О комбинированной оценке вероятности безотказной работы по полной выборке

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Управление, вычислительная техника и информатика № 4

УДК 519.2

Ю.Г. Дмитриев, С.В. Скрипин

О КОМБИНИРОВАННОЙ ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ПО ПОЛНОЙ ВЫБОРКЕ

Строятся статистические оценки для вероятности безотказной работы объекта в виде взвешенной суммы непараметрической оценки вероятности и заданной параметрической оценки вероятности. Находятся асимптотические распределения предлагаемых оценок. Проводится сравнение точности оценок при конечном объеме наблюдений путем имитационного моделирования.

Ключевые слова: случайная наработка, вероятность безотказной работы, непараметрическая оценка, комбинированная оценка вероятности, асимптотическое распределение.

В теории надежности при анализе и статистическом оценивании вероятности безотказной работы (ВБР) объекта используются те или иные вероятностностатистические модели случайной наработки элемента Х до первого отказа [1]. Выбор модели обусловлен наличием априорной информации о виде функции распределения Е случайной наработки Х Функция распределения может принадлежать как непараметрическому семейству Ж, так и параметрическому семейству

О = {О(/;0),9с©} распределений наработки. Для новых объектов эта функция распределения, как правило, полностью неизвестна и поэтому для ее статистической оценки применяют непараметрическую оценку, построенную по результатам испытаний. Однако опыт исследователя позволяет ему выдвинуть некоторые априорные догадки о принадлежности Е некоторому параметрическому семейству. Эта догадка может быть как верной, так и неверной. Возникает желание использовать имеющиеся знания о возможной параметризации распределения в непараметрических оценках с целью улучшения их свойств. В данной работе предлагается подход к построению комбинированных оценок в виде взвешенной суммы непараметрической оценки вероятности и заданной параметрической оценки вероятности. Обсуждаются проблемы, возникающие при реализации таких оценок на практике, анализируются асимптотические свойства, а также свойства при конечном объеме наблюдений путем имитационного моделирования.

1. Постановка задачи

Пусть Е(/) = Р{Х < ,}, , > 0, - функция распределения случайной наработки X. Запишем ВБР объекта, достигшего возраста t, в виде

J

1 - Е

где событие Л,+х = {Х>+х}, Л, = Х>,.

Имеется полная простая выборка Хь..., Хп объема п случайной наработки Х с Ее Ж. Непараметрическую оценку ВБР (1) возьмем в виде

- 1 - Еп

./

1 - Еп

где Еп(0 = п -1 X с (, - Х), с(,) = {0: ,<0, 1: ,>0} - эмпирическая функция распреде-

1 =1

ления, Р ( ) - эмпирические вероятности, В = Лш, Л = ЛI .

Пусть имеется предположение, что Ее О . В этом случае ВБР запишется в виде

J

V ' 1 - 0(,, 9) Р9 (Л) ^

Назовем величину ¥(х;,,0) априорной догадкой. Задача состоит в построении оценки ВБР, учитывающей непараметрическую оценку (2) и априорную догадку (3) совместно.

Рассмотрим разложение непараметрической оценки в окрестности истинных вероятностей Р(В) и Р(А) по формуле Тейлора с остаточным членом Кп(,, х) в форме Лагранжа для произвольных, но фиксированных t, х:

,

Ре

Обозначим главную часть в (4) через

я Р

Из (5) следует, что математическое ожидание и дисперсия главной части равны соответственно

Ме, (х;t) = J(х;t, Е), Ое, (х;t) = п-1стЕ,

е _2 _2

где СТ Е = СТ Е

Р3(Л) (1 - Е ^ ))3

Кроме того, из (5) вытекает, что при увеличении объема наблюдений п в силу центральной предельной теоремы последовательность

(х; t) - ,(х; t, Е)) ~ N (0, ст2е ),

т.е. имеет асимптотически нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, определяемой формулой (6). Поскольку вторые производные в остаточном члене Япу, х) являются непрерывными функциями относительно Р(В) и Р(А), то в силу теоремы непрерывности (см. [2], глава 6) последовательность -1п Япу, х) слабо сходится к нулю. Отсюда следует, что и непараметрическая оценка (2) также имеет асимптотически нормальное распределение, т.е. л/й (Д(х; 0-/(х; ,,Е))~МР,с2е).

