ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ НАСЫЩЕННЫХ ЧАСТИЦАМИ ПОТОКОВ

УДК 621.6.04

DOI: 10.24412/2071-6168-2023-5-346-347

ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ ДЛЯ НАСЫЩЕННЫХ

ЧАСТИЦАМИ ПОТОКОВ

Д.В. Стенько, А.Б. Капранова, И.С. Шеронина, Н.В. Бадаева, С.Л. Мазуровский

В настоящей работе проведен обзор основных способов моделирования столкновений для насыщенных частицами потоков, образуемых при работе различных аппаратов химических технологий. Например, такие задачи актуальны при математическом описании процесса смешения зернистых компонентов для построения теоретической базы проектирования смесительного оборудования. Известные способы моделирования (численный и аналитический) распространены на два случая столкновений частиц в рабочих объемах аппаратов (измельчителей, смесителей, устройств с псевдоожиженным слоем и др.), в частности, частица-частица и частица-стенка.

Ключевые слова: частицы, поток, стенка (преграда), столкновения, удар, коэффициент восстановления, модель.

Проектирование оборудования для переработки зернистых материалов предполагает построение соответствующей теоретической базы, описывающей динамику частиц в рабочих объемах аппаратов. Например, моделирование процессов измельчения, смешения, псевдоожижения сыпучих сред связано с учетом движения порошковых/зернистых частиц как в потоках несущей фазы (газа, жидкости), так и при взаимодействии между самими частицами/преградами (стенками). Особую значимость имеют практические приложения при предотвращении износа отбойных элементов, фильтров, закупорки микро-каналов вследствие переноса твердой фазы, при изучении характеристик разреженных потоков зернистых частиц различных компонентов в процессе их смешения и т.п. При указанных движениях рабочих насыщенных частицами потоков распространены два случая столкновений: частица-частица и частица-стенка. Сложность моделирования данных эффектов заключается в выборе способа отображения стохастического характера для коэффициентов восстановления, адгезионных свойств, положения точки столкновения твердой частицы и т.д. При этом дополнительно требуется учет степени шероховатости и увлажненности поверхностей объектов частица-частица и частица-стенка, формы данных частиц, температурных изменений, возможности частичного/полного скольжения или захвата контактной области. Таким образом, актуальность темы настоящего обзора обеспечивается необходимостью учета эффекта столкновений при моделировании процессов переработки порошковых/зернистых материалов.

Целью настоящей работы является выявление современного состояния проблемы описания эффекта столкновения частиц в рабочих объемах аппаратов по переработке зернистых материалов (измельчителей, смесителей, устройств с псевдоожиженным слоем и др.). Для достижения указанной цели требуется решить несколько задач:

1) выявить основные методы моделирования эффекта столкновения материальных объектов частица-частица и частица-стенка в процессах переработки сыпучих сред;

2) показать связь указанных методов моделирования с учетом физико-механических свойств рабочих материалов, динамикой движения насыщенных частицами потоков.

Несмотря на существование двух классических подходов (детерминированного и индетерми-нированного) для аналитических и численных моделей столкновения частиц в последнее время явное предпочтение отдается численному методу. Это объясняется наличием множества значимых факторов, необходимых при формировании соответствующего математического описания, в том числе стохастического характера, и многомерностью решаемых задач.

Различают несколько типов объектов исследований частица-частица и частица-стенка в дисперсных потоках с участием различных состояний материальных объектов:

1) жидкость-жидкость: капля-капля;

2) жидкость-твердое: капля жидкости-твердая частица, капля -подложка;

3) твердое-твердое: твердая частица-твердая частица и твердая частица-преграда.

Однако методы моделирования ударного взаимодействия для указанных типов материальных

объектов частица-частица и частица-стенка (в частности, между двумя частицами различной природы или между частицами при движении потоков) имеют общие принципы построения. В частности, их основой служат классические представления о движении объектов в координатах Эйлера (при описании движения сплошной среды в каждой точке пространства) и Лагранжа (при задании уравнения движения для каждого элемента сплошной среды). При изучении взаимодействия первых двух типов материальных систем (жидкость-жидкость и жидкость-твердое) уделяется внимание этапам эволюции формы капли, способам ее дробления [1-3]. В случае ударного контакта объектов твердое-твердое, когда возможны их энергетические потери вследствие деформации форм, интерес вызывает значение коэффициента восстановления скорости в различных вариантах его расчета [4-8]. Данный коэффициент характеризует степень упругости взаимодействующих твердых поверхностей частицы и стенки.

Например, согласно классическому определению Ньютона [4, 5] нормальный коэффициент восстановления скорости к-соответствует отношению модулей проекций скоростей центра масс сферической частицы после падения V2n и до удара на нормаль n к поверхности неподвижной абсолютно жесткой преграды

- V2n / Vm.

