Компьютерное исследование броуновского движения на основе статистического и фрактального анализа

УДК 681.3.513

Е.А. Никулин

КОМПЬЮТЕРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО И ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Работа посвящена изучению статистических свойств свободного и закрепленного броуновских движений, а также установлению фрактальных закономерностей случайного броуновского процесса. Впервые введено понятие фрактальной броуновской линии. Метод ее получения - случайное изотропное смещение средних точек отрезков полилинии. Предложен метод оценки размерности неоднородных фрактальных полилиний. Получены статистические свойства и фрактальная размерность случайных броуновских полилиний.

Ключевые слова: броуновское движение, фрактальная броуновская линия, фрактальная размерность.

Введение

Компьютерное моделирование броуновского движения (БД) - хаотического перемещения видимой частицы, возникающего при ее столкновениях с большим числом малых невидимых частиц - реализуется множеством методов [1-4]. Каждый из них в различной степени адекватен данному природному явлению, в действительности происходящему под воздействием большого числа неопределенных факторов: размеров и масс частиц, величин и направлений их скоростей, длин и длительностей свободного пробега, плотности и вязкости среды и т. п. Учет всех этих составляющих в процессе моделирования проблематичен, поэтому неизбежно принятие определенных идеализаций и упрощений, аналогичных замене трассировки всех световых лучей на отслеживание лишь приведенных обратных лучей в расчете освещенности поверхностей [5, 6]:

• использование модельных единиц измерения длины, времени и скорости, мало связанных с метриками реального БД;

• простейшие формы частиц, например, сферы одинакового диаметра либо просто точки;

• случайные или даже равные единице длительности свободного пробега частиц;

• мгновенное изменение скорости либо перемещения частицы после ее столкновения с другой частицей на алгоритмически генерируемую случайную векторную величину;

• равномерное движение частицы с новой скоростью до следующего столкновения.

Свободное броуновское движение

В рамках принятых допущений построим на плоскости стошаговую траекторию свободного броуновского движения pi+l = р1 +Vi V/=0,99 из начального положения p0 = О, где О = [0 0] - нулевой вектор. Для изменения векторов скорости У1 используем функцию ^(а)=^(а)-^т(ф) cos(ф)] генерирования вектора со случайными длиной ^(а) и углом направления ф=гЫ (2 л) рад, равномерно распределённым по кругу. При задании типа генератора случайных чисел (ГСЧ) с нулевым средним г = г[ (а) можно выбрать либо равномерный г = 2rnd(а)-а в интервале [-а, а], либо нормальный ГСЧ с гауссовой плотностью вероятности в~г /2а /ал/2тс со среднеквадратичным отклонением (СКО) а .

© Никулин Е.А., 2019.

На рис. 1 построены реализации броуновского движения с равномерным ГСЧ с параметром о = 1 двумя методами изменения направления движения частицы после столкновения: (а) Vi =V-i+ rv(а) при V_1 = O и (б) V = rv(a). Насколько каждый из этих методов случайного блуждания близок к реальному броуновскому движению - судить тем, кто видел его воочию, возможно, даже в микроскоп.

Изучим статистические свойства процесса со случайными приращениями положений, показанного на рис. 1, б. Каждая n -шаговая полилиния P=p0pi pn с вершинами pt Vi=0, n имеет следующие длину у и квадраты максимального удаления р и расстояния х между начальной и последней вершинами po и pn :

Y=Xp- "p¿-i|, Р=max(Pi "po|2),

У 0

i=i

10 20 30 40 50 x

20

----- 1 1 У V ' i i i

1 : :рср

----- 1 ^ri У i - X 1 i i ср i - - г---1----1- ^ i i i

у¿г - -- 1 -i- i i i  Г 1 1 1 1 1 III. —1-1-1-

20 40 60 80 100 i в)

X = Pn -po

У i к

"2 Р0 ж зггт.

-2 0 Pi \4; 6 ¡8 10 x

-2 ^InrSi у 1

- ---- -Г--Г--Ш-  ^P '» ' i i > j i

_6

б)

У,

50-40-30-20 10 + 0

P,X

Рср

0 0.2 0.4 0.6 0.8

г)

Рис. 1. Свободное броуновское движение

Сгенерируем ансамбль из K = 1000 случайных траекторий! броуновского движения Pk , к=1,K, вычислим по (1) значения уk , рk, %к и рассчитаем средние параметры ансамбля:

у Ср = mean(y k ), рСр = mean(pk ), Хор = mean(Xk ).

