Метод двухволнового представления колебаний и его развитие в задачах строительной механики упругих конструкций с подвижной инерционной нагрузкой

50. Vasseur J. O., Djafari-Rouhani B., Dobrzynski L., Kushwaha M. S., Halevi P. Complete acoustic band gaps in periodic fibre reinforced composite materials: the carbon/epoxy composite and some metallic systems // J. Phys. Condens. Matter. - 1994. - V. 6. - P. 8759 - 8770.

51. Voigt W. Theoretische Studien über die Elastizitätsverhältnisse der Kristalle // Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1887. - V.34.

52. Wolfe J. P. Imaging Phonons: Acoustic Wave Propagation in Solids. - Cambridge: Cambridge University Press, 1998. - 411 p.

53. Zhikov V.V. On an extension of the method of two-scale convergence and its applications // Sb. Math. -2000. - V. 191. - P. 973 - 1014.

УДК 534.1

МЕТОД ДВУХВОЛНОВОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ЕГО РАЗВИТИЕ В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ С ПОДВИЖНОЙ ИНЕРЦИОННОЙ НАГРУЗКОЙ

А. Г. Демьяненко, к. т. н., проф., Д. А. Евстратенко, асп.

Ключевые слова: упругое тело, подвижная нагрузка, двухволновые процессы, балка, пластинка.

Введение. Проблема динамического действия подвижной нагрузки, возникшая более 160 лет назад, до наших дней не утратила своей актуальности. Практика создания и эксплуатации элементов конструкций и сооружений в современных условиях продолжает ставить новые задачи, требует их решения и тем самым вызывает появление новых подходов к постановке задач, новых методов их исследования, более полно улавливающих те или иные качественные или количественные особенности движения. Увеличение масс и скоростей движущихся объектов, снижение веса и оптимизация несущих конструкций предъявляют все более жесткие требования к достоверности результатов исследования.

При исследовании задач динамики упругих систем, находящихся под воздействием подвижных инерционных нагрузок, приходим к математической модели, содержащей нечетные по времени частные смешанные производные, которые выражают кориолисовы силы инерции. Причем эти производные могут содержаться одновременно как в самом дифференциальном уравнении движения, так и в граничных условиях. Наличие этих производных не позволяет применить классическую схему разделения переменных в действительной области искомых функций. Применение же к изучению колебаний и устойчивости упругих систем приближенных подходов иногда приводит к противоречивым результатам [20; 25], что вызывает необходимость дальнейшего развития и совершенствования механических и математических моделей и методов их исследования.

Простейшими примерами упругих систем с подвижными нагрузками являются мосты, трубопроводы, стержни, пластинки и оболочки под действием движущейся жидкости, газа. К исследуемому классу задач относятся и элементы, движущиеся в продольном направлении, такие как нити, ленточные пилы, ремни ременных передач и т. п. Особенно интересными и наиболее сложными в исследовании являются упругие системы, находящиеся под действием подвижных инерционных нагрузок. Подвижные нагрузки могут быть равномерно распределенными, сосредоточенными, двигаться с постоянной и переменной скоростью.

Цель статьи. Анализ работ, посвященных задачам строительной механики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой, исследование которых проводилось на основе двухволнового представления движения; применение и развитие метода двухволнового представления колебаний в задачах динамики подкрепленных прямоугольных пластин с подвижной инерционной нагрузкой.

Варианты постановок и методы решения задач строительной механики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой. В зависимости от способа схематизации инерционных свойств элементов, образующих систему, существуют четыре принципиально различных варианта постановки задачи о действии подвижной нагрузки на упругие конструкции [19] (табл. 1). Наиболее сложной постановкой задачи является четвертый вариант, который встречался в некоторых исследованиях, выполненных еще в позапрошлом веке. Первые важные результаты в этой области, в которых решения исследуемой задачи представлены в виде рядов, относятся к тридцатым годам прошлого века. В настоящее время для решения задач строительной механики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой применяются следующие методы [19]:

1. Метод Шалленкампа, основанный на разложении кривой прогиба под грузом и сил инерции подвижного груза в ряд Фурье с постоянными коэффициентами. Из условия равенства вертикальных перемещений груза и несущей конструкции получают бесконечную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ряда Фурье.

