Application of the gauge theory of defects in analyzing the stress-strain state of pairs in friction transmissions

Применение метода калибровочной теории дефектов при анализе напряженно-деформированного состояния трущихся пар в передачах трением

Ю.В. Гриняев, В.К. Шилько1

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Томский государственный архитектурно-строительный университет, Томск, 634003, Россия

Рассмотрены некоторые условия возникновения и перераспределения нормальных и касательных напряжений в трущихся парах передач трением первого вида с помощью метода калибровочной теории дефектов. Получены аналитические зависимости для анализа нормальных и касательных напряжений в трущихся парах с учетом напряженно-деформированного состояния формирующегося между ними «третьего тела». Проведен анализ напряжений в трущейся паре передачи «шкив - ленточная пила».

Application of the gauge theory of defects in analyzing the stress-strain state of pairs in friction transmissions

Yu.V Grinyaev and V.K. Shilko1

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 1 Tomsk State Architecture-Building University, Tomsk, 634003, Russia

In the paper using the gauge theory of defects we consider certain generation and redistribution conditions for normal and tangential stresses in pairs of sliding friction transmissions. Analytical dependences for the analysis of normal and tangential stresses in friction pairs are obtained with regard to the stress-strain state of a “third body” formed between the pairs. Stresses in a friction pair of the “pulley -ribbon saw” transmission are analyzed.

1. Введение

При развитии теории передач трением первого вида, то есть передач гибкой связью, неоднократно делались попытки вывода расчетных формул с учетом жесткости, веса, размеров гибкой связи и эксцентриситета приложения касательной нагрузки [1]. Изучение этих вопросов дает возможность понять физическую сторону сложного явления передачи движения силами трения и уточнить методы расчета передач гибкой связью. Однако в большинстве рассмотренных работ не исследуются достаточно глубоко вопросы перераспределения растяги-

вающих и сдвигающих напряжений по телу гибкой упругой связи и приводного барабана в пределах дуги обхвата. Вместе с тем, от этого зависит точность оценки распределения сил трения по длине контакта, посредством которых передается тяговое усилие.

Попытки решения данных проблем предпринимались неоднократно, но в результате анализа возможных методов решений большинство исследователей [1-3] приходят к выводу, что решение плоской задачи методами теории упругости без использования приближенных способов интегрирования основного бигармони-

© Гриняев Ю.В., Шилько В.К., 2005

ческого уравнения невозможно. Значительные трудности также вызывает использование приближенных способов решений (например, Ритца и Канторовича) при смешанных граничных условиях. Поэтому при определении напряженно-деформированного состояния трущихся пар в передачах гибкой связью, многими исследователями принимаются упрощающие гипотезы и предпосылки, которые зачастую приводят к неточным или неверным выводам при определении напряжений в гибких связях. Это, в свою очередь, приводит к тому, что до сих пор при определении основных параметров гибких связей используется очень много эмпирических функций с ограниченными областями определения значимых факторов и большим количеством поправочных коэффициентов [4, 5].

Современную методику определения напряженно-деформированного состояния трущихся пар в передачах трением можно предложить, используя принципы аналогового подобия некоторых процессов, рассматриваемых в отдельных разделах физической мезомеханики [6, 7], применительно к описанию трибофизических процессов, происходящих в трущихся парах передач трением.

Из теории передач трением следует [1, 2], что между гибким рабочим органом и шкивом имеет место упруговязкий характер контакта трения. В пользу такого характера контакта трения свидетельствует тот факт [1, 8, 9], что наряду с малым предварительным смещением в упругих зонах контакта имеет место значительное проскальзывание в других зонах контакта. Это обстоятельство приводит к перераспределению касательных

напряжений на контакте, то есть участки контакта, где нормальные давления меньше, в момент приложения внешней сдвигающей силы, частично проскальзывают. Сдвигающие усилия на контакте перераспределяются, уменьшаясь на проскальзывающих участках и возрастая на неподвижных участках, где нормальные давления больше [8, 9]. Поведение трущихся поверхностей в момент передачи движения показывает плоская модель (рис. 1) для условий сухого и граничного трения [1].

Вопросы предварительного смещения и влияния способа приложения сдвигающих сил на характер деформаций и напряжений, возникающих в упругих телах, которые передают и воспринимают сдвигающие усилия через контакт трения, разработаны недостаточно [1, 3, 5, 8]. В работе [8] сформулированы основные особенности сухого и граничного трения и введено понятие о «третьем теле», формирующемся между трущимися телами и характеризующемся упруго-вязкими свойствами. Разрушение контакта идет не одновременно по всей поверхности, а обусловлено бегущей волной деформации, рвущей последовательно «мостики сварки» между трущимися телами, то есть такой процесс носит закономерный характер. «Мостиковая» теория внешнего трения, согласно которой между трущимися поверхностями возникают зоны сварки с малыми относительными смещениями и зоны проскальзывания со значительными относительными смещениями, изложена также в работах [9-11].

