Сравнительный анализ методов адаптации параметров регулятора системы управления робота-манипулятора

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2017, 10(4), 508-522

УДК 62-503.57

Comparative Analysis

of the Regulator Parameters Adaptation Methods of the Control System of the Robot Manipulator

Ruslan T. Galemov* and Gennadiy B. Masalsky

Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia

Received 19.01.2017, received in revised form 27.03.2017, accepted 16.05.2017

In case of action of internal and external uncontrollable influences the control of the multi-axis robot manipulator requires continuous adaptation of the controller. The methods of adaptation of the classical PID-regulator on the basis of a direct search method, namely, the simplex invariant method are offered. The structure of the offered algorithms is similar to the structure of the known algorithms on the basis of artificial neural networks. Two configurations of the adaptive PID-regulator are considered: in the first direct setup of coefficients is carried out; in the second an additional influence which is added to the PID-regulator output is created in the function of the error of tracking. In this paper the two-link robot manipulator with loading in a gripper is used as a control object. The comparison of the paths of the movement of the robot with use of different adaptive regulators on the basis of artificial neural networks and a simplex invariant method is provided. The results of the control of the robot manipulator with a permanent and alternating load are given, zones of effective application of the offered adaptation algorithms are defined. Mathematical simulation showed that the offered method effectively solves adaptation problems in the conditions of drift of the parameters of the robot manipulator.

Keywords: robot manipulator, simplex invariant method, PID-regulator, parameter tuning, artificial neural network.

Citation: Galemov R.T., Masalsky G.B. Comparative analysis of the regulator parameters adaptation methods of the control system of the robot manipulator, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2017, 10(4), 508-522. DOI: 10.17516/1999-494X-2017-10-4-508-522.

© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: galemovruslan@gmail.com

*

Сравнительный анализ методов адаптации параметров регулятора системы управления робота-манипулятора

Р.Т. Галемов, Г.Б. Масальский

Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

При действии внутренних и внешних неконтролируемых воздействий управление многозвенным манипулятором требует постоянной адаптации регулятора. Предложены методы адаптации классического ПИД-регулятора на основе алгоритма поисковой оптимизации, а именно симплексного инвариантного метода. Структура предложенных алгоритмов совпадает со структурой известных алгоритмов на основе искусственных нейронных сетей. Рассмотрены две конфигурации адаптивного ПИД-регулятора: в первой осуществляется непосредственная настройка коэффициентов; во второй в функции ошибки слежения формируется дополнительное воздействие, которое суммируется с выходом ПИД-регулятора. В работе в качестве объекта управления использован двухзвенный робот-манипулятор с нагрузкой в схвате. Представлено сравнение траекторий движения робота с применением различных адаптивных регуляторов на основе нейронных сетей и симплексного инвариантного метода. Приведены результаты управления манипулятором с постоянной и переменной нагрузкой, определены зоны эффективного применения предложенных алгоритмов адаптации. Математическое моделирование показало, что предлагаемый метод эффективно решает задачи адаптации в условиях дрейфа параметров робота-манипулятора.

Ключевые слова: робот-манипулятор, симплексный инвариантный метод, ПИД-регулятор, настройка параметров, нейронная сеть.

Введение

Цель данной статьи - выбор эффективной системы управления манипулятором, основанной на адаптивном ПИД-регуляторе. Робот-манипулятор есть нелинейная динамическая система, и для его управления часто используют методы, основанные на линеаризации обратной связи [1]. Для эффективного управления необходимо знать точные динамические характеристики манипулятора, такие как, например, тензоры инерции звеньев при переменной нагрузке и коэффициенты трения в сочленениях. В реальной практике определение значений этих характеристик крайне трудозатратный процесс. Их влияние соответствует дрейфу параметров объекта управления. Один из подходов адаптивного управления подобными системами является ПИД-регулятор с настройкой параметров в реальном масштабе времени. Настройка регулятора может производиться нейронной сетью [2, 3] , нечеткой логикой [4], нейро-нечеткой сетью [5].

