Расчет характеристик полей деформирования в компонентах гетерогенной среды со случайной структурой методом конечных элементов

УДК 539.3

С.Л. Калюлин, Р.Н. Сулейманов, М.А. Ташкинов, Р.Я. Газизов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЕЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ В КОМПОНЕНТАХ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ СО СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРОЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассматриваются особенности численного расчета НДС статически деформированной трехмерной неоднородной пористой среды со случайным распределением включений в матрице с использованием метода конечных элементов в пакете ДЫвУв 14, который позволяет моделировать структуру материала с использованием конечно-элементной сетки.

Целью работы является построение конечно-элементной модели для определения характеристик полей деформирования трехмерной двухкомпонентной неоднородной среды со случайным распределением включений в матрице, а также расчет средних значений полей напряжений и деформаций в компонентах рассматриваемого материала.

Для математического описания композитов используется многомасштабный подход, при котором каждой из компонент структуры присваиваются конкретные физико-механические свойства, а расчет полей напряжений и деформаций ведется для каждой компоненты в отдельности.

Исследуются пористые композиционные материалы со сферическими включениями, случайным образом разбросанные в материале. Исследуемый представительный объем неоднородной двухкомпонентной среды представляет собой кубическую матрицу с включениями сферической формы. Приводится математическая постановка краевой задачи и способ задания граничных условий в тензорном виде. Рассмотрены пять типов геометрии микроструктуры композиционных материалов с различными характеристиками, такими как относительная объемная доля включений, размер и разброс включений.

Рассматриваемая среда моделируется с использованием метода конечных элементов в прикладном пакете ДЫвУв 14. Проведены расчеты полей напряжений и деформаций в отдельных компонентах микроструктуры при упругой постановке задачи. Приведено сравнение средних значений напряжений и деформаций в матричном материале при различных физико-механических свойствах и граничных условиях.

Ключевые слова: метод конечных элементов, стохастическая структура, средние значения напряжений и деформаций, неоднородная пористая среда, всестороннее растяжение.

S.L. Kalyulin, R.N. Suleymanov, M.A. Tashkinov, R.Ya. Gazizov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

CALCULATION OF STRESS AND STRAIN FIELDS IN COMPONENTS OF HETEROGENEOUS MEDIA WITH RANDOM STRUCTURE BY FINITE ELEMENT METHOD

The paper deals with problems of numerical calculation of state strain statically deformed three-dimensional heterogeneous porous medium with a random distribution of inclusions in the matrix using the finite element method in the package «ANSYS 14», which allows model the structure of the material using the finite element mesh.

The aim of research is to construct a finite element model for the characterization of deformation fields of inhomogeneous medium and to calculate the average stress and strain fields in the components of the material.

The multi-scale approach is used for the mathematical description of composites. According to it, the specific physical and mechanical properties are assigned to each component of the structure. Calculation of stress and strain fields are performed for each component separately.

The porous composite materials with spherical inclusions randomly dispersed in the material are considered. The mathematical formulation of the boundary value problem and the boundary conditions in the tensor form are presented. Five types of geometries of composite microstructure of materials were considered. They possess different characteristics, such as the relative volume fraction of inclusions, the size and dispersion of inclusions.

The medium was simulated using the finite element method in «ANSYS 14». The calculations of stress and strain fields in the components of the microstructure have been performed in the elastic case. The mean values of the stress and strain fields in the matrix of the material with various physical and mechanical properties and boundary conditions are compared.

Keywords: finite element method, stochastic structure, average values of tension and deformations, non-uniform porous environment, comprehensive stretching.

Введение

Композиционные материалы широко применяются в аэрокосмической технике при проектировании высокотехнологичных конструкций и механизмов. Современные методы позволяют получать материалы со спектром уникальных характеристик, которые можно определять на стадии проектирования за счет выбора типов структуры композитов и физико-механических свойств компонентов [1-3].

Значительное место среди композиционных материалов занимают структурно-неоднородные материалы, состоящие из включений, случайным образом расположенных в матрице [1]. Композиты со стохастической структурой получили широкое применение в производстве конструкций аэрокосмической техники.

Последовательное решение задач проектирования композитных конструкций может быть получено с использованием многоуровневых

структурных моделей, которые позволяют проанализировать характеристики полей деформирования с учетом статистической природы, особенностей механического поведения материала и изменений в его структуре [4-6]. Таким образом, для анализа процессов деформирования и разрушения необходимо рассматривать материал на более низком структурном уровне.

