Об использовании кванторов в определениях школьного курса математики

educational standards of higher professional education] // Vestnik Vyatskogo gosudarstvennogo gumanitarnogo universiteta - Herald of Vyatka State University of Humanities. 2012, Vol. 1, No. 3, pp. 143-147.

9. Shmachilina S. V. Proektirovanie kul'turno-obrazovatel'nogo prostranstva pedagogicheskogo vuza kak uslovie podgotovki kompetentnostnogo vypusknika [Designing of cultural-educational space of a pedagogical University as a condition of training the competency of the graduate] // Omskij nauchnyj vestnik - Omsk scientific herald. 2009, No. 2(76), pp. 9-13.

УДК 372.851

И. Л. Тимофеева

Об использовании кванторов в определениях школьного курса математики

Рассмотрены некоторые проблемы логического характера, связанные с использованием кванторов (кванторных слов) в определениях и теоремах школьного курса математики. Отмечены логические погрешности, встречающиеся в школьных учебниках математики, вызванные некорректным опусканием кванторов в определениях. Даны четкие рекомендации, когда кванторы в определениях можно опускать, а когда нельзя. Все некорректности проанализированы, и рекомендации научно обоснованы с помощью средств математической логики.

Some logical issues concerning the use of quantifiers (quantifier words) in mathematics theorems and definitions at secondary school are discussed. Special emphasis in made on some logical errors in secondary school math manuals. These errors are usually made when quantifier are missing in definitions. Clear recommendations are given concerning the cases when quantifier can be omitted and when they must not be omitted. All mentioned errors are analyzed and recommendations are scientifically grounded by mathematical logics tools.

Ключевые слова: кванторные слова, кванторы, квантор общности, опускание кванторов, математическое определение, некорректная формулировка определения, логические нормы, возрастающая функция, школьный курс математики, школьные учебники.

Keywords: quantifier words, quantifiers, universal quantifier, quantifier's omitting, mathematics definition, incorrect definition's formulation, logical norms, increasing function, secondary school math course, secondary school manuals.

В школьном курсе математики учителя и авторы учебников традиционно избегают использования кванторных слов в формулировках определений и теорем. Делается это, видимо, для упрощения этих формулировок, однако, к сожалению, не всегда логически корректно. Опускание кванторных слов (далее, для краткости, просто кванторов), не отвечающее логическим нормам, ничем не оправдано, а значит недопустимо. Используя средства математической логики, проанализируем нормы опускания кванторов в определениях и теоремах, а также некоторые ошибки, связанные с нарушением этих норм.

1. Опускание внешних кванторов общности в теоремах

Как известно, в естественном (неформальном) математическом языке принято опускать неформальный квантор общности (кванторное слово «всякий», «любой» и т. п.), стоящий в начале теоремы вида "х (4(x)  B(x)) и относящийся ко всей импликации 4(x)  B(x) - так называемый «внешний» квантор общности. Можно рассматривать это как норму естественного математического языка. Так, например, формулируя известную теорему школьного курса геометрии, обычно говорят: «Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом», подразумевая при этом следующее: «Каким бы ни был параллелограмм, если его диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом». Формулируя эту теорему в категорической форме, обычно говорят: «Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом», подразумевая «Всякий параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом».

Нередко полезно сделать обратный переход - восстановить внешний квантор общности в формулировке теоремы, в которой этот квантор отсутствует. Такое восстановление также является общепринятым и представляет собой норму математического языка.

© Тимофеева И. Л.. 2015 140

Возникают вопросы: какова природа этих норм? каково их обоснование? Ответим на эти вопросы, используя средства математической логики.

На неформальном уровне нормы опускания/восстановления внешнего квантора общности в теоремах являются отражением следующего обстоятельства: каково бы ни было предложение Р(х) с переменной х по некоторому заданному множеству М, оно является теоремой некоторой теории тогда и только тогда, когда является теоремой этой теории предложение «Для любого элемента х множества М верно Р(х)».

На формальном уровне указанные нормы соответствуют следующей теореме математической логики: «Пусть Т- формальная теория, Р - формула языка теории Т. Формула Р доказуема в теории Т тогда и только тогда, когда формула "хР доказуема в теории Т».

