Уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с векторным кручением

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2019. Том 26, № 4

УДК 514.765

УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА НА ТРЕХМЕРНЫХ

ЛОКАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКИХ

(ПСЕВДО)РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

С ВЕКТОРНЫМ КРУЧЕНИЕМ

П. Н. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. П. Хромова

Аннотация. Последнее время становится актуальным изучение (псевдо)римановых многообразий с различными афинными связностями, отличными от связности Леви-Чивита. Метрическая связность с векторным кручением (также известная как полусимметрическая связность) является одной из часто рассматриваемых связно-стей.

Связь между конформными деформациями римановых многообразий и метрическими связностями с векторным кручением на них была установлена в работах К. Яно. А именно, риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю, тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским.

В данной работе впервые исследуется уравнение Эйнштейна на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Получена теорема о том, что все такие многообразия либо являются многообразиями Эйнштейна относительно связности Леви-Чивита, либо являются конформно плоскими.

Б01: 10.255877SVFU.2019.49.61.003

Ключевые слова: локально симметрические пространства, алгебры Ли, векторное кручение, инвариантные (псевдо)римановы метрики, многообразия Эйнштейна.

1. Введение и основные результаты

Пусть (М, д) — (псевдо)риманово многообразие. Определим на данном многообразии метрическую связность V с помощью формулы

У = V9*У + д

где V — некоторое фиксированное векторное поле, X и У — произвольные векторные поля, V9 — связность Леви-Чивита. Связность V является одной из трех основных связностей, описанных Э. Картаном в [1], и называется метрической связностью с векторным кручением или полусимметрической связностью (с точностью до направления).

Данная связность играет важную роль в случае двумерных поверхностей, так как в этом случае любая метрическая связность является связностью с

© 2019 Клепиков П. Н., Родионов Е. Д., Хромова О. П.

векторным кручением [1]. В работах [2-7] изучаются различные аспекты метрических связностей с векторным кручением.

Важная теорема о связи конформных деформаций и метрических связностей с векторным кручением была доказана Яно в [8].

Теорема 1. Риманово многообразие допускает метрическую связность с векторным кручением, тензор кривизны которой равен нулю, тогда и только тогда, когда оно является конформно плоским.

Данная теорема также обобщается и на случай псевдоримановой метрики, так как доказательство не использует положительную определенность метрического тензора.

Тензор кривизны связности V определяется равенством

К(Х, У)Z = ^ V*Z - V*^Z + V[XIY а тензор Риччи — равенством

г(Х, У) = Ьг^ ^ Е(Х, Z)У).

Отметим, что, в отличие от случая связности Леви-Чивита, в данном случае тензор Риччи не обязан быть симметричным. Однако верна

Теорема 2 [9,10]. Пусть (М,д) — (псевдо)риманово многообразие с метрической связностью с векторным кручением. Тогда тензор Риччи является симметричным тогда и только тогда, когда 1-форма п замкнута (т. е. в,п = 0), где

п(Х )= д(Х,У), для любого векторного поля Х на М.

В случае (псевдо)римановых многообразий со связностью Леви-Чивита достаточно известны многообразия постоянной кривизны Риччи или многообразия Эйнштейна (см., например, известный обзор [11]). Они допускают несколько обобщений на случай многообразий с метрической связностью с векторным кручением [12]. Мы будем использовать следующее

Определение 1. (Псевдо)риманово многообразие (М, д) с метрической связностью с векторным кручением будем называть многообразием Эйнштейна, если тензор Риччи удовлетворяет уравнению Эйнштейна

г = Лд

для некоторой скалярной функции Л.

Основным результатом данной работы является

Теорема 3. Если для трехмерного (псевдо)риманова локально симметрического пространства с метрической связностью с инвариантным векторным

кручением выполняется уравнение Эйнштейна, то либо векторное поле V тривиально, либо тензор кривизны равен нулю.

