e"4i:c +

2

+ ф(3,0)e6ix + 3,0)e-6ix + ...) + e-2ix (ф(0,0) + ф(1,0)e2ix + 1,0)e-2ix + + ф(2,0)e4ix + ф(-2,0)e-4ix + ф(3,0)e6ix + ф(-3,0)e-6ix + ...) + e2ix (ф(0,1)eix + ф(0, -1)e-ix +

+ ф(0,2)e3ix + ф(0, -2)e-3ix + ф(0,3)e5ix + ф(0, -3)e-5ix + ...) + + e-2ix (ф(0,1)eix + ф(0, -1)e-ix + ф(0,2)e3ix + ф(0, -2)e-3ix + ф(0,3)e5ix + ф(0, -3)e-5ix +...) + + ф(0,1) + ф(0, -1) + ф(0,0)eix + ф(0,0)e-ix - ф(0, -1)eix - ф(0,1)e-ix] =

= 2 cos 2ж • ф{х) + --== 1) + ф{0, -1) + ф{0,0)eia: + ^(0,0)e~ix - ф{0, -l)eix - ф{0, l)e"i:c). Следовательно, Ho = A + B, где A^x) = 2cos2x,0(x) и

= (^(0,1) + ^(0, -1) + V>(0,0)eia: + ^(0,0)e_ia: - ^(0,-l)eix - ф{0, l)e~ix) = 2

= — ¡'+Ж Ш {е~и + еи + + eia; - eueix - е~ие^х) dt =

2п J-п

1 />+п -

= — / ^(i) (cost + cos ж — cos(t + x)) dt. п У-п

Оператор B является конечномерным и, следовательно, компактным. В силу унитарной эквивалентности операторов Ho и Ho и теоремы об относительно компактных возмущениях (см. теорему 1.1) имеем

^ess(Ho) = aess(Ho) = ^(A) = ff(A) = [-2, 2].

Л e м м а 2.2. Из ограниченности и самосопряженности операторов A и B следуют, те же свойства, для, оператора Ho.

Заметим, что функция

д{А) = А/2 - ^(А/2)2-1

является обратной к функции Жуковского w = (z + z-1 )/2 для z = А/2. Риманова поверхность ^функции g двулистна, причем листы склеиваются вдоль интервала (-2, 2), а точки ±2 являются точками ветвления.

Введем в рассмотрение оператор Hoi, действующий в l2(Z) по формуле

(Hoi^)(n) = + 1)+ - 1), n € Z. 14

Известно

1 / \ — /\2 _ л \ \п~т\ 1

С01

Функция ^01 аналитически продолжается по Л па двулистную риманову поверхность V; при этом на первом листе ^01 экспоненциально убывает при |п — ш| — о и является па нем ядром резольвенты.

Для произвольной функции <^(п, ш), определенной па будем пользоваться обозначениями

f (р) = f (А,р) = (Rqi(A)^) (1) + (Rci(A)^) (-1), ^i(n) = <^(n, 0), ^>2(m) = ^>(0, m), n,m € Z,

при этом (0) = ^>2 (0).

Л е м м а 2.3. Резольвента R0(А) оператора H0 имеет вид

R0(A)^>(n, m) = <

{яо1(а)и) (в) - №>.<*)*) с),

n € Z, m = 0, (m) - (iM A)¿) (m),

п = 0, ш € Z.

Доказательство. Резольвенту ^0(Л) ищем, решая уравнение

относительно ф для Л € [—2, 2] = сте55(Н0) (см. теорему 2.1). С учетом (0.1) уравнение (2.4) можно переписать в виде системы

ф

ф(1, 0) + ф(—1, 0) + ф(0,1) + ф(0, —1) — Лф(0, 0) = р(0, 0).

Система (2.5) эквивалентна системе

((Hqi - А)ф1)(п) = pi(n) - (Ф2(1) + ф2(-1))^(п), n € Z, ((Hqi - A^)(m) = ^2(m) - (ф1(1) + ф^-!))^™), m € Z,

с условием ф1(0) = ф2(0). Докажем, что если ^ € 12(G) (откуда (0) = <^2(0)), то данное

n=m=0

ф1 (1) + ф1(-1) - Аф1(0) = (0) - (ф2(1) + ф2(-1)), ф2(1) + ф2(-1) - Аф2(0) = ^2(0) - (ф1(1) + ф1(-1)) .

Отсюда в силу равенства (0) = ^>2(0) имеем А (ф1 (0) - ф2(0)) = 0 и ф1(0) = ф2(0).

Подействовав на обе части каждого из уравнений системы (2.6) оператором rq1 (А), получим систему

Í ф1(п) = (Д01(А)^1)(п) - (ф2(1)+ ф2(-1))(Д01(А)5)(п), n € Z, \ ф2(m) = (Rq1(A)^2) (m) - (ф1(1) + ф1(-1)) (Rn(A)5) (m), m € Z. Из (2.7) находим линейную систему относительно сумм ф1 (1) + ф^-1) и ф2(1) + ф2(-1) :

1 f (5) \ ( ф1(1)+ ф1(-1) \ = ( fЫ

f(5) 1 ф2(1)+ ф2(-1^ V fЫ

Если d(A) = 1 — f 2(Л, á) = 0, то по формулам Крамера

т) + ф 1

(Если d(A) = ü, то (1) + (—1), j = 1,2 не определяются однозначно по ^, и, следовательно, резольвента Ro(A) не существует.) Из (2.7)-(2.9) следует, что R0(A) имеет вид, указанный в формулировке леммы.

Замечание 1. Дискретный спектр оператора Но состоит из двух собственных значений ±4/л/3 кратности единица. Действительно, резольвента оператора Н0, как видно из доказательства леммы 2.3, вне существенного спектра имеет полюсы в таких точках A, в которых

1 — f 2

В силу

/(Л'= ~7W=A ^ I-2-) 5{т) -

v A 4 mez v 7

Va^I^-IV 2 ; VA^I'

mez 4 '

Из (2.10), (2.11) получаем уравнения

' л/А7^

-2.

Первое из них имеет корень А = 0. Непосредственно проверяется, что для данного А не существует собственных функций оператора Но в классе 12{Q)- Второе уравнение имеет два корня Л± = ±4/л/3-Нетрудно проверить, что А± являются собственными значениями кратности единица с соответствующими собственными функциями ф±(п, то) = (1/л/3)'™'+'т.

§ 3. Квазиуровни слабо возмущенного оператора для квантовых проволок

В данном параграфе доказано, что в окрестности нуля для малых е нет ненулевых квазиуровней возмущенного оператора H£ (это интересно тем, что возмущение eV оставляет резонанс А = 0 оператоpa Ho неподвижным). Кроме того, найден критерий существования квазиуровня оператора H£.

Рассмотрим оператор H£ = Ho+eV с малым параметром е > 0, где V — оператор умножения на вещественную функцию V (n, m) = 0, удовлетворяющую условиям

Уравнение Шрёдингера (Ho + eV)^ = Аф, рассматриваемое в классе l2(G), перепишем для А € 0"(Ho) в виде

ф = -е^

Введем обозначение л/V = д/jvjsign V

замену, полагая <р = л/^ф, тогда (3.2) примет вид

<р = -ey/\V\Ko

Операторнозначная функция \J\V\R,q(X)^/V аналитически продолжается в достаточно малую окрестность отрезка [-2, 2] на каждом из листов римановой поверхности v своей функцией Грина (кроме точек полюса), причем принимает значения в множестве операторов Гильберта-

Ho

зультата для ^\Vj\Roi(X)\/Vj, j = 1,2 (см. [25]).

Уравнение (3.3) будем решать в классе l2(G)• Сделанная замена позволяет находить не только собственные значения (в этом случае ф € l2(G) и тем более ^ € l2(G)), но и резонансы (см. ниже), когда ф, вообще говоря, экспоненциально возрастает. При этом Л не должно совпадать с полюсами y/|V[7?.o(A)v/V, то есть с точками 0 и ±4/л/3 (см. замечание 1). Особенности в точках Л = ±2 формально присутствуют в выражении для , поскольку являются особенностями ядра Roí (Л) (см. лемму 2.3), но, как нетрудно убедиться, являются устранимыми.

Л

зическому») листу римановой поверхности v, будем называть резонансом оператора H£, если существует ненулевое решение ^ € ¿2(G) уравнения (3.3).

Если решение существует на первом листе, причем Л € [—2, 2], то Л является собственным значением.

Определение резонанса можно сформулировать по-другому. Обозначим через ^£(Л) резольвенту оператора H£. В силу резольвентного тождества имеем

откуда

Вследствие компактности оператора £\J\V\R,q(X)^/V и аналитической теоремы Фредгольма (см. теорему 1.2) операторнозначная функция

мероморфна по Л и имеет полюс в точке Ло тогда и только тогда, когда

dimker (l + > 0.

Отсюда в силу (3.5) следует, что А ^ {0, ±4/л/3} является резонансом тогда и только тогда, когда операторнозначная функция e\J\V\R,e(X)^/V, или, что то же, функция Грина оператора Не, имеет полюс на втором листе v.

Определение 3.2 (см. [27]). Число Л € v называется квазиуровнем оператора H£, если Л является резонансом или собственным значением оператора H£.

В частности, Л = 0 является резонансом оператора Ho (если считать, что точки отрезка [-2, 2]

Заметим, что функция ф из равенства л/|У|ф = <р восстанавливается по известной функции в том числе и для и, m таких, что V(и, m) = 0, то формуле ф =

—eTZo(X) л/Vtp.

Из равенства ф = — которое имеет смысл и для элемента ф € l2(G) такого, что

д/|У\ф € 12{G), следует равенство (Но + еУ)ф = Аф. Предположим, что резонанс А находится на втором листе в достаточно малой окрестности отрезка [—2, 2]. При помощи леммы 2.3 и оценок функции Грина Go, подобных сделанным в [25], нетрудно доказать неравенство |ф(и, m)| ^ Ceá(|n|+|m|), где C и ö— положительные константы, причем при уменьшении окрестности [—2, 2] число ö становится как угодно малым. Если Л — собственное значение, то оценка принимает вид \ф(п,т)\ ^ Ce-, где С, 5 > 0.

Пусть А находится на втором листе. Для того чтобы выполнялось условие л/|У|ф € 12{G), естественно потребовать выполнение неравенства ö < а, где а взято из (3.1). При этом Л должно находиться достаточно близко к отрезку [—2, 2], в частности, вели чипа Im Л должна быть малой. Это соответствует физическим требованиям, так как время жизни резонансного состояния должно быть достаточно велико, а оно, как известно из физических соображений

Положим (Л) = (H01 + eVj — Л)-1, j = 1,2.

Лемма 3.1. Точка А € и, такая, что А = £^^(0) и 1 = /2(А,5), является квазиуровнем оператора Н£ для достаточно малых £ тогда и только тогда, когда

(1 - /2(А, 5) + е/(А, ^1Л6)/(А, 5)) х х (1 - /2(А, 5) + е/(А, 5)) = е2/(А, У^ЫДА, У^б),

где = А) = уф^Д^ДАЖп), ; = 1,2.

Доказательство. Уравнение (3.3) запишем с помощью леммы 2.3 в виде системы

' Ып) = - К^ -К^тшъ^ты, п е г,

I ^ ^

Ыш) = 01(Л)^2 - {^Шк01(Х)5)(ш),

£

Ы») = + е^К^Х^ГЧЖ^Шп), » € 2,

Ч—

При этом от решения <1, <2 системы (3.8) требуется выполнение равенства <1 (0) = <2(0). Докажем, что в условиях леммы оно должно выполняться автоматически. После перехода обратно к функциям ,^2 из (3.7) получаем

ф1{п) = -еП^УШп) + МММ ъмы, „а,

1 - /2

Мт) = -еКо1{Х)У2ф2 (ш) + е1'^1] ~ Д01(А)^(ш), т^,

1 - /2

откуда

Г ф1(1) + (-1) = -£/(ЗД) - у/(5), I Ф2(1) + ф2(-1) = -£/(^2^2) - X/(5),

где

ДУ#1) - /Ш2)№ /(У2ф2) - №-Ф1)№

1-р{5) ' у 1-/2

удовлетворяют системе

X + / (5)у = -£/(ЗД), / (5)х + у = -£/(У2^2).

Из (3.10) и (3.12) получаем равенства

X = ф1

Применяя теперь к уравнениям (3.9) оператор Н01 - А и пользуясь (3.11) и (3.13), приходим для п = т = 0 к системе

I (1)+ ф!(-1)+ £^(0)^(0) - Аф1(0) = -^2(1) - ф2(-1), \ ^2(1) + Ф2(-1) + £У2(0)ф2(0) - Аф2(0) = -^1(1) - ф1(-1).

Вследствие равенства У1(0) = У2(0) получаем

(£У1(0) - А)ф1(0) = (£У1(0) - А)ф2(0).

В силу условия леммы ^(0) = ^2(0), откуда ^ (0) = ^>2(0)-Вследствие (3.4) систему (3.8) можно переписать в виде

^ _ 1 7 (т), тей.

Положим = л/У^Кеу^Х)^^), ] = 1,2. Из (3.14) имеем

4>з = С , з = 1,2,

где С^— константы. Заметим, что при малых е векторы ^ близки к и потому

отличны от нуля. Из (3.14), (3.15) получаем следующую систему относительно С1,С2 :

= 1 _ (^/(х/та - с1/(^1)/(5)),

£ [ '

С2 = 1 _ р{6) - С2/№Ь)№)

В условиях леммы ненулевое решение уравнения (3.3) существует тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение (С1,С2) системы (3.16), то есть когда определитель системы (3.16) равен нулю, что и означает выполнение (3.6).

