О выборе начального управления в задачах оптимизации динамики пучков заряженных частиц введение. Решение многих актуальных проблем, например управление пучками

Сер. 10. 2010. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ИНФОРМАТИКА

УДК 519.688:004.89 М. Ю. Балабанов

О ВЫБОРЕ НАЧАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Введение. Решение многих актуальных проблем, например управление пучками заряженных частиц, приводит к задачам нелинейной оптимизации. Существенную роль в их решении определяет выбор начальных управлений. Поиск начальных управлений - весьма сложная задача, так как они должны удовлетворять соответствующим конструктивным ограничениям, а динамика частиц должна иметь характеристики, удовлетворяющие заданным ограничениям. Нахождение начальных управлений может осуществляться направленными методами оптимизации. Однако существование многих локальных минимумов сильно усложняет такую задачу. Теория оптимизации динамики пучков заряженных частиц в линейных ускорителях развивалась в работах Д. А. Овсянниковым, О. И. Дривотиным, Н. С. Едаменко, Ю. А. Свистуновым [1-11]. В данной статье для автоматизации процесса поиска начальных управлений предлагается подход, основанный на накоплении знаний о данной задаче, включающий анализ тех или

иных управлений с учетом динамических характеристик изучаемой системы, и приме-

нении генетического алгоритма к задачам оптимизации динамики пучков заряженных частиц. Рассматривается математическая модель совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущенных движений, предложенная А. Д. Овсянниковым и исследуемая в работах [6, 7, 10, 11] применительно к продольному движению заряженных частиц в структуре с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ). Решается задача поиска начальных управлений в задачах нелинейной оптимизации.

Постановка задачи. Рассмотрим управляемую динамическую систему, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений

§=/

^=F

Балабанов Михаил Юрьевич — аспирант кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Д. А. Овсянников. Количество опубликованных работ: 7. Научные направления: математическое моделирование, численные методы, методы оптимизации, распределенные вычисления, искусственный интеллект, информационные технологии. E-mail: DevilNeo@mail.ru.

(§ М.Ю. Балабанов, 2010

с начальными условиями

х

у

где 4 € То = [¿о, Т] - независимая переменная, как правило, время, параметры ¿о, Т фиксированы; х € Ж" и у € Жт - векторы фазовых переменных х\,х2,...,хп и у1,у2,..., ут размерностей п и то соответственно; и = п(Ь) - г-мерная вектор-функция управления на отрезке То; ](¿,х,и) и ^(¿,х,у,и) - достаточно гладкие вектор-функции размерности п и то соответственно; Мо € Жт - компактное множество ненулевой меры; точка хо € Ж".

Будем полагать, что система (1), (2) имеет единственное решение задачи Коши при начальных условиях (3), (4) на отрезке То. Решение подсистемы (1) при начальном

условии (3) описывает программное движение, решение подсистемы (2) при начальном

условии (4) - ансамбль возмущенных движений [2].

Предполагаем, что управления и = и(Ь) составляют некоторый класс Пц кусочнонепрерывных вектор-функций на То, принимающих значения из компактного множества и С Ж1". Пусть в г-мерном пространстве заданы некоторые множества &г(и) С и при 4 € То. Рассмотрим следующий класс вектор-функций, учитывающий дополнительные ограничения на управления:

БЦ = {и = и

Введем при 4 € То и управлениях и = и(Ь) из класса Пц семейство функционалов = Нги(1,), г = 1,к, определенных на решениях системы (1), (2), которые определяют некоторые динамические характеристики управляемой системы. Обозначим через П класс вектор-функций Ьи = Н(Ь, и), компонентами которых являются функционалы Н'и(Ь). Пусть в ^-мерном пространстве заданы множества &г(Ь) при 4 € То. Рассмотрим класс вектор-функций

= {Ьи = Ь

Отметим, что Б<и С Би и С Б^, а также, что введенные ограничения, заданные множествами ^(и), ^(Ь), могут быть вызваны как техническими требованиями на управляемую систему, так и методикой построения алгоритмов поиска начальных управлений. В частности, методика поиска может включать возможность сужения класса управляемых функций и ослабления ограничений на динамические характеристики управляемого пучка. При дальнейшей оптимизации с использованием допустимого (начального) управления ограничения на управления и динамические характеристики системы могут быть изменены в соответствии с требованиями к исследуемой задаче.