Так как условие тривиальности векторного поля V равносильно тому, что данная связность является связностью Леви-Чивита в силу (1), а условие тривиальности тензора кривизны по теореме 1 эквивалентно тому, что группа конформно плоская, то немедленным следствием теоремы 3 является

Теорема 4. Если трехмерное локально симметрическое (псевдо)риманово пространство допускает такую метрическую связность с инвариантным векторным кручением, что выполняется уравнение Эйнштейна, то оно либо является многообразием Эйнштейна относительно связности Леви-Чивита, либо является конформно плоским.

Пусть далее (М = О/И, д) — трехмерное локально симметрическое (псев-до)риманово пространство. Зафиксируем некоторое инвариантное векторное поле V, с помощью которого определим на М метрическую связность V с векторным кручением. Аналогично общему случаю определим тензор кривизны К и тензор Риччи г.

Отметим, что в трехмерном случае равенство нулю тензора кривизны К равносильно занулению тензора Риччи г в силу того, что в размерности три тензор Вейля всегда равен нулю как для связности Леви-Чивита, так и для метрической связности с векторным кручением (см. [12]). Таким образом, для трехмерного многообразия Эйнштейна равенство нулю тензора кривизны эквивалентно условию Л = 0.

Исследование уравнения Эйнштена на трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях основывается на следующей теореме, которая была доказана в римановом случае в [13], а в лоренцевом — в [14].

Теорема 5. Трехмерное локально симметричное (псевдо)риманово многообразие (М, д) локально изометрично

1) (псевдо)римановой пространственной форме М3, 83 или Н3 (с нулевой, положительной или отрицательной секционной кривизной соответственно) ,

3) многообразию Уокера с лоренцевой метрикой д, которое допускает локальную систему координат (их, и2, из) такую, что метрический тензор имеет вид

2. Предварительные сведения

или

2) прямому произведению 82 х М или Н2 х М,

или

где е = ±1, a G R, в и £ — произвольные гладкие функции. Для удобства вычислений мы используем представление локально симметрического пространства M = G/H в виде алгебр Ли (подробнее см. [15]). Пусть g — алгебра Ли группы изометрий G, h — алгебра Ли подгруппы изотропии H, m — дополнение к h до алгебры g. Пусть dim h = h и dim m = m. Зафиксируем базис {ei,... , eh, ui, u2,... , um} алгебры g, где {e^} и {u} — базисы h и m соответственно. Положим

К uj]m = cjV-ki К uj]h = [hi,uj]m = V-ki

где cj, Cj и cj — массивы соответствующих размеров.

Представление изотропии ф на базисных векторах h задается равенством (фг)к = (ф^))^ = cj, тогда условие инвариантности метрического тензора g имеет вид

(фг)* • g + g • фг = 0, i = 1,..., h,

где (фг)* — транспонированная матрица.

Компоненты связности Леви-Чивита Vs выражаются через структурные константы и компоненты метрического тензора:

1 / ь i «i- i \ ь 1 -ь 1

где V^.Mj = (T9)^jUk, Vf.Mj = (Tg)^jUk и — матрица, обратная к матри-

Це {9ij }•

Пусть V G m, тогда компонеты метрической связности V с векторным кручением (1) задаются равенствами

Ц* = + 9lJVk - VsgSJ5l % = (Г%, _^

где VUiUj = Y^uk, VeiUj = Ttjuk.

Компонент тензора кривизны R и тензора Риччи r можно вычислить с помощью следующих формул:

Rijks = ~ Fjk^il + c\j^lk + Cij^lk)9ps, rik = Rijks9js-

В случае метрических групп Ли вышеприведенные формулы упрощаются, в частности h = 0, fl = m и j = (Г^ j - jI* + cjГfk)gps•

В работе [16] получена классификация трехмерных локально однородных (псевдо)римановых пространств. Далее будем использовать нумерацию из этой работы. В частности из данной классификации следует

Теорема 6. Пусть M = G/H — трехмерное локально однородное многообразие, допускающее локально симметричную (псевдо)риманову метрику. Тогда в алгебре Ли группы G существует базис {ei,... , eh, ui, u2, из}, где {e} и {и} — базисы h и m соответсвенно, такой, что скобки Ли имеют вид, приведенный в следующем списке.

