Управление движением колесной системы по заданной траектории с обходом препятствий

О. В. Матухина

УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КОЛЕСНОЙ СИСТЕМЫ ПО ЗАДАННОЙ ТРАЕКТОРИИ С ОБХОДОМ ПРЕПЯТСТВИЙ

Ключевые слова: управление динамикой, неголономные связи, программные связи, стабилизация.

Рассмотрена задача управления динамикой колесной системы. Для программирования движения с обходом препятствий построены уравнения нестационарных неголономных связей. Построены уравнения динамики системы, движения которой обладают заданными свойствами. Определены выражения управляющих сил, действующих на мобильную систему с целью обеспечить уравнения связей.

Keywords: dynamics control, nonholonomic constraints, program constraints, stabilization.

The control problem of the wheel system’s dynamics is considered. To program the system’s motion with obstacle avoidance the equations of non-stationary nonholonomic constraints are constructed. The equations of dynamics are constructed for the system, which have desired properties of motion. The expressions of the control forces acting on the mobile system to ensure the constraint equations are defined.

Введение

В настоящее время актуальным и перспективным направлением в развитии управляемых механических систем является создание мобильных роботов, способных выполнять перемещение в сложном рабочем пространстве с неподвижными и подвижными препятствиями, с высокой точностью выхода в конечную точку. Такой интерес исследователей к задачам управления движением мобильных систем объясняется широким внедрением робототехники в различные отрасли науки и производства, развитием космических технологий, транспортных систем и их применением в быту.

Управление движением мобильной системы предполагает решение трех задач: планирование траектории движения, стабилизацию движения, управление динамикой системы. К решению задача планирования траектории движения в рабочей среде с препятствиями можно выделить два подхода. Первый позволяет получить точное решение этой задачи, либо доказать, что решения не существует. Согласно второму подходу поиск решения задачи обхода препятствий осуществляется с помощью численных методов, применение которых предполагает существенные ограничения на формы препятствий и законы их перемещения. Стоит также отметить, что алгоритмы таких методов могут не найти решение даже тогда, когда оно существует. Современный уровень развития вычислительной техники, систем автоматизации составления и решения уравнений движения открывает возможность применения аналитических методов к решению задачи планирования траектории движения в среде с препятствиями. В частности, в [1] предложен метод построения системы дифференциальных уравнений по заданным интегральным многообразиям, применение которого для моделирования кинематических свойств системы, выраженных в виде дифференциальных связей, позволяет найти решение задачи обхода препятствий.

В данной работе для решения задачи управления динамикой колесной системы используются

результаты исследований в области управления подвижными объектами [2, 3]. Уравнения динамики мобильной системы составляются таким образом, чтобы требуемые кинематические свойства были обеспечены за счет управляющих сил, которые можно трактовать как реакции связей. Применение программных связей [4] позволяет решить задачу стабилизации связей, наложенных на координаты и скорости колесной системы.

Постановка задачи

Исследуется задача управления движением колесной системы, движущейся по горизонтальной плоскости по заданной траектории. Шасси трехколесной системы состоит из оси переднего колеса и кузова, жестко скрепленного с осью задних колес (рис. 1).

Рис. 1 - Колесная система

М^.,^) - центр масс системы, - угол

поворота переднего колеса, отсчитываемый от оси симметрии системы, - угол между осью симмет-

рии колесной системы и осью Ох, р5, Ч6,Ч7 - углы поворотов соответственно переднего колеса, левого и правого колес задней оси.

Необходимо обеспечить движение колесной системы из произвольной начальной точки к заданной подвижной точке с обходом препятствий, ограниченных кривыми, уравнения движения которых заданы в виде

(С + 2 + кз1)2 + 4с2 = 1,

— (С1 - 1 + к4^)2 + _9_(д2 - ^ = 1

Управление системой осуществляется моментами, приложенными к колесам задней оси и к рулевому приводу.

Уравнения кинематики колесной системы

Для решения задачи обхода препятствий необходимо составить кинематические уравнения движения с помощью метода построения неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданным частным интегралам на плоскости [5]:

16 8

41 =- 39^ - 4Ч2Г1Г2Г4 - 9 ( - Ф^З - 919394-

42

42 =- 29 ^ + (Ч1 + 2 + к21)Г1Г2Г4 +

+ (С -1 + кз1)Г1Г2Гз - 929з94-

Функции

f1(q1,q2,t) = q1 + М, f2(q1,q2,t) = f3 (C1, C2, t) = -1 ((C1 + 2 + k2t)2 + 4q2 -1)1

f4(C1,q2,t) = t(C1 -1 + k3t)2 + 16(q2 -3)2 -1

111 2 I 4

9 2

являются частными интегралами системы (1),

01(С11.Я2.*)=Из^ +(С + 2+^114 +(с -^ЭДЦз.

8

Ш.М = И + 4Я211Г2Г4 + 9 ( -3)11

Оз^.м=к1121з14 +к2(С1 + 2+к21)1,1214 +кз(Ч1 -^к^Уз.

94(41.42.*)=[Ог + Её]-1-

Полученные кинематические уравнения движения (1) задают уравнения дифференциальных связей.

