Стационарный метод Галеркина в первой краевой задаче для уравнения высокого порядка с меняющимся неправлением времени

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

УДК 517.95

СТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД ГАЛЁРКИНА В ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ В. Е. Федоров

Аннотация. С помощью стационарного метода Галеркина доказана однозначная регулярная разрешимость первой краевой задачи для уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени в цилиндрической области. Эта задача ранее была исследована в работе И. Е. Егорова (1987) нестационарным методом Галеркина с привлечением метода регуляризации. В настоящей работе в качестве базиса при построении приближенных решений выбираются собственные функции самосопряженной спектральной задачи для квазиэллиптического уравнения. Для приближенных решений задачи, в отличие от указанной выше работы, доказаны глобальные априорные оценки по всей области. На основании этих оценок установлена оценка скорости сходимости стационарного метода Галеркина.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.4.11317

Ключевые слова: уравнение с меняющимся направлением времени, высокий порядок, первая краевая задача, стационарный метод Галеркина, регулярная разрешимость, приближенные решения, априорные оценки, оценка скорости сходимости.

Разрешимость различных краевых задач для неклассических уравнений математической физики высокого порядка с меняющимся направлением времени исследовалась в работах [1—11]. При этом применялись функциональный метод, метод Галеркина, метод регуляризации. В настоящей работе рассматривается применение стационарного метода Галеркина к первой краевой задаче для уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени.

Пусть О — ограниченная односвязная область в Rn с гладкой границей 7. Положим

Q = О х (0,T), Г = y х (0,T), T = const > 0; Ot = О х {t}, 0 < t < T. В цилиндрической области Q рассматривается уравнение

2s+1

Lu = ^^ ki

i=1

Результаты данной работы получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России на 2017-2019 гг. (проект № 1.6069.2017/8.9).

© 2017 Федоров В. Е.

Предполагается, что коэффициенты уравнения (1) бесконечно дифференцируемы в (3. Введем обозначения для множеств на основаниях цилиндра:

= {(х, 0) : х е О, (-1)^2*+1(ж, 0)>0},

Б± = {(х, Т) : х е О, (-1)3к2з+1(х,Т)>0}.

Краевая задача. Найти в области Q решение уравнения (1) такое, что

°Н=о,1=т = °> 2 = О^1; п1и\з+ = 0; Щи^- = 0.

На знак функции к2в+1 (х, Ь) внутри области Q никаких ограничений не накладывается. Поэтому в класс уравнений (1) входят эллиптико-параболические уравнения, уравнения с меняющимся направлением времени и другие. В работе [4] с помощью функционального метода и нестационарного метода Галеркина в сочетании с методом регуляризации изучена слабая, обобщенная и регулярная разрешимости краевой задачи (1)—(3). В работе [9] для этой задачи применяется стационарный метод Галеркина в случае

(-1Ук2з+1(х, 0) < 0, (-1ук2з+1(х, Т) > 0,

установлена ее разрешимость в весовом пространстве Соболева, а также получена оценка погрешности метода Галеркина для этого случая.

В настоящей работе с помощью стационарного метода Галеркина при определенных условиях на коэффициенты и правую часть уравнения доказана однозначная регулярная разрешимость краевой задачи (1)—(3) в случае

(-1Ук2з+1(х, 0) > 0, (-1ук2з+1(х, Т) < 0.

При этом, в отличие от работы [4], для приближенных решений получены глобальные априорные оценки по всей области Q. На основании этих оценок установлена оценка скорости сходимости приближенных решений к точному решению задачи через собственные значения самосопряженной спектральной задачи для квазиэллиптического уравнения, собственные функции которой выбираются в качестве базиса при построении приближенных решений.

Обозначим через Wm's(Q) анизотропное пространство Соболева с нормой

т

\\uWls = 1 [нт + НВД12] йг, 0

где \\ • \\т — норма в пространстве Соболева [12]; \\ • \\0,0 = \\ • \\ — норма

в L2(Q).

Пусть Сь — множество функций из W^m'2s+1(Q), удовлетворяющих условиям (2), (3). В [4] доказано следующее утверждение.

