О разделимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами в весовом пространстве

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.948

О.Х.Каримов

О РАЗДЕЛИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МАТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ВЕСОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

Доказана разделимость одного класса нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с переменными матричными коэффициентами в весовом пространстве, которые в общем случае не являются слабыми возмущениями линейных операторов.

Ключевые слова: весовое пространство - нелинейный дифференциальный оператор - разделимость - коэрцитивное неравенство - матричный коэффициент.

Термин «разделимость» в теорию дифференциальных операторов ввели математики В.Н.Эверитт и М.Гирц. (см. [1-4]). Они, в основном, исследовали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Существенный вклад в дальнейшее развитие теории разделимости дифференциальных выражений внесли К.Х.Бойматов, М.Отелбаев и их ученики (см. [5-8] и представленные там библиографии).

В настоящее время по разделимости опубликовано большое число работ и полученные результаты нашли свои приложения в теории функций, спектральной теории дифференциальных операторов и теории краевых задач для дифференциальных уравнений.

Настоящая работа посвящена исследованию разделимости нелинейных дифференциальных операторов с переменными матричными коэффициентами в весовом пространстве и её основной результат обобщает соответствующие результаты работ [9-11].

Пусть к(х) - положительная функция, определенная в Н" . и ( - некоторое натуральное число. Символом Л2 к (Л")' - обозначим пространство вектор-функций и(х) = (//, (л"),..., и/ (х)),

кг е Л2 (М") (1 = 1, £) с конечной нормой

1

1Н12,(й»/= ¿1 к{х)\и}{х)\2 сЬс

и=1д"

Пространство Ь2к(Я"У является гильбертовым пространством и в нём скалярное произведение определяется с помощью равенства

Адрес для корреспонденции: Каримов Олимджон Худойбердиевич, 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: karimov_olim@mail.ru

(u,S)k = | к(x)Uj (x)3j(x)dx.

Рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка с переменными коэффициентами:

а

г д^

г, j=1 дх1

L0[U] = — a гу(х) — , (х g Rn).

дх.

Предполагается, что коэффициенты a^. (х) оператора L0 являются квадратными матрицами

порядка t с элементами из класса С1(R" ) и удовлетворяют следующим условиям:

I) - ay (х) = aß (х), Im a у (х) = 0;

II) - | at](х) \< < , Vaiy (х) \< a2, (Ух g Rn, г, j = 1,2,...,n);

III)- ^C^x^ia^Sj-C1) {\fx^R\\fs = {Si}Us^Cl\ г=1 г,у=1

константы < , <J2, X\ в этих условиях не зависят от х и s.

Рассмотрим следующий нелинейный дифференциальный оператор второго порядка с переменными старшими коэффициентами

L[u] = L [u] + V

Пусть V(x,co) - квадратная матрица-функция порядка £, определенная на всех Л' е R'\ со еС', элементы которой непрерывно дифференцируемы по всем аргументам. Предполагается, что значения V(х, с) являются положительно-определёнными эрмитовыми матрицами.

Определение 1. Оператор L[u] называется разделимым в весовом пространстве L2k(R")1, если для всех вектор-функций и(х) GW2loc(R")e гл L2k{R")1, таких, что L[u]g L2k(R")e выполняются включения

L0[u] е Lu(Rn)\ V(x,u(x))u(x) е LU(R")£. Вводим некоторые обозначения

i

F(х,с) = F(xl,..., хп ^...^f ,Vi,...,m ) = V 2( х,с\ Q(x,co) = Q(x1,...,xn,^,...^i,ri1,...,rii) = F2(x,a)).

1

Здесь V 2(х,с) однозначно определяется как квадратный корень положительно определённой эрмитовой матрицы.

