Третий потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 111-122.

УДК 517.956

ТРЕТИЙ ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ДВУОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Т.Г. ЭРГАШЕВ

Аннотация. Потенциал двойного слоя играет важную роль при решении краевых задач для эллиптических уравнений, при исследовании которого существенно используются свойства фундаментальных решений данного уравнения. В настоящее время все фундаментальные решения обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельм-гольца известны, но, несмотря на это, только для первого из них построена теория потенциала. В данной работе исследуется потенциал двойного слоя, соответствующий третьему фундаментальному решению. Используя свойства гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных, доказываются предельные теоремы и выводятся интегральные уравнения, содержащие в ядре плотность потенциала двойного слоя.

Ключевые слова: обобщенное двуосесимметрическое уравнение Гельмгольца; формула Грина; фундаментальное решение; третий потенциал двойного слоя; гипергеометрические функции Аппеля от двух переменных; интегральные уравнения с плотностью потенциала двойного слоя в ядре.

Mathematics Subject Classification: 35А08, 35J05, 35J15,35J70

1. Введение

Многочисленные приложения теории потенциала можно найти в механике жидкости, эластодинамике, электромагнетизме и акустике. С помощью этой теории краевые задачи удаётся свести к решению интегральных уравнений.

Потенциал двойного слоя играет важную роль при решении краевых задач для эллиптических уравнений. Потому что, метод разделения переменных и метод функции Грина позволяют получить явное выражение для решения краевых задач только в случае областей простейшего вида, а сведение краевых задач при помощи потенциала двойного слоя к интегральным уравнениям, с одной стороны, удобно для теоретического исследования вопроса о разрешимости и единственности краевых задач, с другой стороны, дает возможность эффективного численного решения краевых задач для областей сложной формы [1,2].

Применяя метод комплексного анализа (основанный на аналитических функциях), впервые Гильберт [3] построил интегральное представление решений следующего обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца

х у

где а, $ и А —постоянные, пр ичем 0 < 2а, < 1.

T.G. Ergashev,Third double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. ©Эргашев Т.Г. 2018. Поступила 1 августа 2017 г.

Ill

Фундаментальные решения уравнения ( ) найдены в работе [4]. Когда Л = 0, все четыре фундаментальные решения qi(x, у;хо, уо)(ъ = 1,4) уравнения Н° ^(и) = 0 можно выразить е помощью гипергеометричеекой функции Аппеля от двух переменных второго рода Р2 (а, Ъ\, Ь2; с\, с2; х, у), определенной по формуле [5,6,7]

17 ( и и \ ^ (а)т+п(Ъ 1)т(Ь2)п т п

Р2 (а, Ъъ Ъ2; сь С2-,х, у) = > -ггх у ,

(с1)ш(С2)пт\п\

где (а)п — символ Похгаммера: (а)о = 1, (а)п = а(а + 1)(а + 2)...(а + п — 1),п = 1, 2,....

К такому направлению исследований примыкает работа [8], в которой построены фундаментальные решения 5-эллиптичееких уравнений с младшими членами вида

2/3

ихх + + 2аих +--иу — Л2 и = 0.

У

В работах [9] и [10] изложена теория потенциала для простейшего вырождающегося эллиптического уравнения НО ^(и) = 0 при а = 0 и / = 0, соответственно,

В [11] построена теория потенциала двойного слоя для уравнения ( ) при Л = 0 в области

П С {(х, у) : х > 0,у > 0}

лишь для первого фундаментального решения д\(х, у;х0, у0).

В настоящей работе мы исследуем потенциал двойного слоя, соответствующий третьему фундаментальному решению

Qз(x, У;xо, Уо) =

= кз

где

= 22+2«-2? Г

Г2) (х — хо\ 2 ¡У — Уо\ 2 г2_г2 г2_г2

г2Л = I х+хо) +

г%) \х хо/ \у + Уо)

Нетрудно проверить, что функция д3(х, у;хо, уо) обладает следующими свойствами

дд3

дх

0,

Рассмотрим тождество

х=о

qз(x, у; xо, Уо)\у=о = 2. Формула Грина

х2ау2Р [иНаф(ь) — уН^(и)]

д д = дх №213 (у-и — уих)] + [х2*у213 (ууи — ьиу)] .

