Математическая модель первой операции комбинированной вытяжки анизотропного материала в конической матрице

Список литературы

1. Рыжов Э.В. Контактная жесткость деталей машин. М., 1966,

195 с.

2. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей, М., 1970, 227 с.

3. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. М., 1981, 224 с.

4. Суслов А.Г. Технологическое обеспечение параметров состояния поверхностного слоя деталей. М.: Машиностроение, 1987. 208 с.

5. Устойчивость стыков при слесарной обработке поверхностей / Никифоров А.П. [и др.] //Исследования в области технологии механической обработки и сборки. Тула, 1985, С. 30-33.

N.A. TereMn, A.S. Yamnikov, W.M. Gryazev

COMPARE CHARACTERISTICS OF SURFACE RIGIDITY OF COMPONENTS

The compare characteristics of surface rigidity of component joints, which are machined with grinding, milling and bench working are considered here. It is shown that the lowest stability of rigidity parameters have file machined surfaces.

Key words: rigidity, surface layer, roughness, curve of control.

Получено 20.12.11

УДК 621.983; 539.374

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф.,

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРВОЙ ОПЕРАЦИИ КОМБИНИРОВАННОЙ ВЫТЯЖКИ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА В КОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕ

Предложена математическая модель первой операции комбинированной вытяжки анизотропного материала в конической матрице. Приведены основные уравнения и соотношения для теоретического анализа первой операции комбинированной вытяжки анизотропного материала в конической матрице.

Ключевые слова: комбинированная вытяжка, анизотропия, матрица, пуансон, сила, деформация, разрушение, напряжение.

Анализируя современное состояние технологии изготовления полых цилиндрических изделий, следует отметить, что наибольшее распро-

174

странение получила вытяжка (без утонения). К недостаткам вытяжки относятся низкая производительность (большое число операций) при изготовлении глубоких изделий и невысокая точность по наружным размерам и по толщине стенки (в некоторых случаях требуется дополнительная обработка).

Вытяжка с утонением находит широкое применение при изготовлении глубоких цилиндрических сосудов, толщина стенки которых значительно меньше толщины дна. Изделия, изготовляемые вытяжкой с утонением, имеют более высокую точность, чем при вытяжке, однако число операций в технологическом процессе, основанном на вытяжке с утонением, остается значительным.

Интенсификация процесса глубокой вытяжки может быть достигнута методом комбинированной вытяжки, которая характеризуется одновременным существенным изменением диаметра и толщины вытягиваемой заготовки. Этот метод позволяет получать изделия с повышенными точностными характеристиками, более упрочненной стенкой, достигать больших степеней деформаций по сравнению с методами вытяжки и вытяжки с утонением, что приводит к значительному сокращению числа операций технологического процесса и повышению производительности [1].

Первая операция комбинированной вытяжки условно разделяется на четыре стадии. В очаге деформации имеется плоское напряженное (зона I) и плоское деформированное (зона II) состояния заготовки. На первой стадии комбинированной вытяжки осуществляется обычная вытяжка (без утонения) и реализуется плоское напряженное состояние в заготовке. На второй стадии происходит формирование зоны утонения II. На графиках "сила-путь" это проявляется в резком подъеме кривой "сила-путь". Момент совпадения центра закругления пуансона с верхней кромкой калибрующегося пояска матрицы принимается за начало третьей стадии. На третьей стадии имеет место процесс собственно комбинированной вытяжки (с наличием двух зон). На четвертой стадии исчезает зона плоского напряженного состояния I и происходит утонение краевой части заготовки.

При комбинированной вытяжке один и тот же материал находится в зоне I в условиях плоского напряженного состояния, а в зоне II - в условиях плоского деформированного состояния.

Рассмотрим процесс комбинированной вытяжки с прижимом через коническую матрицу с углом конусности а и степенью деформации у = 1 -  т$1. Здесь - коэффициент вытяжки; = ^ / Бо ; -

коэффициент утонения; т81 = ¿1 / ¿о; ^ = 2т\; Бо = 2Яо; г = ¿1; г и Яо -радиус по срединной поверхности полуфабриката и начальный радиус заготовки; ¿1 и ¿о - толщина стенки полуфабриката и заготовки соответственно; г - односторонний зазор между пуансоном и матрицей.

