Построение и анализ двухпотоковой модели звена с конечным числом абонентов и возможностью внутренних блокировок

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ДВУХПОТОКОВОЙ МОДЕЛИ ЗВЕНА С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ АБОНЕНТОВ И ВОЗМОЖНОСТЬЮ ВНУТРЕННИХ БЛОКИРОВОК

Построена и исследована обобщенная двухпотоковая модель звена мультисервисной сети связи. Особенностью модели является наличие потока заявок от конечной группы пользователей. Это свойство дает возможность учесть зависимость скорости передачи информации, выделяемой пользователю услуг связи, от числа пользователей. Этот результат имеет важное значение при обслуживании потоков заявок на передачу широкополосного трафика мультимедийных приложений. Предполагается, что заявки от каждого абонента из анализируемой группы поступают через случайный промежуток времени, имеющий экспоненциальное распределение. Второй поток заявок относится к передаче узкополосного трафика. В этом случае заявка может получить отказ в обслуживании и при наличии достаточного объема ресурса передачи, если допуск заявки к обслуживанию ограничен применением процедуры резервирования. Для формального описания алгоритма приема заявки к обслуживанию используется функция внутренней блокировки, зависящая от общего числа занятых каналов. Поступление заявок на передачу узкополосного трафика описывается с помощью модели пу-ассоновского потока. Время обслуживания каждой поступившей заявки имеет экспоненциальное распределение с соответствующим параметром. Основная область использования построенной модели относится к оценке скорости передачи информации соединительной линии или линии доступа, требуемой для обслуживания поступающих заявок с заданным качеством. Обычно качество обслуживания оценивается долей потерянных заявок. Для вычисления данной характеристики достаточно знать долю времени пребывания модели звена в состоянии с фиксированным числом заявок каждого типа, находящихся на обслуживании. Не все состояния из пространства состояний могут использоваться при построении модели. Выбор реально используемых состояний определяется видом конкретных значений функции внутренней блокировки. С помощью построенной модели сформулированы определения для основных характеристик качества обслуживания: доли потерянных заявок и среднего числа занятых единиц ресурса. Формальные выражения для оценки характеристик получены через значения стационарных вероятностей состояний модели.

Степанов Сергей Николаевич,

профессор кафедры сетей связи и систем коммутации, д.т.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия, stpnvsrg@gmail.com

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

Саламех Немер,

аспирант кафедры сетей связи и систем коммутации, д.т.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия, tiger8386@mail.ru

Ключевые слова: мультисервисные модели, внутренние блокировки, конечное число источников, характеристики обслуживания заявок, мультиплексирование.

Для цитирования:

Степанов С.Н., Саламех Немер. Построение и анализ двухпотоковой модели звена с конечным числом абонентов и возможностью внутренних блокировок // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №9. - С. 30-37.

For citation:

Stepanov S.N., Salameh Nemer. The construction and analysis of the two-flow link model with finite number of subscribers and the possibility of inner blocking. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.9, рр. 30-37.

Введение

Повышение загрузки ресурса передачи информации мультисервисных сетей связи при сохранении требуемых норм обслуживания поступающих потоков трафика является важной задачей, решение которой необходимо для организации эффективной работы сетевой инфраструктуры операторов связи.

Известно [1-3, 8], что при совместном обслуживании узкополосного и широкополосного трафика коммуникационных приложений реального времени наблюдается неконтролируемое оператором перераспределение канального ресурса в пользу потоков заявок с малыми потребностями в ресурсе передачи информации. Для устранения отрицательных последствий этого явления предлагается применять либо резервирование, либо раздельное занятие ресурса звеньев сети. Для теоретического обоснования процедуры выбора конкретного сценария необходима разработка моделей, реализующих эти сценарии, а также алгоритмов расчета характеристик использования ресурса передачи информации. Решению этой задачи, имеющей большое значение для практических приложений, посвящена эта работа.

