Статика лунного космического лифта постоянного сечения

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_

В статье выполнен анализ зависимости стартовой массы двухступенчатой ракеты от соотношения стартовых масс ступеней, коэффициента весового качества конструкции, удельного импульса пустотной тяги и характеристической скорости.

Представленный алгоритм позволяет получить быстрые оценки параметров ракеты на ранних стадиях проектирования при минимуме исходных данных.

В отличие от имеющихся в литературе графоаналитических методов (например: [5, с. 342]), здесь изначально предполагается использование для расчетов систем компьютерных вычислений типа MathCad и подобных. В тоже время, разработанный алгоритм проще специализированных продвинутых подходов, уместных при выполнении детального анализа ([6, с. 26]). Список использованной литературы:

1. Разумеев В.Ф., Ковалев Б.К. Основы проектирования баллистических ракет на твердом топливе. М., Машиностроение, 1976, 356 с.

2. Феодосьев В.И. Основы техники ракетного полета. М.: Наука. 1981. - 496 с.

3. Сердюк В.К. Проектирование средств выведения космических аппаратов: учеб. пособие для вузов / под ред. А.А. Медведева. М: Машиностроение: Полет, 2009 (М.). - 503 с.

4. Проектирование и испытание баллистических ракет / Под ред. В.И. Варфоломеева, М.И. Копытова. - М., Воениздат, 1970. - 391 с.

5. Развитие ракетно-космических систем выведения: учебное пособие / Б.К. Ковалев. - Москва : Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. - 398 с.

6. Проектирование, динамика и устойчивость движения ракет-носителей: Методы, модели, алгоритмы и программы в среде MathCad / А.Н. Кирилин, Р.Н. Ахметов, А.В. Соллогуб. - М.: Машиностроение -Машиностроение-Полет, 2013. - 296 с.

© Коровин В.В., 2017

УДК 629.78

Коровин В.В.

к.т.н., доцент кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им. Н.Э. Баумана Цао Ендун аспирант МГТУ им. Н.Э. Баумана

СТАТИКА ЛУННОГО КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ

Аннотация

В статье рассматривается статика лунного космического лифта постоянного сечения. Показаны формы записи уравнений равновесия, зависящие от выбора инерциальной и подвижной систем координат. Изменение начала подвижной системы отсчета влияет на вид выражения для переносной силы инерции. Приводятся результаты расчетов. Лунный лифт, в отличие от земного, может быть создан из существующих в настоящее время материалов.

Ключевые слова

Лунный космический лифт, уравнения равновесия, разрывная длина.

Космический лифт - протяженная и гибкая космическая конструкция, связанная с одним из естественных космических тел (Землей, Луной и т.д.). В типичном случае предполагается, что лифт связан

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_

с экватором планеты и простирается в радиальном направлении. Так как планеты имеют собственное вращение, космический лифт будет находиться под действием центробежных сил, чем обеспечивается его устойчивость.

Идея космического лифта сформулирована К.Э. Циолковским в 1895 г. Задачи статики земного космического лифта исследованы рядом авторов ([1], [2], [3]). Установлено, что существующие материалы не пригодны для постройки земного лифта как постоянного, так и переменного сечения. Для создания космического лифта на Земле необходимы перспективные материалы, создаваемые с использованием нанотехнологий ([3, с. 35], [4, с. 46]).

В случае лифта, связанного с Луной, требования к удельной прочности материала существенно ниже. В статье сформулированы несколько вариантов уравнений равновесия лунного лифта и анализируются результаты численного моделирования.

Рассматривая равновесие лунного лифта, необходимо определить инерциальные координатные оси. Очевидно, начало отсчета должно быть связано с центром масс системы «Земля + Луна». Инерциальная координатная система совершает годовое движение вокруг Солнца, а направление осей остается неизменным относительно звезд, т.е. они движутся поступательно.

Равновесие лифта рассматривают в подвижных осях координат. Подвижная система может быть определена двумя способами.

В первом случае начало подвижной системы совпадает с инерциальной, основная ось r направлена вдоль линии визирования «Земля - Луна» от Земли к Луне (рис. 1).

лунный R„

Земля лифт ! о о \ 1 1 1 3 т. Мш.> г---J.---- У / fJIxHa Рп\ „

1 \ \ \ \ X Ч / * R, ---. 1 г У Р \ ч ;

R

Рисунок 1 - Схема лунного лифта

В другом случае подвижная система отсчета связана с центром Луны. Основная ось р направлена от центра Луны к центру Земли.