1. Пространственные формы 3.5.1.

[еье2]= ез, [в1,вз] = -в2, [в1,и1] = -из, [еьиз] = иь [в2,ез]= еь [е2,их] = -и2, [е2,и2]= их, [ез,и2] = -из, [ез,из]= и2.

3.4.1.

[ех,е2]= е2, [еьез] = -ез, [еьих] = их, [еьиз] = -из, [е2,ез]= еь [е2,и2]= их, [е2,из]= и2, [ез,их]= и2, [ез,и2]= из.

3.5.2

[ех,е2]= ез, [еьез] = -е2, [еьих] = -из, [еьиз] = их, [е2,ез]= еь [е2,их] = -и2, [е2,и2]= их, [ез,и2] = -из, [ез, из] = и2, [их,и2] = е2, [иьиз] = еь [и2,из] = ез.

3.4.2

[ех,е2]= е2, [еьез] = -ез, [еьих] = их, [еьиз] = -из,

[е2,ез] = еь [е2,и2]= их, [е2,из]= и2, [ез,их]= и2,

[ез,и2]= из, [их,и2]= е2, [иьиз] = -еь [и2,из] = -ез.

3.5.3

[ех,е2] = ез, [еьез] = -е2, [еьих] = -из, [еьиз] = их, [е2,ез]= еь [е2,их] = -и2, [е2,и2]= их, [ез,и2] = -из, [ез, из] = и2, [их,и2] = -е2, [иьиз] = -еь [и2,из] = -ез.

3.4.3

[ех,е2] = е2, [еьез] = -ез, [еьих] = их, [еьиз] = -из,

[е2,ез] = еь [е2,и2]= их, [е2,из]= и2, [ез,их]= и2, [ез,и2]= из, [их,и2] = -е2, [иьиз] = еь [и2,из] = ез.

2. Прямые произведения 1.3.5

[ех,их] = -и2, [ех,и2]= их, [иьи2] = еь

1.3.6

[ех,их] = -и2, [ех,и2]= их, [иьи2] = -еь

Многообразия Уокера 1.1.1

[ех,их]= их, [ех,и2] = -и2.

Таблица 1. Инвариантные метрические тензоры трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых пространств

Случай Инвариантный метрический тензор Ограничения

1.1.1 1.1.5 /0 «12 0 \ «12 о 0 \ 0 0 а33/ «12033 0

1.3.5 1.3.6 /а22 0 0 \ 0 а22 0 \ 0 0 а33/ 022^33 0

1.8.1 1.8.4 1.8.5 /0 0 -а22\ 0 а22 0 \ -а22 0 а33 / а22 ф 0

2.21.1 3.4.1 3.4.2 3.4.3 /0 0 -«22 \ 0 а22 0 \-а22 0 0 / а22 ф 0

3.5.1 3.5.2 3.5.3 /а33 0 0 \ 0 а33 0 \ 0 0 азз/ а33 Ф 0

1.1.5

[еьИ1]= их, [еьИ2] = -и2, [^1,^2] = еь

1.8.1

[ех,И2]= их, [ех,из]= И2.

1.8.4

[ех,И2]= их, [ех,из]= И2, [и2,из] = ех.

1.8.5

[ех,И2]= их, [ех,из]= И2, [и2,из] = -ех.

2.21.1

[ех,е2] = е2, [ех,их]= иь [еьиз] = -из, [е2,И2]= иь [е2,из]= И2.

Вид инвариантного метрического тензора для каждого случая теоремы 6 приведен в табл. 1.

3. Трехмерные локально симметричные (псевдо)римановы пространства с векторным кручением

В данном разделе для доказательства теоремы 3 последовательно рассмотрим все случаи локально симметрических (псевдо)римановых пространств из

теоремы 6 и покажем, что уравнение Эйнштейна (2) на них имеет решение только если либо Л = 0, либо V = 0.

