Исследование стационарного течения реологически сложной жидкости в бесконечной круглой трубе

УДК 532.135

В. В. Плотников, C. А. Лившиц, А. А. Хисматуллин, Ю. С. Сидорова

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИ СЛОЖНОЙ ЖИДКОСТИ

В БЕСКОНЕЧНОЙ КРУГЛОЙ ТРУБЕ

Ключевые слова: стационарного течения реологически сложной жидкости, ламинарный режим, граничные первого и

третьего родов.

В работе проведено исследование стационарного течения реологически сложной жидкости в бесконечной круглой трубе. Получены характеристические уравнения для ламинарного течения ньютоновской, делатантной и псевдопластичной жидкостей в бесконечной круглой трубе. В качестве граничных условий приняты условия прилипания жидкости на стенке трубы, а в качестве тепловых граничных условий рассматривались граничные условия первого и третьего родов.

Keywords: Steady flow of rheologically complex fluids, laminar, the boundary of the first and third types.

In this article, the research of steady flow of rheologically complex fluids in an infinite circular pipe was carried out. The characteristic equations for laminar flow of Newtonian, pseudoplastic and delatantnoy fluids in an infinite circular pipe are obtained. As the boundary conditions we adopted the conditions of the fluid slip on the channel wall, and as the thermal boundary conditions we considered the first and third types boundary conditions.

Введение

При течении вязких жидкостей возможны режимы, при которых тепло не успевает отводиться через стенку канала . При этом в потоке возникает высокая плотность энергии, приводящая к резкому нарастанию температуры жидкости, т.е. к явлению называемому тепловым взрывом. Данное явление может происходить как в случае течения химически активной жидкости, так и при течении химически инертных жидкостей. Картина теплового взрыва при этом остается неизменной.

Очевидно, и это подтверждено численными исследованиями [1,2], тепловой взрыв возникает на длинах каналов, превышающих гидродинамический и тепловой начальный участки. Так как при их прохождении вся тепловая энергия тратится на формирование скоростного и температурного полей. И лишь после прохождения потоком вязкой жидкости начального участка становится возможной ситуация возникновения теплового взрыва.

В еще в 1965 году в работе [3] были получены базовые уравнения, позволяющие говорить о возникновении явления теплового взрыва при течении вязких жидкостей. Обзор работ, посвященных явлению теплового взрыва представлен в [4,5]. Особого внимания заслуживает работа [6,7,8] в которой предлагается методика исследования уравнения теплопроводности с использованием аппарата разложения искомых функций в ряды. Однако, анализ известных работ показал, что на сегодняшний день в полной мере не решена задача исследования течения обобщенно-вязкой жидкости по трубам и каналам.

Теоретическое исследование

Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президиума РАН П-09 "Исследование вещества в экстремальных условиях"

В представленной работе рассмотрено ламинарное течение обобщенно-вязкой жидкости в бесконечной круглой трубе при следующих допущениях:

1. Теплофизические характеристики вязкой жидкости постоянны.

2. Массовые силы пренебрежимо малы.

3. Течение жидкости предполагается ламинарное и оссимметричное.

4. Перенос тепла вдоль направления движения значительно меньше вынужденного.

При исследовании течения вязкой жидкости в круглой трубе целесообразно все уравнения и формулы и расчеты проводить в цилиндрических координатах

r 4

= V x2 + y2

y

tg9 = -

x

z = z

Для исследования течения обобщенно-вязкой жидкости мы использовали систему уравнений движения и сохранения энергии записанную в цилиндрических координатах:

dx х dP

--+ — = — = const,

dr r dz

r e

(0,ri К

X

( d2T

ldT ) T

+ --T + ^2 +

r e

vdrz r dr j

+ Qo • ko • Exp(- ert)= 0,

Для исследуемой задачи на границе взяты условия прилипания. В качестве тепловых граничных условий были рассмотрены тепловые граничные условиях первого и третьего рода. Тепловые граничные условия первого рода:

r = ri v = 0, T = Ti = const,

Тепловые граничные условия третьего рода:

r = ri v = 0, X.|d-| = -ai(T - Ti),

здесь г , 7 -текущие координаты; г -радиус трубы; V -скорость; Т -температура жидкости; т -напряжение сдвига; X, ц-коэффициенты теплопроводности и динамической вязкости; 12 -второй инвариант тензора скоростей деформации; Qo -тепловой эффект; ко -константа скорости; Е -

энергия активации химической реакции; Я - газовая постоянная.