Материал принимается несжимаемым, начально трансверсально-изотропным, анизотропно-упрочняющимся, для которого справедливо условие текучести Мизеса-Хилла и ассоциированный закон течения [2, 3].

Допускается, что сопротивления материала пластическому деформированию в направлениях главных осей анизотропии x, у , г и при сдвиге в главных осях анизотропии подчиняются зависимостям

О ш =

Оти + Аи

п

- / Л 2' ти

1 + е»

^е/

(1 -«е )к;

X

где А

и

п

II

п

¿1] Щ

ХТ) + А)

\к

к

), „П1, к - константы материала; От// и Хт) - пределы текучести материала в направлениях главных осей анизотропии х, у, г и при сдвиге в главных осях анизотропии; ег- - величина интенсивности деформаций; - компоненты тензора деформаций; о)е - повреждаемость материала при пластическом формоизменении по деформационной модели разрушения.

Параметры анизотропии Р, О, Н, Ь, М, N связаны с величинами сопротивления материала пластическому деформированию известными соотношениями [2].

В дальнейшем принимается, что на каждом малом этапе деформирования эти параметры являются постоянными величинами, которые могут изменяться на каждом последующем этапе. Предполагается, что на контактных границах заготовки и рабочего инструмента реализуется закон трения Кулона. В основу анализа положен метод расчета силовых параметров процесса, основанный на совместном решении приближенных дифференциальных уравнений равновесия и условий текучести с учетом сопряжений на границах участков, а также изменения направления течения материала.

Рассмотрим распределение напряжений и деформаций в заготовке на первой стадии процесса комбинированной вытяжки при наличии трех характерных участков (рис. 1).

Очаг деформации состоит из трех участков: участок !а расположен на плоскости матрицы и ограничен краем заготовки с текущей координатой Як с одной стороны и постоянной координатой Яц, точкой сопряжения плоского и криволинейного участков матрицы; участок !б охватывает входную кромку матрицы и ограничен угловыми координатами ф = о и текущим значением угла охвата заготовкой тороидальной поверхности матрицы ф; участок !в (участок бесконтактной деформации) расположен между входной кромкой конуса матрицы и кромкой пуансона.

176

>

Рис. 1. Схема к теоретическому анализу начальной первой операции процесса комбинированной вытяжки на конической матрице

Меридиональные Ор и окружные Од напряжения на участке 1а определяются путем численного решения (методом конечных разностей) приближенного уравнения равновесия [4]

^ Ор

р^+°г"Ое=0

совместно с условием пластичности [5]

(О + Н)о2 - 2Нор ое + (Н + ^)о2 = 1 (2) при граничном условии

р-Як, Ор-—- ,

где р - текущий радиус рассматриваемой точки, Як > р > Яц ; Як - радиус края заготовки в рассматриваемый момент времени; тм - коэффициент трения на контактной поверхности матрицы и прижима; Q - сила прижима,

1 -; = р ,,, о1!^ О, ;

ч 1 - тё1) т^ тёх

о, - временное сопротивление; Бр - /

При анализе процесса комбинированной вытяжки без прижима в граничном условии (3) необходимо положить Q - 0.

Q - о,1

Для нахождения напряжений Ор и Од на тороидальной поверхности матрицы (участок 1б) решаем совместно условие равновесия [4]

dOp dj

о г

cosj a - sinj

+

mM

cosj+mM sinj + Oe-:-= 0,

a - sinj

и условие пластичности (2) при граничных условиях

при j = 0

°Р = °Рф

+ O

sP

s

Р = R

4 Rmc

ц

р-Я ц

где ф - угол, характеризующий положение рассматриваемого сечения заготовки на тороидальной поверхности матрицы; тм - коэффициент трения на контактной поверхности матрицы; а - Яц /Ямс; Ямс - Ям + 0,5^о; Орф - величина меридионального напряжения во фланце заготовки (участок 1а), вычисленная при р - Яц; о£р - сопротивление материала пластическому деформированию с учетом его упрочнения при р - Яц .

