Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца

2017 Математика и механика № 50

УДК 517.956.6; 517.44 Б01 10.17223/19988621/50/4

Т.Г. Эргашев

ЧЕТВЕРТЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ДВУОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Потенциал двойного слоя играет важную роль при решении краевых задач для эллиптических уравнений. При его исследовании существенно используются свойства фундаментальных решений данного уравнения. В настоящее время все фундаментальные решения обобщенного двуосесимметриче-ского уравнения Гельмгольца известны, но, несмотря на это, только для первого из них построена теория потенциала. В данной работе исследуется потенциал двойного слоя, соответствующий четвертому фундаментальному решению. При использовании свойства гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных доказываются предельные теоремы и выводятся интегральные уравнения, содержащие в ядре плотности потенциала двойного слоя.

Ключевые слова: обобщенное двуосесимметрическое уравнение Гельмгольца; формула Грина; фундаментальное решение; четвертый потенциал двойного слоя; гипергеометрические функции Аппеля от двух переменных; интегральные уравнения с плотностью потенциала двойного слоя в ядре.

1. Введение

Многочисленные приложения теории потенциала можно найти в механике жидкости, эластодинамике, электромагнитизме и акустике. С помощью теории потенциала краевые задачи удаётся свести к решению интегральных уравнений.

Потенциал двойного слоя играет важную роль при решении краевых задач для эллиптических уравнений. При этом решение ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, для определения которой применяется теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода [1-3]. В свою очередь, такой потенциал выписывается через фундаментальное решение данного эллиптического уравнения.

Фундаментальные решения следующего обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца:

тт'А / \ 2а 2В 2

Яа,р(М ) = ихх + иуу +-их +— иу -Х и = 0

X у

здесь а, р и X - постоянные, причем 0 < 2а,2р< 1, приведены в [4]. Оказывается, когда Х = 0, все четыре фундаментальные решения (х, у; х0, у0) (г = 1,2,3,4) уравнения

<р

х у

можно выразить с помощью гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных второго рода (а, Ьг,

Ь2; c1, С2; X,

у), определенной по формуле [5-7]

^ (а;VЬ2;сх,с2;х,у)= £ (()т+п((Ь)т ()) хтуп, тТп (с, ) (с2 ) т\п\

т,п=П V 1 /т V 2 /п

где (а)п - символ Похгаммера: (а)п = 1, (а)п = а• (а +1)• (а + 2)•...• (а + п-1), п = 1,2,3,...

Теория потенциала для простейшего вырождающегося эллиптического уравнения (т.е. при а = П и Х = П) изложена автором [8, 9]. Следуя его теории, в работе [10] для первого фундаментального решения д1 (х,у;хп,уп) уравнения (1.1) построена теория потенциала двойного слоя в области

ОсЛ+2 = {(х,у):х > П,у > 0} .

В данной работе исследуется потенциал двойного слоя, соответствующий четвертому фундаментальному решению уравнения (1.1):

„2\а+Р-2 2а. .1-23..1-2а, ,1-2р ,

где

/ \ ; / 2\а+в 2 1-2а 1-2В 1-2а 1-

д4 (x, у; ^уп ) = к4 (г ) х у Рх0 уп х^2 (2-а-Р;1 -а,1 -Р;2-2а,2-2Р;п),

24-2а-2р Г

к4 =

2 „2

4п

Г

1 =

г - г

п = -

2 2 г - г

г

_1. г 2

2 , Г1 Г 2

г22

С - Л2

( - Л2

у - уп

Нетрудно проверить, что функция д4 (х, у; хп, уп) по переменным (хп, уп) является решением уравнения (1.1) и обладает следующими свойствами:

д4(x, у; ль уп ^х=п = ^ д4(x, у; ^ уп ^^ =п

Используя свойства гипергеометрической функции Аппеля от двух переменных, доказываем предельные теоремы и выводим интегральные уравнения, содержащие в ядре плотность потенциала двойного слоя.

2. Формула Грина

Рассмотрим тождество

х2ау2в [<р (V)-vяа,p (и)] = дх[х2ау2Р (Ух« -)] + | [х2ау2Р (« -У«у )].

Интегрируя обе части последнего тождества по области О , расположенной в первой четверти (х > 0, у > 0), и пользуясь формулой Остроградского, получим

ц х2а у2в[«я а,р(у)- у.<р(« )] dxdy=

О

= | х2а у2р«

где £ = дО - контур области О .

