Частотное регулирование асинхронного двигателя при постоянной мощности

ЧАСТОТНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ ПРИ ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТИ

Показаны принципиальные недостатки в основах сложившейся методики определения статических рабочих характеристик регулируемого асинхронного электропривода. Получены на уровне основ электромеханики новые общие закономерности частотного управления асинхронным двигателем, регулируемым при постоянной статической мощности, с использованием для анализа движения таких двигателей новой системы относительных величин, что значительно повышает возможности анализа. Обосновано понятие оптимального режима работы двигателя, соответствующего минимуму потерь и максимуму КПД при каждом значении статической мощности нагрузки, и найдены закономерности управления двигателем в оптимальном режиме.

Применение регулируемого асинхронного двигателя с частотным управлением на электростанциях для механизмов собственных нужд, имеющих сравнительно небольшую мощность, признано в настоящее время наиболее перспективным как в нашей стране, так и за рубежом [1, 2]. Вместе с тем обнаруживаются существенные недостатки сложившейся за многие десятки лет и принятой во всей литературе методики определения статических рабочих характеристик асинхронного двигателя, в том числе регулируемого при постоянной мощности, что затрудняет его эффективное использование и вызывает необходимость внесения некоторых корректив в теорию асинхронного электропривода на уровне основ электромеханики [3].

Используем схему замещения асинхронной машины при равном эффективном числе витков фаз статора и ротора, когда основные электрические уравнения двигателя в установившемся режиме непосредственно приводят к Т-образной схеме замещения (рис.1), согласно векторным равенствам [4]:

ш0-ш

где я = —Ш----скольжение ротора; ш 0 - синхронная угловая скорость; ш - угловая

ш0

скорость двигателя.

Схемой замещения на рис. 1 не учитывается активное сопротивление намагничивающей цепи, так как оно незначительно влияет на распределение токов, но за счет этого существенно упрощаются конечные формулы. Вместе с

А.Н. ПОПОВ*, В.Б. САЙФУТДИНОВ**

*Липецкий государственный технический университет **ОАО “Новолипецкий металлургический комбинат”

и = ЯіІ1 + у(х1 + Хт)Л + ІХШІ2 ;

• я2 • •

0 = ІХт11 + — 72 + ЛХ2 + Хт)12 ';

/0 = 11 + 12 .

© А.Н. Попов, В.Б. Сайфутдинов Проблемы энергетики, 2006, № 1-2

тем, при рассмотрении энергетических процессов двигателя, когда в уравнениях связываются сравнимые по значению величины, потери в этом сопротивлении, выражающие потери в стали, непременно учитываются, что повышает надежность расчетных формул.

Рис. 1. Эквивалентная Т-образная схема замещения одной фазы асинхронной машины

Исходные зависимости (1) - (3) дополняются в электроприводе уравнением механического равновесия (уравнением моментов), которое в двигательном режиме представляется в виде [5]

Мэл = Мс + ДМШ

где Мэл - электромагнитный момент, развиваемый двигателем, Мэл =-

3*212 ;

яш0 ’

Мс - статический момент нагрузки на валу; ДМмех - момент механических потерь двигателя, ДМмех = А + Вш ; А и В - постоянные.

С помощью схемы замещения находятся следующие уравнения напряжения и токов асинхронной машины [4]:

/, =-

и, ;

]Хт {В^Ы + /х2 ) ’

*2^ + Л хт + х2)

& ]Лхт &

12 =-------"-------------------/1;

*2^ + І

& *2^ + ]х2 &

10 = ' 11 .

R2ІS + Л

Зависимости (6) - (8) приводят к расчетным формулам при обращении к скалярным величинам. Однако их непосредственное использование при рассмотрении движения асинхронного двигателя, регулируемого по двум каналам (изменением подводимого напряжения и его частоты), становится затруднительным без перехода к относительным величинам. Задача эта имеет также самостоятельное значение, так как до сих пор в полной мере не была решена в теории асинхронного электропривода [6,7].

Принимаем за базовые номинальные значения тока статора /1н, синхронной скорости Шон и частоты /1н подводимого напряжения.

Составляем исходные соотношения: : - • 8 - 8 — /1 . V - ш

*1 — т ; 8 — 81 — / . V — ш •

71н Ли ш0н

В уравнениях (1), (2) индуктивные сопротивления определяются

равенствами: х1 — /1ш0; х2 — /2ш0 ; хт — Ьтш0, в которых /1 и 12 обозначают

индуктивности рассеяния фазы статора и ротора, а Ьт - индуктивность контура намагничивания.

