Математическое моделирование процессов нагрева тел при воздействии концентрированных потоков энергии на основе нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности

УДК 519.633:536.21

Л. С. Петрова, В. А. Горош, Н. В. Заложный

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НАГРЕВА ТЕЛ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ ПОТОКОВ ЭНЕРГИИ НА ОСНОВЕ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Аннотация. Статья посвящена численным методам решения нелинейных задач теплопроводности с учетом релаксации теплового потока. Разработана математическая модель на основе нелинейного уравнения теплопроводности гиперболического типа для расчета температурного поля в бесконечно протяженной (неограниченной) пластине. Представлена реализация метода сеток с использованием трехслойной неявной разностной схемы при решении нелинейной задачи гиперболической теплопроводности для случая, когда поглощение энергии излучения моделируется объемным источником тепла. Получено численное решение нелинейной задачи теплопроводности в неограниченной пластине с учетом релаксации теплового потока на основе методики конечных разностей с использованием метода прогонки и итерационного уточнения коэффициентов. Описан алгоритм расчета с графическим представлением результатов расчета температурного поля в неограниченной пластине при воздействии концентрированных потоков энергии. Представлено сравнение результатов расчетов температурных полей при математическом моделировании на основе нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности и соответствующей линейной модели с использованием среднеинте-гральных значений теплофизических и оптических характеристик. Полученные существенные отличия между температурными полями, соответствующими нелинейной и линейной задачам, обосновывают необходимость учета температурной зависимости теплофизических характеристик и поглощательной способности при исследовании высокоинтенсивных процессов нагрева тел. Разработанная нелинейная математическая модель нагрева тел с учетом конечной скорости распространения тепла, а также температурной зависимости свойств материала может быть использована при выборе режимов обработки тел высокоинтенсивными потоками энергии.

Ключевые слова: математическая модель, температурное поле, численные методы, нелинейное уравнение теплопроводности гиперболического типа, неявная разностная схема, метод прогонки.

Liliya S. Petrova, Victor A. Gorosh, Nikita V. Zalozhnyy

Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation

MATHEMATICAL MODELING OF HEATING PROCESSES OF BODIES UNDER INFLUENCE OF CONCENTRATED ENERGY FLOWS BASED ON NONLINEAR HYPERBOLIC HEAT CONDUCTIVITY EQUATION

Abstract. The article is devoted to numerical methods for solving nonlinear heat conduction problems with considering for the relaxation of heat flow. A mathematical model is developed on the basis of a non-linear heat equation of the hyperbolic type for calculating the temperature field in an infinitely extended (unlimited) plate. The implementation of the grid method using a three-layer implicit difference scheme for solving the nonlinear hyperbolic heat conduction problem is presented for the case when the absorption of radiation energy is modeled by a volumetric heat source. A numerical solution of the nonlinear heat conduction problem in an unbounded plate is obtained taking into account the relaxation of the heat flow on the basis of the finite difference technique using the sweep method and iterative refinement of the coefficients. A calculation algorithm with a graphical representation of the results of calculating the temperature field in an unbounded plate under the influence of concentrated energy flows is described. A comparison of the results of calculations of temperature fields in mathematical modeling on the basis of the nonlinear hyperbolic heat equation and the corresponding linear model using the mean integral values of thermophysical and optical characteristics is presented. The significant differences obtained between the temperature fields corresponding to the nonlinear and linear problems justify the need to take into account the temperature dependence of the thermophysical characteristics and the absorptivity in the study of high-intensity processes of heating the bodies. The developed nonlinear mathematical model of body heating with allowance for the finite speed of heat distribution and the temperature dependence of the material properties, can be used to select the modes for processing mode bodies with high-intensity energy flows.

124 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017

=

Keywords: mathematical model, temperature field, numerical methods, nonlinear heat equation of hyperbolic type, implicit difference scheme, sweep method.

