Оценка параметров распределения капель по размерам с использованием диздрометрических измерений

2007

НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника

№ 117

УДК 621.396

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПЕЛЬ ПО РАЗМЕРАМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИЗДРОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

А.Г. ГОРЕЛИК, С.Ф. КОЛОМИЕЦ

В статье рассмотрен вопрос использования диздрометра для оценивания параметров микроструктуры дождя на малых пространственно-временных масштабах при проведении совместных радиолокационно-диздрометрических измерении в дождях. Проведен теоретический и численный анализ ошибок диздрометрических измерений, которые обусловлены ограниченным интервалом измерений и объемом выборки. Получены результаты, позволяющие повысить точность измерений диздрометра.

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость отказа от априорного задания распределения капель по размерам, используемого для всего времени дождя на всей площади его выпадения была экспериментально и теоретически [2, 3, 4, 5] доказана еще в середине 70-х годов XX века, но серьезных попыток создания динамической модели дождя с тех пор не предпринималось. Современные алгоритмы обработки данных, применяемые на сети метеорологических радиолокационных станций КЕХКАО (США) используют “статическое” соотношение между отражаемостью зондируемого объема и интенсивностью дождя, которое является прямым следствием применения распределения Маршала-Пальмера [1] (МП).

Переход к динамической модели микроструктуры продиктован растущими потребностями радиолокационных измерений в дождях на малых пространственно временных масштабах, в частности необходимостью измерений скорости вертикальных потоков и диссипации турбулентной энергии. Использование закона МП для их измерения приводит к значительным погрешностям [5, 6, 7].

Формирование динамической модели требует более строго подхода к количественным измерениям. Статические и динамические распределения должны совпадать в среднем, следовательно, необходимо знать доверительные интервалы динамических измерений. По модельным оценкам для стационарного гомогенного дождя (т.е. без учета внешних воздействий и взаимодействия капель), для правильной оценки шестого момента распределения требуется нескольких миллионов капель [8, 9]. Возможности исследования спектров с помощью фильтровальной бумаги, которая долгое время являлась основным инструментом исследования спектров, позволяют получать выборки объемом в несколько сотен капель за среднее время (или в среднем объеме) корреляции дождя1. Эта проблема осталась нерешенной и для современных диздрометров, измерительный объем которых практически не изменился (а для многих устройств уменьшился). Следовательно, получение для коротких промежутков времени репрезентативных выборок, исходя из модельных оценок стационарного гомогенного дождя, существующими средствами измерений практически нереально.

С другой стороны, массовый экспериментальный материал содержит значительное количество примеров удовлетворительного совпадения результатов диздрометрических и радиолокационных измерений, которым до сих пор не дано соответствующей теоретической оценки.

В последнее время стали доступны результаты совместных радиолокационно-диздрометрических измерений для дождей разного типа в разных климатических регионах.

1 В работе Маршала и Пальмера, в частности, было исследовано 185 спектров, содержащих примерно по 100 капель на фильтровальной бумаге. Время экспозиции составляло от 3 до 30 секунд в зависимости от интенсивности дождя.

Результаты экспериментов также показывают хорошее (10-20%) совпадение в оценках отражаемости по результатам 15-20 секундных измерений диздрометра и реальной отражаемостью зондируемого пространства над ним для большинства измерений. Такой узкий интервал совпадения оценок требует соответствующего анализа, т.к. слабо совместим с существующими представлениями о вариации параметров дождя.

ХАРАКТЕР НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРОВ КАПЕЛЬ В ДОЖДЕ

Типичный диапазон размеров капель дождя составляет от 0,5 мм до 5 мм. [10]. Верхний предел сформирован по результатам усреднения множества как лабораторных, так и натурных наблюдений. В частности, его предлагают использовать для турбулезированной атмосферы Ганн и Кинцер [11]. Для спокойной атмосферы, верхний предел устойчивости, по данным той же работы, составляет 5,8 мм. Более поздняя работа Ганна [12] подтверждает приведенные оценки максимального “устойчивого” размера капель.

С другой стороны, в [13] отмечается возможность образования и длительного существования в дожде капель размером более 6 мм. Теоретическая оценка среднего времени существования таких капель [14] составляет ~10 мин. Подобные сверхкрупные капли были достоверно зафиксированы экспериментально. Специалисты исследовательского центра Joanneum Research в г. Граз (Австрия) в течение наиболее интенсивного периода (17:54-18:00 18 июня 1997 г) получасового дождя средней интенсивностью менее 30 мм/ч отмечали явное наличие капель диаметром более 7 мм, что подтверждается видеоизображениями, полученными на 2D видеодиздрометре.