2. Комбинированная оценка

Совместное использование непараметрической оценки (2) и априорной догадки (3) осуществим с помощью комбинированной оценки следующего вида:

где X - коэффициент взвешивания, выбираемый из заданного критерия качества, х, t, 0 произвольные, но фиксированы. Поскольку определяющим элементом в асимптотическом поведении оценки (2) является ее главная часть, то выберем ко-

эффициент X из условия минимума среднеквадратической ошибки (СКО) главной части

Минимизация выражения (8) по X приводит к оптимальному значению коэффициента

(отклонения) априорной догадки от истинного значения ВБР. Минимум СКО главной части удовлетворяет соотношению

Как показывают выражения (9) и (10), оптимальное значение Х0 изменятся в пределах 0 < Х0 < 1, а выигрыш в точности оценивания комбинированной оценки по сравнению с непараметрической оценкой характеризуется отношением

Формула (11) показывает, что чем V ближе к нулю, тем сильнее влияние априорной догадки на точность оценивания ВБР, и чем ближе V к единице, тем слабее это влияние. При ДЕ = 0 имеем Х0 = 1, V = 0, и в качестве оценки ВБР следует взять априорную догадку ¥(х;,,0). При ДЕ Ф 0, что обычно и бывает на практике, Х0 < 1 и с ростом объема наблюдений (п^-да) Х0^0, влияние априорной догадки уменьшается, выигрыш в точности оценивания убывает, V-^•1.

Оптимальное значение Х0 зависит от функции распределения Е случайной наработки и, как правило, неизвестно. Это обстоятельство затрудняет применение комбинированной оценки (7) на практике и приводит к поиску тех или иных оценок Х0 для Х0, при которых выигрыш в точности еще сохраняется. Комбинированные оценки (7) с Х0 назовем адаптивными. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из возможных оценок для Х0 и приведем свойства получающихся при этом адаптивных оценок

1. Первая оценка Х0. Подставим в формулу (9) вместо неизвестной Е эмпирическую функцию распределения Еп (или вместо неизвестных вероятностей Р - их эмпирические оценки Р ). Получим оценку

БЕ (х; t, X) = МЕ [(х; t) - Х((х; t) - Т(х; ^ 9)]2.

где с2е определяется формулой (6), а ДЕ = ,(х;,,Е) - ¥(х;,,0) - величина смещения

БЕ

V = Е\’ ’ =

^

3. Адаптивные оценки

./(х; t, Х0) = ./(х; t) - Х0 (./(х; t) - Т(х, t, 9)).

где

Д = Д(х;t) = х;t) - Т(х;t, 9) = - Т(х;t,9),

Р

ст2 = Р( В)( Р(Л) - Р( В))/Р3 (Л).

д2 =

ст2 Р(в)(Р(Л) - Р(В)) .

Пусть ДЕ Ф 0. Рассмотрим разность

у/п

Поскольку (13) и отношение (14) являются непрерывными функциями от Р(Л), Р(В), то в силу состоятельности эмпирических вероятностей, по теореме

непрерывности (см. [2], глава 6) следует, что для каждых фиксированных х, t при

п—ж

д2 р д7 р 1—" " р —2———2~, Х01 — 0, •\/пХ^01'Д — 0.

СТ СТе

Отсюда из (15) вытекает, что при ДЕ Ф 0 асимптотические распределения адаптивной оценки Д(х;,, Х01) и непараметрической Д(х;,) одинаковы и совпадают, как установлено выше, с нормальным законом МР,с2е).

