Об n-мерно упорядоченных группах

А.И. Забарина, Г.Г. Пестов ОБ я-МЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУППАХ

В статье введены понятия я-упорядоченной и я-циклически упорядоченной группы, обобщающие на я-мерный случай классические определения линейно и циклически упорядоченных групп. Рассмотрены примеры я-упорядоченной и я-циклически упорядоченных групп, изучены некоторые их свойства. Каждая локально-конечная я-упорядоченная группа с нетривиальным порядком является я-циклически упорядоченной. Группа всех корней из единицы является максимальной локально конечной двумерно упорядочиваемой группой с невырожденным порядком.

Различные обобщения понятия порядка в алгебраических системах для и-мерного случая рассматривались в ряде работ, в том числе в [1, 2]. В настоящей заметке вводятся определения, рассматриваются примеры и свойства и-упо-рядоченных и и-циклически упорядоченных групп. Определения 1-упорядоченной и 2-циклически упорядоченной группы эквивалентны обычным определениям линейно упорядоченной и циклически упорядоченной группы соответственно [3, 4].

1. я-МЕРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ И я-МЕРНО ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

Всюду в этой статье через Хк обозначается множество, состоящее из к элементов.

Определение 1.1. и-упорядоченное множество {X, 0 [5] называется и-циклически упорядоченным,

если из того, что С, не обращается тождественно в нуль на Хи+ 2 с X, следует, что каждый элемент из Хи+2 является внешним в (X и+ 2, 0 .

Определение 1.2. Система < О, •, % > называется и-

упорядоченной (и-циклически упорядоченной) группой, если < О, | > есть и-упорядоченное (и-циклически упорядоченное) множество, < О, • > есть группа, и функция порядка % согласована с алгебраической структурой группы О , то есть для каждого множества

Хи+1с О,Хи+1І= и +1 вЫПолнен°: %(Хи+1) = %(аХи+1Ь).

Рассмотрим примеры и-упорядоченных и и-цикли-чески упорядоченных групп,

1) Пусть С есть мультипликативная группа всех комплексных чисел. Зададим на С ориентацию: если

гк є С, гк = а1к + іа2к, где 0 < к < 2, то положим

ь1к = а1к - а0к ,

где 1 < к,I < 2, ^(^,г2,23) = sgndet(blk).

Поскольку для каждого а є С при отображении г ^ аг ориентация плоскости остаётся неизменной, то порядок С, согласован с операцией умножения в С. Итак, < С, С, > есть двумерно упорядоченная мультипликативная группа.

2) Пусть < О, ю(х,у, г) > - циклически упорядоченная группа [3], где ю( х, у, г) есть функция порядка [6]. Тогда группа < О,ю(х,у, г) > двумерно циклически упорядочена.

3) Пусть <ЭТи, + > - аддитивная группа с покоординатной операцией суммирования. Если п(х, у, г) -

ориентация в ЭТя, заданная аналогично тому, как это сделано в примере 1) , то <ЭТя, п> есть я-мерно упорядоченная группа.

2. ОБ ОТДЕЛИМЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

Пусть < С, ^ > есть я-упорядоченное множество, а е О, У с О. Элемент а называется точкой, отделимой от множества У, если существует грань Хя с О, такая, что для каждого у е У выполнено

<^(Хя, у) < 0 и С(Хя, а) = 1, или для каждого у е У выполнено С(Хя,у) > 0 и й,(Хя, а) = -1. Если У = О \ {а}, то будем говорить, что точка а отделима в < С, С> [7].

Лемма 2.1. Пусть < С, ^> есть я-упорядоченное множество, а е Хя+2 с О. Если а не является внешней точкой в <, Хя+2, ^ >, то а не является и отдели-

М°Й В < Хя+2 , С> .

Доказательство. Если ^ = 0 на Хя+2, то утверждение очевидно. Пусть теперь множество Хя+2 является невырожденным в < С, ^ >. Тогда в <, Хя+2, ^ > существует, по крайней мере, две внешних грани О1, О2. Пусть а не является внешней точкой в <,Хя+ 2,^>. Отсюда | О1 пО2 |= я -1. Не нарушая общности, можно считать, что

О1 = (gl,, Яя-и Ь) О2 = (gl,•••, Яя-Ъ с). По определению внешней грани имеем

С

Заметим, что из равенства С(О1, а) =^(О2, а) следовало бы, что а является внешней точкой в <,Хя+2,^>. Таким образом, С(О1,а) *С(О2,а). Положим для определённости

С

Предположим, что точка а отделима в < Хя+2, С> , то есть существует грань Р, такая, что С,(Р, а) = 1,С,(Р, х) < 0 для каждого х е Хя+2 \ {а} . Из (2) следует, что Р * О1, Р * О2. Возможны 2 случая: а) Р получается из О1 заменой некоторого элемента элементом с, Ь) Р получается из О2 заменой некоторого элемента элементом Ь. Рассмотрим эти случаи.

а) Имеем

С(Р, а) = £((* )О1, а).

Отсюда

С(е )О1, с) = -1.

Согласно (3), <^((Я' )О1, я,) = -1, то есть а - внешняя точка в <, Хя+2, ^ > , что противоречит условию.

Ь) По определению отделимой точки,

С(Р,Я') =С((ь^ )О2,я,) < 0,

следовательно, С(О2,Ь) > 0. Однако из (2) и (3) вытекает, что С(О2, Ь) =-1. Получили противоречие. Итак, элемент а не является отделимой точкой в <, Хя+2, ^ > , что и требовалось.

