О множествах единственности кратных рядов по системе характеров нуль-мерной группы в смысле сходимости по кубам

6. Abanin A. V. Slabo dostatochnye mnozhestva i abso-liutno predstavliaiushchie sistemy. Diss. dokt. fiz.-mat. nauk [Weakly sufficient sets and absolutely representing systems. Dr. phys. and math. sci. diss.]. Rostov on Don, 1995, 268 p.

7. Bratishchev A. V. A type of lower estimate for entire functions of finite order, and some applications. Math. of the USSR-Izvestiya, 1985, vol. 24, no. 3, pp. 415-438. DOI: 10.1070/IM1985v024n03ABEH001243.

8. Korobeinik Yu. F. Maksimal'nye i 7-dostatochnye mnozhestva. Prilozheniia k tselym funktsiiam. II [The maximal and 7-sufficient sets. Applications to entire functions]. Teoriia funktsii, funktsional'nyi analiz i ikh prilozheniia. Kharkov, 1991, vol. 55, pp. 23-34 (in Russian).

9. Sherstyukov V. B. On a question about 7-sufficient sets. Siberian Math. J., 2000, vol. 41, no. 4, pp. 778784. DOI: 10.1007/BF02679704.

10. Sherstyukov V. B. On a problem of Leont'ev and representing systems of exponentials. Math. Notes, 2003, vol. 73, no. 2, pp. 286-298. DOI: 10.1023/A:1025068527611.

11. Sherstyukov V. B. Ob odnom podklasse tselykh funktsii vpolne reguliarnogo rosta [On a subclass of entire functions of completely regular growth]. Kompleksnyi analiz. Teoriia operatorov. Matematicheskoe modelirovanie. Vladikavkaz, Publ. VNTs RAN, 2006, pp. 131-138 (in Russian).

12. Sherstyukov V. B. On some criteria for completely regular growth of entire functions of exponential type. Math. Notes, 2006, vol. 80, no. 1, pp. 114-126. DOI: 10.1007/s11006-006-0115-6.

13. Bratishchev A. V. On a problem of A. F. Leont'ev. Sov. Math. Dokl. 1983, vol. 27, pp. 572-574 (in Russian).

УДК 501.1

14. Mel'nik Yu. I. O predstavlenii reguliarnykh funktsii riadami tipa riadov Dirikhle [On the representation of regular functions by Dirichlet type series]. Issledovanie po teorii priblizhenii funktsii i ikh prilozheniia, Kiev, Naukova Dumka, 1978, pp. 132-141 (in Russian).

15. Mel'nik Yu. I. Ob usloviiakh skhodimosti riadov Dirikhle, predstavliaiushchikh reguliarnye funktsii [Conditions for the convergence of Dirichlet series that represent regular functions]. Matematicheskii analiz i teoriia veroiatnostei, Kiev, Naukova Dumka, 1978, pp. 120-123 (in Russian).

16. Mel'nik Yu. I. Ob usloviiakh razlozhimosti reguliarnykh funktsii v riady eksponent [On conditions of expandibility of regular functions in exponential series]. Vsesoiuz. simpozium po teorii approksimatsii funktsii v kompleksnoi oblasti, Ufa, 1980, pp. 94 (in Russian).

17. Bratishchev A. V. Bazisy Kete, tselye funktsii i ikh prilozheniia. Diss. dokt. fiz.-mat. nauk [Kothe bases, entire functions and their applications. Dr. phys. and math. sci. diss.]. Rostov on Don, 1997, 248 p.

18. Ingham A. E. A note on Fourier transforms. J. London Math. Soc., 1934, vol. 9, pp. 29-32.

19. Levinson N. Gap and density theorems. New York, Amer. Math. Soc., 1940, 246 p.

20. Sedletskii A. M. Klassy analiticheskikh preobrazo-vanii Fur'e i eksponentsial'nye approksimatsii [Classes of analytic Fourier transforms and exponential approximations]. Moscow, Fizmatlit, 2005, 503 p. (in Russian).