В условиях современного производства при интенсификации тепловых воздействий для поверхностного упрочнения элементов конструкций, создания технологических процессов с использованием методов обработки различных материалов концентрированными потоками энергии с получением более высоких физико-механических свойств широко используется лазерная и плазменная обработка различных материалов. В частности, методы поверхностного термоупрочнения с использованием концентрированных пучков энергии (лазерных, плазменных, электронных) применяются в рамках совершенствования технологии ремонта подвижного состава железных дорог. Например, технологии плазменной поверхностной закалки гребней колесных пар локомотивов.

Исследованию высокоинтенсивных процессов нагрева тел (плазменной, лазерной обработке материалов, высокоинтенсивному нагреву контактных соединений в электрических установках и др.) посвящены работы В. Б. Веселовского, Ю. А. Малой, К. И. Гнедаш [1], В. С. Майорова [9], Б. А. Кравченко, С. В. Каюкова, А. А. Гусева [5], А. М. Лыкова [10] и других ученых.

Применение методов интенсивного нагрева приводит к необходимости учитывать конечную скорость распространения тепла и температурную зависимость теплофизических характеристик при расчете температурных полей, полученных на основе соответствующих моделей с использованием гиперболического уравнения теплопроводности с зависящими от температуры коэффициентами [1]. В этом случае нелинейное уравнение теплопроводности в силу температурной зависимости коэффициентов является квазилинейным уравнением [13].

Рассматривая методы решения краевых задач гиперболической теплопроводности, необходимо отметить, что в большинстве исследований (Ю. И. Широков, А. И. Губин, Ю. А. Малая, О. А. Синкевич, В. Б. Веселовский, А. Э. Кузнецова, В. А. Кудинов и др.) используются точные и приближенные аналитические методы. В представленных работах реализуются метод разделения переменных, операционный метод, сочетание метода пространственно-временных квадрантов и операционного метода. При этом использование численных методов решения задач теплопроводности с учетом релаксации теплового потока в рассматриваемых нами исследованиях (А. Н. Корчагина, Л. А. Мержиевский, Н. И. Никитен-ко, В. Ф. Очков, А. П. Солодов и др.) ограничено применительно к линейным краевым задачам [11].

Среди работ, посвященных численным методам решения краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности параболического типа, необходимо выделить исследования, основанные на использовании явной и неявной разностных схем. В работе А. В. Геренштей-на и М. З. Харисламова [2] исключается зависимость коэффициентов уравнения от температуры посредством введения новой искомой функции (первообразной теплопроводности), но недостатком предложенной явной разностной схемы является ее условная устойчивость.

При использовании неявной разностной схемы с нелинейностью на нижнем слое (явно-неявная схема) исследователями применяется метод «замороженных коэффициентов» [14] и учитывается условие, ограничивающее шаг по времени.

В работах, направленных на получение численного решения нелинейного уравнения теплопроводности [3, 4, 6, 7] для реализации разностной схемы с нелинейностью на верхнем слое (чисто неявной схемы), используется итерационное уточнение коэффициентов. В исследовании Р. В. Гришаева, Ф. Х. Мирзаде, М. Д. Хоменко [3] приведена методика численного решения одномерного уравнения теплопроводности в сферических координатах для случая аксиально-симметричного распределения температуры. В работе Г. В. Кузнецова и Т. А. Нагорновой [6] решается задача тепломассопереноса в двухслойной бесконечной пластине на основе системы уравнений теплопроводности параболического типа. Исследование

Н. Г. Карлыханова, А. В. Ураковой [4] посвящено численному решению уравнения теплопроводности для двумерного осесимметричного случая на квадратной адаптивной сетке. Исследований по тематике применения численных методов решения нелинейных задач теплопроводности с учетом релаксации теплового потока нами не обнаружено.