При этом в условиях кратковременного удара без смещений в области контакта выделяются два этапа изменения формы поверхностей сферы и преграды при их ударном взаимодействии:

1) этап деформирования при достижении нулевой скорости движения центра масс сферической частицы (с переходом кинетической энергии ее движения в потенциальную энергию взаимодействующих тел вследствие их упругих деформаций);

2) этап восстановления при действии внутренних сил упругости материальных объектов (с приобретением центром масс сферы скорости отскока).

Единичное значение нормального коэффициента восстановления скорости для центра масс сферической частицы описывает предельный случай абсолютно упругого ударного взаимодействия с преградой при полном восстановлении энергетических потерь соударяющихся материальных объектов после удара. Заметим, что наличие значительной шероховатости поверхности (В.А. Лашков [6]) или отличной от сферической формы частиц (В. Табаков и др. [9], M. Sommerfeld, N. Huber [10]) приводит к значениям нормального коэффициента восстановления, превышающем единицу.

Кроме того, известен тангенциальный коэффициент восстановления скорости к-х) [6, 11, 12], задаваемый отношением модулей проекций скоростей центра масс сферической частицы после падения V2T и до удара V^ на касательную плоскость т к поверхности неподвижной абсолютно жесткой стенки

к-Т) - V2t / VT .

Помимо перечисленных понятий (1), (2) встречается представление коэффициента восстановления скорости к-т) [5, 13, 14], как отношение модулей скоростей сферы при отражении от препятствия V2 и до ударного взаимодействия V1

k-m) - V2/ V1.

В отличие от формул (1)-(3) вводится также определение Пуассона для коэффициента восстановления импульса к-[5], равного отношению импульсов действующей силы ударного взаимодействия для указанных выше этапов восстановления (¿2) и деформирования (¿1) для формы поверхностей сферы и преграды

к-P - S2 / S1.

Данное определение Пуассона (4) позволяет расширить число характеристик удара, например, ввести время контакта поверхностей сфера-преграда, степень деформирования, максимальное значение силового фактора взаимодействия. Кроме того, в литературных источниках встречаются понятия коэффициента восстановления:

- кинетической энергии [7] для оценки перераспределения данной энергии сферической частицы между ее поступательным и вращательным движением после удара о стенку

к

пу,пост ^ п,у,вр' v '

- преобразования угловой скорости вращения сферической частицы по отношению к стенке [8] (отношение произведения радиуса R сферы на угловую скорость ее вращения а 2 относительно центра

масс после столкновения с мишенью к касательной проекции скорости У1т данного центра до удара)

_ Rq2 / V1t

Аналитические способы моделирования ударного взаимодействия материальных объектов условно можно разделить на два вида: детерминированные [7, 8, 14-22] и индетерминированные.

Выделим основные особенности аналитических детерминированных моделей (обычно для удара двух тел, в том числе объектов сферической [7, 8, 14-20] и несферической [21, 22] форм). В частности, существуют детерминированные описания удара сферы о мишень сферической и плоской форм при следующем постулировании вида сил взаимодействия (без учета вращений [15-18]) или моментов сопротивления (с учетом вращения [7, 8, 19-22]).

1) Действие линейных сил упругости и сопротивления при деформациях

Рупр

с точным решением уравнения движения сферического объекта (линейная вязкоупругая модель удара Кельвина - Фойхта (Kelvin, 1875 и Voigt, 1892) [5, 13, 15]), которое имеет физическое противоречие с наблюдающимся расширением контактной площадки [14]).

2) Действие нелинейной силы упругости

F^

с решением уравнения движения сферического объекта в квадратурах при малом радиусе контакта по отношению к радиусам сферических поверхностей частицы и мишени (контактная теория удара Герца H. (Hertz, 1881) [16, 17]) без учета звуковых колебаний при ударных деформациях поверхностей вследствие малости времени прохождения волн через материальный объект по сравнению со временным промежутком ударного контакта.

3) Действие силы смешанного типа

Fe3

с численным решением уравнения движения сферического объекта в отсутствии звуковых колебаний распространения деформаций поверхностей со следующим приближением для коэффициента восстановления из

kVm) = 1 - 2ßF1/3

(нелинейная вязкоупругая модель К. Ханта и Ф. Кроссли K.H. Hunt и F.R.E. Crossley [18]), когда вследствие выражения (8) не реализуется случай абсолютно неупругого удара [14];

4) Действие силы смешанного типа

Fвз

при задании коэффициента сухого трения s и явного вида силы упругости F (x) = cxk с решением

уравнения движения сферического объекта в квадратурах и коэффициентом восстановления скорости вида

kVm = [

Данная совокупность моделей Герца H. Hertz [16, 17] и К. Ханта, Ф. Кроссли K.H. Hunt, F.R.E. Crossley [18] предложена в работе В.В. Лапшина, Е.А. Юрина [14], как нелинейная упругопластическая модель коллинеарного удара тела о неподвижное препятствие, которая приводит к результату с возможным абсолютно неупругим ударом.