Работы, проводимые для исследования деформации крупных капель, показали, что при сильно боковом ветре форма капли с подветренной стороны становится более сферической, что увеличивает её максимальный “устойчивый” размер.

Таким образом, верхняя граница распределения размеров капель имеет вероятностный характер, подобно тому, как распределение Максвелла в принципе допускает бесконечно большую скорость молекулы. Соответственно количество крупных капель будет определяться не только характером дождя, но во многом величиной выборки, что подтверждается работами [2, 3, 4].

Нижний предел размера капель установлен с учетом статистики их встречаемости в атмосферных образованиях и, соответственно, технических возможностей инструментов. Важно отметить, что в атмосфере могут находиться капли воды, размеры которых изменяются от долей микрона до нескольких миллиметров. Характер нижней границы дождевых капель -априорный, установленный исходя из практических потребностей.

ТОЧНОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПЕЛЬ ПО РАЗМЕРАМ

Предположим, что плотность распределения размеров капель стационарна на времени измерения и соответствует гамма-распределению. Параметров распределения мы не знаем, а следовательно, будем вынуждены вести расчеты для всех возможных пар m и ß (см. ниже).

Предположим так же, что мы собираем диздрометром репрезентативную выборку, но в ограниченном интервале размеров. Как следует из предыдущего раздела, нижний интервал будет определяться техническими возможностями диздрометра, верхний - характером дождя и временем измерения. Естественно, что с уменьшением времени измерения наиболее вероятная верхняя граница будет уменьшаться. Методики оценки значения верхней границы в зависимости от времени наблюдения не существует, поэтому возьмем ее априорной, равной 5 мм по диаметру капли.

Нижняя граница уверенно регистрируемых капель для большинства применяемых диздрометров составляет 0,5 мм диаметра. Ведутся разработки более чувствительного

диздрометра, который позволит регистрировать капли до 0.1 мм в диаметре. Будем рассматривать обе указанные границы.

Максимальное и минимальное отклонения среднего диаметра “диздрометрического” распределения от среднего диаметра “реального” распределения нанесем на диаграммы (рис.1). Графики (рис. 1) содержат результаты для диздрометра, ограниченного по минимальному и максимальному диаметру капли. Смещения показаны сплошными тонкими линиями. Вариация параметров ограничена значением т=10 и соответствующими значениями р. С увеличением диапазона варирования пар т-Р верхняя граница не изменяется, нижняя - незначительно прижимается к горизонтальной оси. Показаны минимальное (синим) и максимальное (красным) отклонение для двух значений нижней границы 0.1 мм диаметра (штриховая)и 0,5 мм. диаметра (сплошная) регистрируемых капель. Верхняя граница 5 мм диаметра. По вертикали отложено отклонение в % от измеренного диздрометром среднего диаметра Б0.

100

О

О

Ин1 и.' и щения ^ ^ ^  х-

/-

* ^ / 1 /' у у

V 7/

V /7 Инте рвал [0 5 мм; 5г т]

/ 7

ш /

30 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Б0

Рис.1. Разница между диздрометрическим средним и “реальным” средним при ограничении на минимальный и максимальный размер регистрируемых капель

Для среднего диаметра "реального" распределения используем:

т +1

Б0 = *-------------= — .

¥ Л V /

Г Вте~^°ёВ Р

0

Для среднего диаметра распределения ограниченного снизу изменяем предел интегрирования:

0,1 < —-— = D0 < 5 мм .

j Dm+1e~bDdD

D0L1 = ------------------------------------------------.

j Dme~^DdD

0.5

Средний диаметр распределения ограниченного и сверху, и снизу выражается формулой:

5

j Dm+1e"bDdD

D0L2 = ------------.

j Dme~^DdD

0.5

Значения параметров m и в связаны между собой условием, налагаемым на первый момент гамма-распределения:

m +1

У

Рассчитаем разность между D0 и D0L1 (от limit 1) и D0L2 (от limit 2) при различных возможных значениях m и в гамма-распределения. Как видно из рис. 1 и рис. 2, для основной части диапазона размеров диздрометр дает смещенные оценки. Причина смещения -ограниченный интервал диаметров регистрируемых капель и ограниченный набор возможных пар m и в - параметров гамма-распределения. Верхняя граница определяется малыми значениями в парах (т.е. широкими распределениями) нижняя - узкими распределениями. С увеличением диапазона варьирования пар m-в верхняя граница не изменяется, нижняя -незначительно прижимается к горизонтальной оси. Этот факт необходимо учитывать при расчете коррекции смещения с неограниченным верхним пределом вариации пар m-в.

