Применение метода гомотопии к решению обратных задач теории потенциала

Аннотация. Дано применение метода гомотопии к приближенному решению обратных задач логарифмического и ньютоновского потенциала. Рассматриваются обратные задачи логарифмического и ньютоновского потенциала в линейной и нелинейной постановках. Предложенные алгоритмы могут применяться для решения широкого класса обратных задач, описываемых интегральными уравнениями.

Ключевые слова: метод гомотопии, обратная задача, интегральное уравнение, метод регуляризации.

Abstract. The article shows a homotopy method for approximate solutions to reverse problems of logarithmic and Newtonian potential. The authors consider the reverse problems of logarithmic and Newtonian potential through linear and non-linear approaches. The suggested algorithms may be applied in solutions of a broad class of reverse problems, described by integral equations.

Key words: homotopy method, reverse problem, integral equation, regularizing method.

При исследовании многих проблем физики и техники возникает необходимость в решении обратных задач. Обратные задачи могут описываться различным математическим аппаратом, но общим во всех этих задачах следующее: как правило, они являются некорректно поставленными и для своего решения требуют использования методов регуляризации.

Различные методы регуляризации предложены в работах [1-5].

В данной работе исследуются методы решения обратных задач, описываемых интегральными уравнениями Фредгольма. При этом основное внимание уделяется обратным задачам логарифмического и ньютоновского потенциалов. Это обусловлено тем, что обратными задачами логарифмического и ньютоновского потенциалов моделируются обратные задачи гравиразведки и магниторазведки.

Методом решения обратных задач и, в частности, обратных задач гравиразведки и магниторазведки посвящена обширная литература [6-10].

Метод регуляризации, предложенный в данной работе, опирается на следующее свойство полиномов Бернштейна.

Определение 1 [11]. Пусть f (x) есть функция, заданная на сегменте [0,1]. Полином

называется полиномом Бернштейна функции f (x).

Полиномы Бернштейна обладают следующим замечательным свойством.

Введение

Теорема Канторовича [11]. Если f(x) есть целая функция, то ее полином Бернштейна BN (x) сходится к ней на всей оси.

В данной работе метод регуляризации заключается в том, что вместо решения исходного уравнения Фредгольма первого рода Кх = f решается последовательность уравнений второго рода (К + в)х(К) + Кх(К) = f, где К принимает значения = k/N, k = 0,1,^,N, N - целое число, в = 1/Ж

*

Решение x уравнения Кх = f определяется формулой

*•-(- N

где BN (К) - полином Бернштейна,

BN (К) = Л^CkNx Г N1К (1 -К)N-k;

k=0 ^ ^

Г N 1

х I N I - решение уравнения

х | К + N1 х(К) + Кх(К) = f при К = N/N.

В случае, если решение уравнения (К + в)х(К) + Кх(К) = f является целой функцией по параметру К или аналитической функцией по параметру К в области О ([0,1] ей), то применимость описанного алгоритма следует

из теоремы Канторовича о сходимости полиномов Бернштейна [11].

Метод гомотопии для решения интегральных уравнений Фредгольма, использующий аппроксимационные свойства полиномов Бернштейна, предложен в работе [12]. Ниже показано, что этот метод позволяет в обратных задачах гравиразведки одновременно восстанавливать форму и плотность гравитирующего тела.

1. Обратная задача теории потенциала в линейной постановке

Известно [13], что обратная задача теории потенциала в линейной постановке описывается уравнением

ь

г (° а С = f (х).

(х -С)2 + и 2

Изложим метод продолжения по параметру для более общего уравнения

1

Кх = | Щ, т) х

-1

Известно, что решение уравнений Фредгольма первого рода является некорректной задачей, требующей алгоритмов регуляризации. Для ее решения разработаны методы регуляризации, основанные на различных подходах [1-3]. Изложим метод, основанный на продолжении решения по параметру К. Для простоты изложения предположим, что оператор К -самосопряженный. В противном случае от уравнения (1) можно перейти

* * *

к уравнению К Кх = К /, где К - оператор, сопряженный с оператором К. Поставим уравнению (1) в соответствие семейство уравнений

1

Кк х =

-1

где К - вещественный параметр, 0 <К< 1; в >0 - параметр регуляризации. Приближенное решение уравнения (2) будем искать в виде полинома

N

XN

N=1

где ^(}), N = 1,2,, - фундаментальные полиномы, построенные по узлам полинома Лежандра порядка N.