6) Действие усредненной силы сопротивления Fcp

Fcp,T = -kiN)

Возникающий при этом суммарный момент составляющих силы сопротивления из выражения (13) учитывает угол смещения А при деформации поверхности мишени

McpCz = Fcp,n sin А + Fcp,т cos А.

Выражения (12), (13) соответствуют полуэмпирической модели ударного взаимодействия

VC2x = VC2 cos V0, Vq2у = Vq2 sin Vq,

с упрощенными выражениями для искомых значений Vq2x и 2

V |Vc1xkVT) + kVт) -1), ¥q <¥ь

Vq 2 x = i

[vC1xkVT) - 2шгЯ /(2 + 5cos А), ¥0 >¥b

ш =|5Vc1x

l-VCixk^T) / R + 2! / (2 + 5 cos А), ¥0 > ¥b

7) Действие подъемной силы Жуковского-Магнуса Fm в потоке среды с кинематической вязкостью V и момента сопротивления Mcz', действующего на сферическую частицу диаметра D плотностью ps, вращающуюся с угловой скоростью 1 относительно оси Кенига Cz' при движении центра масс Vc1(Vc1x ;VC1 у ) до удара и соответственно 2 и Vq 2VC 2 x ;Vc 2y ) после удара

348

Fm = СмPs(D/2)3[¡ хУсх], Mc¿=-CaPs(D/2)5|ш2|ш2, (18) где коэффициенты C¡¡ и См определяются числом Рейнольдса

> Re„< ЮО,

[б,05л / Re¡;39, Re¡¡ е [100;3,6-104],

Сю = —

Re V '

Выражения (18)-(20) приняты в модели упругого удара сферы о наклонную фиксированную поверхность описана в работе Н. Л. Великанова и др. [19] в рамках модели Рауса (Prince E. Rouse, Jr. 120]):

Ve 2 y =-4N Vc1y,

Vc = ^VC1X - ^C1y

C2X [5VC1X/7, 'j(51 - 10Vcx /D)/7,

4 - 2{|Vc1x + ¡D / 2} / {7[\VC1X\

Однако применение выражений (18), (21), (22) для решения данной плоской задачи показали нецелесообразность учета вращения сферы на рассматриваемых расстояниях [19] вследствие малости полученной погрешности расчета координат центра масс (менее 0,1 %) в сравнении с результатами без указанного эффекта.

Как уже отмечалось, отличная от сферической форма частиц [9, 10] может существенно влиять на механизм ударного взаимодействия материальных объектов. Это связано с тем, что линия действия равнодействующей внешних сил в общем случае не пересекает центр масс несферической частицы в области контакта с преградой. Решение подобных задач требует привлечения численных методов, в частности, зависимость показателей ударного взаимодействия с мишенью для частиц различных форм обсуждается в следующих работах: для эллипсоида (А. С. Зотиков и В. А. Лашков [21], С. В. Панфилов и Ю. М. Циркунов [22], R. Ouchene и др. [23]), призмы [22], прямоугольной призмы со срезанными вершинами [22], цилиндра (B. Quintero и др. [24], Ch. Yin и др. [25]), икосаэдра (K. O. Braschke и др. [26]) и т.д.

Например, в приближении мгновенного удара с твердой стенкой согласно исследованию С. В. Панфилова и Ю. М. Циркунова [22] система уравнений изменения импульса и момента импульса для удара несферической частицы с центром масс С в сочетании с кинематическим соотношением для вектора изменения скорости AVa (AVjx; AVAy; AVaz) точки контакта A за время удара в неподвижной декартовой системе координат Oxyz приводят к векторному выражению вида

m-11 Jc\\ A¡ с = [га х A Va ] - [га х [ A¡ х Га

Здесь обозначено: ||УС| - тензор инерции несферической частицы массой тс; Га = CA - радиус-вектор контактной точки A. Компоненты AVax, SVAy, AVaz задаются коэффициентами восстановления скорости: нормального и касательного согласно выражениям

AVax = -VA1x, AVAy = -VA1 y

В частности, в работе С. В. Панфилова и Ю. М. Циркунова [22] принято: — 0 (нет проскальзывания в контактной точке A в момент отражения частицы после удара); k(N = 0,8 для скоростей соударения объектов в пределах (50-350) м/с под углом соударения до 40° согласно данным В. А. Лашкова [27]. Векторное уравнение (24) используется для поиска компонентов вектора изменения угловой скорости вращения A¡ (Aq^ ; Aq^ ; Aq^ ) несферической частицы за время удара относительно

подвижной системы координат СЕ,цС,. При описании связи указанных компонентов векторов A Va и A¡ в системах Oxyz и СЕ,цС, вместо классических углов Эйлера ф, у,9 применяется математических аппарат кватернионов Родрига - Гамильтона согласно изложению В. Н. Кошлякова [28].

