Асимптотическая теория гиперзвукового обтекания пространственных заостренных тел

Том XXXIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 2

№ 1—2

УДК 533.6.011.55

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАОСТРЕННЫХ ТЕЛ

Д. С. ПОСТНОВ, А. И. ЩЕДРИН

Изложен аналитический подход к исследованию гиперзвукового невязкого обтекания заостренного тела произвольной пространственной формы, близкой к осесимметричной. Асимптотическое решение задачи получено в виде квадратур с учетом последующего приближения к ньютоновскому и описывает структуру течения в трехмерном тонком ударном слое.

К настоящему времени проблема обтекания заостренных тел конечной толщины, например головной части ЛА, гиперзвуковым потоком газа довольно подробно исследована как теоретически, так и экспериментально. Установлены важные общие свойства и закономерности, найдены интересные точные решения и разработан ряд общих методов решения конкретных задач, включая численные методы. Для гиперзвуковых течений получение аналитических решений основано на широком применении асимптотических методов, среди которых отметим гиперзвуковую теорию малых возмущений для тонких тел и метод тонкого ударного слоя. Основные результаты, полученные с помощью указанных методов, представлены в работах [1] — [6]. Они касаются течений около плоских и осесимметричных тел. Важное место занимают также результаты, полученные для конических течений, которые подробно изложены в монографии [7]. Работы [8], [9] посвящены вопросу об обтекании тел, поверхности которых являются пространственными, но принадлежат к достаточно узкому классу. Представленные здесь расчеты аэродинамических характеристик основываются на формуле Ньютона. Среди немногочисленных исследований, пригодных для тел произвольной пространственной формы, следует упомянуть книгу [10], в которой проблема трехмерного обтекания заостренного тела успешно решается в рамках теории тонкого ударного слоя. Однако представленное в [10] решение ограничено рассмотрением только главных членов разложения, описывающих предельное ньютонианское течение. В этой связи полученные теоретические результаты для произвольных трехмерных тел не вполне удовлетворительно согласуются с имеющимися численными и экспериментальными данными. В работе [11] с помощью асимптотического метода тонкого ударного слоя получено численно-аналитическое решение задачи о гиперзвуковом обтекании тонкого крыла с заостренной передней кромкой в следующем приближении к ньютонианскому, описывающее структуру течения в тонком ударном слое и уточняющее аэродинамические характеристики.

В данной статье изложена аналитическая теория гиперзвукового невязкого обтекания заостренного тела пространственной формы. Исследование проведено в предположениях, что рассматриваемое тело по форме слабо отличается от произвольного базового тела вращения и что область возмущенного потока за сильным головным скачком уплотнения, присоединенным к носку тела, представляет тонкий слой газа с большой относительной плотностью (Мю ^<х>, к^1). В задаче имеются два основных малых параметра. Малый параметр в теории тонкого ударного слоя полагается равным отношению плотности газа перед скачком уплотнения

к характерному значению плотности в этом ударном слое. Геометрический малый параметр т характеризует малое отличие формы рассматриваемого тела от базового тела вращения. В настоящем исследовании полагается, что т =О (в). Это означает, что вводимое произвольное трехмерное искажение боковой поверхности тела вращения по порядку величины совпадает с толщиной всего ударного слоя. Для построения асимптотического решения при т ^ 0, в ^ 0 точные уравнения газовой динамики записываются в специальной системе координат, в которой одна из независимых переменных постоянна вдоль поверхностей тока пространственного течения. Решение задачи строится в виде рядов по степеням малого параметра в, и рассматриваются два члена разложения. В результате определены выражения для газодинамических параметров и формы головного скачка уплотнения в двух приближениях. Решение во втором приближении учитывает влияние показателя адиабаты к, числа Мх , малых углов атаки а и скольжения в, а также трехмерного искажения поверхности базового тела на картину обтекания и распределение давления. Наиболее простое решение получено в частном случае базового тела, имеющего форму кругового конуса.

