Применение модели переменной плотности на ранних стадиях проектирования крыльев

Том ХЬЇЇ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 1

УДК 629.7

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТИ НА РАННИХ СТАДИЯХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КРЫЛЬЕВ

А. В. БОЛДЫРЕВ, В. А. КОМАРОВ

Предлагается методика выбора рациональной силовой схемы и весового анализа несущих поверхностей с использованием специальной модели метода конечных элементов.

Методика учитывает деформации крыла и требования к жесткости конструкции. Приводятся численные примеры.

Ключевые слова: метод конечных элементов, модель переменной плотности, конструктивно-силовая схема, методы оптимизации.

На ранних стадиях проектирования несущих поверхностей решаются следующие задачи: определяются нагрузки, действующие на конструкцию; выбираются наиболее эффективные по массе силовые схемы; определяются (прогнозируются) значения масс агрегатов.

Эти задачи приходится решать в условиях неопределенности, когда отсутствует необходимая информация об объекте проектирования, в частности, еще не известны деформации создаваемой конструкции. При этом, как правило, используются специфические для каждой задачи математические модели и данные о прототипах проектируемого изделия.

Силовая схема конструкции определяется количеством и типом силовых элементов, их расположением в пространстве и способами соединения между собой. Решения, связанные с выбором силовых схем, зачастую принимаются эвристическими методами, на основании экспертных оценок, опыта и интуиции, а также с использованием результатов расчетов на упрощенных математических моделях (балка, пластина). Более достоверное исследование свойств объекта проектирования с применением метода конечных элементов (МКЭ) при этом производится лишь в конце процесса его разработки, на стадии проведения поверочных расчетов. В такой ситуации некоторые решения, связанные с выбором силовой схемы конструкции, могут оказаться неудачными. Попытки устранения недостатков в структуре конструкции на завершающих стадиях про_____________________________________________ ектирования обычно требуют значительных

дополнительных затрат времени и средств. С целью повышения качества и эффективности процесса проектирования в работе [1] предложена стратегия формирования силовой схемы с привлечением МКЭ еще до начала полномасштабной разработки конструкции на этапе рабочего проектирования.

Весовое проектирование конструкций часто основывается на использовании так называемых «весовых формул» [2 — 4], получаемых из статистического анализа построен-зич ных самолетов. Как правило, для этого подхода характерно использование упрощенной балоч-

БОЛДЫРЕВ Андрей Вячеславович

кандидат технических наук, доцент СГУ, г. Самара

КОМАРОВ Валерий Андрееі

доктор технических профессор СГУ

ной теории. Ряд важных аспектов, которые затруднительно адекватно учесть в балочной модели (например, наличие наплывов в корневой части крыла), при этом подходе учитывают введением многочисленных поправочных коэффициентов. Эта методика вполне работоспособная, если существуют примеры, позволяющие вести проектирование самолета «от прототипа». В то же время статистический подход не гарантирует высокую точность весовых расчетов в случаях использования необычных внешних форм, новых технических решений по типу конструкции [5] или при существенном изменении абсолютных размеров самолета.

Современные крылья традиционных форм близки к исчерпанию своих аэродинамических и весовых характеристик, поэтому во всем мире ведется интенсивный поиск новых технических решений. Характерными примерами результатов такого поиска могут служить телескопические крылья [6], самолеты интегральной компоновки, крылья малого удлинения различной формы [7, 8].

Все это свидетельствует об актуальности разработки новых методов, использующих высокоточное математическое моделирование на ранних (прогнозных) стадиях проектирования. В работе [9] предложен подход к весовому проектированию авиационных конструкций, использующий относительно простые конечно-элементные модели (КЭМ) и оригинальный критерий — «силовой фактор». В [10] для весового анализа конструкции в условиях, когда еще неизвестна ее силовая схема, использована трехмерная модель тела, выполненного из гипотетического материала переменной плотности.

Отметим, что рассматриваемые задачи связаны между собой. С одной стороны, прогнозируемые пропорции и абсолютная масса изделия, полученные в результате весового анализа, используются в расчетах центровок, нагрузок и, следовательно, оказывают влияние на выбор силовой схемы конструкции. С другой стороны, принятые решения по структуре конструкции предопределяют пропорции и размеры силовых элементов изделия и, следовательно, массу конструкции. В данной работе предлагается методика решения указанных задач с использованием единой математической модели объекта проектирования.

