АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ КООРДИНАТ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

УДК 528.48

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ КООРДИНАТ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

д-р техн. наук, проф. В.П. ПОДШИВАЛОВ, В.А. КУЗЬМИЧ

В практике маркшейдерско-геодезического обеспечения предприятий горнодобывающей промышленности не всегда известны параметры связи различных систем координат. В данной работе представлены результаты применения метода наименьших квадратов для преобразования систем координат. Рассмотрено различное количество связующих пунктов, различное положение этих пунктов на координатной плоскости. Проанализированы разнообразные случаи вычисления предварительных значений параметров преобразования в зависимости от положения пар точек относительно друг друга и остальных пунктов. Алгоритм вычислений реализован на примерах, характеризующих рассматриваемые варианты. Результаты исследования представлены в виде таблиц. Приведена точность преобразований. Представлены предварительные выводы по применению метода наименьших квадратов для осуществления связи между системами координат.

Введение. Преобразование систем координат является важным вопросом в горнодобывающем производстве. При создании маркшейдерско-геодезического обоснования необходимо привязываться к пунктам государственной геодезической сети (ГГС). Это необходимо для того, чтобы получить возможность вести с заданной точностью предстоящие маркшейдерско-геодезические работы в системе координат и отметок исходных опорных пунктов, а также осуществлять контроль и выдерживать необходимую точность выполняемых геодезических работ. От точности преобразованных координат пунктов зависит точность и, соответственно, правильность пространственного расположения построений на основе натурных измерений.

Зачастую необходимо осуществлять связь между различными системами координат, описывающих пункты и реперы государственных, местных и разбивочных сетей.

В процессе строительства и деформации земной поверхности от ведения горных работ происходит утрата части знаков, следовательно, необходимо выполнять дополнительные работы по восстановлению маркшейдерско-геодезического обоснования.

Одним из наиболее широко применимых методов слежения за сохранностью пунктов является мониторинг их пространственного положения от стабильных пунктов Государственной геодезической сети (ГГС), который требует решать задачу связи систем координат, а также анализировать значимость имеющих место изменений пространственного положения центров пунктов маркшейдерско-геодезического обоснования.

Для решения данных задач предлагаем применение метода наименьших квадратов, так как он дает как количественные вероятнейшие значения, так и их интервальные оценки.

Исследования проведены с целью выработки рекомендации по практическому применению метода наименьших квадратов для осуществления связи между различными системами координат, что в свою очередь расширяет возможность практического использования современных технологий маркшейдерско-геодезического обеспечения для модернизации и поддержания на высоком техническом уровне марк-шейдерско-геодезических работ горнодобывающей отрасли.

Ход работы и результаты

В основу анализа данных взята работа [1]. Координаты точек некоторой системы O'XY' преобразовывались в другую систему OXY. Для объективной оценки эффективности алгоритма преобразования систем координат исследования проводились на моделях, когда известны истинные значения координат и параметры связи. В ходе исследования произведен анализ влияния расположения пунктов, их число, расположение связующих точек на параметры преобразования и их точность. Рассмотрено разное количество пунктов в системе (8 пунктов, 16 пунктов и 50 пунктов), а также различное положение связующих точек относительно этих пунктов (табл. 1).

Все вычисления производились в программе Excel, фрагменты исходных данных и алгоритм преобразований представлены в таблицах 2 - 9.

Таблица 1

Расположение пунктов (обозначены мелкими точками) и связующих точек (обозначены крупными точками) относительно их в системе ОХУ

Варианта расположения зующих то' Варианты расположения пунктов

I свя- рассредоточенное сосредоточенное вдоль одной оси сгруппированное

1 2 3

далеко относительно ДРУГ друга, внутри относительно пунктов а-1 л-

Л. - -

а-2 . _ _ _ •

•

•

близко относительно друг друга, внутри относительно пунктов б

- -

. .ф .

далеко относительно друг друга, снаружи относительно пунктов в-1 ---*

- * - «

в-2 --=-=-=— _ _ _ -------- . - ш

*

тт^——

близко относительно друг друга, снаружи относительно пунктов г

- _ % „„.

.....

