Расчет установившегося виража

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ Т о м XV 198 4

№ 6

УДК 629.735.33.015 : 533.6.013.7

РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ВИРАЖА

А. А. Шилов

Рассматривается схема решения задачи о расчете характеристик пространственных установившихся движений ЛА типа виража, виража со снижением, штопора и т. д. Основное внимание уделено структуре кинематических и динамических уравнений, используемых для решения задачи при произвольных аэродинамических характеристиках ЛА.

К расчету установившегося виража сводится ряд задач динамики полета. Кроме режима установившегося планирования с креном при фиксированных отклонениях органов управления, можно упомянуть движение самолета в штопоре, спиральное движение планирующего парашюта в виде надувного крыла и т. д. Основные трудности исследования штопора как задачи динамики самолета состоят в определении аэродинамических сил и моментов [1, 2]. Но даже при известной зависимости сил и моментов от кинематических параметров расчет виража и штопора летательного аппарата (ЛА) остается сложной задачей.

При некоторых условиях полная задача об определении стационарного режима движения ЛА может упроститься. Например, если рассматривается движение модели в аэродинамической трубе около точечного шарнира, совпадающего с центром масс, то уравнение установившегося вращения представляет собой уравнение моментов при нулевых угловых ускорениях. В этот класс движений попадают статические и квазистатические режимы движения космических аппаратов, снарядов и самолетов типа аэроинерционной авторотации резонансного и нерезонансного типа при полете с большой скоростью. Рассмотрим другие возможности упрощения задачи.

Уравнения сил. Выпишем уравнения сил, используя векторное представление аэродинамических сил /\

Введем инерциальную систему координат с ортами I, тп, п, где орт т. направлен вертикально вверх. Из уравнения

<)

где V-—вектор скорости центра масс ЛА, М — масса ЛА, О — сила веса ЛА, вводя обозначения I/=]/<*, где 1/=|1/|, получим

MV=(F, a) —(G, a) = (F, a) — Gsin.0, G =— Gm, (m, a) = sin 6,

где (Т7, а) — сила аэродинамического сопротивления, 0 — угол наклона траектории к горизонту.

Для единичного вектора а получим уравнение

MV

da

Ж

d а

= z\) = F-G-a[(F, a)-(G, a)],

где

— производная вектора в связанных с Л А осях, а F—a.(F, a)—

сила, перпендикулярная скорости полета, т. е. подъемная сила, действующая в некоторой плоскости, наклоненной, вообще говоря, относительно вертикали.

Поскольку проектирование а на оси I, т, п дает

аг = COS0 COS о, am = sin0, ап = —COS 0 sin а,

где о—угол пути, отсчитываемый от горизонтального орта I, то, вычисляя производную ат, получим

MV cos 0 0 = (F, т)—•(G, т) — [(/% а) — (G, а)] (а, т).

С помощью тождества (а, т) — (а, а)(т, а) — (а, [а, [т., а]]) ,

где а — произвольный вектор и [а, т\

MVB=[ F,

I т, а I

cos20, получим — G cos 0.

I \т, о] I

Дифференцируя соотношение ап=^ — a[igo и подставляя а, и а из уравнения (3), получим уравнение для о:

Г°> т\

JVl Vo cos 6 =

F,

I [ a, m] I

Таким образом, получены уравнения движения в скоростной системе координат (2), (5) и (6), правые части которых записаны с помощью векторных выражений.

Кинематические уравнения. Аэродинамические силы и моменты зависят от углов атаки и скольжения, которым эквивалентны проекции вектора а на оси летательного аппарата, т. е. направляющие косинусы

Ctxj Сty, dz'

ах — cos a cos р, ay = — cos Р sin a, a2=sin[3.

Для проектирования векторов на связанные с ЛА оси координат используем матрицу направляющих косинусов, выраженную через углы курса г|), тангажа Ф и крена у:

cos фcos sin &

— cos & sin ф

sin ^ sin 7 — cos sin 8 cos 7 cos % cos 7 cos ф sin 7 -|- sin Ф sin 9 cos 7

cos sin & sin 7 + sin ip cos 7

— cos 9- sin 7 cos ф cos 7 — sin ф sin & sin 7

Это дает

а.х — cos 0 cos & COS (4> — в) ~Ь sin 9 sin 0 = cos (ft — 6) —

— 2 cos 0 cos 0 sin2 ,

ay = — cos 0 sin 9 cos f cos(ф — o) -r cos 0 sin 7 sin (ф — о) -f -f-sin 0 cos & cos 7 = — cos 7 sin (8—0) -f cos 0sin 7 sin (ф—a) -f

-[- 2 cos 0 sin & cos 7 sin2 ^ ~~ ° , ^

az = cos 0 sin & sin 7 cos(<p—o) -f- cos 0 cos 7 sin (ф—о) —

— cos 9 sin 0 sin 7 = sin 7 sin (9 — 0) + cos 0 cos 7 sin (ф — a) —

— 2 cos 0 sin 9 sin 7 sin2 .

