Математическое моделирование взаимодействия обделок параллельных некруговых подводных тоннелей с массивом пород дна водоема

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 282-291

= Науки о земле =

УДК 624.19.034.5

Математическое моделирование взаимодействия обделок параллельных некруговых подводных тоннелей с массивом пород дна водоема

И. Ю. Воронина

Аннотация. Предложен аналитический метод расчета обделок параллельных подводных тоннелей произвольного поперечного сечения. Метод базируется на решении плоской задачи теории упругости для весомой полуплоскости, ослабленной несколькими подкрепленными некруговыми отверстиями. Приводится конкретный пример расчета.

Ключевые слова: подводные тоннели, обделка, фильтрация, напряженное состояние, аналитическое решение, теория упругости.

Одним из перспективных способов пересечения протяженных водных преград при развитии транспортных и коммунальных сетей является строительство подводных тоннелей. Проектным организациям необходимо иметь в своем распоряжении надежный расчетный инструмент, позволяющий оценивать действующие в подземных конструкциях напряжения и усилия, а также учитывать особенности формирования напряженного состояния обделок тоннелей, сооружаемых под дном водоема. Существующие аналитические методы расчета позволяют определять напряжения в обделках параллельных круговых подводных тоннелей [1] и одиночных подводных тоннелей произвольного поперечного сечения [2].

Аналогичных методов расчета обделок комплексов подводных тоннелей, форма поперечного сечения которых отличается от круговой, до настоящего времени не имелось.

Новый метод расчета монолитных обделок параллельных подводных тоннелей некругового поперечного сечения позволяет оценивать напряженное состояние конструкций, как в предположении водонепроницаемости пород, так и в случае фильтрации воды через породы дна водоема. Разработанный метод расчета основан на аналитическом решении плоской задачи теории упругости [3] для полубесконечной весомой линейно-деформируемой среды, ослабленной несколькими любым образом

расположенными отверстиями произвольной формы, подкрепленными кольцами различной толщины. Прямолинейная граница полуплоскости Ь0 подвержена действию равномерно распределенной нагрузки Р, моделирующей давление воды на дно пересекаемого водоема. Расчетная схема представлена на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема

Здесь полубесконечная весомая среда $о моделирует массив пород с деформационными характеристиками Ео, vо и ослаблена конечным числом N произвольно расположенных отверстий некруговой формы с центрами в точках гт = хт + іут (т = 1,..., N). Кольца Бт (т = 1,..., N), выполненные из материалов с деформационными характеристиками Ет и Vт (т = 1,..., N), моделируют обделки тоннелей.

Среда $о и кольца Бт (т = 1,..., N) деформируются совместно, т.е. на линиях контакта Ьо,т (т = 1,..., N) выполняются условия непрерывности векторов смещений и полных напряжений. Внутренние контуры Ь\,т (т = = 1,..., N) колец свободны от действия внешних сил.

Начальное поле напряжений в среде $о, моделирующее действие собственного веса пород, определяется формулами:

40)

где 7 — удельный вес пород, Л — коэффициент бокового давления пород в ненарушенном массиве, Н — расстояние от прямолинейной границы до начала декартовой системы координат.

Граница полуплоскости ¿0 подвержена действию равномерно распределенной нормальной нагрузки интенсивности Р = —7™Над, что приводит к появлению в среде напряжений [4]

Суммарное поле начальных напряжений в среде 50 определяется по формулам:

В случае обводненного массива пород та же задача рассматривается при наличии следующих начальных напряжений в среде 50:

где 7 — удельный вес водонасыщенных пород с учетом взвешивающего действия воды. Обделки тоннелей считаются водонепроницаемыми.

После несложных преобразований и введения обозначений 7' = 7 + 7™, Л/ = Л + (1 — Л) , выражения (4) будут иметь вид:

Из формул (3)-(5) следует, что оба рассматриваемых случая сводятся к одной задаче теории упругости при различных значениях удельного веса пород 7; и коэффициента бокового давления в ненарушенном массиве Л'. В случае водонепроницаемых пород в расчетах принимаются значения 7' = 7, Л' = Л, если массив пород обводнен, то те же величины определяются по формулам 7; = 7 + 7™, Л' = Л + (1 — Л) .

