Спиновая динамика в решетках ферромагнитных металлических нанопроволок в условиях скин-эффекта в терагерцовом диапазоне частот

УДК 535.32

Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. А. Чиркина

СПИНОВАЯ ДИНАМИКА В РЕШЕТКАХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НАНОПРОВОЛОК В УСЛОВИЯХ СКИН-ЭФФЕКТА В ТЕРАГЕРЦОВОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ

Аннотация. Исследуются особенности спектра спин-волнового резонанса, обусловленные влиянием скин-эффекта на частоте 30 ТГц в двумерных периодических решетках ферромагнитных металлических нанопроволок (диаметр 2r = 10-25 нм, длина l = 300 нм, период нанорешетки a = 3,5r, b = 1,251, c = 2r) при различной ориентации вектора постоянного поля подмагничивания H0 к оси нанопроволок.

Ключевые слова: спин-волновой резонанс, скин-эффект, периодические решетки, ферромагнитные нанопроволоки, поле подмагничивания.

Abstract. The properties of localized standing spin wave resonances are investigated for a regular 2D array of ferromagnetic metallic nanowires (10-25 nm diameter,

300 nm long, periodicity a = 3,5r, b = 1,25l), magnetized at different orientation of the bias magnetic field H0 with respect to the wire axis at the frequency f = 30 GHz. Keywords: standing spin wave resonances, skin-effect, regular array, ferromagnetic nanowires, bias magnetic field.

Введение

Уникальные эффекты, которые демонстрируют магнитофотонные кристаллы, привлекают к себе внимание исследователей. Одним из наиболее интересных направлений является изучение способов управления спектральными свойствами таких структур в гигагерцовом и терагерцовом частотных диапазонах [1, 2]. Использование магнитных материалов в составе фотонных кристаллов позволяет управлять спектром пропускания фотонного кристалла, прикладывая внешнее постоянное магнитное поле [2].

В данной работе исследуется спектр спин-волнового резонанса в двумерных периодических решетках ферромагнитных (железных) нанопроволок

при различной ориентации вектора постоянного поля подмагничивания H0 к оси нанопроволок в условиях скин-эффекта на частоте 30 ТГц. При анализе спектра в модели учитывается глубина проникновения электромагнитного поля в ферромагнитный металл и вызванное этим нарушение однородности распределения намагниченности.

1. Математическая модель и анализ спин-волновых резонансов в решетке ферромагнитных металлических нанопроволок

Для учета скин-эффекта, существенного в терагерцовом диапазоне для ферромагнитных металлических нанопроволок с высокой проводимостью, разработана математическая модель на основе совместного решения уравнений Максвелла и уравнения движения вектора намагниченности в форме Ландау - Лифшица с учетом обменного взаимодействия [3]. Неоднородное распределение намагниченности, возникающее в поверхностном слое ферромагнитного металла нанопроволок в решетке с периодом порядка радиуса

проволоки (при уменьшении расстояния между нанопроволоками до длины обменного взаимодействия), требует учета неоднородного обменного взаимодействия в уравнении Ландау - Лифшица.

Получено решение краевой задачи дифракции для ТЕМ-волны (Е = Ехо, Н = Н Уо с волновым вектором к , частотой ю и амплитудой

Сщ)(ю)), распространяющейся вдоль оси г (рис. 1), при различной ориентации вектора постоянного поля подмагничивания Но .

Нп

а

і— 1 ' г ^0

л ы /

— - -У Я,

V ' я, 2

в)

а)

Рис. 1. Дифракция электромагнитной волны на периодической решетке магнитных нанопроволок: а - ориентация падающей ТЕМ-волны с волновым вектором к ;

б - двумерная решетка намагниченных ферромагнитных нанопроволок; в - автономный блок с каналами Флоке, содержащий магнитную нанопроволоку

При помощи декомпозиционного вычислительного алгоритма, разработанного на основе автономных блоков с каналами Флоке с магнитными нановключениями (МФАБ) [4], рассчитан модуль коэффициента прохождения |?21| ТЕМ-волны через двумерную периодическую решетку ферромагнитных нанопроволок (период нанорешетки а = 3,5г, Ь = 1,251; диаметр 2 г = 10 нм, длина нанопроволок I = 300 нм) в зависимости от величины постоянного поля намагничивания Но при различной ориентации вектора постоянного поля подмагничивания Но (кривые а-с1 на рис. 2)) на частоте / = 30 ТГц.