Разрушение мостиков сварки можно представить как движение «зоны проскальзывания» вдоль поверхности трения, что напоминает движение «трансляционных

1-ОСТ I 1-осн

Рис. 1. Плоская модель передачи трением: 1 — гибкий рабочий орган; 2 — участок контакта («третье тело»); 3 — шкив; Lск — зона скольжения; Lоп — зона относительного покоя; Lосн и Lост — основная и остаточная рабочие зоны для реализации тягового усилия Ж; Тр и Тх — усилия, передаваемые рабочей и холостой ветвями; Жск — тяговое усилие, реализуемое в зоне скольжения; q — нормальное давление в трущейся паре; у тах — максимальный относительный сдвиг трущихся пар

дефектов» в деформируемом твердом теле. Введение понятия «зоны проскальзывания» между «мостиками сварки» аналогично понятию «трансляционных дефектов» в деформируемом твердом теле [12, 13], а движение таких дефектов вдоль зоны контакта приводит к образованию и разрушению «мостиков сварки». Это позволяет смещение контактирующих тел описать движением «мезодефектов» трансляционного типа и использовать динамические уравнения трансляционных дефектов в деформируемом твердом теле для описания вязкого поведения материала «третьего тела», формирующегося между трущимися телами.

2. Нормальные и касательные напряжения в «третьем теле»

Для определения уровня нормальных и касательных напряжений, возникающих между трущимися телами и передающимися шкиву и пиле, сделаем предположение о характере деформационного поведения и свойствах частицы «третьего тела». «Третье тело» наделяется упруго-вязкими свойствами, которые, в первую очередь, зависят от состояния поверхностей, давления, скорости приложения нагрузки, а также характеризуется некоторыми постоянными [14], которые в нашем случае принимаются как известные заранее или которые можно оценить из экспериментальных данных. Явления в зоне трения определяются свойствами и деформационным поведением «третьего тела» при разных видах нагружения.

В общем случае решение системы уравнений, описывающих динамику поведения трансляционных дефектов в деформируемом твердом теле [15-17], является сложной задачей, поэтому сделаем упрощающие предположения, которые позволяют получить аналитические решения, приводящие к некоторым заключениям о поведении трущихся тел и оценке вводимых постоянных.

В нашем случае представляют интерес не девять, а шесть компонент тензора напряженного состояния бесконечно малой частицы «третьего тела». Эти шесть компонент тензора напряжений в точке (рис. 2) будут характеризовать нормальные и касательные напряжения в направлении передачи движения и в направлении, нормальном к нему. Девиатор пластических деформаций частицы «третьего тела» будет соответствовать девиа-тору напряжений. Положим, что интенсивность потока частиц «третьего тела» В и их коэффициент динамической вязкости П не изменяются со временем. Отличными от нуля являются только четыре компоненты скоростей пластической деформации (е1, е2, е12, е21). Эти компоненты инвариантны, то есть зависят только от времени и не зависят от переменных (аффинных) координат. Это означает, что «третье тело» деформируется

Рис. 2. Композиция напряжений и деформаций частицы «третьего тела»: 1 — ленточная пила; 2 — шкив; 3 — частица «третьего тела»; а1 — растягивающие нормальные напряжения; а 2 — сжимающие нормальные напряжения, зависящие от напряжений ао предварительного натяжения; е и ^2 — компоненты пластической деформации «третьего тела»

однородно. При этих предположениях получим систему из четырех дифференциальных уравнений (неполный лагранжиан):

д е ^ 2 2 2 2

В — - — (е! + е12 - е21 - е2) + пе1 -а1 = °

2

Зе В 9 9 9 9

В~~ - — (е2 + е21 - е1 - е12) + Ле2 -а2 = 0 2

„ де„ В . .

В_ЭТ ~ "2 е21 + е2е12 ) + Пе12 -Т12 = 0,

„ Эе21 В . .

В~дГ ~ ~2 е21 + е2е12) + пе21 -Т21 = 0,

где а1, а2, е1, е2 — нормальные компоненты напряжений и скоростей деформации «третьего тела», а остальные — касательные, в соответствии с координатами схемы нагружения. Компоненты тензора напряжений считаются заданными и характеризуют нагружение трущихся тел.

