Напряженно-деформированное состояние термобарьерного покрытия на упругом основании после потери устойчивости покрытия

УДК 539.32

Напряженно-деформированное состояние термобарьерного покрытия на упругом основании после потери устойчивости покрытия

П.А. Люкшин1, Б.А. Люкшин1'23, Н.Ю. Матолыгина1, С.В. Панин14

1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия 2 Томский университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, 634050, Россия

3 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

4 Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

Моделируется потеря устойчивости термобарьерного покрытия на упругом основании под действием теплового удара. Термобарьерное покрытие моделируется ортотропной пластинкой, для упругого основания (подложки) используется модель Винклера. Задача устойчивости решается в рамках концепции Эйлера. Делается предположение, что размеры пластинки при тепловом ударе увеличились, а подложка остается холодной и не меняет своих размеров, поэтому в покрытии возникают сжимающие напряжения. Пластинка теряет устойчивость, причем амплитуды прогибов определяются из условия, что в деформированном состоянии размеры пластинки отвечают нагретому состоянию. После этого находятся напряжения в пластинке. Отмечается, что после потери устойчивости на контакте покрытия и подложки возникают как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Для нахождения напряженно-деформированного состояния подложки после потери устойчивости решается плоская задача теории упругости. Граничные условия задаются в перемещениях. Отмечается, что в упругом основании возникают области экструзии и интрузии, в двумерном представлении расположенные в виде шахматной доски.

Ключевые слова: термобарьерные покрытия, потеря устойчивости, тепловой удар

Stress-strain state of a thermal barrier coating on an elastic substrate after the loss of the coating stability

P.A. Lyukshin1, B.A. Lyukshin1-2-3, N.Yu. Matolygina1, and S.V. Panin14

1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia 2 Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, Tomsk, 634050, Russia 3 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia 4 National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia

The loss of stability of a thermal barrier coating on an elastic substrate is modeled under thermal shock loading conditions. The thermal barrier coating is modeled by an orthotropic plate, and the Winkler model is used for the elastic substrate. The problem of stability is solved within the Euler framework. It is assumed that the plate dimensions increase under thermal shock and the substrate remains cold without changes in its dimensions, which gives rise to compressive stresses in the coating. The plate loses its stability, and the deflection amplitudes are determined from the condition that the plate dimensions in the deformed state correspond to the heated state. Then stresses in the plate are found. After the loss of stability, both compressive and tensile stresses arise at the coating-substrate interface. The stressstrain state of the substrate after the loss of stability is defined by solving a two-dimensional elastic problem. The boundary conditions are given in displacements. Extrusion and intrusion zones arranged in a chessboard manner in a two-dimensional representation are observed in the elastic substrate.

Keywords: thermal barrier coatings, stability loss, thermal shock

1. Введение

Термобарьерные покрытия применяются для защиты деталей, работающих при повышенных или высоких температурах, например для лопаток турбин или камер

сгорания. Известно, что увеличение рабочей темпера-

туры газовых турбин приводит к существенному повышению эффективности их работы (КПД). В то же время это порождает ряд проблем, связанных с обеспечением прочности и долговечности термобарьерных покрытий.

© Люкшин П.А., Люкшин Б.А., Матолыгина Н.Ю., Панин C.B., 2017

Термобарьерные покрытия, как правило, состоят из адгезионного подслоя и верхнего керамического слоя толщиной несколько сотен микрометров каждый. При этом верхний слой оксидной керамики характеризуется низкой теплопроводностью, что при воздействии теплового потока вызывает большой температурный градиент. Наличие такого градиента может привести к возникновению растягивающих или сжимающих напряжений в покрытии и, соответственно, развитию напряжений противоположного знака в подложке. Если считать, что в исходном «холодном» состоянии на контактной поверхности напряжения пренебрежимо малы, то тепловой удар приводит к прогреву покрытия, в то время как подложка еще остается холодной. Покрытие стремится расшириться, вследствие чего в ней возникают сжимающие напряжения. Развитие этих процессов может быть проанализировано с позиции потери устойчивости пластинки, лежащей на упругом основании.

Моделированию процессов, развивающихся в системе «подложка - покрытие» («податливое основание -тонкая пленка» и др.), посвящены достаточно многочисленные публикации отечественных и зарубежных исследователей, среди которых особое внимание следует уделить работам, выполненным Дж. Хатчинсоном с коллегами. Одной из ключевых работ, посвященных вопросам потери устойчивости пленок на податливых подложках, является [1]. Показано, что когда система «жесткая пленка - толстая податливая подложка» подвергается воздействию сжимающих напряжений, при достижении критического уровня деформации плоская поверхность теряет устойчивость, что проявляется формированием системы периодических складок.

В литературе также показано, что в случае возникновения складчатости в системе «подложка - пленка» морфология складок может принимать различные формы (синусоидальную, гексагональную, форму «шахматной доски» и пр.), что связано с изменением условий приложения нагрузки, в частности с одноосного на двухосное сжатие [2-6].

