Динамика светоиндуцированной тепловой линзы в жидкофазной двухкомпонентной среде

А_

Математическое моделирование физических процессов

УДК 535.21 1

В.И. Иванов, A.A. Кузин, А.И. Ливашвили, В.К. Хе

ДИНАМИКА СВЕТОИНДУЦИРОВАННОй ТЕПЛОВОй ЛИНЗЫ В ЖИДКОФАЗНОй ДВУХКОМПОНЕНТНОй СРЕДЕ

Образование тепловой линзы под действием излучения в поглощающей среде является одним из первых нелинейно-оптических эффектов, хорошо изученных как экспериментально, так и теоретически [1, 2]. Значительно меньше изучено самовоздействие излучения в двух-компонентных средах, в которых существуют концентрационные механизмы кубичной нелинейности среды, обусловленные, в частности, таким явлением, как термодиффузия (в жидкостях — эффект Соре [3]). Термодиффузионное самовоздействие излучения исследовалось в ряде работ [3—6], посвященных в основном изучению стационарных режимов тепловой линзы. Детальное исследование динамики светоинду-цированного тепломассопереноса в двухкомпо-нентной среде позволит решить важную прикладную задачу термолинзовой спектроскопии многокомпонентных сред.

Цель работы — теоретический анализ динамики тепловой линзы, возникающей в жидко-фазной бинарной среде под действием Гауссова пучка излучения, обусловленной в том числе термодиффузионными потоками компонент.

Объектом исследования является двухком-понентная жидкофазная среда (коллоидный раствор, двухкомпонентная смесь), состоящая из дисперсной фазы и дисперсной среды.

Излучение с Гауссовым поперечным профилем интенсивности падает на слой среды толщиной й. Коэффициент поглощения среды не

зависит от концентрации компонент и значительно меньше обратной длины рассматриваемого слоя, так что затуханием излучения можно пренебречь и задача становится цилиндрически симметричной. При взаимодействии светового поля с рассматриваемой средой возникают радиальные тепловой и концентрационный потоки, обусловленные соответствующими градиентами. Систему балансных уравнений, связывающих эти потоки, можно записать в следующем виде [6]:

dT = aV2T ^exp (-r2/r02); (1) dt cpp

— = DV2C + DTC V2T,

dt

где Т — температура среды; C (r ,t) — массовая концентрация растворенной компоненты; a = \Jcpp (k — коэффициент теплопроводности среды); cp ,p — соответственно теплоемкость и плотность среды; а — коэффициент поглощения излучения, а = const; I0 — интенсивность света в центре Гауссова пучка; D — коэффициент диффузии частиц дисперсной фазы; r0 — радиус

2 1 did

светового пучка; V =--1 r—

r dr^ dr

Рассмотрим случай малых концентраций дисперсной фазы (C << 1) и малых ее изменений; это позволяет линеаризовать второе уравнение системы, записав искомую концен-

4

Математическое моделирование физических процессов

трацию в виде суммы невозмущенной части С0 и возмущенной С^:

где

С (г ) = Со + См (г ) = Со(1 + С '(г )),

С) = ^фй << 1.

С

о

дС' д(

= БУ2С'+ БТС' У2Т;

Т {г ,0) = То, дГ\г=0 = 0;

С' (г,0) = 0 , ^ I г_о = 0; 0 < г < дг

Т (г ) = То +

[Е1(- г V Го2) - Е(-Г 2/(г2 + ))],

4А

где Б1 — интегральная показательная функция.

Воспользовавшись соответствующим представлением интегральных показательных функций [8], можно из формулы (8) получить выражение для температуры, справедливое для приосевого приближения (г2/г02 << 1):

Т(г ) = То +

а!ого

4Х

1п

1 +

4аХ

'о ;

4аГ

г02 г02 + 4а^

+ О

Г 4

Кг0 у

Используя выражение (8), перепишем уравнение (5) в виде

дС = БУ2С 'Ч[ехр(-г 2/ го2)-

„2

г02 + 4а?

ехр

После проведения соответствующих преобразований, с учетом неравенства (3), получим систему уравнений переноса с начальными условиями:

дТ = аУ2Т + ^ ехр

д СрР

а10БТ где % = —.

А

Задача допускает точное решение методом функции Грина [7], которое можно записать в следующем виде:

С '(г ) = к к ' 4Б I

Б1

(

а - Б

г2 + 4Б

Г2 +

л /

- Б1 -

- Б1

г 2

V го у

у

V

го2 + 4at

Асимптотика этого выражения вблизи оси пучка (при г21г0 << 1) имеет вид:

С„„ =-

а

Равенство нулю производных на оси кюветы выражает факт конечности искомых функций Т(г, Г) и С '(г).

