Развитие и торможение вязкопластического течения с учетом ползучести материалов упругих зон

Вестник ДВО РАН. 2016. № 4

УДК 539.3

А С. БЕГУН, А.А. БУРЕНИН, Л.В. КОВТАНЮК, Г Л. ПАНЧЕНКО

Развитие и торможение вязкопластического течения с учетом ползучести материалов упругих зон

Описана математическая модель последовательного роста необратимых деформаций в материалах, обладающих упругими, вязкими и пластическими свойствами. В модели большие необратимые деформации не разделяются на пластические деформации и деформации ползучести. Считается, что на стадии процесса, предваряющей пластическое течение, и при разгрузке механизмом накопления необратимых деформаций в материале является его ползучесть, а в условиях соответствия напряжений поверхности нагружения механизм ползучести меняется на механизм пластического течения. Модель иллюстрируется решением задачи о возникновении вязкопластического течения, его развитии и торможении в материале, расположенном между жесткими цилиндрическими поверхностями.

Ключевые слова: большие деформации, упругость, пластичность, вязкость, ползучесть.

Development and braking of viscoplastic flow taking into account creep of materials from elastic zones.

A.S. BEGUN (Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok), A.A. BURENIN (Institute of Machinery and Metallurgy, FEB RAS, Komsomolsk-on-Amur), L.V. KOVTANYUK (Institute of Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok), G.L. PANCHENKO (Vladivostok State University of Economics and Service, Vladivostok).

The mathematical model of sequential growth of irreversible deformations in materials with elastic, viscous and plastic properties is described. Large irreversible deformations are not separated for plastic deformations and creep deformations. It is believed that at the stage of the process that precedes plastic flow, and during the offloading, mechanism of accumulation of irreversible deformations in the material is creep of the material, but in terms of matching surface stresses of loading, the creep mechanism changes to the mechanism of plastic flow. The model is illustrated by the solution of the problem of viscoplastic flow, his growth and deceleration in the material, located between rigid cylindrical surfaces.

Key words: large strains, elasticity, plasticity, viscosity, creep.

В математической физике любая теория основывается на принятии некоторой модели, т.е. на формулировке таких гипотетических положений (аксиом, постулатов, гипотез), которые позволяют записать замкнутую систему уравнений. Если для такой системы уравнений удается поставить соответствующие краевые задачи, указать их разрешимость, а иногда доказать единственность получаемых решений и, самое главное, получить решения так называемых модельных задач, то в таком и только в таком случае говорят, что имеется теория. Важно только, чтобы вносимые в математическую модель положения были геометрически и термодинамически непротиворечивыми. Необходимым атрибутом теории оказывается соответствующий ей математический аппарат, включающий в себя

БЕГУН Александра Сергеевна - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, *КОВТАНЮК Лариса Валентиновна - доктор физико-математических наук, заведующая лабораторией (Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток), БУРЕНИН Анатолий Александрович - член-корреспондент РАН, директор (Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, Комсомольск-на-Амуре), ПАНЧЕНКО Галина Леонидовна - кандидат физико-математических наук, доцент (Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, Владивосток). *Е-таП: lk@iacp.dvo.ru

общетеоретические следствия (существование решений, их единственность и др.) и методы решения краевых задач теории. С целью упрощения математического аппарата часто добиваются, чтобы теория основывалась на системе линейных уравнений (теория упругости, акустика, геометрическая оптика), но иногда этого принципиально добиться нельзя (газовая динамика, гидродинамика и др.). Безусловно, ряд эффектов выходит за рамки линейных теорий, тогда для моделирования таких эффектов строятся обобщения теории на нелинейный случай. Подобные обобщения, с целью отличия от линейных теорий, часто слово «нелинейность» включают в свое название (нелинейная теория упругости [13], нелинейная акустика [16] и др.).

