Метод двойственных сетей для автоматизированного проектирования систем с переменной структурой

А.Е. Петров

МЕТОД ДВОЙСТВЕННЫХ СЕТЕЙ ДЛЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

Тензорный метод двойственных сетей позволяет создать сетевые модели процессов и структуры системы. Сетевые модели обеспечивают расчет процессов при изменении структуры. Например, расчет изменений при авариях, связанных с отключением или разрушением элементов технической системы. Это необходимо для прогнозирования безопасности, в частности, объектов нефтепереработки. Суть сетевых моделей состоит в том, что величины потоков в системе представлены компонентами в базисе пространства структуры с открытыми и замкнутыми путями. При изменении структуры новые величины потоков получаются как преобразование координат, вызванное изменением путей. Такие тензорные преобразования обеспечивает открытый автором инвариант изменения структуры двойственных сетей. Физический смысл данного инварианта состоит в постоянстве рассеиваемой мощности в двух двойственных сетях при изменении структуры, что является проявлением закона сохранения потока энергии. Ключевые слова: двойственные сети, процессы, структура, тензорный метод, сетевые модели, нефтепереработка.

Сростом сложности систем по числу элементов и структуры связей между ними растет роль сетевых методов для автоматизации расчета и проектирования. Структуру связей изменяет развитие системы, рост или деградация систем, а также соединение или разделение системы на части с изменением связей или выделением отдельных подсистем.

Сети объединяют процессы в системе и структуру связей элементов, что дает преимущества при их использовании для моделирования различных предметных областей. Это обеспечивает расчет поведения систем с переменной структурой, которая может меняться при изменениях конструкции или при разрушении в результате аварий, и т.д.

Различные соединения ветвей рассматриваются как проекции одного объекта сети (тензора) в разные системы координат. Это обеспечивает расчет разных структур с помощью одного

ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2016. № 6. С. 75-88. © 2016. А.Е. Петров.

полученного решения как преобразование координат, что дает единый метод расчетов различных структур, уменьшает объемы вычислений.

Существует проблема расчета поведения систем при изменении структуры. Тензорный метод двойственных сетей связывает процессы и структуру, что позволяет применять его для расчета сетевых моделей сложных технических, экономических, биологических систем с переменной структурой.

Сети

Ветвь есть отрезок линии с точками границ (узлами). Сеть состоит из ветвей, которые могут иметь веса, и соединяться границами-узлами. Соединения ветвей составляют структуру сети. Изменения соединения ветвей есть изменение структуры сети. Ветви образуют пространство сети.

Координатами этого пространства являются пути — последовательности соединенных ветвей. Путь проходит по ветви от одной границы до другой, продолжается в ветви, соединенной с ней и т.д. Путь, который вернулся после прохождения ветвей в узел начала — замкнутый, контур; иначе — разомкнутый.

Один путь можно выражать через другие пути. Набор линейно независимых путей составляет базис в пространстве сети. Базисы контуров и разомкнутых путей определяют подпространства замкнутых и разомкнутых путей. Эти подпространства ортогональны и дополняют друг друга до полного пространства сети.

Изменение путей при изменении структуры есть преобразование координат. Обозначим количество ветвей в сети через п, узлов — J, подсетей — 5, независимых замкнутых путей — т, независимых разомкнутых путей — j. Для каждой структуры соединения ветвей эти параметры имеют значения, определяемые известными в топологии соотношениями:

j = J - 5,

п = т + j.

Изменение структуры состоит в изменении числа узлов в сети - одни соединяются, другие разъединяются. При разделении узла на два узла один контур исчезает, но возникает разомкнутый путь, и наоборот. Соответственно меняются размерности их подпространств.

При изменении структуры базисные пути в новой сети можно выразить через базисные пути в старой сети. Коэффициенты в уравнениях такого выражения образуют матрицу. Это матрица преобразования путей, она является матрицей пре-

Рис. 1. Базис замкнутых, т и разомкнутых, j путей в сети: а) базисные пути в связанной сети; б) базисные пути в свободной сети

образования структуры. Например, пусть на рис. 1, б четыре свободные ветви-контура связаны в сеть, где два конура и два разомкнутых пути — рис. 1, а.

