Дифференциальные уравнения дробного порядка для описания диффузии в нанопористых средах и управление процессами осаждения полимеров электрическим полем

М.Ю. Орлов, Ю.Н. Орлова, Е.Ю. Повереннов. Комплексное теоретико-экспериментальное исследование поведения поликристаллического льда...

процессе внедрения ударников с КГЧ в первых двух вариантах рассчитанные диаметры кратеров совпадали. При внедрении ударника с ПГЧ

обнаружено, что с ростом начальной скорости до 200 м/с диаметр кратера увеличивался. Дальнейший рост скорости, наоборот, приводил к уменьшению диаметра кратера.

Заключение

Таким образом, исследован процесс внедрения ударников с различными формами головных частей в ледяную преграду в дозвуковом диапазоне начальных скоростей удара. Полученные результаты позволили количественно описать процесс деформирования и разрушения льда на всех стадиях процесса внедрения. Результаты расчетов направлены на углубление теоретических знаний в области механики разрушения льда и показывают перспективность разработанных средств математического моделирования для решения подобного класса динамических задач МДТТ.

Литература

1. Физика взрыва / под ред. Станюковича - М: Мир, 1973. - С. 704.

2. Орлов Ю.Н. Исследование процессов высокоскоростного деформирования и разрушения комбинированных ударников: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Томск, 2007. - 34 с.

3. С-во о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010610911 от 28.01.2010 «Удар-ОС1. Ударно-волновое нагружение конструкций. Осесиммет-ричная задача» / Ю.Н. Орлов, В.П. Глазырин, М.Ю. Орлов.

4. Глазырин В.П., Орлов Ю.Н., Орлов М.Ю. Разрушение льда при ударном и взрывном нагружении // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13. - Ч. 1, спец. выпуск. - С. 425-432.

5. Горельский В.А., Коняев А.А., Толкачев В.Ф. Моделирование глубины проникания ударников в пресный лед при температуре -25 °С // Полярная механика - 2013: тезисы докладов всерос. конф. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. - С. 21-22.

6. Комплексное теоретико-экспериментальное исследование поведения поликристаллического льда при динамических нагрузках. Часть 1. Эксперименты по ударно-взрывному нагружению пресноводного льда. Расчет процесса взрывного нагружения системы «Лед - ВВ - Вода» / М.Ю. Орлов и др. // Принято к опубликованию в Вестнике Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема, 2013.

Орлов Максим Юрьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИИ прикладной математики и механики Томского госуниверситета. Тел. (3822) 529569, е -mail orloff m@mail.ru

Орлова Юлия Николаевна, ассистент НИ Томского политехнического университета, Институт природных ресурсов. Тел. +79627824760, е-mail: orlovaun@mail.ru

Повереннов Евгений Юрьевич, научный сотрудник НИИ механики ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Тел. +79047811742, е -mail: kochetkov@dk.mech.unn.ru

Orlov Maxim Yurevich, candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher, Institute of Applied Mathematics and Mechanics at Tomsk State University.

Tel. (3822) 529569, е -mail orloff m@mail.ru

Orlova Yuliya Nikolaevna, assistant, Tomsk Polytechnic University, Institute of Natural Resources. Tel. +79627824760, е-maü orlovaun@mail.ru

Poverennov Evgeny Yurevich, candidate of physical and mathematical sciences, researcher, Scientific Research Institute of Mechanics, Nizhegorodsky State University named after N.I. Lobachevsky. Tel. +79047811742, е-mail: ko-chetkov@dk.mech.unn.ru

© В.Е. Архинчеев, Н.В. Юможапова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДИФФУЗИИ В НАНОПОРИСТЫХ СРЕДАХ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ ОСАЖДЕНИЯ ПОЛИМЕРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ПОЛЕМ

Доказано, что многомерная диффузия в рамках гребешковой модели описывается дифференциальными уравнениями дробного порядка. Получено решение обобщенного диффузионного уравнения дробного порядка по времени. Показано, что включение электрического тока приводит к возникновению двух предельных случаев в зависимости от соотношения времени диффузии t и полевого

времени tE. Найдены асимптотические решения в обоих случаях и приведены их графические представления. Полученные результаты использованы для управления процессами осаждения полимеров в нанопористых материалах.