Дальнейшее усложнение постановки задачи о соударениях твердое-твердое связано с учетом шероховатости поверхности преграды. Например, при взаимодействии шероховатой стенки со сферической частицей в работе R. Zhang и др. [29] строиться 3D-модель рельефа преграды с помощью теории фракталов.

Для несферической частицы в работе С. В. Панфилова и Ю. М. Циркунова [22] моделируется двумерный профиль мишени. Примером моделирования упругого и упругопластического ударов сферы без учета и с учетом адгезионных свойств преграды, когда возможно прилипание частицы в контактной области, служит работа C. Thornton и Z. Ning [30].

Реализация индетерминированных моделей имеет место при описании столкновений тела с потоком частиц. Кратко остановимся на некоторых примерах.

В работе А.И. Зайцева и Д.О. Бытева [31] решается несколько задач о столкновениях, например, при ударе потока твердых частиц о стенку с тонким жидким слоем, при движении капель диспергируемой жидкости в потоках и др. При этом используется стохастический подход к оценке относительной доли столкновений с помощью понятия длины свободного пробега Lq в потоке частиц при их движении

со скоростями V1V2. В частности, при столкновениях частиц двух типов с широким гранулометрическим диапазоном по диаметрам D2 е [D2min;D2max]согласно изложению В.Ф. Ноздрева и А.А. Сен-

кевича [32] вероятность прохода без столкновений частиц типа «1» в потоке частиц типа «2» определяется формулой

Q = exp{-

где f (n2, D2) - функция распределения частиц типа «2» по объемной доле n2 диаметрам D2 . Выражение (26) используется в стохастической модели образования разреженных потоков зернистых частиц в рабочих объемах смесителей различных типов: барабанно-ленточного [33], гравитационного [34].

Двумерная модель столкновения вращающейся сферической частицы со стенкой, имеющей случайный угол наклона у к оси канала (И.В. Деревич [8]) на основе стохастического подхода в изложении П . Леви [35] использует следующие соотношения между компонентами скорости движения центра масс Vc1 до удара и Vq 2 после удара соответственно в неподвижной системе координат, связанной со стенкой Oxyz (Vc1x, Vc1y, Vq2x, Vq2y) и в системе координат наклонной плоскости O'x'y'

VC1x

VC2x

В работе [8] постулируются: нормальное распределение для угла наклона случайных плоскостей у (среднее значение равно нулю, дисперсия Dу) и функция для условной плотности вероятности

угла столкновения а согласно [35]

P( у, а) =

(2л)1/2 Dу

erf

а

(2л)1/2 Dу

-1

exp

2D2

-exp

2D,2

Выражение (29) содержит стандартный интеграл вероятности егДи). Модель [8] позволяет рассчитать: среднее значение угла столкновения ^у^ и дисперсию Б(у) для указанного случайного угла у

{у) = а

следовательно, при а > Бу прогнозируется (у^ ^ 0 и Б(у) = Бтах = Бу. В работе [8] также рассмотрен случай столкновений с преградой сферических частиц при скоростях не более 10 м/с (без пластических деформаций) с проскальзыванием относительно мишени и без учета этого эффекта. На основе выражения (29) предложена расчётная формула для функции распределения вероятности коэффициентов

восстановления вида , , согласно (1), (2), (6) по отношению к стенке.

Данный подход использован в стохастической модели хаотического движения частиц при турбулентном течении газа в каналах с шероховатыми стенками (И.В. Деревич и А.К. Клочков [36]). Результаты модели [36] показывают значимость фактора столкновений частиц с шероховатой мишенью при возникающей генерации случайной нормальной составляющей их скорости.

Вследствие многофакторности решаемых задач на столкновения частиц многие исследователи обращаются к численной реализации моделей ударного взаимодействия объектов различной природы частица-частица и частица-стенка. Приведем примеры численных методов, активно применяемых при решении указанных задач для первых двух перечисленных типов согласно работе L. Zhan и др. [1] жидкость-жидкость и жидкость-твердое:

1) метод решеток Больцмана (LBM) с помощью уравнения энергетического баланса для стационарных и движущихся частиц близких по размерам (J. M. Gac и L. Gradon [2], E. Milacic и др. [3]) при разделении капель по трем возможным сценариям в зависимости от числа Вебера (разделение капли на две, на несколько капель-спутников, осаждение);

2) метод прямого численного моделирования (DNS), например, в работе E. Milacic и др. [3] при незначительных скоростях удара капли выбрано сочетание указанных выше методов (номера 4-6).