1. Рассматривается стационарное гиперзвуковое обтекание заостренного тела произвольной формы в потоке идеального совершенного газа. Исследуем течение в ударном слое за головным скачком уплотнения, присоединенным к носку тела. Используем цилиндрическую систему

координат (х0, r, ф°), в которой ось х0 направлена вдоль оси тела. Вектор скорости набегающего потока Vх направлен под углами атаки а и скольжения в к этой оси (рис. 1). Введем безразмерные газодинамические параметры: компоненты вектора скорости u, v, w вдоль

направлений х0, r и ф0 соответственно отнесены к величине Vx cos а cos в, давление p отнесено к рх Vo cos2 а cos2 в, плотность р отнесена к плотности газа в набегающем потоке рх. Линейные размеры х0 и r отнесем к характерной длине тела L.

Осуществим переход к системе координат (х, п, ф), в которой вместо радиальной координаты г используется нормированная координата п :

Г

Рис. 1. Обтекаемое тело в потоке газа

0

х = х , п =

Д

где г„ (х, ф) и г3 (х, ф) — дважды непрерывно дифференцируемые функции, описывающие формы поверхности тела и поверхности головного скачка уплотнения соответственно, а функция Л( х, ф) характеризует отход головного скачка уплотнения от поверхности тела. В координатах

х, п, ф исследуемая область течения в ударном слое имеет фиксированные границы:

0<х<1, 0< п < 1, 0< ф < 2п .

Система уравнений Эйлера, описывающая течение идеального совершенного газа и состоящая из трех уравнений сохранения импульса и уравнения неразрывности, в системе координат (х, п, ф) имеет вид:

~^ Г др Ядр

и + и 1------------1—-----1------

дх дп г дф р^дх Л дп

Л

= 0,

дV гт дV м дV м

и — + и— +----------------

дх дп г дф г рЛ дп

± дрр=0,

дм ттдм м дм 1 Гдр цг др

и + и +-----------+ — +--------—+ ———

д х дп г дф г рг ^дф Л дп

= 0,

/

д(ри) + Яд(ри)+ 1 д(ргv) + 1 (д(рм>) цг д(рм) дх Л дп гЛ дп г I дф Л дп

= 0,

где компонента вектора скорости и вдоль направления п определяется в виде

и = Л-1 (V + Яи + цм),

а коэффициенты Я и ц имеют вид:

дг

дЛ дг,.

Я = -— = -| п—+ — I, ц = --дх 1 дх дх ) дф

д 1п г

п

дф дф

-1

Дифференциальный оператор полной производной вдоль линии тока:

п/'/’ч д/ д/ м д/

О (/) = и+ и+--------------— .

д х дп г дф

Далее осуществим переход к новым независимым переменным X, ¥, Ф, связанными со старыми х, п, ф преобразованием

X = х, ¥ = ¥(х, п, ф), Ф = ф .

В преобразовании (1.4) цилиндрические координаты х, ф остаются неизменными, а функция ¥, являющаяся новой независимой переменной, сохраняется вдоль линий тока:

О (¥) = 0 .

С помощью уравнения п = п(X,¥,Ф) и преобразования (1.4) получаются формулы перехода от переменных х, п, ф к новым переменным X, ¥, Ф :

д д -п -п дх ~ дX дX

1 д

д—

V У

д—

д ( дп ^ дп

1

д—

V У

д

д¥:

дд

-1 д

дп ( дп

дф дФ дФ

д—

V У

д—

С учетом проведенной выше последовательной замены переменных система уравнений газовой динамики (1.1) в координатах X, —, Ф может быть представлена в следующем виде:

В (и) +— т

д— дX дX д—

= 0,

^ и д р

В (V)-------+—г — = 0,

г т д —

В (^г) +— т

( д& др д& др

д—дФ дФд—

= 0,

В(т) + ит------

дФ

V ги У

= 0,

П 2 л дЗ д/ м д/

где З = г /2, т = ри------ — удельный массовый расход газа, О(/) = и----------------------1-—

д¥ дX г дФ

дифференциальный оператор полной производной вдоль линии тока. Поскольку линии тока лежат на поверхностях постоянства независимой координаты ¥ , полные производные вдоль них не зависят от частной производной дифференцируемой функции по ¥ . Уравнения (1.6) — (1.8) выражают законы сохранения импульса в направлениях х, г и ф, а уравнение (1.9) является уравнением неразрывности. Данную систему дополняют уравнение сохранения энтропии

В (р р-к) = 0

и получаемые из уравнения линии тока кинематические соотношения

и = В (п),

V = В (г).