2

г

Формула Грина (2.1) выводится при следующих предположениях: функции и (х, у), V (х, у) и их частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области О , частные производные второго порядка непрерывны внутри О и интегралы по О, содержащие Я(°р(и) и ), имеют смысл. Если

На в (и) и на р (V) не обладают непрерывностью вплоть до £, то это - несобственные интегралы, которые получаются как пределы по любой последовательности областей Оп, которые содержатся внутри О , когда эти области Оп стремятся к О , так что всякая точка, находящаяся внутри О , попадает внутрь областей Оп , начиная с некоторого номера п .

Если и и V суть решения уравнения (1.1), то из формулы (2.1) имеем

Г х2ау2вГи ^ - VЩ = 0.

> дп дп '

Здесь

д dy д dx д dy > . dx , . „ч

— = —-----, — = cos

дп ds dx ds dy ds ds

n - внешняя нормаль к кривой S .

Полагая в формуле (2.1) v = 1 и заменяя u на u2, получим

Ц x2ay2e[ux2 + u2y ] dxdy = J x2ay2eu—ds,

Q S дп

где u (x, y) - решение уравнения (1.1).

Наконец, из формулы (2.2), полагая v = 1, будем иметь

f x2аy2в—ds = 0,

s дп

т.е. интеграл от нормальной производной решения уравнения (1.1) с весом x2а y2в по контуру области равен нулю.

3. Потенциал двойного слоя w

Пусть Q - область, ограниченная отрезками (0, a) и (0, b) осей x и y соответственно и кривой Г с концами в точках A (a,0) и B (0, b), лежащей в первой четверти x > 0, y > 0 .

Параметрическое уравнение кривой Г пусть будет x = x (s), y = y(s), где s -длина дуги, отсчитываемая от точки B . Относительно кривой Г будем предполагать, что:

1) функции x = x (s) и y = y (s) имеют непрерывные производные x'( s) и y'(s) на отрезке [0, l], не обращающиеся одновременно в нуль; вторые произ-

водные х"(5) и у"(5) удовлетворяют условию Гельдера на [п,l], где l - длина кривой Г;

2) в окрестностях точек А (а,п) и В (п, Ь) на кривой Г выполняются условия

dx

ds

< СУ+е(5):

dy

ds

< Сх1+е(5), п <е< 1,

где С - постоянная. Координаты переменной точки на кривой Г будем обозначать через (х, у).

Рассмотрим интеграл

„ дп

где д4 (х, у; хп, уп) - фундаментальное решение уравнения (1.1), определенное по формуле (1.2), а ц4 (5) - непрерывная функция в промежутке [п, I].

Интеграл (3.2) будем называть четвертым потенциалом двойного слоя с

плотностью

ц4

при д4 (5) = 1 обозначим через (хп,уп).

Лемма 1. Справедливы следующие формулы:

уп ) =

к(xп,уп)-° (xп,уп к(xп,уп)-2, (xп,уп^^ .к (xп, уп ^ (xп, УП )«20,

где О := О и Г ;

к (хп, уп) = (1 - 2Рк х0- 2а у0-2Р | х ((х - хп )2 + у2 )'

2\ а+р-2

хЕ

2 - а - Р,1 - а; 2 - 2а; -

(х- хп)2 + уп2

dx +

2\а+р-2

+(1 - 2 а) к4 х0- 2а у1- 2Р | у (х2 + (у - уп)2 )'

п

2-а-р,1 -Р;2-2Р;- 2 4ууп--

хп +

хЕ

dy.

ш

Здесь Е(а,Ь; с; 2) = £ , к , ,к 2 - известная гипергеометрическая функция Га-

к=0

(с)к к \

усса.

Доказательство. Случай 1. Пусть точка (х0, у0) находится внутри О. Вырежем из области О круг малого радиуса р с центром в точке (х0, у0) и обозначим через Ор оставшуюся часть области О , а через Ср окружность вырезанного

круга. В области Ор функция д4 (х, у; х0, у0) - регулярное решение уравнения

(1.1). Используя следующую формулу для производной гипергеометрической функции Аппеля [4]:

дт+ п^2 (а;Ь1,Ь2;с1, с2; х,у) дхтдуп =

(а)т+п (Ь1 )т (Ь2 ).

