Подробный атлас аттракторов нулей для классических полиномов Бернштейна

Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 1. С. 58-89.

УДК 517.518.82+519.677

ПОДРОБНЫЙ АТЛАС АТТРАКТОРОВ НУЛЕЙ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА

Д. Г. Цветкович

Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия dianacve@inbox.ru

Обсуждается вопрос о распределении нулей для классических полиномов Бернштей-на, взятых от кусочно линейных порождающих функций. Дана классификация аттракторов, к которым стягиваются нули при неограниченном возрастании номера полиномов Бернштейна. Показано, что строение аттрактора подчинено своим регулярным правилам. С помощью систем компьютерной математики рассмотрены примеры на каждое из сформулированных правил и приведены иллюстрации ко всем типичным ситуациям.

Ключевые слова: полиномы Бернштейна, нули полиномов, аттракторы нулей.

Полиномы Бернштейна относятся к классическим объектам конструктивного анализа. Основные сведения о них изложены в монографиях [1-3]. Настоящая работа содержит иллюстративный материал к общей теории распределения нулей полиномов Бернштейна. Недавно замечено (см. [4-9]), что в некоторых специальных ситуациях нули полиномов Бернштейна ведут себя весьма регулярным образом, стягиваясь к специальным подмножествам в комплексной плоскости. Такие подмножества, называемые аттракторами нулей, зависят, разумеется, от выбора той или иной порождающей функции f Е С [0,1].

В настоящем исследовании ограничимся рассмотрением специального класса вещественных кусочно линейных порождающих функций вида

г

f

3=1

с конечным числом точек излома, все абсциссы которых рациональны. Здесь

а, в Е К , 71, ... , тг е К \{0},

есть числовые коэффициенты. Считаем, что абсциссы точек излома упорядочены по возрастанию и записаны в виде несократимых дробей

ж1 = — , ... , хг = — , х1, ... , жг е

91 9г

с общим знаменателем

ч = НОК

Отметим, что значение ч из формулы (3) играет значимую роль при рассмотрении полиномов Бернштейна от функции (1).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 18-01-00236).

Полиномы Бернштейна комплексного переменного г Е С вводят формулой

к

Яп

к=0 ^ '

называя и Е С[0,1] порождающей функцией. При выборе порождающей функции вида (1) с точками излома (2) в последовательности полиномов Бернштейна действует специальное правило склеивания

Вдт+1

со значением д из формулы (3) (см. [10]). Цепочку полиномов Бят(и,г) при т Е N целесообразно выделять из общей последовательности полиномов (4).

Всюду далее рассматриваем нули полиномов Бп(и, г) при выборе той или иной порождающей функции вида (1). Исследование проводится компьютерными средствами. Общие теоретические основы данной проблематики и точные законы построения аттракторов нулей изложены в [8; 9]. Главная цель сейчас — дать численное подтверждение основных положений из работ [8; 9] на большой серии типичных примеров. Перейдём к иллюстрациям, формулируя по мере необходимости нужные правила.

1. Случай одной точки излома

Рассматриваем типичные примеры порождающих функций вида

и

с коэффициентами а, в, 7 Е К, 7 = 0, и единственным изломом в точке

х = р Е

д

Значение х из формулы (7) иногда коротко обозначаем через с. Для полиномов (4) от функции (6) действует правило склеивания (5), где значение д совпадает со знаменателем дроби (7).

Согласно общей схеме [8; 9] при выборе конкретной порождающей функции вида (6) подавляющая часть нулей полиномов Бернштейна при п ^ то стягивается, как правило, к лемнискате Канторовича

Ь

с

г с 1 —г 1-с

с 1 —с

1

где с = р/д. При явной подстановке с = р/д запись (8) для лемнискаты Ьс = Ьр/Я сводится к виду

д Я

Ир/д I гР

Р/Ч \ У > I Р/Я рр (д — р) д-р V 1

Известно (см. [1; 11; 12]), что для порождающей функции вида (6) именно лемниската (9) ограничивает область сходимости полиномов Бернштейна Бп(и,г) в плоскости С.

Приступим к рассмотрению конкретных примеров.

Пример 1.1. Пусть

f (ж) = |2ж - 1|, ж е [0,1],

Компьютерные расчёты показывают, что лемниската (13) является аттрактором: к ней стягиваются все нули полиномов Вп^, ^) при п — то. Типичная картина представлена на рис. 1. Подробнее про свойства полиномов Бернштейна от функции (10) см. в [5; 10; 13].

Рис. 1. Множество нулей полинома В2оо ) для функции (10) вместе с соответствующим аттрактором (13). Картина является типичной — при дальнейшем увеличении номера полинома

нули равномерно стягиваются к аттрактору

Отметим, что строение аттрактора в основном сохраняется при вертикальных смещениях графика порождающей функции.

Пример 1.2. Для функции (10) рассмотрим возмущение вида

с вещественным параметром а и прежним изломом в точке (11). Зафиксируем временно выбор а = -1/2. Множество нулей для полинома В2002, ^) вместе с соответствующим аттрактором (13) представлено на рис. 2.

Как видно, картина получается похожей на ту, что наблюдалась на рис. 1, но с одним отличием. В аттракторе нулей появились две изолированные некратные точки, никак не связанные с точкой излома, а порождённые тем, что сама функция (14) при а = -1/2 имеет изолированные нули ж = 1/4 и ж = 3/4 внутри области сходимости полиномов Бернштейна. К этим нулям (причём очень быстро) стремятся соответствующие нули полиномов Бернштейна.

1т а

0.3

-0.3

^(ж) = а + |2ж - 1|, ж е [0,1],

Рис. 2. Множество нулей полинома В200

Общее правило для подобных ситуаций формулируется так: если порождающая функция и(х) имеет изолированный нуль в точке х = d Е [0, 1], но не имеет излома в этой точке, то комплексная точка г = d включается в аттрактор нулей на правах изолированной некратной точки. Схожее правило действует и в случае, когда естественное продолжение на К порождающей функции и(х) имеет изолированный нуль в точке х = d Е К, не принадлежащей отрезку [0,1], но попадающей внутрь области сходимости полиномов Бернштейна. Тогда точку г = d также следует включать в аттрактор. Подробнее см. в [8; 9].

В примере (14) добавочные точки аттрактора будут возникать лишь при

а Е ( — ^2, 0),

когда нули функции Д (х) попадают внутрь лемнискаты (13). При прочих значениях параметра а аттрактор нулей будет состоять лишь из самой лемнискаты.

Покажем теперь, как влияет сдвиг точки излома на конфигурацию аттрактора.

Пример 1.3. Пусть

и

с изломом в точке

х =1 .

По правилу (5) получаем цепочку склеиваний

Бзт+1

По формуле (9) уравнение лемнискаты Канторовича принимает вид

27

Ь1/з : г

Лемниската (18) является аттрактором нулей для полиномов Бернштейна, взятых от функции (15) (рис. 3).