Краевая задача должна быть сформулирована на микроструктурном уровне, ее решение может быть получено, если существует феноменологическое описание поведения пористого композита на микроструктурном уровне [7].

Актуальным направлением в механике композиционных материалов и конструкций является развитие таких моделей, которые позволяют вычислять параметры полей деформирования для каждой фазы композита, что необходимо для предсказания механизмов деформирования и разрушения в зависимости от геометрических параметров конструкции, условий нагружения и структуры материала, а также для оценки надежности и выработки рекомендаций при проектировании материалов и конструкций [1, 8, 9].

Статистические характеристики микроструктурных полей деформирования могут быть получены на основе трехмерного моделирования неоднородной среды с использованием метода конечных элементов (МКЭ) в среде ЛШУБ 14.

Математическая постановка задачи

Для математического описания композитов используется многомасштабный подход, при котором каждому компоненту структуры присваиваются конкретные физико-механические свойства, а расчет полей напряжений и деформаций ведется для каждого компонента в отдельности [1, 6, 10].

При решении задачи принимаются следующие гипотезы [11-13]:

1. Физические и геометрические величины, описывающие свойства композита, считаются статистически однородными и эргодиче-скими случайными полями.

2. Материалы компонентов композита являются упругими, однородными.

3. Адгезия между материалами компонентов по границам раздела предполагается идеальной.

4. Массовые силы не учитываются.

5. Рассматриваются малые деформации.

6. Среда обладает свойством макроскопической однородности.

Принятие первой гипотезы позволяет понимать операцию осреднения не по реализациям неоднородной структуры, а по ее объему. Учет внутренних границ между включениями и матрицей в случае неполной адгезии является отдельной задачей механики композиционных материалов, внесение в данную модель соотношений для внутренних границ значительно ее усложнит, и в данной работе не рассматривается. Влияние воздействия массовых сил на напряженно-деформированное состояние тела по сравнению с нагрузками в данной задаче пренебрежительно мало. Краевая задача решается в перемещениях, и рассматриваются лишь малые деформации [14].

С учетом принятых гипотез краевая задача теории упругости для композитов со случайной структурой в некоторой области V записывается следующим образом [9, 15]:

ЪгАг)=Сук1{г)гк1{г\

и^\еТ=еЧГР

где ('1/к/ (г) - тензор структурных модулей упругости; г.* =е.,, -компоненты постоянного произвольно заданного симметричного тензора малых макродеформаций; - координаты точек поверхности тела (1-4).

Поля структурных напряжений а^ -(г) и структурных деформаций являются случайными однородными по всему объему, за

исключением малой окрестности, прилегающей к границе, а краевая задача является статистически нелинейной, поскольку ее физические уравнения (3) содержат произведение случайных полей.

Введем глобальную систему координат (СК). В случае рассмотрения конструкции прямоугольной формы удобно выбрать декартову

СК, оси которой направлены естественным образом вдоль основных направлений конструкции (длина, ширина, высота). Пересчет координат точек тела, полей перемещений, деформаций и напряжений из локальной СК в глобальную при известном взаимном положении рассматриваемых СК может быть осуществлен с применением матриц поворотов и параллельного переноса. В случае реализации численного расчета в пакете ANSYS 14 [16, 17] подобный пересчет всех величин будет производиться автоматически средствами применяемого программного обеспечения.

Создание модели пористого композита методом конечных элементов в среде А^У8 14

Решение задачи о статическом деформировании трехмерной неоднородной пористой среды со случайным распределением включений в матрице найдем численно с использованием метода конечных элементов в среде ANSYS 14, который основывается на нескольких последовательных шагах, а именно: построение геометрии модели путем интегрирования и обработки данных о случайном расположении сфер, полученных методом, описанным в работах [3, 15, 17]; создание конечно-элементной сетки конструкции; приложение к сетке нагрузок, начальных и граничных условий; решение системы линейных алгебраических уравнений с целью получения значений узловых неизвестных; нахождение по известным узловым перемещениям значений напряжений и деформаций.

Условия равновесия и совместимости деформаций выполняются только в узловых точках - точках соединения конечных элементов. Каждый элемент является частью заменяемой среды, т.е. сплошное тело лишь условно делится на отдельные элементы конечных размеров. Выделенный элемент имеет те же физические свойства и геометрические характеристики, что и рассматриваемая конструкция в месте расположения элемента. Все внешние силы считаются приложенными в узлах по направлению их возможных перемещений. В процессе создания конечно-элементной модели рекомендуется использовать элементы с квадратичной аппроксимацией [16]. Конечные элементы являются тетрагональными четырехконтактными типа SOLГО285. Длина ребра конечного элемента равна пяти единицам.