Следует отметить, что в силу того, что нами рассматривается течение со сформировавшимся профилем вектора скорости в бесконечной круглой трубе, т.е. в условиях абсолютной симметрии то в центре трубы имеется экстремум по температуре:

1гр

г = о т = 0, — = 0,

аг

В качестве реологической модели воспользуемся уравнением Кутателадзе-Хабахпашевой для структурно вязкой жидкости.

Ф* = Ехр

Фда -ф А т-т* где ф* = —^——, т* = 9 -1-.

Ф» -Ф0 Таким образом

Ф = Ф» -(» -Ф0)• ЕхР

Ф» -Ф0

(

-0-

Л

Фда - Ф0 у

Температурные зависимости параметров реологической модели представим в аррениусовком виде:

Ф0 = Ао • exp(|- B/R'

Ф» = А• Ехр(- B»R,

0 = 00 • Ехр(- B0RT

х0=а0 • exp((-b0RT

здесь 9 - мера структурной стабильности жидкости, а В - энергия активации вязкого течения. Таким образом:

Ф = ЕхР(- %Т

А» - (А» - А0 )• Ехр

(

-00

Л"

В силу того, что коэффициент динамической вязкости обратно пропорционален текучести, то мы имеем:

1

Ц

= EXP((RT )-

А»-(А»- А0)• Ехр| - 00 •

А»- А0

Отметим, что реологическая модель Кута-теладзе-Хабахпашевой для структурно-вязкой жидкости предполагает возможность рассмотрения различных типов жидкости:

ньютоновской жидкости

ЭЦ

Э2

= 0

псевдопластичной жидкости

Эц

Э2

делатантной жидкости

Эц

Э2

> 0

Уравнение движения (1) в нашем случае, представляет из себя, обыкновенное, линейное дифференциальное уравнение первого порядка и его решение представимо в виде:

х = e

fdr ( г dr

-Jt~ г dP ¡—,

--e r dr + ci

J dz 1

A

£dP + q_ 2 dz r

V у

Учитывая допущение о том, что профиль вектора скорости мгновенно подстраивается под изменение температуры и условие симметрии движущегося по трубе потока (5), получаем с1 = 0.

г ар

Таким образом: т =

2 dz

Так как напряжение сдвига выражается формулой т = ц аУ, то имеем:

аг

ау г ар

ц-=----

аг 2 а7

Учитывая тот факт, что второй инвариант тензора скоростей деформации 12 в цилиндрических координатах выражается соотношением

мы можем записать:

12 =

dV dr

ц-2=(£)2т1 -

Таким образом, из рассмотрения системы

уравнений движения и сохранения энергии

мы получаем следующее соотношение:

( 2 ) Л а2т 1 ат х ——

^ аг2 г аг у

+(ар ^2r2i+ dz J 4 ц

+

Q0 • k0 • Ехр

Его в дальнейшем мы и будем исследовать.

Для решения данного уравнения необходимо представить его в безразмерном виде, для этого введем некоторые новые обозначения:

х = —— безразмерная функция координаты; г1

0=-

Е

2

(Т - T0) - безразмерная функция

температуры.

