Оценка точности расчетной модели напряженно- деформированного состояния тонкостенных элементов музыкальных струнных инструментов

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МУЗЫКАЛЬНЫХ СТРУННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ.

С.В.Шлычков

Марийский Государственный технический университет

1.Введение.

Проектирование и производство высококачественных музыкальных инструментов - сложный и трудоемкий процесс, зависящий как от уровня расчетных математических моделей, с одной стороны, так и от качества материалов и технологии изготовления - с другой. При этом в практике проектирования [1,2], как правило, используются упрощенные расчетные модели и эмпирические формулы, которые не учитывают ряд важных особенностей, характерных для реальных конструкций. Это, безусловно, отражается на качестве музыкальных инструментов.

Музыкальный струнный инструмент (рис.1) - это конструкция, составленная из струн (1), грифа (2), резонансных дек (3) и ребер жесткости ("пружинок"). Составные элементы конструкции обычно изготавливаются из высококачественных пород древесины, металлов и полимеров. При этом основным звукоизлу-

1 3 2

Рис.1

чающим элементом является дека (или резонансный щит), которая представляет собой тонкостенную деревянную панель сложной геометрической формы, нагруженную силами натяжения струн.

В наших работах разрабатывается уточненная расчетная динамическая модель [3]. Музыкальный струнный инструмент представляется в виде ансамбля конечных элементов (КЭ): струн (рис.2,а), балок (рис.2,б) и пластинок (рис.1,в). Древесина считается как ортотропный материал. В качестве расчетной схемы деки применяется предварительно напряженная тонкостенная пластинка.

Рис.2

Задача динамики описывается однородной системой дифференциальных уравнений вида

[М Ш+[К- С]д]= 0

и системой линейных алгебраических уравнений

[K]{qm}={Fm}.

Здесь, [М], [К] и - матрицы масс, жесткости и начальных напряжений (геометрической жесткости); )}, {¡(I)}, {¡т } - векторы обобщенных ускорений и

перемещений соответственно.

Дифференциальное уравнение (1.1) описывает свободные колебания предварительно напряженной динамической системы относительно равновесной формы (конфигурации) (1.2). Напряженно-деформированное состояние (НДС), соответствующее равновесной форме, определяется силами натяжения струн

^т}. Влияние мембранных усилий на изгибную жесткость деки учитывается при помощи матрицы начальных напряжений

В настоящей статье представлены результаты предварительного исследования. Рассматривается статическая задача расчета параметров НДС. Решение задачи динамики предполагается рассмотреть в последующих работах.

Задачам статики и расчетам НДС тонкостенных элементов конструкций посвящена обширная литература, например [4,5]. В ней представлены результаты многочисленных теоретических и экспериментальных исследований.

В настоящей работе ставится задача оценки точности треугольного КЭ [6]. Дается сопоставление результатов расчетов методом конечных элементов (МКЭ) с точными аналитическими решениями (исследуется сходимость решений). При этом на базе КЭ [6] и алгоритма ансамблирования МКЭ разрабатывается программа расчета ASCM.

2.Краткое описание конечного элемента.

Для вывода расчетных соотношений используется смешанная вариационная формулировка. Задача статики формулируется на основе принципа возможных перемещений:

Д5{е} -\\8{и}т \p\iS - \8\uf {{}г = 0

Я 5 Га

Здесь {и}- вектор обобщенных перемещений; {р}-вектор поверхностной нагрузки; {е}- вектор обобщенных деформаций; S- площадь поверхности тела, на которой заданы внешние силы p; Га - длина контура, на котором заданы кинематические граничные условия; {V }-вектор внешних погонных нагрузок; [О]- матрица обобщенных жесткостных характеристик.

Формулировка (2.1) подразумевает, что обобщенные деформации {е} определяются обобщенными перемещениями {и}, то есть

где [Ь]- дифференциальный оператор.

