Динамика чувствительных элементов микромеханических гироскопов при прохождении через резонанс

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4

М. А. Лестев

ДИНАМИКА ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНС

Микромеханические гироскопы (ММГ) — перспективные приборы современной микросистемной техники, интенсивно и динамично развивающегося научно-технического направления [1, 2]. При функционировании на подвижных объектах и при вибрационных испытаниях ММГ чувствительные элементы приборов подвергаются вибрационным воздействиям с переменной частотой. В данной статье рассматривается динамика чувствительного элемента ММГ при прохождении частоты вибрационного воздействия, вызванного вибрациями основания, через частоту основного резонанса микроколебательной системы прибора. Решение задачи производится в нелинейной постановке: в дифференциальных уравнениях движения чувствительного элемента учитываются слагаемые, обусловленные нелинейной зависимостью сил упругости подвеса и электростатических сил от перемещений чувствительного элемента. Предполагается, что возбуждение колебаний чувствительного элемента осуществляется автогенераторной системой с управлением по обобщенной скорости. Применяется асимптотический метод Крылова—Боголюбова [3]. Определены резонансные кривые при прямом и обратном прохождении через резонанс, отмечены особенности влияния нелинейностей характеристик сил упругости подвеса и электростатических сил на резонансные кривые.

Схема микроколебательной системы рассматриваемой конструкции ММГ [4] представлена на рис. 1.

Чувствительный элемент ММГ подвешен на упругих элементах в рамке, которая

Электростатически вибропривод

упругие элементы (£) х ! инерционная масса

Рис. 1. Конструктивная схема ММГ.

© М.А.Лестев, 2007

упругими элементами связана с корпусом прибора. Рамка приведена в колебания генераторной системой, содержащей дифференцирующее звено, нелинейный элемент sign и электростатический привод. Алгоритм функционирования системы автогенерации колебаний чувствительного элемента ММГ реализован так, что на обкладки электростатического датчика силы управляющее напряжение подается в виде импульсов, изменение знака которых происходит в моменты времени, когда обобщенная скорость равна нулю. Конструкция ММГ содержит контур подстройки частот, позволяющий изменять электростатическую компоненту жесткости в направлении оси Y. Примем, что корпус ММГ установлен на основании, совершающем поступательные вибрации в плоскости чувствительного элемента. Конфигурацию микроколебательной системы определим координатами x и y: x — перемещение рамки в направлении оси x, y — перемещение чувствительного элемента относительно рамки. Обозначим через m массу чувствительного элемента и через mi — массу рамки. Будем считать, что зависимость сил упругости подвеса рамки и чувствительного элемента от перемещений x и y определяется выражениями fx(x) = CxX + KxX3, fy(y) = Cyy + Kyy3, где Cx, Kx, Cy, Ky — постоянные коэффициенты. Функцию F(x), определяющую силу, создаваемую электростатическим виброприводом системы автогенерации колебаний ММГ, представим в виде F(x) = Fosignx. Запишем дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента:

Я(Д + Л=2С&> Е Л ~у) = жкчтА

где ix, Iy —коэффициенты демпфирования; Е(Д ± y) —силы, создаваемые датчиками силы контура подстройки частот; e — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; S — площадь электродов датчика силы; и — подаваемое на электроды датчика силы электрическое напряжение; Д — номинальный зазор между электродами датчика силы. Проекции ускорения основания на оси Z и n представим выражениями

C

где 6(t) = v(t) — мгновенная частота, являющаяся медленно меняющейся функцией времени.

Учитывая, что параметры ММГ удовлетворяют условию y /Д < 1, разложим функции Е(Д ± y) в степенные ряды и ограничимся членами не выше третьего порядка по отношению к y / Д:

Л/ . ч л/ . ч 4lo 8loo , cSU , ч

E

Рассмотрим сначала первое уравнение системы (1). Обозначим Kx = Cx/(m + mi), введем безразмерное время т = Kxt, малый параметр | = 2hx/nx (2hx = Ix/ (m + mi), I A 1) и перепишем первое уравнение системы (1) в виде

Используя асимптотический метод [3], находим решение уравнения (4) в виде

х = а cos(0 + $), где а(т) и "d(r) определяются из системы уравнений

da

а 2/о

Для построения кривых, характеризующих изменение амплитуды колебаний чувствительного элемента ММГ при прохождении через резонанс, подставим в уравнения

-теО/кХ.