Соответствующие графики этих зависимостей от числа шагов моделирования i и параметра разброса равномерного ГСЧ а приведены на рис. 1, в, г. Все они хорошо аппроксимируются следующими функциями: _

уср(/)«0.5i, Рср(/)«0.47/, |Хср(i)«033i,

УсР (а)« 50а, Рср (а)« 48.2а2, Хор (а)« 33.3а2.

Аналогичные зависимости при использовании нормального ГСЧ с СКО а выглядят следующим образом:

у ср (i )«0.8i, Рср (i )«1.41i,

X,

ср

(i )«

у ср (а)« 79.8а, р Н« 142а2, Хср (а)«100а2.

2

У

0

0

Особо значимым результатом моделирования является пропорциональность среднего квадрата расстояния хср(/) от начальной до конечной точки броуновской полилинии числу

шагов (времени движения при равномерном квантовании времени), экспериментально подтвердившая хорошо известную в молекулярной физике формулу Альберта Эйнштейна.

Фрактальные броуновские линии

Понятие «фрактал» было введено Б. Мандельбротом в 1975 году для преодоления проблемы чрезвычайной громоздкости математического описания бесконечно дробимых объектов уравнениями линий или поверхностей [6]. Наибольшее распространение в компьютерной графике фрактальная тема получила для формирования объектов природного ландшафта. Нерегулярность самоподобия означает, что фрагменты объекта не точно повторяют его форму в уменьшенном масштабе, а имеют некоторые отклонения от регулярности, носящие случайный (стохастический) характер. Случайность доставляет фрактальному объекту неповторимость, живость и близость к реальным природным образованиям, каждый из которых уникален.

Рассмотренная выше броуновская линия в действительности не является фрактальной, так как в методе ее создания отсутствует процесс дробления элементов. Вместе с тем двусто-ронне закрепленная фрактальная броуновская линия (ФБЛ), проходящая между заданными точками а и Ь , дает классический пример устройства бесконечно дробимых самоподобных объектов. Для ее построения используется хорошо зарекомендовавший себя рекурсивный метод срединного смещения [4], состоящий в изотропном гауссовом смещении средних точек дробимых отрезков строящейся полилинии. В плоском варианте задачи изотропность и гаус-совость означают следующее (рис. 2):

• случайный угол ф отклонения вектора смещения средней точки с=(а+Ь)/2 отрезка аЬ от вертикали равномерно распределён в интервале [0,2л);

случайная величина смещения нормально распределена с нулевым средним значением и абсолютным СКО \Ь - а |а .

^ ф1 Ь

Рис. 2. Метод срединного смещения

Используя предложенную нами ранее методологию [7], для повышения гибкости алгоритма построения ФБЛ введем в список его параметров признак направления срединного смещения Бф е{0,1}: при Б = 0 смещение происходит по вертикали с углом ф=0, тогда как при

Бф =1 производится генерирование случайного угла отклонения ф=rnd (2л).

Начальное значение смещения задаётся пропорциональным длине исходного отрезка |Ь-, а на каждой следующей рекурсии параметр а уменьшается в 2н раз, где Не[0,1] -показатель Херста, задающий степень хаотичности ФБЛ и коррелированности смещений. При Н=0 неизменное значение а при уменьшении длин отрезков приводит к максимальной изрезанности ФБЛ.

Рекурсивная функция FBLrec (ь, Ь, а, 5, г,Б ,Н) построения фрактальной броуновской линии с аргументами Ь (списком вершин построенной части линии, последняя точка которого а является началом следующего отрезка аЬ ), точкой Ь , абсолютным СКО а , минимальной длиной разбиваемого отрезка 5 и глубиной рекурсии г работает по следующему алгоритму.