Из уравнений (1)-(4) получим два подобных уравнения:

0

В — (е1 + е2) + Л(е1 + е2) = а1 +а2> дt

В^Т (е12 - е21) + Л(е12 - е21) =Т12 -Т21-дt

Решение этих уравнений при нулевых начальных условиях имеет вид:

е1 + е2 = -

а + а

(

Т12 х 21

п

Стационарные скорости пластической деформации «третьего тела» определяются как

п

п

п

п

где обозначено: а1 + а2 = р и т12 -т21 = ц.

Зная константы «третьего тела», условия движения и нагружения трущихся пар, из решений уравнений (5) и (6) можно определять нормальные и касательные напряжения, возникающие в трущейся паре при передаче тягового усилия, а также условия проскальзывания.

Скольжение трущихся тел в передачах трением первого вида будет происходить в том случае, когда скорость частицы «третьего тела», через которое передается движение, относительно гибкой связи будет иметь какое-то действительное значение, а относительно тягового органа (шкива, барабана) будет равна нулю. Такой момент может наступить при определенном сочетании действия касательных напряжений в трущейся паре.

3. Определение сдвигающих касательных напряжений

Из теории передач гибкой связью и теории упругости известно [1, 18, 19], что касательные напряжения т зависят от максимального относительного сдвига у тах трущихся пар (рис. 1):

= у G =

* тах

WG

где G — обобщенный модуль сдвига «третьего тела»; с — коэффициент контактной жесткости трущихся пар; к — коэффициент, учитывающий, какая часть тяговой силы передается в пределах дуги скольжения (к ~ = 0.75 ... 0.9); ^ — толщина гибкой связи.

Выражение (11) не позволяет учесть отдельно касательные напряжения, сформировавшиеся к моменту проскальзывания, то есть от усилия предварительного натяжения гибкой связи, и касательные напряжения, возникающие при передаче тягового усилия Ж. Кроме того, максимальный относительный сдвиг утах тру-

Рис. 3. Компоненты напряженного состояния при передаче движения в трущейся паре передачи трением: 1 — «третье тело»; 2 — гибкая связь; 3 — ведущий шкив; а0, Т0 — нормальные и касательные напряжения в трущейся паре, формирующиеся от усилия предварительного натяжения; а^ т^ — нормальные и касательные напряжения в трущейся паре, формирующиеся от приложения тягового усилия

щихся пар зависит от многих факторов, учесть которые можно только приближенно.

Рассмотрим характер изменения касательных напряжений в зависимости от скорости и времени деформации при простой схеме нагружения (рис. 3). Так, возрастание силы трения в зависимости от времени контакта задается выражением [8]

Т = Т0[а- (а- 1)е ]

где в — константа, характеризующаяся безразмерным коэффициентом упрочнения молекулярной связи «третьего тела», связанная с временем релаксации; а = = Т^/Т0 , Т0 и Т^ — силы трения при нулевом и бесконечно большом времени.

Используем уравнение для необратимой составляющей скорости пластических деформаций е12, которое имеет место для деформируемого твердого тела [12, 13]:

В Эе12

дt

+ пе12 -т12 = 0

где е12 — скорость пластических деформаций в «третьем теле», которая характеризует необратимые смещения трущихся тел относительно друг друга; т12 — внешние касательные напряжения, равномерно распределенные вдоль поверхности

Как следует из работ [8, 14], константы в уравнении (13) зависят, в первую очередь, от состояния поверхности, давления и температуры.

Решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (13), имеет вид

е12 = Се *

где величина п/В = в характеризует время релаксации.

п

е12 + е21 =

т

Подставим значение скорости (14) в уравнение (13) и из выражения

В\С,е В -4-С2е В \ + пС2е В -Т12 = 0

находим постоянные компоненты

С1 = ^ е1 1В

С2 =

+ Со

п

Отсюда окончательно имеем

«Вязкие» касательные напряжения, возникающие в зоне контакта, имеют вид

т = т12 +пС0е В

Для определения постоянной компоненты С0 возьмем в выражении (17) начальные условия в виде т0 = т при t = 0. Отсюда получим, что в начальный момент имеют место некоторые напряжения трения, то есть

т0 = т12 + ПС0 = 0, откуда Со = (т0 -т12)/п

Общие касательные напряжения в зоне трения тел составят

т = т12 + (т0 -т12 )е в , или

/ П.

