Современная математика как самоорганизующаяся система

В мире науки

Современная математика как самоорганизующаяся система

Современную математику можно философски интерпретировать как сложную самоорганизующуюся систему, для которой невозможно дать полное методологически исчерпывающее описание. Благодаря такому подходу появляется новое понимание обоснования математики в виде динамичного процесса взаимодействия различных действующих направлений философии математики.

Вопрос о границах научного познания - один из центральных в философии науки. В широком мировоззренческом аспекте практическое приложение математического формализма оказалось чрезвычайно эффективным, что в свою очередь способствовало укреплению позиций рационализма как базового принципа теории познания. Кроме того, стремление онтологизировать первичные математические понятия совпадало с интересами математиков, которые старались использовать наименьшее число исходных принципов при формулировке прикладных математических задач. Но если о степени обоснованности математики судить по ее приложениям, то сразу же возникает вопрос: насколько она эффективна в этом отношении и что способствует динамике ее развития? Поэтому первостепенно важными становятся не только объекты математических приложений, но и философская идея механизмов обоснования современной математики.

Специфика соответствующего философско-методологиче-ского анализа обусловлена тем,

Резюме. В данной работе подчеркивается, что новому пониманию обоснования математики в виде динамичного процесса взаимодействия различных действующих направлений философии математики может способствовать понимание системности математических знаний, которое включает идею самоорганизации и выявление существенных связей математики. Показано, что философскую сущность системного подхода в обосновании можно свести к следующим положениям: целостный характер предмета познания, взаимосвязь элементов исследуемого предмета и его самоорганизация.

Ключевые слова: современная математика, философия математики, обоснование математики, самоорганизующаяся система, системный подход.

Фото Алеси Ка'

Наталия Михайлова,

завкафедрой

социально-

гуманитарных

дисциплин Минского

государственного

высшего

радиотехнического колледжа, кандидат философских наук, доцент

что, во-первых, для этого было бы необходимо привлечь слишком большое количество сведений, а во-вторых, получение некоторых из них затруднительно в силу процесса развития математического знания. Поэтому для использования идеи самоорганизации необходимы некоторые дополнительные уточнения. Как поясняет академик В.С. Степин: «Термин «самоорганизация» в современных исследованиях применяется в двух смыслах. Во-первых, он обозначает процессы саморегуляции в сложных системах. Во-вторых, он используется при описании саморазвивающихся систем» [1]. При системном анализе таких больших систем, как математика, главная методологическая трудность состоит не в выборе способа достижения цели, а прежде всего в ее концептуальной постановке. Напомним, что по своему смыслу самоорганизация - это процесс, в котором нечто происходит само собой, без видимых причин и заметного внешнего вмешательства.

Широко распространено мнение, что математика - это область научного знания, предметом которой является исследование количественных отношений, пространственных форм и структур в чистом виде. Упорядочение ма-

тематических теорий на основе понятия структуры, которое было предпринято во второй половине ХХ в. знаменитой группой Бурба-ки, не решило философской проблемы взаимоотношения мира физической реальности и математического знания в контексте эффективности математики в физических приложениях. В концепции Бурбаки факт соответствия математических структур явлениям окружающего мира попросту констатируется. Реальное развитие математического знания показало, что современную математику нельзя свести только к структурам, поэтому основная идея Бурбаки «объяснения» ее практической эффективности не подлежит дальнейшей философской конкретизации. Напомним, что философия науки разделяет практическую эффективность и теоретическую обоснованность знания. Возможно, что вне рамок методологического кризиса обоснования современной математики размывается заложенный в эти термины философский смысл.

Эффективная системная методология должна заниматься не только проблемами взаимосвязи существующих направлений обоснования математики, но и выявлять скрытый смысл

Философия науки

их самоорганизующегося целенаправленного поведения. Поэтому для дальнейшего фило-софско-методологического анализа полезно иметь подходящее определение самоорганизации. Воспользуемся для начала одним из них, данным классиком синергетики - немецким физиком-теоретиком Германом Хакеном: «Мы называем систему самоорганизующейся, если она без специфического воздействия извне обретает какую-то пространственную, временную или функциональную структуру. Под специфическим внешним воздействием мы понимаем такое, которое навязывает системе структуру или функционирование. В случае же самоорганизации система испытывает извне неспецифическое воздействие» [2]. Именно такой философский подход к проблеме обоснования современной математики представляется наиболее целесообразным в связи с накоплением фактического материала о реальных направлениях данной дисциплины, когда их обоснование становится все более проблематичным в силу переусложненности математических теорий, а их систематизация в философии математики и философии науки становится новой методологической проблемой.

