Комплекс алгоритмов и программ для расчета транспорта наносов и транспорта многокомпонентных взвесей на многопроцессорной вычислительной системе

УДК 516.9 ББК 22.151

И.И. Софрони

КОМПЛЕКС АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ ДЛЯ РАСЧЕТА ТРАНСПОРТА НАНОСОВ И ТРАНСПОРТА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ВЗВЕСЕЙ НА МНОГОПРОЦЕССОРНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ

Аннотация. Работа посвящена разработке взаимосвязных программных комплексов, предназначенных для математического моделирования перемещения донных материалов и примесей, в том числе и биологических веществ, в прибрежных системах для применения на высокопроизводительных вычислительных системах.

Ключевые слова: многопроцессорная вычислительная система, сеточные уравнения, взвеси, наносы.

I.I. Sofroni

COMPLEX ALGORITHMS AND PROGRAMS FOR CALCULATION OF SEDIMENT TRANSPORT AND TRANSPORT OF MULTICOMPONENT SUSPENSIONS ON MULTIPROCESSOR SYSTEMS

Annotation. The work is dedicated to the development of interconnectivity software systems designed to move the bottom of mathematical modeling of materials and contaminants , including biological substances in coastal systems for use in high-performance computing systems.

Keywords: multiprocessor computer systems , difference equations , slurry deposits.

Одной из основных задач вычислительной математики является проблема решения систем линейных алгебраических уравнений. Для нахождения приближенного решения систем уравнений используются прямые и итерационные методы. В классе двухслойных итерационных методов одним из наиболее успешных является предложенный А.А.Самарским попеременно-треугольный метод (ПТМ). Позднее академиком А.Н. Коноваловым был разработан и опубликован в 2002 году адаптивный вариант ПТМ в самосопряженном случае. Алгоритм ПТМ показал себя как наиболее эффективный метод в классе двухслойных итерационных методов, для решения вычислительно трудоемких задач. В работе [1] данный метод, в случае несамосопряженного оператора (с несимметричной матрицей), был применен для решения задач гидродинамики. Позднее был предложен вариант метода конечных объемов в случае учета заполненностей контрольных областей [2]. Алгоритм расчета, учитывающий частичную «заполненность» ячеек, лишен недостатка связанного со ступенчатым представлением границы области на прямоугольной сетке. Данный метод был применен для решения трехмерных задач гидродинамики [3]. Применение схем, учитывающих «заполненности» контрольных областей, потребовало создания модифицированного варианта ПТМ [4]. Данный метод имеет те же оценки скорости сходимости, как и его не модифицированный вариант, в случае равномерной прямоугольной сетки. Метод эффективен для решения задач на сетках, учитывающих сложную геометрию рассматриваемых объектов [5]. Авторским коллективом предложена двумерная модель транспорта наносов в мелководных водоемах, включающая уравнения движения, неразрывности и перемещения наносов, учитывающая две пространственные переменные и следующие физические параметры и процессы: пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна и функцию возвышения уровня, ветровые течения и трение о дно [6]. В разработанном программном комплексе касательное напряжение рассчитывалось на основе двумерной модели гидродинамики. Позже разработана и программно реализована математическая модель транспорта наносов, учитывающая переход донных материалов во взвешенное состояние и обратно [7, 8]. Описание гидродинамических процессов в данном программном комплексе происходило на основе модели, учитывающей три уравнения движения (без гидростатического приближения). Проведен анализ численного решения модельной задачи, показавший, что с увеличением размеров расчетной сетки временные затраты для явной схемы существенно уменьшаются. Модификация явной схемы - введение разностной производной второго порядка с множителем-регуляризатором - позволяет существенно ослабить ограничения на допустимую величину шага по времени [9]. Кроме того, явные регуляризованные схемы показали преимущество по реальным временным затратам (10-15 раз и более) по сравнению с использовавшимися ранее традиционными неявными и нерегуляризованными явными схемами [10]. В области разработки и программной реализации математических моделей динамики популяций разработа-

ны модели, предназначенные для расчета условий формирования заморов в мелководных водоемах [11] и изучение возможностей улучшения качества вод [12]. Разработана и программно реализована математическая модель движения многокомпонентной воздушной среды, учитывающей такие факторы, как транспорт загрязняющих веществ и тепла; влияние растительного покрова; изменение коэффициента турбулентного обмена; переход воды из жидкого в газообразное состояние; осаждение вещества; изменение температуры за счет конденсации и испарения аэрозоли; турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды; теплообмен между жидкими и газообразными состояниями; наличие распределенных источников вещества и температуры; силу Архимеда; тангенциальное напряжение на границах раздела сред; переменную плотность, зависящую от концентрации загрязняющих веществ, температуры и давления; сжимаемость среды за счет: изменения температуры, испарения и конденсации жидкости, изменения давления, наличия источников [13].

Цели и задачи моделирования.

