Динамика двумерных сферических миров

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. №19 (310) Физика. Вып. 17. С. 12-28

О ПРИРОДЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ СИЛ ОТТАЛКИВАНИЯ

А. Г. Жилкин, В. А. Клименко, А. М. Фридман

ДИНАМИКА ДВУМЕРНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ МИРОВ

Исследована динамика двумерных однородных сферически симметричных самогра-витирующих миров (2-миров). Показано, что последовательное описание динамики 2-миров в рамках общей теории относительности (ОТО) с учётом дополнительного к этим мирам третьего крупномасштабного пространственного измерения приводит к физически наблюдаемому эффекту. В 2-мирах, кроме сил притяжения, возникают силы отталкивания. Источником этих сил является тепловая энергия частиц, заполняющих 2-миры. В трёхмерном пространстве эти силы являются центробежными. Они действуют во внешнем для 2-миров третьем пространственном измерении, растягивая их. В 2-мирах эти силы проявляются как силы отталкивания. Рассматриваемый в настоящей работе пример, вследствие наглядности и простоты, является важным. Обобщенный на трёхмерный случай, он позволяет, как мы полагаем, правильно понять природу космологических сил отталкивания в однородной изотропной Вселенной.

Ключевые слова: космологические силы отталкивания, общая теория относительности, центробежные силы, двумерные миры.

1. ВВЕДЕНИЕ

В последнее десятилетие в космологии возникло обоснованное мнение, что динамику Вселенной определяют не только силы тяготения, что обычно утверждалось ранее (см., например, [1-3]), но и в не меньшей степени силы отталкивания. По-видимому, первым чётким указанием на это были наблюдательные данные о зависимости между видимой звёздной величиной и красным смещением для сверхновых типа 1а [4; 5].

В настоящее время наиболее распространённым (см., например, [6-12]) является утверждение о том, что источником космологических сил отталкивания является «тёмная энергия». Полагают, что «тёмной энергией» является некоторая вакуумоподобная среда. Л-член в уравнениях Эйнштейна даёт описание её макроскопических свойств (см., например, [6; 13]). Недостатком объяснения космологических сил отталкивания на основе Л-члена является отсутствие понимания микроскопических свойств «тёмной энергии». Это связано с принципиаль-

ными трудностями описания этих свойств в рамках известных теорий.

В работах [14; 15] рассмотрено объяснение космологических сил отталкивания в однородной изотропной Вселенной, не основанное на Л-члене. Показано, что, кроме эйнштейновских сил отталкивания, теоретически в общую теорию относительности (ОТО) могут быть введены и другие космологические силы отталкивания. Описан вариант космологических сил отталкивания, связанных с зависимостью тепловой энергии космической среды от радиуса кривизны Вселенной. Показано, что эти силы являются центробежными по своей природе. Предложена модель однородной изотропной Вселенной с учётом центробежных космологических сил отталкивания (С-модель). Она применена для объяснения важных наблюдательных данных.

В работах [14; 15] космологические уравнения А. А. Фридмана рассматриваются как описывающие движение Вселенной в четвёртом фиктивном [1] пространственном измерении.

Целью программы наших исследований является доказательство возможности последовательной реализации в рамках ОТО идеи о четвёртом крупномасштабном пространственном измерении как реально существующего и приводящего к наблюдаемым эффектам.

Нами рассматриваются модели однородных центрально-симметричных безграничных гравитирующих систем. Они являются вариантами космологических моделей («Мир на бране»), в которых Вселенная рассматривается как трёхмерная брана в четырёхмерном пространстве [16]. Однако в отличие от предыдущих работ (см., например, обзор [17]), посвященных развитию различных аспектов этой модели, в наших работах учитываются не только нормальные к бране скорости частиц космической среды, но и тангенциальные скорости. Учёт тангенциальных скоростей позволяет описать центробежные силы, действующие на каждый элемент браны во внешнем для неё пространственном измерении. С точки зрения типичного наблюдателя, находящегося на бране, эти силы проявляются как космологические силы отталкивания.

Взаимосвязь параметров частиц с натяжением браны в настоящей работе не рассматривается. Используется подход, в котором частицы рассматриваются как классические.

Настоящая работа является первой в цикле наших работ, посвящённых исследованию динамики безграничных центральносимметричных самогравитирующих миров. На простом наглядном примере 2-мира изложена методика описания динамики этих миров.

В следующих работах эта методика будет использована для описания динамики однородной изотропной Вселенной. Результатом её применения является естественное появление космологических сил отталкивания в уравнениях, описывающих эволюцию Вселенной и имеющих ясный физический смысл.

В этой работе в рамках ОТО рассмотрена следующая идеализированная система. Гравитирующие частицы однородно распределены по поверхности сферы и движутся

в самосогласованном гравитационном поле. Предполагается, что расстояния между частицами много больше размеров частиц, а их общее количество N велико. При этом, как известно (см., например, [18]), влияние парных столкновений на частицы в N/ 1п N раз меньше, чем влияние на них самосогласованного поля. Поэтому при N ^ 1 столкновения можно не учитывать. Считается, что в сферической системе координат, центр которой совпадает с центром гравитирующей сферы, в начальный момент времени все частицы имеют одинаковые радиальные -иц, а также и тангенциальные у± скорости. Распределение тангенциальных скоростей является изотропным.

Вследствие предполагаемых начальных условий, а также бесстолкновительности системы, все частицы относительно центра в радиальном направлении движутся одинаково. Они все время остаются равноудаленными от центра сферы, у них одинаково меняются продольная -иц и поперечная у± компоненты скорости. Частицы однородно распределены по поверхности сферы переменного радиуса а(і). Частицы, удовлетворяющие указанным условиям, для краткости называем 2-частицами, а однородную и изотропную сферическую гравитирующую оболочку, состоящую из 2-частиц, — 2-миром.

Динамику 2-мира можно описывать, используя различные системы координат. На рис. 1 приведены некоторые из них. Динамику 2-мира удобно рассматривать в трёхмерной сферической системе координат (а.

0, ф). В то же время его динамику с точки зрения 2-наблюдателей естественно описывать, используя двумерную, «внутреннюю» для них полярную систему координат (^2; ф). Эту систему координат будем называть системой 2-наблюдателей.

2-наблюдатель — это некоторый абстрактный объект, постоянно находящийся на гравитирующей сфере и совершающий относительно её центра лишь радиальные движения. Система отсчёта 2-наблюдателей — это бесконечное их множество, равномерно и непрерывно заполняющее 2-мир. Система отсчёта 2-наблюдателей является сопутствующей системой координат.