Определение 3.3. Назовем геометрической кратностью квазиуровня

ёш1кег(1 + ел/Щк0(\)^).

Замечание 2. В условиях леммы 3.1 геометрическая кратность квазиуровня совпадает с размерностью пространства решений системы (3.16) и равна единице.

В дальнейшем (до конца § 3) будем предполагать, что VI = У2 = Ш, тогда 61 = 62 = 6-

Теорема 3.1. Оператор Н£ для всех достаточно малых £ не имеет ненулевых квазиуровней в окрестмост,и нуля.

Доказательство. Пусть / 2(Л, ¿) = 1. Предположим вначале, что Ш (0) = 0. Из (3.15) получаем (см. доказательство леммы 3.1), что необходимое для наличия квазиуровня равенство ^>1(0) = ^2(0) выполнено тогда и только тогда, когда 6*16(0) = С2^(0)- Поскольку для Л, близких к нулю, при е —> 0

£(0) = у^ЩДеиКЛ)«)(0) — -^ЕЭ ф 0,

то С1 = С2 = С. При этом С = 0 (иначе ^ = 0 и квазиуровней нет). Следовательно, согласно (3.16), /(\/Й^) ф 0 и

откуда получаем уравнение £ Л,

Рассмотрим случай Ш(0) = 0- Тогда ^1(0) = ^>2(0) и условие Л = £Ш(0) в формулировке леммы 3.1 накладывать не нужно. Из леммы 3.1 следует, что Л € V является квазиуровнем Н£, Л

1 - /2(Л, 6) + е/(А, 5) = ±е/(А,

В случае знака «+» уравнение не имеет решений при малых е и Л (см. выше). В случае знака «—» получаем уравнение

В

где

В(А, е) = 1- ¡(6) + = +

Функция В (Л, е) является аналитической в окрестности точки (0, 0) € С2 (для любого выбора знака корня \/А2 — 4), причем

, ч дВ(0,0) 1 ,

В силу теоремы о неявной функции (см. [29]), для любого выбора знака корня для всех достаточно малых е существует единственное решение Л = Л±(е) уравнения (3.17), причем Л±(е) аналитически зависит от е.

Перепишем уравнение (3.17) в виде

neZ

где

q = q(A) =

А = —ел/А2 - 4/

пей

2 '

Явно выписывая разные знаки у корня л/Л2 — 4, приведем необходимые в дальнейшем равенства:

<7(А) ^ (<7(А))' = ^^^(А),

у/_ ^ Л^а

w (А)) = а[ ±- 4 7' + л9 ,,

V V V (A2-4)TÂ^4 А2-4 7

а ,, а2

(О(о) = (=F»)e, Ю'(о) = ^№)7 (О"(о) =-T(=F0e,

Г ïA2

I = <j Т2г + А± — + 0(A4), n = 0,

Далее, преобразуем для малых A и е выражение

(VwO(n) = VW(1 + £л/ЩКо(\)^)~\л/ЩКо(\)0)(п) = = (WRo(A)5)(n) - e(WRo(A)WRo(A)5)(n) + е2(WRo(A)WRo(A)WRo(A)5)(n) + O(e3) =

X 4 Ùi

£ Y, Y. Qln~kl+lk~ml+lmlW

T (A2 -4)7X^4

fcez mez

В силу (3.18) Л = О(е), тогда из (3.18)-(3.20), а также из равенства Ш(0) = 0 получаем следующее уравнение:

(«М е \

/^и 4 тей '

Очевидно, что оно не имеет решений, если Л = Л(е) ф 0.

Замечание 3. Обычно квазиуровни возмущенного оператора возникают как сдвиги полюсов резольвенты невозмущенного оператора под действием возмущения (см., например, [26]). Квазиуровнями (понимаемыми как полюса функции Грина) оператора Ho являются изолированные собственные значения Л = ±4/л/3, поведение которых описывается обычной теорией возмущений, а также резонанс Л = 0. Таким образом, рассматриваемый в теореме 3.1 оператор имеет весьма необычное свойство: полюс в нуле функции Грина, несмотря на введение возмущающего потенциала, остается неподвижным.

§ 4. Уравнение Л и п п м а н а Ш в и н г е р а для слабо возмущенного оператора для квантовых проволок

В этом параграфе доказаны существование и единственность решения уравнения Липпма-па-Швингера, отвечающего оператору H£, для малого параметра е, получены асимптотические формулы для данного решения.

Пусть переменные k и Л связаны соотношениями

cos к = А/2, sink = -л/1 - (Л/2)2.

Кроме того, введем обозначения

V(n m) = / Vl(n)' m = 0 ф(п m Л) = I ф1(п Л)' m = 0 V(n,m) = j v2(m), n = 0, ф(п,т,Л) = | ^2(т,Л), n = 0.

Пусть Ло € (-2, 2) и Ло не является квазиуровнем оператора Hoi. В некоторой окрестности Ло рассмотрим уравнение Шрёдипгера для оператора H£:

Перепишем (4.1) в виде системы

I ((Я01 - Л)01)(п,Л) = -£^(п)01(п,Л) - (02(1, Л) + 02(-1,Л))5(п), п € \ ((Я01 - Л)02) (т, Л) = -^(т)02(т, Л) - -(01 (1, Л) + 01(-1, Л))й(ш), т €

с условием 01(0, Л) = 02(0, Л). Заметим, что при п = т = 0 из (4.2) получаем

I 01(1, Л) + 01(-1, Л) - Л01(0, Л) = -£^(0)01 (0, Л) - (02(1, Л) + 02(-1, Л)), I 02(1, Л) + ф2(-1, Л) - Л02(0, Л) = -^(0)02(0, Л) - (01 (1, Л) + 01 (-1, Л))-

Откуда

получаем равенство 01(0, Л) = 02(0, Л). Таким образом, данное условие для решений уравнения (4.2) выполняется автоматически.

Рассмотрим уравнение Липпмана-Швингера для оператора Н с «налетающей волной», распространяющейся вдоль Z х {0}:

Г 01

[ 02(т, Л) = -£Й01(Л + г0^(т)02(т, Л) - (01(1, Л) + ^(-1, А))До1(А + г0)5(т), т € Z

(данное уравнение позволяет описать картину рассеяния для налетающего электрона (см. ниже)). В дальнейшем опускаем +¿0; данному выбору знака отвечает к € (-п, 0). Действуя на каждое уравнение системы (4.3) оператором (Н01 - Л) и учитывая, что (Н01 - Л)вг^га = 0, получим, что решение уравнения Липпмана-Швингера (4.3) является решением уравнения Шрёдипгера (4.2), а значит, 01(0, Л) = 02(0, Л) для Л = ^1(0). Далее, из (4.3) видим, что величины 01(1, Л) + 01(-1, Л) и 02(1, Л) + 02(—1, Л) удовлетворяют линейной системе

Г [01(1, Л) + 01(-1, Л)] + /(¿) [02(1, Л) + 02(-1, Л)] = 2С08 к - £/(ЗД), I /(й)[01 (1, Л) + 01 (-1,Л)] + [02(1, Л) + 02(-1,Л)] = -£/^202).

По формулам Крамера имеем

2 cos k - e/

0i(1,A) + (—1, A) = 02 (1, A) + 02 ( 1, A) =

1 - f 2

-2 cos к  f

1 - /2

Таким образом, окончательно уравнение Липпмана-Швингера (4.3) принимает вид f 0i(n, А) = eikn - efíoi(A)Vi(n)0i (n, A) +

+ 2cos k-m+M)-ef(VM

1 - f 2

02(m, A) = -efíoi(A)V2(m)02(m, A) +

, -2 eos fc + g/(Vi0i) - g/(V202)/(¿) D , _

H--:--iíoi(A)á(m), m € Z.

1 - f 2

Перейдем в (4.4) к новым неизвестным функциям <pi = \/|V¿|0¿, ¿ = 1,2 (для у7)^ принимаем равенство y¡V% = л/| V¿|signV¿). Домножив оба уравнения на -\/|Vi| и соответственно,

получим

f = - £N/IvrT-Koi(A) А) +

~ J

^2(m, A) = -e

у/Щя oi(A)\/W^2(т, А) + + л/Ш-1 _ рф-ДоЦАЖт), rneZ.

Введем обозначения _ _

Vi = X>(¿), V2 = ^V2(i).

jez jez

Условие k = Ae, наложенное в следующей теореме, означает, что для малых потенциалов рассматриваются малые импульсы (скорости) налетающих частиц; в этой ситуации малый потенциал существенно меняет картину рассеяния.

Теорема 4.1. Предположим, что k = Ae в случае знака «+» или к = Ae в случае знака, «-», где к = -п - k, A = 0 — вещественная константа. Тогда, для, достаточно малых e существует единственное решение ^ € l2(G) модифицированного уравнения Липпмана Швингера, (4.5), имеющее вид

<pi (п, е) = л/Щп)\{±1)п+1{1 +п- \n\)Aie + 0(е2), Ыт,£) = л/\Ыт)\(±1)т+1Аг£ + 0(£2). Доказательство. Проведем несложные преобразования:

-л/ПЛ|Ео1 (А)л/ViLpi(п, А) - Roi(\)S(n) =

= -vW Е Go1 (л'п - Vvm(j, А) -

jez

E

je z

-^vTÍ

1 -4G2i

x Goi(A, n) = vW [-Goi(A, n - j)v/ВД) -

j ez L

2Goi

<Pi(j'> A)-

x

Обозначим через ^ = ^(Л), г = 1,2, оператор с ядром

- «зда. 1 - Л+адл, 1+Л) ¿т.

Легко убедиться, что в условиях теоремы функции /¿(Л, п, аналитичны по е. Систему (4.5) перепишем в виде

(1 - е^) Ып, Л) = ^е- + у/Щ2 ^ к' {{8) 1£Л{(^2) До1(Л)Д(п), п €

г- 1 "

(1 - еЬ2) <р2(т, А) = у/Щ~2<Х** + ° т 6

1 - /2№

Положим

^(п, Л) = (1 — е^) (п, Л), п € й,

£2(т,Л) = (1 — еВ2) <^2(т, Л), т € й,

тогда из (4.6) имеем

' Л) = + \/Щ2('°8к' т " £Ь2)~Ъ) ълтп), П е Z,

6(т, А) = ^"^^^^"^"^^(ЛЖт), т €

Следовательно,

( Ып,к) = л/Щегкп + С1л/Щегк\п\, \ Ь(т,к) = С2у/Щ(?к\т\

где С1 = С1(к) и С2 = С2(к) те зависят от п и т.

Несмотря на экспоненциальное возрастание Со1(Л, п—при |п—^ | ^ то, для малых к функции и(\, п, ]), г = 1, 2, экспоненциально убывают за счет умножения слева и справа на л/| ТЛ(п)| и \ZViij) соответственно, поэтому А) определены и ограничены в ¿2(2). Обратные операторы

(1 — е^(Л))-1, г = 1,2, существуют для малых значений параметра е, если ||е£г(Л)У < 1.

,

¡{л/Т2{1-еЬ2)-1С2л/Щегк\т\) 1 2 eos к  f(S) С-1 = £--- 0 . .- • —-—- +

C = е

1 - f 2(á) 2i sink 1 - f 2(á) 2i sink'

/(^(l-ebO-^^V^e^ + Ci^V^e^1)) 1 2 eos A;

1 - f2(á) 2i sin k 1 - f2(á) 2i sink'

Заметим, что

/(V2eífcH) =-- Vre^11-5'1 +eífc|1+il)V2(7)eífc|il

9i si л к —'

¿ей

Далее, как нетрудно видеть

jez

2i sin k ^ i sin k 2i sin k

= O(l),

/(71Л(1 - ^О-Чл/П^е«- + C^e^H)) = +

4 4 "г sin k 2г sin k

1

Таким образом, (4.9) можно переписать в виде

Получаем систему

С1 = -1 + гАе-£-^+0(е2), С2 = гА£-^±§^+0(£2).

Cl + £-^C2 = -l + iAe + 0{e2),

По формулам Крамера легко получить

2 С1 + С2 = гАе-Ц±+0(е2).

Ci = -1 + ¿Ae + O(e2), C2 = ¿Ae + O(e2),

откуда

<P!(n, e) = <p!(n, к) = (1 - eL\)~l к) = Ып, к) + 0(e2) = + n - \n\)Aie + 0(e2),

tp2(m, e) = <p2(m, к) = (1 - eL2)_1*0 = Л) + 0{e2) = V|V2(m)|A¿e + 0(e2).

Асимптотическая формула для случая k = —п—Ae доказывается аналогично, с использованием равенства

eikY = (—1)Y ,

где = Ae.

§ 5. Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного оператора

В этом параграфе описана картина рассеяния для оператора H£, выписаны коэффициенты отражения и прохождения. Получены асимптотические формулы для этих коэффициентов в частном случае.

Рассмотрим при t € R нестационарное уравнение

= Н01ф,

где ф = ф(п, t) с условием в нуле

ф

принадлежит классу Ci(R, I2(Z)) (Ci(R, 12(Z)) обозначает пространство непрерывно дифференцируемых на R функций со значениями в 12(Z)).

