Анализ, моделирование и прогнозирование динамики валового регионального продукта на основе производственной функции

РЕГИОНАЛЬНАЯ И МУНИЦИПАЛЬНАЯ ЭКОНОМИКА REGIONAL AND MUNICIPAL ECONOMY

УДК 330.341, 519.86

DOI 10.52575/2687-0932-2024-51-1-5-17

Анализ, моделирование и прогнозирование динамики валового регионального продукта на основе производственной функции

Вавилова Д.Д., Зерари Р.

Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова Россия, 426069, Удмуртская Республика, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7 E-mail: vavilova_dd@mail.ru, rayane.zerari20@gmail.com

Аннотация. Валовой региональный продукт выступает ключевым показателем социально-экономического развития и, одновременно, результатом производственного процесса на уровне региона. Математическое представление взаимосвязи результата производственного процесса с различными факторами, как правило, описывается производственной функцией. В настоящем исследовании отражена методика построения производственной функции Кобба - Дугласа для выявления зависимости валового регионального продукта от таких факторов производства, как трудовые ресурсы, производственный капитал и инвестиции. Анализ, моделирование и прогнозирование динамики валового регионального продукта выполнены на примере одного из регионов Российской Федерации - Удмуртской Республики. Статистической базой исследования выступают годовые данные по социально-экономическим показателям Удмуртской Республики за период 2000-2022 гг. Оценка параметров производственной функции показала, что в экономической системе региона присутствует дефицит трудовых ресурсов. Что касается прогноза динамики валового регионального продукта Удмуртской Республики, то до 2030 года ожидается снижение его темпа в среднем на 0,9 % в год (в сопоставимых ценах 2022 года).

Ключевые слова: валовой региональный продукт, производственный капитал, трудовые ресурсы, инвестиции, производственная функция, Удмуртская Республика

Для цитирования: Вавилова Д.Д., Зерари Р. 2024. Анализ, моделирование и прогнозирование динамики валового регионального продукта на основе производственной функции. Экономика. Информатика, 51(1): 5-17. DOI 10.52575/2687-0932-2024-51-1-5-17

Analysis, Modeling and Forecasting of the Gross Regional Product Dynamics Based on the Production Function

Diana D. Vavilova, Rayane Zerari

Kalashnikov Izhevsk State Technical University 7 Studentskaya St, Izhevsk, Udmurt Republic, 426069, Russia E-mail : vavilova_dd@mail.ru, rayane.zerari20@gmail.com

Abstract. The gross regional product is a key indicator of socio-economic development and the result of the production process at the regional level. The mathematical representation of the relationship between the result of the production process and various factors is usually described by the production function. This study reflects the methodology of constructing the Cobb-Douglas production function to identify the relationship between the gross regional product and such factors of production as labor, production capital and investment. The analysis, modeling and forecasting of the dynamics of the gross regional product are carried out on one of the regions of the Russian Federation - the Udmurt Republic. The statistical base is the annual data on socio-economic indicators of the Udmurt Republic for the period 2000-2022. As a result of the analysis of the production function, it was revealed that there is a shortage of labor resources in the economic system of the region. As for the forecast of the dynamics of the Udmurt Republic's gross regional product at comparable prices in 2022, by 2030 its rate of decline will be expected to average 0.9 % per year.

Keywords: gross regional product, productive capital, labor resources, investments, production function, Udmurt Republic

For citation: Vavilova D.D., Zerari R. 2024. Analysis, Modeling and Forecasting of the Gross Regional Product Dynamics Based on the Production Function. Economics. Information technologies, 51(1): 5-17. DOI 10.52575/2687-0932-2024-51-1-5-17

Введение

Известно, что трансформации, происходящие в государстве, требуют изменений на уровне ее регионов. Это особенно важно для Российской Федерации, состоящей из множества субъектов, каждый из которых имеет свой собственный вектор развития [Базарова, Горюнова, 2022; Егорова, Кондрашова, Шевырталов, 2022]. Если не учитывать траекторию развития региона, то принятие большинства управленческих решений в масштабе государства будет иметь негативные последствия. Таким образом, анализ и прогноз социально-экономического развития конкретного региона является особо важной задачей.

