Математическая модель резервирующей системы и оптимизация ее работы

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 519.8 А. П. Нырков,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;

Т. В. Дмитриева,

аспирант,

Котласский филиал ФГОУ ВПО «СПГУВК»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЕЕ РАБОТЫ

MATHEMATICAL MODEL OF THE RESERVING SYSTEM AND THE OPTIMIZATION OF ITS WORK

В статье представлено описание и математическая модель обслуживающих систем, способных резервировать поступающие в них заявки на обслуживание с точки зрения теории массового обслуживания, а также предложены пути оптимизации таких систем и повышения эффективности их работы.

The article represents the description and mathematical model of service systems which are able to reserve the incoming service applications from the point of view of the theory of mass service. Also the ways of optimization of such systems and the increase of their efficiency have been suggested.

Ключевые слова: обслуживающая система, резервирующая система, математическая модель системы, фазы обслуживания, резервирующая модель речного порта, сезонность, потоки требований (заявок), оптимизация.

Key words: service system, reserving system, mathematical model of the system, service phases, reserving model of the river port, seasonal prevalence, flow of applications, optimization.

CM

*

U

m

©

АССМОТРИМ математическую модель особого класса обслуживающих систем, способных резервировать поступающие требования на обслуживание. К такому типу систем относится, например, речной порт Европейского Севера России, который в зависимости от сезона (период навигации и межнавигационный период) имеет принципиальные отличия в формах организации своей работы. В связи с сезонностью работ, выполняемых с участием водного транспорта, возникает необходимость направлять работу порта не только на удовлетворение запросов по оказанию определенных транспортных услуг в настоящее время, но и позаботиться о возможности получать доход в межнавигационные периоды. Для этого необходимо планировать работу по заготовке грузов, требуемых круглогодично.

Подобные системы должны включать в себя по крайней мере две обслуживающие

фазы. Пусть входящий в систему поток требований подчинен некоторому закону распределения с интенсивностью ^( ^ ). На первой фазе обслуживания обработкой требований заняты п каналов обслуживания, которые в результате своей работы формируют с интенсивностью ц;( ^ ) промежуточный резерв заявок, ожидающих дальнейшей обработки каналами второй фазы системы.

На второй фазе системы работает п2 обслуживающих канала, которые обрабатывают поток требований интенсивностью Х2( ^). В результате работы второй фазы системы формируется выходящий поток обслуженных требований интенсивностью ц2(0.

В результате работы первой фазы система формирует промежуточный пункт пребывания (резерв) частично обслуженных требований. Так, например, в речном грузовом порту в качестве входящего потока требований можно рассмотреть прибывающий

а) Период навигации

б) Межнавигационный период

Рис. 1. Схема работы перегрузочного комплекса речного порта с учетом сезонности

поток судов, доставляющих некий груз О. На первой фазе обслуживания груз О перемещается с судов на территорию порта (склад) до возникновения необходимости в отгрузке его непосредственно потребителям. Таким образом, формируется резерв груза О и имеется возможность для функционирования второй фазы системы обслуживания (рис. 1).

В случае бездействия первой фазы (меж-навигационный период) пополнение резерва прекращается и обслуживание на второй фазе (отгрузка потребителю груза О) возможно только за счет накоплений в резерве.

Для упрощения расчетов предположим, что входящий в систему поток требований на обслуживание является простейшим с интенсивностью Х1. Продолжительность обслуживания одного требования есть величина случайная, распределенная по экспоненциальному закону с параметром ц1. На первой фазе системы работает в среднем щ каналов обслуживания, которые формируют резерв с интенсивностью ц1  пу Требования, поступившие в момент, когда обслуживанием заняты все каналы первой фазы, встают в очередь.

Предельные вероятности состояний системы на первой фазе обслуживания могут быть найдены как для многоканальной системы с неограниченной очередью по формулам

ак ---

рк=-^'р» к=\,щ;

а"1+'"1

Рщ+т, = щ | ’^0» т\ = 1» 25 3,...,

щ 1 • т1!

г

Ро =

, а2 а”1 а"1+1

1 + к н----------ь... н----------ь

4-1

2! /і1! и^^-а)

Здесь Рк — вероятность того, что в системе находится к заявок на обслуживание; т — число заявок в очереди, ожидающих обслуживания каналами первой фазы системы;

а = — — приведенная интенсивность потока

И'і

заявок на первой фазе.

Основные параметры фазы I могут быть найдены из следующих соотношений:

— относительная пропускная способность: g1 = 1, так как все поступающие в систему требования рано или поздно будут обслужены;

— абсолютная пропускная способность:

Аі = *1 £ =

— среднее число требований в очереди:

- а"1+1

Щ =-----------------Т • •'п;

Л,-Л, 1

ГёЛ

Выпуск 2

Выпуск 2

- щ

— среднее время ожидания: toX = —

К

— среднее число занятых каналов:

- А ^

П1= °1'

Все эти формулы имеют смысл только тогда, когда выполняется соотношение:

— < 1. В этом случае очередь не будет расти «1

бесконечно и существует установившийся режим работы первой фазы системы.