Рис. 1. Системы координат, удобные для описания 2-мира: а, 0, ф — трёхмерная сферическая система координат; Д2, ф — «внутренняя» для 2-мира, полярная система координат; хі, Х2, хз — декартова система координат

Статья организована следующим образом. В разделе 2 определена метрика четырёхмерного пространства-времени, связанного с 2-миром. Динамика 2-мира в шварц-шильдовой системе координат исследована в разделе 3. В разделе 4 динамика 2-мира изучена в сопутствующей системе координат. В разделе 5 2-миры описаны в ньютоновском приближении. Информация о наших работах, в которых, как мы полагаем, дано объяснение природы Эйнштейновских сил отталкивания, приведена в разделе 6. В заключении перечислены основные результаты работы.

2. МЕТРИКА ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ, СВЯЗАННОГО С 2-МИРОМ

Предполагаем, что гравитационное поле 2-мира в трёхмерном пространстве обладает центральной симметрией. Эта симметрия в процессе эволюции 2-мира сохраняется. Макроскопическое движение вещества 2-мира в трёхмерной сферической системе координат в каждой точке направлено по радиусу. С учётом сделанных предположений метрика четырёхмерного пространства-

времени является шварцшильдовой и может быть записана в виде [19]

ds2 = e2°c2dt2 — e2Adr2 — r2dQ2,

где Ф(г, t) и Л(г, t) — некоторые функции радиальной координаты r и «времени» t, dQ2 = d02 + sin2 0dф2. Символ Л обычно в космологии используется для обозначения космологической постоянной. В настоящем параграфе он обозначает некоторую функцию Л(г, t), которая наряду с функцией Ф(г, t) описывает метрические свойства пространства-времени. Подразумевая, что ж0, ж1, x2, ж3, соответственно, ct, r, 0, ф, имеем для отличных от нуля компонент метрического тензора выражения

2Ф 2Л

900 = e , gll = —e ,

2 2 • 2 О

922 = —r , g33 = —r Sin 0,

gm = є-2Ф ,

g11 = -є-2Л,

22 -2 33 -2 -2

g22 = -r 2, g33 = -r 2 sin 2 Є.

Символы Кристоффеля Г^р рассчитываем по формуле

Г^ = 1 П^у

ав 2 \ дхв дха дху ) '

Вычисление приводит к следующим выражениям (штрих означает дифференцирование по г, а точка над буквой — дифференцирование по ей):

1 oo = Ф, Г1

1 11 = Л Є2Л-2Ф , Г,

Г1 1 o1 = Л, г

Г1 1 22 Л, 2 - e r 1 г.

Г2 1 12 — г3 = r-1 = 1 13 = ' , Г:

Г3 1 23 = ctg Є.

0

10

1

00

1

11

Ф',

Ф'є2Ф-2Л,

Л',

33-

Г33 = - sin Є cos Є,

Все остальные компоненты Г^р (кроме тех, которые отличаются от написанных перестановкой индексов а и в) равны нулю.

Для определения вида функции Ф(г, £) и Л(г, £) используем уравнения Эйнштейна для областей внутри гравитирующей сферической поверхности и вне её. Уравнения Эйнштейна для областей, где отсутствует материя, записываются в виде

= О,

где тензор Риччи

R

д ГР

- ЦУ

дxp

дГво

= —^---^ I ГР П - ПКГР .

д^У + 1 Цу1 pY VP'vr

Используя (3), (5) и (7), находим отличные от нуля компоненты этого тензора:

Roo = є2Ф-2Лх

2

Л2

R11 = — ( Ф" I Ф'2 — Ф'Л' — — ) -

2Л'

e

2Ф-2Л

Ф Л - Л - Л

Л2

R22 = Є-2Л [r (Л' — Ф') — І +1!

R33 = sin2 0R22,

R01 = - Л.

r

С учётом (8) уравнения Эйнштейна (6) запишутся в виде

-2Л

2Ф' І І

Н о I-----------о = 0!

r r2

r2

-2Л

/2Л' _ .

( о ) Н о = 0!

rr

Л = о.

Из (11) следует, что Л не зависит от времени. Складывая уравнения (9) и (10), находим Л' + Ф' = 0. Это означает, что

є2Ф = є-2Л = і i cOnst

При рассмотрении решений во внешней области к 2-миру из (13) следует, что на бесконечности е-2Л = е2ф = 1, т. е. при г ^ то метрика является галилеевой. Для решений во внутренней области к 2-миру

из условия отсутствия особенности в поведении метрики при r ^ 0 следует считать, что во всех точках этой области e-^ = e^ = 1. Это означает, что метрика во внутренней области к 2-миру является галилеевой. Пространство во внутренней области к 2-миру является плоским. Гравитационное поле во внешней к нему области является статическим. На больших расстояниях метрика пространства-времени соответствует ньютоновскому гравитационному полю точечной частицы.

Итак, во внутренней области к 2-миру константа интегрирования в (13) равна нулю. Чтобы определить значение этой константы во внешней области к 2-миру заметим, что на больших расстояниях от 2-мира гравитационное поле является слабым и должен иметь место закон Ньютона. При этом метрический коэффициент 900 определяется формулой

goo = І -

2GM

c2r

(см., например, §87, §99 [1]). В (14) M — полная масса 2-мира, которая не зависит от времени и является его важнейшим параметром. Отметим, что эта масса учитывает все формы энергии частиц 2-мира, в том числе и энергию их гравитационного взаимодействия.

Учитывая (2), (13) и (14), находим, что в (13) const = —2GM/c2. Эта величина имеет размерность длины. Величина

2GM

где /(£) — функция только времени £. Выбор интервала ^2 в виде (1) оставляет за собой ещё возможность произвольного преобразования времени. С его помощью всегда можно обратить в (12) /(£) в нуль и считать, что Л + Ф = 0.

Уравнения (9), (10) легко интегрируются и дают

c

2

определяет гравитационный радиус 2-мира.

Таким образом, пространственновременная метрика во внутренней области к 2-миру является галилеевой, а во внешней к нему области — метрикой Шварцшильда. Эту метрику запишем в стандартном виде (см., например, 1 3

ds2 = (1 — rg/r) c2dt2-

dr2

— r2dQ2

1 — rg/r

Сравнивая (1), (1б), находим

2Ф

e = e

-2Л

r

r

r

g

r

r

Отметим, что метрика (16) зависит только от полной массы 2-мира.

Пространственная метрика в четырёхмерном пространстве-времени, в котором происходит эволюция 2-мира, определяется формулой

dl2 =

dr2

1 — rg/r

+ r2

В метрике (16) длина окружности с центром в точке г = 0 равна 2пг. В то же время расстояние между двумя точками Г1 и Г2 на одном и том же радиусе даётся интегралом

r 2

dr

ri

V1 — rg/r

> r2 — Гі.

