Аналитическое решение физически нелинейной задачи для неоднородной толстостенной цилиндрической оболочки

УДК 624.06

В.И. Андреев, Л.С. Полякова

НИУМГСУ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Приведено решение одной из задач нелинейной теории упругости с учетом неоднородности. Задача решена в осесимметричной постановке, т.е. все параметры нелинейной зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций являются функциями радиуса. Рассмотрен пример — распределение напряжений в неоднородном грунтовом массиве с цилиндрической полостью.

Ключевые слова: теория упругости, нелинейно-упругий материал, неоднородность, толстостенный цилиндр

Среди классических работ, посвященных механике деформируемого твердого тела, значительное место занимают исследования с учетом физической и геометрической нелинейности [1—5]. Также достаточно работ, в которых рассматриваются линейные задачи с учетом неоднородности материалов [6—13]. При этом публикаций, в которых учитываются оба эффекта (нелинейность и неоднородность), крайне мало [6, 9]. Это связано с отсутствием экспериментальных данных по влиянию различных факторов на параметры, определяющие нелинейное поведение материалов. Тем не менее изучение влияния неоднородности при решении задач для конструкций из физически нелинейных материалов представляет интерес. За последние годы первым автором с учениками было опубликовано несколько работ, посвященных данной теме [14—18].

Развитием методов решения задач для физически нелинейных тел является учет неоднородности их механических характеристик. Если параметры нелинейной диаграммы ai = f (s.) являются непрерывно изменяющимися вдоль координат функциями, то задачи для таких тел следует отнести к нелинейно неоднородным. Физическим обоснованием постановки таких задач является зависимость реальных механических характеристик материалов от различных факторов. Наряду с модулем упругости и коэффициентом Пуассона переменными могут быть предел прочности а предельная деформация ев и т.д. В этом случае, рассматривая, например, нелинейную зависимость между напряжениями и деформациями [19], можно выразить параметры A, a через ав и e что позволяет задать A и a в зависимости от координат.

а = f

Рассмотрим осесимметричную задачу о равновесии толстостенного цилиндра, поведение материала которого в каждой точке описывается зависимостью (1), а все три параметра диаграммы а. - s. есть произвольные функции от радиуса. Пусть полый цилиндр, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно a и b, нагружен равномерными давлениями ра и ръ.

Будем полагать, что начальный коэффициент поперечной деформации у0 равен 0,5, т.е. используется гипотеза о несжимаемости материала. Предположим также, что момент разрушения на диаграмме с . - е (рис. 1) соответствует экстремальной точке. Это позволяет использовать условие: при с . - ев ^ й с .. /й е. = 0.

Отсюда можно найти:

а = -

Ег„

А =

Ее - ст.

Рис. 1. К определению параметров диаграммы с - e.

Ев в еВ

Кроме того, для а можно ввести другое определение:

а =1/

где Есек, в = ав/ев — секущий модуль в момент разрушения. Решение для однородного материала

Учитывая ег = 0 и сг =у (сг + се) = 0,5 (сг +се), и используя выражения для интенсивности напряжений и интенсивности деформаций в цилиндрических координатах, получим:

2

с="уК-se); e= 2yfe

Предположение о несжимаемости материала, т.е. об отсутствии объемных деформаций (ег +ее +ег =0), позволяет проинтегрировать условие совместности деформаций: йее/йг = (ег -ее)/г = -2ее/г, в результате чего находим ее = В г2; е г = - В г2, где В — константа интегрирования.

й с„

Из уравнения равновесия

d sr

dr

2c

(

#r

2E\B\ Sr2

A

2a

_^ + sr-se

dr r

= 0 с учетом (4) и (1) получим

IT

Здесь, чтобы сохранить симметрию диаграммы с - e при растяжении и сжатии, введены абсолютные значения и параметр c = signe .. Переходя к безразмерным величинам р = r/a, sr = sjpb и вводя обозначения K = Apb- /Ea;

(pba2решение уравнения (5) можно записать в виде

cCl c-Kcg Тэр2 ^V3p2a'

константы которого C и C2 определяются из граничных условий

р =1; sr = -w = -pJPb; p=p=Va; s = -1.

