Математическая модель электроразрядного разрушения твердых диэлектрических и полупроводящих материалов

УДК 621.3.048

Математическая модель электроразрядного разрушения твердых диэлектрических и полупроводящих материалов

В.В. Лопатин, М.Д. Носков, Г.З. Усманов, А.А. Чеглоков

Институт физики высоких технологий ТПУ, Томск, 634050, Россия

Представлена модель электроразрядного разрушения, взаимосогласованно описывающая работу генератора импульсов высокого напряжения, расширение разрядного канала, распространение упругих волн и формирование системы трещин в твердом диэлектрике. Приведены результаты моделирования разрушения гранита разрядным каналом, расположенным вблизи свободной поверхности образца.

Ключевые слова: импульсный генератор, плазменный канал, деформация, трещинообразование, разрушение, математическое моделирование

Mathematical model of electric discharge destruction of solid dielectrics

and semiconductor materials

V.V. Lopatin, M.D. Noskov, G.Z. Usmanov and A.A. Cheglokov

Institute of High-Technology Physics at Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

A mathematical model of electric discharge destruction is proposed which consistently describes the operation of a high-voltage pulse generator, expansion of a discharge channel, propagation of elastic waves, and formation of a crack system in a solid dielectric. Simulation results are presented for destruction of a granite specimen by a discharge channel in the vicinity of its free surface.

Keywords: pulse generator, plasma channel, deformation, cracking, destruction, mathematical modeling

1. Введение

Разрушение твердых диэлектрических и полупроводящих материалов с помощью импульсного высоковольтного электрического разряда применяется в электроразрядных технологиях бурения скважин в горных породах, дробления и измельчения различных материалов и твердых отходов, проходки щелей, резания и выравнивания поверхностей каменных блоков, очистки поверхностей и др. [1-5]. Во многих случаях, особенно при работе с особо прочными материалами, электроразрядные технологии являются более эффективными и экономичными по сравнению с традиционными механическими способами обработки материалов.

В основе электроразрядных технологий лежит явление электровзрыва в твердом теле, включающее в себя инициирование импульсного разряда и рост проводящих каналов в твердом материале, расширение плазмен-

ного канала после перекрытия им межэлектродного промежутка, генерацию волн напряжений, деформирование и разрушение материала. В процессе электровзрыва происходит преобразование электрической энергии, запасенной в источнике напряжения, в энергию системы трещин в твердом материале. Эффективность преобразования энергии определяется согласованным протеканием электрических, термодинамических и механических процессов в генераторе импульсов высокого напряжения, плазменном канале и твердом теле. Повышение эффективности электроразрядного разрушения может быть достигнуто с помощью выбора оптимальных параметров генератора высокого напряжения и геометрии разрядного промежутка, в зависимости от электрических и механических свойств разрушаемого материала. Для углубления понимания взаимосвязи электрических, термодинамических и механических процессов и поис-

© Лопатин В.В., Носков М.Д., Усманов Г.З., Чеглоков А.А., 2010

ка оптимальных режимов электроразрядного разрушения применяются методы математического моделирования. В работе [6] была представлена модель, описывающая развитие разрядной структуры и работу источника импульсных напряжений. Математическая модель электровзрыва, включающая описание расширения канала разряда с учетом параметров разрядного контура, излучение и распространение в твердом теле волн напряжений была изложена в работе [7]. Однако данные модели не рассматривали рост трещин, приводящий к разрушению материала. В настоящей работе представлена комплексная модель, взаимосогласованно описывающая работу генератора импульсов высокого напряжения, расширение разрядного канала, распространение упругих волн и формирование системы трещин в твердом диэлектрике.

2. Формулировка математической модели

В экспериментальных и технологических электроразрядных установках чаще всего используются емкостные импульсные генераторы высокого напряжения. Работа емкостного импульсного генератора может быть описана с помощью эквивалентной схемы, показанной на рис. 1 и содержащей генерирующий конденсатор емкостью C, переменное сопротивление R и индуктивность цепи L (другие виды генераторов могут быть приведены к аналогичной схеме замещения).

