О максимальных сцепленных системах

3. Бояринов Р.Н. О скорости сходимости к предельному показательному распределению // Чебышевский сборник. 2005. 6, вып. 1. 50-57.

4. Карацуба А.А., Королев М.А. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Успехи матем. наук. 2006. 61, № 3(363). 3-92.

5. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 08.02.2010

УДК 515.12

О МАКСИМАЛЬНЫХ СЦЕПЛЕННЫХ СИСТЕМАХ М. А. Добрынина1

Строится компакт X, такой, что пространство A3(X) максимальных 3-сцепленных систем не является нормальным. Доказывается, что для любого произведения бесконечных сепарабельных пространств существует максимальная сцепленная система, носитель которой совпадает с пространством произведения. Также доказывается, что множество максимальных сцепленных систем со связными носителями всюду плотно в суперрасширении A(X), если пространство X связно и сепарабельно. Обсуждаются свойства полунормальных функторов, сохраняющих точки взаимной однозначности.

Ключевые слова: максимальные fc-сцепленные системы, носитель, функтор суперрасширения, полунормальные функторы.

The compact space such that the space A3(X) of maximal 3-linked systems is not normal is constructed. It is proved that for any product of infinite separable spaces there exists a maximal linked system with the support equal to the product space. It is proved that a set of maximal 3-linked systems with continious supports is everywhere dense in the superextension A(X) if X is connected and separable. The properties of seminormal functors preserving one-to-one points are discussed.

Key words: maximal fc-linked systems, support, superextension functor, seminormal functors.

В 1983 г. Я. Ван Милл [1] определил пространство Ak(X) максимальных fc-сцепленных систем компакта X и доказал, что при к > 2 пространство Ak(X) может не быть компактным. А. В. Иванов [2] определил Nк(X) как пространство полных fc-сцепленных систем и усилил результат Ван Милла, доказав [3], что Ak(X) всюду плотно в Nк(X) и, следовательно, некомпактно для любого компакта X без изолированных точек. Поскольку всякий компакт является нормальным пространством, естественно возникает вопрос о нормальности пространства Ак(X). Одним из основных результатов настоящей работы является следующая

Теорема 1. Существует компакт X, такой, что пространство A3(X) не нормально.

Напомним, что fc-сцепленной системой называется такая система замкнутых подмножеств компакта X, что любые ее к элементов пересекаются. Максимальной fc-сцепленной системой (МйСС) называется такая fc-сцепленная система, которая не содержится ни в какой другой fc-сцепленной системе. Если £ — МйСС, то носителем £ называется замкнутое множество

supp (£) = [U{F Е £ : F — минимальный по включению элемент £}].

Пространство Ак(X) состоит из МйСС (при к > 2 с конечными носителями) с топологией, открытую пред-базу которой образуют множества вида O(U) = {£ Е Ак(X): существует такое F Е £, что F С U}, где U — открытое подмножество X. При к = 2 пространство A2 (X) называется суперрасширением пространства X и обозначается через A(X), при этом вместо обозначения М2СС используется МСС.

1Добрынина Мария Александровна — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mary_dobr@mail.ru.

Полной й-сцепленной системой (ПйСС) называется такая й-сцепленная система, что для любого замкнутого Е С X условие "любая окрестность Е содержит некоторый элемент Ф системы £" влечет Е £ £.

Множество Ык(Х) всех ПйСС пространства X наделяется топологией, открытую базу которой образуют множества вида 0(и\,..., ип)(У1,..., Ут) = {£ £ Nк(X): для любого г = 1,...,п существует такое множество Ег £ £, что Ег С и г; для любого у = 1,...,т и любого Е £ £ пересечение У] П Е = 0}, где множества и1,..., ип; У\,..., Ут открыты в X. Заметим, что Лк(X) С Nк(X).

Все остальные необходимые определения можно найти в работах [4-8].

