Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной XY-модели с линейными дефектами методом коротковременной динамики

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 4. С. 28-33.

УДК 539.173

Е.А. Гергертд, В.Ю. Колесников, В.В. Прудников, П.В. Прудников

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЭТ-МОДЕЛИ С ЛИНЕЙНЫМИ ДЕФЕКТАМИ МЕТОДОМ КОРОТКОВРЕМЕННОЙ ДИНАМИКИ*

Using Monte Carlo simulations it was studied the three-dimensional XY model with linear-correlated impurities. Short-time dynamic method with small but non-zero initial magnetization was used. The new dynamic exponent в as well as exponent z and P/v are determined for both pure and disordered systems.

В последние годы много теоретических и экспериментальных работ было посвящено исследованию влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение твердых тел. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением дефектов как точечных и пространственно некоррелированных. В то же время вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов значительно менее исследован. В рамках этой же проблемы можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов, таких как дислокации или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен. Можно ожидать, что дальнодей-ствующая корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем. В силу этого к моделям систем с дальнодействующей корреляцией дефектов существует несомненный интерес как с общетеоретической точки зрения выявления новых типов критического поведения в неупорядоченных системах, так и с точки зрения реальной возможности проявления дальнодействующей корреляции дефектов в ориентационных стеклах [1], полимерах [2] и неупорядоченных твердых телах с дефектами фракталоподобного типа [3].

Различные модели структурного беспорядка вводятся для описания таких сложных протяженных дефектов. В данной работе исследуется модель Вейнриба - Гальперина с так называемой дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов [4], когда парная корреляционная функция для точечных дефектов g(x-y) спадает с расстоянием по степенному закону с g(x-y)~| х-у | -а , где а - параметр корреляции дефектов структуры.

© Е.А. Гергертд, В.Ю. Колесников, В.В. Прудников, П.В. Прудников, 2007

* Работа выполнена при частичной поддержке грантом МК-8738.2006.2 программы Президента РФ.

При наличии в системе протяженных дефектов - дислокаций или плоскостей, ориентированных случайным образом, ее критическое поведение может быть также описано в рамках модели Вейнриба -Гальперина при значениях параметра корреляции а = ^1 или а = ^2, соответственно, где d - размерность системы. В работе [4] впервые с применением метода £-разложения было показано, что дально-действующая изотропная корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем, а проведенное в нашей работе [5] теоретикополевое описание непосредственно трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении позволило получить более достоверные значения индексов статического и динамического критического поведения для систем с различными значениями параметра корреляции а. В работе показано, что дефекты, обладающие свойством дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка, как в случае точечных дефектов, но и систем с многокомпонентными параметрами порядка.

В данной работе исследуются структурно неупорядоченные спиновые системы, описываемые ХУ-моделью, с гамильтонианом

н = - з X ррРР, ,

і , 7

где Бі = (8*, 8[) - это плоский единичный

вектор в узле і, 3 > 0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, рі - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе рі=1, когда узел і занят спином, и рі=0, когда узел пуст). Общая спиновая концентрация в системе была выбрана равной р=0,80. Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем а=2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным

образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.

Для описания особенностей критического поведения данных систем с протяженными дефектами было применено компьютерное моделирование методами Монте-Карло. Параметром порядка для трехмерной ХУ-модели является средний модуль намагниченности системы:

т =— \IJm2 + ыЛ ,

N IV х Ч1

X ых = Х ^, ыу = Х ^ , і і і

где Ыэ - количество спинов в решётке, угловые скобки характеризуют статистическое усреднение, а квадратные скобки -усреднение по различным реализациям распределения дефектов в решетке.

На первом этапе исследований было осуществлено определение критической температуры системы методом кумулянтов Биндера 4-го порядка. Для уменьшения эффектов критического замедления использовался кластерный алгоритм моделирования Вольфа. В результате анализа температурного поведения кумулянтов для кубических решеток с размерами Ь от 32 до 128 была определена критическая температура Гс=1,862б(5).