п

R

n

Определение 2. Будем говорить, что матрица-функция У(х, со), (х е Я", со е ( " ) принад-

7<п,£

д , если выполняются следующие условия:

i) I

j=i

' X,<7,3,7

F x,)^

8x;

<Х

для всexXGR", cdgC1;

2)

-1 <3 -- d

2

к=1 4 0Щк

<<

F 2

для всех jc gR", cogC1 ивсех Q = (//, + /ц,//2 + /V2,...,/i£ + /VfJ) e C';

3)

1 _ d d

+ т—

k=i дщ

<4 F (Q)l с

для всех jc gR", cogC1 ивсех Q = (//, + /ц,//2 + ёС' ;

4) I

j=1

-1 8 Q 2

8x,.

<7

для всех jc g R", со eC'.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Теорема. Пусть матрица-функция V(x,co) принадлежит классу T^'laSr и матрица-функций а у (x) коммутируется с V (x,^) и удовлетворяет условиям I, II, III и пусть весовая функция k (x) принадлежит классу С1 (R") и для всех х е R" , со е С' удовлетворяет неравенству

I

j=i

dk

8x,

к-\x)Q 2

<<

для всех х е М" и всех со еС'. Тогда при выполнении неравенств

Х<«1<2, 0<<Гз <2, ж + а3<-

1

0< < <

1 «

2

7 + <з<-^

<iXn

<iXn Х<п

1 (7 + <з)п

0< < <

Х1а1п 2

где Х, Х- постоянные из условия 1)-4) и 1-111, нелинейный оператор (3) разделяется в весовом пространстве Ь2к{К1)1 и для всех решений и(х) Ь2к^")1 <~^У21ос(К'У уравнения

n г)

-I—

i, j=18xJ

аи

8u

4 ' 8x v 8xi

+ V

2

n

2

n

2

с правой частью /(х) е Ь2к(Яп) выполняется следующее коэрцитивное неравенство

У(х,и)щЬ2к(Яп) 1 +

1=1

ди т

V 2

дх,.

где число М >0 не зависит от вектор-функций /(х), и(х).

Результат, сформулированный в этой теореме, ранее был анонсирован только в случае оператора Шрёдингера [10].

Далее мы остановимся на основных моментах доказательства основной теоремы. Сначала без доказательства сформулируем две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть выполнены условия 1-111. Пусть в уравнении (4) правая часть принадлежит

Ь2к(Я")£ и пусть решение и(х) уравнения (4) принадлежит классу }¥21ос(Яп)£ г^Ь2к(Я"У.Тогда

1 ди

при условии (2), где а3 удовлетворяет условию (3), вектор функции V 2(х, и(х))и(х), -

дхг-

(г = 1,...,п) принадлежат пространству Ь2к(Я")г.

Лемма 2. Пусть коэффициенты а^ (х) (1, 1 = 1,п) дифференциального оператора (3) удовлетворяют условиям 1-11 и пусть вектор-функция и(х) принадлежит классу №21ос(11п)1 слЬ2к(Я")£ и удовлетворяет уравнению (4 ) с правой частью /{х) е Ь2к(Я")£. Тогда при условии (2) , где аъ

3 1 ди(х) — удовлетворяет условию (3), вектор-функции Е2(х,и(х))и(х), Е2(х,и(х))-, 1 = 1,п принад-

дх

лежат пространству Ь2к(Яп) .

Теперь переходим к непосредственному доказательству теоремы. Пусть (( х) — фиксированная неотрицательная функция из класса С^ (Яп), обращающаяся в единицу при | х |< 1. Для любого положительного числа 8 положим ( (х) = ((ех). Используя равенство

(/( х и)и) =

1. 1=1

п ( д дт ^

д (а, (х)) ди

дх, 14 ' дх

,(ЕШ ( х, и)и) +

У

V 1

+(V (х, и)и,(ЕШ (х, и)и),

где (,) - скалярное произведение в пространстве Ь2к(Я")£, после несложных преобразований получим:

(/ЕкУ ( х, и)и)= 2

г', 7=1

^ ды 7ТГ. . ды^

аг~ ,^екУ (^ Ы) —

'З J

у дхГ е 4 длт.

