Механизм протекания и распределение токов и полей в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла

19. Чукбар К.В. Квазидиффузия пассивного скаляра // ЖЭТФ. - 1996. - Т.109. С. 1335-1341.

20. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви // ЖЭТФ. -

2002. - Т.121. - С. 299-304.

21. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Эффекты "памяти" в стохастическом транспорте // Письма в ЖЭТФ. -

2003. - Т.77. - С. 654-664.

22. White S., Barma M. Field-induced drift and trapping in percolation networks // J. Phys. A. - 1984. - V. 17. - P. 2995-2999.

23. Weiss G., Havlin S. Some properties of random walks on a comb structure // Physica A. - 1986. - V.134. - P. 474-479.

24. Fick A. On liquid diffusion // Ann.Phys. (Leipzig). - 1855. - V. 170. - P. 50-64.

25. Arkhincheev V.E. Anomalous diffusion and charge relaxation on comb model: exact solutions // Physica A. -2010. - V.386. - P. 16-24.

26. Архинчеев В.Е., Архинчеева С.В., Юможапова Н.В. Диффузия в пористых наноструктурированных материалах с низкой диэлетрической проницаемостью // Химическая физика и мезоскопия. - 2011. - Т.13, №4. -C. 530-533

27. Юможапова Н.В., Архинчеев В.Е. Асимптотическое решение обощенного диффузионного уравнения дробного порядка по времени // Ученые записки ЗабГГПУ. - 2011. - №3. - С. 169-172.

28. Arkhincheev V.E., Kunnen E., Baklanov M.R. Active species in porous media: Random walk and capture in traps // J. of Microelectronics. - 2011. - V.88. - P. 694-699.

Юможапова Наталья Вячеславовна, аспирант, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, ynat81@bk.ru

Архинчеев Валерий Ефимович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, тел. (83012) 433224, varkhin@mail.ru

Yumozapova Natalia Viacheslavovna, postgraduate, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8

Arkhincheev Valery Efimovich, Doctor of Physics-Mathematics, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8

У ДК 538.915 © М.Ю. Малакеева, В.Е Архинчеев

МЕХАНИЗМ ПРОТЕКАНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКОВ И ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С ГРАНИЦАМИ В УСЛОВИЯХ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Рассмотрено протекание тока в условиях квантового эффекта Холла в средах с границами. Установлено, что в этом случае эффективная холловская проводимость принимает ненулевое значение. Показано, что оно обусловлено протеканием холловского тока через конечное число сингулярных точек (в нашей модели это углы на стыке фаз).

Ключевые слова: квантовый эффект Холла, эффективная холловская проводимость, слоистые среды.

M.Yu. Malakeeva, V.E. Arkhincheev

MECHANISM OF FLOW AND DISTRIBUTION OF ELECTRIC CURRENTS AND FIELDS UNDER LIMITED CONDITIONS OF QUANTUM HALL EFFECT

The current flow has been considered under limited Quantum Hall Effect conditions. In this case the effective Hall conductivity has a non-zero value due to the flow of the Hall current through the finite number of singular points (in our model these are corners at the phase joints).

Keywords: quantum Hall effect, effective conductivity, layered media.

В условиях квантового эффекта Холла (КЭХ) при протекании тока в средах с границами нахождение проводимости осложняется необычным характером протекания тока - холловский ток всегда перпендикулярен электрическому полю. Из уравнения непрерывности с учетом потенциальности

е х Vatv = 0 Г11 ~

электрического поля следует: xy [1]. Это означает, что линии тока не могут пересекать гра-

ницу раздела фаз и всегда обтекают неоднородности за исключением некоторых точек [2-4]. Соответ-

ственно кажется, что холловская проводимость в средах с границами раздела фаз всегда должна обращаться в ноль, но в действительности формируется ненулевая холловская проводимость.

Целью работы является исследование механизма распределения токов и полей в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла, установление значения холловской проводимости при протекании тока поперек слоев и вдоль слоев, и решение вопроса о формировании ненулевого значения холловской проводимости в средах с границами.