Подставляя (7) в (6), получим систему из двух нелинейных уравнений степени a относительно констант C и C которая в общем случае решается численно. Рассмотрим частный случай — задачу о концентрации напряже-

ний вблизи цилиндрической полости в бесконечном массиве, подверженном гидростатическому давлению ръ = р. Полагая р = да, ю = 0, с = +1*, находим С2 = -1, а для С1 получаем уравнение

к -с;—1Гс +1 = о.

л/3а 1 л/3

Таким образом, константа C1 зависит от a, т.е. от отношения Есек BjЕ и параметра K, который, в свою очередь, зависит от внешнего давленияр и предела прочности материала а При некоторых значениях уравнение (8) дает несколько решений, из которых следует выбрать то, которое сводится к решению для линейно-упругого материала. Отметим, что переход к линейной задаче осуществляется, если положить K = 0, что соответствует A = 0 или Есек в/E. При этом согласно (3) a ^ да. Однако переход K ^ 0 можно рассматривать иначе, считая Есек в/E = const(a = const), а ав ^ да, что при малых значениях e приближает нелинейную диаграмму к линейной. Иллюстрируя сказанное, на рис. 2 приведены две ветви положительной зависимости C1 от K при a = 3, что соответствует Есек в/E = 2/3. Очевидно, что правильной является нижняя ветвь — С, поскольку при K ^ 0 она дает решение, отвечающее линейной задаче. Это легко проверить, вычислив напряжения ае на контуре полости. Их безразмерные значения вычисляются по формуле

, -Ое _с --CL_ + KC'

p C л/эр2 + aV3p2* ,

из которой для рассматриваемого случая имеем с 5KC3

s,

С,

\d2)

L]__,

0 0,04 0,08 0,12 К 0,16 Рис. 2. Зависимость константы С1 от параметра К

Легко проверить, что при К ^ 0 и С1 = >/э величина 5е = -2, что соответствует известному результату для линейно-упругой задачи. На рис. 3 приведены зависимости С1 от отношения Есек, в/Е для трех уравнений нагрузки, определяемых отношением р/ав. На рис. 4 приведены эпюры безразмерных напряжений я вычисленные по формуле (9) при р/ав = 0,5 и для различных значений отношения Есек, в/Е. Пунктиром показано решение для линейно-упругого материала. Заметим, что с увеличением нелинейности (уменьшение

* При сжатии массива перемещения вдоль радиуса и < 0, откуда следует, что е. = и/г < 0 и е. > 0.

VESTNIK

JVIGSU

отношения Есек в/Е ) снижение напряжений по сравнению с упругой задачей становится более существенным. Аналогичный результат получается при решении упруго-пластических задач [12, 20].

4,0

с,

3,5

3,0

2,5

2,0 1,73 1,5

\

\ \ Jc! ),75

\

025/ V

4

0

0,25

0,5 £-„„/£- 1,0

Рис. 3. Зависимость константы Cl от параметров диаграммы s - e

2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0

F \ i-fCCK.B E =1

W 2/3 s. \л

0.4/„ „ /

1,0 1,5 2,0 г/а 2,5

Рис. 4. Эпюры напряжений яд вблизи цилиндрической полости

Решение для неоднородного материала.

Переход к задаче, в которой наряду с нелинейностью учитывается неоднородность материала, связан с заменой констант Е, А и а, входящих в (1), на функции Е(г), А(г) и а(г). Учитывая (2), две последние зависимости обусловлены изменением физических характеристик св(г) и ев(г). Для функции Е(г) будем использовать зависимость из [20], которую запишем в виде

E

где введены обозначения кЕ и т подчеркивающие, что данные коэффициенты относятся к функции неоднородности Е(г).

В задаче о концентрации напряжений вблизи цилиндрической полости, зависимость типа (10), учитывая ее локальный характер, может быть использована и для описания функций с (г) и е (г) с соответствующими константами:

°Лг) = ъв,0Г1 + (*„- 1)(«ЛГ1; Бв(Г) = 6В>0|~1 + {К- 1)(а/г)" "

Если подставить эти зависимости в (2), то полученные функции будут настолько сложны, что получить решение можно будет только численно. Рассмотрим некоторые частные случаи, когда удается получить аналитическое решение.

Если, например, еП = еП0 = const, kE = ks и mE = ms, а

— s — a

A(r) =

1 + (k- — 1 )(a/r)"

тогда уравнение (5) легко интегрируется.

