Об одном способе нахождения бесконечно малых изгибаний поверхностей в конформно евклидовых пространствах

строенные схемы могут иметь лучшие оценки временных затрат при их численной реализации на

многопроцессорных системах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ковеня, В.М. Методы расщепления в задачах газовой динамики / В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, 1981.

2. Коновалов, А.Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний // Докл. АН СССР. - 1962. - Т. 147. - С. 25-27.

3. Самарский, А.А. Аддитивные схемы для задач математической физики / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Наука, 1999. - 319 с.

4. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самрский. - М.: Наука, 1971. - 552 с.

5. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

6. Сухинов, А.И. Об аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности локально-двумерными схемами в цилиндрических и сферических координатах // Известия вузов. Математика. - 1987. - № 8. - С. 66-74.

7. Сухинов, А.И. Локально-двумерные схемы для решения многомерных параболических уравнений на вычислительных системах матричного типа // Известия вузов. Математика. - 1984. - № 11. - С. 45-53.

8. Сухинов, А.И. Локально-двумерные схемы для аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности в тороидальных координатах / А.И. Сухинов, В.С. Васильев // Известия вузов. Математика. - 1996. - № 3. -С. 58-67.

9. Sukhinov, A.I. Parallel Algorithms Based on Two-dimensional Splitting Schemes for Multidimensional Parabolic Equations // Parallel Computational Fluid Dynamics 2002.-Procedings of ParCFD2002. - Elsevier, 2003. -PP. 345-353.

10. Сухинов, А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения / А.И. Сухинов. - М.: Макс ПРЕСС: Изд-во МГУ, 2005. - 408 с.

УДК 514.75 ББК 22.151

В.Т. Фоменко

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ НАХОЖДЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ В КОНФОРМНО ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Аннотация. Автор выводит одно дифференциальное уравнение, решение которого порождает бесконечно малое изгибание поверхности в римановом пространстве с метрикой ds2 = E(Z)((dX)2 + (dY)2 + (dZ)2).

Ключевые слова: конформно евклидово пространство, поверхность, бесконечно малые изгибания, дифференциальные уравнения.

V.T. Fomenko

ONE WAY OF FINDING INFINITELY SMALL BENDING SURFACES IN THE CONFORMAL EUCLIDEAN SPACES

Abstract. The author writes a single differential equation, the solution of which results in an infinitesimal bending of a surface in a Riemannian space with the metric ds2 = E(Z)((dX)2 + (dY)2 + (dZ)2).

Key words: conformal euclidean space, surface, infinitesimal bending, differential equations.

Известно [1], что нахождение бесконечно малых изгибаний поверхности в римановых пространствах сводится к нахождению решений системы трех дифференциальных уравнений в частных производных с тремя искомыми функциями. Решение такой системы в общем случае затруднительно. Поэтому для конкретных римановых пространств и конкретных классов поверхностей удается указать приемы сведения указанной системы уравнений к одному уравнению с одной неизвестной функцией или к сведению системы двух уравнений с двумя искомыми функциями. Наиболее продвинутые приемы решения указанных уравнений разработаны для случая евклидова пространства. В настоящей работе указывается способ сведения решения системы трех уравнений бесконечно малых изгибаний к решению одного уравнения в частных производных с одной искомой функцией для поверхностей в конформно евклидовых пространствах.

П.1. Пусть R3 - трехмерное конформное евклидово пространство с меткой ds2 = E(Z)((dX)2 + (dY)2 + (dZ)2), (1) (X,Y,Z) e П, где E(Z) > 0,E(1) = 1,ЕеСп+1, n> 3.

Будем рассматривать в R3 односвязную поверхность F2, заданную уравнениями

X = x,Y = y,Z = f(x,y), (x,y)eD, 28

где /еСп+1,уф),п > 3,0 < V < 1; (0,0)еД. Считаем, что точка (0,0)/(0,01) является омбилической точкой поверхности ,Р2.

П.2. Будем изучать бесконечно малые изгибания поверхности ,Р2в Д3. Обозначим через (С, V, С) компоненты изгибающего поля поверхности ,Р2 .

Пусть поверхность ,Р2 при бесконечно малом изгибании переходит в поверхность = х + = у + = /

где £ - малый параметр. Из определения бесконечно малого изгибания поверхности ,Р2 в Д3 в силу (3) следует [1], что

Е(/ + £ОКЛх + + + £йг[)2 + (й/ + £^)2] -

-Я

где о(е) - члены более высокого порядка малости, чем £.

Из формулы (4) следует, что компоненты ( изгибающего поля поверхности ,Р2 удовлетворяют уравнениям:

^ + Р(х + (1 + р2Х = 0;

%у + Лх + р(у + Ч^Х + 2{1п4Ё) = 0;

Ъ + Ч^у + (ЫЁ)'(1 + Ч2)< = 0, где (х,у)еД; р = [х, Я = /у, индекс "'" означает производную по 2 функции 1п^Ё{Т).

П.3. Сделаем замену искомых функций в системе

Подставляя формулы

Яу + =

= (гп7!)'(1 + ^2)}с,

где Г = 5 = /Ху, t = /уу .