С учетом этих переобозначений отметим:

а2т 1ат 1 а

ат

1 1 а

аг2 г аг г аг аг] х^ ^ ах ( х*1 аг

ат

1 а

2 ах

(

хг1

1 ат

хг1"Г г1 ах

л

1

хг1

а ( ат

~---1 х--

2 ах I ах

Я'то

2 ( 2

а^е 1 ае +—

л

ах

Е '11

4 ц ( аг

2 х ах

'ар ]2 г2 1 _(ар 12 х2г^2 аг

А да (А да - Ао )ЕхР

-ео

А да - Ао

ЕхР

ч2 2 2

_(а_] ' ^Г1-[ада -(Ада -А0у I аг ) 4

Ехр

т- ао' Ехр

- ьо

е' я' то Е

2

•ар 12 х2'г!2

аг (

Ада- Ао

'[А да-(А да- Ао У

' Ехр

т- ао ' Ехр

- Ьо

е-Я' то Е

2

Ада- Ао

х Ехр

е' я2' то2

Е

+ я' то

'ар 12' х2' г12 аг ] ' 4

' Ехр

Ехр(-ВЯ ' То ]'[Ада-(Ада- Ао У

' Ехр

Так как:

т - ао'Ехр

- ьо

е' Я' то2

Е

Ада- Ао

В

е' в

В

е'я2 'то2 е'я'то + е я'то

-+ я ' то

е о

Оо ' ко

(

' Ехр

1_ Оо' ко

е' я2 ' то2

Е

+ ято

//

_ °о' ко' Ехр[Е '^

Так как:

я '

Е

е' е

Е

е'я2 'то2 е'я'то + е я'то

-+ я ' то

е о

С учетом проделанных преобразований исследуемое выражение принимает вид:

Я' то

2 ( , 2

Е' г12

ахе 1 ае +—'

Л

ах

2 х ах

2

22

х ' г1 ' Ехр(е

' Ехр

А да - (Ада - Ао уЕхр

т - аоЕхр

- ьо

еято2 Е~

Ада- Ао

Ехр

' ехр(- ЕЯ ' то )_ о

Я т 2

Разделив соотношение (14) на X-имеем:

Е' г!2

а2е 1 ае (ар 12 х2' И' е ' Ао

-+---+ 1 -

ах2 х ах (аг) 4'X'я'то2

' Ехр

А -| А -1 ]' Ехр Ао (Ао 1 Р

-Во

2

' ЕхрГ- В/ 1 + ' ко ' г1 'Е ' Ехр(Е в/, Ехр( /ятоХ'Я'то2 Ехр( 7(В-Я'то +

' Ехр(- ЕЯ' то ]_ о

ар хц

1сг~Т

-аоЕхр

-Ьо

вято2

Ада- Ао

Для сокращения записи введем некоторые новые обозначения:

+

4

X

4

х

Е

х

1оо

Р=

Я' Т0 .

Е ;

а = -

в

Е

с0 =

с2 =

Х =

А п

А0 2а0 ар

а/

с1 =

~ ар

00 г1 а/

2

Р1 = ь0' т0;

' г1

ЭР )2 г14 ' А0 ' Е

.2

4'X'Я'Т0 ЕХР1 В^т0

8 = г1 ' ^ 'к0 'Е Ехр|- Е

X'я'Т0 Ч /ЯТ0,

После введения этих обозначений соотношение (15) принимает вид:

а29

1 а9 2

+---+ Х'х

2 х ах

ах

' [с0 - (с0 -1)' ЕхР(- с1'(х - с2 ' ЕхР(- Р1' Р'0)))]>>

X ExpVа '^

В данной работе мы ограничимся рассмотрением структурно-вязкой жидкости без предела текучести, т.е. с вырожденной областью ядра а0 = 0 ^ с2 = 0.

С учетом этого ограничения соотношение (16) примет вид:

а20 1 а9 2

—2 + -а- + Хх

ах2 х ах

с0 -(с0- 1)е с1х

Ча01+Рв))+8ЕЧ01+Р9)^=0 W = Ехр

Обозначив W = Ехр| 0

1 + Р'9)

получим выражение удобное

с0 -(с0 - 1)е"

с1х

W + 8W = 0

для исследований.

а20 1 а9 2

—т +--+ хх

ах2 х ах

Отметим, что если с1 всегда больше нуля то в случае с0 < 1 рассматривается делатантная жидкость, С0 = 1 рассматривается ньютоновская жидкость и в случае с0 > 1 рассматривается псевдопластичная жидкость.