Введем преобразование Фурье F : 12(Z) ^ L2[—п,п] формулой

m = (Рф){к) =

^2п nez

Л е м м а 5.1. Решение уравнения (5.1) с начальным, условием (5.2) имеет вид

ip

у2п J-п

F

дф , г

г— = 2 eos к  ф, dt

где ф = ф(к^) € L2[—п,п]. Отсюда, с учетом (5.2), имеем ф(к^) = ф0(k)e-2icosы и, следова-

Следствие 5.1. В силу самосопряженности оператора Н01

Введем обозначения

ж_, е-гА:

<(«.*) = -Й5П—

3>га

(п,к) =-6 ^-^-^ 0-, Л),

3<га

С1{Ю 1 - /2(5) '

117 тк 7 2гвтА;

3 ей

Из первого уравнения (4.4) имеем

„гй|га-31 е^М „гй

*(», Л) = е- - уСЛ*а А) + С,»)^ = е- - у А)-

зей 3ей

_ е-^(га-3) _ ргй(га-3) ег&|га|

-еУ --у-УгШЛь А) + С\{к)—--,

3>™

или

е-^

^(п, Л) = е -^-——УхО-ЖО-, А)-

2г вт к

3ей

— е

_ рг&

У --^-Vl(i)0l(i, Л) + С1(Л)—-Г.

3<™

Отсюда

01

(знаки «+» и «-»отвечают п > 0 и п ^ 0 соответственно). Рассуждая аналогично, получаем

02

где

Ее^

-т—-г-У^МЗ, Л),

2г вт к

3<т

Л) = -е £-^-А),

3>т

^ т -Ъсжк + еКУМ-еНУМт С2{к) --,

3 ей

Определим функцию

П(п, т, к) =

' (п, к), п > 0, т = 0,

П-(п, к), п ^ 0, т = 0,

П+ (т, к), п = 0, т > 0,

(т, к), п = 0, т ^ 0.

Л е м м а 5.2. Функция n(n, m, k) является l2(G)-значной аналитической функцией в окрестности точки Ао = 2cos k0, k0 € [—п, 0].

Доказательство.

Iln(n,m,k)ll22(g) = Е ln(n,m,k)|2 = Е |n+(n,k)|2 + Е (n,k)|2 +

+ 52 ln+(m,k)|2 + J] |n-(m,k)|2.

m>0

В силу неравенства Коши-Буняковского справедлива оценка

e-ifc(n-j) _ ) , _2i sin[k(n — j)]

j>ra J>™

2

j>n j>n

T^ sin2[k(n - j)] ^ ,

В окрестности feo ^ U, очевидно, справедливо -~- < С. В случае Ко = О

sin2 k

sin2[k(n — j)] k2(n—j)2 2 2.

sin2 k sin2 k

Таким образом, из (5.6) имеем

|П+ (n,k)| < Ci(£(n2 + j2)e-a|j^ ||^iHi2(z) < C2(Ej2e-a|j|) £

j>n j>n

^C2e 2 2 J =C3e 2 .

__¿L\ 1/2

/"e 2

j>n

Отсюда следуют экспоненциальное убывание п+ и равномерная сходимость в (комплексной) Л0

||П+ (п, к) - (П+ )м(п, к) (2) ^ 0, М ^ то,

где (п+)м(п,к) = Х[-м,м](п)  П+ (п,к), Х[-м,м](п)^характеристическая функция отрезка [-М, М]. Аналогичные рассуждения справедливы и для п-(п, к), п+ (т, к), п-(т, к). Следовательно, Е т, £;)| ^ С ^ е В силу (векторнозначной) теоремы Вейерштрасса

(га,т)еб п<0

12(С)-значная функция п(п, т, Л) апалитична в окрестности точки Л0.

Будем искать решение уравнения

о,

=

где ^ = <^(п, т, г) — 12(^)-значная функция аргумента г, ^ € С 1(М, I2(^)), в виде

/•Ло+ст

^>

•/Ло-ст

где а > 0 достаточно м ало, С (Л) € С0^(Л0 - а, Л0 + а), 0(п, т, Л) — решение уравнения

Липпмана-Швингера (4.4). Используя (5.4), (5.5), перепишем (5.7) в виде

г Aq+ct

^>(n, m, t) = <

C(A) (eikn + A±(fc)e±ikra + n±(n, k)) e-iAí dA, n € Z, m = 0, C(A) (A±(fc)e±ifcm + (m, k)) е-Ш dA, n = 0, m € Z,

-2 J" C(A) (eikra + A±(fc)e±ikra + n±(n,k)) e-2itcosk sinkdk, n € Z, m = 0,

-2J C(A) (A±(fc)e±íkm + n±(m,fc)) e-2itcosksinkdk, n = 0, m € Z,

знаки «+» и «—»отвечают n, m > 0и n, m ^ 0 соответственно. Рассмотрим норму выражений в (5.8), отвечающих п±2- Используя формулу интегрирования по частям, получим

=

' A q—ст /•Aq+ct

' Aq—ст

/Ю

/•Aq +CT 2

/ C (A)n±±2 e—iAt dA

' Aq — CT

— 0, t —^ TO.

l2

Таким образом, соответствующие интегралы не играют роли в рассеянии. Далее,

/0 /0 C (k)A± (k)e—2it cos k±ikn sin kdk = A±(fcoW C (k)e—2it cos k±ikn sin kdk +

-П J —П

f 0

+ / C

J —П

где fco отвечает Ao (точнее, Ao = 2 cos fco)- Сравнивая второе слагаемое в правой части (5.9) с (5.3), из следствия леммы 5.1 при фо(к) = л/2ттС(к)(А^(к) — A^(fco)) sin к получаем, что норма данного слагаемого в 12(Z) при всex t совпадает с

v^llC(fc) [Af(k)-Af(kо)] sinfc||¿2[_^0]

и может быть сделана сколь угодно малой равномерно по t выбором носителя функции C (A) в достаточно малой окрестности точки A0 при сохранении нормы этой функции в L2 [—п, 0]. Аналогичные рассуждения верны и для интеграла, отвечающего . Таким образом, для частиц с достаточно локализованным волновым вектором k картина рассеяния определяется числами (k0) и (k0).

Далее, вследствие теоремы о стационарной фазе (см. теорему 1.3) для всех n и t таких, что |n/t + 2 sin k01 ^ e, где e > 0 достаточно мало, интеграл в первом слагаемом правой части (5.9) стремится к нулю по норме в 12(Z) при |t| — то. Следовательно, для больших |t| в рассеянии

n,

-e < n/t + 2 sin k0 < e

(аналогичные выводы справедливы и для подобных интегралов во втором уравнении (5.8)). Суммируя сказанное, приходим к следующему описанию рассеяния. Предположим, что

у/2п\\2втк-С

t < 0

кализованный в основном в подмножестве Z вида (5.10) (норма соответствующей функции стремится к единице в этой области при t — —то). Ир и t — то пакет делится на четыре части,

отвечающие разным полуосям. Отраженной волне отвечает коэффициент А-(Л0). Скорость волнового пакета приближенно равна по модулю (в любом направлении) |2вт кэ |. В силу равенства

> 0, Л0,

функции С (Л) и устремл яя |г| к бесконечности, получаем неравенство

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 5.1. Имеет место равенство

Следствие 5.2. Из проведенных рассуждений следует,, что для вероятностей прохож-

Л0

Р+

где Р2±(Л) — вероятности прохождения вдоль оси От вверх и вниз соответственно, Р± — вероятности прохождения вдоль оси Оп вправо и влево соответственно.

Для малых е при определенном соотношении между е и Л существует практически полное прохождение вдоль оси абсцисс.

Положим

С* = ^ " + ; -\j\mj) +

3 ей

+ -2 + |1 -Л +11 +/|)(1 +3 - \з\Шз),

4

3ей

3ей

+ \М " 2 + |1 - Л + |1 + т+З - \з\Шз)-

3ей

К- = 2А2 - 1-Аг^+3 ~ \з\Шз) +

3ей

+ - 2 +11 - л +11 + з\Ш +3 - \з№(з)-

3ей

В следующей теореме 5.2 предполагается малость как потенциала, так и скорости частицы

кк

Л2

равенства

Р+(Л) = Р+(Л) = Р2-(Л) = А2е2 + О(е3), Р-(Л) = 1 + (А2 - 2С-)е2 + О(е3) и для Л, достаточно близких к точке -2 равенства

Р+(Л) = Р2+(Л) = Р2-(Л) = А2е2 + О(е3), Р-(Л) = 1 + (А2 - 2К-)е2 + О(е3).

Доказательство. Используя теорему 4.1, для А, близких к точке 2, найдем A± (А) = -1 + ¿Ae + C ±e2 + O(e3), А±(А) = ¿Ae + F ±e2 + O(e3).

Тогда

P-(А) = |А-(А)|2 = | - 1 + ¿Ae + C-e2 + O(e3)|2 = 1 + A2e2 - 2C-e2 + O(e3), P+ (А) = |1 + A+ (А)|2 = |iAe + C+e2 + O(e3 )|2 = A2e2 + O(e3),

Р2±(А) = |A± (А)|2 = |iAe + F± e2 + O(e3 )|2 = A2e2 + O(e3).

Для А, близких к точке — 2, доказательство аналогично.

В следующей теореме 5.3, в отличие от теоремы 5.2, мал только возмущающий потенциал (описывающий, например, примесь).

Теоремаб.З. Пусть А = 2 cos k, k € (—п, 0) фиксировано. Тогда,

Р+(А) = (1 + E)2 + B2 + O(e), P-(А) = E2 + B2 + O(e), Р2±(А) = D2 + B2 + O(e),

где

2 + 2 cos 2k + sin2 2k sin2k(1 + cos 2k) 2 sin2 2k E = —;--:--, В = --—-~-, D —

(1+С08 2Й)2 + 4 sin2 2Л' (1+С08 2Й)2 + 4sin2 2Л' (1+^2к)2 + 4sin2 2Л'

Доказательство. Существование и единственность решения модифицированного уравнения Липимана-Швингера (4.5) следуют из рассуждений, аналогичных представленным в доказательстве теоремы 4.1. Справедливость формул для Р-^А) и Р2±(А) легко следует из равенств

А±(к) = Е+Бг+0(е), А±±(к) = В+Бг+0(е).

§ 6. Квазиуровни и рассеяние для оператора Н

В настоящем параграфе рассмотрен оператор Н = Н0 + V. Здесь V ^это оператор умножения на функцию

+ ), т = 0,

V (п,т) = ,

1 0, п = 0,

при некотором натуральном N > 1. Доказаны существование и единственность квазиуровней этого оператора в окрестностях точек ±2 для определенных значений получены асимптотические формулы для квазиуровней. Кроме того, доказано существование точки в (-2, 2), коэффициент отражения в которой в задаче рассеяния равен нулю для всех достаточно малых Р0.

Уравнение Шрёдингера (Н0 + V)ф = Аф, рассматриваемое в классе 12(£), для А ^ ст(Н0) перепишем в виде

ф = -^о

Здесь V — это оператор умножения на функцию

+ ), т = 0,

V (n,m) = .

1 0, n = 0,

при некотором натуральном N и вещественном V0- Данный потенциал, в отличие, вообще говоря, от потенциала §§ 3-5, имеет ярко выраженный «резонансный» характер: квантовая частица может последовательно отражаться бесконечное число раз от потенциалов Vq5Uín и Voón-N-Положим (р = л/|У\ф, тогда (6.1) примет вид

<Р = -V\V\K0

Определения квазиуровней оператора H аналогичны определениям, данным в предыдущем параграфе для оператора Не.

Определим к равенствами cos к = А/2, sin А; = —у/1 — (А/2)2.

Теорема 6.1. 1) В сколь угодно малой окрест,ност,и каждой из точек ±2 для значений У0, достаточно близких к ±1 /Ж; существует единственный квазиуровень Л± = 2 сов к± оператора %, причем

2) В сколь угодно малой окрест,ност,и каждой из точек ±2 для, значений достаточно близких к ±——г, существует единственный квазиуровень А± = 2соек± оператора %, причем

'Ж- 1

(Ж - 1)2г

1

-ь

1

фг{п) = -(До1(А)У1^1)(п) - пей,

Мт) = /Щ^(Д01(А)5)(ш),

1 - /2№

т € й.

1 - / 2

Первое уравнение системы (6.3) с учетом (2.2) можно переписать в виде

V.

+

01 (п) = V?

(д|га-М |01 (Ж) + д|га+м |01(-Ж )) +

где д

Л2 - 4 - 4д2

Заметим, что, зная 01 (п), легко найти 02(т). Далее, в силу (6.4) для нахождения 01 (п) достаточно знать 01 (Ж) и 01 (-Ж), удовлетворяющие системе

фх(Л0 = (МЮ + дтМ~Ю) + -7=5= + х

х

А2 - 4 - 4д2:

м-ю = = {д2ММЮ + м-ю) + -?== {я*-1 + ям+1) х

х

2дм+1

Л2 - 4 - 4д2

Условие существования ненулевого решения, то есть равенство нулю определителя системы,

имеет вид

а Ь Ь а

где

а=1

__2 У0дм+1

2^4 ~ У/А^4

0,

Ь=

__2У0^+1

л/А2"^^ ~ у/А2^4

^д

или

1

М0

2^д2М+1Л

=

у/А^4

^д

2М

+

2^>д2М+1Л

Для определенности рассмотрим случай Vo вблизи 1/N. Уравнение (6.5) для знака «—» можно переписать следующим образом:

1--—^— (1 - g2iV) = О,

или

L + äih«1-^0- <6-6»

Обозначим F(Vq, /с) = 14--—-г(1 — e2Nlk). Проведем несложные преобразования для к, близ-

2i sin k

ких к нулю:

7-,/тг ,ч V0(—2Nik + o(k2)) _ „т „.