На рисунке 1 обозначено:

Я = 384467 км - средний радиус орбиты Луны;

= Я ——— = = 4672 км - расстояние от центра Земли до центра масс системы «Земля+Луна»;

Мз+МД 82,3 М3 - масса Земли, Мл - масса Луны;

= 1738 км - экваториальный радиус Луны;

Оз, Ол, ОзЛ - центры масс Земли, Луны и системы «Земля+Луна» соответственно.

Полагаем орбиту Луны круговой. Сидерический (звездный) период обращения равен 27,322 дня. Тогда угловая скорость подвижной системы относительно инерциальной постоянна: А = 2,662 • 10-браД/с .

В неинерциальной системе отсчета полное ускорение материальной точки представляет сумму переносного, относительного и кориолисового [5, с. 206]:

I I .

Рассматривая статическое равновесие лифта в неинерциальной системе, получим нулевые относительные и кориолисовы составляющие ускорения (аг = 0, ас = 0). Переносное ускорение ае в общем

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_

случае определяется следующим образом [5, с. 205]:

ае = аа + £ х г + ш х

Здесь г - радиус-вектор рассматриваемой материальной точки в подвижной системе координат; £ - угловое ускорение подвижной системы отсчета относительно инерциальной; аа - ускорение начала подвижной системы;

ш - угловая скорость подвижной системы относительно инерциальной.

В случае, когда начало подвижной системы совпадает с инерциальной, получим аа = 0. Орбита Луны принята круговой. Тогда £ = 0 , ш = П . В результате, ае = Пх (П хг) .

Это ускорение направлено к центру вращения - началу отсчета инерциальной и вращающейся систем координат. Т.е., оно является центростремительным. В силу ортогональности векторов П и г , скалярная величина центростремительного ускорения равна скалярному произведению сомножителей:

ае = ац = -П2г .

Здесь знак минус означает направление ускорения против радиуса-вектора системы отсчета. Центростремительному или переносному ускорению в неинерциальной системе отсчета соответствует переносная сила инерции - центробежная. Она направлена в противоположную ускорению сторону [5, с. 366]:

F-ц = -Мйц.

В скалярном виде будет = МП2г , где М - масса материальной точки. Центробежная сила направлена вдоль положительного направления оси г .

На материальную точку М так же действуют гравитационные силы Земли и Луны. Гравитация Земли:

77 ^ЗМ ,

= - -

(Rt+r)2 '

3

5 км3

где ^з = 3,9860 • 105-^- - гравитационный параметр Земли.

с

Гравитационная притяжение Луны направлено вдоль оси г:

где ^д = 4,9028 • 103 кМ - гравитационный параметр Луны.

км

F =

ГД (R-Rt-r)2

3

с

Рассматривая элемент троса (лунного лифта) длиной йг , получим следующее уравнение равновесия:

йТ =

Здесь Т - натяжение лифта, т - погонная масса.

Уравнение (3) можно легко проинтегрировать аналитически или численно.

Расстояние между центром масс системы «Земля - Луна» и центром Земли Я- мало в сравнении с Я , вследствие чего им можно пренебречь. Это равносильно допущению о движении центра Земли вокруг Солнца по эллиптической орбите и независимом от этого движении Луны вокруг Земли. В этом случае в (3) надо положить Я1 = 0 :

¿Т =

Другой вариант формулировки уравнений равновесия - когда подвижная система координат связана с центром Луны. Основная ось р направлена к Земле и проходит через ее центр. Т.е., оси р и г направлены противоположно. Между координатами р и г существует связь: р = Я — Я1 — г .

В этой системе отсчета выражение для переносного ускорения (1), с учетом допущения о круговой орбите Луны, принимает вид:

ае = аа + йх

Здесь аа = й2(Я — Я1) - ускорение начала подвижной системы координат. Второе слагаемое в (5) -центростремительное ускорение: ац = —й2р .

Теперь выражение для переносного ускорения выглядит так:

ае = й2

С учетом связи р и г, выражения (2) и (6) для переносных ускорений в двух неинерциальных системах

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070

отсчета совпадают, кроме знака. Смена знака определяется изменением направления основной оси. В селеноцентрической системе отсчета уравнение равновесия, аналогичное (3), имеет вид:

dT = (n.2(R- Rt- + .

(R-p)2

Полагая Rt = 0, получаем уравнение, являющееся аналогом (4):

d T

= {n2(R-P)-p2 + 7R-p-2)?ndP.

Для оценки возможных параметров лифта прежде всего необходимо найти его минимальную длину, обеспечивающую радиальное равновесие, т.е. отсутствие сжимающих напряжений.