Построение моделей и непосредственное программирование задач производится в текстовом формате на языке APDL.

В работе рассматриваются типовые граничные условия, используемые при составлении выбранной модели конструкции. К данной модели задаются условия двух типов: всестороннее растяжение через задание перемещений и всестороннее растяжение с приложением распределенной нагрузки на гранях.

Исследуются семь моделей с двумя типами граничных условий для пяти пористых структур с различной относительной объемной долей, а также количеством включений [18].

Модуль Юнга матричной составляющей равен 2 • 1011 Па, коэффициент Пуассона - 0,3. Свойства пор на много порядков меньше свойств матричной компоненты. Их необходимо задавать, так как сеткой конечных элементов разбиваются и матрица, и поры, в связи с потребностью корректного нахождения микронапряжений и микродеформаций в компонентах, а также перехода к макронапряжениям и макродеформациям.

Остальные исходные данные моделей представлены в табл. 1.

Таблица 1

Характеристики моделей пористого композита

Номер модели Относительная объемная доля включений, % Кол-во включений Минимальный радиус сферы, мкм Максимальный радиус сферы, мкм Тип нагрузки (растяжение) Размер куба, мкм

1 20 18 10,6403 23,5224 Всестороннее перемещение 0,000 001 мкм 100x100x100

2 25 13 12,0587 24,9850 Всестороннее перемещение 0,000 001 мкм 100x100x100

3 25 18 12,2093 24,0063 Всестороннее перемещение 0,000 001 мкм 100x100x100

4 25 28 10,0712 19,9780 Всестороннее перемещение 0,000 001 мкм 100x100x100

5 30 15 14,3077 22,0242 Всестороннее перемещение 0,000001 мкм 100x100x100

Окончание табл. 1

Номер модели Относительная объемная доля включений, % Кол-во включений Минимальный радиус сферы, мкм Максимальный радиус сферы, мкм Тип нагрузки (растяжение) Размер куба, мкм

6 25 28 10,0712 19,9780 Распределенная нагрузка на 3 гранях 1 МПа 100x100x100

7 30 15 14,3077 22,0242 Распределенная нагрузка на 3 гранях 1 МПа 100x100x100

Граничные условия в рассматриваемых моделях 1-5 (всестороннее растяжение через задание перемещений, м) записываются следующим образом:

0,

иуу=0 = 0,

иф=о = 0,

/7 иф=100 =1 10"6

и Уу=100 = 1 •10"6

и\\=100 =1- 10"6.

Граничные условия для моделей 6, 7 (всестороннее растяжение с приложением распределенной нагрузки на гранях, МПа):

иХх=0 = 0,

иУу=0 = 0,

иг\г=00 = 0,

д 2и х

ди х 2 х=100

д 2иу

диу 2 у=100

д 2и 2

д и г 2 \=100

= 1,

=1,

<

Метод реализации данной краевой задачи - МКЭ, применение и использование которого широко раскрыто в среде АКБУБ 14.

Результаты моделирования трехмерной двухкомпонентной неоднородной пористой среды со случайным распределением включений в матрице

При использовании МКЭ решены задачи для структур с разной объемной долей пористых включений: 20; 25; 30 %. Структуры содержат от 15 до 28 пористых включений, расположенных стохастически. Результатами работы стали значения НДС моделей по каждой из осей, средние деформации и напряжения в матричной компоненте, сравнения их с заданными граничными условиями, а также сравнения параметров между собой в зависимости от объемного содержания включений и их количества.

На рис. 1 изображены графики распределения полей деформаций в(У), в(у) при всестороннем растяжении модели 4. Графики представлены в разрезе, отношение 1/3.

Рис. 1. Графики распределения полей деформаций с граничными условиями всестороннего перемещения граней на растяжение для одной из моделей: а - е(х);

б - е

Также приведены графики распределения полей напряжений о(х) для модели 5 с граничными условиями всестороннего перемещения граней на растяжение и для модели 7 - с распределенной нагрузкой на трех гранях соответственно (рис. 2). Графики представлены в разрезе, отношение 1/3.

Рис. 2. Графики распределения полей напряжения ст

Для всех статистических реализаций были также проведены аналогичные расчеты, которые привели к подобным распределениям полей напряжений и деформаций.

