Определение напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с применением метода контактного слоя

УДК 624.04

В.И. Андреев, Р.А. Турусов, Н.Ю. Цыбин

НИУМГСУ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХСЛОЙНОЙ БАЛКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНТАКТНОГО СЛОЯ

Рассмотрено напряженно-деформированное состояние многослойной балки, изгибаемой нормально приложенной нагрузкой. Считается, что взаимодействие слоев осуществляется с помощью контактного слоя, в котором происходит межмолекулярное взаимодействие вещества адгезива с субстратом. Метод контактного слоя позволяет решать задачи определения концентрации касательных напряжений, возникающих на границах между слоями и в угловых точках.

Ключевые слова: изгиб, композит, многослойная балка, контактный слой, краевой эффект

Использование контактного слоя при решении задачи позволяет избегать таких проблем, как бесконечные касательные напряжения на границе контакта слоев, и определять физические свойства контактного слоя на основе экспериментальных данных [1—3].

Представим контактный слой как трансверсально-анизотропную среду, состоящую из множества коротких упругих стержней, не связанных между собой, и имеющую соответствующие параметры. Для простоты будем считать, что стержни ориентированы нормально к поверхности контакта.

Для постановки задачи используем рис. 1, на котором изображено поперечное сечение многослойной балки с двумя слоями (k - 1 и k). Взаимодействие между слоями осуществляется с помощью контактного слоя, в котором смешивается вещество двух слоев.

Рис. 1. Поперечное сечение многослойной балки

Здесь и далее все величины, относящиеся к контактному слою, будем отмечать символом — «*».

Вывод разрешающих уравнений. В соответствии с гипотезами расчета балок, перемещения и деформации любого к-го слоя могут быть записаны в виде

ВЕСТНИК

4/2016

Щк = Щ,к Ук '

Си, Сх

к .

> ьх, к

Сщ сх

к

Ук

ех, к = е0х, к + = е0, к + Ккук ,

Рк

где ы()к — перемещения по нейтральной оси; в()хк — деформации на уровне нейтральной (центральной) оси; рк — радиус кривизны сечения; Як — кривизна сечения.

Физическое соотношение (уравнение Дюамеля) принимает форму

= ~1 [сх,к -ук (

у, к г, к ,

/, к

V. к'

к к откуда следует

°х,к = Ек

где В/кк — вынужденные деформации [4—6].

Рассматривая статическую сторону задачи, выразим нормальную силу N и изгибающий момент Мк через напряжения

^к = | ^к = | Ек (Б„,к + Кк У к - £ / ,к ) ^к =

= ВП

IЕ ^к + Кк I Ек У к ^к - I Ек £ / ,к ^к

= Б„ ХЛ + К£к- X/ ,к;

мк = | у к ^к = | ек (£„ х,к + к у к- £ / ,к) у к ^к = -1 ек у к ^к + кк | ек ук ^к-1 ек£ / ,к ук ^к

= еп

= £„х,кСк + К°к - М/,к ,

где ВС О к — приведенные характеристики поперечного сечения [7—9]. Положение нейтральной оси определяется выражением

у„,к = Ск1Вк

Для всех центральных осей приведенный статический момент Ск= 0. В результате из выражения (4) для центральных осей можно получить

= N + Nг к . К = М к +М/к

£„х,к = п ; ^к ="

д„

о,,

Подставляя (5) в (2) и (3), мы имеем:

СТх,к = Ек

N + N Мк + М

/ ,к

д

о„

ук -£/,к |;

N + N/,к , Мк + М/,к

д

о,

Ук

ь

В соответствии с гипотезами при расчете балок

У xy,k

dut cfo,

дУк

= 0.

dx

Продифференцируем данное выражение по x и получим

d Ч

dx2

д f ди,

д f ди,

дх \дУк у

дУк V B

дук V дх

дб„

мк + м/,к А

Из предположения, что контактный слой представляет собой множество коротких стержней, не связанных

между собой, следует, что они переда*

ют только касательные тух к и нормальные напряжения о*ук. В то же время нормальные напряжения о*хк =о*гк = 0. Так как стержни короткие, перемещения и в контактном слое (рис. 2) могут быть представлены как линейная функция координаты у, следовательно, угловые деформации уху к = ук для любого сечения контактного слоя являются константой [10]. Также будем считать, что контактный слой подчиняется закону Гука. В результате угловые деформации с учетом неразрывности перемещений и на поверхности контакта слоев принимают форму [11]