В работе [7] обсуждается аспект формирования выступов в двухслойной системе, где эластомерная подложка до нанесения покрытия была подвергнута пред-нагружению. При последующем возникновении в системе сжимающих напряжений в пленке возникали выступы синусоидальной формы. Проведено двумерное моделирование задачи плоской деформации для системы с квазиупругой пленкой на поверхности подложки, в рамках которого показано, что по мере увеличения сжимающих напряжений система складок трансформируется в систему выступов и, наоборот, когда общие, действующие в такой системе сжимающие напряжения уменьшаются.

В работах, посвященных совместной деформации систем «покрытие - подложка», одним из важных обсуждаемых эффектов является взаимосвязь процессов

возникновения выступов (гофрирования) и вызванного этим отслоения [8]. В [9] подчеркивается, что такой эффект наиболее характерен в случае больших остаточных сжимающих напряжений, а для границы раздела характерна низкая адгезионная прочность. Было предложено несколько решений такой задачи в случае распространения адгезионной трещины (без растрескивания покрытия) вдоль плоской границы раздела [10]. В более сложных случаях рассмотрены аспекты отслоения тонких пленок на искривленных подложках, включая возникновение гофра в виде «телефонного провода» [11-13].

В работе [14] показано, что после возникновения гофра в хрупком покрытии изгиб (кривизна) в области вершины выступа вызывает появление растягивающих напряжений достаточно высокого уровня, что завершается зарождением и распространением трещины. В этом случае подобный характер растрескивания напоминает двухстрочечное (вместо «телефонного провода»), а трещины распространяются вертикально от центра выступа (полуволны), в результате чего изменяется скорость выделения энергии и разрушение происходит по смешанному механизму.

Особый интерес представляют случаи, когда подложка имеет неплоский профиль [15]. Возникновение в пленке сжимающих напряжений может приводить к отслоению по механизму гофрирования, когда области отслаивания определяются участками с низкой адгезией. Если такие области (порой искусственно сформированные) имеют малую протяженность, гофрирование развивается по механизму Эйлера с образованием тонких полос (выступов). Складки в виде несимметричного «телефонного провода» имеют место для более широких областей с малой адгезией, в то время как широкие области обусловливают формирование симметричных «варикозных» складок. Факторами, влияющими на развитие этого процесса, являются напряжение в пленке, толщина и прочность адгезии и др. [16].

Подобный подход развит и в работе [17], где описание поведения пленки проведено на основании уравнения пластины, предложенного фон Карманом, а подложка бесконечной толщины является линейно упругой. Пленка и подложка рассматриваются как изотропные и однородные. В отличие от неоднородной по жесткости по глубине пленки, анализировавшейся в экспериментах, в модельном приближении пленка рассматривается как однородная, толщина и модуль упругости которой подобраны таким образом, чтобы воспроизвести изгиб и жесткость при растяжении реального объекта.

Кривизна подложки может быть не только локальной, например, когда покрытие нанесено на тело вращения. В работе [18] рассмотрены аспекты отслоения тонкой упругой пленки, закрепленной на цилиндрической подложке, подвергнутой предварительному эквидвух-осному сжимающему нагружению. В результате в плен-

ке сформировалась кривизна положительного и отрицательного знака. На отслоившихся краях были определены скорость выделения энергии и распределение интенсивности напряжений по модам разрушения. Показано, что получаемые результаты преимущественно определяются кривизной подложки: в случае осевого роста трещины и положительная, и отрицательная кривизна способствуют разрушению. В случае распространения трещины по окружности отрицательная кривизна сдерживает развитие процесса разрушения, а положительная способствует ему.

Проблема возникновения периодического распределения напряжений на границе раздела «покрытие -основа» хорошо изучена на примере термобарьерных покрытий. Ключевыми моментами при этом являются следующие: растрескивание термобарьерных покрытий происходит преимущественно на этапе охлаждения; трещины, как правило, возникают в области термически выращенного оксидного слоя; места возникновения концентраторов напряжений прежде всего связаны с областями геометрических неоднородностей на границах раздела; ключевой причиной растрескивания является различие коэффициентов термического расширения сопрягаемых слоев [19]. Также ключевыми аспектами с позиции механики при рассмотрении деформационного поведения термобарьерных покрытий называют скорость выделения энергии, моду разрушения при отслоении покрытия, начальный градиент температур, толщину подложки и степень ее стесненности относительно сжатия.

В работе [20], несмотря на традиционно используемую многослойную структуру термобарьерных покрытий, при моделировании композиция представлена в виде биматериала, в котором подложка является упругой без возможности изгибаться. Анализ причин разрушения проведен исходя из результатов распределения температуры и напряжений в такой модельной системе.

