О представлении линейных операторов, коммутирующих с дифференцированием, в односвязной области

УДК 517.982.274+517.983.22 DOI: 10.12737/3500

О представлении линейных операторов, коммутирующих с дифференцированием, в односвязной области*

А. В. Братищев

Пусть H (G) есть пространство аналитических функций одной переменной в односвязной области G комплексной плоскости. Известно, что линейный оператор комплексной свёртки порождается аналитической функцией одной переменной, вообще говоря, многозначной. Решается известная задача, когда все такие функции будут однозначными. Оказалось, что решение связано с геометрией области G. Назовём вычетом области G множество s(G) со свойством s (G) + G с G. Описан класс односвязных областей, вычет которых есть связное множество. Пусть линейный оператор непрерывен в пространстве функций, аналитических в односвязной области G, и коммутирует с дифференцированием. Тогда он представим в виде оператора комплексной свёртки. В работе доказано, что для областей со связным вычетом порождающая такой оператор функция всегда будет однозначной. Если вычет области G не связный, то всегда существует оператор комплексной свёртки, у которого порождающая ядро функция будет многозначной.

Ключевые слова: вычет области, оператор, коммутирующий с оператором дифференцирования, ядро оператора.

Введение. Рассматриваемые в статье задачи входят в направление исследований, представленное работами [1-7]. Пусть G — односвязная область в комплексной плоскости С, и последовательность ограниченных расширяющихся областей {Gn}t G с кусочно-гладкой границей исчерпывает G . H (G) — пространство Фреше аналитических в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах. £(G) — пространство непрерывных в H (G) линейных операторов. Обозначим через B (Gn) банахово пространство аналитических в Gn и непрерывных на Gn функций с нормой f (z)||n := m|xf (z)|. Тогда Vn 3N := N(n) оператор Le£(G) расширяется

до непрерывного оператора Ln: b(gn ) ^ B (Gn).

L (

на односвязной области GN xGn с С2, и связана с линейным оператором L формулой

[L/](z)^-1T J y (t)-kn (t,z)dt, z eGn [2]. Локально аналитическая на G'x G функция

2П/ TGn+1

k(t,z), совпадающая с kn (t,z) на соответствующей области G'N xGn, называется ядром оператора L .

Обозначим через £d (G) подпространство в £(G) операторов, коммутирующих с операцией дифференцирования: Ld = dL. Назовём вычетом области G множество

dz dz

s(G) :={z e С: z + G с G}. Для вычета справедливо тождество (G' - G) = s(G) [6].

Обозначим kn (t,z) :=

(z), t e G'n , Z eGN, z eGn. Эта функция голоморфна

* Работа выполнена в рамках инициативной НИР.

ТЕОРЕМА. Пусть G есть односвязная область. Функция kn (t,z0), z0 eG аналитически продолжается до локально аналитической функции A(t) на G' -G = (s(G))' и k(t,z) = A(t -z). При этом в случае несвязного s(G) всегда найдётся оператор Le £d (G), для которого функция A(t) многозначная, а в случае связного s(G) ф{0} функция A(t) всегда однозначная.

Вспомогательные утверждения. В следующей лемме доказаны необходимые свойства вычета области и получено аналитическое описание класса односвязных областей, вычет которых содержит луч.

ЛЕММА. 1) Для односвязной области G множество s(G) U {да} замкнуто.

2) Если нуль есть предельная точка s(G), то s(G) содержит некоторый луч

|ф0 :={r exP {/Фо}: r > 0}.

3) Произвольная односвязная область G c l с s(G) задаётся полунепрерывной сверху на (-да, +да) функцией k(x) со связной областью определения {x : k (х)<да} по формуле G = {z = геф/ : k (r sin (ф0 - ф)) < r cos (ф0 - ф)}.

Доказательство. Покажем замкнутость s(G) U {да}. Пусть z0 — предельная точка s(G): 3{zk}с S(G) lim zk = z0. Фиксируем произвольную точку z' e G и покажем, что z0 + z' eG (тогда z0 + G с G, и значит z0 e s (G)). V£ > 0 D (z', £) с G ^ Vk > к (£) zk + D (z', £) с G . Выберем к таким, что

z -zk\<£^z0 + ü[z',2)сzk + D^0,2j + ü[z',2j = zk + D(z',£)сG ,

что и требовалось доказать.

Докажем утверждение 2). В силу условия существует последовательность {zk = rk exp{/^k}}^ 0, {zk} с s(G). Считая фk e[0,2п), выберем сходящуюся подпоследовательность. Без потери общности считаем lim = ф0. Фиксируем на луче

l := {r exp {/ф0}: r > 0} произвольную точку r0 exp {/ф0} =: z0 ф 0 и покажем, что она будет предельной для множества точек вида {/  zk}"k_ 1 ™ 1 с s(G) (а значит принадлежит s(G)). С этой целью для произвольного фиксированного £ > 0 выберем такой номер k, чтобы

'«л/3 ^

Ф0 - ф^ < arcsin

2r0

и zk <£.

