Об исчислении Ламбека с единицей и одним делением

Действительно, из условия теоремы 5 и теоремы 2 следует, что F(f, 7) не образует нормального семейства в D(0,r). Тогда по теореме 4 функция f обладает Р-последовательностью в Д7(Z,r).

Частным случаем теоремы 5 служит утверждение: если для мероморфной в U функции f множество C(f, Z, Д7(Z, ri)) = {а}, а Е Ü, и существует такое r2, 0 < ri <r2 < 1, что C(f, Z, Д7((, r2)) содержит более одного значения, то в Д7((,г2)Д7(Z,ri) содержится Р-последовательность функции f. Обобщением теоремы 5 является

Теорема 6. Пусть f — мероморфная функция в U и 7 — жорданова кривая в U, оканчивающаяся в точке Z Е K. Если по некоторой последовательности (zn) точек zn Е Д7(Z, r), где 0 < r < 1 фиксировано, lim u(zn,zn+i) = 0, lim zn = (, существует lim f (zn) = a,a Е Q, и C(f,Z, Д7(Z,r)) содержит более

n—n—ж n—ж

одного значения, то в Д7(Z,r) содержится Р-последовательность функции f.

Обоснование этого утверждения проводится по той же схеме, что и в доказательстве теоремы 5, с заменой в последнем ссылки на теорему 2 ссылкой на теорему 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хейман Р. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966.

2. Lehto O., Virtanen K.I. Boundary behavior and normal meromorphic functions // Acta math. 1957. 97. 47-65.

3. Ловатор А. Граничное поведение аналитических функций // Итоги науки и техники. Матем. анализ. Т. 10. М.: ВИНИТИ, 1973. 99-259.

4. Bagemihl F., Siedel W. Sequential and continious limits of meromorphic functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI. 1960. 280. 1-12.

5. Гаврилов В. И. О распределении значений мероморфных в единичном круге функций, не являющихся нормальными // Матем. сб. 1965. 67, № 3. 408-427.

Поступила в редакцию 18.06.2010

УДК 510.66

ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ЛАМБЕКА С ЕДИНИЦЕЙ И ОДНИМ ДЕЛЕНИЕМ

С. Л. Кузнецов1

В статье предъявляется подстановка, сводящая выводимость в исчислении Ламбека с единицей и одним делением к выводимости в исчислении Ламбека с одним делением, допускающем пустые антецеденты. При помощи этой подстановки устанавливается существование алгоритма, за полиномиальное время проверяющего выводимость в исчислении Ламбека с единицей и одним делением.

Ключевые слова: исчисление Ламбека, алгоритмическая сложность.

In this paper we present a substitution that reduces the derivability in the Lambek calculus with the unit and one division to the derivability in the Lambek calculus with one division permitting empty antecedents. Using this substitution, we establish the existence of an algorithm that checks the derivability in the Lambek calculus with the unit and one division in polynomial time.

Key words: Lambek calculus, algorithmic complexity.

Определим L*(\) — исчисление Ламбека с одним делением, допускающее пустые антецеденты. Счетное множество Pr ^ {P1,P2,P3, •••} называется множеством примитивных типов (здесь и далее " означает "равно по определению"). Типы исчисления L*(\) образуются из примитивных с помощью двухместной связки \ (левое деление); их множество обозначается Tp(\). Типы обозначаются заглавными латинскими буквами, их конечные (возможно, пустые) последовательности — заглавными греческими;

1 Кузнецов Степан Львович — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: skuzn@inbox.ru.

пустая последовательность обозначается буквой Л. Обозначим через Лк последовательность, составленную из повторенного к раз типа Л. Выводимыми объектами в исчислении Ь*(\) являются секвенции — выражения вида П ^ С; П называется антецедентом, а С — сукцедентом секвенции. Секвенции с пустым антецедентом (вида Л ^ С) будем записывать так: ^ С.

Исчисление Ь*(\) задается аксиомами вида рг ^ рг (обозначение (акс.)) и правилами вывода

А11->В 11->А Г ВА->С

V * \/> Т^ тт / Л \ д , гч

П ^ Л\Вк ГП(Л\В) А ^ С

Множество всех типов, построенных из примитивных типов и константы 1 (единица) с помощью связки \, обозначается через Тр(\, 1). Исчисление Ь*(\, 1) (исчисление Ламбека с единицей и одним делением) получается из исчисления Ь*(\) добавлением аксиомы ^ 1 (обозначение (^ 1)) и правила вывода

ГА ^ Л .

