Синтез программных управлений сближения ракеты с астероидом

В. А. Афанасьев, Г. Л. Дегтярев, А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров

СИНТЕЗ ПРОГРАММНЫХ УПРАВЛЕНИЙ СБЛИЖЕНИЯ РАКЕТЫ С АСТЕРОИДОМ

Ключевые слова: зондирующая ракета, астероид, ракетный двигатель, сближение, разгон, торможение, закон управления, расход топлива, управляющие параметры, вычислительные формулы, проектные параметры.

Представлены результаты исследования динамики сближения зондирующей ракеты с астероидом, угрожающим столкновением с Землёй. Получены законы программного управления разгоном - торможением ракеты с учётом расхода топлива в ракетном двигателе. Первый закон управления обеспечивает минимальную продолжительность сближения, второй закон обеспечивает сближение за назначенное время. Наличие паузы во втором законе позволяет произвести угловой разворот ракеты и использовать при разгоне и торможении один и тот же маршевый ракетный двигатель. Результаты пригодны в проектировании перспективных космических аппаратов, предназначенных для причаливания к другим космическим объектам.

Keywords: probing rocket, asteroid, rocket engine, approach, acceleration, deceleration, control law, fuel consumption, control parameters, computational formulas, design parameters.

The results of the study of the dynamics of the approach of a probing rocket with an asteroid threatening collision with the Earth are presented. The laws of time pattern control of acceleration and deceleration of a rocket with allowance for fuel consumption in a rocket engine are obtained. The first law of control provides a minimum duration of approach, the second law ensures approach within the appointed time. The presence of a pause in the second law makes it possible to rotate the missile angularly and use the same marching rocket engine during acceleration and deceleration. The results are suitable for the design of advanced spacecraft intended for mooring to other space objects.

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 681.5.01: 658.5

Введение

Сравнительно недавнее обнаружение испанскими учёными астероида 2012 DA 14 говорит о возможности существования других неизвестных астероидов, потенциально опасных при столкновении с Землёй. В связи с этим реальной становится разработка программы защиты россиян от угроз из космоса, одной из составляющих которой является установка зондирующей аппаратуры на астероиде для оперативного и точного определения параметров его движения, которое становится трудно прогнозируемым по мере приближения к Земле. В статье рассматривается задача управления ракетой с зондирующей аппаратурой на конечном этапе сближения с астероидом, решение которой становится основой в выборе проектных параметров будущей ракеты-зонда (РЗ).

1. Задача сближения

Предполагается, что ракета выводится на околоземную орбиту ракетой-носителем, после чего она с помощью своего маршевого ракетного двигателя выходит на орбиту позади астероида, сравнивая свою скорость со скоростью астероида. Для сближения ракета должна произвести разгон, получив некоторое ускорение за счёт срабатывания маршевого двигателя, а затем торможение, в результате которого ракета вплотную сблизится с астероидом, имея нулевую относительную скорость, и закрепляется на нём. Для торможения ракета проводит угловой разворот на 180 вокруг одной из поперечных осей связанной системы координат с началом в центре масс с помощью отклоняемого сопла маршевого двигателя, если это предусмотрено конструкцией, или специальных рулевых

двигателей, которые используются для управления угловым движением ракеты.

1.1. Математическая модель. Поступательное движение ракеты в условиях отсутствия аэродинамического сопротивления и гравитационного притяжения малого астероида описывается следующими дифференциальными уравнениями:

mV = ±P, h = -V,

где V - относительная поступательная скорость ракеты, h - расстояние между ракетой и астероидом, m - масса ракеты (корпус, двигатель, топливо, аппаратура), P - сила тяги маршевого двигателя:

P = -m Pspg,

где m = dm/dt = const < 0 - массовый секундный расход топлива, Psp - удельная тяга, g = const = 9,81 м/с2. Знак плюс в уравнении (1) принимается при разгоне, знак минус при торможении. Предполагается, что расход топлива двигателем осуществляется по равномерному закону [1]:

m

Для уравнений (1), (2) заданы начальные условия:

t = to = 0, V

1.2. Постановка задачи сближения. Требуется установить закон управления работой двигателя, структура которого выражается в моменте переключения t1 поступательного ускорения с разгона на торможение и моменте выключения двигателя t2, когда ракета, имея начальное состояние (4), переходит в заданное конечное состояние:

t = t2, ) = У2 = 0, Л(»2) = Л2 = 0 , (5) где t2 < да - неизвестное конечное время.