Протекание тока в слоистых средах в условиях квантового эффекта Холла Чтобы понять особенности протекания тока в условиях квантового эффекта Холла рассмотрим простую модель, состоящую из двух слоистых сред с различными холловскими проводимостями СТ>у1'1'1 и [5]

ст

ху

Рис. 1. Слоистые среды Проводимость в режиме КЭХ при протекании тока поперек слоев Рассмотрим случай, когда электрический ток течет перпендикулярно границам раздела фаз. В условиях квантового эффекта Холла при таком направлении тока электрическое поле направлено вдоль слоев. Из граничных условий непрерывности тангенциальных компонент оно равно среднему значению Ех < Є >х .Соответственно,

^ 6 _ 1 и ^ (2) ^

0 — — 10 + 0 /

XV 2 \ XV XV )

2 (1) Таким образом, значение эффективной холловской проводимости (1) соответствует решению с постоянным электрическим полем. Чтобы проверить полученный результат, вычислим распределения электрических полей и токов в слоистых средах в режиме квантового эффекта Холла. Используя определение средних величин

< е >1 + < е > 2 — Е

0% < [П е ] >1 +0X/1 < [п,е ] > 2 — 0 [П Е]

получим формулы, описывающие распределения электрических полей в фазах:

- 0е - СТ1'2) - 0е - ст

—» т—г XV XV —* т—г XV XV

< е >-— Е0Г0 < е >2— Е0^

XV1 X XV1 X /о\

Подставляя формулу (1) в выражения (3) легко проверить, что полученное решение (1) действительно соответствует решению с постоянным электрическим полем

<е>1х <е>2х Ех/2

На первый взгляд полученное решение (1) для холловской проводимости не совсем соответствует новым граничным условиям у1п = ]2п = 0. Согласно этим условиям холловский ток не может пере-

секать границы раздела фаз, за исключением конечного число сингулярных точек, и соответственно, холловская проводимость должна обращаться в ноль. На самом деле, холловские токи носят краевой характер, текут вдоль границ раздела фаз и пересекаются в бесконечности, которая и является сингулярной точкой в настоящей задаче. Протекание через конечное число сингулярных точек, в данном случае через бесконечность, и определяет ненулевое значение холловской проводимости.

Проводимость в режиме КЭХ при протекании тока вдоль слоев Рассмотрим протекание тока вдоль слоев. В этом случае будем искать решение с постоянным электрическим током. В результате после усреднения токов получим выражение для холловской проводимости

20 (1)0 (2) е XV XV

0У* — 0

0 XV + 0 XV

Подставляя формулу (4) в выражения для токов получим, что решение (4) действительно соответствует решению с постоянным электрическим током.

< І > 1 у =< І > 2 у =

~Еу = Jy

Таким образом, холловская проводимость в слоистых средах носит тензорный характер

а =

V а ух

причем компоненты тензора холловской проводимости не равны друг другу:

СТх

*

Следует отметить, что полученный результат не противоречит принципу Онсагера о симметрии кинетических коэффициентов, рассмотренная система не является изотропной однородной, поскольку было выделено направление вдоль слоев.

Локальные распределения и холловская проводимость слоистых смещенных сред в условиях квантового эффекта Холла Чтобы понять механизм распределения токов и полей в слоистых средах с межфазными границами в условиях квантового эффекта Холла, рассмотрим модель, состоящую из слоистых сред со смещением слоев относительно друг друга в начале координат - рис. 2.

Сингулярные точки

Для нахождения локальных распределений токов (полей) в слоистых средах будут использованы методы теории функции комплексного переменного, которые подробно представлены в работе [6]. В силу двоякопериодической симметрии слоистых смещенных сред достаточно рассмотреть элементарную ячейку, состоящую из двух прилегающих полубесконечных полос с различными проводимостями. Ниже мы построим конформное отображение внутренних областей прилегающих полуполос с проводимостями с1 и с2 на нижнюю и верхнюю полуплоскости. В нашем случае такое преобразование осуществляется функцией [7, 8]:

С = »ЛІ

Здесь ео8Ь(х) - гиперболический косинус, L - ширина полосы. После отображения полуполоса аЪ^ переходит в нижнюю полуплоскость, а полуполоса аЪе'й' в верхнюю полуплоскость. Соответствие точек отображения указано на рис. 3

d

с

Ь

7

ъ

$ с

Рис. 3. Соответствие точек при конформном отображении

а

+ а

а

0

а

а

а

Граничные условия по-прежнему сохраняются на плоскости ^ + л для электрического тока

7('к= 7л) — И(к)(? л) П?