Уравнения (1.6)—(1.12) образуют замкнутую систему для определения искомых функций

и, V, м, р, р, и, п.

Далее рассматриваются граничные условия. На головном скачке уплотнения переменная ¥ принимает значение ¥5, где ¥5 (X, Ф)— произвольная функция. Для удобства полагаем ¥5 = X . Тогда имеем равенство

п

После дифференцирования уравнения (1.13) по X и по Ф получаем соотношения:

дп дп дп

дХ У=Х дУ У=Х дФ У=Х

= 0.

С учетом полученных соотношений (1.14) уравнение (1.11) при ¥ = X дает условие

= - и

,,( V Ш - У' ,

¥=X

дп

дУ

u

Индексом 5 здесь и далее помечаем значения газодинамических параметров непосредственно за головным скачком уплотнения. Из обычных соотношений Рэнкина — Гюгонио на скачке уплотнения следуют выражения:

и (X, ¥ = X, Ф) = и5 (X, Ф) = 1+ ЯЕ ,

V (X, ¥ = X, Ф) = ^ (X, Ф) = ,

м (X, ¥ = X, Ф) = ^ (X, Ф) = ^ + ц^,

г2

p (X, У = X, Ф) = ps (X, Ф) = (1 - Fs) V^ + / р (X, У = X, Ф) = Ps (X, Ф) = F- =

i 1 о / >-1

к-1+_/о_ к +1 к +1 V2

ПО J

V

U (X, У = X, Ф) = Us (X, Ф) = FV^ (1 + ^2 +14)1/2,

m

д

(X, У = X, Ф) = ms(X, Ф) = -r* Я* +—(wM r*) .

дФ

В (1.16) приняты следующие обозначения:

/о = (к M2 cos2 a cos2 в) 1,

V = Я s + + wo Ms E =

и° = (1+ Я: + ц^)1/2’ * =

(Fs -1) V„p

(1+я2+^)1/2,

dr* д ln r*

Я s = —-, Ц s =------*

s дХ s дФ

Vo =tg acos Ф-

tgв

sin Ф, Wo =-

dvr,

cos a dФ

На поверхности обтекаемого тела имеем:

п (X, У = У w (X, Ф), Ф) = 0.

В случае обтекания заостренного тела с присоединенным к носку головным скачком уплотнения в точном решении реализуется схема течения, в которой на поверхности тела энтропия постоянна, а функция тока ¥ принимает значение ¥„ = ¥5 (X = 0, Ф) = 0 . Тогда

условие непротекания на поверхности ¥„ = 0 может быть представлено в форме

U (X, У = 0, Ф) = 0.

Из уравнения (1.11) при выполнении условия (1.18) следует, что

О

После дифференцирования уравнения (1.17) по X и Ф получаем

дп

дп

дХ

У=0 дФ

= 0.

У=0

2. Для решения краевой задачи обтекания используем асимптотический метод, основанный на предположении теории тонкого ударного слоя. При Мо ^ <о>, к ^ 1, а также при а ^ 0 и в ^ 0 область возмущенного течения за сильным головным скачком уплотнения представляет тонкий ударный слой (А ^ 0) с большой относительной плотностью. Введем малый параметр в , характеризующий отношение плотности в набегающем потоке к характерной плотности газа в ударном слое:

в = к-1(1 + A), A = ^к-1м0cos2acos2esin200j = 0(1),

где 00=0(1) — некоторый характерный угол наклона поверхности тела к оси OX, значение которого уточняется ниже.