В этих соотношениях выделены члены, зависящие от разности углов курса и пути. Таким образом, задавая г|), о, &, у, 0, можно определить а, р согласно (7), (9).

Для решения обратной кинематической задачи при заданных а, р, у можно [см. (9)] получить соотношение

a sin 7 -f аг cos 7 = cos 6 sin (ф — а),

из которого при ! гр — а|<я/2 определяется величина — а. Далее необходимо найти Ф = Ф(а, |3, у, 0).

1-й способ. Проще всего это сделать, привлекая тождество (т, а) = (т, а), левая и правая части которого записаны соответственно в связанной и земной системах координат [см. (4) и (8)]:

ixsin 9 — (azsin 7 — ay cos 7) cos 9 = sin 0. Если обозначить

sin a* = (аг sin 7 — a cos 7) [a* + (az sin 7 — ay cos 7)2

1/2

cos a* = aJ. [a* + (azsin7 — ayCOS7)2]

1/2

то получим

sin (9 — a*) = sin 0

+ (a* sin T — ay cos t)2

Отсюда при заданных a, p, у, 0 можно определить й.

2-й способ. Считая, что к текущему моменту, вычислений величина cos(i|)—а) уже известна [см. (10)], можно получить другую формулу для определения О. Из соотношений (9) следует:

ах — sin 9 sin 0 =• cos 0 cos 9 cos (ф — a), a2sin 7 — ay cos 7 -\- sin 0 cos 9 — cos 0 sin ft cos (ф — a), откуда можно получить выражения для sin ft cos й:

[sin2 0 + cos2 0 cos2 (ф — о)] sin 9 = ax sin 0 -f + (az sin 7 — ay cos j) cos 0 cos (]> — 0),

[sin2 0 + COS2 0 cos’2 (Ф — a)] cos 9 = a.x COS 0 COS (Ф — a) —

— (azsin 7 — ay cos 7) sin 0.

5— «Ученые записки» № 6 65

Выражение в квадратной скобке равно [см. (10)] (ау sin 7 + аг cos f)2'

sin2 б + cos21

1

cos2 0

= 1 —

: 4 -f (a cos 7 — az sin ^)2 > 0,

У

a cos 0 cos 0J> — a) = + [cos2 0 — (ay sin 7 -f az cos т)2],/2.

Таким образом видно, что величина угла тангажа зависит от выбора знака cos' (ф—ст), который можно принять так, чтобы было |Ф| <п/2.

Приведенные соотношения могут быть полезны в разных ситуациях: при решении рассматриваемой задачи, для вычисления начальных условий по углам й, гр при математическом моделировании движения, в некоторых задачах обработки наблюдений.

Уравнения установившегося движения. Рассмотрим теперь непосредственно уравнения, определяющие установившееся движение JIA. Уравнения сил при установившемся движении имеют вид [см. (2),

(5), (6)]

где Q — угловая скорость установившегося виража, F(a, [J, шу, №z> 8н> 8э) — вектор аэродинамических сил.

Здесь принято, что положения управляющих поверхностей рулей высоты 8В, направления 8Н и элеронов 8Э фиксированы.

Проекции угловой скорости и — Qm на связанные с летательным

аппаратом оси шх, ш2 зависят от углов крена и тангажа

u);c=2sin&,

При установившемся вираже векторное уравнение моментов имеет

вид

[ИК ">] + /И

Из (14), (15) или непосредственно из (1) получим

При sin 0=1 видна слабая обусловленность уравнений сил (14), (15), (16). В этом случае (18) — основное уравнение. Отметим частный случай, когда из (И) с достаточно высокой точностью в силу

ах « 1, тх ~—'1, (а, т) = — 1 уравнения можно получить а уту-\-

-\-azmz — 0. Это сильно упрощает решение уравнения (18).

Для выполнения векторных операций достаточно знать проекции F, а, т на связанные с самолетом оси, т. е. а, р, у и 0.

Установившийся режим виража со снижением (в том числе штопора) характеризуется параметрами а, р, у, 0, V, Q, которые могут быть найдены из написанных уравнений [шесть уравнений (14) — (18) для шести неизвестных].

Траектория движения будет найдена из уравнений

— =2 = const,

dt

dt

— = — V cos S sin о dt

1ІЛ ж r C

----— V COS 6 cos a,

dt

или после интегрирования

V cos 6 . .

г = Z0 1---------------(cos a — cos a0),

U rj V sin e , .