F{V°>к) = 1+ 2гк + от =1-V°N + °

Очевидно, что функция o(k) аналитически зависит от к. Если Vo = 1/N, то, согласно (6.7), к = о — решение уравнения (6.6). Имеем

dF VON2 dF

ж = J!r+"<*>' si* =-"+**>

dF / 1 \

Заметим, что OJ / О- По теореме о неявной функции (см., например, [29]) в достаточно

малой окрестности точки 1/N существует единственное решение k = k(Vo) уравнения (6.6), причем

dF / 1

дв кы' )

Следствие 6.1. Из (6.3) вытекает, экспоненциальное убывание на бесконечности, а следовательно принадлежность 12(^), функции ф в случае, еели 1т к > 0 (ср. [30]). Таким образом, для У0, достаточно близ ких к ±1/Ж и V | > 1/^, значения, А± являются собственными

значениям,и оператора %. В случае Уо, достаточно близких к ±——- и |Ро| > ^—р значения А± также являются собственными значения ми оператора Н.

Н

пространяющейся вдоль Z х {0} :

Ып) = е*» - Ко^тМп) + п € Z,

1 - /2

Первое уравнение системы можно переписать в виде

tpi

Положим

А = (1 +

sin2 k + e2ik 2i sin k sin2 k + e2ik

Vo Vp cosfc • eifc(1+2JV)\2 /Vfte2ifcjv VQ cosfc • e^1+2JV)\2

2г sin k 2i sin k sin2 k + e2ik ) \2i sin k 2i sin k sin2 k + e2ik ) '

Д-1

e¿fcN _

cos k • eik(1+N) \

sin2 k + e

2ífc J

1 +

Vo

Vo

2i sin k 2i sin k

cos к  eifc(1+2JV) \ sin2 k + e2ik у

e

-ifcN

cos k  eik(1+NЛ /Voe2ikN Vo cos k  eik(1+2N)'

sin2 k + e

2ífc J

2i sin k 2i sin k sin2 k + e

2ifc

д _ Л Vo _ Vo cos к  eifc(1+2JV) \ / _ cosfc • e^1+JV) \ _ 2 ~~ ^ 2i sin к 2¿sin к sin2 к + e2ik J sin2 к + e2ik J

_ í У0е2гкМ _ Vq eos к-егк(-1+2МЛ ílkN _ eos к  егк(-1+мА I 2i sin к 2i sin к sin2 к + e2ik J l sin2 к + e2ik J '

Леммаб.1. Пусть Д = 0, тогда существует единственное решение уравнения Липпма-на-Швингера (6.8), которое имеет вид

éfn\ = jkn Vo ( Ík\n-N\A1 . Ík\n+N\A2\ _ COS k • etfc(1+lraD

^ 2i sin k V A AJ sin2 k + e2ik

Vo cos k • eifc(1+JV+H) / А1 Д^х + 2¿ sin A: sin2 k + e2ífc vX + "Д/'

, . . i sin k cos k Voeik(N+|m|) cos k / Д1 Д2

=  2¡. 2¿fc-- 2¡. 2¿fc ( ^T + ^T

sin2 k + e2ik sin2 k + e2ik V Д Д

Доказательство. В силу (6.9) для нахождения 01 (n) достаточно найти величины 01 (N) и 01 (—N), которые удовлетворяют системе

' Vn

0i(AO = eikN - —(Vi(iV) + e2ífcW0i(-AO) -2i sin k

_ eos fc • eifc(1+JV) Vb cosfc •eifc(1+2JV)(0i(jV) +0i(-jV)) sin2 k + e2ífc 2¿ sin k sin2 k + e2ífc '

0i(-AO = e~ikN - , {e2ikNipi(N) +0i(-iV)) -2i sin k

_ eos fc • eifc(1+JV) V0 cosfc •eifc(1+2JV)(0i(jV) +0i(-jV)) sin2 k + e2ífc 2¿ sin k sin2 k + e2ífc

Записав решение полученной системы с помощью формул Крамера, получим требуемую формулу для 01 (n). После этого легко получаем формулу для 02 (m).  Обозначим через P—(A) вероятность отражения в точке А € (-2,2). Имеем равенство P-(A) = |A-(A)|2, где A-(А) — коэффициент отражения (вдоль прямой Zх {0}), который легко выписывается из вида решения уравнения Липпмана-Швингера (см. лемму 6.1):

01 (n) = eikn + Ce-ikn, n < -N,

где

Г-4-аТ/П- -,fcjyA24 cosk  eikn

C-A,{ —+e "д J " sin2 fc + e2^ +

Vb cos k  eifc(1+JV) /Ai A2 2i sin k sin2 k + e2ik VA A

Для краткости будем пользоваться обозначением A-(k, Vo) вместo A-(2cos k, Vo).

Теорема 6.2. В сколь угодно малой окрестности точки Ао = 0 для всех достаточно малых V0 существует единственное решение А уравнения P— (А) = 0, причем

А = O(V>3).

Доказательство. Несложно убедиться, что значения V0 = 0, k = п/2 удовлетворяют уравнению A- (k, V0) = 0, и найти частные производные

dAi

rJVo -Ж-^/2'°) ^ (^2'°)=0-

В силу теоремы о неявной функции в сколь угодно малой окрестности точки ко = п/2 для V0, близких к нулю, существует единственное решение уравнения А-(А, V0) = 0, для которого справедлива асимптотическая формула

k = k(Vo) = п/2 + O(V03).

Положим = k — п/2 = O(V03), тогда А = 2cos k = —2 sin= O(V03).

§ 7. Спектральные свойства оператора H0

В §§7-9 рассматривается оператор H0 = (H01  1) + (1  H02), действующий в 12(Г), где Г = Z х {1,..., N} С Z2. Оператор H01 : 12(Z) ^ 12(Z) действует по правилу

(#01^)(n) = ^>(n — 1) + ^>(n + 1), n € Z.

Оператор H02 действует в l2 ({1,..., N}) = CN и определяется равенствами

(#02^(m) = <^(m — 1) + ^(m + 1), m = 2,..., N — 1, (Я02^)(1) = p(2), (#02^ (N) = ^(N — 1).

Последние два равенства означают наличие нулевых граничных условий для m = 0, N.

В данных параграфах собраны результаты, относящиеся к исследованию оператора H = H0 +eV, где е > 0, а V является оператором умножения на вещественную функцию V(n, m) = 0, Г

|V(n,m)| < ве-а|п|, n € Z, m €{1,...,N},

причем a > 0.

В § 7 найдены вид ядра резольвенты и спектр оператора H-Теорема 7.1. Оператор H0 самосопряжен и ограничен.

Теорема проверяется непосредственно. В дальнейшем понадобится следующее утверждение. Лемма7.1. Существует ровно N различных собственных значений оператора H02 :

nj

AJ = 2cos^T, j = l,...,N,

с соответствующими собственными функциями

, . . / njm \

^jVm) = asm (^дГТрТ/' ^ =

образующими ортонормированный базис в CN, г<9е а = ]J ~ нормировочный коэффици-

ент.

Доказательство. Уравнение на собственные значения

Ho2^ = А^>

перепишем в виде

<^(m — 1) + ^>(m + 1) = A^(m), m = 2,..., N — 1, p(2) = Ap(1), <^(N — 1) = Ap(N).

Решение уравнения (7.1) ищем в виде

p(m) = C1eikm + C2e-ikm, m = 1,...,N.

Для m € {2,... , N — 1} имеем

C1eifcm(e-ifc + eik) + C2e-ikm(e-ik + eik) = A(c1 eikm + C2e-ikm).

Следовательно, A = e-ik + eik = 2 cos k. Второе уравнение (7.1) примет вид

c1e2ik + c2e-2ik = (e-ik + eik )(c1eik + c2e-ik),

откуда C1 = —C2 = c. Подставим ^>(m) = c(eifcm — e-ifcm) в третье уравнение (7.1):

ceik(N -1) — ce-ik(N -1) = (e-ik + eik )(ceikN — ce-ikN).

sin k(N + 1) = 0,

N+1

Таким образом, существует ровно N различных собственных значений оператора Ho2 :

А?- = 2 cos 711 , j = l,...,N, N + l'

N

Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны, am количество совпадает с размерностью пространства. Следовательно, функции / nj m \

üj sin ^ ^ ^ j , j = 1 ,...,N, образуют ортонормированный базис с соответствующими нормировочными коэффициентами aj j = 1,..., N. Известна формула

(2n + 1)а а

sin--sin —

22

cos а + cos 2а + ... + cos na =---^-—

2sin2

откуда

EN . 2 njm N + 1

sm2 —- =-.

N + l 2

m=1

Отсюда легко видеть, что а =

Ядро (С0(п, т,п', т', Л)}(п)т),(п/)т/ )ег резольвенты До (Л) = (Н0 - Л)-1 оператора Н0 назовем функцией Грина этого оператора.

Положим

fij = X- 2 cos jj—j, j = l,...,N,

cos kj = /2, j = 1,...,N,

к = — ^ 1 - (^/2)2, ; = 1,...,Ж. Функцию Грина оператора Н01, как и прежде, будем обозначать как

СоцА, п — т) = —-

JI е м м а 7.2. Имеет место формула

N . . '

G0

j=1

где

N

П7 П7

— 2 + 2 cos „ т .2 + 2 cos  J

A^U [ ------дг + 1'------дг + 1

j=i

— 2 + 2 cos ——-, 2 + 2 cos

N + 1' N + 1J

Доказательство. Покажем, что

Я0(А)(Я0 - А)р = р € I2(Г).

Имеем

Е0(А)(Я0 — А)р(п, т) = £ С0(п,т,п', т', А)((Н0 — А)р) (п', т') =

(га',т')еГ

У^ У^ G0(n, m, n', m', A)(^>(n'+1, m')+^>(n'—1, m')+^>(n', m'+1)+^>(n', m'— 1)—A^>(n', m')) +

re'=2 n'eZ

+ £ G0(n, m, n', 1, A) (p(n' + 1,1) + p(n' — 1,1) + <^(n', 2) — A^(n', 1)) +

n' ez

+ £ Go(n, m, n', N, A) (<p(n' + 1, N) + <p(n' — 1, N) + <p(n', N — 1) — Ap(n', N)) =

(n n' ez

N -1

У^ У^

m'=2 n' eZ

N N-2

+ У] £ G0(n, m,n',m' — 1,A)^(n', m')+ £ £ G0(n, m,n',m' + 1,A)^(n', m') +

m'=3 n' eZ m'=1 n' ez

+ £ (G0(n, m, n' — 1,1, A) + G0(n, m, n' + 1,1, A)) <^(n', 1) +

n eZ

+ £ G0(n, m, n', 1, A)^(n', 2) — £ G0(n, m, n', 1, A)A^(n', 1) + £ (G0(n, m, n' — 1, N, A) +

n eZ n eZ n eZ

+ G0

n eZ

— —

— У^ G0(n, m, n', N, A)A^(n', N) = £ (G0(n, m, n' — 1, m', A) + G0(n, m, n' + 1, m', A) — n' ez (n',m')er

N

m'=2 n' eZ

N -1

AG0(n, m,n',m',A))p(n',m')+ ^ ^ G0(n, m, n', m' — 1,A)p(n',m') +

+ У ^ G0(n, m,n', m' + 1,A)p(n',m') =

m' = 1 n' ez

= ^ (H0G0(n, m,n',m',A) — AG0(n, m, n', m', A))p(n', m').

(n',m' )er

Справедливо равенство

(#0 — A)G)(n, m, n', m', A) = ¿nn'¿mm'.

Действительно,

N . . '

(Я0 - X)Go(n,m,n',m',X) = ((#01 <g> 1) - A) ^a2sin (^""j") sin - и', At¿) +

j=i

N . . ,

.2 f TTJTil

+ 1J ~"'\N + Ь

+ (1  #о2)]Г a2 sin (^у) sin (-^l) Goi (n - n', =

j=i

N

]T((tfoi <g> 1) - Xj)a2 sin (щ^) sin (^^jGoi (n - n', =

j=i

N . . . . „'

¿nn' ¿mm'

, 2 • f njm \ / njm ч

W a sm va?- +1Jsm Ijv +1J = °nn'°mm'-j=i

Осталось показать справедливость равенства

при условии, что оператору Ri(A) отвечает ядро (7.3). Используя лемму 7.1, получим

N. . '

(Яо-Л)До(ЛЖтг,ш) = ((#0i<g>l)-A)^asin(-^^) £ asin(^I)x

j=1 (n',m')er

х G01 (n — n', jp(n', m') +

N. . '

j=1 (n',m' )er

N N . '

= ^asin (j^y) E asin (тгГт)  E Goi(íi-íi',ftMíi',m') =

j=1 m'=1 n' ez

N N . '

= Easin

j=1 m =1

Считая n константой, разложим íp(n, m) по базису |asin (} '

N

p(n,m) = ^ Cj(n)asin (^^r j=1 +

где

N . '

c-i(n) = Ми, m), a sin ( ZJm ) ) = V^ <х>(п, m')a sin ( ^Ш

jV 7 Vv ' VN + 1//i2({1,...,N}) , ) VN + 1

m =1

Имеем

N

р(п, т) = £ а вш 3=1

п^т ЛГ + 1

N . '

£ акт

т'=1

Из (7.5) и (7.6) следует справедливость равенства (7.4).