Рис. 3. Множество нулей полинома В200

Поскольку не все полиномы Вп(/, £) попадают в цепочку склеиваний (17), то у полиномов не из этой цепочки возникают отдельные девиантные нули со своим особым поведением (подробнее см. [8; 9]). У полиномов, попадающих в цепочку склеиваний (17), девиантные нули отсутствуют. Характерное отличие видно при сравнении рис. 3 и 4.

Рис. 4. Множество нулей полинома В2о1 (/, £) для функции (15) вместе с соответствующим аттрактором (18). Полином взят из цепочки склеиваний (17). Девиантные нули отсутствуют

К особому случаю относятся примеры, когда порождающая функция /(х) обращается в тождественный нуль на том или ином участке отрезка [0,1]. Покажем, как надо корректировать здесь общие правила (см. также [8; 9]).

Пример 1.4. Пусть

/(х) = - (3х — 1 + |3х — 1|), х б [0,1], 2

с прежним изломом в точке (16).

Ясно, что /(х) = 0 на [0,1/3] и /(х) = 3х — 1 на [1/3,1]. Область сходимости полиномов Бернштейна ограничена всё той же лемнискатой (18), но множество нулей обладает характерной особенностью: согласно классификации работ [8; 9] это типичный вырожденный граничный случай.

Множество нулей для полинома В201 (/, £) представлено на рис. 5. Группа нулей — та, что «тяготела» к левой петле лемнискаты (18), «схлопнулась» в один кратный нуль £ = 0. Кратность к данного нуля легко подсчитывается — для полинома В201 (/, £) имеем к = 68 (вообще, для полинома Вп(/, £), взятого от функции (19) при произвольно выбранном значении п Е М, кратность нуля £ = 0 вычисляется по формуле к = кп = [п/3] + 1).

Рис. 5. Множество нулей полинома В201 (/, х) для функции (19). В точке г = 0 расположен

«жирный» нуль кратности к = 68

Соответствующий аттрактор нулей, рассчитанный для функции (19), показан на рис. 6. В аттракторе осталась лишь правая петля лемнискаты Канторовича (18), а точка £ = 0 считается изолированной кратной точкой аттрактора.

Рис. 6. Аттрактор нулей в примере (19) состоит из правой петли лемнискаты (18) и изолированной кратной точки х = 0

Общее правило, описывающее структуру аттрактора нулей во всех аналогичных ситуациях, формулируется так. Пусть /(х) = 0 на промежутке [0, с] с изломом в точке х = с Е (0,1). Тогда для каждого из полиномов (4) группа нулей, «тяготеющая» к левой петле лемнискаты (8), «схлопывается» в один кратный нуль, расположенный в точке £ = 0. В таком случае из аттрактора нулей надо исключить левую петлю лемнискаты (8), а точку £ = 0 следует считать изолированной кратной точкой аттрактора. Аналогично, если /(х) = 0 на промежутке [с, 1] с изломом в точке с Е (0,1), то для каждого из полиномов (4) группа нулей, «тяготеющая» к правой петле лемнискаты (8), «схлопывается» в один кратный нуль, расположенный в точке £ = 1. Соответственно, из аттрактора нулей надо исключить правую петлю лемнискаты (8), а точку £ = 1 следует считать изолированной кратной точкой аттрактора. Подобные изолированные кратные точки в аттракторах нулей возникают лишь при граничном вырождении порождающей функции /(х) (см. также пример 3.6 в конце настоящей работы).

Покажем, что эти ситуации весьма неустойчивы — при соответствующих малых возмущениях порождающей функции / (х) кратные нули полиномов Бернштейна распадаются, и аттрактор перестраивается под случай «общего положения».

Пример 1.5. Для функции (19) рассмотрим возмущение вида

2 — 3е

Л

с малым параметром е > 0 и прежним изломом в точке (16). Для сохранения излома в точке (16) считаем, что е Е (0, 2/3). Характерные значения

Л (0) = 0, /е( 0= е, Л (1) = 2

показывают отличие функции Л(х) от «невозмущённой» функции (19). Попросту говоря, точку излома графика функции приподняли вверх на малое е > 0. Для определённости зафиксируем выбор е = 0.01, когда погрешность возмущения в равномерной норме не превышает полпроцента от амплитуды исходной функции (19). Множество нулей для полинома В201 (Л, £) при е = 0.01 представлено на рис. 7.

1т

Рис. 7. Множество нулей полинома В2о1 (/, х) для функции (20) при £ = 0.01. В точке г = 0

находится простой нуль

Как видим, картина получилась стандартная, существенно отличная от той, что наблюдалась для примера (19). Кратный нуль £ = 0, фигурировавший в примере (19), распался на 67 нулей, «тяготеющих» к левой петле лемнискаты, и один простой нуль £ = 0, сохранившийся в силу значения /(0) = 0.

Соответствующий аттрактор нулей изображён на рис. 8. Точка £ = 0 осталась в аттракторе на правах изолированной некратной точки. Этот вид аттрактора будет получаться в примере (20) при любом е Е (0, 2/3).

1т а

Рис. 8. Аттрактор нулей в примере (20) состоит из лемнискаты (18) и изолированной некратной

точки г = 0

Численные эксперименты показывают, что при малых значениях е > 0, когда функция (20) «почти не отличается» от функции (19), нули стремятся к левой петле аттрактора весьма характерно. Для небольших номеров п Е N «левые» нули располагаются вблизи точки £ = 0, наглядно представляя собой распавшийся кратный нуль. При дальнейшем увеличении номера п нули сначала стремятся к левой петле лемнискаты изнутри, но затем постепенно выходят наружу, отодвигаясь от левой петли на некоторое малое расстояние. В последующем картина стабилизируется: «левые» нули приближаются к левой петле лемнискаты снаружи, охватывая её чуть более плотно, чем «правые» нули охватывают правую петлю.

Покажем ещё, что в отличие от изолированных кратных точек аттрактора изолированные некратные точки обладают определённой устойчивостью, смещаясь вправо или влево по оси при малых возмущениях порождающей функции /(х).

Пример 1.6. Пусть

2 3е

Л,л

с параметрами

е = 0.01, Л = 0.001.

Функцию (21) можно рассматривать как дополнительное возмущение примера (20).

Множество нулей полинома В201 (/^, £) представлено на рис. 9. Как видно, картина получается похожей на ту, что наблюдалась на рис. 7, но с одним отличием. Прежний нуль £ = 0 сместился влево в точку с примерным значением £ ~ —1/30. Это произошло из-за того, что естественное продолжение на М функции (21) с параметрами (22) обращается в нуль в точке х = —1/30, попадающей внутрь области сходимости полиномов Бернштейна.

1т А

Рис. 9. Нули полинома В201

Аттрактор нулей в этом примере совпадает с аттрактором на рис. 8 с заменой изолированной некратной точки £ = 0 на точку £ = -1/30.