Если равенство (2.2) использовать в качестве дополнительного условия связи [Ь]{и}-{8}=0, то, потребовав равенства нулю интегральной невязки

Лд{е}т (({}-{}))£ = 0 для любых допустимых деформаций б{8}, получим ва-

£

риационную формулировку смешанного типа:

№№}) №}£ -1 №})=о,

£

\\8{8}т

£

где

/ (<5{}) = \\5{и}т + \5{и}т {{ }

£ Га

Таким образом, для вывода расчетных соотношений требуется найти такие функции {и} и {8} из соответствующих множеств допустимых функций, для которых вариационные уравнения (2.3) и (2.4) выполняются при произвольных вариациях ¿¿{и} и ¿>{8} (достаточно гладких, не нарушающих внутренние и внешние связи).

В качестве функций формы КЭ используются алгебраические полиномы, порядок которых обеспечивает гладкость функций и их производных.

Для аппроксимации перемещений КЭ воспользуемся выражением

{и}=[Ф]{д}.

Обобщенные деформации {8} аппроксимируем зависимостью

{8}=[ш]{а},

где [Ф] и [ю] -матрицы функций форм, {д} - вектор обобщенных узловых перемещений КЭ, {а} - вектор произвольных постоянных.

При построении дискретной схемы тонкостенных конструкций сложной геометрической формы удобно воспользоваться треугольными КЭ. Рассмотрим треугольный КЭ с шестью узлами и тридцатью степенями свободы п=30 (рис.3) [6].

Для вывода расчетных соотношений воспользуемся теорией тонких пластинок типа Тимошенко, учитывающей деформации поперечного сдвига. В этом

т

случае вектор перемещений запишем как {и}={,и2,ю,в\6} , а вектор

деформаций как {е}={еье2,уи, N 1,^2,^12,^1,^2} .

При аппроксимации компонент вектора {и} воспользуемся полными полиномами второго порядка. В этом случае суммарное число обобщенных узловых перемещений п=30.

Вектор обобщенных узловых перемещений КЭ представим в виде

{а}=Ыа),Ы^......{}(б)}}, где {д}(1)={и1(),и2(),w(i),6>1(),02()}Т- вектор обобщенных перемещений 1 - го узла размерности (5х1). При этом 1=1,2,.. .6.

При аппроксимации компонент вектора {е} используются полные линейные полиномы. В этом случае суммарное число независимых компонент

вектора ^ = ^1(1^ еl(2), е1(3> е2(1), е2(2), е2(3), УЩ1> УЩ2> У12(3> ** 1(1> ^ 1(2), ** 1(3> ^2(1>

N2(2), N2(3), Х12(1), Х12(2), Х12(3), ¥1(1), ¥1(2), ¥1(3), ¥2(1), ¥2(2), ¥2(3)} равно 24.

Матрица функций формы [Ф] имеет размерность (5х30) и в блочном виде записывается следующим образом: [Ф]=[[Ф](1), [Ф](2), [Ф](3), [Ф](4), [Ф](5), [Ф](6)], где [Ф](1)=0/[£]; [Е]-единичная матрица размерности(5х5); ф! (1=1,2,3,..6)-

квадратичные функции формы. Для представления ф1 используются Ь-кординаты:

ф!=Ь1(2Ь1-1); ф2=Ь2(2Ь2-1); ф3=Ьэ(2Ьэ-1); ф4=4Ь^; ф5=4Ь2^; фб=4^Ь1. Порядок нумерации функций формы соответствует нумерации узлов КЭ. Ь-координаты определяются через декартовы координаты х1, х2 (рис.3) следующим образом: Ь^а^+Ь^+с^Х^^Б (1=1,2,3), где

а<1)=Х1(2)Х2(3) - Х1(3)Х2(2), (1,2,3); Ь(1)=Х2(2)- Х2(3), (1,2,3); С(1)=Х1(3)- Х1(2), (1,2,3); Б=( Ь(1)с(2) - Ь(2)с(1))/2.

