К теории струйного закрылка

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XIX 19 8 8 №6

УДК 629.735.33.015.3.025.35—522.

К ТЕОРИИ СТРУЙНОГО ЗАКРЫЛКА

М. А. Брутян, П. Л. Крапивский, С. В. Кузьмин

Предложена модель струйного закрылка, в которой, помимо учитываемых в теории Спенса несущих свойств струи, учитываются также ее эжекционные свойства посредством распределения вдоль ее оси стоков. Закон распределения стоков берется из решения Гертлера для турбулентной струи. В рамках линейной теории получено интегро-дифференциальное уравнение для формы струи. Приводятся результаты численных расчетов формы струи и аэродинамических коэффициентов.

Струйный закрылок представляет собой устройство для получения большой подъемной силы крыла путем выдува струи через щель, расположенную вблизи задней кромки. Вслед за известными опытами Диммока [1] Спенс предложил простую теоретическую модель [2], которая удовлетворительно описывает основной эффект струйного закрылка — возникновение суперциркуляции. В теории Спенса предполагается, что струя является бесконечно тонкой, имеет нулевой массовый расход и конечный импульс. Бесконечно тонкая струя обладает свойствами вихревой пелены, завихренность которой пропорциональна импульсу и кривизне струи. Эта модель струи имеет очевидный дефект: в случае симметричного обтекания при нулевом угле выдува струи она не оказывает никакого влияния на обтекание профиля. В действительности, как известно из экспериментов, струя и в этом случае оказывает заметное влияние и может приводить, в частности, к устранению отрыва на профиле [3]. Этот эффект связан с эжекционным воздействием струи и является следствием вязких свойств среды. Полное решение задачи вязкого обтекания профиля со струйным закрылком представляет собой сложную задачу вычислительной аэродинамики. Поэтому попытаемся смоделировать эжекционное свойство струи, оставаясь в рамках модели идеальной жидкости. В приближении пограничного слоя существуют решения Шлихтинга и Толмина, описывающие ламинарные и турбулентные струи, истекающие в затопленное пространство [4]. Внешнее потенциальное течение, индуцируемое турбулентной струей, совпадает при этом с полем течения от линии стоков известной интенсивности, расположенных вдоль оси струи. Таким образом, предположение, что струя имеет свойства не только вихревой пелены, но и линии стоков позволяет смоделировать как несущие, так и эжекционные свойства струи, оставаясь в рамках модели идеальной жидкости.

1. Постановка задачи. Рассмотрим профиль со струей в потоке идеальной несжимаемой жидкости (рис. 1). Пусть выполнены все условия применимости линейной теории. Выберем единицы измерения,

и 1 1 і ЩХ)

О

Рис. 1

в которых плотность жидкости р, скорость на бесконечности и и длина хорды профиля ь равны единице. Введем систему координат так, что ось х направлена вдоль потока, а задняя кромка профиля расположена в точке (1,0). Пусть т (х) =--« (*, + 0) — и{х,— 0)—интенсивность вихрей; —к(х)—ордината струи и средней линии профиля; 1 — импульс струи; о = 2/ — коэффициент импульса струи. В дальнейшем функцию

тенсивность стоков, где о — эмпирическая постоянная. Скос Ж(х) на профиле (0<х<1) и струе (х>1) дается формулой

В формуле (1), как и всюду далее, сохранены члены первого порядка малости, а члены более высокого порядка отброшены. Рассматривая (1) как интегральное уравнение относительно у(х), обращаем его по методу Карлемана [5] и получаем

На струе интенсивность вихрей связана с ее кривизной у(х) = = — \l2cjh"{х) [2], а скос связан с формой струи и формой средней линии профиля Ш(х)=к'(х). С учетом этого (2) можно рассматри-

к(х)- будем называть также формой струи; д (х) = в ]/о/ (*— 1) —ин-

О'

о

+ 00

Ч-оо

Здесь через С?(х) обозначено выражение

+ оо

9 (С) К

у, і

1

которое можно вычислить с помощью тождества

+°° 0 при х^> 1

+ 00

при оо < 1 .