+Р е )(ы) + Р2( е )(ы) + Р3( е )(ы) + Р4( е )(ы) + (У ( х, ы( х))ы( х), (рЕкУ ( х, ы)ы),

где

(

Р( е )(ы)= 2

г' ,З=1

^, х, ы)ы

V дхг дхз

г',З=1

ди ' Г„ ди.Л ™ Л " Г

Яе-

дх,

V 7 J

ди ди Л ™ Л

дЛ1 т=1

J ^ V

1т-

дх

V з j

к-^-и

СЛт

ые), л ^ Г ды , д0 ^

Рз(е)(ы)=2 О/—

г,З—1 V дхг дхг J

п ( ды дк ^

Р4(е) (ы) = 2 О/ Т", ^ "Н- б(X, ы)ы

/1 ^ дхг дхг

~ ^ дб дб дб

Здесь и далее значения матрицы-функций б,-, -, - взяты в точке (х:,...,хп,

Кеи1(х),...,Кеие(х), 1ти1(х),...,1ти/,(х)). Так как ши-Буняковского, можно получить оценку:

дхз д%к дПк

д?е

дх,.

< М0е, то, применяя неравенство Ко-

дх,.

В силу леммы 2 отсюда следует, что НшР/е)(ы) = 0.

Теперь переходим к оценке функционала Р2

£2 — л/ (рЕ (х) —--, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

дх

1Р(е)(ы)|<2

г', З—1

а

к—1

з j

Р"Ч х, ы) ы +

д4

<Ре1т дГк

дхз J

дПк

Далее применяя условие II, имеем

п

т—1

|Р2(8)(и)|<а^£

1,1=1

<

< а13п£

1=1

Из последнего неравенства следует, что

^^

д и

д и

1=1 удхг дх,

г У

где а, ^ - константы из условия II, (3).

Переходим к оценке функционала Р3(е)(и). Учитывая эрмитово-сопряженные значения мат-

рицы-функции Q

Рз(8)(и) = £ [(^аД Ч х, и) ,(к) " Ч х, и) ^

11 { 1 дхг дх} у

Так как ) 2(х, и) = Г(х, и) и, согласно лемме 2, вектор-функции Е(х, и) -ди (1 = 1, п) при-

дх.

надлежат пространству Л2 к (Я")', то, применяя неравенство Коши-Буняковского и условие II, имеем

|Рз(8)(и)|<£

1,1=1

а.

<

апа -А

" 2 £ ^ 1=1

Здесь а - произвольное положительное число. В силу условия (4) получим

а па -А Г ди

ди пу

|Рз(8)(и)|<а-а-£ ^-ДЩх,и)+ ^(V(х,и)иДЩх,и)и) ,

1=1 чдх<

где а,У - константы из условия II, (4).

дхг. у 2 а

Теперь переходим к оценке функционала Р4(е)(и) . С этой целью представим его в виде

Р(8)[и] = £Ык(ау(х,и))^2(х,и^(х,и)и) .

¿,./=1

дх,.

дх,.

Применяя неравенство Коши-Буняковского и условие II, имеем

2

п

п

2

2

1Р4(ы)|<2

',З—1

I

М^^кк1 — б2 (х, и)У(х, и)щ Ь2{Яп) дх

Используя условие (2), приходим к следующей оценке

|Р( е\и]\<ас 2

2 ,=1

+ -

с п

2а

где а > 0 , с, С - константы из условия II, (2).

Так как матрица-функции а^. (х) коммутируются с У (х, ы( х)), то, применяя условие эллиптичности III , получаем

2

(

ды

ды

Л

еу (х, ы)—

дх дх.

1 3 J

—2

<

^ — — ды I— гт^, . ды^

< х2 (х, ы) -г-(х, ы) -

1 У

На основе полученных оценок из равенства (6) следует, что

п Гы Гы

|(/,ф 8кУ(х,и)и)| > 2(а«Т~, ФУ(х,ы(х))—) +

7—1 3 сх дх

+(У ( х, ы)ы,фУ ( х, ы)ы) - Р/ е )[ы] - Р2( е )[ы] - Р3( е)[ы] - Р4( е)[ы].