.¡г-=--=- . _ _ _

. • - ^ • ---г

Таблица 11

Ошибки приближенных и вероятнейших значений параметров преобразования

Расположение пунктов Расположе- Ошибки параметров преобразования

ние 8 пунктов 16 пунктов 50 пунктов

связующих точек Да, м ДЬ, м Да Дт Да, м ДЬ, м Да Дт Да, м ДЬ, м Да Дт

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

До обработки До обработки До обработки

а 0,003 0,012 0°02 '16 п 0,00042 1 0,003 0,012 0°02 '16 п 0,00042 1 0,191 0,07 7 0°00'28 п 0,00025 9

После обработки После обработки После обработки

0,024 0,001 0°00 '44 н 0,00001 7 0,037 0,013 0°02 '10 н 0,00004 2 0,005 0,00 6 0°00' 07 н 0,00009 4

До обработки До обработки До обработки

б 0,049 0,107 2°40 '20 п 0,02201 3 0,049 0,107 2°40 '20 п 0,02201 3 0,185 0,12 5 0°05 '15 п 0,00231 3

После обработки После обработки После обработки

1 0,000 0,007 0°03' 35 н 0,00088 4 2,800 0,720 2°33' 54 н 0,00093 4 0,005 0,00 5 0°00'00 н 0,00010 3

До обработки До обработки До обработки

в 0,251 0,451 0°02 '16 п 0,00084 2 0,251 0,451 0°02 '16 п 0,00084 2 0,347 0,00 3 0°00'28 п 0,00025 9

После обработки После обработки После обработки

0,022 0,026 0°00 ' 34 н 0,00001 5 0,039 0,035 0°02 '09 н 0,00003 5 0,006 0,00 4 0°00' 05 н 0,00007 1

До обработки До обработки До обработки

г 30,22 6 46,89 8 3°39 '18 п 0,01628 8 30,22 6 46,89 8 3°39 '18 п 0,01628 8 18,71 0 9,44 0 0°06'20 п 0,00775 9

После обработки После обработки После обработки

0,018 0,020 0°03'41 н 0,00191 8 0,971 3,289 3°27'06 н 0,00193 1 0,005 0,00 2 0°00'27 н 0,00022 6

До обработки До обработки До обработки

а 0,003 0,012 0°02 '16 н 0,00042 1 0,003 0,012 0°02 '16 н 0,00042 1 0,191 0,07 7 0°00'28 н 0,00025 9

После обработки После обработки После обработки

0,013 0,008 0°02 '11 н 0,00021 0 0,002 0,010 0°02 '15 н 0,00023 7 0,004 0,00 1 0°00' 35 н 0,00003 7

До обработки До обработки До обработки

б 0,049 0,107 2°40 '20 н 0,02201 3 0,049 0,107 2°40 '20 н 0,02201 3 0,185 0,12 5 0°05 '15 н 0,00231 3

После обработки После обработки После обработки

2 0,010 0,005 0°05' 32 н 1,02201 3 0,357 0,427 2°29 ' 36 н 0,00107 1 0,003 0,00 0 0°00' 57 н 0,00027 2

До обработки До обработки До обработки

в 0,251 0,451 0°02 '16 п 0,00084 2 0,251 0,451 0°02 '16 п 0,00084 2 0,347 0,00 3 0°00'28 п 0,00025 9

После обработки После обработки После обработки

0,009 0,072 0°01'26 н 0,00013 5 0,011 0,055 0°02 '07 н 0,00016 6 0,001 0,00 0 0°00'19 н 0,00005 4

До обработки До обработки До обработки

г 30,22 6 46,89 8 3°39 '18 п 0,01628 8 30,22 6 46,89 8 3°39 '18 п 0,01628 8 18,71 0 9,44 0 0°06'20 п 0,00775 9

После обработки После обработки После обработки

0,005 0,040 0°04 '08 п 0,00196 5 3,697 4,130 2°59 '29 п 0,00203 4 0,007 0,00 0 0°00' 04 п 0,00043 8

Окончание таблицы 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

До обработки До обработки До обработки

0,003 0,012 0°02 '16" 0,000421 0,003 0,012 0°02 '16" 0,000421 0,191 0,077 0°00'28" 0,000259

а-1 После обработки После обработки После обработки

0,010 0,004 0°01' 36 н 0,00012 3 0,002 0,005 0°01'15 н 0,00006 2 0,000 0,00 5 0°00'16 н 0,00010 3

До обработки До обработки До обработки

а 0,003 0,012 0°01' 27 п 0,00131 6 0,003 0,012 0°01' 27 п 0,00065 8 0,191 0,07 7 0°00 ' 53 п 0,00013 4

2 После обработки После обработки После обработки

0,015 0,012 0°00 '11 н 0,00023 8 0,000 0,000 0°00 '12 н 0,00012 9 0,000 0,00 6 0°00 '26 н 0,00008 8

До обработки До обработки До обработки

б 0,049 0,107 2°40'20 п 0,02201 3 0,049 0,107 2°40'20 п 0,02201 3 0,185 0,12 5 0°05'15 п 0,00231 3

После обработки После обработки После обработки

0,001 0,002 0°04'29 н 0,00091 5 0,005 0,008 0°15 '17 н 0,00092 3 0,001 0,00 7 0°00'13 н 0,00010 6