Цель работы заключается в построении и программной реализации двумерных непрерывных и дискретных моделей транспорта наносов в прибрежных водных системах, описывающих переформирование прибрежной зоны водоемов за счет движения воды и твердых частиц, удовлетворяющих основным законам сохранения. В соответствии с поставленной целью будут решены следующие задачи:

1. Разработка и программная реализация пространственно-двумерной модели транспорта наносов в мелководных водоемах, позволяющей предсказывать динамику изменения рельефа дна за счет движения воды и твердых частиц, учитывающая пористость грунта, критическое значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентный обмен, динамически изменяемую геометрию дна, ветровые течения и трение о дно.

2. Разработка и программная реализация трехмерной математической модели динамики популяций, предназначенной для моделирования условий формирования заморов в мелководных водоемах и изучения возможностей улучшения качества вод.

3. Разработка и программная реализация математической модели движения многокомпонентной воздушной среды, учитывающей такие факторы, как транспорт загрязняющих веществ и тепла; влияние растительного покрова; изменение коэффициента турбулентного обмена; переход воды из жидкого в газообразное состояние; осаждение вещества; изменение температуры за счет конденсации и испарения аэрозоли; турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды; теплообмен между жидкими и газообразными состояниями; наличие распределенных источников вещества и температуры; силу Архимеда; тангенциальное напряжение на границах раздела сред; переменную плотность, зависящую от концентрации загрязняющих веществ, температуры и давления; сжимаемость среды за счет: изменения температуры, испарения и конденсации жидкости, изменения давления, наличия источников.

4. Разработка и программная реализация модели волновых гидродинамических процессов, учитывающей такие физические параметры, как турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, трение о дно, наличие примеси и предназначенной для расчета интенсивности перемешивания субстанций в водоеме в зависимости от параметров поверхностных волн.

5. Разработка и программная реализация трехмерной модели гидродинамики, учитывающей определяющие физические факторы, такие как сила Кориолиса, турбулентный обмен, зависящий, в том числе, от параметров поверхностных волн, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, динамическое перестроение расчетной области, ветровые напряжения и трение о дно.

6. Построение разностных схем для разрабатываемых моделей, проведение аналитических исследований для схем повышенного порядка точности, расчет оптимальных весовых и регуляри-зирующих параметров.

7. Разработка комплекса программ на многопроцессорной вычислительной системе, предназначенного для моделирования турбулентных потоков водной среды, транспорта примесей и наносов в прибрежной зоне, для прогнозирования возможных сценариев развития экосистемы.

Предлагаемые методы и подходы.

При разработке гидродинамической модели движения водной среды будет использована трехмерная модель, включающая: три уравнения движения Навье-Стокса и уравнение неразрывности. При исследовании аппроксимации гидродинамической модели будет использован метод поправки к давлению и применены схемы с весами, устойчивость которых будет исследована на основе сеточного принципа максимума. Для аппроксимации модели расчета транспорта взвеси будут применены аддитивные двумерно-одномерные разностные схемы расщепления по пространственным координатным направлениям, схемы повышенного (четвертого) порядка точности. Сеточные уравнения будут решены адаптивным модифицированным попеременно-треугольным итерационным методом вариационного типа. Использование быстросходящихся итерационных

методов является эффективным способом уменьшения времени работы алгоритма, хотя и не единственным. Для увеличения временного шага будут использованы схемы с оптимальным значением весового параметра. При решении модельной задачи диффузии удалось повысить точность в 66.7 раз, а для задачи диффузии-конвекции в 48.7 раз [14]. Для повышения эффективности работы алгоритмов решения задач диффузии-конвекции на основе двухслойных разностных схем были выполнены оценки точности схемы от ее веса и шага по временной переменной, найдены оптимальные значения весового параметра [15]. При разработке программного обеспечения будут использованы схемы с оптимальными весами. Для увеличения точности расчетов будут использованы схемы, учитывающие заполненности ячеек [16]. Увеличение точности происходит за счет лучшей аппроксимации границы расчетной области. Будут выполнены параллельные реализации математической трехмерной модели гидродинамических процессов, транспорта взвесей и наносов на основе метода декомпозиции по одному и двум пространственным координатным направлениям.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Алексеенко, Е.В. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе // Математическое моделирование. -2011. - Т.23. № 3. - С. 3-21.

2. Сухинов, А.И., Тимофеева, Е.Ф. Чистяков, А.Е. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов // Известия ЮФУ. - 2011. -№ 8 (121). - С 22-32.

3. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе // Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии. - 2012. - Т.13. - С. 290-297.

4. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. - 2012. Т. 24. № 1. С. 3-20.

5. Никитина, А.В., Чистяков, А.Е., Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т.20. - № 2. - С. 335-339.

6. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Проценко, Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов // Математическое моделирование. - 2013. - Т.25. - № 12. -С.65-82.

7. Сухинов, А. И., Чистяков, А. Е., Проценко, Е. А., Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование. - 2014. - Т 15.- № 4. - С. 610-620.

8. Дегтярева, Е.Е., Проценко, Е.А., Чистяков, А.Е. Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т. 23. - № 42. - С. 30.

9. Четверушкин, Б.Н. Пределы детализации и формулировка моделей уравнений сплошных сред // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. № 11. - С. 33-52.

10. Сухинов, А.И., Проценко, Е.А., Чистяков, А.Е., Шретер, С.А. Сравнение вычислительных эффективно-стей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах// Вычислительные методы и программирование. - 2015.- Т. 16.- №3. - С. 328-338.