Доказательство теоремы 1. Положим X = А(ио) х А(^), где А(ио),А(и1) — александровские компактификации дискретных пространств В(ио) и В(ш\); {хо}, {уо} — их наросты. Пусть В = {жо| х (А(ш1) \ {у0}), С = (А(ш0) \ {х0}) х {у0}, Х0 = (х0,у0). Построим непересекающиеся, замкнутые в Л3(X) множества Н1 и Н2. Возьмем последовательность точек хп = п £ А(шо) \ {х0}. Пусть х1,х0 £ X \ (В и С и {¿0}), ¿1 = г0. Положим хп = (хп,У0), Хп+1 = (хп+1,Уо). Пусть ЕП = {х1,х0,хп}, ЕП = {х1,х2,Хп+1}, ЕП = {г10, Хп, хп+1}, Е4 = {г0, хп, хп+1}. Система £° = {Егп}4=1 является 3-сцепленной. Достроим ее до некоторой М3СС £п. Теперь построим П3СС £ следующим образом. Пусть Ф1 = {¿0,Х}, Ф2 = {хо,х'о^} и

£ = {Ф1} и {Ф2} и {Е: для любой окрестности ОЕ найдется Фг, г = 1, 2, с условием Фг С ОЕ}.

Проверим, что £п — £ в N3(X) при п — ж. Пусть 0(и1,..., ит)(У1,..., У/Л — произвольная окрестность £. Тогда Х0 £ ПЩ^г. Значит, существует номер п0, такой, что для п ^ п имеем хп,хп+1 £ ПП^г. Кроме того, в каждое множество иг попадет как минимум одна из точек х0 , х2°. Значит, как минимум одно из множеств Е3 или Е ^ лежит в иг при п ^ п0. Из того, что У] П Е = 0 для любого у и любого элемента Е £ £, следует, что либо х0 , х2° £ У], либо Х0 £ У] .В первом случае получим Уj П Епп = 0 для любых п, г. Для остальных У] положим их пересечение равным У. Так как Х0 £ У, существует номер п1, такой, что для п ^ п1 имеем Хп, Хп+1 £ У. Тогда У П Епп = 0 для п ^ п1. Взяв п2 = тах{п0,п1}, получим, что £п £ 0(и,..., ит)(У1, ...У) для п ^ п2.

В качестве Н1 рассмотрим последовательность М3СС {£п}^=1; {£пвместе с пределом £ — компакт, £ £ Л3^), т.е. Н1 замкнуто. Построим множество Н2 следующим образом. Для произвольных У а, Уь £ А(и1) \ {У0}, Уа = Уь положим х'а = (х0,Уа), х'ь = (хо ,уь). Пусть С1аЪ = {х1,х2°,х0}, С2аЬ = {х0, х2°, х'ь}, С3аь = {Х0, х'а, х'ь}, С^ = {¿2, х'а, х'ь}. Система пООь = {С0ь : г = 1, 2, 3, 4} является 3-сцепленной. Значит, она может быть достроена до М3СС паь. Положим Н2 = \их/ х*ев{паь}]. Легко проверяется, что Н1 П Н2 = 0. а' Ь

Покажем, что для Н1 и Н2 в Л3(X) не существует непересекающихся окрестностей. Пусть О1 и О2 — произвольные окрестности множеств Н1 и Н2 соответственно. Без ограничения общности можно считать, что О1 = и ?п ещ 0£п, О2 Э и паЬен2 ОПаь, где 0£п = 0(ип,..., и^), Опаь = ть,..., Ш?:ь) — базисные окрестности систем £п и паь. Заметим, что из построения систем £п следует, что для любой окрестности 0£п и для любого фиксированного г выполнено включение ип {хг} х (А(и1)\Кп), где I = п или I = п + 1, Кп — некоторое конечное подмножество А(ш1 )\{у0}. Также хотя бы одна из точек ¿1, х2° попадает в ип для каждого г. Аналогично из построения систем паь следует, что для любой окрестности 0^аь и для любого фиксированного у выполнено условие Шаь Э {ус} х (А(ш0) \ Кс), где с = а или с = Ь, Кс — некоторое конечное подмножество А(ш0) \ {х0}. Также хотя бы одна из точек х0, х20 попадает в Шаь для каждого у. Далее, для любой системы £п £ Н1 положим Охп = П{и'п : Хп £ ип}; 0хп+1 = П{и'п : хп+1 £ ип}, где множества ип — из определения 0£п. Аналогично для любой системы паь £ Н2 положим 0х'а = П{ШаЪ : х'а £ ШаЪ}, Ох'ь = П{ШаЪ : х'ь £ ШаЪ}, где — из определения 0^аь. Из свойств пространства X и сделанных выше замечаний следует, что существуют такие точки х'а, ¿Ъ £ В и такие номера па,пь, что для п ^ тах{па, пь} верны соотношения 0х'а П Охп = 0, 0х'а П 0хп+1 = 0, Ох'ь П Охп = 0, Ох'ь П 0хп+1 = 0. В таком случае для данных а, Ь, п пересечение 0^аьП0£п = 0. Докажем это. Проверим, что ипПипПШа = 0, ип П ШаЪ П = 0 для любых Рассмотрим первое пересечение. Возможны два случая. Если

