О КЛАССАХ LIP(α, P) ДЛЯ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теорема 4. Пусть (X, U) — равномерное пространство и R — некоторое семейство ограниченных 'равномерно непрерывных псевдометрик, базисное для U. Тогда семейство MT(R) порождает равномерность MT(R)(U) на пространстве MT(X), причем MT(R)(U)\X = U.

Замечание. Согласно предложению 6, равномерность MT(U) является одной из равномерностей вида MT (R)(U). Но в отличие от функтора UT, когда UT(U) = UT (R)(U) для любого базисного семейства R ограниченных псевдометрик (см. [1]), разные базисные семейства Ri и R2 псевдометрик на (X,U) могут давать различные равномерности MT(Ri)(U) и MT(R2)(U) на MT(X) даже в случае компактного X. В самом деле, из теоремы 2 вытекает, что если pi и р2 — липшицево неэквивалентные ограниченные метрики на X, то тождественное отображение id : (MT(X),MT(pi)) ^ (MT(X),MT(p2)) не является равномерным изоморфизмом метрических пространств. В то же время на любом бесконечном метризуемом компакте X имеются липшицево неэквивалентные метрики — любая метрика р и метрика Л/р.

Теорема 5. Если f : (X, U) ^ (Y, V) — равномерно непрерывное отображение, то отображение MT(f) : (MT(X),MT(U)) ^ (MT(Y),MT(V)) также равномерно непрерывно. Доказательство. Нам понадобится вспомогательное утверждение.

Предложение 7 [3, предложение 8.1.22]. Для равномерной непрерывности отображения f : (X, U) ^ (Y, V) необходимо и достаточно, чтобы для каждой равномерно непрерывной псевдометрики p из некоторого базисного для V семейства R псевдометрика а, определяемая равенством a(xi,x2) = p(f (xi), f(x2)), была равномерно непрерывна по отношению к U.

Согласно определению равномерности MT(V), семейство псевдометрик MT(Ry) является базисным. Поэтому ввиду предложения 7 достаточно показать, что для каждой псевдометрики p £ Ry псевдометрика r(p), определяемая равенством

r(p)(pi,р2) = Mt (p)(Mt (f )(pi),Mt (f )Ы),

равномерно непрерывна по отношению к MT (U). Но в силу того же предложения 7 псевдометрика a(p), определяемая равенством a(p)(xi,x2) = p(f (xi),f(x2)), равномерно непрерывна по отношению к U. Значит, по теореме 3 псевдометрика MT(a(p)) равномерно непрерывна по отношению к MT(U). А согласно лемме 2, имеем r(p) < MT(a(p)). Следовательно, псевдометрика r(p) также равномерно непрерывна. Теорема 5 доказана.

Из теорем 3 и 5 вытекает, что функтор MT с категории Tych поднимается на категорию Unif равномерных пространств.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00764).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Садовничий Ю.В. Поднятие функторов UT и Ur на категорию ограниченных метрических пространств и категорию равномерных пространств // Матем. сб. 2000. 191, № 11. 79-104.

2. Федорчук В.В. Тройки бесконечных итераций метризуемых функторов // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1990. 54, № 2. 394-418.

3. Engelking R. General Topology. Sigma Series in Pure Mathematics, 6. Berlin, 1989.

Поступила в редакцию 27.09.2006

УДК 517.52

О КЛАССАХ Пр(а,р) ДЛЯ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

А. П. Антонов

1. Введение. Статья посвящена изучению взаимосвязи поведения коэффициентов тригонометрических рядов двух переменных и гладкости сумм данных рядов в пространствах Ьр. Вначале введем некоторые обозначения.

Пусть T = [—п,п] и функция f (x) е L(T2) (далее функция предполагается 2п-периодической по каждой переменной). Через

Е an(f)einx = Е an^

n€N2 n€N2

будем обозначать кратный ряд Фурье функции f (x), где nx = U\X\ + П2Х2, а x, n суть (xi,x2) и (ni,n) соответственно. Через c(ti,...,ti) будут обозначаться положительные постоянные, зависящие лишь от ti,...,tl (необязательно равные между собой).

