Условие прочности горных пород

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 622

УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД

Жабко А. В.

На основании ранее выполненных автором исследований в работе предлагается критерий разрушения твердых тел (горных пород). Излагаются методологические основы его получения с краткими теоретическими выкладками. Производится его анализ и интерпретация получаемых результатов. Анализируется значение угла наклона наиболее опасной площадки среза в предельном равновесии для различного уровня напряженного состояния. Показывается, что значение данного угла не является постоянной величиной, а зависит от значений предельных компонент главных напряжений. Рассматриваются частные случаи предлагаемого критерия для идеально сыпучих и идеально связных сред. Указывается на принципиальное отличие критериев Кулона и Мора. Указывается на преимущества предлагаемого критерия перед известным аналогом при его использовании в качестве поверхности текучести (пластического потенциала). Дана физическая интерпретация явлению дилатансии при разрушении твердых тел. Ключевые слова: критерий разрушения; условия равновесия; дифференциальное уравнение; главные напряжения; угол наклона площадки скольжения; критерий Кулона; критерий Мора; ассоциированный закон пластического течения; коэффициент дилатансии; пластическое деформирование.

В работе [1] автором получен критерий разрушения горных пород, имеющий следующий вид:

о3 = Oj - 2C„ /1 -

tg Ф°1

где o3, Oj - главные напряжения; С - сцепление; ф - угол внутреннего трения.

Рассмотрим полупространство

эпюры горизонтальных напряжений с глубиной

составляющей компоненты горизонтальных напряжений сводится к определению этой эпюры, то есть к определению закона рас-

пределения нормальных напряжений с глубиной. Для определения эпюры распределения напряжений необходимо знать положение и форму поверхности скольжения, по которой будет разрушен массив, а также располагать условием равновесия породной призмы. Условие равновесия призмы смещения вдоль произвольной поверхности скольжения имеет следующий вид [2, 3]:

|[у( У - У)(y'-f)-C (1 + у'2 ) + (Т' + fE') y']dx +

+

где у - объемный вес горных пород; у, у -функции линий откоса и поверхности скольжения, соответственно; у' - производная функции поверхности скольжения; Т Е Т Е1 - внешние касательные и нормальные реакции на вертикальных гранях призмы смещения, соответственно, слева и справа; f = tg ф - коэффициент внутреннего трения (тангенс угла внутреннего трения); C - сцепление массива горных пород; E',Т' - соответственно производные функций нормальной и касательной составляющих межблоковой реакции.

Для использования выражения (2) необходимо знать закон распределения межблоковых реакций вдоль поверхности скольжения.

24

Известия Уральского государственного горного университета

С другой стороны, в работе [1] показывается, что для обнажений типа «вертикальный откос» условие равновесия имеет следующий вид:

{\j( У - У)(У-f )-с (l + у’2)] dr +

+

Наиболее слабая поверхность скольжения определяется решением следующей вариационной задачи [1]:

{[у

Дифференциальное уравнение поверхности скольжения имеет следующий вид [1]:

С

Ytg Ф

Потенциальные поверхности скольжения, описываемые уравнением (5) для различных глубин, приведены на рис. 1.

Перейдем к анализу выражения (1). Его можно представить в следующем виде:

О3 = Oi - 2Ctg у,

где у - угол наклона наиболее опасной площадки скольжения к направлению действия главного напряжения.

Если о3 = 0 (одноосное сжатие), то

п ф ,

у = — + — ,а о1 = осж (осж - предел прочности на одноосное сжатие). При увеличении о3 (сжимающие напряжения считаются положительными) угол наклона критической площадки также увеличивается. Если выполняется условие ор < о3 < 0 (ор - предел прочности на одноосное растяжение), то у < П + ф .

В случае, если материал имеет пластический характер разрушения, то есть ф = 0, угол наклона критической площадки среза является постоянной величиной, не зависящей от уровня напряжений, и равен у = 45о. А критерий (1, 6) принимает вид:

0 - 03 = 2С. (7) Выражение (7) есть не что иное, как известный критерий разрушения Треска (Сен-Венана) (1868) [4].

Для идеально сыпучих материалов (С = 0), критерий (1) дает выражение:

О = °3.

Формула (8) выражает условие равновесия жидкости, что соответствует гидростатическому полю распределения напряжений. При С ^ 0 угол наклона критической площадки скольжения возрастает до у = 90о, а второе слагаемое в правой части уравнения (1), которое можно назвать девиаторным, стремится к нулю.

Необходимо также отметить, что среду с отсутствием сцепления нельзя ассоциировать, например, с отвалом горных пород, в котором величина сцепления анизотропна. С другой стороны, полное отсутствие сцепления (сопротивления разрыву) и внутреннего трения (вязкости) соответствует определению идеальной жидкости.

Из выражения (1) также следует, что для высокого уровня напряжений предельные компоненты главных напряжений равны:

lim — = 1.

0i ж ш о.

Из выражений (8) и (9) следует, что для несвязных материалов и материалов, обладающих сцеплением, но находящихся в условиях высоких напряжений, условия предельного равновесия совпадают. Другими словами, можно говорить о том, что на больших глубинах породы проявляют свойства жидкости.

Очевидно, что напряжение о1 в критерии (1) не может быть отрицательным, поэтому, положив о1 = 0, получим о3 = -2С. То есть предел прочности на растяжение по модулю не может превышать двойного сцепления (|ор < 2C).То есть для несвязных материа-

лов <гр = 0 .

Заметим, что при выводе условий равновесия (2, 3) и определении геометрии наиболее опасной поверхности скольжения (4, 5) использовался линейный критерий Кулона (1776) [4]:

т = ои tg ф + C,

где т, оя - предельные касательные и нормальные напряжения на площадке среза, соответственно.

№ 4(36), 2014

25

Уравнение (10) в литературе часто называют критерием Кулона - Мора, Мора - Кулона или просто Мора. В 1900 году Мор предложил общую форму критерия прочности, связывающую главные нормальные напряжения, причем конкретную функциональную зависимость он не предлагал. В дальнейшем было предложено построение паспорта прочности (10) в виде огибающей предельных кругов Мора. Отметим, что в случае криволинейной огибающей предельных кругов Мора угол наклона критической площадки среза к линиям действия главных напряжений будет меняться, что противоречит существующей теории.

Однако заметим очень важное различие между критериями Кулона и Мора. Критерий Кулона в форме (10) был получен чисто эмпирически, и в нем совершенно ничего не говорится о главных напряжениях. Критерий Мора выражает предельное соотношение только через главные напряжения, и в нем ничего не говорится о напряжениях на площадке среза. Паспорт прочности по Кулону может быть непосредственно получен по результатам испытаний на прямой срез. Для получения паспорта прочности в осях главных напряжений по Мору необходимо произвести трехосные (объемные) испытания.

Для получения отображения паспорта прочности в осях главных напряжений из системы напряжений на площадке среза (и наоборот), то есть связи критериев Кулона и Мора, необходимо располагать условиями передачи внешней нагрузки (главных напряжений) на площадку среза, что на современном этапе развития экспериментальной базы невозможно. Тем не менее, критерий (10) в осях главных напряжений некоторые авторы, например [5], представляют в виде:

°1

= о „

1 + sin ф

+ ‘----:---оз.

1 - sin ф

Между критериями (1) и (11) существуют два принципиальных отличия. Во-первых, в критерии разрушения (11) угол наклона наиболее опасной площадки скольжения к линии действия главного напряжения о3 является величиной постоянной, ф = л/4 + ф/2. Данный

угол обеспечивает максимальную разницу между сдвигающими и удерживающими силами по площадке среза в окрестности конкретной точки при заданном уровне напряжений. В критерии (1) угол наклона критической площадки является величиной переменной, зависящей от уровня напряжений, это и придает критерию прочности кривизну. Кроме того, значение угла наклона критической площадки определяется из условия максимума разности сдвигающих и удерживающих сил вдоль всей поверхности разрушения на возможном перемещении всей механической системы (призмы смещения). Во-вторых, минимальное главное напряжение о3 не совершает работу на площадке сдвига, то есть не реализует удерживающего эффекта в виде трения. И действительно, если подставить критерий разрушения (1) в систему уравнений (12), то получим критерий Кулона в виде уравнения (10).

о„ = OiCOS2 ф,

т = 1

Фактически критерий (1) получен моделированием разрушения твердого тела в изменяющемся поле главных напряжений, и в этой связи он имеет некоторое методологическое сходство с микродефектными теориями прочности.

Если линеаризовать уравнение (1) в окрестности точки (о1 = осж; о3 = 0), то критерий разрушения примет вид:

о = осж +

Линеаризация критерия (1) эквивалентна замене криволинейной поверхности скольжения на прямолинейную с углом падения площадки среза ф = л/4 + ф/2, при тех же механических характеристиках. Анализируя выражения (11) и (13), констатируем их качественное сходство, а при ф = 0 они совпадают.

Известно, что пластическое деформирование у хрупких материалов (ф Ф 0) сопровождается увеличением их объема (дилатанси-ей). Вопрос об увеличении объема при пла-

26

Известия Уральского государственного горного университета

стическом деформировании удобнее рассматривать в осях, совпадающих с направлением действия главных напряжений. Если принять ассоциированный закон пластического течения (принцип нормальности), то приращение пластических деформаций будет нормальным к поверхности текучести (пластического потенциала). На рис. 2 представлены критерии (1), (11) и (13), а также вектора приращений пластических деформаций в случае принятия ассоциированного закона пластического течения.

Рис. 2. Критерии прочности (пластичности):

I tg Ф°1 г т

1 - а3 - о, - 2C)1 + ~с~; 2 - Oi = асж + [1 + sin ф] аз

3 — о - а

а

с

1 + sin ф

1 - si^

Для оценки объемных изменений при пластическом деформировании используется так называемый коэффициент дилатансии, представляющий собой котангенс угла наклона паспорта прочности в (при ассоциированном законе пластического течения) к оси о, (см. рис. 2). Значение коэффициента дилатансии определяется выражением [5]:

ctg р

dвП dsf ’

где ctg Р — коэффициент дилатансии; ds,, ds3 — приращения пластических деформаций по направлениям главных осей.

В случае, когда коэффициент дилатансии равен единице, пластическое течение называется эквиволюмиальным (равнообъемным). Такое деформирование характерно для материалов пластического разрушения.

Приращения пластических деформаций определяется по формулам [4]:

dsp - XdQ, dв^ - X dQ,

до, да3

где X — постоянная; Q — функция пластического потенциала (условие пластичности или прочности (1, 11, 13) с нулем в правой части).

Согласно уравнениям (14, 15) коэффициент дилатансии для поверхности текучести в виде (11) равен:

ctg Р - -^.

1 - sin Ф

Коэффициент дилатансии для линеаризованного критерия (13) равен:

ctg Р - 1 + slnф.

Увеличение объема при пластическом деформировании, согласно (16), дает завышенную величину, что противоречит экспериментальным данным [6]. Для устранения данного несоответствия прибегают к искусственному уменьшению приращения объема пластических деформаций посредством необоснованной замены угла внутреннего трения в критерии (11) так называемым углом дила-тансии i или его максимальным значением i0 при отсутствии нормального напряжения на площадке среза (при разрушении трещины i0 будет стремиться к углу подъема неровностей контактирующих поверхностей). В общем случае величина дилатансии является производной dSn/ dSs (где 8я, 5s — величины нормального и касательного сдвига, соответственно). Лейхтниц и Ербан получили максимальное значение угла дилатансии на трещине в пределах 10—20° [6]. Подобным образом переходят к неассоциированному закону пластического течения.

Для неассоциированного закона пластического течения в нашем случае, то есть для соответствия критериев (11) и (13), а также равенства коэффициентов дилатансии (16) и (17), при углах внутреннего трения 35, 30, 20о, углы дилатансии должны быть приняты равными 12,8, 11,5, 8,4о соответственно.

Выше указывалось на отсутствие реали-

№ 4(36), 2014

27

зации механизма трения на площадке среза от действия минимального главного напряжения, что обосновано аналитически, однако физические предпосылки данного феномена

ния образца

Можно предположить, что его сущность заключается в принципиальном отличии упругого и пластического деформирования, а

именно в дилатансии. Как при упругом, так и при пластическом деформировании, в направлении максимального главного сжимающего напряжения происходит уменьшение размера образца, а в направлении минимального - расширение. При упругом деформировании не происходит увеличения объема (явление дилатансии не наблюдается), и поэтому деформирование происходит в «естественной упаковке» с полным контактом между зернами образца. В случае пластического деформирования происходит разуплотнение зерен, и поэтому в направлении расширения (увеличения объема ЛК), по-видимому, теряется контакт (рис. 3), что и объясняет отсутствие проявления механизма трения в предельном равновесии от действия минимального главного напряжения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Жабко А. В. Напряженное состояние земной коры // Известия УГГУ 2014. № 3(35). С. 57-60.

2. Zhabko A.V Calculation theory of stability of foundations and slopes // Proceedings XV International ISM Congress 2013. 16-20 September 2013, Aachen, Germany. pp. 85-97.

3. Жабко А. В. Основы общей теории расчета устойчивости откосов // Известия УГГУ 2013. N° 4(32). С. 47-58.

4. Фадеев А. Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987. 221 с.

5. Прочность и деформируемость горных пород / Ю. М. Карташов [и др.]. М.: Недра, 1979. 269 с.

6. Кашников Ю. А., Ашихмин С. Г. Механика горных пород при разработке месторождений углеводородного сырья. М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2007. 467 с.

Поступила в редакцию 11 ноября 2014 г.

Жабко Андрей Викторович - кандидат технических наук, доцент кафедры маркшейдерского дела. 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30, Уральский государственный горный университет. E-mail: zhabkoav@mail.ru

28

Известия Уральского государственного горного университета