Еще одним проявлением периодического характера распределения напряжений в термобарьерных покрытиях является развитие эффекта «волнистости» [21, 22]. Разрушение термобарьерных покрытий традиционно связывают с отслоением по границе между термически выращенным оксидным и адгезионным слоями либо с распространением трещины в слое керамики перпендикулярно границе раздела с термически выращенным оксидным слоем. В обоих случаях разрушение связано с неплоским профилем границы раздела [23-25], а также с образованием волнистости в оксидном выращенном слое. Среди факторов, влияющих на процесс образования волнистости, называются: напряжения, вызванные ростом оксидного выращенного слоя, существенная зависимость пластичности адгезионного слоя от температуры, возможность пластического деформирования оксидного выращенного слоя при высоких тем-

пературах, различие компонент коэффициентов термического расширения термобарьерных покрытий [26]. В работе [27] анализируются напряжения, связанные с различными механизмами разрушения термобарьерных покрытий, полученных методом плазменного напыления. Показано, что причинами возникновения напряжений в такой системе являются рост оксидного выращенного слоя, различие коэффициентов термического расширения при охлаждении, вязкопластическое поведение адгезионного и оксидного выращенного слоев, а также общая деформация термобарьерных покрытий.

Заметное количество исследований термобарьерных покрытий посвящено влиянию податливости подложки на процесс отслоения пленки при ее гофрировании [28, 29]. При этом возникновение выступов в тонких пленках рассматривается в условиях, когда пленка жестко закреплена по периметру, а подложка принимается как жесткое основание при анализе процесса гофрирования [30-33]. Показано, что податливость подложки влияет как на величину напряжений гофрирования пленки, так и на скорость выделения энергии при распространении адгезионной трещины в условиях, когда модуль упругости подложки значительно меньше, чем в пленке.

В работе [34] также анализируются процессы, сопровождающие/предшествующие разрушению термобарьерных покрытий. В частности, показано, что отколу предшествует развитие гофрирования (связанное с проявлением неустойчивости и возможным отслоением) и самого отслоения (связанное с энергией деформации, обусловливающей рост трещины вдоль границы раздела, что вызвано волнистостью последней). В случае термического воздействия волнистость способствует развитию отслоения. С использованием метода конечных элементов исследовано развитие гофрирования и отслоения в двух- и трехслойных термобарьерных покрытиях и определены параметры материалов компонентов, включая геометрические, ответственные за возникновение неустойчивостей в их поведении.

В работе [35] проведен анализ термобарьерных покрытий с учетом специфики их строения, а также особенностей формирования оксидного выращенного слоя. На основе теории Вагнера, предполагающей параболический характер развития процесса, развита модель окисления адгезионного слоя. С использованием метода конечных элементов проведен анализ распределения напряженно-деформированного состояния, определяемого увеличением толщины оксидного выращенного слоя и различием коэффициентов термического расширения сопрягаемых слоев. Показано, что в зависимости от используемого метода формирования термобарьерных покрытий (плазменное напыление или ЕВ-Р"УС) его структура и характер разрушения отличаются.

Следует отметить, что в качественном плане механизмы, приводящие к потере устойчивости покрытия и его выпучиванию или растрескиванию, особенно в

свете анализа литературных данных, понятны. Целью настоящей и дальнейших работ в этом направлении является получение количественных оценок параметров возникающего на контакте «покрытие - подложка» напряженно-деформированного состояния и изучение возможностей управления этими параметрами.

2. Напряженно-деформированное состояние ортотропной пластинки при нагреве

Пусть температура прямоугольной ортотропной пластинки ABCD (рис. 1), моделирующей участок термобарьерного покрытия, возрастает на АГ. Если считать, что края пластинки закреплены на непрогретой упругой подложке, то в пластинке возникают сжимающие напряжения, которые могут привести к потере устойчивости покрытия как пластинки на упругом основании. Для вычисления сжимающих напряжений в пластинке при нагреве решается плоская задача теории упругости.

Для расчета напряженно-деформированного состояния ортотропной пластинки при нагреве используется метод конечных элементов. Потенциальная энергия упругого тела при воздействии на него поверхностных сил Рх, Ру, р и наличии начальных деформаций е0 равна [36-39]

п = £ | в(е)]т[в(е)]• [в(е)]{и-

е у (е) 2 п

{U}T[B(e)]T[D(e)]{£(oe)}dF-

e ye

J {U}T[Ne) ]T

e S

P

p x

P( e) Py

p

>dS,

где {и} — вектор перемещений; [В] — матрица, содержащая производные от функции формы; [D] — матрица, содержащая константы материала; — матрица, содержащая функции формы.

Рис. 1. Пластинка, подвергаемая нагреву и теряющая устойчивость

Разрешающие уравнения метода конечных элементов получаются из условия минимизации функционала энергии П по компонентам вектора перемещений [35]:

ЭП о

9{U}

= 0,

где П — полная потенциальная энергия механической системы.

