Математическое моделирование процесса перемешивания спутных двухфазных потоков в цилиндрическом канале

УДК 532.5.032

B. Н. Петров, В. Ф. Сопин, С. Л. Малышев,

C. В. Петров

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕМЕШИВАНИЯ

СПУТНЫХ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

Ключевые слова: газожидкостный поток, математическое моделирование, переходный участок, смесительный аппарат,

турбулентная газовая струя, управление.

В работе представлена математическая модель процесса перемешивания спутных двухфазных потоков в цилиндрическом канале. Результаты работы позволят изучить процесс перемешивания газожидкостного потока с целью управления им и создания однородной по составу и устойчивой во времени смеси. Рассмотрен переходный участок газожидкостной струи.

Keywords: gas-liquid flow, mathematical modeling, transition area, the mixing device, turbulent current of gas, operation.

The paper presents a mathematical model of two-phase mixing wake flow in the cylindrical channel. The results will allow to study the process of mixing the gas-liquid flow in order to manage them and to create a uniform composition and stable mixture in time. Considered a transition area of gas-liquid jet.

Сегодня значительный вклад в социально-экономическое процветание Российской Федерации вносит нефтегазовый комплекс. Однако повышение эффективности нефтедобычи в стране невозможно без качественного и оперативного контроля режимов эксплуатации нефтяных скважин. С учётом этих проблем в 2015 году введён в действие ГОСТ 8.6372013 «ГСИ. Государственная поверочная схема для средств измерений массового расхода многофазных потоков» [1]. Указанный нормативный документ вводит новый подход к вопросу метрологического обеспечения выпуска и эксплуатации средств измерений массового расхода газожидкостных потоков. Согласно поверочной схеме обеспечивается прямой метод передачи единицы массового расхода от Государственного первичного специального эталона единицы массового расхода газожидкостных смесей ГЭТ 195-2011 (далее - первичный специальный эталон) [2] рабочим эталонам и средствам измерений расхода газожидкостных потоков [3]. В связи с этим возрастает роль первичного специального эталона, позволяющего воспроизводить и сохранять неизменной единицу массового расхода газожидкостных смесей с наименьшей погрешностью для существующего уровня развития измерительной техники [4]. В свою очередь, технические и метрологические характеристики первичного специального эталона зависят от автоматизированной системы управления и системы подготовки газожидкостной смеси эталона. Одним из основных устройств, позволяющих воспроизводить единицу массового расхода газожидкостной смеси является смесительный аппарат, позволяющий создавать однородный по составу и устойчивую во времени газожидкостную смесь.

Необходимо заметить, что зарубежные многофазные проливные стенды, разработанные для формирования и подачи многофазного потока с определёнными свойствами и характеристиками с целью испытания и калибровки средств и систем измерений расхода газожидкостных потоков, конструктивно отличаются от технологической схемы первичного специального эталона и рабочих эталонов, ис-

пользуемых в России [5]. Так в конструкции многофазных проливных стендов предусмотрена подача каждой фазы на поверяемое устройство по отдельной линии. Для измерений расхода на каждой линии установлены однофазные расходомеры. Наличие насосов на каждой линии позволяет установить необходимый расход, давление и температуру однофазного потока. Перемешивание фаз происходит после измерения их расхода. Вначале в процессе движения компонентов газожидкостного потока перемешиваются компоненты жидких фаз, далее по мере движения потоков перемешивается жидкая смесь с газовой фазой.

В первичном специальном эталоне перемешивание компонентов жидкой фазы (воды и имитатора нефти) происходит в смесительном аппарате до необходимого качества перемешивания, необходимого для данного процесса. В дальнейшем смесь жидкой фазы после прохождения через однофазный расходомер перемешивается с газовой фазой (воздухом). Конструкция первичного специального эталона представлена в работе [2]. Другими словами, отличие первичного специального эталона от многофазных проливных стендов состоит в способе воспроизведения единицы массового расхода газожидкостной смеси. Надо заметить, что эталон по определению должен обладать тремя взаимосвязанными свойствами: воспроизводимостью, неизменностью и сличаемостью [6].

