Логико-вероятностные модели риска взяток и коррупции

Северцев Н.А., Фесечко А.И. ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ РИСКА ВЗЯТОК И КОРРУПЦИИ

В настоящее время тема взяток и коррупции в России в условиях современных рыночных отношений и построения правового демократического государства является весьма актуальной. Взятки и коррупция снижают эффективность рыночной экономики, подрывают доверие людей к власти, порождают организованную преступность и ставят под угрозу национальную безопасность страны.

Для решения сложных социальных и организационных задач необходим, по мнению Джона фон Неймана и Ноберта Винера, математический аппарат на основе логики, дискретной математики и комбинаторики. В принципе такой адекватный математический аппарат имеется и называется логико-вероятностная (ЛВ) теория риска с ГНС (группой несовместных событий). Он опробован для оценки и анализа: кредитных

рисков, риска портфеля ценных бумаг, риска потери эффективности, риска неуспеха менеджмента компаний [1].

Логико-вероятностные модели (ЛВ-модели) кредитного риска показали в два раза большую точность и в семь раз большую робастность, а также абсолютную прозрачность в распознавании плохих и хороших кредитов, чем известные методики. Явление взятки, коррупции и воровства близки с явлениями отказ, авария, катастрофа в технике и явлениями дефолт, разорение, ущерб в экономике. Их следствием являются финансовые, материальные и моральные потери для общества и государства. Понятие риск взятки совпадает с понятиями надежность и безопасность в технике, и риск в экономике и бизнесе.

Чаще всего взятки имеют место, например, при получении лицензий (образование, медицина, строительство, оформление земельных участков в собственность и т.д.) и различных разрешений, в образовании (аттестаты, дипломы, экзамены), при регистрации и т.д. Взятка касается двух объектов - вза-имодателя и взаимополучателя, каждый из которых имеет свою выгоду. В целом эти два объекта совместно обворовывают государство.

Коррупция является одним из основных видов теневой экономики. Чаще всего под коррупцией подразумевают получение взяток и незаконных доходов бюрократами, которые взимают их у граждан для личного обогащения. Рассмотрим следующие модели взяток.

ЛВ-модель риска в учреждении.

Пусть учреждение принимает решение по неким проектам или договорам. Проектных и договорных работ может быть много. Для каждой этой работы будет известно, была ли она успешной или неуспешной. Неуспешность проектов (работ) объясняется необоснованностью выдачи разрешения или ресурсов из-за взяток. Элементами сценария и ЛВ-модели риска взяток являются функциональные подразделения, обозначим их как Zi, Z2, .... Zn. Каждое из этих подразделений имеет Nj чиновников, принимающих решение. Элементы Zi, Z2, .... Zn связаны логическими связями ОК, AND, NOT и могут иметь циклы. Чиновники в j -м подразделении Zji, ..., Zjr, ... ZjNj составляют ГНС. Они принимают решение, оставляют

«визу» на соответствующем документе.

Построение ЛВ-модели риска взяток на основе статистики из N успешных и неуспешных проектов (работ) заключается в вычислении вероятностей Pjr, j = 1, 2, ..., n; r = 1, 2, ..., Nj с которыми чиновники берут взятки. Например, пусть будет ЛВ-модель риска взятки условного банка. Используем статистику об успешных кредитах. Предположим, что банк имеет пять функциональных групп чиновников, которые принимают решения о выдаче кредитов. Поставим этим группам в соответствие логические переменные Zi, Z2, Z3, Z4, Z5. Каждая из групп имеет N1, N2, N3, N4, N5 чиновников принимающих решения. Число чиновников в группе равно числу граждан в признаке. Выданные кредиты оказались успешными - градация 1, или неуспешными - градация 0. Выдача кредита оформлена документом, где поставлены визы чиновников. Возможное число комбинаций прохождения клиента через банк и взяток

Nmax = N1, N2, N3, N4, N5

Логическая функция в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) содержит Nmax логических слагаемых и может быть записана как