В результате минимизации функционала П получим

систему линейных алгебраических уравнений

[ К] {и} =

где [К] — глобальная матрица жесткости механической системы; — вектор сил.

Вектор нагрузки одного конечного элемента при наличии поверхностных сил Px, Py, Pz и начальных деформаций е0 запишется следующим образом: {/е)} = / [В^]^]• {^У +

V ( e

+ J [N(e)]T

S

P

Px

P( e ) ^y

p

l dS.

Начальная деформация для ортотропного тела при нагревании в случае плоского напряженного состояния равна

Ы =

а1АГ а 2 AT 0

где а1, а2 — коэффициенты температурного расширения; АГ — изменение температуры.

Интеграл, связанный с тепловым расширением (начальной деформацией) ортотропной пластинки, равен Г [ в(е )]т[ в(е )]{8о}ёУ =

( aj + v 2 a 2)b ( а 2 +vjaj) с.

at AT

(1 V1V2 ) El

Ei

E2

(а1 + V 2 а 2)Ь! (а 2 +Vlаl) е} (а + V 2 а 2)Ьк (а 2 +

где Е1, Е2—модули упругости; V1, V 2—коэффициенты

Пуассона; а1 — толщина пластинки; Ц = уj - ук, е1 =

= хк - xj.

Коэффициенты Ь!, Ьк, еj, ек получаются круговой подстановкой. Следует отметить, что для изотропного

(1 -V1Vi) E2

тела Е1 = Е2, V] ^2, а1 =а2 и интеграл (5) совпадает с соответствующим интегралом для изотропной пластинки, приведенным в [36].

Характеристики материала покрытия следующие: модули упругости ортотропного материала Е1 = 380 ГПа, Е2 = 190 ГПа, G = 80 ГПа, коэффициенты Пуассона У1 = = 0.30, У2 = 0.15, коэффициенты теплового расширения материала а1 = 5 -10-6 К-1, а 2 = 10 5 К 1. Если кромки пластинки жестко защемлены, то при нагреве в пластинке возникают сжимающие напряжения. Например, если пластинка нагревается на АТ = 10 °С, то в ней возникают сжимающие напряжения стп = 258 МПа, а22 = 22.8 МПа.

3. Устойчивость термобарьерного покрытия

Уравнение устойчивости ортотропной пластинки на упругом основании имеет вид [40]:

А1у? + 2(^12 + 2Ю66) + D22 ^ +

дх дх ду ду

+ _о; д2п + 0т0 , д2п + _о, д2™ , п ¡^

дх дхду ду

В уравнении (6) жесткости пластинки Ю11, Ю22, Ю12, Ю66 равны соответственно

Т 1А аик

Юл = I 011* ^ =

-Щ 2

,3

D - a22h 12 22 12

D12 -

a12h п - a66h , D66 -

12

12

где к—толщина пластинки. Величины оX, а°у, т°ху, входящие в уравнение устойчивости (6), есть докритичес-кие напряжения, которые находятся в результате решения задачи напряженно-деформированного состояния пластинки при нагреве, величина к—коэффициент постели упругого основания.

Коэффициенты а11, а22,..., а66 в формуле (7) входят в физические соотношения для ортотропной пластинки, связывающие напряжения и деформации следующим образом:

ах = а11еX + а12еу, ау = °21ех + а22еу,

=

тху = аббУху

Для ортотропного материала коэффициенты ап,..., а66 равны

a11 , a22 -,

1 -V1V2 1 -V1V2

aTJ — "

E2v

2V1

a12 - i-vv "66

a66 - G,

где Е1; Е2 — модули упругости вдоль осей х1 и у1; v1, V 2 — коэффициенты Пуассона; G — модуль сдвига.

Компоненты деформации ех, е , уху связаны с прогибом w срединной поверхности пластинки следующими соотношениями [40]:

_ д2 w - д2 w _ д2 w

£x --2 --2 э7'lxy --22 эХзу •

Входящая в (10) величина г есть расстояние от срединной поверхности пластинки до текущей точки. Если подставить (10) в (8), то выражение для напряжения ах примет вид

ax --a112

д 2 w д 2 w a12 2

а 2 " а 2

дх ду

Выражения для ау, тху получаются аналогичным образом.

Однородное уравнение (6) решается совместно с однородными граничными условиями. Если кромки пластинки шарнирно оперты, то граничные условия имеют вид

д 2 п д 2 п

х = 0, п = 0,—г = 0, х = а, п = 0,—г = 0, (12) дх дх

д 2 п д 2 п

у = 0, п = 0,— = 0, у = Ь, п = 0,— = 0. (13) ду Эу2

Уравнения устойчивости (6) совместно с граничными условиями (12), (13) представляют собой систему однородных дифференциальных уравнений в частных производных с однородными граничными условиями. Условие нетривиальности решения системы однородных уравнений определяет критические напряжения пластинки на упругом основании.

