Подавление флуктуационного шума на цифровых рентгенограммах

УДК 616-073.75:681.32

С. В. Меркурьев, канд. физ.-мат. наук, «ЗАО НИПК "Электрон"», Санкт-Петербург

Подавление флуктуационного шума на цифровых рентгенограммах

Ключевые слова: подавление шума, цифровые рентгенограммы, метод нелокальных средних, билатеральный фильтр, оценка зависимой от сигнала дисперсии шума, оценка спектральной плотности шума. Key words: noise reduction, digital radiological images, non-local means, bilateral filter, signal-dependent noise estimation, noise power spectrum estimation.

В статье рассмотрены вопросы, связанные с подавлением шума цифровых изображений, в частности цифровых рентгенограмм. Рассмотрена методика нелокальной фильтрации и предложен способ улучшения ее качества на основе специального объединения нелокального и билатерального фильтров. Исследована проблема подавления остаточного низкочастотного шума. Рассмотрена оценка дисперсии флуктуационного шума цифровых изображений, зависящего от интенсивности сигнала. Приведены модификации алгоритма фильтрации в случае, когда спектральная плотность дисперсии шума отличается от плотности белого шума.

Введение

В настоящее время в клинической практике для коррекции и облегчения интерпретации цифровых рентгенограмм применяют различные методы обработки изображений: повышение резкости, выделение анатомических структур, автоматический поиск зоны интереса и др. К важнейшим методам улучшения рентгенограмм относятся методы подавления шумов. Подавление шума улучшает визуальное восприятие, различимость низкоконтрастных деталей, повышает качество выполнения других алгоритмов обработки. Поэтому в цифровой радиологии представляется актуальной задача разработки методов фильтрации шумов, способных сохранить диагностически значимую информацию, работать с высокой скоростью при существенном уровне шума, зависящего от интенсивности (яркости) сигнала.

1. Обзор методик подавления шума

Необходимость быстрой обработки изображений с высоким разрешением на современных рент-

генодиагностических комплексах вступает в определенное противоречие с желанием обеспечить хорошее качество результата фильтрации. К настоящему времени разработан и уже используется на практике разнообразный математический инструментарий, призванный подавлять шум цифровых изображений. Обобщая, практически каждый метод подавления шума можно отнести к одному из двух классов методов фильтрации: 1) фильтрация в пространстве преобразования; 2) фильтрация в пространстве исходного изображения.

Первая группа методов сводится к трансформации исходного изображения посредством применения преобразования, за которым следует обработка коэффициентов преобразования. Целью такой обработки может являться уменьшение энергии шума и, возможно, увеличение резкости снимка. Завершает фильтрацию реконструкция изображения с помощью обратного преобразования. К данной группе можно отнести весьма широкий класс методов, основанных на преобразовании Фурье, вейвлет-преобразовании и др. Скорость выполнения и качество работы фильтра данного класса методов определяются преобразованием и методом обработки коэффициентов.

Ко второй группе методов относится не менее обширный список подходов, среди которых особо отметим билатеральный фильтр [1] и фильтр нелокальных средних [2]. Как правило, методы данной группы сводятся к поиску подобия между пикселями или группами пикселей в самом изображении, возможно с учетом геометрической информации (такой как локальная ориентированность структур изображения), и применению той или иной схемы модификации (усреднению) яркостей этих пикселей, при этом сила модификации зависит от степени подобия пикселей.

Предлагаемый в настоящей публикации способ фильтрации наиболее близок к алгоритму фильтрации на основе метода нелокальных средних [2]. Фильтр нелокальных средних демонстрирует хорошие результаты в подавлении шума цифровых

изображений. Оценку интенсивности сигнала текущего пикселя фильтр выполняет усреднением по области:

и

дев

Здесь Б(р, 1) обозначает область радиуса t с центром в текущем пикселе р [т. е. область размера (21 + 1) х (21 + 1) пикселя)]; ш(р, д) = ¥[ || и(р, /) -— и(д, /) || 2 а, а, А] — вес усреднения, ¥ — убывающая весовая функция; и(р, /), и(д, /) — блоки пикселей радиусом f с центром в пикселях р и д соответственно; || и(р, f) — и(д, f) Ц2 а, =

