Двухпараметрическая модель волновых режимов течения пленок вязкой жидкости

УДК 532.516

ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНОВЫХ РЕЖИМОВ ТЕЧЕНИЯ ПЛЕНОК ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В. Я. Шкадов1

Рассматриваются волновые режимы пленочных течений вязких жидкостей, для которых коэффициенты вязкости изменяются в широких пределах. Выведена приближенная модельная система дифференциальных уравнений с двумя внешними управляющими параметрами для толщины слоя и локального расхода жидкости. В этой системе точнее, чем в известной однопараметрической модели Шкадова, учитывается вязкая диссипация в слое. Установлены новые свойства линейных и нелинейных волн, вызываемых гидродинамической неустойчивостью течений сильновязких жидкостей под воздействием силы тяжести и поверхностного натяжения.

Ключевые слова: капиллярность, пленка, неустойчивость, нелинейные волны.

Wavy flow regimes of viscous liquid films whose viscosity coefficients vary in a wide range are considered. An approximate model system of two differential equations with two external governing parameters for the layer thickness and local flow rate is derived. In this system, the viscous dissipation in the layer is taken into account more accurately than in the well-known one-parameter Shkadov model. New properties of linear and nonlinear waves caused by the hydrodynamic instability of strongly viscous liquid flow under gravity and surface tension are established.

Key words: capillarity, film, instability, nonlinear waves.

1. Вывод модельной системы. Течение тонких слоев вязкой жидкости по твердой поверхности под воздействием сил тяжести, вязкости и поверхностного натяжения описывается краевой задачей [1], которая включает уравнения Навье-Стокса

ut + иих + vuy = -рх Н--(иуу + к2ихх) + -!- cos (f3),

к Re к F

2 1 / 2 \ Vt + UVX + VVy =--—Ply + —— {Vyy + к vxx),

ux + vy = 0,

2к к P = TT 'Pl -

к Re

hx

к Re

Re 1 We (1 + b2)3/2 F

sin(e) , , ч

b = Khx,

и краевые условия

У = 0

y = h : <

u = 0, v = 0;

P1

l + b2 1 - 62

21 4hx

Uy + n ( Vx + j—pVy

k ht + uhx = v.

= 0,

h0

Уравнения (1), (2) записаны в безразмерной форме. Использованы масштабы длины йо и — для

к

переменных у, ж, масштабы скорости Щ, к^о для скоростей и: ^динамический напор ри^ для давлений р и р^ значения толщины слоя Но и скорости жидкости Щ, а также коэффициент к растяжения по продольной переменной ж должны быть заданы дополнительно.

Шкадов Виктор Яковлевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shkadovQmech.math.msu.su.

2

Краевая задача (1), (2) содержит безразмерные параметры Рейнольдса Ие

т2 тт2

ЦоЛо

, Вебера We

рЛоЦ2 Ц2

-, Фруда I' = -, заданный угол р наклона твердой поверхности, плотность жидкости р, коэф-

а - 9Ло

фициент кинематической вязкости V. Будем рассматривать такие гравитационно-капиллярные течения вязких несжимаемых жидкостей, в которых силы вязкости, тяжести, поверхностного натяжения имеют одинаковый порядок, задаваемый величиной 5 в соответствии с соотношениями [1, 2]

1

1

We к Ие к Е 55

Отсюда находим безразмерные критерии и масштабирующие множители Ло, Цо, характерные для рассматриваемого класса течений:

We = 55к2, Ие =

155

55 / V 2\1/3 гг 9^

—, /г0= ЗЫе — , и0 = к V 9 У 3v

Теперь задача (1), (2) полностью определяется нарой внешних управляющих параметров математической модели 5, к. Введем обозначения: I' = ЗЫе, 7 = — {у^д) тогда из (3), (4) устанавливаем

Р

связь 5, к с парой управляющих параметров экспериментов Д, 7:

5=

д11/9

Д2/9

к=

4571/^ 71/3

На рис. 1 представлены в плоскости (Д, 7) области значений управляющих параметров, при которых проводились эксперименты но волновым пленкам. Кривые 1, 2 ограничивают область больших значений Д, 7, соответствующих маловязким жидкостям. Сюда отнесены классические эксперименты работы [3] и многих других последующих работ, результаты которых собраны в [4|. Кривая к = 0,3 проходит через центральную часть этой области, поэтому при решении задачи (1), (2) можно принять допущение к2 ^ 1. Соответствующая теория, включая вывод приближенной модельной задачи (Л — д) с одним внешним управ-

5

для периодических и уединенных волн, построена в [1, 2|. Она позволила истолковать основные экспериментальные результаты, получила дальнейшее развитие и обобщение путем учета процессов тепло- и массообмена в пленках и успешно применяется до настоящего времени [5].