При дальнейшем увеличении параметра к > 0 изолированный нуль продолжит смещаться влево. Дойдя до границы — до левой петли лемнискаты, он встроится в общую группу нулей, охватывающую эту петлю снаружи.

Приведённые примеры дают вполне ясное представление о том, как выглядят аттракторы нулей полиномов Бернштейна при выборе конкретной порождающей функции вида (6) (с одной точкой излома). Перейдём к примерам, в которых у порождающей функции /(х) будет уже несколько точек излома.

2. Случай нескольких точек излома

Рассматриваем порождающие функции вида (1), считая, что у них есть несколько точек излома с абсциссами (2). Для полиномов (4) действует правило склеивания (5), где значение # взято из формулы (3). Сходимость полиномов Бернштейна распространяется в плоскость С, подчиняясь чётким закономерностям.

По этому вопросу вновь отсылаем к [1; 11; 12] (см. в особенности теорему 4.1.3 в книге [1]). Так, согласно общей теории, для порождающей функции /(х) вида (1) множество сходимости полиномов Бернштейна в С есть специальный компакт К, ограниченный фрагментами лемнискат вида (9), каждая из которых построена для своей точки излома Xj = pj•/qj из набора (2). Фрагмент лемнискаты проводится из порождающей её точки Xj = pj/qj до пересечения с другими лемнискатами, порождёнными соседними точками xj• -1 = pj• -1 /qj-1 и xj•+1 = pj•+1 /qj+1 (если такие имеются). Поскольку идея конструкции восходит к работе [11], то возникающий компакт К естественно называть компактом Канторовича (см. рис. 12 и 19).

Теперь, пренебрегая некоторыми исключениями, объясним общее строение аттрактора нулей полиномов Бернштейна. В случае кусочно линейной порождающей функции с несколькими точками излома аттрактор состоит из двух тесно связанных друг с другом частей. Одна часть, или «тело» аттрактора совпадает с границей компакта Канторовича и составлена из фрагментов лемнискат, порождённых точками излома исходной функции. Вторая часть содержит дополнительные «<усики». Они возникают на стыках каждой пары «соседних» лемнискат и представляют собой дуги специальных окружностей (по поводу терминологии см. [8; 9]).

Формальное правило для построения «усиков» выглядит так. При наличии у порождающей функции /(х) двух последовательных изломов в точках х = с1 и х = с2, где с1, с2 Е (0,1) и с1 < с2, в аттрактор включается большая (внешняя) дуга окружности

(х — а)2 + у2 = Я2,

а2

а

а2 1

Я =

а

с положительным параметром

а

ес22 (1 — с2 )1-С2 С? (1 — С1 )1-1

Если с1 +с2 = 1, то а = 1, и окружность (23) вырождается в прямую Яе £ = 1/2 — серединный перпендикуляр к отрезку [0,1]. В таком случае в аттрактор включаются два луча этой прямой, выходящие симметрично «вверх» и «вниз» из точек пересечения соответствующих лемнискат. Формула окружности (23) с параметром (24) тесно связана с уравнениями лемнискат Канторовича, порождённых точками с1, с2 (подробнее см. работу [8]).

Перейдём к рассмотрению конкретных примеров.

Пример 2.1. Пусть

/(х) = |2х — 1| + |4х — 3|, х Е [0,1],

с изломами в точках

1

х1 =2 ,

3

х2 = 4

при общем знаменателе д = 4. По правилу (5) получаем цепочку склеиваний

В4т+1

Это типичный случай «общего положения». Множество нулей полинома В600(/, £) для функции (25) представлено на рис. 10.

Рис. 10. Множество нулей полинома В600

с2-С1

Конструкция возникающей структуры вполне просматривается. Аттрактор нулей состоит из «тела» и «усика». Точный вид аттрактора представлен на рис. 11.

Рис. 11. Аттрактор нулей в примере (25) Основное «тело» аттрактора состоит из фрагментов двух лемнискат

Li/2 : 4 | z(1 - z) | = 1,

L

256 I m -,

3/4 : I z3 (1 - z) I = 1.

Каждая из линий (28) представляет собой лемнискату Канторовича (9), порождённую своей точкой излома (26). Полиномы Бернштейна для функции (25) сходятся к её кусочно аналитическому (точнее, кусочно линейному) продолжению на компакте K, ограниченном соответствующими частями лемнискат (28). Точный вид такого компакта Канторовича см. на рис. 12.

Рис. 12. Дополнительная иллюстрация к примеру (25). Полиномы Бернштейна сходятся в заштрихованной области — на компакте Канторовича, ограниченном основным «телом» аттрактора. «Усик» аттрактора отмечен пунктиром

Помимо основного «тела» аттрактор нулей в примере (25) содержит один дополнительный «усик», образованный большой дугой окружности (23), где

432

729

а = - и 1.54123,

473 '

Я =

473

0.91332.

Значения (29) отвечают параметру а = 27/16, вычисленному по формуле (24) для заданных точек излома (26). Видно, что получившийся «усик» выходит в точности из стыков лемнискат (28) (см. рис. 11 и 12).

Компьютерная проверка подтверждает, что распределение нулей полиномов Бернштейна Вп (/, £) при больших значениях п весьма точно согласуется с итоговым видом аттрактора на рис. 11. Отметим только, что полиномы, не входящие в цепочку склеиваний (27), могут иметь единичные девиантные нули, расположенные отдельно от аттрактора.

Картина, наблюдаемая в примере (25), является типичной. Структура аттрактора в основном сохраняется при простых «шевелениях» точек излома порождающей функции /(х). Изменения претерпевают лишь размеры отдельных частей аттрактора. Два следующих примера показывают, что происходит при тех или иных вариациях точек излома (26).

Пример 2.2. Пусть

/(х) = |2х — 1| + |6х — 5|, х Е [0,1],

с изломами в точках

1

х1 =2 ,

5

х2 = -2 6

при общем знаменателе д = 6. По правилу (5) получаем цепочку склеиваний

Вбт+1

Множество нулей полинома В550(/, £) представлено на рис. 13.

Рис. 13. Множество нулей полинома В550(/, г) для функции (30). Звёздочкой отмечен

девиантный нуль г *

1.11192

Помимо регулярного множества нулей полином В550 (/, £) имеет один девиант-ный вещественный нуль х и 1.11192 (см. рис. 13). Девиантный нуль возник из-за

того, что полином В550(/, £) не попадает в цепочку склеиваний (32). Компьютерные расчёты показывают, что у полинома В552 (/, £), взятого из цепочки склеиваний (32), девиантные нули отсутствуют, т. е. все его нули без исключения регулярно укладываются вблизи аттрактора.

Аттрактор нулей состоит из «тела» и «усика». Точный вид аттрактора в примере (30) представлен на рис. 14.

