Уединенные волны в пленке вязкой жидкости, стекающей по тонкому вертикальному цилиндру

10. Тяпкин К. Ф., Кивелюк Т. Т. Изучение разломных структур геолого-геофизическими методами. М.: Недра, 1982.

11. Тяпкин К. Ф. Изучение разломных и складчатых структур докембрия геолого-геофизическими методами. Киев: Наукова Думка, 1986.

12. Скоробогатов С.М. Принцип информационной энтропии в механике разрушения инженерных сооружений и горных пластов. Екатеринбург: УрГУПС, 2000.

13. Рогожин Е.А. Блоковое строение земной коры Северной Евразии // Физика Земли. 2004. 10. 81-94.

14. Morgan W.J. Convection plumes in the lower mantle // Nature. 1971. 42-43.

15. Morgan W.J. Deep mantle convection plumes and plate motion / / Bull. Amer. Assoc. Petrol. Geol. 1972. 56. 203-213.

16. Chapple W.M., Tullis T.E. Evaluation of forces that drive plates // J. Geophys. Res. 1977. 82. 1967-1984.

17. Orowan E. Convection in a non-Newtonian mantle, continental drift, and mountain building // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1965. A 258. 284-313.

18. Forsyth D.W., Uyeda S. On the relative importance of the driving forces of plate motion // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1975. 43. 163-200.

19. Bott M.H.P. The interior of Earth, its structure, constitution and evolution: Second Ed. London: Amold, 1982.

20. Chen Qingxuan, Wang Weixiang, Sun Ye. Rock mechanics and analysis of tectonic stress field. Beijing: Geology Press, 1998.

21. Avnir D., Biham O, Lidar D., Malcai O. On the abundance of fractals // Fractal Frontiers / Ed. by M.M. Novak, T.G. Dewey. Singapore: World Scientific, 1997. 199-234.

22. Мalcai O, Lidar D, Biham O, Avnir D. Scaling range and cutoffs in empirical fractals // Phys. Rev. E. 1997. 56. 2817-2828.

23. Иванова В.С. и др. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994.

24. Haken H. Advanced synergetics. Berlin: Springer-Verlag, 1983.

25. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

26. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности // Физ. мезомеханика. 1999. 2, № 6. 63-69.

27. Моисеев Н.Н. Алгоритм развития. М.: Наука, 1987.

28. Onuki A. Phase transition dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

Поступила в редакцию 08.11.2006

УДК 532.516

УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В ПЛЕНКЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, СТЕКАЮЩЕЙ ПО ТОНКОМУ ВЕРТИКАЛЬНОМУ ЦИЛИНДРУ

В. Я. Шкадов, А. Н. Белоглазкин, С. В. Герасимов

Уединенные волны в пленках, стекающих по вертикальным поверхностям, обнаружены в экспериментах [1]. Математический метод исследования волновых течений в пленках вязких жидкостей разработан в [2]. Решения модельной системы [2] в виде уединенных волн получены в [3], а систематическое исследование таких волн в пленках на плоских поверхностях выполнено в [4-7]. Интерес к течениям пленок на искривленных поверхностях связан с важной для практики задачей нанесения покрытий на тонкие нити и проволочки. В [8, 9] представлены экспериментальные наблюдения соответствующих структур. В [10-12] метод работы [2] обобщается на осесимметричные течения пленок и исследуются стационарные течения и периодические волны. В настоящей работе строятся решения модельной системы в виде осесимметричных уединенных волн.