Температура среды устанавливается значительно быстрее и не зависит от пространственного распределения частиц. Поэтому решим сначала тепловую задачу (4), (6), используя соответствующую для нее функцию Грина [7]. После проведения необходимого интегрирования получим точное решение:

Б

(

а - Б

1п

4Б I а - Б

Л

1п

1 +

4Б?

, 4at

1 + "Г Го )

2

16аБ?

2

Го2 (Го2 + 4Б1 )(го2 + 4а1) I

Полученные результаты позволяют вычислить фокусное расстояние Тлинзы, образованной в слое среды (считаем линзу тонкой, так что самовоздействие пучка заключается только в модуляции его фазы, поперечное распределение интенсивности на длине слоя не изменяется).

Поскольку в однофазной жидкости при неоднородном нагреве также возникает тепловая линза (обусловленная, например, тепловым расширением среды и соответствующим уменьшением показателя преломления), то в дисперсной среде существуют два тепловых механизма нелинейности, вклады от которых аддитивны. Фокусные расстояния тепловой и концентрационной линз соответственно равны

[9]-

/г =

Рс =

' дТ

дС

д2Т дг 2

д2С дг 2

-1

г=0 -1

г=0

0

2

2

+

2

2

а

2

о

2

4

2

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки 4' 2011

f dn Л где I — I и

1эг)

дп дС

являются постоянными для

данного вещества (и для разных сред могут иметь разный знак).

Проводя вычисления для фокусных расстояний тепловой и концентрационной линз с использованием равенств (9) —(14), получим:

8d aI0

1 + -

4at

du

dT

-i

^ I ;

Fe = —.

8d aI0C0DT

at2

dC

ной только изменением температуры в одно-компонентной среде) и термодиффузионной линз существенно разные. Для оптической силы результирующей линзы = Г^1 + Г^1 имеем окончательное выражение:

8 d aI0 X

f 2 ^ 1+

4at

v

-1

dn dT

"Co D

at

2

0 T (r02 + 4Dt)(r02 + 4at) 19C

dn

Таким образом, временные закономерности формирования обычной тепловой (обусловлен-

Полученные результаты могут быть использованы для развития методов термолинзовой спектроскопии и диагностики многокомпонентных жидкофазных сред.

2

U

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахманов, С.А. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде [Текст] / С.А. Ахманов, А.П. Сухоруков, Р.В. Хохлов // Успехи физических наук.—1967.— Т. 93.—Вып.1— С. 19-70.

2. Альтшулер, Г.Б. Нелинейные линзы и их применение [Текст] / Г.Б. Альтшулер, Г.Б. Инночкин // Успехи физических наук.-Т. 163.-№ 7-С. 65-84.

3. Giglio, M. Thermal lens effect in a binary liquid mixture: A new effect [Text] / M. Giglio, A. Vendramini // Appl. Phys. Lett.-1974.-Vol. 25.-No. 10. - P. 555-557.

4. Vicary, L. Pump-probe detection of optical nonlin-earity in water-in-oil microemulsion [Text] / L. Vicary // Philosoph. Mag. B.-2002.-Vol. 82.- P. 447-452.

5. Иванов, В.И. Самовоздействие гауссова пучка в жидкофазной микрогетерогенной среде [Текст] / В.И. Иванов, К.Н. Окишев, Ю.М. Карпец, А.И.

Ливашвили // Изв. Томск. политехн. ун-та.— 2005.— Т. 308.- № 5 - С. 23-24.

6. Иванов, В.И. Термоиндуцированное самовоздействие гауссова пучка излучения в жидкой дисперсной среде [Текст] / В.И. Иванов, А.И. Ливашвили, А.А. Кузин // Вестник НГУ. Сер. Физика.— 2010.Т. 5.- № 1- С. 5-8.

7. Полянин, А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики [Текст] / А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2000.- 576 с.

8. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения [Текст] / Н.Н. Лебедев. - М.: Физматгиз, 1963- 312 с.

9. Там, Э.Э. Сверхчувствительная лазерная спектроскопия [Текст] / Э.Э. Там, Р.Р. Бердж, Х.Л. Фанг [и др.] Под ред. Клайджера Д. // М.: Мир, 1986.- 520 с.

УДК 539.3

В.М. Жгутов

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕйНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

оболочек переменной толщины

Оболочки как элементы разного рода кон- Тонкостенные элементы современных струкций широко применяются в различных конструкций в виде оболочек предназначены областях техники и строительства. для работы под воздействием механических