Влияние граничных условий на движение жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара

УДК 532.685

DOI 10.21685/2072-3040-2017-1-4

Н. Г. Тактаров, А. А. Кормилицин, Н. А. Лемясева

ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ, ВЫЗВАННОЕ ВРАЩАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПОРИСТОГО ШАРА

Аннотация.

Актуальность и цели. Теория движения жидкостей через пористые среды интенсивно развивается в последнее время в связи с разнообразными приложениями. Движение жидкости в объеме существенно зависит от граничных условий на поверхностях раздела сред. В настоящей работе рассматривается влияние граничных условий на движение жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара, погруженного в жидкость.

Материалы и методы. Для решения задачи используются методы математической физики и векторного анализа. Задача решается в сферической системе координат с началом в центре шара. Графики профилей скорости внутри и вне пористого шара построены с использованием численных методов.

Результаты. Определены поля скоростей жидкости внутри и вне пористого шара в зависимости от граничных условий на его поверхности. Профили скоростей приведены на графиках.

Выводы. Показано, что вид граничных условий влияет на движение жидкости внутри и вне пористого шара. Внутри и вне шара имеются поверхности, на которых скорость обращается в нуль. В промежутках между этими поверхностями жидкость движется с попарно противоположными по направлению скоростями.

Ключевые слова: пористая среда, вязкая жидкость, уравнение Бринкмана, граничные условия.

N. G. Taktarov, A. A. Kormilitsin, N. A. Lemyaseva

THE EFFECT OF BOUNDARY CONDITIONS ON THE FLUID MOTION INDUCED BY THE ROTATIONAL-OSCILLATORY MOTION OF A POROUS SPHERE

Abstract.

Background. The theory of fluid motion through porous media is being investigated intensively in the present time due to its vast applications. The motion of fluid in its volume essentially depends upon boundary conditions on media interfaces. The present paper considers the effect of boundary conditions on the fluid flow induced by the rotational-oscillatory motion of a porous sphere submerged in the fluid.

Materials and methods. The methods of mathematical physics and vector analysis were applied to solve the problem. The numerical methods were used in construction of velocity profile graphs.

Results. The fluid velocity fields inside and outside of a porous sphere were determined depending on the boundary conditions on its surface. The velocity profiles are presented on the graphs.

Conclusions. It is shown that the boundary conditions form has an effect on the fluid motion inside and outside of the porous sphere. Inside and outside the porous

sphere there are surfaces on which the velocity equals zero. In the gaps between those surfaces the liquid flows with velocities pairwise opposite in directions.

Key words: porous medium, viscous fluid, Brinkman equation, boundary conditions.

Введение

Теория движения жидкостей через пористые среды интенсивно развивается в последнее время в связи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений. Среди множества этих приложений можно назвать: удаление загрязняющих примесей из интегральных схем при изготовлении компьютеров, извлечение и хранение радионуклидов из отходов отработанных ядерных материалов, изучение микроорганизмов. Пористая среда имеет большое количество пустот - пор, в связи с этим внутренняя поверхность пор, приходящаяся на единицу объема среды (удельная поверхность), может достигать очень больших значений. При течении жидкости через пористую среду она контактирует с твердой поверхностью на большой площади, что особенно важно, например, в химической промышленности, поскольку с увеличением площади усиливается мас-сообмен при химических реакциях.

Перечисленные выше приложения стимулируют исследование движения жидкости внутри и вне пористых тел различной формы. Из этих тел наиболее простыми по форме являются цилиндрические и сферические тела, в случае которых часто удается получить и проанализировать точные аналитические решения соответствующих задач.

В работе [1] решена задача об обтекании жидкостью неподвижного пористого шара, находящегося в другой пористой среде. В работе [2] рассмотрена задача об обтекании неподвижной пористой сферической оболочки. Задачи о течении в пористой среде вокруг сплошного цилиндра и сферы решены в [3]. Постановка задачи о течении вязкой жидкости, вызванном враща-тельно-колебательным движением пористого шара, приведена в [4].

