Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений

УДК 517.392

И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация. Предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных и нелинейных сингулярных и гиперсингулярных интегродифферен-циальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Обоснование приводится в пространствах Гельдера.

Ключевые слова: приближенные методы, сингулярные интегродифференциа-льные уравнения, гиперсингулярные интегродифференциальные уравнения.

Abstract. The authors suggest and substantiate approximate methods to solve linear and non-linear singular and hypersingular integro-differential equations in closed contours of integration. The substantiation is adduced in Helder space.

Key words: approximate methods, singular integro-differential equations,

hypersingular integro-differential equations.

Введение

Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений являются самостоятельным разделом вычислительной математики, активно развивающимся со второй половины двадцатого столетия. Этому направлению посвящены десятки монографий и сотни статей. Такое бурное развитие в первую очередь обусловлено многочисленными приложениями сингулярных интегральных уравнений в механике, аэродинамике, электродинамике.

По-видимому, первыми работами, непосредственно посвященными приближенным методам решения сингулярных интегродифференциальных уравнений, были статьи [1-4]. В работах [1-3] рассмотрен приближенный метод решения краевой задачи (1)-(2) и дано его обоснование сведением, с помощью представлений И. Н. Векуа и Ю. М. Крикунова, к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям. В работе [4] без доказательства дано приближенное решение краевой задачи для нелинейного сингулярного инте-гродифференциального уравнения. Представляет значительный интерес развитие метода, анонсированного в [4], так как он применим к обоснованию вычислительных схем для более общих классов уравнений, в частности, для обоснования приближенных методов решения полисингулярных интегро-дифференциальных уравнений.

1. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования

В данном разделе исследуются приближенные методы решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений

&=^

k=0

/ч

ak(t)x( )(t) + bk(t)— I----------dт + — -1-------------------dт

т — t Im* I /7-/1П

=f

при условиях

|х(ґ)ґ к 1С

1 = 0, к = 0,1,..т —1,

и краевой задачи

Кх = I

к=0

Ч

п: •>

ё т

т —ґ

= /

с граничными условиями

1 = 0, к = 0,1,., т -1.

Здесь у - единичная окружность с центром в начале координат. Предположим выполненными следующие условия:

а) а' (ґ), Ь' (ґ), /(ґ) є Иа, И' (ґ, т) є Иа а ,0 < а < 1;

б) а'(ґ),Ь'(ґ),/(ґ)є (5[0,2п],И' є С[0,2гс]2;

в) а'(ґ),Ь'(ґ),/(ґ)є ГИа,И'(ґ,т)є Жг,гИаа,к = 0,1,.,т. Приближенное решение краевой задачи (1), (2) будем искать в виде

полинома

п —1

Л

хп (ґ) = ґт Іа'ґ + ^ ак',

к=0 к=—п

коэффициенты которого определяются из системы уравнений

К х = Р

1^пЛ'п—1п

I

'=0

ґ з \ 1 /• х

а'(ґ)хп )(ґ) + Ь'(ґ)— М----------------ёт +

2л^ т — ґ

+-^ Р \ик(ґ,тт,т)хп')(т

2п: л Ь

ё т

= Рп [ / (ґ)],

где Рп - оператор, отображающий пространство непрерывных функций на

™к

множество интерполяционных полиномов степени п по узлам ^ = е к , Sk = 2кп / (2п +1), к = 0,1, ..,2п,

ё(ґ, т) =

т — ґ | п, если | а — 5 !>•

2п 2п +1:

. 2п

:------

е 2п+1 — 1|—п, если | а — 51< -

2п +1

т = е:а, ґ = е:5.

Введем следующие пространства функций: X = Яр2 - пространство

функций, удовлетворяющих условию (2) и имеющих производную т порядка, входящую в класс Гельдера Нр, с нормой

=М(т)(х) + И(т)(х;в) = I тах| х(к)(ґ) | + 8ир

Г(т)( х.

(к)(

х

к=0 ГєУ

ґ2 *ґ1

У - пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера Яр

с нормой У у ||= М(0)(у) + Н(0)(у); Хп с X - пространство функций вида хп ((); Уп с У - пространство полиномов степени не выше п.