о = 1 12 ^"1 12 - 1 —11 е В

то т о )

Принимая а = -

т = то[а-(а- 1)е р1 ]

~ Т12

о то

-Р11

окончательно имеем:

где т0 можно трактовать как чисто упругие (жесткие) касательные напряжения, сформировавшиеся к моменту проскальзывания при t = 0.

Данные условия характера передачи движения рассмотрены в предположении, что другие компоненты тензора скорости пластических деформаций не оказывают влияния на сдвиговую компоненту скорости деформации е12 в простой схеме нагружения (рис. 3).

Характер изменения касательных напряжений между трущимися телами в передаче трением первого вида, вытекающий из выражения (19), представлен на рис. 4. Из него видно, что в зависимости от функции времени с момента начала движения изменение упругих каса-

Рис. 4. Характер изменения упругих касательных напряжений в передачах трением первого вида, сформировавшихся к моменту проскальзывания: до проскальзывания

тельных напряжений на элементарном участке до проскальзывания идет со значительным возрастанием, а после проскальзывания с резким убыванием. Это напоминает график изменения сил трения в пределах дуги обхвата для передач гибкой связью [1] и характер изменения сил трения покоя в момент предварительного смещения трущихся тел [14]. Однако в отличие от трущихся пар находившихся в состоянии покоя, трущиеся тела в передачах гибкой связью изначально испытывают действие постоянных начальных касательных напряжений, которые в процессе работы (от передачи тягового усилия) могут уменьшаться относительно номинальных значений. Это значит, что по касательным напряжениям гибкий рабочий орган будет испытывать знакопеременные нагрузки. Характер изменения упругих касательных напряжений остается неизменным для различных уровней нагружения.

4. Оценка напряженного состояния трущейся пары «шкив - ленточная пила»

Отличием передачи «шкив - ленточная пила» от других передач гибкой связью является наличие ярко выраженной тонкой прослойки между шкивом и ленточной пилой в виде спрессовывающейся и налипающей на шкивы древесной пылеопилочной смеси. Данная прослойка здесь исполняет роль «третьего тела» и также

характеризуется упруго-вязкими свойствами. Движение ленточной пиле передается от приводного шкива благодаря усилию предварительного натяжения, как и во многих передачах трением первого вида [20].

На основании положений разделов 2 и 3 видно, что на ленточную пилу передаются напряжения, формирующиеся в «третьем теле» в момент сообщения движения, а также имеет место проскальзывание пилы относительно шкивов. При определении тяговых характеристик ленточнопильных станков необходимо знать, какая часть тяговой силы реализуется в пределах дуги относительного скольжения на ведущем шкиве, а именно: в месте перехода дуги относительного покоя в дугу относительного скольжения [1]. Кроме касательных напряжений в контактной зоне трущихся тел, участвующих в передаче движения, необходимо знать и уровень нормальных и касательных напряжений, передающихся самой ленточной пиле.

Задавая в уравнениях (7), (8), (16)-(18) постоянные компоненты, можно определять нормальные и касательные напряжения, возникающие в «третьем теле» и соответственно передающиеся ленточной пиле и шкивам.

Константы и постоянные компоненты примем в соответствии с данными работ [20, 21]. «Вязкие» и «жесткие» касательные напряжения в «третьем теле» определим исходя из следующих положений. Если «жесткие» нормальные напряжения ст0 = Ее зависят от модуля упругости Е и относительного удлинения е, а «вязкие» ст1 = пе — от коэффициента динамической вязкости П и скорости пластической деформации е1, то касательные напряжения соответственно определятся:

- «жесткие» как т0 = Су,

- «вязкие» как т21 =пе21.

Здесь имеет смысл определять только вязкие касательные напряжения, так как материал частицы «третьего тела» характеризуется упруго-вязкими свойствами и не следует полностью закону Гука. Примем скорость пластической деформации частицы «третьего тела» как стремящейся к окружной скорости ведущего шкива, то есть е21 ^ Гшк = 30 ... 45 м/с, а численное значение константы п ^ Пдрев — как стремящейся к численному значению коэффициента внутреннего трения древесины, то есть п ~(0.5 ... 0.6)-106Па-с (при продольном сдвиге вдоль волокон, т.е. при скалывании). Тогда максимальные значения «вязких» касательных напряжений составят т = (0.5 к 0.6) • 106 • (30 к 45) = 15 ... 27 МПа. Их значение невелико по сравнению с общим напряженным состоянием ленточной пилы и соответствует реальным практическим данным. Однако, если учесть то обстоятельство, что они передаются материалу растянутой пилы в другой плоскости, то их действие может негативно сказываться на сопротивлении усталости и приводить к образованию трещин с последующим раз-

рушением полотен ленточных пил. Именно действием касательных напряжений большинство исследователей объясняют причины разрушения гибких связей в передачах трением первого вида. При определении же напряженного состояния ленточных пил многие исследователи до сих пор пользуются устаревшими методами расчетов, не соответствующими реальным практическим значениям, которые порой трудно учесть многочисленными поправочными коэффициентами. Предлагаемый способ анализа напряженно-деформированного состояния трущихся пар в передачах трением первого вида с применением метода калибровочной теории дефектов более универсален для моделирования различных условий работы передачи «шкив - ленточная пила» и позволяет получать более достоверные значения действующих напряжений.

