Решение проблемы математического моделирования процессов модифицирования древесины

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ МОДИФИЦИРОВАНИЯ ДРЕВЕСИНЫ

THE SOLUTION TO THE PROBLEM OF MATHEMATICAL MODELLING THE

WOOD'S MODIFICATION PROCESSES

Губанова Н.В.

Рассмотрен вопрос моделирования процесса модифицирования древесины на базе технических моделей, с учетом современных способов введения в древесину жидкости имея в конечном результате либо изменение структуры древесины, либо требуемое содержание модификаторов в древесине.

In the paper the modelling process of the modified wood was studied. This process was made on the technical modells base, in consideration of the methods of the introduction a fluid into a wood. Ultimately, either the wood's structure or the modifikator content in a wood were changed.

Ключевые слова: древесина; жидкость; модель; пропитка; сосуд.

Keywords: wood; fluid; model; impregnation; vessel.

Многочисленные исследования отечественных и зарубежных ученых показали, что древесина является не только замечательным строительным и сырьевым материалом, но и может быть использована как полноценный заменитель черных и цветных металлов в машиностроении для производства опор скольжения после соответствующей ее модификации. В настоящее время в области использования древесины на первый план выдвигаются задачи получения материалов из древесины с заданными свойствами, поскольку древесина является единственным природным возобновляемым материалом. Для широкого развития модифицирования древесины необходимо искать пути решения проблемы математического моделирования процессов модифицирования с целью совершенствования технологических процессов.

Применительно к моделированию процесса пропитки древесины предлагается разбить весь объем движущейся жидкости на большое количество шаров (в трехмерном случае) или кругов (в двухмерном случае), представляющих собой элементы жидкости и взаимодействующих между собой. Диаметр элементов может составлять порядка 1-10 мкм (в зависимости от решаемой задачи), при этом достаточно хорошо моделируется течение жидкости, и одновременно обеспечивается высокая скорость компьютерных расчетов. Шаровидная (или круговая) форма элементов принята, чтобы добиться изотропии свойств модельной жидкости. Основные свойства жидкости (плотность, модуль упругости, теплопроводность, и т.п.) пересчитываются на один элемент жидкости. Введение различных типов шаров (с соответствующими свойствами) позволяет рассматривать в модели одновременно различные среды: жидкости различных типов, газы, модификаторы, элементы древесины.

Для повышения универсальности модели древесина и жидкость состоят из кругов одинакового диаметра. Однако круги-элементы древесины выдерживаются неподвижными в процессе моделирования. Модель воспроизводит основные структурные элементы древесины: сосуды, перегородки, окаймленные и

неокаймленные поры, лестничную перфорацию и др.

Принято решение использовать двухмерную модель, так как при этом значительно ускоряются расчеты, что важно на первом этапе.

Состояние каждого элемента-круга / определяется четырьмя переменными: декартовыми координатами его центра (ху) и декартовыми составляющими скорости (ух!, Уу!). Взаимодействие элементов между собой будем считать вяз-коупругим, что позволяет адекватно учитывать возникновение упругости при сжатии жидкости и потери энергии при течении жидкости.

Расчет сил, действующих на элементы производится следующим образом. Некоторый элемент / испытывает силовое воздействие со стороны каждого из окружающих его элементов у

Р + рв),

ц=1

где и FВij - силы упругого и вязкого взаимодействия элементов / и у; ЫЭ - общее количество элементов в модели жидкости.

При расчете сил для каждой пары элементов предварительно вычисляется расстояние между их центрами 5'!(х!, у) и у|):

г = ^

От способа задания силы между элементами Ьу(Гу) зависят свойства жидкости или газа. В простейшем случае, можно считать взаимодействие упругим и подчиняющимся закону Гука. Этого достаточно для решения большинства задач о пропитке древесины.

При внедрении элементов друг в друга возникает возвращающая сила, пропорциональная величине их внедрения. При этом, попытка удалить элементы друг от друга также вызовет возвращающую силу, стремящуюся вернуть элементы в состояние касания. Таким образом, упругое взаимодействие подчиняется следующему закону.

ру = №Э - Г.)(X - Х-)/ Г., если Г. < Ло; (3 ч

Х] = [0, если Г > Л0;

№з-г)

У] [0, если Г > ¿о,

7-У 7-гУ ТУ

где Ь х1| и Ь уу - декартовы составляющие силы Г у; с - жесткость упругого взаимодействия элементов.

Для расчета выбрана общепринятая прямо-пропорциональная зависимость вязкой силы от скорости движущегося в среде тела, при этом введен дополнительный коэффициент (Гу - dО), представляющий собой величину взаимного проникновения элементов друг в друга.

= к- й0 )

Кз = к

где к - коэффициент демпфирования.

Движение элементов в рамках классической механики описывается дифференциальными уравнениями, составляемыми на основе второго закона Ньютона. Для /-го элемента можно записать

й X

т

=Е (Р у+Р В )+Е Р п •

Е V X] * X] ! XI] 5

] =1 ] = 1

й2 V Ыэ / \ Ып

йг2 /2

Э йг2

]=1

]=1

где mэ - масса элемента; t - время;

£ - ускорение свободного падения;

7-П "

Ь х1| - сила действующая со стороны у-го элемента древесины на г-й элемент жидкости.

