Подходы к решению дискретных задач оптимизации на графах с нечеткими весами

ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА ГРАФАХ С НЕЧЕТКИМИ ВЕСАМИ

Ф. Б. Тебуева, В. А. Перепелица

APPROACHES TO SOLUTION OF OPTIMIZATION DISCRETE PROBLEMS ON GRAPHS WITH FUZZY WEIGHTS

F. B. Tebueva, V. A. Perepelitsa

Discrete problems are considered on graphs whose ribs are weighed by fuzzy sets. A new approach to the determination of arithmetic operations with fuzzy weights and comparison operations is suggested. The research has been made in the frames of the "Scientific and Scientific-Pedagogical Personnel of Innovational Russia" Federal Program.

Key words: discrete optimization, fuzzy weight, graph cover.

Рассматриваются дискретные задачи на графах, в которых ребра взвешены нечеткими множествами. Предложен новый подход к определению арифметических операций над нечеткими весами и операции сравнения. Исследования выполнены в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».

Ключевые слова: дискретная оптимизация, нечеткий вес, покрытие графа

УДК 510.22: 519.17

1. Математическая постановка задач оптимизации на графах с нечеткими весами

Задача оптимизации обычно определяется как вычислительная проблема, в которой задано множество альтернатив X = {х}, целевая функция Е (х), и требуется найти

альтернативу х0 Є X, на которой эта целевая функция принимает экстремальное значение Е (х0 ) = ехіт Е (х), ехіт є{тіп, тах}.

хєХ

Для задач оптимизации альтернативы X = {х} обычно называют термином «допустимые решения», х0 - оптимум (оптимальное решение), X = {х} - множество допустимых решений. Если множество X является дискретным, то соответствующая задача оптимизации называется задачей дискретной оптимизации. В настоящей работе рассматривается дискретная задача оптимизации на неориентированном графе [2].

Пусть О = (V, Е) есть граф, где - множество его вершин и Е = {е1,..., еь } - множество его ребер. Задано также множество типовых графов 0 = {71,..., Г }. Допустимое решение х

определяется как подграф х = (V, Ех ), в котором каждая компонента связности изоморфна некоторому типовому графу из 0;

X = X (о, 0) = {х} - множество допусти-

ШФ. Б. Тебуева, В. А. Перепелица

Подходы к решению дискретных задач оптимизации на графах с нечеткими весами

мых решений на графе G для множества типовых графов Q.

Каждое ребро e є E взвешено нечетким множеством W(e) = {(w; (e); m (wt (e)))}, где элементы Wi (e) являются носителями нечеткого множества, а fl W (e)) - степенью принадлежности их нечеткому множеству [5]. Целевая функция задачи оптимизации на графах с нечеткими весами имеет вид:

F

е&Ех

= F {(w(х); m(w(x)))} extr

где extr є {min, max} или F

0єЕх

Целевая функция (1), (2) линейна по слагаемым W(e), следовательно, она принимает нечеткие значения, которые получаем, используя определение операции суммирования нечетких множеств. Будем измерять качество каждого допустимого решения х є X, рассматривая нечеткое множество F(x,G) (1), (2) возможных значений этой целевой функции. При этом F (х, G) (1), (2) называем нечеткой целевой функцией.

Под математическим решением индивидуальной задачи дискретной многокритериальной оптимизации следует понимать нахождение того или иного множества альтернатив [1]. Из найденного множества альтернатив впоследствии с помощью методов многокритериального выбора [3] осуществляется выбор и принятие решения.

Перечислим наиболее известные типы множества альтернатив:

а) X - множество всех допустимых решений,

б) X - паретовское множество,

в) X0 - полное множество альтернатив.

Для всякой индивидуальной задачи

представленные выше множества альтернатив образуют иерархически упорядоченную

цепочку включений X0 i X i X .

2. Необходимость введения новых арифметических операций над нечеткими множествами

При разработке арифметических операций над нечеткими множествами нужно учитывать, что эти операции должны иметь обобщение над обычными (четкими) множествами.