С помощью отношений (9) вместо формул (1), (2) получаем их выражения в относительных величинах:

«1 — Р1*1 + Л(о1 + 1)8к + Л'12;

0 — У8*1 +1 Р2*2 + Л(о2 + 1)8*2 ,

IV • Т-2 хл

где 5 — 1 --^; *2 — 7^; °1 — ~ = ;

Р1

71н *1 ;

71н

Р 2

«1=

и,

"0н

71н *2 ;

0н 0н

Е0н — ш0н7т71н — ш0н^1н •

Из условия 5 = 0 определяется в относительных величинах синхронная

ш0

Также

ш0н

ее относительное

скорость идеального холостого хода двигателя V 0 —

/2

58 — 8 - V — 82 —^-, где /2 - частота тока ротора и 82 -

/1н

выражение.

Здесь Е0н физически обозначает действующее значение базовой ЭДС, наводимой в фазе статора при номинальной синхронной скорости идеального холостого хода ш0ни номинальном токе статора 71н при магнитном потоке (потокосцеплении) ^1н • Базовой ЭДС соответствует также базовая

электромагнитная мощность ^Эл.0н = Е0н 71н и базовый электромагнитный

момент М,л.0н Рэл. 0н /ш0н •

Уравнение токов (3) с учетом (9) переписывается в виде

*0 — *1 + *2 ,

где *0 =

1н

Из уравнений (10) -(12) определяются зависимости между относительными токами и напряжением, подобные (6) - (8):

111

р1 + Л(о1 +1)8 +

Р2

+ Л'8

т

0

2

8

5

*2— -----—---------;

— + Л'8

5

(— + Л'8° 2 )*1

*0 — —5-----------------------------------------------------------------------•

— + Л8

5

Рассматривая уравнения (13) - (15) применительно к номинальному режиму, когда г1н=1, 8н=1, v„=ш„/ш0„ и 5н=1-у„, и переходя к скалярным величинам, найдем значения относительного номинального напряжения и1н и токов г2го

Переходя в уравнении механического равновесия двигателя (5) к относительным величинам (9), получаем

3-2 ¡2

рэл — — рс + ^^мех,

8 - V

, о.. . ™ А .а Вш0н __ Мс щщ Мэл

где Армех — а + Pv ; а — ; Р — ; рс — ; рэл — •

-^эл^н -^эл^ -^эл^н Мэл•0„

В асинхронной машине электромагнитный момент Мэл равен механическому моменту двигателя Ммех, который определяется по механической мощности Рмех и скорости двигателя ш:

Мэл — Ммех— Рмех •

ш

Механическая мощность Рмех находится как разность между электромагнитной мощностью Рэл — Мэлш0, передаваемой ротору, и мощностью скольжения Q2, теряемой вследствие электрических потерь в цепи ротора (потери в меди ротора):

&— 37| *2 — Рэл5 •

1 — 5 2

Следовательно, Рмех — Рэл — & — 3*2--------72 •

5

Механическая мощность включает в себя статическую мощность Рс, развиваемую на валу двигателя, и мощность механических потерь ДРмех от всех видов механического трения (потери в подшипниках и вентиляционные):

Рмех— Рс + ДРмех •

Из равенства (20), с учетом (17), получается зависимость (5), в которой момент механических потерь устанавливается исходя из того, что значение ДМмех изменяется линейно со скоростью двигателя [7]^

В относительных величинах (9) статическая мощность Рс = Мсш записывается в виде

Рс = ^с ,

Рс

с

где Рс =----------.

Р

1 эл.Он

Рассматриваем наиболее важный для данной практики случай регулирования асинхронного двигателя при постоянной механической (статической) мощности на валу:

рс = const.

На основании уравнений (13) - (16) с учетом (21) находим

2 Pc + V(a + Pv) 2

«1 =----------------{[Р1Р2 - Ф - V)C] +

3р2(г - v)v

+ [(о1 + 1)р2г + (о2 + 1)р1(г - v)]2 }, (23) где О = 1 + О 2 + 010 2.

Уравнение (23) определяет в неявном виде общую зависимость скорости двигателя v от переменных величин напряжения «1 и частоты г при заданном значении статической мощности pc. Из этого уравнения при каждых заданных v = const и pc = const определяется закономерность регулирования напряжения «1 от приложенной частоты г, а при заданных закономерностях изменения напряжения «1 в функции частоты г находится при pc = const изменение скорости v (решением уравнения четвертой степени) в функции частоты г питающего напряжения «1 .

