Связности, индуцируемые нормальным оснащением регулярной гиперполосы, погруженной в проективное пространство

УДК 514.756

СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ НОРМАЛЬНЫМ ОСНАЩЕНИЕМ РЕГУЛЯРНОЙ ГИПЕРПОЛОСЫ, ПОГРУЖЕННОЙ В ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

CONNECTIONS INDUCED BY NORMALIZATION

OF REGULAR HYPER-BAND IMBEDDED IN THE PROJECTIVE SPACE

П. А. Фисунов P. A. Fisunov

ФГБОУВПО «Чувашская государственная сельскохозяйственная академия»,

г. Чебоксары

Аннотация. В статье представлены результаты изучения инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований центропроективных связностей, индуцируемых при оснащении в смысле Нордена нормалями первого и второго родов регулярной гиперполосы, погруженной в n-мерное проективное пространство. Найдено несколько охватов тензоров, определяющих эти связности, выведены условия их совпадения. Получены условия взаимности нормализации и определены необходимые и достаточные условия того, чтобы индуцируемые в расслоениях нормалей связности были плоскими.

Abstract. The author presents the results of studying the differential-geometric research of center-projective connections induced by A. Norden normalization of the regular hyper-band imbedded in n-dimensional projective space by means of invariant methods. The research presents several scopes of tensors which determine these linear connections. The conditions of their coincidences are found out. The conditions of reciprocity of the normalizations and the criteria of linear connections induced in fiberings of normals being flat or semi-flat are proved.

Ключевые слова: гиперполоса, проективное пространство, нормализация.

Keywords: hyper-band, projective space, normalization.

Актуальность исследуемой проблемы. Двойственная геометрия регулярных го-лономных и неголономных гиперполос изучалась исследователями в различных пространствах. В данной работе на основе работ [6], [7] и [13] получены новые результаты для регулярных голономных гиперполос в проективном пространстве.

Материал и методика исследований. Объектом изучения в работе являются центро-проективные связности, индуцируемые оснащением регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве. Для изучения используются такие инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, как метод продолжений и охватов Г. Лаптева, метод внешних дифференциальных форм Э. Картана, метод нормализации А. Нордена.

Результаты исследований и их обсуждение. Результаты являются новыми и достоверными, они неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах и конференциях различных рангов.

На протяжении всего изложения будем считать, что индексы принимают следующие значения:

1,К,1=0,п; 3= 5^ = 1,/и; 1,],к = 0,т;

u,v,w,x = m + \,n — \;a,f3,y = m + \,n; а,/3,у = 0,т + 1,п; р = 1,3; р = 0,3.

Уравнения инфинитезимальных перемещений репера {A7} «-мерного проективного пространства Pn имеют вид:

dA/=jAz;

дифференциальные формы Пфаффа Ю j соответствуют структурным уравнениям проективного пространства, указанным в работе [11]:

DCOf =

Дифференциальные уравнения регулярной гиперполосы [2] НтисРи (т<п-1) в репере первого порядка имеют вид [7]:

Продолжая уравнения системы (3), имеем

V^+A>0°=A^ Л^.Г0,

va; + Á>0° + Л>; = Avikjú)J0, А\т = 0,

УЩ + Ку0 - 5)oj0v = JV>Í, N'v[jk] = 0 .

¿ef i i д П

В силу регулярности ( д — \A"j ^ О) гиперполосы тензор первого порядка является невырожденным, значит, существует соответствующий ему обращенный тензор ;

Л*А", = 5), VA^ - л>; = -А°ЛКЯ.

Функция

Л есть относительный инвариант первого порядка:

dinA = 2«; -+ «„») + л, = лЭД*.

Продолжая последнее уравнение, имеем

УЛг + Лг< +

В окрестности второго порядка строим квазитензоры и :

- _„ -

п IJ п? V VI 1 V/

т т

уравнения которых в силу соотношений (5)-(7) имеют вид:

Vа; + а:=а;кС0ко, - < =

Известно [7], что регулярная гиперполоса НотсРя в третьей дифференциальной окрестности индуцирует поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик:

2Л-Л*XV + ^ ] т + 2

х'х" + Впюхиху + 2Ьихих" + £йОй)2 = 2х"х".

-0,„ п

Согласно работе [14] под двойственной нормализацией регулярной гиперполосы понимается такая ее нормализация в смысле А. П. Нордена [4], при которой в каждой точке Ао нормаль первого рода Nn-m содержит характеристику Пп-т-1 главной касательной гиперплоскости Пи-1.

Пусть гиперполоса НгасРи нормализована в смысле Нордена - Чакмазяна полями нормалей первого ТЧи-т(у) и второго Ыт-1 (у) родов, определяемых полями квазитензоров

у'„ и I7," соответственно:

Нормализация гиперполосы НгасРи относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (11) будет взаимной [4] при выполнении условий

V,0 -

_ 11 п

т + 2

Заметим, что определяемые [10] в третьей дифференциальной окрестности поля нормалей Фубини Фп, Ф°

Ф\=-К{

т + 2

J

Ф° = — ' 2

В..+- '

т + 2

и Вильчинского (—IV-

Л,.