Нагрузкой генератора является разрядный промежуток. Для учета паразитных емкостей элементов конструкции и разрядного промежутка в схему вводится дополнительная (паразитная) емкость CS. Переменное сопротивление R соответствует сопротивлению проводов и искровых разрядников ключа K генератора. Для описания обычно используемых в электроразрядных установках газовых коммутаторов можно принять, что после коммутации цепи (момент времени t = 0) сопротивление R уменьшается по экспоненциальному закону:

R = ^ + ^о -R^)e-t|\

где R0 — начальное сопротивление при t = 0; R1 — предельное минимальное значение сопротивления, величина которого составляет 1.5-3 Ом для 4-8-ступен-чатых генераторов Маркса, обычно используемых в

Рис. 1. Схема замещения генератора импульсных напряжений и нагрузки: С — емкость генератора, К — ключ, Ь — индуктивность цепи, R — переменное сопротивление цепи, С б — паразитная емкость

электроразрядных технологиях; т R — характерное время коммутации цепи.

Работа генератора описывается на основе законов Кирхгофа для цепей переменного тока. В соответствии со вторым законом Кирхгофа, после замыкания ключа К сумма напряжений на элементах цепи равна нулю:

ис + UR + иь + ив = 0,

где ис — напряжение на емкости; UR = Ш — напряжение на сопротивлении R; иЬ = Ь <Н/ & — напряжение на индуктивности Ь; иD — падение напряжения на разрядном промежутке; I = С йис/— ток, протекающий через генерирующий конденсатор О. В соответствии с первым законом Кирхгофа, ток I равен сумме тока через паразитную емкость 1Б = СБ &ио/и тока через разрядный промежуток 1В = GUD:

I = ^ + ^.

Изменение состояния плазменного разрядного канала описывается на основе уравнения энергетического баланса:

dW dA дг дг

-+ — + Nl = Nr,

dt dt 1 J

где Ж — внутренняя энергия плазмы в канале; А — работа расширения канала; NJ = IDUD — мощность джо-улева энерговыделения; Nl — мощность потерь энергии в окружающее пространство в результате излучения и теплопереноса. В простейшем адиабатическом приближении внутренняя энергия Ж элемента разрядного канала связывается с его параметрами состояния уравнением вида [3]:

где Р — давление плазмы; V = К — объем элемента канала длиной I; Б = лг^ — площадь поперечного сечения расширяющегося канала радиуса гсЬ; у» — эффективный показатель адиабаты плазмы. Работа расширения элемента плазменного канала определяется соотношением

&А = Р1&5 = Р12пгсЬёгсЬ.

Мощность тепловых потерь предполагается пропорциональной внутренней энергии плазмы:

Nl =у

Р1Б

у» -1'

где ^ — коэффициент тепловых потерь.

Подставляя выражения (5)-(7) в уравнение энергетического баланса (4), можно получить уравнение изменения состояния плазменного канала: 1 &(РБ) „ёБ РБ 1

d(PS) ndS PS -ТТТ

-+ P^7 + V-7 = 7 IdUd .

Y» -1 dt dt y» -1 l

Распространение упругих деформаций в твердом материале описывается с помощью уравнения движения сплошной среды:

P-

d2u „ da;,

dt2

= 2"я

k oxk

где р — плотность материала; и1 — компоненты вектора смещения; а у — тензор напряжений; хк — координаты. Связь между тензором деформаций е у и тензором напряжений <у определяется законом Гука для однородного и изотропного материала:

5 у = 2^еу + Хекк 8у >

_ 1

e _ 2

du j + дщ Эх,- дх,

где 8у- — символ Кронекера; X, ц — постоянные Ламэ. Возникающие в результате смещений элементов среды механические напряжения приводят к накоплению микроповреждений, что может вызвать образование макроскопической трещины.

Для моделирования образования трещины в твердом материале используется интеграл повреждений К [8, 9]:

K _|е(а(0-ас)[а(0-ac]2d;,

где 6(х) — ступенчатая функция (6(х) = 0 при х < 0, 6(х) = 1 при х > 0); <(() — мгновенное значение локального напряжения. Зарождение и рост трещин зависят от наличия микронеоднородностей и дефектов в материале, как существующих первоначально, так и появляющихся в процессе деформации. В рамках макроскопического подхода явное рассмотрение микроповреждений невозможно. В настоящей модели для описания влияния микронеоднородностей на зарождение и рост трещин используется стохастическая зависимость. Плотность вероятности тсг формирования трещины в том или ином месте принимается прямо пропорциональной значению интеграла повреждений К в данном месте, если величина К превосходит некоторое критическое значение К с:

ЮсГ =Р6

где в — коэффициент вероятности образования трещины. Таким образом, критерием локального разрушения материала и формирования трещины является превышение значения интеграла повреждений критического (порогового) значения К с, характеризующего динамическую прочность материала. Значения параметров тре-щинообразования Кс, <с и в выбираются из сопоставления результатов экспериментов и моделирования.

