Аберрационные свойства тонкой линзы в широких и узких пучках лучей

ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 535.317

В. В. Ежова, В. А. Зверев, И. Н. Тимощук

АБЕРРАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ТОНКОЙ ЛИНЗЫ В ШИРОКИХ И УЗКИХ ПУЧКАХ ЛУЧЕЙ

Показана возможность и определены условия не только стигматической, но и апланатической коррекции аберраций третьего порядка в изображении, сформированном системой положительных линз. Приведены соотношения, определяющие положения входного зрачка тонкой линзы, при которых в полученном изображении отсутствуют первичная кома и астигматизм.

Ключевые слова: изображение, оптическая система, тонкая линза, аберрации, входной зрачок.

Принципиально задача построения изображения предмета решается с помощью оптической системы, состоящей из одной тонкой линзы. При этом сферическая аберрация, кома и астигматизм изображения определяются оптической силой и формой (прогибом) линзы, поперечным увеличением изображения (положением предмета относительно линзы) и положением входного зрачка. Для достижения требуемого качества изображения оптическую систему объектива, состоящую из одной тонкой линзы, приходится дополнять, как минимум, еще одной линзой. В общем случае это приводит к изменению поперечного увеличения изображения, изменению оптической силы и прогиба линзы и, как следствие, к изменению требуемого положения входного зрачка. Таким образом, изучение аберрационных свойств тонкой линзы можно рассматривать как необходимое условие грамотной композиции оптических систем.

Определим параметры тонкой линзы с помощью углов аг-, образованных осевым параксиальным лучом с оптической осью (рис. 1):

а! = V п1 = 1

а2 = а d = 0 П2 = п

а3 =а' = 1 п3 = 1,

где V — поперечное увеличение изображения, п^ — показатель преломления материала линзы, d — расстояние между компонентами системы.

В области первичных аберраций влияние конструктивных параметров тонкой линзы на аберрационные свойства изображения определяется коэффициентами сферической аберрации (£1), комы (5п) и астигматизма (5ш) [1]:

£ = ИР;

= НР - Ж;

¿ттт = — Р - 2 + 3 2ф, 111 И И

где И — высота точки пересечения осевого виртуального луча с главными плоскостями тонкой линзы: И = 1 - V; Н — высота точки пересечения главного виртуального луча с главными плоскостями тонкой линзы: Н = ар$1, здесь ар — расстояние от тонкой линзы до центра

входного зрачка системы, Р1 — угол, образованный главным параксиальным лучом с оптической осью, при Р1 = 1 величина Н = ар; при принятых величинах параметров линзы инвариант Лагранжа — Гельмгольца равен 3 = Vap + V -1; линейные величины целесообразно выразить в масштабе фокусного рассеяния, т.е. ф=1.

У А

Входной зрачок а1 В1 Осевой луч а' А'

-ар - 1 Главный луч

а- 1 - V - Va

% =—Р + 2

1 - V

В результате последующих преоб Р = п

1 - V р разований получаем [3]

(п -1)2

2 1 + 2п , ч п 1 - V а2--(1 + V )а +

3

Рис. 1

Полученные соотношения позволяют выражения (1)—(3), определяющие коэффициенты первичных аберраций, представить в следующем виде:

¿1 =

¿тт = арР +

2 1 - V - Va , ч2

-аЖ +

а--

а=^-Т

2 + п

Ж = -

п +1

п -

1

п

п +

2 + п 1 - V -

При Р = 0 получаем уравнение

2 + п

решение которого можно представить в виде

1

2 1 + 2п ( л п 1 - V3 -а2--(1 + V )а+--= 0,

2 + п 1 - V

2

(1 + 2п )(1 + V )±y|(l—4n)V2+2(l + 2n2jV + l—4n

Уравнение (10) имеет вещественные корни при условии, что подкоренное выражение больше или равно нулю. При равенстве нулю это выражение приобретает вид уравнения, корни которого удовлетворяют условию, т.е. оба решения определяют параметры одной и той же линзы, но в прямом и обратном ходе лучей.

На рис. 2 приведена зависимость V(п) , определяемая решением подкоренного выражения в уравнении (10). При значениях поперечного увеличения V, находящихся в области ме-

жду кривыми 1 и 1' при углах а, определяемых уравнением (9), первичная сферическая аберрация изображения точки будет отсутствовать. Кривые 2 и 2' соответствуют значениям V, при которых в изображении отсутствуют первичные аберрации: сферическая аберрация и кома ( £ = 0, = 0) [3].