Интегрируя обе части последнего тождества по области Q, расположенной в первой чет-

// х2ау22 [иН°а/, (V) — ьН1Р (и)} ¿х(!у =

= j х2ау213и

где $ = дП — контур области П,

Формула Грииа (2,1) выводится при следующих предположениях: функции и(х,у), ь(х, у) и их частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области П , частные производные второго порядка непрерывны внутри П и интегралы по П, содержащие Н р(и) и Н р(у), имеют смысл. Если Н ^(и) и Н ^(у) не обладают непрерывностью вплоть до Б, то это — несобственные интегралы, которые получаются как пределы по любой последовательности областей Пп, которые содержатся внутри П, когда эти области Пп стремятся к П, так что всякая точка, находящаяся внутри П, попадает внутрь областей Пп, начиная с некоторого номера п.

Если и(х,у) и ь(х, у) суть решения уравнения Н0 ^(и) = 0, то из формулы (2,1) имеем

/ ^ № — ) * = 0 <2-2»

Здесь

д ¿уд ¿х д дп дв дх дв ду — оператор производной по внешней нормали п к кривой Б и

= сов

аз аз

- направляющие косинусы этой нормали. Полагая в формуле (2,1) V = 1 и заменяя и на и2, получим

ди дп

х2ау2^ [и2х + и2у] дьхАу = х2ау2^и—¿8,

где и(х,у) — решение уравнения Н ^(и) = 0,

Наконец, из формулы (2,2), полагая V = 1, будем иметь

I х2«у2? ^ = 0,

т.е. интеграл от нормальной производной решения уравнения Н ^ (и) = 0 с весом х2ау2^ по контуру области равен нулю.

3. Потенциал двойного слоя т

, Пусть П — область, ограниченная отрезками (0,а) и (0,6) осей х ъу, соответственно, и кривой Г с концами в точках А(а, 0) и В(0, 6), лежащей в первой четверти х > 0,у > 0 плоскости Я2.

Параметрическое уравнение кривой Г пусть будет х = ж(з) и у = у (в) (в € [0,/]), где ^ — длина дуги, отсчитываемая от точки 5, Относительно кривой Г будем предполагать, что:

1) функции х = ж(з) и у = у(в) имеют непрерывные производные х'(в) ъ у'(з) на отрезке [0, /], не обращающиеся одновременно в пуль; вторые производные х"(з) и у"(в) удовлетворяют условию Гельдера с показателем е(0 < е < 1) на [0,/], где I — длина кривой Г;

2) в окрестностях точек А(а, 0) и В(0,6) на кривой Г выполняются условия

dx

ds

< Су1+£

d

d

< Сх1+£

где С = const. Координаты перемеиной точки на кривой Г будем обозначать через (х, у). Рассмотрим интеграл

i

w

0

где (s) — непрерывная функция в промежутке [0,1], a. q3(x, у;х0, у0) — фундаментальное решение уравнения Н ^(и) = 0, определенное по формуле (1.1).

Интеграл (3.2) будем называть третьим потенциалом двойного слоя с плотностью Очевидно, что w(3\xo, у0) есть регулярное решение уравнения Н @(и) = 0 в любой

Г x

потенциала двойного слоя (3.2) в точках кривой Г для ограниченной плотности ^s(s). Лемма 1. Справедливы следующие формулы

j(xo, уо) - I, если (xo, уо) е Q,

w(3\xo, Уо) = 4 j(xo, Уо) - 2, если (xо, уо) е Г j(xo, уо), если (xо, уо) е ^,

где Г:

j(xo, Уо) = (1 - 2/3)k3y1-2i'fx2ax

х

2\ —a+j3— 1

(

F 1 + а - 3, а; 2а;

-4xxo

(x - xo)2 + уо

)

d x.

Здесь F(а,Ь; с; z) = ^ ^f^kf zk ~ гипергеометрическая функция Гаусса.

к=о

Доказательство. Случай 1. Пусть точка (хо, уо) находится внутри О. Вырежем из области О круг малого радиуса р с центром в точке (хо, уо) и обозначим через Ор оставшуюся часть области О, а терез Ср окружность вырезанного круга. В области Ор функция (х, у;хо, уо) — регулярное решение уравнения Н^ ^(и) = 0. Используя формулу для производной гипергеометрической функции Аппеля [12]