& FBLrec

{ a = Lze (L), V=b -a ;

если {r=0}v{|V|<ö}, то { b ^ L ; /ine (a,b); возврат L }; Ф=Dp-rnd(2л), a=a/2h ; d=a+0.5V+rf (a)-[sin (ф) cos(ф)]; L=FBLrec (l, d, a, 5, —r,Dp ,H ); возврат FBLrec(L, b, a, 5, r,Dp,H);

}

// начало отрезка и его направление

// условия остановки разбиения отрезка // добавление в список новой точки // вывод отрезка аЬ // выход из рекурсии

// параметры смещения // смещение средней точки // разбиение отрезка ad // разбиение отрезка dЬ

Построение ФБЛ на отрезке аЬ осуществляется заданием начального значения погонного СКО а , соответствующего единице длины отрезка |Ь -а|, и однократным вычислением

списка её вершин Ь=FBLrec (а, Ь, |Ь - а| а, 5, г,Иф ,Н ). Для создания броуновского фрактала на базовой полилинии Р1 р2-..рп инициализируется начальный список, состоящий из ее первой вершины Ь = {р1}, после чего в цикле:

Ь=FBLrec (ь, р1, | р1 - р-х |а, 5, г,Бф ,Н ) V/= к нему подстраиваются сегменты ФБЛ на отрезках р- Р1.

На рис. 3 показаны четыре группы реализаций алгоритма FBLrec на базовом единичном отрезке за г=8 рекурсий при разных значениях параметров а , Иф и Н . Изучение графиков приводит к следующим выводам:

• при строго вертикальных срединных смещениях ( И = 0) абсциссы всех точек ФБЛ изменяются монотонно, что позволяет строить на таких базовых линиях самонепересекающиеся ландшафтные поверхности [4];

• изотропность срединного смещения (И =1) создает на фрактальных линиях хаотически

расположенные петли и участки попятного движения - совсем как на реальных траекториях случайного блуждания частиц в молекулярной среде. Однако такое поведение ФБЛ усложняет их использование в качестве базовых линий фрактальных броуновских поверхностей, моделирующих строение поверхности природных ландшафтов, - они получаются чрезвычайно самопересекающимися и комковатыми, в чем мы скоро сможем убедиться;

• влияние показателя Херста 0 < Н <1 на форму фрактальных линий сказывается на относительном содержании в их спектре высокочастотных гармоник (шума) и коррелированности соседних смещений. При малых значениях Н«0 доля шума максимальна, а направления соседних смещений в среднем противоположны. Наоборот, выбор Н позволяет создать ФБЛ с малым уровнем высокочастотных колебаний и сильной коррелированностью соседних смещений.

Важной статистической характеристикой полилинии, отражающей ее непрямолинейность, является коэффициент удлинения - отношение полной длины линии к расстоянию между ее концами:

n—1

i=1

#=0.5

0.2 0 -0.2

-0.2

Рис. 3. Фрактальные броуновские линии

Зададим набор СКО а у = 0.01 / V/ = 0, 50 и для каждого а  сгенерируем ансамбль из

К = 100 фрактальных полилиний с вычисленными по (2а) значениями ук Ук = 1, К . Рассчитаем среднее значение коэффициента удлинения:

У ср = теап

Наилучшие приближения уср (а,Н), вычисленные в MathCAD методом Левенберга-

Марквардта с помощью функции genfit на г=8 уровнях рекурсии для выборочных значений Н=0.5 и а=0.3, имеют следующий вид:

Г ср

(а,0.5)«1+18.3а1Л6, у (0.3,Н)1+69.6-2'

-7.8Н

Графики этих зависимостей от параметров а и Н при выборочных глубинах рекурсии ге {4,6,8,10} показаны на рис. 4.

<сР 20

10

5 0

_ __1___1___1____1 _ 1111 1111 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¿Г 1 1 _ /г=10 — 1- -I I I

1 1 1 1 1 | —г=8

_____1 _ 1 J _ 1 | — /\ 1 | II \

--1-1-1-1-0-

У '

ср

403020100

а=0.3

I

. J___

\г=10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 а

0 0.2 0.4 0.(5 0.8 1 Н

Рис. 4. Статистические свойства ФБЛ

Экспериментальная оценка размерности ФБЛ

Броуновская полилиния также является стохастическим линейным фракталом с неоднородными элементами (рис. 3). На рис. 5 построены графики усредненных по К = 100 реализациям функции FBLrec (а,Ь, а,0, г,0, Н) зависимостей их полной длины у ср (а,Н,г) и размерности dср(а,Н,г) от числа рекурсий г на наборе СКО ае{0.1,0.2,0.з} нормального ГСЧ г/(а) и от показателя Херста Н е {0.1,0.5,0.9}. Выбор логарифмического масштаба позволяет обнаружить предельную линейную зависимость функции (уср) от числа итераций и оценить полную длину ФБЛ зависимостью от двух параметров а(а, Н) и р(а, Н):

1082

с нулевыми значением и наклоном при г=0 . Прямые измерения по графикам обнаруживают установившиеся значения коэффициентов наклона аР=1—Н .