Анализируемая модель представляет из себя отдельное звено мультисервисной сети. На линию связи со скоростью передачи информации, выраженной через V канальных единиц поступают два потока заявок. Один поток образован конечной группой пользователей. Предполагается, что поступающие заявки относятся к обслуживанию широкополосного трафика видеоприложений. Обозначим через я число пользователей услуг связи, формирующих анализируемую группу пользователей услуг широкополосной связи. Абонент сети, входящий в состав этой группы посылает заявку на передачу ресурсоемкого трафика реального времени через случайный промежуток времени, имеющий экспоненциальное распределение с параметром равным д. Для передачи трафика, ассоциированного с обслуживанием поступившей заявки, требуется ь, канальных единиц. Далее возможны два варианта развития событий. Если в используемом ресурсе имеется необходимое число свободных канальных единиц, то все они занимаются на случайное время обслуживания поступившей заявки, имеющее экспоненциальное распределение с параметром равным аг Таким образом,

среднее время обслуживания заявки равно 1 / щ. Если требуемого числа свободных канальных единиц не хватает, то абонент, являющийся источником анализируемой заявки, получает отказ и через случайный промежуток времени, имеющий экспоненциальное распределение с параметром равным д, от него поступает следующая заявка и приведенные выше действия, связанные с формированием первого потока заявок, повторяются.

Заявки на предоставление ресурса передачи информации, сформированные бесконечной группой пользователей услуг связи и принадлежащие второму потоку поступают в соответствии с пуассоновским распределением и имеют интенсивность х2.

Для обслуживания поступившей заявки требуется Ь-, канальных единиц. Время обслуживания заявки второго потока, имеет экспоненциальное распределение с параметром равным а,. Таким образом, среднее время обслуживания

заявки равно \/а2- Если требуемого числа свободных канальных единиц не хватает, то поступившая заявка получает отказ и не возобновляется.

Допуск узкополосных заявок к обслуживанию ограничен наличием процедуры резервирования ресурса. С общих позиций действие процедуры резервирования удобно формализовать с использованием понятия функции внутренней блокировки [1-3]. Аргументом функции блокировки является состояние числа занятых канальных единиц ресурса звена. Обозначим через число заявок, находящихся на обслуживании, ассоциированных с передачей широкополосного трафика.

Обозначим через ¿2 число заявок, находящихся на обслуживании, ассоциированных с передачей узкополосного трафика. Обозначим через состояние числа заявок

обоих потоков, находящихся на обслуживании в момент поступления заявки второго потока. Общее число занятых в этот момент канальных единиц определяется из соотношения I +12ь2-

Обозначим через ф2{0 значение функции внутренней блокировки. Единственным аргументом функции является общее число занятых в этот момент канальных единиц г. Значения (/) должны отражать невозможность приема поступившей заявки второго потока из-за нехватки ресурса передачи информации. Следовательно, должны выполняться соотношения

<р2^-Ьг+1) = 1, -Ъг +2) = 1,...,^(у-1)=1,

В остальных случаях величина функции внутренней блокировки зависит от технической политики оператора. Если для обслуживания широкополосного трафика резервируется канальный ресурс в объеме в2 единиц, то выбор значений функции внутренней блокировки задается соотношениями <р2(у -в2 +1) = 1, (р2 (у - в2 + 2) = 1,...,<р2(V - 1) = 1, <р2 (V ) = 1. Обычно величина в2 определяется из равенства д-, =Ь1- Процедура формирования потоков поступающих заявок в соответствии с изложенной выше схемой приведена на рис. 1.

Звено мти. Скорость передачи вьдомена целым числом

канал ьных едимш V

Поступающие

мае ЕЙ на обслуживание

-рафикл

получают оякаг с аанятии ресурса гсрсдачи инфариэцаи с вероятностью. ля пемцай от числа занятых бЛиуиц ресурса

>-г Ь>, 1/и2

О

0 ©

Рис. 1. Процедура формирования потоков поступающих заявок в анализируемой однозвенной двух потоке вой модели

Т-Сотт Уо1.10. #9-2016

7Т>

Математическое описание модели звена

Обозначим через ц число заявок на передачу широкополосного трафика, находящихся в момент времени I на обслуживании, а через /,(/) обозначим число заявок на передачу узкополосного трафика, находящихся в момент времени ( на обслуживании. Динамика изменения с течением времени числа обслуживаемых заявок каждого из имеющихся потоков описывается двумерным случайным процессом (/) = (',(().ь(0)1 определённом на конечном пространстве состояний П. Оно состоит из векторов (у,,^), удовлетворяющих условию / = /,6, + / <у.

