Динамические процессы в прибрежной зоне моря

2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 1

МЕХАНИКА

УДК 532.591 Ю. З. Алешков

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ МОРЯ

Вопросы мореплавания и базирования морского флота, а также технология добычи полезных ископаемых требуют знания волнового режима на данной акватории и взаимодействия волн с судами и гидротехническими сооружениями соответствующего назначения. Гидродинамика судна определяет нагрузку со стороны жидкости, а такие его качества как остойчивость, ходкость, маневренность обуславливают форму корпуса и распределение масс. Базирование судов морского флота предполагает их размещение и инженерное обеспечение на акваториях, защищенных от волнения в естественных условиях. Примерами таких бухт могут служить Золотой Рог во Владивостоке, Находка, Авачинская, Северная и Южная в Севастополе. Слабозащищенные от волнения бухты при использовании их в целях базирования требуют строительства соответствующих оградительных сооружений. Такие сооружения построены, например, в Корсакове на Сахалине, в Сочи, Ильичевске.

Для инженерного обеспечения кораблей возводится причальный фронт. Причалы могут быть как стационарного типа, так и плавучими, которые могут обеспечивать базирование судов в условиях больших глубин и открытого моря. При добыче полезных ископаемых на небольших глубинах используются сооружения стационарного типа (Баку, Нефтяные Камни). На значительных глубинах применяются плавучие буровые установки, причем определение силового воздействия волн является основной задачей при проектировании таких сооружений.

Процесс распространения волн сопровождается их трансформацией и рефракцией в прибрежной зоне моря, что необходимо учитывать при проектировании и строительстве морских портов. Эти условия усложняются в тех случаях, когда береговой склон состоит из рыхлого грунта: песок, галька, глина, ил. В результате воздействия волнового потока на дно частицы грунта приходят в движение, причем более тяжелые перемещаются вблизи исходной поверхности дна, а более легкие переходят во взвешенное состояние. При этом очертание берега изменяется: на выступах (мысах) береговой линии происходит размыв, а в местах углубления берега (заливах) имеет место намыв, аккумуляция наносов.

© Ю.З. Алешков, 2003

Сформулируем гидродинамическую задачу о распространении и воздействии волн на берега и преграды, расположенные на заданной акватории, предполагая, что дно ограничено твердой, вообще говоря, деформируемой поверхностью. Будем считать, что рассматриваемая жидкость является идеальной несжимаемой. Уравнения движения в этом случае имеют вид [1]

о

тг + V ' ЧР = ^у V = О,

дЬ

дv V2 ,1

— + у^- - V х гсЛу = —дк + - у Р-дЬ 2 р

Система координат выбрана так, что плоскость ху совпадает со свободной поверхностью в ее невозмущенном состоянии, ось г направлена вертикально вверх, к — орт оси г. Также обозначено: р — плотность; V — скорость; р — давление; д — ускорение силы тяжести.

На свободной поверхности г = £(х, у, Ь) имеют место кинематическое и динамическое условия

д( .

где гох —вертикальная компонента скорости; ро —давление, приложенное к свободной поверхности.

На поверхности дна г = —Н(х, у,Ь) условие непротекания записывается в виде

дН

— + V • уЯ + V, = 0.

На поверхностях Б преград, находящихся в слое жидкости, также имеют место условия непротекания = Уп, где Уп —нормальная скорость точек поверхности преграды. Должны быть также учтены условия ограниченности решения на бесконечности и начальные условия.

С математической точки зрения данная задача является начально-краевой для нелинейной (квазилинейной) системы уравнений в частных производных. Ее постановка была приведена Лагранжем [2]. Он также сформулировал ее для случая однородной жидкости и потенциального ее движения, опираясь на доказанную им теорему о сохранении свойства потенциальности движения, возникающего из состояния покоя. Пусть V = ▽<£>, где ^ = у>(х, у, г, Ь) — потенциал скорости, Д<^> = 0 . Имеет место интеграл

V2 р

^ + — + + - = /(*),

2р

где /(Ь) —произвольная функция времени.

В случае водоема малой глубины Лагранж упростил задачу, исходя из степенного представления искомых функций по вертикальной координате. Тем самым он впервые предложил модель движения жидкости для описания длинных волн [2].

