КУБИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТИПА ДАРБУ С НЕЭЛЕМЕНТАРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ НА ЭКВАТОРЕ ПУАНКАРЕ

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3

УДК 517.925

КУБИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТИПА ДАРБУ С НЕЭЛЕМЕНТАРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ НА ЭКВАТОРЕ ПУАНКАРЕ Е. П. Волокитин

Аннотация. Исследовано глобальное поведение траекторий полиномиальной системы х = х — х2у + рху2 + у3, у = у + ру3, р € К. Данное исследование примыкает к работе агХ1у:2106/07516у2 [та^.БЯ].

Б01: 10.25587/8УРи.2023.68.43.004 Ключевые слова: полиномиальные системы, особые точки, экватор Пуанкаре, фазовые портреты, рациональные интегралы.

Введение

Рассмотрим плоскую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

х = х + Рп

где Рп(х,у), Qn(x,y) — однородные многочлены п-й степени. Будем называть такую систему системой типа Дарбу.

Системы вида (1) рассматривались различными авторами (см. [1-6] и процитированную там литературу). В этих работах изучались традиционные для качественной теории дифференциальных уравнений вопросы такие, как интегрируемость, наличие или отсутствие предельных циклов, локальные и глобальные фазовые портреты и т. д.

В [6] исследовались общие свойства систем вида (1) и в качестве примера применения полученных результатов были рассмотрены кубические системы типа Дарбу. Для них авторы получили полный по их мнению список глобальных фазовых портретов (с точностью до топологической эквивалентности). Однако вопреки утверждению авторов этот список не является полным. Для оправдания этого утверждения рассмотрим однопараметрическое семейство кубических систем типа Дарбу вида

Х = х — х2у + рху2 + у3, у = у + ру3, р € М,

и предъявим фазовые портреты систем этого семейства, не содержащиеся в списке, полученном в [6].

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0005).

© 2023 Волокитин Е. П.

Одной из причин допущенной авторами [6] ошибки является тот факт, что они не учли возможности существования у систем вида (1) неэлементарной особой точки на экваторе Пуанкаре с равной нулю матрицей линейного приближения («линейный нуль»). В этом случае возможно строение окрестности этой точки, которое имеет более сложную структуру по сравнению с традиционно возникающими и учтенными в [6] негиперболическими точками типа узел и седло-узел. Сходные ситуации рассматривались в [5,7]. В настоящей работе проведем соответствующее исследование с помощью более прозрачного и простого метода, применяя алгебраическое раздутие без использования трансцендентных уравнений. Кроме того, найдем интеграл системы (2) и обсудим его свойства.

Основная часть

Рассмотрим систему

х = х — х2у + рху2 + у3, у = у + ру3, р € М.

Теорема 1. 1. Фазовые портреты системы (2) приведены на рис. 3 (см. ниже).

2. Если р = 0, то система (2) имеет интеграл

Н (х,у) = (х — у)р(х + у)-р (1+ ру2),

который рационален, если р € ( \ {0}.

3. Если р = 0, то система (2) имеет интеграл

тл \ Х~У у2

Н(х, у) = ——еу . х+у

Если р = 0, то система (2) не имеет рационального интеграла.

Доказательство. Для изучения системы (2) применим более прозрачные и простые по сравнению с [5, 7] методы исследования. Для разрешения особенностей будем использовать алгебраическое раздутие, что позволяет не использовать трансцендентные функции. Кроме того, это дает возможность оценить асимптотику траекторий. К тому же в дополнение к [5] найдем интегралы системы (2) и укажем их интересные на наш взгляд свойства.

Система (1) детально исследовалась в [1,4,6]. В частности, там получено, что поведение в целом траекторий системы (2) определяется поведением ее траекторий вблизи экватора Пуанкаре.

Экватор Пуанкаре отвечает оси {г = 0} системы

и = дз

которая является результатом компактификации Пуанкаре системы (2) и получается из нее с использованием замены

и=у г=1

Подробнее см. [8,9].

В нашем случае компактификация системы (2) дает систему

и = и2

Система (4) имеет на экваторе три особые точки 00(0,0), 0\(1, 0), 02(—1, 0). Матрицы линейного приближения в этих точках суть

* =

Видно, что начало координат и = 0,г = 0 является неэлементарной особой точкой: матрица линейной части нулевая. Такие точки были упущены из рассмотрения в [6].