Не все состояния из пространства состояний О могут реально использоваться при построении модели. Выбор реально используемых состояний (обозначим их множество через 5) определяется видом конкретных значений функции внутренней блокировки.

Соответствующие примеры приведены в [1, 3]. Обозначим через в, множество состояний модели, когда поступившая заявка на передачу широкополосного трафика получает отказ в обслуживании из-за нехватки требуемого количества канальных единиц линии. Состояние (/,,|2) принадлежит множеству состояний В,, если /д + ¡2Ь2 >1> -6, +1.

По построению модели можно утверждать, что процесс ,-(/) - марковский. Этот результат следует из предположения об экспоненциальном харакгере распределения интервала времени между поступлением заявок и продолжительности промежутка времени их обслуживания, а также из независимости этих временных интервалов друг от друга [3]. Обозначим через />(;./,) стационарную вероятность того, что на обслуживании находятся /, заявка на передачу широкополосного трафика и заявок на передачу узкоконолос-ного трафика. В соответствии с интерпретацией стационарных (предельных) вероятностей марковского процесса /(/) значение вероятности />(/,,/,) представляет из себя долю времени пребывания линии в состоянии (/[,/,).

Данная интерпретация позволяет получить расчетные выражения для искомых характеристик качества обслуживания поступающих потоков заявок: д- ) доли потерянных

заявок на передачу широкополосного трафика, т среднего числа канальных единиц линии занятых на обслуживание трафика широкополосных коммуникационных приложений; доли потерянных заявок на передачу узкополосиого

трафика, т2 среднего числа канальных единиц линии занятых на обслуживание трафика узкополосных коммуникационных приложений. Формальные выражения для оценки введенных показателей имеют вид

т

будет отказано в обслуживании из-за недостаточности свободного канального ресурса (эту характеристику иногда также называют вероятностью потерь по времени), и #

доли потерянных соединений от среднего числа потенциальных соединений. Значение среднего числа потенциальных соединений для потока заявок, поступающих от конечного числа пользователей услуг связи, находится из следующего выражения [1,3]: . Д

1 +

£ -'|>А * ' ъй"

('| .12

ЯаЛ= X РЦ^<г)<р2(>У, т2= X РЦ 1,/2)/2*2-('1^2)^' <<].'2>а? Процесс обслуживания заявок, поступающих от конечных групп пользователей, также принято характеризовать значениями » доли времени, когда поступившей заявке

Обе характеристики определяются из соотношений:

I РО'и'гУ]

X *СМ -~-

«1#)«в1 1

Величина л,, показывает упущенную выгоду, которая

обычно характеризуется долей потерянных соединений. Известно, что для пуассоновского потока значения доли времени недоступности канального ресурса, доли потерянных заявок на установление соединения и доли потерянных соединений совпадают. Для оценки введенных характеристик необходимо составить и решить систему уравнений равновесия, связывающую значения Для этого используются стандартные процедуры, развитые в теории телетрафика.

Система уравнений статистического равновесия

Для оценки характеристик модели в соответствии с введенными определениями необходимо составить и решить систему уравнений статистического равновесия, связывающую значения стационарных вероятностей Щ,^). Решим эту задачу, используя стандартные приемы, развитые в теории тслетрафи-ка [1, 6-8]. Для составления системы уравнений равновесия необходимо для всех состояний модели приравнять суммарную интенсивность выхода г (г) из состояния (;,, /,) к суммарной интенсивности перехода г и) в состояние (/,,/.,)-

В анализируемой модели имеются четыре вида событий, меняющих состояние (/,,/.,): поступление заявок на передачу широкополосного трафика (интенсивность ),