В механике деформируемого твердого тела для той же цели упрощения математического аппарата используется иная возможность, когда деформации полагают малыми. Связано это не только с тем, что в конструкциях сооружений, механизмов и машин большие деформации недопустимы, но еще и с тем, что учет необратимых деформаций с необходимостью приводит к нелинейным теориям. Таковыми оказываются и теория пластичности, и теория ползучести, и теория усталостной прочности. Лишь теория упругости остается единственной линейной теорией в механике деформируемых тел. И все же в целом ряде промышленных технологий обработки материалов давлением (прокатка, волочение, штамповка и др.) материалы значительно изменяют форму, следовательно, приобретают большие деформации. Расчетное прогнозирование процессов в подобных технологиях основано главным образом на жесткопластическом анализе, когда обратимыми деформациями по сравнению с необратимыми пренебрегают, а расчеты проводятся в скоростях без вычисления собственно деформаций. Кстати, выверенный способ вычисления последних, что не является тривиальным, в задачах жесткопластического анализа был предложен сравнительно недавно [7] именно на Дальнем Востоке. Неучет необходимо присутствующих в технологических операциях обратимых (упругих) деформаций категорически не устраивает технологическую практику, так как не учитываются исключительно важные эффекты: пружинение - упругий отклик после снятия оснастки (при разгрузке) и формирование остаточных напряжений. Для последних требуется назначать приемы понижения уровня (отпуск, отжиг), поэтому их уровень и распределение должны быть прогнозируемы. Таким образом, к середине прошлого столетия сформировался устойчивый вызов к фундаментальной механике со стороны производства в создании теории больших деформаций материалов с упругими, пластическими и вязкими свойствами. Как же смогла ответить на такой вызов фундаментальная механика деформирования?

Первые подходы к описанию больших деформаций были предложены около ста лет назад. Касались они исключительно упругих тел без учета в деформациях любой необратимости [19]. Связано это было с тем, что такой же прием в разделении деформаций на обратимые и необратимые, как в теории малых деформаций, т.е. в форме суммирования, оказался геометрически некорректен [17]. Действительно, полные деформации можно экспериментально измерить, но что такое обратимые и необратимые? В опытах они неизмеримы, а в теорию вводятся только волей составителя модели и для его нужд в соответствии с поставленной целью. Отсюда произвол, преодолеть который, соблюдая хотя бы только геометрическую корректность, оказалось совсем непростой задачей. Впервые данную задачу решил Е. Ли в 1969 г. [18]. Главным для такой модели явилось предположение о том, что каждому деформированному состоянию соответствует другое состояние упругопластического тела, названное состоянием полной разгрузки, в котором отсутствуют обратимые деформации. Оно подразумевает предельное состояние, в котором каждый бесконечно малый объем материала освобожден от нагрузок всех видов. Очевидно, что такое состояние недостижимо. Для определения скоростей необратимого деформирования предлагается «выбрать» некоторую из бесконечного числа объективных производных от тензора деформаций в зависимости от предпочтений исследователя. Несмотря на это, геометрическая корректность модели оказалась столь привлекательной, что до настоящего времени данный подход остается основным [12, 20]. Главным недостатком такого подхода

является даже не то, что отмечено выше, а как раз то, что при таком подходе до настоящего времени не удалось проиллюстрировать модель решением в ее рамках краевых задач. Несмотря на значительные усилия самых известных механиков самых разных стран, теория на основе этого подхода не состоялась, поскольку модельных задач здесь построено практически не было.

Наше предложение, сформулированное в двух публикациях 1996 г. [5, 14] с различных позиций, которые дополняют друг друга, заключается в определении (задании) обратимой и необратимой составляющих деформаций посредством записи для соответствующих тензоров уравнений их изменения (переноса). На этом этапе моделирования удается внести в уравнение изменения тензора необратимых деформаций главное его качество, состоящее в том, что тензор (не его компоненты) неизменен в условиях разгрузки. Компоненты данного тензора изменяются так же, как и при жестких перемещениях деформируемого тела. Условия геометрической и термодинамической корректности строящейся математической модели заставляют ввести совершенно определенную объективную производную от тензора по времени. Следуя законам сохранения, в условиях независимости термодинамического потенциала от необратимых деформаций удается получить аналог известной в теории упругости формулы Мурнагана, т.е. и в случае больших деформаций, как в классической теории течения упругопластических материалов, напряжения в деформируемом теле полностью определяются обратимыми деформациями. Иначе говоря, в [5] предложена наиболее простая, геометрически и термодинамически непротиворечивая модель упругопластических деформаций, сохранившая основные качественные особенности классических моделей типа Прандтля - Рейса. Это позволило впервые поставить и решить, в том числе точно, целый ряд краевых задач в рамках такой модели [2, 3, 11], что позволяет говорить о развитии теории, о том, что теория состоялась.