Расписывая силы ЬУ, ЬВ и

ЬП

получим следующие дифференциальные уравнения, описывающие движение г-го элемента:

т

й X

Э

2„ Ы,

]=1 ] &

ып

]=1

чч г г

(X - Х1) с(йэ - Г )-—, Г < йг

0, Г] > й0

Г

Ч]

+ к

+

сд (

йэ + й д л X - x] )

Г)

]

Г] < й0Д

\ \ + кД (Г] - йОД К

а Г] > йод

й2 У

Ы,

Э ,7+2 Э

йг2

Е

]=1

] &

Ы„

]=1

А /

А /

с

(У - У]) ^

Г] < йо

о, Г] > йо

+ к

+

йЭ + йд (У - У]) сд (-^ - Г )--, Г < й

2

] 0Д

0, Г] > й0Д

+ кД (Г] - йОД

где Ыд - количество элементов древесины; dд - диаметр элемента древесины;

сд - коэффициент жесткости взаимодействия элемента жидкости с элементом древесины;

кд - коэффициент вязкости взаимодействия элемента жидкости с элементом древесины.

Совокупность большого количества уравнений последнего вида для всех ЫЭ элементов описывают эволюцию жидкости с течением времени. В целом окончательную систему уравнений можно записать следующим образом.

2

Г

]

Г

<

]

Г

]

/7

й Х1

от——=/

3 й/2

-=1 - *1

1=1

((

с

]' г1 ] < йо

0, Г1 - > й0

й э + й

сд (—--гт)——=

2 1]

0, Ги > йод

+ к

+

г1] < йод

\ \ + кД (г1 ] - йОД )Vx1

от

й У1 Э —т" = -тЭ

Э й/2 Э

' Э

= -тэ Я + /

-=1 / *1

((

(Г

с

Л

]' г1 ] < йо

0, Г1 ] > йо

+ к

+//

1=1

й э + й д Ч(У1- У/) ,

• 4 ——, г. <йг

Л

Сд (-^ - Г1 /)-

'1 ] од

Г1/ > йод

+ кд (г1 / - йод >у1

(Г

й Х9 » ^

' Ч 1

Э л2

]=1 ] ¿2

+ //

]=1

(Г

\\

\\

с(йЭ - Г2])-, Г2] < йо

^

л

0, г2] > йо

'2 ]

+ к

йэ + й„ (х2 - X.) сд(-—— -г2.)-—, Г, <йл

Л

0, Г2] > йод

г.

'2 ] ^"од

2 ]

+ к д (Г2 ] - й Од ^ x2

й2 У 2 &

от ч-= -МъЯ + /

Э й/2 ЭЯ /

1*2

NД

+ /

]=1

((

\\

\\

с(йЭ - г2])(У2 У]), Г2] < йо

л

Л

0 Г2 ] > йо

'2 ]

йэ + йд (У2 - У- ) сд(-—^-г2.)-—, Г, <йг.

2

2 - од

2-

0, г2] > йод

+ к

+ кд (г2] - йОд )Vy2

Г

у

у

+

г

у

г

у

+

у

у

+

у

у

• • •

от

й ^^ N ^

Э

-=1 ]- * N

с

Л

Э

0, ГNЭ] > йо

ГNЭ ] < йо

'N3 ]

+ к

у

NД -=1

й э + йд (XNэ - x] ) ,

сд (-- ГNэ] )—-- , ^ < йг

2

Г

' щ ] од

N3 ]

0, Ч] > йод

+ к д Э ] - й од э

((

от

й 2 У N. Э й/2

= -отэ Я + /

Nд -=1

-=1

].* NЭ

] Э v^ ^ + й

с

rNЭ ] < йо

'N3 ]

0, ГNЭ] > йо

+ к] - йО )

У Э 1 й д \ (УNЭ У ]) ,

сд(-- г.!)-Э--, ^ <

2

г

'N3 / од

N3 /

0, ^з] > йод

+ кд ^n3 ] - й од )vуnэ

При исследовании тех или иных специфических явлений разработанная модель легко позволяет вносить необходимые коррективы. Таким образом, разработанная модель, несмотря на простоту реализации, позволяет добиться высокой степени адекватности, легко корректируется в зависимости от решаемых

+

у

Э

+

у

у

задач и гарантированно дает конечный результат при любой постановке задачи.

Разработанная модель в целом представляет собой систему из большого количества дифференциальных и алгебраических уравнений, а также условий включения тех или иных сил. Решение системы дифференциальных уравнений производится численно. Используется модифицированный метод Эйлера-Коши [5], который особенно эффективен при решении дифференциальных уравнений второго порядка. При этом координаты и скорости рассчитываются по формулам вида:

X,+1 = X + К • Лг + а •

к+1 = К + а -м

где .х, V, а - координата, скорость и ускорение элемента; г - номер шага интегрирования (г - текущий шаг, г + 1 - последующий шаг); Дt - шаг интегрирования.

Шаг численного интегрирования Дt системы дифференциальных уравнений определяется путем многократного проведения экспериментов с последовательно уменьшающимся в 2 раза шагом. Останавливаются на том шаге, после которого результаты моделирования практически не изменяются (изменение составляет не более 1-2 %). Определенный таким образом шаг составил Дt = 10-6 с и был использован во всех расчетах в данной работе.

Список использованных источников

1. Шамаев, В.А. Модифицирование древесины [Текст]: Учебное пособие / В.А. Шамаев - Воронеж: ВГЛТА, 2005.-197 с.

2. Шамаев, В.А. Подшипники скольжения из модифицированной древесины//Вестник машиностроения, 2010. № 7.-С 62-68.

3. Советов, Б. Я. Моделирование систем [Текст]: Учебное пособие / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев - М.: Высш. шк., 1998.-319 с.

4. Хеерман, Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. - М.: Наука, 1990.-176 с.

5. Гулд, Х., Тобочник, Я. Компьютерное моделирование в физике. Ч. 2. - М.: Мир, 1990.-400 с.