Моделирование процесса накопления и диссипации энергии при пластическом деформировании металлов

УДК 517.958:539.3

Моделирование процесса накопления и диссипации энергии при пластическом деформировании металлов

А.А. Костина, Ю.В. Баяндин, О.А. Плехов

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия

Работа посвящена разработке теоретической модели накопления и диссипации энергии в металлах в процессе их пластического деформирования. Модель построена на основе развития статистического описания эволюции ансамбля мезодефектов с целью учета тензорных свойств появляющихся дефектов и адаптирована для использования в стандартных конечно-элементных пакетах. Возможности полученных определяющих соотношений продемонстрированы при решении задачи о балансе энергии в процессе пластического деформирования стали 03Х18Н11. Проведен расчет доли накопленной энергии в процессе квазистатического растяжения, рассчитаны максимальные величины энергии, накопленной в материале в процессе деформирования, получена связь между скоростью накопления энергии и коэффициентом упрочнения. Результаты численного моделирования имеют хорошее количественное совпадение с экспериментальными данными.

Ключевые слова: пластическая деформация, мезоскопические дефекты, накопление и диссипация энергии

Model of energy accumulation and dissipation in plastically deformed metals

A.A. Kostina, Yu.V. Bayandin, and O.A. Plekhov

Institute of Continuous Media Mechanics, UrB RAS, Perm, 614013, Russia

The work is aimed at developing a theoretical model of energy accumulation and dissipation in metals under plastic deformation. The model is based on statistic description of evolution of a mesodefect ensemble to account for tensor properties of arising defects and is adapted for use in standard finite element packages. The capabilities of derived constitutive relations are demonstrated by solving an energy balance problem for plastically deformed 03Cr18Ni11 steel. The portion of energy accumulated under quasistatic tension and the maximum accumulated energy in the deformed material are calculated. A relation between the energy accumulation rate and the hardening coefficient is derived. The numerical simulation results agree well with experimental data.

Keywords: plastic strain, mesoscopic defects, energy accumulation and dissipation

1. Введение

В настоящее время хорошо известно, что реальные металлы обладают сложным структурным строением, представляющим собой иерархию различных масштабных уровней [1, 2]. В процессе нагружения в твердом теле изменение структуры материала происходит на всех масштабных уровнях и приводит к развитию необратимой деформации и разрушению. Развитие необратимой деформации в материале сопровождается процессами накопления и диссипации энергии. Теоретическое и экспериментальное исследование термодинамики пластического деформирования имеет длинную историю. Впервые в 1779 г. J.H. Lambert отметил подобие механического и термического процессов разрушения твердых тел. Суть этого замечания заключалась в том, что механическое разрушение металлов наблю-

дается в случае, если относительная деформация по крайней мере в одном направлении достигает значения, равного линейному тепловому расширению при температуре плавления. Развитие термодинамических принципов описания процессов деформирования и разрушения было предложено в работах В.С. Ивановой [3], В.Т. Трощенко [4], В.Е. Панина [1].

Детальный анализ термодинамических эффектов, сопровождающих циклическое деформирование и разрушения металлов, был выполнен в [5]. Было показано, что термодинамические характеристики процесса деформирования (скорость генерации тепла, изменение температуры, скорость накопления энергии) могут использоваться при построении критериев разрушения материала и оценке его прочностных характеристик. Одним из основных результатов данной работы являет-

© Костина A.A., Баяндин Ю.В., Плехов O.A., 2014

ся то, что наиболее адекватным параметром с точки зрения построения критериальных соотношений, описывающих процесс разрушения материала, является величина энергии, накопленной в материале в процессе деформирования.

При деформировании металла механическая энергия, затраченная на формоизменение образца, преобразуется в тепловую энергию, генерируемую процессами движения и аннигиляции дефектов различных структурных уровней, и накопленную энергию пластической деформации, аккумулированной в упругих полях дефектов.