дт+пР2

(a)m+n(bl) (Ь 2 ) п

имеем

где

dxmdyп

, w s F2(a + т + n;bi+m, b2 + n;c\+m, C2 + n;x, y) [.C^mK, C2)n

-ox-= -2(1 + а - P)h{r ) у РУ1 'P (x, y;xo, yo),

P(x, y; Xo, Уо) = (x - Xo)F2(1 + а - /3; а, 1 - 3;2а, 2 - 2ft; rj) + +xoF2(2 + а - 3; 1 + а, 1 -ft; 1 + 2а, 2 - 2/; £, v) + (1 + а - 3)а

+

2 а

-£F2

1 — Р

Г]^2

2 — 2р

Далее применяя известное соотношение [5]:

—хР2

С\ С2

= Р2 (а + 1; Ьь Ь2; сь С2;ж, у) — Р2 (а; Ьь &2;сь С2;х, у),

к квадратной скобке в (3,7), получим

^3 (Х,*Х°,Уо) = —2(1 +а — р Ыг2)-а+13-2у1-2Р ¡¿-К х

х [^ (2 + а — Р; 1 + а, 1 — р; 1 + 2а, 2 — 2р; £, ц) + + (х — Жо)^ (2 + а — Р; а, 1 — р; 2а, 2 — 2р; £, ??)] . Аналогично находим

^3 Уо) = —2(1 +а — Р) кз(г2)-а+"-2у 1-20 у12? х

х [^2 (2 + а — Р; а, 2 — Р; 2а, 3 — 2Р; £, г]) + + (У — (2 + а — Р; а, 1 — Р; 2а, 2 — 2Р; £, Я)} + + (1 — 2Р)кз(г2)-а+13-1 у-2^у1 -2ГЗР2 (1 + а — Р; а, 1 — Р; 2а, 2 — 2Р; ^ ^ . Пользуясь (3,8) и (3,9), в силу (1,1),(2,3) и (2,4), найдем

--= (1 + а — Р)кз{г ) у ру0 ^ (х, y;xо, уо),

где

д

Я (х, у; х, у) = — г2уР2 (2 + а — Р; а, 1 — Р; 2а, 2 — 2Р; ^ V) ^ [1п г^ — — (2 + а — Р; 1 + а, 1 — Р; 1 + 2а, 2 — 2Р; ^ г]) —+

+2хуР2 (2 + а — Р; а, 2 — Р; 2а, 3 — 2Р; £, ^+

п т

+ (1 — 2Р)г2Р2 (1 + а — Р; а, 1 — Р; 2а, 2 — 2Р; ^ ??) —.

Теперь интегрируя нормальную производную ^д3 (х, у; хо, у) с весом х2ау2^ по границе области Пр, в силу (2,5), получим

„2а

X

2Р дЯз

дп

¿X + [х2"у2^з(э) дд ^^ ^ &

У=о

дп

— Ш Г Х2ау2, дд3 (х,I,;Х°, ^ _Г дд3 ^Х, ^

р^о I дп . дп

¿у = 0.

Со

х=о

Далее, с учетом (3,2) и (1.4), имеем

Ч3)

с0

дп

¿8 +

+Г

2а

2/3 д(13 (X, y;xо, у) ду

¿X.

У=о

а

а

Подставив (3,10) в (3,11), найдем

W

где

p^0

Ji = ^ х2ау (r2)-a+^-1F2 (2 +а - ß; а, 1 -ß; 2а, 2 - 2ß; ^ ??) [ln г2] ds,

Gp

J2 = j x2ay (r2) -a+ß-2F2 (2 + а - ß; 1 + а, 1 - ß; 1 + 2а, 2 - 2ß; v) ^ds,

Gp

J3 = J x2ay (r2)-a+ß-2F2 (2 + а - ß; а, 2 - ß; 2а, 3 - 2ß; v) ^j^ds,

Gp

Ja = (1 - 2ß) I x2a(r2)-a+ß-1F2 (1 + а -ß;а, 1 -ß; 2а, 2 - 2ß; v) s,

а

„2a

' 2ßд(1з(x, y;xо, уо) У dy

dx.

y=0

J5 = J x2

0

Вводя полярные координаты

x = х0 + р cos р, у = у0 + psinp

в интеграле J\, получим

Ji = J (хо + р cos р)2а(Уо + р sin р) X 0

X

Исследуем подынтегральное выражение в (3,14), Применяя последовательно известные формулы [13]

F2

1=0 ^г (с2)гг!