Таким образом, вопрос нахождения критических напряжений пластинки на упругом основании сводится к вопросу о нахождении собственных чисел дифференциального уравнения в частных производных. В данной работе эта проблема решалась с применением метода конечных разностей. Конечно-разностная сетка содержала 3721 узел. Заменяя в уравнении (6) дифференциальные операторы их центральными конечно-разностными аналогами во всех внутренних узлах сетки, получим однородную систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных [40]. Заменяя в граничных условиях (12), (13) дифференциальные операторы их конечно-разностными аналогами, получим систему линейных алгебраических уравнений, которая добавляется к уже существующей. В итоге после дискретизации уравнений устойчивости и граничных условий получается однородная система линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Для существования нетривиального решения этой системы необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю [41].

В настоящей работе для вычисления определителя системы линейных алгебраических уравнений использовался метод Гаусса. Следует отметить, что для вычисления значения определителя в процедуре Гаусса достаточно выполнить прямой ход, обратный ход делать нет

Рис. 2. Область, для которой решается плоская задача теории упругости и находится зависимость между коэффициентом постели упругого основания и модулем Юнга, коэффициентом Пуассона, толщиной основания к

няет свой знак, легко определить критические напряжения с любой разумной степенью точности. После того как определены собственные числа (критические напряжения), определяется собственный вектор системы алгебраических уравнений. Для этого полагалось, что одна компонента (с номером п) собственного вектора равна константе (например 1), другие компоненты собственного вектора находились в результате решения системы (п - 1) уравнений. Таким образом находили собственный вектор системы линейных алгебраических уравнений (форма потери устойчивости) с точностью до постоянного множителя и собственные числа (напряжения, при которых пластинка теряла устойчивость).

необходимости. Элементы матрицы, стоящие на главной диагонали после прямого хода, перемножались, и получалось значение определителя системы алгебраических уравнений, соответствующее определенным значениям сжимающих напряжений. Значения напряжений, при которых определитель равен нулю (а точнее, интервал напряжений, в котором определитель меняет знак), принимались критическими. На практике вычислялось не численное значение определителя, а его знак для различных значений напряжений ах, ау. Определив интервал напряжений, в котором определитель ме-

Рис. 3. Прогибы пластинки под действием внешнего давления: упругое основание отсутствует

4. Связь коэффициента постели и модуля Юнга упругого основания

Связь между модулем упругости основания Е и коэффициентом постели k находится следующим образом. Для области ABCD решается плоская задача теории упругости методом конечных элементов (рис. 2). На кромке АВ задаются условия жесткого защемления, на кромках AD и ВС — условия скользящего контакта, на кромке DC задается равномерное давление q. В результате решения плоской задачи теории упругости получена зависимость

Рис. 4. Поверхность прогиба: пластинки без упругого основания

W, м 1.9 • 10-4

0.03

-9.6 • 10

0.03

0.03

х, м

Рис. 5. Прогибы и изолинии прогибов w ортотропной пластинки на упругом основании после потери устойчивости при нагреве. Граничные условия — шарнирное опирание. а — упругое основание отсутствует; б, в — наличие упругого основания с коэффициентами постели k = 109 (б), 1010 Н/м3 (в), axr, — критические напряжения потери устойчивости. Физико-механические характеристики пластинки: модули упругости E1 = 380-109 Па, E2 = 190-109 Па, G = 80-109 Па, v1 = 0.3, v2 = 0.15, коэффициенты температурного расширения а1 = 5 • 10-6 K-1, а2 = 10 5 K 1. Отношение толщины пластинки к ширине и длине h/a = h/b = 1/200

r = kw,

где д — внешнее давление; w — перемещение вдоль оси у; к — коэффициент постели.

В формуле (14) известно внешнее давление д. Перемещение w определяется из решения плоской задачи теории упругости (численно, методом конечных элементов), следовательно, из (14) легко определить коэффициент постели

к = .

Следует отметить, что коэффициент постели к, полученный в результате решения плоской задачи теории упругости, находится в хорошем согласии с коэффициентом, вычисленным по формуле

к = Е/

где Е—модуль Юнга упругого основания; к — толщина основания; V — коэффициент Пуассона (рис. 2).

5. Напряженно-деформированное состояние пластинки и упругого основания после потери устойчивости термобарьерного покрытия

После того как определена форма потери устойчивости (собственный вектор), остается один неопределенный параметр — амплитуда прогиба w. Амплитуду прогиба w после потери устойчивости пластинки можно вычислить из предположения, что длина пластинки на упругом основании при нагревании на АТ изменяется на величину L0 аАТ.

Делается предположение, что упругое основание не только изменяет форму потери устойчивости, но и уменьшает амплитуду прогиба.

