К задаче устойчивости сдвиговых течений относительно длинноволновых возмущений

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 4, С. 50-60

УДК 532.516

К ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЛИННОВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

С. В. Ревина

Для отыскания вторичных течений, ответвляющихся от основного стационарного течения при уменьшении вязкости, необходимо рассмотреть линейную спектральную и линейную сопряженную задачи. В работе построена длинноволновая асимптотика линейной сопряженной задачи в двумерном случае при условии периодичности по пространственным переменным, когда один из пространственных периодов стремится к бесконечности. Выведены реккурентные формулы для нахождения к-го члена длинноволновой асимптотики скорости и давления. Показано, что если отклонение скорости от ее среднего по периоду значения является нечетной функцией, то коэффициенты разложения скорости являются четными при четных степенях и нечетными при нечетных степенях волнового числа. Получены соотношения между коэффициентами асимптотических разложений линейной спектральной и линейной сопряженной задач.

Ключевые слова: устойчивость течений вязкой жидкости, длинноволновая асимптотика, линейная сопряженная задача.

Рассматривается двумерное х = (х\,х2) С движение вязкой несжимаемой жидкости иод действием поля внешних сил Р(х,Ь), периодического по пространственным переменным XI, Х2 с периодами ¿1 = 2п и ¿2 = 2ж/а соответственно, в предположении, что волновое число а ^ 0. Неизвестные поле скорости у(х, Ь) и давление р(х,Ь) удовлетворяют системе уравнений Навье — Стокса:

где V - безразмерная вязкость. Через /) будем обозначать среднее по хь а через «/))

среднее по прямоугольнику периодов ^ = [0,1\] х [0, ¿2]:

Предполагается, что поле скорости периодично по пространственным переменным с теми же периодами, что и поле внешних сил, и среднее поля скорости задано:

1. Введение

— + (v,V)v-vAv = -Vp+F(x,t), сПуг? = 0,

дЬ

((^)) = Я-

© 2016 Ревина С. В.

Будем интересоваться потерей устойчивости основного (невозмущенного) стационарного течения общего вида

V =

которое называется сдвиговым (или параллельным) течением.

Известно, что при достаточно больших значениях вязкости V (малых числах Рей-ноль дса) основное решение устойчиво. Критическим называется значение параметра V = при котором одно или несколько собственных значений линейной спектральной задачи выходят на мнимую ось. Пусть Й2 — замыкание в ¿2 (П) множества гладких со-леноидальных вектор-функций, периодических по пространственным переменным х\, Х2 с периодами 1\ а ¿2 соответственно, П — ортогональный проектор в ^(П) на подпространство Й2 (гидродинамический проектор). Линеаризуя уравнения Навье — Стокса на основном течении (1), получим линейную спектральную задачу в

д ф

Лф + %ш0ф = 0, Лф = — ^ПДф + П

где в!, в2 — координатные орты. Для исследования бифуркаций невозмущенного течения применим схему метода Ляпунова — Шмидта, предложенную В. И. Юдовичем [1]. Сначала рассматривается линейная спектральная задача (2), на втором шаге находятся собственные векторы линейной сопряженной задачи

2

А*Ф — гш0Ф = 0, А*Ф = — ^ПДФ — П

' \ дх2 дх7

.7 = 1 ^

где А* — гильбертово-сопряженный к оператору А в Й2 • При исследовании устойчивости относительно длинноволновых возмущений на каждом шаге метода Ляпунова — Шмидта применяются разложения в ряды по малому параметру а.

Впервые длинноволновая асимптотика (а ^ 0) задачи устойчивости двумерных параллельных пространственно-периодических течений общего вида построена в [2]. При этом поле скорости выражалось через функцию тока, для которой получалась задача Орра — Зоммерфельда. В [3] для построения первых членов асимптотики вторичных автоколебаний рассматривались непосредственно уравнения Навье — Стокса. В [4] с помощью некоторой формализации (применения интегральных операторов типа Вольтерра и вронскианов) получены рекуррентные формулы к-го члена длинноволновой асимптотики задачи устойчивости (2) стационарных сдвиговых течений с ненулевым средним (1).

к

асимптотики линейной сопряженной задачи (3). Подробный вывод изложен в [5]. Обоснование асимптотики в данной работе не проводится, но его можно провести, воспользовавшись теоремой о неявной функции для аналитических оператор-функций подобно тому, как это проделано в [2].

2. Первые члены асимптотики Через Н обозначим подпространство функций из £2(0,^1), ортогональных единице:

Н = {/ е £2(0,4): (/) =0}.

