Решение основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов

А.М.Нигмедзянова

РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

Строятся потенциалы типа простого и двойного слоев для одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка и изучаются их свойства. С помощью этих потенциалов краевые задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма и доказывается их однозначная разрешимость.

Пусть Е+ - полупространство хр > 0 р -мерного евклидова пространства точек х = (х',хр), х' = (х1, х2,..., хр-1), Б -конечная область в Е+, ограниченная открытой частью Г0 гиперплоскости хр = 0 и гиперповерхностью Г .

В Ер рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение

,ггп М д2и дХ п

Ци] =° при т > 0, т е Ъ и р > 3.

В этой работе строятся решения основных краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения (1) методом потенциалов. В первом разделе даются постановки основных краевых задач для уравнения (1) и доказывается единственность их решения. Во втором разделе строятся потенциалы типа простого и двойного слоев и изучаются их свойства. В третьем разделе основные краевые задачи для уравнения (1) сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода и доказывается их однозначная разрешимость.

1. Постановка краевых задач типа Дирихле и Неймана. Теоремы единственности

Через С1(Г) обозначим множество функций р(^) класса С(Г), удовлетворяющих условию р(^) = 0(%р) при %р ^ 0 .

Внутренняя краевая задача типа Дирихле (Задача В{). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям

и

Ц[Х

Х

Теорема 1. Внутренняя краевая задача типа Дирихле (2) - (5) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача типа Дирихле (Задача Бе). Требуется найти функцию Х(х), удовлетворяющую следующим условиям

и

Ц[Х

Х

( (р-2 т+ 4 ^ ^

при г = ^х^ + ...хр ^ да ,

и (х) = О

2 2

конормальная произ-

и 1г = / (х), / (х) є С1 (Г),

Теорема 2. Внешняя краевая задача типа Дирихле (6) - (10) не может иметь более одного решения.

Внутренняя краевая задача типа Немана (Задача Иі). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям и (х) є С 2( Б) п С (Б), ди( х)] = 0, х є Б, и(х) = О(хр) при хр — 0,

А[и(х)] |г = р(х), р(х) є С (Г),

Здесь А[и] = хг" V С08

р 31 3 дх3 р дхр

водная, п - внешняя нормаль к Г .

Теорема 3. Внутренняя краевая задача типа Неймана (11) - (14) не может иметь более одного решения.

Внешняя краевая задача типа Неймана (Задача Ые). Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую следующим условиям и ( х) є С 2( Бе) п С (Бе), ци( х)] = 0, х є Бе, и(х) = О(хр) при хр — 0,

( (р-2+ т+4 ^ ^

при г = ^х12 + ... хр -

и (х) = О

2 2

А[и(х)] |г = р(х), р(х) є С (Г),

Здесь А - конормаль, направленная во вне области Б .

Теорема 4. Внешняя краевая задача типа Неймана (15) - (19) не может иметь более одного решения.

2. Потенциалы типа простого и двойного слоев для уравнения (1) и их свойства

Известно [1], что фундаментальное решение уравнения (1) имеет вид

р-2

E(х,х0) = a(Pl2)-в(p2Г 2 (1 -а)1-2вх р - 2'

Г(2 - 2в)Г

Г(1 -в) г|^-в

+а

р-2

р-2 Г(2 - 2в)Г| (

2 ----------—Ч F (1 -вв ~вЛ а

р л] ( 2 2

Г(1 -в)Г| 2-2-в

Р2 Р21 рГ( )2

где а^Т2, 2 Г=Х(Ъ - 1

2

Р1 Р1 ] .7=1

( 2+ т 2+ т^\

х7+х^

в=

т

2(т + 2) ’

а =

Г(1 -в) Г|^-в

2 + т

4п2 Г

С помощью фундаментального решения Е(х, х0) уравнения (1) образуем поверхностные потенциалы типа простого и двойного слоев:

V

Ж (х) = {к(4) А[ Е (4, х)] й Г,

р-1 дХ дХ

где А[Х] = 4 X С0^П Т) дТ + С0^П,4р ) ТТ .

1^1 7 д4/ р д4р

Предполагается, что плотности /и(4), К4) е С1 (Г) .

Очевидно, что потенциалы V(х) и Ж(х) - регулярные решения уравнения (1) в любой области, лежащей в Е+, не имеющей общих точек ни с гиперповерхностью Г, ни с гиперплоскостью хр = 0 .

Из [1] следует, что потенциалы V(х) и Ж(х) обладают следующими свойствами:

V(х) = 0(х ), Ж(х) = 0(х ) при х ^ 0,

(

V (х) = 0

о-2 т+4 ]Л

2\

(

, Ж (х) = 0

при

г = Л/х,2 +... + хр ^ да .