В данной статье разработана процедура адаптации параметров регулятора на основе симплексного инвариантного метода [6], приведены результаты моделирования и сравнение с другими системами управления манипуляторами, основанными на ПИД-регуляторе.

Методы адаптации

13 общемслучаединамикаы-звенногоманипулятораописывается нелинейнымурав-нением

lit) = M

где T(t) - isектор n*1 моментов в сочленениях, Нм, q(t) - вектор n*1 угловых координат в сочленениях, рад; M(q()) - матрица n*n инерций звеньев манипулятора; V(q(b), q(B) - веятор n*1 кориолисовых и центробежных сил; G(q(t)) - вектор n*1 гравитационных скл; F(((t)) - вектор n*1 сил трения в сочленениях.

Параметры уравнения (1) зависят от многих неконтролируемых возмущений, например тензоо>н1 инерции авеоьов эцх зифеменной нагрузи) и коэффициеоты тыдния тсочлене-ниях, и следоввтелиио> иыменяднздяффвремени с различной интенсивностью. В этой связи р азработаны различные подходы адаптации параметров системы управле н ия манипулятором [2i5],

Раасмотвим ненаерывнуюсистемуупрувлениянао снове классического ПИД-регулятора (рИС. 1).

ПИД-реаулятврреалр)уесуправлруие

т

о <<-

где Кфы, Кф, Krf0 - ieкторы ф><1 прокорциеналенд1х, инлрлуальныо и дифференциальных ко-эффициертоорегуляторасоотвел)твенно>ДК(/)ы, ДКфрр, еГНТиСВ _ яехоофы и><1 АриращеАия ко-эффициентоврегуляцора;и()) = (Ч^ц Ч(е))- вееторр^ошибаисрежения, pppqrf(t)- вектор яр1заданиых зналений идвлат, рад; р(Т) - вгкуцр п* 1 текудцих значений угловых

ко коловазьрадд ((л) - измеренный вектор n* 1значений скоростей,рад/с.

Адаптация п-феманрое рииолеоорн реалиоуыеея а зоокынтстр-и с; хритерирм рцюлевой фр нициеи)

Qet)=1и2ео-> mine

2 дкесеиа

ooe<s К = {и K(0 : А K (О е ЕД3 , AKmta < ¿МС < А К mix} •

Рис. 1. Соруиеуобае схеманепреаыяаяроисеимыипеанления манипрриторнмриосновеклансинеекеео ПИД-регулятора без адаптации

Первая схема адаптации предусматривает коррекцию векторов приращений коэффициентов регулятора относительно векторов базовых значений коэффициентов Кр0, К,0, Ко (рис. 2).

При настройке регулятора нейронной сетью ПИД-регулятор представляет собой однослойную нейронную сеть (рис. 3).

В качестве адаптера используется алгоритмобратногораспространенияошибки на основе градиентногометод а [3].

Настройка параметров регулятора происходит по выражению

г

Ки () = Ки 0 +пР]

О дКР/

г 32,

к и

О дк и

г дд,

ки (t) = Ки О -¡-К-^

О О/

/ = 1, п -дотгр сочлгдгдая,

Рис. 2. Структурная схема адаптивной системы управления с настройкой параметров ПИД-регулятора нейронной сетью

Рис.З.СтруктуранейроннойсетиПИД-регулятора

Ruslan T. Galemov and Ciennadiy 13. Masalsky. C!omf)arative Analgia of the Regulator Paramete rsAdapUatipnMelhods...

где npj, щ, % - векторы n*1 скоростей обучения пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих для j-го сочленения соответственно.

