Диагностирование робототехнических систем

Электронное периодическое издание «Вестник Дальневосточного государственного технического университета» 2009 год № 1

05.00.00 Технические науки

УДК 621.396

А.Н.Жирабок, В.Ф.Филаретов

Жирабок Алексей Нилович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры ДВГТУ. E-mail: zhirabok@mail.ru

Филаретов Владимир Федорович - д-р техн. наук, профессор, заведующий лабораторией робототехнических систем Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

ДИАГНОСТИРОВАНИЕ РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассматривается задача построения робастных диагностических наблюдателей для робототехнических устройств, описываемых нелинейными динамическими моделями. Для решения предлагается использовать оригинальный логико-динамический подход.

Ключевые слова: робототехнические устройства, диагностические наблюдатели, робастность, логико-динамический подход.

Alexey N. Zhirabok, Vladimir F. Filaretov FAULT DIAGNOSIS OF ROBOTIC SYSTEMS

The paper covers the problems of designing robust diagnostic observers for robotic systems described with nonlinear dynamic models. The original logical and dynamic approach to solving this problem is suggested.

Key words: robotic systems, diagnostic observers, robustness, logical and dynamic approach.

Введение

Современное производство немыслимо без использования различных робототехнических устройств, к надежности и отказоустойчивости которых предъявляются весьма высокие требования, необходимость обеспечения которых привела к возникновению ряда специальных научных дисциплин - теории

надежности, технической диагностики, теории живучести, гарантоспособности.

56

Каждая из этих дисциплин решает свою задачу, внося определенный вклад в повышение эффективности работы этих устройств.

Одна из областей использования методов технической диагностики - непрерывная проверка правильности функционирования системы в процессе выполнения ею своих основных функций, или функциональное диагностирование. Эта задача особенно актуальна в связи с жесткими требованиями, предъявляемыми к техническим системам ответственного назначения, к которым, в частности, относятся робототехнические устройства. Отказы таких устройств могут привести к катастрофическим последствиям и потерям, несоизмеримым с затратами на средства контроля и диагностики, которые могли бы предотвратить эти последствия.

Нередко причиной возникновения экстремальных условий эксплуатации, приводящих к ухудшению качества функционирования и отказу различных технических систем, является человеческий фактор. Известно множество примеров, когда именно неправильные действия людей, связанные с их недостаточной квалификацией, несоблюдением инструкций или со стрессовыми ситуациями, повлекли за собой катастрофические последствия.

Использование традиционных методов обеспечения устойчивости к экстремальным внешним воздействиям или внутренним дефектам за счет совершенствования технологии изготовления и повышения надежности составляющих элементов наталкивается на определенные трудности. Помимо чисто технологических ограничений и препятствий экономического характера, здесь важную роль играет сложность современных технических систем, безотказность которых невозможно обеспечить в принципе. Средства технической диагностики позволяют обнаруживать дефекты, повлекшие отказы элементов, осуществлять их локализацию, т.е. указывать места появления, и идентифицировать - определять значения параметров системы, искаженных возникшими дефектами. После решения этих задач производятся действия по парированию возникших дефектов, которые осуществляются оперативно, в реальном масштабе времени. Эти действия предполагают корректировку параметров систе-

57

мы, внесение изменений в её структуру (например, включение резервных элементов) или переход на такое управление, при котором качество функционирования системы с дефектами не ухудшается либо ухудшается в допустимых пределах. В особых случаях может потребоваться проведение различных аварийных мероприятий, например, остановка технологического процесса.

Использование методов функционального диагностирования предполагает знание моделей рассматриваемых технических систем. Модели, которыми описываются робототехнические устройства, являются существенно нелинейными, причем они содержат недифференцируемые нелинейности, отражающие такие явления, как люфт и сухое трение. К настоящему времени известно несколько методов построения диагностических наблюдателей для нелинейных динамических систем [4, 5, 6, 8, 12], которые достаточно сложны в реализации, поскольку требуют проведения аналитических вычислений, и зачастую предполагают дифференцируемость входящих в модели функций. В работах [1, 2] был предложен так называемый логико-динамический подход, который весьма прост в реализации, поскольку оперирует линейными методами, и может работать с недифференцируемыми нелинейностями. В настоящей статье решается задача использования логико-динамического подхода к построению диагностических наблюдателей для робототехнических устройств.