Минимальная длина определяется из интегрального уравнения, выражающего равенство гравитационных и центробежных сил, действующих на весь лифт. При такой длине натяжение в точке сопряжения лифта с Луной (планетой) равно нулю. В селеноцентрической системе отсчета, используя уравнение равновесия в форме (7), получим :

0 .

В уравнении (9) неизвестным является R2 - селеноцентрический радиус свободного конца лифта минимальной длины. Раскрывая (9), при т = const, получаем кубическое уравнение относительно R2, корни которого - действительные. Только один из корней имеет физический смысл, два других соответствуют нулевой или отрицательной длине лифта.

Уравнение (9) дает величину R2 для лунного лифта минимальной длины 292575 км. Длина собственно лифта L = R2 — Rn = 290837 км . При подстановке в (9) уравнения равновесия в форме (8) получим R2 = 292790 км . Следовательно, в данной задаче перенос начала инерциальной системы отсчета из центра масс системы «Земля+Луна» в центр масс Земли является несущественным.

Полученное выше уравнение равновесия в форме (3), (4), (7) или (8) позволяет определить распределение натяжения в лифте Т(г) (или Т(р)) . Разделив Т на площадь сечения лифта, можно перейти к напряжениям а , но удобнее представить результат расчета в виде необходимой удельной прочности материала, при которой трос способен воспринимать действующую в сечении нагрузку. Такой удельной характеристикой является разрывная длина:

L?

mg рд

В формуле (10) ав - временный предел прочности материала, р - его плотность, д - ускорение свободного падения на Земле.

Разрывную длину Lp принято измерять в километрах. На рисунке 2 показан результат расчета Lp(p) для лифта минимальной длины в соответствии с уравнениями (7) и (10).

С еле j ю цептриче ск ии радиус, км*10~3 Рисунок 2 - Нагружение лунного космического лифта

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 2410-6070_

Из рисунка 2 следует, что максимум нагружения лунного лифта находится на расстоянии 56600 километров от центра Луны. Это соответствует точке Лагранжа Ll в системе «Земля - Луна». Необходимая разрывная длина материала в этой точке составляет 276,15 км (276,39 км при использовании уравнения (8)).

Существующие в настоящее время материалы уже достигли требуемой удельной прочности. Так, материал 2у1оп НМ обладает разрывной длиной 379 километров, кварцевое волокно - 280 километров, а кевлар-49 - 197 километров [6, с. 26]. Требования к материалу снижаются в случае лифта переменного сечения. Лунный лифт переменного сечения вполне может быть создан из кевлара.

В каждом сечении лифта действует ускорение микрогравитации, равное сумме ускорений от действующих сил: притяжения Земли, Луны и переносной силы инерции. Распределение микрогравитационного ускорения вдоль лунного лифта минимальной длины приведено на рисунке 3.

1.8

3 4

1.2 1

1 щ

0,6 ОД ОД о

-од

Селеноцентрический радиус, км'10

Рисунок 3 - Ускорение микрогравитации вдоль лунного лифта

Отметим следующие особенности:

— микрогравитация равна нулю в точке Лагранжа Ll . Здесь все силы уравновешены и имеет место невесомость. Точка Ll является орбитальным центром лунного лифта [4, с. 44];

— на участке от точки Лагранжа до Луны ускорение направлено к Луне и достигает 1,62 м/с2 у основания лифта. Эта величина равна лунному ускорению свободного падения g ;

— выше точки Лагранжа ускорение направлено от Луны и составляет 0,047 м/с2 на конце лифта, обращенном к Земле;

— на значительной части лифта ускорение очень мало. Отсюда и термин «микрогравитация», или состояние, близкое к невесомости.

£

V

а 50 чоо -ко ;>пп эй

длина лунного лифта, км*10 3 Рисунок 4 - Зависимость Lp от длины лифта

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_

На рисунках 2 и 3 представлены результаты для лифта минимальной длины. При ее увеличении требуемая разрывная прочность быстро растет (рис. 4).

Длина лунного лифта, при которой он достигнет поверхности Земли — около 376000км. В этом случае требуемая разрывная длина материала составляет порядка 104 км (рис. 4). Такая удельная прочность уже достигнута в лабораторных образцах углеродных нанотрубок. Следовательно, лунный лифт, простирающийся до самой Земли, теоретически возможен даже при постоянном его сечении.

В существующих проектах космический лифт имеет вид стержня (нити, троса) постоянного или переменного сечения, или представляет собой совокупность тросов и сосредоточенных масс. Размещение массы на конце лифта может определяться его функциональным назначением (привязная космическая станция, стыковочный узел) или просто стремлением уменьшить длину. Если на конце лифта разместить сосредоточенную массу (противовес), его длина может быть меньше определенной выше минимальной величины,. Полная масса системы при этом увеличится. Следовательно, рассмотренный выше однородный лифт (без сосредоточенных масс) минимальной длины будет иметь минимально возможную массу среди лифтов постоянного сечения.

