Поляризация вакуума квантованного скалярного поля в ультрастатистических асимптотически плоских пространствах

А.А.Поііов

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА КВАНТОВАННОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ В УЛЬТРАСТАТИЧЕСКИХ АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЛОСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

В работе получено аналитическое приближение для (ф2) квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически

плоских пространствах. Предполагалось, что поле может быть массивным или безмассовым, с произвольной связью со скалярной кривизной и находится в квантовом состоянии с нулевой температурой. Выражение для

(ф‘) представлено в виде суммы на низкочастотной и высокочастотной

частей. Для высокочастотной части получено разложение, аналогичное разложению ДеВитта-Швингера для квантованного поля с большой массой. В качестве примера низкочастотный вклад вычислен на фоне слабо возмущенного плоского пространства-времени в квантовом состоянии, соответствующем вакууму Минковского на асимптотике. Обсуждаются пределы применимости рассматриваемых приближении.

I. Введение

Исследования излучения черных дыр и рождения частиц в расширяющейся Вселенной послужили стимулом для детального и систематического изучения теории квантованных полей в искривленных пространствах-временах. Основными объектами для вычислений в такой

теории являются величины (ф ) и (^/) , где ф есть квантованное поле и

гг, Ц

оператор тензора энергии-импульса для Ф . Среднее значение квадрата квантованного поля (ф2) играет роль, например, в теориях со спонтанным нарушением симметрии. Вакуумное среднее оператора

тензора энергии-имнульса ) является важной величиной для построения самосогласованной модели излучения черных дыр.

Функциональная зависимость ) от компонент метрического тензора

позволяет изучать эволюцию фоновой геометрии под действием квантовых флуктуаций материальных полей. Этот так называемый эффект

обратной реакции описывается полуклассическими уравнениями Эйнштейна: ^ — ^ ) .

4

Однако точные результаты для (ф*) и (?/) в четырехмерных

пространствах-временах немногочисленны (см., например, [1]). Численные расчеты этих величин, как правило, весьма трудоемки [2-4]. Одним из наиболее широко используемых способов получения информации об этих величинах является разложение ДеВитта-Швингера [5], которое представляет собой ряд по степеням малого параметра

1

---«1

тЬ »

где т - масса квантованного поля, а Ь - характерный размер фонового гравитационного поля [6]. Аналитические приближения (ф5) и

(С") для конформно инвариантных безмассовых полей [3.4.7-12] дают

хорошие результаты. Тем не менее остается еще проблема расширения границ применимости такого типа приближений. В случае массивных полей, масса которых не удовлетворяет условию (2), полученные

аналитические приближения (ф2) и {К/ еще более немногочисленны [3,4,11-14].

В этой работе получено приближенное выражение для

квантованного скалярного поля в ультрастатических асимптотически плоских пространствах-временах. Поле предполагалось массивным или безмассовым, с произвольной конформной связью и находящимся в

вакуумном состоянии с нулевой температурой. Выражение для (ф‘) представлено в виде суммы высоко- и низкочастотных частей. Для вычисления высокочастотной части (V) был использован подход,

развитый Банчем и Паркером [15]. Как и в случае безмассового поля, квантовое состояние поля с массой т«\И существенно зависит от топологии пространства и граничных условий. В данной работе такая

зависимость определяется низкочастотной частью (ф*). В качестве примера такой вклад вычислен на фоне слабо возмущенного плоского пространства-времени в квантовом состоянии, соответствующем вакууму Минковского на асимптотике. В работе использована система единиц, в

которой = с - G - кв = 1, Определение тензора кривизны соответствует работе [16].

II. Функция Грина

В евклидовом секторе метрика ультрастатического пространства-времени может быть записана следующим образом

ds1 -d\2 + gabdxadxb}

где т = it есть евклидово время, gab - произвольные функции пространственных координат •*', *2> л-3.