Решая задачу о нагреве тела при обработке концентрированными потоками энергии, рассмотрим случай обработки металла лазерным излучением, когда поглощение энергии излучения моделируется объемным источником тепла (учитывается сравнимость по порядку величины глубины проникновения теплоты с толщиной слоя, в котором поглощается энергия излучения). Плотность потока энергии излучения задается как функция времени / \ • ПТ

q0 (т) = q sin —, где qmax - максимальное значение плотности теплового потока, Td

qmax = 1013 Вт/м2, td — длительность импульса, td = 2 не. Время релаксации теплового потока Т = 0,5 нс. Из предположения, что диаметр области нагрева намного больше глубины проникновения тепла, обрабатываемое тело можно считать неограниченной пластиной. Толщина образца L = 1 мкм. Температура в начальный момент времени является постоянной и равной 300 К, а скорость изменения температуры в начальный момент времени принимается равной нулю. На границах заданы граничные условия второго рода. Расчет температурного поля проводился для образца, теплофизические и оптические характеристики которого задавались следующим образом:

Л(Г) = 196,4 — 0,135• T + 4,63-10—5 • T2 + 3,26-10—10 • T3, Вт/(м• К); с(T) = 130 +1,36•Ю-2 • T + 4,04•Ю-6 • T2, Дж/(кг• К); р(Т) = 1,93-104 — 3,3•Ю-2 • T, кг/м3; A(T) = 2,4•Ю-2 +1,03•Ю-4 • T; а = 107 1/м.

Для случая, когда поглощение энергии излучения моделируется объемным источником тепла, математическая модель процесса теплопроводности при воздействии концентрированных потоков энергии на тело с учетом температурной зависимости теплофизических и оптических характеристик включает в себя нелинейное неоднородное дифференциальное уравнение [8, с. 107]:

Т Т С (T )P(T ^+c (T )P(T )«M

+A (T) q0 (т)ае

-ax + тае-ах

dx

d(A(T)qc (Т));

di 43T

Л(г)—I +

Эх

дт

начальные условия:

T (х,0) = T0, хе [0, L]; 3T(Х,Т) = 0, хе[0, L];

граничные условия:

дт

dT

т=0

дх

0, те [0, тт];

х=0

126 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017

=

дТ

дх

0, те[0, тя],

х=Ь

где Т (х, т) — температура тела в точке х в момент времени т; Л(т) — коэффициент теплопроводности; с (т)— теплоемкость; р(т) — плотность вещества; тг — время релаксации теплового потока; А (т) — поглощательная способность материала; а— коэффициент поглощения; д0 () — плотность потока энергии излучения.

Для решения нелинейной задачи (5) - (9) применяем метод сеток с использованием конечно-разностных аппроксимаций (метод конечных разностей). Вводим прямоугольную

пространственно-временную сетку Охт = {х1 = ¡к, г = 1, N; т}- = ]к, у = 0,М}. Рассматривая

трехслойную неявную разностную схему, подставляем формулы соответствующих разностных аналогов частных производных по времени и пространству [12, с. 455] в гиперболическое уравнение теплопроводности. В этом случае получаем разностное уравнение вида:

П

у+1

ту+1 — т1

( у,+1 + г! т/+1 — т> у!—1 + у! т> — т

к

,—1 >

1 ( Л+1 + Л++1 т++ — т/+1 Л—+1 +л1+1 т/+1 — т —+1 ^

к

1—1

г—1

к

к

+ I,

1 +1

г

где у!+1 = с

вычисляются по

формулам (1) - (3), г = 2, N — 1, у = 0, М — 1. Формула для определения +1 имеет вид:

К+1 = А*,^т1 Ме—»к(г—1) +

+тг№

-Мк

(

1,3 10 -

т

1+1

-т1

-^тах81П-

2

+ +1 ^тх

0082 2

где А*/+1 = А(т/+1) и вычисляется по формуле (4), ]И = а = 101/мкм.