В качестве первого приближения для оценки массы лунного лифта примем следующее: длина - 290800 км; площадь сечения 1 см2 , постоянная; плотность материала 1560 кг/м3 (Zylon HM). Получим массу лифта

Мг,

= 45365 тонн.

В случае, когда требуется ограничить длину лифта сечением р = Ях , разместив здесь концевую массу М и заменив ей участок лифта от Ях до К 2 , величина массы определится уравнением:

м (п.2(к 2 + М = £ и*

Ял

р)-§+

Мз

-)mdp .

На рисунке 5 представлены результаты расчета концевой массы для лифта минимальной длины. В безразмерном виде величина М и всей системы отнесены к массе лифта без концевой массы Мт1П, которая зависит от заданной площади сечения. Здесь видно, что концевая масса должна быть расположена выше орбитального центра L^. При приближении к Ll сверху М и масса всей системы стремятся к бесконечности. Масса всей конструкции возрастает незначительно при длине более 105 километров. Таким образом, расстояние от орбитального центра лифта до противовеса должно быть не менее расстояния от орбитального центра до основания лифта (Луны).

Рисунок 5 - Безразмерная масса лунного лифта с противовесом

Актуальность рассматриваемых в статье задач определяется обсуждаемыми в научном сообществе планами по промышленному освоению Луны. Наличие лунного лифта позволяет существенно снизить стоимость доставки грузов между Землей и Луной, выведения с поверхности Луны на окололунную или земную орбиты. При рассмотрении подобных масштабных проектов неизменно требуется решить вопрос о

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №03-1/2017 ISSN 2410-6070_

технической реализуемости идеи.

Список использованной литературы:

1. Pearson J. The Orbital tower: a spacecraft launcher using the Eath's rotational energy // Acta Astronáutica. -1975. - V.2, No. 10. - p. 785-799.

2. Поляков Г.Г. Собрание трудов. Том 1. Привязные спутники, космические лифты и кольца. - Астрахань: Изд-во Астраханского гос. пед. ун-та, 1999г. - 580с.

3. Нуралиева А.Б. О динамике троса космического лифта//Дис. канд. физ-мат. наук, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2012.

4. Коровин В.В. Радиальное равновесие протяженного объекта на круговой орбите // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 01. с. 38-51. DOI: 10.7463/0116.0831018

5. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. В двух томах. - СПб.: Издательство «Лань», 1998. - 736 с.

6. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 336с.

© Коровин В.В., Цао Ендун, 2017

УДК 62.133.2

Коровин В.В.

к.т.н., доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана

АНАЛИЗ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ВЕТРОКОЛЕСОМ

Аннотация

Управление вращающимся ветроколесом (пропеллером ветроэнергетической установки) заключается в развороте плоскости вращения на ветер и в изменении шага лопастей. В обоих случаях лопасти участвуют одновременно в двух вращательных движениях и испытывают действие переносных сил инерции кориолиса, или гироскопических сил. В статье выполнен теоретический анализ гироскопических нагрузок, действующих на лопасти и втулку ветроколеса. Приводятся результаты численных расчетов. При моделировании использовались характеристики опытного образца трехлопастного ветроколеса диаметром 15 метров и номинальной частотой вращения 82 об/мин.

Ключевые слова

Ветроколесо, гироскопические силы, внутренние силовые факторы в лопасти.

Кориолисовы силы инерции, действующие на вращающийся ротор, иначе называют гироскопическими. Гироскопический момент равен главному моменту кориолисовых сил [1, стр. 513]. В настоящей статье выполнен теоретический анализ сил и моментов, действующих на лопасти и втулку при развороте плоскости вращения на ветер и изменении шага лопастей. Приводятся результаты численных расчетов. При моделировании использовались характеристики опытного образца трехлопастного ветроколеса диаметром 15 метров и номинальной частотой вращения 82 об/мин.

На рисунках 1 - 3 пояснено определение направления ускорения кориолиса и распределение сил инерции в окружном и радиальном направлениях при повороте ветроколеса относительно башни (вертикальной оси). На этих же рисунках введены основные обозначения. Распределенная по длине лопасти кориолисова сила fk (г) может быть вычислена для заданных угловых скоростей прецессии О е и

собственного вращения О г , известному распределению погонной массы лопасти т(г), заданной угловой