В этой работе для регуляризации ультрафиолетовых расходимостей используется метод раздвижки точек. Если точки Р(х*) и Р(Т) раздвинуты, то

2)

ипгеп

(с

q>‘) =0£(^,Г).

N / ипгеп

Евклидова функция Грина удовлетворяет уравнению

где т - масса скалярного поля, ^ - его связь со скалярной

кривизной Я, £(3)СО-^е1^ві(х‘,л:2,^3).

В статическом пространстве-времени 5 (х,т) и С£(х,1,х'’) могут быть разложены следующим образом

5 (т ,т ) = — Гс1(й е^1,

Отг •»-<*>

271 ’

0Е

а <~г£(со;ха,х6) удовлетворяет уравнению

С,

ох

у'ЛО^'

/ ч - Я(3)(га

— ; ’ -1 V? <* ) '

В случае /я» 1/1, где Ь - характерный масштаб кривизны фонового гравитационного поля, возможно построение итерационной процедуры решения этого уравнения с малым параметром МтЬ. Такая процедура дает

стандартное разложение (°Р )ипгеп в ряд по степеням \hriL.

<1

о тъ— ,т

В случае ^

малый параметр итерационной процедуры не существует. Тем не менее, если разложить с£ на низко- и высокочастотные части, как это было предложено в работе [12],

Ов

где '

ТС

вЕНРС(х'1,Э?) = - Г с1а> со8[(о(х -т)]ЭЕ(ш;ха,хь), я А,х

✓-тг НРС / ц V \

то разложение '-ге \х >х > по степеням малого параметра

^0 1

Чкв- — «\ *

может быть получено методами, аналогичными методам получения разложения ДеВитта-Швингера. Ниже изложен метод Банча и Паркера для

НГС / ц ч

построения разложения ^е V* >х ) по степеням параметра ^шв .

III. Высокочастотный вклад в

Введем римановы нормальные координаты У° в 30 пространстве с началом в точке х“ [17]. В этих координатах

^ с

асЬйУ У )’

г-6(/)=лЛ+^-Л//,+о(У),

Яаь(уа)=^аЬ-^ЯамУСу'1 +0(у3),

*<*>(/)«! АКаЬу'/+о{уъ) ,

3

где коэффициенты здесь и ниже вычисляются при у" = 0 (т.е. в точке ), ^\аь обозначает метрику трехмерного евклидового пространства. Все индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики . Определяя

<5

и оставляя в (8) только члены с коэффициентами, включающими производные метрики не выше второго порядка, найдем, что <2(со;/) удовлетворяет уравнению

яТ-Н Г Г 1Л

^ д2с !?11л1, дгс

•п ------ — са й + - Д с 4 у у ---т-

ду‘дуь 3 ду°дуь

0 = -Ь»\у).

Отметим, что величины Кьы’ Кьу &, вычисленные в метрике

где коэффициенты, входящие в величины ^ (; ), включают

производных метрики в точке у" =0 . Тогда эти функции удовлетворяют уравнениям

дуадуь

дЩъ-у)

дуаду

.дЩигу)

ду°дуь

С0(<й;/) = -8(3)О»).

Функция С'о(а);/) удовлетворяет условию

с А0* (<°'У) ЬдС»{Ю>Уа) п

к с 6у у --1—-Я ьу -------1- = О,

' ду°дуь ду°

Т.К. ^(^У) является функцией только л аЬУаУь [15]. Поэтому уравнение (22) может быть переписано следующим образом

,.аЬдЩ^Уа)

дуадуь

дуа

т2 +

/ П

3,

Л

С0(со;/) = -5(3>(.у).

