К вопросу построения ЛВ-модели риска неуспеха комплексной структурно-сложной экономической системы

I УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

УДК 330.101.5

К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ ЛВ-МОДЕЛИ РИСКА НЕУСПЕХА КОМПЛЕКСНОЙ СТРУКТУРНО-СЛОЖНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

А. Н. Бабенков,

канд. техн. наук

Е. Д. Соложенцев,

доктор техн. наук, профессор Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Обоснована актуальность задачи построения логико-вероятностных моделей риска неуспеха комплексных структурно-сложных экономических систем. Предложен ряд правил построения логико-вероятностных моделей риска: выделение внешних и внутренних инициирующих событий, свертывание инициирующих событий в узлах «И» и «ИЛИ», декомпозиция сложного сценария риска неуспеха и др. Приведены примеры построения логиковероятностных моделей риска неуспеха с использованием предложенных правил, показавшие практическую возможность их выполнения и достаточно высокую эффективность.

Ключевые слова — правила, построение, модель, риск, экономика, система, события, логика, вероятность, программные средства.

Введение

Управлением риском и эффективностью на множестве объектов и систем в экономике ежедневно занимаются тысячи экономистов и менеджеров. Однако в настоящее время адекватные модели и программные средства для моделирования, анализа и управления риском для этих специалистов отсутствуют. Поэтому разработка и исследование моделей риска и эффективности в экономике является актуальной задачей [1].

Построение логико-вероятностной (ЛВ) модели риска системы осуществляют в следующей последовательности: формулируют сценарий риска, строят структурную модель риска, записывают Л-модель риска, выполняют ортогонализа-цию Л-модели риска и получают В-модель (полином) риска.

Логико-вероятностную модель риска можно всегда записать в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, самой полной и громоздкой в записи и вычислениях. В частных случаях строят ЛВ-модели риска с ограниченным числом событий из совершенной дизъюнктивной нормальной формы, или в виде кратчайших путей функционирования, или по сценарию риска [2]. ЛВ-модель риска может быть комплексной с объ-

единением отдельных моделей риска операциями И, ИЛИ, НЕТ и циклами. Комплексные структурно-сложные экономические системы включают в себя несколько подсистем, которые могут иметь несколько общих или повторных элементов (событий) [3]. ЛВ-модель риска неуспеха строится с учетом повторных элементов с использованием алгоритмов ортогонализации Л-функций [4]. Комплексная ЛВ-модель риска может быть настолько сложной, что Л- и В-функции риска не помещаются в оперативной памяти компьютера или слагаемые в В-функции содержат большое число сомножителей (с вероятностями от 0 до 1) и оценка риска теряет точность. В этом случае следует применять декомпозицию модели и свертывать инициирующие события в узлах «И» и «ИЛИ».

Комплексная структурно-сложная экономическая система включает в себя несколько подсистем. Если подсистемы не имеют общих элементов (событий), то неуспех каждой может рассматриваться самостоятельно, а неуспех всей системы получают объединением событий для подсистем логическими операциями И, ИЛИ, НЕТ. Если подсистемы имеют несколько общих элементов (событий), то ЛВ-модель риска неуспеха строится с учетом повторных элементов.

Наибольшую практическую и теоретическую ценность представляют именно комплексные ЛВ-модели риска с повторными элементами, ибо экономические процессы взаимосвязаны и взаимозависимы. Однако методологии и технологии построения ЛВ-моделей риска с повторными элементами не существует. В разных частных сценариях для одних и тех же событий могут использоваться разные термины и понятия, и найти повторные элементы среди десятков и сотен событий не просто.

Предложен ряд правил построения комплексных ЛВ-моделей риска в экономике.

1. Построение ЛВ-модели риска неуспеха, если сценарий риска имеет логические связи только И или только ИЛИ, не вызывает каких-либо проблем, и все вычисления можно выполнить вручную или с использованием калькулятора.

2. Выделение в сценариях риска внешних, внутренних и повторных инициирующих событий.

3. Сворачивание инициирующих событий, если возникает проблема размещения Л-модели риска в оперативной памяти компьютера.

4. Выбор параметров алгоритма преобразования Л-модели риска (N4 — максимального числа логических слагаемых и N — максимального числа логических сомножителей в Л-слагаемых) путем пробных расчетов.