С помощью зависимостей (13) - (16) и (21) находим уравнения токов:

.2 [ Pc + v(a + pv)][p2 + (г - v)2o2]

г0 = ;

3р2(г - v)v

.2 [ Pc + v(a + pv)][p2 + (г - v)2(o 2 +1)2]

г1 = ;

3p 2(г - v)v

.2 (г - v)[Pc + v(a + pv)]

l2 =---------------------------------------------------------------------------.

3p 2 v

Диапазон регулирования скорости двигателя при частотном управлении ограничивается главным образом электрическими параметрами - допустимым (предельным) значением напряжения «1пр и намагничивающего тока г'опр. В

дальнейшем принимаем, согласно [3, 7], для каталожных двигателей «1пр = 2«1н и

г0пр = 1,2г0н .

3ІО v - V

г = v +-----------2--------------------------•

2о 2[Pc + v(a + Pv)]/ р 2

Из этой формулы при i0 = гОпр и обращении в нуль подкоренного

выражения устанавливается нижний предел v^ снижения скорости двигателя,

регулируемого при заданном значении pc = const:

3i0 - 2«2a - V(3ІО - 2«2a)2 - (4«2)2Р  pc ..„V

vпр =-------------------------------------------•

4 2Р

Также находится минимальная предельная частота тока

3г0р 2 ^р ,__ч

гпр = '’пр +---2------------------,

2« 2[pc + + Pvпр )]

а по уравнению (23) определяется предельное значение напряжения и1пр •

Кроме того, регулируемый двигатель должен оставаться в области рабочей части механической характеристики, на которой обеспечивается устойчивость механического движения [3], поэтому должно выполняться условие S < £кр ,

означающее, что текущее скольжение s не должно превышать критическое *кр • Последнее определяется на основании уравнения (16), с учетом (13) и (15), при

•_• ^рэл

обращении в нуль производной------------:

ds

2 р 2[р2 +г 2

s^ =--------------------------------------•

р г 2[г 2(«1 + о 2 + «1« 2)2 + pfo 2 +1)2]

Мощность потерь (потери) Q асинхронного двигателя слагается из электрических потерь в меди статора Q1 и ротора Q2, механических потерь АРмех и из потерь в стали машины Qст :

Q = Q1 + Q2 + АРмех + Qст

или в относительных величинах

q = q1 + q2 + АРмех + Чст ,

Q Q1 Q2 А ЛРмех Qст

где q=---------; q1 =-------; q2 =-; Дрмех =---------------; qст =-----------•

Р Р Р Р Р

1 эл^Он 1 эл^Он 1 эл^ Он 1 эл^ Он 1 эл^ Он

Потери в меди статора

q1 = 3i1 р1;

потери в меди ротора

q2 - 3i2 p2 ;

механические потери, согласно (16), ДРмех - V(a + pv).

Наиболее обоснованная формула изменения потерь в стали регулируемого асинхронного двигателя (от гистерезиса и вихревых токов) установлена из предположения, что эти потери возрастают пропорционально квадрату подводимого напряжения и1 и изменению частоты / в степени 1,3 [3]:

Qct - Qi ст.н

Г ^ Л 2 Г f1 Л

^ ^1н ,

1,3

у

(i+*u )•

Принимая, что номинальные потери в стали в фазах статора 21ст.н равны

2

номинальным активным потерям в намагничивающей цепи 3 /он Ло, и переходя к относительным величинам (9), приводим предыдущее уравнение к виду

>

V3 +( - V)13 ],

Чст - 3і0нр0

2

«1

«1н.

ГДе Ро - -

Лн *0

E,

0н

На основании уравнения (32) определяются КПД п и ео«ф двигателя:

П =

Ре

Ре + q

Ре + q 3«iii

Применим для иллюстрации данные асинхронного короткозамкнутого двигателя типа А2-81-8, приведенные в работе [8]. Номинальное напряжение Ц1=220В, номинальная мощность Рн=22кВт, номинальная частота вращения ин=727об/мин, номинальный ток статора /с.„=42,9А, ток холостого хода /0=15А. Сопротивления схемы замещения: гс=0,180м; хс=0,6240м; г0=1,1Ом; х0=14,1Ом; r'p = 0,153 Ом; x'p = 0,485 Ом.

Имеем угловую номинальную скорость двигателя шн=76,13126 1/с; угловую номинальную синхронную скорость ш0н=78,539816 1/c; номинальное скольжение

= 3,0667 • 10“2.