Ключевые слова: дробные производные, эффективные уравнения, нанопори-стые материалы.

V.E. Arkhincheev, N.V. Yumozhapova

DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER FOR DESCRIPTION OF DIFFUSION IN NANOPOROUS MEDIA AND CONTROL THE PROCESSES OF POLYMERS DEPOSITION BY ELECTRIC FIELD

The multidimensional diffusion within pectinate model is proved to be described by differential equations of fractional order. A solution of generalized diffusion equation of fractional order is obtained in time. Switching of electric current gives rise to two extreme cases depending on the ratio between diffusion time t and field time tE .

Asymptotic solutions in both cases are found and their graphical representations are submitted. The obtained results have been used for control the processes of polymers deposition in nanoporious matereials.

Ключевые слова: fractional derivatives, efficient equations, nanoporous materials.

Введение

В настоящее время нанопористые материалы нашли свое применение практически во всех областях науки и техники. Связано это с их необычными механическими, физическими и химическими свойствами. Для понимания характера физических процессов, происходящих в них, применяют аппарат дробного интегродифференцирования. Поскольку много-

численные исследования показали, что диффузию в таких средах нельзя описать классическим уравнением диффузии из-за аномальной зависимости среднеквадратичного смещения диффундирующих частиц от времени [1]. Она определяет новое автомодельное поведение, а также негауссову форму для устойчивого распределения диффундирующих частиц [2].

Несмотря на интенсивное исследование проблемы аномальной диффузии, тем не менее до сих пор остается ряд нерешенных вопросов. В частности, до конца не исследовано влияние электрического поля на характер диффузионного распространения активных частиц в пористых материалах. Дело в том, что в случае классической диффузии влияние электрического поля можно исключить переходом в инерциальную систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью, - имеется лоренцовская инвариантность; в случае аномальной субдиффузии средняя скорость уменьшается со временем [6-8]:

V(Г) кцЕ ¡41

ч

что означает отсутствие лоренцовской инвариантности для субдиффузионных аномальных процессов. Также возникает вопрос и о том, каким образом происходит переход к стационарному распределению больцма-новского вида в задачах аномальной диффузии.

1. Модель гребешковой структуры как модель пористых материалов

Напомним коротко гребешковую модель. Впервые она была введена для описания субдиффузии на перколяционных кластерах [9], которая также аналогична перколяции в пористых материалах. Она состоит из хорошо проводящей оси - проводящего канала (аналог скелета перколяци-онного кластера) и ребер, прикрепленных к оси (рис. 1).

Рис. 1. Гребешковая модель: ось и ребра, прикрепленные к оси структуры

Особенность диффузии в гребешковой структуре состоит в возможности смещения по X -направлению только вдоль оси структуры (при у = 0). Это означает, что коэффициент диффузии Дхх отличен от нуля только при у = 0 [10]:

Дх = дад.

Т.е. x - компонента диффузионного тока равна:

дх

Диффузия вдоль осей структуры носит обычный характер: Dyy = D2.

Следовательно, случайные блуждания на гребешковой структуре описываются тензором диффузии:

Гаад о ^

D =

о

d2

v " 2 У

Используя закон Фика с тензором диффузии

Jd = - D VN,

получим диффузионное уравнение:

д д2 д2 - - Di5(y) — - D2 -2-

dt dx д y

G

Здесь G(x, у, t) - функция Грина уравнения диффузии. Для дальнейшего удобства сделаем преобразование Лапласа по времени и преобразование Фурье по х - координате:

í + Dik2S(y) - D2 ^

ду

G ( í, k, y) = S( y).