При реализации метода простой итерации для решения полученной нелинейной системы уравнений на каждом шаге по времени расчет температурного поля происходит до тех пор, пока оно не перестает отличаться от предыдущего приближения. В этом случае система уравнений является линейной относительно тг*+1 и принимает вид:

2кк2X (+1 — т1) + тгк2 [( + У>)  (( — т1) — (7>—1 + тЦ )  (( — V—1) =к2 Г( л;+л+1) • (( — тг1)—(Л—1 + Л/) • (+1 — т—+1)+2у-к 2к2,

где * — номер итерации. Для определения нового приближения с применением метода прогонки, систему (12) приводят к виду:

А • т+? — в, • тг1 + с, • т—1 = ^,

где А = к2 (Л/ + Л+1), С, = к2 (Л/ + Л—1), Вг = к2 (Л—1 + 2/ + Л+1) + 2кк2у> +тгк2 (+ ^ ),

Ъ = —2/; к2 к2+т^—1 (у; + г!—1)—V Г2кк2 ^ +тк (г! + 2у! + уП ).

Формулы для расчета прогоночных коэффициентов получаем, подставляя в уравнение (13) соотношение прогонки т—+1 = а—1 • т*+1 + Д—1:

а, =-

Д

В, - с,. а-1

в =

С,Д- - F1

в,, - с, -а-1

Используя соотношение Т 1 = Т0, полученное из аппроксимации начального условия (7), определяем коэффициенты Fi на первом временном слое:

Г = -2/'*2Л2 -Т0 Г2кЛ20 + ггЛ2

Из уравнения (12), записанного для г = 1, подставляя вместо значения сеточной функции в фиктивном узле Т0'+1 соотношение Т0'+1 = Т2'+1, полученное из аппроксимации левого граничного условия с погрешностью О (Л2), выводим формулы для определения начальных прогоночных коэффициентов Ц, Д:

2*2

а'+1 =•

Д

'+1

1 2*Л200 + тгЛ2

2/'к2Л2 - тгЛ2Т11 -1

2*Л2о0 + ТгЛ2

Для определения коэффициента Д на первом временном слое соотношение (18) записываем для 1 = 0 и подставляем значение сеточной функции для фиктивного узла Т[-1 = Т|0:

= 2/1'к2Л2 + Т10 Г2кЛ20 + тгЛ2 ( + 03)' в1 =

2кЛ2у1 +тгЛ2

Используя уравнение (12), записанное для г = N с подстановкой соотношения Т^+1 = Т^+1 , полученного из аппроксимации правого граничного условия с погрешностью О (Л2), выводим формулу для определения значений температуры на правой границе:

7т+1_

ЛГ

2к2

А -1 (4 +4 -1)+/NЛ2

+12

0

2кЛ2П +тгЛ2

Определяя значение сеточной функции в узле на правой границе первого временного слоя TN, используем формулу (20) при условии 1 = 0 и соотношение для фиктивного узла

гт-1-1 _ гр0 ,

Т N = TN :

Т1

-1 кт

2к2

в -1 (4+4-1)+/'Л2 ]+Т0 Л2 0 (2к+т )+т00 ]

2кЛ20 +тгЛ2

В алгоритме расчета предусматривается описание процедуры расчета значений функции на верхнем (промежуточном и первом) временном слое. При этом сначала определяются прогоночные коэффициенты с использованием соотношений (14) - (19). Вычисление значе-

128

ИЗВЕСТИЯ Транссиба

№ 2(30) 2017

ний температуры на правой границе происходит по формулам (20) или (21) в зависимости от временного слоя (промежуточного или первого). Непосредственно расчет температурного поля осуществляется с использованием основного соотношения прогонки. Температурное поле на каждом временном слое определяется до тех пор, пока максимальная разность между значениями температуры на текущей и предыдущей итерации не станет минимальной, т. е. не перестанет отличаться от предыдущего приближения. В случае выполнения условия остановки счета (тах

+1_

< £, где £ _ точность вычислений) полученные на данной итерации значения сеточной функции определяют значения функции на верхнем временном слое. В качестве начального приближения можно рассматривать значения функции на предыдущем временном слое.

