Параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

УДК 517.956.4

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ С ПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ УСЛОВИЙ СКЛЕИВАНИЯ В. Г. Марков, С. В. Попов

Аннотация. Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени в случае полной матрицы условий склеивания. Известно, что в случае краевых задач для уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера. С. А. Терсенов в простейших случаях получил необходимые и достаточные условия разрешимости таких задач для параболических уравнений второго порядка в пространствах при р > 2. При этом условия разрешимости (ортогональности), которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде. Отметим, что в одномерном случае число условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности, интегрального характера, бесконечно.

В работе показано, что гельдеровские классы решений краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени, а также количество условий разрешимости, зависят от вида матрицы условий склеивания с действительными коэффициентами.

Ключевые слова: разрешимость, краевые задачи, параболические уравнения с меняющимся направлением времени, матрица условий склеивания, сингулярные уравнения, пространство Гельдера.

В работе, продолжающей статьи [1—3], изучаются параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением времени, связанные с применением теории сингулярных интегральных уравнений [4-8], а также систем этих уравнений [9]. В работе уточняются и усиливаются результаты, полученные в работах [2-4].

В области = М+ х (0,Т) будем рассматривать систему уравнений

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания НИР на 2017-2019 гг. (проект 1.6069.2017/8.9).

© 2017 Марков В. Г., Попов С. В.

БОТ: 10.25587/8УРи.2018.4.11316

1. Постановка задачи, основные утверждения

Решение системы уравнений (1) ищется из пространства Гельдера НХ'р/4(^+), р = 41 + 7, 0 <7< 1, удовлетворяющее начальным условиям

и1

и условиям склеивания

12

и 1

где и = (ик,иХ,иХх,иХхх), Т1;Т2 — невырожденные матрицы с постоянными действительными коэффициентами.

Будем предполагать, что ^¿(ж) € НР(М) (г = 1, 2). Тогда функции

= 0)^1(0^, ш2(х,1) = ^ I и0(£, Г; ж, ^

к к

являются решениями уравнений (1), удовлетворяющими условиям (2) в М. Будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (1):

г г

и1 (ж, £) = / Цп(ж

2

и (ж

о о

т т

ио

где и (г = 0,1, 2) — фундаментальное и элементарные решения Б. Пини [2,10,11]. Условия склеивания (3) перепишем в виде

и1

где А — невырожденная матрица, равная Т—1Т2. Пусть элементы матрицы С состоят из действительных чисел ац. Без ограничения общности рассмотрим случай матрицы

/ ац а12 а1з а14 \

А = | 0 -а22 -а23 -а24 I •

0 0 азз аз4

V 0 0 0 —а44)

Заметим также, что в случае симметричности матрицы А находимся в условиях работы [14], а случай а12 = а1з = а14 = а2з = а24 = 0 был исследован в [3].

Будем считать, что коэффициенты ац матрицы А удовлетворяют условию единственности решения краевой задачи (1), (2), (5).

Теорема 1. Пусть элементы невырожденной матрицы А вида (6) удовлетворяют условиям й12 = й1з = й2з = О, й14 ^ О, й24 ^ 0, аз4 ^ 0, азз + \/2а,22 ^ О, кроме того, ^1(ж),^2(ж) € НР(М+) (р = 41+7). Тогда при выполнении 41 условий

Ьа((р1,(р2) = 0, в = 1,... ,41,

существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), из пространства

1) ЯР'Р/4(д+), если 0 < 7 < 1 - 40;

2) Нчх'1/4(д+), д = 41 + 1 - 40, если 1 - 40 < 7 < 1;

3) НХ е)/4(ф+), если 7 =1 — 40, где е — сколь угодно малая положительная постоянная, в = агс^ (Е (0, а = а33, Ь = азз + %/2а22-

Теорема 2. Пусть элементы невырожденной матрицы А вида (6) удовлетворяют условиям а24 = 0, аз4 = 0 и

а13 »14 = 0, а23 »24

азз аз4 азз аз4

= 0.

Пусть ^1(ж), (ж) € НР(М+) (р = 41 + 7). Тогда при выполнении 61 + 2 условий вида (7) существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), из пространства НХ'р/4(^+).