Денныйалгориомсаляетсяйелигейнымоспособено.учатьсяса еремяработы. рисимо-ррпв вовможнопто ивпалввованпр n аачесттл адаптера метод чоиокавой оптикизации. Цевиеая Тункцип (T) роеимвт от вчемтни, в законит (изменения априори неизвестен. Большинство ме-додовиптимрврциинпэффаксивуы a усоовуяпрмойфа целевоИ функции, а при определенных скоростях дрейфа и неустойчивы. Если в качестве контролируемого возмущения исполь зо вать в.пмя проведепуп вттперидтнтвв текущтТ точве, тем можни прнменипь вомплерпныминтари-симоей еввфд (СИМ) [(5].

Процесс поиска СИМ реализуется в дискретные моменты времени tk = k • T0, где T0 - интервал дискретизации; k - шаг поиска (дискретное время). На интервале T0 происходит вычисление целевой функции и принятие решения о направлении поиска в пространстве приращений ДК.

Обобщенно алеормтм нечтда:

в) на к-м шага поиска денрисаяевра цтлввия Дункци) Q(k[ и фйквиффется время еввытис-ления z(£).ПмичРНннгается, что время измерения невязки e(k) и функции Q(k) совпадают;

(it апвфовсимируем на --м шаве целввую фунвцию Q(k) выдежевиеш

рассчитываетиа твнещая ецывка дрвпфа цтлеоей фуоечио еевурреитным мевадом нременмш их квадратвн;

где х(к) = (АКр(к) ДК,(к) ДКДк) Az(k))T - составной вектор воздействий; а(к) = (а1(к) а2(к) а3(к))т -составной вектор оценок целевой функции на к-м шаге поиска; а,(к) - оценки зависимости целевой функции от приращений параметров регулятора на к-м шаге поиска; Ь(к) - текущая оценка дрейфацелевойфункции; С(к-1) - ковариационнаяматрица оценок.

В области экстремума целевой функции оценки а1(к), а2(к), а3(к) близки к нулю. Это явля-етсяпризнаком достиженияобластиэкстремума;

3) вычитание влияния дрейфа на значение целевой функции в вершинах текущего симплекса

4) принятие решения о направлении поиска, а именно отражение худшей точки (вершины, имеющеймаксимальноезначение )). (А));

5) переход к пункту 1.

Эффективность алгоритма зависит от длины ребра симплекса (приращения Кр, К, К) скорости дрейфа, уровня помех, а также от процедур адаптации параметров и стратегии поиска.

Вторая схема адаптации предполагает непосредственное воздействие на формируемое управление вектором моментов т(/) в сочленениях. Структурная схема такой адаптивной САУ с использованиемнейроннойсетиприведенанарис. 4[7].

Q ( В ) = aT x,

QPuHMV = Ж - ьиay tea, j = v,-, ш + le j * s;

Рис.4. Схемаадаптивной САУ с корректировкойвектора момендовтненронной сеокю

Рис.5.Структуранейроннойсети

Структура нейронной сетиизображена на рис. 5. Управление рассчитывае тся по формуле:

e(t) = Ф) rf-q(t),

r

т (P)= f( x(0) + K „-r(t)-v(t),

где q(t) - вектор n*1, рад; e(t) - вектор ошибки n*1, рад; Л - положительно определенная квадратная матрица параметровихп;К„-диагональная+атрица параметров внешнего контура; а()-фвнкцияи оберпечибающая робастносti>; х - входчой вяктор, состо+щий из (qrfr , q J, q J, eT, eT )T размерностью nx x 1, nx = 5^ n, f(x) - описывается уравнением

f

где W - матрица весовых коэффициентов выходного слоя; H - матрица весовых коэффициен-товскрытогослоя; о(.) -активационная функциянейроновскрытогослоя.

Весовыекоэффициенты изменяютсяпо следующим правилам:

= и • а • гг

• ) + (10) Н = Сх(с 0¥-о)°

где И и (= - полииител1>но определсншыедиагенальнвв матрицы коэффициентов;^ -произио-дная от актйва.ионной (утащси. Подробмое оалсонсе алгорттмя дано в [7].