Влияние отставания возводимой в т-м тоннеле обделки от забоя выработки может быть учтено с помощью корректирующего множителя ат, понижающего величину расчетных напряжений в обделке каждого из тоннелей. Формула для определения этого множителя предложена

Н.С. Булычевым [5], и записывается в виде:

где ¡о,т (т = 1,...,Ж) — расстояние от обделки т-ого тоннеля до забоя выработки, Е0,т (т = 1,...,Ж) — средние радиусы наружных контуров обделок Ьо,т-

а(0)(0) = — [Л7 (Н — у) + 7™ Н™] , 4.0)(0) = — [7 (Н — у) + 7™ Над] ,

= — [Л7(Н — у) + 7™(Н™ + Н — у)] , сту°)(°) = — [7(н — у) + 7™(Над + Н — у)] , г^)(0) = 0,

ст(0)(0) = — [Л'У(Н — у) + 7™Над] , стУ0)(0) = — [У(Н — у) + 7™Над]

т(0)(0) = 0 > ху — °

0, 6ехр(—1, /Д0,т) , (т = 1,... ,Ж),

В случае фильтрации воды вглубь массива полагается, что тоннельные обделки сооружаются непосредственно у забоев, то есть принимаются а*^ = = 0, 6 (т = 1,..., N).

Полные напряжения в среде 50 представляются в виде сумм начальных напряжений в ненарушенном массиве пород и дополнительных напряжений, обусловленных наличием некруговых отверстий:

г

+ Г

(0).

г(0)* = _(0)(0) и у и у

(0).

(0)* = т (0)(0) ' жу ' жу

+ Т

жу

г

= 0, тХу) =0

При этом смещения рассматриваются только дополнительные.

Начальные напряжения в кольцах (т = 1,..., N) равны нулю. Граничные условия рассматриваемой задачи имеют следующий вид:

- на границе ¿0

на контурах £0>т

г

(0,т)(1) Р

ГО,т)

г(0)(т)* гР ,

го,т)

иж ,

Т

и

Р0

Т

и

на контурах £1>т

(1,т)(1) = о ’р = 0, 'р<9

гР1’т)

Здесь гу0), тХу) — дополнительные напряжения на прямолинейной границе ¿0

(1,т)(1) (1,т)(1) /7 п дт\

в декартовой системе координат; гр , тре (1 = 0,1; т = 1,..., N) —

напряжения в кольцах £т в криволинейной системе координат, связанной с конформным отображением внешности единичной окружности на внешность контуров (1 = 0,1; т = 1,..., N); и(0’т)(1), иу0,т)(г) (1 = 0,1; т = 1,...

..., N) — дополнительные горизонтальные и вертикальные смещения точек контуров ¿0,т.

Поставленная задача теории упругости решена с использованием теории аналитических функций комплексного переменного [4] на основе развития метода И.Г. Арамановича [6], состоящего в реализации аналитического продолжения комплексных потенциалов через границу ¿0 полуплоскости 50. При этом ограничением рассматриваемой задачи является требование, чтобы окружности, описанные вокруг наружных контуров колец, не пересекались и не касались границы полуплоскости.

Граничные условия (8)-(10) после введения комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили имеют следующий вид:

<0

(1,т (£ - 2т) + ¿(1,т (І - 2т) + 01, т (£ - 2т) = (0 (¿) + І (0 (¿) +

Жт^1,т (£ — 2т) — £ (1, т (і — 2т) — "01, т (£ — 2т) =

= ттг *о

(1,т (І - 2т) + ¿(1,т (І - 2т) + 01, т (£ - 2т) = 0 на ¿1,т (т = 1, . . . ),

где £ = х + іу — комплексная координата точки границы ¿0 или контуров

— функции, регулярные в среде £о, <РО,з — 2,), 0О,, — 2,) — функции,

регулярные в нижней полуплоскости вне ]-го отверстия, (2 — 2,),

01,, (2 — 2,) — функции, регулярные в кольцах £т (т = 1,...,Ж),

жт = 3 — 4^т (т = 0,1,...,Ж) — коэффициенты вида напряженного состояния, = Ет/ [2 (1 + ^т)] (т = 0,1,..., N) — коэффициенты Ламе.

Интеграл, входящий в правую часть первого из граничных условий (12), можно записать в виде:

где Нт — расстояние от центра т-го отверстия до границы ¿0-

Осуществляя аналитическое продолжение комплексных потенциалов (су (2 - 2^), 0су (2 - 2^) через границу ¿0 в верхнюю полуплоскость ¿>0, приходим к следующему представлению комплексных потенциалов:

N

N

~2 "I Нт [(1 + А;) (£ - 2т) + (1 - А;) (£ - 2т^ +

+ 4 [(1 + ^0 (£ - 2т)2 - (1 - ) (£ - 2т) ] -

- 2 [(1 + ^0 / (£ - 2т)Й (£ - 2т) -

(1 - ^0 / (£ - 2т) ¿(£ - 2т^ | -7™(І - 2т) і

к

(0(І - 2?) = Л?,т(0,т (2 - 2т) + Сд.