5. Декомпозиция сложной комплексной модели риска на ряд простых моделей, если в В-модели риска, построенной после ортогонализации Л-функ-ции риска, слагаемые В-функции (В-полинома) имеют большое число сомножителей (например, больше 30). Так как вероятности инициирующих событий имеют значения в интервале {0, 1}, то теряется точность вычисления вероятностей производных событий.

После расчетов на каждой простой модели простые модели и результаты следует объединить логическими связями И или ИЛИ.

Рассмотрим некоторые из этих правил.

Выделение внешних инициирующих событий

Правило 1. На основе опыта разработки частных сценариев и ЛВ-моделей риска в экономике предлагается первый принцип решения этой проблемы. Этот принцип построения комплексной ЛВ-модели риска заключается в том, что для любого частного сценария риска экономического процесса рассматриваем отдельно внешние и внутренние инициирующие события. Тогда отдельные внешние инициирующие события могут оказаться общими (повторными) для нескольких ЛВ-моделей риска частных сценариев риска эконо-

мических процессов. Примеры внешних инициирующих событий:

1. Компания — события экономической жизни страны и мировой экономики.

2. Цеха завода — события в управлении заводом: дирекция, плановый и финансовый отделы, отделы снабжения и сбыта, служба подготовки кадров и др.

3. Стихийные бедствия, эпидемии гриппа и др.

Свертывание инициирующих событий

Правило 2. Комплексная ЛВ-модель риска может быть настолько сложной, что логическая и вероятностные функции риска не помещаются в оперативную память компьютера. Например, в некоммерческом комплексе АСМ эти функции должны иметь не более 600 слагаемых. Такое же ограничение имеют пакеты программ «Арбитр», Risk Spectrum, Risk и Criss.

Для построения структурной, логической и вероятностной моделей риска неуспеха комплексной системы необходимы упрощения в ее задании и записи. Для этого предлагается второй принцип решения проблемы. Он заключается в свертывании (объединении) инициирующих событий в узлах «И» и «ИЛИ». Введем обозначения:

Y — событие в узле;

Y1, Y2, ...,Yk — события, влияющие на успех события в узле;

P{Y = 0} = P — вероятность неуспеха события в узле Y;

P{Yi = 0} = Pi; P{Y2 = 0} = P2; ... ; P{Yk = 0} = = Pk — вероятности, с которыми влияющие события Y1, Y2, ..., Yk приводят к неуспеху события в узле Y;

P{Yi = 1} = 1 - Pi = Qi; P{Y2 = 1} = 1 - P2 = Q2; ... ;

P{Yk = 1} = 1 - Pk = Qk — вероятности, с которы-

ми события Y1, Y2, ..., Yk приводят к успеху события Y.

Узел «ИЛИ». Логическая модель (Л-модель) риска неуспеха

Y = Ух V Y2 V...V Yk.

Вероятностная модель (В-модель) риска неуспеха

P{Y = 0} = I-Q1Q2 ...'Qk.

Узел «И». Логическая модель (Л-модель) риска неуспеха

Y = Yx Л Y2 Л...Л Yk.

Вероятностная модель (В-модель) риска неуспеха

‘ P{Y = 0} = P^ '...'Pk.

Таким образом, используя формулы (1)—(4), инициирующие события для узлов «И» и «ИЛИ» заменяем одним инициирующим событием с легко вычисляемой вероятностью. Это позволяет существенно уменьшить число инициирующих событий, строить Л- и В-функции для комплексной ЛВ-модели риска и исследовать риск неуспеха сложных экономических систем.

В свертываемые инициирующие события не включаются повторные события. Свертывание можно выполнять на программном комплексе В. В. Алексеева, на некоммерческом программном комплексе А. С. Можаева [5] или даже ручными вычислениями. Задача оценки вкладов свертываемых инициирующих событий, исходя из структуры уравнений (2) и (4), не представляет каких-либо трудностей.

Исследования ЛВ-модели риска

Моделирование проводилось на программном пакете ПК АСМ 2001.1, который позволяет осуществлять структурно-логическое моделирование сложных систем. Для алгоритма расчетов задаются предварительные значения ряда параметров логической и вероятностной функций риска. Окончательные значения этих параметров выводятся на печать.