т + 2

нормализуют гиперполосу НгасРи взаимно. Система функций {^П}

¿4

гп = цгя атп

образует тензор третьего порядка.

Оснащение в смысле Картана [16] гиперполосы НпгаРп полем плоскостей Nп-пг-1( у )с:Т<\п-т{ у ), не имеющих общих точек с касательной плоскостью к базисной поверхности Vт, определяется полями геометрических объектов {у'„ } , {у'„ , , у°п }, {у° } [8]:

2

V< +viœ°] +сЦ,а>°и +< -v>*, Vvv° +co°v = v>0*.

Известно [7], что геометрия регулярной гиперполосы HmaVn получается из той части геометрии голономного гиперполосного распределения НсРи [9], которая определяется полями фундаментальных подобъектов. Рассматривая результаты работ [13] и [6] на регулярной гиперполосе HmczP/7. получим следующие утверждения:

Теорема 1. Если в качестве тензора Ги"

dr"+rX-r>/=r"X as)

принимать охваты

О 1 Д .2 .3

г"=0 г" = —--v°+K..vJ г" - В - v° -KL..vJ rn = AnTJ (Ï9Ï

ira 1 ni yi i-ni ^i yi A ni 1 ^ij-1 n ? l1^

да + 2

то на оснащенной в смысле Нордена - Картана регулярной гиперполосе hnvzpn определяют-

р- p

ся задаваемые внешними дифференциальными формами } нормальные связности V :

р . . , . . . р .

к = < - < + У>'0 + у'псо" + П- а>1, = а>» - % « - у>;).

р -

Каждая из этих четырех систем слоевых форм {©„} соответствует структурным уравнениям Картана - Лаптева [3]:

р — р р — 1 р — £>©£ = а + «>* А ^ .

Отметим, что из равенств (20) следует, что для определения связности V не тре-

о

буется задания оснащения в смысле Картана, так как Ги" = 0 .

Следствие. На гиперполосе, нормализованной полями нормалей ФубиниЦп, Ц\

I о 1 ° 1

или полями нормалей Вильчинского ), ^ , связности V и V совпадают.

Теорема 3. На оснащенной в смысле Нордена-Картана регулярной гиперполосе

11 ^ 1 ° 1.

Н/исР/7 связности V . V и V совпадают в том и только в том случае, когда гиперполоса НтисРинормализована полями нормалей ФубиниЦ'„, Ц° .

В уравнениях структуры (21) система функций {^м) образует для нормальной связности V тензор кривизны-кручения:

+ >0° - - - + Щ ^.

та \6lsi

кручения нормальной связности

Подсистема функций {К^} сама образует тензор, подтензор тензора кривизны-

V1.

При обращении в нуль подтензора{^^нормальную связность V1 называют по-

71

луплоской; нормальную связность V называют плоской, если ее тензор кривизны-кручения обращается в нуль [15].

Известно [7], что две нормали первого (второго) рода в каждой точке гиперполосы НтисРи определяют пучок нормалей первого (второго) рода. В третьей дифференциальной окрестности гиперполосы НгасРи их можно задать квазитензорами:

= ^

где Г,, т2 - инвариантные параметры.

По аналогии с поверхностью У2сР3 [17], гиперполосу НгасРи назовем коинцидентной, если пучки нормалей (23) вырождаются в одну нормаль в каждой точке АоеНт. Таким образом, условием коинцидентности гиперполосы служит обращение в нуль тензора Т .

Из строения слоевых форм (20) следует, что условием совпадения нормальных

3_1_ °± 3 связностей V и V является обращение в нуль тензора Гш :

3 I ° , 3_ о_ .

V = V о {вар = в«} о тлл;. = о.

Так как тензор Л,, невырожденный, последнее равенство равносильно обращению в нуль тензора Т . Значит, доказана

Теорема 4. Нормальные связности V и V совпадают тогда и только тогда, когда гиперполоса НгасРи является коинцидентной.

Учитывая утверждение теоремы 3, имеем

Следствие. Регулярная гиперполоса НгасРи коинцидентна тогда и только тогда, когда все четыре индуцируемые при ее оснащении нормальные связности вырождаются в одну.

Определение. Пара, составленная из конгруэнции (и-т)-мерных плоскостей Nn-m с (п-т-1)-мерной осью Пп-т-1 в каждой текущей точке и псевдоконгруэнции (т-1)-мерных плоскостей Nm-1 в Рп, называется [12] односторонне расслояемой от конгруэнции к псевдоконгруэнции, если между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие и существует (и-т)-параметрическое семейство гиперповерхностей V™ | ранга т с (п-т-1)-мерными плоскими образующими Nn-m-1 [5], [1], касательные гиперплоскости которых проходят через соответствующие плоскости Nm-1 псевдоконгруэнции.

Допустим, что плоской образующей расслаивающей гиперповерхности V,"! | является произвольная, оснащающая в смысле Картана плоскость Тогда, раскладывая дифференциалы точек Мп и Му и приравнивая коэффициенты при Ао к нулю, получим, что условием односторонней расслояемости является полная интегрируемость системы уравнений

о

&>„&°„-у°п ©:~у°и ©*=о, а<+=о,

в которых У„ , У у - любые функции, удовлетворяющие уравнениям (17).