Расчет выполнен при следующих параметрах ферромагнетика (железо): намагниченность насыщения 4'лМ0 = 21580 Гс, константа обменного взаимодействия А = 2,2-10_9 Э• см2, проводимость а = 1,03-105 Ом-1 -см-1, параметр диссипации а = 0,0023 [3]. Ферромагнитные нанопроволоки расположены в немагнитной диэлектрической матрице - среде с относительной ди-

и относительной магнитной прони-

электрической проницаемостью еу = 5 цаемостью = 1.

Как следует из полученных результатов математического моделирования (рис. 2), зависимости модуля коэффициента прохождения ТЕМ-волны через периодическую решетку магнитных нанопроволок имеют

экстремумы (кривые a-d на рис. 2), положение которых не зависит от ориентации поля намагничивания Н и определяется только величиной Н .

Рис. 2. Парциальные резонансы и антирезонансы спин-волновых мод в двумерной периодической решетке ферромагнитных нанопроволок в зависимости от величины постоянного магнитного поля намагничивания Н0 при изменении ориентации Но: / = 30 ТГц; 2г = 10 нм; / = 300 нм; а = 3,5г,

Ь = 1,25/; кривые а: Р = 0°, а = у = 90°; Ь: Р = 11,5°, а = у = 82°; с: Р = 70°, а = у = 72°; d: Р = 89°, а = у = 56° (а - угол между вектором Н0 и осью ох;

Р - угол между вектором Н0 и осью оу)

Кривые а^ имеют характерные экстремумы, отвечающие спин-волновым модам спектра, при этом изменение направления вектора поля намагничивания Н практически не сказывается на положении этих экстремумов и приводит к значительному уменьшению их амплитуды.

Для ферромагнитных металлических нанопроволок толщина скин-слоя 61 определяется равенством [3]

51 = 5/

где 5 - толщина скин-слоя в металле (при ¡1 = щ ), 1эф = Мэф _ г'Мэф - эффективная скалярная магнитная проницаемость [3], которая зависит от компонентов тензора динамической высокочастотной магнитной проницаемости Ц = 1 + 4л£, здесь х - тензор динамической высокочастотной магнитной восприимчивости [5].

В общем случае компоненты Ху (к, ю) тензора х являются функциями

не только частоты ю, но и волнового вектора к [5]. Это означает, что кроме частотной дисперсии существует еще и пространственная дисперсия динамической высокочастотной магнитной восприимчивости х ограниченного ферромагнитного образца [5]. И если размеры Ь (диаметр 2г и длина /) ферромагнитных нанопроволок малы, но не удовлетворяют условию Ь >> 10-8 м [5], то пространственная дисперсия существенна и необходимо учитывать зависи-

мость тензора динамической высокочастотной магнитной восприимчивости х ферромагнитного образца с ограниченными размерами от волнового вектора к . В этом случае тензор динамической высокочастотной магнитной проницаемости Ц не только является функцией частоты, учитывает его магнитные характеристики, геометрию и ориентацию относительно СВЧ-поля [5], но и зависит от формы нанопроволок и геометрии магнитной нанорешетки.

При уменьшении размеров нанопроволок и периодичности решетки (переходе в масштаб длины обменного взаимодействия) тензор динамической высокочастотной магнитной проницаемости Ц(к, ю) описывает спектр коллективных мод дипольно-обменных СВ магнитной нанорешетки.