Для изучения особой точки 00(0, 0) сделаем замену координат (раздутие) [10,11]

Г тЬ и>0'

и = и, V = <

| и< 0. ^ к V3« '

После применения раздутия получим

й = и2

11

й = и

Введем новое время йт = и йЬ. Получим системы с теми же траекториями:

й = и

й = и

Дифференцирование по новой переменной по-прежнему обозначено точкой.

Система (9) имеет на оси {и = 0} три гиперболические особые точки 0о(0, 0), С?1(0,1/\/2), 02(0, — 1 /\/2)5 У которых матрицы линейной части имеют вид

•/о=(о 1/г) ' •/1=(-р/ч/2 Л)' •72=(рЫ2 Л)'

Точка 0о(0, 0) будет неустойчивым узлом, оставшиеся две — седлами.

Система (10) имеет на оси {и = 0} единственную особую точку — гиперболический устойчивый узел.

На рис. 1 изображены траектории систем (7), (8) в окрестности оси {и = 0}. Обратная замена координат (сжатие) позволяет изобразить поведение траекторий системы (4) в окрестности неэлементарной особой точки 00(0, 0). Эта окрестность содержит два узловых и два седловых сектора (рис. 2).

Особые точки 0г(1, 0), 02(—1, 0) системы (4) имеют следующий характер (см. (5)):

Рис. 1. Траектории систем (7), (8) в окрестности оси {и = 0}.

р > 0 р < 0 Рис. 2. Бесконечно удаленные особые точки системы.

р > 0, 01(1, 0) — гиперболический устойчивый узел, 02(—1, 0) — гиперболическое седло;

р < 0, 01 (1,0) — гиперболическое седло, 02(—1, 0) — гиперболический неустойчивый узел.

В случае р = 0 точки 01(1, 0), 02(-1, 0) будут элементарными полугиперболическими точками. Применяя разработанные для таких точек методы исследования, предложенные в [8, 9], получаем, что 01(1, 0) будет устойчивым узлом, 02 (—1, 0) — седлом.

На рис. 2 изображены варианты поведения траекторий системы (4) в окрестности оси {г = 0}, отвечающей экватору Пуанкаре, в зависимости от значений параметра р. Системы с таким поведением траекторий в окрестности экватора не попали в поле зрения авторов [6].

Охарактеризуем поведение траекторий системы (2) в конечной части плоскости. Будем опираться на результаты [4,6].

Система имеет три инвариантные кривые у = 0, у = х, у = —х.

Напомним, что стационары системы (2) могут располагаться только на инвариантных прямых.

2

г

и

и

Вдоль прямой у = 0 (2) принимает вид

X = х, у = у,

и видно, что точки покоя, отличающиеся от начала координат, на этой прямой отсутствуют.

Вдоль прямой у = х (2) принимает вид

X = X + рх , у = X + рх .

Если р > 0, на прямой отсутствуют точки покоя, отличающиеся от начала координат. Если р < 0, на прямой имеются две точки покоя (±1 /л/—р, ±1/^/—р), которые являются устойчивыми гиперболическими узлами. Вдоль прямой у = —х (2) принимает вид

х = х + рх , у = —х — рх .

Как и в предыдущем случае, если р > 0, то на прямой отсутствуют точки покоя, отличающиеся от начала координат. Если р < 0, то на прямой имеются две точки покоя (±1 /л/—р, /\/—р)' которые являются гиперболическими седлами. Предельные циклы в системе (2), очевидно, отсутствуют. Суммируя полученную информацию, строим фазовые портреты системы (2) на диске Пуанкаре (рис. 3).

р>0 р<0 Рис. 3. Фазовые портреты системы (4). Как уже отмечалось, такие фазовые портреты не могли быть обнаружены в процессе исследования в [6]1 П. 1 теоремы доказан.

Используя метод Дарбу интегрирования систем ОДУ с помощью инвариантов (см. например, [12]), можно найти интеграл (2). Функция Ь(х, у) называется инвариантом системы

х = Р (х,у), у = ^(х,у),

если она удовлетворяет условию

вь ^ дЬ(х,у)р^ + дь(х,у= ^ ^

дх

ду

1)1 В [5] приведены также другие варианты глобальных фазовых портретов кубических систем типа Дарбу, которых нет в [6].

где к(х,у) — многочлен от переменных х, у, который называется кофактором инварианта Ь(х, у).

Если система имеет инварианты Ьх,Ь2,... ,Ьа с кофакторами кх,к2,... ,ка и а\к\ + а2к2 +   - + аака = 0, то функция Н = Ь^1 Ь^2 ... Ь^3 является интегралом системы.