(1

Г 1 А Л

при этом в качестве множества типов вместо Тр(\) используется Тр(\, 1).

Исчисления Ь*(\) и Ь*(\, 1) получаются из исчисления Ламбека с единицей, введенного И. Ламбеком в [1], ограничением набора связок.

Обозначим через (П ^ С) [г := Л] результат подстановки типа Л вместо каждого вхождения г (г — литерал, т.е. г € Рг и{1}) в секвенцию П ^ С. Запись (П ^ С) [г1 := Л1, г2 := Л2,...] означает, что все подстановки осуществляются одновременно.

Теорема. Если П ^ С — секвенция с типами из Тр(\, 1) и д — примитивный тип, не встречающийся в этой секвенции, то имеет место равносильность

Ь*(\, 1) Ь П ^ С ^ Ь*(\) Ь (П ^ С)[1 := д \ д, рг := (д \ д)\(рг \ д)].

Из этой теоремы следует полиномиальная разрешимость проблемы выводим ости в исчислении Ь*(\, 1). Алгоритм таков: сначала по данной секвенции П ^ С строится секвенция (П ^ С) [1 := д \ д, рг : = (д \ д)\(Рг \ д)], а потом выводимость последней в Ь*(\) проверяется методом Ю. В. Саватеева [2, теорема 6].

Доказательству импликации слева направо предпошлем две леммы.

Лемма 1. Для всех к ^ 0 имеет место выводимость Ь*(\) Ь (д \ д)к ^ д \ д.

Лемма 2. Для всех к,т ^ 0, г ^ 1 имеет место выводимость Ь*(\) Ь (д \ д)к (д \ д) \(рг \ д) (д \ д)т ^

(д \ д)\(рг \ д).

Переформулируем исчисление Ь*(\, 1). Правило (1 можно рассматривать как частный случай правила ослабления. Любой Ь*(\, 1)-вывод можно перестроить так, что все применения этого правила будут идти сразу после аксиом. Иначе говоря, исчисление Ь*(\, 1) можно эквивалентным образом сформулировать, убрав правило (1 и добавив две серии аксиом 1к ^ 1 (к ^ 0) и 1крг 1т ^ рг (к,т ^ 0, г ^ 1), которые мы обозначим через (^ 1)w и (акс.^ соответственно. В дальнейшем мы будем пользоваться именно такой формулировкой исчисления Ь*(\, 1).

Пусть для секвенции П ^ С существует вывод в исчислении Ь*(\, 1). Выполним в этом выводе подстановки 1 := д \ д и 'рг := (д \ д)\(рг \ д). При этом правила вывода не пострадают, аксиомы (^ перейдут в выводимые (по лемме 1) секвенции (д \ д)к ^ д \ д, а аксиомы (акс.^ — в выводимые (по лемме 2) секвенции (д \ д)к (д \ д)\(рг \ д) (д \ д)т ^ (д \ д)\(рг \ д). Значит, секвенция (П ^ С) [1 : = д \ д, рг := (д \ д)\(рг \ д)] выводима в исчислении Ь*(\).

Для доказательства импликации справа налево нам потребуется вспомогательное исчисление — МСЬЬ (мультипликативная циклическая линейная логика). Исчисление МСЬЬ введено в [3]; в [4] установлена его связь с исчислением Ламбека (см. ниже).

Элементы счетного множества Уаг ^ {р1 ,р2,рз,...} называются переменными; At ^ Уаг и {д | д € Уаг} и{1, — множество атомов. Формулы МСЬЬ строятся из атомов с помощью двух двухместных связок: ^ (мультипликативная дизъюнкция, пар) и  (мультипликативная конъюнкция, тензор). Множество всех формул обозначается Ьш. Формулы обозначаются заглавными латинскими буквами, их последовательности — заглавными греческими буквами. Секвенции МСЬЬ имеют вид ^ Г.

Линейное отрицание вводится внешним образом как отображение : Ьш ^ Ьш, определяемое рекурсивно: р^ ^ рг, р^ ^ рг, 1± ^ ±, ^ 1, (Л ^ В^ В±  Л±, (Л  В^ В± ^ Л±.

Аксиомы МСЬЬ имеют вид ^ рг рг и ^ 1. Правила вывода:

Г AB Д , ч — Г A — B Д, — ГД , ч — ГД ,

Н^); -ГТТ7Т—57Ä—Н , ^ , л H-L); —(цикл.).