Это означает, что геометрия трёхмерного пространства (г, 0, ф), охватывающего 2-мир, не является евклидовой. В то же время во внутренней области к 2-миру пространственная геометрия евклидова.

Чтобы понимать смысл «времени» £, надо учитывать, что в метрике (16) метрический коэффициент

goo = 1 — rg/r < 1,

а истинное время определяется формулой

І

-т = - ^/goodt

учтём, что, согласно ОТО, эти частицы движутся по геодезическим в четырёхмерном пространстве-времени. Уравнение геодезических имеет вид

rf^rp Ц ґі /у»а ґі rpр

+гав -—- = o.

^2 ав ^ ^

В центральном поле движение частиц является плоским. В самом деле, записывая (22) с учётом (5), для компоненты ^ = 2 (х2 = 0) находим

-2Є 2 da -Є

-ф

(см. §84 [1]). Из (20) и (21) видно, что ^т < ^. Знак равенства имеет место при г ^ то. В точках, где г > а (а — радиус 2-мира), происходит «замедление» времени. Замедление тем значительнее, чем ближе г к гд.

3. ДИНАМИКА 2-МИРА В ШВАРЦШИЛЬДОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

3.1. Уравнение движения 2-мира в шварцшильдовой системе координат

Учитывая сферичность и однородность 2-мира, его эволюцию удобно изучать в трёхмерной сферической системе координат (см. рис. 1). Динамика этого мира описывается уравнением движения 2-частиц по радиусу. Чтобы получить это уравнение.

-—г + -^- J-----sin 0 cos 0 ^ =0.

ds2 a ds ds \ ds /

Здесь и далее a — радиальная координата 2-частиц. Величина a определяет радиус 2-мира в сферической системе координат. Уравнение (23) существенно упрощается для частиц, у которых 00 = п/2, (d0/ds)0 = 0 (индекс ноль здесь и далее относится к величинам, заданным в начальный момент времени t0). Из (23) видно, что для этих частиц не только 00 = п/2 и (d0/ds)0 = 0, но и (d20/ds2) 0 = 0. Это означает, что для них переменная 0 всегда будет равной 00 = п/2 и траектории рассматриваемых частиц являются плоскими. Очевидно, что траектории и всех других 2-частиц также являются плоскими. Далее записываем уравнения, описывающие движение 2-частиц в экваториальной плоскости (0 = п/2).

Полагая ^ = 3 (ж3 = ф), из (22) находим

d^ 2 dad^ ^ ^d0 dф „

i? + adids+ 2ctg0** = 0

Для частиц, движущихся в экваториальной плоскости, d0/ds = 0. Учитывая это и интегрируя (24), получаем интеграл движения, связанный с угловым моментом 2-частицы:

г 2 -ф

L = mca —, ds

где т — масса покоя частицы.

Компонента уравнения (22), соответствующая ^ = 0, имеет вид

d2x0 -Ф da dx0

+ 2-—;—— = 0.

ds2

da ds ds

Учитывая, что єф = л/1 — rg/a, запишем (2б) в виде

-

ds

1-

dxo

ds

2

О

a

Отсюда находим интеграл, связанный с полной энергией 2-частицы:

2 / Тд\ ^х

Е = тс2 (1-----------

а /

0

-ГГ-

Учитывая (28), получаем

^х°

^5

Е

тс2

-1

Уравнение для определения ^а/^£ можно получить следующим образом. Учитываем, что для 2-частиц, движущихся в экваториальной плоскости, квадрат интервала имеет

вид

^2 = е2фс2гіі2 — е 2ф^а2 — а2^ф2.

Это выражение можно записать в виде

^2 = е2ф с2^2 ( 1 —

где V2 = ^2 + г^. Величины и г^ определяются формулами:

-2ф

-

е

2ф

= ” — ?)-2( Г2

-2

2ф

е2ф

^ф

^5

а

Учитывая (25), из (33) получаем

V2

1 — —Л

т2а2

Эту формулу перепишем в виде

і

т-ха

д/1 — V2/с

22

В нерелятивистском пределе угловой момент движения частицы

Ь = тг^а.

Используя (29) и (31), находим

Е=

тс2 (1 — тд/а)1/2 д/1 — -2/с2

В нерелятивистском пределе

^ 2 1 2 СМт

Е = тс2 +— тг2----.

2а

Видно, что Е является полной энергией 2-частицы. Она учитывает и потенциальную энергию частицы в гравитационном поле.

Используя (35), (37), получаем формулу, определяющую изменение тангенциальной скорости 2-частиц в процессе эволюции 2-мира. Она имеет вид

/ т£

Е2а2 V а

Подставляя (32), (39) в (37), получаем формулу, определяющую движение 2-мира в третьем пространственном измерении. Эту формулу удобно записать в виде

Е

1 — тд/а с^

^ = [Е2 — и2 (а)]1/2 :

где

и (а) = т с2 х

1- - 1 +

і2

а / V т2с2а2

1/2

Функция и (а) играет роль «эффективной потенциальной энергии» в том смысле, что условием Е > и (а) определяются (аналогично нерелятивистской теории) допустимые области изменения радиуса 2-мира. На рис. 2 изображены кривые и (а) для различных значений параметра Ь 2-мира.

3.2. Стационарные 2-миры

Стационарным состояниям 2-миров соответствуют круговые орбиты 2-частиц. Стационарные 2-миры однозначно определяются заданием их массы М и удельного момента 2-частиц Ь/т. Считаем, что все 2-частицы имеют одинаковые значения удельного момента.

Для стационарных 2-миров их радиусы а и значения энергий Е 2-частиц не являются независимыми параметрами. При заданных значениях гд и Ь/(тсгд) величины а и Е определяются экстремумами функции и (а). Минимумы функции и(а) соответствуют

а

2

х

2

а

2

4

а

с

Рис. 2. Графики функции и (а) (см. (41)) для различных значений параметра Ь 2-мира:

1- Ь = 0; 2 — Ь = \/3тсгд;

3 - Ь = 2тсгд; 4 — Ь = 3тсгд

Рис. 3. Зависимость а/гд от Ь/(тсгд) для стационарных 2-миров: функция ах(Ь) определяет устойчивые 2-миры, функция а2(Ь) определяет неустойчивые 2-миры

гравитационно-устойчивым 2-мирам, а максимумы — гравитационно-неустойчивым 2-мирам относительно малых сферически симметричных возмущений.

Совместное решение уравнений и (а) = Е, ^и/^а = 0 даёт

а1,2

гд

Ь2

т2с2гд

11

3т2с2г2

Е

1,2

тс2

/2гд

072

1 - -гд-

а1,2

Ь2

Ь

тсг

,

а

Знак плюс соответствует гравитационноустойчивым, а знак минус — гравитационнонеустойчивым 2-мирам, определяемым параметрами гд и Ь. На рис. 3 изображена зависимость а/гд от Ь/(тсгд) для стационарных 2-миров. Её верхняя ветвь даёт радиусы устойчивых, а нижняя — неустойчивых 2-миров.