Определим интегральный оператор I : Н ^ Н по правилу

1/=I / (5) йв—П / (5) йв

00

Оператор I — обратный к оператору дифференцирования и вполне непрерывный. Через Ш(/, д) обозначим вронскиан функций /и д:

И>хш = 1л1-Л.

Фигурными скобками будем обозначать отклонение периодической функции от ее среднего значения по периоду {Е} = Е(х) — (Е). Функция 9 характеризует отклонение скорости от ее среднего значения:

9" = V — (V), (9) =0.

Запишем уравнение

(д2Ф\ 2 д2Ф\ \ дФ\ дФ2 дР

\ дх2 дх2 ) дх дх дх

(д2 Ф2 2 д2 Ф2 \ дФ2 дР

дФ

дх2 дх2 ) дх дх '

2п

0

Неизвестные поле скорости Ф и давление Р(х,х) будем разыскивать в виде рядов по степеням параметра а:

те те

Ф = ^ Фкак, Р = ^ Ркак.

к=0 к=0

Собственные значения а и критическое значение вязкости ис также представим в виде рядов

а

к=0 к=1

В случае линеаризованного оператора Навье — Стокса линейная сопряженная задача (3) является более вырожденной по сравнению с линейной спектральной (2) — несколько первых членов асимптотики обращаются в нуль. Подставив разложения (7)-(8) в систему (4)-(6) и рассмотрев уравнения при к = 0 и к = 1, несложно убедиться, что выполняются равенства

Р0 = Ф0 = Ф1 =0, Ф1 = е-1ш*, Ф1 =Ф1(х), а0 = 0, а1 = 1ш (V).

Р1

ИФ0 Н9

Р1 = дКх) И^ + = ~ао{в)> ао{в) =

Всюду в дальнейшем через ак и обозначаются функции, через которые выражаются коэффициенты скорости Фк и давления Рк линейной сопряженной задачи, а а^ и дк — это соответствующие коэффициенты скорости фк и давления Qk линейной спектральной задачи, найденные в [4].

В [4] показано, что коэффициенты разложений по степеням а собственных функций линейной спектральной задачи имеют следующую структуру:

к 1 Vk 0

где ак, Як выражаются через а7-, qj при ] ^ к — 1. Слагаемое, содержащее Vk—2 в выражении коэффициентов давления появляется при четных к ^ 4.

Коэффициенты разложения собственных значений линейной спектральной задачи и

к

ак = 0, 1Ук-2 = ^п-г

2vk

к

V*

Здесь т = 0 — волновое число.

После подстановки разложений (7)-(8) в уравнения (4)-(6) и приравнивания коэффи-ак к

сопряженной задачи при к ^ 2:

V

д2фк дРк к-1 ч дфк-1 Л0, ч Т^ ^ дфк 62Ф\-2 й2ф\ кл д2ф\ч кл кч ^ д2ф\

02фк-2 и2Ф0 к—3 д2фk—j к-3 . . к-5 д2фk-j-2 (12) дг2 с1г2 дх2 дг2

и ф1 д ф| -,-к— 7

- г/* ^к-2-^2 Е Е ~

7=2 7=3 7=2

^ _ дР^1 _ ^ фк_х _ 2у дФк2~1 _ ^ д2Фк~2 * дх2 дг 2 дг * дг2

к— д 2 фк—7 к— Фк—7 к— д2фк—2—7

7=2 7=3 7=2

0, У Фк иг = 0.

<9ж <9,г ' 2

0

Предполагается, что суммирование происходит по тем значениям для которых верхняя граница суммы не меньше нижней.

Будем разыскивать решения системы (12)—(14), периодические по х и по г с периодом 2п. Условием разрешимости уравнений (12) и (13) является равенство нулю среднего

х

к - и(Фк—1) /дФк—1 дФк\\ к— и2

±^+ю +^ = » <«>

7=1 х 4 7 1 7=0

Среднее давления находим из условия разрешимости уравнения (13):

к-1\

= -2^ V

дФ

к-1

дг

Приведем схему нахождения к-го члена асимптотики. Пусть Фкк 1 известно. Тогда из уравнения неразрывности (14) находим Фк:

т / дФ2 фк=_1\ 2

к-1

дг

+ (Фк) .

Затем из условия разрешимости уравнения (13) находим среднее давления (Рк ), а из уравнения (13) — Ф^к• Далее го условия разрешимости уравнения (12) находим &к+2> ик и (Фк-1) • Наконец, го уравнения (12) находим Рк. Далее процесс повторяется.