Решать неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (18) будем, используя разложение функции 0 , а также функций W и W в ряды Тейлора в окрестности точки ноль.

Отметим: а '0'

W' = W'

(9'Р +1)2

^ = W'

^ = W'

а2 '(0')2 2'а'Р'(0')2 а'0"

(0'Р +1)4 (0'Р +1)3 (0'Р +1)2

а3 (0')3 6а 2Р(0')3 3а 20'0''+ 6аР2 (0')3

(0Р +1)6 (0Р +1)5 6аР0'0'' а0'''

(9Р +1)4

(0Р +1)3 (0Р +1)2

Д4) =

= W'

а4 '(0')4 - 12а3 'Р'(0')4 (0 ' Р +1)8 (0 ' Р +1)7

6а3 '(0')2 '0'' + 36а2 'Р2 '(0')4 (0'Р +1)6

18а2Р(0')2 0" + 24аР3 (0')4 +

(0Р +1)5

4а 20'"0' + 3а(0")2 + 18аР20''(0')2

(0Р +1)4

8аР0"'0' + 6аР(0'')2 а0

W' = W' ' = '

''' = '

(0Р +1)3 0'

(0Р +1)2

0''

(0'Р +1)2

(0')2 - 2'Р'(0')2 + (0'Р +1)4 (0'Р +1)3 (0'Р +1)2

(0')3 - 6Р(0')3 30'0''+ 6Р2 (0')3

(0Р +1)6 (0Р +1)5 (0Р +1)4

0'''

W

(4) =

W

6Р0'0'' _

(0Р +1)3 (0Р +1)2

0')4 12Р(0')4 6(0')2 0»

>71)

(0')4 - 12Р(0')4 + 6(0')2 0'' + 36Р2 (0')4 " 1 +1)7 (0Р +1)6

18Р(0')2 0''+ 24Р3 (0')4 (0Р +1)5 '

4а20"'0' + 3а(0'')2 + 18аР20"(0')2

(0Р +1)4

8Р0"'0' + 6Р(0'')2 0(4) 3 +

Обозначив:

^ = W0; 1х=0 0

(0Р +1)2

0 х=0=00; 01 х=0 =0'0

Ч=0=Wo;

х=0 =

W] 0 = W0 ... и учитывая тот факт, что в силу

абсолютной симметрии круглой трубы функция 0 является четной мы получим:

Wo = 0

+

X

X

+

'о _ '

а 'Во

'о _ о 'о(4) _

'о _ о

'о _

(Во 'Р +1)2

3а(е;о)2 - 6ар(е^)2 аВо(4) (ВоР +1)4 (ВоР +1)3+ (ВоР +1)2

е<о

'о _ о

\Уо(4) _

(Во 'Р +1)2

з(е;о)2 бр(ео)2

Во

(ВоР +1)4 (ВоР +1)3 (ВоР +1)2 Таким образом, мы получили разложение функций В, ' и ' в ряды Тейлора в окрестности точки ноль.

е_ео +90 х2 х4 + ео!6) Х6

о 2 24 72о

'о 2 'о(4) 4

' _+ —°х2 +—о-х4

о 2 24

~ ~ 'о 2 '0(4) 4

' _+—0х2 + —о-х4

о 2 24

Подставив полученные разложения в выражение (18) и аппроксимируя функцию Ехр(- С1' х) полиномом второй степени

Ехр(- С1' х) _ 1 - (1 - Ехр(- С1)) ' х2 Тогда:

2'Во+ |'Во

• X

'о

1 + -

а' В (о

2(ВоР + 1)2 ( а(е^2

' х2 +

ф

2

аВо

1)4 4(ВоР +1)3 24(ВоР +1)2

1 +-

-х2 +

2(ВоР +1)2

( (ео)2 Р(е'о)2

,

+1)4 4(ВоР +1)3 24(ВоР +1)2

_ о

Рассмотрим коэффициенты при х° , х2, х4

0.