Затем при данных значениях критической температуры было проведено моделирование кубических решеток с линейными размерами Ь=128 методом коротковременной динамики [6]. Этот метод основан на проявлении универсального критического поведения уже на начальных этапах эволюции системы после некоторого микроскопического временного масштаба їтс, а не только при достижении системой равновесного состояния. При реализации данного метода для моделирования системы был применен алгоритм Метрополиса. Выбиралось неупорядоченное начальное состояние системы с малой или нулевой начальной намагниченностью. Были использованы известные для метода коротковременной динамики временные асимптотические зависимостей для намагниченности, второго момента намагниченности и автокорре-

Рис. 1. Временная зависимость намагниченности для системы с линейными дефектами с т0 = 0,005

Рис. 2. Временная зависимость намагниченности для системы с линейными дефектами с

т0 = 0,0075

Рис. 3. Временная зависимость намагниченности для системы с линейными дефектами

с т0 = 0,01

Рис. 4. Линейная аппроксимация критического показателя в для системы с линейными дефектами

ляционной функции при критической температуре

т(ґ) ~ А(ґ) =

ґ , т

_2

N

(2) (ґ) ~ Ґ2,

X P.S.

ґ

где ї - время, в - новый независимый динамический критический индекс, характеризующий увеличение намагниченности на начальных этапах эволюции системы, С2 =(й - 2fi/v)/z, С2 =d/z - в, й - размерность системы, z, в, V - известные динамический и статические критические индексы. Отметим, что асимптотическое временное поведение намагниченности в (3) определено в пределе малых началь-

ных значений намагниченности при т0 ^ 0.

Исследование эволюции системы осуществлялось на временном интервале в 700 шагов Монте-Карло на спин. Для расчета индекса в были получены временные зависимости намагниченности для различных малых значений начальной намагниченности т0 = 0,01, т0 = 0,0075 и т0 = 0,005 (см. рис. 1-3). Затем на основе полученных значений степенных показателей для различных т0 определялся индекс в как асимптотическое значение в пределе при т0 ^ 0 (рис. 4).

Усреднение проводилось по 1000 примесным конфигурациям при трех дополни-

с

тельных прогонках для каждой примесной конфигурации. При этом для каждой примесной конфигурации при прогонках генерировались различные спиновые конфигурации, соответствующие заданному значению т0. Для выделения степенного поведения автокорреляционной функции и второго момента намагниченности расчеты проводились при нулевой начальной намагниченности. Поскольку для ХУ-модели значение спина в узле решетки является положительной величиной, то приготовление спиновой конфигурации с точной нулевой начальной намагниченностью невозможно. Поэтому расчеты проводились с т0, которую с достаточной точностью можно считать нулевой, а именно с т0 = 10-6. Усреднение проводилось по 1250 примесным конфигурациям и по 3 прогонкам для каждой примесной конфигурации. На рис. 5, 6 представлены зависимости автокорреляционной функции и второго момента намагниченности от времени в двойном логарифмическом масштабе. Из них определялись показатели ca и c2. На представленных графиках видно, что в неупорядоченных системах в отличие от поведения однородных систем [6] может быть выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением намагниченности, второго момента намагниченности и автокорреляционной функции, а именно: на раннем временном этапе до £=100 реализуется критическое эволюционное поведение, соответствующее поведению однородной системы, а лишь затем, проходя через некоторый интервал кроссоверного поведения, реализуется динамический

режим критического поведения неупорядоченной системы во временном интервале [200, 600]. Осуществление линейной аппроксимации полученных временных зависимостей для данных величин, рассматриваемых в двойном логарифмическом масштабе, позволяет получить значения показателей степенных зависимостей в соответствии с соотношениями (3).

Статистическая погрешность показателей определялась путем разбиения данных, полученных при компьютерном моделировании, на три группы с одинаковым количеством примесных конфигураций в группе. Для каждой группы вычислялись значения показателей. Затем строился доверительный интервал для данной выборки.

В табл. 1 представлены полученные значения показателей для степенных зависимостей намагниченности, автокорреляционной функции и второго момента намагниченности, а также области, по которым производилось усреднение результатов их аппроксимации. В итоге искомые критические индексы принимают следующие значения 0 = 0,362(20), z = = 2,424(117), в/ч = 0,487(71). Полученные значения в пределах статистических погрешностей находятся в хорошем согласии со значениями z = 2,365, V = 0,760, в = 0,365, полученными в [5] при теоретико-полевом описании систем с дальнодей-ствующей корреляцией дефектов, а также значениями z = 2,364(7), V = 0,778(26), в = 0,370(30), полученными в [7] при численном исследовании критической релаксации данной модели из полностью упорядоченного начального состояния с т0 = 1.