Случай 3.5.1. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

V2(аззх = 0, -Лазз - (азз)2((Vх)2 + (V2)2) = 0, Vз(азз)^х = 0, -Лазз - (азз)2((Vх)2 + (Vз)2) = 0, V3(азз)2V2 = 0, -Лазз - (азз)2(С^2)2 + (Vз)2) = 0. Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 3.4.1. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V х)2(а22)2 = 0, (V з)2(а22)2 = 0, V 2(а22)^ = 0, V V х(а22)2 = 0, Ла22 - (а22)2^^х - (V2)2) = 0, 2V3(а22)2Vх - Ла22 = 0. Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 3.5.2. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

V2(азз)^х = 0, -(Vх)2(азз)2 - ^2)2(азз)2 - Лазз - 2 = 0, Vз(азз)^х = 0, -(Vх)2(азз)2 - (азз)2(Vз)2 - Лазз - 2 = 0, Vз(азз)^2 = 0, -(V2)2(азз)2 - (азз)2(Vз)2 - Лазз - 2 = 0. Данная система имеет решение только при V = 0.

Случай 3.4.2. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V х)2(а22)2 = 0, (V з)2(а22)2 = 0,

- V 2(а22)2 Vз = 0, ^^ х(а22)2 = 0,

2V3(а22)2Vх - Ла22 - 2 = 0, -V3(а22)2Vх + (V2)2(а22)2 + Ла22 + 2 = 0. Данная система имеет решение только при V = 0.

Случай 3.5.3. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

V2(азз)^х = 0, -(Vх)2(азз)2 - (V2)2(азз)2 - Лазз + 2 = 0, Vз(азз)^х = 0, -(Vх)2(азз)2 - (азз)2^з)2 - Лазз + 2 = 0, Vз(азз)^2 = 0, -(V2)2(азз)2 - (азз)2(V3)2 - Лазз + 2 = 0. Данная система имеет решение только при V = 0.

Случай 3.4.3. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V х)2(а22)2 = 0, (V3)2 (а22)2 = 0,

- V 2(а22 )2 V3 = 0, ^^ х(а22)2 = 0,

2V3(а22)2Vх - Ла22 + 2 = 0, -V3(а22)2Vх + (V2)2(а22)2 + Ла22 - 2 = 0.

Данная система имеет решение только при V = 0.

Случай 1.3.5. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

V V х(а22)2 = 0, V 3а22V хазз = 0, V3аззV2а22 = 0, -Лазз - а22азз(^х)2 + (V2)2) = 0,

-(Vх)2(а22)2 - а22азз(V3)2 - Ла22 - 1 = 0, -(V2)2(а22)2 - а22азз^3)2 - Ла22 - 1 = 0.

Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 1.3.6. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

V V х(а22)2 = 0, V 3а22V хазз = 0,

V зазз V 2а22 = 0, -Лазз - а22азз((Vх)2 + (V2)2) = 0, -(Vх)2(а22)2 - а22азз(V3)2 - Ла22 + 1 = 0, -(V2)2(а22)2 - а22азз(V3)2 - Ла22 + 1 = 0.

Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 1.1.1. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V х)2(ах2)2 = 0, (V 2)2(ах2)2 = 0, V3аззV хах2 = 0, V3аззV 2ах2 = 0, -Лах2 - аl2(аl2V 1V2 + азз(Vз)2) = 0, -2V2аззVхах2 - Лазз = 0.

Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 1.1.5. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V х)2(ах2)2 = 0, (V 2)2(ах2)2 = 0, V3аззV хах2 = 0, V3аззV 2а^ = 0, -2V2а33Vхах2 - Лазз = 0, -(а12)2V 1V2 - (V3)2а12азз - Лах2 - 1=0.

Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 1.8.1. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V з)2(а22)2 = 0, -V 2(а22)^3 = 0, -(Vха22 - Vзазз^2а22 = 0, -Ла22 + V3а22(2Vха22 - Vзазз) = 0, Ла22 - (а22)2(V3V1 - (V2)2) = 0, -Лазз + а22(а22^х)2 - азз^2)2) = 0.

Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 1.8.4. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V 3)2(a22)2 = 0, -V 2(a22)2V3 = 0, -(V 1a22 - V3a33)V2a22 = 0, -Ла22 + V3a22(2V- V3азз) = 0, Ла22 - (a22)2(V3V1 - (V2)2) = 0, (V 1)2(a22)2 - (V2)2a22a33 - Ла33 - 1 = 0.

Данная система имеет решение только при Л = 0.

Случай 1.8.5. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V 3)2(a22)2 = 0, -V 2(a22)2V3 = 0, -(V 1a22 - V3a33)V2a22 = 0, -Ла22 + V3a22(2V 1a22 - V3a33) = 0, Ла22 - (a22)2(V3V1 - (V2)2) = 0, (V 1)2(a22)2 - (V2)2a22a33 - Ла33 + 1 = 0.

Данная система решений не имеет.

Случай 2.21.1. В данном случае система уравнений (2) имеет вид

(V 1)2(a22 )2 = 0, (V3)2 (a22)2 = 0, -V2(a22 )2 V3 = 0, -V2V 1(a22)2 = 0, Ла22 - (a22)2(V3V1 - (V2)2) = 0, 2V3(a22)2V1 - Ла22 = 0.

Данная система имеет решение только при Л = 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée. II // Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (3). 1925. V. 42. P. 17-88.

2. Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Schur's theorem // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. V. 3, N 25. P. 1223-1232.

3. Agricola I., Thier C. The geodesics of metric connections with vectorial torsion // Ann. Global Anal. Geom. 2004. V. 26. P. 321-332.

4. Murathan C., Ozgur C. Riemannian manifolds with a semi-symmetric metric connection satisfying some semisymmetry conditions // Proc. Est. Acad. Sci. 2008. V. 57, N 4. P. 210-216.

5. Yilmaz H. B., Zengin F. O., Uysal. S. A. On a semi symmetric metric connection with a special condition on a Riemannian manifold // Éur. J. Pure Appl. Math. 2011. V. 4, N 2. P. 152-161.

6. Zengin F. O., Demirbag S. A., Uysal. S. A., Yilmaz H. B. Some vector fields on a Riemannian manifold with semi-symmetric metric connection // Bull. Iran. Math. Soc. 2012. V. 38, N 2. P. 479-490.

7. Agricola I., Kraus M. Manifolds with vectorial torsion // Differ. Geom. Appl. 2016. V. 46. P. 130-147.

8. YanoK. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1970. V. 15. P. 1579-1586.

9. Barua B., Ray A. Kr. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold // Indian J. Pure Appl. Math. 1985. V. 16, N 7. P. 736-740.

10. De U. C., De B. K. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold // Istanb. Univ. Fen. Fak. Mat. Derg. 1995. V. 54. P. 111-117.

11. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2 т. Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

12. Chaturvedi B. B., Gupta B. K. Study on semi-symmetric metric spaces // Novi Sad J. Math. 2014. V. 44, N 2. P. 183-194.

13. Sekigawa K. On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces // Tensor New Ser. 1977. V. 31. P. 87-97.

14. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds //J. Geom. Phys. 2007. V. 57. P. 1279-1291.

15. Хромова О. П. Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях // Изв. АлтГУ. 2017. № 1. С. 140-143.

16. Можей Н. П. Когомологии трехмерных однородных пространств // Тр. БГТУ. 2014. № 6. С. 13-18.

Поступила в редакцию 1 августа 2019 г. После доработки 29 сентября 2019 г. Принята к публикации 27 ноября 2019 г.

Клепиков Павел Николаевич, Родионов Евгений Дмитриевич,

Хромова Олеся Павловна

Алтайский государственный университет,

кафедра математического анализа,

пр. Ленина, 61, Барнаул 656049

klepikov.math@gmail.com, edr2002@mail.ru, khromova.olesya@gmail.com

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2019. Том 26, № 4

UDC 514.765

EINSTEIN EQUATION ON THREE-DIMENSIONAL LOCALLY SYMMETRIC (PSEUDO)RIEMANNIAN MANIFOLDS WITH VECTORIAL TORSION

P. N. Klepikov, E. D. Rodionov, and O. P. Khromova

Abstract: The study of (pseudo)Riemannian manifolds with different metric connections different from the Levi-Civita connection has become a subject of current interest lately. A metric connection with vectorial torsion (also known as a semi-symmetric connection) is a frequently considered one of them.