Введем локальное импульсное пространство, связанное с точкой Уа = 0 , совершая трехмерные преобразования Фурье

И ехр

-

А

^~г / ш \__ 1

Не сложно увидеть, что °\ ’ ' к2 +(йг’

СгДсо^-О)

где к1 = Л°ЧЛ. В импульсном пространстве уравнение (24) дает

-

Следовательно,

62(со;£а) =

-т 2 Ка%кь

Т *

[к1 +со2)

Подстановка выражений (25), (26), (27), (29) в (19) и интегрирование приводит к

1 (т2+^я) 2 ДаЧА

о(а.у)ш 11

-а. \2Л )

+ аг ^2+со2)2 3^2+02|3

1 Г-*2-»- -1/6)Д , 2 КУуь

8п ехр(|со|_у) со У 6у

где У - Vrйyv". Используя определение ) (17) и

разложение (16), можно найги

е£(ю;/)=(и^уу1 ё(;/) =

-т2-£-\/б)Я | 2 | яу/ У 6>'

Необходимым условием справедливости этого приближенного выражения является

1 1

<В >-------» —

к ь»

что позволяет вычислить

Сг£я/гс

К 1/Яо

т2 +

Л

С+-1п

2

у + Дт

V

2 1

+ —Т +

А> V

где С « 0.577... - постоянная Эйлера, Дт =т -т .

IV. Низкочастотный вклад в (ф }

Поведение низкочастотных мод определяется граничными условиями и топологической структурой пространтва-времен и. В качестве

примера вычислим низкочастотный вклад в (ф2) на фоне слабо

возмущенного плоского пространства-времени в квантовом состоянии, соответствующем вакууму Минковского на асимптотике. Если характерный масштаб неоднородности гравитационного поля А,

—

удовлетворяет условию: ^ < ,

то низкочастотный вклад в (ф2) может быть разложен по степеням

этого малого параметра. Ниже нулевой член этого разложения будет

использован для вычисления низкочастотного вклада в (ф‘). Это означает,

что мы выбираем низкочастотные моды приближенно совпадающими с соответствующими модами вакуума Минковского. Для этих мод

„ас 1 ‘'г г“|\л ехр

1 "г , />ип

V ,Г“ е 1ф>ч77т2)

1/^

1/Хо

1 "о

= —Т [ <*© 4л .А

/шДі

ехр | -ул1(£>2 +т21

-1/л. *

В пределе Ат -> 0, -> О

і«л

8л

і ^^0 1 ________________

Ся^с

-1/Х,

1

8п2

2.іп(Лт/Л.)__1_ М +„._таь, > Дт

1/^ + ^jl7x^+m2

т

+ 0

Если принять во внимание условия

то

ь 1 2 1-0 ҐДт2] 1

' 8л2 уК ч ^0 > \2 0

т

Т

1 + 1п

л 2 2

*0 П1

0

+ 0

V. Процедура перенормировки и результаты

Процедура перенормировки (ф2)ишет состоит в вычитании

перенормировочных контрчленов [19] и стремлении

и.

/> =—+Л

где \ /ш 8л 2а 871"

= 1ІШ Г(<рП (ф2

х** ^ _ \ / млгел

' 0

т2 + §-7 X

ч 6, 9

'05

1

С + -ІП 2

ш2 1 ацау І6^?+96^Т

& это половина квадрата длины кротчайшей геодезической, соединяющей точки х и х г 0ц. ковариантная производная сг } а

%

постоянная тоз равна массе поля т в случае массивного поля. Для безмассового поля то5 является произвольным параметром

/ХУ

инфракрасного обрезания в (ф2)м . Выбор конкретного значения т

соответствует конечной перенормировки членов гравитационного лагранжиана и должен быть фиксирован экспериментом или

наблюдениями. Детали вычисления (ф2)м обсуждаются в Приложении:

(ф2) = — \ /05 Ятг

2 ( п -

т2 + І?

[у + Ах' \ 6,

С + -ІП 2

т

05

у2 + А т:

т

Кьуау

2 б

Используя уравнения (4), (10), (33), (38), (39) и (41) легко показать, что

И,«,=1ж[с^с (Лт ’Л+ в"к' (Лт>>,“ )-(<р2)П5]

я

16л'

ІП

Л 2 2

'41

+ 0

2 Л

'П'КВ

V Ї J

+ 0

Л* У

Приведем условия применимости этого приближения еще раз

<1 тъ—

I ’

X « Х0 «I.