( е ^Л _ Р( е)г

?(е)г

Далее, применяя неравенство Коши - Буняковского, получим

« 2

где 9Х — с п

(

1

Л

-£-а Х1С1п J

, — I 1 -

пу с 2а 2а

х

2

2

2

Пусть ß - положительное число, удовлетворяющее неравенство

' 1 „ 1 ^

KXxGxn 4а j

1

ß<axn--S--(ny + a3 . Положим а = — (пу + а3 ) + ß . Тогда

2

(л л \ ( , „ Л

в = axn —--S-

ХРП 2 ,

> 0, в2 =

1 --

пу + a

3

> 0.

пу + а3+ 2ß

Теперь, переходя в неравенстве (7) к пределу при s ^ 0, после несложных преобразования

получим коэрцитивное неравенство (5) . Разделимость нелинейного оператора (4) следует из коэрцитивного неравенства (7).

Теорема доказана.

Поступило 26.02.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Everitt W.N., Gierz M. An example concerning the separation property for differential operators. -Proc.Roy.Soc.Edinburg A., 1973, v.71, pp.159-165.

2. Everitt W.N., Gierz M. A Dirichlet type result for ordinary differential operators. - Math. Ann., 1973, v.203, №2, pp.119-128.

3. Everitt W.N., Gierz M. Inequalities and Separation for certain ordinary differential operators. - Proc. London Math.Soc.(3), 1974, v.28, pp.352-372.

4. Everitt W.N., Gierz M. Inequalities and Separation for Schrodinger type operators in L2(R")[ - Proc. Roy. Soc. Edinburg A., 1977, v.79, pp. 257-265.

5. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, 1984, т.170, с.37-76.

6. Бойматов К.Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для нелинейных дифференциальных операторов второго порядка.-Математические заметки, 1989, т.46, №6, с. 110-112.

7. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rn. -Труды Математического института им.В.А. Стеклова АН СССР, 1983, т.161, с.195-217.

8. Мохамед А.С. О разделимости нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом. // В сб.: Тезисы республиканской научн. конф. ''Теория приближения и вложения функциональных пространств'' - Караганда, 1991, с.88.

9. Каримов О., Усмонов Н.У. Коэрцитивные неравенства и разделимость для нелинейных систем дифференциальных уравнений второго порядка. - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 1997, т.44, №9-10, с.32-40.

10. Каримов О. О разделимости нелинейного оператора Шрёдингера с матричным потенциалом в весовом пространстве. - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2005, т. XLVIII, №3-4, с.38-43.

11. Каримов О.Х. О разделимости нелинейных дифференциальных операторов с матричными коэффициентами.-Известия АН Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, 2014, №4.

О.Х.Каримов

ОИДИ Ч,УДОШАВАНДАГИИ ОПЕРАТОРНОЙ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ГАЙРИХАТТИИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО КОЭФФИТСИЕНТ^ОИ МАТРИТСАВЙ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОР

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илмхои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола чудошавандагии як синфи операторной дифференсиалии гайрихаттй бо коэффитсиентнои матрисавй дар фазонои вазндор исбот карда шудааст, ки дар тамоми фазои n-ченакаи евклидй дода шудаанд ва дар нолати умум ошуби сусти операторнои хаттй намебо-шанд.

Калима^ои калиди: фазовой фазндор - оператори дифференсиалии гайрихаттй - цудошавандагй -нобаробарии коэрситиви - коэффитсиенти матритсави.

O.Kh.Karimov

ON SEPARABILITY OF THE SECOND ORDER NONLINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS WITH MATRIX COEFFICIENTS IN WEIGHTED SPACES

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of sciences of the Republic of Tajikistan In the paper the separability for a class of the second order nonlinear differential operators with matrix coefficients in weighted spaces which are not weak perturbation of a linear operator and given in a hole «-dimensional Euclidian space is proved.

Key words: weighted space - nonlinear differential operator - separability - coercive inequality - matrix coefficient.