X О(к, а) [и(р + к) - и(д + к)] — взвешенное

кES

Гауссовой функцией О (к, а) = ехр( - ккт / а2) евклидово расстояние между блоками пикселей; а — среднеквадратическое отклонение (СКО) шума изображения; к — параметр, регулирующий силу усреднения; и(д) — интенсивность пикселя исходного изображения; и(р) — результирующая оценка интенсивности текущего пикселя изображения. В стандартной постановке, например, описанной в работе [2], весовую функцию ¥ задают в виде

¥ (|| и (р, f) - и (д, f) 112, а, а, к) = ехр [- || и(р, f) -

- и

112, а/

к2о2

];

шум считают аддитивным по-

стоянной дисперсии.

Фильтр нелокальных средних обладает большой вычислительной сложностью. Один из возможных путей его ускорения состоит в использовании векторного нелокального среднего [2]. В данной

версии алгоритма изображение 1(р) разбивают на

м

М блоков и(рт, f), т = 1, М, I(р) = р| и(рт, f),

т=1

где рт — центральный пиксель блока разбиения. Блоки разбиения берут с перекрытием. Оценку ин-тенсивностей пикселей текущего блока разбиения осуществляют по формуле

и

Здесьрт, д) = ехр [-1| и(рт, f) - и(д, f) Ц /к2а2 ] — вес усреднения блоков; || и(рт, f) - и(д, f) ||2 = = X [и(рт + к) - и(д + к)]2 — квадрат евклидо-

keS

ва расстояния между блоком текущего пикселя и блоком пикселя сравнения; и(рт, f) — результирующая оценка интенсивностей пикселей текущего блока разбиения. Итоговые блочные оценки объединяют с усреднением перекрытий блоков, формируя выходное отфильтрованное изображение. Использование векторной схемы позволяет существенно ускорить фильтр, однако, за счет определенной потери качества обработанного изображения.

Приведенная здесь базовая схема фильтрации (1) или (2) обладает рядом недостатков: 1) наличием остаточного шума в текстурированных областях изображения; 2) артефактами в виде разрывов непрерывности, направленных вдоль локальной ориентации границ объектов (переколебания); 3) остаточным низкочастотным шумом. Для уменьшения данных недостатков предлагаемый в настоящей публикации метод выполняет фильтрацию шума в два этапа. Для повышения степени подавления шума в текстурированных областях и уменьшения артефактов фильтра нелокальных средних разработана оригинальная методика фильтрации на основе объединения билатерального фильтра и фильтра нелокальных средних. Подавление остаточных низкочастотных составляющих шума осуществляют в пирамиде изображений с использованием билатерального фильтра.

2. Улучшение качества стандартной методики нелокальных средних

2.1. Совместная нелокально-билатеральная фильтрация

При использовании стандартной схемы фильтрации (1) с увеличением размера блока качество фильтрации, измеряемое в пиковых значения отношения сигнал/шум, повышается. Помимо роста качества при применении векторизованного нелокального среднего (2) с увеличением размера блока пикселей увеличивается и скорость выполнения фильтра, что на практике является весьма желательным. Однако при увеличении размера блока в текстурированных областях изображений и вдоль границ объектов изображения и текстур можно наблюдать высокий уровень остаточного шума и характерные артефакты в виде разрывов непрерывности, направленных вдоль локальной ориентации границ (переколебания). Наличие остаточного шума в текстурированных областях можно объяснить уменьшением степени подавления шума, которое обусловлено уменьшением количества подобных блоков. Переколебания, наблюдаемые вдоль границ объектов и текстур, можно объяснить доминированием граничных пикселей в локальной конфигурации весов усреднения. Остаточный низкочастотный шум особенно хорошо заметен в гладких областях изображения.