Для анализа механизма столкновений объектов жидкость-жидкость и жидкость-твердое также привлекаются [1]: метод отслеживания границ Эйлера-Лагранжа с модификацией Эйлера-Лагранжа-Лагранжа (ELL); метод консервативного уровня; метод объема жидкости (VOF); метод погруженной частицы (IBM); метод движения двухфазной линии соприкосновения (TPCL) при разделении угла соприкосновения на три части (кажущийся, внешний и внутренний углы); метод моделирования молекулярной динамики (MDS) и др.

В случае столкновений материальных объектов типа твердое-твердое перечислим наибольшее распространенные численные способы моделирования.

1) Метод дискретных элементов (DEM) [24, 25, 34, 38-40], в том числе, реализуемый с двумя видами стратегий - с твердой (HSM) и мягкой (SSM) (Y. Tsuji и др. [34]) сферой встречается достаточно часто. В частности, в работе A.M. Gomez [38] этим методом выполнено моделирование столкновений потока частиц с преградой в виде неподвижной сферы много больших размеров. Дополнительно возможен расчет для произвольной формы частиц (J.E. Hilton, P.W. Cleary [39]), что требует значительных затрат машинного времени). В некоторых случаях вводятся объемные эквивалентные размеры частиц несферической формы (H. Pan, F. Liou [40] для металлических порошков), что иногда не совсем корректно при сравнении соответствующих расчетных давлений, оказываемых на стенку. Конкретизация канонической формы частиц приводит к наиболее успешным результатам, например, при описании столкновений цилиндров со стенкой (B. Quintero и др. [24]) или в неоднородном потоке (Ch. Yin и др. [25]).

2) Метод связанного распределенного множителя Лагранжа (DLM) применяется для взвешенных частиц в потоке жидкости. Например, сочетание подходов DLM и DEM с мягкой (SSM) сферой в работе G. Sharma и др. [41] позволяет проанализировать механизм осаждения на стенку неоднородного потока частиц.

3) Метод двух-жидкостной модели (TFM) работает с полностью взаимопроникающими континуумами, в рамках которого в работе L. Yang и др. [42] исследуется влияние двух факторов (нормального коэффициента восстановления и трения) на поведение плотного барботажного псевдоожиженного слоя.

Кроме того, известны модифицированный метод погруженных частиц, модель пружина-тире, метод теории смазки и др.

Заметим, что экспериментальные исследования обеспечивают настройку численных расчетов для конкретных условий столкновения объектов жидкость-жидкость, жидкость-твердое, твердое-твердое. В частности, в следующих исследованиях механизмов столкновений данных типов материальных систем изучено влияние ряда факторов.

1) Фактор переменной смачиваемости металлической подложки в форме цилиндрического диска изучен при атаке капелями воды размером (2-4)10-3 м для двух режимов (агломерации и разделения на вторичные капли) в работе A.G. Islamova и др. [43].

2) Фактор конденсационного слоя жидкости на поверхностях твердой частицы и стенки при их ударном взаимодействии микрочастиц золы в условиях переменной влажности окружающей среды оказывает существенное влияние на значение нормального коэффициента восстановления при скоростях

менее 7 м/с. Получены значения ^ < 0,41ед. при степени увлажнения поверхностей не более 65 %

(M. Dong, Ya. Mei и др. [44]).

3) Фактор температуры дополнительно исследован в условиях экспериментов случая 2. Значение коэффициента нормального восстановления уменьшается с увеличением плотности, модуля Юнга и степени влажности в работе (M. Dong, X. Li и др. [45]). Кроме того, изучено влияние температуры нагрева металлических листов из меди и алюминия до 200°-700° при ударе стальных шариков размером

(7-12)10-3 м, когда отмечается снижение значения при увеличении температуры мишени (K.

Hashemnia [46]).

4) Фактор шероховатости поверхности мишени, задаваемый профилем в форме периодических бороздок высотой 4 10-4 м, является значимым при ударе частиц шлифовального порошка средне-

массового размера 1,38 10-4 м со скоростью 85 м/с. Наблюдается достижение « 1,4ед. в скользя-

щем режиме - при угле наклона мишени к скорости набегающего потока частиц менее 20° (В. А. Лашков [6]).

Таким образом, настоящий обзор основных способов моделирования столкновений для насыщенных частицами потоков, образуемых при работе различных аппаратов химических технологий показал актуальность данной темы и выявил отсутствие единого подхода к построению соответствующих моделей. Известные подходы (детерминированный и индетерминированный) применяются, как для ана-

литических, так и для численных расчетов при использовании системного анализа механизма столкновений частиц между собой и со стенкой в рабочих объемах аппаратов с привлечением операции валидации. Каждый из методов расчетов (аналитический и численный) дополняет изучаемую физическую картину процесса. Аналитические модели позволяют выделить значимые факторы влияния на механизм движения насыщенных частицами потоков с учетом эффекта столкновения материальных объектов частица-частица и частица-стенка в процессах переработки сыпучих сред.