Одной из первых и наиболее цитируемых работ, посвященных изучению процесса накопления энергии в металлах, является [6]. В работе было показано, что отношение накопленной энергии к пластической работе при деформировании поликристаллической меди при различных условиях деформирования не превышает 5% от величины полной пластической работы. Однако современные экспериментальные работы (например [79]) показали, что это отношение существенно зависит от состояния материала, скорости и интенсивности деформации. Обзор экспериментальных исследований, посвященных определению величины и скорости накопленной энергии, для различных материалов, скоростей, температур и интенсивностей можно найти в [7]. В настоящее время было показано, что отношение скорости накопления энергии к скорости пластической работы может достигать величины 0.3-0.4 на начальной стадии пластической деформации [10].

Построение модели баланса энергии и расчет доли накопленной энергии представляет интерес при исследовании различных явлений, сопровождающих процесс пластического деформирования и разрушения деформирования, например прогнозирование момента образования локализованных полос сдвига, возникновения шейки и других видов неустойчивостей процесса деформирования. Одним из возможных вариантов построения модели [11, 12] является попытка оценить значение накопленной энергии, используя зависимость, описывающую напряженно-деформированное состояние материала. В работе [13] показано, что таким способом может быть получена только часть накопленной энергии, связанная с неоднородными пластическими деформациями. В [14] накопленная энергия вычисляется с использованием дискретной дислокационной модели пластичности, которая напрямую позволяет вычислить накопленную энергию как разность между внутренней энергией, связанной с дислокационной структурой в текущем и в начальном состоянии. Работы [15, 16] связаны с подходом, использующим внутренние переменные. Авторами предполагается, что энергия пластической деформации является функцией только внутренних переменных.

Анализ существующих теоретических попыток описания баланса энергии в материале в процессе пластического деформирования позволяет сделать вывод о том, что накопленная энергия возникает в материале вследствие эволюции дефектов различных структурных уровней и для ее адекватного описания в процессе деформирования необходимо получить определяющие соотношения, описывающие эволюцию структурных дефектов материала.

В настоящей работе предложено развитие статистической модели эволюции дефектов [17-19], в рамках которой эволюция ансамбля дефектов в материале моделируется с помощью внутренней полевой переменной, представляющей собой плотность дефектов и совпадающей по смыслу с дополнительной деформацией, обусловленной возникновением и ростом дефектов. Эффективность полученных определяющих соотношений показана при расчете процесса квазистатического деформирования образца из стали 03Х18Н11 в пакете Abaqus.

2. Математическая модель эволюции дефектов при пластической деформации

Мезоскопические дефекты (микросдвиги) могут быть описаны с помощью симметричного тензора имеющего вид [17]:

£ = 1/2 5 (п1 + 1п), где п — единичный вектор нормали к основанию дефекта; 1 — единичный вектор в направлении сдвига; 51 — интенсивность сдвига.

Макроскопический тензор, характеризующий объемную концентрацию и ориентацию дефектов, может быть вычислен путем осреднения тензора £ по элементарному объему:

Р = п{ £),

где п — число дефектов в единице объема.

Используя результаты статистической обработки дефектов [17], функция распределения дефектов по размерам и ориентациям может быть представлена в следующей форме:

W = г _1ехр(- Е/ 9), где Е — энергия дефекта; Z — нормирующий множитель; 9 — эффективный температурный фактор, отвечающий за восприимчивость системы.

Энергию дефекта с точностью до постоянного слагаемого Е0 можно записать в виде:

Е - Е0 = -Н: £ + а2.

Квадратичный член представляет собой собственную энергию дефекта, параметр а характеризует восприимчивость среды к образованию. Слагаемое Н : £ описывает взаимодействие между дефектами и с внешним полем напряжений а:

Н = уо + Хр,

где у, X — константы взаимодействия, определяемые параметрами среды.