Продолжим нахождение первых членов асимптотики. Пусть к = 2. Так как Ф2 = 0, то из уравнения неразрывности (14) следует, что Ф^ = Ф1(г). Из (16) получаем, что Р1) = 0. Тогда, подставив в (13) известное выражение Р1 из (9), приходим к уравне-

нию для нахождения Ф^:

Отсюда

ф2 =

дж2 (г2

1 (2Ф0

~—^а*2(в), аШ = /2Ы = 16.

V* аг2

Из условия разрешимости уравнения (12) находим 02 = 0 V*2 = ((в1)2), Ф^г) = 0. Под-

Ф 11 Ф 21 Ф 22 к = 2 Р2

Р2

1 а2 ф0

, да*

- (V)а2 = д* - (У)а2,

а2(в) определено в (18). Далее будем пользоваться обозначением сЩ = д*п + (V)а*п.

Рассмотрим систему (12)—(14) при к = 3. Зная Ф2, из уравнения неразрывности по формуле (17) находим Ф^. С учетом условия разрешимости уравнение (13) принимает

вид

д2Ф\ дж2

= -01Ф2 - 2\ V

дФ22\ д{Р2} ^ д2Ф\ дг ) дг

Уу

дж2

После подстановки Р2 из (19) и Ф2 из (18) в (20) и применения интегрального оператора I дважды, выделим старшие члены относительно производных по г функции Ф^:

1 а3 ф1

ф1 = 772Чж ЬШ - V /2ф2 - V #2' &3 = -I2 [2 У(ж)12Ы + дШ]

V* аг V* V*

Нам п0над05ится также форма представления Ф2, в которой учтено выражение 01:

2в"а*2 - П в"

йа*

аж

к=3

жение Ф| (22), приходим к равенству

<У) I + = + ^ ^ ж - ^

аг

V2 (1г3

аг2

2

V

Из условия разрешимости уравнения (23) находим

3

аз = ~~7Г

Убедимся, что стз из (11) и (24) совпадают, т. е. выполняется равенство

—<ао

где а1 = —I{Ш(0,0')}. Нам понадобится следующее утверждение.

Лемма (о вронскиане). Для любых непрерывно дифференцируемых ¿1-перноди-ческих по х функций /(х), д(х), Д(х) справедлива формула

-2 + = (№(1и},д)к).

Лемму легко доказать, дважды применив интегрирование по частям. Для проверки соотношения (25) воспользуемся выражением а3 (22) и применим лемму о вронскиане:

-<ао(а5)") = 2(е>е"а*2) - ( 0'П 0\ ) = -(Ш(0,0")а1).

дх

По свойству вронскиана 1¥{0,0") = -^^{0,0'). Тогда

и равенство (25) доказано. Из (24) следует, что правая часть (23) равна нулю и Ф1 (г) удовлетворяет однородному уравнению. Чтобы исключить тривиальную неединственность, положим Ф1(г) = 0.

Найдем Р3 го уравнения (12) при к = 3. Воспользовавшись условием разрешимости (15), приведем данное уравнение к виду

дх \ дх / * дх2 Подставив в (26) известные Ф| и Ф^, находим третий член асимптотики давления

= ?!

V2 иг3 434 ' х 43 1 дх

Рассмотрим систему (12)-(14) при к = 4. Зная Ф|, из уравнения неразрывности по формуле (17) находим Ф^. Воспользовавшись условием разрешимости (16) при к = 4, уравнение (13) перепишем в виде

д2Ф2 ж3 (тг, 1 д{Р3} д2Ф2 д2Ф2

* дх2 2 I дг } дг * дг2 дх2

Учитывая найденные ранее выражения Ф2, Ф|, Р3, получаем

= *№ = -/2 [НО" <4} + ?з* + "'«г]

Подставив в (15) при к = 4 выражение (29), приходим к равенству (*?(*)+= - - ^

Из условия разрешимости уравнения (30) находим

<Т4 =0, = -щ

Убедимся, что V2 из (10) и (31) совпадают, т. е. выполняется равенство

где а2 = -12{W{1а\,6")} - ZvllO [4].

Для проверки равенства (32) применим лемму о вронскиане дважды. Подставим в левую часть (32) выражение а\ из (29) и воспользуемся леммой:

2

<ас {{at)'' - v2а2)) = -2(в'[в"4}) + (в'1 [в''(а3)'}> - 3v?(в'а*2) = <W(в,в'')а3> - 3v2<в'а2> = -<ai(a3)''> - 3^2<в'а2>.