Для усиления эффекта шумоподавления в тек-стурированных областях изображения и для компенсации переколебаний разработана оригинальная методика совместной фильтрации шума на основе объединения билатерального фильтра и фильтра нелокальных средних. Данную методику далее будем также называть алгоритмом совместной фильтрации или просто совместным фильтром. Совместная фильтрация основана на следующем приципе.

Принцип совместной фильтрации. При усреднении вес каждого пикселя вычисляют на основе его близости к текущему пикселю по двум метрикам: билатеральной (яркостной) и нелокальной (структурной). Если текущий пиксель и пиксель сравнения близки с точки зрения фильтра нелокальных средних, т. е. их блоки структурно подобны, то должен преобладать структурный вес. Иначе, когда близки яркости текущего пикселя и пикселя сравнения, усиливается влияние яркост-ного веса. Для уменьшения остаточного шума веса усреднения следует вычислять по сглаженному (оценочному) изображению, которое можно получить фильтрацией исходного изображения простейшим линейным низкочастотным фильтром.

Математически данный принцип приводит к следующей модификации стандартной схемы фильтрации (2):

и

дев

Здесь и/(р, д) = У\Ъ(р, д), п(р, д)] есть функция, определяющая вес усреднения совместного фильтра и подобранная таким образом, чтобы удовлетворять принципу совместной фильтрации; Ь(р, д) = О(д - р, а)Ж {[и(р) - и(д)], а, кь, кь} — вес билатерального фильтра;О(э, а) = ехр(-ввТ /а2) — Гауссова функция; п(р, д) = Ж [|| и(р, f) - и(д, f) ||2, кп, Ьп ] — вес фильтра нелокальных средних; и(р), и(р, f) — значения пикселя и блока пикселей оценочного изображения соответственно; а — значение СКО шума оценочного изображения. Для вычисления подобия пикселей по яркости и по структуре используют пороговую функцию с непрерывным переходом вида Ж(г, а, к, к) = = ехр (—тах(г2 — ка2, 0) / к2), где к и к являются параметрами.

Векторизованную версию совместной фильтрации можно описать в следующем виде:

U(Рт, f) =

Е W

_qeS

/ Е w(Pm, q, f)•

qeS

Здесь w(Pm, q, f) = v[£(Pm, q, f), n(Pm, q)]

обозначает блок значений весовой функции совместного фильтра; B(Pm, q, f) — блок значений весовой функции билатерального фильтра; B(P m, q, f) = {b(Pm + s, q + s), s e S(0, f)} ^ каждое из которых вычисляют как b(Pm + s, q + s) =

= G(s, a)F {{u(Pm + s) - u(q + s)], a, kb, hb}, где G(s, a) — Гауссова функция; n(Pm, q) = F [|| U(Pm, f) --U(q, f) Ц2, a, kn, hn ] — вес фильтра нелокальных средних, общий для всех пикселей блока сравнения; a — значение СКО шума оценочного изображения; • — операция поэлементного умножения блоков, •/ — операция поэлементного деления

блоков; и(рт, f) — результирующая оценка ин-тенсивностей пикселей текущего блока разбиения.

В приведенной здесь схеме совместной фильтрации (3), (4) существенную роль играет выбор весовой функции V, которую можно определить различными способами. С точки зрения построения алгоритма, эффективного по скорости выполнения, простейшую и вместе с тем эффективную по качеству версию совместного фильтра можно получить, если функцию веса сформировать в виде заданной пропорции яркостного и структурного весов

V(b, n) = (1 - X) b(P, q) + Xn(P, q);

для векторизованной версии совместного фильтра V

Значение X выбирают близким к максимально возможному значению веса фильтра нелокального среднего, например X ~ 0,8 .