Логико-динамический подход Модель объекта диагностируемой системы, которая рассматривается в логико-динамическом подходе, имеет следующий вид:

х(г) = Ех (г) + Ои (г) + щ( х(г), и(г)) + Ы (г) + Ьр(г) , у (г) = Нх (г) ,

где х е X с Яп, и е и с Ят, у е7 с Я1 - векторы состояния, управления (входа) и выхода соответственно; Е, О и Н - матрицы соответствующих размерностей. Нелинейная составляющая у( х(г), и (г)) имеет вид:

у(х(г), и (г)) = С

Л х

V г ( Агх(г X и (г )) .

т.е. в системе имеется г различных нелинейностей. Здесь С - постоянная матрица размера пхг если С[/, у] ф 0, то в правую часть уравнения для /-й компоненты вектора состояния диагностируемой системы входит нелинейность у  (А-х(г), и(г)), С[/, у] = 0 в противном случае; у. - произвольная (в том числе, недифференцируемая) нелинейная функция; (А.} - множество матриц-строк. Член Ьр(г) описывает внешние возмущающие воздействия; поведение функции р(г) предполагается неизвестным. Член № (г) характеризует проявление дефектов в системе: при отсутствии дефектов d(г) = 0 ; при появлении дефекта d (г) становится неизвестной функцией времени.

Напомним в обобщенной форме основные этапы решения задачи диагностирования на основе логико-динамического подхода; необходимые детали и пояснения содержатся в [1, 2].

Преобразование исходной нелинейной системы к линейной путем удаления нелинейной составляющей и введения определенных линейных членов. В результате этого этапа модель (1) принимает вид:

х(г) = Ех(г) + Ои (г) + С  Ах (г) + ^ (г) + Ьр(г), у (г) = Нх (г) ,

Ах А2 ... Аг \ . Линейный член С  Ах(г) вводится для сохранения

целостности системы, под этим понимается сохранение качественных зависимостей между компонентами вектора состояния системы. Пусть, например, в правую часть уравнения для переменной х. входит член х и и других вхождений переменной х в это уравнение нет; тогда удаление нелинейности х и нарушит зависимость между переменными х. и х . Для устранения этого недостатка добавим в правую часть рассматриваемого уравнения формальное сла-

гаемое х  - х ; вторая его часть войдет в нелинейную составляющую, которая примет вид хи - ху и будет удалена на первом этапе. В итоге в модели останется переменная х., которая войдет в матрицу Е, что сохранит качественную зависимость между хг и х.. В конкретных случаях в модель (3) могут добавляться отдельные выражения вида А х(г) .

2. Построение наблюдателя для полученной линейной модели на основе известной процедуры [2, 5] с рассматриваемым ниже дополнительным ограничением линейного характера, которые задаются матрицей А. Результатом этапа является матрица Ф размера к х п (к < п), которая при отсутствии дефектов и возмущений связывает векторы х(г) и х* (г) равенством

Фх(г) = х* (г).

На основе этого равенства и модели (3) строится наблюдатель, описываемый моделью

х* (г) = Е* х* (г) + О, и (г) + Jy(^), у* (г ) = Н * х* (г),

генерирующий невязку

г

для некоторой матрицы Я. Если г (г) = 0, то принимается заключение о том, что дефекты в диагностируемом устройстве отсутствуют. Здесь символом * помечены векторы и матрицы, аналогичные тем, которые входят в описание (1).

Матрицы Е, О, Н и Е*, Н*, О*, J связаны между собой известным образом [6, 7]:

ЕФ = ЕФ + JH,

ЯН = Н* Ф,

О* = ФО.