Для ре али з ации подобной адаптивоойСАУ н а б а з е СИМ пред лагаевся структурная схема, дрив еаидпатна рис. 6. Кимденсдеующее воздействие ДтИ&)фгдмипуе тся симпиедсным -

антнымметодом по вектору ошиботсе. Вданной схеми ПИД-регулятор являетсяклассмиипием и описывается уравнением (2). При такой схеме возможно реализовать СИМ в «-мерном про-странстте иал е СИГе! в одномерном пространстзл. т качцтесе функции в постановке

задачи адаптацви(З) испя льзуеася функция

ОеО™^6^ '

обеспечивающаяпостоянствоградиентав процессе поиска.

Исследование методов адаптации

Проведем сравнительный анелиз приводенных схем адаптации на двухстепентюм манипуляторе (рис. 7), динамика которого подробно описана в работе [3], с параметрами:

а[== 1, д ; а2 =1;М;дг1 о Дк^^00,3^;;/.. = д.7о> кг; В = 0.3, где а- - дгдиз у-ео звена, еп, - йаосау'агп евена, зд о- мааса груза в последиимквииз,В икоэффициеизтмения в сочленениях.

Заданная гаимонояесьамикоздействиями:

о 2Лsinеюí); .12 -Г5мт(0?>,<д = 0; 2;т,

.V -<Кди М = а2) Члв~ А '^2;- Л '

В качестве контролируемого возмущения примем времяг(к) = к,к = 0...Ы,Ы = 1000. Время дити^тизации Да=0.в2 И; щэгмя маделщсовании^3!) в

ЭфИякоивтоттьметидтаоиптацииоцентвается дляяояадогг сочтияения функцией 1 N I-

К^ЕТ^в-ди,«,.

IV 1=а

4J

4J

Рис. 6. Схема адаптивной САУ с корректировкой вектора моментов т с использование СИМ

/г — -q,

0 \ -Ча,

V

0 2 4 6

10 12 14 16 18 20

0 2 4 6

10 12 14 16 18 20

10 12 14 16 18 20

a) 6)

Рис. 8. Качество слеженияПИД:а - заданныеи реальныеуглы сочленений;б-ошибки слеженияв

сочленениях

Для боль шей наглядности привычислении показателяуправления значениеошибкипере-водится израдлои в градусы, поэтому качество (13) представлено на рисунках и в таблицах в градусах.

Обычный ПИД-регулятор без адаптации (ПИД) (см. рис. 1). Значения коэффициентов регулятора (2) равны Кр0 = (1000 ЮОО)г,К,0 = ((00 100)0 Krf0 = (75 05)) А0Рр = ДК,- = ЛК,и(0 0). Иебкллтатыра0отя1 ПИИЯрегулятолт длядвух акеньео коказтныва рир.О.

Накис.8види м, что ошибка слежения первого сочленения всегда больше ошибки второго сочленения.

Эффективность адаптации J = (J Л) = (2.1635 0.9102)0 град.

ПИД-регулятор с настройкой параметра нейронной сетью (ПИД-НС) (см. рис. 2). Нейронная серь(см. рве. В) выполклат функткюраоулятора. Аптивеционнш! Денкция вывполтго нейрона

. . 2

X) = А-Г^Л.

а

Функцию адаптера выполняют выражения (4) с целевой функцией (3). Начальные значения коэффициентов регулятора Кр0 = (1000 1000)г, К,- = (100 100)т, К = (75 75)т, векторы скоростей обучения равны пР = (600 800)т, п, = (500 600)т, % = (800 800)т.

Результаты работы алгоритма представлены нарис. 9.

На рис. 9 видим, что ошибка слежения ПИД-НС в целом идентична ошибке ПИД-регулятора, носпадает вобластьмалых значений в два раза быстрее.

Эффективность адаптации J = J2)T = (1.4089 0.7173)т, град.

