К вопросу о математическом осреднении физических коэффициентов системы эллиптических и параболических уравнений

УДК 532.546

С. П. Плохотников, Д. С. Плохотников, А. С. Климова

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОСРЕДНЕНИИ ФИЗИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

СИСТЕМЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Ключевые слова: эллиптические и параболические уравнения, двухфазная неизотермическая фильтрация, осредненные параметры и коэффициенты системы дифференциальных уравнений, математическое моделирование, схема струйного течения.

Рассмотрены вопросы осреднения физических параметров, которые являются коэффициентами исходной системы дифференциальных уравнений эллиптического и параболического видов, на примере построения ос-редненных моделей для решения задачи двухфазной неизотермической фильтрации.

Key words: elliptic and parabolic equations, nonisothermal two-phase filtration, averaged parameters and coefficients of the system of

differential equations, mathematical modeling, diagram of the jet streams.

Considered are the issues of averaging the physical parameters, which are the coefficients of the original system of differential equations of elliptic and parabolic types, for example the construction of averaged models to solve the problem of two-phase nonisothermal filtration.

Введение

Вопросы осреднения физических параметров, являющихся коэффициентами исходной системы дифференциальных уравнений эллиптического и параболического видов, рассмотрим на примере построения осредненных моделей для решения известной задачи двухфазной неизотермической фильтрации. В этой краевой задаче рассматривают известную систему, состоящую из одного эллиптического и двух параболических уравнений при известных краевых условиях. Осреднение коэффициентов будем проводить тремя различными способами. Осредненные модели используют при проведении гидродинамических расчетах на различных этапах разработки нефтяных и газовых месторождений, а также при решении задач оптимальной разработки. Краткий перечень работ по некоторым оптимальным задачам приведен в [1 - 8].

Двумерная задача двухфазного вытеснения нефти водой

Будем рассматривать двумерную (х, £)- задачу двухфазного вытеснения нефти водой в слоисто-неоднородном пласте между двумя галереями при заданном перепаде давлений.

Будем предполагать жидкости несжимаемыми, также предположим, что отсутствуют капиллярные и гравитационные силы и течение описывается математической моделью Баклея - Леверетта [9,10,11]. При неизотермической фильтрацииматематическая постановка задачи [9] будет следующей: ёЫ\К ^ дгаёР\- 0

а 8

div^FK^ gradP] = m •

д t

div\AgradT] + vgradT - H  Q

= c •-

âT ~ât

где KT=K{z

ад

dP - dP -

F= K{z)KB{S) дТ

дТ

gradP =--/' +--k ,gradT =--i +--k

дх dz дх dz

cBKBÇ)^cHKHÇ) VbT) HHÏ)

gradP

дТ

z=0

-ÂQ +

дТ дz

z=H

при известных начальных и граничных условиях для давления , водонасыщенности и температуры Т

p\*=о =pi,

çi/> о ç ç* ù = ùmax = ù ,

p\ I =p2,

\x = L 2'

4=о = ^n = , T\t=0 = T 0 ^ Г =TB ,

= о ,при условиях сопряжения для давления

it дТ дх

x=L

температуры и вертикальных потоков фаз на границах пропластков, из которых состоит слоистый пласт

Г = т* = т-, ,

То~ - Т^=о ,То+ ~T\z=H,

= \Я

дТ

' дz

дТ

' дг

vB,z =vB,z

= \А

дТ_ дz

дТ дг

V,

z^

z=H

+

' н, z -Vн,г , а также при условиях непроницаемости подошвы и кровли пласта

дР

о

z = 0,Н

В областях 0+ и О изменение температуры с учетом пренебрежения горизонтальной теплопроводностью [9,12,13] задается уравнением

, д2Т дТ

При решении этого уравнения брали 150м вверх и вниз относительно пласта, полагая, что возмуще-

ние поля температуры заведомо меньше.