\ ) . На различных частях оси ^ они имеют различный вид:

71 — К = 0, 72 — 72 = 0

на Ь1, включающее в себя лучи [Ьа), [сс£), [с^'). Черта над величиной означает комплексное сопряже-

ние.

71 + 71 = 0 , 72 + 72 = 0

на Ь2, включающее в себя лучи [Ьс], [Ьс'].

Таким образом, исходные начальные граничные условия сведены к граничной задаче Римана для кусочно-непрерывной функции 7(£). Коэффициенты граничной задачи терпят скачки на оси ОЕ, в точках Ь, с, с'. Как следует из граничных условий в задаче имеются четыре неизвестные функции:

7, 7, ^ 1 2 . В соответствие с [5] представим функции 7'2, 71 в виде функций от их комплексно

сопряженных величин 7^ 72. Введем кусочно-непрерывную вектор-функцию:

( 7ЛО ^ МС1

Ф(С) =

Эта функция удовлетворяет условию симметрии:

_____( 0 1 ^

Ф (С) =

, 1 0

Ф

О£

Соответственно, на оси эта функция принимает значения:

Ф + (£) = ( І2(£) ^

2

І

У

и

Ф(£)=

Таким образом, вышеуказанные граничные условия образуют граничную проблему Римана в векторно-матричном виде:

Ф +

В исследуемом нами случае протекания в режиме КЭХ эти матрицы имеют простой вид. На интервале Ь;

а на интервале Ь2

О1 =

б, =

0 1

1 0

-1

-1

Решение проблемы строится путем сведения к системе двух независимых скалярных граничных

задач Римана. Для этого проведем диагонализацию матриц граничных условий. С этой целью введем

новую кусочно-непрерывную аналитическую функцию:

^(£) = IФ(£) еСЛи 1т(С) > 0

Соответственно, для этой функции получим следующие граничные условия.

на интервале Ь;. Это означает, что на этом интервале функция продолжена аналитическим способом. На других участках из интервала Ь2 получим:

0

Введем еще одну функцию соотношением:

Ф

Здесь матрица S выбирается таким образом, чтобы диагонализовать матрицу граничных условий на участке Ь2. В результате получим систему из двух независимых граничных задач Римана.

¥,

Собственные значения определяются из уравнения:

= 0

ш - m-g2

Здесь Е - единичная матрица.

В случае КЭХ собственные значения имеют простой вид и равны:

А.1,2 = -1

Соответственно, решения скалярных задач Римана равны [7, 8]:

X (£) =

Fi(i) = ClX(С) F2(g) = С2X-40

—11 / 2

С

Напомним, что переменная £, связана с исходной переменной z соотношением (7). Далее возвращаемся к исходной вектор функции. Определим фазы коэффициентов С1, С2. Согласно условия симметрии, коэффициенты удовлетворяют соотношениям.

С1 ( п Л С 2 ( п

С= exp Ы С7= exp I" i2

?

Таким образом, получаем выражения для локальных токов:

?

Модули коэффициентов С,, С2 определяются внешними токами (полями). Именно,

< j' > + < j >= Jx - iJy = С, < X(С) > +с2 < x-1 (С) >

< є > + < ^2 >= Ех - Шу = C1 < X(С) > +pXy)C2 < X- (С) >

Введем тензор эффективной холловской проводимости:

х

J

а е 0

V Ух

Таким образом, согласно формулам (26)-(28), компоненты эффективного тензора холловской проводимости равны:

IИе

Im^Q + C 2) , - Re

Здесь I = <X©> = <X-1©>.