В качестве начальных данных используется точечный источник S(x)S(y)S(t) . Решение уравнения (12) будем искать в виде:

G

Подставляя решение (6) в уравнение получим две части: регулярное выражение и выражение с сингулярным коэффициентом S(y) :

[í - D2X2 ] G

[ Dk + 2XD2 ] S

Из первого уравнения (7) мы определим значение параметра X, а из второго уравнения (8) - выражение для функции g (í, k) :

1

X =

1

D- , g(í, k) =

LJ ^

2D2X + Dlk

2 '

Сделав обратное преобразование Фурье, получим выражение для функции Грина:

G(x, y, t) = J (т+ \ y \)exp

о

f 2 ч2 Л -tD

X2 D2(t+ \ y \)2

4D1t 4t

2

п di t3t

.

V "" У

Нетрудно проверить, что среднеквадратичное смещение вдоль оси структуры оказывается аномальным:

< x2 (t) >= Dj

t

D

Диффузия вдоль ребер гребешковой структуры носит обычный харак-

тер:

х>

< у 2

Таким образом, анизотропные случайные блуждания в пористых материалах описываются различными степенными зависимостями (11) и (12).

2. Аномальная диффузия в электрическом поле

Включение электрического поля приводит к анизотропии случайных блужданий. В слабых полях параметр анизотропии мал:

а

и пропорционален полю. Соответственно, полевой ток имеет вид:

= п/Е .

В гребешковой структуре тензор подвижности равен

и

/ = .

i 0 /)

Тогда уравнение диффузии в электрическом поле по гребешковой структуре имеет вид:

д_

дг

( д2 ^ д^ д2

У 1 дх2 1 х дх)

д2 ^ д

'2 - 2 ^ У л.

ду ду

р

Формальное решение уравнения дробного порядка по времени имеет вид:

(х - Ухт)2

О

/ Е2

Здесь *0 =-Ду , ^ = /Ех , *= * + *0.

3. Предельный переход к стационарному распределению

Проанализируем полученное выше решение (17), описывающее случайные блуждания по гребешковой структуре в электрическом поле, методом перевала. Для этого определим перевальные точки:

2 2 2 т V х х

-----х— т +-Vx--= 0

4г 4Д2 2Д2 х 4Д2т

Выражения для перевальных точек в электрическом поле отличаются от выражений для перевальных точек без поля. Более того, сами значения перевальных точек зависят от величины электрического поля.

В пределе слабых электрических полей г << гЕ , где гЕ = 4Д2/V2у

время, определяемое компонентой электрического поля, выражение для

перевальных точек аналогично формуле без электрических полей:

4/ х'3

Т,2 =

г13

В случае сильных электрических полей / << ХЕ перевальные точки

описываются выражением:

Т1,2 = ±"

X

Как следует из полученных выше формул в пределе больших времен функция распределения принимает больцмановский вид:

^М^ ) N0

(

exp

дЕх

,2 Л

кТ 4Бг

При этом выход на стационарное распределение происходит медленным диффузионным образом.

Рис. 2. Выход на стационарное распределение при различных временах

X

4. Численный анализ функции плотности распределения в электрическом поле и управление процессами осаждения полимеров

Ниже представлен анализ поведения функции плотности распределения диффундирующих частиц численными методами в системе Matlab и методом Монте-Карло при различных соотношениях параметров задачи: электрическое поле, время и коэффициент диффузии.

а) а = ?/ 1Е = 0,01; б) а = ¿ДЕ = 1

Рис. 3. Распределение диффундирующих частиц от времени при различных параметрах а

Как видно при малых параметрах а электрическое поле не влияет на форму распределения частиц; полученные результаты согласуются с результатами работ [7-9]. Дальнейшее увеличение электрического поля приводит к изменению формы распределения и смещению вправо максимума распределения частиц. Также необходимо отметить, что со временем растет деформация решения, при увеличении параметра а эта деформация уменьшается - решение стремится к стационарному распределению.