1т 1

0.5

\ 0 Ач^/ 1.5 2 1 Яе

-0.5

Рис. 14. Аттрактор нулей в примере

Основное «тело» аттрактора составлено из фрагментов двух лемнискат

46656

¿1/2 : Ф

Каждая из линий (33) представляет собой лемнискату Канторовича (9), порождённую соответствующей точкой излома (31). На стыках лемнискат (33) возникает дополнительный «усик», образованный большой дугой окружности (23), где

3125 675^5 , ч

а = - « 1.30426, Я = -— « 0.62994.

2396 ' 2396 v ;

Значения (34) отвечают параметру а = 25л/б/27, вычисленному по формуле (24) для заданных точек излома (31).

Нетрудно убедиться, что размер окружности в примере (30) уменьшился по сравнению с примером (25). Это связано с конфигурацией точек излома (31), более «асимметричных» относительно центра отрезка [0,1], чем точки (26) в примере (25).

Покажем теперь, как изменится строение аттрактора, если взять симметричные точки относительно центра отрезка [0,1].

Пример 2.3. Пусть

/

с изломами в точках

х = 4, х2 = 4.

По правилу (5) получаем цепочку склеиваний

В4т+1 (/, 2) = В4т(/, 2),

т Е N.

Множество нулей полинома В400(/,2) представлено на рис. 15. Для лучшего восприятия рисунок обрезан по вертикали, и часть «дальних» нулей, расположенных вдоль прямой Яе 2 = 1/2, на чертёж не попала. Впрочем, конструкция образующейся структуры ясна. Точный вид аттрактора нулей показан на рис. 16.

Рис. 15. Основные нули полинома В400) для функции

Рис. 16. Аттрактор нулей в примере

Основное «тело» аттрактора состоит из фрагментов лемнискат Канторовича

256

256 , . .3, 1 ¿1/4 : I 2(1 - 2)3 | = 1

¿3/4 : ^ I 23 (1 - 2) | = 1 .

На стыках лемнискат (38) возникает особый «усик», состоящий из двух вертикальных лучей на прямой Яе 2 = 1/2. Такое выпрямление «усика» связано с симметрией порождающих точек (36), для которых х1 + х2 = 1 и а =1 согласно формуле (24).

Покажем теперь, что при увеличении числа точек излома у выбранной порождающей функции /(х) структура аттрактора нулей в основном сохраняется и все изменения связаны лишь с добавочными звеньями аттрактора.

Пример 2.4. Пусть

с изломами в точках

_ 1 3 5

Х1 — _ , Х2 — — , Х3 —

7> -- ^ 3 6

при общем знаменателе q = 210. По правилу (5) получаем цепочку склеиваний

В210Ш+1

Множество нулей полинома В630(/, 2) представлено на рис. 17.

Рис. 17. Множество нулей полинома Везо(/,2) для функции (39). Полином Везо(/,2) взят из цепочки склеиваний (41), девиантные нули отсутствуют

Конструкция возникающей структуры сомнений не вызывает. Аттрактор нулей состоит из «тела» и двух «усиков». Точный вид аттрактора представлен на рис. 18.

Рис. 18. Аттрактор нулей в примере (39) Основное «тело» аттрактора составлено из фрагментов трёх лемнискат

Ь

1/7

823543 46656

2(1 - 2)6 I = 1,

¿3/5 : 3125 |23(1 - 2)2| = 1,

108

46656 , 5м . 1

¿5/6 : ^^Г 125 (1 - 2) | = 1.

3125

Каждая из линий (42) представляет собой лемнискату Канторовича (9), порождённую соответствующей точкой излома (40). Полиномы Бернштейна для функции (39) сходятся к её кусочно линейному продолжению на компакте К, ограниченном соответствующими частями лемнискат (42). Точный вид такого компакта Канторовича см. на рис. 19.

1т

Рис. 19. Дополнительная иллюстрация к примеру (39). Полиномы Бернштейна сходятся в заштрихованной области — на компакте Канторовича, ограниченном основным «телом» аттрактора. «Усики» аттрактора отмечены пунктиром

Помимо основного «тела» аттрактор нулей в примере (39) содержит два дополнительных «усика», образованных большими дугами окружностей (23), где

а1 « -0.46324, Я1 « 0.82330,

а2 « 1.17449, Я2 « 0.45270.

Значения (43) для первого «усика» определяются первой парой смежных точек излома (40) с абсциссами х1 = 1/7 и х2 = 3/5. Им отвечает параметр а « 0.56266, вычисленный по формуле (24). Значения (44) для второго «усика» определяются второй парой смежных точек (40) с абсциссами х2 = 3/5 и = 5/6. Здесь а ~ 2.59441. На всякий случай уточним, что естественная нумерация «усиков» (как и нумерация исходных точек излома) всегда ведётся в «положительном» направлении — при движении «слева направо» по аттрактору.

Отметим ещё, что в этом примере мы указали приближённые данные для окружностей (23) из-за громоздкости возникающих выражений. Так, точные значения величин (43) для окружности первого «усика» равны

а = _ 2401 /2344190625 Я = 7350 //915699462890625

а1 = 112500 - 2401//2344190625 , 1 = 112500 - 2401 /2344190625 .

Для величин (44) имеем ещё более громоздкие выражения:

_ 30517578125 /28125 _ 10935000000/46875

а2 _ 30517578125 >/28125 - 19591041024' 2 _ 30517578125 /28125 - 19591041024' (

Значения (45), (46) соответствуют числовым параметрам

а1

- 49 / 7 \

3/16

_ 78125 /5\6/7 а2 = 46656 \3)

5^135/

Поскольку явные выражения (45)-(47) не слишком информативны, то далее в подобных ситуациях будем приводить лишь приближённые значения для а, Я и а.

Пример 2.5. Пусть

с изломами в точках

13 4 4

х1 = 8, х2 = 7, х3 = 7, х4 = 5

при общем знаменателе q = 280. По правилу (5) получаем цепочку склеиваний

В280Ш+1

Множество основных нулей полинома В555(/, 2) представлено на рис. 20.

Рис. 20. Множество основных нулей полинома В555(/,2) для функции (48). Звёздочкой отмечен

девиантный нуль 2* ~ -0.31420

Для лучшего восприятия рисунок обрезан по вертикали, и часть «дальних» нулей, расположенных вдоль прямой Яе 2 = 1/2, на чертёж не попала. Полином В555(/,2) имеет один девиантный вещественный нуль 2* ~ -0.31420 (см. рис. 20). Девиантный нуль возник из-за того, что полином В555 (/, 2) не принадлежит цепочке склеиваний (50). Компьютерные расчёты показывают, что у полинома В560 (/,2), взятого из цепочки склеиваний (50), девиантные нули отсутствуют, т.е. все без исключения нули регулярно укладываются вблизи аттрактора.