Численно получены данные о характеристиках полей деформирования, а именно о средних напряжениях и деформациях в матрице, которые представлены в табл. 2. Значения указаны для семи реализаций.

Таблица 2

Значения средних напряжений и деформаций в компонентах матрицы

Номер модели Кол-во элементов при разбиении < е( х) > < е(у) > <е(г) > < х) >, МПа < У) >, МПа < г) >, МПа

1 (20 %) 65 608 0,997 008 Е-08 0,998 357 Е-08 0,997 689 Е-08 2908,81 2932,30 2927,85

2 (25 %) 61 402 0,998 520 Е-08 0,997 116 Е-08 0,997 201 Е-08 2583,29 2511,79 2511,79

3 (25 %) 61 256 0,997 238 Е-08 0,996 496 Е-08 0,998 379 Е-08 2559,38 2495,63 2577,18

4 (25 %) 68 859 0,997 926 Е-08 0,996 571 Е-08 0,996 783 Е-08 2557,03 2577,76 2561,99

5 (30 %) 62 942 0,996 816 Е-08 0,996 820 Е-08 0,998 233 Е-08 2256,42 2262,70 2297,86

6 (25 %) 68 859 0,402 232 Е-11 0,398 907 Е-11 0,403 760 Е-11 0,999 975 0,999 956 0,999 985

7 (30 %) 62 942 0,472 875 Е-11 0,477 544 Е-11 0,447 935 Е-11 1,000,031 0,999 992 1,000 058

Нахождение средних значений в компонентах матрицы проводится путем применения оператора объемного осреднения в каждой реализации непосредственно с помощью АКБУБ 14. Осреднение производится нахождением средней деформации (напряжения), а также элементарного объема для каждого элемента, далее производим суммирование произведений деформаций (напряжений) по осям на элементарные объемы и делим на суммарный объем всех элементов структуры. Нахождение средних значений напряжений и деформаций в компонентах пористого композиционного материала в дальнейшем необходимо для расчета вероятностей макроразрушения и прогнозирования прочности конструкций.

При анализе полученных результатов можно отметить, что при равноосных нагрузках средние напряжения и деформации по трем осям для каждой статистической реализации незначительно отличаются между собой. Прослеживается эффект, вызванный структурной неоднородностью, например, для модели 2 средние напряжения по осям

равны 2583,29; 2511,79; 2511,79 МПа. В моделях 1-5 средние дефор-

-8

мации по осям близки к 1 • 10 , т.е. к деформациям, которые были заданы в граничных условиях на растягиваемых гранях, что говорит о верности решения. В моделях 5-7 аналогично средние напряжения по осям близки к 1 МПа.

Также в структурах с одинаковой относительной объемной долей можно заметить незначительное расхождение в средних значениях по одной оси. Это обусловлено тем, что размеры минимальных и максимальных радиусов включений, а также их взаимное расположение различаются, т.е. присутствует влияние случайной структуры пористого композита.

Количество элементов для структур с одинаковой относительной объемной долей различно, что обусловливается свободным неравномерным построением сетки конечных элементов. В дальнейшем планируется увеличить количество случайным образом расположенных включений, а также плотность сетки, что, как предполагается, уменьшит расхождение в средних значениях напряжений и деформаций для одинаковых компонент в моделях с равной относительной объемной долей.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-01-96030).

Библиографический список

1. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. -М.: Наука; Физматлит, 1997. - 288 с.

2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 336 с.

3. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композиционных материалов. - Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та им. В.И. Ленина, 1978. - 206 с.

4. Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A., Kotov A.G. A structural multiscale approach to the design of spatially reinforced carbon-carbon composites // Mechanics of Composite Materials. - 1995. - Vol. 31, № 2. - P. 143-148.

5. Postnykh A.M., Chekalkin A.A., Khronusov V.V. Structural-statistical model of the reliability and durability of the fiber composite // Mechanics of Composite Materials. - 1991. - Vol. 26, № 5. - Р. 633-637.

6. Babushkin A.V., Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A. Fatigue resistance of structurally inhomogeneous powdered materials in a complex stress-strain state // Mechanics of Composite Materials. - 2014. - Vol. 50, № 1. - Р. 1-8.

7. Long-term durability of glass-fiber-reinforced composites under operation inpulp and reactant pipelines / A.A. Chekalkin, A.V. Babushkin, A.G. Kotov, S.E. Shakleina // Mechanics of Composite Materials. - 2003. -Vol. 39, № 3. - Р. 273-282.

