Оценка меры иррациональности числа log 37/30

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 1

УДК 511.36

ОЦЕНКА МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ

ЧИСЛА log | 1

М. Ю. Лучин

Аннотация

Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими зарубежными авторами: М. Вальдшмидт [1], А. Бейкер и Д. Вустольц [2], A. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваана-нен [3], К. Ву [4], Д. Рин [5] и П. Тоффин [6]. В своих работах они применяли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффициентов линейных форм с использованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудили-на [7].

Затем В. Х. Салихов в работе [8], основываясь на тех же асимптотических методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа log 3. Впоследствии В. Х. Салихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, удалось улучшить оценку меры иррациональности числа п [9]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) получил развитие в работах его учеников: Е. С. Золотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], E. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел:

^(log (5/3)) ^ 5.512... [14], ^(log (8/5)) < 5.9897 [12], ^(log(7/5)) ^

4.865... [14], ^(log (9/7)) ^ 3.6455... [10], ^(log(7/4)) < 8.1004 [13].

В данной работе с помощью симметризованного вещественного интеграла получена новая оценка меры иррациональности числа

т = log (37/30), ^(т) < 65.3358.

Впервые оценку меры иррациональности числа log(37/30) получили в 1993 году А. Хеймонен, Т. Матала-ахо и К. Ваананен [1]. В своей работе они

вывели общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности чисел вида log(1 — (r/s)), где r/s € [-1, 1) (r, s € N). В качестве примера, они привели таблицу с полученными оценками при отдельных значениях r/s. Одним из приведенных значений было число r/s = —7/30, которое и давало следующую оценку: ^(log(37/30)) ^ 619.5803....

Отметим также, что для получения новой оценки оптимальные параметры интегральной конструкции вычислялись с помощью разработанной автором компьютерной программы, использующей вычисления Mathcad.

Ключевые слова: диофантовы приближения, мера иррациональности, метод перевала.

THE ESTIMATE OF THE IRRATIONALITY

37

MEASURE OF NUMBER log —

6 30

M. Yu. Luchin

Abstract

Lower estimates of the irrationality measure of logarithms of rational numbers considered by many foreign authors: M. Waldschmidt [1], A. Baker and G. Wustholz [2], A. Heimonen, T. Matala-aho, K. Vaananen [3], Q. Wu [4], G. Rhin [5] and P. Toffin [6]. In their works they used various integral constructions, giving small linear forms from logarithms and other numbers, calculated asymptotic of integrals and coefficients of the linear forms using the saddle point method, Laplace theorem, evaluated the denominator coefficients of the linear forms using various schemes "reduction of prime numbers". Review of some methods from the theory of diophantine approximation of logarithms of rational numbers at that time was introduced in 2004 by V. Zudilin [7].

Then V. Kh. Salikhov in [8] considerably improved estimate of the irrationality measure of log 3, based on the same asymptotic methods, but used a new type of integral construction, which has property of symmetry. Subsequently, V. Kh. Salikhov due to usage of already complex symmetrized integral improved estimate of the irrationality measures of п [9]. In the future, this method (as applied to diophantine approximation of logarithms of rational numbers) was developed by his pupils: E. S. Zolotuhina [10, 11], M. Yu. Luchin [12, 13], E. B. Tomashevskaya [14]. It led to improvement estimates of the irrationality measure following numbers: ^(log(5/3)) ^ 5.512... [14], ^(log(8/5)) < 5.9897... [12], ^(log(7/5)) ^ 4.865... [14], ^(log(9/7)) ^ 3.6455... [10], ^(log(7/4)) <

8.1004... [13].

In this paper due to usage the symmetrized real integral we obtain a new estimate of the irrationality measure of

т = log (37/30), ^(т) < 65.3358.