Распределение меридиональных Ор и окружных Од напряжений на

конусообразном участке бесконтактной деформации определяется путем численного интегрирования уравнения равновесия (1) с условием пластичности (2) при граничном условии

£

Р = Ri,

ор =орТ

Ф=Ф2

+ O

sP

Ф=Ф2 4R

MC

Здесь ф 2 - угол, определяющий границу тороидального и конусообразного участков; Ri = Rц - Rmc sin Ф2; Opr - меридиональное напряжение на тороидальной поверхности матрицы, вычисленное при Ф = Ф2; оsp -

сопротивление материала пластическому деформированию при Ф = Ф 2.

Заметим, что в выражении (7) последнее слагаемое учитывает приращение меридионального напряжения, связанное со спрямлением заготовки.

Первая стадия процесса комбинированной вытяжки оканчивается в момент полного прилегания заготовки к конической поверхности матрицы.

На коническом участке очага деформации участок 1в распределение напряжений находится с учетом сил трения на поверхности матрицы.

Интегрирование уравнения равновесия

d

а

р

dr

+ ар-ае

m м ое

tga

= 0

совместно с условием пластичности (2) при граничном условии

r

r = = sp=spT + О sp --

^^ Ti/? р pj ф=ф: 4Р m=m, v 7

s

ф=ф1 4R

MC

позволяет определить распределение напряжений на участке 1в, где ji = p/2-a.

Усилие процесса на первой стадии вытяжки находится по формуле

р = 2p

где R'nc = Rn + 0,5si ; Rnc = RП + 0,5so; Ор/ - меридиональное напряжение на выходе из очага пластической деформации при р = R2 , которое определяется с учетом соотношений (1), (2), (5) при граничных условиях (3), (6) и (7) в случае наличия конусообразного участка бесконтактной деформации (ф = ф 2) и с учетом выражений (1), (2) и (5) в момент полного прилегания заготовки к конической матрице (ф = ф1) при граничных условиях (3), (6) и (9).

Для учета анизотропного упрочнения материала в зоне плоского напряженного состояния I необходимо иметь информацию о распределении деформаций в очаге пластической деформации.

Величина окружной деформации находится по выражению

£0= Ьт^,

Roj

где р - координата рассматриваемого сечения очага деформации, Roj - начальная координата рассматриваемого сечения очага деформации в плоской заготовке, которая определяется из условия постоянства объема. Приращения меридиональных деформаций d£p и деформаций по

толщине трубы dez могут быть определены с учетом ассоциированного закона пластического течения следующим образом

dp. HК-О0) + G°p

р FOq + Я

, dp Gsp + Fs0

и de z =—---—-т-.

p Fs0+ H

Величина приращения интенсивности деформации dee определяется по формуле (2.4), интенсивность деформации ee - по выражению

р

£e = í d£e ,

Ror

где р - координата рассматриваемого сечения очага деформации.

Изменение толщины заготовки в процессе комбинированной вытяжки оценивается по соотношению

с Р Оо р + _09 ЯР 1п- = -/ _ + Н 9 V^.

с0 к0 _°9 + Н 109-0р]Р

Положение внешнего края Я в процессе деформации вычисляется из условия постоянства площади поверхности заготовки в зависимости от перемещения пуансона Ип .

В дальнейшем не рассматривается вторая стадия деформирования, т.к. она занимает малое место в общем процессе деформирования. Третья стадия процесса комбинированной вытяжки начинает реализовываться с момента совпадения центра радиуса закругления пуансона с верхней кромкой рабочего пояска матрицы (рис. 2).