Пусть ДЕ = 0. Тогда при п—ж в силу центральной предельной теоремы и теоремы непрерывности ([2], глава 6) случайная последовательность цп = л/иД/СТ стремится по распределению к стандартной нормальной случайной величине пеМР,1), а оценка Х01 сходится по распределению к случайной величине 1/(1+п2). Отсюда следует, что закон распределения случайной последовательности

л/л (,(х; t, Х01) - ,(х; t)) л/п (,(х; t) - , (х; 0) Х0^ л/пД

сходится к распределению случайной величины

I — П-----= “^“7,П е N(0,1),

1 + п2 1 + п2

с математическим ожиданием М^ = 0 и дисперсией Б = с2^ .

2. Вторая оценка Х0. Желание обеспечить сходимость оценки коэффициента Х0 к единице при ДЕ = 0 приводит ко второй оценке

Х 1 1 7

Х02 — — , а > 2.

1 + п |Д/СТГ 1 + п^^Д/а!

Если Де ф 0, то при п—ж

Д/СТ —— Де/сте , Х02 ——0, ^п/^02Д ——0.

Отсюда следует, что асимптотические распределения оценок Д(х;,, Х0г) и Д(х;,) одинаковы и совпадают с нормальным законом М^0,с2е).

Если ДЕ = 0, то при п——ж имеют место следующие сходимости по распределению

случайных последовательностей: ^/пД/ст| сходится к случайной величине |п|а, оценка Х02 - к единице, а у/п (,(х; t, Х02) - ,(х; t))/СТ = 4пД{1 - СТ - к нулю.

Возможны и другие виды Х0 в адаптивных оценках (12), приводящих к новым свойствам.

4. Имитационное моделирование

С целью выяснения качества предложенных в работе адаптивных оценок ВБР при конечных объемах выборок было проведено имитационное компьютерное моделирование при следующих условиях:

1. Выборки генерировались из экспоненциального закона распределения Е(х) = 1 - ехр(-0х) с параметром 0 = 1,0. Объемы п выборок изменялись в диапазоне от 5 до 125 с интервалом (шагом) равным 5.

2. Генерирование событий Л( и Л,+х проводилось при t = 0,10536, х = 0,5. При этом для каждой сформированной выборки соблюдалось условие: имеется хотя бы одно наблюдение с событием Лг , иначе выборка исключается из рассмотрения.

3. Сравнение СКО оценок с разной величиной смещения Д проводилось при изменении значений параметра 0 в диапазоне от 0,4 до 1,8 с интервалом (шагом), равным 0,2 и фиксированным объёмом выборки п = 15;

4. Для каждого значения п из заданного диапазона числовые результаты эксперимента рассчитывались по серии выборок объема К = 1000000 (с одинаковым объемом наблюдений п в каждой выборке);

5. Квадрат отклонения (ошибки) оценок от истинного значения

Б,2 — (/п] - /)2, , — 13,

где - параметрическая оценка ¥(х;,,0), /п2 - непараметрическая оценка .(х;,), ./„з - комбинированная оценка .(х;,, Х 01), / - истинное значение /(х,,,Е).

6. Критерии оценки СКО, вычисленные по серии К выборок,

е,—Кг £ 1 ,—13,

где 0 - оценка СКО для ¥(х;,,0), 02 - оценка СКО для .(х;,), 03 - оценка СКО для .(х;,, Х 01).

5. Результаты моделирования

Результаты моделирования экспериментов представлены на рис. 1 и 2. Дадим краткий комментарий результатов.

Эксперимент 1. Цель эксперимента - оценка и анализ изменения СКО комбинированной оценки .(х;,, Хм) по сравнению с непараметрической в условиях конечных объёмов выборки п. Параметрической оценкой была взята величина ¥(х;,,0) с СКО равной нулю. Выигрыш СКО определялся только свойствами комбинированной оценки.

На рис. 1 по горизонтальной оси указан объём выборок п, а по вертикальной оси - величина 0 оценок СКО непараметрической и комбинированной оценок. Из рисунка виден почти двукратный выигрыш СКО комбинированной оценки по сравнению с непараметрической уже при п > 5. Этот выигрыш сохраняется и при увеличении объёмов выборок за пределы диапазона условий моделирования, что подтверждает теоретические результаты.