Процедура осреднения позволяет получить уравнение самосогласования для определения тензора, описывающего объемную концентрацию и ориентацию дефектов:

р = N / ¡Ж

Решение уравнения (1) для случая чистого сдвига представлено в [17]. Основываясь на данных результатах, мы можем сформулировать модель, описывающую эволюцию дефектов и баланс энергии в материале в процессе пластического деформирования. Допустим, что полная скорость деформации складывается из скорости упругой ёе, пластической ёр и структурной р деформаций, тогда справедливо соотношение:

ё = ёе + ёр + р. (2) Упругие деформации подчиняются закону Гука:

где К — изотропный упругий модуль; G — упругий модуль сдвига; ст0 — шаровая часть тензора напряжений; стё — девиаторная часть тензора напряжений; е0 — шаровая часть тензора упругой деформации; ё й — девиаторная часть тензора упругой деформации. Из термодинамики известно [20]:

ö0 - Кё0> öd - 2G£d,

ö: ё-p( F + TS) - q ~ > 0,

где F = е - TS — свободная энергия; е — внутренняя энергия; Т — температура; S — энтропия; ст — тензор напряжений; ё — тензор деформаций; р — плотность; q — вектор теплового потока.

Ключевым вопросом при построении модели является выбор независимых термодинамических переменных, описывающих эволюцию структуры материала в процессе деформирования. Предположим, что свободная энергия является функцией от температуры, упругой и структурной деформаций:

F = F(Т, ёе, р), тогда производная свободной энергии по времени имеет вид:

• дF % е + дF & + дF

F =-: ё + —: р +--Т

дёе др Р дТ К '

и выражение (5) с учетом (2) и (6) может быть записано как

(ст-р—): ёе-р(5 + — )• Т + ст: ёр +

V ндёе дТ'

„ & dF & + ö: Р: Р-q- — >0 dp T

Условие справедливости неравенства (7) для любых значений температуры и упругой деформации позволяет получить классические соотношения для определения упругой деформации и энтропии:

dF

ö-рэг, s --dF.

dT

Используя уравнения (8), (9) и соотношение (7), дис-сипативное неравенство может быть записано в виде:

dF

VT .

ö: ёр + (er -р—т): p - q--> 0.

др' 1 * Т Для термодинамического процесса, определяемого соотношением (10), величины %р, р представляют собой термодинамические потоки, ст, ст-рдF|др — соответствующие им силы. Согласно принципу Онзагера [20], из соотношения (10) можно получить квазилинейные соотношения между потоками и силами в следующей форме:

( дF Л

ёp -Г„ст + Г

Р-г

pö

dF} ö-р_г dp

ст-р——

dp

+ Гра0,

где Гст, Грст, Гр — кинетические коэффициенты, на которые накладываются следующие ограничения:

г > 0 Г > 0 Г > 0 г г -г2 > 0

* ст — °> * рст — р — 1 стА р рст —

Уравнения (11) и (12) определяют кинетику пластической деформации и деформации, обусловленной дефектами.

Используя гипотезу соосности тензоров р и ст, для термодинамической силы ст -дF/др можно записать выражение:

ö--

dF dp

8

L V

ö + P_

2Göc Pc

л ( (i„n

f

V v

p

Pc

Pc+1

л

p

p

Pc

где стс, рс — масштабные коэффициенты; |р| — интенсивность тензора деформации, обусловленной дефектами. Примем, что f— степенная функция параметра р| для моделирования нелинейного упрочнения:

f

Kpc J

- k

Kpc J

, k = const,

где k — масштабный множитель; а — показатель степени.

Запишем кинетические коэффициенты в виде: 1 1

Г=-

Г p -

(

1 + exp

I ст | -5,

1

V

1

p 1 + exp---

v

a2

/

Г pö- 1

' pö'

где тст, тр , трст — характерные времена релаксации; |ст| — интенсивность тензора напряжений; Бс — пара-

Рис. 1. Зависимость напряжения от деформации: • — экспериментальные данные, кривая — численные результаты

Рис. 2. Зависимость работы пластической деформации Wp, накопленной энергии Е8 и выделенного тепла Q от деформации

метр материала; 5у — предел текучести материала, а1, а2 — нормирующие множители; функция Н(|а | р 8, рс) может быть рассмотрена как «степень неравновесности системы»:

Таким образом, замкнутая система уравнений, описывающая процесс пластического деформирования материала, состоит из соотношений (2)-(4), (11), (12), выражения (13) и кинетических коэффициентов (14)-( 16).