Пусть рассматриваемое тело по форме слабо отличается от базового тела вращения с произвольной образующей r = rw0 (X):

rw (X, Ф, т) = rw0 (X) + T?w1 (X, Ф),

rw0(X), rw1(X, Ф) = O(1).

Здесь т — малый геометрический параметр, rw1(X, Ф) — функция возмущения формы поверхности базового тела.

Предельный переход a ^ 0, в ^ 0, т ^ 0 осуществляется при условиях

tgP

tga = Ba0, ----= вв0, т = вт0,

cos a

где постоянные a0, в0, Т0 имеют порядок единицы.

Обозначим

rw1(X, Ф) = Т0rw1(X, Ф), tg 00 = dW

dX

X =0

Далее форма поверхности головного скачка уплотнения и параметры течения в ударном слое при в —— 0 представимы в виде разложений

г5 (X, Ф, в) = г^ (X) + вг51 (X, Ф) + в2 г5 2 (X, Ф) + 0(в3),

А( X, Ф, в) = вА0 (X) + в2 А (X, Ф) + 0(в3),

F (X, У, Ф, в) = F (X, У) + BF1 (X, У, Ф) + 0(в2), w( X, У, Ф, в) = bw1 (X, У, Ф) + в 2 w2 (X, У, Ф) + 0(в3),

где под F понимается какая-либо искомая функция течения и, V, р, в, р, и, п, m, г Поскольку г0 = (X), г (X, ¥, Ф) = г^ (X, Ф) + А0 (X)п (X, ¥), то очевидно

г51 (X, Ф) = г„1 (X, Ф) + А0 (X), г52 (X, Ф) = А (X, Ф).

В разложениях (2.2) функции нулевого порядка описывают осесимметричное течение около базового тела вращения в ньютонианском приближении с учетом влияния центробежных сил. Функции первого порядка в разложениях (2.2) описывают структуру трехмерного течения в тонком ударном слое. При этом существенное влияние на картину обтекания и распределение параметров в ударном слое оказывает искажение базовой поверхности тела вращения в продольном и поперечном направлениях. Решение задачи, определяющее параметры потока в ударном слое около произвольного тела вращения в ньютонианском приближении, может быть представлено в следующем виде:

и0(X,¥) = ¥^(X) V,0(¥),

^( X, ¥) = -^( X) и0( X, ¥),

р0( X, —) = р, 0( X )-

1

—

Гwo

| mso(—)^(—) d—,

X

Р0( X, — ) = р0^— р0( X, — ),

п0( X, —) =

Ps0

1 —

-------1------Г-

Ao

ms0

-d—,

1 Г

А0 (X) =----------Г

0 ( Г)Jí

ms0

Гwo

-d—,

где Vo = Vs0 (—) = (1 + ^0 (—))-1/2 -

модуль

вектора

:

3/2 (dX

*>0

dX

скорости,

Rwo( X) =

— радиус кривизны образующей базового тела вращения. Отметим,

что решения, аналогичные (2.3), были получены ранее в [5], [6].

3. Определение функций, описывающих возмущения первого порядка в разложениях (2.2), сводится к последовательному интегрированию линейной системы дифференциальных уравнений относительно функций V, ^, т1, р и пь

дX

21 д1П р0 = 0, — (г>0 (X )>1) - = 0,

М2(—) дX дX^w(n ' 1 Rwo(X) дФ

_д_

дТ

И = 0, д1 + Ї 1(X, —, Ф) = 0, г>0(X и дФ д— и 7

V т0 у (

д— + 7— ^ + А^^-Vso(X)^ + Х1(X,—,Ф) д— д— V А0 1 + А г>0 (X) дX

= 0.