Взаимосогласованное решение системы уравнений, описывающих работу генератора высокого напряжения, изменение состояния канала, деформацию и разрушение твердого материала, обеспечивается с помощью соответствующих замыкающих соотношений и граничных условий. Для согласованного решения уравнений цепи генератора (2) и изменения состояния плазменного канала (8) используется предположение о пропорциональности проводимости канала его внутренней энергии:

где п — параметр проводимости. Согласование решения уравнений изменения состояния плазменного канала (8) и уравнения движения сплошной среды (9) проводится на основе предположения, что в каждый момент времени давление внутри канала равно усредненному по боковой поверхности канала механическому давлению со стороны окружающего материала:

1 1 г

Р = ---7 \<кк

3 2пгс111 S

3. Численная реализация

Численная реализация модели основана на конечно-разностной аппроксимации уравнений модели (2), (3), (8) и (9) по явно-неявной схеме с помощью метода разделения по физическим процессам. Для моделирования использовалась равномерная пространственная сетка, состоящая из ЫХ, Ыу, Ы2 узлов в направлениях х, у, г соответственно (рис. 2). Узлы сетки располагались по схеме кубической плотной упаковки (гранецентриро-ванная кубическая упаковка). Каждый узел окружен двенадцатью соседними узлами. Расстояние между ближайшими узлами ДА. Состояние узла сетки определяется свойствами элементарного объема, окружающего данный узел. В настоящей схеме элементарный объем для каждого узла представляет собой ромбоэдрический додекаэдр, грани которого представляют собой одинаковые ромбы площадью . В настоящей модели предполагается, что изменение формы и размеров элементарного объема незначительны и площадь грани остается постоянной в процессе деформирования материала. Моделирование проводилось с фиксированным временным шагом Дг, номер шага определялся индексом.

Каждый узел характеризуется плотностью вещества Ру. Состояние узла сетки на и-м временном шаге определяется проекциями векторов смещения от положения равновесия ыпХуук, ыпУуук, ып2ук и ск°р°сти , vny¡ijk,

G _nW _nPS/(Y* -1),

Рис. 2. Пространственная решетка

Vп2ук на оси х, у и г соответственно. Каждая связь, соединяющая узлы j, к) и (I, р, q), характеризуется следующими параметрами: жесткостью Урк рт, критическим напряжением &рк1м, коэффициентом вероятности формирования трещины вук1М, критическим значением интеграла повреждений Кр^ р . Состояние связи между узлами (;', j, к) и (I, р, q) на и-м временном шаге описывается длиной dnk ¡м, интегралом повреждений Кук рщ и параметром состояния связи • Если

связь не разорвана, Щк1м = 1, если связь разорвана, Щк щ = 0. Состояние связи может быть изменено только со значения 1 на значение 0, восстановление связи невозможно. Изменение состояния связи происходит, если случайное число с равномерным распределением на отрезке [0, 1] окажется меньше, чем рассчитанная по конечно-разностной аппроксимации уравнения (13) вероятность, и не происходит в противном случае. Взаимодействие узлов решетки, связь между которыми разорвана, рассматривается только для случая сжатия к щ ^ Ай.

На каждом временном шаге состояние генератора определяется значениями токов через основную емкость генератора 1С, паразитную емкость I£, разрядный промежуток ^ падениями напряжений на емкости иС, сопротивлении и\, индуктивности иЬ и разрядном промежутке ^, а также сопротивлением генератора Rn и проводимостью разрядного промежутка О".