Стационарные 2-миры могут существовать лишь в случаях, когда вращательные моменты 2-частиц не меньше, чем \/3тсгд. При значениях параметра Ь < \/3тсгд стационарных состояний 2-мира не существует.

Как показывает рис. 3, устойчивые стационарные 2-миры имеют радиусы а большие, чем 3гд. Наименьший размер этих 2-

миров характеризуется следующими параметрами:

а = 3гд, Ь = \/3тсгд, Е = д/8/9тс2.

Неустойчивые стационарные 2-миры имеют радиусы меньшие, чем 3гд. Малые возмущения их размеров, связанные с их уменьшением, приводят к сжатию 2-миров до размера гд. Радиальные возмущения неустойчивых стационарных 2-миров, связанные с увеличением их радиуса, сопровождаются неограниченным расширением этих миров.

3.3. Нестационарные 2-миры

Если при заданных значениях параметров гд и Ь, размер 2-мира а и энергия 2-частиц Е не удовлетворяет условиям (42), (43), то 2-мир не является стационарным. Качественный анализ возможных типов решений, описывающих такие миры проведём учитывая вид функции и (а) (см. рис. 2).

Случай Ь < л/3тсг3

При Ь < \/3тсгд функция и (а) является монотонно растущей. При этом оказывают-

ся возможными два типа решений, описывающих динамику 2-миров: финитные решения, когда энергия 2-частиц Е < тс2, и ин-финитные решения для 2-миров с энергией частиц Е > тс2 (см. рис. 4).

находим

Рис. 4. Вид функции и (а) (см. (41)) при значениях параметра Ь < л/3тсг3 (а) и вид решений а(£) уравнения (40) при значениях параметра Ь < %/3тсг3 (б), где 1 — Е < тс2,

Е > тс2, режим сжатия, 3 режим расширения

Е

Для решений 1, 2 и 3 (см. рис. 4б) состояние а = гд является «чёрной дырой». Покажем, что время входа 2-мира в состояние «чёрная дыра», и как симметричное ему время выхода из этого состояния, в шварц-шильдовой системе отсчёта оказывается бесконечным.

При а близких к гд, как видно из (41), значение и (а) мало отличается от нуля. Учитывая это, уравнение (40), решение которого определяет зависимость а(£), запишем в виде

1

1 — тд/а с^

= 1.

г„ +£

с (іє — £б) = У

+ё

1 — тд/а

Интеграл расходится при а ^ гд как —гд 1п(а — гд). Отсюда следует асимптотический закон приближения а к гд:

а — тд = со^ е С*/Гд.

Таким образом, конечная стадия перехода 2-мира в состояние «чёрная дыра» описывается экспоненциальным законом с характерным временем гд/с. Время перехода в это состояние бесконечно. Это в шварцшильдовой системе отсчёта означает так же, что выход 2-мира наружу из состояния «чёрная дыра», если предположить, что это состояние для 2-мира является «начальным», имел место при £ ^ —то. Для потенциала и (а) (см. рис. 4а) не существует стабильных и колебательных состояний 2-миров.

Случай Ь > %/3тсг3

Для значений параметра Ь > \/3тсгд график, качественно определяющий вид функции и (а) (см. (41)), изображён на рис. 5, в котором приведены уровни энергий 2-частиц Е, соответствующие различным типам решений уравнения (40).

Считая 8 малой, но конечной величиной, найдем время эволюции 2-мира от размера а = гд + 8 до а = гд + е при е ^ 0. Из

Рис. 5. Схематичное изображение графика и (а) (см. (41)) при значениях параметра Ь > л/3тсгд

При Ь > л/3тсгд функция и (а) имеет один минимум и один максимум. При увеличении Ь от \/3тсгд до то координаты минимумов возрастают от 3гд до то (а соответствующие энергии Е1 — от л/8/9тс2 до

2

2

тс2); координаты максимумов уменьшаются от 3гд до 3тд/2 (а соответствующие энергии Е2 увеличиваются от л/8/9тс2 до то). Значения 01,2 и Е^2 (см. рис. 5) определяются формулами (42), (43). При заданных значениях параметров гд и Ь они соответствуют стационарным 2-мирам. При энергиях 2-частиц Е не равных Е1 или Е2, как видно из рис. 5, возможны четыре типа решений. Они описывают нестационарные 2-миры. Области значений энергий 2-частиц Е и размеров 2-миров а, соответствующих этим решениям, следующие:

I (Е1 < Е2, а < ашах);

II - (Е1 < Ец < тс2, а3 < а < а4);

III - (тс2 < Еш < Е2, а > аш1п);

IV - (Е1у > Е2, а > Гд).

Графики, качественно определяющие в шварцшильдовой системе координат зависимость от времени радиуса кривизны 2-миров, приведены на рис. 6.

Я4

01

аз

Ошш

а2

Гд

Рис. 6. Схематичный вид возможных решений уравнения (40) при Ь > л/3тсг3.

I, II, III, IV — типы решений, согласно (48).

Стационарные решения: устойчивое - (Е = Е1, а = 01); неустойчивое - (Е = Е2, а = а2).

Решения типа I могут иметь место при Е < Е2. Они описывают эволюцию 2-миров, которые бесконечно давно вышли из состояния «чёрная дыра» и бесконечно долго будут снова возвращаться в это состояние.

Осциллирующие 2-миры описываются решениями типа II. Эти решения могут иметь место при л/8/9тс2 < Е < тс2. Чем

ближе E к mc2, тем больше при заданных значениях параметров rg и L амплитуда осцилляций.

Сжатие 2-миров, приходящих из бесконечности до минимального размера а = amin (см. рис. 5), а затем их бесконечное расширение, описывается решениями типа III. Эти решения имеют место при mc2 < E < E2,

а amin.

Решения типа IV описывают расширения 2-миров, энергия частиц которых E > E2, из состояния «чёрная дыра», в котором эти миры находились, при t = —то. Решения этого типа (при E > E2) могут описывать также сжатие 2-миров до состояния «чёрная дыра». К этому состоянию они будут подходить бесконечно долго.

