Рассеяние звука твердым цилиндром с неоднородным термоупругим покрытием

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 154-164 Механика

УДК 539.3:534.26

Рассеяние звука твердым цилиндром

гк

с неоднородным термоупругим покрытием *

Н. В. Ларин

Аннотация. Рассматривается дифракция плоской звуковой волны на твердом теплопроводящем цилиндре с радиально-неоднородным термоупругим покрытием. Система уравнений для малых возмущений термоупругого покрытия сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены выражения, описывающие волновые поля в цилиндре и в жидкости.

Ключевые слова: дифракция звука, плоская звуковая волна, цилиндр с покрытием, неоднородный термоупругий слой.

Рассеяние плоской звуковой волны абсолютно жестким цилиндром, покрытым непрерывно-неоднородным упругим слоем, исследовано ранее [1]. Решены задачи дифракции плоской и цилиндрической звуковых волн на однородном упругом сплошном цилиндре с непрерывно-слоистым упругим покрытием [2, 3]. Получено численное решение задачи о прохождении плоской звуковой волны через упругую оболочку достаточно общей формы с непрерывно-неоднородным покрытием [4]. Найдено решение задачи дифракции звука на однородном упругом сплошном цилиндре с дискретно-слоистым покрытием при нормальном падении звуковой волны [5]. На основе результатов, полученных ранее [2, 5], показана возможность замены покрытия, состоящего из системы однородных упругих слоев непрерывно-слоистым покрытием [6]. Решена задача о рассеянии плоской звуковой волны однородной упругой цилиндрической оболочкой, имеющей неконцентрическую эллиптическую полость с вакуумом и непрерывно-слоистое упругое покрытие [7]. Найдено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с непрерывно-слоистым покрытием и произвольно расположенной сферической полостью [8]. Получены решения задач дифракции плоской и сферической звуковых волн на однородном упругом сплошном шаре с непрерывно-слоистым покрытием [9, 10]. На основе метода конечных элементов решена задача о рассеянии плоской звуковой волны ограниченной криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и сферической поло-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

стью в однородной части [11]. С использованием результатов, полученных в [2], показана возможность моделирования непрерывно-слоистого покрытия упругого сплошного цилиндра дискретно-слоистым покрытием [12].

Вычислительные эксперименты, проведенные в работах выше, показывают, что звукоотражающие свойства тел разной формы можно изменять с помощью непрерывно-слоистых покрытий. На практике такие покрытия могут быть заменены дискретно-слоистыми аналогами.

Во всех указанных выше работах тепловые процессы в телах не учитывались. Однако, исследования, проведенные ранее [13-15] показывают, что при изучении звукоотражающих свойств непрерывно-слоистых тел разной формы бывает важно учитывать изменение температурного поля тел в процессе их деформации.

1. Постановка задачи. Рассмотрим неподвижный бесконечный термически изотропный и однородный абсолютно твердый цилиндр радиуса, покрытый изотропным неоднородным термоупругим слоем с внешним радиусом Т\. Источники тепла в цилиндрическом двуслойном теле отсутствуют. Цилиндрическая система координат т, ф, г выбрана таким образом, что координатная ось г является осью вращения цилиндра. Изотермические модули упругости, температурный коэффициент линейного расширения и коэффициент теплопроводности материала покрытия описываются дифференцируемыми функциями координаты т. Плотность материала покрытия и его объемная теплоемкость описываются непрерывными функциями координаты т. Полагаем, что окружающая цилиндрическое тело жидкость является сжимаемой невязкой теплопроводной и однородной с плотностью р\ и скоростью звука С\. Считаем, что в невозмущенном состоянии жидкость и цилиндрическое тело имеют одинаковую постоянную температуру То.

Пусть из жидкого пространства на цилиндр с покрытием наклонно падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен Фг = = Аг ехр[г(кцг — шЬ)], где Аг — амплитуда падающей волны, кц — волновой вектор, г — радиус-вектор, ш — круговая частота. Временной множитель ехр(—шЬ) в дальнейшем опускаем. Без ограничения общности полагаем, что вектор кц лежит в плоскости ф = 0,^.

В цилиндрической системе координат потенциал падающей волны представим в виде [17]

где kh = кц cos в0 и к^1 = кц sin Q0 — проекции волнового вектора кц на оси z и r соответственно, кц — волновое число звуковых волн в жидкости, в0 — угол между вектором k 11 и осью z, Пт = (2 — 50m)im, 50m — символ Кронекера, Jm(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка т.

Определим отраженную от цилиндрического тела звуковую волну.