И

F

x - 1

получим

F2 (а; 61, 62; ^, x, y) = ^ V ^^ (Y^ ) x

^MMMfу у у

xF

V x - 4 V У-V

Воспользовавшись теперь формулой (3,16) гипергеометрическую функцию Аппеля F2 (2 + а - Р;а, 1 - Р; 2а, 2 - 2/3; rj) запишем в виде

F2

где

Рп = £ (2 + д -ß)г(д)г(1 -ß)г х

i=0

(2д)г(2 - 2ß).i!

/ 4x\ + 4хор cos p \ Í 4yQ + 4yop sin p \ p2 + 4x1 + 4xoP cos p ) V р2 + 4y2 + 4у0р sin i

xF (д + ß - 2, д + i; 2д + l._ß+p^001^ ) х \ p2 + 4x2 + 4x0p cosp/

xF (-д -ß, 1 -ß + i;2 - 2ß + г; 4у0 + 4у°Рsinp

р2 + 4у2 + 4уор sin p Используя известную формулу для F (а, Ь; с; 1) [14]

Г

F

1

получим

' ^ = , Г

pm 11 Г(2 + д -ß)Г(1 -ß)Г(д) ( 9

Таким образом, в силу (3,14), (3,17) и (3,19), окончательно получим

-

Далее, учитывая, что

Итр1пр = 0,

мы имеем

lim J2 = lim J3 = lim J4 = 0.

p^0 p^0 p^0

Наконец, рассмотрим интеграл J5, который, согласно формуле (3,9), можно привести к виду (3,4), т.е.

J5 =j

Теперь, в силу (3,20) — (3,23), из (3,12) следует, что в точке (x0, у0) Е П имеет место равенство

w(i) (xo, Уо) = j(xo, Уо) - 1. Случай 2, Пусть теперь точка (x0, у0) совпадает с некоторой точкой М0, лежащей на кривой Г. Проведем окружность малого радиуса р с центром в точке (x0, у0). Эта окружность вырежет часть Гр кривой Г. Оставшуюся часть кривой обозначим через Г - Гр, Обозначим через С'р часть окружи ости Ср , лежащей внутри области П и рассмотрим область Пр, ограниченную кривыми Г - Гр, С'р и отрезками [0, а] и [0, Ь] осей x и у, соответственно. Тогда имеем

i

(3) / ч _ [ 2а 2ßдЯ3 (x, y;x0, Уо) , w\' (xо, Уо) = x ур---ds

дп

о

= ш Г X2*y2ßdq3 (х,У;х°, Уо) ds_

Р^о J У дп v ;

г-гр

Так как точка (х0, у0) лежит вне этой области, то в этой области функция q3 (х, у; х0, у0) является регулярным решением уравнения Н^в (и) = 0 и в силу (2,5) верно равенство

а

x а у 2ß д<13 (x, У'^о, Уо) ds= Í2 а дп I

о

' 2ßдQ.3(x, y;xo, уо) . дУ

dx+

у=о

г-г„

b

[ д

dy + у х2ау2 — {q3

+ [ х.2а„,2р д(1з (х, y;х0, Уо) + ./ х У дх

0

Подставляя (3,25) в (3,24), с учетом (3,23) и (1.4), получим

(3) f \ ( \ , 1  [ 2а 2ВдQ3 (х, У; х0-, Уо) ,

w\> (хо, уо)=](хо, yo) + hm х ур---ds.

р^о J дп

сР

Вводя снова полярные координаты (3.13) с центром в точке (хо, уо) в интеграле

д

х2а у2 дп{9з (х, ^ уо)}^

сР

и переходя к пределу при р ^ 0, получим

г д 1

lira х2аУ2дП {1з (х, У;хo, Уо)} ds = -2.

Таким образом,

w(3) (хo, Уо) = j(хo, Уо) - 1.

Случай 3. Положим, наконец, что точка (хо, уо) лежит вне области П. Тогда д3 (х, у;хо, уо) есть регулярное решение уравнения Н ^(и) = 0 внутри области П с непре-

Г,

I

/д

х2ау2/3дп {д3 (Х,у; Хо, уо)} ^ =

о

а

2а

х

о

2/3 д(1з (х, y;х0, Уо) У ду

dх = j(хо, Уо).

У=о

Лемма 2. Справедливы следующие формулы:

{j(0, уо) - 1, если уо е (0, Ъ),

j (0, уо) - 2, если уо = 0 или уо = Ь, j(0, уо), если Ъ < уо,

где

j

1 + 2П Уо + a2J V2 2 2 у2 + а2)

Доказательство. Сначала исследуем функцию ](хо, уо), определенную формулой (3.4), хо = 0

а

j (0, Уо) = (1 - 2/3)кзу10-2Ч х2а (х2 + у20)-а+"-^х.