Из модели (3) следует [1, 2], что для обеспечения нечувствительности невязки г к возмущению р(г) требуется выполнить условие

ФЬ = 0,

которое называется условием полной развязки невязки от возмущений. Необходимое условие чувствительности к дефектам дается в неравенстве

ФК ф 0.

Достаточное условие имеет вид неравенства Н ФЕ*К ф 0, которое должно выполняться хотя бы для одного значения /=0, 1, ...

Дополнительное ограничение, упомянутое выше, записывается в виде

rank

Известно [1, 2, 5], что простой алгоритм решения задачи построения линейного наблюдателя получается, если его ищут в канонической форме Кроне-кера, когда

"0 1 0 - 0'

"Ф”

ф

= rank Н

Н

A

0 0 1

0

Н* = [1 0 0 ... 0];

0 0 0 - 0_

при этом матрица Е* имеет размер кхк, матрица Н* - 1хк. В этом случае задача сводится к решению следующего уравнения:

0>ШЕ к = ^НЕк-1 + ^НЕк-2 + ... + JкH, на основе которого определяются размерность наблюдателя и матрицы J1, J2,..., Jk . После этого с помощью равенств Ф1 = ЯН , Ф.+1 =ФЕ - JІH, /=1, 2, ..., к-1, следующих из равенств (4), (5) и вида (6) матриц Е* и Н*, определяются строки матрицы Ф и матрица О* = ФО.

3. Преобразование полученного линейного наблюдателя в нелинейный путем добавления нелинейной составляющей

1 13 Л 1 х*(г) _ У(г)_ , и(г )) А*! х* (г) _ У(г) _

С*  32 (Л*2 х*(г) _ У(г) _ ,и (г)) - С*  _ А*2 х*(г) _ У(г) _

3 г ( А*г X* (г) _ У(г) _ ,и (г)) А*г х*(г) _ У(г) _

которая строится путем определения матриц-строк А*1, А*2,

"Ф"

А = Л,

Н

, А*г из уравнения

Обеспечение робастности

Как было сказано выше, нередко невозможно выполнить условие ФЬ = 0, т.е. условие нечувствительности невязки к возмущениям (полной развязки). Это может выясниться на предварительном этапе либо уже на этапе построения наблюдателя. Таким образом, в этом случае неизбежно выполнение неравенства ФЬ ф 0 и необходимо построить такой наблюдатель, для которого произведение ФЬ будет в определенном смысле близко к нулю, т.е. использовать частичную развязку.

Имеется несколько подходов к решению задачи получения частичной развязки [7, 9, 11], предложенных для решения задачи диагностирования на основе соотношений паритета. Приведем модификацию одного из них применительно к диагностическим наблюдателям.

В основе рассматриваемого подхода к построению наблюдателя с минимальной чувствительностью к возмущениям лежит сингулярное разложение матрицы Ь, согласно которому Ь представляется в виде матричного произведения

Ь = иь  £ ь • Уь ,

где и^ и ^ - ортогональные матрицы; матрица £Ь имеет вид

£

_ст1 2 0

• 0

1 О

0 <ст1 <а2 < ... <ап - сингулярные числа матрицы Ь, упорядоченные по возрастанию.

Возьмем первые б (я < п) столбцов матрицы и^ в качестве строк матрицы Щ и будем использовать ее вместо Ф. Этот выбор является наилучшим в

Ь0 Щ будет иметь наименьшее значение для вы-

том смысле, что величина

бранного б, где ||А|| - норма Фробениуса к х п матрицы А:

ИЪ=(1к=, Щ=1А )1/2. Общие рекомендации по выбору величины б содержатся в работе [9].

