О рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим сфероидом

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 119-125 Механика

УДК 539.3:534.26

О«.» «

рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим сфероидом *

Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов

Аннотация. Получено аналитическое описание акустического поля, рассеянного неоднородным упругим сфероидом. Для определения поля смещений в неоднородном упругом сфероиде решена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Исследовано рассеянное акустическое поле в дальней зоне.

Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, неоднородный упругий сфероид.

В работе [1] методом возмущений решена задача дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде, квадрат эксцентриситета которого является малым. Получено аналитическое описание рассеянного акустического поля в виде ряда по сферическим волновым функциям. Коэффициенты этого ряда определяются через смещения на границе тела. При этом определение поля смещений сведено к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

В данной работе найдено решение упомянутой краевой задачи, и исследовано рассеянное акустическое поле в дальней зоне.

Рассмотрим неоднородный упругий сфероид, имеющий сферическую полость радиуса r2. Полагаем, что плотность материала сфероида р описывается непрерывной функцией, а модули упругости Л и ц — дифференцируемыми функциями радиальной координаты г:

Р = р(г); Л = Л(г); р = р(г).

Уравнение сфероида в сферической системе координат г, 9, ф имеет вид

r(9) = a(1 — esin2 9)-1/2,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-

а).

£2

где е = -5----для вытянутого сфероида и е = £2 для сплюснутого сфероида;

£2 — 1

£ — эксцентриситет сфероида; a — полуось вращения сфероида.

Окружающая сфероид и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными сжимаемыми и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности pi, р2 и скорости звука Ci, С2 соответственно. На сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем е-гш*, потенциал скоростей которой в сферической системе координат записывается в виде

Фг = Аг exp{¿fc1r[cos в cos в0 + sin в sin в0 cos(^> — ^>0)] — iut},

где Аг — амплитуда; во и ^>о — полярный и азимутальный углы падения плоской волны соответственно; ki = u/ci — волновое число внешней среды; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель е-гш* будем опускать.

Потенциалы скоростей рассеянной сфероидом и возбужденной в его полости Ф2 звуковых волн определяются разложениями [1]

*• = ЕЕ (Amn

+ eAlmn)hn

n=0 m=0

ж n

ф2 = EE

n=0 m=0

где ,]п(х) — сферическая функция Бесселя порядка п; Нп(х) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п; Рт(х) — присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка т; к2 _ ш/е2 — волновое число жидкости в полости сфероида.

Коэффициенты разложения определяются по формулам

А°тп _ -Ьтпх1.]'п

Втп і^г2иітп (г2)]/[х2^'п (х2)];

а1 _ іі^аи1тп

Атп _ ххЫп

В1пп _ -ІиГ2и1тп(Г2)}/[х2.]'п(х2)],

где Yn = Aiin(2 - ¿0m)(2n + 1) _ | ^ P^(cosв0); — символ

(n — m)! n + m)!

Кронекера; x1 = k1a; x2 = k2r2; штрихи у функций Бесселя означают дифференцирование по аргументу;

i (2n + 1)(n — m)! ж ( 2г ... . ,0 і

^mn = 4x h (x )(n I m)! У l—x\\lmkjk (xl) + Amkhk(xi)\amkn+

1 n^ 1y^ '' k=m

+2[Yfmkjk(^1) + Amkhk(x1)]amkn íua[aU1mk (a)Qímfcn 2U2mk(a)amkn^ ;

n

amkn = / sin3 вРкт(cos e)Pnm(cos e)de;

0

П

°mnkn = f sin2 в cos edPm(cos в)Pnl(cOS e)de.

J de

2 в cos edePkm(cos в)РП<

0

ГГ ди2 ,

При этом компоненты вектора смещения u в упругом теле ur, Щ = ~дв +

1 ди3 1 ди2 ди3

+----- ——, uv = ------ —-—— определяются разложениями

sin в др sin в др дв

и (Г,в,р) = E[U10mn(r)+ eUlmn(r)]Pm(cos в)cos m(P — Р0);

n=0 m=0

U2

n=0 m=0

из(г,в,р) = ЕЕ [U3mn(r) + eU31mn(r)]Pm(cos в) sin m(P — Р0) •

В работе [1] было доказано, что и0тп = 0, а определение функций

Ulmn(r), и2тп(Г) и и1тп(Г)> U2mn(r), и3тп(г) свеДено к решению систем линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Ая и?" + вя и?' + с я и? = о

с краевыми условиями

[D0U0' + £°U°]r=„ = G0;

[D0 U0' + F 0U0]r=r2 = 0;

[D1U1' + ^1U1]r=„ = G1;

[D1 U1' + F 1U1]r=r2 =0.

Здесь U0 = (U0mn, U20mn)T; U1 = (U¡mn, U^n, U¡mn)T\

A0 = í a 1 1 0 A ; fí0 = 1 ( b 1 1 b 1 2 A ; c0 = — ( c 1 1 c 1 2

0 a22 ) ; r V b2 1 b22 ) ; r2 V C2 1 C22

/ a11 0 0 \ — / b11 b12 0 \ — / C11 c12 0 \

A1 = 0 a22 0 ; B1 = - b21 b22 0 ; C1 = c21 c22 c23 ;

0 0 a33 r 0 0 b33 r 0 0 c33

Б0

Л(т) + 2ц.(т) 0 0 т

Е0 _

е11 е12 11

_

¡11 /12 11

С = / 1тп^р1 0^

V х\Н'п

Т

Б1

¡11 ¡12 11

Л(т) + 2^(т) 0 0 0 т 0

Е1 =

в11 в12 11

0

0т

01

0

0

0

01

С1 _ (-Ш р^тпНпХ) + й

2,

тп

й3

й4 )

тп

Т

Следует отметить, что все коэффициенты систем (5) и элементы матриц Бг, Ег, Ег (г _ 0,1) не содержат индекса т. Этот индекс входит только в элементы векторов-столбцов С0 и С1.