Присутствие в выражении (42) произвольного параметра является общей чертой локальных аппроксимационных схем [3,4,11,12,20]. Для конформно инвариантного поля этот параметр может быть внесен в

определение постоянной тоя

Отметим, что приближение, соответствующее аналитическому

приближению Андерсона, Хискока и Самьюэля [3] для (ф2) в случае

ультрастатического асимптотически плоского пространства-времени, может быть получено, если использовать высокочастотное приближение

) (см. уравнение (31)) для всех значений  . Однако

использование высокочастотного приближения (со; у“) для частот

со«1/Хр не кажется очевидным. Тем не менее в случае конформно инвариантного безмассового поля такая процедура дает хорошие результаты [3,4,10,14] и совпадает с рассмотренной выше.

Автор выражает признательность С.В.Сушкову и Н.Р.Хуснутдинову за полезные дискуссии. Эта работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 02-02-17177 и фондом НИОКР Республики Татарстан, грант № 06-6.5-110.

Приложение

Ниже описывается разложение (ф по степеням разности координат раздвинутых точек.

Пусть точки Р{х) и соединены кратчайшей геодезической

х“ ~ х° (5), где s канонический параметр. Функции (-?) могут быть

разложены в ряд Тейлора в окрестности точки М*)

0 _а 1 dxa 1 d2xa 2 1 d%xa з i, \4 \

x =jc +-------A? +-----—(Дs) +-------r-(As) +0 A.V) /Ai\

1! ds 2! ds 3 Ids3 ' I'

где коэффициенты вычисляются в точке Р(х). Используя уравнения геодезической

а dx& dx' ds2 plr ds ds ’

можно также найти

^3*а _ ( р) га + 9га Г5 Ї ^ ^ ^

~ \ стр + а8А (?у /'

<ь*

сЬ сіб <і$

где ду обозначает частную производную по ху . Следовательно, выражение (А1) может быть переписано следующим образом

Xа +Іи“Д5-1 пУкг(Л5)2 +

1! 2! Рг ' +^НЛ +ад, ум

где - <2ха /йя . Это уравнение может быть разрешено относительно

мвД*

и“Д* = е“ Н-ІГ^Є^ +^

.

где еа = ха -ха . Если использовать определение о” и 57 из работы [21], можно получить следующее разложение

ст(^Д)=^арЕа8Р +^арГ758Р8Т63 +^арГ^5Г8 вРеУеЦБУ

II О

+^Г,//б,8'8’ +0

Следовательно, конечное выражение для (ф' )л5 есть (ф2) =—~

V /05 4д •

1

5а(3Г“бЄ'ЄбЄР (^аРЄ“ЄР)2

є'Ує'є" ,

гм

т2 +(% -1/6) R

8тс'

1 ( 2 л С +—In

2

mDS I „ _а_ р I

/

/Я* 1 ^хз8“£р

16л2’+48тс2 gaf5eaep +°^-

а .О

В координатах х-> У , где У - римановы нормальные координаты с началом в точке ха в 3D пространстве

80=Ат,8в=/.

В этих координатах в точке Р [17]

ГРг =°

и &„

После подстановки этих выражений в (А7) легко видеть, что (ф")ns имеет вид (41).

Литература

[1] J. S. Dowker and R. Critchley, Phys. Rev. D 13 3224 (1976); L. S.

Brown and J. P. Cassidy, Rev. D 15 2810 (1977); T. S. Bunch and P.

C. W. Davies, Proc. R. Soc. London A360, 117 (1978); T. S. Bunch, J. Phys. A 12, 517 (1979); B. Allen and A. Folacci, Rev. D 35, 3771 (1987); A. Folacci, J. Math. Phys. 32, 2813 (1991); 32, 2828 (1991); K. Kirsten and J. Garriga, Phys. Rev. D 48, 567 (1993).