2. Доказательство утверждений.

Доказательство теоремы 1. В силу общих результатов [12,13] плотности ак(£), вк(^) (к = 0,1) должны принадлежать пространству Н9(0, Т) (д = причем

ак8)

Из условий склеивания (5) получим систему интегральных уравнений с опера-

торами Абеля относительно а&, вк:

о г)4

= а1/1Г

V * /

+«1з ( - |г(|) / М1ЬМ1) + ¿Л

V * (т-*)4 /

+аи(^/Зо(Ь)+ш2ххх(0,Ь)),

"ГШ/ + '^(0.0

+а23 ( - |Г(|) / М1ЬМ1) ¿т + ¿Л

+а24(§/30(^) + =0,

о (*-т)4

= а33 ( - |Г(|) /РоМ-Ыг) Лт + Ш2хх{% Л +а34(|/Зо(*) +^2^(0,4)),

, + ш1ххх(0,ь) + + ш2ххх(0,ь)) = 0.

Так как а\2 = ац = а2з = 0, исключая в системе (10) соответственно -|/Зо(£) + ^2ххх(0, £) из первых двух уравнений, из второго и третьего уравнений, а также из третьего и четвертого уравнений, получим систему интегральных уравнений

вида

т

/ Лт + / Лт

£ Т

_ о^-р/П Г ао(т) + а1(т) , аца24Р/'П Г Ро (т)+Р1 (т) , - —Г(I) ] <*Т " ГЫ ]

+а24^1(0, £) - апа24^2(0, £) + ам^1х(0, £) + ама22^х(0, £),

£ Т

а24Г("3\ Г ао(т)-а1(т) , о^ощ. Г Г3 ^ Г Ро{т)~Р1{т) ,

= / ¿г - /-т- ¿г

+а24^1хх(0, ¿) - аззй24^2хх(0, ¿) + аз4^1х(0, ¿) + аз4а22^2х(0, £),

Iа34ао(*) = ^Г(|) / ¿г - / МгЬАМ ¿т

-аз4^1ххх(0, £) + азза44^2хх(0, £) - а44^1хх(0, £),

§(а0(£) + а44/Зо(£)) + + а44Ш2ххх(0, = 0.

Для удобства записи будем считать Т =1. Для первых 2-х уравнений из (10) применим формулы обращения оператора Абеля [5,7], получим эквивалентную систему сингулярных интегральных уравнений четвертого порядка

аиагЦ) + ^ = а24Ц¿> / ¿г

о о

-апа243 / ад, г)(А, (г) + А (г)) ¿г + | / ^^ ¿г,

11 с

024 033 г/т\ 4 /30

7г Лг^ т-4 ат — Л ^

о и; 0 (*-т)4

1 *

/ Т)/31 (Т) ^ + * / ^^ ^

а34ао(4) = «44^ / ао(тЬ"з1(т) ¿г

о г)4

_2а|£44Г(|) / ¿"М-у ат - Ф2(4),

ао(4) + а44во(4) = Фз(^),

где

2

Фо(*) = ^^(«24^1(0,4) - аца24а;2(0,4) + а!4Ш1Х(0,£) + а14а22а;2х(0, £)),

4

= —Г7зт(°24ш1жх(0,*) -азза24а;2хх(0,4)+ а34а;1Х(0,4)+а34а22а;2х(0,4)),

= ~(-аз4Ш1ххх(0,Ь) + а33амш2хх(0,1) - амш1хх(0,Ь)), п

2

Фз(*) = -(-Ш1ххх(0,^ - амш2ххх(0,Ь)), п

ВДт)

ВДт )

Введем обозначения

-К?)1 ^(•1 3 7.ТЧ Г ич'4' 4 ^ (4-т)3/4 (4-т)3/4 > т <

1 1 1 . £ ^ 2 > 4 > 2 > х I Т— 4)3/4 К}( 4,г) (т — 4)3/4 , т >

-ШУ рVI I З.тч г \ 4 ' 2 > 2 ' £ ^ (4-т)3/4 (4-т)3/4 > т <

1 1 3.11 4 > 4 ' 4 ' т 1 _ Т— 4)3/4 — К\(1,т) (т-4)3/4 , т >

ВД =

й /-Ф0г)