Позднее [10] математическая модель была обобщена на неизотермический случай. В таком случае также удалось решить первые связанные задачи теории [4].

Полученные точные и численно-аналитические решения краевых задач обсуждаемой теории приобретают важное значение в качестве средств тестирования алгоритмов и программ расчетов больших деформаций при модельном представлении технологических операций обработки материалов давлением. Создание таких средств расчетов является главной, приоритетной задачей современной механики деформирования. Данная задача продиктована развитием фундаментальной теории и, что еще важнее, настоятельной потребностью в ее решении со стороны технологической практики. Точные решения необходимо послужат алгоритмизации исключительно сложной задачи и тестированию программ вычислений.

Здесь обсудим еще одно обобщение математической модели [2, 5] на случай учета вязкости на стадии, предваряющей пластическое течение, и при разгрузке. Данное обобщение также диктуется настоятельными требованиями производства. Существуют материалы, которые теряют свой прочностный ресурс при их интенсивном формоизменении, т.е. когда они пластически деформированы. В этом случае единственным способом их обработки оказывается холодная формовка [1, 15], когда большие необратимые деформации приобретаются за счет медленного процесса ползучести. Сложность в таком случае заключается еще и в том, что при воздействии на формуемый материал оснасткой в местах его контакта с ней (как концентратора напряжений) с необходимостью образуются пластические области. Их наличие существенно перераспределяет поле напряжений и, следовательно, непосредственно влияет на процесс ползучести в целом. То есть не учитывать их принципиально невозможно. Но каким образом их учесть? В классической теории малые полные деформации представляют суммой упругих, пластических и деформаций ползучести. Такое разделение, как обсуждалось выше, геометрически некорректно даже при отсутствии деформаций ползучести, а для разделения на составляющие необратимых деформаций совершенно отсутствуют какие-либо предпосылки. На такие вопросы ответим данным обобщением теории [2].

Кинематика больших деформаций

Пусть система координат является прямоугольной и декартовой, в которой а. -материальные, а х . - пространственные координаты точки деформируемой среды. Тогда для компонент тензора дисторсии а,. и метрического тензора g.j имеем зависимости

йа. .

8* = ^, ~йг+=

йи. ди. V = —. = —. + и кук, и = х - а .

1 Л д( 1 1 11

Здесь индексом после запятой обозначена производная по соответствующей пространственной координате, и . и V. - компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды, t - время. Если принять представление

=

где д.. - символ Кронекера, то согласно (1) можно получить [2]:

Оец

2 ((% - 7л + 2 л ) ец + еЛ (еЦ - Гц - ))-

БГ 4 2

ОР у 1

'у * л '1 у ^ 1 !• 'г у 2

Левые части равенств (3) представляют собой объективную производную тензоров по времени. Если воспользоваться произволом в представлении (2) компонент метрического тензора через компоненты двух кинематических тензоров е.. ир полагая последние симметричными (е.. = е ; р.. =р.), и потребовать, чтобы при у. = 0 компоненты р. изменялись так же, как при изменении системы координат, то геометрическая и кинематическая непротиворечивость требует единственного определения для объективной производной. Запишем ее применительно к компонентам п. некоторого произвольного тензора:

Бп.. Сп..

~ЪГ = ~сй - ГП + П'Л/ Г = = + ^ ^ • ** ).