1. Идея модели переменной плотности. Предположим, что известны внешние и внутренние границы конструкции, т. е. область, в которой она может размещаться. Например, для крыла —

это внешние обводы с вычетом частей, занятых элеронами, механизацией, шассийной нишей и т. п.

Заполним допустимую область материалом с переменной плотностью р. Будем считать, что его модуль упругости и прочностные характеристики пропорциональны плотности

Е = рЁ,

ст = рс,

где ст — допускаемое напряжение материала; К и о — модуль упругости и допускаемое напряжение при единичной плотности.

Потенциально такое непрерывное трехмерное тело (континуальная модель) содержит внутри себя все мыслимые силовые схемы, в том числе и оптимальные с точки зрения передачи усилий или близкие к ним, которые могут быть образованы сгустками материала переменной плотности внутри допустимой геометрической области.

Идея применения в процессе проектирования конструкций гипотетического материала с переменным по объему модулем упругости, по-видимому, впервые высказана и использована в работе [11] при оптимизации пластин переменной толщины. В дальнейшем эта идея получила развитие в исследованиях отечественных и зарубежных ученых [1, 12 — 17, 6, 8] в виде тела переменной плотности с соответствующими прочностными и упругими характеристиками. В монографии [12] упоминается статья [13] как первая работа в этой области. В отечественной литературе оптимизация силовых конструкций с использованием тела переменной плотности рассмотрена на несколько лет раньше [1]. В этой работе оптимизация распределения материала по условиям прочности в континуальной модели проводится по алгоритму поиска полнонапряженной (равнопрочной) конструкции (алгоритм 1). При этом вариации проектных переменных вырождают элементы, передача усилий через которые нерациональна, и, наоборот, выделяют из конструкции элементы, обеспечивающие рациональные пути передачи сил. Анализ распределения материала и основных путей передачи сил в трехмерной теоретически оптимальной конструкции (ТОК) с учетом конструктивных и технологических требований позволяет разрабатывать варианты рациональных силовых схем.

В [1, 15, 18] доказано, что алгоритм 1 приводит к конструкциям с минимальным значением силового фактора О [11], который для трехмерного тела вычисляется следующим образом:

О = \aclV,

где V— объем тела; а — эквивалентное напряжение по принятой теории прочности.

На величину О наибольшее влияние оказывает выбор путей передачи внешних сил к опорам, по существу, силовая схема конструкции. В то же время значения силового фактора, как правило, слабо зависят от распределения материала в элементах конструкции, а для статически определимых ферм О вообще не зависит от соотношения жесткостей силовых элементов.

Достижение минимального значения силового фактора (3) свидетельствует об отыскании конструкции минимальной массы для заданной нагрузки [11], так как они связаны соотношением

где т1 — теоретическая масса конструкции; р и а — плотность и допускаемое напряжение реального конструкционного материала.

В работе Комарова В. А. [9] введен в рассмотрение безразмерный коэффициент силового фактора ск, который связывает величину О с нагрузкой на конструкцию и ее линейными размерами:

где Р и Ь — характерная нагрузка и характерный размер конструкции, выбранные условно.

Если в качестве характерной нагрузки для крыла брать подъемную силу, а в роли характер-

можно получить следующие выражения для определения абсолютной тк и относительной тк масс крыла:

где ф — коэффициент полной массы, определяемый как отношение полной массы конструкции к теоретически необходимой массе силового материала; а — допускаемое напряжение основного конструкционного материала при единичной плотности (удельная прочность); и — расчетная перегрузка; т0 — взлетная масса летательного аппарата.

Отметим, что на ранних стадиях проектирования точные линейные размеры конструкции и абсолютные значения нагрузок чаще всего не известны. Поэтому именно безразмерный коэффициент силового фактора наиболее целесообразно применять для весового проектирования несущих поверхностей.

Рассмотренный подход с использованием результатов оптимизации континуальной модели может быть применен для определения рациональных силовых схем и прогнозирования массы крыльев с учетом особенностей их геометрических форм и граничных условий [6, 8].