Список литературы

1. Droplet-particle collision dynamics: A molecular dynamics simulation / L. Zhan, H. Chen, H. Zhou, J. Chen, H. Wu, L. Yang // Powder Technology. 2023. V. 422 - 118456. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2023.118456

2. Gac J. M. Lattice-Boltzmann modeling of collisions between droplets and particles, / J. M. Gac, L. Gradon // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. - 2014. - V. 441. - P. 831-836. https://doi.org/10.1016/i.c olsurfa.2012.11.078

3. Milacic E. Direct numerical simulation study of droplet spreading on spherical particles / E. Mi-lacic, M.W. Baltussen, J.A.M. Kuipers // Powder Technology. - 2019. - V. 354. - P. 11-18. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2019.05.064

4. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. - СПб.: Лань, 2009. - 736 с.

5. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара / Я.Г. Пановко. - М.: Наука. - 1977. -

232 с.

6. Лашков В. А. Взаимодействие твердых частиц газовзвеси с поверхностью сложного профиля / В. А. Лашков // Вестник СПбГУ. - Сер. 1. - 2008. Вып. 4. - С. 125-130.

7. Tsirkunov Yu. M. Semiempirical model of impact interaction of a disperse impurity particle with a surface in a gas suspension flow / Yu. M. Tsirkunov, S. V. Panfilov, and M. B. Klychnikov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 1995. - V. 67. - N. 5-6. P. 1018-1025. https://doi.org/10.1007/bf00 852717

8. Деревич И.В. Вероятностная модель столкновения частиц с шероховатой поверхностью / И.В. Деревич // Прикладная механика и техническая физика. - 1999. - Т. 40. - № 5. - С. 239-244.

9. Табаков В. Измерение лазером характеристик отскакивания твердых частиц при соударении их с поверхностью из алюминиевого (2024) и титанового (6AI-4V) сплавов / В. Табаков, М. Ф. Мейлэк,

A. Хамед // Аэрокосмическая техника. - 1987. - № 12. - С. 58-64.

10. Sommerfeld M. Experimental analysis and modeling of particlewall collisions / M. Sommerfeld, N. Huber // International journal of multiphase flow. -1999. -V. 25. - P. 1457-1489.

11. Ляшенко Я.А., Виллерт Э., Попов В.Л. Механика столкновений твердых тел: влияние трения и адгезии. I. Обзор экспериментальных и теоретических работ / Я.А. Ляшенко, Э. Виллерт, В.Л. Попов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2018. - № 2. - С. 44-61. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2018.2.05

12. Gorham D.A. The measurement of particle rebound characteristics / D.A. Gorham, A.H. Kharaz // Powder Technology. - 2000. - V. 112. - No. 3. - P. 193-202.

13. Гольдсмит В. Удар. Теоретические и физические свойства соударяемых тел / В. Гольдсмит.

- М.: Стройиздат. - 1965. - 448 с.

14. Лапшин В.В., Юрин Е.А. Нелинейная упругопластическая модель коллинеарного удара /

B.В. Лапшин, Е.А. Юрин // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». - 2016. - № 1.

- С. 90-99. https://doi.org/10.18698/1812-3368-2016-1-90-99

15. Hajikarimi P. Chapter 3 - Mechanical models of viscoelasticity. Editor(s): P. Hajikarimi, F. M. Nejad. Applications of Viscoelasticity / P. Hajikarimi, F. M. Nejad. - Elsevier, 2021. - P. 27-61.https://doi.org/10.1016/B978-0-12-821210-3.00003-6

16. Hertz H. Über die Ber ührung Fester Elastischer Körper / H. Hertz // Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. - 1881. - B. 92. - S. 156-171.

17. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи / Г. Герц. - М.: АН СССР. - 1959. -

387 с.

18. Hunt K.H. Coefficient of Restitution Interpreted as Damping in Vibroimpact / K.H. Hunt, F.R.E. Crossley // ASME Journal of Applied Mechanics. - 1975. - N. 6. - P. 440-445.

19. Упругий удар тела о наклонную поверхность / Н. Л. Великанов, В. А. Наумов С. И. Коря-гин, Д. А. Тарасов // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - 2013. - Вып. 10. -

C. 36—42.

20. Prince E. Rouse, Jr. A theory of the linear viscoelastic properties of dilute solutions of coiling polymers / Prince E. Rouse, Jr. // J. Chem. Phys. - 1953. - V. 21. V. 1272-1280. https://doi.org/10.1063/1.1699180

21. Зотиков А. С. Коэффициент восстановления скорости при ударе абсолютно упругой частицы в форме эллипсоида вращения / А. С. Зотиков, В. А. Лашков // Вестник СПбГУ. Сер. 1. - Т. 1 (59). -2014. - Вып. 2. - С. 245-253.