10 10 10 10 у

Рис. 1. Области существования волновых режимов

точения пленок

Кривые 3, 4 ограничивают обширную область новых экспериментов [6, 7] с течениями волновых пленок при больших и малых значениях 7. Видно, что для указанного множества экспериментальных точек выполняются неравенства 0,1 < к < 1, причем значения к возрастают с уменьшением 7. В таблице в качестве примера приведены значения 7, к при 5 = 0,15. С увеличением вязкости уменьшается 7 и растет к, достигая значения к ~ 1 (к = 0,15 при 7 = 3370; к = 1 при 7 = 3,572). Особый интерес представляет область малых значений 7 для жидкостей с повышенной вязкостью. Волны в этой области пока мало изучены, требуется как развитие теории, так и проведение новых более детальных расчетов.

Рассмотрим вывод приближенной модельной системы (Л — д)1 с двумя внешними управляющими 5к

Следуя методу работы [1|, примем для и(х,у,1) простейшее выражение, удовлетворяющее граничным условиям (2):

и = А(х, ¿)у + В(х, ¿)у2.

13 ВМУ, математика, механика, № 4

7 3750 1323 102,9 23,25 8,1 3,572

к 0,15 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

А 0,026 0,046 0,185 0,415 0,738 1,155

а,1/а 1 0,78 0,31 0,16 0,09 0,06

Функцию ^(ж,у,£) находим из третьего уравнения (1):

V = ~ - Аху + - Вху,:

Введем в рассмотрение локальный расход жидкости я =

Jo

получаем уравнения

±А112 + ^В1г3 = д, А + 2ВН = п2 Ахх1г2 + ^ Вххк3 +

и (у, тогда, используя (2), для А, В

(АХН + Вх^ ).

Проинтегрируем первое и второе уравнения системы (1) по у в предел ах [0, Л.] с использованием

¡'н ( Г

выражений (6), (7) для и, V и соотношения / р\хс1у = кр'1х — -р / УР1у<1у, в котором р[ = р\

Уо (ж Уо

у=Н

—

1 + Ь2

, а р1у задается вторым уравнением (1).

1 - Ь2:

Сохраняя главные члены порядка о(к2), с помощью (8) получаем для Л, я систему дифференциальных уравнений (Л — я) 1 с двумя внешними управляющими параметрами 5, к при в = 0:

Л + Ях = 0,

55

Яг +

6 / я

5 V Л

= I Л. - р + Л-Л-а

+

2/'5 9 (¡кх.

+ и ( 39хх 4 д

3 ЯхЛ ж

, 3 ЯЛх О, . 1,2 3 ь 1,2,. А

2 Л, 2 К2 &'1пхпхх ^ 1ъпхпххх

При малых значения к, пренебрегая членами с множителем к2, из (9) получаем модельную систему (Л — я) с одним управляющим параметром 5, выведенную в [1]. Эта система явилась основой для изучения волн в пленках маловязких жидкостей в длинном ряде работ (см. [5]). Полная система (Л — я)1 содержит

5к

стью. Отметим, что в [6, 7] предпринимались попытки дополнить модель (Л — я) членами, квадратичными

по волновому числу а, а в [8] рассматриваются модификации системы (Л — я) путем введения весовых

у

2. Параметр А и бифуркационный барьер. Основное состояние системы (9) соответствует динамически возможному течению пленки постоянной толщины в случае постоянного расхода: Л = 1, я = 1-Рассмотрим условия, при которых вследствие гидродинамической неустойчивости происходит мягкая бифуркация от основного состояния волнового режима течения с волновым числом а:

Л = 1 + Л1 ехр ш(ж — с£), я = 1 + Я1 ехР ¿а(ж — с£).

Линеаризуя систему (9) относительно малых амплитуд Л-1, Яъ получаем уравнения

Я1 — еЛ-1 = 0,

55т

6

-<71 + т (2<?1 ~ ^

5

= (3 — га3)Л1 — я1 + к2а2^1

где

5 /9 3 з,

Условие существования нетривиального решения Л-1, Я1 дает дисперсионное уравнение для определения в области неустойчивости 0 < а ^ ага собственного ч исла с = с(а, 5, к2):

55аг

12 \ 6

~5 С/ С _ 5

3 2 2 1 9 5

= 3 — га — с + к а [ ---с

4 3

н

Полагая в (10) с = 0, выводим уравнения для ап и сг на нейтральной кривой в плоскости (а, %):

о 9 2

(Т2 3 + 7 °п

^ = 6 12^-- С' = —Г-2-

- - У сг + с2 1 + з <

Здесь приняты обозначения а = ка, х = 55к2, ап = кап.