ип П ип = {¿О,х0}, то как минимум одна из точек ¿0,¿0 попадает в ^0ь, значит, и'п П ип П = 0. В другом случае хг £ ип П ип, где I = п или I = п + 1, х'с £ W0Ь, где с = а или с = Ь. При этом и'п П ип Э Охг, W0Ь э Ох'с. Тогда, так как Ох'с П Охг = 0, получим ип П ип П W0Ь = 0. Для второго пересечения проверка полностью аналогична. Следовательно, 0£п П 0^аЪ = О (и{\ ...,и'т, WoЬ,..., Waь) = 0. Таким образом, О1 П О2 = 0 и Л3^) не нормально. Теорема 1 доказана.

Следующая лемма является усилением одного из результатов статьи [4].

Лемма. Для любого бесконечного сепарабельного пространства X существует МСС £, такая, что вирр (£) = X.

Доказательство. Пусть А — счетное, всюду плотное подмножество X: А = {то,Т\,...}. Положим = {Г0,Г1}, = {Г0,Г2}, = {п ,Г2,Гз}, ..., = {го,Гз ,Т5,Т7 ,...,Т2к-1,Т2к}, ^2к+1 = {п, Т2, Т4, Т6,..., Т2к, Т2к+1},... . Сцепленная система, состоящая из множеств Еп, может быть дополнена до некоторой МСС £, в которой множества Еп будут являться минимальными по включению элементами. Значит, вирр (£) = X. Лемма доказана.

Предложение 1. Если в X найдется бесконечное открытое сепарабельное подпространство, то существует МСС £, такая, что вирр (£) = X.

Доказательство. Пусть А — открытое сепарабельное подпространство X, Н — счетное, всюду плотное в А подмножество: Н = {То,Т1,Т2,...}. Определим множества Еп таким образом: = {То,Т1}, ^2 = {То, Т2}, Гз = {Т1 ,Т2, Тз }, ..., ^2к = {То, Тз, Т5, Т7,..., Т2к-1,Т2к }, ^2к+1 = {Т1,Т2, Т4, Тб,..., Т2к, Т2к+1}, .... Далее, пусть Б = X\ А. Без ограничения общности можно считать, что \Б\ > 1. В качестве ц возьмем систему, состоящую из множеств Еп и {х}, где х £ Б, и множества Б. Система ц является сцепленной и может быть дополнена до некоторой МСС £. Легко проверить, что множества Еп и {х} — минимальные по включению элементы системы £, а их объединение всюду плотно в X. Предложение 1 доказано.

Предложение 2. Пусть / : X х У — X — проекция, пространство У сепарабельно и существует МСС £х с носителем вирр (£х) = X. Тогда существует МСС £ из XX х У), такая, что вирр (£) = X х У и X/(£) = £х.

Доказательство. Так как пространство У сепарабельно, то по лемме существует МСС £у, такая, что вирр(£у) = У. Построим сцепленную систему ц = {Г х С : Г £ £х, С £ £у} и дополним ее до некоторой МСС £ произвольным образом. Легко проверяется, что элементы вида Г х Су являются минимальными по включению элементами системы £, если Ег, Су — минимальные по включению элементы систем £х и £у соответственно. Отсюда получаем, что вирр (£) = X х У. Кроме того, из построения системы £ следует, что X/(£) = £х. Предложение 2 доказано.

Предложение 3. Пусть пространство X сепарабельно. Тогда для любого кардинала л существует МСС £ £ XXтакая, что вирр (£) = X^.

Доказательство. Пространство X^ разлагается в обратный спектр 5 = {Xа,р^ : а< ¡}, где Xа = ПXY (X7 = X для любого 7 < а), а р^ : Xa — Xв — естественная проекция произведения на подпроизведение. По лемме для X1 = X существует МСС £, такая, что вирр (£) = X1. Полагаем £1 = £. Для X2 = X х X по предложению 2 существует МСС £2, такая, что вирр (£2) = X2, Хр1(£2) = £1. Предположим, что для всех 7, которые меньше фиксированного в < Л, уже построены МСС , такие, что вирр (£7) = X1 и для 5 < 7 верно Хр~$ (£7) = .