Рассмотрим работу второй фазы обслуживающей системы. Работа каналов второй фазы возможна лишь тогда, когда имеется заявка, обслуженная первой фазой и находящаяся «в резерве». Если такой заявки нет, то каналы второй фазы обслуживания простаивают, а вместе с ними в состоянии ожидания находятся «потребители», получающие заявки на выходе системы.

Заметим, что в системах, аналогичных речному порту, на заключительной фазе обслуживания входящим будет иной поток требований. Так, в речном порту, где на заключительной фазе происходит отгрузка некого груза О с территории склада, входящим потоком будут прибывающие от потребителя единицы автомобильного и железнодорожного транспорта. Поэтому в случае отсутствия резерва груза потребители получают отказ в обслуживании, погрузчики простаивают и порт не получает доход от реализации груза О. Это значит, что подобная ситуация невыгодна всей системе и время пребывания с нулевым резервом необходимо свести к минимуму.

При наличии резерва фаза II может быть рассмотрена аналогично фазе I как многоканальная система с ожиданием со своими параметрами и соответствующими характеристиками.

Пусть поток требований на обслуживание (получение груза) распределен по закону |Ц Пуассона и ^2 — среднее количество груза в сутки, необходимое потребителю. Продолжительность обслуживания для каждого из п2 каналов есть величина случайная, распре -деленная по экспоненциальному закону с параметром ц2. Тогда параметры второй фазы

100^

системы могут быть найдены аналогично подобным параметрам фазы I.

Вероятности состояний фазы II:

Г

р =—р

г . -М)’

г!

г = 1,п2;

ЗЙ2+т2

п2^-т2\ 0

Р0, т2= 1,2,3,...;

Р0 =

' о2 р »2 р^+1 N

1 + В + —+ ...+ —+ —9-----------------

2! п2! п2\

Здесь Р — вероятность того, что во второй фазе системы находится г заявок на обслуживание; т2 — число заявок в очереди, ожидающих обслуживания каналами второй

фазы системы; р=^- — приведенная интен-

И'г

сивность потока заявок на второй фазе.

Относительные параметры фазы II могут быть найдены из следующих соотношений:

— относительная пропускная способность: g2 = 1, так как все поступающие в систему требования рано или поздно будут обслужены;

— абсолютная пропускная способность:

А2 = *2;

/я, =

— среднее число требований в очереди:

Р"2+1 0

2 О?

- /И,

— среднее время ожидания: ґо2 = ;

Х2

среднее число занятых каналов:

П2 ^2.

Все эти формулы имеют смысл только тогда, когда выполняется соотношение:

^-<1. В этом случае очередь не будет расти «2

бесконечно и существует установившийся режим работы второй фазы системы.

Рассмотрим способ оптимизации резервирующей системы. Для первой и второй фаз резервирующей системы возможны потери от ожидания обслуживания. Потери от ожидания обслуживания могут проявляться различным образом: штраф и пени за то, что

требование не поступило вовремя на канал обслуживания; дополнительные текущие затраты; потери качества продукции; удорожание технологии; уменьшение объема производимой продукции и т. д.

Если в качестве критерия принять суммарные потери системы в единицу времени, то одна из возможных постановок частной оптимизационной задачи будет такой: определить число каналов обслуживания, при котором суммарные потери от простоев в единицу времени минимальны:

С = Х(С0,-^+Срг,-«рг,):

I

где Со — потери от ожидания в очереди, приходящиеся на одно требование в единицу времени на 7-й фазе обслуживания; С — потери от простоя каналов 7-й фазы, приходящиеся на один канал обслуживания в единицу времени; !И,- — среднее число требований в очереди на

7-й фазе обслуживания; п^.— среднее число простаивающих каналов обслуживания на 7-й фазе обслуживания, вычисляемое по формуле

п =п—п

рг.1 вшI I-

Таким образом, одним из путей повышения эффективности работы резервирующих систем является отыскание такого количества обслуживающих каналов для каждой фазы системы, чтобы соотношение среднего числа требований, ожидающих обслуживания в очереди, и среднего числа незанятых каналов, простаивающих из-за отсутствия заявок на обслуживание, было оптимальным. Кроме того, необходимо учитывать, что в случае отсутствия резерва между первой и второй фазами обслуживания система также терпит убытки из-за простоя каналов второй фазы и необходимостью давать отказ на обслуживание требований, поступающих на вторую фазу системы.

Список литературы

1. Алехин М. Ю. Применение теории массового обслуживания для решения производственных задач / М. Ю. Алехин [и др.]. — Л.: ЛКИ, 1989.

2. Волков И. К. Случайные процессы: учеб. для вузов / И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цветкова; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2000. — 448 с.

3. Савин В. И. Математические методы оптимального планирования работы флота и портов / В. И. Савин. — М.: Транспорт, 1969. — 168 с.

4. Джейсуол Н. Очереди с приоритетами / Н. Джейсуол; пер. с англ. И. С. Нефедовой и В. С. Манусевича; под ред. В. В. Калашникова. — М.: Мир, 1973. — 280 с.

5. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2002. — 407 с.

Выпуск 2