*=71, 22, 73, 24, 75 V 71, 22 , 2з, 24, 25 • • • V 21 22 2з 24 25 <2>

В каждый конъюнкт (2) входит каждая Л-переменная из Е1, Е2, Zз, Z4, Z5 или ее отрицание (черта над Л-переменной). Все конъюнкты Попарно ортогональны. При вычислении вероятности события Y вместо событий Zl, ^2, Zз, Z4, Z5 следует поставить вероятности событий, а знак операции ОЯ заменить

на знак «+з». Л-модель можно упростить, если учесть структуру подразделений банка и их связи. Для определенности примем, что сценарий модели взяток определяет мостик (рис.1).

Рис.1. Структурная модель вероятности взяток.

Здесь чиновники из Zl и Z2 проверяют обеспечение кредитов, а из Zз, Z4 принимают решение о размерах и сроках кредита. Чиновники из Z5 руководят процессом. Это начальники. Клиент идет к одному из начальников, который за взятку направляет к начальникам из группы Zl - Z4, которые берут взятки . Логическая модель (Л-модель) в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) на основе кратчайших путей успешного функционирования системы с взятками [2] запишется в виде:

21 2з у 22 24 у 21 25 24 у 22 25 2з • <3>

Тогда В-полином риска взяток после ортогонализации Л-функции запишется в виде:

Р=Р2Р4 + РіРз + ЧіР2РзЧ4Р5+РіЧ2ЧзР4Р5-РіР2РзР4

После идентификации ЛВ-модели риска взяток определяются вероятности Р^г, j = 1,..., п; г = 1, ..., N взяток на основании статистических данных, установленных судом. В результате идентификации определяются вероятности Pjг и Р^г для всех чиновников и характеристики ЛВ-модели риска взяток.

2. ЛВ-модель риска взяток по параметрам поведения чиновников.

Для каждого типа взяток можно выделить признаки [1], ассоциирующие с преступлениями. Каждый из признаков имеет минимум две градации. В-модель риска взяток идентифицируется по статистическим данным. Серьезность подозрения во взятке можно оценивать количественно по вероятности взятки. О взятках чиновника свидетельствуют, например, следующие признаки: длительность работы в учрежде-

нии; приобретение дома, машины, земельных угодий и т.п., со стоимостью не соответствующей заработной плате; финансовые запросы, разгульный образ жизни, отсутствие соответствующих документов и записей; обширные связи с различными организациями и лицами, работающими в высших и других эшелонах власти и пр.

Элементами сценария и ЛВ-модели риска взяток являются признаки Zl, Z2, ............ Zn, каждый из которых имеет несколько градаций. Градации для j -признака Zjl, ..., Zjr, .............. ZjNj соответствуют ГНС. Можно описать сценарий взяток чиновника так: взятка имеет место, если имеет место любое одно событие-признак, или любые два события-признака, или ..................................все события-признаки. Сценарий взяток можно

представить в виде графа (рис. 2).

Y

Рис. 2. Структурная модель риска взяток

ЛВ-модель риска взяток в дизъюнктивной нормальной форме [1]

Y= Z1VZ2 .VZj v .vz„.

Л-функция риска взяток после ортогонализации (5) примет вид:

Y= Z1vZ2 Zi vZ3 Z_2 Zi v.

Модель полинома (В-функция) риска взяток запишется по формуле (6) и примет вид:

P = P1 + P2 q1 + Рз q1 q2 + ...

Идентификация ЛВ-модели взяток - вычисление вероятностей Pjr, j = 1, 2.., n; r = 1, 2., Nj, с

которыми чиновники берут взятки, по статистике подозрений на взятки в В-модели риска, такова, что вероятность взяток находится в пределах (0, 1) при любых значениях вероятностей событий. Для каждого события-градации в ГНС используются три ранее введенные вероятности P2j, Pjr, Pjr • Наибольшее

число разных комбинаций взяток равно: Nmax = N1 N2,....... Nj,.., Nn

где: N1 ,..., Nj ,..., Nn - число градаций в событиях-признаках.

