Доказательство теоремы Шуберта

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

А. М. КУЛАКОВА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ШУБЕРТА

Теорема Шуберта о существовании и единственности примарного разложения узла в сфере была доказана им в середине прошлого века. Доказательство было весьма громоздким и занимало более 40 страниц. В статье предлагается новое доказательство теоремы Шуберта, основанное на идеях теории корней топологических объектов, разработанной С. В. Матвеевым.

Ключевые слова: узел, связная сумма, примарное разложение.

Введение

1. Основная теорема

Определение 1. Узлом называется произвольная простая замкнутая кривая в трехмерной сфере Б3. Два узла К, К1 эквивалентны, если пара (Б3, К) гомео-морфна паре (Б3,К').

Определение 2. Пусть К — узел в Б3 и Б — двумерная сфера в Б3, которая трансверсально пересекает узел К в двух точках. Тогда сферическая редукция узла К по сфере Б состоит в разрезании узла К вдоль сферы Б и заклеивании шарами с тривиальными дугами в них двух копий этой сферы на крае получившегося многообразия. В результате такой операции получаются два узла К1 и К2, каждый из которых лежит в своей трехмерной сфере.

Операция, обратная к операции сферической редукции, называется связным суммированием. Явное построение суммы К1#К2 можно описать так. Нужно выбрать шары Бг С Ш;Бг, г = 1, 2, пересекающие Кг по незаузленным дугам, и склеить многообразия КДШВ по гомеоморфизму к: дБ1 ^ дБ2, который отождествляет концы соответствующих дуг.

Рис. 1. Пример сферической редукции узла

Работа выполнена при поддержке грантом РФФИ 11-01-00605, грантом НШ-1414.2012.1 по государственной поддержке ведущих научных школ и Программы ОМН РАН (проект 12-Т-1-1003/2).

Редукция (и обратная ей операция связного суммирования) называются тривиальными, если Б ограничивает в (Б3, К) шар с тривиальной дугой или, эквивалентно, один из узлов К1 ,К2 является тривиальным.

Определение 3. Нетривиальный узел К называется примарным, если его нельзя представить в виде связной суммы нетривиальных узлов.

Теорема 1. (Шуберт [3]) Любой нетривиальный узел представим в виде конечной связной суммы примарных узлов. При этом получившийся набор примарных слагаемых определен однозначно с точностью до перестановки узлов.

Для доказательства существования разложения нам понадобится понятие рода узла. Согласно определению, род узла равен минимальному роду натянутой на него ориентированной поверхности Зейферта. Род обладает важным свойством аддитивности (см. [2]): при суммировании узлов их рода складываются, причем род нетривиального узла всегда положителен.

Лемма 1. Любой нетривиальный узел представим в виде конечной связной суммы примарных узлов.

Доказательство. Будем применять к данному узлу нетривиальные сферические редукции до тех пор, пока это возможно. При каждой такой редукции число слагаемых увеличивается, а общая сумму их родов остается прежней. Поэтому этот процесс остановится, причем все получившиеся слагаемые будут примарны-ми.

Для доказательства единственности нам понадобится некоторая подготовка.

Определение 4. Будем называть узел регулярным, если он имеет только одно разложение на примарные слагаемые, и сингулярным, если таких разложений несколько.

Объединение примарных слагаемых регулярного узла К будем обозначать и (К). Объединение примарных слагаемых нескольких узлов К1;К2,... , Кп будем обозначать аналогичным образом: и(К1; К2,... , Кп).

Лемма 2. Если существует хотя бы один сингулярный узел, то существует, сингулярный узел, все слагаемые которого регулярны.

Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что любой сингулярный узел представим в виде связной суммы двух нетривиальных узлов, хотя бы один из которых сингулярен. Тогда можно построить цепочку К1, К2, . . . сингулярных узлов, в которой каждый следующий узел Кг+1 является сингулярным слагаемым предыдущего узла Кг, т. е. получается применением к Кг нетривиальной сферической редукции. Согласно предположению, построенная цепочка бесконечна. Это противоречит тому, что род каждого следующего узла строго меньше рода предыдущего.