5. Выводы

1. Смещение контактирующих тел в передачах трением можно описать движением «мезодефектов» трансляционного типа и использовать динамические уравнения трансляционных дефектов в деформируемом твердом теле для описания вязкого поведения материала «третьего тела», формирующегося между трущимися телами и определяющего напряженно-деформированное состояние трущихся пар.

2. В начальный момент движения трущихся пар в передачах трением имеют место некоторые касательные напряжения трения от усилия предварительного натяжения. Затем при установившемся движении сдвигающие усилия на контакте перераспределяются, возрастая на неподвижных участках и уменьшаясь на участках скольжения, где нормальные давления меньше.

3. В момент проскальзывания с некоторой нулевой отметки времени к начальным касательным напряжениям трения добавляются дополнительные касательные напряжения, формирующие «зону проскальзывания» и играющие основную роль в передачах трением.

4. Несмотря на наличие большого числа факторов, определяющих действие касательных и нормальных напряжений в передачах трением, последние нельзя просто суммировать при оценке напряженного состояния. Необходимо производить их учет на участках, где зоны (дуги) относительного покоя переходят в зоны (дуги) относительного скольжения.

5. Применение изложенных методов расчета к передаче «шкив - ленточная пила» позволило определить уровень напряжений в ленточной пиле на наиболее нагруженных участках в соответствии с реальными практическими значениями. Это говорит в пользу того, что метод калибровочной теории дефектов может использоваться при анализе напряженно-деформированного состояния трущихся пар в передачах трением.

Литература

1. Андреев А.В. Передача трением. - М.: Машиностроение, 1978. -

176 с.

2. Светлицкий В.А. Передачи с гибкой связью. - М.: Машиностроение, 1967. - 153 с.

3. Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и интегральные урав-

нения математической теории трения. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 280 с.

4. ВоробъевИ.И. Ременные передачи. - М.: Машиностроение, 1979. -

168 с.

5. Солод Г.И. Основы теории передачи тягового усилия трением на длинных контактирующих площадках // Горная механика. - М.: МГИ, 1970. - С. 232-240.

6. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., ДаниловВ.И. и др. Структурные уровни

пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.

7. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -

1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.

8. Крагелъский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. Основы расчетов

на трение и износ. - М.: Машиностроение, 1977. - 526 с.

9. Боуден Ф.П., Тейбор Д. Трение и смазка твердых тел. - М.: Маши-

ностроение, 1968. - 543 с.

10. Tabor D. The hardness of metals. - Oxford: Clarendon Press, 1951. -175 p.

11. Bowden F.P., TaborD. The friction and lubrication of solids. - Oxford: Clarendon Press, 1964. - 544 p.

12. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Часть 1 // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.

13. Grinyaev Yu.V, Chertova N.V. Gauge theory applied to medium with internal structure and defects // Theor. Appl. Fracture Mech. - 1998. -V. 28. - P. 231-236.

14. Крагелъский И.В., Виноградова И.Э. Коэффициенты трения: Справ. пособие. - М.: Машгиз, 1962. - 220 с.

15. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Калибровочные теории пластической деформации в механике сплошных сред // Изв. вузов. Физика. -1990. - № 2. - С. 36-50.

16. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. О структуре полной деформации в рамках континуальной теории дефектов // Письма в ЖТФ. -1966. - Т. 22. - Вып. 10. - С. 10-13.

17. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Анализ полной деформации в континуальной теории дефектов // Изв. вузов. Физика. - 1996. - № 2. -С. 113-114.

18. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М.: Высшая школа, 1961. - 538 с.

19. Хан Х. Теория упругости. - М.: Мир, 1988. - 343 с.

20. Феоктистов А.Е. Ленточнопильные станки. - М.: Лесная промышленность, 1976. - 152 c.

21. Швамм Л.Г. Повышение долговечности ленточных пил при продольной распиловке древесины / Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Л.: ЛТА им. С.М. Кирова, 1983. - 20 с.