о

Используя известную формулу [14]

хл-1 (х2 + Ъ2У dх = 1 b2vaxF (-и,—; , (аЬ > 0,Л> 0), v у Л \ 2 2 b2 J

получим

3

Далее, воспользовавшись формулой (3,15) получим функцию ](0, уо), определенную формулой (3,26), Учитывая известную формулу (3,18) для —(а, 6; с; 1) и значение к3 из формулы (1.2), из (3,26) легко следует, что ](0,0) = 1.

Пусть теперь точка (хо, уо) находится на оси у и пусть в первом случае будет уо Е (0, Ь). Проведем прямую х = к (к > 0 — достаточно мало) и рассмотрим область Он, которая есть часть области О, лежащая справа от прямой х = к. Применяя формулу (2.5), получим

^3)

где

а

3, = х2*у2?д«3 (х,У;0,Уо) ¿х,

ду

н

У1

37 = ш [ У2^х2- дд3 (х,У;0, Уо) ' Ь^о] у дх

У=о

¿х.

х=Ь

о

Здесь ух — ордината точки пересечения кривой Г с прямой х = к. Нетрудно заметить, что

Л = 3

Теперь рассмотрим второе слагаемое в (3.28), которое, в силу (3.8), принимает вид

37 = —2

где

У1Г -

38 = к1-2« у-г3, 3; Р—Г0^4 ¿у.

о [(у — уо)2 + к2]2- -

Преобразуем ,38. Воспользовавшись формулой (3.15), получим

- (—а — 3,1 — 3;2 — 23

о [(У — Уо)2 + к2] + [(у + Уо)2 + к2]

Теперь вместо у введем новую переменную интегрирования у = уо + Ы. Совершая замену переменных, получим

-(—а — 3,1 — 3; 2 — 23,

12 г I _ й 1 _ й- о_ой 4УоЫ+н)

(2у0 +Ы )2+Ь2

1

где

МК уо)=

1 (1+ 12)а+1[(2уо + Ы)2 + к2-

, _ Уо , У1 — Уо 11 = — ~r, 12

к ' 2 к

Принимая во внимание, что

1т-{—а — 3, 1 — 3;2 — 23, / Ы)

н^о V

- —а — 3, 1—3 ;2 —23; 1) Г

Г

и

dt

из (3,29) — (3,31) находим

_ жГ

w{3) (0, yo)_j(0, уо) - 1.

Остальные три случая, когда уо = 0, уо = Ь и уо > Ь, доказываются аналогично первому случаю,

"

Лемма 3. Для, любых точек (х, у) и (хо, уо) € В+_ при х = хо и у = уо справедливо неравенство

Г(а)Г(1 — Р) 4а-?у1-2!3у1-213

\дз y;xо,уо)\ ^

жГ(1 + а — ß) (r2)a(r2)1-ß

х

xF

2

а, 1 — ß; 1 + а — ß ; ( 1--^

12

2

г2

а Р 0 < 2 а, 2 Р < 1 1 2

определенные в (1.3).

Доказательство. Из (3,16) следует, что

- ь^,1-2^,1-2^ (г2уа(г1\р-1*

(3.32) выражения,

х

Q3 (x, У;xо, Уо)_ кзу1 2ßyQ ß(r21) a{rf) х У^ (1 + а — ß)г(а)г(1 — ß)г ( У( г

Z^ (2 а) (2 — 2 ß) ö\ Y r2J Y r2J

i=0

(2а), (2 — 2ß)ii \

0

(

xF а + ß — 1, а + ц2а + г; 1--2 х

22

2

xF ( 1 — а — ß, 1 — ß + i;2 — 2ß + г; 1 —

22

) •

Теперь, ввиду следующих неравенств:

F [а + ß — 1, а + i;2 — 2а + г; 1 — ^

О

г2) ^

и

(

F 1 — а — ß, 1 — ß + i;2 — 2ß + г; 1 — ^ ^

)

r2j - (1 + а — ß)гГ(1 + а — ß)Г(1 — ß)'

из (3,33) следует неравенство (3,32), В силу известной формулы [6]

Г

F

Г

Г2 (а) Г2 (Ь) *

£

3=0

(j\)2

[2ф (1 +j) — ф (а + j) — ф (b + j)] (1 — z)3,

(—ж < arg (1 — z) < ж, а, b _ 0, —1, —2,...), го (3,32) следует [4], что функция q3 (x, у; x0, у0) имеет логарифмическую особенность при г _ 0,

2

Лемма 4. Если кривая Г удовлетворяет перечисленным выше условиям, то

дд3

х2ау2^

дп

ds ^ Сг,

постоянная.