Во-первых, легко видеть, что компоненты тензора холловской проводимости определяются через константы |C1|, |C2| и не равны друг другу в общем случае:

ex/ * Gyxe

Во-вторых, значения константы |C1|, |C2| определяются условиями на бесконечности.

В качестве примера рассмотрим два вида условий на бесконечности.

1) Пусть задано среднее значение тока на бесконечности.

Jx = const, Jy = 0

В этом случае из формулы получим:

Поэтому следующее соотношение получается:

В случае равенства этих констант среднему геометрическому значению

I С, и с, |=^с

получим выражение для компоненты тензора:

'2 1=>/ а$а™

2ст

.1______. Л -1 .___° xy° xy

°ху < Рху > _

ху ХУ

Это значение соответствует решению с постоянным электрическим током.

2) Рассмотрим второе условие, когда задано электрическое поле на бесконечности.

В этом случае получим:

Р I С, I +РХ2’ I С2 1)2™(у4)г = Ех р | С, I -рУ I С2 |)2С08(^/)г = Е, = 0

Поэтому следующее соотношение получается:

р^^.’ I с, = р.Х2) IС 21

В случае равенства этих констант следующим значениям:

1С.1= рц, 1С2 1= 4т

• ху гху

а1 =< а >=—1а11 + а

^ xy ^ xy 2^ ХУ ХУ

получим выражение для компоненты тензора:

1

xy xy

Это значение соответствует решению с постоянным электрическим полем.

Заключение

Полученные результаты для значений холловской проводимости связаны с необычным характером протекания тока в режиме квантового эффекта Холла. В этом режиме из уравнения dv J = 0 и

rot e = 0

потенциальности электрического поля следует:

e *^у = 0

т.е. линии тока никогда не пересекают линий постоянных значений величины cxy [4]. Холловский ток течет вдоль линий неоднородностей холловской проводимости, не пересекая границ раздела фаз, и «замораживается» в каждой из фаз. Это объясняет и само постоянство (плато) значений холловской фазы при изменении концентраций фаз. Кроме того значения плато определяются проводимостью той перколирующей фазы, которая образует бесконечный перколяционный кластер, значение плато определяется топологией токовых путей [9, 10]. Эта зависимость была изучена в [11-14]. Распределение токов и полей в условиях квантового эффекта Холла в «шахматной доске» рассмотрено в [15-17].

Установлено, что формирование ненулевого значения эффективной холловской проводимости в условиях квантового эффекта Холла обусловлено протеканием холловского тока через конечное число сингулярных точек. Как следует из результатов, задание условий на бесконечности определяет характер протекания через сингулярные точки - в нашей модели это углы на стыке фаз. Существует две возможности протекания краевых холловских токов. Первая из них - протекание краевого тока последовательно из первой во вторую фазу через угловые контакты. Этот результат соответствует решению с постоянным током на бесконечности (32). В такой же системе возможно, однако и другое решение, когда задано среднее поле на бесконечности (34). В этом случае краевые холловские токи текут отдельно - каждый по своей фазе с проникновением через углы полуполос, расположенных в шахматном порядке.

В настоящее время интенсивно изучается проблема создания квантовых интерферометров из-за возможности их использования для исследования многих квантовых явлений [18-19] Как аналог традиционных оптических интерферометров созданы интерферометры, основанные на квантовом эффекте Холла [20]. Принцип работы таких интерферометров основан на краевых холловских токах. Механизм распределение краевых холловских токов и условия их протекания очень важны для конструирования этих устройств. С этой точки зрения полученные результаты могут быть использованы для создания и усовершенствования квантовых интерферометров. Кроме того, возможно создать но-

вый тип двухфазных гетерогенных интерферометров твердого состояния, в которых переходы между краями будут определяться свойствами сингулярных точек (углы на стыке фаз).

Полученные результаты могут быть использованы и для описания постоянной Холла в режиме сильных магнитных полей (определяется концентрацией носителей). Эффективная холловская концентрация в пределе сильных магнитных полей в двухфазном случае определяется концентрацией фазы, образующей перколяционный кластер. В случае непрерывного распределения концентраций в некотором интервале, по-видимому, эффективная холловская концентрация в сильных магнитных полях определяется концентрацией носителей на пороге протекания.