21. Levin B. Ja. Pochti periodicheskie funktsii s ogra-nichennym spektrom [Almost periodic functions with bounded spectrum]. Aktual'nye voprosy matematiches-kogo analiza, Rostov on Don, 1978, pp. 112-124 (in Russian).

О МНОЖЕСТВАХ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ ХАРАКТЕРОВ НУЛЬ-МЕРНОЙ ГРУППЫ В СМЫСЛЕ СХОДИМОСТИ ПО КУБАМ

И. С. Юрченко

Ассистент кафедры прикладной информатики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, hamsterchik@mail.ru

В данной работе изучаются множества единственности для кратных рядов по системе характеров нуль-мерной группы в смысле сходимости по кубам. Доказано, что конечное множество и счетное множество, имеющее только одну предельную точку, являются множествами единственности.

Ключевые слова: компактная нуль-мерная группа, множество единственности, кратный ряд по системе характеров. ВВЕДЕНИЕ

В работах В. А. Скворцова [1] и Х. О. Мовсисяна [2] было показано, что счетное множество является множеством единственности для кратных рядов Уолша, сходящихся по прямоугольникам. В работе [3] был получен более общий класс множеств единственности для функций Уолша. В частности, было доказано, что любая непрерывная кривая конечной длины или их счетное объединение является множеством единственности для двойных рядов Уолша, сходящихся по прямоугольникам.

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. 1

В работе [4] был получен класс множеств единственности для кратных рядов по смешанной системе функций, расширяющий известные классы множеств единственности. В работе [5] был приведен пример кратного ряда, сходящегося по прямоугольникам, но не сходящегося по кубам. Затем в [6] было доказано, что пустое множество является множеством единственности для кратных рядов Уолша на двоичной группе в смысле сходимости по кубам. М. Г. Плотников в 2007 году [7], рассматривая функции Уолша на двоичной группе, показал, что конечное множество и счетное множество, имеющее только одну предельную точку, являются множеством единственности для кратных рядов Уолша, сходящихся по кубам. Мы покажем, что данные результаты справедливы для произвольной нуль-мерной группы.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Пусть (С, ф) — компактная нуль-мерная группа. Топология на группе С определяется с помощью цепочки вложенных подгрупп С = С0 Э С э ... Обозначим рк = (Ск/Ск+1 По последовательности простых чисел (рк)£=0 построим последовательность (тк) следующим образом: т0 = 1,тк+1 = рктк. Элементы дп = Сп \ Сп+1 образуют базисную систему в С, т.е. любой элемент

те

х е С однозначно представим в виде ряда х = ^ апдп, ап = 0,рп — 1. Если рпдп = 0, группа С

п=0

является группой Виленкина, если рпдп = дп+1, то в этом случае С называется группой Р-адических чисел, Р = {рп}.

Аннуляторы группы С образуют возрастающую последовательность Сдт С С]1 С ... и

(Ск+1/С^= рк. Обозначим через X = {%} совокупность характеров группы С. Данная сите

стема является ортогональной и X = и С^. Пусть д определяет меру Хаара и дС = 1. Тогда

п=0

д(Сп ф Л) = 1/тп. По мере д строится абсолютно сходящийся интеграл / /йд, инвариантный отно-

а

сительно сдвига.

Характеры гк (г) е С^+1 \ С^ назовем функциями Радемахера. Пус

те те

ть

п = £ктк+1 е N0, £к = 0,рк — 1, г = 2^ гкдк е С, = 0,р& — 1. к=0 к=0

те

Положим по определению хп(г) = П (гк(г))£к. Очевидно, что данное произведение содержит конеч-

к=0

ное число сомножителей.