— Г (A ^ В)Д — Г (A  B )Д — Г ± Дк " — ДГ

Подстановка — Г^ := A] (где z Е Var U{1}) определяется следующим образом: если z = pi, то вместо каждого вхождения pi в — Г подставляется A, а вместо каждого вхождения pi подставляется A^; если же z = 1, то A подставляется вместо каждого вхождения 1, а A± — вместо каждого вхождения ±.

В исчислении MCLL допустимо правило подстановки: если z Е Var и MCLL Ь — Г, то MCLL Ь — Г[z := A].

Лемма 3. Если MCLL Ь — Гр := pi], то MCLL Ь — Г.

Мы также будем использовать двусторонние MCLL-секвенции: запись Ai A2 ... An — Bi ... Bm понимается как — A^ ... A^r Aj~ Bi ... Bm.

Две формулы A и B называются эквивалентными (обозначение A ^ B), если MCLL Ь A — B и MCLL Ь B — A. В исчислении MCLL допустимо правило эквивалентной замены: если B ^ C и MCLL Ь — Г^ := B], то MCLL Ь — Г^ := C]. В частности, если B ^ z и MCLL Ь — Г^ := B], то MCLL Ь — Г.

Лемма 4. Имеет место эквивалентность 1 ^ 1.

Лемма 5. Имеет место эквивалентность (1  ±) ^(pi ^ ^ 'pi.

Определим стандартный перевод из типов и секвенций L*(\, 1) в формулы и секвенции MCLL: C ^ pi, 1 ^ 1, А\ B ^ A^ ^ B; если П = Ai ... An, то П ^ Ai ... An. В смысле этого перевода MCLL является консервативным расширением L*(\, 1): L*(\, 1) Ь П — C ^^ MCLL Ь I1 — C для любой секвенции П — C с типами из Tp(\, 1). Консервативность доказывается аналогично теореме 5 из [4].

Теперь мы можем доказать импликацию справа налево. Пусть L*(\) Ь (П — C) [1 := q \ q, pi : =

(q \ q)\(pi \ q)]. Тогда MCLL Ь (П — C) [1 := q ^ q, pi := (q  q) y^(p)i ^ q)]. Подставим в эту секвенцию ± вместо q. Получится выводимая в MCLL секвенция, причем, так как q не входит в П — C, это будет секвенция (П — C) [1 := 1 ^ -L, pi := (1  ^(pi ^ ^)]. Отсюда в силу лемм 4, 5 и допустимости правила

эквивалентной замены получаем MCLL Ь (П — C)[pi := pi]. Наконец, по лемме 3 имеем MCLL Ь П — C, откуда из консервативности MCLL над L*(\, 1) получаем L*(\, 1) Ь П — C, что и требовалось.

Автор приносит благодарность профессору М. Р. Пентусу и рецензенту за внимание к работе и ценные замечания.

Работа поддержана РФФИ (грант № 08-01-00399), программой "Ведущие научные школы" (грант НШ-65648.2010.1) и программой сотрудничества между Швейцарией и Россией в области науки и техники (STCP-CH-RU).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lambek J. Deductive systems and categories II: Standard constructions and closed categories // Category Theory, Homology Theory and Their Applications I / Ed. by P. Hilton. Lect. Notes Math. Vol. 86. Berlin: Springer, 1969. 76-122.

2. Саватеев Ю.В. Алгоритмическая сложность фрагментов исчисления Ламбека: Канд. дис. М., 2009.

3. Yetter D.N. Quantales and noncommutative linear logic //J. Symbol. Log. 1990. 55, N 1. 41-64.

4. Pentus M. Equivalent types in Lambek calculus and linear logic. Preprint N 2. Steklov Math. Institute, Department of Math. Logic, Ser. Logic and Comput. Sci. M., 1992.

Поступила в редакцию 01.12.2010

УДК 519.718

ЛЕГКОТЕСТИРУЕМЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

^ Р. Беджанова1

В работе установлено, что линейную булеву функцию от п переменных можно реализовать неизбыточной схемой из функциональных элементов в базисе {&, V, "}, которая в случае инверсных неисправностей на выходах элементов допускает единичный диагностический тест длины ] log(n — 1)[ +2.

Беджанова Светлана Руслановна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: azjunja@mail.ru.