Коэффициенты выражения базиса путей в связанной сети через пути в свободных ветвях составляют матрицу преобразования путей: р = Ср а ра:

Р1

П а = Ср

1 у С

1 у

-1 1 1 т тС

1 -1 т

Обозначения: у — разомкнутый путь, т — замкнутый путь. В матрице строки показывают, какие ветви, с какой ориентацией, составляют данный путь. Элементы столбцов показывают, в какие пути, и с какой ориентацией входит данная ветвь. Таким образом, матрица С состоит из подматриц, описывающих преобразование замкнутых тС и разомкнутых С путей. Она используется для расчета контурной сети, сети с внутренним воздействием.

Р1 1 -1 -1 у уА тС

А = (С)-\ = Р2 1 1 1 у

РЗ 1 1 1 т тА уС

р4 -1 т

а

в

2

4

2

3

4

а

в

Ортогональная к С матрица, которую обозначим как А: А = = (С)-\, описывает преобразование взаимного базиса путей.

Матрица А используется для расчета сети с внешним воздействием; в электротехнике аналогом является узловой метод расчета.

Пусть на сеть наложен вектор d, который представлен компонентами da в координатах-путях вектора базиса ра.

d = da Ра

Вектор может иметь интерпретацию вектора потока энергии в электрической цепи. При изменении структуры в новой сети тот же вектор будет представлен в новом базисе ра, компонентами da':

d = dа Ра

Выразим компоненты вектора d в новой структуре, используя преобразование путей

Рв = СР "Ра

Приравняв выражения вектора в (3) и (4), и подставляя (5), получим:

dp' =

т.е. компоненты наложенного вектора при изменении структуры преобразуются противоположно, контравариантно относительно вектора базиса путей.

Если ввести квадрат величины вектора d как произведение ковариантных и контравариантных компонент:

I d |2 = da dа,

то получим закон преобразования ковариантных компонент при изменении структуры от старой сети к новой сети:

| d I2 = d dа = d , dа',

1 1 а а ' 4 '

откуда, подставляя выражение (6) для контравариантных компонент:

d , = С,а d

ара 4 '

т.е. эти компоненты преобразуются так же, как компоненты вектора базиса путей, т.е. являются ковариантными компонентами вектора потока энергии. Линейный характер преобразования компонент данного вектора позволяет рассматривать их как тензоры в пространстве структуры сети.

Для электрической цепи компоненты такого вектора имеют следующие аналоги: ковариантным компонентам соответствует напряжение, контравариантным компонентам соответствует ток. Квадрату величины вектора d соответствует рассеиваемая в цепи мощность. Если заданы веса ветвей, то их можно рассматривать как метрику (сопротивление в цепи), заданную матрицей метрического тензора, обозначим Zа р. Метрика связывает ковариантные и контравариантные компоненты вектора (аналог закона Ома в цепи), например:

dа = ^ *

Подставляя сюда (6) и (9) получим формулу преобразования метрического тензора при изменении структуры от старой сети к новой сети:

Z= С ,а Z. С/ ,

ара ар р?

Вектор потока энергии в сети определяется заданием одного вида компонент, например da, в качестве источника воздействия. Тогда контравариантные компоненты второго вида, например, da, являются откликом, их величина определяется метрикой Z , решением уравнения (10). Базисом структуры являются замкнутые пути, а преобразования осуществляются матрицей тС. Этому соответствует контурный метод расчета цепи.

Если воздействие задают компоненты da, то компоненты dа — отклик, величина которого определяется метрикой Га в = = (^аР)-1. Тогда компоненты отклика получаются решением уравнения da = Га р dа, где Y — аналог матрицы проводимостей. В этом случае базисом являются независимые разомкнутые пути, а преобразования осуществляются матрицей 'А. Этому соответствует узловой метод расчета цепи.

Предполагается, что уравнения поведения системы имеют одинаковую форму для любой структуры соединения элементов. Наиболее простая сеть — это отдельные, свободные ветви. Преобразование к связанной сети (величины обозначим штрихами) выполняют матрицы преобразования путей тС или ]А.

Пусть имеются свободные ветви-контуры, их уравнение поведения (10). Соединим ветви в новую, связанную сеть, уравнение поведения которой:

d , = Z ¿о'

а ар 4 '

Матрица тС выражает пути в связанной сети через пути в свободных ветвях. Подставим в (12) формулы преобразования (6), (9) и (11) и, решая это матричное уравнение, получим вы-

ражение откликов в путях связанной сети через воздействия в свободных ветвях

=

^аарргаа

Перейдем от откликов (токов) в путях-контурах к измеримым величинам в отдельных ветвях связанной цепи, которые обозначим йв .

