Моделирование процессов абляции твердых тканей зуба

УДК 57.08

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ АБЛЯЦИИ ТВЕРДЫХ ТКАНЕЙ ЗУБА О.П. Сидорова, А.Е. Пушкарева

Рассмотрен механизм действия эрбиевого лазера на твердые биологические ткани. Разработана адекватная математическая модель абляции эмали и дентина. Проведен расчет формы и размеров кратера, образующихся при воздействии эрбиевого лазера на твердую ткань. Обсуждаются полученные результаты, преимущества и недостатки.

Ключевые слова: эрбиевый лазер, математическая модель, абляция, эмаль, дентин.

Введение

Одной из важнейших областей применения лазерного излучения является биомедицинская оптика. Каждый год в лазерной медицине появляется много новых предложений по использованию лазеров, увеличивается количество оборудования, постоянно возрастает число медицинских процедур. Стоматология является наиболее прогрессивно развивающейся отраслью медицины, всегда идет в ногу со временем и постоянно совершенствует лечебный процесс, делая его более безопасным и привлекательным для пациентов. Применение лазеров в данной отрасли открывает совершенно новые возможности, позволяя врачу-стоматологу предложить пациенту широкий спектр минимально инвазивных, фактически безболезненных процедур в безопасных для здоровья стерильных условиях, отвечающих высочайшим клиническим стандартам оказания стоматологической помощи.

Работая лазером, врач практически полностью исключает из повседневных расходов боры, кислоту для травления, средства антисептической обработки кариозной полости, резко снижается расход дезинфицирующих средств, меньше времени уходит на психологическую подготовку пациента к лечению. При использовании лазеров в стоматологических операциях важен подбор оптимальных параметров лазерного излучения. Для этого наилучшим путем является моделирование, поскольку можно избежать большого количества дорогостоящих экспериментов, а также упростить сам процесс.

Целью работы является создание адекватной расчетной модели, описывающей процесс формирования кратеров в твердых тканях зуба с помощью лазера, и сравнение результатов, полученных с использованием построенной модели, с имеющимися экспериментальными данными.

Механизм лазерной абляции твердой ткани зуба

Рассмотрим механизм действия на твердые ткани эрбиевого лазера. Он основан на «микровзрывах» воды, входящей в состав эмали и дентина, при ее нагревании лазерным лучом [1]. Этот механизм иллюстрирует рис. 1.

лазерное излучение

* * + * *

* минерал

• вода микровзрыв

Рис. 1. Механизм абляции твердой ткани зуба

Процесс поглощения и нагревания приводит к испарению воды, микроразрушению твердых тканей и выносу твердых фрагментов из зоны воздействия водяным паром. Для охлаждения тканей используется водно-воздушный спрей. Эффект воздействия ограничен тончайшим слоем выделения энергии лазера. Из-за минимального поглощения энергии лазера гидроксиапатитом - минеральным компонентом хромофора -окружающие ткани практически не нагреваются.

Описание модели абляции твердых тканей зуба УЛО:Ег лазером

В данном исследовании разрабатывается математическая модель, способная описать процесс формирования лазерных отверстий в твердых тканях зуба человека.

Применяется многоимпульсный метод обработки, т.е. воздействие разбивается на определенную серию импульсов. При этом зона абляции растет в глубину постепенно за счет послойного испарения материала каждым импульсом. Окончательная глубина отверстия определяется суммарной энергией серии импульсов.

Представим зуб в виде условной модели. Возьмем условный образец твердой ткани зуба, эмали или дентина прямоугольной формы и будем воздействовать на него лазерным излучением (рис. 2).

допнка  >1им

Рис. 2. Схема воздействия на образец лазерного излучения

Таким образом, можно получить геометрическую модель эмали или дентина, на основе которой производится оптический расчет (в двумерной цилиндрической системе координат) по следующей схеме.