Далее под допустимыми (начальными) управлениями будем понимать управления и € , при которых Ьи € . Нашей целью является разработка методики поиска

допустимого управления.

Методика поиска допустимого управления. Подход к решению поставленной задачи основан на накоплении знаний, что позволяет автоматизировать решение задачи с помощью интеллектуальных методов. Решение задачи происходит в несколько этапов. На первом этапе происходит поиск управления, удовлетворяющего некоторым ограничениям, на втором и последующих - итерационный процесс улучшения найденного решения. Для решения задачи поиска допустимого управления разработана система

поддержки принятия решений (СППР) - информационная система (рис. 1), которая позволяет автоматизировать процесс решения задачи оптимизации, оперируя формализованными знаниями о ней.

Рис. 1. Структура системы поддержки принятия решения

Пусть заданы кусочно-непрерывные на отрезке То функции и\ир(Ь), и\п^(Ь), г =

!>г; Чир(*)> КпЛ1)’ 3 = I,к] и = (и1,и2,...,иг), Ни = (И1и, И2и,..., Ики). Введем классы функций (5), (6) следующим образом:

в0и = {и : и е Ои,и\п{{г) < иг{г) < и1ир

п1 = {К: и е Цп^) < нЦг) < Н1ирШе Т0,з = М}.

Управляемая система (1)-(4) при заданном управлении и € Пц характеризуется вектор-функцией Ни € П^. Введем вектор-функцию

в =

которую далее будем называть объектом. Множество объектов образуют класс вектор-функций

Пв = {в =

Введем множество объектов

Пб = {в =

которое будем называть поисковым множеством, при этом имеем Пб С Пд. Задачу поиска допустимых управлений можно переформулировать таким образом: найти объект в = (и, Ни) € Пб.

Под знаниями будем понимать информацию, накопленную об объектах и поисковых множествах, а также о их взаимосвязях и этапах формирования. Накопленные знания

хранятся в базе знаний, которые необходимо систематизировать и упорядочить, определить взаимосвязи между ними, поэтому был введен набор функционалов.

Различать объекты по управлениям будем с помощью функционала

1и

tETo

Будем считать, что объекты неразличимы по управлениям, если 1и(в1, в2) ^ е, отклонение е обусловливается техническими требованиями. Близость объектов определим через функционал

г к

1в

1=1 1=1

где аг, в ^ 0 - весовые константы, и ||д(£)||ь1. = / \д(1)\А. Для построения методов

teTo

поиска объекта, принадлежащего поисковому множеству, введем функционал

!в,Оз = I 53аг(\\и18иР - и1\\ь1 + \\uinf - и1\\ь1 - \КиР - и\п{||^1) +

\г=1

к

+ УЗ в

г=1

при этом аг, в > 0. Заметим, что функционал 1в,о3 неотрицательный, причем 1в,п3 = 0 тогда и только тогда, когда в € , в противном случае данный функционал дает

оценку удаленности объекта от поискового множества.

Функционалы (12)—(14) позволяют решать задачи, возникающие при автоматизации процесса нахождения допустимых управлений, например поиск объектов, принадлежащих или близких заданному поисковому множеству. Это дает возможность сократить время поиска и улучшить качество начальных управлений для дальнейшей оптимизации.