1.3. Решение задачи сближения. Решение задачи сближения, или установления закона управления проведём методом аналитического конструирования составной траектории поступательного движения ракеты из двух отрезков: разгона и торможения, разделённых моментом переключения [2,3].

Первый отрезок, t е [»0, ^ ]. Разгон при поступательном движении описывается уравнением:

т\/ = -тР д,

с начальными условиями (4). После разделения переменных приходим к уравнению:

1^ = -Р*рд ] —, Уо то

которое после вычисления интегралов даёт следующую зависимость текущей скорости от времени:

У(^) = г0 - Ррдш^ т0

В конце первого отрезка получаем выражение для скорости:

V = V - Р=Рд|п[1- в(^ -10)],

где в = |т| / т0 - удельный массовый секундный

расход топлива в двигателе.

Решение второго уравнения системы (1) с учётом зависимости (7) приводит к уравнению

* = *-1

Г0 - РзВдш

т0 -

тп

с».

С учётом введённого обозначения в предыдущее уравнение принимает вид:

* = *0 - Ц, (t - 10 )+ РрО 11п[1 - в(» - tо )] dt .

»0

Для его решения введём новую переменную: 1п[1 - в(» - »0)] = z, » = »0, z0 = 0, для которой справедливы соотношения:

1

е2 = 1 - в(» - »0), е2 с(г = -вс(», Л = - -в-е2 ¿г.

С новой переменной последнее уравнение принимает вид:

р д г

* = *0 -V(»-»0)--^ 1.

в 20

Вычисляя интеграл по частям, получаем зависимость текущего расстояния между РЗ и астероидом от времени при разгоне:

* = *0 - Ц)(» -»0)-

Рзрд в

:{[1 - в(» - »0)]1п[1 - в(» - »0)] + в(» - »0)}

В конце первого отрезка составной траектории поступательного движения расстояние вычисляется по формуле:

*1 = *0 - Ц0(»1 - »0)-

Рзрд в

{[1 - в(»1 - »0)]|п[1 - в(»1 - »0)] + в(»1 - »0)}

С нулевыми начальными условиями (4) последнее выражение принимает вид:

Р д

*1 = *0 ~£{[1 - в»1]|п[1 - в»1 ] + вМ .

Получили систему из двух уравнений (8), (10) с тремя неизвестными , Ц, Л1.

Второй отрезок составной траектории сближения, » е [»1, »2 ]. Поступательное движение на втором отрезке представляет собой торможение и описывается уравнением:

тГ = тР^д

с начальными условиями (8), (10). Разделяя переменные и учитывая зависимость (3) для второго отрезка, интегрированием уравнения (11) получаем зависимость для текущей скорости сближения от массы:

V = V + Р^д/л

т1 - \т\

т1

С учётом соотношения т1 = т0 - |т|и обо-

значения \т\ /т0 = в приходим к выражению:

V = Ц + Рзрд1п

1 - в» 1- в»1

Подстановка выражения для скорости (8) даёт зависимость скорости поступательного торможения от времени:

г = Р50д

- 1п(1 - в»1)+1п

v 17 1 - в»1

или

V = Р5рд[- 2/п(1-в»1)+/п(1-в»)]. (13) В конце второго отрезка получаем уравнение:

^ = Р5рд[- 2/п

с неизвестными »1 и » 2 .

Из уравнения (14) выразим момент сближения » 2 через момент переключения »1 :

»2 = 2»1 - =(2 - в»1 . (15) Второе уравнение системы (1) с учётом зависимости (13) принимает вид:

^ = Рзрд[21п(1 - в»1)- 1п(1 - в»)].

Интегрирование последнего уравнения даёт выражение для текущего расстояния между ракетой и астероидом:

* = + Р3рд{21п(1 - в»1)(' - »1) +

+1 [|п(1 - в)(1 - в) - 1п(1 - в»1 )(1 - в»1) + в(» - »1)]}

Подстановка выражения для расстояния переключения (10) даёт: Р о

* = *0 —^ {[1 - в»1 ]/л[1 - в»1 ] + в»1} + Р5р0 х

в

:{2 /п(1 - в»1)(» - »1) +

+1 [/п(1 - в»)(1 - в»)-/п(1 - в»1 )(1 - в»1) + в(» -»1 )]}

х

х

При контакте с астероидом получаем уравнение: Р а

К = К--в- {[1- М] 1п[1- рф &,} + 1

+Рзра{21п

- 1п(1- Р,) + /3((2 - ^ )]} = О

Будем предполагать, что сближение ракеты с астероидом осуществляется с помощью двигателя, обеспечивающего ракете небольшую, например, единичную тяговооружённость, определяемую как отношение силы тяги двигателя к весу ракеты:

\Р\ \т\ Р8Ва

= = рр = 1, тоа тоа откуда следует:

в = 1/PsP .

