Новое обобщение векторного исчисления

Новое обобщение векторного исчисления

Евельсон РЛ., МТУСИ

Введение

В настоящее время резко усложнились задачи связи, вызвав обострение проблемы создания математических моделей задач связи.

Известны требования, которые обычно предъявляются к математическим моделям того или иного явления. Обычно эти требования взаимно противоречивы и состоят в том, чтобы с одной стороны модель описывала бы все характерные черты явления, а с другой стороны - чтобы модель явления допускала бы математический обсчёт в реальном времени. Кроме того, модель должна быть легко обозримой и компактной так, чтобы все громоздкие рутинные расчёты можно было бы «поручить» ЭВМ.

Обычно такая цель достигается с помощью известных матричного, векторного и тензорного исчислений [1, 2, 3]. Именно так удаётся компактно изобразить большое число параметров и переменных, характеризующих математическую модель. При этом принято считать, что тензорное исчисление является обобщением векторного исчисления. Это действительно так, поскольку вектор определён только в трёхмерном пространстве, а тензор - в произвольном п-мерном пространстве. Но в обычном трёхмерном пространстве тензор нельзя считать обобщением вектора, так как вектор может быть разложен по произвольным базисам, а тензор - только по двум взаимно ортогональным базисам или только по двум одинаковым базисам. Эти базисы могут повторяться г раз, где г - ранг тензора. Подробнее о возникающих здесь трудностях тензорного исчисления рассказано в [3].

С точки зрения создания модели, ограниченность числа допустимых базисов означает сокращение числа параметров, допустимых для описания модели явления. В данной работе вводится новое понятие - понятие вектора произвольного ранга г, который может быть описан с помощью г произвольных базисов. Это понятие введено с помощью матричного исчисления в трёхмерном пространстве. Элементами матриц здесь могут быть не только числа, но и обычные векторы, обычные тензоры и даже векторы более низкого ранга.

Являясь подлинным обобщением обычных векторов (г=?) и тензоров ранга г в трёхмерном пространстве, векторы ранга г имеют в своём описании значительно большее число параметров, а потому могут служить хотя бы отдельными эффективными «кирпичиками» при построении грандиозного здания математической модели задач связи.

Вывод основных формул

Введем в рассмотрение матрицы-столбцы из скаляров и векторов

И)

V

С12 II |т*>

Л,

и соответствующие строки

ат = (а, а-, а}), ё =(ё1 е

з)>

где индекс «Т» по существу означает матричное транспонирование. Тогда произвольный вектор а можно записать в виде

а = атё = ёта,

откуда следует, что вектор а можно представить в виде матричного произведения координаты (а или ат) на базис (е или ёт) в соответствующем формулам (3) порядке.

Очевидно, что при данном векторе а и при конкретном выборе базиса ё координата а будет зависеть от этого базиса, что можно записать в виде равенства

а =а- или ат = а--

ее * '

Тогда вместо (3) более информативно имеем

а = а?ё =ёта^.

Индикацию зависимости координат от базиса будем опускать для случая, когда базис является орто-нормальным, т.е. когда его базисные векторы совпадают с ортами /, /', к прямоугольной декартовой системы координат:

(г>

ге,

]

— _*

А

Если в соответствии с монографией [1] для произвольных векторов а и Ь выражения

а-Ь, ахЬ, аЬ

означают соответственно скалярное, векторное и тензорное произведения, то для базиса (6) можно легко получить

-•Т"-* "> — 7' —• л "•Г"* г - -У р

е -е =3, е хе = 0, е е = Е9 ее =£\

где Е - единичная матрица третьего порядка, а Е -единичный тензор второго ранга в трехмерном пространстве.

Рассмотрим теперь произвольные базисы

р = Рё,д=

где Р, О - произвольные невырожденные 3x3 числовые матрицы. В соответствии с (5) для вектора а имеем

а = Цр = ЩРёшЩч=Щ&- П°)

Сравнивая (1 0) с (3), имеем

ат = а-- Р = а-- О или а = Рта- = Ота- .

р р ч

Отсюда получаем

(11!

т.е. совершенно произвольные координаты вектора а в базисах р и <7 , так как матрицы Р и О здесь совершенно независимы друг от друга. В то же время для построения тензорного исчисления, которое считается обобщением векторного исчисления, совершенно необходимым оказалось дополнительное предположение, согласно которому матрицы Р и О в (12) должны удовлетворять соотношениям

дг=р-\ рТ=д-\ |13)

В качестве примера с помощью введенных обозначений можно получить выражение для тензора инерции

в инвариантном виде J = -г-г/Ч, минуя тен-

зорные обозначения в индексном виде [2] через компоненты радиуса-вектора г точки твердого тела.

С помощью обозначений (1), (2), (6) можно ввести понятие вектора второго ранга 2а, для которого получается зависящее от двух произвольных базисов (9) представление

2а = рт 2а-<?=<Г 2ат^> = ёт 2а~ё,

где 2я~ , 2я~, 2а~ - некоторые взаимно связанные между собой 3x3 матрицы, представляющие собой координаты одного и того же 2-вектора 2а в трех различных парах базисов. Если базисы (9) в (14) удовлетворяют соотношениям:

р-дт=Е или р = д,

то ~а совпадает со всеми принятыми в современном тензорном исчислении понятиями тензоров второго ранга.

Понятие вектора ранга п легко вводится рекуррентным способом с помощью столбцов из векторов ранга п-):

па = ёт ~а = ёх п~хах +е2 п~'а2+ёг "'ду

В [3] вектор ранга п назван тензовектором ранга п.

Литература

1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965.

2. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Механика. - М.: ГИФМЛ, 1958.

3. Евельсон Р.Л. Методические трудности современного тензорного исчисления и метод их устранения с применением в электродинамике//Электромагнитные волны и электронные системы. - 2005. - Т. 10. - Ы?0. - С. 3-20.