Принимая Л1=гс, х1=хс , xm=x0, R2 = r'p, x2 = x'p, R0 = r0 и /j = /с.н, находим, на основании уравнений (6) - (8), и1н=215,85В; /2н = 39,24 А; /0н = 13,95 А, а также уточняем номинальную мощность Рс.н = 21,5 кВт на основании условия, обоснованного в [3, 5].

Переходя к относительным величинам, находим: Е0н =604,89 В

ун - 0,96933 ;

о1 - 4,42553 • 10-

о2 - 3,43972 • 10

-2

р1 -1,27660 • 10-

р2 -1,08511 • 10-2 ; і2н - 0,91471; і0н - 0,32518; а - 2,80988 • 10_2 ; р - 5,49176 • 10_3 р0 - 7,80142 • 10-2 ; рен - 0,82853 ; «н - 3,0667 • 10"2.

© Проблемы энергетики, 2006, № 1-2

2

2

Преимущественное применение при частотном регулировании скорости

Реализация способов регулирования (39) - (42) удобна тем, что при этом не требуется управляющего сигнала скорости двигателя. Вместе с тем используется способ регулирования скорости при постоянном скольжении «=сопз1, когда, согласно обозначениям (11),

8

Применяется также способ регулирования скорости при постоянной частоте тока ротора:

Чтобы перейти к расчетным формулам при условии регулирования (43), нужно исключить из полученных уравнений частоту 8 = ^(1 - «), а при условии регулирования (44) - произвести замену 8 - V = 82 .

На рис. 2 построены, с помощью уравнений (23), (41), для двигателя А2-81-8 при постоянной номинальной статической мощности рс = рсн в функции

частоты 8 зависимости г0, ¿0/ , (кривые 1 - 3) изменения намагничивающего

тока г'о при управлениях

при управлениях (43), (44). Приведенные зависимости показывают, что только один способ управления (39), при котором напряжение регулируется пропорционально частоте (кривая 1), обеспечивает снижение скорости вниз от номинальной vн (соответствующей частоте 8н = 1), тогда как в остальных случаях такое регулирование становится затруднительным, так как может осуществляться только за счет повышения тока возбуждения ¿о выше

номинального значения ¿дн. По той же причине второй из рассмотренных

способов, устанавливаемый формулой (41), не может использоваться также при регулировании скорости вверх от основной (кривая 2).

двигателя имеет изменение напряжения и\ = и( пропорционально частоте: и[ иы

8 1

Рекомендуются также зависимости [9]

иі

иі

которые, согласно (9), представляются в виде:

«і = иі1 = «ін82 ;

и1 = «і11 = иін48.

V

«=сопз1; — = сопзі.

82 = 8 - V = сопз! .

'о 1,0

0,75

0,5

0,25

АС V \ .VII »0 4 Jl

у\ Оч 1 .VI \./0 : /0

.lllXS . '0 3 10.н /1 a

eg . .v ,ш i-Г /п./ll

4.v JvTjV |*(Ь*0 » ¡0 £||

0

0,5

1,0

1,5

2,0

е

Рис. 2. Изменение намагничивающего тока ¿0 двигателя А2-81-8, 21,5 кВт при постоянной номинальной статической мощности pc = pc.„ в функции частоты £ при различных способах управления: if, if1, iff1

В замкнутых системах частотного регулирования используются также способы управления двигателем при постоянных значениях намагничивающего

тока i0, тока статора i1 (частотно-токовое управление) и тока ротора i2

(векторное управление).

При i0 = const и pc = const из уравнения (25) находим

б =

3ii v + ^(3'~12 v)2 - 4(<г2 +1)2 [pc + v(a + Pv)]2

2( 2 +1)2 [pc + v(a + pv)]/p 2

Отсюда, при обращении в нуль подкоренного выражения, находим предельную скорость:

"^пр = '

3i1 — 2(2 + 1)a — V 3il — 2(°2 + 1)а 2— [4(°2 + 1)2 Р ' Pc

4(о2 +1)Р

Также, с учетом (23), находятся £пр и н1пр.