The correlation between the conformal deformations of Riemannian manifolds and metric connections with vectorial torsion on them was established in the works of K. Yano. Namely, a Riemannian manifold admits a metric connection with vectorial torsion, the curvature tensor of which is zero, if and only if it is conformally flat.

In this paper, we study the Einstein equation on three-dimensional locally symmetric (pseudo)Riemannian manifolds with metric connection with invariant vectorial torsion. We obtain a theorem stating that all such manifolds are either Einstein manifolds with respect to the Levi-Civita connection or conformally flat.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.49.61.003 Keywords: locally symmetric space, Lie algebra, vectorial torsion, invariant (pseudo)-Riemannian metric, Einstein manifold.

REFERENCES

1. Cartan E., "Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee. II," Ann. Sci. Ec. Norm. Super. (3), 42, 17-88 (1925).

2. Muniraja G., "Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Schur's theorem," Int. J. Contemp. Math. Sci., 3, No. 25, 1223-1232 (2008).

3. Agricola I. and Thier C., "The geodesics of metric connections with vectorial torsion," Ann. Global Anal. Geom., 26, 321-332 (2004).

4. Murathan C. and Ozgur C., "Riemannian manifolds with a semi-symmetric metric connection satisfying some semisymmetry conditions," Proc. Est. Acad. Sci., 57, No. 4, 210-216 (2008).

5. Yilmaz H. B., Zengin F. O., and Uysal. S. A., "On a semi-symmetric metric connection with a special condition on a Riemannian manifold," Eur. J. Pure Appl. Math., 4, No. 2, 152-161 (2011).

6. Zengin F. O., Demirbag S. A., Uysal. S. A., and Yilmaz H. B., "Some vector fields on a Riemannian manifold with semi-symmetric metric connection," Bull. Iran. Math. Soc., 38, No. 2, 479-490 (2012).

7. Agricola I. and Kraus M., "Manifolds with vectorial torsion," Differ. Geom. Appl., 46, 130-147 (2016).

8. YanoK., "On semi-symmetric metric connection," Rev. Roum. Math. Pures Appl., 15, 15791586 (1970).

9. Barua B. and Ray A. Kr., "Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold," Indian J. Pure Appl. Math., 16, No. 7, 736-740 (1985).

© 2019 P. N. Klepikov, E. D. Rodionov, and O. P. Khromova

10. De U. C. and De B. K., "Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Rie-mannian manifold," Istanb. Univ. Fen. Fak. Mat. Derg., 54, 111-117 (1995).

11. Besse A., Einstein Manifolds [in Russian], Mir, Moscow (1990).

12. Chaturvedi B. B. and Gupta B. K., "Study on semi-symmetric metric spaces," Novi Sad J. Math., 44, No. 2, 183-194 (2014).

13. Sekigawa K., "On some 3-dimensional curvature homogeneous spaces," Tensor, New Ser., 31, 87-97 (1977).

14. Calvaruso G., "Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds," J. Geom. Phys., 57, 1279-1291 (2007).

15. Khromova O. P., "Application of symbolic computation packages to investigation of one-dimensional curvature operator on non-reductive homogeneous pseudo-Riemannian manifolds [in Russian]," Izv. Altaysk. Gos. Univ., 1, 140-143 (2017).

16. Mozhey N. P., "Cohomology of three-dimensional homogeneous manifolds [in Russian]," Tr. Barnaulsk. Gos. Tekhn. Univ., 6, 13-18 (2014).

Submitted August 1, 2019 Revised September 29, 2019 Accepted November 27, 2019

Pavel N. Klepikov, Evgenii D. Rodionov, Olesya P. Khromova

Altai State University,

61 Lenin Street, 656049 Barnaul, Russia

klepikov.math@gmail.com, edr2002@mail.ru, khromova.olesya@gmail.com