дУ

Ук

мк + м/,к D„

Рис. 2. Перемещения в контактном

слое

* 1 / - + \ *1 Yk =ТТ(u0,k - u0,k-1 +Фх,А + Ф^-Л-1) = , и G*

гДе ф* =

du.

dx

Подставляя это выражение в (8) и вводя обозначение g* = О*/к* , мы получим

du, _ duk-1

Tk = Sk | u0,k _ U0,k_1 +~Te_ +

dx dx

ьk _i

Величины ek и могут быть определены из следующих выражений:

et =-

\Ek ($к )Skd

0_

hk

f Et (Sk )dSk

e, = h, - e.

где L — координата, отсчитываемая от верха слоя.

ВЕСТНИК

4/2016

Аналогично мы можем найти деформации вук в контактном слое

1

,к

= К - ик-1 ) = "=*'

откуда после введения обозначения е*к = Е*к/И*к следует

= еКик - ик-1 )•

Рис. 3. Равновесие слоя

На основании расчетной схемы на рис. 3 условия равновесия любого к-го слоя определяются следующими уравнениями:

1 СЫ,

к .

Ь ёх

Чл_=1О. • Ь Ь ёх

* - * + = 1Г п - М Ткек + Хк+1 ек ,1 пк , Ь V их

Далее, из выражений (7), (9), (11) и (12) после простых преобразований мы можем получить разрешающие уравнения для любого к-го слоя:

А,

с Ч

Сх4

= е-ЪЕк

N + N/,к N-1 + N1 ,к-1 С\ - СЧ-

Б„

к

/

В,

к-1

Сх

е +-

2к

Сх

2 ек-1

ЪЕк+1

N + N N + N

к+1 V,к+1 ,к

С 2и

'к+1

Вк+1 Вк

С V

7 2 +1 1 ,2 к

ах ах

-е1Ъ К - и-1) + О (ик+1 - ик) + Як;

Сх

Nk + N/ ,к К-1 + ^ ,к -1 С \ - с \-1 +

-^---^----^р -1--К 1 р

^ 2 к ^ г 2 к-1

В,,

к

/

В

к-1

Сх

Сх

Nk+l+Nf,к+1 Nk+Nf,к + е - ^ 2и

/

2

В

к+1

В

Сх2 к+1 Л2 к

Пример расчета. Рассмотрим трехслойную композитную шарнирно-опер-тую балку (рис. 4), состоящую из двух слоев субстрата, склеенных с помощью

адгезива (рис. 5). Слой 1 представляет стальную балку, слой 2 — слой эпоксидной смолы [12], слой 3 выполнен из углеродного волокна. Подобные схемы имеют место при усилении существующих конструкций.

Рис. 4. Расчетная схема

Рис. 5. Поперечное сечение модели

В большинстве представленных на данный момент работах о напряженно-деформированном состоянии балок подобного сечения для слоя адгезива вводятся гипотезы, аналогичные представленным в данной работе предположениям о контактном слое. Подобные модели чаще называют двухслойными балками с легким заполнителем. Модель трехслойной балки, представленная в данной работе, позволяет более точно оценивать напряженно-деформированное состояние адгезива и его влияние на общее поведение модели. математически данная модель с учетом контактных слоев отражает в общепринятых терминах пятислойную балку и теоретически должна являться более точной.

Для упрощения граничных условий будем считать, что балка была изготовлена как трехслойная.

Из уравнений (13), мы можем получить разрешающие уравнения для трехслойной балки. Для этого последовательно подставляем к = 0, 1, 2 в уравнения (13):

А—0 = д0 + е,Ь (г)! - и ) - е 0

dx4

r> dЧ *, / \

Di = q- &ib ( - u°)+

dx

+e2*b (v2 - vi)- e-

d2 N

d u2 „ ( ч

D2-~T = ^2 - e2 b (u - и) + e

dx

+ d2 n2 —f~ + e+-2

dx dx

d2 N2

dx2

d2 N° J Ni + Nf ,i  = -gib

dx2

2

N° + N

f

B

b„

dx

U -2 e

d 2u°

dx2

d2N _ d N° - d^N dx2

d2 N

dx2 dx2

r

dx2

_ g2b

N2 + Nf 2 N1 + Nfi d 2u d 2u

' 1 2 e2 '

