Полиномиальная разрешимостьзадачи о раскраске в одном классе графов

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 288-290

УДК 519.17

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ О РАСКРАСКЕ В ОДНОМ КЛАССЕ ГРАФОВ

© 2014 г. Д.С. Малышев

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Н. Новгород

dsmalyshev@rambler.ru

Поступила в редакцию 26.02.2014 Показывается, что задача о раскраске полиномиально разрешима в классе графов Free({claw, bull}) .

Ключевые слова: задача о раскраске, наследственный класс, полиномиальный алгоритм.

Введение

Классом графов называется произвольное множество обыкновенных графов, т.е. неориентированных непомеченных графов без петель и кратных рёбер. Класс графов называется наследственным, если он замкнут относительно удаления вершин. Эквивалентно - это класс, который можно задать запрещёнными порождёнными подграфами. Если X — множество графов, то через Free(X) обозначается класс всех графов, не содержащих порождённых подграфов, изоморфных графам из X. Множество графов Y является наследственным классом тогда и только тогда, когда Y = Free(X) для некоторого X, а сам X называется множеством запрещённых порождённых подграфов.

Хроматическим числом графа называется наименьшее число цветов, необходимое для раскрашивания его вершин так, чтобы соседние вершины имели бы разные цвета. Задача о раскраске для заданного графа и натурального числа состоит в том, чтобы определить, не больше ли хроматическое число этого графа, чем заданное число. Данная задача является NP -полной в классе всех графов и остаётся таковой даже при значительных сужениях этого множества графов. Известен сложностной статус задачи о раскраске в совокупности классов {Free({H}):| V(H) |< 4} кроме трёх случаев [1]. В работе [2] рассматривалось семейство {Free({H1,H2}):Hl,H2 - связные графы с не более чем пятью вершинами}, и для всех его классов, кроме тринадцати, был определён сложностной статус задачи о раскраске. Одним из этих тринадцати классов является Free({claw,bull}), где claw - граф с четырьмя вершинами и тремя рёбрами, инцидентными

общей вершине, bull - граф с вершинами Xj, x2, x3, x4, x5 и рёбрами (x1, x2),( x1, x3), (x2, x3),(x1, x4),(x2, x5). В этой работе показывается, что задача о раскраске полиномиально разрешима для его графов.

Вспомогательные результаты

Через G1 © G2 обозначается объединение графов G1 и G2 с непересекающимися множествами вершин.

Лемма 1. Любой связный граф из класса Free({claw, bull}) принадлежит множеству

Free({CA ©K, C, © К,,...}).

Доказательство. Пусть G - связный граф из класса Free({claw,bull}), содержащий порождённый подграф Cn © K1, где n > 4 . Рассмотрим кратчайший порождённый путь P, соединяющий изолированную вершину подграфа Cn © K1 с его циклом. Пусть x - вершина P, имеющая соседа в цикле Cn и не принадлежащая этому циклу (такая вершина единственна). Если вершина x смежна сразу со всеми вершинами Cn, то некоторые два её соседа из Cn, она

сама и её сосед в пути P порождают подграф, изоморфный claw. Поэтому x не является смежной сразу со всеми вершинами Cn. Ясно, что если (x, y), y е V (Cn), то x смежна хотя бы с одним соседом (в Cn) вершины y. Нетрудно видеть, что граф G содержит bull в качестве порождённого подграфа (порождён x, тремя её последовательными вершинами из Cn и некоторой вершиной пути P - соседом x). Поэто-

Полиномиальная разрешимость задачи о раскраске в одном классе графов

289

му G не может содержать порождённого подграфа Cn © K при п > 4 .

Из леммы 1 следует, что в произвольном связном графе из Free({claw,bull}) любой цикл длины не менее чем 4 доминирует все вершины. Для наследственного класса X и целого неотрицательного числа k через [X]k обозначается множество графов, из которых удалениями не более чем k вершин можно получить граф из X .

Лемма 2 [2]. Пусть X - наследственный класс с полиномиально разрешимой задачей о раскраске, для которого задача распознавания принадлежности графа решается за полиномиальное время и при некотором p справедливо

включение X с Free({Op}). Тогда для любого фиксированного k задача о раскраске полиномиально разрешима и в классе [X]k .

Лемма 3. Задача о раскраске для класса Free({claw,bull}) полиномиально сводится к той же задаче для класса Free({claw, bull, С4, С5}).