22. Панфилов С. В. Рассеяние несферических частиц примеси при отскоке от гладкой и шероховатой поверхностей в высокоскоростном потоке газовзвеси / С. В. Панфилов, Ю. М. Циркунов // Прикладная механика и теоретическая физика. - 2008. - Т. 49. - № 2. - С. 79-88/

23. Drag, lift and torque coefficients for ellipsoidal particles: From low to moderate particle Reynolds numbers, / R. Ouchene, M. Khalij, A. Tanière, B. Arcen // Computers & Fluids. - 2015. - V. 113. - 2015. - P. 53-64. https://doi.org/10.1016/ i.compflui..2014.12.005

24. Quintero B. Derivation and validation of a hard-body particle-wall collision model for non-spherical particles of arbitrary shape / B. Quintero, S. Lain, M. Sommerfeld // Powder Technology. - 2021. - V. 380. - P. 526-538. https://doi.org/ 10.1016/i.powtec.2020.11.032

25. Modelling the motion of cylindrical particles in a nonuniform flow / Ch. Yin, L. Rosendahl, S. K. Kœr, H. Sоrensen // Chemical Engineering Science. - 2003. - V. 58. - Is. 15. - P. 3489-3498. https://doi.org/10.1016/S0009-2509(03)00214-8

26. Fast adhesion calculation for collisions between arbitrarily shaped particles and a wall / K. O. Braschke, J. Zoller, F. Freese, A. Dittler, U. Janoske. Powder Technology. - 2022. - V. 405. - 117494. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2022.117494

27. Лашков В. А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность / В. А. Лашков // Инж.-физ. журн. - 1991. - Т. 60.

- № 2. - С. 197-203.

28. Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов: Аналитические методы / В. Н. Кошляков. - М.: Наука. -1985. 286 c.

29. Zhang R. Improvement and application of a two-dimensional fractal particle-wall collision model / R. Zhang, Yi. Li, Y. Liu // Powder Technology. - 2022. - V. 411, 117910. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2022.117910

30. Thornton C., Ning Z. A theoretical model for the stick/bounce behaviour of adhesive, elastic-plastic spheres / C. Thornton, Z. Ning // Powder Technol. - 1998. - V. 99. - N. 2. - P. 154-162.

31. Зайцев А.И. Ударные процессы в дисперсно-пленочных системах / А.И. Зайцев, Д.О. Бытев.

- М. : Химия. -1994. -176 с.

32. Ноздрев В.Ф. Курс статистической физики / В.Ф. Ноздрев, А.А. Сенкевич. - М.: Высшая школа. - 1969. - 333 с.

33. Капранова, А.Б. Огохастическое описание процесса формирования потоков сыпучих компонентов в аппаратах со щеточными элементами / А.Б. Капранова, И.И. Верлока // Теор. основы хим. технологии. - 2018. - Т. 52, № 6. - C. 707-721. На английском языке: Kapranova, A. B. Stochastic Description of the Formation of Flows of Particulate Components in Apparatuses with Brush Elements / A.B. Kapranova, I. I. Verloka // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. - 2018. - V. 52, N. 6. - Р. 1004-1018. https://doi.org/10.1134 /S0040579518050330

34. Капранова А.Б., Бакин М.Н., Верлока И.И. Моделирование критерия качества смеси в объеме барабанно-ленточного устройства // Хим. и нефтегаз. машиностроение. - 2018. - Т.54. - № 5. - С. 3-9. На английском языке: Kapranova, A.B. Simulation of the Quality Criterion of a Mixture in a Drum-Belt Ap-paratu / A.B. Kapranova, M. N. Bakin, I. I. Verloka, / Chemical and Petroleum Engineering. - 2018. - V. 54, Nos.5-6. - P. 287-297. https://doi.org/ 10.1007/s10556-018-0477-0

35. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение / П. Леви: Пер. с фр. И. П. Пав-лоцкого; Под ред. Н. Н. Ченцова. - М.: Наука. 1972. - 375 с.

36. Деревич И.В. Интенсивность хаотического движения частиц при турбулентном течении газа в каналах с шероховатыми стенками / И.В. Деревич , А.К. Клочков // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2022. - № 6. - С. 4-16.