а3

-<ai(a3)''> - 3v2(e'a2> = 2<aiв''а2> - (ail[в''(а2)'}> - 3v?<в'а2> = -<W(Iai,в'')а2> - 3v2<в'а2> = <(a2)''a2>,

что и требовалось доказать. Заметим, что из (33) вытекает еще одно соотношение между коэффициентами линейной и линейной сопряженной задачи:

<ao

Учитывая (31), из (30) получаем, что ^f(z) = 0. Для четных и нечетных к соотношения, аналогичные (34), различны [5]. Применив лемму о вронскиане, при к = 3, 5, 7 приходим к равенствам

к—2 к—4 к—6

Y^ (аз (ak—j)П)+2v2 E (aj ak—2—з)+vt E (/2aj ak—4—j> j=0 j=0 3=0

* j=0

а при к = 4,6 имеем

к—3 к—4 к—6

Е (aj (ак—з У)+2v2 Е (аз ак—2—з)+v4 E i12аз ak—4—j) j=0 j=0 j=0

+^ E (4-2-3)") = E Ы«и-Л-2v* j=0 4v* j=0

3. Общий член асимптотики

К началу к + 1 итерации при к ^ 7 известно [5], что коэффициенты разложений собственных функций линейной сопряженной задачи имеют следующую структуру:

1 икФ?

Ф3

_к 1 икФ0 * Vfc-o 2

Фо = —г—г —г-г- а£--— Ф2,

vk-1 игк

1

/к-1 игк

Vk-2

|Р 2} + к

где ак, ?к выражаются через а*, д* при ^ ^ к — 1. Слагаемое, содержащее Vk-2 в выраже-

Рк к

к ^ 4.

Более подробные выражения собственных функций имеют вид

фк =__

_ ^—I2 (Ф*4) - —Ф1Ч - Е—/2

• гч • гч

V* 1

V,- / д2 Ф

1

,=3

,=2

,=2

дг2

где

к—2 к—2

и3 ^к-З 2

1 игк V*

к—5

у^ /2

г/,

,=2 ~ ,=3 ~ ,=2

Г2[

' д2Ф\-2~г дг2

6к = —/2 [2{0" ак—1} + д*—1 + ^2ак_2], 9* = — №к

иак

их

& = ) \ + ^4/2

к

Так как при к ^ 7 известно, что (Ф1) = ... = (Фк—2) = 0, то уравнение (15) принимает

вид

(V) ((ф*-1) + ± (ф*-1)) = -<тъФ\{г) - (е»{х)(

дФк дФк—1

дх

+

дг

Vk—2

Условием разрешимости уравнения (44) является ортогональность правой части решению однородного сопряженного уравнения. к

части, находим

^к = 0, Vk—2 =

к—2

,к—1

*

Сравнивая (45) с (10) и учитывая, что собственные значения и критическое значение вязкости в линейной спектральной и линейной сопряженной задаче совпадают, получим связь между коэффициентами линейной и линейной сопряженной задачи при четных к:

к

^-2=0, <7* = -^Ч-2>],

а из (11) и (47) вместо (46) получим соотношения

Так как правая часть (44) равна нулю, то (Фк-1) = 0.

Заметим, что левые части равенств (46) и (48) можно преобразовать в правые, если применить лемму о вронскиане к — 2 раза. При этом в качестве промежуточных результатов при к ^ 7 приходим к соотношениям между коэффициентами линейной и линейной сопряженной задачи (35) и (36).

Предположим, что формулы (37)—(43), (45), (47) справедливы при п = к. Докажем, что они выполняются для п = к+1. Для нахождения Ф^1 воспользуемся (17). Очевидно, #к+1 находится по формулам (40), (42)-(43), если в них к заменить на к + 1.

Для нахождения Ф^1 сгруппируем слагаемые в правой части (13), заменив к на к+1

уравнения (20) для нахождения Ф| получим

жк 1 , дФк-1 дРк-1 ГЛ„дфк-1\ пг,дфк-1 д{Рк-1}

дг дг [ дг ) дг дг

1 Лкф1 Гпгы/ * ! 1 д2Ф3

Воспользовавшись выражением Ф>к-1, из (13) и (49) выводим

д2фи+г х ¿к+1фо ик_2 рц

дж2 ик ^ к+1 1 1 ^ У к * к-1] V* дж2

к-1 и д2фк+1-3 к-1 _ к-4 и д2фк-1-j

О Ф2__Vфк+1-3 О Ф2

V* дх2 V* 2 г/* <9<г2 :

отсюда находим Фк+1 по формулам (41)-(43) (заменой к на к + 1).