Справедлива следующая теорема, доказанная Харди и Литлвудом. Теорема А. (а) Если 1 < p < 2 и f (x) е Lp(T2)7 то

Е Ian(f)IP Ц(ПI + 1)Р"2 < c(p)\\f

n€N2 j=1

(б) Пусть 2 < p < с и числа {an}neN таковы, что

Jp(a) = (Е IanIP П (Inj | + 1)p"2) < с,

\n€N2 j=1 J

тогда найдется функция f (x) е Lp(T2), такая, что для любого n е N2

an(f) = an и \\f \\р < c(p)Jp(a).

Для одномерного случая доказательство этой теоремы можно найти в книге [1], а для двумерного оно мгновенно следует из одномерного.

Позднее теорема А обобщалась в работах Морица [2] (для коэффициентов, монотонных в смысле Харди), Дьяченко [3] (для коэффициентов, монотонных по каждому направлению), Драгошанского [4] (для анизотропного случая).

В связи с этим представляет интерес и задача описания классов Липшица в метрике Lp в терминах коэффициентов их тригонометрических рядов Фурье. Для этого нам понадобятся следующие определения.

Определение 1. Пусть 1 < p < с, ö — 0+, функция f (x) е Lp(T2). Положим

u(f,ö)p = sup \\f(x + h) — f(x)\\p.

Будем говорить, что функция f (x) принадлежит классу Lip(a, p), если u(f, ö)p = O(öa), ö — 0+. При p = с будем обозначать его Lip(a).

В одномерном случае для монотонных коэффициентов Фурье известны следующие теоремы.

те

Теорема Б (Лоренц [5]). Пусть 0 < а < 1. Функция /(х) € С(Т) и ^ ап сов пх — ее ряд Фурье,

п=1

ап I 0. Тогда для того чтобы /(х) € Ыр(а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство о,п = О (п1+а) при п —оо. То же утверждение справедливо для ряда из синусов.

те

Теорема В (Конюшков [6]). Пусть 0 < а < 1, 1 < р < ж. Функция /(х) € ЬР(Т) и ^ ап сов пх —

п=1

ее ряд Фурье, ап { 0. Тогда для того чтобы функция /(х) € Ыр(а, р), необходимо и дост,аточно, чтобы

выполнялось равенство ап = О Г при п оо. То же утверждение справедливо для ряда из

синусов. п

Для кратного случая возможны различные определения монотонности.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность ап1,п2 монотонна в смысле Харди, если для любых П\,П2 > 1 верно неравенство

ап1 + 1,п2 + 1 ап1,п2 + 1 ап1 + 1,п2 + ап1,п2 ^

Определение 3. Будем говорить, что последовательность ani,n2 монотонно убывает по каждому направлению, если для любых Ui,U2 > 1 и для любых i,j > 0 верно неравенство ani,n2 > ani +in2+j.

Очевидно, что если ani,n2 ^ 0 при max(ui,u2) ^ те, то из монотонности по Харди вытекает монотонность по каждому направлению.

Для двойных тригонометрических рядов с коэффициентами, монотонными в смысле Харди, аналоги теорем Лоренца и Конюшкова были установлены Тевзадзе [7] и Вуколовой, Дьяченко [8]. Также автором [9] был получен результат для двойных тригонометрических рядов с коэффициентами, монотонными по каждому направлению, для смешанного модуля непрерывности.

Мы обобщим эти результаты на случай коэффициентов, монотонных по каждому направлению. Будет доказана следующая

ж

Теорема 1. Пусть | < р < те, 0 < а < 1, функция /(х) G LP(T2) и ^2 апегпх — ее ряд Фурье, ко-

n=1

эффициенты an монотонно убывают по каждому направлению. Тогда для того чтобы f (x) £ Lip (a, p), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая постоянная с, для которой выполняются условия:

ж _ 2

(а) ар k Щ < ap+p-i для любого щ, k2=i 2 ni

ж - 2

(б) Z аь noki ^ ср+р-1 для любого п2. ki=i n2

Наконец, напомним следствия к m-мерному варианту теоремы 2 из работы [9].