с

йв = тс а, йв = тс ,а

с а t а^ааррг а а ч/

Выражение перед вектором источников йа обозначим Yc и назовем матрицей решения. Это метрический тензор связанной контурной сети.

У = тС .аt

с а^ааррг а

Умножение Ус на произвольный вектор воздействия позволяет сразу получить отклики в ветвях связанной сети. Для контурной электрической цепи воздействие — это источники напряжения, ЭДС еа, а отклики — токи в ветвях /ас.

Мощность, рассеиваемая в простейшей цепи тР0 = /а0 еа0 равна мощности источников, а в ветвях связанной цепи тРс = = е с /а = тР\

с

Таким образом, получили уравнения контурного метода расчета цепи для источников ЭДС, заданных в свободных замкнутых ветвях.

Воздействиям и откликам в сети, также как токи и напряжения в электрической цепи, должны подчиняться законам Кирхгофа, что является проверкой правильности решения.

В сети двойственны (в смысле взаимного дополнения) замкнутые и разомкнутые пути, токи и напряжения, сопротивления и проводимости. Такими двойственными заменами получим уравнения решения сети для базиса разомкнутых путей. Матрица тС заменяется матрицей 'А, а матрица Z — матрицей У. Метрический тензор связанной узловой сети обозначим Zc и назовем матрицей решения

Z = А t

с а t у а в ^ в

Умножение Zc на произвольный вектор воздействия позволяет сразу получить отклики в ветвях связанной сети. Для электрической цепи это вектор источников тока, Iе, заданных в свободных разомкнутых ветвях, а отклики — напряжения на ветвях связанной сети Е с.

а

Мощность, рассеиваемая в простейшей цепи 'Р0 = 1а0 Еа0 равна мощности источников, а в ветвях связанной цепи Рс =

= Е с 1а = 'Р\

а.

Двойственная сеть и закон сохранения потока энергии

К данной сети существует двойственная по структуре сеть, в которой каждому замкнутому пути соответствует разомкнутый путь, а каждому разомкнутому пути соответствует замкнутый путь. Ее величины обозначим подчеркиванием. Размыканию путей в данной сети соответствует замыкание пути в двойственной сети, и наоборот. Матрица А данной сети является матрицей С для двойственной сети, в которой подматрицы замкнутых и разомкнутых путей меняются местами. И наоборот, матрица С данной сети является матрицей А для двойственной сети.

Таким образом, матрица решения контурной двойственной сети соответствует матрице решения заданной узловой сети.

Y = тС ,а,

—с —а ? у —а —ав —в V —а а а в V в

Аналогично, матрица решения узловой двойственной сети соответствует матрице решения контурной заданной сети.

Z = Л' ,

—с — а ? у — а — —в —в а ? у а ав в ? а

Автор открыл инвариант, который представляет собой постоянство суммы метрических тензоров двух двойственных сетей при изменении их структуры. Данный инвариант рассматривается в [1—4, 7]. При этом для замкнутых систем сумма прямых метрических тензоров двух двойственных сетей равна метрическому тензору свободных контуров, а для открытых систем сумма обратных метрических тензоров двойственных сетей равна тензору свободных разомкнутых ветвей.

В простейшем виде, при единичной метрике, т.е. если собственные сопротивления ветвей равны единицам, а взаимные равны нулю, то Z и Y — единичные матрицы, Z = Y = I, и при отсутствии потоков в сети, инвариант двойственности для замкнутых путей приобретает простой абстрактный вид

I = тС,

Здесь I — единичная матрица. Это фундаментальное свойство структуры сетей выражается отношениями между матрицами преобразования путей, и не зависит от физических свойств ветвей, от потоков энергии.

Рассмотрим простой пример выполнения инварианта структуры двойственных сетей из трех ветвей, представленных на рис. 2.

Рис. 2. Двойственные сети: а) заданная сеть, один контур, два разомкнутых пути; б) двойственная сеть, два контура, одинразомкнутый путь

Матрица преобразования путей простейшей сети к путям в заданной сети, которые показаны на рис. 2, а, имеет следующий вид:

А

Pl' 1 -1 1 т тС

Сра = p2' 1 )

p3' 1 ) С

Матрица преобразования путей простейшей сети к путям в

двойственной сети, которые показаны на рис. 2, б, имеет сле-

дующий вид: £1 £2 £3

£1' 1 т С = тА

C а = Л а = СР А £2' 1 1 )

£3' -1 1 ) тС = А

Получим матрицу решения данной контурной сети при единичной метрике:

Y = тс.а, (тс а z в mcR,p ,)-1 тс а = та (тс тс о-1 тс

с а^аарри а 4 '

Сначала вычислим выражение в скобках и получим обратную матрицу:

Г

12 3 11 1'

1'Ш

тс те = 1'

1

-1

1

1

1'

(ШС ШС у= 1' 1/3

Далее получим Y _

1

С(тС тС у1 тС = 2 3

2 3

Г

1' 1 2 3 1 1/3 -1/3 1/3

1/3 1' 1 -1 1 = 2 -1/3 1/3 -1/3

3 1/3 -1/3 1/3

Получим матрицу решения двойственной контурной сети при единичной метрике:

Y = тС .а, (тС а Z в тСк,р,)-1 тС а = А (А А у1 >А

—с —а ^ —а —ар —р V —а ^ V

Сначала вычислим выражение в скобках и получим обратную матрицу:

123

2' 3'

2' 1 1 1 1 -1 2' 3' 2' 3'

тС тС; = 3' -1 1 2 1 = 2' 2/3 1/3 (тС тС у1 = 2' 2/3 -1

3 1 3' 1/3 2/3 3' -1 2/3

Далее получим Yc = тС1 (тС тС ()-1 тС =

2' 3'

1 1 -1 2' 3' 1 2 3 1 2/3 1/3 -1/3

2 1 2' 2/3 -1 2' 1 1 = 2 1/3 2/3 1/3

3 1 3' -1 2/3 3' -1 1 3 -1/3 1/3 2/3

Сложив матрицы решения (метрические тензоры) данной и двойственной сети получим единичную матрицу, что подтверждает выполнение инварианта двойственности Y + Y = I:

1

23

1

23

123

1 1/3 -1/3 1/3 1 2/3 1/3 -1/3 1 1

2 -1/3 1/3 -1/3 + 2 1/3 2/3 1/3 = 2 1

3 1/3 -1/3 1/3 3 -1/3 1/3 2/3 3 1

Таким образом, пример показывает, как выполняется инвариант, представленный в (19). В физике данный инвариант представляет собой постоянство суммы рассеиваемых мощностей в двух двойственных сетях при изменении их структуры. Т.е. инварианту двойственности соответствует закон сохранения потока энергии.

1

2

3

Этот закон находится в ряду других законов сохранения, т.е. физических законов, согласно которым некоторое свойство замкнутой системы остается неизменным при каких-либо изменениях в системе. Всеобщность законов сохранения механических величин (энергии, импульса, момента), связана с тем, что им соответствуют свойства симметрии пространства-времени (мира). Согласно теореме Нётер, сохранение энергии связано с однородностью времени, т.е. с физические законы инвариантны относительно изменения начала отсчета времени. Сохранение импульса и момента количества движения связано соответственно с однородностью пространства (инвариантность относительно пространственных сдвигов) и изотропностью пространства (инвариантность относительно вращений пространства). Закон сохранения потока энергии связан с двойственностью структуры пространства.

Расчет сети при изменении структуры

Инвариант двойственности применяется для расчета сетей (сетевых моделей) при изменении структуры: разделении на части или соединении из частей, изменении соединений в сети при внешних и внутренних воздействиях для данной сети или двойственной сети [2—4].

При изменении структуры сети необходимо заново выводить уравнения поведения и решать их. Когда расчет каждой структуры трудоемок, целесообразно использовать известный результат расчета для одного варианта структуры, чтобы получения решение сети с другой структурой. Например, для анализа решений при различных отключениях или переключениях элементов установки, которые могут приводить к авариям.

Задача состоит в получении матрицы решения для новой структуры по матрице решения старой структуры и матрице изменения структуры. Пусть в старой сети из п ветвей J1 узлов и одна подсеть, т.е. 51 = 1. Тогда, как показано в (1), (2), базисных разомкнутых путей= J1 — 51, а контуров т1 = п - }у Если в новой сети также одна подсеть, а число узлов изменилось, например, часть узлов ЛJ соединили с другими, и узлов в сети стало меньше, т.е. J2 = J1 — ЛJ, то изменится и число разомкнутых путей:

]2 = J2 - 51 = J1 - ЛJ - 51 = - ЛJ,

и число замкнутых путей, контуров:

т2 = п -]2 = п -+ ЛJ = т1 + ЛJ.

Уменьшение числа узлов увеличивает количество независимых контуров и уменьшает количество независимых разомкнутых, и наоборот.

