О матричном уравнении XX¯ = x¯X

УДК 519.6

Х.Д. Икрамов1

О МАТРИЧНОМ УРАВНЕНИИ XX = XX

Показано, что всякое решение уравнения XX = XX может быть преобразовано посредством вещественного ортогонального подобия к блочно-треугольной форме с диагональными блоками порядков 1 и 2. Если решение X есть нормальная матрица, то его блочно-треугольная форма является в действительности блочно-диагональной. Установлен вид диагональных блоков для этого случая, что дает новое доказательство недавних результатов Гудсона и Хорна (Goodson, Horn).

Ключевые слова: перестановочные матрицы, инвариантные подпространства, нормальная матрица, ортогональное подобие.

1. Введение. Стимулом для написания настоящей статьи послужила недавняя публикация [1], основным результатом которой является вывод канонических форм (относительно вещественных ортогональных подобий) для нормальных матриц, перестановочных со своими (поэлементно) сопряженными матрицами. Если X = (ж^) — такая матрица, то X есть нормальное решение матричного уравнения

XX = XX.

Здесь X — стандартное обозначение матрицы с элементами ИЩ.

Каноническая форма, найденная в [1], есть блочно-диагональная матрица с диагональными блоками порядков 1 и 2. В разделе 2 мы показываем, что в действительности любое решение уравнения (1) может быть преобразовано посредством вещественного ортогонального подобия к блочно-треугольной форме с диагональными блоками порядков 1 и 2. Результат Гудсона-Хорна получается отсюда как частный случай. В п. 3 анализируется специальный вид диагональных блоков для нормальных решений X, что приводит к новому доказательству соответствующих результатов из [1].

2. Произвольное решение X. Представим матрицу X е Мп(С) в алгебраической форме

X = A + iB, A,B6Mn

Теорема 1. Комплексная матрица X тогда и только тогда является решением уравнения (1), когда вещественные матрицы А и В в ее представлении (2) коммутируют, т. е.

АВ = В А.

Доказательство. Равенство (3) получается подстановкой (2) в (1).

Это простое наблюдение, мимо которого, как ни странно, прошли авторы статьи [1], лежит в основе нашего дальнейшего анализа.

Известно, что коммутирующие матрицы А, В € Мп(С) могут быть приведены к треугольной форме одним и тем же унитарным подобием. (Для определенности мы будем говорить о верхних треугольных (и блочно-треугольных) формах.) Нам понадобится вещественный аналог этого комплексного факта.

Лемма 1. Коммутирующие матрицы А, В € Мп( R), где п ^ 3, имеют в Rn общее инвариантное подпространство размерности 1 или 2.

Доказательство. Будем вначале рассматривать А и В как матрицы из Мп(С). Тогда перестановочность обеспечивает этим матрицам существование общего собственного вектора z. Если z с точностью до комплексного скалярного множителя совпадает с вещественным вектором а, то вещественная линейная оболочка этого вектора есть общее одномерное инвариантное подпространство для А и В, трактуемых теперь как вещественные матрицы.

Пусть z — существенно комплексный вектор. Тогда в его алгебраической форме

z = zi+iz2, "-'1 • "-'-j

1 Факультет ВМК, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su

вещественные векторы и г2 не коллинеарны. Пусть

А = А1 + гА2, Л1,Л26К,

есть собственное значение матрицы А, отвечающее вектору г. Подставляя в комплексное равенство

Аг =

представления (4) и (5), получаем

Аг 1 = Л, -.1 - А2г2, Аг2 = + А

Отсюда следует, что вещественная линейная оболочка векторов и г2 есть общее инвариантное подпространство размерности 2 для вещественных матриц А и В.

Теорема 2. Коммутирующие матрицы А, В € МП(К), где п ^ 3, могут быть преобразованы посредством вещественного ортогонального подобия к общей блочно-треуголъной форме с диагональными блоками порядков 1 и 2.