Возможны два случая:

1) в = 7 + 1 для некоторого 7 < ¡. Тогда, ввиду того что пространство X сепарабельно и существует такая МСС , что вирр (£7) = X1, из предложения 2 следует, что существует МСС £в, такая, что

вирр(£в) = Xе и Хр^(£в) = . А значит, для всех а < в выполнено Хр'(£@) = Хрр' ◦ Хрв(£@) = £а;

2) в — предельное число. Тогда Xв = Нш, где = {Xа,р<а : а,^ < в}. Так как функтор суперрасширения непрерывен, пространство XXе) совпадает с пределом спектра в\ = {X(Xa), Хр<а/ : а,^ < в}. Ясно, что £в = {£а : а < в} — нить спектра в\ по построению. Следовательно, £ X(Xв). Докажем, что вирр(£в) = Xе. Известно, что р'(вирр(£д)) 3 вирр(Х(/)£)), и так как Х(/)£) = £а, то ра(вирр(£в)) = Xa для любого а < в. Ввиду замкнутости носителя вирр(£в) = Па(ра)-1(ра(вирр (£в))). Значит, вирр (£в) = Xв.

Таким образом, для всех а, которые меньше ¡, существуют МСС £а, такие, что вирр (£а) = Xа и Хр<а(£а) = £в для в < а.

Рассмотрим обратный спектр 5д = {XXа),Х'р<а/ : а,^ < Л}. Его предел Нш в совпадает с пространством XX^). В качестве £ возьмем £ = {£а : а < ¡} — нить спектра в\. Тогда £ £ XX^). Аналогично предыдущему случаю получим, что вирр (£) = Нш в = X^. Предложение 3 доказано.

Теорема 2. Пусть пространство X связно и сепарабельно. Тогда множество МСС со связными носителями всюду плотно в XX).

Доказательство. Пусть 0(^1,..., ип) — произвольное базисное открытое в XX) множество. Докажем, что существует МСС £ со связным носителем, лежащая в 0(и1,..., ип). Без ограничения общности можно считать, что п ^ 3 и ПП=1иг = 9. Так как X не имеет изолированных точек, в каждом пересечении и г П иу при г = ] можно выбрать по точке хг^ так, чтобы все они были различны. Объединение всех выбранных точек, лежащих в иг, обозначим через Фг. Тогда сцепленную систему £о = {Фг : г = 1,...,п}

можно дополнить до МСС с конечным носителем так, что она будет лежать в 0(и1,..., ип). Значит, в ней найдутся такие минимальные по включению элементы (обозначим их Е1 и Е2) и такая точка уо, что Е1 П Е2 = {уо}. Остальные минимальные по включению элементы системы £ обозначим через Ег,г ^ 3. Поскольку множество вирр (£) конечно, найдется некоторое счетное, всюду плотное в X множество Q, не пересекающее вирр(£). Пусть у1 £ П{Щ : уо £ иг} П Q. Занумеруем оставшиеся точки Q в некоторой последовательности начиная с у2: У2,У3,У4, .... Построим следующие множества:

СО = Е1, С°1 = Е2 и{у1}, С° = (Е1 \{уо}) и{у1,у2}, СО = Е2 и{у2у},

С = (Е1 \{уо}) и{у1,У3,У4}, ... , С02к = (Е1 \{уо}) и{у1,у3 ,У5,...,У2к-1,У2к},

Сок+1 = Е2 и {У2 ,У4,У6, . . .,У2к ,У2к+1}.

