Моделирование оценок перегруженности транспортной сети и вариантов ее развития

Методы анализа Methods ofanutysis

УДК 338.22.021.4

моделирование оценок перегруженности

_ _ __ _ __ _ ,

транспортной сети и вариантов ее развития*

modeling of the overburdened transport network evaluations and its development variants*

Наталья Ивановна БЕЛОУСОВА,

доктор экономических наук, ведущий научный сотрудник, Институт системного анализа Российской академии наук E-mail: belousova@isa.ru Елена Михайловна ВАСИЛЬЕВА, доктор экономических наук, ведущий научный сотрудник, Институт системного анализа Российской академии наук E-mail: vasileva@isa.ru Сергей Петрович БУШАНСКИЙ, кандидат экономических наук, старший научный сотрудник, Центральный экономико-математический институт Российской академии наук E-mail: dbd-s@yandex.ru

Представлены результаты разработки методологии моделирования экономических оценок деятельности перегруженных транспортных сетей. Методология ориентирована на формирование обоснованного и обозримого множества вариантов развития сети с использованием естественно-монопольных характеристик с последующим выбором наиболее эффективных альтернатив на основе инструментария инвестиционного проектирования.

Ключевые слова: транспортные сети, экономия от масштаба, экономия от структуры, топология сети, нелинейная оптимизация, оценки эффективности, сетевые инвестиционные проекты.

Natal'ia I. BELOUSOVA,

Doctor of Economics Sciences, Leading Researcher, Institute for Systems Analysis of Russian Academy of Sciences E-mail: belousova@isa.ru Elena M. VASIL'EVA, Doctor of Economics Sciences, Leading Researcher, Institute for Systems Analysis of Russian Academy of Sciences E-mail: vasileva@isa.ru Sergei P. BUSHANSKII, PhD of Economics Sciences, Senior Researcher, Central Economics and Mathematics Institute, RAS E-mail: dbd-s@yandex.ru

The paper describes the results of the methodology elaboration for modeling economic evaluations of overburdened transport networks. Data generation is based on models of non-linear optimization of network transport problems. The methodology is focused on the formation of a sound and a foreseeable variety of development variants of the network using a natural monopoly characteristics, and then selecting the most effective alternatives on the basis of socio-economic cost-benefit analysis.

Keywords: transport networks, economies of scale, economies of scope, network topology, nonlinear optimization, network investment projects, the natural monopoly.

* Статья подготовлена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда, проект № 12-02-00119а.

* Article is prepared with financial support of the Russian humanitarian scientific fund, the project no. 12-02-00119a.

В условиях роста спроса на грузовые и пассажирские перевозки по сетям отдельных видов транспорта (или территориальным транспортным подсистемам) возникают и могут в перспективе ужесточаться режимы перегрузки существующих транспортных сетей, в том числе внегородских. В таких режимах многие звенья сети близки к исчерпанию пропускных способностей, отсутствуют необходимые резервы, сеть работает зачастую по инерции со значительным снижением эффективности, перерасходом издержек на транспортировку. Для исключения (или ослабления в экономически рациональных пределах) подобных режимов требуются значительные инвестиции, при оценке эффективности которых с позиции системного анализа необходимо рассмотрение широкого спектра обоснованных вариантов сетевых инвестиционных проектов [4, 6]. Поэтому для построения соответствующих управленческих решений в системе государственного регулирования актуальной является разработка инструментария, специально ориентированного на учет фактора перегруженности сетей.

