Взаимодействие встречных световых импульсов из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах

ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ

Е.М. Буяновская, С.А. Козлов

Выведены уравнения эволюции поля встречных световых импульсов из малого числа колебаний в диэлектрических средах с нерезонансной дисперсией и безынерционной электронной нелинейностью. Проиллюстрированы изменения структуры поля и спектра низкоинтенсивного импульса при его взаимодействии с высокоинтенсивным встречным импульсом.

Введение

Оптика импульсов из малого числа колебаний светового поля интересна как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения. Для таких импульсов перестает иметь физическое содержание понятие огибающей, поэтому при теоретическом изучении особенностей их распространения в различных оптических средах обычно анализируют динамику непосредственно поля излучения [1, 2]. К настоящему времени изучены многие явления нелинейной оптики импульсов из малого числа колебаний: их временное и спектральное уширение или сжатие, самофокусировка и др. [3-5]. В настоящей работе, по-видимому, впервые теоретически рассмотрено взаимодействие двух встречных предельно коротких (по числу колебаний) импульсов в прозрачной нелинейной среде.

Уравнения динамики поля встречных импульсов при их взаимодействии

в нелинейной среде

Эволюция поля световых импульсов из малого числа колебаний, спектр которых хотя и широк, но лежит в диапазоне прозрачности линейной диэлектрической среды, может быть описана уравнением [1, 2]

д2 Е N2 д2 Е 2N0 д4Е 2д2 Е3 п

0  +-д----ЪЕ _ = 0, (1),

dz2 с2 dt2 с dt4 c " dt2 где E - напряженность электрического поля излучения, с - скорость света в среде, z -направление его распространения, t - время, N0,a,b - параметры, характеризующие нерезонансную зависимость показателя преломления

2 Ь

n = N0 + cao - с—-

о

от частоты a, g = ——, х - нелинейная восприимчивость среды.

c2

Уравнения динамики поля встречных волн будем искать в виде

+ ^dE+ - a^ + b ÍE+ dt' + F+ (E+,E ) = 0 dz с dt dt3 J +

~

dE- N0 dE- д3 E

3 77 t

+ a

- - - -+- / I - - II  I < . II I -

dz с dt dt3

b J E-dt'- F- (E ,E+ ) = 0,

причем эти выражения в линеаризированном виде следуют из линеаризированного уравнения (1) [1, 2] и описывают эволюцию поля Е+ волны, распространяющейся в положительном

направлении оси г, и поля Е_ волны, распространяющейся ей навстречу. Неизвестные функционалы Е+ (Е+ ,Е_) и Е (Е ,Е+ ) характеризуют взаимодействие встречных волн в нелинейной среде.

Продифференцировав уравнения (3) по 2, получим:

-от

д2 Е2 д г2 д2 Е

N02 д2Е+ с2 дг2 N02 д2Е_

д¥ с д г

N 0 д ¥

д ¥ ~д7

д ¥

= 0,

дг2 с2 д г2 с д г дг Суммируя уравнения системы (4) и требуя, чтобы результирующее уравнение для Е = Е2 2 Е_ приняло вид (1), для искомых функций ¥2 и ¥_ можно получить:

„ „2 дЕ+ 2 дЕ_ дЕ2 дЕ_ ^ дЕ2 ^ дЕ_ ¥, = аЕ2—-2 аЕ2-+ аЕ, Е —-2 алЕ, Е -+ аЕ_—-2 аЕ

дг

дг

дг

дг

дг

дг

Г г. г2 дЕ_ 2 дЕ+ дЕ_ дЕ2 2 дЕ_ 2 дЕ2 ¥ = Ъ,Е2-+ ЪЕ2—-2 ЪЕ Е,-+ Ъ.Е Е,—-2 ЪЕ2-+ ЪЕ2 2

дг

дг

дг

дг

дг

дг

3вс 3яс

где а1 = а2 = а5 = Ъ1 = Ъ2 = Ъ5 = ,а3 = а4 = Ъ3 = Ъ4 = •

2 N0

N0

"0 -"0 Таким образом, уравнения, описывающие динамику поля встречных световых импульсов, решения которых являются и решениями полнового уравнения (1), могут быть записаны в виде

дЕ, N0 дЕ+

дг

с дг

-а-

дЕ N 0 дЕ

дг с дг

2 а-

д3 Е+ дг3

д3 Е_

+

1

—ад

г

'+ 3£с

2 N 0 ' 3gc

дг

дг

2 N 0

(Е++ Е )2 д— 2 Е ^(Е 2 2Е+)" у 2 _у дг ~ дг у ~ 2

= 0

= 0.

Аналитическое решение уравнений для случая взаимодействия встречных низко- и высокоинтенсивного импульсов

Рассмотрим случай взаимодействия полей низко- (Е2 ) и высокоинтенсивного (Е _ ) импульсов, для которых уравнения (6) упрощаются и принимают вид:

дЕ+ N 0 дЕ+ 2 2—^—-_а

дг

дЕ дг

с дг с дг

2а

д3 Е 2 дг3

д3Е

"дг3

2

1

—ад

г

Ъ | Е_йг'

2

3gc

2 N0 3gc

Е2 ^ 2 2Е, Е дЕ

2 N 0

Е

дг

дЕ дг

дг

=0

= 0.

