Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности и компетентности школьников и студентов

Секованов В.С.

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

Обучение фрактальной геометрии как средство формирования креативности и компетентности

школьников и студентов

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Фракталы, преподавание, математические методы, средняя школа, компьютерный эксперимент.

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются новые методические идеи, связанные с творчески направленным преподаванием элементов современной математики в средней школе и университете. Здесь затрагиваются математические методы и компьютерные эксперименты, используемые при обучении элементам фрактальной геометрии. Не следует думать, что данная тематика слишком сложна для учеников средней школы. На наш взгляд, некоторые понятия (например, самоподобие) доступны ученикам старших классов, проявляющим интерес к математике и информатике.

К сожалению, изучение фракталов пока не предусмотрено ни в школе, ни в вузе. Мы уверены, что преподавание элементов фрактальной геометрии хотя бы в рамках кружков и факультативов, практикуемых в средней школе и университете, будет способствовать: углублению знаний по математике, и информатике, развитию мышления, развитию эстетических качеств обучаемых. На наш взгляд, изучение фрактальной геометрии в вузе и школе будет способствовать развитию креативности и формированию компетенций школьников, бакалавров, студентов, магистров и аспирантов.

Важно отметить — информационные и коммуникационные технологии (ИКТ) и математические методы при обучении фрактальной геометрии играют равноправную роль, что опровергает мнение некоторых математиков о малоэффективности использования компьютера в преподавании математики и способствует интеграции математики и информатики.

Современная математика сделала огромный шаг в своем развитии. Однако ее идеи практически не проникают в школьный курс математики. Как известно школьная математика оставляет учащихся почти в XVIII веке по алгебре и началам анализа и почти в древней Греции по геометрии.

Отметим, что на Западе изучению фрактальной геометрии уделяется большое внимание.

Фрактальная геометрия — молодое быстроразвивающееся математическое направление, связанное не только с выдвижением новых математических идей, но и бурным развитием программирования, компьютерной графики, художественного компьютерного творчества. Идеи фрактальной геометрии в настоящее время применяются в физике,

металловедении, медицине, психологии, экономике, лингвистике и других областях. Проводятся интенсивные исследования, посвященные фракталам как у нас в России, так и за рубежом (см., например, [1], [2], [5], [8], [9]).

По нашему мнению, преподавание фрактальной геометрии дает широкие возможности для формирования новой парадигмы мировоззрения, развития креативности и компетентности обучаемых. Выскажем несколько тезисов, нацеленных на целесообразность изучения фрактальной геометрии.

1. Имеются межпредметные связи с геометрией, алгеброй, математическим анализом, информатикой, теорией вероятностей.

2. Математик и физик должны владеть математико-компьютерными технологиями. При изучении фрактальной геометрии взаимодействие компьютерных технологий и математических методов носит равноправный, исследовательский характер.

3. Основываясь уже на решении математических проблем с помощью ИКТ (проблема 4-х красок, проблема Кэли, исследование фракталов и др.) можно предположить, что разделы современной математики, существенно опирающиеся на компьютерные технологии, в будущем получат дополнительный импульс, поскольку компьютерные средства развиваются очень интенсивно.

4. Фракталы являются одними из самых красивых математических объектов, и обучение фрактальной геометрии значительно повысит мотивацию обучаемых как к математике, программированию, так и компьютерной графике.

5. Информация в области исследований фрактальной геометрии ограничена, что требует от обучаемых активизации в поисках нового материала с помощью глобальных компьютерных сетей.

Понятие «Фрактал» базируется на понятии «Размерность». Мы излагаем определение этого понятия с помощью последовательных приближений, начиная с самоподобных множеств (первый шаг), что позволяет обучаемым познакомиться с математической структурой фракатала.

После первого шага приводится ряд примеров самоподобных множеств и выявляются их метрические свойства. Затем понятие фрактал расширяется, поскольку класс самоподобных множеств. При расширении этого понятия мы используем сначала размерность Минковского (второй шаг), затем размерность Хаусдорфа (третий шаг).

В заключение указываются перспективы исследования понятия фрактал. Первые два шага, по нашему мнению, может сделать школьник. Третий шаг наиболее сложен и доступен бакалаврам, магистрам и аспирантам.

Укажем три алгоритма, позволяющие строить фрактальные множества с помощью ИКТ.

1) Заполняющие множество Жюлиа для функции ^Х^р+с. На Рис 1.

Указаны три заполняющих множества Жюлиа для комплексных полиномов

различных степеней (см. [3 — 6]). Приведем процедуру построения

множеств Жюлиа.