те

т=0

2. Уравнения волновых полей. Распространение тепловых волн в абсолютно твердом термически изотропном и однородном цилиндре описывается уравнением Гельмгольца [18]

ДТ2 + k2T2 =0, к = , Г^ (1 + i),

V 2Х2

где T2 — изменение температуры цилиндра, %2 — коэффициент температуропроводности материала цилиндра.

Функция T2 (r, ф, z) в рассматриваемом случае - четная функция координаты ф. Учитывая условие ограниченности, функцию T2 (r, ф, z) будем искать в виде

те

T2

m=0

где Kz и кг — проекции волнового вектора к на оси z и r соответственно, (kz)2 + (кг)2 = к2. Согласно закону Снеллиуса [19] kz = kz[1.

Малые возмущения изотропного неоднородного термоупругого покрытия описываются общими уравнениями движения сплошной среды [20] в цилиндрической системе координат

до„ 1 даГф darz 1

~;--1 гг--1 ^--1

dr r дф dz r

>rr 1 u urw uurz 1 f \ 2

+---TT^ + --+ ~(&rr - = -pU Ur,

r дф dz r до™ 1 дом дофг 2

r^ | Мфф VUpz . * 2 /п\

+---+ + ~Огф = -ри и,ф,

дr r дф дz r

fjorz , 1 до^z , доzz , 1 2

+---ТТ— + --+ - Orz = -ри U

z

дг г дф дг г и уравнением притока тепла [21]

. д2Т /, Ат) дТ Ат д2Т х д2Т . . ^

Ат^г~9 + лт +--^г + "У ^ТГ + Хт^г~9 + «^ё1уи = —гшеьТ,

дг2 \ г ) дг г2 дф2 дг2

где атк — компоненты тензора напряжений в цилиндрических координатах, которые связаны с компонентами тензора деформаций ет^ и изменением температуры Т возмущенного слоя соотношениями Дюгамеля-Неймана [21]

атт = 2^етт + Аёгуи — /ЗТ, афф = 2^ефф + Аё1уи — /ЗТ, агг = + Аё1уи — /ЗТ,

= дит = 1 / дПф + \ = диг

дг г \ дф ) дг

'Тф

(диТ \

+

ди,ф дг

1 / duz диТ

2 V дг dz

£Vz = о

/ 3uv + 1 duz \ \ dz r дф J

divu = £rr + £vv + £zz.

Здесь ur, u^, uz — составляющие вектора смещения u по осям координат, р = р (r) — плотность материала слоя, Л = Л (r) и ц = ц (r) — изотермические модули упругости материала слоя, в = в (r) = 3атK, ат = ат (r) — температурный коэффициент линейного расширения материала слоя, K = = Л + (2/3) ц — изотермический модуль объемного расширения, Лт = Лт (r) и cv = cv (r) — коэффициент теплопроводности и объемная теплоемкость материала слоя соответственно, y = To в- Штрихом обозначена производная по r.

Так как неоднородность материала покрытия проявляется лишь в радиальном направлении, то зависимость составляющих вектора смещения и изменения температуры от координаты z, согласно закону Снеллиуса, имеет вид exp(ifcZiz). Поэтому функции Ur, U^, U z, T будем искать в виде

иТ (r, ф, z) = U1 (r, ф) exp (ik^z), иф (r, ф, z) = U2 (r, ф) exp (ikZiz), uz (r, ф, z) = U3 (r, ф) exp (ikz11z), T (r, ф, z) = U4 (r, ф) exp (ikzuz) •

При этом функции иг, пх, Т в рассматриваемом случае — четные функции координаты ф, функция же иф — нечетная функция ф. Функции иа (а = = 1, 2, 3, 4) могут быть представлены следующими рядами Фурье:

Ua (r, ф) = ^ Uam (r) cos тф, U2 (r, ф) = ^ U2m (r) sin тф, а = 1, 3, 4

m=0

m=0

Введем безразмерные величины

Ua

U * _ ^ am U * _ U4m

U am и , U 4m ~T0

(а = 1,2,3),

£

* r \ * Л * № * р * аТ ЛТ * cv

r = 77 > Л = V" > № = —, Р = —, ат = —, Лт = то, cv = -о . H Ло №о Ро ЛТ c0

Здесь H = (r1 — r2) — толщина покрытия, Л0, №о, Ро, Т, ЛТ, — характерные величины.

Подставляя выражения (5)—(7) в уравнения (3), (4) и используя условия ортогональности функций cos тф и sin тф, получим систему линейных

обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций U*m (а = 1, 2, 3, 4) для каждого значения m = 0,1, 2,...