Таким образом, при решении поставленной задачи первоначально поиск управлений осуществляется в накопленных знаниях, которые хранятся в базе знаний в виде деревьев решений, что позволяет анализировать решения и пополнять знания системы. На начальных этапах происходит заполнение базы знаний объектами, различимыми по управлениям (12). Для этого разработана и использована методика формирования начальных управлений на основе генетических алгоритмов. Дальнейший процесс нахождения управлений, заключающийся в оптимизации начальных управлений, также автоматизирован за счет различных методов оптимизации, основанных на накопленных знаниях.

Ресурсоемкие вычисления, необходимые системе для принятия решения и расчетов, производятся на высокопроизводительном комплексе, для этого в СППР имеется специализированный модуль для организации распределенных вычислений.

Методика формирования начальных управлений. В основе этой методики лежит поиск управлений на основе генетического алгоритма [12—15]. Алгоритм реализует генерацию управлений на основе операций естественного отбора, при этом возникает необходимость кодировать их в хромосому. В случае дискретного генетического алгоритма хромосома — это битовая цепочка, для непрерывного генетического алгоритма

/2,

хромосома — это последовательность действительных чисел. Предлагается выбирать способы кодирования и адаптировать операции генетики для работы с управлениями таким образом, чтобы автоматически соблюдались дополнительные требования, заданные на них, например монотонность, ограниченность.

Рассматривалось несколько типов кодирования: по отклонению от заданной функции, по значению и по производной функции в точке. Отрезок [¿о,Т] разбивается на интервалы точками ¿о,..., Ьп. Формируем хромосому — массив Q = {д0, д-\_,д2,..., дп-1, дп}, где дг = и (¿г) или дг = и'(¿г) в зависимости от типа кодирования.

Поиск начальных управлений происходит в несколько этапов. На первом этапе формируется начальное множество управлений (популяция), удовлетворяющих расширенным ограничениям:

я£+ = {К  и е БЬ, < И

где А\ = А\(Ь) — функции, используемые для реализации процесса поиска. Начальные управления формируются путем создания случайным образом хромосом, из которых декодированием получаются управления, заведомо удовлетворяющие требованиям и € ВЦт. Проверяется пригодность полученной популяции. Популяция пригодна, если выполняются расширенные ограничения (15) и управления попарно различимы по (12).

На последующих этапах происходит итерационный процесс. Сужаем границы расширенных ограничений. Используя критерий оценки удаленности объекта до поискового множества (14), выбираем управления для формирования следующей популяции на основе текущей. Далее путем операций генетики из выбранных потомков формируется новая популяция. При генерации проверяется пригодность полученной популяции. Остановка происходит либо при нахождении начального управления, либо при выполнении определенного максимального количества итераций, либо если управления в популяции неразличимы по (12).

Пример. Рассмотрим задачу выбора допустимых управлений для модели продольного движения заряженных частиц в структуре с ПОКФ [7]. Движение частиц в эквивалентной бегущей волне описаны в работах [1, 5, 10]. Рассматриваются динамика синхронной частицы и ансамбль возмущенных движений при различных начальных условиях. Законы изменения величин интенсивности ускорения п(Ь) и синхронной фазы ^(Ь) вдоль ускорителя подлежат выбору с учетом требований к характеристикам пучка и параметрам ускорителя.

В качестве функционалов рассматривались следующие динамические характеристики исследуемой системы [1, 6, 10]: параметр, дающий оценку длины оптимизируемой структуры; дефокусирующий фактор; изменение энергии синхронной частицы вдоль ускорителя; коэффициент захвата частиц в режим ускорения. Стоит отметить, что при изучении продольной динамики закладывается возможность получения достаточно хорошей поперечной динамики частиц за счет выбора ограничений на дефокусирующий фактор, что имеет важное значение при дальнейшей оптимизации поперечного движения [5].

Целью исследования являлась задача поиска допустимых управлений, т. е. законов изменения функций п(Ь) и <^(Ь) для модели продольного движения заряженных частиц в ускорителе протонов структуры с ПОКФ на частоте 352 МГц.