2. Метод Инглиса - Болотина, который заключается в том, что решение дифференциального уравнения движения балки ищется в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям. Применение метода Бубнова - Галёркина даёт бесконечную систему дифференциальных уравнений второго порядка относительно функции времени, которую решают численными приближёнными методами.

3. Метод А. П. Филиппова и С. С. Кохманюка, в котором используют уравнения Лагранжа второго рода и интеграл Дюамеля, что приводит к системе интегральных уравнений.

4. Метод двухволнового представления колебаний, согласно котрому, в отличие от классической схемы разделения переменных, решение ищется в двучленной форме и представляется в виде суммы собственных и сопровождающих колебаний. Этот метод в некоторых случаях позволяет в рамках исходных предпосылок построить точные решения задач. Впервые правильное и точное решение задачи о колебаниях балки, испытывающей действие движущейся силы, известной как «задача Стокса», дано в 1899 году сербским ученым Радаковичем [20].

5. Метод интегральных преобразований Лапласа и Фурье.

6. Метод конечных элементов.

Таблица 1

Варианты постановок задач строительной механики упругих систем с подвижной инерционной

нагрузкой

№ Учёт массы

несущей конструкции подвижной нагрузки

1 нет нет

2 нет да

3 да нет

4 да да

Колебания одномерных упругих объектов. Известно, что метод Фурье принадлежит к методам математической физики, которые дают возможность получить решение некоторого класса дифференциальных уравнений в явной форме. Лишь в сравнительно простых случаях оказывается возможным построение явных решений уравнений в частных производных по классической схеме разделения переменных как суммы частных решений в виде произведения разделенных функций. К таким уравнениям относятся уравнения колебаний струны, мембраны, балки и т. п. Очевидно, впервые такой подход к решению задач динамики упругих систем с подвижной нагрузкой был применен Радаковичем [20; 25], где рассматривалась сила, движущаяся с переменной скоростью. Применение такого подхода к рассмотрению задач динамики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой в общем случае не представляется возможным, о чем было сказано выше. В этой связи были сделаны попытки применения такого подхода путем его модификации и обобщения. Одной из первых публикаций по применению такого подхода к исследованию задач строительной механики упругих систем с подвижной инерционной нагрузкой была работа Н. Б1еиШп§, опубликованная в 1934 году [35], в которой рассматривались колебания балок под действием подвижной равномерно распределенных и сосредоточенных инерционных нагрузок. Второй замеченной в литературе работой была работа в. Ношпег [30], в которой показано, что общее решение дифференциального уравнения, описывающего упругие колебания системы с подвижной инерционной нагрузкой, представляет линейную комбинацию частных решений, содержащих как симметричные, так и антисимметричные, сдвинутые на 90 градусов по фазе, формы колебаний. Антисимметричные формы колебаний обусловлены наличием смешанной производной нечетной по времени, т. е. силами инерции Кориолиса, и связаны через них с симметричными формами.

По сути, эти публикации положили начало двухволновому подходу к исследованию задач динамики упругих систем, несущих подвижную инерционную нагрузку, который впервые был сформулирован О. А. Горошко [5]. Используемый подход в работах [4 - 9; 11 - 13, 16 - 18] основан на представлении общего решения в виде суммы двух рядов, один из которых представляет классическую часть решения, а второй - ту часть, которая обусловлена инерционностью подвижной нагрузки и не выявляется при традиционном применении прямых методов к решению задач данного класса. В работе [5] формы первой группы названы собственными формами колебаний, а формы второй группы - сопровождающими. Окончательное решение задачи, рассматриваемой в [5], где исследована только устойчивость движения, приведено в [18]. В работах [4; 6 - 9] указанный подход был использован для получения точного решения "обобщенного" уравнения струны, исследования колебаний балок под действием как равномерно распределенных, так и сосредоточенных подвижных инерционных нагрузок.