4. ДИНАМИКА 2-МИРА

В СОПУТСТВУЮЩЕЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

4.1. Уравнение движения 2-мира

в сопутствующей системе координат

В шварцшильдовой метрике (16) goo обращается в нуль, а gii — в бесконечность при r = тд (на шварцшильдовой сфере). Это обстоятельство могло бы дать основание к заключению о невозможности существования 2-миров с «радиусом» (при заданной массе), меньшим гравитационного. В действительности такое заключение не является правильным (см., например, §102 [1]). Можно лишь утверждать, что метрику (16) невозможно использовать в области r < rg .В шварцшильдовой системе координат время приближения 2-мира к состоянию a = rg оказывается бесконечным. В области r < rg метрические коэффициенты goo и gii становятся отрицательными, имеет место обмен ролями временной и радиальной координат. В виде (16) метрику Шварцшильда в области r < rg применять нельзя.

Шварцшильдова особенность в описании динамики 2-миров легко устраняется за счёт перехода к описанию их динамики в сопутствующей двумерной системе отсчёта. В этой системе любой типичный 2-наблюдатель постоянно находится в 2-мире и в шварцшильдовой системе отсчёта совер-

шает лишь радиальное движение. Расстояние типичного 2-наблюдателя до начала координат Е2(т) = а(т)0 (см. рис. 1). Переменная т определяет собственное время 2-наблюдателя.

Находясь в сопутствующей системе координат ^2, Ф, не выходя из 2-мира и учитывая лишь локальные его свойства, описать динамику 2-мира сложно. В то же время, зная уравнения, описывающие его динамику в шварцшильдовых координатах, переписать их на случай двумерной криволинейной, внутренней для 2-мира полярной системы координат (Л2, ф) не составляет труда. В процессе эволюции 2-мира меняется расстояние ^2 (т). Если ^2 (т) расстояние в момент времени т, а Я 2 (0) это же расстояние, но в начальный момент времени, то очевидно, что для любых 2-наблюдателей справедливо равенство ^(т) = Я2(т)/Е2(0) = а(т)/ао. Индекс 2 здесь и далее обозначает размерность 2-мира; а(т) — радиус его кривизны.

Связь между собственным временем т типичного наблюдателя и шварцшильдовым временем і находим из уравнения

с2(т2 = (1 — — ) с2 (і2 — .

а ) 1 — гд/а

(а2

Учитывая, что а(і) удовлетворяет уравнению (40), из (49) находим

(Г = I Гд и(а) (і V а Е

С учётом (50) уравнение (40) принимает вид

тс2 1 +

Ь2 \1/2 (а

с(т

т2с2а2

2(„ лі 1/2

= [Е2 — и 2(а)]

В отличие от уравнения (40), для уравнения (51) точка а = гд не является особой. Собственное время, за которое 2-мир проходит шварцшильдов радиус, оказывается бесконечно малым. Считаем, что уравнение (51) можно применять для описания динамики 2-мира не только в области а > гд, но и при 0 < а < гд. Согласно (51), решения типа 1 и 2 при Ь < л/3тсгд (см. рис. 4) и типа I и IV при Ь > л/3тсгд (см. рис. 6) существуют не только при а > гд, но и при

0 < а < гд. Они описывают динамику 2-миров, возникших в результате «Большого взрыва». Характер поведения радиуса кривизны а(т) для решений этого типа схематично изображён на рис. 7.

Рис. 7. Графики, качественно определяющие зависимость от времени радиуса кривизны 2-мира в сопутствующей системе координат, описываемых решениями:

1 - (Е < тс2, Ь < \/3тсгд); 2 - (Е > тс2,

Ь < л/3тсгд); I - (Е < Е2, Ь > л/3тсгд);

IV -

Решения типа 1 и I являются финитными. Определяющую роль в динамике 2-миров, описываемых этими решениями, играют силы гравитации. В решениях I а < 3гд. Миры, описываемые решениями 1 и I, рождаются из сингулярного состояния в результате «Большого взрыва».

В решениях типа 2 и IV 2-миры также рождаются из сингулярного состояния в результате «Большого взрыва». При Е ^ тс2 они достаточно быстро достигают состояния равномерного расширения. Величина гд/с является характерным временем перехода 2-мира в состояние равномерного расширения. При Е » тс2 и а » гд скорость расширения 2-миров в шварцшильдовой системе отсчёта близка к скорости света.

При Е ~ Е2 решения типа IV описывают эволюцию 2-миров с длительной задержкой в развитии при а ~ а2.

Графики, качественно характеризующие изменение радиуса кривизны 2-миров, описываемых решениями типа II и III (см. рис. 6), в сопутствующей и в швацшильдо-вой системах координат являются однотипными.

В сопутствующей системе координат состояние «чёрная дыра» отсутствует. Собственное время жизни 2-мира в состоянии а = гд бесконечно мало.

4.2. Космология 2-мира

Космологию 2-мира строим, используя сопутствующую систему отсчёта. Отметим некоторые особенности рассмотрения 2-мира с точки зрения произвольного 2-наблюдателя. Изучая свой мир, он отметит следующее. Его мир является двумерным, однородным, изотропным и нестационарным. Радиус кривизны а одинаков во всех точках 2-мира. Геометрия его мира не является евклидовой, а центр его мира не является точкой его пространства. Если Д — радиус окружности в 2-мире, то, как видно из рис. 1, длина окружности

l2(R2) = 2па sin(R2/a).

При R2 = 0, l2 = 0. Сначала l2 растёт с ростом R и достигает максимума ^2т = 2па при R = па/2. При дальнейшем увеличении R длина окружности /2(^2) уменьшается, а при R2 = па она обращается в ноль.

Двумерный объём 2-мира, охватываемый окружностью радиуса R2 равен

V2

Полный объём 2-мира

= 4па2

2-мир делит трёхмерное пространство на внутреннюю и внешнюю части. По отношению к трёхмерному пространству у 2-мира есть две стороны — внутренняя и внешняя. Внутренний объём, который 2-мир охватывает в трёхмерном пространстве, есть

4

V3(a) = 7^ па3.

3

Внешний объем, охватываемый 2-миром в трёхмерном пространстве, является бесконечным.

2-мир является двумерной однородной изотропной браной в трёхмерном пространстве. Радиус кривизны браны а(т) меняется со временем. Динамика 2-мира определяется решениями уравнения (51). Изменение радиуса кривизны браны а(т) определяется действием гравитационных и центробежных сил, действующих в третьем пространственном измерении. Эти силы на бране проявляются как силы притяжения и силы отталкивания.

Для любых пар типичных наблюдателей справедливо равенство ^(т) = Д2(т)/Е20 = а(т)/ао. Все расстояния ^(т) меняются подобно. Уравнение, описывающее изменение а(т), определяет движение 2-частиц в третьем дополнительном к 2-миру пространственном измерении.

Относительное движение типичных наблюдателей подчиняется закону Хаббла: ^Е2/^х = Н2(т)Д2(т). Параметр Хаббла Н2(т) не зависит от До, а является функцией лишь времени (Н2(т) = (^а/^т)/а).