AU" + BU' + CU = 0,

где * * * * T

U = (Uim, U2m, U3m, U4m) ,

A = diag {an,a22,a33,a44} , B = \\baß||, C = \\caß||, a,ß = 1,2,3,4, ац = lX* + 2л*, a22 = азз = л*, a44 = XT,

h *'л. a* + 2/* ^ h lX* + /

bii = l\ +2л +----, bi2 = -b2i = m

bi3 = b3i = si (l\* + /*), bi4 = -liß*,

л*

b22 = b33 = л* + — , b23 = b24 = b32 = Ьз4 = b42 = b43 = 0,

' X*

b4i = sß*, b44 = XT + rT ,

1 (X*' lX* + 2л* 2 л* V 2 *

cii = — [lX--i--m — + Siß + qop

r* \ r* r* j

(l.X*' - lX* +3"*) ,

V r* J

ci2 = m\ (lX*' - lX ) , ci3 = silX* , ci4 = -liß*

r * \ r *

1 ( *' lX* +3/*\ C2 i = -m — Л + -;- ,

r * у r * f

1 ( *' Л * 2 lX * + 2/ * ^ 2 *

c22 = r* [-л - r* - m —r*—) + siл + q°p,

lX * + л * liß *

C23 = C32 = -msi---, C24 = m-

C3i = si (л*' + ^^ ) , C33 = -m2 r**2 + s2 (lX* + 2л *) + qoP*

C34 = -siliß *

ß ß c41 = s —, c42 = ms —,

\*

п* 2 ЛТ 2 л * *

С43 = ss 1в , С44 = -m —¡2 + s Л + q ,

(iv + 2,

, 2 л Ло 0 .uH2а°т№

1 , l = —, 11 = aTTo, s = г--0T—.

3 / Ц.0 Лт

РоН 2Щ2 ЩН 2сУ в 1 = гк\! И, до =-, д 1 = г—-ц—.

Штрихом обозначена производная по г *.

Скорость частиц жидкости представим в виде

V 1 = grad(Ф 1 + Ф 1) .

Потенциалы скоростей звуковых Ф 1 и тепловых Ф 1 волн - решения следующих уравнений:

ДФ 1 + к 2 1Ф 1 =0, ДФ 1 + к 22ф 1 = 0,

где Ф1 = Фг + Ф8, Ф5 — потенциал скоростей отраженной звуковой волны, кц и к12 — волновые числа звуковых и тепловых волн соответственно. При этом _

4 = -М1 - (-1)УИ2 + , 1 = 1, 2,

2Ni

где

и2

Li = ~2 7i, Mi = (l - 71, N1 = cl \ ci J и

Yi — отношение удельных теплоемкостей жидкости при постоянных давлении и объеме, Xi — коэффициент температуропроводности жидкости.

Отраженные волны должны удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому функции Ф5 и Фi будем искать в виде

те

1Фs = exp {ikiiz)^2, AimHm (kTnr) cos Шф,

V

Ф1 = exp (ikz12z)^2 BimHm (k^—) COS Шф,

m=0

(l = 1 2) -----

где kh и kh (l = 1, 2) — проекции волнового вектора kii на оси z и r соот-

ветственно, (Щ) + (кГ)2 = к2г, Ит (х) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка т. Согласно закону Снеллиуса к( 1 = к|2.

Коэффициенты В2т разложения (2), функции иат (г) (а = 1, 2, 3, 4) разложений (7) и коэффициенты А1 т, В1 т разложений (9) подлежат определению из граничных условий.

Граничные условия на внешней поверхности покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости,

отсутствии на этой поверхности касательных напряжений, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, в непрерывности акустической температуры и теплового потока на поверхности покрытия:

г = т\: — гшпг = У\г, агх = 0, аГф = 0, &гг = —р1,

т т л дТ х т

1 = тl, л^— = Л1 — .

дг дг

Здесь

д

Vir = дг

Т = -L

ai

^ (Ф, + Ф,) + - A^i + Ф,) ci ш

где vir — нормальная компонента скорости частиц жидкости, pi — акустическое давление, Т, — акустическая температура, а, и Л, — коэффициенты температурного расширения и теплопроводности жидкости соответственно.

На внутренней поверхности покрытия механические граничные условия заключаются в равенстве нулю вектора смещения частиц термоупругой среды, а тепловые граничные условия - в непрерывности температуры и теплового потока:

дт дт2

r = Г2 : Ur = 0, uv = 0, uz = 0, Т = Т2, Лт = Л2 -Т-,

дг дг

где Л2 — коэффициент теплопроводности материала абсолютно твердого цилиндра.