Т а б л и ц а 1

Значения показателей временных зависимостей намагниченности, автокорреляционной функции и второго момента намагниченности для ХУ-модели с линейными дефектами

Показатель Длина и нач. точка отрезка аппроксимации Значения показателей Погрешность аппроксимации

в (т0 = 0.01 ) Ь=100-350, ^ =200-500 0.183 0.007

в (т0 = 0.0075 ) Ь=100-350, ^ =200-500 0.227 0.012

в (т0 = 0.005 ) Ь= 100-400, ^ =200-600 0.272 0.008

в

ca Ь=400-450, ^ =200-250 0.875 0.057

е2 Ь=400-450, ^ =200-300 0.836 0.042

Т а б л и ц а 2

Степенные показатели временных зависимостей намагниченности, автокорреляционной функции и второго момента намагниченности для однородной ХУ-модели

Показатель Длина и нач. точка отрезка аппроксимации Значение показателя Погрешность аппроксимации

в (m0 = 0.04 ) t=20..200 0.124 0.002

в (ш0 = 0.03 ) Ь=490..510, ґ0 =190..210 0.129 0.007

в (m0 = 0.02) t=20..200 0.134 0.004

в (m0 0 ) 0.144 0.018

ca Ь=240..260, ґ0 =140..160 1.367 0.038

C2 Ь=390..410, ґ0 =190..210 0.966 0.038

Рис. 5. Временная зависимость второго момента намагниченности для системы с линейными дефектами

Рис. 6. Временная зависимость автокорреляционной функции для системы с линейными дефектами

Теперь приведём результаты расчёта критических индексов, определяющих неравновесное критическое поведение для «чистой» трехмерной ХУ-модели со спиновой концентрацией p = 1,0. Был применён метод коротковременной динамики при критической температуре модели Tc = 2,2017 ± 0,0002 [8]. Рассматривались решетки с линейным размером L = 128 . При определении критического индекса в были получены временные зависимости для намагниченности при значениях начальной намагниченности т0=0,02; 0,03; 0,04.

Исследование временной зависимости автокорреляционной функции и второго момента намагниченности проводилось с начальной намагниченностью, которую с достаточной точностью можно считать нулевой, а именно с т0 = 10-5 . Усреднение проводилось по 1400 прогонкам и по 3 различным начальным спиновым конфи-

гурациям решётки для каждой прогонки. Графики для соответствующих зависимостей представлены на рис. 7-10. Значения показателей, полученные в результате аппроксимаций временных зависимостей термодинамических и корреляционных функций, представлены в табл. 2. Итоговые значения критических индексов для однородной модели оказываются следующими в = 0,144(18), z = 1,931(65), в/у = 0,567(44). Полученные значения степенных показателей для «чистой» модели позволяют обосновать несущественность примесных корреляционных эффектов в структурно неупорядоченных системах на ранних этапах их критической эволюции и реализацию критического поведения, соответствующего влиянию структурного беспорядка, лишь на более позднем временном интервале. Данные особенности неравновесного критического поведения неупорядоченных систем дополнительно затрудняют их исследование.

Рис. 7. Временная зависимость намагниченности от Рис. 8. Линейная аппроксимация критического

времени для однородной системы с т0 = 0,03 показателя в для однородной системы

Рис. 9. Временная зависимость второго момента намагниченности для однородной системы

Рис. 10. Временная зависимость автокорреляционной функции для однородной системы

В данной работе были впервые определены значения динамического критического индекса 0, задающего критическую эволюцию намагниченности при ее малых начальных значениях.

В заключение отметим, что временные затраты на численное исследование критического поведения однородных и структурно неупорядоченных систем методом коротковременной динамики оказываются заметно ниже, чем у других методов компьютерного моделирования. Поэтому этот метод с успехом может быть применен для расчетов характеристик критического поведения еще более сложных систем.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Binder K, Regir J.D // Adv. Phys. 1992. V. 41. P. 547.

[2] Blavats'ka V., Ferber C, Holovatch Yu. // Phys.

Rev. E. 2001. V. 64. P. 041102.

[3] Korzhenevskii A.L., Luzhkov A.A., Schirmacher W.

// Phys. Rev. B. 1998. V. 50. P. 3661.

[4] Weinrib A., Halperin B.I. // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 413.

[5] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 8777.

[6] Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. V. 12. P. 1419.

[7] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Dorofeev S.V., Kolesnikov V.Yu. // Cond. Matter Phys. 2005. V. 8. № 41. P. 213.

[8] Hasenbusch M., Torok T. // arXiv:cond-mat/ 9904408. 1999. V. 1.