О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов во всем пространстве

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.957

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан С.А.Исхоков, Б.А.Рахмонов

О РАЗРЕШИМОСТИ И ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

В работе изучается вариационная задача Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов высшего порядка во всем п-мерном евклидовом пространстве. Доказывается теорема об однозначной разрешимости этой задачи и при дополнительных условиях на гладкость коэффициентов и правой части уравнения изучаются дифференциальные свойства решения. Постановка исследуемой задачи связана с интегро-дифференциальной полуторалинейной формой, которая может не удовлетворять условию коэрцитивности.

Ключевые слова: вариационная задача Дирихле, эллиптический оператор, степенное вырождение, некоэрцитивная форма, гладкость решения.

1. Разрешимость вариационной задачи Дирихле для различных классов вырождающихся эллиптических операторов хорошо изучена в случае, когда полуторалинейные формы, связанные с исследуемыми операторами, удовлетворяют условию коэрцитивности (см. [1-7] и имеющуюся в них библиографию). Случай эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными полутора-линейными формами, является технически сложным и сравнительно мало изучен. Этот случай впервые был рассмотрен К.Х. Бойматовым в работе [8] и позже в работах [9-17]. Метод, разработанный в этих работах, существенно опирается на ограниченность области О п -мерного евклидова пространства Кп, в которой задается исследуемый дифференциальный оператор. Усовершенствование этого метода в работах [12], [17] позволяло исследовать дифференциальные операторы, заданные в неограниченные области, которые очень близки к ограниченным (предельно-цилиндрическая область с нулевым диаметром в бесконечности).

Здесь мы рассматриваем разрешимость вариационной задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора произвольного четного порядка во всем пространстве Rn, ассоциированного с некоэрцитивной полуторалинейной интегро-дифференциальной формой. Применяемый нами метод основан на теории вложения пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных во всем пространстве со степенными весами и на специальное бесконечное разбиение единицы пространства Кп конечной кратности.

Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: sulaimon@mail.ru

2. Пусть Кп - п -мерное евклидово пространство точек X = (х2,К ,Хп) , k = (&Х,&2К ,кп) -мультииндекс, |к| = к1 + К + кп - длина мультииндекса к .

Обозначим через ^ (X) обобщенную в смысле С.Л.Соболева производную функции и(X) мультииндекса к . Пусть г - натуральное, а, р - вещественные числа и 1 < р < да . Символом Угра(Кп) обозначим пространство функций и(X), определенных во всем пространстве Кп, имеющих все обобщенные в смысле С.Л.Соболева производные порядка г с конечной нормой

где d(х) = (1+ | X |2) 12 . Здесь и далее все интегралы берутся по всему пространству К1.

В случае р > 1 символом У—Г_а (Кп), где q = р /(р — 1), обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов ¥ над пространством Ур.а(Кп) с нормой

¥; У——_а(Кп) =вир-

IV; УРа(К

где символ < ¥,у > обозначает действие функционала ¥ е У—Га(Кп) на функцию X) .

Сформулируем основные свойства пространства У—Г_а(Кп), которые следуют из соответствующих результатов работ [2, 18, 19].

Теорема 1. При всех г е N, а е (—да, + да), р е (1, + да) справедливы утверждения:

1) множество С°да(Яп) плотно в пространстве Угр.а(К");

2) норма (1) пространства Угр.а(К") эквивалентна следующей величине

, 1/р

u;vpa

Чp

£fdp(a+Hk) (x)| u (k)(x)| pdx\ ;

Jk< J

3) для любого натурального числа m имеют место вложения

VZmm (Rn ) ^ Vpa(R" ), V-Tm (Rn ) ^ Vq.ra(R" ).