First time estimate of the irrationality measure of log (37/30) was received in 1993 by A. Heimonen, T. Matala-aho, K. Vaananen [1]. In their work they

received a common criterion that allows to evaluate irrationality measure of numbers of the form log(1 — (r/s)), where r/s € [-1, 1) (r, s € N). As an example, they led a table with the resulting estimates at some values r/s. One of these values was the number r/s = —7/30, which gave following estimate: ^(log (37/30)) ^ 619.5803... We also note, that for obtain a new estimate the optimal parameters of integral construction were calculated using the developed by the author of a computer program, which uses the Mathcad calculations.

Keywords: diophantine approximations, irrationality measure, saddle point method.

1. Введение

Напомним, что мерой иррациональности ^(т) вещественного числа т называется нижняя грань множества чисел А, для которых, начиная с некоторого положительного д ^ д0(А), выполняется неравенство

Р

т----

^ q х, p Є Z, q Є N.

Отметим, что оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими авторами: Heimonen A., Matala-aho T., Vaananen K. [1], Rhin G. и Toffin P. [2], Wu Q. [3], Золотухина Е. С. [4]. А оценку меры иррациональности числа log первоначально получили в 1993 году К. Ваананен, А. Хеймонен и Т. Матала-ахо [1]. В своей работе они вывели общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности чисел вида log(1 — (r/s)), где r/s G [— 1,1) (r, s G N). В качестве примера, они привели таблицу с полученными оценками при отдельных значениях r/s. Одним из приведенных значений было число r/s = —7/30, которое и давало следующую оценку:

q

(37/30)) ^ 619.5803...

Целью данной работы является получение новой оценки меры иррациональности числа log(37/30): ^(^ (37/30)) < 65.3358. Отметим, что в приведенном ниже доказательстве используется метод симметризованных интегралов, впервые введенный В. Х. Салиховым [8]. Построение доказательства проводится аналогично приведенному в работе [13] при улучшении оценки меры иррациональности числа log(7/4), однако здесь мы применяем другой интеграл.

Теорема 1. Пусть р, д С N д ^ д0, где д0 - достаточно большое число. Тогда:

37 р 30 q

1

>

q65.3358

2. Доказательство теоремы 1.

Для доказательства теоремы рассмотрим следующий интеграл:

110

J _ J ^(х - 99)“зга(х - 100)“2га(х - 105)“1га(х - 110)“2il(x - 111)“зга^ ^

99

110

/(79x2 - 16590x + 870240)“4П\

х ----------;--------г— --------- ) ах = щх)ах,

V (210 — x)n+l ) J

99

где n - таково, что все an G N, n ^ +to, a1n - четно, a1 = 0.9, a2 = a3 = 0.55, a4 = 0.45.

Подынтегральная функция R(x) в (1) обладает свойством симметрии, а именно

R(210 — x) = R(x).

Разложение рациональной функции R(x) в сумму простейших дробей имеет вид

Д

V ; ; \хз

где все cj G Q, j = 1, 2,..., n + 1, P(x) G Z[x], deg P(x) = (a1 + 2a2 + 2a3 + 2a4)n —

2n — 2 = 2n — 2.

2n-2

P

v=0

Лемма 1. Справедливы следующие представления для коэффициентов разложения cj из (2):

с, = 37^-1 . ц0-1п+]-1 . 7-0.2п+^-2  52^-3  з2^-3 , 22.?-3 . Д,

где Д С Z, = 1, 2,...,п + 1.

Доказательство. Обозначим Ик (/(ж)) = ———. Согласно формуле диф-

к!

ференцирования Лейбница для любых функций и2, ..., иг, аналитичных в

точке х=0,

^к (и1 ' и2 ' ... ' иг) ^ ^ (и1) ' ^к2 (и2) ' ... ' ^кг (иг).