Для расчета изменения температуры образца в процессе деформирования запишем первый закон термодинамики в виде:

pe = G: 8 + V- q + r,

где г — мощность источника тепла.

Используя стандартный формализм термодинамики и соотношения (2), (8), (9), соотношение (17) может быть записано в виде:

+ Г + <е + < = -рсТ,

где источник тепла, связанный с термоупругим эффектом,

<<е = Т^ : Iе,

дТ

неупругий вклад в генерацию тепла 'дF д 2 F

< = а:(1р + Р)-р

удельная теплоемкость .д 2 F

dp dTdp

:p>

с = T-

дТ

Уравнение энергетического баланса содержит слагаемое, связанное с выделением тепла при упругой (обратимой) деформации, и слагаемое, отвечающее за выделение тепла при необратимой деформации. Часть работы пластической деформации переходит в тепло, а оставшаяся накапливается в материале.

Введем величину скорости пластической деформации:

И, =а:(1р + Р).

Следуя [15], скорость диссипации энергии в можно записать в виде:

Q p

ß = -Q- = 1 -

W p

PdF-pT i!F

dp dTdp

: p

а :

Пренебрегая энтропией пластической деформации, соотношение (18) принимает вид:

Q р

ß = -^ = 1

Wp

dF &

P : p dp

а :

Параметр 1 - в представляет собой скорость накопления энергии и является предметом исследования данной работы.

3. Результаты численного моделирования

Моделировалось напряженно-деформированное состояние образца из аустенитной нержавеющей стали 03Х18Н11. Образец растягивался с постоянной скоростью деформирования I =4.3 • 10-3 с-1. На рис. 1 пред-

Рис. 3. Зависимость скорости накопления энергии от деформации:  — экспериментальные данные, кривая — численные результаты

0.01 0.03 0.05 0.07 0.09

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

Рис. 4. Экспериментальная зависимость скорости накопления энергии

ставлено сравнение результатов численного моделирования с данными, полученными в работе [17]. Теоретически полученная зависимость напряжения от деформации имеет хорошее количественное совпадение с экспериментальными данными.

Зависимость работы пластической деформации И, = = | И^г, накопленной энергии Е8 =| Е^ и выделенной теплоты < = |<<<dt в процессе квазистатического растяжения образца приведены на рис. 2. Результаты расчета показывают, что приблизительно равные доли работы пластической деформации диссипируют в тепло (около 51 %) и накапливаются в материале (49 %).

Результаты моделирования эволюции доли накопленной энергии в процессе деформирования образца 1- в в случае однородной пластической деформации показаны на рис. 3. Представленная зависимость имеет максимум, соответствующий деформации 0.05, что согласуется с экспериментальными данными. Согласно результатам структурных исследований [21], на начальном этапе пластической деформации наблюдается подготовка структуры материала, связанная с образованием новых структурных дефектов, что приводит к росту относительной доли накопленной энергии. При достижении некоторого уровня деформации, преобладающими процессами становятся рост, движение и аннигиляции структурных дефектов, что приводит к росту доли диссипированной энергии. Смена механизмов структур-

ной релаксации материала соответствует смене характера процесса упрочнения.

На рис. 4, а показано сопоставление экспериментальной зависимости скорости накопления энергии и скорости деформационного упрочнения dа/dI. Из анализа данных, приведенных на рис. 4, а, можно сделать вывод о том, что при переходе через точку максимума скорости накопления энергии скорость деформационного упрочнения выходит на постоянное значение (наблюдается переход от параболического к линейному упрочнению), что подтверждается результатами численного моделирования (рис. 4, б).