Вычислим из дисперсионного уравнения (10) в точках нейтральной кривой % = х(сга), определяемой формулами (11):

/ 12 \

ас

йа ^

3

-Д^ +

+ 5 2 27 ю

V 3 <Т*г Сг _ 20 /

кз

где Ф — громоздкая положительно определенная функция. Используя (4), получим для х и А:

Х = «е = —, Л = 7^175-

¿а

Из (12) следует, что —— = 0 на нейтральной кривой в точке, определяемой из условия обращения в аа

нуль выражения, стоящего в круглых скобках. Для критического значения А = А* получаем

2.2Э1Д* =

На рис. 1 кривая 5 представляет множество точек, в которых на плоскости (7, Д) выполняются одновременно соотношения (11)-(14).

Рассмотрим кривые 5 = сош!; на рис. 1. При больших значениях 7 влияние А будет малым в силу того, что А ^ 1. Из таблицы видно, что по мере перемещения вдоль линии 5 = сош! к малым значениям 7 параметр А растет и достигает точки А = А* па кривой 5, па которой имеет место переход из области А в область В.

А

¿С' ¿С'

на которой выполняется условие —— > 0, а для каждой точки области В — условие —— < 0.

аа " аа

¿С'

Перемена знака -—- приводит к изменению характера мягкой бифуркации волнового режима. Мяг-аа

а

а = ап + 5а 5а < 0. Следовательно, в области А от нейтральной кривой ответвляются медленные волны с фазовой скоростью, меньшей фазовой скорости нейтральных волн: сг < сгп. Соответственно в области В от нейтральной кривой мягко ответвляются быстрые волны с фазовой скоростью сг > сгп. А

ния 7, ослабляет механизм бифуркаций медленных волн и при достижении критического значения А* изменяет тип бифуркации. Кривая 5 представляет бифуркационный перевал, разделяющий пленочные

АВ

В течениях типа I при достаточно больших значениях 7 от нейтральной кривой а = ап ответвляется семейство медленных волн 71. При уменьшении волнового числа достигается критическое значение а = а*, при котором от семейства 71 происходит жесткая бифуркация семейства быстрых волн 72, продолжающегося по внутреннему параметру а до точки а = 0. Понятие медленных и быстрых волн с внут-а5

что при 5 > 0,09 возникают жесткие бифуркации промежуточных семейств медленных волн, количество

5а

точка жесткой бифуркации семейства 72. 14 ВМУ, математика, механика, №4

V

--

1

При переходе через бифуркационный перевал А = А* (7, Д) в область В к течениям типа II бифуркации первого семейства 71 исчезают. От нейтральной кривой сразу ответвляется семейство быстрых волн 72, которое по внутреннему параметру а продолжается до точки а = 0. Различие сценариев бифуркаций в течениях типа I и II можно увидеть на рис. 2, где показаны результаты прямого численного решения (9) при 5 = 0,1, 7 = 3370 (кривая 1) и 7 = 6,5 (кривая 2). В первом случае имеются 4 бифуркации медленных волн до перехода на семейство 72, им соответствуют локальные максимумы на кривой сг = сг(а); во втором случае имеется единственная бифурка-

ция семейства 72 при а = ап.

На рис. 1 кривая бифуркационного перевала 5 делит в плоскости (7, Д) множество экспериментальных точек [7] на две большие группы. Свойства нелинейных волн, вызываемых гидродинамической неустойчивостью, для них существенно различаются, но тем и другим соответствуют волновые решения системы (Л — я)ь

3. Подавление капиллярной ряби. Волновые решения модельной системы (Л — я) работы [1] при

к2 ^ 1 характеризуются наличием капиллярной ряби на переднем фронте быстрых волн большой ампли-

туды типа уединенных волн и солитонов. Покажем, что включение членов порядка к2 в модели (Л — я)1 создает эффект сглаживания передних фронтов, что согласуется с экспериментальными наблюдениями волн, особенно в сильновязких жидкостях. Для рассмотрения периодических по времени возмущений поверхности слоя, амплитуды которых изменяются по пространству, положим ш = ш в (10) и получим уравнение

0 0,4 0,8 а

Рис. 2. Зависимость фазовой скорости волн от волнового числа

Ша - к2 ( ^ - ^ Сг ) Ш2 + + 3 - Сг = 0,

/ = 5с2 — 12сг + 6.