Для всех г, таких, что ЕгПЕ1 = уо, положим Сг = Еги{у1}. Для остальных г положим Сг = Ег. Заметим, что в этих обозначениях С1 = Е1 = С, С2 = Е2 и {У1} = С1. Рассмотрим систему по, состоящую из множеств С г и СО. Система по будет сцепленной по построению. Она может быть дополнена до некоторой МСС П. Проверим, что все точки множества Q попадут в объединение минимальных по включению элементов МСС п. Пусть это не так. Предположим, что найдется элемент Н £ п, такой, что Н С С2 и у] £ С2 \Н при у ^ 1. При у = г положим й = у + 1, при у < г положим й = у. Из построения множеств С2 будет следовать, что Ск П С2 = {у]}. Значит, Н П Ск = 0. Полученное противоречие доказывает, что вирр(п) Э = X. Проверим, что п £ 0(и1,..., ип). Так как £ £ 0(и1,..., ип), то для любого г = 1,...,п найдутся Е] £ £, такие, что Е] С иг. Если С] = Е], то С] С иг. Если же С] = Е] и {У1}, то уо £ Е] С иг. Напомним, что точка у1 принадлежит тем же множествам иг, что и уо. Тогда у1 £ иг, и С] С иг. Теорема 2 доказана.

В частности, получаем, что множество МСС со связными носителями незамкнуто в суперрасширении Л([0,1]) отрезка [0,1] с интервальной топологией, что и является доказательством невозможности построения подфунктора функтора суперрасширения, являющегося аналогом функтора ехрс. Напомним, что expc(X) является пространством всех непустых замкнутых связных подмножеств пространства X в топологии Вьеториса [7]. Справедливо следующее

Предложение 4. Существуют непрерывное отображение / : X — У и МСС £ £ Л(X) со связным носителем, такие, что носитель МСС п = Л/(£) несвязен.

Доказательство. Рассмотрим в качестве У отрезок [0,1], в качестве X — произведение [0,1] х [0,1], и пусть / : X —У — проекция. Положим Го = (0,0), Г\ = (^,0), Г2 = (1,0), Гз = (1,1). Далее, занумеруем точки некоторого счетного, всюду плотного подмножества X \ {го,..., Г3} начиная с Г4: Г4, Г5, г§,.... Пусть Е1 = {То,Т1}, Е2 = {То,Т2}, Е3 = {Т1,Т2,Т3}, ..., Е2к = {Т0,Т3 ,Т5,Т7 ,...,Г2к-1,Г2к}, Е2к-1 = {г1,Г2,Т4,Тб,... ,Т2к,Т2к+1} ... . Определим систему £2 = {Ег}°=1 и достроим ее до некоторой МСС £. Легко проверить, что вирр(£) = X. Пусть п = Л/(£), /(Ег) = Фг. Тогда из построения систем £ и п следует, что

8прр(п) = [ и Фг] = {/(То),/(Т1),/(Т2)}

г=1,2,3

является несвязным подмножеством У. Предложение 4 доказано.

Из предложения 4 следует, что операция Лс не является ковариантным функтором. Кроме того, для несвязных компактов имеет место

Предложение 5. Пусть пространство X несвязно. Тогда множество МСС со связными носителями не является всюду плотным в Л(X).

Доказательство. Пусть пространство X представимо в виде X = А и В, где А П В = 0, А, В — открыто замкнутые подмножества X. Возьмем точки х1 £ А, х2,х3 £ В и такие их окрестности Охг, что 0х1 С А, Ох2 С В, Ох3 С В, Ох2 П Ох3 = 0. Положим и1 = 0х1 и Ох2, и2 = Ох2 и Ох3, и3 = 0х1 и Ох3. Тогда 0(и1,и2,и3) = 0. Кроме того, для любой системы 7 £ 0(и1,и2,и3) верно, что 8ирр(7) П А = 0, вирр (^) П В = 0. Предложение 5 доказано.

В работе [9] построен пример неметризуемого компакта, удовлетворяющего следующему условию: для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунормального функтора Т со степенным спектром врТ = {1,й,...} пространство Тк (X) наследственно нормально. В связи с этим возникает вопрос о связи свойства сохранения точек взаимной однозначности полунормальным функтором с его степенным спектром. Данная взаимосвязь отражена в предложениях 6 и 7.

Напомним, что полунормальный функтор Т сохраняет точки взаимной однозначности, если для любого отображения / : X — У и любой точки у £ У, такой, что \/-1(у)\ = 1, отображение Т(/) : Т^) — Т(У) также взаимно однозначно в точке у £ У С Т(У) : \(Т(/))-1 (у)\ = 1. Под степенным

спектром функтора будем понимать множество степеней точек всевозможных пространств вида Fn (X) (см. [6, 8]).

Предложение 6. Пусть F — полунормальный функтор, сохраняющий точки взаимной однозначности, и spF = {1,k,... }. Тогда k ^ 3.