Доказательство. Пусть G - связный граф из Free({claw,bull}), содержащий цикл Сп, где n е {4,5}. По лемме 1 данный цикл доминирует все вершины графа G. Обозначим через H подграф G, получающийся удалением всех вершин цикла Сп. Покажем, что H е Free({O3}). Предположим противное: H содержит три попарно несмежных вершины x, y, z . Пересечение

окрестности каждой из них с Сп - неединичная совокупность последовательных вершин цикла. Не существует вершины Сп, смежной сразу со всеми тремя вершинами x, y, z (иначе G е Free({claw,bull})). Через N'(x),N'(y),N'(z) обозначим пересечения окрестностей вершин x, y, z с Сп, через S обозначим набор (| N'(x)|,| N'(y)|,| N'(z)|). Будем считать, что | N' (x) |<| N' (y) |<| N' (z) | (это никак не уменьшает общности).

Пусть п = 4 . Среди элементов набора S есть хотя бы одна двойка и одновременно нет тройки и четвёрки, двух четвёрок (иначе цикл имеет вершину, смежную с x, y,z одновременно). Остаётся три случая - S = (2, 2, 2), S = (2, 2, 3), S = (2, 3, 3). Нетрудно проверить, что в каждом из этих случаев граф G содержит claw или bull в качестве порождённого подграфа.

Пусть п = 5 . Среди элементов набора S нет двоек (иначе GgFree({bull})), нет пятёрок и двух четвёрок (иначе G g Free({claw})). Остаёт-

ся два случая - S = (3, 3, 3), S = (3, 3, 4). В обоих этих случаях G g Free({claw, bull}).

Итак, обе возможности п = 4 и п = 5 приводят к противоречию. Поэтому H е Free({O3}). Задача о раскраске полиномиально разрешима в классе Free({O3}) (поскольку она эквивалентна задаче о максимальном паросочетании для дополнительных графов), и поэтому по лемме 2 она полиномиально разрешима для связных графов из Free({claw,bull}) \Free({C4,C5}). Тем самым, имеет место обозначенное в формулировке леммы сведение.

Основной результат

Граф называется циркулярным, если он является графом пересечений дуг окружности. Циркулярный граф называется правильным циркулярным, если в некотором его представлении через пересечение дуг окружности ни одна из дуг не содержит целиком другую дугу. Минимальное множество запрещённых порождённых подграфов для класса правильных циркулярных графов известно и полностью описано в [3].

Теорема 1. Задача о раскраске полиномиально разрешима в классе Free({claw,bull}).

Доказательство. Множество Free({daw, bull, С4,С5,С6 © K1,C7 © K1,...}) состоит только из правильных циркулярных графов. В этом можно убедиться, рассмотрев множество запрещённых порождённых подграфов для класса правильных циркулярных графов [3]. Задача раскраске полиномиально разрешима в классе правильных циркулярных графов [4]. Отсюда и из лемм 1, 3 следует полиномальная разрешимость задачи о раскраске в классе Free({claw,bull}).

Исследование осуществлено в рамках Программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» в 2013-2014 гг., проект М 12-01-0035. Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-1148.2013.1 и гранта РФФИ 14-01-00515-a.

Список литературы

1. Lozin V.V., Malyshev D.S. Vertex coloring of graphs with few obstructions // Discrete Applied Mathematics (submitted).

2. Malyshev D.S. The coloring problem for classes with two small obstructions // [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://arxiv.org/abs/1307/02778v1.

3. Lin M.C., Szwarcfiter J.L. Characterizations and recognition of circular-arc graphs and subclasses: A survey // Discrete Mathematics. 2009. V. 309. № 18. P. 5618-5635.

4. Bhattacharya B., Hell P., Huang J. A linear algorithm for maximum weight cliques in proper circular arc graphs // SIAM J. Discrete Mathematics. 1996. V. 9. № 2. P. 274-289.

290

Д.С. Малышев

POLYNOMIAL-TIME SOLVABILITY OF THE COLORING PROBLEM IN SOME GRAPH CLASS

D.S. Malyshev

The coloring problem is shown to be polynomial-time solvable for the graph class Free({claw,bull}). Keywords: coloring problem, hereditary class, polynomial-time algorithm.

References

1. Lozin V.V., Malyshev D.S. Vertex coloring of graphs with few obstructions // Discrete Applied Mathematics (submitted).

2. Malyshev D.S. The coloring problem for classes with two small obstructions // [Ehlektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: http://arxiv.org/abs/1307/02778v1.

3. Lin M.C., Szwarcfiter J.L. Characterizations and recognition of circular-arc graphs and subclasses: A survey // Discrete Mathematics. 2009. V. 309. № 18. P. 5618-5635.

4. Bhattacharya B., Hell P., Huang J. A linear algorithm for maximum weight cliques in proper circular arc graphs // SIAM J. Discrete Mathematics. 1996. V. 9. № 2. P. 274-289.