Рассматривается течение слоя жидкости вдоль тонкого цилиндра, круговое сечение которого имеет радиус К. Будем называть основным состоянием стационарное течение с постоянной по длине цилиндра толщиной слоя Но. Представляют интерес проявление гидродинамической неустойчивости течения и развивающиеся вследствие этого нелинейные волны. Предположим, что волны неустойчивости можно считать длинными в том смысле, что характерный масштаб I в измерениях параметров потока вдоль цилиндра удовлетворяет условию к2 = (Но/1)2 ^ 1. Как показано в работах [2, 10], течение при этом условии описывается следующей системой уравнений и граничных условий для поля скоростей

и профиля слоя жидкости с точностью о(к2):

1

(тип )п — аК% + ^ = Е (щ + ии% + упп),

(ти)% + (тю)п = 0; П = 0 : и = 0,

П = Н : Ы + = V,

V = 0;

ип = 0.

Здесь

К = + 72

ак

/ли 1

к2 1+ еН'

т = 1 + еп,

^ =

е=

г/С/'

/¿о Л'

к =

/¿о

I '

а, / = р^ — коэффициенты поверхностного натяжения и вязкости, р — плотность жидкости.

Важным заданным параметром в задаче (1), (2) является е — отношение толщины слоя к радиусу цилиндра. В [2, 10] рассмотрены течения, в которых можно было считать е величиной малой, так что е/к2 ~ 1. Следуя методу работы [2], перейдем от (1), (2) к эволюционной системе для двух неизвестных функций — профиля волны Н(£, Ь) и локального расхода:

п

д(£,Ь) = J тийп.

Для продольной скорости и(£, п, Ь) примем следующее представление:

и

= А( 1 — т2 + 2Г21п Т), т = 1+ еп, г = 1 + еН.

Выражение (4) удовлетворяет граничным условиям (2) при любой функции Н(£, Ь) и является решением первого уравнения (1) при е ^ 0. Подставляя (4) в (3), находим

А ( 1 ^2 . 3 -4 -4 1 -

а = — - — г + - г —г тг

е 4 4

Умножая первое уравнение (1) на т и интегрируя каждое из двух уравнений (1) в пределах (0,Н), получим систему

(1 + еН)Нь + = 0,

+ \ ^ - аЩ - 4Ае2) = + М?),

в которой влияние нелинейных инерционных членов выражается интегралом М = ^ ти2 йп. Для профиля скорости, задаваемого формулой (4), получаем

М = — (2г61п2 г + (2 - 3г2) г41п г + — г6 - - г4 + - г2 - - V

е \ v ; 12 2 4 6/

При е ^ 0 находим асимптотическое представление

6 Г

7

Система уравнений (6) с точностью до обозначений получена в [11]. Из (5) находим выражение для А:

4Ае2 = ф3 р

ГД6 = 4х*

73 (1 + ж)41п(1 + х) - х - - х2 - Зх3 - - ж4

, <р(х) = - (1 + X + ...) при х — 0. 3

а

Способ преобразования коэффициентов уравнений плоской пленки предложен в [3]. Следуя этой работе, выберем масштаб скорости ис и масштаб длины к:

ис = ^<р(е),

1/3

Тогда члены второго уравнения (6), отражающие вклад сил капиллярности, тяжести и вязкости, будут одного порядка, так как

а = ^ =

1

р(е)'

4Ле2 =

д р

Н3 р

1

р(е)'

Для коэффициента е при конвективных членах получаем

2 1 <р(е)Е = 55е, 5е = 9[<р(е)]25, $ = ^

Система (6) приводится к следующему виду: (1 + еН)Ы + д^ = 0,

рдН1 Х1/3

а

к[1 + -ек

Нт +

к

д р

Н2 р

= Ь5е(дг + Ы^).

Решения системы (8) зависят от параметров 5, к и е. В [11, 12] система (8) применялась для построения периодических волн. Легко видеть, учитывая (7), что при е ^ 0 система (8) переходит в основную систему теории пленочных течений на плоской поверхности [2]. Можно считать, что (8) обобщает систему [2] на случай осесимметричной пленки при е = 0. Основные параметры 5, к, введенные в теории плоских пленок [3], можно представить также в виде

11/3

к =

2)

2/3

* Г = (Л1/2

7 р(^)1/3' \рд) '

где 7 — число Капицы и Ь — капиллярная длина.

