Построение решения задачи о выпирании в пластовую выработку породного слоя, расположенного в почве угольного пласта

Н.В. Черданцев

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВЫПИРАНИИ В ПЛАСТОВУЮ ВЫРАБОТКУ ПОРОДНОГО СЛОЯ, РАСПОЛОЖЕННОГО В ПОЧВЕ УГОЛЬНОГО ПЛАСТА

Представлены результаты исследований состояния массива горных пород, вмещающего горную выработку, пройденную по угольному пласту достаточно глубоко. В почве угольного пласта расположен слой горных пород, прочность которого сравнима с прочностью пласта. Диаграммы условных напряжений пласта и слоя представлены диаграммой Прандтля, на которой участок предельного деформирования материала, горизонтален. Разработанная модель геомеханического состояния массива горных пород описывает его деформирование при переходе в предельное состояние. Она основана на фундаментальных уравнениях механики деформируемого твердого тела и использует уравнения теории упругости, теории прочности горных пород Кулона-Мора и теории сыпучих сред. Модель предполагает, что массив находится в условиях плоского деформированного состояния. В процессе реализации модели получены зависимости размеров максимально напряженной зоны угольного пласта вблизи горной выработки от его характеристик прочности для ряда глубин. Обнаружены характеристики прочности породного слоя, при которых слой переходит в предельное состояние. Показано, что с увеличением коэффициента прочности угольного пласта, значения коэффициента концентрации напряжений в напряженных зонах уменьшаются нелинейно. Ключевые слова: массив горных пород, угольный пласт, горная выработка, предельно напряженное состояние, слой горных пород.

Введение

Задача расчета напряженно деформированного состояния массива около выработки, пройденной по угольному пласту, в краевых частях которого из-за низких характеристик прочности по сравнению с вмещающим массивом, образуются предельно-напряженные зоны, является важной и актуальной научной проблемой. Наличие предельно напряженных зон может быть причиной различных геодинамических явлений: горных

ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2017. № 5. С. 369-381. © 2017. Н.В. Черданцев.

УДК 622.241.54

ударов, внезапных выбросов из забоев выработок горной массы, пучения почвы и значительных смещений их кровли [1—3].

Результаты решения задач о предельно напряженных состояниях приконтурной краевой части угольного пласта с крепкими боковыми породами, а также состояния слабого слоя, расположенного в почве выработки приведено в [4, 5]. В частности, в [5] представлены результаты исследования параметров опорного давления в угольном пласте в зависимости от их коэффициентов крепости для ряда глубин заложения выработки при условии, что породы основного массива достаточно прочны и не переходят в предельное состояние. Известно, что на достаточно большой глубине даже относительно прочный угольный пласт переходит в предельное состояние в краевой части, тогда как менее прочный слой пород почвы выработки может быть еще в упругом состоянии [4].

В данной статье представлены результаты исследований состояния углепородного массива в окрестности пластовой выработки. Определены условия перехода пород слоя почвы в предельное состояние.

Постановка задачи

В массиве горных пород, моделируемом невесомой плоскостью имеется выработка прямоугольного сечения размерами bхh, пройденная на глубине Н по угольному пласту на всю его мощность. В кровле и почве выработки приложена реактивная нагрузка крепи р. В почве пласта расположен слой породы ограниченной мощности т, сопоставимой с высотой выработки h. Характеристики прочности угольного пласта и породного слоя значительно меньше, чем характеристики прочности пород основного массива, но превышают характеристики прочности по контактам пласта и слоя с остальным массивом, который нагружен гравитационным давлением сверху и снизу уН, а с боков — ХуН. Система координат y0z привязана к центральным осям выработки.

В ходе решения задачи определяются параметры опорного давления в окрестности выработки путем совместного решения краевой задачи теории упругости и задачи теории предельного состояния горных пород. Определяются характеристики прочности породы почвы пласта, при которых возможен их переход в предельно напряженное состояние.

Сформулированная задача включает в себя несколько промежуточных задач.

Вначале рассмотрим задачу о состоянии пласта слоя в предельно напряженной зоне.