2^ (4 - т)3/4 о

йт

— аца24

Г

йт,

/•Ф^

ГШ I {г-г)

йт,

М

азза44„/ 3

2тг V 4 ,

1

йт

3

г 4

йт

2 а22аз4 Г Ык^тШТ^ + ^К^ТЩТ) ^

= фп*) — Ф3г)(0), (* = 0,...,г — 1),

т) = Ш Iфкг^тХМт)

Так как [7] Ф^1 € Я», = 1 + ^, функции (/г = 0,1,2,3), при-

надлежат пространству Н(1+^)/4(0,1), причем = 0(£(1+^)/4), С1_1(4) =

0((1 — ¿)(1+^)/4) для малых 4 и 1 — 4 соответственно.

4

4

о

1

1

Мы доказываем существование решений аг, вг системы уравнений (12) из пространства Н (д = (р — 3)/4, р = 41 + 7, 0 < 7 < 1), удовлетворяющих условиям (9).

Предположим, что функции аг, вг принадлежат искомому пространству. Тогда из первого и третьего уравнений системы (12) следует, что для того чтобы аг(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

^ /о ^ ¿т + даг(А) МЩЫ11 ¿т = фо(0),

Т1.....* т4

Из второго и четвертого уравнений системы (12) следует выполнение условий

Г Мт)-01

" 0 ^ ^ г2

Й44во(0) = Фэ(0).

При выполнении условий (13), (14) систему уравнений (12) можно переписать так:

ах4ах(4) +

7Г

1)4 М11

2

-аца243 Лт)^!(*> т)(А,(т) + А(т)) ¿г + ад),

л/2а24(а0(£) - «1(4)) - а24а33(р0(г) - (¿)) 1 3

024 033 £ /Ы1ЫЫ11 ¿т

о

= /(|)ад, т)^(Г) ¿Г + ад),

аз4О0 (¿) =

ао (¿) + а44(во(4) — во(0)) = *?(*),

Из второго уравнения системы (15) определим значение /З1 (0) = /?о(0) = . Введем в системе (15) новые искомые функции

вг

и представим в виде

Й14«1(4) +

014022 7Г

= -0110243 {(т)К1 (*' т)Шт) + Ш) ¿Г

л/2а24

1 3 -

024 033 !Ы1ЫЬк[1 ¿т

п J V т /

о

1

0) _ ^(0))^(-1,1, 2; + ¿ю^

аз4ао(4) =

ао(*) + «44 во(*) = А44во(0)4 + Далее, если 1 > 1, то возьмем производные в полученных системах уравнений (16). Имея в виду формулу [14]

^(аД с;^-1] = (с - 1)*с-2^(о,Ь,с- 1;*),

получим

а14а! (£) +

014 022^

-1/2

2п Г

Г Р1 J т1/2

/91

Т1/2

¿Т +

014022«1/2 <1 Г Р1

2-7Г £Й 1 Т1/2

о

1

/91

¿Т

— —ацЙ24

т

л/2а24(ао№ " «К*)) " а24а33С8о№ "

З024 033«~1/4 Г А)(т)-/?1 (т) ,

4-7Г Л -3/4/_ ^ «Г

о

1

/ ЭД^ ¿Г = /ШВД т)&(т) ^

О V»! \ 4 / 4

_4о^(/3о(0) _ Мо))г(-±, 1,1;ф-1/4 - ФШГ1/4 +

034^(0 = -Ф2(0) + ** (*) - /

о4

а'0(г) + а4ф'0(1) = а4ф„(0) - ±Ф(,(0) + Из первого и третьего уравнений системы (18) следует, что для того чтобы а^(0) = 0, необходимо и достаточно, чтобы

1 -

Озз 044 р ( 3 2тг

г(!)/

а

Т 4

¿Т = —Ф2(0).