Аттрактор нулей в примере (48) состоит из «тела» и трёх «усиков». Точный вид аттрактора показан на рис. 21.

Основное «тело» аттрактора состоит из фрагментов четырёх лемнискат

г 16777216 | )7| 1 _ 823543 | 3 ^, 1

'1/8 : о | 2(1 - 2)| = 1, Ь3/7 : 12(1 - 2)| = 1,

¿

4/7 :

823543 823543 | 6912 |

24(1 - 2)3 | = 1,

¿

4/5

6912 3125 |

24 (1 - 2) | = 1.

Рис. 21. Аттрактор нулей в примере

Каждая из линий (51) представляет собой лемнискату Канторовича (9), порождённую соответствующей точкой излома (49). Помимо основного «тела», аттрактор нулей в примере (48) содержит три дополнительных «усика», два из которых являются дугами окружностей (23) со значениями

а1 «-0.15349, Я1 « 0.42077,

а2 « 1.25395,

Я2 « 0.56430.

Значения (52) для первой окружности соответствуют параметру а ~ 0.36478, вычисленному по формуле (24) для первой пары точек излома (49) с абсциссами х1 = 1/8 и х2 = 3/7. Значения (53) для второй окружности соответствуют параметру а ~ 2.22212, вычисленному по формуле (24) для последней пары точек (49) с абсциссами х3 = 4/7 и х4 = 4/5.

Ещё один — центральный «усик», порождённый точками излома х2 = 3/7 и х3 = 4/7, состоит из двух лучей, попадающих на вертикальную прямую Яе £ = 1/2 в соответствии с условием х2 + х3 = 1, означающим, что а = 1 согласно той же формуле (24).

Пример 2.6. Пусть

с изломами в точках

1

2

1

6

х1 =

х2 =

х3 =

х4 =

8 ' 9' ^ 2' 7

при общем знаменателе д = 504. По правилу (5) получаем цепочку склеиваний

В504т+1

Множество нулей полинома В504(/, £) представлено на рис. 22. Аттрактор нулей состоит из «тела» и трёх «усиков». Точный вид аттрактора показан на рис. 23.

Рис. 22. Множество нулей полинома В504

Рис. 23. Аттрактор нулей в примере (54) Основное «тело» аттрактора состоит из фрагментов четырёх лемнискат

¿

16777216

1/8 :

823543 ¿1/2 : 4 12 (1 - 2)| = 1,

2(1 - 2)7 | = 1,

¿2/9 : ¿6/7 :

387420489 3294172 823543

22(1 - 2)7 | = 1,

46656

26 (1 - 2) | = 1.

Каждая из линий (57) представляет собой лемнискату Канторовича (9), порождённую соответствующей точкой излома (55). Помимо основного «тела», аттрактор нулей в примере (54) содержит три дополнительных «усика», являющихся дугами окружностей (23) со значениями

а1 и-0.04495, Я1 и 0.21673, а2 и -0.44565, Я2 и 0.80266, а3 и 1.25779, Я3 и 0.56942.

Значения

с абсциссами х2 = 2/9 и х3 = 1/2, для которых а ~ 0.55522. Наконец, значения (60) для третьей окружности определяются третьей парой смежных точек (55) с абсциссами х3 = 1/2 и х4 = 6/7, для которых а « 2.20888.

Как видим, дальнейшее увеличение числа точек излома у исходной порождающей функции лишь увеличивает число частей, из которых составлен аттрактор. Покажем ещё, что структура аттрактора сохраняется при вертикальных смещениях графика порождающей функции /(х) .

Пример 2.7. Для функции (54) рассмотрим «большое» возмущение вида

/

с прежними изломами в точках (55). Множество нулей для полинома В504 (/, £) вместе с соответствующим аттрактором представлено на рис. 24.

1т А

Рис. 24. Иллюстрация к примеру (61). Множество нулей полинома В504(/, г) вместе

с соответствующим аттрактором

Сравнение с рис. 22 и 23 показывает полное сходство. Аттрактор нулей состоит из фрагментов четырёх лемнискат Канторовича (57). На трёх образовавшихся стыках лемнискат возникают дополнительные «усики», являющиеся дугами соответствующих окружностей (23) со значениями (58)-(60). Всё, как в примере 2.6.

Итак, основные геометрические эффекты показаны. Сформулированные правила отражают закономерности, действующие в случае «общего положения». Специальные поправки приходится вносить лишь при обращении в тождественный нуль порождающей функции /(х) на том или ином участке отрезка [0,1]. Ситуация существенно зависит от того, происходит обращение в тождественный нуль внутри интервала (0,1) или вблизи одной из границ. Случай граничного вырождения подробно разобран в разделе 1 (см. пример 1.4). Покажем теперь, как нужно корректировать общие правила в случае, когда порождающая функция /(х) обращается в тождественный нуль на промежутке внутри (0,1).

3. Внутреннее вырождение

В этом разделе рассматриваем кусочно линейные функции вида (1), у которых есть не менее двух точек излома (2), причём между некоторыми точками излома внутри (0,1) функция вырождается, т.е. обращается в тождественный нуль.

В таком случае правила для построения аттрактора нулей требуют определённой коррекции. Сформулируем соответствующие поправки.

Пусть / (х) = 0 при с1 ^ х ^ с2, где х = с1 и х = с2 — абсциссы двух последовательных точек излома из набора (2). Тогда из основного «тела» аттрактора исключаются те фрагменты лемнискат Канторовича, порождённых точками х = с1 и х = с2, что сверху и снизу «охватывают» промежуток (с1, с2). Другими словами, в полосе с1 < х < с2 нет частей аттрактора, связанных с лемнискатами. При этом соответствующий «усик» аттрактора замыкается в полную окружность (23) с параметром (24). В случае, когда с1 + с2 = 1, в аттрактор вместо полной окружности надо включать всю вертикальную прямую Яе 2 = 1/2.

Поскольку сомкнувшаяся окружность разделяет аттрактор на несвязные части, то в подобных случаях естественно говорить про рассечённый аттрактор нулей полиномов Бернштейна (см. [8; 9]). Покажем, как это выглядит на примерах. Чтобы не усложнять изложение, выбираем полиномы только из соответствующих цепочек склеивания. Это означает, что девиантные нули будут отсутствовать.

Пример 3.1. Для функции (25) из примера 2.1 рассмотрим возмущение вида

/(х) = -2 + 2х + |2х - 1| + |4х - 3|, х Е [0,1],

с прежними изломами в точках (26). Линейная часть (-2 + 2х) специально подобрана так, чтобы /(х) = 0 между точками х1 = 1/2 и х2 = 3/4.

Множество нулей полинома В600(/, 2) для функции (62) изображено на рис. 25. Возникающий рассечённый аттрактор представлен на рис. 26. Отличие от картины, наблюдаемой в примере 2.1, сразу бросается в глаза (ср. рис. 25 и 10, а также рис. 26 и 11). Попросту говоря, из аттрактора исчезли фрагменты лемнискат (28), «охватывающие» интервал (1/2, 3/4); при этом дуга окружности (23) со значениями (29) превратилась в полную окружность.