Поскольку вдоль контактов пласта с окружающими породами возможно нарушение сплошности, проявляющееся в виде проскальзывания пласта, то в них будет одновременно существовать два предельных состояния — обыкновенное (условие Кулона—Мора для пласта) и специальное (условие Мора-Кузнецова для контакта пласта с вмещающими породами) [4, 6]. В качестве уравнений огибающих предельных состояний массива приняты уравнения прямолинейных огибающих кругов предельных состояний.

В этой связи в предельной зоне возникает несколько участков с характерным распределением линий скольжения [4]. Графические пояснения к задаче о предельно напряженных зонах пласта и слоя представлены рис. 1. На нем, в частности, показаны: 1 — выработка, 2 — часть угольного пласта размером LOT, находящаяся в предельной области. Слева от оси z часть угольного пласта показана темно-серым цветом, а часть породного слоя светло-серым цветом. Справа от оси z на предельно напряженной зоне пласта показаны линии скольжения и приведены основные обозначения, встречающиеся в тексте. 3 — предельно напряженные зоны породного слоя почвы пласта. Левая часть слоя закрашена светло-серым цветом, а справа на нем показаны линии скольжения. На некотором удалении от борта выработки (линии ЛУ) он может переходить в предельное состояние

Рис. 1. Схема выработки и предельно напряженных зон в пласте породном слое

с образованием линий скольжения на участке FF1P1R1. Это обстоятельство обеспечивает появление предельного состояния непосредственно в почве выработки, сопровождающееся появлением изогональных линий скольжения и выпиранием (выпучиванием) выпучиванием пород слоя внутрь выработки (рис. 1).

Задача о предельно напряженном состоянии краевой зоны пласта

Рассмотрим каждый участок предельно напряженной краевой зоны пласта.

Первый участок, примыкающий к обнажению пласта, представляет собой призму выпирания VBV1. Пласт здесь испытывает одноосное сжатие, причем главное напряжение стр равное пределу прочности на одноосное сжатие ст0, действует вдоль кромки обнажения и составляет угол в с направлением системы изогональных линий скольжения.

Второй участок представлен двумя симметричными относительно оси у секторами VCDG1N1C1B и VlBCNGDCl, называемые зонами Прандтля. Напряжения в зоне Прандтля вдоль радиальных линий скольжения постоянны, а вдоль другой системы логарифмических спиралей изменяются экспоненциально. Основания участков составляют размер Lpг.

Третий участок представлен двумя призмами VCN (V1C1N1), симметрично расположенными относительно у. Сетка линий скольжения образована двумя системами изогональных линий, а напряжения здесь постоянны. Размер призмы на контакте с массивом Lr

На четвертом участке DGPP1G1 линии скольжения представлены сеткой криволинейных линий. Приведенные напряжений,

действующие вдоль оси у задаются экспоненциальной функцией [4] *( _

а, = а0, • е 1 2).

В (1) а0* — приведенное напряжение на свободной кромке пласта, а k — некоторый параметр. Они определяются по формулам

а 2

ао, к = - •р„ ^р',

2 • 81пр т

где углы р и р' — являются углами внутреннего трения, а K и К — коэффициентами сцепления, соответственно, для пласта и его контакта с боковыми породами, Рп — параметр объемной прочности, определяемый по формуле

рп = .

1 - 8тр

Угол 0 между площадкой скольжения с нормалью V и контактом пласта с массивом, нормаль к которому п, находим по формуле [4, 5]

а п 1 , Л 1

9 = —i— (р-р)--arcsin

4 2VP F ' 2

sinp

( с V 1 - — a, ,

sinp

где величины a* и a'*, определяемые по формулам [4]

a1 + a3 a1 + a3 a = с + —-3, a' = c i—1--

представляют собой приведенные напряжения соответственно в угольном пласте и на поверхности ослабления. Величины c и с' выражаются через углы внутреннего трения и коэффициенты сцепления по формулам [4, 5]

с = K • ctgp, с' = K' • ctgp'.

В предельно напряженной зоне главные напряжения связаны с приведенными напряжениями и с параметрами прочности пласта следующими зависимостями [4]

a1 = a,

Условие прочности Кулона—Мора может быть представлено в следующем виде

a1 -P„a3 =ao.