Параметр N4 задает максимально возможное число слагаемых в Л-функции риска в процессе преобразований. Окончательное значение параметра, равное К1, будет меньше N4, но преобразования закончатся, если в процессе преобразований К1 превысит значение N4. Параметр N5 задает максимальное число логических сомножителей в слагаемом Л-функции. Окончательное значение параметра, равное К2, будет меньше N5. Возможные значения параметров N4 и N5 оценивают первыми прикидочными расчетами на программном комплексе.

83 ^ * 84

Граф-модель риска неуспеха сложного события

Учет повторных элементов. Построена граф-модель риска неуспеха сложного события (рисунок). Внешние инициирующие события представлены группой из 6 событий, входящих в производное событие Y11 — «Влияние внешних факторов». Инициирующие события в количестве 61 события входят в группу производного события Y12 — «Влияние внутренних факторов». События Yзl, Yзз и Y47 являются общими (повторными) элементами в приведенной схеме модели риска. Эти события входят в производные события Y11 и Y12, которые соединены логической связью И.

При переходе к табличному представлению модели риска производится замена обозначений переменных с индексами по графу (см. рисунок) для внутримашинного представления формируемой модели риска по образцу: YNN переобознача-ется как NN где NN — номер события. Содержание событий сценария риска по рисунку приведено в табл. 1. Расчетные исследования выполнялись для итогового события, равного у85 = у84 /\ у83.

Ввод данных производится в файлы Gb.dat и Harel.dat. Сначала заполняется Gb.dat. В пер-

Таблица 1. Инициирующие и производные события ЛВ-модели риска неуспеха

Событие и его машинное представление Событие и его машинное представление

Y0, 85 — сложное событие Y41, 66 — отсутствие постоянных клиентов

Y11, 83 — внешние факторы Y42 , 67 — отсутствие дополнительных услуг

Y12, 84 — внутренние факторы Y43 , 30 — неправильно поставлены задачи компании

Y21, 59 — негативная экономическая ситуация в стране Y44, 31 — отсутствие грамотного управления

Y22, 60 — разногласия между менеджерами и собственниками компании Y45, 33 — отсутствие квалифицированных подчиненных

Y23, 61 — недостаточный объем данных исследования рынка Y4б, 32 — высокие издержки

Y24, 79 — отсутствие миссии компании Y47, 34 — падение спроса на услугу

Y25, 80 — отсутствие определенной маркетинговой стратегии Y48 , 35 — плохой имидж компании

Окончание табл. 1

Событие и его машинное представление Событие и его машинное представление

Y2б, 81 — отсутствие выбора стратегии в целом и анализа рынка Y49, 68 — уменьшение чистой прибыли

Y27, 82 — отсутствие маркетингового процесса внутри коллектива Y410, 69 — увеличение затрат

Y31, 71 — отсутствие потенциального потребителя Ул1, 36 — неверный выбор обращения к потребителю

Y32 , 72 — неправильно поставленные цели компании Y412 , 37 — неверный выбор времени размещения

Y33, 73 — падение спроса на товар Y413, 38 — непрофессионально созданный вид рекламного объявления

Y34, 74 — снижение прибыльности Y414, 40 — непрофессионально созданный текст рекламы

Y35, 51 — отсутствие анализа хозяйственного портфеля компании Y415, 39 — неверный выбор мест размещения

Y3б, 52 — недостаточность основных ресурсов Y41б, 41 — снижение дополнительных выгод для потребителя

Y37, 53 — выход из строя оборудования Y417, 42 — некомпетентность маркетологов

Y38, 54 — уменьшение числа рабочих Y418, 43 — недостаточная работа с потребителями

Y39, 55 — ошибки в ценообразовании Y419, 44 — отсутствие у потребителя четкого взгляда на продукт

Y3lo, 75 — ошибки в продвижении продукта Y420 , 45 — неверный выбор целевых рынков сбыта

Yзll, 76 — снижение эффективности рекламы Y421, 46 — снижение удовлетворенности основных потребностей работников

Y312, 77 — повышение текучести кадров Y422 , 47 — отсутствие четких критериев оценки результатов работы

Y313, 56 — нехватка квалифицированных сотрудников Y423, 48 — отсутствие привязки результатов работы к заработной плате