Осредненное уравнение (13) при ак+1 имеет вид (44), если к заменить на к + 1. Из условия разрешимости этого уравнения находим ик -1 и а к+1- Получим формулы (45), (47) с учетом указанной замены. Тогда (Фк) = 0.

С учетом найденных ик —и а к+1, а также Ф к-1 и Ф к+1, заменив в (12) к на к + 1, приходим к уравнению для нахождения давления:

дрк+1 ^ ¡о„{дФк2+1 | /лПдФ%+1

дж дж дг дж

1 йк+1Ф°1 * 1 йк+1 ф0 йък д2Ф4

/к"4 (Ьк+1 У к~2> ик~2 (Ьк+1 йх к~3 дх2

Воспользовавшись известными выражениями Фк, Фк+1 , а также уравнением для нахождения

Р2

(51) к виду

дР к+1

дх

1

^ игк+1

0//1 1 , ,2 ]

их

— V,2!

1

их

+

Vk—1 дР2 Vk—3

дх

д2Ф1 дх2

дг

причем слагаемые в (52), содержащие Vk—1 и Vk—3, отличны от нуля только для нечетных к. Подставив в (52) известные выражения Ф3 и Ф^, а также Vk—3, находим Рк+1 по формулам (39), (43), в которых к нужно заменить па к + 1, что и требовалось доказать.

Заключение. В настоящей работе выведены рекуррентные формулы для нахожде-к

сти стационарных двумерных сдвиговых течений вязкой жидкости с ненулевым средним (V) = 0. Получены соотношения между коэффициентами асимптотических разложений линейной спектральной и линейной сопряженной задачи.

Пусть отклонение скорости от ее среднего значения {V} является нечетной функцией, тогда 0(х) — нечетная функция. В этом случае из рекуррентных формул следует, что коэффициенты разложения собственных функций сопряженной задачи

ак (0),

Ьк(0),

Фк

кк асимптотики собственных функций выполнялось и в линейной спектральной задаче.

Что касается коэффициентов разложения давления, то в линейной сопряженной задаче при нечетной 0(х) коэффициенты

= д* + ^ )ак

кк тральной задачи аналогичное свойство выполнялось непосредственно для коэффициентов разложения давления дк-

ь>

V

*

*

Литература

1. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // Прикл. мат. и мех.—1971.—Т. 35, № 4.-С. 638-655.

2. Юдович В. И. О неустойчивости параллельных течений вязкой несжимаемой жидкости относительно пространственно-периодических возмущений // Численные методы решения задач мат. физики.—М.: Наука, 1966.-С. 242-249.

3. Мелехов А. П., Ревина С. В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических двумерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений // Изв. РАН. МЖГ.—2008.—№ 2.-С. 41-56.

4. Ревина С. В. Рекуррентные формулы длинноволновой асимптотики задачи устойчивости сдвиговых течений // Журн. вычисл. мат. и мат. физ.—2013.—Т. 53, № 8.—С. 1387-1401.

5. Ревина С. В. Линейная сопряженная к задаче устойчивости двумерных сдвиговых течений вязкой жидкости с ненулевым средним.—М., 2014.—47 с.—Деп. в ВИНИТИ 11.08.14, № 228-В2014.

Статья поступила 31 марта 2016 г. Ревина Светлана Васильевна

Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета,

доцент кафедры вычислительной математики и матем. физики РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а;

Южный математический институт — филиал ВИЦ РАН, научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений РОССИЯ, 362027, г. Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: svrevina@sfedu.ru

ON THE PROBLEM OF SHEAR FLOW STABILITY WITH RESPECT TO LONG-WAVE PERTURBATIONS

Revina S. V.

To find secondary flow branching to the steady flow it is necessary to consider linear spectral problem and linear adjoint problem. Long-wave asymptotics of linear adjoint problem in two-dimensional case is under consideration. We assume the periodicity with spatial variables when one of the periods tends to infinity. Recurrence formulas are obtained for the kth term of the velocity and pressure asymptotics. If the deviation of the velocity from its period-average value is an odd function of spatial variable, the velocity coefficients are odd for odd k and even for even k. The relations between coefficients of linear adjoint problem and linear spectral problem are obtained.

Key words: stability of two-dimensional viscous flows, long-wave asymptotics, linear adjoint problem.