Движение жидкости в объеме существенно определяется условиями на поверхностях, ее ограничивающих и называемых граничными условиями. Классическое граничное условие к уравнениям движения жидкости, контактирующей с твердой поверхностью, состоит в равенстве скоростей жидкости и твердой поверхности. Соответственно этому скорость жидкости на неподвижной твердой поверхности равна нулю (условие прилипания).

Однако, как показали многочисленные эксперименты и теоретические исследования последнего времени, классическое граничное условие для скорости жидкости в некоторых случаях нуждается в определенных усложнениях. Например, на супергидрофобных поверхностях, как найденных в природе, так и созданных искусственно, жидкость проскальзывает, не прилипая к поверхности [5-7].

Граничные условия на поверхности раздела пористой среды (матрицы) и насыщающей ее жидкости в случае, когда течение жидкости описывается уравнением Бринкмана [8], также отличаются от классического [9, 10].

Уравнения движения жидкости в пористой среде, основанные на модели фильтрации Бринкмана, приведены, например, в [8-12].

В настоящей работе рассматривается влияние граничных условий на движение жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением погруженного в нее пористого шара вокруг стационарной оси вращения, проходящей через его центр.

1. Математическая модель

Предполагается, что пористая матрица является недеформируемой, однородной и изотропной и, кроме того, имеет достаточно большую пористость (близкую к единице) и высокую проницаемость. Такими свойствами могут обладать материалы, изготовленные из сильно вспененных, либо волокнистых металлов. В пористых матрицах с такими свойствами могут возникать течения жидкости, в которых скорость жидкости может заметно отличаться от скорости матрицы.

Угловую скорость вращения шара вокруг оси запишем й = Й0ехр(-/Ю), где й0 - постоянный вектор, ю - частота колебаний, ^ - время. Знаком « » везде обозначаются размерные переменные (но не размерные параметры), чтобы отличать их от соответствующих безразмерных переменных.

Пусть а и Ь - радиусы пористого шара и непроницаемой, концентрической с ним сферической оболочки с жидкостью (а < Ь), р - плотность жидкости, п - вязкость свободной (вне пор) жидкости. Предполагая малым число Рейнольдса (р^0а2/п << 1), будем рассматривать движение жидкости внутри и вне пористого шара в приближении Стокса.

Индексами 1 и 2 в необходимых случаях обозначаются величины для областей внутри и вне пористого шара.

Уравнения нестационарного движения жидкости в пористой среде в соответствии с моделью Бринкмана запишем в виде [8-12]:

р Эц

гэг

1 ** *** * 1 = -grad p uj + F , div u =0,

здесь Г - пористость (Г = const); u* - макроскопическая скорость фильтрации; pi - среднее давление в порах; л - эффективная вязкость жидкости

*

в порах; F - плотность силы сопротивления пористой матрицы, точки кото* * *

рой движутся со скоростями v = У х г (радиус-векторы r отложены от центра шара):

F* =-1К-u),

* *

где u =Tv , K- коэффициент проницаемости матрицы.

При сделанном предположении, что пористость достаточно велика, примем, что л' = Л [8].

Уравнения движения свободной жидкости (в области 2) в приближении Стокса [13] имеют вид:

Эu2 * * * * * *

= -grad Р2 + лА u2, div u2 = 0.

Эг

Вследствие осевой симметрии частицы жидкости будут двигаться по окружностям с центрами на оси вращения, а давление по этой же причине выпадает из уравнений движения.

Введем сферическую систему координат (г , 9, ф) с базисом ^ , ee , eф) и началом в центре шара. Полярная ось г направлена вдоль единичного вектора eo = й0/|й0|. Угол 9 отсчитывается от положительной полуоси г . От азимутального угла ф величины не зависят вследствие осевой симметрии.