На первом этапе необходимо найти распределение освещенности ф(х, г) внутри твердых тканей зуба. Для этой цели используется уравнение переноса излучения в диффузионном приближении [2]:

У2ф^(х г) - ф^(х г) + 3Ц^Е( X г, ¿о)- ' (Е(Х г, ^оЮ =

Данное приближение было выбрано, поскольку оно позволяет достаточно быстро производить оценочные расчеты и не требует большого количества ресурсов компьютера (как, например, метод Монте-Карло).

В результате решения уравнения (при помощи программы для решения уравнений в частных производных Бет1аЬ) получено распределение освещенности в образце, которое выглядит приблизительно так, как представлено на рис. З.

Рис. 3. Схема распределения освещенности в образце

На втором этапе, на основе полученного распределения освещенности, производится расчет распределения объемной плотности энергии в зубе:

Е(х,г )=ф(х,г )-ц

Еи

а ТТ т?2

п-К

где К - радиус пятна, ма - коэффициент поглощения излучения. Вычисление распределения освещенности в среде проводится с учетом потерь излучения за счет френелев-ского отражения на верхней границе, на нижней границе отражения нет (данная граница условная). Через боковые границы поток равен нулю.

Граничное условие для решения уравнения переноса в диффузионном приближении на границах с воздухом записывается следующим образом [2]:

- ^М + Е(,г,5)^(г) = 0,

1 + г2

2

'21 2 М^г

где г21 - коэффициент отражения на границе воздух-биоткань. В соответствии с [2] для верхней границы, через которую излучение из воздуха входит в рассеивающую среду, этот коэффициент равен

ч2

Г = 1 _

21

' 1 ^

V п2 У

На третьем этапе производится построение границы области абляции. Для образования кратера в твердой ткани зуба необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Е(х, г) > £Пор(х, г), Дж/см3 (рис. 4).

Елор

ч У '

,х

Рис. 4. Схема построения границы абляции в образце

Построение границы области абляции начинается с нахождения Епор(х, г). Пороговой плотностью энергии лазерного излучения считается такая плотность энергии, которая является минимальной для осуществления процесса абляции в образце. Если энергия импульса Е (х, г) будет больше пороговой энергии Епор(х, г), то облученный материал в виде дентина или эмали будет удаляться из зуба. Если Е (х, г) станет меньше Епор(х, г), то абляция ткани прекратится. Предполагаем, что вся вложенная энергия уносится от места обработки вместе с продуктами абляции и не влияет на дальнейший процесс обработки.

Четвертый этап - построение новой геометрии. Так как кратер в образце будет иметь не сферическую форму, а форму, близкую к эллипсу, то область абляции будем описывать эллиптическим законом:

х2 г2 ,

-2 + 72 = а Ь

где а и Ь - полуоси эллипса, которые находятся из условий Е(х, 0) > Епор(х, 0) и Е(0, г) > Епор(0, г) соответственно.

Будем считать, что продукты разрушения удаляются из образца полностью и никакой энергии после воздействия импульса в зубе не остается. В этих условиях после процесса абляции твердой ткани лазерным импульсом в образце образуется кратер, заполненный воздухом (рис. 5).

Рис. 5. Схема образования новой геометрии в образце

Продолжаем новый цикл оптического расчета с 1 по 4 этапы с учетом новой геометрии.

Результаты моделирования абляции эмали и дентина УЛО:Ег лазером

Исходные данные для моделирования

На основе описанной выше модели было проведено исследование процесса взаимодействия излучения YAG: Er лазера с твердыми тканями зуба человека и сравнение полученных в расчете размеров кратера с экспериментальными данными.