(С1 )т (С2 )п

имеем

где

дд4 ( х, у; х0, у0 ) = (1 - 2 а) к4 (г 2 )а+Р-2 х-2а у1- 2Р ^ 2а у1~ 2Р Х дх х !

х^2 (2-а-р;1 -а,1 -Р;2-2а,2-2Р;п)-

-2

Р( х, у; х0, у0) = (х - х0) (2 -а-Р;1 -а,1 -Р;2 -2а, 2 - 2Р; п) + +х0(3-а-Р;2-а,1 -Р;3-2а,2-2Р;п) +

+

(1 а) (3-а-Р;2 -а,1 -Р;3 - 2а,2- 2Р;п) + 2 - 2а

+Мп^2 (3-а-Р;1 -а,2-Р;2-2а,3-2Р;п) Далее применяя известное соотношение [4]:

—1 х^2 (а +1;Ь1 +1,Ь2;с1 +1,с2;х,у) + —у¥2 (а +1;Ь1,Ь2 +1;с1;с2 +1;х,у) = С1 с2

= ^2

к квадратной скобке в (3.7), получаем

дд4 ( х, у; х0, у0 ) = (1 - 2 а) К (г 2 )а+Р-2 х-2а у^ 2Р ^ 2а £ 2Р х дх у !

х^2 (2-а-Р;1 -а,1 -Р;2-2а,2-2Р;п)-

-2(2 - а - Р)к4 (г2 )а+Р-3 х>-2ау1-2Рх2-2ау0-2Р х х^2 (3-а-Р;2-а,1 -Р;3-2а,2-2Р;п)-

-2(2 - а - Р)(х - х0 )к4 (г2 )а+Р-3 х'-2ау1"2Рх\2ау0-2Р х

Х^2

Аналогично находим

дд4 ( ^ х0, у0 ) = (1 - 2Р)к4 (г 2 )а+Р-2 х1-2а у^ х0-2ау0- 2в х

хЕ2 (2-а-Р;1 -а,1 -Р;2-2а,2-2Р;п)-

-2(2 - а - Р)к4 (г2 )а+Р-3 х'-2ау1-2вх1-2ау2-2в х хЕ2 (3-а-Р;1 -а,2-Р;2-2а,3-2Р;п)-

-2(2-а-Р)(у-уп)к4 (г2)а+Р-3 х1-2ау1-2вх0-2ау0-2в х хЕ2 (3-а-Р;1 -а,1 -Р;2-2а,2-2Р;п). Пользуясь (3.8) и (3.9), в силу (1.2) и (2.3) найдем

дд4 ( х,уп хп, уп ) = -(2 - а - Р)к4 (г 2 )а+Р-2 х1-2а у1" 2в х0-2а ^ 2в :

Я

хЕ2 (3-а-Р;1 -а,1 -Р;2-2а,2-2Р;п)—[ьг2]-

дп^ л

-2(2 - а - Р)к4 (г2 )а+Р-3 х1-2ау1-2вх2-2ау0-2в х

хЕ2

dy

d5

+2(2 - а - Р)к4 (г2 )а+Р-3 х>-2ау1-2вх0-2ауп2-2Р :

хЕ2

dx(5) d5

+(1 - 2а)к4 (г2 )а+Р-2 х-2ау°-2вх0-2ау0-2Р:

хЕ2

-(1 - 2Р)к4 (г2 )а+Р-2 х>-2ау-2Рх0-2ау0-

d5

2Р .

хЕ2

dx(5) d5

Тогда, в силу (2.4) и (1.4) получим

дп

х=0

d5 +

у

дп

2Р

дп

ds.

у=п

Подставив (3.10) в (3.11), найдем

^ (хп, Уп ) = к4 х1-2а Уг2р:

< Ит [

р^п

где

J1(x0,y0) =| xy(r2)a+P 2 F2 (3-a-P;1 -a,1 -P;2-2a,2-2P;n)[inr2]d5 ;

dn1

J2(x0,y0) = I xy(r2)a+P 3 F2 (3-a-P;2-a,1 -P;3-2a,2-2P;n))5-d5 ;

J3(x0,y0) = I xy(r2)a+P 3 F2 (3-a-P;1 -a,2-P;2-2a,3-2P;n)))-d5 ;