Нелинейную составляющую тензора вращений г. из-за ее громоздкости здесь не выписываем, в [2] она выписана полностью. Только наличием данной составляющей производная (4) отличается от оператора объективной производной Яумана. Следовательно, соотношениями (3), в которых оператор объективной производной задан зависимостями (4), введены в рассмотрение симметричные кинематические тензоры е. и р Изменение их со временем задается источниками е.- у. и у. соответственно, а потоковые слагаемые -иные слагаемые правой части (3) - задают их взаимозависимость. Еще раз отметим, что при у.= 0 компоненты р.. изменяются так же, как если бы тело не деформировалось в процессе движения. Такие обстоятельства позволяют назвать р.. компонентами необратимых деформаций, а случай у..= 0 связать только с обратимым деформированием. Тогда е.. будут задавать обратимые деформации. Для компонент тензора деформаций Альманси й. согласно (2) будем иметь:

й а =1 (м< , а + и1,• — ик,и, а) = 5V + Р V — е*Рц — Р^ы + ецРтещ •

2

= -1 = е V — 2 екек1 •

Таким образом, если р. названы необратимыми деформациями, то следует называть обратимыми (упругими) деформациями.

Определяющие законы

Запишем локальное следствие закона сохранения энергии в форме

+ ^ = %

Здесь р - плотность деформируемого материала, е - плотность распределения внутренней энергии, а ^ - компоненты тензора напряжений, qj - компоненты вектора теплового потока. В качестве термодинамического потенциала для рассматриваемого здесь случая изотермического деформирования удобнее использовать свободную энергию. Для плотности распределения последней ¥ имеем:

Ч,

Соотношениями (7), где 5 - плотность распределения энтропии, а Т - абсолютная температура, вводится, по существу, гипотеза о независимости термодинамических потенциалов от необратимых деформаций. Полагается, что необратимые деформации всецело относятся к диссипативному механизму деформирования, а обратимые к консервативному и таким способом разделяются. Подстановка (7) вместе с (3) и (4) в (6) приводит к двум соотношениям:

д

deik

dt

= -(T+ psv]) -T2gjTj + TT

Второе равенство из (8) представляет собой уравнение баланса энтропии, в котором первое слагаемое правой части является дивергенцией полного потока энтропии, а последующие - производством энтропии за счет необратимого процесса теплопроводности и необратимого деформирования соответственно. В данном уравнении

Tj =pPde- {Skj - skj) = {Ski - ekj), Yj = tik {8k - eki).

ik

Таким образом, для производства энтропии D за счет деформирования [последнее слагаемое правой части второго равенства из (8)] имеем:

D = oijYj,

Когда энтропия производится за счет вязких свойств сплошной среды, то для такого производства справедливы соотношения [9]:

D = c..sv. г.. = sv.

у ip /у у

Таким образом источник в уравнении изменения необратимых деформаций оказывается тензором скоростей деформаций ползучести sV. В случае процесса пластического течения производство энтропии (диссипативная функция) имеет вид [8]:

D = Yij =е>.

Первое соотношение из (8) позволяет при заданной функции ¥ (ej., T) в условиях изотермичности процесса (T = const) указать напряжения а ^ в материале по известному распределению обратимых деформаций e Это обобщение формулы Мурнагана [19] на случай, когда материал приобретает не только обратимые деформации. Отметим здесь удобство введения тензора e j, с ним не только удается записать обозримое уравнение изменения (3), но и получить удобную запись в связи «напряжения - обратимые деформации» (8).

Для конкретизации модели в изотермическом случае теперь остается связать скорости роста необратимых деформаций у. с напряжениями в среде и указать конкретный вид зависимости ¥ = ¥ (е..). Формулу Мурнагана (8) запишем для рассматриваемого далее случая несжимаемой среды:

=-н К - ъ), ^).

Полагая материал изотропным, для упругого потенциала Ще.) примем представление [8]: "

W

11 = Яд , 12 = ЯцсЯ/а .

Здесь параметр ^ отождествляется с модулем сдвига; Ь, х - упругие постоянные более высокого порядка. Зависимости (12) и (13) задают консервативный механизм деформирования.