к1+к2 + ...+кг=к,

кг ^0

Следовательно из (1) имеем

ву = Бга+і— (Я(ж)  жга+1) =

= ^ Бк1 (х - 99)“зга  Бк2 (х - 100)“2га  Бкз (х - 105)“1га  Бкі (х - 110)“2га-

к

•Бкб(х - 111)“зга  Бк6(79х2 - 16590х + 870240)“4га  Вк1 (210 - х)-п-1,

где к = (к\, кэ,кт), кі,к^ ^ азгп, к2,к^ ^ аэ'п, кз ^ а\п, кц ^ 2а4?г, + к2 +

... + к7 = п +1 - і.

Далее докажем, что

«1+«2+«з=«4га

8і>0

где ^ 4 }'  7951+'52 • (—І)52 • 22,53 Є Ъ. Имеем

зі!з2ізз!

1, 1

251 + З2 = к6 ^)в1^2кб~ Ґ2

^1 + ^2 + ^з — I 1 т 1 ^ т

I 53 = аАП ~ 2 _ 252 ^ аАП ~ 6'

Из (6) получим

Бк6 (79х2 - 16590х + 870240)“4га =

= X] V

«1+«2+«3=«4П

8і>0

Далее:

11

52 + 53 — ~ -кб + 2^2 ^ ~

-кб

2 6

Окб(79х2 - 16590ж + 870240)“4™ =?ЛаАП~к&  72а4П~кв • б“4™4^1 • 3“4«-[§М.

•23“4га-2кб  V, где V Є Z.

Согласно формуле бинома Ньютона:

(79х2 - 16590х + 870240)“4”- =

= X (^)!, . (79Ж2)"1 . (-16590ж)'2 • (870240)'3 =

«1+«2+«3=«4П 5і'^2'^3'

8і^0

= X V

^2 + 2^з — 2&4П — кб.

&2 З^з —

Таким образом из (7), (8), (9) и (10) следует утверждение (5).

С учетом (5) получим

£. ^ ' д_ . дд“з«-—^1 . \0()а2П~. Ю5а1га— кз  ПО“2™-*14 • ^6.

^2(14«,— &6 р-а4Г1_ [1Д;6] 2а4Т1_[1д;6] 23а4»г—2йб 210_ Т7^

где

к1+к2+...+кБ

П

г=1

а^п

к;'

(п+1)  (п + 2)  ... • (п + &7) Ы

В итоге получим

с. = ^ А37^ • П^2 • 7Мз • 5^4 • 3Мб  2Мб -V . к

Причем:

N = а3п — к5 + а4п — к6 = п — (к5 + к6) ^ п — (п +1 — ^) = — 1.

N2 = а3п — к1 + а2п — к4 = 1.1п — (к1 + к4) ^ 1.1п — (п + 1 — ]) = 0.1п + ] — 1. N = а1п — к3 + 2а4п — к6 — п — 1 — к7 =

= 0.8п — 1 — (к3 + к6 + к7) ^ 0.8п — 1 — (п +1 — ^) = —0.2п + ^ — 2.

N = 2а2п — 2к2 + а1п — к3 + а2п — к4 + а4п —

— п — 1 — к7

2п — 1 — (2к2 + кз + ^4 +

5*6

+ ^7) ^ 2п — 1 — 2(п +1 — ]) = 2^ — 3.

N5 — 2азп — 2^1 + а^п — кз + азп — к5 + о^п —

5**

— п — 1 — к7

2п — 1 — (2^1 + кз + ^5 +

+ к7) ^ 2п — 1 — 2(п +1 — ^) = 2^' — 3.

N6 — 2а2п — 2к2 + а2п — ^4 + 3а4п — 2кб — п — 1 — к>7 —

= 2п — 1 — (2к2 + к4 + 2к6 + к7) ^ 2п — 1 — 2(п +1 — ) = 2^' — 3.

Но тогда из (11) следует (4), и лемма доказана.

Далее установим некоторые арифметические свойства коэффициентов 6^ в разложении

2га— 2

Р(х) = 6^(х — 99)^, все 6^ € ^.