Проанализируем степень пригодности, или адекватности, существующих определений арифметических операций, представленных в известных к настоящему времени публикациях. При этом отметим, что нечеткие переменные принято делить на: нечисловые и числовые [5].

В работе [5] представлены 3 аксиоматически определенных метода суммирования нечетких множеств A = {(w; ßA (w))} и B = {(w; ß в(w))} в полном пространстве W :

1) алгебраический: A + B:

ßA+B W) = ßA W) + ßB (w)- ßA (w)' ßB W);

2) граничный: A©B :

m a© b (w)=(mA (w)+mB М^для w- e W;

3) драстический: AVB:

ßavb (w) = ßв(w), если ßA (w) = 0 ßAVB (w) = ßA (w), если ßв (w) = 0 " W e w и ßAVB (w) = 1 в других случаях.

Каждый из этих методов представляет собой некий вариант теоретикомножественного суммирования, т. е. сумма двух нечетких множеств A и B есть либо теоретико-множественное объединение их терм-множеств либо некоторая его модификация. Можно утверждать, что представленные выше три метода суммирования нечетких множеств принципиально не соответствуют содержательному смыслу суммирования в целевых функциях вида

Sw и  extr, extr e {min, max }. От-

eeEx

сюда вытекает необходимость предлагать и обосновывать новое определение операции суммирования нечетких множеств в целевых функциях экстремальных задач на графах, взвешенных нечеткими множествами.

Следуя [5], рассмотрим два нечетких множества W (е ) и W (е ), для которых определены соответственно два множества-носителя Ж' = {>^1, м'2,..., м, } и

Ж" = М* М^,..., w¡¡ }. Для элементов этих множеств априори известны дискретные функции принадлежности М, = М, М),

m'=m' w), j=1,1

о <м, (»'). м(м^) < 1. Предполагая, что носители множеств W' и W// упорядочены по возрастанию, получаем множество-носитель для суммы носителей нечетких множеств W' + W'' = W: w1 = + М1,,

/ , № / ГГ

М2 = М1 + ^ ••• , М = М + М,2.

Определение функции принадлежности т = т (м) элементов М" в сумме W представим на примере одного элемента М° Е W . В процессе суммирования представителей носителей нечетких весов W' и W¡ элемент М0 может получаться в результате сложения элементов определенных q > 1 пар:

/ , ГГ / , № / , №

М1 , + М1 ¡, М , + М ¡,...,М , + М ¡,

*1 *1 ’ *2 *2’ ’ *9 *9 ’

*, < < ... < * , < ... < * .

12 q ’ 12 q

Тогда степень принадлежности элемента М0 в W определяется согласно выражения Ц

{м' +'м” )=-М еЖ

удовлетворяющего общепринятому свойству меры принадлежности: 0 < ¡1 < 1.

Отметим, что определение (3) является уже четвертым по счету. В целях иллюстрации неадекватности такого способа суммирования содержанию какой-либо конкретной задачи (к примеру задачи землепользования) рассмотрим два конкретных нечетких множества, представляющих урожайность озимой пшеницы на пахотных угодьях одного хозяйства:

Ж

В выражении (4) веса W (ег) и W (е') представляют собой ожидаемые урожайности, т. е. урожаи, которые могут быть получены с единичной площади 1 га на двух различных полях. Согласно (4) ожидается: низкий урожай H = 10 ц/га с функцией принадлежности ßН = 0,5 ; средний урожай C = 25 ц/га с функцией принадлежности ßС = 0,4 и высокий урожай B = 40 ц/га с

функцией принадлежности ßВ = 0,1. Тогда содержательно непротиворечивым суммированием этих двух одинаковых урожайностей является выражение W

Содержательный смысл выражения (5) состоит в том, что на площади 2 га ожидается следующий урожай: Н=10 ц/га с функцией принадлежности m Н = 0,5 , С=25 ц/га с функцией принадлежности тС = 0,4, В=40 ц/га с функцией принадлежности

m в = 0,1.