То же равенство (7.4) можно доказать следующим способом. Положим Е0(А)(Я0 — А)р = ф, в силу доказанного выше (Я0 — А)(р — ф) = 0. Осталось доказать, что если (Я0 — А)£ = 0, то £ = 0. Имеем

N

£(п, т) = £ Ьз (п)а 8т 3=1

. / п^т

где

Отсюда

Ьз (п) = (£(п, т),а вт

п^т

N + 1У У 12

ЧЖ + 1

N

У^ £(п, т')а 8т

т'=1

п^т' ЛГ + 1

N

(Я0 - Л)£(п,т) = ^(Яо1 - (Л - Л,))6»а8т = 0

3=1

и (Я01 — (А — А3-))Ь3-(п) =0, j = 1,..., N. Но по условию А — А3 € [—2,2]. Беря преобразование Фурье Р (см. параграф 2), получаем

[2 сое к — (А — Аз)]&з (к) = 0,

откуда (к) =0, j = 1,..., N. Следовательно, = 0, ^ = 1,...,Ж, и в силу (7.7) лемма доказана.

Я0

N

<Н0) = У [-2 + 2со8^— ,2 + 2СО8 3=1 +

jп

N + 1]

Жп п

- 2 + 2сое ——-,2 + 2сое

N + 1

N + 1

.

Доказательство. Положим

N

А = У I —2 + 2 сое ,2 + 2 сое

з=1

N + 1'

N + 1]

Пусть А € А. Покажем, что А € 0"(Я0), то есть Я0(А) — ограниченный оператор в 12(Г). Действительно, тогда = А — А3 € [—2, 2]^' = 1,..., N. Поэтому ядра С01(п — п', ^3) определяют ограниченный оператор в 12(Г) и, следовательно, ядро ^оператора ^0(А) определяет ограниченный оператор в 12(Г) в силу (7.3).

Пусть теперь А € А, то есть найдется такое ^ € {1,... , N}, что

А

-2 + 20)8^,2 + 2008.

N + 1' N + 1_

Покажем, что найдется последовательность {рг}£=1 С ¿2(Г) такая, что

Это, в силу критерия Вейля (см., например, [15, с. 262]), будет означать, что А € а(Я0). Рассмотрим последовательность

где

( )_ J 1, n € [—r, r],

X[-r,r](n)_i 0, n € [-r,r],

с _

c(r) _ Y leifcj°n|2_ 2r + 1.

Имеем

(n,m)iiiV) _ E

(га,т)€Г

1

C

d{r) ' ^ПХ[-г,г]

l2

(r,\ «in Г 7FJ°m ^

e n X[-r,r]{n) sm [^J—JJ

. f njom \

P

1

eikj° nX[-r,r]

C

Далее,

l2

_ 1.

VC

C

Sin {NTJ) ielk^n+l)n-r,r]in + !) + ^{n-l)X[-r,r]{n - !) -- jeikj°nX[-r,r] (n))_

1

asin (e^o(™+1) + e^oi™"1) _ Noeik^n), r£[-r + l,r- 1],

c(r) VN + 1У 1

sin

_ < c(r) VN + 1У

J_a sin fiEML^e^C

0,

n _ ±r,

n _ ±(r + 1), |n| ^ r + 2.

Так как |ег j° | _ 1 и C(r) ^ то при r ^ то, to очевидно, что

|(H0 — A)^v(n,m)|^ 0, r ^ то.

Замечание 4. Промежутки в объединении (7.8) в физической литературе называются подзонами.

§ 8. Квазиуровни слабо возмущенного оператора

В данном параграфе исследуются спектральные свойства оператора H£ _ Ho + eV. В частности, доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина возникают собственные значения или резонансы, найдена их асимптотика.

Рассмотрим оператор H£ и его резольвенту Re(A). В дальнейшем будем использовать обозначение л/V = \J\V\ sign V (только для VV), тогда V = л/V\/|V|.

Уравнение па собственные значения оператора H£ в области, где существует резольвента Ro(A), можно записать в виде

ф _ —eRo

где функция ф € ¿2(Г) и отлична от нуля. Для того чтобы, оставаясь в рамках пространства ¿2(Г), исследовать также резонансы, переходим к новой функции ip = € ¿2(Г).

Обозначим через L(А) = л/\У~\Ко{\)л/У оператор с ядром

N

l(n, т, п',т',Х) = y/\V(n, т)\ ^ a2 sin

j=i

( njm

N+1

n=- r

a

r

2

2

2

1

(аналитическое продолжение операторнозначной функции, осуществляемое ее ядром, обозначаем тем же символом).

Обозначим через V риманову поверхность, образованную аналитическими продолжениями функции l из области

в область

/ nN п \

п j

(включая точки ±2+2cos ^ где 5 > 0 настолько мало, что I принимает значения в ¿2(Г2). В дальнейшем будем предполагать, что

А ф cos—+ cos-^—, j,j'= 1,...,N.

^ N + 1 N + 1' x- >

Докажем, что в этом случае все величины —2 sin kj различны. Действительно, если при j = j' sin kj = sin kj', то cos kj = — cos kj. Но тогда из равенств

nj nj'

Л = 2 cos kj + 2 cos ——- = 2 cos k7v + 2 cos

л/ i 1 ^

N+1 J N+1

nj ' nj

вытекает, что 2 cos kj = cos ^ ^ — cos ^ ^ , что противоречит (8.3).

Л e м м a 8.1. Оператор (l — Р(Л)) 1 существует, и аналитически за висит, от, Л на, многообразии V\ S, где S — некоторое дискретное подмножество в V (то есть множество, не имеющее предельных точек eV).

Доказательство. Во-первых, для каждого Л € V покажем компактность оператора Р(Л). Для этого достаточно, чтобы он являлся оператором Гильберта-Шмидта, то есть достаточно выполнения условия

У^ Е |1(n, m, n', m', Л)|2 <

(n,m)er (n',m')еГ

для фиксированного Л € V. Пусть Л € V, тогда

N . . !

£ £ \l(n,m,n',m',\)\2 = £ £ I m)| £sin (щ^) sin

(n,m)er(n',m')еГ (n,m)er (n',m')еГ j=1

N

x Goi

nez n' ez j=1

Имеем

|Gqi(n - rí,fj,j)\^

/2 - 4I

для всех j, где а > 0. Следовательно, полученная в (8.4) сумма для а < а, то есть для достаточно малых а, не превосходит

с£ 1 2££ < оо.

2=1 ^^ — 4| nez n' ez

Во-вторых, покажем, что отображение Л € V — L(A) € L(12(r)) является аналитической оиераторнозначной функцией в V (под L(12(r)) понимаем множество линейных ограниченных операторов, действующих в 12(Г)).

Неравенства (8.4) и (8.5) показывают, что ряд (8.2) сходится равномерно на компактах из V \ S. В силу (векторнозначного варианта) теоремы Вейерштрасса об аналитичности ряда из аналитических функций функция 1(n, m, n', m', Л) определяет аналитическую функцию в V \ S со значениями в 12(Г х Г) Следовательно, и L(A) является аналитической функцией в V \ S со значениями в £(12(Г)).

Вследствие оценок (8.4) и (8.5) ||L(A)|| < 1 для достаточно больших |A|. Отсюда вытекает существование обратного оператора (1 — L(A))-1 для таких A. В силу аналитической теоремы Фредгольма (см. [15]) это доказывает лемму.

Следствие 8.1. В комплексной окрест,пост,и произвольной точки Ao € 0"(Ho) может

S nj

предельные точки либо на границе V, либо в множестве точек ±2 + 2 cos ^ ^ , j = 1,..., N.

nj

Но в окрестности точек ±2 + 2 cos ^ ^ функция I становится мероморфной после замены

cosk3 =

где kj меняется в окрестности точки 0 или точки п, причем, например, для, kj « 0 имеем

,(„ - nVm, „¿м = si„ Ж sin + 0(1) т

(легко видеть, что случай sin kj = sin j = О возможен лишь если j = j'). Следовательно, вычет, является оператором ранга один, и в силу мероморфной теоремы Фредгольма [17] в окрестности точек kj = О оператор (1 — L(kj))-1 существует всюду, кроме, возможно, конечного числа, точек.

Теорема 8.1. Справедливо равенство

CTess(H£) = а(Яо).

Доказательство. Покажем, что V — относительно компактное возмущение оператора Но, то есть что оператор VRo (А) компактен для некоторого А € а(Но). Имеем

N

£ £ | V(n,m)Go(n, m, n', m', А)|2 < C£e-2a|n| £ ||n-n'1 =

(n,m)er(n',m')еГ neZ n'eZ j=1

N

= C£e-2aH££ |qj|n< +TO, nez j=1 n' ez

где |qj | < 1, j = 1,...,N, C = con st. Следовательно, оператор VR0(A) является оператором Гильберта-Шмидта, а значит, компактен. Утверждение данной теоремы вытекает из теоремы 1.1.

Определение 8.1 (ср. определение 3.2). Назовем резонансом, оператора H значение А € V, не являющееся собственным значением, для которого существует ненулевое решение р € 12(Г) уравнения

¡p = -ey/\V\Ro

nj

(здесь А ф ±2 + 2cos j^j, j = l,...,N).

Определение 8.2. Назовем квазиуровнем оператора H£ его собственное значение или резонанс.

В силу аналитической теоремы Фредгольма (см. теорему 1.2 в § 1) и равенства

y/\V\Re

A

торнозначной функции ^/\V\Re(X)y/V.

Теорема 8.2. Предположим, что для некоторого j € {1,..., N}

4= Е

(n',m' )ег2

Тогда, в некоторой окрестности точек A±o _ ±2+2 cos ——- для всех достаточно малых е > 0

существует, единственный квазиуровень A± _ A± (e) оператора, H£, аналитически зависящий от e, для которого справедлива, формула

Xf

Доказательство. В окрестности, например, точки A+0 произведем замену (8.6) с kj из окрестности нуля. Тогда (см. (8.7)) уравнение (8.8) можно записать в виде

. ( 7Гjm

еа2д/|V(n, т)\ sin

(р(п,т) =----Л^ + 1

х т') sin —-Jcp(n',rri') + eK(kj)cp(n,m),

(n',m' )er

где К(kj) — некоторый оператор Гильберта-Шмидта, аналитически зависящий от kj. Положим для достаточно малых е

£ (n, m) = (1 — еК (kj ))p(n, m),

тогда

7rjm

N + 1, v . , w,n, m, j x

ea2\J\V

j (га',т')еГ

X sin - sK(k3))-lan',m>) = C\/\V{n, m)\ sin

где C ^nst, откуда

,2 _ „ ^„W

^ = E VV(n', m>) sin (1 - eK{k3))~l (V\V(n>, m>)\sin

(n',m' )er

2 ' 2 = -|г Е 8т2

(га',т/ )еГ

Правая часть полученного уравнения аналитически зависит от е, к. Вследствие теоремы о неявной функции для аналитических функций [29] и условия (8.10) данное уравнение имеет для всех достаточно малых е единственное решение к = к (е), аналитически зависящее от е. Возвращаясь к переменной

А = 2со8 ^^ + 2со8к, = 2со8 ^^ + 2(1 - + 0(4),

получаем с помощью (8.12) формулу (8.11).

Случай точки А-э рассматривается аналогично с заменой kj на —п — kj, при этом пользуемся равенствами sin(—п — kj) = sin kj и

g-íí^+fcj )|n-n'1 = е-от|п-п'1 • e-ifcj |n-n'1 =

Следствие 8.2. Квазиуровень А^(e) вблизи левой граничной точки А^0 является собственным значением при vn > 0.

Доказательство. Действительно, функция Грина Go (см. (7.3)) экспоненциально убывает в точке А = AN(e) при |n| ^ то, это следует из (8.12) после перехода в (7.3) к переменной км- Запишем уравнение (8.8) в виде ф = —еКо(\)Уф, где ф = —eRo(\)VV(p (= <p/\/\V~\ в точках, где V = 0) удовлетворяет уравнению Шрёдингера Н£ф = Аф при А = AN (e). Легко видеть, что функция ф вместе с Go экспоненциально убывает (ср. аналогичные рассуждения в [25]), так что ф € ¿2(Г) (более того, экспоненциально убывает) и AN(e) есть собственное значение. Аналогично, квазиуровень А+(е) вблизи правой граничной точки А+ существенного спектра является собственным значением при vi < 0 (показатель экспоненты в составе функции Грина, согласно (8.13), меняет знак).

§ 9. Нестационарная картина рассеяния для слабо возмущенного оператора

В данном параграфе описана картина рассеяния: явление дифракции (рассеяние главным образом по конечному числу выделенных направлений в двумерном и трехмерном случаях) трансформируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в наличие волн вероятностей прохождения (отражения) во времени. Изучен характер рассеяния для малых потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина.

njo nj

Пусть Ао —2cos ^ ^ € (—2, 2), причем Ао ф ±2+2cos ^ ^ , j = 1,..., N, и Ао не является

квазиуровнем. В окрестности точки Ао рассмотрим уравнение Липпмана-Швингера

ф

(n',m' )ег

где «налетающая волна» (записанная для переменной kj0) имеет вид

фо

и удовлетворяет уравнению Нофо = Афо. Решение уравнения (9.1) ищем в классе функций ф таких, что х/ГИФ = <р € ¿2(Г). В силу леммы 8.1 в окрестности точки Ао существует решение «модифицированного» [16] уравнения Липпмана-Швингера

ip

(n',m' )ег

относительно <р = где <р>о = у/\У\фо, аналитически, как ¿2(Г)-значная функция, зависит

А.