Лемма 1 [4]. Пусть коэффициент c(x) > 0 достаточно большой и выполнено условие

( —1)s[2k2s — (2s + 1)k2s+l,t] > 6 > 0. Тогда для любой функции u(x, t) G Cl справедливо неравенство

(Lu, u) > Ci ||u||2jS, Ci = const > 0, где (, ) — скалярное произведение в L2(Q).

Из леммы 1, в частности, следует единственность регулярного решения краевой задачи (1)—(3) при указанных условиях. В дальнейшем будем считать, что

( — 1)Sk2s+l(x, 0) > 0, (— 1)Sk2s+l(x, T) < 0

(кроме леммы 2). В этом случае краевые условия (3) принимают вид

£>h=o,t=t = 0> l=~s-Пусть функции (x, t) ортонормированы в L2(Q) и являются решениями следующей спектральной задачи:

Иг = 0; D\ip |t=CM=T = 0, ¿ = 0^.

Функции ^k(x,t) образуют ортонормированный базис в L2(Q), а соответствующие собственные значения Ak таковы, что 0 < А1 < А2 < ... и Ak —^ при k — то.

Приближенное решение краевой задачи (1)-(3) будем искать в виде

N

uN(x, t) = cNtfik(x, t), k=1

где ckN определяются системой линейных алгебраических уравнений

Однозначная разрешимость системы (6) следует из леммы 1.

Лемма 2. Пусть коэффициент c(x) > 0 достаточно большой и выполнены условия

( —1)s[2k2s — (2s + 1)k2s+1,t] > 6 > 0, f (x, t) G L2(Q). Тогда справедлива оценка

Доказательство. Умножив каждое из уравнений (6) на свой коэффициент cN и просуммировав полученные равенства по l от 1 до N, получаем равенство

Отсюда в силу леммы 1 и неравенства Гельдера имеем

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2, а также

(-1)s[2k2s + k2s+1,t] > 5> 0, f (x,t) G W20,1(Q), (-1)sk2s+l(x, 0) > 0, (-1)sk2s+i(x, T) < 0, x G П. Кроме того, f (x, 0) = 0, f (x, T) = 0 для почти всех x из П. Тогда имеет место оценка

||uNII2,2s+i < Csllf ||о,1, Сз = const > 0.

Доказательство. Умножая (6) на A;cN и суммируя по l от 1 до N, получаем равенство

Интегрируя выражение слева в

(Lt;,(-l)s+1Cf+2t;-At;) = j U(-iy\2k2s + k2s+1,t}(D2ts+1v)2

D V

+ —( — l)s[2k2s - (2s + 1 )k2s+1,t] + + (M

i=1

i=1

+ c

(D^v) 2+£ vXi

i=1

2s+1 _ n

j dQ + i Dt2s+1v ^ aj (x, t)Dj v dQ

J Q j=1

,Xi VXi dQ + v cXi vXi dQ

i=1

s — 1 ^ n

+ E / (x,t)(Dj VxJ2 dQ +

j=0 Q г=1

Dt2s+1^ 2 dx

+

(-1Г 2

J k2s+1(Dt2s+1 v)2 dx + (-1)s+^ Df+^^fc,Dj v dx On о j^1

t=T

t=0

о0 о

где aj(x,t),eij'(x, t) — известные гладкие функции. С другой стороны,

QQ

r2,2s+1/

Для любой функции г>(х, Ь) из Ж^' в и числа е > 0 справедливы сле-

дующие оценки [12]:

(Dj v(x,t)) dx < е J Ot Q

EvXiXi + (Dt2s+

12 1v

.1=1

dQ + Ce J v2 dQ (13) Q

для 0 < ] < 2в. Тогда из (11) с учетом (10) и (12), используя оценки (13), неравенство Коши, а также теоремы вложения [12], получаем неравенство (9). Лемма 3 доказана.

2

2

Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 3. Тогда существует единственное решение u(x,t) краевой задачи (1)—(3) из пространства W2'2s+1(Q). При этом приближенные решения uN(ж, t) слабо сходятся в W2'2s+1(Q) к точному решению и(ж, t).

Доказательство. Благодаря оценкам (7), (9), из последовательности }fe=i можно извлечь подпоследовательность uNk, слабо сходящуюся в W22'2s+1(Q) к некоторой функции u(x,t) из W^'^11^) П WW21,S+1(Q). При фиксированной функции (x,t) в равенстве (6) можно перейти к пределу по выбранной подпоследовательности. Это дает равенство

т. е. u(x,t) удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда для приближенных решений uN(ж, t) справедлива оценка

где и(ж, t) — точное решение краевой задачи (1)-(3), а постоянная C1 > 0 не зависит от N.