Выбор весовой функции в виде (5) или (6) позволяет разделить билатеральный и нелокальный фильтры. При разделении фильтров совместная фильтрация состоит в последовательном выполнении билатеральной и нелокальной фильтраций с последующим объединением результатов. Разделение фильтров позволяет подбирать более эффективные по скорости выполнения значения параметров фильтров (например, уменьшить область усреднения билатерального фильтра), а также исключить ненужную билатеральную фильтрацию пикселей, принадлежащих областям перекрытия блоков разбиения. На примере векторизованного совместного фильтра (4) при задании весовой функции в форме (6) разделимую совместную фильтрацию можно записать в следующем виде:

U(Pm, f ) = [XUn (Pm, f ) + (1 - X)U (Pm, f)] • /[Xc(Pm ) + (1 -X)C(Pm, f )]•

Здесь ип (рт, f) = Е ш(рт, д) и(д, f)есть результат фильтрации векторизованным фильтром нелокальных средних (без нормировки на суммарный вес); иь (рт, f) является блоком пикселей изображения, отфильтрованного билатеральным фильтром (без нормировки на суммарный вес), т. е.

иь (рт, f) = ]и^(э), э е£(рт, f )|и(э) = Е Ь(э,д)и(д)1^

I I) )

с(рт), С(рт, 1*) — суммарный вес и блок суммарных весов фильтров нелокальных средних и билатерального соответственно.

Разделимая форма совместной фильтрации (7), в случае использования сепарабельного билатерального фильтра позволяет далее повысить скорость выполнения фильтрации, существенно приблизив ее к скорости выполнения векторизованной версии фильтра нелокальных средних.

2.2. Подавление остаточного низкочастотного шума

Билатеральный фильтр, так же как и фильтр нелокальных средних, в гладкой области изображения (области одинаковой яркости с шумовой реализацией постоянной дисперсии и плотностью белого шума) обладает характеристиками простейшего линейного усредняющего по окрестности фильтра (т. е. работает как скользящее среднее). Вследствие использования конечной области усреднения часть спектральных компонент шума, отвечающих низким частотам, не будет подавлена и станет хорошо заметна в гладких областях изображения.

В методике, представляемой в настоящей публикации, подавление остаточного низкочастотного шума осуществляют в пирамиде изображений [3] с использованием билатерального фильтра [1]. Пирамиду изображений строят согласно следующим формулам. Пусть А^(р) = 1(р) — исходное изображение, тогда

по окрестности получают зависимость СКО шума низкочастотных изображений от номера уровня пирамиды:

а0 = а /

где а0 — уровень СКО шума изображения, обработанного совместным фильтром; ак — уровень СКО шума изображений Ак(р) пирамиды (8); д(к, Ьг) — коэффициент падения уровня СКО шума в изображениях Ак(р).

Для подавления остаточного низкочастотного шума фильтруют изображения Ак(р) пирамиды (8) билатеральным фильтром. Для уменьшения артефактов ступенчатости, возникающих на гладких переходах яркости, строят линейную регрессию

ak (i, j) = ai + bj + c.

Параметры (а, Ь, с) подбирают исходя из условия минимизации функционала

Ak (p) = Reduce [Ak_i (p)], Hk_i (p) = Ak_i (p) _ Expand [Ak (p)], k = 1, n.

Здесь Ak(p), Hk(p) — аппроксимирующее и детализирующее изображения уровня k пирамиды изображений; Reduce обозначает оператор фильтрации и уменьшения частоты выборки изображения в 2 раза (прореживание), т. е. Reduce (A) = (A * Lr) I 2 , где Lr — линейный фильтр низких частот; ^2 — прореживание; Expand обозначает оператор сгущающей выборки и фильтрации изображения, т. е. Expand(A) = (A?2)*Le, где Т2 — сгущающая выборка; Le — линейный фильтр низких частот.