~ ^ / \ к

00,-

и-п V р0,— /

— х.» ____ /\ • „_____7/;г\ ___ х. — ___ —I— * I - . I - I —

к=0

2К—Жп £ — 2—

— А,- — ——-----1п

о,—

где

с (3)(-,—) = ^ те (-, — А )„(1)(0>-)г (-,—) + ск = 2_^ п=1(1 А,,—)Сп 1 к,п +

+ ^те пС(1)(0’-) Д0,т //О'.™) + _-1 ?0'> —) > — те -(2)(0,,')/:,',—) .

+ 2^п=1 пСп Я0,5 ^ 1 к-1,п+1 + Ь—,:Г к,га+1^ ¿^п=0 Сп 1 к,п +

I 2К.! 1'.! /(->—) _ (1 _ А ) ?К! (—1)к¿0,к ^к ____

+ 1+ж0 1 к,1 (1 А-, —) 1+Ж0 ^ к 6—,-

(—1)к^0,к к

• 1 ^ 1+ж0 к

с(4)(-,—) = те (1 — А )„(2)(0>-) т-(,>—) —

Ск = 2^га=0(1 А-,—)Сп 1 к,п

— Е?=1 [(" +1) <£)(ад + пг<,2)(0,-)] /Т'Ч

+ Vте п(п + 1)с(1)(0,-) д0,т ^ /0'>—) + -1 Г(,,—) ^ + 2К!^ ?0'>—) —

+ 2^п=1 П(П + 1)Сп Д0,з ^ 1 к-1,п+1 + Ь—,Г к,га+1у + 1+ж0 1 к,1

— (1 — А Л ¿К^Ю0 ^ (-1)к¿0,к ^к — ¿К^ ^ (-1)%,к _/ к

(1 А—,-) 1+Ш0 • к £—,7 1+ш0 • к 6—,7 ,

7^0 ,

К, = —^,

— коэффициенты, определяемые для каждого отверстия по формулам, предложенным в работе [7].

В выражениях (16), (17) для определения коэффициентов ск3)(-,—) и ск4)(,,—) введены обозначения

и - и /е> \ -)1 при р = 1, _/1 при р>1,

--- Н- / Р0,- , А1,Р - 1 ^ / т - 1 ^ т

0 при р = 1; [0 при р < 1;

гС?,—) =

^ =

-к

/(-,—) = ( — -|)П (к + п — 1)^ »0,^ I

га>к ( ) (к — 1)!п! V »0,^ —’-

) _ / -,^га (к + п — 1)! ^0,— \ к+п

0,

-1

_/ I 2— 2?-ь Д0,-

е—,- ^ р 2г^- р

^0,— р0,—

Функции (0,- (2 — 2-), 00,- (2 — 2-) (/ = 1, . . . , N), регулярные в полной плоскости 50 + $0 вне контуров ¿0,- (/ = 1,...,N), отыскиваются в виде

рядов

,0.- <--) = £ек‘)

к=1 ,

те -к

00- )= Еск2)^(^

Произведем конформное отображение внешности единичной окружности на внешность каждого из контуров ¿1,-

п+1

к=1

где ^к,- — коэффициенты отображающей функции, найденные одним из известных способов.

Комплексные потенциалы (0)— (2 — 2-), 00,—(2 — 2-) (/, т = 1,..., N) в окрестности т-го отверстия представим в виде:

те / „ — „ \ -к

, \ Р0,—

к=1 ь

те -к

(2)(0,—) / 2 — 2-

^0,— (2 — 2- )= Е ск1)(0’—) (

к=1 V р°,— \

00,— (2 —2-)= Е ек2)(0'—) / ^ \

£-Т V р0,— /

Комплексные потенциалы, регулярные в кольцах 5—, отыскиваются в виде рядов Лорана:

^1,—(2 — ) = ^1,—[^ (с)] = ^1,—(с) = ^ 4 ск + ^а( £к,

к=1 к=0

СЮ СЮ 47

01,—(2 — ) = 01,—[^ (с)] = 01,—(с) = ^2а(2)(1,—)с-к + £а(4)(1,—)ск.

к=0 к=1

Далее, используя рациональные функции (23) можно записать граничные условия (11)-(13) на контурах т-го кольца через комплексную переменную (. Преобразование граничных условий позволяет свести решение поставленной задачи к итерационному процессу [8], в каждом приближении которого используется решение задачи для одного кольца, подкрепляющего отверстие в полной плоскости, при наличии в граничных условиях дополнительных слагаемых, отражающих влияние других подкрепленных отверстий и границы полуплоскости. Дополнительные слагаемые представляются в виде рядов Лорана, коэффициенты которых уточняются на основе предыдущих приближений.