Обоснование метода проводится при в < а /2.

Представим уравнение (1) и вычислительную схему метода коллокации соответственно в следующем виде:

Кх = ат (ґ) х(т)(ґ) + Ьт (ґ)— Гх--------------— ё т + I

п: Л т — ґ “

т-1

п: •' т — ґ

у

к=0

а,к (ґ) х(к )(ґ) +

... 1 г х

+Ьк (ґ) - I-----

п^ т — ґ

у

ё т

к=0

и

К х = Р

^п^п ~ 1 п

ат (ґ) хпт) (ґ) + Ьт (ґ)— I%п (т) ё т п:

+Рп

+Рп

т-1

I

к=0

п: •' т — ґ

У

а,к (ґ)хпк) (ґ) + Ь' (ґ) —1хп (т) ёх

п: Л т — ґ

+

п: •' т — ґ

У

+

т 1

1И ( ґ, т т, т) х' (т)ё т

к=0 2п: у

= Рп [ / ( ґ)].

1 г х

Введем функцию Ф( г) =-----------I-----ё т.

2п: * т — г

У

Нетрудно видеть, что

ф

(к)(г) = _^ Гх( )(т) 2п: ^ т — г

ё т.

Воспользовавшись формулами Сохоцкого - Племеля [5]

х( т)(ґ ) = ф( т)+ (ґ) — Ф(т)— (ґ),

— Г х(т)(т) й т = Ф(т)+ (() + Ф(т) - ((), т* т - (

L

уравнения (5) и (6) можно представить в следующем виде:

(ат (() + Ьт (())ф(т)+ (() + (Ьт (() - От (())Ф(т)- (() +

и

и

т-1

+2

к=0

ак ( О х(к) ( () + Ьк ( 0 — Г Х—— й т

т - (

У

1

+

+

2— Г

?П7 Л

-й т = /

Рп

(От ( () + Ьт ( ())Фпт)+ ( () + (Ьт (0 - «т ((0 +

т-1

+2

к=0

+2

к=0

ак ( 0 х(к) ( О + Ьк ( 0 — Г Х—— йх

ТС7 •> т - (

+

2то- | т-(

У 1

= Рп [ / (()].

-1

Отметим, что

Ф(Т>+ (() = 2ак {т+Т-1к. Ф(Т1-(0 = - 2 ак ^(т+^'к-т.

к=0 к- к=—п (к 1)-

Уравнения (7) и (8) эквивалентны следующим:

Ф(т)+ ( () + Ьт ( () «т ( () ф(т)- ( () +

+ -

т-1

2

к=0

ат

1 скк

ат

ак ( О х(к) ( () + Ьк ( 0 — Гх—— йт

Л7 •> т - (

+

+

1

ат

/ (О

Рп

фпт)+ ( ()+Ьт ( () ат ( () фпт)- ( ()+

ат

+-

_1________

ат

т—1

2

к=0

а,к (ґ)х<пк)(ґ) + Ь' (ґ) — Г хп (т) ёх

п: •> т — ґ

п: •' т — ґ

У

+

1 гИ'

ё т

к=0

= Рп

1

ат

/

Пусть функция G(í ) = (Ьт (() - ат())/(ат (() + Ьт (()) имеет индекс

X = т. Тогда функцию G(() можно представить в виде 0(() = ímGo(í), где функция в0(() имеет индекс, равный нулю. Известно [5], что в этом случае

краевая задача Римана у+ (() = Go (()у (() имеет единственное решение, обращающееся в нуль на бесконечности.