Поглощаемая магнитной нанорешеткой энергия определяется анти-эрмитовой частью тензора динамической высокочастотной магнитной восприимчивости х(к, ю) [4], которая возрастает вблизи резонансных частот, т.е. собственных частот ю0„ различных спин-волновых мод соответствующего типа и порядка п.

В условиях спин-волнового резонанса дипольно-обменных СВ мнимая часть ^ф комплексной эффективной скалярной магнитной проницаемости

Цэф = Ц^ф _ ¿Цэф достигает максимума. На частотах спин-волнового резонанса толщина скин-слоя 51 (1) имеет малую величину. И в результате глубина проникновения электромагнитного поля в ферромагнитный металл уменьшается, поглощаемая магнитной нанорешеткой мощность возрастает.

Минимумы модуля коэффициента прохождения [У?! (рис. 2) отвечают максимумам ц^ф и соответствуют возбуждаемым коллективным дипольно-

обменным спин-волновым модам в магнитной нанорешетке на частотах ю0п спин-волнового резонанса в магнитных нанопроволоках, определяемых внутренним магнитным полем Н0вн.

Напротив, в условиях антирезонанса, когда ц^ф = 0, Ц^ф ^ 0 , модуль

коэффициента прохождения увеличивается и достигает максимума

(рис. 2) в точках, определяемых частотой ферромагнитного резонанса магнитной нанорешетки [1] и зависящих от частот ю0п спин-волнового резонанса дипольно-обменных мод.

Кривые на рис. 2 иллюстрируют существенное влияние глубины проникновения поля 51 в решетках ферромагнитных металлических нанопроволок в терагерцовом диапазоне, включая появление «окон прозрачности» вблизи точек антирезонанса, где глубина проникновения поля значительно увеличивается.

2. Спектр дипольно-обменных спин-волновых мод в условиях скин-эффекта в терагерцовом диапазоне

Методом МФАБ проведен электродинамический анализ спектра возбуждаемых дипольно-обменных спин-волновых мод в двумерных периодических решетках (рис. 1) ферромагнитных (железных) нанопроволок (диаметр 2г = 10 и длина / = 300 нм) на электродинамическом уровне строгости (без упрощения уравнений Максвелла и граничных условий). Результаты числен-

ного моделирования распределения переменной намагниченности спин-волновых мод получены с учетом влияния скин-эффекта на частоте 30 ТГц. Распределение компоненты переменной намагниченности Мф дипольно-обменных спин-волновых мод второго (п = 2) и низшего (п = 1) порядков в зависимости от координаты г на поперечном сечении нанопроволоки в условиях спин-волнового резонанса и антирезонанса представлены на рис. 3 для различных значений постоянного поля намагничивания Но, соответствующих точкам 1-4 на рис. 2.

Рис. 3. Распределение намагниченности спин-волновой моды второго порядка в зависимости от радиуса г нанопроволоки: Н0 = 500 Э ; / = 30 ТГц; с = 2г;

Ь = 1,25/; а = 3,5г; 2г = 10 нм; кривые 1: Р = 0°, а = у = 90°; 2: Р = 11,5°, а = у = 82°; 3: р = 70°, а = у = 72°; 4: Р = 89°, а = у = 56°

Как показывают результаты строгого математического моделирования, приведенные на рис. 3, при возрастании величины постоянного поля подмаг-

ничивания Н0 дипольно-обменные спин-волновые моды второго порядка п = 2 (кривые 1, 2 на рис. 3) и низшего порядка п = 1 (кривые 3, 4 на рис. 3) возбуждаются пространственно однородным полем ТЕМ-волны. Это обусловлено влиянием скин-эффекта на частоте 30 ТГц и нарушением однородности распределения намагниченности в магнитных нанопроволоках решетки, вызванным скин-эффектом. Это радиальные поверхностные спин-волновые моды с комплексными волновыми числами [3], имеющие гиперболическое распределение переменной намагниченности (кривые 1-4 на рис. 3), которое удовлетворяет граничным условиям на поверхности нанопроволоки. Это распределение (кривые 1-4 на рис. 3) существенно зависит от изменяющейся в условиях спин-волнового резонанса и антирезонанса глубины проникновения электромагнитного поля в ферромагнитный металл.

