Метод решения однородного интегрального уравнения с разностным ядром для плотности зарядов в преобразователе на поверхностных акустических волнах

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2005, том 15, № 4, c. 102-108

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 621.374.55 © С. В. Богословский

МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗНОСТНЫМ ЯДРОМ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ЗАРЯДОВ В ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕ НА ПОВЕРХНОСТНЫХ

АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛНАХ

Уточнены области определения функции Грина для потенциала поверхностной акустической волны. Решена задача о распределении зарядов с учетом изменения амплитуды волн под электродами встречно-штыревого преобразователя. Исходное интегральное уравнение с разностным ядром, моделирующее распределение зарядов под электродом бесконечной длины, с помощью интегрирования по частям сведено к дифференциально-разностному уравнению, решение которого получено в замкнутой форме.

ВВЕДЕНИЕ

Преобразователи на поверхностных акустических волнах (ПАВ) в последние годы находят все большее применение в качестве миниатюрных фильтров, линий задержки и измерительных преобразователей в системах радиолокации, радионавигации и в системах управления.

Основным элементом преобразователя на ПАВ является встречно-штыревой преобразователь (ВШП). Структура ВШП обычно представляется совокупностью идеально проводящих бесконечно тонких металлических электродов с произвольно чередующейся полярностью, произвольно меняющимся периодом и перекрытием соседних электродов на поверхности однородного упругого кристалла бесконечной длины, обладающего пьезоэлектрическими свойствами и граничащего с вакуумом (см. рисунок).

На рисунке слева подключен источник напряжения вида = U0 exp(- jmt), где U0 — амплитуда, ш — круговая частота источника напряжения. Акустические волны, порождаемые приложенным к пьезоэлектрику напряжением, имеют эффективное волновое число kz, пропорциональное круговой частоте kz = ю/ cz, где cz = const. — эффективная скорость перемещения фазы (фазовая скорость) поверхностной волны вдоль оси O z.

Если структура ВШП нанесена на деформируемый чувствительный элемент, то при деформации изменяются расстояние между электродами (период) ВШП, механические напряжения в кристалле и как следствие — эффективное волновое число. Этот эффект используется при создании различных измерительных преобразователей физических параметров.

При этом предполагается, что длина электродов (в направлении распространения поверхностной волны) в 40-100 раз больше длины поверхностной волны.

Динамичное развитие теории возбуждения ПАВ прошло ряд этапов. Физически и теоретически более обоснованным является решение задачи о возбуждении ПАВ на основе функции Грина,

Встречно--штыревой преобразователь поверхностных акустических волн в проекциях на горизонтальную

102

102

наиболее корректное вычисление которой произведено в работе [2]. Там же содержится и подробный обзор публикаций, посвященных моделированию ПАВ:

<7т(г) = а 8 (г - z0) имеет вид [7]

Фт (К ) =

а

расчету распределения заряда под электродами ВТТТП в приближении слабой связи ПАВ с пье-зоэлектриком;

- моделированию взаимодействия ПАВ с системой металлических электродов, когда исходная задача о распределении заряда под электродами сводится к неоднородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, учитывающего влияние генерации ПАВ и объемных волн;

- выводу интегрального уравнения для поверхностного распределения тангенциальной составляющей напряженности электрического поля, решение которого ищется в виде итерационного ряда;

- определению распределения заряда на основе решения системы алгебраических уравнений, связывающих поверхностный потенциал под каждым электродом с плотностью заряда в конечном числе точек данного электрода.

При решении задачи о распределении заряда на электродах ВТТТП ранее не учитывалось неразрывное изменение амплитуды волн, либо использовалась только часть функции Грина [2], либо некорректно определялась область существования полученных моделей. Поэтому модель функции Грина нуждается в уточнении области ее определения,

а однородное интегральное уравнение для плотности зарядов под ВШП — в получении решения в замкнутой форме.

Исходные уравнения и граничные условия, необходимые для построения моделей функции Грина и распределения поверхностных зарядов, аналогичны уравнениям, обычно используемым при решении задачи о возбуждении акустических волн [2].

Предположение о том, что длина электродов много больше длины поверхностной волны, позволяет решать задачу распределения зарядов под электродом так, как если бы электрод имел бесконечно большую длину.

В статье ставится задача уточнения области определения функции Грина для поверхностных акустических волн, а также получения решения интегрального уравнения для поверхностного распределения тангенциальной составляющей напряженности электрического поля под электродом бесконечно большой длины.

1. ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА

Связь преобразований Фурье поверхностного потенциала фт (кг) и точечного заряда

где £8 (кг) — эффективная диэлектрическая проницаемость; кг — эффективное волновое число; а — поверхностный потенциал заряда в точке

(г = г0) .

Выполняя обратное преобразование Фурье функции (1), получают

фт (г0) =

ехр (-у кгго) а к I кг I ^ (кг ) г'

Соотношение (2) фактически определяет функцию Грина точечного источника О (г0) = ф (г0). Поверхностный потенциал, создаваемый произвольным распределением поверхностных зарядов о (г), можно найти в соответствии с принципом суперпозиции:

Ф

1-00

(г) = IО(г - г0) а (г0)аг0,

где О(г - г0) — функция Грина точечного источника в точке (г = г0) с единичной плотностью поверхностного заряда (а = 1):

О(г г ) = 1 ( ехР [-У кг(г - го)] О( г - г0) = — I-рл—ттт-

2п - \кА

d К.

Для эффективной диэлектрической проницаемости пользуются аппроксимацией Ингебригстена [6]

к 2 - к 2

Ъ (кг) = е8 (~)к кгХ0

к2 к8

где £8 (те) = £8 (кг )|К ^ ; кХ0, кХ — постоянные величины.

С учетом (5), разлагая дробь под знаком интеграла (4) на простые множители, можно представить функцию Грина потенциала ПАВ в виде суммы двух составляющих — неволновой и волновой:

О

где ОС (г - г0), ОК (кг80, г - г0) — неволновая и волновая составляющие функции Грина соответственно.

Ос(г - г0) = ОС01

ехр [-у кг (г - а кг

Ы '

gk (kzs 0,z z0) =

gk о j

k2 kzS 0

GC 0 =

2n £s (^)kzSK0 2п £s (l) k

2 '

S (L) kzS

eXP [- j kz (z - z0)] d k =

Ы z "

exp [-j kz (z - zp)] + exp [j kz (z - zp)] d =

Gc(z - z0) = GC0 J

+l

= GC 0 J

= -2GC0 ln z -zo .

GK 0 J

kz k2S 0

exp [- j kz (z - z0)] d kz =

-too

~~GK0 J

eXP [-j kz (z - zp)]+exp [j kz (z - zp)]

0

= - G^e' kzS0|z-z^Ei (-j kzS0 |z-z0| ) --GKOe- kzS0'z-z°' El (j kzS0 |z - z0| ) =

= - 2GK0COs(kzS0 |z -z0| ) cl (kzS0 |z -z0| ) --2GK0 sln(kzS0 |z - z0| ) sl (kzS0 |z - z0| );

при kzS0 ^ 0 и (z - z0) * 0 — gk (kzs 0,z - z0) =

= gk0 J "kTexp [- j (z - z0)] d kz =

-l z

= GK0 JTTexp [- j kz(z - z0)] dkz +

0 kz

+ GK0 J k^exp [ - j kz (z - z0)] dkz =

k2 - k2 kz kzS0

к d k =

:GK 0 J

exp [ - j kz(z - zq)] - exp[ j kz(z - z0)] dk =

exp [- jkz

к2 - к2 _ . G = zS 0 л zS

-j 2GK 0 J

sin [ j kz (z - z,)]

d k„ =

Интегралы (7) и (8) являются несобственными интегралами, т. е. их значения существуют только как предельные (главные) значения при спрямлении контуров интегрирования.

Главное значение интеграла (7) можно найти с помощью таблиц [3, 5]

= -j п GkpSgn (z-zp);

пРи kzSо * 0 и z ^ zo —

kz

GK (kzSо, z z0) = GK0 I ,2 ,2

-L kz - k с |kl +L k

Gk q J d kz + Gk Q J •

d k„ =

zS 0

2 / 2 'vz 1 WK0 j ,2 /2

k2 - k2 ,я.,,

k2 - k2 0 лz ""zS0

-d k, = 0;

Вычислим составляющую (8) функции Грина, воспользовавшись таблицами интегралов [3, 4]. Для этого предварительно приведем интервал интегрирования (- + «>) к интервалу [0, + «>). В результате получим:

при к^0 > 0 и (г - z0) Ф 0 —

GK (кгХ0, г - г0) = GK (кгХ0, г - 20) =

при kS0 < 0 и (z - z0) * 0 —

Gk(kzSo, z - zo) = Gk(kzSo, z - zo) =

= GK (-| kzSo|, z - z0 ) =

= -2GK0 C0S [IkzS0(z - z0)| ] • \п j + cl I kzS0(z - z0)| ] -- 2GKо sln [|kSo(z - z0)|] • [п + sl |kzS0(z - z0)|] = =

= -2п j GK 0 exp \ .^^|kzS 0( z - z0^ ] +

+ G+K

z p

r e

где El(z) = J — d p — интегральная показатель-

-L p

ная функция;

L cos PA

cl(z) = - J-d p — интегральный косинус;

zp

sl( z) = -J ^ d p

zp

интегральный синус;

sgn( z) =

1 при z > 0; 0 при z = 0; -1 при z < 0.

Заметим, что, как следует из (10), все составляющие (9)—(11) функции Грина при любом знаке к^ 0 симметричны относительно оси ординат

G (kzS 0 , z - z0) = G (kzS pJ z - zol ).

Другими словами, функция Грина G(кг80, г — г0) зависит от модуля линейной координаты (г — г0) и значения параметра кг50. Полученные формы (10)—(11) представления функции Грина соответствуют [2], но отличаются областями значений аргумента (г — г0) и параметра кг8 0.

z

2

k

z

zS

z

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ПОВЕРХНОСТНОГО ЗАРЯДА НА ЭЛЕКТРОДАХ ВСТРЕЧНО-ШТЫРЕВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

Уравнение для плотности 3(г) получают на основе граничного значения тангенциальной компоненты напряженности электрического поля на поверхности ВШП

ЕС (у = 0, г) + ЕК (у = 0, г) = 0,

где Ес (у = 0, г) — составляющая тангенциальной компоненты напряженности электрического поля, соответствующая системе зарядовых полос на поверхности электродов в электростатическом приближении; Е'К (у = 0, г) — составляющая результирующей тангенциальной компоненты напряженности электрического поля, соответствующая системе акустических волн на поверхности пьезо-электрика.

При моделировании плотности распределения зарядов в первом приближении можно пренебречь отражением от электродов и обратным преобразованием ПАВ [2]. При этом величины Е'с (у = 0, г) и Е'К (у = 0, г) на поверхности электродов связаны с потенциалом поверхностного заряда соотношением

ЕС (г) =

д фС

7С

д

где

д г

1 рд ос

I

3(г0) аг0 =

-2Ос

Ую

ЕК (г) =

р 1

Iй-гп 3

а гп

д Фк

^Э^д-!^) 3 (го) а го

С учетом

-Ч

-2ОС

С0 + д ОК

г- г0

3

1 ™

Фс (ю ,г) =- I ОС (г - г0) 3(г0) аг0 ;

]Ю -р

Фк (ю ,г) = — I ОК(к80,г - г0) 3(г0) аг0 ; ]Ю -Р

фс (ю , г) , фК (ю , г) — неволновая и волновая составляющие потенциала поверхностного заряда соответственно; ОС (г - г0), ОК (кг80,г - г0) — неволновая и волновая составляющие функции Грина, соответствующие формулам (9)—(11). Подставляя (9) в (14), получим:

ЕС(г) = д фС(ю ,г) =

Первый член в уравнении (17) учитывает напряженность электрического поля поверхностных зарядов в электростатическом приближении. Второе слагаемое в уравнении (17) учитывает напряженность электрического поля бегущих волн.

Уравнение (17) является однородным интегрально-разностным уравнением первого рода с разностным ядром, которое может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из которых симметрично относительно оси ординат и в каждой полуплоскости является нечетной функцией аргумента, а второе слагаемое имеет первообразную функцию, симметричную относительно оси ординат.

Уравнения типа (17) обычно решают методом последовательных приближений [2]. Даже с использованием компьютера с частотой 2.5 ГГц этот метод требует ощутимых затрат времени на получение достаточно точного решения.

Ускорить расчеты можно, получив выражение для 3 (г) в замкнутом виде. Для этого преобразуем интеграл в уравнении (17) с помощью интегрирования по частям. Согласно (12), функция ОК(к г80,г - г0) симметрична относительно оси ординат на плоскости ((г - г0), ОК ) при любом знаке к 80. Как следует из дальнейшего, при условии (12) и распределение плотности заряда 3 (г0) = 3 (-г0) также оказывается функцией, симметричной относительно оси ординат. Поэтому на обоих концах интервала интегрирования (-р, разность значений произведения

ОК (к8 0,г - г0) 3 (г0) оказывается равной нулю.