Так же просто можно найти решение, если a = const, а A(r) = А0 1 + ((А - l)(a/r ) . Этот случай не соответствует определенным зависимостям ств(г) и ев(г), но может быть получен путем аппроксимации кривой A(r). Решение в безразмерных напряжениях при этом имеет вид:

s = C + _C_ 2C(i-kE) _ kc; + 2K(i-kA)c; ;

r 2 л/3р2 y/3 (mE + 2)pmE+2 V3ap2a <Jb(2a + mE)p2 '

v = C -

Cj 2Cj (1 - kE) (mE +1) (1 - 2a) KC,a

V3p2 л/3 (mE + 2)pmE+2 V3ap3 a

2 (2а-1 + тЕ )К (1 - кЕ )С1а л/3 (2а + тЕ )р2а+тЕ '

где К = Л0 р'-1/Е0 . Константы С1 и С2 определяются из граничных условий (7).

На рис. 5 приведена эпюра £е =сте/р для случая а = 3; кЕ = кл = 0,5; тЕ = тА = 2 и граничных условиирь(Ъ ^ да) = р = 0,5св 0. Для сравнения на этом же рисунке приведены эпюры для линейно-упругого и нелинейно-упругого однородных материалов. Можно отметить, что в данном примере и учет нелинейности, и учет неоднородности приводит к снижению напряжений вблизи контура полости. При других значениях констант неоднородности, например в случае кЕ > 1, напряжения на контуре полости могут возрастать.

Рис. 5. Распределение напряжений в массиве с цилиндрическим отверстием:

1 — линейно-упругий однородный материал; 2 — нелинейно-упругий однородный материал; 3 — нелинейно-упругий неоднородный материал

Полученное решение может быть использовано для расчета цилиндрических сосудов высокого давления, работающих в условиях высокого градиента

температур, и определения напряжений при проектировании и строительстве подземных скважин. В последнем случае, учитывая, что коэффициент Пуассона грунта может быть близок к 0,5, допустимо пренебрежение асимметрией давления грунта.

Библиографический список

1. Андреев В.И., Малашкин Ю.Н. Расчет толстостенной трубы из нелинейно-упругого материала // Строительная механика и расчет сооружений. 1983. № 6. С. 70—72.

2. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1951. Т. 15. Вып. 6. С. 765—770.

3. Новожилов И.В. Об уточнении предельных моделей механики // Нелинейная механика / под ред. В.М. Матросова, В.В. Румянцева, А.В. Карапетяна. М. : Физматлит, 2001. 432 с.

4. Stupishin L.U., Nikitin K.E. Numerical research methodology of free oscillations of geometrically nonlinear shell using the mixed finite element method // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 988. Pp. 338—341.

5. Stupishin L.U., Nikitin K.E. Determining the frequency of free oscillations geometrically nonlinear shell using the mixed finite element method // Applied Mechanics and Materials. 2014. Vols. 580—583. Pp. 3017—3020.

6. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Несимметричная деформация толстостенных неоднородных сферических оболочек // Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. № 6. С. 42—45.

7. Колчин Г.Б. Расчет элементов конструкций из упругих неоднородных материалов. Кишинев : Картя Молдовеняске, 1971. 172 с.

8. Колчин Г.Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Кишинев : Штиинца, 1977. 119 с.

9. Ольшак В., Рыхлевскй Я., Урбановский В. Теория пластичности неоднородных тел / пер. с англ. Я. Рыхлевского ; под ред. Г.С. Шапиро. М. : Мир, 1964. 156 с.

10. Ростовцев Н.А. К теории упругости неоднородных тел // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 601— 611.

11. Nowinski J. Axisymmetric problem of the steady-state thermal-dependent properties // Applied Scient. Research. 1964. Vol. 12. No. 4—5. Pp. 349—377.

12. Olszak W., Urbanovski W., Rychlewski J. Spr^zysto-plastyczny gruboscienny walec niejednorodny pod dzialaniem parcia wewnetrznego i sily podluznej // Arch. mech. stos. 1955. Vol. VII. No. 3. Pp. 315—336.

13. Olszak W., Urbanowski W. Spr^zysto-plastyczna gruboscienna powloka kulista z materialu niejednorodnego poddana dzialaniu cisnienia wewnetrznego i zewnetrznego // Rozprawy inzynierskie. 1956. Vol. IV. No. 1. Pp. 23—41.

14. Андреев В.И. Равновесие толстостенного шара из нелинейного неоднородного материала // Строительная механика и расчет сооружений. 1983. № 2. С. 24—27.

15. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М. : Изд-во АСВ, 2002. 288 с.

16. Василенко А.Т., Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д. Напряженное состояние толстостенных неоднородных сферических оболочек при несимметричных нагрузках // Прикладная механика. 1982. Т. XVIII. № 4. С. 22—28.

17. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. О решении задач статики слоистых оболочек в трехмерной постановке // Вычислительная и прикладная математика. 1981. Вып. 43. С. 123—132.

18. Andreev V.I. About the unloading in elastoplastic inhomogeneous bodies // Applied Mechanics and Materials. 2013. Vols. 353—356. Pp. 1267—1270.

19. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М. : Стройиздат, 1978. 208 с.

20. Andreev V.I. Equilibrium of a thick-walled sphere of inhomogeneous nonlinear-elastic material // Applied Mechanics and Materials. 2013. Vols. 423—426. Pp. 1670—1674.

Поступила в редакцию в сентябре 2015 г.

Об авторах: Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, asv@mgsu.ru;

Полякова Людмила Сергеевна — магистрант кафедры сопротивления материалов, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, l.poliakova@inbox.ru.

Для цитирования: Андреев В.И., Полякова Л.С. Аналитическое решение физически нелинейной задачи для неоднородной толстостенной цилиндрической оболочки // Вестник МГСУ 2015. № 11. С. 38—45.

V.I. Andreev, L.S. Polyakova

ANALYTICAL SOLUTION OF PHYSICALLY NONLINEAR PROBLEM

FOR AN INHOMOGENEOUS THICK-WALLED CYLINDRICAL SHELL

Among the classical works devoted to Solid Mechanics a significant place is occupied by the studies taking into account the physical and geometric nonlinearity. Also there is enough of works, which concern linear problems taking into account the inhomo-geneity of the material. At the same time there are very few publications, which take into account both effects (non-linearity and inhomogeneity). This is due to the lack of experimental data on the influence of various factors on the parameters defining the non-linear behavior of the materials. Thus it is of great importance to study the influence of inhomogeneity when solving the problems of structures made of physically nonlinear materials. This article provides a solution to one of the problems of the nonlinear theory of elasticity taking into account the inhomogeneity. The problem is solved in an axisymmetric formulation, i.e. all the parameters of the nonlinear relationship between the intensities of stresses and strains are functions of the radius. The article considers an example — the stress distribution in the inhomogeneous soil massif with a cylindrical cavity.

Key words: theory of elasticity, nonlinear elastic material, inhomogeneity, thick-walled cylinder

References

1. Andreev V.I., Malashkin Yu.N. Raschet tolstostennoy truby iz nelineyno-uprugogo ma-teriala [Calculation of Thick-Walled Pipe of a Nonlinear-Elastic Material]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1983, no. 6, pp. 70—72.

2. Birger I.A. Nekotorye obshchie metody resheniya zadach teorii plastichnosti [Some Common Methods for Solving the Problems of the Theory of Plasticity]. Prikladnaya matema-tika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1951, vol. 15, no. 6, pp. 765—770.

3. Novozhilov I.V. Ob utochnenii predel'nykh modeley mekhaniki [On a Refinement of Limit Models of Mechanics]. Nelineynaya mekhanika [Nonlinear Mechanics]. Moscow, Fiz-matlit Publ., 2001, 432 p.

4. Stupishin L.U., Nikitin K.E. Numerical Research Methodology of Free Oscillations of Geometrically Nonlinear Shell Using the Mixed Finite Element Method. Advanced Materials Research. 2014, vol. 988, pp. 338—341. DOI: http://dx.doi.org/10.4028/www.scientiflc.net/ AMR.988.338.

5. Stupishin L.U., Nikitin K.E. Determining the Frequency of Free Oscillations Geometrically Nonlinear Shell Using the Mixed Finite Element Method. Applied Mechanics and Materials. 2014, vols. 580—583, pp. 3017—3020. DOI: http://dx.doi.org/10.4028/www.scientiflc.net/ AMM.580-583.3017.

6. Grigorenko Ya.M., Vasilenko A.T., Pankratova N.D. Nesimmetrichnaya deformatsiya tolstostennykh neodnorodnykh sfericheskikh obolochek [Asymmetrical Non-Uniform Deformation of the Thick-Walled Spherical Shells]. Doklady AN USSR [Reports of the Ukrainian Academy of Sciences ]. Series A, 1981, no. 6, pp. 42—45.