Вычитая из первого уравнения системы (7) третье уравнение, а затем складывая эти уравнения, получим равносильную систему Лх-^у= [(г - о - {1п^Ё)'(р2 - 42)](; (8) Лу + = 2^ - (1п4Ё)'рц\(; Лх+Му= [(г + 0- (гпТ1)'(2 + р2 + д2)](.

Обозначим через II вторую квадратичную формулу поверхности ,Р2в Д3. Подсчет показывает, что

П^х, йу) = П1:1^х2 + 2fi12dxdy + fi22dy2,

где

П11 = [г-

«12 = - {1п^Ё)'рц} п22 = [е-(гnVя)'(1 + q2)^ ^

Л-у + =-7=--

¿х + ("у = -7=-(П11+П22)С

171+р2+ч2'

Подставляя формулы (9) в систему (8), получаем:

ях - ^у =

2^1 + р2 + Я2

Ж

71 + Р2 +

ТТ '

П.4. Введем в рассмотрение комплексную функцию Ж (г) = Я + где г = х + ¿у, ¿2 = -1. Учитывая, что ^ = ^ [(Яж - + ¿(Яу + ^ = ^ [(Яж + + - Яу)], систему (10) запишем в комплексной форме:

^ = + 12К;

дш 1

Де—= ^№11+^2-2П12]£,

где с= V* .

Формулы (11) представляют систему уравнений бесконечно малых изгибаний поверхности ,Р2 в Д3 относительно искомых функций Ш,

П.5. Преобразуем систему (11), положив

Ш = Ш0 + гМ^,

где Ш0 = и0 + ¿г0 - комплексная постоянная, = и + V/ - новая искомая комплексная функция. Положим F = С

и _1_ и Р 7 Р - С[-(Дц~Д22)У+2П12Ж]

иу + Ух = р1(; & = ]т-~--

х{их + Уу) + у{иу - Ух) + 2и = С(П11+П22)^

П.6. Продифференцируем первое уравнение системы (13) по х, второе уравнение - по у. Сложив полученные результаты, получим

ихх + иуу = (а1^)х + №Оу

Из первого и второго уравнения системы (13) находим Ух, Уу. Подставим полученный результат в третье уравнение системы (13). Получаем выражение для функции

Далее имеем

С[(П11-П22)х + 20.„у] (х2 + у2) . ч

«1С = —-—. ^ , (хих + Уиу + и) =

1 х2+у2 а1(х,у)у 'У >

г ,, ,, , ,г1 Ш^п^х + Ж12у] = [хих + уиу + и\-

у П1±х2 + 2П12ху + &22у2 '

С[-(П1±-П22)у + 2П12х] (х2 + у2) , ч

АС = 7 7-~Лхих+уЦу + и) =

п х2+у2 а1(х,у)у х ' у '

= \хи + и + и] [-(П11-П22)У +

Iх х У у ] + 2П12ху + 0.22у2 .

Подставляя выражение для (а±() и (Р±0 в формулу (14), получим уравнение для нахождения искомой функции и в виде:

ихх

+их(-хах - хру - 2а) + иу(-уах - уРу - 20) - и(ах + ру) = 0,

где

-П22)х + 2П12у

а =

0.11х2 + 2П12ху + &22у2' -(а11-а22)у + 2а12х

0.11х2 + 2П12ху + &22у2 Уравнение (15) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно функции и = и(х,у), которое можно записать в виде:

ыи = т2^£ (о*+ си = 0, (Щ

где х± = х,х2 = у

х2 + у2

а,, = 1 - ах = ---——---

11 ПХ1х2 + 20.12ху + П22у2 22

1 х2 + у2 а-1? = - -¿(ах + Зх) = - —--——---

12 2 у н П^х2 + 2П12ху + П22у2 12'

х2 + у2

а22 = 1-ву = П11х2 + 2П12ху+П22у2П22'

е1 =^

1

е2 =2(хв*-Уах- в)'

С = -(ах + Ру)'

а1к е

е, е сп~2,у(р)' с е Сп~2,у(0), (и к = 1,2) .

В дальнейшем следует заниматься разрешимостью уравнения (16) с коэффициентами (17). П.7. Зная функцию и(х,у) класса Сп~1,у, по формуле (14) находим функцию ( класса Сп~1,у. Зная функции и и находим функцию V по формуле

У(х,у) = I - иу)(1х + (-а^ + их)йу + с0,

при этом U е Cn_l v,c0 - произвольная вещественная постоянная. Зная функцию W = W0 + zW±, находим функции Я и ц с точностью до трех вещественных постоянных U0, V0, c0. По функции Я, ц однозначно восстанавливаются функции f, ц . Таким образом, при сделанных предположениях всякое решение уравнения (16) порождает изгибающее поле поверхности F2 в R3.

В заключение отметим, что уравнение (16) целесообразно использовать при исследовании бесконечно малых изгибаний поверхностей F2 в R3 при внешних связях обобщения скольжения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Погорелов, А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей / А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1969.