Уравнения (9) и (10) можно представить в следующем виде:

Кх = у- (()ф(т)+ (() + (т у+ (()Ф(т)- (0 +

+-

У+

ат

т—1

2

к=0

а,к(ґ)х(к)(ґ) + Ь'( ґ)-1- Гх—(т)ёх п^ т — ґ

+I— Г

^ 2п: >

1 гИ'

к=0

ё т

У

У+

+

ат

/

и

К х = Р

^п^п 2п

у" ( ґ)ф пт)+ ( ґ) + ґту+ ( ґ)Ф пот;“ ( ґ) +

+-

у+

ат

т—1

2

к=0

а'(ґ)х^)(ґ) + Ь'( ґ)— Гх (т) ёт

п^ т — ґ

У

+

+

I—Г

^ 2п: >

1 гИ'

к=0

ё т

= Рп

У+

ат

/

Обозначим через уи ( () и уи ( () полиномы наилучшего равномерного приближения степени п к функциям у+ ( () и у ( (). Так как функция у+ (z) (у- (z)) - аналитическая внутри (вне) единичного круга с центром в начале

п

координат, то полиномы у+ (() и у - ( () имеют вид у + ( () = 2вк'1'.

к=0

-1

у- ( ()= 2 Рк (к.

к=-п

Замечание 1. Напомним [5], что через у+ (()(у- (()) обозначаются функции аналитические внутри (вне) единичной окружности у с центром в начале координат.

Замечание 2. Ищется решение задачи Римана у+

с функцией у ((), удовлетворяющей условию у (^ = 0.

Аппроксимируем уравнения (11) и (12) следующими:

Ьх = уп (()Ф (т)+ (() + (т уп + (()Ф(т)- (() +

+-

у+

ат

т—1

I

к=0

ак (ґ) х(к) (ґ) + Ь' (ґ) -Л- Гх—(т ёт

п: •> т — ґ

+

+I— Г

^ 2п: >

1 гИ'

к=0

ё т

у+

ат

/

и

+ -

їх = Р

±^пЛ'п—1п

у +

у- (ґ )Ф п(т)+ (ґ) + Г у / (ґ )Ф„ ^ - (ґ) +

ат

т—1

I

к=0

а' (ґ)хп(')(ґ) + Ь' (ґ)— Гх——ёт п^ т — ґ

У

+

+

I—Г

2п: >

1 гИ'

к=0

ё т

= Рп

У+

ат

/

Нетрудно видеть, что при выполнении условий

У у+ (ґ) — у + (ґ) ||< сп—а+в,

У у—

Так как оператор К є [X, У] непрерывно обратим, то из теоремы Банаха [6] следует, что оператор К є [X,У ] тоже непрерывно обратим. Отсюда и из

неравенств (15) следует, что при п таких, что q = сп а+в <1, оператор ї є [X,У] непрерывно обратим.

Можно показать, что

Рп [уп (0Фпт)+ (о+ґту+ (ОФпт)—(0]=уп (ґ)опт)+ (о+ґту+(ґ)Фпт)—(о,

у+

т—1

-I

ат ( ґ) + Ьт ( ґ) кТ0

а' ( ґ) х(к)( ґ) + Ь' ( ґ)—Г х—— ё т п^ т — ґ

є И а

оператор

2п: >

И' (ґ, т) х(к )(т) | т — ґ |п

ёт, к = 0,1,...,т, принадлежит [7] множеству

функций И^, где £ = 1 при а > п, С = а + 1 — П при а < п и принадлежит классу функций Зигмунда при а = п. Учитывая [8], что || Рп ||< с 1пп из теоремы Банаха об обратном операторе [6], заключаем, что оператор

їх = у ~ (ґ)Ф(т)+ (ґ) + ґтуп+ (ґ)Ф(т)— (ґ) +

у+

ат

т-1

I

к=0

а' (ґ)х(к) (ґ) + Ь' (ґ) -1 Гх—— ёх п: J т — ґ

+

Ик (ґ, т) х(к )(т) | т — ґ |п

ёт

что

У

непрерывно обратим.

Из теоремы о левом обратном операторе [9] следует,

У Ьх ||у > т У х | X . Следовательно, на подпространствах X и У Ьхп ||у > т | | х |Х . Последнее неравенство эквивалентно следующему | | Ьпхп\\у > т| | хп |X . Из этого неравенства следует существование левого

п п

обратного оператора (Ьп)-1. Так как оператор Ьп - конечномерный, то из

существования левого обратного оператора (Ьп)-1 следует его обратимость.