Замыкая последние уравнения, с помощью структурных уравнений (21) получаем, что условием расслояемости пары нормалей первого и второго рода является выполнение равенств

о о

I о . .О Т-) и

К«.« - К Кдаг + К Км .

Так как выбор функций произволен, соотношения (25) выполнимы лишь в

случае обращения в нуль тензора кривизны-кручения связности V . Следовательно, имеет место

Теорема 5. Нормальная связность V ; индуцируемая на нормализованной гиперполосе НгасРи, является плоской тогда и только тогда, когда конгруэнция нормалей первого рода и псевдоконгруэнция нормалей второго рода составляют пару, односторонне расслояемую от нормали первого рода к нормали второго рода.

Если для поля оснащающих плоскостей оснащенной в смысле Картана нормализованной гиперполосы НгасРи выполняется условие (24), то, с учетом соотношений (20), получим

пп-^:+0о-<0п-<©п=о, оо=о.

Замыкая последние уравнения, с использованием (21) имеем

.

Следовательно, имеет место

Теорема 6. Если касательная гиперплоскость гиперповерхности V™ | . плоскими образующими которой являются оснащающие плоскости Картана проходит через

нормаль второго рода, то индуцируемая в нормальных расслоениях на оснащенной в

о

р±

смысле Нордена - Картана гиперполосе НгасРи связность V является плоской тогда и

только тогда, когда она полуплоская.

Согласно монографии [7], в касательном расслоении нормализованной гиперполо-

о

сы НтаРп индуцируется средняя [4] аффинная связность без кручения V , причем

о о

о

Щ-К^-^в^К^^О.

Известно также [7], что на нормализованной регулярной гиперполосе НгасРи ин-

о

дуцированная связность V будет римановой тогда и только тогда, когда форма ©„ образует полный дифференциал, то есть в случае обращения в нуль кососимметричного

тензора ~ ^у

-У^Ку =°-

Согласно соотношениям (20) условием совпадения нормальных связностей V и

V1

V является равенство нулю тензора 1 т :

V1 - V1 о {<Э? - } о Д - VI - у^ = 0 .

Последние соотношения в силу (25) равносильны уравнению

+ =

Так как алгебраическое следствие уравнения

=

то из соотношений (29), (32) следует, что условием полной интегрируемости уравнения

о

(31) является римановость средней связности V . Следовательно, доказана

Теорема 7. Индуцируемые на оснащенной в смысле Нордена - Картана гиперполо-

°± 2±

се НтаРп нормальные связности V и V совпадают в том и только в том случае, ко-

о

гда средняя связность V риманова.

Резюме. В исследовании положено начало изучению нормальных связностей на гиперполосах (как голономных, так и неголономных) в «-мерном проективном пространстве. Полученные результаты позволяют сделать вывод о значительной продуктивности использованного метода изучения линейных связностей, индуцируемых на гиперполосах, особенно при подключении двойственной теории погруженных многообразий.

о

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис, М. А. Многомерные поверхности специальных проективных типов / М. А. Акивис, В. В. Рыжков // Труды 4 Всес. матем. съезда. - Л. : Наука, 1964. - Т. 2. - С. 159-164.

2. Вагнер, В. В. Теория поля локальных гиперполос // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - М. : МГУ, 1950. - Вып. 8. - С. 197-272.

3. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

4. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

5. Савельев, С. И. Поверхности с плоскими образующими, вдоль которых касательная плоскость постоянна / С. И. Савельев // Докл. АН СССР. - 1957. - Т. 115. - № 4. - С. 663-665.

6. Смирнова, Е. Н. Двойственная нормализация полярных неголономных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / Е. Н. Смирнова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2011. - № 2 (70). Ч. 1. - С. 140-144.

7. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ин-т, 1994. - 290 с.

8. Столяров, А. В. Об оснащениях в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти регулярной гиперполосы / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразия фигур. Вып. 22. - Калининград : Калининградский ун-т, 1991.- С. 104-108.

9. Столяров, А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. - 1975. - Т. 7. - С. 117-151.

10. Столяров, А. В. Условие квадратичности регулярной гиперполосы / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. - 1975. - № 11. - С. 106-108.

11. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

12. Фиников, С. П. Теория пар конгруэнций / С. П. Фиников. - М. : ГИТТЛ, 1956. - 444 с.

13. Фисунов, П. А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголо-номной гиперполосе / П. А. Фисунов ; Чуваш. гос. пед. ин-т. - Чебоксары, 1998. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН, № 627-В98.

14. Чакмазян, А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. - Ереван : Ар-мянск. гос. пед. ин-т, 1959.-Т. 28.-№4.-С. 151-157.

15. Чакмазян, А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. - Ереван : Армянск. гос. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

16. Cartan, E. Le sespaces a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - М. : МГУ, 1937. - Вып. 4. - С. 147-159.

17. Michäilescu, T. Geometrie differentiala projectiva / T. Michailescu // Bucure^ti Acad. RPR. - Bucure^t, 1958. - 394 p.