Найдем решения сформулированных краевых задач методом сведения их к задачам с начальными условиями.

Рассмотрим сначала краевую задачу (5), (6). Так как индекс т входит только в множитель 7тп у единственного отличного от нуля элемента столбца свободных членов С0, то с учетом линейности и однородности системы (5) искомые функции и1тп(т) и и°тп(т) представим в виде

и10тп(т) = 7тпи°п(т); и2тп(т) = 7тпи°п(т)-

В результате новые неизвестные функции и°п(т) и и0п(т) для каждого п должны удовлетворять системе

А0 И °" + В0И0/ + С 0И0 = 0

с краевыми условиями

[Б0 и0/ + Е0И0] [Б0 и0/ + ^0И0]

0тт0] С^0*

Г = Г2

0,

где И0 _ (и?п, и20п)Т; С0 _

1

'Гтп

С0

Для решения краевой задачи (8), (9) найдем четыре линейно независимых решения системы дифференциальных уравнений (8), удовлетворяющих граничным условиям (9).

Необходимым и достаточным условием существования фундаментальной системы решений, определенных и непрерывных на интервале (т2,а), является непрерывность функции р(т) и дифференцируемость функций Л(т), ц(т) [3].

Тогда в качестве фундаментальной системы решений на интервале

для системы (8) с начальными условиями, являющимися линейно

0

независимыми. Начальной точкой может являться любая точка отрезка [г2, а]. Однако удобнее в качестве начальной точки процесса интегрирования выбрать граничную точку отрезка.

Возьмем следующие начальные условия:

и0|г=а = (5ц,б21)Т, и0'|г=а = (¿3!,¿4!)Т, I = (1, 2, 3, 4),

где и0 = (и\п, и12п)Т; I — порядковый номер задачи Коши.

Решения задач Коши найдем методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности [4].

Однородность системы (8) позволяет представить решение и0 краевой задачи в виде линейной комбинации

4

и0 = £ си 0.

!=1

Подставляя выражение (10) в краевые условия (9), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно четырех неизвестных коэффициентов С! (1=1,2,3,4):

Е С^и0' + Е0и0]г=а = С0;

!=41

[Д0И0' + Р0^0]г=г2 =о.

!=1

Определив из системы (11) коэффициенты С!, получим решение краевой задачи (8), (9) в виде (10) для каждого п.

Теперь рассмотрим краевую задачу (5), (7). Для ее решения найдем шесть линейно независимых решения системы дифференциальных уравнений (5), удовлетворяющих граничным условиям (7).

В качестве фундаментальной системы решений на интервале

для системы (5), записанной при д = 1, с линейно независимыми начальными условиями

И1|г=а = (¿1! ,¿2! ,¿3!)Т, ^'^=0, = ^4! ,¿5! ,¿6!)Т, 1 = (1, 27    7 6)-

Решения задач Коши найдем методом Рунге-Кутта для каждого п (индекс т не входит в постановку задач Коши).

Решение краевой задачи (5), (7) представим в виде линейной комбинации

6

и1 = £ СИ

!=1

Подставляя выражение (12) в краевые условия (7), получим систему шести линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Cl (1=1,2,... ,6):

Е Ci^Uj' + E]r=0 = G1;

1=1

ZC [D1U// + F 1Uj]r=r2 =0. i=i

Определив из системы (13) коэффициенты Cl, получим решение краевой задачи (5), (7) в виде (12) для каждой пары m,n.

Отметим, что все коэффициенты систем (5) являются действительными. Поэтому решения, входящие в фундаментальные системы, также будут действительными функциями.

Используя найденные функции U1[mn(r), U2j,mn(r) (q = 0,1), по формулам (3) находим коэффициенты Amn, Bmn. В результате получаем аналитическое описание акустических полей вне (1) и в полости (2) сфероида, а также поля смещений в неоднородном упругом теле (4).

Исследуем дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу при k1r » 1 [5]

pihxr

мад - M)n+1 ,

из (1) находим

a

Фз = — exp(ik1r)F(в, р),

2r

где

0 те n

F(в,р = Т— £ E(-i)n+1(Amn + eAlnn)Pn(cOS e)cOS m(P - Ы-

k1a П П

n=0 m=0

Список литературы

1. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде // Изв. ТулГУ. Естественные науки, 2011. Вып. 2. С. 176-191.

2. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных телах. Тула: ТулГУ, 2004. 200 с.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3. Ч. 2. М.: Наука, 1969. 672 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 632 с.

5. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с.

Толоконников Лев Алексеевич (to11a@tu1a.net), д. ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Лобанов Алексей Викторович, аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

About scattering of a plane sound wave by an inhomogeneous

elastic spheroid

L. A. Tolokonnikov, A. V. Lobanov

Abstract. The analytical description of an acoustic field, scattered by an inhomogeneous elastic spheroid is received. For definition of a field of displacement in an inhomogeneous elastic spheroid the problem for system of the ordinary differential equations of the second order with variable factors is solved. The scattering acoustic field in a distant zone is investigated.

Keywords: scattering, sound waves, inhomogeneous elastic spheroid.

Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Lobanov Alexey, postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.10.2011