Коэффициенты [щ (К)} находим по методу механических квадратур из системы линейных алгебраических уравнений

д хы = РЫ

(X + в) хк (X, і ) + | РЫ [(і, т) хк (X, т)] ] т

-1

= РІІ і

где Ры - оператор проектирования на множество интерполяционных полиномов степени (Ы — 1) по узлам полинома Лежандра N -го порядка. Верхний индекс у оператора Ры означает переменную, по которой проводится проектирование.

Обоснование метода механических квадратур для уравнений Фредгольма второго рода хорошо известно [14, 15], и поэтому не будем на этом останавливаться.

Рассмотрим последовательность значений X j = ]/М, ] = 0,1,.. ,М.

Для каждого значения Xj, j = 0,1,..,М, решим систему уравнений (4). В результате получаем множество решений {хы (X j; і )}, j = 0,1,..,М.

Составим из этого множества полином Бернштейна

М

Вм (X, і ) = 2Скмхы (X к, і )Хк (1 — X)М—к.

к=0

Приближенное решение уравнения (1) определяется формулой хЫ (і) = Вм (—в, і), в = 1/М.

2. Обратная задача ньютоновского потенциала в линейной постановке

Обратная задача ньютоновского потенциала в линейной постановке для тела, занимающего область V, V = а < х < Ъ, с < у < ё, —Н < г < —Н + ф(х, у), описывается уравнением

Ъё

° Ц°

н ф

((х — С)2 +(у — п)2 + Н 2)3/2

ё Сё п = /(х, .у,0).

Здесь О - гравитационная постоянная, с(£,П) - плотность гравитирующего тела.

Естественно рассмотреть более общее уравнение

1 1

| ••• | И(і, т) х(т)ё т = / (і ),

—1 —1

где t = (¿1,..,^), т = (т!,..,т/). Для определенности ниже полагаем I = 2, но все утверждения дословно переносятся на случай произвольного конечного I. Уравнению (5) поставим в соответствие семейство уравнений

1 1

К к х =

-1-1

где К,в - численные параметры, 0<К<1, и повторим рассуждения, приведенные в предыдущем разделе.

Положим 0<К<1, в> 0, и введем узлы XN = МЫ, N = 0,1,..,Ы. Приближенное решение уравнения (6) будем искать в виде полинома

N N

хы (X, і ) = О/ (І1)У / (І2),

і=1 /=1

где уг- (t) - фундаментальные полиномы по узлам полиномов Лежандра степени N.

Коэффициенты [агу (К)}, /,у = 1,2,.,N, находятся из системы линейных алгебраических уравнений

KN,К xN = (К + в) xN (К, 1') +

+рГ1 рг2 +РЫРЫ

1 1

| № РЫ2 /,І2,Т1,Т2)хы(X,Т1,Т2)]]Т2

—1—1

= рЫрЫ [/

Обоснование метода механических квадратур для уравнений Фред-гольма второго рода хорошо известно и на этом не будем останавливаться.

Решим систему уравнений (8) для набора значений X/ = //М,

/ = 0,1,..,М. В результате получаем набор решений х, (X /, і ), / = 0,1,. ,М,

из которых составляем полином Бернштейна

м

Бм (X, х ) = ^См*м (X к, * Ак (1 -X)м-к •

к=0

Приближенное решение уравнения (5) определяется формулой

(*1, *2) = Б^ (-в, *), в = 1/ М •

3. Обратная задача логарифмического потенциала в нелинейной постановке

Нелинейная постановка обратной задачи логарифмического потенциала для бесконечно протяженной по оси ОУ контактной поверхности 2(х) описывается [16] нелинейным интегральным уравнением

Ь (Х - 5)2 + Н2

К = ОаГ 1п------Ц-^---------- йх = /

а (Х - х)2 + (Н - 7(х))2

где г(^) - форма поверхности гравитирующего тела; Н - глубина залегания; а - плотность гравитирующего тела; О - гравитационная постоянная,

1*(С)|< Н •

Для простоты дальнейших обозначений положим а = -1, Ь = 1.