Непосредственное использование матрицы Ь0 для построения наблюдателя, как правило, невозможно, поскольку матрица Ф должна удовлетворять уравнениям (4), (5) и (7). Кроме того, как показывает практика, каноническая форма реализации наблюдателя ограничивает возможность минимизации чувствительности последнего к возмущениям и поэтому от нее целесообразно отказаться. Для реализации этого пути получим критерии возможности выполне-

Ф"

ния матричных уравнений ФЕ = Е*Ф + Ш, ЯН = Н Ф и А = А, шем первое уравнение в блочном виде:

ФЕ = [Е* 3 ]

H

Перепи-

Ф

H

откуда следует, что строки матрицы ФЕ должны линейно выражаться через

Ф

строки матрицы

H

; это эквивалентно ранговому равенству

rank

" Ф "

Ф

= rank H

H

ФF

Второе уравнение запишем в виде

R -h*]•

H

Ф

0.

бЗ

откуда следует, что для его нетривиального решения между строками матриц Ф и Н должна существовать линейная зависимость; это эквивалентно ранговому неравенству

~Ф'

rank

H

< rank(Ф) + rank(H).

Как нетрудно видеть, уравнение A = A

Ф

H

подобно соотношению (S).

Отсюда следует, что это уравнение эквивалентно ранговому равенству

г Гф"

ф!

rank = rank H . Его можно объединить с равенством (9) , что дает единое

"Ф"

Ф

= rank H

H

A

выражение

rank

Ф

H

= rank

Ф

H

ФF

A

Суть предлагаемого подхода к построению матрицы Ф состоит в следующем. На основе сингулярного разложения матрицы Ь (для конкретности рассмотрим только этот случай) берется первый столбец матрицы и и принимается в качестве первой строки матрицы Ф, для которой проверяются условия (11) и (12) и неравенство Ф^ ф 0. При их выполнении построение матрицы Ф заканчивается. В противном случае выбирается второй столбец матрицы иь и добавляется в качестве второй строки в матрицу Ф, после чего производятся указанные выше действия. Описанная процедура продолжается до тех пор, пока не будет построена матрица, удовлетворяющая указанным выше условиям.

В ряде случаев размерность наблюдателя может быть уменьшена. Для этого поочередно, начиная с предпоследней, выбирается строка построенной матрицы Ф, удаляется из нее и для полученной матрицы производятся указан-

ные выше действия и проверки. При их выполнении полученное решение будет

ц2

наилучшим по критерию минимальности нормы ФЩ .

Для определения матриц Е*, Н*, О*, / и А* по найденной матрице Ф необходимо решить алгебраические уравнения (7), (8) и (10); завершается процедура синтеза построением матрицы О*: О* = ФО.

Аналогичным образом предлагается действовать при использовании обобщенных собственных чисел или метода множителей Лагранжа [7, 11].

Устойчивость наблюдателя

Одной из важнейших является задача обеспечения устойчивости построенного наблюдателя путем введения обратной связи по сигналу невязки. Для проведения детального анализа рассмотрим частный случай, когда нелинейная составляющая имеет вид С -у(Ах(:), и(:)), где у - гладкая скалярная функция по аргументу х. Соответствующий нелинейный член в наблюдателе имеет вид С* • у(А*х*(:), и(:)), где С* = ФС, а матрица А* удовлетворяет уравнению (7).

В нелинейном случае дифференциальное уравнение для ошибки е = Фх - х*, полученное в работе [3], принимает вид:

ё($) = (Е - О0Н*)е(:) + ФС -у(Ах(:), и(:)) - С* -у(А*х*(:), и(:)).

Поскольку А = А Ф, то Ах = А Фх = А (х* + е) и тогда разность нелинейных функций в приведенном выражении можно записать в виде ФС -у(Ах(:), и(:)) - С* -у(А*х*(:), и(:)) =

= С*(у(А*х*(:) + А*е,и(:)) - у(А*х*(:), и(:))« С* ау(хи) |z=А х А*е(:).

