Математическая модель механической системы электромагнитного двухобмоточного вибратора

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 621.01:534.012

Л.С. Анисимова

магистрант,

кафедра «Промышленная электроника», ФГБОУ ВПО «Тольяттинский государственный

университет» М.В. Позднов

канд. техн. наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Тольяттинский государственный

университет»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИЧЕСКОМ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ДВУХОБМОТОЧНОГО ВИБРАТОРА

Аннотация. В статье рассмотрено получение методом электромеханических аналогий математической модели механической части для двухзазорного электромагнитного вибратора, который может использоваться для различных технологий механического вибровоздействия на различные материалы (сыпучие, жидкие).

Ключевые слова: вибрационные технологии, электромагнитный вибратор, метод электромеханических аналогий, механическая система.

L.S. Anisimova, Togliatti State University

M.V. Pozdnov, Togliatti State University

MATHEMATICAL MODEL OF MECHANICAL SYSTEM OF ELECTROMAGNETIC DOUBLE-WOUND

VIBRATOR

Abstract. The article describes the process of obtaining a mathematical model of the mechanical part for the two-gap electromagnetic vibrator that can be used for different technologies of mechanical vibration on various materials (bulk, liquid) with the help of the method of electromechanical analogies.

Keywords: vibration technology, electromagnetic vibrator, method of electromechanical analogies, mechanical

system.

В настоящее время в различных областях техники широкое применение находят вибрационные технологии. Существуют различные типы вибраторов, создающих вибрации с различными значениями амплитуд, частот и усилий, каждые из них обладают своими достоинствами и недостатками [1].

При проектировании электромагнитного вибратора необходимо решать задачу динамического моделирования. Это требует построения математической модели, объединяющей все его системы: электрическую, магнитную и механическую. В дальнейшем, используя численные решения данных систем, можно синтезировать и анализировать работу вибратора в составе системы управления с необходимыми законами управления. При этом использование импульсных полупроводниковых схем питания позволяет энергетически эффективно управлять параметрами работы вибратора (колебательное перемещение, сила, скорость) путем регулирования магнитного потока в магнитной части или тока в его обмотках.

Механическая система вибратора

Механическая система вибратора приведена на рисунке 1. Он содержит первую подвижную часть, состоящую из якоря m21 и нагрузки m22, связанной с якорем, и вторую подвижную часть, состоящую из двух жестко соединенных индукторов m11 и m12, опирающихся на плиту m3 через упругий элемент, обозначенный £2. Плита m3 установлена на грунт. Упругий элемент £2 выполняет роль механического виброизолятора второй подвижной части от грунта, который отображен на рисунке параметрами: £3 - механической податливости и S3 - механическим трением.

Якорь на рисунке соединен с индукторами с помощью четырех упругих элементов

%11-%14. Упругие элементы попарно (справа и слева) имеют в статическом состоянии начальное поджатие друг к другу с помощью специальных элементов конструкций. Это необходимо для установки начального положения якоря относительно индукторов с начальными зазорами 80.

При поочередном формировании в обмотках импульсов тока (формировании магнитного потока в магнитах) возникает соответствующая импульсам знакопеременная электромагнитная сила. Эта сила через стойки передается на нагрузку и приводит к вибровоздействию на нее.

На рисунке 1 буквой Э обозначено механическое трение, % - механическая податливость, т - массы и б0 - немагнитный зазор. Условное направление движения якоря обозначено буквой х, т.е. положительному направлению движения х соответствует перемещение индуктора и якоря вверх.

Рисунок 1 - Механическая система сейсмического вибратора с плоскими магнитами

Эквивалентная податливость пружин, соединяющих якорь и индуктор

Анализируя механические упругие связи с податливостями %11, %12, %13, %14 между т1 и т2 по рисунку 1, систему можно упростить, приведя ее к одной эквивалентной податливости Для этого рассмотрим сначала половину механической цепи с упругими связями (рис. 2), состоящую из масс верхнего и нижнего электромагнита с обмоткой (т11 и т12) и суммарной массы якоря и нагрузки (т21+т22), и двух одинаковых пружин с жесткостями к11=1/%11, к12=1/%12.