B

dx2

dx2

ВЕСТНИК 4/2Q16

Граничные условия (см. рис. 4) записываются в виде

и. (0) = и. (l) = 0; ^ (0) = ^тг (l) = 0; N (0) = N (l) = = 0,1 2). (15) dx dx

При решении использованы следующие данные:

геометрические параметры модели:

l = 2 м, b = 50 мм, Н0 = 200 мм, \ = h2 = 1 мм;

жесткостные характеристики:

E0 = 2 •lO5 МПа, E1 = 4,5•lO3 МПа, E2 = 3,5 • 105 МПа,

g[= g2* = 9600МПа/мм, e = e = 8000МПа/мм; приложенные нагрузки и вынужденные усилия: q0 = 14кН/м, q1 = q2 = 0, Nf0 = Nf1 = 0, Nf22 = 30кН. Вынужденные усилия N^ 2 могут представлять собой различную природу, например, предварительное натяжение или температурное воздействие [4—6].

Решение системы уравнений (14) с граничными условиями (15) было получено численно. Для этого использован пакет программ Maple.

На рис. 6 изображены эпюры изменения напряженно-деформированного состояния в слое 0. В силу симметрии данных кривых изображена только левая половина (0 < x < //2).

Рис. 6. Результаты вычислений

на рис. 6 можно заметить наличие зоны краевого эффекта у всех кривых, отражающих напряженно-деформированное состояние слоя 0. наличие данной зоны объясняется узким участком краевого эффекта касательных напряжений. Экспериментальные данные показывают, что разрушение модели происходит именно в этой зоне [13].

Вывод. Полученная модель позволяет анализировать напряженно-деформированное состояние многослойной балки и предсказывать такое явление, как краевой эффект в многослойных конструкциях. Выявление краевого эффекта позволяет строить теории прочности для многослойных балок.

Библиографический список

1. Турусов Р.А., Маневич Л.И. Метод контактного слоя в адгезионной механике. Одномерные задачи. Сдвиг соединения внахлестку // Клеи. Герметики. Технологии. 2009. № 6. С. 2—12.

2. ^rusovR.A., Kuperman A., Andreev V.I. Determining the true strength of the material of fiberglass thick rings when stretched with half-disks // Advanced Materials Research. 2015. No. 1102. Pp. 155—159.

3. Языев Б.М., Андреев В.И., Турусов Р.А. Некоторые задачи и методы механики макронеоднородной упругой среды. Ростов-н/Д : РГСУ, 2009.

4. Тurusov R.A. Elastic and temperature behavior of a layered structure. Part I. Experiment and theory // Mechanics of Composite Materials. 2014. Vol. 50. No. 6. December. Pp. 801—808.

5. Turusov R.A. elastic and temperature behavior of a layered structure. Part II. Calculation results // Mechanics of Composite Materials. 2015. Vol. 51. No. 1. January. Pp. 127—134.

6. Zhao L.G., Warrior N.A. and Long A.C. a micromechanical study of residual stress and its effect on transverse failure in polymer-matrix composites // International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43. No. 18—19. Pp. 5449—5467.

7. Андреев В.И., Барменкова Е.В. Моделирование реальной системы «здание — фундамент — основание» двухслойной балкой переменной жесткости на упругом основании // Вестник МГСУ 2012. № 6. С. 37—41.

8. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов / под ред. А.В. Александрова. 7-е изд., стер. М. : Высшая школа, 2003. 560 с.

9. Маневич Л.И., Павленко А.В. Об учете структурной неоднородности композита при оценке адгезионной прочности // Прикладная механика и техническая физика. 1982. № 3 (133). С. 140—145.

10. Lakes Roderic. Viscoelastic materials. Cambridge University Press, April 27, 2009. Pp. 344—350.

11. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М. : Машиностроение, 1980. 375 с.

12. Рабинович А.Л. Введение в механику армированных полимеров. М. : Наука, 1970. 482 с.

13. Ellyin F., Xia Z., Zhang Y. Micro/Meso-Modeling of polymeric composites with damage evolution // Solid Mechanics and Its Applications. 2006. Vol. 140. Pp. 505—516.

14. Турусов Р.А. Адгезионная механика. М. : МГСУ, 2015. 230 с.

15. Bower Allan F. Applied mechanics of solids. 1 edition. CRC Press, October 5, 2009. 112 p.

16. Mallick P.K. Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing, and Design. 3d ed. Taylor & Francis Group, LLC, 2007. 617 p.