2. Доказательство основной теоремы

Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что утверждение теоремы не верно. Тогда по лемме 2 найдется сингулярный узел С, все слагаемые которого регулярны. С другой стороны, т. к. С сингулярен, то к нему можно применить две нетривиальные сферические редукции по некоторым сферам 51,52, так, что выполнено следующее условие: и(К1,К2) = и(К3,К4), где узлы К1,К2 получаются из узла С редукцией по сфере 51, а узлы К3,К4 — редукцией по сфере 52.

Можно считать, что сферы 51,52 находятся в общем положении. Сопоставим им целое неотрицательное число #(51 П 52), равное общему числу окружностей в их пересечении. Из всех пар сфер, удовлетворяющих приведенному выше условию, выберем пару сфер (по-прежнему обозначаемую 51,52), для которых число #(51 П 52) принимает минимально возможное значение.

Возможны два случая: #(51 П 52) = 0 и #(51 П 52) > 0. Рассмотрим первый случай, когда сферы не имеют общих точек. Тогда каждая из них выживает при редукции по другой. Это означает, что один из узлов К1, К2, получающихся при редукции по сфере 51, содержит копию сферы 52. Выполняя редукцию этого слагаемого по этой копии, получим три таких регулярных узла К',К" , К111, что и (К1 ,К2) = и (К, К, К'). Так как результат выполнения редукций по непе-ресекающимся сферам не зависит от порядка их выполнения, то аналогичным образом можно получить равенство и (К, К", К'") = и (К3,К4). Это противоречит сформулированному выше условию и(К1,К2) = и(К3,К4).

О

К к КзК4

/Ч &/\

/ к к к \

' I х

' х * I *

Рис. 2. Равенства и(К\,К2) = и(К\К",К"') = и(К3,К4) противоречат сингулярности С

Рассмотрим случай, когда сферы 51,52 пересекаются. Чтобы опять получить противоречие, воспользуемся приемом, который называется «перестройка по самой внутренней окружности». Выберем среди окружностей в 51П 52 окружность с, которая по отношению к сфере 51 является самой внутренней. Это означает, что она ограничивает в 51 такой диск Д, что Д П 52 = с. Предположим, что С П Д = 0 (такие диски будем называть чистыми). Разрежем 52 по с и заклеим края разреза двумя параллельными копиями диска Д. После небольшого

шевеления получатся две новые сферы $2, $2', которые не пересекают сферы $2, причем каждая пересекает сферу $ по меньшему числу окружностей (поскольку окружность с исчезла). Так как любой узел пересекает сферу в четном числе точек, то одна из них (пусть $2') пересекает узел О в двух точках, а вторая (сфера $2) не пересекает узла.

Рис. 3. Перестройка по самой внутренней окружности

Сфера $2 делит $3 на два шара, один из которых не имеет с узлом общих точек. Поэтому существует изотопия сферы $3, которая неподвижна на узле и переводит $2 в $2'. Редукции по этим сферам дают тот же самый результат, причем #($ П $2') < #($і П $2). Это противоречит минимальности числа #($ П $2).

Є

/

/

I

I

\

\

і ; *

Рис. 4. Равенства V

Рассмотрим второй случай, когда чистых дисков нет. Тогда существует диск, который пересекает узел О в одной точке. Действительно, если бы нашелся диск, пересекающий узел О в двух точках, то нашелся бы и чистый диск, но мы рассматриваем ситуацию, когда чистых дисков нет. Аналогично первому случаю, после разрезания сферы $2 по окружности с получим две сферы $2, $2;, каждая из которых делит сферу $3 на два шара с дугой узла в одном из них. Из-за нетривиальности узла О хотя бы в одном из этих шаров (пусть в шаре, ограниченном сферой $20 такая дуга нетривиальна. Выполнив редукцию по сфере $", получим два новых узла К4, К5. Так как множества и(К\, К2) и и(К3, К4) различны, то хотя бы одно из них отлично от множества и(К4,К5). Это проти-

воречит минимальности числа #($ь $2), поскольку числа #($1 П $2) и #($1 П $2') строго меньше числа #($1 П $2).

Теорема доказана.

Список литературы

1. Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten / H. Schubert. — S.-B. Heidelberger : Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl., 1949. — С. 57104.

2. Матвеев, С. В. Корни геометрических объектов / С. В. Матвеев // Успехи мат. наук. — 2012. — Т. 67, № 3 (405). — С. 63-114.

3. Кроуэл, Р. Введение в теорию узлов / Р. Кроуэл, А. Р. Фокс. — М. : Мир, 1967.