Литература

1. Keller J.B. A theorem on the conductivity of a composite ma-teria // J. of Mathematical Physics. - 1964. - V.5.

- P. 548-553.

2. Дыхне A.M. Проводимость двухфазных двумерных сред // ЖЭТФ. - 1970. - V.59. - C. 110-115.

3. Дыхне А.М. Аномальное сопротивяение плазмы в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. - 1970. - Т.59. -С. 641-647

4. Dykhne A.M., Riizin J.M. Theory of fractional quantum Hall effect: The two phase moclel // Physical Review.

- 1994. - V.50. - P. 2369 -2379.

5. Емец Ю.П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой. -Киев: Наукова думка, 1986. - 191 с.

6. Малакеева М.Ю., Архинчеев В.Е. Вычисление распределений локальных токов и полей в слоистых средах в условиях квантового эфекта Холла // Ученые записки ЗабГГПУ. - 2011. - №3. - С. 108-115.

7. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. -716 c.

8. Маркушевич А.М. Краткий курс теории аналитических функций. - М.: Наука, 1978. - 415 c.

9. Архинчеев В.Е. О неподвижных точках, инвариантах преобразований Дыхне и устойчивости решений задач эффективной проводимости // Письма в ЖЭТФ. - 1998. - Т.67, В.3. - С. 951-955.

10. Arkhincheev V.E., Batiev E.G. То the theory of the Quantum Hall Effect in inhomogeneous medium // Solid State Communications. - 1989. - V.12. - P.1059-1060.

11. Arkhincheev V.E. Bound values for Hall conductivity of heterogeneous medium under quantum Hall effect conditions // Pramana (Indian Journal of Physics). - 2008. - V.70, №2. - P. 271-277.

12. Alvermann A. Fehske H. Stochastic Green's function approach to disordered systems // J. of Physics: Conference Series. - 2006. - V.35. - P. 145-156.

13. Avron J.E., Osadehy D., Seiler R. A Topological Look at the Quantum Hall Effect // Physics Today. - 2003. -V.56, №8. - P. 38-42.

14. Forrester A., Joglekar Y. Conductivities in Bilayer Quantum Hall Systems // Physics. - 2003. - V.14. - P. 117.

15. Arkhincheev V.E. Bound values for Hall conductivity and percolation under Quantum Hall effect conditions // Physica B. - 2008. - V.403. - P. 25-30.

16. Arkhincheev V.E. Percolation in inhomogeneous medium under Quantum Hall effect conditions // Physica A.

- 2000. - V.285. - P. 373-382.

17. Arkhincheev V.E. Quantum Hall effect in inhomogeneous medium: effective characteristics and local current distributions // J. of Experimental and Theoretical Physics. - 2000. - V. 91. - P. 407-415.

18. Devyatov E.V., Lorke A. Separately contacted edge states at high imbalance in the integer and fractional quantum Hall effect regime // Review article, Phys. Stat. Sol. - 2008. - V. 245, №2. - P. 366-377.

19. Devyatov E.V., Lorke A. Experimental realization of a Fabry-Perot-type interferometer by copropagating edge states in the quantum Hall regime // Physical Review. - 2008. - V.77. - P. 161302(R).

20. Ji Y., Chung Y., Sprinzak D., Heiblum M. and et al. An electronic Mach-Zahnder interferometer // Nature. -

2003. - V. 422. - P. 415-418.

Малакеева Марина Юрьевна, аспирант, Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н.Г. Чернышевского, 680000, Чита, ул. Бабушкина 129, seilor25 @mail. ru

Архинчеев Валерий Ефимович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, институт физического материаловедения СО РАН, тел. (83012) 433224, varkhin@mail.ru

Malakeeva Marina Yurievna, postgraduate, Zabaikalsky State University of Humanitarian Pedagogical named after N.G. Chernyshevsky, 680000, Chita, Babuchkina St., 129

Arkhincheev Valery Efimovich, Doctor of Physics-Mathematics, Institute of Physical Materials Science SB RAS, Ulan-Ude, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8