Тогда луч I :={г ехр {/фк}: г > 0} пересекает е-окрестность D(z0,£) по хорде длины > е. Поэтому на этой хорде лежит хотя бы одна точка вида / • гк, и значит / • zk е D (z0, £).

Утверждение 3) докажем сначала для случая 1п/2 с s(G). в пересекается с вертикальной

прямой либо по пустому множеству, либо по интервалу (возможно совпадающему с этой прямой). В первом случае положим к(х) :=+да, а во втором к(х) := П{у : х + у/ ев}. Если

-да < к(х) < +да, то точка х + к(х)/ е Г (в). По определению имеем в = {х = х + у/: к(х) < у}.

Пусть -сю < к (х0) < ю . В силу открытости G

У£ > 0 35 > 0, 5 < £, D(x0 + (к (х0) + £)/, 5)с в ^ ^ Ух е (х0 - 5, х0 + 5) 3г = х + у1 е D(x0 + (к(х0) + £)/, 5) ^ к (х) < у < к (х0) + 2£ Последнее означает полунепрерывность сверху к(х) в точке х0. По той же схеме рассматривается случай к(х0) = -ю . Связность области определения к(х) следует из связности области в .

Обратно, пусть дана полунепрерывная сверху и со связной областью определения функция к(х). Положим в = {г = х + у/: к (х) < у}. Из определения следует, что /п/2 с s (в).

Покажем, что в есть односвязная область. Фиксируем г0 = х0 + у0/ е в, откуда 3£0 > 0 у0 > к(х0) + £0. Покажем сначала, что 35 > 0 D(z0,5)с в, то есть множество открыто. Считаем для определённости к(х0 )<ю. По определению полунепрерывности У£ > 0 35 > 0 Ух е (х0 - 5, х0 + 5) к (х) < к (х0) + £. Полагая £ + 5 < £0, имеем Уг = х + у1 еО(г0,5) у > у0 - 5 > к(х0) + £0 - 5 > к(х) - £ + £0 - 5 > к (х), то есть г ев .

Покажем связность в . Для любых г1 = х1 + у1/, г2 = х2 + у2/ ев, х1 <х2, к(х) ограничена сверху на [х1,х2] [8]. Поэтому в в существует ломаная, соединяющая эти точки.

Заметим, что луч / := {г ехр{/ф0}: г > 0} = [0, ю • ехр{/ф0}) с 5 (в) тогда и только тогда,

когда вертикальный луч /п/2 сG1 := Gexp¡iI--ф0 |Г. Поэтому проведённое доказательство рас-

пространяется на случай произвольного луча / с s(G). В этом случае

G exp ¡i (2 - Фо | г = Gi ={z = х + yi: k (х)< /}«•

.2

G = ¡Z = z exp |i | фо - : k (х) < yJ = {Z = геф : k(r sin (фо - ф)) < r cos (фо - ф)} Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Выберем по точке в двух компонентах связности вычета 5(G):

Z+Z2 Z+Zi

Z1 eK1, Z2 eK2, и образуем линейный оператор \_Ly~\(z) := J y (v)dv - J y (v)dv, z0 eG, в

z0 z0

H (G). Он принадлежит £d (G). По определению ядра

Z+^2 1 Z+}i 1 (t - Z - Z 1

' J F-tу(Zd- ÍF-7У(Z= h(t-Zrf |•

Z0 Ц Z0 s \L Z L, 2

( Z - Z 1 '

Отсюда A(Z):= In y—^ . Эта функция многозначна на G'xG =(s(G))', так как при обходе пе-

1Z - Z2 J

ременной Z одной из компонент K1 или K2 она приобретает слагаемое 2ni.

Пусть теперь вычет 5(G) связный и ^{0}. По предыдущей лемме 5(G) содержит луч. Без потери общности считаем, что /п/2 с G, то есть область G содержит вместе с каждой точкой

k(t, z) =

LI 1

t - Z

(7 7 \

вертикальный луч с началом в этой точке.

Определим теперь функцию А( £). При достаточно малом е ряд

» » (2 — 2 ) 1

к(Ь,2) = ^^ а7- —-абсолютно сходится при — 20| < е, —>-, и потому в нём мож-

/=01=0 (Ь — го);+ е

но произвольно менять порядок суммирования.

Вычислим коэффициенты этого ряда, используя инвариантность оператора L относительно сдвига аргумента на пространстве многочленов [8]:

\_LJt7 ](а) = |7(Г + а) "1(0), ае С, п > 0,

a =

1

i

i

2ni fZN (z _ Zq 2ni fn=V£ 1

-f (t _ z0)] k(t,z)dtdz = — f .

i J|f|=v^ 0' V' ) 2ni J|z|=e (z _ z)'

1

L(t _Zo)J (z)dz =

i!