Изменение тока и падений напряжений в цепи генератора рассчитывается на основе конечно-разностной аппроксимации уравнений (1)-(3):

Разрядный канал представляется в виде цилиндрической полости, соединенной с ближайшими узлами связями, перпендикулярными стенке канала. Моделирование расширения канала пробоя осуществляется на основе конечно-разностной аппроксимации уравнения (8):

n +1

Rn = R0 + (R1 - Rü)e~nht!TR,

RnC

UncX - un At

+ CL

UngX - 2Unc + Unc~x At2 +

+ UD + UC+1 = 0,

In+1 = C

UCn+1 -UCn

At

j n+1 _ TC+1 , n u D u D

1 = 1d + CS-

uD1 - UD

At

n+1 n+1 n+1

1D = G UD .

1

Y» -1

n+1 n , ns. 2 P - P (rclJ ---

At

nn + 2P rch

Y»

n +1 rch - Г

ch

Y» -1

At

n +1 n +1

+ ^-^(rcCh)2 PC = lD UD

Y» -1

nl

где Р""1"1 и г("+1 — давление и радиус разрядного канала на (и + 1)-м шаге.

На каждом временном шаге равнодействующая сила в узле (;', j, к) рассчитывается следующим образом:

N nei

Гijk = Sfr X Yijk lpq

lpq

]C M n n

djklpq -Ah Ulpq - Uijk

Ah

dn

ijk lpq

где (I, р, q) — номера соседних узлов; Nnei — количество соседних узлов. Скорость и смещение узла определяются из следующих соотношений:

n+1 n vijk = vijk +

vijk

PjkV

At,

n+1 n n+1

u,-ik = Uj + v,-ik At.

1рк = ирк + Урк (24) Вероятность изменения состояния связи

8"к 1М с 1 на 0 зависит от механического напряжения связи и рассчитывается следующим образом:

nn = У

ijk lpq У ijk lpq

dijk lpq -Ah

Ah '

^ Пкк1Рд = 1 - б ~в'к'Р'( KP•kPq)Atв(Ciiklpq-^klpq)<¡(dP-klpq-^h)^ (26) п

Кукр = X0(ст^klpq -aC'klpq ) Х

т=0

Х

В используемом алгоритме предполагается, что рост трещин возможен только от канала или от концов уже существующих трещин.

На каждом временном шаге расчеты производятся в несколько этапов. На первом этапе из выражения (16) вычисляется сопротивление Rn+1, затем при известном напряжении на разрядном промежутке UD из уравнения (17) рассчитывается напряжение на емкости генератора иС+, а из уравнения (18) определяется ток через генератор In+ . На втором этапе из уравнений (19), (20) определяется напряжение и'"+1. На третьем этапе рассчитываются радиус канала г"*1, давление в канале Рп+1, ток через разрядный промежуток /"+1, проводимость канала пробоя Оп+ и сила давления канала на соседние к нему узлы решетки из совместного решения уравнений (19)-(21) с граничными условиями:

+1 п р^ЧГГ1)2 l

Y» -1

n

р n+1 = rel

2^'

Fel = - Sfr У X i=1

Ah - r

где г0 — начальный радиус канала; dгn+1 и У — длина и модуль Юнга связи, соединяющей стенку канала с соседним узлом решетки. Суммирование в правой части выражения (30) ведется по всем соседним к каналу уз-

+

лам, расположенным на расстоянии <Дй; — количество таких узлов. На четвертом этапе определяются смещения и механические напряжения в материале с помощью уравнений (22)-(25). На пятом этапе рассчитываются вероятности разрушения связей и происходит присоединение новых элементов к структуре трещин согласно выражениям (26), (27).

4. Результаты моделирования

На основе численной реализации модели разработано проблемно-ориентированное программное обеспечение, позволяющее проводить численные исследования электроразрядного разрушения твердого материала. В качестве примера в работе приводятся результаты моделирования процесса разрушения образца гранита размерами 42x20x10 мм. В ходе вычислительных экспериментов верхняя граница образца являлась свободной, а на боковых и нижней границах создавались специальные условия для уменьшения отражения упругих волн (поверхностный слой с высокой вязкостью). Источником ударных волн являлся разрядный канал длиной 10 мм, расположенный на глубине 5 мм под верхней поверхностью образца. Модуль упругости гранита принимался равным У = 1.5 • 10 Па, критическое напряжение трещинообразования <с = 8 • 106 Па (близко к значению статического предела прочности для гранита),