7. Kolchin G.B. Raschet elementov konstruktsiy iz uprugikh neodnorodnykh materialov [Calculation of Structural Elements Made of Inhomogeneous Elastic Materials]. Kishinev, Kartya Moldovenyaske Publ., 1971, 172 p.

8. Kolchin G.B. Ploskie zadachi teorii uprugosti neodnorodnykh tel [Plane Problems of Elasticity Theory of Inhomogeneous Bodies]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1977, 119 p.

9. Ol'shak V., Rykhlevsky Ya., Urbanovskiy V. Teoriya plastichnosti neodnorodnykh tel [Theory of Plasticity of Heterogeneous Bodies]. Translated from English. Moscow Mir, 1964. 156 s.

10. Rostovtsev N.A. K teorii uprugosti neodnorodnykh tel [To the Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1964, vol. 28, no. 4, pp. 601—611.

11. Nowinski J. Axisymmetric Problem of the Steady-State Thermal-Dependent Properties. Applied Scientific Research. 1964, vol. 12, no. 4—5, pp. 349—377. DOI: http://dx.doi. org/10.1007/BF03185007.

12. Olszak W., Urbanovski W., Rychlewski J. Sprçzysto-plastyczny gruboscienny walec niejednorodny pod dzialaniem parcia wewnetrznego i sily podluznej. Arch. mech. stos. 1955, vol. VII, no. 3, pp. 315—336.

13. Olszak W., Urbanowski W. Sprçzysto-plastyczna gruboscienna powloka kulista z materialu niejednorodnego poddana dzialaniu cisnienia wewnetrznego i zewnetrznego. Roz-prawy inzynierskie. 1956, vol. IV, no. 1, pp. 23—41.

14. Andreev V.I. Ravnovesie tolstostennogo shara iz nelineynogo neodnorodnogo ma-teriala [Equilibrium of a Thick-Walled Sphere Made of Nonlinear Inhomogeneous Material]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1983, no. 2, pp. 24—27.

15. Andreev V. I. Nekotorye zadachi i metody mekhaniki neodnorodnykh tel [Some Problems and Methods of Inhomogeneous Bodies Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2002, 288 p.

16. Vasilenko A.T., Grigorenko Ya.M., Pankratova N.D. Napryazhennoe sostoyanie tolstostennykh neodnorodnykh sfericheskikh obolochek pri nesimmetrichnykh nagruzkakh [The Stress State of Thick-Walled Non-Uniform Spherical Shells]. Prikladnaya mekhanika [Applied Mechanics]. 1982, vol. XVIII, no. 4, pp. 22—28.

17. Grigorenko Ya.M., Vasilenko A.T., Pankratova N.D. O reshenii zadach statiki sloistykh obolochek v trekhmernoy postanovke [On the Solution of Statics Problems of Layered Shells in Three-Dimensional Statement]. Vychislitel'naya i prikladnaya matematika [Computational and Applied Mathematics]. 1981, no. 43, pp. 123—132.

18. Andreev V.I. About the Unloading in Elastoplastic Inhomogeneous Bodies. Applied Mechanics and Materials. 2013, vols. 353—356, pp. 1267—1270. DOI: http://dx.doi. org/10.4028/www.scientific.net/AMM.353-356.1267.

19. Lukash P.A. Osnovy nelineynoy stroitel'noy mekhaniki [Fundamentals of Nonlinear Structural Mechanics]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1978, 208 p.

20. Andreev V.I. Equilibrium of a Thick-Walled Sphere of Inhomogeneous Nonlinear-Elastic Material. Applied Mechanics and Materials. 2013, vols. 423—426, pp. 1670—1674. DOI: http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMM.423-426.1670.

About the authors: Andreev Vladimir Igorevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; asv@mgsu.ru;

Polyakova Lyudmila Sergeevna — Master student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; l.poliakova@inbox.ru.

For citation: Andreev V.I., Polyakova L.S. Analiticheskoe reshenie fizicheski nelineynoy zadachi dlya neodnorodnoy tolstostennoy tsilindricheskoy obolochki [Analytical Solution of Physically Nonlinear Problem for an Inhomogeneous Thick-Walled Cylindrical Shell]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 11, pp. 38—45.