Для оценки того насколько уменьшает упругое основание амплитуду прогиба, решались задачи напряженно-деформированного состояния пластинки (с упру-

W, м 9.3 • 10-5

-9.3 • 10-5

0.03

ayz, МПа

-0.34

0.03

0.03

0.03

0.03

х, м

00

Рис. 6. Прогиб на верхней кромке упругого основания, напряжения в основании под действием заданного прогиба w. Коэффициент постели упругого основания k = 109 Н/м3. Модуль упругости основания Е = 0.28 -108 Па, отношение толщины пластинки к размерам пластинки Н1а = Н/Ь = 1/200, толщина пластинки Н = 0.15 • 10-3 м, толщина упругого основания Н = 0.03 м

гим основанием и без) под действием внешнего давления. Задача напряженно-деформированного состояния пластинки решалась методом конечных разностей.

Из рис. 3 нетрудно заметить, что наличие упругого основания с коэффициентом постели k = 109 Н/м3 уменьшает амплитуду прогиба в 2 раза. Для пластинки с упругим основанием с коэффициентом постели k = 1010 Н/м3 получен аналогичный результат (рис. 4), амплитуда прогиба в пределах одной клетки уменьшается в 2 раза.

Под одной клеткой пластинки понимается область, в пределах которой находится одна выпуклость или вогнутость.

На рис. 5 приведены поверхности и изолинии перемещений ^ после потери устойчивости пластинки на упругом основании и без упругого основания. Прогиб w вычислялся исходя из предположения, что длина пластинки вдоль оси х после потери устойчивости в результате нагрева на АТ равна L0(1 + а1АТ):

, МПа #

, МПа *

z, м

W, м 9.6 • 10

-9.6 • 10

0.03

0.03

0.03

0.03

Рис. 7. Прогиб на верхней кромке упругого основания, напряжения в основании под действием заданного прогиба w. Коэффициент постели упругого основания к = 1010 Н/м3. Модуль упругости основания Е = 0.28 -109 Па, отношение толщины пластинки к размерам пластинки На = Н/Ь = 1/200, толщина пластинки к = 0.15 • 10-3 м, толщина упругого основания Нр = 0.03 м

Е>/( х( I + 1) - х(0)2 + (/ +1) - п(0)2 = 1=1

= ^

Коэффициент Кх в формуле (17) всегда меньше 1 (Кх < 1), т.к. наличие упругого основания всегда уменьшает амплитуду прогиба нормального к срединной поверхности.

Если сделать предположение, что наличие упругого основания влияет только на форму потери устойчивос-

ти, то в (17) Кх = 1. В данной работе предполагалось, что упругое основание уменьшает амплитуду прогиба в 2 раза. Из рис. 5 видно, что с увеличением коэффициента постели возрастает число полуволн при потере устойчивости пластинки, критические напряжения при увеличении коэффициента постели также возрастают. Под действием прогибов пластинки в упругом основании после потери устойчивости возникают зоны растяжения и сжатия, экструзии и интрузии.

a77, МПа

Рис. 8. Напряжения в покрытии после потери устойчивости, когда в направлении у образуются 3 полуволны

Для нахождения напряжений, действующих в упругом основании, решалась плоская задача теории упругости. Граничные условия при решении плоской задачи теории упругости следующие. На верхней кромке расчетной области задается прогиб w, который получен при решении задачи устойчивости, на вертикальных кромках задаются условия скользящего контакта, на нижней кромке — условия жесткого защемления.

На рис. 6, 7 приведены прогибы ^ на верхней кромке расчетной области и напряжения в упругом основании под действием заданных прогибов. С увеличением жесткости упругого основания число полуволн при потере устойчивости возрастает с 3 до 5. Следует отметить, что в основании после потери устойчивости покрытия возникают напряжения растяжения и сжатия. Растягивающие напряжения могут явиться причиной отслаивания подложки от покрытия.

На рис. 8 приведены графики напряжений, возникающих в покрытии после потери устойчивости. Для случая формирования трех полуволн коэффициент постели равен k = 109 Н/м3, для пяти полуволн k = 109 Н/м3. Амплитуда прогибов ^ в обоих случаях отличается незначительно (рис. 5), однако напряжения отличаются в 2.5 раза. Данные отличия в напряжениях в покрытии можно объяснить тем, что в случае пяти полуволн кривизна кривой w больше, чем в случае трех полуволн.

Рис. 9. Кривизна кривых прогибов: 3 полуволны, k = 109 Н/м3

Из рис. 9 видно, что кривизна прогибов при различных формах потери устойчивости отличается примерно в 2.5 раза, хотя амплитуда прогибов (рис. 5) практически одинакова.