Необходимо было найти управления при следующих условиях: набираемая энергия на выходе должна лежать в пределах от 2.7 до 3 МэВ; длина структуры — меньше 1.8 м;

ґ г

Рис. 2. Приведенные фазы частиц пучка (а) и характеристики программного движения (б) 1 - набираемая энергия (МэВ); 2 - длина структуры (м); 3 - дефокусирующий фактор (х100); 4 - верхняя граница для дефокусирующего фактора (х100).

Рис. 3. Управления, соответствующие характеристикам программного движения

дефокусирующий фактор - не более 0.012; захват частиц в режим ускорения - в пределах от 95 до 100%. Управления выбирались из класса кусочно-линейных функций, принимающих значения в заданном диапазоне.

На основе данной методики были определены разные допустимые управления для поставленной задачи, которые качественно отличаются. Один из вариантов найденной структуры (рис. 2) имеет следующие характеристики: захват - 100%, максимальное значение дефокусирующего фактора - 0.0116, энергия на выходе - 2.95 МэВ и длина структуры - 1.64 м. Полученные управления представлены на рис. 3.

Наиболее эффективным при генерации допустимых управлений для ускорителя структуры с ПОКФ оказался способ кодирования производной, что обусловлено предполагаемой монотонностью управлений.

Заключение. Предложена методика формирования начальных управлений в задачах оптимизации движения пучков заряженных частиц. Проведены расчеты для структуры с ПОКФ, которые подтвердили эффективность предлагаемого подхода. Методика может быть распространена и на задачи поиска допустимых управлений в других ускоряющих структурах.

1. Овсянников А. Д. Совместная оптимизация программного и возмущенных движений: учеб. пособие. СПб.: Науч. исслед. ин-т химии С.-Петерб. ун-та, 2002. 53 с.

2. Овсянников А. Д. Управление пучком заряженных частиц с учетом их взаимодействия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 82-92.

3. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 312 с.

4. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 175 с.

5. Bondarev B. I., Durkin A. P., Ovsyannikov A. D. New Mathematical Optimization Models for RFQ Structures // Proc. of the 5th Particle Accelerator Conference. New York, 1999. P. 2808-2810.

6. Bondarev B. I., Durkin A. P., Ovsyannikov D. A. et al. RFQ Optimization: Methods and Codes // Proc. of the 6th Intern. Computational Accelerator Physics Conference, September 11-14, 2000. Darmstadt, Germany, 2000. 7 p.

7. Ovsyannikov A. D. New Approach to Beam Dynamics Optimization Problem // Proc. of the 6th Intern. Computational Accelerator Physics Conference, September 11-14, 2000. Darmstadt, Germany, 2000. 4 p.

8. Ovsyannikov D. A. Mathematical Methods of Optimization of Charged Partical Beams Dynamics // Proc. of European Partical Accelerator Conference. Barselona, Spain, 1996. Vol. 2. P. 1382-1384.

9. Ovsyannikov D. A. Modeling and Optimization Problems of Charged Particle Beams Dynamics // Proc. of the 4th European Control Conference. Brussels, 1997. P. 390-394.

10. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Balabanov M. Yu., Chung S.-L. On beam dynamics optimization problem // Intern. J. of Modern Physics A. February 20, 2009. P. 941-951.

11. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Svistunov Yu. A. et al. Beam dynamics optimization: models, methods and applications // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A 558. 2006. P. 11-19.

12. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая Линия - Телеком, 2007. 452 с.

13. Koza J. R. Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection (Complex Adaptive Systems). London, England: W-Press MIT (Mass.), 1992. 610 p.

14. Langdon W. B., McPhee N. F., Poli R. A Field Guide to Genetic Programming. USA, San Francisco, California, 2008. 205 p.

15. Методы оптимизации. URL: http://basegroup.ru/library/optimization/.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 1 апреля 2010 г.