Y314, 57 — некомпетентность начальника отдела кадров Y424, 49 — недовольство сотрудников условиями труда

Y315, 78 — снижение мотивации сотрудников к работе Y425, 50 — уменьшение заработной платы

Y31б, 58 — трудности в подборе персонала Y42б, 70 — конфликты в коллективе

Y51, 20 — устаревшая технология маркетинговых исследований Yб1, 1 — высокие входные барьеры на рынок

Y52, 21 — устаревшая технология проведения маркетинговой стратегии Yб2, 2 — появление товара-заменителя

Y53, 22 — устаревшая технология производства Yб3, 3 — увеличение конкуренции

Y54, 23 — устаревший вид услуг Yб4, 4 — уменьшение известности бренда

Y55, 24 — устаревший товар Yб5, 5 — падение благосостояния населения

Y5б, 25 — неудовлетворенность запросов клиентов Yбб, 6 — недостаток сходных материалов

Y57, 62 — снижение объема выпуска продукции Yб7, 7 — нехватка человеческих ресурсов

Y58, 63 — падение спроса на продукцию Yб8, 8 — ошибки в планировании

Y59, 64 — увеличение косвенных затрат Yб9, 9 — выход из строя основных средств

Y510, 65 — увеличение прямых затрат Yб10, 10 — увеличение коммунальных затрат

Y511, 26 — отсутствие корпоративной культуры Yб11, 11 — увеличение затрат на оплату труда

Y512, 27 — отсутствие четко сформулированной системы должностных обязанностей Yб12, 12 — увеличение стоимости закупки продукта поставщика

Y513, 28 — отсутствие четкой системы требований к сотрудникам Yб13, 13 — увеличение затрат на подбор персонала

Y514, 29 — разные ценности сотрудников Yб14, 14 — увеличение затрат на обучение работников

Y31, 71; Y33, 73 и Y47, 34 входят как во внешние, так и во внутренние факторы Yб15, 15 — увеличение затрат на управление

Yб19, 19 — увеличение затрат на покупку нового оборудования Yб1б, 16 — увеличение затрат на обслуживание производства

Yб18, 18 — увеличение затрат на содержание основных средств Yб17, 17 — увеличение затрат на эксплуатацию основных средств

вой строке указываются общее число вершин N1, максимальное число заходящих дуг в одну вершину N2, число инициирующих вершин N3, максимальное число слагаемых N4 и максимальное число сомножителей в одном слагаемом автоматически формируемой расчетной логической функции N5.

Далее следуют строки описания всех вершин. Номер вершины помещается в первом столбце. Признак вида вершины (инициирующие — 1 и производные — 2) — во втором столбце. Третий столбец служебный, а далее в строке следуют N2 пар значений параметров, описывающих вершины. Далее заполняется файл Harel.dat для вероятностей инициирующих вершин.

Сворачивание инициирующих вершин. Исходная граф-модель (см. рисунок) имела N1 = 85 вершин, из которых N = 61 были инициирующими. При значении параметра N4 = 600 (максимальное число слагаемых в Л-функции риска) корректного решения получить не удалось. При N4 < 500 логическая и вероятностная функции строятся не полностью. Это видно из того, что преобразования оказываются незавершенными и число слагаемых для логической и вероятностных функций равно задаваемому значению К = К2 = N4.

Поэтому было проведено сворачивание следующих групп инициирующих событий с целью уменьшить число инициирующих событий:

• группа Ylf Y2, Y3, Y4, Y5 и Y6, Y7, Y8, Y9 сворачивалась в производное событие Y68;

• группа Y10, Yll, Y12 и Y13, Y14, Y15, Y16, Y17,

Y18, Y19 сворачивалась в производное событие Y69.

При вероятностях названных инициирующих событий 0,02 получены при свертывании вероятности событий P{y68 = 0} = 0,166252 и P{y69 = = 0} = 0,182927.

Далее было проведено построение новой, более компактной ЛВ-модели риска с исключением свернутых инициирующих событий и с использованием новых событий Y68 и Y69 описанных уже как инициирующие, а не производные события. В качестве значений вероятности событий

Y68 и Y69 использовались значения, полученные при сворачивании инициирующих событий.