Здесь К £]- абсолютная проницаемость пласта, состоящего из гидродинамически связанных однородных по горизонтали пропластков с различными абсолютными проницаемостями. Функция К £ \ подчиняется вероятностному закону распределения с плотностью , для изучаемого слоистого пласта. Она - кусочно-постоянная и в системе (1) - (3) является коэффициентом; Кв § \ Кн § ) - относительные проницаемости воды и нефти соответственно, определяемые по кернам; и (Т), ¡ин (Т) - вязкости

соответствующих фаз (зависят только от Т ); Н -мощность (толщина) пласта; - расстояние между

нагнетательной и эксплуатационной галереями; т -*

пористость; 5 - максимальная водонасыщенность на нагнетательной галерее; 5* - минимальная остаточная водонасыщенность; О ( )- потери тепла в окружающие породы; Хп - теплопро-

водности; сп>со>св>сн - теплоемкости пласта, окружающих пород, воды и нефти соответственно, представленные известными [9] функциями

Я = /фв5 + 1 — + 1 , с = /фв5+ 1 — + 1 — т рр,

-

и Т ) дг и*нТ)&

закон Дарси для каждой фазы вдоль оси 0 X . Знаком «+» обозначено направление, идущее сверху -вниз по оси 0Л , знаком «-» - направление, идущее снизу-вверх.

Изучаемый слоистый пласт (рис. 1) состоит из пяти однородных по абсолютной проницаемости пропластков, одинаковой толщины Hj=H15, проницаемость каждого - К]. Рассматривали только

один случай взаимного расположения гидродинамически связанных между собой пропластков в слоистом пласте - эталон А .

Лабораторные исследования показывают, что функции ОФП (относительных фазовых прони-цаемостей, являющиеся коэффициентами системы (1) - (3)) Кв § ], Кн £> ) в общем случае - нелинейные. Их часто определяют как квадратичные или кубические параболы [9,10,11] вида

квеТКЯо • (1 — ^^(5))3,

при О =2, 3, 3=2, 3. Вместо исходной двумерной задачи в силу недостатка геологической информации часто решают в одномерной постановке, и при этом используют осредненные тем или иным способом исходные параметры пласта и его коэффициенты - абсолютную проницаемость и ОФП.

При математическом моделировании двухфазной неизотермической фильтрации в слоистых по абсолютной проницаемости нефтяных пластах без

учета капиллярных сил в работах [12,13] были предложены обобщенные МФП (модифицированные фазовые проницаемости) Кн (5) , КМ (5), и с помощью ВЭ (вычислительного эксперимента) изучена погрешность осредненной модели, использующей эти проницаемости. Для двухфазной фильтрации имеем

Кн (5)=Кв (5) • А( 5),

КМ

где Кв (5), Кн (5) - ОФП, которые являются коэффициентами системы (1) - (3) уравнений. При этом поправочные коэффициенты А(5), В(5) получают на основе допущения о струйном характере вытеснения в пласте для случая линейных функций ОФП Кв (5), Кн (5). Эти коэффициенты находят по

формулам

Ъ 1

} к/(к)Ск _ | кДк)сСк

К. = -

К „ =

К * =} к/ (к)Ск

] /(к)Ск ¡/(к)Ск

, А(5 ) = К*, В(5) = КК*.

К К

Здесь К в, К н - значения средних абсолютных про-

ницаемостей зон воды и нефти; К - средняя абсолютная проницаемость вертикального сечения пласта. Часто при конкретных расчетах вместо этих формул используются их дискретные аналоги. Величина к определяется по известному значению 5 численно из уравнения

1 —

5п (5 ) = \ / (к )ск, 5п (5) = (5 — 5* )/(5 * — 5*).

Функция / (к) - плотность распределения абсолютной проницаемости К (х), изменяющейся в пре-

*

делах от а до Ъ, 5п - "подвижная вода", 5 -

максимальное значение 5 (водонасыщенность на нагнетательной галерее), 5 * - минимальное. Численные гидродинамические расчеты с МФП

КМ (5), КМ (5) на одномерных осредненных моделях показали хорошее приближение к решениям эталонной двумерной задачи. Эти результаты получены в работах[12,13].

Теперь рассмотрим слоистые пласты с более общим случаем функций ОФП Кв

.Известный факт [9,10,11], - различные пропластки имеют различные аналитические зависимости для ОФП Ке

для применения в осредненной модели. В работах [10,11] даются практические рекомендации для вида функций ОФП воды и нефти по пропласткам для реальных слоистых пластов.