* *

В результате получаем окончательное уравнение для ошибки е(:):

т =

ах

из которого следует, что элементы матрицы обратной связи О0 в этом случае будут зависеть от компонент вектора состояния х* и управления и. Для определения этих коэффициентов необходимо выполнить следующие операции:

найти характеристический полином матрицы К О0, х*, и) в виде

ёе1:[Ке (О0, х*, и) — ХЕ] — Хк + Р1 (О0, х*, и)Хк—1 + Р2 (О0, х*, и)Хк—2 + ... + Рк ; задать значения собственных чисел Х1, Х2,...,Хк для обеспечения требуемой динамики наблюдателя;

составить систему нелинейных уравнений:

Р1 (О0,х*,и) — Х1 + Х2 +... + Хк,

Р 2 (О0 , х*:> и ) — —(Х1Х2 + Х1Х 3 + ••• + Хк—1Х к ) 5

Рк (G0, X*, и) — (—1) Х1Х2 "'Хк ;

найти из этой системы элементы матрицы О0.

Если нелинейный член у(х, и) содержит несколько нелинейностей -В(х,и) — С • у(А1х, А2х,..., Арх,и), то матрица Ке (О0,х*,и) принимает вид:

р -ш

(С0, х*, и) — К + С, 1-^-!—2---------^ |.А* — Оо Я *

,-.1 -:,

процедура определения элементов матрицы О0 остается прежней.

Для обеспечения устойчивости наблюдателя в общем случае, когда нели нейный член имеет вид (2), матрица К О0, х*, и) в уравнении (13) принимает вид

Ке (Од , х , и) — К — СдЯ * +

'^Ф1(Z, и)/ ^ 1 г=Ах А*1 0 ... 0

0 аФ2 (X и)/ ^ 1 х=А,2х, А*2  0

+ С .

0 0 ••• аФ г (X и)/ ^ 1 х—А*гх* А*г _

процедура определения элементов матрицы обратной связи О0 не изменяется.

На практике рассматриваемый метод может быть использован для наблюдателя размерности не более 3, поскольку приводит к громоздким выражениям. Его преимущество по сравнению с методами, рассмотренными в [10], состоит в том, что он не приводит к появлению производных в управляющих и выходных сигналах.

Пример

Рассмотрим задачу диагностирования манипуляционного робота, представленного на рис. 1 и описываемого следующими дифференциальными уравнениями:

Хх = х2,

Х2 = (1/H0)(—(Kr + h)Х2 — Mr + Cr irBl(Х3 — irXl)\

— х4,

Х4 = (1/JM )(— KdX4 + KMX5 — Md — Cr Bl( Х3 — irX1))’

Х5 = (1/ L)(—Кю Х4 — Rx 5 + u).

Здесь Xj и x2 - угол поворота редуктора и его скорость соответственно; х3 и х4 - угол поворота оси двигателя и его скорость соответственно; х5 - ток через обмотку двигателя;

H 0 и h - составляющие взаимовлияний со стороны остальных звеньев манипулятора;

M d и M r - моменты сухого трения в двигателе и редукторе соответственно:

Md = Md0Sign(Х4) , Mr = Mr0Sign(X2) ;

Kd и Kr - коэффициенты вязкого трения в двигателе и редукторе соответственно;

ir - передаточное число редуктора;

Cr - коэффициент жесткости механизма редуктора;

J M - момент инерции оси двигателя и вращающихся частей редуктора;

K ю - коэффициент противо-ЭДС;

KM - моментный коэффициент;

R и L - сопротивление и индуктивность обмоток двигателя; функция Bl описывает люфт:

Bl (z) = 0.5(| z | —ст)( sign( z + ст) + sign (z — ст)),

2a - величина люфта, z = x3 — irx1. Предполагается, что

Рис. 1. Манипуляционный робот Представим рассмотренную модель в виде выражения (1) со следующими элементами:

Ь =

“0 1 0 0 0 0 "

0 — (Кг + И )/ Н0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 , О = 0

0 0 0 — Ка / ^м К м / ^м 0

0 0 0 — к ш / ь - -Я / ь 1/ ь_

'1 000 0"