X v ! d5

J4(x0, y0) = J y (г 2 )a P 2 F2 (2-a-P;1 -a,1 -P;2 - 2a,2 - 2P; n))2 d5 ;

dy

d5

J5(x0,y0) = I x(r2)a P 2 F2 (2-a-P;1 -a,1 -P;2-2a,2-2P;n)))d5 ;

i v ' d5

a

2

J6(x0.У0) = J x

y

2p dq4

dn

y=0

dx + J y2p

dq4

dn

dy.

x=0

Вводя полярные координаты

x = x0 +pcosф , y = y0 +psinф в интеграле J1 (x0, y0), получим

2n

2\ a+p-2

Ji

0

xF2

Исследуем подынтегральное выражение в (3.14). Применяя последовательно известные формулы [11]

F2 (a; V b2'; c1> c2; x У ) =

(a). (bA (b2). . .

= yv h \ 1 /Л 2h x'y'F

..=0 (C1 ), (c2 V !

и F

V x -1J

получим формулу

17 / u u \ /1 \-b2 ^ (aX (b1 X (b2 X | x Y | У

F2 (a;Vb2;C1,c2;x,y) = (1 -x) 1 (1 -у) 2 z

(c1 ). (c2 ).. ! V1 - x J V1 - y

xF I c - a,b +.; c +.; x IFI c2 - a,b2 +.;c2 +.; У

V1 x -1J V2 У -1

Воспользовавшись теперь формулой (3.16), функцию Аппеля

F2

p

p

p

p

p

.=0

запишем в виде

где

F2 (3-a-ß;1 -а,1 -ß;2-2а,2-2ß;п) = : (р2)2-a-ß (р2 + 4х02 + 4Х0рcosф)а-1 (р2 + 4У2 + 4y0psinФ)М 1

- а - ß) (1 -а) (1 -ß).

(2 - 2а). (2 - 2ß). i!

4 x0 + 4 х0р cos ф р2 + 4x2 + 4 х0р cos ф

4 У0 + 4 У0Р sin Ф

р2 + 4 У02 + 4 У0р sin Ф.

xF

-а+ ß-1,1 -а + i; 2 - 2 а + i

x F

2 л

4 x0 + 4 х0р cos ф

р2 + 4x^ + 4х0р cos фу 4 Уо + 4У0р sin ф Л

а-ß-1,1 -ß + i;2-2ß + i; 2 2

р + 4 У0 + 4 У0р sin ф

Используя известную формулу для F (a, b; с;1) [6]:

, ч Г(с)Г(с - a -b) , ,

F(a,b;с;1) = ^ -,с ф 0,-1,-2,...,Re(с-a -b)> 0,

получим

Г

lim P11 = Г

Таким образом, согласно (3.14), (3.17) и (3.19), окончательно получим -(2-

Далее, учитывая, что

-(2 - а - ß)£4х0-2аy0-2ß lim J (0, У0) = -1.

р^0

lim р ln р = 0 .

р^0

имеем

lim J2

р^0 р^0 р^0 р^0

Наконец, рассмотрим интеграл J6 (х0, y0), который, согласно формуле (3.10), можно привести к виду (3.4), т.е.

J6

Теперь, в силу (3.20) - (3.23) из (3.12) следует, что в точке (х0,y0) е Q имеет место тождество

w1(4)(xо, У0 ) = k (xо, У0) -1.

Случай 2. Пусть теперь точка (х0,y0) совпадает с некоторой точкой M0, лежащей на кривой Г. Проведем окружность малого радиуса р с центром в точке (х0, y0). Эта окружность вырежет часть Гр кривой Г. Оставшуюся часть кривой

i=0

обозначим через Г-Гр. Обозначим через Ср часть окружности Ср, лежащей внутри области О , и рассмотрим область Ор, ограниченную кривыми Г-Гр, Ср и отрезками [0, а] и [0, Ь] осей х и у соответственно. Тогда имеем

^ (хп, уп Ьа у 2 в дд4 (х,у; х0, у0 ) ¿5 =

„ дп

lim Г х2ау2вдд4 (х, У; х0, У0 ) ¿5.