Для оценки распределения дисперсии шума по низкочастотным составляющим пирамиды (8) подают на вход совместного фильтра белый гауссов шум стандартного отклонения а. В силу отмеченной выше эквивалентности в гладкой области изображения совместного фильтра фильтру усреднения

min

a, b, c

X w(x, y) [ak (x, y) _ ai _ bj _ c]

Б(1, ], 1) обозначает область радиуса 1 с центром в текущем пикселе а^, ]) изображения с номером к пирамиды (8); ^(х, у) = О(х — Ь, у — ], а) ¥ х х{[(ак (Ь, ]) - ак (х, у)), ак (Ь, ])] — вес усреднения, причем пространственная близость пикселей характеризуется гауссовой функцией О(х — Ь, у — ], а) = = ехр {-[(х - Ь)2 + (у - ])2 ]/а21 ,близость пикселей по яркости оценивается функцией

¥ (Ь, }) - ак (x, У)], ак } =

= ехр{- [ак(Ь, ]) - ак (х, у)]2/ак};

ак — СКО шума аппроксимирующего изображения пирамиды, определяемое зависимостью вида (9); а(Ь, ]) — результирующая оценка интенсивности текущего пикселя изображения. Для ускорения

Рис. 1

Сравнение стандартной блочной нелокальной фильтрации и совместной фильтрации с подавлением остаточного низкочастотного шума

фильтрации используют сепарабельную версию фильтра (10).

Отфильтрованные аппроксимирующие составляющие пирамиды используют для восстановления изображения с уменьшенным уровнем остаточного низкочастотного шума

А^

Здесь символы A, H обозначают, что пирамида (8) была построена с фильтрацией низкочастотных изображений фильтром (10).

Эффективность методики совместной фильтрации (7) и приведенной здесь схемы подавления остаточного шума продемонстрирована на рис. 1. Здесь показаны: рис. 1, a — фрагмент радиологической тест-таблицы; рис. 1, б — обработанный фрагмент векторизованной версией (2) стандартного фильтра нелокальных средних; рис. 1, в — обработанный фрагмент совместным фильтром с подавлением низкочастотного шума. Хорошо видимые вдоль границ объектов (полосок и цифр) на рис. 1, б артефакты стандартного метода нелокальных средних, а также неотфильтрованный низкочастотный шум, существенно подавлены в результате применения совместного фильтра (рис. 1, в).

шумы квантования и др. \4]. Общий эффект данных источников шума моделируют распределенной по Гауссу случайной величиной \5]. Согласно широко используемой модели при линейных электронных схемах дисперсия шума фотонов и дополнительных источников шумов линейно зависит от полезного сигнала \4, 5]:

a2 [u(p)] = au(p) + b.

Таким образом, шум цифровых изображений линейно зависит от интенсивности сигнала.

Проблеме оценки шума, зависящего от сигнала, посвящено много исследований. Так, в работе \6] создают непараметрический метод покадровой оценки шума серий цифровых медицинских изображений, при этом особый акцент делают на разработке алгоритма, способного работать в реальном времени. В статье \5] рассматривают двухпа-раметрический подход к оценке шума цифровых снимков. Шум исходного цифрового изображения (полученного непосредственно с детектора и не прошедшего через нелинейные преобразования, такие как гамма-коррекция) моделируют аддитивной по отношению к сигналу случайной величиной:

un (p) = u(p) + a2 [u(p)] n(p),

3. Оценка дисперсии шума, зависящего от интенсивности сигнала

Практически каждый качественный метод фильтрации шума цифровых изображений использует информацию об амплитудном и спектральном распределениях шума. Весьма широкий класс методов шумоподавления основан на предположении о том, что с точки зрения спектральной плотности шум является белым, а амплитудное распределение шума — гауссовым с постоянной дисперсией. При этом формулировка метода часто использует дисперсию шума в качестве параметра шумоподавления. Однако на практике условия спектральной плотности белого шума и постоянства дисперсии, как правило, нарушаются.

Так, в цифровой рентгенографии детектор измеряет интенсивность ослабленного (прошедшего через объект исследования) рентгеновского излучения. Каждая ячейка детектора накапливает за время экспонирования в среднем N электронов путем поглощения фотонов. Количество N накопленных электронов можно моделировать распределенной по закону Пуассона случайной величиной Р( N = п) = ехр( - N) ^/п, п > 0. Случайные флуктуации числа поглощенных фотонов называют шумом фотонов (флуктуационный шум). В современных детекторах основным источником шума является шум фотонов. К дополнительным источникам шума относят шумы детекторной системы: шум чтения, тепловой шум, шумы усилителей,

где ип(р) — уровень интенсивности сигнала в пикселе р наблюдаемого зашумленного изображения; а2 [и(р)] — зависимость дисперсии шума от интенсивности сигнала вида (16); п(р) е N(0,1) — стандартная нормальная случайная величина.