2'В5+8'_ 0

1 '^

3

Во™ + Х' 'о + Во

4

+ 8' 'о ' -

2(ВоР +1)2

_ 0

-1 'В»

20

Во^ + Х' 'о

",\2

(С0 -1)'

'(1 - Ехр(- С1 ^ +

а'90 +-

2(ВоР +1)2

+ 8'

24(ВоР +1)2 Из соотношений (20)-(22) получим

8(ВоР +1)4 Р'(Во)2 4(ВоР +1)3

Во

_ 0

е& _ -

8'

(4)_-2 х ' + 3 82 ' '02

Во™ _

X ' 'о +--------„

2 8 (ВоР +1)2

Во

(6)_-

20' ' 'о

(С0 -1)'

'(1 - Ехр(- С1))-

а' 8 ' 'о . 4(ВоР +1)2

+ 8' 'о

3 '82 ' '02 _ 64(ВоР +1)4 Р' 82 ' '02 16(ВоР +1)3

X' 'о 16(ВоР +1)2

Подставив коэффициенты Во, Во(4) и 0о(6) в разложение функции В в ряд Тейлора получим:

9_9о -^М + ± 0 4 16

-Х' '0 +

1 82 ' \~02 4'

+1)2.

х4 -

-Iх'

(со - 1)'(1-Ехр(-С1))-

а ' 8' 'о

4(9оР +1)2

+ 8' 'о '

3'82 ' \~02

Р'82'\~02

X' '0

.' х6

64(е0Р+1)4 16(е0Р+1)3 16(е0Р+1)2

В случае если на границе заданны тепловые граничные условия первого рода (3), то после перехода к безразмерным функциям координаты и температуры граничные условия примут вид:

х _ 1 ^

ято

4

х

2

+

4

+

2

х

В этом случае, подставляя граничные условия (24) в соотношение (23) и переобозначая 00

за И, получаем характеристическое уравнение:

01 = Ь--

(1+ РЬ).

16

хЕхр[а)

2Ь

(1+ РЮ.

4

36

хЕхр[а>

(с0 -1) - Ехр(- с1 ))--

а8Ехр( % + р ь) 4(РЬ +1)2

з83Ехр|^3Ь

64(1 + РЬ )4 Х8ЕхрГ(а + 1)Ь

16(1 + рь )3

(1+ РЬ).

16(1 + рь )2

В случае когда тепловой эффект химической реакции незначителен ^ и 0), при тепловых граничных условиях первого рода, уравнение энергии примет вид:

А. 16

01 = Ь - 16Ехр^аХ1 + РЬ ))-36 (0- 1)х

>

В случае же рассмотрения процессов с преобладающим химическим тепловыделением

(( << Е), при тепловых граничных условиях первого рода, уравнение энергии примет вид:

= Ь--:2Т

8Ехр [ У

16

36

8 2Ехр

4(Р Ь + 1)2

38 3ехр

- X

64 (1 + Р Ь )4

Р8 3еХР 13Х + Р Ь), 16 (1 + Р Ь )3

х8 Ехр

--Л--г

16 (1 + Р Ь )2 + Х(с0 - 1)(-Ехр (- с1 ^

В случае если на границе заданы тепловые граничные условия третьего рода (4), то после

перехода к безразмерным функциям координаты и температуры граничные условия примут вид:

х = 1 ^ — = -В1 '(0-01) (28) ах

где В1 = — 11 01 =

Е

2

х ЯТ0"

В этом случае, дифференцируя по X

мы получаем:

а0

8' W0 1 — =--— х + —

ах 2 4

-Х' ^э +

1 82'\¥02

4

(00Р +1)2

х3 -

- 6 ]Х' W0

(с0 -1)'( -Ехр(-^--(Ц) 4(00Р +1)2

+ 8' W0

3'82 ' \У02 Р'82 ' \У02

X' W0

- х5

64(00Р +1)4 16(00Р + 1)3 16(00Р + 1)2 Используя (23), (28) и (29) после переобозначения 00 за Ь ,мы получаем следующее характеристическое уравнение:

383Ехр( 3Ь

41+ РЬ).