Н = 0 1 0 0 0 ,

0 001 0

- 0 0 0 "

—м г 0 / Н 0 0 С і */ Н 0 sign

ф( х, и) = 0 0 0 ( А2 х) ,

0 ма 0/ ^м — С / ^м _ В1

0 0 0 _

А = [0 1 0 0 0], А = [0 0 0 1 0], предполагается, что

А

[- іг 0 10 0],

К = [0 1 0 0 0]т, ь =

1 1 0 0 0' 0 0 110

Анализ показывает, что член вида С • Ах(ґ) добавлять в модель (3) нет необходимости, на целостность системы его отсутствие не повлияет, а наличие приведет к более громоздким выражениям.

т

На основе процедуры, изложенной в работе [6], найдем матрицу Ф:

—1 1 0 0 0'

0 0 10 0

Ф =

Поскольку ФК ф 0, рассмотренный вариант обеспечивает обнаружение дефекта. Приведем описание нелинейного наблюдателя в канонической форме:

х*1 = (1/ Н0)(—(Кг + И)У2 — мг0(У2 ) + Сг ігВ1(х*2 — ігУ1)) — У2 , х*2 = у3;

У* = х*1, г = у2 — У1 — У*.

Реализуем предложенную процедуру построения наблюдателя на основе сингулярного разложения матрицы Ь, для которого матрица иь имеет вид:

иь =

0.7071

0,7071

0

0

0

0

0.5 0.5 0'

0.5 — 0.5 0 0.5 0

—

0,7071 0.5

0,7071 - 0.5 0.5 0

0 0 0 0 1_

при этом а1 = а2 = 1,4142 , а3 = а4 = а5 = 0. Анализ показывает, что три последних столбца матрицы иь можно принять в качестве строк матрицы Ф. Отсюда непосредственно следует, что выполняется условие (11), кроме того, Я = (-1 1 0) и Н * = (1 0 0). Поскольку

0 С к / Н

С = ФС =

мг 0/ Н 0 0 0

ма 0 / 3м

— С / 3

м

00

то в наблюдатель войдут все нелинейности. Нетрудно проверить, что тогда выполняется условие (12) и наблюдатель может быть построен. Из уравнения (8), имеющего вид

“0 — (Кг + И)/ Н 0 — 1 0 0 0 1 "Ф“ Н

0 0 0 Ка/ 3м 1 Км/ 3м = [ь* 3 ]

0 0 0 — К ю / ь — Я / ь _ Н Н

= [f* j ]

-110 0 o' 0 0 -110

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 10 0 0

0 0 0 1 0

, определяются матрицы F* и J:

- (Kr + h) / Ho -1 О 0 " - (Kr + h) / Ho -1 0 0 "

F* = 0 0 KM / JM , J = 0 0 - Kd / JM -1

0 0 - R / L 0 o - K ю / L _

Из уравнения A. = A*

Ф

H

i=1,2,3, находятся матрицы A*.

A*1 = [1 0 0 1 0 0], A*2 = [0 0 0 0 0 1], A^ = [0 -1 0 - ir 0 1];

кроме того G* = ФG =

' 0 ' 0

1/L

. В результате описание наблюдателя после про-

стых преобразований принимает следующий вид:

X*1 = (1/ H0 )(-(Kr + h)У2 - Mr0Sign(У2 ) + Cr .rBl(Уз - .гУі - X*2 )) - У2, x*2 = (1/JM )(-KdУз + KM^ - Md0sign(Уз) - Cr Bl(Уз - .гУі - x*2)) - Уз,

•І*з = (1/ L)(-KаУз - RX*з + и\

У* = X*1, r(t) = У2 - Уі - У*.