По III закону Ньютона модули сил упругости каждой из пружин равны 1^1=1^1=1^1.

При условии, что коэффициенты упругости (жесткости) пружин к11 и к12 одинаковы (к11 = к12 = к), можно построить зависимости сил упругости Р1 и Р2 каждой из пружин от изменения длины пружины I (рис. 3).

В статическом состоянии каждая из пружин к11 и к12 (рис. 2) поджаты из своего свободного состояния на 10. В начальном положении, как видно по рисунку, модули сил обеих пружин равны что соответствует статическому положению.

Смещение частей, связанных с массой т2, приводит к смещению по графику (рис. 3) вправо или влево. При этом, например, при смещении вправо, пружина к11 сжимается, а к12 разжимается. Таким образом, можно определить суммарную силу упругости, действующую между массами т2 и т1: РРез = Р1+Р2.

/77/;

- т -

Рисунок 2 - Часть установки, описывающая воздействие на пружины масс индуктора относительно суммарной массы якоря и нагрузки

Рисунок 3 - Зависимости силы упругости от изменения длины пружины при сжатии

По определению коэффициент упругости к равен силе упругости Г, делённой на изменение длины пружины I: к= Г/\.

Как видно из рисунка 3, результирующую силу ГРез, определяющую зависимость эквивалентной упругости кЭкв от коэффициента упругости к, можно определить по формуле:

кэкв =2Го/\с=2к.

Имеем в виду, что вклад в эквивалентную жесткость двух пружин определяется суммой их жесткостей. Поскольку две другие пружины, расположенные справа, работают согласно с пружинами, расположенными слева (рис. 1), то их жесткость также суммируется.

Таким образом, для приведения механической системы, состоящей из масс якоря и индукторов (рис. 1), связанных четырьмя упругими элементами с одинаковой жесткостью к и податливостью £, к системе с одним упругим элементом и вышеуказанными массами необходимо выбрать его жесткость кэ = 4к или £э= £/4. В дальнейшем эквивалентная податливость £э будет обозначена £1.

Уравнения, описывающие механическую часть системы

Для решения задачи динамического моделирования на основе механической части была построена механическая цепь замещения [2] вибратора (рис. 4), где f - источник силы, воздействующий на массу т1; £1 - механическая эквивалентная податливость пружин между т1 и т2 (в массу т2 включена масса нагрузки т22 и якоря т21, в массу т1 включены массы индук-

торов с обмотками т12 и т11); - механическое трение пружины - механическая по-

датливость между плитой т3 и индукторами вибратора; - механическая податливость грунта; Э3 - механическое внутреннее трение грунта.

Рисунок 4 - Механическая цепь замещения вибратора

С помощью дуального перестроения механической цепи можно получить электрическую схему-аналог приведенной системы (рис. 5). В дуальной схеме-аналоге массы заменяются электрическими индуктивностями, податливости - ёмкостями, механические сопротивления трения - электрическими сопротивлениями, а источники силы - источниками напряжения.

Рисунок 5 - Электрическая схема-аналог вибратора

Рабочие колебания вибратора идут в диапазоне частот: штПп_ штэх, при этом элемент предназначен для виброизолирования движущихся частей вибратора от грунта. Виброизоляция достигается по схеме-аналогу, когда напряжение на С2 много меньше, чем на 11, т.е. когда колебательная сила деформации мала по сравнению с силой, прикладываемой к т1, и электромагнитная сила вибратора в основном идет на колебания массы т1.

Так как элементы в схеме-аналоге стоят последовательно, указанное условие из схемы-аналога можно записать через соотношения реактивных сопротивлений на минимальной частоте:

1 . ^¡пС2

где штпп - минимальная частота работы вибратора, Гц.

В таком случае составляющими неподвижной части вибратора %2, %3, Э3, тЗ можно пренебречь (рис. 6).

Для определения упрощенной математической модели механической системы данного вибратора без учета параметров грунта с помощью дуального перестроения механической цепи на рисунке 7 приведена электрическая схема-аналог вышеуказанной системы.

Для установления соответствия между механической системой и электрической схемой-

аналогом вибратора необходимо определить условные направления токов в упрощенной электрической схеме-аналоге вибратора (рис. 7).