В итоге получаем выражения:

Щ_ = £1 + + г1 +^1 + дЛ! Г дм т0 р0 и0 г,0( X) А0 д¥1д¥

г1 = А0п0 + гw1, М0(¥) = 0 р0 , ^ = и0 + V0,

р0

и0 тэ

г,0

,0(X) д 1п р0 , и () д2г1

1

М2(¥) дX

т1 V

,   -г—+,) 0

д^2 V,0(X)Я,0(X)I т0 ¥0 г,0^) 50 д

Х1

= |т - И -|1 +—2—м2(¥) I¥1

т0 р0

1 + А

V

V

0

Если известно решение для функций V., р1 и п1, то остальные функции и1, Vl, р1 и и]

определяются в явном виде:

дп

=И и0 ^0

Vl _ V и,0(X) д г1

^ = ^1 - V, 0( X )^, и0 У0 ,0 дX

^ V X ,0 (X) д X

-=-+А+А м0(¥) V-.

р0 р0 1 +А 1 +А У0

Цг = дп1

и0 и0 и0 д X

Интегрирование первых трех уравнений системы (3.1) в пределах от значения X = ¥ на головном скачке уплотнения X = ¥ до текущего значения X в ударном слое позволяет получить квадратуры:

Vl( X, ¥, Ф) = V, 1(¥, Ф) - ^2^ 1п ,

М2

,1

X

1 д г,1

г,0

г,0^) ¥ ^,0(X) дФ

dX,

X

т (X, ¥, Ф) = т,1 (¥, Ф) - т0 (¥) |

5,1 / дФ

¥

г,0

где значения функций на скачке уплотнения

V,!

,,1(¥, Ф) =

d Ф г,0 (¥) дФ

д

т,1 (¥,Ф) = -г,0(¥)^(Ф) - — (г,0(¥)г,1(¥,Ф)),

д¥

Лі(¥, Ф) =

Ухо(Ф) _ ияо(¥) дг^і(¥,Ф) Я *Ю (¥) Я *Ю (¥) д¥

Аналогично интегрируются уравнения относительно рі и Пі в пределах от ¥ = X на головном скачке уплотнения до текущего значения ¥ в ударном слое. В результате имеем выражения, определяющие функции р и Пі в квадратурах:

¥

рі(X,¥,Ф) = р^(X,Ф) _ | ї і(X,¥,Ф^¥,

1

X

р^( X, Ф) = 2^і( X, Ф) _

і + А’

тц

Аі+ _^ + гЛФ)

Ао і + А г^) ' дX

¥

дПо

dX I •> д¥

1 X

Ао

дПо д X

Хі

d ¥.

Функция А^(X,Ф) определяется из (3.5) с использованием условия на поверхности тела П1 (X,¥ = 0, Ф) = 0 . В итоге для А^ (X, Ф) имеем:

А. = ^( X) _ М- -і- + і (^ ^ _^о

Ао дX гм,о і + А 21 5о dX гм,о

X

где

А( X, ¥, Ф) =

дПо

д¥

Хі +Ао

дПо д X

Тогда с учетом (3.6) решение (3.5) окончательно запишется в виде

тц( X, ¥, Ф) =

По

^о

^ А о

¥

X

-По

| ЩX, ¥, Ф)d¥ .

Таким образом, с помощью асимптотического разложения по степеням в получено в виде квадратур решение краевой задачи обтекания произвольного заостренного тела. Это решение определяет распределение газодинамических параметров в ударном слое и его толщину.

4. В качестве примера, приводящего к дальнейшему упрощению полученного решения, рассмотрим обтекание тел по форме близких к круговому конусу:

^0( х) = х *ё V

где 0о — полуугол раствора конуса. В этом случае и решение задачи для базового

течения упрощается:

X

Ы0 = Vg = COS2 0O, Vq = Sin 0OCOS 0Q, Pq = sin2 0q, Pq = 1,

.T, 2n . X sin0O

mO =¥tg 0q , Aq = —---------r-

2 cos3 0,

O

2¥2 2 ¥2

UO =------TCOS 0Q, По = —г •

X3 X2

При этом решение для функций первого порядка также получается в виде конечных формул. Например, для коэффициента давления имеем

cp = cpQ

f 2

і s uQ

1 +-----+ T Q

V

^ 3 X4 I - 2UQ

4 2vO X3 dX ^ dX J Vq

\

+O (s2), CpQ = 2sin2 0q •

На практике для расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке часто используется формула Ньютона:

cp = CpQ

1 + 2т— drWl —2 —

vQ dX vQ

Сравнивая выражения (4.1) и (4.2), получаем

cp = cp + Acp , Acp = CpQ

O (t + a + P) .