Уравнения динамики

Динамика колесной системы описывается уравнениями Воронца:

d эт* эт* ^ эт*

-^г-1^- ьк +

dt Cq, СС k=4 5q,

і і w pk-j

k=4 j=1 cq k

+ H^-ekcj = Qi+ Ri, i = 12,3

с учетом уравнении связей, полученных из условии качения без проскальзывания и отсутствия бокового проскальзывания всех колес q 1 cos(q3 + q4)+q2 sin(q3 + q4)+ q411 sin q3 - rq5 = 0,

q. cosq4 + q2sinq4 -hq4 - rq6 = 0,

q. cosq4 + q2sinq4 + hq4 - rq7 = 0, q 1 sin( + q4)-q2 cos(q3 + q4)-q41. cosq3 = 0,

С1 б1пс4 - С 2оозс4 + 12С 4 = 0,

11 и 12 - расстояния от центра масс колесной системы до ее передней и соответственно задней оси, г -радиус колес, И - длина задней полуоси.

Здесь Т - приведенная кинетическая энергия системы. Силы О, соответствуют управляющим

моментам М1 и М2 :

0 = Ь6М1 + Ь71М2 ,

Р1, Р2 - реакции связи, Р3 - управляющий момент,

Cqi

5bkj 7 5bk

Cbk

= — + Е~Ь -^- -У^^и.

4 Эч, |^4 Эс, Эч; б Эс, |;

Для стабилизации связей с учетом уравнений (1), описывающих заданные кинематические свойства, вводятся уравнения программных связей [6]:

(

Ф1 = F1

L

л

sinq3 cosq4 +—cosq3 sin q4

V .2

+ Р2^втдз Біпд4 --^соэдз совд4^ = у1, Фі = 41 - рі = у;, Ф2 = 42 - ^2 = У2, 16 2 Рі = - 39 (4і + кі1)дід2 - 4(Чі + М)4292 -

8

- ^(ді + М)^ - з>^2ді - д4д5дб,

42

р2 = - — д2д^2 + (4і + к11)(Я1 + 2 + к2І)42д2 +

29

+ йі + к^ -1 + кз^ді - дзд5дб.

Уравнения динамики системы записываются в матричном виде, разрешенном относительно старших производных:

д =

и1 = М1, и2 = М2, из = Л.

Вектор управляющих воздействий

Аналитические выражения управляющих сил, действующих на систему с целью обеспечения движения колесной системы в соответствии с заданной программой, имеют вид

и = (© (а*>Т1о)Г1(р Б - в + 0 (а*>а),

Р = (ру ж >, V = 2,з,4, ш = 1,2,з,4, Б = (ф1> Ф1 > ф1, ф2 > , в = (в1 ’ в2 ’ вз > ,

+

(Ф 'ї

д

Ф-

ч д

Ф =

д

(аф, + £ ар, '

ад, к=4 ЙЯк к)

Ф =

д

(афп ^ ч5д,у

] = 1.2.3, п = 1,2 .

Результаты численного решения

Определение выражений управляющих моментов МЬМ2Я3. и построение системы дифференциальных уравнений динамики системы (2) проводилось с помощью средств аналитических вычислений программного пакета Мар1е. Решение системы дифференциальных уравнений было получено численным методом при заданных начальных условиях. На рис. 2 представлена траектория движения изображающей точки системы М^. ^) с обходом движущихся навстречу друг другу препятствий, полученная в результате решения уравнений динамики (2) при заданных начальных условиях.

Работа выполнена при финансовой поддержке

РФФИ, номер проекта 10-01-00381.

Литература

1. Ибушева, О.В. О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов / О.В. Ибушева // Вестник РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. - 2008. - № 1. - С. 5-11.

2. Неймарк, Ю.И. Динамика неголономных систем. / Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев - М.: Наука. - 1967. -519 с.

3. Мартыненко, Ю. Г. Динамика мобильных роботов / Ю.Г. Мартыненко // Соросовский образовательный журнал. - 2000. - Т. 6. - № 5. - С. 110-116.

4. Мухарлямов, Р.Г. Стабилизация движения механических систем на заданных многообразиях фазового пространства / Р.Г. Мухарлямов // Прикладная математика и механика. - 2006. - Т. 70. - № 2. - С. 236-249.

5. Ибушева, О.В. Построение неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов в многомерном пространстве / О.В. Ибушева, Р.Г. Мухарлямов // Учен. зап. Казан. унта. Сер. Физ.-матем. науки. - 2008. - Т. 150. - Кн. 3. -С. 133-139.

6. Мухарлямов, Р.Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения несвободных механических систем / Р.Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. - 2003. - Вып. 39. - № 3. - С. 343-353.

7. Хисамеев И.Г. Разработка механизма движения поршневого компрессора, исследование газораспределительной ступени// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. -№17. -С. 194-198.

Рис. 2 - Траектория движения изображающей точки колесной системы

© О. В. Матухина - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информационных систем и технологий НХТИ КНИТУ, ovmatukhina@gmail.com.