О двух способах уравнивания обширных геодезических сетей

УДК 528.14

Н.Б. Лесных СГГ А, Новосибирск

О ДВУХ СПОСОБАХ УРАВНИВАНИЯ ОБШИРНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

N.B Lesnyk.

Siberian State Academy of Geodesy, Novosibirsk

TWO METHODS FOR ADJUSTMENT OF VAST GEODETIC NETWORKS

The method of I.Yu. Pranis - Pranevitch and a correlative one with additional parameters are compared by the author. As concerns the latter, the problem of inverse weights and admissible discrepancies in geometric conditions is discussed. The article presents theoretical justification of the practice of independent adjustment of land units with boundary parameters.

При математической обработке обширных геодезических сетей традиционно используется (в параметрическом варианте) способ И.Ю. Пранис - Праневича. Его эффективность заключается в возможности сократить число одновременно решаемых нормальных уравнений [1].

Геодезическую сеть делят на участки и параметры, принадлежащие смежным участкам, нумеруют в последнюю очередь. Это позволяет выполнять решение нормальных уравнений независимо по каждому участку вплоть до получения преобразованной системы с параметрами, принадлежащими смежным участкам. Совместно решается только суммарная по всем участкам система преобразованных уравнений, содержащая одни граничные параметры.

Тот же эффект имеет место при уравнивании геодезической сети коррелатным способом с дополнительными параметрами. Пункты, координаты которых приняты за параметры, делят геодезическую сеть на частично независимые участки. Например, при уравнивании полигонометрической сети коррелатным способом с дополнительными параметрами - координатами узловых пунктов и дирекционными углами узловых направлений, такими частично независимыми участками будут отдельные хода [2].

Уравнивание по участкам в этом случае выполняется коррелатным способом, что может позволить сократить число нормальных уравнений и произвести отбраковку грубых ошибок измерений по невязкам геометрических условий.

Методика определения весовой матрицы вектора невязок предложена в работе [1]. Невязки - функции результатов измерений yi и приближенных

о

значений параметров Xj

W =

Приближенные значения параметров, полученные по результатам измерений, рассматриваются также как функции измерений:

х“=Ґі

Исходя из этих положений, обратный вес невязки предлагаем вычислять по формуле

1

рш

где

д\у

дъ/

ду\

]_

Рі

ґдч/^2

Р2

дц) дер дх^ дц) дх2

ЗУп,

дф

Рп

дх

о

дуі дуі дх ду1

(1=1,2,

1% =ао ^

дх°2 ду1 дх°п ду1

- среднее квадратическое значение невязки,

где ао - среднее квадратическое отклонение единицы веса, характеризующее теоретическую, предполагаемую точность данных измерений.

Wдoп-t

- допустимое значение невязки,

^ - коэффициент, зависящий от закона распределения измерений и

принятой доверительной вероятности р.

Невязки вычисляют и с использованием уравненных значений

дополнительных параметров Xj — х° +5х^.

Поправки 5Xj к приближенным значениям параметров х° определяют из

решения суммарной системы преобразованных уравнений. Обратная матрица этой системы с элементами Qij позволяет найти обратные веса параметров

и числовые характеристики их зависимости

кіі

О =—= ^ 2

РіРі

(І * Л

где к^ - корреляционный момент,

ri j - коэффициент корреляции пары параметров xi и Xj.

Представим невязку как функцию независимых измерений у! и коррелированных параметров Xj:

1^=ф

2

q

1

п

і

0ф

Рі

ч^Уі

- обратный вес невязки Или

. 5Х;

V J /

-+2Х

5хА

ки

1

Л

я

N^+1

PwJ

где

1

. 5Х;

V -I У

Qjj+2I

і ^ IV

сЦ

(5Х;

V J У

Qij

диагональный элемент матрицы

коэффициентов

нормальных уравнений коррелат.

После того, как вычислены параметры, принадлежащие смежным участкам, геодезическую сеть уравнивают независимо по каждому участку, считая эти параметры исходными. Дадим теоретическое обоснование правомерности такого подхода, опираясь на теорию коррелатного способа с дополнительными параметрами.

Например, для двух частично независимых участков система условных уравнений поправок с дополнительными параметрами имеет вид:

Ах Ух + ВхХ +\УХ =0" ЛПУІІ+БПХ+ШП^

Здесь Х - вектор поправок к приближенным значениям параметров. Принимаем значения параметров, полученные из уравнивания всей сети

за приближенные х^=х^ Они не нуждаются в поправках, получаемых из

уравнивания отдельных участков сети, 5^=0. Вектор поправок к

приближенным значениям параметров нулевой, Х = 0.

Система нормальных уравнений сети распадается на две независимые системы, принадлежащие отдельным участкам,

А1П1А^ Кх + = 0,

АпПдАп Кп + XV,, =0,

где W - вектор невязок геометрических условий, вычисляемых с использованием уравненных значений граничных параметров, с элементами:

/ ~0 ^0 ^0\ / \ '^=ф.|(Уі,У2,...,Уп,Хі,Х2,---,ХЧ) = Ф.г(Уі-У2,---,Уп,ХЬХ2,---,ХЧ)-

Практика уравнительных вычислений подтверждает данную теорию.

2

1. Маркузе, Ю.И. Геодезия. Вычисление и уравнивание геодезических сетей / Ю.И. Маркузе, Е.Г. Бойко, В.В. Голубев. - М.: Картгеоцентр - Геодезиздат, 1994. - 431 с.

2. Лесных, Н.Б. Метод наименьших квадратов на примерах уравнивания полигонометрических сетей / Н.Б. Лесных. - Новосибирск: СГГА, 2007. - 160 с.

© Н.Б. Лесных, 2008