Доказательство. Предположим противное. Пусть k ^ 4. Рассмотрим дискретное пространство X мощности k. Оно представимо в виде X = A U B, где A П B = |A| ^ 2, \B| ^ 2. Пусть a G A, b G B. Рассмотрим отображение fi : X — A U {b}, такое, что fi(A) = A, fi(B) = b, и отображение /2 : X — BU{a}, такое, что /2(B) = B, /2(A) = a. Далее, пусть Y = {a, b} и отображение gi : AU{b} — Y действует по правилу gi(A) = a, gi(b) = b, а отображение g2 : B U {a} — Y — по правилу g2 (B) = b, g2(a) = a. Таким образом, gi о fi = g2 о /2. Пусть точка £ G F(X) такова, что supp (£) = X. Тогда для ni = F(fi)(£) имеем |supp(ni)| = 1, так как |A| < k. При этом supp (ni) = {b}, иначе F не сохраняет точки взаимной однозначности. Положим F(gi )(ni ) = , тогда supp($i ) = b, так как gi (b) = b. С другой стороны, для П2 = F(f2)(£) выполнено supp(n2) = {a}, как и в предыдущем случае. Пусть F(g2)(n2) = ö2, тогда supp($2) = {a}. Получим, что = ö2, и, следовательно, F(gi) о F(fi) = F(g2) о F(f2). Предложение 6 доказано.

Предложение 7. Пусть F — полунормальный функтор степени ^ 2. Тогда F сохраняет точки взаимной однозначности.

Доказательство. Пусть f : X — Y и y G Y — произвольная точка, такая, что f -i(y) = x. Проверим, что отображение F (f ) : F (X ) — F(Y ) также взаимно однозначно в точке y G Y С F (Y ). Допустим, что существует точка £ G F(X), такая, что F(f )(£) = y и supp (£) = {zi, Z2}. Ясно, что Zi = x для некоторого i. Очевидно, что f (zi) = f (Z2) = f (x) = y. Значит, Zi = Z2 = x, и точка £ G F(X) совпадает с точкой x G F(X). То есть |(F(f)) (y)| = 1. Полунормальный функтор степени 1 является тождественным, и, значит, он автоматически сохраняет точки взаимной однозначности. Предложение 7 доказано.

Заметим, что в случае степенного спектра {1, 3} возможно как сохранение полунормальным функтором точек взаимной однозначности (функтор Л), так и несохранение (функтор exp^, см. [6]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Van Mill J. An almost fixed point theorem for metrizable continua // Arch. Math. 1983. 40. 159-169.

2. Иванов А.В. О пространстве полных сцепленных систем // Сиб. матем. журн. 1986. № 6. 95-110.

3. Иванов А.В. Теорема о почти неподвижной точке для отображений пространства максимальных k-сцепленных систем // Вопросы геометрии и топологии. 1986. Петрозаводск: РИО Петрозаводск. ун-та, 1986. 31-40.

4. Вакулова Е.В. О носителях максимальных сцепленных систем // Тр. Петрозаводск. ун-та. Математика. 2004. Вып. 11. 3-8.

5. Щепин Е.В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи матем. наук. 1981. 36, № 3. 3-62.

6. Иванов А.В. О степенных спектрах и композициях финитно строго эпиморфных функторов // Тр. Петрозаводск. ун-та. Математика. 2000. Вып. 7. 15-28.

7. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.

8. Fedorchuk V., Todorcevic S. Cellularity of covariant funktors // Topol. and Appl. 1997. 76. 125-150.

9. Иванов А.В., Кашуба Е.В. О наследственной нормальности пространств вида F(X) // Сиб. матем. журн. 2008. № 4. 813-824.

Поступила в редакцию 08.02.2010

УДК 517.982.256

О ЗЕРКАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ МЕТРИЧЕСКОЙ 2-ПРОЕКЦИИ

П. А. Бородин1

Вводится понятие зеркальной выборки из метрической 2-проекции на подпространство (метрическая 2-проекция двух элементов xi, Х2 банахова пространства на подпространство Y состоит из тех элементов y е Y, для которых длина ломаной xi yx2 минимальна). Показывается, что наличие зеркальных выборок из метрических 2-проекций на

1 Бородин Петр Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pborodin@inbox.ru.