Нормальные a , a и касательные т напряжения в пре-

г p.z' p.y p.yz г г

дельно напряженной зоне на контакте пласта с боковыми породами выражаются очевидными соотношениями [7]

a. + a3 a. - a3 apz = 2 3 + 2 3 • cos29,

ap.y = -—2^ - a1 2 a3 • cos29 , Tp.yz = a1 2 a3 • sin29 ,

где ф — угол между a1 и нормалью к контакту пласта (поверхностью ослабления), который, как следует из рис. 1, вычисляется следующим образом

Ф = п-(в + е).

Представленные выше зависимости полностью описывают состояние угольного пласта в предельно-напряженной зоне.

Условие перехода породы слоя почвы в предельное состояние

Рассмотрим условие образования предельно напряженных зон в породном слое почвы пласта, приводящем к выпиранию почвы выработки.

Поскольку краевая часть угольного пласта в предельном состоянии оказывается раньше пород его почвы, то вся его краевая часть находится в предельном состоянии. Породный же слой почвы переходит в предельное состояние на некотором удалении от линии AV (рис. 1). Условием перехода в предельное состояние пород слоя почвы может быть принято условие превышения главных напряжений ст1, действующих в пласте, над значениями ст1 в породном слое. Оно представляется следующим образом

а1, ^ ,

где ст1р — максимальное значение главного напряжения в пласте на границе предельно напряженной и упругой зон, ст18 — максимальное значение главного напряжения в породном слое на границе предельно напряженной и упругой зон.

Напряжение ст1р может быть выражено через коэффициент концентрации напряжений k и величину уН следующим образом а, = ка-уя.

При соблюдении условия (7) линии скольжения возникают и в породном слое, образуя предельную область FF1P1R1 (рис. 1). При этом часть слоя АРЯ^ остается упругой. Возникающие в слое на линии скольжения напряжения ст38 за счет того, что сдвигающие силы по контакту слоя, обусловленные касательными напряжениями х8уг, компенсируют друг друга, давят на слой по линии А^, приводя его к выпиранию внутрь выработки.

В любой точке предельной зоны слоя справедливо условие Кулона—Мора (5). В нем вместо ст0 и Рп должны учитываться предел прочности пород на одноосное сжатие слоя ст08 и параметр объемной прочности для слоя Рш, который вычисляется по формуле (3) с заменой р на р8, где р8 — угол внутреннего трения пород слоя почвы.

Отметим, что в породном слое почвы на участке, расположенном непосредственно под выработкой, породы находятся в условиях плоской деформации. Вертикальное главное напряжение ст3 равно реакции крепи р. Линии скольжения образуют систему изогональных линий, наклоненных к горизонту под углом в8 (рис. 1), а из выражения (5) следует, что

= "о. + Р„.Р .

Из условия равновесия блока Л!'Я1У1 следует, что ст38 на участке ¥¥1Р1Я1 равно напряжению в слое почвы выработки ст18, определяемому выражением (9), т.е.

"з5 = "о. + Р«.Р .

Напряжение ст18 на участке ¥¥1Р1Я1 может быть выражено через напряжение ст38 согласно условию

= " + Р™" .

Подставляя в это выражение ст38 из (10), после преобразования получаем следующее выражение главного напряжения ст1 на участке слоя, находящегося в предельном состоянии

= "о511 + Р«. ) + 2 -Р .

Подставляем выражения (8) и (11) в формулу (7) получаем условие предельного состояния слоя в следующем виде

К-уН

Из неравенства (12) выражаем значение для ст08, при котором происходит переход слоя почвы пласта в предельное состояние

"о. < ^ТН+ТТ^ •

Если значения уИир задаются в мега паскалях, то, разделив выражение (13) на 10 и принимая во внимание, что 0,1 ст08 равно коэффициенту крепости породы слоя / по шкале проф. Про-тодьяконова, получим следующее выражение для коэффициента крепости пород слоя, при котором возможен его переход в предельное состояние

г< У УН -Рп.2 • Р .

10-

Построение решения задачи о ширине предельно напряженной зоны

Наличие представленных выше зависимостей, описывающих напряженное состояние в угольном пласте, а также условия перехода породного слоя его почвы недостаточно для решения поставленной задачи, поскольку в этих зависимостях величина коэффициента концентрации напряжений остается неопределенной. Неизвестен также и другой параметр опорного давления — размер предельно напряженной зоны. Для их определения необходимо решить упругопластическую задачу, в ходе которой производится стыковка решения на границе упругой и предельной (пластической) зон.