Адаптивная САУ с корректировкой вектора моментов т нейронной сетью (АдСАУ-НС) (см. рис. 4). Для моделирования использовали следующие значения параметров: количество слоев нейронной сети Ь = 2, количество нейронов во входном, скрытом и выходном слоях равны соответственно 4=10, 4=10,13=2, К„ = 75 • /2х2, Д = 13.3 • /2х2, /2х2 - единичная матрица размером 2^2, W - нулевая матрица размерностью 10х11, Н - нулевая матрица размером 10х11.

Результат исследования АдСАУ-НС представлен на рис. 10. Регулятор в пределах 1 с обеспечивает подстройку дополнительного воздействия Дт и удерживает ошибку слежения в области нуля. ПИД-регулятор с нейронной сетью имеет высокие показатели адаптации J = (Л J2)т = (0.11 0.07)т, град.

ПИД-регулятор с корректировкой вектора моментов дискретной нейронной сетью (АдСАУ-ДНС). Система управления имеет такую же структуру, как АдСАУ-НС, за исключением нейронной сети, которая является дискретной. При моделировании использовалась однослойная нейронная сеть с 1=25, Д = 13.3 • 12х2 и временем дискретизации Т0. Результаты работы АдСАУ-ДНС приведены на рис. 11.

Эффективность адаптации J = (Л J2)т = (0.44 0.25)т, град.

ПИД-регулятор с адаптацией симплексным инвариантным методом (ПИД-СИМ) (см. рис. 2). Регулятор - классический ПИД-регулятор (2). В качестве адаптера используется СИМ. Для каждого звена ведется независимый процесс адаптации по критерию (11). Поиск

а) б)

Рис. 9. Качеетвос леженияПИД-НС: а-заданныеиреальныеуглысочленений;б-ошибки слеженияв

сочленениях

а) 6)

Рис. 10.КачествоуправленияАдСАУ-НС: а - заданныеиреальные углы сочленений;б-ошибки слежения в сочленениях

а) б)

Рис. 11. Качество управленияА дСАУ-ДНС:а-заданныеиреальныеуглысочленений;б-ошибки

слежения в сочленениях

ведется в пространстве приращений (ДКр, ДК,-, ДК). Начальные условия идентичны регулятору с настройкой нейронной сетью: базовые значения коэффициентов регуляторов равны К^ = (1000 1000)0 К ,-0 = (100 100)0 Ко = (75 75)т. Стартовая точка симплекса находится в начале системы координат пространства поиска. Начальная длина ребра симплекса равна L0 = (42 42) для первого и второго звеньев соответственно и рассчитывается исходя из количества шагов поиска, пространственных ограничений пространства поиска (10) и условия, что начальная точка поиска лежит в центре этого пространства [8]. Конечная длина ребра симплекса выбиралась из минимально допустимой ошибки поиска и равна LN = (0.1 0.1) для обоих сочленений. Для оценки скорости дрейфа экстремума функции (11) используется рекуррентный алгоритм (6). Результаты работы приведены на рис. 12.

Динамика изменения параметров при настройке ПИД-НС и ПИД-СИМ показана на рис.13.

1150 1100 . 1050 1000 950 900

1150 1100 , 1050 1000 950 900

К

1 А

400 300 200 100

J >

4

г

0 2 4

10 12 t,sec

14 16 18 20 0 2 4 6

Щ -KpNeuro

1 \

V V

0 2 4 6

10 t.sec

400 300 " 200 100 0

kJ

TT"

N

12 14 16 18 20 0 2 4 6

10 12 t,sec

14 16 18 20

------KiSim

-KiWeura

10 12 14 IB 18 20 t,sec

а)

300 200

300 200

,"4 Л

к Ч

0 2 4

б)

А у 4

1 w4< —

10 12 14 1в 18 20 t.sec

- KdSim

- Kd Neuro

10 12 14 16 18 20 t,sec

в)