Обозначим через 0 = С^ = С х    х С N-мерную группу с топологией произведения групп. В

4-V-'

N

этом случае база топологии состоит из произведений сдвигов:

Gj ф Ь = (С,, ф Л(1)) х (С^-2 ф Л(2)) х ... х (С^ ф )).

Здесь и далее компоненты вектора Ь е См обозначены через Л(1), Л(2), ), т.е. Ь = (Л(1),

Компоненты вектора Ь можно записать в виде

Л(1) = а$-1)_1д^1 -1 ф а^—2д^-2 ф ... ф а0° д0.

3 _1У 31-

Так как Gj ф Ь есть объединение дизъюнктных кубов вида

то совокупность таких кубов также образует базу топологии в Сн. Куб (1) можно записать в виде

Сf ф Ь = (С3 ф а3_)1дз_1 ф    ф а01)д0) х    х (С3 ф аЗ-}д^_1 ф    ф а0М)д0).

Обозначая для удобства 63- := СN, куб (1) можно записать в виде 63- ф , где

аз_1 ... аз_1\ ы _ _

аг ) = 0, рг — 1, I = 0, ] — 1. Размерность матриц

01хз = (дз_1 ... д<0),= зависит от ранга куба . Обозначим V-й столбец матрицы А через а V-ю строку через

\а01) ... а0мV

Положим по определению Xn(z) = Xni (zi) XnN (zN), z e G, n = (ni,...,nN). Если mj = (mj ,mj,... ,mj), то Xmj (z) = rj (z) = const на Gj+i © gA.

Покажем, что I = f xn(z)d^(z) = 0 при n > mj.

Gj

Рассмотрим произвольную пачку mj+k < n < mj+k+i для всех k > 0.

1. Пусть n = mj+k, в этом случае xn = rj+k• Представим интеграл I как сумму интегралов по смежным класса ранга j + k таких, что Gj+k С Gj:

1 =j Xn(z)d^(z).

i Gj+k hi

Зафиксируем l и рассмотрим отдельно интеграл по смежному классу:

/ Xn (z)d^(z)= Xn (z)lGj+k hi (z)d^(z)= Xn (z © hi )lGj+k hi (z © hi)d^(z) =

Gj+k hi

Следовательно,

= J Xn (z)Xn (hll)1Gj+k (z)dKz) = Xn (hi) J Xn(z)dKz). G Gj+k

1 = ^ J Xn(z)Mz) = £ Xn(hi) j rj+k(z)dKz) =

l Gj+k hi l Gj + k

Xn(hiJ £vMz) = £Xn(hi)Y1 £vv(Gj+k+i) = 0,

l V Gj+k + 1 h' i

где — корни из 1, Н = фajl-2gjl-2©• • • Фаодо, Н'^ = а^+кгgj+kФаз+к-1дз+к-1 ©• • • ©аодо-

2. Пусть п = amj+k + в = amj+k + вj+k-lШj+k-l +    + вото, в этом случае Хп = г(а+к х

х г^— •• •Го0 =  1 на гРУппе Gj+k.

Представим интеграл I как сумму интегралов по смежным класса ранга ] +к таких, что Gj+k С Gj:

1 = ^ / Xn (z)d^(z).

i Gj+khi

Зафиксируем l и рассмотрим отдельно интеграл по смежному классу:

/ Xn (z)d^(z)= Xn (z)lGj+k hi (z)d^(z)= Xn (z © hi )lGj+k hi (z © hi)d^(z) =

Gj+k hi

Следовательно,

= J Xn (z)Xn (hii)1Gj+k (z)dKz) = Xn (hi) J Xn(z)dKz). G Gj+k

1=Y1 Xn(hi) J Xn(z)Mz) = £ Xn(hi) J r+ (z)d^(z) =

Gj + k i Gj + k

= Y1 Xn(hi^ J £<aMz) = J2Xn(hi)Y1£<a^(Gj+k+i) = 0.

i v Gj+k + iK i V

Таким образом,

Y, J Xn

n=m

Gj

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. 1 Рассмотрим N-кратный ряд

те тете

^ ••• ^ сП1 ...п« Хщ 00 Хпм ).