Коэффициент пре-ломле-ния (n) Коэффициент поглощения, см-1 Коэффициент отражения, % Глубина поглощения (1/е), мкм Коэф-фици-ент рассеяния, см-1 Фактор анизотропии

Эмаль (1мм) 0,1 [1] 15 [1] 0,96 [1]

Отполированная эмаль - 18500 [2] 38 [3] 0,5 [2] - -

31300 [2] 49 [3] 0,3 [2]

6500 [2] 16 [3] 1,5 [2]

5200 [2] 13 [3] 1,9 [2]

Эмаль [4] 1.55 770 - - - -

5500

8000

1125

825

Дентин [5] - 1500 988±111 20-22 [6] - - -

2200

1800 30-36 [6]

5000

Таблица 1. Оптические свойства твердых тканей зуба

В качестве исходных данных для расчета были взяты величины, соответствующие параметрам эксперимента: толщина эмали 0,6 мм, толщина дентина 1,5 мм; количество лазерных импульсов, использованное для формирования отверстий в тканях, для эмали N =5, для дентина N =10; энергия каждого импульса 30 мДж, диаметр пятна лазерного излучения на поверхности образца 100 мкм.

При расчетах учитывалась расходимость лазерного излучения. Считалось, что излучение лазера фокусируется на поверхности образца при помощи линзы с фокусным расстоянием 38 мм. В результате на поверхности ткани получается пятно с гауссовым профилем интенсивности, диаметр которого по уровню е"1 равен 120 мкм. Расходимость излучения после фокусировки соответствует 1§(а) = 0.025.

Оптические свойства эмали и дентина соответствовали параметрам, указанным в табл. 1.

Величины пороговой плотности энергии абляции для эмали и дентина взяты в соответствии с литературными данными [4]: для эмали - 12 кДж/см3, для дентина -5 кДж/см3.

Полученные результаты и обсуждение

Для проверки адекватности разработанной модели было проведено сравнение полученных расчетных размеров кратера с имеющимися экспериментальными данными, полученными в лаборатории лазерной медицинской техники кафедры ЛТБМО СПбГУ ИТМО, и представлено на рис. 6, 7. Внешний вид сформированных посредством излучения УЛО:Бг лазера кратеров показан на рис. 6, 7 (энергия импульса 30 мДж, 5 импульсов для эмали, 10 импульсов для дентина, диаметр пятна 100 мкм, тангенс угла расходимости 0.025), а в табл. 2 содержится численная оценка их основных геометрических характеристик.

Результаты моделирования процессов абляции твердых тканей зуба представлены на рис. 8-11 и в табл. 2, 3. Как видно из рис. 7-9, форма кратеров, полученных в расчетах, несколько отличается от формы кратеров, полученных экспериментально, особенно это заметно в области, близкой к поверхности ткани. В расчетах была получена форма отверстий, напоминающая часть эллипса, поскольку при построении модели было сделано предположение, что форма кратера напоминает эллипс. Также в расчетах не учитывалось рассеяние излучения на продуктах удаления и эффекты, связанные с оплавлением поверхности кратера. Глубина полученных отверстий, как видно из таблиц, близка к экспериментально полученным величинам (табл. 2, 3).

Тип зубной ткани Геометрические параметры кратера

Диаметр, мкм Глубина, мкм

эмаль (N =5) -205 -330

дентин ( Np=10) -275 -965

Таблица 2. Результаты эксперимента. Основные геометрические характеристики

лазерных кратеров

Зависимость глубины кратера от количества импульсов в эмали является практически линейной, как показано на рис. 10. Зависимость глубины кратера от количества импульсов в дентине не является линейной (рис. 11). В дентине с каждым следующим импульсом скорость образования кратера уменьшается, причем это наблюдается даже в течение первых 5 импульсов. Видимо, это происходит потому, что образование кратера в дентине происходит намного быстрее, чем в эмали, ведь, судя по рис. 10 и рис. 11, отверстие глубиной около 0,3 мм в дентине образуется за 1 импульс, тогда как в эмали - за 5 импульсов лазерного излучения. Данный эффект можно объяснить тем, что со-

держание воды в дентине намного больше, чем в эмали, и поэтому коэффициент поглощения лазерного излучения УЛО:Бг лазера в дентине намного превышает коэффициент поглощения в эмали.