Из остальных уравнений системы (18) следует выполнение условий

зожр } ЩфМ ¿т = 4^03о(О) - А(0)) + Ф;(0),

о

О44^(0)=О44А)(0)-^(0). Так как справедливы равенства

—1/2,1,1/2; 4) — 1 = —^(1/2,1, 3/2; 4)4,

1 (21) ^(-1/4,1, 3/4; Ь) - 1 = --^(3/4,1,7/4;

3

систему уравнений (18) при выполнении условий (19), (20) можно представить так:

' а14а;й + = 1, §;ф!/2 +

о

V?а24(а'0(г) - а'М) - а24а3з(да -

1 3 -' -'

о

= - Ш)р(1 1, |;i)i3/4 + Fl(t),

a34a0(t) = F2!(i),

a0(t) + a44(/30(i) - 0O(O)t) = F^i),

Подставляя значения /?i(i) = вг'(£) + A(0) в систему (22), получим

о

V2a24K(i) - ai(i)) - аыаыШ*) ~ Pitt)) 1 3 ; ;

Д1) 4 MibMil dT = Fi(i)j о

a34«0(i) = F21(t),

а0(4)+ «44 (вО (4) — в0(0))=

Таким образом, получили уравнения (23), имеющие точно такой же вид, как и первоначальные уравнения (15). Легко видеть, что при выполнении условий

^^ I Лт = т2^8)(0) + ^+1)(0),

о т

о т

= -М8)

1 3<з)

^аа f К M-/V (г)-у (o)+/V (о) dr = аа^аа(/з0(0) -/3i(0)) +Ф'1(0), о т

а44^+1)(0) = -|Ф^+1)(0), s=l,...,1-2,

придем к системе уравнений

„С-1)

ai4ai ) (t) +

Q14Q22

7г

0

txè^Qr) . pi-1.

v/2a24

1 4

0

,,(i-1)^ - ÏTÎ-lC

аз4«01-1) (t) = F2-1(t),

Ji-i)/

хо + 04^ во Ч*) — вГ (0)) =

Вводя новые искомые функции в]' ^Ч) = в|' ^Ч) — в|' 1)(0)(1 — в системе (25), получим уравнения вида (16). В конечном итоге придем к системе уравнений

1

(i-i) Й14«1 '(t) +

V2a2i

m

t^PtUiil

T^i-1,

n J \r / 0

,4-1)

dr = F0 4)

Д24Д33 J ( )4 n 0 T

аз4о0-1)Ч)= F2-1

1 1

т-t l1

аГ^Ч) + «44/ЗГ 4i) = n 4),

где

1(i) = ^-1(i) + -Mi"1)(0)n-l/2,l,3/2;i)i1/2,

l1

F 3^ (t) = F3-1(t)+ e0i-1)(0)t

принадлежат пространству Д^+т)/4, причем .Р  Ч) = ОЧ-г1) = 0,1, 3) для малых

Перейдем к доказательству существования функций 1) (*), в|' 1 Ч) из пространства Н(0,1) в полученной системе уравнений (26). Исключим 1)(*) из системы (26). Имеем

где

K0=P0

^ J t - t 0

A(t) = (/ЗС-1) (t) 1) (t)) P = ( a14a44a43a34 a14a24a33a34 ^

Й34&44

ДГ(£ T\ — I Ui4U24U33U34[-J «14«24«33"34 ^

( ' ) I 0 0

_ Aai4a24G33G34(7) ^ а14й24аззаз4^ + л/2а14а2га24аз4

t\l/2' t >

t—t

1

Ф) = (0440.34^1 1+\^2а24а34^0 1 -\[2а14а24Р[2 1,а34^з 1-Р12 = (91^), 42^))-Систему сингулярных уравнений (27) можно переписать так:

1 з(г-1)< * 1

аззвГ1' (¿) + / ¿т + ±1 т)$Г] (г) йт = Ш

о о

аз4а44/?ог 1) (4)= 92(4), где

п12 = п12(*,*) = озз + ^2о22, М^г) = П12(<'т)~П12,

т — 4

= + азз^) + } ГI\3/4^(г) ^

Й14Й24«34 Й34Й44 ПЙ34Й44 7 \т/ т — 4

о

Выделим характеристическую часть сингулярного уравнения в системе (28):

сф'(-1)(1) + - [ ^ )^)г1т = д{1), о = озз, ь = а33 + ^а22, (29) п з т — г о

1

о

Решение сингулярного интегрального уравнения (29) в классе функций, ограниченных на концах отрезка (0,1), ищется введением кусочно аналитической функции [5, 6]

Щг) = ±- /___

[ > 2тгг У т-г 2ъг ] (а + Ы)х+(т)(т-г)" { '

оо

где каноническая функция х(г) = гв(г — 1)1-0, если а, Ь одного знака, и ) = г1^(г — 1)е, если а, Ь разных знаков, 9 = arctg Так как индекс краевой задачи Римана к = —1, равенство (30) выполнено при условии

о

Тогда

Лт = 0.

