Разработка алгоритмов метода многочленных преобразований теории нелинейных систем в среде Matlab

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ

МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ МЕТОДА МНОГОЧЛЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С.Е. Иванов, Г.И. Мельников

Метод многочленных преобразований применен для исследования нелинейной динамической системы с тремя степенями свободы полиномиальной структуры с периодическими параметрами. Получены алгоритмические формулы метода, ориентированные на применение существующих математических пакетов программ. Они применяются при определении существенных качественных констант нелинейных динамических систем в задачах защиты приборов в условиях кинематических периодических возмущений.

При создании нелинейных механических устройств и приборов с требуемыми техническими свойствами необходимо формирование небольшого количества констант, характеризующих механическое состояние объектов из всего большого количества постоянных параметров. Такая проблема решается, в частности, в теории подобия линейных систем. Для нелинейных систем полиномиальной структуры Г.И. Мельниковым в 1963 г. разработан метод многочленных преобразований [1, 2], обобщающий метод Пуанкаре-Дюлака. В нем существенные качественные константы получены в виде некоторых многочленов, образованных из коэффициентов при нелинейных членах динамической системы. Данный метод применяется, например, в теории нелинейных колебаний, наряду с другими известными методами [3]. В ряде случаев преобразованные уравнения с малым количеством констант имеют достаточно простую рекуррентную структуру. Применение метода многочленного преобразования к сложным многомерным механическим системам приводит иногда к большому объему символьных вычислений. В условиях современного развития компьютерного моделирования такие вычисления необходимо выполнять с применением компьютерных пакетов символьных вычислений, а в особо сложных случаях преобразование производится при численных значениях констант, поскольку символьные расчеты могут потребовать неоправданно больших компьютерных ресурсов.

Ставится задача разработки алгоритмов, применяемых в математических компьютерных пакетах и предназначенных для расчета установившихся режимов колебаний нелинейных виброзащитных систем полиномиальной структуры с одной, двумя и тремя степенями свободы в условиях периодических кинематических возмущений, а также силового периодического возмущения.

Метод применяется к задаче виброзащиты приборов с тремя степенями свободы с использованием амортизаторов и демпферов с нелинейными характеристиками полиномиального типа, используемых в технических устройствах [4].

Рассмотрим математическую модель нелинейной механической системы с тремя степенями свободы, правые части которой содержат степенные многочлены до четвертой степени относительно фазовых переменных с периодическими и постоянными параметрами. Будем считать, что дифференциальные уравнения движения системы приведены к виду

4

Щ + ВЦ + Сц = 2 К ^

М=1

Здесь в левой части находятся все линейные члены с постоянными коэффициентами, а в правой - степенные многочлены с постоянными и периодическими коэффи-

2

циентами, включая и линейные члены с периодическими коэффициентами, Ч = [Ч\,Ч2,Ч3Г - вектор-столбец обобщенных координат системы, I,В,С - квадратные матрицы третьего порядка, v = (цу2у3у4у5у6у1у8) - векторный индекс, V = v1 + у2 +... + v8

- норма индекса, к = [к1 у,кVкV - трехэлементные векторы-столбцы постоянных коэффициентов.

Предположим, что характеристическое уравнение [IX2 + ВХ + С= 0 имеет три пары комплексно сопряженных корней ,Х8 с малыми отрицательными вещест-

к

<£ .

венными частями и коэффициенты вектора нелинейной части малы:

Введем две дополнительные экспоненциальные переменные Ч0 = ехр(/^) и Ч0 = ехр(-ш/), через которые запишем периодические функции

=

Запишем систему (1) в виде системы восьми дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши с фазовым вектором X = [Ч0Ч0Ч1Ч2ЧзЧАЧз Г :

X = РХ + Я,

Предположим, что линейным неособым преобразованием

У = ЭХ

линейная часть системы (3) в условиях отсутствия кратных корней приводится к диагональному виду:

7 = ЛУ + я\х^о-1У , Л = ^[ЛД,...АА].

Выполним преобразование, содержащее многочлены до четвертой степени включительно:

у8 = + ,

Здесь а8 - постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Отметим, что

дополнительные экспоненциальные переменные остаются прежними: у, = ¿8 (£ = 1,2).