Будем рассматривать квазиустановившиеся уединенные волны, т.е. решения в виде бегущей волны

Н = Н((), д = д((), ( = £ - сЬ

с условием затухания на бесконечности:

£ ^ —ж : Н ^ 1; £ ^ : Н ^ 1.

Тогда система эволюционных уравнений примет вид

—с(1 + еН)Н' + д' = 0,

Н + 1

д р

Н2 р

где штрихом обозначена производная по переменной (.

Из уравнения (9) с учетом условий на бесконечности получим

се

д = с{к - 1) + у {к2 - 1) + 1.

В силу того что выражение Ы можно представить следующим образом: Ы'(Н', Н; с, е) = Н'Ы^(Н; с, е), где Ы' — производная от Ы по Н — от Н' уже не зависит, уравнение (10) преобразуется к виду

Н3 +

р

се

1-- + с

2

е

2

2

Таким образом, изучение указанного класса волновых течений сводится к исследованию уравнения (11) для локальной толщины слоя.

Можно отметить, что при e ^ 0 выполняются следующие соотношения:

1 6 q2

q = ch + l-c, Lp(e) = Lp(eh) =S£ = ó, M = - —,

3 5 h

, 6 2qq'h - h'q2 , 6 1

M' =

61

h2

= h' 5 Y2{{ch? -(1"c)2)' K = {{ch? -(1"c)2)'

5 h2

и уравнение (11) принимает вид

Н3Н''' + 6 [5с2 — 12с + 6 — с2 (Н2 — 1)] Н' + Н3 — 1 — с(Н — 1) = 0,

соответствующий случаю пленки на вертикальной плоскости [2, 3].

В фазовом пространстве (Н, Н', Н'') уравнение (11) имеет две особые точки: (1, 0, 0) и (Но, 0, 0), где Но положительный корень уравнения

h3 ^

^>

ce

l--+c

0,

не равный 1. Рассмотрим асимптотические решения в окрестности этих точек.

В окрестности (1, 0, 0) решение представимо в виде Н = 1 + Н, Н ^ 1. Подставив его в уравнение (11) и отбросив слагаемые порядка Н2 и более, получим

У" + h'

55,

1+ e/2

c2 (1 + e) -

bo

bi

16 e5ip2(e) \ bo

-

+

«

+

+ h(3 + ^i(e) - c(1+ e)) = 0.

Корни характеристического уравнения Л3 + гЛ + s = 0 имеют вид

Х1 = 2z, Л23 = -z ± iw,

где

55,

1+ e/2

c2 (1 + e) -

bo

bi

- 2^i

16e5 v2(e)\ bo

s = 3 + ^i(e) - c(1 + e),

а z и w могут быть вычислены по формулам Кардано:

2 z = A + B, w = y/S

A-B

+

«

Общее решение уравнения (12) запишется следующим образом:

h = 1 + A1e2zZ + A2e-zZ cos

Как видно из формул Кардано, знак г противоположен знаку выражения в.

Уединенная волна является гомоклинической траекторией в фазовом пространстве (Н,Н',Н''), двояко асимптотической к особой точке (1, 0, 0), т.е. при ( — Н — 1. Для построения решения уравнения (11) необходимо обеспечить плавный переход между решениями асимптотического уравнения (12), затухающими к 1 на —с и +с. Выделим их из общего решения (13). Возможны 2 случая.

3 + р

1. Быстрая волна: с > - (в < 0, г > 0). Тогда асимптотические решения следующие:

1 + е

Н — 1 + А1 при £ — —сс; Н — 1 + А2в-г^ сов(,ш( — ф) при £ — +с.

2

e

2

e

r

3 + ^

2. Медленная волна: с < - (в > 0, г < 0). Тогда асимптотические решения следующие:

1 + е

к — 1 + А2— ф) при £ — —с»; к — 1 + при £ — +с.