Предлагают способ построения модельных кривых дисперсии шума, учитывающий нелинейности в работе сенсора, приводящие к недоэкспони-рованию и переэкспонированию, т. е. к нарушению линейности на краях динамического диапазона.

Так, согласно способу, изложенному в статье \6], для построения по исходному изображению оценки зависящего от сигнала шума достаточно осуществить следующие этапы: 1) оценить полезный сигнал с помощью низкочастотной фильтрации исходного изображения и вычислить разность между исходным изображением и его оценкой, получив тем самым изображение шума; 2) отбросить тем или иным способом значения пикселей изображения шума, соответствующие резким изменениям (границы, одиночные «горячие» пиксели) в исходном изображении; 3) разбить диапазон интенсив-ностей оценочного изображения на интервалы и для каждого такого интервала накопить значения пикселей изображения шума, соответствующие пикселям оценочного изображения; 4) вычислить дисперсию шума в каждом интервале интенсивности по накопленным в данном интервале значениям пикселей изображения шума.

В настоящей статье предлагают непараметрический подход к построению искомой зависимости,

а)

Рис. 2 \ Оценка дисперсии шума, зависимого от интенсивности сигнала

при котором по полученным интервальным оценкам дисперсии шума создают интерполирующую табличную функцию. Данную табличную функцию формируют на основе робастной локальной линейной аппроксимации интервальных оценок дисперсии. Использование робастных методов позволяет дополнительно снизить влияние выбросов (грубых ошибок в интервальных оценках дисперсии), в то время как локальность аппроксимации обеспечивает повторение сложного хода кривой, описывающей зависимость шума от интенсивности. Таким образом, полученная табличная функция каждой интенсивности исходного изображения ставит в соответствие оценку дисперсии шума. Точками входа в таблицу могут служить, например, интенсивности оценочного изображения. График одной такой табличной функции (сплошная линия), полученной для изображения рис. 2, а, вместе с интервальными оценками среднеквадратического отклонения шума (кружки) приведен на рис. 2, б.

На практике в случае параметрической оценки шума может быть использован подход, при котором применяется преобразование, стабилизирующее дисперсию шума исходного изображения [4]. При этом фильтрация шума, зависящего от интенсивности сигнала, сводится к подавлению аддитивного

независимого от сигнала шума заданной дисперсии. В предлагаемом в настоящей публикации подходе осуществляют непараметрическую оценку шума, поэтому при построении карты шума предлагают использовать следующий подход: на основе оценочного изображения и интерполирующей таблицы построить карту шума — изображение, каждый пиксель которого оценивает среднеквадратическое отклонение шума в соответствующем пикселе исходного изображения. Карта шума дает попиксельную оценку шума с достаточной для практического применения точностью. Пример карты шума, построенной для рис. 2, а, можно видеть на рис. 2, в. Данный пример иллюстрирует работу алгоритма оценки шума при наличии переэкспонирования, хорошо видимого вокруг головы (светлый ореол рис. 2, а).

4. Фильтрация шума со спектральной плотностью, отличной от плотности белого шума

Как отмечено в публикации [7], при подавления шума со спектральной плотностью мощности, отличающейся от спектральной плотности белого шума, качество методики нелокального усреднения

ухудшается. В настоящей работе для повышения качества подавления коррелированного шума применяется подход, изложенный в работе [7], согласно которому выполняют предобработку исходного изображения с помощью специального преобразования, осуществляющего приведение спектральной плотности коррелированного шума к плотности белого шума.

Пусть спектральная плотность мощности шума оценена тем или иным способом, т. е. известна и равна | Н(ю) |2 . Тогда спектр исходного изображения и(ш) подвергают преобразованию

иш

где е малое положительное число. Вычисляют обратное преобразование Фурье и получают изображение ии!(р) со спектральной плотностью белого шума, которое используют для вычисления весовых функций в совместном фильтре (3) [или (4)].