Преобразуем интеграл (16) с учетом того, что

д ОК

В результате интегрирования по частям получим

ЕК

Чтобы не использовать нелинейную операцию вычисления модуля

г

г

к сумме интегралов по интервалу [0, 7):

ЕС (г) =

-2ОС

7 1

I й-л 3

а 20 =

]ю -7 2 - г,

-2ОС0 7 3

]ю ' 2 - г,

а г0-

2ОС

0У а ! —С0 I ¿С^а20 =

]ю -7 г - ^0

2ОС 0 7 3

]ю

13 (2 + ^ а ы1 - :=ос0_ I

II ТП1

]ю

ЕК(г) = — I Ок (кй0,г - ^3"

]ю -7 д !0

1 /7 ч д 3

= —I ОК (кг8 0, 2 - 20^-а 20 +

ю2 д г0

а 20 =

д 3

0>а !0 =

1 2

— I Ок

]ю -7 " -0

1 7О п ) д 3(г + Ы1) ,

— I ОК (кг8 0, -Ы1)-^-^ 20 -

Iю 0 д 20

1 п \ д 3(г - Ы2К п

— I ОК (кг80,Ы2)-з-аЫ2 = 0 *

]ю 0 д ы2

3(2 - Ы) , _ (• 3 (2 + Ы) ,

2ОС 01 ——- а ы - 2ОС 01 ——- а Ы -

* и * II

3

IV /у ч д 3

-I Ок (кг5 0, ы )-д-й " +

0 д ы

"7^/7 ч д 3(2 + ы ) + ! Ок (кг50,Ы)—^-^Ы = 0.

д ы

Если выполнены условия д 3

то уравнение (21) можно представить:

-2ОС

[3 (ы - 2) + 3 (2 + ы ) ] +

1+ОК

д [3 (ы - 2) + 3 (2 + Ы ) ] д ы

аы = 0.

-аЫ2,

где в соответствии с порядком следования интегралов выполнены замены переменных интегрирования 20 = 2 - ы1 и 20 = 2 - Ы2 .

Поскольку ОК (к 80, -20) также зависит от модуля (2 - 20), интеграл (18) также приведем к сумме интегралов по интервалу [0, 7):

При получении решения уравнения (23) необходимо также учесть ограничение на выбор пути интегрирования, включающего заранее не обусловленные границы электродов. Следовательно, значение верхнего предела интегрирования в (23) должно быть не только достаточно большим, но и произвольным числом. Поэтому интегрально-разностное уравнение (23) можно заменить дифференциально-разностным уравнением для подынтегральной функции

-2ОС

[3(ы - 2) + 3(2 + Ы ) ] +

+ ОК

д [3(ы - 2) + 3(2 + ы)]

= 0 .

где в соответствии с порядком следования интегралов выполнена замена переменных интегрирования 20 = 2 + ы1 , 20 = 2 - ы2 . Кроме того, использована замена переменных дифференцирования

д =__д_

д 20 д ы2

Подставляя (19) и (20) в (13), получим интегрально-разностное уравнение относительно плотности заряда:

Решение дифференциально-разностного уравнения (24) при 2 Ф 0 будем искать в виде суммы экспоненциальных функций:

пРи к28 0 > 0 —

[3(ы - 2) + 3(2 + Ы)] + =

= С (2) \ ехр

"-2 2ОС0а г

-2 * ОК

Ы +2 2ОС0 а г

+ ехр I -С0-

И * ОК

при к280 < 0 — [3(ы - 2) + 3(2 + Ы)] - =

= С (2) \ ехр

2 2Ос 0а г

-' * ОК

ОК

; 3

Ы+2 2ОС0 а г

+ ехр I -С0-

- * О-

где [3(ы - 2) + 3(2 + ы)] +, [3(ы -2) + 3(2 + ы)] -, ОК(к280,г) — распределения плотностей зарядов и функции Грина при к 80 > 0 и при к 80 < 0 соответственно; С(г) — постоянная интегрирования.

Определим С( ), исходя из начальных условий: при ы = 0 — С(2) = 3(-2) + 3(2);

ы

ы

при г = 0 — С(0) = 2 J(0).