рис . 13. Диномнкапарамеортвгфв насеройкенрйроннжсетоюрнепрерывнатйиннн) в спмплексным ннвариаитуым методом (куннтирнао онния): а р кпмIopнкeнaльпый; б-интеокальнош; в -дифференциальный

Эффективность адаптации J = (J1 J2)T = (0.7508 0.3375)T, град. ПИД-СИМ показывает более высокую скорость достижения экстремума целевой функции по сравнению с аналогичным регулятором, использующим нейронную сеть. Это является следствием более активного изменения параметров во время настройки. Как видим на рис. 12 и рис. 13, при большой ошибке слежения происходит настройка, при которой параметры ПИД-СИМ изменяются в большем, чем у ПИД-НС, диапазоне значений. Чем больше значение ошибки слежения, тем больше значение параметров, что позволяет ПИД-СИМ быстрее устранить эту ошибку. Когда ошибка слежения близка к нулю, параметры ПИД-СИМ уменьшаются и в последующем либо не меняются, либо меняются незначительно.

Адаптивная САУ с корректировкой вектора моментов т с использование СИМ

Параметры ПИД-регулятора равны базовым значения ПИД-НС, стартовая точка симплекса находится в начале координат поиска. Для оценки возмущения используется рекуррентный алгоритм (6). Для большей гибкости поиска для каждого звена применен одномерный симплекс. Начальная и конечная длины ребра симплекса вычисляется по тому же принципу, как для ПИД-СИМ, и равны L0 = (0.1 0.6), LN = (0.1 0.1). Результаты моделирования представлены на рис. 14.

Качество управления J = J J2)T = (0.968 0233)T, град. АдСАУ-СИМ показывает схожую с ПИД-СИМ динамику ошибки при меньшем размере пространства поиска.

Определим частоту задающего воздействия, при которой обеспечивается устойчивость адаптации.Работосиособностьрегуляторов проверена при следующихзначениях угловой гло-уосвии = -0.2,0.4, Я 2, 0, 1И}оо-кгИствия(12).Тисулотатымодиуирквания дуедстявльны на рит. 05.

Как видим на рис. 15а на низких частотах входного сигнала ПИД-СИМ и ПИД-НС показывают сопоставимую ошибку, но с возрастанием частоты система с адаптацией нейронной сеттн оерятт укиийчитостх, а регулятор с адтптацией СИМ при схожих условиях созртнхсх

а= б)

Рис. 14. КачеетгвупвавивнвоАдСАР-СИМ:а-зсданвыеореелоно1е ьглывоусьнешлоб- ошибки

слежения в сочленениях

а) б)

Рис. 15. Среднеквадратичная ошибка управления в зависимости от частоты задающего ваздействия для настройки ПИД-регулятора

а) б)

Рис. 16. Управление с переменной массой: а - график изменения массы; б - ошибка следования по траектории манипулятора с изменяющимися параметрами: 1 - АдСАУ-СИМ; 2 - ПИД-СИМ; 3 - ПИД-НС;4- АдСАУ-НС

устойчивостьадаптации.Рис.15бпоказывает, что нейронная сеть обеспечиваетболее высокую точность управления на высоких частотах, чем СИМ.

Проведены испытания алгоритмов в условиях изменений параметров манипулятора, а именно массы груза т, приложенной к конечному звену манипулятора. Параметр изменяется по следующее з ако ну:

3,38кг, при t < 2.5;5 < t < 7.5 0кг, при 2,5 < t < 5;7.5 < t < 10 5.07кг, при 10 < t < 20

Графики ошибок слежения приведены на рис. 166. Из результатов моделирования следует, что АдСАУ-НС меньше всего подвержен влиянию изменения массы в схвате. ПИД-СИМ

т. =

Показатели эффективности методов адаптации

№ Регулятор Ji, град Ji, град

1 АдСАУ-НС 0.11 0.07

2 АдСАУ-ДНС 0.44 0.25

3 ПИД-СИМ 0.7508 0.3375

4 АдСАУ-СИМ 0.968 0.233

5 ПИД-НС 1.4089 0.7173

6 ПИД 2.1635 0.9102

и АдСАУ-СИМ имеют схожие графики ошибки, несмотря на разные схемы управления, и заметно меньшую эффективность, чем у АдСАУ-НС. Алгоритм ПИД-НС склонен к большому перерегулированию и созданию колебаний.