Определить параметры опорного давления можно, например, методом граничных элементов [8]. Суть метода состоит в численном решении граничного интегрального уравнения второй внешней краевой задаче теории упругости [9] и использовании фундаментального решения Кельвина о действии единичной силы на бесконечную среду [10]. Интегральное уравнение включает неизвестный размер предельно напряженной зоны, а также характер распределения напряжений в ней. Оно имеет следующий вид

1 ач(0о) -¡Фчт(0о, М0)ат(М0

2 о

= ае.Чт -Пт

где О — область интегрирования, представляющая единый контур, включающий контуры выработки и предельно напряженной краевой части пласта размером LOT, индексы q, т попеременно принимают значения 2, 3 (цифра 2 — соответствует оси у, 3 — оси I). QO, М0 — точки на контуре этой области, dOMO — дифференциал длины в окрестности точки М0, М0) — тензор Грина, п^0), ^(М0) — векторы нормали к контуру выработки в точках Q0, М0; а , ат — компоненты вектора фиктивной нагрузки, подлежащие определению. Fq(Q0) — вектор нагрузки, приложенный к контуру выработки изнутри в виде реакции крепи, ст — компоненты тензора естественного поля в нетронутом горными работами массиве, которые при отсутствии тектонических напряжений представляются в виде

аеу = ае.22 = ^УЯ , а,.е = ае.33 = УЯ , Те.уг = ае.23 = 0 .

Выражая вектор Fq(Q0), который на участках предельно-напряженной зоны играет роль отпора со стороны угольного пласта через компоненты напряжений стр ^ в этой зоне, приводим

о

уравнение (15) к следующему уравнению с единообразно записанной правой частью

1 ая

2 о .

=

Отметим, что для части контура, относящегося непосредственно к выработке, в правой части уравнения (17) учитывается только слагаемое сте , определяемые по (16), а на контакте пласта в предельно напряженной зоне учитываются и стр , которые определяются формулами (6). Неизвестными величинами в этом уравнении являются компоненты вектора фиктивной нагрузки и размер предельно-напряженной зоны LOг Для их отыскания используется метод последовательных приближений. Он реализуется следующим образом.

Вначале задается размер LOT. После этого решение интегрального уравнения (17) строится численно — методом механических квадратур [10]. А после его решения определяются полные напряжения в точках на линии 4 (рис. 1), проходящей в кровле пласта за пределами предельно-напряженной зоны. Они вычисляются путем суммирования напряжений в нетронутом горными работами массиве и напряжений от действия найденной фиктивной нагрузки [8]. В кровле (линия 4 на рис. 1) и почве выработки проекция рх, ру полного напряжения соответственно равны вертикальному напряжению стг и касательному напряжению т 2.

Затем на границе упругой и предельно напряженной зон сравниваются соответствующие напряжения. Если их значения отличаются, то расчет повторяется при другом значении LOT до тех пор, пока значения напряжений не совпадут.

Приведенные соотношения и зависимости теории предельного состояния горных пород, а также уравнения и методы теории упругости представляют собой модель геомеханического состояния массива, вмещающего угольный пласт с породным слоем его почвы и горную выработку, пройденную по пласту. Модель, достаточно строго и точно описывает параметры опорного давления (максимальное напряжение и ширину предельно-напряженной зоны) в бортах выработки. Основанная на фундаментальных положениях механики деформируемого твердого тела она может быть использована и в решениях задач для определения рациональных параметров посадки труднообру-шаемой кровли при отработке угольного пласта механизированным комплексам [3].

Результаты решения задачи и их анализ

Ниже представлены результаты вычислительного эксперимента, проведенного в рамках построенной модели при следующих параметрах массива и выработки: у = 25 кН/м3, X = 0,7; р = р = 20°; К = 0, р' = 10°, h = 2 м, m = 1 м, Ь = 3 м. Другие

Р 8

параметры в ходе эксперимента менялись.