Следствие 1. Пусть ^ру < р < 2; 0 < k < т; {bnj~~ монотонно возрастающие, неотрица-

тельные, ограниченные последовательности; -¡-^ < Со при всех п] = к +1,... , т; тригонометрический

Тч

те те Мк+1 Мт I т \

ряд имеет вид ^ • •• ^ ^2   ^ ап П Ъщ егпх, где х = (Х\,..., хт), п = (п1,пт); коэф-

П1 = 1 ик = 1 пк+1 = 1 Пт = 1 ^=к+1 у

фициенты ап монотонно убывают по каждому направлению;

те те Мк+1 Мт т

J = Е -Е Е -Т,ап П (П1(п))р-2 < с,

П1 = 1 Пк = 1 ик+1 = 1 Пт = 1 ]=к + 1

т

где П1 (к) = Л кг. Тогда ряд сходится в метрике Ър(Гт) по прямоугольникам к некоторой функции

!(х) е Ьр(Тт)и (х)\\Р < с(р,т,со).1.

Из следствия 1 вытекает такой результат.

Следствие 2. Пусть < р < 2; 0 < к < т; 1 ~~ последовательности комплексных чисел,

вещественная и мнимая части которых — монотонно возрастающие, неотрицательные, ограниченные

последовательности, такие, что < Со и 1т ь < Со при всех п] = к +1,..., т; тригонометриче-

те те Мк+1 Мт I т \

ский ряд имеет вид ^ ... ^ ^2 ... ^ ап П Ъщ егпх, где х = (х1,..., хт), п = (п1,..., пт);

П1 = 1 Пк = 1 Пк+1 = 1 Пт = 1 у=к+1 у коэффициенты ап монотонно убывают по каждому направлению;

те те Мк+1 Мт т

J = Е ^Е Е ...Т^аПЦ \Ъпз \р (П1(п))р-2 < с,

П1 = 1 Пк = 1 Пк + 1 = 1 Пт = 1 ] = к+1

т

где П1 (к) = Л кг. Тогда ряд сходится в метрике Ър(Гт) по прямоугольникам к некоторой функции

!(х) е Ьр(Тт)и \Ц(х)\\Р < с(р,т,с0),1.

2. Доказательство теоремы 1. Достаточность. Рассмотрим вначале Ь = (Н, 0), где Н> 0. Пусть г — такое натуральное число, что 2-(г+1 < \Ь\ = Н < 2-г. Тогда, поскольку оператор взятия частичной суммы в пространстве Ьр, 1 <р < со, непрерывен, имеем

\\f (x + h) - f (x)||p <

2r ж

E an einx (eini h - 1

ni = i n2 = i

+

p

+

оо оо

Е Е aneinx ' einih - 1

rai=2r+1 n2 = 1

— Si + S2.

Будем оценивать каждое выражение по отдельности, используя следствие 2. Оценим 51:

2r те

ЕЕ

ni =1 n2 =1

an einx ( einih — 1

2r те

< C(P) E E аП(П1 n2)p-2(nih)p <

ni =1 n2 =1 2r

c(p)hp E n2r2E alnl-2 < c(p)hp E

^ c(p)h > n

ni =1 n2 =1

2r

n

ni =1

2p-2 1—p—ap n1 n

11

ni =1

c(p)hp E np(1-a)-1 < c(p)hp2rp(1-a) < c(p)hap.

Оценим S2:

те те

E E aneinx ( einih - 1

ni =2r+1 n2 = 1

< 2p

00 00

anei

ni=2r+1 n2 = 1

<

00 00

< c(P) E E an(n1 - 2r)p-2np-2 < c(p) E nPp-2E alnP-2 <

ni=2r+1 n2 = 1 ni =2r+1 n2 = 1

те те

< c(p) E np-2n1-p-ap — c(p) E n-1-ap < c(p)2-arp < c(p)hap.

ni=2r+1 ni=2r+1

В общем случае для h — (h1 ,h2), где h1 ,h2 > 0, обозначим h1 — (h1, 0), h2 — (0,h2). Тогда h — h1 + h2. Поскольку

f

и для каждой из таких разностей можно применить оценку ее нормы, полученную выше, то, суммируя оценки, будем иметь

\\f (x + h) - f (x)||p < c(p)|h|a,

т.е. f (x) e Lip (a, p).