Из вышесказанного следует, что разработка смесительного аппарата с необходимым качеством перемешивания является одной из наиболее важных задач, стоящими перед проектировщиками эталонов, и которая позволит управлять процессом перемешивания. Как показано в работе [7], получить однородную смесь во всей ёмкости смесительного аппарата возможно путём управления процессом турбулентного перемешивания жидких сред. В данном случае однородность процесса перемешивания достигается за счёт смесительного аппарата элементы которого разработаны с использованием математической модели, позволяющей рассчитать равномерное распре-

деление подачи смеси в смесительныи аппарат при циркуляционном перемешивании смеси.

В представленной работе предпринята аналогичная попытка разработки математической модели перемешивания турбулентной газовой струи со спутным потоком жидкой фазы в цилиндрическом канале, которая, как надеются авторы, поможет в управлении процессом перемешивания смеси.

На структуру течения газожидкостного потока существенное влияние оказывают геометрические

_ г

размеры канала, в частности, параметр г = — (здесь

Н

г - радиус турбулентной газовой струи, Я - радиус канала смесителя) и объёмная концентрация жидкой

фазы яжф= °ЖФ— (где Ожф,Огф- соответст-Ожф + Огф

венно, концентрация жидкой и газовой фазы).

Интерес представляет случай, когда объёмная концентрация жидкой фазы соответствует згжф > 0,25 [8], а именно, когда в камере смешения вниз по потоку возникает пузырьковый режим течения, что позволит имитировать течение сырой нефти. Схема рассматриваемого течения представлена на рис.1, её условно можно разбить на три области:

- область течения газожидкостного потока О1МО"А'А в пределах потенциального ядра турбулентной струи ХН;

- область течения газожидкостного потока АА^В в пределах переходного участка ХП

- область пузырькового течения ниже по потоку от сечения ВВ'.

Рис. 1 - Схема течения газожидкостной струи (пузырьковое течение): 1 - начальный участок турбулентной газовой струи; 2 - начальный участок жидкой струи; 3 - переходный капельный участок; 4 - пузырьковое течение

В зависимости от геометрии канала и целей исследования может возникнуть необходимость в разработке метода расчёта только для переходной области ХП или единого расчёта двух областей - начального участка турбулентной струи ХН и переходного участка ХП.

Рассмотрим расчёт переходного участка, в этом случае структуру течения в пределах начального участка турбулентной струи можно рассчитать по методике, изложенной в работе [9].

Данную область течения условно можно разбить на следующие подобласти:

- кольцевую подобласть 2 потока жидкой фазы газожидкостного потока;

- кольцевую подобласть 3 капельного течения газожидкостного потока;

- кольцевую подобласть 4 пузырькового режима течения газожидкостного потока.

Пусть заданы: размеры канала - радиус Я и радиус сопла вдува газовой турбулентной струи - г , а также профили скорости, концентрации и температуры газовой струи иг0, Сг0, Тг0 и спутного жидкостного потока иж0 ,Сж0 ,Тж0 на входе в камеру смешения.

Сделаем следующие допущения:

1) статическое давление в поперечных сечениях канала постоянно;

2) влиянием теплообмена и трения о стенки канала на развитие газожидкостного течения пренебрегаем;

3) температура газовой струи и жидкого спутно-го потока одинаковы.

Для решения поставленной задачи в области капельного течения 3 (рис.1) воспользуемся уравнениями движения, неразрывности и диффузии [10].

,ди 1 д . , дР

ри— + = — -¡-(у)-—,

дх ду у ду дх

дд

—(руЦ) +—{руУ) = 0, дх ду

ЦдС ..дС 1 д .

дх ду у ду

где х, у - продольная и поперечная координаты; и, V - составляющие вектора скорости, направленные соответственно вдоль осей X и 7; т - касательное напряжение; р - плотность; Р - статическое давление; аВ - плотность потока массы жидких капель, определяемая по формуле:

+ .

D ^ ScT Sc) ду

Поперечный профиль плотности потока массы жидких капель в рассматриваемой подобласти найдём методом полиномиальной аппроксимации:

а

ВЕ

= Х аиу" .

п=0

Коэффициенты полинома ап определим из граничных условий, записанных для оси канала и внешней границы слоя смешения капельной подобласти (индекс «К» относится к капельному режиму течения).