Как видно из полученных результатов моделирования, сокращение размера модели сворачиванием инициирующих событий позволяет значительно уменьшить размерность Л-модели риска. Приведем основные результаты расчетных исследований.

В табличном представлении модели риска (табл. 2) инициирующие события с 1-го по 19-е свернуты в события 68 и 69. Описания инициирующих

Таблица 2. Табличное представление модели риска: N1 = 62, N2 = 6, N3 = 44, N4 = 400, N5 = 20

y59 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,020

y60 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,020

y61 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,020

У68 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,166

У69 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,183

y66 2 0 20 1 21 1 22 1 0 0 0 0 0 0

y67 2 0 23 1 24 1 25 1 0 0 0 0 0 0

y70 2 0 26 1 27 1 28 1 29 1 0 0 0 0

y71 2 0 66 67 0 0 0 0 0 0 0 0

У 72 2 0 30 1 32 1 33 1 34 1 0 0 0 0

y73 2 0 34 1 35 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y74 2 0 68 1 69 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y75 2 0 36 1 37 1 38 1 39 1 40 1 0 0

y76 2 0 41 1 42 1 43 1 44 1 45 1 0 0

y77 2 0 46 1 47 1 48 1 0 0 0 0 0 0

y78 2 0 49 1 50 1 70 2 0 0 0 0 0 0

y79 2 0 71 72 73 2 74 2 0 0 0 0

y80 2 0 51 1 52 1 53 1 54 1 0 0 0 0

y81 2 0 55 1 75 76 2 0 0 0 0 0 0

У82 2 0 77 2 56 1 57 1 78 2 58 1 0 0

y83 2 0 59 1 60 1 61 1 71 2 73 2 0 0

y84 2 0 79 2 80 2 81 2 82 2 0 0 0 0

y85 2 0 83 102 84 102 0 0 0 0 0 0 0 0

событий с 20-го по 58-е опущены, так как они такие же, как для приведенных событий 59, 60 и 61.

Полученная таким образом граф-модель (см. табл. 1) имела N1 = 62 вершины, из которых N = 44 были инициирующими. Расчетные исследования выполнялись также для итогового события, равного у85 = у84 /\ у83. При N4 < 400 (примерно) логическая и вероятностная функции строятся не полностью. Это видно из того, что преобразования оказываются незавершенными и число слагаемых для логической и вероятностных функций равно задаваемому значению К1 = К2 = N4. При N4 > 400 число слагаемых для логической и вероятностных функций равно К1 = К2 = 104.

При значении параметра N4 = 400 (максимальное число слагаемых в Л-функции риска) получено корректное решение.

Будем обозначать логическую операцию сложения ИЛИ как «V» и опускать логическую операцию умножения И между логическими переменными в конъюнктах, а также вероятность события Р1 и вероятность отрицания события Qi. Логическая функция риска: у85=у58у61 V у58у60 V у58у59 V у29у61

V у29у60V у29у59V у28у61V у28у60 V у28у59

V у27у61V у27у60V у27у59 V у26у61V у26у60

V у26у59V у50у61V у50у60 V у50у59

V у49у61V у49у60V у49у59 V у57у61V у57у60

V у57у59V у56у61V у56у60 V у56у59

V у48у61 V у48у60 V у48у59 V у47у61 V у47у60

V у47у59 V у46у61 V у46у60 V у46у59

V у45у61V у45у60V у45у59 V у44у61V у44у60

V у44у59V у43у61V у43у60 V у43у59

V у42у61 V у42у60 V у42у59 V у41у61 V у41у60

V у41у59V у40у61V у40у60 V у40у59

V у39у61V у39у60V у39у59 V у38у61V у38у60

V у38у59V у37у61V у37у60 V у37у59 V у36у61

V у36у60V у36у59V у55у61V у55у60 V у55у59

V у54у61V у54у60V у54у59 V у53у61V у53у60

V у53у59 V у52у61 V у52у60 V у52у59 V у51у61

V у51у60 V у51у59 V у61у69 V у60у69 V у59у69

V у61у68 V у60у68 V у59у68 V у35 V у34

V у33у61V у33у60V у33у59V у32у61V у32у60

V у32у59 V у30у61 V у30у60 V у30у59 V у25

V у24 V у23 V у22 V у21 V у20.