В условиях спин-волнового резонанса моды глубина проникновения поля 8} в ферромагнитный металл резко уменьшается в пределах ширины кривой резонанса (точки 1, 3 на рис. 2), и распределение намагниченности спин-волновых мод (рис. 3), возникающее в поверхностном слое ферромагнитного металла нанопроволок, имеет гиперболическую зависимость (кривые 3, 4 на рис. 3). В условиях антирезонанса глубина проникновения поля 81 в ферромагнитный металл увеличивается в пределах ширины кривой антирезонанса и достигает локального максимума в точках антирезонанса мод (точки 2, 4 на рис. 2). Соответствующее распределение намагниченности спин-волновых мод имеет почти гармоническую зависимость (кривые 1, 2 на рис. 3).

Результаты более детального анализа спектра спин-волновых мод в условиях антирезонанса для фиксированного значения постоянного поля намагничивания Но = 500 Э (точки 2, 5-7 на рис. 2) представлены для моды второго порядка (п = 2) на рис. 4.

Рис. 4. Распределение намагниченности спин-волновой моды второго порядка в зависимости от радиуса г нанопроволоки: Но = 500 Э ; / = 30ТГц; с = 2г;

Ь = 1,25/; а = 3,5г; 2г = 10 нм; / = 300 нм; кривые а: р = 0°, а = у = 90° ;

Ь: р = 11,5°, а = у = 82°; с: р = 70°, а = у = 72°; й: р = 89°, а = у = 56°

Результаты моделирования показывают, что изменение ориентации вектора постоянного поля подмагничивания Н0 относительно Н0 = Н^у,

направленного вдоль оси ферромагнитных нанопроволок (рис. 1), приводит к изменению характера мод вследствие уменьшения глубины проникновения поля 81 в ферромагнитный металл в сравнении с «эффективным» сечением нанопроволоки по отношению к падающей электромагнитной волне.

Радиальные спин-волновые моды имеют волновые числа к > 1/2г порядка обратного размера 2г; их резонансные частоты лежат в терагерцовом

диапазоне, если диаметр нанопроволок 2г < 10 нм. Аксиальные (продольные) спин-волновые моды имеют меньшие по величине волновые числа к > 1/1 порядка обратного размера I (длины нанопроволок), поэтому именно радиальные спин-волновые моды определяют спиновую динамику в решетках ферромагнитных металлических нанопроволок в терагерцовом диапазоне частот.

Расчетные зависимости модуля коэффициента прохождения ТЕМ-

волны через решетку ферромагнитных металлических нанопроволок (рис. 1) от величины постоянного поля намагничивания Но (Но = НоУо ) для нанопроволок различных диаметров 2г <8 (кривые 1-4) на частоте / = 30ТГц приведены на рис. 5. В зависимости от приложенного внешнего постоянного магнитного поля Но коэффициент прохождения имеет два экстремума (кривые 1-4 на рис. 5), соответствующие возбуждению первой и второй спин-волновым мод на частотах юо„ спин-волнового резонанса. При этом положение минимумов и максимумов (в частности первого) зависит также и от соотношения диаметра 2г нанопроволок и их длины I.

ІТ21І

Рис. 5. Парциальные резонансы и антирезонансы спин-волновых мод в двумерной периодической решетке ферромагнитных нанопроволок в зависимости от величины постоянного магнитного поля намагничивания Но при диаметре нанопроволок 2г

и периоде решетки а: Но = Но Уо ; / = 3о ТГц; а = 3,5г, Ь = 1,25/, с = 2г;

/ = 3оо нм; кривые 1: 2г = 1о нм; 2: 2г = 15 нм; 3: 2г = 2о нм; 4: 2г = 25 нм

Эти минимумы и максимумы расположены, соответственно, в точках резонанса и антирезонанса, определяемых внутренним магнитным полем

Новн [3].

