Гейтинговозначный анализ и пучковые ассоциативные кольца

1. АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

УДК 517.11+517.98

© В.И. Антонов

ГЕЙТИНГОВОЗНАЧНЫЙ АНАЛИЗ И ПУЧКОВЫЕ АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА

В работе изучаются свойства оценок пучковых ассоциативных колец методом гейтинговозначного и буле-возначного анализа.

Ключевые слова: пучковые ассоциативные кольца, булевы алгебры, полупервичные кольца, хорновы свойства, гейтинговозначный и булевозначный анализы.

V.I. Antonov

HEYTING VALUED ANALYSIS AND SHEAF ASSOCIATIVE RINGS

In this article the properties of evaluations of sheaf associative rings are studied by the method of Heyting and Boolean valued analysis.

Keywords: sheaf associative rings, Boolean algebras, semi-prime rings, khorn properties, Heyting and Boolean valued analysis.

Введение

Гейтинговозначный анализ и, в частности, булевозначный анализ алгебраических структур представляют собой один из путей приложения методов теории моделей в алгебре, в том числе в теории колец и групп. Конструкция булевозначного универсума первоначально разрабатывалась для решения сложных теоретико-множественных проблем, в частности, для доказательства независимости от аксиом некоторых гипотез теории множеств, например континуум-гипотезы. Однако в дальнейшем выяснилось, что гейтинговозначный и булевозначный анализ могут применяться и для решения чисто алгебраических проблем. Булевозначный анализ эффективно используется в связи с проблемами функционального анализа. Гейтинговозначный и булевозначный анализы применяются также для решении чисто алгебраических проблем теории доказательств и теории моделей. Например, В.А. Любецкий, развивая метод гейттинговозначного анализа, изучал две традиционные логические проблемы: о переходе от выводимости в классической теории к выводимости в соответствующей интуиционистской теории и о построении модельного компаньона. На основе исследования этих проблем В.А. Любецким получены алгоритмы, компьютерно-реализуемые в «реальное время» и связанные как с задачей эффективизации доказательства, так и с задачей обобщенного описания.

Методами булевозначного анализа изучались алгебры мер на локально-компактных группах. В частности, там доказана независимость некоторого утверждения о локально-компактных группах от аксиом множеств Цермело-Френкеля ZF. Озава, основываясь на результатах Такеути, доказал неоднозначность степеней однородности для AW * - алгебр. К.И. Бейдар и А.В. Михалев разработали метод ортогональной полноты, который связан с булевозначным анализом, хотя не использует булево-значный универсум и имеет другие существенные отличия от гейтинговозначного и булевозначного анализов.

Пучки и оценки в алгебраических системах

Рассмотрим конструкцию пучка, определенного на решетке, и связанную с ней терминологию. Любая решетка Q рассматривается как категория, объектами которой являются все элементы решетки и в которой определяются с помощью отношения порядка: если u, v gQ и u < v, то

Hom(u, v) о {1}, а если u, то Hom(u, v) о 0 , где смысл знака О- здесь и дальше «равно по определению» или «эквивалентно по определению». Предпучком на решетке Q называется любой кон-травариантный функтор F(•), определенный на категории, соответствующей решетке Q со значениями в какой-то подкатегории C категории всех множеств Set. Классическим примером предпучка является предпучок на решетке, состоящей из всех открытых подмножеств произвольного фиксиро-

ванного топологического пространства X. Такая решетка т называется топологией; конечно, в этом случае о1 < о2 ^ с сг2) . Пучком на решетке О называется любой предпучок на этой решетке, обладающий свойством:

УК}<О Уи еО (и = и иа лУак е F (иа)) л

а

УаУР(р^ (kа) = Риали, (кр)) ^ 3!к е Г(и)(Уа(риа (к) = ка))), где рУи (в случае и < V) - морфизм категории С , являющийся значением предпучка на единственном

морфизме и в V. Иногда вместо ри (к) пишут к и .

Оцениванием (оценкой) в данном языке для фиксированной решетки называется сопоставление каждой формуле р этого языка элемента решетки О (обозначаемого [р]О или короче [р]), при котором логические связки языка моделируются операциями в О. Последнее означает, что [<у^]=[р]у [[], [<л^]=[р]л [[], [—р]=—[р], [р^ []=[р]^ [[], где в левых частях равенств те же символы ',л, —1, ^ (одноименные со связками) суть операции в решетке О . И так далее для всех других пропозициональных связок. Кванторы (связанные переменные), кроме решетки О , требуют еще указания некоторого фиксированного множества D - множества параметров данного языка. Тогда [Зхр] = и {[р(к)] | к е D} и [Ухр] = П {[р(к)] | к е D} также для других связок кванторного типа. Здесь операции и, V применяются уже к подмножествам решетки О. Обычно операции и, V и л, П - это точные верхние и нижние грани в решетке О . Чтобы подчеркнуть выбор множества параметров D , оценку иногда обозначают []О,0 или []д . Обозначим 1 = иО.