Социально-экономическое развитие региона выступает компонентом государственного регулирования, предназначенным для анализа и прогноза будущего состояния региональной экономики [Михайлова, 2022]. Ключевым показателем социально-экономического развития и, одновременно, результатом производственного процесса на уровне региона принято считать валовой региональный продукт (ВРП) [Кетова, 2007; Авдеева, 2020; Красс, Чупрынов, 2023].

На динамику ВРП оказывают влияние различные факторы производства. Оценить это влияние без математического инструментария невозможно. Математическое представление взаимосвязи результата производственного процесса с различными факторами, как правило, описывается производственной функцией [Ларин, 2020; Файзуллин, Абашева, Чиченков, 2020]. Существуют различные производственные функции, однако широкое распространение до сих пор имеет функция Кобба - Дугласа [Базилевский, 2020; Марыганова, Шапиро, 2020; Мухин, 2020]. Она представляет собой математическую модель зависимости результата производства от трудовых и производственных ресурсов.

В настоящем исследовании отражена методика построения производственной функции Кобба - Дугласа с целью выявления взаимосвязи динамики валового регионального продукта от таких факторов производства, как трудовые ресурсы, производственный капитал и инвестиции. Алгоритм построения производственной функции, а также последующий анализ и прогноз динамики валового регионального продукта выполнен на примере одного из регионов Российской Федерации - Удмуртской Республики.

Объекты и методы исследования

Для построения производственной функции региональной социально-экономической системы первоначально требуется собрать статистические данные по следующим показателям:

• валовой региональный продукт - это валовая добавленная стоимость суммарного производства товаров, работ и услуг в региональной экономике, выраженная в денежных единицах;

• численность трудовых ресурсов - это часть населения, которая способна заниматься общественно полезной деятельностью благодаря своему физическому развитию, образованию и профессионально-квалификационному уровню;

• производственный капитал - это основные производственные фонды, которые используются для производства как материальных, так и нематериальных благ, и выражаются в денежной форме;

• объем инвестиций - это долгосрочные или среднесрочные капиталовложения в производственно-хозяйственный процесс.

Информационной базой для анализа, моделирования и прогнозирования валового регионального продукта от ряда факторов послужили официальные статистические данные по Удмуртской Республике за период 2000-2022 гг. [Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики при Удмуртской Республике, 2024]. Они представлены в табл. 1.

Таблица 1 Table 1

Основные социально-экономические показатели Удмуртской Республики за период 2000-2022 гг.

Год Валовой региональный продукт, млрд руб. Трудовые ресурсы, тыс. чел. Производственный капитал, млрд руб. Инвестиции, млрд руб.

2000 53,31 809,0 184,56 9,90

2001 65,55 799,8 220,65 12,08

2002 78,35 821,2 254,76 14,74

2003 89,03 808,3 278,76 17,98

2004 100,83 803,0 315,52 21,94

2005 140,00 823,0 368,30 26,87

2006 164,85 846,5 394,88 34,31

2007 205,65 838,4 484,36 44,56

2008 243,14 839,4 553,39 53,53

2009 230,94 854,8 592,06 40,45

2010 274,58 831,9 650,85 51,14

2011 335,98 837,7 753,97 62,31

2012 372,78 829,7 817,04 64,22

2013 405,13 828,4 870,23 82,67

2014 450,55 822,8 974,79 91,57

2015 518,00 820,5 1040,61 81,84

2016 570,25 806,5 1169,61 87,12

2017 592,04 788,7 1245,80 83,70

2018 679,94 781,2 1290,55 96,97

2019 722,85 761,4 2269,46 105,78

2020 684,43 769,1 2437,50 120,46

2021 841,94 759,6 2687,08 125,35

2022 909,80 738,7 2962,20 137,00

Чтобы оценить влияние факторов производства на валовой региональный продукт, используется производственная функция Кобба - Дугласа в виде [Русяк, 2003]:

У = А  Ьа- К,

где У —валовой региональный продукт (млрд руб.); Ь —численность трудовых ресурсов (тыс. чел.); К —используемый производственный капитал в стоимостном выражении (млрд руб.); а —коэффициент эластичности объема производства У к изменению численности трудовых ресурсов Ь; @ —коэффициент эластичности объема производства У к изменению производственного капитала К; А —технологический коэффициент.