VI—X

вать как основное неоднородное интегро-дифференциальное уравнение относительно неизвестной формы струи. Для определенности рассмотрим далее простейший случай, когда профиль представляет собой плоскую пластину. В рамках линейной теории задачи о влиянии угла атаки а и угла выдува струи т разделяются. При этом достаточно решить только одну «з этих задач. Действительно, в задаче о подъемной силе, например, имеем

дс«

"Ж а +

дсу

дт:

(дсу\2

Г5Ї

= 2 Cj

дсу

да

)-

сЬ

Первая из формул (4) является прямым следствием линейной теории, а вторая получается с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в работе [6] для случая струи Спенса. Поэтому рассмотрим задачу о влиянии угла выдува струи при а = 0.

Основное уравнение (2) в этом случае имеет вид

<ё± + ± г у

dx2 ^ 1C .) V +00

-#1 V

t dh х rfC С-

_с_

х

і

+00

fiK j* А_

dt\

С — х

(£-ч)2 ^-1

h (л;) = 0 при 0<.х< 1; А'(1) = т,

= 0,

здесь X = 4/0.

Покажем, что краевая задача (5), (6) может быть приведена к более простому виду. Для этого проинтегрируем (5) по х. С учетом тождества

In

Ух+У1

Ух-VI

второе слагаемое в (5) после интегрирования по частям принимает вид

+ 00

-L Г у*. AiL)dc.

я J ' С С — х

Ещё раз, используя тождество (7) и равенство

h

d ГА(С)~ L С —

1 dh

с-ч «ге

(С - г,)2

третье слагаемое после интегрирования по частям приводим к виду +00

ух

/

dh_

И

In

Ух + У I

Ух-ус

л

di]

+ 00 +оо

.J Г с х — И J С — т)

(с —•»)) — і

O'!)

+

Первое слагаемое в этом выражении равно нулю, как это следует из тождества (3). Второе слагаемое разбивается на два интеграла.

Переставляя порядок интегрирования в одном из них с помощью формулы Пуанкаре—Бертрана [5], добиваемся сокращения всех интегральных членов, так что в результате двойной сингулярный интеграл в (5) преобразуется к простому конечному виду. Окончательно краевая задача (5), (6) принимает вид

Здесь и всюду далее ордината струи к отнесена к х. Постоянная' в правой части (8) определяется из граничных условий и имеет вид

Как видно из (8), отличие рассматриваемой модели струйного закрылка от модели Спенса математически состоит в наличии третьего слагаемого в интегро-дифференциальном уравнении, что по существу 'не сильно усложняет исследование.

2. Аэродинамические характеристики струйного закрылка. Подъемная сила, действующая на профиль, складывается из реактивной силы струи и перепада давления на профиле и дается известным соотношением

Подставляя в эту формулу выражение для ^(х) из (2), после громоздких вычислений, аналогичных вычислениям из предыдущего раздела, окончательно получаем

Приведем еще одну формулу для вычисления подъемной силы профиля со струйным закрылком. Связь интенсивности вихрей на струе с ее кривизной позволяет записать (9) в виде

Момент относительно передней кромки профиля определяется выражением

1

К (1) = 0, Л' (1) = 1 .

О

Переходя к пределу в (1) при х-*-<х>, получаем

дтг

дх

с

V

3. Численный метод и результаты расчетов. При численном решении краевой задачи (8) удобно представить искомую форму струи в виде

А(;с) = ^^+4( In У.- +-- 2 -і/ £- 1

л: тоХ ^ f^jc — 1/^лг — 1 у х

_____і / ^.И-1 J^LZlL-1-8 (х).

2X3'2 J/ х У~х + 1 ^ ’

Первый член в (12) дает правильное поведение функции к(х) при л=1; второй член дает правильное поведение при х-*-оо, ввиду тождества

± Г-і/ї іп л _1

.) У с УЇ~УГ=Ч С-Х 1

а третий член введен для удобства вычислений. Подставляя

dx V х — 1

'Vi цх) + х-¥*

+ оо

yR^— = Cf(x)-g(x),

Ус

8(1) = 0, 8'(1) = 0 ;

/(*) =

ТО У л

1 1--------------

УЛ 4

а Г х — 11+ 2У х . а2 — 1

4>3/2л: У л: (l+У*)2 + 2Х Ух+1 ’