Рассмотрим слоистый по абсолютной проницаемости пласт, где ОФП имеют общий вид

Кв(5) = КВ0 -К(5)],

КН

где показатели степеней константы«., // зависят от

номера , пропластка К в (5 ).

Построим при этом единую МФП для воды путем перехода к единому фиктивному слоистому пласту с единой ОФП воды для всех пропластков. Эта величина имеет вид

К*

Это допустимо на основании следующего. На графиках МФП воды всегда завышает исходную лабораторную ОФП Кв (5) при допущении о струй-

ности течения [9,12,13]. Тогда каждый однородный пропласток исходного слоистого пласта при а, <а*заменим на фиктивный слоистый пропла-

сток с определенным набором различных по абсолютной проницаемости пропластков, имеющих единую вида (7) и среднюю абсолютную проницаемость, совпадающую с абсолютной проницаемостью этого. -го пропластка. Для этого фиктивного слоистого пропластка можно определить соответствующую МФП КМ(5) вида (5). И она должна совпадать с исходной Кв(5) (6) для этого 1 -го пропластка.

Аналогично рассуждаем для нефтяной фазы и получаем другой фиктивный пропласток с единой ОФП для нефти На основе этих построений

единые для всего слоистого пласта МФП фаз возьмем в виде

кв=КВ0 кв1к > 1,

% РЬА'в $)кв/к* а,=р<а (8) где « = а коэффициента Кв § \ - определяем на

основе допущения о струйности течения отдельно в первом и отдельно во втором из полученных фиктивных слоистых пластов соответственно. Их берем едиными для исходного слоистого пласта.

Рассмотрим теперь вопрос - возможно ли физически и математически предложенное построение МФП ^0 , -[лЙ]« по формулам (7), (8). На основании того, что величина к" £; - равна среднему значению абсолютной проницаемости в наиболее проницаемых пропластках, и к а , необходимо выполнение неравенство [5/7(5)]. Оно должно сохраняться при построении МФП /<а. Формулы (5) определяют Кв •[[„(з)]0' -К^К* =.

Если рассмотреть пропласток со степенью

п *

а1 = ¡3 < а при а =а , тогда для

Кв (5)=КВ0 -[5п(5)]а запишем

КМ(5) = Кво •[5п(5)]/?, 3<а. Отсюда

К •

в0 I п

• К.1 К* = КВ0 •[(5)]33.

Или

Кв1 К* =[5п (5)]в—а, но, поскольку [п(5)]<1 и а—/> 0. Имеем при а>/ неравенство

1 — 5 = ур^). И тогда это построение воз-

5 — 5« кы<к, можно математически. (По аналогиидоказано и неравенство 0 < К н1 К * < 1).

Как правило, при гидродинамических расчетах в слоистых пластах имеем по данным геологии дискретный ряд распределения К,, Н. по пропласт-кам. Если задано непрерывное распределение, тогда математически определяем такой ряд, где К, - абсолютная проницаемость, Н . - толщина пропласт-ка, р(к. )=Н^Н - его вероятность. При решении задачи по замене конкретного однородного пропла-стка с абсолютной проницаемостью К^ и толщиной Н1 на фиктивный слоистый пропласток приходится решать следующую систему уравнений для фазы нефти в дискретном виде [12,13]

1 — = х р (к N>

5 5 * КМ < К ,

Кн(5,) • 45) = к5),

1—5п(5) К 4(5. )= У Кы • р(Кы).

Кк <К

Эта система при заданном фиксированном числе пропластков для этого фиктивного слоистого пропластка, имеет множество решений. Но при допущении условия вида Нх= Н2 =...=Н= Ц', где ' -

число пропластков (' > 3) (тогда равны их вероятности р = Р2 = ... = 1'). И условия, что их абсолютные проницаемости заданы неравенством

К, < К2 <... < К , эта система имеет только одно

12 '

решение. По причине того, что в ней имеем 2' линейных уравнений и 2' неизвестных 51,52,. .,5' и

К К2 ... К . При решении ее, найдем проницаемости К1,К2,...,К' , которые нужны для построения

нужного нам фиктивного слоистого пропластка.