Для современных ракетных двигателей с жидкими компонентами топлива величина удельной тяги достигает значений Р = 300 - 400 с. В этом случае удельный массовый секундный расход топлива составляет в = 0,0025 - 0,0033 1/с . Кроме того, будем считать, что сближение с астероидом происходит достаточно быстро за время, не превышающее нескольких десятков секунд.

Тогда с большой степенью точности логарифмические функции в уравнении (14) можно представить рядами Тейлора с одним членом разложения: 1п(1- & )<*- &.

С логарифмическими функциями, представленными первыми членами разложения в ряд Тейлора, получаем уравнение: Р а

К {- ви[1 - #1 ]+Р*ра{- 2#1 ((2 - (1)+

+ 1 [- в2 (1 - в2 ) + (1 - #1)+ /3((2 - (1 = 0 ,

которое после несложных преобразований принимает вид:

2 12 Ррав У '

Подстановка (15) в уравнение (17) приводит к уравнению четвёртой степени относительно искомой неизвестной 11:

14 -1 (3 +_^ = 0.

1 в 1 РзваР3

которое решается одним из приближённых численных методов.

После вычисления момента переключения время сближения вычисляется по формуле (15). Эти два момента полностью определяют закон управления разгоном - торможением ракеты при сближении с астероидом.

Пример 1.1. Пусть в = 0,004 1/с, Рр = 300 с. Тогда при Л0 = 100 м уравнение (18) принимает вид: 1; - 500(3 + 530920,8 = 0 .

Из четырёх найденных подходящий корень имеет значение (1 = 10,273 с. По формуле (15) вычисляем продолжительность сближения: (2 = (2 - ^ = (2 - 0,004 • 10,273) х х 10,273 = 20,124 с.

Пусть начальная масса ракеты перед сближением составляет т0 = 500 кг. Тогда по формуле

|т| = т0в определяем величину массового секундного расхода топлива |т| = 500 • 0,004 = 2 кг/с. Эта величина позволяет

вычислить необходимую величину силы тяги двигателя:

Р = \т\Рвра = 2 • 300 • 9,81 = 5886 Н.

Необходимая масса топлива определяется продолжительностью сближения:

т2 = \т\(2 = 2 • 20,124 = 40,248 кг.

Максимальная скорость при сближении достигается в момент переключения, т.е. в конце разгона и составляет величину:

V = -Рвра 1п(1 - ^ ) = -300 • 9,81 /п(1 - 0,004 • 10) =

= 120,14 м/с. 2. Задача сближения за назначенное время

Как правило, астероиды в своём орбитальном поступательном движении совершают вращательное движение. В этом смысле становится не безразличной сторона астероида, с которой произойдёт сближение ракеты для установки зондирующей аппаратуры. Такая проблема приобретает постановку задачи управления сближением за назначенное время.

2.1. Постановка задачи сближения за назначенное время. Требуется установить закон управления разгоном - торможением поступательного движения ракеты из начального состояния:

( = и , У((0) = Vо = 0 , П((0) = К, (19) в заданное конечное:

У((к) = Vк = 0 , П((к) = 11к = 0, (20) за назначенное время: ( = (к -0.

2.2. Решение задачи сближения за назначенное время. При решении задачи сближения в разделе 1 закон управления определялся двумя моментами времени: моментом переключения и моментом сближения. Теперь при задании момента сближения необходимо иметь дополнительный управляющий параметр. Это достигается введением паузы в работе маршевого двигателя между разгоном и торможением, протяжённость которой определяется моментом окончания разгона (1 и началом торможения (2.

Таким образом, траектория сближения формируется из трёх отрезков: разгон ( е [(0, (1 ], пауза ( е [(1, (2 ] и торможение ( е [(2, (3 ], к = 3 .