L(t _ Zo)J ] |) = '

(t _ Zo )j

j!

Г0,

(Zo ) =

' > J,

'!(j _ ')! | L(t _ Zo)J_' (ZO) = ](0), ' < JJ

Тогда имеем

k (t z) = X

0

1 м м i J V I

1 I aj (z _ Zo )' [LtJ_' ](0)(z _ Zo )'

j+1.

=°

1

= I

J=0

J+11 j l ](° )(z _ «) ^

1 L ]

(z _ Zo )J

1

J+1

= I

L ]

0 (t _ z)'

при Z _ z0 < £, t _ t0 >- .

I 1 1 1 £

Так как |[Lt' ](0)| < max

L

< Cn max It _ z0' < Cnp'N, где pN — диаметр множе-

[Lt' ]

ства GN, то сумма ряда А(£) :=Х^7+1

(=0 Ц

аналитическая в IZ > pN. Поэтому

k(t,z) = I

[Lt' ]

0 (t _ z)"

= A(t _ z), где ZeG„, t eGN, tl > Pn + R , R := sup {|z|: z eG„}.

Докажем теперь, что функция А( £) аналитически продолжается до локально голоморфной на G' — G = (5(в)) , то есть еG' —G, и любых точек f2 ев', 21,22 еб со свойством = ^ — 21 = ¿"2 — 22 следует к(Ьи 21) = к(Ь2, 22). Множество (в' — 21) П (в' — 22) связное, так как составлено из отрезков, параллельных мнимой оси и содержащих бесконечно удалённую точку. Поэтому оно содержится в связной компоненте открытого множества

(— 21) П — 22). А(£) продолжается в области — 21, — 22соответственно по формулам

А(£) := к(£ + 21, 21), А(£) := к(£ + 22, г2). По теореме единственности функция А(£) однозначна на этой компоненте:

А(£) = к(? + 21,21), А(?) = к(? + 22,22). 18

L

В частности

A(Z0) := k(Z0 + zi, zi) = k(ti, zi), A(Z0) := k(Z0 + z2, z3) = k(t2, z2). Таким образом, З£0 > 0 A (Z) голоморфна в (G' - G) U D' I 0, — I.

В заключение заметим, что последовательность {М (л)} можно подобать так, чтобы

Vn 3N GN - Gn с (G'- G) U D'

0,—

v £0 у

Сначала выберем e e(0, £0 ) так, чтобы G'- Gn + D(0, £ )с G - G . Затем N, чтобы I i

GN c(G' + D(0, £)) U D' 0,— + Rn

v £0

Тогда

GN - G. c(G' + D(0,e )) U D'

0,- + Rn

= (G' + D(0, £ )-Gn ) U

I Г D

0,- + Rn

v v b0

v £0

Л A

-G

уу

- G =

:(G' - G) U D'

1

0, —

v £0 у

Теорема доказана. Из неё следует такое представление операторов из £d (G).

СЛЕДСТВИЕ. Пусть G есть односвязная область, а её вычет s(G) связный и * 0. Тогда для

каждого оператора Le £d (G) существует локально голоморфная на G' - G = (s (G ))' функция A (Z) со свойством:

Vz e Gn [LZ](z) = ^ J У (t) A(t - z)dt.

rGN+1

ЗАМЕЧАНИЕ. Вычет неограниченной выпуклой области G очевидно связный, и Зф0 / ç s (G). В этом случае теорема доказана в [9]. Для односвязной ограниченной области s (G) = 0, то есть G' - G = С \ {0}, голоморфность функции A(Z) в С \ {0} доказана независимо и разными методами в [4], [5]. Гипотеза о том, что аналогичное утверждение имеет место в случае неограниченной области G с s (G) = 0, остаётся недоказанной, так как доказательство в [9] имеет пробел.

Заключение. Получено аналитическое описание класса односвязных областей, вычет которых содержит луч. Этот класс областей характеризуется тем, что ядро любого оператора из класса £d (G) порождается однозначной функцией. Результаты статьи докладывались на международной Казанской летней научной школе-конференции [10]. Библиографический список

1. Schwartz, L.Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques / L. Schwartz // Ann. of Math. — 1947. — Series 2. — V. 48. — Pp. 857-929.

2. Köthe, G.-J. Dualitat in der Funktionentheorie / G.-J. Köthe. — Reine angew. math. — 1953. — Bd. 191. — S. 30-49.

3. Dickson, D. G. Analytic mean periodic functions / D. G. Dickson // Trans. Amer. Math. Soc. — 1964. — V. 110. — Pp. 361-374.

