Влияние формы профиля скорости на характеристики устойчивости течения монодисперсной бесстолкновительной смеси

УДК 532.526:532.529

Д.И. Попов, А.М. Сагалаков Влияние формы профиля скорости на характеристики устойчивости течения монодисперсной бесстолкновительной смеси

Постановка задачи. Исследование устойчивости многофазных течений представляет несомненный интерес. Один из важнейших случаев, допускающих гидродинамическое описание, такого рода сред, представлен моделью двухфазной крупнодисперсной смеси [1-2]. Саффмен [3] впервые рассмотрел задачу об устойчивости течения в канале сильноразреженной крупнодисперсной газовзвеси, для описания которой использованы уравнения несжимаемой вязкой жидкости (дисперсионная фаза) и уравнения переноса взвеси (дисперсная фаза), при этом считается, что межфазный обмен импульсом характеризуется силой Стокса. Именно такая среда будет рассмотрена в настоящей работе.

В работах [4—6] произведен анализ устойчивости плоскопараллельного течения Пуазейля по отношению к двухмерным возмущениям. Полученные результаты свидетельствуют о заметном повышении порога устойчивости при наличии частиц определенного размера. В случае неоднородного распределения взвеси выявлен дополнительный механизм стабилизации-дестабилизации основного профиля. Исследование устойчивости струйных течений [7] показало, что свойства устойчивости существенно меняются при локализации слоев дисперсных частиц в окрестности критического слоя. В работе показано, что такой эффект обусловлен дополнительными слагаемыми, пропорциональными градиенту массовой концентрации континуума частиц и амплитуде возмущения и соответствующие некоторой силе, которая, например, в зависимости от знака градиента может быть диссипативной или усиливать возмущения. В работах [8-11] рассматривается устойчивость течения Пуазейля в канале кольцевого сечения по отношению к трехмерным возмущениям. Обнаружено, что геометрия течения может оказывать существенное влияние на характеристики устойчивости при наличии частиц [8]. Также показано [10], что в случае трехмерных возмущений кривые нейтральной устойчивости могут состоять из двух подобластей, одна из которых является замкнутой, а критические зависимости имеют явно выраженную резонансную область для различных значений массовой концентрации взвеси. Исследования устойчивости конвективного течения с

кубическим профилем [12] показали, что зависимость критического числа Грасгофа от степени дисперсности примеси имеет резонансный характер. При этом в резонансной области достигается повышение устойчивости в 2-2,5 раза. Исследования устойчивости плоского течения Куэтта дисперсной жидкости показали[13], что в отличие от случая однофазного течения, начиная с некоторого порогового значения массовой концентрации частиц, основной профиль неустойчив относительно инфинитезимальных возмущений.

Таким образом, представляет интерес изучение влияния формы профиля на устойчивость. Для этого рассмотрим устойчивость течения Куэтта-Пуазейля двухфазной жидкости по отношению к двухмерным возмущениям. В случае малых двухмерных возмущений справедлива следующая спектральная задача:

^-С)Ду/-\У> +

Здесь / - безразмерная массовая плотность континуума частиц; а - действительное волновое число; Ке = иоЬ/^ /// - число Рейнольдса;

= II-/./ ,где И(у) = (\-А)(\-у2)+Ау -основной профиль, Гх = ] + /а£Яе(11-С), Б= 2/9(а/Ь)2-параметр, определяющий степень дисперсности примеси. Преобразованием ц/' = Т , ц/"-а2у/ =в, #' = 5, // =-/а Ле(и' + /'./'+ /./’), 7 = /аг1*е/'./ можно привести (1) к виду

Ц,' = 7\0' = 5,5' = ре + рц/+г}Т,Т'=а2у/+в

с условиями на стенках в виде ~’Ау=±\ =. Спектральнвя задача (2) решалась методом дифференциальной прогонки[14].

Результаты. Серия расчетов, произведенных в широком диапазоне изменения характеризующих задачу параметров, по определению инкрементов первой моды возмущений позволяет сделать вывод о заметном влиянии формы профиля на устойчивость. Так, например, на рисунке 1а приведены зависимости максимальных по волновому числу инкрементов от значения числа Рейнольдса для различных значений А. Видно, что отличие профиля от Пуазейлева приводит к заметному уменьшению значений инкрементов и