2. Оценка точности прогнозирования деформаций крыла. В сложившемся порядке проектирования самолетов на ранних этапах задача определения нагрузок, как правило, решается в предположении абсолютной жесткости конструкций. В то же время изгибные деформации, например, стреловидного крыла вызывают отрицательные изменения углов атаки в концевых сечениях крыла [19]. Учет этих изменений может дать другое, более выгодное с точки зрения прочности, распределение нагрузки и соответствующее снижение массы конструкции. Для этого необходим достоверный прогноз жесткостных свойств крыла в условиях дефицита информации о конструкции, которая собственно и есть объект проектирования.

ск=С/ РЬ ,

ного линейного размера — корень квадратный из площади крыла то на основе формулы

Щ=тк/то =ф/ст сКпр,4ї ,

В работах [10, 16] предложена методика прогнозирования деформаций крыла при решении рассматриваемых задач на основе модели переменной плотности. Исследуем достоверность деформаций континуальной модели, применяемой в методике [10, 16], в условиях, приближенных к реальному проектированию. Идея начатых исследований состоит в следующем. Берется реальное крыло с известными нагрузками и известным, близким к оптимальному, распределением жесткостей элементов конструкции, для которого или имеется, или строится КЭМ. Выполняется расчет напряженно-деформированного состояния. В геометрические ограничения этого крыла вписывается континуальная модель и производится оптимизация распределения материала в ней на те же внешние нагрузки, что и уже спроектированное крыло. Далее сравниваются деформации крыла и 3D — модели в идентичных случаях нагружения. Таким образом делается искусственно возврат в начальный, прогнозный этап проектирования для сокращения времени и затрат труда на проверку работоспособности методики [10, 16].

В качестве объекта исследования взято крыло самолета Як-130 [20, 21]. Для анализа рассматривается расчетный случай нагружения, при котором действует максимальный изгибающий момент — неустановившийся маневр с отклоненными элеронами при максимальном скоростном напоре.

В качестве эталона для анализа точности перемещений континуальной модели выбрана КЭМ крыла Як-130 (рис. 1), разработанная в ОКБ имени А. С. Яковлева для выполнения прочностных расчетов. Для адекватного отражения упругих характеристик конструкции в этой модели использовано 7806 конечных элементов типа Membrane и Rod [22]. Крыло закреплено на фюзеляже с помощью трех моментных и двух безмоментных узлов. Для передачи усилий к момент-ным узлам используются стальные фитинги.

Выбранная континуальная модель на основе тела переменной плотности с семью слоями по строительной высоте крыла состоит из 1400 элементов (рис. 2). Для крыла самолета Як-130 смещение во внутрь крыла от обводов центра тяжести силовых элементов в соответствующих поперечных сечениях имеет величину порядка 10 мм. Поэтому толщина наружных слоев в континуальной модели назначена порядка 20 мм [10]. Моделируется только силовая часть конструкции — кессон. Приняты следующие характеристики конструкционного материала: E = 72 000 МПа, р = 2700 кг/м3. Для эталонной модели Як-130 в рассматриваемом случае нагружения средний уровень эквивалентных напряжений по объему материала составляет 152 МПа. Эти напряжения используем в качестве допускаемых напряжений с гипотетического материала (1), (2). Распределение материала в верхнем слое после 30 итераций оптимизации по алгоритму 1 показано на рис. 3.

В ходе исследования получены следующие перемещения точек концевой хорды крыла по переднему лонжерону щ и по заднему лонжерону а2 : для эталонной модели г/, = 231 мм, а2 — 244 мм; для континуальной модели н] = 226 мм, и2 = 243 мм.

Отметим, что разброс контролируемых перемещений моделей не превысил 3%. Значение угла закручивания концевого сечения крыла при этом составило -1.8° и -1.5° соответственно для континуальной и тонкостенной модели.

Рис. 1. Тонкостенная модель крыла Як-130

Рис. 2. Континуальная модель крыла Як-130

Рис. 3. Распределение плотности в наружном слое континуальной модели

крыла Як-130

Аналогичные исследования выполнены для крыла транспортного самолета. Данные, полученные на континуальных моделях при соблюдении определенных условий [10], удовлетворительно согласуются с соответствующими параметрами КЭМ реальных объектов, что свидетельствует о применимости модели переменной плотности на ранних стадиях проектирования крыльев.