Однако кванторы часто опускают не только в соответствии с указанной нормой. Небрежное отношение к кванторам, особенно опускание внутренних кванторов, ведет к неоднозначным и некорректным формулировкам теорем и определений. Если квантор опущен учителем или авторами учебника, учащийся может только гадать, в каком месте и какой квантор подразумевается, но опущен. При этом можно было бы опираться на интуицию. Но ведь интуиция всегда основана на опыте, а у школьников опыт работы с кванторами практически отсутствует. Можно рассмотреть разные варианты восстановления квантора и путем рассуждения исключить неприемлемые. Однако такой путь возможен, только если речь идет о теоремах. А вот как быть, если речь идет об определениях? Тут рассуждениями не поможешь, поскольку рассуждения могут опираться на определения. Да и вообще, определения - это дело договоренности.

2. Опускание внешних кванторов общности в определениях

Выясним, в какой степени норма опускания внешнего квантора общности распространяется на математические определения. Прибегнем к средствам математической логики.

Как известно, явные определения (через ближайший род и видовое отличие) имеют следующую логическую структуру:

"х (Р(х) Q(x)),

где х - переменная по некоторому заданному множеству М. Здесь @(х) - правая часть экви-валенции - определяющее условие, представляет собой предложение с переменной х, в котором используются только определенные ранее понятия (высказывательная форма на М), а Р(х) - левая часть эквиваленции - определяемое условие, представляет собой некоторое предложение с переменной х, в котором фигурирует новый, вводимый этим определением термин. Само определение представляет собой договоренность о том, что всем объектам из множества М, удовлетворяющим условию 0(х), и только им дается новое имя путем введения нового термина. Таким образом, определение - это договоренность (соглашение) о том, для каких х из М считать предложение Р(х) истинным [1].

При желании можно явно указать область изменения переменной х, и тогда логическую структуру определения можно символически отразить так (см., например, [2]):

"хх^М (Р(х) в(х)).

Для простоты будем считать, что рассматриваемые определения имеют следующую логическую структуру:

"х

где х - переменная по некоторому заданному множеству.

Опустив внешний квантор общности, получим следующее:

Р

где х - переменная по некоторому заданному множеству.

З а м е ч а н и е 1. Заметим, что в любом случае в определении мы имеем дело с эквивален-цией. Приняв определение (1), мы в дальнейшем оперируем с утверждением "х(Р(х) « @(х)), считая его верным в силу определения. Таким образом, по привычке используя в определении союз «если», мы всегда подразумеваем «если и только если». На это обстоятельство следует особо обратить внимание учащихся.

З а м е ч а н и е 2. Обе части определения могут иметь более чем одну переменную, а значит и более одного внешнего квантора общности. Чтобы не рассматривать отдельно случаи, когда левая и правая части определения являются предложениями с двумя, тремя или более переменными по одному или по нескольким множествам, можно в этих случаях рассматривать х как переменную по множеству пар (троек и т. д.) элементов одного множества или нескольких множеств. Однако в любом случае обе части определения - определяемое условие и определяющее условие, должны иметь одни и те же свободные переменные.

Если в определении, имеющем форму (1), опустить внешний квантор общности, то смысл определения при этом не изменится, а формулировка только выиграет, поскольку станет более краткой и легкой для восприятия. В действительности, внешние кванторы общности в определениях практически всегда опускают (но подразумевают!).

Например, очень тяжеловесной является формулировка: «Какой бы ни была функция /, будем называть ее четной, если...». Гораздо легче воспринимается привычная формулировка без внешнего квантора общности: «Функция / называется четной, если ...».

Таким образом, опускание внешних кванторов общности в определениях представляет собой норму математического языка. Обоснуем эту норму средствами математической логики.

После того как дано определение вида "х (Р(х) < > С(х)), в дальнейшем мы начинаем в рассуждениях (доказательствах) пользоваться предложением "х(Р(х) « С(х)) и его логическими следствиями "х(Р(х)  С(х)) и "х(С(х)  Р(х)) как предложениями, верными в силу определения. В доказательствах эти предложения могут фигурировать наряду с аксиомами теории в качестве исходных предложений, т. е. в дедуктивном плане мы уравниваем определения и аксиомы (см. [3]). Заметим, что отнесение тех или иных предложений к аксиомам теории также является результатом определенной договоренности.

С учетом сказанного опускание внешних кванторов общности в предложениях, справедливых в силу определения (1):

"х(Р(х) « С(х)), "х(Р(х)  Q(x)) и "х(<?(х)  Р(х)), можно обосновать аналогично тому, как это было сделано для теорем.