п=0 п1 =0 п^ =0

Кубические частичные суммы ряда (3) будем обозначать

М-1 М-1 М-1

% (г) = ^ Сп Хп 0) = ^ СП1 -п« Хп1 (>1) Хпм ),

п=0 п1=0 п« =0

а ядро Дирихле — через

k—1 k —1 k —1 Dk (z) = Y^ Xn(z) = ••• Y1 Xni (z0 XnN (ZN )•

n=0 n1 =0 nN =0

Для ряда (3) определим функцию множества:

те „

ф gA ) = ^ у CnXn

n=0Gj ф0А

Запишем ее в виде

те « тетер

ф gA) = ^ / CnXn(z)d»(z) = J] • • • J] Cn / Xn(z)d»(z) =

n=0Gj ф0А ni =0 nN=0 Gj ф0А

mj—1 mj— 1 r

= ••• Cn Xn

ni =0 nN =0 Gj ф0А n 0[0 ,m j—1]N Gj ф0А

Из (2) следует, что второй интеграл равен нулю (так как ns > mj, s = 1, N), а в первом интеграле Xn(z) = const на Gj ф gA, поэтому

mj — 1 mj — 1

^(Gj ф gA) = ^ CnXn(z) J d»(z) = »(Gj ф gA) • ^ CnXn(z) = »(j ф gA)Smj (z).

n=0 Gj ф0А n=0

Таким образом, для каждого z е Gj ф gA имеет место

Ф^- ф gA) = »

Выразим коэффициенты Cn ряда (3) через функцию Ф. Для этого выберем произвольное mk = (mk, ,mk) так, чтобы n < mk — 1(ns < mk — 1,s = 1,N), выберем произвольную точку tk = (t^,    ,tkN^) е Gk ф gA и рассмотрим суммы

J]xn(tk Wk ф gA),

A

где суммирование идет по всем кубам ранга Далее, используя (4), имеем:

те „

^ХЛ(й)Ф(бк ф 0^) = ^^]Хп(й)с8 I Х8(г)^^(г).

А А 8=0 вкфдА

Во внутренней сумме в силу (2) слагаемые с номером 8 > будут равны нулю, следовательно,

_ тк—1 о

^ХЖ)Ф(^к ф 0А) = ^ ^ Хп(1к)С8 I Х8(г)^^(г) =

А А 8=0 &к Ф0А

Шк — 1 „ Шк — 1 „ Шк — 1

= Хп(г)Х= с* / Хп(г)Х8(г)^^(г) = ^ сЛ* = сп.

8=0 А вкф0А *=0 в *=0

Таким образом,

сп = £хп ^ )Ф

А

причем сп не зависит от к, лишь бы п < Шк — 1.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 1. Путь А — М-множество ряда (3) в смысле сходимости по кубам, т. е. ряд (3) не равен нулю тождественно и сходится к нулю вне А. Тогда Ф(6 Ф дА) = 0 для любого смежного класса 6 Ф дА такого, что 6 Ф дА П А = 0.

Доказательство. Допустим противное, пусть существует Ф дА0 : Ф дА0 П А = 0, но Ф(6/0 Ф дА0) = 0, и пусть для определенности КеФ(6^0 Ф дА0) > 0 (в противном случае можно заменить сп на —сп в ряде (3)). Следовательно, существует а > 0 такое, что КеФ(6^0ФдА0) > а > 0. Имеем:

60 Ф д1х^ъ А00х^ = и +1Ф д1х^-0+1А00+1х^)-

Следовательно, в силу аддитивности функции Ф

Ф(60 Ф дА0 )= £ Ф(6^0+1 Ф дА0) ^ ИеФ(0^0 Ф дА0) = £ ИеФ(0^0+1 Ф дА0) >а> 0 ^

А0

^ 3 А1 : Ие Ф(60+1 Ф дА1) > > 0.