Диссипативный механизм деформирования, определяющий накопление необратимых деформаций, связан с пластическими и реологическими свойствами материалов. Для его конкретизации необходимо задать скорости роста необратимых деформаций у.. в зависимости от напряжений в среде. Далее будем считать, что вязкие свойства среды проявляются на всех этапах процесса деформирования, а необратимые деформации р.. не разделяются на пластические и деформации ползучести и накапливаются в материале непосредственно с начала процесса деформирования. Их различие связано с различием в механизмах их накопления. В областях, где напряженное состояние еще не достигло поверхности текучести или где пластическое течение происходило, но прекратилось,

Здесь еV - скорость деформаций ползучести. Соответствующий диссипативный механизм деформирования зададим, например, введя потенциал У(о..) в форме степенного закона ползучести Нортона [6]:

У

Здесь о. - главные значения тензора напряжений, постоянные В и п являются параметрами ползучести материала.

Когда напряженное состояние в материале достигает поверхности нагружения, дисси-пативный механизм деформирования меняется, появляется и развивается область пластического течения. В этой области

г.. = ер.

/у 1]

Связь скоростей пластических деформаций е? с напряжениями в таких областях согласно принципу максимума Мизеса устанавливается ассоциированным законом пластического течения [8]:

У» =4 , 1 &) = я>

С целью учета вязких свойств среды при пластическом течении в качестве пластического потенциала будем использовать обобщенное условие пластичности Треска:

где е^ - главные значения тензора скоростей пластических деформаций, к, п - постоянные материала (предел текучести и вязкость соответственно).

Не разделяя необратимые деформации на составляющие, считаем, что накопленные к моменту начала пластического течения необратимые деформации ползучести являются начальными значениями для их дальнейшего роста в области течения. Такой подход требует и совпадения скоростей необратимых деформаций при изменении механизма деформирования с

а = е%, ак =е;\

где еУ - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести в момент начала пластического течения, еук° - его главные значения.

Заметим, что зависимости (13), (14) и (16) выбраны только с целью решения конкретной задачи. В качестве пластического потенциала и закона ползучести могут использоваться любые другие зависимости.

Деформирование материала между жесткими коаксиальными цилиндрами

в условиях ползучести и пластического течения

Рассмотрим деформирование несжимаемого материала, занимающего слой между двумя цилиндрическими недеформируемыми стенками радиусов г = г0 и г = Я (г < Я) при повороте внутреннего жесткого цилиндра за счет приложенного к нему изменяющегося момента закручивания, в то время как внешний цилиндр является неподвижным.

Вначале было рассмотрено деформирование материала на стадии, предшествующей пластическому течению. В расчетах в формуле Мурнагана (12) учитывались слагаемые до шестого порядка по компонентам обратимых деформаций. Из уравнений (3, 4), используя закон ползучести (14) и уравнения равновесия, получаем систему из семи дифференциальных уравнений в частных производных с неизвестными компонентами необратимых и обратимых деформаций рф, р, р еф, е, еи углом поворота в. Система при соответствующих краевых условиях и нулевых начальных интегрируется численно с использованием конечно-разностной схемы.

С ростом внешних усилий в момент времени t = t* на границе г = г0 напряженное состояние достигает поверхности нагружения (16) и начинает развиваться область вязкопласти-ческого течения г0 < г < т((). При этом т(() < г < Я остается областью, где растут обратимые деформации и деформации ползучести; отделяет ее от области течения движущаяся граница т(Г). В слое т(0 < г < R справедлива та же система уравнений, что и ранее, в области течения механизм деформирования меняется. Система уравнений в частных производных следует из уравнений (3, 4) и условия пластичности (16). Компоненты обратимых е„ и необратимых р „ деформаций, угол поворота в и положение упругопластической границы т(0 находятся интегрированием систем дифференциальных уравнений в двух рассматриваемых областях с использованием граничных условий и условий непрерывности деформаций и угла поворота на границе г = т. Полагалось, что до некоторого момента времени t = tl > t* нагружающее усилие увеличивается; при этом растет и область течения. Затем, начиная с момента времени t = t, нагружающее усилие уменьшается. Это приводит к уменьшению области течения (начиная с момента времени t = t1 граница т(() движется к поверхности г = г0). Теперь и в области т^^ < г < Я, где пластическое течение не начиналось, и в области т(0 < г < т(^) , где было пластическое течение, изменяются необратимые деформации ползучести. В момент времени / = поверхности г (Г) и г = г0 совпадут, и вязкопластическое течение прекратится во всем цилиндрическом слое г0 < г < Я. С момента времени / = /2 > закручивающий момент полагался постоянным.