Решая эту задачу для водной фазы вместо второго уравнения в (9) применим формулу

Кв(5,)*К — з(5) = Км( ).

И эта система также имеет одно решение при тех же допущениях.

Получено, что для каждого однородного пропла-стка можно найти набор Н,, К и представить его в

виде фиктивного слоистого пропластка.

Итак, доказана возможность физического и математического построения фиктивного слоистого пласта отдельно для каждой из фаз.

а

Добавим, что в различных публикациях рекомендуют использовать в высокопроницаемых про-пластках линейные ОФП Кв(8),Кн(8)[10,11].Для

низкопроницаемых слоев рекомендуют использовать квадратичные или кубические ОФП. Ниже в примерах рассмотрены слоистые пласты, имеющие параметры, которые соответствуют указанным рекомендациям.

Формулы МФП осредненных моделей, расчеты и анализ показателей разработки слоистых пластов

Проведем расчеты для пласта, состоящего из пяти пропластков одинаковой толщины, имеющих разные функции исходных лабораторных ОФП. Такой пласт будем обозначать « пласт 1». В нем заданы

Кв(8) -КВ0-К(8)]2 при /=1, 2 4 5;

Ке (8) - Кв0-К (8)]1,5 при /=3;

Кн(8)-Ка[ЗД]2 при ,=1, 2, 4, 5;

Кн 8 -Кн0 '[1-8п(8)] ] '=3.

Рассматриваем равномерный закон для коэффициента вариации V =0.55. Проведем расчеты при значениях абсолютной проницаемости по пропласт-

кам К1 -0.1 Д, К2 -0.3 Д, К3 - 0.5 Д, К4 -0.7 Д, К5 -0.9 Д. Как и ранее в работах [12,13] одномерном решении модели С используем в качестве ОФП средние по толщине пласта величины прони-цаемостей фаз вида

А(8-\+У - л/3(1 ()).

( Кв 8) -

(К(8) -

1 "

-.£я, - Кв

н 1-1

ТН< -Кн

Решения этой одномерной модели с ОФП вида (10) и средней по толщине пласта абсолютной проницаемостью обозначим модель С .

В работе предлагается еще один способ построения МФП, которые обозначим К 'в (8) , К н' (8)), где

к (8) -

Кн (8) -

1 "

- ТД - Кв (8) 1 "

-Т -ВД

В

Функции Кв'(£), Кн(8) получены коррекцией проницаемостей (10) известными выше [12,13] коэффициентами А(8), В(5). Одномерная модель с МФП проницаемостями (11) и средней по толщине пласта абсолютной проницаемостью обозначим модель ВС.

Решение, полученное с МФП (8) и средней абсолютной проницаемостью, обозначим решение В (модель В ). Для этой модели известные коэффициенты А(8), В(8) [4,5] при равномерном законе таковы

В

На рис.1 даны графики проницаемостей (К (8) >, ( Кн(8) ) (10) и МФП к: (8), Кн (Б) (П).

Рис. 1 - Графики проницаемостей^ Кв (8)), ( К8)) и МФП

На рис.2 даны графики кривых ОФП К: (8),

Кн

(П).

О 2 О. А О б 0.8

Рис. 2 - Кривые ОФП пласта 1 и графики МФП

На рис. 3 даны еще и графики МФП КМ(8) и К^ (8) (8). Хорошо видно, что имеет место по каждой фазе практическое совпадение обоих графиков. Результаты проведенного ВЭ по изучению погрешности предложенных в работе трех осредненных моделей даны на рис. 4. На нем имеются графики коэффициента нефтеотдачи в зависимости от времени разработки для случая одномерного вытеснения (расчетные формулы (8), (10), (11)). Даны также графики двумерного профильного течения, - эталон А . Расположение этих графиков аналогично результатам, приведенным в работах [12,13]. На рис. 4 показано, что эталонное решение А лежит между одномерными решениями В (ВС) и С. Эти законо-мерностихарактерны и по другим показателям разработки. К примеру, всюду для коэффициента нефтеотдачи ] решение С расположено выше кривой

решения а, а кривая В (ВС) - ниже. Величина доли воды в потоке Б имеет другое расположение кривых.