мыкания ветвей нейтральной кривой не проис- чение размеров «окна устойчивости». Однако при ходит. Поэтому видно, что при больших концен- определенных значениях А (например, A O.UDJ трациях частиц малое отклонение профиля ос- область II нейтральной кривои не наблюдается, новного течения от пуазейлева значительно а генерация неустойчивости происходит в досказывается на характеристиках устойчивости. таточно малой ограниченной области значений На рисунке 2Ь представлены нейтральные (ff, Re). Таким образом, существуют значения , зависимости при / = 0.2, S = 8.7-10'6 дляразлич- для которых значения волновых чисел и чисел ных значений А. Расчеты показали, что при ма- Рейнольдса, определяющие область генерации лых А появляются две области генерации неус- неустойчивости, имеют верхнюю и нижнюю грани, тойчивости. При этом одна из областей является Дальнейшее увеличение значении А приводит к замкнутой и ограничена множеством точек ней- исчезновению перезамыкания ветвей нейтральной тральной кривой (см. рис. 2Ь). Между такими кривой. При этом нейтральные кривые смещают-областями существует полоса - «окно устойчи- ся в область малых значений волнового числа, вости» - каждой паре значений (a, Re) , из кото- На рисунке 3 приведены зависимости крип.-рой соответствует устойчивый режим течения. ческого числа Рейнольдса Re, от величины А дам Такая конфигурация кривых отвечает случаю, жидкости с частицами (сплошная линия, /—0.15) когда с увеличением числа Рейнольдса может для различных S и для чистои жидкости (пунк-наблюдаться последовательная смена режимов тирная линия). Кривые /l(Re.) разграничивают течения. Так, течение впервые дестабилизиру- области значений параметров, соответствую-ется при некотором критическом значении чис- щих устойчивому режиму, и области генерации ла Рейнольдса. Дальнейший рост значения чис- неустойчивости для определенных значений ла Рейнольдса приводит к тому, что область времени релаксации. При этом жирными линия-волновых чисел, соответствующих неустойчи- ми отмечены кривые, множеству точек которых вым двухмерным гармоникам, расширяется до соответствует переход неустойчивого режима определенного размера, после чего происходит течения к устойчивому с ростом значения числа уменьшение размера этой области. В результа- Рейнольдса. Из рисунка видно, что добавление те неустойчивые двухмерные гармоники исче- частиц с достаточно малыми размерами в поток зают, и происходит стабилизация течения. Даль- приводит к некоторой дестабилизации течения нейшее увеличение значения числа Рейнольдса в широком диапазоне изменения значении А

приводит к повторной дестабилизации основно- (см. зависимость /4(Re*) при на рис.

го течения, например, кривая, соответствующая Характерной особенностью представленных

А = 0.01, на рисунке 2Ь. Видно, что при увеличе- зависимостей /«(Re,) наличие асимптот A const, | нии значений А область II нейтральной кривой ограничивающих каждую кривую сверху при смещается вправо, чему соответствует увели- определенных значениях А.

н? 105 ю7

Рис 2 Нейтральные кривые для различных значений А (a)- S = 3* 10-‘; (b) - S = 8,7*1(Г‘, / = 0.2

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М., 1987.

2. Coy C.JI. Гидродинамика многофазных систем. М., 1975.

3. Saffman P.G. On the stability of laminar flow of a dusty gas // J. Fluid Mech. 1962.13. Pt 1.

4. Исаков Е.Б. Устойчивость течений разреженных газовзвесей и суспензий в плоском канале / Е.Б. Исаков, В.Я. Рудяк // Изв. РАН. МЖГ. 1995. Т. 5.

5. Rudyak V. Ya. and Isakov E.B., Bord E.G. Instability of the Poiseuille flow of two-phase fluid with respect to antisymmetric disturbances // Thermoph. and Aero-mech. 1996. Vol. 3. №1.

6. Рудяк В.Я. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц / В.Я. Рудяк, Е.Б. Исаков // ПМТФ. 1996. Т. 37. №1.

7. Рудяк В.Я. Устойчивость струйных течений двухфазной жидкости / В.Я. Рудяк, Е.Б. Исаков, Е.Г. Борд // Теплофизика и аэромеханика. 1998. Т. 5. № 1.

8. Kozhukhovskaya Т.A., Kryukov A. A., Sagala-kov A.M., Yudintsev A. Yu. Stability of parallel flow of a two-phase liquid between coaxial cylinders // Russian J. Eng. Thermophys. 2000. Vol. 10. №2.

9. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov Di, Neutral relations for the parallel flow of a two-phase fluid between coaxial cylinders, Bourgas 2002, 7“ workshop Transport Phenomena in two-phase Flow, 2002.

10. Kozhukhovskaya, T.A., Kryukov, A.A., Sagalakov, A.M., and D.I. Popov Linear stability to three-dimensional perturbations of parallel two-phase incompressible fluid flow between coaxial cylinders, Russian J. Eng. Thermophys, 11(4). 2002.

11. Попов Д.И. Влияние степени дисперсности примеси на устойчивость параллельных течений мопо-дисперсной среды / Д.И. Попов, А.М. Сагалаков // Вестник Томского государственного университета. 2004. №25.

12. Гершуни Г.З. Устойчивость конвективных течений / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, А.А. Непомнящий. М., 1989.

13. Рудяк В.Я. Неустойчивость плоского течения Куэтта двухфазных жидкостей / В.Я. Рудяк, Е.Б. Исаков, Е.Г. Борд // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24. №5.

14. Гольдштик М.А. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность / М.А. Гольдштик, В.Н. Штерн. Новосибирск, 1977.