где С\

Доказательство. Неравенство (3,34) следует из условий (3,1) и формулы (3,10),

Формулы (3,3) показывают, что при ^3(в) = 1 потенциал двойного слоя испытывает разрыв непрерывности, когда точка (х, у) пересекает кривую Г, В случае произвольной непрерывной плотности ^3(з) имеет место

Теорема 1. Потенциал двойного слоя т(3\х0, у0) имеет пределы при стремлении тючки, (хо,уо) к точке (х(в),у(в)) кривой Г извне или изнутри. Если предел значений 'ш(3\хо,уо) изнутри обозначить через и)(3) (в), а предел извне — через Ые3\з), то имеют место формулы

w.

(t) = - 2^ (t) +

У3 (s) Кз (s,t) ds

и

где

w(e3)(t) = 1 ^з (t) + V3(s)K3(s,t)ds,

2

д

[<s)]2a[y(s)]W^ Ьз [X (s) ,y (8); X0(t),yo(t)]} .

к3

Доказательство. Справедливость утверждений теоремы 1 следует из лемм 1—4, Функция

I

>ы{03)(з) = У рз(*)Кз(8,Ь№ о

непрерывна при 0 ^ 5 ^ I , что следует из хода доказательства теоремы 1, В силу результатов теоремы 1 и непрерывности функций №$(3) и ^з(з) при 0 ^ 5 ^ I, следует, что потенциал двойного слоя т(3"1(^,уо) есть функция непрерывная внутри области П вплоть до кривой Г. Точно также т(3\хо,уо) непрерывна вне области О вплоть до кривой Г,

В заключении отметим, что полученные в настоящем сообщении результаты играют важную роль при решении краевых задач для уравнения (и) = 0, При этом решение поставленной задачи ищется в виде третьего потенциала двойного слоя (3,2) с неизвестной плотностью ^3(в), для определения которой используется известная теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. 256 с.

2. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам, математической физики. М.: Гостехиздат, 1953. 416 с.

3. R.P. Gilbert Function Theoretic Methods in Partial Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 54. A Series of Monographs and Textbooks. New York and London, Academic Press, 1969. 308 p.

4. A. Hasanov Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Variables and Elliptic Equations. 2007, Vol. 52, No. 8. P. 673-683.

5. P. Appell, J. Kampé de Fériet Fonctions Hypergéométriqués et Hypersphériques: Polynômes d'Hermite. Gauthier - Villars. Paris, 1926. 440 p.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 296 с.

7. Н.М. Srivastava, P.W. Karlsson Multiple Gaussian Hypergeometric Series. Halsted Press (Ellis Horwood Limited, Chicherster), John Wiley and Sons. New York, Chichester, Brisbane and Toronto, 1985. 386 p.

8. R.M. Mavlyaviev Construction of Fundamental Solutions to В-Elliptic Equations with Minor Terms // Russian Mathematics. 2017, Vol. 61, No. 6. P. 60-65.

9. Смирнов M.M. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

10. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для, уравнения ихх ±иуу +1их = 0 // Ученые записи Куйбышевского пединститута. 1958. Вып. 21. С. 3-54.

11. Н.М. Srivastava, A. Hasanov, J. Choi Double-Layer Potentials for a Generalized Bi-Axially Symmetric Helmholtz Equation // Sohag Journal of Mathematics. 2015, Vol. 2. No. 1, P. 1-10.

12. M. Rassias, A. Hasanov Fundamental Solutions of Two Degenerated Elliptic Equations and Solutions of Boundary Value Problems in Infinite Area // International Journal of Applied Mathematics Statistics. 2007, Vol. 8, No. M07. P. 87-95.

13. J.L. Burchnall, T.W. Chaundv Expansions of Appell's double hypergeometric functions // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1940, 11.'P. 219 271).

14. Градштейн И.С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-матгиз, 1962. 1100 с.

Тухтасин Гуламжанович Эргашев,

Ташкентский институт инженеров ирригации

и механизации сельского хозяйства,

ул. Кари-Ниязи, 39,

100000, г. Ташкент, Узбекистан

E-mail: ertuhtasin@mail.ru