Таким образом, опускание внешнего квантора общности в определениях логически обосновано. Кроме того, опускание внешнего квантора общности в определении вида (1) облегчает его восприятие, а значит методически оно также оправдано. Далее будем рассматривать определения с уже опущенным внешним квантором общности, т. е. вида (2).

Как и в случае теорем, иногда бывает полезно восстановить внешний квантор общности в формулировке определения, если этот квантор отсутствует. Такое восстановление также является нормой математического языка.

3. Внутренние кванторы в определениях

Совсем другая ситуация возникает, когда речь идет о кванторе общности в определении, относящемся не ко всей эквиваленции Р(х) « С(х), а входящем в определяющее условие С(х).

Квантор, входящий в определяющее условие определения вида (2), будем называть внутренним.

Рассмотрим случай, когда внутренним квантором является квантор общности, стоящий в начале определяющего условия, т. е. когда определяющее условие С(х) определения (2) имеет вид "у Я(х,у), а значит само определение имеет следующую структуру:

Р

где Я(х, у) представляет собой предложение с двумя переменными х, у по некоторым заданным множествам, возможно, совпадающим.

Проанализируем подробно этот особенно интересующий нас случай.

Приведем примеры таких определений с уже опущенным внешним квантором общности.

Определение 1. Элемент е множества М называется нейтральным (единичным) относительно бинарной операции * на этом множестве, если для любого х из М выполняются равенства х*е=х и е*х=х.

Символически это определение можно записать следующим образом:

е - нейтральный элемент относительно операции * < > "х(х*е=х & е*х=х).

Вряд ли в литературе можно встретить ситуацию, когда фраза «для любого х из М» опущена в формулировке этого определения.

Определение 2. Натуральное число, большее единицы, называется простым, если всякий его делитель равен единице или самому этому числу.

Символически это определение можно записать так:

х - простое число < > "d (Щх  d=1 V d=x) (для простоты здесь х рассматриваем как переменную по натуральным числам, большим единицы).

Формулировку определения простого числа с выброшенным словом «всякий» также трудно себе представить.

Определение 3. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Символически это определение можно записать так:

/ola —*L Vl/ca (loll).

Вряд ли учителю придет в голову выбросить слово «любой» в этом определении, правда, школьники, не понимающие значения кванторных слов, довольно часто это слово опускают (см. [4]).

Теперь обратимся к определению четной функции. Для наших целей достаточно ограничиться функциями, определенными на всей числовой прямой.

Определение 4. Пусть f - функция, определенная на всей числовой прямой. Будем называть функцию f четной, если для любого х выполняется равенство

К-*) = Ах).

Символически это определение можно записать так:

f- четная функция < def > "х (f-х) = fx)). Вряд ли учитель выбросит в этом определении слова «для любого х», хотя учащиеся теряют их довольно часто.

4. Некорректное опускание кванторов в определении возрастающей функции

Перейдем к главному для нас примеру, поскольку именно в следующем определении часто допускают некорректное опускание кванторов общности.

Определение 5. Пусть f - функция, определенная на числовом промежутке E. Функция f называется (строго) возрастающей на E, если для любых двух чисел из E большему из них соответствует большее значение функции (т. е. если для любых двух чисел xi и хг из E, таких что xi < хг, выполняется условиеf(xi) </(хг)).

Символически это определение можно записать так:

f возрастает на E < def > VxieE "x2&E

При формулировке этого определения возникает весьма странная ситуация. В школьных учебниках часто встречается следующая формулировка определения возрастающей функции, в которой опущены кванторы общности по переменным xi и хг: «Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции» (см., например, [5], [6] и [7]). С использованием логической символики эту формулировку можно записать так:

f возрастает на E < def >

Эта запись наглядно показывает, что кванторы общности по переменным xi и хг в определяющем условии опущены.

Для справедливости заметим, что в этих же учебниках, наряду с формулировкой, в которой опущены внутренние кванторы общности, приведен и другой вариант формулировки, в которой эти кванторы не опущены. Однако авторы не видят между ними различия, отмечая, что выражают то же самое «иными словами».

Возникает вопрос: насколько правомерно опускание квантора (кванторов) общности в определяющем условии определений вида (3)? В частности, будет ли корректной формулировка определения возрастающей функции (5)?

Вопрос не столь прост, как это может показаться на первый взгляд, о чем свидетельствуют резко выраженные разногласия по этому поводу между авторами статей [8] и [9].