Перепишем уравнение (11) в каноническом виде, введя для этого новые переменные г\ = к, ¿2 = Н, ¿3 = к":

1с=г'2] Ж = гз]

Z2

5ó£

dz¿ ____

cl,( ~ zlY1 1 +ezx/2

[c2(1 + ez{) — M'h] + (

к

zi) +

+

P

z{^

1-f

- 1.

3 +

В случае быстрых волн (с > -—) в качестве начальных условий к системе (13) можно взять

1+e

асимптотические условия при С -^-—ж:

zi (0) = 1 + Ai, Z2(0)=2Aiz, Z3 (0) = 4Ai z2

Решение задачи Коши (14), (15) должно плавно переходить во второе асимптотическое решение, которое можно записать в виде

мс) = 1 + A2e-zZ cos(w( — ф),

h'<x>(() = —A2e-zZ [z cos(w( — ф)+w sin(wZ — ф)],

h'L(С) = A2e-zZ[(z2 — w2) cos(w( — ф) + 2wz sin(w( — -

Зададим некоторое малое значение А1 и приближенные значения для с, А2 и ф. Далее проинтегрируем систему (14) до некоторой достаточно удаленной точки £1. В этой точке необходимо "склеить" численное решение с асимптотическим решением (16), т.е. необходимо найти такие параметры с, А2 и ф, чтобы выполнялись соотношения

¿1^1) — Н^((1)=0, ¿2 ((1) — Н'ж((1) = 0, гз((1) — С (С1 ) = 03 + <р!(е),

В случае медленных волн (с < -) начальными условиями являются

1 + e

zi(0) = 1 + A2 cos ф, z2 (0) = 2A2 [w sin ф — z cos ф],

z3(0) = A2 [ (z2 — w2) cos ф — 2wz sin ф], а краевые условия перепишутся в виде

МС) = 1 + Aie2zZ, hUZ) = 2zAi e2zZ, Щ (С) = 4z2 Ai e2zZ.

Изложенный метод был предложен и применен в [3].

На основании численных исследований установлено, что для каждой пары параметров ó, e существует дискретный спектр Рис 1 Зависимость фазовой скорости с собственных значений с, соответствующих решениям в виде уеди- от параметра ó для первых четырех тененных волн. Впервые дискретный спектр уединенных волн (со- мейств быстрых уединенных волн, литонов) построен в [5] при e = 0. e = 0,1

Найденные быстрые волны можно занумеровать в порядке уменьшения фазовых скоростей (ci > С2 > С3 > ...). На рис. 1 приведены примеры зависимости величины фазовой скорости волн первых четырех семейств от параметра ó при e = 0,1. При значительном увеличении параметра ó наблюдается сближение семейств с номерами 2n — 1 и 2n, n = 1, 2, 3,... . Так, при значении ó = 0,16; e = 0,1 различие между фазовыми скоростями представителей первого и второго семейств не превышает 10-2. Следует отметить, что приведенные на рис. 1 кривые, соответствующие семействам уединенных волн, близки к аналогичным кривым, построенным в [5] для случая пленки на вертикальной плоскости.

2

e

На рис. 2 представлены волны первого (а) и четвертого (б) быстрых семейств при е = 0,2; 5 = 0,08. Скоростям с нечетными индексами соответствуют одногорбые волны, а с четными — двугорбые. При этом структура первого горба с увеличением номера семейства усложняется. Также приведены траектории в фазовом пространстве (Н,Н), соответствующие уединенным волнам. Каждый из главных горбов соответствует одному обороту траектории вокруг обеих особых точек. Для волн всех семейств, начиная с третьего, траектория, выходя из точки (1, 0), попадает в окрестность второй особой точки (Но, 0); в окрестности этой точки решение близко к асимптотическому решению. При значениях фазовых скоростей, соответствующих быстрым волнам (с > ^ ^ ^ решение А^е-"*'' со8(-ш*<," — ф*) возрастает при

увеличении ( (так как г* < 0). Таким образом, траектория совершает колебания вокруг точки (Но, 0) с возрастающей амплитудой. Этим обусловлено усложнение структуры первого горба с увеличением номера семейства.