Необходимость. Пусть f (x) e Lip(a,p).

По теореме 5.3.2 из книги [10] существует функция Tv, являющаяся полиномом степени не выше v по Х1, такая, что

\\f-Tv\\p^c

v те

Обозначим fv (x) — an einx. Тогда, используя равномерную ограниченность операторов час-

ni =1 n2 =1

тичных сумм в пространствах Lp, 1 < p < ж, получаем, что fv(x) e Lp(T2) и

\\f - fv\\p — \\f - Tv \\p + \\fv - Tv\\p — \\f - Tv \\p + \\ (f - Tv )v \\p < (1 + c(p))\\f - Tv\\p, где Tu — функция из оценки (1). Следовательно, ||/ — fv||р < Откуда получаем

тете

\\f - fN\\p — ЕЕ

ni=N n2 = 1

Тогда при всех натуральных N имеем

ini xi in2 Х2

ani,n2e e

< c

N a

2N те N

ni=N n2 = 1

, inixi in2X2

ani,n2e e

< dp)——. ^ Na

p

p

p

r

p

p

p

p

1

p

p

С другой стороны, по теореме l из работы [ll]

p

2N (

^nlXl- vn2X2

E E

nl=N n2 = 1

ll

anl ,n2 e e

>

p

2М те те

> с(р) Е Е ,п2 (П1 - N + 1)р-2 пр-2 > ф)№-1£ а^пр-2,

п1 =Мп2 = 1 п2 = 1

откуда получаем оценку, равносильную оценке (а) теоремы 1. Аналогично получаем оценку (б).

те

Следствие 3. Пусть | < р < оо, 0 < а < 1, функция /(х) € ЬР(Т2) и ^ апегпх — ее ряд Фурье,

П=1

коэффициенты ап которого монотонно убывают по каждому направлению. Тогда для того чтобы /(х) €

1

Lip (ск, р), достаточно, чтобы выполнялось условие ап = О |jn|vp 1 а Доказательство. Проверим выполнение условия (а) теоремы 1:

те ni те

Eap np-2 — ap np-2 + v^ ap np-2 <

ani ,n2 n2 ~ / y ani ,n2 n2 ' / y ani ,n2 n2 <

nl ,n2 2

n2 = 1 n2 = 1 n2=nl +1

nl ( nl (

|n|2(l-p)-apnp-2 + e |n|2(l-p)-apnp-2 <e n2(1-p)-apnp-2 + e n2(1-p)-apnp-2

n2 = 1 n2=nl + 1 n2 = 1 n2=nl +1

nl

< n2(1-p)-ap np-2 + E n--(1+a)p < nl(1-p)-apnp-1 + n1-(1+a)p < n1-p-ap

n2 = 1 n2=nl + 1

Аналогично проверяется выполнение условия (б) теоремы l.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 06-01-00286) и программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-4681.2006.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.

2. Moricz F. On double cosine, sine and Walsh series with monotone coeffitiens // Proc. Amer. Math. Sci. 1990. 1Q9, N 2. 417-435.

3. Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Lp /I Матем. сб. 1993. 184, № 3. 3-20.

4. Драгошанский О.С. Анизотропные нормы ядер Дирихле и некоторые другие нормы тригонометрических полиномов I/ Матем. заметки. 2000. О7, № 5. 686-701.

5. Lorentz G.G. Fourier-Koeffizienten und Funktionenklassen // Math. Z. 1948. 51, N 2. 135-149.

6. Конюшков А.А. О классах Липшица // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. № 21. 423-448.

7. Тевзадзе Т.Ш. О некоторых классах функций и тригонометрических рядах Фурье II Сообщ. АН ГССР. 1982. 1Q5, № 2. 253-256.

8. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно монотонными коэффициентами // Изв. вузов. Матем. 1994. № 7. 20-28.

9. Антонов А.П. Гладкость сумм двойных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 5. 26-33.

10. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

11. D'jachenko M.I. Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients // Anal. Math. 1995. 1О, N 3. 173-190.

Поступила в редакцию 02.l0.2006