К математическим моделям такого вида и таким же методам их исследования приходим при исследовании динамики упругих объектов, находящихся в движущихся потоках жидкости или газа [7]. Интерес представляет задача о колебаниях балки Тимошенко, которая находится под действием равномерно распределенной подвижной инерционной нагрузки, где математическая модель содержит смешанную нечетную по времени частную производную не только в основном операторе, но и в

граничных условиях [10]. Математическая модель задачи построена на основе уточненной механической модели с учетом сил инерции поворота поперечных сечений, деформаций сдвига. В работе [10] учтены силы инерции подвижной нагрузки, действие упругого основания, внешнего сопротивления и осевой силы. Решение задачи отыскивается с помощью метода двухволнового представления движения. Исследуется влияние скорости движения нагрузки на динамику объекта, определены критические значения скорости. На основе численной реализации метода возможно изучение влияния уточнений Релея, Тимошенко и сил инерции Кориолиса на динамику и устойчивость упругой системы под действием подвижной инерционной нагрузки.

В связи с интенсивным развитием и увеличением скоростей железнодорожного транспорта за последнее время появилось большое число работ, посвященных задачам динамики железнодорожного пути, среди которых выделим [2; 28; 29; 33]. В [2] исследуются колебания бесконечной балки, лежащей на упругом основании и возбуждаемой равномерно движущейся силой, меняющейся по гармоническому закону. В [28] Grzyb A. обсуждает динамические характеристики некоторых моделей рельсового транспорта на нелинейном основании. Учитывается влияние упруговязких свойств основания на колебания под действием подвижной нагрузки. В работе [29] китайскими исследователями построена физико-математическая модель для анализа колебаний комбинированной динамической системы, состоящей из балочного железнодорожного моста и движущегося с высокой скоростью поезда. На основе энергетического подхода выведены определяющие матричные уравнения движения с учетом влияния перемещений, депланации поперечных сечений тонкостенных балок и локальных соединительных узлов. На основе построенной модели сформированы характеристические матрицы жесткости, масс и демпфирования для компонентов рассматриваемой комбинированной системы. Исследованы динамические характеристики двойного участка железнодорожного моста на высокоскоростной магистрали. Полученные результаты расчета колебаний системы "поезд - мост" по построенной физико-математической модели сопоставлены с полученными результатами при помощи оболочечной и балочной конечноэлементных моделей. Для решения некоторых задач динамики мостовых конструкций, рельсовых путей сообщения и посадочных полос в работе [33] отыскиваются колебания модельной балки под движущейся нагрузкой. Введена расчетная модель двухопорной балки с периодически меняющейся геометрией поперечного сечения. Сравниваются динамические решения по детерминистическому и стохастическому подходам. В работе [3] изучается эквивалентная динамическая жесткость балки Тимошенко, лежащей на упруговязком основании и взаимодействующей с равномерно движущимся по ней точечным объектом. Получено и проанализировано общее выражение для эквивалентной жесткости балки. Исследуется эквивалентная жесткость как функция скорости движения объекта. Проведен сравнительный анализ эквивалентных жесткостей балок Тимошенко и Бернулли -Эйлера.

Новый метод исследования динамики стержневых систем на действие подвижной нагрузки, обладающей массой, предложен И. И. Иванченко [14]. При решении задачи о действии на балку движущегося груза находят применение два основных метода решения этой задачи, они же реализуются и для других конструкций и нагрузок. В первом случае используются обобщенные координаты при разложении прогиба по собственным формам балки, и задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Во втором случае, после расчленения системы "балка - груз", задача сводится к решению интегрального уравнения относительно динамической реакции груза. В работе [15] Г. М. Кадисовым рассматриваются условия возникновения различного типа резонансов в случае движения с постоянной скоростью колонны подвижных механических объектов по упругой системе типа однопролетного строения моста. Путем численного решения системы интегральных уравнений строятся матрицы перехода, вычисляются их собственные значения и исследуется частная задача о возможности возникновения комбинационных резонансов, когда собственные значения становятся кратными в комплексной плоскости. С. А. Сазонова [21] изучает совместные колебания опирающейся на упругие опоры балки постоянной длины, жесткости, интенсивности массы и двухосного автомобиля, движущегося с постоянной скоростью по неровному пути. При определении прогибов балки используются три собственные формы ненагруженной балки. Численные исследования по описанной вычислительной схеме выполнены на ЭВМ с помощью интегрирования методом Рунге - Кутта.