р^п 3

р^п

Г-Гр

дп

Так как точка

Г х2а у 2вдд4 (х, У; х0, У0 ) ^ фа

Г-Гр

+1У 2в

дп

с2а дд4 (x, у; хп , Уп ) дх

ду

Ах +

У=0

х=0

Ау + Г х2ау(х,у;хп,Уп)}. (3.25) ^ дп

Подставляя (3.25) в (3.24), с учетом (3.23) и (1.4), получим

^

р^п ^ дп

р^п >, Ср

Вводя снова полярные координаты (3.13) в интеграле (3.26) и переходя к пределу при р^ 0, получим

Ит Г х2а у 2вдд4 ( х,у; х0, у0 ) ¿5 = -1.

р^п дп 2

С,

Таким образом,

wl(4)(xo, Уп ) = к (xп, Уп) -1.

Случай 3. Положим, наконец, что точка

I д

Ч4) (^ Уп) = Гх2а у2в—{(x, у; xп, Уп)} ^=

дп

2 а

Nх

п

у

2р дд4

ду

У=0

Лемма 1 полностью доказана.

¿х + Г у2в

х2а ^4 (x, у; х0 , Уп ) дх

¿у = к (хп, Уп).

п

Теорема 1. Для любых точек (х,у) и (х0, у0 )е К+ при х Ф х0 и у Ф у0, спра-

ведливо неравенство:

\д4 (х, у; хо,Уо)| < С(ххо )1-2а (ууо )1-2в (2)а-1 (2 1п

( 2 2 2 2 ^

г г г г

_2 +— ~~2

V г1 Г2 Г1 г2 У

где С - постоянная, а а ив - действительные числа, причем 0 < 2а, 2в < 1, а г, г1 и г2 - выражения, определенные в (1.3).

Доказательство. Из (3.16), с учетом неравенства

(

2

¥

получим

-а + в,1 - а+/;2- 2а+/;1 —-

¥

2

а - в,1 - в + /;2- 2в + /;1 —-

< С,.

< С1к4

(хх0)1-2а (УУ0)1-2Р

|?4 (x, у; ^ У0 )1<

где С1 > 0 - постоянная, а 3 ¥2

1-в 3 ¥2

2 - а - в,1 - а,1 - в; 2 - 2а,2- 2в;

(

2

1-

V г1 у

(

2

1 -

V Г2 У

- обобщенная гипергеометрическая

функция Гаусса [6].

Теперь, согласно формуле [6, 7],

Г

¥ (, а2, а3; Ь1, Ь2; 2) =

г(а1 )г(а2)г(а3)I £к|(1 2) 1п(1 2)+12),

где Ь1 + Ь2 - а1 - а2 - а3 = 0; |1 - ^ < 1; |а^(1 - 2)| <п; Яе> 0; Ф 0,-1,-2,...;

] = 1,2,3; ск и известные постоянные, из (3.28) вытекает неравенство (3.27). Теорема 1 доказана.

Таким образом, функция д4 (х, у; х0, у0) имеет логарифмическую особенность при г = 0.

Теорема 2. Если кривая Г удовлетворяет перечисленным выше условиям, то

д^4

х у

дп

ds < С,

где С1 - постоянная.

Доказательство теоремы 2 следует из условий (3.1) и формулы (3.10). Формулы (3.3) показывают, что при ц4 (5) = 1 потенциал двойного слоя испытывает разрыв непрерывности, когда точка (х, у) пересекает кривую Г . В случае произвольной непрерывной плотности ц4 (5) имеет место

Теорема 3. Потенциал двойного слоя м(4) (х0, у0) имеет пределы при стремлении точки (х0,у0) к точке (х(5),у(5)) кривой Г извне или изнутри. Если предел значений м(4) (5) изнутри обозначить через м(4) (х0,у0), а предел извне через М;4) (х0,у0), то для непрерывной плотности ц4 (5) имеют место формулы

^

2 0

i

wy

2 0

где K4 (s, t) = [x(t)]2a[y(t)]2P^fe [x(t),У (t); Xo (s),y (s)]} ,

dn

точки (x (s), y (s)) и (x0 (t), y0 (t)) лежат на кривой Г.

Доказательство теоремы 3 следует из леммы 1 и теорем 1 и 2. Функция

i

w04)(s) = | |4 (t) K4 (s, t) dt 0

непрерывна при 0 < s < l, что следует из хода доказательства теоремы 3. Принимая во внимание формулы (3.29) - (3.30) и непрерывность функций w^(s) и

есть функция, непрерывная внутри области Q вплоть до кривой Г.

Статья поступила 12.08.2017 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. 256 с.

2. Гюнтер Н.М. Теория потенциалов и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953. 416 с.