р0

Аналогично

Gjo + 1  g1xjo + 1Aji + 1xN — LI +2 Ф 01xjo+2Aj-|)+2xN)

а

ReФ(бjo+1 Ф gA1)— £ R^(0jo+2 Ф gA1) > — > 0 ^

Ai(i) -jo

^ 3 A2 : Re Ф^^ +2 Ф gA2) > N N > 0

-jo pjo+1

и т. д.

На n-м шаге получим, что

а

3 An : Re Ф^о +n Ф gAn) > -N-N-> 0.

-jo • • --jo +n-1

В результате получим последовательность вложенных N-мерных смежных классов, сходящуюся к точке z.

Рассмотрим

lim Re Sm.(G Ф gA)— lim Re Sm. +n(Go+n Ф gAn).

В силу (5) получаем:

-n о ^ 1 • ReФ(Gj0 +n Ф gAn) ^

lim Re Smj0 +n(Go+n Ф gAn)— hm f (G jo +Ф nAn/ >

M

NN

> lim -jo •••-jo+n-1 — lim amf > 0.

N

mjo+n

а

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. 1 Таким образом, lim ReSm.(z) > 0, т.е. ряд не сходится к нулю, следовательно, по условию z е A,

З^Ж 1

но z е Gj0 © gA0. Значит, Gj0 © gA0 П A = 0. Получили противоречие. Таким образом,

Ф(бз0 © gA°) =0.

Лемма 2. Пусть A с G, z — изолированная точка множества A. Пусть H — аддитивная функция, определенная на борелевских подмножествах множества G и H(Gj © gA) = 0 для любого смежного класса Gj © gA такого, что Gj © g A П A = 0. Тогда существует число b такое, что для любого смежного класса Gj © gA такого, что Gj © gA П A = {z} H(Gj © gA) = b.

Доказательство. Выберем Gj © gAj. : Gj © gAj. П A = {z} и H(Gj © gAi) = b и выберем произвольно Gj2 © gA2 : Gj2 © gA П A = {z}. Покажем, что H(Gj2 © gA2) = b.

1. Gj © gA1 с Gj2 © gA. В этом случае Gj2 © gA = U Gj © gA, где объединение берется по всем A, для которых Gj © gA с Gj2 © gA2. Следовательно,

H(Gj2 © gA) = H(Gj4 © gA) = = H(Gj, © gA)+ H(Gj, © gA) = H(Gj, © gAi) + 0 = b.

zeöj, g A z06j, gA

2. Gj2 © gA2 с Gj, © gA1. В этом случае Gj, © gA1 = У Gj2 © gA, где объединение берется по всем A, для которых Gj2 © gA с Gj, © gA1. Тогда

H(Gj, © gA) = ^2 H(G j © gA) + J] H(Gj2 © gA) = H(Gj2 © gA>) = b.

zeÖj2 gA z06j2 gA

Лемма 3. Пусть A = {z15..., zn} е G — конечное множество, H — аддитивная функция, определенная на борелевских подмножествах G, и такая, что если Gj ©gAПA = 0, то H(Gj ©gA) = 0. Тогда существует конечный набор чисел {b1,..., bn} такой, что для любого смежного класса

Gj © gA H(Gj © gA) = £ bi, если Gj © gA П A = 0.

iz e&jgA

Доказательство. По лемме 2 для любых l и Gj © gA, таких что Gj © gA П A = {zi}, существует bi такое, что H(Gj © gA) = bl.

Смежный класс Gj © gA представим в виде объединения смежных классов большего ранга

Gj © gA = У Gj+s © gA так, чтобы каждый смежный класс Gj+s © gA содержал не более одной

A

точки zi. Тогда

H(Gj © gA)= J2 H(Gj+S © gA) + J] H(GJ+S © gA) = J] bi.

zi eÖj+sg A z;0Öj+s gA zi eöj+s gA

Определение. Если точка z принадлежит подгруппе Gio, но не принадлежит подгруппе Gio+1, то будем говорить, что порядок точки z равен 1°.