Как и в предыдущих пунктах, введем параметры X ив, в >0, 0 <Х< 1, и поставим уравнению (9) в соответствие семейство уравнений

г (Х - х)2 + Н2

Кх7 =

-1 (Х - х)2 + (Н - 7(х))2

Приближенное решение уравнения (10) будем искать в виде полинома

N

(X, х) = ^а к (Х)у к ( х),

к=1

где {^к ( х)}, к = 1,2, , - фундаментальные полиномы по узлам полинома

Лежандра степени N.

Коэффициенты {ак (X)}, к = 1,2,..,^ находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений

KN ,Х ( zN ) = (Х + в) zN (X, х) +

1п_______(х-5)2 +Я2 2

= Р§ [ /

-1

Пусть Xj = у/М, у = 0,1,..,М. Для каждого значения Xj,

j = 0,1,. ,М, решаем систему уравнений (11) методом Ньютона -Канторовича:

21

где К'^ х (г(0)) - производная Фреше оператора \г на начальном

элементе г(0). Отметим, что начальный элемент может быть как общим для

всех значений параметра Xj, так и для каждого значения Xj можно

выбирать собственное начальное приближение в зависимости от результатов решения уравнения (12) при других значениях X j.

Производная Фреше оператора К^ х

определяется выражением

Км ,х(2о)УМ = (Х + Р)уіУ (^ х) +

+рх

1 о а Р ' 2(Н - г0(5)) ч" 2 2 VN (X, 5) І5

_ -1 _ (х - 5) + (Н - г0(5)) _

N

Обоснование сходимости итерационного процесса (12) проводится на основании общих теорем метода Ньютона - Канторовича, приведенных в монографиях [14, 15] и в разделе 6 главы 1 монографии [17].

Решив систему уравнений

*

при Xj = jlM, j = 0,1,..,М, получаем семейство решений ZN(Xj,ґ),

*

j = 0,1,...,М. Из функций {zN (Xj, ґ)}, j = 0,1,.. ,М, составим полином Бернштейна

М

BN (X, ґ )= (X к, ґ Ак (1 -X)М-к.

к=0

Приближенное решение уравнения (10) определяется формулой г*(ґ ) = BN (-в, ґ), в = 11М.

4. Обратная задача гравиразведки в нелинейной постановке

В случае, если гравитирующее тело залегает на глубине Н, его нижняя поверхность совпадает с плоскостью г = — Н, а верхняя поверхность описывается функцией г(х, у) = -Н + ф(х, у), причем функция ф(х, у) неотрицательна и ф(х, у)< Н, то гравитационное поле на поверхности Земли описывается уравнением

—ті--------------іт3--;—тт = /

ас ((х - С)2 + (у -п)2+(Н - ф(С,п))2)112

где О - гравитационная постоянная; а - плотность гравитирующего тела. Для удобства обозначений уравнение (13) запишем в виде

И—п---------------^;—^172 = /

-J1-J1 ((х - С)2 + (у -п)2 + (Н - г (С, п))2)112 где г( х, у) - искомое решение.

Уравнению (14) поставим в соответствие семейство уравнений

К\ (2) = (Х + Р)г (X; х, У) +

1 1

+

и-

^(х, У),

-!-!

где 0 <Х<1, в >0.

Приближенное решение уравнения (15) будем искать в виде полинома

N N

(X, С,п) = 2^«к/ (Х)ук (С)У/ (п),

к=1/=1

где у к (С) - фундаментальные полиномы по узлам полинома Лежандра N порядка.

Коэффициенты {а;/(X)}, к,/ = 1,2,.,N, находим из системы нелинейных алгебраических уравнений

^N,1 (zN ) = (Х + в) ZN (Х x, У) +

+

1 1

-1-1

((х - С)2 + (У -п)2 +(н - (X, С,п))2)1/2

= Р§РУ [ / (х, У)],

где Ру - оператор проектирования на множество интерполяционных полиномов степени (У -1), построенных по N узлам полинома Лежандра. Уравнение (16) решается методом Ньютона - Канторовича

zkNX (X; х, у) = 2ки (X; х, у) -

- [ ку ,х (го( х у ))] 1 ( ку ,х (((Х;х, у ))- Р)РУ[ /(х, у )]

где КN х (го (х, у)) - производная Фреше оператора (Ку х () на элементе го( х, у); ^о( х, у) - начальное приближение.