Успешное применение метода прогонки обеспечивается выполнением следующих условий: исключение быстрого роста погрешности округления (|ц | < 1, / = 1, N _ 1) и отличие знаменателей прогоночных коэффициентов от нуля. При использовании данного метода для решения поставленной задачи учитывается безусловная устойчивость предложенной неявной разностной схемы с погрешностью аппроксимации О (т + к2).

Программа для численного расчета температурного поля в условиях задачи (5) - (9) реа-лизовывалась в системе МаШСАО и в среде программирования Беу-С++. Результаты расчета, соответствующие решениям нелинейных (ТКЬ) и линейных (ТЬ) задач, приведены на рисунках 1, 2. График функции изменения температуры во времени при х = 0 мкм и при х = 0,15 мкм представлен на рисунке 1. На рисунке 2 приведены графики распределения температуры по толщине пластины при т = 1 нс и при т = 2 нс. Численные решения линейных задач получены на основе методики конечных разностей с использованием метода прогонки при среднеинтегральных значениях теплофизических и оптических характеристик в диапазоне температур от 300 до 3659 К: Л = 160,9 Вт/(м• К); у= 3,4 106 Дж/(м3 • К); А = 0,23.

3,5 х 10:

3 х 10

2,5 х 10

2 х 10

1,5 х 10

1 х 10

500

_ ф

ТЬ ). Ф * - Ь«), • • •

* • • ф * +'

* * * ^Гш (ТЬ1), (Т

* ф ф * ф" ф'

* ф ф . ф .. • - . ф ф . ф '

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

1,4

1,6

Рисунок 1 - Изменение температуры во времени: при х = 0 мкм

Сравнимость результатов проведенного расчета значений температур с их значениями, полученными в работе [8, с. 115 - 118] на основе сочетания метода пространственно-временных квадрантов и операционного метода, обосновывает достоверность полученных результатов. Существенные различия в графиках распределения температуры, соответствующих нелинейным и линейным задачам (см. рисунки 1, 2) указывают на необходимость уче-

0

1

2

т

та температурной зависимости поглощательной способности, теплофизических и оптических характеристик при моделировании тепловых процессов в материалах, обрабатываемых концентрированными потоками энергии (в частности, при обработке металлов лазерным излучением).

3

3,5 х 10

3

3 х 10

3

2,5 х 10

3

2 х 10

3

1,5 х 10

3

1 х 10

500

0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-, , , , ,

Рисунок 2 - Распределение температуры по толщине пластины: при т = 1 нс

Разработанная нелинейная математическая модель нагрева тел с учетом конечной скорости распространения тепла позволяет повысить точность расчета температурных полей при обработке тел концентрированными потоками энергии и может быть использована при исследовании высокоинтенсивных процессов нагрева тел (например, при разработке технологии лазерного упрочнения гребней бандажей колесных пар тягового подвижного состава).

Список литературы

1. Веселовский, В. Б. Математическое моделирование импульсных теплотехнологиче-ских процессов [Текст] / В. Б. Веселовский, Ю. А. Малая, К. И. Гнедаш // Металлургическая теплотехника: Сб. науч. тр. Национальной металлургической академии Украины / Национальная металлургическая академия Украины. - Днепропетровск, 2007. - С. 53 - 61.

2. Геренштейн, А. В. Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности [Текст] / А. В. Геренштейн, М. З. Харисламов // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика / Южно-Уральский гос. ун-т. - Челябинск. -2013. - Т. 5 (№ 1). - С. 12 - 16.

3. Гришаев, Р. В. Численное моделирование кинетики плавления микрочастиц при селективном лазерном спекании [Текст] / Р. В. Гришаев, Ф. Х. Мирзаде, М. Д. Хоменко // Перспективные материалы / Ин-т металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН. -Москва. - 2011. - № 10. - С. 135 - 142.