где Ьх = £1,х/(ш + ш1)Кх, Го = ^о/(ш + т£)«Х, «х

Если частота вибрационного воздействия постоянна, приравняв правые части уравнений (6) нулю и исключив из полученных уравнений $, найдем уравнение стационарной резонансной кривой:

При переменной частоте вибрационного воздействия (v(T) = vo + pT) резонансные кривые прохождения через резонанс получены численным интегрированием системы (6) с использованием программы Maple. На рис. 2-5 представлены стационарные кривые и кривые прохождения через резонанс в прямом (в > 0, частота возрастает со временем) и обратном (в < 0, частота при увеличении времени убывает) направлениях. При расчетах приняты следующие значения параметров ММГ, близкие к реальным: fo = 0.38 • 10-8, hx = 0.857 • 10-4 c, Кх = 0.825 • 107 м-2, W° = 0.2 • 10-6 м. Значения коэффициента в, характеризующего скорость прохождения мгновенной частоты через резонансную зону, приведены на рис. 2 и 3.

В качестве начальных значений при расчетах принимались значения а и $, соответствующие значениям а и $ стационарной кривой при v = 0.8 при прохождении резонанса в прямом направлении и при v = 1.2 при прохождении резонанса в обратном направлении.

Анализ резонансных кривых позволяет выявить характерные особенности колебаний чувствительного элемента ММГ при прохождении через резонанс, а также влияние нелинейности упругого подвеса чувствительного элемента на динамику прохождения через резонанс. При этом существенное влияние на резонансную кривую оказывает

значение v(T) = vo + вт и перепишем систему в виде

о

Рис. 2. Прямое прохождение через резонанс.

0.8 0,9 1 1,1 1,2

Рис. 3. Обратное прохождение через резонанс.

скорость изменения частоты вибрационного воздействия. При медленном прохождении через резонансную зону амплитудная кривая близка к стационарной кривой. При увеличении скорости прохождения через резонанс максимумы амплитуды снижаются, острота максимума резонансной кривой становится меньше остроты стационарной резонансной кривой. Кривые прохождения через резонанс в прямом и обратном направлениях отличаются, причем, чем медленнее прохождение через резонанс, тем существеннее отличие. Нелинейность характеристики сил упругости подвеса и электростатических сил оказывают влияние на стационарную резонансную кривую и амплитудные кривые прохождения через резонанс. Особенности нелинейности проявляются в большей степени при медленном прохождении через резонанс. Увеличение коэффициента демпфирования или, что то же, уменьшение добротности микроколебательной системы ММГ снижает максимум стационарной резонансной кривой и кривых прохождения через резонанс.

Анализ второго из уравнений системы (1) позволяет выявить влияние электростатических сил контура подстройки частот ММГ на динамику прохождения чувствительного элемента через резонанс. Если параметры ММГ удовлетворяют условию Ку > 4вБы2/А5, кривые прохождения через резонанс аналогичны представленным на рис. 2, 3. Если характеристика сил упругости подвеса близка к линейной, что достига-

II,1 .

0,8 0,9 I и 1.2

Рис.4. Прямое прохождение через резонанс, кУ < Ае&и2/А5.

Sc 05 6c 05 4c 05 2c 05

0.K 0,9 ] LI I,:

Рис. 5. Обратное прохождение через резонанс, Ky > AeSu2/A5.

ется при проектировании прибора выбором топологии и размеров упругих элементов подвеса, и выполнено условие Kfy <

4sSu2 /Л5, стационарная резонансная кривая имеет вид, подобный системам с мягкой характеристикой. Стационарные

резонансные кривые и кривые прохождения через резонанс в этом случае представлены на рис. 4, 5.

Анализ резонансных кривых приводит к выводам о влиянии нелинейности подвеса, электростатических сил и скорости прохождения через резонанс, аналогичным сделанным при исследовании первого уравнения системы (1).

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании ММГ и анализе результатов вибрационных испытаний приборов.

Summary

M.A.Lestev. The dynamics of the sensitive elements of the micromechanical gyro during the transition through the resonance.

Dynamics of sensitive elements of micromechanical gyroscopes during the transition through the resonance is studied. The influence of nonlinear dependence between the forces of elasticity in supports, the electrostatic forces and displaisments of sensitive elements is considered.

Литература

1. Климов Д.М., Васильев А.А., Лучинин В.В., Мальцев П.П. Перспективы развития микросистемной техники в XXI веке // Микросистемная техника, 1999. №1. С.3-6.

2. Пешехонов В.Г. Гироскопы начала XXI века // Гироскопия и навигация, 2003. №4. С. 5-18.

3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

4. Микромеханический гироскоп. Патент №30972 на полезную модель (приоритет от 4.02.2003 г.).

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.