Рис. 25. Множество нулей полинома Веоо

Специально подчеркнём, что, несмотря на изменение вида аттрактора нулей, область сходимости полиномов Бернштейна для порождающей функции (62) осталась ровно той же, что и для функции (25) из примера 2.1. Точнее, область сходимости совпадает с компактом Канторовича, указанным на рис. 12.

Рис. 26. Рассечённый аттрактор нулей в примере

Как уже отмечалось, особые ситуации обладают сильной неустойчивостью — при соответствующих малых возмущениях порождающей функции /(х) нули, замыкающие дугу окружности (23), перегруппировываются и вновь заполняют недостающие фрагменты лемнискат, а аттрактор перестраивается под случай «общего положения».

Пример 3.2. Для функции

с параметром

Н = 0.001.

Множество нулей полинома В600(/н, %) представлено на рис. 27.

1т, 0.5 с 1 ....... • • • • • • • • •

к -0.5 л >у >—¿У V 1.5 ••••••• 2 • • • • 2.5 • • • • Яе

Рис. 27. Множество нулей полинома В6оо

Как видим, картина получилась стандартная, отличная от той, что наблюдалась в примере (62). Нули, замыкавшие дугу окружности, переформатировались и тяготеют теперь к отсутствовавшим прежде фрагментам лемнискат (28). Аттрактор нулей представлен на рис. 28. Результат получается тот же, что и на рис. 11, поэтому формулы для расчёта аттрактора мы не приводим.

Рис. 28. Аттрактор нулей для функции

Численные эксперименты показывают, что при малых значениях к > 0, когда функция (63) «почти не отличается» от функции (62), нули приближают недоста-вавшие прежде фрагменты аттрактора весьма характерно. Сначала, при небольших номерах п Е М, нули располагаются внутри «тела» аттрактора и двигаются к фрагментам лемнискат изнутри, но затем, по мере увеличения номера п, нули постепенно выходят наружу и охватывают эту часть аттрактора самым плотным образом.

Далее «возмущать» вырожденные примеры уже не будем. Дадим теперь иллюстрацию к случаю, когда вырождение происходит между точками излома, симметричными относительно центра отрезка [0,1].

Пример 3.3. Пусть

/(х) = -2 + |8х - 3| + |8х - 5|, х Е [0,1],

с изломами в точках

3

Х1 = 8 ,

5

х2 = - . 2 8

В данном примере /(х) = 0 на [3/8, 5/8], и точки (66) симметричны относительно центра отрезка [0,1].

Основное множество нулей полинома В400(/, £) представлено на рис. 29. Для лучшего восприятия рисунок обрезан по вертикали, и часть «дальних» нулей, расположенных вдоль прямой Яе £ = 1/2, на чертёж не вошла. Точный вид аттрактора показан на рис. 30. Аттрактор, как положено, оказался здесь рассечённым.

Из фрагментов лемнискат Канторовича

Ь

3/8

16777216 84375

£3 (1 - £)5 I = 1,

Ь

5/8 :

16777216 84375

£5

Рис. 29. Основные нули полинома В400

Рис. 30. Рассечённый аттрактор нулей в примере

остались лишь левая петля лемнискаты ¿3/8 и правая петля лемнискаты ¿5/8. Соответствующий «усик» сомкнулся в вертикальную прямую Яе £ =1/2. Наблюдаем полное согласование с теоретическим правилом.

Дадим ещё несколько примеров к вырожденному случаю, так, чтобы у порождающей функции / (х) было уже не менее трёх точек излома.

Пример 3.4. Пусть

/(х) = -10 + 10х + |6х - 1| + |9х - 5| + |7х - 6|, х е [0,1],

с изломами в точках

1

Х1 = г , 6

5

х2 = - , 2 9'

хз

6 7

при общем знаменателе д = 126. В данном примере /(х) = 0 на [1/6, 5/9]. Множество нулей полинома В504(/, £) представлено на рис. 31. Соответствующий рассечённый аттрактор изображён на рис. 32.

Лемнискаты Канторовича, порождённые точками (69), имеют вид

46656  . ,5| 1

¿1/6: тггг^ I £(1 - £)51 = 1,

3125

¿5/,: 3874204891 ^5(1 -=)41 = 1,

800000

_ 823543 , б(1 )| .

¿6/7 : лсссс | £ (1 - £) | = 1.

46656

Фрагменты лемнискат ¿1/6 и ¿5/9, «охватывающие» интервал (1/6, 5/9), исключаются из аттрактора. Замкнутый «усик», разделяющий аттрактор, образован полной окружностью (23) со значениями

а « -0.42143, Я « 0.77397.

1т А

•

Рис. 31. Множество нулей полинома В504

Рис. 32. Рассечённый аттрактор нулей в примере

Значения (71) отвечают параметру а & 0.54450, вычисленному по первой паре точек излома х\ = 1/6 и х2 = 5/9 из набора (69). Второй «усик» есть незамкнутая дуга окружности (23) со значениями

а & 1.18972, Я & 0.47509.

Значения (72) отвечают параметру а & 2.50418, вычисленному по второй паре точек излома х2 = 5/9 и х3 = 6/7 из набора (69). При этом второй «усик» выходит из стыков лемнискат Ь5/9 и Ь6/7, указанных в формуле (70).

Усложним ситуацию так, чтобы порождающая функция /(х) имела сразу два внутренних вырождения.

Пример 3.5. Пусть

/

с изломами в точках 1

х1 =

8

х2 =

5

хз =

5 ,

=

4 ,

х5 =

10

при общем знаменателе д = 40. Сейчас /(х) = 0 на [1/8, 2/5] и на [3/4, 9/10], т.е. сразу на двух отрезках внутри (0,1). Основные нули полинома В80о(/, £) представлены на рис. 33. Точный вид аттрактора показан на рис. 34.

Рис. 33. Основные нули полинома В800(/,г) для функции (73). Часть «дальних» нулей, расположенных вдоль прямой Ив 2 = 1/2, на чертёж не вошла

Рис. 34. Рассечённый аттрактор нулей в примере

2

3

3

9

Лемнискаты Канторовича, порождённые точками (74), имеют вид 16777216 , ^ ,7| 1 г 3125 | ^ ,3|

¿1/8: -823543"|%(1 -%)7| = 1, ь2/5 : -^И1 -%)3Ь

¿3/5 : 3Ц |%3

10000000000 | 9 ,

¿9/10 : 387420489 | % (1 - г) | = 1 Отметим, что в аттрактор не включаются фрагменты лемнискат ¿1/8 и ¿2/5, «охватывающие» интервал (1/8, 2/5), и фрагменты лемнискат ¿3/4 и ¿9/10, «охватывающие» интервал (3/4, 9/10).