Построенная математическая модель позволяет исследовать взаимосвязь характера упрочнения материала и скорости накопления энергии в его структуре. В случае если значение коэффициента Га превышает значение коэффициента ГР, что физически соответствует преимущественно диссипативному характеру развития пластической деформации без существенного увеличения плотности дефектов, диаграмма квазистатического растяжения соответствует идеально пластическому материалу, а накопленная энергия резко возрастает на начальном этапе деформирования и плавно убывает, выходя на постоянное (близкое к нулю) значение (рис. 5).

При значениях Га < ГР, что физически соответствует росту плотности дефектов в процессе деформирования, скорость накопления энергии имеет только

Рис. 5. Зависимость скорости накопления энергии (точки) и напряжения (сплошная линия) от деформации при Га > ГР

Рис. 6. Зависимость скорости накопления энергии (точки) и напряжения (сплошная линия) от деформации при Га < ГР

возрастающий участок кривой, а на деформационной кривой наблюдается линейное упрочнение (рис. 6).

4. Заключение

В работе предложено развитие математической модели эволюции ансамбля дефектов в линейно упругом теле с дефектами [17], развиваемой в ИМСС УрО РАН. Модель учитывает эволюцию всех компонент тензора, описывающего объемную концентрацию и ориентацию дефектов, и адаптирована для использования в стандартных инженерных пакетах. Основным достоинством модели является возможность моделирования баланса энергии в материале при его пластическом деформировании, что открывает перспективы для разработки и верификации новых критериев разрушения, основанных на учете величины накопленной энергии в процессе пластической деформации.

Накопление энергии в материале описывается эволюцией внутреннего полевого параметра модели р, определяющего объемную концентрацию и ориентацию дефектов и совпадающего по смыслу с деформацией, обусловленной дефектами.

На основе предложенной модели проведен численный эксперимент по квазистатическому растяжению образца из нержавеющей стали 03Х18Н11. В результате показано, что скорость накопления энергии при квазистатическом деформировании является функцией деформации материала. На начальном участке деформирования относительная скорость накопления энергии растет, достигая максимума, что соответствует росту плотности дефектов в материале. На заключительном этапе деформирования относительная скорость накопления энергии падает, что соответствует преобладанию диссипативных процессов в эволюции структуры материала. Полученные результаты находятся в количественном согласии с экспериментальными данными, опубликованными в [21].

Анализ полученных данных позволяет связать характер процесса накопления энергии в процессе пластического деформирования с зависимостью коэффициента упрочнения от величины пластической деформации. Начальный этап параболического упрочнения соответствует росту относительной скорости накопления энергии в материале, сопровождающемуся ростом значения параметра модели, описывающего плотность дефектов. С физической точки зрения это соответствует росту плотности дислокаций в границах и внутри зерен, а также разориентировке зерен и интенсивному накоплению энергии в материале. Данный процесс экспериментально наблюдался в [21-23]. Ниспадающий участок зависимости скорости накопления энергии связан с преобладанием диссипативных процессов в структуре материала, что с модельной точки зрения описывается

преобладанием собственно пластической деформации над структурной.

Принимая во внимание вышесказанное, можно сделать вывод, что построенная математическая модель позволяет рассчитывать напряженно-деформированное состояние материала с использованием стандартных конечно-элементных пакетов, интегрально оценивать процессы, происходящие в структуре материала, и открывает широкие возможности для дальнейшей разработки различных критериев достижения критического состояния материала.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-33072 и научного проекта молодых ученых и аспирантов УрО РАН №2 13-1-НП-349.

Литература

1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.В. и др. Структурные уровни

пластической деформации и разрушение. - Новосибирск: Наука, 1990. - 252 с.

2. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. -М.: Металлургия, 1984. - 280 с.

3. Иванова В.С., Терентьев В.Ф. Природа усталости металлов. - М: Металлургия, 1975. - 456 с.