Лемма 4. При l > l°, значение выражения Dmi+m0 (t) = mNrL(t), если порядок всех координат точки t равен l°, и нулю, если порядок хотя бы одной координаты точки t меньше 1°. Доказательство. Имеем:

mi+mi0-1 mi-1 mi +mi0-1

Dmi +mi0 (t) = Xn(t) = Xn (t) + Xn(t) = Dmi (t) + ri(t)Dmi0 (t).

n=° n=° n=mi

v n imk' t е ,

Учитывая равенство Dmk (t) = < получим, что

[0, t е Gk,

Jri(t)mi0, если порядок точки t равен l°,

Dmi0 +mi (t) = \

0, если порядок точки t меньше l°.

N ж , .

Положим Dm, +m,0 (t) = П Dmi+mi0 (t(k)), где t = (t(1) ,...,t(N)), t(k) = £ tjk)gj, gj е Gj \ Gj+1. k=1 j=1 Если порядок хотя бы одной из координат точки t меньше l°, то Dm|+m,0 (t) = 0, иначе Dm|+m,0 (t) =

NN

= П Dmi+mi0(t(s)) = П ri(t(s))mi0 = mN0r,(t).

s=1 s=1

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Любое конечное множество А с 6 = является множеством единственности для N-кратных рядов по системе характеров в смысле сходимости по кубам.

Доказательство. Допустим противное, пусть существует конечное множество А = {г1,..., } е е 6, где г, = (г,1,... , г^), которое является М-множеством, следовательно, существует ряд (3), не все коэффициенты которого равны нулю, сходящийся к нулю вне А. Покажем, что существует точка у е 6\ А, в которой кубические частичные суммы данного ряда не сходятся к нулю, что противоречит условию М-множества.

Пусть Ф(6, ф 0А) — аддитивная функция, построенная для данного ряда (3) по формуле (4). По лемме 1 Ф(6, ф 0А) = 0 для любого смежного класса ф 0А, не содержащего точек множества А. По лемме 3 (в силу леммы 1 и аддитивности функции Ф) существуют числа {615..., } такие, что для любого смежного класса ф 0А, не содержащего точек множества А, Ф(6, ф 0А) = ^ Ьк.

к:гк ФдА

Таким образом,

[0, ф 0А П А = 0; Ф

\к:ък ФдА

При этом в силу формулы (6) и условия, что не все коэффициенты сп равны нулю, существует хотя бы один номер такой, что Ь,0 = 0. Выберем 1о = (10,...,10) е так, чтобы куб 61о ф 0А содержал точку г,0, но не содержал остальных точек г, = = . Выберем

точку у = (у(1),   , л) е 61о ф 0А с координатами = (р1о — 1)д10 ф V = 1,..., N. Тогда

точка у 0 г,0 будет иметь координаты 0 Л = (рг0 — 1)#г0 ф 0 ^^^ = (Р10 — 1)#г0, значит порядок каждой координаты точки у 0 г,0 равен 10. Рассмотрим остальные точки у 0 г, = с координатами 0 л = (р10 — 1)д10 ф 0 Так как точки г,0 и г, лежат в разных смежных классах, то порядок хотя бы одной координаты каждой из точек у 0 г, будет меньше 10 (данная точка будет лежать в большем смежном классе).

Покажем, что последовательность кубических частичных сумм $т1 +т1о (у) не стремится к нулю при 1 ^ го, 1 = (I,..., I).

В силу (6) имеем:

т1 +т10 — 1 т1+т10 — 1

£т1 +т10 (у) = Сп Хп(у) =

п=0 п=0

£хп

А

Хп (у).