Обозначим D) множество всех предложений языка ^ с множеством параметров D. Тогда оценивание - одноместная функция вида [•]: D) ^О, удовлетворяющая отмеченным выше индуктивным условиям. Часто множество D) обозначают просто ^ , а формулы с параметрами из множества D называют просто формулами. Если функция [•] определена только на атомарных формулах языка, то она однозначно продолжается на все множество D) . Итак, кроме обычной истинности суждения р в некоторой математической структуре К (обозначаемой К ^ [ ) возникает новый вид истинности (новая семантика) [р]О = 1 (обозначаемая иногда^О,^ ^ р) или короче О ^ р , или иногда D ^ р . Здесь []ОО - фиксированная оценка, некоторым образом связанная с исходной структурой К. Предикат О ^ р называют глобальной истинностью суждения р; иногда он читается « р значимо в решетке О ».

Обычно исходная структура К допускает неоднозначный выбор соответствующей решетки О = О(К) (в качестве D обычно берется носитель структуры К) и неоднозначный выбор соответствующей оценки [•] (в этом случае оценку удобно обозначать [-]К ). При этом мы хотим, чтобы для многих формул р выполнялось [р]К = 1 (хотя, быть может, К ). Класс формул р, для которых [р]к = 1 обозначим Ф+ (К). С другой стороны, обозначим Ф_ (К) класс формул [, для которых выполняется: если \щ\К =1. то К 1= ц/ . Обычно оценка замкнута относительно некоторой выводимости (зависящей прежде всего решетки О и в этом смысле обозначаемой ^ ). Под замкнуто-

О

стью мы понимаем: если и [р]К = 1, то [[]К = 1.

Типичное и, возможно, основное применение гейтинговозначного анализа состоит в следующем. Если [ е Ф _(К), то в К может все-таки выполняться определенное утверждение [ , где [ -формула исходного языка, тесно связанная с формулой [; например, [ эквивалентна глобальной

истинности формулы у . Можно сказать, что следствия у и у , мифических для структуры свойств

р1,...,рп , истинны в структуре (уже в самом обычном смысле). Такую ситуацию называют теоремой

переноса. Здесь естественно возникают и теоремы переноса «по логике»: утверждение в посылке рассматриваются в интуиционистской логике.

В рамках этой общей схемы теорем переноса возникают конкретные направления исследований. Во-первых, исследуется, каким образом по заданному алгебраическому объекту К следует выбирать полную гейтингову алгебру О(К): и оценку [-]К . Вторая проблема - отыскание классов формул Ф+ (К) и Ф_ (К) и нахождение общих схем теорем переноса и конкретных содержательных примеров теорем переноса.

В настоящей работе получены результаты в этих направлениях. По первому направлению известен следующий общий ответ: для алгебраической системы методы гейтинговозначного анализа особенно эффективны, если удается построить такой содержательный пучок F(•) на полной гейтинговой алгебре О, что К = F(1) («пучок F(•) представляет систему К »). В связи с этим важен вопрос о наличии такого пучка F (•) . Примеры таких пучков можно найти в [2-5]; однако все эти пучки заданы на топологии т некоторого пространства, связанного с системой К. Таким пучкам F(•) соответствуют оценки [-]т, замкнутые относительно интуиционистской выводимости (так как [(V—р]т < 1 практически для всех формул р). Поэтому особый интерес вызывают пучки F(•), определенные на полных булевых алгебрах В . В этом случае пучку F(•) соответствует оценка [-]В , которая замкнута

относительно классической выводимости. Последнее обстоятельство, конечно, весьма существенно, так как вопрос о том, что интуиционистски выводимо (а что не выводимо), сам по себе весьма сложен.

Булевы оценки в пучковых ассоциативных кольцах

Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, а В = В(К) булева алгебра его центральных идем-потентов. Тогда естественным образом определяется предпучок F(•) на В . А именно, полагаем F (е) = eR, где е е В, а также если е1 < е2, то рв"2 = е1г , где е1, е2 е В и г е Е (е2) . Этот предпучок

называется каноническим предпучком на В .