Считаем, что формулировка (5) не является корректной. При обосновании своей позиции, чтобы не отвлекать внимание читателя на конкретное содержание, будем обсуждать только форму рассматриваемых определений. Кроме того, это позволит нам опять воспользоваться средствами математической логики.

5. Проблема корректности опускания внутренних кванторов в определениях

Сформулируем проблему в общем виде: корректно ли в определяющем условии определения вида

Р

опускать внутренний квантор общности по у, тем самым подменяя формулировку (6) следующей:

Р

Напомним, что х и у здесь - переменные по некоторым фиксированным множествам, возможно, совпадающим.

Предлагаем два варианта обоснования того, что опускание внутреннего квантора общности в определяющем условии определения вида (6) не является логически корректным.

5.1. Недопустимое увеличение числа переменных в определяющем условии

Прежде всего, отметим, что при опускании внутреннего квантора общности в определении (6) получаем формулировку (7), правая часть которой зависит от переменных х и у, а левая -только от х. Покажем, к чему это приводит.

Если правая часть определения зависит от переменной, не входящей в левую часть, то возникает странная ситуация. Допустим, что требуется установить, верно ли Р(х) для данного х, если принято определение (7). Для этого необходимо (и достаточно) проверить, удовлетворяет ли данный элемент х условию из правой части определения, т. е. Я(х,у). Правая часть зависит не только от х, но и от у, поэтому при заданном х условие Я(х, у) может быть при некоторых значениях переменной у выполнено, а при некоторых - нет.

Например, мы хотим проверить, пользуясь определением (5), является ли возрастающей на множестве всех действительных чисел Я функция, заданная на этом множестве равенством /[х)=х2. Попытаемся проверить, удовлетворяет ли эта функция условию х1 < х2  /М) < Дх2), которое зависит от х1 и х2. Если мы положим х1 = -4, а х2 = -3, то правая часть определения примет значение ложь: высказывание «-4 < -3  (-4)2 < (-3)2» ложно. Если мы положим х1 = 3, а х2 = 4, то правая часть определения примет значение истина: высказывание «3 < 4  32 < 42» истинно. Таким образом, мы не можем утверждать, что данная функция удовлетворяет условию х1 < х2  /[хО < /М), как, впрочем, и то, что она не удовлетворяет этому условию, поскольку при одних значениях х1 и х2 получаем ложное высказывание, а при других - истинное. Значит мы не можем выяснить, пользуясь определением (5), возрастает ли эта функция на Я.

Эта досадная ситуация возникла в результате опускания внутренних кванторов общности в определении возрастающей функции, повлекшего за собой увеличение числа свободных переменных в определяющем условии.

5.2. Странное следствие странного определения

Попробуем посмотреть с другой стороны на формулировку Р(х) < > Я(х, у) с опущенным квантором общности по у в определяющем условии.

Если мы принимаем такое «определение», то должны считать справедливым предложение Р(х) « Я(х, у), а значит и полученное из него восстановлением внешних кванторов общности предложение "х"у (Р(х) « Я(х, у)).

Преобразуем последнее предложение. Сначала заменим эквиваленцию конъюнкцией двух импликаций, а затем применим известные законы равносильности, связанные с кванторами:

"х"у (Р(х) « Я(х,у)) ° "х"у [(Р(х)  Я(х,у)) & (Я(х,у)  Р(х))] °

° "х ["у (Р(х)  Я(х,у)) & "у (Я(х,у)  Р(х))] ° ° "х [(Р(х)  "у Я(х, у)) & (Зу Я(х, у)  Р(х))].

Итак,

"х"у (Р(х) « Я(х,у)) ° "х [(Р(х)  "у Я(х,у)) & (Зу Я(х,у)  Р(х))]. Поскольку первое из этих равносильных предложений истинно, то и второе тоже истинно:

"х [(Р(х)  "у Я(х,у)) & (Зу Я(х,у)  Р(х))]=И.

Фиксируем произвольный х.

Тогда (Р(х)  "у Я(х,у)) & (Зу Я(х,у)  Р(х))=И, а значит истинны и оба члена конъюнкции: Р(х)  "у Я(х,у)=И и Зу Я(х,у)  Р(х)=И.

Теперь покажем, что Зу Я(х, у)=И тогда и только тогда, когда "у Я(х, у)=И.