11. Сухинов, А.И., Никитина, А.В., Чистяков, А.Е., Семенов, И.С. Математическое моделирование условий формирования заморов в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование. - 2013. - Т.14. - С. 113-122.

12. Сухинов, А.И., Никитина, А.В., Чистяков, А.Е. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря // Математическое моделирование. - 2012. - Т.24. № 9. С. 3-21.

13. Сухинов, А. И., Хачунц, Д. С., Чистяков, А. Е. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы прибрежной зоны и ее программная реализация// ЖВМиМФ. 2015. Т. 55, №7. С.1238-1254.

14. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Семенякина, А.А., Никитина, А.В. Параллельная реализация задач транспорта веществ и восстановления донной поверхности на основе схем повышенного порядка точности // Выч. мет. программирование. - 2015. - Т. 16. - № 2. - С. 256-267.

15. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Шишеня, А.В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии проведена на основе схем с весами// Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25. - № 11. - С. 53-64.

16. Сухинов, А.И., Чистяков, А.Е., Фоменко, Н.А. Методика построения разностных схем для задачи диффузии-конвекции-реакции, учитывающих степень заполненности контрольных ячеек // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2013. - № 4. - С. 87- 96.

УДК 531 ББК 22.2

И. В. Яковенко

ПРОСТРАНСТВЕННО-ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ И РАЗНОСТНАЯ СХЕМА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ С УЧЕТОМ НАСАЖДЕНИЙ

Аннотация. В статье представлена пространственно-трехмерная математическая модель процесса движения многокомпонентной воздушной среды в приземной слое для прибрежной зоны, учитывающая наличие зеленых насаждений. Данная модель необходима для последующего моделирования распространения загрязняющих примесей в воздушной среде прибрежной зоны. Кратко рассмотрена схема расщепления по физическим процессам (метод поправки к давлению) и расщепления на двумерную-одномерную модели (локально-двумерная схема) для уравнений движения воздушной среды, в отсутствие градиента давления. Данный подход позволяет уменьшить вычислительные затраты для численного решения сеточных уравнений диффузии-конвекции (движения), обладающих различными спектральными свойствами операторов задачи для горизонтальных и вертикального направлений, а также сократить время выполнения операций обмена информацией межпроцессорных обменов при моделировании на многопроцессорных системах.

Ключевые слова: приземная аэродинамика, пространственно-трехмерные модели, многокомпонентная среда, схемы расщепления.

I.V. Yakovenko

SPATIAL-THREE-DIMENSIONAL MODEL AND FINITE-DIFFERENCE SCHEME OF SPLITTING FOR THE PROBLEM OF MOTION OF MULTICOMPONENT AIR POLLUTION IN THE ATMOSPHERIC SURFACE LAYER SUBJECT TO THE PLANTINGS

Abstract. 3 D mathematical model has been presented in given article for multicomponent air medium diffusion-advection process in near the earth surface layer, which takes into account presence of green plants (trees etc.). Difference scheme has been constructed on the basis of pressure correction method, splitting method for diffusion-advection problem on Cartesian coordinates in 2D and 1D tasks, which is perspective for parallel realization on multiprocessor systems.

Key words: near the earth air-dynamics, splitting finite-difference scheme, multi-component environment.

Математические модели процессов движения многокомпонентной воздушной среды являются базовыми для прогноза распространения загрязняющих примесей в прибрежных зонах[1,2]. Эти районы вблизи крупных водных объектов, с одной стороны, являются рекреационными зонами, а с другой стороны - районами интенсивной хозяйственной деятельности, в которой, как правило, имются развитая транспортная инфраструктура и промышленное производство, являющиеся источниками загрязнения воздушной среды. Ранее рассматривались пространственно-двумерные модели движения многокомпонентной воздушной среды, учитывающие наличие зеленых насаждений [3-5]. Дальнейшее уточнение данных моделей требуется, когда необходимо учитывать пространственно-трехмерный характер зеленых насаждений и сложную геометрию граничных поверхностей, например, берега водоема. При численном моделировании пространственных процессов движения воздушной среды уже достаточно давно применяется методология расщепления по физическим процессам (метод поправки к давлению) [1,5]. Наряду с этим подходом весьма плодотворным является расщепление по геометрическим направлениям. Предполагая, что 3D модели в дальнейшем будут реализовываться для решения прогностических задач в ускоренном масштабе времени с использованием многопроцессорных вычислительных систем, в работе применяется расщепление задач диффузии - конвекции на цепочку двумерной и одномерной задач, приводящих к классу двумерных схем расщепления с пониженными затратами на выполнение операций обмена информацией между процессорами [6].

Рассмотрим трехмерную модель распространения примеси в воздушном слое. Основными уравнениями динамики воздушной среды, как известно [1,5,7], являются: 1) система уравнений Навье-Стокса:

Ь / ,ч' ( / л' 2вт

ги[ + иги'х + уги'у + wsw^ =-- (sp )'x + (| н ги'х )'x + (| н ги y ) y + (| v sw^)' ——x