При оценке спектральной плотности шума | Н(ю) |2 целесообразно вначале провести стабилизацию дисперсии шума [4]. Для учета возможной неоднородности функции | Н(ю) |2 по полю рентгеновского снимка [8] ее оценку и применение преобразования (14) следует проводить локально.

Заключение

В статье рассмотрены вопросы, связанные с подавлением флуктуационного шума цифровых рентгенограмм. В качестве базового алгоритма фильтрации рассмотрена методика нелинейного фильтра нелокальных средних. Обсуждается ряд присущих ей проблем (артефакты в виде переколебаний вдоль границ, остаточный низкочастотный шум) и предлагаются способы их решения, позволяющие получить результат фильтрации с более высоким качеством. В частности, предложен способ улучше-

ния качества методики нелокальной фильтрации на основе специального объединения нелокального и билатерального фильтров. Приведена формулировка разделимой совместной нелокально-билатеральной фильтрации, допускающая эффективную реализацию. Исследована проблема подавления остаточного низкочастотного шума. Рассмотрена оценка дисперсии шума цифровых изображений, зависящей от интенсивности сигнала. Приведены модификации алгоритма фильтрации в случае, когда спектральная плотность дисперсии шума отличается от плотности белого шума.

1. Tomasi C., Manduchi R. Bilateral Filtering for Gray and Color Images // Proc. 6th Int. Conf. Computer Vision. New Delhi, India. 1998. Р. 839-846.

2. Buades A., Coll B., Morel J.-M. A review of image denoising algorithms, with a new one. Multiscale Modeling and Simulation // SIAM interdisciplinary journal. 2005. Vol. 4 (2). Р. 490-530.

3. Burt P., Adelson E. The Laplacian pyramid as a compact image code // IEEE Trans. Commun. 1983. Vol. COM-31. P. 532-540.

4. Яне Б. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2007. 583 с.

5. Foi A., Trimeche M., Katkovnik V., Egiazarian K. Practical poissonian-gaussian noise modeling and fitting for singleimage raw-data. Image Processing // IEEE Transactions on 17. October, 2008. P. 1737-1754.

6. Hensel M., Lundt B., Pralow T., Grigat R.-R. Robust and Fast Estimation of Signal-Dependent Noise in Medical X-Ray Image Sequences / In Handels, H. et al. // Bildverarbeitung fur die Medizin 2006: Algorithmen, Systeme, Anwendun-gen. Springer. 2006. P. 46-50.

7. Goossens B., Luong H., Pizurica A., Philips W. An Improved Non-Local Denoising Algorithm. http://www.eurasip.org/ Proceedings/Ext/LNLA2008/papers/cr1026.pdf

8. Bushberg J., Seibert J., Leidholdt E., Boone J. The essential physics of medical imaging. Lippincott Williams & Wilkins. 2002.

(г \

Как оформить подписку?

• В любом отделении связи по каталогам «Роспечать» (по России) — индекс № 45886, через агентства «Урал-Пресс», «Гал», «Интер-почта 2003», «Информнаука».

• Через редакцию (с любого номера текущего года), отправив по факсу (812) 312-57-68 или электронной почте bts@polytechnics.ru заполненный запрос счета на подписку

Запрос счета для редакционной подписки на журнал «Биотехносфера»

Полное название организации_

Юридический адрес_

Банковские реквизиты. Адрес доставки_

Срок подписки_Кол-во экз..

Тел._Факс_e-mail.

Ф.И.О. исполнителя _

Стоимость одного номера журнала при подписке через редакцию — 550 руб. с добавлением стоимости доставки (простой бандеролью). К каждому номеру журнала будут приложены накладная и счет-фактура. Журнал выходит 6 раз в год. Отдельные номера можно заказать с получением наложенным платежом. Информация о журнале — www.polytechnics.ru.

Журнал «Биотехносфера» распространяется только по подписке в России и странах СНГ.