Символически запишем это так: Зу Я(х, у)=И о "у Я(х, у)=И.

Допустим, что Зу Я(х, у)=И. Тогда, поскольку Зу Я(х, у)  Р(х)=И, то Р(х)=И. Отсюда, учитывая, что Р(х)  "у Я(х,у)=И, получаем, что "у Я(х,у)=И.

Итак, если Зу Я(х, у)=И, то "у Я(х, у)=И. Очевидно, обратное тоже верно.

Таким образом, для произвольного х равносильны предложения «Существует у такой, что выполняется Я(х, у)» и «Для любого у выполняется Я(х,у)»:

Зу Я

Этот странный вывод мы вынуждены признать, если принимаем некорректную формулировку (7).

Вернемся к формулировке определения возрастающей функции с опущенными кванторами общности в определяющей части:

/возрастает на Е < > (х1 < х2 /М) </(х2)).

Она имеет рассматриваемый вид. Действительно, здесь в качестве Я(х, у) фигурирует предложение х1 < х2  /М) < /(х2), вместо переменной х используется переменная /по множеству определенных на промежутке Е функций, вместо у - пара переменных х1 и х2 по Е.

Странный вывод (8) в данном случае приобретает такой вид: Для любой определенной на промежутке Е функции / имеет место равносильность

Зх1еЕ Зх2бЕ (х1 < х2 Д.х1) </М)) о "х1еЕ "х2бЕ (х1 < х2 /(х!) </(х2)).

Очевидно, этот вывод легко опровергнуть. Причиной этой нелепости является использование некорректной формулировки определения. Значит рассматриваемую формулировку (5) нельзя использовать для определения возрастающей функции.

Итак, нельзя переносить традицию опускания внешнего квантора общности в теореме или определении на случай, когда опускается внутренний квантор.

Замечание 3. Опускание внутреннего квантора общности в теоремах вида Р(х) « "у Я(х,у) и Р(х)  "у Я(х,у) также недопустимо, поскольку не является логически корректным. Обосновать это можно аналогичным образом. Кроме того, можно обосновать, что опускание квантора существования, как бы он ни входил в формулировку определения или теоремы, является логически некорректным. Мы не ставим своей целью рассмотреть в этой статье все случаи некорректного опускания кванторов в определениях. Отметим только, что учащиеся довольно часто теряют в определениях внутренний квантор существования. Например, они часто ошибочно формулируют определение четного числа так: «Натуральное число п называется четным, если п = 2к», теряя при этом квантор существования по переменной к. Но мы не будем останавливаться на таких ошибках, поскольку в учебной литературе они встречаются нечасто.

6. Неоднозначность восстановления опущенного внутреннего квантора

Допускаем, что кто-то может возразить нам вопреки приведенным аргументам: «В определении с опущенным квантором в определяющем условии всегда подразумевается квантор общности». Но это не так!

Рассмотрим, например, следующие определения из учебника [10]:

Определение 6. Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую [11].

Определение 7. Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия [12].

В обоих определениях опущены кванторные слова. Опытному учителю понятно, что в обоих случаях опущено кванторное слово «некоторым» со смыслом квантора существования («некоторым движением» и «некоторым преобразованием подобия»), однако сомнительно, что это понятно ученику.

Рассмотрим еще один пример из [13], когда в определении опущен квантор в определяющем условии.

Определение 8. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым [14].

Что здесь имеется в виду: «некоторая третья плоскость» или «любая третья плоскость»? Какой квантор опущен: существования или общности? Правда, в данном случае можно доказать, что если существует плоскость, удовлетворяющая указанному условию, то и любая плоскость будет удовлетворять этому условию. Однако стоит ли заставлять учащегося гадать, какой квантор подразумевал автор, или доказывать, что можно по-разному восстановить квантор в определении, которое и без того является непростым?

Последние три примера показывают, что нельзя утверждать, будто всегда в определении с опущенным квантором в определяющем условии подразумевается квантор общности. Поэтому формулировки с опущенным внутренним квантором могут быть понятыми неоднозначно.

7. Выводы

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

Логически некорректное опускание кванторов в определениях и теоремах ведет к логически некорректным и неоднозначно понимаемым формулировкам. В частности, является логически некорректной распространенная в школьных учебниках формулировка определения возрастающей функции с опущенными кванторами общности в определяющем условии.

Во избежание подобных логических погрешностей необходимо соблюдать следующие логические нормы математического языка (рекомендации).