3. Учет деформаций крыла. Рассмотрим возможный вариант построения связи между аэродинамическими нагрузками и деформациями конструкции минимальной массы.

1. В заданные геометрические ограничения вписывается твердое деформируемое тело, которое разбивается на достаточно малые конечные элементы и назначается начальная, отличная от нуля, плотность каждого элемента р0(. Здесь индексы 0 — номер итерации, / — номер

элемента.

2. Рассчитывается распределение давления для абсолютно жесткой конструкции крыла на заданные перегрузки ЛА тем или иным адекватным численным методом.

3. Для нагрузки по п. 2 итерационно отыскивается оптимальное распределение материала в теле переменной плотности в виде плотностей отдельных конечных элементов с учетом удельного допускаемого напряжения реального материала, предполагаемого для использования в данной конструкции.

4. По результатам п. 3 назначаются по (1) упругие характеристики каждого конечного элемента.

5. Рассчитываются абсолютные деформации (перемещения) крыла.

Рис. 4. Схема модельного стреловидного крыла

6. Рассчитываются новые углы атаки и распределение давления для заданной по п. 5 деформированной конструкции крыла, которые обеспечивают заданные перегрузки.

7. Полученные в п. 6 нагрузки передаются в п. 3 вместо нагрузок по п. 2, и расчет повторяется до стабилизации.

Данный алгоритм 2 предполагает итерационный перерасчет распределения аэродинамических нагрузок на крыло с внутренним итерационным циклом оптимизации. Алгоритм носит эвристический характер и нуждается в испытаниях.

Рассмотрим стреловидное крыло (рис. 4) с относительной строительной высотой с = 0.1, которое должно обеспечить подъемную силу 180 кН на уровне моря и скорости M = 0.6. Характеристики предполагаемого конструкционного материала: Е = 70 ООО МПа, р = 2700 кг/м ,

а = 300 МПа. КЭМ состоит из 320 объемных элементов Solid [22]. Для удобства анализа результатов модель разделена на восемь слоев элементов по строительной высоте крыла. Распределение аэродинамической нагрузки для недеформируемой (абсолютно жесткой) и упругой несущей поверхности определяется с использованием метода дискретных вихрей в линейной постановке [23]. Ставится задача определения коэффициента силового фактора крыла с учетом зависимости распределения нагрузок по размаху от деформации крыла.

Расчеты по алгоритму 2 показали следующее. Сходимость достигнута за 4 шага внешнего алгоритма (четыре перерасчета распределения аэродинамической нагрузки по размаху). При этом на каждом шаге требовалось 10 — 20 итераций внутреннего цикла оптимизации распределения

материала по алгоритму 1. Изменение относительной циркуляции Г по относительному полуразмаху крыла l и коэффициента силового фактора конструкции ск по шагам внешнего цикла показано на рис. 5. Первому шагу алгоритма соответствует распределение аэродинамических сил на абсолютно жестком крыле. Получено типичное распределение для стреловидных крыльев с максимумом примерно на середине размаха. На следующем шаге распределение существенно изменилось из-за учета отрицательного изменения углов атаки в концевых сечениях крыла. На третьем шаге произошла некоторая корректировка циркуляции. Результаты третьего и четвертого шагов практически совпадают.

Обращает на себя внимание существенное уменьшение — более чем на 40% — значения коэффициента силового фактора крыла за счет перераспределения нагрузки по размаху. Такое большое изменение нагруженности можно объяснить тем, что рассмотрено крыло с сужением г) = 1. При больших величинах сужения эффект будет меньшим, но все равно заслуживающим учета при проектировании.

Дополнительным результатом расчетов по рассмотренному алгоритму является распределение материала (плотностей) в ТОК. На рис. 6, а, б показано распределение плотностей в наружных и срединных слоях трехмерной модели в корневой части крыла. Для выявления основных путей передачи сил в ТОК используется распределение потоков главных усилий [16] в наружных

Рис. 5. Изменение относительной циркуляции (а) и коэффициента силового фактора (б) по шагам итерационного процесса

Рис. 6. Распределение материала и усилий в теоретически оптимальном крыле

слоях модели и главных касательных сил [1] в срединных слоях, представленных на рис. 6, в, г. Видно, что получена известная, проверенная практикой как рациональная, силовая схема стреловидного крыла с внутренним подкосом.