Доказательство. Для регулярного решения краевой задачи (1)-(3), гарантированного теоремой 1, справедливы равенства (14). Пусть Hn — линейная оболочка элементов ... , , Pn — проектор в L2(Q) на Hn. Из (6), (14) следуют равенства

(LuN,n) = (f,n), (Lu,n) = (f,n) Vn e Hn .

Отсюда при n = ш — uN, ш e Hn , получаем

(L(u — uN ),ш — uN) = 0

или

(L(u — uN), u — uN) = (L(u — uN), u — ш). В силу оценки леммы 1 имеем

отсюда

для ш e HN.

Функция и(ж, t) может быть представлена в виде ряда Фурье: u(x,t) = ^ Ck^fe(ж, t), Ck = (u,^fe).

r=1

Имеет место равенство

( —1)s+1Dt2s+2u — Ди = ]T CkAk^.

k=1

Отсюда следует оценка

^ г. П

]TCkAk = J [

k=1

В силу (16) справедливо соотношение

У Cfe^fe

k=N +1

= с2 < А^++1 Е скЛк < Св\/\\0'1А-1+1.

^=N+1 ^=N+1

Полагая в неравенстве (15) ш = PNи и учитывая оценку (17), получаем оценку скорости сходимости стационарного метода Галеркина. Теорема 2 доказана.

Замечание. Отметим, что краевая задача (1)—(3) в случаях в = 0, в = 1 была исследована стационарным методом Галеркина в работах [13-16], а нестационарным методом Галеркина при в = 0 — в работах [17,18].

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров И. Е. О первой краевой задаче для одного неклассического уравнения // Мат. заметки. 1987. Т. 42, № 3. С. 403-411.

2. Егоров И. Е. О краевой задаче E для одного класса эллиптико-параболических уравнений // Применение методов функционального анализа в уравнениях математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1987. С. 78-84.

3. Егоров И. Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1988. Т. 30, № 6. С. 1301-1304.

4. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

5. Egorov I. E. On one boundary value problem for an equation with varying time direction // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т. 5, вып. 2. С. 77-84.

6. Чуешев А. В. Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск: НГУ, 2001.

7. Федоров В. Е. Нелокальная краевая задача для уравнения с меняющимся направлением времени высокого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 111-116.

8. Львов А. П. Нелокальные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики с меняющимся направлением времени / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Якутск: ЯГУ, 2006.

9. Ефимова Е. С. Применение стационарного метода Галеркина к неклассическому уравнению высокого порядка с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 2. С. 32-38.

10. Egorov I. E., Fedorov V. E., Tikhonova I. M., Efimova E. S. The Galerkin method for nonclassical equations of mathematical physics // AIP Conference Proceedings 1907, 020011 (2017).

11. Fedorov V. E. Error estimate of the nonstationary Galerkin method for a higher order equation with changing time direction // AIP Conference Proceedings 1907, 030010 (2017).

12. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

13. Егоров И. Е., Ефимова Е. С. Стационарный метод Галеркина для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 41-46.

14. Егоров И. Е., Ефимова Е. С. Оценка погрешности стационарного метода Галеркина для вырождающегося параболического уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 27-33.

15. Егоров И. Е., Ефимова Е. С. О стационарном методе Галёркина для нелинейного неклассического уравнения третьего порядка по времени с меняющимся направлением времени // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 3. С. 19-27.

16. Ефимова Е. С. Егоров И. Е., Колесова М. С. Оценка погрешности стационарного метода Галеркина для полулинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Вестн. НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 43-49.

17. Егоров И. Е. О модифицированном методе Галеркина для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Узб. мат. журн. 2013. № 3. С. 33-40.

18. Егоров И. Е., Ефимова Е. С. Модифицированный метод Галеркина для полулинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 6-15.