В дальнейшем для краткости пользуемся обозначениями

£ = £ • £ = £

j:A—2 eos -щ—£(—2,2) j:А-гсоз^

(j €{1,...,N}).

Согласно (7.3) имеем

У^ С0(п — п', т, т', Л)У(п', т')ф(п', т') =

(га',т/ )ег

= Е Ш (и - и', А - 2сое ^ру) т')<р(п', т!) +

(га',т/ )ег

+ Е Ш (^К (и - и', А - 2сое ^-у) т'Ып', т1).

(га',т/ )ег

В обеих суммах в правой части

со1(п,а-2со8-^-) <ер°(й).

Кроме того, у/У,(р € ¿2(Г). Оценивая правую часть с помощью неравенства Коши-Бупяков-ского, получаем ограниченность решения ф уравнения Липпмана-Швингера (9.1).

Переходя в слагаемых первой суммы правой части (9.4) к переменным к^ = к(Л), запишем уравнение (9.1) в виде

ф(п,т,Х) =ф0(п,т,Х)-е^ Е (^П") (7^1) Х

(га',т/ )еГ

х-—V

2гsinkj v ' ' ' ' ^ \N + lJ \N + lJ

j (га',т')еГ

x Goi (n — n', X — 2 eos т')ф(п', m', A).

Положим для j из суммы Yl'

Af

j (n',m')er

В силу аналитичности функции íp(n,m, X) = л/| V(n, т)\ф(п, т, X) функции также яв-

ляются аналитическими в окрестности точки Ао. Далее, определим функцию

n(n m А) = í n+ (n,m,A),n ^ О, v ' ' у \ n-(n,m, А),п < О,

где

2 / njm \ / njm' = -в > > a sin _ _ sin —-—- I х

ri±(n,m, A) = -eV Y^ „ . „т _ , ,T ± ' ' 7 ^ ^ VN + 1У VN + 1

(n ',m' )er

gífcj |n-n' | _ giifcj

2i sin kj

V

^ 0,2 (iV4~~l) (т^Гт)^01 (П ^cos дГ+у)^^'' гп')'Ф(п'' m'> A)-

(n',m' )ег

Вследствие (9.2), (9.5) имеем

ф(п, т, X) = а sin (^Miy^o™ + ^'A±(A)asin (^y)e±ífcjíl + m, A), (9.8) где знаки «+» и «—» отвечают n ^ 0 и n < 0 соответственно.

Лемма 9.1. Функция n(n, m, А) является l2(Г) -значной аналитической функцией в окрестности точки Ао.

Доказательство. Утверждение леммы для второй суммы в (9.7) вытекает из аналитичности резольвенты оператора H01, примененной к аналитической 12(Z)-3na4Hoft функции V (n', т')ф(п/, т', А) (при фиксированном m') — см. лемму 8.1. Далее, в окрести ости точки kj0) из первой суммы, отвечающей Ао, оценим, пользуясь неравенством Коши-Буняковского и условием (0.8), например, для n ^ 0, ряд

I eikj |n-n' | _ pifcj

E-т-У

I 2i sin k

n' ez j

I ^ sin[(rí -ri)kj] r———J- , , i sin kj

n'>n

n'>n j n'>n

n >n n >n

Отсюда вытекает экспоненциальное убывание первой суммы — обозначим ее через a(n, m, А) — в (9.7). Кроме того, из данной оценки следует равномерная в (комплексной) окрестности точки Ао сходимость

||a(n, т, А) — aM(n, т, А)||г2(Г) ^ 0, M ^ то,

где ам(n, т, А) = X[-M,M](n)a(n, т, А), X[-M,M](n) ^характеристическая функция отрезка [—M, M]. В силу (векторнозначной) теоремы Вейерштрасса 12(Г)-значная функция a(n, т, А) аналитична в окрестности точки Ао. Тем самым лемма доказана. Теперь будем искать решение уравнения

• др

= Н^

где р = p(n, т, t) — 12(Г)-значная функция аргумента t, в виде

г Ao+¿

p

где á > 0 достаточно мало, C(А) € Со°(Ао—á, А0+5), Ф(п, т, А) — решение уравнения Липпмаиа-

_/г¿_ N + 1, пишем (9.9) в виде

/о

sin kj0C(kj0)e-2itcOBk*+ikton dk30 -

-П

г 0

-2E/ae-2tícos^sin

г Ло

+ С (А)п(^т,А)е-ш ^А, ./л0-г

где знак «±» совпадает со знаком n. Промежуток интегрирования выбран таким, чтобы движение налетающей частицы происходило слева направо (см. ниже (9.13)). Рассмотрим норму последнего выражения в (9.10). Имеем

Швингера (9.1). Введем обозначение f(kj) = / ( 2eoskj + 2eos ЛТ ) . Пользуясь (9.8), пере-

/ Ло-S гЛо+á г Ло +á

^Ло+á 2

С (А)п(^т,А)е-ш ^А

12

Е / / С

/ \,-г1^Ло-^ «/ Ло-^ (n,m)€l о о

Пользуясь равенством

е-г(А-А' )ídA = d(e-i(A-A' /(—it),

проинтегрируем по частям и, с помощью неравенства Коши-Буняковского и леммы 9.1, получим стремление к нулю слагаемых в (9.11) при |t| ^ то. Следовательно, функция п не играет роли в рассеянии.

Рассмотрим теперь интегралы в (9.10) из суммы Имеем

f° ~ ~ ~ f0 ~

/ A±±(k¿) sin kjC7(kj)e-2itcosfcj±ifcjn dkj = (kj0)) / sin kjC7(kj)e-2itcosfcj±ifcjn dkj +

_ _ У-п

+ / [A±±(k¿) - (kj0))] sinkjC(k¿)e-2itcosfcj±ifcj'ra dkj, J —П

где kj0) отвечает A0. Выбираем kj0) € (—п, 0), тогдa sin kj0) < 0 (имеем промежуток (—п, 0) вместо (0, п), поскольку изначально изменен знак оператора H0, который является конечно-разностной аппроксимацией А вместо —А в операторе Шрёдингера). Это обеспечит стандартное движение налетающей волны слева направо (см. ниже). Сравнивая второе слагаемое в правой части (9.12) с (5.3), из следствия леммы 5.1 получаем, что норма данного слагаемого в l2(Z) при всех t совпадает с

.

[Af(kj) - Af{k?>)] sinkjC(kj)\\L2^_7T^

и может быть сделана сколь угодно малой равномерно по í выбором носителя функции C(А) в достаточно малой окрестности точки Ао при сохранении нормы этой функции в L2(—п, 0) (точнее, ниже требуем выполнения равенства (9.14)). Таким образом, для частиц с достаточно локализованным волновым вектором картина рассеяния определяется числами Aj (kj^) •

Далее, вследствие теоремы о стационарной фазе (см. теорему 1.3 в § 1) для всех n и í таких, что |n/í + 2 sin kj0) I ^ ст, где ст > 0 достаточно мало, интеграл в первом слагаемом правой части (9.12) стремится к пулю по норме в 12(Z) при |t| ^ то. Следовательно, для больших |í|

n,

—ст < n/í + 2 sin kf) < ст.

Суммируя сказанное, приходим к следующему описанию рассеяния. Предположим, что

л/27г 112 sin kj0 С*

Тогда (см. следствие леммы 5.1) имеем

í< 0

локализованный в основном в подмножестве Z вида (9.13) для j = j° (норма соответствующей функции стремится к единице в этой области при t ^ —то). Ир и t ^ то пакет делится на 2n°

nj

частей, где щ — число kj таких, что Ао — 2 cos ^ ^ € (—2,2), при этом отраженной волне

отвечает коэффициент (А°), а проходящей— коэффициент A+ (А°). Скорость j-ro волнового

пакета, согласно (9.13), приближенно равна по модулю (в любом направлении) —2 sin kf. В силу предположения (8.3) все скорости различны.

ст

шой локализации волнового вектора) множества в Z вида (9.13) не пересекаются. Таким образом, в рассматриваемом квазиодномерном случае наличие поперечных волн приводит не к явлению дифракции (то есть преимущественному распространению волновых пакетов в трехмерном пространстве по конечному числу определенного рода направлений — см. [13]), а к дроблению исходного волнового пакета во времени на конечное число «меньших» пакетов, движущихся

один за другим вперед или назад с разными скоростями. Для заданного произвольно малого е > 0, сужая окрестность точки Ао, содержащую носитель функции С (А), устремляя |£| к бесконечности, а также используя следствие леммы 5.1, получаем неравенство

г- (и(°)М2

где — символ Кронекера. Заметим, что

¡8Ш к, С(к, )|Ь2(-п>°) = 4 ] Я1П2 к,

Л.-« V V ЛГ + 1

С[ 2 сое к, + 2 сое

N + 1

^к, =

Предположим, что выполнено (8.3). Тогда имеет место равенство

Е

j:\o-2cos ^£{-2,2) \

4-

= 1.

Действительно, выберем в (9.15) е = 1/п, п = 1, 2,..., а также соответствующие последовательности стягивающихся к точке А° ее окрестностей и функций СП(А) с носителями в этих окрестностях таких, что выполнено (9.14). Переходя в (9.15) к пределу с учетом (9.14), (9.16), где также переходим к пределу, получаем равенство (9.17).

Теорема 9.1. Пусть выполнено (8.3). Тогда для вероятностей прохождения Р+ и отражения Р_ = 1 — Р+ в точке А° справедливы, формулы

Р

+

Е

¿0 +

у.\0-2со81^-е

Р_ =

Е

ЛГ+1 *

\

4_

А_

\

4_

где А±(А) определяются, равенством (9.6).

Следствие 9.1. Имеем

\

т)

вШ к

в1п к

(°) ¿0

— отношение скоростей.

Для малой константы связи е в потенциале еУ при определенном соотношении между е и А существуют простые формулы как для решения уравнения Липпмана-Швингера, так и для

вероятностей отражения и прохождения вблизи точек А^0 = ±2 + 2 соз Д7 , где ¿о взято

из (9.2).

N + 1

2

2

2

2

2

Л е м м а 9.2. Предположим, что для ,]0 из (9.2) и всех достаточно малых £ справедливо равенство 4 = Ае в случае знака, «+» или 4 = Ае в случае знака, «—», где 4 = —п — 4 (см,, конец доказательства теоремы 8.2), А = 0 — вещественная константа. Тогда, для, решения ф уравнения Липпмана-Швингера (9.1) имеет место равенство

ф(п, т, X) = (1--:

—--г-^г аэт ——- + О(е),

21А + а2у+ ЧДГ + 1У

40

где

4 = Е

(га,т)€Г

Доказательство. Для определенности докажем утверждение для знака «+». Действуя, как и при доказательстве теоремы 8.2 и в тех же обозначениях, перепишем уравнение (9.3) в виде

т, Л) = ^>о(п, т, Л) —

еа2д/|У(п, т)\ эт

7Г зот,

N + 1

2гк

40

х ^ •\/У(пт') (п',т' )ег

откуда, для достаточно малых е,

п',т') эт | т', Л) + еК(к^)^р(п, т, А),

N + 1

£(п, т, Л) = (1 — еК(4)) т, Л) = ^>0(п, т, Л) —

еа2л/\Щп~т)\ эт

2гк

40

Е

(п',т' )ег

у/У(п', т') вт

/тг^о т' ЧЛГ + 1

х (1 - еК(к30))~1 £(п', т', X) = ^о(гг, т, Л) + СУ№, ш)| вт •

Следовательно,

С = -

-3

еа" \/У

(п',т' )ег

п70т п',т') вт | ——- ) х

N + 1

и, далее,

х (1 -еК(к30))~1 (у\У(п',т')\вш

2%0 + еа2 ^ у/У(п',т') вт х

(п',т' )ег

х (1 - еК(к^))~1 ^\У(п>,т>)\*т

т, X) = (1 - £К(к,0))-1 (<р0(п, т, X) + СУ№, т)| вт

а3 £ У

(п' т')^Г + 1/

п (п',т')еГ

2гА + а2 £ У

(т' VN + 1 /

(п ',т' )€Г

+ Ь

1 " о-л Л + )^\У(п,т)\$т 2гА + /

ЛГ + 1

+ О(е).

Лемма доказана.

х

X

X

Теорема 9.2. В условиях леммы 9.2 справедливо равенство

a4 j 2 4А2 + a4 j

Доказательство. Имеем (см. (9.6)) А-(Л) = O(e), j = jo (если fcj0 = O(e), то, как

легко проверить, соотношение lim fe,- = 0 для j = jo невозможно). Далее, вследствие

£^0

и леммы 9.2 имеем

««"И Е

(n',m' )ег v j07

= Л,± _ ^ +0лл = аЧ + 0ЛЛ

2гА 2гА + У + 1 j 2гА + аЧ+ + 1 j' Применение формулы (9.18) завершает доказательство.

Следствие 9.2. Волновые операторы Q±(H£, H0) существуют и полны. Действительно, в силу теоремы Куроды-Бирмана [10] достаточно доказать, чт,о

Re

есть оператор со следом. Ядра операторов Rq(i)\J\V\, \/VRo(i) суммируемы с квадрат,ом,, поэтому эти операторы являются опера,т,ора,м,и Гильберта-Шмидта. Следовательно,

WR£

также есть оператор Гильберта-Шмидта, а пот,ом,у опера,тор (9.19) является оператором со следом,.