Х

1

!?-><«, = = > +

о

Формулы (31) можно рассматривать как необходимое и достаточное условие ограниченности /1' 1)(4) при 4 =1.

Подставляя в (32) значения д(4), с учетом первого уравнения в (28) приходим к системе уравнений Фредгольма

/ + к/ = О",

1

где

1

кР = \ ! Щ,т)Р(т) ¿т. о

Всякие ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредголь-ма (33) будут, очевидно, принадлежать пространству Гельдера во всех точках контура (0,1), отличных от концов. Из свойств ядра N(£, т) и свободного члена Э* следует, что любые ограниченные и интегрируемые решения систем уравнений Фредгольма (33) на концах 0,1 ведут себя как — если а и Ь одинакового знака, или как — £) !+в, если же а и Ь разных знаков.

В силу леммы о принадлежности классу Гельдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования (см. [2,3]) при выполнении неравенства ^Цр < ^ — в (в < получим, что решения уравнений Фредгольма (33) принадлежат пространству (0,1) и обращаются в нуль на концах 0,1 порядка ^р. Кроме того, решения уравнений Фредгольма (33) удовлетворяют условию Гёльдера с показателем ^ — в при 1— 4(9 < 7 < 1 и условию Гёльдера с показателем

\-в - е при 7=1— 4(9. Таким образом, системы уравнений (33) эквивалентны исходной системе уравнений (10) при выполнении условий (13), (14), (19), (20), (24) и (31).

Разрешимость системы уравнений Фредгольма (33) следует из единственности решения основной задачи (1)-(3) и однозначности представления их через потенциалы. Подставим найденные по формуле Тейлора значения функций

^^^^^

к— о

в условия (13), (14), (19), (20), (24) и (31). Получим 41 условий разрешимости (7) задачи (1)-(3) в пространстве Нр'р/4(Э+), что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 2. В этом случае систему сингулярных уравнений (27) можно переписать так:

Й13 Й14 Й23 Й24

азз аз4 азз аз4

0 /

аэ4й44 вО1 1)(^) = <Ь(£),

о

где в = ^ и каноническая функция х(2) = — 1)3^4- Тогда находимся в

условиях работы [15], именно, если выполнены условия теоремы 2 при в £ то единственное решение задачи (1)-(3) существует из пространства Нр'р/4(Э+) при выполнении 61 + 2 условий вида (7), что и требовалось доказать.

3. Замечания.

1. Теоремы 1 и 2 справедливы, если в невырожденной матрице склеивания (6) хотя бы один из трех элементов а13, а14, а24 будет отличен от нуля при выполнении условий (8).

2. Если в невырожденной матрице склеивания (6) выполнены условия ai3 = ai4 = a24 = 0, то при выполнении условий (8) справедлива теорема о безусловной разрешимости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Попов С. В., Потапова С. В. Параболические уравнения четвертого порядка с меняющимся направлением времени с общей матрицей условий склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 1. С. 109-123.

2. Попов С. В., Потапова С. В. Гельдеровские классы решений параболических уравнений шестого порядка с меняющимся направлением времени с общей матрицей условий склеивания // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 94-107.

3. Попов С. В., Синявский А. Г. Исследование краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с полной матрицей условий склеивания // Неклассические уравнения математической физики: Сб. науч. работ / Под ред. А. И. Кожанова. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2012. С. 167-176.

4. Popov S. V., Markov V. G. Boundary value problems for parabolic equations of high order with a changing time direction // IOP Conf. Series: J. Physics Conf. Series. V. 894 (2017) 012075. pp.1-5. doi: 10.1088/1742-6596/894/1/012075.

5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

6. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

7. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

8. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

9. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1968.