поступление заявок на передачу узкополосного трафика (интенсивность Я,), освобождение одной из ¿) заявок на передачу широкополосного трафика (интенсивность ), освобождение одной из заявок на передачу узкополосного трафика (интенсивность ), Рассмотрим реализацию перечисленных событий, приводящую к выходу из состояния (/,,/3), а также к переходу в состояние и

сформируем систему уравнений равновесия. Получим выражение для левой части произвольного уравнения системы уравнений статистического равновесия. Для решения этой задачи надо найти условия реализации всех перечисленных выше событий и выписать интенсивность выхода из (11,)1)- Рассмотрим соответствующие события и интенсивности их осуществления.

Поступление заявки на передачу широкополосного трафика (интенсивность ($-/|)Д) меняет состояние (/1,)3) с вероятностью единица, если есть свободные каналы для

обслуживания поступившей заявки (т.е. для всех (i,,/2), удовлетворяющих условию / < v — ). В этом случае с интенсивностью ,î2X-î-А)А совершается переход из состояния (i„i2) в состояние {/|+1,/3>. Поступление заявки на передачу узкополосного трафика (интенсивность я,) меняет состояние (¡¡J-,), когда механизм допуска заявок принимает решение о ее приеме па обслуживание. Указанное действие выполняется с вероятностью 1 -<p2{i)-В этом случае с интенсивностью P(/,,i2)^([-<p2{i)) совершается переход из состояния (¡¡,i2) в состояние (/„i2 + l).

Окончание обслуживания заявки на передачу широкополосного трафика (интенсивность у^) меняет состояние (j,,/2) с вероятностью единица, если на обслуживании имеются соответствующие заявки (т.е. для всех (j|,/2>, удовлетворяющих условию > о). В этом случае с интенсивностью /»(/,, j2)i| а, совершается переход из состояния (/,,¡5) в состояние (ij-l,i2). Окончание обслуживания заявки на передачу узкополосного трафика (интенсивность меняет состояние (/,,(,) с вероятностью единица, если на обслуживании имеются соответствующие заявки (т.е. для всех {il,i1), удовлетворяющих условию \г > 0 )• В этом случае с интенсивностью P(iui2)i2a2 совершается переход из состояния (i^j) в состояние

(Mî-1).

Четыре слагаемых левой части системы уравнений равновесия получены. Для построения правой части произвольного уравнения системы уравнений статистического равновесия в той же последовательности рассматриваются перечисленные выше события, которые меняют состояние r(t) и находятся состояния, условия и интенсивности переходов в заданное состояние {/,,<3) анализируемой модели. Рассмотрим соответствующие события и интенсивности их осуществления.

Переход случайного процесса ,

пространству состояний модели S (т.е. компоненты состояния (i,,i2) должны удовлетворять условию (| > о ) В этом случае с интенсивностью />(/,-l,/,)^-/, совершается переход из состояния (^-î.ij) в состояние (/,,(,)  Переход r(t) в состояние (/,,/2) может произойти в результате поступление заявки на передачу узкополосного трафика, если механизм допуска заявок принимает решение о ее приеме на обслуживание. Указанное действие выполняется с вероятностью \-tp2(i -Ь-,) в состоянии (/,,/2 -I) (интенсивность -й2))  Условием

осуществления события является принадлежность состояния 0i>'2 пространству состояний модели 5

В этом случае с интенсивностью Р0л,1г - -<р20 -Ь-,)) совершается переход из состояния (¿,,/2 -1) в состояние (/|,/2).