4. Карлыханов, Н. Г. Неявная схема решения нелинейного уравнения теплопроводности на квадратной адаптивной сетке [Текст] / Н. Г. Карлыханов, А. В. Уракова // VII Забабахин-ские научные чтения (Снежинск, 8 - 12 сентября 2003 г.) / Российский федеральный ядерный центр, Всероссийский НИИ технической физики им. акад. Е. И. Забабахина. - Снежинск, 2003. - С. 5 - 15.

5. Кравченко, Б. А. Термопластическое упрочнение жаропрочных никелевых сплавов с использованием лазерного нагрева [Текст] / Б. А. Кравченко, С. В. Каюков, А. А. Гусев //

130 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017

=

•« * ч ч • • •

(ТМ (ТОЪ ч ч ) А

ч к ч • • ч • • •

ч ч * * • • • •  . , .—

Физика и химия обработки материалов / Ин-т металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН. - Москва. - 1999. - № 6. - С.17 - 21.

6. Кузнецов, Г. В. Математическое моделирование процесса нагрева, плавления и диффузии легирующей компоненты в металл при лазерном термохимическом упрочнении [Текст] / Г. В. Кузнецов, Т. А. Нагорнова // Физика и химия обработки материалов / Ин-т металлургии и материаловедения им. А. А. Байкова РАН. - Москва. - 2006.- № 3.- С. 33 - 37.

7. Кузнецов, Г. В. Разностные методы решения задач теплопроводности: Учебное пособие [Текст] / Г. В. Кузнецов, М. А. Шеремет / Томский политехн. ун-т. - Томск, 2007. - 172 с.

8. Малая, Ю. А. Математическое моделирование процессов теплопроводности с учетом релаксации теплового потока [Текст] / Ю. А. Малая: Дис... канд. техн. наук. - Днепропетровск, 2015. - 183 с.

9. Лазерные технологии обработки материалов: современные проблемы фундаментальных исследований и прикладных разработок [Текст] / Под ред. В. Я. Панченко. - М.: Физмат-лит, 2009. - 664 с.

10. Лыков, А. М. Расчет процессов и разработка аппаратов для плазменной модификации поверхности материалов [Текст] / А. М. Лыков: Дис. доктора техн. наук. - М., 2006. -281 с.

11. Петрова, Л. С. Математическое моделирование процессов нагрева кусочно-однородных тел с учетом релаксации теплового потока / Л. С. Петрова // Интернет-журнал «Науковедение». - 2017. - Т. 9 (№ 1). - URL: http://naukovedenie.ru/PDF/38TVN117.pdf (доступ свободный).

12. Самарский, А. А. Теория разностных схем: учебное пособие для вузов [Текст] / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

13. Lees, M. A. linear three-level difference scheme for quasilinear parabolic equations / M. A. Lees // Journal of Mathematics and Computer. - 1966. - Vol. 20. - P. 516 - 522.

14. Dendy, J. E. Alternating direction methods for nonlinear time-dependent problems / J. E. Dendy // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1977. - Vol. 14. - P. 313 - 326.

References

1. Veselovsky V. B, Malaya Y. A., Gnedash K. I. Mathematical modeling of pulsed heat-and-technological processes [Matematicheskoe modelirovanie impul'snyh teplotehnologicheskih pro-cessov]. Metallurgicheskaja teplotehnika. Sbornik nauchnyh trudov Nacional'noj metallurgicheskoj akademii Ukrainy (Metallurgical heat engineering. Collection of scientific works of the National Metallurgical Academy of Ukraine). - Dnepropetrovsk, 2007, pp. 53 - 61.

2. Gerenshtein A. V., Kharislamov M. Z. Explicit difference scheme for solving a one-dimensional quasilinear equation of heat conductivity [Javnaja raznostnaja shema reshenija od-nomernogo kvazilinejnogo uravnenija teploprovodnosti ]. Vestnik JuUrGU. Serija «Matematika. Mehanika. Fizika» - Bulletin of the South Ural State University, series «Mathematics. Mechanics. Physics», 2013, vol. 5 (no. 1), pp. 12 - 16.