Нетрудно видеть, что | | Кпхп - Ьпхп | |< сп а+в 1пп. Следовательно, по

теореме Банаха об обратном операторе, при п таких, что ^ = сп-а+в 1п п <1, уравнение (12) однозначно разрешимо. Так как уравнения (12) и (6) эквивалентны, то тем самым доказана однозначная разрешимость системы уравнений (6). Таким образом, доказано, что при п таких, что q = сп а+в 1п п <1, метод коллокации (6) однозначно разрешим.

Переход от вычислительной схемы метода коллокации (6) к вычислительной схеме метода механических квадратур (4) проводится способом, подробно описанным в [7].

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции

&

равен т. Тогда при п таких, что q = сп- 1пп <1, ^ = тт(а-|3,1 -П-Р,Р), система уравнений (4) имеет единственное решение хп и справедлива оценка

II * *11 *

| |х (0-хп(0||<сп Чпп, где х - решение краевой задачи (1), (2).

Рассмотрим изменения, которые нужно внести в обоснование метода в предположении, что индекс % функции 0(() % > т.

Как и выше, краевая задача (1), (2) и система (6) метода коллокации сводятся к уравнениям (9) и (10). Так как функция О^) имеет индекс

% = т + т?1, то представим ее в виде О ^ ) = t % О*(^ ) = t %у+ ^)/ у*^), где

у* (t) - решение краевой задачи Римана у+ (t) = 0*^)у* (t).

Тогда уравнения (9) и (10) эквивалентны следующим:

у* (0ф(то)+(t) + ^ у+ (t )ф(т)- ^ +

+

у-

Л

т-1 к=0

га' •' т -1

У

+

1

к=0

у-

-/

и

Рп

у- ^ )Ф

т-1 к=0

+

+

1

к=0

ё т

= Рп

у-

tml

Обозначим через у+п ^) полином наилучшего равномерного

приближения степени п функции у+ (t), а через у-п-т ^) - полином наилучшего равномерного приближения степени (п - т^) функции у- (t).

у*;-,,,^)фГ*и) т +

---^

Нетрудно видеть, что выражение

является тригонометрическим полиномом степени п. Поэтому к уравнениям (15), (16) можно применить рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1. В результате приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции

О«) =

равен т + т1,т1>0. Тогда при п таких, что q = сп- 1пп <1,

^ = тт(а-Р,1-п-Р,Р) система уравнений (4) имеет единственное решение

* * * -^ * хп и справедлива оценка | |х (t) - хп ^) 11< сп ^1п п, где х - решение краевой задачи (1), (2).

t

г

Замечание 3. Утверждения теоремы остаются в силе, если вместо однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2) потребовать ее

разрешимость при любой правой части. В этом случае при обосновании достаточно воспользоваться общей теорией приближенных методов для обратимых справа операторов [7].

Рассмотрим теперь изменения, которые нужно внести в доказательство теоремы 1 в предположении, что индекс % функции О (0 меньше т.

Функцию О ^) можно представить в виде

0( ) = t %О^ ) = t % g+^)/g - ^),

где g± - решение краевой задачи g+(t) = 0l(t)g ^). Тогда уравнения (11), (12), рассуждениями, приведенными при доказательстве теоремы 1, преобразуются к уравнениям

^ g - (t )Ф(т)+ (t) - tmg + (t )Ф(т)- (t) +

+

'

ат

т—1

I

к=0

а' (ґ)х(к)(ґ) + Ь' (ґ) -1 Гх—— ёх

пі •> т — ґ

+

-I - Г

, „ пі >

+ > 2. ГИк(ґ,т)х(к)(т) ёт

к=0

ґт—Х <

'

ат

/ (ґ ):

Рп [ґт—Х 8 — (ґ )Ф пт)+ (ґ) — ґmg + (ґ )Фпт)— (ґ) +

+

'

т—1

I

к=0

ат

т 1 гИ'

а'(ґ)х<пк)(ґ) + Ь'( ґ)— Гхп (т) ёх

пі Л т — ґ

У

пі •' т — ґ

+

+1 -1

пі

ё т

к=0

=Рп

-х ,

'(0

ат

/

В случае, если функция g ( I) ортогональна на единичной окружности полиномам t к, к = 1,2,..,т -%, то выражение

т* g—

является тригонометрическим полиномом порядка п. Здесь gn ^) - отрезок

ряда Лорана разложения функции g-(t) по степеням t-к, к = 1,2, ,.,п;

gn (t) - наилучшее равномерное приближение функции g + (t) полиномами

п -го порядка по степеням ^, к = 0,1,., п.

Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. Пусть краевая задача (1), (2) разрешима, выполнены условия (а) и индекс х функции О (ґ) = (Ьт (ґ) — ат (ґ)) / (ат (ґ) + Ьт (ґ)) меньше

т, функция 8 (ґ) ортогональна на единичной окружности полиномам ґ к,

к = 1,2,..— —х, Тогда при п таких, что q = сп— 1пп <1, Ъ, = шіп(а — Р,1 — п—Р,Р) система уравнений (4) имеет единственное решение

хп и справедлива оценка | |х (ґ) — хп (ґ) 11< сп ^1п п, где х - решение краевой задачи (1), (2).

Рассмотрим линейные сингулярные интегродифференциальные уравнения

Кх = I

к=0

Ч (ґ) хп' )(ґ)+-17 Г ё т

п^ т — ґ

= /

при граничных условиях

Гх(ґ)ґ к \

1 = 0, к = 0,1,., т — 1.

Приближенное решение граничной задачи (20)-(21) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты {ак } которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений:

К х = Р

£'-пЛп _ 1 п

т1 I' (ґ) хп )(ґ)+-Гр

к=0 піі

Ик (ґ, т) х(к )(т) т — ґ

ё т

= Рп [ /

Оператор Рп определен выше, а через Рп обозначен оператор проектирования на множество тригонометрических полиномов п порядка по узлам ґ, = ехр{/Т' }, Т' = (2к + 1)п/(2п +1), к = 0,1,..,2п.

Метод коллокации для уравнения (20) имеет вид

К х = Р

1^пЛ'п—1п

Iак (ґ)4' )(ґ) + — Г

,г. пі:

1 гИ'

ё т

к=0

т

= Рп [ /

Для обоснования метода коллокации заметим, что уравнения (20) и (23) преобразуются к виду

Кх = I

к=0

/ч

а,к(ґ)х( )(ґ) + И'(ґ,ґ)— і----------------ёт + ^ Г

п/ л т — ґ пі >

У

ёт

пі

= /

и

К х = Р

1^пл'п—1п

I

к=0

а,(ґ)х^п )(ґ) + И,(ґ,ґ)— М-ёт +

п^ т — 1

п/ •' т — ґ

У

+

1 сёк

ё т

пі

У

= Рп [/(ґ)].

Здесь (И,(ґ,т) — И'(ґ,ґ))/ (т — ґ) = ё'(ґ,т)/1 т — ґ |п,к = 0,1,.,т.

Обоснование сходимости метода коллокации для задачи (24), (21) проведено при доказательстве теорем 1-3. Тем самым проведено доказательство сходимости метода коллокации для задачи (20), (21).

Переход от метода коллокации к методу механических квадратур проводится на основании рассуждений, подробно описанных в статье [10] и в разделе 2 главы 3 монографии [7], и здесь на этом не останавливаемся.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть краевая задача (20), (21) однозначно разрешима, выполненые условия (в) и индекс х функции

О(ґ) = (Ит (ґ,ґ) — ат (ґ)) / (Ит (ґ,ґ) + ат (ґ)) больше или равен т. Тогда при п таких, что q = сп—(г+а—в)1п п <1, система

уравнений (22) имеет единственное решение хп и справедлива оценка

11 * п (г+а в) *

| |х ( 0 - хп ( t) 11 < сп К н;1п п, где х ( ^ - решение краевой задачи (20), (21).

В случае, если % < т, приведенное утверждение справедливо при следующих дополнительных условиях:

1) функцию

О ^) =

можно представить в виде О^) = tX0l(t) = tXg + (t)/ g ^), где g± - решение краевой задачи g+(t ) = О^) g - (t);

2) функция g (t) ортогональна на единичной окружности полиномам

Гк, к = 1,2,.,т-%.