Суммирование во внутренней сумме идет по всем смежным классам ранга к 6 ф 0А Э tk, а номер к выбирается так, чтобы для всех 5 = п0 < тк — 1 ив смежном классе 6к ф 0А лежало не

более одной точки г,. Тогда

т1 +т10 —1

^т1 +т10 (у) = ^]Ф(бкф 0А ) X] Хп(tk )Хп (у).

А п=0

В силу (7) tk можно заменить на г,, ] = 1,..., N, тогда

т1 +т10 —1

Зщ +т10 (у) = Хп(у 0 ) =

^ е&к ФдА п=0

^т1 +т10

'3

£вкФдА,,=,0

Первое слагаемое равно нулю в силу леммы 4 и выбора точки у, ядро Дирихле во второй сумме равно т^Г1 (у 0 г,0), следовательно,

^т1+т10 (у) = 0 + Ь,0Г1 (у 0 г,0 ) = ь,0Г1(у 0 г,0).

N ( л

Так как |П(у 0 )| = П (у(о) 0 40))| = 1, то £т1+т10 (у) ^ 0 при 1 ^ го.

0=1

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 2, ч. 1

Теорема 2. Если счетное множество А с 6 имеет только одну предельную точку, то оно является множеством единственности для N-кратных рядов по системе характеров в смысле сходимости по кубам.

Доказательство. Пусть А = ^}|=1. Тогда все точки этого множества, кроме, быть может, одной являются изолированными. Пусть z — единственная изолированная точка множества А. Допустим противное, пусть множество А е 6 является М-множеством, т.е. существует ряд (3), не все коэффициенты которого равны нулю, сходящийся к нулю вне А.

Пусть Ф(6 © дА) — аддитивная функция, построенная для данного ряда (3) по формуле (4). По лемме 1 Ф(6 © дА) = 0 для любого смежного класса © дА, не содержащего точек множества А. По лемме 2 для каждой точки Zj = z существует число Ъ^ такое, что для любого смежного класса 6к © дА такого, что 6к © дА П А = Zj, имеет место равенство Ф(6к © дА) = Ъ^. Рассмотрим два случая.

1. Существует, по крайне мере, один номер j = такой, что Ъj0 = 0. Выберем 1о = (10,... ,10) е так, чтобы куб 61о © дА содержал точку Zj0, но не содержал остальных точек Zj, j = 1,..., д, j = j0. Выберем точку у = (у(1),... ) е 6г0 © дА, как в теореме 1, так, чтобы порядок всех координат точки у 0 Zj0 был равен 10, а порядок хотя бы одной координаты каждой из точек у 0 Zj, j = j0 был меньше 10.

Покажем что последовательность кубических частичных сумм £ш1+ш10 (у) ^ 0 при ! ^ го, ! = (I,... ,1). Из доказательства теоремы 1 имеем:

ml+ml0 —1

(у) = ^ф(бк ©дА) X] Хп^)Хп(У).

А п=0

В силу лемм 1 и 2 1к можно заменить на Zj, тогда

Ш1+Ш10 —1

5Ш1+Ш10 (У) = Ъ1 Хп (У 0 ^ ) =

j:zj е&к Ф0 А п=0

= Ъj +Ш10 (У (У 0 ^0 )-

j:zj eвfc фдА ,j=j 0

Первое слагаемое равно нулю в силу леммы 4 и выбора точки у, ядро Дирихле во второй сумме равно тNп(у 0 Zj0). Следовательно,

5Ш1+Ш10 (У) = 0 + Ъ^0тйг (У 0 ^0) = Ъ^0тг0Г1(У 0 zjо).

N

Так как |г1 (у 0 Zj0)| = П (у(в) 0 ¿'5))| = 1, то 5т1+ш1 (у) ^ 0 при 1 ^ го и, следовательно, что

Д«))| =

1 ^0

ряд (3) не сходится к нулю по кубам в точке у — противоречие.