Лемма 2.2. Пусть < С, ^ > есть я-упорядоченное множество, Хя+2 - его невырожденное подмножество, а е Хя+ 2. Если а не является отделимой точкой в <, Хя+2, ^ >, то а не является отделимой и в < С, ^ >.

Доказательство. Пусть а является отделимой точкой в < С, ^ >. Покажем, что а отделима в каждом

невырожденном подмножестве Хя+2 с О, таком, что а е Хя+2. Согласно условию, существует грань Р с О , для которой ^(Р, а) = 1, С(Р, У) < 0 для всех у е О \ {а} . В силу невырожденности Хя+2 существует множество Уя с Хя+2, для которого С(Уя, а) * 0. Так как Р отделяет точку а от множества Хя+2\ {а} ,то существует грань Р 'с Хя+2, которая

отделяет а в <,Хя+2, ^ > (3). Лемма доказана.

Следствие 2.3. Пусть < О, ^ > есть я-упорядоченное множество, Хя+ 2 - его невырожденное подмножество, а е Хя+ 2. Если а является отделимой точкой в < О, ^ > , то а является внешней точкой в Хя+2.

Предложение 2.4. В каждом конечном невырожденном я-упорядоченном множестве < С, ^ > существует хотя бы одна отделимая точка.

Доказательство будем вести индукцией по размерности я. При я=1 справедливость утверждения вытекает из существования во всяком конечном линейно упорядоченном множестве наибольшего и наименьшего элементов. Пусть для (я - 1)-упорядочен-ных множеств предложение доказано. Покажем, что оно верно и для я-упорядоченных конечных множеств. Пусть < £, ^ > есть конечное невырожденное я-упорядоченное множество, тогда в < £, ^> существует нестрого внешняя грань О, то есть такая грань, что для всех х е £ имеем ^(О, х) > 0. Обозначим через Н гиперплоскость, порождаемую гранью О,

Н = {х е £ | ^(О, х) = 0} .

Так как О - грань в < £, ^ >, то для каждого А с Н,| А |= я +1, имеем С,(А) = 0 . Применяя теорему о проекции я-упорядоченного множества [5], получим: функция ^ а, определяемая равенством

С, а (х1, — , хя) = ^( х1, — , хя, а), является функцией

(я - 1)-мерного нетривиального порядка в Н. По предположению индукции, в < Н, ^ а > существует отделимая точка Ь. Пусть грань К в < Н, ^а > отделяет точку Ь, то есть ^а (К, Ь) = 1, ^а (К, х) < 0 для каждого х е Н \ {Ь}.

Во множестве £ \ Н введём отношение х х у » ^(К, х, у) < 0 . Нетрудно показать, используя

аксиомы я-порядка [5], что заданное отношение является предпорядком на множестве £ \ Н. Поэтому найдётся такой элемент с е £ \ Н , что для всякого х е £ \ Н имеем х х с, то есть

С

Пусть теперь хеН . Так как ^(О,а) = С(О,с), то Са = С с [5]. Следовательно,

С(К, х, с) = Сс (К, х) = Са (К, х).

Отсюда

С( К, Ь, с) = 1,

^

Из (4) и (5) получаем ^(К,с,Ь) = -1,^(К,с,х) > 0 для каждого х е £ \ {Ь}. Таким образом, элемент Ь является отделимой точкой в (£, . Предложение дока-

зано.

Следствие 2.5. В конечной я-упорядоченной группе с нетривиальным порядком все элементы являются отделимыми.

Справедливость утверждения вытекает непосредственно из леммы 2.2 и согласованности функции порядка с алгебраической операцией группы.

Теорема 2.6. Каждая конечная я-упорядоченная группа с невырожденным порядком является я-цикли-чески упорядоченной.

Доказательство. Пусть (О, - конечная я-упо-

рядоченная группа с невырожденным порядком. Покажем, что она является я-циклически упорядоченной. Согласно следствию 2.5, все элементы группы О являются отделимыми в О. По следствию 2.3, каждый элемент О является внешней точкой во всяком невырожденном подмножестве Хя+ 2 с О. Теперь, по определениям 1.1 и 1.2, группа {О, ^} является я-ци-

клически упорядоченной.

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 2.7. Каждая двумерно упорядочиваемая группа О с невырожденным порядком тогда и только тогда вкладывается с сохранением порядка в группу С всех корней из единицы, когда она локально-конечна.

Следствие 2.8. Группа С всех корней из единицы есть максимальная локально-конечная двумерно упорядочиваемая группа с невырожденным порядком.

Следствие 2.9. Каждая локально-конечная двумерно упорядочиваемая группа с невырожденным порядком является локально-циклической.

1. SpernerE. Die Ordnungfunktionen einer Geometrie // Arch. Math. 1948. В.1. S. 9-12; 1949. В.121. S. 107-130.

2. NovoaL.G. On n-ordered sets and order completeness // Pacific J. Math. 1965. V.15. No. 4. P. 1337-1345.

3. FuchL. Partially Ordered Algebraic Systems: Pergamon Press, 1963.

4. КокоринА.И., КопытовВ.М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984.

5. Пестов Г.Г. n-упорядоченные множества // Труды Иркут. гос. ун-та. 1970. Т. 74. Вып. 6.

6. Забарина А.И., Пестов Г.Г. К теореме Сверчковского // Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25. № 4. С. 46-53.

7. Терре А.И. Элементы геометрии n-мерного порядка. - Томск, 1982, № 5941-82 Деп.

Статья представлена кафедрой математического анализа, поступила в научную редакцию «Математика» 16 октября 2003 г.