Обоснование сходимости итераций (16) проводится на основании общих теорем сходимости метода Ньютона - Канторовича, приведенных в монографиях [14, 15] и в разделе 6 главы 1 монографии [17].

Решив уравнение (16) при значениях X j = ] / М, ] = 0,1,..,М, получа-*

ем семейство решений (Xj;х,у)}. Из этих решений составим полином

Бернштейна:

N

М-к

Вм (X; х, у) = ^£М2у (X к; х, у Я (1 -X) к=1

*

Решение уравнения (13) определяется формулой (х, у) = Вм (-в; х, у),

в = 1/М.

5. Одновременное нахождение плотности и границы гравитирующего тела

Метод одновременного нахождения плотности и границы гравитирующего тела изложим для линейной постановки задачи.

Вначале рассмотрим обратную задачу логарифмического потенциала. Рассмотрим уравнение

2СН\ 7

а (* -о2+н2

где о(^) - плотность гравитирующего тела.

Предположим, что геофизическая съемка проводилась также на высоте /?1 от уровня 7 = 0.

В этом случае функция 7(£) определяется также из уравнения

2О

а (*-о2+( н+Й1)2

Требуется из системы уравнений (17), (18) определить неизвестные функции (7(0, с(0), а <£< Ь.

Для простоты изложения положим а = -1, Ь = 1 и рассмотрим систему уравнений

-1( х -С)2 + Н2

(X + у)7(X; х) + 2О(Н + Й1) Г 2 йс = /1 (х),

-1( х-С)2 +(Н+Й1)2

где 0 < X< 1, у >0.

Обозначим через С0(х) и 70(х) начальные приближения к функциям а(х) и 7 (х).

Введем векторы

и(х) = {с(х),7(х)}Т, и0={С0(х),70(х)}Г, в(х) = {/(х),/1(х)}Т ,

и систему уравнений (19) запишем как

Ки = О.

Приближенное решение уравнения (20) по методу Ньютона - Канторо-

вича находим итерациями

и;+1= ик - [К/

Здесь К '(и0) - производная Фреше оператора К (и) на начальном

приближении и0 , определяемая вектором

(Х + у)с(Х; х) + 2ОИ Г ^ ё£ + 2ОИ Г °о(^^; ^ ё£;

Л /-«/- >*\2 і 7172 Л - "• п —п

-1( х -С)2 + И2

-1( х -С)2+И2

(X + у) г (X; х) + 2G (И + /^) |

+2О ( и+а1) |-

гр

-1

\2 '

-ё С +

-^X-С)2 +(я + Й!)2

Сходимость итераций (21) обосновывается при X = Xj, Xj = ]/М, j = 0,1,.. .,М, в >0, на основании теорем, приведенных в разделе 11 главы 1 [17]. Можно показать, что при достаточно хороших начальных приближениях итерации (21) сходятся.

Для численной реализации метода Ньютона - Канторовича перейдем к приближенным методам в подпространствах.

Приближенное решение системы уравнений (19) имеется в виде вектора {сы (X ы, х), (X, х)}, где

N

Ох (X, х) = к (X )у к (х),

к=1

N

zN (^ х) = Х^к М^к (хХ

к=1

у к (х) - фундаментальные полиномы, построенные по узлам полинома Лежандра N -го порядка.

Коэффициенты {ак (X)}, {вк (X)} находятся по методу Ньютона -

Канторовича из системы уравнений

1

(Х + у)сN (Х; х) + 2СИР§

Р

N

-1

1

Г р

N

-1

ZN (X; С )ON (X; С) (х + С)2 + И2 _

ZN

(х + 02 + (И + Ні)2

ё С

= Р^х [ / (х)],

ёС = Р^х [/і

Здесь через PN обозначен оператор, введенный в разд. 1.

Систему уравнений (22) в операторной форме представим уравнением

^ и

где UN (X, х) = ^ (X, х), ZN (X, х)), О(/) = (/(0, /1(0). Уравнение (23) при каждом значении X j, X j = ]/М, ] = 0,1,. ,,М, решается методом Ньютона -Канторовича

Ц+1 (X, х) = и1м (X, х) - [ Км л (ио )]-1 (Км л (и1м (X, х) - С( /)), I = 0,1,.

