Об особых управлениях поточечного принципа максимума в задаче оптимизации системы Гурса–Дарбу

УДК 517.95

ОБ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЯХ ПОТОЧЕЧНОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ГУРСА-ДАРБУ

© И.В. Лисаченко, В.И. Сумин

Ключевые слова: нелинейная система Гурса-Дарбу; решения с суммируемыми смешанными производными; терминальная задача оптимизации; принцип максимума; особые управления.

Рассматриваются свойства особых управлений поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной системы Гурса-Дарбу.

Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума (ППМ), на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях (см., например, [1-3]). Начиная с пионерских работ О.В. Васильева (см., например, обзор [4]) вопросы получения необходимых условий оптимальности (НУО) особых управлений (ОУ) распределенных систем в основном рассматривались для управляемых систем Гурса-Дарбу и близких к ним (см., например, библиографию в [4-8]). За допустимые брались обычно кусочно-непрерывные управления. Предполагалось, как правило, что каждому допустимому управлению отвечает единственное глобальное решение краевой задачи из класса абсолютно-непрерывных функций с ограниченными смешанной и первыми частными производными. Заметим, что принципиально важно изучение более широкого класса управлений — измеримых (см., например, [3, С. 291]), причем без указанного ограничительного условия на разрешимость управляемой краевой задачи. Соответствующий достаточно общий способ изучения ОУ ППМ, опирающийся на возможность представления управляемой начальнокраевой задачи в форме вольтеррова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве и использующий теорию тензорных произведений лебеговых пространств для вычисления старших вариаций функционалов, был предложен в [6-8]. Способ обслуживает широкий класс распределенных управляемых систем, описываемых начально-краевыми задачами для эволюционных уравнений с частными производными (см., например, [7]). Доклад посвящен иллюстрации общего способа [6-8] на примере системы Гурса-Дарбу.

В последнее время наблюдается определенный интерес (см., например, [9-11]) к задачам оптимизации систем типа Гурса-Дарбу, рассматриваемых в классах ЛСр абсолютно непрерывных п -вектор-функций с суммируемыми в некоторой степени р смешанной и первыми производными. В этом случае ОУ ППМ систематически никем, видимо, не изучались. В докладе рассматриваются измеримые ОУ ППМ для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью уравнения в случае, когда необходимо искать решения системы в некотором классе ЛСрП, р> 1. Показывается, что, если правая часть аффинна по производным и производные в ней аддитивно отделены от управления, то происходит вырождение ОУ ППМ (рассматривается общий случай, когда управление является ОУ ППМ за счет вырождения ППМ на некотором подмножестве прямого произведения области изменения независимых переменных на множество допустимых значений управления). Приводятся содержательные НУО вырожденных ОУ (НУО третьего порядка относительно игольчатого варьирования управления). Известные авторам доклада сходные НУО ОУ, полученные ранее другими авторами, касались случая решений системы Гурса-Дарбу с ограниченными смешанной и первыми производными в предположениях, как правило, достаточной гладкости правой части уравнения и кусочной непрерывности допустимых управлений (см., например, [2, 4] и др.). Близкие к

2576

излагаемым в докладе результаты содержатся в работах авторов [12, 13]. Доклад примыкает к работам авторов [14-16], посвященным системам Гурса-Дарбу в классах ACpn.

ЛИТЕРАТУРА

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

2. Васильев О.В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами: автореф. дис. д-ра физ.-мфт. наук. Л.: ЛГУ, 1984.

3. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.

4. Габасов Р., Кириллова Ф.М.. Максимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами. Минск, 1982.

5. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука, 1990.

6. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299.

7. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем // Оптимизация: сб. научн. тр. Новосибирск, 1993. № 52 (69). С. 74-94.

8. Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 3. С. 70-80.

9. Толстоногов А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости // Известия РАН. Серия: Математика 2000. Т. 64. № 4. С. 163-182.

10. Idczak D. The bang-bang principie for the Goursat-Darboux problem // Int. J. Contr. 2003. V. 76. № 11. P. 1089-1904.

11. Погодаев Н.И. О решениях системы Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 8. С. 1116-1126.

12. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу/ ННГУ. Н.Новгород, 2012. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 13.03.2012, Я^ 89-В. 2012.

13. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об особых управлениях принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1(39). С. 80-81.

14. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу // Вестник Нижегородского университета. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2006. Вып. 2(31). С. 64-81.

15. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. Я^ 6. С. 858-870.

16. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 52-67.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011).

Lisachenko I.V., Sumin V.I.ON SINGULAR CONTROLS IN SENSE OF POINTWISE MAXIMUM PRINCIPLE FOR OPTIMIZATION PROBLEM CONNECTED WITH GOURSAT-DARBOUX SYSTEM

The terminal optimization problem for nonlinear Goursat-Darboux system is considered. The characteristics of singular controls in the sense of the pointwise maximum principie are discussed.

Key words: nonlinear Goursat-Darboux system; solutions having summable mixed derivatives; terminal optimization problem; pointwise maximum principle; singular controls.

2577