3Ь

64(1 + рЬ )4

Х«Ехр[

16(1 + РЬ )3

16(1+ РЬ )2

В+1'+

+ 9'

хЕхр аЬ/

/

82еЧ 2Х1+РЬ),

4(РЬ+1)2

—+11 + В1 У

+36'8Ех

Х+РЬ).

В1 +1

В случае когда тепловой эффект химической реакции незначителен ( и 0), при тепловых граничных условиях третьего рода, уравнение энергии примет вид:

Ь _в1 = х

-'- Ех]

16' В1

В случае же рассмотрения процессов с преобладающим химическим тепловыделением (В << Е), при тепловых граничных условиях третьего рода, уравнение энергии примет вид: ,83Ехр( 3Ь/ ) Рг3Е

144( -01) = 4

383EXРV 3Х +РЬ )У 3Х +РЬ)

64(1 +РЬ )4

16

х8ЕхрТ(а+1)Ь

( +РЬ).

16

нх

)+1)

Ь

4

1

+

1

4

+

1

Выводы

Таким образом, вместо системы дифференциальных уравнений (1)-(2) получены характеристические уравнения для ламинарного течения реологически сложной жидкостей в круглой трубе, при тепловых граничных условий первого и третьего. Отдельно рассмотрены случаи течения с преобладающим химическим тепловыделением (27), (32) и случай когда тепловой эффект химической реакции незначителен (26), (31).

Литература

1. Бостанджияна С .А., Мержанова А.Г., Пручкина Н.М. // ПМТФ, 1968, №5

2. Мержанова А.Г., Посецельский А.П., Столин А.М., Штейнберг А.С. //ДАН СССР, 210, №1 1973

3. Бостанджияна С.А., Мержанова А.Г., Худяева С.И. «О гидродинамическом тепловом взрыве» // Физическая химия 1965 т. 163 №1 с133- 136.

4. Франк-Каменецкий Д.А. Теплопередача и диффузия в химической кинетике. Москва, изд-во Наука, 1987.

5. Мержанов А.Г., Барзыкин В.В., Абрамов В.Г. «Теория теплового взрыва: от Н.Н. Семенова до наших дней» // Химическая физика. 1996, т.15 №6, с. 3-43.

6. Назмеев Ю.Г., Малов К.М., Шарапов А.Р. «Бифуркационный анализ уравнения энергии движущихся вязких сред в бесконечной круглой трубе» // Вести академии наук БССР Минск, 1991. № 3 С. 115-122.

7. Снигерев Б.А. Течение упроговязкой жидкости со свободной поверхностью/ Б.А. Снигерев, Ф.Х. Тазюков // Вестник Казан. технолог. ун-та. - 2007. -№1. С.85-92.

8. Минибаева Л.Р. Численное моделирование гидродинамической структуры потока в аппарате с перемешивающими устройствами / Л.Р. Минибаева, А.Г. Мухаметзянова, А.В. Клинов // Вестник Казан. технолог. ун-та.-2008.- №6. - Ч.1. С. 191-198.

© В. В. Плотников - канд. техн. наук, доцент каф. АСС и ОИ, КНИТУ, сагреп1ег_%го%га@тай.ги; С. А. Лившиц - канд. техн. наук, доцент каф. ЭОП, КГЭУ, 8етеп19772004@таП.га; А. А. Хисматуллин - асп. каф. «Экономика и организация производства», КГЭУ; Ю. С. Сидорова - асп. каф. «Автоматизация технологических процессов и производств», КГЭУ, уиНуа-81(!_87@таП.га.

© V. V. Plotnikov - к.1:.п., аосеп!:, аер. А8Б&01, К№ЯГО, сагреп1ег_-№0-№а@таД.ги; S. А Livchiz - к.1:.п., (1осеп1;, аер. Е01, КБРЕи, 8етеп19772004@таИ.ги; Л. Л. Hismatullin - а88. аер. Е01, КБРЕИ; Yu. S. Sidorova - а88. аер. АтРР, КБРЕИ, уиНуа-81а_87@таИ.ги.