10. Pini B. Sul probleme fondamentale di valori contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari // Ann. mat. pura ed appl. 1957. V. 43. P. 261-297.

11. Pini B. Su una equazione paraboliche non lineare del quarto ordine // Rend. sem. fac. sc. Univ. Cagliari. 1957. V. 27. N 3-4. P. 136-168.

12. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.

13. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

14. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985.

15. Попов С. В. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2005. Т. 400, № 1. С. 29-31.

Статья поступила 5 октября 2017 г.

Марков Виктор Гаврильевич, Попов Сергей Вячеславович Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 bntr@rambler.ru, guspopov@mail.ru

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

UDC 517.956.4

PARABOLIC EQUATIONS OF THE FOURTH ORDER WITH CHANGING TIME DIRECTION WITH COMPLETE MATRIX OF GLUING CONDITIONS V. G. Markov and S. V. Popov

Abstract: We study solvability of boundary value problems for the fourth order parabolic equations with changing time direction in case of complete matrix of gluing conditions. For boundary value problems for equations with changing time direction, the smoothness of the initial and boundary data does not guarantee that the solution belongs to a Holder space. In the simplest cases, S. A. Tersenov obtained necessary and sufficient conditions for solvability of such problems for second order parabolic equations in the spaces for p > 2. Moreover, the solvability (orthogonality) condition was written

in an explicit form. Note that in the one-dimensional case the number of orthogonality conditions is finite, while in the multidimensional case the number of orthogonality conditions of the integral character is infinite.

We show that the Holder solution classes of boundary value problems for the fourth order parabolic equations with changing time direction, as well as the number of solvability conditions, depend on the form of the matrix of gluing conditions with real coefficients.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.4.11316

Keywords: solvability, boundary value problems, parabolic equations with changing time direction, matrix of gluing conditions, singular equations, Hoolder space.

REFERENCES

1. Popov S. V. and Potapova S. V., "Fourth order parabolic equations with changing time direction with a general matrix of the gluing conditions [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 17, No. 1, 109-123 (2010).

2. Popov S. V. and Potapova S. V., "Holder classes of solutions to sixth order parabolic equations with changing time direction with a general matrix of the gluing conditions [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 18, No. 1, 94-107 (2011).

3. Popov S. V. and Sinyavskii A. G., "The study of boundary value problems for fourth-order parabolic equations with changing time direction with complete matrix of bonding conditions [in Russian]," in: Non-classical Equations of Mathematical Physics: Sb. nauchn. rabot, pp. 167-176, Sobolev Inst. Math., Novosibirsk (2012).

4. Popov S. V. and Markov V. G., "Boundary value problems for higher order parabolic equations with changing time direction," IOP Conf. Ser., J. Phys. Conf. Ser., 894, 012075, 1-5 (2017).

5. Gakhov F. D., Boundary Value Problems [in Russian], Nauka, Moscow (1977).

6. Muskhelishvili N. I., Singular Integral Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1968).

7. Tersenov S. A., Parabolic Equations with Changing Time Direction [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1985).

© 2017 V. G. Markov and S. V. Popov

8. Monakhov V. N., Boundary Value Problems with Free Boundaries for Systems of Elliptic Equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1977).

9. Vekua N. P., Systems of Singular Integral Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1968).

10. Pini B., "Sul probleme fondamentale di valori contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari," Ann. Mat. Pura Appl., 43, 261-297 (1957).

11. Pini B., "Su una equazione paraboliche non lineare del quarto ordine," Rend. Sem. Fac. Sc. Univ. Cagliari, 27, No. 3-4, 136-168 (1957).

12. Solonnikov V. A., "About a boundary value problems for linear parabolic systems of differential equations of general form," Proc. Math. Inst. V.A. Steklov, 83, 3-163 (1965).

13. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Parabolic Type Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

14. Smirnov M. M., Mixed Type Equations [in Russian], Vyssh. Shkola, Moscow (1985).

15. Popov S. V., "On the smoothness of solutions of parabolic equations with a changing direction of evolution," Dokl. Math., 400, No. 1, 29-31 (2005).

Submitted October 5, 2017

Viktor G. Markov, Sergey V. Popov M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia bntr@rambler.ru, guspopov@mail.ru