Следовательно, плотность распределения зарядов может быть определена по формулам:

пРи кл0 > 0 —

J + (и ± г) = J(±г) ехр

± г 1

при кг8 0 < 0 —

J (и ± г) = J(г) ехр

^С 0d 1 1

го сигнала ю; ф

1 ™

]ю —^

интервалам

1

а:

1 ^

П

V П (v +1) п

; 1 — аргумент полинома; а± т —

2 2

коэффициенты разложения левой части выражения (29) на простейшие дроби.

V п (V +1) п

Например, на интервалах

при

(V > > 1) функция Грина GK (1, | 1 | ) является почти периодической и хорошо аппроксимируется полиномом не выше четвертой степени, который с точностью до постоянного сомножителя нетрудно представить в виде произведения

2 и

П

Поскольку J ± (и) = J ± (—и), т. е. изменение знака верхнего предела интегрирования в (27)—(28) не приводит к изменению знака интеграла, то условия (22) выполняются, обеспечивая корректность перехода от интегрального уравнения (17) с разностным ядром к интегрально-разностному уравнению (21).

Функции (27)—(28) могут быть использованы в качестве первого приближения при расчете параметров структуры ВШП. Располагая функцией Грина и выражением для плотности распределения поверхностного заряда, можно получить все остальные характеристики поверхностной акустической структуры, например, выражение для проводимости 7Вх (ю) = Г ф(ю, г) J* (г) а г, где ^ (ю) — входная проводимость ВШП для частоты входно-

числа

2 и V п 2 и V п

—1„

, где

V п

— дробная часть от

Тогда тервалах ной функции J (и) =

распределение плотности заряда на ин-

V п (v +1) п _

будет иметь вид степен-

= J

V п

П

2 и

V п

— V

V п

П [—'V, т ] '

а г0 —

поверхностный потенциал; J (г) — сопряженная величина плотности заряда.

Вычисления сингулярных интегралов (27)—(28) можно еще более упростить, если интегралы представить в виде суммы интегралов по конечным

V п (v + 1) п

и подынтегральную

2 2

функцию на каждом интервале (v = 2, 3, ...) аппроксимировать дробно-рациональным выражением

где Ь — постоянный коэффициент; п, V т — соответственно степень и корни полинома, аппроксимирующего функцию 1 GK (кгХ 0, 1 ) на интервале

При использовании аппроксимации (29) задача вычисления плотности распределения зарядов под электродами встречно-штыревого преобразователя сводится к вычислению значений произведения (30).

Методы разложения в асимптотические ряды интегралов со степенным ядром типа (30) рассмотрены в [1].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе уточнены области определения функции Грина, используемой при анализе и синтезе преобразователей на поверхностных акустических волнах.

Предложен метод решения интегрального уравнения с разностным ядром для плотности распределения зарядов под электродом бесконечной длины.

Интегральное уравнение с разностным ядром с помощью интегрирования по частям сведено к дифференциально-разностному уравнению, решение которого получено в замкнутой форме.

т =1

и

т=1

т=1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богословский С.В., Богословский В.С. Теория нестационарного управления. Учеб. пособие. СПб.: ГУАП, 2005. 381 с.

2. Дмитриев В.Ф. Функция Грина потенциала поверхностной акустической волны // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 4. С. 730-735.

3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 387 с.

4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 724 с.

5. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа / Пер. с англ. под ред. Г.М. Голузи-

на. Ч.1. Основные операции анализа. Л.—М.: ГТТИ, 1933. С. 166, п. 14.

6. Ingebrigsten K.A. Surfase waves ln plezoelectrlcs // Applled physlcs. 1969. V. 40, N 7. P.2681-2686.

7. Milsom R.F., Reilly N.H., RedwodM. Analysls of generatlon and detectlon of surface and bulk acoustlc waves by lnter dlgltal transducers // IEEE Trans. on SU. 1977. V. 24, N 5. P. 147-166.

ОАО "Авангард", Санкт-Петербург Материал поступил в редакцию 1.06.2005.

SOLUTION OF A HOMOGENEOUS INTEGRAL DIFFERENCE-KERNEL EQUATION FOR CHARGE DENSITY IN A SURFACE-ACOUSTIC-WAVE TRANSDUCER

S. V. Bogoslovsky

The range of definition of the Green function for the surface acoustic wave potential is accurately specified. The problem of charge distribution is solved, taking into account wave amplitude variations under the electrodes of an inter digital transducer. The initial integral difference-kernel equation which models the charge distribution under the infinite-length electrode is reduced, by partial integration, to a difference-difference equation whose solution is obtained in closed form.