Ataman M. [26] проводит анализ колебаний балки при динамическом воздействии точечной подвижной массы. На основе модели демпфирования Кельвина - Фойгта исследуются колебания балки в зависимости от скорости движения и величины точечной массы. Излагаются результаты численного моделирования в среде MATHEMATICA 4.0 с оценкой динамических прогибов балки. В статье [31] японскими исследователями описан метод для численно-аналитического исследования показателей динамического поведения многопролетной неразрезной упругой балки под действием поперечной сосредоточенной нагрузки, перемещающейся вдоль балки с переменной скоростью. Получены дифференциальные уравнения упругого равновесия и колебательного движения в частных производных четвертого порядка. Выведено характеристическое уравнение для точного определения собственных значений и собственных функций колеблющихся балок рассматриваемого типа. Выполнены численные расчеты динамической реакции для симметричной трехпролетной неразрезной балки на воздействие

подвижной сосредоточенной поперечной нагрузки, движущейся с постоянным ускорением в продольном направлении. На основе принципа суперпозиции в работе [34] развит метод решения динамической задачи для одномерной упругой распределенной системы с подвижным линейным осциллятором. Проводится декомпозиция колебательных нагрузок двухопорной балки на инерционные и постоянные нагрузки. Обсуждаются полученные численные результаты, оценивается влияние параметров системы на прогибы, изгибающий момент и поперечную нагрузку.

Sun Lu [36] на основе преобразования Фурье отыскивает установившуюся реакцию балки на упругом основании Винклера под действием подвижной нагрузки. Решение в замкнутом виде для различных скоростей построено с помощью функции Грина. Показан неограниченный рост реакции балки при движении нагрузки с критической скоростью.

В работе [37] вводится динамическая расчетная модель балки с шарнирным закреплением по концам с массовой подвижной нагрузкой конечной длины или в виде полуполосы. Описывается поиск решений уравнения с переменными коэффициентами в среде MATHEMATICA 4.2 и MATLAB 5.3. Сравниваются полученные результаты в случаях свободных и вынужденных колебаний балки.

Колебания пластинок и цилиндрических оболочек. Одной из первых работ по применению двухволнового представления колебаний к исследованию динамики прямоугольных пластинок, находящихся в поле сил инерции подвижных инерционных нагрузок, является работа С. П. Кибы [16], в которой рассматривается задача об определении частот и форм колебаний пластин и мембран, по поверхности которых перемещается распределенная нагрузка. Исследованы неустойчивые режимы колебаний, анализируется влияние величины массы и скорости движения нагрузки на спектр частот и форм колебаний. Колебания и устойчивость подкрепленных прямоугольных пластинок, по которым вдоль ребер движется инерционная нагрузка, рассмотрены в работе [12]. Большое количество задач динамики прямоугольных пластинок, по которым движутся инерционные нагрузки, рассмотрено на основе двухволнового представления М. Н. Серазутдиновым [22 - 24]. В случае перемещения с постоянной скоростью потока массы, равномерно распределенной по поверхности пластины получено решение линейного дифференциального уравнения колебаний пластины, при этом краевые условия удовлетворяются точно, начальные же условия - приближенно с помощью метода коллокаций. Исследовано влияние краевых и начальных условий, скорости движения массы на частоты колебаний и напряженно-деформированное состояние пластинки.

В работе [23] исследовано воздействие на пластинку потока массы, движущегося с переменной скоростью. В статье [24] на основе представления функции прогиба в виде двух групп стоячих волн, сдвинутых по фазе на угол 90 градусов, приводится решение задачи о колебаниях пластины, по поверхности которой перемещаются инерционные нагрузки, равномерно распределенные по линиям или прямоугольным площадям. Исследованию задач динамики цилиндрических оболочек, вдоль которых перемещается бесконечный поток инерционной нагрузки, посвящены работы [6; 8]. В [8] рассматривается цилиндрическая оболочка, несимметрично подкрепленная в продольном направлении регулярным набором одинаковой геометрии, по которым движутся потоки масс. При этом используются две модели - конструктивно-ортотропная и с учетом дискретности расположения ребер. Во всех упомянутых выше работах предполагается наличие двусторонней связи между конструкцией и движущимся объектом, т. е. рассматриваются их совместные колебания в течение всего времени взаимодействия. Задачи, в которых рассматриваются односторонние святи, исследовались С. С. Кохманюком и А. С. Дмитриевым.