V

2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,! 0,6 0,4 0,2 0

1

1,2

1,4

1,6 1,8

Рис. 2

Производная от функции Р = Р (а, V, п) по а равна

2

2,2 2,4 п

дР

дР = п (2 + п ))1 - V) да (п -1)2

1 + 2п 1 + V

Положив — = 0, получим а =

да 2 + п 2

1 + 2пч

2а--

2 + п v '

а подставив это значение угла а в формулы

(7) и (8), получим

Рех1г = Р0 = п

1 - V

(п -1)2

- nV

Щхг = Щ =

1 - V2 2(2 + п) .

п -1 Щ

В общем случае из выражения (8) находим, что угол а =-(1 + V)---. Под-

п+1 п+11-V

ставляя это выражение в формулу (7), в результате последующих преобразований и учитывая соотношения (11) и (12), получаем

Р = Р0 + а (Щ - Щ )2,

где

п

а =

2

Щ0 =

11-V 2 2 + п

Р0 =

п

(п -1)2

- nV

При Ж = 0

Р (Ж = 0 ) = аЖ02 + Р0 =

п

(п2 -1)2

V2 - V+1

п

Отсюда следует, что Р (Ж = 0) = 0 при У1 = 0 и при У2 3 =

п2 +1 ±

2п

В соответствии с выражением (8) при Ж = 0 угол а =-^ (1 + V) . Тогда при V = п угол

а = п , а при V = 1/п угол а = 1. Таким образом, оба решения определяют разное положение

одного и того же апланатического мениска.

Пусть Ж = Щ, тогда при Р = Р0 в соответствии с выражением (4) коэффициент

= п

(п -1)2

- nV

п=1,50

откуда следует, что при V = 1х и при равном нулю выражении в квадратных скобках коэффициент ^ = 0, т.е. первичная сферическая аберрация изображения точки отсутствует.

Подставив полученные значения Vв формулу (10), находим значения углов а, определяющих кривизну поверхностей линзы.

Зависимость ^ (V), определяемая формулой (16), при трех значениях показателя преломления материала линзы п = 1,5, п = 1,65 и п = 1,8 представлена на рис. 3.

$

1,45 1,35 1,25 1,15 1,05 0,95 0,85 0,75 0,65 0,55 0,45 0,35 0,25 0,15 0,05 -0,05 -0,15

п=1,65

п=1,80

0 0,2 0,4 0,6 0

V

Рис. 3

Частный случай использования тонкой линзы — расположение предмета на бесконечно большом расстоянии от нее (V = 0 ). Тогда ^ = Р (так как Н = 1). При V = 0 формулы (13) и (14) принимают следующий вид [2, 4]:

Р = Р0 + а

где

4 1 п

п

а = 71) ' ^ =

2 (2 + п) 0 4 (2 + п)(п -1)2'

Рассмотрим оптическую систему, состоящую из к тонких линз.

Оптическая сила системы ф = а2к+1——1. При равенстве оптических сил линз в системе

И

фу = ф/к; при И = 1, а = 0, а2к+1 = 1 имеем фг- = 1/к.

Обозначим порядковый номер линзы как у. Тогда выражение, определяющее величину

] -1 У

нечетных углов ау = а2у-1, можно представить в виде а2у- = ^ . Угол а2у^ш = а2у+1, при

этом а2у+1 - а2у_1 = Vк . Тогда а2у+1 = У/к . Угол прогиба линзы аг+ =а2у. При этих значениях углов для у-й тонкой линзы и в результате преобразований имеем

п

=

(п -1)2

3 у (у -1) +1 Л „ ч 2 у -1 2 + п 2

--(1 + 2п —2у+—а 2,

Условие минимума сферической аберрации определяется выражением

dS^

п

dа

2у (п -1)2

/п „ \1 - 2 1 ~ 2 + п (1 + 2п)—+ 2—— а

2у

= 0.

а 2 у =

кк

Отсюда находим, что величина четных углов аг- = а2у определяется выражением

1 + 2п 2у -1

2 + п 2к '

Пусть к = 2, при этом в результате преобразований получаем

а1 = 0

1 + 2п 1

а2 =

а3 =

а4 =

2 + п 2к к

1 + 2п_3_

2 + п 2к 2

d1 = 0

d2 = 0

dз = 0

а5 = —= 1 5 к

Сферическая аберрация изображения точки, сформи

п 5 (п + 1ч2

определяется коэффициентом =

п1 = 1

п = п

пз =1

п4 = п п5 = 1 .

(п -1)3

п -

(2п +1)2

16 п + 2

рованного полученной системой, . При = 0 выражение в квад-

25

ратных скобках принимает вид уравнения п - 3п + = 0. Отсюда следует, что при к=2 в изображении точки сферическая аберрация третьего порядка отсутствует при п = 2,5.