4. Учет требований к жесткости. Возможность адекватного прогнозирования деформаций крыла на основе модели переменной плотности позволяет дополнить методику алгоритмического формирования силовой схемы конструкции учетом требований к жесткости с целью повышения критических скоростей самолетов, улучшения эксплуатационных свойств изделия и т. п.

В монографии [24] рассмотрен ряд задач оптимизации элементов авиационных конструкций при разнообразных функциональных ограничениях, включая ограничения на жесткость упругих систем. В работе [25] предложен метод оптимизации распределения материала в несущих поверхностях по требованиям жесткости при фиксированной силовой схеме. В то же время в работе [15] показано, что варьирование размеров сечений элементов конструкции для парирования недостаточной жесткости в некоторых задачах малоэффективно по сравнению с введением в конструкцию дополнительных элементов, т. е. за счет модификации силовой схемы конструкции.

Предположим, что имеется конструкция, которая нуждается в улучшении (назовем ее основной). Присоединим к ней в технологически перспективных местах трехмерную среду переменной плотности с учетом геометрических ограничений на ее форму и расположение, т. е. только в допустимой по компоновочным соображениям области конструкции объемом V. Эту среду назовем заполнителем. Разобьем объем V на п достаточно малых трехмерных конечных элементов и примем плотность материала в элементах за переменные проектирования при фиксированных

величинах Е и о.

Перемещения узлов КЭМ основной конструкции и заполнителя {и} под нагрузкой {Р} определяются путем решения системы линейных алгебраических уравнений

[К]{и} = {Р},

где [ К ] — матрица жесткости конструкции с заполнителем.

Обобщенное перемещение конструкции с заполнителем представим в следующем виде:

C = {Qf{»},

где {Q} — вектор коэффициентов линейной комбинации перемещений узлов КЭМ. В качестве обобщенного перемещения может выступать перемещение какой-либо точки конструкции в определенном направлении, относительные смещения различных точек, углы закручивания сечений и т. п.

Поставим цель минимизировать массу заполнителя

П

2=1

при выполнении функционального ограничения:

g Р =С р -С-О

и ограничений на значения проектных переменных

рг>рГ, i = 1,2, ...,п ,

где i — номер элемента заполнителя; C — допускаемое значение обобщенного перемещения C;

pinin — малая положительная величина. Заметим, что выбор величины p™in в контексте данной

задачи определяется необходимостью устранить возможность появления вырожденности или плохой обусловленности матрицы жесткости [K] при варьировании проектных переменных и связанных с ними модулей упругости материала элементов заполнителя. Если соотношения (9) выполняются в форме строгого неравенства, то соответствующие проектные переменные называются активными [14].

Запишем функцию Лагранжа в следующем виде:

L р =т р +аС р , а> О,

где a — неопределенный множитель Лагранжа.

Условия стационарности функции Лагранжа

dL р /dp j =0, г —1,2, ...,щ , с учетом от/др! = I ), записываются так:

дС/д о

---р:—L = 1/а = const, i=l,2,...,nx ,

i

где ni — количество активных проектных переменных.

Отметим, что объем элементов заполнителя V в процессе оптимизации не изменяется. Соотношение (10) является критерием оптимальности задачи (7) — (9), согласно которому частные производные dC/dpj должны быть одинаковыми для всех активных проектных переменных.

В дальнейших рассуждениях вектор {Q} будем рассматривать как виртуальную нагрузку конструкции. Тогда обобщенное перемещение (6) является работой виртуальной нагрузки {Q} на действительных перемещениях {и}. В случае ограничения на перемещение какого-либо узла КЭМ вектор {Q} представляет единичную силу в направлении нежелательного перемещения, в случае ограничения угла закручивания сечения — единичный момент к плоскости сечения.

Решив систему уравнений

[*]{ы9} = {0,

определим виртуальные перемещения {и я }.