4. Трощенко В.Т. Деформация и разрушение металлов при циклическом деформировании. - Киев: Наукова думка, 1981. - 344 с.

5. Федоров В.В. Термодинамические аспекты прочности и разрушения твердых тел. - Ташкент: ФАН УзССР, 1979. - 168 с.

6. Taylor G.I., Quinney H. The latent heat remaining in a metal after cold working // Proc. Roy. Soc. A. - 1934. - V. 143. - No. 849. - P. 307326.

7. Bever M.B., Holt D.L., Titchener A.L. The Stored Energy of Cold Work. - New York: Pergamon, 1973. - P. 192.

8. Oliferuk W., Korbel A., Bochniak W. Energy balance and macroscopic strain localization during plastic deformation of polycrystalline metals // Mater. Sci. Eng. A. - 2001. - No. 319-321. - P. 250-253.

9. Fedorova A.Yu., Bannikov M. V., Plekhov O.A. A study of the stored energy in titanium under deformation and failure using infrared data // Fract. Struct. Int. - 2013. - №. 24. - P. 81-88.

10. Плехов О.А. Структурно-кинетические механизмы деформирования и разрушения материалов в крупнозернистом и субмикрокристаллическом состояниях / Дис. ... физ.-мат. наук. - Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. - 360 с.

11. Aravas N., Kim K-S., Leckie F.A. On the calculation of the stored energy of cold work // J. Eng. Mater. Tech. - 1990. - V. 112. - No.4.-P. 465-470.

12. Szczepinski W. The stored energy in metals and the concept of residual microstresses in plasticity // Arch. Mech. - 2001. - No. 53. -P. 615-629.

13. Oliferuk W., Maj M. Stress-strain curve and stored energy during uniaxial deformation of polycrystals // Europ. J. Mech. A. Solids. -2009. - No. 28. - P. 266-272.

14. Benzerga A.A., Brechet Y., Needleman A., van der Giessen E. The stored energy of cold work: predictions from discrete dislocation plasticity // Acta Mater. - 2005. - No. 53. - P. 4765-4779.

15. Rosakis P., Rosakis A.I., Ravichandran G., Hodowany J. A thermo-dynamic internal variable model for the partition of plastic work into heat and stored energy in metals // J. Mech. Phys. Solids. - 2000. -No. 48. - P. 581-607.

16. Chaboche J-L. Cyclic viscoplastic constitutive equations // J. Appl. Mech. - 1993. - No. 60. - P. 813-828.

17. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 45-72.

18. Plekhov O.A., Eremeev D.N., Naimark O.B. Failure wave as a resonance excitation of collective burst modes of defects in shocked brittle materials // J. Phys. IV. - 2000. - No. 10. - P. 811-816.

19. Плехов О.А., Наймарк О.Б. Теоретическое и экспериментальное исследование диссипации энергии в процессе локализации деформации в железе // ПМТФ. - 2009. - Т. 50. - № 1. - С. 153-164.

20. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивостии флуктуаций. - М.: Мир, 1973. - 280 с.

21. Oliferuk W., Maj M. Energy storage rate in non-homogeneous deformation // Proc. 21st Int. Cong. Theor. Appl. Mech. (ICTAM04), 15-21 August, 2004, Warsaw, Poland. - E-book, 2005. - Article 11185. -2 p.

22. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - N° 2. - С. 89106.

23. Nes E. Modeling of work hardening and stress saturation in FCC metals // Prog. Mater. Sci. - 1998. - V. 41. - P. 129-193.

Поступила в редакцию 03.10.2013 г.

Сведения об авторах

Костина Анастасия Андреевна, асп. ИМСС УрО РАН, kostina@icmm.ru Баяндин Юрий Витальевич, к.ф.-м.н., нс ИМСС УрО РАН, buv@icmm.ru Плехов Олег Анатольевич, д.ф.-м.н., снс ИМСС УрО РАН, poa@icmm.ru