Коши и Пуассон решили начально-краевую линейную задачу в случае бассейна постоянной глубины [3], а М. В. Остроградский дал решение аналогичной задачи для кругового цилиндрического бассейна [4]. Стокс представил два методы решения нелинейной задачи и рассчитал траекторию частицы жидкости, обнаружив свойство ее разо-мкнутости и зависимость частоты волны от ее амплитуды [5]. А.И.Некрасов задачу

о волнах конечной амплитуды свел к нелинейному интегральному уравнению и обосновал сходимость ряда, представляющего его решение [6]. Вопросы трансформации и рефракции в случае линейной задачи при переменной глубине жидкости, в частности, над наклонной плоскостью рассмотрены в [3].

Хотя поставленная задача имеет большое значение для морской гидротехники, однако, в ее постановке не учитывается, что дно само представляет не твердую поверхность, а слой рыхлого грунта над коренным берегом. При отсутствии волн можно говорить о поверхности раздела вода—грунт. При волнении имеет место поток твердых частиц из донного слоя в водный через поверхность раздела г = -П(х,у,Ь), происходит перемешивание. Частицы грунта в водном слое находятся во взвешенном состоянии. Тяжелые (крупные) частицы донного слоя остаются в нем, перемещаясь в пределах донного слоя. Требуется определить концентрацию частиц водного слоя и уравнение поверхности раздела водного и донного слоев.

Сначала рассмотрим соответствующую плоскую задачу в предположении отсутствия взвешенных частиц [7]. В результате воздействия потока жидкости поверхность раздела вода—грунт принимает волнообразные очертания. В частности, на дне реки образуются песчаные волны — рифели, в пустыне ветер формирует различные очертания поверхности песка в виде дюн, барханов.

В случае плоского движения двухслойный среды жидкость—грунт ось х направим вдоль невозмущенного уровня свободной поверхности, ось у — вертикально вверх. Пусть у = п(х,у) —уравнение свободной поверхности, у = —Но(х) + П1(х,Ь) —уравнение поверхности раздела жидкость—грунт, здесь функция Н0(х) характеризует начальное положение, а п\(х,Ь) —ее отклонение. Коренной берег определим уравнением у = -На (х).

-Но

Объем вертикального столба грунта над точкой х ширины ¿х равен / ¿у<1х.

-Н

Его изменение за время ¿Ь обусловлено расходом Q(x, Ь) частиц грунта через сечения х и х + ¿х за время ¿Ь. Отсюда имеем уравнение

дт эд = о

дЬ дх

Кроме того, следует записать кинематическое условие на поверхности раздела

дщ (дг]! дН0 \ „ п , , л

Ж + У = -Но(х) + т(х,г).

Уравнения движения идеальной несжимаемой неоднородной жидкости имеют вид [1]

дЬ х дх у ду ' дх ду

дгох дгох дгох 1 др дЬ х дх у ду рдх1

д'Оу д'Оу д'Оу 1 др

дЬ х дх у ду ^ р ду На свободной поверхности имеют место кинематическое и динамическое условия

Далее будем рассматривать случай

Ho (ж) = const, Hd(x) = const, p0 = const. Уравнения движения жидкости с учетом граничных условий имеют решение

~ dp

Р = Р(У), Р = Р(У), «Ж = Чу), «у = О, гу = 0, r/i = 0, др + — = О,

где p(y), u(y) —произвольно заданные функции. Движение жидкости представим в виде

Р = Р + р', vx = u + vX, vy = vy, p = p + p', n = n', П1 = ni,

где штрих характеризует возмущенное движение. Запишем уравнения возмущенного движения жидкости:

dp' dp' dp dvX dvy

u—t— v _= о _- H__- = 0

dt dx y dy ' dx dy '

dvX dvX du \ dp' dt dж (¿г/ dж'

_ / dvy dvy \ , dp'

^ \ dt dx ) ^ dy Граничные условия для описания возмущенного движения:

dn dn dt dx

— +u— = vy> ~9PV+P' = О, У = 0;

, дщ

+ = ^ у = ~н°•

Далее принимаем гипотезу [8]

3 = Q К) , ^ = Vx(х, —Но + П1 ,Ь). Используя процедуру линеаризации, получаем

«X = м(-Н0)+Ь?71+ <(ж, -Но,г), ъ=^

«у

у= — н 0

д + 31 + к [6^1 + vX (х, —Но, Ь)], 31 = д(м(—Но)), к = д'(м(—Но)). Рассмотрим решение в виде бегущей волны с частотой ш и волновым числом к:

{р',р', vX, Vy, п, П1} = {ВД, Р (у), Ух (у), Уу (у), А, В}в<(кх—

Для определения соответствующих амплитуд имеем уравнения (км — ш)гД + р"Уу = 0, гкУх + Уу' = 0,

р[ (км — ш)гУх + м'Уу] = —гкР,

р(км — ш)гУу = — дД — Р',

причем здесь штрих означает производную по у. Граничные условия:

(км — ш)гА = Уу, Р = дрА, у = 0,

(км — ш)гД = Уу, (кк6 — ш)В + ккУх = 0, у = —Но. Составим уравнение для т + Уу:

(км — ш)2(т'' — 2ат') [к2(км — ш)2 + к(км — ш)(м'' — 2ам') — к2Ж2]т = 0,

где Ж2 = 2а = -К2.

^ р ' д

Граничные условия для определения т(у):

км' дк2

+

км — ш (км — ш)2

. кк6 — ш

го = —--ад, у = -Н0.

к

В результате замены искомой функции по формуле

т = У(у)ехр| ^ а(у)«у| уравнение для У(у) примет вид

У'' + д(у)У = 0,

. 2 2 м'' — 2ам' 2дк2

9{у) = а -а -к -к—--Ь ---^-а.

км — ш (км — ш)2

Граничными условиями для определения У(у) являются

У'(0) = 71У (0), У'(—Но)= 72 У (—Но),

ku' gk2 71 1-+

ku — w (ku — w)2 При g = const имеем

y=o

ккб — w

72 = i -77-г - «

K

y=-Ho

У = С^е^ +С2е-^. Удовлетворяя граничным условиям, получим уравнения для С1, С2:

(>/9-71)^1 "(^ + 71)^2= 0,

(^"72)е-^ЯоС1 - (^ + 72)е^ЯоС2 =0.

Отсюда имеем связь между С, С2 , а определитель этой системы дает соотношение ш = ш(к).

— a

Изменение береговой линии. Сложившимся подходом к моделированию процесса воздействия волн на береговую зону моря является составление уравнения для функции y = r¡(x,t), определяющей линию берега с учетом соответствующей гипотезы о векторе потока наносов [9]. Здесь оси x, y лежат в плоскости невозмущенной свободной поверхности, причем ось x направлена вдоль берега.

Рассмотрим в плоскости xy криволинейный четырехугольник, образованный прямыми xi = x, Х2 = x + dx и соответствующими дугами береговой линии, относящимися к моментам t и t + dt. Движение наносов под воздействием волн обуславливает изменение береговой линии. Пусть а = a(x,t) —угол между касательной к линии берега и осью x, Q = Q(x, y, t) = (Qx, Qy) — вектор потока наносов. Тогда расход наносов вдоль касательной и по нормали к линии берега соответственно можно представить в виде

QT = Qxcos а — Qysin а,

Qn = Qx sin а + Qy cos а.

С другой стороны имеем

Qx = Qtcos а + Qnsin а,

Qy = —QTsin a + Qncos a.

Рассмотрим сечение берега плоскостью x = £ ив нем область S, ограниченную вертикалью, проходящей через точку (£,n(£,t)), линией коренного берега и отрезком оси y: x = £, no(x) < y < n(x,t), где n(x, 0) = no(x) —уравнение начальной береговой линии. В момент t площадь S = S(£, t) этой области

г n

S(£,t)= H (£,y)dy.

h o

За время dt объем участка берега S(£,t)dx изменится на величину H(^,r/)^dtdx. Это изменение объема вызвано движением наносов в объеме

Qx

e,+dx

dt + Qb

í

П+dy

dQx , dQy дг/

dt= —--h -7-^ t— ) dx dt.

n V ax dy dx /

Следовательно, динамика береговой линии определяется уравнением

_ дQx дQy дг/ дЬ дх ду дх

В отношении вектора потока наносов Р сделаем следующие предположения. Будем считать, что поперечный профиль берега принял форму устойчивого равновесия, когда поперечным перемещением наносов к линии берега можно пренебречь, т. е. Qn = 0.

Расход наносов, формирующих линию берега, вызывается действием волн. Твердые частицы приходят в движение с соответствующей скоростью, по которой и определяется величина расхода наносов.

Расход вдольберегового потока наносов зависит от очертаний линии берега, что находит отражение в предположении зависимости вдольберегового расхода Qт от угла в между фронтом набегающей волны и касательной к линии берега, Qт = /(в) [9].