Как видно из системы (7), мы предполагаем, что низкоинтенсивная волна не влияет на распространение высокоинтенсивной, но для нее самой нелинейный характер распространения определяется только сильным полем встречной волны [6, 7]. Таким образом, уравнение (7а) для слабого поля Е2 проанализируем в приближении заданного сильного поля встречной волны Е .

Решение (7а) будем искать методом итераций в виде Е2 = е1 2 /ие2, где / - малый параметр, характеризующий нелинейность среды. При этом дисперсионные слагаемые в (7а) в настоящей работе будем полагать более высокого порядка малости. Тогда в первом приближении для е1 получим уравнение

д£1.2 д^=0

дг с дг

N0

которое при переходе в сопровождающую систему координат т = г--- г, г' = г сводится к

с

тривиальному уравнению д* = 0.

дг'

—ад

Его решение s1 (z') = const.

Во втором приближении имеем уравнение для s2:

dS2 , N 0 ds2 + d

dz с dt dt

которое после аналогичного перехода в сопровождающую систему координат принимает вид:

а^+фХ) = о.

dz' дт Решение (11) имеет вид:

S22 = ЩХ dz'.

0 дт

z 0

Таким образом, общее решение для поля низкоинтенсивного импульса в приближении заданного сильного поля встречного импульса может быть записано в квадратурах:

E = s1 + ^ ^C^bldz.

+ 1 2N0 J дт V '

Будем полагать поле высокоинтенсивного импульса имеющим вид E_ = E 0q(т + 2z) sin(т + 2z), где д(т + 2z) - функция прямоугольника, ограничивающая синусоиду на некотором промежутке. Нулевое приближение поля слабого импульса зададим в виде s1 = E+0 f (т) sin(т), где /(т) - также функция прямоугольника. Тогда представляется

возможным проинтегрировать (13) и получить простое аналитическое выражение для поля импульса низкой интенсивности после взаимодействия:

E+ = E+0 sin(t - z)f(t - z) + GE+0 f (t - z )q2 (t + z)[ - 3(sin( 3t + z") - sin( 3t + z0)) + 3(sin(t + 3z') -- sin( t + 3z0)) - 2(sin( t - z") - sin( t - z0))],

где G =-—, Anm = gcE^)_ характеризует нелинейной изменение показателя преломления

4 N0

Изменение поля и спектра низкоинтенсивного импульса при его взаимодействии со встречным высокоинтенсивным импульсом

На рис. 1-3 представлены иллюстрации решения (14). На рис. 1 приведены нормированные временные зависимости полей Е_ высокоинтенсивного импульса и Е+ - низкоинтен-

E

сивного импульса (при —— = 0.2).

E-0

Рис. 1. Электрическое поле встречных импульсов до начала взаимодействия

На рис. 2 представлено изменение поля слабого импульса после взаимодействия ( О = 0,25 • 10-3).

Рис. 2. Исходное распределение поля (1) и добавка (2) к нему, полученная за счет взаимодействия

На рис. 3 приведено результирующее поле низкоинтенсивного импульса после взаимодействия. Как видно из рисунка, происходит обострение структуры электрического поля излучения, характерное при формировании ударной волны.

Рис. 3. Суммарное поле импульса, провзаимодействовавшего с полем встречного импульса

На рис. 4-5 проиллюстрированы исходный спектр низкоинтенсивного импульса и его изменение после взаимодействия с высокоинтенсивным импульсом в нелинейной среде.

Рис. 4. Нормированный спектр поля импульса до взаимодействия

Из рис. 5 видно, что в спектре провзаимодействовавшего импульса появляется излучение на утроенной частоте, которое по максимальной амплитуде составляет примерно 8 % от амплитуды спектра исходного излучения на основной частоте.

G(ío)-G](S3) 1105 ü

-0.05 -0.1

012345678

Рис. 5. Разница между спектрами провзаимодействовавшего G и исходного Gj импульсов

Заключение

В работе выведены уравнения эволюции поля встречных световых импульсов из малого числа колебаний в диэлектрических нелинейных средах. Показано, что в результате взаимодействия в нелинейной среде импульсов высокой и низкой интенсивностей происходит ук-ручение формы электрического поля низкоинтенсивного импульса и появление в нем излучения на утроенной частоте.

Работа поддержана программой «Развитие научного потенциала высшей школы», грант РПН.2.1.1.6877

Литература

1. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. // ЖЭТФ. 1997. Т. 111. В. 2. С. 404-418.

2. Козлов С.А. Нелинейная оптика импульсов предельно коротких длительностей. / В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики, СПб, 2000. С.12-34.

3. Shpolyanskiy Y.A., Belov D.L., Bakhtin M.A., Kozlov S.A. Analytic study of continuum spectrum pulse dynamics in optical waveguides. // Applied Physics B. 2003. V.77. №2-3. Р. 349-356.

4. Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. О самосжатии спектрального суперконтинуума. // Известия РАН. Серия физическая. 2005. Т.69. №8. С.1128-1130.

5. Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Y.A. Self-focusing of few cycle light pulses in dielectric media. // Physical. Review. A72. 2005. 043821 (9 pages).

6. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996. 324 с.

7. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 312 с.

8. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 400 с.

чЦ Г J L

iE)