Течение вязкой несжимаемой жидкости по трубам с упруго-эластичными стенками

УДК 532.516 А. П. Корнилков

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ С УПРУГО-ЭЛАСТИЧНЫМИ СТЕНКАМИ

Рассмотрена специфика решения гидродинамических задач применительно к трубам с эластичным характером стенки. Приведена линеаризованная система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в трубе, которая позволяет установить появление радиальной составляющей колебаний стенки, при движении пульсовой волны по трубе. Показано, что с ее использованием можно осуществить регистрацию всех возможных отклонений исходного режима движения жидкости, вызванных различного рода отклонениями.

Ключевые слова: Вязкая жидкость, эластичная стенка, уравнение Новье— Стокса.

Aleksey P. Kornilkov. FOR VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLOW THROUGH PIPES WITH ELASTIC-ELASTIC WALLS (Far Eastern State Academy for Social and Humanity Studies).

Specifics of the decision of hydrodynamic tasks with reference to pipes with elastic character of a wall is considered. The linearized system of the equations of movement of viscous incompressible liquid is given in a pipe which allows to establish emergence of a radial component of fluctuations of a wall, at movement of a pulse wave on a pipe. It is shown that with its use it is possible to carry out registration of all possible deviations of an initial mode of movement of the liquid, caused by different deviations.

Keywords: Viscous liquid, elastic wall, Nov'e—Stokes equation.

Большая часть "классических" технических задач течения жидкости по трубам базируются на утверждении о том, что стенка трубки абсолютно жёсткая. Однако при решении огромного числа практических задач это условие не выполняется, и становится необходимым учитывать эластичный характер стенки трубки.

При движении жидкости по трубе с упругим характером стенки большое практическое значение имеет учет появляющейся радиальной составляющей скорости Vr, вследствие чего появляется возможность регистрации различных отклонений исходного режима движения жидкости.

В гидродинамике течение вязкой жидкости описывается уравнениями Навье—Стокса, которые в совокупности с уравнениями неразрывности, состояния и теплопроводности образуют замкнутую систему [4; 5]. Однако её решение в общем виде сопряжено с практически непреодолимыми математическими сложностями, главным образом за счет нелинейности уравнений. Тем не менее, эти сложности могут быть преодолены, если речь идет о решении конкретных практических задач.

Для упрощения классических уравнений, приведённых в работах [4— 6] необходимо сформулировать ряд условий:

- течение жидкости является осесимметричным, то есть каждое осевое сечение остается круговым в течении всего времени движения стенок сосуда. Радиус трубки R является функцией времени t и осевой координаты z;

- стенка сосуда перемещается только вдоль радиального направления;

- трубка растягивается и сжимается вдоль оси цилиндра, которая фиксирована во времени;

- предполагается, что давление постоянно на каждом сечении.

Будем использовать цилиндрическую систему координат [7]

ди.

+и„

ди„

1 ^ р дх

д1 '4 д2и

3 8х2

дх

д2и„

дг

+и„

и

дг

1 дН 1 д

- + -• г

дг

3 дх

ди^+и^

дг г у

диг +и диг

1 дР р дг

д1

4 дЧ^ з’ дг2

+ -

дг

4 диг

и

диг

дх

(1 дих диг Л

Зг дг 3 г

дх

3 дг дх

где их и иг — проекции скорости движения жидкости на оси х и г ; х — осевая координата; г — радиальная координата;

Ф — угловая координата предполагается равной нулю при отсутстви-закручивания потока;

р — плотность жидкости;

V — кинематическая вязкость жидкости;

Р — давление.

Представленные уравнения (1) и (2) — линеаризованный вариант уравнений Навье—Стокса по координатам х и г .

Дальнейшие упрощения, позволяют принять вязкость среды постоянной, можно сразу перейти к уравнению неразрывности, которое в той же системе цилиндрических координат примет вид

— + р  + р- — + р- + и• — + и• — = о.

с! дг г дх дг дх

Дальнейшее упрощение уравнений (1)—(3) основано на пренебрежении членами высоких порядков. В итоге имеем [12]

он

р0 дх р0г0 ’

-д-^=Е

& 45 дх

где Р — осредненное давление по сечению трубки;

V = 0/ 2 — средняя скорость в сечении трубки радиуса г0 при задан-

/71Г0

ном расходе среды Q;

Ер — приведенный модуль упругости стенки трубки;

ГдиЛ

— нестационарное касательное напряжение на

^он = Ро -V

дг

- ди і

внутренней поверхности стенки, а —^|г=г0 — градиент скорости на стенке

сосуда радиуса г0.

В наибольшей степени определяют режим движения среды в трубке последние два параметра, входящие в систему уравнений

Для определения параметра используются приведённые в работах

[1], соотношения

V

9 у

8Е'Ро

где с0 — скорость звука в неограниченной среде заданных свойств; с — скорость звука в волноводе с упругими стенками;

Е

Е =----- — модуль упругости материала стенки;

!-^п

уп — коэффициент Пуассона;

Р0 — сжимаемость среды в трубке;

5 — толщина стенки.

Учитывая, что Сп =

РоРо

имеем

гс л2

‘'о

= 1 +

2г„

ЪЕ’ Ро

и далее

Е* =

Е

2 г 1+- °

Ж'Д

Оценивая второй параметр базовой системы (4), а именно т он, отметим, что его можно принять равным т при установившемся режиме движения среды, если следовать гипотезе квазистационарности [6]. В соответствии с этой гипотезой при малых частотах распределение скоростей остается таким же, как и при установившемся движении. В этой связи речь идет об осреднении по периметру касательных напряжений на внутренней стенке волновода, тогда

где X — коэффициент гидравлического сопротивления в формуле Дарси— ейсбаха, который можно определить по двум главным параметрам: шероховатости стенки трубки и числу Рейнольдса Яе.

С учетом сказанного, приводим систему уравнений (4) к ее базовому виду, более удобному для дальнейшего практического использования:

дР дУ

— = Ро------+ А-У,

дх д/

д¥_

дх

Е„

пр

дР

дt

где А--

Хр0У

4 к

— осредненныи по сечению диссипативныи параметр потерь

энергии движения среды в волноводе на трение;

Линеаризованная система уравнений (8) может быть использована для анализа режима движения жидкости в трубках любого типа, причем данная система уравнений позволяет моделировать различные возможные отклонения от номинального режима путем изменения значений входящих в нее параметров.

1

С

он

1

Литература

1. Заремба Н. П., Шлык Ю. К., Кузнецов В. А. Специфика развития волнового процесса в трубопроводе с упругими стенками // Изв. вузов. «Нефть и Газ» ТюмГНГУ. 2006. № 3. С. 61—66.

2. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

3. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: справочник: В 2 кн. / Под. ред. д.т.н., проф. В. В. Клюева. Кн. 2. М.: Машиностроение, 1976. 328 с.

4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904 с.

5. Джеймсон Э. Мюллер Т. и др. Численные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1981. 408 с.

6. Чарный И. А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975. 296 с.

7. Попов Д. Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. М.: Машиностроение, 1976. 424 с.

8. Бегун П. И., Афонин П. Н. Моделирование в биомеханике. М.: Высш. шк., 2004.

390 с.

9. Биофизические характеристики тканей человека: Справ. / Березовский В. А., Ко-лотилов Н. Н.; Отв. ред. и авт. предисл. П. Г. Костюк. Киев: Наук. думка, 1990. 224 с.

10. Ольсон Г. Динамические аналогии. М.: Изд-во иностр. лит., 1947. 224 с.