17. Моисеев E.И., Лурье С.А. Нефедов П.В. Об условиях существования решения для краевых задач в моделях адгезионных взаимодействий // Механика композиционных материалов и конструкций. 2013. № 19 (1). С. 87—96.

18. Altenbach H., Eremeyev V.A., Lebedev L.P. on the existence of solution in the linear elasticity with surface stresses // Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM). 2010. 90 (3). Pp. 231—240.

19. Ma H.M., Gao X.-L., Reddy J.N. A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2008. Vol. 56. No. 12. Pp. 3379—3391.

20. Белов П.А., Лурье С.А. Теория идеальных адгезионных взаимодействий // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. № 13 (4). С. 519—536.

Поступила в редакцию в марте 2016 г.

Об авторах: Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН, заведующий кафедрой сопротивления материалов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 48355-57, asv@mgsu.ru;

Турусов Роберт Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры сопротивления материалов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 483-55-57, rob-turusov@yandex.ru;

Цыбин Никита Юрьевич — аспирант кафедры сопротивления материалов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 48355-57, nikitacybin@gmail.com.

Для цитирования: Андреев В.И., Турусов Р.А., Цыбин Н.Ю. Определение напряженно-деформированного состояния трехслойной балки с применением метода контактного слоя // Вестник МГСУ 2016. № 4. С. 17—26.

V.I. Andreev, R.A. Turusov, N.Yu. Tsybin

DETERMINATION OF STRESS-STRAIN STATE OF A THREE-LAYER BEAM WITH APPLICATION OF CONTACT LAYER METHOD

The article deals with the solution for the stress-strain state of a multilayer composite beam with rectangular cross-section, which is bended by normally distributed load. The intermolecular interaction between layers is accomplished by the contact layer, in which the substances of adhesive and substrate are mixed. We consider the contact layer as a transversal anisotropic medium with such parameters that it can be represented as a set of short elastic rods, which are not connected to each other. For simplicity, we assume that the rods are normally oriented to the contact surface.

The contact layer method allows us to solve the problem of determining the concentration of tangential stresses arising at the boundaries between the layers and the corner points, their changes, as well as to determine the physical properties of the contact layer basing on experimental data.

Resolving the equations obtained in this article can be used for the solution of many problems of the theory of layered substances. These equations were derived from the fundamental laws of the theory of elasticity and generally accepted hypotheses of the theory of plates for the general case of the bending problem of a multilayer beam with any number of layers.

The article deals with the example of the numerical solution of the problem of bending of a three-layer beam. On the basis of this solution the curves were obtained, which

reflect the stress-strain state of one of the layers. All these curves have a narrow area of the edge effect. The edge effect is associated with a large gradient tangential stresses in the contact layer. The experimental data suggest that in this zone the destruction of the samples occurs. This fact allows us to say that the equations obtained in this article can be used to construct a theory of the strength layered beams under bending.

Key words: bending, composite, multilayer beam, contact layer, edge effect

References

1. Turusov R.A., Manevich L.I. Metod kontaktnogo sloya v adgezionnoy mekhanike. Odnomernye zadachi. Sdvig soedineniya vnakhlestku [Contact Layer Method in Adhesion Mechanics. One-Dimensional Tasks. Lap Shear]. Klei. Germetiki, Tekhnologii [Adhesives. Sealants]. 2009, no. 6, pp. 2—12.

2. Turusov R.A., Kuperman A., Andreev V.I. Determining the True Strength of the Material of Fiberglass Thick Rings When Stretched with Half-Disks. Advanced Materials Research. 2015, no. 1102, pp. 155—159. DOI: http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/ AMR.1102.155.

3. Yazyev B.M., Andreev V. I., Turusov R.A. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki mak-roneodnorodnoy uprugoy sredy [Some Problems and Methods of Macroheterogeneous Elastic Medium Mechanics]. Rostov-on-Don, RGSU Publ., 2009.

4. Turusov R.A. Elastic and Temperature Behavior of a Layered Structure. Part I. Experiment and Theory. Mechanics of Composite Materials. 2014, vol. 50, no. 6, December, pp. 801—808. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s11029-015-9469-8.