Доказательство этого утверждения проводится по той же схеме, что и для его комплексного прообраза (см., например, [2, задача 6.3.44]). Вещественная ортогональная матрица Р, преобразующая А и В к желаемой блочно-треугольной форме, строится в конечное число шагов. Процесс ее построения будет понятен из описания первых двух шагов.

Пусть С — общее вещественное инвариантное подпространство размерности 1 или 2, гарантируемое леммой 1. Если сИт С = 1 и а — нормированный базисный вектор этого подпространства, то выбираем в качестве Р\ произвольную вещественную ортогональную матрицу с первым столбцом а. Если же дат С = 2 и {а, 5} — какой-либо ортонормированный базис в С, то в качестве Р\ можно взять любую вещественную ортогональную матрицу, для которой ашЬ являются первыми двумя столбцами. Выполняя подобия

А —> А! = А/',. В —> В1 = Р^ВРъ получаем блочно-треугольные матрицы

АЦ А^ 0 (ВЦ В12

А = I 1 Я =

1 V 0 ' V 0 ^22

в которых блоки Ац и Вц имеют один и тот же порядок (1 или 2). Построением этих матриц первый шаг заканчивается.

На втором шаге процесса то же построение применяется к (коммутирующим) блокам А22 и В22. Найденная на этом шаге ортогональная матрица Р2 порядка п — 1 или п — 2 надстраивается единичным блоком сверху с тем, чтобы получить ортогональную п х п-матрицу Р2. Аналогичным образом действуем на последующих шагах. Результирующая матрица Р формируется как произведение матриц /', отдельных шагов:

Р = Р-1 •••

Следствие!.. Произвольное (комплексное) решение X уравнения (1) может быть преобразовано посредством вещественного ортогонального подобия к блочно-треугольной форме с диагональными блоками порядков 1 и 2.

Для доказательства достаточно применить к X подобие с трансформирующей матрицей Р, построенной согласно теореме 2 по матрицам А и В представления (2).

3. Нормальное решение X. Если решение X уравнения (1) является нормальной матрицей, то блочно-треугольная форма, найденная в предыдущем разделе, превращается в блочно-диагональную. Это вытекает из следующего хорошо известного утверждения. Лемма 2. Если блочная матрица

•V

\ и Л22)

нормальна, то Х\2 — нулевой блок.

Выясним, как могут выглядеть диагональные блоки порядка 2 в блочно-диагональной форме нормального решения X. Каждый из этих блоков по-прежнему решает (при п = 2) уравнение (1) и

также является нормальной матрицей. Будем обозначать такой блок той же буквой X (без индексов), а представление (2) будем рассматривать как его алгебраическую форму. Могут встретиться следующие две ситуации.

1. Хотя бы одна из матриц А и В имеет вещественный спектр.

2. Обе матрицы А и В имеют невещественные собственные значения. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

3.1. Вещественный спектр. Пусть известно, что, например, А имеет вещественные собственные значения А1 и А2. Если А1 = А2 = А и матрица А диагонализуема, то А = XI2 и условие перестановочности с А выполнено для любой 2 х 2-матрицы В. Так как, однако, X — нормальная матрица, то нормальной должна быть и матрица В. Посредством вещественного ортогонального подобия В может быть преобразована в матрицу вида

~7), /3,7 еН,

(см., например, [3, гл. IX, § 13]). То же подобие не изменяет скалярной матрицы А, а всю матрицу X превращает в матрицу

'А + г/3 , , .

¿7 А + г/ЗуГ {1

При А + г/3 = 0, 7 ф 0 матрица (6) соответствует второй из форм, указанных в [1, теорема 6], а при X + г/3 ф {),_ 7^0 — третьей из этих форм.