С точки зрения упорядоченности системных объектов современная математика характеризуется таким развитием, в ходе которого происходит самоорганизация математических теорий, в результате чего они обретают достоверность. Математику в целом можно философски интерпретировать как сложную систему, то есть такую, которой невозможно дать полное исчерпывающее описание. История дисциплины наглядно показывает, что в результате развития

математических теорий самоорганизуется практический и эффективный механизм очистки математических доказательств от некорректных утверждений, обусловленный системным подходом к ее обосновательным процедурам. Для использования идеи самоорганизации в проблеме обоснования математики необходимы некоторые дополнительные уточнения. В сложных самоорганизующихся системах, таких как, например, современные математические теории, появляется новое философское понимание обоснования математики, в виде процесса взаимодействия различных направлений философии математики.

Термин «самоорганизующаяся система» впервые был предложен английским кибернетиком, исследователем сложных систем Уильямом Россом Эшби. Он предупреждал, что надо быть осторожными, чтобы не запутаться в терминологии, так как прилагательное «самоорганизующаяся», применяемое слишком свободно, является неопределенным, а если его применяют слишком точно, то оно может стать противоречивым. Концепция теоретического исследования самоорганизации представлена в работе Эшби «Принципы самоорганизации», центральное место в которой занимает понятие организации. Он выделяет два смысловых значения самоорганизации. Первое из них относится к системе, все части которой вначале отделены друг от друга, то есть поведение каждой из частей не зависит от состояния других частей, а затем между ними устанавливаются некоторые связи. «Такая система является «самоорганизующейся» в том смысле, - согласно Эшби, -что она изменяется от системы с «разделенными частями» до системы со «связанными частями» [3]. Но, хотя в прямом смысле получается самоорганизующаяся система, нет никаких допущений о том, насколько «хороша» ее организация, поэтому Эшби предлагает рассмотреть второе

значение самоорганизации: «Организация» (как процесс) может означать, как и в первом случае, «переход от неорганизованной системы к организованной». Но это слово также может означать «переход от плохой организации к хорошей» [3]. В этом случае можно говорить о познавательной системе как устойчивой по времени «конфигурации взаимодействий» между ее связанными частями. А, с точки зрения системной характеристики современного математического знания, это такое свойство сложной системы, благодаря которому требуется постоянно обеспечивать систематическое производство нового научного знания.

Речь идет не об абстрактной, а о реальной возможности реализуемости обоснования математики с учетом специфических особенностей современного математического знания, поскольку способность принимать в расчет прошлый опыт позволяет оптимизировать деятельность по исследованию процессов самоорганизации математических теорий. В частности, в философ-ско-методологическом контексте самоорганизующиеся системы характеризуются способностью изменять свою структуру, сохраняя в то же время целостность. Здесь под структурой понимается совокупность существенных связей между элементами системы, то есть таких связей, которые обеспечивают ее целостность, а самоорганизация представляет собой становление организованности за счет согласованного взаимодействия компонентов внутри системы. На примере обоснования математики можно увидеть, каким именно образом реализуется в исследовании проблемы обоснования принцип целостности, имманентный системному подходу, который является методологической предпосылкой построения самого предмета исследования. Понятие целостности сложно по своему содержанию, поскольку, с одной стороны, в нем синтезируются представления об особенностях

В мире науки

целостных объектов, а с другой -оно входит в систему философских категорий как принцип познавательной деятельности. Методологический принцип целостности позволяет преодолеть неполноту и частичность прежних подходов к обоснованию современной математики и так структурировать предмет исследования, что он априори становится более целостным, полным и непротиворечивым.