Procedure Jul(x,y:real);

var i:integer;

r,arg:real;

begin

for i:=1 to 128 do {Итерационный процесс}

if metka=0 then {получения орбиты точки}

begin

if SQRT(x*x+y*y)=0 then r:=0 else r:=exp(p*ln(SQRT(x*x+y*y))); {Считаем модуль} if x=0 then arg:=1.57 else arg:=arctan(y/x); {и аргумент}

x:=r*cos(p*arg)+c1; {пересчитываем координаты}

y:=r*sin(p*arg)+c2; {точки в соответствии с формулой}

if SQRT(x*x+y*y)>5 then metka:=1; {Если модуль точки некоторое значение}

{можно считать, что её орбита стремится в} end; {бесконечность. Тогда меняем метку на 1}

end;

Множество Жюлиа для Множество Жюлиа для Множество Жюлиа для

f(z) = z2+0.4+0.2i f(z) = z6+0.69+0.1 i f(z) = z10+0.8+0.1i

_ Рис. 1

2) Построение фракталов с помощью L-систем. Укажем фрагмент алгоритма построения фрактального множества с помощью одного порождающего правила и стека. Опишем аксиому, порождающее правило, начальный угол и угол поворота в Таблице 1.

Вход

Аксиома (axiom): '[F]'

Порождающее правило (newF): 'FF i+F] [-F] F'

Начальный угол (а): п/2

Угол поворота (в): п/3

Таблица 1.

Рассмотрим первую итерацию данного фрактала, управляющим словом для него будет:

Будем считывать каждый символ и наблюдать пошаговое построение.

Символ F F + F ] [ - F F

Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

В качестве результата получаем графическое представление нескольких итераций фрактала Рис.2, (см. [7]).

Ч^

О О

ч^

а

О

О

Рис. 2

В рассмотренном случае фрактал строился путем бесконечного добавления к его начальной части все более и более мелких деталей с последующим добавлением к нему всех его предельных точек.

3) Построение фракталов с помощью аффинных преобразований. Здесь предлагается построение фракталов с помощью ИКТ и аффинных преобразований:

УI А

0

Рис. 3

Квадрат ОАСВ при аффинном преобразовании переходит в квадрат 0'АгСгВ\ причем

0

Тогда аффинное преобразование Гможно представить в матричной форме (Рис. 3):

ку/ г \у Ь2

Приведем пример построения фракталов с помощью аффинных преобразований (Рис 4, см. [5, 10]).

= Г1/3

ммит

минт

* ([I;]) - [Т

'•!|;D it

о ln 1/3J U2J о Г±1 1/3J L^J

О

i/зJ U2J

1/3] ц-l/з]UJ

+

Г2/31

Ll/з]'

L2/3J' [l/з]'

[lis]

1 итерация

2 итерация

3 итерация

4 итерация

5 итерация

Рис.4

В заключение отметим, что изучение элементов фрактальной геометрии в данном объеме наиболее оптимально и способствует развитию креативности и компетентности обучаемых.

Литература

1. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н. Новгород, Изд-во Нижегородского университета, 1999.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, перевод с англ. А.Р. Логунова, М.: Институт Компьютерных Исследований, 2002.

3. Секованов В. С. О множествах Мандельброта и Жюлиа для многочленов комплексной переменной.

4. Секованов В. С., Салов А. Л., Самохов Е. А. Использование кластера при исследовании фрактальных множеств на комплексной плоскости. Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы V Всероссийской научно-метод. конференции. Г. Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2011.

5. Секованов В.С. Элементы фрактальных множеств. — М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013.

6. Секованов В.С., Фомин Д.Е., Хапкова Ю.А. О нелинейных дискретных динамических системах. Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: материалы VIII Всероссийской научно-метод. конференции. Г. Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2014/

7. Козырев С. Б., Секованов В. С., Скрябин В. С. Использование информационных технологий и математических методов при построении и исследовании фракталов. Современные информационные технологии и ИТ-образование: III Межд. Научн.-практ. конф., М: МАКС Пресс, 2008.

8. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М., Постмаркет, 2000.

9. Пайтген Х.-О, Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. Пер. с англ., под ред. А.И.Шарковского. М., Мир, 1993.

10. Хапкова Ю. А. Фракталы и их построение с помощью аффинных преобразований на вещественной плоскости. Обучение фрактальной геометрии и информатике в вузе и школе в свете идей академика А. Н. Колмогорова: материалы международной науно-методической конференции. Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2011г.