В указанной выше модели Кобба - Дугласа неизвестными параметрами являются коэффициенты А, а,р. Для их идентификации используется метод наименьших квадратов [Ketova, 2020], основанный на минимизации суммы квадратов отклонений модельных

значений от реальных (статистических) для каждого момента времени t: ^Г (yt - Yt) ^ min .

t=i

После оценки параметров производственной функции выполняется расчет показателей качества подобранной модели [Вавилова, 2020]:

Í

коэффициент детерминации модели: R2 = 1 - - 1

E(y, - Y)2

- 1 Ж

средняя ошибка аппроксимации: ô = — ^

t=i

Y - Y ±t ±t

Y

•100% .

В указанных выше формулах Yt -это модельное значение уровня ряда в момент времени t, рассчитанное после оценки параметров производственной функции ( Yt = A  Ltа- Ktр ). Значение Yt — статистическое значение уровня ряда в момент времени t, Y — среднее

- 1 N

значение уровня ряда Y = — ^ Y , N —количество наблюдений.

N t=1

Результаты и их обсуждение

1. Алгоритм построения производственной функции Кобба - Дугласа Для моделирования динамики валового регионального продукта Удмуртской Республики с использованием производственной функции показатели, выраженные в денежной форме в табл. 1, приведены к сопоставимым ценам 2022 года. Для этого использован индекс-дефлятор [Федеральная служба государственной статистики, 2024]. Приведенные к ценам 2022 года показатели отражены в табл. 2.

Таблица 2 Table 2

Основные социально-экономические показатели Удмуртской Республики за период 2000-2022 гг. (в сопоставимых ценах 2022 года) Main socio-economic indicators of the Udmurt Republic for the period 2000-2022

Год ВРП в ценах 2022 года, Производственный капитал Инвестиции в ценах 2022

2000 553,578 1916,590 102,853

2001 584,368 1967,100 107,715

2002 604,106 1964,444 113,664

2003 603,374 1889,124 121,876

2004 568,107 1777,690 123,617

2005 661,117 1739,302 126,917

2006 675,943 1619,167 140,692

2007 740,951 1745,175 160,568

2008 742,644 1690,328 163,522

2009 691,600 1773,090 121,137

2010 720,125 1706,978 134,144

2011 760,192 1705,921 140,983

2012 774,463 1697,421 133,420

2013 799,143 1716,604 163,089

2014 826,813 1788,870 168,044

2015 886,338 1780,577 140,045

2016 948,764 1945,952 144,960

2017 934,986 1967,453 132,193

2018 976,196 1852,861 139,233

2019 1005,004 3155,330 147,071

2020 943,121 3358,803 165,994

2021 975,001 3111,765 145,166

2022 909,800 2962,204 137,003

Производственная функция Кобба - Дугласа (1) представляет собой степенную функцию мультипликативного вида. Оценим ее параметры в предположении, что а + Р = 1, т. е. что отдача от масштаба производства постоянна [Айвазян, Мхитарян, 2008]. В этом случае функция (1) примет вид:

I=л.

L

r-л р

V L у

Далее прологарифмируем правую и левую часть уравнения (2):

inV L 1=in л+р-inV- ),

Y

к

и введем замены: у = 1п| — I, а = 1п А, к = 1п| — I. После замен функция (3) будет выглядеть

L

L

следующим образом, где a, fi — неизвестные параметры, требующие идентификации:

у = а + fi - к.

Результаты расчета показателей по Удмуртской Республике для оценки параметров модели (4) приведены в табл. 3.

Таблица 3 Table 3

Результаты расчета показателей для оценки параметров производственной функции

Удмуртской Республики за период 2000-2022 гг. Results of calculation of indicators for assessing the parameters of the production function of the Udmurt Republic for the period 2000-2022

Год ( t ) ВРП, млрд руб. ( It ) Трудовые ресурсы, тыс. чел. ( Lt ) Производственный капитал, млрд руб. ( Kt ) ВРП на одного работающего, млн руб./чел. С11 V L у Фондовооруженность, млн руб./чел. С к 1 V L у , = lnW ' UJ, К = ln| - т V L Л