Напомним, что полупервичным называется кольцо, у которого пересечение всех первичных идеалов равно нулю. Идеал I называется первичным, если I Ф R и VI1, У/2 (I1 -/2 ^ I ^ 11 ^ IV12 ^ I,

где ^, !2 произвольные идеалы в R . Правый идеал I кольца R называется плотным, если для каждого элемента г е R левые аннуляторы множеств {^ е Я\г • 5 е 1} равны нулю; кольцо R - называется рационально полным, если для любого плотного правого d идеала D и любого гомоморфизма f е Н отг (D, К) найдется элемент г е R такой, что Vd е D(/(d) = dг).

Пусть К - полупервичное кольцо, идеал I кольца К . Тогда известны следующие свойства:

1. Левый аннулятор идеала I равен его правому аннулятору, т.е *I = I * .

2. I плотный идеал тогда и только тогда, когда I* = {0} .

3. I I* = {0|,I +1 * плотный идеал кольца К .

Предложение 1. Если К - полупервичное рационально полное кольцо, то любой аннуляторный идеал выделяется прямым слагаемым.

Доказательство. Пусть I - идеал кольца К , I * - правый аннулятор идеала I в К . Определим отображение h: I +1* ^ К по правилу к(а + Ь) = Ь , где а е I, Ь е I * . Отображение h корректно определено, так как I +1 * прямая сумма. Легко проверить, что h есть гомоморфизм К -модулей. По условию кольцо К рационально полное, значит, Зы е К такой, что к(с) = и • с, где с е I +1 *. Покажем, что и - центральный идемпотент кольца К . Пусть Ь е К, Ьис = Ьк(с) = к(Ьс) = иЬс . Следова-

тельно, (Ьы - ыЬ) • c = 0 для всех е е I +1 *. Из плотности идеала I +1 * следует Ьп = пЬ . Осталось показать, что п2 = п . Итак, п 2е = п^е) = ^пе) = пе , так как пе е I *. Действительно, так как е е I +1 *, то 3е1 е I, Зе2 е I * . Выполнены пе1 = 0, пе2 = е2. Значит, пе = пе1 + пе2 = пе2 е I *. Следовательно, (п2 - п) • е = 0 для всех е е I +1 *. Докажем, что I* = ыR . Действительно, пга = 0 для всех а е I. Если г • I = 0, то г е I * и пг = г . Предложение доказано.

Определение 1. Кольцо R называется В -кольцом, если В(R) полная булева функция. Определение 2. Кольцо R называется пучковым, если оно В -кольцо и канонический предпучок F(•) на В является пучком.

Мы приведем широкий класс пучковых колец, а именно, класс полупервичных рационально полных колец.

Для любого пучкового кольца R определяется отображение R) ^ В(R), где R) -множество всех предложений в языке колец с множеством с в качестве множества параметров. Это отображение называется В -оценкой и обозначается [[•]] . Для атомарного предложения г = 5

оценка определяется следующим образом: [[г = 5]] = v{e е В(К|ег = е5)}. Если г, 5 - полиномы, то они заменяются на их значения, вычисленные в кольце R . Затем это отображение продолжается на все множество R) обычным образом: [[^а^]] =[[р]] а[[^]],

[[Зхр]]^ = V |[[р(г)]]^ |г е к| и аналогично для всех других пропозициональных связок и квантора

V . Оценка [[•]] замкнута относительно классической выводимости в теории колец.

Теорема 1. Пусть R - полупервичное рационально полное кольцо. Тогда R пучковое кольцо и [[К первичное кольцо ]] = ^, где ^ - наибольший элемент булевой алгебры В(К) .

Доказательство. Пусть К - полупервичное рационально полное кольцо, тогда по предложению имеем В(К) = В * (К), где В * (К) - полная булева алгебра аннуляторных идеалов кольца К . Проверим, что канонический предпучок F(•) на В(К) является пучком. Пусть (еа| разбиение единицы и еа • 5а е F е). Тогда Ч1 - О = ^ так как V еа = 1 Значит, (У ваК)* = п(1 - = 0, т.е. V е К -

а а ^^ а а

а а

плотный идеал в К. Это прямая сумма, так как по дизъюнктивности семейства {е^ } из

е1г1 + ... + епгп = 0 следует, что е1г1 = 0,..., ег = Положим, /(е1г1 +... + епгп) = е151г1 +... + еп5пгп . Тогда / е Ношк (V еаК, К). Из рациональной полноты кольца К следует существование такого эле-