Система (2) имеет инвариантами многочлены Ьх = у, Ь2 = х — у, Ь3 = х + у, 2 2 Ь4 = 1 + ру2 и экспоненциальный множитель Ь5 = ву с кофакторами кх =

1 + ру2, к2 = 1 — ху — у2 + ру2, к3 = 1 — ху + у2 + ру2, к4 = 2ру2, к5 = 2у2(1 + ру2).

Имеем рк2 — рк3 + к4 = 0. В таком случае

Н

является первым интегралом системы (2).

Очевидно, что при рациональных значениях р = 0 интеграл (11) рационален и Нх = 0, ¡г2 = го будут его замечательными значениями. П. 2 теоремы доказан.

Если р = 0, то Н(х, у) = 1. При р =0 имеем к2 — к3 + к5 = 0 и

Н0{х,у) = ЦУеУ2

х + у

является первым интегралом системы (2), когда р = 0:

х = х — х2у + у3, у = у.

Интеграл (12), очевидно, не является рациональным. Более того, можно показать, что система (13) вообще не имеет рационального интеграла.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим кривую, которая является линией уровня Н0(х,у) = 1:

Г = I (х, у) € М : = 1, у > 0 1 .

I х + У )

Кривая Г — сепаратриса бесконечно удаленной неэлементарной особой точки, лежащей на конце оси 0х (рис. 4).

Пусть Г является ветвью алгебраической кривой Е(х, у) = 0 степени п. Следуя Эйлеру [13], запишем эту кривую в виде

Е

где Р — высший член, содержащий в себе все члены степени п, Q — второй член, содержащим члены степени п — 1, и т. д.

Кривая Е(х, у) = 0 является инвариантной кривой системы (13). Согласно п. 1 теоремы 1 неограниченные ветви могут иметь асимптотами только прямые у = 0, х — у = 0, х + у = 0. В таком случае согласно Эйлеру [13]

Р(х, у) = ук(х — у)1(х + у)тРг(х, у), к + I + т + г = п,

где многочлен

Рг(х, у) = ахг + вхг ху +    + ^уг

2 4 6 8

Рис. 4. Кривая Г = {(х,у) € К : Н0(х,у) = 1, у > 0}.

не имеет линейных множителей. Иными словами, уравнение Рг(1, я) = 0 не имеет действительных корней. В частности,

Рг (1, —1) = а — в + ••• + 7 =0.

Вдоль Г имеем

еУ + 1 х = —---у.

еУ - 1'

Обозначим г = еУ . Тогда вдоль Г

г + 1

х г + 1

-ТУ' ~ =-7г— 1 у г— 1

Подстановка (16) в (14) после очевидных преобразований приводит к равенству вида

&

Здесь & (у, г), Р (у, г), ^(у, г) — многочлены, при этом

Р = ук

,,«/ I х _ I

+ 1 а

г1

2г г - 1

а

2 + 1 2~1

+в

+в

+-----Ь 7

2+1 2- 1

г-1

+-----Ъ 7

у

8

6

4

2

х

х

г1

г

х

х

х

у

у

у

у

т

г

2

п

у

= 2l+mvnzm <*(* + !)Г + Ж* + l)^1^ ~ 1) + • • • + 7(* ~ 1)Г У _ ^г+т+г

P = 21+mynzm(a(z + 1)r + + 1)r-1(z - 1) +    + y(Z - 1)r)(z - 1)n-1-m-r;

Q = yn-1q(z),.... Коэффициент pnm при мономе ynzm в многочлене P имеет вид

Pnm =

В силу (15) pnm = 0, поэтому многочлен F не является тождественно нулевым. В таком случае равенство (17) означает, что система функций {yresy }r,sez линейно зависима на промежутке y > 0, что, очевидно, неверно.

Итак, кривая Г не алгебраическая. В таком случае система (13) не имеет рационального интеграла, поскольку при наличии рационального интеграла все траектории системы должны быть алгебраическими кривыми. П. 3 теоремы доказан.

Отметим, что рациональный интеграл

x + y

полученный из (11) при p = 1, и интеграл

x + y

из (12), не являющийся рациональным, отвечают топологически эквивалентным фазовым портретам соответствующих систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bendjeddou A., Llibre J., Salhi T. Dynamics of the polynomial differential systems with homogeneous nonlinearities and a star node //J. Differ. Equ. 2013. V. 254, N 8. P. 3530— 3537.

2. Берлинский А. Н. Качественное исследование дифференциального уравнения dy/dx = (y + aox2 + а\xy + а2y2)/(x + box2 + bixy + b2y2) // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. С. 353-360.