Рассмотрим нелинейное сингулярное интегродифференциальное урав-

нение

Кх = I

к=0

ак (ґ, х* )(ґ)) + ^ Г Ик (ґ • ^ х'ІІ(т)) ё т

п^ т — ґ

= /

при граничных условиях

Гх(ґ )ґ—к—1ёґ = 0,к = 0,1,., т — 1.

Приближенное решение граничной задачи (26)-(27) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты {ак } которого определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений

I

к=0

ак (ґ,х(к)(ґ)) + — \Рп п/

Ик

ё т

= Рп [ /

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Будем считать выполненными следующие условия:

*

1) краевая задача (26), (27) имеет решение х ^), единственное в

*

некоторой сфере В(х , К) с радиусом К;

2) производная Фреше оператора К(х) непрерывно обратима в сфере

В( х*, К);

3) функции ак(^и), к = 0,1,..,т, удовлетворяют условию Гельдера по первой переменной и имеют производные, удовлетворяющие условию Гельдера по второй переменной;

4) функции Ик^,т,и), к = 0,1,..,т, удовлетворяют условию Гельдера по первым двум переменным и имеют производные, удовлетворяющие условию Гельдера по третьей переменной.

Покажем, что при выполнении этих условий система уравнений

*

имеет единственное решение хп и, если известно достаточно хорошее

*

начальное приближение хд к решению х , итерационный метод Ньютона -Канторовича

хп+1 а) = х1п ^) - [К'п (х0 )]-1 (Кп (х1п) - /п ^)), I = 0,1,.,

*

сходится к решению хп ^) уравнения (28). Здесь Кп (х0) - производная Фреше оператора Кп (хп) на начальном элементе х0.

Доказательство этого утверждения состоит из следующих элементов:

1) доказательства обратимости оператора К'п (х0);

2) проверки выполнения условий теоремы 6.7 из первой главы монографии [7].

Существование обратного оператора [К'п (х0)] 1 следует из рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 4. Проверка условий теоремы 6.7 проводится по аналогии с рассуждениями, приведенными в главе 3 монографии [7].

3. Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений

В этом разделе исследуются приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений вида

Кх = а ^)x,(t) + а0 (t)x(t) + Г х(Т)^Т

П7 * Т - t

+

т 1 т -1

т

+ МО Г МЩ + 2_ ГИ^, т)хТт = /

га ; (т-t)2 2п7 ^

при граничном условии

: = 0.

Г х(т)ё т =

Интегральные уравнения, в состав которых входят интегралы с сингулярными и гиперсингулярными ядрами, находят применение в теории антенн [10]. Аналитическое исследование таких уравнений при ряде ограничений проведено в [11], а численные методы рассмотрены в [12, 13].

Покажем, что для приближенного решения краевой задачи (29), (30) применимы методы, изложенные в предыдущем разделе.

Приближенное решения краевой задачи (29), (30) будем искать в виде полинома (3) (при т = 1), коэффициенты (а^} которого определяются из системы линейных алгебраических уравнений

К х = Р

£'-пЛп _ 1 п

«1 (ґ) х'п (ґ) + ао (ґ) Хп (ґ) + —П-) Г Хп( т)^ т +

- •> т — і

+ Мґ) Г Хп (т)йт + _\_

' (т — ґ)2 2го'у

га

- Грп [

= Рп [/(ґ)].

Для обоснования сходимости вычислительной схемы

представим уравнение (29) в виде сингулярного интегродифференциального уравнения

«1 (ґ) х(ґ) + ао (ґ) х(ґ) + —1— Г пі З

—1 (ґ) г х(т)йт

+

+—2(0 Гх (т)йт + 2_ ¡Н(ґ,т)х(т)йт = /(ґ). Пі \ (т — ґ)2 2пі ^

Систему уравнений (31) представим в виде

К х = Р

£'-пЛп _ 1 п

«( ґ)хп ( ґ) + ао ( ґ)хп ( ґ) + —Г т

Пі -1 т —

+

+ —ПО Г хп (т)й2т + 2_ГРп [,т)хп (Т)]йт Пі •> (т — ґ)2 2га J

= Рп [/( 0].