8. Features of powder material deformation with cyclic loading / V.N. Antsiferov, A.V. Babushkin, Yu.V. Sokolkin, A.A. Shatsov, A.A. Chekalkin // Powder Metallurgy and Metal Ceramics. - 2001. - Vol. 40, № 11-12. - Р. 569-572.

9. Tashkinov M.A., Wildemann V.E., Mikhailova N.V. Method of successive approximations in stochastic elastic boundary value problem for structurally heterogenous materials // Computational Materials Science. -2012. - № 52. - Р. 101-106.

10. Макарова Е.Ю., Соколкин Ю.В., Чекалкин А.А. Структурно-феноменологические модели прогнозирования упругих свойств высокопористых композитов // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Физико-математические науки. - 2010. - № 5(21). - С. 276-279.

11. Соколкин Ю.В., Чекалкин А.А., Бабушкин А.В. Прогнозирование физических и механических свойств порошковых и армирован-

ных высокопрочными волокнами металлических материалов // Известия вузов. Цветная металлургия. - 1995. - № 2. - С. 53-57.

12. Sokolkin Yu.V., Postnykh A.M., Chekalkin A.A. Probabilistic model of the strength, crack resistance and fatigue life of a unidirectionally reinforced fibrous composite // Mechanics of Composite Materials. - 1992. -Vol. 28, № 2. - Р. 133-139.

13. Sokolkin Yu.V., Kotov A.G., Chekalkin A.A. Structural multistage model of the bearing capacity of carbon-carbon laminate shells // Mechanics of Composite Materials. - 1994. - Vol. 30, № 1. - Р. 55-60.

14. Исследование микроструктуры углерод-углеродного композита 2D + 1 при термохимической обработке и насыщении пироугле-родом / А.В. Долгодворов, А.Г. Докучаев, П.А. Судюков, А.А. Чекал-кин // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2013. - Т. 79, № 12. - С. 31-33.

15. Ташкинов М.А., Вильдеман В.Э., Михайлова Н.В. Метод последовательных приближений в стохастической краевой задаче теории упругости структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16, № 3. - С. 369-384.

16. Котов А.Г. САПР изделий из композиционных материалов. Моделирование процессов деформирования и разрушения в среде AN-SYS: учеб. пособие - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 351 с.

17. Чигарев А.В., Кравчук А.С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров: справ. пособие. - М.: Машиностроение-1, 2004. - 512 с

18. Нуруллаев Э.М., Ермилов А.С., Гуров Д.С. Оптимизация гранулометрического состава твердых дисперсных наполнителей полимерных композиционных материалов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. - 2013. - № 34. - С. 108-123.

References

1. Vildeman V.E., Sokolkin Yu.V., Tashkinov A.A. Mekhanika neuprugogo deformirovaniya i razrusheniya kompozitsionnykh materialov [Nonelastic deformation and fracture mechanics of composition materials]. Moscow: Nauka, 1997. 288 p.

2. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moskovskiy gosudarstvennyy universitet, 1984. 336 p.

3. Volkov S.D., Stavrov V.P. Statisticheskaya mekhanika kompozitsionnykh materialov [Statistical mechanics of composition materials]. Minsk: Belorusskiy gosudarstvennyy universitet, 1978. 206 p.

4. Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A., Kotov A.G. A structural mul-tiscale approach to the design of spatially reinforced carbon-carbon composites. Mechanics of Composite Materials, 1995, vol. 31, no. 2, pp. 143-148.

5. Postnykh A.M., Chekalkin A.A., Khronusov V.V. Structural-statistical model of the reliability and durability of the fiber composite. Mechanics of Composite Materials, 1991, vol. 26, no. 5, pp. 633-637.

6. Babushkin A.V., Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A. Fatigue resistance of structurally inhomogeneous powdered materials in a complex stress-strain state. Mechanics of Composite Materials, 2014, vol. 50, no. 1, pp. 1-8.

7. Chekalkin A.A., Babushkin A.V., Kotov A.G., Shakleina S.E. Long-term durability of glass-fiber-reinforced composites under operation inpulp and reactant pipelines. Mechanics of Composite Materials, 2003, vol. 39, no. 3, pp. 273-282.

8. Antsiferov V.N., Babushkin A.V., Sokolkin Yu.V., Shatsov A.A., Chekalkin A.A. Features of powder material deformation with cyclic loading. Powder Metallurgy and Metal Ceramics, 2001, vol. 40, no. 11-12, pp. 569-572.