. . 2Х . 1 , о/Х г-----, X Кх—1 , Ух+1

g (х) = ^7= Н—:i—— / л—1 + — • ' In ~7=—-

тоУлгл:2 х 71 У х ух — 1

Решение (13) ищем в виде ряда по полиномам Чебышева

^(l

Ограничимся конечным числом членом ряда (14). Для определения неизвестных коэффициентов Ак (к = 0, 1,...,ЛГ) подставим (14) в (13) и потребуем выполнения получившегося уравнения в нулях «ЛЬ-го полинома Чебышева. Получающуюся после этого систему алгебраических уравнений решаем совместно с соотношениями, следующими из граничных условий

2 (-1)*Л = 0, £ (—1)*£2л* = 0 k—0 k =0

со

•=[-=- + ^—(—1)*Л>

к—0

1 + Tt(1 —т)]

Проведенные систематические расчеты показали, что коэффициенты Ак быстро убывают с ростом к. Это свидетельствует о том, что представление решения в виде (12) оказалось удачным. На рис. 2 приведены результаты расчетов формы к(х) струи при о = 4 и двух значениях о. Случай 0=0 соответствует струе без эжекции, а значение сг = 0,22 взято из решения Гёртлера для турбулентной струи [7]. На рис. 3 представлены зависимости производных дсу/дх и дтг/д% от коэффициента импульса струи о при тех же значениях о. Видно, что учет эжекции при о~1 приводит к уменьшению аэродинамических коэффициентов примерно на 5—10%- Этот результат понятен, посколь-

Рис. 3

ку влияние вязкости приводит к уменьшению подъемной силы, а учет эжекции в рассматриваемой задаче является косвенным учетом вязких свойств струи. Из (4) можно найти асимптотическое поведение дсу/дх при малых и больших значениях о

дс„

-/4я с г при Ст —* 0 ,

при с}-+ +оо

(15}

Результаты численных расчетов (ряс. 3) хорошо согласуются с (15) и с экспериментальными данными (]1], причем расчеты по формулам

(10) и (11) совпадают с точностью до 10-4.

4. Случай сильной струи. Асимптотическая формула (15) дает первый член разложения производной дсу/дх по о и не зависит от коэффициента эжекции о. Следующий член разложения уже зависит от 0. Покажем это на примере сильной струи. При малых K{cJ-> +оо) форма струи заметно меняется вплоть до расстояний х = 0(1 /К). Из

(11) и (15) следует, что вдали от профиля (1пх)/лЛ. Из приведенных оценок и из вида соотношения (8) понятно, что предел Я-*-0 является сингулярным. Произведем деформацию координаты х и функции h

1 , х . , ч Я

*=1+— ; А(х) = -у^.

В деформированных координатах краевая задача (8) принимает

вид

<Ш,± г°° fT+l H(Y)dY g Н(Х)_

dx'1' к ) l/y + XF — X V X

о

=i+- Г лГ^-т-чу,

— 1 ^ я .) у Y + X Y

о

Я

Теперь при >,->0 функция Я стремится к Н0, которая удовлетвот

ряет (16) при Х=0. Формулы для дсу/дх и dmjdx в новых координа-

тах приобретают вид

— = су+ а(а) YTj+O (1) ,

“<->vo+°<o,

оо

, ч 4 Г dH0 dX

aW=Tj ^f??-

0 J

Численное решение (16) при Я=0 позволяет найти значение коэффициента a(a): a(0)»2,257; a(0,22) —2,083.

В заключении заметим, что асимптотические формулы (17) согласуются с точными численными расчетами вплоть до cj — 5 с относительной погрешностью, не превышающей 10%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dimmock N. A. Some early jet flap experiments. — Aero. Quart.,

1957, v. 8, ,N 4.

2. S p e n с e D. A. The lift coefficient of a thin jet flapped wing. —

Proc. Roy. Soc., ser. A„ 1956, v. 238, N 1212.

3. Wygnanski I. The effect of jet entrainment on loss of trust for a two-dimensional symmetrical jet-flap aerofoil. — The Aeron. Quart.,

1966, v. 17, part 1.

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.

5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Наука, 1968.

6. Trwaites В. Incompressible aerodynamics. — Oxford University Press., 1960.

7. Абрамович Г. H. Теория турбулентных струй. — М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1960.

Рукопись поступила 12/V 1987 г.