2000 553,578 809,0 1916,590 0,684 2,369 -0,379 0,862

2001 584,368 799,8 1967,100 0,730 2,459 -0,313 0,899

2002 604,106 821,2 1964,444 0,735 2,392 -0,307 0,872

2003 603,374 808,3 1889,124 0,746 2,337 -0,292 0,848

2004 568,107 803,0 1777,690 0,707 2,213 -0,346 0,794

2005 661,117 823,0 1739,302 0,803 2,113 -0,219 0,748

2006 675,943 846,5 1619,167 0,798 1,912 -0,225 0,648

2007 740,951 838,4 1745,175 0,883 2,081 -0,123 0,733

2008 742,644 839,4 1690,328 0,884 2,013 -0,122 0,699

2009 691,600 854,8 1773,090 0,809 2,074 -0,211 0,729

2010 720,125 831,9 1706,978 0,865 2,051 -0,144 0,718

2011 760,192 837,7 1705,921 0,907 2,036 -0,097 0,711

2012 774,463 829,7 1697,421 0,933 2,045 -0,068 0,715

2013 799,143 828,4 1716,604 0,964 2,072 -0,035 0,728

2014 826,813 822,8 1788,870 1,004 2,174 0,004 0,776

2015 886,338 820,5 1780,577 1,080 2,170 0,077 0,774

2016 948,764 806,5 1945,952 1,176 2,412 0,162 0,880

2017 934,986 788,7 1967,453 1,185 2,494 0,170 0,914

2018 976,196 781,2 1852,861 1,249 2,371 0,222 0,863

2019 100,004 761,4 3155,330 1,319 4,144 0,277 1,421

2020 943,121 769,1 3358,803 1,226 4,367 0,203 1,474

2021 975,001 759,6 3111,765 1,283 4,096 0,249 1,410

2022 909,800 738,7 2962,204 1,231 4,010 0,208 1,388

Производственная функция Кобба - Дугласа, построенная для социально-экономической системы Удмуртской Республики, параметры которой определены методом наименьших квадратов, имеет вид в линейной форме - (5), в степенной форме - (6):

у, =-0,51 + 0,52 • к;

у = 0,59 • ц °'48 • к °'52.

При этом коэффициент детерминации как модели (5), так и модели (6) составляет Я2 = 0,74, средняя относительная погрешность аппроксимации равна 8 = 8,82%.

Проанализируем параметры производственной функции Кобба - Дугласа для Удмуртской Республики (6).

Значение коэффициента А = 0,59 показывает, что в регионе за рассматриваемый период наблюдается невысокий уровень технологического развития.

Коэффициент эластичности по трудовым ресурсам а = 0,48 отражает факт, что при росте численности трудовых ресурсов на 1 % валовой региональный продукт увеличивается в среднем на 0,48 %.

Коэффициент эластичности по производственному капиталу @ = 0,52 показывает, что увеличение используемых производственных фондов в регионе на 1 % приводит к увеличению объема выпускаемой продукции, работ и услуг в среднем на 0,52 %.

Если проанализировать соотношение коэффициентов эластичности по факторам производства, то получится величина — = 0,92. По данному соотношению можно сделать

вывод, что в социально-экономической системе Удмуртской Республики присутствует дефицит трудовых ресурсов.

На рис. 1 представлены статистические данные (в виде точек) и модельные значения

Г у }

(в виде построенной кривой) зависимости ВРП на одного работающего — от

V ц )

( К\

фондовооруженности — .

V ц )

Далее, чтобы построить прогноз динамики валового регионального продукта на основе производственной функции (6), необходимо располагать информацией о тенденциях изменения факторов производства, а именно о фактической и прогнозной динамике трудовых ресурсов и производственного капитала.

2. Анализ и прогноз численности трудовых ресурсов.

Для анализа и прогноза динамики трудовых ресурсов Удмуртской Республики построены трендовые модели. Результаты моделирования приведены в табл. 4.

Согласно показателям качества трендовых моделей, наилучшей моделью для описания динамики трудовых ресурсов является кубическая трендовая модель (см. рис.2). Среди всех моделей она обладает наибольшим коэффициентом детерминации И2 = 0,894 и наименьшей ошибкой аппроксимации 8 = 0,96 %.

По рис. 2 видно, что динамика трудовых ресурсов Удмуртской Республики за изучаемый период 2000-2022 гг имеет «волнообразный характер». Наибольшая численность трудовых ресурсов зафиксирована в 2009 г. - 854,8 тыс. чел., наименьшая - была в 2022 г. - с показателем 738,7 тыс. чел. По прогнозу ожидается, что численность трудовых ресурсов будет к 2025 году на уровне 697,2 тыс. чел., к 2030 году - 621,3 тыс. чел.