Как положено, пяти точкам излома (74) и пяти порождённым ими лемнискатам (75) отвечают четыре стыковочных «усика». Три из них расположены на окружностях вида (23) с параметрами

а1 &-0.13117, Я1 & 0.38520,

а2 & 1.29638, Я2 & 0.61986,

а3 & 1.04415, Я3 & 0.21471.

В случаях (76) и (78) «усики» состоят из полных окружностей вида (23) в соответствии с отмеченным особым правилом. Для значений (77) получаем большую дугу окружности, выходящую из стыков лемнискат ¿3/5 и ¿3/4.

Ещё один — центральный «усик», порождённый точками излома х2 = 2/5 и х3 = 3/5, состоит из двух лучей, попадающих на вертикальную прямую И,е % =1/2 в соответствии с условием х2 + х3 = 1 , означающим, что а =1 согласно (24).

На всякий случай поясним, что значения (76) для первой окружности определяются первой парой смежных точек излома (74) с абсциссами х1 = 1/8 и х2 = 2/5, для которых а & 0.34053. Значения (77) для второй окружности определяются третьей парой смежных точек (74) с абсциссами х3 = 3/5 и х4 = 3/4, для которых получим а & 2.09142. Значения (78) для третьей окружности определяются последней парой точек (74) с абсциссами х4 = 3/4 и х5 = 9/10, для которых а & 4.86312.

Покажем в заключение, что структура аттрактора сохранится и при комбинировании особых случаев, когда в одном примере порождающая функция /(х) имеет и «граничное» и «внутреннее» вырождения.

Пример 3.6. Пусть /(х) = 1 - 5х + |5х - 1| + 3 |2х - 1|- 5 |4х - 3| + 2 |7х - 6|, х Е [0,1], (79) с изломами в точках

113 6

х1 = 5 , х2 = 2 , х3 = 4 , х4 = 7

при общем знаменателе д = 140. В данном примере /(х) = 0 на [1/5, 1/2] — это типичный вырожденный «внутренний» случай, и /(х) = 0 на [6/7, 1] — это типичный вырожденный «граничный» случай. Множество нулей полинома В420(/, %) представлено на рис. 35. Точный вид аттрактора нулей изображён на рис. 36.

Лемнискаты Канторовича, порождённые точками (80), имеют вид

3125 256

| %(1 - г) | = 1, ¿6/7 : 16656

¿1/5 : "256" | ^ - %)4 | = 1, ¿1/2 : 4 | %(1 - %) | = 1,

¿3/4 : 256 | %3(1 - %) | = 1, ¿6/7 : -23543 | %6(1 - %) | = 1.

1

Рис. 35. Множество нулей полинома В420(/,г) для функции (79). В точке 2 = 1 расположен нуль

кратности к = 61

Рис. 36. Рассечённый аттрактор нулей в примере (79). Здесь 2 = 1 — изолированная кратная

точка аттрактора

В соответствии с особым правилом, регулирующим случай «внутреннего» вырождения, в аттрактор не включаются фрагменты лемнискат ¿1/5 и ¿1/2, «охватывающие» интервал (1/5, 1/2). Согласно правилу, регулирующему случай «граничного» вырождения, в аттрактор не включается правая петля лемнискаты ¿6/7, «охватывающая» интервал (6/7, 1), а точка £ =1 считается изолированной кратной точкой аттрактора.

Всё остальное по стандартной схеме. Набору из четырёх точек излома (80) и четырём порождённым ими лемнискатам (81) отвечают три стыковочных «усика», расположенных на окружностях вида (23) с параметрами

а1 и -0.38248, Я1 и « 0.72716,

а2 и 1.54123, Я2 и « 0.91332,

аз и 1.06196, Яз и « 0.25651.

В случае (82) «усик» состоит из полной окружности, а для значений (83) и (84) получаем большие дуги окружностей, выходящих из стыков лемнискат L1/2, L3/4, и L3/4, ¿6/7 соответственно. Отметим также, что значения (82) отвечают параметру а ~ 0.52599, вычисленному по формуле (24) для первой пары точек излома (80) с абсциссами x1 = 1/5 и x2 = 1/2. Значения (83) отвечают параметру а ~ 1.68750, вычисленному по формуле (24) для второй пары точек (80) с абсциссами x2 = 1/2 и x3 = 3/4. Наконец, значения (84) отвечают параметру а ~ 4.14005, также вычисленному по формуле (24), но уже для последней пары точек (80) с абсциссами x3 = 3/4 и x4 = 6/7.

В заключение отметим, что приведённые примеры основаны на точных расчётах, выполненных в среде компьютерной математики Wolfram Mathematica [14]. Весь собранный материал подтверждает полноту и истинность набора базовых правил из работ [8; 9] для построения аттракторов нулей полиномов Бернштей-на. В процессе выполнения настоящего исследования не удалось обнаружить эффектов, хоть в чём-то противоречащих указанным правилам. Но ряд вопросов по-прежнему требует развёрнутых теоретических обоснований (подробнее см. [8; 9]).

Выражаю благодарность И. В. Тихонову и В. Б. Шерстюкову за постановку задачи и большую помощь в исследовании. Помощь, оказанная коллегами при обсуждении результатов, неоценима.

Список литературы

1. Lorentz, G. G. Bernstein Polynomials / G.G.Lorentz. — Toronto : Univ. of Toronto Press, 1953. — 130 p.

2. Виденский, В. С. Многочлены Бернштейна : учеб. пособие к спецкурсу /

B. С. Виденский. — Л. : ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990. — 64 с.

3. Bustamante, J. Bernstein Operators and Their Properties / J. Bustamante. — Basel : Birkhauser, 2017. — 420 p.

4. Новиков, И. Я. Асимптотика корней полиномов Бернштейна, используемых в построении модифицированных всплесков Добеши / И. Я. Новиков // Мат. заметки. — 2002. — Т. 71, вып. 2. — С. 239-253.

5. Тихонов, И. В. Задача о нулях полиномов Бернштейна на модельном примере симметричного модуля / И.В.Тихонов, В. Б. Шерстюков, Д. Г. Цветкович // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 18-й междунар. Сарат. зимн. шк. Саратов : Науч. кн., 2016. — С. 271-275.

6. Тихонов, И. В. Специальные задачи для полиномов Бернштейна в комплексной области / И. В. Тихонов, В. Б. Шерстюков, Д. Г. Цветкович // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения — 2016 : материалы науч. конф. СПб. : РГПУ им. А. И. Герцена, 2016. —

C. 139-145.

7. Тихонов, И. В. Компьютерная классификация аттракторов для нулей полиномов Бернштейна / И.В.Тихонов, В. Б. Шерстюков, Д. Г. Цветкович // Системы компьютерной математики и их приложения : материалы XVII междунар. науч. конф. Смоленск : СмолГУ, 2016. — С. 224-227.