Статья поступила 20 октября 2017 г. Федоров Валерий Евстафьевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, Научно-исследовательский институт математики, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 УЕРедогоуБвФшаИ. ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2017. Том 24, № 4

UDC 517.95

THE STATIONARY GALERKIN METHOD APPLIED TO THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A HIGHER ORDER EQUATION WITH CHANGING TIME DIRECTION V. E. Fedorov

Abstract: We prove the existence of the unique regular solution to the first boundary value problem for a higher order equation with changing time direction in the Sobolev space. The stationary Galerkin method is applied for which the estimate of the rate of convergence is obtained in the terms of the eigenvalues to the self-adjoint spectral problem for the quasielliptic equation.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.4.11317

Keywords: higher-order equation, changing time direction, first boundary value problem, regular solvability, Sobolev space, stationary Galerkin method, convergence rate estimate.

REFERENCES

1. Egorov I. E., "On the first boundary value problem for the one nonclassical equation," Mat. Zametki, 42, No. 3, 403-411 (1987).

2. Egorov I. E., "On the boundary value problem E for the one class of the elliptic-parabolic equations [in Russian]," in: Primenenie Metodov Funktsional'nogo Analiza v Uravneniyakh Matematicheskoy Fiziki, pp. 378-384, Inst. Mat. SO AN SSSR, Novosibirsk (1987).

3. Egorov I. E., "Boundary value problem for a one higher order equation with varying time direction," Dokl. AN SSSR, 303, No. 6, 1301-1304 (1988).

4. Egorov I. E. and Fedorov V. E., High-Order Nonclassical Equations of Mathematical Physics [in Russian], Vychisl. Tsentr SO RAN, Novosibirsk (1995).

5. Egorov I. E., "On one boundary value problem for an equation with varying time direction [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 5, No. 2, 77-84 (1998).

6. Chueshev A. V., Solvability of the Boundary Value Problem for the Mixed Type Equations of Higher Order [in Russian], Novosib. Gos. Univ., Novosibirsk (2001).

7. Fedorov V. E., "Nonlocal boundary value problem for a higher order equation with varying time direction [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 9, No. 2, 111-116 (2002).

8. L'vov A. P., Nonlocal Boundary Value Problems for a Nonclassical Equations of Mathematical Physics with Varying Time Direction [in Russian], Yakutsk. Gos. Univ., Yakutsk (2006).

9. Efimova E. S., "Application of the stationary Galerkin method to a nonclassical equation of higher order with varying time direction [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 19, No. 2, 32-38 (2012).

10. Egorov I. E., Fedorov V. E., Tikhonova I. M., and Efimova E. S., "The Galerkin method for nonclassical equations of mathematical physics," in: AIP Conf. Proc., 1907, 020011 (2017).

11. Fedorov V. E., "Error estimate of the nonstationary Galerkin method for a higher order equation with changing time direction," in: AIP Conf. Proc., 1907, 030010 (2017).

© 2017 V. E. Fedorov

12. Besov O. V., Il'in V. P. and Nikol'skiy S. M., Integral Presentation of Functions and Embedded Theorems [in Russian], Nauka, Moscow (1977).

13. Egorov I. E. and Efimova E. S.,, "Stationary Galerkin method for a parabolic equation with varying time direction [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 18, No. 2, 41-46 (2011).

14. Egorov I. E. and Efimova E. S., "Error estimate of the stationary Galerkin method for a degenerated parabolic equation [in Russian]," Mat. Zamet. YaGU, 19, No. 1, 27-33 (2012).

15. Egorov I. E. and Efimova E. S., "On the stationary Galerkin method for a nonlinear nonclas-sical equation of the third order of time variable with varying time direction [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 3, 19-27 (2014).

16. Efimova E. S., Egorov I. E. and Kolesova M.S., "Error estimate of the stationary Galerkin method for the semilinear parabolic equation with alternating time direction [in Russian]," Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat., Mekh., Inf., 14, No. 3, 43-49 (2014).

17. Egorov I. E., "On the modified Galerkin method for a parabolic equation with varying time direction," Uzbek. Mat. Zhurn., No. 3, 33-40 (2013).

18. Egorov I. E. and Efimova E. S., "Modified Galerkin method for a semilinear parabolic equation with varying time direction [in Russian]," Sib. Zhurn. Chist. Prikl. Mat., 16, No. 2, 6-15 (2016).

Submitted October 20, 2017 Valery E. Fedorov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Scientific Institute of Mathematics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia VEFedorov58@mail.ru