Граничные условия на поверхности пористого шара г = а [4, 9, 10]:

* * л/* * \ / * * \

мФ1 = мФ2 , л 9<р1~ сТф2) = п \иц1-\ ^

а на поверхности неподвижной сферической оболочки г* = Ь: и<2 = 0.

Здесь Л - постоянная с размерностью длины, зависящая от свойств

*

жидкости и пористой среды вблизи поверхности их контакта; сг<у (/ = 1,2) -компонента тензора напряжений в областях 1 и 2:

( -л * * Л

СТ*Ф/ = л

дм* _ Иф * *

dr r

v /

При Л ^ да из (3) следует условие непрерывности касательных напряжений на поверхности пористого шара, а при Л ^ 0 и К ^ 0 - условие отсутствия проскальзывания жидкости на поверхности пористой матрицы:

* *

и<1 = ур. В пределе К ^ 0 пористую матрицу можно представить как состоящую из несвязанных между собой пор и не пропускающей жидкость через себя. При этом жидкость в порах движется вместе с матрицей как твердое тело со скоростью

* * * *

v = ^ / Г =  х г .

2. Решение краевой задачи

Для решения уравнений (1) и (2) с граничными условиями (3) введем безразмерные переменные:

г = г / а, t = ^ ю, ^ = ^ / ^ , U2 = ^ / Vo , *

u = u / У0 = Г^ хг)СХР(-^), (У0 = ^0а).

Будем иметь следующую краевую задачу: - в безразмерном виде:

юа 2 Эш а 2

—--1 -Au1 -—

ГУ Эt 1 К ^ 1 ' 1 ^^

юа2 Эu2

v dt

Au 2 =0, div u 2 =0 (v = ^/ p);

- при r = 1:

Мф1 = мф2 , ^(ЭиФ1 / Эг-ЭмФ2/Эг) = V - v9;

- при r = R:

иФ2 = 0.

Здесь X = Л/a, v9 = exp(-it)sin 9, R = b/a. Скорость u1 ищется в виде [13]:

u1= - exp(-/i)eoxgradf1(r),

Подставляя u1 в (4), получим дифференциальное уравнение для функции f1(r) :

А f1

здесь m2 = (2/ Г)Г/(а / S2)2 - (a / S1)21, S1 = V2K / Г, S2 = V2v / m. Общее решение (5) имеет вид [14]:

1 1 2

f (r) = —exp(7'm1r) + ^ —exp(-im^r) + Cr , r r

здесь

= (a/л/Г)(1/S + iS / S2), 1/S2 =-1/S2 1/S4 +1/S2,

mi

С = (Г/ 2) /[i (5j /S2)2 -1].

Для того чтобы решение было конечным при г ^ 0, следует положить Ai = - Bi.

Скорость U2 ищется в виде

U2 = - exp(-it)eo хgrad/2 (г).

Согласно (4) для нахождения /2 (г) получаем дифференциальное уравнение: А/2(г) + m2 /2 (г) = 0, где m2 = (1 + i)(а / 52). Общее решение этого уравнения:

/2 (г) = A21exp(im2 г) + B2 exp(-im2 г). г

Определяя постоянные Ai, А2, В2 из граничных условий (4), находим внутреннее и внешнее поля скоростей ui = еф^, u2 = ефИф2 :

ui = ефб-itFi

^ / ч 2iAi ( i . ^

Fi( г) =---1 micos mi г — sin mi г I -2Сг,

г ^ г J

F (r ) = - A ^ m ~ "Г J exPOm2 r ) + B ^ m + -2 J exp(-zm2 r ).