37. Tsuji Y. Discrete particle simulation of two-dimensional fluidized bed / Y. Tsuji, T. Kawaguchi, T. Tanaka // Powder Technol. - 1993. - V. 77. - Is. 1. - Pages 79-87. https://doi.org/10.1016/0032-5910(93)85010-7

38. Collisional forces and flow characteristics of a stream of falling particles in interaction with a large stationary sphere / A. M. Gomez, M. Nikku, S. Shah, D. V. Gradov, P. Jalali // Powder Technol. - 2023. - V. 421. - 118447. https://doi.org/ 10.1016/i.powtec.2023.118447

39. The influence of particle shape on flow modes in pneumatic conveying / Hilton J.E., Cleary P.W. // Chemical Engineering Science. - 2011. - V. 66. - Is. 3. P. 231-240. https://doi.org/10.1016/i.ces.2010.09.034

40. Pan H. Numerical simulation of metallic powder flow in a coaxial nozzle for the laser aided deposition process / H. Pan, F. Liou // Journal of Materials Processing Technology. - 2005. - V. 168. - Is. 2. - P. 230-244. https://doi.org/10.1016 /i.imatprotec.2004.11.017

41. A coupled distributed Lagrange multiplier (DLM) and discrete element method (DEM) approach to simulate particulate flow with collisions / G. Sharma, N. Nangia, A. P. S. Bhalla, B. Ray // Powder Technol. -2022. - V. 398. - 117091. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2021.117091

42. Investigation of collisional parameters for rough spheres in fluidized beds / L. Yang, J.T. (Johan) Padding, J.A.M. (Hans) Kuipers // Powder Technol. - 2017. - V. 316. - P. 256-264. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2016.12.090

43. Droplet-droplet, droplet-particle, and droplet-substrate collision behavior / A.G. Islamova, S.A. Kerimbekova, N.E. Shlegel, P.A. Strizhak // Powder Technology. - 2022. - V. 403. - 117371. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2022.117371

44. Experimental measurement of the normal coefficient of restitution of micro-particles impacting on plate surface in different humidity / M. Dong, Ya. Mei, X. Li, Y. Shang, S. Li // Powder Technol. - 2018. - V. 335. P. 250-257. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2018.05.022

45. Experimental and theoretical analyses on the effect of physical properties and humidity of fly ash impacting on a flat surface / M. Dong, X. Li, Ya. Mei, S. Li // Journal of Aerosol Science. - 2018. - V. 117. - P. 85-99. https://doi.org/10.1016/i.iaerosci.2017.12.012

46. Hashemnia K. Experimental study of the effect of temperature on the coefficient of restitution of steel balls impact to some industrial metal sheets at elevated temperatures / K. Hashemnia // Powder Technol. -2020. - V. 368. - P. 170-177. https://doi.org/10.1016/i.powtec.2020.04.053

Стенько Дмитрий Владимирович, аспирант, dvs3d@yandex.ru, Россия, Ярославль, Ярославский государственный технический университет,

Капранова Анна Борисовна, д-р физ.-мат. наук, профессор, kapranova_anna@mail.ru, Россия, Ярославль, Ярославский государственный технический университет,

Шеронина Ирина Станиславовна, канд. техн. наук, доцент, ira. sheronina@mail. ru, Россия, Ярославль, Ярославский государственный технический университет,

Бадаева Наталья Валентиновна, канд. техн. наук, доцент, badaevanat@mail. ru, Россия, Ярославль, Ярославский государственный технический университет,

Мазуровский Сергей Леонидович, старший преподаватель, mazurovskiisl@ystu.ru, Россия, Ярославль, Ярославский государственный технический университет

BASIC COLLISION SIMULA TION METHODS FOR PARTICLE-SA TURA TED FLOWS D.V. Stenko, A.B. Kapranova, I.S. Sheronina, N.V. Badaeva, S.L. Mazurovsky

In this paper, we reviewed the main methods of collision simulation for particle-saturated flows formed during the operation of various chemical technology apparatuses. For example, such problems are relevant in the mathematical description of the process of mixing granular components to build a theoretical basis for designing mixing equipment. Known modeling methods (numerical and analytical) are extended to two cases of particle collisions in the working volumes of apparatuses (grinders, mixers, fluidized bed devices, etc.), in particular, particle-particle and particle-wall.

Key words: particles, flow, wall (barrier), collisions, impact, recovery factor, model.

Stenko Dmitry Vladimirovich, postgraduate, dvs3d@yandex.ru, Russia, Yaroslavl, Yaroslavl State Technical University,

Kapranova Anna Borisovna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, kaprano-va_anna@mail.ru, Russia, Yaroslavl, Yaroslavl State Technical University,

Sheronina Irina Stanislavovna, candidate of technical sciences, docent, ira.sheronina@mail.ru, Russia, Yaroslavl, Yaroslavl State Technical University,

Badaeva Natalya Valentinovna, candidate of technical sciences, docent, badaevanat@mail.ru, Russia, Yaroslavl, Yaroslavl State Technical University,

Mazurovsky Sergey Leonidovich, senior lecturer, mazurovskiisl@ystu.ru, Russia, Yaroslavl, Yaroslavl State Technical University