Проблема перегруженности транспортной сети и проектирования ее развития до уровня, соответствующего спросу на перевозки с учетом рациональных резервов пропускных способностей, не нова. Она по-прежнему актуальна для российской экономики с недостаточным уровнем развития инфраструктурных подсистем и обеспеченности национального хозяйства производственной инфраструктурой, значительной изношенностью транспортных сетей, что требует усиления технического оснащения постоянных устройств, преобразования конфигурации сети и увеличения ее плотности. Так, для сетей внегородских автомобильных дорог проблема перегруженности обусловлена такими факторами [3], как отставание темпов строительства дорог от темпов автомобилизации, которое заметно обострилось в последние два десятилетия, ухудшение условий финансирования строительства в сочетании с его существенным удорожанием. Кроме того, имеет место низкая плотность внегородских сетей разного уровня как давнее следствие реализации в нашей стране многолетней запаздывающей стратегии развития производственной инфраструктуры, в том числе неразвитость дорог местного значения, усиливающая перегруженность магистралей. При этом для транспортного планирования характерны недостаточная (с позиций интересов общества) обоснованность проектов развития сети,

зачастую принимаемых в качестве приоритетных, ориентация на поддержку проектов международных транспортных коридоров в ущерб развитию местных транспортных сетей.

Конечно, имеют место реальные сложности транспортного планирования и проектирования сетей; во многом они обусловлены значительной неопределенностью исходной информации о расположении и стоимости новых трасс. Затраты на строительство и даже реконструкцию дорог могут занижаться в несколько раз на предпроектной стадии экономических изысканий, а проблема выбора проектируемой трассы осложняется недостаточно активным участием государства в вопросах зем-леотвода под новое строительство. Фактически рекомендуемый вариант трассы определяется скорее возможностями проектных организаций получить необходимые согласования, чем принятыми критериями социально-экономической эффективности.

К тому же практическое решение задач оптимизации экономических издержек на развитие сети и перевозки с учетом возможностей расширения топологии осложнено тем, что количество потенциальных новых дорог по начертанию может быть очень большим.

Для формирования обозримого множества экономически целесообразных вариантов развития перегруженных транспортных сетей и принятия более обоснованных управленческих решений могут быть полезны модели анализа естественно-монопольных свойств сети.

Методология формирования экономических оценок деятельности перегруженных транспортных сетей. При построении вариантов развития перегруженной сети на первый план выходят вопросы экономической целесообразности не только модернизации и усиления существующих звеньев, но и изменений в исходной топологии (повышения ее плотности, добавления отдельных звеньев или их цепочек для расшивки узких мест, дублирования фрагментов сети и т. п.), оценки социально-экономической эффективности таких изменений. Теоретическое решение этих вопросов входит непосредственно в построение моделей и методов оптимизации транспортных сетей с нелинейными характеристиками, формирование основного критерия при отборе инвестиционных проектов -чистого дисконтированного дохода - с учетом полного набора составляющих затрат и результатов. В прикладном же аспекте при решении математичес-

ки сложных задач рассматриваемого типа, к тому же обладающих большой размерностью, обычно ограничиваются моделированием развития сети заданной (фиксированной) топологии, и анализ изменений топологических свойств транспортной сети приходится рассматривать как самостоятельную задачу [6, 7].

Для решения задачи экономической целесообразности того или иного типа расширения исходной топологии транспортной сети мезоуровня, работающей с высоким уровнем загрузки, предлагается подход, базирующийся на сочетании методов оптимизации нелинейных сетевых транспортных задач, инвестиционного проектирования и анализа естественно-монопольных свойств целостных и территориально неделимых инфраструктурных подсистем. Предлагаемый подход может быть представлен следующим образом.

Набор рассматриваемых вариантов сетевых инвестиционных проектов формируется с помощью информационной технологии синтеза сложных сетевых структур (ГГ^), разрабатываемой совместно Институтом системного анализа РАН и Центральным экономико-математическим институтом РАН [1]. Одним из ключевых элементов применяемых алгоритмов для сетей с нелинейными характеристиками является метод пошагового распределения потоков, базирующийся на обобщении введенного Л. В. Канторовичем понятия потенциальности оптимального плана перевозок, когда на каждом шаге корреспонденция направляется по кратчайшим путям, а в качестве длин дуг принимаются предельные издержки, включая затраты на оптимальную (при найденном объеме потоков) реконструкцию звена [7, 8].

В современную версию ГГ^ включены модификации базовых моделей, связанные с необходимостью учета самоорганизующихся потоков. Помимо нормативно-дескриптивных систем включены модели уточнения критериальных показателей выбора вариантов развития сети, учета индуцированного спроса, различных схем финансирования развития сети, а также реализующий эти модели в диалоговом режиме соответствующий программный комплекс.

Анализ естественно-монопольных свойств транспортных сетей базируется на специальных моделях оценки ее деятельности с учетом возможных перегрузок. Эти модели ориентированы на установление факта наличия дополнительной экономии издержек производства услуг, которая при эффективной организации может быть характерна для се-

тевых технологий. Такая дополнительная экономия, отвечающая оптимальным способам производства, математически выражается через свойство субаддитивности совокупных издержек, которым согласно теории [2, 10] обладают естественные монополии. В сетевой трактовке именно субаддитивность определяется как характеристика эффективных способов организации и взаимодействия корреспонденций по кратчайшим (в смысле минимальных издержек) маршрутам [4]. Как потенциальные естественные монополии рассматриваются целостные сети, которые по технологическим и иным социально-экономическим причинам расщеплять нецелесообразно, напротив, имеет смысл усиливать и развивать, увеличивая разветвленность, плотность сети и т. п.

Нарушение субаддитивности при резком росте затрат в связи с увеличением загрузки трактуется как показатель перегруженности сети, существенной концентрации потоков на отдельных направлениях, излишней неравномерности при их распределении из-за слабой разветвленности, плотности сети, недостатка параллельных маршрутов и замкнутых контуров. При этом под перегруженностью звена или маршрута, например, автодорожных сетей имеются в виду необязательно затрудненные условия движения автомобилей с периодическими заторами. Уровень загрузки звеньев может соответствовать нормативному (примерно две трети и меньше от пропускной способности), но при этом строительные затраты на обеспечение нормальных условий движения существенно возрастают.

Процедуры проверки естественно-монопольных свойств транспортных сетей предполагают тестирование общесетевой функции издержек на субаддитивность. Это связано с расчетами технологических детерминант, прежде всего таких индикаторов, как экономия от масштаба и экономия от структуры. Индикатор экономии от масштаба позволяет соизмерять динамику издержек и выпускаемой продукции, при этом используются коэффициенты затратных эластичностей. В тех случаях, когда темпы прироста издержек начинают обгонять темпы прироста выпуска (спроса на перевозки), выполняется соотношение 5 < 1. Работу сети в этом смысле можно считать неэффективной, и при дальнейшем увеличении спроса, вызывающем резко нелинейный рост издержек, происходит (даже при выполнении необходимых мероприятий по усилению пропускных способностей) переход к режимам перегруженности.

Для диагностики перехода используется индикатор экономии от структуры SC, который в рамках принятой сетевой трактовки субаддитивности позволяет уловить, при каких (задаваемых, причем растущих) объемах спроса существующая топология сети становится недостаточной. Более того, SC (или его аналог ASC) может служить мерой в относительных (или в абсолютных) единицах перерасхода (или упущенной экономии) затрат из-за смены нормального режима работы сети на режим перегруженно сти.

В предположении о перемещении по сети однородного продукта (объемы которого измеряются некоторой обобщенной величиной грузо- и пассажиропотоков), т. е. в однопродуктовом случае, показатель SC полностью идентифицирует свойства естественной монополии. Другими словами, смена знака этого индикатора (с положительного на отрицательный) однозначно указывает на исчерпание области субаддитивности совокупных издержек, связанное с усилением нелинейности их роста по мере роста спроса на перевозки, соответственно, переход к работе сети в режиме перегрузки. При этом значение SC показывает, на сколько процентов можно было бы снизить совокупные издержки, если вернуться к нормальному режиму работы сети, например, расширяя топологию сети путем дублирования ее звеньев и перераспределяя потоки по предельным издержкам. Соответственно, ASC показывает потенциально возможную дополнительную экономию совокупных издержек в абсолютном выражении, если, например, проложить новые маршруты следования корреспонденций, построив дороги-дублеры, и перераспределить потоки также по предельным издержкам или, напротив, часть объема спроса передать альтернативным видам транспорта.

Согласно теории такие индикаторы должны рассчитываться для оптимальной технологии, которой при фиксированном объеме спроса отвечают минимальные совокупные издержки на транспортировку и необходимое техническое усиление сети при неизменной исходной ее топологии. Требуемые данные, как правило, не являются наблюдаемыми, и в прикладных целях требуемую информацию приходится моделировать специально. Для транспортных сетей при соответствующей вариации параметров по спросу на перевозки и объемам инвестиций в развитие сети возможности генерации требуемых данных обеспечивает IT-S, поскольку она направлена именно на оптимизацию сетевой технологии.

Для анализа топологических свойств транспортных сетей (в том числе региональных) может быть полезно введение иерархии естественных монополий, отвечающей часто используемым при моделировании сетевых задач конструкциям: сеть в целом (страны или региона) - фрагмент сети как совокупность части объектов сети - изолированный объект сети, например отдельное звено. Тогда по характеристикам функций издержек можно говорить о естественно-монопольных свойствах не только сети в целом, но и отдельных звеньев или их цепочек, соответствующих маршрутам следования корреспонденций. На агрегированном общесетевом уровне значения технологических детерминант S и SC позволяют отвечать на вопросы о достаточности, точнее, недостаточности топологии исходной сети.

Однако и при сохранении транспортной сетью в целом статуса естественной монополии ряд фрагментов сети, ее звеньев может по-прежнему испытывать перегрузки, образуя узкие места. Поскольку сеть неоднородна по уровню потоков и плотности дорог, на ее отдельных участках естественно-монопольные свойства могут нарушаться. Для обоснования строительства дублирующих участков и (или) обходных маршрутов по близким направлениям можно использовать соответствующие анализируемому уровню сетевой иерархии локальные функции издержек, аналоги требуемых для диагностики естественно-монопольных свойств технологических детерминант. При этом для выявления подобных фрагментов (отдельных звеньев, их цепочек по маршрутам следования корреспонден-ций и т. п.) и анализа их топологических свойств можно предложить алгоритмические процедуры поиска (с элементами эвристики), также использующие характеристики, подобные индикатору экономии от структуры (типа ASC).

Два одинаковых параллельных звена в действительности построить невозможно, во-первых, из-за плотной застройки вокруг существующих звеньев, во-вторых, из-за роста капитальных затрат на сооружение развязок. При проектировании сети желательно более равномерно распределять потоки по территории. Стоимость строительства новых звеньев характеризуется существенной неопределенностью и относительно точно известна после завершения стадии технико-экономического обоснования, которое требует дополнительных трудовых и финансовых затрат. Поэтому важно при моделировании на предпроектной стадии выбирать

варианты потенциального расширения топологии, которые оставались бы эффективными, даже если предварительная оценка стоимости строительства окажется существенно заниженной.

В целом сочетание указанных подходов позволяет построить эвристические критерии оценки достаточности топологии сети на основе указанных индикаторов эффективности применительно к фрагментам сети автомобильных дорог с учетом неопределенности издержек на создание новых подсетей и внетранспортного эффекта от улучшения транспортной доступности.

Результаты компьютерных экспериментов для сети автомобильных дорог региона. Эксперименты по моделированию характеристик проводились как на агрегированном общесетевом уровне (первая серия расчетов), так и на уровне отдельных звеньев или их цепочек (вторая серия расчетов). Приведем результаты расчетов для однопродуктового случая, когда принято предположение о перемещении по сети однородного продукта, измеряемого обобщенной величиной грузо- и пассажиропотоков.

В первой серии расчетов анализировались естественно-монопольные свойства на общесетевом уровне [9], и результаты экспериментов показали следующее. Судя по расчетным значениям экономии от масштаба для дорожной сети (вопреки распространенным представлениям о транспортных сетях как инфраструктурных подсистемах, для которых характерно превышение средних издержек над предельными) существуют области спроса на перевозки, где это соотношение нарушается. Экономия от масштаба 5 при растущем спросе и ограничениях на инвестиции становится падающей. Это означает, что хотя сеть и справляется с перевозками, но перегружена при заданной топологии. Тогда в рамках принятой методологии целесообразно увеличить плотность сети и создать дублирующие маршруты. Расчеты показывают, что даже если продублировать сеть полностью, возникают ситуации, при которых перерасход дополнительных инвестиций на строительство дублирующей сети не будет компенсирован экономией издержек при ее эксплуатации. Другими словами, имеют место как положительные, так и отрицательные значения БС, причем в более широкой области, чем область, идентифицируемая значениями 5 > 1. То есть в условиях перегруженности, порождаемой растущим спросом на перевозки, сеть утрачивает свойства естественной монополии.

Во второй серии расчетов моделирование характеристик осуществлялось на уровне отдельных звеньев или их цепочек (см. рисунок). При проведении компьютерных экспериментов по формированию маршрутов, расширяющих топологию сети, расчеты проводились в два этапа. На первом этапе анализировались естественно-монопольные свойства для отдельных звеньев сети с учетом развития их технического состояния, были найдены оптимальные издержки на каждом звене для 200 точек спроса (от 2 тыс. до 200 тыс. автомобилей в сутки с шагом 1 тыс.). При этом для каждого звена было предусмотрено несколько вариантов технического развития от начального естественного состояния (грунтового покрытия) до 10-полосной магистрали (5 + 5), и в затраты на реконструкцию укрупненно включались и затраты на строительство развязок.

Для анализа субаддитивности в каждой точке спроса - через соответствующий объектному уровню иерархии аналог экономии от структуры ASC -использовались все полученные значения оптимальных издержек при меньших объемах спроса. Например, издержки в точке «3 тыс.» сравнивались с суммой издержек в точках «2 тыс.» и «1 тыс.», издержки в точке «4 тыс.» - с суммой издержек в точках «3 тыс.» и «1 тыс.» и в точках «2 тыс.» и «2 тыс.» и т. д. Чем выше уровень потоков, тем больше бинарных разбиений использовалось для расчета ASC. Затем из всех вариантов разбиений выбиралось наименьшее значение ASC, которое и принималось как итоговая характеристика: насколько нарушены (если нарушены) условия субаддитивности на звене для данного уровня потоков.

На втором этапе решалась сетевая задача распределения экспертно заданных объемов корреспон-денций по наилучшим маршрутам с учетом развития технических состояний звеньев сети (в данной серии расчетов без ограничений на бюджет инвестиций). Предполагалось, что каждый узел (кроме узлов, обозначенных на рисунке пунктиром) характеризуется ненулевым объемом корреспонденций в другие узлы.

Полученные в оптимальном решении значения интенсивности движения на каждом звене соотносились с интервалами значений, проанализированными для всех звеньев на первом этапе расчетов. Для определения ASC в точке из соответствующего интервала проводилась линейная интерполяция, т. е. значение ASC оценивалось на основе допущения, что в границах интервала это линейная функция от интенсивности движения.

Варианты новых дорог

Варианты новых дорог, включенные в план развития сети

Конфигурация анализируемой сети

В таблице приводятся значения ASC для отдельных звеньев сети. Отрицательное значение ASC означает, что ввод в модель нового параллельного звена с такими же параметрами, как и существующее, в оптимальном решении даст дополнительную экономию совокупных затрат.

Используя анализ суббадитивности издержек звеньев и цепочек звеньев, дополним исходную топологию сети так, чтобы убрать потоки с перегруженных звеньев (линии, обозначенные на рисунке большим ромбом в центре) на маршруты из звеньев, где условия субаддитивности не нарушены (обыч-

Расчетные значения ASC и оптимальных потоков по некоторым звеньям сети

для исходной и новой топологии

Параметр Звенья

1-11 10-11 7-10 11-22 22-23 12-15 8-18 18-34 23-34 24-34 18-27 26-35

Исходная сеть

Потоки автомобилей, тыс./сут. 96 136 69 186 177 32 78 70 138 129 26 26

ASC, млн руб. -26 -45 -89 -325 -112 -66 -60 -77 -99 -65 -47 -30

Новая сеть

Потоки автомобилей, тыс./сут. 24 87 24 108 108 11 116 61 106 104 63 12

ASC, млн руб. -26 0 -16 -69 -29 7 -66 23 -58 -14 15 9

ные линии) или могут выполняться при увеличении потоков (линии с кругом в центре), избегая при этом дополнительной нагрузки на звенья с небольшими (по абсолютной величине) и убывающими значениями индикатора ASC (линии с небольшим ромбом в центре).

Пунктирными линиями показаны рассмотренные варианты новых дорог, наилучшие из них (включенные в новый оптимальный план развития сети) обозначены жирным пунктиром.

Новые цепочки звеньев «2-36-30», «2-36-31», «29-36-30» позволяют разгрузить существующий перегруженный маршрут « 11-22-23-34», увеличивая нагрузку на звено «18-27», издержки которого с учетом затрат на развитие становятся субаддитивными (см. таблицу). Звено «4-7» дублирует дорогу «10-11» и является частью нового маршрута «4-7-37-12-15-17», улучшающего связность сети и сокращающего расстояния поездок для ряда кор-респонденций.

Список литературы

1. Белоусова Н. И., Бушанский С. П., Васил ьева Е. М., Лившиц В. Н., Позамантир Э. И. Информационная технология синтеза сложных сетевых структур нестационарной российской экономики: модели, алгоритмы, программная реализация // Аудит и финансовый анализ. 2008. Вып. 1. С. 50-88.

2. Белоусова Н.И., Васильева Е.М., Лившиц В. Н. Модели идентификации естественных монополий и государственного управления ими (возможности расширения классической теории) // Экономика и математические методы. 2012. Т. 48. № 3. С. 64-78.

3. Бушанский С. П. Проблемы снижения стоимости строительства автомобильных дорог. Национальные интересы: приоритеты и безопасность. 2013. № 18. С. 9-15.

Добавление новых звеньев позволяет улучшить оптимальное значение чистого дисконтированного дохода NPV (рассчитанного за 20-летний период эксплуатации сети) на 20 млрд руб. в ценах 2012 г. при снижении суммарных строительных затрат на 18 %. Улучшится и суммарный для сети (по всем звеньям) показатель ASC - с -846 до -88 млн руб.

Таким образом, предлагаемые показатели могут быть полезны при составлении перспективных схем развития транспортных сетей при диагностике узких мест и сокращении их количества, экономической целесообразности дублирования конкретных фрагментов сети, расширения ее исходной топологии.

Проводимые в настоящее время исследования и дальнейшие эксперименты для реальных сетей автомобильных дорог по учету их естественно-монопольных свойств направлены на разработку алгоритмических процедур (с элементами эвристики), позволяющих обоснованно формировать множество рассматриваемых вариантов в расчетах оценок эффективности инвестиционных проектов.

4. Васильева Е. М. Формирование оценок эффективности естественно-монопольных производственных систем. М.: ЛИБРОКОМ, 2008.

5. Канторович Л. В. О перемещении масс // Доклады АН СССР. 1942. Т. XXXVII. № 7-8. С. 227-229.

6. Лившиц В. Н. Системный анализ экономических процессов на транспорте. М.: Транспорт, 1986.

7. Лившиц В. Н. Выбор оптимальных решений в технико-экономических расчетах. М.: Экономика, 1971.

8. Лившиц В. Н. О двух юбилеях одной классической теоремы Канторовича // Экономика и математические методы. 2009. Т. 45. № 4. С. 16-28.

9. Лившиц В. Н., Белоусова Н. И., Бушанский С. П., Васильева Е. М., Гук С. Н. Анализ динамики технологи-

ческих детерминант естественно-монопольных транспортных сетей при оптимальном их развитии // Аудит и финансовый анализ. 2011. Вып. 4. С. 138-159.

List of references

1. BelousovaN. I., Bushanskii S. P., Vasil 'eva E. M., Livshits V.N., PozamantirE.I. Information Technology of Synthesis of the Difficult Network Structures of Non-stationary Russian Economy: Models, Algorithms, Program Implementation [Informatsionnaia tekhnologiia sinteza slozhnykh setevykh struktur nestatsionarnoi rossiiskoi ekonomiki: modeli, algoritmy, programm-naia realizatsiia], Audit i finansovyi analiz - Audit and financial analysis, 2008, no. 1, pp. 50-88.

2. Belousova N. I., Vasil'eva E. M., Livshits V. N. Models of identification and state regulation for natural monopolies. Opportunities of extending the classical theory [Modeli identifikatsii estestvennykh monopolii i gosudarstvennogo upravleniia imi: vozmozhnosti rasshireniia klassicheskoi teorii], Ekonomika i matem-aticheskie metody - Economics and mathematical methods, 2012, vol. 48, no. 3, pp. 64-78.

3. Bushanskii S. P. The problem of reducing the cost of road construction [Problemy snizheniia stoimos-ti stroitel'stva avtomobil'nykh dorog], Natsional'nye interesy: prioritety i bezopasnost'- National interests: priorities and security, 2013, no. 18, pp. 9-15.

4. Vasil 'eva E. M. Formation of the effectivity evaluations for natural monopoly of production systems [Formirovanie otsenok effektivnosti estestvenno-monopol'nykh proizvodstvennykh sistem], Moscow: LIBROCOM, 2008.

10. Baumol W.J., Panzar J. C., Willig R. D. Contestable Markets and the Theory of Industry Structure, N. Y.: Harcourt Brace Jovanovich, 1982.

5. Kantorovich L. V. On the transfer of masses [O peremeshchenii mass], Doklady ANSSSR - Reports of the Academy of Sciences USSR, vol. 37, pp. 227-229.

6. Livshits V. N. Systems analysis of economic processes in transport [Sistemnyi analiz ekonom-icheskikh protsessov na transporte], Moscow: Transport, 1986.

7. Livshits V. N. Selection of optimal solutions in the technical and economic calculations [Vybor optimal'nykh reshenii v tekhniko-ekonomicheskikh raschetakh], Moscow: Economica, 1971.

8. Livshits V. N. On two anniversaries of a classical theorem of Kantorovich [O dvukh iubileiakh odnoi klassicheskoi teoremy Kantorovicha], Ekonomika i matematicheskie metody - Economics and mathematical methods, 2009, vol. 45, no. 4, pp. 16-28.

9. Livshits V. N., Belousova N. I., Bushanskii S. P., Vasilyeva E. M., Huk S.N. Dynamic analysis of technological determinants for natural monopoly transport networks under optimal expansion [Analiz dinamiki tekhnologicheskikh determinant estestvenno-monopol'nykh transportnykh setei pri optimal'nom ikh razvitii], Audit i finansovyi analiz - Audit andfinancial analysis, 2011, no. 4, pp. 138-159.

10. Baumol W. J., Panzar J. C, Willig R. D. Contestable Markets and the Theory of Industry Structure, N. Y.: Harcourt Brace Jovanovich, 1982.