Рассмотренные механические и математические модели и подход к их исследованию являются основой и используются для решения задач о воздействии подвижной нагрузки на упругие системы, где природа возникновения и характер воздействия её могут быть самыми разнообразными. К такому же типу математических моделей приводятся задачи о колебаниях некоторых механических систем с неголономными связями, а также, ввиду установленной в [4] аналогии, задачи динамики объектов переменной длины, движение которых также имеет двухволновой характер. Более полно и детально это рассмотрено в монографии [7] и других работах О. А. Горошко. В работе [38], посвященной динамике пластин, W. Szczesniak исследовал динамические прогибы пластины, находящейся под действием подвижной инерционной нагрузки, при различных параметрах системы «пластина - подвижная нагрузка».

И. С. Барановой [1] рассмотрена бесконечная пластина, опирающаяся на направленно армированный слой, состоящий из чередующихся параллельных слоев однородных изотропных упругих материалов. Нижняя поверхность армированного слоя склеена с абсолютно жестким полупространством. Пластина и слой являются однородными, изотропными и линейно упругими. Исследовано распространение волн в данной системе. В работе [32] рассмотрена задача о динамическом изгибе бесконечной пластинчатой полосы на основании Винклера при действии подвижной нагрузки. Использована теория Кирхгофа. Решение неоднородного бигармонического уравнения получено с применением метода изображений и преобразования Фурье. Исследовано влияние скорости передвижения нагрузки на индуцированное поле перемещений. В гражданском и промышленном строительстве при расчете зданий и сооружений на сейсмическое воздействие особенно важным является определение деформаций и перемещений, так как критическими с точки зрения надежности

сооружений становятся не силовые нагрузки, а перемещения и деформации. В [27] предлагается упруговязкая модель для анализа динамической реакции прямоугольной плиты. Участки плиты в контакте с движущимся транспортным средством моделируются полосой с набором подпружиненных массовых элементов. Полученные решения сопоставляются с результатами, полученными другими методами расчета.

Применение метода двухволнового представления колебаний к исследованию динамики подкрепленных прямоугольных пластин с подвижной инерционной нагрузкой. Рассмотрим изгибные колебания и устойчивость прямоугольной пластинки, подкрепленной в одном из главных направлений ребрами жесткости, по которым с переменной скоростью движутся потоки масс. Колебания исследуются с использованием конструктивно-ортотропной схемы. Считается, что ребра равноудалены и симметричны относительно срединной поверхности пластины. Уравнение малых поперечных колебаний пластины I х Ь с толщиной И относительно квазистатического режима имеет вид [7]:

kEI d w Jw / \ DV2 V2 w + —--- + ph —- = q(x, y, t),

b dx4

dt2

где D =

Eh3 12(1 -v2),

q(( ^t ) = -q1

id2w dt2

+ 2v

d 2w

2 d w dw

-+ v —V +

dxdt dx2 dx

/

q\ =

kq0 b

v = Vo + at - скорость подвижной нагрузки,

a = const - ускорение подвижной нагрузки,

qo - погонная масса подвижной нагрузки,

ph - приведенная масса пластины на единицу площади,

k - количество ребер,

EI - изгибная жесткость ребра.

Дифференциальное уравнение в частных производных (1) с учетом (2) перепишем в виде:

D + -

kEI Л d4w

b J dx4 vd 2w

+ 2 D

d4 w dx2dy2 d 2 w

+ D

d 4 w

dy4

2 d2w

+ (ph + q\ ))y- + 2q1v + q^^rY + q\a— = 0

dt2 dxdt dx

dw dx

Решение уравнения (3) отыскиваем с помощью метода двухволнового представления движения. Функцию прогиба представим в виде [7]:

м

w(x ^ t)= Z[m k y)c0s»/ + Фш ( y)sinmt] .

m=1

Введем функцию

фт (x У) = Pm (x, У) + ¿Ф^, У) .