Рис. 6. Внешний вид лазерных кратеров: а) в эмали; б) в дентине

Рис. 7. Вид продольных шлифов: а) в эмали; б) в дентине

I , мм

Рис. 8. Граница абляции в эмали после 5 импульсов

Эксперимент Расчет

Глубина кратера, мкм 330 320

Диаметр кратера у поверхности, мкм 205 126

Таблица 4. Экспериментальные и расчетные данные глубины и диаметра кратера

в эмали

Рис. 9. Граница абляции в дентине после 10 импульсов

Рис. 10. Зависимость глубины кратера от количества импульсов в эмали

П.1

й а -\—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i-1—i

i 2 Э i S 6 7 3 й 1П

количество импульсов

Рис. 11. Зависимость глубины кратера от количества импульсов в дентине

Эксперимент Расчет

Глубина кратера, мкм 965 987

Диаметр кратера у поверхности, мкм 275 122

Таблица 3. Экспериментальные и расчетные данные глубины и диаметра кратера

в дентине

Заключение

Таким образом, в работе была показана методика и принцип абляции твердой ткани зуба эрбиевым лазером. Также рассмотрены оптические характеристики твердых тканей зуба - эмали и дентина.

В рамках работы была разработана расчетная модель для описания процессов, происходящих при лазерной абляции твердых тканей зуба, которая позволяет произвести расчет формы и размеров кратера, образующегося при воздействии эрбиевого лазера на твердую ткань. Полученная модель позволяет учесть плотность энергии импульса лазерного излучения, число импульсов и расходимость пучка.

На основе модели были произведены расчеты размеров кратеров, образованных в эмали и дентине, при абляции YAG:Er лазером. Также было проведено сравнение результатов расчета и экспериментальных данных, которое показало адекватность модели для расчета глубины кратера. Форма же получаемых при расчетах отверстий отличается от экспериментальной формы кратеров.

Литература

1. Hoke J.A., Burkes J., Gomes E.D., Wolbarsht M.L. // Journal of Laser Applications. — 1990. — P. 61—65.

2. Star W.M. Diffusion Theory of Light Transport // Optical-Thermal Response of Laser-Irradiated Tissue / Ed. by Welch A.J. and van Gemert M.J.C. — N.Y., 1995. — P. 131—206.

3. Fried D., Featherstone J.D.B., Glena R.E., Seka W. The nature of light scattering in dental enamel and dentin at visible and near-IR wavelengths // Dental clinics of North America. - 1995. - Vol. 34. - P. 1278-1285.

4. Duplain G., Boulay R., Belanger P.A. Complex index of refraction of dental enamel at CO2 wavelengths // Dental clinics of North America. - 1987. - Vol. 26. - P.4447-4451.

5. Fried D., Borzillary S. F., McCormack S. M , Glena R. , Featherstone J. D. B. The thermal effects on CO2 laser irradiated dental enamel at 9.3, 9.6, 10.3 and 10.6 mkm // Laser surgery, Advanced characterization, therapeutics and systems IV. - 1994. - Vol. 2128. - P. 319-328.

6. Featherstone J.D.B. Caries detection and prevention with laser energy // Dental clinics of North America. - 2000. - Vol. 44. - №4. - P. 955-969.

7. Fried D., Zuerlein M. J., Featherstone J.D.B. Thermal and Chemical Modification of Dentin by 9-11-mcm CO2 Laser Pulses of 5-100-mcs Duration // Lasers in surgery and medicine.- 2002. - V. 31. - P. 275-282.

8. Луцкая И.К. Основы эстетической стоматологии. - Минск: Современная школа, 2005. - 332 с.

Сидорова Ольга Петровна — Санкт-Петербургский государственный универ-

ситет информационных технологий, механики и оптики, студент, sidorova_o_p@mail.ru

Пушкарева Александра Евгеньевна — Санкт-Петербургский государственный универ-

ситет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, alpushkareva@yandex.ru