Аналитический метод расчета обделок параллельных подводных тоннелей некругового поперечного сечения реализован в виде компьютерной программы.

Возможности предложенного метода проиллюстрированы на примере расчета обделок двух параллельных подводных транспортных тоннелей, сооружаемых под руслом реки глубиной = 5, 6 м (удельный вес воды Т™ = 0, 01МН/м3). Взаимное расположение и размеры тоннелей показаны на рис. 2.

В качестве исходных данных пронимались следующие значения: удельный вес пород 7 = 0,022 МН/м3, деформационные характеристики массива пород Е = 7000 МПа и ^ = 0, 3, коэффициент бокового давления пород в ненарушенном массиве А = 0,43, удельный вес пород с учетом взвешивающего действия воды / = 0,019 МН/м3. Обделки тоннелей выполнены из бетона с деформационными характеристиками Е- = 27000 МПа, V- = 0,2 (/ = 1, 2). Расчетные сопротивления бетона на сжатие и растяжение — Рь = 11, 5 МПа и Яы = 0, 9 МПа.

Рис. 2. Расчетная схема

Ниже, на рис. 3 и 4, показаны эпюры нормальных тангенциальных напряжений о# (МПа), возникающих на внутренних и наружных контурах поперечного сечения обделок двух подводных тоннелей в условиях обводненного массива пород. Здесь штрих-пунктирными линиями представлены эпюры тех же напряжений в обделках одиночных подводных тоннелей, т.е. полученные без учета взаимного влияния рассматриваемых подземных сооружений (величины напряжений даны в скобках).

Из полученных результатов следует, что наличие соседнего сооружения приводит к перераспределению нормальных тангенциальных напряжений,

Рис. 3. Эпюры напряжений , возникающих на внутренних контурах поперечного сечения обделок подводных тоннелей

Рис. 4. Эпюры напряжений о(ех), возникающих на наружных контурах поперечного сечения обделок подводных тоннелей

как на внутренних, так и наружных контурах обделок каждого из рассматриваемых тоннелей. Максимальные сжимающие напряжения о((гп) возникают в угловых точках контуров обделок, а растягивающие напряжения - в лотках тоннельных конструкций. Сжимающие напряжения, действующие в угловой точке внутреннего контура обделки первого тоннеля со стороны целика между тоннелями, снижаются на 27 %, а в точке пяты свода обделки - возрастают на 32 %.

Экстремальные

напряжения о((гп) в обделке второго тоннеля увеличиваются по сравнению с аналогичными напряжениями в обделке одиночного тоннеля на 22 % и 58 % соответственно.

Список литературы

1. Fotieva N.N, Voronina I.Yu. Study of parallel undersea or under-river tunnel linings stress state // Proc. of the Vllth Regional Rock Mechanics Symposium 2004, Sivas, Turkie, 2004. P. 389-393.

2. Деев П.В., Воронина И.Ю. Расчет обделок подводных тоннелей произвольного поперечного сечения // Изв. ТулГУ. Сер. Геомеханика. Механика подземных сооружений. 2006. Вып. 4. С. 62-68.

3. Воронина И.Ю. Напряженное состояние колец, подкрепляющих конечное число некруговых отверстий в весомой полуплоскости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 326-336.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

5. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. М.: Недра, 1994. 382 с.

6. Араманович И.Г. Распределение напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // ДАН СССР. 1955. Т. 104. № 3. С. 372-375.

7. Деев П.В. Расчет обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, расположенных на небольшой глубине, на действие собственного веса пород // Вестник ТулГУ. Сер. Геомеханика. Механика подземных сооружений. 2007. Вып. 1. С. 21-28.

8. Fotieva N.N., Bulychev N.S., Sammal A.S. Design of shallow tunnel linings // Proc. of the ISRM International Symposium, Torino, Italy, 1996. P. 654-661.

Воронина Ирина Юрьевна (virena_29@mail.ru), к.т.н., доцент, кафедра механики материалов, Тульский государственный университет.

Mathematical modeling of the interaction of parallel non-circular underwater tunnel linings with the bottom rocks

I. Yu. Voronina

Abstract. Analytical method for design of parallel underwater tunnel linings of arbitrary cross-section shape is proposed. The method is based on solution of the elasticity theory plane problem for a weighty semi-plane weakened by some supported non-circular openings. Examples of design are given.

Keywords: underwater tunnels, lining, filtration, stress state, analytical solution, the theory of elasticity.

Voronina Irina (virena_29@mail.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of material mechanics, Tula State University.

Поступила 13.05.2014