О Статистические данные -Модельные значения

Y/L, млн.руб./чел.

1,6 1,4 1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Рис. 1. Зависимость ВРП на одного работающего

а ГГО

ее •

V L у

K/L, млн.руб./чел. 4 4,5 5

от фондовооруженности f —

для Удмуртской Республики по данным за период 2000-2022 годы

^......Г K^

Fig. 1. Dependence of GRP per worker

V L у

on the capital-labor ratio

V L у

for the Udmurt Republic according to data for the period 2000-2022 Примечание. Расчеты авторов

Таблица 4 Table 4

Трендовые модели динамики трудовых ресурсов Удмуртской Республики, построенные

по данным за период 2000-2022 гг. Trend models of the dynamics of labor resources in the Udmurt Republic, constructed according

to data for the period 2000-2022

№ Вид модели тренда Модель тренда Коэффициент детерминации (R2) Ошибка аппроксимации (б), %

1 Линейный Lt = 843,8 - 2,6 • t 0,331 2,58

2 Логарифмический Lt = 845,4 -14,1 • ln t 0,117 2,89

3 Квадратический Lt = 777,4 +12,3 • t - 0,6 • t2 0,889 0,99

4 Кубический Lt = 767,6 +16,1 • t -1,0 • t2 + 0,001 • t3 0,894 0,96

5 Степенной L = 846,6 • t ~0,018 0,121 2,91

6 Экспоненциальный Lt= 844,6 • e 0,337 2,60

З.Анализ и прогноз динамики производственного капитала

Построение трендовых моделей для прогноза динамики социально-экономических временных рядов не всегда приводит к адекватным результатам. В частности, можно отметить высокую ошибку аппроксимации трендовых моделей и наличие статистической закономерности в остатках. Для того, чтобы их избежать исследователи используют авторегрессионные модели АК[МА(р,д): здесь р—порядок авторегрессионного процесса,

q —лаг для модели скользящего среднего. В авторегрессионных моделях текущее значение временного ряда, помимо основных факторов, зависит еще и от предыдущих значений, выступающих, в свою очередь, объясняющими переменными [Айвазян, Мхитарян, 2008; Айвазян, Афанасьев, Кудров, 2019].

L, тыс.чел.

900

600 t, год

2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030

Рис. 2. Динамика трудовых ресурсов Удмуртской Республики и их прогноз по кубической модели тренда Fig. 2. Dynamics of labor resources in the Udmurt Republic and their forecast according to the cubic trend model Примечание. Расчеты авторов

Исходя из вышеуказанного, логично использовать авторегрессионную модель для моделирования производственного капитала. Производственный капитал формируется за счет капиталовложений и одномоментно не исчезает, а постепенно в течение длительного периода переносит свою стоимость на создаваемую продукцию в виде амортизационных отчислений [Самарский, 2018]. Таким образом, величина производственного капитала носит накопительный характер - зависит от величины в предыдущие периоды и от новых инвестиций в него.

Для анализа и прогноза динамики производственного капитала Удмуртской Республики нами предлагается использовать авторегрессионную модель первого порядка в виде:

К = b0 + b • Kt_, + b2 • It_,,

где Kt - модельное значение величины производственного капитала в момент времени t; Км -величина производственного капитала в момент времени (t — 1) ; I- объем инвестиций в момент времени (t — 1) ; b0, bj, b2 — неизвестные параметры авторегрессионной модели.

Поскольку в модели (7) учитываются инвестиции, то первоначально рассмотрим их динамику. Для анализа и прогноза динамики инвестиций в производственный капитал Удмуртской Республики построены трендовые модели. Результаты моделирования приведены в табл. 5.

Таблица 5 Table 5

Трендовые модели динамики инвестиций Удмуртской Республики, построенные по данным за период 2000-2022 гг. (в ценах 2022 года) Trend models of investment dynamics in the Udmurt Republic, constructed according to data

for the period 2000-2022

Коэффициент Ошибка

№ Вид модели тренда Модель тренда детерминации (R2) аппроксимации (S), %

1 Линейный !t = -130,7 + 0,8 • t 0,093 7,60

2 Логарифмиче ский tt = -107,6+ 13,4 • lnt 0,134 5,88

3 Квадратиче ский !t = 96,4-5,8^t- 0,16 • t2 0,405 5,43

4 Кубический ]t =-100,3 - 4,9 • t - 0,09 •t2 - 0,002 • t3 0,201 5,50

5 Степенной 1 = 110,5 •t°096 0,152 5,94

6 Экспоненциальный tt = 130,3 •e°,00&t 0,107 7,50

Согласно показателям качества трендовых моделей, представленным в табл. 5, наилучшей моделью для описания динамики инвестиций является квадратичная трендовая модель (см. рис. 3). Среди всех моделей она обладает наибольшим коэффициентом детерминации Я2 = 0,405 и наименьшей ошибкой аппроксимации 8 = 5,43 %.