айК = 0

да

DK

дС

ду

РКтЦКт дХ

Кт

при у = 0 ;

айК = 0 ;

да

DК

ду

0 при у = Гк ,

где гК - радиус внешней границы слоя смешения капельного течения, индекс «т» относится к параметру к параметрам течения на оси канала.

Решая совместно (5) и (6), с учётом выражения для определения плотности потока массы капель после несложных преобразований, следуя работе [10], получим выражение для профиля концентрации в капельном слое смешения:

1 - сКт ( 1 - сКт

1-CK {1 - СКП

F{Va

2 3 4

где F(щDк) = 6лок - 8лок + 3л ок, индекс «КП» относится к параметрам течения на границе капельного и пузырькового режимов. Профиль скорости в капельном течении определим, используя уравнения движения и неразрывности (1) и (2). Следуя [11], представим профиль касательных напряжений т в поперечном сечении слоя смешения капельного течения в виде полинома по степеням расстояния от оси канала:

2 3

г К - b0 + by + Ь2У2 + Ьзу3

Коэффициенты полинома Ь, определим из граничных условий, записанных для оси канала и верхнего слоя смешения капельного потока:

ТК = 0, Т-PKmUKm 5-X + P приy=0;

dx dx

dy

ТК = 0

дт/к dy

= 0 при у=Гк .

Подставляя граничные условия (9) в полином (8), после простых преобразований, как и при определении профиля концентрации, получим выражение для профиля скорости

U - икп = 1 - 0

ill

1-СКП -CKm

F{Vdk)

Vk( -vK dVK

U Km - иКП

1 (, C

jN^I икп-vK 2diK

.

0

1 -CKm

Связь толщин динамического дК и диффузионного дЕ1К слоёв смешения определяется турбулентным числом Шмидта:

SDK

-yl ScDK •

Проведя преобразования, аналогичные тем, что и в работе [12], получим следующие дифференциальные уравнения:

- уравнение изменения скорости на оси капельной области течения:

dUm -"

1

dP 2

2UKm -U^P^n - W + -(1х5К A

81AxUmPr

где A!=J( 1_CKz)F(llDK)iD(1 -VD)2dVD';

0 1 -CKm

Рхт - плотность на оси канала. - уравнение изменения концентрации примеси на оси капельной области течения:

241 -CKm ) In

dCKm

1 -Скп ]

1 -CKm * {-Т + ^]dx •

КоиКт УБсТ С

Рассмотрим метод расчёта пузырькового течения в подобласти 4 (рис.1).

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнениями движения (1), неразрывности (2) и уравнением диффузии примеси (пузырьков воздуха), записанного в следующем виде:

pUd^ + pV Ф У JUyon)

dx dy y dy

где ф - концентрация газовой фазы; аш - плотность потока массы газовой фазы.

Плотность потока массы (пузырькового слоя смешения), следуя гипотезе Буссинеска, как это было сделано выше, можно записать в виде

Dn -(m + ^ППW (16) DZ | Sen Sen Jdy ' '

где индекс «П» относится к пузырьковому слою смешения.

Представим поперечный профиль плотности потока масс ош в виде полинома по степеням расстояния, записанных для пузырькового слоя течения:

°Dn - e + y -Гк)+в2{y- rK)2 +ез(y- ГК)Ъ. (17) Коэффициенты полинома определим, используя следующие граничные условия, записанные на границе капельного и пузырькового течений, и пузырьковым и границей жидкой фазы:

dar

' Dn dy

- 0 при y - rK;

' Dn

= 0- d°Dn

dy

P U 0фкп pKnuKn dx

при y - П

Подставляя граничные условия (18) в полином (17), с учётом гипотезы Буссинеска (16), как и при расчёте капельного течения в подобласти 3, после несложных преобразований получим выражение для профиля концентрации в потоке

^ = 1^ Л ,

ФКЛ \ФКЛ)

где 1=(лол) = 40л - 3ЛоЛ.