Пусть к = 3. При = 0 в результате преобразований, подобных предыдущим, имеем

п2 -—п + 35 = 0, откуда находим, что при к = 3 в изображении точки сферическая аберра-8 32

ция третьего порядка отсутствует при п = 1,75 .

При к = 4 задача коррекции первичной сферической аберрации решается при п = 1,5 . Для у-й тонкой линзы параметры Щ и Р равны

1

п-1

п (а 2 +1 - а

12/ +1

2 2у -

1 )-

а 2у +1 а 2 у-1)а 2 у

2

п

Р =

п

(п -1)2

В результате преобразований для оптической системы, состоящей из к тонких линз,

1

2 - 2

имеем Щ = а2к+1—а^. При а1 = 0 и а2к+1 = 1 параметр Щ =

т. е. значение этого

2

параметра не зависит от числа линз в системе.

При Щ = 0 параметр Р (Щ = 0) определяется формулой (15), тогда

*

(п3 -1)2 1 п J

(Щ = 0) = 0 при V1 = 1/п, V2 = 1х , V3 = п . Зависимость (Щ = 0) = (V), определяемая формулой (21), при трех значениях показателя преломления материала линзы п = 1,5, п = 1,65 и п = 1,8 представлена на рис. 4.

^

0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

-0,05

п=1,50

п=1,65

п=1,80

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,

Рис. 4

1,8 2 V

Из выражения (20) при Щ = 0 находим, что угол а 2 у =

п 2у -1

(18) принимает вид

п

п +1 к

2 ./ . п\/ п\2"

. При этом уравнение

При к = 3 имеем = —

п

(-О'

27

.(2у -1)2 - у (у - 1)(п +1) (п2 - 19п + 8) . Приравняв к нулю выражение в круг-

лых скобках, получим, что апланатическая коррекция первичных аберраций в изображении, сформированном трехлинзовой оптической системой, достигается при п = 1,828.

Таким образом, при апланатической коррекции первичных аберраций показатель преломления материала линз должен быть заметно больше, чем при стигматической.

Первичная кома изображения точки определяется коэффициентом (см. выражение (5)). При ар = 0 коэффициент = (1 - V)Ж, при этом, как следует из выражения (8), угол

1 + V

а = п-

1 + п

. В результате преобразований получаем

Р = -

п

(п2 -1)2

V2 - V+1 п

Приравняв это выражение к нулю и решив его, находим, что V = п, V2 = 1/п, при этом а1 = п и а2 = 1 соответствуют параметрам отрицательного и положительного апланатиче-ских менисков.

Из выражения (5) при = 0 следует, что расстояние ар определяется как

(1 - V )Ж

ар = —

р Р - Ш

Выполнив замену параметров Р и Ж в уравнении (22) выражениями (7) и (8), в результате преобразований получим

ар =

п(п + 2)а2 - п(2п + 1)а + п2

При изменении угла а экстремальные значения расстояния ар определяются выражением

п +1

п2 -1

ар ар ехй

п п-1 ± 2п

4(п+2)'

З 0 (п -1) 2 (п -1) п + 2 Заметим, что при а = 0 величина ар =--; при а = 2 — ар =---; при

п

п п + 6

а = -2 — ар = -

(п -1) 3п + 2 п 9п +10

Зависимость ар (а), определяемая формулой (23), при изменении угла а в интервале -2 < а < 2 для трех значений показателей преломления п = 1,5, п = 1,65 и п = 1,8 представлена на рис. 5.

ар 0,6

Рис. 5

Аберрации изображения внеосевой точки, сформированного узкими пучками лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях, принято называть кривизной поверхности и астигматизмом. Кривизна поверхности изображения определяется оптической силой линзы и показателем преломления ее материала, первичный астигматизм изображения характеризуется коэффициентом , определяемым формулами (3) и (6).

При = 0 выражение (6) можно преобразовать в квадратное уравнение относительно переменной ар:

а 2 р + 2(, _ V) ар +-^-= 0.

р Р-2Ш + V2

Решение этого уравнения имеет вид

Л

(

W - V

ap = -(1 - V)-W V ( 2V -

p P - 2VW + V2

1 ±

1

1 -(1 -V) P - 2VW + V 2(1 -V) [[ - V (1 - V) ]2

при этом функция ap = ap -P, W, V) однозначно определяется выражением

a =_

p W-V

Приравнивая к нулю подкоренное выражение уравнения (24), определяем параметр

W 2

P = 1—v  Тогда согласно выражению (22) можно записать

ap = -

p W-V

Из сопоставления выражений (25) и (26) следует, что при однозначном положении входного зрачка, когда в изображении отсутствует первичный астигматизм, отсутствует также и первичная кома.