При ¿2 = const и pc = const зависимость между скоростью v и частотой £ находится из формулы (26):

3Р2 ¿2 + pc + v

£ = v-

pc + v

С помощью уравнений (45), (47) и (24) на рис. 2 построены зависимости ^ и

(кривые 6-4 и 4-4) изменения намагничивающего тока г'0, которые

свидетельствуют о том, что при данных способах управления ограничиваются возможности достижения пониженных скоростей. Таким образом, из всех применяемых способов частотного регулирования двигателя наиболее широкие © Проблемы энергетики, 2006, № 1-2

VII

¿0

пределы регулирования скорости v при постоянной статической мощности pc = const за счет ограничения намагничивающего тока обеспечиваются при использовании способа регулирования напряжения пропорционально частоте («1 = Н1нг) и при поддержании постоянного намагничивающего тока (0 = const).

На рис. 3 построены для двигателя А2-81-8 в функции частоты г при номинальной статической мощности pc = pc.M и регулировании напряжения

пропорционально частоте «1 = И1нг кривые изменения параметров: напряжения «1, намагничивающего тока i0, скорости v, тока статора i1, КПД п и cos ф. Аналогичные кривые построены на рис.4 при частотном регулировании двигателя с номинальной статической мощностью pc = рс.н и номинальным намагничивающим током ^=’0н. В обоих случаях изменения аналогичных параметров оказываются достаточно близкими между собой. Однако нижний предел снижения скорости при ^=0н (рис. 4), определяемый формулой (28), будет равен ^^0,18 и оказывается значительно ниже, чем при «1 = И1нг (рис. 3). В последнем случае этот предел определяется наименьшим действительным положительным корнем алгебраического уравнения четвертой степени относительно скорости v, получаемого из уравнения (23) с учетом (39), и будет равен ^р2=0,48. Вместе с тем, такой способ частотного управления двигателем является гораздо более простым в реализации и, тем самым, имеет существенное преимущество перед способом управления при постоянном намагничивающем токе, которому безоговорочно отдается предпочтение в настоящее время [4].

1,25 1,0

0,75

0,5

0,25

0 0,5 1,0 1,5 2,0

8

Рис. 3. Кривые изменения для двигателя А2-81-8 в функции частоты £ при номинальной статической мощности рс = рс.н и регулировании напряжения пропорционально частоте

И1 = и1н£ параметров: напряжения И1, намагничивающего тока г’0 , скорости V, тока

статора ¿1 , КПД п и со*ф

При частотном управлении асинхронным двигателем задача выбора значений напряжения н1 и его частоты £ при заданных значениях скорости V и статической мощности рс может быть решена в общем виде с учетом оптимального использования установленной мощности двигателя.

Рис. 4. Кривые изменения для двигателя А2-81-8 в функции частоты 8 при номинальной статической мощности рс = рс.н и номинальном намагничивающем токе г0 = г’0н

параметров: напряжения H, скорости V, тока статора ¿1 , КПД п и со*ф и 1, q, r|, cos ф

1,25

1,0

0,75

0,5

0,25

ч

\ / /

J

1 к к ^COS ф

1 J л

0,5

1,0

1,5

На рис. 5 построены, на основании уравнения (23) с учетом (32) и (38), для двигателя А2-81-8 в функции частоты г кривые изменения напряжения н1 , потерь q, КПД п и еозф при постоянных скорости V =0,2 vн и статической мощности ре = ре.н. Кривые показывают, что при совместном повышении напряжения и частоты резко снижается экономичность двигателя -возрастают потери и снижается КПД. Следовательно, предельный минимум частоты гопт и напряжения и1опт определяют наиболее

„ . „ , экономичный (оптимальный) режим работы

Рис. 5. Изменения в функции частоты ' /гг

г для двигателя А2-81-8 подводимого двигателя при заданных Л- и Ре. В этом напряжения н1, потерь q, КПД п и обнаруживается принципиальное отличие

способов регулирования скорости по двум

еозф при заданных постоянных н л н н ^ л

каналам в асинхронных двигателях и в

значениях скорости V = 0,2лн и

двигателях постоянного тока, так как в

статической мощности ре = ре.н последних при V =еош1 и ре =еош1 совместное

предельное снижение регулируемых параметров - напряжения и потока (тока) возбуждения двигателя - определяют критический режим, соответствующий пределу устойчивого вращения двигателя [10].

Соотношения между параметрами двигателя в оптимальном режиме

определяются из уравнения (23) обращением в нуль производной --------------- при

йг

условии V =еоп«1 и ре =еоп«1. Получаем следующую зависимость:

- (г - V)р1р2 (го + Р1Р2 )+ г(г - 2v)р2 (01 +1)2 = 0.