3. Gilbert R.P. Theoretic Methods in Partial Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 54. A Series of Monographs and Textbooks. New York, London: Academic Press, 1969. 308 p.

4. Hasanov A. Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex variables and Elliptic Equations. 2007. V. 52. P. 673-683.

5. Appell P., Kampe de Feriet J. Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques: Polynomes d'Hermite. Paris: Gauthier - Villars, 1926. 440 p.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 296 с.

7. Srivastava H.M., Karlsson P.W. Multipl. Gaussian Hypergeometric Series, Halsted Press (Ellis Horwood Limited, Chicherster), New York, Chichester, Brisbane and Toronto: John Wiley and Sons, 1985. 386 p.

8. СмирновМ.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.

9. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

10. Srivastava H.M., Hasanov A., Choi J. 2015. Double-Layer Potentials for a Generalized Bi-Axially Symmetric Helmholtz Equation // Sohag J. Math. 2015. V. 2. No. 1. P. 1-10.

11. Burchnall J.L., Chaundy T.W. Expansions of Appell's double hypergeometric functions // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1940. V. 11. Р. 249-270.

Ehrgashev T.G. (2017) THE FOURTH DOUBLE-LAYER POTENTIAL FOR A GENERALIZED BI-AXIALLY SYMMETRIC HELMHOLTZ EQUATION. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 50. pp. 45-56

DOI 10.17223/19988621/50/4

Applying a method of complex analysis (based upon analytic functions), R.P. Gilbert in 1969 constructed an integral representation of solutions of the generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. Fundamental solutions of this equation were constructed recently. In fact, when the spectral parameter is zero, fundamental solutions of the generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation can be expressed in terms of Appell's hypergeometric function of two variables of the second kind. All the fundamental solutions of the generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation are known, and only for the first one the theory of potential was constructed. In this paper, we aim at constructing a theory of double-layer potentials corresponding to the fourth fundamental solution. Using some properties of Appell's hypergeometric functions of two variables, we prove limiting theorems and derive integral equations containing double-layer potential densities in the kernel.

Keywords: generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation; Green's formula; fundamental solution; fourth double-layer potential; Appell's hypergeometric functions of two variables; integral equations with double-layer potential density.

EHRGASHEV Tuhtasin Gulamzhanovich (Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers, Tashkent, Uzbekistan) E-mail: ertuhtasin@mail.ru

REFERENCES

1. Miranda C. (1970) Partial Differential Equations of Elliptic Type. Second Revised Edition (Translated from the Italian edition by Z.C. Motteler), Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 2, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York.

2. Gunter N.M. (1967) Potential Theory and Its Applications to Basic Problems of Mathematical Physics (Translated from the Russian edition by J.R. Schulenberger). New York: Frederick Ungar Publishing Company.

3. Gilbert R.P. (1969) Theoretic Methods in Partial Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering. Vol. 54. A Series of Monographs and Textbooks. New York and London: Academic Press.

4. Hasanov A.(2007) Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation. Complex variables and Elliptic Equations. 52. pp. 673-683.

5. Appell P., Kampe de Feriet J. (1926) Fonctions Hypergeometriques et Hyperspheriques: Polynomes d'Hermite. Paris: Gauthier-Villars.

6. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F.G. (1953) Higher Transcendental Functions, Vol. I, McGraw-Hill Book Company, New York, Toronto and London.

7. Srivastava H.M., Karlsson P.W. (1985) Multiple Gaussian Hypergeometric Series, Halsted Press (Ellis Horwood Limited, Chichester), New York, Chichester, Brisbane and Toronto: John Wiley and Sons.

8. Smirnov M.M. (1966) Vyrozhdayushchiesya ellipticheskie i giperbolicheskie uravneniya [Degenerate elliptic and hyperbolic equations]. Moscow: Nauka.

9. Smirnov M.M. (1985) Uravneniya smeshannogo tipa [Equations of mixed type]. Moscow: Vysshaya Shkola.

10. Srivastava H.M., Hasanov A., Choi J. (2015) Double-Layer Potentials for a Generalized Bi-Axially Symmetric Helmholtz Equation. Sohag J. Math. 2(1). pp. 1-10.

11. Burchnall J.L., Chaundy T.W. (1940) Expansions of Appell's double hypergeometric functions. Quart. J. Math. OxfordSer. 11. pp. 249-270.