Инвестиции в производственный капитал Удмуртской Республики в ценах 2022 года показывают динамику роста: с 102,8 млрд руб. в 2000 году до 137,0 млрд руб. в 2022 году. Средний ежегодный темп прироста инвестиций за период 2000-2022 составил 1,9 %. По прогнозу к 2025 году ожидается объем инвестиций на уровне 136,5 млрд руб., к 2030 году - 108,3 млрд руб.

I, млрд.руб.

180

0 t, год

2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030

Рис. 3. Динамика инвестиций в производственный капитал Удмуртской Республики и их прогноз по квадратичной модели Fig. 3. Dynamics of investment in productive capital of the Udmurt Republic and their forecast using a quadratic model Примечание. Расчеты авторов

Результаты моделирования динамики инвестиций в производственный капитал используются для моделирования динамики величины производственного капитала. После оценки параметров авторегрессионной модели с учетом инвестиций получена модель:

Kt = 55,0 + 0,89 • Kt-1 +1,44 • It_1 .

Коэффициент детерминации модели (8) равен R2 = 0,708. Средняя относительная погрешность аппроксимации составила S = 4,52 %.

Динамика производственного капитала Удмуртской Республики и его прогноз по авторегрессионной модели первого порядка с учетом инвестиций (8) представлен на рис. 4.

3500 3000 2500 2000 1500 1000

2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030

Рис. 4. Динамика производственного капитала Удмуртской Республики и его прогноз по авторегрессионной модели первого порядка с учетом инвестиций Fig. 4. Dynamics of productive capital of the Udmurt Republic and its forecast according to a first-order autoregressive model taking into account investments

Примечание. Расчеты авторов

', млрд.руб.

• , (

M —_ __

t, год

Производственный капитал показывает динамику роста: с 1916,5 млрд руб. в 2000 году до 2962,2 млрд руб. в 2022 году. Средний ежегодный темп прироста производственного капитала за период 2000-2022 составил 2,9 %. По прогнозу к 2025 году ожидается величина производственного капитала на уровне 2858,6 млрд руб., к 2030 году - 2559,8 млрд руб.

4Анализ и прогноз динамики валового регионального продукта

Для прогнозирования динамики валового регионального продукта Удмуртской Республики на Т —периодов вперед используется производственная функция вида (6), а также прогнозная динамика факторов производства - численности трудовых ресурсов и величины

" т> m т 0,48 Л- 0,52

производственного капитала с учетом динамики инвестиций: Yt+T = 0,59 • Lt+T • Kt+T .

Прогнозные значения трудовых ресурсов, производственного капитала и валового регионального продукта Удмуртской Республики на период 2023-2030 гг. представлены в табл. 6.

Таблица 6 Table 6

Прогнозные значения трудовых ресурсов, производственного капитала и валового регионального продукта Удмуртской Республики на период 2023-2030 гг.

Forecast values of labor resources, production capital and gross regional product of the Udmurt Republic for the period 2023-2030

Прогнозный год

2023 725,333 2983,193 892,779

2024 711,454 2924,593 875,460

2025 697,144 2858,658 856,744

2026 682,466 2803,523 839,492

2027 667,480 2748,554 822,084

2028 652,249 2686,505 803,430

2029 636,835 2623,732 784,554

2030 621,300 2559,768 765,422

Y, млрд. руб. 1000

800

600

400

200

2000 2004 2008 2012 2016 i i Статистические значения

2020 2024 2028 —Модельные значения

t, год

Рис. 5. Фактическая динамика ВРП за период 2000-2022 гг. и его прогноз для Удмуртской Республики до 2030 года в сопоставимых ценах 2022 года Fig. 5. The actual dynamics of GRP for the period 2000-2022 and its forecast for the Udmurt Republic until 2030 at comparable prices in 2022

Примечание. Расчеты авторов

0

На рис. 5 показаны статистические значения валового регионального продукта Удмуртской Республики за период 2000-2022 гг., а также модельные прогнозируемые значения, полученные по производственной функции Кобба - Дугласа, в ценах 2022 года. Согласно прогнозу, валовой региональный продукт в Удмуртской Республике к 2025 году составит 856,7 млрд руб., что на 5,8 процента ниже, чем в 2022 году. До 2030 года ожидается его темп снижения в среднем на 0,9 % в год (в сопоставимых ценах 2022 года).