Другие две возможности перехода случайного процесса ,(/) в состояние ()1,г2) связаны с окончанием обслуживания

заявок. Рассматриваемый переход в состояние (/,,/,) может произойти в результате окончания обслуживания одной из (|+1 заявок на передачу широкополосного трафика (интенсивность (,', + 1)а,). Условием осуществления события является принадлежность состояния (<", +1,^) пространству состояний модели 5 (т.е. компоненты состояния (/,,/,) должны удовлетворять условию / + < V ) В этом случае с интенсивностью />(;,+1,/,)(/] +0«; совершается переход из состояния +1,;,) в состояние  Переход процесса г(/) в состояние (;,,/,) может также произойти в результате окончания обслуживания одной из ¡2 +1 заявок на передачу узкополосного трафика (интенсивность (/2 + ])«,). Условием осуществления события является принадлежность состояния {/,,/;,+1) пространству состояний модели 5 (т.е. компоненты состояния (¡¡,/2) должны удовлетворять условию I +Ьг<у ). В этом случае с интенсивностью Р0\,'г +1Х'г +1)^2 совершается переход из состояния (»,,/2 +1) всостояние (7|,/3) •

1[риравняв левую и правые части уравнения равновесия и формально записав условия осуществления событий через индикаторную функцию, получаем искомый вид системы уравнений равновесия

(1«1/(/| >0) + гэ«2/((2 >0))=

= />{;,-],/,){.(-/,+1)Д/(/1>0) +

Р0-1)^(1 -92(' "Ь1 )>'0*2 > + +1,/,)(/, +1 )а,/(/ +6, £г) + + 1К'г +1 )а21(1 + Ь2 < у).

Здесь и далее /(•) - индикаторная функция. Она принимает значение, равное единице, если условие сформулированное в скобках выполняется. Если условие не выполняется, то индикаторная функция равна нулю. Решение системы уравнений равновесия удовлетворяет условию нормировки

Число уравнений в полученной системе уравнений равновесия исчисляется несколькими тысячами. Дтя ее решения можно использовать стандартные алгоритмы, развитые в линейной алгебре.

Решение системы уравнений статистического равновесия

Выбор алгоритма решения системы уравнений равновесия во многом зависит от свойств матрицы (1). Как уже было сказано, число неизвестных в (I) может достигать нескольких тысяч. Это затрудняет, а порой и делает невозможным использование алгоритмов, основанных на последовательном исключении неизвестных или на блочных преобразованиях матрицы (]). По мнению экспертов в этой ситуации целесообразно использовать итерационные методы

T-Comm Vol. 10. #9-2016

решения (I), основанные на метоле последовательных подстановок ¡1, 3]. К такнм методам относится итерационный метод Гаусса-Зейделя. Реализация метода значительно упрощается тем, что при его реализации не требуется запоминать матрицу (1), а достаточно вычислять ее коэффициенты в момент реализации каждого шага итерационного алгоритма. Общая схема реализации данного подхода изложена в [!, 3-71. Сформулируем основные шаги алгоритма.

Обозначим через р1к)(/,,/,), (/,,/,)е5 значение ¿-го приближения, полученного в результате реализации итерационной процедуры Гаусса-Зейделя, Значения (£ + ])-го приближения получаются из к -го приближения с помощью рекурсивных соотношений, которые следуют из (1) в результате применения итерационной процедуры Гаусса-Зейделя и имеют следующий вид:

1

((.5-/,)/?,/(/ - А, ) + Л,(1 -</>20)) + /,а,/(!'| >0) +/,«,/(/, >0) х (/>''1 +и >(¡1-игХ*-/,+1)Д/(А > 0) + •ЬР^^^ -Щг а - й (/ - ьгрЩ > 0) +

+Р1к+1-к){1\ +1)«,/(/ + ¿1 <у) +

/>'*+ш(/|,'2 +1)(/, +1)а:/(/ +Ь2 <У)).

Символ означает, что при выборе величины

/ ) используются (А +1) -ос приближение, если же оно неизвестно, то известное к -ое приближение. Реализация итерационной схемы требует определения начальных значений итерационного цикла и формулировки критерия окончания итерационного счета. Из известных теоретических положений [3] следует, что при выборе начального приближения можно воспользоваться соотношениями

Р{0)(1,./,)-1, (/,Л>€&

Итерационный цикл оканчивается при выполнении неравенства

—<6,

где величина ¿> выбирается из условия 5 < |(ГВ - 10"|(|.