Моделирование манипуляционного робота при его вращении относительно вертикальной стойки с построенными наблюдателями проведем для

следующих численных значений параметров: Kr = 0,01 Nms, K = 10 5 Mms,

Cr = 2 Nm, ir = 100 , а = 1.0 rad, Mr0 = 10 Nmrad, Md0 = 0,15 Nmrad,

Kю = 0,02 Vs/rad, KM = 0,02 Nmrad/A, JM = 10-4 kgm2, L=0,004 H, R=0,4 Q. Положим H 0 = 1, h = 10, u = const = 10. Вектор возмущений p(t) имитируется датчиком случайных чисел, генерирующим два независимых равномерно распределенных на интервале [-0,01; +0,01] случайных числа; дефект имитируется скачкообразным изменением параметра Mr 0 от 10,0 до 12,0 в момент времени

7=30. Моделирование проводится в дискретном времени с интервалом дискретизации Лt = 0,001 при нулевых начальных состояниях манипулятора и наблюдателя.

На рис. 2 приведены результаты моделирования с наблюдателем в канонической форме, показывающие, что невязка чувствительна к возмущениям, несмотря на оптимальный выбор матрицы Я. На рис. 3 приведены результаты моделирования второго наблюдателя, которые подтверждают чувствительность невязки к дефекту и нечувствительность к возмущениям. Отметим, что этот наблюдатель в отличие от предыдущего имеет большую размерность. Таким образом, отказ от канонической формы позволил построить наблюдатель, нечувствительный к возмущениям, ценой увеличения его размерности.

Рис. 2. Результаты моделирования с наблюдателем в канонической форме

0.005

-0.025 1-ьь11ьь11ь1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 3. Результаты моделирования второго наблюдателя

Заключение

Одной из важнейших проблем, возникающих при диагностировании динамических систем, является проблема робастности. Для класса нелинейных систем в настоящей работе она решается на основе логико-динамического подхода, который позволяет при построении наблюдателей использовать только линейные методы. На этой основе предложен новый метод к обеспечению робастности, который состоит в отказе от канонической формы реализации наблюдателя, что позволяет добиться максимально возможной степени робастности. Все полученные в работе результаты применимы и к системам с дискретным временем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Жирабок А.Н. Нелинейные соотношения паритета: логико-динамический подход // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6. С. 160-174.

2. Жирабок А.Н., Усольцев С.А. Линейные методы при диагностировании нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. № 7. С. 149-159.

3. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Методы диагностирования технических систем: учеб. пособие. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2007. 169 с.

4. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных динамических систем, описываемых уравнениями с полиномиальной правой частью // Автоматика и телемеханика. 1987. № 8. С. 154-164.

5. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.; СПб.: Изд-во МГУ-ГРИФ, 1998. 256 с.

6. Шумский А.Е. Поиск дефектов в нелинейных системах методом функционального диагностирования // Автоматика и телемеханика. 1991. № 12. С. 148-155.

7. Frank P. Fault diagnosis in dynamic systems using analytical and knowledge-based redundancy - A survey and some new results // Automatica. 1990. V. 26. Р. 459-474.

8. Join C., Ponsart J-C., Sauter D. Sufficient conditions to fault isolation in nonlinear systems: a geometric approach. CD ROM Proc. of 15th IFAC World Congress of Automatic Control. Barcelona, 2002.

9. Lou X., Willsky A., Verghese G. Optimally robust redundancy relations for failure detection in uncertain systems // Automatica. 1996. V. 22. P. 333-344.

10. Misawa E.A., Hedrick J.K. Nonlinear observers - a state of the art survey // Journal of dynamic systems, measurements and control. 1989. V. 111. P. 344-352.

11. Patton R. Robust model-based fault diagnosis: the state of the art // Proceedings of the IFAC Symposium SAFEPROCESS’94, Espoo, 1994. P. 1-24.

12. Shumsky A. Ye., Zhirabok A. N. Nonlinear diagnostic filter design: Algebraic and geometric points of view // Int. J. Applied Mathematics and Computer Science. 2006. V. 16. №. 1. P. 115-127.