2. Числа Ъj = 0 для любого j. В этом случае существует © дА Э z и существует число Ъ = 0 такое, что Ф(6^0 © дА) = Ъ. В противном случае, функция Ф будет тождественно равна нулю и, следовательно, в силу формулы (6) все коэффициенты сп также будут тождественно равны нулю.

Как и в случае 1, выберем точку у е 6 \ А так, чтобы порядок всех координат точки у 0 z был равен некоторому числу 10, а порядок хотя бы одной координаты каждой из точек у 0 Zj, Zj = z был меньше 10. Имеем:

5Ш1+т10

А

= Ъ^Ш1+Ш10 (у 0 z) = Ът^0 Г1 (У 0 ^. Так как |п(у 0 z)| = 1, то 5ш1+ш10 (у) ^ 0 при 1 ^ го.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00097).

Библиографический список

1. Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Мат. заметки. 1973. Т. 14, № 6. С. 789-798.

2. Мовсисян Х. О. О единственности двойных рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН Арм. ССР. Сер. мат. 1974. Т. 9, № 1. С. 40-61.

3. Лукомский С. Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 7. С. 937-945.

4. Жеребьева Т. А. Об одном классе множеств единственности для кратных рядов Уолша // Вестн. Моск.

ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2009. № 2. С. 14-21.

5. Lukomskii S. F. On a U-set for multiple Walsh series // Analysis Math. 1992. Vol. 18, № 2. P. 127-138.

6. Лукомский С. Ф. Представление функций рядами Уолша и коэффициентами сходящихся рядов Уолша : дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. Саратов, 1996. 220 с.

7. Плотников М. Г. О кратных рядах Уолша, сходящихся по кубам // Изв. РАН. Сер. мат. 2007. Т. 71, № 1. С. 61-78. DOI: 10.4213/im739.

A U-set for System of Character of the Zero-dimensional Group under Convergent over Cubes

I. S. Yurchenko

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, hamsterchik@mail.ru

In this work we consider system of characters of the compact zero-dimensional group G and study uniqueness sets for N-fold multiple series for system of character a zero-dimensional group under convergent over cubes (in other words, U-sets). We proof that every finite set is a U-set and show that countable set with only one limit point is a U-set.

Key words: compact zero-dimensional group, U-set, N -fold multiple series under convergent over cubes.

References

1. Skvortsov V. A. Uniqueness sets for multiple Haar series. Math. Notes, 1973, vol. 14, no. 6, pp. 1011-1016.

2. Movsisyan Kh. O. O edinstvennosti dvoinykh riadov po sistemam Khaara i Uolsha [Uniqueness for multiple Haar and Walsh series]. Izv. AN Arm. SSR. Ser. mat. [Izvestiya AS ASSR. Math. Bulletin], 1974, vol. 9, no. 1, pp. 40-61 (in Russian).

3. Lukomskii S. F. On certain classes of sets of uniqueness of multiple Walsh series. Math. of the USSR-Sbornik, 1990, vol. 67, no. 2, pp. 393-401.

4. Zherebeva T. A. A class of sets of uniqueness for

multiple Walsh series. Moscow Univ. Math. Bulletin, 2009, vol. 64, no. 2, pp. 55-61.

5. Lukomskii S. F. On a U-set for multiple Walsh series. Analysis Math., 1992, vol. 18, no 2, pp. 127-138.

6. Lukomskii S. F. Predstavlenie funktsii riadami Uolsha i koeffitsientami skhodiashchikhsia riadov Uolsha. Diss. dokt. fiz.-mat. nauk [Representation of function by Walsh series and coefficients of convergent Walsh series. Dr. phys. and math. sci. diss.]. Saratov, 1996, 220 p.

7. Plotnikov M. G. On multiple Walsh series convergent over cubes. Izvestiya Math., 2007, vol. 71, no. 1, pp. 5773. DOI: 10.4213/im739.