Обозначим вектор базисных путей в старой сети как р1а = (тр1, р1). Пусть часть узлов в этой сети была замкнута, и количество независимых контуров увеличилось на Лт = Л/. Допустим, что новые пути в сети, р2а, состоят из тех же ветвей, что и прежние пути. Тогда в матрицах преобразования старой сети Са1а и новой сети — Са,2а, все элементы останутся прежними, но строк т-путей будет на Лт больше, а строк '-путей на Лт меньше. Новые строки т-путей составят матрицу изменений структуры сети; обозначим ее как АС. Тогда Са,2а новой сети через Са1а старой сети и матрицу изменений АС, имеет вид:

С ,,а = т, а 1 1 та Са'1 = т1 тС1 т1 та Са'1 т2 тС1

к а 1 к С ; С .0а = Лт " а 2 ЛС а а к = ЛС

к 'С ,2а а 2 'С С2

где двойная черта отделяет в матрице Са 2а подматрицы тС2 икС2.

Если часть узлов разомкнуть, то их станет больше /2 = / + Л/. Разомкнутых путей базиса станет больше на Л' = Л/ (число подсетей прежнее), а контуров меньше на Лт = Л/. Тогда подматрица ЛС в новой сети переходит от тС2 к 'С2, т.е. они меняются местами:

С ,,а = т, а 1 1 та Са'1 т^ < т1 тС а а'1 т2 тС1

1 С ,,а а 1 ; Са-2а = Л ЛС ,а а к = Лт ЛС

1 }С .9а а 2 1 кС С2

где двойная линия показывает теперь новую границу между тС2 и 'С2.

В двойственной сети произойдут обратные изменения, то есть, замкнутся узлы, уменьшится число разомкнутых путей и увеличится число контуров.

Если число векторов базиса, т.е. замкнутых или разомкнутых путей, при изменении структуры увеличивается и появляется матрица изменений, то можно решить задачу расчета новой сети по найденной матрице решения старой сети и матрице из-

п

п

п

п

п

менений. Получив решение для сети, в которой число переменных растет, можно с помощью инварианта двойственности получить решение для сети, где число переменных уменьшается.

Для пересчета решения старой сети в решение новой сети установим связь между их матрицами решения, У1с и У2с, и матрицей изменений ЛС. Рассмотрим получение матриц решения, которые обозначим как У2+, для базиса замкнутых путей при соединениях узлов, и матриц решения 22-с для базиса разомкнутых путей, при разъединениях узлов. Далее получим с использованием инварианта двойственности матрицы решения для обратных задач: при введении разъединения узлов получим матрицу решения Р-с, и при введении соединений узлов - матрицу решения Z2+c.

Расчет контурной сети при наложении связей. Матрицы решения старой и новой сети для контуров имеют одинаковый вид, соответственно:

Г = С

где через обозначена матрица решения сети при уменьшении числа узлов. Подставим выражение для матрицы тС2 через матрицу тС1 и матрицу ЛС. Произведя преобразования, получим матрицу решения новой сети (для базиса контуров при уменьшении числа узлов), т.е. Р+с, выраженную через матрицу старой сети У1с и матрицу изменений ЛС:

У2+ = У1 + ЛУ = У1 +

с с с с

+

где второе слагаемое, обозначенное как ЛУс, есть матрица изменения решения сети.

Матрицы решения связывают воздействия и отклики в сетях. Например, если заданы ковариантные величины а, то токи (контравариантные величины mdc2а) в новой сети:

md1а = У2+ =

с2 с с с с1 с1

Компоненты вектора Л^с1а обусловлены введением связей, заданных матрицей ЛС. Они изменяют компоненты вектора в старой сети mdc1а в компоненты новой сети mdc2а.

Расчеты сетей при разрывании связей. Матрицу решения для замкнутых путей при разрывании связей позволяет получить инвариант двойственности:

У2- = У1 - У1 ДА,

с с с / ^ с V с с с ^ /

Всего получено 8 формул расчета изменения структуры в двойственных сетях — 4 для заданной сети и 4 — для двойственной сети: по две формулы при наложении связей и две — при разрывании связей. Из каждых двух — одна для замкнутых путей, другая — для разомкнутых путей. Эти формулы являются основой расчета систем с переменной структурой. Алгоритмы расчета двойственных сетей с переменной структурой позволяют использовать результаты расчета одной конструкции установки для расчета поведения конструкций с изменившимися структурами соединения, состава подсистем.