f 2 я2 ^

_s+T Xuod rw1

4 2vq dX2

Величина Acp определяет поправку к ньютонианскому решению и учитывает действие

центробежных сил в ударном слое (поправка Буземана в трехмерном случае), а также определяет зависимость давления от свойств потока газа. Вообще говоря, в зависимости от геометрии тела и условий обтекания величина Acp может быть как положительной, так и отрицательной. На

поверхности тела выпуклой формы имеются отдельные точки или линии, на которых Acp =0. На

рис. 2, 3 представлены сравнительные результаты по распределению давления на эллиптическом конусе с отношением полуосей alb = 0,75 и базовым углом 0q =12° в гиперзвуковом потоке с

Рис. 2. Распределение давления на эллиптическом конусе с отношением полуосей а/Ь = 0,75 и базовым углом 0о =12° при М = 10:

-----------------по теории тонкого ударного слоя;--по формуле Ньютона; • • • — эксперимент [12]

числами Мю =10 и Мю =15 при а = р = о. Сравнения показывают, что полученные в настоящей

работе данные для Ср с большей точностью совпадают с экспериментом [12], нежели

результаты, полученные по формуле Ньютона. Расхождение между экспериментальными данными и результатами проведенных расчетов, наблюдаемое в окрестности плоскости, проходящей через малую ось эллипса, объясняется влиянием пограничного слоя, выражающемся в увеличении фактического значения давления по сравнению с расчетным и возрастающим по мере уменьшения ме-

Рис. 3. Распределение давления на эллиптическом конусе с отношением полуосей alb = 0,75 и базовым углом 9q =12° при Мда = 15:

-------------------по теории тонкого ударного слоя;---по формуле Ньютона; • • • — эксперимент [12]

стного угла атаки. Поскольку рассматриваемое тело имеет прямолинейную образующую ( Rw (х ) = да ), то прослеживается влияние только первого члена в выражении (4.3) для Аер .

Авторы выражают благодарность В. Н. Голубкину за полезное обсуждение работы и ценные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 95-01-01070).

ЛИТЕРАТУРА

1. Cole J. D. Newtonian flow theory for slender bodiesllJ. Aero. Scien.—1957. Vol. 24.

2. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.:

Физматгиз.—1959.

3. Сычев В. В. О гиперзвуковом обтекании тонких тел при больших углах атаки//ДАН СССР. — 1960, № 4.

4. Хейз Х. Д., Пробстейн Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: ИЛ.—

1962.

5. Струминский В. В. Современное состояние проблемы обтекания тел сверхзвуковым потоком газа//Труды ЦАГИ.— 1960. Вып. 805.

6. Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Данилов А. Н., Захарченко В. Ф. Аэродинамика ракет.— М.: Высшая школа.— 1968.

7. Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа.— М.: Наука.— 1970.

8. Гусаров А. А., Дворецкий В. М., Иванов М. Я., Левин В. А.,

Черный Г. Г. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик пространственных тел//Изв. АН СССР, МЖГ.— 1979, № 3.

9. Гусаров А. А., Левин В. А. Пространственная форма тела минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке газа//Изв. АН СССР, МЖГ.—

1981,

№ 6.

10. Г и р о Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений.— М.: Мир.— 1965.

11. Голубкин В. Н. Пространственное обтекание крыльев гиперзвуковым потоком газа//Изв. АН СССР, МЖГ.—1992, № 5.

12. Kausche G. Untersuchungen an schlaken elliptischen Kegeln in axialer Anstromung mit Hyperschallgeschurndigkeit//Ztschr für Flugurissenschaften.—1967. X, v. 15, N 10.

Рукопись поступила 24/III2000 г.