Дифференцирование величины С по плотности материала р приводит к следующему соотношению [17]:

где [Л ] — булева матрица перехода от матрицы жесткости /-го элемента заполнителя [К\] к глобальной матрице [К]. В числителе соотношения (11) записана работа внутренних усилий /-го элемента заполнителя [К1 ][Л]{и} на возможных перемещениях узлов /-го элемента заполни-

В работе [17] предложен алгоритм оптимизации распределения материала по элементам заполнителя (алгоритм 3). В соответствие с этим алгоритмом движение в области поиска (9) осуществляется на основе последовательного чередования «пробных» и «рабочих» шагов. В результате ряда «пробных» шагов на основе линейных аппроксимаций функционального ограничения определяется значение множителя Лагранжа а, удовлетворяющее условию (10). «Рабочий» шаг характерен тем, что для него выполняется анализ напряженно-деформированного состояния конструкции по (5).

Вариации проектных переменных в соответствии с алгоритмом 3 выделяют в трехмерном заполнителе элементы, обеспечивающие требуемое повышение жесткости упругой системы. Анализ распределения материала и основных путей передачи сил в заполнителе при виртуальной и действительной нагрузке с учетом конструктивных и технологических требований позволяет разработать рациональные варианты модификации силовой схемы основной конструкции.

В качестве примера рассмотрим задачу повышения жесткости крыла самолета (рис. 7), спроектированного по условиям прочности. Воздушная нагрузка соответствует полету самолета в неспокойном воздухе с максимальной перегрузкой. Для трехлонжеронного крыла с относительным удлинением 12, сужением 3 и углом стреловидности 10° использован суперкритический профиль с относительной строительной высотой 13.5% в бортовом сечении и 9% в концевом сечении. Характеристики конструкционного материала основной конструкции: Е = 12 ООО МПа, р = 2860 кг/м3, о = 400 МПа, коэффициент Пуассона 0.3. Угол закручивания концевого сечения крыла а составил -0.251 рад. Рассмотрим задачу определения рациональной силовой схемы конструкции с учетом ограничения на обобщенное перемещение — абсолютная величина угла а не должна превышать 0.125 рад. Внутри теоретического контура крыла поместим трехмерную модель заполнителя, содержащую пять слоев элементов вдоль строительной высоты крыла. Присоединим заполнитель к основной конструкции по всем контактным поверхностям.

теля {и 4 }Т [Д ]Т.

Рис. 7. Модель крыла большого удлинения

б)

г)

Рис. 8. Распределение материала и усилий в заполнителе крыла

Расчеты по алгоритму 3 показывают следующее. За 17 «рабочих» шагов алгоритма получен допустимый проект с массой заполнителя 9.3% от массы основной конструкции. Значения плотностей в наружных слоях заполнителя на порядок превышают значения плотностей в срединных слоях модели. На рис. 8, а, б показано распределение плотностей заполнителя, соответственно, в наружных и срединном слоях трехмерной модели в концевой части крыла.

Дополнительный материал в наружных слоях заполнителя размещен в концевой зоне крыла между средним и задним лонжеронами. На рис. 8, в показано распределение потоков главных усилий в нижнем слое заполнителя при виртуальной нагрузке (единичный момент, приложенный в плоскости концевого сечения крыла). В зоне сгустка материала преобладает одноосное напряженное состояние, что можно трактовать как необходимость установки в панелях крыла в этом направлении стержневых элементов для эффективного увеличения жесткости основной конструкции. В случае применения для панелей крыла композиционного материала целесообразно в силовой схеме конструкции использовать слой материала с соответствующей ориентацией волокон. Из анализа картин распределения плотностей материала и главных касательных сил в срединных слоях заполнителя (рис. 8, г) следует вывод о возможности повышения жесткости исходного крыла за счет усиления стенки заднего лонжерона.

Таким образом, виртуальные эксперименты с использованием континуальной модели переменной плотности позволяют эффективно решать рассматриваемые задачи на ранних стадиях проектирования крыльев.

Опыт показывает, что трудоемкость создания трехмерных моделей МКЭ с использованием соответствующих генераторов сеток во много раз меньше, чем создание КЭМ тонкостенных каркасированных авиационных конструкций с известными проблемами геометрической изменяемости.