В сильных полях и предельном случае малых времен влияние поля не успевает сказываться в соответствии с развитой выше теорией, согласно которой важно соотношение между временем диффузии и «полевым»

г >> гЕ

временем Е.

В случае сильных полей и обратном предельном случае больших времен, когда время диффузии много больше «полевого» времени г << гЕ, влияние поля оказывается существенным вплоть до выхода на стационарное распределение, что соответствует большим временам. При соотношении г / гЕ > 5 картина распределения практически не изменяется (рис. 4).

а) а = г / гЕ = 1; б) а = г / гЕ = 5

Рис. 4. Распределение плотности вероятности в сильных полях и на больших временах при различных соотношениях времен

В сильных полях и предельном случае малых времен влияние поля не успевает сказываться в соответствии с теорией, согласно которой важно соотношение между временем диффузии и «полевым» временем г << гЕ .

Нетрудно понять, что появление нового параметра в задачах диффузии с электрическим полем приведет к новой кинетике процессов осаждения полимеров в нанопористых материалах. В приложение к указанной проблеме кинетика заполнения нанопор в диэлектрических материалах на больших временах существенно отличается от кинетики при обычной диффузии с гауссовым распределением. Другим важным результатом является существенное ускорение электрическим полем кинетики заполнения пор.

Практическое использование полученных результатов прежде всего следует связывать с дальнейшей разработкой технологии формирования нанопористых материалов.

Заключение

Исследовано поведение функции плотности вероятности диффундирующих частиц в электрическом поле. Показано, что возможны два предельных случая в зависимости от соотношения времени диффузии t и полевого времени tE. В случае слабых полей (малых времен) асимптотическое поведение носит аномальный характер аналогично случаю в отсутствии электрического поля. В случае сильных полей происходит сильное изменение формы диффузионного пакета и на больших временах приобретает характер больцмановского распределения. Выход на больцмановское распределение описывается диффузионной гауссовой асимптотикой. Полученные результаты могут быть использованы для управления процессами осаждения, испарения полимеров в нанопоры.

Литература

1. Isichenko M.B. Percolation, statisticaltopography, andtransportinrandommedia // Rev. Mod. Phys. - 1992. - V. 64. - P. 961-984.

2. Uchaikin V.V. Anomalous diffusion and fractional stable distributions // JETP. -2003. - V. 97. - P. 810-825.

3. Applications of fractional calculus in physics / ed. R. Hilfer // World Sci, Singapoure. 2000. - P. 1-85.

4. Arkhincheev V.E. Diffusion on random comb structure: effective medium approximation // Physica A. - 2002. - V. 307. - P. 131-141.

5. Arkhincheev V.E. Random walks on comb model and its generalizations // Chaos. - 2007. - V. 17. - P. 043102-0143108.

6. Klafter J., Metzler R. Phys. Rep., 339, 1 (2000).

7. Metzler R., Klafter J. Advances in Chem // Physics. - 2001. -V. 116. - P. 223.

8. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. ЖЭТФ. - 2002. 121, 299.

9. Weiss G., Havlin S. Some properties of random walks on a comb structure // Physica A. 1986. - V. 134. - P. 474-482.

10. Архинчеев В.Е. Обобщенный закон Фика для аномальной диффузии в многомерной гребешковой модели // Письма в ЖЭТФ. - 2007. - Т. 86, № 8. - С. 580-583.

Архинчеев Валерий Ефимович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института физического материаловедения СО РАН. Тел. 43-32-38, е-mail: varkhin@mail.ru

Юможапова Наталья Вячеславовна, аспирант Института физического материаловедения СО РАН. Тел. 43-32-38, е-mail: ynat81@bk.ru

Arkhincheev Valery Efimovich, doctor of physical and mathematical sciences, chief researcher, Institute of Physical Material Studies SВ RAS. Tel. 43-32-38, е-mail: varkhin@mail. ru

Yumozhapova Natalya Vyacheslavovna, postgraduate student, Institute of Physical Material Studies SВ RAS. Tel. 43-32-38, е-mail: ynat81@bk.ru