6. Заключение

При тепловом ударе в термобарьерном покрытии возникают сжимающие напряжения. Когда сжимающие напряжения достигают критических значений, термобарьерное покрытие теряет устойчивость с образованием нескольких полуволн, причем число полуволн возрастает с ростом коэффициента постели k (с увеличением жесткости упругого основания, или подложки). Для квадратной пластинки с ортотропией деформационно-прочностных свойств в разных направлениях число полуволн отличается и длина полуволны больше для направления, в котором модуль упругости выше.

При решении задачи устойчивости в рамках концепции Эйлера найдены критические напряжения и форма прогиба (собственные числа и вектор). Из предположения, что размеры пластинки при нагревании увеличиваются, определяются прогибы пластинки после потери устойчивости и далее напряжения в закритическом состоянии. Показано, что после потери устойчивости в покрытии возникают зоны растяжения и сжатия, что может служить причиной его растрескивания.

Из предположения, что упругое основание деформируется под действием потерявшего устойчивость покрытия, находятся напряжения в подложке. Показано, что на контакте покрытия с упругим основанием возникают зоны растяжения и сжатия, что может послужить причиной отслаивания покрытия от основания. В двумерном рассмотрении это может проявляться в формировании периодического «шахматного» распределения напряжения и деформаций и, соответственно, подобного же характера отслоения.

Литература

1. Bowden N., Brittain S., Evans A. GHutchinson J. W., Whitesides G.M. Spontaneous formation of ordered structures in thin films of metals

supported on an elastomeric polymer // Nature. - 1998. - V. 393. -P. 146-149.

2. Панин B.E., Моисеенко Д.Д., Максимов П.В., Панин А.В. Физическая мезомеханика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. III. Неупругий предвестник зарождения пластического сдвига // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 5. - C. 5-15.

3. Audoly B., Boudaoud A. Buckling of a stiff film bound to a compliant

substrate. Part I: Formulation, linear stability of cylindrical patterns, secondary bifurcations // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - V. 56. -P. 2401-2421.

4. Cai S., Breid D., Crosby A.J., Suo Z., Hutchinson J. W. Periodic patterns and energy states of buckled films on compliant substrates // J. Mech. Phys. Solids. - 2011. - V. 59. - P. 1094-1114.

5. Yin J., Yague J.L., Eggenspieler D., Gleason K.K., Boyce M.C. Deterministic order in surface micro-topologies through sequential wrinkling // Adv. Mater. - 2012. - V. 24. - P. 5441-5446.

6. Lin P.-C., Yang S. Spontaneous formation of one-dimensional ripples in transit to highly ordered two-dimensional herringbone structures through sequential and unequal biaxial mechanical stretching // Appl. Phys. Lett. - 2007. - V. 90. - P. 241903.

7. Jin L., Takei A., Hutchinson J.W. Mechanics of wrinkle/ridge transitions in thin film/substrate systems // J. Mech. Phys. Solids. - 2015. -V. 81. - P. 22-40.

8. Faulhaber S., Mercer C., Moon M.-W., Hutchinson J.W., Evans A.G. Buckling delamination in compressed multilayers on curved substrates with accompanying ridge cracks // J. Mech. Phys. Solids. - 2006. -V. 54. - P. 1004-1028.

9. Freund L.B., Suresh S. Thin Film Materials: Stress, Defect Formation and Surface Evolution. - Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - 750 p.

10. Hutchinson J.W., Suo Z. Mixed mode cracking in layered materials // Adv. Appl. Mech. - 1992. - V. 29. - P. 63-191.

11. Hutchinson J.W. Delamination of compressed films on curved substrates // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. - V. 50. - P. 1847-1864.

12. Moon M.-W., Jensen H.M., Oh K.H., Hutchinson J.W., Evans A.G. The characterization of telephone cord buckling of compressed thin films on substrates // J. Mech. Phys. Solids. B. - 2002. - V. 50. -P. 2355-2377.

13. Lee A., Clemens B.M., Nix W.D. Stress induced delamination methods for the study of adhesion of Pt thin films to Si // Acta Mater. -2004. - V. 52. - P. 2081-2093.

14. Thouless M.D. Combined buckling and cracking of films // J. Am. Ceram. Soc. - 1993. - V. 76. - P. 2936-2938.

15. Moon M.-W., Lee K.-R, Oh K.H., Hutchinson J.W. Buckle delamination on patterned substrates // Acta Mater. - 2004. - V. 52. - P. 31513159.

16. Waters P., Volinsky A.A. Stress and moisture effects on thin film buckling delamination // Exp. Mech. - 2007. - V. 47. - P. 163-170.

17. Cai S., Breid D., Crosby A.J., Suo Z., Hutchinson J.W. Periodic patterns and energy states of buckled films on compliant substrates // J. Mech. Phys. Solids. - 2011. - V. 59. - P. 1094-1114.

18. Hutchinson J.W. Delamination of compressed films on curved substrates // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. - V. 49. - P. 1847-1864.