Во-первых, можно опускать в определениях и теоремах внешний квантор общности, подразумевая его при этом.

Во-вторых, логически некорректно, а значит недопустимо опускать в определениях и теоремах внутренний квантор общности.

В-третьих, недопустимо (логически некорректно) опускать в определениях и теоремах квантор существования, независимо от его вхождения.

Эти нормы логически обоснованы, и нарушение двух последних из них не может быть оправдано никакими методическими соображениями.

В заключение отметим, что изложенный в этой статье материал является примером того, каким образом средства математики как науки помогают решить методическую проблему математики как предметной области.

Примечания

1. Тимофеева И. Л. О логической структуре математических определений // Математическое образование. 2002. № 3. С. 75-8б.

2. Болтянский В. Г. Использование логической символики в работе с определениями // Математика в школе. 1973. № 5. С. 45-S0.

3. Тимофеева И. Л. Как устроено доказательство? // Математика в школе. 2004. № 8. С. 74-81.

4. Дразнин И. Е. О работе над определениями // Математика в школе. 1995. № 5. С. 9-11.

5. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобраз. организаций / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под ред. С. А. Теля-ковского. 21-е изд. М.: Просвещение, 2014. C. 13.

6. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра. 9 класс: в 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобраз. учрежд. 12-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2010. С. 97.

7. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобраз. учрежд. / Ш. А. Алимов [и др.]. 2-е изд. М.: Просвещение, 1995.

С. SS.

8. Дорофеев Г. В. Контрпримеры в математике // Математика для каждого. Сер. «Наука для каждого». М.: Аякс-пресс, 1999. С. 229-234.

9. Финкельштейн В. М. О двух видах контрпримеров и одном неудачном определении из учебника // Математика в школе. 1997. № 5. С. 57-б0.

10. Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобраз. организаций. 2-е изд. М.: Просвещение, 2014.

11. Там же. С. 133.

12. Там же. С. 156.

13. Погорелов А. В. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобраз. организаций: базовый и профил. уровни. 13-е изд. М.: Просвещение, 2014.

14. Там же. С. 32.

Notes

1. Timofeeva I.L. O logicheskoj strukture matematicheskih opredelenij II Matematicheskoe obrazovanie. 2002. № 3. P. 7S-S6.

2. Boltjanskij V.G. Ispol'zovanie logicheskoj simvoliki v rabote s opredelenijami II Matematika v shkole. 1973. № 5. P. 45-S0.

3. Timofeeva I.L. Kak ustroeno dokazatel'stvo? // Matematika v shkole. 2004. № S. P. 74-81.

4. Draznin I.E. O rabote nad opredelenijami // Matematika v shkole. 1995. № 5. P. 9-11.

5. Algebra. 9 klass: ucheb. dlya obshcheobrazovat. organizacij I Ju.N. Makarychev [i dr.]; pod red. S.A. Tel-jakovskogo. 21-e izd. M.: Prosveshchenie, 2014. P. 13.

6. Mordkovich A.G., Semenov P.V. Algebra. 9 klass. V 2 ch. Ch. 1. Uchebnik dlya uchashhihsja obshcheobrazovat. uchrezhdenij. 12-e izd., ster. M.: Mnemozina, 2010. P. 97.

7. Algebra: ucheb. dlya 9 kl. obshcheobrazovat. uchrezhdenij I Sh.A. Alimov [i dr.]. 2-e izd. M.: Prosveshchenie, 199S. P. SS.

S. Dorofeev G.V. Kontrprimery v matematike II Matematika dlya kazhdogo. Serija Nauka dlya kazhdogo. M.: Ajaks-press, 1999. P. 229-234.

9. Finkel'shtejn V.M. O dvuh vidah kontrprimerov i odnom neudachnom opredelenii iz uchebnika II Matematika v shkole. 1997. № 5. P. 57-б0.

10. Pogorelov A.V. Geometrija. 7-9 klassy: ucheb. dlya obshcheobrazovat. organizacij. 2-e izd. M.: Prosveshchenie, 2014. 240 pp.

11. Ibid. P. 133.

12. Ibid. P. íS6.

13. Pogorelov A.V. Geometrija. 10-11 klassy: ucheb. dlya obshcheobrazovat. organizacij: bazovyj i profil. urovni. 13-e izd. M.: Prosveshchenie, 2014. 17S pp.

14. Ibid. P. 32.