Таким образом, оценка предельной длины ФБЛ приобретает вид Мг (а,Н2(1-Н )г, а ее фрактальная размерность

сходится к

Dr(а,н)= 11т - / , ч

гч 7 г^> 1-1о82

Ог (а, Н

1—(1-Н )г+(1-Н)(г-1) Н

1

=—=const У г.

10§2УСр 12 10 8 6 ^ 4 2 1

Н=0.1

0 3 6 9 12 15 г

10§2У

2' ср 12 10 8 6 4 2 0

10§2УсР

6 5 4 3 2 1 0

Н=0.9

а=0.1

10§2У,

0 3 6 9 12 15 г

2'ср 12 10 8 6 4 2 0

12 15 г

12 15 г

Рис. 5. Длина фрактальной броуновской линии

Это полностью согласуется с размерностью броуновского движения, приведенной в [1] и экспериментально подтверждается графиками на рис. 6, асимптотически сходящимися к пунктирно проведенным уровням 1/Н , независимым от значений а . При этом скорость сходимости сильно замедляется по мере приближения показателя Херста Н к 1.

1

d  ср

121086 4 2-| 0

H=0.1

I

"g=Ö.3I

d

ср 2.221.81.61.4 1.2-1 1

H=0.5

d

ср

0

I H=0.9 1 1 ff) 1 1 1

1 1К 1 1 1 11 1 1 1 II 1 1 1 1 VT

о=0.3!П ! А -  m^-i- isö- ч - V - \ *STi мГ il Г J/^ \ ДЙ 1 1 1 /_ __ 1 <a_1 n гт*

Iii \ if \JrrJ\ ч Д7 06 Р^Сч X/ /Ssr^ 1 4=0.2

1 _ аг° 1 03 1 /«0=0.1

_ 1 J-, f^ft'Q1***? ^ 1 1 аг^л^w 1 1 1 1 1 --+-1-1-1-1-1—

6 9 12 15 18 г

Рис. 6. Размерность фрактальной броуновской линии

Заключение

Получены усредненные характеристики траекторий броуновского движения, создаваемых с помощью генераторов равномерно и нормально распределенных случайных чисел. На основе этого становится возможным как оценить вид и область расположения полилинии при заданных значениях 5 , а и г , так и задать эти параметры сообразно ее желаемому поведению.

Библиографический список

1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

2. Кроновер, Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р.М. Кроновер. - М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

3. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

4. Никулин, Е.А. Компьютерная графика. Фракталы: учеб. пособие для вузов / Е.А. Никулин. - СПб.: Издательство «Лань», 2018. - 100 с.

5. Никулин, Е.А. Компьютерная графика. Оптическая визуализация: учеб. пособие для вузов. / Е.А. Никулин. - СПб.: Издательство «Лань», 2018. - 200 с.

6. Никулин, Е.А. Компьютерная графика. Модели и алгоритмы: учеб. пособие для вузов / Е.А. Никулин. - СПб.: Издательство «Лань», 2017. - 708 с.

7. Никулин, Е.А. Исследование фрактальных полилиний // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2018. № 3(122). - С. 23-31.

Дата поступления

в редакцию 11. 01.2019

E.A. Nikulin

COMPUTER INVESTIGATION OF THE BROWN MOVEMENT BY MEANS OF STATISTICAL FRACTAL ANALYSIS

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alekseev

Purpose: The establishment of statistical regularities of random Brownian motion. Methodology: Random isotropic displacement of midpoints of polyline segments.

Experiments: A statistical experiment was performed to evaluate the length and dimension of a fractal polyline. Results: Statistical properties and fractal dimension of random Brownian polylines are obtained. Findings: A method for estimating the dimension of inhomogeneous fractal polylines is proposed. Research implications: Computer synthesis of random fractal objects with desired properties.

Key words: Brownian motion, fractal polyline, fractal dimension.