Если число признаков n = 20, и каждый имеет Nj = 5 градаций, то число разных комбинаций взяток

(или конъюнктов в СДНФ) равно Nmax = 520 (астрономическое число), что объясняет трудности борьбы с

взятками. ЛВ-модель (5-6) описывает всевозможные взятки и является точной. Однако в ряде случаев не обязательно учитывать всевозможные взятки. К примеру, из статистики известно, что взятка имела место при появлении одного или не более двух событий из Z1, Z2,.., Zn. Тогда используется Л-модель риска при ограниченном числе разных взяток [1, 2].

Пусть имеем Л-модель риска взяток из четырех элементов:

Y = Z1 V, Z2 V, Z3 V, Z4.

Для ограниченного числа разных взяток сценарий может быть сформирован так: взятка может иметь

место, когда происходит любое одно или любые два события. Л-модель риска неуспеха запишется в следующем виде:

Y= Z1 Z2 Z3 Z4vZ2 Zi Z3 Z4vZ3 Zi Z2 Z4vZ4 Zi Z2 Z3v

V Zi Z2 Z3 Z4 v Zi Z3 Z2 Z4 v Zi Z4 Z2 Z3 v Z2 Z3 Zi Z4 v

vZ2 Z4 Zi Z_3vZ3 Z4 Zi Z2

В этой Л-модели риска (10) все логические слагаемые попарно ортогональны, что позволяет записать В-модель (В-полином) риска взяток:

P{Y} = P1 q2 q3 q4 + P2 q1 q3 q4 + P3 q1 q2q4 + P4 q1q2 q3 + P1P2 q3 q4 + +P1P3 q2 q4 + P1P4 q2 q3 + P2P3 q1 q4 + P2P4 q1 q3 + P3 q4 q1 q2

Рассмотрим пример: пусть имеется 1000 подозреваемых во взятках, на которых возбуждены уголов-

ные дела. Их них были осуждены только 300, а остальные 7 00 были признаны невиновными. Средний риск взяток Pav = 300/1000 = 0,3. Подозреваемые описываются n = 2 0 признаками, допустим, имевшие в сумме 9 4 градации, что соответствует реальности. Идентификация В-модели риска взяток (7) заключается в определении вероятности Pjr, r = 1, ..., Nj; j = 1,., n-событий-градаций.

На шаге оптимизации вычисляется вероятность взяток для каждого подозреваемого и сравнивается с допустимой вероятностью. Подозреваемого относят к плохим или хорошим. Целевая функция формулируется так: число корректно классифицируемых подозреваемых должно быть максимальным. Вклады собы-

тий-градаций в точность ЛВ-модели риска взяток можно представить в виде таблицы признаков Z2 и Z3 для оптимальной обученной ЛВ-модели (пусть Fmax = 826 - значение целевой функции в результате

идентификации), в которой приводятся частоты градаций для всех P2jr, плохих P20jr, хороших P2ljr подозреваемых; вероятности событий-градаций PIjr и P0jr; ошибки распознавания по градациям для всех Ejr (плохих E0jr и хороших EIjr) подозреваемых. Вклады событий- признаков в вероятность взятки подозреваемого пропорциональны вероятностям Pj, j = 1, 2, ..., n, равным вероятностям событий-

градаций Pjr, которые отличаются более чем в 10 раз, а ошибки градаций Ejr в классификации взяток - почти в 5 раз. Анализ ЛВ-модели риска взяток выполнен с использованием следующих формул (12, 13, 14, 15) :

Вклад признака j в риск объекта i:

APj=P

Вклад признака j в средний риск Pm множества объектов:

^Pjm=Pjm Pim | Pj = 0, j = 1, 2, .... n.

Вклад признака j в целевую функцию Fmax:

&Fj=Fmax-F|Fj = 0, j = 1, 2, ...., n.

Вклад градаций в целевую функцию:

Ejrq=Njrqb/Njrq; Ejrb=Njrbq/Njrb; Ejrm=

где: Njrqb, Njrqb, Njr - числа некоторых хороших, плохих и всех и всех градаций r.