Это уравнение, согласно обозначениям (11), путем замены скорости

скольжением (V = г - яг) сводится к уравнению третьей степени относительно

частоты г:

г3 я 2 (1 - 2я)о 2 + г 2 я 2р1р 2о +

*2р2(о2 +1)2 + 2я2р1р2 -

- (1 - 2я)р2 (01 +1)2 - «Р1Р20_

+г

2 2 0

- яр1 р2 = 0.

Задаваясь скольжением 0 < я < 1, находим, решая уравнение (49), оптимальную частоту гопт и скорость vопт = гопт (1 - я), а по формуле (23) определяем оптимальное напряжение и1опт при известной скорости vопт и заданной статической мощности ре. Определяем также энергетические параметры по

формулам (32) и (38).

На рис.6 построены для двигателя А2-81-8 в функции частоты г при номинальной статической мощности рсн в оптимальном режиме кривые изменения параметров: напряжения и1, скорости V, тока статора г\,

намагничивающего тока г0, КПД п и еозф. Как видно, достижение оптимального режима не вызывает затруднений из-за ограничений координат при повышенных скоростях (частотах).

Рис. 6. Кривые изменения для двигателя А2-81-8 в функции частоты г при номинальной статической мощностирс.н в оптимальном режиме параметров: напряжения и1, скорости V ,

тока статора г’ь КПД п и СОЗф

Как видно по рис. 5, переход к оптимальному управлению может сопровождаться значительным снижением потерь двигателя, особенно при повышенных частотах, исчисляющимся десятками процентов. Вместе с тем, поскольку снижение потерь достигается уменьшением величины подводимого напряжения, это приводит также, согласно формулам (13), (14) и (16), к уменьшению электромагнитного критического момента рэл.кр, т.е. к снижению перегрузочной способности двигателя при каждом заданном значении скорости (частоты напряжения).

Из кривых на рис. 5 также видно, что кроме минимума напряжения Himin, имеет место максимум (созф)тах при некоторой (экстремальной) частоте гэк, что наблюдается при каждом заданном значении статической мощности p,.=const .

Вывод

Полученные новые общие закономерности создают строгую базу для анализа движения асинхронного короткозамкнутого двигателя в установившемся режиме при всех условиях частотного управления с постоянной статической мощностью.

Summary

The fundamental shortcomings of the foundation of well known policy of determination of operational factors of induction motor could be shown here. New common regularities of frequency control of induction motor with short-circuited winding were got in basics of electromechanics; motor is controlled with constant capacity and with using the new system of comparative values for analyzing work of such motors to extend facilities of analysis. The definition of the optimal mode of motor’s operation is well founded. That mode is corresponded to the trough of watt loss and to the maximum of efficiency factor with any value of dead load. The regularities of motor’s control in optimal mode are also got.

Литература

1. Виницкий Ю.Д., Мамиконянц Л.Г., Шакарян Ю.Г. Вопросы применения регулируемых электроприводов и тиристорных пуско-остановочных устройств для повышения экономичности и управляемости тепловых электростанций//Электрические станции.- 1994.- №9.- С.7-12.

2. Алексеев Б.А., Винницкий Ю.Д., Шакарян Ю.Г. Экономичные системы электроприводов//Электрические станции.- 1993.- №7.-С.51-57.

3. Попов А.Н. Частотное управление асинхронным

двигателем//Электротехника.- 1999.- №8.- С.5-11.

4. Сакае Ямамура. Спирально-векторная теория цепей и машин переменного тока. Часть 1.- СПб.: МЦЭНиТ, 1993.- 36 с.

5. Попов А.Н., Сайфутдинов В.Б. Частотное регулирование асинхронного двигателя при постоянном намагничивающем токе//Известия вузов. Проблемы энергетики.- 2004.-№3-4.- С.112-127.

6. Попов А.Н., Сайфутдинов В.Б. Недостатки в использовании безразмерных величин в классической теории электропривода//Электро. Электротехника, электроэнергетика, электротехническая промышленность.-2005.- №3.- С.16-18.

7. Попов А.Н. Рабочие характеристики асинхронного короткозамкнутого двигателя при регулировании намагничивающего тока//Известия вузов. Горный журнал.- 2000.- №1-2.- С.76-82.

8. Вешеневский С.Н. Характеристики двигателей в электроприводе.- М.-Л.: Энергия, 1966.- 400 с.

9. Чиликин М.Г., Сандлер А.С. Общий курс электропривода.- М.: Энергоатомиздат, 1981.- 576 с.

10. Попов А.Н. Новые исследования в теории электропривода постоянного тока.- Т.1: Основы электромеханики.- М.: Энергоатомиздат, 1997. - 304 с.