Проблема создания сетевых моделей состоит в поиске аналогий между величинами сети и предметной области, а также структуры, которая адекватно представляет связи между элементами, составляющими исследуемую систему. Строгих методов создания сетевой модели нет, в каждом случае это скорее искусство, чем наука. Основы тензорного анализа сетей и диа-коптики — исследования сложных систем по частям, разработал Г. Крон [5, 6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петров А. Е. Тензорная методология в теории систем. — М.: Радио и связь, 1985. — 152 с.

2. Петров А. Е. Тензорный метод двойственных сетей. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. - М.: МИФИ, 1998. - 32 с.

3. Петров А. Е. Тензорный метод двойственных сетей. — М.: ООО ЦИТиП, 2007. — 496 с.

4. Петров А. Е. Тензорный метод двойственных сетей. — М.: ООО ЦИТиП, 2007. — 602 с. Дополненное интернет издание на портале Университета «Дубна». Режим доступа: http://www.uni-dubna.ru///images/ data/gallery/70_971_tenzomy_method25_02.pdf , свободный, 2009.

5. Крон Г. Исследование сложных систем по частям — диакоптика. — М.: Наука, 1972. — 544 с.

6. Крон Г. Тензорный анализ сетей. — М.: Сов.радио, 1978. — 720 с.

7. Петров А. Е. Тензорный метод двойственных сетей. Сб. трудов научно-технической конференции с международным участием. ТИПД — 2004». — Ижевск, 2005. — C. 109—128.

8. Федоров А.В., Петров А.Е., Алешков А.М. Сетевая модель процесса полимеризации // Технологии техносферной безопасности. — 2010. — № 4. ЕШ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ

Петров Андрей Евгеньевич — доктор технических наук, профессор, ИТАСУ НИТУ «МИСиС», e-mail: helen_pet@mail.ru.

Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2016. No. 6, pp. 75-88. A.E. Petrov

DUALITY OF NETWORKS FOR COMPUTER-AIDED DESIGN SYSTEMS WITH VARIABLE STRUCTURE

Tensor method dual networks enable you to create network models of processes and structures of the system. Network models provide the calculation process when the structure is changes. For example, calculating changes in disabling or destroying elements of the technical system. It is necessary to predict safety, in particular, of refining facilities. The essence of network models is that the flows quantities in the system are the components in the space structure open and closed paths basis. When the structure changing the new values flow quantities calculates like coordinate transformation, caused by change of paths. Such tensor transformation provides discovered by author dual networks structure change invariant. The physical meaning of this invariant is a constancy of power in two dual networks when the structure is changes. This is a manifestation of the law of conservation of energy flow.

Key words: dual networks, processes, structure, tensor method, network models, oil refining.

AUTHOR

Petrov A.E., Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: helen_pet@mail.ru, Institute of Information Technologies and Automated Control Systems, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.

REFERENCES

1. Petrov A. E. Tenzornaya metodologiya v teorii sistem (Tensor methodology in the theory of systems), Moscow, Radio i svyaz', 1985, 152 p.

2. Petrov A. E. Tenzornyy metod dvoystvennykh setey (Tensor method of dual networks), Doctor's thesis, Moscow, MIFI, 1998, 32 p.

3. Petrov A. E. Tenzornyy metod dvoystvennykh setey (Tensor method of dual networks), Moscow, OOO TslTiP, 2007, 496 p.

4. Petrov A. E. Tenzornyy metod dvoystvennykh setey (Tensor method of dual networks), Moscow, OOO TslTiP, 2007, 602 p. Dopolnennoe internet izdanie na portale Universiteta «Dubna», available at: http://www.uni-dubna.ru///images/data/gallery/70_971_tenzo-rny_method25_02.pdf , 2009.

5. Kron G. Issledovanie slozhnykh sistem po chastyam diakoptika (Analysis of compound systems by parts—diakoptics), Moscow, Nauka, 1972, 544 p.

6. Kron G. Tenzornyy analiz setey (Tensor analysis of networks), Moscow, Sov.radio, 1978,720 p.

7. Petrov A. E. Tenzornyy metod dvoystvennykh setey. Sbornik trudov nauchno-tekhnich-eskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem. TIPD 2004 (Proceedings of International Scientific—Technical Conference with International Participation. TIPD 2004), Izhevsk, 2005, pp. 109-128.

8. Fedorov A. V., Petrov A. E., Aleshkov A. M. Tekhnologii tekhnosfernoy bezopasnosti. 2010, no 4.

UDC 338.26.015: 658.5