Подставляя выражения (1), (2), (5)-(7), (9) в граничные условия (10), (11) и используя условия ортогональности функций cos тф и sin тф, для каждого индекса m = 0,1, 2,..., получим систему уравнений, из которых находим выражения для коэффициентов A,m, Bim, B2m:

Xj = EjY\rt=j , j = 1, 2,

и восемь условий для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (8):

где т т

Xj = (AimSij, Bjm) , Y = U4m, Пт) ,

Dj = (diSij, 0,0, drfij)T , j = 1,2,

Ej =

, l = 1, 2, i = 1, 2, 3, Gi = \\glaßII , a,ß = 1, 2, 3, 4, F = diag {0,0,0,ЛТ} , G2 = diag {1,1,1,g|4> .

j

e

Здесь

¿1 = - %ЩР± и (Х11) + е!зИт (хц) + е2зИт (Х12) Пт, №0

= — "Т

{11Х11 Ут

Vm,

1 _ гщИ г * СпИт (Х12) 1 _ 1а{ТоХ12Ит (Х12) е11 = ~ , е12 =

w1

'Ш1

е1з = —

¿т

1 _ гщИ2 г * СиИт (Х11) 1 _ кцГоХцИт (Х11) 1 _ 2г^11

е21 = ~ , е22 = ~ , е23 =

W1

W1

ПW1

2 _2_2_2_2_п 2 _ Т0 е11 = е12 = е13 = е21 = е23 = 0, е22 =

¿т (Х2) '

1 ¡X * гшр1 г 1 . . 1 , 1 1л

9и = — +- [ецИт (Х11) + е21Ит (Х12^ , 9^2 = т —

IX*

913 = в11Х*, 9^4 = — ¡1@* + [е12Ит

1 = _ 1 = _

921 т г * , 922 г * ,

923 = 924 = 932 = 933 = 934 = 942 = 943 = 0 931 = в1№ *,

е^СцХцИ'т (Х11) + е121С12Х12И'т (Х12) , е12С11ХцНт (Х11) + е122С12Х12Ит (Х12) ,

11

1 _ 21

941 = г*

1 _ ¿1

944 = г*

2 = _ Х2Х2¿'т (Х2) 944 = Х0Т г * ¿т (Х2) ,

Wl = С11Х12Нт

1Х1

г'

г* = Н,Х11 = к1 г1, Х2 = ^ г2, * = — а1ТоХТ

Т

Си = ч — Щ, I = 1, 2.

Щ

1

Из системы (12) следует, что коэффициенты А1т, В1т, могут быть вычислены лишь после определения значений функций и**т (г*), и*т (г*) на поверхностях покрытия.

Для нахождения функций и*т (г*), и*т (г*) необходимо решить краевую задачу (8), (13). Решив эту задачу каким-либо методом, например, одним из предложенных в [1, 14, 16] и, определив значения и*т (г*), и**т (г*), из уравнений (12) найдем коэффициенты А1т. После чего, получим описание рассеянного цилиндрическим телом акустического поля по формуле (9).

Список литературы

1. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

2. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

3. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

4. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179-192.

5. Ларин Н.В. Рассеяние звука упругим дискретно-слоистым цилиндром при нормальном падении плоской звуковой волны // Вестник Тульского государственного университета. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2013. Вып. 1. С. 58-62.

6. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 194-202.

7. Ларин Н.В. Рассеяние звука упругой цилиндрической оболочкой с неоднородным покрытием и неконцентрической эллиптической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 146-163.

8. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181-193.

9. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519-526.

10. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137.

11. Скобельцын С.А. Рассеяние звуковых волн конечной упругой криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 93-101.

12. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.

13. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.

14. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

15. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 645-654.

16. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

17. Skudrzyk E. The Foundations of Acoustics. N.-Y.: Springer, 1971. / Скучик Е. Основы акустики. Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.

18. Цой П.И., Толоконников Л.А. Рассеяние коротких звуковых волн сферой в вязкой теплопроводной среде / Тульский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт. Деп. в ВИНИТИ 24.04.81, № 4408-81. 14 с.

19. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

20. Nowacki W. Teoria sprezystosci. Warszawa: PWN, 1973 = Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

21. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

Ларин Николай Владимирович, к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Scattering of sound by solid cylinder with non-uniform thermoelastic coating

N. V. Larin

Abstract. The diffraction of a plane acoustic wave by solid heat conducting cylinder with radially non-uniform thermoelastic coating is considered. The system of equations for small perturbations of a thermoelastic coating is reduced

to a system of ordinary differential equations. Expressions are obtained describing the wave fields in the cylinder and in the fluid.

Keywords : diffraction of sound, plane acoustic wave, cylinder with coating, non-uniform thermoelastic layer.

Larin Nikolay, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 23.06.2015