Рис. 2. Представители первого (а, е\ = 8,9461) и четвертого (б, С4 = 7,6003) семейств быстрых уединенных волн, е = 0,2, 5 = 0,08

На рис. 3 приведена зависимость нормированной фазовой скорости с = ср(е) от е с учетом изменения параметра 5 при изменении е для первого и второго семейств быстрых уединенных волн (7 = 48,49; Я = 0,3 мм). Численные эксперименты показали также, что с увеличением геометрического параметра е увеличивается амплитуда уединенных волн.

В [9] представлены экспериментальные данные для значений параметров е = 2,92; 5 = 0,0 002 385; к = 0,545. В эксперименте при этих значениях наблюдалась одногорбая уединенная волна с фазовой скоростью с = 1,306 и амплитудой 2,01. Указанным выше численным методом при заданных параметрах е, 5 было найдено решение с фазовой скоростью с = 1,997 и амплитудой 1,905.

Медленные волны нумеруются в порядке увеличения фазовой скорости (с1 < с2 < С3 < ...). Некоторые из найденных решений показаны на рис. 4. Волной с наименьшей фазовой скоростью является одногорбая волна первого семейства (а). Двугорбая волна с наименьшей фазовой скоростью представлена на рис. 4, б. Волновые решения такого вида для случая пленки на вертикальной плоскости впервые были получены в [3] и подробно изучены в [5, 6].

с

6,0-1-1-1-1-1-1-

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 8

Рис. 3. Зависимость нормированной фазовой скорости с = еу

ц 4 J_1_1_1_1_1_1_1

' -15 -10 -5 0 5 10 £

Рис. 4. Медленные волны е\ = 1,6846 (а) и c2 = 1,8656 (б) при £ = 0,2; 5 = 0,08

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-01-00778-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Капица П.Л., Капица С.П. Волновые течения тонких слоев в вязкой жидкости // Журн. экспер. и теор. физ. 1949. 19, № 2. 105-120.

2. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1967. № 1. 43-51.

3. Шкадов В.Я. Уединенные волны в слое вязкой жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1977. № 1. 63-66.

4. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О неединственности нелинейных волновых решений в вязком слое // Прикл. матем. и механ. 1984. 48, вып. 4. 691-699.

5. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Бифуркации уединенных волн в стекающем слое жидкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1986. № 2. 73-78.

6. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. К теории солитонов в системах с диссипацией // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1986. № 3. 91-97.

7. Demekhin E.A., Tokarev G.Yu., Shkadov V.Ya. Hierarchy of bifurcations of space-periodic structures in a nonlinear model of active dissipative media // Phisica D. 1991. 52. 338-361.

8. Quere D. Thin films on vertical fibres // Europhys. Lett. 1990. 13. 721-726.

9. Kliakhandler I.L., Davis S.H, Bankoff S.G. Viscous beads on vertical fibre // J. Fluid Mech. 2001. 429. 381-390.

10. Кулаго А.Е., Шкадова В.П., Шкадов В.Я. К гидродинамической теории нанесения тонкослойных покрытий на движущиеся поверхности // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 95-100.

11. Trifonov Yu.Ya. Steady-state travelling waves on the surface of a viscous liquid film falling down on vertical wires and tubes // AIChE Journal. 1992. 38, N 6. 821-834.

12. Sisoev G.M., Craster R.V., Matar O.K., Gerasimov S.V. Film flow down a fibre at moderate flow rates // Chem. Eng. Sci. 2006. 61. 7279-7298.

Поступила в редакцию 21.12.2007