8. Тихонов, И. В. Компьютерное исследование аттракторов нулей для классических полиномов Бернштейна / И.В.Тихонов, Д. Г. Цветкович, В. Б. Шерстюков // Фундамент. и приклад. математика. — 2016. — Т. 21, № 4. — С. 198-214.

9. Тихонов, И. В. Как выглядят аттракторы нулей для классических полиномов Бернштейна / И. В. Тихонов, В. Б. Шерстюков, Д. Г. Цветкович // Дифференц. уравнения и процессы упр. — 2017. — № 2. — С. 59-73.

10. Тихонов, И. В. Полиномы Бернштейна: старое и новое / И.В.Тихонов, В. Б. Шерстюков, М. А. Петросова // Мат. форум. (Итоги науки. Юг России). — 2014. — Т. 8, № 1. — С. 126-175.

11. Канторович, Л. В. О сходимости последовательности полиномов С. Н. Бернштейна за пределами основного интервала / Л.В.Канторович // Изв. АН СССР. Сер. VII. Отд-е мат. и естеств. наук. — 1931. — № 8. — С. 1103-1115.

12. Gal, S. G. Approximation by Complex Bernstein and Convolution Type Operators. (Series on Concrete and Applicable Mathematics. Vol. 8) / S. G. Gal. — New Jersey; London; Singapore : World Scientific, 2009. — 338 p.

13. Тихонов, И. В. Приближение модуля полиномами Бернштейна / И.В.Тихонов, В. Б. Шерстюков // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2012. — № 26 (280). Математика. Механика. Информатика. Вып. 15. — С. 6-40.

14. Wolfram Mathematica [Электронный ресурс]. URL: https://www.wolfram.com/-mathematica (дата обращения: 02.02.2018).

Поступила в 'редакцию 03.02.2018 После переработки 15.02.2018

Сведения об авторе

Цветкович Диана Горановна, аспирант, кафедра математического анализа, Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия; e-mail: dianacve@inbox.ru.

88

r. Цветковн^

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 1. P. 58-89.

DETAILED ATLAS OF ATTRACTORS OF ZEROS FOR THE CLASSICAL BERNSTEIN POLYNOMIALS

D.G. Tsvetkovich

Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russia dianacve@inbox.ru

The distribution of zeros for the classical Bernstein polynomials taken from piecewise linear generating functions is discussed. The classification of attractors to which subtend zeros at increasing of number of the Bernstein polynomials is given. We have established that the attractor structure subjects to its regular rules. By means of systems of computer mathematics large series of examples for each of the formulated rules are considered and illustrations to all typical situations are given.

Keywords: Bernstein polynomials, zeros of polynomials, attractor of zeros.

References

1. Lorentz G.G. Bernstein Polynomials. Toronto, Univ. of Toronto Press, 1953. x+130 p.

2. Videnskii V.S. Mnogochleny Bernshteyna. Uchebnoe posobie k spetskursu [Bernstein polynomials]. Leningrad, A.I. Gertsen Leningrad State Pedagogical University, 1990. 64 p.

3. BustamanteJ. Bernstein Operators and Their Properties. Basel, Birkhauser, 2017. xii+420 p.

4. Novikov I.Ya. Asymptotics of the Roots of Bernstein Polynomials Used in the Construction of Modified Daubechies Wavelets. Mathematical Notes, 2002, vol. 71, no. 12, pp. 217-229.

5. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B., Tsvetkovich D.G. Zadacha o nulyakh polinomov Bernshteyna na model'nom primere simmetrichnogo modulya [The problem on zeros of Bernstein polynomials for the model example with the symmetric module function]. Sovremennye problemy teorii funktsiy i ikh prilozheniya [Contemporary problems of functions theory and their applications], Proceedings of 18th International Saratov Winter School. Saratov, Nauchnaya Kniga Publ., 2016. Pp. 271-275. (In Russ.).

6. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B., Tsvetkovich D.G. Spetsial'nye zadachi dlya polinomov Bernshteyna v kompleksnoy oblasti [Special problems for the Bernstein polynomials in a complex domain]. Nekotorye aktual'nye problemy sovremennoy matematiki i matematicheskogo obrazovaniya. Gertsenovskie chteniya — 2016 [Some actual problems of contemporary mathematica and mathematical education. Gertsen's Readings — 2016], Proceedings of Scientific Conference. Saint Petersburg, A.I. Gertsen Russian State Pedagogical University, 2016. Pp. 139-145. (In Russ.).

7. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B., Tsvetkovich D.G. Komp'yuternaya klassifikatsiya attraktorov dlya nuley polinomov Bernshteyna [Computer classification of attractors for zeros of the Bernstein polynomials]. Sistemy komp'yuternoy matematiki i ikh prilozheniya [Systems of computer mathematics and their applications], Proceedings of XVII International Scientific Conference. Smolensk, Smolensk State University, 2016. Pp. 224-227. (In Russ.).

8. Tikhonov I.V., Tsvetkovich D.G., Sherstyukov V.B. Komp'yuternoe issledovanie attraktorov nuley dlya klassicheskikh polinomov Bernshteyna [Computer analysis of the attractors of zeros for classical Bernstein polynomials]. Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and Applied Mathematics], 2016, vol. 21, no. 4, pp. 198-214. (In Russ.).

9. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B., Tsvetkovich D.G. Kak vyglyadyat attraktory nuley dlya klassicheskikh polinomov Bernshteyna [How do attractors of zeros for classical Bernstein polynomials look like]. Differentsial'nye uravneniya i protsessy upravleniya [Differential Equations and Control Processes], 2017, no. 2, pp. 59-73. (In Russ.).

10. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B., Petrosova M.A. Polinomy Bernshteyna: staroe i novoe [Bernstein polynomials: the old and the new]. Matematicheskiy forum. (Itogi nauki i tekhniki. Yug Rossii) [Mathematical forum. (The results of Science in the South of Russia)], 2014, vol. 8, no. 1, pp. 126-175. (In Russ.).

11. KantoroviCL. Sur la convergence de la suite des polynômes de S. Bernstein en dehors de l'intervalle fondamental. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et naturelles, 1931, no. 8, pp. 1103-1115. (In French).

12. GalS.G. Approximation by Complex Bernstein and Convolution Type Operators. Series on Concrete and Applicable Mathematics. Vol. 8. New Jersey, London, Singapore, World Scientific, 2009. xii+338 p.

13. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B. Priblizhenie modulya polinomami Bernshteyna [The module function approximation by Bernstein polynomials]. Vestnik Cheljabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2012, no. 26, pp. 6-40. (In Russ.).

14. Wolfram Mathematica. Available at: https://www.wolfram.com/mathematica, accessed 02.02.2018.

Accepted article received 03.02.2018 Corrections received 15.02.2018