При сг > 3 это уравнение имеет один действительный корень Ш1 > 0 и два комплексных корня ^2,3 = агде а < 0. Асимптотическое поведение при £ — ^то заднего и переднего фронтов движущейся уединенной волны (солитона) дается формулами й .

Л = 1 + Аехр£ — —то;

1,0

0,0

Л = 1 + В ехр а£ 8т 1£, £ -£ = ж — сг £ + ж0, А, В,ж0

то;

.

Рассмотрим зависимость величин а, 1 от параметра к в типичном случае 5 = 0,15, сг = 4. В таблице даны отношения показателей а к их значениям при к = 0. Из таблицы сле-I дует, что амплитуда капиллярной ряби на переднем фронте волны быстро уменьшается с приближением пары режимных параметров 7, к к линии бифуркационного перевала. Показа-а1 < 0

£ - то В

время длина волн ряби увеличивается в два раза, а форма заднего фронта практически не изменяется. На рис. 3 показаны профили установившихся волн, демонстрирующие различие решений систем (Л — я) и (Л — я)ь — кривые 1 (5 = 0,3, к = 0) и 2 (5 = 0,3, к = 0,456) соответственно.

4. Нелинейные волны при малых значениях Для установившихся волн имеем Л = Л(£), Я = я(£), £ = а(ж — с£). Из основной модельной (Л — я)1 системы (9) получаем уравнение

а5 с

в6"

/?' - а3/?./?.'" -Ъ, + то=аФ Л2

где

Ф1

5 9 9 . . Л — 1

3С-4, + 4(,"с) —

ч Л'2

1

Я = Я0 + с(Л — 1), Ь = Яо — с.

Периодическое решение разыскиваем в виде ряда Фурье

h = 1 + p^i + р2^2 + Р3^э + ..., ^>1 = sin = ^>10 sin £ + cos £ при

k > 2.

Разлагая в ряды Фурье нелинейные члены уравнения (15) и приравнивая к нулю коэффициенты при различных гармониках, получаем систему для определения с, 90 Р ^ко, ^к1 (ограничимся первыми двумя гармониками):

Qo + ^B3p2 = -^a2p2b,

1 ( 3

Dl + 2 V + " Ат^20 + 2 Азр2

= а

-а + —

D2 + ^Ua6- A7)ip21 + А5с^20 + ^ А4р2 j = -у сг2Ь<Р20,

1

15

+ B2f20 = 2 БзР - о- ^4at£>2i - у ьр'

B2ip21 ~ B\Lp2o = ^ В4р2 + Aa2aLp20.

При к = 0 (а = 0) система (16) переходит в систему (22) работы [1], послужившей началом конструктивных исследований нелинейных волн в жидких пленках. Соответствующие выражения для Qq, D1, D2, Ai, A2, Bi, B2 даны в [1]. Множнтель а2 = 0 выделяет члены, отражающие влияние членов с к2 в системе (9).

Решение системы (16) будем строить при малых % и различных значениях волнового числа а из интервала неустойчивости 0 < а ^ ап. Положим а2 = 155(1 + s)-1, s ^ 0, тогда s = 0 соответствует точке на нейтральной кривой. Применяя введенные выше определения (5), (13) для к, 5, получим следующие выражения для величин, входящих в коэффициенты системы уравнений (16):

а = Qx1/2,

Q =

3

1 + s

1/2

К

A

1 д11/6

27 7I/2 -

При малых значениях % можно найти асимптотическое представление решения (16), оставляя главные по х члены в коэффициентах. С точностью до величин о(х2) получаем

ч 33 с = 3 ——

1 - s

2

X,

' VA J (1 + s)3

1+

121 1 + s

48 (2 - s)2

A2

В этих формулах увеличение в > 0 соответствует продвижению в область неустойчивости к более длинным волнам, при этом выполняется соотношение а(1+в)1/2 = ап. Перепишем выражение для фазовой скорости с в виде

33 в

Cn +

4

X,

1 33

где сп = 1 - — %

фазовая скорость нейтральных волн из (11).

Отсюда следует, что при всех 0 < в < 2 имеем с > сп. Формулы (17) описывают мягкую бифурка-

цию быстрых нелинейных волн к семейству 72, что характеризует течения типа II. Для таких волн при

малых значениях 7 (жидкости повышенной вязкости) параметр А имеет порядок 1, поэтому влияние А

в (17) на амплитуду волны оказывается существенным. В этом случае асимптотическое поведение фа-

зовой скорости с определяется одним внешним параметром х, амплитуда волны р — двумя внешними

параметрами х А.