Для подтверждения этого можно привести теоремы функционального анализа, которые являются обобщением теорем математического анализа и представляют собой внутреннюю индукцию по отношению к совокупности математических теорий, выводимых дедуктивно. Поэтому, утверждает философ математики В.Я. Перминов: «Мы должны рассмотреть математическую теорию как специфическую самоорганизующуюся систему, проходящую различные этапы своей зрелости, и должны попытаться обосновать то положение, что, восходя по ступеням зрелости, она неизбежно восходит к стадии высшей зрелости и полностью освобождается от внутренних противоречий, которые содержались в ней на начальных этапах ее развития» [4]. Это «восхождение» можно рассматривать как следствие процесса самоорганизации математики, а стабильность математической теории говорит уже о непротиворечивости аксиоматики. Принципы математического исследования открываются в процессе критического размышления, поэтому могут быть подвержены изменению для получения обоснованных заключений. В силу этого математика является по существу самокорректирующимся процессом. Именно эта самокорректирующая природа дает профессиональным математикам уверенность в том, что принимаемые математической наукой теории более правдоподобны, чем другие потенциально возможные.

Однако конструирование, например, системной триады обоснования математики будет

проблематичным, если заранее не показано, каковы существенные свойства и признаки действующих направлений данного процесса, ориентируясь на которые можно будет конструировать объект проблемы обоснования. Для этого целесообразно свести воедино те качества, которыми должны обладать самоорганизующиеся системы, отличающие их от других типов организации. Важнейшее свойство самоорганизующихся систем - выявление под действием внутренних связей среди возможных состояний системы лишь наиболее полезных. Следует обратить философское внимание на еще одну специфическую особенность феномена самоорганизации, выделяющую ту причину, благодаря которой системы направляются на путь созидательного развития. Речь идет о том, что открытость системы - необходимое условие для ее самоорганизации. Но достаточное ли это условие? Вообще говоря, нет, так как система может быть открытой, но не самоорганизующейся. В связи с этим возникает еще один, методологически важный философский вопрос: можно ли совокупность математических структур и математических теорий современной теоретической и прикладной математики отнести к открытой системе?

В контексте тенденций обоснования современной математики напрашивается естественный ответ: да. Если бы математика была замкнутой системой, то в ней не было бы места принципиально новым идеям, так как существовала бы статичная замкнутая теория, потенциально объясняющая в ней все. Заметим, что идеальные объекты математики по своей сути инфинитные, требующие проведения бесконечного числа математических процедур. Поэтому целью теоретической математики, согласно программе Гильберта, было достижение логически замкнутой системы, состоящей из инфинитных элементов, в которой могут совершаться фи-

нитные логические операции. Но на современном этапе развития математика является открытой системой, которая обеспечивает возможность самоорганизации как продолжения системного подхода. Философскую сущность последнего в обосновании можно свести к следующим положениям. Это целостный характер предмета познания, взаимосвязь элементов исследуемого предмета, примат внутренних связей объекта над внешними связями и его самоорганизация. Системному подходу в философии математики в контексте единства и целостности математического знания, наряду с другими важными проблемами, посвящена монография автора «Философско-методологический анализ проблемы обоснования современной математики» [5].

Выявленные в этой монографии закономерности позволяют заключить, что наиболее плодотворная концепция обоснования не отменяет предшествующие программы, а органично синтезирует их, объединяя лучшее в обосновании и экспликации математического знания. Проведенный анализ позволяет надеяться на то, что математические теории не просто расширили свой объектный мир, включив в него самоорганизующиеся системы, но и сделали субъект познания активным «системообразующим началом» научного знания, которое сейчас уже невозможно без понимания всего многообразия стилей математического мышления в духе современных нелинейных интерпретаций.

Онлайн-версия статьи: http://innosfera.org/ 2014/01/justification_math

Литература

1. Степин В.С. История и философия науки. - М., 2011. С. 373.

2. Хакен Г. Информация и самоорганизация. 2-е изд., доп. -М., 2005. С. 29.

3. Эшби У.Р. Принципы самоорганизации // Принципы самоорганизации. - М., 1966. С. 328.

4. Перминов В.Я. О системном подходе к обоснованию математики // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук: сборник статей. -Курск, 2009. Вып. 2. С. 132.

5. Михайлова Н.В. Философско-методологический анализ проблемы обоснования современной математики. - Мн., 2013.