Эксперимент 2. Цель эксперимента - оценить изменение выигрыша СКО комбинированной оценки .(х;,, Х01) по сравнению с оценкой СКО непараметрической оценки при изменении величины 9 . Эксперимент проведён при фиксированном объёме выборок п = 15.

Q

0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

0

Рис. 1. Зависимости оценок СКО непараметрической (пунктирная линия) и комбинированной (штрих-пунктирная линия) оценок от объёма выборок n

Q

0,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01

0,005 0

Рис. 2. Зависимости оценок СКО параметрической (сплошная линия), комбинированной (штрих-пунктирная линия) и непараметрической (пунктирная линия) оценок от смещения параметра 0 (истинное значение 0 = 1) при объёме выборки n = 15

На рис. 2 по горизонтальной оси указана величина параметра 0. По вертикальной оси указана величина Q оценок СКО параметрической (сплошная линия), непараметрической (пунктирная линия) и комбинированной (штрих - пунктирная линия) оценок. Все кривые статистически значимо различаются на уровне значимости < 0,05, за исключением областей пересечения кривых. Рисунок демонстрирует, что при 0 = 1 СКО параметрической оценки равно нулю, а оценки СКО непараметрической и комбинированной оценок соответствуют величинам, представленным на рис. 1 при n = 15. При смещении параметра 0 в меньшую или большую сторону от 0 = 1 выигрыш СКО комбинированной оценки плавно

\

1

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 n

уменьшается по сравнению с оценкой СКО непараметрической оценки. При значениях 0 < 0,5 и 0 > 1,7 выигрыш отсутствует. Однако уменьшение оценки СКО и выигрыша происходит значительно медленнее, чем у параметрической. Поэтому при значениях 0,5 < 0 < 0,7 и 1,4 < 0 < 1,7 выигрыш СКО комбинированной оценки имеет место и по сравнению с оценкой СКО параметрической оценки, что подтверждает преимущества комбинированных оценок. Преимущества комбинированных оценок подтверждаются и для J(x;t, Х02) и в других экспериментах, не представленных в данном пункте.

Заключение

В работе предложены статистические комбинированные оценки для ВБР объекта, в которых используется знание исследователя о возможных параметрических моделях функций распределения наработки до отказа или самой ВБР. Оценки являются взвешенными суммами непараметрических и параметрических оценок ВБР. Найден оптимальный коэффициент взвешивания и показано, что при любом конечном объеме выборки комбинированные оценки являются более точными по критерию СКО главных частей оценок. Однако применение таких оценок на практике затруднено незнанием оптимального коэффициента взвешивания. В работе приведены две оценки таких коэффициентов и построены адаптивные комбинированные оценки ВБР. Результаты имитационного моделирования показали, что при конечных объемах выборок адаптивные оценки имеют меньшее СКО по сравнению с непараметрической оценкой.

Результаты моделирования, представленные на рисунках, получены с помощью кластера Межрегионального вычислительного центра ТГУ СКИФ Cyberia (skif.tsu.ru). Авторы выражают благодарность сотрудникам Центра за оказанную помощь.

ЛИТЕРАТУРА

1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход: пер. с нем. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.

2. БоровковA.A. Математическая статистика. М.: Наука, 2007. 704 с.

Дмитриев Юрий Глебович

Скрипин Сергей Викторович

Томский государственный университет

E-mail: dmit@mail.tsu.ru, skripinsv@mail.ru Поступила в редакцию 2 августа 2012 г.

Dmitriev Yury G., Skripin Sergey V. (Tomsk State University). On a combined estimating of the probability of failure-free operation for the full sample.

Keywords: the probability of failure-free operation, nonparametric estimation, the combined estimate of the probability, the asymptotic distribution.

There is constructed statistical estimates for the probability of failure-free operation of the system as a weighted sum of nonparametric and parametric estimates of the probability. Asymptotic distributions of combined estimates are found. The accuracy of estimates with finite volume of observations is studied by simulation.