3 До обработки До обработки До обработки

в 0,251 0,451 0°02'16 п 0,00084 2 0,251 0,451 0°02'16 п 0,00084 2 0,347 0,00 3 0°00 '28 п 0,00025 9

1 После обработки После обработки После обработки

0,004 0,050 0°01'08 н 0,00008 5 0,006 0,018 0°01'00 н 0,00005 1 0,003 0,00 3 0°00 '11 н 0,00005 6

До обработки До обработки До обработки

в 0,251 0,606 0°01' 27 п 0,00131 7 0,251 0,406 0°01' 27 п 0,00065 8 0,347 0,00 3 0°00 ' 54 п 0,00013 4

2 После обработки После обработки После обработки

0,041 0,048 0°00' 53 н 0,00029 2 0,024 0,012 0°00' 50 н 0,00019 2 0,000 0,00 5 0°00 '19 н 0,00003 2

До обработки До обработки До обработки

30,22 46,89 3°39'18 0,01628 30,22 46,89 3°39'18 0,01628 18,71 9,44 0°06 '20 0,00775

г 6 8 п 8 6 8 п 8 0 0 п 9

После обработки После обработки После обработки

0,003 0,035 0°04' 02 н 0,00195 9 0,031 0,026 0°14'59 н 0,00198 1 0,000 0,00 5 0°00 '17 н 1,00775 9

Таблица 12

Точность вычисления параметров перехода

Рассматриваемые случаи Точность параметров перехода

8 пунктов 16 пунктов 50 пунктов

Ъа Ът ЪЬ Ъа Ът ЪЬ Ъа Ът ЪЬ

1 а 0,000186 0,000186 0,104 0,104 0,000040 0,000166 0,082 0,082 0,000075 0,000075 0,037 0,037

б 0,007407 0,007570 3,604 3,604 0,001723 0,008693 3,869 3,903 0,000078 0,000075 0,037 0,037

в 0,000176 0,000176 0,112 0,112 0,000042 0,000162 0,087 0,087 0,000074 0,000074 0,037 0,037

г 0,013425 0,013644 8,668 8,668 0,003140 0,013408 7,222 7,190 0,000073 0,000074 0,037 0,037

2 а 0,000234 0,000234 0,086 0,086 0,000084 0,000222 0,061 0,064 0,000185 0,000185 0,038 0,038

б 0,002294 0,002345 0,494 0,494 0,001928 0,007484 1,462 1,461 0,000228 0,000228 0,038 0,038

в 0,000228 0,000228 0,108 0,108 0,000091 0,000205 0,073 0,072 0,000161 0,000161 0,038 0,038

г 0,012442 0,012645 5,950 5,950 0,005303 0,012523 4,385 4,366 0,000160 0,000161 0,038 0,038

3 а-1 0,000213 0,000213 0,092 0,092 0,000171 0,000171 0,068 0,068 0,000111 0,000111 0,037 0,037

а-2 0,000243 0,000242 0,105 0,105 0,000185 0,000185 0,074 0,074 0,000111 0,000111 0,037 0,037

б 0,002405 0,002458 0,768 0,768 0,001081 0,001108 0,374 0,374 0,000119 0,000119 0,037 0,037

в-1 0,000202 0,000202 0,107 0,107 0,000160 0,000160 0,072 0,072 0,000105 0,000105 0,037 0,037

в-2 0,000194 0,000194 0,102 0,102 0,000158 0,000158 0,072 0,072 0,000105 0,000105 0,038 0,038

г 0,011224 0,011407 5,979 5,979 0,006000 0,006110 2,750 2,750 0,000105 0,000105 0,038 0,038

Взяты истинные значения координат в системе ОХУ и параметров преобразования (табл. 2, 3); вычислены точные значения координат данных пунктов в системе О'Х'У (табл. 4); с помощью генератора случайных чисел искажали эти значения (табл. 5).

Далее находили приближенные значения параметров преобразования по двум связующим точкам (так как неизвестных всего четыре: а - угол разворота систем координат ОХУ и ОХУ ; а и Ь - координаты центра системы ОХУ в системе ОХУ; т - масштаб преобразования) (табл. 6, 7).