^=0

Следующая лемма аналогична лемме 2.10, доказанной Е. С. Золотухиной [10]. Отметим также, что подобная конструкция была применена В. Х. Салиховым при улучшении оценки меры иррациональности числа п [9].

Лемма 2. Для коэффициентов 6^ из (12) справедливо представление вида:

К = 11°Лга-*-1М1/, где Ыу Є Z, V ^ 0.1п - 1.

Доказательство. Очевидно, что для подынтегральной функции Я(х) справедливо разложение вида:

ГО

^

^=аэп

где х принадлежит некоторой окрестности с центром в точке 99. Далее при І = 1,..., п + 1 имеем

1 = 99-1 £ МГ4л, _

х? ^99^

^=°

1 И

- - - -з \ Л

(210 — х)? ¿=° 111

і(і +1)-0 + Ч , г,

где а„4 =---------------;-----------є А

V!

Значит, согласно (2), (12) и (13) получим

2га—2 га+1

ВД - X Ь^Х ~ + X ^7 X “ 99^ ~(х ~ 99)1/+

^=° ?=1 ^=°

п+1 оо 1

С? X ^

+£ 7^7 £££<*-«Г. (“>

111? ^ 11Р ;=1 ^=°

Из (13) и (14) для V = 0,..., 0.1п — 1 следует, что

(НГ + .

у 99й+з 111^

.7=1

Согласно (4) имеем

с,- = П0-1^-1 • Где М, € 2, ^ € Н,

Таким образом, учитывая, что 6^ € ^, имеем из (15) и (16) требуемое в лемме

2 представление для коэффициентов 6^.

Лемма 3. Справедливо следующее представление интеграла (1) в виде линейной формы:

37

1=3- 210 • 1Г0Лга • 70'2™  д2п = А-1оё— + В, где дт = НОК(1, 2,..., т) для т € М, А = д2га  210  с1  11-0Лга  70-2га, А, В € ^.

Доказательство. Из (3) и (12) получим 110 110 Л0 = P(x)dx = / I 'S (x —

Т р /2га—2 \ аы-1 +1 2га-2 ^+1

P{x)dx = / I X ) dx = X &гУ ' ^ I 1 + X &гУ ' ^ I 1'

gg gg \v=0 / v=0 V + v=0.1n V +

Из леммы 2 следует, что 11 0Лга  6^  11^+1 € Ъ, V = 0, ..., 0.1п — 1. При V ^ 0.1п:

11-0'1га  6^  11^+1 € Ъ, так как 6^ € Ъ.

Далее д2п. •------- £ так как V + 1 < 2гг. Поэтому 11_0Лга . д2га  А0 Е

V +1 При 3 = 1

110

Л1 = С1 / ( “ + 77ТТ7Г---------------^ ) = С11о§ Х

gg

x (210 — x) / \ 210 — x

110 П 37 = ci bg—.

gg 30

Из (4) имеем, что c1  210  11-0-1n  7a2n G Z. При j ^ 2

110

1 1 \ с,- /1 1 \ 110

gg

------ --- —

^j Cj ^ ^х-7 (210 — х)-7) j — 1 \xj_1 (210 — х)-7-1

gg

1 111

------ ------------ — ------- —

j - 1 \2^~1 • 5-7“1 • IV-1 22?-2 • б2-7“2 З2-7“2 • IV-1 + З-7“1 • 37-7“1) '

Поскольку ,^2п Е М, так как j — 1 Е {1,2,..., гг}, то используя (4) получим, что

3 — 1

Л,  210

11-0'1га- 52га € Ъ.

В итоге из (1) и (2) окончательно получим

3 = 210  11-01га  7°-2га  52га  Л0+

га+1

37

+210 • 11-0Лга • 70'2™ • д2п • V А, + 210 • 11-0Лга • 7а2га • д2п • Cl • log —

30

j=2

где j G Z, и лемма 3 доказана.