Здесь коэффициенты определяются равенствами

А1 = А/ D, А2 = D2/ D, 52 = D3 / D ,

D1 = e-i(R-1)m (i + iRm2)Г(1 -im2)(i + 2C - 6CÀ) + 2CÀm22

+gí( R-1)m2 (-j + iRm2) Г(1 + im2)(i + 2C - 6CÀ) + 2CÀm:

D = -2e-íRm2

11 - 6CÀ + 2CÀm2 j sin mj - mj(1 - 6CÀ) cos mj

D3 = -2eiRm2 (i + Rm2) |1 - 6CX + 2CXmf) sin mj - m^1 - 6CX) cos m1 D = 2e-i(R-1)m2 (-i + Rm2) (Xm2 - iXm2m2 -1 + im2 - Xm2 ) sin m1 +(m1 - im1m2 + Xm1m2) cos m1 ] + 2ei( R-1)m2 (i + Rm2) X x |Xm2 + iXm2m2 -1 - im2 - Xm2 j sin m1 +1 mm + im1m2 + Xm1m2 j cos m1

В формулах для скоростей везде подразумеваются действительные части соответствующих комплексных выражений.

Переход в (6) к пределу X ^ 0, K ^ 0, R ^ да равносилен замене пористого тела непроницаемым для жидкости твердым шаром в неограниченной жидкой среде. При этом ui принимает вид ui = re9rexp(-/Y)sin 9, а u2:

u2 = (eo x r) j íakir exp[iok2 (r -1) - it],

f

k2 =

1 + i

\

скоро-

r

Это выражение в размерном виде совпадает с [13].

В пределе ю ^ 0 (82 ^ K ^ 0 (81 ^ 0), À ^ 0,R сти u1 и u2 переходят в размерном виде в:

* * * * * * 3

u1 /Г = v = Цxr , u2 = (Цхг )(a/r ) .

3. Анализ модели

Рассмотрим влияние граничных условий на поля скоростей u1 и u2 в (6).

На рис. 1 приведены графики зависимости действительной части Re("q>u) от r, т.е. Re(M9i) от r (0 < r < 1) и Яе(мф2) от r (r > 1) для пористости Г = 0,95. Здесь и далее все графики построены при 9 = п/2 (экватор пористого шара) для момента времени t = 0 (вследствие нестационарности движения жидкости поле скоростей изменяется со временем). При этом брались значения: a/81 >> 1; a/82 = 1; À = 0,005; Г = 0,95; R = 1,1;1,5;2;3. Видно, что в области 1 (внутри шара) скорость изменяется линейно от нуля до максимального значения, равного Г, при r = 1, а в области 2 (вне шара) скорость убывает от максимального значения, равного Г, при r = 1 до нуля на поверхности непро-

ницаемой оболочки г = Я. На рис. 1 приведены графики профиля скорости при четырех значениях Я.

Re

0,8

0,4-

/

/

/ 1

0,5

1

1.5

2,5

Рис. 1. Зависимость Re

Если X = 0 (строгое равенство) и а/Ъ1 изменяется в промежутке от 1 до 3, то при а/52 = 1 графиком функции Яе(иф1) является отрезок прямой, соединяющий точки (0; 0) и (1; 1), при любом Я из промежутка 1 < Я < да. Это означает, что жидкость в пористой среде вращается как единое целое вместе с пористым шаром.

На рис. 2 приведены графики зависимости Яе(иф1) и Яе(мф2) от г при Я ^ да для а/Ъ\ < 1 и а/52 = 1 и различных значений X и пористости Г = 0,95. Видно, что при X Ф 0 профиль скорости не является гладкой кривой при г = 1 (на поверхности пористого шара) и претерпевает излом. Как внутри шара, так и вне его имеются при каждом значении X по две области со встречными скоростями движения, причем на поверхностях раздела этих областей скорости обращаются в нуль. При каждом значении X скорость жидкости в окрестности центра пористого шара и на его поверхности имеет противоположные направления.

На рис. 3 приведены соответствующие графики при а/51 < 1, а/52 = 1 и Я ^ да, Г = 0,95. Видно, что при значениях X значительно больших единицы модуль скорости в областях 1 и 2 меньше, чем при X < 1. При достаточно больших X излом графиков при г = 1 сглаживается.

На рис. 4 приведены графики скоростей при Я ^ да, Г = 0,95 и а/51 = 1, а/52 = 1 для различных значений X. При X < 1 графики имеют излом аналогично приведенным на рис. 2 и 3, а при X = 10 излом сглаживается.