5. Turusov R.A. Elastic and Temperature Behavior of a Layered Structure. Part II. Calculation Results. Mechanics of Composite Materials. 2015, vol. 51, no. 1, January, pp. 127—134. DOI: http://dx.doi.org/ 10.1007/s11029-015-9484-9.

6. Zhao L.G., Warrior N.A. and Long A.C. A Micromechanical Study of Residual Stress and Its Effect on Transverse Failure in Polymer-Matrix Composites. International Journal of Solids and Structures. 2006, vol. 43, no. 18—19, pp. 5449—5467. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/j.ijsolstr.2005.08.012.

7. Andreev V.I., Barmenkova E.V. Modelirovanie real'noy sistemy zdanie — fundament — osnovanie dvukhsloynoy balkoy peremennoy zhestkosti na uprugom osnovanii [Modeling of the Real System "Structure—Foundation—Bedding" through the Employment of a Model of a Two-Layer Beam of Variable Rigidity Resting on the Elastic Bedding]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 37—41.

8. Aleksandrov A.V., Potapov V.D., Derzhavin B.P. Soprotivlenie materialov [Strength of Materials]. 7th edition. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2003, 560 p.

9. Manevich L.I., Pavlenko A.V. Ob uchete strukturnoy neodnorodnosti kompozita pri otsenke adgezionnoy prochnosti [Account of Structural Inhomogeneity of a Composite when Estimating Adhesive Stability]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Applied Mechanics and Technical Physics]. 1982, no. 3

10. Lakes Roderic. Viscoelastic Materials. Cambridge University Press, April 27, 2009, pp. 344—350. DOI: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511626722.

11. Bolotin V.V., Novichkov Yu.N. Mekhanika mnogosloynykh konstruktsiy [Mechanics of Multilayered Stryctures]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1980, 375 p.

12. Rabinovich A.L. Vvedenie v mekhaniku armirovannykh polimerov [Introduction into Mechanics of Reinforced Polymers]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 482 p.

13. Ellyin F., Xia Z., Zhang Y. Micro/Meso-Modeling of Polymeric Composites with Damage Evolution. Solid Mechanics and Its Applications. 2006, vol. 140, pp. 505—516. DOI: http:// dx.doi.org/10.1007/1-4020-4891-2_42.

14. Turusov R.A. Adgezionnaya mekhanika [Adhesive Mechanics]. Moscow, MGSU Publ., 2015, 230 p.

15. Bower Allan F. Applied Mechanics of Solids. 1 edition, CRC Press, October 5, 2009, 112 p.

16. Mallick P.K. Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing, and Design. 3d ed. Taylor & Francis Group, LLC, 2007. 617 p.

17. Moiseev E.I., Lur'e S.A. Nefedov P.V. Ob usloviyakh sushchestvovaniya resheniya dlya kraevykh zadach v modelyakh adgezionnykh vzaimodeystviy [On the Existence Conditions of Solutions for Boundary Problems in Models of Adhesive Interactions]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy [Mechanics of Composite Materials and Structures]. 2013, no. 19

18. Altenbach H., Eremeyev V.A., Lebedev L.P. On the Existence of Solution in the Linear Elasticity with Surface Stresses. Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM). 2010, vol. 90 (3), pp. 231—240. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/zamm.200900311.

19. Ma H.M.,Gao X.-L., Reddy J.N. A Microstructure-Dependent Timoshenko Beam Model Based on a Modified Couple Stress Theory. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2008, vol. 56, no. 12, pp. 3379—3391. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/jjmps.2008.09.007.

20. Belov P.A., Lur'e S.A. Teoriya ideal'nykh adgezionnykh vzaimodeystviy [Theory of Ideal Adhesive Interactions]. Mekhanika kompozitsionnykh materialovi konstruktsiy [Mechanics of Composite Materials and Structures]. 2007, no. 13

About the authors: Andreev Vladimir Igorevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, corresponding member of Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 483-55-57; asv@mgsu.ru;

Turusov Robert Alekseevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 483-55-57; rob-turusov@yandex.ru;

Tsybin Nikita Yur'evich — postgraduate student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 483-55-57; nikita-cybin@gmail.com.

For citation: Andreev V.I., Turusov R.A., Tsybin N.Yu. Opredelenie napryazhenno-de-formirovannogo sostoyaniya trekhsloynoy balki s primeneniem metoda kontaktnogo sloya [Determination of Stress-Strain State of a Three-Layer Beam with Application of Contact Layer Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 4, pp. 17—26.