а

мента 5 е К, что е151г1 +... + еп5пгп = 5(е1г1 +... + епгп) . Отсюда имеем Va(easa = еа5) . Такой элемент 5 определяется однозначно. Действительно, если Va(ea5a = еа5), тогда Va(easa = еа5) . Значит, (V еаК)(5 - 5) = 0. Отсюда 5 = 5 . Осталось показать, что [[К первичное кольцо ]] = 1. Для этого

а

нам необходимо проверить, что оценка [^г е К(агЬ = 0) ^ а = 0 V Ь = 0]] = 1, которая равносильна Vr е К(агЬ = 0) < [[а = 0]] V [[Ь = 0]] . Пусть е е В(К) и е • гаЬ = 0 для всех г е К . Покажем, что [[а = 0]] V [[Ь = 0]] > е . Рассмотрим I = (Ь^ главный идеал, порожденный элементом Ь кольца К ,

I * аннулятор идеала I . Тогда I +1 * - плотный идеал кольца К и I I * = 0. Определим отображение h: I +1* ^ К по правилу ^г + г2) = г1 , где г1 е I, г2 е I * . Отображение корректно определено, так как I +1 * - прямая сумма. Непосредственно проверяется, что h гомоморфизм К -модулей. Следовательно, существует элемент п из К такой, что И(5) = ыя для всех 5 е I +1 *. Покажем, что п является центральным идемпотентом кольца К. Пусть г е К, тогда

rus = rh(s) = h(rs) = urs для s e I +1 *. Значит, (ru - ur) • s = 0 для всех s e I +1 *. Из плотности идеала I +1 * следует ur = ru . Далее, u2s = uh(s0 = h(us) = us , так как us e I. Действительно, из us e I следует, что 3sj e 1, 3s2 e I, (s = sj + s2) . Значит, us = u(sj + s2) = usj. Из определения отображения h следует ub = b . По условию eaRb = 0. Значит, ea e I * . Следовательно, u • ea = 0 . Тогда [[b = 0]] > 1 - u, [[ea = 0]] > u . Значит, [[b = 0]]v[[ea = 0]] = 1 (*). Проверим соотношение

e [[ea = 0]] = e [[a = 0]] . Действительно, по определению оценки [[•]] и из пучковости кольца R

имеем: [[ea = 0]]-ea = 0, [[a = 0]]-a = 0. Отсюда получим e•[[ea = 0]] < [[a = 0]],

e • [[ea = 0]] < e • [[a = 0]] . Очевидно, что [[a = 0]] < [[ea = 0]] . Значит, e • [[ea = 0]] = e • [[a = 0]].

Соотношение (*) умножим на e . Имеем e • ([[b = 0]] v [[ea = 0]]) = e, e • [[b = 0]] v e • [[ea = e]] = e,

e • [[b = 0]] < e • [[a = 0]] = e , [[a = 0]] v [[b = 0]] > e. Теорема доказана.

Поскольку все известные теоремы о первичных кольцах могут быть доказаны в ZFC, то их булевы оценки равны 1B . Данное обстоятельство позволяет в силу доказанной теоремы переносить некоторые результаты о первичных кольцах на полупервичные рационально полные кольца. Здесь приведем лишь простое следствие.

Следствие 1. Хорновы теории классов полупервичных рационально полных колец и первичных колец совпадают.

Заключение

Все вышесказанное без изменений переносится на случай, если язык колец расширить новыми предикатными и функциональными символами. Известно, что любое строго гармоничное кольцо можно представить соответствующим пучком ассоциативных колец с единицей над булевым пространством. Слоями данного пучка являются локальные кольца. Следовательно, все V3 - хорновы свойства класса локальных колец истинны в классе строго гармоничных колец.

Литература

1. Любецкий В.А. Оценки и пучки. О некоторых вопросах нестандартного анализа // УМН. 1989. Т.44 Вып. 4(28). С. 99-153.

2. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971. 279 с.

3. Антонов В.И. Структурный пучок и булевы оценки решеточно упорядоченных групп //Вестник Бурятского государственного университета. 2012. Вып. 2. С. 75-82.

4. Ozawa M. A classification of type AW*-algebras and boolean valued analysis. J. Math. Soc. Japan. 1994. V.36, №4. P. 588-608.

5. Takeuti G., Zaring W.M. Axiomatic set theory. Berlin a.o.Springer. 1973.

Антонов Вячеслав Иосифович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и математического анализа Бурятского государственного университета, е-mail:antonov_vi_52@mail.ru

Antonov Vyacheslav Iosifovich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, algebra and mathematical analysis department.