3 / 3

плотность р = 2.7 • 10 кг/ м , критическое значение интеграла повреждений Кс = 1011 Па2 • с, коэффициент вероятности образования трещины в = 0.1 (с • Па)-2. Для моделирования работы генератора импульсов высокого напряжения были выбраны следующие параметры элементов цепи: С = 60 нФ, L = 5 мкГн, CS = 0.5 нФ, R0 = 10 МОм, R1 = 2 Ом, т R = 10 нс, начальное напряжение на емкости генератора составляло ис (0) = 200 кВ. Параметры плазменного канала принимались равными: эффективный показатель адиабаты у» = 1.1, параметр проводимости п = 10-5 См/Дж, коэффициент тепловых

потерь у = 106 с-1, начальный радиус разрядного канала П = 10 мкм, начальная проводимость канала G0 = = 1 См. Параметры моделирования брались из литературных источников [1, 3, 10, 11], а также определялись на основе сопоставления результатов моделирования с данными физических экспериментов.

Моделирование начинается с момента замыкания ключа К генератора. При уменьшении сопротивления R генератора происходит нарастание силы тока в канале пробоя. В результате джоулева тепловыделения внутренняя энергия и проводимость разрядного канала возрастают, что приводит к дальнейшему увеличению силы тока и тепловыделения. Положительная обратная связь между тепловыделением и проводимостью вызывает резкое нарастание внутренней энергии плазмы в канале (рис. 3, а). Мощность энерговыделения достигает 2 • 108 Вт. Взрывное выделение энергии в канале приводит к резкому росту давления в канале до 2.3 ГПа, после чего начинается его расширение (рис. 3, б). Скорость расширения канала в процессе разряда достигает 2.5 • 103 м/с. Увеличение объема канала приводит к снижению давления и, как следствие, к замедлению его расширения (рис. 3, б). Наличие в цепи генератора емкости и индуктивности приводит к возникновению в нем затухающих колебаний, в процессе которых разрядный промежуток играет роль нелинейного сопротивления. В ходе колебаний происходят согласованные изменения силы тока, напряжения на разрядном промежутке и проводимости канала. Колебания тока и напряжения приводят к колебаниям мощности джоулева тепловыделения в канале пробоя. При этом в течение первого полупериода колебаний выделяется около 80 % энергии от полной энергии, выделившейся в канале. Дальнейшие колебания энерговыделения оказывают незначительное влияние на давление и радиус канала. Таким образом, основное ударное воздействие на материал создается во время первого полупериода колебаний.

Время, мкс

Время, мкс

Рис. 3. Временные зависимости мощности энерговыделения в канале и энергии, выделившейся в канале

Рис. 4. Распространение упругой волны в различные моменты времени: 1150

Рис. 5. Развитие структуры трещин в различные моменты времени: 1000

Расширение разрядного канала приводит к появлению вокруг него области сжимающих напряжений, которая начинает распространяться в окружающий материал. При замедлении расширения канала позади области сжатия образуется область растягивающих напряжений. Таким образом, генерируется цилиндрическая упругая волна, распространяющаяся по всем направлениям от канала и вызывающая разрушение материала. Средняя скорость упругой волны составляет 3.4 • 103 м/с. На рис. 4 показано распространение упругой волны в различные моменты времени. Серым цветом показаны изоповерхности всестороннего сжатия, соответствующие значению давления 10 МПа. По мере удаления от канала амплитуда упругой волны снижается. После достижения волной свободной поверхности образца происходит отражение (рис. 4, б).

Рост трещин происходит под действием растягивающих напряжений, возникающих позади области сжатия. Первоначально трещины зарождаются в непосредственной окрестности разрядного канала. В дальнейшем рост трещин происходит в основном с концов уже существующих трещин. Картина формирования системы трещин представлена на рис. 5. После достижения ударной волной свободной поверхности отраженная волна интерферирует с волной, распространяющейся от канала, что приводит к усилению растягивающих напряжений между каналом и свободной поверхностью. Благодаря этому там наблюдается наиболее интенсивный рост трещин (рис. 5, в) и происходит формирование откольной воронки (рис. 5, г). Средняя скорость роста трещин существенно меньше скорости распространения упругих волн и составляет около 1.2 • 103 м/с. Время роста трещин значительно превосходит время выделения энергии в канале пробоя, что качественно согласуется с экспериментальными данными [2, 3]. При выбранных параметрах моделирования образование от-кольной воронки происходит с преобладанием фугасного типа разрушения, однако, в окрестности канала образуется зона переизмельчения.