[2] P. Candelas, Phys. Rev. D 21, 2185 (1980); M. S. Fawcett, Commun.

Math. Phys. 89, 103 (1983); K. W. Howard and P. Candelas, Phys. Rev.

Lett 53, 403 (1984); B. P. Jensen and A. Ottewill, Phys. Rev. D 39, 1130 (1989); B. P. Jensen, J. G. Me Laughlin, and A. C. Ottewill, Phys. Rev. D 45, 3002 (1992); P. R. Anderson, W. A. Hiscock, and D. J. Loranz, Phys.

Rev. Lett 74, 4365 (1995); E. R. Bezerra de Mello, V. B. Bezerra, and N. R. Khusnutdinov, Phys. Rev. D 60, 063506 (1999).

[3] P. R. Anderson, W. A. Hiscock, and D. A'. Samuel, Phys. Rev. D 51, 4337(1995).

[4] P. B. Groves, P. R. Anderson, and E. D. Carlson, Phys. Rev. D 66, 124017 (2002).

[5] B. S. DeWitt, Dynamical Theory of Croups and Field (Gordon and Breach, New York, 1965).

[6] V. P. Frolov and A. I. Zel'nikov, Phys. Lett B 115, 372 (1982); V. P. Frolov and A. I. Zel'nikov, Phys. Lett B 123, (1983); V. P. Frolov and A. I. Zel'nikov, Phys. Rev. D 29, 1057 (1984); R. Herman, Phys. Rev. D 58, 084028 (1998); J. Matyjasek, Phys. Rev. D 61, 124019 (2000); H. Koyama, Y. Nambu, and A. Tomimatsu, Mod. Phys. Lett. A 15, 815 (2000); J. Matyjasek, Phys Lett A 63, 084004 (2001).

[7] D. N. Page, Phys. Rev. D 25, 1499 (1982); M. R. Brown and A. C. Ottewill, Phys. Rev. D 31, 2514 (1985); M. R. Brown, A. C. Ottewill, and

D. N. Page, Phys. Rev. D 33, 2840 (1986).

[8] T. Zannias, Phys. Rev. D 30, 1161 (1984).

[9] V. P. Frolov and A.I. Zel'nikov, Phys. Rev. D 35, 3031 (1987).

[10] R. Balbinot, A. Fabbri, P. Nicolini, V. Frolov, P. Sutton, and A. Zelnikov Phys. Rev. D 63, 084029 (2001).

[11] A. A. Popov and S. V. Sushkov, Phys. Rev. D 63, 044017 (2001); A. A. Popov, Phys. Rev. D 64, 104005 (2001).

[12] A. A. Popov, Phys. Rev. D 67, 044021 (2003).

[13] A. Tomimatsu, and H. Koyama, Phys. Rev. D 61, 124010 (2000); S.

V. Sushkov, Gravitation Cosmol. 6, 45 (2000); V. Frolov, and A. Zelnikov, Phys. Rev. D 63, 125026 (2001); V. Frolov, S. Sushkov, and A. Zelnikov, Phys. Rev. D 67, 104003 (2003).

[14] R. Balbinot, A. Fabbri, P. Nicolini, and P. Sutton Phys. Rev. D 66, 024014(2002).

[15] T. S. Bunch and L. Parker, Phys. Rev. D"20, 2499 (1979).

[16] C. W. Misner, K. S. Thome, and J. A. Wheeler, Gravitation ( Freeman, San Francisco, 1973).

[17] A. Z. Petrov, Einstein Spaces (Pergamon, Oxford, 1969).

[18] B. T. Wittaker and G. N. Watson, A Course of Modem Analysis (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1927).

[19] S. M. Christensen, Phys. Rev. D 14, 2490 (1976).

[20] V. Frolov, P. Sutton and A. Zelnikov, Phys. Rev. D 61, 024021 (2000).

[21] J. L. Synge, Relativity: The General Theory (North-Holland Publishing, 1964).