После подстановки выражения (4) в уравнение (3) получим дифференциальное уравнение четвертого порядка с переменными коэффициентами:

D + -

+ q1v

kEI Л d4Ф m

b J dx

d 2Ф

m +

dx 2

+ 2D

d 4Ф

+ D

22

dx dy

d 4Ф и dy 4

^Ф

q1 (a - 2ivm -(ph + q1 )2mФm = 0.

dx

Коэффициенты уравнения (6) являются функциями времени, в связи с чем поиск решения в аналитическом виде затруднен. Для построения решения уравнения используем идею

+

+

М. Н. Серазутдинова [23]. Для заданного закона изменения скорости движения нагрузки у(() интервал изменения скорости { , Ук } делим таким образом, что на каждом достаточно малом отрезке времени Д/, функцию скорости у(() можно считать постоянной, равной среднему значению ус = (у1 + у- )/2 на этом отрезке времени. Тогда для каждого интервала времени Д/, решаем дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Считая продольные края пластинки свободно опертыми, функцию Фт (х, у) представим в виде ряда

Ф т (Х У )=Е Ртп (х)1П

. плу

ь

После подстановки функции (7) в уравнение (6) получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными комплексными коэффициентами

1 +

кЕ1

~ьв

рт: ()+2

а - 21атпу0

с

3 Ртп (* )-

пл

пл

12

тп

(2 )-

14Ртп (2)= 0,

х

где 2 = —, с =

Б

е = -

41

I рк + 41 рк + 41 Общее решение уравнения (8) отыскиваем в виде:

Ртп ( )=! С,в

1 =1

где СI - произвольные комплексные постоянные, которые определяем из граничных условий, к^ - комплексные корни характеристического уравнения.

Комплексные постоянные С^ определяем из граничных условий, которые для свободно опертой на поперечных краях пластинки, выраженные через функции Ртп (г), имеют вид

ртп (2) 2=о;1 = 0, (2) г=0;1 =

После удовлетворения функции (9) граничным условиям (10) приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений, определитель которой имеет вид:

А(тп ) =

1

1

1

ок3

1

к12ек1 к22ек2 к32екз к42ек4

Приравнивая определитель (11) к нулю, получаем частотное уравнение, корни которого являются собственными частотами колебаний подкрепленной прямоугольной пластинки под воздействием подвижной инерционной нагрузки.

Окончательно общее решение краевой задачи (1),(10) имеет вид:

м

y, :) = £ ат (т (Х у)С05(т^ + ^т ) + ^т (Х У+ ат )) ,

т=1

где а>т - собственные частоты колебаний системы,

(рт (х, у) и ц/т (х, у) - собственные и сопровождающие формы колебаний,

п=1

2

у

ь

с

4

2

(о

тп

+

ь

с

к

2

к

к

к

4

е

е

е

к

к

к

к

ат и ат - постоянные интегрирования, которые определяем из начальных условий.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Баранова И. С. Действие подвижной нагрузки на бесконечную пластину, покоящуюся на направленно армированном слое. Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского: Материалы 3-х Молодежных Школ-конференций, Казань, 1998. Казань: УНИПРЕСС. 1998, - С. 81 - 82.

2. Белоцерковский П. М., Мышкис А. Д. Колебания балки, возбуждаемые подвижной гармонической силой. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естествен. н. 2000, №3, - С. 28 - 30.

3. Веричев С. Н., Метрикин А. В. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте. Прикл. мех. и техн. физ. 2000. 41, №6, - С. 170 - 177.

4. Горошко О. А. Общие свойства колебательных систем с подвижной массовой нагрузкой и тел переменной длины. VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. - К.: 1976. - С. 18.

5. Горошко О. А. Собственные и сопровождающие колебания в системе с подвижными инерционными нагрузками. Труды V Международной конференции по нелинейным колебаниям. -К.:1970, - С. 215 - 219.

6. Горошко О. А., Демьяненко А. Г. О двухволновом представлении решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику некоторых конструкций с подвижной нагрузкой. Украинский математический журнал. 1974, т.26, 8.5. - С. 648 - 651.

7. Горошко О. А., Демьяненко А. Г., Киба С. П. Двухволновые процессы в механических системах. -К.: Лыбидь, 1991, - 188 с.

8. Горошко О. А., Демьяненко А. Г., Чижов Г. Г. Точные решения некоторых задач динамики подкрепленных пластин и оболочек с подвижной инерционной нагрузкой. Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - Тбилиси. 1975, Т. 2. - С. 98 - 109.