Здесь Х1(1), Х2(!) (1=1,2,3) - координаты вершин треугольника. Остальные коэффициенты а(1), Ь(1), с(1) получаются с помощью циклической перестановки индексов, заключенных в круглые скобки. Коэффициент Б равен площади КЭ.

При построении матрицы обобщенных жесткостных характеристик КЭ учитываем, что оси упругой симметрии не совпадают с осями координат. В качестве начала отсчета выбирается срединная плоскость. В этом случае при симметричной относительно срединной поверхности структуре материала соотношения между обобщенными напряжениями и деформациями разделяются на две независимые группы отдельно для усилий и моментов. В результате имеем [7]:

[В ] 0 0 "

[Б]= 0 и 0 0 0 [к]

Коэффициенты матрицы обобщенных жесткостных характеристик Ьу, ёу, ку выражаются через упругие постоянные материала [4].

Симметричная матрица [5] характеризует приведенные мембранные же-сткостные характеристиками стенки, матрица - изгибные жесткостные характеристики, матрица [К ] - приведенные жесткостные характеристики, описывающие поперечный сдвиг.

Из выражений (2.3) и (2.4) с учетом подстановки (2.5), (2.6) получаем уравнения:

[Б]Т{а}-{Р}=0, [Б] {д}-[И] {а}=0,

где [Б]=\\[со]Т МИ№,

£

[И]=]]Ит ИИй»

Откуда получается следующее выражение для матрицы жесткости КЭ: [К]=[Б]Т [И]-1 [Б].

При численном интегрировании используется схема квадратур Гаусса.

З.Анализ сходимости решений МКЭ.

Для проверки сходимости решения МКЭ к точному (аналитическому) решению рассмотрим ряд тестовых задач. При этом используем модели изотропного и ортотропного тела. Для изотропного тела примем следующие упругие постоянные: модуль упругости Е=200 ГПа, коэффициент Пуассона У=0,3. Для ор-тотропного тела: Е1=20 ГПа, Е2=200 ГПа, У12=0,03, У21=0,3, 012=286,2 ГПа. Рассмотрим квадратную пластинку, длина стороны которой а=0,4 м, толщина

-3

И=2 10- м. Представим следующие схемы нагружения:

1. Шарнирно-опертая пластинка, нагруженная в центре сосредоточенной силой Р=500 Н. На рис.4 изображена расчетная схема и дискретная модель, соответствующая числу КЭ N=32. Находим прогиб w точки приложения си-

лы Р, а также М1, и М2 - максимальные погонные изгибающие моменты на площадках с нормалями Х1 и Х2. Результаты расчета представлены в табл. 1. На рис. 5-8 изображены графики сходимости решения в зависимости от числа КЭ. В качестве точного принято аналитическое решение [8].

Таблица 1

Число КЭ Изотропное тело Анизотропное тело

W, -10-3 м М1, Нм/м W, -10-2 м М2, Нм/м

2 1,47 1,1 0,382 1,1

4 3,26 1,4 0,833 2,7

8 5,07 3,9 1,23 6,7

16 5,42 4,5 1,32 7,9

24 5,52 5,1 1,33 7,92

36 6,11 6,7 1,39 11,4

50 6,27 6,9 1,4 12,5

Решение [8] 6,33 7,5 1,45 12,9

Из графиков видно, что при N=36 решение МКЭ по перемещениям отличается от точного решения менее, чем на 3%. Это соответствует инженерной точности расчета. Для того чтобы обеспечить такую же точность по напряжениям следует увеличить число КЭ. Точность 3% для анизотропной пластинки достигается лишь при N =50.

0 10 20 30 40 50 60

Число КЭ

Рис.5

М1, Н м/м

8 7 6 5 4 3 2 1 0

аналитическое решение

---- »

/

у

0 10 20 30 40

Число КЭ

Рис. 6

50

60

Число КЭ

Рис.7

Число КЭ

Рис.8

2. Шарнирно-опертая квадратная пластинка, нагруженная распределенной

4 2

нагрузкой д=1,2510 Н/м (рис.9). Результаты расчета представлены в табл. 2. На рис. 10-13 изображены графики сходимости решения в зависимости от числа КЭ. В качестве точного принято аналитическое решение [8].