3. Пусть r - некоторое натуральное число. На функциях u, v е C°(Rn) рассмотрим интегро-дифференциальную полуторалинейную форму

B [u,v]= ^ f d2a+2r-lkH'l

""H <r

коэффициенты akl (x) которой являются ограниченными комплекснозначными функциями. Учитывая плотность класса C0°(R") в пространстве V2,.a(Rn) с помощью неравенства Коши-Буняковского и теорем вложения для пространств V2L.a(Rn) доказывается, что полуторалинейная форма (2) по непрерывности определяется для всех u, v eV2ra(Rn) . Поэтому за областью определения формы (2) будем принимать все пространство V£a (Rn ) .

Для всех x е Rn и любого набора комплексных чисел Q — {^k }|^ C вводим функцию

A (x,0= Е ам (x )скТ,

m

и предположим, что для всех x е Rn , Q — {^k |^ C выполнены условия

E\$kГ <MRe{y

где p - некоторое число из интервала (0, ж) и отличная от нуля комплекснозначная функция /(x) всюду непрерывна и для любого числа v >0 существует число R >0 такое, что x) — у(y)| < V для всех x,y е Rn таких, что | x |> R ,| y |> R . Здесь и далее считается, что функция argz принимает значения на отрезке (-ж,ж].

Задача DÄ . Для заданного F eV2.r_a(R") требуется найти решение u(x) уравнения

B[u,v] + X\d2

принадлежащее пространству V2.a (Rn).

Замечание 1. Так как класс бесконечно дифференцируемых финитных в Rn функций плотен в V2r.a(Rn ), то граничные условия в задаче DÄ формально считаются однородными.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда существует число Л0 > 0 такое, что если Я > Л0, то для любого заданного функционала F е V2.r_a(R) задача DÄ имеет единственное решение и при этом справедлива оценка

где число M >0 не зависит от Я е [Я0,+ да) и от функционала F .

4. Если коэффициенты ам (X) формы (2) и правая часть уравнения (5) - функционал ¥ обладают некоторым свойством гладкости, то повышается и гладкость решения задачи Ол . Следует отметить, что гладкость решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных с помощью некоэрцитивных полуторалинейных форм, ранее изучалась только в случае ограниченной области [11, 20].

Для исследования гладкости решения задачи сначала доказывается нужная для этого априорная оценка нормы решения этой задачи (см. ниже оценку (6)).

Символом С2.а(Яп) обозначим класс функций и(X), X е Яп , с конечной полунормой

и;4.а(яп)|| = -(x)|u(k)(X)!2 dx\ .

Класс 1^2.а( Яп) обозначим через Ь2.а( Яп). Теорема 3. Пусть выполнены условия: А) Существует натуральное число т° такое, что

X )< М^1 (X), X е Яп

для любого мультииндекса s : < т°.

Б) Для всех X е Я" и любого набора комплексных чисел ^ = ]^ С выполняется

|2<МЯе\у^) £ ск1 ^А,

где отличная от нуля комплекснозначная функция у(X) такая же, как в п.3.

Пусть задан элемент ¥ е У2.г+тт (Яп), где целое число т такое, что 0 < т < т°. Тогда если функция и(X)е Е2.а(Кп) оЬ2.1(х;(Яп) является решением уравнения (5), то и (X) е Ж,г+т (Яп ) и при наличии добавочного условия и (X)е Ь2.а+г (Яп ) выполняется неравенство

где число М > 0 не зависит от и (X) и ¥ .

Замечание 2. Условие Б) теоремы 3, в отличие от условия (4), содержит только старшие коэффициенты полуторалинейной формы (2).

Следующий результат доказывается применением теоремы 3.

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и условие А) теоремы 3.

Тогда при Л> Л0, где Л0 - такое же число, как в теореме 2, для любого заданного

функционала F е Га™т

задачи Ол. Это решение принадлежит пространству У20тт (К" ) , и справедлива следующая оценка

и; V™

где число М >0 не зависит от Л е [Л0,+ да) и от функционала F .

Поступило 15.01.2018 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М., Лирозкин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. -Известия вузов. Математика. 1988, №8, с. 4-30.

2. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений. -Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, №4, с. 641-653.

3. Мирошин Н.В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением. - Труды математического института РАН, 1992, т. 194, с. 179-195.

4. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Я. О вариационной задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов. - Доклады Академии наук России, 2005, т. 403, №2, с. 165-168.

5. Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением. -Математические заметки, 2010, т. 87, №2, с. 201-216.

6. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением и его приложения. - Уфимский математический журнал, 2016, т. 8, №1, с. 54-71.

7. Исхоков С.А., Нематуллоев О.А. О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №5, с. 352-358.

8. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка. - Доклады Академии наук России, 1992, т. 327, №1, с. 9-15.

9. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой. -Доклады Академии наук России, 1993, т. 330, №3, с. 285-290.

10. Бойматов К.Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными билинейными формами. - Доклады Академии наук России, 1994, т. 339, №1, с. 5-10.

11. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой. - Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН, 1997, т. 214, с. 107-134.

12. Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с нестепенным вырождением, порожденных некоэрцитивными формами. - Доклады Академии наук России, 2003, т. 392, №5, с. 606-609.

13. Исхоков С.А., Каримов А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейними формами. - ДАН РТ, 2004, т. 47, №4, с. 68-74.

14. Бойматов К.Х. О базисности по Абелю системы корневых вектор-функций вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами. -Сибирский математический журнал, 2006, т. 47, №1, с. 46-57.

15. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Константинова Т.П. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными билинейними формами. - Доклады Академии наук России, 2015, т. 462, №1, с. 7-10.

16. Гадоев М.Г., Константинова Т.П. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов. - Математические заметки СВФУ, 2014, т. 21, №2, с. 8-21.

17. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Петрова М.Н. О некоторых спектральных свойствах одного класса вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов. - Математические заметки СВФУ, 2016, т. 23, №2, с. 31-50.

18. Бойматов К.Х. О плотности финитных функций в весовых пространствах. - ДАН СССР, 1989, т. 307, №6, с. 1296-1299.

19. Исхоков С.А. О гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве. - Доклады Академии наук России, 1993, т. 330, №4, с. 420-423.

20. Исхоков С.А. О гладкости решений обобщенной задачи Дирихле и задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивными билинейными формами. - Доклады Академии наук России, 1995, т. 342, №1, с. 20-22.

С.А.Исхоков, Б.А.Рахмонов

ОИДИ ХДЛШАВАНДАГЙ ВА СУФТАГИИ ^АЛЛИ МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОР^ОИ ТАНАЗЗУЛЁБАНДАИ ЭЛЛИПТИКЙ ДАР ТАМОМИ ФАЗО

Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон

Дар макола масъалаи вариатсионии Дирихле барои як синфи операторной таназзуле-бандаи эллиптикии тартиби олй дар тамоми фазои п-ченакаи евклидй омухта мешавад. Теорема оиди халшавандагии яккимматаи ин масъала исбот карда шуда, хангоми ичро шудани шартхои иловагй оиди суфтагии коэффициентхо ва кисми рости муодила хосиятхои дифференсиалии хал омухта мешаванд. Гузориши масъалаи тадкикшаванда бо шакли интегро-дифференсиалии яку-нимхаттие вобаста аст, ки метавонад шарти коэрситивиро каноат накунад.

Калима^ои калиди: масъалаи вариатсионии Дирихле, оператори эллиптики, талназзулёбии дарацагй, шакли гайрикоэрситиви, суфтагии %ал.

S.A.Iskhokov, B.A.Rakhmonov ON SOLVABILITY AND SMOOTHNESS OF A SOLUTION OF VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS

IN THE WHOLE SPACE

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

We study the variational Dirichlet problem for a class of higher order degenerate elliptic operators in the whole n-dimensional Euclidian space. A theorem on unique solvability of the problem is proved and under some additional condition on smoothness of coefficients and the right-hand side of the equation, differential properties of the solution are studied. Formulation of the problem under consideration is connected with integro-differential sesquilinear form that may not satisfy the coercitivity condition. Key words: variational Dirichlet problem, elliptic operator, power degeneration, noncoercive form, smoothness of solution.