Графики при Я ^ да, Г = 0,95 и а/51 > 1, а/52 < 1 (рис. 5) показывают, что при X < 1 поведение профилей скорости аналогично приведенным на рис. 2-4, а при X = 10 излом сглаживается, как и в предыдущих случаях.

Графики на рис. 6 отличаются от рис. 5 лишь тем, что они построены для пористости Г = 0,9 и при таких же значениях прочих параметров. Видно,

что уменьшение пористости приводит к уменьшению модуля скорости при каждом значении координаты г. Это уменьшение становится более заметным при дальнейшем уменьшении пористости. Уменьшение скорости здесь связано с тем, что сила сопротивления пористой матрицы увеличивается с уменьшением ее пористости. При Г = 1, т.е. при отсутствии пористой матрицы, сила сопротивления, очевидно, равна нулю.

КсСи^д)

од

-0,1

0,3

V / 2 \ -~ 3 " -- -

0,5 1 1,5 2 2,5

Рис. 2. Зависимость Ке

Re

0,5 1 1,5 2 2,5 г

Рис. 3. Зависимость Ке

Rc

0,4-

-0,4

—

J__^

Rc

0,2

0,2

-0.4

0,5

1

1,5

2,5

Рис. 4. Зависимость Re

/4 \ 'TX

Л \ _——

0,5

1

1,5

2,5

Рис. 5. Зависимость Re

На рис. 7 приведены графики скоростей при R ^ œ, Г = 0,95 и a/S1 = 1, a/S2 = 10 для нескольких значений l < 1. Видно, что в этом случае внутри пористого шара скорость обращается в нуль при трех значениях r Ф 0, а также на некотором отрезке в окрестности r = 0. Вне шара скорость обращается в нуль также при трех значениях r, а также на некотором полубесконечном отрезке при r ^ œ. При r = 1 (на поверхности шара) профиль скорости претерпевает излом. В промежутках между нулевыми значениями скорости внутри и вне шара имеются слои жидкости, движущиеся с попарно противоположными по направлению скоростями в рассматриваемый момент времени t = 0.

Re

0,5 1 1,5 2 2,5

Рис. 6. Зависимость Яе

Re

0,05 0

-0,1

-0,2

0,5 1 1,5 г

Рис. 7. Зависимость Яе(мф1,2) от г: а/81 = 1; а/52 = 10;

Г = 0,95; Я ^да; I = 0,1; 0,25; 0,5; 1

Заключение

Исследовано влияние граничных условий на движение вязкой жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением погруженного в нее пористого шара вокруг стационарной оси вращения. Жидкость вместе с пористым шаром заключена в непроницаемую концентрическую сферическую оболочку, на которой скорость обращается в нуль. Определены поля скоростей жидкости внутри и вне пористого шара в зависимости от различных граничных условий. Профили скоростей приведены на графиках. Показано, что

вид граничных условий влияет на движение жидкости внутри и вне пористого шара. Внутри и вне шара имеются поверхности, на которых скорость обращается в нуль. В промежутках между этими поверхностями жидкость движется с попарно противоположными по направлению скоростями. При определенных граничных условиях профиль скорости претерпевает излом на поверхности пористого шара.

Библиографический список

1. Grosan, T. Brinkman flow of a viscous fluid through a spherical porous medium embedded in another porous medium / T. Grosan, A. Postelnicu, I. Pop // Transport in Porous Media. - 2010. - Vol. 81. - P. 89-103.

2. Rajvanshi, S. C. Slow extentional flow past a non - homogeneous porous spherical shell / S. C. Rajvanshi, S. Wasu // Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. -2013. - Vol. 18, № 2. - P. 491-502.

3. Леонтьев, Н. Е. Течения в пористой среде вокруг цилиндра и сферы в рамках уравнения Бринкмана с граничным условием Навье / Н. Е. Леонтьев // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2014. - № 2. - С. 107-112.