Результаты работы рассматриваемых алгоритмов с постоянной массой нагрузки сведены в таблицу для удобства сравнения в порядке убывания.

При сравнении можно выделить АдСАУ-НС для настройки схемы с дополнительным воздействием и ПИД-СИМ для настройки параметров регуляторов, так как они показали наибольшую эффективность среди алгоритмов адаптации на рассмотренных схемах управления.

Заключение

Для проведения сравнительного анализа методов адаптации параметров регулятора системы управления робота-манипулятора:

• разработано программное обеспечение известных методов адаптации в среде МАТЪАВ;

• разработано алгоритмическое и программное обеспечение метода адаптации на базе симплексного инвариантного метода;

• выделены зоны эффективного применения исследованных методов адаптации как первый шаг в формировании интеллектуальной системы управления роботом-манипулятором.

Проведенные исследование показали, что настройка параметров при помощи симплексного инвариантного метода приводит к управлению, которое обеспечивает ошибку на уровне адаптивных регуляторов на основе нейронных сетей. Установлены приоритеты использования алгоритмов при различных схемах управления.

Предлагаемые регуляторы, как и нейронные сети, не требуют знания динамических характеристик робота, и благодаря настройке в реальном времени система не теряет устойчивость даже при быстрых изменениях параметров манипулятора. Характерная черта рассмотренных адаптивных регуляторов - отсутствие необходимости в предварительном сборе данных и настройке параметров до начала работы. Преимуществом регуляторов, основанных на СИМ, является простота операций вычисления, что упрощает их задачу реализации во встроенных системах.

Список литературы

[1] Lewis F.L., Dawson D.M., Abdallah C.T. Robot manipulator control: theory and practice. CRC Press, 2003.

[2] Al-Khayyt S.Z.S. Tuning PID Controller by Neural Network for Robot Manipulator Trajectory Tracking. Al-Khwarizmi Engineering Journal, 2013, 8(1), 19-28.

[3] Razmi H., & Kashtiban A.M. Nonlinear PID-based analog neural network control for a two link rigid robot manipulator and determining the maximum load carrying capacity. International Journal of Soft Computing and Engineering, 2012, 2(1), 228-234.

[4] Tang K.S., Man K.F., Chen G., & Kwong S. An optimal fuzzy PID controller. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2001, 48(4), 757-765.

[5] AL-Saedi M.I., Wu H., & Handroos H. ANFIS and fuzzy tuning of PID controller for trajectory tracking of a flexible hydraulically driven parallel robot machine. J. Autom. Control Eng, 2013, 1(2), 70-77.

[6] Круг Г.К., Масальский Г.Б. Симплексный инвариантный метод экспериментальной оптимизации. Вопросы кибернетики, планирование эксперимента и оптимизация в системах управления, под ред. Г.К. Круга, А.П. Вощина, 1981, (84), 3-32. [Krug G.K., Masalsky G.B. A simplex invariant method of the experimental optimization, Cybernetics questions, scheduling of an experiment and optimization in control systems: edited by of G.K. Krug, A.P. Voshchina, 1981, (84), 3-32. (in Russian)]

[7] Lewis F.W., Jagannathan S., Yesildirak A. Neural network control of robot manipulators and non-linear systems. CRC Press, 1998.

[8] Дамбраускас А.П. Симплексный поиск. М.: Энергия, 1979, 13, 175. [Dambrauskas A.P. Simplex search. M.: Energy, 1979, 13, 175. (in Russian)]