Отношение диаметра 2г нанопроволок к периоду решетки и диаметра 2г нанопроволок к их длине / существенно влияет на анизотропию магнитной нанорешетки и, соответственно, на внутреннее магнитное поле Новн , которое определяется анизотропией формы нанопроволоки и плотностью упаковки нанорешетки [1].

Если мы рассматриваем магнитную нанорешетку с малой плотностью упаковки (2г = 25 нм кривая 4 на рис. 5), используя модель бесконечно тонкого цилиндра с продольным направлением намагниченности, следует отме-

тить, что собственная частота ©0n спин-волновой моды второго порядка n = 2 значительно возрастает [6]. И, соответственно, условия резонанса и антирезонанса [3] для этой спин-волновой моды n = 2 достигаются при больших значениях внешнего магнитного поля Но, чем в случае магнитной нанорешетки 2r = 10 нм с высокой плотностью упаковки (кривая 1 на рис. 5).

Между тем условия резонанса и антирезонанса для спин-волновой моды низшего порядка n = 1 с нулевым волновым числом k = 0 не изменяются, и в зависимости от приложенного внешнего постоянного магнитного поля Но не меняется положение соответствующих экстремумов (кривые a-d на рис. 4).

Таким образом, действием внешнего магнитного поля можно изменять параметры магнитных нанорешеток, добиваться выполнения условий резонансов и, таким образом, управлять распространением и отражением электромагнитных волн.

В магнитных нанорешетках с металлическими наночастицами и нанопроволоками, помимо ферромагнитного резонанса, может осуществляться еще и антирезонанс, что расширяет возможности управления спектральными свойствами.

Исследование оптических и магнитных свойств решеток ферромагнитных нанопроволок перспективно для разработки новых электронных компонентов для современных систем связи и обработки информации.

Список литературы

1. Pardavi-Horvath, M. Interaction Effects in Permalloy Nanowire Systems / M. Pardavi-Horvath, P. E. Si, M. Vazquez, W. O. Rosa, G. Badini // J. Appl. Phys. -2008. - V. 103. - 07D517,.

2. Makeeva, G. S. Tuning the Scattering Parameters of Magnetic Nanowire Arrays Near the Antiresonance at Photonic Frequencies / G. S. Makeeva, M. Pardavi-Horvath, O. A. Golovanov // IEEE Transaction on Magnetics. - 2009. - Oct. - V. 45. - № 10. -P. 4074-4076.

3. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич. Г. А. Мелков. -М. : Наука, 1994.

4. Голованов, О. А. Метод автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке для математического моделирования магнитных наноструктур с учетом обмена и граничных условий / О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Радиотехника и электроника. - 2009. - Т. 54. - № 12. - С. 1421-1428 .

5. Ахиезер, А. И. Спиновые волны / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелет-минский. - М. : Наука, 1967.

6. Arias, R. Theory of spin excitations and the microwave response of cylindrical ferromagnetic nanowires / R. Arias, D. L. Mills // Physical Review B. - 2001. - V. 63. -Р. 134439.

Макеева Галина Степановна

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет, действительный член Академии инженерных наук им. А. М. Прохорова

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio-electronic systems, Penza State University, full member of Engineering sciences Academy named after A. M. Prokhorov

Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии, Пензенский артиллерийский инженерный институт им. Н. Н. Воронова

E-mail: golovanovol@mail.ru

Чиркина Марина Александровна ассистент, кафедра прикладной математики, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

E-mail: golovanovol@mail.ru

Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and descriptive geometry, Penza Artillery and Military Engineering Institute named after N. N. Voronov

Chirkina Marina Alexandrovna Assistant, sub-department of applied mathematics, Penza State University of Architecture and Construction

УДК 535.32 Макеева, Г. С.

Спиновая динамика в решетках ферромагнитных металлических нанопроволок в условиях скин-эффекта в терагерцовом диапазоне частот / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. А. Чиркина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2о1о. - № 2 (14). - С. 117-125.