4. Taktarov, N. G. Viscous fluid flow induced by rotational-oscillatory motion of a porous sphere / N. G. Taktarov // Fluid Dynamics. - 2016. - Vol. 51, № 5. - P. 703-708.

5. Lafuma, A. Superhydrophobic states / A. Lafuma, D. Querre // Nature Materials. -2003. - Vol. 2. - P. 457-463.

6. Cassie, A. B. D. Wettability of porous surfaces / A. B. D. Cassue, S. Baxter // Trans. Faraday Soc. - 1944. - Vol. 40. - P. 546-551.

7. Rothstein, J. P. Slip on superhydrophobic surfaces / J. P. Rothstein // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2010. - Vol. 42. - P. 89-102.

8. Brinkman, H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dence swarm of particles / H. C. Brinkman // Appl. Sci. Res. - 1947. - Vol. 1, № 1. -P. 27-34.

9. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid. - I. Theoretical development / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 1995. - Vol. 38, № 14. - P. 26352646.

10. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid. II. Comparison with experiment / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 1995. - Vol. 38, № 14. - P. 26472655.

11. Тактаров, Н. Г. Конвекция намагничивающихся жидкостей в пористых средах / Н. Г. Тактаров // Магнитная гидродинамика. - 1981. - № 4. - С. 33-35.

12. Tilton, N. Linear stability analysis of pressure-driven flows in channels with porous walls / N. Tilton, L. Cortelezzi // J. Fluid Mech. - 2008. - Vol. 604. - P. 411-445.

13. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Физмат-лит, 2006. - 736 с.

14. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. - М. : Физматлит, 2001. - 576 с.

References

1. Grosan T., Postelnicu A., Pop I. Transport in Porous Media. 2010, vol. 81, pp. 89-103.

2. Rajvanshi S. C., Wasu S. Int. J. of Applied Mechanics and Engineering. 2013, vol. 18, no. 2, pp. 491-502.

3. Leont'ev N. E. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Fluid and gas dynamics]. 2014, no. 2, pp. 107-112.

4. Taktarov N. G. Fluid Dynamics. 2016, vol. 51, no. 5, pp. 703-708.

5. Lafuma A., Querre D. Nature Materials. 2003, vol. 2, pp. 457-463.

6. Cassie A. B. D., Baxter S. Trans. Faraday Soc. 1944, vol. 40, pp. 546-551.

7. Rothstein J. P. Annu. Rev. FluidMech. 2010, vol. 42, pp. 89-102.

8. Brinkman H. C. Appl. Sci. Res. 1947, vol. 1, no. 1, pp. 27-34.

9. Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995, vol. 38, no. 14, pp. 2635-2646.

10. Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995, vol. 38, no. 14, pp. 2647-2655.

11. Taktarov N. G. Magnitnaya gidrodinamika [Magnetic gydrodynamics]. 1981, no. 4, pp. 33-35.

12. Tilton N., Cortelezzi L. J. Fluid Mech. 2008, vol. 604, pp. 411-445.

13. Landau L. D., E. M. Lifshits Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 736 p.

14. Polyanin A. D. Spravochnik po lineynym uravneniyam matematicheskoy fiziki [Reference book of linear equations of mathematical physics]. Moscow: Fizmatlit, 2001, 576 p.

Тактаров Николай Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: n.g.taktarov@mail.ru

Кормилицин Анатолий Андреевич аспирант, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: aa.korm@yandex.ru

Лемясева Надежда Александровна аспирант, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: nadegdalem@mail.ru

Taktarov Nikolay Grigor'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-departament of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

Kormilitsin Anatoliy Andreevich Postgraduate student, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

Lemyaseva Nadezhda Aleksandrovna Postgraduate student, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

УДК 532.685 Тактаров, Н. Г.

Влияние граничных условий на движение жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров, А. А. Кормилицин, Н. А. Лемясева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 1 (41). -С. 32-43. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-1-4