§ 10. Вспомогательные конструкции и утверждения

Последние три параграфа работы посвящены изучению задачи рассеяния для разностного оператора

H = Ho + V(n) + eW(n), n = (ni,n2,n3) € Z3,

действующего в

l2(Z3). Здесь Ho действует по формуле

(Ho^)(n) = ф(П1 + 1,П2,Пз) + ф(П1 - 1,П2,Пз) + , П2 + 1,Пз) + ^(ni, П2 - 1,Пз) +

+ ф(П1, П2, Пз + 1) + ф(П1, П2, Пз - 1),

V(n) — вещественный периодический потенциал по всем переменным nj, j = 1, 2, 3, с периодом T ^ 1, W(n) — вещественный периодический по п временным щ, n2 с период ом T ненулевой потенциал, удовлетворяющий оценке

£ > о — малый параметр. Оператор H представляет собой гамильтониан электрона в периодической слоистой структуре в конечно-разностном приближении.

В этом параграфе приведены, в основном, известные вспомогательные конструкции и утверждения, необходимые для дальнейших рассуждений и используемые в доказательствах. Рассмотрим унитарный оператор

U : г2^) ^ l2(Qo)  L2(^o) d= /^ ¿2(^o)dk,

Jn*

/ T \ з/2

V e 3) _ (U<p)(n,k) = $(n,k) = (-) £ e-^'fc)p(n + Tz/)|noxn5,

v ez3

где 0° = {0,1,..., Т — 1}3 и 0° = [0, 2п/Т)3 — ячейки в прямой и обратной решетках соответственно. Положим Ну = Н° + У(п). Оператор и Ну и-1 задается семейством операторов Ну(к) = Н°(к) + V, действующих в I2(0°), где к = (к1;к2,к3) € 0° — квазиимпульс, а оператор Н° (к) имеет тот же вид, что и оператор Н°, но с использованием свойства блоховости

р

в случае п, ± 1 € {0,. ..,Т — 1}, = 1, 2, 3. При этом говорят, что оператор Ну разложен

г

в прямом интеграле пространств / 12(0°)^к.

J П5 Н

и : 12

Т

е Z2

^ez2

где Q = {0,1,... ,T — 1}2 х Z, Q* = [0, 2n/T)2, ky = (k^k2)• Свойство блоховости здесь имеет вид

p

r

Оба оператора Ну и H могут быть разложены в прямом интеграле пространств / 12(Q)dky

J п»

в семейства операторов Ну(кц) и H(ky) соответственно.

Обозначим через a(A) и aess(A) спектр и существенный спектр оператора A соответственно. Заметим, что ст(Ну (ky)) имеет «зонную структуру» (см. [17]), то есть справедливо равенство

а(Ну (ky )) = U а(Ну (к)),

fc3€[0,2n/T)

и спектр ст(Ну(ky)) состоит, таким образом, из объединения промежутков (зон). Подобно [31] можно доказать следующее равенство:

^(Н(кц)) = а(Ну (ky)).

Оператор Ну(k), действующий в конечномерном пространстве 12(Qo) = 3, является самосопряженным, и, следовательно, в 12(Qo) существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов фт(п, k) оператора Ну(k), отвечающих собственным значениям Am(k), m = 1,... , T3, занумерованных, с учетом кратности, в порядке возрастания. Ядро резольвенты (функцию Грина) оператора Ну(^ обозначим через

т3

mí 'í W S^ ^m

Gy

m=1

Через Су

Су(п — (0,0,Тт3),п',ку,А) = Су(п,п' + (0,0,Тт3), ку, А) =

Т /-2п/Т

гр

= — Gv(n,rí,k,\)e-iTm3k3dk3, (10.6) 2п Уо

Су(п,п',М) = £ eiTm3k3 Су (n — (0,0,Ттз),n', ky, A).

m3eZ

Пусть Л0 = Лт0(ко), где к0 = (к10, к20, к30) — невырожденное собственное значение оператора Ыу(ко), отвечающее нормированному собственному вектору фт0(п, к0). Можно считать, что функции Лт0(к), фт0(п, к) аналитически зависят от к в некоторой окрестности точки к0 (см. [17]). В дальнейшем предполагается, что

дЛт0

В силу (10.7) и теоремы о неявной функции [6] уравнение дЛт0 (к)/дкз = 0 задает в окрестности точки к0 поверхность, описываемую аналитической функцией к30) = к30) (ку), где кц принадлежит некоторой окрестности точки к0у = (кю, к20)• Далее, будем предполагать, что в окрестности точки к0 равенство Лт(к) = Л0 при фиксированном ку может выполняться не более

чем в конечном числе точек кт,а = (ку, к3т'а)), а = 1,..., Ат, в которых для т = т0 при этом выполнено соотношение дЛт(кт;а)/дк3 = 0, а собственные значения Лт(кт,а) невырождены. Множество точек кт,а, в которых данные производные положительны (соответственно отрицательны) обозначим через (соответственно через Далее, произвольные п, п' € П запишем в виде

п = П0 + Т(0, 0, V), п' = п0 + Т(0, 0, V'),

где п0,п0 € П0, V, V' € Ъ. Введем обозначение (только для

Согласно [31], уравнение Лт0(к) = Л, рассматриваемое относительно к3, имеет для ку из окрестности точки к0ц ровно два решения к34- = к34-(ку, Л), j = 1, 2, аналитически зависящие от ку, Л там, где к31 = к32, и сливающиеся, если к = к0. Положим £4 = к34- — к30) (ку), j = 1, 2, тогда имеем £2 = /(£1), гДе / — аналитическая функция такая, что /'(0) = —1 (см. [31]). Таким образом, £2 = —£1 + о(£1). В дальнейшем вместо параметра Л будем часто пользоваться параметром ^.Аргумент ку у функции к30) для краткости обычно будет опускаться.

Из (10.5), (10.6), как и в [31,33], можно получить следующие утверждения, в которых приведены несколько отличающиеся друг от друга формулы для функции Грина Су(п, п', ку, Л).

Л = Л0 Л0

место формула Су (п0 + Т (0,0, V), п0 + Т (0,0, V'), ку, Л + ¿0) =

Т у, фт(п0 + Г(0,0,1у),кт,а)фт(п'0 + Г(0,0,и'),кт,а) ^

г д\т(кт,а)/дк3

х — V' — 1) +

Т у, фт(п0 + Т(0,0, у),кт>а)фт{п'0 + Г(0,0, V'), кт>а) ^

1 т-к СМ д\т(кт,а)/дк3 *

сих 0^' — V) + 7(п, п', ку, Л),

г(9е 0(£) — функция Хевиса,йда, а, 7 удовлетворяет оценке

|7(п,п',ку,Л)| < Св_ст|^'I, 0,

причем

п', ку, Л), 7

аналитически зависят от (ку, Л) из некоторой окрестности точки (к0у,Л0) как 12(П х П)-значные функции.

В следующей лемме опускаем ±¿0 в выражении £1 ± ¿0 (см. ниже замечание перед леммой 11.1).

Лемма 10.2. Для точек

•îiff2Am« (ky.kf )/dk|

причем л/[Ш(п)\д(,п, п', кц, СОуЩ^О является 12(£1 х 0)-значной аналитической функцией от (ку , £1) в окрест,ност,и точки (к°у, 0).

§11. Уравнение Л и п п м а н а Ш в и н г е р а для слабо возмущенного оператора

В этом параграфе доказаны существование и единственность решения модифицированного уравнения Липпмана-Швингера, а также найдена асимптотическая формула для его решения. Уравнение Липпмана-Швингера в 12(й3), отвечающее оператору Н, запишем в виде

Ф

п' ей3

где Су(п,п',А) — функция Грина оператора Ну в 12(й3), А = Ат0(к) принадлежит внутрен-

к3 = к31

иу 0

Ф

п' еп

где

5рег(Ц) Л= £ 6(Ц +

^ей2

и

Су

^ей2

— функция Грина оператора Ну(ку) (ср. [25]).

Полагая к3 = к31 = к3°)(ку) + £1, запишем, с помощью леммы 10.2, уравнение (11.2) для ку, близких к к°у, и малых £1 в виде

Ф(и, Ц) = —фто{п, к)5рег(к\\ - Ц) +

Т

еТфто(та, (fcy,к^)) - _ (0)„w, 7, / г л , ч

+ ГЬ. ^

n' еП

— e n' en

Обозначим через K(&y,£i) оператор с ядром

-у/\Щп)\д(п, ri, Ц, Ci) Vw(îV).

Введем обозначения ip = (рто = m0 и положим

0

Для новой неизвестной функции р уравнение (11.3) примет вид

, г, 2тг gTpmo

Л||) = Т^то(п,к)6рег(Ц -Ц)+ ГкпкР))/дк2 Х

Ki° лто{К\\, к3 )/ок3

х £ ^W(n') Vw(< (fcy, 40))) Â||) + еК{Ц, fcy).

n' en

Решение ^ уравнения

те

K(fcy,6) = Е )Am,

m=1

где {Лт} € l1, {^>m} и {Am} — сходящиеся к нулю последовательности в E(w) и L(12(Q)) соответственно. Тогда

те

m

m=1

Корректность такого действия нетрудно обосновать с помощью теории топологических тензорных произведений (см. [40-43]).

В дальнейшем будем предполагать, что

= Ae, A = const = 0,

тогда £2 = —Ae + o(e) (см. рассуждения перед леммой 10.1). Данное предположение означает, что для малых потенциалов рассматриваются частицы с малой третьей компонентой скорости (см. ниже). Заметим, что выбор знака Л + i0 в уравнении (11.2) означает выбор определенного знака у £1 ± i0. Принятое условие (11.6) делает полюс в точке £1 =0 (см. (11.3)) устранимым. Таким образом, выбор знака не играет роли и в дальнейшем опускается.

Л е м м а 11.1. Предположим, что выполнено (11.6). Тогда для fcy из некоторой окрестности точки fc0y и достаточно малых e существует единственное решение уравнения Липпма-на-Швингера в ячейке Q (11.2) вида,

ï>(n,k\\) = Щфто{щ (fcy,fc$0)))x

гАд2\то (fcy, fcg0-1) /<9fc2 liAd2\mo (kpk^)/dk2 — Wo

+ ОД

¿per(k|| - Лу),

где

Wo = T

а величина, yW(n)O(e) аналитически зависит, от, fcy,в как 12(С1)-значная функция и удовлетворяет оценке

б1 = ~ ^ll) ft>40)))>

где C не зависит от n. Подставляя (11.9) в (11.5), находим выражение для C и затем получаем формулу

p(n, fcy) = (1 - eK)-10(n,fcy) =

= . ля2х ,r ,(0)4 w +°(g) ihA' ))Sper(k\\ -fcy).

T \гАд2Amo(fcy, k^j - W° /

Аналитическая зависимость от ky,e следует из леммы 10.1, а оценка (11.8) оче-

видна.

§12. Рассеяние для слабо возмущенного оператора

В данном параграфе описана картина рассеяния для оператора Н в случае мал ого е и малой перпендикулярной составляющей угла падения частицы па потенциальный барьер еШ. Получены простые формулы для вероятностей прохождения и отражения.

Пользуясь (11.2), (11.7), а также леммой 10.1, запишем решение ф уравнения (11.2) в виде, подходящем для исследования рассеяния. Имеем, для по,п0 € По,

2П

^(по+Т(0,0,г/),А:||) = —

T

1 +

iAd2Amo(fc||,40))/dk2 - Wo X 52 KoK + T(0,0, v'|2W(n0 + T(0,0, v')) фто(n, (k|| ,k3i))<W (k|| - k||) +

2n

+ T

l^mo Vl0 i" ^ V", " 7, V^H' |2^

n' €0,v' sS v— 1

_T_ V^ U WiTínn^Wk

„

LiAd2Amo (Л||,АЛ /dk2 - W0 ne0

52 l^mo «+T

X фто

Здесь п является суммой слагаемых, порожденных слагаемым 7 в лемме 10.1, а также слагаемыми, отвечающими кт,а = (ку, кз^-), ] = 1, 2 (у этих слагаемых знаменатели по условию не обращаются в нуль при Ат(к) = Ао, и, таким образом, все они войдут в состав О(е)). Легко видеть, что величина О(е) аналитически зависит от (ку, е), близких к (коу, 0).

Используя (10.3), (10.4), (12.1), найдем решение исходного уравнения Липпмана-Швинге-ра (11.1) в Z2 (точный смысл интеграла от периодической обобщенной функции см. в [34]). Имеем для п = п + Т(//у, 0), где п = щ + Т(0, 0, /хз) € П, щ € По,

2П Jo*

T

1 +

X X) l^mo К + T

n' — 1

-o-ОЛ- У" IVV, К + T(0,0,//3), (k||,40)))|2 X

iAd2Amo k|,k2 - W0 0 v |h 3 ,n

o 4 11 3/ n'е0,^з>мз

+

iAd2Amo (k||, dkf) - W0

^mo (n, (k|| ,k3i)) +

x W

^mo(n, (k||,k32)) + O(e).

Отсюда получаем следующее утверждение.