Вероятностная функция риска, полученная после ортогонализации Л-функции риска, приведена ниже, но показана не полностью, а только первыми тремя и последним слагаемыми. Между ними находится 147 строк, которые содержат остальные слагаемые:

Р{у85 = 0} = Q20.Q21.Q22.Q23.Q24.Q25.Q34.Q35. + + P58.P61Q20.Q21.Q22.Q23.Q24.Q25.Q34.Q35.P58. + + P60.Q61Q20.Q21.Q22.Q23.Q24.Q25.Q34.Q35.P58. + + P59.Q60.Q61 + + + + + + + + + +

+ P20.Q21.Q22.Q23.Q24.Q25.Q34.Q35

Отсюда следует, что развернутая запись этого выражения является большой по объему и соответствующие вычисления, как показали расчеты, представляют трудность даже для современного персонального компьютера, приводя к нехватке объема оперативной памяти.

При свертывании инициирующих событий и значении N4 = 400 вероятность итогового события P{y85 = 0} = 0,1806.

Основные результаты расчетных исследований следующие.

1. Без свертывания инициирующих событий величина P{y85 = 0} отличается от истинного значения соответственно N4 = 200 (P85 = 0,0613), N4 = 400 (P85 = 0,1037), N4 = 500 (P85 = 0,1197). Если экстраполировать результаты, то без свертывания инициирующих событий истинное значение вероятности P85 может быть достигнуто при N4 > > 1000. При этом учитывались повторные события, которые обозначались одинаковыми идентификаторами.

2. Со свертыванием инициирующих событий и без учета повторных событий получены следующие результаты при N4 = 400: число слагаемых в Л-функции и В-функции риска K1 = K2 = 240. Вероятность итогового события P{y85 = 0} = 0,0780 и существенно отличается от вероятности этого события при учете повторных событий.

3. Число сомножителей в слагаемом В-функ-ции риска достигает 42. Поскольку значения сомножителей как вероятностей находятся в интервале {0, 1}, то обеспечить точность вычисления слагаемых не просто. Точность вычислений зависит как от числа сомножителей, так и от значений самих вероятностей. Поэтому лучшим выходом является декомпозиция сложной комплексной ЛВ-модели риска на несколько простых моделей, связанных логическими операциями ИЛИ и И.

Заключение

Результатом настоящей работы явилось обоснование актуальности задачи построения ЛВ-моделей риска неуспеха комплексных структурно-сложных экономических систем.

Предложено несколько правил построения ЛВ-моделей риска:

• выделение внешних и внутренних инициирующих событий;

• свертывание инициирующих событий в узлах И и ИЛИ.

На примерах построения ЛВ-моделей риска неуспеха с использованием предложенных правил показаны практическая возможность их выполнения, а также достаточно высокая эффективность.

Литература

1. Соложенцев Е. Д. Управление риском и эффективностью в экономике. Логико-вероятностный подход. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009. — 270 с.

2. Solojentsev E. D. Scenario Logic and Probabilistic Management of Risk in Business and Engineering. Second ed. — Springer, 2008. — 480 p.

3. Соложенцев Е. Д. И3-технологии в экономике. http://www.dolgrach.ucoz.com (дата обращения: 20.06.2010).

4. Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. 2-е изд. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. — 276 с.

Mozhaev A. S. Certification of the Software for automated calculations of systems safety and technical risks «Arbiter» // Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems: Proc. of the Int. Scien. School, St. Petersburg, Sept. 4-8, 2007. St. Petersburg: SPUASE, 2007. P. 403-408.

Кордеро Либорио (научный руководитель — проф. Михайлов В. Ф.), автор кратких сообщений «Метод активной многомодовой диагностики плазмы» (Информационно-управляющие системы. 2008. № 6. С. 6264) и «Шумовая температура антенного окна» (Информационно-управляющие системы. 2010. № 2. С. 5254), приносит извинения за отсутствие корректного цитирования следующих публикаций: Немиро-вский В. А. Диагностика пристеночного участка плазмы посредством многомодового зондирования электромагнитными волнами // Изв. Вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21. № 11; Михайлов В. Ф., Победоносцев К. А., Брагин И. В. Прогнозирование эксплуатационных характеристик антенн с теплозащитой. СПб.: Судостроение, 1994.