Для определения профиля скорости также как при расчёте капельного слоя смешения, воспользуемся уравнениями движения (1) и неразрывности (2). Представим профиль касательных напряжений т в поперечном слое смешения в виде полинома по степеням расстояния от оси канала: 3

тп- Yjen(y-ГкУ

n-0

Коэффициенты полинома сп определим используя граничные условия, записанные на нижней и верхней границе пузырькового слоя смешения:

л = 0; ^^ = о при у = г к .

dy

dtr

тП - 0 ;ИП -р_и.„ dUKZ + р при y - n •

n dy -pKnUKn dx

dx

Подставляя граничные условия (21) в полином (20), и проведя преобразования, как и раньше, получим выражение для профиля скорости:

U-Un икп - Un

Vnf

J {

-1 -

ФП {ФКП

F(va

иП1 -vn )drrn

ФП ] ФКП )

F(Va

пП1 -vn )dvn

0

1

J

0

Толщины динамического дП и диффузионного дВП слоёв смешения связаны, как и раньше, турбулентным числом Шмидта, записанные для пузырькового течения, аналогичное уравнению (11).

Полученную систему уравнений для расчёта области переходного участка дополним интегральными уравнениями сохранения расхода газа и примеси, а также уравнением количества движения смеси:

П

2jprUrydy = РгЦ)Г02, 0

k с гп 1 - R

2 \рж 1—С UКУdУ + 2 \рж —- UПУdy + 2 j PMUMydy

= РжUжo( R2 -r? ) ,

2 jpU2ydy + P  R2 = proUtorfo +(R? - r?)РжoUЖo

+ Po  R2.

Если учесть, что для течения вне слоёв смешения, а именно, в ядре потока струи жидкой фазы справедливо уравнение Бернулли, то можно записать следующие уравнения:

.. ^жф dP Ржф^^жф —:— + —

dx dx

В приведённой выше системе из двенадцати уравнений четырнадцать неизвестных переменных:

ит, ик, ип, Ст, Скп , фп, фкп, Р, Рк , Рп , Гк, Гп , 8ВК, доп.

Однако, если предположить, что границы капельного и пузырькового слоёв смешения гк и гп близки к прямолинейной, и слабо зависят от степени расширения канала, то в качестве замыкающих уравнений можно воспользоваться известными формулами для определения длин начальных участков потока жидкости, а также длины переходного участка хП капельного потока.

Для определения длины участка капельного течения ОН' (рис.1) воспользуемся материалами работы [9]. С учётом граничных условий для осесиммет-ричной задачи длина участка с капельным течением газожидкостной смеси составляет

XK = 8,36,

где xк = - безразмерное относительное расстояние.

Длину начального участка жидкой фазы определим, используя подход, предложенный в работе [13], в которой представлена зависимость, позволяющая определить длину начального участка жидкой струи, развивающейся в газовом потоке

xHж

xH R-r

- 90,

где xнж есть безразмерное относительное расстояние от начального сечения до полюса основного участка, в котором толщина струи равна нулю.

Надо заметить, что предложенный в работе метод расчёта может быть использован и в случае, когда жидкая смесь состоит из двух компонент, к примеру, из воды и имитатора нефти. В данном случае расчёт можно использовать и для расчёта смесителя

газожидкостных потоков, в частности, рабочих эталонов газожидкостных смесей по Государственной поверочной схеме ГОСТ 8.637-2013.

Плотность двухкомпонентной жидкой смеси определяется по зависимости, представленной в работе [14]:

рврим

Ржф =

Рв

W

100

где рсм , рв, рим - плотность жидкои смеси, воды и имитатора нефти, соответственно; W - массовая доля воды в жидкой фазе газожидкостного потока, %.

Получили замкнутую систему уравнений. Для её решения используем метод Ньютона [15]. Однако, сходимость метода Ньютона зависит от начального приближения. Если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению, метод Ньютона быстро сходится. Если же начальное приближение выбрано грубо, то он может не сходиться, поэтому для его решения надо иметь надёжное приближение. Для определения начального приближения воспользуемся методом «последовательных погружений» [16].

Полученные в математической модели профили скорости и концентрации капельного и пузырькового течений хорошо согласуются с результатами работ [12,17] .

В заключении необходимо отметить, что предложенный в данной работе метод расчёта поможет исследователям глубже понять процесс смешения газожидкостного потока и разработать смесительный аппарат с необходимыми техническими характеристиками.