Обоснование вычислительной схемы (33) для краевой задачи (32), (30) проведено в предыдущем разделе. Нетрудно видеть, что полученные там результаты распространяются на вычислительную схему (31).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть краевая задача (29), (30) однозначно разрешима, выполнены условия (а) и индекс функции G( ґ) = (—2 ( ґ) — а1 ( ґ)) / (а1 ( ґ) + —2 ( ґ)) равен единице. Тогда при п таких, что

а = сп—% 1п п <1,

% = тіп

система уравнений (31) имеет единственное решение хп и справедлива

Замечание 4. Результаты, изложенные в работе, допускают распространение и на другие проекционные методы, в частности, на методы моментов и Бубнова - Галеркина. При этом нужно сделать следующие изменения в вычислительной схеме и доказательстве сходимости. Во-первых, предварительно перейти от краевой задачи (1)-(2) к краевой задаче (11), (2). Во-вторых, соответствующую вычислительную схему представить в виде

где Бп - оператор проектирования на соответствующее подпространство. В случае метода моментов этим подпространством является множество полиномов степени п и обоснование метода проводится в подпространстве пространства ¿2.

Замечание 5. В случае, если коэффициенты и правые части уравнений удовлетворяют условию

В работе предложены вычислительные схемы методов коллокации и механических квадратур для приближенного решения сингулярных и гипер-сингулярных интегродифференциальных уравнений. Обоснование вычислительных схем проведено в пространствах Гельдера. Проведя аналогии между приведенными в данной статье доказательствами сходимости приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений в пространствах Гельдера и приведенными в главе 3 монографии [7] доказательствами сходимости решения сингулярных интегральных уравнений в пространствах Гельдера и пространстве суммируемых функций, легко получить аналоги приведенных выше утверждений в пространствах суммируемых функций.

1. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Точные науки : сб. аспир. работ. -Казань : Изд-во КГУ, 1972. - С. 169-174.

2. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений 1 [линейные уравнения] / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9, № 8. - С. 1493-1502.

* *11 * оценка | |х (^) -хп(^) 1|< сп Мпп, где х - решение краевой задачи (29), (30).

Бп у— (ґ)Фпт)+ (ґ) + ґту+ (ґ)Фпт)— (ґ) +

Заключение

Список литература

3. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференци-альных уравнений 2 / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. -1975. - Т. 11, № 3. - C. 562-571.

4. Бойков, И. В. Принцип компактной апроксимации в возмущенном методе Га-леркина / И. В. Бойков // ДАН СССР. - 1974. - Т. 215, № 1. - C. 11-14.

5. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : Наука, 1963. - 64О c.

6. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. - М. : Наука, 1965. - 54О с.

7. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2ОО4. - 316 с.

S. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М. ; Л., 1949. - 6SS с.

9. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М. : Наука, 1959. - 6S4 с.

10. Бойков, И. В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1972. - Т. 12, № 6. - С. Ш1-1З9О.

11. Лифанов, И. К. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн / И. К. Лифанов, А. С. Ненашев // Дифференциальные уравнения. -2ОО5. - Т. 41, № 1. - С. 121-137.

12. Лифанов, И. К. К решению составных особых интегральных уравнений / И. К. Лифанов // Успехи современной радиотехники. - 2ОО6. - № S. - С. 62-67.

13. Бойков, И. В. Приближенные методы решения составных особых интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : тр. II Между-нар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2ОО7. - С. 31-36.

14. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Математические заметки. - 1972. - Т. 12, № 2. - С. 177-1S6.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

Е-шаП: math@pnzgu.ru

Захарова Юлия Фридриховна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

Е-шаЛ: math@pnzgu.ru

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

Zakharova Yuliya Fridrikhovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

УДК 517.392 Бойков, И. В.

Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингуляр-ных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2О12. - № 3 (23). - С. 99-113.