Здесь ио =(Оо(х),^о(х)) - начальное приближение. В результате полу-

* * т

чаем множество векторов (а^ у (х),у (х)) , 7 = 0,1,..,М, являющихся

решениями уравнения (23) при X у, у = 0,1,..,М.

Из этого множества составляем два полинома Бернштейна

М

Бм (X, о( х))= ООм О ,о (х)Х о (1 -Х)М-к,

к=0

М

М-к

Бм

к=0

Решением уравнения (17) является вектор

(а* (х), г* (х)) = (Бм (-в, о(х)), Бм (-р, z(х)), в = 1/М.

Замечание 1. Аналогичным образом строятся итерационные схемы, предназначенные для одновременного нахождения плотности и границы гравитирующего тела для обратных задач потенциала, описываемых уравнениями

СНЯ((, Н2)3/2 “^ = /<х,.,0),

ас

ъа

((х-С)2 +(.-П)2 +(Н2)3

с

аС ((х-С)2 + (.-п)2 + (и+к)2)3/2

в линейной постановке и уравнениями

сп\\ п)аСап = /

СН Г Г (( х ^)2 +( ., п)2 +( Н /у „))2)1/2 “ / (х,.,0),

ас

ъа

((х-С)2 +(.-П)2 +(Н - г (С, П))2)1

°

-1 -1 ((х - С)2 + (. -П)2 + (Н + к - г (С, П))2 )1/2

ас

в нелинейной постановке.

Здесь а(£,П) и г(^,п) - неизвестные функции.

Замечание 2. Аналогичным образом строятся итерационные схемы, предназначенные для приближенного решения обратной задачи логарифмического потенциала в нелинейной постановке

сЪ а(5)1п-(х 2 *) + Н-------- = /(х,.),

а (х - ,^)2 + (Н - г(я))2

о\a(s)ln (*-2s)2 +(H + h)2 2 ds = /,(x).

a (x - s)2 + (H + h - z (s))2

Здесь c(s) и z(s) - неизвестные функции.

Список литературы

1. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М. : Наука, 1974. - 224 с.

2. Лаврентьев, М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. - Новосибирск : Изд-во СО АН СССР, 1962. - 92 с.

3. Иванов, В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танака. - М. : Наука, 1976. - 206 с.

4. Бакушинский, А. Б. Итеративные методы решения некорректных задач /

A. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. - М. : Наука, 1989. - 130 с.

5. Zhdanov, M. S. Geophysical Inverse Theory and Regularization Problems / M. S. Zhdanov. - N. Y. Elsevier, 2002. - 610 p.

6. Василенко, Г. И. Восстановление изображений / Г. И. Василенко, А. М. Тара-торин. - М. : Радио и связь, 1986. - 304 с.

7. Старостенко, В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии /

B. И. Старостенко. - Киев : Наукова думка, 1978. - 226 с.

8. Страхов, В. Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности / В. Н. Страхов // Изв. АН СССР. Физика Земли. -1974. - № 2. - С. 43-65.

9. Тихонов, А. Н. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах / А. Н. Тихонов, В. Б. Гласко // Журнал вычислительной математики и математиче-

ской физики. - 1965. - Т. 5, № 3. - С. 463-473.

10. Бойков, И. В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности / И. В. Бойков, Н. В. Мойко // Известия РАН. Физика Земли. - 1999. - № 2. - C. 52-56.

11. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л., 1949. - 688 с.

12. Boykov, I. V. Approxmate Solution of Integral Equations with Homotopy Method / I. V. Boykov, S. Faudauoglu, M. Astanin // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф. (21-25 мая 2012 г.). - Пенза : Приволжский Дом знаний, 2012. - С. 11-22.

13. Жданов, М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. - М. : Наука, 1984. - 327 с.

14. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, -М. : Наука, 1977. - 744 с.

15. Красносельский, М. А. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко и др. - М. : Наука, 1969. - 456 с.

16. Гравиразведка / под ред. Е. А. Мудрецовой. - М. : Наука, 1981. - 397 с.

17. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

Бойкова Алла Ильинична кандидат физико-математических наук доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

УДК 517.392; 550.831 Бойков, И. В.

Применение метода гомотопии к решению обратных задач теории потенциала / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. -№ 3 (23). - С. 17-28.

Boykova Alla Ilyinichna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University