При описании динамики 2-мира в сопутствующей системе координат следует иметь в виду, что ^а/^т не имеет смысла физической скорости каких-либо частиц. Нет оснований считать, что ^а/^т не может быть большей, чем скорость света с. Эта ситуация аналогична имеющей место в фрид-мановском описании динамики однородной Вселенной (см., например, [2; 3; 7]). В то же время скорость пролёта частиц мимо любого типичного наблюдателя должна быть всегда меньше или равной скорости света с. Убедимся, что для любых типичных 2-наблюдателей и 2-частиц это так.

Скорость, с которой 2-частицы пролетают мимо любого типичного 2-наблюдателя, определяется формулой Ш = ±а(^ф/^£)  (^/^т). Учитывая (25), (50), находим

W (а) =

cr0

I2 + r2)1/2

где г0 = Ь/(тс).

В сопутствующей системе отсчёта распределение скоростей Ш 2-частиц по направлениям является изотропным. Эти скорости являются тепловыми. Из (56) видно, что скорости Ш 2-частиц всегда меньше скорости света. При Ь = 0, Ш = 0 2-среда является холодной, влияние сил отталкивания отсутствует. Если Ь = 0, то тепловые скорости движения 2-частиц отличны от нуля. Вблизи сингулярности (а ^ 0) эти скорости близки к скорости света. При расширении 2-мира тепловые скорости уменьшаются. В предельном случае а » гд, Е > тс2 2-миры расширяются с почти постоянной скоростью. В шварцшильдовой системе отсчёта эта скорость всегда меньше скорости света, но при Е ^ тс2 мало от неё отличается.

В области почти равномерного расширения (а » гд) при Е » тс2 тепловые скорости 2-частиц Ш ^ с. В предельном режиме 2-мир является холодной гравитирующей сферой, разлетающейся в шварцшильдовой системе отсчёта со скоростью близкой к световой.

Учитывая (56), уравнение (51) запишем в виде

1 / ^а . а2 V + а2

2СМ

+

Е2

а3 т2с2(а2 + г0)"

Это уравнение является первым интегралом уравнения

^2а

-т2

СМ

+

E 2г^а

а2 m2 с2(а2 + г0)2

^ей

где

тт = - СМ Е2Ш2

е а + 2т2с4 '

Уравнения (57), (58) являются космологическими уравнениями для «горячего» 2-мира (Ь = 0, Ш2 = 0). В отличие

от стандартных космологических уравнений А. А. Фридмана эти уравнения содержат силы отталкивания. Как видно из (58), эти силы в 2-мире связаны с изменением тепловой энергии. Космологическое ускорение, создаваемое силами отталкивания, определяется формулой

^2а

ЙГ2

- /Е2Ш2

^а V 2т2с4

т2с2(а2 + г0)2

Силы отталкивания в 2-мире являются центробежными по своей природе.

В случае «холодного» 2-мира (Ь = 0, Ш2 = 0) силы отталкивания отсутствуют и уравнения (57), (58) принимают вид

1 /^а\ + с2 2СМ

а2 V Йт / а2 а3

^2а

-т2

СМ

Эти уравнения являются космологическими уравнениями А. А. Фридмана для пылевидного 2-мира.

Решения уравнения (58) должны удовлетворять начальным условиям:

—а

а

ат

Решая (58) с начальными условиями (63), находим а(т). Изменение концентрации п 2-частиц в окрестности любого 2-наблюдателя определяется формулой

22 па = поао.

Зная а(т) и используя (56), находим, как в процессе эволюции 2-мира меняется дисперсия скоростей Ш2 2-частиц.

5. НЬЮТОНОВСКОЕ

ПРИБЛИЖЕНИЕ В ОПИСАНИИ 2-МИРОВ

Ньютоновское приближение в описании 2-миров может быть использовано в случае, когда скорость 2-частиц в шварцшильдовой системе отсчёта V ^ с. Динамика 2-мира в ньютоновском приближении исследована в [14]. Для удобства читателей ниже приведены результаты этого исследования.

Вводя обозначение = Е — тс2 и формально полагая с = то, из (35), (37) находим

1 / daY

2 V -т)

СМ 2 , л

= еа0,

а

v± а = ^(0)ао.

Учтено, что в пределе с ^ то скорости Ш и VII определяются формулами Ш = ^, V]] = da/dт. Используя обозначения

?(£) = а(£)/ао, Й^/Й^(0) = Нц(0),

3М

^(0) = #Д0)ао, Ро = 3,

4пао

уравнение (65) запишем в виде

5 = 2( |) + «*<?)=«»*,

где

3?

2

с

2

а

Уравнение (68) является первым интегралом уравнения

гі2^ 4лСро , Н2 (0) ^иее

^т2

з?2 ?3 а?

Решения этого уравнения удовлетворяют начальным условиям

?

Уравнение (70) аналогично уравнению, описывающему одномерное движение частицы в потенциальном поле Тед(?) (см., например, [20]). Используем эту аналогию для качественного анализа решений уравнения (68).

На рис. 8 и 9 приведён вид функций Тей(?) для случаев ^(0) = 0 (Нх(0) = 0) и ^(0) = 0 (Н^(0) = 0). Из (70), (71) видно, что динамика 2-мира в ньютоновском приближении определяется заданием трех параметров

Ро, Я||(0), Я±(0).

2-миры могут отличаться размерами ао, но при одинаковых значениях параметров (72) их динамика будет подобной. В зависимости от значений параметров (72) возможны различные типы решений, описывающих 2-миры. Характер эволюции 2-мира определяется энергией е.

Рис. 8. Вид функции Те^(?) при Н± = 0

На рис. 10 схематично изображены области параметров Нц(0) и Н± (0), для которых при фиксированном значении Ро энергия е < 0 (или е > 0) и 2-миры имеют различный характер эволюции.

Рис. 10. Области параметров Нц(0) и Н^(0), для которых энергия е < 0 или е > 0 и 2-миры имеют различный характер эволюции; Нс = у^яСро/З

Используя начальные условия, энергию можно записать в виде

3лС

(Рс - Ро);

где

Рс

8лС

Н?

Характер эволюции 2-миров при є < 0 (р0 > рс) и є > 0 (р0 < рс) схематично изображён на рис. 11 и 12. На эволюцию 2-мира существенно влияет параметр Н^(0), определяющий дисперсию скоростей 2-частиц. Его влияние аналогично влиянию параметра Нц(0).

є

4

3

При И± > Нс = д/8лСро/3 даже вначале покоящийся 2-мир, расширяясь, уйдёт на бесконечность. При любых Нх(0) = 0 решения, описывающие 2-мир, не имеют сингулярности. При е < 0 и Н^(0) = 0 имеет место осцилляторная динамика 2-мира. Область изменения £: £тт < £ < £тах, где £т1п и £тах — корни уравнения е = Цей(£).