3. Yan Qian Ye, et al. Theory of limit cycles. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986. (Transl. Math. Monogr.; V. 66).

4. Волокитин Е. П., Чересиз В. М. Качественное исследование плоских полиномиальных систем типа Дарбу // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 1170-1186.

5. Волокитин Е. П., Чересиз В. М. Динамика кубических систем типа Дарбу // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 889-902.

6. Alarcon B., Castro S. B. S. D., Labouriau I. S. Global planar dynamics with star nodes: beyond Hilbert's 16th problem // arXiv:2106/07516v2 [math.DS].

7. Volokitin E. P. Singular points of polynomial Darboux systems // Qual. Theory Dyn. Syst. 2019. V. 18, N 3. P. 909-930.

8. Андронов А. А. и др. Качественная теория динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1956.

9. Dumortier F., et al. Qualitative theory of planar differential systems. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 2006.

10. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

11. Березовская Ф. С., Крейцер Г. П. Сложные особые точки системы двух дифференциальных уравнений. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1975.

12. García A., Grau M. A survey on the inverse integrating factor // Qual. Theory Dyn. Syst. 2010. V. 9. P. 115-166.

13. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. Т. II. М.: Физматгиз, 1961.

Поступила в редакцию 13 июня 2023 г. После доработки 13 июня 2023 г. Принята к публикации 4 сентября 2023 г.

Волокитин Евгений Павлович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 volok@math.nsc.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3

UDC 517.925

CUBIC DARBOUX SYSTEMS WITH A NON-ELEMENTARY SINGULAR POINT AT THE POINCARE EQUATOR E. P. Volokitin

Abstract: We study the global behavior of the trajectories of the polynomial system x = x — x2y + pxy2 + y3, y = y + py3, p € R. Our study is related to the paper arXiv:2106/07516v2 [math.DS].

DOI: 10.25587/SVFU.2023.68.43.004

Keywords: polynomial systems, singular points, Poincare equator, phase portraits, rational integrals.

REFERENCES

1. Bendjeddou A., Llibre J., and Salhi T., "Dynamics of the polynomial differential systems with homogeneous nonlinearities and a star node," J. Differ. Equ., 254, No. 8, 3530—3537 (2013).

2. Berlinskii A. N., "The qualitative study of the differential equation dy/dx = (y + aox2 + aixy + a.2y2)/(x + box2 + bixy + b2y2) [in Russian]," Differ. Uravn., 2, 353—360 (1966).

3. Yan Qian Ye, et al., Theory of Limit Cycles, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1986) (Transl. Math. Monogr.; vol. 66).

4. Volokitin E. P. and Cheresiz V. M., "The qualitative analysis of the plane polynomial Darboux systems [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., 13, 1170-1186 (2016).

5. Volokitin E. P. and Cheresiz V. M., "Dynamics of the cubic Darboux systems [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., 14, 889-902 (2017).

6. Alarcon B., Castro S. B. S. D., and Labouriau I. S., "Global planar dynamics with star nodes: beyond Hilbert's 16th problem," arXiv:2106/07516v2 [math.DS]

7. Volokitin E. P., "Singular points od polynomial Darboux systems," Qual. Theory Dyn. Syst., 18, No. 3, 909-930 (2019).

8. Andronov A. A., et al., The Qualitative Theory of Dynamical Systems in a Plane [in Russian], Nauka, Moscow (1956).

9. Dumortier F., et al., Qualitative Theory of Planar Differential Systems, Springer, Berlin; Heidelberg; New York (2006).

10. Arnol'd V. I., Additional Chapters on the Theory of Ordinary Differential Equations [in Russian], Nauka, Mocsow (1978).

11. Berezovskaya F. S. and Kreutzer G. P., Complex Singular Points of the System of Two Differential Equations [in Russian], ONTI NTsBI AN SSSR, Pushchino (1985).

12. Garcia A. and Grau M., "A survey on the inverse integrating factor," Qual. Theory Dyn. Syst., 9, 115-166 (2010).

© 2023 E. P. Volokitin

Cubic Darboux systems with a non-elementary singular point at the Poincare equator

13. Euler L., Introduction to Infinitesimal Analysis [in Russian], vol. II, Fizmatgiz, Moscow (1961).

Submitted June 13, 2023 Revised June 13, 2023 Accepted September 4, 2023

Evgenii P. Volokitin Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, 630090 Novosibirsk, Russia volok@math.nsc.ru