В основе дальнейших рассуждений лежит следующая лемма, доказанная М. Хата [15].

Лемма 4. Пусть 0 G R, 0— иррационально, en = qn0 — pn, qn, pn G Z; lim sup — log |era| ^ —r, lim sup — log \qn\ = a.

n^x n n^x n

Тогда /х(0) ^ 1 + —.

T

cj

37

Применим лемму 4 для чисел: 0 = log —, £п = J, qn = А, рп = В. Асимпто-

30

р 110

тику интеграла / R(x)dx несложно вычислить с помощью теоремы Лапласа,

J99

а асимптотику с помощью метода перевала.

Рассмотрим следующую функцию (см. (1)):

/(x) =

(x-99 )“3 (x -100)“2 (x-105)“1 (x-110)“2 (x-111)“3 (79x2 - 16590x + 870240)“4

x

Пусть t = (x — 105)2. Тогда:

Úai(t - 25)“2(í - 36)“3(79í - 735)c

/(x) = g(t) =

11025 t

Найдем нули g;(t), отличные от нулей g(t). В результате получим, что ti w 3.670692, t2 w 16.3451, t3 w 31.428361, t4 w 22031.122936. Тогда: т = -2 + 0.1  log 11 - 0.2  log7 - log(max(|g(ti)|, |g(t2)|, |д(*з)|)) w 0.23017. a = 2 - 0.1 - log 11 + 0.2-log7 + log(|g(t4)|) w 14.808146.

По лемме 4 //(0) ^ 1 H------~ 65.3357. Следовательно ¡і ( log — ) < 65.3358 и

т г V 30

теорема 1 доказана.

3. Заключение

В данной работе было доказано, что мера иррациональности числа log(37/30) составляет: ^(log (37/30)) < 65.3358. Отметим также, что подбор оптимальных степеней ai, a2, a3 и a4 в интеграле (1) осуществлялся специально разработанной автором компьютерной программой, использующей вычисления Mathcad.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю

В. Х. Салихову за многочисленные советы и помощь в работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waldschmidt M. Minorations de combinaisons linéaires de logarithmes de nombres algebriques // Can. J. Math. 1993. Vol. 45. №1. P. 176-224.

2. Baker A., WUstholz G. Logarithmic forms and group varieties // J. Reine Angew. Math. 1993. Vol.442. P.19-62.

3. Heimonen A., Matala-aho T., Vaananen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. №1. P. 183-202.

4. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72. №242. P. 901-911.

5. Rhin G. Approximants de Pade et mesures effectives d’irrationalite, Seminaire de Theorie des Nombres (Paris 1985-86) // Progress in Math. 1987. Vol. 71 P. 155-164.

6. Rhin G., Toffin P. Approximants de Pade simultanes de logarithmes // J. Number Theory. 1986. Vol. 24. P. 284-297.

7. Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности п и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5. №2. С. 49-65.

8. Салихов В. Х. О мере иррациональности ln3 // ДАН РФ. 2007. Т. 417, №6.

С. 753-755.

9. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа п // Математические заметки . 2010. Т. 88, №4. С. 583-593.

10. Золотухина Е.С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.

11. Сальникова Е.С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей Q и Q(Vd) // Фундам. и прикл. математика. 2010. Т. 16, №6. С. 139-155.

12. Лучин М.Ю. О диофантовых приближениях некоторых логарифмов // Вестник Брянского государственного университета. 2012. №4(2). С. 2228.

13. Лучин М.Ю. Оценка меры иррациональности числа 1п| // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14. №2. С. 123-131.

14. Томашевская Е.Б. О диофантовых приближениях значений функции log x // Фундам. и прикл. математика. 2010. Т. 16 №6. С. 157-166.

15. Hata M. Rational approximations to п and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. 63. №4. P. 335-349.

Брянский государственный технический университет

Поступило 16.02.2014