19. Sundaram S., Lipkin D.M., Johnson C.A., Hutchinson J.W. The influence of transient thermal gradients and substrate constraint on delamination of thermal barrier coatings // J. Appl. Mech. - 2013. -V. 80. - P. 011002-1-13.

20. Evans A.G., Hutchinson J.W. The mechanics of coating delamina-tion in thermal gradients // Surf. Coat. Technol. - 2007. - V. 201. -P. 7905-7916.

21. Balint D.S., Hutchinson J.W. Undulation instability of a compressed elastic film on a nonlinear creeping substrate // Acta Mater. - 2003. -V. 51. - P. 3965-3983.

22. Evans A.G., Hutchinson J.W., He M.Y. Micromechanics model for the detachment of residually compressed brittle films and coatings // Acta Mater. - 1999. - V. 47. - No. 5. - P. 1513-1522.

23. Sergo V., ClarkeD.R. Observation of subcritical spall propagation of a thermal barrier coating // J. Am. Ceram. Soc. - 1998. - V. 81(12). -P. 3237-3242.

24. Karlsson A.M., Evans A.G. A numerical model for the cyclic instability of thermally grown oxides in thermal barrier systems // Acta Mater. - 2001. - V. 49(10). - P. 1793-1804.

25. Tolpygo V.K., Clarke D.R. On the rumpling mechanism in nickel-aluminide coatings. Part I: An experimental assessment // Acta Mater. -2004. - V. 52. - P. 5115-5127.

26. Karlsson A.M., Hutchinson J.W., Evans A.G. The displacement of the thermally grown oxide in thermal barrier systems upon temperature cycling // Mater. Sci. Eng. A. - 2003. - V. 351. - P. 244-257.

27. He M.Y., Hutchinson J.W., Evans A.G. Simulation of stresses and delamination in a plasma-sprayed thermal barrier system upon thermal cycling // Mater. Sci. Eng. A. - 2003. - V. 345. - P. 172-178.

28. Yu H.-H., Hutchinson J.W. Influence of substrate compliance on buckling delamination of thin films // Int. J. Fract. - 2002. - V. 113. -P. 39-55.

29. Cotterell B., Chen Z. Buckling and cracking of thin film on compliant substrates under compression // Int. J. Fract. - 2000. - V. 104. -P. 169-179.

30. Gioia G., Ortiz M. Delamination of compressed thin films // Adv. Appl. Mech. - 1997. - V. 33. - P. 120-192.

31. Nilsson K.F., Giannakopoulos A.E. A finite element analysis of confi-gurational stability and finite growth of buckling driven delamina-tions // J. Mech. Phys. Solids. - 1995. - V. 43. - P. 1983-2021.

32. Hutchinson J.W., Suo Z. Mixed mode cracking in layered materials // Adv. Appl. Mech. - 1992. - V. 29. - P. 63-191.

33. Hutchinson J.W., Thouless M., Liniger E.G. Growth and configura-tional stability of circular, buckling-driven film delamination // Acta Met. Mater. - 1992. - V. 40. - P. 295-308.

34. Bhatnagar H., Ghosh S., Walter M.E. Parametric studies of failure mechanisms in elastic EB-PVD thermal barrier coatings using FEM // Int. J. Solid. Struct. - 2006. - V. 43. - P. 4384-4406.

35. Martena M., Botto D., Fino P., Sabbadini S., Gola M.M., Badini C. Modelling of TBC system failure: Stress distribution as a function of TGO thickness and thermal expansion mismatch // Eng. Fail. Anal. -2006. - V. 13. - P. 409-426.

36. Segerlind L. Applied Finite Element Analysis. - New York: John Wilei & Sons, Inc., 1985. - 448 p.

37. Zienkiewicz O.C., Morgan K. Finite Elements and Approximation. -New York: John Wilei & Sons, Inc., 1983. - 352 p.

38. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. - Amsterdam: Butterworth Heinemann, 2013. - 714 p.

39. Панин B.E., Егорушкин B.E. Основы физической мезомеханики пластической деформации и разрушения твердых тел как нелинейных иерархически организованных систем // Физ. мезомех. -2015. - Т. 18. - № 5. - С. 100-113.

40. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. -New York: McGraw-Hill, 1959. - 577 p.

41. Кармишин A.B., Ляскоеец B.A., Мяченкое В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. - М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

Поступила в редакцию

__19.09.2016 г.

Сведения об авторах

Люкшин Петр Александрович, к.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, petrljuk@ispms.tsc.ru

Люкшин Борис Александрович, д.т.н., проф., внс ИФПМ СО РАН, зав. каф. ТУСУР, lba2008@yandex.ru

Матолыгина Наталья Юрьевна, к.ф.-м.н., нс ИФПМ СО РАН, ksa@ispms.tsc.ru

Панин Сергей Викторович, д.т.н., проф., зам. дир. ИФПМ СО РАН, проф. ТПУ, svp@ispms.tsc.ru