3. Grishaev R. V., Mirzade F. H., Khomenko M. D. Numerical modeling of the kinetics of melting of microparticles in selective laser sintering [Chislennoe modelirovanie kinetiki plavlenija mikrochastic pri selektivnom lazernom spekanii]. Perspektivnye materialy - Perspective materials, 2011. no. 10, pp. 135 - 142.

4. Karlykhanov N. G., Urakov A. V. Implicit scheme for solving the nonlinear heat equation on a square adaptive grid [Nejavnaja shema reshenija nelinejnogo uravnenija teploprovodnosti na kvadratnoj adaptivnoj setke]. Materialy konferencii «VII Zababahinskie nauchnye chtenija» (Abstracts of the Int. conference «VII Zababakhin scientific readings»). - Snezhinsk, 2003, pp. 5 - 15.

5. Kravchenko B. A., Kayukov S. V., Gusev A. A. Thermoplastic hardening of high-temperature nickel alloys using laser heating [Termoplasticheskoe uprochnenie zharoprochnyh

nikelevyh splavov s ispol'zovaniem lazernogo nagreva]. Fizika i himija obrabotki materialov -Physics and Chemistry of Materials Processing, 1999, no. 6, pp.17 - 21.

6. Kuznetsov G. V., Nagornova T. A. Mathematical modeling of the process of heating, melting and diffusion of the alloying component into a metal under laser thermochemical hardening [Matematicheskoe modelirovanie processa nagreva, plavlenija i diffuzii legirujushhej komponenty v metall pri lazernom termohimicheskom uprochnenii]. Fizika i himija obrabotki materialov - Physics and Chemistry of Materials Processing, 2006, no. 3, pp. 33 - 37.

7. Kuznetsov G. V., Sheremet M. A. Raznostnye metody reshenija zadach teploprovodnosti: uchebnoe posobie (Difference methods for solving heat conduction problems: textbook). Tomsk, 2007, 172 p.

8. Malaya Y. A. Matematicheskoe modelirovanie processov teploprovodnosti s uchetom relaksacii teplovogo potoka (Mathematical modeling of thermal conductivity processes taking into account the relaxation of heat flow). Thesis for a degree of Candidate of Technical Sciences, Dnepropetrovsk, 2015, 183 p.

9. Lazernye tehnologii obrabotki materialov: sovremennye problemy fundamental'-nyh issledo-vanij i prikladnyh razrabotok (Laser technologies of material processing: modern problems of fundamental research and applied developments) / Ed. V. Y. Panchenko. Moscow: Fizmatlit, 2009, 664 p.

10. Lykov A. M. Raschet processov i razrabotka apparatov dlja plazmennoj modifikacii pover-hnosti materialov (Calculation of processes and development of devices for plasma modification of the surface of materials). Thesis for a degree of the Doctor of Engineering, Moscow, 2006, 281 p.

11. Petrova L. S. Mathematical modeling of the heating processes of piecewise-homogeneous bodies with allowance for the relaxation of heat flow [Matematicheskoe modelirovanie processov nagreva kusochno-odnorodnyh tel s uchetom relaksacii teplovogo potoka]. Internet-zhurnal «Nau-kovedenie» - Scientific open access journal «Naukovedenie», 2017, vol. 9 (no. 1). - URL: http://naukovedenie.ru/PDF/38TVN117.pdf.

12. Samarsky A. A. Teorija raznostnyh shem: uchebnoe posobie dlja vuzov (The theory of difference schemes: a textbook for high schools). M.: Nauka, 1977, 656 p.

13. Lees M. A linear three-level difference scheme for quasilinear parabolic equations. Journal of Mathematics and Computer, 1966, vol. 20, pp. 516 - 522.