3. ЛВ-модель риска взяток на параметрах обслуживания.

Оценим вероятность взяток, используя статистику параметра обслуживания, например, времени решения чиновником (учреждением) проблемы клиента от поступления заявки до принятия решения, например, времени утверждения в ученой степени до выдачи диплома соискателю ученой степени. Пусть для N соискателей имеется статистика по времени выдачи диплома (время обслуживания) Yi, i = 1, 2,.,

N. Если построить нормальный закон распределения параметра Yi и задать его средним значением и дисперсией, то это приведет к значительному уменьшению точности оценок взяток, так как нормальный закон распределения построен на разбросах средних значений и дисперсий. Параметр обслуживания может иметь непрерывные или дискретные значения. В обоих случаях с целью повышения адекватности модели взяток и использования аппарата ЛВ-исчисления лучше строить дискретное распределение на выбранных интервалах разбиения значений параметра. Каждому интервалу со средним значением параметра присваивается номер градации.

Вероятности событий-градаций можно определить по формуле: Pj = Nj/N, а риск подозрения на взятку по формуле RiSk = Nad/N

где: Nj - число значений параметра в статистике с данной градацией. Параметр обслуживания имеет допустимое значение Yad , число значений параметра Nad и энтропия вероятностей параметра в «хвосте» распределения (рис.З).

Рис. 3. Дискретное распределение параметра обслуживания.

Пример: обслуживались N = 700 клиентов. Параметр У1 - продолжительность обслуживания в днях, N1 = 30 дней-градаций, для которых вычислены вероятности Р1г, г = 1, 2,...,30. Допустимое значение параметра У^ = 10 и К23к1 = 0,2. Если параметр обслуживания меньше допустимого значения, то имеется подозрение на взятку: У1 < Пусть имеется еще один параметр обслуживания У2, имеющий 20 града-

ций, допустимое значение У2ad и К1зк2. Параметрам обслуживания соответствуют логические переменные, которые могут быть зависимыми (незначительно), так как они содержатся в определенной логической формуле, которая определяет зависимость между ними. При двух параметрах обслуживания У1 и У2 будем иметь N = N1 N2 = 30х20 = 600 комбинаций, каждая из которых имеет свою вероятность. Л-функции для двух различных комбинаций обслуживания ортогональны (произведение логических функций равно нулю), так как эти комбинации содержат разные градации для У1 и У2, принадлежащие одним и тем же ГНС. Свойство ортогональности разных комбинаций обслуживания позволяет перейти от Л-функций к алгебраическим выражениям для вероятностей, т.е. Л-переменные заменить на вероятности и знаки «И», «ИЛИ» на знаки «плюс». Легко вычислить число комбинаций и вероятность взятки по условию:

Y= {

Логико-вероятностные модели риска взяток могут быть широко использованы при решении проблемы противодействия взяткам и коррупции для оценки вероятностей взяток и коррупции в учреждении, чиновником и при обслуживании, а также для контроля и безопасности различных учреждений службами собственной безопасности.

Обозначения переменных и индексов:

1 = 1, 2,., N - индексы объектов или состояний объекта и параметра эффективности;

j = 1, 2, ..., п - индексы параметров, влияющих на параметр эффективности;

г = 1, 2,... N - индексы градаций параметров, влияющих на параметр эффективности;

N - число объектов или состояний объекта в статистике; п - число параметров;

Уг, г = 1, 2., N - градации или Л-переменные для параметра;

Zl, Z2,..., Zj,..., Zn - случайные значения или Л-переменные для влияющих параметров;

Zjr - значение параметров или Л-переменные для градация влияющих параметров;

Ищах = N1, N2, ..., ^,..., ^ - наибольшее число комбинаций разных объектов или состояний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соложенцев Е.Д. Сценарные логико-вероятностные модели взяток //Финансы и бизнес № 1, 2007.

2. Соложенцев Е.Д. Сценарные логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике. -СПб.: Бизнес-пресса, 2006.