Пусть угол y определяет направление фронта волны. Тогда в = 7 — а, причем

При y = const, QT = Bsin2e и малых а имеем уравнение

H (x,n)nt = 2Bcos27nx.

Это уравнение квазилинейное. Однако в случае крутого подводного склона можно положить H(ж, y) = const и уравнение для n(x, t) будет линейным

= а2г/хх, а? =

В случае задачи об изменении береговой линии в естественных условиях необходимо учесть начальное условие

0) = по(ж), |х| < то, г> 0. При этом ее решение имеет вид [10]:

2B

/ТО

G(x,t; One (£R,

-СХЭ

G(x,t;£) = 1 exp( - ^ ^

^4^ I 4а2£

В задачах морской гидротехники рассматривают вопрос о защите акватории порта от наносов и волнения [11]. Возможным вариантом ее решения является возведение мола в качестве оградительного сооружения поперек движения наносов. Мол представляет собой твердую вертикальную стенку и играет роль наносозадерживающего сооружения. На плоскости ху он изображается в виде отрезка, расположенного вдоль оси у, длина которого равна I: х = 0, 0 < у < I. Во входящем угле между первоначальной линией берега и молом наносы будут задерживаться, формируя с течением времени линию берега у = п(х,г), х > 0, г > 0, причем должны выполняться условия

п(х, 0) = по(х).

= 0, х = 0, 0 < г < гь п(0,^1) = /.

п(х, г) ^ 0, х ^ то, г > 0.

С момента г = г — 1 поток наносов начинает обходить голову мола, не меняя значения ординаты береговой линии в точке х = 0: п(0,г) = I, г > г1. При этом пространство, соответствующее области входящего угла, будет заполняться наносами. Таким образом, с момента г = г1 условия задачи примут вид

п(х,г1) = п1(х) = п(х,г1 — 0), п(0,г) = I, г > г1.

Рассмотрим задачу движения наносов на первой стадии, т.е. для 0 < г < г1, п(о, г1) = I. Она имеет вид

П = а2Пжж, х > 0, 0 < г < гь

0) = no(x),

r](0, t) = ^tg 27 = r](x,t) —^ 0, j->oo.

Введем v = nx — М- Тогда функция v = v(x,t) будет решением задачи

vt = a2vx

x > 0, 0 < t < tb

dno

v(x,0) = —--¡1 = v o(x); v(0,t)=0.

dx

Ее решение (см. [10]) имеет вид

v

1

V477аЧ

e 4a2t — e 4a2t

тг

vo(C)de.

Учитывая, что

1

\/4ira2t

(x-sr

e 4a21 — e 4a2t

ф(^) = 4= Г

vn./ 0

d£ = Ф

v

получим выражение для производной

Пх = М

1-Ф

+

1

A/Itto2!

(x-sr

e 4a21 —e 4a2t

d^o

de

В результате интегрирования имеем уравнение береговой линии при наличии нано-созадерживающего сооружения. Оно имеет вид

. , . t х2

г]{х, t) = ¡л< 2а\ —е 4a21 — х V п

1Ф

+

+

1

\/1тшЧ

'х J0

e 4a2t e 4a2t

(Э+гГ гг"

dyo(0

de

d£ de,

> 0, 0 < t < t1, n(0,t1) = l.

CXJ

o

cxj

x

o

2

da

e

DO

o

x

Summary

Aleshkov Yu.Z. Dynamic processes in shore zone of sea. The problem of dynamics of shore line is considered.

Литература

1. Алешков Ю.З. Течение и волны в океане. СПб., 1996.

2. Лагранж Ж. Аналитическая механика. В 2-х т. М.; Л. Т. II. 1950.

3. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М., 1977.

4. Остроградский М.В. Избранные труды. Л., 1958.

5. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves// Math. Phys. Papers. Cambridge, 1880. Vol. 1. P. 197-229, P. 314-326.

6. Некрасов А.И. Собр. соч.: В 2-х т. М., 1961. Т. 1.

7. Алешков Ю.З. Волны на поверхности сыпучих сред, вызванные потоком жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 4 (№28). С. 35-43.

8. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. Л., 1949.

9. Девдариани А.С. Математический анализ в геоморфологии. М., 1997.

10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1997.

11. Вечорек В.И. Переформирование волнами линии берега у поперечного наносозадер-живающего сооружения // Гидротехническое строительство. Л., 1981. №1. С.33-36.

Статья поступила в редакцию 30 мая 2002 г.