Меридиональные о р и окружные 09 напряжения в зоне I во фланце (участок 1а), тороидальной части заготовки (участок 1б) и конусообразном участке прилегания заготовки к конической матрице определяются путем численного интегрирования (методом конечных разностей) приближенных уравнений равновесий (1), (5), (8) с использованием условия текучести (2) при заданных граничных условиях (3), (6) и (9) для меридиональных напряжений о соответственно.

Рассмотрим вопрос о распределении напряжений и деформаций в зоне плоского деформированного состояния II очага пластической деформации.

Рис. 2. Схема к теоретическому анализу третьей стадии процесса комбинированной вытяжки на конической матрице

Схема к теоретическому анализу второй зоны (зоны плоского деформированного состояния II) очага деформации на третьей стадии комбинированной вытяжки через коническую матрицу приведена на рис. 3.

Принимаем, что в зоне II реализуется раднальное течение материала, а на контактных границах заготовки и инструмента реализуется закон трения Кулона

ТМ = \1Мск

= (16) где и - коэффициенты трения на контактных поверхностях матрицы и пуансона соответственно.

Изменение направления течения материала при входе и выходе из зоны II учитывается путем коррекции радиального напряжения ар с учетом разрыва касательной составляющей скорости течения материала на границе очага деформации по методу баланса мощностей.

Компоненты радиального ар и контактного а^ напряжений во второй зоне очага пластической деформации определяются путем совместного решения приближенного уравнения равновесия для элемента очага пластической деформации [4]

с/

+ Ор-вк

и условия текучести [5]

СУр - Ск = 2Ьр; 1 .С2

\| [-сът 2р

при учете граничных условий на границе зон I и II

Р = РЬ

ар = Оргр>

где р - координата рассматриваемого сечения в полярной системе координат; М = -(И;/ -Ц м)!^ёа у - сопротивление пластической деформации при сдвиге в плоскости р2; (3 = а/2 - угол, между первым условно главным напряжением <зр и осью анизотропии х; с - характеристика анизотропии в условиях плоской деформации, которая связана с параметрами анизотропии Т7, О, Ни М.

Величина напряжения Оргр находится по формуле

Оргр = аР/ + Дор^ ,

где <зр^ - меридиональное напряжение на границе раздела зон плоского

напряженного и плоского деформированного состояний, вычисленное при р = р!; приращение радиального напряжения связанное с из-

менением направления течения материала при входе в зону II на угол а/2.

Рис. 3. Схема к теоретическому анализу зоны плоского деформированного состояния

Определим приращение напряжения До р по методу баланса мощностей.

Примем, что мощность, развиваемая приращением напряжения Дор , связана с дополнительной мощностью на поворот направления течения материала при входе в зону плоского деформированного состояния.

Уравнение баланса мощностей в этом случае имеет следующий вид:

До р В u В1 В =^1ДиИ1В,

где uв и Duti- скорость течения материала и разрыв касательной составляющей скорости при входе в зону II соответственно; ti - максимальная величина касательного напряжения, приложенного на входе в зону плоского деформированного состояния заготовки; ¡в - длина линии раздела между зонами I и II.

Величина разрыва касательной составляющей скорости Duti определяется из рассмотрения годографа скоростей на входе в зону утонения

ДиТ1 =u Btg

Подставляя (22) в уравнение баланса мощностей (21), получим

Дор В = titg

Максимальное касательное напряжение ti определяется по формуле

f Л

ti = °р, -ое/ р = р i р = р J

/2

где Ор/ и Од/ - величины меридионального и окружного напряжений на выходе из зоны плоского напряженного состояния, вычисленные при Р = Р1-

Таким образом, имеем выражения для оценки величины напряжения

ДО г

'Р В

О

До Р В =

р /

р=р 1

О0/| р=р 1

2

tg(a/ 2).

Осевое напряжение о д с учетом поворота течения материала на угол а/ 2 на выходе из зоны II вычисляется так:

О д

О

р//

+ До

р = р 2

р вых

где о р// - радиальное напряжение на выходе из очага пластической деформации, вычисленное при р = р 2 .