Потребуем, чтобы преобразованная система содержала минимальное количество одночленов,

¿8 = Х ¿8 + 1 Ч82 1,

где ч8 - искомые коэффициенты преобразованной системы. Здесь имеется 24 отличных от нуля коэффициента со следующими значениями векторных индексов в нерезонансном случае:

для ч3: V = (00100011), V = (00101100), V = (00210000), V = (11100000), для ч4 : V = (00010011), V = (00011100), V = (00120000), V = (11010000), дляч5 : V = (00001011), V = (00002100), V = (00111000), V = (11001000), для 46 : V = (00000111), V = (00001200), V = (00110100), V = (11000100), для ч1 : V = (00000021), V = (00001110), V = (00110010), V = (11000010), для 48: V = (00000012), V = (00001101), V = (00110001), V = (11000001), Отметим, что в случае внешних или внутренних резонансов добавляются и другие коэффициенты с определенными особыми индексами.

Формулы для вычисления коэффициентов преобразованной системы и коэффициентов преобразования приведены ниже. Допустим, что преобразование (6), (7) выполнено. Преобразованную систему можно подвергнуть дальнейшему упрощению.

Выполним показательную замену переменных:

ги = ехр

Получим в нерезонансном случае систему шести дифференциальных уравнений, в которой первые три уравнения отделены, а следующие три уравнения можно решать после интегрирования первых трех уравнений:

( 4 Л ( 4 Л

Р = Яе( Л )р8 + Яе

2 € Р3Р+У6 Р7, Ъ = рР1т 2 € Р3Р+У6 Р ) 1н=2

V +^8

.

Из (9) следует, что качество движения и устойчивости системы определяется 12 константами, входящими в первую группу уравнений, наряду с тремя константами

Яе(Л).

Стационарное решение динамической системы находится из уравнений, получаемых посредством приравнивания нулю правых частей первой группы уравнений:

( 4 Л ( 4 Л

Яе(Л )р + Яе

2 V3+"4 Р5+"6 Р1+У8 = о, 1т 2 £р13+У4 Р5+У6 Р1+"8

1Н=2

= о.

Подставляя стационарное решение в формулы замены переменных (8), можно найти вектор 2 . Затем по формулам многочленной замены (6) определим вектор У , и по формулам обратной линейной замены, X = Б_1У , получается решение системы (1).

Приведем алгоритмические формулы метода многочленных преобразований для расчета коэффициентов преобразования и преобразованной системы, получаемых по методике [5]. Представим систему (5) в переменных Z многочленного преобразования (6):

у8 =Л Zs +Л2 а№ + Я

М=2

Учитывая (7), продифференцируем формулу многочленных преобразований (6):

Л=л zs+2 ^+2

Приравнивая выражения (10) и (11), получим равенство:

2

Для определения неизвестных коэффициентов преобразования и преобразованной системы приравняем в (12) коэффициенты при одинаковых векторных степенях Z, в результате чего получаем рекуррентную систему алгебраических уравнений.

Рассмотрена нелинейная динамическая система полиномиальной структуры с периодическими коэффициентами. Нелинейные части системы представлены в виде многочленов до четвертой степени включительно относительно фазовых координат с периодическими коэффициентами. Исследование системы предлагается проводить методом нормализующих многочленных преобразований. Приведена структура алгоритмов метода и процедура определения установившихся процессов вынужденных колебаний нелинейных динамических систем с одной, двумя и тремя степенями свободы. Показан алгоритм программной реализации метода. В результате многочленных преобразований нелинейная периодическая система приводится к автономному виду с принятой точностью до многочленов четвертой степени. Выделены существенные константы системы в виде коэффициентов при нелинейных членах преобразованных уравнений, наряду с вещественными и мнимыми частями корней характеристического уравнения

линейной части системы. Показан процесс определения периодического режима колебаний в нерезонансных случаях. Алгоритмы применены при практических расчетах в задаче виброзащиты систем с одной, двумя и тремя степенями свободы.

Работа поддержана грантом РФФИ 06-08-01338-а

Литература

1. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л: Машиностроение, 1915. 198 с.

2. Мельников Г.И. К теории нелинейных колебаний. // Вестник ЛГУ. 1964. №1. Вып.1. С. 88-98.

3. Фролов К.В. Нелинейные задачи динамики машин. М: Машиностроение, 1992. 316 с.

4. Фурман Ф.А., Фролов К.В. Прикладная теория виброзащитных систем. М: Маши-ностроение,1980. 311 с.

5. Иванов С.Е. О реализации численно-аналитического метода многочленных преобразований на компьютере. // Современные технологии: Труды молодых ученых ИТМО / Под ред. проф. С. А. Козлова. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2001. С. 138-141.