Для предельно больших амплитуд волн, которые получаются при s ^ 2, из (17) выводим соотношение c = 3 + 2,12р.

На рис. 4 показаны зависимости фазовой скорости c от максимального значения амплитуды установившейся волны hm. Для асимптотических решений (17) при малых 7 принято приближенно hm ~ 1+р. Там же показаны точками некоторые результаты, приведенные в [7].

Для жидкостей малой вязкости влияние параметра А мало, так как А ^ 0 при возрастании 7. При этом в силу соотношения % = 125 á2А также х ^ 0. Второй член в c

дует учесть члены порядка р2. Для волн типа I получаем асимптоти чеекие представления

2 _ 12 • 453 з s(3 — s) _ 12_ R11/3 s{3 - s) 9 272 (1 + s)3 (1 + s)3 5

62

3 o 101 1 ~ чпч s

с = 3 — -wp , где w = —--^ .

Ранее выражения (18) для p, c получены в [1]. В этом случае мягкая бифуркация пространственно-периодических волн на нейтральной кривой порождает медленные нелинейные волны первого семейства 71 (cr < 3). В точке s = 0,4 достигается локальное максимальное значение р (dp/ds = 0), что соответствует оптимальному режиму, понятие о котором введено в [1].

5. Заключение. Выведенная модельная система (h-q)i с двумя внешними параметрами á, к обобщает ставшую классической модель (h — q) с одним параметром á из работы [1] на течения вязких жидкостей

7

ные члены, присутствующие в исходной краевой задаче для уравнений Навье Стокса. При возрастании

7

А

метров экспериментов А = А* (7, R), разделяющие два типа мягких бифуркаций периодических волн на нейтральных кривых. Установлен механизм подавления мелкомасштабной ряби и сглаживания волновых фронтов при уменьшении 7. Показано, что асимптотическое поведение решений при % ^ 0 зависит от А

системы (h — q) 1.

Автор приносит благодарность за помощь в проведении расчетов и оформлении статьи А.Н. Бело-глазкину, Д.А. Тушканову.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 12 01 00405).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шкадов В. Я. Волновые режимы точения топкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. Мохан. жидкости и газа. 1967. № 1. 43 51.

2. Шкадов В.Я. Уединенные волны в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Мохан. жидкости и газа. 1977. № 3. 63 66.

3. Капица П.Л., Капица С.П. Волновые течения тонких слоев вязкой жидкости // Жури, эксиерим. и тоор. физ. 1949. 19, № 2. 105 120.

4. Alekseenko S.V., Nakoryakov V.Y., Pokusaev B.G. Wave flow of liquid films. N. Y., USA: Begoll House Inc., 1994.

5. Шкадов В.Я., Д&нехии Е.А. Волновые движения пленок жидкости па вертикальной поверхности (теория для истолкования экспериментов) // Успехи механики. 2006. 4, № 2. 3 65.

6. Nguyen L.T., Balakotaiah V. Modeling and experimental studies of wave evolution on free falling viscous films // Phys. Fluids. 2000. 12, N 9. 2236 2256.

7. Meza, CLE., Balakotaiah V. Modeling and experimental studies of large amplitude waves on vertically falling films // Gliom. Eng. Sei. 2008. 63. 4704 4734.

8. Ruyer-Quil CI, Manneville P. Further accuracy and convergence results on the modeling of flows down inclined planes by weighted-residnal approximations // Phys. Fluids. 2002. 14. 170 183.

9. Byuoe A.B., Дш.ехии E.A., Шкадов В.Я. О неединственности нелинейных волновых решений в вязком слое // Прикл. матом, и мохан. 1984. 48, № 4. 691 696.

Рис. 4. Зависимость фазовой скорости от амплитуды волн: 1, 3— 7 = 6,58; х = 0,13; 2, 4 — 6,5; 0,1 соответственно

10. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Развитие доминирующих волн из малых возмущений в стекающих пленках вязкой жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1997. № 6. 30-41.

11. Shkadov V.Y., Sisoev G.M. Wavy falling liquid films: Theory and computations instead of physical experiment // Nonlinear Waves in Multi-Phase Flow / Ed. by H.-C. Chang. Fluid Mech. and Its Appl. Vol. 57; IUTAM Symp. Notre Dame, USA; Dordrecht: Kluwer, 2000. 1-10.

12. Shkadov V.Ya., Sisoev G.M. Waves induced by instability in falling films of finite thickness // Fluid Dyn. Res. 2004. 35, N 5. 357-389.

Поступила в редакцию 22.06.2012