Н=п0 -\-------— (a — o0).

Радиус виража /?= 9 > а координаты вертикальной оси спи-

рали

V cos 0

—---------cos a0.

Основная задача проведенного анализа — упростить нахождение-стационарных решений сведением полной задачи к решению вспомогательных задач меньшего порядка.

Аэродинамические силы зависят прежде всего от ориентации вектора а (а, (5) в связанных осях, скоростного напора <7 ив меньшей степени—-от угловых скоростей со*, СИ <1>г и от а, {5, поскольку р IV

Из физических соображений следует, что если совершается вираж большого радиуса (много большего размаха крыла), то влияние вкладов от угловых скоростей в аэродинамические силы будет мало. Если рассматривается движение планирующего парашюта, то для малости этого вклада нужно потребовать еще и малости отношения длины строп к радиусу виража, что особенно существенно при значительных углах п V сое 0

крена, поскольку И ——-— —радиус траектории центра масс парашютной системы, а не крыла. В противном случае нужно помнить о зависимости ^ от неравномерности потока по размаху и о том, что скоростной напор, действующий на купол, нужно вычислять по формуле р -*

<7 = (V + [ш, гк]),2 где гк — вектор положения купола относительно

центра масс системы.

Учитывая предполагаемую малость влияния вектора м на ^, запишем

где & — малый параметр.

При е = 0 численное решение ^бщей задачи определения стационарного режима может быть упрощено. После нахождения всех режимов при е = 0 можно решать задачу в общей постановке.

Р = ^о(а. Р) + е(^(«> Р. <“ • • •) — Л(а, Р)) ,

Итак, пусть sin %-ф—1 и аэродинамические силы не зависят от величины о = Q. В качестве искомых величин зададим а, р, у и выпишем, используя приведенные выше уравнения для определения скорости полета и угла тангажа [см. (11) и (14)], соотношения

Если тяга двигателя отсутствует, то сила F0 пропорциональна скоростному напору. Поделив первое уравнение на второе, получим одно соотношение, из которого при данных а, р, у можно найти решения для #, поскольку при делении V2, q сокращаются.

Вслед за этим из уравнения (22) найдем I/3, а из уравнения (11) — величину В. Из уравнения (16) при известных а, р, 7, 8,

V, 0 определим 2. Из уравнений (21), (22), если Fx--------cxU Fy~cyl,

Fz~czX, можно получить уравнение, связывающее sin 28, cos 28, параметры а, (3, 7 и аэродинамические коэффициенты в связанных

ОСЯХ Сх Су ],

— сх1 + 2 (су , ау 4- сг1 аг) - (ау cos 7 — az sin 7) (су , cos у — сг , sin 7) —

— [сх 1 ах +

Это уравнение можно привести к виду sin(20—#0)=^ и решить, если |Л|с1, т. е. если

IеX 1 (aj> cos 7 az Sin 7) - (cy ! cos 7 - cz, sin 7) aj2 -f + 4 (cy , ay + c2 , a2) (ay cos 7 — a2 sin 7) {cy : COS 7 — Cz x sin 7) >

> 4 (cy ocy 4- cz az) (cy 1 ay + cz az - cx , <xx).

Заметим, что cyay 4- czX az— cx t ax= —cxa, где cxa—коэффициент аэродинамического сопротивления в скоростных осях.

В случае осесимметричного аппарата [3] можно ввести приведенный

коэффициент поперечной силы Са =

с*1 = ст(*х), =

сг 1 = — Са (<*,) аг;

последнее неравенство приводится к виду:

{(Ст + Ca*,)2 + 4Са(1 — а*)} (ау cos 7 — a2sin 7)2 > 4сасх а (1 — а2х).

Для того чтобы существовало решение для у, необходимо

В = 4Са сх а [с’т 2Сг Са ах -(- Са 0.х -+- 4Са ( 1 — 0.x)] 1

Это выполнимо, так как неравенство Б<1 и

4Са [с* а.х 4- Са (1 — <*1)\ < с\ 4- 2<\с^ 1 х 4 cl лх +• 4с« (1 — а2х) эквивалентно неравенству (сг — 'са <хх)2 0.

68

Рассмотрение соотношений (17), (21) —(23) позволяет при е = 0 свести решение общей задачи к численному поиску нулей трех функций от трех переменных а, р, у:

[|ИК <°] + М[а, р, V, ш

Замечание 1. Если демпфирующие аэродинамические моменты пропорциональны q£l/V, а силы—V2, то в уравнениях (16) и (24) можно выделить параметр Q/V, и тогда уравнения (16), (23) и i(24) с учетом

(11) образуют систему пяти уравнений с неизвестными а, Р, #, у, Q/V. Величина V2 определяется, например, из уравнения (19). При таком подходе понижение порядка системы уравнений возможно путем выражения & = -&(а, р, у) с помощью уравнения (23) и величины QfV= = /(а, р, у. Ф) с помощью (16) с учетом (11).