Таблица 2

Точные значения связующих пунктов

Координаты Номера связующих пунктов и значения их координат

1 2 3 4 46 47 48 49 50

х 100,000 10,000 20,000 40,000 60,000 175,000 200,000 30,000 -20,000

у 200,000 30,000 60,000 80,000 26,000 300,000 40,000 20,000 -30,000

Таблица 3

Точные значения параметров преобразования

а а Ь т

0,003489 1000,000 1500,000 1,000000

Таблица 4

Точные значения координат связующих пунктов в системе ОХУ

Координаты Номера связующих пунктов и значения их координат

1 2 3 4 46 47 48 49 50

х 1099,302 1009,895 1019,791 1039,721 1059,909 1173,952 1199,859 1029,930 980,105

у 1700,348 1530,035 1560,069 1580,139 1526,209 1800,609 1540,698 1520,105 1469,930

Таблица 5

Искаженные значения координат связующих пунктов в системе 0X4'

Координаты Номера связующих пунктов и значения их координат

1 2 3 4 46 47 48 49 50

х 1099,069 1010,157 1019,632 1039,924 1059,553 1174,070 1200,044 1029,736 979,749

у 1700,722 1529,637 1559,676 1580,207 1525,310 1800,524 1541,094 1519,711 1470,115

Таблица 6

Координаты двух связующих точек, относительно которых вычисляются приближенные значения параметров преобразования

Координаты Номера связующих пунктов и значения координат

30 19

х 300,000 -200,000

у 150,000 -100,000

х' 1299,134 800,296

У' 1650,738 1399,071

Таблица 7

Приближенные значения параметров преобразования

ао ао Ьо то

0,003600 999,831 1499,737 0,999481

Далее находили вероятнейшие значения параметров преобразования систем координат (табл. 8).

Таблица 8

Вероятнейшие значения параметров преобразования

а а Ь т

0,003530 1000,007 1500,004 0,999824

Затем вычисляли вероятнейшие поправки в координаты системы ОХУ (табл. 9). После введения этих поправок в искаженные значения координат в системе О'Х'У' получали вероятнейшие значения координат в системе ОX4' (табл. 10).

Таблица 9

Вероятнейшие поправки в координаты связующих пунктов

Номера пунктов Поправки в координаты

Дхг. ДУг

1 0,213 -0,401

2 -0,257 0,397

3 0,159 0,388

4 -0,207 -0,077

5 0,146 -0,344

45 0,401 -0,388

46 0,351 0,401

47 -0,154 0,043

48 -0,215 -0,391

49 0,195 0,395

50 0,367 -0,177

Таблица 10

Вероятнейшие значения координат связующих пунктов в системе ОХУ

Координаты Номера связующих пунктов и значения их координат

1 2 3 4 46 47 48 49 50

х 1099,283 1009,899 1019,792 1039,717 1059,904 1173,916 1199,829 1029,931 980,116

у 1700,320 1530,034 1560,064 1580,130 1526,211 1800,567 1540,702 1520,106 1469,939

В заключение производили сравнение вычисленных приближенных и вероятнейших значений параметров преобразования и координат пунктов с точными.

Результаты исследования представлены в таблице 11.

Отклонение вероятнейших значений от истинных показывает, насколько эффективен метод при различных условиях. В таблице 12 показана точность вычисленных значений параметров связи.

В заключение проведенного исследования по применению алгоритма преобразования систем координат по методу наименьших квадратов можно сделать следующие выводы:

- применялся модельный способ, что позволяет объективно оценить отклонение вероятнейших значений исследуемых величин от их истинных значений;

- во всех случаях, рассмотренных в данной работе, имеет место эффект математической обработки по методу наименьших квадратов. Искаженные значения параметров преобразования и координат пунктов значительно приближаются к истинным;

- наибольший эффект заметен, когда имеется достаточно большое количество пунктов с известными координатами. Эти пункты должны быть сгруппированы как можно ближе друг к другу (хотя бы по одной из координат (х или у), а связующие пункты, относительно которых вычисляются приближенные значения параметров преобразования, наоборот, должны быть разнесены как можно дальше;

- нет необходимости существенно увеличивать число избыточных значений координат связующих пунктов в двух системах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Подшивалов, В.П. Оценка параметров преобразования координат на плоскости методом наименьших квадратов / В.П. Подшивалов // Автоматизированные технологии изысканий и проектирования. - М., 2010. - № 7. - С. 69 - 71.

Поступила 04.12.2013

ANALYSIS OF THE ACCURACY OF COORDINATE SYSTEM TRANSFORMATION BY THE MEANS OF THE LEAST SQUARES METHOD

U. PADSHYVALOU, V. KUZMICH

In the practice of survey and geodesic support of mining ventures the characteristics of the connection of various coordinate systems are not always known. In the article the results of applying of least squares method for coordinate system transformation are presented. Various numbers of points and their different positions on the coordinate plane are reviewed. Various cases of calculation of tentative value of transformation characteristics depended on the position of the pairs ofpoints respecting each other and the other points are analyzed. The algorithm of the calculation is realized on the examples, characterizing the variants under study. The results of the research are presented in the form of tables. The transformation accuracy is given. Preliminary conclusions about the further applying of the least squares method for connecting coordinate systems are drawn.