Численный анализ совместною обслуживания заявок

Воспользуемся построенной моделью и разработанным алгоритмом оценки характеристик и выполним численный анализ совместного обслуживания заявок на передачу широкополосного и узкополоеного трафика. Вначале исследуем особенности обслуживания заявок в условиях, когда имеется существенная разница между величинами требований к ресурсу между широкополосным трафиком и узкополосным. Рассмотрим звено сети, которое обслуживает два потока заявок на передачу графика реального времени. Скорость передачи информации на звене выражена целым числом канальных единиц V. Первый поток образован группой из .у = ] 0 абонентов. Создаваемая ими нагрузка на обслуживание широкополосного графика 1?| меняется от

0 до 2 потенциальных соединений. Для обслуживания одного соединения требуется ^ единица канального ресурса линии. Второй поток образован группой, размеры которой не влияют на интенсивность производимого ими потока заявок. Создаваемая ими нагрузка на обслуживание узкополосного трафика а2 также меняется от 0 до 100 потенциальных соединений. Для обслуживания одного соединения требуется ь2 единиц канального ресурса линии. Будем предполагать, что Ьу = 50 к.е., а ь2 = 1 к.е.

На рисунке 2 для анализируемой модели звена приведены зависимости доли потерянных заявок, соответственно для 1-го (значение и 2-го (значение

Ф 2) потоков от изменения и в указанных выше

пределах. 11араметр экспоненциального распределения времени обслуживания заявки для каждого потока принят равным единице, т.е. а,=а2 = I. Отсгода следует, что Д =<7,/(з-а,), я ¿,=£7,. Значения потерь подсчитаны для 40 точек в соответствии с выражениями:

сьИ = 2,5х;; а1[1\ = а2Щ( V / = 1,2.....40- По оси абцисс

отложено значение р[1 ] = («,[;]&, +«3[/ ]62) /V . Оно показывает

величину потенциальной загрузки единицы канального ресурса звена анализируемой модели сети, выраженную в эрлан го-каналах [1, 3]. Цифрой 1 обозначена диаграмма для

1-го потока (широкополосный трафик), а цифрой 2 — для

2-го поток (узкополосный трафик).

Из приведенных результатов следует, что несмотря на существенный рост потенциальной загрузки линии (отметим, что потенциальные величины узко полосного и широкополосного трафика, выраженные в эрлан го-каналах, совпадают во всем диапазоне изменения поступающей нагрузки) для узкополосного трафика доля потерянных заявок увеличивается не столь быстро, как для широкополосного графика. Более того, на отдельных участках изменения трафика доля потерянных заявок может и значительно уменьшаться. Вытеснение широкополосных заявок из обслуживания может принять катастрофический характер.

Этот результат показан на рис, 3 для тех же значений входных параметров анализируемой модели звена, что были использованы при расчете данных, приведенных на рис. 2. На рисунке показаны зависимости среднего числа единиц канального ресурса занятых широкополосным (кривая ) характеристика т,) и узкополосным (кривая 2 характеристика т2) трафиком. Отметим, что на начальной стадии роста поступающей нагрузки оба потока занимают одинаковое среднее число канальных единиц поскольку Создают одинаковую потенциальную загрузку канального ресурса линии.

Понятно, что отмеченные на рис. 2, 3 проблемы совместного обслуживания широкополосного и узкополосного трафика усиливают свой характер с ростом отношения ^ к А,, т.е. чем больше единиц канального ресурса требуется для обслуживания одной заявки широкополосного трафика по сравнению с числом единиц ресурса необходимого для обслуживания одной заявки узкополосного трафика тем выше степень осцилляции доли потерянных заявок узкополосного трафика и степень вытеснения широкополосного трафика из обслуживания.

Т-Сотт Том 10. #9-20 16

7Т>

T-Comm Vol. 10. #9-201 б

COMMUNICATIONS

Литература

1. Степанов С.Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей. - М.: Эко-Трендз, 2010. - 392 с.

2. Ross K.W. Multiservice loss models for broadband telecommunication networks. - London: Springer, 1995. - 343 p.

3. Степанов C.H. Теория телетрафика: концепции, модели, приложения. - М.: Горячая линия - Телеком, 2015. - 868 с.