Вычислим теперь сумму

w(er) + w(e"), используя формулу (3):

W

= {(20;0,5), (35;0,4), (50;0,4), (б5;0,1), (80;0,1)}

Сравнивая правые части выражений

(5) и (6), видим, что каждая из них представляет собой нечеткие числа, причем нечеткое число (5) является собственным подмножеством нечеткого множества (6). Иными словами, в нечетком множестве (6) по сравнению с (5) появились два новых элемента:

которые по сути дела привносят собой ненужную, более того, отвлекающую информацию о результатах выполнения операции сложения. Действительно, представленные в (7) урожайности 35 ц/га со значением функции принадлежности m = 0,4 и 65 ц/га со значением функции принадлежности m = 0,1 просто не предусмотрены содержательным смыслом рассматриваемой ситуации, определяющей суммарный выход продукции с пахотных угодий площадью 2 га.

и

ШФ. Б. Тебуева, В. А. Перепелица

Подходы к решению дискретных задач оптимизации на графах с нечеткими весами

Таким образом, каждое из четырех представленных выше известных определений операции суммирования нечетких чисел не позволяет адекватно отразить операцию суммирования нечетких весов. Отсюда следует, что применительно к таким конкретным задачам, как упомянутая задача землепользования, необходимо представлять новое, более адекватное реальным ситуациям определение операции суммирования двух нечетких чисел.

3. Разработка новых подходов к определению арифметических операций над нечеткими множествами

Сложение нечетких множеств. Следует отметить, что лингвистическое представление слагаемых в полной мере распространяется на сумму этих слагаемых, т. е. если пара нечетких множеств Ж , Ж имеет вид

V= {М, М,)}, ж- = {М, М)},

М' , м" Е (Н, С, В), г = 1,3, то сумма

V = V- + V- представляет собой НМ того

же типа: V = {(wi, Мг)}, г = 1,3. Операция

«суммирование нечетких лингвистических весов» определяется следующим образом: Ж

= {(мН + ;мН ), (мС + ; мС } (мВ + МВ ;мВ )}

где

М^г ) = м

г е (н , с, в) .

Определение (8), (9) можно назвать «скалярным суммированием», которое согласуется с (4), (5). Отметим, что определение (8), (9) распространяется на такие слагаемые, у которых функции принадлежности помечены одним и тем же индексом к, т. е.

для фиксированной пары г, к , г = 1,3 , к = 1, то значение Мк является одинаковым для слагаемых Мг и Мг .

Возвращаясь к целевой функции (1), выделим в ней сумму XV (е), представ-

еЕЕк

ляющую собой понятие, которое можно на-

-1-к

звать термином «нечеткий вес решения X ».

С учетом (8), (9) нечеткий вес V (е) всякого ребра е Е Ех представляем следующим выражением

W (е)={(м (е); мН } (м (е); мС } (м(е)в; мВ)}

Тогда нечеткий вес Wk решения Хк определяется выражением

^ (хк )= X V {е ) = Шк =

еєЕх

с \ /

еєЕк

еєЕк

,

еЕЕк \ х

Определяя суммирование нечетких весов различных решений Хк, особо отметим, что для рассматриваемой задачи землепользования ее целевой функцией (1) представляет собой то различных нечетких весов

•к ={{мН ; т Н), {мС ; тС), {мВ ; т В )}

каж-

дый из которых определяется выражением (9).

Вычитание нечетких множеств. В [4] предложена следующая формула для разности двух нечетких множеств:

[ О в противном случае.

Т. е. в ней не производится никаких арифметических операций над носителями нечетких множеств. В то же время считается целесообразным произвести над носителями этих множеств операцию «скалярного вычитания»

V '(в) \ V ¡(е) = {(м' (е) - м" (е); м(м' - м" ))},(12) где функцию принадлежности М(М - М ) можно определить по формуле (11).