0

4. Царьков, Ю. М. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочных со степенью оператора дифференцирования / Ю. М. Царьков // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1970. — Т. 11. — С. 86-92.

5. Братищев, А. В. Общий вид линейных операторов, перестановочных с операцией дифференцирования / А. В. Братищев, Ю. Ф. Коробейник // Математические заметки. — 1972. — Т. 12. — С. 187-195.

6. Коробейник, Ю. Ф. Об одном классе линейных операторов / Ю. Ф. Коробейник // Висши технически учебни заведения. Математика. — 1973. — Т. IX, кн. 3. — С. 23-31.

7. Коробейник, Ю. Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых общих классов операторных уравнений / Ю. Ф. Коробейник. — Ростов-на-Дону : ООО «ЦВВР», 2005. — 246 с.

8. Бурбаки, Н. Функции действительного переменного / Н. Бурбаки. — Москва : Наука, 1965. — 424 с.

9. Братищев, А. В. Операторы обобщённого дифференцирования Гельфонда—Леонтьева и полиномы Бренке / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2010. — Т. 10. — № 6 (79). — С. 813-824.

10. Братищев, А. В. Об операторах комплексной свёртки и обобщённого дифференцирования / А. В. Братищев // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. — 2013. — Т. 46. — С. 127-130.

Материал поступил в редакцию 19.06.2013. References

1. Schwartz, L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques. Ann. of Math., 1947, Series 2, vol. 48, pp. 857-929.

2. Kothe, G.-J. Dualitat in der Funktionentheorie. Reine angew. math., 1953, Bd. 191, S. 30-49.

3. Dickson, D. G. Analytic mean periodic functions. Trans. Amer. Math. Soc., 1964, vol. 110, pp. 361-374.

4. Tsarkov, Y. M. Izomorfizmy nekotorykh analiticheskikh prostranstv, perestanovochnykh so stepenyu operatora differentsirovaniya. [Isomorphisms of some analytic spaces permutable with the dif-ferentiatial operator degree.] Teoriya funktsiy, funktsionalnyy analiz i ikh prilozheniya. 1970, vol. 11, pp. 86-92 (in Russian).

5. Bratishchev, A. V., Korobeynik, Y. F. Obshchiy vid lineynykh operatorov, perestanovochnykh s operatsiyey differentsirovaniya. [Standard form of linear operators permutable with differentiation.] Ma-tematicheskiye zametki, 1972, vol. 12, pp. 187-195 (in Russian).

6. Korobeynik, Y. F. Ob odnom klasse lineynykh operatorov. [On one linear operator class.] Visshi tekhnicheski uchebni zavedeniya. Matematika. 1973, vol. IX, book 3, pp. 23-31 (in Russian).

7. Korobeynik, Y. F. O razreshimosti v kompleksnoy oblasti nekotorykh obshchikh klassov opera-tornykh uravneniy. [On decidability in complex domain of some general classes of operator equations.] Rostov-na-Donu: OOO "TsVVR", 2005, 246 p. (in Russian).

8. Bourbaki, N. Funktsii deystvitelnogo peremennogo. [Functions of real variable.] Moscow : Nauka, 1965, 424 p. (in Russian).

9. Bratishchev, A. V. Operatory obobshchennogo differentsirovaniya Gelfonda—Leonteva i po-linomy Brenke. [Gelfond—Leontyev general differentiation operators and Brenke polynomials.] Vestnik of DSTU, 2010, vol. 10, no. 6 (49), pp. 813-824 (in Russian).

10. Bratishchev, A. V. Ob operatorakh kompleksnoy svertki i obobshchennogo differentsirovaniya. [On operators of complex convolution and generalized derivation.] Trudy matematicheskogo tsentra im. N. I. Lobachevskogo, 2013, vol. 46, pp. 127-130 (in Russian).

ON PRESENTATION OF LINEAR OPERATORS COMMUTING WITH DIFFERENTIATION IN SIMPLY-CONNECTED DOMAIN*

А. V. Bratishchev

Let H (G) be a space of analytic functions of one variable in simply-connected domain G of the complex plane. It is

known that a linear complex convolution operator is generated by a one-variable analytic function, a multivalued one in general. A known problem when all such functions are single-valued is solved. As it turned out, the solution to the problem is connected with the geometry of G domain. Set s (G) with property s (G) + G c G is termed residue of G domain. A class of simply connected regions whose residue is a connected set is described. Let the linear operator be continuous in function space, analytical in simply-connected domain G, and let it commute with differentiation. Then it can be reduced to a complex convolution operator. It is proved that the function generating such an operator will always be single-valued for regions with a connected residue. When the residue of region G is not connected, there is always a complex convolution operator with a multivalued function generating a kernel. Keywords: residue of region, operator commuting with operator of differentiation, kernel of operator.

* The research is done within the frame of the independent R&D.

21