Заключение

В статье представлена методика построения производственной функции Кобба -Дугласа для выявления зависимости валового регионального продукта от таких факторов производства, как трудовые ресурсы, производственный капитал и инвестиции. Оценка параметров производственной функции выполнена для социально-экономической системы Удмуртской Республики по официальным статистическим данным, представленным Росстатом. Анализируемый период данных - 2000-2022 годы; денежные показатели приведены к сопоставимым ценам 2022 года с учетом индекса-дефлятора.

На основе производственной функции построен прогноз динамики валового регионального продукта Удмуртской Республики до 2030 года с учетом тенденций изменения факторов производства. По прогнозу к 2030 году ожидается, что численность трудовых ресурсов в регионе будет на уровне 621,3 тыс. чел., величина производственного капитала составит 2559,8 млрд руб., объем инвестиций - 108,3 млрд руб. Ошибка прогнозирования данных показателей варьируется в диапазоне от 1,0 % до 5,5 %. С учетом этой прогнозной динамики, вплоть до 2030 года, прогнозируется снижение величины валового регионального продукта Удмуртской Республики в среднем на 0,9 % в год в сопоставимых ценах 2022 года.

Чтобы избежать отрицательной динамики изменения валового регионального продукта, необходимо принимать меры. Во-первых, увеличивать внедрение в производственные процессы эффективных технологий: их недостаточный уровень демонстрирует технологический коэффициент производственной функции Кобба - Дугласа. Во-вторых, повышать фондовооруженность предприятий за счет роста величины производственного капитала. В-третьих, что, на наш взгляд, является наиболее весомым фактором роста валового регионального продукта - это увеличение количества и качества трудовых ресурсов. Об этом свидетельствуют коэффициенты эластичности производственной функции, в результате анализа которых выявлено, что в социально-экономической системе Удмуртской Республики присутствует дефицит трудовых ресурсов.

Список источников

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. 2008. Прикладная статистика и основы эконометрики. М., ЮНИТИ, 1005 с.

Красс М.С., Чупрынов Б.П. 2023. Математические методы и модели для магистрантов экономики. СПб., Питер, 541 с.

Марыганова Е.А., Шапиро С.А. Макроэкономика. 2020. Экспресс-Курс. М., КНОРУС, 361 с. Самарский А.А. 2018. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М., Физматлит, 320 с.

Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики при Удмуртской

Республике. Режим доступа: https://udmstat.gks.ru/ofstatistics/ (дата обращения 10.01.2024). Федеральная служба государственной статистики. Национальные счета. Режим доступа: https://rosstat.gov.ru/statistics/accounts (дата обращения 10.01.2024).

Список литературы

Авдеева Ю.А. 2020. Построение производственных функций в масштабах России на основе линейных и нелинейных моделей. Новое слово в науке и практике: гипотезы и апробация результатов исследований, 8: 104-108.

Айвазян С.А., Афанасьев М.Ю. Кудров А.В. 2019. Индикаторы основных направлений социально-экономического развития и их агрегаты в пространстве характеристик региональной дифференциации. Прикладная эконометрика, 54: 51-69. Базарова Э.В., Горюнова Л.А. 2022. Цифровая экономика и социально-экономическое развитие

региона. Бизнес. Образование. Право, 4(61): 178-181. Базилевский М.П. 2020. Метод построения неэлементарных производственных функций Кобба -

Дугласа. Прикладная математика и вопросы управления, 1: 102-115. Вавилова Д.Д. 2020. Нейросетевая модель прогнозирования человеческого капитала.