Рис. 11. Типы решений, описывающие 2-миры, при Н± =0: £ < 0 — финитный 2-мир; £ > 0 — инфинитный 2-мир

%

\ s-lL / >

\ /\£<0 V А V \ Е“°/

t

Рис. 12. Типы решений, описывающие 2-миры, при Н± =0: е < 0 — осциллирующий 2-мир; е = ит — стационарный 2-мир; е > 0 — инфинитный 2-мир

При е > 0, Н^(0) = 0 уравнение е = иеа(£) (см. рис. 9) имеет лишь один действительный корень £т1п. В этом случае область изменения £: £ > £т;п.

Как при £ < 0, так и при £ > 0, в области £ < £m = 3Н2(0)/(4лСро) расширение 2-мира происходит с ускорением, а при £ > £т с замедлением. Ускоренного режима расширения 2-мира в области значений £, больших, чем £m, нет.

2-среда в окрестности любого 2-наблюдателя описывается плотностью Р2 = n2m, удельной тепловой энергией

£2 = ^2/2 и давлением р2. Считаем, что давление — это удельная тепловая энергия, приходящаяся на две степени свободы. В соответствии с тем, что 2-газ является двумерным, заключаем, что справедливо уравнение состояния

P = £2 = vi/2.

Здесь и далее индекс 2 обозначает величину, определяемую в пространстве двух измерений.

Из закона сохранения массы находим, что в процессе эволюции 2-мира плотность Р2 связана с изменением радиуса кривизны а формулой

Р2

Учитывая (66) и (75), заключаем, что энергия £2 и давление P2 связаны формулами:

£2

Это уравнение может быть записано в виде адиабаты Пуассона:

P2V22 = const.

Отсюда заключаем, что эволюция 2-мира является адиабатическим процессом с показателем адиабаты у = 2. В идеальном газе показатель адиабаты у связан с числом степеней свободы f частиц, его составляющих, соотношением [21]

у =

Так как для 2-частиц f = 2, то у = 2.

С учётом адиабатичности d(£2V2) =

—P2dV2 первое начало термодинамики для 2-мира может быть записано в виде

^ +2

аа а

Это уравнение является одним из космологических уравнений А. А. Фридмана для 2-мира. Другим уравнением А. А. Фридмана для 2-мира является уравнение (70) (о космологических уравнениях А. А. Фридмана см., например, [2; 3; 7]). Уравнение (70) является обобщённым уравнением

А. А. Фридмана, учитывающим действие объёмных центробежных сил (см. [14; 15]). С учётом (66), (67) уравнение (70) запишем в виде

^2а

Ш2

СМ ^2

— + — • а2 а

Ускорение /а связано с изменением тепловой энергии 2-среды в процессе эволюции 2-мира. В самом деле, учитывая (66). заключаем, что

В силу однородности 2-мира, имеет место подобие законов, описывающих его локальные и глобальные свойства. Для любых 0 < Я0 < ао закон изменения ^ = Я(і)/Я0 один и тот же. Он такой же, как у а(^/ао. Поэтому, если ньютоновское приближение в описании 2-мира справедливо, то оно справедливо для всех масштабов. Если же условие (83) не выполняется, то использование ньютоновского приближения для описания 2-мира на любых масштабах является некорректным. Его динамику в этом случае необходимо изучать в рамках ОТО. Отметим, что, например, в ньютоновском приближении отсутствуют решения типа I и IV, описывающие динамику 2-миров с моментами частиц отличными от нуля и рождённых в результате «Большого взрыва».

6. ОБ ЭИНШТЕИНОВСКИХ СИЛАХ ОТТАЛКИВАНИЯ

Плотность тепловой энергии, достаточной для обеспечения ускоренного расширения однородной космической среды на определённом этапе её эволюции, может быть много меньше энергии рс2. Это означает, что центробежные силы принципиально отличаются по энергетике от сил отталкивания, связанных с «тёмной энергией» (Л-членом). Для создания эйнштейновских сил отталкивания, соизмеримых с силами притяжения, плотность «тёмной энергии» должна быть порядка плотности энергии рс2 среды, порождающей гравитационное поле (см., например, [6; 7]).

В заключение этого параграфа отметим, что при изучении динамики Вселенной часто используют ньютоновскую теорию тяготения (см., например, [2; 3]). Утверждается, что ОТО не является необходимой для решения локальных проблем в космологии. Полагают, что в этом случае ньютоновская теория является точной.

Как следует из полученных в настоящей работе результатов, если масса 2-мира М, а его радиус кривизны а, то ньютоновское приближение справедливо лишь в том случае, когда

а » гд = 2СМ/с2.

В работе [22] нами исследована динамика двумерных однородных сферических миров, заполненных безмассовыми частицами (2И-миров). Показано, что последовательное описание динамики 2И-миров в рамках ОТО в пространстве трёх измерений приводит к физически наблюдаемому эффекту. В этих мирах, кроме сил притяжения, возникают силы отталкивания. Источником этих сил является тепловая энергия частиц. Силы отталкивания в шварцшильдовой системе координат являются центробежными. Они действуют во внешнем для 2И-миров третьем пространственном измерении, растягивая их. В сопутствующей системе отсчёта силы отталкивания являются эйнштейновскими и описываются Л-членом уравнений ОТО.

Рассмотренный в [22] пример, обобщённый на трёхмерный случай [23], позволяет, как мы полагаем, правильно понять природу эйнштейновских сил отталкивания.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе показано следующее.

1. Важную роль, в значительной степени определяющей динамику 2-миров, игра-

ют параметр тд — их гравитационный радиус, а также взаимосвязанный с ним параметр тд/с. Первый является естественным пространственным, а второй — временным масштабом 2-миров.

2. Динамика 2-миров определяется не только гравитационными силами, но также и силами отталкивания. Существование сил отталкивания в 2-мирах связано с тепловым движением частиц, заполняющих эти миры. Эти силы зависят от радиуса кривизны пространства 2-миров, а также существенным образом от выбора системы координат, в которой проводится описание динамики этих миров.

3. Рассмотрена эволюция 2-миров в шварцшильдовой системе координат, являющейся внешней по отношению к ним. В этой системе координат состояния 2-миров, имеющих радиус кривизны а равный гравитационному радиусу тд, являются «чёрными дырами». Время входа 2-миров в состояние «чёрная дыра» и время их выхода из этого состояния в шварцшильдовой системе координат оказывается бесконечным. Силы отталкивания являются центробежными. Они действуют в третьем, внешнем к 2-мирам пространственном измерении. Влияние сил отталкивания на динамику 2-миров определяется вращательным моментом 2-частиц Ь. Динамика 2-миров, имеющих значение параметра Ь > \/3тстд, где т — масса 2-частиц, может существенно отличаться от динамики 2-миров с Ь < л/3тстд. Например, в первом случае для 2-миров возможны устойчивые стационарные состояния, а также колебательные режимы их эволюции, которые у 2-миров второго типа отсутствуют. Шварц-шильдова система координат не позволяет изучать динамику 2-миров, имеющих размеры меньшие, чем их гравитационный радиус.