Рисунок 6 - Упрощенная механическая цепь замещения вибратора

Пусть при положительной постоянной силе вибратора Т>0 (рис. 1 - работает верхний электромагнит) якорь перемещается вверх (х2>0 и у2>0), а индуктор - вниз (х1<0, и у1<0). В соответствии с электрической схемой-аналогом появление е>0 должно приводить к появлению положительной скорости якоря у2>0 и ее аналога - тока 12>0, а также должно приводить к появлению отрицательной скорости индуктора V1<0 и ее аналога - ¡1<0. Таким образом, направление 12 должно совпадать с направлением е по контуру обхода элементов (от узла 1), а направление ¡1 должно быть противоположно с е (к узлу 1).

Ток ¡ отражает относительную скорость движения якоря и индуктора. Если принять условное направление тока ¡ совпадающим с током ¡2, тогда он будет аналогом относительной скорости якоря относительно индуктора. При противоположном условном направлении тока ¡ он будет являться аналогом относительной скорости индуктора относительно якоря. Так как движение якоря обычно происходит с большей скоростью, чем у индуктора, в силу его меньшей массы, поэтому примем условное направление тока ¡ в соответствии с рисунком 7, то есть направление тока ¡ является аналогом направления скорости движения якоря относительно индуктора.

Рисунок 7 - Упрощенная электрическая схема-аналог вибратора

Система дифференциальных уравнений данной модели определяется уравнениями по закону Кирхгофа для одного узла и двух контуров (рис. 7):

е = иС1 + иН1 -е = иС1 + иН1 + ^2.

I = ¡2 - ¡1

Ток I конденсатора С1 рассчитывается как I = С1

и

, напряжение иЯ1 на резисторе Я1

можно записать как ия1 = (1 • I , напряжения на индуктивностях и11 = —"Ц и и12 = 12

Тогда систему уравнения (2) можно переписать:

—Л + ис1 + I = е; Я С1

12 • . , 1 + ис1 + / = е;

Л

С1 -ис1

= /.

Для решения данной системы уравнений (3) перенесем в левую часть каждого уравнения переменные состояния, которые стоят под знаком дифференциала:

-1

е — ис1 — 1; 11 '

— + (/1 = е — ис1 — I

(Я &

(и

12

а

/

01'

Подставив первое уравнение системы (4) во второе, получим:

ей 12

е — ис1 — 1

е — ис1 — 1

11

((и„

/

с1'

Тогда система дифференциальных уравнений, описывающая механическую модель вибратора, преобразованная по методу аналогий, следующая:

( = (е — ис1 — 1 )• (-1 +11; (№ к с1 12 11 1

(и„

(Г

/

с!-

При применении системы аналогий е является силой тяги электромагнита Р, ток / - эквивалентной скоростью V движения якоря относительно индуктора, /1 - скоростью движения индуктора VI, /2 - скоростью движения якоря v2; напряжение конденсатора ис1 - силой упругости Ру пружин между якорем и индуктором; сопротивление Я1 - коэффициентом вязкого трения пружин между якорем и индуктором.

Окончательная система дифференциальных уравнений модели вибратора, описывающая механическую часть устройства (рис. 1), приведена в системе уравнений (6):

=

((Р„

а

V

Поскольку сила упругости пружины Р определяется формулой

Р = кх,

где к - коэффициент жесткости пружины, а х - относительное перемещение тела, тогда можно записать уравнение выхода для системы уравнений (6):

РХ1

X = —,

Х1

где х - смешение якоря, м.

Уравнений (6) и (7) достаточно для описания динамики работы вибратора. Входной величиной, инициирующей колебания, здесь является источник силы Р@), выходной - относительные перемещение хи скорость v(t).

Список литературы:

1. Блехман, И.И. Теория вибрационных процессов и устройств. Вибрационная механика и вибрационная техника / И.И. Блехман. - СПб.: ИД «Руда и металлы», 2013. - 640 с.

2. Певчев, В.П. Составление электрических схем замещения на основе метода аналогий: учебное пособие / В.П. Певчев. - Тольятти: ТГУ, 2009. - 94 с.