9. Горошко О. А., Киба С. П. О собственных и сопровождающих колебаниях одномерной упругой конструкции с подвижной инерционной нагрузкой. - Прикладная механика. 1972, Т. 8, 8.11. -С. 118 - 121.

10. Демьяненко А., Евстратенко Д. Исследование динамики одномерных упругих объектов с подвижной инерционной нагрузкой на основе уточненной модели // Збiрник наукових праць «Теоретичш основи будiвництва», том 17 - Варшава, Офщшне видавництво Варшавсько! Полггехшки, 2009 -С. 63 - 68.

11. Демьяненко А. Г., Киба С. П. Об одном обобщении метода разделения переменных и некоторых его приложениях в механике. VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. -М.: МГУ, 1991. - С.128.

12. Демьяненко А. Г., Киба С. П., Чижов Г. Г. О колебаниях подкрепленной пластинки с подвижными нагрузками. Динамика и прочность машин. - Харьков. 1978, - С.64-70.

13. Дем'яненко А.Г. О некоторых особенностях задач динамики подкрепленных пластинок в поле сил инерции подвижных нагрузок / Вюник Донецького ушверситету, сергя А, природничi науки, 2002, №2, -С. 207-211.

14. Иванченко И. И. Метод расчета на подвижную нагрузку стержневых систем, моделирующих мосты. Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 2001, №4, - С. 151 - 165.

15. Кадисов Г. М. Резонансы при колебаниях упругих систем под воздействием подвижных нагрузок. Сб. науч. тр. Сиб. автомоб.-дор. ин-т. 2000, №2, - С. 107 - 111.

16. Киба С. П. Влияние подвижной нагрузки на колебательные свойства пластинок. Прикладная механика. 1972, Т. 8, 8.9. - С. 126 - 129.

17. Киба С. П., Демьяненко А. Г. Обобщение метода разделения переменных и некоторые его приложения в механике. - К.: 1991. - 120 с.

18. Киба С. П., Перехрест В. И. Об одной схеме разделения переменных в одномерном волновом уравнении. Дифференциальные уравнения и их приложения в физике. - Днепропетровск. 1991, - С.18-26.

19. Колесник И. А. Колебания комбинированных арочных систем под действием подвижных нагрузок. - Киев-Донецк: Вища школа, 1977, - 150с.

20. Пановко Я. Г. Исторический очерк развития теории динамического действия подвижной нагрузки. Труды ЛКВВИА. - Л. 1948, - С. 8 - 38.

21. Сазонова С. А. Численное исследование колебаний балочных систем при действии подвижной нагрузки с учетом податливости основания. Матер. 50 Юбил. науч.-техн. конф. Воронежс. гос. архит.-строит. акад., Воронеж, 1997: Кратк. содерж. докл. аспирантов и соискателей по пробл. архит. и строит. наук. Воронеж, 1997, - С. 10 - 12.

22. Серазутдинов М. Н. Действие равномерно распределенной подвижной нагрузки на пластину. Труды семинара по теории оболочек. - Казань, в. VI, 1975, - С. 156 - 163.

23. Серазутдинов М. Н. Колебания пластин под действием равномерно распределенной нагрузки, движущейся с переменной скоростью. Труды семинара по теории оболочек. - Казань, в. VI, 1975, -С. 163 - 168.

24. Серазутдинов М. Н. Приближенный метод решения задачи о воздействии подвижных нагрузок на пластину. Труды семинара по теории оболочек. - Казань, 8.VII, 1976, - С. 112 - 120.

25. Якушев Н. З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок. Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань, в. 8. 1972, - С. 3 - 21.

26. Ataman Magdalena. Колебания шарнирно закрепленной балки под действием сосредоточенной подвижной массы. 10 Российско-польский семинар «Теоретические основы строительства», Москва-Иваново: Сб. работ. Warszawa: Wyd. Politechn. Warszaw. 2001, - С. 47 - 56.

27. Cheng Yuan-sheng, Cheung Y. K., K Au F. T. Определение динамической реакции пластин при движении транспорта методом конечных полос. Appl. Math. and Mech. Engl. Ed. 2002. 23, №5, -P. 507 - 513.