4. Динамика 2-миров любых размеров изучена в сопутствующей системе координат, являющейся внутренней для них. Показано, что в этой системе координат шварц-шильдова особенность при а = тд отсутствует. Собственное время, за которое 2-мир проходит шварцшильдов радиус, оказывается бесконечно малым. Установлено, что при значениях параметра Ь < \/3тстд

возможны два типа решений, описывающих динамику 2-миров: финитные и инфинит-ные. Миры, описываемые этими решениями, рождаются из сингулярного состояния в результате «Большого взрыва». Финитные решения описывают расширение 2-миров с замедлением, которое заканчивается их остановкой, а в дальнейшем — сжатием этих миров в начальное сингулярное состояние. Ин-финитные решения описывают расширение 2-миров после «Большого взрыва» с уходом их на бесконечность. При значениях параметра Ь > \/3тстд, кроме двух типов решений, описывающих 2-миры с Ь < \/3тсТд, возможны ещё два других типа решений. Один из них описывает осциллирующие миры, другой — 2-миры, приходящие из бесконечности. Согласно этим решениям, 2-миры, сжавшись до некоторого минимального размера, затем расширяются и снова уходят на бесконечность. Если энергия 2-частиц достаточно велика (Е ^ тс2), то 2-миры достаточно быстро достигают состояния равномерного расширения. При этом скорость расширения этих 2-миров в шварцшильдо-вой системе координат оказывается близкой к скорости света. Характерное время перехода 2-миров в режим равномерного разлёта определяется величиной параметра тд/с.

Отметим также следующее. В настоящей статье приведены результаты работы [14], в которой динамика 2-миров исследована в ньютоновском приближении. Уже в рамках этого приближения можно понять природу сил отталкивания в 2-мирах. В то же время правильное описание динамики 2-миров возможно лишь в рамках ОТО. Метод описания динамики 2-миров, использованный в настоящей работе, легко обобщается на случай однородной изотропной трёхмерной безграничной среды, каковой и является Вселенная. Это обобщение будет описано в следующей работе авторов.

Авторы выражают благодарность

В. Н. Лукашу, И. Д. Новикову, А. В. Клименко, А. М. Черепащуку, И. Г. Шухману, обсуждение с которыми проблемы космологических сил отталкивания было одним из важных стимулов для выполнения настоящей работы. Авторы признательны

H. Ю. Жилкиной за помощь в подготовке

статьи. Работа выполнена при поддержке Российской академии наук (программа Президиума 19), Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08-02-00371, 09-02-00064), Федерально-

го агентства по науке и инновациям, и средств Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I. Ландау, Л. Д. Теория Поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1988.

2. Зельдович, Я. Б. Строение и эволюция Вселенной / Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. М.: Наука, 1975.

3. Вайнберг, С. Гравитация и космология. М.: Платон, 2000.

4. Perlmutter, S. Measurements of ^ and Л from 42 High-Redshift Supernovae / S. Perlmutter, G. Aldering, G. Goldhaber et al. // Astroph. J. 1999. Vol. 517, №2, P.565-586.

5. Riess, A. G. Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant / A. G. Riess, A.V. Filippenko, P. Challis et al. // Astron. J. 1988. Vol.116, №3, P.1009.

6. Чернин, А. Д. Тёмная материя и всемирное антитяготение // Успехи физ. наук (далее - УФН). 2008. Т. 178, № 3, С. 267-300.

7. Горбунов, Д. С. Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего большого взрыва / Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков. М.: ЛКИ, 2008.

8. Hinshaw, G. Three-year wilkinson microwave anisotropy probe (WMAP) observations: implications for cosmology / G. Hinshaw, M.R. Nolta, C.L. Bennet et al. // Astrophys. J. Suppl. 2007. Vol. 170, №2, P. 377-408.

9. Astier, P. The Supernova Legacy Survey: measurement of QM, and w from the first year data set / P. Astier, J. Guy, N. Regnault et al. // Astron. and Astrophys. 2006. Vol. 447, №1. P. 31-48.

10. Riess, A. G. New Hubble Space Telescope Discoveries of Type Ia Supernovae at z > 1: Narrowing Constraints on the Early Behavior of Dark Energy / A. G. Riess, L.-G. Strolger,

S. Casertano et al. // Astrophys. J. 2007. Vol. 659. № 1. P. 98.

11. Лукаш, В. Темная энергия: мифы и реальность / В. Н. Лукаш, В. А. Рубаков // УФН. 2008. Т. 178, №3. С.310-308.

12. Черепащук, А. М. Современная космология

— наука об эволюции Вселенной / А. М. Че-репащук, А. Д. Чернин // Бюллетень РАН «В защиту науки». 2008. №4.

13. Глинер, Э. Б. Раздувающаяся Вселенная и вакуумоподобное состояние физической среды // УФН. 2002. Т. 172, №2. С. 221-228.

14. Клименко, В. А. О центробежной природе «тёмной энергии» / В. А. Клименко, А. М. Фридман М.: ИАЭ, 2009. Т. 6597/1.

15. Клименко, А. В. О равномерном расширении Вселенной / А. В. Клименко, В. А. Клименко, А. М. Фридман // Астрон. журн. 2010. Т. 87, №10. С. 947-966.

16. Randall, L. An Alternative to Compactification / L. Randall, R. Sundrum // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol.83. P.4690-4693.

17. Maartens, R. Brane-World Gravity // Living Reviews in Relativity. 2004. Vol. 7, № 7.

18. Поляченко, В. А. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем / В. А. Поляченко, А. М. Фридман. М.: Наука, 1976.

19. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Д. Уиллер. М.: Мир, 1977.

20. Ландау, Л. Д. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М.: Наука, 1988.

21. Киттель, Ч. Статистическая термодинамика. М.: Наука, 1977.

22. Жилкин, А. Г. Об эйнштейновских силах отталкивания / А. Г. Жилкин, В. А. Клименко, А. М. Фридман // Докл. Акад. наук. 2010. Т. 435, №6. С. 748-751.

23. Жилкин, А. Г. Динамика трёхмерных однородных изотропных релятивистских миров / А. Г. Жилкин, В. А. Клименко, А. М. Фридман // Вестн. Челяб. гос. унта. 2013. №19(310). Физика. Вып.17. С.29-42.