Таблица 2

Число КЭ Изотропное тело Анизотропное тело

W, -10-3 м М1, Нм/м W, -10-2 м М2, Нм/м

2 1,96 1,4 0,509 1,4

4 4,57 3,9 1,16 7,3

8 7,69 6,7 1,85 12

16 8,05 7 2,05 12,1

24 8,06 8,1 2,06 12,3

36 8,52 9,3 2,08 14,7

50 8,87 9,5 2,11 16,2

Решение [8] 8,87 9,58 2,14 19,3

Из приведенных результатов видно, что при заданной нагрузке для изотропной пластинки уже при N=36 решение МКЭ отличается от точного менее, чем на 3% не только по перемещениям, но и по напряжениям.

Число КЭ

Рис.10

Число КЭ

Рис.11

Число КЭ

Рис.12

Число КЭ

Рис.13

3. Тонкая пластинка с отверстием под действием распределенной нагрузки интенсивности д (рис.14). Для описания упругих свойств материала применяется модель изотропного тела. Используется нерегулярная сетка: для аппроксимации области высоких градиентов напряжений используются более мелкие КЭ. Диа-

2 3

метр отверстия ё=510- м, стороны а=0,4 м, толщина И=210- м, нагрузка д=225 Н/м.

На рис.15 приведена эпюра распределения внутренних усилий N вдоль оси х2. Из эпюры видно, что точки, полученные с помощью выбранного КЭ, совпадают с точным решением. В качестве точного используется аналитическое решение для бесконечной пластинки [11].

№,'103 Н/м

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

А -Решение МКЭ [10]. 0 -Решение ЛБСМ --Аналитическое решение [11].

Рис.15

В результате исследований свойств КЭ [6] на примере расчетов тонких пластинок при различных условиях нагружения и закрепления установлена сходимость приближенных решений МКЭ к точным аналитическим решениям при уменьшении размеров КЭ. Сходимость имеет место как по перемещениям, так и по напряжениям. Для получения удовлетворительной точности результатов по напряжениям требуется более мелкая сетка. Сходимость решения наблюдается как для изотропных, так и для анизотропных тел. Полученные результаты сведетельствуют о работоспособности расчетной модели, построенной на базе КЭ [6], для исследования начального НДС тонкостенных элементов музыкальных струнных инструментов.

Х2, М

Литература.

1. Корсаков Г.С. Технология музыкальных инструментов из древесины: Учебное пособие. - Л.: ЛТА, 1986. - 73с.

2. Римский-Корсаков А.В. Дьяконов Н.А. Музыкальные инструменты: Методы исследований и расчеты. - М.: Местная промышленность, 1952.-345с.

3. Куликов Ю.А., Шлычков С.В. Компьютерная динамическая модель музыкального струнного инструмента как композитной конструкции// Композиционные материалы в авиастроении и народном хозяйстве: Материалы Всероссийской научно-технической конференции, 5-8 октября 1999 г. - Казань, 1999 .Ч.П - с.36.

4. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984.-263с.

5. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1977.-488с.

6. Попов Б.Г. Расчет многослойных конструкций вариационно-матричными методами: Учебное пособие. - М.: Издательство МГТУ, 1993. -294с.

7. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988.- 272с.

8. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер. Пластинки и оболочки. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.-636с.

9. Тимошенко С.П., Дж.Гудьер. Теория упругости. - М.: Наука.-1975.-576с.

10. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. - М.: Недра, 1974.- 239с.

11.Расчеты на прочность в машиностроении: в 3 т. Пономарев С. Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К. и др. - М.: Машгиз, 1959., Т.3. - 1118с.