5. Заключение

Представленная модель электроразрядного разрушения самосогласованно описывает работу генератора импульсных напряжений, расширение канала пробоя, распространение упругих волн в твердом диэлектрике и формирование системы трещин. На основе модели создан трехмерный численный алгоритм и программное

обеспечение, позволяющее проводить численное исследование электроразрядного разрушения твердых диэлектрических и полупроводниковых материалов. Методом математического моделирования определены параметры электровзрыва и характеристики разрушения твердого материала разрядным каналом, находящимся вблизи свободной поверхности образца. Показан механизм формирования откольной воронки в области между разрядным каналом и свободной поверхностью образца. Количественное соответствие результатов моделирования и экспериментальных данных, приведенных в литературе, подтверждает адекватность модели и достоверность полученных результатов. Модель может быть использована как для исследования явления электроразрядного разрушения, так и для выбора параметров импульсных генераторов и электродных систем с целью оптимизации технологических применений электроразрядного разрушения.

Работа поддержана РФФИ (грант № 08-08-01016-а) и выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (№ П210).

Литература

1. Воробьев A.A. Разрушение горных пород электрическими импульс-

ными разрядами. - Томск: Изд-во ТГУ, 1961. - 150 с.

2. Воробьев A.A., Воробьев Г.А. Электрический пробой и разрушение

твердых диэлектриков. - М.: Высшая школа, 1966. - 224 с.

3. Семкин Б.В., Усов A.Ф., Курец В.И. Основы электроимпульсного разрушения материалов. - СПб.: Наука,1995. - 276 с.

4. КурецВ.И., УсовA.Ф., ЦукерманВ.A. Электроимпульсная дезинте-

грация материалов. - Апатиты: Изд-во Кольского научного центра РАН, 2002. - 324 с.

5. Blum H., Frey W., Giese H., Hoppe H., Schuitheis C., Strabner R. Application of pulsed HV discharge to material fragmentation and recycling // IEEE Trans. Dielectr. Electr. Insul. - 2000. - V. 7. - No. 5. -P. 625-636.

6. Лопатин В.В., Носков М.Д., Усманов Г.З., Чеглоков A.A. Моделиро-

вание развития импульсного электрического разряда в конденсированном диэлектрике // Изв. вузов. Физика. - 2006. - Т. 49. -№3. - С. 11-17.

7. Буркин В.В., Кузнецова Н.С., Лопатин В.В. Волновая динамика электровзрыва в твердых диэлектриках // ЖТФ. - 2009. - Т. 79. -№ 5. - С. 42-48.

8. Бучер Б.М., Баркер Л.М., Мансон Д.Е. и др. Влияние предыстории напряженного состояния на нестационарный откол в металлах // Ракетн. техн. космон. - 1964. - Т. 2. - № 6. - С. 3-18.

9. Tuler F.R. Tensile Strain as a Criterion of Spallation in Metals // Shock Waves and Mechanical Properties of Solids. - Syracuse, N.Y.: Syracuse Univ. Press, 1971. - P. 395-405.

10. Кобранова В.Н. Петрофизика. - М.: Недра, 1986. - 392 с.

11. Баум Ф.A., Станюкович К.П., Шехтер Б.И. Физика взрыва. -М.: Физматлит, 1959. - 800 с.

Поступила в редакцию 13.09.2010 г., после переработки 03.12.2010 г.

Сведения об авторах

Лопатин Владимир Васильевич, д.ф.-м.н., проф., проректор-директор ИФВТ ТПУ, vvl@tpu.ru Носков Михаил Дмитриевич, д.ф.-м.н., снс ИФВТ ТПУ, nmd@ssti.ru Усманов Гаяр Закирович, к.ф.-м.н., нс ИФВТ ТПУ, gayar.usmanov@gmail.com Чеглоков Алексей Александрович, нс ИФВТ ТПУ, chegloсk@rambler.ru