28. Grzyb Andrzej. Теоретические основы расчета нелинейной динамической системы рельсового транспорта. Dynamica pojazdow szynowych i optymalizacja ich podukladow. Krakow, 1996, - C. 47 - 60.

29. Guo Xiangrong, Zeng Qingyuan. Аналитическая модель колебательной системы в виде высокоскоростной комбинации балочного моста и движущегося поезда. J. Huazhong Univ. Sci. and Technol. 2000. 28, №3, - C. 60 - 62.

30. Housner G. W. Bending Vibrations of a Pipe Line Containing Flowing Fluid. Journal of Applied Mechanics. Trans ASME, vol. 19 №2, 1952, - P. 205 - 209.

31. Ichikawa Masami, Matsuta Akira, Miyakawa Toshio. Simple analysis of a multi-span beam under moving loads with variable velocity. Trans. Jap. Soc. Aeronaut. and Space Sci. 1999. 41, №134, - P. 168 - 173.

32. Kononov A. V., Dieterman H. A. A uniformly moving constant load along a Winkler supported strip. Eur. J. Mech. A. 1999. 18, №4, - P. 731 - 743.

33. Mazur-Sniady Krystyna, Sniady Pawel. Dynamic response of a micro-periodic beam under moving load - deterministic and stochastic approach. J. Theor. and Appl. Mech. (Poland). 2001. 39, №2, - P. 323 - 338.

34. Sheng Guo-gang, Zhao Bing. Динамические характеристики упругой балки под движущимися колебательными нагрузками. J. Changsha Commun. Univ. 2002. 18, №2, - C. 17 - 22.

35. Stending H. Die Schwingung von Trager bei bewegten Lasten. Jng. Acch. 1934, - P. 275 - 305.

36. Sun Lu. Closed-form representation of beam response to moving line loads. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2001. 68, №2, - P. 348 - 350.

37. Szczesniak Waclaw, Zbiciak Artur. Колебания упругой шарнирно закрепленной балки с одной степенью свободы под инерционной равномерно распределенной подвижной нагрузкой. 10 Российско-польский семинар «Теоретические основы строительства», Москва-Иваново: Сб. работ. Warszawa: Wyd. Politechn. Warszaw. 2001, - C. 173 - 200.

38. Szczesniak Waclaw. Wybrane zagadnienia z dynamiki plyt. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa. 2000, - 295 с.

УДК 539.3:624.07

ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО ПЛАСТИНЕ С ЗАЩИТНЫМ СЛОЕМ ИЗ МАЛОСВЯЗНОГО

МАТЕРИАЛА

В. Б. Запорожец, к. т. н., доц., Е. В. Запорожец, к. т. н., С. Н. Горлач, к. т. н., доц.

Ключевые слова: поперечный удар, пластина, защитный слой.

Введение. Данную статью следует рассматривать как продолжение наших работ [4 - 6 и др.], посвященных расчету и изучению разнообразных изгибающих воздействий движущихся грузов на различные пластины.

В местах возможного падения груза на сооружение обычно создают защитный слой, который предотвращает повреждение основных несущих элементов. Зачастую этот слой состоит из уплотненного песка или из кирпичей, уложенных без перевязки и раствора. В этих случаях материал слоя является малосвязным, что позволяет существенно упростить расчет.

Анализ публикаций. Во многих случаях динамическое и статическое поведение металлических листовых элементов рабочих площадок, однослойных железобетонных стеновых панелей, плит перекрытия и покрытия описывается в рамках классической теории изгиба тонких жестких пластин [1; 2; 7; 8 и др.]. По этой причине эта теория и используется в данной работе.

При проектировании, как правило, используют приближенную теорию удара [1; 2; 7 и др.], основанную на едином коэффициенте динамичности, которая не учитывает возможность нарушения контакта между грузом и ударяемой конструкцией, не дает возможность проследить развитие процесса удара во времени, весьма приближенно отражает напряженно-деформированное состояние ударяемой конструкции (особенно напряженное) и т. д.

Целью работы является следующее: 1) сформулировать контактную задачу для случая взаимодействия жесткого груза с тонким слоем из малосвязного материала, что позволит проследить развитие процесса удара во времени; 2) на примерах расчетов поперечных ударов по конкретной железобетонной плите перекрытия проследить влияние на некоторые компоненты ее напряженно-