9. Tashkinov M.A., Wildemann V.E., Mikhailova N.V. Method of successive approximations in stochastic elastic boundary value problem for structurally heterogenous materials. Computational Materials Science, 2012, no. 52, pp. 101-106.

10. Makarova E.Yu., Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A. Strukturno-fenomenologicheskie modeli prognozirovaniya uprugikh svoystv vysokop-oristykh kompozitov [Structural-phenomenological models predict the elastic properties of highly porous composites]. Vestnik Samarskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki, 2010, no. 5(21), pp. 276-279.

11. Sokolkin Yu.V., Chekalkin A.A., Babushkin A.V. Prognoziro-vanie fizicheskikh i mekhanicheskikh svoystv poroshkovykh i armiro-vannykh vysokoprochnymi voloknami metallicheskikh materialov [Prediction of physical and mechanical properties of powder and reinforced with high-strength fibers of metallic materials]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Tsvetnaya metallurgiya. Moskow, 1995, no. 2, pp. 53-57.

12. Sokolkin Yu.V., Postnykh A.M., Chekalkin A.A. Probabilistic model of the strength, crack resistance and fatigue life of a unidirectionally reinforced fibrous composite. Mechanics of Composite Materials, 1992, vol. 28, no. 2, pp. 133-139.

13. Sokolkin Yu.V., Kotov A.G., Chekalkin A.A. Structural multistage model of the bearing capacity of carbon-carbon laminate shells. Mechanics of Composite Materials, 1994, vol. 30, no. 1, pp. 55-60.

14. Dolgodvorov A.V., Dokuchaev A.G., Sudyukov P.A., Chekalkin A.A. Issledovanie mikrostruktury uglerod-uglerodnogo kompozita 2D+1 pri termo-khimicheskoy obrabotke i nasyshchenii pirouglerodom [The microstructure of carbon-carbon composite 2D +1 in thermo-chemical treatment and saturation pyrocarbon]. Zavodskaya laboratoriya. Diagnosti-ka materialov, 2013,vol. 79, no. 12, pp. 31-33.

15. Tashkinov M.A., Vildeman V.E., Mikhaylova N.V. Metod posledovatelnykh priblizheniy v stokhasticheskoy kraevoy zadache teorii uprugosti strukturno-neodnorodnykh sred [Method of consecutive approximations in a stochastic regional task of the theory of elasticity of structural and non-uniform environments]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy, 2010, vol. 16, no. 3, pp. 369-384.

16. Kotov A.G. SAPR izdeliy iz kompozitsionnykh materialov. Mod-elirovanie protsessov deformirovaniya i razrusheniya v srede ANSYS [SAPR of products from composition materials. Modeling of processes of deformation and destruction in the environment of ANSYS]. Permskiy gosudarstvennyy tekhnicheskiy universitet, 2008. 351 p.

17. Chigarev A.V., Kravchuk A.S., Smalyuk A.F. ANSYS dlya in-zhenerov [ANSYS to engineers]. Moscow: Mashinostroenie-1, 2004. 512 p.

18. Nurullaev E.M., Ermilov A.S., Gurov D.S. Optimizatsiya granu-lometricheskogo sostava tverdykh dispersnykh napolniteley polimernyy kompozitsionnykh materialov [Optimization of granulometric structure of firm disperse fillers polymeric composite materials]. Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Aero-kosmicheskaya tekhnika, 2013, no. 34, pp 108-123.

Получено 10.03.2014

Об авторах

Калюлин Станислав Львович (Пермь, Россия) - студент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: stasons91@mail.ru).

Сулейманов Руслан Нафисович (Пермь, Россия) - студент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: Melou179111@gmail.com).

Ташкинов Михаил Анатольевич (Пермь, Россия) - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: mkmk@pstu.ru).

Газизов Рафиль Яминович (Пермь, Россия) - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Механика композиционных материалов и конструкций» ФГБОУ ВПО ПНИПУ (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: mkmk@pstu.ru).

About the authors

Kalyulin Stanislav Lvovich (Perm, Russian Federation) - student, Department of Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: stasons91@mail.ru).

Suleymanov Ruslan Nafisovich (Perm, Russian Federation) - student, Department of Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: Melou179111@gmail.com).

Tashkinov Mikhail Anatolevich (Perm, Russian Federation) - Ph. D. in Physics and Mathematical Sciences, Senior researcher, Department of Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: mkmk@pstu.ru).

Gazizov Rafil Yaminovich (Perm, Russian Federation) - Ph. D. in Physics and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mechanics of Composite Materials and Constructions, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: mkmk@pstu.ru).