Литература

1. ГОСТ 8.637-2013 ГСИ. Государственная поверочная схема для средств измерений массового расхода многофазных потоков. М.: Стандартинформ. 2014г.

2. В.Г.Соловьёв, В.Л.Варсегов, С.Л.Малышев, В.Н.Петров, Разработка и создание Государственного первичного специального эталона единицы массового расхода газожидкостных смесей ГЭТ 195-2011. Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева, - Казань - 2013. № 3.- с.32-38.

3. И.Р.Ягудин, В.Н.Петров, А.Ф.Дресвянников, Перспективное направление разработки мобильных поверочных установок по измерению сырой нефти. Вестник Казан. технол. ун-та, - 2013. т.16, №4.- с.203-208.

4. А.Г.Сергеев, В.В.Тегеря, Метрология, стандартизация и сертификация. М.: Изд. Юрайт, 2010.-820с.

5. Компания Шлюмберже 3750 Briarpark Drive Houston, Texas 77042. www.slb.com

6. РМГ 29-2013. ГСИ. Метрология. Основные термины и определения. М. Стандартинформ.

7. В.Н.Петров, С.Л.Малышев, Г.Ф.Мухаметшина, Управление процессом циркуляционного перемешивания. Вестник технологического университета. 2016, т.19, №2. с.38-40.

8. Г.Н.Абрамович, Гидродинамика подводных воздушных завес. Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М. 1986, с.85-139.

9.Г.Н.Абрамович, Т.А.Гиршович, С.Ю.Крашенинни-ков и др. Теория турбулентных струй. Под ред. Абрамовича Г.Н. Издание 2-ое переработанное и дополненное. М. Наука 1984г. 720с.

r

+

о

10. В.Е.Алемасов, Г.А.Глебов, А.П.Козлов, А.Н.Ще-локов, Турбулентные струйные течения в каналах.- Казань: Казанский филиал АН ССР, 1988, -172с.

11. А.С.Гиневский, Теория турбулентных струй и следов.-М.: Машиностроение, 1969, - 400с.

12. В.Н.Петров, С.Л.Малышев, В.И.Анфиногентов, И.А.Махоткин, Метод расчёта кольцевого режима течения газожидкостного потока для эффективного управления процессом добычи углеводородного сырья. Казань. Вестник технологического университета. 2016, т.19, №8, с.54-57.

13. Г.Н.Абрамович, Теория турбулентных струй. Изд-во Физ-мат.лит. М.-1960, с.716.

14. ISO 10790. Measurement of fluid in closed conduits. Guidance to the selection, installation and co-

riolis meters (mass flow, density and volume flow measurements).

15. Н.С.Бахвалов, Численные методы. -М.: Наука. 1975.-631с.

16. В.В.Петров, Метод последовательного погружения в нелинейной теории пластины и оболочек.- Саратов. Изд-во Саратов. ун-та. - 1975.-120с.

17. В.Н.Петров, С.Л.Малышев, В.И.Анфиногентов, И.А.Махоткин, Расчёт параметров пузырькового режима течения газожидкостного потока для эффективного управления процессом добычи углеводородного сырья. Вестник технологического университета. 2015, № 21, т.18, с.49-52.

© В. Н. Петров - к.т.н., вед. науч. сотр. ФГУП «ВНИИР», petr_vl_n@mail.ru; В. Ф. Сопин - д.х.н., проф., зав. каф. аналитической химии, сертификации и менджмента качества КНИТУ, sopin@kstu.ru; С. Л. Малышев - науч. сотр. ФГУП «ВНИИР», pamir.61@mail.ru; С. В. Петров - директор ООО «БРиЗ», Казань, Petrov_1972@mail.ru.

© V. N. Petrov - k.t.s., senior researcher associate at FGUP "VNIIR", petr_vl_n@mail.ru; V. F. Sopin - d.c.s., Professor, head of department of analytical chemistry, certification and quality management of KNRTU, sopin@kstu.ru; S. L. Malyshev - researcher associate at FGUP "VNIIR", pamir.61@mail.ru; S. V. Petrov - the director of Ltd."BRiZ", Kazan, Petrov_1972@mail.ru.