Интеллектуальные системы в производстве, Т. 18, 1: 26-35. Дюсекенов Д.С., Тюменцев Е.А. 2022. Сравнительный анализ рекуррентных нейронных сетей и модели авторегрессии ARIMA при прогнозировании нестационарных временных рядов. Прикладная математика и фундаментальная информатика, 9 (4): 33-41. Егорова Л.И., Кондрашова А.В., Шевырталов Я.А. 2022. Экономико-экологические векторы развития регионов: проблемы и перспективы. Экономика: теория и практика, 3 (67): 15-19. Кетова К.В. 2007. Об одной задаче макроэкономической динамики региона с учетом факторов экономического развития. Вестник Ижевского государственного технического университета, (35): 33-40.

Ларин В.О. 2020. Построение производственных функций экономической системы региона.

Дневник науки, 6 (42): 27- 40. Михайлова А.В. 2022. Влияние экономических санкций на социально-экономическое развитие регионов ДФО Российской Федерации. Региональная экономика и управление: электронный научный журнал, 3(71): 7117. Мухин А.А. 2020. Использование функции Кобба - Дугласа при моделировании производственных процессов. Вестник Удмуртского университета. Серия Экономика и право, Т. 30, 6: 822-829. Русяк И.Г. 2003. Об одной задаче управления демоэкономическим состоянием региона.

Интеллектуальные системы в производстве, 2: 151-160. Файзуллин Р.В., Абашева О.В., Чиченков И.И. 2020. Конкурентные преимущества использования

интеллектуального капитала. Вестник университета, 6: 55- 62. Ketova K.V. 2020. Modelling a human capital of an economic system with neural networks. Journal of Physics: Conference Series, 012035.

References

Avdeeva Yu.A. 2020. Construction of production functions on a Russian scale based on linear and nonlinear models. A new word in science and practice: hypotheses and testing of research results, 8: 104108.

Ayvazyan S.A., Afanasyev M.Yu. Kudrov A.V. 2019. Indicators of the main directions of socio-economic development and their aggregates in the space of characteristics of regional differentiation. Applied econometrics, 54: 51-69. (in Russian) Bazarova E.V., Goryunova L.A. 2022. Digital economy and socio-economic development of the region.

Business. Education. Law, 4(61): 178-181. (in Russian) Bazilevsky M.P. 2020. Method for constructing non-elementary Cobb-Douglas production functions.

Applied mathematics and management issues, 1: 102-115.

Dyusekenov D.S., Tyumentsev E.A. 2022. Comparative analysis of recurrent neural networks and the ARIMA autoregression model in predicting nonstationary time series. Applied Mathematics and Fundamental Computer Science, 9 (4): 33-41. (in Russian) Egorova L.I., Kondrashova A.V., Shevyrtalov Ya.A. 2022. Economic and environmental vectors of regional development: problems and prospects. Economics: Theory and Practice, 3 (67):15-19. (in Russian) Ketova K.V. 2007. On one problem of macroeconomic dynamics of the region taking into account factors of economic development. Bulletin of Izhevsk State Technical University, (35): 33-40. (in Russian) Larin V.O. 2020. Construction of production functions of the regional economic system. Diary of Science,

6

Mukhin A.A. 2020. Using the Cobb-Douglas function in industrial process modeling. Bulletin of Udmurt

University. Series Economics and Law,Vol. 30, 6: 822-829. (in Russian) Rusyak I.G. 2003. About one problem of managing the demo-economic state of the region. Intelligent

systems in production, 2: 151-160. (in Russian) Faizullin R.V., Abasheva O.V., Chichenkov I.I. 2020. Competitive advantages of using intellectual capital.

University Bulletin, 6: 55-62. (in Russian) Ketova K.V. 2020. Modeling a human capital of an economic system with neural networks. Journal of Physics: Conference Series, 012035.

Конфликт интересов: о потенциальном конфликте интересов не сообщалось. Conflict of interest: no potential conflict of interest related to this article was reported.

Поступила в редакцию 09.02.2024 Received February 09, 2024

Поступила после рецензирования 26.02.2024 Revised February 26, 2024 Принята к публикации 29.02.2024 Accepted February 29, 2024

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Вавилова Дайана Дамировна, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики и информационных технологий, Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, г. Ижевск, Россия

Зерари Раян, магистрант кафедры прикладной математики и информационных технологий, Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, г. Ижевск, Россия

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Diana D. Vavilova, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Information Technologies, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia

Rayane Zerari, master's student of the Department of Applied Mathematics and Information Technologies, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia