УСТРОЙСТВО ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ ДВУХ ВЫБОРОК ПРИ НАЛИЧИИ МЕШАЮЩЕГО ПАРАМЕТРА

Полезная модель относится к вычислительной технике и может быть использована при анализе и оценке статистической информации о надежности изделий.
Наиболее близким по назначению к предлагаемому устройству является устройство для линейного объединения независимых оценок показателей надежности подобных изделий при известных дисперсиях (патент на полезную модель №57478 от 10 октября 2006 года). Недостатком данного устройства является то, что оно не позволяет производить объединение независимых оценок показателей надежности, если нет возможности получения несмещенных оценок с известными свойствами, а также неизвестны точные значения дисперсий этих оценок.
Цель создания полезной модели - разработка устройства, позволяющего автоматизировать статистическое оценивание показателей надежности технической системы на основе объединения двух выборок при наличии мешающего параметра.
Поставленная цель достигается тем, что данное устройство за счет применения блока управления, двух блоков памяти, двух счетчиков импульсов, четырех блоков суммирования, пяти блоков деления, двух блоков вычитания, двух блоков возведения в квадрат, четырех блоков умножения, двух блоков сложения, одного блока сравнения и организации связей между ними позволяет реализовать метод оценивания показателей надежности технической системы на основе объединения двух выборок при наличии мешающего параметра.
В результате исследования надежности технических систем информация о ее показателях может быть представлена в виде различных выборок (групп данных). Группы данных, относящиеся к различным изделиям, даже если эти изделия подобны между собой, в общем случае являются неоднородными. Характер этой неоднородности может быть различным в зависимости от физического содержания подобия.
Неоднородная выборка, состоящая из k однородных выборок, записывается в виде:
j
j
j
Каждая j - выборка  представляет собой подпоследовательность реализаций независимых одинаково распределенных величин, общее распределение которых f(х, θ). Генеральные совокупности, из которых взяты соответствующие однородные выборки, обычно называют слоями.
Рассмотрим ситуацию, когда имеются две выборки, являющиеся реализациями случайных величин, принадлежащих двум законам распределения:
1
n
1
х,..., x~f(х, θ);
1
m
2
y,..., y~f(y, θ).
При этом
где φ(.) - известная однозначная функция; ξ - неопределенный параметр, заданный областью существования:
Такая модель имеет место, когда формула приведения является неточной, и ошибкой в соотношении между параметрами нельзя пренебречь.
Логарифм функции правдоподобия запишется в виде
1
2
Формулы (1) и (2) определяют область  Ω на плоскости θ, θ, которая в силу взаимной однозначности функции φ(.) является криволинейным коридором, ограниченным кривыми:
2
1
2
θ=φ(θ)+C.
1
n
1
1
m
2
1
2
Плотности f(х,... х, θ) и f(y,... y, θ) являются унимодальными функциями по θ и θ соответственно.
В соответствии с методом максимального правдоподобия ОМП являются значения параметров, максимизирующие (3).
Максимальное значение функция принимает либо в точке, где первые производные  и  обращаются в нуль, либо на одной из границ области.
1
2
Значения θ и θ, являющиеся решением системы:
совпадают с корнями отдельно решаемых уравнений:
1
2
1
n
1
m
1
2
т.е. являются ОМП соответственно параметров θ и θ, полученных по выборкам х,..., х и y,..., y без ограничений на область существования θ и θ. Эти оценки называют парциальными ОМП. Запишем ОМП в виде
1
2
Найдем значения θ и θ, при которых (3) принимает условный максимум на границах, заданных уравнениями (4).
Сбалансированные с помощью (4) ОМП для параметра запишем в виде:
Ввиду того, что плотность распределения - унимодальная функция, значение θ, максимизирующее (3), находится из выражений:
Качественный анализ выражения позволяет сделать некоторые общие выводы о поведении оценки  и ее средний квадрат ошибки:
2
1
1
Прежде всего заметим, что при С-C→0 оценка стремится к θ*:
1
1
1
n
1
m
θ*=z(x,..., x, y,..., y, 0)=
1
n
1
1
m
1
=arg max {lnf(x,..., x, θ)+ln f(y,..., y φ(θ))}.
2
1
При этом средний квадрат ошибки принимает минимальное значение. Увеличение разности Δ=С-C симметрично относительно нуля приводит к увеличению среднего квадрата ошибки, которое монотонно возрастает, асимптотически приближаясь к значению среднего квадрата ошибки .
1
n
1
m
Это является следствием потери информации, обусловленной наличием неопределенности. Даже в том случае, когда фактически ξ=0, но исследователь об этом не знает, средний квадрат ошибки превышает значение среднего квадрата ошибки сбалансированной оценки z (х,..., х, y,..., у, 0).
Для практического применения интерес представляет случай, когда ξ≥0.
При этом оценочная формула принимает вид
Конкретные формулы для инженерных расчетов в задачах объединения двух групп данных могут быть получены при наличии информации о виде функции φ(.) и семейства распределений f(х,θ). Пусть
2
1
θ=θ+ξ, |ξ|≤Δ.
Эта модель отвечает случаю квазиподобия. В этом случае существует приближенное подобие. Степень приближения характеризуется величиной Δ.