Сравнение нечетких множеств и упорядочение по предпочтительности. Предлагаемый в настоящей работе метод упорядочения нечетких весов по предпочтительности базируется на процедуре дефазификации

[6]. Прежде чем приводить описание этой процедуры, отметим условия, при которых она не пригодна. Для этого рассматриваем 2

допустимых решения Х1з Х2 Е X, на которых целевая функция (1) принимает значения в виде двух нечетких весов

Р (х, ) = {(М (х, ) Мг (х; ))}, г Е {Н, С, В} ,

, = 1,2. Тогда, рассматривая величины (х,) и Мг (х,) в качестве максимизируемых показателей, можно утверждать, что вариант хх предпочтительнее варианта х2, если выполняются следующие неравенства

М

Мг (Х1 )>Мг (х2 ) , г Е{Н, С, В},

среди которых хотя бы одно является строгим. В случае невыполнения этого условия реализуется следующая процедура дефазификации. Сначала вычисляются следующие величины: Ьх )=х (х, )^Мг (х,),

г

М(Х, )= ХМг (Х, ) , Я(Х, )= X М (Х, ),

гг

, = 1,2 . Далее вычисляются центры тяжести носителей и соответствующие им степени принадлежности: М (х, )= Ь (х,)М (х,),

~(х; )= Ь{х] У N(х,). Пару (м (х,), ~(х,)) условимся называть сверткой нечетких весов. Для упорядочения вариантов х ., , = 1,2 по

предпочтительности осуществляется известная операция сравнения интервалов [~ (х; )М (х;)Ъ , = 1,2. При этом границы

этих интервалов рассматриваются в качестве максимизируемых показателей.

Определение 1. Вариант х1 предпочтительнее варианта х2 (эквивалентен варианту х2 ), или, в другой терминологии, х2 доми-нируется вариантом х1 (хх • х2), если выполняются неравенства М^) > м(х2),

м(хх) > м(х2), среди которых хотя бы одно является строгим (равенства М^ ) = М( х2 ) , м(хх) = м(х2 )). Эквивалентность этих вариантов обозначаем через х1 ~ х2 .

Определение 2. Варианты хх и х2 являются несравнимыми (хх « х2), если в паре интервалов [~(х,) М(х,)], , = 1,2 один из

них является строгим включением другого.

Примечание 1. Нетрудно убедиться в том, что при выполнении неравенств (13) вариант хх предпочтительней х2. Если в (13) выполняются равенства, то х1~ х2 .

Определенные выше бинарные отношения бинарного отношения предпочтительности • , эквивалентности ~ и несравнимости « позволяют вычленить из множества допустимых решений X = {х} паре-

товское множество X , на котором для каждой пары нечетких весов

М(х'); м(х -), (м(х"\ м(х -))) выполняются бинарные отношения несравнимости и эквивалентности. Последнее разбивает паретов-

ское множество X на классы эквивалентности. Выбирая из каждого класса по новому представителю, получаем полное множество

альтернатив X0. Определенное таким обра-

V о

зом полное множество альтернатив X является искомым математическим решением задачи дискретного программирования с нечеткими данными. Далее элементы полно-

0

го множества альтернатив X упорядочиваются по предпочтительности в смысле теории выбора и принятия решений [3], например, с помощью обобщенного решающего правила [3].

ШФ. Б. Тебуева, В. А. Перепелица

Подходы к решению дискретных задач оптимизации на графах с нечеткими весами

ЛИТЕРАТУРА

1. Емеличев В. А., Перепелица В. А. Сложность дискретных многокритериальных задач // Дискретная математика. - 1994. - Т. 6. -Вып.1.- С. 3-33.

2. Лекции по теории графов / Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. - М.: Наука, 1990. - 384 с.

3. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 176 с.

4. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. -М.: Наука, 1981. - 208 с.

5. Прикладные нечеткие системы / под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. - М.: Мир, 1993. - 368 с.

6. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 320 с.

Об авторах

Тебуева Фариза Биляловна, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры организации и технологии защиты информации. Сфера научных интересов - методы нелинейной динамики для моделирования социально-экономических процессов, оптимизация дискретных процессов в условиях неопределенности.

tebueva@stavsu.ru

Перепелица Виталий Афанасьевич, ГОУ ВПО

«Ставропольский государственный университет», доктор физико-математических наук, профессор-консультант кафедры компьютерной безопасности. Сфера научных интересов - методы нелинейной динамики для моделирования социальноэкономических процессов, оптимизация дискретных процессов в условиях неопределенности, экономическая кибернетика. perepel2@yandex.ru