Л е м м а 12.1. В условиях леммы 11.1 имеем, равенства

0(n) = а+^mo(n, (k||,k3i)) + n+(n) + O(e), П3 ^ 0, 0(n) = ^mo(n, (k|,k3i)) + a—^mo(n, (k||,k32)) + П—(n) + O(e), n3 < 0,

где

iAd2 Amo (k|,k30^/dk2 idAmo (k|,k3i )/dk3

~ ¿A92Amo(fcy,40))/^ " wo ~ (ky, ksi)/dks — eWo

= _Wo_=_eWo_+ 0{£)

iAd2\mo(kbkf])/dkl-W0 ídXrn^k^h^/dh-eWo

а функции n±(n) = n±(n, k) удовлетворяют неравенству (10.1) и аналитически зависят, от, k как l2(Q,±)-значные функции, где Q+ = Q П {n3 ^ 0}, = Q П {n3 < 0}.

Из рассмотрения нестационарного уравнения Шрёдингера и волновых пакетов вытекает равенство P± = |a±|2. Отсюда получаем теорему.

Теорема 12.1. Имеют место равенства

А2(д2Хто{к]1,к^)/дк2)2 (д\то (fcy, кз\)/дкз)2

+ А2(д2\то /дк2)2 + Wq ^ (d\mo(khk3l)/dh)2 + e2W2

Список литературы

1. Biittiker М., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings // Phys. Rev. B. 1985. Vol. 31. № 10. P. 6207-6215.

2. Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S. Engineering Fano resonances in discrete arrays // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. № 5. 056611 (7 p).

3. Bellissard J., Schulz-Baldes H. Scattering theory for lattice operators in dimension d > 3 // Rev. Math. Phys. 2012. Vol. 24. 1250020 (51 p).

4. Karachalios N.I. The number of bound states for a discrete Schrodinger operator on N > 1, lattices // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. № 45. 455201.

5. Ziletti A., Borgonovi F., Celardo G.L., Izrailev F.M., Karlan L., Zelevinsky V.G. Coherent transport in multi-branch circuits // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 85. № 5. 052201 (5 p).

6. Ptitsyna N., Shipman S.P A lattice model for resonance in open periodic wavequides // arXiv: 1101.0170vl [math-ph]. 2010.

7. Чубурин Ю.П. Об одном дискретном операторе Шрёдингера на графе // Теор. и матем. физика. 2010. Т. 165. № 1. С. 119-133.

8. Арсеньев А. А. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении сильной связи // Теор. и матем. физика. 2004. Т. 141. № 1. С. 100-112.

9. Лакаев С.Н., Халхужаев A.M. О спектре двухчастичного оператора Шрёдингера на решетке // Теор. и матем. физика. 2008. Т. 155. № 2. С. 287-300.

10. Chung F., Yau S.-T. Discrete Green's Function // Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2000. Vol. 91. № 1-2. P. 191-214.

11. Rivkind A., Krivolapov Y., Fishman S., Soffer A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model //J. Phys. A.: Math. Theor. 2011. Vol. 44. № 30. 305206 (19 p).

12. Rabinovich V.S., Roch S. Essential spectra and exponential estimates of eigenfunctions of lattice operators of quantum mechanics //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. № 38. 385207 (21 p).

13. Dutkay D.E., Jorgensen PE.T. Spectral theory for discrete Laplacians // Complex Analysis and Operator Theory. 2010. Vol. 4. № 1. P. 1-38.

14. Evans M., Harrell II. On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schrodinger form // arXiv: 1109.4691vl [math. С A]. 2011.

15. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

16. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 446 с.

17. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

18. Тинюкова Т.С., Чубурин Ю.П. Квазиуровни дискретного оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом на графе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные Науки. 2009. Вып. 3. С. 104-113.

19. Тинюкова Т.С. Квазиуровни дискретного оператора Шрёдингера для квантового волновода // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 88-97.

20. Тинюкова Т.С. Уравнение Липпмана-Швингера для квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 1. С. 99-104.

21. Тинюкова Т.С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шрёдингера для пересекающихся квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 74-84.

22. Тинюкова Т.С. Дискретное уравнение Шрёдингера для квантового волновода // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 4. С. 80-93.

23. Tinyukova T.S., Chuburin Yu.P. Electron scattering by a crystal layer // Theor. Math. Phys. 2013. Vol. 176. № 3. P. 1207-1219.

24. Березин Ф.А., Шубин M.A. Уравнение Шрёдингера. M.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

25. Baranova L.Y., Chuburin Y.P. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential //J. Phys. A.: Math. Theor. 2008. Vol. 41. 435205 (lip).

26. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

27. Гатауллин Т.М., Карасев М.В. О возмущении квазиуровней оператора Шрёдингера с комплексным потенциалом // Теор. и матем. физика. 1971. Т. 9. № 2. С. 252-263.

28. Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нерелятивистских столкновений. М.: Мир, 1975. 567 с.

29. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 395 с.

30. Морозова Л.Е., Чубурин Ю.П. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2004. Вып. 1 (29). С. 85-94.

31. Чубурин Ю.П. О малых возмущениях оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом // Теор. и матем. физика. 1997. Т. 110. № 3. С. 443-453.

32. Chuburin Yu.P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator // Commun. Math. Phys. 2004. Vol. 249. P. 497-510.

33. Чубурин Ю.П. О решениях уравнения Шрёдингера в случае полуограниченного кристалла // Теор. и матем. физика. 1994. Т. 98. № 1. С. 38-47.

34. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

35. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels I // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 7. P. 1-142.

36. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels II // Ann. Inst. Fourier. 1958. Vol. 8. P. 1-210.

37. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires. American Mathematical Society, 1979.

38. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.

Поступила в редакцию 21.08.2013

REFERENCES

1. Biittiker М., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalizet many-channel conductance formula with application to small rings, Phys. Rev. В., 1985, vol. 31, no. 10, pp. 6207-6215.

2. Miroshnichenko A.E., Kivshar Y.S. Engineering Fano resonances in discrete arrays, Phys. Rev. E., 2005, vol. 72, no. 5, 056611 (7 p).

3. Bellissard J., Schulz-Baldes H. Scattering theory for lattice operators in dimension d > 3, Rev. Math. Phys., 2012, vol. 24, 1250020 (51 p).

4. Karachalios N.I. The number of bound states for a discrete Schrodinger operator on N > 1, lattices, J. Phys. A: Math. Theor., 2008, vol. 41, no. 45, 455201.

5. Ziletti A., Borgonovi F., Celardo G.L., Izrailev F.M., Karlan L., Zelevinsky V.G. Coherent transport in multi-branch circuits, Phys. Rev. В., 2012, vol. 85, no. 5, 052201 (5 p).

6. Ptitsyna N., Shipman S.P A lattice model for resonance in open periodic wavequides, 2010, arXiv: 1101.0170vl fmath-ph],

7. Chuburin Yu.P. A discrete Schrodinger operator on a graph, Theor. Math. Phys., 2010, vol. 165, issue 1, pp. 1335-1347.

8. Arseniev A. A. Resonances and tunneling in the tight-binding approximation to scattering in a quantum billiard, Theor. Math. Phys., 2004, vol. 141, issue 1, pp. 1415-1426.

9. Lakaev S.N., Khalkhuzhaev A.M. Spectrum of the two-particle Schrodinger operator on a lattice, Theor. Math. Phys., 2008, vol. 155, issue 2, pp. 754-765.

10. Chung F., Yau S.-T. Discrete Green's function, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 2000, vol. 91, no. 1-2, pp. 191-214.

11. Rivkind A., Krivolapov Y., Fishman S., Soffer A. Eigenvalue repulsion estimates and some applications for the one-dimensional Anderson model, J. Phys. A.: Math. Theor., 2011, vol. 44, no. 30, 305206 (19 p).

12. Rabinovich V.S., Roch S. Essential spectra and exponential estimates of eigenfunctions of lattice operators of quantum mechanics, J. Phys. A: Math. Theor., 2009, vol. 42, no. 38, 385207 (21 p).

13. Dutkay D.E., Jorgensen P.E.T. Spectral theory for discrete Laplacians, Complex Analysis and Operator Theory, 2010, vol. 4, no. 1, pp. 1-38.

14. Evans M., Harrell II. On the behavior at infinity of solutions to difference equations in Schrodinger form, 2011, arXiv: 1109.4691vl [math. С A].

15. Reed M., Simon B. Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. I. Funktsionalnyi analiz (Methods of modern mathematical physics, Vol. I: Functional analysis), Moscow: Mir, 1977, 360 p.

16. Reed M., Simon B. Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. III. Teoriya rasseyaniya (Methods of modern mathematical physics, Vol. Ill: Scattering theory), Moscow: Mir, 1982, 443 p.

17. Reed M., Simon B. Metody sovremennoi matematicheskoi fiziki. IV. Analiz operatorov (Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators), Moscow: Mir, 1982, 428 p.

18. Tinyukova T.S., Chuburin Yu.P. Quasi-levels of the discrete Schrodinger equation with a decreasion potential on a graph, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2009, no. 3, pp. 104-113.

19. Tinyukova T.S. Quasi-levels of the discrete Schrodinger operator for a quantum waveguide, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2011, no. 2, pp. 88-97.

20. Tinyukova T.S. The Lippmann-Schwinger equation for quantum wires, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2011, no. 1, pp. 99-104.

21. Tinyukova T.S. Scattering in the case of the discrete Schrodinger operator for intersected quantum wires, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, no. 3, pp. 74-84.

22. Tinyukova T.S. The discrete Schrodinger equation for a quantum waveguide, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, no. 4, pp. 80-93.

23. Tinyukova T.S., Chuburin Yu.P. Electron scattering by a crystal layer, Theor. Math. Phys, 2013, vol. 176, no. 3, pp. 1207-1219.

24. Berezin F.A., Schubin M.A. Uravnenie Shredingera (Schrodinger equaion), Moscow: Moscow State University, 1983, 392 p.

25. Baranova L.Y., Chuburin Y.P. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential, J. Phys. A.: Math. Theor., 2008, vol. 41, 435205 (11 p).

26. Albeverio S., Gesztesy F., H0egh-Krohn R., Holden H. Reshaemye modeli v kvantovoi mekhanike (Solvable models in quantum mechanics), Moscow: Mir, 1991, 568 p.

27. Gataullin T.M., Karasev M.V. On the perturbation of the quasilevels of a Schrodinger operator with complex potential, Theor. Math. Phys., 1971, vol. 9, issue 2, pp. 1117-1126.

28. Taylor J. Teoriya, rasseyaniya. Kvantovaya teoriya nerelyativistskikh stolknovenii (Scattering theory: the quantum theory of nonrelativistic collisions), Moscow: Mir, 1975, 567 p.

29. Gunning R., Rossi H. Analytic functions of several complex variables, New York: Prentice-Hall, 1965.

30. Morozova L.E., Chuburin Yu.P. On levels of the one-dimensional discrete Schrodinger operator with a decreasing small potential, Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2004, no. 1 (29), pp. 85-94.

31. Chuburin Yu.P. On small perturbations of the Schrodinger operator with a periodic potential, Theor. Math. Phys., 1997, vol. 110, issue 3, pp. 351-359.

32. Chuburin Yu.P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator, Commun. Math. Phys., 2004, vol. 249, pp. 497-510.

33. Chuburin Yu.P. Solutions of the Schrodinger equation in the case of a semiinfinite crystal, Theor. Math. Phys., 1994, vol. 98, issue 1, pp. 38-47.

34. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoi fiziki (Equations of mathematical physics), Moscow: Nauka, 1971, 512 p.

35. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels I, Ann. Inst. Fourier., 1958, vol. 7, pp. 1-142.

36. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectoriels II, Ann. Inst. Fourier., 1958, vol. 8, pp. 1210.

37. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires, American Mathematical Society, 1979.

38. Schaefer H.H. Topologicheskie vektomye prostranstva (Topological vector spaces), Moscow: Mir, 1971, 360 p.

Received 21.08.2013

T. S. Tinyukova

Research of the difference Schrodinger operator for some physical models

In this paper, the discrete Schrodinger operator on a perturbed by the decreasing potential graph with vertices at the two intersecting lines is considered. We investigate spectral properties of this operator and the scattering problem for the above operator in the case of a small potential and also in the case when both a potential and velocity of a quantum particle are small. Asymptotic formulas for the probabilities of the particle propagation in all possible directions are obtained. In addition, we investigate the spectral properties of the discrete Schroodinger operator for the infinite band with zero boundary conditions. The scattering pattern is described. Simple formulas for transmission and reflection coefficients near boundary points of the subbands (this corresponds to small velocities of quantum particles) for small potentials are obtained. We consider a one-particle discrete Schrodinger operator with a periodic potential perturbed by a function which is periodic in two variables and exponentially decreases in third variable. In the paper, we also investigate the scattering problem for this operator near the extreme point of the eigenvalue of

the periodic Schrödinger operator in the cell with respect to the third component of the quasimomentum, i.e. for the small perpendicular component of the angle of incidence of a particle on the potential barrier. Simple formulas of the propagation and reflection probabilities are obtained.

Keywords: difference Schrödinger operator, resonance, eigenvalue, Lippmann-Schwinger equation, scattering, propagation and reflection probabilities. Mathematical Subject Classifications: 81Q10, 81Q15

Тинюкова Татьяна Сергеевна, старший преподаватель, кафедра математического анализа, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: tashiliQmail.ru

Tinyukova Tat'yana Sergeevna, Senior Lecturer, Department of Mathematical Analysis, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: tashih@mail.ru