Учет деформаций крыльев на ранних стадиях проектирования может выявить и реализовать существенные резервы снижения массы конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Комаров В. А. Проектирование силовых схем авиационных конструкций // Актуальные проблемы авиационной науки и техники. — М.: Машиностроение, 1984, с. 114 — 129.

2. Шейнин В. М., Козловский В. И. Весовое проектирование и эффективность пассажирских самолетов. — М.: Машиностроение, 1984. 552 с.

3. Торенбик Э. Проектирование дозвуковых самолетов. — М.: Машиностроение, 1983. 648 с.

4. Raymer D. P. Aircraft design: a conceptual approach // AIAA Education Series. 1992,

745 p.

5. Дмитриев В. Г., Володин В. В., Белкин В. Н., Соколов В. П. Об использовании относительных критериев оценки совершенства самолета при создании истребителей 5-го поколения // Полет. 2007. № 9, с. 3 — 9.

6. Вейссхаар Т., Комаров В. А., Шахов В. Г. Телескопические крылья: весовая и аэродинамическая эффективность // Полет. 2009. № 2, с. 10 — 18.

7. Г е р а с и м о в С. А. Полусферическое крыло и течение Коанда // Полет. 2008. № 9, с. 52 — 54.

8. Болдырев А. В. Оценка массы крыльев малого удлинения на ранних стадиях проектирования // Изв. СНЦ РАН. 2009. Спец. вып. «Актуальные проблемы машинострое-

ния»,

с. 173 — 178.

9. Комаров В. А. Весовой анализ авиационных конструкций: теоретические основы // Полет. 2000. № 1, с. 31 — 39.

10. Болдырев А. В., Комаров В. А., Лаптева М. Ю., Попович К. Ф. Учет статической аэроупругости на ранних стадиях проектирования // Полет. 2008. № 1, с. 34 — 39.

11. Комаров А. А. Основы проектирования силовых конструкций. — Куйбышев: Куйбышевск. книж. изд., 1965, 82 с.

12. B en d s o e M. P. Optimization of structural topology, shape, and material. — Berlin: Springer, 1995, 271 p.

13. Bendsoe M. P., Kikuchi N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization Method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. V. 71, p. 197 — 224.

14. Eschenauer H. A., Olhoff N. Topology optimization of continuum structures: A review // Appl. Mech. Rev. 2001. V. 54, N 4, p. 331 — 389.

15. Комаров В. А. Повышение жесткости конструкций топологическими средствами // Вестник СГАУ. 2003. № 1, с. 24 — 37.

16. Болдырев А. В., Комаров В. А. Структурная оптимизация несущих поверхностей с учетом статической аэроупругости // Изв. вузов. Авиационная техника. 2008. № 2, с. 3 — 6.

17. Б о л д ы р е в А. В. Структурная модификация тонкостенных конструкций с учетом требований жесткости // Проблемы прочности и пластичности. 2008, вып. 70, с. 175 — 183.

18. К о м а р о в В. А. К доказательству теоремы об изменении жесткости конструкций // Вестник СГАУ. 2004. № 1, с. 49 — 51.

19. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. — М.: Физматлит, 1959, 524 с.

20. ГуменюкА. В., Ковалевский А. К., Комаров В. А., Попович Г. Ф. Оценка весового совершенства самолета Як-130 // Полет. 2004. № 7.

21. Д е м ч е н к о О. Ф. ОКБ имени А. С. Яковлева. История и современность // Полет. 2006. Спец. вып. , с. 3 — 6.

22. Рычков С. П. MSC.visualNastran для Windows. — М.: НТ Пресс, 2004, 552 с.

23. Белоцерковский С. М. Приближенный метод определения нестационарных аэродинамических характеристик / В сб. Аэродинамика неустановившихся движений // Труды ЦАГИ. 1975, вып. 1705, с. 22 — 28.

24. Методы оптимизаций авиационных конструкций / Н. В. Баничук, В. И. Бирюк, А. П. Сейранян и др. — М.: Машиностроение, 1989, 296 с.

25. Данилин А. И., Комаров В. А. Применение алгоритма проектирования с учетом требований жесткости // Автоматизация проектирования авиационных конструкций. — Куйбышев: КуАИ, 1982, с. 116 — 123.

Рукопись поступила 24/VI2009 г.