Из (20) следует, что фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке х0 имеет степенную особенность вида р2~р, т.е. такую же

особенность, что фундаментальное решение уравнения Лапласа. Поэтому потенциалы (21) и (22) на границе Г ведут себя так же, как и гармонические потенциалы [[2], стр. 262], т.е. имеют место следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при V е С1 (Г) имеют место следующие предельные соотношения

Ж (х0) = -2 + Щх0), Же К) =^ + Ж(х0),

где Ж{ (х0) и Же (х0) означают предельные значения потенциала Ж (х) в точке х0 еГ при х ^ х0 соответственно изнутри и извне границы Г, а Ж(х0) -прямое значение потенциала Ж(х) в точке х0 еГ. Здесь точка х0 еГ - фиксированная точка границы Г, v0 = v(х0) .

Теорема 7. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при /и е С1 (Г) потенциал типа простого слоя

V (х) непрерывен в Е+ .

Теорема 8. Пусть Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. Тогда при /ие С1 (Г) имеют место следующие предельные соотношения

А V(*0)1 =и + А„ \у(х.)] , А„ V(ха)], =-и + А„ \Т(х0)],

где Ах0 [ (х0) 1 и А-ч [V(х0)] означают предельные значения конормальной производной потенциала типа простого слоя в точке х0 е Г соответственно изнутри и извне границы Г, а Ах (х0) ] - прямое значение конормальной

производной типа простого слоя V(х) в точке х0 е Г. Здесь точка х0 еГ -фиксированная точка границы Г, и0 = и(х0) .

3. Сведение задач типа Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям теории потенциала

Задача Б.. Решение задачи Б. будем искать в виде потенциала типа двойного слоя

Х

Г

Очевидно, что функция Х(х) удовлетворяет условиям (2) - (4) внутренней задачи типа Дирихле. Плотность v(4) - пока неопределенная функ-

ция. Ее найдем из требования, чтобы функция (23) удовлетворяла граничному условию (5) задачи Д .

С этой целью подставим и(х) в граничное условие (5) и, учитывая формулу предельного значения потенциала типа двойного слоя, получим

К х)

-|к(4) А [Е (4, х)] Г = / (х).

Г

Таким образом, задача Д свелась к следующему интегральному уравнению

к

Г

Аналогично выводятся интегральные уравнения, соответствующие задачам Бе, N, Ые. Они имеют вид

к

Г

ц

Г

М

Г

Отметим следующие свойства интегральных уравнений (24) - (27):

1). Эти уравнения являются интегральными уравнениями со слабой особенностью.

2). Ядра А[Е(4,х)] и -Ах [Е(4, х)] получаются друг из друга перестановкой точек 4 их. Так как эти ядра вещественные, то они сопряженные. Отсюда следует, что интегральные уравнения (24) и (27), (25) и (26) -попарно сопряженные интегральные уравнения. Следовательно, для них справедливы все теоремы Фредгольма.

1. Исследование первой пары сопряженных уравнений

Докажем, что интегральные уравнения (24) и (27), соответствующие задачам Di и Ые, разрешимы единственным образом при любых функциях

/(х), (р(х) е С1 (Г). С этой целью рассмотрим однородное интегральное

уравнение задачи Ые

/и

Г

Пусть ^

Г

удовлетворяет условиям (15) - (18) внешней задачи типа Неймана и граничному условию Ах [и (х)]| Г= 0, т.е.

Ах [и

2 Г

По теореме единственности внешней задачи Ые и(х) — 0, х е De.

Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция во всем полупространстве, то

и

Рассмотрим теперь потенциал и(х) в области D. В этой области функция и(х) удовлетворяет условиям (2) - (4) задачи Di и в силу (31) обращается в нуль на границе Г. По теореме единственности задачи Di и(х) — 0, х е D . Тогда

Ах [и

2 Г

Вычитая из равенства (32) равенство (30), получаем — 0, х е D . Таким образом, однородное интегральное уравнение (28) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (27) задачи Ые однозначно разрешимо для любой функции

(р(х) е С1 (Г) . Таким образом, значение параметра Л = 2 - правильное для ядра Ах [Е(4, х) ], по известной теореме Фредгольма, оно является правильным и для сопряженного ядра А[Е(4, х)]. Отсюда следует, что интегральное уравнение (24) задачи Di однозначно разрешимо для функции /(х) е С1 (Г) . Из разрешимости интегральных уравнений задач Di и Ые следует, что

разрешимы и сами задачи. Это приводит к следующим теоремам.

Теорема 9. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача Di для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 10. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача Ые для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

2. Исследование второй пары сопряженных уравнений

В силу рассуждений, аналогичных рассуждениям в исследовании первой пары сопряженных уравнений для второй пары сопряженных уравнений имеют место следующие теоремы.

Теорема 11. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача De для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 12. Если Г - поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол, то задача Ni для этой поверхности разрешима при

любых граничных данных из С1 (Г), и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

Литература

[1] Нигмедзянова А.М. О фундаментальном решении одного вырождающегося эллиптического уравнения. // Труды Второй Всероссийской науч. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Ч.3. Самара, 2005. С.180-182.

[2] Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М. 1977.