Таким образом, средний диаметр полученного в опыте “диздрометрического” распределения должен быть скорректирован на величину среднего смещения. Для вариации параметров с максимальным значением m=10 (и соответствующими значениями в) смещение изображено тонкими сплошными линиями2. Учитывая, что в основном средний диаметр дождевых распределений лежит в области от 1,0 мм до 1,6 мм, из рисунков видна эффективность использования диздрометра с нижним пределом 0,1 мм.

ТОЧНОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СРЕДНЕГО ДИАМЕТРА ПО ВЫБОРКЕ ДИЗДРОМЕТРА

Выше мы предполагали, что при измерении удается получить репрезентативный объем выборки. Для коротких интервалов времени усреднения это предположение выполняется для менее жестких условий. Оценка доверительного интервала среднего диаметра для 100-капельной выборки с 95% доверительной вероятностью составляет:

<±0,196 ^,

_ т т

где тх, х - реальное и выборочное среднее, соответственно; ах - предполагаемая дисперсия распределения.

Таким образом, для широких (экспоненциальных) распределений (ах ~ т х) 95%

доверительный интервал среднего диаметра капель составляет ~40% (± 20%). Доверительный интервал изменяется прямо пропорционально дисперсии, обратно пропорционально

2 При выборе некоторого априорного "верхнего" (с максимальными значениями) предела вариации и равновероятности возможных значений параметров т и р предполагаемого гамма-распределения размеров капель на входе диздрометра

квадратному корню из количества капель в выборке. Следовательно, для повышения точности измерений оценивать дисперсию более эффективно, чем увеличивать объем выборки.

Дисперсия - это неизвестная и по-видимому (учитывая общую изменчивость параметров дождя) очень изменчивая величина. Основной практический интерес лежит в области третьего и шестого моментов распределения. Относительная “стационарность” среднего диаметра капель дождя (о которой можно судить по существующим экспериментальным данным) позволяет рассматривать дисперсию динамического распределения, как основной параметр, требующий дальнейшего изучения в массовом масштабе. Подобные оценки могут значительно облегчить формирование обоснованных представлений о динамическом распределении капель по размерам.

Совместное влияние интервала измерения и объема выборки на точность иллюстрирует рис. 2. Отметим, что для простоты расчета смещений использовались линейные

аппроксимации, которые недостаточно эффективны в мелкокапельной области. Дисперсии несмещенных оценок Б0 на интервале от 0,5 до 2,5 мм практически совпадают с дисперсиями смещенных. Для повышения точности оценивания в этом интервале следует использовать иные аппроксимации.

мм

1.5

0.5

* /> -г/ // §/ и // у/ У/ /

нтерва п [0.1 М1У 1; 5 мм] ф // I/ // /А */ \ // | // // /) /А // /'

ё * -Г * /У / /£- / у X 7/ л [0.5 мг л; 5 мм]

ч Г эл [0.5;« ] 11# \ Инте )вал [и. ; «1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Б0

Рис.2. Дисперсия оценки среднего с учетом ограниченного интервала измерений и объема

выборки диздрометра

Вариация параметров на рис.2 ограничена значением т=10 и соответствующими значениями р. С увеличением диапазона варьирования параметров т-Р графики незначительно увеличивают крутизну

Отметим, что для расчета смещений использовались линейные аппроксимации, которые недостаточно эффективны в мелкокапельной области. Дисперсии несмещенных оценок на интервале от 0,5 до 2,5 мм практически совпадают с дисперсиями смещенных оценок Б0. Для повышения точности оценивания в этом интервале Б0 следует использовать иные аппроксимации смещений.

В случае, если механизм работы диздрометра предполагает использование скорости падения капли для оценки ее диаметра, необходимо дополнительно учитывать ошибки, определяемые вибрацией крупных капель.

40

Время

Рис. 3. Результаты совместных радиолокационно-диздрометрических измерений с использованием диздрометра Джосса-Валдвогеля [15]

60

50

ей

S 40

л

о 30 2 4>

20

I 10

а о

-10

8:20 10:00 11:40 13:20 15:00 16:40

Время

Рис. 4. Результаты совместных радиолокационно-диздрометрических измерений с

использованием видеодиздрометра [15]

Рис. 5. Частоты наблюдения отражаемостей при проведении совместных радиолокационно-

диздрометрических измерений [15]

ВЫВОД

Учитывая полученные оценки дисперсии выборочного среднего диаметра, разница между радарной и диздрометрической отражаемостью для наиболее вероятного интервала дождевых капель Б0 может составлять несколько десятков децибел, что фактически означает отсутствие какой-либо полезности измерений.