4. Степанов С.Н., Романов A.M., Осия Д.Л. Построение к анализ модели передачи данных па линии доступа от конечной группы абонентов И T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. -Том 9. - № 9. - С. 29-34.

THE CONSTRUCTION AND ANALYSIS OF THE TWO-FLOW LINK MODEL WITH FINITE NUMBER OF SUBSCRIBERS AND THE POSSIBILITY OF INNER BLOCKING

Sergey N. Stepanov, professor, doctor of science, Moscow Technical University of Communication and Informatics, Department of communication networks and commutation systems, Moscow, Russia, stpnvsrg@gmail.com

Salameh Nemer, PhD student, Moscow Technical University of Communication and Informatics, Department of communication networks and commutation systems, Moscow, Russia, tiger8386@mail.ru

Abstract

The generalized twoflow model of the multiservice link is constructed and investigated. The main model's feature is the finite number of subscribers. This characteristic gives the possibility to take into account the dependence of used transmission resource on the number of subscribers. This result allows to model the process of servicing of the broadband traffic of multimedia applications. It is supposed that requests from each subscriber of the group considered are coming after random time having exponential distribution. The second flow describes the transmission of the narrowband traffic. In this case the call can be blocked because of the reservation of the resource units for broadband traffic. The formal description of the acceptance of the coming call is made with help of the function of inner blocking, depending on the total number of occupied service units. The call service time has exponential distribution with parameter depending on the type of the call.

The model constructed is used for estimation of the line transmission speed that is required for servicing of the coming calls with necessary quality that is estimated by the ratio of the blocked calls and mean number of occupied service units. To estimate these characteristics it is necessary to know the portion of time the model spends in the state with fixed number of each type calls being on the service. The formulae that can be used for estimation of the model performance measures can be obtained through the values of model's stationary probabilities. The constructed model and algorithms are applied for numerical analysis of multiplexing of narrowband and broadband traffic which show that in some cases narrowband traffic can displace broadband traffic. To eliminate the negative consequences of this event it is proposed to implement reservation or separate usage of resource units.

Keywords: multiservice models, inner blocking, finite number of sources, performance measures, multiplexing. References

1. Stepanov S.N. The fundamentals of teletraffic of multiservice networks. Moscow: Eqo-Trends, 2010. 392 p.

2. Ross K.W. Multiservice loss models for broadband telecommunication networks. London: Springer, 1995. 343 p.

3. Stepanov S.N. Teletraffic theory: concepts, models, applications. Moscow: Hotline - Telecom, 2015. 868 p.

4. Stepanov S.N., Romanov AM., Osia D.L. The construction and analysis of the model of data transmission by access line with finite number of users / T-Comm. 2015. Vol. 9. No.9. Pp. 29-34.

5. Stepanov S.N., Osia D.L. The asymptotic methods of estimation the performance measures of hierarchical access network with taking into account the repeated calls / T-Comm. 2015. Vol. 9. No. 3. Pp. 44-49.

6. Stepanov S.N. The model of joint servicing of real time traffic and data. I / Automation and Remote Control. Pp. 121-132.

7. Stepanov S.N. The model of joint servicing the real time traffic and data. II / Automation and Remote Control. Pp.139 -147.

8. Iversen V.B. Teletraffic Engineering Handbook. ITU-D, Nov 2002.

5. Степанов C.H. Осия Д.Л. Асимптотические методы оценки характеристик иерархической сети доступа с учетом повторных вызовов I/ T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. — 2015. -Том 9.-№3.-С. 44-49.

6. Степанов С.Н. Модель совместного обслуживания трафика сервисов реального времени и данных. I II Автоматика и телемеханика.-2011.-№4.-С. 121-132.

7. Степанов С.Н. Модель совместного обслуживания трафика сервисов реального времени и данных. 11 Н Автоматика и телемеханика. - 2011 .-№ 5. - С. 139-147.

8. /versen V.B. Teletraffic Engineering Handbook. - ITU-D, Nov 2002.

201 1. No. 4. 201 1. No. 5.