Пусть теперь А1 ф Х2 или А1 = Х2 = А, но матрица А недиагонализуема. В этом случае А может быть преобразована посредством вещественного ортогонального подобия к треугольной матрице вида

4« I

То же подобие переводит В в матрицу В, коммутирующую с А. Приравнивая первые столбцы в равенстве

АВ = В А,

видим, что первый столбец матрицы В есть собственный вектор для А, ассоциированный с А1, а потому (с точностью до вещественного множителя) должен совпадать с координатным вектором е\. Иначе говоря, В тоже является верхнетреугольной матрицей:

О да

Верхнетреугольный вид приобретает и вся матрица X:

'Х\ + г/х 1 8 + %е

X —у X — | „ .

0 А2 + 1Ц2

Однако треугольная матрица X, будучи нормальной, должна в действительности быть диагональной матрицей. Мы заключаем, что в рассматриваемом случае диагональный 2 х 2-блок в блочно-треугольной форме п х п-матрицы X возник "по недоразумению": дополнительным вещественным ортогональным подобием этот блок можно заменить прямой суммой двух блоков первого порядка.

3.2. Комплексный спектр. Пусть А имеет невещественные собственные значения А1 и А^ А1. а В — невещественные собственные значения /¿1 и /х2 = Щ-

Будем пока рассматривать А и В как матрицы из М2(С). Тогда А может быть представлена в виде

А = ЯКЯ~\ Л = Ша8(А1,А2). Поскольку В коммутирует с А, то

В = дмд~1, М = да аё(/л,/х2).

Если А = М, то А = В и X лишь комплексным множителем отличается от вещественной нормальной матрицы. Последняя, как показано выше, может быть приведена к виду (6). Пусть Л ф М. т.е., в частности, А1 ф ц\. Положим

С = (Ке^А^ (КеХ^В.

Эта вещественная матрица имеет ненулевые чисто мнимые собственные значения

V = г[(11е/Х1)(1т А1) — (11еА1)(1т/Х1)] и —г/.

Будучи линейной комбинацией матриц А и В, она коммутирует с каждой из них.

След матрицы С равен нулю, поэтому вещественным ортогональным подобием она может быть переведена в матрицу вида

'О

Г1 —

\6 О

(Достаточно в качестве первого столбца трансформирующей матрицы взять нормированный вектор г € К2, такой, что (СУ, г) = 0.) Поскольку С невырожденна, элементы 7 и 6 отличны от нуля. Обозначим через

^ = fa.ii 012^ £ = (Ъц ¿>12

\Й21 Й22/ \&21 ¿>22 матрицы, получаемые тем же подобием из А и В. Из условий перестановочности

АС = СЛ. ВС = С В

выводим

йи = О 22; ¿>11 = ¿>22-Используя эти равенства в соотношении АВ = В А, имеем

012&21 = ^21 ¿>12

Матрицы А и В определяют матрицу X, в которую указанное выше подобие переводит исходную матрицу X:

'а,ц + ¿¿>11 а12 + Й1г\ (хц х^

X = А + '¿В = _

\а21 + ¿¿>21 а,22 + ¿¿>22) \х21 Х22

Равенство (8) можно интерпретировать как запись комплексного соотношения

1т

Вследствие нормальности матрицы X, модули чисел Ж12 и Ж21 должны быть одинаковы. Нулями они не могут быть, так как в противном случае и А, и В имели бы вещественный спектр. Поэтому равенство (9) означает, что

Ж21 = ±Ж12 ф 0.

Если Ж21 = -Ж12, то

/ Хц Х12^

X =

~Xi2 Хц

совпадает с третьей из форм, указанных в [1, теорема 6].

Предположим, что Ж21 = Ж12. Тогда А и В — вещественные симметричные матрицы и спектры обеих вещественны. Это противоречит условиям рассматриваемого случая.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Goodson G.R.,Horn R. A. Canonical forms for normal matrices that commute with their complex conjugate// Linear Algebra Appl. 2009. 430. P. 1025-1038.

2. И к рам о в X. Д. Задачник по линейной алгебре. СПб: Лань, 2006.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 13.10.09