Однако, экспериментальный материал (рис. 3 и рис. 4) в большинстве случаев содержит

гораздо более скромное расхождение между тх их в

гораздо меньше наших оценок, сделанных выше.

Разница в теоретических оценках и результатах экспериментов подтверждает гипотезу о значительном отличии распределения капель дождя по размерам от широкого экспоненциального распределения Маршала-Пальмера.

Предложенная в статье методика может быть использована как для уточнения оценок дисперсии распределения капель дождя по размерам, так и для коррекции статистического смещения измерений диздрометра, вызванного ограниченным интервалом размеров капель, которые он фиксирует. В частности, с использованием смещения, возможно добиться более точного соответствия между радарными и диздрометрическими оценками (рис. 5). В результате использования несмещенных диздрометрических оценок происходит переоценка диздрометром радарной отражаемости в области больших ее значений и недооценка в области малых отражается на частотах встречаемости соответствующих значений. Наличие такого смещения и его характер (смена знака) совпадает с результатами, приведенными на рис. 2. Если учитывать смещение, можно добиться большего совпадения оценок, что естественно приведет к уменьшению косвенных оценок дисперсии.

ЛИТЕРАТУРА

1.Marshall J.S., Palmer W. McK. The distributions of raindrops with size // Journal of Meteorology, V. 5, 1948.

2.Twomey S., On the measurement of precipitation intensity by radar // Journal of Meteorology, V. 10, 1953.

3.Joss, J., Gori E.G.: Shapes of raindrop size distributions // Journal of Meteorology, V. 17, 1978.

4.Литвинов И.В., Цикунов В.В., Средние спектры распределения капель в дождях Центра Европейской территории СССР и их относительная изменчивость при различных условиях выпадения осадков. // Метеорология и гидрология, №5, 1971.

5.Hu Z., Srivastava R.C. Evolution of raindrop size distribution by coalescence, breakup and evaporation: theory and observations // Journal of Atmosphere Science, V. 52, 1995.

6.Горелик А.Г., Логунов В.Ф. Определение скорости вертикальных движений воздуха в дождях с помощью доплеровского радиолокатора. // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, Вып.5, №5, 1969.

7.Горелик А.Г., Логунов В.Ф. Определение вертикальных потоков и микроструктуры дождя по доплеровскому спектру и интенсивности радиоэха. // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, Вып.10, №7, 1974.

8.Kostinski A.B., Jameson A.R. Spurious power-law relations among rainfall and radar parameters // Meteorology Society, V. 128, 2002.

9.Kostinski A.B., Jameson A.R. Fluctuation properties of precipitation. Part III: On the ubiquity and emergence of the exponential drop size spectra // Journal of Atmosphere Science, V. 56, 1999.

10.Хргиан А.Х. Физика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1969.

11.Gunn R., Kinzer G.D. The evaporation, temperature and thermal relaxation time of freely-falling water drops // Journal of Meteorology, V. 8, No. 1, 1951.

12.Gunn R. Collision characteristics of freely falling water drop // Science Journal, V. 150, No. 3697, 1965.

13.Doviak R.J., Zrnic D.S. Doppler radar and weather observations. Academic Press, 1993.

14.Komabayasi M., Gonda T., Isono K., Lifetime of water drops before breaking and size distribution of fragment droplets // Journal of Meteorological Society, V. 42, .

15.Greenberg S. Ground Based Rainfall Measurements at the NASA Wallops Flight Facility. Pennsylvania State University, 2001.

16.Горелик А.Г., Князев Л.В., Мартынов С.И. Восстановление распределения капель дождя по размерам с помощью многоволновых трассовых измерений // Труды Пятого всесоюзного совещания по радиометеорологии. М.: Гидрометеоиздат, 1984.

EVALUATION OF RAINDROP SIZE DISTRIBUTION BY MEANS OF DISDROMETER

Gorelik A.G., Kolomiets S.F.

The application of the disdrometer is discussed in the article to evaluate a drop size distribution within a short period of time. The theoretical analysis of bias error caused by the bounded interval of the raindrop size measured by the instrument is given. Results obtained may be useful for practical radar-disdrometer measurements.

Сведения об авторах

Горелик Андрей Габриэлович, 1931 г.р., окончил Горьковский государственный университет (1954), доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией ФГУП “Зонд-поставка”, автор более 150 научных работ, область научных интересов - дистанционное зондирование атмосферы методами пассивной и активной радиолокации, оптическое приборостроение и обработка сложных сигналов.

Коломиец Сергей Федорович, 1980 г.р., окончил МГАПИ (2003), директор ПЦ Datagy компании Б1а8о11, автор 5 научных работ, область научных интересов - системный анализ, электродинамика и статистическая физика.