Замечание 2. Если пренебречь зависимостью сил от бв, бн, бэ, то уравнения (16), (17), (21), (22) при найденных а, р, у. пол-

ностью определяют траекторию движения и можно решать задачу определения из (24) неизвестных бв, 6Н, бэ.

Замечание 3. Если F зависит от со, то уравнения (16), (21), (22) надо решать при фиксированных а, р, у, бв, бн, бэ совместно для определения V, Q (задача 3X3) и после этого — уравнения (24) для определения а, р, у (задача 3X3). При этом будут полезны соотношения

(12), (13).

Таким образом, общее решение задачи будет найдено с помощью двухступенчатой процедуры.

Обратная задача. В ряде случаев возникает обратная задача обеспечения установившегося виража: заданы скорость V, угол наклона траектории к горизонту 0, радиус виража 7?; требуется определить углы атаки а, скольжения р, крена у, отклонения рулей 6В, бн, бэ, потребные для осуществления этого маневра [возможен другой выбор состава задаваемых параметров, см. (20)]. Заметим, что при некоторых V, 0, R решение обратной задачи может не существовать.

Рассмотрим вначале случай, когда сила F не зависит от угловой скорости и отклонений рулей. В этом случае можно отделить уравнения сил от уравнений моментов. Объединяя (2), (5), (6) при У = 0 = О, а = = const, получим необходимые уравнения

{f, [а, [т, а]]) [т, а] 2 = (F, т) = О,

(F, а) — (а, m)(F, т) = О, Q MV cos3 9 = — (F, [а, т]) .

Таким образом, выражения для сил, зависящих от а, р, направляющих косинусов а (а, Р), т{#, y) вместе с соотношением (11) образуют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Выражая Ф или Y из последнего соотношения (11), можно получить задачу третьего порядка.

Формально система уравнений достаточна для решения задачи, однако три уравнения сил и одно кинематическое соотношение образуют несовместную (как правило) систему уравнений (16), (25) относительно неизвестных а, р, у> Это можно пояснить, выписывая соотношения для модуля полной силы F, необходимой для реализации стационарного режима с заданными параметрами V, 0, R:

о , о ' М2 V4 cos40

Fl + F2 + F\ = G2 +--------£5---- •

Если присоединить к (26) уравнение (16), тогда при F — F(a, Р) получим два соотношения с двумя неизвестными аир [величины # и у при известных а, р найдем из соотношений (И), (19)]. Но теперь ясно, что система уравнений (16), (26) относительно а, р, т. е. угловых переменных, одна из которых слабо влияет на сопротивление и полную силу (по крайней мере, если рассматривается самолет), при произвольных R, 0, V не всегда имеет решения при заданных зависимостях F{(а, р),

i = x, у, z. Это противоречие исчезает в присутствии тяги двигателя или

воздушного тормоза Т == 0. Но тогда можно лишнюю из координат а, Р, Т фиксировать, например положить р = 6.

В результате обратная задача об установившемся вираже сводится к решению двух уравнений с двумя неизвестными, а для определения # или у можем получить из (11) и (22) при p = /7z = 0 выражения

Go.у — Fy sin в G — Fx sin 8

sin 0 = —=-----=---- , COST=— ъ--------5— .

Fx a? — Fyax Fy cos &

Один из вариантов постановки задачи об установившемся вираже состоит в том, что требуется определить такую скорость V, при которой Т = 0, р = 0. Эта задача сводится к одному уравнению для а, так как Fi~V2, i=x, у, z, и V2 можно исключить из уравнения (26) при заданных G, 0, R.

Если силы Fi, i = x, у, z, зависят от 6В, бн, бэ и сож, соу, coz, то для решения общей обратной задачи об установившемся вираже необходимо решать совместно шесть уравнений (14) — (18) относительно шести неизвестных, среди которых будут отклонения органов управления.

Результаты проведенного анализа можно эффективно использовать при решении задачи об установившемся вираже на ЭВМ при произвольных аэродинамических характеристиках ЛА.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пышно в В. С. Штопор самолетов. — Труды ВВА РККА им. Жуковского, сб. 1., 1929.

2. Журавченко А. И., Вержанская Е. А. Исследование штопора самолета в аэродинамической трубе с учетом радиуса его траектории.— Труды ЦАГИ, 1936, вып. 260.

3. Ш и л о в А. А. Влияние массовой и аэродинамической несиммет-рии тела на характер его пространственного движения. — ДАН СССР,

1968, т. 183, вып. 5.

Рукопись поступила J5/IV 1983 г.