14. Dendy J. E. Alternating direction methods for nonlinear time-dependent problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1977, vol. 14, pp. 313 - 326.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ Петрова Лилия Сергеевна

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

пр. Маркса, д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Высшая математика», ОмГУПС. Тел.: +7 (3812) 31-18-11. E-mail: petrov.306@mail.ru

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Petrova Liliya Sergeevna

Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Ph. D. in Pedagogic, associate professor of the department «Higher Mathematics», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-18-11. E-mail: petrov.306@mail.ru

Горош Виктор Александрович

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

пр. Маркса, д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Студент ОмГУПСа. E-mail: gorosh.viktor@mail.ru

Gorosh Vktor Alexandrovich

Omsk State Transport University (OSTU).

35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation.

The student OSTU.

E-mail: gorosh.viktor@mail.ru

132 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017

=

Заложный Никита Владимирович

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Студент ОмГУПСа.

E-mail: niczz9797@gmail.com

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Петрова, Л. С. Математическое моделирование процессов нагрева тел при воздействии концентрированных потоков энергии на основе нелинейного гиперболического уравнения теплопроводности [Текст] / Л. С. Петрова, В. А. Горош, Н. В. Заложный // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. -2017. - № 2 (30). - С. 124 - 133.

Zalozhnyy Nikita Vladimirovich

Omsk State Transport University (OSTU).

35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation.

The student OSTU.

E-mail: niczz9797@gmail.com

BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

Petrova L. S., Gorosh V. A., Zalozhnyy N. V. Mathematical modeling of heating processes of bodies under influence of concentrated energy flows based on nonlinear hyperbolic heat conductivity equation. Journal of Transsib Railway Studies, 2017, vol. 30, no. 2, pp. 124 - 133. (In Russian).

УДК 625.14: 625.041:625.042

С. А. Косенко1, М. Я. Квашнин2, И. С. Бондарь2 , С. С. Акимов1

1 Сибирский государственный университет путей сообщения (СГУПС), г. Новосибирск, Российская Федерация, 2Казахская академия транспорта и коммуникаций им. М. Тынышпаева (КазАТК), г. Алматы,

Республика Казахстан

ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В РЕЛЬСЕ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

Аннотация. Представлены результаты измерений кромочных напряжений и напряжений в шейке рельса в кривой радиусом 380 м, полученные при испытаниях по воздействию на путь тепловоза CKD6e-2108, грузовых полувагонов 12-9941 и 12-9920 на участке железнодорожной линии Алматы - Шу. Получены зависимости напряжений в кромках подошвы и в шейке рельса от скорости испытательного подвижного состава. Обоснована возможность повышения весовых норм грузовых поездов без затрат на реконструкцию путевой инфраструктуры за счет внедрения в эксплуатацию парка модернизированных грузовых вагонов с осевой нагрузкой 245 кН (25 тс).

Ключевые слова: железнодорожный путь, рельс, кромочные напряжения, напряжения в шейке рельса, вертикальные и боковые силы, испытательный подвижной состав, кривая малого радиуса.

Sergey A. Kosenko1, Mikhael J. Kvashnin2, Ivan S. Bondar2, Sergey S. Akimov1

Siberian State Transport University (SSTU), Novosibirsk, the Russian Federation, 2Kazakh Academy of Transport and Communications named after M.Tynyshpaev, Almaty, the Republic of Kazakhstan

FIELD MEASUREMENTS OF RAIL STRESSES UNDER THE INFLUENCE OF THE ROLLING STOCK

Abstract. The results of edge stresses and stress measurements in the neck of the rail in a curve of radius 380 m, obtained in the tests on the effects on the way the locomotive CKD6e-2108, freight gondola 12-9941 and 12-9920, on railway line Almaty - Chu. The dependences of the stresses in the edges of the soles and neck rail on the speed of the test vehicles. The possibility of a transition from stress to lateral forces.

Keywords: railway track, rail, edge stresses, stresses at the neck of the rail, vertical and lateral forces, test the rolling stock, a small radius curve.