Используя выражение (8), представим уравнение (7) в виде

(1 - V)P = W2 - (1 -V)2 Га2 - n(1 + V)а + n2 V (n-1)2 L

Подставив это выражение в формулу (24), в результате последующих преобразований получим

ap =--

n + V -

Для того чтобы выражение (27) имело действительные корни, подкоренное выражение

а

должно быть больше или равно нулю. Отсюда следует, что при —> 1 угол а> n; при

n

а

--V > 0 угол а> nV.

n

„ (n -1)(1 - V) „

Пусть а = n , при этом ap =---. Радиус кривизны первой поверхности линзы

n - V

(n -1)(1 - V) й Г1 =-2-, т.е. центр входного зрачка тонкой линзы расположен в центре кривизны ее

n2 - V

первой поверхности. Аберрационные параметры второй поверхности линзы равны P2 = 0 и W) = 0, т.е. вторая поверхность линзы является апланатической и не вносит первичного

астигматизма в изображение. В результате получена линза, образованная изопланатической и апланатической поверхностями [1, 4].

^ т,

Пусть а = nV , при этом ар =-¡—-т-. Радиус кривизны второй поверхности

й (п -1)(1 - V) й рассматриваемой линзы г =-^-> т е- вторая поверхность тонкой линзы концентрич-

на центру выходного зрачка. Аберрационные параметры первой поверхности линзы равны Р1 = 0 и = 0, т.е. первая поверхность линзы является апланатической. Таким образом, и в

этом случае тонкую линзу образуют апланатическая и изопланатическая поверхности [1, 4].

При расположении предмета на бесконечно большом расстоянии от линзы (V = 0 ) формула (27) принимает вид

ар =--П -1 .

(п - 1)а - п ± уа (а - п) Выражение (28) определяет два значения отрезка ар , при которых в изображении отсутствует первичный астигматизм: а < 0 или а > п . Входной зрачок линзы, расположенный на меньшем по абсолютной величине расстоянии от ее центра, назван проф. М. М. Русино-вым ближним зрачком, а на большем расстоянии — дальним [4].

Заметим, что при а = 0 радиус кривизны первой поверхности г , отрезок

п-1 , п-1

ар =--, а ар = г2 = 1 - п; при а = п отрезок ар = г1 =-

n

2

n

Зависимость ар (а) при -п <а< 0 и п <а<2п, где п = 1,65 , представлена на рис. 6, а, б соответственно (при = 0).

а)

б)

а -1,65 -1,35 -1,05 -0,75 -0,45 -0,15

0,15

-0,1 0,25

-0,2 0,2

-0,3 0,15

-0,4 0,1

-0,5 -0,6 0,05

ар 1 0

1,5 1,8 2,1 2,4 2,7

3,3 а

Рис. 6

Пусть V = 0, тогда выражения (6), (7) и (8) принимают следующий вид:

Sin = Pap + 2Wap +1;

2 + n f 21 + 2n n P = n-г-1 а--а + -

2 + n 2 + n

jjr n +1 f n W =--1 а--

n -1

n -1

3

Естественно предположить, что при изменении положения входного зрачка при неизменном значении параметров Р и Ш значение коэффициента изменяется, т.е. в общем

случае = ¿¡¡¡(ар.) ^ 0. Экстремальное значение функции = 8щ(ар) находим из условия

Ш 2

• = 0: ¿Ш(а„ ех^) = 1

^ " Si11 (ap eXtr) = 1 W^T

Исследование аберрационных свойств тонкой линзы, выбранной в качестве базовой для построения оптических систем, позволяет дополнять систему требуемыми коррекционными элементами.

список литературы

1. РусиновМ. М. Композиция оптических систем. Л.: Машиностроение, 1989.

2. Зверев В. А. Основы геометрической оптики: Учеб. пособие. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2002.

3. Зверев В. А., Тимощук И. Н. Аберрационные свойства тонкой линзы как элемента композиции оптической системы // Оптич. журн. 2010. Т. 77, № 4. С. 10—16.

4. РусиновМ. М. Техническая оптика: Учеб. пособие. Л.: Машиностроение, 1979.

Василиса Викторовна Ежова

Виктор Алексеевич Зверев

Ирина Николаевна Тимощук

Рекомендована кафедрой прикладной и компьютерной оптики

Сведения об авторах аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики; E-mail: evv_foist@mail.ru д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра прикладной и компьютерной оптики; E-mail: post_vaz@rambler.ru

канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра компьютерной фотоники и видеоинформатики; E-mail: tim_ir@rambler.ru

Поступила в редакцию 28.01.14 г.