В связи с тем, что нормальный закон является предельным для многих случаев унимодальных распределений, когда в ходе технологических процессов производства их показатели эксцесса и асимметрии изменяются, приближаясь к нулю, что может вызваться износом, изменением физико-механических или химических свойств; то в соответствии с (5) расчетная формула для нормального закона распределения запишется в виде
1
2
при θ≥θ, где  и  - выборочные средние по каждой выборке,
; ;
n и m - количество элементов первой и второй выборок,
1
2
σ, σ - средние квадратичные отклонения первой и второй выборок,
Формула (6) характеризует принципы действия и является основой предлагаемого устройства оценивания показателей надежности технической системы на основе объединения двух выборок при наличии мешающего параметра.
Структурная схема устройства оценивания показателей надежности технической системы путем объединения двух выборок при наличии мешающего параметра представлена на фиг.1.
Устройство оценивания показателей надежности на основе объединения двух выборок при наличии мешающего параметра содержит: блок 1 управления; блоки 2, 3 памяти; 4, 5 счетчики импульсов; блоки 6, 7, 14, 15 суммирования; блоки 8, 9, 16, 17, 24 деления; блоки 10, 11 вычитания; блоки 12, 13 возведения в квадрат; блоки 18, 19, 20, 21 умножения; блоки 22, 23 сложения и блок 25 сравнения.
Работа устройства осуществляется следующим образом. С выхода (у) блока управления 1 поступают управляющие сигналы на входы всех блоков для последовательного их задействования в процессе функционирования данного устройства и обнуления данных после получения результата с выхода 24 блока сравнения 25.
i
j
i
j
В блоки памяти 2, 3 вводятся элементы выборок соответственно x, у(i=1,...n, j=1,...m), которые записываются в регистры (ячейки) памяти данных блоков. В последующем сигналы пропорциональные значениям x, y с выхода 1 и выхода 2 поступают соответственно на:
- вход 1 счетчика импульсов 4 и вход 2 счетчика импульсов 5, на выходах 3 и 4 которых формируются сигналы пропорциональные значениям n и m (количество элементов первой и второй выборок),
- вход 1 блока суммирования 6 и вход 2 блока суммирования 7, в которых производится суммирование элементов выборок , ,
- вход 1 блока вычитания 10 и вход 2 блока вычитания 11.
На вход 3 и 5 блока деления 8 поступают импульсы пропорциональные  и n, и на выходе 7 формируется сигнал .
На входы 4 и 6 блока деления 9 поступают импульсы пропорциональные  и m, и на выходе 8 формируется сигнал .
В блоках вычитания 10 и 11 производится поочередное вычитание соответственно  и , где i=1,... n; j=1,... m. Импульсы пропорциональные значениям  и  поступают на входы 9 и 10 блоков возведения в квадрат 12 и 13, где возводятся в квадрат и подаются соответственно на вход 11 блока суммирования 14 и вход 12 блока суммирования 15. На выходах 13 и 14 блоков суммирования 14 и 15 формируются сигналы пропорциональные значениям  и , которые подаются на входы 13 и 14 блоков деления 16 и 17.
Также на входы 3 и 4 блоков деления 16 и 17 поступают сигналы пропорциональные значениям n и m, полученные из выходов 3 и 4 счетчиков импульсов 4 и 5.
Таким образом, на выходах 15 и 16 блоков деления 16 и 17 формируются сигналы пропорциональные значениям квадратов среднеквадратических отклонений , , которые подаются на входы 15 и 16 блоков умножения 18 и 19. Также на входы 4 и 3 блоков умножения 18 и 19 соответственно поступают сигналы пропорциональные значениям m и n, полученные из выходов 4 и 3 счетчиков импульсов 5 и 4, где преобразуются в сигналы пропорциональные значениям  и .
На входы 8 и 17 блока умножения 20 поступают сигналы пропорциональные значениям  и , которые перемножаются, после чего полученное произведение подается на вход 19 блока сложения 22.
На входы 7 и 18 блока умножения 21 поступают сигналы пропорциональные значениям  и , которые перемножаются, после чего полученное произведение подается на вход 20 блока сложения 22, где происходит сложение с сигналом, поступившим с выхода 19 блока умножения 20. На выходе блока 22 сложения
формируется сигнал пропорциональный значению числителя формулы (6) .
На входы 17 и 18 блока сложения 23 поступают сигналы с блоков умножения 18 и 19 и на выходе 22 блока сложения 23 формируется сигнал пропорциональный значению знаменателя формулы (6) .
В блоке 24 происходит деление сигнала, поступившего с выхода 21 блока сложения 22 на сигнал, поступивший с выхода 22 блока сложения 23, тем самым выход 23 блока деления 24 образует сигнал, поступающий в блок сравнения 25.
На входы 7 и 8 блока сравнения 25 поступают сигналы пропорциональные  и  - выборочные средние по каждой выборке, где они сравниваются по величине и если , то на выходе 24 блока сравнения 25 формируется сигнал пропорциональный оценке максимального правдоподобия равный , в противном случае на выходе 24 блока сравнения 25 формируется сигнал пропорциональный оценке максимального правдоподобия равный .
Сигнал  поступает на выход устройства и в блок управления, который после получения данного сигнала обнуляет все блоки.
Достоинством предлагаемого устройства является то, что оно позволяет производить оценивание показателей надежности технической системы, на основе объединения двух выборок при наличии мешающего параметра, когда формула приведения является неточной, и ошибкой в соотношении между параметрами нельзя пренебречь.