Выражение для определения приращения напряжения Дор вых может быть получено аналогичным образом, как и для приращения напряжения ДОр путем составления уравнения баланса мощностей

До р вых ивых 1вых = т2 Ди12 1вых ,

и рассмотрения годографа скоростей на выходе из очага пластической деформации для нахождения разрыва касательной составляющей скорости

Ди12 = ивых^

где ивых и ДиХ2 - скорость течения материала и разрыв касательной составляющей скорости при выходе из зоны плоского деформированного состояния заготовки (зоны II); 11 - максимальная величина касательного напряжения, приложенного на выходе из зоны II; 1вых - длина линии раздела между зоной II и недеформированной частью заготовки.

Максимальная величина касательного напряжения 12 вычисляется по выражению

12 =

О

//

Ок

= 2

2

= 2

где О // и Ок - величины меридионального и контактного напряжений на выходе из зоны плоского деформированного состояния, определенные при р = р 2.

Приведем окончательную формулу для определения осевого напряжения на выходе из очага пластической деформации с учетом поворота течения материала по методу баланса мощностей:

и

Р ~ Р2

Р = Р2 П-С81п2а 2

Координаты границ очага зоны плоского деформирования состояния оцениваются по соотношениям

Р1 = */<* Р2 =*1/а,

где 5, - толщина материала на входе в зону плоского деформированного состояния и на выходе из нее.

Принимая во внимание, что в зоне II реализуется плоское деформированное состояние, т.е. приращение окружной деформации с!г$ = 0, приращения радиальных деформаций ¿/гр и деформаций по толщине заготовки dez будут равны:

ds

¿/е. = -¿/гп = —.

Интенсивность деформаций ее с учетом соотношений (31) вычисляется по выражению (14).

Начальное Яд^ положение точки в текущий момент времени находится из условия постоянства объема.

Четвертая стадия комбинированной вытяжки начинается, когда концевая часть заготовки входит в зону утонения. Этому моменту формоизменения соответствует максимальная величина осевого напряжения ах на четвертой стадии комбинированной вытяжки. Его величина может быть определена путем совместного решения уравнений (17), (18), (20), (25) и (30), в которых надо положить, что меридиональное напряжение ар/ =0.

Сила процесса комбинированной вытяжки на третьей и четвертой стадиях определяется по формуле

Р2

Р = т/^1ах+лц1Тс/л ¡\ajt\dp,

Р1

где dц - диаметр пуансона.

Отметим, что в случае комбинированной вытяжки заготовки из трансверсально-изотропного неупрочняющегося материала приведенные выше соотношения для определения величин меридионального ор, окружного ад, осевого ах и контактного о^ напряжений переходят в известные соотношения, приведенные в работе [5].

Приведенные выше соотношения могут быть использованы для анализа первой операции комбинированной вытяжки цилиндрических деталей из анизотропных упрочняющихся материалов.

Список литературы

1. Валиев С. А. Комбинированная глубокая вытяжка листовых материалов. М.: Машиностроение, 1973. 176 с.

2. Нечепуренко Ю.Г., Яковлев С.П., Яковлев С.С. Глубокая вытяжка цилиндрических изделий из анизотропного упрочняющегося материала. Тула: ТулГУ, 2000. 182 с.

3. Яковлев С.С., Ремнев К.С., Фам Дык Тхиен. Вопросы теории штамповки ортотропных анизотропно-упрочняющихся материалов // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 4. С. 130-135.

4. Попов Е.А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1968. 283 с.

5. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 331 с.

S.S. Jakovlev, Fan So Thien, K.S. Remnev

MATHEMATICAL MODEL OF THE FIRST OPERATION OF THE COMBINED EXTRACT OF THE ANISOTROPIC MA TERIAL IN THE CONIC MA TRIX

The mathematical model of the first operation of the combined extract of an anisotropic material in a conic matrix is offered. The basic equations and parities for the theoretical analysis of the first operation of the combined extract of an anisotropic material in a conic matrix are resulted.

Key words: the combined extract, anisotropy, a matrix, a punch, force, deformation, destruction, pressure.

Получено 14.12.11