Кривая С занижает решение эталона А, а решение В (ВС) завышает его. Кривая решения В (ВС) точнее приближается к графику эталона по сравнению с кривой Сдля каждого показателя разработки.

Рис. 3 - Графики МФП Kв

r.

A \ В

100 200 300 400 500 600 700 j

Рис. 4 - Результаты ВЭ по изучению погрешности осредненных моделей

Заключение

В данной работе приведены результаты ВЭ только для случая изотермической двухфазной фильтрации. При неизотермической фильтрации, делая допущение о постоянстве по вертикали температуры в каждом вертикальном сечении пласта, все полученные в данной работе формулы ОФП для осредненных моделей остаются в силе и имеют место аналогичные положительные результаты при проведении ВЭ для холодного и горячего заводнений.

Литература

1. Слабнов В.Д.Методы математического моделирования и численного решения задач прогнозирования и оптимального регулирования процесса извлечения нефти (обзор) / Слабнов В.Д.//Вестник технологического университета: ж. КГТУ.- Казань, 2015 г., Т. 18, № 6, с.198-209.

2. Плохотников С.П. Методика построения модифицированных относительных фазовых проницаемостей в мо-

делях трехфазной фильтрации в слоистых пластах/ Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Богомолов В.А., Белова Е.Н., Харина М.В., Низаев Д.Д.// Вестник Казанского технологического университета, 2013, т. 16, № 21, с. 287-289.

3. плохотников С. п. Математическое моделирование неизотермической двухфазной фильтрации с модифицированными относительными фазовыми проницаемостя-ми/ Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Богомолов В.А., Плохотникова О.Р., Нурсубин М.С.// Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - т. 16. -№ 21. -с. 122-124.

4. плохотников С.п. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 1. - с. 63-67.

5. плохотников С.п. Модифицированные ОФП в осред-ненных моделях фильтрации при закачке в пласт полимерных растворов различной концентрации / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012.- т. 15.- № 1.

- с.55-58.

6. плохотников С.п. Оценка погрешности двух осреднен-ных моделей при двухфазной неизотермической фильтрации для экспоненциального закона распределения/ Плохотников С.П., Богомолова О.И., Белова Е.Н., Богомолов В.А., Низаев Р.Х.// Вестник Казанского технологического университета. - 2014. - т. 17. - № 21. - с. 390393.

7. плохотников С.п. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению/ Плохотников С.П., Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотни-ков Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 4. - с. 99-102.

8. ГалиМянов Ф.А./ Галимянов Ф.А., Гафаров Ф.М., Хус-нутдинов Н.Р.// Математическое моделирование. - 2011.

- т. 23. - № 3. - с. 101-108.

9. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта / В.Я. Булыгин -М.:Недра, 1974.-232 с.

10. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика / И.А.Чарный - М.: Гостоптехиздат,1963.- 396 с.

11. Ентов В.М. «Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи» / В.М. Ентов, А.Ф. Зазовский - М., «Недра», 1989.-233с.

12. плохотников С.п. Гидродинамические расчеты в слоистых пластах на основе модифицированных относительных проницаемостей / С.П. Плохотников, В.В. Елисеенков // Прикладная механика и техническая физика. (ПМТФ). - Новосибирск: РАН СО,2001. - Т.42, №5, 2001, с. 115-121.

13. плохотников С.п. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, О.Б. Марвин, Р.Х. Фатыхов // Вестник Казанского технологического университета 2005, Т. 1, с.121-124.

© С. П. Плохотников - д.т.н. проф. каф. ИПМ КНИТУ, plokhotnikov@kstu.ru; Д. С. Плохотников - асп. каф. ТМСМ; А. С. Климова - к.т.н., доц. каф. ИПМ КНИТУ.

© S. P. Plohotnikov - doctor of technical sciences, professor, Department of Informatics and Applied Mathematics, KNRTU, plokhotnikov@kstu.ru; D. S. Plokhotnikov - graduate students, Department of theoretical mechanics and strength of materials, KNRTU; A. S. Klimova - - PhD, associate professor, Department of Informatics and Applied Mathematics, KNRTU.