1. Отрезок разгона, ( е [(0, (1 ]. Первый отрезок движения совпадает с рассмотренным в первой задаче, и для него получены выражение для скорости:

V =-Pspgrn^ = -Pspgln(l - et1),

mn

и выражение для расстояния

hi = ho -

Pspg в

[(i- в*1 )in(i - eti)+eti ].

2. Отрезок паузы, t e [ti; t2 ]. Поступательное движение на нём описывается уравнениями:

V = 0, h - -V,

с начальными условиями (21), (22). Из первого уравнения (23) получаем:

V = const = Vi = -Pspg In — - -PspgIn

mo

Интегрируем второе уравнение (23) с учётом (22):

h = hi + Pspgln

В конце второго отрезка имеем выражение для скорости:

'2 " sp'

и выражение для расстояния:

V2 =-Pspgln(i - eti),

h2 = hi + Pspgln(i-eti )(t 2 - ti).

В уравнение (27) подставим уравнение (22):

h2 = ho -

Pspg

e

[(i - eti )in(i - eti)+eti ]-

+р5р0/п

С учётом представления логарифмических функций рядами с одним членом разложения получаем выражение для расстояния в конце второго отрезка трёхсоставной траектории:

*2 = *0 - Рзр0в»12 - РрО^ (»2 - »1) . (28) 3. Отрезок торможения, » е [»2, »3 ]. Поступательное движение при торможении описывается уравнением:

т\/ = тР5рО,

с начальными условиями (26), (28). Интегрирование уравнения (29) с учётом начального условия (26) даёт выражение для текущей скорости сближения на заключительном отрезке траектории сближения:

v = -pspgin(i - eti)+pspg in—.

m2

В конце третьего отрезка получаем выражение для скорости, уравнение:

V3 =-Pspgin(i-eti)+Pspgin^m^,

которое с учётом конечных условий (20) становится уравнением:

- Pspgln(i - eti)+ Pspg In— = 0

m2

где оставшаяся масса ракеты определяется выражением:

тз = т(»з) = т2 - |т|(»3 - »2).

Масса ракеты на втором отрезке не изменяется и на его конце равна массе ракеты в конце первого отрезка:

т2 = т1 = т0 - |т|»1.

Подстановка последнего соотношения в предпоследнее даёт выражение:

—з = —о -1—|(t3 -12 + ti). (32) Подставим предпоследнее выражение и последнее (32) в уравнение (31):

- Pspgln(i - eti) + Pspg In

mo -1——I(t3 -12 + ti) m0 -1——Iti

= 0.

После деления числителя и знаменателя логарифмической функции на массу т0 получаем уравнение:

- in(i - eti)+ini - e(t3-12 + ti) -

i - eti

- 0.

которое после несложных преобразований приводит к зависимости между всеми тремя моментами времени, определяющими искомый закон управления:

-13 +12 --ti + eti2.

Интегрируем уравнение h - -V с учётом скорости сближения (30):

(

dh --

- Pspgln(i- eti)+Pspg In—

—2 У

Л

dt.

Подстановка выражений для — и —2 приводит к уравнению:

dh - Pspgln(i - eti )dt - Pspg Ini- & -£(t -^) dt.

2

i - et 2

Это уравнение представим в виде:

й* = Р5рО/п(1 - в»1 )# - Р5рО х

х {/п[1 - в»2 - в(» - »2 )] - /п(1 - в»2 Ж ,

после чего решение уравнения сводится к вычислению интеграла:

h - h2 + Pspg In[(i - eti )(i - et2 )](t - 12 ) -

- Pspg jIn[i - et]dt

Вычисление интеграла даёт: t i

jIn(i - et)dt - --[In(i - et)(i - et) -- In(i - et2 )(i - et2)+e(t -12)]

Это выражение подставим в (34):

i

h - h2 + PspgIn[(i - eti )(i - #2 )](t -12)+Pspg -

в .

х [/п(1 - в»)(1 - в») - /п(1 - )(1 - в»2 ) + в(» - »2 )] В конце сближения получаем выражение: *3 = *2 + РзрО[/п(1 - ) + /п(1 - в»2 )](»3 - »2 ) + 1

+ РрО-[/П(1 - в»3)(1 - в»3)- .