На рис. 2, а графики, построенные при H = 1000 м и коэффициенте крепости пласта ^ = 1,1, представляют собой эпюры напряжений ог и ту2 в кровле пласта вдоль линии 4 (рис. 1) предельно напряженной зоны (графики 1, 3) и в упругой зоне (графики 2, 4) при реализации метода последовательных приближений. Точки V, N G, R на графиках являются границами участков предельно напряженной зоны слоя (рис. 1). Из рисунка следует, что значения напряжений в упругой области и в предельно напряженной зоне совпадают в точке R. Снятый с графика горизонтальный размер отрезка между точками Vи R соответствует размеру предельно напряженной зоны Хот. Графики на рис. 2, б соответствуют главному напряжению о1 в предельно напряженной зоне (график 1) и упругой области (график 2) пласта. Отнесенная к yH ордината в точке R равна коэффициенту концентрации напряжений kо в кровле пласта. Из графиков рис. 2 определены величины LOT = 2,9 м и kо = 1,62.

На рис. 3, а построена серия графиков зависимости концентрации напряжений k в краевой части пласта от его коэффи-

Рис. 2. Эпюры напряжений о, т^ в предельно напряженной зоне и упругой части пласта при использовании метода последовательных приближений

Рис. 3. Графики зависимости параметров пласта и породного слоя от коэффициента крепости пласта для ряда глубин заложения выработки

циента крепости / для ряда глубин заложения выработки. На рис. 3, б построены графики зависимости коэффициента крепости слоясоответствующих началу его выпирания, от коэффициента крепости пласта/ для ряда глубин заложения выработки. На рисунке график 1 построен при Н = 1000 м, график 2 при Н = 800 м, а график 3 соответствует Н = 600 м.

Значения превышающие ординаты точек графиков на рис. 3, б, соответствуют упругому деформированию породного слоя, а ординаты точек, расположенных ниже графиков, соответствуют коэффициентам крепости породного слоя, находящегося в предельном состоянии, т.е. в условиях его выпирания внутрь выработки.

Все графики имеют вид плавных пологих и убывающих функций. Кривые ограничены крайними правыми точками, т.е. при значениях /, превышающих абсциссы этих точек, угольный пласт не образует предельных зон. Увеличение коэффициента крепости пласта в три раза изменяет значения коэффициента крепости породного слоя не более, чем на 16%.

Выводы

1. Представленная модель геомеханического состояния массива, вмещающего пластовую выработку прямоугольного сечения и породный слой, расположенный в почве выработки и сопоставимый по прочности с пластом, построена на основе упругой модели состояния анизотропного массива и методов теории предельного состояния. Ее применение обеспечивает оценку состояния угольного пласта и условия перехода породного слоя в предельное состояние для заданных параметров среды.

2. Графики коэффициента концентрации напряжений в предельно напряженной зоне пласта в зависимости от коэффициента его крепости для ряда глубин расположения выработки являются убывающими функциями и представляют собой пологие кривые. На участке коэффициента крепости пласта от 0,5 до 0,8 они близки к параллельным прямым линиям. Все графики имеют минимумы.

3. Графики коэффициента крепости породного слоя, при котором происходит его выпирание, построенные для ряда глубин заложения выработки, представляют слабо-вогнутые эквидистантные кривые. Значительное увеличение коэффициента крепости пласта мало увеличивает коэффициент крепости слоя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петухов И. М., Линьков А. М. Механика горных ударов и выбросов. - М.: Недра, 1983. - 280 с.

2. Полевщиков Г. Я. Динамические проявления при проведении подготовительных и вскрывающих выработок в угольных шахтах. -Кемерово: ИУУ СО РАН, 2003. - 317 с.

3. Клишин В. И., Зворыгин Л. В., Лебедев А. В., Савченко А. В. Проблемы безопасности и новые технологии подземной разработки угольных месторождений. — Новосибирск: Новосибирский писатель, 2011. -524 с.

4. Фисенко Г. Л. Предельные состояния горных пород вокруг выработок. - М.: Недра, 1976. - 272 с.

5. Черданцев Н.В., Черданцев С.В. Разработка модели геомеханического состояния углепородного массива, вмещающего пластовую выработку // Безопасность труда в промышленности. - 2014. - № 11. -С. 41-45.

6. Кузнецов Г. Н. Графические методы оценки предельных состояний трещиноватого массива вокруг горных выработок // Современные проблемы механики горных пород. - Л.: Наука, 1972. - С. 30-44.

7. Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

8. Черданцев Н. В., Изаксон В. Ю. Некоторые трехмерные и плоские задачи геомеханики. - Кемерово: КузГТУ, 2004. -190 с.

9. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712 с.

10. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. 5-е изд. - М.; Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с. итш

КОРОТКО ОБ АВТОРE

Черданцев Николай Васильевич - доктор технических наук,

зав. лабораторией,

e-mail: nvch2014@yandex.ru,

Сибирское отделение РАН (ФИЦ УХХ СО РАН).

Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2017. No. 5, pp. 369-381. N.V. Cherdantsev

SOLVING A PROBLEM ON EJECTION OF A DIRT BED FROM THE COAL SEAM FLOOR IN THE IN-SEAM WORKING

Presents the results of research state of rock mass containing a mine working in passed for coal seam deep enough. In the ground coal seam is a layer of rocks, the strength of which is comparable to the strength of a formation. Diagrams conventional stress layer and layer presented by Prandtl diagram where you plot the marginal deformation of the material, horizontal.

The model state of massif of rocks describes its deformation in the transition to the ultimate state. It is based on the fundamental equations of solid mechanics and uses the equations of the theory of elasticity, theory of strength of rocks Coulomb - Mohr and the theory of granular media. The model assumes that the array is in plane strain state. In the process of implementation of the model received dependences of the sizes of maximum intense zone of a coal seam near mine workings from of its strength characteristics for a number of depths. Discovered the characteristics of strength of layer of rocks in which they transition to the ultimate state. It is shown that with the increase of the strength coefficient of the coal seam, the values of coefficient concentration of stress in tense of zones decreased in a nonlinear.

Key words: the massif of rocks, coal seam, mine working, the limit stress state, the layer of rock.

AUTHOR

Cherdantsev N.V., Doctor of Technical Sciences, Head of Laboratory,

e-mail: nvch2014@yandex.ru, Federal Research Center of Coal and Coal Chemistry,

Siberian branch of the Russian Academy of Sciences, 650065, Kemerovo, Russia.

REFERENCES

1. Petukhov I. M., Lin'kov A. M. Mekhanika gornykh udarov i vybrosov (Mechanics of rock bursts and emissions), Moscow, Nedra, 1983, 280 p.

2. Polevshchikov G. Ya. Dinamicheskie proyavleniya pri provedenii podgotovitel'nykh i vskryvayushchikh vyrabotok v ugol'nykh shakhtakh (Dynamic manifestations in the preparatory mine working in coal mines), Kemerovo, IUU SO RAN, 2003, 317 p.

3. Klishin V. I., Zvorygin L. V, Lebedev A. V, Savchenko A. V Problemy bezopasnosti i novye tekhnologii podzemnoy razrabotki ugol'nykh mestorozhdeniy (Problems of security and new technologies ofunderground coal mining), Novosibirsk, Novosibirskiy pisatel', 2011, 524 p.

4. Fisenko G. L. Predel'nye sostoyaniya gornykh porod vokrug vyrabotok (Limit state of rocks around an excavation), Moscow, Nedra, 1976, 272 p.

5. Cherdantsev N. V., Cherdantsev S. V. Bezopasnost' truda v promyshlennosti. 2014, no 11, pp. 41-45.

6. Kuznetsov G. N. Sovremennye problemy mekhaniki gornykh porod (Modern problems of rock mechanics), Leningrad, Nauka, 1972, pp. 30-44.

7. Lur'e A. I. Teoriya uprugosti (Theory of elasticity), Moscow, Nauka, 1970, 940 p.

8. Cherdantsev N. V., Izakson V. Yu. Nekotorye trekhmernye i ploskie zadachi geome-khaniki (Some three-dimensional and two-dimensional problem of geomechanics), Kemerovo, KuzGTU, 2004,190 p.

9. Rabotnov Yu. N. Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela (Mechanics of deform-able solids), Moscow, Nauka, 1988, 712 p.

10. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Priblizhennye metody vysshego analiza, 5-e izd. (Approximate methods of higher analysis, 5th ed.), Moscow, Leningrad, Fizmatgiz, 1962, 708 p.

UDC 622.241.54