0.0018

0.0012

0.0006

е

Изменение напряжения агф = c(t) / r2 при r = r0 задавалось в виде:

0 < t < t2: c(t) = -atr0 (l4P - at);

t > t2 : c(t) = -at2ro2 (^VPmai - at2 ); P = a2^2.

Расчеты проводились в безразмерных переменных: r = r / Р, T = / Р;

â. = a.. / / при значениях постоянных k / i = 0,003, b / ц = 4, / / i = 80, r0 / Р = 0,5, w = 3,

ВпЯр"-1у[рр7м =3, «2 р2р0/ = 1.

На рис. 1 приведено распределение угла поворота в зависимости от радиуса, на рис. 2 -зависимость необратимых деформаций от времени в точках поверхности г = rQ. Интересен нелинейный эффект уменьшения компонент деформаций ползучести ргг и р являющихся Л малыми более высокого порядка по сравнению с рг, при уменьшении закручивающего момента после прекращения течения.

\ vV1

. \ N \ » Ч \\ 4 \т!ч

т> • 2 — __

о

0.5

0.6

0.7 0.8 0.9 1 Рис. 1. Распределение угла поворота в зависимости от радиуса

-0.0022

\

s Vf

\

Рис. 2. Необратимые деформации при r = r0

Таким образом, непрерывность компонент необратимых деформаций и скоростей их изменения на упругопластических границах в модели больших деформаций с последовательным изменением в механизме накопления необратимых деформаций обеспечивается специальным заданием пластического потенциала (необходимым обобщением условия пластичности). Свойство вязкости материала при его пластическом течении выступает в качестве фактора, тормозящего течение. Как пример приведено решение краевой задачи о деформировании материала, расположенного между жесткими коаксиальными цилиндрами в условиях ползучести с последующим пластическим течением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белых С.В., Бормотин К.С., Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Прокудин А.Н. О больших изотермических деформациях материалов с упругими, вязкими и пластическими свойствами // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2014. № 4 (22). С. 145-157.

2. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Большие необратимые деформации и упругое последействие. Владивосток: Дальнаука, 2013. 312 с.

3. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Возможность повторного пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды // Докл. АН. 2000. Т. 575, № 6. С. 767-769.

4. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Панченко Г.Л. Неизотермическое движение упруговязкопластической среды в трубе в условиях изменяющегося перепада давления // Докл. АН. 2015. Т. 464, № 3. С. 284-287.

5. Буренин А.А, Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Докл. АН. 1996. Т. 347, № 2. С. 199-201.

6. Буренин А.А., Ярушина В.М. Плоское напряженное состояние в условиях нелинейной неустановившейся ползучести // Дальневост. математ. журн. Владивосток, 2002. Т. 3, № 1. С. 64-78.

7. Буханько А.А., Хромов А.И. Поля деформаций при внедрении клинообразных и плоских штампов // Дальневост. математ. журн. 2002. Т. 3, № 3. С. 311-319.

8. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.

9. Гроот де С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456 с.

10. Ковтанюк Л.В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневост. математ. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 107-117.

11. Ковтанюк Л.В. О продавливании упруговязкопластического материала через жесткую круговую цилиндрическую матрицу // Докл. АН. 2005. Т. 400, № 6. С. 764-767.

12. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наук. думка, 1987. 232 с.

13. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

14. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших деформациях // Вестн. ДВО РАН. 1996. № 4. С. 8-13.

15. Олейников А.И., Пекарш А.И. Интегрированное проектирование процессов изготовления монолитных панелей. М.: Эком, 2009. 109 с.

16. Руденко О.В., Салуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 288 с.

17. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

18. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36, N 1. P. 1-6.

19. Murnaghan G.D. Finite deformation of an elastic solid. N.Y.: Wiley, 1951. 140 р.

20. Xia Z., Ellyin F. A finite elastoplastic constitutive formulation with new co-rotational stress-rate and strain-hardening rule // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1995. Vol. 62, N 3. P. 733-739.