- /п(1 - в»2 )(1 - в»2 )+ 3 - »2 )]

Подстановка выражения (28) даёт:

*3 = *0 - РзрОв»2 - РрОв»1 (»2 - »1) +

1

+ РрО[/п(1 - в»1) + /п(1 - в»2 )](»3 - »2 ) + РзрО в х [/п(1 - в»3 )(1 - в»3 ) - /п(1 - в»2 )(1 - в»2 ) + в(»3 - »2 )]

После замены логарифмических функций рядами с одним членом разложения получаем уравнение:

X

h3 - h - Pspgeti2 - Pspgeti (t2 - ti) + Pspg x

i

x[- eti - et2 ]x(t3 - 12 ) + Pspg-x ,

x [- # 3 (i - et3)+et 2 (i - et2)+efo -12)]

которое после несложных преобразований принимает вид:

tk-12- ti +

h0

Ps„getk

- 0,

где = »3 - заданное время сближения. Из соотношения (33) выразим момент »2:

= »к - + в»',

и его выражение подставим в уравнение (36):

tk - tk + ti - eti2 - ti +

h0

PsDgetk

- 0.

После преобразований получаем формулу для вычисления момента отключения двигателя после разгона

t. -;

h0

,

вЦРрО»*

Формулу для вычисления момента включения двигателя после паузы получим, подставив выражение (38) в соотношение (37):

12 - tk - 1

h0

^PspQtk которую запишем в виде:

1 hp e Pspgtk

i

12 - tk

h0

Y

^Pspgtk

i-

iPspStk

Формулы (38), (39) определяют моменты времени »1 и » 2 , составляющие структуру закона управления сближением ракеты с астероидом за назначенное время.

Пример 2.1 Пусть для условий примера 1 продолжительность сближения задана равной = 22 с. Тогда по формуле (3 8) вычисляем первый управляющий параметр:

ti -

i00

300 • 9,8i • 0,0042 • 22

- 9,825 c,

по которому происходит переключение силы тяги на противоположную по направлению, а по формуле (3 9) вычисляем второй управляющий параметр искомого закона управления:

t2 -22--

i

i00

0,004 V 300 • 9,8i • 22

(i- 0,039300)-

= 12,561 с,

указывающий момент окончания сближения.

Продолжительность паузы составляет 2,7 с, в течение которых необходимо провести угловой разворот ракеты, чтобы для торможения использовать тягу того же маршевого двигателя.

Заключение

Таким образом, на основе аналитического решения дифференциальных уравнений поступательного движения с учётом динамики выгорания топлива в ракетном двигателе получены простые формульные выражения для расчёта момента переключения двигателя с разгона на торможение и момента сближения, которые являются программными управляющими параметрами в законе управления сближением ракеты, несущей зондирующую аппаратуру, с астероидом. Получены также формулы для вычисления управляющих параметров в законе управления сближением за назначенное время, с помощью которого можно выбирать нужную сторону астероида для контакта с астероидом. Полученные результаты представляют собой удобный инструмент при выборе основных проектных параметров ракеты и его маршевого двигателя, а также при проектировании бортовых алгоритмов, в частности, для построения программных траекторий движения центра масс при сближении. Результаты применимы при проектировании других перспективных космических аппаратов, например, космических перехватчиков целей искусственного происхождения.

Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 15-4802101.

Литература

1. Н. И. Карякин, К. Н. Быстров, П. С. Киреев, Краткий справочник по физике. М. Высшая школа, 1963. 560 с.

2. Афанасьев В. А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р., ВестникКГТУ им. А.Н. Туполева, 4, 161-170 (2010).

3. Афанасьев В. А., Дегтярёв Г. Л., Мещанов А. С., Си-разетдинов Т. К., Изв. вузов. Авиационная техника, 4, 11-15 (2004).

© В. А. Афанасьев - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и ракетодинамика» филиала Южно-Уральского научно-исследовательского университета в г. Миасс, Челябинская область. ava46@mail.ru; Г. Л. Дегтярев -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ. degtyrev@mail.ru; А. С. Мещанов - кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н Туполева - КАИ, e-mail: mas41@list.ru; Э. А. Туктаров - аспирант кафедры автоматики и управления, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н Туполева - КАИ, e-mail: ed.tuktarov@mail.ru.

© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation. ava46@mail.ru; G. L. Degtyarev, Doctor of Science, professor, manager of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan. degtyrev@mail.ru; A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: mas41@list.ru; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: ed.tuktarov@mail.ru.

h

0